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You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Zur Geschichte der Theorie der Elliptischen Transcendenten % +% In den Jahren 1826-29 % +% % +% Author: Leo Koenigsberger % +% % +% Release Date: September 16, 2009 [EBook #30005] % +% % +% Language: German % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN TRANSCENDENTEN *** +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{30005} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% Project Gutenberg's Zur Geschichte der Theorie ... Leo Koenigsberger %% +%% %% +%% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with %% +%% almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or %% +%% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included %% +%% with this eBook or online at www.gutenberg.net %% +%% %% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% amssymb: Basic AMS symbols %% +%% babel: German language Hyphenation %% +%% inputenc: Encoding %% +%% mathpazo : fine font %% +%% fixmath : provides italic style uppercase Greek (e.g. Pi) %% +%% nicefrac : 1/3 style fractions %% +%% footmisc : enables per page and symbol footnotes %% +%% titlesec : provides centered page numbers %% +%% %% +%% This text has neither chapters nor a toc! %% +%% %% +%% No images and one PDF provided. %% +%% %% +%% pdflatex Run pdflatex once to produce pdf %% +%% %% +%% PDF Pages: 99 %% +%% %% +%% Last compiled: rwst 2008-Apr-27 %% +%% pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) %% +%% %% +%% %% +%% September 2009: pglatex. %% +%% Compile this project with: %% +%% pdflatex 30005-t.tex %% +%% %% +%% pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) %% +%% %% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\documentclass[12pt,leqno,a4paper]{book}[2005/09/16] +\listfiles +\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] +\usepackage{amsfonts}[2001/10/25] +\usepackage{amsmath}[2000/07/18] +\usepackage{amssymb}[2002/01/22] +\usepackage[germanb,french]{babel}[2005/11/23] +\usepackage{mathpazo}[2005/04/12] +\usepackage{fixmath}[2000/04/11] +\usepackage{nicefrac}[1998/08/04] +\usepackage[perpage,symbol]{footmisc}[2005/03/17] +\usepackage[small,center,nobottomtitles*,pagestyles,toctitles]{titlesec}[2005/01/22] + +%sloppy +\tolerance 1414 +\hbadness 1414 +\emergencystretch 1.5em +\hfuzz 0.3pt +\widowpenalty=10000 +\vfuzz \hfuzz +\raggedbottom + +%% Page header appearance using titlesec package +\newpagestyle{centernr}{% + \sethead{}{\hfil---\ \ \thepage\ \ ---\hfil}{}} +\pagestyle{centernr} + +%% two-sided A4 PDF +\pdfcatalog{/PageLayout/TwoPageRight } +\setlength{\pdfpagewidth}{210truemm}% or \paperwidth to get it from the documentclass +\setlength{\pdfpageheight}{297truemm}% or \paperheight to get it from the documentclass + +% to let a few wide displays spill into both margins +\makeatletter +\newenvironment{widegather*}{% + \start@gather{\wideeqn\st@rredtrue} +}{% + \endgather +}\makeatother +\def\wideeqn{\advance\displayindent-0.25in\advance\displaywidth0.5in} + +%% definitions of new ops +\DeclareMathOperator{\co}{co} +\DeclareMathOperator{\am}{am} +\DeclareMathOperator{\tg}{tg} +\DeclareMathOperator{\msl}{sl} +\DeclareMathOperator{\mcl}{cl} +\DeclareMathOperator{\arc}{arc} +\DeclareMathOperator{\Al}{Al} + +\renewcommand{\phi}{\varphi} +\renewcommand{\kappa}{\varkappa} +\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} +\renewcommand{\rho}{\varrho} +\renewcommand{\theta}{\vartheta} + +%% semantical markup, overrides original where it's inconsistent +\let\Titel\textit +\let\Person\textsc +\let\Place\textit +\let\Emphasis\textbf + +\setlength{\parskip}{.5ex} +\begin{document} + +\thispagestyle{empty} +\begin{verbatim} +The Project Gutenberg EBook of Zur Geschichte der Theorie der Elliptischen +Transcendenten, by Leo Koenigsberger + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Zur Geschichte der Theorie der Elliptischen Transcendenten + In den Jahren 1826-29 + +Author: Leo Koenigsberger + +Release Date: September 16, 2009 [EBook #30005] + +Language: German + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN TRANSCENDENTEN *** +\end{verbatim} +\pagebreak +\thispagestyle{empty} +\begin{center} +Produced by Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This +file was produced from images from the Cornell University +Library: Historical Mathematics Monographs collection.) +\end{center} + +\begin{center}\textsc{Anmerkungen zur Transkription} +\end{center} +Zitate wurden im schmäleren Block als im Original gesetzt und der nachfolgende Absatz +eingezogen, von ganz wenigen Ausnahmen abgesehen. + +Mehrere heute nicht mehr übliche französische Pluralformen wurden +unverändert übernommen: +coefficiens, fondemens, indépendans, intéressans, suivans. +Außer wenigen trivialen Druckfehlern wurde einmal »zu« nach »als« verändert: +\begin{itemize} +\item \ldots und die Auflösung dieser Gleichung, welche in +transcendenter Form \textbf{als} +Lösungen die $\phi$-Functionen der +getheilten Perioden hat, führt \Person{Abel} vermöge allgemeiner +Principien, die er für die Theorie der algebraischen Gleichungen +entwickelt hat, auf die Auflösung \Emphasis{einer} Gleichung +$2n + 2^\text{ten}$ Grades und von $2n + 2$ Gleichungen $n^\text{ten}$ Grades +zurück. +\end{itemize} +\clearpage + +\pagebreak + +\selectlanguage{german} +%-----File: 001..png--- +%-----File: 002..png--- +%-----File: 003..png--- +%-----File: 004..png--- +%-----File: 005..png--- + +\thispagestyle{empty} +\begin{center} +\vfill + +{\large ZUR GESCHICHTE DER THEORIE} +\bigskip + +{\small DER} +\bigskip + +{\LARGE ELLIPTISCHEN TRANSCENDENTEN} +\bigskip + +IN DEN JAHREN 1826--29 +\bigskip + +{\small VON} +\bigskip + +\textbf{LEO KOENIGSBERGER.} +\end{center} +\bigskip +\bigskip +\bigskip +\bigskip +\bigskip +\bigskip + + +{\small +\hfill +\parbox{.5\textwidth}{»Mais un philosophe comme lui aurait dû +savoir que le but unique de la science, +c'est l'honneur de l'esprit humain, et que +sous ce titre, une question des nombres +vaut autant qu'une question du système +du monde.«} + +\vskip3pt +\hfill +(\Person{Jacobi} à \Person{Legendre}, Koenigsberg le 2 juillet 1830.) +} + +\vfill + +\begin{center} + +\vfill + +LEIPZIG, +\medskip + +{\small DRUCK UND VERLAG VON B.~G.~TEUBNER.} +\medskip + +1879. + +\end{center} +\vfill + +\clearpage +%-----File: 006..png--- +%===Following is the Cornell funding blurb=== +% +\iffalse +\thispagestyle{empty} +\mbox{}\vfill + +\begin{center} +{\fboxrule=2pt \fboxsep=10pt +\fbox{\parbox{20em} +{\begin{center} +{\Large\boldmath $\mathfrak{Cornell\ University\ Library}$} + +\rule[.5ex]{5em}{.2pt} + +{\small BOUGHT WITH THE INCOME\\ +FROM THE} +\medskip + +{\large SAGE \ ENDOWMENT \ FUND} +\smallskip + +{\small THE GIFT OF} +\medskip + +{\Large\boldmath $\mathfrak{Henry\ W.\ Sage}$} + +\textbf{1891} +\medskip + +$\mathcal A.49154$ +\hfill\texttt{MATHEMATICS} \hfill +25/1/93 +\\[-.8\baselineskip] +\dotfill +\end{center}}}} +\end{center} +\vfill + +\clearpage +\fi +%-----File: 007..png--- +\thispagestyle{empty} +\bigskip +\begin{center} +\Large{Vorwort.}\\ +\smallskip +\rule{2em}{1pt}\\ +\medskip +\end{center} + +Veranlasst durch das fünfzigjährige Jubiläum, das in +diesem Jahre die »\Titel{Fundamenta nova theoriae functionum +ellipticarum}« von \Person{Jacobi} feiern, deren Erscheinen +zusammenfiel mit dem Tode \Person{Abel}'s, des andern grossen +Schöp\-fers der Theorie der Transcendenten, habe ich in einer +kurzen freien Zeit aus früheren Notizen die vorliegende Zusammenstellung +gemacht, die vielleicht denen nicht unwillkommen +sein wird, welche selbst nicht Zeit und Lust haben, +die historische Entwicklung dieser mathematischen Disciplin +genauer zu verfolgen. + +Dass ich nur die Jahre 1826--29 zugleich mit den +dieser Theorie an\-ge\-hö\-ri\-gen Arbeiten von \Person{Legendre} und +\Person{Gauss} zum Gegenstande meiner kurzen Darstellung genommen +habe, mag dadurch gerechtfertigt erscheinen, dass nicht +bloss die Anfänge, sondern ein beträchtlicher Theil der +ganzen grossen Theorie der elliptischen Transcendenten, wie +wir sie jetzt besitzen, dem Inhalte und der Form nach in +jenen Jahren geschaffen wurden. + +\Place{Reichenau} bei Wien, im August 1879. + +\hfill \textbf{Leo Koenigsberger.}\break +\vfill + +\clearpage +%-----File: 008..png--- +%-----File: 009..png--- +\thispagestyle{empty} + +Die zahlreichen und zum Theil wichtigen Arbeiten von +\Person{Fagnano}, \Person{Maclaurin}, \Person{d'Alembert} und \Person{Landen} +in der +Theorie der Integrale algebraischer Irrationalitäten, speciell +der Quadratwurzeln aus Polynomen dritten und vierten Grades +waren theils auf die Ermittlung geometrischer Beziehungen +gerichtet, welche zwischen den Bögen der Ellipse, der Hyperbel +und anderer durch einfache algebraische Gleichungen +definirter Curven bestehen, theils lieferten sie analytische +Relationen zwischen den Gränzen additiv mit einander verbundener +Integrale algebraischer Differentiale und Reductionsformeln +für solche Integrale auf Integrale von Quadratwurzeln +gewisser specieller Polynome dritten oder vierten +Grades. In keiner dieser Arbeiten ist jedoch auch nur die +Vermuthung zu finden, dass man es hier mit den Anfängen +einer grossen, in ihrer Fortbildung die gesammte Analysis +beherrschenden Disciplin zu thun habe. \Person{Euler} war der +erste, der auf Grund seiner ausgedehnten geometrischen und +analytischen Untersuchungen in der Theorie der elliptischen +Integrale und nach Auffindung seines berühmten Additionstheorems +dieser Transcendenten mit der ihm eigenen mathematischen +Divinationsgabe voraussah, dass mit Hülfe einer +passenden Bezeichnung die Berechnung der Ellipsenbögen +und anderer analoger Transcendenten von fast ebenso allgemeiner +Anwendung werden könnte als die der Kreisbögen +und Logarithmen, und \Person{Legendre}, der sich vom Jahre 1786 +an anhaltend mit den hierher gehörigen Untersuchungen beschäftigte, +rechtfertigte diese Voraussagung. + +%-----File: 010..png--- + +Derselbe veröffentlichte vor der Zusammenfassung seiner +Resultate in der Theorie der elliptischen Integrale einige +grössere Arbeiten über diesen Gegenstand: +\begin{quote} +1) \Titel{Mémoire sur les intégrations par +d'arcs d'ellipse} (mém.~de l'Acad.\ des Sciences de Paris~1786), I,~II, +\end{quote} +worin nicht nur die durch die Arbeiten von \Person{Fagnano}, +\Person{Euler} und \Person{Landen} bekannten Sätze bewiesen wurden, sondern +zugleich schon ein Beginn der Transformationstheorie +der elliptischen Integrale in der analytischen Auffassung +dieser Sätze sich kundgab, indem gezeigt wird, wie man die +Rectification der Ellipse auf die von zwei andern aus einer +unendlichen Reihe willkührlich gewählten Ellipsen reduciren +kann, und +\begin{quote} +2) \Titel{Mémoire sur les Transcendantes elliptiques} (Paris 1793), +\end{quote} +in welchem bereits die Eintheilung der elliptischen Integrale +in solche verschiedener Gattungen, die Reduction der +Integrale der einzelnen Gattungen auf ihre einfachsten Normalformen +und die Auswerthung der elliptischen Integrale +durch eine möglichst genaue Annäherung gegeben ist. + +\Person{Legendre} fasste sodann alle diese Untersuchungen in +dem Werke: +\begin{quote} +\Titel{Exercices de calcul intégral sur divers ordres de Transcendantes +et sur les Quadratures} (Paris~1811--19) +\end{quote} +und später in dem +\begin{quote} +\Titel{Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes} +(Paris~1825--26, 2~vols.) +\end{quote} +zusammen, welches letztere Werk sich im Wesentlichen durch +neue Resultate nur in den Cap.~28, 29, 30, 31, vor allem +durch eine neue Modulnkette von dem ersteren unterscheidet. + +Wenn auch das Erscheinen und Bekanntwerden des +\Titel{traité} schon mit den ersten Arbeiten \Person{Abel}'s und \Person{Jacobi}'s +in der Theorie der elliptischen Transcendenten zusammenfällt, +so ziehen wir es doch vor, schon an dieser Stelle von +jenem grossen Werke zu reden, weil man einerseits den +%-----File: 011..png--- +\Titel{traité} als das Sammelwerk der Entdeckungen \Person{Legendre}'s +in der Theorie der elliptischen Integrale zu betrachten hat, +andererseits aber auch, wie \Person{Legendre} in seinem Briefe vom +30.~November~1827 an \Person{Jacobi} angiebt, der erste Theil +desselben bereits~1825 gedruckt und am 12.~September~1825 +der Pariser Akademie vorgelegt, der zweite Theil schon +1826 gedruckt, also vor dem Eintreten der beiden grossen +Mitarbeiter in der Theorie der elliptischen Transcendenten +vollendet war; man wird sich bei Besprechung der weiteren +Entwicklung der Theorie jedoch stets zu vergegenwärtigen +haben, dass \Person{Abel} und \Person{Jacobi} zur Zeit der Veröffentlichung +ihrer ersten Arbeiten, wie noch später näher +ausgeführt werden soll, nur die \Titel{exercices} und nicht den \Titel{traité} +von \Person{Legendre} kannten, also nicht im Besitze grade jener +Zusätze zu den \Titel{exercices} waren, welche in der That einen +wesentlichen Fortschritt in der Theorie kennzeichneten und +in der verallgemeinerten Auffassung von \Person{Abel} und \Person{Jacobi} +für den ganzen weiteren Verlauf der Transcendentenlehre von +so grosser Bedeutung werden sollten. + +\begin{quote} +»Es ist \Person{Legendre}'s unvergänglicher Ruhm, -- so +charakterisirt \Person{Dirichlet} in seiner Gedächtnissrede auf \Person{Jacobi} +das grosse Werk \Person{Legendre}'s -- in den eben erwähnten +Entdeckungen (von \Person{Fagnano}, \Person{Euler}, \Person{Landen}, +\Person{Lagrange}) die Keime eines wichtigen Zweiges der Analysis +erkannt und durch die Arbeit eines halben Lebens auf +diesen Grundlagen eine selb\-stän\-dige Theorie errichtet zu +haben, welche alle Integrale umfasst, in denen keine andere +Irrationalität enthalten ist als eine Quadratwurzel, unter +welcher die Veränderliche den vierten Grad nicht übersteigt. +Schon \Person{Euler} hatte bemerkt, mit welchen Modificationen +sein Satz auf solche Integrale ausgedehnt werden kann; +\Person{Legendre}, indem er von dem glücklichen Gedanken ausging, +alle diese Integrale auf feste canonische Formen zurückzuführen, +gelangte zu der für die Ausbildung der Theorie +%-----File: 012..png--- +so wichtig gewordenen Erkenntniss, dass sie in drei wesentlich +verschiedene Gattungen zerfallen. Indem er dann jede +Gattung einer sorg\-fäl\-tigen Untersuchung unterwarf, entdeckte +er viele ihrer wichtigsten Eigenschaften, von welchen +namentlich die, welche der dritten Gattung zukommen, +sehr verborgen und ungemein schwer zugänglich waren. +Nur durch die andauerndste Beharrlichkeit, die den grossen +Mathematiker immer von Neuem auf den Gegenstand +zurückkommen liess, gelang es ihm hier, Schwierigkeiten zu +besiegen, welche mit den Hülfsmitteln, die ihm zu Gebote +standen, kaum über\-wind\-lich scheinen mussten.« +\end{quote} + +Die nachfolgende Darstellung der Arbeiten von \Person{Abel} +und \Person{Jacobi} macht es nöthig, wenn auch nur kurz, auf eine +Analyse der von \Person{Legendre} in dem ersten Theile seines +Werkes niedergelegten Untersuchungen einzugehen, um so +mehr, als wir danach den unmittelbaren Einfluss dieser +Untersuchungen auf die von \Person{Abel} und \Person{Jacobi} bei der Behandlung +der elliptischen Transcendenten befolgten Methoden +besser werden wahrnehmen und schätzen können. + +Nachdem \Person{Legendre} nachgewiesen, dass das Integral +\[ +\int \frac{P\,dx}{R}, +\] +worin $P$ eine rationale Function von $x$ und +\[ +R = \sqrt{\alpha + \beta x + \gamma x^2 + \delta x^3 + \epsilon x^4} +\] +ist, auf die festen Grundformen +\[ +\int\frac{dx}{R},\quad +\int\frac{x\,dx}{R},\quad +\int\frac{x^2\,dx}{R},\quad +\int\frac{dx}{(1+nx)R} +\] +reducirt werden kann, schafft er mit Hülfe der linearen +Transformation +\[ +x=\frac{p + qy}{1 + y} +\] +die ungraden Potenzen der Variablen des Polynoms $R^2$ +heraus, und führt die leicht herstellbare Form des allgemeinen +elliptischen Integrales +%-----File: 013..png--- +\[ +\int\frac{Q\,d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} +\] +von einem algebraischen Theile abgesehen auf die drei +Normalformen der »\Emphasis{elliptischen Functionen oder Transcendenten}« +\[ +\int\frac{d\phi}{\Delta} = F,\quad +\int\Delta\,d\phi = E,\quad +\int\frac{d\phi}{(1+u +\sin^2\phi)\Delta} = \Pi +\] +zurück. + +Mit dieser Reduction auf feste Normalformen ist aber +das Fundament der Theorie der elliptischen Integrale gelegt; +es sind die wesentlichen irreductibeln Integrale gefunden, +welche der Quadratwurzel aus einem Polynome vierten +Grades zugehören, und es ist damit eine Reduction geleistet, +die später mit Zuhülfenahme der Eigenschaft dieser drei +Integralklassen, entweder garnicht, oder nur in der Unendlichkeit +algebraisch oder in zwei verschiedenen Punkten +logarithmisch unendlich zu werden, die Veranlassung zur +Eintheilung der allgemeinen \Person{Abel}'schen Integrale in solche +erster, zweiter und dritter Gattung geworden ist. + +Die zunächst folgenden Untersuchungen \Person{Legendre}'s +sind dem Additionstheorem der elliptischen Integrale gewidmet, +jener grossen und so folgenreichen Entdeckung +\Person{Euler}'s, die \Person{Legendre} in der Einleitung zu seinem \Titel{traité} +mit den Worten charakterisirt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»\Person{Euler} par une combinaison qu'on peut regarder comme +fort heureuse, quoique ces hazards n'arrivent qu'à ceux qui +savent les faire naître, trouva l'intégrale algébrique complète +d'une équation différentielle composée de deux termes +séparés, mais semblables, dont chacun n'est intégrable que +par des arcs de sections coniques. Cette découverte importante +donna lieu à son auteur de comparer d'une manière +plus générale qu'on ne l'avait fait avant lui, non-seulement +les arcs d'une même ellipse, d'une même hyperbole, ou d'une +même lemniscate, mais en général toutes les transcendantes +%-----File: 014..png--- +contenues dans la formule $\int\frac{P\,dx}{R}$, où~$P$ est une fonction +rationelle de~$x$, et~$R$ la racine quarrée d'un polynome en~$x$ +du quatrième degré.« +\end{quote} + +Für die Integrale erster Gattung wird der \Person{Euler}'schen +Differentialgleichung die Integralgleichung +\[ +F(\phi) + F(\psi) = F(\mu) +\] +substituirt, und als äquivalente algebraische Relation zwischen +den trigonometrischen Functionen der Amplituden die +Gleichung +\[ +\sin\mu = \frac{\sin\phi \cos\psi \,\Delta\psi + \sin\psi \cos\phi \,\Delta\phi} +{1-c^2 \sin^2\phi \sin^2\psi} +\] +gefunden; eine Ausdehnung des \Person{Euler}'schen Additionstheorems +für Integrale erster Gattung sah \Person{Legendre} +darin, dass man die Gleichung +\[ +0 = \frac{m\,dx}{\sqrt{R(x)}} + + \frac{n\,dy}{\sqrt{R(y)}} + + \frac{p\,dz}{\sqrt{R(z)}} + + \cdots +\] +zu Grunde legt, die nach dem \Person{Euler}'schen Satze offenbar +ebenfalls ein algebraisches Integral hat, und darin für~$z,\ldots$ +algebraische Functionen von~$x$ und~$y$ annimmt, war +dagegen der Ansicht, dass die Untersuchungen von \Person{Lagrange} +(\Titel{Mélanges de la société royale de Turin}, tome IV), +welcher die Fälle der algebraischen Integration der Gleichung +\[ +\frac{dx}{\sqrt{X}} + \frac{dy}{\sqrt{Y}} = 0 +\] +ermitteln wollte, in denen $X$ und $Y$ nicht gleichartige +Functionen verschiedener Variabeln sind, nicht über die +\Person{Euler}'sche Gleichung hinausführen können, wie es ihm +denn überhaupt sehr zweifelhaft erschien, ob mit zwei Termen +allein die Verallgemeinerung der \Person{Euler}'schen Gleichung +nach irgend einer Richtung hin möglich sei. Man +sieht, dass \Person{Legendre} weit von der Erkenntniss entfernt +war, dass sehr allgemeine algebraische Beziehungen für in +einander transformirbare elliptische Differentialien existiren, +%-----File: 015..png--- +und dass ihm ebenso die Existenz des berühmten Theorems, +durch welches \Person{Abel} später der Integralrechnung eine so +grosse und unerwartete Ausdehnung gegeben, und mit dessen +Geschichte wir uns später zu beschäftigen haben werden, +völlig verborgen geblieben. + +Das Additionstheorem der elliptischen Integrale erster +Gattung führte \Person{Legendre} zur Behandlung der Multiplicationsgleichung +\[ +F(\phi_n) = nF(\phi), +\] +welche er durch die Recursionsformel +\[ +\sin \phi_{n+1} + \sin\phi_{n-1} += \frac{2\Delta \cos\phi \sin\phi_n} + {1-c^2 \sin^2\phi \sin^2\phi_n} +\] +auflöst. Die Division des unbestimmten Integrales erster +Gattung wird auf die Auflösung einer Gleichung $n^2{}^\text{ten}$ Grades, +die Division für das vollständige Integral~$F^1$ auf eine +Gleichung $\frac{n^2-1}2{}^\text{ten}$ Grades zurückgeführt; für die speciellen +Fälle, in denen~$c^2=2(\sqrt2-1)$, $c^2=\frac12$ und~$c^2=\frac14(2\pm\sqrt3)$ +ist, und die später durch die Untersuchungen von \Person{Abel} eine +hervorragende Bedeutung bekamen, löst \Person{Legendre} das +Problem der Dreitheilung des voll\-stän\-digen Integrales mit +Hülfe von Quadratwurzeln. + +Das Additionstheorem der elliptischen Integrale zweiter +Gattung giebt \Person{Legendre} Gelegenheit, die längst bekannten +Sätze über Ellipsen~ und Hyperbelbögen aus einem einheitlichen +analytischen Gesichtspunkte herzuleiten, und die +Untersuchung der Beziehungen der vollständigen Integrale +zweiter Gattung zu denen erster Gattung führt ihn zu der +nach ihm benannten Relation +\[ +FE' - F'E - FF' = \tfrac\pi2, +\] +welche erst nach einem halben Jahrhundert eine Erweiterung +auf hyperelliptische Integrale in dem berühmten +\Place{Braunsberger} Schulprogramm durch \Person{Weierstrass} erhalten +und sodann von \Person{Riemann} mit Hülfe allgemeiner +%-----File: 016..png--- +functionentheoretischer Betrachtungen auf alle \Person{Abel}'schen +Integrale ausgedehnt worden ist. Zugleich entwickelt \Person{Legendre} +auch für die voll\-stän\-di\-gen Integrale erster und zweiter +Gattung Differentialgleichungen zweiter Ordnung, deren allgemeine +Integrale er angiebt, und die später von \Person{Jacobi} +weiter verwerthet wurden. + +Die Untersuchungen über die Integrale erster und zweiter +Gattung schliessen mit der Reihenentwicklung der vollständigen +Integrale ab. + +Weit grössere Schwierigkeiten bereiten \Person{Legendre} die +Integrale dritter Gattung vermöge des Hinzutretens einer +dritten sie bestimmenden Grösse, des Parameters, sowohl +bei der Aufstellung der Additionstheoreme für das Argument +und den Parameter, als auch bei der numerischen Berechnung +derselben, da für dieselben Tafeln mit doppeltem Eingange +erst wieder anwendbar wurden durch die später zu besprechende, +grosse Entdeckung \Person{Jacobi}'s, der zufolge die +Integrale dritter Gattung sich durch $\vartheta$-Functionen ausdrücken +liessen, in deren Argument das zugehörige Integral erster +Gattung eintritt. + +Nachdem \Person{Legendre} die Beziehung entwickelt, die zwischen +zwei elliptischen Integralen dritter Gattung mit dem +Parameter~$n$ und dem Parameter~$\frac{c^2}{n}$ besteht, und die sich +in zwei irreductible Fälle sondert, je nachdem~$n > 0$ oder~$n < 0$ +und~$(n) \ge c^2$, und~$n < 0$ und~$(n) < c^2$ ist -- wonach +die beiden zu diesen reellen Parametern gehörigen elliptischen +Integrale dritter Gattung sich von einem Integrale +erster Gattung abgesehen im ersten Falle um eine arc.\ tg-Function, +im zweiten um einen Logarithmus unterscheiden +-- wird das Additionstheorem für die Integrale dritter +Gattung und die allgemeinen elliptischen Integrale hergestellt. + +Hier tritt nun in dem grossen Werke eine neue, von +allem früheren wesentlich verschiedene und für die weitere +%-----File: 017..png--- +Entwicklung der Theorie der Transcendenten so folgenreiche +Anschauung zu Tage. \Person{Legendre} wendet sich der Untersuchung +der \Person{Landen}'schen Transformation zu, nach welcher +die Substitution~$~\sin (2\phi'-\phi) = c \sin \phi$ die Beziehung +ergiebt +\[ +F(c', \phi') = \frac{1+c}{2}\, F(c,\phi), +\] +wenn $c' = \frac{2\sqrt{c}}{1+c}$ gesetzt ist, und stellt eine entsprechende +Relation für die zu dem ursprünglichen und transformirten +Integralmodul gehörigen elliptischen Integrale zweiter Gattung +auf; er zeigt, dass sich aus dieser einfachen analytischen +Beziehung die Sätze von \Person{Landen}, wonach sich ein +Hyperbelbogen durch zwei Ellipsenbögen ausdrücken lässt +etc., unmittelbar ergeben, dass aber weit wichtiger als alle +diese geometrischen Folgerungen das in der erwähnten Substitution +liegende Transformationsprincip sei, wonach durch +wiederholte Anwendung dieser Substitution eine Kette von +unendlich vielen Moduln hergestellt werden kann, welche +Veranlassung geben zu einfachen Methoden für die Berechnung +der vollständigen und unvollständigen elliptischen Integrale +erster Gattung, zu Ausdrücken, wie z.~B. +\[ +F^1 (c) = \frac\pi2 (1 + c^0) (l + c^{00}) (l + c^{000}) \dots +\] +und ähnlichen Annäherungsformeln für die Berechnung der +Integrale zweiter Gattung. + +Mit Recht wundert sich \Person{Legendre} darüber, dass diese +Substitution sowie überhaupt der analytische Gesichtspunkt +für die Verwandlung elliptischer Integrale in einander den +früheren Mathematikern völlig fremd geblieben: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Mais beaucoup d'autres substitutions peuvent conduire +à de semblables résultats, et quand on considère combien +de transformations analytiques ont été employées par \Person{Maclaurin} +et \Person{d'Alembert}, dans leurs recherches sur les intégrales +%-----File: 018..png--- +qui peu\-vent être exprimées par des arcs de sections +coniques, on a lieu de s'étonner que la transformation, qui met +en évidence les propriétés nombreuses de l'échelle des modules, +leur ait enti\-ère\-ment échappé et que cette découverte +ait été réservée à \Person{Landen} qui d'ailleurs n'en a tiré qu'un +médiocre parti et qui n'a pas même vu qu'elle fournissait +une méthode très simple pour calculer par approximation +les arcs des sections coniques. On s'étonnera moins que +la même découverte ait échappé à \Person{Euler}, si on observe +que la belle intégrale due à ce grand géomètre l'a conduit +à comparer entre elles les diverses valeurs d'une même +transcendante, comme on compare les arcs d'une même +courbe, ce qu'il a fait avec une élégance et une généralité +qui ne laissent rien à désirer. Mais on ne voit dans aucun +de ses Mémoires, qu'il ait fait varier les constantes ou les +paramètres de ses fonctions, et qu'il ait ainsi passé d'une +courbe à une autre, comme on le fait dans les comparaisons +qui dépendent de l'échelle des modules.« +\end{quote} + +Und gleichsam zur Entschuldigung des von ihm hochverehrten +\Person{Euler} fügt \Person{Legendre} später hinzu: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»En terminant ces observations nous signalerons comme +un fait digne de remarque, qu'\Person{Euler} n'ait rien écrit à +l'occasion du Mémoire de \Person{Landen} imprimé dans les Transactions +philosophiques de~1775, d'où il faut conclure que +ce Mémoire n'est pas parvenu à sa connaissance; car dans +la hypothèse contraire, cet illustre Géomètre aurait sans +doute, suivant son usage, publié ses propres réflexions +sur une découverte analytique qui devait particulièrement +l'intéresser.« +\end{quote} + +Einer Fortsetzung dieser der Transformationstheorie +angehörigen Untersuchungen werden wir schon in einem +der nächsten Kapitel des \Titel{traité} begegnen; zunächst wird +jedoch eine Beziehung zwischen zwei Integralen dritter +Gattung mit verschiedenen reellen Parametern aufgestellt, +%-----File: 019..png--- +nach welcher sich dieselben nur um Integrale erster und +zweiter Gattung unterscheiden, und nach Zurückführung +der Integrale dritter Gattung mit imaginärem Parameter auf +zwei ähnliche Integrale mit reellem Parameter, durch welche +der eben ausgesprochene Satz allgemeine Gültigkeit erlangt, +die noch nachher zu besprechende Relation hergeleitet, welche +als der Satz von der Vertauschung des Arguments und des +Parameters bezeichnet und später auf alle \Person{Abel}'schen Integrale +ausgedehnt wurde. + +Die behandelten Substitutionen gaben \Person{Legendre} Gelegenheit, +einige Integrale mit dritten oder vierten Wurzeln +aus Polynomen zweiten und dritten Grades, sowie mit +Quadratwurzeln aus gewissen Polynomen höhe\-ren Grades +auf elliptische Integrale zu reduciren, Untersuchungen, die +später in allgemeinerer Form wieder aufgenommen werden, +nachdem erst die Theorie der Transformation eine wesentliche +Erweiterung erfahren. Unter anderem hatte \Person{Legendre} +das Integral +\[ +\int\frac{ dz }{\bigl( \sqrt[3]{1-z^3} \bigr)^2} +\] +auf doppelte Art auf ein elliptisches Integral reducirt und +dadurch die Beziehung gefunden +\[ +F(b,\omega) = \sqrt{3}\cdot F(c,\phi) , +\] +worin $b = \sqrt{1-c^2}$ und +\[ +\sin\omega = +\frac{\sin \phi \bigl(2\sqrt{3} + (2-\sqrt{3}) \sin^2 \phi\bigr)} + {2 + \sqrt{3}\cdot\sin^2 \phi} +\] +ist, war somit auf eine Substitution dritten Grades geführt +worden, die unmittelbar die allgemeine Transformation dritten +Grades mit der Modularbeziehung~$\sqrt{bb_1}+\sqrt{cc_1} = 1$ ergab +und somit eine neue Modulnkette und neue Annäherungsformeln +für die Berechnung der elliptischen Integrale lieferte. +\Person{Legendre} erkannte sogleich die Wichtigkeit dieser Entdeckung, +%-----File: 020..png--- +sah aber das Eigenthümliche seines Resultates +nicht in der später von \Person{Jacobi} aufgedeckten analytischen +Bedeutung für die Umkehrungsfunction des elliptischen Integrales +erster Gattung, sondern vielmehr in seiner Beziehung +zur Integralrechnung, in seiner Bedeutung für die +numerische Auswerthung der elliptischen Integrale und +vorzüglich in dem merkwürdigen Umstande, dass man durch +eine unendliche Reihe von Substitutionen immer wieder +dieselbe analytische Form des vorgelegten Integrales +erhält: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»c'est sans doute un résultat très remarquable, que +cette +multitude infinie de transformations, qu'on peut faire subir +à la même fonction~$F(c, \phi)$, sans changer sa nature et en +conservant le même rapport entre la fonction et sa transformée +pour toutes les valeurs de l'amplitude; on chercherait +vainement dans la variété infinie des transcendantes +un second exemple d'une fonction qui se reproduirait sous +tant de formes différentes et à laquelle on pourrait appliquer +plus justement qu'à la spirale logarithmique, la devise +que lui avait donné \Person{Jacques Bernoulli}: eadem mutata +resurgit«. +\end{quote} + +Endlich ist noch, indem aus zwei Transformationen +dritten Grades die Multiplication mit dem Factor~3 zusammengesetzt +wird, -- ein Weg, den auch \Person{Jacobi}, ohne die +Methode von \Person{Legendre} zu kennen, später zur Verallgemeinerung +der \Person{Legendre}'schen Untersuchungen eingeschlagen +-- nachgewiesen, dass die Auflösung der Gleichung +$9^\text{ten}$ Grades für die Dreitheilung auf die Auflösung von +zwei Gleichungen dritten Grades zu\-rück\-ge\-führt werden kann, +ein Problem, das wiederum von \Person{Abel} später aufgenommen +und in seiner ganzen Allgemeinheit gelöst wurde. + +Nunmehr werden ganze Klassen von Integralen höherer +algebraischer Irrationalitäten untersucht, die auf elliptische +Integrale reducirbar sind, und von denen vorzüglich diejenigen, +%-----File: 021..png--- +welche dritte oder vierte Wurzeln aus Polynomen +dritten oder vierten Grades oder Quadratwurzeln aus reciproken +Polynomen sechsten Grades enthalten, später für +die allgemeine Theorie der Integrale von Bedeutung geworden +sind. + +Im Uebrigen enthält der erste Band des \Titel{traité} abgesehen +von den Entwicklungen der elliptischen Integrale +nach den sinus und cosinus der Amplitude und von der +Berechnung einiger bestimmter Integrale, die durch elliptische +Integrale ausgedrückt werden können, noch eine Reihe +von Anwendungen der entwickelten Theorie der elliptischen +Integrale auf die Behandlung von geometrischen und mechanischen +Problemen, die uns im Folgenden nicht interessiren. + +Der zweite Theil liefert eine Theorie der \Person{Euler}'schen +Integrale und der Kugelfunctionen, »damit das neue Werk +als eine ziemlich vollständige Bearbeitung der nächst den +Kreisbögen und den Logarithmen bekanntesten und nützlichsten +Transcendenten betrachtet werden könne,« und +giebt ausserdem Methoden für die Berechnung der Integrale +erster und zweiter Gattung und auf Grund dieser construirte +Tafeln: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»pour que l'usage des Fonctions elliptiques puisse être +introduit dans l'analyse à l'instar des Fonctions circulaires +et logarithmiques. Il ne peut être question de réduire en +tables les fonctions de la troisième espèce, puisqu'elles contiennent +deux constantes arbitraires outre la variable principale, +et qu'ainsi il faudrait que ces tables fussent à +triple entrée, chose tout-à-fait inexécutable«. +\end{quote} + +Das grosse Werk \Person{Legendre}'s besitzt nicht bloss dadurch +seinen Werth und seine bleibende Bedeutung, dass +es der Theorie der elliptischen Integrale eine selbständige +Stellung in der Analysis geschaffen und die Veranlassung +zur Gründung der Lehre von den Transcendenten und der +%-----File: 022..png--- +allgemeinen Functionentheorie geworden, sondern dass in +demselben auch eine grosse Reihe von Gesichtspunkten gegeben, +Resultate hergeleitet und Methoden entwickelt sind, +die ein bleibender Besitz der Analysis geworden und genau +in der von \Person{Legendre} gegebenen Form die Ausgangspunkte +für die späteren Arbeiten \Person{Abel}'s und \Person{Jacobi}'s gebildet +haben. Ich hebe dies hier besonders hervor, weil eine Aeusserung +\Person{Jacobi}'s, die uns \Person{Dirichlet} berichtet, leicht zu +Missverständnissen Veranlassung geben kann; \Person{Jacobi} antwortete +einem Freunde, der ihn eines Tages auffallend verstimmt +fand und nach dem Grunde dieser Verstimmung +fragte: »Sie sehen mich eben im Begriff, dieses Buch (\Person{Legendre}'s +\Titel{exercices}) +auf die Bibliothek zurückzuschicken, mit +welchem ich entschiedenes Unglück habe. Wenn ich sonst +ein bedeutendes Werk studirt habe, hat es mich immer zu +eignen Gedanken angeregt und ist dabei immer etwas für +mich abgefallen. Diesmal bin ich ganz leer ausgegangen +und nicht zum geringsten Einfall inspirirt worden«. + +Es war eben das Fremdartige des Stoffes, das \Person{Legendre} +länger als zwanzig Jahre hindurch keinen Mitarbeiter +in diesem Zweige der Analysis finden liess. + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Après m'être occupé pendant un grand nombre d'années, +sagt \Person{Legendre} in der Vorrede zum ersten Supplement +des \Titel{traité}, +de la théorie des fonctions elliptiques, +dont l'immortel \Person{Euler} avait posé les fondemens, +j'ai cru +devoir rassembler les résultats de ce long travail dans un +Traité, qui a été rendu public au mois de janvier 1827. +Jusque là les géomètres n'avaient pris presque aucune part +à ce genre de recherches; mais à peine mon ouvrage avait-il +vu le jour, à peine son titre pouvait-il être connu des +savans étrangers, que j'appris avec autant d'étonnement +que de satisfaction, que deux jeunes géomètres, M.