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You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Thèses présentées à la Faculté des Sciences de Paris % +% % +% Author: Gaston Floquet % +% % +% Release Date: March 11, 2010 [EBook #31600] % +% % +% Language: French % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THÈSES *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{31600} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% THÈSES PRÉSENTÉES À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS, %% +%% Par M. 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You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Thèses présentées à la Faculté des Sciences de Paris + +Author: Gaston Floquet + +Release Date: March 11, 2010 [EBook #31600] + +Language: French + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THÈSES *** + + +Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson, Paul Murray, +Keith Edkins and the Online Distributed Proofreading Team +at http://www.pgdp.net (This file was produced from images +generously made available by Cornell University Digital +Collections) +\end{verbatim} +\newpage + +% *** File: 001.png--- +\begin{minipage}{0.3\linewidth}{% +\No D'ORDRE\\ +\hspace*{2em} 417. +} +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.6\linewidth}{% +{\Huge \bfseries THÈSES} +} +\end{minipage} + +\begin{center} + +\bigskip + +{\small PRÉSENTÉES} + +\bigskip + +{\LARGE À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS} + +\bigskip + +{\small POUR} + +\bigskip + +LE DOCTORAT ÈS SCIENCES MATHÉMATIQUES, + +\bigskip\bigskip + +{\bfseries \scshape Par M.~Gaston FLOQUET,} + +{\tiny Ancien Élève de l'École Normale, Maître de Conférences à la Faculté de Nancy.} + +\bigskip + +\makebox[1in]{\hrulefill} + +\end{center} +\small{% +\phantom{2}1\ier\phantom{\ieme}THÈSE. --- {\scshape Sur la théorie des équations différentielles linéaires.} + +\phantom{1}2\ieme\phantom{\ier}THÈSE. --- {\scshape Propositions données par la faculté.} +} +\begin{center} + +\makebox[2in]{\hrulefill} + +\bigskip + +{\bfseries Soutenues le Avril 1879, devant la Commission \\ +d'Examen.} + +\makebox[2in]{\hrulefill} + + +\begin{align*} +\text{MM.~HERMITE, } & \text{\emph{Président.}} \\ +\begin{aligned} +\text{BOUQUET, } & \\ +\text{TANNERY, } & +\end{aligned} & \bigg\} \text{\emph{Examinateurs.}} +\end{align*} + +\bigskip + +\makebox[2.5in]{\hrulefill} + +\bigskip\bigskip + +{\LARGE PARIS,} + +\bigskip + +{\large GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE} + +\medskip + +{\small DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, DU BUREAU DES LONGITUDES, } + +\medskip + +{SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,} + +\medskip + +{Quai des Augustins, 55.} + +\makebox[0.5in]{\hrulefill} + +\bigskip + +{\LARGE 1879} + +\end{center} +\newpage + +% *** File: 002.png--- + +\begin{center} + + +{\Large ACADÉMIE DE PARIS.} + + +\makebox[1in]{\hrulefill} + +\bigskip + +{\Large FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS.} + +\bigskip + +\begin{align*} +\boxa{DOYEN} & \quad +\parbox{3.4in}{\small MM. \\ +MILNE EDWARDS, Professeur. Zoologie, Anatomie, \\ +\hspace*{1.5in} Physiologie comparée.} +\\ +\parbox[b]{\boxla}{\small PROFESSEURS\\HONORAIRES\dotfill} & +\begin{cases} +\text{\small DUMAS.}\\ +\text{\small PASTEUR.} +\end{cases} +\\ +\boxa{PROFESSEURS} & +\begin{cases} +\boxb{CHASLES}\text{\small Géométrie supérieure.} \\ +\boxb{P. DESAINS}\text{\small Physique.} \\ +\boxb{LIOUVILLE}\text{\small Mécanique rationnelle.} \\ +\boxb{PUISEUX}\text{\small Astronomie.} \\ +\boxb{HÉBERT}\text{\small Géologie.} \\ +\boxb{DUCHARTRE}\text{\small Botanique.} \\ +\boxb{JAMIN}\text{\small Physique.} \\ +\boxb{SERRET}\text{\small Calcul différentiel et intégral.} \\ +\boxb{H. S\up{te}-CLAIRE DEVILLE}\text{\small Chimie.} \\ +\boxb{DE LACAZE-DUTHIERS}\parbox[t]{\boxlc}{\small Zoologie, Anatomie, Physio-\\logie comparée.} \\ +\boxb{BERT}\text{\small Physiologie.} \\ +\boxb{HERMITE}\text{\small Algèbre supérieure.} \\ +\boxb{BRIOT}\parbox[t]{\boxlc}{\small Calcul des probabilités, Phy-\\sique mathématique.} \\ +\boxb{BOUQUET}\parbox[t]{\boxlc}{\small Mécanique physique et expé-\\rimentale.} \\ +\boxb{TROOST}\text{\small Chimie.} \\ +\boxb{WURTZ}\text{\small Chimie organique.} \\ +\boxb{FRIEDEL}\text{\small Minéralogie.} \\ +\boxb{O. BONNET}\text{\small Astronomie.} +\end{cases} +\\ +\boxa{AGRÉGÉS} & +\begin{cases} +\parbox{\boxlb}{% +\small BERTRAND\dotfill\\ +J. VIEILLE\dotfill}\bigg\} \text{\small Sciences mathématiques.} \\ +\boxb{PELIGOT}\text{\small Sciences physiques.} +\end{cases}\\ +\boxa{SECRÉTAIRE} & \quad \text{\small PHILIPPON.} +\end{align*} + +\hrulefill + +{\scriptsize \scshape Paris.---Imprimerie de GAUTHIER-VILLARS, successeur de MALLET-BACHELIER,} + +{\scriptsize Quai des Augustins, 55.} + +\end{center} +\newpage + +% *** File: 003.png--- +\begin{center} +\textsc{\Large A M.~Ch. HERMITE} +\end{center} +\bigskip\bigskip\bigskip + +\begin{flushright} +{\small Hommage très-respectueux.\qquad\qquad} +\bigskip\bigskip + +{\small \textsc{Gaston FLOQUET.}} +\end{flushright} +\newpage + +% *** File: 004.png--- +%[Blank page] +% *** File: 005.png--- +\begin{center} +{\LARGE PREMIÈRE THÈSE. \bigskip} + +{\Large SUR LA THÉORIE} + +\bigskip + +DES + +\bigskip + +{\Large ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.} +\end{center} + +\mysection{INTRODUCTION.} + +En 1866, M.~Fuchs a publié un Mémoire fondamental\footnote{% +\textit{Journal de Crelle}, t.~66.} +sur les +fonctions d'une variable imaginaire définies par une équation +différentielle linéaire. M.~Tannery a exposé les principes et les résultats de ce +travail, en même temps qu'il en a agrandi le cadre par des recherches +personnelles\footnote{% + \textit{Annales de l'École Normale supérieure}, année 1874.}. +Depuis, M.~Tannery a étudié\footnote{% + \textit{Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences}, avril 1878.} +en particulier +l'équation qui, dans la théorie des fonctions elliptiques, relie au module la +fonction complète de première espèce. + +A partir de 1868, époque à laquelle parut un second Mémoire de +M.~Fuchs, l'étude des équations différentielles linéaires, devenue classique +en Allemagne, y a donné naissance à un grand nombre de travaux. +M.~Fuchs a persévéré, et deux géomètres éminents, MM.~Thomé +et Fröbenius, ont entrepris des recherches intéressantes et profondes +sur ce sujet\footnote{% + \textit{Journal de Crelle}, t.~74 et suiv.}. + +J'ai pensé être utile en appelant l'attention sur ces analyses, qui ont +% *** File: 006.png--- +leur point de départ dans les découvertes de Cauchy et qui sont la suite +naturelle des belles études de M.~Puiseux sur les équations algébriques, +de MM.~Briot et Bouquet sur les équations différentielles du premier +ordre. Je me suis donc proposé d'élucider et de compléter le plus possible +ces travaux, en prenant pour base les Mémoires de MM.~Thomé +et Fröbenius. + +Dans la première Partie, je rappelle les principes fondamentaux de +la théorie des équations différentielles linéaires. + +La deuxième est consacrée à la définition des intégrales régulières et +à leur recherche, cette recherche étant fondée sur la notion de l'indice +caractéristique. + +Dans la troisième Partie, je définis la fonction caractéristique, la +fonction déterminante, et je ramène la notion de l'indice caractéristique +à la considération plus naturelle de la fonction déterminante. Puis on +introduit les formes normales, les expressions composées, et l'on établit +une proposition capitale concernant la fonction déterminante d'une +expression composée de plusieurs formes normales. Enfin, on pose les +principes de la réductibilité des équations différentielles linéaires. + +La quatrième Partie traite de l'application des notions qui précèdent +à l'étude des intégrales régulières. + +Dans la cinquième, on construit l'expression différentielle adjointe +et l'on établit ses importantes propriétés. L'équation adjointe est en +rapport intime avec l'équation proposée, ce qui conduit à de nouveaux +théorèmes concernant les intégrales régulières. + +Dans la sixième Partie, je définis et j'étudie la décomposition des +expressions différentielles linéaires homogènes en facteurs premiers +symboliques; je fais ressortir à ce propos les analogies de ces expressions +avec les polynômes algébriques; je trouve encore les conditions +que doivent remplir les facteurs pour être commutatifs, et la forme que +doit affecter une expression différentielle pour être décomposable en +de pareils facteurs; puis j'applique la décomposition à l'intégration de +l'équation linéaire complète, connaissant l'intégrale générale de l'équation +privée du second membre. + +Enfin, la septième Partie est l'application des considérations de la +précédente à l'étude des intégrales régulières. Admettant la proposition +fondamentale démontrée dans la troisième Partie et concernant la fonction +% *** File: 007.png--- +déterminante d'une expression composée de plusieurs formes normales, +j'obtiens d'abord un théorème, également simple, ayant lieu +quand les composantes n'ont pas la forme normale. Je fais intervenir +ensuite les décompositions en facteurs premiers symboliques à coefficient +monotrope. En dernier lieu, je donne une nouvelle interprétation +du degré de l'équation déterminante et du nombre des intégrales +régulières; puis j'établis, avec facilité, toutes les propriétés de ces +intégrales. + +Le fond de ce travail appartient à MM.~Thomé et Fröbenius. Les +méthodes élégantes de M.~Fröbenius m'ont paru pleines d'intérêt, et je +les ai surtout mises à profit. J'ai modifié quelques démonstrations, j'ai +développé particulièrement certaines considérations et j'ai introduit de +nombreux raisonnements intermédiaires. Enfin, j'ai ajouté les deux +dernières Parties, qui reposent sur l'emploi des facteurs symboliques +que j'appelle \textit{premiers}, et qui me sont entièrement personnelles. + + +\mysection{PREMIÈRE PARTIE.} + + +\myparagraph{1.} Nous considérerons l'équation différentielle linéaire homogène +\[ +P(y) = \frac{d^m y}{dx^m} + p_1 \frac{d^{m-1} y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_m y = 0, +\] +où les coefficients $p$ sont des fonctions de $x$ continues et monogènes +dans une partie $T$ du plan à contour simple, sauf en certains points $a$, +$b$, $c$, \dots\ isolés les uns des autres. Les fonctions $p$ seront supposées +monotropes, au moins dans les portions de la région $T$, à contour +simple, qui ne renferment aucun des points $a$, $b$, $c$, \dots. Ces points particuliers, +pour lesquels les coefficients $p$ cessent d'être holomorphes, +ont été nommés \textit{les points singuliers de l'équation différentielle}. + + +\myparagraph{2.} La définition précise de ce qu'on doit entendre par une solution +de l'équation différentielle $P = 0$ a été déduite de ce principe: + +Si $x_0$ est un point non singulier de la région $T$, il existe une fonction +% *** File: 008.png--- +de $x$, holomorphe dans son domaine, qui satisfait à l'équation $P = 0$, +les valeurs de cette fonction et de ses $m-1$ premières dérivées au +point $x_0$ étant arbitraires. + +Faisons décrire à la variable $x$ un chemin quelconque, allant du +point $x_0$ au point $X$, compris dans la région $T$ et ne contenant aucun +point singulier. Les valeurs des coefficients $p$ au point $x_0$ étant connues, +le théorème précédent permet de définir, en chaque point du +chemin $x_0 X$, la valeur d'une fonction $y$, continue et monogène le long +de ce chemin, satisfaisant constamment à l'équation $P=0$, et ayant au +point $x_0$, ainsi que ses $m-1$ premières dérivées, des valeurs arbitraires. +C'est cette fonction $y$ qui constitue une solution ou une intégrale particulière +de l'équation différentielle $P=0$. + +Les diverses intégrales particulières se distingueront mutuellement +par les valeurs initiales $y_0$, $y'_0$, $y''_0$, \dots, $y^{(m-1)}_0$, choisies en un même +point $x_0$, et l'intégrale générale renferme ces $m$ constantes arbitraires. + +\myparagraph{3.} Toute intégrale particulière $y$ possède d'ailleurs les propriétés +suivantes: + +Si, les points $x_0$ et $X$ restant fixes, le chemin $x_0 X$ vient à se déformer +sans franchir aucun point singulier et sans sortir de la région $T$, +ce chemin conduit constamment en $X$ à la même valeur de la fonction $y$. + +Cela a lieu en particulier lorsque le point final $X$ coïncide avec le +point initial $x_0$. De plus, si le chemin fermé $x_0 \xi x_0$ est tel qu'on puisse +le réduire au seul point $x_0$ sans lui faire franchir aucun point singulier +et sans le faire sortir de la région $T$, la fonction $y$ reprend en $x_0$ sa +valeur initiale $y_0$, après la révolution de la variable, comme chaque coefficient +$p$. + +La fonction $y$ est développable en une série, procédant suivant les +puissances entières et positives de $x-x_0$, et convergente dans tout +cercle décrit du point $x_0$ comme centre, compris dans la région $T$ et ne +renfermant aucun point singulier. + +La fonction $y$ étant holomorphe dans la partie $T$ du plan, à contour +simple, excepté pour les points singuliers, si l'on décrit autour de chacun +de ces points une circonférence infiniment petite, et qu'on supprime +de l'aire $T$ tous les cercles ainsi obtenus, on pourra, au moyen de +coupures convenablement pratiquées, déduire de la partie $T$ du plan +% *** File: 009.png--- +une nouvelle partie $T'$, à contour simple aussi, où la fonction $y$ sera +partout holomorphe, comme les coefficients $p$. + + +\myparagraph{4.} Je dirai que $m$ fonctions $y_1$, $y_2$,ldots, $y_m$ sont \emph{linéairement indépendantes} +lorsqu'il n'existera entre elles aucune relation identique de +la forme +\[ +C_1 y_1 + C_2 y_2 + \dotsb + C_m y_m = 0, +\] +les $C$ désignant des constantes dont plusieurs peuvent être nulles. + +La condition nécessaire et suffisante pour que ces $m$ fonctions soient +linéairement indépendantes est que le déterminant +\[ +\Delta = +\begin{vmatrix} +\dfrac{d^{m-1} y_1}{dx^{m-1}} & \ldots & \dfrac{d y_1}{dx} & y_1 \\ +\ldots\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ +\dfrac{d^{m-1} y_m}{dx^{m-1}} & \ldots & \dfrac{d y_m}{dx} & y_m \\ +\end{vmatrix} +\] +ne soit pas identiquement nul. + +Au cas où $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$ désignent $m$ intégrales de l'équation $P = 0$, +on a, d'après une proposition de M.~Liouville, +\[ +\Delta=Ce^{-\int\! p_1dx}, +\] +$C$ étant une constante, et, par conséquent, la condition est ici +\[ +C \backneq 0. +\] +Lorsque cette condition est remplie, la même identité montre que $\Delta$ ne +peut s'annuler qu'aux points singuliers. + +\myparagraph{5.} Considérons un système de $m$ intégrales de l'équation $P = 0$, qui +soient linéairement indépendantes, $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$. Il suffit pour cela +que $\Delta$ ne soit pas nul au point initial $x_0$: il existe donc toujours de +pareilles solutions. On donne à ce système le nom de \emph{système fondamental +d'intégrales}. Le déterminant $\Delta$ correspondant ne peut s'annuler +qu'aux points singuliers. + +On obtient en particulier un système fondamental quand on déduit +les intégrales $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$ successivement les unes des autres par les +substitutions bien connues de la forme +\[ +y = v_1\tint v\: dx, +\] +% *** File: 010.png--- +et même le déterminant $\Delta$ s'exprime simplement à l'aide des solutions +$v_1 = y_1$, $v_2 = y_2$, $v_3 =y_3$, \dots, $v_m = y_m$ des équations différentielles +employées, car on a + +\[ +\Delta = C v_1^m v_2^{m-1} v_3^{m-2} \ldots v_m. +\] + +Tout système fondamental peut d'ailleurs s'obtenir par ce moyen, +car on peut choisir les intégrales $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$ des équations successives +de manière à tomber sur le système donné $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$. + +\myparagraph{6.} On démontre que toute solution de l'équation $P = 0$ est une fonction +linéaire, homogène, à coefficients constants, des éléments d'un +système fondamental quelconque. Par conséquent, l'intégrale générale +est de la forme + +\[ +C_1 y_1 + C_2 y_2 + \dotsb + C_m y_m +\] +$y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$ étant les éléments d'un système fondamental, et $C_1$, +$C_2$, \dots, $C_m$ des constantes arbitraires. + +Si l'on adopte pour ces constantes $m$ systèmes de valeurs, on formera +$m$ nouvelles intégrales particulières. Le déterminant $\Delta$ relatif à +ces $m$ fonctions nouvelles est égal au premier, multiplié par le déterminant +des $m^2$ valeurs adoptées pour les constantes. Le nouveau système +d'intégrales sera donc fondamental ou non, suivant que ce dernier +déterminant sera différent de zéro ou égal à zéro, et, par suite, on +a un moyen simple pour obtenir autant de systèmes fondamentaux +qu'on voudra. + +\myparagraph{7.} Considérant désormais les intégrales dans le voisinage des points +singuliers, je supposerai que les coefficients $p$ reprennent leurs valeurs +initiales après une révolution de la variable autour d'un point singulier. +Autrement dit, les coefficients de l'équation différentielle seront +supposés monotropes dans toute l'étendue de la partie $T$ du plan à contour +simple, et, par conséquent, dans le domaine d'un point singulier +quelconque $a$, ils seront développables en doubles séries, procédant +suivant les puissances entières, positives et négatives de $x-a$ et convergentes +dans ce domaine. + +\myparagraph{8.} Le fait saillant est celui-ci: + +Lorsque la variable décrit une courbe fermée, dans la région $T$, faisant +% *** File: 011.png--- +une circonvolution autour d'un point singulier, les nouvelles +valeurs $(y_1)'$, $(y_2)'$, \dots, $(y_m)'$ qu'acquièrent $m$ intégrales sont des +fonctions linéaires, homogènes, à coefficients constants, de leurs +valeurs primitives $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$, et, si ces valeurs primitives forment +un système fondamental, les nouvelles valeurs constituent aussi un +système fondamental. + +Cette propriété simple est caractéristique des fonctions qui satisfont +à une équation différentielle linéaire, homogène, à coefficients monotropes, +car on démontre cette proposition réciproque: + +Soient $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$ $m$ fonctions de $x$, holomorphes dans une +partie $T$ du plan, à contour simple, excepté pour certains points isolés +les uns des autres; si les nouvelles valeurs $(y_1)'$, $(y_2)'$, \dots, $(y_m)'$ qu'acquièrent +ces fonctions lorsque la variable fait le tour d'un de ces +points peuvent s'exprimer en fonction linéaire, homogène, à coefficients +constants, des valeurs primitives, ces quantités $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$ +sont les intégrales d'une équation différentielle linéaire, homogène, à +coefficients monotropes dans la région $T$. + +Quand les $m$ fonctions $y$ sont linéairement indépendantes, cette +équation différentielle est d'ordre $m$; sinon, elle est d'ordre inférieur. + +En particulier, les $m$ fonctions algébriques de $x$, définies par l'équation + +\[ + f(x,y) = 0, +\] +où $f(x,y)$ est un polynôme de degré $m$ en $y$, ne faisant que s'échanger +entre elles quand la variable tourne autour d'un point singulier, seront +les intégrales d'une équation différentielle linéaire, homogène, à coefficients +monotropes, que M.~Tannery a appris à former. + +\myparagraph{9.} Les valeurs finales qu'acquièrent les $m$ intégrales d'un système +fondamental quelconque après une révolution de la variable autour +d'un point singulier prenant la forme d'expressions linéaires, homogènes, +à coefficients constants, en fonction des valeurs initiales, on +peut choisir le système fondamental de manière à simplifier ces expressions +et à y annuler plusieurs des coefficients constants. + +On établit en effet que, à tout point singulier, correspond un système +fondamental déterminé, où les éléments se partagent en groupes tels +que, dans chaque groupe convenablement ordonné, la nouvelle valeur +% *** File: 012.png--- +d'un élément soit une fonction linéaire homogène des anciennes valeurs +de cet élément et de ceux qui le précèdent dans le groupe. On +peut d'ailleurs, sans altérer les propriétés d'un groupe, y remplacer +une quelconque des fonctions par une combinaison linéaire, homogène, +à coefficients constants, de cette fonction et des précédentes. Ce système +fondamental, qui conduit à des relations si simples, dépend d'une +certaine équation de degré $m$, dite \textit{équation fondamentale}, relative au +point singulier considéré. + +Il y a plus. Les propriétés élémentaires de ce système fondamental +particulier, corrélatif d'un point singulier $a$, permettent de trouver la +forme analytique de ses éléments dans le domaine du point $a$. C'est +ainsi qu'on a été conduit à la proposition suivante: + +Soit $n$ le nombre des racines distinctes $\omega_1$, $\omega_2$, \dots, $\omega_n$ de l'équation +fondamentale relative au point singulier $a$; soient $\lambda_1$, $\lambda_2$, \dots, $\lambda_n$ leurs +ordres de multiplicité respectifs, la somme $\lambda_1+\lambda_2+ \dotsb+\lambda_n$ étant +égale à $m$; les éléments du système fondamental corrélatif se partagent +en $n$ groupes correspondant respectivement à ces racines, et les $\lambda$ éléments +qui constituent le groupe répondant à la racine $\omega$, d'ordre de +multiplicité $\lambda$, peuvent, dans le domaine du point $a$, s'exprimer sous +ces formes: +\begin{align*} +&(x-a)^r\varphi_{11}, \\ +&(x-a)^r[\varphi_{21} + \varphi_{22}\log(x-a)], \\ +&(x-a)^r\{\varphi_{31} + \varphi_{32}\log(x-a) + \varphi_{33}[\log(x-a)]^2\}, \\ +&\makebox[22em]{\dotfill} \\ +&(x-a)^r\{\varphi_{\lambda1} + \varphi_{\lambda2}\log(x-a) + \varphi_{\lambda3}[\log(x-a)]^2 + \dotsb + \varphi_{\lambda\lambda}[\log(x-a)]^{\lambda-1}\},\\ +\end{align*} +où $r$ désigne une valeur quelconque, mais déterminée, de la quantité +$\dfrac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\log\omega$, et où les $\varphi$ représentent des fonctions de $x$, monotropes +dans le domaine du point $a$, continues et monogènes dans ce domaine +au point $a$ près, et que, par suite, on peut y développer en doubles +séries convergentes, procédant suivant les puissances entières, positives +et négatives de $x-a$. + +Il faut observer en outre: + +\primo Que les quantités $\varphi$ peuvent s'exprimer en fonction linéaire, homogène, +à coefficients constants, de celles d'entre elles où le second +indice est $1$; +% *** File: 013.png--- + +\secundo Que les quantités $\varphi_{11}$, $\varphi_{22}$, \dots, $\varphi_{\lambda\lambda}$, dont les deux indices sont +égaux, ne diffèrent mutuellement que par des facteurs constants; + +\tertio Que conséquemment les produits + +\[ +(x-a)^r\varphi_{22},\ (x-a)^r\varphi_{33},\ \dots,\ (x-a)^r\varphi_{\lambda\lambda}, +\] +qui multiplient les plus hautes puissances du logarithme, sont des intégrales, +comme le produit $(x-a)^r\varphi_{11}$; + +\quarto Que les exposants fixes $r_1$, $r_2$, \dots, $r_n$ ont des différences mutuelles +qui ne sont ni nulles ni entières, car autrement les racines $\omega_1$, +$\omega_2$, \dots, $\omega_n$ ne seraient pas distinctes. + +\myparagraph{10.} Connaissant la forme analytique des éléments d'un système +fondamental, dans le domaine du point singulier $a$, on en conclut +immédiatement celle de l'intégrale générale. L'intégrale générale est +la somme de $m$ expressions de la forme +\[ +C(x-a)^r\{\varphi_{\eta1} + \varphi_{\eta2}\log(x-a) + \varphi_{\eta3}[\log(x-a)]^2 + \dotsb + \varphi_{\eta\eta}[\log(x-a)]^{\eta-1}\}, +\] +$C$ étant une des $m$ constantes arbitraires. + +Effectuons cette somme, ordonnons-la par rapport aux puissances +distinctes de $x-a$, déterminons arbitrairement les constantes, et nous +obtenons pour une intégrale particulière quelconque la forme suivante +dans le domaine du point $a$: + +\[ +\tag{$\theta$} +\left\{ +\begin{alignedat}{2} + &C_1(x-a)^{r_1}\:\{\varphi_{r_1 0} \:+ \varphi_{r_1 1}\log(x-a) \:+ \dotsb + \varphi_{r_1\alpha_1}[\log(x-a)]^{\alpha_1}\} \\ ++\,&C_2(x-a)^{r_2}\:\{\varphi_{r_2 0} \:+ \varphi_{r_2 1}\log(x-a) \:+ \dotsb + \varphi_{r_2\alpha_2}[\log(x-a)]^{\alpha_2}\} \\ ++\,&\multispan{1}{\dotfill}\\ ++\,&C_n(x-a)^{r_n}\{\varphi_{r_n 0} + \varphi_{r_n 1}\log(x-a) + \dotsb + \varphi_{r_n\alpha_n}[\log(x-a)]^{\alpha_n}\}, \\ +\end{alignedat} +\right. +\] +où les $C$ sont $n$ constantes, où les $r$ sont des exposants fixes dont les +différences mutuelles ne sont ni nulles ni entières, et où les $\varphi$ sont des +fonctions de $x$, monotropes dans le domaine du point $a$, continues et +monogènes dans ce domaine au point $a$ près, et par conséquent développables +en doubles séries, convergentes dans ce domaine, telles que + +\[ +\sum_0^\infty C_\alpha(x-a)^\alpha + \sum_1^\infty C_{-\alpha}(x-a)^{-\alpha}, +\] +$\alpha$ désignant un nombre entier. +% *** File: 014.png--- + +\myparagraph{11.} On démontre sans peine que: + +Si une expression de la forme ($\theta$) est identiquement nulle, toutes les +fonctions $\varphi$ sont identiquement nulles. + +D'où l'on tire ces conséquences: + +\primo Lorsque deux expressions de la forme ($\theta$) sont identiquement +égales, elles sont composées des mêmes fonctions $(x-a)^p [\log(x-a)]^q$, +avec les mêmes coefficients; + +\secundo Toute intégrale de l'équation différentielle $P = 0$ ne peut se +mettre que d'une seule manière sous la forme ($\theta$), dans le domaine du +point singulier $a$; + +\tertio Étant donnée une intégrale, construite dans le domaine du +point $a$ avec ces produits $(x-a)^p[\log(x-a)]^q$, si on l'ordonne par +rapport aux puissances distinctes de $x-a$, de telle façon que dans +deux termes quelconques la différence des exposants du facteur $x-a$ +ne soit ni nulle ni entière, chaque terme de l'intégrale ainsi ordonnée +sera aussi une intégrale, et, dans ce terme, le coefficient de la plus +haute puissance de $\log(x-a)$ sera lui-même une solution. Cette dernière +partie résulte d'une remarque faite précédemment, et peut +d'ailleurs s'établir directement, car on démontre \emph{a priori} que, si +\[ +(x-a)^r \{ \varphi_{\eta 1} +\varphi_{\eta 2} \log(x-a) + \dotsb + \varphi_{\eta\eta}[\log(x-a)]^{\eta-1} \} +\] +est une intégrale, il en est de même de $(x-a)^r \varphi_{\eta\eta}$. + +\myparagraph{12.} Nous n'avons considéré jusqu'à présent que des points singuliers +situés à distance finie; or la région $T$ peut s'étendre à l'infini: +par exemple, elle peut embrasser tout le plan. Mais on pourra toujours, +en changeant la variable indépendante, ramener l'étude d'un point +situé à l'infini à celle d'un point situé à distance finie. + + +\mysection{DEUXIÈME PARTIE.} + +\myparagraph{13.} Nous allons étudier plus complètement les intégrales dans le +domaine d'un point singulier $a$. Et d'abord, pour plus de simplicité, +j'amène ce point à coïncider avec l'origine des coordonnées en +% *** File: 015.png--- +changeant $x$ en $a + x$, ou en $\dfrac{1}{x}$ si le point est à l'infini. Nous considérerons +donc l'équation différentielle linéaire homogène +\[ +P(y) = \frac{d^m y}{dx^m} + p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_my = 0, +\] +où les coefficients $p$ sont monotropes dans le domaine du point singulier +zéro, continus et monogènes dans ce domaine à ce point près, et +par conséquent développables en doubles séries, procédant suivant les +puissances entières, positives et négatives de $x$, convergentes dans le +voisinage du point zéro. + +Il résulte des \nos \textbf{10} et \textbf{11} que toute solution pourra se mettre sous +la forme suivante, dans le domaine de l'origine, et d'une seule manière: +\begin{align*} + &\:C_1x^{r_1}\,[\varphi_{r_1 0} \,+ \varphi_{r_1 1}\log x \,+ \dotsb + \varphi_{r_1 \alpha_1}(\log x)^{\alpha_1}]\\ ++&\:C_2x^{r_2}\,[\varphi_{r_2 0} \,+ \varphi_{r_2 1}\log x \,+ \dotsb + \varphi_{r_2 \alpha_2}(\log x)^{\alpha_2}]\\ ++&\multispan{1}{\:\dotfill}\\ ++&\:C_nx^{r_n}[\varphi_{r_n 0} + \varphi_{r_n 1}\log x + \dotsb + \varphi_{r_n \alpha_n}(\log x)^{\alpha_n}], +\end{align*} +les fonctions $\varphi$ remplissant les mêmes conditions que les coefficients $p$. + +\myparagraph{14.} J'emploierai la dénomination introduite par M.~Fuchs à l'égard +de toute fonction $F$ susceptible de prendre la forme +\[ +F = x^\rho [\psi_0 + \psi_1 \log x + \dotsb + \psi_\alpha(\log x)^\alpha], +\] +que j'appellerai sa forme \emph{simplifiée}, où les fonctions $\psi$ sont holomorphes +dans le domaine du point zéro et ne contiennent par conséquent +dans leurs développements que des puissances positives de $x$, et +où, de plus, ces fonctions $\psi$ ne s'évanouissent pas toutes pour $x=0$. +Je dirai que la fonction $F$ \emph{appartient à l'exposant $\rho$}. + +La propriété caractéristique d'une fonction de même nature que $F$, +appartenant à l'exposant $\rho$, est que, multipliée par $x^{-\rho}$, elle est différente +de zéro pour $x = 0$ et infinie comme un polynôme entier en +$\log x$, à coefficients constants. + +\myparagraph{15.} L'équation différentielle $P=0$ peut être telle que, parmi ses +intégrales, il s'en trouve où les coefficients des produits $x^p(\log x)^q$, +% *** File: 016.png--- +c'est-à-dire, à des facteurs constants près, les fonctions $\varphi$, ne contiennent +dans leurs développements qu'un nombre fini de puissances négatives +de $x$. Ces intégrales particulières, où les $\varphi$ prennent pour $x = 0$ +des valeurs infinies d'ordre fini, sont les seules, jusqu'à présent, pour +lesquelles on ait déterminé les coefficients des séries $\varphi$. Je les appellerai, +avec M.~Thomé, \emph{intégrales régulières} de l'équation $P = 0$. + +Considérons une intégrale régulière. Chacun de ses termes +\[ +x^r[\varphi_0 + \varphi_1 \log x + \dotsb + \varphi_\alpha (\log x)^\alpha] +\] +est de même nature que la fonction $F$ du \nobf{14} et peut alors se ramener +à la forme simplifiée. Il suffit pour cela de réduire les $\varphi$ au plus +simple dénominateur commun et de réunir ce dénominateur au facteur +$x^r$. On obtient ainsi le terme +\[ +x^\rho[\psi_0 + \psi_1\log x + \dotsb + \psi_\alpha(\log x)^\alpha], +\] +et il appartient à l'exposant $\rho$. Toute intégrale régulière peut donc se +mettre sous la forme +\begin{align*} + &\:C_1x^{\rho_1}\, [\psi_{\rho_1 0}\, + \psi_{r_1 1}\log x\, + \dotsb + \psi_{\rho_1 \alpha_1}(\log x)^{\alpha_1}]\\ ++&\:C_2x^{\rho_2}\, [\psi_{\rho_2 0}\, + \psi_{r_2 1}\log x\, + \dotsb + \psi_{\rho_2 \alpha_2}(\log x)^{\alpha_2}]\\ ++&\multispan{1}{\:\dotfill}\\ ++&\:C_nx^{\rho_n} [\psi_{\rho_n 0} + \psi_{r_n 1}\log x + \dotsb + \psi_{\rho_n \alpha_n}(\log x)^{\alpha_n}], +\end{align*} +où les $C$ sont des constantes, où les $n$ termes appartiennent respectivement +aux exposants $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_n$, les fonctions $\psi$ étant holomorphes +dans le domaine du point zéro. + +Il est bien entendu que les propositions énoncées au \nobf{11} subsistent +ici, et que, en particulier, si l'expression suivante, de même nature +que $F$ et de forme simplifiée +\[ +x^\rho[\psi_0 + \psi_1 \log x + \dotsb + \psi_\alpha(\log x)^\alpha], +\] +est une intégrale, $x^\rho\psi_\alpha$ est aussi une intégrale. + +\myparagraph{16.} Nous aurons surtout à examiner des équations différentielles +$P=0$ dont les coefficients $p$ prendront eux-mêmes, pour $x = 0$, des +valeurs infinies d'ordre fini, c'est-à-dire dont les coefficients ne contiendront +% *** File: 017.png--- +eux-mêmes, dans leurs développements, qu'un nombre fini de +puissances négatives de $x$. Dans ce cas, on pourra toujours supposer +chaque coefficient $p$ mis sous la forme $\dfrac{\chi(x)}{x^\varkappa}$, où $\chi(x)$ ne comprend que +des puissances positives de $x$, ne s'évanouit pas pour $x = 0$, et où $\varkappa$ est +positif ou nul; et alors, nous désignerons l'exposant de $x$ en dénominateur +dans $p_1$ par $\varpi_1$, dans $p_2$ par $\varpi_2$, \dots, dans $p_m$ par $\varpi_m$. Comme $p_0$ +est 1, $\varpi_0$ sera égal à zéro. En un mot, $\varpi_j$ sera l'ordre infinitésimal de +la valeur infinie que prend $p_j$ pour $x=0$. Cela étant, nous envisagerons +les nombres entiers positifs suivants: +\[ +\varpi_0 + m,\:\varpi_1 + m - 1,\:\varpi_2 + m - 2,\:\ldots,\:\varpi_{m-1} + 1,\:\varpi_m, +\] +que nous appellerons les nombres $\Pi$, et généralement $\varpi_j+m-j$ sera +représenté par $\Pi_j$. Soit $g$ la plus grande valeur des nombres $\Pi$: plusieurs +peuvent être égaux à $g$; mais rangeons-les dans l'ordre des indices +croissants +\[ +\Pi_0,\:\Pi_1,\:\Pi_2,\:\ldots,\:\Pi_m, +\] +et parcourons-les de gauche à droite; le premier, égal à $g$, que nous +rencontrerons sera considéré tout particulièrement, et, si +\[ +\Pi_i=\varpi_i + m - i = g +\] +est ce nombre bien déterminé, son indice $i$ sera nommé l'\emph{indice caractéristique} +de l'équation différentielle. + +Les nombres $\Pi$ et l'indice caractéristique $i$, introduits par M.~Thomé +dans cette théorie, seront provisoirement d'un usage fréquent. + +\myparagraph{17.} Notre analyse des solutions de l'équation $P = 0$, dans le domaine +du point zéro, aura surtout pour objet l'étude des intégrales +régulières. + +Je ferai immédiatement plusieurs remarques. + +\emph{L'équation $P = 0$ ayant des intégrales régulières, si parmi elles $S$, et +seulement $S$, sont linéairement indépendantes, auquel cas on a $S \leqq m$, +toutes les intégrales régulières peuvent s'exprimer à l'aide de celles-là en +fonctions linéaires, homogènes, à coefficients constants.