~M.~\Person{Jacobi} +(C.--G.--J.) +de Koenigsberg et \Person{Abel} de Christiania, +avaient réussi, par leurs travaux particuliers, à perfectionner +%-----File: 023..png--- +considérablement la théorie des fonctions elliptiques dans +ses points les plus élevés.« +\end{quote} + +Und \Person{Abel} und \Person{Jacobi} haben für ihre Arbeiten, wie +schon oben hervorgehoben, nicht nur Anknüpfungspunkte +an die \Person{Legendre}'schen Untersuchungen gefunden, sondern +eine Reihe von Methoden und Gesichtspunkten aus dem +\Titel{traité} von \Person{Legendre} entnehmen können, auf Grund deren +sie freilich mit Hinzufügung grosser und überraschender +Gedanken, neuer und überaus fruchtbarer Methoden den +gewaltigen und ungeahnten Ausbau der Theorie der elliptischen +Transcendenten bewerkstelligt haben. Dies hat aber +auch \Person{Jacobi} nachher selbst in vollem Umfange anerkannt; +er schreibt am~27.~Mai~1832 an \Person{Legendre}: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»dans une annonce que j'en ai faite à la fin du huitième +volume de M.~\Person{Crelle}, j'ai cherché à relever les mérites +impérissables du Géomètre qui, outre les découvertes nombreuses +et importantes dont il a enrichi la science, est +parvenu à fonder deux disciplines grandes et étendus par +les travaux glorieux de sa vie, lesquelles formeront désormais +l'$\alpha$ et l'$\omega$ de toute étude mathématique. J'ai profité en +même temps de cette occasion pour parler d'\Person{Abel} et de son +grand théorème, que vous avez encore le mérite d'avoir approfondi +le premier, et d'avoir montré à la postérité que son +développement est la grande tâche qui lui reste à remplir $\ldots$« +\end{quote} + +Es ist interessant, über die in den \Titel{exercices} vereinigten +Untersuchungen \Person{Legendre}'s einige Worte aus dem +Munde des im Lobe nie über\-schwäng\-li\-chen Mathematikers +zu vernehmen, der wie kein anderer competent war, über +die Bedeutung der in der Theorie der elliptischen Transcendenten +gemachten Entdeckungen ein Urtheil abzugeben; in +einem Briefe von \Person{Gauss} an \Person{Schumacher} heisst es: + +\begin{quote} +\selectlanguage{german} +»Geneigt, wie ich von jeher gewesen bin, jeden neuen +originellen oder genialen Gedanken mit Liebe +aufzunehmen${}^\ast)$, +%-----File: 024..png--- +wurde ich von der wirklich neuen Idee in Mossotis Aufsatz +bei meiner ersten Lecture frappirt. + +\begin{small}${}^\ast)$\ Ich brauche Ihnen wohl nicht zu sagen, dass die neuliche +wunderliche Recension von \Person{Legendre}'s \Titel{Exercices de calcul Intégral} +in unseren G.~A. (Gött.\ gel.\ Anz.\ 1817. Aug.~14) nicht von +mir ist, da dieses Werk so manches der oben erwähnten Art enthält.« +\end{small} +\end{quote} + +Wollte ich nunmehr streng historisch verfahren, so +müsste ich nach der Besprechung des \Person{Legendre}'schen +\Titel{traité} an der Hand der aus dem Nachlasse von \Person{Gauss} veröffentlichten +Untersuchungen aus der Theorie der elliptischen +Transcendenten, die fast sämmtlich aus einer viel +früheren Zeit als die Entdeckungen \Person{Abel}'s und \Person{Jacobi}'s, +ja selbst als ein Theil derer von \Person{Legendre} stammen, die +Theorie, wie sie sich \Person{Gauss} zum grossen Theil schon am +Ende des vorigen Jahrhunderts aufgebaut hatte, zu entwickeln +suchen; ich ziehe es jedoch vor, einerseits im Interesse +der grösseren Klarheit in der Darlegung der verschiedenen +Theile der Theorie der elliptischen Transcendenten, +andererseits um die gewaltige, das ganze Gebiet der Transcendenten +umfassende Ausdehnung der \Person{Gauss}'schen Resultate +deutlicher hervortreten zu lassen, die Untersuchungen +von \Person{Gauss} erst nach Besprechung der Arbeiten von \Person{Abel} +und \Person{Jacobi} darzulegen, und somit eine Vergleichung anstellen +zu können zwischen dem Umfange der Leistungen +und der Tragweite der Methoden dieser drei grossen Mathematiker +unseres Jahrhunderts. Doch muss jedenfalls schon +hier auf die bekannte Stelle in den im Jahre~1801 veröffentlichten +»\Titel{disquisitiones arithmeticae}« hingewiesen werden, +welche den Mathematikern die Richtung der \Person{Gauss}'schen +Untersuchungen in der Theorie der elliptischen Integrale +zu erkennen gab und \Person{Abel} vielleicht sogar den Weg +vorzeichnete, auf welchem er die algebraischen Theile der +elliptischen Transcendenten ausbaute; sie lautet: + +\begin{quote} +»Ceterum principia theoriae, quam exponere aggredimur, +multo latius patent, quam hic extenduntur. Namque +%-----File: 025..png--- +non solum ad functiones circulares sed pari successu ad +multas alias functiones transcendentes applicari possunt, e.~g.~ad +eas, quae ab integrali $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$ pendent, praetereaque +etiam ad varia congruentiarum genera: sed quoniam de +illis functionibus transcendentibus amplum opus peculiare +paramus, de congruentiis autem in continuatione disquisitionum +arithmeticarum copiose tractabitur, hoc loco solas +functiones circulares considerare visum est. Imo has quoque, +quas summa generalitate amplecti liceret, per subsidia +in art.~sq.\ exponenda ad casum simplicissimum reducemus, +tum brevitati consulentes, tum ut principia plane nova +huius theoriae eo facilius intelligantur;« +\end{quote} + +und es mag zur Würdigung der Bedeutung dieser Stelle +auf die Worte hingewiesen werden, welche lange vor der +Veröffentlichung des \Person{Gauss}'\-schen Nachlasses aus der Theorie +der elliptischen Functionen von \Emphasis{dem} Mathematiker gesprochen +worden, der auf dem andern grossen Gebiete der +Mathematik, welches ebenfalls \Person{Legendre} zu einer selbständigen +Disciplin gemacht und welches gleichfalls \Person{Gauss} +zu einer ungeahnten Höhe und Ausdehnung erhoben, ein +würdiger Nachfolger dieser beiden grossen Mathematiker +gewesen ist: + +\begin{quote} +\selectlanguage{german} +»In der Einleitung zum letzten Abschnitte der \Titel{disquis. +arithm.}, welcher der Kreistheilung gewidmet ist, sagt \Person{Dirichlet} +in seiner Gedächtnissrede auf \Person{Jacobi}, hatte \Person{Gauss} +im Vorbeigehen bemerkt, dass dasselbe Princip, worauf +seine Kreistheilung beruht, auch auf die Theilung der Lemniscate +anwendbar sei; und in der That liegt das \Person{Gauss}'sche +Princip, nach welchem die Wurzeln der zu lösenden +Gleichung so in einen Cyclus zu bringen sind, dass jede +von der vorhergehenden auf dieselbe Weise abhängt, der +Abhandlung \Person{Abel}s über die Theilung der Lemniscate +wesentlich zu Grunde. Wenn aber für die Kreistheilung +%-----File: 026..png--- +längst bekannte Eigenschaften der trigonometrischen Functionen +ge\-nüg\-ten, um die Wurzeln dem \Person{Gauss}'schen Princip +ge\-mäss zu ordnen, so war für den Fall der Lemniscate +zu einer ähn\-li\-chen Anordnung, ja um nur die Möglichkeit +einer solchen zu erkennen, eine Einsicht in die Natur der +Wurzeln erforderlich, welche nur das Princip der doppelten +Periodicität gewähren konnte. Die vorher erwähnte Aeusserung +ist also durch \Person{Abel}'s Abhandlung zu einem unwidersprechlichen +Zeugnisse geworden, dass \Person{Gauss} seiner +Zeit weit vorauseilend, schon zu Anfang des Jahrhunderts, +das Princip der doppelten Periode erkannt hatte. Dieses +Zeugniss ist jedoch erst durch die spätere Arbeit \Person{Abel}'s +bekannt geworden und thut daher seinem und \Person{Jacobi}'s +Anrecht an diese Erfindung keinen Abbruch«. +\end{quote} + +Bei der folgenden Darstellung der in den Jahren~1826--29 +von \Person{Abel} und \Person{Jacobi} in der Theorie der elliptischen +Transcendenten gemachten Entdeckungen, welche den +eigentlichen Gegenstand dieser Blätter bilden soll, werde +ich die historische Folge ziemlich streng festzuhalten suchen, +um einerseits den stetigen Fortschritt der beiden genannten +Mathematiker in der Bewältigung jener schwierigen analytischen +Aufgaben, welche, um mich einer Wendung \Person{Richelot}'s +zu bedienen, diesem Jahrhundert zur Lösung anheimfielen, +besser verfolgen, andererseits aber auch die +gegenseitigen Beziehungen der Arbeiten dieser beiden Mathematiker +zu einander klarer hervortreten lassen zu können. + +Zuvor mag nur noch in Betreff der im Folgenden gebrauchten +Benennungen bemerkt werden, dass die Unterscheidung +zwischen elliptischen Integralen und elliptischen +Functionen, wie sie \Person{Jacobi} in die Analysis eingeführt, +und wie sie jetzt seit nunmehr~50 Jahren allgemein üblich +ist, gleich vom Beginne der nachfolgenden Darstellung an +festgehalten werden soll, wenn auch gerade in der Zeit, mit +welcher sich diese Blätter beschäftigen, eine Einigung der +%-----File: 027..png--- +Mathematiker in der Wahl der Worte und Bezeichnungen +nicht erfolgt war. Wir wissen aus dem nunmehr ver\-öf\-fent\-lich\-ten +Briefwechsel zwischen \Person{Legendre} und \Person{Jacobi}, wie +entschieden ersterer sich dagegen sträubte, dass die Mathematiker +von der durch seine Schriften üblich gewordenen +Benennung und Bezeichnung abgingen; + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Je devrais borner là ma lettre,« schreibt \Person{Legendre} +am~16.~Juli 1829 nach Veröffentlichung der \Titel{Fundamenta +nova} an \Person{Jacobi}, »et ne vous point parler des changements +de nomenclature que vous proposez dans votre art.~17.\ pag.~31; +mais comme d'autres personnes pourraient vous représenter +qu'en cela vous avez fait une chose qui doit m'être +désagréable, je ne vois pas pourquoi je vous cacherais ce que +je pense de cette proposition. Je vous dirai donc franchement +que je n'approuve pas votre idée et que je ne vois +pas de quelle utilité elle peut être pour vous et pour la +science. La plus simple des fonctions elliptiques savoir +l'intégrale~$\int\frac{d\phi}{\sqrt{1-\kappa^2\sin^2\phi}}$ +jouit de tant et de si belles propriétés, +considérée seule, elle est liée par de si beaux rapports +avec les deux autres fonctions dites de la seconde et +de la troisième espèce que l'ensemble de ces trois fonctions +forme un système complet auquel on pourrait donner un +autre nom que celui de fonctions elliptiques, mais dont +l'existence est indépendante de toute autre fonction. La +nomenclature méthodique que j'ai proposée des~1793 dans +mon mémoire sur les \Emphasis{transcendantes elliptiques} a été +adoptée généralement, vous l'avez trouvée établie; quelles sont +donc vos raisons pour vous écarter de l'usa\-ge général? +Vous faites schisme avec M.~\Person{Abel} et avec moi, vous faites +schisme avec vous-même, puisqu' après avoir appelé \Emphasis{fonctions +elliptiques} les sinus, cosinus et autres fonctions trigonométriques +de l'amplitude vous êtes encore obligé d'appeler +\Emphasis{fonctions de troisième espèce} celles que je désignes ous +%-----File: 028..png--- +le même nom. N'est ce pas que veut dire le titre de l'art.~56 pag.~160? Pourquoi désignez-vous comme moi la fonction +de 3\up{e} espèce tantôt par~$\Pi(u, a)$, tantôt par~$\Pi(u, +a + K',\kappa')$? Quelle liaison y a-t-il entre ces fonctions et la +première qui n'est plus suivant vous qu'un argument de +fonction? Je vous laisse à expliquer toutes ces choses. Du +reste je vous fait part confidentiellement de ces observations +don't vous ferez tel usage que vous voudrez et auxquelles +je ne donnerai jamais aucune publicité. Il me suffira de +vous avoir témoigné ma surprise sur l'inconvenance et la +bizarrerie de votre idée; elle n'altérera en rien les sentimens +d'estime et d'affection que j'ai conçus pour vous et +dont je vous renouvelle l'assurance«. +\end{quote} + +\Person{Jacobi}, auf der Reise nach Paris begriffen, sucht sich +in der Antwort vom~19.~August~1829 von Frankfurt aus +mit den Worten zu rechtfertigen: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Il me fallait absolument une dénomination pour les +fonctions sin am, cos am, etc., dont les propriétés répondent +parfaitement à celles des fonctions sin, cos, dites circulaires. +D'un autre côté, l'application importante qu'on fait de la +théorie des Fonctions Elliptiques an Calcul intégral rendait +nécessaires les distinctions et les dénominations que vous +avez introduites dans l'Analyse, et qui ont été accueillies +par tous les Géomètres. J'ai donc trouvé convenable d'appeler +les intégrales auxquelles vous donnez le nom de \Emphasis{Fonctions +Elliptiques de la première}, \Emphasis{seconde}, \Emphasis{troisième espèce}, +\Emphasis{Intégrales Elliptiques de la première}, \Emphasis{seconde}, \Emphasis{troisième +espèce} et d'étendre ou d'attribuer de pré\-fé\-rence la +dénomination de Fonctions Elliptiques aux $\sin\am$, $\cos\am$, +$\Delta\am$, analogiquement comme on nomme Fonctions Circulaires +les sinus, cosinus, etc. Si cela vous déplaît, toute +autre dé\-no\-mi\-na\-tion me sera agréable. Dans tous les cas je +crois que nous deviendrons aisément d'accord sur cet objet«; +\end{quote} + +aber trotzdem scheint sich \Person{Legendre} selbst nach der +%-----File: 029..png--- +persönlichen Bekanntschaft mit \Person{Jacobi} bis zu seinem Tode +nicht mehr mit der Wahl der \Person{Jacobi}'schen Benennungen +befreundet zu haben; sein letzter Brief an denselben vom~30.~Juni~1832 +enthält die Worte: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»J'aurais un double plaisir, si ces nouveaux résultats +étaient obtenues par le secours de nos fonctions elliptiques +qui vous appartiennent autant qu'à moi, quoique vous ne +vouliez pas exprimer la même chose par le même nom«. +\end{quote} + +\begin{center} + \rule{.2\textwidth}{.2pt} +\end{center} + +Der Herausgeber der im Jahre 1839 erschienenen +\Titel{\oe{}uvres complètes} von \Person{Abel}, \Person{Holmboe} sagt in den notices +sur la vie de l'auteur: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»En juillet 1825 il sollicita auprès du gouvernement un +bénéfice de~600~Sp.\ par an pour continuer ses recherches +dans l'étranger, et notamment à Paris, pendant deux ans. On +lui accorda aussitôt sa demande, et le même été il partit +pour Berlin, suivi de quelques jeunes littérateurs et savants +Norvégiens« -- +\end{quote} + +und fügt im Avertissement des zweiten Bandes hinzu: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Tous les mémoires contenus dans ce volume out été +écrits avant que notre auteur commençât ses voyages, excepté +les mémoires~XV, XVI et~XXII, dont malheureusement +le premier n'est pas terminé«. +\end{quote} + +Wir dürfen somit die aus dem Nachlasse von \Person{Abel} +im zweiten Bande der \Titel{\oe{}uvres complètes} veröffentlichten +Untersuchungen als die ersten bedeutenden Arbeiten über +diesen Gegenstand nach \Person{Legendre} betrachten, und gerade +diese werden uns am besten einen Ueberblick über die Ausdehnung +der von \Person{Abel} in der Theorie der elliptischen Transcendenten +schon zu der Zeit angestellten Untersuchungen +gewähren, in der er seine ersten Arbeiten veröffentlichte. + +Die älteste Arbeit aus dem Nachlasse \Person{Abel}'s: \Titel{Propriétés +remarquables de la fonction~$y=\phi(x)$ déterminée par l'équation\hfill\break +$f(y)\,dy - dx\sqrt{(a-y)(a_1-y)\cdots(a_m-y)} = 0$, $f(y)$ étant} +%-----File: 030..png--- +\Titel{une fonction quelconque de y, qui ne devient pas zéro ou infinie +lorsque~$y = a, a_1, a_2 \dots a_m$}, untersucht die Umkehrung +der Integralfunction +\[ +\int\frac{f(y)\,dy}{(a-y)(a_1-y)\cdots(a_m-y)} = x, +\] +und zeigt, wenn auch durch Schlüsse, die in der kurzen +Aufzeichnung weder allgemein noch streng erscheinen, dass, +wenn~$y = \phi(x)$ gesetzt wird, $\phi(v + 2n\alpha + 2n_1\alpha_1 + \cdots ++ 2n_m\alpha_m) = \phi(v)$ sein müsste, wenn~$n + n_1 + n_2 + \cdots ++ n_m = 0$ und +\[ +\alpha_r = \int^{\alpha_r} \frac{f(y)\,dy}{(a-y)(a_1-y)\cdots(a_m-y)} +\] +ist, und bestimmt die Nullen und Unendlichen dieser Function. +\Person{Abel} war somit schon im Sommer~1825, von dem Umkehrungsproblem +der hyperelliptischen Integrale ausgehend, zur +Feststellung der doppelten Periodicität der elliptischen +Functionen gelangt, scheint jedoch nicht zu der Erkenntniss +gekommen zu sein, die uns erst viel später von \Person{Jacobi} +eröffnet worden, dass es ein Umkehrungsproblem der +hyperelliptischen Integrale in dem oben definirten Sinne +überhaupt nicht giebt, weil eindeutige Functionen einer +Variabeln oder vieldeutige von endlicher Mehrdeutigkeit +mit mehr als zwei Perioden nicht existiren, und die obige +Gleichung in~$\phi$ eine Function definiren würde, welche +eine unendlich kleine Periode hat -- erst einer späteren +Zeit als der in diesen Blättern zu behandelnden gehört die +grosse und berühmte Arbeit \Person{Jacobi}'s an, in welcher der +Weg vorgezeichnet wird, auf dem das Umkehrungsproblem +der hyperelliptischen Integrale gelöst werden kann, wiewohl +die Inangriffnahme dieses schwierigen Problems, wie wir +später sehen werden, schon in die erste Zeit der wissenschaftlichen +Thätigkeit \Person{Jacobi}'s fällt. + +Während sich die obige Arbeit \Person{Abel}'s ganz von dem +Gange und den Methoden der \Person{Legendre}'schen Untersuchungen +%-----File: 031..png--- +entfernt und zeigt, dass \Person{Abel} durch Umkehrung +der Integralfunction der Theorie der elliptischen Transcendenten +völlig neue und umfassende analytische Ideen +zuzuführen im Begriff war, schliessen sich die folgenden, +noch vor dem Sommer~1825 niedergeschriebenen Arbeiten, +deren Resultate später zum Theil von \Person{Abel} selbst in +dem Journal: \Titel{Det kongelige norske Videnskabersselskabs +Skrifter}, Trondhjem~1827 veröffentlicht wurden, mehr den +Untersuchungen von \Person{Legendre} über die Integrale dritter +Gattung an. Aber man erkennt auch hier das Streben +\Person{Abel}'s, allgemeinere Integralklassen zu behandeln als die +der elliptischen Integrale; nachdem er in dem Aufsatze: »\Titel{Sur +une propriété remarquable d'une classe très étendue de fonctions +transcendantes}« für die Differentialgleichung~$0=sy + t \frac{dy}{dx}$, +in welcher~$s = f(x)$, $t = \phi(x)$, $y = \psi(x)$ gesetzt wird, bei +gehöriger Bestimmung der unteren Grenzen eine Beziehung +erwiesen, welche, wenn~$f(x) = \frac12 \phi'(x)$, also~$\psi(x) = +\frac{1}{\sqrt{\phi(x)}}$ gesetzt wird, in die Relation +\[ +\begin{split} +\sqrt{\phi(a)} \int\frac{dx}{(x-a)\sqrt{\phi(x)}} +- \sqrt{\phi(x)} \int\frac{da}{(a-x)\sqrt{\phi(a)}}\\[0.5em] += \sum \tfrac12 (n-m) \,\alpha_{m+n+2} +\int \frac{x^n\,dx}{\sqrt{\phi(x)}} \int\frac{a^m\,da}{\sqrt{\phi(a)}}, +\end{split} +\] +also in den Satz von der Vertauschung des Argumentes +und des Parameters für hyperelliptische Integrale übergeht, +wendet er sich in einem »\Titel{Extension de la théorie précédente}« +betitelten Aufsatze zu der Untersuchung der analogen +Eigenschaft für die Integrale der linearen Differentialgleichung +\[ +0 = sy + s_1 \frac{dy}{dx} + s_2 \frac{d^2y}{dx^2} + \dots ++ s_m \frac{d^my}{dx^m}, +\] +und findet dieselbe in einer eleganten, symmetrisch geformten +Beziehung, aus der sich die obigen Formeln als specielle +Fälle herleiten lassen. +%-----File: 032..png--- + +Es kann kein Zweifel obwalten, dass \Person{Abel} schon im +Jahre~1825 nicht etwa nur an einer erweiterten und auf +neuer Grundlage aufgebauten Theorie der elliptischen Transcendenten +arbeitete, sondern dass sein Streben von vornherein, +wesentlich anders als es bei \Person{Jacobi} der Fall war, +darauf sich richtete, eine allgemeine Theorie der Integrale +algebraischer Differentiale zu entwickeln, wie zum Theil schon +die oben erwähnten Arbeiten, die sich auf jene allgemeineren +Integralfunctionen bezogen, erkennen liessen. Wir finden +nämlich noch in seinem Nachlasse aus jenem Jahre einen +Aufsatz, betitelt: \Titel{Sur la comparaison des fonctions transcendantes}, +der die Ausdehnung des \Person{Euler}'schen Additionstheorems +für elliptische Integrale auf beliebige Integrale algebraischer +Differentiale zum Gegenstande hat. Wenn die +Gleichung +\[ +0 = \alpha + \alpha_1y + \alpha_2y^2 + \dots + \alpha_my^m +\] +gegeben ist, in der die $\alpha$ ganze Functionen von $x$ sind, und +man stellt mit dieser Gleichung eine andere +\[ +0 = q + q_1y + \dots + q_{m-1}y^{m-1} +\] +zusammen, in welcher die $q$ ganze Functionen von $x$ mit +den unbestimmten Coefficienten~$a, a_1, \dots$ bedeuten, so gilt +für die Lösungen~$x_1, x_2, \dots x_n$ der durch Elimination der +Grösse~$y$ erhaltenen Gleichung~$s = 0$ die Integralbeziehung +\[ +\int^{x_1}f(x,y)\,dx + \int^{x_2}f(x,y)\,dx + \dots + \int^{x_n}f(x,y)\,dx = C + \varrho, +\] +worin $\varrho$ eine algebraisch-logarithmische Function der~$a$ bedeutet, +und \Person{Abel} fügt hinzu: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»il n'est pas difficile de se convaincre que, quel que soit +le nombre~$\mu$, on peut toujours faire en sorte que~$n - \mu$ +devienne indépendant de~$\mu$«. +\end{quote} + +Wir sehen hier das berühmt gewordene Theorem, das +wohl mit Recht als das Fundamentaltheorem der neueren +Analysis bezeichnet werden darf, schon in dem Jahre~1825 +%-----File: 033..png--- +genau in derselben Gestalt aufgezeichnet, wie es in den späteren +Ver\-öffent\-li\-chun\-gen \Person{Abel}'s stets wiederkehrt; auf eine +Besprechung des Inhaltes desselben und des Schicksales seiner +Ver\-öffent\-li\-chung werde ich später zurückzukommen Gelegenheit +haben. + +Endlich finden wir noch aus der ersten Hälfte des +Jahres~1825 in dem Nachlasse von \Person{Abel} eine Arbeit, welche +im Keime die erst nach einigen Jahren im »\Titel{Précis d'une +théorie des fonctions elliptiques}« veröffentlichten Untersuchungen +enthält, zunächst jedoch wenigstens in dem +ausgeführten Theile als eine Vorarbeit zu der ersten von +\Person{Abel} im \Person{Crelle}'schen Journal veröffentlichten und gleich +nachher zu besprechenden Arbeit zu betrachten ist und die +Ueberschrift trägt: \Titel{Théorie des transcendantes elliptiques}. +Die Arbeit, welche sich eng an die \Person{Legendre}'schen +Entwicklungen an\-schliesst, beschäftigt sich zunächst mit +der Reduction des elliptischen Integrales +\[ +\int \frac{P\,dx}{\sqrt{R}}, +\] +worin $R = \alpha + \beta x + \gamma x^2 + \delta x^3 + \varepsilon x^4$, auf die Grundformen +\[ +\int \frac{dx}{\sqrt{R}},\quad +\int \frac{x\,dx}{\sqrt{R}},\quad +\int \frac{x^2\,dx}{\sqrt{R}},\quad +\int \frac{dx}{(x-a)\sqrt{R}}, +\] +und mit der allgemeinsten zwischen elliptischen Integralen +bestehenden Relation, die in der Gestalt +\[ +\begin{split} +k\int \frac{dx}{\sqrt{R}} ++k'\int \frac{x\,dx}{\sqrt{R}} ++L\int \frac{dx}{(x-a)\sqrt{R}} ++\dots ++L^{(\nu)}\int \frac{dx}{(x-a_\nu)\sqrt{R}}\\ +=A \log \frac{P+Q\sqrt{R}}{P-Q\sqrt{R}} ++A' \log \frac{P'+Q'\sqrt{R}}{P'-Q'\sqrt{R}} ++\cdots +\end{split} +\] +gefunden wird. Dann wendet sich \Person{Abel} zu Untersuchungen, +die ihn in den verschiedensten Formen beständig beschäftigt +haben, und auf die wir in seinen späteren grossen Arbeiten +noch ausführlich werden zu\-rück\-kom\-men müssen, nämlich +zur Behandlung der Fragen von der Reduction elliptischer +Integrale auf algebraisch-logarithmische Functionen. Als +%-----File: 034..png--- +noth\-wen\-dige Bedingung dafür, dass elliptische Integrale von +der Gestalt +\[ +\int\frac{x^m + k^{(m-1)}x^{m-1} + \cdots + k'x + k} + {x^m + l^{(m-1)}x^{m-1} + \cdots + l'x + l} + \,\, \frac{dx}{\sqrt{R}} +\] +auf eine logarithmische Function der Form +\[ +A \log \frac{P+Q\sqrt{R}}{P-Q\sqrt{R}} +\] +reducirbar sind, findet er, dass die Lösungen des Nenners +einer Gleichung von der Form +\[ +P^2-Q^2R = 0 +\] +genügen müssen; das Problem, alle Integrale von der Form +$\int\frac{(k+x)\,dx}{\sqrt{R}}$ zu finden, welche auf jenen logarithmischen +Ausdruck zurückführbar sind, wird mit der Auflösung einer +Gleichung der Form~$P^2-Q^2R=1$ in Verbindung gebracht, +und diese Auflösung wiederum mit der Periodicität +der Kettenbruchentwicklung von~$\sqrt{R}$ in Beziehung gesetzt. +Endlich wird auf + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»une relation remarquable qui existe entre plusieurs +intégrales de la forme +\[ +\int\frac{dx}{\sqrt{R}},\quad +\int\frac{x\,dx}{\sqrt{R}},\quad +\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{R}},\quad +\int\frac{dx}{(x-a)\sqrt{R}}\quad\text{«} +\] +\end{quote} +hingewiesen, indem gezeigt wird, dass, wenn diese Integrale +auch im Allgemeinen irreductibel sind, nichts destoweniger +das Integral $\int\frac{dx}{(x-a)\sqrt{R}}$ zwischen passenden Grenzen genommen -- +und zwar sind dies die Lösun\-gen der Gleichung~$R=0$ +-- durch die drei anderen Integrale ausdrückbar ist. + +Die weiteren dieser Arbeit angehörigen Abschnitte +zeigen deutlich, dass \Person{Abel} schon im Jahre~1825 damit umging, +eine systematische Theorie der elliptischen Transcendenten +zu veröffentlichen, indem er auch solche Abschnitte +in den Entwurf aufnahm, deren Inhalt er zum Theil nur +%-----File: 035..png--- +durch die Ueberschrift andeutete, und für welche er lediglich +auf die \Titel{exercices} von \Person{Legendre} verwies. + +Nachdem ich aus dem Nachlasse \Person{Abel}'s das Wesentlichste +von dem, was sich auf die Theorie der elliptischen +Transcendenten bezieht und dem Jahre~1825 angehört, hervorgehoben +habe, gehe ich dazu über, die grosse Reihe von +Untersuchungen zu besprechen, durch welche in den Jahren~1826--29 +in wunderbarer, wechselseitiger Arbeit von \Person{Abel} +und \Person{Jacobi} der mathematischen Wissenschaft neue und +grosse Gebiete erobert wurden. + +Die erste hierher gehörige Arbeit \Person{Abel}'s, ursprünglich in +französischer Sprache geschrieben, findet sich in's Deutsche +übersetzt unter dem Titel »\Titel{Ueber die Integration der +Differentialformel~$\frac{\varrho\,dx}{\sqrt{R}}$, wenn~$R$ und~$\varrho$ +ganze Functionen sind}« im ersten Bande des \Person{Crelle}'schen Journals, +welcher im Jahre~1826 ausgegeben wurde. \Person{Abel} stellt sich in +dieser Arbeit die Aufgabe, alle Differentialien von der Form +$\frac{\varrho\,dx}{\sqrt{R}}$, wo~$\varrho$ und~$R$ ganze Functionen +von~$x$ sind, zu finden, deren +Integrale durch eine Function von der Form~$\log\bigl(\frac{p+q\sqrt{R}} +{p-q\sqrt{R}}\bigr)$ ausgedrückt werden können, indem er am Ende der Arbeit +hinzufügt, dass dieses Problem das allgemeinste für die Reduction +derartiger Integrale auf logarithmische Functionen +sei, da er einen Satz bewiesen habe, nach welchem, wenn +ein Integral~$\int\frac{\varrho\,dx}{\sqrt{R}}$ auf Logarithmen reducirbar +ist, der logarithmische Ausdruck stets in der +Form~$A\log\bigl(\frac{p+q\sqrt{R}}{p-q\sqrt{R}}\bigr)$ +darstellbar sein müsse, worin~$A$ eine Constante, $p$ und~$q$ +ganze Functionen von~$x$ bedeuten, ein Satz, welcher ein +specieller Fall eines später von \Person{Abel} in seinem »\Titel{précis}« +entwickelten sehr allgemeinen Theorems ist. + +\Person{Abel} führt die Lösung der gestellten Aufgabe auf die +%-----File: 036..png--- +Behandlung der unbestimmten Gleichung $p_1^2N-q^2R_1 = 1$ +zurück, in welcher $R = N\cdot R_1$ ist, und findet, dass, wenn man +die Kettenbruchentwicklung +\[ + \sqrt{ \frac{R_1}{N} } += t_1 + \frac{1}{ 2\mu + \rlap{$ + \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{\raisebox{-2ex}{\ $\ddots$}} }$} } +\mspace{100 mu} +\] +aufstellt, die Auflösungen der Gleichung +\[ + p_1^2N - q^2R_1 = (-1)^{m-1} s_m, +\] +in welcher die Grösse $s$ in einer bestimmten Beziehung zu +den $\mu$-Grössen steht, durch den Kettenbruch gegeben sind: +\[ + \frac{p_1}{q} += t_1 + \frac{1}{ 2\mu + \rlap{$ + \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{\raisebox{-2ex}{\ $\ddots$} + \raisebox{-2.5ex}{\!\!$ + {}+ \frac{1}{ 2\mu_{m-1} }.$}} }$} } +\mspace{150 mu} +\] +Soll nun $p_1^2 N-q^2 R_1 = a$, worin $a$ eine Constante bedeutet, +aufgelöst werden, so muss eine der $s$-Grössen constant +sein, und setzt man daher eine derselben, welche alle, wenn +$R$ ein Polynom $2n^\text{ten}$ Grades, vom $n-1^\text{ten}$ Grade sind, +gleich einer solchen constanten Grösse, so erhält man $n-1$ +Bedingungen zwischen den Coefficienten von $R$; die Function +$\rho$ wird dann vom $n-1^\text{ten}$ Grade sein. Ist $N = 1$, also +\[ + \sqrt{R} += r + \frac{1}{ 2\mu + \rlap{$ + \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{\raisebox{-2ex}{\ $\ddots$}} }$} } +\mspace{100 mu} +\] +so lautet der merkwürdige von \Person{Abel} entwickelte Satz: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Lorsqu' il est possible de trouver pour $\rho$ une fonction +entière telle que +\[ + \int \frac{\rho\,dx}{\sqrt{R}} += \log \left( \frac{y+\sqrt{R}}{y-\sqrt{R}} \right), +\] +la fraction continue résultant de $\sqrt{R}$ sera périodique, et aura +la forme suivante: +%-----File: 037..png--- +\[ + \sqrt{R} += r + \frac{1}{ 2\mu + \rlap{$ + \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{\raisebox{-2ex}{$\ \ddots$} + \raisebox{-2.5ex}{$\!\! + {}+ \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{$ + \frac{1}{ 2\mu + \rlap{$ + \frac{1}{ 2r + \rlap{$ + \frac{1}{ 2\mu + \rlap{$ + \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{\raisebox{-2ex}{$\ \ddots$}} } + $} }$} }$} }$} }$}} }$} } +\mspace{200 mu} +\] +et réciproquement, lorsque la fraction continue résultant de +$\sqrt R$ a cette forme, il est toujours possible de trouver pour +$\rho$ une fonction entière qui satisfait à l'équation +\[ + \int\frac{\rho\,dx}{\sqrt R} += \log \left( \frac{y+\sqrt R}{y-\sqrt R} \right). +\] +La fonction $y$ est donnée par l'expression suivante: +\[ + y = r + \frac{1}{ 2\mu + \rlap{$ + \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{\raisebox{-2ex}{$\ \ddots$} + \raisebox{-2.5ex}{$\!\! + {}+ \frac{1}{ 2\mu + \rlap{$ + \frac{1}{ 2r }$«.} }$}} }$} } +\mspace{150 mu} +\] +\end{quote} + +Es mag noch hinzugefügt werden, dass, wie sich aus +späteren Aufzeichnungen ergiebt, \Person{Abel} sich ursprünglich +ein viel allgemeineres Problem als das in der eben erwähnten +Abhandlung behandelte gestellt hat, indem er überhaupt +die Bedingungen für die Reducirbarkeit der Integrale +algebraischer Differentiale auf Integrale niederer Ordnung +aufsuchte, ein Problem, dessen Lösung er freilich in dieser +Allgemeinheit trotz der mannigfachen und wunderbar reichen +Mittel, die er sich selbst schuf, schon in den ersten Anfängen +aufgeben musste. + +Die eben besprochene Arbeit ist wahrscheinlich auf der +Reise nach Paris von \Person{Abel} persönlich in Berlin \Person{Crelle} +für sein eben gegründetes Journal überreicht worden, also, +wie sich auch schon aus der oben erwähnten Nachlassarbeit +%-----File: 038..png--- +ergiebt, jedenfalls vor der Abreise aus Norwegen vollendet +worden. + +Auf seiner Reise nach Berlin, Wien, Paris hat sich +\Person{Abel} anhaltend mit den verschiedensten und weitestgehenden +Studien, die Theorie der Transcendenten betreffend, beschäftigt. + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»\Person{Abel} me dit, sagt \Person{Holmboe}, que lors de son séjour +à Paris en 1826, il avait déjà achevé la partie essentielle +des principes qu'il avançait dans la suite sur ces fonctions, +et qu'il aurait bien voulu remettre la publication de ses +découvertes jusqu'à ce qu'il en eût pu composer une théorie +complète, si en attendant Mr.\ \Person{Jacobi} ne s'était mis sur +les rangs«. +\end{quote} + +Ein an \Person{Crelle} aus Paris vom 9.~August 1826 gerichteter +Brief kommt wieder auf das allgemeine Additionstheorem +zurück, das, wie wir oben sahen, bereits vor der +Mitte des Jahres 1825 von \Person{Abel} gefunden und aufgezeichnet +war, + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»une propriété générale des fonctions dont la différentielle +est algébrique, consiste en ce que la somme d'un +nombre \Emphasis{quelconque} de fonctions peut être exprimée par +un nombre dé\-ter\-mi\-né des mêmes fonctions« --- +\end{quote} + +und an \Person{Holmboe} schreibt \Person{Abel} über dasselbe Theorem +aus Paris am 24.~October 1826: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»je viens de finir un grand traité sur une certaine +classe de fonctions transcendantes pour le présenter à +l'institut, ce qui aura lieu lundi prochain. J'ose dire sans +ostentation que c'est un traité dont on sera satisfait. Je +suis curieux d'entendre l'opinion de l'institut là-dessus. Je +ne manquerai pas de t'en faire part«. +\end{quote} + +\Person{Abel} hatte sich in der Bedeutung und Tragweite dieses +fundamentalen Satzes nicht getäuscht; doch unterblieb +in der Pariser Akademie die Beurtheilung dieser Arbeit, +so dass \Person{Abel} sich veranlasst sah, drei Jahre später, +%-----File: 039..png--- +am 6.~Januar 1829, von Christiania aus an \Person{Crelle} eine +Arbeit unter dem Titel: \Titel{Démonstration d'une propriété +générale d'une certaine classe de fonctions transcendantes} +zu senden, die 1829 im 4.~Bande des Journals +für Mathematik veröffentlicht wurde, deren kurze Darstellung +genau der im Nachlass befindlichen oben berührten +Aufzeichnung entspricht und nur noch mit dem Zusatze +versehen ist: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Je me propose de développer dans une autre occasion +de nombreuses applications de ce théorème, qui jetteront +un grand jour sur la nature des fonctions transcendantes +dont il s'agit.« +\end{quote} + +Leider ist von den Anwendungen dieses allgemeinen, +von \Person{Jacobi} mit dem Namen des \Person{Abel}'schen Theorems +bezeichneten Satzes nichts von \Person{Abel} veröffentlicht, auch bis +jetzt nichts darauf bezügliches aus seinem Nachlasse bekannt +geworden. + +\Person{Abel} selbst ist in seinem späteren Briefwechsel mit +\Person{Legendre} nie auf die der Akademie eingereichte Arbeit +zurückgekommen; noch in einem vom 25.~November 1828 +aus Christiania datirten Briefe an \Person{Legendre} sagt er, ohne +sich auf dieselbe zu beziehen: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Les fonctions elliptiques jouissent d'une certaine propriété +bien remarquable et que je crois nouvelle \dots Vous +verrez que rien n'est plus simple que d'établir cette propriété +générale. Elle m'a été fort utile dans mes recherches +sur les fonctions elliptiques. En effet j'ai fondé sur elle +toute la théorie de ces fonctions«. +\end{quote} + +\Person{Jacobi} aber erkannte sofort nach der Veröffentlichung +im \Person{Crelle}'schen Journal die ganze Bedeutung dieses Fundamentaltheorems +der Analysis, und gab seiner Bewunderung +in einem aus Königsberg vom 14.~März 1829 datirten +Briefe an \Person{Legendre} in den Worten Ausdruck: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Quelle découverte de M.~\Person{Abel} que cette généralisation +%-----File: 040..png--- +de l'intégrale d'\Person{Euler!} A-t-on jamais vu pareille chose! +Mais comment s'est-il fait que cette découverte, peut-être la +plus importante de ce qu'a fait dans les Mathé\-ma\-tiques le +siècle dans lequel nous vivons, étant communiquée à votre +Académie il y a deux ans, elle a pu échapper à l'attention +de vous et de vos confrères?« +\end{quote} + +Diese Frage \Person{Jacobi}'s beantwortet \Person{Legendre} in einem +Schreiben vom 8.~April 1829 mit den Worten: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Je ne terminerai pas cette lettre sans répondre à l'article +de la vôtre qui concerne le beau mémoire de M.~\Person{Abel} +qui a été imprimé dans le cahier précédent du Journal de +\Person{Crelle}, et qui avait été présenté à l'académie par son auteur +dans les derniers mois de 1826. M.~\Person{Poisson} était alors +président de l'académie, les commissaires nommés pour +examiner le mémoire furent M.~\Person{Cauchy} et moi. Nous nous +aperçumes que le mémoire n'était presque pas lisible, il était +écrit en encre très-blanche, les caractères mal formés; il +fut convenu entre nous qu'on demanderait à l'auteur une +copie plus nette et plus facile à lire. Les choses en sont +restées là; M.~\Person{Cauchy} a gardé le manuscrit jusqu'ici sans +s'en occuper, l'auteur M.~\Person{Abel} paraît s'en être allé sans s'occuper +de ce que devenait son mémoire, il n'a pas fourni +de copie et il n'a pas été fait de rapport. Cependant j'ai +demandé à M.~\Person{Cauchy}, qu'il me remette le manuscrit qui +n'a jamais été entre mes mains, et je verrai ce qu'il y a à +faire, pour réparer, s'il est possible, le peu d'attention qu'il +a donné, à une production qui méritait sans doute un meilleur +sort«. +\end{quote} + +Und \Person{Jacobi} sowohl wie \Person{Legendre} bedienten sich +sehr bald des \Person{Abel}'\-schen Theorems als eines besonders +wirksamen Hülfsmittels zur Erweiterung der Grenzen der +Analysis. Am 2.~Juli 1830 schreibt \Person{Jacobi} an \Person{Legendre}: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»En ce qui regarde mes propres occupations, j'ai entrepris +un bon nombre de recherches sur différentes matières +%-----File: 041..png--- +et que je voudrais avoir finies avant de retourner aux +Fonctions Elliptiques et aux transcendantes d'un ordre supérieur +qui sont de la forme $\int\frac{dx}{\sqrt{a+a_1x+\dots+a_nx^n}}$. Je +crois entrevoir à présent que toutes ces transcendantes +jouissent des propriétés admirables et inattendues auxquelles +on peut être conduit par le théorème d'\Person{Abel}, qui +établit une relation entre plusieurs de ces transcendantes qui +répondent à différentes valeurs de $x$,« +\end{quote} + +und nicht lange darauf beschäftigte sich auch \Person{Legendre}, +wie das dritte Supplement zu seinem \Titel{traité} zeigt, eingehend +mit dem \Person{Abel}'schen Theoreme für hyperelliptische Integrale; + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»en travaillant pour mon propre compte, schreibt er +am 24.~März 1832 an \Person{Crelle}, j'ai éprouvé une grande +satisfaction, de rendre un éclatant hommage au génie de +Mr.~\Person{Abel}, en faisant sentir tout le mérite du beau théorème +dont l'invention lui et due, et auquel on peut appliquer +la qualification de \Emphasis{monumentum aere perennius}«. +\end{quote} + +In der Besprechung dieses dritten Supplementes von +\Person{Legendre} im $8^\text{ten}$ Bande des \Person{Crelle}'schen Journals finden +sich noch die schönen und denkwürdigen Worte \Person{Jacobi}'s: + +\begin{quote} +\selectlanguage{german} +»Wir halten es (das \Person{Abel}'sche Theorem), wie es in +einfacher Gestalt ohne Apparat von Calcul den tiefsten und +umfassendsten mathematischen Gedanken ausspricht, für die +grösste mathematische Entdeckung unserer Zeit, obgleich +erst eine künf\-ti\-ge, vielleicht späte grosse Arbeit ihre ganze +Bedeutung aufweisen kann«. +\end{quote} + +\Person{Jacobi} selbst war es, der nach einer Reihe von +Jahren nachwies, wie das \Person{Abel}'sche Theorem die Wege +ebnete zur Erweiterung der Analysis in der Herstellung der +Umkehrungsfunctionen der höheren Integrale und der Behandlung +der vielfach periodischen Functionen mehrerer +%-----File: 042..png--- +Variabeln, und somit die grossen analytischen Arbeiten von +\Person{Weierstrass} und \Person{Riemann} ermöglichte. + +Im Jahre 1841 veröffentlichte \Person{Libri} in den Memoiren +der Pariser Akademie den von \Person{Abel} im Jahre 1826 derselben +überreichten Aufsatz. Nachdem darin ähnlich wie +in den anderen kurzen Darstellungen des berühmten Theorems +die Existenz der Gleichung +\[ + \int f(x_1, y_1)\,dx_1 + \int f(x_2, y_2)\,dx_2 + \dots ++ \int f(x_\mu, y_\mu)\,dx_\mu = v +\] +erwiesen, und eine doppelte Methode zur Bestimmung der +von den eingeführten Parametern $a$, $a'$, $a''$, \ldots\ algebraisch-logarithmisch +abhängigen Function $v$ entwickelt worden, +zeigt \Person{Abel}, dass sich eine beliebige Anzahl von gleichartigen +Integralen algebraischer Differentiale auf eine +feste Anzahl eben solcher Integrale zurückführen lässt, und +liefert Methoden zur Bestimmung dieser unveränderlichen +Zahl, ähnlich denen, welche den neueren algebraischen Untersuchungen +über die Entwicklung der Lösungen algebraischer +Gleichungen in unendliche Reihen zu Grunde liegen; endlich +geht \Person{Abel} noch zur Specialisirung seines Theorems für diejenigen +Integrale über, für welche die algebraische Irrationalität +unter dem Integral die Lösung einer binomischen +algebraischen Gleichung ist und leitet daraus die expliciten +Ausdrücke des Additionstheorems für die elliptischen und +hyperelliptischen Integrale her. + +Nachdem ich zum Zwecke einer abschliessenden Darstellung +der Geschichte des \Person{Abel}'schen Theorems in der +Zeit um einige Jahre vorgegriffen, gehe ich nunmehr wieder +zu den anderweitigen, auf die Theorie der Transcendenten +bezüglichen Arbeiten, mit denen sich \Person{Abel} in Paris beschäftigte, +zurück, zu deren Charakterisirung ein Brief desselben +an \Person{Holmboe} aus Paris vom December 1826 dient: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»J'ai écrit un grand mémoire sur les fonctions elliptiques +qui renferme des choses assez curieuses et qui ne +%-----File: 043..png--- +manquera pas, je m'en flatte, de fixer l'attention du monde +littéraire. Entre autres choses il traite de la division de +l'arc de la lemniscate. Ah, qu'il est magnifique! tu verras. +J'ai trouvé qu'avec le compas et la règle on peut diviser +la lemniscate en $2^n + 1$ parties égales, lorsque ce nombre +$2^n + 1$ est premier. La division dépend d'une équation du +degré $(2^n + 1)^2 - 1$; mais j'en ai trouvé la solution complète +à l'aide des racines carrées. Cela m'a fait pénétrer +en même temps le mystère qui a enveloppé la théorie de +Mr.~\Person{Gauss} sur la division de la circonférence du cercle. Je +vois clair comme le jour; comment il y est parvenu«; +\end{quote} + +und ein zweiter Brief aus Paris vom 4.~December 1826 +an \Person{Crelle}, der auf dieselben Untersuchungen hinweist; in +beiden Briefen spricht \Person{Abel} ausdrücklich die Meinung aus, +dass \Person{Gauss} auf demselben Wege wie er zu den Sätzen gelangt +ist, in deren Besitz zu sein dieser, wie wir oben gesehen, +in dem letzten Abschnitte seiner \Titel{disquisitiones arithmeticae} +behauptet -- und wir werden später durch \Person{Gauss} +selbst diese Ansicht bestätigt finden. + +Endlich thut \Person{Abel} in einem auf der Rückreise in seine +Heimath aus Berlin vom 4.~März 1827 datirten Briefe an +\Person{Holmboe} noch einer grösseren Arbeit, die er vollendet hat, +in den Worten Erwähnung: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Mais voici le mémoire qui l'emporte sur tous les autres: +\Titel{Théorie des fonctions transcendantes en général et +celle des fonctions elliptiques en particulier}; mais +différons de t'en faire part jusqu'à mon retour«. +\end{quote} + +Nun erst, nachdem \Person{Abel} wieder nach Norwegen zurückgekehrt, +beginnt der grossartige Wettkampf zwischen +ihm und \Person{Jacobi}, der erst seit ganz kurzer Zeit sich mit +der Theorie der elliptischen Transcendenten be\-schäf\-tig\-te. + +In den »\Titel{Extraits de deux lettres de Mr.~\Person{Jacobi} de +l'Université de Koenigsberg à l'éditeur}« vom 13.~Juni und +2.~August 1827 veröffentlicht \Person{Jacobi} in der im September +%-----File: 044..png--- +1827 ausgegebenen No.~123 der astronomischen Nachrichten +von \Person{Schumacher} seine erste Entdeckung in der Theorie +der Transformation der elliptischen Integrale. + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Les intégrales de la forme $ \int\frac{d\phi}{\sqrt{1-cc\sin\phi^2}}$ appartiennent +d'après la diversité du module $c$ à des transcendantes +diverses. On ne connait qu'un seul système de modules +qu'on peut réduire l'un à l'autre, et Mr.~\Person{Legendre} dans +ses Exercices dit même qu'il n'y avait que ce seul. Mais +en effet il-y-a autant de ces systèmes qu'il-y-a de nombres +premiers, c'est-à-dire il-y-a un nombre infini de ces systèmes +indépendans l'un de l'autre, dont chacun repond à un +nombre premier, et dont le système connu repond au nombre +premier~2.« +\end{quote} + +\Person{Jacobi} spricht hier bereits ohne Beweis den allgemeinen +Satz von der Transformation der elliptischen Integrale +erster Gattung aus: $\sin\phi = \frac{u}{v}$ gesetzt, worin $u$ eine +gewisse unpaare Function $n^\text{ten}$ Grades von $\sin\psi$, $v$ eine gewisse +paare Function $n-1^\text{ten}$ Grades dieser Grösse bedeutet, +liefert die Beziehung +\[ + \int\frac{d\phi}{1-c^2sin^2\phi} += m\int\frac{d\psi}{1-k^2sin^2\psi}, +\] +was auch $n$ für eine unpaare Zahl sein mag, und hebt ferner +hervor, dass man jetzt $\sin \psi$ auf fast analoge Art durch +$\sin \theta$ ausdrücken kann, und durch Zusammensetzung der +beiden Integralgleichungen die Beziehung +\[ + \int\frac{d\phi }{1-c^2sin^2\phi} += n\int\frac{d\theta}{1-c^2sin^2\theta} +\] +erhält, in welcher sich $\sin \phi$ durch einen Bruch darstellt, +dessen Zähler die unpaaren Potenzen von $\sin \theta$ bis zur $n^\text{2\,ten}$, +der Nenner die paaren bis zur $n^2-1^\text{ten}$ enthält. + +Dieser ohne Beweis und im ersten Briefe auch noch +ohne Angabe des allgemeinen analytischen Transformationsausdruckes +%-----File: 045..png--- +mitgetheilte Satz ist weiter für die Transformation +dritten und fünften Grades wirklich ausgeführt und +mit der Multiplication und Division für die Zahlen 3 und +5 in Verbindung gesetzt, von der \Person{Jacobi} sagt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»ainsi je donne ici pour la première fois la solution +algébrique de l'équation du $9^\text{ième}$ degré, dont la trisection +de notre transcendante dépend«. +\end{quote} + +Die Transformation dritten Grades war jedoch inzwischen +von \Person{Legendre} in dem im Januar 1827 ausgegebenen +\Titel{traité des fonctions elliptiques}, wie schon oben hervorgehoben, +veröffentlicht worden, ohne dass \Person{Jacobi} zur Zeit +der Veröffentlichung seiner Arbeit noch davon Kenntniss +hatte. Als \Person{Legendre} diese ersten Briefe \Person{Jacobi}'s an +\Person{Schumacher} kennen lernte, war er durch die Existenz +einer Transformation fünften Grades in hohem Grade überrascht +und konnte sich mit dem Gedanken von der Existenz +einer zu einem beliebigen Grade gehörigen algebraischen +Transformation so wenig vertraut machen, dass er bestimmt +glaubte, wie er dies in dem aus Paris vom 30.~November +1827 an \Person{Jacobi} gerichteten Schreiben ausdrücklich erklärt, +dass derselbe durch eine Induction irregeführt worden, wiewohl +\Person{Jacobi} in dem zugleich veröffentlichten Briefe vom +2.~August 1827 auch den allgemeinen analytischen Transformationsausdruck, +wenn auch ohne Beweis, wirklich hinstellte +und zwar in der Form +\begin{gather*} + \tg \left( 45^\circ-\frac{\psi}{2} \right) += \frac{ \tg \left( \dfrac{\phi' - \phi}{2} \right) } + { \tg \left( \dfrac{\phi' + \phi}{2} \right) } + \frac{ \tg \left( \dfrac{\phi''' + \phi}{2} \right) } + { \tg \left( \dfrac{\phi''' - \phi}{2} \right) } \dotsm +\\[1ex] + \frac{ \tg \left( \dfrac{\phi^{(p-2)} \pm \phi}{2} \right) } + { \tg \left( \dfrac{\phi^{(p-2)} \mp \phi}{2} \right) } + \tg \left( 45^\circ \mp \frac{\phi}{2} \right) +\end{gather*} +angab, worin die Amplituden $\phi^{(m)}$ durch die Gleichung +%-----File: 046..png--- +\[ + F(k, \phi^{(m)}) = \frac{m}{p} F(k, 90^\circ) +\] +definirt waren, wenn $p$ eine beliebige unpaare Zahl bedeutet. + +Aber \Person{Legendre} hatte nicht ganz Unrecht, an der +Strenge der Schlüsse \Person{Jacobi}'s zu zweifeln, ja sogar er +hatte sich zu schnell durch einen gleich näher zu besprechenden +Brief desselben davon überzeugen lassen, dass die +allgemeinen Transformationsausdrücke auch wirklich auf +strengem Wege hergeleitet und verificirt worden waren; +denn auf die von \Person{Legendre} an \Person{Jacobi} gerichtete Bitte, +ihm die leitenden Ideen anzugeben, die ihn einerseits zu +dem Satze geführt, dass jedem Transformationsgrade auch +immer eine rationale Transformation entspricht, andererseits +ihm die analytischen Ausdrücke für eben diese Transformation +geliefert haben, antwortet \Person{Jacobi} in einem aus +Königsberg vom 12.~April 1828 datirten Briefe in einer +für die Geschichte der elliptischen Functionen interessanten +und denkwürdigen Stelle: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Vous auriez voulu que j'eusse donné la chaîne des +idées qui m'a conduit à mes théorèmes. Cependant la route +que j'ai suivie n'est pas susceptible de rigueur % original: riguéur +géométrique. +La chose étant trouvée, on pourra y substituer une autre +sur laquelle on aurait pu y parvenir rigoureusement. Ce +n'est donc que pour vous, Monsieur, que j'ajoute le suivant: +La première chose que j'avais trouvée (dans le mars 1827), +c'était l'équation $T = V \frac{dU}{dx} - U \frac{dV}{dx}$; de là je reconnus +que, pour un nombre $n$ quelconque, la transformation était +un problème d'Analyse algébrique \Emphasis{dé\-ter\-miné}, le nombre des +constantes arbitraires égalant toujours celui des conditions. +Au moyen des coefficients indéterminés, je formai les transformations +relatives aux nombres 3 et 5. L'équation du +quatrième degré à laquelle me mena la première ayant +presque la même forme que celle qui sert à la trisection, +%-----File: 047..png--- +j'y soupçonnais quelque rapport. Par un tâtonnement heureux, +je remarquais dans ces deux cas l'autre transformation +complémentaire pour la multiplication. Là j'écrivis ma première +lettre à Mr.~\Person{Schumacher}, la méthode étant générale +et vérifiée par des exemples. Depuis, examinant plus de +proche les deux substitutions $z = \frac{ay+by^3}{1+cy^2}$, $y = \frac{a'x+b'x^3}{1+c'x^2}$ +sous la forme présentée dans ma première lettre, je vis +qu'étant mis $x = \sin\am \frac{2K}{3}$, $z$ devra s'évanouir, et comme, +dans ladite forme, $\frac{b}{a}$ était positif, j'en conclus que $y$ devra +s'évanouir aussi. De cette manière je trouvai par induction +la résolution en facteurs, laquelle étant confirmée par des +exemples, je donnai le théorème général dans ma seconde +lettre à Mr.~\Person{Schumacher}. Ensuite, ayant remarqué l'équation +$\sin\am (i\xi, \kappa) = i \tg\am (\xi, \kappa')$, j'en tirai la transformation +de $\kappa'$ en $\lambda'$. J'avais donc deux transformations différentes, +l'une de $\kappa$ dans un module plus petit $\lambda$, l'autre de $\kappa'$ dans +un module plus grand $\lambda'$. De là je fis la conjecture qu'en +échangeant entre eux $\kappa'$ et $\lambda$, $\kappa$ et $\lambda'$, on aurait l'expression +analytique de la transformation complémentaire. Tout étant +confirmé par des exemples, j'eus la hardiesse de vous adresser +une première lettre, qui a été accueillie de vous avec tant de +candeur. Les démonstrations n'out été trouvées que ci-après«; +\end{quote} + +und ebenso lehrreich und interessant ist die Antwort +\Person{Legendre}'s, die er in einem Briefe vom 16.~Juni 1828 von +Paris aus \Person{Jacobi} giebt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Je n'ai pu que toucher très-légèrement dans ma dernière +lettre ce que j'avais à vous dire sur la communication +pleine de franchise, que vous m'avez faite de la filiation des +idées qui vous ont conduit à vos belles découvertes sur les +fonctions elliptiques, je vois que nous avons couru tous deux +des dangers, \Emphasis{vous} en annonçant des découvertes qui n'étaient +pas encore revêtues du sceau d'une démonstration rigoureuse, +%-----File: 048..png--- +et \Emphasis{moi} en leur donnant publiquement et sans restriction mon +approbation tout entière. Nous n'avons pas à nous repentir +ni l'un ni l'autre de ce que nous avons fait. D'ailleurs nous +avions chacun nos raisons de nous conduire ainsi; je ne +dirai rien des vôtres, quant à moi je voyais très-clairement +que des résultats tels que ceux que vous aviez obtenus, ne +pouvaient être l'effet ni du hasard, ni d'une induction trompeuse, +mais bien d'une théorie profonde et appuyée sur la +nature des choses \dots«. +\end{quote} + +Der oben erwähnte von \Person{Jacobi} am 5.~August 1827 an +Legendre gerichtete Brief, der mit den schönen Worten +beginnt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Monsieur, un jeune Géomètre ose vous présenter quelques +découvertes faites dans la théorie des Fonctions Elliptiques, +auxquelles il a été conduit par l'étude assidue de vos +beaux écrits. C'est à vous, Monsieur, que cette partie brillante +de l'Analyse doit le haut degré de perfectionnement +auquel elle a été portée, et ce n'est qu'en marchant sur les +vestiges d'un si grand maître, que les Géomètres pourront +parvenir à la pousser au delà des bornes qui lui ont été +prescrites jusqu'ici. C'est donc à vous que je dois offrir +ce qui suit comme un juste tribut d'admiration et de reconnaissance«, +\end{quote} + +hatte jedoch \Person{Legendre} -- wenn auch, wie wir eben +gesehen haben, nicht ganz mit Recht -- davon überzeugt, +dass \Person{Jacobi} durch strenge Analyse zu seinem Theorem geführt +worden, und liess denselben am 5.~November 1827 +mit grosser Wärme der französischen Akademie Bericht erstatten +über die von \Person{Jacobi} gemachten Entdeckungen. + +Wenn $p$ eine beliebige ungerade Zahl ist, führt \Person{Jacobi} +in diesem Briefe aus, so kann man durch eine Substitution +\[ +x = \frac{ z \Bigl( A + A'z^2 + \dotsb + + A^{\frac{p^2-1}{2}} z^{p^2-1} \Bigr) } + { B + B'z^2 + \dotsb + B^{\frac{p^2-1}{2} }z^{p^2-1} } +\] +%-----File: 049..png--- +zur Gleichung gelangen +\[ + \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-\kappa^2 x^2)}} += p \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\kappa^2 z^2)}}, +\] +und diese Substitution kann wiederum ersetzt werden durch +\begin{align*} + x &= \frac{ y \Bigl( a + a'y^2 + \dotsb + + a^{\frac{p-1}{2}} y^{p-1} \Bigr) } + { b + b'y^2 + \dotsb + b^{\frac{p-1}{2}} y^{p-1} }, +\\[1ex] + y &= \frac{ z \Bigl( \alpha + \alpha'z^2 + \dotsb + + \alpha^{\frac{p-1}{2}} z^{p-1} \Bigr) } + { \beta + \beta'z^2 + \dotsb + \beta^{\frac{p-1}2} z^{p-1} }, +\end{align*} +welche den Differentialbeziehungen +\begin{gather*} + \frac{ dx}{ \sqrt{(1-x^2) (1- \kappa^2 x^2)} } += \frac{M\,dy}{ \sqrt{(1-y^2) (1-\lambda^2 y^2)} }, +\\[1ex] + \frac{dy}{ \sqrt{(1-y^2) (1-\lambda^2 y^2)} } += \frac{p}{M} \frac{dz}{ \sqrt{(1-z^2) (1- \kappa^2 z^2)} } +\end{gather*} +zugehören; dadurch ist aber die Existenz einer unendlichen +Anzahl von Modulnketten erwiesen. Nach Ausführung der +in den beiden früheren Briefen an \Person{Schumacher} veröffentlichten +Formeln für die primäre und supplementäre Transformation +bemerkt \Person{Jacobi}: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Il n'y a que très-peu de temps que ces recherches +ont pris naissances. Cependant elles ne sont pas les seules +entreprises en Allemagne sur le même objet. M.~\Person{Gauss}, +ayant appris de celles-ci, m'a fait dire qu'il avait développé +déjà en 1808 les cas de 3~sections, 5~sections et de 7~sections, +et trouvé en même temps les nouvelles échelles de modules +qui s'y rapportent. Cette nouvelle, à ce qui me paraît, est +bien intéressante«. +\end{quote} + +Durch diese Mittheilung veranlasst, hat sich \Person{Legendre}, +der für \Person{Gauss} schon in Folge von Prioritätsstreitigkeiten +mit demselben nicht günstig gestimmt war, in der am +30.~November 1827 an \Person{Jacobi} gerichteten Antwort zu den +Worten hinreissen lassen: +%-----File: 050..png--- + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Comment se fait-il que M.~\Person{Gauss} ait osé vous faire +dire que la plupart de vos théorèmes lui étaient connus et +qu'il en avait fait la découverte dès 1808? Cet excès d'impudence +n'est pas croyable de la part d'un homme, qui a +assez de mérite personnel pour n'avoir pas besoin de s'approprier +les découvertes des autres \dots«; +\end{quote} + +und doch beruhten nicht bloss die Angaben von \Person{Gauss}, +wie sich jetzt aus seinem Nachlasse unzweifelhaft ergiebt, +auf Wahrheit, \Person{Gauss} war vielmehr schon seit langer Zeit +allen bisher auf diesem Gebiete gemachten Entdeckungen +weit vorausgeeilt. \Person{Jacobi} nimmt auch in einem späteren +Briefe an \Person{Legendre} vom 12.~April 1828 \Person{Gauss} gegen +die Vorwürfe \Person{Legendre}'s in Schutz, freilich ohne die Grösse +der Entdeckungen, die \Person{Gauss} schon dreissig Jahre zuvor +gemacht, auch nur zu ahnen: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Quant à M.~\Person{Gauss}, il n'a rien encore publié sur les +Fonctions Elliptiques, mais il est certain, qu'il a eu de jolies +choses. S'il a été prévenu et peut-être surpassé, c'est une +juste peine de ce qu'il a répandu un voile mystique sur +ses travaux. Je ne le connais pas personnellement, ayant +étudié la philologie à Berlin, où il n'y a pas des géomètres +de distinction«. +\end{quote} + +Aber \Person{Legendre} kann nicht glauben, dass man Entdeckungen +von einer solchen Tragweite unveröffentlicht lässt, +wie es \Person{Gauss} leider in Wirklichkeit gethan; + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»si M.~\Person{Gauss}, heisst es in einem Briefe \Person{Legendre}'s +an \Person{Jacobi} vom 14.~April 1828, était tombé sur de pareilles +découvertes, qui surpassent à mes yeux, tout ce qui a +été fait jusqu'ici en Analyse, bien sûrement il se serait empressé +de les publier«. +\end{quote} + +Wir werden nachher Gelegenheit haben, auf die grossartigen +und unvergleichlichen Arbeiten von \Person{Gauss} in dieser +Disciplin zurückzukommen und näher auszuführen, wie ein +%-----File: 051..png--- +grosser Theil der Entdeckungen in der Theorie der elliptischen +Transcendenten, die in den nächsten Jahren von \Person{Abel} +und \Person{Jacobi} gemacht wurden, von \Person{Gauss} seit langer Zeit +bereits vorweg genommen war. + +Zugleich mit den eben besprochenen Arbeiten \Person{Jacobis} +erschien im September 1827 im zweiten Heft des +2.~Bandes des \Person{Crelle}'schen Journals der erste Theil der +»\Titel{Recherches sur les fonctions elliptiques}« +von \Person{Abel}, der bei +Abfassung der beiden Theile dieses Memoirs von den vorher +behandelten Untersuchungen \Person{Jacobi}'s, wie er selbst +in einem Zusatze zu dem am 12.~Februar 1828 \Person{Crelle} übersandten +zweiten Theile dieses Aufsatzes erklärt, noch keine +Kenntniss genommen: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Avant terminé le mémoire précédent sur les fonctions +elliptiques, une note sur les mêmes fonctions par Mr.\ C.~G.~J. +\Person{Jacobi}, inserée dans le No.~123 année 1827 du recueil de Mr.\ +\Person{Schumacher}, +qui a pour titre »\Titel{Astronomische Nachrichten}«, +m'est venu sous les yeux. Mr.~\Person{Jacobi} donne le théorème +suivant: \dots\ Ce théorème élégant, que M.