} + +\emph{Réciproquement, si toutes les intégrales régulières de l'équation $P = 0$ +peuvent s'exprimer ainsi par $S$ d'entre elles linéairement indépendantes, +% *** File: 018.png--- +le nombre total des intégrales régulières linéairement indépendantes est +seulement $S$}; car on peut exprimer les $S$ intégrales régulières linéairement +indépendantes à l'aide de $S$ des nouvelles, et par suite toutes +les autres à l'aide de ces dernières. + +\emph{Si l'équation $P = 0$ a $S$ intégrales régulières linéairement indépendantes, +et seulement $S$, elle en aura $S$ de même nature que la fonction $F$ +du \nobf{14}, et seulement $S$.} Si, en effet, les $S$ intégrales données ne sont +pas de la nature $F$, elles sont des agrégats linéaires, homogènes, à coefficients +constants, d'expressions $F$. Groupons alors, dans chacune de ces +intégrales, les expressions $F$ en termes tels que, dans deux termes quelconques, +la différence des exposants des deux puissances $x^\rho$ en facteur +ne soit ni nulle ni entière. Nous obtiendrons ainsi des termes qui, +comme on l'a vu, sont eux-mêmes des intégrales régulières linéairement +indépendantes, et ces intégrales sont de même nature que $F$. Or, +ces termes sont au nombre de $S$, car, s'il y en avait plus que $S$, l'équation +$P = 0$ aurait plus de $S$ intégrales régulières linéairement indépendantes; +et, s'il y en avait moins que $S$, les $S$ intégrales données, et +par suite, d'après la remarque précédente, toutes les intégrales régulières +de l'équation $P = 0$, s'exprimant linéairement à l'aide de ces +termes, cette équation, d'après la même remarque, aurait moins de $S$ +intégrales régulières linéairement indépendantes. L'équation $P = 0$ a +donc $S$ intégrales linéairement indépendantes, de même nature que $F$, +et appartenant par conséquent à des exposants déterminés. + +Enfin, je vais établir la proposition suivante, qui a une importance +capitale dans cette théorie: + +\emph{Si l'équation différentielle $P = 0$ a parmi ses intégrales une intégrale +régulière, elle a aussi une intégrale de la forme $x^\rho \psi(x)$, où la fonction +$\psi(x)$ est holomorphe dans le domaine du point zéro et ne s'évanouit +pas pour $x = 0$.} + +En effet, l'équation $P = 0$, ayant une intégrale régulière, a, d'après la +remarque précédente, une intégrale de même nature que la fonction $F$ +du \nobf{14}, que l'on peut supposer ramenée à la forme simplifiée +\[ +x^\rho [ \psi_0 + \psi_1 \log x + \dotsb + \psi_\alpha (\log x)^\alpha ]. +\] +Cette expression étant une intégrale, il en est de même, comme on l'a +vu au \nobf{15}, de $x^\rho \psi_\alpha$. Or, cette dernière solution est, dans tous les cas, +% *** File: 019.png--- +de la forme annoncée $x^{\rho} \psi(x)$, la fonction holomorphe étant différente +de zéro pour $x = 0$, car, si $\psi_{\alpha}(0)$ était nul, $\psi_{\alpha}(x)$ renfermerait comme +facteur une puissance de $x$ que l'on réunirait à $x^{\rho}$. + +Remarquons que $\psi(x)$ ne contient dans son développement que des +puissances positives de $x$. + +\myparagraph{18.} Supposons que l'équation $P = 0$ admette la solution $y_1 = x^{\rho}\psi(x)$, +$\psi(x)$ étant holomorphe dans le domaine du point zéro et $\psi(0)$ différent +de zéro. Faisons la substitution +\[ + y = y_1 \tint z \,dx. +\] +Nous obtenons l'équation différentielle linéaire homogène d'ordre +$m - 1$ +\[ + Q(z) = \frac{d^{m-1}z}{dx^{m-1}} + q_1 \frac{d^{m-2}z}{dx^{m-2}} + \dotsb + q_{m-1} z = 0. +\] +Les coefficients $q$ de l'équation $Q = 0$ seront, comme les coefficients $p$, +monotropes dans le domaine du point zéro, continus et monogènes +dans ce domaine à ce point près. C'est ce qui résulte immédiatement de +l'inspection des valeurs des coefficients $q$: +\[ +\tag{1} \left\{ +\begin{aligned} +&q_1 = \dfrac{1}{y_1} \Big( m \dfrac{dy_1}{dx} + p_1 y_1 \Big), \\ +&q_2 = \dfrac{1}{y_1} \left[ + \dfrac{m(m-1)}{1 \ldot 2} \dfrac{d^2 y_1}{dx^2} + + (m-1) p_1 \dfrac{dy_1}{dx} + p_2 y_1 \right], \\ +&\makebox[22em]{\dotfill ,} \\ +&q_k = \dfrac{1}{y_1} \left[\dfrac{m(m-1)\ldots (m-k+1)}{1\ldot 2\ldots k} \dfrac{d^k y_1}{dx^k} \right.\\ +&\hspace{4em} + \dfrac{(m-1)(m-2)\ldots (m-k+1)}{1\ldot 2\ldots (k-1)} p_1 \dfrac{d^{k-1} y_1}{dx^{k-1}} \\ +&\hspace{4em} + \dfrac{(m-2)(m-3)\ldots (m-k+1)}{1\ldot 2\ldots (k-2)} p_2 \dfrac{d^{k-2} y_1}{dx^{k-2}} + \dotsb \\ +&\hspace{4em} + \left. (m-k+1) p_{k-1} \dfrac{dy_1}{dx} + p_k y_1 \right], \\ +&\makebox[25.5em]{\dotfill} +\end{aligned} +\right. +\] +En effet, chaque produit $\dfrac{d^h y_1}{dx^h} \dfrac{1}{y_1}$ est de la forme +\[ + \sum_0^h C_{\alpha} x^{-\alpha} \frac{\psi^{(h-\alpha)} (x)}{\psi(x)}, +\] +où $\alpha$ est entier, et, par conséquent, chacun de ces produits est monotrope +% *** File: 020.png--- +dans le domaine du point zéro, continu et monogène dans ce +domaine à ce point près. Il en est donc de même des coefficients $q$. + +Remarquons que, pour que les coefficients $q$ possèdent ces propriétés, +il n'est pas nécessaire que $\psi(x)$ ne contienne dans son développement +que des puissances positives de $x$: il suffit que $\psi(x)$ soit développable +en double série, procédant suivant les puissances entières, positives et +négatives de $x$, et convergente dans le domaine du point zéro. + +Cela posé, je suppose que l'équation $P = 0$ ait $S$ intégrales régulières +linéairement indépendantes. Elle admet alors, d'après le théorème du +\nobf{17}, une intégrale $y_1 = x^{\rho} \psi(x)$, où $\psi(x)$ remplit les conditions sus-indiquées. +Posons +\[ + y = y_1 \tint z\, dx, +\] +de manière à obtenir l'équation $Q = 0$; \textit{je dis que l'équation $Q = 0$ +aura $S-1$ intégrales régulières linéairement indépendantes, et que, réciproquement, +si l'équation $Q = 0$ a $S-1$ intégrales régulières linéairement +indépendantes, l'équation $P = 0$ en aura $S$.} + +\primo Soient $y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ $S$ intégrales régulières linéairement indépendantes +de l'équation $P = 0$. Comme on l'a vu, on peut les supposer de +même nature que la fonction $F$ du \nobf{14} et ramenées à la forme simplifiée. +L'équation $Q = 0$ admettra les intégrales +\[ + z_1 = \frac{d}{dx} \frac{y_2}{y_1},\quad + z_2 = \frac{d}{dx} \frac{y_3}{y_1},\quad + \ldots,\quad + z_{s-1} = \frac{d}{dx} \frac{y_s}{y_1}, +\] +qui sont aussi linéairement indépendantes, car, si l'on avait +\[ + C_2 z_1 + C_3 z_2 + \dotsb + C_s z_{s-1} = 0, +\] +on en déduirait par l'intégration +\[ + C_1 y_1 + C_2 y_2 + \dotsb + C_s y_s = 0, +\] +ce qui est contraire à l'hypothèse. De plus, ces $S-1$ intégrales sont +régulières. En effet, $y_2$, $y_3$, \dots, $y_s$, sont de la forme simplifiée; or, si +l'on divise par $y_1 = x^{\rho} \psi(x)$, on trouve une expression de même forme, +puisque les quotients tels que $\dfrac{\psi_k}{\psi}$ dans la parenthèse sont évidemment +holomorphes. Donc les rapports $\dfrac{y_2}{y_1}$, $\dfrac{y_3}{y_1}$, \dots, $\dfrac{y_s}{y_1}$ +sont de la forme $F$. Il +% *** File: 021.png--- +est clair que la dérivation n'altère pas cette forme: donc les intégrales + +\[ +\frac{d}{dx}\frac{y_2}{y_1},\quad \frac{d}{dx}\frac{y_3}{y_1},\quad +\ldots,\quad \frac{d}{dx}\frac{y_s}{y_1}, +\] +de l'équation $Q = 0$ sont régulières. + +\secundo Soient $z_1$, $z_2$, \dots, $z_{s-1}$ $s-1$ intégrales régulières linéairement +indépendantes de l'équation $Q = 0$. On peut les supposer de même +nature que F et ramenées à la forme simplifiée. L'équation $P = 0$ admettra +les $s$ intégrales +\[ +y_1, \ y_2=y_1\tint z_1dx, \ \ldots, \ y_s=y_1\tint z_{s-1} dx, +\] +qui sont aussi linéairement indépendantes, car, si l'on avait +\[ +C_1y_1 + C_2y_2 + \dotsb + C_sy_s = 0, +\] +on en déduirait par la dérivation +\[ +C_2z_1 + C_3z_2 + \dotsb + C_sz_{s-1} = 0, +\] +ce qui est contraire à l'hypothèse. De plus, ces $s$ intégrales sont régulières. +En effet, chacune des solutions $z$ est de la forme simplifiée qui +comprend des fonctions $\psi$ de la forme + + +\[ +\sum_0^{\infty} C_{\alpha} x^{\alpha}. +\] + +Si donc nous multiplions $z$ par $dx$, nous aurons à intégrer une +somme de différentielles telles que + +\[ +x^k (\log x)^h dx, +\] +dont l'intégrale est bien connue: + +\[ +\int x^k (\log x)^h dx = \frac{x^{k+1}}{h+1}\sum_0^k C_\alpha (\log x)^{h-\alpha} + \mathrm{const.} +\] +Multipliant ensuite le résultat de l'intégration $\tint z dx$ par $y_1 = x^\rho \psi (x)$, +on voit aisément que le produit obtenu est aussi de la forme $F$. Donc +les intégrales $y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ de l'équation $P = 0$ sont régulières. +% *** File: 022.png--- + +\myparagraph{19.} Considérons l'expression +\[ +p_j\frac{d^{h}y_1}{dx^{h}}\:\frac{1}{y_1} , +\] +où $y_1$ est égal à $x^{\rho}\psi(x)$, $\psi(x)$ étant une fonction holomorphe dans le +domaine du point zéro et non nulle pour $x= 0$, et où $p_j$, ne contenant +dans son développement qu'un nombre limité de puissances négatives +de $x$, est infini, pour $x= 0$, d'ordre fini $\varpi_j$. On a +\[ +\frac{d^{h}y_1}{dx^{h}}\:\frac{1}{y_1}=\sum_0^hC_{\alpha}x^{-\alpha}\frac{\psi^{(h-\alpha)}(x)}{\psi(x)}, +\] +et, par conséquent, ce produit, pour $x = 0$, est infini d'ordre fini $h$ au +plus, d'où il résulte que l'expression considérée est infinie d'ordre +égal ou inférieur à $\varpi_j + h$. + +Si $h = 0$, l'expression est évidemment d'ordre $\varpi_j$. Mais remarquons +le cas particulier où $h$ est égal à $m - j$. Dans ce cas, l'ordre infinitésimal +de l'expression est au plus égal à $\varpi_j + m -j$, c'est-à-dire au +nombre $\Pi_j$ défini au \nobf{16}. + +Si nous envisageons maintenant une somme d'expressions pareilles +à la précédente, il est clair que, pour $x = 0$, elle sera aussi infinie +d'ordre fini, et cet ordre sera évidemment égal ou inférieur à la plus +grande valeur des nombres $\varpi_j + h$ correspondant aux différents termes. +Si dans un terme $h$ est nul et si la plus grande valeur est celle $\varpi_j$ qui +répond à ce terme, la somme sera certainement d'ordre $\varpi_j$. Enfin, si +dans chaque terme $h$ est égal à $m - j$, l'ordre de la somme est au plus +égal à la plus grande valeur des nombres $\Pi$ qui correspondent respectivement +à ses différents termes. + +\myparagraph{20.} Supposons que l'équation différentielle $P = 0$ ait une intégrale +régulière; alors elle admet (\nobf{17}) une solution de la forme +\[ +y_1= x^{\rho}\psi(x), +\] +où $\psi(x)$ remplit les conditions déjà indiquées. Écrivons l'identité qui +en résulte, et tirons-en la valeur de $p_m$: +\[ +p_m = - \frac{1}{y_1}\left(\frac{d^m y_1}{dx^m} + p_1 \frac{d^{m-1} y_1}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m-1} \frac{d y_1}{dx} \right). +\] +% *** File: 023.png--- +J'en conclus aussitôt, d'après le numéro précédent, que, si $p_1$, $p_2$, \dots, +$p_{m-1}$ ne contienn\-ent qu'un nombre limité de puissances négatives de $x$, +il en sera de même de $p_m$, et, de plus, que, si $g$ est la plus grande valeur +des nombres +\[ +\Pi_0,\:\Pi_1,\:\Pi_2,\:\ldots,\:\Pi_{m-1}, +\] +l'ordre infinitésimal $\varpi_m$ de $p_m$ sera au plus égal à $g$, c'est-à-dire que +l'indice caractéristique de l'équation est égal ou inférieur à $m - 1$. + +D'où cette proposition: + +\emph{Lorsque, dans l'équation différentielle $P = 0$, les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, +$p_{m-1}$, ne contiennent dans leurs développements qu'un nombre limité de puissances +négatives de $x$, si cette équation admet une intégrale régulière, le coefficient +$p_m$ ne renfermera lui-même qu'un nombre fini de puissances de $x^{-1}$; +de plus, l'indice caractéristique de l'équation sera égal ou inférieur à $m - 1$.} + +Remarquons aussi que $p_m$ peut s'écrire +\[ +p_{m}=\frac{P_m(x)}{x^g}, +\] +$P_m(x)$ ne comprenant dans son développement que des puissances positives +de $x$ et pouvant s'évanouir pour $x = 0$. + +\myparagraph{21.} Supposons que les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_s$, de l'équation +$P = 0$ ne renferment qu'un nombre limité de puissances de $x^{-1}$. Les +valeurs des coefficients $q_1$, $q_2$, \dots, $q_s$ de l'équation $Q = 0$ du \nobf{18}, +données par les formules (1) de ce numéro, sont alors des sommes d'expressions +de même forme que celle du \nobf{19}. Donc, d'après les remarques +faites en ce \nobf{19}, les coefficients $q_1$, $q_2$, \dots, $q_s$ ne contiendront +eux-mêmes qu'un nombre fini de puissances négatives de $x$, et, +de plus, l'ordre infinitésimal de $q_k$, $k$ étant au plus égal à $s$, sera égal +ou inférieur à la plus grande valeur $\varkappa$ des nombres +\[ +\varpi_0+k,\: \varpi_1+k-1,\: \varpi_2+k-2,\:\ldots,\: \varpi_{k-1}+1,\: \varpi_k, +\] +et, si cette valeur maxima est celle du dernier $\varpi_k$, $q_k$ sera exactement +d'ordre $\varpi_k$. Par suite, on peut écrire +\[ +q_{k}=\frac{Q_{k}(x)}{x^\varkappa}, +\] +% *** File: 024.png--- +$Q_k(x)$ ne comprenant que des puissances positives de $x$ et pouvant contenir +le facteur $x$. + +Supposons maintenant que les coefficients $q_1$, $q_2$, \dots, $q_s$ ne comprennent +qu'un nombre limité de puissances de $x^{-1}$, et soient +\[ +q_{1}=\frac{Q_{1}(x)}{x^{\nu_1}}, \quad +q_{2}=\frac{Q_{2}(x)}{x^{\nu_2}}, \quad \dots, \quad +q_{s}=\frac{Q_{s}(x)}{x^{\nu_s}}, +\] +les fonctions $Q_1$, $Q_2$, \dots, $Q_s$, ne renfermant que des puissances positives +de $x$ et pouvant d'ailleurs s'annuler pour $x = 0$. Le \nobf{19} conduit +alors aux conséquences suivantes. La valeur de $p_1$, tirée de la première +formule (1) du \nobf{18}, sera pour $x = 0$ infinie d'ordre fini égal ou inférieur +au plus grand $\mu_1$ des deux nombres $\nu_1$ et $1$, ce qui permet d'écrire +\[ +p_1=\frac{P_{1}(x)}{x^{\mu_{1}}}, +\] +$P_1(x)$ ne contenant que des puissances positives de $x$, et $P_1(0)$ pouvant +être nul. Substituant cette valeur dans la deuxième formule (1), on en +tirera pour $p_2$ une expression infinie d'ordre fini égal ou inférieur au +plus grand $\mu_2$ des trois nombres $\nu_2$, $2$, $\mu_{1}+1$, ce qui permet d'écrire +\[ +p_{2}=\frac{P_{2}(x)}{x^{\mu_2}}, +\] +$P_{2}(x)$ ne contenant que des puissances positives de $x$. Et ainsi de suite +jusqu'à +\[ +p_s=\frac{P_s(x)}{x^{\mu_s}}. +\] + +Donc les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_s$ ne renferment eux-mêmes qu'un +nombre limité de puissances de $x^{-1}$, et l'on peut aisément trouver la +limite supérieure de l'ordre infinitésimal de chacun d'eux. + +\myparagraph{22.} Toutes ces remarques étant faites, nous pouvons dès à présent +rechercher la forme nécessaire que doit affecter l'équation différentielle +$P=0$ pour avoir toutes ses intégrales régulières. M.~Fuchs a déjà +résolu cette question, mais notre intention est d'employer une méthode +différente. +% *** File: 025.png--- + +Supposons d'abord $m = 1$ dans $P = 0$, et considérons l'équation +premier ordre +\[ +\frac{dy}{dx}+p_{1}y=0. +\] +Cette équation, ayant toutes ses intégrales régulières, aura (\nobf{20}) son +coefficient $p_1$ de la forme +\[ +p_1=\frac{P_{1}(x)}{x}, +\] +où $P_1(x)$ ne contient que des puissances positives de $x$ et peut être nul +pour $x = 0$. Donc, dans le cas $m = 1$, l'équation différentielle est +nécessairement de la forme +\[ +\frac{dy}{dx}+\frac{P_{1}(x)}{x}y=0. +\] + +C'est, du reste, ce qu'on peut établir directement au moyen de +l'expression de l'intégrale générale +\[ +y=e^{-\int\! p_{1}dx}. +\] +Si $p_1$ est infini d'ordre $\varpi_{1}= n + 1$ supérieur à 1, $n$ étant positif, cette +intégrale est de la forme +\[ +y=e^{\frac{c_1}{x}+\frac{c_2}{x^{2}}+\dots+\frac{c_n}{x^n}}x^{\rho}\psi(x), +\] +où $\psi(x)$ est holomorphe dans le domaine du point zéro, et non nul +pour $x= 0$; et, par conséquent, $y$ n'est pas une intégrale régulière. Si, +au contraire, on a $\varpi_{1}\leqq {1}$, $y$ se réduit à +\[ +y=x^{\rho}\psi(x), +\] +et par conséquent est régulière. Il faut donc, et même il suffit, que $p_1$ +soit de la forme +\[ +p_{1}=\frac{P_{1}(x)}{x} +\] +pour que l'équation ait toutes ses intégrales régulières. + +Supposons maintenant $m = 2$ dans $P = 0$, et considérons l'équation +du second ordre +\[ +\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+p_1\frac{dy}{dx}+p_{2}y=0. +\] +% *** File: 026.png--- +Cette équation ayant par hypothèse toutes ses intégrales régulières, +il en est de même (\nobf{18}) de l'équation du premier ordre +\[ +\frac{dz}{dx}+q_{1}z=0, +\] +déduite de la première par la substitution +\[ +y=y_{1}\tint z\;dx, +\] +où $y_1$ désigne $x^{\rho}\psi(x)$. Donc on a +\[ +q_1=\frac{Q_{1}(x)}{x}. +\] +Par suite, la valeur de $p_1$, tirée de la première formule (1) du \nobf{18}, +est de la forme (\nobf{21}) +\[ +p_1 = \frac{P_1(x)}{x}. +\] +Il en résulte (\nobf{20}) que $p_2$ s'écrira +\[ +p_2=\frac{P_{2}(x)}{x^2}. +\] +Donc, dans le cas $m= 2$, l'équation différentielle est nécessairement +\[ +\frac{d^{2}y}{dx^2}+\frac{P_{1}(x)}{x}\:\frac{dy}{dx}+\frac{P_{2}(x)}{x^2}\:y=0, +\] +où les fonctions $P_1$ et $P_2$ ne contiennent que des puissances positives +de $x$ et peuvent s'évanouir pour $x = 0$. + +Généralement, je supposerai démontré que, dans le cas où l'ordre +est $m -1$, l'équation différentielle, pour avoir toutes ses intégrales +régulières, doit être de la forme +\[ +\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \frac{P_{1}(x)}{x} \: \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + +\frac{P_{2}(x)}{x^2} \: \frac{d^{m-3}y}{dx^{m-3}}+ \dotsb + \frac{P_{m-1}(x)}{x^{m-1}}y=0, +\] +et je démontrerai que la même forme est nécessaire pour une équation +d'ordre $m$. + +En effet, si l'équation +\[ +P(y)=\frac{d^{m}y}{dx^m}+p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb + p_my=0 +\] +% *** File: 027.png--- +a toutes ses intégrales régulières, il en est de même (\nobf{18}) de +l'équation d'ordre $m -1$ +\[ +Q(z)=\frac{d^{m-1}z}{dx^{m-1}}+q_1\frac{d^{m-2}z}{dx^{m-2}}+\dotsb+q_{m-1}z=0. +\] +Donc, d'après l'hypothèse, les coefficients $q$ sont de la forme +\[ +q_k=\frac{Q_{k}(x)}{x^k}. +\] +Par suite, les valeurs $p_1$, $p_2$, \dots, $p_{m-1}$, tirées des formules +(1) du \nobf{18}, sont de la même forme (\nobf{21}): +\[ +p_1=\frac{P_{1}(x)}{x},\quad p_2=\frac{P_{2}(x)}{x^2},\quad \dots, +\quad p_{m-1}=\frac{P_{m-1}(x)}{x^{m-1}}. +\] +Il en résulte (\nobf{20}) que $p_m$ s'écrira aussi +\[ +p_m=\frac{P_{m}(x)}{x^m}. +\] + +Donc, pour que l'équation différentielle $P = 0$ ait toutes ses +intégrales régulières, il est nécessaire qu'elle soit de la forme +\[ +\frac{d^my}{dx^m}+\frac{P_{1}(x)}{x}\:\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + +\frac{P_{2}(x)}{x^2}\:\frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}}+ \dotsb + +\frac{P_{m}(x)}{x^m}\:y=0, +\] +où les fonctions $P_1$, $P_2$, \dots, $P_m$ ne contiennent dans leurs +développements que des puissances positives de $x$ et peuvent +s'annuler pour $x = 0$. + +Remarquons que cela revient à dire que les coefficients $p_1$, $p_2$, +\dots, $p_m$ ne doivent renfermer qu'un nombre limité de puissances de +$x^{-1}$, et que les nombres $\Pi_0$, $\Pi_1$, $\Pi_2$, \dots, $\Pi_m$, définis +au \nobf{16}, doivent être égaux ou inférieurs à $m$. + +D'où la proposition suivante: + +\emph{Pour que l'équation différentielle $P = 0$ ait toutes ses intégrales +régulières, il faut que ses coefficients ne contiennent dans leurs +développements qu'un nombre fini de puissances négatives de $x$, et en +outre que son indice caractéristique soit zéro.} +% *** File: 028.png--- + +\myparagraph{23.} M.~Fuchs a démontré que, réciproquement, ces deux conditions +sont suffisantes: + +\emph{Si, dans l'équation différentielle $P = 0$, les coefficients ne contiennent +qu'un nombre fini de puissances négatives de $x$, et si en outre l'indice +caractéristique est zéro, cette équation a toutes ses intégrales régulières.} + +Nous admettrons cette proposition réciproque, que M.~Fuchs a établie +en montrant l'existence d'un système fondamental dont les éléments +sont de même nature que la fonction $F$ du \nobf{14}. Ces éléments appartiennent +à des exposants $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_m$ qui sont les racines d'une certaine +équation de degré $m$, dite \emph{équation fondamentale déterminante}. +Ces racines ne sont d'ailleurs autres que les logarithmes, divisés par +$2\Pi \sqrt{-1}$, des racines de l'équation fondamentale du \nobf{9}. + +L'équation déterminante jouit de propriétés importantes. Pour l'obtenir, +on fait $y = x^\rho$ dans le premier membre de l'équation différentielle, +qui, par hypothèse, est +\[ +\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + \frac{P_1(x)}{x} \: \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + + \frac{P_2(x)}{x^2} \: \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb + \frac{P_m(x)}{x^m}\:y. +\] +On a ainsi +\[ +x^{\rho-m}[\rho(\rho-1)\dotsb(\rho-m+1)+P_{1}(x)\rho(\rho-1)\dotsb(\rho-m+2)+\dotsb+P_{m}(x)]. +\] +Puis on multiplie ce résultat par $x^{-\rho}$, et l'on égale à zéro le coefficient +de $x^{-m}$: +\[ +\rho(\rho-1)\dotsb(\rho-m+1)+P_{1}(0)\rho(\rho-1)\dotsb(\rho-m+2)+\dotsb+P_m(0)=0 +\] +est l'équation fondamentale déterminante. + +\myparagraph{24.} Ayant traité le cas où toutes les intégrales de l'équation différentielle +$P=0$ sont régulières, avant de passer à celui où quelques-unes +seulement de ces solutions seraient régulières, je vais établir un +théorème concernant les nombres $\Pi$ définis au \nobf{16}. + +Je désignerai par $\Pi'$ les nombres $\Pi$ relatifs à l'équation $Q = 0$, déduite +de $P = 0$ par la substitution +\[ +y=y_{1}\tint z\;dx, +\] +$y_{1}$ étant une intégrale de la forme déjà indiquée $x^{\rho}\psi(x)$. +% *** File: 029.png--- + +Lorsque, dans l'équation $P = 0$, les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_s$ ne +contiennent qu'un nombre limité de puissances négatives de $x$, on sait +(\nobf{21}) que les coefficients $q_1$, $q_2$, \dots, $q_s$, dans l'équation $Q= 0$, ne +renferment, eux aussi, qu'un nombre fini de puissances de $x^{-1}$. Cela +étant, si $g_1$ est la plus grande valeur des nombres +\begin{equation}\tag{1} +\Pi_0,\ \Pi_1,\ \Pi_2,\ \dots,\ \Pi_s, +\end{equation} +et $\Pi_{i_1}$ le premier de leur suite qui soit égal à $g_1$, alors, dans la suite +des nombres +\begin{equation}\tag{2} +\Pi'_0,\ \Pi'_1,\ \Pi'_2,\ \dots,\ \Pi'_s, +\end{equation} +la plus grande valeur sera $g_1 - 1$, et le premier qui soit égal à $g_1 - 1$ +sera $\Pi'_{i_1}$. + +En effet, il résulte du \nobf{21} que, $k$ étant au plus égal à $S$, l'ordre +infinitésimal $\varpi'_k$ de $q_k$ est égal ou inférieur à la plus grande valeur des +nombres +\begin{equation}\tag{3} +\varpi_0+k,\ \varpi_{1}+k-1,\ \dots,\ \varpi_{k-1}+1,\ \varpi_{k}, +\end{equation} +et, si cette plus grande valeur est celle du dernier, on a $\varpi'_{k}=\varpi_{k}$. Or, +augmentons tous les nombres (3) de la même quantité $m - k$, ce qui +donne +\begin{equation}\tag{4} +\Pi_0,\ \Pi_1,\ \Pi_2,\ \ldots,\ \Pi_k. +\end{equation} + +\primo Si $k = i_1$, $i_1$ étant l'indice défini dans l'énoncé, $\Pi_k$ est plus grand +que tous les autres nombres (4); donc, dans ce cas, le plus grand des +nombres (3) est le dernier $\varpi_k$, et par suite $\varpi'_k = \varpi_k$. Ainsi, $\varpi'_{i_1} = \varpi_{i_1}$ ou, +ce qui est la même chose, $\varpi'_{i_1} + (m-1) - i_1$ est égal à $\varpi_{i_1} + m - i_1 - 1$, +c'est-à-dire +\begin{equation}\tag{5} +\Pi'_{i_1}=\Pi_{i_1}-1. +\end{equation} + +\secundo Si $k< i_1$, la plus grande valeur des nombres (4) est inférieure +à $\Pi_{i_1}$; par suite, la plus grande valeur des nombres (3), augmentée de +$m -k$, est inférieure à $\Pi_{i_1}$; donc, \emph{a fortiori}, $\varpi'_k + m - k$ est moindre +que $\Pi_{i_1}$, ce qu'on peut écrire +\[ +\varpi'_k + (m -1)- k<\Pi_{i_1}-1\quad\text{ou}\quad\Pi'_k<\Pi'_{i_1}, +\] +% *** File: 030.png--- +c'est-à-dire +\begin{equation}\tag{6} + \Pi'_0,\ \Pi'_1,\ \Pi'_2,\ \dots,\ \Pi'_{i_1-1} < \Pi'_{i_1}. +\end{equation} + +\tertio Si $k>i_1$, $k$ étant au plus égal à $S$, la plus grande valeur des +nombres (4) est $\Pi_{i_1}$; par suite, la plus grande valeur des nombres (3), +augmentée de $m-k$, est $\Pi_{i_1}$; donc $\varpi'_k + m - k$ est égal ou inférieur +a $\Pi_{i_1}$, ce qu'on peut écrire +\[ +\varpi'_k + (m-1) - k \leqq \Pi_{i_1} -1\quad\text{ou}\quad\Pi'_k \leqq \Pi'_{i_1}, +\] +c'est-à-dire +\begin{equation}\tag{7} +\Pi'_{i_1+1},\ \Pi'_{i_1+2},\ \ldots,\ \Pi'_s \leqq \Pi'_{i_1}. +\end{equation} + +Les trois conclusions (5), (6), (7) renferment la démonstration du +théorème énoncé; car (6) et (7) expriment que la plus grande valeur +des nombres (2) est celle de $\Pi'_{i_1}$, qui, d'après (5), est égal à $\Pi_{i_1}-1$, +c'est-à-dire à $g_1-1$, et les inégalités (6) montrent que $\Pi'_{i_1}$ est le premier +des nombres (2) qui soit égal à $g_1-1$. + +Remarquons que, si $S=m-1$, $i_1$ est l'indice caractéristique de +l'équation $Q = 0$. + +\myparagraph{25.} Nous pouvons maintenant démontrer la proposition suivante: + +\emph{Lorsque, dans l'équation différentielle $P=0$, les coefficients $p_1$, +$p_2$, \dots, $p_s$ ne contiennent dans leurs développements qu'un nombre limité +de puissances négatives de $x$, si cette équation admet au moins $m-s$ intégrales +régulières linéairement indépendantes, les autres coefficients $p_{s+1}$, +$p_{s+2}$, \dots, $p_m$ ne renferment eux-mêmes qu'un nombre fini de puissances +de $x^{-1}$, et, de plus, l'indice caractéristique est égal ou inférieur à $S$.} + +Cette proposition a été établie au \nobf{20} pour une équation différentielle +d'ordre $m = S+1$. Je prouverai donc simplement que, si le théorème +est vrai pour l'ordre $m-1$, il l'est aussi pour l'ordre $m$. + +Et, en effet, l'équation +\[ +P(y) = \frac{d^my}{dx^m} + p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_my = 0 +\] +% *** File: 031.png--- +ayant une intégrale régulière, puisqu'elle en a au moins $m - s$, admet +(\nobf{17}) une intégrale +\[ +y_1=x^{\rho}\psi(x), +\] +où la fonction $\psi(x)$ est holomorphe dans le domaine du point zéro, et +non nulle pour $x = 0$. Faisant la substitution +\[ +y=y_{1}\tint{z}\;dx, +\] +nous obtiendrons l'équation +\[ +Q(z)=\frac{d^{m-1}z}{dx^{m-1}}+q_1\frac{d^{m-2}z}{dx^{m-2}}+ \dotsb + q_{m-1}z=0, +\] +où les coefficients $q$ sont donnés par les relations (1) du \nobf{18}. L'équation +$P = 0$ ayant par hypothèse au moins $m- s$ intégrales régulières +linéairement indépendantes, l'équation $Q = 0$ en aura (\nobf{18}) au moins +$m - 1 - s$. Or, $p_1$, $p_2$, \dots, $p_s$ ne contenant qu'un nombre limité de +puissances de $x^{-1}$, il en est de même (\nobf{21}) de $q_1$, $q_2$, \dots, $q_s$; et, +puisque le théorème est supposé démontré pour l'équation $Q = 0$ +d'ordre $m - 1$, les autres coefficients $q_{s+1}$, $q_{s+2}$, \dots, $q_{m-1}$, seront eux-mêmes +infinis d'ordres finis pour $x = 0$. Donc les coefficients $p_{s+1}$, +$p_{s+2}$, \dots, $p_{m-1}$ ne renferment aussi (\nobf{21}) qu'un nombre limité de puissances +négatives de $x$, et alors, d'après le \nobf{20}, il en est de même de $p_m$. + +Passons à la seconde partie de la proposition. Soit $i$ l'indice caractéristique +de l'équation $Q = 0$; on a $i\leqq s$, puisque le théorème est supposé +vrai pour cette équation. Or, $i$ étant l'indice caractéristique de +$Q = 0$, $\Pi'_i$ est la plus grande valeur des nombres +\[ +\Pi'_{0},\ \Pi'_{1},\ \Pi'_{2},\ \ldots,\ \Pi'_{m-1} +\] +et est le premier qui atteint cette valeur maxima. Donc, d'après le +\nobf{24}, $\Pi_{i}$ joue exactement le même rôle dans la suite des nombres +\[ +\Pi_{0},\ \Pi_{1},\ \Pi_{2},\ \ldots,\ \Pi_{m-1}. +\] +De plus, d'après le \nobf{20}, on a +\[ +\Pi_m\leqq\Pi_{i}. +\] +% *** File: 032.png--- +D'où il résulte que $i$ est l'indice caractéristique de l'équation $P = 0$, et, +comme on a $i \leqq s$, la proposition se trouve établie. + +\myparagraph{26.} La proposition du \nobf{20} étant ainsi généralisée, j'en déduis les +deux conséquences suivantes: + +\primo \emph{Si les $s - 1$ premiers coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_{s-1}$ de l'équation +$P = 0$ contiennent un nombre limité de puissances négatives de $x$, sans +qu'il en soit de même du $s$\textsuperscript{ième}, cette équation a au plus $m - s$ intégrales +régulières linéairement indépendantes.} + +En effet, si elle en avait $m - s + 1$ ou davantage, $p_s$ serait aussi +infini d'ordre fini pour $x = 0$. + +\secundo \emph{Si tous les coefficients de l'équation $P = 0$ ne contiennent qu'un +nombre limité de puissances de $x^{-1}$, elle a au plus $m- i$ intégrales +régulières linéairement indépendantes, $i$ étant son indice caractéristique.} + +En effet, si elle en avait $m- i + 1$ ou davantage, son indice caractéristique +serait égal ou inférieur à $i- 1$. + +Remarquons que le premier énoncé rentrerait dans le second si, lors +même que $\Pi_i$ est infini d'ordre infini, $i$ continuait à se nommer l'indice +caractéristique. + +Nous considérerons tout particulièrement cette seconde proposition, +qui nous invite à étudier spécialement les équations différentielles +$P = 0$, dont tous les coefficients présentent le caractère des fonctions +rationnelles d'être infinis d'ordre fini pour $x = 0$. Une pareille équation +a au plus $m - i$ intégrales régulières linéairement indépendantes. Nous +allons voir que souvent elle les a, comme dans le cas $i = 0$ (\nobf{23}), +traité par M.~Fuchs; après quoi nous montrerons des exceptions. + +\myparagraph{27.} Si l'on se donne arbitrairement les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_i$, +ne contenant qu'un nombre fini de puissances de $x^{-1}$, on peut toujours +déterminer les autres coefficients $p_{i+1}$, $p_{i+2}$, \dots, $p_m$ de telle sorte qu'ils +soient aussi infinis d'ordre fini pour $x = 0$, que l'indice caractéristique +soit $i$ et que l'équation $P = 0$ ait exactement $m - i$ intégrales régulières +linéairement indépendantes données à l'avance. + +Soient, en effet, $y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-i}$ ces $m - i$ données. Écrivons +qu'elles satisfont à l'équation $P = 0$. Nous obtenons ainsi un système +% *** File: 033.png--- +de $m - i$ équations du premier degré qui vont déterminer les $m - i$ inconnues +$p_{i+1}$, $p_{i+2}$, \dots, $p_m$: +\begin{alignat*}{5} +&p_{i+1}\dfrac{d^{m-i-1}y_1}{dx^{m-i-1}} &&+ \dotsbsmall +p_{m}y_1 + && = -\Big(\dfrac{d^{m}y_1}{dx^{m}} &&+p_1\dfrac{d^{m-1}y_1}{dx^{m-1}} + &&+ \dotsbsmall +p_{i}\dfrac{d^{m-i}y_1}{dx^{m-i}}\Big), \\ +\multispan{10}{\makebox[36em]{\dotfill},}\\ +&p_{i+1}\dfrac{d^{m-i-1}y_{m-i}}{dx^{m-i-1}} &&+ \dotsbsmall +p_{m}y_{m-i}\! + &&= -\Big(\dfrac{d^{m}y_{m-i}}{dx^{m}} &&+ p_1\dfrac{d^{m-1}y_{m-i}}{dx^{m-1}} + &&+ \dotsbsmall +p_{i}\dfrac{d^{m-i}y_{m-i}}{dx^{m-i}}\Big). +\end{alignat*} +Leur déterminant +\[ +\Delta_{0}= \left| +\begin{array}{lll} +\dfrac{d^{m-i-1}y_{1}}{dx^{m-i-1}} & \ldots & y_{1} \\[0.5ex] +\makebox[4.5em]{\dotfill} & \ldots & \ldots \\[0.5ex] +\dfrac{d^{m-i-1}y_{m-i}}{dx^{m-i-1}} & \ldots & y_{m-i} +\end{array}\right| +\] +n'est pas identiquement nul, puisque (\nobf{4}) les fonctions $y_1$, $y_2$, \dots, +$y_{m-i}$ sont supposées linéairement indépendantes. Soit $\Delta_{k}$ le déterminant +obtenu en remplaçant dans $\Delta_0$ la colonne des dérivées d'ordre +$m - i-k$ par les seconds membres. On aura +\[ +p_{i+k}=\frac{\Delta_k}{\Delta_0}. +\] +Or, lorsque la variable accomplit une révolution autour du point zéro, +les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_i$ reprennent leurs valeurs primitives, et +$y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-i}$ acquièrent des valeurs qui s'expriment en fonctions +linéaires, homogènes, à coefficients constants des premières. Donc $\Delta_k$ +et $\Delta_0$ sont multipliés par un même déterminant, dont les éléments +sont les coefficients de la substitution qui permet d'exprimer les nouvelles +valeurs de $y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-i}$ à l'aide des anciennes. Donc $p_{i+k}$ ne +change pas, et, par suite, les fonctions obtenues pour $p_{i+1}$, $p_{i+2}$, \dots, $p_m$ +sont monotropes dans le domaine du point zéro. L'équation différentielle +ainsi construite avec des coefficients monotropes, ayant au moins +$m - i$ intégrales régulières linéairement indépendantes, aura aussi +(\nobf{25}) ses coefficients $p_{i+1}$, $p_{i+2}$, \dots, $p_m$ infinis d'ordres finis pour $x = 0$ +et l'indice caractéristique sera égal ou inférieur à $i$. Mais on peut choisir +les arbitraires $p_1$, $p_2$, \dots, $p_i$ de façon que l'on ait +\[ +\Pi_0,\ \Pi_1,\ \Pi_2,\ \ldots,\ \Pi_{i-1}<\Pi_i, +\] +% *** File: 034.png--- +et alors l'indice caractéristique sera $i$. L'équation n'admet d'ailleurs +pas plus de $m - i$ intégrales régulières linéairement indépendantes +(\nobf{26}). On a donc ainsi une équation différentielle dont tous les coefficients +présentent le caractère des fonctions rationnelles, dont l'indice +caractéristique est $i$, et qui a exactement $m - i$ intégrales régulières +linéairement indépendantes. + +Les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_m$ de l'équation ainsi obtenue contiennent +$m$ arbitraires: $p_1$, $p_2$, \dots, $p_i$, $y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-i}$. On voit donc que, dans +un grand nombre de cas, l'équation différentielle $P = 0$, dont tous les +coefficients sont infinis d'ordres finis pour $x = 0$ et dont l'indice caractéristique +est $i$, admettra exactement $m- i$ intégrales régulières +linéairement indépendantes. + +\myparagraph{28.} Mais il est facile de se convaincre qu'il y a des exceptions et que +l'équation peut avoir moins de $m- i$ intégrales régulières. Je vais en +former un exemple. + +Posons +\[ +\frac{dy}{dx}+ky=Y, +\] +et considérons les deux équations différentielles +\begin{align*} +\tag*{(1)} Y+h &= 0,\\ +\tag*{(2)} Y &= 0. +\end{align*} +Formons l'équation +\[ +\tag*{(3)} + h\frac{dY}{dx}-Y\frac{dh}{dx}=0, +\] +savoir +\[ +\tag*{(4)} + \frac{d^2y}{dx^2}+p_1\frac{dy}{dx}+p_{2}y=0, +\] +où l'on a +\[ +p_1=k-\frac{d\log h}{dx}, \quad p_2 = \frac{dk}{dx} - k\frac{d\log h}{dx}. +\] +Toutes les intégrales de (1) et de (2) satisfont évidemment à (3), +c'est-à-dire à (4) et inversement, comme (3) donne par l'intégration +\[ +Y = Ch, +\] +% *** File: 035.png--- +si $y$ est une solution de (4), ou bien $y$ vérifiera l'équation (2), ou bien +$-\dfrac{y}{C}$ vérifiera l'équation (1). Il résulte de là que, si (1) et (2) n'ont pas +de solutions présentant le caractère des intégrales régulières, l'équation +(4) n'aura pas d'intégrales régulières. + +Or, donnons-nous arbitrairement $p_1$ et $h$: +\[ +p_1=\frac{1}{x^4}, \quad h=x. +\] +On a alors +\[ +k=\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x}, +\] +c'est-à-dire que $k$ est infini pour $x = 0$ d'ordre fini 4. Cet ordre étant +supérieur à 1, l'équation (2) n'a (\nobf{22}) aucune intégrale régulière. +L'équation non homogène (1) n'a pas non plus de solution de la +nature des intégrales régulières, car son intégrale générale est +\[ +y=e^{-\int\! k\;dx}(C'-\tint he^{\int\! k\;dx}dx), +\] +ou, en remplaçant $h$ et $k$ par leurs valeurs et effectuant l'intégration +entre crochets, +\[ +y=e^{-\int\! k\;dx}[\Theta (x)+C_{1}\log x]. +\] +$C_1$ étant une constante, et la fonction $\Theta (x)$ renfermant dans son développement +un nombre illimité de puissances de $x^{-1}$, comme $e^{-\int\! k\;dx}$. +Donc aucune des intégrales de (1) et de (2) n'est régulière, et, par +suite, l'équation (4) n'a pas d'intégrales régulières. Elle est cependant +de la forme +\[ +\frac{d^{2}y}{dx^2}+\frac{1}{x^4} \frac{dy}{dx} + \frac{f(x)}{x^5} y=0, +\] +où la fonction $f(x)$ est holomorphe dans le domaine du point zéro, car +on a +\[ +f(x)=-2x^3-5. +\] +L'indice caractéristique est 1, et, néanmoins, l'équation n'a pas une +intégrale régulière. + +La méthode précédente peut d'ailleurs se généraliser et permet de +former des équations différentielles de tout degré, à coefficients infinis +% *** File: 036.png--- +d'ordres finis pour $x = 0$, qui n'ont pas $m-i$ intégrales régulières +linéairement indépendantes, $i$ étant leur indice caractéristique. + +\myparagraph{29.} En résumé, l'équation différentielle $P = 0$, dont tous les coefficients +ne renferment qu'un nombre limité de puissances négatives de $x$, +a au plus $m - i$ intégrales régulières linéairement indépendantes. Si +$i = 0$, elle les a toujours. Si $i > 0$, elle les a dans un grand nombre de +cas, mais il y a des exceptions. Il s'agit donc maintenant d'approfondir +nos recherches dans ce cas $i > 0$, et d'arriver à préciser les conditions +nécessaires et suffisantes que doit remplir l'équation différentielle +pour avoir exactement $m- i$ intégrales régulières. Nous sommes ainsi +amenés à étudier plus profondément les équations dont les coefficients +présentent tous le caractère des fonctions rationnelles. Observons +encore que l'équation du second ordre qui nous a servi d'exemple +d'exception s'est offerte à nous comme ayant ses intégrales communes +avec deux équations du premier ordre. Cette remarque conduit à la +notion féconde de la réductibilité, dans la théorie des équations différentielles +linéaires. + + +\mysection{TROISIÈME PARTIE.} + +\myparagraph{30.} Soit l'équation différentielle linéaire homogène +\[ +P(y)=\frac{d^{m}y}{dx^m}+p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb + p_{m}y=0, +\] +dont les coefficients $p$, dans le domaine du point zéro, sont développables +en séries convergentes, procédant suivant les puissances entières, +positives et négatives de $x$, mais ne contiendront désormais +qu'un nombre limité de puissances négatives. + +Je vais définir la fonction caractéristique. + +Dans l'expression différentielle $P(y)$, faisons la substitution $y=x^{\rho}$. +Nous obtenons ainsi une fonction de $x$ et de $\rho$, $P(x^{\rho})$, que nous appellerons +avec M.~Fröbenius la \textit{fonction caractéristique} de l'équation différentielle +$P =0$ ou de l'expression différentielle $P$. + +Nous avons déjà eu l'occasion de former la fonction caractéristique +% *** File: 037.png--- +d'une équation différentielle, car c'est elle que nous avons rencontrée +au \nobf{23} pour l'équation particulière +\[ +\frac{d^{m}y}{dx^m}+\frac{P_1(x)}{x} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+\frac{P_2(x)}{x^2} + \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}}+ \dotsb +\frac{P_m(x)}{x^m} y=0. +\] + +Formons actuellement la fonction caractéristique de $P$; nous obtenons +\[ +P(x^{\rho}) = x^{\rho}\! \left [ \frac{\rho(\rho\!-\!1)\dotsbsmall(\rho\!-\!m\!+\!1)}{x^m} + +p_{1}\frac{\rho(\rho\!-\!1)\dotsbsmall(\rho\!-\!m\!+\!2)}{x^{m-1}}+ \dotsbsmall + +p_{m-1}\frac{\rho}{x}+p_m \right]\!. +\] +J'en déduis +\[ +x^{-\rho}P(x^{\rho}) = \frac{\rho(\rho-1)\ldots(\rho-m+1)}{x^m} + +p_{1} \frac{\rho(\rho-1)\ldots(\rho-m+2)}{x^{m-1}}+ \dotsb + +p_m. +\] +D'où l'on voit que le produit $x^{-\rho}P(x^{\rho})$ peut être, comme les coefficients +$p$, développé en une série procédant suivant les puissances entières +de $x$, ne contenant qu'un nombre limité de puissances de $x^{-1}$ et +dont les coefficients sont des fonctions entières de $\rho$ du degré $m$ au +plus. + +\myparagraph{31.} Si l'expression différentielle $P$ est donnée, sa fonction caractéristique +$P(x^{\rho})$ est connue. + +Inversement, supposons que la fonction caractéristique soit donnée +sous la forme $x^\rho f(x, \rho)$, $f(x, \rho)$ étant une fonction entière de $\rho$ dont +les coefficients sont des fonctions de $x$. On connaîtra aisément l'expression +différentielle. + +En effet, une fonction entière de $\rho$, $f(x, \rho)$, de degré $m$, peut toujours +se mettre, et d'une seule manière, sous la forme +\begin{align*} +f(x,\rho) ={}&u_{m}\rho(\rho-1)\ldots(\rho-m+1)+ u_{m-1}\rho(\rho-1)\ldots(\rho-m+2)+ \dotsb\\ + &+u_{2}\rho(\rho-1)+ u_{1}\rho + u_0, +\end{align*} +où l'on a +\[ +u_{\eta} = \frac{[\Delta^{(\eta)}_{\rho}f(x, \rho)]_{\rho=0}}{1 \ldot 2 \ldot 3 \ldots \eta}, +\] +en posant +\[ +f(x, \rho + 1)- f(x, \rho)=\Delta_{\rho}f(x, \rho). +\] +% *** File: 038.png--- +On en déduit +\begin{multline*} +x^{\rho}f(x, \rho) = x^{\rho} \Big [ u_{m}x^{m}\frac{\rho(\rho-1)\ldots (\rho-m+1)}{x^{m}} \\ + + u_{m-1}x^{m-1}\frac{\rho(\rho-1)\ldots (\rho-m+2)}{x^{m-1}}+ \dotsb + + u_{2}x^{2}\frac{\rho(\rho-1)}{x^2}+u_{1}x\frac{\rho}{x}+u_0 \Big ]. +\end{multline*} +Donc $x^{\rho}f(x, \rho)$ est la fonction caractéristique de l'expression différentielle +\[ +u_{m}x^{m}\frac{d^{m}y}{dx^{m}}+ u_{m-1}x^{m-1}\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb + u_{1}x\frac{dy}{dx}+u_{0}y. +\] + +\myparagraph{32.} Nous avons vu que le produit +\[ +x^{-\rho}P(x^{\rho})=\frac{\rho(\rho - 1)\ldots(\rho-m+1)}{x^m} + +p_{1}\frac{\rho(\rho - 1)\ldots(\rho-m+2)}{x^{m-1}}+ \dotsb + +p_{m-1}\frac{\rho}{x}+p_m +\] +pouvait être développé en une série procédant suivant les puissances +ascendantes de $x$ et limitée à gauche, dont les coefficients sont des +fonctions entières de $\rho$ de degré $m$ au plus. Cherchons le premier terme +à gauche dans cette série. Il est visible que les exposants de $x$ dans les +dénominateurs de $x^{-\rho}P(x^{\rho})$ sont successivement les nombres +\[ +\Pi_0,\ \Pi_1,\ \Pi_2,\ \ldots,\ \Pi_{m-1},\ \Pi_m, +\] +définis au \nobf{16}. Si donc $g$ est leur plus grande valeur, le premier +terme de la série est de la forme $\dfrac{G(\rho)}{x^g}$, $G(\rho)$ étant une fonction entière +de $\rho$, indépendante de $x$. Quant au degré $\gamma$ de cette fonction en $\rho$, égal +au plus à $m$, il est évidemment +\[ +\gamma = m - i, +\] +$i$ étant l'indice du premier nombre $\Pi$ égal à $g$, c'est-à-dire $i$ étant l'indice +caractéristique. Dans le cas particulier $i = 0$, l'équation $G(\rho)= 0$, +de degré $m$, n'est autre chose que l'équation mentionnée au \nobf{23}, et +que M.~Fuchs a nommée l'\textit{équation fondamentale déterminante}. + +Nous généraliserons alors cette dénomination, et nous appellerons +dans tous les cas et plus simplement \textit{équation déterminante} de l'équation +différentielle $P = 0$ ou de l'expression $P$ l'équation $G(\rho) = 0$. Son +premier membre $G(\rho)$ sera la \textit{fonction déterminante}. +% *** File: 039.png--- + +Ainsi, pour obtenir la fonction déterminante d'une expression différentielle, +on formera sa fonction caractéristique, qu'on multipliera +par $x^{-\rho}$, puis on développera le produit suivant les puissances ascendantes +de $x$: le coefficient du premier terme sera la fonction déterminante. +Remarquons que, ayant $g$, il suffit de multiplier la fonction +caractéristique par $x^{g-\rho}$, puis de faire $x=0$: +\[ +\left[x^{g-\rho}P(x^{\rho}) \right]_{x=0}. +\] + +\myparagraph{33.} J'établirai immédiatement quelques propriétés de l'équation +déterminante de l'expression différentielle $P$. + +Je remarque d'abord que, si $p_m$ est identiquement nul, la fonction +caractéristique, et, par suite, la fonction déterminante, est divisible +par $\rho$. Si l'on effectue cette division, et que l'on change ensuite $\rho$ en +$\rho+1$ dans le quotient, on obtiendra, en égalant à zéro, l'équation déterminante +de l'équation différentielle d'ordre $m - 1$ obtenue en prenant +pour inconnue $\dfrac{dy}{dx}$. + +On aperçoit encore de suite que, si dans l'équation $P = 0$ on pose +\[ +y = x^{\rho_0}w, +\] +l'équation déterminante de l'équation différentielle en $w$ ainsi obtenue +aura pour racines celles de l'équation déterminante de $P = 0$, diminuées +de $\rho_0$. En effet, la fonction caractéristique de l'équation en $w$, $P(x^{\rho_0} w) =0$, +est $P(x^{\rho_{0}+\rho})$. Elle se déduit donc de la fonction caractéristique $P(x^{\rho})$ de +l'équation en $y$, en changeant $\rho$ en $\rho_{0}+\rho$, et, par conséquent, il en +est de même des équations déterminantes. + +Enfin, si dans l'équation $P = 0$ on pose +\[ +y=\psi(x)w, +\] +$\psi(x)$ étant une fonction holomorphe dans le domaine du point zéro, +et non nulle pour $x = 0$, l'équation déterminante de l'équation différentielle +en $w$ ainsi obtenue sera la même que celle de l'équation en $y$. +En effet, on voit sans peine que, l'équation en $w$ étant de la forme +\[ +\frac{d^{m}w}{dx^m}+(p_1 + P_1)\frac{d^{m-1}w}{dx^{m-1}} + + (p_2 +P_2)\frac{d^{m-2}w}{dx^{m-2}}+ \dotsb + (p_{m}+P_{m})w = 0, +\] +% *** File: 040.png--- +sa fonction caractéristique est la somme de deux termes. Le premier +terme +\[ +x^{\rho} \left [\frac{\rho(\rho-1)\ldots (\rho-m+ 1)}{x^{m}} + p_{1}\frac{\rho(\rho-1)\ldots (\rho-m+ 2)}{x^{m-1}} + \dotsb + p_m \right] +\] +est la fonction caractéristique de l'équation en $y$, et, dans le second +terme, +\[ +x^{\rho}\left [\frac{\rho(\rho-1)\ldots (\rho-m+ 1)}{x^{m}} + P_{1}\frac{\rho(\rho-1)\ldots (\rho-m+ 2)}{x^{m-1}} + \dotsb + P_m \right], +\] +le plus haut exposant de $x$ en dénominateur est inférieur au plus haut $g$ +dans les dénominateurs du premier terme. D'où il résulte que, si l'on +multiplie par $x^{g-\rho}$, puis qu'on fasse $x = 0$, pour obtenir la fonction +déterminante de l'équation en $w$, le second terme s'évanouira tout +entier, et l'on obtiendra par conséquent le même résultat qu'en opérant +sur le premier terme seul, c'est-à-dire la fonction déterminante de +l'équation en $y$. + +Il suit de ces diverses propositions, $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_\gamma$ étant les $\gamma$ racines +de l'équation déterminante de $P$: + +\primo Que si, dans $P = 0$, on pose +\[ +y=y_{1}w, +\] +où $y_{1}$ est une intégrale de la forme $x^{\rho_0}\psi(x)$, $\psi(x)$ étant holomorphe +dans le domaine du point zéro, et non nul pour $x= 0$, l'équation différentielle +en $w$, homogène par rapport aux dérivées, ainsi obtenue, aura +une fonction déterminante dont les racines seront +\[ +\rho_{1}-\rho_{0},\ \rho_{2}-\rho_{0},\ \ldots,\ \rho_{\gamma}-\rho_{0}, +\] +et que, par conséquent, comme cette fonction est divisible par $\rho$, l'une +des quantités $\rho_{1}$, $\rho_{2}$, \dots, $\rho_{\gamma}$ est égale à $\rho_0$, soit $\rho_{1}=\rho_{0}$; + +\secundo Que, si l'on pose ensuite dans l'équation en $w$ +\[ +w=\tint z\;dx, +\] +la fonction déterminante de l'équation en $z$ sera de degré $\gamma - 1$ et aura +pour racines +\[ +\rho_{2}-\rho_{0}-1,\ \rho_{3}-\rho_{0}-1,\ \ldots,\ \rho_{\gamma}-\rho_{0}-1; +\] +% *** File: 041.png--- + +\tertio Que si, par conséquent, dans $P = 0$, on fait la substitution +\[ +y =y_{1}\tint z\;dx, +\] +l'équation en $z$, d'ordre $m - 1$, ainsi obtenue, aura pour équation déterminante +l'équation de degré $\gamma-1$, qui admet comme racines +\[ +\rho_{2}-\rho_{0}-1,\ \rho_{3}-\rho_{0}-1,\ \ldots,\ \rho_{\gamma}-\rho_{0}-1. +\] + +\myparagraph{34.} La relation simple +\[ +i+\gamma=m +\] +entre l'ordre de l'équation différentielle, son indice caractéristique et +le degré de son équation déterminante permet de substituer à la notion +de l'indice caractéristique la considération plus rationnelle de l'équation +déterminante. \textit{L'indice caractéristique d'une équation différentielle +n'est autre que la différence entre l'ordre de cette équation et le degré +de son équation déterminante.} + +Dès lors, toutes les propositions concernant l'indice caractéristique, +relatives, par conséquent, à des équations différentielles dont tous les +coefficients sont infinis d'ordres finis pour $x = 0$, pourront s'exprimer +à l'aide de l'équation déterminante. + +C'est ainsi que nous énoncerons de la manière suivante la proposition +du \nobf{26}: + +\textit{Le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes de +l'équation $P = 0$ est, au plus, égal au degré de son équation déterminante.} + +\myparagraph{35.} On peut d'ailleurs se faire une idée encore plus nette de la +fonction caractéristique et de la fonction déterminante de l'équation +différentielle $P = 0$ en mettant cette équation sous une certaine forme. + +Écrivons-la ainsi: +\[ +P(y) =\frac{1} {x^m} x^m \frac{d^{m}y} {dx^m} + +\frac{p_1} {x^{m-1}} x^{m-1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + +\frac{p_{m-1}}{x} x \frac{dy}{dx} + +p_{m}y = 0. +\] +Réduisons les fractions +\[ +\frac{1}{x^m},\ \frac{p_{1}}{x^{m-1}},\ \frac{p_{2}}{x^{m-2}},\ \ldots,\ \frac{p_{m-1}}{x},\ p_m +\] +% *** File: 042.png--- +au plus simple dénominateur commun $x^g$, puis multiplions tout par $x^g$. +L'équation différentielle deviendra +\[ +N(y) = n_{0} x^{m} \frac{d^{m}y} {dx^{m}} + +n_{1} x^{m-1}\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + +n_{m-1}x \frac{dy}{dx} + n_{m}y = 0, +\] +où les séries $n_0$, $n_1$, \dots, $n_m$ contiennent seulement des puissances positives +de $x$, et ne s'évanouissent pas toutes pour $x = 0$. + +Nous appellerons cette forme du premier membre d'une équation +différentielle sa \textit{forme normale}. + +La fonction caractéristique de l'expression différentielle $N$ est +\[ +N(x^{\rho}) = x^{\rho} [n_{0}\rho(\rho - 1)\ldots(\rho - m +1)+ n_{1}\rho(\rho - 1)\ldots (\rho - m +2)+ \dotsb + n_{m-1}\rho + n_m]; +\] +par conséquent, le produit $x^{-\rho}N(x^{\rho})$ ne contient que des puissances +positives de $x$ et n'est pas nul pour $x = 0$. Son terme constant est la +fonction déterminante. + +Inversement, on voit facilement que, si une expression différentielle +a une fonction caractéristique remplissant ces conditions, elle a la +forme normale. On peut donc, par l'examen de la fonction caractéristique, +reconnaître si une expression différentielle a la forme normale. + +\myparagraph{36.} Je vais définir ce qu'on entendra par une \textit{expression différentielle +composée}, et en démontrer une importante propriété. + +Soit l'expression différentielle +\[ +A(y) = a_{0} \frac{d^{\alpha}y} {dx^{\alpha}} + + a_{1} \frac{d^{\alpha-1}y}{dx^{\alpha-1}} + \dotsb + + a_{\alpha-1}\frac{dy}{dx} + a_{\alpha}y. +\] +Je considérerai la lettre $A$ comme un symbole d'opération, de telle +sorte que $A(y)$ indique une opération définie à effectuer sur $y$: +\[ +A(y) = \left (a_{0}\frac{d^{\alpha}} {dx^{\alpha}} + +a_{1}\frac{d^{\alpha-1}}{dx^{\alpha-1}} + \dotsb + a_{\alpha} \right ) y. +\] + +Cela étant, $A(B)$, ou simplement $AB$, indiquera la même opération +effectuée sur $B$. Si alors $B$ est une seconde expression différentielle, +$AB$ représentera aussi une expression différentielle $C$, et nous dirons +que l'expression $AB = C$, obtenue en effectuant sur $B$ les opérations +% *** File: 043.png--- +indiquées par le symbole $A$, est composée des expressions $A$ et $B$, énoncées +dans cet ordre. + +Même définition pour une expression composée de plus de deux +expressions. + +Si les coefficients des expressions composantes ne contiennent qu'un +nombre limité de puissances négatives de $x$, comme on le suppose ici, +il est clair qu'il en est de même des coefficients de l'expression composée. + +Soit $AB = C$ et soient +\begin{alignat*}{2} +A(x^{\rho}) &= x^{\rho}h(x, \rho) &&= \sum_{\mu} h_{\mu} (\rho)x^{\rho + \mu}, \\ +B(x^{\rho}) &= x^{\rho}k(x, \rho) &&= \sum_{\nu} k_{\nu} (\rho)x^{\rho + \nu}, \\ +C(x^{\rho}) &= x^{\rho}l(x, \rho) &&= \sum_{\lambda}l_{\lambda}(\rho)x^{\rho + \lambda} +\end{alignat*} +les fonctions caractéristiques des expressions différentielles $A$, $B$, $C$. +On a +\[ +C(x^{\rho}) = AB(x^{\rho}) = A \left[ \sum_{\nu} k_{\nu}(\rho) x^{\rho + \nu} \right] + = \sum_{\nu} k_{\nu}(\rho) A(x^{\rho + \nu}), +\] +c'est-à-dire +\[ +\sum_{\lambda} l_{\lambda}(\rho) x^{\lambda} = + \sum_{\mu}\sum_{\nu} h_{\mu}(\rho + \nu) k_{\nu}(\rho) x^{\mu+\nu}. +\] + +Il résulte de cette égalité que, si $A$ et $B$ ont la forme normale, comme +alors $h_\mu(\rho)$ et $k_{\nu}(\rho)$ s'évanouissent pour les valeurs négatives de $\mu$ et +de $\nu$, mais non pour la valeur nulle, $\sum_{\lambda}l_{\lambda}(\rho)x^{\lambda}$ ne contiendra que des +puissances positives de $x$ et sera différent de zéro pour $x = 0$. Donc +(\nobf{35}), la fonction caractéristique de $C$, divisée par $x^{\rho}$, remplissant +ces conditions, $C$ aura lui-même la forme normale. De plus, si nous +faisons $x = 0$ dans la même égalité, nous aurons entre les fonctions +déterminantes de $A$, $B$, $C$ cette relation simple +\[ +l_{0}(\rho) = h_{0}(\rho)k_{0}(\rho). +\] + +D'où cette proposition: + +\textit{Si une expression différentielle est composée de plusieurs expressions +% *** File: 044.png--- +différentielles de forme normale, elle a elle-même la forme normale, et +sa fonction déterminante est le produit des fonctions déterminantes des +expressions composantes.} + +Le degré de $l_{0}(\rho)$ est, par conséquent, la somme des degrés $h_{0}(\rho)$ +et de $k_{0}(\rho)$. + +Plus généralement, on peut remarquer que, \textit{si deux des trois expressions +$A$, $B$, $C$ ont la forme normale, il en est de même de la troisième.} + +\myparagraph{37.} Je vais maintenant m'occuper, en vue des recherches ultérieures, +de la réductibilité et de l'irréductibilité de l'équation différentielle +$P = 0$. L'introduction de cette notion, outre qu'elle nous sera d'une +utilité capitale, aura l'avantage de mettre une fois de plus en évidence +l'analogie si complète des équations différentielles linéaires avec les +équations algébriques. + +Une équation différentielle linéaire homogène, dont les coefficients +ne contiennent qu'un nombre limité de puissances de $x^{-1}$, sera dite +\textit{réductible} lorsqu'elle aura au moins une intégrale commune avec une +autre équation différentielle linéaire homogène, d'ordre moindre, et +dont les coefficients présentent le même caractère. Dans le cas contraire, +l'équation sera dite \textit{irréductible}. + +Par exemple, l'équation du second ordre +\[ +\frac{d^{2}y}{dx^2} + \frac{1}{x^4} \frac{dy}{dx} - \frac{2x^3+5}{x^5} y = 0, +\] +que nous avons rencontrée au \nobf{28}, est réductible, puisqu'elle admet +toutes les intégrales de l'équation du premier ordre +\[ +\frac{dy}{dx} + \frac{x^{3}+1}{x^4} y = 0. +\] +Nous formerons tout à l'heure des équations irréductibles. + +\myparagraph{38.} Soient +\begin{align*} +A(y) &= a_{0}\frac{d^\alpha y}{dx^{\alpha}} + a_1 \frac{d^{\alpha-1}y}{dx^{\alpha-1}}+ \dotsb + a_{\alpha}y,\\ +B(y) &= b_{0}\frac{d^\beta y} {dx^{\beta}} \,+ b_1 \frac{d^{\beta-1}y} {dx^{\beta-1}} \,+ \dotsb + b_{\beta}y +\end{align*} +% *** File: 045.png--- +deux expressions différentielles, de même nature que $P$, et où l'on a +\[ +\alpha \geqq \beta\quad \text{et}\quad \alpha - \beta = \varkappa. +\] +Je dis que, si $Q$ désigne le symbole d'opération +\[ +Q(y)=q_{0}\frac{d^{\varkappa}y}{dx^\varkappa} + + q_1\frac{d^{\varkappa-1}y}{dx^{\varkappa-1}} + \dotsb + q_{\varkappa}y, +\] +on pourra toujours mettre $A$ sous la forme +\[ +A=QB + R, +\] +les $q$ ne contenant qu'un nombre limité de puissances $x^{-1}$, et $R$ représentant +une expression différentielle de même nature que $A$, $B$, $Q$, +mais d'ordre inférieur à $\beta$. + +Si, en effet, on dérive $B$ $\varkappa$ fois, on obtient +\begin{alignat*}{3} +\dfrac{dB}{dx}\ &= b_0 \dfrac{d^{\beta + 1}y}{dx^{\beta+1}}&&+ u_{11}\ \dfrac{d^{\beta}y}{dx^{\beta}}&&+ U_1, +\\ +\dfrac{d^{2}B}{dx^2} &= b_0 \dfrac{d^{\beta + 2}y}{dx^{\beta+2}}&&+ + u_{21} \dfrac{d^{\beta + 1}y}{dx^{\beta+1}}&&+ u_{22}\dfrac{d^{\beta}y}{dx^{\beta}}+ U_2, +\\ +\multispan{6}{\makebox[20em]{\dotfill},} \\ +\dfrac{d^{\varkappa}B}{dx^\varkappa} &= b_0\ \dfrac{d^{\alpha}y}{dx^{\alpha}}&&+ + u_{\varkappa 1} \dfrac{d^{\alpha - 1}y}{dx^{\alpha-1}}&&+ \dotsb + + u_{\varkappa\varkappa}\dfrac{d^{\beta}y}{dx^{\beta}}+ U_\varkappa, +\end{alignat*} +les $u$ ne contenant qu'un nombre limité de puissances de $x^{-1}$, et les $U$ +étant des expressions différentielles d'ordres inférieurs à $\beta$, et à coefficients +de même caractère que les $u$. On déduit de là la valeur de la +somme +\[ +q_0\,\frac{d^{\varkappa}B}{dx^\varkappa}+ q_1\,\frac{d^{\varkappa-1}B}{dx^{\varkappa-1}}+ + \ldots +q_{\varkappa}B, +\] +c'est-à-dire la valeur de $QB$: +\begin{align*} + QB = q_0b_0 \frac{d^{\alpha}y}{dx^\alpha} + & + (q_0u_{\varkappa 1} + q_1b_0) + \frac{d^{\alpha-1}y}{dx^{\alpha-1}} + + (q_0u_{\varkappa 2} + q_1u_{\varkappa-1,1} + q_2b_0) + \frac{d^{\alpha-2}y}{dx^{\alpha-2}} + \dotsb \\ + & + (q_0u_{\varkappa\varkappa} + q_1u_{\varkappa-1,\varkappa-1} + \dotsb + + q_{\varkappa-1}u_{11} + q_\varkappa b_0) \frac{d^\beta y}{dx^\beta} \\ + & + q_0U_\varkappa + q_1U_{\varkappa-1} + \dotsb + q_{\varkappa-1}U_1 + + q_\varkappa \Big( b_1 \frac{d^{\beta-1}y}{dx^{\beta-1}} + \dotsb + b_\beta y \Big). +\end{align*} +% *** File: 046.png--- +Déterminons $q_0$, $q_1$, $q_2$, \dots, $q_\varkappa$ par les conditions suivantes, ce qui est +toujours possible: +\begin{gather*} +q_{0}b_{0} = a_{0}, \\ +q_{0}u_{\varkappa 1}+ q_{1}b_{0}=a_{1}, \\ +\makebox[8em]{\dotfill}, \\ +q_{0}u_{\varkappa\varkappa}+q_{1}u_{\varkappa-1,\varkappa-1}+ \dotsb + + q_{\varkappa-1}u_{11}+q_{\varkappa}b_{0}=a_{\varkappa}; +\end{gather*} +nous trouverons évidemment des valeurs ne contenant qu'un nombre +limité de puissances négatives de $x$, et nous aurons +\[ +QB = a_{0}\,\frac{d^{\alpha}y}{dx^{\alpha}} + + a_1\,\frac{d^{\alpha-1}y}{dx^{\alpha-1}} + + \ldots + a_\varkappa\,\frac{d^{\beta}y}{dx^{\beta}}+ U, +\] +$U$ étant d'ordre inférieur $\beta$. Or cela peut s'écrire +\[ +A=QB+R, +\] +en posant +\[ +R=a_{\varkappa+1}\,\frac{d^{\beta-1}y}{dx^{\beta-1}} + \dotsb + a_{\alpha}y - U, +\] +expression différentielle d'ordre inférieur à $\beta$, et dont les coefficients +présentent le caractère des fonctions rationnelles. + +Il résulte de l'égalité +\[ +A = QB + R +\] +que toute intégrale commune aux deux équations $A = 0$ et $B = 0$ est +une intégrale de $R = 0$, et que, inversement, toute intégrale commune +aux deux équations $B = 0$ et $R = 0$ est une intégrale de $A = 0$. + +\myparagraph{39.} Supposons que toutes les intégrales de $B = 0$ satisfassent à +$A = 0$: alors elles satisfont aussi à $R = 0$. Mais l'équation $R = 0$, étant +d'ordre inférieur à $\beta$, ne peut admettre $\beta$ intégrales linéairement indépendantes +que si $R$ s'évanouit identiquement. D'où cette proposition: + +\emph{Si l'équation $A = 0$ admet toutes les intégrales de l'équation $B = 0$, +$A$ se met sous la forme composée $A = QB$.} + +Remarquons que $Q$ est d'ordre $\alpha - \beta$ et que, d'après le \nobf{36}, si $A$ +et $B$ ont la forme normale, il en sera de même de $Q$. + +\myparagraph{40.} Supposons l'équation $B = 0$ irréductible, et imaginons qu'elle +ait une intégrale commune avec l'équation $A = 0$, auquel cas l'ordre +% *** File: 047.png--- +de $A$ est au moins égal à celui de $B$, sans quoi $B = 0$ serait réductible. +On a alors l'égalité +\[ + A = QB + R, +\] +et l'intégrale commune vérifie $R = 0$. Mais $B = 0$, étant irréductible, ne +peut avoir aucune intégrale commune avec l'équation $R = 0$, qui est +d'ordre moindre. Il faut donc que $R$ s'évanouisse identiquement, et, par +suite, on a l'identité +\[ + A = QB, +\] +ce qui donne cette proposition: + +\textit{Si l'équation $A = 0$ admet une intégrale de l'équation irréductible +$B = 0$, elle les admettra toutes.} + +\myparagraph{41.} $A$ et $B$ étant deux expressions différentielles d'ordres respectifs $\alpha$ +et $\beta$, il est facile d'obtenir l'équation différentielle qui donne les intégrales +communes aux deux équations $A = 0$ et $B = 0$. + +J'opérerai comme dans la recherche d'un plus grand commun diviseur. + +Soit $\alpha\geqq \beta$. On a +\[ + A = QB + R_{1}, +\] +et les intégrales communes à $A=0$ et à $B = 0$ sont les solutions communes +à $B = 0$ et à $R_1 = 0$. On aura donc ainsi successivement +\begin{alignat*}{3} + &A &&= \ QB &&+ R_{1}, \\ + &B &&= Q_{1}R_{1}&&+R_{2}, \\ + &R_1 &&= Q_{2}R_{2}&&+R_{3}, \\ +\multispan{6}{\makebox[9em]{\dotfill},}\\ + &R_{\varepsilon-1} &&= Q_{\varepsilon}R_{\varepsilon}&&+ R_{\varepsilon+1}. +\end{alignat*} +Si $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$, \dots\ sont les ordres respectifs des expressions différentielles +$R_1$, $R_2$, $R_3$, \dots, on a les inégalités +\[ + \alpha \geqq \beta >\sigma_1 >\sigma_2 >\sigma_3 >\ldots, +\] +d'où il résulte que $\sigma_j$ s'évanouit au plus tard pour $j=\beta$. Soient +\[ + \sigma_{\varepsilon+1}=0 \quad\text{et}\quad \sigma_{\varepsilon} \backneq 0. +\] +Alors $R_{\varepsilon + 1}$ est égal ou à $uy$, $u$ étant une fonction de $x$, ou à zéro. Dans +% *** File: 048.png--- +le premier cas, les deux équations $A = 0$ et $B = 0$ ne sont vérifiées +simultanément que pour $y = 0$, c'est-à-dire qu'elles n'ont aucune intégrale +commune. Dans le second cas, $A = 0$ et $B = 0$ ont des intégrales +communes qui sont les solutions de l'équation différentielle $R_{\varepsilon} = 0$. + +De là cette proposition: + +\emph{Si l'équation $A = 0$ est réductible, il existe une équation $D = 0$, d'ordre +moindre, dont elle admet toutes les intégrales.} + +\myparagraph{42.} Il résulte du théorème précédent et de la proposition du \nobf{39} +que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation $A = 0$ soit +réductible est que $A$ puisse se mettre sous la forme composée +\[ +A = QD, +\] +où la somme des ordres $\varkappa$ et $\delta$ de $Q$ et de $D$ est égale à l'ordre $\alpha$ de $A$. +Tel est le caractère d'une équation réductible. + +On sait qu'étant donnée une équation algébrique de degré $\delta$, ayant +toutes ses racines communes avec une autre, de degré $\varkappa$ + $\delta$, on peut +ramener la détermination de toutes les autres racines à la résolution +d'une équation de degré $\varkappa$. De même, connaissant $D$, on pourra intégrer +l'équation différentielle réductible $A = 0$ au moyen d'une équation +différentielle $Q = 0$, d'ordre $\varkappa$, en prenant pour inconnue $D$. + +\myparagraph{43.} Il est facile de reconnaître l'existence d'équations différentielles +irréductibles de tout degré. + +Je vais en effet former une équation irréductible $A = 0$ d'ordre +donné $\alpha$. Je formerai d'abord sa fonction caractéristique $A(x^{\rho})$; j'en +déduirai (\nobf{31}) ensuite $A$. + +Dans ce but, je prends au hasard une fonction entière de $\rho$, $h(x, \rho)$, +de degré $\alpha$, dont les coefficients ne contiennent que des puissances positives +de $x$ et ne soient pas tous nuls pour $x = 0$: +\[ +h(x, \rho)= h_{0}(\rho) + h_{1}(\rho)x + h_{2}(\rho)x^{2}+ \dots, +\] +de sorte que $h_{0}(\rho)$ n'est pas identiquement nul. J'assujettis simplement +la fonction $h(x, \rho)$ à deux conditions, savoir : $h_0(\rho)$ sera une constante +et $h_1(\rho)$ sera de degré $\alpha$. + +Cela posé, il existe une expression différentielle $A$, de forme normale, +% *** File: 049.png--- +qui admet pour fonction caractéristique $x^{\rho}h(x, \rho)$ (\nobf{35}), et +l'on a +\[ +A(y) = a_{0}x^{\alpha} \frac{d^{\alpha}y} {dx^{\alpha}} + +a_{1}x^{\alpha-1}\frac{d^{\alpha-1}y}{dx^{\alpha-1}} + \dotsb + a_{\alpha}y, +\] +où $a_{\alpha}$ et $\dfrac{a_0}{x}$ ne s'évanouissent pas pour $x = 0$, à cause des deux conditions +imposées à $h(x, \rho)$. + +Je dis que l'équation $A = 0$ est irréductible. + +En effet, si elle était réductible, il existerait (\nobf{41}) une équation +$D = 0$, d'ordre moindre $\delta$, dont elle admettrait toutes les intégrales, +et l'on pourrait mettre $A$ sous la forme composée +\[ +A = QD, +\] +Q étant une expression d'ordre $\varkappa$ tel qu'on ait +\[ +\varkappa + \delta = \alpha. +\] +On peut d'ailleurs supposer que $Q$ et $D$ ont la forme normale comme $A$. +Or, soient +\begin{alignat*}{4} +Q(x^{\rho}) &= x^{\rho} [ \eta_0(\rho) &&+ \eta_1(\rho)x &&+ \eta_2(\rho)x^{2} &&+ \dotsb ], \\ +D(x^{\rho}) &= x^{\rho} [\zeta_0(\rho) &&+ \zeta_1(\rho)x &&+ \zeta_2(\rho)x^{2} &&+ \dotsb ] +\end{alignat*} +les fonctions caractéristiques des expressions $Q$ et $D$; leurs degrés en $\rho$ +ne surpassent pas, comme on sait, les ordres $\varkappa$ et $\delta$. La formule du +\nobf{36} donne les deux identités +\begin{align*} +h_0(\rho)&= \eta_0(\rho)\zeta_0(\rho), \\ +h_1(\rho)&= \zeta_0(\rho)\eta_1(\rho)+ \eta_0(\rho+1)\zeta_1(\rho). +\end{align*} +D'après la première, $h_0(\rho)$ étant une constante, $\eta_0(\rho)$ et $\zeta_0(\rho)$ sont +eux-mêmes const\-ants; par suite, d'après la seconde, la fonction $h_1(\rho)$, +qui, par hypothèse, est de degré $\alpha$, serait identique à une fonction dont +le degré n'est pas supérieur au plus grand des deux nombres $\varkappa$ et $\delta$, ce +qui est impossible. Donc l'équation $A = 0$ est irréductible. + +Remarquons que $h_0(\rho)$, $\eta_0(\rho)$ et $\zeta_0(\rho)$ sont les fonctions déterminantes +de $A$, $Q$ et $D$, de sorte que la fonction déterminante de $A$ est +une constante. + +Ainsi donc, par la méthode précédente, on peut former des équations +différentielles irréductibles de tout degré. +% *** File: 050.png--- + +\myparagraph{44.} Avant d'utiliser les considérations qui précèdent pour l'objet de +notre étude, la recherche des intégrales régulières, je vais les appliquer +à la décomposition des expressions différentielles linéaires, homogènes, +à coefficients constants. + +Soit l'équation différentielle +\[ +P(y)=\frac{d^{m}y}{dx^{m}}+ p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb + p_{m}y = 0, +\] +où les $p$ sont des constantes. + +\primo L'expression différentielle $P$ peut se mettre sous la forme composée +$P = AQ_1$, les expressions $A$ et $Q_1$ étant respectivement d'ordres 1 et +$m - 1$ et de même nature que $P$. + +Soient, en effet, +\begin{gather*} +A=\frac{dy}{dx}- ay, \\ +Q_1=\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + q_1\frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb + q_{m-1}y, +\end{gather*} +où les coefficients $a$ et $q$ sont des constantes que je vais déterminer. Je +forme $AQ$, et je l'identifie avec $P$. J'obtiens ainsi les équations +\begin{align*} +q_1 - a &= p_1, \\ +q_2 - aq_1 &= p_2, \\ +\multispan{2}{\hspace{2.5em}\makebox[6em]{\dotfill},} \\ +q_{m-1}- aq_{m-2} &= p_{m-1}, \\ +-aq_{m-1} &= p_m, +\end{align*} +qui donnent toujours des valeurs constantes pour $q_1$, $q_2$, \dots, $q_{m-1}$, $a$, +car on a +\[ +q_1=a+p_1, \ q_2= a^2 + p_{1}a + p_2, \ \dots,\ +q_{m-1}= a^{m-1} + p_{1}a^{m-2} + \dotsb + p_{m-1}, +\] +et $a$ est racine de l'équation +\[ +a^m + p_{1}a^{m-1} + p_{2}a^{m-2} + \dotsb + p_{m-1}a + p_m =0. +\] +Remarquons que cette équation n'est autre que +\[ +e^{-ax}P(e^{ax}) = 0. +\] + +% *** File: 051.png--- + +\secundo L'expression différentielle $P$ peut se mettre sous la forme composée +\[ +P = ABC\ldots HKL, +\] +les $m$ expressions $A$, $B$, \dots, $K$, $L$ étant du premier ordre et de même +nature que $P$. + +En effet, je mets $P$ sous la forme $P = AQ_1$, puis $Q_1$ sous la forme +$Q_1=BQ_2$, et ainsi de suite. Finalement, j'obtiens $Q_{m-1}= KQ_m$, $Q_m$ +étant du premier ordre. J'aurai donc, en posant $Q_{m} = L$, +\[ +P = ABC\ldots HKL. +\] + + +\mysection{QUATRIÈME PARTIE.} + +\myparagraph{45.} Revenons maintenant à la recherche des intégrales régulières, +et appliquons les considérations précédentes. Nous envisagerons toujours +l'équation +\[ +P(y)=\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_{1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y=0, +\] +où les coefficients $p$ ne contiennent tous qu'un nombre limité de puissances +négatives de $x$. + +J'observe d'abord que, si l'équation $P = 0$ admet une intégrale régulière, +cette équation est réductible. + +En effet, si $P = 0$ a une intégrale régulière, elle a aussi (\nobf{17}) une +intégrale de la forme $x^{\rho} \psi(x)$, où $\psi(x)$ est une fonction holomorphe +dans le domaine du point zéro, et non nulle pour $x = 0$. Or, cette +dernière solution satisfait à l'équation du premier ordre +\[ +x\psi(x)\frac{dy}{dx}- [\rho \psi(x) + x \psi'(x)]y = 0, +\] +où le coefficient $p_1$ de $y$ est nécessairement de la forme $\dfrac{P_{1}(x)}{x}$ (\nobf{22}); +ce qui d'ailleurs est visible: +\[ +\frac{P_1(x)}{x}=-\frac{\rho}{x}-\frac{\psi'(x)}{\psi(x)}. +\] +Donc l'équation $P = 0$ est réductible. +% *** File: 052.png--- + +Ainsi, \emph{quand l'équation $P = 0$ admet une intégrale régulière, elle +admet les intégrales d'une équation différentielle du premier ordre ayant +ses intégrales régulières.