~\Person{Jacobi} donne +sans démonstration est contenu comme cas particulier dans +la formule~(227) du mémoire précédent, et au fond il est +le même que celui de la formule~(270). Nous allons démontrer +cela«. +\end{quote} + +Nach allen Vorarbeiten \Person{Abel}'s, die aus seinem Nachlasse +bekannt geworden, nach dem Charakter der einen, im +ersten Bande des \Person{Crelle}'schen Journals veröffentlichten Arbeit, +nach der Form sowie dem Inhalte der \Titel{recherches} kann +es nicht wohl zweifelhaft sein, dass \Person{Abel} schon seit fast +zwei Jahren in dem Besitze einer allgemeinen und umfassenden +Theorie der elliptischen Transcendenten war, und +dass ihm daher jedenfalls in sehr vielen Punkten, wie auch +\Person{Jacobi} anerkannte, die Priorität der Entdeckung wird zugesprochen +werden müssen, wenn auch wiederum \Person{Jacobi} +das Verdienst einer neuen und \Emphasis{selbständigen} Construction der +%-----File: 052..png--- +Theorie der elliptischen Functionen nie wird aberkannt werden +können. + +Wir haben es in den \Titel{recherches} mit einer grossen, in +sich vollendeten Theorie der elliptischen Transcendenten zu +thun. Nachdem die Umkehrungsfunction des Integrales +\[ + \alpha = \int_0^x \frac{dx}{\sqrt{ (1-c^2x^2) (1+e^2x^2) }},\ + x = \phi(\alpha) +\] +definirt, das Additionstheorem dieser Function und der beiden +zu\-ge\-hö\-rigen +\[ + f(\alpha) = \sqrt{1 - c^2 \phi^2(\alpha)},\ + F(\alpha) = \sqrt{1 + e^2 \phi^2(\alpha)} +\] +entwickelt worden, die doppelte Periodicität festgestellt, und +die Nullen und Unendlichen dieser Functionen bestimmt +sind, geht \Person{Abel} zur Entwicklung der Multiplicationsformeln +für $\phi(n\alpha)$, $f(n\alpha)$, $F(n\alpha)$ in rationale Functionen von $\phi(\alpha)$, +$f(\alpha)$, $F(\alpha)$ über. + +Der Behandlung des Multiplicationsproblems folgt die +Lö\-sung der schwierigen Aufgabe der Division der elliptischen +Functionen. \Person{Abel} weist die algebraische Ausdrückbarkeit +der Functionen +$\phi \left( \frac{\alpha}{2n+1} \right)$, +$f \left( \frac{\alpha}{2n+1} \right)$, +$F \left( \frac{\alpha}{2n+1} \right)$ +als Functionen von $\phi(\alpha)$, $f(\alpha)$, $F(\alpha)$ in der Form nach: +\begin{gather*} + \phi(\beta) = \frac{1}{2n+1} \left\{ \phi_1(\beta) ++ \sqrt[2n+1]{ C_1 + \sqrt{ C_1^2 - D_1^{2n+1} }} + \dots \right. +\\[1ex] ++ \left. \sqrt[2n+1]{ C_{2n} + \sqrt{ C_{2n}^2 - D_{2n}^{2n+1} }}\ \right\}, +\end{gather*} +wenn +\begin{gather*} + \phi_1(\beta) = \phi(2n+1)\beta + \frac{1}{2n+1} \left\{ +\sqrt[2n+1]{ A_1 + \sqrt{ A_1^2-B_1^{2n+1} }} + \dotsb \right. +\\[1ex] ++ \left. \sqrt[2n+1]{ A_{2n} + \sqrt{ A_{2n}^2 - B_{2n}^{2n+1} }}\ \right\}, +\end{gather*} +und die Grössen $C$, $D$ rationale Functionen von $\phi_1(\beta)$, die +Grössen $A$, $B$ ebensolche Functionen von $\phi(2n+1)\beta$ sind. + +Für diese schöne und folgenreiche Entdeckung schreibt +%-----File: 053..png--- +\Person{Jacobi} die Priorität unbedingt \Person{Abel} zu; auf eine Anfrage +\Person{Legendre}'s, die auf einem Missverständniss einer Mittheilung +\Person{Jacobi}'s beruhte, antwortet letzterer am 14.~März 1829 +aus Königsberg: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Vous supposez que j'ai trouvé des moyens à exprimer +al\-géb\-riquement les fonctions trigonométriques des amplitudes +que vous désignez par $\alpha_m$, en ajoutant que sans cela +ma formule contiendrait des coefficients que je ne pourrai +déterminer. Mais, Monsieur, ce que vous désirez est une +chose \Emphasis{tout à fait impossible} dans le cas général, et qui ne +s'exécute que pour des valeurs spéciales du module. Ma +formule qui donne l'expression algébrique de $\sin\am(u)$ au +moyen de $\sin\am(nu)$ suppose connue la section de la fonction +entière. C'est ainsi qu'on savait résoudre algébriquement +depuis plus d'un siècle les équations qui se rapportent à +la division d'un arc de cercle, toutefois en supposant connue +celle de la circonférence entière, cette dernière n'étant donnée +généralement que dans ces derniers temps par les travaux +de M.~\Person{Gauss} $\ldots\,\ldots$ Vous voyez donc Monsieur, que +M.~\Person{Abel} a prouvé ce théorème important, comme vous le +nommez, dans son premier +\Titel{Mémoire sur les Fonctions +Elliptiques}, quoiqu'il n'y ait pas traité de la transformation, +et qu'il ne paraît pas même avoir songé, du temps qu'il +le composa, que ses formules et ses théorèmes trouveront +une pareille application. Quant à moi, je n'ai pas trouvé +nécessaire de reproduire cette démonstration dans les écrits +que j'ai publiés jusqu'ici sur cette matière, car il me reste +trop à faire pour ne pas épargner mon temps le plus que +possible«. +\end{quote} + +Die in den oben angegebenen algebraischen Ausdrücken +vorkommenden Grössen +\[ + \phi \left( \frac{m\omega }{2n+1} \right) ,\ \ + \phi \left( \frac{m\varpi i}{2n+1} \right) +\] +stellen sich als Lösungen einer unmittelbar aus der Divisionsgleichung +%-----File: 054..png--- +her\-vorgehenden Gleichung $(2n+1)^2 - 1^\text{ten}$ +Grades dar, und die Auflösung dieser Gleichung, welche in +transcendenter Form als +Lösungen die $\phi$-Functionen der +getheilten Perioden hat, führt \Person{Abel} vermöge allgemeiner +Principien, die er für die Theorie der algebraischen Gleichungen +entwickelt hat, auf die Auflösung \Emphasis{einer} Gleichung +$2n + 2^\text{ten}$ Grades und von $2n + 2$ Gleichungen $n^\text{ten}$ Grades +zurück. Die Gleichungen $n^\text{ten}$ Grades sind algebraisch auflösbar +nach Methoden, die \Person{Gauss} für die Kreis\-thei\-lung entwickelt +hat, die Gleichung $2n+2^\text{ten}$ Grades ist es jedoch +im Allgemeinen nicht, mit Ausnahme von speciellen Fällen +wie $e = c$, welche die Sätze von der Theilung der Lemniscate +durch Zirkel und Lineal liefern, die im zweiten Theile +der \Titel{recherches} eingehend behandelt werden. Auch den Beweis +oder eigentlich die Behauptung von der algebraischen +Unauflösbarkeit dieser Gleichung will \Person{Jacobi} ganz \Person{Abel}'s +Verdienst zugeschrieben wissen; in seinem vom 14.~März +1829 datirten Briefe an \Person{Legendre} schreibt er: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»J'ai été convaincu, et M.~\Person{Abel} l'a confirmé, qu'il +n'est pas possible de résoudre algébriquement ces équations +du degré $n+1$; aussi, comme M.~\Person{Abel} sait établir des +critères nécessaires et suffisants pour qu'une équation algébrique +peut être résolue, il pourra sans doute prouver +cela avec toute la rigueur analytique. Quant aux cas spéciaux, +comme, M.~\Person{Abel} a promis en plusieurs lieux d'en +traiter, je ne me suis pas encore occupé beaucoup de cet +objet, sans doute très intéressant $\ldots\,\ldots$ Le module transformé +ou, ce qui revient an même, le régulateur qui y répond +étant supposé connu, il faut encore résoudre une +équation du degré $\frac{n-1}{2}$ pour parvenir aux quantités $\sin^2\am 2p\omega$, +ou à la section de la fonction entière. Donc vous n'aviez +eu qu'à résoudre une équation du second degré dans le cas +de $n = 5$. M.~\Person{Abel} a prouvé que la méthode de M.~\Person{Gauss} +%-----File: 055..png--- +s'applique presque mot à mot à la résolution de ces équations, +de sorte que ce ne sont que les équations aux modules +qu'on ne sait pas résoudre algébriquement«. +\end{quote} + +Von der Lösung des Multiplications- und Divisionsproblems +ausgehend, wird $\phi(2n+1)\beta$ von \Person{Abel} als Quotient +von zwei Doppelproducten dargestellt, deren Factoren +linear aus $\phi(\beta)$ zusammengesetzt sind, + +»il faut remonter aux formules analytiques concernant +la multiplication, données la première fois par M.~\Person{Abel}«, +sagt \Person{Jacobi} in einem Briefe an \Person{Legendre} vom 12.~April 1828, + +und daraus, indem $\beta = \frac{\alpha}{2n+1}$ und $n=\infty$ gesetzt wird, +die Entwicklung der Umkehrungsfunction des elliptischen +Integrales erster Gattung $\phi(\alpha)$ Doppelproducte und +Doppelsummen hergeleitet, deren Factoren linear in $\alpha$ sind, +somit ein eindeutiger analytischer Ausdruck für die bisher +nur durch ihre Eigenschaften definirte Function gefunden; +die Zurückführung der Doppelproducte und Doppelsummen +auf einfache Producte und einfache Summen, die Product-Entwicklung +und Partialbruch-Zerlegung der elliptischen +Functionen erfolgt sodann ohne weitere Schwierigkeiten. + +Mit der Veröffentlichung der \Titel{recherches} greift \Person{Abel} +plötzlich weit über die durch \Person{Jacobi} bekannt gewordenen +Untersuchungen in der Theorie der elliptischen Transcendenten +hinaus, wenn auch in diesem ersten Theile der Arbeit +das Transformationsproblem der elliptischen Integrale +noch keine Berücksichtigung gefunden. \Person{Gauss} schreibt am +30.~Mai 1828 an \Person{Schumacher} über diese Arbeit \Person{Abel}'s: + +\begin{quote} +\selectlanguage{german} +»die, Ihnen gesagt, mir von meinen eignen Untersuchungen +wohl $\nicefrac13$ vorweggenommen hat, und mit diesen +zum Theil selbst bis auf die gewählten bezeichnenden Buchstaben +übereinstimmt«, +\end{quote} + +und \Person{Crelle} theilt am 18.~Mai 1828 \Person{Abel} mit: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Voici ce que m'écrit Mr.~\Person{Gauss} de Goettingue que +%-----File: 056..png--- +j'avais également prié de m'envoyer quelque chose sur les +fonctions elliptiques dont il s'occupe, comme j'ai appris, +plus de 30 ans. »»D'autres occupations m'empêchent pour le +moment de rédiger ces recherches. Mr.~\Person{Abel} m'a prévenu +au moins d'un tiers. Il vient d'enfiler précisément la même +route dont je suis sorti en 1798. Ainsi je ne m'étonne +nullement de ce que, pour la majeure partie, il en soit +venu aux mêmes résultats. Comme d'ailleurs dans sa déduction +il a mis taut de sagacité de pénétration et d'élégance, +je me crois par cela même dispensé de la rédaction +de mes propres recherches««. +\end{quote} + +Derselbe Band von \Person{Crelle}'s Journal, der den ersten +Theil der \Titel{recherches} brachte, enthält noch in dem am Ende +des Jahres 1827 ausgegebenen dritten Hefte unter dem +Titel: \Titel{Aufgaben und Lehrsätze} +kurz ohne weitere Angabe +des Beweises resp.\ der Auflösungsmethode das Theorem: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Si l'équation différentielle séparée +\[ + \frac{a\,dx}{\sqrt{ \alpha + \beta x + \gamma x^2 + \delta x^3 + \epsilon x^4 }} += \frac{ dy}{\sqrt{ \alpha + \beta y + \gamma y^2 + \delta y^3 + \epsilon y^4 }}, +\] +où $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $a$ sont des quantités \Emphasis{réelles}, est algébriquement +intégrable, il faut nécessairement, que la quantité $a$ +soit un nombre \Emphasis{rationnel}«, +\end{quote} + +und das Problem: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Trouver une intégrale \Emphasis{algébrique} des deux équations +sé\-pa\-rées +\[ + \frac{dx\sqrt 3}{\sqrt{ 3+3x^2+x^4 }} += \frac{dy }{\sqrt{ 3-3y^2+y^4 }},\quad + \frac{dx\sqrt 3}{\sqrt{ 1+ x^2+x^4 }} += \frac{dy }{\sqrt{ 1- y^2+y^4 }}.\text{«} +\] +\end{quote} + +Das erwähnte Theorem zeigt deutlich, dass, wenn auch +\Person{Abel} in dem ersten Theile der \Titel{recherches} des Transformationstheorems +noch keine Erwähnung thut, er, wie er +später selbst sagt, doch zur Zeit schon im Besitz nicht +bloss der Theorie der von \Person{Jacobi} behandelten rationalen, +sondern der allgemeinen algebraischen Transformation gewesen, +während die gestellte Aufgabe die Kenntniss eines +%-----File: 057..png--- +Satzes voraussetzt, den \Person{Abel} in einer weit späteren Arbeit +veröffentlicht, und ihre Lösung sich auf Periodenbetrachtungen +stützt, welche wiederum die allgemeine Transformationstheorie +in sich schliessen. + +Noch bevor \Person{Jacobi} die vorher besprochene grosse, im +September 1827 erschienene Arbeit \Person{Abel}'s gelesen hatte, +veröffentlichte er aus Königsberg am 18.~November 1827 +unter dem Titel: \Titel{demonstratio theorematis ad theoriam functionum +ellipticarum spectantis} +in Nr.~127 von \Person{Schumacher}'s +\Titel{astron.\ Nachrichten}, welche im December 1827 ausgegeben +wurde, einen Beweis des in dem zweiten Briefe an \Person{Schumacher} +ausgesprochenen allgemeinen rationalen Transformationstheorems +mit den einleitenden Worten: + +\begin{quote} +»Proprietates functionum ellipticarum quasdam in +Nr.~123 Astr.~N. tradidi, quae novae atque attentione geometrarum +non indignae videbantur. Disquisitiones, quibus +illae originem debent, exinde ulterius continuatae sunt, egregiamque, +ni fallor, amplificationem theoriae ab \Person{Legendre} +datae praebent. Cum autem tempus, quo tractaui, hasce +disquisitiones complectenti, finem imponere licebit, definire +nondum queo; geometris non ingratum fore spero, si fragmentum +harum disquisitionum, demonstrationem scilicet +theorematis, in doctrina de transformatione functionum ellipticarum +fundamentalis, hic breviter exponam. Multifariis +idem modis variari posse, quisquis, perlecta demonstratione, +facile intelliget«. +\end{quote} + +Der Beweis beruhte, wie wir wissen, auf der Abzählung +der Constanten in der rationalen Substitution $y = \frac{U}{V}$ und der +Aufstellung der Bedingungen, welche dadurch entstehen, dass +diese Substitution die Gleichung +\begin{gather*} + \frac{dy}{\sqrt{ (1-\alpha y)(1-\alpha'y)(1-\alpha''y)(1-\alpha'''y) }} \\ += \frac{dx}{M\sqrt{ (1-\beta x)(1-\beta'x)(1-\beta''x)(1-\beta'''x) }} +\end{gather*} +%-----File: 058..png--- +nach sich ziehen soll; indem \Person{Jacobi}, unabhängig von +\Person{Abel}, die eindeutige Umkehrungsfunction des elliptischen +Integrals einführt, die $\phi$-Function von \Person{Abel}, die \Person{Jacobi} +als sin am bezeichnet, spricht er, wie er es genau ebenso +später in den Fundamenten thut, das Theorem aus, dass +der Differentialgleichung +\[ + \frac{dx}{\sqrt{ (1-x^2)(1- \kappa^2x^2) }} += M \frac{dy}{\sqrt{ (1-y^2)(1-\lambda^2y^2) }} +\] +durch den Ausdruck +\[ +1-y = \frac{ (1\mp x) + \raisebox{-1ex}{$ \left( \raisebox{1ex}{$ + 1\pm \dfrac{x}{\sin\co\am \dfrac{2K}{2n+1}} $} \right)^2 $} \!\!\dotsm + \raisebox{-1ex}{$ \left( \raisebox{1ex}{$ + 1 - \dfrac{x}{\sin\co\am \dfrac{2nK}{2n+1}} $} \right)^2 $} } + { \left( 1-\kappa^2 \sin^2 \am \dfrac{2K}{2n+1} x^2 \right) \dotsm + \left( 1-\kappa^2 \sin^2 \am \dfrac{2nK}{2n+1}\cdot x^2 \right) } +\] +genügt wird und leitet daraus den Werth für $y$ ab, mit +Hinzufügung der Worte: + +\begin{quote} +»Theorema hoc generaliter valet, non tamen omnes +problematis solutiones amplectitur. Ulteriores vero huius +argumenti disquisitiones in tractatu supra nominato reperientur«; +\end{quote} + +zugleich wird aber auch der analytische Ausdruck für +$\sqrt[4]\lambda$ durch $\sqrt[4]\kappa$ gegeben, über den sich \Person{Legendre} in seinem +ersten Supplemente zu dem \Titel{traité} folgendermassen äusserte: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Lorsque deux fonctions de cette nature peuvent être +exprimées l'une par l'autre, on peut supposer qu'elles appartiennent +à la même échelle, et alors il existe entre leurs +modules une équation très simple, quoique sous forme transcendante, +laquelle tient lieu d'une équation algébrique, qui +est en général d'une recherche très difficile. Cette équation +transcendante peut être regardée comme l'un des théorèmes +les plus beaux et les plus féconds de cette branche d'analyse«. +\end{quote} + +Der eben erwähnte, ohne Angabe der Ideenverbindung +aufgestellte analytische Ausdruck von $1-y$, für den nur +nachträglich die Verification gegeben wird, veranlasste \Person{Legendre} +%-----File: 059..png--- +in dem aus Paris vom 9.~Februar 1828 datirten +Briefe mit Recht zu den Worten: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Vous verrez dans ma note que cette belle démonstration +m'aurait paru plus satisfaisante, si vous y eussiez +joint quelques détails sur la série des idées qui vous ont +conduit à la valeur supposée pour $1-y$; vous pourrez +avoir égard à mon observation dans les autres parties de +vos recherches qui vous restent à publier«; +\end{quote} + +doch erkannte er die grosse und fundamentale Bedeutung +der \Person{Jacobi}'schen Arbeit so sehr an, dass er in einer +\Titel{Note sur les nouvelles propriétés des fonctions elliptiques découvertes +par M.~Jacobi} +(Paris le 6~Février 1828) in der im +Februar 1828 ausgegebenen Nr.~130 der \Person{Schumacher}'schen +\Titel{astr.~Nachrichten} die von \Person{Jacobi} in demselben Journal +veröffentlichten Transformationsarbeiten ausführlich bespricht; +auch hier wieder, wie wiederholt schon früher, kann +er seine Verwunderung darüber nicht unterdrücken, dass +Transformationen beliebigen Grades ein elliptisches Integral +in ein gleichgestaltetes verwandeln: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»ce qui multipliéra d'une manière encore plus prodigieuse +les transformations de la fonction $F$, véritable Protée +analytique«. +\end{quote} + +Aber bei aller Bewunderung für die \Person{Jacobi}'schen Entdeckungen +wiederholt sich auch die wohl berechtigte Klage +über die Undurchsichtigkeit des \Person{Jacobi}'schen Beweises: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Ici on doit regretter que l'auteur remplisse la tâche +qu'il s'est imposée par une sorte de divination, sans nous +mettre dans le secret des idées dont la filiation l'a amené +progressivement à la forme que doit avoir $1-y$ pour +satisfaire aux conditions du problème. Au reste cette suppression +des idées intermédiaires s'explique assez naturellement +par la nécessité de ne pas donner trop d'étendue à +une démonstration, qui devoit être insérée dans un journal +scientifique; et il est à croire que quand l'auteur donnera +%-----File: 060..png--- +un libre cours au développement de ses idées, dans un +ouvrage composé ad hoc, il rétablira les intermédiaires dont +l'absence se fait remarquer«, +\end{quote} + +und er fügt am Schlusse eine schon früher in einem +Briefe an \Person{Jacobi} angedeutete Verification der Transformationsformel +hinzu. + +Merkwürdig ist es, dass \Person{Legendre} in diesem Aufsatze +mit keinem Worte der Untersuchungen \Person{Abel}'s in der Theorie +der elliptischen Functionen Erwähnung thut, zu deren Kenntniss +er, wie wir aus dem vom 9.~Februar 1828 an \Person{Jacobi} +gerichteten Briefe ersehen, bereits gekommen war; + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»J'avais déjà connaissance du beau travail de M.~\Person{Abel} +inséré dans le Journal de \Person{Crelle}. Mais vous m'avez fait +beaucoup de plaisir de m'en donner une analyse dans votre +langage, qui est plus rapproché du mien«. +\end{quote} + +Es ist eine eigenthümliche Thatsache, dass die so klar +durchdachten, gut geschriebenen und übersichtlich geordneten +Arbeiten \Person{Abel}'s im Allgemeinen der mathematischen +Welt weniger zugänglich erschienen als die \Person{Jacobi}'s; in +einem vom 16.~Juni 1828 datirten Briefe an \Person{Jacobi} sagt +\Person{Legendre}: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Je trouve comme vous que ces résultats qui sont +fort in\-tér\-es\-sants, ont été présentés par leur jeune et +ingénieux auteur, d'une manière fort méthodique, mais +un peu embrouillée; je ne vois pas par exemple, pourquoi +il s'est si fort appesanti sur les propriétés des fonctions +qu'il désigne par $f$ et $F$; sans doute il aurait pu atteindre +son but sans le secours de ces fonctions«; +\end{quote} + +und noch unumwundener spricht \Person{Legendre} sein Unbehagen +bei der Lectüre \Person{Abel}'scher Arbeiten in einem am +8.~April 1829 an \Person{Jacobi} gerichteten Schreiben in den +Worten aus: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»car votre manière d'écrire est plus claire pour moi que +celle de M.~\Person{Abel}, qui en général ne me paraît pas suffisamment +%-----File: 061..png--- +développée et laisse au lecteur beaucoup de difficultés +à résoudre«. +\end{quote} + +Die von \Person{Legendre} so gern angenommene Erläuterung +der grossen Arbeit \Person{Abel}'s, des ersten Theiles der \Titel{recherches}, +giebt \Person{Jacobi} in einem aus Königsberg am 12.~Januar 1828 +an \Person{Legendre} gerichteten Briefe und zeigt das grosse Interesse, +welches \Person{Jacobi} dieser Arbeit entgegenbringt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Depuis ma dernière lettre, des recherches de la plus +grande importance ont été publiées sur les Fonctions Elliptiques +de la part d'un jeune géomètre, qui peut-être vous +sera connu personnellement. C'est la première partie d'un +Mémoire de M.~\Person{Abel}, à Christiania, qu'on m'a dit avoir été +à Paris il y a deux ou trois ans, inséré dans le second +cahier du second volume du \Titel{Journal des Mathématiques +pures et appliquées} publié à Berlin par M.~\Person{Crelle}. La +continuation doit avoir été publiée dans ces jours dans le +cahier troisième dudit Journal; mais elle ne m'est parvenue +pas encore. Comme je suppose, que ce Mémoire ne vous +soit pas encore connu, je vous en veux raconter les détails +les plus intéressants. Mais, pour plus de commodité, j'avancerai +le mode de notation dont je me sers ordinairement«; +\end{quote} + +und dieses Interesse wurde auch von andern Mathematikern +getheilt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Depuis quelque temps, schreibt \Person{Crelle} am 18.~Mai 1828 +an \Person{Abel}, on commence à apprécier vos ouvrages de plus en +plus. Mr.~\Person{Fuss} m'écrit de St.~Pétersbourg qu'il en a été ravi«, +\end{quote} + +und \Person{Legendre} schreibt nicht lange darauf am 12.~August +1828 in der Vorrede zu dem ersten Supplemente\footnote + {Ich gehe auf das erste Supplement des \Titel{traité} in diesen + Blättern nicht näher ein, da es im Wesentlichen nur eine Reproduction + der von \Person{Jacobi} veröffentlichten Arbeiten enthält, bisweilen + mit Abänderungen in einzelnen Beweismethoden, die auch von \Person{Jacobi} + später, so z.~B.\ in Nr.~22 der \Titel{fundamenta}, benutzt worden, im + Uebrigen nur mit Zusätzen, welche sich auf die Umgestaltung der + Formeln zum Zwecke bequemerer numerischer Berechnung beziehen.} +seines \Titel{traité}: +%-----File: 062..png--- + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Une connaissance approfondie des plus belles méthodes +de l'analyse et l'heureux emploi de plusieurs idées fort +in\-gén\-ieuses se font remarquer dans les productions de ces +deux jeunes géomètres. La science a pris dans leurs mains +un tel essor, qu'il est à croire que les résultats qu'ils ont +déjà obtenus seront suivis d'un grand nombre d'autres non +moins intéressans.« +\end{quote} + +\Person{Jacobi} hebt in jenem Briefe besonders die Lösung des +Divisionsproblems hervor, durch welche \Person{Abel} die Theilung +einer beliebigen elliptischen Function auf die Theilung der +ganzen Function $K$ zurückführt, bemerkt jedoch dass sich +die algebraische Auflösung der Divisionsgleichung einfacher +als es bei \Person{Abel} geschehen, so darstellen lässt, dass man, +um hier die \Person{Abel}'schen Zeichen zu gebrauchen, die Beziehung +entwickelt +\[ + \sum_{m=-n}^{+n} \sum_{\mu=-n}^{+n} + \phi \biggl( \beta + \frac{2m\omega+2\mu\varpi i}{2n+1} \biggr) p^m q^\mu += \sqrt[2n+1]{ A+Bf(2n+1)\beta F(2n+1)\beta }, +\] +in welcher $p$ und $q$ $2n+1^\text{te}$ Einheitswurzeln, $A$ und $B$ ganze +Functionen von $\phi(2n +1)\beta$ sind, und durch Variation der +Grössen $p$ und $q$ die Posten der linken Seite durch die rechten +Seiten der so erhaltenen Gleichungen ausdrückt -- ein Resultat, +das \Person{Jacobi} grade in dieser Form in einer aus Königsberg +vom 25.~Januar 1828 an \Person{Crelle} gerichteten Zuschrift im +1.~Hefte des 3.~Bandes von dessen Journal veröffentlicht, +und auf dessen Beweis auch \Person{Abel} in einer vom 27.~August +1828 aus Christiania datirten und im 2.~Hefte des 4.~Bandes +des \Person{Crelle}'schen Journals veröffentlichten Arbeit, \Titel{Théorèmes +sur les fonctions elliptiques}, +näher eingeht, indem er +den allgemeinen zwischen elliptischen Functionen mit getheilten +Perioden gültigen Satz zu Grunde legt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Soit $\psi(\theta)$ une fonction entière quelconque de la quantité +$\phi(\theta + m\alpha + \mu\beta)$ qui reste la même en changeant $\theta$ +en $\theta + \alpha$ et en $\theta + \beta\bigl(\alpha = \frac{2\omega}{2n+1},\ \beta = \frac{2\varpi i}{2n+1}\bigr)$. Soit $\nu$ le +%-----File: 063..png--- +plus grand exposant de la quantité $\phi(\theta)$ dans la fonction +$\psi(\theta)$, on aura toujours $\psi(\theta) = p + qf(2n+1)\theta$. $F(2n+1)\theta$, +où $p$ et $q$ sont deux fonctions \Emphasis{entières} de $\phi(2n+1)\theta$, +la première du degré $\nu$ et la seconde du degré $\nu-2$«, +\end{quote} + +und ähnliche Sätze allgemeiner Natur. + +\Person{Jacobi} kommt auf die algebraische Auflösbarkeit der +Divisionsgleichungen und zugleich auf die der Transformationsgleichungen +in einem aus Königsberg vom 18.~Januar +1829 datirten und an \Person{Legendre} gerichteten, sehr interessanten +Schreiben in den folgenden Zeilen wieder zurück: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Après que vous aviez résolu le premier l'équation du +neuv\-ième degré, de laquelle dépend la trisection des Fonctions +Elliptiques, nous remarquâmes en même temps, Mr.~\Person{Abel} +et moi, que l'on peut généralement réduire l'équation algébrique +du degré $n^2$, de laquelle dépend la $n^\text{ième}$ section, à +deux équations du $n^\text{ième}$ degré seulement. Ce résultat était +une conséquence de la remarque que j'avais faite que l'on +peut parvenir à la multiplication en appliquant à la Fonction +Elliptique deux transformations l'une après l'autre. En lisant +avec attention le premier +\Titel{Mémoire de M.~Abel sur les +Fonctions Elliptiques}, on reconnaît aisément qu'il a effectivement +suivi la même route sans cependant soupçonner, +lors du temps qu'il composa son Mémoire, que c'était le +\Emphasis{medium} des transformations par lequel il passa. Soit +$z=\sin\am nu$, $x=\sin\am u$, $n$ étant un nombre impaire +quelconque, si l'on a +\begin{align*} +(1)\quad z & += \frac{ b'y + b'''y^3 + \dotsb + b^{(n)} y^n } + { b + b'' y^2 + \dotsb + b^{(n-1)}y^{n-1} }, +\\[1ex] +(2)\quad y & += \frac{ a'x + a'''x^3 + \dotsb + a^{(n)} x^n } + { a + a'' x^2 + \dotsb + a^{(n-1)}x^{n-1} }, +\end{align*} +$y$ étant le \Emphasis{sinus amplitude} de la fonction transformée, il +faut, d'après ce que je viens de dire, pour avoir $x$ en $z$, +exprimer en premier lieu $x$ en $y$, en résolvant algébriquement +l'équation~(2); puis, en résolvant encore l'équation~(1), +%-----File: 064..png--- +il faut exprimer par $z$ toutes les fonctions de $y$ qui se trouveront +sous les radicaux. Or comme on a toujours plusieurs +transformations qui répondent à un même nombre $n$, +on trouvera de cette manière différentes formules algébriques +pour la $n$\textsuperscript{ième} section d'après les différentes transformations +par lesquelles on est passé à la multiplication. On pouvait +cependant soupçonner qu'il y avait une manière d'exprimer +$x$ en $z$ plus simple et qui n'était qu'unique. J'ai fait connaître +cette forme la plus simple sous laquelle on peut présenter +les expressions algébriques pour la $n$\textsuperscript{ième} section dans une +petite \Titel{Addition} faite au premier \Titel{Mémoire de M.~Abel sur +les Fonctions Elliptiques}, et laquelle se trouve dans le 3\ieme{} +vol.\ du Journal de M.~\Person{Crelle}. Elle est fondée sur une formule +très-remarquable, et don't je veux vous parier en peu +de mots«, +\end{quote} +worauf die Mittheilung derjenigen Methode folgt, die datirt +aus Königsberg den 11.~Januar 1829 von \Person{Jacobi} im 2.~Hefte +des 4.~Bandes des Journals für Mathematik in der: +\Titel{Suite des notices sur les fonctions elliptiques} veröffentlicht +wurde, und vermittels welcher $\sin\am(u, \kappa)$ durch +$\sin\am(\frac{u}{M},\lambda)$, +und $\sin\am(\frac{u}{M}, \lambda)$ durch $\sin\am(nu, \kappa)$ ausgedrückt +wird; aus der algebraischen Auflösbarkeit der +Transformationsgleichung leitet \Person{Jacobi} die Divisionsformeln +in der oben erwähnten Gestalt ab, die in einfachster Form +das Theorem aussprechen, für welches \Person{Legendre} in seiner +Antwort an \Person{Jacobi} vom 9.~Februar 1829 in den Worten: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Je n'aurais jamais imaginé qu'il fût possible de résoudre +ainsi explicitement une équation du degré $nn$, et de +former d'une manière practicable les différents termes de +la formule« +\end{quote} +seine Bewunderung ausspricht; und grade auf diese letzteren +Resultate legte auch \Person{Jacobi} einen sehr grossen Werth: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Mais le but principal de ce premier \Titel{Mémoire}, sagt er +%-----File: 065..png--- +in einem nach Beendigung des Druckes der \Titel{fundamenta} am +23.~Mai 1829 an \Person{Legendre} gerichteten Briefe, est de préparer +tout ce qui est nécessaire, pour que je puisse établir +dans les \Titel{Mémoires} suivants, avec toute la rigueur nécessaire +et en partant des premiers éléments, cette théorie des Transformations +irrationelles ou inverses et de la section des +Fonctions Elliptiques, qui me paraît être le comble de toutes +mes recherches sur cette matière«. +\end{quote} + +Nach dieser kurzen Abschweifung, welche die weitere +Entwickelung des Divisionsproblems zum Gegenstande hatte, +kehre ich wieder zu jenem interessanten Briefe \Person{Jacobi}'s +vom 12.~Januar 1828 zurück, welcher zum Theil der Darstellung +der \Person{Abel}'schen Entdeckungen gewidmet war, in +welchem wir aber auch eigne, für den weiteren Ausbau der +Theorie der elliptischen Functionen überaus wichtige Resultate +finden. \Person{Jacobi} spricht in demselben bereits von +den allgemeinen algebraischen Modulargleichungen zwischen +den vierten Wurzeln der Integralmoduln, jenen Gleichungen, +die eine Brücke bildeten zwischen der Theorie der elliptischen +Transcendenten einerseits, der Algebra und Zahlentheorie +andererseits, hebt dort schon den Satz hervor, dass +die zu einem beliebigen Transformationsgrade gehörigen +Modulargleichungen ein und derselben Differentialgleichung +dritter Ordnung genügen »un résultat curieux qui d'abord +m'a frappé un peu« und fügt endlich noch die Bemerkung +hinzu: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Aussi j'ai trouvé que, dans certains cas, on retombe +sur le même module $\ldots$ Ce sera dans tous les cas où le +nombre $n$ est la somme de deux carrés, $n=a^2+4b^2$, $\kappa$ étant $\sqrt{\frac{1}{2}}$; +la Fonction Elliptique se trouve alors multipliée par $a\pm 2bi\dots$ +C'est un genre de multiplication qui n'a pas son analogie +dans les arcs de cercle«; +\end{quote} + +wie \Person{Jacobi} zu diesen letzteren Sätzen gelangt, wie er dieselben +unmittelbar aus den Principien von \Person{Abel} hergeleitet, +%-----File: 066..png--- +werden wir gleich nachher bei einer noch zu besprechenden +Arbeit desselben darlegen. + +Während nun \Person{Jacobi} die Natur der doppelperiodischen +Functionen tiefer zu ergründen und, wie wir nachher sehen +werden, durch Einführung der Fundamentalfunction der elliptischen +Transcendenten, der späteren $\theta$-Function, der ganzen +Theorie eine neue Basis zu schaffen bemüht ist, vollendet +\Person{Abel} am 12.~Februar 1828 den zweiten Theil seiner +\Titel{recherches}, der sogleich im 2.