} + +\myparagraph{46.} Remarquons ensuite que, si dans l'expression P on fait la substitution +\[ +y = F = x^r [\varphi_0 + \varphi_1 \log x + \dotsb + \varphi_\eta(\log x)^\eta ], +\] +où les $\varphi$ ne contiennent qu'un nombre limité de puissances de $x^{-1}$, on +obtient pour $PF$ une expression de même nature +\[ +PF = x^{r} [ \chi_0 + \chi_1 \log x + \dotsb + \chi^\zeta (\log x)^\zeta ], +\] +les $\chi$ ayant le même caractère que les $\varphi$. Cela résulte immédiatement +de ce que $\dfrac{dF}{dx}$ est de même forme que $F$. + +On peut en conclure que, si dans l'équation différentielle linéaire +non homogène +\[ +B = u +\] +$u$ est de la forme +\[ +u = x^s [ u_0 + u_1 \log x + \dotsb + u_\sigma (\log x)^\sigma ], +\] +les séries $u_1$, $u_2$, \dots, $u_\sigma$ contenant toutes ou en partie un nombre illimité +de puissances de $x^{-1}$, cette équation ne pourra avoir aucune +intégrale telle que $F$. En effet, $PF - u$ serait identiquement nul. Or +(\nobf{11}), si la différence $s - r$ n'est ni nulle ni entière, on en déduirait +que tous les coefficients $\chi$ et $u$ sont nuls identiquement, et, si la différence +$s - r$ est nulle ou entière, on en déduirait +\[ +\zeta = \sigma, \quad \chi_0 = u_0 x^{s-r}, \quad + \chi_1 = u_1 x^{s-r}, \quad\dots, +\] +ce qui est impossible, puisque tous les $\chi$ ne contiendraient pas un +nombre limité de puissances de $x^{-1}$. + +\myparagraph{47.} Une intégrale $y_1$ de l'équation différentielle $AB = 0$ satisfait à +l'équation $B = 0$, ou bien, si $B(y_1)$ n'est pas nul, $B(y_1)$ satisfait à l'équation +$A = 0$. + +Or, soient $w_1$, $w_2$, \dots, $w_k$ les intégrales régulières linéairement +indépendantes de $B = 0$, et $w_1$, $w_2$, \dots, $w_k$, $y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ celles de +$AB = 0$. +% *** File: 053.png--- + +$B(y_1)$, $B(y_2)$, \dots, $B(y_s)$ sont alors des intégrales de $A = 0$, et même +des intégrales régulières, d'après le \nobf{46}; de plus, elles sont linéairement +indépendantes, car, si l'on avait +\[ +C_{1}B(y_1) + C_{2}B(y_2) + \dotsb + C_{s}B(y_s)=0, +\] +les $C$ étant des constantes, on en déduirait +\[ +B(C_{1}y_{1}+ C_{2}y_{2} + \dotsb + C_{s}y_{s})= 0, +\] +et par conséquent $C_{1}y_{1}+ C_{2}y_{2} + \dotsb + C_{s}y_{s}$ serait une intégrale et +même une intégrale régulière de $B = 0$; il en résulterait (\nobf{17}) une +égalité de la forme +\[ +C_{1}y_{1}+ C_{2}y_{2} + \dotsb + C_{s}y_{s}= C'_{1}w_{1}+ \dotsb + C'_{k}w_{k}, +\] +les $C'$ étant constants; or cette égalité est impossible, puisque, par hypothèse, +$w_1$, $w_2$, \dots, $w_k$, $y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ sont linéairement indépendants. +Par conséquent, si l'on considère toutes les intégrales régulières +linéairement indépendantes de $AB = 0$, on voit que les unes sont +toutes les intégrales régulières linéairement indépendantes de $B = 0$, +tandis que les autres correspondent à un nombre égal d'intégrales +régulières linéairement indépendantes de $A = 0$. + +D'où cette proposition: + +\emph{L'équation différentielle $AB = 0$ a au moins autant d'intégrales régulières +linéairement indépendantes que $B = 0$, et au plus autant que $A = 0$ +et $B = 0$ ensemble.} + +Les deux limites du nombre des intégrales régulières de $AB = 0$ +coïncident si $A = 0$ n'a aucune intégrale régulière. Donc: + +\emph{Si l'équation différentielle $A = 0$ n'a aucune intégrale régulière, les +intégrales régulières de $AB = 0$ sont les intégrales régulières de $B = 0$.} + +J'énoncerai encore ce théorème: + +\emph{Une équation différentielle composée de plusieurs équations différentielles +a au plus autant d'intégrales régulières linéairement indépendantes +qu'en ont ensemble les équations composantes.} + +D'où il résulte immédiatement que: + +\emph{Une équation différentielle composée de plusieurs équations différentielles +% *** File: 054.png--- +dénuées toutes d'intégrales régulières, n'a elle-même aucune intégrale +régulière.} + +\myparagraph{48.} Considérons l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$. Si elle a +une intégrale régulière, elle aura (\nobf{45}) une intégrale régulière commune +avec une équation $B_1 = 0$ du premier ordre, et, par conséquent, +elle admettra toutes les intégrales de $B_1 = 0$. Donc (\nobf{39}) $P$ se mettra +sous la forme composée +\[ +P = Q_{1}B_1, +\] +où $Q_1$ est d'ordre $m - 1$. De même, si $Q_1 = 0$ a une intégrale régulière, +$Q_1$ se mettra sous la forme +\[ +Q_1 = Q_2B_2, +\] +où $B_2 = 0$ est une équation du premier ordre ayant une intégrale +régulière et où $Q_2$ est d'ordre $m - 2$. En continuant de la même +manière, on mettra $P$ sous la forme +\[ +P=QD, +\] +où l'on a +\[ +D = B_\beta B_{\beta - 1}\ldots B_2 B_1, +\] +les $B$ égalés à zéro donnant des équations du premier ordre ayant +chacune une intégrale régulière, et $Q = 0$ étant une équation différentielle +d'ordre $m - \beta$ n'admettant aucune intégrale régulière. + +Remarquons que, si $P$ a la forme normale, on pourra supposer qu'il +en est de même de $Q$, $B_{\beta}$, $B_{\beta-1}$, \dots, $B_1$. + +Cela posé, il résulte du \nobf{47} que les intégrales régulières de $P = 0$ +sont les intégrales régulières de $D = 0$. Si donc on suppose que $P = 0$ +ait toutes ses intégrales régulières, $D = 0$, qui est d'ordre $\beta \leqq m$, devant +avoir $m$ intégrales linéairement indépendantes, sera nécessairement +d'ordre $\beta = m$; par suite, $Q$ est d'ordre zéro, et l'on a +\[ +P = D. +\] + +D'où ce théorème: + +\emph{Si l'équation différentielle $P = 0$ a toutes ses intégrales régulières, on +peut la composer uniquement d'équations du premier ordre ayant chacune +une intégrale régulière.} +% *** File: 055.png--- + +\myparagraph{49.} Réciproquement: + +\emph{Si l'équation différentielle $P = 0$ est composée uniquement d'équations +du premier ordre ayant chacune une intégrale régulière, elle aura toutes +ses intégrales régulières.} + +Supposons d'abord deux équations composantes +\[ +P = B_2, \quad B_1 = 0. +\] +Soient $y_1$ une intégrale régulière de $B_1 = 0$ et $z_2$ une de $B_2 = 0$. $y_1$ +vérifie $P = 0$. Une solution $y_2$ de $B_1 = z_2$ vérifiera aussi $P = 0$. Or +on a +\[ +y_2=y_1 \int\frac{z_{2}}{b_{1}y_{1}}\:dx, +\] +$b_1$ étant le coefficient de $\dfrac{dy}{dx}$ dans $B_1$. Donc, comme le montre cette +forme, $y_2$ est aussi une intégrale régulière de $P = 0$. D'ailleurs, $y_1$ et +$y_2$ sont linéairement indépendants, car, si l'on avait identiquement +\[ +C_{1}y_{1} + C_{2}y_{1} \int \frac{z_1}{b_{1}y_{1}}\:dx = 0, +\] +en divisant par $y_1$, puis dérivant, on déduirait $C_2 = 0$, et, par suite, +$C_1 = 0$. + +Supposons ensuite trois équations composantes +\[ +P=B_{3}B_{2}B_{1}= 0. +\] +Soient $y_1$ une intégrale régulière de $B_1 = 0$, $z_2$ une intégrale régulière +de $B_2 = 0$ et $z_3$ une de $B_3 = 0$. Soient $y_1$ et $y_2$ les deux intégrales +régulières linéairement indépendantes de $B_{2}B_{1} = 0$, trouvées précédemment; +on a +\[ +y_2=y_{1}\int \frac{z_2}{b_{1}y_{1}}\:dx; +\] +$y_1$ et $y_2$ vérifient $P = 0$. Une solution $y_3$ de l'équation $B_{2}B_{1} = z_3$ vérifiera +aussi $P = 0$. Or, on connaît deux intégrales $y_{1}$ et $y_{2}$ de l'équation +privée du second membre $z_3$, de sorte qu'on a $y_3$ par une équation du +premier ordre qui donne +\[ +y_{3} = y_{1} \int \frac{z_2}{b_{1}y_{1}} \: dx \int \frac {z_3}{b_{2}z_{2}} \: dx, +\] +% *** File: 056.png--- +$b_2$ étant le coefficient de $\dfrac{dy}{dx}$ dans $B_2$; d'où l'on voit que $y_3$ a la forme +régulière. D'ailleurs, les trois intégrales $y_1$, $y_2$, $y_3$ de $P = 0$ sont linéairement +indépendantes, car, si l'on avait une relation identique de la +forme +\[ +C_{1}y_{1} + C_{2}y_{1} \int\frac{z_{2}}{b_{1}y_{1}}\:dx + + C_{3}y_{1}\int\frac{z_{2}}{b_{1}y_{1}}\:dx \int\frac{z_{3}}{b_{2}z_{2}} \: dx = 0, +\] +en divisant par $y_1$, dérivant ensuite, puis divisant par $\dfrac{z_2}{b_{1}y_{1}}$ et dérivant, +on en déduirait $C_3 = 0$, et par suite, en remontant, $C_2 = 0$, $C_1 = 0$. + +On passerait de même au cas de quatre équations composantes, et, +en continuant ainsi, on prouvera que l'équation $P= 0$, d'ordre $m$, a +$m$ intégrales régulières linéairement indépendantes. Donc elle les a +toutes. + +\myparagraph{50.} Nous avons vu que, si l'équation $P = 0$ a une intégrale régulière, +on peut mettre $P$ sous la forme composée +\[ +P=QD, +\] +où $Q = 0$ n'a aucune intégrale régulière et où $D = 0$ est composée +uniquement d'équations du premier ordre ayant chacune une intégrale +régulière. Il résulte alors du \nobf{49} que $D = 0$ a toutes ses intégrales +régulières, et du \nobf{47} que $P = 0$ les admet toutes sans en admettre +d'autres. + +On peut donc énoncer les théorèmes suivants: + +\emph{Si l'équation différentielle $P = 0$ a des intégrales régulières, il existe +une équation différentielle $D = 0$ dont les intégrales sont toutes les intégrales +régulières de la première.} + +\emph{Si $D = 0$ est l'équation différentielle qui donne les intégrales régulières +de l'équation $P = 0$, et si l'on met $P$ sous la forme composée +\[ +P = QD, +\] +l'équation $Q = 0$ n'aura aucune intégrale régulière.} + +\myparagraph{51.} On peut facilement généraliser la proposition du \nobf{49}. + +Soient, en effet, $A = 0$, $B = 0$ deux équations différentielles ayant +toutes leurs intégrales régulières: d'après le \nobf{48}, on peut les composer +% *** File: 057.png--- +uniquement d'équations du premier ordre admettant chacune une +intégrale régulière. L'équation $AB = 0$ sera alors composée de la même +façon. Donc (\nobf{49}) toutes ses intégrales seront régulières. D'où cette +généralisation: + +\emph{Si l'équation différentielle $P = 0$ est composée uniquement d'équations +ayant chacune toutes leurs intégrales régulières, elle aura elle-même toutes +ses intégrales régulières.} + +\myparagraph{52.} Il résulte du \nobf{50} que l'on peut mettre une expression différentielle +$A$ sous la forme composée +\[ +A=QD, +\] +où $D = 0$ n'a que des intégrales régulières et $Q = 0$ aucune. Supposons +que $B = 0$ n'ait que des intégrales régulières. On a +\[ +AB = Q(DB). +\] +Or, d'après un théorème du \nobf{47}, les intégrales régulières de $AB = 0$ +sont les intégrales régulières de $DB = 0$. Mais (\nobf{51}) $DB = 0$ n'a que +des intégrales régulières. Donc le nombre des intégrales régulières +linéairement indépendantes de $AB = 0$ est la somme des ordres de $B$ et +de $D$, ou, ce qui est la même chose, la somme des nombres d'intégrales +régulières linéairement indépendantes de $B$ et de $A$. D'où cette +proposition: + +\emph{Si l'équation $B = 0$ n'a que des intégrales régulières, l'équation +$AB = 0$ aura exactement autant d'intégrales régulières linéairement +indépendantes qu'en ont ensemble $A = 0$ et $B = 0$.} + +On en tire cette conséquence: + +\emph{Si $B = 0$ n'a que des intégrales régulières et $AB = 0$ en a $s$ linéairement +indépendantes, $A = 0$ en aura $s - \beta$, $\beta$ étant l'ordre de l'expression +$B$.} + +\myparagraph{53.} Je vais à présent montrer comment les propositions précédentes +permettent de rattacher les intégrales régulières de l'équation +différentielle $P = 0$ à son équation déterminante. Et, d'abord, je ferai +une remarque importante sur l'équation différentielle du premier ordre. +% *** File: 058.png--- + +Soit l'équation du premier ordre +\[ +ux \frac{dy}{dx} + wy = 0, +\] +que j'ai mise sous sa forme normale, où, par conséquent, $u$ et $w$ ne +contiennent que des puissances positives de $x$ et ne sont pas tous deux +nuls pour $x = 0$. L'intégrale générale est +\[ +y = e^{- \int\! {\frac{w\,dx}{ux}}}. +\] +On a déjà vu au \nobf{22} que, si $u$ n'est pas nul pour $x = 0$, $y$ est une +intégrale régulière de la forme $x^{\rho}\psi(x)$, tandis que, si $u$ pour $x = 0$ est +un zéro d'ordre $n$, auquel cas $w$ n'est pas nul pour $x = 0$, on a +\[ +y = e^{\frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2} + \dotsb + \frac{C_n}{x^n}}x^{\rho}\psi (x), +\] +qui n'est pas une intégrale régulière. $\psi(x)$ ne contient que des puissances +positives de $x$, et $\psi(0)$ n'est pas nul. + +Soient $u_0$ et $w_0$ les valeurs de $u$ et $w$ pour $x = 0$. La fonction caractéristique +de l'équation considérée est +\[ +x^{\rho}(u\rho + w), +\] +et sa fonction déterminante est +\[ +u_{0}\rho + w_0. +\] +Donc, dans le premier cas $u_{0}\backneq0$, où l'équation a ses intégrales régulières, +la fonction déterminante est une fonction entière de $\rho$ du premier +degré, et, dans le second cas $u_0 = 0$, où l'équation n'a aucune intégrale +régulière, la fonction déterminante est une constante. D'où la réciproque. + +\myparagraph{54.} Les propositions établies aux \nos \textbf{22} et \textbf{26}, en partant d'équations +différentielles dont tous les coefficients n'étaient pas infinis +d'ordres finis pour $x = 0$, peuvent se retrouver immédiatement à +l'égard de l'équation $P = 0$, où tous les coefficients présentent le caractère +des fonctions rationnelles. + +\primo \emph{Si l'équation différentielle $P = 0$ a toutes ses intégrales régulières, +le degré de son équation déterminante est égal à son ordre.} +% *** File: 059.png--- + +En effet, l'équation $P = 0$, d'ordre $m$, ayant toutes ses intégrales +régulières, on peut (\nobf{48}) la composer de $m$ équations du premier +ordre ayant chacune une intégrale régulière. Les $m + 1$ expressions +peuvent d'ailleurs être supposées mises sous forme normale (\nobf{48}). +Or, d'après le \nobf{53}, la fonction déterminante de chacune est du premier +degré. Donc la fonction déterminante de $P$, qui est le produit +(\nobf{36}) de ces $m$ fonctions du premier degré, sera de degré $m$. + +Comme on sait, M.~Fuchs a démontré que réciproquement: + +Si l'équation déterminante est du degré $m$, l'équation différentielle +$P=0$ a $m$ intégrales régulières linéairement indépendantes, et par +suite toutes. + +\secundo \emph{Le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes de +l'équation différentielle $P = 0$ est au plus égal au degré de son équation +déterminante.} + +En effet, l'équation $P = 0$, ayant s intégrales régulières linéairement +indépendantes, peut se mettre (\nobf{50}) sous la forme composée +\[ +P=QD, +\] +où $Q = 0$ n'a aucune intégrale régulière et où $D = 0$ est d'ordre $s$ et +a toutes ses intégrales régulières; $P$, $Q$ et $D$ peuvent, du reste, être supposés +de forme normale. La fonction déterminante de $D$ est donc de +degré $s$ d'après le théorème précédent. Mais la fonction déterminante +de $P$ est (\nobf{36}) le produit des fonctions déterminantes de $Q$ et de $D$; +donc elle est au moins de degré $s$, et, par conséquent, $s$ est au plus +égal au degré de l'équation déterminante de $P = 0$. + +\myparagraph{55.} Lorsque nous avons rencontré ce dernier théorème pour la première +fois, nous avons vu que, dans un grand nombre de cas, il y a +égalité, c'est-à-dire que le nombre des intégrales régulières linéairement +indépendantes est égal au degré $\gamma$ de l'équation déterminante. +Si $\gamma = m$, par exemple, il y a toujours égalité et les $m$ intégrales +régulières appartiennent à des exposants qui sont les racines de l'équation +déterminante (\nobf{23}). Mais, lorsque $\gamma$ est plus petit que $m$, il peut +y avoir exception et l'on a $s\leqq \gamma$, $s$ étant le nombre des intégrales régulières +linéairement indépendantes. Il s'agit d'approfondir ce cas, $\gamma < m$, +et de trouver la condition nécessaire et suffisante que doit remplir +% *** File: 060.png--- +l'équation $P = 0$ pour avoir exactement $\gamma$ intégrales régulières linéairement +indépendantes. + +Je vais d'abord démontrer une importante propriété des $s$ intégrales +régulières qui existent effectivement, puis je retrouverai leurs expressions +de la forme du \nobf{9}, et, enfin, j'établirai la condition qui doit être +imposée à $P= 0$ pour que l'on ait $s = \gamma$. + +J'admettrai les deux principes suivants: + +\primo En disposant convenablement de la constante introduite par l'intégration, +on peut faire que l'expression +\[ +\tint Fdx, +\] +où $F$ est de la nature indiquée au \nobf{14} et appartient à l'exposant $\rho$, +soit une fonction de même nature que $F$ appartenant à l'exposant $\rho + 1$. + +\secundo Si l'équation différentielle $P = 0$, ayant toutes ses intégrales +régulières, est composée uniquement d'équations ayant chacune toutes +leurs intégrales régulières, et si $P$ ainsi que toutes les expressions +composantes sont supposés de forme normale, les intégrales régulières +linéairement indépendantes des équations composantes appartiendront +aux mêmes exposants que celles de l'équation $P = 0$, c'est-à-dire aux +racines de l'équation déterminante de $P = 0$. + +La démonstration très-simple du premier principe a été donnée par +M.~Fuchs. Quant à celle du second, elle résulte immédiatement de ce +que la fonction déterminante de $P$ est le produit des fonctions déterminantes +des équations composantes. + +\myparagraph{56.} \textit{Si l'équation différentielle $P = 0$ a $s$ intégrales régulières linéairement +indépendantes, elles appartiennent à des exposants qui sont $s$ des +racines de son équation déterminante.} + +En effet, mettons $P$ sous la forme composée +\[ +P=QD, +\] +où $D = 0$ est d'ordre $s$ et a toutes ses intégrales régulières, et où +$Q = 0$ n'a aucune intégrale régulière. Les intégrales régulières de +$P = 0$ sont alors les intégrales de $D = 0$. Or, les $s$ intégrales régulières +de $D = 0$ appartiennent à des exposants qui sont les racines de son +équation déterminante. D'autre part, $P$, $Q$ et $D$ étant supposés sous +% *** File: 061.png--- +forme normale, en multipliant cette fonction déterminante par celle +de $Q$, on obtient celle de $P$. Donc les exposants auxquels appartiennent +les $s$ intégrales régulières linéairement indépendantes de $D = 0$, c'est-à-dire +de $P = 0$, sont $s$ des racines de l'équation déterminante de +$P = 0$. + +Ainsi se trouve généralisée la propriété établie par M.~Fuchs dans +le cas où $\gamma$ est égal à $m$. + +\myparagraph{57.} Sachant que les $s$ intégrales régulières linéairement indépendantes +$y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ de $P = 0$ appartiennent respectivement aux racines +$\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$ de l'équation déterminante, proposons-nous de +retrouver, sous la forme du \nobf{9}, l'expression de l'intégrale $y_k$, qui appartient +à l'exposant donné $\rho_k$. + +J'observe d'abord que, $y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ étant les intégrales de $D = 0$ +et leurs exposants $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$ étant les racines de l'équation déterminante +de $D$, il suffit d'opérer sur l'équation $D = 0$, qui a toutes ses +intégrales régulières. + +$D = 0$ ayant toutes ses intégrales régulières, je mets (\nobf{48}) $D$ sous +la forme composée +\[ +D=B_{s}B_{s-1} \ldots B_{3}B_{2}B_{1}, +\] +où les équations composantes sont du premier ordre, leurs premiers +membres étant supposés de forme normale, et ont chacune une intégrale +régulière. + +Soit, en général, $z_j$ une intégrale régulière de $B_j = 0$. On sait, +d'après le second principe du \nobf{55}, que $z_j$ appartient à l'un des exposants +$\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$. + +Je dis que, $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$ étant un mode de succession arbitrairement +choisi pour les quantités $\rho$, on peut opérer la décomposition de $D$ suivant +un ordre tel que $z_j$, intégrale de $B_j = 0$, appartienne à l'exposant $\rho_j$. + +En effet, il y a une intégrale régulière de $D = 0$ qui appartient à +l'exposant $\rho_1$, et l'on peut alors écrire $D = Q_{1}B_{1}$, où $B_1 = 0$ est du +premier ordre et admet cette intégrale, et où $Q_{1} = 0$ est d'ordre $s - 1$ +et a toutes (\nobf{52}) ses intégrales régulières. Parmi les $s - 1$ intégrales +régulières de $Q_1 = 0$, il y en a une qui appartient à l'exposant $\rho_2$, et +l'on peut alors écrire $Q_{1} = Q_{2}B_{2}$, où $B_{2} = 0$ est du premier ordre et +% *** File: 062.png--- +admet cette intégrale, et où $Q_2= 0$ est d'ordre $s - 2$ et a toutes ses +intégrales régulières. Et ainsi de suite. On obtiendra finalement +\[ +D = B_{s}B_{s-1} \ldots B_{2}B_{1}, +\] +où les intégrales $z_1$, $z_2$, \dots, $z_s$ appartiennent respectivement aux exposants +$\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$. + +Remarquons qu'on a alors $y_1 = z_1$. + +Cela posé, cherchons les expressions des intégrales $y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ +qui appartiennent respectivement aux exposants $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$. + +\primo Supposons que parmi les $s$ racines $\rho$ il n'y en a pas deux dont la +différence est nulle ou entière. + +Dans ce cas, nous regarderons comme quelconque l'ordre de succession +$\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$ des exposants auxquels appartiennent respectivement +les intégrales $z_1$, $z_2$, \dots, $z_s$ des équations successives $B_1 = 0$, +$B_2 = 0$, \dots, $B_s = 0$. + +Nous poserons en général +\[ +z_j=x^{\rho_j}\psi_{j}(x),\quad j=1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ s, +\] +$\psi_j(x)$ ne contenant que des puissances positives de $x$ et n'étant pas +nul pour $x = 0$. + +L'intégrale régulière $z_1=x^{\rho_1}\psi_1(x)$, appartenant à l'exposant $\rho_1$ et +vérifiant $D = 0$, représente $y_1$: +\[ +y_1=x^{\rho_1}\psi_1(x). +\] + +Une solution de $B_1 = z_2$ est de la forme +\[ +y_1 \int\frac{z_2}{b_{1}xy_1}\:dx\quad\text{ou}\quad + x^{\rho_1}\psi_1(x) \int x^{\rho_{2}-\rho_{1}-1}\frac{\psi_2(x)}{b_{1}\psi_1(x)}\:dx, +\] +$b_1 x$ étant le coefficient de $\dfrac{dy}{dx}$ dans la forme normale $B_1$. Or, $b_1$ n'étant +pas nul (\nobf{53}) pour $x = 0$, $\dfrac{\psi_2(x)}{b_{1}\psi_{1}(x)}$ ne contient que des puissances positives +de $x$ et n'est pas nul pour $x = 0$. Cette solution est donc bien +de la forme régulière et appartient à l'exposant $\rho_1 +(\rho_{2}-\rho_1)$, c'est-à-dire +$\rho_2$. Comme elle vérifie $D = 0$, elle représente $y_2$: +\[ +y_2 = x^{\rho_2}\varphi_2 (x). +\] +% *** File: 063.png--- +$\rho_2 - \rho_1$ n'étant ni nul ni entier, par hypothèse, $y_2$ ne contiendra pas +de logarithmes. + +Une solution de $B_2B_1 = z_3$ est de la forme +\[ +y_1 \int \frac{z_2}{b_{1}xy_1}\:dx \int \frac{z_3}{b_{2}xz_2}\:dx, +\] +ou +\[ +x^{\rho_1}\psi_1(x) \int x^{\rho_{2}-\rho_{1}-1}\: \frac{\psi_{2}(x)}{b_{1}\psi_{1}(x)}\:dx +\int x^{\rho_{3}-\rho_{2}-1} \: \frac{\psi_3(x)}{b_2 \psi_2 (x)} \: dx, +\] +$b_2x$ étant le coefficient de $\dfrac{dy}{dx}$ dans la forme normale $B_2$. La quantité +$b_2$ n'étant pas nulle pour $x = 0$, cette solution est bien de la forme +régulière et appartient à l'exposant +\[ +\rho_1 + (\rho_2 - \rho_1) + (\rho_3 - \rho_2)= \rho_3. +\] +Comme elle vérifie $D = 0$, elle représente $y_3$: +\[ +y_3 = x^{\rho_3} \varphi_3(x). +\] +$\rho_3 - \rho_2$ n'étant ni nul ni entier, $y_3$ ne contient pas de logarithmes. + +En continuant de la même manière, on obtiendra successivement les +$s$ intégrales régulières linéairement indépendantes de $P = 0$, sous la +forme +\[ +y_1 = x^{\rho_1} \varphi_1(x), \quad +y_2 = x^{\rho_2} \varphi_2 (x), \quad\dots, \quad +y_s = x^{\rho_s} \varphi_s (x), +\] +où les $\varphi$ présentent le caractère des fonctions holomorphes et ne s'évanouissent +pas pour $x = 0$. + +\secundo Supposons qu'il se trouve entre les racines $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$ des différences +nulles ou entières. + +Dans ce cas, nous partagerons les racines $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$ en groupes +tels que chacun d'eux ne contienne que des racines dont les différences +mutuelles soient ou nulles ou entières et comprenne toutes ces racines. +Certains groupes pourront ne renfermer qu'une seule racine. Dès lors +il est facile d'obtenir le groupe d'intégrales régulières correspondant +à un groupe donné de racines. + +Soient $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_k$, les racines d'un groupe, rangées dans un ordre +quelconque. On peut alors supposer, comme on l'a vu, que les intégrales +régulières $z_1$, $z_2$, \dots, $z_k$ des équations successives $B_1 = 0$, +% *** File: 064.png--- +$B_2 = 0$, \dots, $B_k = 0$ appartiennent respectivement aux exposants $\rho_1$, +$\rho_2$, \dots, $\rho_k$. + +Cela étant, on déterminera $y_1$, $y_2$, \dots, $y_k$ en suivant la marche expliquée +dans le cas précédent. On aura +\[ +y_1 = x^{\rho_1}\psi_1(x), \quad +y_2 = x^{\rho_1}\psi_1(x) \int x^{\rho_2-\rho_1-1} \frac{\psi_2(x)}{b_1\psi_1(x)}\:dx, \quad \dots. +\] +$y_1$ ne renferme pas de logarithmes; mais les différences $\rho_2 - \rho_1$, +$\rho_3-\rho_2$, \dots, étant entières ou nulles, $y_2$, $y_3$, \dots\ contiendront généralement +des logarithmes; $y_2$ en renfermera certainement si $\rho_2 - \rho_1$ +est nul, car la différentielle sous le signe $\int$ dans $y_2$ est +\[ +\left[ \frac{C_0}{x} + \varphi_0(x)\right]dx, +\] +$C_0$ étant différent de zéro et $\varphi_0(x)$ holomorphe dans le domaine du +point zéro; l'intégration donne +\[ +C_0 \log x + \varphi(x), +\] +et, par suite, on a +\[ +y_2 = x^{\rho_2} \left[ \chi_0(x) + \chi_1(x) \log x \right]. +\] +Il peut arriver cependant que tous les logarithmes disparaissent. + +On aura donc ainsi le groupe d'intégrales régulières appartenant +aux exposants donnés, tel que la différence des exposants de deux +intégrales de ce groupe soit nulle ou entière. + +\tertio Remarquons encore que, si l'on pose +\[ +z_1 = u_1, \quad \frac{z_2}{b_1xy_1} = u_2, \quad +\frac{z_3}{b_2xz_2} = u_3, \quad \dots, \quad \frac{z_s}{b_{s-1}xz_{s-1}} = u_s, +\] +on aura +\[ +y_1 = u_1,\ y_2 = u_1\tint u_2dx,\ y_3 = u_1\tint u_2 dx \tint u_3 dx,\ \dots,\ +y_s = u_1 \tint u_2 dx \tint u_3 dx \ldots \tint u_s dx, +\] +où l'on a +\[ +u_k = x^{\rho_k-\rho_{k-1}-1}\varphi_k(x), +\] +$\varphi_k(x)$ étant holomorphe dans le domaine du point zéro et non nul +pour $x = 0$, $u_k$ appartenant par conséquent à l'exposant $\rho_k - \rho_{k-1} - 1$. +Ces résultats sont d'accord avec les \nos \textbf{18} et \textbf{33}. +% *** File: 065.png--- + +\myparagraph{58.} Je vais enfin trouver la condition précise que doit remplir +l'équation différentielle $P = 0$, pour avoir un nombre d'intégrales +régulières linéairement indépendantes exactement égal au degré de sa +fonction déterminante. Dans les deux démonstrations suivantes, $P$, $Q$ +et $D$ seront supposés sous la forme normale. + +Si le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes +de l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$, est égal au degré $\gamma$ de sa +fonction déterminante, $P$ pourra se mettre sous la forme composée +$P = QD$, où $Q$ sera d'ordre $m - \gamma$ et aura pour fonction déterminante +une constante. + +En effet, $P = 0$, ayant $\gamma$ intégrales régulières linéairement indépendantes, +peut (\nobf{50}) se mettre sous la forme $P = QD$, où $Q$ est d'ordre +$m - \gamma$ et n'a aucune intégrale régulière, où $D$ est d'ordre $\gamma$ et a toutes +ses intégrales régulières. Donc (\nobf{36}) la fonction déterminante de $P$ est +égale au produit des fonctions déterminantes de $Q$ et de $D$. Or celle de +$D$ est de degré $\gamma$, puisque $D = 0$ a toutes ses intégrales régulières, celle +de $P$ aussi; donc il faut bien que la fonction déterminante de $Q$ soit +une constante. + +Réciproquement: + +Si l'expression différentielle $P$ d'ordre $m$, ayant une fonction déterminante +de degré $\gamma$, peut se mettre sous la forme composée $P = QD$, où +$Q$ est d'ordre $m - \gamma$ et a pour fonction déterminante une constante, +l'équation différentielle $P = 0$ aura exactement $\gamma$ intégrales régulières +linéairement indépendantes. + +En effet, $P$ étant d'ordre $m$ et $Q$ d'ordre $m - \gamma$, $D$ sera d'ordre $\gamma$. Or, +à cause du théorème du \nobf{36}, la fonction déterminante de $Q$ étant du +degré zéro, celle de $D$ est du degré $\gamma$. Donc $D = 0$ a toutes ses intégrales +régulières, puisque son ordre est égal au degré de sa fonction déterminante. +Mais l'équation $Q = 0$, ayant pour fonction déterminante une +constante, ne peut admettre (\nobf{54}) aucune intégrale régulière. Donc, +d'après le \nobf{48}, l'équation $P = QD = 0$ aura pour intégrales régulières +les intégrales de $D = 0$, c'est-à-dire qu'elle aura exactement $\gamma$ intégrales +régulières linéairement indépendantes. + +Les deux propositions qui précèdent donnent donc le critérium qui +permettra de décider si $P = 0$ a $\gamma$ intégrales régulières: + +\emph{Pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$, ayant une fonction +% *** File: 066.png--- +déterminante de degré $\gamma$, admette $\gamma$ intégrales régulières linéairement +indépendantes, il faut et il suffit que l'expression $P$ soit de la +forme $P = QD$, $Q$ étant d'ordre $m - \gamma$ et ayant pour fonction déterminante +une constante.} + +Les Chapitres qui vont suivre nous permettront de transformer cette +condition, en considérant l'équation au multiplicateur intégrant de +$P = 0$. Comme nous allons le voir, il existe une connexion remarquable +entre une équation linéaire homogène et celle que vérifient ses facteurs +intégrants. + + + +\mysection{CINQUIÈME PARTIE.} + + +\myparagraph{59.} Soit l'équation différentielle linéaire homogène +\[ +P(y)=\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_my= 0, +\] +où les coefficients $p$ sont des fonctions de $x$ holomorphes dans une +partie du plan à contour simple, sauf pour certains points singuliers +isolés les uns des autres. + +Considérons $m$ intégrales linéairement indépendantes de la forme +\[ +y_1=v_1,\ y_2=v_1 \tint v_2\,dx,\ y_3=v_1 \tint v_2\,dx \tint v_3\,dx,\ % +\ldots,\ y_m=v_1 \tint v_2\,dx \tint v_3\,dx \ldots \tint v_m\,dx. +\] +Je vais d'abord mettre $P$ sous une forme composée déterminée. + +Dans ce but, je construis les équations différentielles du premier +ordre +\[ +A_1 = 0,\quad A_2 = 0,\quad \dots,\quad A_j = 0,\quad \dots,\quad A_m = 0, +\] +de la forme +\[ +A_j = \frac{dy}{dx} - K_{j}y = 0, +\] +admettant respectivement comme solutions +\[ +v_1,\quad v_1 v_2 \ldots v_j, \quad\dots,\quad v_1 v_2 \ldots v_j,\quad \dots,\quad v_1 v_2 \ldots v_m. +\] +La valeur de $K_j$, par exemple, sera +\[ +K_j= (v_1 v_2 \ldots v_j)^{-1} \: \frac{d(v_1 v_2 \ldots v_j)}{dx}. +\] +% *** File: 067.png--- +Je dis que l'expression composée +\[ +A_{m} A_{m-1}\ldots A_{3}A_{2}A_{1} +\] +est identique à $P$. + +En effet, cette expression est annulée par les intégrales générales +des équations +\[ +A_{1}=0, \ A_{1}= v_1 v_2, \ A_{2}A_1=v_1 v_2 v_3, \ \dots,\ % +A_{m-1}A_{m-2} \ldots A_2A_1=v_1v_2v_3 \ldots v_m. +\] +Or, l'intégration directe de ces équations montre qu'elles admettent +des solutions coïncidant précisément avec $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$; car, $A_1 = 0$ +étant satisfaite pour $y = v_1$, $A_1 = v_1 v_2$ est satisfaite pour $y = v_1 \int v_2\:dx$, +$A_{2}A_1 = v_1 v_2 v_3$ pour $y = v_1 \int v_2\:dx \int v_3\:dx$, \dots. Donc les deux équations +\[ +A_{m}A_{m-1}, \ldots A_{2}A_1 = 0 \quad \text{et}\quad P = 0, +\] +d'ordre $m$, ont un système fondamental d'intégrales commun, et, par +conséquent, comme dans les deux premiers membres le coefficient de +$\dfrac{d^{m}y}{dx^m}$ est 1, ces deux premiers membres sont identiques; sinon, leur différence, +qui serait au plus d'ordre $m - 1$, serait annulée par $m$ fonctions +linéairement indépendantes, ce qui est impossible. On a donc +l'identité +\[ +P=A_{m}A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1}. +\] + +L'expression $P$ étant ainsi décomposée, j'observe, d'après le raisonnement +précédent, d'une part, que l'équation d'ordre $m -1$ +\[ +A(y) = A_{m-1}A_{m-2} \ldots A_{2}A_1 = 0 +\] +admet les $m - 1$ intégrales linéairement indépendantes $y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-1}$, +et que par suite son intégrale générale est +\[ +C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} + \dotsb + C_{m-1}y_{m-1}, +\] +d'autre part, que l'équation +\[ +A(y) = v_1 v_2 \ldots v_m +\] +admet la solution particulière $y_m$, et que par suite l'équation +\[ +A(y) = C_m v_1 v_2 \ldots v_m, +\] +où $C_m$ est une constante arbitraire, admet la solution particulière $C_{m}y_{m}$. +D'où je conclus que l'intégrale générale de cette dernière équation +% *** File: 068.png--- +d'ordre $m - 1$ est +\[ +C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} + \dotsb + C_{m}y_{m}, +\] +c'est-à-dire la même que celle de l'équation $P = 0$ d'ordre $m$. Il en résulte +que l'équation +\[ +A(y) = C_m v_1 v_2 \ldots v_m +\] +est une intégrale première de l'équation différentielle $P = 0$. + +Si donc j'élimine la constante $C_m$ de cette intégrale première, en +l'écrivant +\[ +(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}A(y)= C_m, +\] +puis dérivant, ce qui donne +\[ +\frac{d}{dx} [(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}A(y)] =0, +\] +si ensuite, dans l'équation obtenue, je ramène à l'unité le coefficient de +$\dfrac{d^my}{dx^m}$ en multipliant par $v_1 v_2 \ldots v_m$, j'arriverai à une équation différentielle +\[ +v_1 v_2 \ldots v_m \frac{d}{dx}[(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1} A(y)]= 0 +\] +qui aura son premier membre identique avec $P$. + +Écrivons cette identité; si je pose +\[ +(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}=M, +\] +elle s'écrira +\[ +MP(y) = \frac{d}{dx}[MA(y)]. +\] + +Or, elle exprime que $P(y)$, multiplié par $M$, est une dérivée exacte. +C'est la définition +\spreadout{même d'un multiplicateur intégrant. Donc, toute expression de la forme} \\ +$(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}$ est un facteur intégrant. + +Cherchons une équation qui fasse connaître $M$ directement en fonction +des données. + +Je pars de l'identité +\[ +MP(y)= \frac{d}{dx}[MA(y)]. +\] +$A$, qui représente l'expression $A_{m-1} A_{m-2} \ldots A_2 A_1$, est de la forme +\[ +A(y) = \frac {d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ l_1 \: \frac {d^{m-2}y}{dx^{m-2}}+ \dotsb + l_{m-1}y. +\] +% *** File: 069.png--- +Égalons les coefficients des mêmes dérivées dans les deux membres: +\begin{gather*} +\frac{dM}{dx}+Ml_1 = p_{1}M, \quad \frac{d(Ml_1)}{dx}+Ml_2 = p_{2}M, \quad + \frac{d(Ml_2)}{dx}+Ml_3 = p_{3}M, \quad \dots, \\ + \frac{d(Ml_{m-2})}{dx}+Ml_{m-1} = p_{m-1}M, \quad \frac{d(Ml_{m-1})}{dx}= p_{m}M. +\end{gather*} +Éliminant successivement $l_1$, $l_2$, \dots, $l_{m-1}$ entre ces $m$ égalités, nous obtenons +l'équation différentielle +\[ +\frac{d^{m}M}{dx^{m}} - \frac{d^{m-1}(p_{1}M)}{dx^{m-1}} + +\frac{d^{m-2}(p_{2}M)}{dx^{m-2}} + \dotsb + (-1)^{m}p_{m}M = 0, +\] +à laquelle satisfait le multiplicateur intégrant $M$. + +Inversement, toute solution de cette équation est un facteur intégrant +de la forme $(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}$. + +Soit en effet $M$ une solution. Les $m - 1$ premières égalités en $l$ déterminent +$l_1$, $l_2$, \dots, $l_{m-1}$, et la dernière est satisfaite. L'expression $A$ est +donc déterminée et, en outre, on a +\[ +MP(y) = \frac{d}{dx} [MA(y)], +\] +ce qui prouve que $M$ est bien un facteur intégrant. + +De plus, +\[ +MA (y) = C_m \quad \text{ou} \quad A (y)= C_{m}M^{-1}, +\] +$C_m$ étant une constante arbitraire, est une intégrale première de $P = 0$. +D'où il résulte en premier lieu que $m - 1$ solutions $y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-1}$ de +$A = 0$ sont aussi solutions de $P = 0$, et en second lieu que, si ces +$m - 1$ solutions, supposées linéairement indépendantes, sont mises +sous la forme +\[ +y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_{2} \: dx, \quad \dots, \quad +y_{m-1} = v_1 \tint v_{2}\:dx \ldots \tint v_{m-1}\:dx, +\] +une solution $y_m$ de $P = 0$, qui constitue avec $y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-1}$ un +système fondamental, pourra s'écrire +\[ +y_m=C_m v_1 \tint v_2 \:dx \ldots \tint v_m \:dx, +\] +$v_m$ satisfaisant à l'égalité +\[ +v_{1}v_2 \ldots v_m = M^{-1}. +\] +% *** File: 070.png--- +Si, en effet, on fait la substitution +\[ + y = C_m v_{1} \tint v_2 dx \ldots \tint v_{m-1} dx \tint v_m \,dx +\] +dans l'équation +\[ + A(y) = C_m M^{-1}, +\] +on obtient +\[ + C_m v_1 v_2 \ldots v_{m-1} v_m = C_m M^{-1}. +\] +et par suite +\[ + v_1 v_2 \ldots v_m = M^{-1}. +\] + +J'en conclus donc +\[ + M=(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}. +\] + +L'équation aux multiplicateurs intégrants de la forme +$(v_1, v_2, \ldots, v_m)^{-1}$ +est donc +\[ + \frac{d^{m}M}{dx^{m}} - \frac {d^{m-1}(p_{1}M)}{dx^{m-1}} + \dotsb + (-1)^{m}p_m M = 0. +\] + +Remarquons que la première des $m$ égalités en $l$, +\[ + \frac{dM}{dx} + Ml_1 = p_{1}M, +\] +donne cette valeur de $M$ +\[ + M= e^{\int (p_1 - l_1)dx}. +\] + +\myparagraph{60.