~Hefte des dritten Bandes des +\Person{Crelle}'schen Journals veröffentlicht wurde. Es handelt +sich vor Allem um die algebraische Ausdrückbarkeit der +Function $\phi\left(\frac{\omega}{n}\right)$ für gewisse Beziehungen von $e$ zu $c$: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»C'est ce qui arrive toujours, si $\phi\left(\frac{\tilde\omega i}{n}\right)$ peut être exprimé +rationellement par $\phi\left(\frac{\omega}{n}\right)$ et des quantités connues, +ce qui a lieu pour une infinité de valeurs de $\frac ce$. Dans tous +ces cas l'équation $P_n = 0$ peut être résolue par une seule +et même méthode uniforme, qui est applicable à une infinité +d'autres équations de tous les degrés. J'exposerai cette +méthode dans un mémoire séparé, et je me contenterai pour +le moment à considérer le cas le plus simple, et qui résulte +de la supposition $e = c = 1$ et $n = 4\nu + 1$«. +\end{quote} + +Nachdem für diesen Fall die algebraische Auflösbarkeit +der Gleichung für die durch $4\nu+1$ und $2^\nu$ getheilten Perioden +gezeigt ist, wird der schöne Satz ausgesprochen: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»La valeur de la fonction $\phi\left(\frac{m\omega}{n}\right)$ peut être exprimée +par \Emphasis{des racines carrées} toutes les fois que n est un nombre +de la forme $2^n$ ou $1 + 2^n$, le dernier nombre étant premier, +ou même un produit de plusieurs nombres de ces deux formes«, +\end{quote} + +und daraus geschlossen: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Donc dans ce cas on peut construire les points de +division à l'aide de la règle et du compas seulement, ou ce +%-----File: 067..png--- +qui revient an même, par l'intersection de lignes droites +et de cercles«. +\end{quote} + +Ohne noch Kenntniss von den in \Person{Schumacher}'s +\Titel{astr.~Nachrichten} veröffentlichten Arbeiten \Person{Jacobi}'s über +die Transformation zu haben, wie \Person{Abel} am Schlusse des +\Titel{Memoirs} ausdrücklich hervorhebt, und was auch \Person{Jacobi} in +einem an \Person{Legendre} gerichteten Briefe vom 9.~September +1828 in den Worten: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Vous y aurez vu que M.~\Person{Abel} a trouvé de son coté +la théorie générale de la Transformation, dans la publication +de laquelle je l'ai prévenu de six mois. Le second +\Titel{Mémoire}, inséré dans le Recueil de M.~\Person{Schumacher}, No.~138, +contient une \Emphasis{déduction} rigoureuse des théorèmes de transformation, +dont le défaut s'était fait sentir dans mes annonces +sur le même objet. Elle est au-dessus de mes éloges +comme elle est au-dessus de mes propres travaux« +\end{quote} + +nochmals anzuerkennen sich veranlasst sieht, geht \Person{Abel} +zur Bearbeitung der allgemeinen rationalen Transformation +der elliptischen Integrale über: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»M.~\Person{Legendre} a fait voir dans ses \Titel{exercices de calc.\ +int.}, comment l'intégrale +$\int \frac{d\phi}{\sqrt{ 1-c^2 sin^2\phi }}$, +qui, en faisant +$\sin\phi = x$, se change en +$\int \frac{dx}{\sqrt{ (1-x^2)(1-c^2x^2) }}$, +peut être +transformée en d'autres intégrales de la même forme avec +un module différent. Je suis parvenu à généraliser cette +théorie par le théorème suivant: Si l'on désigne par $\alpha$ la +quantité $\frac{(m+\mu)\omega + (m-\mu)\varpi i}{2n+1}$, où au moins l'un des deux +nombres entiers $m$ et $\mu$ est premier avec $2n+1$, on aura +\[ + \int \frac{dy}{\sqrt{ (1-c_1^2y^2)(1+e_1^2y^2) }} += ±a \int \frac{dx}{\sqrt{ (1-c^2 x^2)(1+e^2 x^2) }}, +\] +où \hfill$ + y = f\cdot x + \dfrac{ (\phi^2\alpha-x^2) \dotsm (\phi^2n\alpha-x^2) } + { (1+e^2c^2\phi^2 \alpha x^2) \dotsm + (1+e^2c^2\phi^2n\alpha x^2) } +,\,\ldots$«; \hfill\quad +\end{quote} + +er liefert die Ausdrücke für den transformirten Integralmodul +%-----File: 068..png--- +in den verschiedensten Formen und bestimmt die +Anzahl der jedem Grade entsprechenden Transformationen. + +Zugleich lässt er aber auch die umfassende Bedeutung +der rationalen Transformation für das Problem der allgemeinsten +Beziehungen zwischen elliptischen Integralen in +den folgenden Worten erkennen: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Pour avoir une théorie complète de la transformation +des fonctions elliptiques, il faudrait connaître toutes les +transformations possibles; or je suis parvenu à démontrer, +qu'on les obtient toutes en combinant celle de M.~\Person{Legendre} +avec celles, contenues dans la formule ci-dessus, \Emphasis{même en +cherchant la relation la plus générale entre un +nombre quelconque de fonctions elliptiques}. Ce +théorème dont les conséquences embrassent presque toute +la théorie des fonctions elliptiques, m'a conduit à un très +grand nombre de belles propriétés de ces fonctions,« +\end{quote} + +und weist so auf eine Reihe von Untersuchungen hin, +die er erst in einer späteren Arbeit näher ausführt, und welche +weit über die in dieser Richtung von \Person{Jacobi} angestellten +Untersuchungen hinausgehen. Aber auch nach einer anderen +Richtung hin erweiterte er die Theorie der Transformation +oder besser der Multiplication; in dem Abschnitte: +\Titel{Sur l'intégration de l'équation séparée +$ \frac{ dy}{\sqrt{ (1-y^2)(1+\mu^2y^2) }} += \frac{a\,dx}{\sqrt{ (1-x^2)(1+\mu^2x^2) }}$} +spricht er das Theorem aus: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»En supposant $a$ réel, et l'équation intégrable algébriquement, +il faut nécessairement que $a$ soit un nombre rationel; +en supposant $a$ \Emphasis{imaginaire}, et l'équation intégrable \Emphasis{algébriquement}, +il faut nécessairement que $a$ soit de la forme +$m ± \sqrt{-1}\cdot \sqrt n$, où $m$ et $n$ sont des nombres rationnels. +Dans ce cas la quantité $\mu$ n'est pas arbitraire; il faut qu'elle +satisfasse à une équation qui a une infinité de racines réelles +et imaginaires. Chaque valeur de $\mu$ satisfait à la question«, +\end{quote} +%-----File: 069..png--- + +und fügt hinzu: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»La démonstration de ces théorèmes fait partie d'une +théorie très étendue des fonctions elliptiques, dont je m'occupe +actuellement, et qui paraîtra aussitôt qu'il me sera possible«. +\end{quote} + +Der schon im nächsten Jahre erfolgte Tod \Person{Abel}'s vereitelte +die Absicht, eine zusammenhängende Theorie der +elliptischen Transcendenten zu veröffentlichen. + +\Person{Jacobi} hatte inzwischen von den Multiplicationsformeln +ausgehend, wie er sie mit Hülfe der von ihm eingeführten +Umkehrungsfunction gestaltet hatte, eine von \Person{Legendre} +als »fort ingenieux« bezeichnete Anwendung auf das Problem +gemacht, die Relation zwischen der Distanz der Mittelpunkte +und den Radien zweier Kreise zu finden, von denen der +eine einem unregelmässigen Polygone eingeschrieben, der +andere demselben umgeschrieben ist, und unter dem Titel: +\Titel{Ueber die Anwendung der elliptischen Transcendenten +auf ein bekanntes Problem der Elementargeometrie} +mit dem Datum vom 1.~April 1828 im 4.~Hefte +des dritten Bandes d.~J.~f.~M. veröffentlicht. Eine +weitere, für die Theorie der elliptischen Transcendenten überaus +wichtige, aus einem Briefe vom 2.~April 1828 an \Person{Crelle} +entnommene Arbeit erschien unter dem Titel: \Titel{Note sur les +fonctions elliptiques} +im zweiten Hefte des dritten Bandes desselben +Journals, und ist ohne Kenntniss des zweiten Theiles +der \Person{Abel}'schen, in demselben Hefte veröffentlichten \Titel{recherches} +geschrieben. An die Darstellung der Sinus-ampl.\ +als Quotienten zweier \Person{Fourier}'schen Reihen, der $\Theta$ +und $H$, oder der späteren $\theta_0$- und $\theta_1$-Function, reiht +sich die Entwicklung von $\sqrt{\frac{2K}{\pi}}$ nach den Potenzen von +$q=e^{-\frac{\pi K'}{K}}$, deren Exponenten die Quadrate der natürlichen +Zahlen sind, und von der \Person{Jacobi} in dem am 9.~September +1828 an \Person{Legendre} gerichteten Briefe sagt: +%-----File: 070..png--- + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»$\dots$ me paraît être l'un des résultats les plus brillants +de toute la théorie. +\end{quote} + +Das Verdienst der Auffindung dieser merkwürdigen Beziehung +zwischen der Periode und der $\theta$-Function sowie einer +Reihe anderer hierher gehöriger Relationen gebührt \Person{Jacobi} +allein; \Person{Abel}, der dieselben zum Theil in der »\Titel{Note sur quelques +formules elliptiques}«, +welche 1828 an \Person{Crelle} geschickt, +und 1829 im ersten Hefte des vierten Bandes veröffentlicht +wurde, ebenfalls ableitet, sagt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»formule dûe à M.~\Person{Jacobi} (Tome~III.\@pag.~193, où +ce géomètre en présente plusieurs autres très remarquables +et très élég\-antes)«. +\end{quote} + +Es folgt weiter in jener Arbeit \Person{Jacobi}'s die für die +algebraischen Untersuchungen der neueren Zeit so wichtig +gewordene Entwicklung für $\sqrt \kappa$ als Quotient von zwei nach +quadratischen Exponenten von $q$ und $q^{\frac{1}{4}}$ fortschreitenden +Reihen, von denen \Person{Jacobi} in dem oben erwähnten Briefe +an \Person{Legendre} vom 9.~September 1828 sagt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Toutes les racines des équations modulaires se trouvent +par là développées dans des séries d'une élégance et +d'une convergence sans exemple dans l'Analyse«. +\end{quote} + +\Person{Legendre} begrüsst diese schönen Entdeckungen \Person{Jacobi}'s +in einem am 15.~October 1828 an denselben gerichteten +Briefe mit den Worten: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Du reste je les (les belles séries en fonctions de $q$, +que vous êtes parvenu à sommer) regarde comme un nouveau +titre que vous avez acquis à l'estime des savants et +il en est de même de vos nouvelles fonctions $\Theta(x)$ et +$H(x)$« $\ldots$, +\end{quote} + +und glaubt die Bedeutung dieser Entdeckung am besten +durch die Worte zu charakterisiren: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»L'envahisseur M.~G.\,\dots\ ne s'avisera point, je pense, d'écrire +qu'il avait trouvé tout cela longtemps avant vous, car s'il +disait pareille chose, il se ferait moquer de lui«; +\end{quote} +%-----File: 071..png--- + +und doch war \Person{Gauss} auch im Besitze aller dieser Resultate +schon seit dem Ende des vorigen Jahrhunderts. + +Weiter findet sich in jener fundamentalen Arbeit \Person{Jacobi}'s +das auch von \Person{Abel} nur in etwas anderer Form im +zweiten Theil der \Titel{recherches} veröffentlichte Resultat, dass +einem gegebenen Modul für einen Primzahlgrad der Transformation +immer $n+1$ andere transformirte Moduln entsprechen, +die man erhält, wenn statt $q$ +\[ +q^n, q^\frac{1}{n}, \alpha q^\frac{1}{n},\cdots\alpha^{n-1} q^\frac{1}{n} +\] +gesetzt wird, und $\alpha^{n} = 1$ ist, zu welchem Satze \Person{Jacobi} in +dem am 9.~September 1828 an \Person{Legendre} gerichteten Briefe +die Bemerkung hinzufügt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»M.~\Person{Abel} verra donc que les transformations imaginaires +ne m'étaient pas échappées«. +\end{quote} + +\Person{Jacobi} wendet sich sodann der Theorie der Modulargleichungen +zu, stellt die schon in dem Briefe an \Person{Legendre} +erwähnte Differentialgleichung dritter Ordnung auf und hebt +die Fundamentaleigenschaften der Modulargleichungen für +die Anwendung zweier linearer Transformationen auf den +ursprünglichen und transformirten Modul hervor. + +Endlich geht derselbe in jener Arbeit auf das von \Person{Abel} +in seinen »\Titel{Aufgaben und Lehrsätze}« (\Person{Crelle}'s J.\ B.~II) ausgesprochene +Theorem näher ein und schliesst mit den Worten: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Tout cela découle immédiatement des principes établis +par Mr.~Abel«. +\end{quote} + +Unmittelbar darauf theilt \Person{Jacobi} von Königsberg +aus am 12.~April 1828, auch noch ohne Kenntniss des +zweiten Theiles der \Titel{recherches}, \Person{Legendre} die in der eben +besprochenen Arbeit ausgeführten Entwicklungsformen der +sin am, des Integralmoduls und der Periode $K$ mit, und weist +darauf hin, dass der Zähler und Nenner seiner sin am den +mathematischen Physikern Frankreichs bereits bekannte +Functionen sind: +%-----File: 072..png--- + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Quant à l'importance de ces formales, vous la sentirez +mieux que je ne pourrais le dire. Aussi elles ne seront +pas sans intérêt pour les célèbres géomètres qui s'occupent +du mouvement de la chaleur; les numérateurs et les dénominateurs +des fractions par lesquelles on a exprimé les +fonctions trigonométriques de l'amplitude étant souvent rencontrés +dans la dite question«. +\end{quote} + +Dieser durch Inhalt und Form interessante Brief \Person{Jacobi}'s +kreuzte sich mit einem Briefe von \Person{Legendre} vom +14.~April 1828, in welchem derselbe erwähnt, dass er von +\Person{Schumacher} und dieser von Bessel die Mittheilung erhalten +habe, \Person{Jacobi} sei mit der Abfassung eines grossen +Memoires über die Theorie der elliptischen Functionen beschäftigt, +und hinzufügt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»mais je vous engage de ne pas trop tarder à publier +les parties essentielles de ce travail«. +\end{quote} + +Noch im zweiten Hefte des dritten Bandes d.~J.~f.~M. +finden wir eine vom 24.~April 1828 datirte Arbeit \Person{Jacobi}'s, +\Titel{Note sur la décomposition d'un nombre donné en quatre quarrés}, +welche eine zahlentheoretische Anwendung der eben gefundenen +Reihenentwicklungen nach Potenzen der Grösse +$q$ enthält. + +Wir befinden uns jetzt schon mitten in der Zeit des +wunderbaren Wettkampfes der beiden grossen Mathematiker, +wir sehen das gegenseitige Ineinandereingreifen, das sich +Stützen des Einen auf die Resultate und Methoden des +Andern; + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»je puis me reposer sur le zèle de deux athlètes infatigables +tels que vous et M.~\Person{Abel},« +\end{quote} +sagt \Person{Legendre} +in einem an \Person{Jacobi} gerichteten Briefe vom 15.~October +1828, + +und später in einem Briefe vom 8.~April 1829: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Je me félicite néanmoins d'avoir vécu assez longtemps +pour être témoin de ces luttes généreuses entre deux jeunes +%-----File: 073..png--- +athlètes également vigoureux, qui font tourner leurs efforts +au profit de la science dont ils reculent de plus en plus +les limites«. +\end{quote} + +\Person{Abel} sucht das Transformationsproblem, in dessen +Veröffentlichung ihm \Person{Jacobi} zuvorgekommen, zu verallgemeinern, +indem er die Frage nach allen möglichen algebraischen +Transformationen eines elliptischen Integrales in +ein anderes aufwirft: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»mais on peut envisager cette théorie, sagt \Person{Abel} in +seinem aus Christiania vom 27.~Mai 1828 datirten, in +Nr.~138 der astr.\ Nachr.\ im Juni 1828 erschienenen Aufsatze, +sous un point de vue beaucoup plus général, en se +proposant comme un problème d'analyse indéterminée de +trouver toutes les transformations possibles d'une fonction +elliptique, qui peuvent s'effectuer d'une certaine manière. +Je suis parvenu à résoudre % needs accent +complètement un grand nombre +de problèmes de cette espèce. Parmi eux est le suivant, +qui est d'une grande importance dans la théorie des fonctions +elliptiques: »Trouver tous les cas possibles dans +les quels on pourra satisfaire à l'équation différentielle~(1) +$ \frac{dy}{\sqrt{ (1 - {c_1}^2 y^2) (1 - {e_1}^2 y^2) }} += \pm a \frac{dx}{\sqrt{ (1 - c^2 x^2) (1 - e^2 x^2) }}$, +en mettant +pour $y$ une fonction algébrique de $x$, rationelle ou +irrationelle«. Ce problème vu la généralité de la fonction +$y$ parait au premier coup d'oeil bien difficil, mais on peut +le ramener au cas où l'on suppose $y$ rationelle. En effet on +peut démontrer que si l'équation~(1) a lieu pour une valeur +irrationelle de $y$, on en pourra toujours déduire une autre +de la même forme, dans laquelle $y$ est rationelle en changeant +convenablement le coëfficient~$a$, les quantités $c_1$, $e_1$, $c$, $e$ +restant les mêmes. La méthode qui s'offre d'abord pour +résoudre % accent added +le problème dans le cas où $y$ est rationelle est +celle des coëfficiens +indéterminés; or on seroit bientôt fatigué +à cause de l'extrême complication des équations à satisfaire. +%-----File: 074..png--- +Je crois donc que le procédé suivant, qui conduit de +la manière la plus simple à une solution complète, doit +peut-être mériter l'attention des géomètres«. +\end{quote} + +Der Satz von der Zurückführbarkeit des allgemeinen +Transformationsproblems auf das rationale ist jedoch in +dieser Arbeit ohne Beweis ausgesprochen, das rationale +Transformationsproblem selbst dagegen auf Grund von +Periodenbetrachtungen für die ursprüngliche und transformirte +elliptische Function in strenger Weise behandelt, +die Zerlegbarkeit desselben in einfachere analoge Probleme +nachgewiesen für den Fall, dass die charakteristische Transformationszahl +eine zusammengesetzte ist, und die Transformationsgleichung +selbst als eine algebraisch auflösbare +bezeichnet. Endlich geht \Person{Abel} noch auf den sehr wichtigen +Fall der Gleichheit der transformirten Integralmoduln +näher ein, der schon von Anfang an in allen seinen Untersuchungen +wiederkehrt und sich später zur Theorie der +complexen Multiplication der elliptischen Functionen ausgebildet +hat; der Multiplicator $a$ der Transformation wird +in der nothwendigen Form $\mu' + \sqrt{-\mu}$ gefunden, worin $\mu'$ +und $\mu$ zwei rationale Zahlen bedeuten, von denen die letztere +wesentlich \Emphasis{positiv} sein muss, und hinzugefügt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Si l'on attribue à $a$ une telle valeur, on pourra trouver +une infinité de valeurs différentes pour $e$ et $c$, qui rendent +le problème possible. Toutes ces valeurs sont exprimables +par des \Emphasis{radicaux}.« +\end{quote} + +Die Verallgemeinerung des rationalen Transformationsproblems +auf das algebraische hält \Person{Jacobi} für das wesentlichste +Verdienst \Person{Abel}'s um die Transformationstheorie; + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Je remarque, à cette occasion, sagt er in seinem Briefe +vom 14.~Juni 1829 an \Person{Legendre}, que le mérite principal +d'\Person{Abel}, dans la théorie de la Transformation, consiste dans +sa démonstration que \Emphasis{nos formules embrassent toutes} +%-----File: 075..png--- +\Emphasis{les substitutions algébriques possibles}, ce qui donne +un haut degré de perfection à cette théorie«. +\end{quote} + +Nach einer Reihe kleinerer Notizen, welche die Transformationstheorie +betreffen, und in welchen beide Mathematiker +zum Theil dieselben Sätze finden, sich aber abwechselnd +in der Veröffentlichung derselben zuvorkommen, +wendet sich \Person{Jacobi} der weiteren Ausführung der Theorie +der elliptischen Functionen zu, wie sie, da \Person{Abel} schon nach +einem Jahre starb, dem Inhalte und der Form nach für die +Zukunft massgebend geworden und bis auf unwesentliche +Aenderungen selbst in ihren Bezeichnungen noch heute +fortbesteht. In der »\Titel{Suite des notices sur les fonctions +elliptiques}« +(Auszug aus einem Briefe an \Person{Crelle} vom +21.~Juli 1828), welche in dem dritten Hefte des dritten +Bandes des \Person{Crelle}'schen Journals veröffentlicht ist, führt +Jacobi die $\Theta$- und $H$-Functionen als selbständige Fundamentalfunctionen, +welche erst den elliptischen Functionen +ihre Entstehung geben, in die Theorie der elliptischen Transcendenten +ein, ein Gedanke, auf den auch wiederum \Person{Abel} +gleichzeitig geführt worden, und dem er in einem am 25.~November +1828 an \Person{Legendre} gerichteten Schreiben in den +Worten Ausdruck gegeben: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»La théorie des fonctions elliptiques m'a conduit à +considérer deux nouvelles fonctions qui jouissent de plusieurs +propriétés remarquables«. +\end{quote} + +Abel wollte genau dem von \Person{Jacobi} in jener Arbeit +entwickelten Principe analog die Eigenschaften dieser neuen +Transcendenten gesondert von der Umkehrungsfunction des +elliptischen Integrals behandeln, muss jedoch letzterem unstreitig +die Priorität der Veröffentlichung dieser Entdeckung +überlassen, da die Ausarbeitung des zweiten Theiles des +später noch zu besprechenden »\Titel{précis d'une théorie des fonctions +elliptiques}«, +welcher alle diese Untersuchungen enthalten sollte, +durch den plötzlichen Tod \Person{Abel}'s unterblieb. +%-----File: 076..png--- + +Es folgen in der oben erwähnten Arbeit \Person{Jacobi}'s die +schönen und fruchtbaren Sätze, nach welchen die elliptischen +Integrale zweiter und dritter Gattung sich durch $\theta$-Functionen +ausdrücken lassen, in deren Argument das Integral erster +Gattung linear eintritt, und die in der Theorie der allgemeinen +\Person{Abel}'schen Integrale ihr Analogon gefunden haben. +In Betreff der Reductionsformel des Integrales dritter Gattung +mit Hülfe der $\theta$-Functionen hebt \Person{Jacobi} in einem +vom 9.~September 1828 datirten Briefe an \Person{Legendre} eine +charakteristische Eigenschaft besonders hervor: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»d'ailleurs elle montre que les Fonctions Elliptiques de +trois\-ième espèce dans lesquelles entrent trois variables se +ramènent à d'autres transcendantes qui n'en ont que deux, +découverte qui vous intéressera beaucoup,« +\end{quote} + +und grade diese Entdeckung \Person{Jacobi}'s greift auch \Person{Legendre} +mit grossem Interesse auf; doch die Unterscheidung +des reellen und imaginären Parameters bereitet ihm Schwierigkeiten +und er schreibt am 16.~Januar 1829 an \Person{Abel}, +dass durch Einführung eines imaginären Parameters dennoch +wieder drei unabhängige Grössen in das Integral +dritter Gattung eintreten, + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»il y aurait donc par le fait quatre espèces de fonctions +elliptiques au lieu de trois, et la quatrième serait bien plus +composée que la troisième. C'est un point qui mérite d'être +examiné et mis au clair. Je le recommande à votre investigation +et à celle de M.~\Person{Jacobi}«. +\end{quote} + +\Person{Jacobi} wiederholt die oben erwähnte Behauptung in +der vom 11.~Januar 1829 datirten und im 2.~Hefte des +4.~Bandes von \Person{Crelle}'s Journal veröffentlichten Arbeit +»\Titel{Suite des notices sur les fonctions elliptiques}« +bei Aufstellung +der Beziehung +\[ + \Pi(u, a) = uZ(a) + \log\sqrt{ \frac{\vartheta(u-a)}{\vartheta(u+a)} }, +\] +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»cette dernière formule fait voir que les fonctions elliptiques +%-----File: 077..png--- +de la troisième espèce, lesquelles dépendent de trois +éléments, +peuvent être réduites à d'autres transcendantes qui +n'en ont que deux«, +\end{quote} + +und \Person{Legendre} ersah auch daraus die Möglichkeit, +Tafeln mit doppeltem Eingange für die Integrale dritter Gattung +à paramètre logarithmique zu construiren, wogegen ihm +dies für die Integrale à paramètre circulaire nicht glückte, + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»quoique vous en ayez annoncé la possibilité, schreibt +\Person{Legendre} am 8.~April 1829 an \Person{Jacobi}; je serais trèsaise +de m'être trompé, et je réparerais avec grand plaisir +mon erreur si vous m'indiquiez le moyen de résoudre la +difficulté et d'exprimer par deux variables seulement, cette +seconde division des fonctions de troisième espèce. Ce serait +à mon avis la plus grande découverte qu'il est possible +d'espérer dans la théorie des fonctions elliptiques, puisqu'elle +rendrait l'usage de ces fonctions presqu'aussi facile, +dans tous les cas, que celui des fonctions circulaires et +logarithmiques«. +\end{quote} + +\Person{Jacobi} bezeichnet in dem am 23.~Mai 1829 an \Person{Legendre} +gerichteten Schreiben die von \Person{Legendre} getroffene +Unterscheidung der Integrale dritter Gattung als eine nicht +in der analytischen Natur dieser Functionen begründete: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»En ce qui regarde les Intégrales Elliptiques de la +troisième espèce à paramètre circulaire, vous avez complètement +raison; elles ne jouissent pas d'une réduction analogue +à celle de l'autre espèce logarithmique. Si j'ai annoncé +une pareille chose, comme vous le dites dans votre lettre, +cela n'a pu être que dans le sens général et analytique, +où l'on ne distingue pas entre les valeurs réelles et imaginaires, +et qu'on fait abstraction de l'évaluation numérique. +Sous ce point de vue, une même formule embrasse tous les +cas, de sorte qu'on n'a pas besoin de distinguer entre les +espèces, ce qui devient nécessaire aussitôt qu'on veut appliquer +les formules qui s'y rapportent au calcul numérique +%-----File: 078..png--- +ou qu'on ne veut considérer que des quantités réelles. +Toutefois cette sorte d'inconvénient, qui tient à la nature +intime de l'objet, et nullement à un défaut de notre part, +me paraît ajouter de mérite à votre division des Intégrales +Elliptiques de la troisième espèce en deux classes, auxquelles +se ramènent tous les autres cas«; +\end{quote} + +aber \Person{Legendre} bedauert, dass dies in der Natur der +Sache liege und grade dem, was er sich als Ziel seiner +Untersuchungen gesetzt, hinderlich in den Weg trete: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»mais, comme vous dites, cela tient à la nature des +choses et nous ne pouvons rien y changer, sagt er in einem +Briefe vom 4.~Juni 1829 an \Person{Jacobi}. Vous vous en consolez +plus aisément que moi, vous et M.~\Person{Abel}, qui êtes +tous deux éminemment spéculatifs, mais moi qui ai toujours +eu pour but d'introduire dans le calcul de nouveaux éléments $\ldots\,\ldots$«, +\end{quote} + +worauf \Person{Jacobi} am 14.~Juni 1829 erwidert: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Quant au calcul numérique des Intégrales Elliptiques +de troisième espèce à paramètre circulaire, je vous demande +pardon d'avoir fait naître en vous une espérance, qui n'a +pas été réalisée depuis. Cependant je crois que vous n'avez +pas à regretter trop l'inconvénient, que ces fonctions ne +peuvent être réduites en tables à double entrée«. +\end{quote} + +Wir haben noch immer nicht den reichen Inhalt der +oben erwähnten Arbeit \Person{Jacobi}'s erschöpft; es wird ferner +auf die Transformation der $\theta$-Functionen hingewiesen und gezeigt, +wie man daraus die Transformationsformeln der elliptischen +Functionen unmittelbar herleiten kann, was von +\Person{Jacobi} in der vom 11.~Januar 1829 datirten Arbeit im +zweiten Hefte des vierten Bandes d.~J.~f.~M. auf die Aufstellung +der Transformationsformeln für die Integrale zweiter +und dritter Gattung ausgedehnt wird, + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»On peut aussi parvenir directement de la fonction +$\Theta(u)$ aux formules de transformation en partant de son développement +%-----File: 079..png--- +en produit infini, comme nous l'avons montré +dans le troisième volume de ce journal. De là, en suivant +une marche inverse de celle qu'on vient de présenter, on +tire sur le champ les formules relatives à la transformation +des fonctions elliptiques de la première et de la troisième +espèce et en différentiant, celles de transformation des +fonctions elliptiques de la seconde espèce«. +\end{quote} + +Die hierauf bezüglichen Untersuchungen wollte \Person{Jacobi} +im Zusammenhange veröffentlichen; nachdem er mit Bezug +auf seine früheren Arbeiten am 9.~September 1828 an +\Person{Legendre} geschrieben: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Mes recherches seront rassemblées dans un petit +Ouvrage d'environ 200 pages in 4\textsuperscript{o} qui sera imprimé à part +et dont l'impression vient d'être commencée. Il aura pour +titre: \Titel{Fundamenta nova Theoriae Functionum Ellipticarum}, $\ldots\,\ldots$\ +Cependant la fin de mon \Titel{Ouvrage} ne doit +pas être celle de mes recherches $\ldots\,\ldots$« +\end{quote} + +erklärt er in der Abhandlung, die wir eben besprechen: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Les résultats dont je viens de donner ici une exposition +rapide, font partie de ceux qu'on trouvera dans la seconde +partie de mon ouvrage sur les fonctions elliptiques. La +première partie de cet ouvrage paroitra incessament.« +\end{quote} + +Aber wiewohl \Person{Legendre} in einem Briefe vom 9.~Februar +1829 \Person{Jacobi} zur Herausgabe einer zusammenhängenden +Darstellung aller seiner Arbeiten in der Theorie der elliptischen +Transcendenten mit den Worten ermunterte: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»il (\Person{Abel}) obtient ainsi sur vous une sorte d'avantage, +parce que vous n'avez guère publié jusqu'à présent que des +notices qui ne font pas connaître vos méthodes. C'est une +raison pour que vous vous hâtiez de prendre possession de +ce qui vous appartient en faisant paraître votre ouvrage le +plus tôt qu'il vous sera possible«, +\end{quote} + +hatte sich dennoch \Person{Jacobi} schon unmittelbar darauf, +als der Druck des ersten Theiles der \Titel{fundamenta} eben beendigt +%-----File: 080..png--- +war, entschlossen, einen zweiten Theil dieses Werkes, +fürs erste wenigstens, nicht folgen zu lassen, und schreibt +am 23.~Mai 1829 an \Person{Legendre}: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»L'impression de celui-ci étant achevée, je me suis empressé +de vous le faire parvenir et je vous prie de l'accueillir +avec cette bonté, dont vous m'avez donné des +preuves si éclatantes. Cependant je crains, qu'il ne soit +beaucoup au-dessous de la bonne opinion que vous avez +voulu concevoir de mes travaux, et je crains cela d'autant +plus, puisqu'il ne contient que les fondements de mes recherches +et qu'il me faut encore une longue série de travaux +pour établir aux yeux de Géomètres leur ensemble«. +\end{quote} + +Jene kurze, aber überaus inhaltreiche Arbeit \Person{Jacobi}'s +im 3.~Hefte des 3.~Bandes von \Person{Crelle}'s Journal entwickelt +weiter die partielle Differentialgleichung der $\theta$-Functionen +als Function des Argumentes und des $\theta$-Moduls und daraus +die Potenzreihen für diese Transcendenten; die Herstellung +des eleganten Ausdruckes für den Multiplicator der Transformation +\[ +M^2 = \frac{n(\kappa - \kappa^3)}{(\lambda - \lambda^3)} \,\frac{d\lambda}{d\kappa} +\] +führt auf die Definition der Multiplicatorgleichungen und +auf jene merk\-würdige Eigenschaft der Lösungen derselben, +wonach man für einen primzahligen Transformationsgrad +die Hälfte der Werthe von $\sqrt{M}$ linear mit Hülfe der andern +Hälfte ausdrücken kann, + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»cela donne le théorème énoncé, un des plus importants +dans la théorie algébrique de la transformation et de +la division des fonctions elliptiques«; +\end{quote} + +und in der That zeigen die algebraischen Arbeiten der +neueren Zeit die ganze Tragweite und Bedeutung jenes +Satzes, die \Person{Jacobi} sogleich erkannt und die derselbe in +dem am 14.~März 1829 an \Person{Legendre} gerichteten Briefe, +demselben in den Worten anzudeuten suchte: +%-----File: 081..png--- + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Aussi j'ai découvert une propriété tout à fait singulière +de ces équations, dont les racines sont les régulateurs, +comme vous l'aurez lu dans le 3\ieme{} cahier du vol.~III: c'est +qu'on peut exprimer linéairement leurs \Emphasis{racines carrées} au +moyen de la moitié de leur nombre, propriété qui m'est +d'autant plus remarquable que je ne l'ai trouvée que par +les développements en séries qui me sont propres et que +je ne vois pas comment on peut la prouver en quantités +finies, ce qui pourtant doit être possible. Cette propriété +servira sans doute à approfondir un jour la vraie nature +de ces équations du degré $n+1$«. +\end{quote} + +Von nun an trennen sich die Richtungen der beiden +grossen Mathematiker immer mehr, vielleicht begründet +durch die Natur ihrer Anlagen und die verschiedenartigen +Ausgangspunkte ihrer Arbeiten, vielleicht aber auch veranlasst +durch das Streben, ihre Untersuchungen nicht gegenseitig +zu kreuzen; wir finden in Bezug hierauf in dem +Schreiben \Person{Jacobi}'s an \Person{Legendre} vom 14.~März 1829 die +interessanten Worte: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Je ne veux ni reproduire ni prévenir les travaux de +M.~\Person{Abel}: presque tout ce que j'ai publié dans ces derniers +temps sur les Fonctions Elliptiques contient des vues nouvelles; +ce ne sont pas des amplifications de matières dont +M.~\Person{Abel} a traité ou même promis de s'en occuper«. +\end{quote} + +Während sich \Person{Abel} mehr der Untersuchung der Integrale +und der Frage der Reduction der allgemeinen \Person{Abel}'schen +Integrale auf niedere Transcendenten zuwendet, sucht +\Person{Jacobi} tiefer die Eigenschaften der elliptischen Functionen +zu ergründen und wird dadurch zu Untersuchungen von +sehr allgemeiner und rein functionentheoretischer Natur +geführt; + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»les fonctions elliptiques, sagt er in der vorher besprochenen +Arbeit, diffèrent essentiellement des transcendantes +%-----File: 082..png--- +ordinaires. Elles ont une manière d'être pour ainsi +dire absolue. Leur caractère principal est d'embrasser tout +ce qu'il y a de périodique dans l'analyse. En effet les +fonctions trigonométriques ayant une période réelle, les exponentielles +une période imaginaire, les fonctions elliptiques +embrassent les deux cas. $\ldots$ D'ailleurs on démontre aisément, +qu'une fonction analytique ne saura avoir plus que +deux périodes, l'une réelle et l'autre imaginaire ou l'une et +l'autre imaginaires«, +\end{quote} + +Sätze, die erst in einer späteren Zeit von \Person{Jacobi} veröffentlicht +und von demselben zur Grundlage einer Theorie +der hyperelliptischen Functionen gemacht wurden. + +Während nun \Person{Abel} und \Person{Jacobi} diesen weitgehenden +Untersuchungen ihre Hauptthätigkeit zuwenden, veröffentlichen +sie noch kleinere, auf die früher behandelten Gegenstände +bezügliche Arbeiten. \Person{Abel} kommt auf die Ausführung +der allgemeinen algebraischen Transformation zurück, +die er schon früher als den eigentlichen Ausgangspunkt für +die Transformationstheorie bezeichnet hatte, und zwar jetzt +für reelle Integralmoduln, stellt sich in einer vom 25.~September +1828 datirten, in Nr.~147 der astr.\ Nachr.\ im November +1828 veröffentlichten Arbeit die Aufgabe: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Trouver tous les cas possibles où l'on pourra satisfaire +à l'équation différentielle +\[ +\frac{d\,y}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - {c_1}^2 y^2)}} = a \frac{d\,x}{\sqrt{(1 - x^2) (1 - c^2 x^2)}} +\] +par une \Emphasis{équation algébrique} entre les variables $x$ et $y$, +en supposant les modules $c$ et $c_1$ moindres que l'unité et le +coëfficient a réel ou imaginair«. +\end{quote} + +Die Lösung dieser Aufgabe wird mit Hülfe der Periodenbeziehungen +geleistet, die zwischen zwei in einer algebraischen +Beziehung stehenden elliptischen Functionen mit verschiedenen +Moduln stattfinden müssen, daraus werden für den +Multiplicator nothwendige Formen und Ausdrücke durch +%-----File: 083..png--- +die Periodenquotienten hergeleitet und endlich die für +reelle Integralmoduln gültige complexe Multiplication behandelt. + +Ferner bespricht \Person{Abel} noch kurz in einer im 4.~Hefte +des 3.~Bandes des \Person{Crelle}'schen Journals veröffentlichten +Arbeit: »\Titel{Sur le nombre des transformations différentes, qu'on +peut faire subir à une fonction elliptique par la substitution +d'une fonction donnée de premier degré}« die Anzahl der verschiedenen +Transformationen sowie die sechs Hauptfälle +der linearen Transformation und verweist auf eben diese +Darlegung in einem aus Christiania am 25.~November 1828 +an \Person{Legendre} gerichteten Briefe, welcher die Beantwortung +der von letzterem an ihn gerichteten Frage zum Gegenstande +hat, wie es möglich sei, dass \Person{Abel} $6(n + 1)$ Transformationen +finde, während die Modulargleichung nur +vom $n + 1^\textrm{ten}$ Grade sei. Ausser der linearen Transformation +behandelt jene Note noch das bereits von \Person{Jacobi} bewiesene +Theorem, nach welchem man nur $q^n$, $q^\frac{1}{n}$, $\alpha q^\frac{1}{n}$, +$\cdots\alpha^{n-1} q^\frac{1}{n}$ statt $q$ in den Ausdruck für $\kappa$ zu setzen braucht, +um alle transformirten Moduln zu erhalten, wenn man von +den linearen Transformationen absieht. + +Endlich veröffentlichte \Person{Abel} noch gleichzeitig mit dieser +Note ein Memoire: »\Titel{Théorème général sur la transformation +des fonctions elliptiques de la seconde et de la troisième espèce}«, +worin er die von \Person{Jacobi} schon früher in anderem Sinne +behandelte Aufgabe von der Transformation der Integrale +zweiter und dritter Gattung wieder aufnimmt und das Theorem +ausspricht: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Si une intégrale algébrique $f(y, x) = 0$ satisfait à +l'équation $\frac{d\,y}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - c'^2 y^2)}} = \frac{a\,d\,x}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - c^2 x^2)}}$, on aura +toujours: +%-----File: 084..png--- +\begin{gather*} +\int \frac{A + B x^2}{1 - \frac{x^2}{n^2}} \frac{d\,x}{\sqrt{(1 - x^2) (1 - c^2 x^2)}}\\ += \int\frac{A' + B' y^2}{1 - \frac{y^2}{m^2}}\frac{d\,y}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - c'^2 y^2)}} + k \log p, +\end{gather*} +où $A$, $B$, $n$ sont des quantités données, $A'$, $B'$, $m$, $k$ des +quantités constantes, fonctions des premières, et $p$ une certaine +fonction algébrique de $y$ et $x$. Il est très remarquable +que les paramètres $m$ et $n$ sont liés entre eux par la même +équation, que $y$ et $x$, savoir $f(m, n) = 0$.« +\end{quote} + +Im Uebrigen wendet sich \Person{Abel} in seinen weiteren Arbeiten +ganz den allgemeinen Untersuchungen zu, welche die +Theorie der Integrale algebraischer Differentiale betreffen, +von denen er ursprünglich ausging, und die das Fundament +all' seiner Betrachtungen in der Theorie der Transcendenten +bilden. + +Dasselbe Heft des \Person{Crelle}'schen Journals bringt unter +dem Titel »\Titel{Remarques sur quelques propriétés générales d'une +certaine sorte de fonctions transcendantes}« die Specialisirung +und vollständige Ausführung des der Pariser Akademie im +Jahre 1826 eingereichten Aufsatzes über das sogenannte +\Person{Abel}'sche Theorem für hyperelliptische Integrale; + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Il me semble que dans la théorie des fonctions transcendantes +les géomètres se sont bornés aux fonctions de +cette forme. Cependant il existe encore pour une classe +très étendue d'autres fonctions une propriété analogue à celle +des fonctions elliptiques. Je veux parler des fonctions qui peuvent +être regardées comme \Emphasis{intégrales de différentielles +algébriques quelconques}. Si l'on ne peut pas exprimer +la somme d'un nombre quelconque de fonctions données, par +une seule fonction de la même espèce, comme dans le cas +des fonctions elliptiques, au moins on pourra exprimer dans +tous les cas une pareille somme par la somme d'un nombre +%-----File: 085..png--- +déterminé d'autres fonctions de la même nature que les premières, +en y ajoutant une certaine expression algébrique et +logarithmique. Nous démontrerons cette propriété dans l'un +des cahiers suivans de ce journal. Pour le moment je vais +considérer un cas particulier qui embrasse en même temps +les fonctions elliptiques, savoir les fonctions contenues dans +la formule $\psi(x) = \int\frac{r\,dx}{\sqrt{R(x)}}$, $R$ étant une fonction rationnelle +et entière quelconque, et $r$, une fonction rationnelle«. +\end{quote} + +Der Satz von der Addition einer Anzahl gleichartiger +hyperelliptischer Integrale, deren Summe ein algebraisch-logarithmischer +Ausdruck ist, wird zuerst für Integrale von +der Form +\[ +\psi(x) = \int\frac{f(x)\,dx}{(x - \alpha)\sqrt{\phi(x)}} +\] +bewiesen, wonach, wenn $f(x)$ und $\phi(x)$ ganze Functionen, +\begin{align*} +\phi(x) &= \phi_1(x) \cdot \phi_2(x),\\ +\Theta(x)^2 \phi_1(x) - \Theta_1(x)^2 \phi_2(x) &= A(x - x_1)^{m_1} (x - x_2)^{m_2} \cdots (x - x_\mu)^{m_\mu} +\end{align*} +gesetzt wird, und $\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots \epsilon_\mu$ positive oder negative Einheiten +bedeuten, +\begin{gather*} +\epsilon_1 m_1 \psi(x_1) + \epsilon_2 m_2 \psi(x_2) + \cdots + \epsilon_\mu m_\mu \psi(x_\mu)\\ += C - \frac{f(\alpha)}{\sqrt{\phi(\alpha)}} +\log\bigg\{\frac{\Theta(\alpha)\sqrt{\phi_1(\alpha)} + \Theta_1(\alpha)\sqrt{\phi_2(\alpha)}} +{\Theta(\alpha)\sqrt{\phi_1(\alpha)} - \Theta_1(\alpha)\sqrt{\phi_2(\alpha)}}\bigg\}\\ ++ \prod\frac{f(x)}{(x - \alpha)\sqrt{\phi(x)}} +\log\bigg\{\frac{\Theta(x)\sqrt{\phi_1(x)} + \Theta_1(x)\sqrt{\phi_2(x)}} +{\Theta(x)\sqrt{\phi_1(x)} - \Theta_1(x)\sqrt{\phi_2(x)}}\bigg\} +\end{gather*} +ist, und hieraus die analogen Sätze für Integrale der Form +\[ +\int\frac{f(x)\,dx}{\sqrt{\phi(x)}} \textrm{ und } \int\frac{dx}{(x-\alpha)^k \sqrt{\phi(x)}}, +\] +woraus das Theorem für das allgemeine Integral +\[ +\psi(x) = \int\frac{r\,dx}{\sqrt{\phi(x)}}, +\] +worin $r$ eine beliebige rationale Function von $x$ bedeutet, +zusammengesetzt wird. Den Schluss der Arbeit bildet die +Zurückführung der Summe einer beliebigen Anzahl von gleichartigen +%-----File: 086..png--- +hyperelliptischen Integralen auf eine feste Anzahl +ebensolcher Integrale. + +Diese fundamentale Arbeit \Person{Abel}'s, die wieder in ihren +Resultaten und Bezeichnungen massgebend geworden ist +für den weiteren Ausbau der Integralrechnung, liess sehr +bald auch \Person{Legendre} die Bedeutung des \Person{Abel}'schen Theorems +erkennen. + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Mais le mémoire imprimé sous le n\textsuperscript{o} 30 ayant pour titre: +\Titel{Remarques sur quelques propriétés générales} etc., +sagt \Person{Legendre} in dem am 16.~Januar 1829 an \Person{Abel} gerichteten +Briefe, me paraît surpasser tout ce que vous avez +publié jusqu'à présent par la profondeur de l'analyse qui y +règne, ainsi que par la beauté et la généralité des résultats. +Ce mémoire occupe peu de place, mais il contient un grand +nombre de choses; il est rédigé en général avec beaucoup +d'élégance et de concision; s'il eût pu être plus développé, +j'aurais préféré que vous eussiez suivi un ordre inverse en +finissant par les cas les plus généraux\ldots.« +\end{quote} + +und \Person{Legendre} sucht jetzt auf Grund dieses Theorems +selbständige Untersuchungen anzustellen, die er, wie wir +schon oben sahen, im dritten Supplemente zu seinem \Titel{traité} +veröffentlichte. + +Gleichzeitig mit der eben besprochenen Arbeit \Person{Abel}'s +erschien im 4.~Hefte des 3.~Bandes d.~J.~f.~M.\ unter dem +Titel: »\Titel{suite des notices sur les fonctions elliptiques}« eine aus +Königsberg vom 3.~October 1828 datirte Arbeit \Person{Jacobi}s, +in welcher er einerseits darauf hinweist, dass die früher gemachte +wichtige Entdeckung von der Zurückführung der +Integrale dritter Gattung auf andere Transcendenten mit +nur zwei Variabeln die Theorie der elliptischen Integrale +dritter Gattung aus den Eigenschaften dieser Fundamentaltranscendenten +herzuleiten gestatte, und mit zwei linearen +Transformationsformeln der $\theta$-Functionen die in seinem Briefe +vom 12.~Januar 1828 an \Person{Legendre} als »théorème fondamental +%-----File: 087..png--- +de M.~\Person{Abel}« bezeichnete Relation $\sin\am (iu, k) = +i \tg \am (u, k')$ zusammenstellt, andererseits auf die Coefficientenbestimmung +der allgemeinen Transformations- und +Multiplicationsformeln des elliptischen Integrales erster Gattung +näher eingeht; + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Je suis parvenu à résoudre un problème dont +la difficulté avoit éludé longtemps tous mes efforts, savoir +de trouver l'expression générale et algébrique des +formules de multiplication \ldots Or $z = \frac{U}{V}$ étant une +Substitution rationelle quelconque qui sert ou à la transformation +ou à la multiplication des fonctions elliptiques +de première espèce, je suis parvenu à sommer par parties +le numérateur et le dénominateur de la substitution à +faire et à définir l'un et l'autre au moyen d'une équation +à différences partielles entre $x$ et $k$. Dans le cas de la +multiplication on tire de cette équation les expressions générales +de $A', A'', A''',\ldots$ On trouve très facilement chaque +terme $A^{(m)}$ par les deux termes $A^{(m - 2)}$, $A^{(m - 4)}$, qui le précèdent«. +\end{quote} + +\Person{Jacobi} führt diese Andeutung in der aus Königsberg +vom 11.~Januar 1829 datirten, im 2.~Hefte des 4.~Bandes +des \Person{Crelle}'schen Journals veröffentlichten Arbeit »\Titel{Suite +des notices sur les fonctions elliptiques}« näher aus, indem, +wenn $\alpha = \frac{1 + \kappa^2}{\kappa}$, $x = \sqrt{\kappa}\cdot\sin\am (u, \kappa)$ gesetzt wird, +»les fonctions $U$, $V$ satisferont l'une et l'autre à l'équation +aux différences partielles suivante: +\begin{gather*} +n(n-1)x^2 z + (n-1)(\alpha x - 2x^3)\frac{\partial z}{\partial x} ++ (1 - \alpha x^2 + x^4) \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\\ += 2n(\alpha^2 - 4)\frac{\partial z}{\partial \alpha},\text{«} +\end{gather*} + +und sagt in Bezug auf diese Untersuchung in einem +Briefe an \Person{Legendre} vom 14.~März 1829: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Vous trouverez même dans le 2\ieme{} cahier du vol.~IV du +Journal de M.~\Person{Crelle} une formule à différences partielles +%-----File: 088..png--- +très remarquable +qui sert à exprimer \Emphasis{généralement} ces coefficients +par les deux modules, en supposant connue l'équation +aux modules; de sorte que la formation algébrique des +substitutions à faire pour parvenir à une transformation +quelconque est entièrement réduite à la recherche des +équations aux modules, formule qui donne en même temps +comme cas spécial les expressions algébriques et générales +pour la multiplication par un nombre $n$ quelconque \Emphasis{indéfini}: +chose très difficile et dont vous avez dû remarquer les premiers +exemples dans le 4\ieme{} cahier du vol.~III dudit Recueil. +Il sera de même, si l'on fait tout dépendre de l'équation +dont les racines donnent les valeurs de ce que vous appelez +le \Emphasis{régulateur}, et cela conviendra peut-être encore mieux, +ces dernières semblant être plus simples«. +\end{quote} + +Die letzte oben erwähnte Arbeit schliesst mit dem +Theorem: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Étant supposés connus tous les modules dans lesquels +on peut transformer un module donné $\kappa$ à l'aide +d'une transformation correspondante au nombre $n$, on peut +exprimer par ces modules toutes les quantités de la forme +$\sin\am\frac{2mK + 2m'iK'}{n}$, $m$, $m'$ étant des nombres quelconques, +sans qu'il étoit nécessaire de résoudre une équation +algébrique«. +\end{quote} + +Endlich werden von \Person{Jacobi} in der Abhandlung: »\Titel{de +functionibus ellipticis commentatio}«, welche, aus Königsberg +vom April 1829 datirt, im 4.~Hefte des 4.~Bandes von +\Person{Crelle}'s Journal veröffentlicht wurde, die Transformationsformeln +der Integrale zweiter und dritter Gattung in Verbindung +mit den Transformationsausdrücken der $\theta$-Function +hergestellt, die gewöhnlichen Differentialgleichungen dritter +Ordnung, denen $U$ und $V$ genügen, entwickelt, + +\begin{quote} +»quod sane est theorema memorabile, satis reconditum, +numeratorem et denominatorem substitutionis $U$, $V$ singulos +%-----File: 089..png--- +definiri posse per aequationem differentialem tertii ordinis \ldots +Integrale completum aequationum differentialium tertii ordinis, +quibus functiones $U$, $V$ definiuntur, in promtu esse +non videtur«, +\end{quote} + +und schliesslich die mit einer quadratischen Exponentialgrösse +multiplicirte $\theta$-Function in Beziehung auf ihre Perioden +und ihre Zusammensetzung zu den elliptischen Functionen +näher untersucht. + +Während nun \Person{Jacobi} zumeist mit der Zusammenfassung +seiner Resultate für die Herausgabe der \Titel{fundamenta} +beschäftigt war, deren Druck im April 1829 beendet +wurde\footnote{ +Es mag an dieser Stelle noch des zweiten Supplementes zu +dem \Titel{traité} von \Person{Legendre} Erwähnung gethan werden, dessen Vorrede +das Datum des 15.~März 1829 trägt; dasselbe liefert ähnlich wie +das erste eine Zusammenfassung der im Laufe des letzten Jahres von +\Person{Abel} und \Person{Jacobi} gemachten Entdeckungen und beschäftigt sich +hauptsächlich mit der Darstellung der elliptischen Functionen, mit +der Summirung gewisser Reihen durch elliptische Functionen, der +Behandlung der $\theta$-Functionen, der Darstellung der Integrale +zweiter und dritter Gattung durch diese Transcendenten und endlich +der Entwicklung des \Person{Abel}'schen Theorems für hyperelliptische +Integrale.}, +hatte auch \Person{Abel} an der Darstellung einer +zusammenhängenden Theorie der elliptischen Integrale und +Functionen gearbeitet; + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Je prépare, schreibt er am 18.~October 1828 aus Christiania +an \Person{Crelle}, dans ce moment un mémoire sur les +fonctions elliptiques, où j'ai considéré la théorie de ces +fonctions sous un point de vue très général. Ce mémoire +sera divisé en deux parties. \ldots« +\end{quote} + +und eine ähnliche Ankündigung seiner grossen und +bedeutungsvollen Resultate, die wir nachher besprechen +werden, richtete \Person{Abel} auch an \Person{Legendre} am 3.~October +1828; + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Je vous félicite, antwortet ihm \Person{Legendre} am 25.~October +1828, bien cordialement des grands succès que +%-----File: 090..png--- +vous avez obtenus dans vos travaux sur la théorie des +fonctions elliptiques \dots\ mais ce qu'il y a de sûr, c'est que +je n'ai aucune idée des moyens que vous avez pu employer +pour vaincre de pareilles difficultés. Quelle tête que celle +d'un jeune Norvégien!\dots\ Peut-être n'êtes vous pas à portée +maintenant de publier un semblable ouvrage (wie \Person{Jacobi}) +qui contienne l'ensemble de vos découvertes; il nous intéresserait +beaucoup, Monsieur«, +\end{quote} + +und am 25.~November 1828 erwidert ihm \Person{Abel}: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Les circonstances ne me permettent point de publier +un ouvrage de quelque étendue que j'ai composé depuis +peu; car ici je ne trouverai personne qui fera l'imprimer à +ses frais«. +\end{quote} + +Und so überschickte er denn den ersten Theil seiner +Arbeit unter dem Titel: »\Titel{Précis d'une théorie des fonctions elliptiques}« +\Person{Crelle} zur Veröffentlichung, der dieselbe im 3.\ und +4.~Hefte des 4.~Bandes, welcher 1829 ausgegeben wurde, +abdrucken liess; leider musste \Person{Crelle} dieser Arbeit die +Schlussworte beifügen: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»c'est jusqu'ici que ce mémoire est parvenu à l'éditeur. +M.~\Person{Abel} est mort (6.~April 1829) sans l'avoir fini«. +\end{quote} + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Surtout j'ai cherché, sagt \Person{Abel} in der Einleitung zu +seiner grossen Arbeit, welche die Resultate aller seiner +Untersuchungen zusammenfassen und zugleich den Weg zu +weiteren Forschungen auf dem Gebiete der Transcendenten +weisen sollte, à donner de la généralité à mes recherches, +en me proposant des problèmes d'une vaste étendue. Si +je n'ai été assez heureux de les résoudre complètement, au +moins j'ai proposé les moyens pour y parvenir. L'ensemble +de mes recherches sur cet objet formera un ouvrage de +quelque étendue, mais que les circonstances ne me permettent +pas encore de publier. C'est pourquoi je vais donner +ici un Précis de la méthode que j'ai suivie avec les résultats +généraux, auxquelles elle m'a conduit.« +\end{quote} +%-----File: 091..png--- + +Der erste Theil des \Titel{précis} beschäftigt sich mit zwei +grossen und weitgreifenden Fragen, welche die Theorie der +Integrale algebraischer Differentiale und speciell der elliptischen +Integrale betreffen. Auf sein allgemeines Additionstheorem +für elliptische Integrale der drei Gattungen in der +\Person{Legendre}'schen Normalform sich stützend wirft \Person{Abel} die +Frage nach der Form auf, welche man dem Integrale eines +algebraischen Differentiales geben kann, wenn dieses sich +durch algebraisch-logarithmische Functionen und elliptische +Integrale ausdrücken lässt und beweist ein Theorem + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»qui est d'un grand usage dans tout le calcul intégral, +à cause de sa grande généralité«, +\end{quote} + +und das in der That die Basis geworden ist für alle weiteren +Untersuchungen, welche Reductionsfragen für Integrale +algebraischer Differentialien zum Gegenstande haben. Besteht, +wenn $y$ eine algebraische Function von $x$ ist, eine +Beziehung von der Form +\begin{gather*} +\int^x y\,dx = \int^{x_1} f_1\bigl(x,\Delta(x,c_1)\bigr)\,dx ++ \int^{x_2} f_2\bigl(x,\Delta(x,c_2)\bigr)\,dx + \ldots\\ + + u + A_1 \log v_1 + A_2 \log v_2 + \cdots + A_\rho \log v_\rho, +\end{gather*} +in welcher $x_1, x_2,\ldots u, v_1, v_2,\ldots$ algebraische Functionen von +$x$, $A_1$, $A_2,\ldots A_\rho$ Constanten bedeuten, so lässt sich, wie +\Person{Abel} durch eine überaus geniale Deduction zeigt, daraus +eine Relation herleiten: +\begin{gather*} +\delta\int^x y\,dx = \int^{\xi_1} f_1\bigl(x,\Delta(x,c_1)\bigr)\,dx ++ \int^{\xi_2} f_2\bigl(x,\Delta(x,c_2)\bigr)\,dx + \cdots\\ ++ U + B_1 \log V_1 + B_2 \log V_2 +\cdots B_\sigma \log V_\sigma, +\end{gather*} +in welcher $\delta$ eine ganze Zahl, $\xi_1, \xi_2,\ldots, \Delta(\xi_1,c_1)$, +$\Delta(\xi_2,c_2),\ldots$, $U$, $V_1$, $V_2,\ldots V_\sigma$ rationale Functionen von +$x$ und $y$, $B_1, B_2,\ldots B_\sigma$ Constanten bedeuten; und daraus +folgt: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Si $\int \frac{r\,dx}{\Delta(x,c)}$, où $r$ est une fonction rationnelle quelconque +de $x$, est exprimable par des fonctions algébriques et +%-----File: 092..png--- +logarithmiques et par les fonctions elliptiques $\psi, \psi_1, \psi_2,\ldots$, +on pourra toujours supposer +\begin{gather*} +\int\frac{r\,dx}{\Delta(x,c)} = p \Delta(x,c) + \alpha\psi(y) + \alpha'\psi_1(y_1) +\cdots\\ ++ A_1 \log\biggl(\frac{q_1 + q'_1\Delta(x,c)}{q_1 - q'_1\Delta(x,c)}\biggr) +\cdots +\end{gather*} +où toutes les quantités $p, q_1, q_2,\ldots q_1',\ldots y, y_1, y_2,\ldots$ sont +des fonctions \Emphasis{rationnelles} de $x$«, +\end{quote} + +ein Satz, den \Person{Abel} schon kannte, als er seine erste +Arbeit über die Reduction der hyperelliptischen Integrale +auf Logarithmen veröffentlichte. + +Folgerungen und Erweiterungen dieser Sätze bringt +der veröffentlichte Theil des précis nicht mehr, wohl schon +desshalb, weil \Person{Abel} sich in dieser Arbeit nur mit der +Theorie der \Emphasis{elliptischen} Integrale zu beschäftigen beabsichtigte, +aber er benutzt diese wichtigen und umfassenden +Sätze, um eine zweite wesentliche Frage aufzuwerfen, +die so lautet: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»trouver tous les cas possibles dans lesquels on peut +satisfaire à une équation de la forme: +\begin{gather*} +\textrm{(a)}\ldots\alpha\varpi(x_1,c_1) +\cdots + \alpha_n\varpi(x_n,c_n) + \alpha_1'\varpi_0(x_1',c_1') +\cdots\\ ++ \alpha_m' \varpi(x_m',c_m') + \alpha_1'' \Pi(x_1'',c_1'',a_1) +\cdots + \alpha_{\mu}'' \Pi(x_{\mu}'',c_{\mu}'',a_{\mu})\\ += u + A_1 \log v_1 +\cdots + A_{\nu} \log v_{\nu}, +\end{gather*} +où $\alpha_1,\ldots \alpha_n$, $\alpha_1',\ldots \alpha_m'$, $\alpha_1'',\ldots \alpha_{\mu}''$, $A_1,\ldots A_{\nu}$ sont des quantités +constantes, $x_1,\ldots x_n$, $x_1',\ldots x_m'$, $x_1'',\ldots x_{\mu}''$ des variables +liées entre-elles par des équations algébriques, et $u, v_1, v_2\ldots v_{\nu}$ +des fonctions algébriques de ces variables«, +\end{quote} + +und findet den überaus fruchtbaren Satz: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Si une équation quelconque de la forme (a) a lieu, +et qu'on désigne par $c$ un quelconque des modules qui y +entrent, il y en aura parmi les autres an moins un module +$c'$ tel, qu'on puisse satisfaire à l'équation différentielle: +$\frac{yd}{\Delta(y,c')} = \epsilon\frac{dx}{\Delta(x,c)}$, en mettant pour $y$ une fonction \Emphasis{rationnelle} +de $x$ et vice versa«, +\end{quote} + +%-----File: 093..png--- +und so wird \Person{Abel} von der allgemeinsten additiven +Beziehung zwischen elliptischen Integralen auf das rationale +Transformationsproblem der elliptischen Integrale erster +Gattung, somit wieder auf die früher veröffentlichten Untersuchungen +zurückgeleitet. + +Auf Grund der gegebenen Reduction kann \Person{Abel} leicht +die allgemeinste Relation aufstellen, die zwischen elliptischen +Integralen mit demselben Modul besteht, und findet für dieselbe +eine additive Verbindung von Integralen dritter Gattung, +welche zu Coefficienten ganze Zahlen haben, mit einem +Integrale erster Gattung von algebraisch-logarithmischen +Theilen abgesehen, deren Discontinuitäten die Unstetigkeitswerthe +der Integrale dritter Gattung liefern. + +Es folgt endlich eine ausführliche Behandlung des +rationalen Transformationsproblems und die Discussion der +Auflösung der algebraischen Transformationsgleichung. + +Der zweite Theil des \Titel{précis}, der auch in seinen Aufzeichnungen +nicht in die Oeffentlichkeit gekommen, sollte +nach der von \Person{Abel} gegebenen Inhaltsangabe die elliptischen +Integrale mit einem Modul, der reell und kleiner +als 1 ist, behandeln, und sich mit der Umkehrungsfunction +des elliptischen Integrales erster Gattung und den +Integralen zweiter und dritter Gattung als Functionen +dieser beschäftigen; die doppelte Periodicität, die Bestimmung +der Nullwerthe der Umkehrungsfunction, das +Additionstheorem, die Division dieser Functionen sollten +in der schon aus den Arbeiten \Person{Abel}'s bekannten Art dargestellt +werden. Aber \Person{Abel} wollte auch in diesem Theile +nochmals auf das allgemeine algebraische Transformationsproblem +zurückkommen, ausgehend von den periodischen +Eigenschaften der elliptischen Umkehrungsfunction, und +den schon früher behandelten Satz beweisen: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Si deux fonctions réelles peuvent être transformées +l'une en l'autre, il faut qu'on ait entre les fonctions complètes +%-----File: 094..png--- +$\varpi$, $\omega$, $\varpi'$, $\omega'$ cette relation: $\frac{\varpi'}{\omega'} = \frac{n'}{m} \cdot \frac{\varpi}{\omega}$, où $n'$ et $m$ +sont des nombres entiers«. +\end{quote} + +Die weiteren Untersuchungen sollten sich mit der +Theorie der Modulargleichungen beschäftigen: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Si deux modules $c'$ et $c$ peuvent être transformés l'un +dans l'autre, ils auront entre eux une relation algébrique. +Mais généralement il paraît impossible d'en tirer la valeur +de $c'$ en $c$ à l'aide de radicaux, mais il est remarquable, que +cela a toujours lieu, si $c$ peut être transformé en son complément, +par exemple si $c^2 = \frac12$«; +\end{quote} + +endlich sollte noch die Theorie derjenigen Transcendenten +entwickelt werden, welche den Zähler und Nenner +der Umkehrungsfunction des elliptischen Integrales erster +Gattung bilden, und alle Resultate des zweiten Theiles +des \Titel{précis} auf beliebige reelle und imaginäre Integralmoduln +ausgedehnt werden. + +Diese grosse und umfassende Theorie der elliptischen +Transcendenten, wie sie \Person{Abel} projectirt hatte, ist leider, +wie wir gesehen, nur in einem kleinen Bruchtheile, der sich +lediglich mit der Theorie der elliptischen \Emphasis{Integrale} beschäftigt, +veröffentlicht worden, + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»dans ce qu'il a fait, sagt \Person{Poisson} in seinem \Titel{rapport +sur l'ouvrage de M.~\Person{Jacobi}} am 21.