} Lagrange a trouvé l'équation différentielle en $M$ par un autre +procédé que je vais rappeler sommairement. Donnons même un coefficient +$p_0$ à $\dfrac{d^m y}{dx^m}$ dans l'expression $P$, $p_0$ étant différent de l'unité. + +Je multiplie $P$ par $M\,dx$, $M$ étant une indéterminée, et j'intègre la +différentielle +\[ + P(y)M\,dx. +\] + +L'intégration par parties donne successivement +\begin{align*} + \tint p_{m}yM\,dx &= \tint p_{m}My\,dx +\\ + \int p_{m-1} \frac{dy}{dx}M\,dx +&= p_{m-1}My - \int \frac{d(p_{m-1}M)}{dx} y\, dx +\\ + \int p_{m-2} \frac{d^{2}y}{dx^2} M\,dx +&= p_{m-2}M \frac{dy}{dx} - \frac{d(p_{m-2}M)}{dx} + + \int \frac{d^2(p_{m-2}M)}{dx^2} y\, dx +\\ +\multispan{2}{\dotfill} +\end{align*} + +% *** File: 071.png--- + +On en déduit +\[ + \tint P(y)M\, dx += M A(y) ++ \int \left[ p_{m}M - \frac{d(p_{m-1}M)}{dx} + + \frac{d^{2}(p_{m-2}M)}{dx^2} \ldots \right] y\, dx. +\] + +Si donc on détermine la fonction $M$ par la condition qu'elle satisfasse +à l'équation +\[ + 0 = p_{m}M - \frac{d(p_{m-1}M)}{dx} + \frac{d^2(p_{m-2}M)}{dx^2} + + \dotsb + (-1)^{m} \frac{d^m(p_{0}M)}{dx^m}, +\] +on aura +\[ + MP(y) = \frac{d}{dx} [MA(y)], +\] +et $M$ sera un multiplicateur intégrant. + +On retombe donc ainsi sur l'équation en $M$ déjà obtenue, et l'on voit +que, pour la trouver, il suffit d'intégrer par parties les différents +termes de $P(y) M\, dx$ et d'égaler à zéro la somme des éléments placés +sous les signes $\int$. + +\myparagraph{61.} Inversement, je vais appliquer cette règle à la recherche de +l'équation aux multiplicateurs intégrants de l'équation différentielle +en $M$. + +Je multiplie par $y\,dx$ le premier membre de l'équation en $M$ et j'intègre +par parties les différents termes +\begin{align*} +&\quad \tint p_{m}My\,dx = \tint p_{m}yM\,dx, +\\ + \int -\frac{d(p_{m-1}M)}{dx}y\,dx +&= -p_{m-1}yM = \int p_{m-1} \frac{dy}{dx} M\, dx, +\\ + \int \frac{d^2(p_{m-2}M)}{dx^2}y\,dx +&= \frac{d(p_{m-2}M)}{dx} y - p_{m-2}M \frac{dy}{dx} + + \int p_{m-2} \frac{d^{2}y}{dx^2} M\, dx, +\\ +\multispan{2}{\dotfill} +\end{align*} +Égalant à zéro la somme des éléments placés sous les signes $\int$, j'obtiens +l'équation en $y$ +\[ + 0 = p_{m}y + p_{m-1} \frac{dy}{dx} + \dotsb + + p_{0} \frac{d^{m}y}{dx^m}, +\] +qui est précisément l'équation $P = 0$, de sorte que, réciproquement, +$P = 0$ est l'équation aux facteurs intégrants de l'équation en $M$. +% *** File: 072.png--- + +\myparagraph{62.} Il y a donc réciprocité complète entre l'équation $P= 0$ et l'équation +en $M$, et chacune d'elles est l'équation aux multiplicateurs intégrants +de l'autre. + +Nous dirons que les deux équations sont \emph{adjointes}, et l'expression +adjointe de l'expression différentielle +\[ +P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_{1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_my +\] +sera +\[ +\calP (M) = (-1)^{m} \frac{d^{m}M}{dx^{m}} + +(-1)^{m-1} \frac{d^{m-1}(p_{1}M)}{dx^{m-1}} + +\dotsb - \frac{d(p_{m-1}M)}{dx} + p_{m}M. +\] +Généralement, si les deux expressions différentielles +\begin{alignat*}{5} +S(y) &= S_{0} \frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}} &&+ + S_{1} \frac{d^{\sigma-1}y}{dx^{\sigma-1}} &&+ \dotsb &&+ S_{\sigma}y, \\ +\calS(y) &= \calS_{0} \frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}} &&+ + \calS_{1} \frac{d^{\sigma-1}y}{dx^{\sigma-1}} &&+ \dotsb &&+ \calS_{\sigma}y +\end{alignat*} +sont adjointes, on aura +\begin{alignat*}{5} +S(y) &= (-1)^{\sigma} \frac{d^{\sigma}(\calS_{0}y)}{dx^{\sigma}} &&+ + (-1)^{\sigma-1} \frac{d^{\sigma-1}(\calS_{1}y)}{dx^{\sigma-1}} &&- + \dotsb &&- \frac{d(\calS_{\sigma-1}y)}{dx} &&+ \calS_{\sigma}y, \\ +\calS(y) &= (-1)^{\sigma} \frac{d^{\sigma}(S_{0}y)}{dx^{\sigma}} &&+ + (-1)^{\sigma-1} \frac{d^{\sigma-1}(S_{1}y)}{dx^{\sigma-1}} &&- + \dotsb &&- \frac{d(S_{\sigma-1}y)}{dx} &&+ S_{\sigma}y. +\end{alignat*} + +Remarquons aussi que, si l'on considère les deux expressions +adjointes $P(y)$ et $\calP(M)$, on a les deux identités +\begin{align*} +y\calP(M) &= \frac{d}{dx} [yB(M)], \\ +MP(y) &= \frac {d}{dx} [MA(y)], +\end{align*} +d'où l'on déduit +\[ +MP(y) - y\calP(M) = \frac{d}{dx}[MA(y) - yB(M)], +\] +de sorte que la différence +\[ +MP(y) - y\calP(M) +\] +est la dérivée d'une expression différentielle linéaire et homogène en +% *** File: 073.png--- +$y$ et en $M$, les coefficients étant des fonctions linéaires homogènes des +coefficients $p$ et de leurs dérivées; on a, en effet, trouvé plus haut les +valeurs des coefficients $Ml_1$, $Ml_2$, \dots, $Ml_{m-1}$ de $MA(y)$, et ceux de +$B(M)$ sont analogues. + +\myparagraph{63.} Je vais établir une relation élégante existant entre une expression +différentielle mise sous forme composée et son expression +adjointe. + +Considérons les deux expressions adjointes +\begin{alignat*}{5} +S(y) &= S_{0} \frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}} &&+ + S_{1} \frac{d^{\sigma-1}y}{dx^{\sigma-1}} &&+ \dotsb &&+ S_{\sigma} y, \\ +\calS(y) &= \calS_0 \frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}} &&+ + \calS_1 \frac{d^{\sigma-1}y}{dx^{\sigma-1}} &&+ \dotsb &&+ \calS_{\sigma}y. +\end{alignat*} + + +Je dis d'abord que, $u$ étant une fonction de $x$, l'expression différentielle +adjointe de $S(uy)$ est $u\calS(y)$. + +En effet, on a +\[ +S(y) = (-1)^{\sigma} \frac{d^{\sigma}(\calS_{0}y)}{dx^{\sigma}} + + (-1)^{\sigma-1} \frac{d^{\sigma-1}(\calS_{1}y)}{dx^{\sigma-1}} + + \dotsb + \calS_{\sigma}y, +\] +d'où l'on déduit +\[ +S(uy) = (-1)^{\sigma} \frac{d^{\sigma}(\calS_{0}uy)}{dx^{\sigma}} + + (-1)^{\sigma-1} \frac{d^{\sigma-1}(\calS_{1}uy)}{dx^{\sigma-1}} + + \dotsb + \calS_{\sigma}uy. +\] + +L'expression adjointe de $S(uy)$ est, par conséquent, +\[ +\calS_{0}u\frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}} + + \calS_{1}u\frac{d^{\sigma-1}y}{dx^{\sigma-1}} + + \dotsb + \calS_{\sigma-1}u\frac{dy}{dx} + \calS_{\sigma}uy, +\] +c'est-à-dire $u \calS(y)$. + +Je dis ensuite que, $u$ étant une fonction de $x$, l'expression différentielle +adjointe de $S\Big(u\dfrac{d^{k}y}{dx^k}\Big)$ est +\[ +(-1)^k \: \frac{d}{dx^k} [u \calS (y)]. +\] + +En effet, l'expression +\[ +S \Big(\frac{d^{k}y}{dx^k}\Big) = S_{0} \frac{d^{\sigma + k}y}{dx^{\sigma + k}} + + S_{1} \frac{d^{\sigma + k - 1}y}{dx^{\sigma + k - 1}} + + \dotsb + S_{\sigma} \frac{d^{k}y}{dx^{k}} +\] +% *** File: 074.png--- +a pour expression adjointe +\[ +(-1)^{\sigma+k} \frac{d^{\sigma+k}(S_{0}y)}{dx^{\sigma + k}} + + (-1)^{\sigma+k - 1} \frac{d^{\sigma+k -1}(S_{1}y)}{dx^{\sigma + k-1}} + + \dotsb + (-1)^{k} \frac{d^{k}(S_{0}y)}{dx^{k}}, +\] +ou bien +\[ +(-1)^{k} \frac{d^{k}\calS (y)}{dx^{k}}. +\] + +Par conséquent, $(-1)^{k} \dfrac{d^{k}}{dx^{k}} [u \calS (y)]$ sera l'adjointe de $T\Big(\dfrac{d^{k}y}{dx^k}\Big)$, $T(y)$ +étant l'expression qui a pour adjointe $u \calS(y)$. Or, cette expression +est +\[ +T(y) = S(uy); +\] +donc $(-1)^{k} \dfrac{d^k}{dx^k} [u\calS(y)]$ sera l'adjointe de $S\Big(u \dfrac{d^{k}y}{dx^k}\Big)$. + +Soient enfin $\calR$ et $\calS$ les adjointes de $R$ et de $S$, où $S$ désigne toujours +l'expression +\[ +S_{0} \frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}} + S_{1} \frac{d^{\sigma - 1}y}{dx^{\sigma - 1}} + +\dotsb + S_{\sigma}y. +\] + +On a +\[ +RS = R\left[S_0 \frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}}\right] + + R\left[S_1 \frac{d^{\sigma - 1}y}{dx^{\sigma - 1}}\right] + + \dotsb + R(S_{\sigma}y). +\] +Or, il est évident que l'adjointe d'une somme est la somme des +adjointes. Donc l'adjointe de $RS$ sera +\[ +(-1)^{\sigma} \frac{d^{\sigma}}{dx^{\sigma}} [S_{0}\calR(y)] + + (-1)^{\sigma-1} \frac{d^{\sigma - 1}}{dx^{\sigma - 1}} [S_{1}\calR(y)] + + \dotsb + S_{\sigma}\calR(y), +\] +c'est-à-dire +\[ +\calS \calR. +\] + +On a donc ce théorème remarquable: + +\emph{L'expression adjointe de $RS$ est $\calS \calR$.} + +La propriété s'étend facilement à un plus grand nombre d'expressions, +et l'on a cette proposition générale: + +\emph{Si une expression différentielle est composée de plusieurs expressions +différentielles, rangées dans un certain ordre, l'expression différentielle +% *** File: 075.png--- +adjointe est composée des expressions adjointes rangées dans +l'ordre inverse.} + +Remarquons, en passant, une conséquence de ce fait que l'expression +adjointe de $u\calS (y)$ est $S(uy)$. Nous avons supposé, dans la recherche +du \nobf{59}, que le coefficient de $\dfrac{d^{m}y}{dx^{m}}$ dans $P$ était égal à l'unité, et nous +avons trouvé que l'adjointe de l'expression +\[ +\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + \frac{p_1}{p_0} \frac{d^{m - 1}y}{dx^{m - 1}} + + \frac{p_2}{p_0} \frac{d^{m - 2}y}{dx^{m - 2}} + \dotsb + \frac{p_m}{p_0}y +\] +est l'expression différentielle +\[ +(-1)^{m}\frac{d^{m}M}{dx^{m}} + (-1)^{m-1} \frac{d^{m-1}\Big(\dfrac{p_{1}}{p_0}M\Big)}{dx^{m-1}} + + \dotsb + \frac{p_m}{p_0}M. +\] + +Donc l'adjointe de +\[ +p_0 \frac{d^{m}y}{dx^m} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y +\] +sera +\[ +(-1)^{m} \frac{d^m(p_0 M)}{dx^{m}} + (-1)^{m - 1} \frac{d^{m- 1}(p_1 M)}{dx^{m - 1}} + \dotsb + p_{m}M, +\] +comme nous l'avons vu par la méthode de Lagrange. + +\myparagraph{64.} Il est facile de trouver la liaison qui existe entre les intégrales +des deux équations adjointes $P(y) = 0$ et $\calP (M) = 0$. + +J'observe d'abord que l'équation du premier ordre +\[ +\frac{dy}{dx} - hy = 0 +\] +a pour adjointe +\[ +\frac{dM}{dx} + hM = 0, +\] +et ensuite que, si la première admet la solution $y = v$, la seconde +admettra la solution $M = v^{-1}$. + +Cela étant, je mets $P(y)$ sous (\nobf{59}) la forme composée +\[ +P(y) = A_mA_{m-1} \ldots A_{2}A_{1}, +\] +% *** File: 076.png--- +les équations du premier ordre +\[ +A_1 = 0, \quad A_2 = 0, \quad \dots, \quad A_m = 0 +\] +admettant respectivement pour solutions +\[ +v_1,\ v_1 v_2,\ v_1 v_2 v_3,\ \dots,\ v_1 v_2\ldots v_m. +\] +L'équation $P(y) = 0$ admettra alors (\nobf{59}) le système fondamental +d'intégrales +\[ +y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_{2}\,dx, \quad \dots, \quad + y_m = v_1 \tint v_{2}\,dx \ldots \tint v_{m}\,dx. +\] +Mais soient $\calA_1$, $\calA_2$, \dots, $\calA_m$ les expressions adjointes de $A_1$, $A_2$, \dots, $A_m$. +D'après le théorème du \nobf{63}, on a +\[ +\calP(M) = \calA_1 \calA_2 \ldots \calA_{m-1}\calA_m, +\] +et, d'après la remarque qui précède, les équations +\[ +\calA_m = 0, \quad \calA_{m-1}=0, \quad \dots, \quad \calA_2 = 0, \quad \calA_1 = 0 +\] +admettent respectivement comme solutions +\[ +(v_1 v_2 \ldots v_{m})^{-1},\ (v_1 v_2 \ldots v_{m - 1})^{-1},\ \dots,\ (v_1 v_2)^{-1},\ v_1^{-1}. +\] +Donc $\calP(M) = 0$ aura comme système fondamental d'intégrales +\begin{alignat*}{2} +&M_1 &&= (v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}, \\ +&M_2 &&= (v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1} \tint v_{m}\,dx, \\ +&M_3 &&= (v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1} \tint v_{m}\,dx \tint v_{m-1}\,dx, \\ +&\multispan{3}{\makebox[16.7em]{\dotfill},} \\ +&M_m &&= (v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1} \tint v_{m}\,dx \tint v_{m-1}\,dx \ldots \tint v_2\,dx. +\end{alignat*} + +Ces formules montrent clairement la corrélation des deux systèmes +fondamentaux d'intégrales de $P(y) = 0$ et de $\calP(M) = 0$. + +\myparagraph{65.} Revenons maintenant à nos hypothèses sur l'équation différentielle +\[ +P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_1 \frac{d^{m -1}y}{dx^{m -1}} + \dotsb + p_m y = 0, +\] +et supposons que les coefficients $p$ soient développables en séries convergentes +dans le domaine du point zéro, procédant suivant les puissances +% *** File: 077.png--- +entières, positives et négatives de $x$, mais ne contenant qu'un +nombre limité de puissances négatives. + +Il en sera évidemment de même des coefficients de l'équation différentielle +adjointe +\[ +\calP(M)=(-1)^{m} \frac{d^{m}M}{dx^m} + + (-1)^{m-1} \frac{d^{m-1}(p_{1}M)}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}M = 0. +\] + +Nous allons voir que les fonctions déterminantes de $P(y) = 0$ et de +$\calP (M) = 0$ sont étroitement liées. + +On a l'identité (\nobf{62}) +\[ +MP(y) - y \calP (M) = \frac{d}{dx} [L(y, M)], +\] +où $L(y, M)$ est une expression différentielle linéaire homogène en $y$ +et en $M$, dont les coefficients sont des fonctions linéaires homogènes +des coefficients $p$ et de leurs dérivées, et ne renferment par conséquent +eux-mêmes qu'un nombre fini de puissances de $x^{-1}$. + +Posons dans cette identité +\[ +y=x^{-\rho -\nu -1} \quad \text{et} \quad M =x^{\rho}, +\] +$\nu$ étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. Nous obtenons +\[ +x^{\rho} P (x^{-\rho -\nu -1}) - x^{-\rho -\nu -1} \calP (x^{\rho}) = + \frac{d}{dx} [L(x^{-\rho -\nu -1}, x^{\rho})]. +\] +Or, la quantité placée sous le signe $\dfrac{d}{dx}$ dans le second membre est développable +en une série procédant suivant les puissances entières de $x$, +ne contenant qu'un nombre fini de puissances négatives et ne comprenant +en tout cas aucun logarithme. Donc le premier membre, qui +procède aussi suivant les puissances entières de $x$, ne renferme pas la +puissance $x^{-1}$. Formons donc le coefficient de $x^{-1}$ et égalons-le à zéro. +Soient +\[ +P(x^{\rho})= \sum\nolimits_{\lambda} f_{\lambda}(\rho)x^{\rho + \lambda}, \quad + \calP (x^{\rho}) = \sum\nolimits_{\lambda} \varphi_{\lambda} (\rho)x^{\rho + \lambda} +\] +\spreadout{les fonctions caractéristiques de $P(y)$ et de $\calP(M)$. Le coefficient de $x^{-1}$ dans} \\ +$x^{\rho}P(x^{-\rho - \nu -1})$ est alors $f_{\nu}(-\rho - \nu -1)$, et le coefficient de $x^{-1}$ dans +% *** File: 078.png--- +$x^{-\rho-\nu-1}\calP (x^{\rho})$ est $\varphi_{\nu}(\rho)$. On a donc, quel que soit l'entier $\nu$, +\[ +\varphi_{\nu}(\rho)=f_{\nu}(-\rho-\nu-1). +\] +Soit $g$ le plus haut exposant de $x^{-1}$ dans $x^{-\rho}P(x^{\rho})$; $f_{\nu}(\rho)$ s'évanouit +alors pour les valeurs de $\nu$ inférieures à $-g$, mais non pour la valeur +$\nu = - g$. Donc, à cause de l'identité précédente, il en est de même de +$\varphi_{\nu}(\rho)$. Faisons $\nu = - g$ dans cette relation; nous aurons +\[ +\varphi_{-g}(\rho)=f_{-g}(-\rho + g -1). +\] +Or, $\varphi_{-g}(\rho)$ et $f_{-g}(\rho)$ sont les fonctions déterminantes de $\calP(M)$ et de +$P(y)$; $x^g$ est d'ailleurs la puissance de $x$ par laquelle on doit multiplier +$P(y)$ pour la réduire à la forme normale. D'où cette proposition: + +\emph{Les fonctions déterminantes de $P(y)$ et de l'expression adjointe $\calP(M)$ +se déduisent l'une de l'autre en changeant $\rho$ en $-\rho + g -1$, $x^g$ étant la +puissance par laquelle il faut multiplier $P(y)$ pour l'amener à la forme +normale.} + +On en déduit que les fonctions déterminantes de $P(y)$ et de l'adjointe +$\calP(M)$ sont du même degré. + +Ramenons $P(y)$ à la forme normale en multipliant par $x^g$; d'après +le \nobf{63}, l'adjointe de $x^{g} P(y)$ sera $\calP (x^{g}M)$; mais (\nobf{33}) la fonction +déterminante de $\calP(x^{g}M)$ est $\varphi_{-g}(\rho + g)$; or, à cause de +\[ +\varphi_{-g}(\rho) = f_{-g}(-\rho + g - 1), +\] +on a +\[ +\varphi_{-g}(\rho + g) = f_{-g}(-\rho - 1); +\] +donc, lorsque l'expression proposée a la forme normale, pour obtenir +la fonction déterminante de l'expression adjointe, il suffit de remplacer +$\rho$ par $-\rho - 1$ dans celle de la proposée. + +\myparagraph{66.} \emph{Si l'équation $P(y) = 0$ toutes ses intégrales régulières, il en est de +même de l'équation différentielle adjointe $\calP(M) = 0$.} + +Observons d'abord que, pour le premier ordre, ce théorème est évident, +puisque (\nobf{22}) l'équation +\[ +\frac{dy}{dx} + \frac{P_{1}(x)}{x} y = 0 +\] +% *** File: 079.png--- +a pour adjointe +\[ +\frac{dM}{dx} - \frac{P_{1}(x)}{x} M = 0. +\] +En général, $P(y) = 0$, ayant toutes ses intégrales régulières, peut +(\nobf{48}) être composée uniquement d'équations du premier ordre ayant +chacune une intégrale régulière. Dès lors (\nobf{63}), l'équation adjointe +$\calP(M) = 0$ se composera des équations adjointes rangées dans l'ordre +inverse. Donc (\nobf{49}), l'équation $\calP(M) = 0$, étant composée uniquement +d'équations du premier ordre ayant chacune une intégrale régulière, +a elle-même toutes ses intégrales régulières. + +\myparagraph{67.} Nous sommes maintenant en mesure de transformer la condition +du \nobf{58} par la considération de l'équation différentielle adjointe. + +On a vu que, pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$, +ayant une fonction déterminante de degré $\gamma$, admette $\gamma$ intégrales régulières +linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'expression $P$ +soit de la forme $P = QD$, $Q$ étant d'ordre $m - \gamma$ et ayant pour fonction +déterminante une constante. + +Or, soient $\calQ$ et $\calD$ les expressions adjointes de $Q$ et de $D$. D'après le +\nobf{65}, les fonctions déterminantes de $Q$ et de $\calQ$ sont du même degré, et +d'après le \nobf{63}, $P$ se mettant sous la forme $P = QD$, $\calP$ se mettra sous +la forme $\calP = \calD \calQ$, et réciproquement. Donc, la condition nécessaire et +suffisante pour que $P = 0$ ait $\gamma$ intégrales régulières linéairement indépendantes +est que l'expression adjointe $\calP$ soit de la forme $\calP = \calD \calQ$, +$\calQ$ étant d'ordre $m - \gamma$ et ayant pour fonction déterminante une constante. +Ceci revenant à dire que (\nobf{39}) $\calP = 0$ doit admettre toutes les +intégrales de $\calQ = 0$, nous obtenons cette condition finale: + +\emph{Pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$, ayant une fonction +déterminante du degré $\gamma$, ait exactement $\gamma$ intégrales régulières +linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'équation adjointe +$\calP = 0$ admette toutes les intégrales d'une équation différentielle d'ordre +$m - \gamma$, ayant pour fonction déterminante une constante.} + +\myparagraph{68.} Je vais enfin appliquer ceci à la recherche des conditions que +doit remplir l'équation $P = 0$, d'ordre $m$, pour avoir $m- 1$ intégrales +régulières linéairement indépendantes. +% *** File: 080.png--- + +Je dis d'abord que la fonction déterminante doit être de degré $m - 1$. +En effet, elle ne peut pas être de degré inférieur à $m - 1$, car alors +(\nobf{54}) $P = 0$ n'aurait pas $m - 1$ intégrales régulières linéairement +indépendantes, et elle ne peut pas être de degré supérieur à $m - 1$, +car alors elle serait de degré $m$, et, par suite (\nobf{54}), $P = 0$ aurait +$m$ intégrales régulières linéairement indépendantes. + +La fonction déterminante étant de degré $m - 1$, il faut maintenant +et il suffit, d'après le théorème précédent, que l'équation adjointe $\calP = 0$ +admette les intégrales d'une équation du premier ordre, ayant pour +fonction déterminante une constante. Or, d'après le \nobf{53}, les intégrales +d'une pareille équation du premier ordre sont de la forme +\[ +e^{\frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2} + \dotsb + \frac{C_n}{x^n}} x^{\rho}\psi(x), +\] +$\psi(x)$ ne contenant que des puissances positives de $x$, et ne s'évanouissant +pas pour $x = 0$; + +D'où la proposition suivante: + +\emph{Pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$, ait exactement +$m - 1$ intégrales régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit:} + +\primo \emph{Que sa fonction déterminante soit de degré $m - 1$;} + +\secundo \emph{Que son équation différentielle adjointe admette une intégrale de la +forme} +\[ +e^{\frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2} + \dotsb + \frac{C_n}{x^n}} x^{\rho}\psi(x), +\] +\emph{$\psi(x)$ étant une fonction holomorphe dans le domaine du point zéro et non +nulle pour $x = 0$.} + + + +\mysection{SIXIÈME PARTIE.} + +\myparagraph{69.} Le procédé indiqué au \nobf{59} pour trouver l'équation au multiplicateur +intégrant appartient à M.~Thomé. Cependant, j'ai légèrement +modifié le raisonnement en introduisant une décomposition de +l'expression $P$ en $m$ facteurs $A$ de la forme +\[ +A = \frac{dy}{dx} - ay. +\] +% *** File: 081.png--- +J'ai aussi introduit ce mode de décomposition au \nobf{64}, lorsqu'il s'est +agi de trouver la relation qui existe entre les intégrales de deux équations +adjointes. Il semble que l'emploi des décompositions de ce genre +doive présenter certains avantages. Aussi me suis-je proposé d'y revenir +dans les deux dernières Parties de ce Mémoire. J'en fais d'abord la +théorie, après quoi j'en déduis une nouvelle méthode propre à l'étude +de l'expression et des intégrales dans le domaine d'un point singulier. + +Considérons l'expression différentielle composée +\[ +P = A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1}, +\] +les expressions composantes $A$ étant linéaires, homogènes, du premier +ordre, et ayant pour premier coefficient l'unité. Ces expressions composantes, +de la forme +\[ +A = \frac{dy}{dx} - ay. +\] +seront appelées \emph{facteurs premiers symboliques}. Deux facteurs premiers +symboliques ne peuvent différer que par leur coefficient $a$. Je représenterai +le coefficient de $A_i$ par $a_i$. + +\myparagraph{70.} Soit l'expression différentielle linéaire, homogène, d'ordre $m$ +\[ +P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y, +\] +où le premier coefficient sera toujours l'unité et où les coefficients $p$ +sont des fonctions de $x$, holomorphes dans une partie du plan à contour +simple, sauf pour certains points singuliers isolés les uns des +autres. + +Je vais étudier la décomposition de cette expression en facteurs +premiers symboliques. + +\primo L'expression $P$ est décomposable en $m$ facteurs premiers symboliques. + +Considérons, en effet, un système fondamental d'intégrales de l'équation +$P = 0$; on peut (\nobf{5}) le supposer de la forme +\[ +y = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_2 \,dx, \quad \dots, \quad + y_m = v_1 \tint v_2\, dx \tint \ldots \tint v_m \,dx. +\] +% *** File: 082.png--- +Je construis les équations différentielles +\[ +A_1 = 0, \quad A_2 = 0, \quad \dots, \quad A_i = 0, \quad \dots, \quad A_m =0, +\] +telles que +\[ +A_i = \frac{dy}{dx} - a_{i}y = 0, +\] +et admettant respectivement comme solutions +\[ +v_1,\ v_{1}v_{2},\ \dots,\ v_{1}v_{2} \ldots v_i,\ \dots,\ v_{1}v_{2} \ldots v_m. +\] +La valeur de $a_i$, par exemple, sera +\[ +a_i = \frac{d\log(v_{1}v_{2} \ldots v_i)}{dx}. +\] +L'expression différentielle $A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1}$, composée de $m$ facteurs +premiers symboliques, est identique à $P$, c'est-à-dire que les coefficients +des dérivées de même ordre, dans les deux expressions, seront +égaux. C'est ce que j'ai établi au \nobf{59}. + +\secundo Toute décomposition de $P$ en facteurs premiers symboliques s'obtient +par la méthode précédente. Autrement dit, si l'on a +\[ +P = A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1}, +\] +et si l'intégrale de $A_{1} = 0$ est $v_{1}$, si celle de $A_{2}= 0$ est mise sous la +forme $v_{1}v_{2}$, ce qui est toujours possible, celle de $A_{3}= 0$ sous la forme +$v_{1}v_{2}v_{3}$, etc., les $m$ fonctions +\[ +y_{1} = v_1,\quad y_{2} = v_1 \tint v_{2}\,dx,\quad \dots,\quad +y_{m} = v_1 \tint v_{2}\,dx \tint \ldots \tint v_{m}\,dx +\] +constituent un système fondamental d'intégrales de $P = 0$. + +En effet, l'expression $P$ est annulée par les intégrales générales des +équations +\[ +A_{1} = 0, \quad A_{1} = v_{1} v_{2}, \quad A_{2}A_{1} = v_{1} v_{2} v_3, \quad \dots; +\] +or, l'intégration directe de ces équations montre qu'elles admettent +pour solutions les quantités désignées par $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$; donc ces +fonctions $y_i$ sont bien des intégrales de $P = 0$. Elles sont d'ailleurs +linéairement indépendantes. + +Ainsi, \emph{l'expression $P$ est toujours décomposable en facteurs premiers +symboliques, et de plusieurs manières; mais toutes ces décompositions +% *** File: 083.png--- +s'obtiennent par la même voie, et chacune d'elles est corrélative d'un +système fondamental déterminé.} + +\myparagraph{71.} De même qu'en Algèbre la décomposition d'un polynôme en +facteurs premiers permet, connaissant les racines d'une équation, +d'écrire immédiatement cette équation, de même ici la décomposition +en facteurs premiers symboliques permet d'écrire de suite l'équation +différentielle qui admet un système fondamental d'intégrales donné. Si +\[ +y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_2\, dx, \quad \dots, \quad + y_m = v_1 \tint v_2 \,dx \ldots \tint v_m \,dx +\] +est le système en question, l'équation différentielle sera +\[ +A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1} = 0, +\] +avec les conditions +\[ +a_i = \frac {d\log(v_{1} v_{2} \ldots v_i)}{dx}, \quad i = 1,\ 2,\ 3,\ \dots,\ m. +\] +Les coefficients de cette équation se trouveront exprimés en fonction +de $v_{1}$, $v_{2}$, \dots, $v_{m}$. + +Je mentionnerai un autre procédé, conduisant à la solution de ce +même problème: former, en fonction de $v_{1}$, $v_{2}$, \dots, $v_{m}$, l'équation différentielle +qui admet le système fondamental $y_{1}$, $y_{2}$, \dots, $y_m$. + +Je vais, en effet, construire successivement les équations différentielles +linéaires, homogènes, d'ordres 1, 2, 3, \dots, admettant comme +solutions, la première $v_m$, la deuxième $v_{m-1}$ et $v_{m-1} \int v_{m} \,dx$, la troisième +$v_{m-2}$, $v_{m-2}\int v_{m-1}\, dx$ et $v_{m-2} \int v_{m-1}\,dx \int v_{m}\,dx$, etc. Reportons-nous pour +cela aux formules (1) du \nobf{18}, qui donneront les $p$, connaissant les $q$. + +L'équation du premier ordre, qui admet l'intégrale $v_m$, est +\begin{equation}\tag{1} +\frac{dy}{dx} + r_{1}y = 0, +\end{equation} +avec la condition +\[ +r_1 = -\frac{1}{v_m} \frac{dv_m}{dx}. +\] +Pour obtenir l'équation du second ordre +\begin{equation}\tag{2} +\frac{d^{2}y}{dx^2} + s_{1} \: \frac{dy}{dx} + s_{2}y = 0, +\end{equation} +% *** File: 084.png--- +qui admet les intégrales +\[ +v_{m-1} \quad \text{et} \quad v_{m-1} \tint v_{m}\,dx, +\] +je détermine d'abord $s_2$ par la condition que $v_{m-1}$ vérifie cette équation; +puis, considérant l'équation (1) comme déduite de (2) par la substitution +\[ +y = v_{m-1} \tint z\,dx, +\] +je détermine $s_1$, en fonction de $r_1$, par les formules (1) du \nobf{18}. + +L'équation du troisième ordre +\begin{equation}\tag{3} +\frac{d^{3}y}{dx^{3}} + t_1 \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + t_2 \frac{dy}{dx} + t_3 y = 0, +\end{equation} +qui admet les intégrales +\[ +v_{m-2},\quad v_{m-2} \tint v_{m-1}\,dx \quad \text{et} \quad + v_{m-2} \tint v_{m-1} \,dx \tint v_m \,dx, +\] +se construit de même, en déterminant d'abord $t_3$ par la condition que +$v_{m-2}$ vérifie cette équation, puis $t_1$ et $t_2$ en fonction de $s_1$ et $s_2$, à l'aide +des formules (1) du \nobf{18}. + +En continuant de la même manière, on obtiendra l'équation cherchée, +d'ordre $m$, admettant les intégrales +\[ +v_1,\quad v_1 \tint v_2 \,dx, \quad \dots, \quad + v_1 \tint v_2 \,dx \tint \ldots \tint v_m \,dx. +\] +D'après la proposition du \nobf{8}, si les fonctions $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$ sont +holomorphes dans une partie $T$ du plan, à contour simple, excepté +pour certains points isolés les uns des autres, et si les nouvelles valeurs +$(y_1)'$, $(y_2)'$, \dots, $(y_m)'$ qu'acquièrent ces fonctions lorsque la variable +fait le tour d'un de ces points peuvent s'exprimer en fonction linéaire, +homogène, à coefficients constants, des valeurs primitives, l'équation +différentielle obtenue, à laquelle satisfont $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$, aura ses coefficients +monotropes dans la région $T$. + +\myparagraph{72.} Lorsqu'on connaîtra un système de valeurs des fonctions $v_1$, +$v_2$, \dots, $v_m$, on saura effectuer toutes les décompositions possibles de +l'expression $P$ en facteurs premiers symboliques, car, si l'on connaît +un système $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$, on peut intégrer complètement $P = 0$; par +suite, on connaîtra tous les systèmes $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$; on sera donc à +% *** File: 085.png--- +même de calculer tous les systèmes de valeurs des coefficients $a_1$, +$a_2$, \dots, $a_m$ donnés par les formules +\begin{equation}\tag{1} +a_i = \frac{d \log(v_1 v_2 \ldots v_i)}{dx}, \quad i = 1,\ 2,\ 3,\ \dots,\ m. +\end{equation} + +Inversement, lorsqu'on connaîtra un système de valeurs des coefficients +$a_1$, $a_2$, \dots, $a_m$, on saura effectuer l'intégration complète de +l'équation $P = 0$. En effet, si l'on connaît $a_1$, $a_2$, \dots, $a_m$, on peut +calculer $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$ par les formules (1), qui donnent +\[ +v_1 = e^{\int\! a_1\, dx},\quad v_2 = e^{\int (a_{2} - a_{1})\,dx}, \quad + \dots, \quad v_m = e^{\int (a_{m} - a_{m-1})\,dx}. +\] +On aura donc un système fondamental d'intégrales de l'équation $P = 0$: +\begin{gather*} +y_1 = e^{\int\! a_1\,dx}, \quad y_2 = e^{\int\! a_{1}\,dx} + \tint e^{\int (a_{2} - a_{1})\,dx}\,dx, \quad \dots, \\ +y_m = e^{\int\! a_{1}\,dx} \tint e^{\int (a_{2}- a_{1})\,dx}\,dx + \tint \ldots \tint e^{\int (a_{m}-a_{m-1})\,dx}\,dx. +\end{gather*} + +Notons cette conséquence: lorsqu'on connaît une décomposition de +l'expression $P$ en facteurs premiers symboliques, on peut les former +toutes. + +\myparagraph{73.} Quand on veut décomposer l'expression +\[ +P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y +\] +en $m$ facteurs premiers symboliques, ce qui, comme l'a vu, revient au +fond à intégrer l'équation $P = 0$, on peut soit calculer un système de +valeurs des fonctions $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$, soit évaluer directement un système +de valeurs de leurs coefficients $a_1$, $a_2$, \dots, $a_m$. + +Dans le premier cas, on cherchera, comme on sait, une solution +particulière $v_1$ de $P(z_1) = 0$, puis une solution particulière $v_2$ de +$P(v_{1} \int z_{2}\, dx) = 0$, etc. Ces équations en $z_1$, $z_2$, $z_3$, \dots, $z_m$, d'ordres respectifs +$m$, $m -1$, $m -2$, \dots, 2, 1, sont linéaires. + +Dans le second cas, pour calculer directement un système $a_1$, +$a_2$, \dots, $a_m$, il résulte du numéro précédent que l'on cherchera une +solution particulière $a_1$ de +\[ +P(e^{\int\! a_1 \,dx}) = 0, +\] +% *** File: 086.png--- +puis une solution particulière $a_2$ de +\[ +P[e^{\int\! a_{1}\,dx} \tint e^{\int (u_{2}- a_{1})\,dx}\,dx]= 0, +\] +puis, etc. Ces équations en $u_1$, $u_2$, $u_3$, \dots, $u_m$ sont d'ordres respectifs +$m - 1$, $m - 2$, \dots, 2, 1, 0, mais ne sont pas linéaires. En général, +$a_i$ sera une intégrale quelconque de l'équation en $u_i$, d'ordre $m - i$, +mais non linéaire, +\[ +P[e^{\int\! a_{1}\,dx} \tint e^{\int (a_{2}-a_{1})\,dx}\,dx + \tint e^{\int (a_{3} - a_{2})\,dx}\,dx \tint \ldots + \tint e^{\int (u_{i} - a_{i-1})\,dx}\,dx] = 0. +\] + +Remarquons que cette seconde méthode donne une signification +remarquable de la nouvelle variable $u$, dans le changement de variable +\[ +y = e^{\int\! u\, dx}, +\] +usité pour abaisser l'ordre des équations différentielles linéaires et +homogènes: \emph{$u$ est le coefficient du dernier facteur premier symbolique +dans une décomposition du premier membre de l'équation.} + +Remarquons aussi que le système des équations en $u_1$, $u_2$, \dots, $u_m$, +comme le système des équations en $z_1$, $z_2$, \dots, $z_m$, possède cette propriété, +qu'il suffit de connaître une solution particulière de chacune +de ses équations pour pouvoir les intégrer toutes complètement, +puisque, ces solutions étant connues, on peut intégrer complètement +$P = 0$. + +Ainsi donc, si l'on veut tenter l'intégration de l'équation $P = 0$ par +une décomposition directe de $P$ en facteurs premiers symboliques, on +est conduit à chercher $m$ intégrales des $m$ équations en $u_1$, $u_2$, \dots, $u_m$, +d'ordres $m - 1$, $m - 2$, \dots, 2, 1, 0. Ces équations ne sont plus linéaires; +malgré cela, elles peuvent aider à découvrir certains cas +particuliers où l'équation $P = 0$ est intégrable. + +Je vais appliquer à l'équation du second ordre +\[ +P(y) = \frac {d^{2}y}{dx^2} + p_1 \frac{dy}{dx} + p_{2}y = 0. +\] +Je veux mettre $P$ sous la forme composée +\[ +P = A_{2}A_{1} = \frac{d^{2}y}{dx^2} - (a_1 + a_2) \frac{dy}{dx} - + \Big(\frac{da_1}{dx} - a_{1}a_2\Big)y, +\] +% *** File: 087.png--- +d'où les deux équations +\begin{gather*} +a_1 + a_2 = -p_1, \\ +\frac{da_1}{dx} - a_{1}a_2 = -p_2, +\end{gather*} +qui déterminent $a_1$ et $a_2$. La première donne +\begin{equation}\tag{1} +a_2 = -a_1 - p_1, +\end{equation} +et tout revient à calculer $a_1$, qui est donné par l'équation du second +ordre non linéaire +\begin{equation}\tag{2} +\frac{da_1}{dx} + a_1^2 + p_{1}a_1 + p_2 = 0. +\end{equation} +L'équation (2) n'est autre chose que +\[ +P(e^{\int\! a_{1}\,dx}) = 0, +\] +et l'équation (1) +\[ +P[e^{\int\! a_{1}\,dx} \tint e^{\int (a_{2}-a_1)\,dx}\,dx] = 0. +\] +De plus, on sait que les équations de la forme (2) sont intégrables complètement +quand on en connaît une solution particulière, ce qui est +d'accord avec ce qui précède. + +L'équation (2) se ramène à la forme +\begin{equation}\tag{3} +\frac{da}{dx} + q_{1}a^2 + q_2 = 0 +\end{equation} +par la substitution +\begin{equation}\tag{4} +a_1 = a - \frac{p_1}{2}, +\end{equation} +ou encore +\begin{equation}\tag{5} +a_1 = ae^{-\int\! p_{1}\,dx}. +\end{equation} +La substitution (4) revient à prendre pour inconnue la demi-différence +\[ +\frac{a_1 - a_2}{2} = a. +\] +Il faudrait donc intégrer l'équation (3) pour avoir $a_1$ et $a_2$, et par +suite un système fondamental d'intégrales de l'équation du second +ordre. +% *** File: 088.png--- + +Adoptons, par exemple, la substitution (5). L'équation (3) est alors +\[ +\frac{da}{dx} + e^{-\int\! p_{1}\,dx}a^{2} + p_{2}e^{\int\! p_{1}\,dx} = 0, +\] +et, si nous supposons +\[ +e^{-\int\! p_{1}\,dx} = p_{2}e^{\int\! p_{1}\,dx}, \quad \text{c'est à dire} \quad + p_{1} = -\frac{d \log \sqrt{p_{2}}}{dx}, +\] +elle est intégrable. On en déduit sans peine $a_1$ et $a_2$, savoir: +\begin{align*} +a_1 &= -\sqrt {p_2} \tang (\tint \sqrt{p_2}\,dx), \\ +a_2 &= \frac{d\log \sqrt{p_{2}}}{dx} + + \sqrt{p_{2}} \tang (\tint \sqrt{p_{2}}\,dx), +\end{align*} +et, par suite, un système fondamental d'intégrales de l'équation +\[ +\frac{d^{2}y}{dx^2} - \frac{d \log{\sqrt{p_2}}}{dx} \: \frac{dy}{dx} + p_{2}y = 0. +\] + +Si nous adoptons maintenant la substitution (4), auquel cas l'équation +(3) est +\begin{equation}\tag{6} +\frac{da}{dx} + a^2 - \Big(\frac{1}{2} \: \frac{dp_{1}}{dx} + + \frac{p_{1}^{2}}{4} - p_2\Big) = 0, +\end{equation} +il est facile d'obtenir la relation qui doit exister entre $p_1$ et $p_2$ pour que +$a_1$ et $a_2$ soient égaux. La condition est évidemment que l'équation (6) +soit vérifiée pour $a = 0$, puisque $a$ représente $\dfrac{a_{1} - a_{2}}{2}$. Par conséquent, +la condition nécessaire et suffisante pour que l'expression +\[ +\frac{d^{2}y}{dx^2} + p_1 \frac{dy}{dx} + p_{2}y +\] +soit décomposable en deux facteurs premiers symboliques égaux est +\[ +\frac{1}{2} \: \frac{dp_{1}}{dx} + \frac{p_{1}^2}{4} - p_2 = 0. +\] + +Les deux facteurs sont d'ailleurs égaux à +\[ +\frac{dy}{dx} + \frac{p_{1}}{2} y, +\] +% *** File: 089.png--- +et l'équation du second ordre admet les deux solutions +\[ +y_1 = e^{-\frac{1}{2} \int\! p_{1}\,dx}, \quad y_2 = xe^{-\frac{1}{2} \int\! p_{1}\,dx}. +\] + +\myparagraph{74.} Considérons une décomposition de l'expression +\[ +P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^m} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y +\] +en facteurs premiers symboliques, +\[ +P = A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1}, +\] +et proposons-nous de calculer les coefficients $p$ en fonction des coefficients +$a$ des facteurs. + +Soit +\[ +A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2} = + \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + + q_1 \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb + q_{m-1}y; +\] +formons $A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1}$, c'est-à-dire remplaçons $y$ par $\dfrac{dy}{dx} - a_{1}y$ +dans l'expression précédente, et nous obtiendrons +\[ +\renewcommand{\arraystretch}{2} +\begin{array}{@{}*{4}{l@{}l@{\vline}} l} + P(y) += \dfrac{d^{m }y}{dx^{m }} &{} + q_1 +& \dfrac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} &{} + q_2 +& \dfrac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} &{} + q_3 +& \dfrac{d^{m-3}y}{dx^{m-3}} + \dots +&{} -\dfrac{d^{m-1}a_1}{dx^{m-1}} +&\, y, +\\ + &{} - a_1 +&\multicolumn{2}{r@{\vline}}{-(m{-}1)\dfrac{da_1}{dx }} +&\multicolumn{2}{r@{\vline}}{ - \dfrac{(m{-}1)(m{-}2)}{1\ldot 2} \dfrac{d^2 a_1}{dx^2}} +& &{} - q_1 \dfrac{d^{m-2}a_1}{dx^{m-2}} +\\ +\multicolumn{3}{l}{} &{} - q_1 a_1 +& &{} - q_1 (m{-}2) \dfrac{da_1}{dx} +& &{} - q_2 \dfrac{d^{m-3}a_1}{dx^{m-3}} +\\ +\multicolumn{5}{l}{} &{} - q_2 a_1 +& &{} -{} \dotfill +\\ +\multicolumn{7}{l}{} &{} - q_{m-2} \dfrac{da_1}{dx} +\\ +\multicolumn{7}{l}{} &{} - q_{m-1} a_1 +\end{array} +\renewcommand{\arraystretch}{1} +\] +d'où l'on déduit +\[ +\tag{1} +\left\{ +\begin{aligned} +& p_1 = q_{1} - a_{1}, \\ +& p_2 = q_{2} - (m-1) \frac{da_1}{dx} - q_{1}a_{1}, \\ +& p_3 = q_{3} - \frac {(m-1)(m-2)}{1\ldot 2} \frac{d^{2}a_1}{dx^2} - q_{1}(m-2) \frac{da_1}{dx} - q_{2}a_{1}, \\ +& \makebox[24em]{\dotfill},\\ +& p_m = - +\dfrac{d^{m-1}a_1}{dx^{m-1}} - q_1 +\dfrac{d^{m-2}a_1}{dx^{m-2}} - q_2 +\dfrac{d^{m-3}a_1}{dx^{m-3}} - \dotsb - q_{m-2} +\dfrac{da_1}{dx} - q_{m-1}a_1. +\end{aligned} +\right. +\] + +% *** File: 090.png--- + +Si donc on part de l'expression $A_m$, et qu'on veuille former successivement +les expressions +\[ +A_{m}A_{m-1},\quad A_{m}A_{m-1}A_{m-2}, \quad\dots,\quad A_{m}A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1}, +\] +on saura, par les formules (1), de quels termes il faut augmenter chaque +coefficient dans le passage d'une expression à la suivante, et l'on en +déduit aisément les valeurs des coefficients $p$: +\begin{equation}\tag{2} +\left\{ +\begin{aligned} +p_1 &= -(a_1 + a_2 + \dotsb + a_m), +\\ +p_2 &= \sum a_{i}a_j - (m-1)\,\frac{da_1}{dx} - + (m-2)\,\frac{da_2}{dx} - (m-3) \frac{da_3}{dx} - + \ldots - \frac{da_{m-1}}{dx}, +\\ +p_3 &= \begin{aligned}[t] + &- \sum a_{i}a_{j}a_{k} - + \left[\frac{(m-1)(m-2)}{1\ldot2} \frac{d^{2}a_1}{dx^2} + + \frac{(m-2)(m-3)}{1\ldot2} \frac{d^{2}a_3}{dx^2} + \dotsb \right] + \\ + &+ (m-2)(a_2 + a_3 + \dotsb + a_m) \frac{da_1}{dx} + + (m-3)(a_3 + \dotsb + a_m)\, \frac{da_2}{dx} + \dotsb + \\ + &+ a_1 \left[ (m-2) \frac{da^2}{dx} + + (m-3) \frac{da_3}{dx} + \dotsb \right] + + a_2 \left[ (m-3) \frac{da_3}{dx} + \dotsb \right] + \dotsb + \end{aligned} +\\[2ex] +\multispan{2}{\dotfill\rule[-1ex]{0pt}{0pt}} +\end{aligned} +\right. +\end{equation} +On a donc ainsi les coefficients $p$ exprimés à l'aide des coefficients $a$: +\[ +p_i = f_{i}(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_m). +\] +Ces coefficients $a$ sont eux-mêmes des fonctions de $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$, définies +par les formules (1) du \nobf{72}. + +Mais, si l'on substitue au système $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$ un autre système +pareil, les fonctions $f_i$ de $x$ ne changeront pas, puisqu'elles sont toujours +égales aux quantités $p_i$. Les fonctions $f_1$, $f_2$, \dots, $f_m$ des coefficients $a$ +des facteurs sont donc des invariants, en ce sens qu'elles restent +égales à elles-mêmes, quel que soit $x$, quand on change le système +$v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$. + +Par exemple, la fonction +\[ +f_1 = -(a_1 + a_2 + \dotsb + a_m), +\] +c'est-à-dire +\[ +f_1 = - \frac{d\log v_1}{dx} - + \frac{d\log (v_1 v_2)}{dx} - \dotsb - + \frac{d\log (v_1 v_2 \ldots v_m)}{dx} + = - \frac{d\log (v_1^{m} v_2^{m-1} \ldots v_{m - 1}^{2} v_m)}{dx}, +\] +est égale à $p_1$, quel que soit le système $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$. Et, en effet, on +% *** File: 091.png--- +a vu au \nobf{5} que +\[ +v_1^m v_2^{m-1} \ldots v_{m-1}^2 v_m = e^{-\int\! p_1 dx}, +\] +car $\Delta$ est égal à $e^{-\int\! p_1 dx}$, d'après la proposition de M.~Liouville, de sorte +que +\[ +-\dfrac{d\log(v_1^m v_2^{m-1} \ldots v_{m-1}^2 v_m)}{dx} = p_1. +\] + +Remarquons aussi que, si $a_1$, $a_2$, \dots, $a_m$ sont constants, les formules +(2) donnent pour les $p$ des valeurs constantes +\[ +p_1 = -\textstyle\sum a_i, \quad p_2 = +\textstyle\sum a_i a_j, \quad + p_3 = -\textstyle\sum a_i a_j a_k, \quad \ldots , +\] +qui sont celles des coefficients de l'équation algébrique +\[ +(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3) \ldots (x-a_m) = 0, +\] +ayant pour racines $a_1$, $a_2$, \dots, $a_m$. + +\myparagraph{75.} Considérant toujours l'équation différentielle $P = 0$, je me propose +de multiplier toutes ses intégrales par $\dfrac{v}{w}$, $v$ et $w$ étant des fonctions +de $x$. + +Il est clair que j'atteindrai le but en faisant la substitution $y = \dfrac{w}{v}z$. +L'équation $P\left(\dfrac{w}{v}z\right) = 0$ aura pour intégrales celles de $P(y) = 0$ multipliées +par $\dfrac{v}{w}$. D'autre part, soit +\[ +y_1=v_1, \quad y_2=v_1 \tint v_2\,dx, \quad \dots, \quad + y_m = v_1 \tint v_2\,dx \tint \ldots \tint v_m\,dx +\] +un système fondamental de $P(y) = 0$, et soit +\[ +P(y) = A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 A_1 +\] +la décomposition corrélative de $P(y)$. Pour multiplier toutes les +intégrales par $\dfrac{v}{w}$ il suffit évidemment de remplacer $v_1$ par $\dfrac{vv_1}{w}$. Or on a +\[ +a_i = \frac{d\log(v_1v_2 \ldots v_i)}{dx}; +\] +d'où il suit que changer $v_1$ en $\dfrac{v v_1}{w}$ revient à ajouter à chaque coefficient +% *** File: 092.png--- +$a_i$ la quantité +\[ +\frac{d}{dx} \log \frac{v}{w} = \frac{d\log v}{dx} - \frac{d\log w}{dx}, +\] +et, par conséquent, l'équation +\[ +A_m' A_{m-1}' \ldots A_3' A_2' A_1' = 0, +\] +où +\[ +A_i' = \frac{dy}{dx} - \left(a_i + \frac{d\log{v}}{dx} - \frac{d\log{w}}{dx}\right)y, +\] +aura pour intégrales celles de $P(y) = 0$ multipliées par $\dfrac{v}{w}$, c'est-à-dire +les mêmes que $P\left(\dfrac{w}{v}z\right) = 0$. + +On est donc conduit à l'identité suivante: +\begin{equation}\tag{1} +\frac{v}{w}P\left(\frac{w}{v}y\right) = A_m' A_{m-1}' \ldots A_2' A_1', +\end{equation} +avec les conditions +\[ +a_i' = a_i + \frac{d\log v}{dx} - \frac{d\log{w}}{dx}, \quad i = 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m. +\] + +Supposons en particulier +\[ +v = v_1, \quad w = 1; +\] +nous aurons +\[ +\frac{d\log{v}}{dx} = a_1, \quad \frac{d\log{w}}{dx} = 0, +\] +et par suite +\begin{equation}\tag{2} +y_1 P\Big(\frac{y}{y_1}\Big) = A_m' A_{m-1}' \ldots A_2' A_1', +\end{equation} +avec les conditions +\[ +a_i' = a_i + a_1, \quad i = 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m, +\] +et l'on voit que, pour multiplier toutes les solutions de l'équation +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1 = 0 +\] +par l'une d'elles, satisfaisant à $A_1 = 0$, il suffit d'ajouter $a_1$ à tous les +coefficients $a$. +% *** File: 093.png--- + +Supposons maintenant +\[ +v = 1, \quad w = v_1; +\] +nous aurons l'identité +\begin{equation}\tag{3} +\frac{1}{y_1} P(y_{1}y) = A_m' A_{m-1}' \ldots A_2' A_1', +\end{equation} +avec les conditions +\[ +a_i' = a_i - a_1, \quad i=\, 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m, +\] +de sorte que $A'_1$ se réduit à $\dfrac{dy}{dx}$, et l'on voit que, pour diviser toutes +les solutions de +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1 = 0 +\] +par l'une d'elles, annulant $A_1$, il suffit de retrancher $a_1$ à tous les +coefficients $a$. + + +\myparagraph{76.} En 1874, M.~Vincent a publié un travail% +\footnote{Première Thèse, présentée à la Faculté de Rennes, année 1874.} +sur les analogies +entre les équations différentielles linéaires et les équations algébriques. +\og J'ai été conduit, dit M.~Vincent, à faire porter le raisonnement, non +pas sur les solutions particulières, mais sur leurs dérivées logarithmiques +$\dfrac{1}{y}\:\dfrac{dy}{dx}$.\fg{} C'est qu'en effet, comme je l'ai montré au \nobf{73}, ces +dérivées ont une signification remarquable, mise en évidence par la +décomposition en facteurs premiers symboliques, et qui fait pressentir +tout l'avantage qu'on peut retirer de leur emploi direct. Les dérivées +logarithmiques des solutions de l'équation $P = 0$ ne sont autres que les +valeurs du coefficient du dernier facteur symbolique dans les différentes +décompositions du premier membre $P$. Dès lors, toutes les analogies +signalées par M.~Vincent deviennent encore plus sensibles. + +Étant donnée une équation algébrique $F(y) = 0$, dont le premier +membre est décomposé en facteurs premiers, +\[ +F(y)=(y-\alpha_m)(y-\alpha_{m-1}) \ldots (y-\alpha_2)(y-\alpha_1), +\] +lorsqu'on veut la débarrasser d'une racine $\alpha_1$, on supprime le facteur +% *** File: 094.png--- +$y - \alpha_1$. De même, étant donnée l'équation différentielle $P(y) = 0$, dont +le premier membre est décomposé en facteurs premiers symboliques, +\[ +P = A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1, +\] +pour la débarrasser d'une intégrale particulière $y_1 = v_1$, qui est en +même temps solution de $A_1 = 0$, il suffira de barrer le dernier facteur +$A_1$. Si +\[ +y_1 = v_1,\quad y_2 = v_1 \tint v_{2}\,dx,\quad \dots, \quad + y_m = v_1 \tint v_2 \,dx \tint \ldots \tint v_m \,dx +\] +est le système fondamental corrélatif de la décomposition considérée, +l'équation différentielle linéaire, homogène, d'ordre $m - 1$, +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2= 0, +\] +admettra le système fondamental +\[ +v_1 v_2,\ v_1 v_2 \tint v_3\, dx,\ \dots,\ % + v_1 v_2 \tint v_3\, dx \tint \ldots \tint v_m\, dx, +\] +c'est-à-dire +\[ +y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y_2}{y_1},\quad + y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y_3}{y_1}, \quad\dots, \quad + y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y_m}{y_1}. +\] + +Connaissant la racine $\alpha_1$ de l'équation algébrique $F = 0$, on peut +encore abaisser le degré de cette équation en égalant le facteur $y - \alpha_1$ +à $t$, c'est-à-dire en diminuant les racines de $\alpha_1$; l'équation en $t$ admet +alors la racine $t = 0$, dont on la débarrasse. De même, connaissant l'intégrale +particulière $y_1$ de l'équation différentielle $P = 0$, on abaissera +l'ordre de cette équation en égalant à $\dfrac{dt}{dx}$ le dernier facteur $A_1$, qui est +annulé par $y_1$; l'équation en $t$ admettant alors la solution $\dfrac{dt}{dx} = 0$, on +prendra pour inconnue $\dfrac{dt}{dx} = z$, ce qui, en somme, revient à poser +\[ +\frac{dy}{dx} - \frac{1}{y_1}\: \frac{dy_1}{dx} y = z. +\] +Nous obtiendrons évidemment ainsi l'équation +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0 +\] +et, par conséquent, la même équation que précédemment. Au surplus, +% *** File: 095.png--- +la relation +\[ +\frac{dy}{dx} - \frac{1}{y_1} \: \frac{dy_1}{dx} y =z, +\] +qu'on peut écrire +\[ +z = y_1 \frac{y_1 \dfrac{dy}{dx} - y \dfrac{dy_1}{dx}}{y_1^2} = y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y}{y_1}, +\] +montre que l'équation obtenue par ce second procédé doit admettre +les intégrales +\[ +y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y_2}{y_1}, \quad + y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y_3}{y_1}, \quad \dots, \quad + y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y_m}{y_1}. +\] + +Ainsi donc, étant donnée l'expression différentielle $P$, qui est annulée +par $y_1$, si l'on pose +\[ +\frac{dy}{dx} - a_1y = z, +\] +$y_1$ satisfaisant à l'équation +\[ +A_1 = \frac{dy}{dx} - a_1y = 0, +\] +on obtiendra l'expression différentielle linéaire, homogène, d'ordre +$m - 1$, +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2, +\] +$A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 A_1$ étant une décomposition de $P$ en facteurs premiers +symboliques. + +De même, si l'on connaît une solution particulière de l'équation +transformée +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0 +\] +annulant $A_2$, on abaissera l'ordre de cette équation en prenant pour +inconnue $A_2$, ce qui revient à barrer $A_2$, et ainsi de suite. + +Inversement, lorsqu'on voudra introduire une nouvelle solution $y_0$ +dans l'équation $P(y) = 0$, on fera la substitution +\[ +y = \frac{dz}{dx} - a_{0}z = A_0, +\] +$a_0$ désignant la dérivée logarithmique de cette solution, et si l'on a +\[ +P = A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 A_1, +\] +% *** File: 096.png--- +l'équation nouvelle sera +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 A_1 A_0 = 0. +\] + +Elle admettra pour intégrales +\[ +y_0,\quad y_0 \int \frac{y_1}{y_0}\:dx, \quad + y_0 \int \frac{y_2}{y_0}\:dx, \quad \dots, \quad + y_0 \int \frac{y_m}{y_0}\:dx, +\] +ce qu'on peut écrire +\[ +e^{\int\! a_0\, dx}, \quad + e^{\int\! a_0\, dx}\tint y_1 e^{-\int\! a_0\, dx}\,dx, \quad \dots, \quad + e^{\int\! a_0\, dx}\tint y_m e^{-\int\! a_0\, dx}\,dx. +\] + +\myparagraph{77.} Si je considère l'équation différentielle +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + + q_1 \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb + q_{m-1}y = 0, +\] +et si, appliquant la méthode précédente, j'introduis une solution de +$A_1 = 0$, j'obtiendrai l'équation +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 A_1 = \frac{d^{m}y}{dx^m} + + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y = 0. +\] + +Les formules (1) du \nobf{74} font connaître les valeurs des nouveaux +coefficients $p$ en fonction de $a_1$ et des coefficients $q$. + +Réciproquement, si je débarrasse l'équation +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1 = 0 +\] +de la solution de $A_1= 0$, en supprimant le facteur $A_1$, j'obtiendrai +l'équation +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0, +\] +dont les coefficients $q$ seront donnés par les mêmes formules~(1) du \nobf{74}, +résolues par rapport à $q_1$, $q_2$, \dots, $q_m$: +\[ +\tag{1} +\left\{ +\begin{aligned} + q_1 &= a_{1} + p_{1},\\ + q_2 &= q_{1}a_{1} + p_{2} + (m-1) \frac{da_1}{dx},\\ + q_3 &= q_{2}a_{1} + p_{3} + \frac {(m-1)(m-2)}{1\ldot 2} \: + \frac{d^{2}a_{1}}{dx^{2}} + q_{1}(m-2)\frac{da_{1}}{dx},\\[1ex] +\multispan{2}{\dotfill.\rule[-1ex]{0pt}{0pt}} +\end{aligned} +\right. +\] + +% *** File: 097.png--- + +On voit donc que les termes indépendants des dérivées de $a_1$ se déduisent +les uns des autres comme les coefficients du quotient d'un polynôme +par $y - a_1$, de sorte que, si $a_1$ est constant, les coefficients $q$ sont ceux +du quotient du polynôme +\[ +y^m + p_{1}y^{m-1} + p_{2}y^{m-2} + \dotsb + p_m +\] +par $y-a_1$. + +\myparagraph{78.} Le mode de transformation de l'équation $P=0$, propre à abaisser +son ordre d'une unité quand on en connaît une solution particulière +$y_1$, et qui consiste à poser +\[ +\frac{dy}{dx} -\frac{1}{y_1} \: \frac{dy_1}{dx} y =z, +\] +diffère du procédé ordinairement usité, où l'on pose +\[ +y =y_1 \tint z\, dx. +\] + +Il existe une relation simple entre les deux procédés. L'égalité +$y=y_1 \int z \,dx$ donne, en effet, +\[ +z = \frac{d}{dx} \: \frac{y}{y_1}, +\] +tandis que la substitution $\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{1}{y_1} \:\dfrac{dy_1}{dx} y = z$ conduit à +\[ +z = y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y}{y_1}. +\] +Donc les intégrales de l'équation $A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0$, obtenue par l'une +des deux méthodes, sont égales à celles de l'équation $P(y_1 \tint z\,dx) = 0$, +obtenue par l'autre, multipliées par $y_1$. + +Je vais conclure de là deux identités, en ramenant les deux équations +à avoir les mêmes intégrales. + +Si je multiplie par $y_1$ les solutions de $P(y_1 \tint z\,dx) = 0$, ce qui se fait +en changeant $z$ en $\dfrac{z}{y_1}$, comme le premier coefficient de $P\Big( y_1 \displaystyle\int \dfrac{z}{y_1}\: dx\Big)$ +est l'unité, j'aurai l'identité +\[\tag{1} +P\Big(y_1 \int\frac{y}{y_1}\: dx\Big) = A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2. +\] +% *** File: 098.png--- + +Si je divise maintenant par $y_1$ les solutions de $A_m A_{m-1} \ldots A_3A_2 = 0$, +ce qui se fait (\nobf{75}) en retranchant $a_1$ à tous les coefficients $a_m$, +$a_{m-1}$, \dots, $a_3$, $a_2$, comme le premier coefficient de $P(y_1 \tint z\,dx)$ est $y_1$, +j'aurai la seconde identité +\[\tag{2} +\frac{1}{y_1} P(y_1 \tint y\,dx) = A_m' A_{m-1}' \ldots A_3' A_2', +\] +où l'on a +\[ +a_i' = a_i - a_1, \quad\dots,\quad i= 2, 3, \dots, m. +\] + +Remarquons que, si dans l'équation +\[ +P\Big(y_1 \int \frac{y}{y_1}\: dx\Big) = A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0 +\] +on remplace $y_1$ par sa valeur $y_1 = e^{\int\! a_1\, dx}$, et si l'on pose $y = e^{\int\! u_2\,dx}$, elle +deviendra +\[ +P(e^{\int\! a_1\, dx} \tint e^{\int (u_2 - a_1)\,dx}\,dx) = 0 +\] +et coïncidera, par conséquent, avec l'équation en $u_2$ du \nobf{73}, et les +équations en $u_1$, $u_2$, \dots, $u_m$ du dit numéro, qui déterminent $a_1$, $a_2$, \dots, +$a_m$, se déduisent des équations linéaires et homogènes +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1 = 0, \quad +A_m A_{m-1} \ldots A_2 = 0, \quad\dots, \quad +A_m A_{m-1} = 0,\quad +A_m = 0, +\] +en posant successivement, dans la première, $y=e^{\int\! u_1\, dx}$; dans la +deuxième, $y= e^{\int\! u_2\, dx}$; dans la troisième, $y = e^{\int\! u_3\, dx}$, etc. + +\myparagraph{79.} Étant donnée une équation algébrique admettant la racine $y_1$, +pour que l'équation obtenue en supprimant le facteur $y - y_1$ admette +encore la racine $y_1$, il faut et il suffit que $y_1$ satisfasse à l'équation +dérivée. + +De même, étant donnée l'équation différentielle +\[ +P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^m} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y = 0, +\] +qui admet la solution $y_1$ annulant $A_1$, pour que l'équation obtenue en +barrant le dernier facteur $A_1$ dans +\[ +P=A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1 = 0 +\] +% *** File: 099.png--- +admette encore la solution $y_1$, il faut et il suffit que $y_1$ satisfasse à +l'équation +\[ +m \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + (m-1)p_1 \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb + + 2p_{m-2} \frac{dy}{dx} + p_{m-1}y = 0. +\] + +En effet, l'identité (1) du numéro précédent montre que la condition +pour que l'équation +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0 +\] +soit vérifiée pour $y = y_1$ est que l'on ait +\[ +P\Big(y_1 \int \frac{y_1}{y_1} \: dx\Big) = 0 \quad \text{ou} \quad P(xy_1) = 0, +\] +c'est-à-dire que $P = 0$ admette l'intégrale $xy_1$. Or, si nous exprimons +cette condition, en tenant compte de $P(y_1) = 0$, nous trouvons +\[ +m \frac{d^{m-1}y_1}{dx^{m-1}} + (m+1) p_1 \frac{d^{m-2}y_1}{dx^{m-2}} + \dotsb + + 2p_{m-2} \frac{dy_1}{dx} + p_{m-1}y_1 = 0. +\] + +\myparagraph{80.} La condition précédente, écrite sous la forme $P(xy_1) = 0$, fait +voir que, pareillement, pour que l'équation obtenue en débarrassant +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0 +\] +de la solution $y_1$ admette encore cette intégrale, il faut et il suffit que +l'on ait +\[ +P\Big(y_1 \int \frac{xy_1}{y_1} \: dx\Big) = 0 \quad\text{ou}\quad P(x^{2}y_1) = 0; +\] +et, généralement, la condition nécessaire et suffisante pour que $y_1$ soit +solution de l'équation $P = 0$ et des $n - 1$ équations qui se déduisent +successivement l'une de l'autre en posant +\[ +\frac{dy}{dx} - \frac{1}{y_1} \: \frac{dy_1}{dx} = z +\] +est que $P = 0$ admette les $n$ intégrales +\[ +y_1,\ xy_1,\ x^{2}y_1,\ \dots,\ x^{n-1}y_1. +\] +Ces solutions, en progression géométrique de raison $x$, ont été appelées +% *** File: 100.png--- +par M.~Brassine solutions \emph{conjuguées}. L'analogue d'une équation +algébrique ayant $n$ racines égales est donc une équation différentielle +linéaire ayant $n$ solutions conjuguées. + +\emph{Lorsque l'équation différentielle $P = 0$ admet $n$ solutions conjuguées, +on peut décomposer le premier membre $P$ en $m$ facteurs premiers symboliques +dont les $n$ derniers seront égaux.} + +Soit, en effet, +\[ +y_1 = v_1, \quad y_2 = xv_1, \quad y_3=x^{2}v_1, \quad\dots,\quad + y_n = x^{n-1}v_1, \quad y_{n+1}, \quad\dots,\quad y_m +\] +un système fondamental de $P = 0$, et soit +\[ +P = A_m A_{m-1} \ldots A_n \ldots A_2 A_1 +\] +la décomposition corrélative de $P$. Elle jouira de la propriété énoncée, +car, si l'on calcule $v_2$, $v_3$, \dots, $v_n$ par les formules +\[ +y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_2 \,dx, \quad\dots,\quad + y_n = v_1 \tint v_2\,dx \tint \ldots \tint v_n\, dx, +\] +on trouve successivement +\[ +v_2 = 1, \quad v_3 = 2, \quad v_4 = 3, \quad\dots,\quad v_n = n-1, +\] +de sorte que l'on a +\[ +a_i = \frac{d\log(v_1 v_2 \ldots v_i)}{dx} = + \frac {d\log[1\ldot2\ldot3 \ldots (i-1)v_1]}{dx} = \frac{d\log v_1}{dx}, +\] +ou +\[ +a_i = a_1, \quad i = 2, 3, \dots, n. +\] + +\spreadout{La démonstration pourrait d'ailleurs se conclure de ce fait que l'expression} \\ +$A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2$, devant encore s'annuler pour $y=y_1$, peut +se mettre sous la forme +\[ +A_m' A_{m-1}' \ldots A_3' A_1. +\] + +Réciproquement, \emph{si l'expression $P$ est décomposable en $m$ facteurs premiers +symboliques dont les $n$ derniers sont égaux, l'équation $P = 0$ +admettra $n$ solutions conjuguées.} + +\spreadout{Si, en effet, on forme le système fondamental corrélatif de la décomposition} \\ +$A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1$, savoir: +\[ +y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_2\, dx, \quad\dots,\quad + y_m = v_1 \tint v_2 \,dx \tint \ldots \tint v_m \,dx, +\] +% *** File: 101.png--- +on voit immédiatement que $v_2$, $v_3$, \dots, $v_n$, étant donnés par les formules +(\nobf{72}) +\[ +v_2 = e^{\int (a_2 - a_1)\,dx}, \quad +v_3 = e^{\int (a_3 - a_2)\,dx}, \quad\dots,\quad +v_n = e^{\int (a_n - a_{n-1})\,dx}, +\] +où l'on a +\[ +a_1 = a_2 = a_3 = \ldots = a_n, +\] +sont des constantes, d'où il résulte que $y_1$, $y_2$, \dots, $y_n$, sont de la forme +\[ +y_1 = v_1, \quad y_2 = x v_1, \quad y_2 = x^2 v_1, \quad\dots,\quad y_n = x^{n-1} v_1. +\] + +Nous avons vu une vérification de cette réciproque au \nobf{73}, pour +l'équation du second ordre. + +On peut aisément se rendre compte de ce qui a lieu pour une +équation +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1 = 0, +\] +où $n$ facteurs consécutifs sont égaux, mais non plus les derniers. Supposons, +par exemple, +\[ +A_{n+1} = A_n = A_{n-1} = \ldots = A_2. +\] +L'équation +\[ +A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0 +\] +admet alors les $n$ solutions conjuguées +\[ +v_1 v_2,\ x v_1 v_2,\ x^{2}v_1 v_2,\ \dots,\ x^{n-1}v_1 v_2. +\] +Donc (\nobf{76}) la proposée admettra les $n$ intégrales +\[ +y_2 = v_1 \tint v_2\,dx, \quad y_3=v_1 \tint x v_2\,dx, \quad +y_4 = v_1 \tint x^2 v_2\,dx, \quad\dots,\quad +y_{n+1} = v_1 \tint x^{n-1} v_2\,dx, +\] +qui sont telles qu'on a +\[ +\frac{d}{dx} \: \frac{y_2}{v_1} = v_2, \quad +\frac{d}{dx} \: \frac{y_3}{v_1} = x v_2, \quad\dots,\quad +\frac{d}{dx} \: \frac{y_{n+1}}{v_1} = x^{n-1}v_2. +\] +Ce sont ces dérivées qui sont conjuguées et non plus les solutions +elles-mêmes. + +\myparagraph{81.} Je me propose à présent de décomposer l'expression différentielle +\[ +P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y +\] +% *** File: 102.png--- +en facteurs premiers symboliques, dans les deux cas particuliers où +l'équation $P = 0$ est intégrable, savoir +\[ +p_i = \frac{R_{i}}{(rx + s)^i}, \quad p_i = R_i, +\] +$R_i$, $r$ et $s$ étant des constantes. + +Considérons d'abord l'expression +\[ +P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + + \frac{R_1}{rx + s} \: \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + + \frac{R_2}{(rx + s)^2} \: \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb + + \frac{R_{m}}{(rx + s)^{m}} y, +\] +que je veux mettre sous la forme +\[ +P=A_{m} A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1}. +\] +On sait que, si $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_m$ sont les racines de l'équation algébrique +\begin{multline*} +r^{m}\rho (\rho - 1) \ldots (\rho - m +1) + + R_{1}r^{m-1}\rho(\rho-1) \ldots (\rho - m + 2) + \dots +\\ +{}+ R_{m-2}r^{2} \rho (\rho - 1) + R_{m-1}r \rho + R_{m} = 0, +\end{multline*} +obtenue en posant $y = (rx + s)^{\rho}$ dans $P(y) = 0$, l'équation $P = 0$ +admet les intégrales +\[ +(rx + s)^{\rho_{1}}, \quad (rx + s)^{\rho_{2}}, \quad\dots,\quad (rx + s)^{\rho_{m}}, +\] +qui, en général, sont linéairement indépendantes. Connaissant ces intégrales, +j'en déduis facilement $v_{1}$, $v_{2}$, \dots, $v_{m}$ par les formules +\[ +(rx + s)^{\rho_1} = v_{1}, \quad (rx + s)^{\rho_2} = v_{1} \tint v_{2}\,dx, \quad\dots,\quad +(rx + s)^{\rho_m} = v_1 \tint v_{2}\,dx \tint \ldots \tint v_{m}\,dx, +\] +et je trouve +\[ +v_1 = (rx + s)^{\rho_1}\!, v_{2} = (rx + s)^{\rho_{2} - \rho_{1}-1}\!, % +v_{3} = (rx + s)^{\rho_{3} - \rho_{2}-1}\!, \dots, % +v_m = (rx + s)^{\rho_{m} - \rho_{m-1}-1}\!, +\] +à des facteurs constants près. On a donc, à un facteur constant près, +\[ +v_{1}v_{2} \ldots v_{i} = (rx + s)^{\rho_{i} - i + 1}, \quad i = 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m, +\] +et, par suite, en prenant les dérivées logarithmiques, +\[ +a_{1} = \frac{\rho_{1}r}{rx + s}, \quad +a_{2} = \frac{(\rho_{2} - 1)r}{rx + s}, \quad +a_{3} = \frac{(\rho_{3} - 2)r}{rx + s}, \quad\dots,\quad +a_{m} = \frac{(\rho_{m} - m +1)r}{rx + s}. +\] + +Ainsi, l'expression $P$ est décomposable en facteurs premiers symboliques +% *** File: 103.png--- +de la forme +\[ +A_{i} = \frac{dy}{dx} - \frac{k_{i}}{rx + s} \: y, +\] +où $k_{i}$ est une constante égale à $(\rho_{i} - i + 1) r$. + +Réciproquement, toute expression composée de facteurs premiers +symboliques tels que +\[ +\frac{dy}{dx} - \frac{k_{i}}{rx + s} y, +\] +$k_{i}$ étant constant, sera de la forme $P$, où +\[ +p_{i} = \frac{R_{i}}{(rx + s)^{i}}. +\] +C'est en effet ce qui résulte immédiatement des formules (2) du \nobf{74}. + +Lorsqu'on a $\rho_{1} = \rho_{2} = \ldots = \rho_{n}$, on voit sans peine que la décomposition +donne les intégrales +\[ +(rx + s)^{\rho_{1}}, \quad (rx + s)^{\rho_{1}}\log (rx + s), \quad\dots,\quad +(rx + s)^{\rho_{1}}\log^{n-1} (rx + s), +\] +et, lorsqu'on a $\rho_{1} = \rho_{2} - 1 = \rho_{3} - 2 = \ldots = \rho_{n} - n +1$, elle donne +les solutions +\[ +(rx + s)^{\rho_{1}}, \quad (rx + s)^{\rho_{1} + 1}, \quad +(rx + s)^{\rho_{1} + 2}, \quad\dots,\quad (rx + s)^{\rho_{1} + n - 1}, +\] +équivalentes évidemment aux solutions conjuguées +\[ +(rx + s)^{\rho_{1}}, \quad x(rx + s)^{\rho_{1}}, +\quad\dots,\quad x^{n-1}(rx + s)^{\rho_{1}}, +\] +ce qui devait être d'après le numéro précédent; de sorte que, quand +l'équation algébrique en $\rho$ a $n$ racines en progression arithmétique de +raison 1, l'équation différentielle a $n$ solutions en progression géométrique +de raison $x$. + +\myparagraph{82.} Je considère maintenant l'expression +\[ +P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_{1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y +\] +dans le cas où les coefficients $p_{1}$, $p_{2}$, \dots, $p_m$ sont constants. C'est ici +que l'analogie de l'équation $P = 0$ avec une équation algébrique va se +présenter de la manière la plus complète. +% *** File: 104.png--- + +Il a été établi au \nobf{74} que, si l'on effectue la composition des +facteurs +\[ +A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1}, +\] +dont les coefficients $a$ sont constants, on obtient une expression différentielle +dont les coefficients ont pour valeurs +\[ +-\textstyle\sum {a_{i}}, \quad +\textstyle\sum {a_{i}a_{j}}, \quad +-\textstyle\sum{a_{i}a_{j}a_{k}}, \quad\dots, +\] +de sorte que ces coefficients sont eux-mêmes constants. Inversement, +les coefficients $p_{1}$, $p_{2}$, \dots, $p_m$ étant constants, si l'on détermine les $a$ +par les formules +\[ +p_{1}=-\textstyle\sum {a_{i}}, \quad p_{2}= +\textstyle\sum {a_{i}a_{j}}, \quad +p_{3}=-\textstyle\sum{a_{i}a_{j}a_{k}}, \quad\dots, +\] +on obtiendra des valeurs constantes qui sont les racines de l'équation +algébrique +\[ +\rho^{m} + p_{1}\rho^{m-1} + p_{2}\rho^{m-2} + \dotsb + p_{m} = 0, +\] +obtenue en posant $y = e^{\rho x}$ dans $P(y)=0$. + +Donc, toute expression telle que $P$ est décomposable (\nobf{44}) en +$m$ facteurs premiers symboliques à coefficients constants, ces coefficients +étant les racines du polynôme +\[ +e^{-\rho x}P(e^{\rho x}). +\] + +Remarquons que les coefficients $p$ sont des fonctions symétriques +des coefficients $a$; d'où cette proposition: + +Dans une expression composée de facteurs premiers symboliques +à coefficients constants, on peut intervertir d'une manière quelconque +l'ordre des facteurs sans altérer les coefficients de l'expression résultante. + +Il résulte de là que: + +Pour qu'une expression composée de facteurs premiers symboliques +à coefficients constants soit nulle, il suffit qu'un de ces facteurs soit +nul, ou, plus généralement, qu'une expression composée de plusieurs +de ces facteurs soit nulle. + +Car, si $A_{8}A_{6}A_3$, par exemple, est nul, l'expression proposée, pouvant +s'écrire $A_{m}A_{m-1} \ldots A_{1}A_{8}A_{6}A_{3}$, sera elle-même nulle. + +Ce dernier théorème donne immédiatement l'intégrale générale de +l'équation $P = 0$. +% *** File: 105.png--- + +En effet, si les facteurs $A$ sont inégaux, en les égalant séparément à +zéro, nous obtenons $m$ solutions linéairement indépendantes +\[ +e^{\alpha_{1}x}, \ e^{\alpha_{2}x}, \ % +e^{\alpha_{3}x}, \ \dots, \ e^{\alpha_{m}x}, +\] +Si maintenant $\alpha_1$ facteurs sont égaux à $A_{1}$, $\alpha_{2}$ à $A_{2}$, \dots, $\alpha_n$ à $A_{n}$, de +telle sorte que +\[ +\alpha_{1} + \alpha_{2} + \dotsb + \alpha_{n} = m, +\] +égalons séparément à zéro ces $n$ groupes de facteurs égaux +\[ +A_{1}A_{1} \ldots A_{1}= 0, \quad A_{2}A_{2} \ldots A_{2}= 0, +\quad\dots,\quad A_{n}A_{n} \ldots A_{n}= 0; +\] +il résulte du \nobf{80} que ces $n$ équations ont chacune toutes leurs solutions +conjuguées et égales respectivement à +\begin{align*} +&e^{\alpha_{1} x},\ xe^{\alpha_{1} x},\ \dots,\ x^{\alpha_1-1}e^{\alpha_{1} x},\\ +\multispan{2}{\dotfill,\ }\\ +&e^{\alpha_{n} x},\ xe^{\alpha_{n} x},\ \dots,\ x^{\alpha_{n}-1}e^{\alpha_{n} x}. +\end{align*} +Nous avons donc encore ici $m$ intégrales, et elles sont linéairement +indépendantes. + +\myparagraph{83.} Soit une expression différentielle +\[ +A_{m}A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1} +\] +composée de $m$ facteurs premiers symboliques, et soit +\[ +P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_{1}\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y +\] +ce qu'elle devient quand on effectue la composition des facteurs $A$. +Lorsqu'on pourra intervertir d'une manière quelconque l'ordre de ces +facteurs sans altérer les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_m$ de l'expression résultante, +on dira que ces facteurs sont \emph{commutatifs}. En adoptant successivement +deux dispositions différentes pour les facteurs, puis effectuant +dans chaque cas les opérations, on obtiendra deux expressions +différentielles identiques, c'est-à-dire que les coefficients des dérivées +de même ordre, dans les deux expressions, seront égaux. + +Nous avons vu qu'une expression différentielle linéaire, à coefficients +constants, peut se décomposer en facteurs commutatifs. Je vais étudier +% *** File: 106.png--- +d'une manière générale les expressions linéaires homogènes qui sont +décomposables en facteurs premiers symboliques commutatifs. + +\myparagraph{84.} Considérons l'expression différentielle +\[ +A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1}, +\] +et comparons-la à l'expression +\[ +A_{m-1}A_{m} \ldots A_{3}A_{2}A_{1}. +\] +J'effectue les opérations $A_{m-2}A_{m-3} \ldots A_{2}A_{1}$, et je pose +\[ +A_{m-2}A_{m-3} \ldots A_{2}A_{1}=A. +\] +On a +\begin{align*} +A_{m}A_{m-1}A &= \frac{d^{2}A}{dx^2}-(a_{m-1}+a_{m}) \frac{dA}{dx} + + \Big(a_{m-1}a_{m}- \frac{da_{m-1}}{dx}\Big)A,\\ +A_{m-1}A_{m}A &= \frac{d^{2}A}{dx^2}-(a_{m-1}+a_{m}) \frac{dA}{dx} + + \Big(a_{m-1}a_{m}- \frac{da_m}{dx}\Big)A.\\ +\end{align*} + +Si donc $\dfrac{da_{m}}{dx}$ et $\dfrac{da_{m-1}}{dx}$ sont égaux, c'est-à-dire si $a_m - a_{m-1}$ est constant, +les deux expressions $A_{m}A_{m-1}A$ et $A_{m-1}A_{m}A$ seront identiques, +et, réciproquement, si $A_{m}A_{m-1}A$ et $A_{m-1}A_{m}A$ sont identiques, la différence +\[ +A_{m}A_{m-1}A - A_{m-1}A_{m}A = \Big(\frac{da_{m}}{dx} - \frac{da_{m-1}}{dx}\Big)A +\] +devant alors être nulle identiquement, comme $A$ ne l'est pas, +\[ +\frac{da_{m}}{dx} - \frac{da_{m-1}}{dx} +\] +sera nul et $a_{m}-a_{m-1}$ sera constant. + +D'où cette proposition: + +Pour que, dans une expression différentielle composée de facteurs +premiers symboliques, on puisse intervertir les deux premiers, il faut +et il suffit que les coefficients de ces deux facteurs diffèrent par une +constante. + +Comparons maintenant les deux expressions +\[ +A_{m}A_{m-1}A_{m-2}A_{m-3}A_{m-4} \ldots A_{1} \quad\text{et}\quad +A_{m}A_{m-1}A_{m-3}A_{m-2}A_{m-4} \ldots A_{1}. +\] +% *** File: 107.png--- +Si les coefficients $a_{m-2}$ et $a_{m-3}$ diffèrent par une constante, d'après le +théorème précédent, +\[ +A_{m-2}A_{m-3}A_{m-4} \ldots A_{1} \quad\text{et}\quad +A_{m-3}A_{m-2}A_{m-4} \ldots A_{1} +\] +seront identiques, et, par suite, il en sera de même des deux expressions +considérées. Inversement, je dis que, si ces deux dernières +expressions sont identiques, +\[ +A_{m-2}A_{m-3}A_{m-4} \ldots A_{1} = S \quad\text{et}\quad +A_{m-3}A_{m-2}A_{m-4} \ldots A_{1} = T +\] +seront aussi identiques, et, par conséquent, $a_{m-2}$ et $a_{m-3}$ différeront +par une constante. En effet, la différence +\[ +A_{m}A_{m-1}S - A_{m}A_{m-1}T = A_{m}A_{m-1}(S-T) +\] +est alors identiquement nulle. Or on a +\[ +A_{m}A_{m-1}(S-T) = \frac{d^2 (S-T)}{dx^2} + - (a_{m-1} + a_{m})\frac{d (S-T)}{dx} + + \Big(a_{m-1}a_{m} - \frac{da_{m-1}}{dx}\Big)(S-T); +\] +donc $S$ et $T$ sont identiques, car, sinon, soit $r\dfrac{d^n y}{dx^n}$ le premier terme qui +ne disparaît pas dans la différence $S - T$; $A_{m}A_{m-1}(S - T)$ contiendrait +le terme irréductible $r\dfrac{d^{n+2}y}{dx^{n+2}}$, et, par suite, ne serait pas identiquement +nul. + +On peut donc énoncer la proposition suivante: + +Pour que, dans une expression différentielle composée de facteurs +premiers symboliques, on puisse intervertir deux facteurs consécutifs, +il faut et il suffit que les coefficients de ces deux facteurs diffèrent par +une constante. + +On en déduit la proposition générale: + +\myprop{Pour que, dans une expression différentielle composée de facteurs premiers +symboliques, ces facteurs soient commutatifs, il faut et il suffit que +les différences de leurs coefficients, pris deux à deux, soient des constantes.} + +\myparagraph{85.} Ces conditions, imposées aux coefficients des équations composantes, +condu\-isent à des relations correspondantes entre leurs intégrales. +% *** File: 108.png--- + +Considérons, en effet, les deux équations +\[ +\frac{dy}{dx} - a_{n}y = 0, \quad \frac{dy}{dx} - a_{r}y = 0, +\] +et soient $y_n$ et $y_r$ leurs intégrales générales respectives. Si je pose dans +la première $y =y_{r}z$, j'obtiens l'équation en $z$ +\[ +\frac{dz}{dx} - (a_{n}-a_{r})z = 0, +\] +qui donne le rapport $\dfrac{y_{n}}{y_{r}}$ des deux intégrales. Or, si $a_{n} - a_{r}$ est constant, +elle donne $z = C e^{\alpha x}$, $\alpha$ étant constant comme $C$, et inversement, +si $z$ est de cette forme, $a_{n} - a_{r}$ sera constant; de sorte que dire que +$a_{n} - a_{r}$ est constant revient à dire que le rapport $\dfrac{y_{n}}{y_r}$ est de la forme +\[ +\frac{y_{n}}{y_r}= Ce^{\alpha x}, +\] +d'où cette transformation de la proposition générale: + +\myprop{Pour que, dans une expression différentielle composée de facteurs premiers +symboliques, ces facteurs soient commutatifs, il faut et il suffit +que les rapports des intégrales des équations composantes, prises deux à +deux, soient de la forme $Ce^{\alpha x}$, $C$ et $\alpha$ étant des constantes.} + +\myparagraph{86.} Il est clair qu'une expression composée de facteurs premiers +symboliques commutatifs sera nulle si l'un de ces facteurs est nul, ou, +plus généralement, si une expression composée avec plusieurs de ces +facteurs est nulle. + +On déduirait de là, comme dans le cas des coefficients constants, +l'intégrale générale de l'équation, intégrale qu'on peut d'ailleurs +trouver de plusieurs façons, par exemple à l'aide des formules du +\nobf{72}; mais je la conclurai des considérations qui vont suivre. + +Je me propose actuellement de trouver la forme des expressions différentielles +\[ +P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_{1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y, +\] +qui sont décomposables en facteurs premiers symboliques commutatifs. +% *** File: 109.png--- + +Remarquons d'abord que les coefficients $p$ seront nécessairement des +fonctions symétriques des coefficients $a$ des facteurs commutatifs. On +calculerait ces fonctions par les formules (2) du \nobf{74}, en y supposant +\[ +\frac{da_{1}}{dx} = \frac{da_{2}}{dx} = \ldots = \frac{da_{m}}{dx}. +\] +Par exemple, on a +\[ +p_1 = -\textstyle\sum a_{i}, \quad +p_2 = \textstyle\sum a_{i}a_{j} -\displaystyle\frac{m(m-1)}{2} \: \frac{da_{1}}{dx}. +\] + +Si l'expression P est décomposable en facteurs commutatifs, on a +\[ +P = A_{m}A_{m-1} \ldots A_{1}, +\] +où les différences deux à deux des coefficients $a$ sont constantes. Soit +$y_n$ une solution de l'une quelconque des équations composantes, de +$A_n = 0$ par exemple: $y_n$ sera une intégrale de $P = 0$. Or, l'identité (3) +du \nobf{75} donne +\[ +\frac{1}{y_{n}} P(y_{n} y)=A_{m}'A_{m-1}' \ldots A_{2}'A_{1}', +\] +avec les conditions +\[ +a_{i}' = a_{i} - a_{n}, \quad i = 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m. +\] +Donc l'expression $\dfrac{1}{y_{n}} P(y_{n} y)$ a ses coefficients constants et est de la +forme +\[ +\frac{1}{y_{n}} P(y_{n} y)= Q(y) = +\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + q_{1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + q_{m-1} \frac{dy}{dx}, +\] +et, si je change $y$ en $\dfrac{y}{y_n}$, j'aurai +\[ +P(y) = y_{n}Q\Big(\frac{y}{y_n}\Big). +\] + +Par conséquent, \emph{toute expression $P(y)$, décomposable en facteurs commutatifs, +est de la forme} +\[ +P(y) = y_{n}Q\Big(\frac{y}{y_n}\Big), +\] +% *** File: 110.png--- +\emph{$y_n$ étant une fonction de $x$, et $Q(y)$ une expression telle que +\[ +\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + q_{1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + q_{m-1} \frac {dy}{dx}, +\] +où les coefficients $q$ sont constants.} + +\emph{Inversement, toute expression de la forme +\[ +P(y) = y_{n}Q\Big(\frac{y}{y_{n}}\Big) +\] +est décomposable en facteurs commutatifs.} + +On a, en effet, +\[ +Q(y) = B_{m}B_{m-1} \ldots B_{2}B_{1}, +\] +où les coefficients $b$ des facteurs sont constants. Or, l'identité (2) du +\nobf{75} nous donne +\[ +y_{n}Q\Big(\frac{y}{y_{n}}\Big) = B_{m}'B_{m-1}' \ldots B_{2}'B_{1}', +\] +avec les conditions +\[ +b'_{i} = b_{i} + \frac{d\log{y_n}}{dx}, \quad i = 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m. +\] +Donc les coefficients $b'$ des facteurs $B'$ diffèrent deux à deux par des +constantes, et, par suite, ces facteurs sont commutatifs. + +La forme $y_{n}Q\Big(\dfrac{y}{y_n}\Big)$ est donc nécessaire et suffisante pour que $P(y)$ +soit décomposable au moins en un système de facteurs commutatifs. + +Il est facile de conclure de là l'intégrale générale de $P = 0$ dans ce +cas. Soient, en effet, $w_1$, $w_2$, \dots, $w_m$ les intégrales particulières de +$Q(y) = 0$; l'une d'elles est constante, puisque $Q(y)$ ne renferme pas +de terme en $y$, et les autres sont de la forme $x^{i}e^{x\rho}$. L'équation +$Q \Big(\dfrac{y}{y_n}\Big) = 0$ ou $P(y) = 0$ admettra les intégrales linéairement indépendantes +\[ +y_{n}w_{1},\ y_{n}w_{2},\ \dots,\ y_{n}w_{m}. +\] +Donc, lorsque $P$ est décomposable en facteurs commutatifs, si $y_n$ désigne +une fonction annulant l'un de ces $m$ facteurs, l'équation $P = 0$ +admet $m$ intégrales linéairement indépendantes de la forme $y_{n}x^{i}e^{x\rho}$, +en y comprenant $y_n$. +% *** File: 111.png--- + +\myparagraph{87.} Cherchons la condition pour que l'expression du second ordre +\[ +P(y) = \frac{d^{2}y}{dx^2} + p_1 \frac{dy}{dx} + p_{2}y +\] +soit décomposable en deux facteurs commutatifs +\[ +P=A_{2}A_{1}. +\] +Traitons la question directement. On a +\[ +A_{2}A_{1} = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - +(a_{1} + a_{2})\frac{dy}{dx} + +\Big(a_{1}a_{2} - \frac{da_{1}}{dx}\Big), +\] +d'où les deux équations +\[ +a_{1} + a_{2} = -p_{1}, \quad a_{1}a_{2} - \frac{da_{1}}{dx} = p_{2}, +\] +avec la condition $\dfrac{da_{1}}{dx} = \dfrac{da_{2}}{dx}$. On en déduit +\begin{gather*} +\frac{da_{1}}{dx} = \frac{da_{2}}{dx} = + \frac{1}{2} \: \frac{d(a_{1} + a_{2})}{dx} = + -\frac{1}{2} \: \frac{dp_{1}}{dx}, +\\ +a_{1}a_{2} = p_{2} - \frac{1}{2} \: \frac{dp_{1}}{dx}, +\\ +\left(\frac{a_{1}-a_{2}}{2}\right)^{2} = +\frac{1}{2}\:\frac{dp_{1}}{dx}+\frac{p_{1}^{2}}{4}-p_{2}. +\end{gather*} +Or, la différence $a_{1}-a_{2}$ doit être constante. Donc la condition nécessaire +et suffisante est +\[ +\frac{1}{2}\:\frac{dp_{1}}{dx}+\frac{p_{1}^{2}}{4}-p_{2}=\text{const}. +\] + +Lorsque la constante est nulle, les deux facteurs commutatifs sont +évidemment égaux, et nous retrouvons bien la relation +\[ +\frac{1}{2}\:\frac{dp_{1}}{dx}+\frac{p_{1}^{2}}{4}-p_{2}=0, +\] +trouvée au \nobf{73}. +% *** File: 112.png--- + +\myparagraph{88.} La décomposition d'une expression différentielle linéaire et +homogène en facteurs premiers symboliques a été étudiée, dans le cas +des coefficients constants, par le géomètre français Brisson, qui en a +déduit une ingénieuse méthode d'intégration des équations linéaires à +coefficients constants, avec ou sans second membre. Cauchy a signalé +la fécondité de cette méthode\footnote{% +\emph{Exercices mathématiques}, t.~II, p.~169.}% +. Je me propose de généraliser le procédé, +qui s'étend aux équations linéaires à coefficients variables, en +montrant comment il fournit l'intégrale générale d'une équation complète +quand on connaît celle de l'équation privée du second membre. + +Considérons l'équation linéaire +\[ +P(y)=\frac{d^{m}y}{dx^m} + p_{1}\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb + p_{m}y=\varpi(x). +\] +Par hypothèse, on connaît l'intégrale générale de l'équation privée du +second membre: $P = 0$. On connaît donc toutes les décompositions +possibles du premier membre en facteurs premiers symboliques. Soit +\[ +P=A_{m}A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1} +\] +l'une d'elles. L'intégration de l'équation +\[\tag{1} +A_{m}A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1}=\varpi (x) +\] +peut se ramener à celle d'un système de $m$ équations simultanées, +linéaires et du premier ordre. + +En effet, si je pose +\[\tag{2} +A_{m-1}A_{m-2} \ldots A_{1}=u_{m}, +\] +l'équation (1) s'écrira +\[ +\frac{du_m}{dx}-a_{m}u_{m}=\varpi(x); +\] +si je pose de même +\[\tag{3} +A_{m-2}A_{m-3} \ldots A_1 = u_{m-1}, +\] +l'équation (2) s'écrira +\[ +\frac{du_{m-1}}{dx} -a_{m-1}u_{m-1}=u_m, +\] +% *** File: 113.png--- +et ainsi de suite. J'obtiens donc bien les $m$ équations linéaires du premier +ordre +\begin{align*} +&\begin{alignedat}{4} +&\frac{du_{m}}{dx} &&- a_{m} &&{}u_{m} && = \varpi(x),\\ +&\frac{du_{m-1}}{dx} &&- a_{m-1}&&{}u_{m-1} && = u_{m},\\ +&\frac{du_{m-2}}{dx} &&- a_{m-2}&&{}u_{m-2} && = u_{m-1},\\ +\end{alignedat}\\ +\multispan{2}{\dotfill,}\\ +&\frac{du_{1}}{dx}-a_{1}u_{1}=u_{2}, +\end{align*} +qui devront être intégrées dans l'ordre où elles sont écrites, et où $u_1$ +désigne $y$. + +Observons que les valeurs de $u_1$, $u_2$, $u_3$, \dots, déduites de ces équations, +renfermeront en général des intégrales multiples. Soit $z_i$ une +solution de $A_i = 0$, +\[ +z_i=e^{\int\! a_{i}dx}, \quad i= 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m, +\] +la constante arbitraire dans $\int\! a_{i}\,dx$ ayant une valeur déterminée. + +On aura successivement +\begin{alignat*}{4} +&u_m &&= z_{m} \int \frac{\varpi(x)}{z_m}\:dx, +\\ +&u_{m-1} &&= z_{m-1} \int \frac{u_{m}}{z_{m-1}}\:dx + = z_{m-1} \int \frac{z_{m}}{z_{m-1}}\:dx + \int \frac{\varpi(x)}{z_m}\:dx, +\\ +&u_{m-2} &&= z_{m-2} \int \frac{u_{m-1}}{z_{m-2}}\:dx + = z_{m-2}\: \int \frac{z_{m-1}}{z_{m-2}}\:dx + \int \frac{z_{m }}{z_{m-1}}\:dx + \int \frac{\varpi(x)}{z_m}\:dx, +\\ +&\multispan{3}{\dotfill,} +\\ +&u_{1} &&= y = z_{1} \int \frac{u_{2}}{z_{1}}\:dx + = z_{1} \int \frac{z_{2}}{z_{1}}\:dx + \int \frac{z_3}{z_2}\:dx \int \dots + \int \frac{\varpi(x)}{z_m}\:dx. +\end{alignat*} + +Il est facile de voir que, si les facteurs $A$ sont commutatifs, on pourra +toujours remplacer les intégrales multiples par des intégrales simples, +en recourant à l'intégration par parties. + +En effet, le rapport $\dfrac{z_i}{z_j}$ des solutions de deux équations composantes +% *** File: 114.png--- +est alors (\nobf{85}) de la forme $Ce^{\alpha x}$, $\alpha$ étant constant, comme $C$. Or on a +\[ +\int \frac{z_{m}}{z_{m-1}} \: dx \int \frac{\varpi(x)}{z_{m}} \: dx = +\int \frac{z_{m}}{z_{m-1}} \: dx \times \int \frac{\varpi(x)}{z_{m}} \: dx - +\int \frac{\varpi(x)}{z_{m}} \: dx \int \frac{z_{m}}{z_{m-1}} \: dx, +\] +d'où l'on tire +\[ +u_{m-1}=\frac{z_{m}}{\alpha} \int \frac {\varpi(x)}{z_{m}} \:dx - +\frac{z_{m-1}}{\alpha} \int \frac {\varpi(x)}{z_{m-1}} \: dx. +\] +La fonction $u_{m-1}$ est donc exprimable par des intégrales simples, et il +en sera de même de $u_{m-2}$, $u_{m-3}$, \dots, $u_{2}$ et de $u_1$ ou $y$. Cela est toujours +vrai, en particulier, lorsque l'expression $P$ est à coefficients constants. + +La même réduction a lieu quand on a +\[ +p_{i}=\frac{R_{i}}{(rx + s)^{i}}, \quad i = 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m, +\] +$R_i$ étant constant, et généralement quand le rapport $\dfrac{z_{i}\,dx}{z_{i-1}}$ est intégrable. + +\myparagraph{89.} Appliquons la méthode précédente à l'intégration de l'équation +différentielle +\[ +P(y)=\frac{d^{2}y}{dx^2} - \frac{r(\rho_1 + \rho_2 - 1)}{rx + s}\: \frac{dy}{dx} + +\frac{r^{2}\rho_1\rho_2}{(rx + s)^2}y = \varpi(x), +\] +où $\rho_1$, $\rho_2$, $r$ et $s$ sont des constantes, $\rho_1$ étant différent de $\rho_2$. + +L'équation $P = 0$ admet les deux solutions linéairement indépendantes +$(rx + s)^{\rho_1}$ et $(rx + s)^{\rho_2}$; on en conclut la décomposition de $P$ +en facteurs premiers symboliques +\[ +P = A_{2}A_{1}, +\] +où l'on a (\nobf{81}) +\begin{align*} +A_2 &= \frac{dy}{dx} - \frac{(\rho_2 - 1)r}{rx + s} y,\\ +A_1 &= \frac{dy}{dx} - \frac{\rho_{1}r}{rx + s} y. +\end{align*} + +Les équations $A_2 = 0$ et $A_1 = 0$ admettent d'ailleurs respectivement +les deux solutions +\[ +z_2=(rx + s)^{\rho_{2}-1}, \quad z_1=(rx + s)^{\rho_{1}}. +\] +% *** File: 115.png--- +Il s'agit d'intégrer le système +\begin{alignat*}{4} +\frac{du_{2}}{dx} &- \frac{(\rho_2 -1)r}{rx+s} \:&&u_2 &&= \varpi(x),\\ +\frac{du_{1}}{dx} &- \frac{\rho_{1}r}{rx+s} &&u_1 &&= u_2. +\end{alignat*} +Or, l'intégrale générale de la première équation est +\[ +u_2 =(rx+s)^{\rho_{2}-1} \int \frac{\varpi(x)}{(rx+s)^{\rho_{2}-1}}\:dx; +\] +on en conclut celle de la seconde +\[ +u_1 = y =(rx+s)^{\rho_1} \int (rx+s)^{\rho_{2}-\rho_{1}-1}\:dx +\int \frac{\varpi(x)}{(rx+s)^{\rho_{2}-1}}\:dx. +\] + +Chassons l'intégrale double en intégrant par parties, et nous obtenons +l'intégrale générale de $P(y) = \varpi(x)$ sous la forme +\[ +y = \frac{(rx+s)^{\rho_1}}{r(\rho_1 - \rho_2)} +\int \frac{\varpi(x)}{(rx+s)^{\rho_{1}-1}}\:dx + +\frac{(rx+s)^{\rho_2}}{r(\rho_2 - \rho_1)} +\int \frac{\varpi(x)}{(rx+s)^{\rho_{2}-1}}\:dx, +\] +ce qu'on peut encore écrire +\begin{multline*} +y = C_1(rx+s)^{\rho_1} + C_2(rx+s)^{\rho_2} \\ + {}+ \frac{1}{r(\rho_1 - \rho_2)} \int \frac{\varpi(x)}{(rx+s)^{\rho_{1}-1}}\:dx + + \frac{1}{r(\rho_2 - \rho_1)} \int \frac{\varpi(x)}{(rx+s)^{\rho_{2}-1}}\:dx, +\end{multline*} +$C_1$ et $C_2$ étant les deux constantes arbitraires. + + + +\mysection{SEPTIÈME PARTIE.} + +\myparagraph{90.} Dans cette dernière Partie, j'appliquerai la décomposition en +facteurs premiers symboliques à l'étude des intégrales régulières. +Comme nous le verrons, cette décomposition peut s'effectuer suivant +des facteurs à coefficient monotrope, et la considération de ces facteurs +permet d'établir simplement tous les théorèmes, en même temps +qu'elle montre clairement l'origine de la différence qui existe souvent +% *** File: 116.png--- +entre le degré de l'équation déterminante et le nombre des intégrales +régulières linéairement indépendantes. + +Je rappelle d'abord que, pour que l'équation du premier ordre +\[ +\frac{dy}{dx} - ay = 0, +\] +où le coefficient $a$ est une double série procédant suivant les puissances +entières positives et négatives de $x$, et convergente dans le domaine +du point singulier zéro, ait ses intégrales régulières, il faut et il suffit +que ce coefficient soit de la forme +\[ +a=\frac{\alpha}{x}, +\] +$\alpha$ étant une fonction qui ne renferme dans son développement que des +puissances positives de $x$ et qui peut être nulle pour $x = 0$. + +Quand cette condition est remplie, l'équation déterminante est du +premier degré, et, si $\rho$ est sa racine, les intégrales sont de la forme +\[ +x^{\rho}\psi(x), +\] +la fonction $\psi(x)$ étant analogue à $\alpha$, sauf qu'elle n'est certainement +pas nulle pour $x = 0$. Quand la condition n'est pas remplie, $a$ présentant +néanmoins le caractère des fonctions rationnelles, l'équation +déterminante est du degré zéro et les intégrales sont de la forme +\[ +e^{\frac{c_1}{x} +\frac{c_2}{x^2} + \dotsb + \frac{c_{\nu}}{x^{\nu}}}x^{\rho}\psi(x), +\] +$\nu + 1$ étant l'ordre infinitésimal de la valeur infinie que prend $a$ pour +$x = 0$. + +Je désignerai, pour abréger, par \emph{facteur régulier} un facteur premier +symbolique tel que +\[ +\frac{dy}{dx}-\frac{\alpha}{x}y. +\] + +Il est évident, d'après les formules (2) du \nobf{74}, qu'une expression +composée de $m$ facteurs réguliers est de la forme +\[ +\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + \frac{P_1}{x}\:\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ +\frac{P_2}{x^2}\:\frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb + \frac{P_m}{x^m}y, +\] +% *** File: 117.png--- +les fonctions $P_i$ étant holomorphes dans le domaine du point zéro et +pouvant être nulles pour $x = 0$. D'ailleurs, pour ramener une pareille +expression à la forme normale, il suffira de la multiplier par $x^m$. + +\myparagraph{91.} Nous avons démontré au \nobf{36} la proposition suivante, due à +M.~Fröbenius: + +\myprop{Si une expression différentielle est composée d'expressions différentielles +de forme normale, elle a elle-même la forme normale, et sa fonction déterminante +est le produit des fonctions déterminantes des expressions +composantes.} + +Admettant ce théorème, je considérerai des expressions composantes, +non plus de forme normale, mais de la forme +\[ +\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb + p_{m}y, +\] +où le premier coefficient est l'unité, les autres se développant en séries +procédant suivant les puissances entières de $x$, mais ne contenant qu'un +nombre limité de puissances négatives; puis, l'expression résultante +étant évidemment aussi de cette forme, je chercherai quelle relation +existe, dans ce cas, entre sa fonction déterminante et celles des composantes. +La relation est encore simple, comme je vais le montrer. + +\myparagraph{92.} J'examine d'abord une expression $P$ composée uniquement de +facteurs réguliers +\[ +P = A_{m}A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1}, \quad +A_i = \frac{dy}{dx} - \frac{\alpha_i}{x}y \quad(i=1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m). +\] +Soit +\[ +y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_{2}\,dx, \quad \dots, \quad + y_m = v_1 \tint v_{2}\,dx \tint \ldots \tint v_{m}\,dx +\] +le système fondamental corrélatif de cette décomposition de $P$. + +Comment doit-on modifier les facteurs $A$ pour que leurs nouvelles +expressions aient la forme normale et en même temps produisent, par +leur composition, la forme normale $x^{m}P$ de $P$? + +Je multiplie chaque facteur $A$ par $x$, et je désigne par $A''$ les produits; +ces produits ont la forme normale. Si je les compose, l'expression +résultante +\[ +P'' = A_m''A''_{m-1} \ldots A''_{2}A''_{1}, +\] +% *** File: 118.png--- +égalée à zéro, admettra le système fondamental +\[ +v_1, \quad v_{1}\int \frac{v_{2}}{x}\:dx, \quad +v_{1}\int \frac{v_{2}}{x}\:dx \int \frac{v_{3}}{x}\:dx, \quad \dots,\quad +v_1\int\frac{v_{2}}{x}\:dx \int \ldots \int \frac{v_m}{x}\:dx, +\] +car on voit sans peine que les équations +\[ +A''_1=0, \quad A''_1=v_1v_2, \quad A''_2A''_1=v_1v_2v_3, \quad \ldots +\] +admettent ces intégrales. Si donc j'ajoute aux coefficients $\dfrac{\alpha_i}{x}$ les dérivées +\[ +\frac{d\log{x^{i-1}}}{dx} = \frac{i-1}{x}, +\] +ce qui revient à augmenter les $\alpha_i$ des nombres $i-1$; comme, par ce +fait (\nobf{75}), les fonctions $v_2$, $v_3$, \dots, $v_m$ sont multipliées par $x$, je construirai, +en composant les résultats +\[ +A'_i=x\frac{dy}{dx} - (\alpha_i + i -1)y +\] +ainsi obtenus, une expression +\[ +P'=A'_{m}A'_{m-1} \ldots A'_{2}A'_{1}, +\] +qui, égalée à zéro, admettra le système fondamental +\[ +y_1=v_1, \quad y_2=v_1\tint{v_2}\:dx, \quad\ldots,\quad +y_m=v_1\tint{v_2}\:dx\tint \ldots \tint{v_m}\:dx, +\] +c'est-à-dire le même que $P = 0$, et, par conséquent, comme le premier +coefficient de $P'$ est $x^m$, on aura +\[ +P'=x^{m}P. +\] +Ainsi donc, l'expression $P$, mise sous sa forme normale $x^{m}P$, est identique +à l'expression $A'_{m}A'_{m-1}\ldots A'_{2}A'_{1}$; d'où ce théorème: + +\myprop{Étant donnée une expression composée uniquement de facteurs ré\-gu\-liers +tels que $\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{\alpha_i}{x}y$, pour la mettre sous sa forme normale, on ajoute aux +quantités $\alpha_i$ les nombres $i - 1$, puis on ramène les nouveaux facteurs à la +forme normale en les multipliant par $x$.} + +% *** File: 119.png--- + +Par exemple, si l'on fait $r = 1$, $s = 0$ au \nobf{81}, on a l'identité +\[ +\frac{d^{2}y}{dx^2}-\frac{\rho_1 + \rho_2 - 1}{x}\:\frac{dy}{dx} + + \frac{\rho_1\rho_2}{x^2}y = A_{2}A_1, +\] +avec les conditions +\[ +A_2 = \frac{dy}{dx} - \frac{\rho_2 - 1}{x}y, \quad +A_1 = \frac{dy}{dx} - \frac{\rho_1}{x}y. +\] +On peut donc écrire +\[ +x^2\frac{d^{2}y}{dx^2} - (\rho_1 + \rho_2 - 1) x\frac{dy}{dx} + +\rho_1\rho_{2}y = A'_2A'_1, +\] +avec les conditions +\[ +A'_2=x\frac{dy}{dx} - \rho_{2}y, \quad +A'_1=x\frac{dy}{dx} - \rho_{1}y. +\] + +Le théorème précédent, c'est-à-dire l'identité +\[ +x^{m}P=A'_{m}A'_{m-1}\ldots A'_{2}A'_{1}, +\] +conduit immédiatement à la relation cherchée entre la fonction déterminante +$g(\rho)$ de $P$ et celles $h_{i}(\rho)=\rho - [\alpha_i]_{x=0}$ des facteurs réguliers +$A_i$. + +En effet, cette identité ayant lieu entre des formes normales, si +j'observe que la fonction déterminante de $A'_i$ est $\rho - i+1-[\alpha_i]_{x=0}$, +j'aurai identiquement +\[ +g(\rho)=(\rho-[\alpha_1]_{x=0})(\rho-1-[\alpha_2]_{x=0}) + (\rho-2-[\alpha_3]_{x=0})\ldots (\rho-m+1-[\alpha_m]_{x=0}), +\] +c'est-à-dire +\[ +g(\rho)=h_1(\rho)h_2(\rho-1)h_3(\rho-2)\ldots h_m(\rho-m+1). +\] + +\myparagraph{93.} Examinons ensuite une expression composée +\[ +P=QD, +\] +où les deux composantes linéaires homogènes $Q$ et $D$ sont d'ordres +$m - s$ et $s$ et ont pour premier coefficient l'unité, les autres présentant +le caractère des fonctions rationnelles. $P$ est alors d'ordre $m$ et de même +forme. Soient $x^{\beta}$, $x^{\varkappa}$ et $x^{\eta}$ les puissances de $x$ par lesquelles il faut +% *** File: 120.png--- +multiplier respectivement les expressions $P$, $Q$ et $D$ pour les amener à +leur forme normale. Il s'agit de trouver la relation qui existe entre les +fonctions déterminantes $g(\rho)$, $k(\rho)$ et $h(\rho)$ de ces trois expressions. + +Dans l'expression $D$, je fais la substitution +\[ +y=x^{\eta}z; +\] +elle devient $D'$, et $D'$ a la forme normale; il suffit de réfléchir à la formation +de ses coefficients pour s'en assurer. $P(y)$ devient alors $QD'$, +c'est-à-dire $P(x^{\eta}s)$. Puis je ramène $Q$ à sa forme normale $Q'$, en le multipliant +par $x_\varkappa$. On a donc +\[ +x^{\varkappa}P(x^{\eta}y)=Q'D'. +\] +Donc $x^\varkappa P(x^{\eta}y)$ a la forme normale, et sa fonction déterminante $g'(\rho)$ +est le produit des fonctions déterminantes $k'(\rho)$ et $h'(\rho)$ de $Q'$ et de $D'$: +\[ +g'(\rho)=hk'(\rho)h'(\rho). +\] +Remarquons, en passant, l'égalité +\[ +\varkappa+\eta=\beta +\] +Or, d'après la propriété établie au \nobf{33}, les fonctions déterminantes +de $x^{\varkappa}P(x^{\eta}y)$ ou $P(x^{\eta}y)$ et de $D(x^{\eta}y)$ se déduisent de celles de $P(y)$ +et de $D(y)$ en changeant $\rho$ en $\rho + \eta$; d'où +\[ +g'(\rho)=g(\rho + \eta), \quad h'(\rho)=h(\rho + \eta), +\] +et, par suite, à cause de $k'(\rho) = k(\rho)$, +\[ +g(\rho + \eta)= k(\rho)h(\rho + \eta). +\] +Si donc je change $\rho$ en $\rho - \eta$, j'obtiens l'identité cherchée +\[ +g(\rho)= h(\rho)k(\rho - \eta). +\] + +En particulier, si $D$ est de la forme +\[ +\frac{d^{s}y}{dx^{s}} + \frac{P_1}{x}\:\frac{d^{s-1}y}{dx^{s-1}} + +\frac{P_2}{x^2}\:\frac{d^{s-2}y}{dx^{s-2}} + \dotsb + \frac{P_s}{x^{s}}y, +\] +on aura +\[ +g(\rho)=h(\rho)k(\rho-s), +\] +car alors $\eta$ est égal à $s$. + +% *** File: 121.png--- + +\myparagraph{94.} Du cas de deux expressions composantes on passe facilement au +cas de trois: +\[ +P = QDL. +\] +Si $x^{\lambda}$ est la puissance de $x$ par laquelle il faut multiplier la nouvelle +expression $L$, pour la réduire à sa forme normale, et si $l(\rho)$ est sa +fonction déterminante, on aura +\[ +g(\rho)=l(\rho)h(\rho-\lambda)k(\rho-\lambda-\eta). +\] +En effet, on a +\[ +P = Q(DL). +\] +Or, soit $f(\rho)$ la fonction déterminante de $DL$; d'après une remarque +faite, on ramène $DL$ à la forme normale en le multipliant par $x^{\lambda+\eta}$. On +a donc +\[ +g(\rho)=f(\rho)k(\rho-\lambda-\eta). +\] +Mais +\[ +f(\rho)=l(\rho)h(\rho-\lambda). +\] +Donc +\[ +g(\rho)=l(\rho)h(\rho-\lambda)k(\rho-\lambda-\eta). +\] +Remarquons l'égalité +\[ +\varkappa + \eta + \lambda = \beta. +\] + +\emph{En général, considérons une expression $P$, d'ordre $m$, composée de $n$ +expressions différentielles +\[ +P=D_{n}D_{n-1} \ldots D_{2}D_{1}, +\] +les composantes $D$ étant linéaires, homogènes, et ayant pour premier coefficient +l'unité, les autres présentant le caractère des fonctions rationnelles; +si $g(\rho)$ est la fonction déterminante de $P$, et si $h_{i}(\rho)$ est celle de $D_i$, si +en outre $x^{\eta_i}$ est la puissance de $x$ par laquelle il faut multiplier $D_i$ pour le +réduire à sa forme normale, on aura l'identité remarquable +\[ +g(\rho) = h_1(\rho)h_2(\rho - \eta_{1}) +h_3(\rho - \eta_1 - \eta_2) \dots +h_n(\rho - \eta_1 - \eta_2 - \dotsb - \eta_{n-1}). +\] +On a d'ailleurs +\[ +\eta_1 + \eta_2 + \dotsb + \eta_n=\beta, +\] +$x^{\beta}$ étant la puissance de $x$ par laquelle il faut multiplier $P$ pour l'amener à +la forme normale.} + +% *** File: 122.png--- + +Lorsque les expressions $D$ sont toutes des facteurs réguliers, on a +\[ +\eta_1 = \eta_2 = \ldots = \eta_m =1, +\] +et, par suite, +\[ +g(\rho) = h_1(\rho)h_2(\rho-1)h_3(\rho-2) \ldots h_m(\rho-m+1). +\] +C'est la formule que j'ai démontrée plus haut directement. + +Je déduis du théorème général cette conséquence importante: + +\textit{Le degré de la fonction déterminante de $P$ est la somme des degrés des +fonctions déterminantes des expressions composantes $D$.} + +\myparagraph{95.} Je vais établir maintenant que l'expression +\[ +P(y)= \frac{d^{m}y}{dx^{m}}+p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb +p_{m}y, +\] +où les coefficients $p$ sont des doubles séries procédant suivant les puissances +entières positives et négatives de $x$, et convergentes dans le +domaine du point zéro, est toujours décomposable en facteurs premiers +symboliques de la même forme, ayant par conséquent leur coefficient +monotrope. + +On sait (\nobf{9}) que, si $\omega$ désigne une racine de l'équation fondamentale +et si l'on pose +\[ +\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\log\omega= r, +\] +une équation telle que $P = 0$ admet toujours au moins une intégrale +de la forme +\[ +x^{r}\varphi(x), +\] +$\varphi(x)$ étant une double série comme les coefficients $p$. + +Cela posé, soit +\[ +P=A_{m}A_{m-1}\ldots A_{2}A_{1} +\] +la décomposition de $P$ corrélative du système fondamental +\[ +y_1=v_1, \quad y_2=v_1 \tint v_2\: dx, \quad \dots, \quad + y_m=v_1 \tint v_2 \:dx \tint \ldots \tint v_m \:dx, +\] +et supposons que les solutions $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$ des équations différentielles, +successivement déduites l'une de l'autre par la substitution connue, +aient été choisies de la forme $x^{r}\varphi(x)$: +\[ +v_1 = x^{r_1}\varphi_1, \quad v_2 = x^{r_2}\varphi_2, +\quad\dots,\quad v_m = x^{r_m}\varphi_{m}. +\] +% *** File: 123.png--- +Cela est toujours possible, car ces équations successives remplissent +les mêmes conditions que $P=0$ (\nobf{18}). On aura +\[ +a_i = \frac{d \log(v_1 v_2 \ldots v_i)}{dx} + = \frac{d}{dx} \log(x^{r_1 + r_2 + \dotsb + r_i}\varphi_1 \varphi_2 \ldots \varphi_i), +\] +d'où il résulte que le coefficient $a_i$ de $A_i$ sera une fonction continue et +monogène dans le domaine du point zéro, à ce point près, et de plus +monotrope, car, après une révolution de la variable autour de l'origine, +la quantité sous le signe log est multipliée par +\[ +e^{2\pi\sqrt{-1}(r_1+r_2+\dots+r_i)}, +\] +de sorte que sa dérivée logarithmique ne change pas. Donc les facteurs +de la décomposition considérée ont bien des coefficients possédant les +mêmes propriétés que les coefficients $p$. + +Ainsi, \textit{il est toujours possible de décomposer l'équation $P$ en facteurs +premiers symboliques à coefficient monotrope de la forme +\[ +\sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i, +\] +$i$ étant entier.} + +\myparagraph{96.} Revenant à nos hypothèses, nous supposerons dorénavant que +les coefficients de l'équation différentielle présentent le caractère des +fonctions rationnelles, et nous considérerons l'équation +\[ +P(y) = \frac{d^m y}{dx^m} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + +\dotsb + p_m y = 0, +\] +où les coefficients $p$ seront des séries procédant suivant les puissances +entières de $x$, mais ne renfermant qu'un nombre limité de puissances +négatives. + +La décomposition de l'expression $P$ en facteurs symboliques de la +forme +\[ +\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i +\] +conduit à deux propositions importantes. +% *** File: 124.png--- +\begin{prop}[I] +Le degré $\gamma$ de la fonction déterminante de l'équation +$P = 0$ est égal au nombre total $j$ des facteurs réguliers qui entrent +dans une même décomposition de l'expression $P$ en facteurs symboliques +de la forme +\[ +\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i. +\] +\end{prop} +Considérons, en effet, une pareille décomposition +\[ +P = A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1, +\] +contenant $j$ facteurs réguliers. Dans les coefficients des facteurs non +réguliers, et seulement dans ceux qui renferment un nombre infini de +puissances négatives de $x$, supprimons pour un instant les puissances +de $x^{-1}$, dont l'exposant est supérieur, en valeur absolue, à un nombre +arbitraire $n$, et soit +\[ +P' = B_m B_{m-1} \ldots B_2 B_1 +\] +l'expression composée avec les facteurs dont quelques-uns sont ainsi +modifiés. L'expression $P'$ est de même nature que l'expression $P$, et +les facteurs réguliers qui entrent dans $P'$ coïncident avec les $j$ facteurs +réguliers qui figurent dans $P$. D'après le \nobf{94}, la fonction déterminante +de $P'$ est d'un degré $\gamma'$ égal à la somme des degrés des fonctions +déterminantes des expressions $B$; or, les $B$ non réguliers ont une fonction +déterminante constante, et les $B$ réguliers l'ont du premier degré; +donc la somme en question se réduit au nombre $j$ des facteurs réguliers, +et l'on a +\[ +\gamma' = j. +\] +Faisons maintenant croître $n$ indéfiniment: l'égalité précédente, ayant +lieu quelque grand que soit $n$, aura lieu encore à la limite, et, par +conséquent, comme $\gamma'$ a pour limite $\gamma$, on aura +\[ +\gamma = j. +\] +\textit{Corollaire}. --- Le nombre des facteurs réguliers qui entrent dans une +même décomposition de l'expression $P$ en facteurs symboliques de la +forme +\[ +\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i +\] +est constant, quelle que soit cette décomposition. +% *** File: 125.png--- + +\begin{prop}[II] +Le nombres des intégrales régulières linéairement +indépendantes de l'équation $P = 0$ est égal au plus grand nombre $\sigma$ de +facteurs réguliers consécutifs susceptibles de terminer une même décomposition +de l'expression $P$ en facteurs symboliques de la forme +\[ +\frac{dy}{dx}-y\sum\nolimits^{+x}_{-x}{C_{i}x^{i}}. +\] +\end{prop} + +L'équation $P = 0$, ayant $s$ intégrales régulières, admet (\nobf{17}) une +solution $v_1 = x^{\rho_1}\psi_1(x)$, où $\psi_1(x)$ est holomorphe dans le domaine du +point zéro et non nul pour $x=0$. Je pose $y=v_1\tint z\,dx$, et j'obtiens +l'équation $Q(z) = 0$, qui a (\nobf{18}) $s-1$ intégrales régulières linéairement +indépendantes. + +$Q = 0$, ayant $s - 1$ intégrales régulières, admet une solution +$v_2 = x^{\rho_2}\psi_2(x)$. Je pose $z = v_2\tint t\,dx$, et j'obtiens l'équation $R(t) = 0$, +qui a $s- 2$ intégrales régulières linéairement indépendantes. + +En continuant de la sorte, j'arrive à l'équation $H(u) = 0$, qui a une +intégrale régulière, et admet par conséquent une solution $v_s = x^{\rho_s}\psi_s(x)$. + +Puis, posant $u = v_s\tint v\,dx$, j'obtiens une équation dont je prends +une solution quelconque $v_{s+1}$, mais de la forme $x^{r}\varphi(x)$, sans logarithmes, +et faisant de même pour les équations suivantes, déduites +successivement l'une de l'autre par les substitutions analogues, j'en +tire $v_{s+2}$, $v_{s+3}$, \dots, $v_m$. + +Ayant ainsi calculé $v_{1}$, $v_{2}$, $v_{3}$, \dots, $v_m$, je forme la décomposition de +$P$ en facteurs premiers corrélative du système fondamental +\[ +y_{1}=v_{1}, \quad y_{2}=v_{1}\tint v_{2}\:dx, \quad\dots,\quad + y_m=v_{1}\tint v_{2}\:dx \tint \ldots \tint v_{m}\:dx. +\] +Soit $P = A_{m}A_{m-1} \ldots A_s \ldots A_{2}A_{1}$, cette décomposition. Ses facteurs $A$ sont +tels que +\[ +\frac{dy}{dx}-y\sum\nolimits^{+\infty}_{-\infty}C_{i}x^i. +\] +De plus, les équations +\[ +A_1 =0, \quad A_2 =0, \quad\dots,\quad A_s =0 +\] +admettent respectivement les intégrales +\[ +v_1=x^{\rho_1}\psi_1, \quad v_{1}v_2=x^{\rho_1+\rho_2}\psi_1\psi_2, \quad\dots,\quad + v_{1}v_2 \ldots v_s=x^{\rho_1+\rho_2+\dots+\rho_s}\psi_1\psi_2\dots\psi_s; +\] +% *** File: 126.png--- +or, ces intégrales sont régulières; donc les $s$ derniers facteurs $A_1$, +$A_2$, \dots, $A_s$ sont réguliers, et, par conséquent, on a $\sigma \geqq s$. + +Je dis maintenant qu'on ne peut avoir $\sigma > s$. + +Supposons en effet qu'il existe une décomposition de $P$ en facteurs +premiers symboliques de la forme +\[ +\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i, +\] +où les $s + k$ derniers seraient réguliers: +\[ +P = B_m B_{m-1} \ldots B_{s+k} \ldots B_2 B_1. +\] +Représentons par +\[ +w_1, \quad w_1 w_2, \quad w_1 w_2 w_3, \quad \dots, \quad w_1 w_2 \ldots w_{s+k} +\] +des solutions appartenant respectivement aux équations +\[ +B_1 = 0, \quad B_2 = 0, \quad B_3 = 0, \quad \dots, \quad B_{s+k} = 0. +\] +Ces solutions sont régulières et de la forme $x^\rho \psi(x)$, $\psi(x)$ remplissant +les conditions déjà indiquées. Il en résulte que les rapports tels que +\[ +\frac{w_1 w_2 \ldots w_{i-1} w_i}{w_1 w_2 \ldots w_{i-1}}, +\] +c'est-à-dire les intégrales +\[ +w_1,\ w_2,\ w_3,\ \dots,\ w_{s+k} +\] +des équations déduites successivement l'une de l'autre par la substitution +connue, sont des intégrales régulières de la même forme $x^\rho \psi(x)$. + +Donc, d'après le théorème réciproque du \nobf{18}, l'équation qui +donne $w_{s+k}$, ayant au moins une intégrale régulière, celle qui donne +$w_{s+k-1}$ en aura au moins deux; celle qui donne $w_{s+k-2}$ en aura alors +au moins trois, etc., de sorte que celle qui donne $w_1$, c'est-à-dire +$P = 0$, en aurait au moins $s + k$, ce qui est contre l'hypothèse. + +On conclut de là que $\sigma$ est exactement égal à $s$. + +\emph{Remarque}. --- On peut remarquer que cette dernière proposition est +encore vraie, lors même que les facteurs premiers symboliques ne sont +pas de la forme +\[ +\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i. +\] + +% *** File: 127.png--- +\myparagraph{97.} Les deux propositions qui précèdent permettent d'énoncer immédiatement +les théorèmes suivants: + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[I] +Si l'équation différentielle $P = 0$ a toutes ses intégrales +régulières, l'expression P est décomposable en m facteurs réguliers. +\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[II] +Si l'expression différentielle $P$ est décomposable en +$m$ facteurs réguliers, l'équation $P = 0$ a toutes ses intégrales régulières. +\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[III] +Si l'équation différentielle $P = 0$ a toutes ses intégrales +régulières, le degré de son équation déterminante est égal à son +ordre. +\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[IV] +Si le degré de l'équation déterminante de l'expression +différentielle $P$ est égal à l'ordre $m$, l'équation $P = 0$ a toutes ses +intégrales régulières. +\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +Les théorèmes~I et II résultent de la proposition~II\@. Le théorème~III +se conclut du théorème~I et de la proposition~I. Enfin le théorème~IV +est une conséquence de la proposition~I et du théorème~II. + +Il est d'ailleurs facile d'établir ce théorème, savoir: + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[V] +Si l'équation différentielle $P = 0$ a toutes ses intégrales +régulières, elle admet un système fondamental d'intégrales appartenant +à des exposants qui sont les racines de l'équation déterminante. +\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +En effet, $P = 0$ ayant toutes ses intégrales régulières, $P$ est décomposable +en $m$ facteurs réguliers, +\[ +P = A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1, +\] +et l'on a entre les fonctions déterminantes la relation +\[ +g(\rho) = h_1(\rho) \ldot h_2(\rho - 1) \ldot h_3(\rho - 2) \ldots h_m(\rho - m + 1), +\] +trouvée au \nobf{92}. Il en résulte que, si l'on égale à zéro les facteurs réguliers +$A_1$, $A_2$, \dots, $A_m$, les intégrales +\[ +v_1,\ v_1 v_2,\ v_1 v_2 v_3,\ \dots,\ v_1 v_2\ldots v_m +\] +des $m$ équations obtenues appartiennent respectivement aux exposants +\[ +\rho_1,\ \rho_2 - 1,\ \rho_3 - 2,\ \dots,\ \rho_m - m + 1, +\] +$\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_m$ étant les racines de l'équation déterminante $g(\rho)=0$; +% *** File: 128.png--- +d'où l'on conclura sans peine, en appliquant le premier des deux principes +admis au \nobf{55}, que le système fondamental +\[ +y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_2 \: dx, \quad \dots, \quad +y_m = v_1 \tint v_2 \: dx \tint \ldots \tint v_m \: dx, +\] +corrélatif de la décomposition considérée, est formé d'intégrales appartenant +aux exposants $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_m$. + +\myparagraph{98.} Les deux propositions du \nobf{96} sont tout aussi fécondes dans le +cas où il s'agit d'équations n'ayant pas toutes leurs intégrales régulières. + +Elles donnent d'abord ce théorème: + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[I]Le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes +de l'équation différentielle $P = 0$ est au plus égal au degré +de son équation déterminante.\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +La forme que doit affecter l'expression différentielle $P$ pour que +l'équation $P = 0$ ait $s$ intégrales régulières linéairement indépendantes +résulte de la proposition suivante: + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[II]Pour que l'équation différentielle $P = 0$ ait $s$ intégrales +régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'expression $P$ +soit susceptible de la forme +\[ +P = QD, +\] +où $Q$ et $D$ sont d'ordres $m - s$ et $s$, et sont de même nature que $P$, c'est-à-dire +à coefficients présentant le caractère des fonctions rationnelles, le +premier étant l'unité, et où $D = 0$ a toutes ses intégrales régulières, $Q = 0$ +n'en ayant aucune.\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\primo La condition est nécessaire. + +En effet, $P = 0$ ayant $s$ intégrales régulières linéairement indépendantes, +il existe (\nobf{96}, prop.~II) une décomposition de $P$, +\[ +P = A_m A_{m-1} \ldots A_{s+1} A_s \ldots A_2 A_1, +\] +en facteurs symboliques de la forme +\[ +\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i, +\] + +% *** File: 129.png--- +où les derniers sont réguliers. Si je pose alors +\[ +A_s \ldots A_2 A_1 = D, \quad A_m A_{m-1} \ldots A_{s+1} = Q, +\] +j'aurai +\[ +P = QD. +\] + +L'expression $D$ est d'ordre $s$ et composée de $s$ facteurs réguliers; elle +est donc (\nobf{90}) de la forme +\[ +\frac{d^s y}{dx^s} + \frac{P_1}{x}\:\frac{d^{s-1}y}{dx^{s-1}} + +\dotsb + \frac{P_s}{x^s}y, +\] +et, d'après le théorème II du \nobf{97}, l'équation $D = 0$ a toutes ses intégrales +régulières. + +L'expression $Q$ est d'ordre $m - s$; si l'on effectue l'opération $QD$, et +qu'on identifie avec $P$, on obtient des égalités qui montrent que les +coefficients de $Q$, comme ceux de $P$ et de $D$, présentent le caractère des +fonctions rationnelles; en outre, $Q = 0$ n'a aucune intégrale régulière, +sans quoi on pourrait terminer une décomposition de $Q$ par un facteur +régulier au moins, et, par suite, dans $P = QD$, on en aurait plus de $s$ à +la fin, ce qui est impossible (\nobf{96}, prop.~II). + +Les deux composantes $Q$ et $D$ possèdent donc bien les propriétés +énoncées. + +\secundo La condition est suffisante. + +Soit, en effet, +\[ +P = QD, +\] +$D = 0$ ayant toutes ses intégrales régulières et $Q = 0$ n'en ayant aucune. +Toute solution de $P = 0$ qui satisfait à $D = 0$ est régulière. Toute +solution de $P = 0$ qui ne satisfait pas à $D = 0$ satisfait à l'une des +équations $D = u$, obtenues en remplaçant $u$ par les diverses intégrales +de $Q = 0$. Or, par hypothèse, aucune de ces intégrales n'est régulière. +D'autre part, si dans $D$ on remplace $y$ par une fonction de forme régulière, +on obtient (\nobf{46}) une expression de même forme. Donc aucune +valeur régulière de $y$ ne peut rendre $D$ égal à $u$. Donc les équations +$D = u$ n'ont aucune solution de forme régulière, et, par suite, les seules +intégrales régulières de $P = 0$ sont les $s$ de $D = 0$. + +Il est facile d'apercevoir la cause de la différence $\gamma - s$ qui peut +% *** File: 130.png--- +exister entre le degré $\gamma$ de la fonction déterminante de l'équation +$P = 0$, et le nombre $s$ de ses intégrales régulières linéairement in\-dé\-pen\-dantes. + +Si, en effet, on décompose $P$ en facteurs symboliques tels que +\[ +\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i, +\] +la décomposition, quelle qu'elle soit, renfermera, comme on l'a vu, $\gamma$ +facteurs réguliers; en outre, sur ces $\gamma$ facteurs, un groupe de $s$ au plus +peut être rejeté à la fin de la décomposition. Donc $\gamma - s$ est le nombre +des facteurs réguliers qui ne peuvent faire partie de ce groupe final. + +Autrement, mettons $P$ sous la forme +\[ +P = QD, +\] +donnée par le théorème précédent; $\gamma - s$ est le nombre des facteurs réguliers +qui entrent dans $Q$. Ainsi, la différence en question tient à la +présence de facteurs réguliers dans une décomposition de $Q$. + +Si j'observe que les fonctions déterminantes de $D$ et de $Q$ sont respectivement +de degrés $s$ et $\gamma - s$, je puis formuler les deux théorèmes +qui suivent: + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[III]Pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$, +ayant une fonction déterminante de degré $\gamma$, admette $\gamma - \mu$ intégrales +régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'expression +$P$ soit de la forme $P = QD$, où $Q$ et $D$ sont de même nature que $P$, $Q = 0$ +étant d'ordre $m - \gamma + \mu$, n'ayant aucune intégrale régulière et ayant +une fonction déterminante de degré $\mu$.\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[IV]Pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$, +ayant une fonction déterminante de degré $\gamma$, admette exactement des intégrales +régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'expression +$P$ soit de la forme $P = QD$, où $Q$ et $D$ sont de même nature que $P$, +$Q$ étant d'ordre $m - \gamma$ et ayant pour fonction déterminante une constante.\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +Je démontrerai encore cette proposition: + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[V]Les $s$ intégrales régulières linéairement indépendantes +% *** File: 131.png--- +de l'équation différentielle $P = 0$ appartiennent à des exposants +qui sont $s$ des racines de son équation déterminante.\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +En effet, mettons l'expression $P$ sous la forme +\[ +P = QD, +\] +donnée par le théorème~II\@. D'après le \nobf{93}, on a entre les fonctions +déterminantes la relation +\[ +g(\rho) = h(\rho) k(\rho - s). +\] +Or, les $s$ intégrales régulières de $D = 0$, c'est-à-dire toutes les intégrales +régulières de $P = 0$, appartiennent à des exposants qui sont (\nobf{97}, +théor.~V) les racines de son équation déterminante $h(\rho) = 0$. Donc, à +cause de cette relation, les intégrales régulières de $P = 0$ appartiennent +à $s$ des racines de $g(\rho) = 0$. + +\myparagraph{99.} Je terminerai par les théorèmes qui concernent l'équation adjointe. + +Je rappelle d'abord que, si une expression différentielle est composée +de plusieurs expressions, l'expression différentielle adjointe est +composée des expressions adjointes rangées dans l'ordre inverse +(\nobf{93}). J'observe ensuite que, $-\dfrac{dy}{dx} - ay$ étant l'adjointe de $\dfrac{dy}{dx} - ay$, +un facteur premier symbolique aura pour adjointe une expression qui, +changée de signe, sera elle-même un facteur premier. On voit enfin, +en formant les fonctions déterminantes de $\dfrac{dy}{dx} - ay$ et de $-\dfrac{dy}{dx} - ay$, +que, si le facteur $\dfrac{dy}{dx} - ay$ est régulier, ces deux fonctions se déduisent +l'une de l'autre en changeant $\rho$ en $-\rho$, et que, si ce facteur n'est pas +régulier, elles sont égales à une même constante. + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[I]Les fonctions déterminantes $g(\rho)$ et $\calG(\rho)$ des deux +expressions adjointes $P$ et $\calP$ se déduisent l'une de l'autre en changeant $\rho$ +en $-\rho + \beta - 1$, $x^\beta$ étant la puissance de $x$ par laquelle il faut multiplier +$P$ pour l'amener à la forme normale.\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +Considérons, en effet, une décomposition de l'expression $P$ en facteurs +% *** File: 132.png--- +symboliques tels que +\[ +\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i X^i, +\] +et soit +\[ +P = A_m A_{m-1} \ldots A_1 +\] +cette décomposition. + +Dans les coefficients des facteurs qui renferment un nombre illimité +de puissances négatives de $x$, je supprime provisoirement les puissances +de $x^{-1}$ dont l'exposant est supérieur, en valeur absolue, à un nombre +arbitraire $n$; j'obtiens ainsi l'expression composée +\[ +P' = B_m B_{m-1} \ldots B_i \ldots B_1, +\] +qui est de même nature que $P$, et qui contient les mêmes facteurs réguliers. + +Je désignerai par $g'(\rho)$ et $\calG' (\rho)$ les fonctions déterminantes de +$P'$ et de l'adjointe $\calP'$, par $H_i(\rho)$ et $h_i(\rho)$ celles de $B_i$ et de l'adjointe +$\calB_i$. En outre, j'appellerai $x^{\beta'}$ et $x^{\eta_i}$ les puissances par lesquelles +il faut multiplier respectivement $P'$ et $B_i$ pour les amener à la +forme normale. + +On a (\nobf{94}) +\[ +g'(\rho) = H_1(\rho).H_2(\rho - \eta_1) \dots + H_i(\rho - \eta_1 - \eta_2 - \dotsb - \eta_{i-1}) \ldots + H_m(\rho - \eta_1 - \eta_2 - \dotsb - \eta_{m-1}), +\] +et l'on voit facilement qu'on a aussi +\[ +\calG'(\rho) = h_m(\rho).h_{m-1}(\rho-\eta_m) \dotsbsmall + h_i(\rho - \eta_m - \eta_{m-1} - \dotsbsmall - \eta_{i+1}) \dotsbsmall + h_1(\rho - \eta_m - \eta_{m-1} - \dotsbsmall - \eta_2), +\] +bien que les facteurs $\calB$ ne soient pas à proprement parler des facteurs +premiers, puisque leurs premiers coefficients sont $-1$ et non $+1$. + +Je pose +\[ +\eta_1 + \eta_n + \dotsb + \eta_{i-1} = \eta, \quad +\eta_m + \eta_{m-1} + \dotsb + \eta_{i+1} = \eta'; +\] +je remarque l'égalité (\nobf{94}) +\[ +\eta + \eta' + \eta_i = \beta', +\] +et je vais comparer les deux produits qui expriment $g'(\rho)$ et $\calG'(\rho)$. +% *** File: 133.png--- + +Si le facteur $B_i$ est régulier, comme alors $h_i(\rho)$ est égal à $H_i(-\rho)$, +on aura +\[ +h_i(\rho - \eta') = H_i(-\rho + \eta'), +\] +et comme $\eta_i$ est ici égal à l'unité, et que $\eta'$ est égal à $\beta' - \eta_i - \eta$, cette +égalité deviendra +\[ +h_i(\rho - \eta') = H_i(-\rho + \beta' - 1 - \eta). +\] +Si le facteur $B_i$ n'est pas régulier, comme alors les fonctions $h_i(\rho)$ et +$H_i(\rho)$ se réduisent à une même constante, on aura encore +\[ +h_i(\rho - \eta') = H_i(-\rho + \beta' - 1 - \eta). +\] +Donc, dans tous les cas, $h_i(\rho-\eta')$, qui entre dans $\calG'(\rho)$, se déduit de +la quantité correspondante $H_i(\rho-\eta)$, qui entre dans $g'(\rho)$, en changeant +$\rho$ en $-\rho+\beta'-1$. Cela ayant lieu pour $i=1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m$, on +en conclut +\[ +\calG'(\rho) = g'(-\rho + \beta' - 1). +\] + +Cette identité étant établie, faisons croître indéfiniment le nombre +arbitraire $n$; l'identité subsistera, et, comme les variables $\calG'(\rho)$, $g'(\rho)$ +et $\beta'$ qui y figurent ont des limites $\calG(\rho)$, $g(\rho)$ et $\beta$, elle aura lieu +entre ces limites; d'où +\[ +\calG(\rho) = g(-\rho + \beta - 1). +\] + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[II]Si l'équation différentielle $P = 0$ a toutes ses intégrales +régulières, il en est de même de l'équation adjointe $\calP = 0$.\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +La démonstration résulte des théorèmes~I et II du \nobf{97}, comme au +\nobf{66}. + +Enfin le théorème~IV du \nobf{98} se transforme évidemment de la manière +suivante: + +\vspace{0.5\baselineskip} + +\begin{thm}[III]Pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$, +ayant une fonction déterminante de degré $\gamma$, ait exactement $\gamma$ intégrales +régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'équation +adjointe $\calP = 0$ admette toutes les intégrales d'une équation différentielle +d'ordre $m - \gamma$, ayant pour fonction déterminante une constante.\end{thm} + +\vspace{0.5\baselineskip} + +% *** File: 134.png--- + +On en déduirait, comme au \nobf{68}, les deux conditions nécessaires +et suffisantes pour que l'équation $P = 0$ ait $m - 1$ intégrales régulières +linéairement indépendantes. + +On peut donc établir simplement toutes les propriétés des intégrales +régulières, en partant directement de la décomposition en facteurs premiers +symboliques. + +\bigskip + +\begin{flushright} +\parbox{3in}{\begin{center}\emph{Vu et approuvé:}\\ +Paris, le 12 décembre 1878.\\ +\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,}\\ +MILNE EDWARDS.\end{center}} +\end{flushright} + +\parbox{3in}{\begin{center}\emph{Permis d'imprimer:}\\ +Paris, le 12 décembre 1878.\\ +\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,}\\ +A. MOURIER.\end{center}} + +\newpage + +% *** File: 135.png--- +\begin{center} + +\hrulefill + +\vspace{1in} + +{\huge \bfseries SECONDE THÈSE.} + +\vspace{0.5in} +\makebox[1in]{\hrulefill} +\vspace{0.5in} + +{\large PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ} + +\vspace{0.5in} +\makebox[1in]{\hrulefill} +\vspace{1in} + +\end{center} + + +Intégrales eulériennes + +\vspace{0.5in} + +\begin{flushright} +\parbox{2.5in}{\small\begin{center}\emph{Vu et approuvé.}\\ +Paris, le 12 décembre 1878.\\ +\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,}\\ +MILNE-EDWARDS.\end{center}} +\end{flushright} + +\parbox{3in}{\small +\begin{center}\emph{Permis d'imprimer.}\\ +\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,}\\ +A. MOURIER.\end{center}} + +\renewcommand{\thefootnote}{} +\footnotemark{} + + +\footnotetext{5187 Paris.--Imprimerie de \textsc{Gauthier-Villars}, quai des Augustins, 55.} + +\newpage +\small +\pagestyle{plain} +\pagenumbering{Roman} +\begin{verbatim} +End of the Project Gutenberg EBook of Thèses présentées à la Faculté des +Sciences de Paris, by Gaston Floquet + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THÈSES *** + +***** This file should be named 31600-pdf.pdf or 31600-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/1/6/0/31600/ + +Produced by K.F. 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Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. 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LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a +defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can +receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a +written explanation to the person you received the work from. If you +received the work on a physical medium, you must return the medium with +your written explanation. The person or entity that provided you with +the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a +refund. If you received the work electronically, the person or entity +providing it to you may choose to give you a second opportunity to +receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy +is also defective, you may demand a refund in writing without further +opportunities to fix the problem. + +1.F.4. 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INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. Compliance requirements are not uniform and it takes a +considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up +with these requirements. We do not solicit donations in locations +where we have not received written confirmation of compliance. To +SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any +particular state visit http://pglaf.org + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we +have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition +against accepting unsolicited donations from donors in such states who +approach us with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make +any statements concerning tax treatment of donations received from +outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation +methods and addresses. Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{verbatim} +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Thèses présentées à la Faculté des% +% Sciences de Paris, by Gaston Floquet % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THÈSES *** % +% % +% ***** This file should be named 31600-t.tex or 31600-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/3/1/6/0/31600/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} + +### lprep configuration + +### +This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.12.9) 11 MAR 2010 08:45 +entering extended mode + %&-line parsing enabled. +**31600-t.tex +(./31600-t.tex +LaTeX2e <2005/12/01> +Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh +yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov +ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon +ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i +nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp +eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia +n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls +Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk10.clo +File: bk10.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count79 +\c@chapter=\count80 +\c@section=\count81 +\c@subsection=\count82 +\c@subsubsection=\count83 +\c@paragraph=\count84 +\c@subparagraph=\count85 +\c@figure=\count86 +\c@table=\count87 +\abovecaptionskip=\skip41 +\belowcaptionskip=\skip42 +\bibindent=\dimen102 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty +Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf +Language: greek 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def +File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions +\babel@savecnt=\count88 +\U@D=\dimen103 +) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive +/tex/generic/babel/lgrenc.def +File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding +)) 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+\leftroot@=\count93 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. +\classnum@=\count94 +\DOTSCASE@=\count95 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. +\Mathstrutbox@=\box26 +\strutbox@=\box27 +\big@size=\dimen107 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. +\macc@depth=\count96 +\c@MaxMatrixCols=\count97 +\dotsspace@=\muskip10 +\c@parentequation=\count98 +\dspbrk@lvl=\count99 +\tag@help=\toks17 +\row@=\count100 +\column@=\count101 +\maxfields@=\count102 +\andhelp@=\toks18 +\eqnshift@=\dimen108 +\alignsep@=\dimen109 +\tagshift@=\dimen110 +\tagwidth@=\dimen111 +\totwidth@=\dimen112 +\lineht@=\dimen113 +\@envbody=\toks19 +\multlinegap=\skip44 +\multlinetaggap=\skip45 +\mathdisplay@stack=\toks20 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. 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graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +\Gread@gobject=\count103 +)) +\Gin@req@height=\dimen114 +\Gin@req@width=\dimen115 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/verbatim.sty +Package: verbatim 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements +\every@verbatim=\toks22 +\verbatim@line=\toks23 +\verbatim@in@stream=\read1 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty +Package: amsthm 2004/08/06 v2.20 +\thm@style=\toks24 +\thm@bodyfont=\toks25 +\thm@headfont=\toks26 +\thm@notefont=\toks27 +\thm@headpunct=\toks28 +\thm@preskip=\skip46 +\thm@postskip=\skip47 +\thm@headsep=\skip48 +\dth@everypar=\toks29 +) +\boxla=\skip49 +\boxlb=\skip50 +\boxlc=\skip51 +\symupletters=\mathgroup6 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `upletters' in version `bold' +(Font) T1/cmr/m/n --> T1/cmr/b/n on input line 120. +No file 31600-t.aux. +\openout1 = `31600-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 182. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 182. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 182. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 182. +(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd +File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 182. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 182. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 182. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 182. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 182. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 182. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 182. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 182. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 182. +LaTeX Font Info: Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 182. +LaTeX Font Info: Try loading font information for LGR+cmr on input line 182. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd +File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 182. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 182. +(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count104 +\scratchdimen=\dimen116 +\scratchbox=\box28 +\nofMPsegments=\count105 +\nofMParguments=\count106 +\everyMPshowfont=\toks30 +\MPscratchCnt=\count107 +\MPscratchDim=\dimen117 +\MPnumerator=\count108 +\everyMPtoPDFconversion=\toks31 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmtt on input line 186. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd +File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) [1 + + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 219. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 219. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] +[19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] +[35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] +LaTeX Font Info: Font shape `OT1/pzc/m/it' will be +(Font) scaled to size 9.90005pt on input line 3464. +LaTeX Font Info: Font shape `OT1/pzc/m/it' will be +(Font) scaled to size 6.60004pt on input line 3464. +LaTeX Font Info: Font shape `OT1/pzc/m/it' will be +(Font) scaled to size 5.50003pt on input line 3464. +[51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] +LaTeX Font Info: Font shape `OT1/pzc/m/it' will be +(Font) scaled to size 8.80005pt on input line 4494. +[66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] +[82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [1] +[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] (./31600-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + bk10.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + greek.ldf 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system + lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding + frenchb.ldf + frenchb.cfg + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d +amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f +graphicx.sty 1999/02/16 v1.0f 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b/31600-t/images/024a.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..274d283 --- /dev/null +++ b/31600-t/images/024a.pdf diff --git a/31600-t/images/063a.pdf b/31600-t/images/063a.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..9ed75fa --- /dev/null +++ b/31600-t/images/063a.pdf diff --git a/31600-t/images/073a.pdf b/31600-t/images/073a.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..9949ddf --- /dev/null +++ b/31600-t/images/073a.pdf diff --git a/31600-t/images/175a.pdf b/31600-t/images/175a.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4500582 --- /dev/null +++ b/31600-t/images/175a.pdf diff --git a/31600-t/images/229a.pdf b/31600-t/images/229a.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..22a8cd2 --- /dev/null +++ b/31600-t/images/229a.pdf diff --git a/31600-t/images/vwv.pdf b/31600-t/images/vwv.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1230786 --- /dev/null +++ b/31600-t/images/vwv.pdf diff --git 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