~December 1829, la +postérité saura reconnaître tout ce qu'il aurait pu faire, +s'il eût vécu davantage«, +\end{quote} + +und so war es von überaus grosser Bedeutung, dass +genau zu derselben Zeit, vor nunmehr 50~Jahren, \Person{Jacobi} +durch seine »\Titel{fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum}« +die mathematische Welt zu einem eingehenden Studium der +Theorie der elliptischen Transcendenten und zur Mitarbeit +auf diesem neuen Felde analytischer Forschung veranlasste. + +Das Werk beginnt mit der Entwicklung der allgemeinen +rationalen Transformation; +%-----File: 095..png--- + +\begin{quote} +»Problema, quod nobis proponimus, generale hoc est: +Quaeritur Functio rationalis $y$ elementi $x$ eiusmodi, ut sit: +\[ + \frac{dy}{\sqrt{ A' + B'y + C'y^2 + D'y^3 + E'y^4 }} += \frac{dx}{\sqrt{ A + B x + C x^2 + D x^3 + E x^4 }}. +\] +Quod Problema et Multiplicationem videmus amplecti et +Trans\-formationem«; +\end{quote} + +und \Person{Jacobi} findet auf dem in seinen ersten Arbeiten +angedeuteten Wege: + +\begin{quote} +»Iam igitur demonstratum est, formam +\[ + y += \frac{ a + a' x + a'' x^2 + \dotsb + a^{(p)} x^p } + { b + b' x + b'' x^2 + \dotsb + b^{(p)} x^p }, +\] +quicunque sit numerus $p$, ita determinari posse, ut prodeat: +\[ + \frac{dy}{\sqrt{ A' + B'y + C'y^2 + D'y^3 + E'y^4 }} += \frac{dx}{\sqrt{ A + B x + C x^2 + D x^3 + E x^4 }}. +\] +Quod est Principium in Theoria Transformationum Functionum +Ellipticarum Fundamentale«. +\end{quote} + +Nachdem das allgemeine elliptische Differential erster +Gattung durch eine Transformation zweiten Grades auf die +\Person{Legendre}'sche Normalform reducirt, und somit der obige +Transformationssatz auf die Gleichung +\[ + \frac{dy}{ \sqrt{ (1 - y^2) (1 - \lambda^2 y^2) }} += \frac{dx}{M \sqrt{ (1 - x^2) (1 - \kappa^2 x^2) }} +\] +übertragen ist, werden je nach den Formen +\begin{align*} + y &= \frac{ x (a + a' x^2 + \dotsb + a^{(m-1)} x^{2m-2}) } + { 1 + b' x^2 + \dotsb + b^{(m)} x^{2m} }, +\\ + y &= \frac{ x (a + a' x^2 + \dotsb + a^{(m)} x^{2m}) } + { 1 + b' x^2 + \dotsb + b^{(m)} x^{2m} } +\end{align*} +die Transformationen gerader und ungerader Ordnung unterschieden, +und nun Eigenschaften der Functionen $U$ und $V$ +in der rationalen Transformation $y = \frac{U}{V}$ entwickelt, welche +sich auf die Substitution $\frac{1}{k x}$ für x und $\frac{1}{\lambda y}$ für $y$ beziehen. +Es folgt die vollständige Ausführung der Transformation +dritten und fünften Grades mit der Entwicklung der zugehörigen +%-----File: 096..png--- +Modulargleichungen, und hieran sich schliessend +der Satz, dass zwei nach einander angewandte Substitutionen +bestimmter Art die Multiplication liefern. + +Nun führt \Person{Jacobi} die Umkehrungsfunction des Integrales +erster Gattung ein; +\[ + \int_0^x \frac{dx}{\sqrt{ (1-x^2) (1-\kappa^2 x^2) }} = u,\quad + x = \sin\am u +\] +lautet die Zusammenstellung der beiden Gleichungen, welche +das Umkehrungsproblem der elliptischen Integrale ausdrücken +und aus welchen mit Hülfe des \Person{Euler}'schen Additionstheorems +der Charakter der doppelten Periodicität dieser +Function, ihre Nullwerthe, ihre Unendlichen und ihre Veränderungen +bei Vermehrung um halbe Perioden geschlossen +werden. + +Mit Hülfe dieser elliptischen Function werden nun die +expliciten Transformationsausdrücke in den Fundamentalformeln +\begin{gather*} + U = \frac{x}{M} + \left( 1- \frac{x^2}{\sin^2\am 4\omega} \right) + \left( 1- \frac{x^2}{\sin^2\am 8\omega} \right) \dotsm +\\ +\dotsm\left( 1- \frac{x^2}{\sin^2\am 2(n-1)\omega} \right). +\\[1ex] + V = (1 - \kappa^2 \sin^2\am 4\omega \cdot x^2) + (1 - \kappa^2 \sin^2\am 8\omega \cdot x^2) \dotsm +\\ +\dotsm(1 - \kappa^2 \sin^2\am 2(n-1)\omega \cdot x^2) +\\[1ex] + \lambda = \kappa^n \{ \sin\co\am 4\omega \cdot \sin\co\am 8\omega + \dotsm \sin\co\am 2(n-1)\omega \}^4 +\\[1ex] + M = (-1)^{\frac{n-1}{2}} + \left\{\frac{ \sin\co\am 4\omega \cdot \sin\co\am 8\omega \dotsm + \sin\co\am 2(n-1)\omega } + { \sin\am 4\omega \cdot \sin\am 8\omega \dotsm + \sin\am 2(n-1)\omega } + \right\}^2 +\end{gather*} +gefunden, indem, wie schon früher hervorgehoben, für die +durch Analogie ermittelten Ausdrücke die Transformationsgleichung +verificirt wird. Hieran schliessen sich weitere +Ausführungen der Transformationstheorie; es werden die +verschiedenen, durch Specialisirung der Werthe $m$ und $m'$ +in dem Ausdrucke $\omega = \frac{mK + m'iK'}{n}$ entspringenden Transformationsformeln +%-----File: 097..png--- +untersucht, die Zahl der wesentlich verschiedenen +Transformationen bestimmt, und besonders die +den beiden Werthen $\omega = \frac{K}{n}$ und $\omega = \frac{iK'}{n}$ zugehörigen hervorgehoben, +für welche sämmtliche Transformationsausdrücke +sowie die Beziehungen zwischen den ursprünglichen und +transformirten Perioden entwickelt werden; es ergiebt sich +daraus die Erweiterung des früher für die Transformation +dritten und fünften Grades bewiesenen Satzes: + +\begin{quote} +»Itaque post transformationem primam adhibita secunda +seu post secundam adhibita prima, Modulus $k$ in se redit, +seu transformationes prima et secunda successive adhibitae, +utro ordine placet, Multiplicationem praebent«; +\end{quote} + +daraus folgen dann unmittelbar die allgemeinen analytischen +Formeln für die Multiplication der elliptischen +Functionen. + +Nun unterwirft \Person{Jacobi} die oben gefundenen Modulargleichungen +für die Transformation dritten und fünften +Grades einer näheren Betrachtung, und sieht leicht, dass +dieselben unverändert bleiben, wenn beliebige, aber dieselben +Transformationen auf den primären und abgeleiteten Modul +ausgeübt werden. Die von \Person{Legendre} gefundene Differentialgleichung +zweiter Ordnung für die Perioden der elliptischen +Functionen führt ihn zu dem eleganten Ausdrucke +für den Multiplicator der Transformation +\[ + M^2 = \frac{1}{n} \frac{ \lambda (1 - \lambda^2) \,d\kappa } + { \kappa (1 - \kappa^2) \,d\lambda } +\] +und zugleich zu jener merkwürdigen Differentialgleichung +dritter Ordnung +\begin{gather*} + 2\, d\kappa\, d\lambda \{ d\lambda\, d^3\kappa - d\kappa\, d^3\lambda \} +- 3 \{ d\lambda^2\, d^2\kappa^2 - d\kappa^2\, d^2\lambda^2 \} +\\ +{}+ d\kappa^2\, d\lambda^2 \left\{ + \left( \frac{1 + \kappa^2 }{\kappa - \kappa^3 } \right) d\kappa^2 + - \left( \frac{1 + \lambda^2}{\lambda - \lambda^3} \right) d\lambda^2 + \right\} = 0, +\end{gather*} +der alle transformirten Moduln genügen. + +Die elliptische Umkehrungsfunction trat in die Ausdrücke +für die algebraische Transformation der Integrale +%-----File: 098..png--- +ein, aber für die Function selbst waren analytische Darstellungen +noch nicht gefunden; von der Transformation +$n^\text{ten}$ Grades ausgehend gelangt \Person{Jacobi}, indem er $n$ unendlich +gross werden lässt, zur Darstellung der elliptischen +Functionen $\sin\am u$, $\cos\am u$, $\Delta\am u$ in Form von +Quotienten von unendlichen Producten und Partialbrüchen, +und daraus wieder zu den bekannten Formeln für $\kappa$ und $K$, +als Quotienten von unendlichen Producten, die nach den +Potenzen der Grösse $q=e^{\frac{-\pi K'}{K}}$ fortschreiten, sowie zu anderen +interessanten Ausdrücken für diese Grössen durch wiederholte +Anwendung der Transformation zweiten Grades. + +Es folgt eine zweite Darstellung der elliptischen Functionen +und zwar durch \Person{Fourier}'sche Reihen, und mit Hülfe +dieser werden wiederum die Summen einer grossen Anzahl +von unendlichen, nach Ausdrücken in $q$ fortschreitenden +Reihen hergeleitet, welche sich durch den Integralmodul +und die Perioden des elliptischen Integrales ausdrücken. +Ebenso werden die Quadrate der elliptischen Functionen +und ihre reciproken Werthe, allgemein die $n^\text{ten}$ Potenzen +derselben sowie deren reciproke Werthe in sinus- und cosinus-Reihen +auf doppelte Weise entwickelt, wobei für die +letzteren Entwicklungen interessante und später in der +Theorie der allgemeinen doppelperiodischen Functionen verwerthete +Methoden benutzt werden, und sodann mit Einführung +der durch die Gleichung +\[ + Z(u) = \frac{F^1E(\phi) - E^1F(\phi)}{F^1} +\] +definirten Function diese Entwicklungen für die Darstellung +der Integrale zweiter Gattung in Form von \Person{Fourier}'schen +Reihen verwendet. + +Die Darstellung der Integrale dritter Gattung leitet +\Person{Jacobi} mit den beiden wichtigen Sätzen ein, die schon +oben angedeutet wurden: +%-----File: 099..png--- + +\begin{quote} +»ita ut tertia species Integralium Ellipticorum, quae ab +elementis tribus pendet, Modulo $\kappa$, Amplitudine $\phi$, Parametro +$\alpha$, revocata sit ad speciem primam et secundam, et +Transcendentem novam +\[ + \int_0^\phi \frac{E(\phi) \,d\phi}{\Delta(\phi)} , +\] +quae tantum a duobus elementis pendent omnes«, +\end{quote} + +und + +\begin{quote} +»qua formula Integralia tertiae speciei indefinita revocantur +ad definita, in quibus Amplitudo Parametrum aequat, +ideoque quae ab elementis tribus pendebant, ad alias Transcendentes, +quae tantum duobus constant«, +\end{quote} + +endlich mit dem Satze von der Vertauschung der Amplitude +und des Parameters, und giebt dann die \Person{Fourier}'sche +Entwicklung dieser Integrale. Hier tritt nun die neue \Person{Jacobi}'sche +Transcendente $\Theta(u)$ ein, definirt durch die Gleichung +\[ + \Theta(u) = \Theta(0) e^{\int_0^u Z(u)\,du} , +\] +und wird zugleich das Integral dritter Gattung durch +diese Fundamentaltranscendente ausgedrückt, für welche +analytische Darstellungen entwickelt werden. Die Additionstheoreme +der Integrale dritter Gattung für die Amplitude +und den Parameter werden mit Hülfe der Additionstheoreme +der $\Theta$-function in verschiedenen Formen aufgestellt, +und mit Hülfe gewisser Formeln für die lineare Transformation +der $\Theta$-function auf Grund der von \Person{Legendre} in +dem \Titel{traité} ausgeführten Untersuchungen das Theorem abgeleitet: + +\begin{quote} +»Integrale propositum formae +\[ + \int_0^\phi \frac{d\phi}{ (1 + n \sin^2\phi) \Delta(\phi) } , +\] +quodcunque sit $n$ et $\phi$, sive reale sive imaginarium, revocari +%-----File: 100..png--- +potest ad integralia similia, in quibus et $\phi$ reale et $n$ +reale negativum inter 0 et $-1$«. +\end{quote} + +Jetzt verlässt \Person{Jacobi} wieder die Theorie der Integrale +und kehrt zu der der elliptischen Functionen zurück; nach +Einführung der $\Theta$-Function, welche den Nenner der $\sin\am$ +bildet, soll auch der Zähler derselben als selbständige Transcendente +$H$ der Theorie zu Grunde gelegt werden, die +$\cos\am$ und $\Delta\am u$ drücken sich alsdann als Quotienten +derselben Transcendenten aus nur mit Argumenten, welche +um halbe Perioden von den ersteren verschieden sind; wesentlich +ist nun der durch die Gleichung +\[ + H(u + i K') = i e^{\frac{\pi(K'-2iu)}{4K}} \Theta(u) +\] +definirte Zusammenhang zwischen den beiden Transcendenten, +welcher die ganze Theorie somit auf \Emphasis{eine} Fundamentaltranscendente +zurückführt, und aus welchem eine Reihe weiterer +Beziehungen zwischen diesen Functionen sich unmittelbar +ergiebt. + +Für die durch unendliche Producte definirten $\Theta$- und +$H$-Functionen werden die bekannten eleganten Entwicklungen +nach den sinus und cosinus der Vielfachen des Argumentes +durch Benutzung der Beziehungen zwischen jenen +Functionen bei Vermehrung des Argumentes um ganze und +halbe Perioden der elliptischen Functionen hergeleitet, und +aus diesen Entwicklungsformen die berühmten \Person{Jacobi}'schen +Reihen wie +\[ + \sqrt{\frac{2K}{\pi}} = 1 + 2q + 2q^4 + \dotsm +\] +u.~s.~w.\ ermittelt. + +Die Darstellung der $\Theta$-Function in einer \Person{Fourier}'schen +Reihe liefert eine dritte Darstellung der Integrale zweiter und +dritter Gattung, und die verschiedenen analytischen Formen +der elliptischen Functionen geben eine Reihe interessanter +Identitäten zwischen unendlichen Producten und unendlichen +%-----File: 101..png--- +Reihen, welche nach Potenzen der Grösse $q$ fortschreiten. +Das Werk schliesst mit der Benutzung dieser Beziehungen +zum Beweise des Satzes, dass jede Zahl sich als eine Summe +von vier Quadraten darstellen lasse. + +Dies ist in wenigen Worten der reiche Inhalt jenes +grossen Werkes, dessen Entstehung oben eingehend behandelt +worden, und das in Kurzem in den gesammelten +Werken \Person{Jacobi}'s neu erscheinen wird. + +\begin{center}\rule[.5ex]{3cm}{.5pt}\end{center} + +Von einer Vergleichung der Arbeiten \Person{Abel}'s und +\Person{Jacobi}'s auf dem Gebiete der elliptischen Transcendenten +kann hier nicht wohl die Rede sein; die Jahre 1826--29, +welche uns allein in diesen Blättern beschäftigt haben, bilden +für \Person{Jacobi} die erste Zeit seiner noch zwanzigjährigen +grossartigen und fruchtbringenden Thätigkeit auf allen Gebieten +der mathematischen Wissenschaft, dagegen schliessen +jene drei Jahre die ganze Zeit der wissenschaftlichen Arbeit +des in einem Alter von 27~Jahren der Wissenschaft entrissenen +eminenten Mathematikers \Person{Abel} ein. Nicht bloss +wir, die wir die Keime der Arbeiten \Person{Abel}'s sich haben +entwickeln und so reiche Früchte haben hervorbringen sehen, +staunen bei der Betrachtung seiner tiefen, umfassenden und +für alle Zeiten bahnbrechenden Forschungen, auch die Mitlebenden +waren sich der ganzen Grösse jenes Geistes vollauf +bewusst: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»En fermant cette lettre, sagt \Person{Legendre} in dem am +4.~Juni 1829 an \Person{Jacobi} gerichteten Briefe, je viens d'apprendre +avec une profonde douleur que votre digne émule +M.~\Person{Abel} est mort à Christiania des suites d'une maladie de +poitrine dont il était affecté depuis quelque temps et qui a +été aggravée par les rigueurs de l'hiver. C'est une perte +qui sera vivement sentie de tous ceux qui s'intéressent aux +progrès de l'analyse mathématique considerée dans ce qu'elle +a de plus élevé. Au reste dans le court espace de temps +%-----File: 102..png--- +qu'il a vécu il a élevé un monument qui suffira pour rendre +sa memoire durable et donner une idée de ce qu'on aurait +pu attendre de son génie ni fata obstetissent«, +\end{quote} + +und \Person{Jacobi} schreibt darauf am 14.~Juni 1829 an +\Person{Legendre}: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Les vastes problèmes qu'il s'était proposés, d'établir +des cri\-tères suffisants et nécessaires pour qu'une équa\-tion +algébrique quelconque soit résoluble, pour qu'une intégrale +quelconque puisse être exprimée en quantités finies, son invention +admirable de la propriété générale qui embrasse toutes +les fonctions qui sont des intégrales de fonctions algébriques +quelconques, etc., marquent un genre de questions tout +à fait particulier, et que personne avant lui n'a osé imaginer. +Il s'en est allé, mais il a laissé un grand exemple«. +\end{quote} + +Da ich mir in diesen Blättern nur die Aufgabe gestellt +habe, die Geschichte der Theorie der elliptischen Transcendenten +in den Jahren 1826--29 zu skizziren, so bleibt +mir nur noch übrig, die hierauf bezüglichen \Person{Gauss}'schen +Arbeiten, soweit sie aus seinen Veröffentlichungen oder durch +seinen Nachlass bekannt geworden sind, und die zum grossen +Theil schon aus einer weit früheren Zeit stammen, kurz zu +besprechen, um ihre Beziehungen zu den Arbeiten \Person{Abel}'s +und \Person{Jacobi}'s festzustellen, welche vorher einer eingehenden +Erörterung unterzogen worden sind; ich lege hierbei die +von \Person{Schering} zu jenen Nachlassarbeiten gemachten Zeitbestimmungen +zu Grunde, welche ich für die Besprechung +derselben als massgebend betrachten werde. + +\Person{Schering} hebt hervor, dass nach Mittheilung über +eine mündliche Aeusserung von \Person{Gauss} derselbe schon im +Jahre 1794 die Beziehungen zwischen dem arithmetisch-geometrischen +Mittel und den Potenzreihen, in denen die +Exponenten mit den Quadratzahlen fortschreiten, d.~h.\ in +unserer jetzigen Sprache die Entwicklung des ganzen elliptischen +%-----File: 103..png--- +Integrales $K$ nach Potenzen von $q$ oder die Gleichung +$K = 2\pi\theta_3^2$, welche oben als eine der schönsten Entdeckungen +\Person{Jacobi}'s bezeichnet wurde, gekannt zu haben +scheint. + +Es liegt eine handschriftliche Aufzeichnung von \Person{Gauss} +in den Worten vor: + +\begin{quote} +»Functiones Lemniscaticas considerare coeperamus 1797. +Januar~8«; +\end{quote} + +derselbe geht in der erweislich frühesten Untersuchung, +welche den Titel trägt: »\Titel{Elegantiores integralis $\int \frac{dx}{\sqrt{ 1-x^4 }}$ +proprietates}«, von dem Integrale $\int\frac{dx}{\sqrt{ 1-x^4 }}$ aus, entwickelt, +indem er die Umkehrungsfunction bildet und +\[ + \msl \int \frac{dx}{\sqrt{ 1-x^4 }} = x,\quad + \mcl \left( \frac{\omega}{2} - \int \frac{dx}{\sqrt{ 1-x^4 }} \right) = x +\] +setzt, die Additionstheoreme für $\msl(a±b)$, $\mcl(a±b)$, bestimmt +die Nullwerthe dieser Lemniscatischen Functionen, +und leitet das Multiplicationstheorem für $\msl(n\phi)$ und $\mcl(n\phi)$, +sowie die nach Potenzen fortschreitenden Entwicklungen für +$\arc\msl x$ und $\msl\phi$ her. Endlich werden der Zähler und Nenner +von $\msl\phi$ als selbständige Transcendente $P(\phi)$ und $Q(\phi)$ +eingeführt und ihre Potenzentwicklungen mit Bestimmung +der Convergenzgrenze hergestellt; es sind genau die für +$k^2 = -1$ specialisirten \Person{Weierstrass}'schen Functionen +$\Al(w)_1$ und $\Al(w)_0$. + +In einem im Juli 1798 begonnenen Notizbuche wird +unter dem Titel: \Titel{de curva lemniscata} +das algebraische Integral +der Differentialgleichung $\frac{dx}{\sqrt{ 1-x^4 }} + \frac{dx}{\sqrt{ 1-y^4 }} = 0$, und +aus diesem das Additionstheorem für $\msl(p±q)$ hergeleitet, +und sodann für den Zähler und Nenner $P(\phi)$ und $Q(\phi)$ +von $\msl(\phi)$ die Entwicklung in einfach unendliche Producte +hergestellt, deren Factoren +%-----File: 104..png--- +\[ + 1 + \frac{4s^2}{(e^{k\pi} - e^{-k\pi})^2}, \text{ resp. } + 1 - \frac{4s^2}{\left( e^{\frac{ (2k+1)\pi}{2}} + + e^{\frac{-(2k+1)\pi}{2}} \right)^2} +\] +sind; \Person{Gauss} bemerkt zu dieser analytischen Darstellung +der transcendenten Functionen: + +»id quod rigorose demonstrare possumus« -- und wir +dürfen daher wohl annehmen, dass \Person{Gauss} schon damals +zum Theil in dem Besitze der functionentheoretischen Sätze +war, welche sich auf die Entwicklung einer eindeutigen +Function in unendliche Producte beziehen. Es werden weiter +zwischen $P(\phi)$ und einer neu definirten Function $\mathfrak{P}(\phi)$ +(welche das $P(\phi)$ der obigen Definition ist) Relationen von +der Form +\[ + \mathfrak{P}(\psi\omega) = e^{\frac12 \pi\psi^2} P(\psi\omega) +\] +aufgestellt, welche in den jetzt gebräuchlichen Zeichen +\[ + \Al(w)_1 = \frac{1}{\sqrt\kappa}\, e^{-\frac{E\kappa^2}{2\Omega}}\, + \frac{\theta\left(\frac{2w}{\Omega}\right)_1}{\theta_1} +\] +lauten, und endlich noch die Entwicklung von $\msl(\phi)$ in +Partialbrüche und die von $\log P(\psi\omega)$ nach cosinus der Vielfachen +von $2\psi\pi$ gegeben. + +Ein im November 1799 angefangenes Notizbuch bringt +für die Lemniscate die Entwicklung der Functionen $P(\psi\omega)$ +und $Q(\psi\omega)$ nach der \Person{Fourier}'schen Reihe und die schon +bei früherer Gelegenheit erwähnte Entwicklung für die Grösse +\[ + \sqrt{\frac{\omega}{\pi}} += 1 - 2 e^{-\pi} + 2 e^{-4\pi} - \dotsb, +\] +ferner \Person{Fourier}'sche Entwicklungen für $\frac{1}{\msl(\psi\omega)}$, $P^2(\psi\omega)$, +$Q^2(\psi\omega)$ und unter dem Titel: »\Titel{Variae Summationes serierum +absconditae}« +Resultate der Form +\[ + \left[ \frac{2}{ e^{ \pi}+e^{- \pi} } \right]^2 ++ \left[ \frac{2}{ e^{2\pi}+e^{-2\pi} } \right]^2 ++ \left[ \frac{2}{ e^{3\pi}+e^{-3\pi} } \right]^2 + \dotsb += \tfrac12 \frac{\omega^2}{\pi^2} - \frac{1}{2\pi} - \frac12 +\] +und eine Productentwicklung für die Periode: +%-----File: 105..png--- +\[ + \frac{\omega}{2} = \frac{3}{2}\, \frac{4}{5}\, \frac{7}{6}\, + \frac{8}{9}\, \frac{11}{10}\, \frac{12}{13}\, + \dotsm; +\] +endlich sind mit Hülfe des arithmetisch-geometrischen Mittels, +auf das wir nachher zurückkommen, Formeln für die +Fünftheilung der Lemniscate aufgestellt, die offenbar in +Verbindung stehen mit jenen allgemeinen Sätzen von der +Theilung der Lemniscate, die \Person{Gauss} schon, wie oben hervorgehoben +worden, bei der Veröffentlichung der \Titel{disquisitiones +arithmeticae} +kannte und die erst 30~Jahre später +\Person{Abel} wieder gefunden. Zugleich mit diesen Untersuchungen +über die lemniscatischen Functionen wandte sich aber \Person{Gauss} +schon der Theorie der \Emphasis{allgemeinen} elliptischen Integrale und +Functionen zu. In einem Handbuch, dessen Titelblatt die +Aufschrift trägt: »\Titel{Varia, imprimis de Integrali $\int \frac{du}{\sqrt{ 1 + \mu \mu \sin^2 u }}$, +Novembr.\ 1799}« +finden wir für das allgemeine elliptische +Integral erster Gattung, welches in der von \Person{Legendre} gewählten +Normalform zu Grunde gelegt wird, das Umkehrungsproblem +behandelt, wie es uns erst so viele Jahre später von +\Person{Abel} und \Person{Jacobi} gegeben worden. Vorausgesetzt wird dabei +die Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels oder die +Kenntniss des Satzes, dass, wenn man auf das Integral +\[ + \int_0^{2\pi} \frac{dT}{2\pi \sqrt{ m^2 \cos^2 T + n^2 \sin^2 T }} +\] +die Substitution +\[ + \sin T = \frac{2m\sin T'}{(m + n)\cos^2 T' + 2m\sin^2 T'} +\] +anwendet und +\[ + \frac{m+n}{2} = m',\quad \sqrt{mn} = n' +\] +setzt, das Integral in +\[ + \int_0^{2\pi} \frac{dT'}{2\pi \sqrt{ m'^2\cos^2 T' + n'^2\sin^2 T' }} +\] +%-----File: 106..png--- +übergeht, so dass sich bei Fortsetzung des Verfahrens durch +successive Bildung des arithmetischen und geometrischen +Mittels für $m'$, $n'$, $m''$, $n''$, \dots, welche sich beide der festen +gemeinsamen Grenze $\mu = M(m,n)$ nähern, +\[ + \int_0^{2\pi} \frac{dT}{2\pi \sqrt{ m^2\cos^2T + n^2\sin^2T }} += \frac{1}{\mu} +\] +ergiebt, Auseinandersetzungen, die \Person{Gauss} viel später zuerst +in der im Januar 1818 erschienenen Arbeit: »\Titel{Determinatio +attractionis, quam in punctum quodvis positionis datae exercet +planeta \ldots}« +veröffentlichte; er sagt in seiner Selbstanzeige +vom 9.~Februar 1818: + +\begin{quote} +»Der Verfasser hat indessen diese erste sich ihm darbietende +Gelegenheit benutzt, um die ersten Linien eines +\Emphasis{neuen Algorithmus} zu geben, dessen er sich schon seit +einer langen Reihe von Jahren zur Bestimmung dieser Transcendenten +bedient hat, und worüber er in Zukunft eine ausgedehnte +zu vielen merkwürdigen Resultaten führende Untersuchung +bekannt machen wird.« +\end{quote} + +und er deutet auch an, dass er längst im Besitze einer +umfangreichen Theorie der elliptischen Transcendenten ist, +von der die Untersuchungen \Person{Lagrange}'s und \Person{Legendre}'s +nur die Anfänge bilden: + +\begin{quote} +»Aufmerksamen Lesern wird es nicht entgehen, wie +viele interessante Aufgaben, die mit den hier betrachteten +Transcendenten zusammenhängen, durch den erklärten Algorithmus +mit grösster Leichtigkeit aufgelöst werden. Als +ein Beispiel führen wir hier die Rectification der Ellipse an. +Setzt man ihre halbe grosse Axe $= n$, so wird die Peripherie: +$\frac{2\pi}{\mu} \{ m'^{\,2} - 2(m''^{\,2} - n''^{\,2}) - 4(m'''^{\,2} - n'''^{\,2}) - \dotsb \}$. +Ein anderes Beispiel giebt die Dauer der Pendelschwingungen +bei endlichen Bogen, welche sich zu der Dauer der +unendlich kleinen Schwingungen verhält, wie die Einheit +%-----File: 107..png--- +zu dem arithmetisch-geometrischen Mittel zwischen~$1$ und +dem Cosinus von einem Viertel des ganzen Schwingungsbogens. +Schliesslich muss noch bemerkt werden, dass der +Verfasser diese Resultate, so wie er sie schon vor vielen +Jahren unabhängig von ähnlichen Untersuchungen \Person{Lagrange}'s +und \Person{Legendre}'s gefunden hat, in ihrer ursprünglichen +Form darstellen zu müssen geglaubt hat, obgleich +sie zum Theil aus den Entdeckungen dieser Geometer leicht +hätten abgeleitet werden können, theils weil jene Form ihm +wesentliche Vorzüge zu haben schien, theils weil sie grade +so den Anfang einer viel ausgedehnteren Theorie ausmachen, +wo seine Arbeit eine ganz verschiedene Richtung von der +der genannten Geometer genommen hat«. +\end{quote} + +Die Untersuchungen über das arithmetisch-geometrische +Mittel sind von \Person{Gauss} unter dem Titel: +\begin{quote} +\Titel{De origine proprietatibusque generalibus numerorum mediorum +arithmetico-geometricorum} +\end{quote} +und +\begin{quote} +\Titel{De functionibus transcendentibus quae ex differentiatione +mediorum arithmetico-geometricorum +oriuntur} +\end{quote} +fortgesetzt in einem Handbuche, welches vom Jahre 1800 +an benutzt wird, und in welchem Reihenentwicklungen für +das arithmetisch-geometrische Mittel, sowie sehr stark convergirende +Reihen für \textit{d.~M.} $(x, y)$ nach den Grössen $x$ und $y$ +und den durch die angegebenen Operationen aus diesen abgeleiteten +aufgestellt sind. + +Von diesen Untersuchungen über das arithmetisch-geometrische +Mittel ausgehend begründet nun \Person{Gauss} die +Theorie der elliptischen Integrale und deren Umkehrungsfunctionen, +indem er in +\[ + \int \frac{du}{\sqrt{ 1 + \mu^2\sin^2 u }} = \phi +\] +$\mu = \tg v$ substituirt, die Perioden durch die Ausdrücke +definirt: +%-----File: 108..png--- +\begin{gather*} + \frac{\pi }{M(1, \sqrt{ 1 + \mu^2})} += \frac{\pi\cos v}{M(1, \cos v)} = \omega +\\[5pt] + \frac{\pi}{\mu M \left(1, \sqrt{1 + \frac{1}{\mu^2}} \right)} += \frac{\pi\cos v}{M(1, \sin v)} = \omega', +\end{gather*} +und $\sin u = S(\phi) = S(\psi\omega)$ setzt; für die eindeutige Umkehrungsfunction +giebt er die trigonometrische Entwicklung, +setzt +\[ + S(\psi\omega) = \frac{T(\psi\omega)}{W(\psi\omega)}\,, +\] +worin die $T$ und $W$ bis auf constante Factoren die spätern +$\theta_1$ und $\theta_0$ sind, und entwickelt diese Functionen und ihre +Quadrate in \Person{Fourier}'sche Reihen sowie in unendliche +Producte genau in der Form der von \Person{Abel} und \Person{Jacobi} +gewählten Darstellungen. + +Alle diese Untersuchungen waren wahrscheinlich schon +im Jahre 1798 vollendet, wie aus der folgenden Stelle des +schon oben erwähnten Briefes von \Person{Crelle} an \Person{Abel} hervorgeht, +in welchem einer Mittheilung von \Person{Gauss} Erwähnung +gethan wird, in der es heisst: + +\begin{quote} +\selectlanguage{french} +»Il (\Person{Abel}) vient d'enfiler précisément la même route +dont je suis sorti en 1798«. +\end{quote} + +Unter dem Titel: »\Titel{Einige neue Formeln die Lemniscatischen +Functionen betreffend}« +findet sich in einem im November +1801 begonnenen Handbuche eine Reihe interessanter +Resultate, die wahrscheinlich schon viel früher gefunden +worden; von der complexen Multiplication der lemniscatischen +Function ausgehend wird die Reihenentwicklung +für dieselbe aufgestellt, und die Differentialgleichung für die +Transcendente $P(\phi)$ sowie deren Potenzreihe entwickelt. + +Die einzige Veröffentlichung vereinzelter hierher gehöriger +Untersuchungen, wenn wir von der bekannten Stelle +in den \Titel{disquisitiones arithmeticae} absehen, findet sich +in der »\Titel{Summatio quarundam serierum singularium}« betitelten +%-----File: 109..png--- +und im September 1808 veröffentlichten Abhandlung, worin +Reihen und Producte untersucht sind, die der Theorie +der elliptischen Functionen angehören, und in der \Titel{determinatio +attractionis} etc.\ vom Januar 1818, worin, wie schon +oben hervorgehoben worden, zuerst das arithmetisch-geometrische +Mittel eingeführt wird. + +Vom Jahre 1808 liegt eine Reihe wichtiger Untersuchungen +vor, betitelt: »\Titel{Zur Theorie der transcendenten +Functionen gehörig}«; dort geht \Person{Gauss} von der Definition +der $\theta$-Function, die er mit T bezeichnet, als einer unendlichen +Summe von Exponentialgrössen mit quadratischem +Exponenten aus, entwickelt dieselbe in die bekannte Reihe +nach cosinus +der Vielfachen des Argumentes, stellt Beziehungen +zwischen den verschiedenen $\theta$-Functionen für den +Nullwerth des Argumentes auf, entwickelt die Formel für +eine Transformation zweiten Grades dieser Transcendenten +und behandelt die Theilungsgleichung für 3, 5 und 7; endlich +wird die $\theta$-Function in ein unendliches Doppelproduct +entwickelt und mit Hülfe dieser Entwicklung eine lineare +Transformationsformel für dieselbe aufgestellt; wir wissen +aus dem schon oben erwähnten Briefe \Person{Jacobi}'s an \Person{Legendre} +vom 5.~August 1827, dass \Person{Gauss} im Jahre 1808 +ausser der Entwicklung der 3, 5 und 7-Theilung auch die +Modulnketten % changed from 'Moduln-Ketten' for consistency +hergestellt hat, welche diesen Transformationsgraden +entsprechen. + +Das am 28.~April 1809 geendigte Handbuch liefert uns +Relationen zwischen den $\theta$-Functionen für den Nullwerth +des Arguments und vielfache Moduln, und auch Beziehungen +zwischen den $\theta$-Functionen mit willkührlichem Argument. +Aber interessantere und wichtigere Untersuchungen, die +wieder in die weit späteren Arbeiten von \Person{Abel} hineinragen, +weist das am 2.~Mai 1809 geendigte Handbuch auf; +wir finden dort unter dem Titel: »\Titel{Fortsetzung der Untersuchungen +über das arithmetisch-geometrische Mittel}« Beziehungen +%-----File: 110..png--- +zwischen den $\theta$-Functionen mit dem Modul $\tau$ +zu den entsprechenden für die Moduln $4\tau$, $16\tau,\ldots$, die +Reihenentwicklungen der $\theta$-Functionen mit verschwindender +Variabeln, Beziehungen zwischen den verschiedenen +$\theta$-Functionen für den um 1 vermehrten $\theta$-Modul, und die +vollständige lineare Transformation dieser Transcendenten +für den Nullwerth des Argumentes. Sodann werden die +Relationen in Betracht gezogen, welche zwischen den constanten +$\theta$-Functionen für lineare Beziehungen zwischen solchen +$\theta$-Moduln bestehen, welche Lösungen quadratischer +Gleichungen mit derselben negativen Determinante sind, +d.~h.\ für die Moduln complexer Multiplication. Es folgen +endlich die Transformationsformeln zweiten Grades für die +$\theta$-Function, die partielle Differentialgleichung für dieselbe +und die bekannten Formeln für das zweite logarithmische +Differential dieser Transcendenten. + +Das im Mai 1809 angefangene Handbuch liefert die +Additions- und Multiplicationsformeln (auch mit complexen +Multiplicatoren) sowie die zum Grade $n$ gehörigen Transformationsausdrücke +für die zu den lemniscatischen Functionen +gehörigen $\theta$-Functionen, und die »\Titel{Hundert Theoreme +über die neuen Transcendenten}«, für deren Abfassung sich nach +\Person{Schering} eine Zeitangabe nicht machen liess, beschäftigen +sich mit der Entwicklung der $\theta$-Functionen, liefern einfache +Transformationsfälle dieser Transcendenten für den Nullwerth +des Arguments und weitere Beziehungen zwischen +dem arithmetisch-geometrischen Mittel und eben diesen +Functionen. + +Erst vom 20.~Februar 1817 findet sich eine weitere Aufzeichnung +von \Person{Gauss} über die »\Titel{Lemniscatische Function}«, +welche, indem $\msl X = x$, $\int x^2 \, dX = F(X)$ gesetzt wird, nur +das längst bekannte Additionstheorem der Integrale zweiter +Gattung in der Form $F(a + b) = F(a) + F(b) - \msl a\cdot +\msl b\cdot \msl(a+b)$ enthält. +%-----File: 111..png--- + +Die Untersuchungen \Person{Abel}'s und \Person{Jacobi}'s bilden für +\Person{Gauss} von Neuem die Veranlassung, zu den längst verlassenen +Studien zurückzukehren. Wie \Person{Schering} hervorhebt, +ist aus den Briefen von \Person{Gauss} an \Person{Schumacher} vom +4.\ und 19.~August 1827 ersichtlich, dass \Person{Schumacher} vor +dem Erscheinen der Briefe \Person{Jacobi}'s in den astronomischen +Nachrichten dieselben im Original \Person{Gauss} überschickte, und +wir finden im Nachlasse von \Person{Gauss}, wahrscheinlich durch +die Lectüre des ersten Briefes von \Person{Jacobi} an \Person{Schumacher} +veranlasst, in einem Aufsatze, betitelt: »\Titel{Allgemeines Theorem +(1827.\ Aug.~6)}«, +die Transformation 2, 3, $7^\text{ten}$ Grades durchgeführt +und zwar mit Hülfe der zu diesen Graden gehörigen +Transformationsformeln für die $P$, $Q$, $R$, $S$, die \Person{Jacobi}'schen +$\theta$-Functionen, somit auf Grund einer Transformationsmethode, +wie sie erst in den weiteren Arbeiten von +\Person{Jacobi} angedeutet und später ausgeführt worden ist. Der +zweite Brief \Person{Jacobi}'s, der den allgemeinen analytischen Ausdruck +für die rationale Transformation liefert, veranlasst \Person{Gauss} +(Aug.~29) zu Untersuchungen, welche die Beziehungen zwischen +den transformirten und ursprüngliche $\theta$-Functionen für den +Nullwerth des Argumentes zum Gegenstand haben, und zur +Aufstellung der Modulargleichung für die Transformation +$5^\text{ten}$ Grades führen auf einem Wege, wie er erst nach langer +Zeit von den Mathematikern wieder betreten worden. Den +Schluss dieser bis in die von uns behandelte Zeit reichenden +Aufzeichnungen bildet die Entwicklung eines Hauptfalles +der linearen Transformation der $\theta$-Functionen und der Convergenzbedingung +derselben, und unmittelbar damit verbunden +ein Satz aus dem Gebiete der Functionentheorie: +\begin{quote} +»Wenn +innerhalb einer begrenzten Figur überall +\[ + \frac{d^2V}{dx^2} + \frac{d^2V}{dy^2} = 0, +\] +an der Grenze hingegen $V$ constant $= A$ ist, so ist nothwendig +auch im ganzen Raume $V = A$«. +\end{quote} +%-----File: 112..png--- + +Ueberblicken wir die Gesammtheit der durch die Veröffentlichung +des \Person{Gauss}'schen Nachlasses uns zugänglich +gewordenen Untersuchungen dieses unvergleichlich grossen +Mathematikers, so werden wir nicht zu weit gehen, wenn +wir behaupten, dass ein grosser Theil der von \Person{Abel} und +\Person{Jacobi} der mathematischen Wissenschaft zugeführten Resultate +und Methoden in der Theorie der elliptischen Transcendenten +wenigstens in den Grundzügen von \Person{Gauss} fast +30 Jahre früher aufgefunden worden, und dass von grossen +und umfassenden Gebieten in dieser Theorie eigentlich nur +die algebraischen Untersuchungen \Person{Jacobi}'s aus der Theorie +der elliptischen Functionen sowie dessen Entdeckungen, die +Einführung der $\theta$-Functionen in die Theorie der Integrale +zweiter und dritter Gattung betreffend, und die Arbeiten +\Person{Abel}'s über das nach ihm benannte Theorem und die Theorie +der allgemeinen Transformation und Reduction der Integrale +algebraischer Differentiale hiervon ausgenommen werden +können. +\clearpage +\backmatter +\markboth{\textsc{Project Gutenberg Licensing.\hfil}}{\hfil\textsc{Project Gutenberg Licensing.}} + +{\small +\begin{verbatim} +End of the Project Gutenberg EBook of Zur Geschichte der Theorie der +Elliptischen Transcendenten, by Leo Koenigsberger + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN TRANSCENDENTEN *** + +***** This file should be named 30005-pdf.pdf or 30005-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/0/0/0/30005/ + +Produced by Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This +file was produced from images from the Cornell University +Library: Historical Mathematics Monographs collection.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you +do not charge anything for copies of this eBook, complying with the +rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose +such as creation of derivative works, reports, performances and +research. They may be modified and printed and given away--you may do +practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is +subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +*** START: FULL LICENSE *** + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE +PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK + +To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work +(or any other work associated in any way with the phrase "Project +Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project +Gutenberg-tm License (available with this file or online at +http://gutenberg.org/license). + + +Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement +and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic +works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" +or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an +individual work is in the public domain in the United States and you are +located in the United States, we do not claim a right to prevent you from +copying, distributing, performing, displaying or creating derivative +works based on the work as long as all references to Project Gutenberg +are removed. 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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} + +This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.8.25) 16 SEP 2009 12:40 +entering extended mode + %&-line parsing enabled. +**30005-t.tex +(./30005-t.tex +LaTeX2e <2005/12/01> +Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh +yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov +ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon +ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i +nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp +eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia +n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls +Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo 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U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features +\@mathmargin=\skip43 +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2000/06/29 v2.01 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 +\@emptytoks=\toks17 +\ex@=\dimen103 +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d +\pmbraise@=\dimen104 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names +) +\inf@bad=\count88 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. +\uproot@=\count89 +\leftroot@=\count90 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. +\classnum@=\count91 +\DOTSCASE@=\count92 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. +LaTeX Info: 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line 66. +LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathbold on input line 67. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbold' in version `normal' +(Font) OML/zplm/b/it --> OML/cmm/b/it on input line 67. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbold' in version `bold' +(Font) OML/zplm/b/it --> OML/cmm/b/it on input line 67. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/units/nicefrac.sty +Package: nicefrac 1998/08/04 v0.9b Nice fractions +\L@UnitsRaiseDisplaystyle=\skip46 +\L@UnitsRaiseTextstyle=\skip47 +\L@UnitsRaiseScriptstyle=\skip48 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty +Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty +Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +\FN@temptoken=\toks22 +\footnotemargin=\dimen114 +\c@pp@next@reset=\count103 +\c@@fnserial=\count104 +Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817. +Package 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line 130. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 130. +(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd +File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 130. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 130. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 130. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 130. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 130. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 130. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 130. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 130. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 130. +LaTeX Font Info: Try loading font information for OT1+ppl on input line 130. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/ot1ppl.fd +File: ot1ppl.fd 2001/06/04 font definitions for OT1/ppl. +) +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 130. + +Overfull \hbox (66.95023pt too wide) in paragraph at lines 155--155 +[]\OT1/cmtt/m/n/12 The Project Gutenberg EBook of Zur Geschichte der Theorie de +r Elliptischen[] + [] + + +Overfull \hbox (5.2002pt too wide) in paragraph at lines 155--155 +[]\OT1/cmtt/m/n/12 This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and +with[] + [] + + +Overfull \hbox (29.9002pt too wide) in paragraph at lines 155--155 +[]\OT1/cmtt/m/n/12 almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it + away or[] + [] + + +Overfull \hbox (23.7252pt too wide) in paragraph at lines 155--155 +[]\OT1/cmtt/m/n/12 re-use it under the terms of the Project Gutenberg License i +ncluded[] + [] + + +Overfull \hbox (11.3752pt too wide) in paragraph at lines 155--155 +[]\OT1/cmtt/m/n/12 Title: Zur Geschichte der Theorie der Elliptischen Transcend +enten[] + [] + + +Overfull \hbox (60.77522pt too wide) in paragraph at lines 155--155 +[]\OT1/cmtt/m/n/12 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN TRANS +CENDENTEN ***[] + [] + +[1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] +LaTeX Font Info: Font shape `OT1/ppl/bx/n' in size <12> not available +(Font) Font shape `OT1/ppl/b/n' tried instead on input line 176. +LaTeX Font Info: Try loading font information for OML+zplm on input line 177 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/omlzplm.fd +File: omlzplm.fd 2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OML/zplm. +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+zplm on input line 177 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/omszplm.fd +File: omszplm.fd 2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OMS/zplm. +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMX+zplm on input line 177 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/omxzplm.fd +File: omxzplm.fd 2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OMX/zplm. +) +LaTeX Font Info: Font shape `U/msa/m/n' will be +(Font) scaled to size 12.50409pt on input line 177. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msa/m/n' will be +(Font) scaled to size 9.37807pt on input line 177. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msa/m/n' will be +(Font) scaled to size 7.29405pt on input line 177. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msb/m/n' will be +(Font) scaled to size 12.50409pt on input line 177. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msb/m/n' will be +(Font) scaled to size 9.37807pt on input line 177. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msb/m/n' will be +(Font) scaled to size 7.29405pt on input line 177. +LaTeX Font Info: Try loading font information for OT1+zplm on input line 177 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/ot1zplm.fd +File: ot1zplm.fd 2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OT1/zplm. +) [2] +LaTeX Font Info: Font shape `U/msa/m/n' will be +(Font) scaled to size 11.40997pt on input line 231. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msa/m/n' will be +(Font) scaled to size 8.33606pt on input line 231. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msa/m/n' will be +(Font) scaled to size 6.25204pt on input line 231. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msb/m/n' will be +(Font) scaled to size 11.40997pt on input line 231. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msb/m/n' will be +(Font) scaled to size 8.33606pt on input line 231. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msb/m/n' will be +(Font) scaled to size 6.25204pt on input line 231. +[3 + +] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 329--330 + + [] + +[4 + +] [5 + +] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ +22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] +Underfull \hbox (badness 1609) in paragraph at lines 1720--1726 +[]\T1/lmr/m/n/12 ^^T\OT1/ppl/m/n/12 en tra-vaillant pour mon propre compte, sch +reibt er am + [] + +[30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] +Underfull \hbox (badness 4967) in paragraph at lines 2203--2211 +[]\OT1/ppl/m/n/12 Der Be-hand-lung des Mul-ti-pli-ca-ti-ons-pro-blems folgt die + L[]o-sung + [] + + +Underfull \hbox (badness 2443) in paragraph at lines 2203--2211 +\OT1/ppl/m/n/12 der schwie-ri-gen Auf-ga-be der Di-vi-si-on der el-lip-ti-schen + Func-tio-nen. + [] + +[39] +Underfull \hbox (badness 2884) in paragraph at lines 2269--2291 +\OT1/ppl/m/n/12 stellen sich als L[]osungen ei-ner un-mit-tel-bar aus der Di-vi +-si-ons-glei- + [] + +[40] [41] [42] +Overfull \hbox (29.76904pt too wide) detected at line 2400 +[] \OT1/zplm/m/n/12 = []\OML/zplm/m/it/12 ; [] \OT1/zplm/m/n/12 = []\OT1/ppl/m +/n/12 .[] + [] + +[43] [44] [45] [46] +LaTeX Font Info: Font shape `U/msa/m/n' will be +(Font) scaled to size 5.21004pt on input line 2641. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msb/m/n' will be +(Font) scaled to size 5.21004pt on input line 2641. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msa/m/n' will be +(Font) scaled to size 10.42007pt on input line 2647. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msa/m/n' will be +(Font) scaled to size 7.91925pt on input line 2647. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msb/m/n' will be +(Font) scaled to size 10.42007pt on input line 2647. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msb/m/n' will be +(Font) scaled to size 7.91925pt on input line 2647. +LaTeX Font Info: Calculating math sizes for size <7.6> on input line 2647. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msa/m/n' will be +(Font) scaled to size 6.01859pt on input line 2647. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msa/m/n' will be +(Font) scaled to size 4.75159pt on input line 2647. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msb/m/n' will be +(Font) scaled to size 6.01859pt on input line 2647. +LaTeX Font Info: Font shape `U/msb/m/n' will be +(Font) scaled to size 4.75159pt on input line 2647. + +Overfull \hbox (3.32224pt too wide) detected at line 2674 +[] [] \OML/zplm/m/it/12 '[]^^L \OT1/zplm/m/n/12 + [][]\OML/zplm/m/it/12 p[]q[] +\OT1/zplm/m/n/12 = []\OML/zplm/m/it/12 ; + [] + +[47] [48] +Underfull \hbox (badness 4647) in paragraph at lines 2759--2771 +\OT1/ppl/m/n/12 worauf die Mit-t-hei-lung der-je-ni-gen Me-tho-de folgt, die da +-tirt aus + [] + +[49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] +Underfull \hbox (badness 1939) in paragraph at lines 3262--3269 +[]\T1/lmr/m/n/12 ^^T\OT1/ppl/m/n/12 Je re-marque, []a cette oc-ca-sion, sagt er + in sei-nem Briefe + [] + +[58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] +Underfull \hbox (badness 2469) in paragraph at lines 3972--3974 +[]\T1/lmr/m/n/12 ^^T\OT1/ppl/m/n/12 c'est jus-qu'ici que ce m[]emoire est par-v +enu []a l'[]editeur. + [] + +[71] +Underfull \hbox (badness 2005) in paragraph at lines 4020--4025 +\OT1/ppl/m/n/12 in wel-cher $\OML/zplm/m/it/12 x[]; x[]; [] u; v[]; v[]; []$ \O +T1/ppl/m/n/12 al-ge-brai-sche Func-tio-nen von $\OML/zplm/m/it/12 x$\OT1/ppl/m/ +n/12 , $\OML/zplm/m/it/12 A[]$\OT1/ppl/m/n/12 , + [] + +[72] [73] [74] +Overfull \hbox (19.2184pt too wide) detected at line 4186 +[] \OT1/zplm/m/n/12 = []\OT1/ppl/m/n/12 . + [] + + +Underfull \hbox (badness 1783) in paragraph at lines 4186--4189 +\OT1/ppl/m/n/12 Quod Pro-ble-ma et Mul-ti-pli-ca-tio-nem vi-de-mus am-plec-ti e +t + [] + + +Overfull \hbox (19.2184pt too wide) detected at line 4205 +[] \OT1/zplm/m/n/12 = []\OT1/ppl/m/n/12 . + [] + +[75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90 + + +] +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 End of the Project Gutenberg EBook of Zur Geschichte der +Theorie der[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN TRAN +SCENDENTEN ***[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 ***** This file should be named 30005-pdf.pdf or 30005-pd +f.zip *****[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 one owns a United States copyright in these works, so the + Foundation[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 set forth in the General Terms of Use part of this licens +e, apply to[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 charge for the eBooks, unless you receive specific permis +sion. If you[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 research. They may be modified and printed and given awa +y--you may do[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 distribution of electronic works, by using or distributin +g this work[] + [] + +[91] +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of th +e Full Project[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 1. General Terms of Use and Redistributing Proje +ct Gutenberg-tm[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic work, you indicate that you have read, underst +and, agree to[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 (trademark/copyright) agreement. If you do not agree to +abide by all[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the terms of this agreement, you must cease using and ret +urn or destroy[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in yo +ur possession.[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be b +ound by the[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It +may only be[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 used on or associated in any way with an electronic work +by people who[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 things that you can do with most Project Gutenberg-tm ele +ctronic works[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 paragraph 1.C below. There are a lot of things you can d +o with Project[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of +this agreement[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and help preserve free future access to Project Gutenberg +-tm electronic[] + [] + + +Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ( +"the Foundation"[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection + of Project[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual + works in the[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 individual work is in the public domain in the United Sta +tes and you are[] + [] + + +Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 located in the United States, we do not claim a right to +prevent you from[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 copying, distributing, performing, displaying or creating + derivative[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 works based on the work as long as all references to Proj +ect Gutenberg[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm mission of promoting free access to electron +ic works by[] + [] + + +Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance w +ith the terms of[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name +associated with[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the work. You can easily comply with the terms of this a +greement by[] + [] + +[92] +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.D. The copyright laws of the place where you are locat +ed also govern[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 what you can do with this work. Copyright laws in most c +ountries are in[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 a constant state of change. If you are outside the Unite +d States, check[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 before downloading, copying, displaying, performing, dist +ributing or[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm work. The Foundation makes no representatio +ns concerning[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.1. The following sentence, with active links to, or +other immediate[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 access to, the full Project Gutenberg-tm License must app +ear prominently[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any wor +k on which the[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phr +ase "Project[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, perform +ed, viewed,[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give + it away or[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.2. If an individual Project Gutenberg-tm electronic +work is derived[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 from the public domain (does not contain a notice indicat +ing that it is[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 posted with permission of the copyright holder), the work + can be copied[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and distributed to anyone in the United States without pa +ying any fees[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or charges. If you are redistributing or providing acces +s to a work[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with the phrase "Project Gutenberg" associated with or ap +pearing on the[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 work, you must comply either with the requirements of par +agraphs 1.E.1[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic +work is posted[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with the permission of the copyright holder, your use and + distribution[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and +any additional[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 terms imposed by the copyright holder. Additional terms +will be linked[] + [] + +[93] +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 permission of the copyright holder found at the beginning + of this work.[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Projec +t Gutenberg-tm[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 License terms from this work, or any files containing a p +art of this[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redi +stribute this[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 prominently displaying the sentence set forth in paragrap +h 1.E.1 with[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form +, including any[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 word processing or hypertext form. However, if you provi +de access to or[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a for +mat other than[] + [] + + +Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www +.gutenberg.org),[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 you must, at no additional cost, fee or expense to the us +er, provide a[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 copy, a means of exporting a copy, or a means of obtainin +g a copy upon[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 form. Any alternate format must include the full Project + Gutenberg-tm[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic + works provided[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[] \OT1/cmtt/m/n/10.95 the use of Project Gutenberg-tm works calculated usi +ng the method[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[] \OT1/cmtt/m/n/10.95 you already use to calculate your applicable taxes. + The fee is[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[] \OT1/cmtt/m/n/10.95 owed to the owner of the Project Gutenberg-tm tradem +ark, but he[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[] \OT1/cmtt/m/n/10.95 Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Roya +lty payments[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[] \OT1/cmtt/m/n/10.95 returns. Royalty payments should be clearly marked +as such and[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[] \OT1/cmtt/m/n/10.95 sent to the Project Gutenberg Literary Archive Found +ation at the[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[] \OT1/cmtt/m/n/10.95 address specified in Section 4, "Information about d +onations to[] + [] + +[94] +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 - You provide a full refund of any money paid by a user w +ho notifies[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[] \OT1/cmtt/m/n/10.95 you in writing (or by e-mail) within 30 days of rece +ipt that s/he[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 - You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full + refund of any[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[] \OT1/cmtt/m/n/10.95 money paid for a work or a replacement copy, if a de +fect in the[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[] \OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic work is discovered and reported to you wi +thin 90 days[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Proje +ct Gutenberg-tm[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend + considerable[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 effort to identify, do copyright research on, transcribe +and proofread[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 corrupt data, transcription errors, a copyright or other +intellectual[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 property infringement, a defective or damaged disk or oth +er medium, a[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except +for the "Right[] + [] + +[95] +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT + WILL NOT BE[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL +, PUNITIVE OR[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBI +LITY OF SUCH[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 defect in this electronic work within 90 days of receivin +g it, you can[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 written explanation to the person you received the work f +rom. If you[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 received the work on a physical medium, you must return t +he medium with[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 your written explanation. The person or entity that prov +ided you with[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the defective work may elect to provide a replacement cop +y in lieu of a[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 refund. If you received the work electronically, the per +son or entity[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 receive the work electronically in lieu of a refund. If +the second copy[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 is also defective, you may demand a refund in writing wit +hout further[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.4. Except for the limited right of replacement or re +fund set forth[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' +WITH NO OTHER[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT + NOT LIMITED TO[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 warranties or the exclusion or limitation of certain type +s of damages.[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 If any disclaimer or limitation set forth in this agreeme +nt violates the[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 law of the state applicable to this agreement, the agreem +ent shall be[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 interpreted to make the maximum disclaimer or limitation +permitted by[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the applicable state law. The invalidity or unenforceabi +lity of any[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 provision of this agreement shall not void the remaining +provisions.[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the F +oundation, the[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works + in accordance[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with this agreement, and any volunteers associated with t +he production,[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electr +onic works,[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 harmless from all liability, costs and expenses, includin +g legal fees,[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 that arise directly or indirectly from any of the followi +ng which you do[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or cause to occur: (a) distribution of this or any Projec +t Gutenberg-tm[] + [] + +[96] +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 work, (b) alteration, modification, or additions or delet +ions to any[] + [] + + +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic works in formats readable by the widest variet +y of computers[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 assistance they need, are critical to reaching Project Gu +tenberg-tm's[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 remain freely available for generations to come. In 2001 +, the Project[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg Literary Archive Foundation was created to prov +ide a secure[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and permanent future for Project Gutenberg-tm and future +generations.[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 To learn more about the Project Gutenberg Literary Archiv +e Foundation[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 3. Information about the Project Gutenberg Liter +ary Archive[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax ide +ntification[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Proje +ct Gutenberg[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees a +re scattered[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596- +1887, email[] + [] + +[97] +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 increasing the number of public domain and licensed works + that can be[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 freely distributed in machine readable form accessible by + the widest[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 array of equipment including outdated equipment. Many sm +all donations[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 considerable effort, much paperwork and many fees to meet + and keep up[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 While we cannot and do not solicit contributions from sta +tes where we[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 have not met the solicitation requirements, we know of no + prohibition[] + [] + + +Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 against accepting unsolicited donations from donors in su +ch states who[] + [] + + +Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 5. General Information About Project Gutenberg-t +m electronic[] + [] + +[98] +Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Professor Michael S. Hart is the originator of the Projec +t Gutenberg-tm[] + [] + + +Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 concept of a library of electronic works that could be fr +eely shared[] + [] + + +Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Most people start at our Web site which has the main PG s +earch facility:[] + [] + +[99] (./30005-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file +amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + germanb.ldf 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system + frenchb.ldf + frenchb.cfg +mathpazo.sty 2005/04/12 PSNFSS-v9.2a Palatino w/ Pazo Math (D.Puga, WaS) + fixmath.sty 2000/04/11 v0.9 (WaS) +nicefrac.sty 1998/08/04 v0.9b Nice fractions + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) +footmisc.sty 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +titlesec.sty 2005/01/22 v2.6 Sectioning titles + ttlps.def 2005/01/22 + t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern + ot1ppl.fd 2001/06/04 font definitions for OT1/ppl. + omlzplm.fd 2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OML/zplm. + omszplm.fd 2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OMS/zplm. + omxzplm.fd 2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OMX/zplm. + ot1zplm.fd 2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OT1/zplm. + *********** + + +LaTeX Warning: Label(s) may have changed. Rerun to get cross-references right. + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 2616 strings out of 94074 + 31837 string characters out of 1165153 + 100402 words of memory out of 1500000 + 5828 multiletter control sequences out of 10000+50000 + 66939 words of font info for 160 fonts, out of 1200000 for 2000 + 645 hyphenation exceptions out of 8191 + 35i,26n,31p,236b,380s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s +{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-ec.enc}{/usr/share/texmf-texlive/font +s/enc/dvips/base/8r.enc}</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10 +.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/te +xmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/ty +pe1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt +10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt12.pfb></usr/share/ +texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/eufm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/font +s/type1/public/mathpazo/fplmr.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/ +mathpazo/fplmri.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr10.pfb></usr/sha +re/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/ +bluesky/ams/msbm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/urw/palatino/uplb8 +a.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/urw/palatino/uplr8a.pfb></usr/share +/texmf-texlive/fonts/type1/urw/palatino/uplri8a.pfb> +Output written on 30005-t.pdf (99 pages, 477006 bytes). +PDF statistics: + 382 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 0 named destinations out of 1000 (max. 131072) + 1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + |