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You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Étude des Élassoïdes ou Surfaces A Courbure Moyenne Nulle % +% % +% Author: Albert Ribaucour % +% % +% Release Date: August 25, 2009 [EBook #29800] % +% % +% Language: French % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{29800} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% fontenc: For accented hyphenation. Required. %% +%% babel: French hyphenation rules. Required. %% +%% textcomp: French degree symbol. Optional. %% +%% %% +%% amsmath: AMS mathematics enhancements. 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This behavior has been retained. +\newboolean{ForPrinting} + +% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text % +\setboolean{ForPrinting}{true} + +% Initialize values to ForPrinting=false +\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1} % Symmetric margins +\newcommand{\HLinkColor}{blue} % Hyperlink color +\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage} +\newcommand{\TransNote}{Note sur la transcription} +\newcommand{\TransNoteCommon}{% + Les résumés de chapitre des pages \pageref{Summ1}--\pageref{Summ2} + ne concordent pas avec la division des chapitres du présent + livre. Le résumé pour le Chapitre~XIX renvoie à des informations non + contenues dans ce livre. Les résumés pour les Chapitres XX, XXI, + XXII et~XXIII correspondent respectivement aux Chapitres XIX, XX, + XXI et~XXII. + \phantomsection\label{Tnote} + \bigskip + + Des modifications mineures ont été apportées à la présentation, + l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathématiques. Le + fichier \LaTeX\ source contient des notes de ces corrections. +} + +\newcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + \bigskip + + Ce fichier est optimisée pour être lu sur un écran, mais peut être + aisément reformater pour être imprimer. Veuillez consulter le + préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions. +} + +% Re-set if ForPrinting=true +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins + \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color + \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} + \renewcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription} + \renewcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + \bigskip + + Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément + reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le + préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions. + } +}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} +} +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% %% End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages %% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + + +%\usepackage[body={5.9in,8.5in},\Margins]{geometry}[2002/07/08] +\usepackage[body={5.9in,8.5in},\Margins]{geometry}[2002/07/08] + +\providecommand{\ebook}{00000} % Overridden during white-washing +\usepackage[pdftex, + hyperfootnotes=false, + pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Étude des Élassoïdes}, + pdfauthor={Albert Ribaucour}, + pdfkeywords={Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + University of Glasgow Department of Mathematics}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +% Re-crop screen-formatted version, accommodating wide displays +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {} + {\hypersetup{pdfpagescrop= 70 70 543 780}} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% END OF PACKAGE SETUP %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + + +% ·s are used somewhat irregularly. Setting RegularizeMath to true +% inserts/removes dots for consistency. +\newboolean{RegularizeMath} +\setboolean{RegularizeMath}{true} + +\newcommand{\Reg}[2]{\ifthenelse{\boolean{RegularizeMath}}{#2}{#1}} + + +% No hrule in page header +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} + + +% Fixed-width environment to format PG boilerplate +% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width +\newenvironment{PGtext}{% +\begin{alltt} +\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}% +{\end{alltt}} + + +% Thought breaks +\newcommand{\Rule}[1]{\rule{#1}{0.5pt}} + +\newcommand{\TbPref}{\Rule{0.5in}}% Preface/Chapter I heading + +\newcommand{\TbChap}{\Rule{0.375in}}% Chapter heading + +\newcommand{\TbEoC}% End of Chapter +{\null\vfil% + \begin{center}% + \Rule{0.75in}% + \end{center}% + \vfil% +}% + +\newcommand{\TbFancy}% +{\begin{center}\includegraphics[width=0.75in]{./images/tb.pdf}\end{center}} + + +% Footnotes: Surround markers with upright parentheses +\makeatletter +\renewcommand\@makefnmark% + {\mbox{\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} + +\renewcommand\@makefntext[1]% + {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark}\ #1} +\makeatother + + +% Cross-referencing commands +\newcommand{\Pagelabel}[1]{% + \phantomsection + \label{#1} +} + +\newcommand{\Tag}[1]{% + \Pagelabel{equation:#1} + \tag{$#1$} +} + +\newcommand{\Eqref}[2]{% + \ifthenelse{\equal{#1}{}}% + {\hyperref[equation:#2]{$(#2)$}}% + {\hyperref[equation:#2]{#1 $(#2)$}}% +} + +% Chapter reference +\newcommand{\chapitre}[1]{\hyperref[chapter:#1.]{chapitre~#1}} +\newcommand{\ChapRef}[2][] +{\ifthenelse{\equal{#1}{}} + {\hyperref[chapter:#2]{Chapitre~#2}}% Empty optional arg + {\hyperref[chapter:#1]{Chapitre~#2}} +} + +\newcommand{\Secref}[1]% +{\hyperref[paragraph:#1.]{\texorpdfstring{§~#1}{Section~#1}}} + +% Preface, Chapter, Section +\newcommand{\Preface}[2] +{ + \cleardoublepage + % drop anchors + \Pagelabel{preface} + \pdfbookmark[0]{Avant-Propos.}{chapitre:0} + + % page formatting + \section*{\normalfont\upshape\centering\textbf{\Large #1} + \break \TbPref} + + \thispagestyle{empty} + + % Running heads + \pagestyle{fancy} + \setlength{\headheight}{15.1pt} + \fancyhead{} + \fancyfoot{} + \fancyhead[C]{\textsc{AVANT-PROPOS.}} + + \thispagestyle{empty} + \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}% + {\fancyhead[RO,LE]{\textsc{\thepage}}}% End of ForPrinting + {\fancyhead[R]{\textsc{\thepage}}} +} + +\newcommand{\Chapter}[2] +{ +% Running heads same throughout, set up explicitly in document +% Use explicit \clearpage for Chapitre I, which has a half-title + \ifthenelse{\equal{#1}{I.}}{}{\cleardoublepage\vspace*{0.5in}} + % drop anchors + \Pagelabel{chapter:#1} + \pdfbookmark[0]{Chapitre #1}{chapitre:#1} + + % Title; Chapter I rule wider than others in original, standardizing + \section*{\normalfont\upshape\centering\textbf{\Large CHAPITRE~#1} \break + \textsc{\small #2} \break \TbChap} + + \thispagestyle{empty} + + \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}% + {\fancyhead[RO,LE]{\thepage}}% End of ForPrinting + {\fancyhead[R]{\thepage}} +} + +\newcommand{\Section}[2] +{ + % drop anchors + \Pagelabel{paragraph:#1} + \pdfbookmark[1]{Section #1}{section:#1} + + \section*{\normalfont\upshape\centering\normalsize% + §~#1\rule[-12pt]{0pt}{12pt} \break + \textit{\normalsize#2}} +} + + +% Miscellaneous environments +\newenvironment{Summary}[1]{\par\medskip\textit{#1}}{} +\newenvironment{Problem}[1]{\par\medskip\textsc{#1}\normalfont\itshape}{} +\newenvironment{Emph}{\par\medskip\normalfont\itshape}{} + + +\newlength{\TmpLen} % for ad hoc use + +% Half-titlepage +\newlength{\TPSkip} % titlepage skip +\setlength{\TPSkip}{0.4in} + +\newcommand{\HalfTitle}% +{ +\textbf{\LARGE ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES} \\[\TPSkip] +{\small OU} \\[\TPSkip] +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} +{\makebox[0pt][c]{\textbf{\LARGE SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE}}} +{\makebox[0pt][c]{\textbf{\Large SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE}}} +} + + +% See 138.png +\newcommand{\BoxTag}[2]{% +\smash{% + \raisebox{12pt}{% + \framebox{% + \begin{tabular}{c} + \textsc{\vphantom{\bigg|}\footnotesize #1} \\ + \textsc{\vphantom{\bigg|}\footnotesize #2}. + \end{tabular} + } + } + } +} + + +% %%%% Math set-up %%%% % +% Globally adjust math font size +\makeatletter +\DeclareMathSizes{\@xiipt}{12}{10}{6} +\makeatother + +% Math operators and symbols +\DeclareMathOperator{\tg}{tg} + +\DeclareMathOperator{\Sec}{\text{séc}} +\renewcommand{\sec}{\Sec} + +\newcommand{\Neg}{\phantom{-}} + +\newcommand{\smfrac}[2]{\mbox{\footnotesize$\dfrac{#1}{#2}$}} + +\newcommand{\tsum}{{\textstyle\sum}} + +% Use upright Roman capitals in math mode +\DeclareSymbolFont{upletters} {T1}{cmr} {m}{n} +\SetSymbolFont{upletters} {bold}{T1}{cmr} {b}{n} +\DeclareSymbolFontAlphabet{\mathnormal}{upletters} + +\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{upletters}{`A} +\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{upletters}{`B} +\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{upletters}{`C} +\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{upletters}{`D} +\DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{upletters}{`E} +\DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{upletters}{`F} +\DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{upletters}{`G} +\DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{upletters}{`H} +\DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{upletters}{`I} +\DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{upletters}{`J} +\DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{upletters}{`K} +\DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{upletters}{`L} +\DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{upletters}{`M} +\DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{upletters}{`N} +\DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{upletters}{`O} +\DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{upletters}{`P} +\DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{upletters}{`Q} +\DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{upletters}{`R} +\DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{upletters}{`S} +\DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{upletters}{`T} +\DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{upletters}{`U} +\DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{upletters}{`V} +\DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{upletters}{`W} +\DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{upletters}{`X} +\DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{upletters}{`Y} +\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{upletters}{`Z} + + +% Miscellaneous text macros +\newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}} + +\DeclareInputMath{176}{\mbox{\textdegree}} +\DeclareInputMath{183}{\cdot} + +% Re-define these to be upright; explicit space required +\renewcommand{\primo}{{\upshape 1\up{\lowercase{o}}}} +\renewcommand{\secundo}{{\upshape 2\up{\lowercase{o}}}} +\renewcommand{\tertio}{{\upshape 3\up{\lowercase{o}}}} +\renewcommand{\quarto}{{\upshape 4\up{\lowercase{o}}}} + + +% Macros for table on 159.png +\newcommand{\Strut}{\rule{0pt}{12pt}} % top +\newcommand{\Strub}{\rule[-6pt]{0pt}{12pt}} % bottom +\newcommand{\NS}[1]{\makebox[2em][r]{\footnotesize$#1\Strut$}} +\newcommand{\Ditto}{»} + +% Spacing hacks: +% For ad hoc handling of wide displays +\newcommand{\mSmall}[1]{\mbox{\small$\displaystyle#1$}} + +\hyphenation{con-gru-ence con-gru-ences con-stantes moy-enne} + +%% Loosen vertical spacing +\setlength{\parskip}{0pt plus 12pt} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BEGIN DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\begin{document} + +\pagenumbering{Alph} +\pagestyle{empty} + +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\Pagelabel{PGBoilerplate} +\pdfbookmark[0]{Boilerplate.}{Boilerplate} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{PGtext} +The Project Gutenberg EBook of Étude des Élassoïdes ou Surfaces A Courbure +Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Étude des Élassoïdes ou Surfaces A Courbure Moyenne Nulle + +Author: Albert Ribaucour + +Release Date: August 25, 2009 [EBook #29800] + +Language: French + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + + +%%%% CREDITS %%%% + +\clearpage +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{PGtext} +Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The +original copy of this book was generously made available +for scanning by the Department of Mathematics at the +University of Glasgow.) +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\begin{minipage}{0.8\textwidth} +\small +\subsection*{\centering \TransNote} + +\raggedright +\TransNoteText + +\end{minipage} +\vfil + +%% -----File: 001.png---Folio xx------- +\frontmatter +\pagestyle{empty} + +% Titlepage +%\clearpage + +\begin{center} +\HalfTitle \\[\TPSkip] +{\footnotesize PAR} \\[\TPSkip] +\textsf{\Large ALBERT RIBAUCOUR,} \\[0.5\TPSkip] +% INGÉNIEUR DES PONTS ET CHAUSSÉES, A AIX (BOUCHES-DU-RHÔNE). +\textsc{\footnotesize +ingénieur des ponts et chaussées, a aix (bouches-du-rhône).} \\[2\TPSkip] +\includegraphics[width=1in]{./images/device.pdf} \\[2\TPSkip] +\rule{1.5in}{0.5pt} \\[2\TPSkip] +{\footnotesize(Couronné par l'Académie dans la séance publique du 16 décembre 1880.)} +\end{center} + +%% -----File: 002.png---Folio xx------- + +\pagenumbering{roman} + +\Preface{AVANT-PROPOS.} + +La classe des sciences de l'Académie royale de Belgique avait inscrit sur +son programme de concours de 1880, la question suivante: +\begin{center} +«\ \textsc{Trouver et discuter les équations de quelques} \\ +\textsc{surfaces algébriques a courbure moyenne nulle}.\ » \\ +\TbPref +\end{center} + +De toutes les applications des mathématiques il n'en est pas qui présentent +plus de séductions que la théorie des surfaces; il en est peu qui soient facilement, +comme elle, susceptibles d'élégance et de pittoresque. Laplace a dit: +«Cependant les considérations géométriques ne doivent pas être abandonnées, +elles sont de la plus grande utilité dans les arts. D'ailleurs, il est curieux +de se figurer dans l'espace, les divers résultats de l'analyse; et réciproquement, +de lire toutes les modifications des lignes et des surfaces, et les variations du +mouvement des corps, dans les équations qui les expriment. Ce rapprochement +de la géométrie et de l'analyse répand un jour nouveau sur ces deux +sciences: les opérations intellectuelles de celles-ci, rendues sensibles par les +images de la première, sont plus faciles à saisir, plus intéressantes à suivre; +et quand l'observation réalise ces images et transforme les résultats géométriques +en lois de la nature,\ldots\ la vue de ce sublime spectacle nous fait +éprouver le plus noble des plaisirs réservés à la nature humaine.» + +La question proposée par l'Académie royale de Belgique, malgré sa limitation +et son caractère particulier, présente, à un certain degré, l'intérêt +éloquemment défini par Laplace: en effet, depuis qu'entre les mains d'un +illustre physicien belge «la nature se fait géomètre»; depuis que chacun % [** PP: Typo chacuu] +%% -----File: 003.png---Folio xx------- +a pu réaliser les \emph{lames minces à courbure moyenne nulle}, les plus variées, +tous ceux que l'exactitude et la perfection enchantent, ne se lassent de vérifier, +jusque dans ses conséquences les plus délicates, ou les plus imprévues, une +des lois dérobées au monde moléculaire. + +D'un autre côté, il n'est peut-être pas, dans l'étude des surfaces, de chapitre +plus attachant, dans sa simplicité, que celui où l'on traite des surfaces +à courbure moyenne nulle. Depuis Lagrange, tous les géomètres, pour ainsi +dire, les ont étudiées, chacun ajoutant des résultats nouveaux, soit très-généraux, +soit très-particuliers, également recommandables par leur netteté ou +leur élégance. + +L'Académie nous excusera sans doute de prendre pour guide dans notre +étude plutôt l'imagination en quête de résultats que la question même soumise +au concours. + +C'est un chapitre au sujet des surfaces à courbure moyenne nulle que +nous écrirons, et, par surcroît, le problème posé recevra sans doute une +solution suffisamment développée. + +Nous ne pouvons mieux faire, pour indiquer dans quel ordre d'idées nous +entraînons le lecteur, que de relater dans un historique rapide, les contributions +successives à la théorie qui nous occupe, apportées par les géomètres, +comme autant de phrases d'un poëme facile, mais séduisant. + +Lagrange, le premier, a montré que, par un contour fixe, il passe des +surfaces moins étendues que toutes les surfaces voisines. + +%**** Comma after quotes? +Monge, en étudiant «les surfaces dont les rayons de courbure sont toujours +égaux entre eux et de signes contraires,» trouva l'équation aux différentielles +partielles des surfaces à étendue minima. + +Le premier il en donna l'intégrale générale, mais sous une forme compliquée +d'imaginaire, qui ne le satisfaisait pas, et qui surtout ne lui paraissait +pas susceptible de conduire à la construction géométrique qu'il considérait +comme le complément indispensable d'une étude achevée. Voici comment il +pose un problème bien digne d'intérêt, en lui-même et par son origine: «Il +%% -----File: 004.png---Folio xx------- +s'agirait actuellement de construire cette intégrale, ou, ce qui revient au +même, de trouver la génération de la surface. La seule construction à laquelle +nous soyons encore parvenu, procède par courbes, infiniment voisines, \ldots\ %[** F1: five dots] +mais elle ne peut être d'aucune utilité dans la pratique. Nous allons néanmoins +la rapporter, parce qu'elle pourra donner lieu à des efforts plus heureux.» + +Les premières surfaces à étendue minima étudiées le furent par Meusnier +qui fit connaître celle qui est de révolution, appelée depuis \emph{alysséïde}, par +Bour, et la surface de vis à filet quarré. La considération des lignes asymptotiques, +introduite par Ch.\ Dupin, vint donner un attrait nouveau aux surfaces +qui nous occupent; car leurs lignes asymptotiques sont rectangulaires. + +M.~Catalan fit voir que seule la surface de vis à filet quarré est à la fois +gauche et à étendue minima. + +M.~O. Bonnet démontra, dans une série d'études importantes: \primo~qu'on +peut faire la carte d'une surface à étendue minima sur la sphère, les angles +étant conservés; \secundo~que les lignes de courbure et les asymptotiques de ces +surfaces sont isométriques ainsi que leurs images sphériques; \tertio~que si l'on +cherche les surfaces de la famille admettant une ligne sphérique donnée pour +image de ligne de courbure ou d'asymptotique, on obtient deux surfaces minimas, +applicables l'une sur l'autre; \quarto~que l'on peut écrire l'intégrale des +surfaces admettant pour ligne de courbure, asymptotique ou géodésique, un +contour déterminé. + +Le théorème de M.~Bonnet, sur les deux surfaces \emph{minimas}, est doublement +intéressant, parce qu'il donne un exemple de surfaces applicables, et surtout +de deux surfaces dont les lignes de courbure de l'une correspondent aux +lignes asymptotiques de l'autre. + +Il faut ajouter que M.~Bonnet a fait connaître les surfaces minimas dont +toutes les lignes de courbure sont planes; il a indiqué comment on pourrait +former des surfaces, de la famille, algébriques; enfin il a montré comment on +pouvait éliminer les imaginaires de l'intégrale, et donné des exemples particuliers. + +%% -----File: 005.png---Folio xx------- + +M.~Catalan se proposait, au même moment, de former des exemples simples +de surfaces minimas. Il indiqua plusieurs surfaces algébriques dégagées des +généralités dont la particularisation seule constitue l'intérêt. Mais il faut +signaler surtout parmi des surfaces construites élégamment par M.~Catalan, +celle qui présente une double génération par des paraboles et des cycloïdes. +On verra, par la suite, comment le rapprochement de cette surface remarquable +de l'alysséïde qui admet parallèlement une double génération par des +cercles et des chaînettes, nous a amené à trouver une singulière propriété, +tout à fait générale, d'ailleurs, des surfaces à l'étude. + +Il convient, en outre, d'observer que cette surface est la première de la +famille, transcendante, mais sur laquelle on ait pu tracer des lignes algébriques. +M.~Schwartz a tiré grand parti de cet exemple, et nous aurons +l'occasion de montrer comme il est profitable d'en chercher de semblables. + +Nous ne passerons pas sous silence une remarque de M.~J. Serret, fort +importante malgré son apparence de simple curiosité: ce géomètre a fait +voir que certaines développables imaginaires doivent être considérées comme +des surfaces à étendue minima. C'était un retour inconscient à l'intégrale de +Monge et la clef du problème dont il avait laissé la solution à de plus heureux. + +M.~Mathet, parmi les géomètres français, donna une construction différentielle +des surfaces minimas les plus générales, mais sans prétendre à la +construction intégrale. + +Les études sur la déformation des surfaces mirent en lumière de nouvelles +propriétés: Bour fit voir qu'une surface minima peut être déformée sans +perdre son caractère de minimum; déjà M.~O. Bonnet en avait donné un +exemple cité plus haut. Bour montra qu'il est une infinité de surfaces minimas +applicables sur des surfaces de révolution; il parvint même à donner leur +intégrale, mais sans particulariser; il montra que de toutes les surfaces, la +plus simple au point de vue de la déformation est l'allyséïde, %[**typo alysséïde] +à la fois minima +et de révolution. + +Il est très-remarquable que les surfaces caractérisées par une condition de +%% -----File: 006.png---Folio xx------- +minimum le long d'un contour déterminé jouissent d'une définition ponctuelle +indépendante de ce contour. Ce fait devait amener à reconnaître que le +minimum considéré n'est pas absolu et que par un contour donné on peut +faire passer une infinité de surfaces minimas. On attribue à Björling le +mérite d'avoir établi que si le long du contour on fixe les plans tangents, la +surface minima est entièrement définie. MM.~O. Bonnet et Catalan ont, d'ailleurs, +dans leurs mémoires \emph{précités}, appliqué fréquemment ce lemme. + +Quoi qu'il en soit, un problème, plus assujetti que celui de Monge, résulte +de cette remarque: \textit{construire géométriquement la surface minima inscrite +à une développable donnée, le long d'un contour tracé sur cette surface}. +Que si le problème analytique ne présente pas de difficultés réelles, tant +que l'on reste dans la généralité, la question géométrique, à raison même du +caractère de minimum qui la domine, présente un intérêt indiscutable. Nous +montrerons comment elle reçoit une entière solution par l'introduction d'une +idée féconde due à M.~Moutard, je veux parler de la correspondance par +orthogonalité des éléments. + +Un autre problème tout aussi précis s'impose également: puisque, cette +fois, la surface est minima minimorum, son aire, limitée au contour, est +\emph{unique} et sa mesure doit résulter uniquement des éléments du contour. + +Un très-beau théorème de Riemann a répondu à ce \emph{desideratum}. Il en est +de ce résultat comme de tous ceux qui sont marqués au coin de la simplicité; +les considérations les plus simples (\emph{à~posteriori}) permettent de les +rétablir. Nous en rattacherons la démonstration aux idées de Gauss, en +essayant une ébauche d'exposé simplement géométrique de la théorie des +surfaces minimas. + +Si les premiers géomètres qui s'occupèrent des surfaces minimas tendirent +aux résultats généraux, leurs successeurs devaient s'attacher à particulariser +et à simplifier; les admirables expériences de M.~Plateau devaient amener, +d'ailleurs, à des recherches plus précises, et, la satisfaction de voir façonner, +par la nature, des surfaces dont la discussion est parfois hérissée de difficultés; +%% -----File: 007.png---Folio xx------- +de lui voir tracer toutes les singularités calculées, conduisirent à les +isoler dans des exemples assujettis à diverses conditions de simplicité +maxima. + +M.~Schwartz se proposa de trouver les surfaces minimas admettant une +géodésique plane donnée; Henneberg fit remarquer, le premier, que si la +géodésique est la développée d'une courbe algébrique, la surface minima est +algébrique. + +Geiser démontra que ces surfaces ne coupent le plan de l'infini que suivant +des droites. + +Enfin Weierstrass a donné une méthode pour trouver toutes les surfaces à +étendue \emph{minima}, algébriques et réelles. + +Enneper a fait connaître une surface du neuvième degré et de sixième +classe, extrêmement remarquable, qui peut, par exemple, être déformée d'une +infinité de façons, tout en restant identique à elle-même. + +Depuis que l'Académie royale de Belgique a posé ce problème qui fait +l'objet de notre étude, un géomètre du plus grand mérite a successivement +publié un grand nombre de beaux résultats sur les surfaces \emph{minimas}: +M.~Sophus Lie a donné la véritable solution du problème de Monge; il a +montré que les surfaces à courbure moyenne nulle sont de deux façons des +surfaces moulures; il a en outre donné, du problème de Björling, une solution +s'appliquant à des cas particuliers intéressants. Enfin il a discuté quelles +sont les surfaces minimas d'ordre et de classe déterminés. + +Les résultats de M.~Sophus Lie viennent ôter le plus grand intérêt à nos +recherches. S'il nous a été pénible, après avoir cherché et trouvé la solution +du problème de Monge et de bien d'autres, de recevoir les communications +du très-savant géomètre de Christiania, nous n'avons pas moins résolu de +transmettre à l'Académie royale de Belgique nos recherches en développant +surtout ce qui s'écarte des propriétés publiées. + +C'est ce qui doit justifier les écarts du mémoire, en dehors de la question +posée par l'Académie. + +\vfil +\TbFancy +\vfil + +\clearpage +\fancyhead{} % Clear stale heading + +%% -----File: 008.png---Folio 2------- + +\cleardoublepage +\pagenumbering{arabic} + +% Running heads same throughout +\fancyhead[CE]{ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES} % [** PP: ÉLASSOIDES in original] +\fancyhead[CO]{OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE.} + +\begin{center} +\HalfTitle +\end{center} +\TbFancy + +\Chapter{I.} +{LOCUTIONS EMPLOYÉES.---PROCÉDÉS DE DÉMONSTRATION.---PÉRIMORPHIE. +PROGRAMME.} + +\Section{1.} +{Définition du mot élassoïde.} + +Il faut commencer par s'entendre au sujet des locutions employées dans +ce mémoire. Il n'est pas commode d'employer constamment l'expression de +\emph{surface à courbure moyenne nulle} ni même celle de \emph{surface minima}, que +les Allemands ont adoptée, sous le vocable de «Minimälfläche». %[**typo Minimalfläche] +D'ailleurs ce +terme est impropre, en général, l'aire de la surface n'étant pas, le plus +souvent, un minimum absolu. + +Nous emploierons le mot \emph{Élassoïde} formé des deux mots grecs +\textgreek{<elasswn} %[Greek: helassôn] +(comparatif de \textgreek{mikros}) %[**Greek: michros] +et de \textgreek{eidos} %[**Greek: eidos] +(apparence). La substitution de l'\emph{o} à l'\emph{é} est +consacrée par l'usage. Nous dirons donc, conformément à l'avis de Terquem, +%% -----File: 009.png---Folio 3------- +\emph{un élassoïde}. Cette locution nous paraît réunir les deux avantages d'être +régulièrement établie et surtout d'être brève. + +A l'exemple de M.~O. Bonnet nous dirons que deux \emph{élassoïdes} sont \emph{conjugués} +quand ils sont applicables l'un sur l'autre et que les lignes de courbure +de l'un correspondent aux asymptotiques de l'autre. + + +\Section{2.} +{Locutions employées.} + +La plupart des géomètres appellent \emph{congruence} de droites, une famille de +droites analogues aux normales d'une surface et telles que, par un point de +l'espace, choisi arbitrairement, il passe \emph{une} droite de la congruence. + +Les \emph{focales} de la congruence sont deux surfaces, réelles ou imaginaires, +qui sont touchées par chacune des droites de la famille. + +Les droites d'une congruence, qui rencontrent une courbe donnée, forment +une \emph{surface élémentaire}. Les surfaces élémentaires développables forment +deux familles, ce sont les \emph{surfaces principales} de la congruence. + +Ces dénominations sont usuelles. Nous conviendrons d'appeler \emph{développée} +d'une \emph{congruence de normales} les deux nappes focales de cette congruence +prises dans leur ensemble; c'est le lieu des centres de courbure principaux +d'une famille de surfaces parallèles. + +Sur une droite de la congruence, le point milieu du segment qui se limite +aux deux foyers sera le \emph{point moyen}. Le lieu de ces points pour toute congruence +sera la \emph{surface moyenne}. + +Le plan perpendiculaire à une droite de la congruence, et mené par le +\emph{point moyen} situé sur cette droite, sera le \emph{plan moyen}. Tous les plans +moyens, relatifs aux droites d'une congruence, touchent une même surface +que nous appellerons l'\emph{enveloppée moyenne}. Ce sera la \emph{développée moyenne}, si +la famille de droites est une \emph{congruence de normales}. + +Nous aurons à considérer des congruences dans leurs rapports avec une +surface déterminée: nous dirons qu'une congruence de droites est \emph{harmonique +par rapport à une surface}~$(A)$, si les surfaces principales de la congruence +découpent, sur~$(A)$, un réseau conjugué. + +%% -----File: 010.png---Folio 4------- + +Lorsqu'une \emph{congruence de normales} sera \emph{harmonique} par rapport à une +surface~$(A)$, nous dirons qu'elle constitue une \emph{congruence de Dupin} (par rapport +à cette surface), rappelant ainsi le nom de Charles Dupin qui, le premier, +a considéré des familles de droites de cette espèce. + +Il nous reste à rappeler les termes du vocabulaire, adopté dans la géométrie +des imaginaires, dont nous ferons un constant usage. + +L'\emph{ombilicale} est le cercle imaginaire commun à toutes les sphères et situé +dans le plan de l'infini. + +Une \emph{droite isotrope} se dira de toute droite rencontrant l'ombilicale. + +Un \emph{plan isotrope} se dira de tout plan tangent à l'ombilicale. + +Une \emph{développable isotrope} se dira de toute développable qui contient +l'ombilicale. + +Une \emph{ligne isotrope}, ou ligne de \emph{longueur nulle}, sera une courbe, arête de +rebroussement d'une développable isotrope, dont, par conséquent, toutes les +tangentes seront des droites isotropes. + +Enfin nous appellerons \emph{congruence isotrope} une famille de droites dont les +surfaces focales sont des développables isotropes. Ces congruences seront +réelles toutes les fois que les deux développables isotropes focales seront +imaginaires conjuguées. + +Ajoutons qu'un réseau de lignes orthogonales $(u)$, $(v)$, tracées sur une +surface, sera isométrique toutes les fois que le carré de l'élément linéaire de +la surface rapportée aux lignes $(u)$, $(v)$, pourra s'écrire +\[ +dS^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2), +\] +en particularisant convenablement les variables $u$ et~$v$. + +On appelle \emph{image sphérique} d'une surface, en général, la représentation +sur la sphère de cette surface (le mode de correspondance étant le parallélisme +des plans tangents de la sphère et de la surface aux points correspondants). +On considérera de la sorte les images sphériques des lignes de +courbure, des lignes asymptotiques, etc. + +%% -----File: 011.png---Folio 5------- + +\Section{3.} +{Définition de la périmorphie comme procédé de démonstration.} + +Les procédés de démonstration que nous emploierons uniformément dans +notre étude analytique se rapportent à une méthode particulière que l'on a +désignée par un néologisme imagé en l'appelant la \emph{périmorphie}. Dans cette +géométrie, l'origine des coordonnées est remplacée par une surface dite \emph{de +référence}, et les axes de coordonnées sont simplement définis, en chaque +point de la surface de référence, par des relations où figurent les coordonnées +superficielles $u$ et~$v$ (à la façon de Gauss) du point, considéré comme +origine instantanée. + +Dans cette étude, nous considérerons toujours, comme base de nos calculs, +un réseau orthogonal des courbes $(u)$, $(v)$ tracé sur une surface de référence +$(O)$: les courbes $(u)$ correspondront aux différentes valeurs du +paramètre~$u$, de même, les courbes $(v)$ correspondront aux différentes valeurs +du paramètre~$v$. + +Le quarré de l'élément linéaire de la surface de référence $(O)$ s'écrira, +comme d'habitude: +\[ +dS^2 = f^2\, du^2 + g^2\, dv^2. +\] + +Ceci posé, les axes de coordonnées instantanés seront toujours en un +point $O(u, v)$ (c'est-à dire en un point~$O$ défini par les valeurs $u$ et~$v$ des +paramètres): \primo~$OX$ tangente à la courbe~$(v)$; \secundo~$OY$ tangente à la courbe~$(u)$; +\tertio~$OZ$ normale à la surface. Les trois axes seront ainsi rectangulaires. + +Les calculs de \emph{périmorphie} réclament l'emploi constant de six formules +que nous allons transcrire en les définissant. + + +\Section{4.} +{Six formules fondamentales de périmorphie.} + +En \emph{périmorphie}, on se donne, à chaque instant, les coordonnées $\xi$, $\eta$, $\zeta$ +d'un point~$M$ variable avec le point~$O$, coordonnées mesurées sur les axes $OX$, +$OY$, $OZ$. Ces coordonnées sont des fonctions de~$u$ et~$v$. Lorsque l'on donne à +%% -----File: 012.png---Folio 6------- +ces paramètres les accroissements $du$ et~$dv$, l'origine se transporte en~$O'$ et le +point correspondant de l'espace sera un certain point~$M'$ défini par les +coordonnées +\[ +\xi + \Delta\xi,\quad \eta + \Delta\eta,\quad \zeta + \Delta\zeta, +\] +comptées sur les axes nouveaux $O'X'$, $O'Y'$, $O'Z'$. Mais l'élément~$MM'$, projeté +sur les trois axes primitifs, donne lieu à trois longueurs, fonctions de +$u$, $v$, $du$ et~$dv$. + +Suivant l'axe $OX$, on a +\begin{align*} +\Delta X + &= du \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta + P\zeta\right) + + dv \left( \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta - gD\zeta\right), \\ +\intertext{suivant l'axe $OY$, on a} +\Delta Y + &= du \left( \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \xi - fD\zeta\right) + + dv \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi + Q\zeta\right), +% [**** PP: Hard-coded lengths; vulnerable to bad page break] +\smash{\left.\rule[-1.125in]{0pt}{2.25in}\right\}} +\Tag{1} \\ +\intertext{suivant l'axe $OZ$, on a} +\Delta Z + &= du \left(\frac{d\zeta}{du} - P\xi + fD\eta\right) + + dv \left(\frac{d\zeta}{dv} - Q\eta + gD\xi\right). +\end{align*} + +Telles sont les trois formules fondamentales de la géométrie considérée. +Trois autres formules, également nécessaires, s'en déduisent immédiatement: + +Soient $X'$, $Y'$, $Z'$ les coordonnées d'un point de l'espace, par rapport au +trièdre instantané $O'$, $X'$, $Y'$, $Z'$ défini ci-dessus; soient, d'un autre côté, $X$, +$Y$, $Z$ les coordonnées du même point par rapport au trièdre primitif $O$, $X$, +$Y$, $Z$. On a +\[ +\left. +\begin{aligned} % [** PP: Typo -= in first equation] +X' &= -f\, du + + X + Y\left(-\frac{df}{g\, dv}\, du + \frac{dg}{f\, du}\, dv\right) + + Z(-P\, du + gD\, dv), \\ +% +Y' &= -g\, dv + + X\left(-\frac{dg}{f\, du}\, dv + \frac{df}{g\, dv}\, du\right) + Y + + Z(-Q\, dv + fD\, du), \\ +% +Z' &= X(P\,du - gD\, dv) + Y(Q\,dv - fD\, du) + Z. +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{2} +\] + +Ces formules contiennent cinq coefficients: $f$ et~$g$ déjà définis, $P$, $Q$, $D$ +tels que: + +% [** PP: Itemized list with em-dash bullets] +\begin{itemize} +\item[---] $\frac{f}{P}$ représente le rayon de courbure de la section normale tangente à~$OX$; + +%% -----File: 013.png---Folio 7------- + +\item[---] $\frac{g}{Q}$ représente le rayon de courbure de la section normale tangente à~$OY$; + +\item[---] $\frac{1}{D}$ représente le paramètre de déviation relatif aux deux directions +rectangulaires $OX$, $OY$ (\textsc{Bertrand}). +\end{itemize} + + +\Section{5.} +{Équations de Codazzi.} + +Ces cinq coefficients sont liés par trois équations célèbres, dites équations +de Codazzi, auxquelles il faut constamment recourir: +\[ +\left. +\begin{aligned} +PQ - fgD^2 + \frac{d}{dv}\left(\frac{df}{g\, dv}\right) + + \frac{d}{du}\left(\frac{dg}{f\, du}\right) &= 0, \\ +\frac{dP}{dv} + g\frac{dD}{du} + 2\frac{dg}{du} D - \frac{df}{g\, dv}Q &= 0, \\ +\frac{dQ}{du} + f\frac{dD}{dv} + 2\frac{df}{dv} D - \frac{dg}{f\, du}P &= 0. +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{3} +\] + +Les trois groupes d'équations que nous venons de décrire constituent les +bases de la \emph{périmorphie}. Quant aux procédés, il serait oiseux de les résumer, +ils s'indiqueront d'eux-mêmes par les applications que nous en ferons dans +le cours de ce mémoire; la simplicité qui les caractérise permettra de les +exposer, le plus souvent, en détail. + + +\Section{6.} +{Programme des recherches comprises dans ce mémoire.} + +Il nous reste à indiquer le programme des recherches successivement +exposées dans ce mémoire. + +Nous avons cru qu'il convenait de rappeler rapidement, mais d'une façon +synthétique et pour ainsi dire évidente, les résultats connus. L'Académie nous +permettra de commencer notre étude par un rapide exposé géométrique qui, +nous l'espérons, intéressera une assemblée où la théorie qui nous occupe a +reçu de si belles contributions. + +Ce sera l'objet du \emph{second chapitre et du troisième}. + +%% -----File: 014.png---Folio 8------- + +Voici, d'une façon très-sommaire, la composition des autres chapitres. + +\phantomsection\label{Summ1} +\begin{Summary}{\ChapRef{IV.}} +Des congruences isotropes, des surfaces d'about; la surface +moyenne est le lieu des lignes de striction des surfaces élémentaires; l'enveloppée +moyenne est un élassoïde. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{V.}} +Des congruences isotropes qui donnent lieu au même élassoïde +central; construction directe donnant toutes les congruences satisfaisantes +en fonction d'une première congruence isotrope. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{VI.}} +Toute congruence isotrope est définie par une seule surface +élémentaire; construction des éléments de l'élassoïde central à l'aide d'une +surface élémentaire donnée. Construction ponctuelle d'un élassoïde en utilisant +deux lignes de longueur nulle. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{VII.}} +Tout élassoïde est le lieu d'une $\infty^3$ de courbes lieux des +centres de courbure de courbes gauches, qui sont les lignes doubles de toutes +les congruences isotropes satisfaisantes. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{VIII.}} +Étude des surfaces moyennes des congruences isotropes; +elles s'introduisent en géométrie cinématique; elles correspondent par orthogonalité +des éléments à la sphère. Sur l'élassoïde moyen et la surface +moyenne les asymptotiques se correspondent; relations entre les courbures +des deux surfaces. Une surface moyenne ne peut être élassoïde sans être +une surface de vis à filet quarré. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{IX.}} +Formules générales de représentation sphérique. Élassoïdes +groupés, dérivés d'un réseau isométrique de la sphère; ils sont applicables +sur l'un d'entre eux. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{X.}} +Définition des élassoïdes conjugués, des élassoïdes stratifiés. +Deux surfaces qui se correspondent par orthogonalité et égalité des éléments +sont deux élassoïdes conjugués. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{XI.}} +Solution du problème de Björling. Définition de contours +conjugués. Une surface gauche arbitraire définit deux contours conjugués. +Contours correspondants à une ligne plane. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{XII.}} +Calculs au sujet de la dérivation des élassoïdes du plan. +Élassoïdes transcendants à lignes algébriques. +\end{Summary} + +%% -----File: 015.png---Folio 9------- + +\begin{Summary}{\ChapRef{XIII.}} +Lignes de courbure des élassoïdes. Exemples de lignes +algébriques ou dépendant des fonctions elliptiques. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{XIV.}} +On peut mettre simultanément sur un élassoïde les courbes +pour lesquelles $R = ± k\rho$. Recherche de ces courbes; élassoïdes qui les +admettent pour géodésiques. Lignes algébriques. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{XV.}} +Nouvelles propriétés des congruences isotropes dérivées du +plan. Courbes de contact de cônes dont les sommets sont en ligne droite. +Nouvelle définition des élassoïdes. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{XVI.}} +Propriétés des lignes de niveau des élassoïdes groupés; +rotation des lignes de niveau par déformation. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{XVII.}} +Propriété caractéristique des congruences composées des +génératrices d'une famille de quadriques homofocales. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef{XVIII.}} +Recherche des élassoïdes algébriques passant par un +cercle. +\end{Summary} + +% [** PP: Chapter not present, remaining numbers off by one] +\begin{Summary}{Chapitre~XIX.}\footnote + {\textit{Voir} \hyperref[Tnote]{Notes sur la transcription}, + page~\pageref{Tnote}.} +Étude des élassoïdes dérivés des quadriques à centre, +homofocales. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef[XIX.]{XX.}} +Étude des élassoïdes dérivés des paraboloïdes du deuxième +ordre, homofocaux. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef[XX.]{XXI.}} +Recherche des élassoïdes applicables sur des surfaces de +révolution. Équations des élassoïdes du neuvième et du douzième ordre. +\end{Summary} + +\begin{Summary}{\ChapRef[XXI.]{XXII.}} +Énoncé de plusieurs propriétés relatives aux élassoïdes. +Renvoi à la théorie de la correspondance par orthogonalité des éléments. +Généralisations se rattachant plus directement à la théorie des couples de +surfaces applicables l'une sur l'autre. Sur le problème de la correspondance +de deux surfaces par correspondance des plans tangents et des lignes +isotropes. +\end{Summary} + +% [** PP: Note book contains no Chapter XXIII] +\begin{Summary}{\ChapRef[XXII.]{XXIII.}} +Conclusions: \emph{Desiderata} de l'étude entreprise et résultats +obtenus. +\end{Summary} +\phantomsection\label{Summ2} + +Telles sont les lignes principales de l'étude que nous allons maintenant +détailler. + +\TbEoC + +%% -----File: 016.png---Folio 10------- + + +\Chapter{II.} +{CONSIDÉRATIONS GÉOMÉTRIQUES DIRECTES AU SUJET DES ÉLASSOÏDES.} + +\Section{7.} +{En chaque point d'un élassoïde la courbure moyenne est nulle.} + +L'existence des élassoïdes se déduit du problème posé pour la première +fois par Lagrange: \emph{trouver la surface à étendue minima limitée à un contour +déterminé}. + +Soit $(C)$ un contour fermé, gauche. Admettons qu'il existe une surface~$(O)$, +passant par~$(C)$, ne présentant à l'intérieur aucune nappe infinie et jouissant +du caractère de minimum; celui-ci sera réalisé si toute surface~$(O')$, infiniment +voisine de~$(O)$, et passant comme elle par le contour~$(C)$, a une étendue +comprise à l'intérieur du contour ne différant de l'étendue correspondante +de la surface~$(O)$ que par un infiniment petit du second ordre (les quantités +qui mesurent l'écart des surfaces $(O)$ et~$(O')$ étant des infiniment petits du +premier ordre). + +Il importe d'observer que le mode de correspondance des surfaces $(O)$ et~$(O')$ +est arbitraire; il doit simplement satisfaire à ces conditions, qu'aux +points correspondants les plans tangents fassent entre eux des angles infiniment +petits du premier ordre et que le contour~$(C)$ se corresponde à lui-même +sur les deux surfaces. En particulier, le long de ce contour, les plans +tangents correspondants doivent faire des angles infiniment petits du premier +ordre. + +Ces restrictions préalables vont montrer tout à l'heure pourquoi la solution +du problème de Lagrange n'est réellement jamais obtenue. + +%% -----File: 017.png---Folio 11------- + +Puisque le mode de correspondance des surfaces $(O)$ et~$(O')$ est arbitraire, +il est naturel d'avoir recours au suivant: prendre comme points correspondants +$a'$ et~$a$ deux points de~$(O')$ et de~$(O)$ situés sur une même normale +à~$(O)$. Il est clair que si $(O)$ et~$(O')$ n'ont pas de nappes infinies et sont infiniment +voisines, les restrictions obligatoires sont observées. + +Ceci posé, traçons sur $(O)$ un petit contour fermé~$(a)$ et, tout le long, +menons les normales à la surface~$(O)$: elles vont découper, sur~$(O')$, un contour +fermé~$(a')$, correspondant à~$(a)$. La longueur~$aa'$ du segment compté +sur la normale et limitée aux deux surfaces, pour tous les points du contour, +est un infiniment petit du premier ordre; sa valeur moyenne peut donc +s'écrire $H · d\rho$ (où $H$ est une fonction finie). Désignons donc par~$d(a)$ l'aire du +contour~$(a)$, par~$d\theta$ l'aire sphérique (entendue à la façon de Gauss) de ce +même contour; enfin soient $R_1$ et~$R_2$ les rayons de courbure principaux +de~$(O)$ pour un point moyen pris à l'intérieur du contour~$(a)$. + +D'après un théorème de Gauss, on a +\[ +d(a) = R_1 · R_2\, d\theta, +\] +à une quantité infiniment petite près, par rapport à~$d(a)$. + +De même façon: +\[ +d(a') = (R_1 + H\, d\rho)(R_2 + H\, d\rho) \frac{d\theta}{\cos i}, +\] +si $i$ désigne l'angle des plans tangents en $a$ et~$a'$. Mais on doit écrire: +\[ +d(a') = d(a) + \Delta d(a) +\] +et comme l'angle $i$ est infiniment petit du premier ordre, on est en droit +d'écrire, au degré d'approximation précité +\[ +\frac{\Delta d(a)}{d\theta} = (R_1 + R_2) · H\, d\rho + H^2\, d\rho^2. +\] + +Ceci s'applique à deux surfaces infiniment voisines quelconques, et l'on +voit que~$\Delta d(a)$ est ainsi du troisième ordre infinitésimal, en général. + +Dès lors, l'intégrale des éléments semblables étendue jusqu'au contour~$(C)$ +sera en général une quantité infiniment petite du premier ordre. + +%% -----File: 018.png---Folio 12------- + +Or, si le minimum a lieu, il faut que cette quantité soit infiniment petite +du second ordre, et le terme correspondant de~$\Delta d(a)$ doit disparaître. + +On doit donc avoir, tout d'abord, +\[ +R_1 + R_2 = 0. +\] + +\begin{Emph} +\emph{Ainsi,} la première condition du minimum est qu'en chaque point de la +surface minima, les rayons de courbure principaux soient égaux et de +signes contraires. +\end{Emph} + +Cette condition équivaut à l'équation différentielle des élassoïdes; comme +elle lie deux éléments de courbure, l'équation est du second ordre et par +conséquent son intégrale générale ne comporte que deux fonctions arbitraires +distinctes (on verra plus loin le parti qu'il faut tirer de cette remarque). + +\Section{8.} +{Aire d'une portion d'élassoïde \upshape(\textsc{intégrale de Riemann}).} + +Afin de pousser plus avant la solution du problème de Lagrange il importe +de chercher à évaluer immédiatement l'aire dont on demande le minimum; +les considérations qui précèdent rendent cette recherche facile. + +Considérons en effet une famille d'élassoïdes se succédant par variations +insensibles, commandées par celles d'un paramètre, et soient $(O)$ et~$(O')$ +deux élassoïdes infiniment voisins. Soient $(\alpha)$ et~$(\alpha')$ deux contours fermés, +correspondants, tracés sur ces deux surfaces, $(A)$ et~$(A) + \Delta(A)$ les aires +limitées à ces contours. Quelle que soit la loi de variation des élassoïdes, il +est facile de trouver une expression géométrique de~$\Delta(A)$. Si, en effet, le long +de~$(\alpha)$, nous menons au premier élassoïde la \emph{normalie} qu'il détermine, cette +surface gauche trace sur~$(O')$ un contour fermé~$(\alpha'')$, et, d'après ce qui a été +dit plus haut, l'aire de~$(O')$, limitée au contour~$(\alpha'')$, ne diffère de l'aire de~$(O)$, +limitée au contour~$(\alpha)$, que d'une quantité infiniment petite du second ordre +(l'aire étant finie). Par conséquent la variation $\Delta(A)$ est représentée, à un +infiniment petit du second ordre près, par la couronne comprise entre les +%% -----File: 019.png---Folio 13------- +contours $(\alpha')$ et~$(\alpha'')$. Ce qui précède indique suffisamment ce qu'il y aurait +lieu de compter positif ou négatif si les contours se rencontraient. + +Ceci posé, comme on est maître de considérer telle loi de variation des +élassoïdes que l'on veut, il convient, pour la recherche de l'aire, de prendre +la loi de variation la plus simple, savoir celle de la similitude: dans cette +hypothèse, si $k$ est le paramètre de similitude, on aura +\[ +(A) + \Delta(A) = (A)(1 + dk)^2 = (A)(1 + 2\,dk + dk^2), +\] +donc, au degré d'approximation requis, +\[ +\Delta(A) = 2 · dk(A); +\] +si donc l'on parvient à calculer l'aire du ruban compris entre $(\alpha')$ et~$(\alpha'')$, la +valeur de l'aire~$(A)$ en résultera. + +Prenons pour pôle de similitude un point de l'espace~$S$, soit~$P$ le plan tangent +à la surface~$(O')$, au point~$a'$, $T$ la tangente au contour~$(\alpha)$; projetons +le point~$a''$ en~$\beta$ sur~$a'T$ et~$S$ en~$B$ sur cette même droite. Il est clair que, +si $d\sigma$ désigne l'élément de courbe~$(a')$, on a, pour l'élément d'aire du ruban +limité aux contours $(a')$, $(a'')$, +\[ +d\sigma · a''\beta. +\] + +Si $\omega$ est l'angle du plan~$P$ et du plan contenant la droite~$T$ et le point~$S$, +on a +\[ +a''\beta = a\beta · \cos\omega. +\] +Mais la similitude des triangles $SBa'$ % [** PP: Spacing SB a' in original] +et $a\beta a'$ donne +\[ +a\beta = SB · \frac{aa'}{Sa'}. +\] + +D'un autre côté: +\[ +\frac{aa'}{Sa'} = \frac{dk}{1 + dk}, +\] +par conséquent on peut écrire: +\[ +\Delta(A) = 2\, dk(A) = \int d\sigma · SB\cos\omega\, dk, +\] +%% -----File: 020.png---Folio 14------- +il en résulte +\[ +(A) = \int \frac{d\sigma · SB}{2} \cos \omega. +\] + +C'est l'expression donnée par Riemann. + +L'élément de l'intégrale n'est autre chose que la projection du triangle +infinitésimal $a'a'_1S$ sur le plan tangent en~$a'$ à l'élassoïde. + + +\Section{9.} +{Aire d'une portion finie d'élassoïde inscrite à un cône.} + +Signalons en passant le cas où $\omega$ est constant tout le long du contour~$(\alpha)$: +\emph{Lorsqu'un élassoïde coupe, sous un angle constant, un cône et lorsque la +portion de surface comprise dans le contour d'intersection est fermée, sans +nappes infinies, l'aire de cette portion de surface est proportionnelle à celle +de la surface du cône limitée au même contour et au sommet.} + +\emph{Dans le cas où le cône est tangent à l'élassoïde, les deux surfaces sont +équivalentes.} + +L'intégrale donnée ci-dessus montre tout d'abord que l'aire d'un élassoïde, +et par conséquent la surface elle-même, dépendent non-seulement du contour +donné $(\alpha)$, mais encore des plans tangents en chacun des points de ce +contour. Il y a donc une infinité d'élassoïdes passant par un contour donné. + +Il convient de poser, avec Björling, le problème de la construction d'un +élassoïde circonscrit à une développable déterminée le long d'un contour +tracé sur celle-ci. + + +\Section{10.} +{Intégrale invariante le long d'un contour fermé.} + +Remarquons, d'un autre côté, que si la considération d'homothétie a +disparu de l'intégrale, celle du point fixe dans l'espace a persisté, quoique +l'aire de l'élassoïde soit indépendante de ce point choisi arbitrairement. Il +%% -----File: 021.png---Folio 15------- +en résulte que l'expression +\[ +\int \frac{d\sigma · SB}{2} · \cos \omega +\] +étendue à un contour fermé tracé sur une développable, est \emph{invariante}, quelle +que soit la position du point fixe~$S$ dans l'espace. + +On trouvera l'expression de l'aire d'une portion d'élassoïde quand on saura +trouver une famille d'élassoïdes dont les surfaces varieront proportionnellement, +et il n'est pas besoin pour cela que les élassoïdes soient tous semblables +et semblablement placés. + + +\Section{11.} +{Définition des problèmes de Monge et de Björling.} + +Au point où nous en sommes arrivé, on comprend que le problème de +Lagrange (\emph{faire passer par un contour donné une surface d'aire minima}) +sera susceptible de solution, seulement quand on saura construire tous les +élassoïdes passant par un contour et ne présentant \emph{pas de nappes infinies à +l'intérieur de ce contour}. Ainsi est-on amené, par la nécessité, à résoudre successivement +les problèmes de Monge et de Björling, savoir: + +\begin{Problem}{Problème de Monge:} +Construire toutes les surfaces à courbure moyenne +nulle {\upshape(}élassoïdes{\upshape)}, c'est-à-dire en chaque point desquelles les rayons de courbure +principaux sont égaux et de signes contraires. +\end{Problem} + +\begin{Problem}{Problème de Björling:} +Construire l'élassoïde circonscrit à une surface +développable donnée, % [** PP: Typo donné] +le long d'un contour déterminé. +\end{Problem} + +Leur solution fera l'objet des chapitres qui vont suivre. + +\TbEoC + +%% -----File: 022.png---Folio 16------- + + +\Chapter{III.} +{SOLUTION DU PROBLÈME DE MONGE.} + +\Section{12.} +{Sur un élassoïde les lignes de longueur nulle sont toujours conjuguées.} + +Trouver un élassoïde c'est découvrir une surface telle qu'en chacun de ses +points l'\emph{indicatrice}\footnote + {Il s'agit de l'indicatrice de \textsc{Charles Dupin}, qui donne l'image de la variation des courbures + dans chaque azimuth.} +soit une hyperbole équilatère. La condition d'égalité +des axes d'une conique s'exprime en disant que celle-ci passe par les +\emph{ombilics} de son plan (cercle), de même l'hyberbole équilatère dont les +carrés des axes sont égaux et de signes contraires, se caractérise par ce fait +que \emph{les diamètres isotropes sont conjugués}. + +Cette simple remarque conduit à cette conséquence capitale: si sur un +élassoïde on trace les deux séries de \emph{lignes isotropes}, arêtes de rebroussement +des développables isotropes circonscrites à la surface, on obtient deux +familles de courbes conjuguées. La réciproque n'est pas moins évidente. + +En conséquence \emph{toute développable isotrope doit être considérée comme +un élassoïde}. + +En effet, sur une développable une génératrice est conjuguée de toute +direction tangente à la surface et qui la rencontre; elle est aussi à elle-même +sa propre conjuguée. + +Or, sur une développable isotrope, les deux familles de lignes isotropes +coïncident entre elles et avec les génératrices; elles sont à elles-mêmes leurs +%% -----File: 023.png---Folio 17------- +propres conjuguées, donc elles caractérisent les élassoïdes. Ainsi se trouve, +au début de cette étude, le résultat mis en lumière, pour la première fois, +par M.~J. Serret (\textit{Journal de Liouville}, t.~XI, 1846) et dont nous déduirons +presque intuitivement la solution du problème de Monge. + + +\Section{13.} +{Propriétés des congruences harmoniques.} + +Il convient de faire un moment diversion pour rappeler quelques notions +très-simples relatives aux \emph{congruences harmoniques}. + +Soient $(A)$ et~$(B)$ deux surfaces arbitraires dont nous ferons correspondre +les points par parallélisme des plans tangents. Soient $A$ et~$B$ deux points +correspondants, les droites telles que $AB$ engendrent une \emph{congruence harmonique}, +c'est-à-dire telle que si on la décompose en ses deux familles +de développables, celles-ci tracent, sur les surfaces $(A)$ et~$(B)$, deux familles +de courbes conjuguées. + +La proposition sera démontrée si l'on fait voir que les indicatrices des +surfaces $(A)$ et~$(B)$ ont toujours deux diamètres conjugués parallèles. M.~de +la Gournerie a donné, de ceci, une démonstration réduite à l'évidence en +montrant que l'on peut toujours: \primo~amener les coniques à avoir même +centre; \secundo~en réduire une de telle façon qu'elle devienne doublement tangente +à l'autre; le diamètre de contact et les tangentes sont manifestement les +directions cherchées. + +Ainsi, dans le cas qui nous occupe, la congruence est harmonique par +rapport aux surfaces $(A)$ et~$(B)$; il est clair qu'elle l'est également par +rapport à chacune des surfaces divisant, en segments proportionnels, les +cordes telles que~$AB$, surfaces correspondant à~$(A)$ et~$(B)$ par parallélisme +de leurs plans tangents. + +Particularisons un peu, en supposant développables les surfaces $(A)$ et~$(B)$, +que nous avions prises arbitraires. + +Soient $T_a$ et~$T_b$ les génératrices de ces deux surfaces situées dans deux +plans tangents parallèles ou non, désignons par $(A)$, $(B)$ les arêtes de rebroussement +%% -----File: 024.png---Folio 18------- +des deux développables. La congruence des droites $AB$ existe +toujours, elle se décompose en deux familles de surfaces principales qui sont +les cônes ayant leurs sommets en tous les points de~$(A)$ et contenant~$(B)$, +ou inversement. Les surfaces, lieux des points qui divisent les segments~$AB$ +en parties proportionnelles, existent toujours, les cônes précités les découpent +suivant deux familles de courbes semblables aux courbes $(A)$ et~$(B)$, chaque +famille se composant de courbes identiques. De plus (et c'est le point principal) +ces familles de courbes sont conjuguées. + + +\Section{14.} +{Construction ponctuelle d'un élassoïde avec deux développables isotropes.} + +Particularisons davantage et supposons que $(A)$ et~$(B)$ sont deux développables +isotropes. + +Dans ce cas les droites $T_a$ et~$T_b$ sont isotropes; par conséquent elles sont +parallèles aux droites isotropes de tout plan parallèle à ces deux droites. + +Mais les surfaces divisant en parties proportionnelles les segments tels que +$AB$ sont coupées par les cônes principaux suivant des courbes identiques (à +l'homothétie près) aux arêtes de rebroussement $(A)$ et~$(B)$, dont par conséquent +les tangentes, comme celles de~$(A)$ et de~$(B)$, sont isotropes. Ces deux +familles de courbes (comme dans le cas général) sont conjuguées. + +On peut donc énoncer ce théorème important: + +\begin{Emph} +Soient $(A)$ et~$(B)$ les arêtes de rebroussement de deux développables +isotropes arbitraires, si l'on joint de deux en deux les points de~$(A)$ et de~$(B)$ +et que l'on divise, en parties proportionnelles, les segments ainsi +obtenus, le lieu des points de division est un élassoïde. +\end{Emph} + +Or, une développable est déterminée quand on se donne deux directrices; +une développable isotrope, déjà assujettie à contenir l'ombilicale, est définie +par une seule autre directrice; par conséquent, une développable de cette +nature correspond à une fonction arbitraire. %[** PP: Added .] + +%% -----File: 025.png---Folio 19------- + +Ainsi la construction que nous venons de donner des élassoïdes contient +deux fonctions arbitraires, elle conduit donc (d'après une remarque du +chapitre précédent) à l'intégrale générale du problème de Monge. + +Les élassoïdes sont donc, de deux manières, des surfaces \emph{moulures}; les +profils sont imaginaires. Les surfaces peuvent pourtant être réelles, mais à +condition que les développables isotropes $(A)$ et~$(B)$ seront imaginaires +conjuguées. En conséquence les élassoïdes réels ne contiennent, dans leur +définition, qu'une seule fonction arbitraire. + +Nous montrerons plus loin comment nous avions été amené au résultat +qui précède avant de lire, dans le \emph{Bulletin des sciences mathématiques} +(novembre 1879), le résumé des mémoires de M.~Sophus Lie. + + +\Section{15.} +{Construction ponctuelle d'un élassoïde dérivé de deux élassoïdes.} + +Si, dans ce qui précède, on prend pour $(A)$ et~$(B)$ deux élassoïdes se +correspondant par parallélisme de leurs plans tangents, les surfaces divisant, +en segments proportionnels, le segment variable $AB$ sont encore des élassoïdes, +puisque les traces principales de la congruence sur chacune de ces +surfaces ont leurs tangentes parallèles aux droites isotropes des plans tangents +en~$A$ et~$B$ à~$(A)$ et~$(B)$ et qu'en outre ces directions sont conjuguées. + +C'est même en faisant cette observation que nous avons été conduit à +particulariser les surfaces $(A)$ et~$(B)$ dont la définition comporte en apparence +quatre fonctions arbitraires, mais dont en réalité deux sont surabondantes. + + +\Section{16.} +{Élassoïdes stratifiés.} + +Deux développables isotropes arbitraires et arbitrairement placées dans +l'espace, donnent lieu à une famille d'élassoïdes que nous nommerons +\emph{stratifiés} pour rappeler qu'ils se correspondent par parallélisme de leurs +%% -----File: 026.png---Folio 20------- +plans tangents. Ces élassoïdes jouissent de propriétés fort singulières; elles +seront développées dans un chapitre spécial. Ils comprennent comme limites +les deux surfaces développables $(A)$ et~$(B)$ qui ont servi à les engendrer. +Chacun des élassoïdes de la famille se distingue par la valeur d'un coefficient +afférent au rapport de division du segment~$AB$, mais il est bien clair qu'on +ne particularise en aucune façon en supposant le coefficient égal à \emph{un} +puisque les deux fonctions arbitraires caractérisant la généralité de la définition +restent générales. En conséquence on peut dire que \emph{tout élassoïde est +le lieu des milieux des segments de droites limités à la rencontre de deux +lignes de longueur nulle}. + +Il peut se faire que les deux lignes $(A)$ et~$(B)$ soient \emph{identiques}, c'est-à-dire +appartiennent à une même courbe; dans ce cas, nous dirons, avec +M.~Sophus Lie, que l'élassoïde est double. + + +\Section{17.} +{Le plan de l'infini coupe un élassoïde seulement suivant des droites.} + +Nous déduirons de ce qui précède une seule conséquence: \emph{la section d'un +élassoïde, par le plan de l'infini, se compose de droites} (résultat énoncé depuis +longtemps par Geiser). + +Il est clair en effet qu'on peut substituer aux définitions données précédemment +la suivante: + +Tout élassoïde est le lieu d'un point associé sur les droites $AB$ rencontrant +deux lignes de longueur nulle $(A)$ et~$(B)$, au point de l'infini, et tel que le +rapport anharmonique des deux points associés et des points $A$ et~$B$ ait une +valeur constante. + +Dans ces conditions, un point de l'élassoïde, situé à l'infini, correspond à +deux points de~$(A)$ et~$(B)$ également situés à l'infini; dès lors, le point de +rencontre de la droite~$AB$, avec le plan de l'infini, est indéterminé, par conséquent +la droite, tout entière, appartient à l'élassoïde. + +Nous ne poursuivrons pas dans cette voie les belles conséquences que M.~Lie +%% -----File: 027.png---Folio 21------- +a développées avec un grand talent; désireux d'aborder des considérations +nouvelles, nous n'entrerons pas dans la discussion des nombres déterminant +le degré et la classe d'un élassoïde, en fonction des nombres caractéristiques +de la classe, du degré, du rang et des singularités à l'infini, des développables +isotropes $(A)$ et~$(B)$. + +En terminant ce chapitre, observons que si le problème de Monge est, +ainsi, complétement résolu, la solution n'est pas dépourvue d'imaginaires. +Bien que ce \emph{desideratum} paraisse aujourd'hui assez oiseux, nous montrerons +plus loin comment on y satisfait par la considération des congruences +isotropes. + +\TbEoC + +%% -----File: 028.png---Folio 22------- + + +\Chapter{IV.} +{DES CONGRUENCES ISOTROPES.} + +Si nous écrivions un traité didactique, nous serions amené à résoudre en +ce moment et par des procédés synthétiques, le problème de Björling, mais +il nous paraît préférable de suivre la marche d'invention plus féconde en +aperçus \emph{latéraux} et par conséquent susceptible, mieux qu'une synthèse +étroite, de faire apprécier les nombreuses attaches géométriques de problèmes +relatifs aux élassoïdes. A ce point de vue, il ne sera pas indifférent, +à raison de la nouveauté et de la précision des résultats, d'indiquer les considérations +qui nous ont conduit à l'\emph{étude des congruences isotropes} laquelle +fera plus spécialement l'objet de ce chapitre. Nous supprimons d'ailleurs +toute démonstration des résultats étrangers à l'étude proprement dite. + + +\Section{18.} +{Courbes symétriques par rapport aux plans tangents d'une surface le long +d'une courbe unique, correspondant aux premières avec orthogonalité +des plans tangents aux surfaces élémentaires. La courbe unique est +asymptotique.} + +En général, étant données deux surfaces $(A)$ et~$(B)$ et une congruence +arbitraire de droites telles que~$AB$, il y a seulement deux paires de lignes +$(a)$ et~$(b)$ tracées sur $(A)$ et~$(B)$ se correspondant une à une et telles que les +plans tangents aux abouts du segment~$AB$ des surfaces gauches élémentaires +%% -----File: 029.png---Folio 23------- +ayant pour traces sur $(A)$ et~$(B)$ les courbes $(a)$ et~$(b)$, soient rectangulaires. + +Dans ce qui suit, nous appellerons~$D$ la droite instantanée de la congruence +et~$(D)$ cette congruence elle-même. + +Si l'on fait réfléchir les rayons $D$ de la congruence sur la surface $(A)$ et +que l'on considère la surface~$(C)$ lieu des points~$C$ symétriques des points~$B$ +par rapport aux plans tangents de~$(A)$, les surfaces $(A)$ et~$(C)$ donneront lieu +comme le couple $(A)$~$(B)$ à deux paires de courbes $(a')$ et~$(c)$ correspondantes +et telles qu'aux abouts du segment~$AC$, les plans tangents aux +surfaces élémentaires de la congruence~$(D')$ réfléchie [ayant pour traces sur +$(A)$ et~$(C)$ les courbes $(a')$ et~$(c)$] soient rectangulaires. + +\emph{En général, les paires de courbes $(a)$ et~$(a')$ ne coïncident pas. Lorsqu'elles +coïncident entre elles, elles sont les lignes asymptotiques de la surface~$(A)$.} + +Dans ce cas, la position de la droite $BC$ est définie sans quadrature; les +surfaces $(B)$ et~$(C)$ sont uniques, et il suffit de connaître la congruence~$(D)$ +(qui est particulière) indépendamment de la surface~$(B)$. + +La congruence $(D)$ et la congruence réfléchie~$(D')$ satisfont à une seule +et même équation différentielle. + + +\Section{19.} +{Cas où les deux congruences symétriques sont formées de normales +à des surfaces. Ce sont des congruences de Dupin.} + +Si l'on veut qu'une congruence $(D)$ soit satisfaisante [par cette locution, +employée généralement dans ce mémoire, nous entendons qu'un système géométrique +vérifie les conditions du problème dont on s'occupe] et qu'en outre +elle soit formée de normales à des surfaces, le problème se précise et donne +lieu aux remarques suivantes: + +\primo~\emph{La droite $BC$ passe par le point de contact du plan d'incidence~$BAC$ +avec l'enveloppée qu'il touche constamment;} + +\secundo~\emph{Les traces $(\alpha)$, $(\alpha')$ sur $(A)$ des paires de développables suivant lesquelles +on peut décomposer les congruences $(D)$ et~$(D')$ coïncident;} + +%% -----File: 030.png---Folio 24------- + +\tertio~\emph{Ces courbes $(\alpha)$ et~$(\alpha')$, coïncidant entre elles, sont conjuguées. Dès lors, +les congruences $(D)$ et~$(D')$ sont des congruences de Dupin;} + +\quarto~\emph{Enfin, si l'on particularise davantage et qu'on veuille que les surfaces +$(B)$ et~$(C)$ soient trajectoires des droites des congruences $(D)$ et~$(D')$, il +faut alors que ces surfaces $(B)$ et~$(C)$ soient les deux nappes d'une enveloppe +de sphères ayant leurs centres sur~$(A)$ et orthogonales à une sphère fixe.} + +Ces résultats, où figurent à la fois les lignes asymptotiques, les congruences +de Dupin et les surfaces anallagmatiques prêtent un véritable intérêt à la +correspondance par orthogonalité, qui leur donne naissance. + + +\Section{20.} +{Génération des normales aux surfaces anallagmatiques du quatrième ordre.} + +Une application fort élégante de ce qui précède se rapporte à la génération +des surfaces anallagmatiques du quatrième ordre indiquée par M.~Laguerre, +dans les termes suivants: + +\begin{Emph} +Si par toutes les droites d'un plan on mène, à deux quadriques homofocales, +deux plans tangents et que l'on joigne, par une droite, les points de +contact, la congruence formée par les droites de même génération est aussi +formée des normales à une surface anallagmatique du quatrième ordre. +\end{Emph} + +Si nous avons indiqué les résultats précédents, c'est pour montrer comment +nous avons été naturellement amené à l'étude des congruences isotropes. + + +\Section{21.} +{Congruences rencontrant deux surfaces suivant une infinité de courbes +correspondantes, le long desquelles les plans tangents aux surfaces élémentaires +sont rectangulaires.} + +Nous avons dit qu'en général, sur deux surfaces $(A)$ et~$(B)$ une congruence +$(D)$ découpe seulement deux paires de courbes $(a)$ et~$(b)$ telles qu'aux abouts +%% -----File: 031.png---Folio 25------- +du segment~$AB$, les plans tangents aux surfaces élémentaires de la congruence +soient rectangulaires. \emph{Mais il peut arriver, en particulier, qu'il y ait plus de +deux paires de courbes. S'il en est ainsi, il y en a une infinité.} C'est ce que +nous allons démontrer. + +Soient $(A)$ et~$(B)$ deux surfaces (arbitraires jusqu'à nouvel ordre), soit~$D$ +la droite d'une congruence~$(D)$ joignant les points correspondants $A$,~$B$. +Si, par les milieux des segments~$AB$, on élève des plans perpendiculaires +aux cordes~$AB$, ils toucheront une certaine surface~$(O)$ que nous prendrons +pour surface de référence. Même, pour simplifier les calculs, nous supposerons +que les lignes coordonnées $(u)$, $(v)$ sont les lignes de courbure +de~$(O)$. + +$\xi$, $\eta$, $\zeta$ étant les coordonnées instantanées du point~$A$, + +$\xi$, $\eta$, $-\zeta$ seront les coordonnées instantanées du point~$B$. + +Si l'on suit, sur~$(O)$, une ligne satisfaisante (c'est-à-dire telle que les plans +tangents à la surface élémentaire engendrée par~$D$ soient rectangulaires en +$A$ et~$B$), on aura +\[ +1 + \frac{\Delta Y_A - \Delta Y_B}{\Delta X_A - \Delta X_B} = 0. +\] + +En effet, si $\theta$ désigne l'angle du plan tangent en~$A$, à la surface élémentaire, +avec le plan~$ZOX$, on a manifestement +\[ +\tg \theta = \frac{\Delta Y_A}{\Delta X_A}, +\] +$\Delta X_A$ et~$\Delta Y_A$ ayant les valeurs déduites des \Eqref{formules}{1}, lorsque l'on particularise +les axes en supposant que $(u)$ et~$(v)$ soient lignes de courbure, +c'est-à-dire en annulant~$D$. Par conséquent, on suivra sur~$(O)$ une ligne +satisfaisante si +\[ +\left. +\begin{aligned} +&\left[du \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right) + + dv \left( \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)\right]^2 + - P^2 \zeta^2\, du^2 \\ ++ +&\left[dv \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) + + du \left( \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right)\right]^2 + - Q^2 \zeta^2\, dv^2 +\end{aligned}\ \right\} = 0. +\] + +%% -----File: 032.png---Folio 26------- + +%**** Sentence has no verb +Équation du second degré en $\frac{dv}{du}$, comme nous l'avions annoncée. % [** PP: Typo annoncé] +Dans la +question qui nous occupe, cette équation doit être identique et alors, suivant +toutes les directions, les plans tangents aux surfaces élémentaires, aux abouts +des segments~$AB$, sont rectangulaires. Pour que ces circonstances se réalisent, +il faut écrire +\[ +±\frac{P}{Q} += \frac{f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv}\eta} + {g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi} += - \frac{\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv}\xi} + {\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta}, +\Tag{4} +\] +en même temps que: +\[% [** PP: Breaking wide display] +\begin{aligned} +\zeta^2 +&= \frac{\left(f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv}\eta\right)^2 + + \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv}\xi\right)^2}{P^2} \\ +&= \frac{\left(g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi\right)^2 + + \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta\right)^2}{Q^2}, +\end{aligned} +\Tag{5} +\] +système qui se réduit à trois équations. + + +\Section{22.} +{Équation des foyers et plans principaux d'une congruence formée de droites +parallèles aux normales de la surface de référence.} + +Pour interpréter les relations précédentes, il faut établir les équations des +foyers et des plans principaux de la congruence~$(D)$. + +Conformément à ce qui a été dit ci-dessus, le plan tangent à la surface +élémentaire, en un point de~$D$ dont l'ordonnée $\zeta$ peut être différente du~$\zeta$ du +point~$A$, est défini par la relation +\[ +\tg \theta += \frac{dv \left(g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi + Q\zeta\right) + + du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv}\xi\right)} + {du \left(f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv}\eta + P\zeta\right) + + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta\right)}, +\] +où $\theta$ est l'angle de ce plan et du plan~$ZOX$. + +%% -----File: 033.png---Folio 27------- + +On sait que les plans principaux sont tangents à toutes les surfaces élémentaires, +aux foyers; on obtiendra donc les valeurs de~$\tg \theta$, afférentes aux plans +principaux, et les valeurs de~$\zeta$, afférentes aux foyers, en écrivant que l'équation +précédente est indépendante de $du$, $dv$. + +Le procédé est général: nous l'appliquerons à chaque instant dans ce qui +suivra, mais sans revenir sur sa justification. + +On trouve ainsi, pour l'\emph{équation des points principaux} +\[% [** PP: Re-breaking] +\left. +\begin{aligned} +& P \tg^2\theta \left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right) \\ +&\qquad + - \tg \theta \left[ P \left(g + \frac{d\eta}{dv} + + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) + - Q \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)\right] \\ +&\qquad + - Q\left[\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right] +\end{aligned}\ \right\} = 0 +\Tag{6} +\] +et pour l'équation donnant \emph{les~$Z$ des foyers} +\[% [** PP: Re-breaking] +\left. +\begin{aligned} +PQZ^2 + &+ Z\left[P\left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) + + Q\left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)\right] \\ +% + &+ \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right) + \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) \\ + &- \left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right) + \left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right) +\end{aligned}\ \right\} = 0. +\Tag{7} +\] + +Dès lors, si $Z_1$ % [** PP: Typo Z] +et~$Z_2$ sont \emph{les~$Z$ des deux foyers}, on a toujours +\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking] +PQ · Z_1 · Z_2 + = \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right) + \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) \\ + - \left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right) + \left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right). +\end{multline*} + +Si l'on revient au problème, on trouve, en tenant compte des \Eqref{équations}{4} +et~\hyperref[equation:5]{(5)} +\[ +Z_1Z_2 = ±\zeta^2, +\] +première relation qui a lieu dans tous les cas. Faisons maintenant les deux +hypothèses sur le signe. + +%% -----File: 034.png---Folio 28------- + +\Section{23.} +{La congruence peut être formée de normales à une surface; les surfaces +d'about sont les surfaces focales.} + +\emph{Première hypothèse:} mettons le signe $-$ devant~$\frac{P}{Q}$; il vient alors: +\[ + P\left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right) +- Q\left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi \right) = 0; +\] +mais, si $\theta_1$ et~$\theta_2$ caractérisent les deux plans tangents principaux, l'\Eqref{équation}{6} +rapprochée de la précédente, montre que celle-ci équivaut à la relation +\[ +1 + \tg\theta_1 · \tg\theta_2 = 0. +\] +En conséquence, dans ce cas, \emph{la congruence est formée des normales à une +famille de surfaces}. + +On a d'ailleurs en même temps +\[ + P\left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) ++ Q\left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right) = 0. +\] +Cette relation, rapprochée de l'\Eqref{équation}{7}, conduit à écrire +\[ +Z_1 + Z_2 = 0. +\] +Comme on a en même temps +\[ +Z_1Z_2 = -\zeta^2: +\] + +Les deux surfaces d'about $(A)$ et~$(B)$ sont les deux surfaces focales de la +congruence. + +En effet, quelles que soient les surfaces élémentaires isolées dans une congruence +de normales, les plans tangents aux foyers sont rectangulaires. + +%% -----File: 035.png---Folio 29------- + +\Section{24.} +{La congruence est isotrope.} + +\emph{Deuxième hypothèse:} mettons le signe~$+$ devant~$\frac{P}{Q}$, nous avons alors les +deux équations +\begin{gather*} + P\left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right) ++ Q\left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right) = 0, \\ +% + Q\left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right) +- P\left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) = 0, +\end{gather*} +en vertu desquelles l'équation des plans principaux se réduit à +\[ +\tg^2\theta + 1 = 0, +\] +à moins que l'on n'ait +\[ + P\left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right) += Q\left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right) = 0; +\] +si cette particularité se réalisait, l'\Eqref{équation}{6} serait entièrement indéterminée; +par conséquent la congruence serait formée de droites parallèles ou +concourantes. + +Écartant cette dernière hypothèse, on voit que \emph{les plans principaux de la +congruence sont isotropes}. Par conséquent \emph{la congruence est isotrope, c'est-à-dire +qu'elle a pour focales deux développables isotropes}. + +On trouve, immédiatement, que les foyers de la congruence sont donnés +par l'équation +\[ +Z = -\frac{g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi}{Q} + ±\sqrt{-1} \frac{\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta}{Q}; +\] +ils sont naturellement imaginaires. + +Si l'on désigne par~$l$ la distance du pied~$M$ de la droite~$D$ au milieu du +%% -----File: 036.png---Folio 30------- +segment focal, et par $m\sqrt{-1}$ la valeur du demi-segment focal, on trouve +\begin{gather*} +-l = \frac{g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du} \xi}{Q} + = \frac{f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv} \eta}{P}, \\[1ex] + m = \frac{\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du} \eta}{Q} + = -\frac{\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv} \xi}{P}; +\end{gather*} +on en conclut +\[ +\zeta^2 = l^2 + m^2. +\] + + +\Section{25.} +{Sur une congruence isotrope les points des surfaces d'about sont conjugués +par rapport aux foyers.} + +Il importe de définir complétement les surfaces d'about $(A)$ et~$(B)$ par +rapport à la congruence isotrope. + +L'équation précédente (si l'on désigne par~$F$ le milieu du segment focal) +équivaut à la relation +\[ +FA · FB = -m^2. +\] + +On peut dès lors énoncer cette propriété, qui nous paraît importante: + +\begin{Emph} +Sur les droites d'une congruence isotrope, les points correspondants de +deux surfaces d'about sont conjugués harmoniques par rapport aux foyers +de la congruence. +\end{Emph} + +Nous désignons par surfaces d'about, pour abréger, les surfaces $(A)$ et~$(B)$ +jouissant de la propriété de se correspondre par orthogonalité des plans +tangents des surfaces élémentaires de la congruence, aux abouts des +segments tels que~$AB$. + +On voit aussi que les surfaces d'about sont transformées l'une de l'autre +par une loi analogue à celle des figures inverses (transformation par rayons +%% -----File: 037.png---Folio 31------- +vecteurs réciproques) et que, quelle que soit la congruence isotrope choisie, +l'une des surfaces est arbitraire. + +Pour donner dès l'abord un exemple des calculs habituels de la périmorphie +et pour mettre en évidence un résultat très-général, nous allons +montrer comment, lorsqu'on se donne arbitrairement la surface de référence~$(O)$ +définie comme l'enveloppée des plans moyens perpendiculaires aux +segments~$AB$ joignant les points de surfaces d'about inconnues, celles-ci +peuvent être déterminées. + + +\Section{26.} +{L'enveloppée moyenne d'une congruence isotrope est un élassoïde.} + +Ce problème serait identique à la recherche de toutes les congruences +isotropes dont on ferait correspondre les droites par parallélisme aux +normales de la surface de référence prise arbitrairement. + +A l'aide des valeurs de $l$ et~$m$, on peut écrire +\begin{align*} +-\frac{d\eta}{dv} &= Ql + g + \frac{dg}{f\, du}\xi,& +-\frac{d\eta}{du} &= \phantom{-}Pm - \frac{df}{g\, dv}\xi, \\ +% +-\frac{d\xi}{du} &= Pl + f + \frac{df}{g\, dv}\eta,& +-\frac{d\xi}{dv} &= -Qm - \frac{dg}{f\, du}\eta, +\end{align*} +et rien n'empêche de prendre pour variables principales $l$ et~$m$. Exprimant +que les deux valeurs de $\smfrac{d^2\eta}{du\,dv}$ et de $\smfrac{d^2\xi}{du\, dv}$ sont égales individuellement et, +tenant compte des \Eqref{équations de Codazzi}{3}, il vient simplement: +\begin{align*} +\xi &= \frac{dl}{P\, du} - \frac{dm}{Q\, dv}, \\ +\eta &= \frac{dl}{Q\, dv} + \frac{dm}{P\, du}. +\end{align*} +mais il importe de particulariser, afin de mettre en lumière, sans effort, la +propriété capitale des congruences isotropes. +%% -----File: 038.png---Folio 32------- + +% [**** PP: New paragraph?] Isabelle: Yes, but no indent +Puisque la surface de référence est arbitraire par rapport à la congruence +isotrope~$(D)$, elle peut coïncider avec l'\emph{enveloppée moyenne} de la congruence +(voir \Secref{2}), on réalisera cette hypothèse en annulant~$l$. Il vient alors: +\begin{align*} +\xi &= -\frac{dm}{Q\, dv}, \\ +\eta &= \phantom{-}\frac{dm}{P\, du}, +\end{align*} +avec: +\begin{align*} +-\frac{d\eta}{dv} &= g + \frac{dg}{f\, du}\xi, & +-\frac{d\eta}{du} &= -\frac{df}{g\, dv}\zeta, \\ +-\frac{d\xi}{du} &= f + \frac{df}{g\, dv}\eta, & +-\frac{d\xi}{dv} &= -Qm - \frac{dg}{f\, du}\eta. +\end{align*} +Substituant les valeurs de $\xi$ et~$\eta$ dans les quatre équations différentielles, +on trouve +\[ +\Tag{8} +\left. +\begin{aligned} +\frac{d^2m}{du\, dv} - \frac{1}{P}\frac{dP}{dv}\frac{dZ}{du} + - \frac{1}{Q}\frac{dQ}{du}\frac{dZ}{dv} +&= fQ = -gP, \\ +% +\frac{d}{du}\left(\frac{dZ}{P\, du}\right) + + \frac{dP}{Q^2\, dv}\frac{dZ}{dv} + PZ % [**** PP: Should be dZ/du?] +&= 0, \\ +% +\frac{d}{dv}\left(\frac{dZ}{Q\, dv}\right) + + \frac{dQ}{P^2\, du}\frac{dZ}{dv} + QZ +&= 0. +\end{aligned}\ \right\} +\] + +Les deux premières équations entraînant la relation +\[ +fQ + gP=0, +\] +on voit, d'après la signification de $P$ et~$Q$ (\Secref{4}), que la surface de référence est +à courbure moyenne nulle. + +Ainsi se trouve établie cette proposition, capitale dans notre étude: +\emph{L'enveloppée moyenne, d'une congruence isotrope, est un élassoïde.} + +Avant d'aborder la résolution du groupe d'\Eqref{équations}{8}, établissons deux +nouvelles propriétés essentielles des congruences isotropes. + +%% -----File: 039.png---Folio 33------- + +\Section{27.} +{La recherche des congruences isotropes est ramenée à celle des +réseaux isométriques orthogonaux de la sphère.} + +Particularisons différemment la surface de référence, en admettant qu'elle +coïncide avec une sphère. Dans ce cas le réseau $(u, v)$ sera formé d'un +réseau orthogonal arbitraire, et rien ne s'oppose à ce que nous le choisissions +tel que les droites~$D$ soient, à chaque instant, situées dans le plan~$ZOX$; ces +hypothèses seront réalisées, si l'on fait\footnote{$a$ étant le rayon de la sphère.} +\begin{gather*} +f = a · P,\quad g = a \Reg{}{·} Q. \\ +\eta = 0. +\end{gather*} + +L'équation donnant la variation du plan tangent le long d'une droite~$D$ +appartenant à une surface élémentaire devient, en appelant~$\rho$ la longueur +$\zeta+a$ comptée à partir du centre de la sphère +\[ +\tg\theta + = \frac{du \left(f_\rho + \dfrac{d\xi}{du}\right) + dv · \dfrac{d\xi}{dv}} + {-du\dfrac{df}{g\, dv} · \xi + dv\left(g_\rho + \dfrac{dg}{f\, du} \xi\right)}. +\Tag{9} +\] + +L'équation des plans principaux devient +\[ + \tg^2\theta · \xi \frac{df}{fg\, dv} ++ \tg\theta \left(\frac{d\xi}{f\, du} - \frac{dg}{fg\, du}\xi\right) ++ \frac{d\xi}{g\, dv} = 0. +\] +Si la congruence~$(D)$ est isotrope, cette équation devra se réduire à +\[ +\tg^2\theta + 1 = 0. +\] +Il faut donc que +\begin{align*} +\frac{d\xi}{\xi\, du} &= \frac{dg}{g\, du}, \\ +\frac{d\xi}{\xi\, dv} &= \frac{df}{f\, dv}. +\end{align*} +%% -----File: 040.png---Folio 34------- +on doit, en conséquence, avoir +\[ +\xi = f = g = \lambda +\] +et le carré de l'élément linéaire de la sphère peut s'écrire +\[ +ds^2 = \lambda^2 (du^2 + dv^2). +\] + +Ainsi la recherche des congruences isotropes est ramenée à celle des +réseaux isométriques sphériques. + +\begin{Emph} +Soit tracé, sur une sphère, un réseau isométrique arbitraire, que sur +les tangentes aux courbes de l'une des familles on porte, à partir des +points de contact, des segments égaux aux valeurs de~$\lambda$ en ces points; que, +par les extrémités des segments, on mène des droites parallèles aux +normales de la sphère, ces droites engendreront une congruence isotrope. +\end{Emph} + +Le problème de l'intégration des réseaux isométriques sphériques a été +résolu par M.~Liouville; on devra donc, de toute façon, trouver l'intégrale +générale explicite des congruences isotropes ou des élassoïdes. + + +\Section{28.} +{Pour une congruence isotrope le paramètre de distribution est fonction +de droite, et toutes les lignes de striction sont situées sur une surface +unique.} + +Mais revenons à l'équation de la surface élémentaire. Sur chacune des +droites~$D$, d'une surface élémentaire, existe un \emph{point central} dont le lieu est +appelé la \emph{ligne de striction} de la surface élémentaire; le plan tangent à la +surface au \emph{point central}, dit le plan central, est perpendiculaire au \emph{plan +tangent à l'infini}. Enfin, il y a lieu de considérer ce que M.~Chasles a défini +\emph{paramètre de distribution}; par abréviation nous le nommerons \emph{paramètre}. +On sait qu'en un point de la droite, distant de~$x$ du point central, le plan +tangent fait, avec le plan central, un angle~$\omega$ défini par l'équation +\[ +x = p · \tg\omega, +\] +où $p$ représente la valeur du paramètre. + +%% -----File: 041.png---Folio 35------- + +L'équation de la surface élémentaire doit s'écrire +\[ +\tg \theta += \frac{ du \left(\lambda\rho + \dfrac{d\lambda}{du}\right) + + \dfrac{d\lambda}{dv} · dv} + {-du · \dfrac{d\lambda}{dv} + + dv \left(\lambda\rho + \dfrac{d\lambda}{du}\right)}. +\] + +Le plan tangent à l'infini s'obtient en faisant $\rho$ infini, on a donc: +\[ +\tg\theta_\infty = \frac{du}{dv} +\] +et le plan central lui étant perpendiculaire, on doit avoir pour le déterminer +\[ +\tg \theta_c += \frac{ du \left(\lambda\rho_c + \dfrac{d\lambda}{du}\right) + + \dfrac{d\lambda}{dv} \Reg{\,}{·} dv} + {-du \Reg{\,}{·} \dfrac{d\lambda}{dv} + + dv \left(\lambda\rho_c + \dfrac{d\lambda}{du}\right)} += -\frac{dv}{du}. +\] + +Par conséquent, on déduit: +\[ +\rho_c = -\frac{d\lambda}{\lambda\, du} +\] +et si l'on introduit $\tg\theta_c$ ainsi que $\rho_c$ dans l'équation de la surface élémentaire, +on trouve +\[ +\rho - \rho_c = -\frac{d\lambda}{\lambda\, dv} + \frac{\tg \theta - \tg \theta_c} + {1 + \tg \theta · \tg \theta_c}. +\] +On voit donc que le paramètre a pour valeur +\[ +p = -\frac{d\lambda}{\lambda\, dv}; % [**** PP: \rho?] +\] +mais un fait capital résulte de cette analyse: + +\primo~\emph{Pour toutes les surfaces élémentaires possibles, contenant une droite~$D$, +le paramètre est le même.} + +\secundo~\emph{Le lieu des lignes de striction de toutes les surfaces élémentaires est +une surface.} + +Il est clair que la position du point central et la valeur du paramètre +étant \emph{invariantes} sur chaque droite~$D$, sont liées aux éléments focaux. + +Cherchons l'équation des foyers, elle se réduit ici à +\[ +\rho = -\frac{d\lambda}{\lambda\, du} ± i \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}. +\] + +%% -----File: 042.png---Folio 36------- + +On voit donc qu'il y a lieu d'énoncer les propriétés suivantes: + +Étant donnée une congruence isotrope, + +\primo~\emph{Toutes les lignes de striction des surfaces élémentaires sont situées sur +la surface moyenne de la congruence \emph{(voir \Secref{2})}.} + +\secundo~\emph{Sur chaque droite de la congruence le demi-segment focal est égal au +produit, par $\sqrt{-1}$, du paramètre de toutes les surfaces élémentaires contenant +la droite.} + + +\Section{29.} +{Valeur du paramètre d'une congruence isotrope en fonction +du segment focal.} + +Il importe de mettre hors de doute que si, inversement, on trouve une +congruence où les lignes de striction de toutes les surfaces élémentaires possibles +soient situées sur une surface, cette congruence est isotrope. + +L'équation $(\rho)$, se rapportant à une congruence arbitraire, montre que la +condition précitée sera réalisée si l'équation en $\rho$ afférente au point central, +est indépendante de $dv$ et~$du$. + +Cette équation s'obtient, comme tout à l'heure, en écrivant +\[ +-\frac{g\, dv}{f\, du} + = \frac{du\left(f\rho_c + \dfrac{d\xi}{du}\right) + dv \dfrac{d\xi}{dv}} + {-du \dfrac{df}{g\, dv} \xi + dv\left(g\rho_c + \dfrac{dg}{f\, du} \xi\right)}. +\] + +Pour qu'elle soit identique en $du$ et~$dv$: +\begin{gather*} +\frac{df}{f\, dv} = \frac{d\xi}{\xi\, dv}, \\ +\frac{dg}{g\, du} = \frac{d\xi}{\xi\, du}, \\ +\rho_c = -\frac{d\xi}{f\, du}. +\end{gather*} + +%% -----File: 043.png---Folio 37------- + +Les deux premières équations caractérisent la congruence isotrope, +comme nous l'avons montré au \Secref{27}. + +L'invariabilité du \emph{paramètre} nécessite aussi que la congruence soit +isotrope. + + +\Section{30.} +{Diagramme d'une congruence isotrope imaginé par M.~Mannheim.} + +Il n'est pas inutile de rapprocher ce qui précède d'un élégant diagramme +imaginé par M.~Mannheim, pour représenter le déplacement du point central +et la variation du paramètre de distribution sur une droite~$D$ d'une congruence, +lorsqu'on envisage toutes les surfaces élémentaires contenant la +droite (voir \emph{Journal de Liouville}, \Ord{2}{e}~série, t.~XVII, 1872, page~123). + +M.~Mannheim énonce ainsi la propriété: + +\begin{Emph} +«Si dans un plan passant par un rayon d'un pinceau on porte, sur des +perpendiculaires à ce rayon élevées des points centraux des surfaces élémentaires +et à partir de ces points, des longueurs égales aux paramètres de +distribution de ces surfaces, les extrémités des longueurs ainsi portées sont +sur une circonférence~$C$ passant par les foyers du rayon.» +\end{Emph} + +Chaque droite d'une congruence comporte ainsi un diagramme particulier. +Dans l'espèce qui nous occupe, la projection du cercle-diagramme sur la +droite~$D$ doit être nulle; par conséquent le cercle se réduit à un point, et +l'on voit immédiatement que la distance de ce point à la droite~$D$ est la +valeur invariante du \emph{paramètre}. + +Nous abandonnerons pour un moment la voie qui s'ouvre pour l'étude des +élassoïdes dans la considération des réseaux sphériques isométriques. Il +importe avant tout de préciser la connexité des problèmes de recherche d'un +élassoïde et d'une congruence isotrope. + +\TbEoC + +%% -----File: 044.png---Folio 38------- + + +\Chapter{V.} +{CONGRUENCES ISOTROPES DONNANT LIEU AU MÊME ÉLASSOÏDE.} + +\Section{31.} +{Mise en équation du problème de la recherche de toutes les congruences +isotropes donnant lieu au même élassoïde moyen.} + +Nous avons montré que l'enveloppée moyenne d'une congruence isotrope +est un élassoïde. Inversement, étant donné un élassoïde, comment +trouver les congruences isotropes génératrices? Tel sera le problème +dont ce chapitre donnera la solution. + +Prenons pour surface de référence l'élassoïde donné, et choisissons +pour réseau $(u, v)$ celui des lignes asymptotiques, qui est rectangulaire. Les +\Eqref{équations de Codazzi}{3} simplifiées par la disparition de~$P$ et de~$Q$, qui sont +nuls, deviennent: +\begin{gather*} +g \frac{dD}{du} + 2 \frac{dg}{du} D = 0, \\[1ex] +f \frac{dD}{dv} + 2 \frac{df}{dv} D = 0. \\[1ex] %[**,?] +fg D^2 = \frac{d}{du} \left(\frac{dg}{f\, du}\right) + + \frac{d}{dv} \left(\frac{df}{g\, dv}\right). +\end{gather*} + +Les deux premières entraînent +\begin{align*} +Dg^2 &= V, \\ +Df^2 &= U, +\end{align*} +où $U$ et~$V$ sont des fonctions arbitraires de $u$ et~$v$, mais le carré de l'élément +linéaire étant de la forme +\[ +dS^2 = \frac{U\, du^2}{D} + \frac{V\, dv^2}{D}, +\] +%% -----File: 045.png---Folio 39------- +on peut toujours particulariser les variables $u$ et~$v$ de telle façon que +$U$ et~$V$ soient égales à l'unité. Alors +\[ +f = g = D^{-\frac{1}{2}} +\] +et la troisième équation de Codazzi devient +\[ +2D + \frac{d^2 \log D}{du^2} + \frac{d^2 \log D}{dv^2} = 0. +\] + +Ceci posé si $\xi$ et~$\eta$ sont les coordonnées instantanées d'une droite~$D$ de la +congruence, l'équation de la surface élémentaire sera, comme d'habitude: +\[ +\tg \theta += \frac{dv \left[g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du} \xi\right] + + du \left[\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv} \xi - f D\zeta\right]} + {du \left[f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv} \eta\right] + + dv \left[\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du} \eta - g D\zeta\right]}. +\] +Posant: +\begin{gather*} +M = g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi,\quad +M' = f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta, \\ +N = \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \xi,\quad +N' = \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta, +\end{gather*} +on trouve, pour l'équation des plans principaux: +\[ +-\tg^2\theta · gDM' + \tg\theta (gDN - fDN') + fD · M = 0; +\] +pour l'équation des ordonnées des foyers: +\[ +-\zeta^2 fg D^2 + \zeta (fDN' + gDN) + MM' - NN' = 0. +\] + +Écrivant que la congruence est isotrope, on obtient: +\begin{align*} +gN - fN' &= 0, \\ +fM + gM' &= 0. +\end{align*} + +Si la surface de référence est l'enveloppée moyenne, dans l'équation en~$\zeta$, +le terme du premier degré disparaît; par conséquent +\[ +fN' + gN = 0. +\] + +%% -----File: 046.png---Folio 40------- + +En outre, les foyers seront déterminés par l'équation +\[ +± \sqrt{-1} · \zeta fgD = fM = -gM'; +\] +et cette double relation, jointe à la suivante, +\[ +N = N' = 0 +\] +régit tout le problème. + +Mais, d'après ce qui a été établi au \Secref{28}, si $p$ désigne le \emph{paramètre} +de la droite~$D$, on a en valeur absolue, +\[ +\zeta = \sqrt{-1} p, +\] +par conséquent les équations du problème se réduisent au système +\begin{gather*} +N = N' = 0, \\ +pD = \frac{M}{g} = -\frac{M'}{f}, +\end{gather*} +qui, développé, après substitution, devient: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta + fDp &= 0,\quad +\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta = 0, \\ +g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi - gDp &= 0,\quad +\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \xi = 0. +\end{aligned} +\right. +\] + + +\Section{32.} +{Réduction des équations à un système canonique.} + +Égalant les deux valeurs de $\smfrac{d^2\xi}{du\,dv}$, puis de $\smfrac{d^2\eta}{du\,dv}$, en tenant compte des +valeurs de~$f$ et~$g$ en~$D$, on trouve +\begin{align*} +\xi &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du}, \\ +\eta &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv}; +\end{align*} +%% -----File: 047.png---Folio 41------- +puis, substituant ces valeurs dans les équations du problème, on obtient le +nouveau système. +\[ +\left. +\begin{aligned} +1 + \frac{d^2p}{du^2} - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{dp}{du} + + \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{dp}{dv} + Dp &= 0, \\ +1 - \frac{d^2p}{dv^2} + \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{dp}{dv} + - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{dp}{du} - Dp &= 0, \\ + \frac{d^2p}{du\,dv} - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{dp}{dv} + - \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{dp}{du} &= 0. +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{10} +\] + +Nous dirons que le problème est rendu canonique, en ce sens que les +inconnues $\xi$ et~$\eta$ sont données explicitement en fonction des paramètres $p$ et~$D$ +et de leurs dérivées. + +Pour résoudre cet ensemble d'\Eqref{équations}{10} complété par l'équation de +Codazzi en~$D$, non identique, nous poserons +\begin{align*} +u + \sqrt{-1} · v &= x, \\ +u - \sqrt{-1} · v &= y, +\end{align*} +$x$ et $y$ étant les coordonnées symétriques imaginaires habituelles. Le groupe +se transforme ainsi: +\[ +\left. +\begin{aligned} +\frac{D}{2} + \frac{d^2 \log D}{dx\, dy} &= 0, \\ +\frac{D}{2} · p + \frac{d^2p}{dx\, dy} &= 0, \\ +\frac{1}{2} + \frac{d^2p}{dx^2} - \frac{dp}{dx} · \frac{dD}{D\, dx} &= 0, \\ +\frac{1}{2} + \frac{d^2p}{dy^2} - \frac{dp}{dy} · \frac{dD}{D\, dy} &= 0. +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{11} +\] + + +\Section{33.} +{Intégration des équations.} + +La première équation a été intégrée par M.~Liouville (Notes.---\emph{Application +de l'analyse à la géométrie}); elle donne: +\[ +-\frac{D}{2} = \frac{2X'Y'}{(X+Y)^2}, +\] +%% -----File: 048.png---Folio 42------- +$X$ et~$Y$ désignant deux fonctions arbitraires, l'une de~$x$ l'autre de~$y$, $X'$ et~$Y'$ +désignant les dérivées de ces quantités par rapport à $x$ et~$y$. + +La seconde équation a été intégrée par M.~Moutard, dans un très-beau +mémoire publié dans le \Ord{XLV}{e}~cahier du \emph{Journal de l'École polytechnique} +(page~5). + +$X_1$, $Y_1$ désignant deux nouvelles fonctions arbitraires, la valeur la plus +générale de~$p$ est: +\[ +p = \frac{X_1'}{X'} + \frac{Y_1'}{Y'} - 2\frac{X_1+Y_1}{X+Y}. +\] + +Il s'agit maintenant de déterminer $X$ et~$Y$ de telle façon, que les +deux dernières équations du \Eqref{groupe}{10} soient vérifiées. Effectuant la substitution, +on obtient les deux équations définitives +\begin{align*} +\frac{1}{2} + \left(\frac{X_1'}{X'}\right)'' + - \frac{X''}{X'} \left(\frac{X_1'}{X'}\right)' &= 0, \\ +\frac{1}{2} + \left(\frac{Y_1'}{Y'}\right)'' + - \frac{Y''}{Y'} \left(\frac{Y_1'}{Y'}\right)' &= 0, +\end{align*} +qui, dans tous les cas, sont ramenées aux quadratures. + +En somme, le carré de l'élément linéaire d'un élassoïde étant mis sous la +forme +\[ +dS^2 = D^{-1}(du^2 + dv^2) + = D^{-1} · dx\Reg{·}{\,} dy, +\] +les coordonnées instantanées d'une droite de congruence isotrope satisfaisante +auront pour valeurs +\begin{gather*} % [** PP: Hard-coded lengths below] +\xi = D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du},\quad +\eta = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv}, \\ +\intertext{où} +D = -\frac{4X'Y'}{(X+Y)^2}, \\ +\rule{1in}{0pt}% ** +p = \frac{X_1'}{X'} + \frac{Y_1'}{Y'} - \frac{2(X_1 + Y_1)}{X + Y}, +\rule{1in}{0pt}% ** +% [**** PP: Vulnerable to bad page break] +\smash{\left.\rule[-1.375in]{0pt}{2.75in}\right\}}% +\Tag{12} \\ +\intertext{avec} +X_1 = -\int dx\, X' \int dx\, X' \int \frac{dx}{2X'} + aX^2 + bX + c, \\ +Y_1 = -\int dy\, Y' \int dy\, Y' \int \frac{dy}{2Y'} + a'Y^2 + b'Y + c', +\end{gather*} +%% -----File: 049.png---Folio 43------- +où $a, b, c, a', b', c'$, sont six constantes arbitraires introduites par les intégrations +successives. + +Il résulte de cette analyse \emph{qu'un élassoïde donné est l'enveloppée moyenne +d'une infinité de congruences isotropes}. + + +\Section{34.} +{Construction géométrique de toutes les congruences isotropes satisfaisantes +à l'aide de l'une d'entre elles.} + +Nous terminerons ce chapitre en montrant comment on peut déduire, +d'une congruence isotrope donnée, par une construction géométrique, toutes +les congruences isotropes satisfaisantes. La liaison de cette infinité de +congruences est définie analytiquement par les \Eqref{équations}{12}; mais la loi +géométrique fort remarquable qui la régit, ne saurait s'en déduire aisément. +On y parvient, au contraire, sans difficulté en remontant aux \Eqref{équations}{10}. + +Supposons que $p_1$ et~$p_2$ soient deux valeurs de~$p$ satisfaisantes, c'est-à-dire +donnant lieu à deux congruences isotropes admettant pour enveloppée +moyenne la surface de référence. $\xi_1$, $\eta_1$, $\xi_2$, $\eta_2$ étant les coordonnées +instantanées des droites $D_1$, $D_2$ correspondantes, nous aurons +\[ +\left. +\begin{aligned} +\xi = \xi_2 - \xi_1 + = D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp_2}{du} - \frac{dp_1}{du}\right) + &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\pi}{du}, \\ +\eta= \eta_2 - \eta_1 + = -D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp_2}{dv} - \frac{dp_1}{dv}\right) % [** PP: Typo du -> dv] + &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\pi}{dv}, +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{13} +\] +en désignant par $\pi$ la différence $p_2-p_1$; chacune de ces quantités $p_2$ et~$p_1$ +vérifiant les \Eqref{équations}{10}, $\pi$ vérifiera le groupe que voici: +\[ +\left. +\begin{gathered} +\frac{d^2\pi}{du^2} - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{d\pi}{du} + + \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{d\pi}{dv} + D\pi = 0, \\ +\frac{d^2\pi}{dv^2} - \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{d\pi}{dv} + + \frac{dD}{2D\, du} · \frac{d\pi}{du} + D\pi = 0, \\ +\frac{d^2\pi}{du\, dv} - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{d\pi}{dv} + - \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{d\pi}{du} = 0. +\end{gathered}\ \right\} +\Tag{14} +\] + +%% -----File: 050.png---Folio 44------- + +Ceci posé, soient $\xi$, $\eta$, $\zeta$ les coordonnées instantanées d'un point~$O'$ d'un +élassoïde identique à l'élassoïde de référence, et transporté parallèlement +à lui-même dans l'espace. Il est clair que le segment~$OO'$ est constant en +grandeur et en direction; par conséquent, on doit avoir, quels que soient +$du$ et~$dv$: +\begin{align*} +\Delta XO' &= f\, du, \\ +\Delta YO' &= g\, dv, \\ +\Delta ZO' &= 0. +\end{align*} + +Il faut, par conséquent, que les \Eqref{équations}{1} donnent: +\begin{align*} +& \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta += \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi = 0, \\[1ex] +& \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta - gD\zeta = 0, \\[1ex] +& \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \Reg{·}{}\xi - fD\zeta = 0, \\[1ex] +& \frac{d\zeta}{du} + fD\eta = \frac{d\zeta}{dv} + gD\xi = 0. +\end{align*} + +Tenant compte des valeurs de $f$ et de~$g$ en fonction de~$D$, le groupe précédent +se ramène au groupe canonique que voici: +\begin{align*} +\xi &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta}{dv}, \\ +\eta &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta}{du}, +\end{align*} +complété par trois équations ne différant, de celles du \Eqref{groupe}{14}, que par +le changement de~$\pi$ en~$\zeta$. + +Les deux problèmes analytiques seront donc identifiés en posant +\begin{align*} +\xi &= \eta_2 - \eta_1, \\ +\eta &= -(\xi_2 - \xi_1), \\ +\zeta &= \pi. % [** PP: Added .] +\end{align*} + +%% -----File: 051.png---Folio 45------- + +De là résulte cette transformation géométrique des congruences isotropes +satisfaisantes: + +\begin{Emph} +Soit $D$ une droite d'une congruence isotrope~$(D)$: transportons-la dans +l'espace, parallèlement à elle-même, suivant une direction toujours la même, +et d'une quantité constante, nous obtiendrons ainsi une nouvelle congruence~$(D')$ +superposable à~$(D)$. Que l'on fasse tourner chaque droite~$D'$ de~$\frac{\pi}{2}$ autour +de la droite~$D$ correspondante, on engendrera une nouvelle congruence~$(D'')$. +Cette nouvelle congruence~$(D'')$ sera isotrope, elle sera satisfaisante +comme~$(D)$. +\end{Emph} + +La transformation précédente donne, de la façon la plus générale, avec +\emph{trois constantes arbitraires} distinctes, toutes les congruences isotropes satisfaisantes +dérivées de l'une d'entre elles. Les six constantes du \Eqref{groupe}{12} +ne sont donc pas distinctes. + +En définitive, adoptant une notation très-expressive qui est admise +aujourd'hui, nous dirons: + +\begin{Emph} +Il existe $\infty^3$ congruences isotropes distinctes admettant le même élassoïde +pour enveloppée moyenne. Elles se déduisent de l'une d'entre elles par +un procédé cinématique; à un moment déterminé, tous les paramètres de +ces congruences diffèrent entre eux des mêmes quantités que les distances +de tous les points fixes de l'espace au plan moyen commun. +\end{Emph} + +\TbEoC + +%% -----File: 052.png---Folio 46------- + + +\Chapter{VI.} +{GÉNÉRATION D'UNE CONGRUENCE ISOTROPE ET DE SON ENVELOPPÉE MOYENNE ÉLASSOÏDE.} + +Nous avons ramené la recherche des élassoïdes à celle des congruences +isotropes; il est vrai que cette seconde recherche conduit à considérer comme +différentes des congruences donnant lieu au même élassoïde, mais, à l'inverse, +une congruence considérée donne également naissance à une infinité d'élassoïdes. +Pour le moment, il importe d'observer que la recherche des +\emph{élassoïdes algébriques} est ramenée à celle d'autant \emph{de surfaces réglées +algébriques}. + + +\Section{35.} +{Une congruence isotrope est définie par une surface élémentaire.} + +Il est facile de voir qu'une surface gauche, réglée, considérée comme +surface élémentaire d'une congruence isotrope, détermine entièrement cette +congruence. + +Que l'on considère en effet tous les plans isotropes menés par les génératrices +de la surface réglée, ces plans auront pour enveloppes deux développables +isotropes; car, par chaque génératrice on pourra, en général, +mener deux plans isotropes. Ces deux développables peuvent être considérées +comme les focales d'une congruence isotrope dont la surface réglée originelle +sera surface élémentaire. + +Les opérations que nous venons de relater sont toutes algébriques; on est +%% -----File: 053.png---Folio 47------- +donc en droit de conclure que l'enveloppée moyenne de la congruence sera +algébrique si la surface gauche originelle est algébrique. + +Mais avant de poursuivre, dans la voie qui s'ouvre ainsi, la solution du +problème mis au concours par l'Académie, nous devons préciser les relations +de l'enveloppée moyenne élassoïde (que pour abréger nous appellerons +dorénavant l'élassoïde moyen) avec la congruence isotrope génératrice. + +En outre, les congruences isotropes conduisant à une construction tangentielle +des élassoïdes, il conviendra d'en déduire une génération ponctuelle. +Telles seront les questions dont nous traiterons dans ce chapitre. + + +\Section{36.} +{Calcul des éléments de l'élassoïde moyen quand on se donne +une seule surface élémentaire.} + +Étant donnée une surface réglée élémentaire~$(d)$, si par chacun des points +centraux on élève des plans perpendiculaires aux génératrices, ces plans +envelopperont une surface développable circonscrite à l'élassoïde moyen; il +faut tout d'abord déterminer quelle sera la courbe de contact de la développable +et de l'élassoïde. + +Considérons un point~$M$ pris arbitrairement sur chacune des droites~$D$ de +la congruence et voyons ce que deviennent les \Eqref{formules}{1} lorsqu'on prend +pour surface de référence l'élassoïde moyen, dans les conditions spécifiées +au chapitre précédent. On a pour les coordonnées instantanées $\xi$ et~$\eta$ +\[ +\xi = D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du},\quad +\eta = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv}; +\] +$\zeta$ est arbitraire. + +Si l'on tient compte des relations +\begin{align*} +f &= g = D^{-\frac{1}{2}}, \\ +P &= Q = 0, +\end{align*} +%% -----File: 054.png---Folio 48------- +les \Eqref{formules}{1} deviennent +\begin{align*}% [** PP: Re-breaking; Hard-coded skips] +\Delta X +&= du\, D^{-\frac{1}{2}} + \left(1 + \frac{d^2p}{du^2} + - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du} + + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv}\right) \\ +&+ dv\, D^{-\frac{1}{2}} + \left(\frac{d^2p}{du\, dv} + - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du} + - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv} - D\zeta\right), \\[1.5ex] +%% +\Delta Y +&= du\, D^{-\frac{1}{2}} + \left(-\frac{d^2p}{du\, dv} + + \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv} + + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du} - D\zeta\right) \\ +&+ dv\, D^{-\frac{1}{2}} + \left(1 - \frac{d^2p}{dv^2} + + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv} + + \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du}\right), \\[1.5ex] +%% +\Delta Z +&= du \left(\frac{d\zeta}{du} - \frac{dp}{dv}\right) + + dv \left(\frac{d\zeta}{dv} + \frac{dp}{du}\right). +\end{align*} + +Mais, si l'on tient compte des \Eqref{équations}{10}, il vient +\[ +\left. +\begin{aligned} +\Delta X &= -D^{\frac{1}{2}} (p\, du + \zeta\, dv), \\ +\Delta Y &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} (p\, dv + \zeta\, du), \\ +\Delta Z &= du \left(\frac{d\zeta}{du} - \frac{dp}{dv}\right) + + dv \left(\frac{d\zeta}{dv} + \frac{dp}{du}\right). +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{15} +\] +En particulier s'il s'agit du point central~$M$ on a: +\[ +\left. +\begin{aligned} +\Delta X_M &= -D^{\frac{1}{2}} p\, du, \\ +\Delta Y_M &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} p\, dv, \\ +\Delta Z_M &= -du\, \frac{dp}{dv} + dv\, \frac{dp}{du}. +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{16} +\] + +Lorsqu'on isolera, dans la congruence, une surface élémentaire, on +suivra sur l'élassoïde un certain chemin caractérisé par les accroissements +$du$, $dv$ des paramètres, et ce chemin sera précisément la courbe de contact +cherchée. + +Pour déterminer le point de contact~$O$, alors qu'on ne dispose que de la +surface élémentaire~$(d)$, il faudra connaître, dans le plan central, deux droites +s'y rencontrant. + +Deux plans centraux consécutifs se couperont suivant une droite passant +en~$O$, direction conjuguée sur l'élassoïde, de la tangente à la courbe de +contact cherchée. On peut considérer cette caractéristique du plan central +comme connue, car elle résulte directement des éléments de la surface élémentaire; +ce sera \emph{une} droite satisfaisante. + +%% -----File: 055.png---Folio 49------- + +Cherchons à déterminer la droite~$OM$. Le plan passant par la droite~$D$ et +par~$OM$ sera tangent à la surface élémentaire en un point défini par la hauteur~$\zeta'$; +mais, dans l'espèce, l'équation donnant la variation des plans tangents +le long de~$D$ devient [en désignant par~$\theta$ l'angle du plan tangent au +point $(\xi\, \eta\, \zeta)$ avec le plan~$ZOX$] +\[ +\tg \theta + = \frac{\Delta Y}{\Delta X} + = - \frac{p\, dv - \zeta\, du}{p\, du + \zeta\, dv}, +\] +nous exprimerons que ce plan passe par~$O$ en écrivant +\[ +\tg \theta + = \frac{\eta}{\xi} + = - \frac{\dfrac{dp}{dv}}{\dfrac{dp}{du}} + = - \frac{p\, dv - \zeta'\, du}{p\, du + \zeta'\, dv}. +\] +Conséquemment +\[ +\zeta' \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) + = p\left(\frac{dp}{du}\, dv - \frac{dp}{dv}\, du\right); +\] +mais le \Eqref{groupe}{16} montre que cette équation peut s'écrire +\[ +\zeta'\, \Delta p = p · \Delta Z_M. +\] + +D'un autre côté, puisque $M$ est le point central, si $\omega$ désigne l'angle du +plan~$NMO$ avec le plan central, tangent en~$M$ à la surface élémentaire: +\[ +\zeta' = p \tg \omega, +\] +on a donc, en somme +\[ +\tg \omega = \frac{\Delta Z_M}{\Delta p}, +\Tag{17} +\] +$\Delta p$ est l'accroissement du paramètre de distribution quand on passe de la +génératrice~$D$ à la génératrice infiniment voisine; $\Delta Z_M$ n'est autre chose que +la projection de l'arc infiniment petit de la ligne de striction sur la génératrice~$D$. +On voit donc que le plan~$OMN$ est entièrement défini à l'aide des +éléments de la surface élémentaire. + +%% -----File: 056.png---Folio 50------- + +\Section{37.} +{Construction des éléments de l'élassoïde moyen à l'aide de ceux +d'une surface élémentaire.} + +Si le calcul qui précède est utile (surtout lorsque l'on particularise la +surface élémentaire), il ne conduit pas à une construction purement géométrique +du point de contact. Pour l'obtenir, portons, de part et d'autre du +point central, sur la génératrice~$D$, un segment égal à~$p$; les extrémités de +ces segments seront situées sur deux courbes $(p)$ et~$(p')$ que l'on peut supposer +tracées sur la surface élémentaire~$(d)$. Cherchons à déterminer les +équations des plans normaux à ces courbes, aux points $P$ et~$P'$, situés sur~$D$. +On a pour le point~$P$, par exemple, situé au-dessus du plan~$XOY$ +\begin{align*} +\Delta X_p &= -D^{\frac{1}{2}} p(du + dv), \\ +\Delta Y_p &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} p(dv - du), \\ +\Delta Z_p &= du \left(\frac{dp}{du} - \frac{dp}{dv}\right) + + dv \left(\frac{dp}{dv} + \frac{dp}{du}\right). +\end{align*} +Mais l'équation du plan normal étant +\[ +(X - \xi) \Delta X_p + (Y - \eta) \Delta Y_p + (Z - \zeta) \Delta Z_p = 0, +\] +devient, après substitution, +\[ + -XD^{\frac{1}{2}}(du + dv) ++ YD^{\frac{1}{2}}(dv - du) ++ Z\left[\frac{dp}{p\, du} (du + dv) + \frac{dp}{p\, dv} (dv - du)\right] = 0. +\] +Pour obtenir l'équation du plan normal en~$P'$, il faudrait opérer semblablement +sur les valeurs de~$\Delta XP'$, etc., on trouve +\[ + XD^{\frac{1}{2}}(dv - du) ++ YD^{\frac{1}{2}}(du + dv) ++ Z\left[\frac{dp}{p\, du} (dv - du) - \frac{dp}{p\, dv} (du + dv)\right] = 0. +\] + +On voit \primo~\emph{que les deux plans normaux, aux courbes $(P)$ et~$(P')$, passent +par le point de contact~$O$.} + +\secundo~\emph{Que ces plans normaux coupent le plan moyen suivant deux droites +rectangulaires inclinées à~$45°$ sur la caractéristique.} + +%% -----File: 057.png---Folio 51------- + +\Section{38.} +{L'élassoïde moyen est le lieu des milieux des cordes rencontrant les arêtes +de rebroussement des développables focales de la congruence isotrope.} + +On pourra, de la sorte, connaissant une surface élémentaire de la congruence, +déterminer le contour suivant lequel les plans moyens touchent +l'élassoïde; mais il est nécessaire de trouver une construction ponctuelle, +dépendant des développables isotropes, focales de la congruence, afin +d'obtenir une détermination indépendante des surfaces élémentaires prises +isolément. A cet effet, il convient de rechercher les génératrices des développables +isotropes qui rencontrent la droite~$D$, et, sur ces génératrices, les +points appartenant aux arêtes de rebroussement. + +Les développables isotropes sont, en somme, les enveloppes des plans +isotropes passant par~$D$, plans dont les équations peuvent s'écrire +\[ +(Y - \eta) ± (X - \xi) \sqrt{-1} = 0, +\] +ou, si l'on veut: +\[ +Y + D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} + ± \left(X - D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du}\right) \sqrt{-1} = 0; +\Tag{18} +\] +si l'on suit la surface élémentaire ($u$ et~$v$ croissant de $du$, $dv$) les équations +des plans isotropes nouveaux, considérés dans la seconde position du trièdre +$OX'Y'Z'$, seront +\[ +Y' - \eta - \Delta\eta ± (X' - \xi - \Delta\xi) \sqrt{-1} = 0. +\] +Les \Eqref{équations}{2} donnent (et nous entrons dans le détail de ces calculs, +courants en périmorphie, parce que c'est la première fois que nous y avons +recours dans ce mémoire) +\[ +\left. +\begin{aligned} +X' &= -D^{-\frac{1}{2}}\, du + X + + Y \left(+\frac{dD}{2D\, dv}\, du + -\frac{dD}{2D\, du}\, dv\right) + + ZD^{\frac{1}{2}}\, dv, \\ +%% +Y' &= -D^{-\frac{1}{2}}\, dv + + X \left(+\frac{dD}{2D\, du}\, dv + -\frac{dD}{2D\, dv}\, du\right) + + Y + + ZD^{\frac{1}{2}}\, du, \\ +%% +Z' &= -XD^{\frac{1}{2}}\, dv - YD^{\frac{1}{2}}\, du + Z. +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{19} +\] +%% -----File: 058.png---Folio 52------- +On en déduit sans difficulté [en tenant compte de~\Eqref{}{18}] pour les équations +des caractéristiques des plans isotropes +\[ +Z ± p \sqrt{-1} = 0. +\] +C'est là une simple vérification, car on savait que ces caractéristiques passent +par les foyers situés sur~$D$, lesquels sont précisément déterminés par l'équation +précédente en~$Z$; quant à l'orthogonalité des génératrices des développables +isotropes et de la droite~$D$ qui les rencontre, elle résultait du lemme +suivant, établi par Poncelet. % [**** Colon?] + +\begin{Emph} +Dans un plan, si deux droites $OA$, $OB$ sont rectangulaires, elles rencontrent +la droite de l'infini en deux points $A$ et~$B$ harmoniques conjugués +par rapport aux ombilics $I$ et~$J$. +\end{Emph} + +Lorsque le plan considéré est isotrope, toute droite~$OB$ qu'il contient est +orthogonale aux droites isotropes; en effet, dans ce cas, les points $I$ et~$J$ +coïncident avec le point~$A$. C'est pourquoi nous pouvons dire que, \emph{dans un +plan isotrope, toute droite du plan est orthogonale à la direction isotrope +unique de ce plan}. + +Ceci posé, cherchons, sur les génératrices des développables isotropes, les +points appartenant aux arêtes de rebroussement. Rappelons tout d'abord que, +\emph{si des plans passent par les diverses génératrices d'une surface gauche, la +caractéristique d'un plan rencontre la génératrice contenue dans le plan, +au point où celui-ci touche la surface réglée}. Dans le cas où la surface est +développable, le point de rencontre appartient à l'arête de rebroussement. + +Dans le cas qui nous occupe, les plans +\[ +Z = ± p \sqrt{-1} +\] +ont des caractéristiques contenues dans les plans +\[ +Z' = ± (p + \Delta p) \sqrt{-1}, +\] +ou d'après~\Eqref{}{19} +\[ +X\, dv + Y\, du + ± \sqrt{-1} \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) D^{-\frac{1}{2}} = 0, +\] +%% -----File: 059.png---Folio 53------- +soit en éliminant le symbole $±\sqrt{-1}$ +\[ +X\, dv + Y\, du + Z \frac{D^{-\frac{1}{2}}}{p} + \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) = 0. +\] +Comme les points cherchés sont les mêmes, quels que soient $du$ et~$dv$, on +voit qu'ils sont déterminés par les équations +\[ + X + ZD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{p\, dv} += Y + ZD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{p\, du} = 0. +\] + +Ainsi les points de contact, avec les arêtes de rebroussement des génératrices +des développables rencontrant~$D$, sont situés sur une droite passant +par le point de contact~$O$. D'un autre côté, comme les deux génératrices sont +situées dans des plans parallèles au plan moyen, on voit que: + +\begin{Emph} +L'élassoïde moyen est le lieu des milieux des cordes rencontrant les arêtes +de rebroussement des deux développables isotropes focales de la congruence. +\end{Emph} + +Nous retrouvons ainsi la construction ponctuelle des élassoïdes, établie +synthétiquement au \Secref{14}. + +En fait, constatant que les plans représentés par +\[ +Z = ±p\sqrt{-1} +\] +enveloppent des \emph{courbes de longueur nulle}, et non des surfaces, nous avions +trouvé la génération ponctuelle des élassoïdes que M.~Sophus Lie a publiée +avant nous. + +Nous aurons l'occasion, plus loin, de vérifier que les arêtes de rebroussement +des développables isotropes sont bien des lignes de longueur nulle. + +Pour le moment, voyons à déduire des conséquences des résultats établis +dans ce chapitre. + +\TbEoC + +%% -----File: 060.png---Folio 54------- + + +\Chapter{VII.} +{CONSÉQUENCES RELATIVES A UN ÉLASSOÏDE CONSIDÉRÉ ISOLÉMENT.} + +\Section{39.} +{Construction de tous les couples de lignes isotropes donnant lieu au même +élassoïde moyen. {\upshape(}Elles sont toutes identiques.{\upshape)}} + +Puisqu'il y a une $\infty^3$ de congruences isotropes admettant le même élassoïde +moyen (\Secref{34}), il y a $\infty^3$ manières de considérer l'élassoïde comme +lieu des milieux des cordes joignant les points de deux lignes isotropes. +Comme celles-ci sont toujours semblables aux lignes de longueur nulle +tracées sur l'élassoïde, les arêtes de rebroussement des focales de congruences +isotropes satisfaisantes forment des couples ou semblables ou identiques. Il +est facile de trancher la question: + +Soient $(A)$ et~$(B)$ deux lignes isotropes %[**cannot be an accent] +satisfaisantes; transportons $(A)$ de +droite à gauche, dans l'espace, d'une quantité~$Aa$, suivant une direction arbitraire; +de même transportons $(B)$ de gauche à droite parallèlement à~$Aa$ et +d'une quantité $Bb = Aa$, manifestement les lieux des milieux des cordes +telles que $AB$ ou $ab$ sont les mêmes. + +Si donc on fait subir cette transformation (comportant \emph{trois} constantes +arbitraires) à un couple satisfaisant de lignes isotropes, on obtiendra le couple +satisfaisant le plus général. + +Vérifions cette conséquence par les procédés de périmorphie: des calculs +%% -----File: 061.png---Folio 55------- +du \Secref{38}, il résulte que les coordonnées instantanées des points $A$ et~$B$ sont +\begin{align*} +&& +\xi_A &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} \sqrt{-1}, & +\xi_B &= D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} \sqrt{-1}, && \\ +&& +\eta_A &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du} \sqrt{-1}, & +\eta_B &= D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du} \sqrt{-1}, && \\ +&& +\zeta_A &= p \sqrt{-1}, & +\zeta_B &= -p \sqrt{-1}. && +\end{align*} + +Mais d'après les calculs du \Secref{34}, $\pi$ désignant la projection du segment +$Aa$ sur~$OZ$, les coordonnées du point~$a$ sont: +\begin{align*} +\xi_a &= -D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{dv} \sqrt{-1} + \frac{d\pi}{dv}\right), \\ +\eta_a &= -D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{du} \sqrt{-1} + \frac{d\pi}{du}\right), \\ +\zeta_a &= p \sqrt{-1} + \pi. +\end{align*} + +D'ailleurs $\pi$ satisfait aux \Eqref{équations}{14}. Posons +\[ +\pi = \sqrt{-1}(p_1 - p). +\] + +Les coordonnées du point~$a$ deviennent +\begin{align*} +\xi_a &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp_1}{dv} \sqrt{-1}, \\ +\eta_a &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp_1}{du} \sqrt{-1}, \\ +\zeta_a &= p_1 \sqrt{-1} +\end{align*} +et par la façon même dont le \Eqref{groupe}{14} a été obtenu, on voit que~$p_1$ doit +vérifier le \Eqref{groupe}{10}. Or ce dernier régit précisément le \emph{paramètre} le plus +général des congruences isotropes satisfaisantes; les coordonnées du point~$a$, +exprimées en fonction de~$p_1$, sont de même forme que les coordonnées du +%% -----File: 062.png---Folio 56------- +point~$A$ exprimées en fonction de~$p$. On peut donc conclure que la transformation +indiquée ci-dessus est la plus générale. + +La vérification précédente permet de remarquer que si les droites d'une +congruence isotrope $(D)$ sont réelles, pour obtenir une nouvelle congruence +isotrope $(D')$ réelle (dont par conséquent le paramètre soit réel), le segment +constant~$Aa$ doit être imaginaire, le segment~$Bb$ est alors imaginaire conjugué. + +Ces considérations accroissent l'intérêt de la transformation \emph{réelle} trouvée +au \Secref{34} et qui permet de passer d'une congruence isotrope réelle à toutes les +congruences isotropes réelles satisfaisantes. + +Il convient, maintenant, de particulariser les surfaces élémentaires des +congruences isotropes, afin d'établir diverses propriétés des élassoïdes. + + +\Section{40.} +{L'élassoïde moyen est inscrit dans la polaire de la ligne double d'une congruence +isotrope génératrice le long du lieu des centres de courbure de +cette ligne double.} + +Un élassoïde réel est engendré ponctuellement par le point milieu de +cordes réelles dont les extrémités décrivent deux lignes de longueur nulle, +imaginaires conjuguées; les deux développables isotropes, lieux des tangentes +à ces courbes, sont imaginaires conjuguées, elles se coupent mutuellement +suivant des \emph{lignes doubles réelles}. La congruence isotrope qui admet ces développables +conjuguées pour focales, est réelle. Les droites de la congruence +qui rencontrent la ligne double, devant toucher à la fois chacune des développables, +sont les tangentes de la ligne double. Dès lors \emph{la ligne double réelle +est l'arête de rebroussement d'une surface élémentaire développable}. Si l'on +se reporte à la \Eqref{formule}{17}, $\Delta Z$ étant l'arc élémentaire de la ligne double, +$p$~étant nul (parce que la plus courte distance de deux génératrices consécutives +de la surface élémentaire est infiniment petite du troisième ordre et +que $p$ est le quotient de cette distance par l'angle de deux génératrices consécutives, +angle infiniment petit du premier ordre) $\Delta p$ est nul et $\cot\omega$ % [** PP: cotg in original] +est nulle. + +%% -----File: 063.png---Folio 57------- + +Ainsi, le plan~$NMO$ est perpendiculaire au plan tangent à la développable, +le long de la génératrice. La droite~$MO$ est donc la normale à la ligne double +située dans le plan osculateur. Mais ici la caractéristique du plan moyen est la +droite \emph{polaire}, intersection des plans normaux consécutifs. En conséquence +on peut dire que: + +\begin{Emph} +Tout élassoïde est inscrit à la développable polaire de la ligne double +réelle, intersection des deux développables isotropes qui servent à l'engendrer; +la courbe de contact est le lieu des centres de courbure de la ligne +double. +\end{Emph} + + +\Section{41.} +{Sur un élassoïde donné on peut tracer une $\infty^3$ de lignes lieux des centres +de courbure de courbes doubles.} + +Conséquemment, \emph{sur un élassoïde quelconque, on peut tracer une $\infty^3$ de +lignes, le long desquelles la surface est tangente aux développables polaires +de courbes gauches}. + +Si l'élassoïde est algébrique, toutes les congruences isotropes qui l'engendrent +sont algébriques; donc les courbes gauches, précitées, sont également +algébriques. Elles sont du reste, en général, de même degré; car ce +sont les intersections de deux développables isotropes, déplacées, parallèlement +à elles-mêmes, dans l'espace. + +Inversement, si l'on prend, pour surface élémentaire d'une congruence +isotrope, une surface développable, son arête de rebroussement sera ligne +double (souvent partielle) du couple de développables isotropes satisfaisantes. +Il suffira que la développable soit algébrique pour que l'élassoïde moyen +soit algébrique. + +C'est le cas de particulariser encore et de considérer une développable +réduite à un plan: l'arête de rebroussement sera une courbe~$(C)$ arbitraire +de ce plan, la surface polaire devient un cylindre, admettant pour section +droite la développée $(D)$ de la courbe~$(C)$. Cette développée est une géodésique +de l'élassoïde. + +%% -----File: 064.png---Folio 58------- + +\Section{42.} +{Élassoïde admettant pour géodésique une courbe plane. Vérification +de la transformation des congruences isotropes satisfaisantes.} + +On est donc en droit de dire avec Henneberg: \emph{tout élassoïde, qui admet +pour géodésique une courbe plane, $(D)$, sera algébrique si~$(D)$ est la développée +d'une courbe algébrique}. + +A cette occasion, nous vérifierons la transformation réelle des congruences +isotropes satisfaisantes, donnée au \Secref{34}. + +Dans le cas particulier considéré, la surface élémentaire de la congruence +est formée par les tangentes à une courbe~$(C)$ développante de la géodésique +plane~$(D)$; on doit pouvoir adopter telle développante que l'on voudra +et par conséquent la transformation précitée doit transformer les tangentes +de la courbe~$(C)$ en tangentes d'une courbe parallèle. C'est ce qui a lieu en +effet en considérant un déplacement des tangentes de~$(C)$ perpendiculaire au +plan de cette courbe; la rotation de~$90°$ autour des tangentes primitives +ramène les secondes tangentes dans le plan de~$(C)$ et à une distance constante +des premières; les droites transformées enveloppent donc une courbe parallèle +à~$(C)$. + + +\Section{43.} +{L'élassoïde moyen et la surface moyenne sont focales d'une même congruence.} + +Si dans la \Eqref{formule}{17} on annule $\Delta p$, $\cot\omega$ est aussi nulle; par conséquent +les droites telles que~$OM$ sont normales aux surfaces élémentaires +caractérisées par la constance du paramètre. Remarquons, à l'inverse, que +si $\Delta Z$ est nul, les droites telles que $OM$ sont tangentes aux surfaces élémentaires; +mais la condition +\[ +\Delta Z = 0 +\] +%% -----File: 065.png---Folio 59------- +emporte que $OM$ soit tangente à la ligne de striction. De ceci résulte une +conséquence importante: +% ** smallskip? + +\primo~\emph{Les droites joignant le point central~$M$ d'une droite~$D$ de la congruence +isotrope, au point de contact~$O$ de l'élassoïde et du plan moyen, forment +une congruence dont les focales sont l'élassoïde moyen et la surface moyenne}. + +\secundo~\emph{Sur la surface moyenne, les trajectoires orthogonales des courbes +enveloppes des droites~$OM$ \emph{(arêtes de rebroussement d'une famille de développables +principales)} sont les lignes de striction des surfaces élémentaires, +de la congruence isotrope, dont le paramètre est constant}. +% ** smallskip? + +Nous sommes ainsi amenés à étudier les surfaces moyennes; le prochain +chapitre fera connaître les singulières propriétés de ces surfaces dont la +théorie, si intimement liée à celle des élassoïdes, mettra définitivement en +lumière toute l'importance des congruences isotropes. + +\TbEoC + +%% -----File: 066.png---Folio 60------- + + +\Chapter{VIII.} +{PROPRIÉTÉS DES SURFACES MOYENNES.} + +\Section{44.} +{La surface moyenne d'une congruence isotrope est le lieu des milieux de +cordes égales entre elles dont les extrémités décrivent des surfaces applicables +l'une sur l'autre.} + +A un élassoïde donné correspondent autant de surfaces moyennes que de +congruences isotropes satisfaisantes, la transformation géométrique du \Secref{34} % [** PP: Omitted () around section number] +permet de construire toutes ces surfaces quand on connaît l'une d'entre elles +et la congruence isotrope lui donnant naissance. + +Démontrons tout d'abord que les surfaces moyennes ont une définition +propre indépendante des élassoïdes. Dans ce but, reprenons les \Eqref{formules}{15} +qui se rapportent aux $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$ d'un point arbitraire~$N$ de la droite~$D$ et, +par conséquent, à une surface arbitraire $(N)$ coupant la congruence isotrope~$(D)$. + +Supposons que sur~$D$ on porte, à chaque instant, une longueur constante~$c$; +l'extrémité du segment décrira une surface~$(C)$ caractérisée par le groupe +\begin{align*} +\Delta X &= -D^{\frac{1}{2}} (p\, du + c\, dv), \\ +\Delta Y &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} (p\, dv - c\, du), \\ +\Delta Z &= -\frac{dp}{dv}\, du + \frac{dp}{du}\, dv; +\end{align*} +%% -----File: 067.png---Folio 61------- +et le carré de l'élément linéaire de cette surface a pour valeur +\[ +dS^2 = (p^2 + c^2)(du^2 + dv^2) + \left(\frac{dp}{du}\, dv - \frac{dp}{dv}\, du\right)^2. +\] + +Si sur les droites~$D$, à partir de~$M$, nous portons de haut en bas, le +segment~$c$, nous obtiendrons une nouvelle surface~$(c)$ dont le carré de +l'élément linéaire sera identique à celui de~$(C)$ puisque cette expression ne +contient que~$c^2$. Conséquemment, \emph{les deux surfaces $(C)$ et~$(C')$ sont applicables +l'une sur l'autre}. + +On obtiendra ainsi autant de couples de surfaces applicables qu'on donnera +de valeur au paramètre~$c$. + + +\Section{45.} +{Réciproque de la proposition qui précède énoncée sous forme de théorème +de géométrie cinématique.} + +Réciproquement, \emph{si les deux extrémités d'un segment constant de droite +décrivent deux surfaces $(C)$ et~$(C')$ applicables l'une sur l'autre, la droite +engendre une congruence isotrope}. + +Prenons pour surface de référence la surface que touchent tous les plans +élevés par les milieux des segments perpendiculairement aux segments +mêmes, et pour simplifier les calculs, supposons que la droite~$D$ joignant les +points $CC'$ est constamment située dans le plan des~$ZOX$, ce qui ne particularise +que les axes $(u, v)$. + +Les coordonnées du point~$C$ seront +\[ +\xi,\quad O,\quad c, +\] +celles du point~$C'$ seront +\[ +\xi,\quad O,\quad -c. +\] + +Le \Eqref{groupe}{1} devient, pour le point~$C$: +\begin{align*} +\Delta X_c &= (P\, du - gD\, dv)c + du\left(f + \frac{d\xi}{du}\right) + + dv\, \frac{d\xi}{dv}, \\ +\Delta Y_c &= (-fD\, du+Q\, dv)c - du\, \frac{df}{g\, dv} \xi + + dv\left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right), \\ % [** PP: Typo fda] +\Delta Z_c &= du\, (-P\xi + fD\eta) + dv\, (-Q\eta + gD\xi). +\end{align*} +%% -----File: 068.png---Folio 62------- +Pour le point~$C'$ il faudrait changer le signe de~$c$. Si les surfaces $(C)$ et~$(C')$ +sont applicables l'une sur l'autre, l'expression du~$dS^2$ ne contient pas $c$ au +premier degré. + +Il faut donc que l'équation +\[ % [** PP: Re-breaking] +\left. +\begin{aligned} +&(-fD\, du + Q\, dv) + \left[-du\, \frac{df}{g\, dv} \xi + + dv\, \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)\right] \\ +&+(P\, du - gD\, dv) + \left[du \left(f + \frac{d\xi}{du}\right) + + dv\, \frac{d\xi}{dv}\right] +\end{aligned}\ \right\} = 0 +\] +soit identique, quels que soient $du$ et~$dv$. + +Cela entraîne le groupe de conditions +\begin{gather*} +-gD \left(f + \frac{d\xi}{du}\right) - fD \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right) + - Q \frac{df}{g\, dv} \xi + P \frac{d\xi}{dv} = 0, \\ +fD \frac{df}{g\, dv} \xi + P \left(f + \frac{d\xi}{du}\right) = 0, \\ +Q \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right) - gD \frac{d\xi}{dv} = 0; +\end{gather*} +mais en tenant compte des deux dernières la première peut s'écrire +\[ +(PQ -fgD^2) \left[\frac{d\xi}{Q\, dv} - \frac{df}{Pg\, dv} \xi\right] = 0; +\] +et l'on peut mettre les trois équations de condition sous la forme simple [en +supposant que~$(O)$ n'est pas développable] +\[ +\frac{\dfrac{d\xi}{\xi\, dv}}{Q} = \frac{\dfrac{df}{g\, dv}}{P} + = \frac{\dfrac{1}{\xi} + \dfrac{dg}{fg\, du}}{D} + = \frac{-\left(\dfrac{1}{\xi} + \dfrac{d\xi}{f\xi\, du}\right)}{D}.\footnotemark +\Tag{20} +\] +\footnotetext{Chacun des \Eqref{rapports}{20} est encore égal au quotient du paramètre~$p$ par~$\xi$. On sait +qu'une conséquence de ces équations doit être l'égalité des quantités $\frac{P}{f}$ et~$\frac{Q}{g}$.} + +D'un autre côté, si nous établissons comme d'habitude l'équation de la +%% -----File: 069.png---Folio 63------- +surface élémentaire de la congruence~$(D)$, puis celle des plans principaux, +nous trouvons +\[ +\left. +\begin{gathered} +\tg^2\theta \left[P\frac{d\xi}{dv} + gD \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)\right] \\ ++ \tg\theta \left\{-P \left(g + \frac{dg}{f\,du} \xi\right) + +Q \left(f + \frac{d\xi}{du}\right) + + fD \frac{d\xi}{dv} + + D \frac{df}{dv} \xi\right\} \\ ++ Q \frac{df}{g\, dv} \xi - fD \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right) +\end{gathered}\ \right\} = 0. +\Tag{21} +\] + +Enfin, cherchant les équations des foyers, nous trouvons que leurs ordonnées +satisfont à la condition +\[ +\left. +\begin{gathered} +Z^2 (fgD^2 - PQ) \\ +-Z \left\{fD \left(\frac{d\xi}{dv}\right) - gD \frac{df}{g\, dv} \xi + + Pg + Qf + Q \frac{d\xi}{du} + P \frac{dg}{f\, du} \xi\right\} \\ +-\frac{df}{g\, dv} \xi \frac{d\xi}{dv} + - \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)\left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right) +\end{gathered}\ \right\} = 0. +\Tag{22} +\] + +Si l'\Eqref{équation}{21} se réduit à +\[ +\tg^2 \theta + 1=0, +\] +et si~\Eqref{}{22} est privée du terme en~$Z$, la congruence~$(D)$ est isotrope et la +surface de référence est son enveloppée moyenne. Cela donne trois conditions +identiques à celles du \Eqref{groupe}{20}. La proposition est donc vérifiée. + +Conséquemment nous énoncerons cette proposition de \emph{Géométrie cinématique} +(en adoptant une locution de M.~Mannheim). + +\begin{Emph} +Si deux points d'une droite de longueur constante décrivent deux surfaces +applicables l'une sur l'autre: \primo~cette droite engendre une congruence +isotrope; \secundo~le plan mené à égale distance des deux points et perpendiculaire +à la droite enveloppe un élassoïde. +\end{Emph} + +%% -----File: 070.png---Folio 64------- + +\Section{46.} +{La surface moyenne d'une congruence isotrope correspond +par orthogonalité des éléments à la sphère.} + +Ceci posé, rien n'est plus simple que de définir directement la surface +moyenne. Soient $x$, $y$, $z$ les coordonnées cartésiennes, rectangulaires, prises +par rapport à des axes fixes, d'un point~$M$ de la surface moyenne; soient, +d'autre part, $x$, $y$, $z$, les coordonnées d'un point~$P$ d'une sphère de rayon~$c$, +point obtenu en menant par le centre de la sphère un rayon parallèle à la +droite~$D$ de la congruence isotrope passant par~$M$. Il est manifeste que les +coordonnées des points $C$ et~$C'$ appartenant aux surfaces applicables l'une +sur l'autre sont: + +\noindent pour~$C$ +\[ +(x + x_1),\quad (y + y_1),\quad (z + z_1), +\] +pour~$C'$ +\[ +(x - x_1),\quad (y - y_1),\quad (z - z_1). +\] + +Puisque par hypothèse les surfaces $(c)$ et~$(c')$ sont applicables l'une sur +l'autre, on a identiquement +\[ + d\overline{(x+x_1)}^2 + d\overline{(y+y_1)}^2 + d\overline{(z+z_1)}^2 +=d\overline{(x-x_1)}^2 + d\overline{(y-y_1)}^2 + d\overline{(z-z_1)}^2, +\] +d'où résulte +\[ +dx · dx_1 + dy · dy_1 + dz · dz_1 = 0. +\] + +Et par conséquent on peut dire que \emph{la surface moyenne d'une congruence +isotrope correspond par orthogonalité des éléments à la sphère}. + +Les points correspondants sont: \primo~sur une droite de la congruence, le +point central; \secundo~sur la sphère, le point image de la droite. + +%% -----File: 071.png---Folio 65------- + +\Section{47.} +{De la correspondance par orthogonalité des éléments entre deux surfaces +dont l'une est une quadrique.} + +Ainsi s'introduit dans la théorie des élassoïdes la considération importante de +la correspondance par orthogonalité des éléments. Ce mode de correspondance +qui va jouer un rôle capital dans nos recherches, a été imaginé par M.~Moutard. +Ce géomètre en a fait une très-belle application en donnant l'intégrale avec +deux fonctions arbitraires et même la construction géométrique des surfaces +correspondant aux quadriques par orthogonalité des éléments. La théorie qui +nous occupe en dérive immédiatement puisqu'ici la quadrique se réduit à la +sphère. Nous aurions pu déduire de l'intégrale de M.~Moutard la nature des +surfaces moyennes des congruences isotropes, mais il importait de tout établir +directement, et les \Eqref{équations}{20} nous serviront tout à l'heure. D'ailleurs +les procédés de la périmorphie s'appliquent très-simplement au mode de +correspondance de M.~Moutard, ils conduisent à un théorème général, d'une +grande simplicité, d'où découle avec évidence l'intégrale relative aux quadriques, +intégrale qui a été le point de départ d'importantes recherches +géométriques ou analytiques. + +Les surfaces moyennes sont rattachées aux élassoïdes moyens par d'élégantes +relations où figurent les courbures des deux surfaces; nous allons les +établir par les procédés de périmorphie, en insistant un peu sur leur emploi +qui est absolument général. + + +\Section{48.} +{Tout réseau conjugué de la surface moyenne correspond à un réseau +conjugué de l'élassoïde moyen.} + +Le \Eqref{groupe}{15} donnant les projections du déplacement du point~$M$ permet +d'écrire immédiatement l'équation du plan tangent à la surface moyenne +\[ +X \frac{dp}{dv} + Y \frac{dp}{du} = D^{\frac{1}{2}} p · Z. +\Tag{23} +\] + +%% -----File: 072.png---Folio 66------- + +Cherchons à déterminer la caractéristique du plan tangent à la surface +moyenne. Le plan tangent au point~$M'$ a pour équation, dans le second +trièdre, +\[ + X' \left(\frac{dp}{dv} + \Delta \frac{dp}{dv}\right) ++ Y' \left(\frac{dp}{du} + \Delta \frac{dp}{du}\right) += (D^{\frac{1}{2}} p + \Delta · D^{\frac{1}{2}} p) Z'. +\] + +Les \Eqref{équations}{19} permettent d'écrire pour la caractéristique +\[ +\left. +\begin{aligned} + &X \left[\left(\frac{d^2 p}{du\, dv} - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du}\right) du + + \left(\frac{d^2 p}{dv^2} + \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du} + Dp\right) dv\right] \\ ++ &Y \left[\left(\frac{d^2 p}{du^2} + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv} + Dp\right) du + + \left(\frac{d^2 p}{du\, dv} - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv}\right) dv\right] \\ +- &\frac{p}{2}\, D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dD}{du}\, du + \frac{dD}{dv}\, dv\right) Z + - D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{dv}\, du + \frac{dp}{du}\, dv\right) +\end{aligned}\ \right\} = 0. +\] + +Éliminant les dérivées secondes de~$p$ au moyen des équations du +\Eqref{groupe}{10}, on trouve: +\[ +0 = +\left\{ +\begin{aligned} + &X \left[\frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv}\, du + + \left(\frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv} + 1\right) dv\right] \\ +% ++&Y \left[\left(\frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du} - 1\right) du + + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du}\, dv\right] \\ +% +-&Z \frac{p}{2}\, + D^{-\frac{1}{2}} + \left(\frac{dD}{du}\, du + \frac{dD}{dv}\, dv\right) %[** PP: Typo dD/du] + - D^{-\frac{1}{2}} + \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{24} +\] + +Soient $du'$, $dv'$ les accroissements qu'il faut donner aux paramètres $u$ et~$v$ +pour que le point~$M$ se déplace précisément suivant la caractéristique du +chemin correspondant à $du$, $dv$, on obtiendra l'équation qui lie $du'$, $dv'$ à $du$, +$dv$ en remplaçant $X$, $Y$, $Z$ dans la \Eqref{relation}{24} privée de termes constants +par $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$. Ce sera, si l'on veut, l'équation des directions conjuguées de +la surface moyenne. + +Les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ sont donnés par le \Eqref{groupe}{16} où $du$ et~$dv$ sont remplacés +par $du'$ et~$dv'$. On trouve après substitution et réduction +\[ +2D(du'\, dv + dv'\, du) = 0. +\] +%% -----File: 073.png---Folio 67------- +Mais il est facile de voir que cette équation n'est autre que celle de directions +conjuguées tracées sur l'élassoïde, car la caractéristique du plan moyen +est déterminée par +\[ +Z = X\, dv + Y\, du = 0, +\] +et comme ici +\[ +\Delta X = D^{-\frac{1}{2}}\, du',\quad +\Delta Y = D^{-\frac{1}{2}}\, dv', +\] +remplaçant $x$ et~$y$ par $\Delta X$ et~$\Delta Y$, on trouve en définitive pour l'équation des +directions conjuguées +\[ +du'\, dv + dv'\, du = 0. +\Tag{25} +\] + +Cette analyse établit donc un fait digne de remarque, savoir que, \emph{sur la +surface moyenne tout réseau conjugué correspond à un réseau conjugué +tracé sur l'élassoïde moyen. En particulier, les lignes asymptotiques d'une +surface moyenne correspondent aux lignes asymptotiques de l'élassoïde} +puisqu'une famille d'asymptotiques représente un réseau conjugué dont les +courbes des deux familles coïncident. + +Le fait est d'autant plus remarquable qu'il y a une $\infty^3$ de surfaces +moyennes correspondant à un même élassoïde. + + +\Section{49.} +{Sur la surface moyenne et l'élassoïde moyen les lignes asymptotiques +se correspondent.} + +Nous verrons tout à l'heure que l'intégration des lignes asymptotiques +d'un élassoïde ne dépend jamais que de quadratures; on peut donc +dire que l'\emph{intégration des asymptotiques des surfaces correspondant par +orthogonalité des éléments à la sphère, est toujours ramenée aux quadratures}. + +On peut encore conclure pour la projection de la direction conjuguée de +%% -----File: 074.png---Folio 68------- +l'élément de la surface moyenne correspondant à $du$, $dv$ (projection effectuée +sur le plan moyen) +\[ +X\, dv - Y\, du = D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right). +\] +Cette équation montre que: si $Oo'$, $Oo''$ sont deux directions conjuguées de +l'élassoïde, si $Mm'$, $Mm''$ sont les projections sur le plan moyen des directions +conjuguées correspondantes de la surface moyenne $Oo'$ et~$Mm''$ sont +parallèles, $Oo''$ et~$Mm'$ le sont aussi. +% **** Unclear to SR; another ``si''? + + +\Section{50.} +{Calcul des rayons de courbure principaux de la surface moyenne.} + +La simplicité des résultats précédents tient à ce qu'on peut, dans les +calculs, éliminer les différentielles secondes de~$p$ chaque fois qu'elles se +présentent en tenant compte des \Eqref{équations}{10}. Il en sera de même pour +tout ce qui tient au second ordre. En particulier il doit exister deux relations +simples pour déterminer les courbures principales des surfaces moyennes; +leur recherche nous donnera l'occasion d'appliquer l'une des règles les plus +utiles de la périmorphie, et de constater une analogie bien remarquable. + +% **** ``ses'' normales? +Soit en général~$(S)$ une surface, portons sur ces normales une longueur +constante $l$, l'extrémité du segment décrit une surface $(\Sigma)$ parallèle à~$(S)$; +soient $d(S)$ et~$d(\Sigma)$ les éléments d'aires correspondants des deux surfaces, +$R_1$ et~$R_2$ désignant les rayons de courbure principaux moyens de l'élément +$d(S)$; on a, d'après un théorème de Gauss, rappelé au \Secref{7}: % [** PP: Omitted () around section number] +\[ +d(\Sigma) = \frac{(R_1+ l)(R_2 + l)}{R_1 R_2} d(S); +\] +par conséquent +\[ +\frac{d(\Sigma)}{d(S)} = 1 + \frac{l^2}{R_1R_2} + l\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right). +\] + +%% -----File: 075.png---Folio 69------- + +Le rapport ne peut s'annuler que si $l$ égale l'un des rayons de courbure +principaux; mais ce fait se présentera seulement si $d(\Sigma)$ est nul; et cela +nécessite que les projections de l'élément d'aire $d(\Sigma)$ sur les trois plans coordonnés +soient nulles. En général, si l'une de ces projections est nulle, les +deux autres le sont, et, par conséquent, $d(\Sigma)$ s'annule. Il n'y a d'exception +que dans le cas où la normale à~$(S)$ serait parallèle à l'un des plans coordonnés. + +En périmorphie, on porte, sur les normales à la surface~$(S)$, une longueur~$l$ +constante, on calcule, comme d'habitude, les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ de l'extrémité; il +est visible que la projection de l'élément $d(\Sigma)$, sur le plan instantané~$XOY$, +est proportionnelle à +\[ +\Delta Y_v \Delta X_u - \Delta Y_u \Delta X_v. +\] + +(En désignant par $\Delta X_u$, $\Delta Y_u$ les valeurs de $\Delta X$, $\Delta Y$ lorsque $u$ varie seul.) +Écrivant que l'expression ci-dessus est nulle, on obtiendra une équation du +second degré en~$l$, qui détermine les rayons de courbure principaux. + +Désignant par $\gamma$ le cosinus de l'angle que fait la normale à la surface +moyenne avec~$OZ$, on déduit de~\Eqref{}{23} +\[ +-\frac{p}{\gamma} + = \sqrt{p^2 + \frac{1}{D} \biggl[\left(\frac{dp}{du}\right)^2 + + \left(\frac{dp}{dv}\right)^2\,\biggr]}. +\] + +Les coordonnées instantanées du point de la surface parallèle à~$(M)$ et +distante de~$l$ de cette surface, sont +\begin{align*} +\zeta &= l\gamma, \\ +\xi &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du} - l\gamma \frac{dp}{p\, dv} D^{-\frac{1}{2}}, \\ +\eta &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} - l\gamma \frac{dp}{p\, du} D^{-\frac{1}{2}}. +\end{align*} + +On trouve à l'aide des \Eqref{formules}{1}: +\begin{align*}% [** PP: Align with display on following page] +\frac{\Delta X_u}{D^{-\frac{1}{2}}\, du} % [**** PP: \Delta X_u, etc.?] +&= -Dp + \frac{l\gamma}{p} + \left(\frac{1}{p}\, \frac{dp}{du}\, \frac{dp}{dv} + - \frac{d\gamma}{\gamma\, du}\, \frac{dp}{dv}\right) \\ +%% -----File: 076.png---Folio 70------- +\intertext{que nous écrirons} +% +\frac{\Delta X_u}{D^{-\frac{1}{2}}\, du} + &= -Dp + l\gamma\, \frac{dp}{p\, dv}\, + \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right); \\ +\intertext{de même} +% +\frac{\Delta X_v}{D^{-\frac{1}{2}}\, dv} + &= \frac{l\gamma}{p} \left[ -1 + \frac{dp}{dv}· + \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)\right], \\ +\intertext{également} +% +\frac{\Delta Y_u}{D^{-\frac{1}{2}}\, du} + &= \frac{l\gamma}{p} \left[ 1 + \frac{dp}{du}\, + \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)\right], \\ +\intertext{et, enfin,} +% +\frac{\Delta Y_v}{D^{-\frac{1}{2}}\, dv} + &= Dp + \frac{l\gamma}{p}\, \frac{dp}{du}· + \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right); +\end{align*} +on en conclut, pour l'équation des rayons de courbure principaux, comme il +a été dit: +\[ +\left. +\begin{aligned} +\frac{l^2\gamma^2}{p^2} &\left[ -1 + + \frac{dp}{dv}\, \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right) + - \frac{dp}{du}\, \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right) \right] \\ +% +-Dl \gamma &\left[ + + \frac{dp}{dv}\, \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right) + - \frac{dp}{du}\, \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right) \right] + + D^2 p^2 +\end{aligned}\ \right\} = 0. +\] +Comme on trouve +\begin{align*} +\frac{d}{du} \log \frac{p}{\gamma} + &= \frac{-\dfrac{dp}{D\, du}} + {p^2 + \dfrac{1}{D} \left[\left(\dfrac{dp}{du}\right)^2 + + \left(\dfrac{dp}{dv}\right)^2\right]}, \\ +%% +\intertext{et} +\frac{d}{dv} \log \frac{p}{\gamma} + &= \frac{\dfrac{dp}{D\, dv}} + {p^2 + \dfrac{1}{D} \left[\left(\dfrac{dp}{du}\right)^2 + + \left(\dfrac{dp}{dv}\right)^2\right]}, +\end{align*} +il vient, en définitive, +\[ +l^2 - 2 \frac{l}{\gamma} D \frac{dp}{du}\, D^{-\frac{1}{2}} · + \frac{dp}{dv}\, D^{-\frac{1}{2}} + - \frac{D^2 p^4}{\gamma^4} = 0. +\] + +%% -----File: 077.png---Folio 71------- + +Nous en déduirons, en désignant par $L_1$ et~$L_2$ les deux rayons de courbure +principaux de la surface moyenne +\begin{align*} +L_1 + L_2 &= -\frac{2}{\gamma} D · \eta_M · \xi_M +\Tag{26} \\ +\intertext{avec} +L_1 · L_2 &= -\frac{D^2 · p^4}{\gamma^4} +\Tag{27} +\end{align*} + + +\Section{51.} +{Relation entre les courbures de la surface moyenne et de l'élassoïde moyen.} + +Laissons de côté provisoirement l'\Eqref{équation}{26} et ne nous occupons +que de~\Eqref{}{27}. + +Si $R_1$ et~$R_2$ sont les rayons de courbure principaux de l'élassoïde, égaux +d'ailleurs en valeur absolue, on a +\[ +D = \frac{1}{\sqrt{-R_1 R_2}}. +\] + +Désignons par $V$ l'angle des normales à la surface moyenne~$(M)$ et à +l'élassoïde moyen~$(O)$; on a +\begin{align*} +\overline{OM}^2 + &= \frac{1}{D} \left[\left(\frac{dp}{du}\right)^2 + \left(\frac{dp}{dv}\right)^2\right], \\ +\intertext{d'un autre côté} +p^2 · \tg^2 V + &= \frac{1}{D} \left[\left(\frac{dp}{du}\right)^2 + \left(\frac{dp}{dv}\right)^2\right]. +\end{align*} + +Conséquemment, (27) équivaut à la relation géométrique +\[ +L_1 L_2 · R_1R_2 = \frac{\overline{OM}^4}{\sin V^4} +\Tag{28} +\] + +%% -----File: 078.png---Folio 72------- + +\Section{52.} +{La relation qui précède se retrouve en étudiant les nappes de la développée +d'une surface dont les rayons de courbure principaux sont liés, et en +général dans la théorie de la correspondance par orthogonalité des +éléments.} + +C'est ici qu'il convient de faire un rapprochement. + +Nous avons montré que les deux nappes de la développée d'une surface +dont les rayons de courbure sont liés (surfaces considérées pour la première +fois par M.~Weingarten), se correspondent de telle manière qu'aux asymptotiques +de l'une correspondent les asymptotiques de l'autre. M.~Halphen a +ensuite établi que si $R_1$, $R_2$ sont les rayons de courbure principaux de l'une +des nappes, $L_1$, $L_2$ ceux de l'autre nappe et~$OM$ le segment de normale +compris entre les deux nappes de la développée, +\[ +L_1 L_2 · R_1 R_2 = \overline{OM}^4. +\] + +Dans l'espèce, la congruence, admettant les deux surfaces considérées +comme focales, a ses plans principaux rectangulaires; on peut donc dire que +l'\Eqref{équation}{28} régit aussi les relations des deux nappes, puisque $\sin V$ est +égal à l'unité. + +Ces propriétés similaires tiennent à des lois beaucoup plus générales se +rapportant aux liaisons des nappes de congruences particulières. C'est ce que +nous établirions en rattachant toutes ces théories à celles des couples de +surfaces applicables l'une sur l'autre. + +Mais nous devons nous refuser à nous écarter plus longtemps de la théorie +des élassoïdes; nous aurons d'ailleurs encore l'occasion de faire allusion à +plusieurs théorèmes généraux qui trouvent de remarquables applications dans +la théorie des élassoïdes. (Voir \chapitre{XXII}.) + +Revenons aux surfaces moyennes, et cherchons s'il n'est pas possible +qu'une surface moyenne soit élassoïde. + +%% -----File: 079.png---Folio 73------- + +\Section{53.} +{La surface moyenne ne peut être un élassoïde réel qu'en coïncidant +avec une surface de vis à filet quarré qui est aussi l'élassoïde moyen.} + +Il faut d'après~\Eqref{}{26} que +\[ +\eta_M - \xi_M = 0. +\] + +La droite~$OM$ serait donc toujours tangente à une asymptotique de l'élassoïde~$(o)$, +mais le résultat s'obtient très-facilement à l'aide des \Eqref{équations}{20}: +puisque l'axe des~$X$ est une asymptote de l'indicatrice, on doit avoir +\[ +P = \frac{df}{g\, dv} = 0. +\] + +Donc, l'\emph{élassoïde est réglé}, puisque l'\Eqref{asymptotique}{8} est géodésique. +D'après un théorème dû à M.~Catalan, on sait que l'élassoïde (quand il est +réel) n'est autre chose que la surface de vis à filet quarré. + +Comme il n'est pas sans intérêt de faire connaître les congruences +isotropes assez singulières, dont nous venons de signaler l'existence, nous +établirons, par nos procédés, le résultat de M.~Catalan, et nous intégrerons le +\Eqref{groupe}{20}. + +Pour éviter les imaginaires, il convient de revenir aux premiers calculs +du \Secref{29}. De ce que les \Eqref{lignes}{8} sont à la fois asymptotiques et géodésiques, +\begin{align*} +Dg^2 &= V, \\ +D &= U, +\end{align*} +$f$ étant pris égal à l'unité. La troisième des équations de Codazzi donne, +pour déterminer~$g$, +\[ +\frac{V^2}{g^5} = \frac{d^2g}{du^2} +\] +%% -----File: 080.png---Folio 74------- +dont l'intégrale générale est ici +\[ +g^2 = Lu^2 + 2Mu + N, +\] +moyennant que +\[ +V = NL - M^2; +\] +mais comme on doit avoir +\[ +\frac{1}{D} = \frac{Lu^2 + 2Mu + N}{NL - M^2} = \frac{1}{u}, +\] +$L$, $M$ et~$N$ doivent être des constantes. + +Dans le cas où $L$ ne sera pas nul, on changera de variable en prenant +une nouvelle $v$ définie par +\[ +dv_1= \sqrt{L}\, dv, +\] +et si l'on prend pour nouvelle variable~$u$, un terme convenable, on voit que +le carré de l'élément linéaire de la surface peut s'écrire +\[ +ds^2 = du^2 + (u^2 + A^2)\, dv^2. +\Tag{29} +\] + +Au contraire, dans le cas où $L$ serait nul, on pourrait écrire cette expression +sous l'une des formes +\begin{align*} +ds^2 &= du^2 + u\, dv^2 +\Tag{30} \\ +ds^2 &= du^2 + dv^2. +\end{align*} + +Cette dernière caractérise le plan. + +Dans l'hypothèse correspondant à l'\Eqref{équation}{29}, on a +\[ +D = \frac{1}{\sqrt{-R_1R_2}} = \frac{A}{u^2 + A^2}, +\] +les rayons de courbure principaux sont réels puisqu'ils sont égaux et qu'ils +doivent être de signes opposés, pour que la surface soit réelle. + +%% -----File: 081.png---Folio 75------- + +Dans l'hypothèse caractérisée par l'\Eqref{équation}{30} +\[ +-D^2 = \frac{1}{4u^2} = \frac{1}{R_1R_2}; +\] +donc, pour toute valeur réelle de~$u$, les rayons de courbure principaux seront +de même signe; la surface est imaginaire. (Les congruences isotropes ne +peuvent apparaître dans les présents calculs basés sur l'hypothèse de l'orthogonalité +de lignes asymptotiques distinctes). + +Revenons à l'\Eqref{équation}{29}, on a +\[ +\frac{dg}{g\, du} = \frac{u}{u^2 + A^2}. +\] + +Or, cette expression exprime la courbure géodésique des lignes~$(u)$; et +comme les plans osculateurs sont tangents à l'élassoïde, on voit que les +premières courbures de ces courbes sont constantes tout le long de l'une +d'entre elles. + +Le rayon de seconde courbure~$D$ est dans le même cas. + +Les lignes~$(u)$ sont donc des \emph{hélices} orthogonales aux génératrices~$(v)$; +l'une de ces hélices se réduit à une droite, au cas où $u$ s'annule. La surface +est une \emph{surface de vis à filet quarré}, comme l'avait indiqué, depuis longtemps, +M.~Catalan. + + +\Section{54.} +{Recherche des congruences isotropes dont la surface moyenne est élassoïde.} + +Passons à la détermination des congruences isotropes admettant cette +surface de vis pour surface moyenne. + +Il est clair qu'il doit entrer dans leur définition une constante arbitraire, +car si l'on opère sur une congruence satisfaisante la transformation du \Secref{34} +en prenant pour direction fixe celle de l'hélice réduite à une droite, on obtient +encore une congruence isotrope satisfaisante. + +%% -----File: 082.png---Folio 76------- + +Ici le \Eqref{groupe}{20} se réduit à +\begin{align*} +\frac{d\xi}{dv} &= 0, \\ +\frac{d(g\xi)}{du} &= -2g. +\end{align*} + +Si $u$ désigne la distance d'un point~$M'$ de la génératrice de l'héliçoïde à %[** PP: Typo héliçoide] +l'axe~$OZ$, $\theta$ désignant l'angle de la normale en $M'$ avec cet axe, on a +\begin{align*} +u &= A \cot \theta, \\ +g &= \frac{A}{\sin \theta}, \\ +\intertext{et, par conséquent,} +d \left(\frac{A\xi}{\sin \theta}\right) + &= 2 \frac{A^2}{\sin^3 \theta}\, d\theta, \\ +\intertext{on en conclut} +\frac{\xi + A \cot \theta}{\sin \theta} + &= A \log \tg \frac{\theta}{2} + C. \\ +\intertext{\indent Si $D$ est la droite de la congruence isotrope,} +CP &= \xi + A \cot \theta. +\end{align*} + +Nous voulons seulement faire observer que si l'on considère les surfaces +élémentaires de la congruence admettant pour lignes de striction les génératrices +de l'héliçoïde, on aura une \emph{famille de surfaces identiques, déplacées +héliçoïdalement}\footnotemark. +\footnotetext{L'équation +\[ +u = \sin \theta A \left(\log \tg \frac{\theta}{2} + C\right) +\] +est l'équation de la surface réglée élémentaire.}% End of footnote + +La transformation du \Secref{34}, effectuée avec généralité, donnera, avec deux +%% -----File: 083.png---Folio 77------- +constantes arbitraires, des surfaces moyennes dont les asymptotiques correspondront +aux génératrices et aux hélices orthogonales de la surface +de vis. + +Enfin, l'\Eqref{équation}{28} doit être vérifiée identiquement si l'on prend deux +points arbitraires, situés sur une même génératrice de l'héliçoïde, sans quoi +la relation précitée donnerait l'intégrale des congruences isotropes satisfaisantes, +chose impossible, puisque la constante fait défaut. La vérification se +fait immédiatement. + +Nous ne poursuivrons pas plus loin l'étude des surfaces moyennes qui se +prêterait pourtant à d'intéressants développements. Nous avons désiré faire +voir, par ce qui précède, combien la considération des congruences isotropes +est motivée. Nous allons montrer maintenant comment en cherchant à obtenir, +par les procédés les plus simples, les congruences isotropes, on arrive naturellement +à étendre encore la théorie des élassoïdes. + +\TbEoC + +%% -----File: 084.png---Folio 78------- + + +\Chapter{IX.} +{CONGRUENCES ISOTROPES DÉRIVÉES DE LA SPHÈRE.} + +\Section{55.} +{Formules donnant le $ds^2$ d'une surface, ses lignes de courbure et asymptotiques, +les rayons de courbure principaux, en fonction des éléments sphériques +de l'image.} + +Avant de poursuivre les conséquences des résultats obtenus au \Secref{28} qui +rattachent à la théorie des réseaux isométriques sphériques celle des congruences +isotropes, il est nécessaire d'établir rapidement quelques calculs +ayant trait à la représentation sphérique des surfaces, et qui, d'ailleurs, s'obtiennent +aisément par les procédés de périmorphie. + +Prenons pour surface de référence une sphère de rayon un, pour réseau +$(u, v)$ un réseau isométrique; soit~$p$ la distance au plan tangent d'une +surface arbitraire~$(A)$, du centre de la sphère. L'équation instantanée du +plan tangent est +\[ +Z - p + 1 = 0. +\] +On obtiendra le point de contact en cherchant l'enveloppe des caractéristiques. + +Dans l'espèce, comme +\begin{gather*} +ds^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2), \\ +P = Q = \lambda,\quad D=0, +\end{gather*} +%% -----File: 085.png---Folio 79------- +l'équation du plan tangent dans sa seconde position est +\[ +Z + \left(\lambda X - \frac{dp}{du}\right) du + + \left(\lambda Y - \frac{dp}{dv}\right) dv + 1 = 0. +\] + +On voit que les coordonnées instantanées du point de contact ont pour +valeurs +\[ +\xi = \frac{dp}{\lambda\, du},\quad +\eta = \frac{dp}{\lambda\, dv}. +\] + +Si l'on suit un chemin caractérisé par les accroissements $du$, $dv$ sur la +sphère, le point~$A$ de contact décrit une courbe et les normales le long de +celle-ci, à la surface~$(A)$ normales parallèles à celles de la sphère, engendrent +une surface élémentaire ou \emph{normalie} (d'après une locution introduite par +M.~Mannheim). On a, comme d'habitude, pour l'équation de la variation du +plan tangent le long d'une normale appartenant à la surface élémentaire +\[ +\tg \theta = +\frac{du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi \right) + + dv \left(\dfrac{d\eta}{dv} + \lambda l + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi\right)} + {du \left(\dfrac{d\xi}{du} + \lambda l + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta\right) + + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta\right)}. +% [** PP: Added .] +\Tag{31} +\] + +Tenant compte des valeurs de $\xi$ et de~$\eta$, passant aux coordonnées symétriques +imaginaires, et posant +\begin{align*} +a &= \frac{dp}{\lambda^2\, dx}, \\[1ex] +b &= \frac{dp}{\lambda^2\, dy}, \\[1ex] +c &= \frac{1}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy}, +\end{align*} +il vient +\[ +e^{-2i\theta} + = \frac{dx\, \dfrac{da}{dx} + dy \left(c + \dfrac{l}{2}\right)} + {dx \left(c + \dfrac{l}{2}\right) + dy\, \dfrac{db}{dy}} +\Tag{32} +% [** F1: Missing comma?] +\] +équation dans laquelle $\theta$ est l'angle du plan tangent à la normalie et du plan +%% -----File: 086.png---Folio 80------- +$ZOX$, $l-1$ est la hauteur au-dessus du plan~$XOY$ du point de contact du +plan tangent précité. + +Puisqu'on a les valeurs instantanées des coordonnées du point de contact~$A$, +rien n'est plus simple que de former les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ de ce point. Élevant +au carré ces expressions et ajoutant, on trouve pour le carré de l'élément +linéaire de la surface~$(A)$ +\[ +\frac{dS^2}{\lambda^2} = +(p + 2c) \left[2 \frac{da}{dx}\, dx^2 + + (p + 2c)\, dx · dy + + 2 \frac{db}{dy}\, dy^2\right] + + 4 \frac{da}{dx} · \frac{db}{dy}\, dx\, dy. +\Tag{33} +\] + +L'\Eqref{équation}{32} permet de trouver l'expression des rayons de courbure +principaux de la surface~$(A)$ ainsi que les équations des images sphériques de +ses lignes de courbure. Opérant comme nous l'avons déjà fait bien souvent +dans ce mémoire, on trouve: \primo~pour l'équation des images sphériques +\[ +% [** PP: Changed + to =] +\frac{dy}{dx} = ± \sqrt{\frac{\;\dfrac{da}{dx}\;}{\dfrac{db}{dy}}}\;. +\Tag{34} +\] +\secundo~pour l'équation des rayons de courbure principaux +\[ +R^2 - 2R(2c+p) + (2c+p)^2 - 4 \frac{da}{dx} · \frac{db}{dy} = 0. +% [** PP: Added .] +\Tag{35} +\] + +Enfin, nous exprimerons que deux directions de~$(A)$ caractérisées par les +accroissements $dx$, $dy$ d'une part, $dx'$, $dy'$ d'autre part, sont conjuguées, en +écrivant que le plan tangent en~$A$ à la normalie correspondant aux accroissements +$dx'$, $dy'$ est le plan central de la normalie correspondant aux accroissements +$dx$, $dy$ (théorème de Joachimstal). Nous n'insistons plus sur ces calculs. +On trouve ainsi pour l'équation des lignes conjuguées de~$(A)$ +\[ + \frac{da}{dx} · dx \Reg{·}{\,} dx' ++ \left(c + \frac{p}{2}\right)(dx\, dy' + dy\, dx') ++ \frac{db}{dy} · dy \Reg{}{\,} dy' = 0. % [** PP: Added .] +\Tag{36} +\] + +Il en résulte pour l'équation des lignes asymptotiques +\[ + \frac{da}{dx} · dx^2 ++ 2\left(c + \frac{p}{2}\right) dx \Reg{·}{\,} dy ++ \frac{db}{dy} \Reg{}{·} dy^2 = 0. +\] + +%% -----File: 087.png---Folio 81------- + +L'importance des calculs qui précèdent tient à ce que la surface~$(A)$ est +arbitraire et à ce que le réseau sphérique $(u, v)$ l'est également (pourvu qu'il +soit isométrique). + + +\Section{56.} +{Équation la plus générale d'un élassoïde en coordonnées sphériques.} + +Dans le cas actuel, puisqu'il s'agit d'élassoïdes, nous obtiendrons l'équation +différentielle de ces surfaces en écrivant, par exemple, que dans l'\Eqref{équation}{35} +le terme du premier degré en~$R$ disparaît, c'est-à-dire que la courbure +moyenne de la surface est nulle. Il vient +\[ +p + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} = 0 +\Tag{37} +\] +l'équation des lignes de courbure ne change pas, mais celle des asymptotiques +devient +\[ +dx \sqrt{\frac{da}{dx}} ± \sqrt{-1} \sqrt{\frac{db}{dy}} · dy = 0 +\Tag{38} +\] +enfin le carré de l'élément linéaire de l'élassoïde prend la forme remarquable +\[ +\frac{dS^2}{\lambda^2} = 4 \frac{da}{dx} · \frac{db}{dy} · dx \Reg{·}{\,} dy. +% [** PP: Added .] +\Tag{39} +\] + +Rappelons, en dernière analyse, que $\lambda$ satisfait à la troisième équation de +Codazzi +\[ +\lambda^2 + 2 \frac{\lambda^2 \log \lambda^2}{dx\, dy} = 0. +\Tag{40} +% [** PP: Added .] +\] + +Si l'on remplace $\lambda^2$ par~$D$ on voit que les \Eqref{équations}{37} et~\Eqref{}{40} coïncident +avec les deux premières du \Eqref{groupe}{11}. + +%% -----File: 088.png---Folio 82------- + +Leur intégrale générale est donc +\begin{gather*} +-\frac{\lambda^2}{2} = \frac{2X'Y'}{(X + Y)^2}, \\ +p = \frac{X'_1}{X'} + \frac{Y'_1}{Y'} - 2 \frac{X_1 + Y_1}{X + Y}, +\end{gather*} +et ici, les fonctions $X_1$ et~$Y_1$ sont assujetties seulement à être, comme $X$ et~$Y$, +des fonctions arbitraires des variables $x$ et~$y$. + + +\Section{57.} +{Un élassoïde et la sphère image ont toujours leurs lignes isotropes +correspondantes.} + +Déduisons maintenant des conséquences. + +L'\Eqref{équation}{39} montre que les \textit{lignes isotropes d'un élassoïde ont pour +image sphérique les lignes isotropes de la sphère}. D'après une théorie bien +connue, il en résulte que, si l'on fait correspondre un élassoïde et une sphère +par parallélisme des plans tangents, on a un mode de correspondance dans +lequel les angles se conservent. + +Ceci démontre que l'élassoïde est la seule surface correspondant de la sorte +à la sphère. (Théorème dû à M.~Ossian Bonnet.) + + +\Section{58.} +{Remarque au sujet de la forme explicite des fonctions arbitraires qui entrent +dans l'équation intégrale d'un élassoïde.} + +On vérifie, sur l'\Eqref{équation}{38}, que les asymptotiques d'un élassoïde sont +rectangulaires. + +La valeur la plus générale de~$p$, convenant aux élassoïdes, peut s'écrire +%% -----File: 089.png---Folio 83------- +sous la forme simple et très-utile +\[ +p = X' + 2X \frac{d\lambda}{\lambda\, dx} + Y' + 2Y \frac{d\lambda}{\lambda\, dy} +\Tag{41} +\] +où ne figurent plus que les deux fonctions arbitraires nécessaires et suffisantes, +celles qui caractérisent le réseau isométrique sphérique étant masquées. + +Inversement, on peut dans la formule qui précède particulariser autant +que l'on voudra les fonctions arbitraires $X$ et~$Y$, pourvu qu'on laisse à $\lambda$ toute +la généralité que comportent les deux fonctions arbitraires de son expression +en $x$ et~$y$; on obtiendra encore l'intégrale générale des élassoïdes, seulement +\textit{ils se sépareront en autant de groupes qu'il y a de réseaux isométriques sphériques +distincts}. + +Cette conséquence résultait également des calculs du \Secref{27} relatifs aux +congruence isotropes. + + +\Section{59.} +{Remarque sur les réseaux sphériques isométriques et trajectoires +les uns des autres.} + +Avant de déduire, de ce qui précède, les remarquables propriétés des +\emph{élassoïdes groupés}, il convient de démontrer un résultat simple et connu, mais +qui nous importe particulièrement. + +\begin{Emph} +Les trajectoires des courbes~$(u)$ sous un angle constant $\omega$ et les trajectoires +sous le même angle des courbes~$(v)$ forment un réseau isométrique si le réseau +sphérique $(u, v)$ est isométrique; la valeur du~$\lambda$, pour les deux réseaux, est la +même. +\end{Emph} + +Soit, en effet, sur une surface qui peut être arbitraire +\[ +dS^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2), +\] +posons +\begin{align*} +du &= du' \cos\omega - dv' \sin\omega, \\ +dv &= du' \sin\omega + dv' \cos\omega, +\end{align*} +%% -----File: 090.png---Folio 84------- +il est clair que +\[ +du^2 + dv^2 = {du'}^2 + {dv'}^2. +\] + +En conséquence, le carré de l'élément linéaire de la surface peut s'écrire +indifféremment +\[ +dS^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2) + = \lambda^2({du'}^2 + {dv'}^2), +\] +d'où résulte la proposition annoncée. + + +\Section{60.} +{D'un réseau sphérique isométrique on peut déduire une infinité de congruences +isotropes donnant lieu à une famille d'élassoïdes groupés.} + +Ceci posé, si nous nous reportons aux calculs du \Secref{27}, nous voyous +qu'étant donné un réseau isométrique sphérique, on en déduira une infinité +de congruences isotropes, de la façon suivante: le pied~$M$ de chacune des +droites~$D$ sera à la distance~$\lambda$ de~$O$, et la droite~$OM$ fera un angle constant~$\omega$ +avec la tangente~$OX$ de la courbe~$(v)$. + +Il est clair, d'ailleurs, que le segment~$OM$ peut être multiplié par une constante; +car on obtiendra ainsi des congruences isotropes, homothétiques par +rapport au centre de la sphère de référence. + +Chaque congruence isotrope, déduite du réseau isométrique sphérique, +donnera lieu à un élassoïde moyen; tous ces élassoïdes formeront un groupe +dont nous allons établir les propriétés. + +Nous avons trouvé, au \Secref{28}, que si l'on porte le segment $\lambda$ sur~$OX$: + +\primo~Le \emph{plan moyen} de la congruence isotrope est à la distance~$p$ du centre +de la sphère, marquée par +\[ +p = -\frac{d\lambda}{\lambda\, du}. +\] + +\secundo~Le \emph{paramètre} de la congruence a pour valeur +\[ +p = -\frac{d\lambda}{\lambda\, dv}. +\] + +%% -----File: 091.png---Folio 85------- + +\Section{61.} +{Calcul des éléments des élassoïdes groupés.} + +Il en résulte que, si nous désignons par~$\rho_{\omega}$ et~$p_{\omega}$ les valeurs analogues, +relatives à la congruence isotrope définie par des positions de $OM$ faisant avec +$OX$ l'angle~$\omega$, nous aurons +\begin{align*} +\rho_\omega &= -\frac{d\lambda}{\lambda\, du'} + = -\cos\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, du} + -\sin\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}, % [** PP: Added ,] +\Tag{42} \\ +% +p_\omega &= - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv'} + = \phantom{-} + \sin\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, du} + -\cos\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}. % [** PP: Added .] +\Tag{43} +\end{align*} + +L'\Eqref{équation}{42} donnant, en définitive, les distances du centre de la +sphère de référence aux plans tangents parallèles des élassoïdes groupés +doit coïncider avec~\Eqref{}{41} particularisée; passant aux coordonnées symétriques +imaginaires, \Eqref{}{42}~devient +\[ +\rho_\omega + = -\left[\frac{d\lambda}{\lambda\, dx} (\cos\omega + i \sin\omega) + +\frac{d\lambda}{\lambda\, dy} (\cos\omega - i \sin\omega)\right]. +\] +Et cette équation coïncide avec~\Eqref{}{41} si l'on fait dans celle-ci +\begin{align*} +2X &= -(\cos\omega + i \sin\omega), \\ +2Y &= -(\cos\omega - i \sin\omega). +\end{align*} + +Dans l'espèce, adoptant les notations du \Secref{55}, et tenant compte de +l'\Eqref{équation}{40}, on trouve: +\begin{align*} +-a &= \frac{1}{\lambda^2}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\, (\cos\omega + i \sin\omega) + - \frac{1}{4} (\cos\omega - i \sin\omega), \\ +-b &= \frac{1}{\lambda^2}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\, (\cos\omega - i \sin\omega) + - \frac{1}{4} (\cos\omega + i \sin\omega); +\end{align*} +%% -----File: 092.png---Folio 86------- +par conséquent, +\begin{align*} +-\frac{da}{dx} &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\right) (\cos\omega + i \sin\omega), \\ +-\frac{db}{dy} &= \frac{d}{dy} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\right) (\cos\omega - i \sin\omega). +\end{align*} + + +\Section{62.} +{Tous les élassoïdes groupés sont applicables sur l'un d'entre eux; +ils ne sont pas identiques.} + +La \Eqref{formule}{33} qui a trait au carré de l'élément linéaire devient en +conséquence +\[ +\frac{dS^2}{\lambda^2} + = 4 \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\right) + \frac{d}{dy} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\right) dx\, dy, +\] +résultat qui ne contient plus trace de l'angle~$\omega$. On peut donc énoncer cet +important résultat: + +\begin{Emph} +Tous les élassoïdes groupés, dérivés d'un même réseau isométrique +sphérique, sont applicables sur l'un d'entre eux. +\end{Emph} + +Mais il pourrait y avoir doute sur leur non-identité quoique l'identité dût +entraîner des conséquences (en ce qui concerne les valeurs de~$\rho_\omega$) à priori +non réalisées. + +Pour donner une preuve décisive, nous chercherons l'équation de l'image +sphérique des lignes de courbure de l'élassoïde du groupe, le plus général, +et nous ferons voir qu'elle varie avec~$\omega$. + +On a, d'après~\Eqref{}{34}, pour l'équation de l'image +\[ +\frac{dy}{dx} = ± \sqrt{ + \frac{\dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{1}{\lambda}\, \dfrac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\right) (\cos\omega + i \sin\omega)} + {\dfrac{d}{dy} \left(\dfrac{1}{\lambda}\, \dfrac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\right) (\cos\omega - i \sin\omega)}}, +\] +ce qui établit la proposition annoncée. + +On peut même déduire de cette relation une conséquence géométrique +importante. + +%% -----File: 093.png---Folio 87------- + +\Section{63.} +{Les élassoïdes groupés ont pour images sphériques de leurs lignes de +courbure des réseaux isométriques trajectoires les uns des autres sous +des angles constants.} + +D'après~\Eqref{}{32}, si l'on suit une ligne de courbure de la surface~$(A)$, on a +\[ +e^{-2i\theta} = \frac{dy}{dx}. +\] + +Dès lors, si nous désignons par~$\theta_\omega$ l'angle que l'image d'une ligne de +courbure de l'élassoïde général fait avec~$OX$, nous aurons +\[ +e^{-4i\theta_\omega} + = e^{-4i\theta_0} \frac{\cos\omega + i \sin\omega} + {\cos\omega - i \sin\omega} + = e^{-4i\theta_0} · e^{2\omega i}, +\] +d'où résulte simplement +\[ +\theta_\omega - \theta_0 = \frac{\omega}{2}. +\] + +Ainsi \textit{les images sphériques des lignes de courbure des élassoïdes groupés +sont trajectoires, sous des angles constants, les unes des autres}. + +Prenons, par exemple, deux élassoïdes du groupe caractérisés par des +valeurs du paramètre~$\omega$ différant d'une constante~$\alpha$, leurs images sphériques +se couperont mutuellement sous l'angle~$\frac{\alpha}{2}$. + +Il est bien clair que les résultats qui précèdent s'appliquent également +aux images sphériques des asymptotiques des divers élassoïdes du groupe. + +Sans chercher à particulariser davantage pour le moment, faisons cette +observation que les images sphériques des élassoïdes d'un même groupe +forment sur la sphère un groupe de réseaux isométriques trajectoires, sous +des angles constants, les uns des autres. [Les équations de Codazzi montrent +immédiatement que l'image sphérique des lignes de courbure d'un élassoïde +est isométrique.] + +Si donc on suppose obtenue l'image sphérique des lignes de courbure des +élassoïdes groupés, on pourra la prendre pour point de départ d'un nouveau +groupe d'élassoïdes et ainsi de suite. + +%% -----File: 094.png---Folio 88------- + +\Section{64.} +{Recherche des élassoïdes admettant pour image sphérique de leurs lignes de +courbure un réseau isométrique déterminé. Intégration des congruences +isotropes satisfaisantes.} + +Inversement, on est conduit à résoudre le problème suivant: \emph{étant donné +un réseau isométrique sphérique, trouver l'élassoïde qui l'admet pour image +de ses lignes de courbure; intégrer ses congruences isotropes génératrices}. + +Nous pourrions déduire la solution, de ce qui précède, mais il est tout +aussi simple de l'établir directement. + +Prenons pour réseau $(u, v)$ le réseau isométrique choisi. Soient $\xi$ et~$\eta$ les +coordonnées instantanées du pied de la droite~$D$ de la congruence isotrope, +$p$~le paramètre de la congruence, $\rho$~la distance du plan moyen au centre de +la sphère de référence. Sans recommencer des calculs identiques à ceux qui +ont été faits si souvent, nous écrirons immédiatement + +% **** Provisional code +% N.B. Blank line to prevent \baselineskip reduction above +{\scriptsize +\begin{align*} +\makebox[12pt][r]{$\rho-1$} + &= -\frac{dv \left[dv \left(\lambda + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi\right) + + du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv}\xi\right)\right] + + du \left[du \left(\lambda + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta\right) + + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du}\eta\right)\right]} + {\lambda (du^2 + dv^2)}, \\[1.5ex] +% +p &= \Neg\frac{dv \left[du \left(\lambda + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta\right) + + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du}\eta\right)\right] + - du \left[dv \left(\lambda + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi\right) + + du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv}\xi\right)\right]} + {\lambda (du^2 + dv^2)}. +\end{align*} +%** +}% + +La congruence étant isotrope, ces expressions doivent être indépendantes +de $du$ et~$dv$, ce qui entraîne +\begin{align*} +& \frac{d\eta}{du} - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi + \frac{d\xi}{dv} - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta = 0, \\ +& \frac{d\eta}{dv} + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi = \frac{d\xi}{du} + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta. +\end{align*} + +%% -----File: 095.png---Folio 89------- + +Et alors on a, en effet +\begin{align*} +p &= \frac{\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta}{\lambda} + = -\frac{\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi}{\lambda}, \\ +% +-\rho + &= \frac{d\eta}{\lambda\, dv} - \frac{d\lambda}{\lambda^2\, du} \xi + = \frac{d\xi}{\lambda\, du} + \frac{d\lambda}{\lambda^2\, dv} \eta. +\end{align*} + +Prenons pour variables canoniques $p$ et~$\rho$, nous aurons le groupe +\[ +\left. +\begin{aligned} +\frac{d\xi}{du} + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta &= -\lambda \rho, + & \frac{d\xi}{dv} - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta &= \lambda p \\ +% +\frac{d\eta}{du} - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi &= -\lambda p, + & \frac{d\eta}{dv} + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi &= -\lambda \rho +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{44} +\] + +Opérant comme au \Secref{31} en tenant compte de l'équation +\[ +\frac{d^2 \log \lambda}{du^2} + \frac{d^2 \log \lambda}{dv^2} + \lambda^2 = 0, +\] +il vient +\begin{align*} +\xi &= \lambda^{-1} \left(\frac{d\rho}{du} - \frac{dp}{dv}\right), \\ +\eta &= \lambda^{-1} \left(\frac{d\rho}{dv} + \frac{dp}{du}\right). +\end{align*} + +Exprimant que ces valeurs de $\xi$ et~$\eta$ satisfont au \Eqref{groupe}{44}, on obtient +le groupe définitif +\[% [** PP: Added punctuation] +\left. +\begin{aligned} +\frac{d^2\rho}{du^2} + - \frac{d^2p}{du\, dv} + + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{d\rho}{dv} + \frac{dp}{du}\right) + - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{d\rho}{du} - \frac{dp}{dv}\right) + + \lambda^2\rho = 0, \\ +% +\frac{d^2\rho}{dv^2} + + \frac{d^2p}{du\, dv} + + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{d\rho}{du} - \frac{dp}{dv}\right) + - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{d\rho}{dv} + \frac{dp}{du}\right) + + \lambda^2\rho = 0, \\ +% +\frac{d^2p}{du^2} + + \frac{d^2\rho}{du\, dv} + + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{dp}{dv} - \frac{d\rho}{du}\right) + - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{dp}{du} + \frac{d\rho}{dv}\right) + + \lambda^2 p = 0, \\ +% +\frac{d^2p}{dv^2} + - \frac{d^2\rho}{du\, dv} + + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{dp}{du} + \frac{d\rho}{dv}\right) + - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{dp}{dv} - \frac{d\rho}{du}\right) + + \lambda^2 p = 0. +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{45} +\] + +Les valeurs des $\xi$, $\eta$ et le \Eqref{groupe}{45}, définissent, par rapport à la sphère +%% -----File: 096.png---Folio 90------- +de référence, la congruence isotrope la plus générale. Il s'agit d'exprimer +maintenant que l'élassoïde central a pour image sphérique le réseau isométrique +$(u, v)$. + +On a +\[ +1 = e^{-2i\theta} = \frac{dy}{dx} + = \sqrt{\frac{\;\dfrac{da}{dx}\;}{\dfrac{db}{dy}}}. +\] +En outre, on sait d'avance que +\[ +\rho + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} = 0. +\Tag{46} +\] + +Si l'on voulait simplement obtenir l'élassoïde satisfaisant, il faudrait intégrer~\Eqref{}{46} +et vérifier la condition +\[ + \frac{d}{dx} \left(\frac{d\rho}{\lambda^2\, dx}\right) += \frac{d}{dy} \left(\frac{dp}{\lambda^2\, dy}\right) +\Tag{47} +\] +mais pour obtenir les congruences isotropes correspondantes, il faut vérifier +le \Eqref{groupe}{45}; celui-ci se transforme, en passant aux coordonnées symétriques +imaginaires, en un groupe qu'il s'agit de former: \Eqref{}{45}~peut s'écrire +\begin{gather*} +\frac{d^2\rho}{du^2} + + \frac{d^2\rho}{dv^2} + + 2\lambda^2\rho + = \frac{d^2p}{du^2} + + \frac{d^2p}{dv^2} + + 2\lambda^2 p = 0, \\ +% +\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dv^2} - \frac{d^2\rho}{du^2}\right) + - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} · \frac{d\rho}{dv} + + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} · \frac{d\rho}{du} + + \left[\frac{d^2p}{du\, dv} + - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} · \frac{dp}{dv} + - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} · \frac{dp}{du}\right] = 0, \\ +% +\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{du^2} - \frac{d^2p}{dv^2}\right) + - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} · \frac{dp}{du} + + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} · \frac{dp}{dv} + + \left[\frac{d^2\rho}{du\, dv} + - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} · \frac{d\rho}{dv} + - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} · \frac{d\rho}{du}\right] = 0. +\end{gather*} + +Il vient, en passant aux coordonnées imaginaires +\begin{gather*} + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2\rho}{dx\, dy} + \rho += \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} + p = 0, \\[2ex] +% +\begin{aligned} +-\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dx^2} + \frac{d^2\rho}{dy^2}\right) + &+ \frac{d\lambda}{\lambda\, dx} · \frac{d\rho}{dx} + + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy} · \frac{d\rho}{dy} \\ + &+ i\left[\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{dx^2} - \frac{d^2p}{dy^2}\right) + - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx} · \frac{dp}{dx} + + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy} · \frac{dp}{dy}\right] = 0, \\[2ex] +% ++\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{dx^2} + \frac{d^2p}{dy^2}\right) + &- \frac{d\lambda}{\lambda\, dx} · \frac{dp}{dx} + - \frac{d\lambda}{\lambda\, dy} · \frac{dp}{dy} \\ + &+ i\left[\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{d^2\rho}{dy^2}\right) + - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx} · \frac{d\rho}{dx} + + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy} · \frac{d\rho}{dy}\right] = 0, +% [** PP: d^2 p/dx^2 -> d^2 \rho/dx^2] +\end{aligned} +\end{gather*} +%% -----File: 097.png---Folio 91------- +on en déduit +\[ +\left. +\begin{aligned} +\frac{d^2p}{dx^2} + i\frac{d^2\rho}{dx^2} + - 2\frac{d\lambda}{\lambda\, dx} \left(\frac{dp}{dx} + i\frac{d\rho}{dx}\right) &= 0 \\ +% +\frac{d^2p}{dy^2} - i\frac{d^2\rho}{dy^2} + - 2\frac{d\lambda}{\lambda\, dy} \left(\frac{dp}{dy} - i\frac{d\rho}{dy}\right) &= 0 \\ +% +\rho + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2\rho}{dx\, dy} + = p + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} &= 0 +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{48} +\] + +Ces quatre équations à elles seules régissent le problème des congruences +isotropes. + +Comme cela devait être, (46) est vérifiée, ce qui démontre une fois de plus +le théorème fondamental. + +L'\Eqref{équation}{47}, exprimant la coïncidence de l'image sphérique des lignes +de courbure de l'élassoïde moyen et du réseau isométrique pris pour origine, +devient, développée, +\[ +\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{d^2\rho}{dy^2}\right) + - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx} · \frac{d\rho}{dx} + + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy} · \frac{d\rho}{dy} = 0 +\Tag{49} +\] +on voit qu'elle entraîne +\[ +\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{dx^2} + \frac{d^2p}{dy^2}\right) + - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx} · \frac{dp}{dx} + - \frac{d\lambda}{\lambda\, dy} · \frac{dp}{dy} = 0. % [**PP: Added .] +\Tag{50} +\] + +Ainsi se trouve préparé le problème que nous avons en vue. Quant à +l'intégration, elle ne présente pas de nouvelles difficultés: + +Remplaçons $\lambda^2$ par~$D$, nous aurons: + +\primo~Pour ce qui concerne~$\rho$ +\begin{gather*} +\frac{D\rho}{2} + \frac{d^2\rho}{dx\, dy} = 0, \\ +\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{d^2\rho}{dy^2} + - \frac{dD}{D\, dx} · \frac{d\rho}{dx} + + \frac{dD}{D\, dy} · \frac{d\rho}{dy} = 0. +\end{gather*} + +Comme +\[ +D = -\frac{4X'Y'}{(X+Y)^2}, +\] +on doit avoir +\[ +\rho = \frac{X'_1}{X'} + \frac{Y'_1}{Y'} + - 2 \frac{X_1 + Y_1}{X + Y}. +\] +%% -----File: 098.png---Folio 92------- +Mais alors +\begin{align*} +\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{dD}{D\, dx} · \frac{d\rho}{dx} + &= \left(\frac{X'_1}{X'}\right)'' + - \left(\frac{X'_1}{X'}\right)' \left(\frac{X''}{X'}\right), \\ +% +\frac{d^2\rho}{dy^2} - \frac{dD}{D\, dy} · \frac{d\rho}{dy} + &= \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)'' + - \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)' \left(\frac{Y''}{Y'}\right). +\end{align*} +Par conséquent, l'\Eqref{équation}{49} ne peut être vérifiée que si +\[ +\left(\frac{X'_1}{X'}\right)'' + - \left(\frac{X'_1}{X'}\right)' \left(\frac{X''}{X'}\right) + = K + = \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)'' + - \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)' \left(\frac{Y''}{Y'}\right), +\] +où $K$ désigne une constante arbitraire. + +On conclut facilement de ce qui précède +\begin{align*} +X_1 &= \int X'\, dx \int X'\, dx \int \frac{K\, dx}{X'} + aX^2 + bX + c, \\ +Y_1 &= \int Y'\, dy \int Y'\, dy \int \frac{K\, dy}{Y'} + a'Y^2 + b'Y + c'. +\end{align*} + +\secundo~En ce qui concerne~$p$, on trouverait semblablement +\[ +p = \frac{X'_2}{X'} + \frac{Y'_2}{Y'} + - 2\frac{(X_2 + Y_2)}{X + Y}, %[** PP: Typo in numerator X_2 -> Y_2] +\] +avec +\begin{align*} +X_2 &= -i \int X'\, dx \int X'\, dx \int \frac{K\, dx}{X'} + a_1X^2 + b_1X + c_1, \\ +Y_2 &= +i \int Y'\, dy \int Y'\, dy \int \frac{K\, dy}{Y'} + a'_1Y^2 + b'_1Y + c'_1. +\end{align*} + +On voit ainsi que +\begin{align*} +X_2 &= -iX_1 + \alpha X^2 + \beta X + \gamma, \\ +Y_2 &= +iY_1 + \alpha' Y^2 + \beta' Y + \gamma'. +\end{align*} + +Les élassoïdes ainsi trouvés sont en nombre infini, mais il est facile de voir +que la variation de la constante~$k$ donne des élassoïdes homothétiques par +rapport au centre de la sphère de référence, et que les variations des +constantes $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ donnent lieu à des élassoïdes déplacés dans +l'espace, parallèlement à eux-mêmes. + +%% -----File: 099.png---Folio 93------- + +Considérons, en effet, l'expression du carré de l'élément linéaire de +l'élassoïde, il a pour valeur, d'après~\Eqref{}{39} +\[ +\frac{dS^2}{\lambda^2} + = 4dx · dy\, \frac{1}{\lambda^2} + \left[\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{dD}{D\, dx} · \frac{d\rho}{dx}\right] + \frac{1}{\lambda^2} + \left[\frac{d^2\rho}{dy^2} - \frac{dD}{D\, dy} · \frac{d\rho}{dy}\right]; +\] +soit, à raison de ce qui a été dit ci-dessus, +\[ +dS^2 = \frac{4K^2 · dx · dy}{\lambda^2}. +\] + +Les constantes $a, b, c, a', b', c'$ ne jouent aucun rôle et $k$ n'a d'autre +effet que de rendre proportionnels tous les éléments correspondants des +élassoïdes satisfaisants. + +Or, les éléments des lignes de courbure parallèles à ceux des courbes +$(u)$ et~$(v)$ conservent des directions invariables, quelles que soient les variations +des constantes; conséquemment tous les élassoïdes satisfaisants sont +identiques ou homothétiques. + + +\Section{65.} +{Remarque au sujet de l'expression des paramètres des congruences isotropes +déduites de réseaux sphériques isométriques.} + +On n'est pas sans avoir constaté la symétrie remarquable qui lie dans tous +les calculs de ce chapitre les \emph{paramètres} d'une congruence isotrope et les +\emph{distances du centre de la sphère de référence aux plans moyens}; nous +avons à dessein réservé, pour les grouper, les remarques se présentant à +chaque pas et qui mettaient naturellement sur la voie d'une très-importante +propriété des élassoïdes, de celle qui va nous permettre bientôt de résoudre +le problème de Björling; nous voulons parler de la coexistence des \emph{élassoïdes +conjugués}, signalée pour la première fois par M.~Ossian Bonnet. + +\TbEoC + +%% -----File: 100.png---Folio 94------- + + +\Chapter{X.} +{ÉLASSOÏDES CONJUGUÉS; ÉLASSOÏDES STRATIFIÉS.} + +\Section{66.} +{Construction des élassoïdes conjugués à l'aide de la représentation sphérique. +Les lignes de courbure de l'un correspondent aux lignes asymptotiques +de l'autre.} + +Du \Secref{63} il résulte que, si l'on porte sur les tangentes $OX$, $OY$ des courbes +$(v)$ et~$(u)$ d'un réseau isométrique se coupant en~$O$ (point de la sphère) des +longueurs $OA$ et~$OB$ égales au~$\lambda$ du réseau, les droites menées par les extrémités +parallèlement au rayon de la sphère engendrent des congruences isotropes; +les \emph{élassoïdes moyens} de ces congruences sont applicables l'un sur +l'autre; de plus, les images sphériques des lignes de courbure de ces élassoïdes +se coupent sous un angle égal à~$\frac{\pi}{4}$. + +\emph{L'image sphérique des lignes de courbure de l'un des élassoïdes est l'image +sphérique des lignes asymptotiques de l'autre} (puisque \primo~les asymptotiques +d'un élassoïde coupent sous un angle égal à~$\frac{\pi}{4}$ les lignes de courbure et que +\secundo~les angles sont conservés dans la correspondance de l'élassoïde %[** PP: Typo élassoide] +et de la +sphère). + +Nous dirons que \emph{les deux élassoïdes correspondant ainsi à deux directions +rectangulaires isométriques sont conjugués. Tous les élassoïdes groupés +s'accouplent en élassoïdes conjugués}. + +%% -----File: 101.png---Folio 95------- + +Mais les calculs du \Secref{28} ayant montré que, si l'on prend une congruence +isotrope arbitraire~$(D)$, on peut toujours tracer sur une sphère donnée un +réseau isométrique tel que les normales à la sphère soient parallèles aux +droites de la congruence et que les tangentes aux courbes de l'une des +familles du réseau rencontrent toujours les droites~$D$, on est en droit +d'énoncer cette nouvelle proposition: + + +\Section{67.} +{Étant donnée une congruence isotrope définissant un élassoïde moyen, construire +une congruence isotrope donnant lieu à l'élassoïde conjugué.} + +\begin{Emph} +Si l'on fait tourner, de~$\frac{\pi}{2}$, autour d'un point fixe~$O$ les droites~$D$ d'une +congruence isotrope, de telle façon que les nouvelles droites soient parallèles +aux premières, on engendre une seconde congruence isotrope; les deux +élassoïdes moyens de ces congruences sont conjugués. +\end{Emph} + +Désignons uniformément par~$\rho_D$ la distance du centre de la sphère de +référence au plan tangent de l'élassoïde moyen de la congruence~$(D)$ et par +$p_D$ le paramètre de cette congruence, on a d'après les calculs du \Secref{28}: +\begin{align*} +p_D &= \rho_{D'} = \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}, \\ +\rho_D &= p_{D'} = \frac{d\lambda}{\lambda\, du}. +\end{align*} + + +\Section{68.} +{Aux courbes lieux des centres de courbure d'une courbe double de congruence +isotrope correspondent sur l'élassoïde conjugué les courbes de +contact de cônes.} + +On peut, de ces relations, déduire un fait assez important. Nous avons +montré (\Secref{41}) que \emph{l'on peut tracer sur un élassoïde une $\infty^3$ de lignes, lieux % [** Italics continue] +%% -----File: 102.png---Folio 96------- +des centres de courbure des lignes doubles des développables isotropes focales +des congruences isotropes satisfaisantes; le long de ces courbes le paramètre +est nul}. Ce qui précède montre que \emph{ces courbes ont pour transformées, sur +l'élassoïde conjugué, les courbes de contact des cônes ayant pour sommets +tous les points de l'espace}. En effet $p_D$ ne peut s'annuler sans~$\rho_{D'}$, par conséquent, +les plans tangents à l'élassoïde conjugué le long de l'une des courbes +transformées passent par le centre de la sphère de référence\footnotemark. +\footnotetext{Ce centre peut effectivement coïncider avec un point quelconque de l'espace.} + +Ce résultat peut encore se généraliser en considérant les courbes le long +desquelles $p_D$ ou~$\rho_{D'}$ sont constants; elles sont sur le premier élassoïde les +trajectoires des droites, telles que~$OM$; sur l'élassoïde conjugué ce sont les +courbes de contact de développables circonscrites à l'élassoïde et à des +sphères. + +Si l'on fait tourner les droites~$D$ d'une congruence isotrope autour de tous +les points de l'espace, de la manière indiquée ci-dessus, on obtiendra toutes +les congruences isotropes satisfaisantes relatives à l'élassoïde conjugué. La +question a pourtant besoin d'être approfondie, car on peut se demander +quelles positions occupent dans l'espace les divers élassoïdes moyens des +congruences isotropes dérivées des congruences relatives à un même élassoïde +moyen choisi à priori. Le calcul nous amènera d'ailleurs à rencontrer +la propriété capitale, qui domine la théorie des élassoïdes conjugués. + +Reprenons pour surface de référence l'élassoïde moyen d'une congruence +isotrope et pour réseau $(u, v)$ celui des asymptotiques. Soit~$D$ la droite +instantanée d'une congruence isotrope~$(D)$ et $P$ un point fixe de l'espace. +Je dis que, si à partir de ce point fixe, on porte sur des parallèles aux normales +de l'élassoïde des longueurs égales aux paramètres des diverses congruences +isotropes satisfaisantes, les plans perpendiculaires aux normales et +passant par les extrémités de ces segments touchent des surfaces identiques. +Cette propriété résulte déjà de la transformation indiquée au \Secref{34}, mais +établissons-la différemment. + +%% -----File: 103.png---Folio 97------- + +\Section{69.} +{Toutes les congruences isotropes conjuguées des congruences engendrant le +même élassoïde moyen donnent lieu au même élassoïde moyen conjugué % [** PP: Typo élassoide] +du précédent.} + +Les coordonnées instantanées de la droite~$D$ sont +\[ +\xi = D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du},\quad +\eta = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv}, +\] +$p$ satisfaisant aux équations du \Eqref{groupe}{10}. + +Soient d'un autre côté $\xi, \eta, \zeta$, les coordonnées instantanées du point fixe~$P$, +écrivant que les $\Delta X, \Delta Y, \Delta Z$ du point~$P$ sont nuls, quels que soient $du$ et~$dv$, +on obtient le groupe canonique +\[ +\left. +\begin{gathered} +\xi_1 = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{dv},\quad +\eta_1 = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{du} \\ +% +\frac{d^2\zeta_1}{du\, dv} + - \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{du}\, \frac{d\zeta_1}{dv} + - \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{dv}\, \frac{d\zeta_1}{du} - 1 = 0 \\ +% +\frac{d^2\zeta_1}{du^2} + D\zeta_1 + = \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{du}\, \frac{d\zeta_1}{du} + - \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{dv}\, \frac{d\zeta_1}{dv} + = -\frac{d^2\zeta_1}{dv^2} - D\zeta_1 +\end{gathered}\ \right\} +\Tag{51} +\] + +Portons sur $\zeta_1$, à partir de~$P$, une longueur égale au paramètre~$p$ et par +le point obtenu menons un plan parallèle à~$XOY$, nous savons qu'il touchera +l'élassoïde conjugué de~$(O)$; soit~$Z$ la distance de ce plan à~$XOY$, on aura +\[ +Z = \zeta_1 - p. +\] +Combinant les \Eqref{groupes}{10} et~\Eqref{}{51}, on trouve que $Z$ satisfait au nouveau +groupe: +\[ +\left. +\begin{gathered} +\frac{d^2 Z}{du\, dv} + - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dZ}{du} + - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dZ}{dv} - 1 = 0, \\ +% +\frac{d^2 Z}{du^2} + DZ - 1 + = \frac{dD}{2D\, du}\Reg{·}{\,} \frac{dZ}{du} + - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dZ}{dv} + = -\frac{d^2 Z}{dv^2} - DZ - 1. +\end{gathered}\ \right\} +\Tag{52} +\] +%% -----File: 104.png---Folio 98------- +Quant aux coordonnées instantanées du point de contact, écrivant que le $\Delta Z$ +est constamment nul, on trouve +\[ + \xi' = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dZ}{dv},\quad + \eta' = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dZ}{du},\quad + \zeta' = Z. +\] + +Calculons les valeurs de $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ du point de contact, correspondant +sur l'élassoïde conjugué de~$(O)$ au point~$O$. + +En opérant comme d'habitude, et tenant compte du \Eqref{groupe}{52}, on voit +que +\[ % [** PP: Added punctuation] +\left. +\begin{aligned} + \Delta X &= D^{-\frac{1}{2}}\, dv, \\ + \Delta Y &=-D^{-\frac{1}{2}}\, du, \\ + \Delta Z &= 0. +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{53} +\] + +La première conséquence à tirer est que ces éléments seront les mêmes, +quelle que soit la valeur de~$p$ employée; on est donc en droit de dire que +toutes les surfaces obtenues comme enveloppées des plans situés aux distances +d'un point fixe, marquées par les différentes valeurs du \emph{paramètre}, +sont \emph{identiques} et même simplement déplacées parallèlement à elles-mêmes +dans l'espace. + +Désignons dorénavant par~$(O')$ l'élassoïde conjugué de~$(O)$. Élevant au +carré les valeurs des $\Delta X$, $\Delta Y$, et ajoutant, on vérifie de nouveau que les +élassoïdes conjugués sont applicables l'un sur l'autre. + + +\Section{70.} +{Deux élassoïdes conjugués se correspondent par orthogonalité des éléments.} + +Mais le \Eqref{groupe}{53} met en relief un résultat beaucoup plus important, +à savoir que \emph{les élassoïdes conjugués~$(O)$ et~$(O')$ se correspondent par orthogonalité +des éléments}. + +%% -----File: 105.png---Folio 99------- + +Il suffit pour le démontrer de mettre en regard les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ des points +$O$ et~$O'$. +\begin{align*} +&\qquad\textsc{\footnotesize sur}~(O) & +&\qquad\textsc{\footnotesize sur}~(O') \\ +% +&\left. +\begin{aligned} +\Delta X &= D^{-\frac{1}{2}}\, du \\ +\Delta Y &= D^{-\frac{1}{2}}\, dv +\end{aligned}\ \right\}\quad \Delta Z = 0, & % "top-level" alignment stop +% +&\left. +\begin{aligned} +\Delta X' &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}}\, dv \\ +\Delta Y' &= -D^{-\frac{1}{2}}\, du +\end{aligned}\ \right\}\quad \Delta Z' = 0. +\end{align*} +On a donc bien, identiquement, quels que soient $du$ et~$dv$: +\[ % [** PP: Changed . to ·] + \Delta X · \Delta X' ++ \Delta Y · \Delta Y' ++ \Delta Z · \Delta Z' = 0. +\] + +Ainsi peut-on énoncer ce théorème: + +\begin{Emph} +A tout élassoïde en correspond un autre, \primo~par le parallélisme des plans +tangents; \secundo~par égalité des éléments; et, \tertio~par orthogonalité de ces mêmes +éléments. +\end{Emph} + +Nous montrerons tout à l'heure dans quelles conditions de généralité a lieu +la réciproque. + + +\Section{71.} +{Deux segments relatifs aux élassoïdes conjugués sont, en tous points +correspondants, égaux et rectangulaires.} + +On peut encore déduire des calculs qui précèdent un résultat intéressant: + +Joignons dans le plan tangent à l'élassoïde~$(O)$ le point~$O$ au point~$M$ de +la droite~$D$, appartenant à la congruence isotrope. + +Semblablement, dans le plan tangent à l'élassoïde~$(O')$, joignons le point +$O'$ au point~$N$, pied de la perpendiculaire abaissée du point fixe~$P$ sur le +plan tangent considéré. + +Je dis que \emph{les segments $OM$ et~$O'N$ sont égaux et rectangulaires}. + +Formons en effet le tableau des coordonnées instantanées des différents +%% -----File: 106.png---Folio 100------- +points de la figure: +\[ +\overbrace{ +\begin{aligned} +\xi_O &= 0, \vphantom{\Bigg|} \\ +\eta_O &= 0, \vphantom{\Bigg|} +\end{aligned}}^{\textsc{point}~O} +\quad +\overbrace{ +\begin{aligned} +\xi_M &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}}\, \frac{dp}{du},\vphantom{\Bigg|} \\ +\eta_M &= -D^{-\frac{1}{2}}\, \frac{dp}{dv},\vphantom{\Bigg|} +\end{aligned}}^{\textsc{point}~M} +\quad +\overbrace{ +\begin{aligned} +\xi_N &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{dv},\vphantom{\Bigg|} \\ +\eta_N &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{du},\vphantom{\Bigg|} +\end{aligned}}^{\textsc{point}~N} +\quad +\overbrace{ +\begin{aligned} +\xi_{O'} &= -D^{-\frac{1}{2}} + \left(\frac{d\zeta_1}{dv} - \frac{dp}{dv}\right),\vphantom{\Bigg|} \\ +\eta_{O'} &= -D^{-\frac{1}{2}} + \left(\frac{d\zeta_1}{du} - \frac{dp}{du}\right);\vphantom{\Bigg|} +\end{aligned}}^{\textsc{point}~O'} +\] +il en résulte +\begin{align*} +\xi_{O'} &= \xi_N - \eta_M, \\ +\eta_{O'} &= \eta_N + \xi_M, +\end{align*} +ce qui démontre la proposition annoncée. + + +\Section{72.} +{Construction ponctuelle simultanée des élassoïdes conjugués +et des élassoïdes stratifiés.} + +Nous allons déduire de nos calculs \emph{la construction ponctuelle simultanée +des élassoïdes conjugués}. + +Dans l'ordre d'idées énoncées au \Secref{46}, on peut manifestement déduire des +surfaces~$(O)$ et~$(O')$ deux familles de surfaces applicables par couples les +unes sur les autres. + +Considérons en effet les surfaces $(O)$ et~$(O')$ simplement comme deux surfaces +applicables l'une sur l'autre; joignons à chaque instant les points~$O$ +et~$O'$, prenons les points $m$ milieux des segments; puis, portons de part et +d'autre sur~$OO'$ deux segments $mO_1$ et~$m{O'}_1$ égaux à~$mO$ multiplié par une +constante~$k$, il est visible que les surfaces, lieux des points~$O_1$ et~$O_2$, sont +encore applicables l'une sur l'autre. + +Comme les surfaces $(O)$ et~$(O')$ ont leurs plans tangents parallèles, ces +plans seront aussi parallèles aux plans tangents des surfaces $(m)$, $(O_1)$,~$({O'}_1)$. + +%% -----File: 107.png---Folio 101------- + +\Section{73.} +{Seconde famille d'élassoïdes stratifiés.} + +Les considérations du \hyperref[chapter:III.]{chapitre~III} montrent même que toutes ces surfaces +sont des élassoïdes. + +Considérons maintenant les surfaces $(O)$ et~$(O')$ comme correspondantes +par orthogonalité de leurs éléments. Prenons en outre un point fixe arbitraire~$P$ +dans l'espace. D'après la remarque du \Secref{46}, si l'on joint à chaque instant +le point~$P$ au point~$O'$, puis, que de part et d'autre du point~$O$ on porte +parallèlement à~$PO'$ des segments $OC$ et~$OC'$ égaux au produit de $PO'$ par +une constante~$k$, on obtiendra deux surfaces $(C)$ et~$(C')$ applicables l'une sur +l'autre. + +En donnant à~$k$ toutes les valeurs, on obtiendra une famille de surfaces +applicables par couples, surfaces qui sont visiblement des élassoïdes. + +Les deux familles ainsi obtenues ne sont pas identiques. C'est ce qui +résultera de l'étude que nous allons en faire. + +Commençons par la famille dont les élassoïdes conjugués $(O)$ et~$(O')$ font +partie. + + +\Section{74.} +{Les élassoïdes de la première famille sont tous applicables sur des élassoïdes +homothétiques à l'un d'entre eux.} + +D'après le tableau de coordonnées du \Secref{71}, on obtient immédiatement +les coordonnées instantanées des points~$O_1$ et~${O'}_1$; calculons les valeurs des +$\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ de ces points: on a manifestement, pour les~$\Delta X$, par exemple, +\begin{align*} +\Delta X_{O'_1} &= \Delta X_{O'} \frac{(1+K)}{2} + \Delta X_O \frac{(1-K)}{2}, \\ +\Delta X_{O_1} &= \Delta X_{O'} \frac{(1-K)}{2} + \Delta X_O \frac{(1+K)}{2}, +\end{align*} +%% -----File: 108.png---Folio 102------- +d'où l'on conclut: +\begin{align*} +\Delta X_{O'_1} + &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[dv(1+K) + du(1-K)\bigr], & +\Delta Y_{O'_1} + &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[-du(1+K) + dv(1-K)\bigr], \\ +% +\Delta X_{O_1} + &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[dv(1-K) + du(1+K)\bigr], & +\Delta Y_{O_1} + &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[-du(1-K) + dv(1+K)\bigr]. +\end{align*} +On en déduit, pour les carrés des éléments linéaires des surfaces $(O_1)$ et~$(O'_1)$: +\[ +\overline{dS}_{O_1}^2 = \overline{dS}_{O'_1}^2 + = \frac{D^{-1}}{2} (1 + K^2)(du^2 + dv^2). +\] + +Ainsi les deux surfaces $(O_1)$ et~$(O'_1)$ sont applicables l'une sur l'autre, et, +\textit{toutes les surfaces analogues de la famille, convenablement réduites par +homothétie, sont applicables les unes sur les autres}. + + +\Section{75.} +{Une famille d'élassoïdes stratifiés comprend toujours +deux développables isotropes.} + +Mais le fait important à déduire vient de ce que, si +\[ +K = ±\sqrt{-1}, +\] +le carré de l'élément linéaire s'annule. + +Dans cette hypothèse, les $\Delta X$, $\Delta Y$ ne s'annulent pas, bien que le $\overline{dS}^2$ se +réduise à zéro. Dès lors les surfaces $(O_1)$ et~$(O'_1)$ se réduisent à deux courbes +de longueur nulle. D'où cette proposition décisive: + +\begin{Emph} +Soient $(O)$ et~$(O')$ deux élassoïdes conjugués; joignez, à chaque instant, +les points correspondants $O$ et~$O'$; portez de part et d'autre des milieux~$m$ +de ces segments, et sur leurs directions, des longueurs égales entre elles et +au produit par $\sqrt{-1}$ du demi-segment~$OO'$; les lieux des extrémités des +segments imaginaires, ainsi construits, sont des lignes de longueur nulle. +\end{Emph} + +%% -----File: 109.png---Folio 103------- + +\Section{76.} +{Les élassoïdes de la seconde famille sont également stratifiés.} + +Occupons-nous maintenant de la seconde famille: comme les plans tangents +sont parallèles, aux points correspondants des surfaces de la famille, il +résulte de la construction même que leurs distances aux plans tangents de +l'élassoïde~$(O)$ sont marquées par la valeur du produit de~$p$ (paramètre de +la congruence isotrope originelle) par la constante~$K$. + +On est donc en droit d'énoncer cette proposition: + +\begin{Emph} +Les plans parallèles au plan moyen d'une congruence isotrope et distants +de ce plan de quantités proportionnelles au paramètre de la congruence, ont +pour enveloppées des surfaces applicables par couples les unes sur les autres. +\end{Emph} + +Mais nous avons montré au \Secref{38} que les plans distants du plan moyen de +quantités égales à $p\sqrt{-1}$ ont pour enveloppées les lignes isotropes, arêtes +de rebroussement des développables focales de la congruence. + +On voit par conséquent que les deux familles de surfaces auxquelles nous +avons été conduit, sans être identiques [puisque la seconde ne contient pas +l'élassoïde~$(O')$], répondent à une même définition: \textit{ce sont toujours des +familles d'élassoïdes obtenus en divisant par segments proportionnels les +cordes s'appuyant à leurs extrémités sur deux lignes de longueur nulle}. + +Mais il faut se souvenir que nous avons déjà déduit des réseaux isométriques +trajectoires les uns des autres une famille d'élassoïdes groupés, tous +applicables sur l'un d'entre eux. + + +\Section{77.} +{Les familles d'élassoïdes groupés et stratifiés sont composées +de surfaces semblables.} + +Nous montrerons que les diverses familles se composent d'élassoïdes identiques +ou semblables, de famille à famille, non identiques ni semblables, dans +%% -----File: 110.png---Folio 104------- +chaque famille, en établissant que les images sphériques des lignes de courbure +de ces diverses surfaces sont, dans tous les cas, trajectoires (sous des +angles constants) les unes des autres. + +Nous vérifierons en même temps (ce qui a été prouvé jusqu'à présent, +seulement, par les considérations directes du chapitre second) que toutes les +surfaces des familles sont élassoïdes. + +Portons, sur la droite instantanée~$D$ d'une congruence isotrope, dont~$(O)$ +est l'élassoïde moyen, un segment~$MA$ égal au produit du paramètre~$p$ par +une constante $k$. Sur chaque surface élémentaire de la congruence les plans +tangents en~$M$ et~$A$ feront entre eux un angle~$\omega$ dont la tangente sera égale +à~$K$; il est donc naturel de remplacer~$k$ par~$\tg \omega$. + +Une surface de la famille que nous voulons étudier est touchée par le plan +contenant~$A$ et parallèle au plan~$XOY$; cette surface est donc enveloppée par +le plan dont l'équation instantanée est +\[ +Z - p \tg \omega = 0. +\] +On cherchera comme d'habitude la caractéristique de ce plan et l'on trouvera +pour les coordonnées instantanées du point de contact: +\begin{gather*} +\xi = -KD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv},\quad +\eta = -KD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du}. \\ +\zeta = Kp. +\end{gather*} +On trouve ensuite pour les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ du point de contact: +\begin{align*} % [** F1: Aligning on = instead of centering] +\Delta X &= D^{-\frac{1}{2}}(du - k\, dv), \\ +\Delta Y &= D^{-\frac{1}{2}}(dv + k\, du), \\ +\Delta Z &= 0, +\end{align*} +par conséquent, +\[ +dS^2 = D^{-1}(du^2 + dv^2)(1 + k^2) + = \frac{dS_O^2}{\cos^2\omega}. +\] +Ainsi l'enveloppée du plan considéré a ses éléments proportionnels à ceux +de~$(O)$. + +%% -----File: 111.png---Folio 105------- + +Nous suivrons sur $(O)$ l'image d'une ligne de courbure de la surface considérée, +si le déplacement du point de contact est perpendiculaire à la caractéristique +du plan~$P$. Ayant les équations de la caractéristique: +\begin{gather*} +Z - Kp = 0, \\ +D^{-\frac{1}{2}} (X\, dv + Y\, du) + + K \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) = 0, +\end{gather*} +et les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$, rien de plus facile que de trouver la condition: +\[ +\frac{dv}{du} = -K ± \sqrt{1 + K^2} + = \left\{ + \begin{array}{c} + \tg \left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega}{2}\right), \\[1ex] + \text{ou} \\[1ex] + \tg \left(\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\omega}{2}\right). + \end{array} + \right. +\] +Mais si $\varphi$ désigne l'angle que l'image de la ligne de courbure de~$(P)$ sur~$(O)$ +fait avec une ligne de courbure de~$(O)$, on a: +\[ +\frac{dv}{du} = \tg \left(\frac{\pi}{4} + \varphi\right), +\] +puisque les lignes de courbure de~$(O)$ sont bissectrices des angles des axes. +En conséquence, on trouve, en valeur absolue: +\[ +\varphi = \frac{\omega}{2}. +\] + +Exprimons, au contraire, que le déplacement du point de contact a lieu +suivant la caractéristique, nous obtiendrons ainsi l'équation différentielle des +images sur~$(O)$ des lignes asymptotiques de la surface~$(P)$. On vérifie que les +directions obtenues sont rectangulaires. + +%% -----File: 112.png---Folio 106------- + +\Section{78.} +{Construction d'une famille d'élassoïdes stratifiés dérivés d'une congruence +isotrope déterminée.} + +Combinant ces résultats avec les remarques suivantes: + +\primo~Que les images sur un élassoïde et sur la sphère donnent des angles +correspondants égaux; + +\secundo~Qu'en général les lignes asymptotiques d'une surface correspondent +par orthogonalité des éléments à leur image sphérique, nous serons en +droit de dire: + +\begin{Emph} +Les enveloppées des plans tels que~$P$, distants, du plan moyen de la congruence +isotrope, de quantités proportionnelles au paramètre, sont des élassoïdes +applicables après réduction par homothétie. Sur l'élassoïde moyen ou +sur la sphère, les images de leurs lignes de courbure sont trajectoires, sous +des angles constants, des lignes de courbure de l'élassoïde moyen, ou de +leurs images sphériques. +\end{Emph} + +On vérifie à l'aide des $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ du point de contact: + +\primo~\textit{Que deux des plans~$P$, également distants du plan moyen, touchent +deux élassoïdes applicables l'un sur l'autre sans réduction par homothétie;} + +\secundo~\textit{Que parmi les surfaces analogues à~$(P)$, il en existe seulement deux +se correspondant par orthogonalité des éléments; elles sont obtenues en égalant +à l'unité la constante~$k$.} + + +\Section{79.} +{Caractères distinctifs des familles d'élassoïdes groupés et stratifiés.} + +En résumé, il n'y a, en réalité, que deux familles d'élassoïdes distinctes +parmi les trois, primitivement envisagées. + +La première famille, déduite d'un réseau isométrique sphérique, comprend +%% -----File: 113.png---Folio 107------- +des élassoïdes tous applicables les uns sur les autres, ce sont les \emph{élassoïdes +groupés}. A un point d'un élassoïde correspondent sur les autres élassoïdes +des points distribués sur une ellipse. + +La seconde famille, déduite d'une congruence isotrope arbitraire, peut +être identifiée à la précédente en ce sens qu'elle peut être composée avec des +élassoïdes semblables à ceux de la première famille; mais \emph{il faudra toujours +en laisser un de côté}. Nous dirons (pour la distinguer) qu'elle est composée +d'\emph{élassoïdes stratifiés}. + +Une famille d'\emph{élassoïdes groupés} se décompose d'une infinité de manières +en couples d'\emph{élassoïdes conjugués}. + +Une famille d'\emph{élassoïdes stratifiés} ne comprend qu'\emph{un couple d'élassoïdes +conjugués}. Les points correspondants sont en ligne droite. + +Enfin la seconde famille comprend toujours comme élassoïdes limites deux +développables isotropes; la première famille n'en contient jamais. + + +\Section{80.} +{Quand deux surfaces se correspondent avec réalisation de deux des trois +conditions: \primo~parallélisme des plans tangents; \secundo~égalité des éléments; +\tertio~orthogonalité des éléments, ce sont deux élassoïdes conjugués.} + +Nous terminerons ce chapitre en recherchant s'il est d'autres surfaces que +les élassoïdes conjugués qui se correspondent par égalité et orthogonalité +des éléments, avec parallélisme des plans tangents. + +Si l'on exige que les conditions soient réunies toutes les trois, il ne paraît +pas possible d'obtenir autre chose. + +Si l'on n'exige que la réalisation de deux des conditions à la fois, on a trois +problèmes à résoudre: + +\primo~Trouver les couples de surfaces se correspondant à la fois par le parallélisme +de leurs plans tangents et l'égalité de leurs éléments. + +\secundo~Obtenir deux surfaces dont les plans tangents sont parallèles deux à +deux et dont les éléments correspondants sont rectangulaires. + +%% -----File: 114.png---Folio 108------- + +\tertio~Former les couples de surfaces se correspondant à la fois par égalité +et orthogonalité des éléments. + +Le premier problème peut être ramené au second, car étant données deux +surfaces $(O)$ et~$(O')$ satisfaisantes, la surface~$(M)$, lieu des milieux des cordes $OO'$, +a ses plans tangents parallèles à ceux de $(O)$ et de~$(O')$; de ce que ces +dernières sont applicables l'une sur l'autre il résulte que, si, par un point fixe +de l'espace, on mène des rayons égaux et parallèles aux demi-segments~$OO'$, +la surface, lieu des extrémités des rayons~$(R)$, correspondra par orthogonalité +de ses éléments à~$(M)$. Il est en outre visible que les plans tangents +de~$(R)$ sont parallèles à ceux de~$(O)$, $(O')$ et de~$(M)$; donc les surfaces~$(M)$ +et~$(R)$ donnent la solution du second problème. + +Soient maintenant $(M)$ et~$(R)$ ces deux surfaces satisfaisantes. Considérons +une asymptotique de~$(M)$, son image sur~$(R)$, ainsi que sur la sphère~$(S)$. +Nous savons que l'asymptotique de~$(M)$ correspond par orthogonalité de ses +éléments à son image sphérique; il faut donc que celle-ci corresponde par +parallélisme d'éléments à l'image de l'asymptotique, sur~$(R)$; cette image est +donc une ligne de courbure. Ainsi les asymptotiques de~$(M)$ correspondent +aux lignes de courbure de~$(R)$ et réciproquement. Il faut en outre que les +images sphériques de ces lignes soient rectangulaires (en tant qu'images de +lignes de courbure). Il en résulte immédiatement que $(M)$ et~$(R)$ sont des +élassoïdes conjugués. + +Reste donc à traiter le troisième problème: les éléments des deux surfaces +sont deux à deux égaux et rectangulaires. Considérons sur ces surfaces les +lignes de longueur nulle; elles se correspondent manifestement, comme étant +égales éléments à éléments, mais deux éléments correspondants ne peuvent +être rectangulaires sans que leurs tangentes isotropes rencontrent l'ombilicale +au même point; dès lors, si les lignes de longueur nulle sont distinctes sur +les deux surfaces, les plans tangents sont parallèles comme contenant deux +couples de droites isotropes parallèles. + +Ainsi, dans tous les cas, on n'obtient que les élassoïdes conjugués. + +%% -----File: 115.png---Folio 109------- + +\Section{81.} +{Sur deux élassoïdes conjugués, de deux familles de courbes correspondantes +dérivent comme lignes conjuguées des lignes qui seraient orthogonales, +rapportées sur l'une des surfaces.} + +Une conséquence intéressante de la propriété fondamentale des élassoïdes +conjugués doit être signalée. + +Traçons sur $(O)$ une famille de courbes~$(u)$ et sur~$(O')$ les transformées +des courbes~$(v)$ trajectoires orthogonales des courbes~$(u)$, \emph{les courbes conjuguées +% **** des lignes? +de lignes~$(u)$ sur~$(O)$ et des transformées des~$(v)$ sur~$(O')$ se correspondent}. + +Nous allons maintenant appliquer les résultats qui précèdent à la solution +géométrique du problème de Björling. + +\TbEoC + +%% -----File: 116.png---Folio 110------- + + +\Chapter{XI.} +{SOLUTION GÉOMÉTRIQUE DU PROBLÈME DE BJÖRLING.} + +\Section{82.} +{Si on planifie deux développables circonscrites à deux élassoïdes conjugués +suivant deux contours correspondants, on peut superposer les transformées +de ces contours, et les transformées des génératrices seront des +droites deux à deux rectangulaires.} + +Soient $(O)$ et~$(O')$ deux élassoïdes conjugués, considérons, sur ces surfaces, +deux contours correspondants $(C)$ et~$(C')$; aux points correspondants les +plans tangents sont parallèles et les développables circonscrites le long de~$(C)$ +et de~$(C')$ aux élassoïdes, ont leurs génératrices parallèles. + +D'un autre côté, puisque $(O)$ et~$(O')$ sont deux surfaces applicables l'une +sur l'autre, les \emph{courbures géodésiques} des courbes correspondantes $(C)$ et~$(C')$ +sont égales, aux points correspondants. + +\begin{Emph} +Si donc l'on étend les deux développables sur deux plans, les courbes~$(C)$ +et~$(C')$ se transformeront en deux courbes $(v)$ et~$(v')$ dont les éléments et les +rayons de courbure seront égaux; conséquemment, les courbes $(v)$ et~$(v')$, +transformées, seront superposables. \emph{Effectuant la superposition, tous les +points correspondants des deux contours coïncideront;} quant aux transformées +rectilignes des génératrices des développables, elles seront deux à deux +rectangulaires. +\end{Emph} + +%% -----File: 117.png---Folio 111------- + +Ceci posé, proposons-nous de construire l'élassoïde inscrit à une développable +donnée $(\Delta)$ le long d'un contour déterminé $(C)$ (c'est-à-dire de résoudre +le problème de Björling). % [** PP: Added de] + + +\Section{83.} +{Construire un élassoïde inscrit dans une développable donnée le long +d'un contour déterminé {\upshape (\textsc{problème de björling}).}} + +Les opérations à effectuer comportent trois degrés. + +En premier lieu on déroulera $(\Delta)$ sur un plan et on tracera dans ce plan +les perpendiculaires aux transformées des génératrices de la développable +menées par les différents points du contour $(C)$ transformé. Les droites ainsi +obtenues peuvent être considérées comme les transformées de génératrices +d'une certaine développable $(\Delta')$ planifiée. + +En second lieu on formera cette seconde développable $(\Delta')$ en lui donnant +même cône directeur qu'à~$(\Delta)$; et on lui assignera une telle position dans +l'espace, que les génératrices correspondantes des développables $(\Delta)$, $(\Delta')$ +soient parallèles. + +En troisième lieu on joindra les points correspondants des contours $(C)$ +et~$(C')$ transformés; enfin, de part et d'autre des milieux des cordes, et +sur celle-ci, on parlera des longueurs égales aux produits des demi-cordes +par~$\sqrt{-1}$. + +Les courbes imaginaires, lieux des extrémités des segments ainsi construits, +sont les lignes isotropes génératrices des deux élassoïdes. + +Les deux premières séries d'opérations peuvent conduire à des résultats +non algébriques, la troisième série ne donne lieu qu'à des opérations algébriques. + +Les deux premières séries n'entraînent que des opérations essentiellement +réelles, mais la troisième série introduit nécessairement des constructions +imaginaires. + +%% -----File: 118.png---Folio 112------- + +\Section{84.} +{Des contours conjugués.} + +En résumé, \emph{si l'on veut construire un élassoïde passant par un contour +donné $(C)$, il faut tout d'abord construire un contour conjugué $(C')$ correspondant +au premier, par égalité et par orthogonalité des éléments}. + +Ce résultat obtenu, des opérations, simplement algébriques, détermineront +les deux élassoïdes conjugués passant par les deux contours. + +Nous avons montré par quelles opérations il faut passer pour obtenir le +contour $(C')$ conjugué de~$(C)$ lorsqu'on se donne la développable circonscrite +à l'élassoïde le long de~$(C)$, mais rien n'oblige à passer par l'intermédiaire +du problème de Björling, dans tous les cas. Il est bien clair que, si, par un +procédé quelconque, on a obtenu deux contours conjugués $(C)$ et~$(C')$, les +tangentes de ces contours en deux points correspondants, étant situées dans +deux plans tangents parallèles, déterminent ces plans eux-mêmes. + + +\Section{85.} +{Étant donnée une surface gauche, construire les contours conjugués +qu'elle détermine.} + +Si l'on veut simplement obtenir des élassoïdes, sans s'assujettir à les faire +passer par un contour déterminé, le procédé le plus simple est encore celui +que nous avons déduit de la notion des congruences isotropes, à savoir: +\emph{partir d'une surface gauche arbitraire}. Nous avons montré au \chapitre{VII} +comment on doit construire le contour~$(C)$ suivant lequel les plans moyens +touchent l'élassoïde. Il peut paraître intéressant d'indiquer comment s'obtiendrait +le contour conjugué~$(C')$. + +Par un point fixe~$P$ de l'espace on mènerait des parallèles aux génératrices +de la surface gauche, et, sur ces droites, on porterait des segments~$PN$ égaux +aux valeurs des \emph{paramètres}; par les extrémités on élèverait des plans perpendiculaires +%% -----File: 119.png---Folio 113------- +aux droites; on obtiendrait ainsi les plans tangents à l'élassoïde +conjugué le long du contour cherché~$(C')$; celui-ci s'obtiendrait point par +point en tirant parti de la proposition % [** PP: Typo proportion] +démontrée au \Secref{71}, en vertu de % [** PP: Omitted () around section number] +laquelle le segment~$NC'$ est égal et perpendiculaire au segment joignant le +point central d'une génératrice de la surface gauche au point de contact +correspondant de l'élassoïde sur~$(C)$. + +Examinons quelques cas particuliers dans lesquels on peut obtenir immédiatement +le contour~$(C')$ conjugué d'un contour déterminé. + +Si $(C)$ est le lieu des centres de courbure d'une courbe gauche~$(C_1)$, $(C')$ +est le lieu des extrémités de segments issus d'un point fixe de l'espace égaux +et perpendiculaires aux rayons de courbure de~$(C)$. + +Dans ce cas la surface gauche élémentaire est la développable lieu des +tangentes de~$(C_1)$. + +Si $(C_1)$ est algébrique les deux élassoïdes conjugués sont algébriques. Tout +cela a déjà été démontré au \chapitre{VI}. + +Dans le cas où $(C_1)$ est une courbe plane, le problème prend, naturellement, +une simplicité toute particulière. + + +\Section{86.} +{Contours conjugués d'un contour plan.} + +Soit $(C')$ le contour conjugué de~$(C)$; projetons $(C')$ en~$(\gamma)$ sur le plan +de la courbe~$(C)$; appelons~$Z$ la hauteur variable du point~$C'$ au-dessus du +plan: pour que les contours soient conjugués il faut que les tangentes à~$(C)$ +et~$(\gamma)$ aux points correspondants soient rectangulaires; en outre +\[ +dZ = \sqrt{\overline{d(c)}^2 - \overline{d(\gamma)}^2}, +\] +en désignant par $d(c)$ et~$d(\gamma)$ les éléments d'arc des courbes $(C)$ et~$(\gamma)$. + +Si les éléments $d(\gamma)$ et~$d(c)$ faisaient entre eux un angle constant, même +nul, la courbe~$(C')$ obtenue deviendrait satisfaisante par une simple rotation +autour d'un axe perpendiculaire au plan de~$(C)$. + +Le problème est, dans tous les cas, ramené aux quadratures. + +%% -----File: 120.png---Folio 114------- + +Supposons, tout d'abord, que l'on prenne pour $(\gamma)$ un point; $(C')$ se réduit +à une droite. Le $Z$ de celle-ci est égal à l'arc de~$(C)$. Le premier élassoïde +admet pour géodésique la courbe~$(C)$. Si celle-ci est la développée d'une +courbe algébrique, on pourra algébriquement obtenir la correspondance sur +la droite $(C')$ et, par conséquent, les deux élassoïdes conjugués seront +algébriques. + + +\Section{87.} +{Un élassoïde admettant pour ligne de courbure une courbe plane sera +algébrique en même temps que la développante de cette courbe.} + +Supposons maintenant que $(\gamma)$ soit une courbe semblable à~$(C)$; le rapport +de similitude étant~$k$, on aura +\[ +dZ = d(c) \sqrt{1 - k^2}. +\] + +Ainsi $Z$ sera proportionnel à l'arc de~$(C)$; et, si cet arc peut s'obtenir +algébriquement, c'est-à-dire si $(C)$ est la développée d'une courbe algébrique, +la courbe~$(C')$ et les deux élassoïdes conjugués seront algébriques. + +Il est facile de pousser plus loin l'étude de ce cas intéressant: en effet, de +ce que $dZ$ est proportionnel à $d(\gamma)$ résulte que les tangentes à la courbe~$(C')$ +font des angles constants avec la normale au plan de~$(C)$. + +Mais les plans tangents le long de~$(C)$ ont leur lignes de plus grande pente +parallèles aux tangentes de~$(C')$; conséquemment, l'élassoïde passant par~$(C)$ +coupe le plan de cette courbe sous un angle constant. + +D'après un théorème bien connu, $(C)$~est alors ligne de courbure de +l'élassoïde. Ainsi, on est en droit d'énoncer cette généralisation du théorème +d'Henneberg: + +\begin{Emph} +Tout élassoïde, admettant pour ligne de courbure une courbe plane, +sera algébrique si cette courbe est la développée d'une courbe algébrique. +\end{Emph} + +Il n'est pas besoin d'insister pour établir qu'un élassoïde ne pourrait être +algébrique sans que son conjugué le fût. Tous les élassoïdes \emph{groupés} ou +\emph{stratifiés} sont algébriques si l'un d'entre eux l'est. + +%% -----File: 121.png---Folio 115------- + +\Section{88.} +{Surfaces dont les lignes asymptotiques et leurs images sphériques +sont des contours conjugués.} + +Citons un exemple fort curieux de contours conjugués. Soit une surface~$(S)$ +telle qu'en chacun de ses points le produit des rayons de courbure principaux +soit constant, négatif et égal, en valeur absolue, à~$a^2$. Considérons, d'autre +part, une sphère de rayon~$a$ et faisons sur la sphère l'image du réseau des +asymptotiques de~$(S)$. + +Soit $d\theta\, a^2$ l'aire sphérique d'un élément de la surface~$(S)$. $R_1$ et~$R_2$ désignant +les rayons de courbure principaux de~$(S)$, on sait d'après Gauss, que +\[ +d(S) = d\theta · R_1R_2. +\] + +Il en résulte que, dans ce cas, l'\emph{aire d'une portion de la surface~$(S)$ est égale +à l'aire sphérique correspondante, prise sur la sphère de rayon~$a$}. % [** PP: Put "a" in math mode] + +Manifestement, \emph{toutes les fois que deux surfaces se correspondent avec +conservation des aires, on peut tracer sur elles un double réseau de courbes +égales par correspondance, et réelles}. Il est manifeste également qu'en deux +points correspondants les courbes de longueur conservée se coupent sous des +angles supplémentaires (car leurs sinus doivent être égaux, pour que la correspondance +homalographique ait lieu). + +Dans le cas actuel, on voit facilement que les images sphériques des asymptotiques +de~$(S)$ (faisant entre elles un angle supplémentaire de celui des +asymptotiques), sont, sur la sphère, les lignes de longueur conservée. Mais +nous avons déjà eu l'occasion de faire observer qu'une ligne asymptotique et +son image sphérique se correspondent toujours par orthogonalité des éléments. + +On voit, par conséquent, \emph{qu'une ligne asymptotique de la surface~$(S)$ et +son image, sur la sphère de rayon~$a$, sont deux contours conjugués}. + +Les élassoïdes conjugués correspondants sont circonscrits à la surface~$(S)$, +le long de l'asymptotique, et, à la sphère, suivant l'image\footnotemark. + \footnotetext{Nous avons démontré que sur~$(S)$ quatre asymptotiques quelconques, par deux, de familles +différentes, forment toujours un parallélogramme courbe, en ce sens que les segments opposés +sont égaux. Il en est de même des images sphériques.} + +%% -----File: 122.png---Folio 116------- + +\Section{89.} +{Élassoïdes conjugués inscrits dans une même développable.} + +\begin{Emph} +Peut-il se faire que deux élassoïdes conjugués soient inscrits à une même +surface développable? +\end{Emph} + +Si l'on planifie cette développable, les deux courbes de contact doivent +être superposables, après la transformation, et leurs tangentes aux points +correspondants doivent être rectangulaires. Rien de plus simple que de les +obtenir: choisissons arbitrairement, dans le plan, un point~$P$; de ce point, +abaissons sur chacune des génératrices limites de la développable, des droites +faisant avec elles des angles de~$45°$, les lieux des points de rencontre seront +des courbes identiques, semblables à la podaire par rapport au point~$P$ de +l'arête de rebroussement planifiée. + +Que l'on forme à nouveau la développable, le point~$P$ décrira une courbe +gauche $(P)$ dont les plans normaux seront tangents à la développable considérée; +la podaire du point~$P$ devient le lieu des centres de courbure de la +courbe trajectoire de~$P$. + +Les élassoïdes conjugués font partie d'une famille d'élassoïdes stratifiés dont +l'élassoïde moyen est inscrit, le long de la podaire de~$P$, dans la développable +donnée. + +Ainsi, \emph{deux élassoïdes conjugués, inscrits à une même développable, seront +algébriques si cette développable est l'enveloppe des plans normaux d'une +courbe algébrique}. + +Dans ce cas, la développable contient les deux lignes de longueur nulle +génératrices des deux élassoïdes, ce sont les transformées des deux droites +isotropes passant par le point~$P$ et tracées dans le plan de la développable +aplatie. + +%% -----File: 123.png---Folio 117------- + +\Section{90.} +{Construire deux élassoïdes conjugués inscrits dans deux développables +ayant même cône directeur.} + +On peut, dans la même voie, obtenir un théorème beaucoup plus général: +soient données deux développables $(\Delta)$ et~$(\Delta')$ satisfaisant à la seule condition +d'avoir même cône directeur; supposons que l'on demande de leur inscrire +deux élassoïdes conjugués de telle façon qu'elles leur soient tangentes le +long de contours conjugués. Il s'agit de construire ces contours. + +$(\Delta)$ et $(\Delta')$ peuvent être considérées comme les enveloppes des plans +normaux de deux courbes $(P)$ et~$(P')$ dont les tangentes correspondantes +sont parallèles. + +Amenons le point $P'$ en~$P$, en y faisant coïncider les tangentes de $(P)$ et +de~$(P')$ transportée: les génératrices correspondantes $G$, $G'$ de~$(\Delta)$ et de~$(\Delta')$ +seront alors dans un même plan normal à~$(P)$. Faisons tourner autour de la +tangente à~$(P)$ la génératrice~$G'$ de~$(\Delta')$ correspondant au point~$P'$, jusqu'à ce +qu'elle ait pris une position~$G_1$, à angle droit sur sa position première, les +deux droites $G_1$ et~$G$ se rencontreront en un point~$M$ qui appartient au contour +de contact de~$(\Delta)$ et de l'élassoïde satisfaisant. + +On construira, de la sorte, les deux contours conjugués par des opérations +purement algébriques, pourvu que $(P)$ et~$(P')$ soient obtenues d'avance. + +Nous dirons, en conséquence, que deux élassoïdes conjugués assujettis à +toucher deux développables données ayant même cône directeur seront algébriques +si les deux développables sont les \emph{polaires} de deux courbes gauches +algébriques. + +Comme on peut remplacer les points $P$ et~$P'$ par deux points arbitraires +des plans des deux développables infiniment aplaties, on voit que le problème +en question est susceptible d'une~$\infty^8$ de solutions\footnotemark. + \footnotetext{Comme on peut effectuer la rotation autour de~$P$ de deux côtés différents, les mêmes + courbes $(P)$ et~$(P')$ donnent lieu à deux systèmes de contours conjugués; c'est ce qui conduit à + l'$\infty^8$ de solutions.} + +%% -----File: 124.png---Folio 118------- + +Un cas très-simple se présente lorsque le point~$P$ décrit une courbe sphérique, +la surface polaire est un cône et les courbes de contact de ce cône avec +deux élassoïdes conjugués sont deux cercles géodésiques passant par le sommet +du cône. + + +\Section{91.} +{Construction des deux contours conjugués résultant de la connaissance +d'une surface gauche.} + +Le problème de la recherche des contours conjugués peut être abordé de +bien des façons; comme il présente en lui-même un réel intérêt, il ne sera pas +inutile de montrer, avec plus de précision que nous ne l'avons encore fait, +comment la connaissance d'une surface gauche permet de construire deux +couples de contours conjugués. + +% [** PP: Omitted () around section numbers] +Nous avons indiqué, au \Secref{37}, comment se construisent les points du +contour le long desquels les plans moyens de la surface gauche touchent +l'élassoïde moyen, et au \Secref{85}, comment s'obtiennent les points du contour +conjugué; nous n'y reviendrons pas; mais, rappelons que parmi les élassoïdes +stratifiés que détermine directement la surface gauche, il en est deux qui +sont conjugués. Soient $(C)$ et~$(C')$ les courbes tracées sur ces élassoïdes et +correspondant à la surface gauche choisie (comme surface élémentaire de la +congruence isotrope). Soient $C$ et~$C'$ les points correspondant à la génératrice~$D$ +de la congruence. + +On sait que $C$ et $C'$ sont dans des plans distants du plan moyen de quantités +égales au paramètre de la droite~$D$. + +Si $O$ est le point de contact du plan moyen, $C$ et~$C'$ sont sur une droite +$COC'$ parallèle à la normale à la surface moyenne en~$M$, droite située dans un +plan perpendiculaire à~$OM$ et dans le plan normal à la ligne de striction. +Les droites $CP$, $C'P'$ font des angles de~$45°$ avec le plan mené par~$D$ et +par~$OM$\footnotemark. + \footnotetext{$P$ et $P'$ sont situés dans les plans tangents aux élassoïdes conjugués et sur la droite~$D$.} + +%% -----File: 125.png---Folio 119------- + +Nous terminerons cette étude des contours conjugués en montrant comment +on en peut déduire une infinité de la connaissance d'une surface moyenne de +congruence isotrope. + + +\Section{92.} +{La connaissance d'une surface moyenne conduit à celle d'une infinité +de couples de contours conjugués.} + +On sait qu'une surface de cette nature correspond par orthogonalité de ses +éléments à la sphère. Prenant donc une sphère de rayon déterminé, il y aura +toujours sur la surface une famille double de courbes égales en arc à leurs +correspondantes sur la sphère, ayant par conséquent ces courbes pour conjuguées. +Une équation différentielle régit le problème. + +A ce propos, il est intéressant de connaître les surfaces les plus simples +correspondant à la sphère par orthogonalité des éléments. + +L'élassoïde moyen peut se réduire à un point. Dans ce cas, il faut, d'après~\Eqref{}{28}, +que la surface moyenne ait sa courbure nulle. La considération de~\Eqref{}{26} +montre immédiatement que la surface est \emph{plane}. + +La correspondance par orthogonalité de la sphère et d'un plan diamétral, +par exemple, s'obtient en projetant un point de la sphère sur le plan, puis +en faisant tourner cette projection autour du centre, de~$90°$. + +Dans ce cas, les contours conjugués sont imaginaires. + +Il convient de signaler que si l'on recherche les élassoïdes groupés, dérivés +du réseau isométrique formé de cercles orthogonaux passant par un même +point de la sphère, on trouve seulement des points. + +On pourrait développer bien davantage, mais il convient de poursuivre +l'exposé des considérations générales, afin d'aborder, sans retard, les monographies +d'élassoïdes. + +Il est naturel, après avoir cherché à déduire les congruences isotropes de +la sphère, de voir comment on peut les déduire du plan; c'est ce qui fera +l'objet du prochain chapitre. + +\TbEoC + +%% -----File: 126.png---Folio 120------- + + +\Chapter{XII.} +{CONGRUENCES ISOTROPES DÉDUITES DU PLAN.} + +\Section{93.} +{Calcul d'un réseau orthogonal plan duquel on peut déduire +une congruence isotrope.} + +Établissons tout d'abord les conditions exprimant qu'une congruence de +droites émanant des points d'une surface de référence est isotrope. Ce calcul +nous sera nécessaire dans sa généralité, un peu plus loin, et, pour notre +objet actuel, particularisé, il conduira immédiatement au but. + +Nous supposerons toujours que les droites~$D$ de la congruence sont situées +dans les plans~$ZOX$. Désignons par~$i$ l'angle de~$D$ avec la normale~$OZ$. + +L'équation de la surface élémentaire, établie comme d'habitude, donne +pour l'angle~$\theta$ du plan tangent en un point~$M$ de~$D$ avec le plan~$ZOX$ +\[ +\tg \theta + = \frac{g\, dv + + L \left[dv \left(\dfrac{dg}{f\, du} \sin i + Q \cos i\right) + - du \left(\dfrac{df}{g\, dv} \sin i + fD \cos i\right)\right]} + {f \cos i\, du + + L \left[dv \left(\dfrac{di}{dv} + gD\right) + + du \left(\dfrac{di}{du} + P\right)\right]}. +\] + +L'équation des plans focaux, établie comme précédemment, est +\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking] +\tg^2 \theta \left(-D + \frac{di}{g\, dv}\right) + + \frac{\tg \theta}{fg \cos i} + \left(gP - Qf \cos^2i + g \dfrac{di}{du} + - \cos i \sin i \frac{dg}{du}\right) \\ + + D + \tg i \frac{df}{g\, dv} = 0. +\end{multline*} + +%% -----File: 127.png---Folio 121------- + +La congruence sera isotrope si +\[ +gP - fQ \cos^2 i + g \frac{di}{du} - \cos i \sin i \frac{dg}{du} = 0 +\Tag{54} +\] +en même temps que +\[ +2Dg - \frac{di}{dv} + \tg i \frac{df}{f\, dv} = 0. % [** PP: tg -> \tg] +\Tag{55} +\] + +Supposons maintenant que $(O)$ se réduise à un plan, il vient ($P$, $Q$, $D$ +étant nuls), +\begin{align*} +\frac{di}{du}\, \frac{1}{\sin i \cos i} &= \frac{dg}{g\, du}, \\ +\frac{di}{dv}\, \frac{\cos i}{\sin i} &= \frac{df}{f\, dv}, \\ +\intertext{on en déduit} +g \cot i &= V, \\ +\frac{f}{\sin i} &= U. +\end{align*} + +Éliminant l'angle~$i$, on trouve la relation +\[ +\frac{U^2}{f^2} - \frac{V^2}{g^2} = 1. +\Tag{56} +\] + +Inversement, \emph{toutes les fois qu'on aura, dans le plan, un réseau orthogonal +caractérisé par l'équation~{\upshape(56)}, on en déduira une congruence isotrope}. +Les calculs précédents démontrent également cette réciproque. Mais on voit +facilement que d'un réseau satisfaisant on peut déduire \emph{deux} congruences +isotropes définies par les systèmes +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +g \cot i &= V, \\ +\frac{f}{\sin i} &= U, +\end{aligned}\right. +\qquad +\left\{ +\begin{aligned} +f \cot \omega &= \sqrt{-1} U, \\ +\frac{g}{\sin \omega} &= \sqrt{-1}\Reg{·}{} V. +\end{aligned} +\right. +\] + +On peut même, puisque $U$ et~$V$ sont des fonctions indéterminées de~$u$ et +de~$v$, considérer $U$ et~$V$ comme de même signe dans~\Eqref{}{56}, en général. + +%% -----File: 128.png---Folio 122------- + +En fait, lorsque les signes de $U^2$ et de~$V^2$ seront tous deux positifs, les +congruences isotropes seront imaginaires toutes les deux; lorsque les signes +seront contraires, l'une des congruences sera formée de droites réelles et +l'autre de droites imaginaires. + +On est également en droit de compter les congruences formées des droites +symétriques, par rapport au plan, de celles des~$(D)$. Donc, en général, d'un +réseau satisfaisant, on pourra déduire quatre congruences isotropes, symétriques +par couple, relativement au plan~$(O)$. + +Il est facile de voir qu'il y a seulement quatre plans isotropes focaux pour +ces quatre congruences, et que ces plans eux-mêmes se groupent par couples +coupant le plan~$(O)$ suivant deux droites imaginaires. + + +\Section{94.} +{D'un réseau orthogonal satisfaisant on déduit quatre plans isotropes +en chaque point du plan, se coupant suivant deux droites de ce plan.} + +C'est ce qu'on vérifie sans peine en cherchant en $du\, dv$ l'équation quadratique +des traces sur~$(O)$ des plans focaux de la congruence. On trouve, en +général, pour une surface de référence arbitraire +\begin{align*} +0 % [** PP: O -> 0] + = dv^2 \left(-g^2D + g \frac{di}{dv}\right) + &+ du\, dv \left(gP - Qf \cos^2 i + g \frac{di}{du} + - \cos i \sin i \frac{dg}{du}\right) \\ + &+ du^2 \left(f^2D \cos^2 i + + \sin i \cos i \frac{f}{g}\, \frac{df}{dv}\right); +% [** PP: Break last fraction] +\end{align*} +mais, \emph{dans l'espèce}, il vient +\[ +g^2\, dv^2 + f^2 \cos^2 i\, du^2 = 0. +\] + +Pour les autres congruences satisfaisantes, on aurait, symétriquement, +\[ +f^2\, du^2 + g^2 \cos^2 \omega\, dv^2 = 0; +\] +%% -----File: 129.png---Folio 123------- +et ces deux équations sont équivalentes à +\[ +du^2 \frac{f^4}{U^2} + dv^2 \frac{g^4}{V^2} = 0. +\Tag{57} +\] + +Ces directions seront imaginaires, lorsque, parmi les congruences, deux +seront réelles; inversement lorsque ces directions seront réelles toutes les +congruences isotropes satisfaisantes seront imaginaires. + +On sait par la théorie des congruences isotropes que ces directions imaginaires +sont les traces, sur le plan de référence, des plans tangents aux développables +isotropes focales des congruences satisfaisantes. Conséquemment, +les directions en question doivent former dans le plan deux familles de \emph{droites} +imaginaires enveloppant les traces, sur le plan, des deux développables +isotropes focales. + + +\Section{95.} +{Définition géométrique du réseau orthogonal satisfaisant.} + +Si l'on considère deux développantes des traces focales, le réseau orthogonal +$(u, v)$ est formé par l'ensemble des courbes telles que la somme ou la +différence des distances de leurs points aux deux développantes soient +constantes. + +Vérifions au moyen de l'\Eqref{équation}{56}, que le réseau $(u, v)$ satisfait +toujours à la définition précitée. On peut, dans chaque cas, particulariser +ces variables $U$ et~$V$, et ramener l'expression du carré de l'élément linéaire +à la forme +\[ +dS^2 = \frac{dv^2}{\cos^2 \varphi} + \frac{du^2}{\sin^2 \varphi}, +\] +qui caractérise d'après M.~Weingarten tout réseau orthogonal formé (sur une +surface arbitraire) par les courbes dont tous les points sont à des distances +géodésiques de deux courbes fixes dont la somme ou la différence est +constante\footnotemark. + \footnotetext{\textsc{M.~Ossian Bonnet} a donné, de ce fait, une démonstration simple (p.~96 du \Ord{XLII}{e} cahier +du \emph{Journal de l'École polytechnique}).} + +%% -----File: 130.png---Folio 124------- + +Ici, quand l'angle~$\varphi$ est réel, les congruences isotropes sont toutes imaginaires, +et inversement. + +Comme vérification, on doit trouver que les lignes définies par l'\Eqref{équation}{57} +sont des géodésiques. + + +\Section{96.} +{Cas où le réseau satisfaisant est isométrique: il est composé +de coniques homofocales.} + +Le réseau $(u, v)$ ne peut, à la fois, être isométrique et être caractérisé +par la \Eqref{relation}{56}, que si le carré de l'élément linéaire du plan peut se +mettre sous la forme +\[ +dS^2 = (U^2 - V^2)(du^2 + dv^2); +\] +mais alors, d'après une théorie \emph{bien connue} de M.~Liouville, l'intégrale des +géodésiques du plan peut s'écrire +\[ +U \sin^2 \varphi + V \cos^2 \varphi = k\footnotemark % [** PP: Typo K] +\] +et chaque valeur de la constante~$k$ définira une double famille de géodésiques, +enveloppant, par conséquent, deux courbes. Lorsque les valeurs de~$k$ +seront telles que l'angle~$\varphi$ soit imaginaire, on déduira des droites ainsi obtenues +deux congruences isotropes réelles. + \footnotetext{C'est d'ailleurs l'intégrale qu'on obtiendrait immédiatement en cherchant à résoudre~\Eqref{}{57} + qui est l'équation des traces principales des congruences isotropes.} + +Ainsi \emph{le réseau orthogonal plan, particulier, qui est à la fois isométrique +et de la forme permettant l'intégration des géodésiques, donnera lieu à une $\infty^2$ +de congruences isotropes}. Nous ne nous arrêterons pas à démontrer, après +M.~Liouville, que ce réseau plan, remarquable, est \emph{unique} et qu'il est formé +par des coniques homofocales. + +\begin{Emph} +\emph{Dans ce cas} les congruences isotropes satisfaisantes ne sont autre chose que +%% -----File: 131.png---Folio 125------- +l'ensemble des génératrices des hyperboloïdes homofocaux ayant pour trace, +sur le plan de référence, les ellipses du réseau $(u, v)$ et dont \emph{une} quelconque +de ces ellipses est la focale. +\end{Emph} + +Autant on choisira de focales distinctes, autant on obtiendra de congruences +isotropes différentes. + +Nous n'insistons pas davantage sur ces propriétés qui mettent à part les +congruences isotropes formées des génératrices de quadriques homofocales; +dans le \chapitre{XVII} nous montrerons, en effet, comment tout ce qui +précède est un cas particulier d'une proposition plus générale et pourtant +caractéristique. + +Pour obtenir, en termes finis, les équations d'élassoïdes et surtout des +élassoïdes algébriques dont s'est préoccupée spécialement l'Académie de +Belgique, il convient d'établir (maintenant que nous avons élucidé les propriétés +des congruences), sous la forme la plus simple, des formules qui +permettent d'effectuer en langage algébrique, et par avance, les opérations +géométriques dont nous avons montré l'agencement. Cette nouvelle étude ne +laissera pas de mettre en relief d'intéressantes propriétés des élassoïdes auxquelles +nous n'avons pas encore été conduit. + + +\Section{97.} +{Plans isotropes passant par une droite déterminée. \\ +Équations.} + +Soit une congruence de droites. Si, par chaque droite, on mène les deux +plans isotropes qu'elle détermine, ceux-ci couperont, suivant deux droites, un +plan fixe arbitraire. + +Inversement si dans un plan on se donne deux droites, on peut en déduire, +par \emph{isotropie}, quatre droites dans l'espace. + +Supposons que les droites considérées aient pour équations +\begin{align*} +x \cos \varphi + y \sin \varphi &= 0, \\ +x \cos \psi + y \sin \psi &= 0, +\end{align*} +%% -----File: 132.png---Folio 126------- +où les angles $\varphi$ et~$\psi$ sont arbitraires et complexes (c'est-à-dire imaginaires, +conjugués ou non). + +Les plans isotropes, passant par la première droite, ont pour équation +quadratique +\[ +X \cos \varphi + Y \sin \varphi ± iZ = 0. +\] + +De même, les plans isotropes, passant par la seconde droite, sont représentés +par l'équation à double signe +\[ +X \cos \psi + Y \sin \psi ± iZ = 0. +\] + +Les deux doubles signes sont indépendants. + +Les droites d'intersection des plans isotropes (en ne considérant pas les +symétriques) ont pour équations, soit +\begin{gather*} +X = \frac{iZ(\sin \varphi - \sin \psi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \quad +Y = \frac{iZ(\cos \psi - \cos \varphi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \\ +% +\intertext{soit} +X = -\frac{iZ(\sin \varphi + \sin \psi)}{\sin(\psi - \varphi)},\quad +Y = -\frac{iZ(\cos \psi + \cos \varphi)}{\sin(\psi - \varphi)}. +\end{gather*} + +Il ne faut considérer, naturellement, que les équations pouvant représenter +des droites réelles quand $\varphi$ et~$\psi$ sont imaginaires conjugués. Posant +\[ +\varphi = \alpha + \beta i,\quad \psi = \alpha - \beta i, +\] +les deux systèmes d'équations deviennent +\begin{gather*} +X = -\frac{2iZ \cos\alpha}{e^{\beta} + e^{-\beta}}, \quad +Y = -\frac{2iZ \sin\alpha}{e^{\beta} + e^{-\beta}}, \\ +\intertext{ou} +X = \frac{2Z \sin\alpha}{e^{\beta} - e^{-\beta}}, \quad +Y = \frac{2Z \cos\alpha}{e^{-\beta} - e^{\beta}}. +\end{gather*} + +Ainsi la seconde combinaison doit seule être conservée. + +%% -----File: 133.png---Folio 127------- + +\Section{98.} +{Intégrale générale analytique d'une congruence isotrope.} + +Donnons-nous arbitrairement les traces, sur le plan de référence, de deux +développables isotropes; ces traces peuvent être deux courbes arbitraires, +imaginaires. On peut toujours les considérer comme les enveloppes de deux +droites variables définies par les équations +\begin{align*} +x \cos\varphi + y \sin\varphi - F(\varphi) &= 0, \\ +x \cos\psi + y \sin\psi - f(\psi ) &= 0, +\end{align*} +où $F$ et~$f$ sont des fonctions, données, des angles complexes $\varphi$ et~$\psi$. D'après +ce qui vient d'être dit, les droites de la congruence isotrope, dérivant de ces +courbes imaginaires, sont définies ainsi +\[ +\left. +\begin{aligned} +X &= -iZ\, \frac{\sin \varphi + \sin \psi}{\sin(\psi - \varphi)} + + \frac{F \sin \psi - f \sin \varphi}{\sin(\psi - \varphi)} \\ +% +Y &= \phantom{-}iZ\, + \frac{\cos \psi + \cos \varphi}{\sin(\psi - \varphi)} + - \frac{F \cos \psi - f \cos\varphi}{\sin(\psi - \varphi)} +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{58} +\] + +Telle est, si l'on veut, sous une forme simple, l'intégrale générale des +congruences isotropes. + + +\Section{99.} +{Calcul du paramètre d'une congruence isotrope.} + +Il s'agit maintenant de calculer les équations du \emph{plan moyen} et la valeur +du \emph{paramètre}. + +Soient, en général, +\[ +x = aZ + p,\quad +y = bZ + q, +\] +%% -----File: 134.png---Folio 128------- +les équations d'une congruence, où $a$, $b$, $p$, $q$ sont des fonctions de deux +paramètres variables. Établissons l'équation de variation des plans tangents +à une surface élémentaire, le long de la droite~$D$, dont la trace est le point~$A$. + +Soit $DA\delta$ le plan projetant de la droite~$D$ sur le plan de référence; considérons +une position~$D'$ de la droite, infiniment voisine de~$D$. Soit~$M'$ un point +de~$D'$ situé à la hauteur~$Z$; projetons-le en~$m$, sur le plan~$DA\delta$ et en~$\mu$ sur~$D$. +$\theta$~désignant toujours l'angle du plan tangent à la surface élémentaire avec le +plan projetant de~$D$, on a +\[ +\tg\theta = \frac{M'm}{m\mu}. +\] + +L'équation du plan projetant est +\[ +b(x-p) - a(y-q) = 0, +\] +les coordonnées du point~$M'$ (que, pour plus de simplicité, on suppose se +déplacer dans un plan horizontal) croissent de +\begin{align*} +\Delta X &= \Delta a· Z + \Delta p, \\ +\Delta Y &= \Delta b· Z + \Delta q. +\end{align*} +On en conclut, par les règles élémentaires, +\[ +M'm = \frac{b(\Delta a·Z - \Delta p) + - a(\Delta b·Z - \Delta q)}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}}\footnotemark. +\] + \footnotetext{$M'm$ étant la plus courte distance des deux droites.} + +D'un autre coté, le plan passant par~$D$, perpendiculaire au plan projetant, +a pour équation +\[ +a(x - aZ - p) + b(y - bZ - q) = 0, +\] +$m\mu$ n'est autre chose que la distance de~$M'$ à ce plan. Conséquemment, nous +aurons +\[ +m\mu = \frac{a(\Delta a·Z + \Delta p) + + b(\Delta b·Z + \Delta q)}{\sqrt{(a^2 + b^2)(1 + a^2 + b^2)}}. +\] + +%% -----File: 135.png---Folio 129------- + +En définitive, +\[ +\tg \theta + = \frac{b(\Delta a·Z + \Delta p) - a(\Delta b·Z + \Delta q)} + {a(\Delta a·Z + \Delta p) + b(\Delta b·Z + \Delta q)} + \sqrt{a^2 + b^2}. +\] + +Ici +\begin{gather*} % [** PP: Moved "-" out of numerator] +a = -\frac{i(\sin \varphi + \sin \psi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \quad +b = \frac{i(\cos \varphi + \cos \psi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \\ +% +p = \frac{F \sin \psi - f \sin\varphi}{\sin(\psi - \varphi)}, \quad +q = -\frac{F \cos \psi - f \cos\varphi}{\sin(\psi - \varphi)}. +\end{gather*} + +Si on laissait arbitraires les variations des paramètres $\varphi$ et~$\psi$, les calculs +seraient longs, mais la théorie générale nous ayant appris que les résultats +recherchés sont invariables quelles que soient les surfaces élémentaires +choisies, on est libre de les particulariser et, par exemple, de supposer la +relation +\[ +\psi - \varphi = K, +\] +constamment vérifiée. Comme +\[ +(a^2 + b^2) = -\frac{2\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]}{\sin^2(\psi - \varphi)}, +\] +on voit que, par cet artifice, on a constamment +\[ +a\Delta a + b\Delta b = 0. +\] + +En somme, on obtient +\[ +\tg \theta + = \frac{\bigl[2Z + i(F-f)\bigr]\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr] + + i\bigl[F' + f'] \sin (\psi - \varphi)} + {-i[F' - f'] \bigl[1 + \cos (\psi - \varphi)\bigr] + + i[F + f] \sin (\psi - \varphi)}. +\Tag{59} +\] + +$Z$ et~$\tg \theta$ sont infinis en même temps. On aura, par conséquent, la +valeur de~$Z$ afférente au \emph{point central} en annulant~$\tg \theta$: +\[ +2Z_0 + i[F-f] + i[F'+f'] \frac{\sin (\psi-\varphi)}{1 + \cos (\psi - \varphi)} = 0. +\Tag{60} +\] + +Le \emph{paramètre} se trouve dès lors mis en évidence dans l'\Eqref{équation}{59}, il +est défini par la relation +\[ +2P_0 = i[F'-f'] + + i[F + f] \frac{\sin (\psi - \varphi)} + {1 + \cos (\psi - \varphi)}. % [**PP: Added .] +\Tag{61} +\] + +%% -----File: 136.png---Folio 130------- + +\Section{100.} +{Calcul des équations des plans tangents aux élassoïdes conjugués.} + +Connaissant le~$Z$ du \emph{point central}, on obtient immédiatement pour l'équation +du \emph{plan moyen} +\begin{align*} % [** PP: Re-breaking] +0 &= -2X(\sin\varphi + \sin\psi) + + 2Y(\cos\varphi + \cos\psi) \\ + &\quad+ \sin(\psi - \varphi) + \left[-2Zi + (F - f) - (F' + f')\cot \frac{\psi - \varphi}{2}\right]. +\Tag{62} +\end{align*} + +La distance de l'origine des coordonnées au plan moyen, distance égale au +\emph{paramètre} d'une congruence isotrope conjuguée de~\Eqref{}{58}, c'est-à-dire ayant +pour élassoïde moyen le conjugué de l'élassoïde défini par~\Eqref{}{58}, a pour +expression +\[ % [** F1: Subscript looks like O'?] +2P_0 = -(F' + f') + (F - f) \tg \frac{\psi - \varphi}{2}. +\Tag{63} +\] + +Inversement, l'\Eqref{équation}{61} donne, pour le plan tangent de l'élassoïde +conjugué: +\[% [** PP: Re-breaking] +\begin{aligned} +&-2X(\sin\varphi + \sin\psi) ++2Y(\cos\varphi + \cos\psi) \\ +&\quad+i\bigl\{\sin(\psi - \varphi)[F + f - 2Z] + +(F'-f')\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]\bigr\} = 0. +\end{aligned} +\Tag{64} +\] + +Pour obtenir une congruence isotrope génératrice de l'élassoïde conjugué, +il suffit de faire tourner, de~$\frac{\pi}{2}$, la droite~\Eqref{}{58} autour de l'origine. Nous trouvons +de la sorte par des calculs dont nous supprimons les détails +\[ +\left. +\begin{aligned} +X &= -\frac{i(\sin\varphi + \sin\psi)}{\sin(\psi - \varphi)} Z + + (F \cos\psi - f \cos\varphi)\Delta \\ +Y &= \frac{i(\cos\varphi + \cos\psi)}{\sin(\psi - \varphi)} Z + + (F \sin\psi - f \cos\varphi)\Delta, +\end{aligned}\ \right\} +\Tag{65} +\] +où $\Delta^2$ a pour valeur +\[ +\Delta^2 = \frac{2Ff}{\bigl[1 + \cos (\psi - \varphi)\bigr] + \bigl[F^2 + f^2 - 2Ff\cos(\psi - \varphi)\bigr]}. +\] + +%% -----File: 137.png---Folio 131------- + +Il serait très-facile, s'il y avait intérêt, de former les équations de toutes +les congruences isotropes satisfaisantes, en utilisant la transformation du +\Secref{34}; mais en général, quand on en aura besoin, ce sera pour chercher % [** PP: Omitted () around section number] +toutes les surfaces moyennes, et il sera toujours plus rapide d'effectuer la +transformation sur les congruences particulières définies par des paramètres +réels. + +Cherchons maintenant à déterminer les coordonnées des points des deux +élassoïdes, en fonction des paramètres complexes $\varphi$ et~$\psi$. + +Posons pour un instant +\[ +\frac{\psi - \varphi}{2} = \alpha,\quad +\frac{\psi + \varphi}{2} = \beta. +\] + +Les équations des plans tangents aux deux élassoïdes deviennent, pour +l'élassoïde moyen: +\begin{align*} +-X \sin\beta + Y \cos\beta + + \sin\alpha \left[-Zi + \frac{F - f}{2}\right] - \frac{F' + f'}{2} \cos\alpha &= 0, +\Tag{62'} \\ +\intertext{pour l'élassoïde conjugué} +-X \sin\beta + Y \cos\beta + + \sin\alpha \left[-Zi + i\frac{F + f}{2}\right] - i\frac{F' - f'}{2} \cos\alpha &= 0. +\Tag{64'} +\end{align*} + + +\Section{101.} +{Coordonnées des points des élassoïdes conjugués.} + +N'oublions pas que $F$ et~$f$ sont des fonctions de $\varphi$ et de~$\psi$ individuellement, +et représentons comme d'habitude, par exemple +\[ +\frac{d^2 F}{d\varphi^2}\quad\text{par}\quad F'', +\] +%% -----File: 138.png---Folio 132------- +comme on a +\begin{align*} +\frac{d\varphi}{d\alpha} &= -1,\quad \frac{d\varphi}{d\beta} = +1, \\ +\frac{d\psi}{d\alpha} &= +1,\quad \frac{d\psi}{d\beta} = +1, +\end{align*} +on peut considérer maintenant les équations $(62')$ $(64')$ comme formées de +fonctions des paramètres $\alpha$ et~$\beta$, et chercher les caractéristiques. + +Tout d'abord, pour l'élassoïde moyen, on trouve +\begin{gather*} +2Zi = (F + F'') - (f + f''), \\ +X \cos\beta + Y \sin\beta + - \sin\alpha \frac{F' - f'}{2} + + \cos\alpha \frac{F'' + f''}{2} = 0; +\end{gather*} +repassant maintenant aux expressions en $\varphi$ et~$\psi$, il vient, en résumé, +\begin{flalign*} +&\BoxTag{élassoïde}{moyen} & +\left. +\begin{gathered} % [** PP: Added punctuation.] +X + \frac{F' \sin \varphi + F'' \cos \varphi}{2} + + \frac{f' \sin \psi + f'' \cos \psi}{2} = 0, \\ +Y - \frac{F' \cos \varphi - F'' \sin \varphi}{2} + - \frac{f' \cos \psi - f'' \sin \psi}{2} = 0, \\ +Z = -i \frac{(F + F'') - (f + f'')}{2}. +\end{gathered}\ \right\} && +\Tag{66} +\end{flalign*} + +De la même manière on calculera les coordonnées du point correspondant +de l'élassoïde conjugué; on trouve +\begin{flalign*} +&\BoxTag{élassoïde}{conjugué} & +\left. +\begin{gathered} % [** PP: Added commas.] +\frac{X}{i} + \frac{F' \sin \varphi + F'' \cos \varphi}{2} + - \frac{f' \sin\psi + f'' \cos \psi}{2} = 0, \\ +\frac{Y}{i} - \frac{F' \cos \varphi - F'' \sin \varphi}{2} + + \frac{f' \cos \psi - f'' \sin \psi}{2} = 0, \\ +Z = \frac{(F + F'') + (f + f'')}{2}. +\end{gathered}\ \right\} && +\Tag{67} +\end{flalign*} + +Ces deux groupes d'équations fort simples sont susceptibles d'interprétations +géométriques importantes. + +%% -----File: 139.png---Folio 133------- + +Soient $(A)$ et~$(B)$ les deux courbes imaginaires, sections des deux développables +isotropes par le plan de référence, $P$~une origine fixe. Soient $A$ et~$B$ +les points des deux courbes déterminés par les deux valeurs $\varphi$ et~$\psi$ des paramètres. +Enfin, soient $a$ et~$b$ les centres de courbure correspondants. Désignons +par $R_A$, $R_B$ les rayons de courbure de~$(A)$ et~$(B)$ en~$A$ et~$B$. + +On sait que le centre de courbure~$a$, par exemple, est déterminé par +l'équation de la normale en~$A$ à~$(A)$ +\[ +-x \sin\varphi + y \cos\varphi - F' = 0, +\] +et par celle de la caractéristique qui est la normale de la développée +\[ +-x \cos\varphi - y \sin\varphi - F'' = 0. +\] + + +\Section{102.} +{Définition géométrique des points des élassoïdes conjugués.} + +Désignons par $O$ et~$O'$ les points correspondants des deux élassoïdes, par +$\omega$ et~$\omega'$ leurs projections sur le plan de référence. + +\primo~\textit{La projection~$\omega$ du point~$O$ de l'élassoïde moyen~$(O)$ est au milieu +du segment~$ab$}; % [** PP: Moved ; out of italics] + +\secundo~\textit{Le $Z$ du point~$O$ de l'élassoïde moyen~$(O)$ est égal à la demi-différence +des rayons de courbure $R_A$ et~$R_B$ multipliée par~$\sqrt{-1}$}; + +\tertio~\textit{Si l'on joint l'origine~$P$, fixe, au point~$\omega'$ projection sur le plan de +référence du point~$O'$ de l'élassoïde conjugué~$(O')$ le segment~$P\omega'$ est égal à +la moitié du segment~$ab$ multiplié par~$\sqrt{-1}$, de plus~$P\omega'$ et~$ab$ sont +parallèles} +\[ +P\omega' = i \frac{ab}{2}. +\] + +\quarto~\textit{Le $Z$ du point~$O'$ de l'élassoïde conjugué~$(O')$ est égal à la demi-somme +des rayons de courbure $R_A$ et~$R_B$}. + +%% -----File: 140.png---Folio 134------- + +Les deux premières propriétés sont des conséquences immédiates de la +construction ponctuelle de l'élassoïde moyen comme lieu des milieux des +cordes s'appuyant à leurs extrémités sur les arêtes de rebroussement de deux +développables isotropes, si l'on tient compte de cette proposition (énoncée +pour la première fois par M.~Moutard): \emph{La projection de l'arête de rebroussement +d'une développable isotrope, sur un plan donné, est la développée de +la section, par le plan, de la développable}. + + +\Section{103.} +{Définition des sections planes d'un élassoïde.} + +Arrêtons-nous un moment, afin de tirer de ce qui précède des conséquences. +Supposons que les courbes $(A)$ et~$(B)$ se superposent; elles coïncideront +alors avec une courbe $(C)$ qui sera toujours réelle si les élassoïdes +sont réels. + +On sait, et l'on vérifie d'ailleurs à première vue, que la développée~$(D)$ de +la courbe appartient à l'élassoïde moyen, qu'elle est une géodésique de cette +surface. On voit de nouveau que le contour conjugué est une droite perpendiculaire +au plan de la courbe~$(C)$. Pour obtenir le point~$O'$ de cette droite +correspondant à un point~$D$ de la développée~$(D)$, il suffit de prendre~$PO'$ +égal à~$AD$. + +\begin{Emph} +Le plan de~$(C)$ coupe l'élassoïde moyen suivant une courbe double, lieu des +milieux des cordes joignant les centres de courbure des cercles osculateurs, +de même rayon, de la courbe~$(C)$. +\end{Emph} + +Considérons maintenant une courbe~$(D)$ symétrique par rapport à une +droite $PP'$. Il est clair que tous les couples de points symétriques $a$ et~$b$ donneront +lieu à un point~$O$ situé dans le plan perpendiculaire au plan de~$(D)$ +et passant par l'axe de symétrie, mais deux cas sont à distinguer, ou~$(D)$ +coupe l'axe~$PP'$ à angle droit ou elle y présente un rebroussement de première +espèce. + +%% -----File: 141.png---Folio 135------- + +Dans le premier cas $(C)$ présente en~$P$ un rebroussement et les rayons de +courbure $Aa$, $Bb$ doivent être considérés comme étant de signe contraire; +dès lors \emph{le point~$O$ est dans le plan de symétrie à une hauteur au-dessus de +$\omega$ marquée par le produit de la longueur de l'arc imaginaire~$Pb$ par~$\sqrt{-1}$. +On voit que le plan de symétrie coupera l'élassoïde moyen suivant une nouvelle +géodésique dont les points réels correspondront aux couples de points +symétriques, imaginaires, de $(D)$ et inversement}. Nous reviendrons plus loin +sur ce cas particulier. Le contour conjugué n'est autre chose qu'une droite +perpendiculaire au plan de symétrie. + +Au contraire, si la courbe~$(D)$ présente un rebroussement sur l'axe +de symétrie, la développante $(C)$ coupant cet axe à angle droit en~$P$, les +rayons de courbure en deux points symétriques ont même signe, leur +différence est donc nulle. En conséquence, \emph{le plan de symétrie de~$(D)$ coupe +l'élassoïde moyen suivant l'axe de symétrie~$PP'$. Le contour conjugué +est, au contraire, une géodésique située dans un plan perpendiculaire à +l'axe~$PP'$}. + + +\Section{104.} +{On peut tracer sur des élassoïdes, même algébriques, des droites +n'ayant que des parties réelles situées sur ces surfaces.} + +Au point de vue de la réalisation physique par le procédé de M.~Plateau, +il convient de faire observer que, toutes les fois qu'un élassoïde, algébrique +ou non, admettra un plan de symétrie, lui et son conjugué, simultanément +algébriques, contiendront des droites; mais il est fort remarquable que certaines +de ces droites soient seulement réelles partiellement. Donnons un +exemple. + +Soit proposé de construire l'élassoïde admettant pour géodésique la développée +d'une ellipse; il est algébrique ainsi que son conjugué, mais, sur +celui-ci, le contour correspondant à la développée est une droite égale en +%% -----File: 142.png---Folio 136------- +longueur (nous parlons de la partie réelle) au quart du périmètre total de la +développée. + +Aussi dans la réalisation physique devra-t-on obtenir des nappes se reliant +d'elles-mêmes à des segments de droite limités. + +On peut déduire, des formules interprétées ci-dessus, des conséquences +d'un genre tout différent. + +Si les arcs $(a)$ et~$(b)$ des courbes développées de $(A)$ et~$(B)$ s'expriment +algébriquement, les élassoïdes seront algébriques. + + +\Section{105.} +{Élassoïdes transcendants admettant des lignes algébriques.} + +Bornons-nous à examiner le cas de l'élassoïde admettant pour géodésique +une courbe plane~$(D)$; si celle-ci n'est pas la développée d'une courbe algébrique~$(C)$, +\emph{les élassoïdes seront transcendants, mais dans certains cas ils +contiendront des courbes algébriques}. + +Les courbes algébriques d'un élassoïde transcendant correspondront aux +groupements de points $a$ et~$b$ tels que la différence ou la somme des longueurs +correspondantes des arcs $(a)$ et~$(b)$ soient algébriques. + +Un exemple éclaircira: Soit proposé de chercher l'\emph{élassoïde admettant +pour géodésique une ellipse donnée~$(D)$}. Cette surface est transcendante, +puisque le~$Z$ est proportionnel à la différence des deux arcs de l'ellipse. + +Mais, considérons les points du plan rangés suivant une hyperbole homofocale~$(H)$, +ou suivant une ellipse~$(E)$ également homofocale à~$(D)$. On sait, +d'après un théorème dû à M.~Chasles, que si le point~$M$ décrit l'ellipse~$(E)$, par +exemple, les arcs décrits par les points de contact des tangentes à~$(D)$ issues +de~$M$ ont une différence algébrique\footnotemark. + \footnotetext{A la façon de compter les arcs, adoptée ci-dessus, il faut dire ici la différence.} +Dès lors, les points de l'élassoïde correspondant +à ceux de l'ellipse~$(E)$ seront situés sur une courbe algébrique. + +%% -----File: 143.png---Folio 137------- + +Au contraire, si l'on suit l'hyperbole~$(H)$, ce sont les points de l'élassoïde +conjugué qui se rangent suivant une courbe algébrique. + +Étant donnée la nature des transcendantes déterminant les longueurs +d'arcs d'ellipse, on voit que sur chacun des deux élassoïdes précités il n'y +a qu'une famille de courbes algébriques. Au demeurant, s'il y en avait +deux, les élassoïdes seraient algébriques. + + +\Section{106.} +{Les lignes de niveau d'un élassoïde admettant pour géodésique une courbe +plane algébrique dont l'arc s'exprime par une fonction elliptique de +première espèce, sont algébriques.} + +Soit pris en général pour~$(D)$ une courbe algébrique dont l'arc s'exprime +par une fonction elliptique de première espèce [M.~Serret a montré qu'il en +existe une infinité, toutes unicursales; la plus simple est la lemniscate de +Bernoulli]. \emph{L'élassoïde qui admet $(D)$ pour géodésique, et son conjugué, +sont coupés par des plans parallèles à celui de~$(D)$ suivant des courbes +algébriques}. + +Il importe d'observer que ces diverses courbes algébriques ne se correspondent +pas d'un élassoïde à l'autre. On sait d'ailleurs qu'en thèse générale, +si l'on trouve deux contours conjugués algébriques, les élassoïdes conjugués +sont algébriques. + +Ajoutons que, \emph{le long d'une courbe algébrique d'un élassoïde transcendant, +la développable circonscrite est algébrique}. En effet, l'équation~$(62')$ +donne pour la trace du plan tangent à l'élassoïde moyen sur le plan de +référence +\[ +-X \sin\beta + Y \cos\beta + \sin\alpha \frac{F-f}{2} - \frac{F'+f'}{2} \cos\alpha = 0. +\] + +%% -----File: 144.png---Folio 138------- + +\Section{107.} +{Sur l'algébricité des développables circonscrites à un élassoïde +le long de courbes algébriques.} + +On peut toujours supposer que l'origine est transportée pour un instant +au point de rencontre des tangentes en $a$ et~$b$, et que l'axe des $X$ coïncide +avec la bissectrice de l'angle $aMb$ (car si les points $a$ et~$b$ sont imaginaires % [** PP: Not spacing AMb] +conjugués, l'origine et l'axe seront réels), l'équation précédente devient +alors +\[ +Y + \sin \alpha \frac{F-f}{2} = 0. +\] + +La trace du plan tangent est donc parallèle à la bissectrice de l'angle~$aMb$. +Parce que la courbe suivie est algébrique, le $Z$ est algébrique, conséquemment +(voir \Secref{101}) +\[ +F - f + F'' - f'', +\] +est une expression algébrique; or $F''$ et~$f''$ distance de l'origine aux normales +en $a$ et~$b$ sont manifestement algébriques; dès lors la différence $F-f$ est +algébrique. + +Conséquemment, les traces des développables circonscrites à un élassoïde +le long d'un contour algébrique, traces prises sur un plan arbitraire, sont +algébriques. L'algébricité des développables elles-mêmes est donc complétement +démontrée. + +On vérifierait facilement que la trace du plan tangent à l'élassoïde moyen +passe par le milieu de la corde~$AB$ (voir \Secref{101}). On donnerait une définition +aussi simple du plan tangent à l'élassoïde conjugué. + +%% -----File: 145.png---Folio 139------- + +\Section{108.} +{Lignes de longueur nulle se projetant sur un plan donné +suivant des courbes algébriques. Exemples.} + +Les considérations précédentes ne sont vraies que si les courbes $(a)$ et~$(b)$ +sont algébriques. Il est d'ailleurs bien facile de former autant d'exemples que +l'on voudra d'élassoïdes satisfaisant à cette condition: nous avons montré +à la \Secref{87} % [** PP: Typo page~87] +qu'à toute section plane d'un élassoïde correspond un contour +conjugué dont la projection sur le plan de la courbe peut être arbitraire. Si +donc la première courbe et la projection de la seconde courbe sont prises +algébriques, les lignes isotropes des élassoïdes conjugués auront pour projections +des lignes algébriques. + +Par exemple, si l'on considère l'élassoïde admettant pour ligne de courbure +une conique, on voit facilement que ses lignes isotropes ont pour projections +sur le plan de la conique deux familles de coniques identiques. + +\TbEoC + +%% -----File: 146.png---Folio 140------- + + +\Chapter{XIII.} +{LIGNES DE COURBURE OU LIGNES ASYMPTOTIQUES DES ÉLASSOÏDES DÉDUITS DU PLAN.} + + +\Section{109.} +{Calcul des éléments d'un élassoïde dépendant du deuxième ordre.} + +Déduisons, des calculs précédents, ce qui a trait à l'image sphérique des +élassoïdes, afin de pouvoir appliquer les résultats obtenus au \Secref{55}. + +La \Eqref{formule}{62} fait voir que les coordonnées du point de l'image sphérique +(sur une sphère de rayon~$R$) sont définies par le groupe +\[ + \frac{-X}{\sin \dfrac{\psi + \varphi}{2}} += \frac{ Y}{\cos \dfrac{\psi + \varphi}{2}} += \frac{Zi}{\sin \dfrac{\psi - \varphi}{2}} += \frac{ R}{\cos \dfrac{\psi - \varphi}{2}}. +\] +On en déduit, pour le carré de l'élément linéaire, +\[ +dS^2 = \frac{R^2}{\cos^2 \smfrac{\psi - \varphi}{2}}\, + d\psi\Reg{·}{\,} d\varphi. +\] + +On voit que les lignes isotropes de la sphère correspondent, comme cela +devait être, aux tangentes des lignes $(A)$ et~$(B)$. Nous trouvons +\begin{align*} % [** PP: Aligning, moved "-" out of numerator] +a &= -\frac{1}{4} \Bigl\{F - f - F' \sin (\psi - \varphi) + + F''\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]\Bigr\}, \\ +b &= \phantom{-} + \frac{1}{4} \Bigl\{F - f - f' \sin (\psi - \varphi) + - f''\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]\Bigr\}, +\end{align*} +%% -----File: 147.png---Folio 141------- +et nous en concluons +\begin{align*} +\frac{da}{d\varphi} + &= -\frac{(F' + F''')}{2} \cos^2\frac{(\psi - \varphi)}{2}, \\ +\frac{db}{d\psi} + &= -\frac{(f' + f''')}{2} \cos^2\frac{(\psi - \varphi)}{2}. +\end{align*} + +Conséquemment, nous déduirons: + +\primo~pour le carré de l'élément linéaire de l'élassoïde moyen +\[ +dS^2 = (F' + F''')(f' + f'') \cos^2\frac{(\psi - \varphi)}{2}\, d\varphi\, d\psi. +\Tag{68} +\] + +\secundo~pour les rayons de courbure principaux +\[ +R^2 = (F' + F''')(f' + f''') \cos^4\frac{(\psi - \varphi)}{2}. +\Tag{69} +\] + +\tertio~pour l'équation de directions conjuguées +\[ +(F' + F''')\, d\varphi\, d\varphi' + (f' + f''')\, d\psi\, d\psi' = 0. % [* F1: Removed dot] +\Tag{70} +\] + +En particulier, l'équation des lignes de courbure peut s'écrire +\[ +d\varphi \sqrt{F' + F'''} = ± d\psi \sqrt{f' + f'''}. +\] + + +\Section{110.} +{Équations des lignes de courbure et des asymptotiques. Introduction des +mêmes intégrales, en cherchant des élassoïdes passant par un contour +plan.} + +Désignons par $R_a$ et~$R_b$ les rayons de courbure en $(a)$ et~$(b)$ des développées +de~$(A)$ et de~$(B)$ projections des arêtes de rebroussement des focales +isotropes; l'équation précédente est équivalente à +\[ +d\varphi \sqrt{R_a} = ± d\psi \sqrt{R_b}. % [** PP: Added .] +\Tag{71} +\] + +%% -----File: 148.png---Folio 142------- + +Il est bien clair, également, que les lignes de courbure des élassoïdes +stratifiés, dérivés de l'élassoïde moyen, sont définies par l'équation +\[ +m\, d\varphi\, \sqrt{R_a} = ±n\, d\psi\, \sqrt{R_b}. +\] + +Si donc les expressions +\[ +\int d\varphi\, \sqrt{R_a}\quad\text{et}\quad +\int d\psi\, \sqrt{R_b}, % [** PP: Typo d\varphi] +\] +qui dépendent de quadratures, sont algébriques, les projections des lignes +de courbure de tous les élassoïdes stratifiés sont toutes algébriques\footnotemark. + \footnotetext{Les projections sur le plan de $(a)$ et~$(b)$ sont alors algébriques parce que l'on suppose~$(a)$ + et~$(b)$ algébriques. Les images sphériques des lignes de courbure des élassoïdes dérivés sont + aussi toutes algébriques, elles peuvent même l'être si les intégrales caractéristiques sont algébriques + sans que $(a)$ et~$(b)$ le soient.} + +Il pourrait se faire que les lignes de courbure d'un seul des élassoïdes +de la famille fussent algébriques. Ce cas se présenterait si les expressions +précitées étaient des fonctions elliptiques de première espèce. + +La théorie des contours conjugués conduit aussi à considérer les mêmes +intégrales à un point de vue tout différent. + +Soient trois courbes planes parallèles et équidistantes $(c)$ $(a)$ $(\gamma)$; désignons +par~$a$ les distances constantes et égales $ca$ % [** PP: Typo Ca] +et~$a\gamma$. + +Cherchons le $Z$ du contour~$(c')$ conjugué de~$(c)$ et qui admet pour projection +sur le plan de la figure la courbe~$(\gamma)$, après une rotation de $90°$ +autour d'un point du plan. Comme +\begin{align*} +d(c) &= (R + a)\, d\theta, \\ +d(\gamma) &= (R - a)\, d\theta, +\end{align*} +si $R$ et~$d\theta$ désignent le rayon de courbure et l'angle de contingence de~$(a)$ au +point~$a$; d'après ce qui a été dit au \Secref{87} +\[ +dZ = \sqrt{d(c)^2 - d(\gamma)^2} = \sqrt{2a}· d\theta\, \sqrt{R}. +\] + +Conséquemment +\[ +Z = \sqrt{2a} \int d\theta\, \sqrt{R}. +\] + +%% -----File: 149.png---Folio 143------- + +Sans entrer dans aucun nouveau détail, nous dirons, par exemple, +que: + +\begin{Emph} +Toutes les fois qu'un élassoïde admet une géodésique plane~$(a)$ et que les +projections de ses lignes de courbure, sur le plan de la géodésique, sont +algébriques, on peut faire passer un élassoïde algébrique par chacune des +courbes parallèles à~$(a)$. +\end{Emph} + +Arrêtons-nous un instant à montrer comment se déterminent les lignes de +courbure d'élassoïdes simples, algébriques ou non. + + +\Section{111.} +{Les lignes de courbure d'un élassoïde dont une parabole est géodésique +dépendent des fonctions elliptiques.} + +\emph{Élassoïde admettant pour géodésique une parabole.} + +L'élassoïde n'est pas algébrique puisque l'arc de la développante de la +parabole dépend des logarithmes. Prenant pour origine le foyer et pour axe +polaire l'axe de la courbe, on voit, d'après les propriétés élémentaires de la +parabole, que +\[ +R = \frac{p}{\cos^3\theta}\footnotemark, +\] +\footnotetext{$\theta$ étant l'angle de la normale avec l'axe de la parabole.}% +si $p$ désigne le paramètre de la courbe. Conséquemment l'intégrale caractéristique +de l'équation des lignes de courbure (car les deux intégrales sont +de même forme quand les deux courbes $(a)$ et~$(b)$ coïncident) est +\[ +\sqrt{p}· \int \frac{d\theta}{\sqrt{\cos^3\theta}}\;, +\] +posons +\[ +\cos \theta = \frac{1}{\cos 2\omega}\;, +\] +%% -----File: 150.png---Folio 144------- +on obtient l'intégrale transformée +\[ +\sqrt{p}\, \sqrt{-1} \int d\omega\, \sqrt{1 - 2\sin^2\omega}. +\] + +\begin{Emph} +Ainsi la détermination des lignes de courbure {\upshape(}ou des asymptotiques{\upshape)} +dépend des fonctions elliptiques. +\end{Emph} + + +\Section{112.} +{Lignes de courbure d'un élassoïde admettant pour géodésique la développée +d'une parabole. {\upshape(}Fonctions elliptiques.{\upshape)}} + +\emph{Élassoïde admettant pour géodésique la développée d'une parabole.} + +Cette surface est algébrique: + +Le rayon de courbure de la développée n'est autre chose que la dérivée du +rayon de courbure de la développante; on aura donc, en conservant les notations +précédentes, pour l'intégrale caractéristique, +\[ +\int \frac{d\theta\, \sqrt{\sin\theta}}{\cos^2\theta}, +\] +posons cette fois, +\[ +\cos\theta = \frac{1}{\smfrac{\sqrt{2}}{2} (\cos\omega + \sin\omega)}; +\] +nous obtenons l'intégrale transformée +\[ +\int d\omega\, \sqrt{1 - 2 \sin^2\omega}. +\] + +Ainsi, \emph{la détermination des lignes de courbure ou des asymptotiques de +l'élassoïde admettant pour géodésique la développée d'une parabole dépend +aussi des fonctions elliptiques}. + +%% -----File: 151.png---Folio 145------- + +\Section{113.} +{Lignes de courbure des élassoïdes admettant pour géodésique une épicycloïde. +{\upshape(}Fonctions elliptiques.{\upshape)}} + +Considérons maintenant \emph{tous les élassoïdes admettant pour géodésiques des +épicycloïdes ou des hypocycloïdes planes}. On sait que ces courbes sont semblables +à leurs développées, par conséquent toutes celles qui sont algébriques +[et il y en a une infinité] donnent lieu à des élassoïdes algébriques. + +$R$~désignant le rayon du cercle, \emph{base de l'épicycloïde}, et $r$~le rayon de la +\emph{roulette génératrice}, $p$~la distance, à la tangente, du centre de la \emph{base}, $\omega$~étant +l'angle de la normale et de l'axe polaire, +\[ +p = (R + 2r) \sin \frac{R}{R + 2r} \omega, +\] +de même, pour une hypocycloïde on trouverait +\[ +p' = (R - 2r)\sin \frac{R}{R - 2r} \omega. +\] + +Conséquemment, d'une façon générale pour les deux genres de courbes, +\[ +p = \alpha \sin k\omega, +\] +et les courbes correspondantes seront algébriques chaque fois que $k$ sera un +nombre commensurable. + +L'intégrale caractéristique des lignes de courbure prend la forme +\[ +\int d\omega\, \sqrt{\sin k\omega}, +\] +posons +\[ +\omega = \frac{\pi}{2k} - \frac{2}{k}\varphi +\] +%% -----File: 152.png---Folio 146------- +et nous transformerons l'intégrale précédente en celle-ci +\[ +\int d\varphi\, \sqrt{1 - 2\sin^2\varphi}. +\] + +Donc on peut énoncer cette proposition générale: + +\begin{Emph} +La détermination des lignes de courbure ou des asymptotiques des +élassoïdes admettant pour géodésiques une épicycloïde ou une hypocycloïde, +dépend des fonctions elliptiques. +\end{Emph} + + +\Section{114.} +{Élassoïde d'Enneper à lignes de courbure algébriques.} + +Donnons maintenant des exemples d'élassoïdes dont les lignes de courbure +sont algébriques. + +Considérons \emph{l'élassoïde admettant pour géodésique la première podaire +négative de la parabole, prise par rapport au foyer}. + +La podaire de la courbe considérée n'est autre chose que la parabole; +conséquemment, si $p$ désigne la distance de l'origine à une tangente, et +$\theta$ l'angle de la normale avec l'axe polaire +\[ +p = \frac{a}{\cos^2 \smfrac{\theta}{2}}, +\] +($a$~désignant cette fois le demi-paramètre de la parabole) comme d'ailleurs +\[ +R = p + \frac{d^2p}{d\theta^2} + = \frac{3}{2} a\, \frac{1}{\cos^4 \smfrac{\theta}{2}}; +\] +on voit que l'intégrale caractéristique a pour valeur +\[ +\tg \frac{\theta}{2}, +\] +%% -----File: 153.png---Folio 147------- +par conséquent l'équation des lignes de courbure est +\[ +\tg \frac{\varphi}{2} ± \tg \frac{\psi}{2} = \text{constante}, +\] +et l'on voit que les lignes de courbure ou les asymptotiques sont algébriques. + +D'un autre côté, on aura manifestement une développante de la courbe +choisie en considérant l'équation tangentielle +\[ +P = \int p\, d\theta, +\] +où $P$ désigne la distance de l'origine à la tangente de cette développante et~$\varphi$ +l'angle de la tangente et de l'axe polaire. Or, +\[ +P = 2a·\tg \frac{\theta}{2}. +\] + +La développante est donc algébrique. + +On voit que \emph{l'élassoïde qui admet pour géodésique la première podaire +négative de la parabole prise par rapport au foyer, est algébrique; il a ses +lignes de courbure et ses lignes asymptotiques algébriques}. + +Nous montrerons plus loin que cet élassoïde a ses lignes de courbure +planes. Il a été découvert par Enneper. + +% [** PP: Omitted () around section number] +Les considérations du \Secref{109} peuvent être invoquées; elles montrent que +\emph{par les courbes parallèles à la première podaire négative de la parabole \emph{(le +pôle étant au foyer)} on peut faire passer des élassoïdes algébriques}. + + +\Section{115.} +{On peut déduire de l'élassoïde d'Enneper un nouvel élassoïde algébrique +dont les lignes de courbure s'intègrent.} + +Mais on peut déduire de ce qui précède un nouvel élassoïde algébrique +dont les lignes de courbure ou les asymptotiques s'intègrent. + +%% -----File: 154.png---Folio 148------- + +Si nous considérons en effet l'élassoïde admettant pour géodésique la développée +de cette première podaire négative de la parabole (surface manifestement +algébrique), nous trouvons pour l'intégrale caractéristique des lignes de +courbure +\[ +\int \frac{d\theta}{\cos^2\smfrac{\theta}{2}} \sqrt{\tg \smfrac{\theta}{2}}. +\] + +Dès lors l'intégrale des lignes de courbure ou des asymptotiques est +donnée par une relation de la forme +\[ + m \left(\tg \frac{\varphi}{2}\right)^{\frac{3}{2}} +± n \left(\tg \frac{\psi}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \text{constante}. +\] + +Enfin, ce qui précède met en évidence une application des plus remarquables +sur laquelle il convient d'insister. + + +\Section{116.} +{Deux exemples de lignes de courbure transcendantes.} + +La podaire négative dont il vient d'être question est la développée d'une +courbe algébrique~$(C)$ dont l'équation tangentielle est, comme nous l'avons +montré, +\[ +P = 2a - \tg \frac{\theta}{2}. +\] + +Les développantes de celles-ci sont à leur tour définies par l'équation +\[ +P' = -4a \log\Reg{·}{} \cos \frac{\theta}{2} + C, +\] +laquelle est transcendante, par conséquent \emph{l'élassoïde, qui admet~$(C)$ pour +géodésique, est transcendant}. + +Les lignes de courbure et les asymptotiques sont également transcendantes; +donc de ce côté il n'y a rien à découvrir au point de vue de l'\emph{algébricité}. + +%% -----File: 155.png---Folio 149------- + +Mais il n'en sera pas de même si nous considérons la transformée par +rayons vecteurs réciproques de la parabole en prenant pour pôle de transformation +le foyer. + +Soit $\theta$ l'angle de la parallèle à la normale en c à la courbe considérée~$(C)$. +Soit~$P$ le pied de la perpendiculaire abaissée du foyer~$F$ sur la tangente. +Enfin soit~$b$ le point correspondant de la première podaire négative de la +parabole. On sait que $Fb$ est parallèle à la normale en~$c$ à~$(C)$ et que~$F$, $P$ et +$b$ sont en ligne droite. % [** PP: Not spacing F b] + +On a manifestement +\[ +Fb = \frac{a}{\cos^3 \smfrac{\theta}{3}}\;, +\] +comme d'ailleurs +\[ +Fb × FP = a^2, +\] +($a^2$ étant pris pour la puissance de transformation) +\[ +FP = a \cos^3 \frac{\theta}{3}; +\] +mais, si l'on forme l'équation de la développante +\[ +P = \int d\theta\, a \cos^3 \frac{\theta}{3} += 3a \sin \frac{\theta}{3} \left(1 - \frac{1}{3} \sin^2 \frac{\theta}{3}\right). +\] +On voit qu'elle est algébrique; conséquemment: + +\begin{Emph} +L'élassoïde qui admet pour géodésique la transformée par rayons vecteur~$s$ +réciproques d'une parabole \emph{(le pôle étant au foyer)} est algébrique\footnotemark. +\end{Emph} + \footnotetext{Cette courbe est une cardioïde, variété d'une épicycloïde algébrique; conséquemment, on + devait prévoir que l'élassoïde serait algébrique, mais ce qui précède conduit à la généralisation + qu'il importait de signaler.} + +On trouve en opérant comme d'habitude, pour le rayon de courbure +de~$(C)$, +\[ +R_c = \frac{2}{3} a \cos \frac{\theta}{3}. +\] + +%% -----File: 156.png---Folio 150------- + +Dès lors l'intégrale caractéristique des lignes de courbure et des asymptotiques +devient +\[ + \int \frac{d\theta}{6}\, \sqrt{\cos \frac{2\theta}{6}} += \int \frac{d\theta}{6}\, \sqrt{1 - 2\sin^2\frac{\theta}{6}}. +\] + +\emph{La détermination des lignes de courbure de cet élassoïde dépend encore des +fonctions elliptiques.} + + +\Section{117.} +{Étude d'une famille d'élassoïdes algébriques ou dépendant +de fonctions circulaires.} + +Plus généralement, considérons la courbe~$(C_n)$ dont l'équation tangentielle +est +\[ +p_n = a \cos^n \frac{\theta}{n}; +\] +on trouve pour son rayon de courbure~$R_n$ +\[ +R_n = a · \frac{n-1}{n} \cos^{n-2} \frac{\theta}{n}. +\] + +Conséquemment la développante serait définie par l'équation +\[ +P_{D_n} = na \int \frac{d\theta}{n}\, \cos^n \frac{\theta}{n}, +\] +et l'intégrale caractéristique des lignes de courbure des élassoïdes dérivés de~$(C_n)$ +serait +\[ +\int d\theta\, \cos^{\frac{n}{2} - 1} \frac{\theta}{n}. +\] + +Si $n$ est impair, +\[ +P_{D_n} = a \sin \frac{\theta}{n} + \left[\cos^{n-1}\frac{\theta}{n} + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \frac{\theta}{n} + + \dotsb \frac{2·4\dotsm (n-3)(n-1)}{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}\right] + C; +\] +par conséquent \emph{la développante est toujours algébrique}. + +Il en résulte, alors, que \emph{tout élassoïde admettant pour géodésique une +%% -----File: 157.png---Folio 151------- +courbe $(C_{2m+1})$ est algébrique.} [Nous indiquons par les notations $(C_{2m})$, +$(C_{2m+1})$ des courbes satisfaisantes pour lesquelles le coefficient~$n$ prend des +valeurs paires et impaires.] + +Si $n$ est pair, +\begin{align*} +P_{D_n} = a \sin \frac{\theta}{n} + \left[\cos^{n-1}\frac{\theta}{n} \right. + &+ \left.\frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3}\frac{\theta}{n} + + \dotsb \frac{3·5\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-4)(n-2)} + \cos \frac{\theta}{n}\right] \\ + &+ \frac{1·3\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-2)n}\, \frac{\theta}{n} + C. +\end{align*} +Conséquemment \emph{tout élassoïde admettant pour géodésique une courbe $(C_{2m})$ +dépend des fonctions circulaires}. + +Mais il est remarquable que, dans ce cas, les intégrales caractéristiques, et +par conséquent les lignes de courbure des élassoïdes dérivés dépendent aussi +seulement des fonctions circulaires. En effet, on a +\[ +n = 4m;\quad \text{ou}\quad n = 2m, +\] +suivant que le nombre pair $n$ est ou n'est pas divisible par~$4$. + +\begin{Emph} +Supposons tout d'abord que $n$ soit divisible par~$4$; \emph{il vient alors} +\[ +\int d\theta\, \sqrt{R} + = k \int d\omega\Reg{·}{\,} \cos^{2m-1}\omega, +\] +dont l'expression intégrale est algébrique. \emph{Il en résulte que} les projections +des lignes de courbure et des asymptotiques des élassoïdes dérivés d'une courbe +$(C_{4n})$, sur le plan de cette courbe, sont algébriques. Les courbes elles-mêmes, +comme les élassoïdes, dépendent des fonctions circulaires. + +Supposons maintenant que $n$ ne soit divisible que par~$2$ +\[ +\int d\theta\, \sqrt{R} = k \int d\omega\, \cos^{m-1}\omega, +\] +\emph{et comme la puissance du cosinus est paire}, les projections des lignes de +courbure des élassoïdes dérivés de la courbe $(C_{2n})$ dépendent des fonctions +circulaires. + +Considérons encore le cas où $n$ est pair et négatif. \emph{Soit, par exemple,} +\[ +n = -4m,\quad \text{ou}\quad n = -2m +\] +\end{Emph} + +%% -----File: 158.png---Folio 152------- + +Dans le premier et le second cas +\begin{align*}% [** PP: Aligning, re-breaking] +P_{D_{-2m}} + &= a\int d\theta\, \sec^{2m} \frac{\theta}{2m} \\ + &= +\begin{aligned} + a \frac{\sin \smfrac{\theta}{2m}}{2m-1} + \left[\sec^{2n-1} \frac{\theta}{2m} \right. + &+ \frac{2m-2}{2m-3} \sec^{2m-3} \frac{\theta}{2m} + + \dotsb \\ + &\left. + + \frac{2·4\dotsm (2m-4)(2m-2)} + {1·3\dotsm (2m-5)(2m-3)} \sec \frac{\theta}{2m}\right] + C; +\end{aligned} +\end{align*} +par conséquent \emph{les élassoïdes dérivés sont tous algébriques}. + +Dans le premier cas [$n = -4m$] +\begin{align*} % [** PP: Aligning, re-breaking] +&\int d\theta\, \sqrt{R} + = k \int d\omega\, \sec^{2m+1}\omega \\ +&\qquad + = k \frac{\sin \omega}{2m} + \left[\sec^{2m}\omega + \frac{2m-1}{2m-2} \sec^{2m-1}\omega + \dotsb +% [** PP: Adding +] + + \frac{3·5\dotsm (2m-1)}{2·4\dotsm (2m-2)} \sec^2\omega\right] \\ + &\qquad\qquad + + \frac{1·3\dotsm (2m-1)}{2·4\dotsm 2m} + \log \tg \left(\frac{\omega}{2} + \frac{\pi}{4}\right), +\end{align*} +donc \emph{les projections des lignes de courbure des élassoïdes dérivés, sur le plan +de $(C_{-4m})$, dépendent des logarithmes}. + +Dans le second cas [$n = -2m$] +\begin{align*}% [** PP: Re-breaking] +\int d\theta\, \sqrt{R} + &= k \int d\omega\, \sec^{2m'}\omega \\ +&\begin{aligned} + = k \frac{\sin\omega}{2m'-1} + \left[\vphantom{\dfrac{(2)}{(1)}}\sec^{2m'-1}\omega \right. + &+ \frac{2m'-2}{2m'-3} \sec^{2m'-3}\omega + \dotsb \\ + &+ \left. + \frac{2·4\dotsm (2m'-4)(2m'-2)} + {1·3\dotsm (2m'-5)(2m'-3)} \sec\omega\right] + C; +\end{aligned} +\end{align*} +par conséquent \emph{les lignes de courbure des élassoïdes dérivés de~$(C_{-2m})$ sont +algébriques}. + + +\Section{118.} +{Récapitulation de la nature des élassoïdes et de leurs lignes de courbure.} + +% [** PP: If the table gets separated from the text reference, make a footnote] +On peut résumer les résultats établis ci-dessus, dans un +\hyperref[table1]{tableau récapitulatif}.\phantomsection\label{table1ref}% +\ifthenelse{\not\equal{\pageref{table1}}{\pageref{table1ref}}}% +{\footnote{\textit{Voir} page~\pageref{table1}. \quad ---\bsc{Trans}.}}{} +Remarquons tout d'abord que les courbes~$(C)$ sont des \emph{podaires positives +ou négatives d'un point fixe}\footnotemark, que par conséquent \emph{une podaire positive et} +\footnotetext{Si $n$ est entier seulement.} +%% -----File: 159.png---Folio 153------- +\emph{la podaire négative de même rang peuvent être considérées comme les transformées +par rayons vecteurs réciproques l'une de l'autre.} + +\begin{table*}[htb] +\begin{center} +\phantomsection\label{table1}% +\makebox[0pt][c]% Coax overall centering regardless of true width +{\scriptsize +\begin{tabular}{|*{6}{|@{\;}c@{\;}}||} +\hline +\settowidth{\TmpLen}{coefficient~$n$. }% +\begin{minipage}{\TmpLen} +\centering +\Strut Valeurs \\ du \\ coefficient~$n$. +\end{minipage} & +\settowidth{\TmpLen}{des podaires}% +\begin{minipage}{\TmpLen} +\centering +\Strut Indices \\ des podaires \\ de points. +\end{minipage} & +\settowidth{\TmpLen}{Désignation}% +\begin{minipage}{\TmpLen} +\centering +\Strut Désignation \\ de la \\ courbe~$(C)$. +\end{minipage} & +\settowidth{\TmpLen}{Fonctions circulaires}% +\begin{minipage}{\TmpLen} +\centering +\Strut Nature \\ des \\ élassoïdes dérivés. +\end{minipage} & +\multicolumn{2}{c||}{% +\settowidth{\TmpLen}{Lignes de courbure ou asymptotiques.}% +\begin{minipage}{\TmpLen}% +\centering +\Strut Lignes de courbure ou asymptotiques.\\ +\rule{0.25in}{0.5pt} \\ +\textsc{nature} \\ +%\settowidth{\TmpLen}{Fonctions logarithmiques Fonctions logarithmiques}% +%$\overbrace{\rule{\TmpLen}{0pt}}^{}$ % [** PP; Omitting brace] +\smallskip +\end{minipage}}% End of multicolumn +\\ +& & & & des projections.\Strub & des courbes mêmes. \\ +\hline +\Strut\dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \\ +\NS{-8} & \NS{-9} & \Ditto & Algébrique & Fonctions logarithmiques & Fonctions logarithmiques \\ +\NS{-7} & \NS{-8} & \Ditto & \Ditto & \Ditto & \Ditto \\ +\NS{-6} & \NS{-7} & \Ditto & \emph{Algébrique} & \emph{Algébriques} & \emph{Algébriques} \\ +\NS{-5} & \NS{-6} & \Ditto & \Ditto & \Ditto & \Ditto \\ +\NS{-4} & \NS{-5} & \Ditto & Algébrique & Fonctions logarithmiques & Fonctions logarithmiques \\ +\NS{-3} & \NS{-4} & \Ditto & \Ditto & \Ditto & \Ditto \\ +\NS{-2} & \NS{-3} & +\settowidth{\TmpLen}{Géodésique de}% + \begin{minipage}{\TmpLen} + \centering + \scriptsize Géodésique de \\ + \scriptsize l'ennépérien + \end{minipage} & \emph{Algébrique} & \emph{Algébriques} & \emph{Algébriques} \\ +\NS{-1} & \NS{-2} & Parabole & Logarithmique & Fonctions elliptiques & De deuxième espèce \\ +\NS{0} & \NS{-1} & Droite & Plan & \Ditto & \Ditto \\ +\NS{+1} & \NS{0} & Point & Point & Fonctions elliptiques & De première espèce \\ +\NS{+2} & \NS{+1} & Cercle & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires \\ +\NS{+3} & \NS{+2} & Cardioïde & Algébrique & Fonctions elliptiques & De deuxième espèce \\ +\NS{+4} & \NS{+3} & \Ditto & Fonctions circulaires & \emph{Algébriques} & Fonctions circulaires \\ +\NS{+5} & \NS{+4} & \Ditto & Algébrique & \Ditto & \Ditto \\ +\NS{+6} & \NS{+5} & \Ditto & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires \\ +\NS{+7} & \NS{+6} & \Ditto & Algébrique & \Ditto & \Ditto \\ +\NS{+8} & \NS{+7} & \Ditto & Fonctions circulaires & \emph{Algébriques} & Fonctions circulaires \\ +\NS{+9} & \NS{+8} & \Ditto & Algébrique & \Ditto & \Ditto \\ +\Strub\dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \\ +\hline +\end{tabular}} % End of \scriptsize +\end{center} +\end{table*} + + +\Section{119.} +{Autres élassoïdes algébriques à lignes de courbure intégrables.} + +Il serait bien facile de former les équations d'élassoïdes dont les lignes de +courbure ou les asymptotiques peuvent s'intégrer; démontrons-en simplement +la possibilité. + +Tout élassoïde admettant pour géodésique la développée d'une courbe~$(C_n)$ +podaire, positive ou négative d'un point fixe, sera algébrique. Mais puisque +\[ +R_n = a \frac{n-1}{n} \cos^{n-2} \frac{\theta}{n}, +\] +%% -----File: 160.png---Folio 154------- +on obtient par dérivation pour le rayon de courbure de la développée +\[ +\frac{d}{d\theta} R_n + = -\frac{a(n-1)(n-2)}{n^2} \cos^{n-3} \frac{\theta}{n} \sin \frac{\theta}{n}. +\] +Conséquemment l'intégrale caractéristique des lignes de courbure du nouvel +élassoïde sera de la forme +\[ +\int d\omega\Reg{·}{\,} + \cos^{\frac{n-3}{2}}\omega · \sin^{\frac{1}{2}}\omega, +\] +qui se ramène immédiatement aux intégrales binômes. En particulier si $n$ est +égal à +\[ +4\alpha + 2\quad\text{ou}\quad 4\alpha + 1, % [** PP: Typo .] +\] +l'intégration s'effectue complétement, $\alpha$ étant un nombre entier arbitraire. +% [** PP: In the original, previous line is a complete paragraph.] + +A propos de l'étude des élassoïdes applicables sur des surfaces de révolution, +nous aurons l'occasion de montrer de nouveaux exemples d'élassoïdes +dont les lignes de courbure sont algébriques. + + +\Section{120.} +{Relations entre deux géodésiques planes réciproques, d'un même élassoïde.} + +Nous terminerons ce chapitre en établissant une propriété fort curieuse +des élassoïdes admettant un plan de symétrie. Un élassoïde de cette nature +est coupé par le plan suivant une géodésique; si celle-ci admet un axe de +symétrie, le plan mené par cet axe perpendiculairement au premier est +encore plan de symétrie; il coupe donc l'élassoïde suivant une nouvelle +géodésique et ce sont les relations de ces deux géodésiques réciproques que +nous allons mettre en évidence. + +Soient pris pour plan des $XY$ et des $ZX$ les deux plans de symétrie, le +plan des $YZ$ étant pris perpendiculairement aux précédents, et l'origine étant +arbitraire. + +%% -----File: 161.png---Folio 155------- + +Considérons une développable isotrope dont les tangentes sur le plan des +$XY$ ont pour équation +\[ +X \cos\varphi + Y \sin\varphi - F = 0. +\] +Soit d'un autre côté pour l'équation des traces des plans tangents de cette +développable sur le plan des~$ZX$ +\[ +X \cos\alpha + Z \sin\alpha - p = 0. +\] +L'équation du plan tangent isotrope étant +\[ +X \cos\varphi + Y \sin\varphi + iZ - F = 0, +\] +sa section par le plan des $ZX$ aura pour équation +\[ +X \cos\varphi + iZ - F = 0, +\] +on l'identifiera à la trace déjà considérée en posant +\begin{gather*} +p = \frac{F}{i \sin\varphi} = -\frac{iF}{\sin\varphi}, \\ % [** PP: Moved - out of numerator] +\tg \alpha = \frac{i}{\cos\varphi}\quad \text{d'où}\quad +\cos\alpha = ±i \cot\varphi, +\end{gather*} +on en déduit +\[ +\frac{d\varphi}{d\alpha} = i \sin\varphi. +\] + +Désignons par $(M)$ et~$(N)$ les traces de la développable isotrope sur les +plans des $XY$ et des~$XZ$, par $M$ et~$N$ les points de contact des tangentes correspondantes; % [** PP: Typo corresdantes] +par~$(m)$ et~$(n)$ les développées respectives de~$(M)$ et~$(N)$; par~$m$ et~$n$ +les points correspondants de ces courbes; enfin par~$R_M$ et~$R_N$ ou~$R_m$ et~$R_n$ les +rayons de courbure des courbes $(M)$ et~$(N)$ ou~$(m)$ et~$(n)$. Comme +\begin{gather*} +\frac{dp}{d\alpha} = F' - F \cot\varphi, \\ +\frac{d^2p}{d\alpha^2} = i(F'' \sin\varphi - F' \cos\varphi) + \frac{F}{\sin\varphi}, \\ +\intertext{on voit que} +R_N = p + \frac{d^2p}{d\alpha^2} = i(F'' \sin\varphi - F' \cos\varphi). +\end{gather*} + +%% -----File: 162.png---Folio 156------- + +Pour le rayon de courbure de la développée on obtient de même +\[ +R'_n + = \frac{d}{d\alpha} R_N + = -(F''' + F') \sin^2\varphi. +\] + +Enfin, désignons par $m$ et~$n$ les longueurs des normales menées en~$m$ et~$n$ +aux courbes~$(m)$ et~$(n)$ et prolongées l'une jusqu'à la rencontre de l'axe~$OY$, +l'autre jusqu'à la rencontre de l'axe~$OZ$. Nous trouvons +\[ +n = (F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi) \sin\varphi. +\] + +Parallèlement on a +\begin{gather*} +R'_m = F''' + F', \\ +m = \frac{F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi}{\sin\varphi}. +\end{gather*} + +Le tableau suivant, dans lequel nous avons introduit les coordonnées des +points $m$ et~$n$, résume l'analyse précédente. +\[ +\begin{array}{c|c} +\text{\textsc{\footnotesize dans le plan des} $X$, $Y$.} & +\text{\textsc{\footnotesize dans le plan des} $X$, $Z$.} \\ +\hline % [** PP: Using \hline in lieu of braces] +\begin{aligned} + -x_m &= F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi, \vphantom{\bigg|} \\ + +y_m &= F'' \sin\varphi - F' \sin\varphi, \\ + m &= \frac{F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi}{\sin\varphi}, \\ + R'_m &= F''' + F'. +\end{aligned} & +\begin{aligned} + -x_n &= F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi, \vphantom{\bigg|} \\ + z_n &= i(F'' + F), \\ + n &= (F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi) \sin\varphi,\vphantom{\bigg|} \\ + R'_n &= -(F''' + F') \sin^2\varphi. +\end{aligned} +\end{array} +\] + +Prenons pour $(m)$ une courbe réelle et cherchons l'élassoïde qui l'admet +pour géodésique. Cet élassoïde est \emph{double}; les deux arêtes de rebroussement +des focales isotropes génératrices coïncident avec une seule ligne de longueur +nulle dont la projection sur le plan des~$XY$ sera~$(m)$, comme elle sera~$(n)$ +sur le plan des~$XZ$. Conséquemment le tableau précédent donne les relations +existant entre deux géodésiques particulières de l'élassoïde. Si $S_{(m)}$ et~$S_{(n)}$ désignent +les longueurs des arcs de ces deux courbes (toutes deux réelles si~$OX$ +%% -----File: 163.png---Folio 157------- +est axe de symétrie) on a +\begin{gather*} +z_n = iS_{(m)},\qquad y_m = iS_{(n)}, \\ +x_n = x_m, \\ +\frac{R'_m}{m} = -\frac{R'_n}{n}. +\end{gather*} + +Les deux premières relations sont de simples vérifications de ce fait que +les courbes $(m)$ et~$(n)$ sont les deux projections d'une courbe de longueur +nulle. + + +\Section{121.} +{Géodésiques planes pour lesquelles $R = ± kn$; elles sont toujours associées +sur un même élassoïde.} + +La troisième relation présente un intérêt tout particulier. Il est clair qu'aux +points réels de la courbe~$(m)$ correspondent des points imaginaires de~$(n)$ et +inversement; la relation qui nous occupe n'aurait donc qu'un intérêt secondaire +si elle ne caractérisait pour certaines courbes une double propriété +invariante. + +Considérons en effet une courbe~$(m)$ telle que le rapport du rayon de courbure +à la normale (comptée jusqu'à l'axe~$OY$) soit constant et égal à~$k$. La +relation précitée exprime que la courbe~$(n)$ jouit d'une propriété analogue, +le rapport du rayon de courbure et de la normale étant cette fois égal à~$-k$. + +L'étude des élassoïdes qui donnent lieu à ces propriétés fera l'objet du +chapitre qui suit. + +\TbEoC + +%% -----File: 164.png---Folio 158------- + + +\Chapter{XIV.} +{ÉTUDE D'UNE FAMILLE D'ÉLASSOÏDES PARTICULIERS.---LIGNES ALGÉBRIQUES. +LIGNES DE COURBURE.} + +\Section{122.} +{Il y a deux élassoïdes satisfaisants déjà connus, l'alysséide et la surface +de M.~Catalan.} + +Il convient tout d'abord d'observer que l'on connaît déjà deux élassoïdes +de la famille. + +L'élassoïde de révolution a pour méridienne une chaînette qui est une +ligne géodésique plane; il admet une autre géodésique plane qui est le +cercle de gorge. Pour cette courbe le rayon de courbure est égal à la normale, +et, conformément au théorème général, le rayon de courbure de la chaînette +est bien égal et de signe contraire à la normale comptée jusqu'à la base. +L'élassoïde de révolution est transcendant, mais il admet une famille de lignes +algébriques qui sont les sections par des plans perpendiculaires à l'axe de +révolution. + +En second lieu, M.~Catalan a fait connaître un très-bel élassoïde engendré +par des paraboles et une cycloïde, admettant deux géodésiques planes, l'une +parabolique, l'autre cycloïdale, comportant aussi une famille de courbes algébriques, +les paraboles du second degré. Or la parabole, comme la cycloïde, +jouit de cette propriété que son rayon de courbure est double de la normale. +%% -----File: 165.png---Folio 159------- +Dans le premier cas, le rapport est négatif (la normale est comptée jusqu'à la +directrice), dans le second cas, le rapport est positif (la normale est comptée +jusqu'à la base). + +C'est en faisant \emph{à priori} ce rapprochement et en cherchant pourquoi s'associent +sur un même élassoïde des courbes algébriques et transcendantes +disparates, comme la parabole et la cycloïde, que nous avons été amené à +soupçonner le théorème général. + + +\Section{123.} +{Les roulettes génératrices des courbes pour lesquelles $R = n\rho$ ont +pour équation $p = a \cos^n \dfrac{\theta}{n}$.} + +Cherchons les courbes planes $(O)$ pour lesquelles le rayon de courbure~$R_0$ +est égal au produit de la normale comptée jusqu'à la rencontre d'une +droite~$DD'$, par un coefficient $n$ arbitraire, mais constant. Bien que le problème +soit résolu dans tous les traités, il convient pour notre objet d'en donner +une solution fort simple et qui a l'avantage d'introduire à nouveau des +courbes intéressantes, rencontrées précédemment. + +Considérons la roulette $(C)$ qui, roulant sur~$DD'$, ferait décrire à un point~$O$ +de son plan la courbe satisfaisante~$(O)$: $\mu$~désignant à chaque instant l'angle +de~$OC$ avec~$DD'$, $r$~désignant le rayon de courbure en~$C$ de~$(C)$, on +obtient sans difficulté la relation\footnote{$\rho$ désigne la distance~$OC$.} +\[ +R_0 = \frac{\rho^2}{\rho - r \sin\mu}. +\] + +Dans le cas actuel, de ce que +\[ +R_0 = n\rho, +\] +on déduit +\[ +\frac{\rho}{\sin\mu} · \frac{n-1}{n} = r. +\] + +%% -----File: 166.png---Folio 160------- + +Considérons maintenant la roulette~$(C)$ dans son plan, $XX'$~étant un axe +fixe passant par le pôle~$O$, $\omega$ désignant l'angle polaire~$COX'$, $\theta$~l'angle de la +normale à~$(C)$ avec l'axe fixe. On sait que, si~$d(C)$ représente l'élément +d'arc +\begin{align*} +\frac{d(C)}{d\omega} &= \frac{\rho}{\sin\mu}, \\ +\frac{d(C)}{d\theta} &= r. +\end{align*} +Conséquemment l'équation du problème devient +\[ +d\theta\, \frac{n-1}{n} = d\omega. +\] +Donc, en choisissant pour~$XX'$ une direction convenable +\[ +\theta \frac{n-1}{n} = \omega; +\] +mais d'un autre côté, on a généralement +\[ +\theta = \frac{\pi}{2} - \mu + \omega, +\] +ce qui, dans l'espèce, donne +\[ +\frac{\pi}{2} - \mu = \frac{\theta}{n}. +\] + +Il est maintenant facile d'intégrer l'équation des courbes~$(C)$. Si $p$ désigne +la distance~$OP$ de l'origine à la tangente, comme l'angle de la tangente à la +podaire~$(P)$ avec~$OP$ est égal à~$\mu$, on sait que +\[ +\cot\mu = -\frac{dp}{p\, d\theta}. % [** PP: cotg in original] +\] +Il en résulte pour l'équation différentielle des courbes~$(C)$ +\[ +\frac{dp}{p} + n\, \frac{d\theta}{n} \tg \frac{\theta}{n} = 0. +\] +%% -----File: 167.png---Folio 161------- +En définitive +\[ +p = a \cos^n \frac{\theta}{n}. +\] +Ainsi les roulettes~$(C)$ sont précisément les courbes étudiées au chapitre précédent. + +Si nous revenons aux courbes~$(O)$, nous voyons que +\settowidth{\TmpLen}{\text{l'ordonnée}}% +\begin{align*} +\makebox[\TmpLen][l]{\text{l'ordonnée}}\quad y &= p, \\ +\makebox[\TmpLen][l]{\text{l'abscisse}}\quad x &= \int p\, d\theta; +\end{align*} +car cette dernière intégrale est, comme il a été dit déjà, l'expression de la +distance de l'origine~$(O)$ à la tangente d'une développante $(D)$ de~$(C)$, et, la +courbe~$(D)$ entraînée dans le roulement de~$(C)$ sur~$DD'$ passe constamment +par un point fixe qu'on peut prendre pour origine des abscisses. + +Conséquemment la courbe~$(O)$ sera algébrique \emph{en même temps que l'élassoïde +admettant la roulette correspondante~$(C)$ pour géodésique}. + + +\Section{124.} +{Les deux roulettes génératrices des courbes pour lesquelles $R = ± n\rho$ +sont transformées l'une de l'autre par rayons vecteurs réciproques.} + +D'après le théorème général qui a motivé cette étude, l'élassoïde, admettant~$(O)$ +pour géodésique, en admet une autre~$(O')$ telle qu'en chacun de ses +points +\[ +R_{O'} = -n\rho. +\] +Dès lors, la roulette~$(C')$ correspondante a pour équation tangentielle +\[ +p' = a \cos^{-n} \frac{\theta}{n}, +\] +et l'on a +\[ +pp' = a^2. +\] +%% -----File: 168.png---Folio 162------- +\emph{Les podaires des roulettes $(C)$, $(C')$ correspondantes, sont transformées, par +rayons vecteurs réciproques, l'une de l'autre.} + +Le rayon de courbure $R_O$ a pour valeur +\[ +R_O = n\rho = n\, \frac{p}{\sin\mu} + = na \cos^{n-1} \frac{\theta}{n}; +\] +par conséquent l'intégrale caractéristique de l'élassoïde qui admet pour +géodésique $(O)$ (l'angle de contingence de~$(O)$ étant précisément~$d\mu$) a pour +valeur +\[ +\int d\theta\, \cos^{\frac{n-1}{2}} \frac{\theta}{n}, +\] +et l'équation des lignes de courbure ou des asymptotiques de l'élassoïde sera +algébrique toutes les fois que l'intégrale précédente le sera. Les projections +de ces lignes, ou seulement leurs images sphériques, seront alors algébriques. + +Occupons-nous en premier lieu des courbes~$(O)$ seules. D'après ce +qui vient d'être dit, on voit qu'il convient de distinguer quatre classes de +courbes~$(O)$. + + +\Section{125.} +{Courbes du genre cycloïde.} + +\emph{Première classe caractérisée par des valeurs paires et positives de~$n$.} Les +points de la courbe correspondant à une valeur du paramètre sont définis +par les équations simultanées +\begin{gather*} +y = a \cos^n \omega, \\ +\begin{aligned}% [** PP: Re-breaking] +\frac{x}{a} &= \sin\omega + \left[\cos^{n-1} \omega + + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb + \frac{3·5\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-4)(n-2)} \cos\omega\right] \\ + &\qquad+ \frac{1·3\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-2)n} \omega; +\end{aligned} +\end{gather*} +ces courbes sont périodiques, elles présentent une suite d'ondes cycloïdales; +\emph{la cycloïde en est le type}. + +%% -----File: 169.png---Folio 163------- + +\Section{126.} +{Paraboles du degré~$n$.} + +\emph{Deuxième classe caractérisée par des valeurs paires et négatives de~$n$.} Les +points d'une courbe correspondant à une valeur du paramètre (considéré ci-après +en valeur absolue) sont donnés par les équations simultanées +\begin{gather*} +y = a \cos^{-n} \omega, \\ +\frac{x}{a} = \frac{n}{n-1} \tg\omega + \left[\frac{1}{\cos^{n-2} \omega} + + \frac{n-2}{n-3}\, \frac{1}{\cos^{n-4} \omega} + + \dotsb \frac{2·4\dotsm (n-4)(n-2)}{1·3\dotsm (n-5)(n-3)}\right]. +\end{gather*} +Si l'on donne à~$y$ % [** PP: Typo a~$y$] +une certaine valeur il n'y a que $n$~valeurs de~$x$ correspondantes, +car les valeurs de~$\cos\omega$ affectées des signes~$±$ donnent le même +résultat dans la parenthèse et comme $\tg\omega$ comporte le double signe, on voit +que \emph{les courbes considérées sont algébriques et du~\emph{\Ord{$n$}{ième}} degré}. Il faut vérifier +qu'il n'y a pas de points à l'infini sur les directions parallèles à l'axe des~$x$ +pour que le raisonnement qui précède soit légitime; or pour que $x$ devienne +infini il faut que +\[ +\lim \frac{y}{x} = \frac{2(n-1)}{n} \lim \frac{1}{\sin 2\omega} = \infty; +\] +d'ailleurs comme $y$ est infini en même temps que~$x$, on voit que \emph{les courbes +sont des paraboles de degré~$n$} dont la direction asymptotique est perpendiculaire +à la directrice ou base. Le type est la parabole du second degré. On +aura des courbes de la même famille du quatrième, du sixième, du huitième +degré, en un mot de tous les degrés pairs. + +L'équation de la parabole du quatrième ordre est +\[ +\biggl[\frac{9}{16} · \frac{x^2}{a^2} - \frac{y}{a} + 4\biggr]^2 + = \frac{y}{a} \biggl[2 + \frac{y}{a}\biggr]^2. +\] + +%% -----File: 170.png---Folio 164------- + +\Section{127.} +{Cercles de degré~$2n$.} + +\emph{Troisième classe caractérisée par des valeurs impaires et positives de~$n$.} +Les points d'une courbe de la famille sont déterminés par les équations +\begin{gather*} +y = a \cos^n \omega, \\ +\frac{x}{a} = \sin \omega + \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb + + \frac{2·4\dotsm (n-3)(n-1)}{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}\right]. +\end{gather*} +Remarquons tout d'abord que ces courbes algébriques sont fermées, car elles +n'ont d'autres points à l'infini que les ombilics puisque +\[ +\lim \frac{y}{x} = ± i, +\] +lorsque $\sin \omega$ ou $\cos \omega$ tendent vers l'infini, ce qui est nécessaire pour que +les coordonnées croissent indéfiniment. + +\emph{L'axe des~$y$ est un axe de symétrie; aussi la courbe est-elle du degré~$2n$}; +les degrés de ces courbes seront donc~$2$ (cercle), $6$, $10$, $14 \dotsc$, etc. Le cercle +en est le type. + +Le cercle du sixième degré a pour équation +\[ +(x^2 + y^2 - 4a^2)^3 + 27a^2y^4 = 0. +\] + + +\Section{128.} +{Courbes transcendantes du genre chaînette.} + +\emph{Quatrième classe caractérisée par des valeurs impaires et négatives du +paramètre~$n$.} On a (en prenant la valeur absolue de~$n$) +\begin{gather*} +\frac{x}{a} = \frac{n}{n-1} \sin \omega + \left[\frac{1}{\cos^{n-1}\omega} + + \frac{n-2}{(n-3)}\, \frac{1}{\cos^{n-2}\omega} + + \dotsb \frac{3·5\dotsm (n-2)}{2·4\dotsm (n-3)}\, + \frac{1}{\cos^2\omega}\right] \\ + + \frac{1·3\dotsm (n-2)}{2·4\dotsm (n-3)} % [** PP: Typo (n-2)/(n-2)] + \log \tg \left(\frac{\omega}{2} + \frac{\pi}{4}\right); +\end{gather*} +%% -----File: 171.png---Folio 165------- +ces courbes, dont la chaînette est le type, sont toutes transcendantes. + +On voit par cette énumération qu'aucun des élassoïdes admettant des +courbes $(O)$ pour géodésiques ne peut être algébrique, car tant que~$n$ est +entier, à toute courbe~$(O)$ algébrique correspond une courbe~$(O')$ transcendante +et inversement. Lorsque $n$ est fractionnaire, aucune des géodésiques +$(O)$ et~$(O')$ n'est algébrique. + + +\Section{129.} +{Longueurs des courbes satisfaisantes.} + +Désignons par $F'$ la distance de l'origine aux tangentes d'une courbe~$(O)$, $\omega$, +l'angle auxiliaire employé précédemment, est l'angle que fait la normale +avec la base prise pour axe polaire, on a, en conservant les notations relatives +aux courbes génératrices~$(C)$, +\[ +\frac{F'}{a} = + n \sin\omega \int p\, d\omega + \cos\omega · p; +\] +par conséquent +\[ +\frac{F''}{a} + = + n \cos\omega \int \cos^n \omega\Reg{·}{\,} d\omega + - \sin\omega·\cos^n \omega. +\] +Soit en intégrant par parties +\[ +\frac{F}{a} + = -n \cos\omega \int \cos^n \omega\, d\omega + + (n + 1) \int \cos^{n+1} \omega·d\omega. +\] +Mais d'après la formule de réduction bien connue +\[ +(n + 1) \int \cos^{n+1} \omega\, d\omega + = \sin\omega \cos^n\omega + n \int \cos^{n-1}\omega\, d\omega, +\] +il vient aussi +\[ +\frac{F}{a} = n \int \cos^{n-1} \omega\, d\omega + + \sin\omega \cos^n \omega + - n \cos\omega \int \cos^n \omega\, d\omega. +\] +%% -----File: 172.png---Folio 166------- +On en déduit pour l'arc de la courbe~$(O)$ +\[ +S_{(O)} = F + F'' = na \int \cos^{n-1} \omega\Reg{·}{\,} d\omega, +\] +ce qui peut être considéré comme une vérification. + + +\Section{130.} +{Lignes algébriques des élassoïdes % [** PP: Typo élassoides] +$(E_n)$ et de leurs conjugués~$(E'_n)$. Leurs +images sphériques forment un réseau orthogonal de grands et de petits +cercles.} + +Cherchons maintenant à déterminer sur les élassoïdes, admettant une +courbe $(O)$ pour géodésique, les lignes algébriques. Les calculs s'appliqueront +immédiatement aux élassoïdes conjugués en utilisant les formules des +§\Secref{101} et~\hyperref[paragraph:109.]{§~109}. + +Nous désignerons par $[E_n]$ et~$[E'_n]$ les élassoïdes dérivés l'un d'une courbe $(O)$, +dont le paramètre est~$n$, l'autre conjugué du précédent. + +D'après le théorème sur l'association des géodésiques~$(O)$, caractérisées +par les paramètres~$±n$, il suffira de considérer deux cas: + +\primo~\emph{$n$~positif et pair} [$(O)$ est du genre cycloïdal]. Remplaçant $\omega$ par $\varphi$ et~$\psi$, +comme dans la théorie générale, on trouve d'après (66), (67), pour les +coordonnées de l'élassoïde~$[E_n]$ +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \begin{aligned} + \frac{2x}{a} &= {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega + \mSmall{% + \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb + \frac{3·5\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-4)(n-2)} \cos\omega\right] + } \\ + &\qquad + + \mSmall{\frac{1·3\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-2)n} \omega}, + \end{aligned} \\ +% +&\frac{2y}{a} = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \cos^n \omega, \\ +% +& \begin{aligned} + &\frac{2n-1}{n} · \frac{z}{a} · i \\ + &\qquad = \Delta^\varphi_\psi \sin\omega +% [** PP: Typo 2-n in next line? Also, n-4 indistinct, but fits pattern.] + \mSmall{\left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + + \dotsb \frac{2·4\dotsm (n-4)(n-2)}{1·3\dotsm (n-5)(n-3)}\right]}, + \end{aligned} +\end{aligned} +\right. +\] +groupe où les symboles $\sum^\varphi_\psi$ et~$\Delta^\varphi_\psi$ représentent les sommes et les différences +%% -----File: 173.png---Folio 167------- +des deux expressions obtenues en remplaçant successivement $\omega$ par $\varphi$ et~$\psi$, +dans les expressions régies par ces symboles. + +En ce qui concerne %[** PP: Typo conserne] +l'élassoïde conjugué du précédent, on trouve pour les +coordonnées de l'élassoïde~$[E'_n]$ +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \begin{aligned} +\frac{2x'i}{a} &= \Delta^\varphi_\psi \sin\omega + \mSmall{% +% [** PP: in next line, 1·2 probably n-2] + \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{1·2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb + \frac{3·5\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-4)(n-2)} \cos\omega \right] + } \\ + &\qquad + + \mSmall{\frac{1·3\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-2)n} \omega}, + \end{aligned} \\ +% +&\frac{2y'i}{a} = \Delta^\varphi_\psi \cos^n \omega, \\ +% +& \begin{aligned} +&\frac{2(n-1)}{n} · \frac{z}{a} \\ +& \qquad = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega + \mSmall{% + \left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + \dotsb + \frac{2·4\dotsm (n-4)(n-2)}{1·3\dotsm (n-5)(n-3)}\right]}. + \end{aligned} +\end{aligned} +\right. +\] + +\secundo~\emph{$n$~positif et impair} [$(O)$ est du genre circulaire], on a de même, pour +les coordonnées de l'élassoïde~$[E_n]$ +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +&\frac{2x}{a} = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega + \mSmall{% + \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb + \frac{2·4\dotsm (n-3)(n-1)}{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}\right]}, \\ +% +&\frac{2y}{a} = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \cos^n \omega, \\ +% +& \begin{aligned} + &\frac{2(n-1)}{n}\, \frac{z}{a} i \\ + &\qquad = \Delta^\varphi_\psi \sin\omega + \mSmall{% + \left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + \dotsb + \frac{3·5\dotsm (n-4)(n-2)}{2·4\dotsm (n-5)(n-3)} \cos\omega \right] + } \\ + &\qquad\qquad + + \mSmall{\frac{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}{2·4\dotsm (n-3)(n-1)} \omega}. + \end{aligned} +\end{aligned} +\right. +\] +Pareillement, pour les coordonnées de l'élassoïde~$[E'_n]$ +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +&\frac{2x'}{a} i = \Delta^\varphi_\psi \sin\omega + \mSmall{% + \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb + \frac{2·4\dotsm (n-3)(n-1)}{1·3\dotsm (n-4)(n-2)} \right]}, \\ +% +&\frac{2y'}{a} i = \Delta^\varphi_\psi \cos^n \omega, \\ +% +&\begin{aligned} + &\frac{2(n-1)}{n} · \frac{z}{a} \\ + &\qquad = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega + \mSmall{% + \left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + \dotsb + \frac{3·5\dotsm (n-4)(n-2)}{2·4\dotsm (n-5)(n-3)} \cos\omega\right] + } \\ + &\qquad\qquad+ + \mSmall{\frac{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}{2·4\dotsm (n-3)(n-1)} \omega}. + \end{aligned} +\end{aligned} +\right. +\] +%**}% + +Il est bien entendu que dans ces formules $\varphi$ et~$\psi$ représentent des angles +imaginaires conjugués +\[ +\varphi = \alpha + i\beta,\quad \psi = \alpha - i\beta. +\] + +%% -----File: 174.png---Folio 168------- + +Les formules qui précèdent montrent immédiatement par quelles associations +de valeurs de $\varphi$ et~$\psi$ on obtiendra des lignes algébriques des +élassoïdes. + +\primo~\emph{$n$ étant positif et pair} [$(O)$~étant du genre cycloïdal] les lignes algébriques +sont déterminées sur~$[E_n]$ par +\[ +\varphi + \psi = 2\alpha = \text{constante}, +\] +sur $[E'_n]$ par +\[ +\varphi - \psi = 2i\beta = \text{constante}; +\] +inversement + +\secundo~\emph{$n$~étant positif et impair} [$(O)$~étant du genre circulaire] les lignes +algébriques sont déterminées sur~$[E_n]$ par +\[ +\varphi - \psi = 2i\beta = \text{constante}, +\] +sur $[E'_n]$ par +\[ +\varphi + \psi = 2\alpha = \text{constante}. +\] + +Les images sphériques de ces courbes algébriques sont, dans tous les cas, +déterminées par les équations +\[ + -\frac{X}{\sin\alpha} % [** PP: Moved - out of numerator] += \frac{Y}{\cos\alpha} += \frac{Zi}{\sin i\beta} += \frac{R}{\cos i\beta}. +\] + +\begin{Emph} +\emph{Conséquemment}, elles sont tantôt de grands cercles admettant l'axe des~$Z$ +pour diamètre, tantôt les petits cercles dont les plans sont perpendiculaires +à l'axe des~$Z$. + +\emph{Ainsi}, lorsque $n$ est positif et pair: sur $[E_n]$ les lignes algébriques +sont les courbes de contact de cylindres dont les génératrices sont parallèles +au plan de la courbe cycloïdale~$(O)$. + +Il en est de même sur $[E'_n]$ lorsque $n$ est positif et impair. +\end{Emph} + +Par exemple, si $n = 2$, $[E_2]$ est l'élassoïde de M.~Catalan, où s'associent la +cycloïde et la parabole; les lignes algébriques sont des paraboles dont les plans +%% -----File: 175.png---Folio 169------- +sont perpendiculaires à celui de la cycloïde et les développables circonscrites +à l'élassoïde %[** PP: Typo élassoide] +le long de ces courbes sont des cylindres. + +Si $n=1$, $[E'_1]$ est la surface de vis à filet quarré. + +\begin{Emph} +Lorsque $n$ est positif et impair, les développables algébriques circonscrites +à l'élassoïde % [** PP: Typo élassoide] +$[E_n]$ ont leurs cônes directeurs circulaires. Il en est de même en +ce qui concerne $[E'_n]$, lorsque $n$~est positif et pair. +\end{Emph} + +Par exemple, si $n = 1$, l'élassoïde %[** PP: Typo élassoide] +$[E_1]$ est de révolution et les développables +algébriques sont les cônes ayant leurs sommets sur l'axe de +révolution. + + +\Section{131.} +{$[E'_2]$\footnotemark a pour lignes algébriques des biquadratiques.} +\footnotetext{Il s'agit de l'élassoïde conjugué de celui qui comporte un assemblage de paraboles et de +cycloïdes.}% + +Si $n = 2$ l'élassoïde $[E'_2]$ a ses lignes algébriques définies par les équations +\[ +\left. +\begin{aligned} +&\frac{2xi}{a} - \beta i = \cos 2\alpha · \sin 2i\beta, \\ +&\frac{2yi}{a} = -\sin 2\alpha · \sin 2i\beta, \\ +&\frac{z}{a} = 2\sin \alpha · \cos i\beta, +\end{aligned}\ \right\} +\quad\text{où $\beta$ est constante.} +\] +Soit, en éliminant $\alpha$ +\[ +\frac{2xi}{a} - \beta i + = \sin 2i\beta \left[1 - \frac{z^2}{2a^2 \cos^2 i\beta}\right] +\] +avec +\[ +\left[\frac{2x}{a} - \beta\right]^2 + \frac{4y^2}{a^2} + \sin^2 2i\beta = 0, +\] +%% -----File: 176.png---Folio 170------- +on a donc des biquadratiques qui se projettent suivant des cercles ou des +paraboles sur les plans des $XY$ ou des~$XZ$. + +Nous verrons dans une autre occasion comment on peut établir avec +généralité de nouvelles propriétés de ces courbes algébriques, mais il +faut se limiter. + + +\Section{132.} +{Sur les lignes de courbure des élassoïdes~$[E_n]$.} + +Examinons rapidement dans quels cas les lignes de courbure ou les +asymptotiques donnent lieu à des propriétés se rapportant à l'algébricité. + +Nous avons montré que l'équation caractéristique de ces lignes sur~$[E_n]$ +est +\[ +\int d\varphi\, \cos^{\frac{n+1}{2}}\varphi + ± \int d\psi\, \cos^{\frac{n-1}{2}}\psi = 0, +\] +obtenue en partant de la géodésique~$(O_{+n})$; on aurait, au contraire, +\[ +\int d\varphi'\, \cos^{\frac{-n+1}{2}}\varphi' % [**** PP: Typo -n-1?] + ± \int d\psi'\, \cos^{\frac{-n-1}{2}}\psi' = 0, +\] +si l'on partait de la géodésique~$(O_{-n})$. + +On peut facilement vérifier l'identité des deux formules en partant +des relations du \Secref{119} qui lient les éléments des deux courbes transformées. + +Tenant compte de la nouvelle direction des axes, on aura, par exemple, +\begin{align*} +\cos\varphi &= \frac{1}{\cos\varphi'}\;, \\ +\frac{d\varphi}{d\varphi'} &= i \cos\varphi. +\end{align*} +%% -----File: 177.png---Folio 171------- +Conséquemment, en substituant, on trouve +\[ % [** Removed dot] +d\varphi\, \cos^{\frac{n-1}{2}} \varphi = i\, d\varphi'\, \cos^{\frac{-n-1}{2}} \varphi', +\] +et l'identité est vérifiée. + +Pour $n = 1$ l'élassoïde $[E_1]$ est l'alysséide, qui est de révolution; on a en +effet pour l'intégrale des lignes de courbure prises par rapport au cercle de +gorge, +\[ +\varphi ± \psi = 0, +\] +équation qui caractérise le réseau sphérique des grands cercles ayant un +diamètre commun et coupés par de petits cercles à plans parallèles. + +Pour $n=2$, l'élassoïde $[E_2]$ est celui de M.~Catalan; les lignes de courbure +dépendent des fonctions elliptiques de seconde espèce. + + +\Section{133.} +{Le réseau sphérique, image des lignes de courbure de~$[E_n]$, est formé de +biquadratiques; une projection des lignes de courbure est algébrique.} + +Pour $n = 3$ l'intégrale des lignes de courbure est +\[ +\sin\varphi ± \sin\psi = \text{constante}, +\] +soit en passant aux angles réels +\begin{align*} +\sin\alpha \cos i\beta &= m, \\ +\cos\alpha \sin i\beta &= ni, +\end{align*} +où $m$ et~$n$ sont les paramètres des lignes de courbure. Les images sphériques +sont les deux familles de biquadratiques +\[ +X^2 + Y^2 + Z^2 - R^2 = 0\quad +\left\{ +\begin{aligned} +m(X^2 + Y^2) + RX &= 0, \\ +n(X^2 + Y^2) - ZY &= 0. +\end{aligned} +\right. +\] +%% -----File: 178.png---Folio 172------- +on sait d'avance que le réseau formé par ces deux familles de courbes est +orthogonal et isométrique, et que toutes les trajectoires des courbes d'une +même famille sont algébriques. + +Les lignes de courbure de $[E_3]$ se projettent sur le plan du cercle~$[O_3]$, du +degré~$6$ (voir \Secref{126}), suivant des courbes algébriques. Il est remarquable que +les asymptotiques de l'élassoïde $[E'_3]$ transformées des lignes de courbure +de $[E_3]$ ont aussi leurs projections % [** PP: Typo projectons] +algébriques sur le plan de~$(O_3)$. Pour $n=1$ +on a un résultat semblable avec cette particularité, qui ne se retrouve plus +ici, que les deux projections coïncident avec des droites et des cercles +orthogonaux. + +Il est facile de voir que si l'on a +\[ +n = 4\alpha + 3, +\] +$\alpha$ étant un nombre entier quelconque, les images sphériques et les projections +des lignes de courbure des élassoïdes $(E_n)$ et~$[E'_n]$ seront algébriques. Il +faudra, bien entendu, ne considérer que les projections des lignes de courbure +effectuées sur les plans des cercles $(O)$ de degré~$2n$. + + +\Section{134.} +{Au sujet des courbes $(O)$ quand $n$ est fractionnaire.} + +Dans tout ce qui précède, il n'a été question que des séries dérivées de +$n = 1$, séries qui comprennent tous les élassoïdes caractérisés par des +valeurs entières de~$n$. On pourrait également considérer le cas beaucoup plus +étendu où $n$ est fractionnaire. Les élassoïdes $[E_n]$ correspondants possèdent +toujours deux géodésiques~$(O_±n)$. Ces courbes elles-mêmes font partie de +deux séries de courbes, podaires les unes des autres, correspondant à toutes +les valeurs du paramètre augmentées ou diminuées de nombres entiers. Ces +deux séries seront toujours distinctes hormis dans le cas où $n = ±\frac{1}{2}$. Dans ce +%% -----File: 179.png---Folio 173------- +cas la courbe $(O_{-\frac{1}{2}})$ est une hyperbole équilatère, $(O_{\frac{1}{2}})$ est la lemniscate de +Bernoulli, % [** PP: Typo Bernouilli] +podaire de l'hyperbole par rapport au centre. Tous les élassoïdes +qu'on déduirait de ces courbes sont transcendants, aussi bien ceux qui +admettent les courbes~$(O)$ pour géodésiques que les élassoïdes~$[E_n]$. + +Nous aurions pu préciser davantage certaines propriétés des courbes algébriques, +mais il sera plus commode d'en déduire des propriétés générales +nouvelles ayant trait à la dérivation des congruences isotropes d'un plan +donné, propriétés qui feront l'objet du chapitre suivant. + +\TbEoC + +%% -----File: 180.png---Folio 174------- + + +\Chapter{XV.} +{NOUVELLES PROPRIÉTÉS DES CONGRUENCES ISOTROPES DÉRIVÉES D'UN PLAN DONNÉ.} + +Conservant les notations et les définitions du \chapitre{XII}: +\begin{align*} +-x\sin\varphi + y\cos\varphi - F' &= 0, \\ +-x\sin\psi + y\cos\psi - f' &= 0 +\end{align*} +seront les équations des normales $Aa$ et $Bb$ aux courbes $(A)$ et $(B)$ traces de +deux développables isotropes, focales d'une congruence isotrope. Soit $N$ le +point commun aux normales en $A$ et $B$ à $(A)$ et~$(B)$; et $\omega$ le milieu du +segment~$ab$. + +\Section{135.} +{Au sujet des courbes orthogonales $(\lambda)$ et~$(\mu)$.} + +Posant +\[ +\frac{\psi - \varphi}{2} = \alpha,\quad +\frac{\psi + \varphi}{2} = \beta, +\] +on trouve que +\begin{align*} +NA &= P = \frac{F'\cos2\alpha - f'}{\sin2\alpha} - F, \\ +NB &= p = \frac{F' - f'\cos2\alpha}{\sin2\alpha} - f. +\end{align*} +%% -----File: 181.png---Folio 175------- +On en déduit +\begin{align*} +\lambda &= P + p = (F' - f')\cot\alpha - (F + f), \\ +\mu &= P - p = - (F' + f')\tg \alpha - (F - f), +\end{align*} +$\lambda$ et~$\mu$ désignant les paramètres des courbes orthogonales, lieux du point~$N$, +les unes analogues à des ellipses homofocales [ce sont les courbes~$(\mu)$], les +autres analogues à des hyperboles homofocales [ce sont les courbes~$(\lambda)$]\footnotemark. + \footnotetext{Soit en effet $(AB)$ une développante d'ellipse~$(E)$; si $M$ décrit une ellipse homofocale à~$(E)$, +on sait que +\[ +Ma + Mb = \operatorname{arc}ab + \text{constante}. +\] +Conséquemment: +\[ +Ma + Mb = bB - aA + \text{constante}, +\] +et, en définitive +\[ +MA - MB = \text{constante}. +\] +}% End of footnote + +Rappelons que, l'équation du plan tangent à l'élassoïde moyen est +\[ +-2X\sin\beta + 2Y\cos\beta + + \sin\alpha [-2Zi - (F' + f')\cot\alpha + F - f] = 0 +\] +et que celle du plan tangent à l'élassoïde conjugué peut s'écrire +\[ +-2X'\sin\beta + 2Y'\cos\beta + + i\sin\alpha [-2Z' + (F + f) - (F' - f')\cot\alpha] = 0. +\] + +On voit donc que $Z'_O$ désignant l'ordonnée à l'origine du plan tangent à +l'élassoïde conjugué +\[ +2Z'_O + \lambda = 0. +\] + +\begin{Emph} +\emph{Il en résulte que} si l'on fait décrire au point~$N$ une courbe~$(\lambda)$, la courbe +suivie sur l'élassoïde conjugué est la courbe de contact de l'élassoïde et d'un +cône. + +Tous les cônes correspondant aux diverses valeurs du paramètre~$\lambda$ ont +leurs sommets sur une perpendiculaire au plan auxiliaire d'où l'on fait +dériver les élassoïdes. +\end{Emph} + +%% -----File: 182.png---Folio 176------- + +\Section{136.} +{Aux courbes $(\lambda)$ correspondent, comme développables circonscrites à l'élassoïde moyen, des polaires de courbes gauches.} + +\begin{Emph} +\emph{D'après la théorie des contours conjugués,} si l'on suit une courbe~$(\lambda)$, les +plans tangents à l'élassoïde moyen sont les plans normaux d'une certaine +courbe gauche qui est la ligne d'intersection des deux développables isotropes +supposées relevées et abaissées de quantités égales et imaginaires, +au-dessus ou au-dessous du plan auxiliaire. La courbe de contact des plans +tangents et de l'élassoïde moyen est le lieu des centres de courbure de la +courbe gauche indiquée. +\end{Emph} + +Ceci fait entrevoir la possibilité d'obtenir sur le plan, non-seulement une +représentation conforme des élassoïdes moyen et conjugué, mais encore une +image des surfaces et des courbes gauches qui jouent un rôle dans leur +étude. + +\Section{137.} +{Les courbes gauches en question ont pour lieux des centres de courbure +les lignes de plus grande pente d'une certaine surface.} + +Cherchons tout d'abord la courbe gauche dont le lieu des centres de +courbure se projette suivant le lieu de~$\omega$, lorsque $N$ décrit la courbe~$\lambda$. On +sait que si $P$ désigne le point de cette courbe, $S$~étant le sommet du cône +circonscrit à l'élassoïde conjugué, les segments $PO$ et $SO'$ sont égaux, situés +dans les plans tangents aux deux élassoïdes, et rectangulaires. + +Transportons l'origine des coordonnées au point $N$ et prenons pour axe +des $x$ la bissectrice de l'angle $ANB$, de façon à annuler~$\beta$. Les coordonnées +%% -----File: 183.png---Folio 177------- +du point de l'élassoïde moyen deviennent +\begin{gather*} +X_O + \frac{F'' + f''}{2}\cos\alpha = 0, \\ +Y_O - \frac{F'' - f''}{2}\sin\alpha = 0, \\ +Z_O = -i\frac{(F + F'') - (f + f'')}{2}. +\end{gather*} + +L'équation du plan moyen est +\[ +Y + \sin\alpha\left(-Zi + \frac{F-f}{2}\right) = 0. +\] + +Les coordonnées du point de l'élassoïde conjugué sont +\begin{gather*} +\frac{X_{O'}}{i} + \frac{F'' - f''}{2}\cos\alpha = 0, \\ +\frac{Y_{O'}}{i} - \frac{F'' + f''}{2}\sin\alpha = 0, \\ +Z_{O'} = \frac{F + F'' + f + f''}{2}. +\end{gather*} + +L'équation du plan tangent à l'élassoïde conjugué est +\[ +Y + i\sin\alpha \left[-Z + \frac{F + f}{2}\right] = 0. +\] + +Le sommet du cône~$S$ étant le point où ce plan moyen est percé par l'axe +des $Z$, le $Z$ de $S$~est +\[ +Z_S = \frac{F + f}{2}. +\] + +Conséquemment +\[ +\frac{X_{O'}}{-i\cos\alpha\smfrac{(F'' - f'')}{2}} + = \frac{Y_{O'}}{i\sin\alpha\smfrac{(F'' + f'')}{2}} + = \frac{Z_{O'}-Z_S}{\smfrac{F'' + f''}{2}}=1 + = \frac{±SO'}{\cos\alpha\sqrt{F'' f''}}. +\] + +%% -----File: 184.png---Folio 178------- + +La droite $OP$ perpendiculaire à~$SO'$ et située dans le plan moyen est +parallèle à l'intersection du plan moyen et de +\[ +- Xi\cos\alpha(F'' - f'') ++ Yi\sin\alpha(F'' + f'') + Z(F'' + f'') = 0; +\] +elle est donc parallèle à la droite définie par les équations +\[ +\frac{X}{-i\cos\alpha\smfrac{(F'' + f'')}{2}} + = \frac{Y}{i\sin\alpha\smfrac{(F'' - f'')}{2}} + = \frac{Z}{\smfrac{(F'' - f'')}{2}} + = \frac{±\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}}{i\cos\alpha \sqrt{F'' · f''}}. +\] + +Dès lors les coordonnées du point $P$ sont +\begin{gather*} +X_P = X_O \mp \cos\alpha \frac{(F'' + f'')}{2},\\ +Y_P = Y_O ± \sin\alpha \frac{(F'' - f'')}{2},\\ +Z_P = Z_O \mp i\frac{(F'' - f'')}{2}. +\end{gather*} + +Il n'y a manifestement qu'une combinaison de signes qui soit satisfaisante, +c'est celle qui réduit la valeur de $Z_P$. On en conclut +\begin{gather*} +X_P = Y_P = 0,\\ +Z_P = -i\frac{(F - f)}{2} = i\frac{\mu}{2}. +\end{gather*} + +D'ailleurs, cet important résultat se vérifiera en étudiant les variations +des paramètres $\lambda$ et~$\mu$. + +Revenons maintenant aux axes primitifs, différentiant les valeurs de $\lambda$ et~$\mu$, +il vient +\begin{align*} +-d\lambda + &= d\beta[F' + f' - (F'' - f'') \cot\alpha] + + d\alpha \cot\alpha[F'' + f'' + (F' - f')\cot\alpha], \\ +-d\mu + &= d\beta[F' - f' + (F'' + f'') \tg\alpha] + + d\alpha · \tg\alpha[-(F'' - f'') + (F' + f')\tg\alpha]. +\end{align*} + +%% -----File: 185.png---Folio 179------- + +Cherchons les équations des projections, sur le plan auxiliaire, des caractéristiques +du plan moyen et de son conjugué, nous trouvons +\begin{align*} +\Delta\alpha · \cot\alpha + & [(F'' - f'') \sin\alpha + (F' + f')\cos\alpha + + 2X\sin\beta - 2Y\cos\beta] \\ ++ \Delta\beta · + & [(F' - f') \sin\alpha - (F'' + f'')\cos\alpha + - 2X\cos\beta - 2Y\sin\beta] = 0, +\end{align*} +pour la caractéristique du plan moyen projetée, et +\begin{align*} +\Delta\alpha · \cot\alpha · i + & [(F'' + f'')\sin\alpha + (F' - f')\cos\alpha + + 2X'\sin\beta - 2Y'\cos\beta] \\ ++\Delta\beta + & [i(F' + f')\sin\alpha - i(F'' - f'')\cos\alpha + - 2X'\cos\beta - 2Y'\sin\beta] = 0, +\end{align*} +pour la caractéristique projetée du plan conjugué. + +Commençons par vérifier la propriété de la surface, lieu du point~$P$, qui +se projette en~$N$, et dont le $Z_P$ est égal à~$\frac{i\mu}{2}$. A cet effet, nous chercherons les +$\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$ du point~$P$, d'une façon générale, puis en supposant que les +axes sont particularisés; c'est-à-dire en annulant $F'$, $f'$ et $\sin\beta$. On a manifestement +\begin{align*} +-\Delta x\sin\varphi + \Delta y\cos\varphi + - (x\cos\varphi + y\sin\varphi + F'')\, d\varphi &= 0, \\ +% +-\Delta x\sin\psi + \Delta y\cos\psi + - (x\cos\psi + y\sin\psi + f'')\, d\psi &= 0, +\end{align*} +d'où l'on déduit, en particularisant comme il a été dit: +\begin{align*} +2\Delta x &= \frac{d\beta(F'' - f'') - d\alpha(F'' + f'')}{\sin\alpha},\\ +2\Delta y &= \frac{d\beta(F'' + f'') - d\alpha(F'' - f'')}{\cos\alpha}, +\end{align*} +et puisque, par hypothèse +\begin{gather*} +2Z_P i = -\mu,\\ +2\Delta Z i = -d\mu + = \tg\alpha[d\beta(F'' + f'') - d\alpha(F'' - f'')]; +\end{gather*} +mais on a dans l'espèce +\[ +-d\lambda = -[d\beta (F'' - f'') - d\alpha(F'' + f'')]\cot\alpha. +\] + +%% -----File: 186.png---Folio 180------- + +Il en résulte que si $\lambda$ reste constant, $\Delta x$ s'annule et que +\[ +\frac{\Delta z · i}{\Delta y} = \sin\alpha +\] + +Ainsi se trouve démontrée, sans ambiguïté de signe, la propriété trouvée +plus haut et qu'on peut énoncer ainsi: + +\begin{Emph} +Les courbes~$(P)$ dont les plans normaux touchent l'élassoïde moyen, +caractérisées par les diverses valeurs du paramètre~$\lambda$, sont, par rapport +au plan auxiliaire, les lignes de plus grande pente d'une surface dont les +lignes de niveau se projettent sur le plan auxiliaire suivant les courbes~$(\mu)$. +\end{Emph} + + +\Section{138.} +{Nouvelle dérivation des élassoïdes du plan.} + +Cette proposition conduit à une définition géométrique nouvelle de l'élassoïde +considéré comme l'enveloppée des plans normaux aux lignes de plus +grande pente d'une certaine surface. La définition de celle-ci est fort simple, +puisque les courbes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$ constituent dans le plan auxiliaire un réseau +orthogonal tel que l'élément linéaire soit exprimé par la relation +\[ +4dS^2 = \frac{d\lambda^2}{\cos^2\alpha} + \frac{d\mu^2}{\sin^2\alpha}. +\] + +Toutes les fois qu'on aura obtenu, dans le plan, un réseau orthogonal +satisfaisant, il suffira d'élever en chacun des points du plan une perpendiculaire +et d'y porter un segment égal à~$\frac{i\mu}{2}$ ou~$\frac{i\lambda}{2}$, les lieux des extrémités +donneront des surfaces~$(P)$, dont l'une sera réelle et l'autre imaginaire toutes +les fois que l'angle~$\alpha$ sera imaginaire [les courbes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$ étant réelles]\footnotemark. +\footnotetext{Elles seront toujours imaginaires si l'angle $\alpha$ est réel.} + +Il est manifeste que les surfaces $(P)$ ainsi trouvées sont d'un genre particulier +caractérisé par la nature du réseau $(\lambda) (\mu)$ plan. Elles sont ainsi suffisamment +définies. + +%% -----File: 187.png---Folio 181------- + +\Section{139.} +{Sur les développables circonscrites aux élassoïdes +correspondant aux courbes $(\lambda)$ et~$(\mu)$.} + +Considérons maintenant les équations des projections des caractéristiques, +en les rapportant aux axes particularisés. + +En ce qui concerne l'élassoïde moyen, l'équation est +\[ +2X\,d\beta · \tg\alpha + 2Y\,d\alpha = \cos\alpha · d\mu. +\] + +En ce qui concerne l'élassoïde conjugué, on trouve +\[ +2X'\,d\beta + 2 · Y'i \cot\alpha = -i \sin\alpha · d\lambda. +\] + +\begin{Emph} +Si donc l'on suit une courbe~$(\mu)$, la projection de la caractéristique passe +par le point~$N$, en ce qui concerne l'élassoïde moyen. +\end{Emph} + +Si l'on suit une courbe~$(\lambda)$ la projection de la caractéristique du plan tangent +à l'élassoïde conjugué passe par l'origine. Cette dernière remarque est +d'ailleurs une conséquence de ce fait que la développable, enveloppe des +plans conjugués, est un cône. + +Mais si l'on observe que les caractéristiques des plans moyens et conjugués +sont toujours parallèles quand elles sont correspondantes, on peut +énoncer deux élégantes propriétés des développables, enveloppes des plans +moyen et conjugué, obtenues en suivant les lignes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$. + +\begin{Emph} +Lorsqu'on suit dans le plan auxiliaire une courbe~$(\lambda)$ [du genre hyperbole] +les génératrices de la développable, enveloppe du plan moyen, se projettent +sur le plan suivant les droites $ab$, dont l'enveloppe est, par conséquent, la +projection de l'arête de rebroussement de la développable considérée. + +Lorsqu'on suit dans le plan auxiliaire une courbe~$(\mu)$ [du genre ellipse] +les droites, telles que $N\omega$, représentent les projections, sur le plan auxiliaire, +des génératrices de la développable, enveloppe des plans moyens. +\end{Emph} + +%% -----File: 188.png---Folio 182------- + +\Section{140.} +{Élassoïde admettant pour géodésique une conique et élassoïde conjugué.} + +L'application la plus simple de ces propriétés générales est celle que l'on +peut faire en prenant pour courbes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$ des coniques homofocales. + +Dans ce cas, les surfaces~$(P)$ ont pour lignes de niveau des ellipses qui +se projettent sur le plan auxiliaire suivant un réseau homofocal. Les lignes +de plus grande pente sont transcendantes, mais elles se projettent suivant des +hyperboles homofocales; de plus leurs surfaces polaires ont pour conjuguées +des cônes dont les sommets sont en ligne droite. Les lignes, lieux des +centres de courbure des lignes de plus grande pente, appartiennent à +l'élassoïde moyen. + +D'un autre côté, les lignes $ab$ étant les polaires des points~$N$, par rapport +à l'ellipse $(a, b)$, les surfaces polaires des lignes de plus grande pente ont +des arêtes de rebroussement qui se projettent sur le plan auxiliaire suivant +des coniques polaires réciproques des hyperboles $(\lambda)$ par rapport à l'ellipse +$(a, b)$ [ellipse qui est une géodésique de l'élassoïde moyen]. + + +\Section{141.} +{Cônes du second degré circonscrits à l'élassoïde.} + +Enfin, les droites, telles que~$N\omega$, passent par le centre de l'ellipse; conséquemment, +les développables circonscrites à l'élassoïde moyen sont des cônes +ayant leurs sommets sur la perpendiculaire au plan auxiliaire, élevée au +centre des coniques homofocales. On a vu que ces développables contiennent +individuellement les courbes $(\mu)$. Les cônes considérés sont donc du +second degré. + +Il est bien facile de compléter cette étude particulière en montrant que les +%% -----File: 189.png---Folio 183------- +cônes, correspondant aux hyperboles $(\lambda)$ et circonscrits à l'élassoïde conjugué, +ou correspondant aux ellipses $(\lambda)$ et circonscrits à l'élassoïde moyen, +sont les cônes supplémentaires de cônes homofocaux [pourvu qu'on les transporte +convenablement]. + + +\Section{142.} +{Les lignes algébriques des deux élassoïdes ont pour image sphérique +un réseau de coniques homofocales.} + +Si l'on considère en effet les plans isotropes passant par les droites $Aa$, $Bb$, +ils se couperont suivant quatre droites, génératrices des quadriques homofocales +ayant pour traces, sur le plan auxiliaire, les diverses coniques homofocales +$(\lambda)$ et~$(\mu)$. On sait que les cônes asymptotes de ces quadriques sont +homofocaux. Mais l'une des génératrices passant en $N$ occupe, par rapport à +l'angle $aNb$, la même position que la droite de la congruence isotrope originelle, +par rapport à l'angle supplémentaire de~$ANB$; donc, si l'on fait tourner +de~$90°$, autour de la verticale, la génératrice de la congruence, on aura une +parallèle à la génératrice de l'hyperboloïde passant en~$N$ et ayant pour +trace~$(\mu)$. Conséquemment les traces sphériques des cônes asymptotes, tournées +de~$90°$ autour de la verticale, constitueront l'image sphérique complète +des courbes algébriques des élassoïdes moyen et conjugué. On peut donc +dire que ces lignes ont pour image sphérique une famille de coniques sphériques +homofocales. + +La plupart de ces propriétés ont été énoncées par M.~Schwartz, en ce qui +concerne l'élassoïde admettant pour géodésique une conique [\textit{Journal de +Borchardt}, page~293, année~1874]. + +%% -----File: 190.png---Folio 184------- + +\Section{143.} +{Le réseau $(\mu\lambda)$ est le seul du plan qui corresponde à un réseau orthogonal +de l'élassoïde.} + +Dans le cas général, les courbes correspondant, sur les deux élassoïdes, +aux lignes $(\mu)$ et~$(\lambda)$ sont rectangulaires; les calculs du \Secref{137} montrent en +effet que leurs conjuguées sont orthogonales, ce qui équivaut à la proposition; +mais cette propriété peut s'établir directement comme il suit. + +Calculons, sur la sphère, le carré de l'élément linéaire rapporté au réseau +des images sphériques des lignes correspondant aux $(\mu)$ et~$(\lambda)$. On sait que, +d'une façon générale, on a sur la sphère de rayon unité (\Secref{109}) +\begin{align*} +dS^2 &= \frac{d\varphi · d\psi}{\cos^2\alpha}, \\ +\intertext{ou encore} +dS^2 &= \frac{d\beta^2 - d\alpha^2}{\cos^2\alpha}. +\end{align*} +Mais on déduit des valeurs de $d\lambda$ et~$d\mu$ particularisées +\begin{align*} +-4F''f'' · d\beta + &= \frac{d\mu}{\tg\alpha} (F'' + f'') + + \frac{d\lambda}{\cot\alpha} (F'' - f''), \\ +% +-4F''f'' · d\alpha + &= \frac{d\mu}{\tg\alpha} (F'' - f'') + + \frac{d\lambda}{\cot\alpha} (F'' + f''). +\end{align*} + +On en conclut +\[ +dS^2 = \frac{d\mu^2\, \cot^2\alpha - d\lambda^2\, \tg^2\alpha} + {4F'' · f'' · \cos^2\alpha}. +\] +Ce qui montre bien que l'image sphérique est formée de courbes orthogonales. +Comme, sur les élassoïdes et sur la sphère image, les angles se conservent +dans la correspondance: + +\emph{Le réseau orthogonal plan $(\lambda,\mu)$ correspond, sur les deux élassoïdes, à un +%% -----File: 191.png---Folio 185------- +réseau orthogonal.} Il est même clair qu'il n'y a pas d'autres réseaux orthogonaux +se correspondant sur le plan et sur les élassoïdes. + +Nous venons de voir que, dans le cas où le réseau $(\lambda,\mu)$ est formé de +coniques homofocales, le réseau sphérique correspondant est formé également +de coniques sphériques homofocales, constituant un réseau isométrique. +On sait, d'après un théorème de M.~Ossian % [** PP: Typo Ossiau] +Bonnet, que les courbes correspondantes +des élassoïdes sont aussi isométriques. + + +\Section{144.} +{Si le réseau $(\lambda\mu)$ de l'élassoïde est isométrique, son correspondant du plan +est formé de coniques homofocales.} + +Il est intéressant de chercher dans quel cas cette propriété subsistera, à +raison du caractère du réseau $(\lambda, \mu)$. + +Il faut que le logarithme du quotient des coefficients du carré de l'élément +linéaire soit la somme de deux fonctions, l'une de~$\lambda$, l'autre de~$\mu$. Ce qui +conduit à la condition +\[ +2 \frac{d^2}{du\, dv} · \log \tg\alpha = 0. +\] + +D'ailleurs on trouve la même condition en exprimant que le réseau plan +$(\lambda\mu)$ lui-même est isométrique. Mais nous avons montré d'après M.~Liouville +que le réseau $(\lambda, \mu)$ ne peut être dans ce cas composé que de coniques homofocales; +conséquemment les élassoïdes admettant une conique pour géodésique +jouissent d'un caractère distinctif tout particulier, qui permet d'énoncer +la proposition suivante: + +\begin{Emph} +Que, de tous les points d'une droite, comme sommets on circonscrive des +cônes à un élassoïde; que l'on trace sur celui-ci les trajectoires orthogonales +des courbes de contact; si le réseau orthogonal ainsi obtenu est isométrique, +l'élassoïde est conjugué de celui qui admet une conique pour géodésique. +\end{Emph} + +%% -----File: 192.png---Folio 186------- + +C'est le moment de faire une remarque sur l'expression du carré de l'élément +linéaire d'un élassoïde. + +$(a)$ et~$(b)$ désignant les projections planes des arêtes de rebroussement +des développables génératrices, on a d'après~\Eqref{}{68} l'expression +\[ +dS^2 = d(a)·d(b) \cos^2 \frac{V}{2}, +\] +où $d(a)$ et~$d(b)$ désignent les longueurs des éléments correspondants et~$V$ +l'angle des tangentes aux courbes $(a)$ et~$(b)$. Il en résulte que si les courbes +$(a)$ et~$(b)$ sont algébriques, l'élassoïde moyen correspondant aura son élément +linéaire exprimé par une formule algébrique. + + +\Section{145.} +{$dS^2$ de l'élassoïde sur lequel le réseau $(\lambda,\mu)$ est isométrique.} + +A titre d'exemple, prenons pour courbes $(\mu)$ et~$(\lambda)$ un réseau de coniques +homofocales, et cherchons l'expression de l'élément linéaire de l'élassoïde +admettant l'une d'entre elles pour géodésique. + +L'élément linéaire du plan, rapporté aux coniques dont l'équation est de +la forme +\[ +\frac{x^2}{a^2 - \lambda} + \frac{y^2}{b^2 - \lambda} = 1, +\] +peut s'écrire +\[ +4·dS^2 + = (\mu - \lambda) \left[\frac{d\lambda^2}{(a^2 - \lambda)(b^2 - \lambda)} + - \frac{d\mu^2}{(a^2 - \mu)(b^2-\mu)} \right]. +\] + +La \Eqref{condition}{56} est vérifiée et l'\Eqref{équation}{57} donne pour les traces +d'une congruence isotrope la relation bien connue +\[ +\mu \cos^2i + \lambda \sin^2i = k, +\] +qui donne les directions des deux tangentes à l'une des coniques du réseau +%% -----File: 193.png---Folio 187------- +définie par le paramètre~$k$, tangentes issues du point $(\lambda,\mu)$. Soient $(a)$ et~$(b)$ +les deux branches de la conique enveloppe. Pour calculer l'élément linéaire +de l'élassoïde l'admettant pour géodésique, il faut obtenir l'expression +\[ +dS^2 = R_a \, d\varphi · R_b \Reg{·}{\,} d\psi\, \cos^2i, +\] +$R_a$ et~$R_b$ désignant les rayons de courbure en $(a)$ et~$(b)$, $d\varphi$ et~$d\psi$ les angles +de contingence, en ces points, de la conique enveloppe. On a +\[ +\Delta i = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{-1}{(k - \mu)(k - \lambda)}} + \left[\frac{d\mu\, (k - \lambda) - d\lambda\, (k - \mu)}{\mu - \lambda}\right]. +\] + +Prenant pour réseau de référence celui des coniques $(\lambda,\mu)$ on a les formules +générales, analogues à~\Eqref{}{2} +\begin{gather*} +X' = X - \frac{d\lambda}{2} + \mSmall{\sqrt{\frac{\mu-\lambda}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}}} \\ + \mSmall{% + -\frac{Y}{2} \frac{\sqrt{-1}}{\mu-\lambda} + \sqrt{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(a^2-\mu)(b^2-\mu)} + \left[\frac{d\mu}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)} + - \frac{d\lambda}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}\right]}, \\[2ex] +% +Y' = Y - \frac{d\mu}{2} + \mSmall{\sqrt{\frac{\lambda-\mu}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}}} \\ + \mSmall{% + +\frac{X}{2} \frac{\sqrt{-1}}{\mu-\lambda} + \sqrt{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(a^2-\mu)(b^2-\mu)} + \left[\frac{d\mu}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)} + - \frac{d\lambda}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}\right]}. +\end{gather*} + +L'équation instantanée de la tangente à l'ellipse fixe est +\[ +Y \cos i \mp X \sin i = 0, +\] +son point de contact avec la conique est le même quels que soient $d\mu$ et~$d\lambda$; +il est déterminé par l'équation de la normale instantanée +\[ +-Y \sin i \mp X \cos i ± \frac{\mu-\lambda}{L \mp M} = 0, +\] +où $L$ et~$M$ désignent les fonctions de $\lambda$ et~$\mu$ seules que voici +\[ +L = \sqrt{\frac{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}{k-\lambda}},\qquad +M = \sqrt{\frac{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}{k-\mu}}. +\] + +%% -----File: 194.png---Folio 188------- + +En posant +\[ +P = \frac{\mu - \lambda}{L\mp M}, +\] +on trouve [par les procédés habituels de périmorphie, en observant que le +résultat est indépendant de $d\mu$ et~$d\lambda$] pour l'équation déterminant le centre +de courbure +\[ +\left(\frac{2\, dP}{d\lambda} + \frac{1}{L}\right) + \sqrt{\frac{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}{k-\mu}} + = \frac{\sqrt{-1}}{\mu - \lambda}(Y \cos i \mp X \sin i)(M\mp L); +\] +après différentes réductions on obtient l'équation indépendante des variations +particulières +\[ +\frac{(a^2-k)(b^2-k)}{(k-\mu)(k-\lambda)} + = ±\sqrt{-1} \frac{\sqrt{(k-\mu)(k-\lambda)}}{(\mu - \lambda)^3} + (Y \cos i \mp X \sin i)(L^2 - M^2)(L\mp M). +\] +Cette équation donne immédiatement +\[ +R_a · R_b = \mp\frac{(a^2-k)^2(b^2-k)^2(\mu-\lambda)^6}{(k-\mu)^3(k-\lambda)^3(L^2-M^2)^3}. +\] + +Il s'agit maintenant de calculer les angles de contingence. $\Delta x$, $\Delta y$ étant +relatifs au point $(\lambda \mu)$ on a manifestement +\[ +P\, d\varphi = \Delta Y \cos i \mp \Delta X \sin i; % [** Typo y] +\] +conséquemment +\[ +d\varphi·d\psi + = \frac{\overline{\Delta Y}^2 \cos^2 i - \overline{\Delta X}^2 \sin^2 i}{P·P'}. +\] + +Si $P'$ désigne la seconde valeur de~$P$ lorsqu'on change le signe, on trouve +ainsi +\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding ×] +d\varphi·d\psi + = \frac{L^2-M^2}{(\mu-\lambda)^2}\, + \frac{(k-\lambda)(k-\mu)}{4} \\ + × \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)} + - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right]. +\end{multline*} +%% -----File: 195.png---Folio 189------- +On en déduit immédiatement +\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding ×] +dS^2 = + \frac{(a^2-k)^2(b^2-k)^2(\mu-\lambda)^3} + {4(k-\mu)^2(k-\lambda)^2(L^2-M^2)^2} \\ + × \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)} + - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right], +\end{multline*} +car $\cos^2 \frac{V}{2}$ est égal à~$\cos^2i$. + +Si enfin l'on observe que +\[ +L^2 - M^2 = (\mu -\lambda)\left[1 - \frac{(k-a^2)(k-b^2)}{(k-\lambda)(k-\mu)}\right], +\] +on obtient en somme +\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding ×] +dS^2 = \frac{1}{4} · + \frac{(a^2-k)^2(b^2-k)^2(\mu-\lambda)(k-\lambda)} + {\bigl[(k-\lambda)(k-\mu) - (k-a^2)(k-b^2)\bigr]^2} \\ + × \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)} + - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right]. +\end{multline*} + +Quant à l'image sphérique, l'expression du carré de l'élément linéaire +est, d'après la théorie générale, +\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding ×] +dS'^2 = \frac{R^2}{4} + \left[(k-\mu) - \frac{(k-a^2)(k-b^2)}{(k-\lambda)}\right] \\ + × \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)} + - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right]. +\end{multline*} + +Les deux réseaux sont bien isométriques, et, le réseau sphérique, comme +le réseau plan, est de la forme signalée par M.~Liouville, forme qui permet +l'intégration des lignes géodésiques; il devait en être ainsi, puisque le réseau +est composé de coniques sphériques homofocales. + +\TbEoC + +%% -----File: 196.png---Folio 190------- + + +\Chapter{XVI.} +{AU SUJET DES LIGNES DE NIVEAU DES ÉLASSOÏDES.} + + +\Section{146.} +{Conditions pour qu'un réseau orthogonal tracé sur un élassoïde soit formé +de lignes de niveau et de lignes de plus grande pente.} + +Nous avons déjà montré que tous les \emph{élassoïdes groupés} provenant de la +déformation d'un même élassoïde ont leurs lignes de courbure correspondant +sur l'élassoïde originel aux trajectoires sous un angle constant des +lignes de courbure de cette surface. + +Une propriété toute semblable a lieu pour les lignes de niveau; c'est ce +que nous allons établir. + +Considérons, en général, une surface de référence $(O)$ prise arbitrairement; +prenons pour réseau $(u, v)$ celui des sections planes toutes parallèles +à un plan~$(P)$ donné, ainsi que leurs trajectoires orthogonales. $i$~désignant +l'angle qu'en chaque point de~$(O)$ fait la normale à la surface avec la perpendiculaire +au plan~$(P)$, on trouve facilement par nos procédés habituels, +%% -----File: 197.png---Folio 191------- +pour déterminer les éléments du réseau $(u, v)$ +\begin{align*} +P &= -\frac{di}{du}, \\ +Q &= -\frac{dg}{f\, du} \tg i, \\ +D &= -\frac{df}{fg\, dv} \tg i, +\end{align*} +équations auxquelles il faut ajouter les conditions +\begin{gather*} +\frac{df}{f\, dv} + \frac{di}{dv} · \cot i = 0, \\ +\frac{di}{du} · \frac{dg}{f\, du} \tg i + - \frac{1}{fg} \left(\frac{df}{dv}\right)^2 \tg^2 i + + \frac{d}{dv} \left(\frac{df}{g\, dv}\right) + + \frac{d}{du} \left(\frac{dg}{f\, du}\right) = 0. +\end{gather*} + +Si la surface est élassoïde, on a à la fois +\[ +\frac{df}{f\, dv} + \frac{di}{dv} \cot i = 0,\quad +\frac{dg}{g\, du} + \frac{di}{du} \cot i = 0; +\] +on peut donc poser +\[ +f = g = \frac{1}{\sin i}. +\] + +Dès lors la seule équation non résolue devient +\[ + \left(\frac{di}{du}\right)^2 ++ \left(\frac{di}{dv}\right)^2 + = \frac{d^2}{du^2} \log \frac{1}{\sin i} + + \frac{d^2}{dv^2} \log \frac{1}{\sin i}. +\] + +Soit, en passant aux coordonnées symétriques imaginaires +\[ +\frac{di}{dx}\, \frac{di}{dy} + \frac{d^2 \log \sin i}{dx\, dy} = 0, +\] +et par conséquent +\[ +\tg \frac{i}{2} = X+Y. +\] + +%% -----File: 198.png---Folio 192------- + +\Section{147.} +{Les trajectoires sous un angle constant des lignes de niveau d'un élassoïde +correspondent aux lignes de niveau des élassoïdes groupés.} + +On voit que l'on peut poser indifféremment +\[ +\left. +\begin{aligned} +P &= -\frac{di}{du}, \\ +Q &= +\frac{di}{du}, \\ +D &= \sin i \frac{di}{dv}, +\end{aligned}\ \right\}\quad\text{ou}\quad \left\{ +\begin{aligned} +P &= \phantom{-}\frac{di}{dv}, \\ +Q &= -\frac{di}{dv}, \\ +D &= \sin i \frac{di}{du}, +\end{aligned} +\right. +\] +sans que l'équation canonique soit modifiée et sans que la surface cesse +d'être élassoïde, mais ces valeurs sont comprises dans les formules générales +\begin{align*} +P &= -\cos\varphi\, \frac{di}{du} + \sin\varphi\, \frac{di}{dv}, \\ +Q &= \phantom{-}\cos\varphi\, \frac{di}{du} - \sin\varphi\, \frac{di}{dv}, \\ +D &= \sin i\left(\frac{di}{dv}\, \cos\varphi + \frac{di}{du}\, \sin\varphi\right), +\end{align*} +où l'angle $\varphi$ est considéré comme une constante. On vérifie facilement que +ces valeurs correspondent bien à des solutions des équations de Codazzi; +conséquemment elles représentent des valeurs de $P$, $Q$, $D$ correspondant à +une forme particulière de la surface, et, comme dans chaque cas la somme +$P + Q$ est nulle, chacune des surfaces déformées (puisque le réseau $u, v$ +est isométrique) reste élassoïde. + +Il est facile de voir que les élassoïdes correspondant aux valeurs~$0$ et~$\frac{\pi}{2}$ % [** PP: O -> 0] +de l'angle~$\varphi$ sont conjugués. Tous les autres appartiennent naturellement à la +famille des \emph{élassoïdes groupés} dérivés de la surface de référence. + +%% -----File: 199.png---Folio 193------- + +\Section{148.} +{Nouvelle forme du $\lambda$ d'un réseau isométrique sphérique.} + +On trouve, d'une façon générale, que l'image sphérique a pour élément +linéaire +\[ +dS^2 = du^2\, (P^2 + f^2D^2) + dv^2\, (Q^2 + g^2D^2); +\] +dans l'espèce on a +\[ +dS^2 = \left[\left(\frac{di}{du}\right)^2 + + \left(\frac{di}{dv}\right)^2\right] (du^2 + dv^2), +\] +soit en passant aux coordonnées symétriques imaginaires +\[ +dS^2 = 4·\frac{di}{dx} · \frac{di}{dy}\, dx\Reg{·}{\,} dy. +\] + +Désignant par $\lambda$ le coefficient des $du$, $dv$ sur la sphère, on trouve +\[ +\lambda = \frac{1}{4}\, \frac{\sqrt{X'}\Reg{·}{\,} \sqrt{Y'}}{1 + (X+Y)^2}, +\] +ce qui constitue une forme digne d'intérêt. + + +\Section{149.} +{Sur un théorème général.} + +Plus généralement: toutes les fois qu'on peut déformer une surface, de +telle façon que \emph{deux} familles de courbes orthogonales deviennent successivement +des lignes de niveau de surfaces transformées, les trajectoires sous un +même angle constant, de ces deux séries de courbes, peuvent, par une +déformation convenable de la surface, devenir à leur tour lignes de niveau. + +%% -----File: 200.png---Folio 194------- + +Cette propriété tient à ce que les lignes de niveau d'une surface, les lignes +de plus grande pente correspondantes et leurs trajectoires sous des angles +constants, sont telles qu'en un même point de la surface les centres de courbure +géodésiques de toutes ces courbes sont sur une même ligne droite. + +La propriété énoncée ci-dessus s'applique à d'autres surfaces que les élassoïdes +dérivés par flexion les uns des autres. + + +\Section{150.} +{Réseau plan dont les courbes se coupent sous un angle constant et peuvent +être lignes de niveau de développables résultant de l'enroulement du +plan.} + +Si l'on prend, par exemple, pour surface de référence un plan, on parvient +à construire les surfaces développables suivant lesquelles il faut enrouler +le plan pour que deux courbes, prises au hasard, se transforment successivement +en lignes de niveau se coupant mutuellement sous un angle +donné. + +Les deux développables déformées sont applicables l'une sur l'autre par +de simples rotations autour des génératrices. + +Ce n'est pas le moment de montrer comment la construction géométrique +s'achève sans difficulté, ni comment le quarré de l'élément linéaire du plan +s'obtient avec deux fonctions arbitraires [mettant ainsi en évidence les +réseaux orthogonaux intéressants dont nous venons de donner la définition, +réseaux dont les trajectoires comprennent également des courbes de même +nature]\footnotemark. + \footnotetext{Soient deux courbes arbitraires $(a)$ et~$(b)$, faisant correspondre des points $a$ et~$b$ tels que +les tangentes y fassent entre elles un angle constant, enroulant le plan de telle façon que la +corde~$ab$ devienne génératrice et que~$(a)$ reste plane, toutes les lignes de niveau de la développable +situées dans des plans parallèles à~$(a)$ formeront les courbes de la première famille; on +obtiendra de même les courbes de la seconde. Telle est l'intégrale avec deux fonctions arbitraires.} + +%% -----File: 201.png---Folio 195------- + +\Section{151.} +{Une propriété générale des courbes de niveau.} + +Nous terminerons en observant que sur toutes les surfaces dont les lignes +de niveau sont trajectoires les unes des autres, la forme variant, les conjuguées +des courbes de niveau se correspondent toutes; on peut dire que ces +conjuguées sont immobiles, et cela correspond à une propriété tout à fait +générale: sur une surface arbitraire, en un même point les centres de courbure +de la ligne de niveau et de toutes ses trajectoires sont sur une même +droite perpendiculaire à la direction conjuguée de la courbe de niveau. + +\TbEoC + +%% -----File: 202.png---Folio 196------- + + +\Chapter{XVII.} +{PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE DE LA CONGRUENCE ISOTROPE FORMÉE +DES GÉNÉRATRICES DE QUADRIQUES HOMOFOCALES.} + + +\Section{152.} +{Si deux congruences incidente et réfléchie sont isotropes, la surface dirimante +est une quadrique.} + +La théorie des congruences isotropes comprend, comme exemple particulièrement +intéressant, celui d'une congruence formée des génératrices de +quadriques homofocales. Nous allons établir que cette congruence jouit +d'une propriété fondamentale. + +Cherchons s'il est possible de trouver une surface de référence et une congruence +de droites, telles que les droites données et les droites réfléchies +forment deux congruences isotropes. + +Considérons le réseau orthogonal $(u, v)$ tel que les droites $D$ de la congruence +incidente soient toujours comprises dans le plan des $ZOX$, soit $i$ +l'angle d'incidence, on a pour l'équation de la surface élémentaire +\[ +\tg \theta + = \frac{g\, dv + L\left[dv\left(\dfrac{dg}{f\, du} \sin i + Q \cos i\right) + - du\left(\dfrac{df}{g\, dv} \sin i + fD \cos i\right)\right]} + {f \cos i\, du + L\left[dv\left(\dfrac{di}{dv} - gD\right) + + du\left(\dfrac{di}{du} + P\right)\right]}, +\] +%% -----File: 203.png---Folio 197------- +on en déduit que la congruence des droites $D$ sera isotrope si +\[ +gP - Qf \cos^2i + g\frac{di}{du} - \cos i \sin i \frac{dg}{du} = 0, +\] +avec +\[ +2Dg - \frac{di}{dv} + \tg i \frac{df}{f\, dv} = 0. +\] +Si la congruence réfléchie est aussi isotrope, les deux équations qui précèdent +doivent être indépendantes du signe de~$i$; on a donc $D = 0$. %[**O?]. +Ainsi +le réseau $(u, v)$ est formé des lignes de courbure de la surface de référence. + +Posons $\frac{P}{f} = A$ et $\frac{Q}{g} = B$. On devra avoir +\begin{gather*} +A - B \cos^2i = 0, \\ +\frac{di}{du} = \cos i \sin i \frac{dg}{g\, du}, \\ +\frac{di}{dv} = \tg i \Reg{·}{} \frac{df}{f\, dv}. +\end{gather*} + +On a l'équation de Codazzi +\[ +\frac{df}{f\, dv}(A-B) + \frac{dA}{dv} = 0. +\] + +De la troisième des équations de Codazzi on déduit +\[ +-\frac{di}{dv} \tg i + \frac{dA}{A\, dv} = 0; +\] +d'où résulte, d'après ce qui précède, +\begin{gather*} +A \cos i = U_1, \\ +B = \frac{U_1}{\cos^3i}; +\end{gather*} +%% -----File: 204.png---Folio 198------- +et, par conséquent, +\[ +\frac{A^3}{B} = U_1^2. +\] + +D'un autre côté, on a +\[ +\frac{dg}{g\, du} % [** PP: Typo dg/(g dn)] + = \frac{di}{du}\, \frac{1}{\cos i \sin i}, +\] +avec l'équation de Codazzi: +\[ +\frac{dg}{g\, du}(B-A) + \frac{dB}{du} = 0, +\] +on obtient +\[ +\frac{di}{du}\, \frac{\sin i}{\cos i} + \frac{dB}{B\, du} = 0; +\] +d'où résulte +\[ +B = V\cos i; +\] +ce qui entraîne, comme conséquence, +\[ +\cos^4 i = \frac{U_1}{V}; +\] +et, en définitive, +\[ +\frac{B^3}{A} = V^2. +\] + +Ainsi les quantités $\frac{A^3}{B}$ et $\frac{B^3}{A}$ sont respectivement des fonctions de~$U$ et +de~$V$; d'après un beau résultat établi par M.~Ossian Bonnet, on sait que cette +double condition caractérise des surfaces du second ordre\footnotemark. + \footnotetext{Voir page~113 du \Ord{XLII}{e}~cahier du \textit{Journal de l'École polytechnique}.} + +\Section{153.} +{Les congruences isotropes incidente et réfléchie sont les génératrices +d'une famille de quadriques homofocales.} + +Il n'est pas difficile de trouver maintenant ce que sont les rayons des congruences +isotropes: on vérifie, en effet, immédiatement, que les traces principales +%% -----File: 205.png---Folio 199------- +des congruences isotropes, sur la surface de référence, coïncident +avec les asymptotiques de celle-ci\footnotemark. + \footnotetext{La nécessité d'abréger nous fait supprimer ce calcul. De ce que les traces principales sont + les asymptotiques, il résulte, comme au \chapitre{XII}, que les plans isotropes tangents se coupent + suivant les rayons des congruences; et, le long d'une ligne de courbure de la surface dirimante, + ces droites se rangent suivant un hyperboloïde orthogonal à la quadrique.} + +\begin{Emph} +\emph{Conséquemment on peut énoncer cette importante proposition}: Si une +congruence, réfléchie sur une surface de référence, est isotrope avant et +après la réflexion, \primo~la surface de référence est une quadrique; \secundo~les +rayons de la congruence sont formés des génératrices des quadriques homofocales +à la surface de référence et qui lui sont orthogonales. +\end{Emph} + +\TbEoC + +%% -----File: 206.png---Folio 200------- + + +\Chapter{XVIII.} +{ÉLASSOÏDES ALGÉBRIQUES PASSANT PAR UN CERCLE.} + +\Section{154.} +{Par un cercle déterminé on peut faire passer autant d'élassoïdes algébriques +qu'on peut construire d'épicycloïdes ou d'hypocycloïdes algébriques.} + + +D'après la théorie que nous avons donnée des contours conjugués, on sait +comment doit s'aborder la recherche des élassoïdes passant par un contour +plan. + +Une application de quelque élégance peut être faite dans le cas où le +contour donné est un cercle. Le problème de la recherche de tous les +élassoïdes passant par le cercle revient, comme nous l'avons montré, à la +découverte de tous les contours conjugués au cercle. Chaque fois que les +contours seront algébriques, les élassoïdes seront algébriques. + +Considérons la courbe, projection sur le plan du cercle, du contour +conjugué; faisons correspondre par parallélisme des tangentes les points du +cercle et de la projection. (Il suffira de tourner le cercle dans son plan, +de $\frac{\pi}{2}$ pour que les éléments correspondants des deux courbes soient rectangulaires.) +L'élément du cercle a pour valeur +\[ +dS_c^2= a^2\,d\theta^2, +\] +l'élément de la courbe conjuguée a pour valeur +\[ +dS_{c'}^{'2}= R^2\,d\theta^2+dZ^2, +\] +%% -----File: 207.png---Folio 201------- +expression où $R$ désigne le rayon de courbure de la projection sur le plan +du cercle et $Z$ la distance d'un point du contour au plan. + +Prenons, pour projection du contour indéterminé, l'épicycloïde ayant +pour équation +\[ +p=b\sin k\theta; +\] +dans ce cas +\[ +R=b(1-k^2)\sin k\theta, +\] +et puisque les éléments des deux contours sont égaux, on obtient +\[ +dZ=d\theta \sqrt{ a^2-b^2(1-k^2)^2 \sin^2 k\theta}. +\] + +Pour que le contour soit algébrique, sa projection doit être algébrique et +la valeur de $Z$ doit également être algébrique. + +En général $Z$ dépend des fonctions elliptiques, mais on peut toujours +choisir $a$ de telle façon que +\[ +a=b(1-K^2), +\] +et alors +\[ +Z=\frac{a \sin k\theta}{K}. +\] + +Dès lors, si la projection est algébrique, les élassoïdes conjugués, dont +l'un passe par le cercle, seront algébriques. + +\begin{Emph} +\emph{Mais la projection sera algébrique toutes les fois que le coefficient~$R$ sera +un nombre commensurable; conséquemment:} par un cercle déterminé ou +peut faire passer autant d'élassoïdes algébriques qu'on peut construire +d'épicycloïdes ou d'hypocycloïdes algébriques. +\end{Emph} + +Le contour conjugué est défini par les équations suivantes entre lesquelles +il faut éliminer~$\theta$: +\begin{gather*} +x \cos\theta + y \sin\theta = b \sin k\theta,\\ +y \cos \theta-x \sin \theta = b k \cos k\theta,\\ +Z=\frac{b(1-K^2)}{K} \sin k\theta; +\end{gather*} +on en déduit immédiatement l'équation +\[ +x^2+y^2=b^2K^2+z^2 \frac{K^2}{1-K^2}, +\] +qui représente une quadrique de révolution. + +%% -----File: 208.png---Folio 202------- + +Si l'on désigne par~$R$ le rayon du cercle de base d'une hypocycloïde et +par~$r$ celui du cercle roulant, l'équation précédente peut s'écrire +\[ +\frac{x^2}{R^2}+\frac{y^2}{R^2}-\frac{z^2}{4r(r-R)}=1. +\] + +Dans le cas des épicycloïdes, il suffirait de changer le signe de~$r$. + +Le rayon du cercle conjugué au contour est +\[ +a=\frac{4r(r-R)}{R-2r}. +\] + +Nous réservons l'étude détaillée des élassoïdes intéressants dont nous +venons d'établir l'existence. + +\Section{155.} +{Congruence déduite du réseau isométrique sphérique formé +de coniques homofocales.} + +De toutes les congruences isotropes, la plus remarquable est celle que +l'on déduit de la considération des quadriques homofocales. Il y a lieu de +traiter différemment le cas des quadriques à centre et celui des paraboloïdes +homofocaux. Dans ce chapitre, nous ne nous occuperons que du +premier cas. + +On sait que le plan tangent au cône asymptote d'un hyperboloïde coupe +cette surface suivant deux génératrices parallèles à la génératrice suivant +laquelle le cône asymptote est touché par le plan tangent. Conséquemment +les cônes asymptotes de tous les hyperboloïdes homofocaux découpent, sur +une sphère de rayon unité, ayant leur sommet commun pour centre, une +famille de coniques sphériques orthogonales formant un réseau isométrique. + +On voit que tous les élassoïdes groupés déduits de ce réseau isométrique +sphérique seront algébriques; l'une des congruences (et elle sera double) sera +formée des génératrices des quadriques homofocales; la congruence conjuguée +s'obtiendra en portant sur les tangentes aux courbes du réseau des +%% -----File: 209.png---Folio 203------- +longueurs égales aux valeurs du coefficient~$\lambda$ de l'élément linéaire; cette +longueur portée tangentiellement aux coniques intersections avec la sphère +des cônes asymptotes des hyperboloïdes à une nappe, donnerait le pied des +rayons de la congruence formée par les génératrices des hyperboloïdes +homofocaux; portée à angle droit et tangentiellement aux coniques du +réseau, intersection de la sphère et des cônes asymptotes des hyperboloïdes +à une nappe, homofocaux, elle déterminera le pied de génératrices d'hyperboloïdes +encore homofocaux aux premiers. On obtiendra donc les deux +congruences conjuguées en considérant les génératrices des quadriques +\[ +\frac{x^2}{a^2-\lambda} + \frac{y^2}{b^2-\lambda} + \frac{z^2}{c^2-\lambda} = 1. +\] + + +\Section{156.} +{Les élassoïdes conjugués coïncident.} + +Ainsi, les deux élassoïdes conjugués ont même nature, même degré, +même classe. Ils forment la même surface. + +Désignant par $u$ et~$v$ les paramètres des coniques homofocales sphériques, +on trouve pour l'élément linéaire de la sphère en fonction des éléments du +réseau $(u, v)$, la sphère ayant pour rayon~$R$ +\[ +\frac{4\, dS^2}{R^2} + = \frac{(u-v)\, du^2}{(a^2-u)(b^2-u)(c^2-u)} + + \frac{(v-u)\, dv^2}{(a^2-v)(b^2-v)(c^2-v)}. +\] + +Les coordonnées d'un point de l'image sphérique sont définies par le +système +\begin{align*} +x_0 &= R \sqrt{\frac{(a^2-u)(a^2-v)}{(b^2-a^2)(c^2-a^2)}}, \\ +y_0 &= R \sqrt{\frac{(b^2-u)(b^2-v)}{(c^2-b^2)(a^2-b^2)}}, \\ +z_0 &= R \sqrt{\frac{(c^2-u)(c^2-v)}{(a^2-c^2)(b^2-c^2)}}. +\end{align*} + +%% -----File: 210.png---Folio 204------- + +\Section{157.} +{Valeur du paramètre de la congruence isotrope.} + +Par des calculs dont nous supprimons le détail on trouve que sur l'hyperboloïde +$(u)$ le paramètre des génératrices de la quadrique $(u)$ a pour valeur +\[ +p = i \frac{\sqrt{(a^2-u)(b^2-u)(c^2-u)}}{(u-v)}. +\] + +Quant à la distance de la génératrice et de sa parallèle menée par le centre +de la sphère, on trouve +\[ +L = \sqrt{v-u}. +\] + +Rien n'est plus simple que d'établir l'équation du plan tangent à l'un des +élassoïdes groupés, on a +\begin{multline*} +\sum \sqrt{\frac{(a^2-u)(a^2-v)}{(b^2-a^2)(c^2-a^2)}} X \\ + = m \frac{\sqrt{(a^2-u)(b^2-u)(c^2-u)}}{(u-v)} + + n \frac{\sqrt{(a^2-v)(b^2-v)(c^2-v)}}{(v-u)}, +\end{multline*} +où $\sum$ s'applique à trois termes permutés et où $m$ et~$n$ sont des constantes +arbitraires dont l'annulation donne lieu aux deux élassoïdes moyen et +conjugué ou, plus exactement, aux deux nappes de l'élassoïde unique. + + +\Section{158.} +{Discussion de l'élassoïde.} + +Les coordonnées d'un point de l'élassoïde stratifié sont données par trois +formules symétriques de la suivante\footnote + {L'élassoïde moyen s'obtiendrait en faisant $m=1$, $n=0$, l'élassoïde conjugué en faisant $m=0$, + $n=1$, un couple arbitraire de valeur de~$m$ et~$n$ correspond à un élassoïde stratifié arbitraire.} +\begin{gather*}% [** PP: Re-breaking, adding ×] +X \sqrt{(b^2-a^2)(c^2-a^2)} \\ += \frac{1}{(v-u)^3} +\left\{ +\begin{aligned} + m & \begin{aligned} + &\sqrt{(a^2-v)(b^2-u)(c^2-u)} \\ + &×\bigl[3(a^2-u)(b^2-v)(c^2-v) + (a^2-v)(b^2-u)(c^2-u)\bigr] + \end{aligned} \\[2ex] +-n & \begin{aligned} + &\sqrt{(a^2-u)(b^2-v)(c^2-v)} \\ + &×\bigl[3(a^2-v)(b^2-u)(c^2-u) + (a^2-u)(b^2-v)(c^2-v)\bigr] + \end{aligned} +\end{aligned}\right\}, +\end{gather*} +%% -----File: 211.png---Folio 205------- +les valeurs des deux autres coordonnées s'obtenant par permutation circulaire. + +On vérifie sans difficulté sur ces formules que les élassoïdes principaux +sont coupés par les plans coordonnés suivant les développées des coniques +focales du réseau de quadrique; ces courbes sont des géodésiques de la +surface. Les axes de coordonnées appartiennent aussi au lieu comme lignes +multiples; mais on sait qu'il n'y a que des segments de ces axes qui soient +situés sur des nappes réelles; on obtiendra les points limites de ces segments +en portant sur un axe à partir du centre des longueurs égales aux rayons +de courbure limites de la conique focale située dans un plan de symétrie +perpendiculaire et appartenant au système conjugué. + +On sait que les plans de symétrie coupent encore l'élassoïde moyen suivant +des lignes doubles dont on construira les points \emph{en prenant les points milieux +des droites joignant les centres des cercles de courbure de même rayon, +d'une conique focale}. + +La classe de l'élassoïde moyen est $12$ et son degré~$66$. + +Si l'on considère un des hyperboloïdes homofocaux, tous les plans moyens +correspondants enveloppent une développable de quatrième classe. + +Dans le cas où l'on considère au lieu d'hyperboloïdes des paraboloïdes +homofocaux, on voit directement en considérant les droites de l'élassoïde +situées dans le plan de l'infini que la classe est $5$ et le degré~$15$\footnotemark. + \footnotetext{La considération de la développable imaginaire double circonscrite à toutes les quadriques + homofocales, surface complétement étudiée et connue dans ses plus grands détails, permet de + traiter géométriquement et du premier coup tout ce qui a trait au degré et à la classe de ces + élassoïdes.} + +\TbEoC + +%% -----File: 212.png---Folio 206------- + + +\Chapter{XIX.} +{ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES DÉRIVÉS DES PARABOLOÏDES HOMOFOCAUX.} + + +\Section{159.} +{Calcul des coordonnées de l'élassoïde moyen en fonction +de deux paramètres.} + +L'extrême complication des élassoïdes dérivés des quadriques homofocales +à centre conduit à examiner plus en détail le cas particulier qui a trait aux +paraboloïdes homofocaux: nous étudierons les propriétés de l'élassoïde moyen +et de son conjugué, car ici les deux nappes se séparent. + +Rappelons que la recherche des lignes de courbure dépend des fonctions +elliptiques; nous l'avons déjà établi en dérivant des élassoïdes du plan; +nous n'y reviendrons plus. + +L'équation la plus générale des paraboloïdes homofocaux rapportés à leurs +plans principaux (l'origine étant au milieu du segment focal) est +\[ +\frac{y^2}{\sin^2\varphi} - \frac{z^2}{\cos^2\varphi} = 8h(x-h \cos 2\varphi). +\] + +Il en résulte que les équations d'une génératrice peuvent s'écrire +\begin{align*} +y &= \frac{\sin\varphi}{\lambda} x + - \frac{h \sin\varphi}{\lambda} (-2\lambda^2 + \cos 2\varphi), \\ +z &= \frac{\cos\varphi}{\lambda} x + - \frac{h \cos\varphi}{\lambda} (2\lambda^2 + \cos 2\varphi); +\end{align*} +%% -----File: 213.png---Folio 207------- +l'équation de la ligne de striction est +\[ +y \cos^3\varphi + z \sin^3\varphi = 0. +\] + +Dès lors, on trouve pour les coordonnées du point central +\begin{align*} +x' &= h \cos2\varphi(1 - 2\lambda^2), \\ +y' &= 4h\lambda \sin^3\varphi, \\ +z' &= 4h\lambda \cos^3\varphi. %[** . added] +\end{align*} + +En conséquence l'équation du plan moyen est +\[ +\lambda x + y \sin\varphi + z \cos\varphi + + \lambda h \cos2\varphi (3 + 2\lambda^2) = 0; +\] +on en déduit pour les coordonnées du point de contact du plan moyen et de +l'élassoïde +\begin{align*} +X &= -3h \cos2\varphi (1 + 2\lambda^2), \\ +Y &= 2\lambda h \sin \varphi [\cos 2\varphi (4\lambda^2 + 3) + (2\lambda^2 + 3)], \\ +Z &= 2\lambda h \cos \varphi [\cos 2\varphi (4\lambda^2 + 3) - (2\lambda^2 + 3)]. +\end{align*} + + +\Section{160.} +{Calcul des coordonnées de l'élassoïde conjugué.} + +Nous trouvons pour le paramètre de distribution +\[ +P = -2h \sin 2\varphi (1 + \lambda^2). +\] + +L'équation du plan tangent à l'élassoïde conjugué est +\[ +\lambda X + Y \sin\varphi + Z \cos\varphi + = 2h \sin^2\varphi (1 + \lambda^2)^{\frac{3}{2}}. +\] + +Les coordonnées de l'élassoïde sont définies par les équations +\begin{align*} +X' &= 6h \sin 2\varphi\lambda (1 + \lambda^2)^{\frac{1}{2}}, \\ +Y' &= 4h \cos \varphi(1 + \lambda^2)^{\frac{1}{2}} + \bigl[\cos^2\varphi + \lambda^2(\cos^2\varphi - 3\sin^2\varphi)\bigr], \\ +Z' &= 4h \sin \varphi(1 + \lambda^2)^{\frac{1}{2}} + \bigl[\sin^2\varphi + \lambda^2(\sin^2\varphi - 3\cos^2\varphi)\bigr]. +\end{align*} + +%% -----File: 214.png---Folio 208------- + +\Section{161.} +{Classe de l'élassoïde moyen et des élassoïdes stratifiés.} + +Cherchons la classe de l'élassoïde central: nous trouvons pour l'équation +de la surface polaire réciproque par rapport à une sphère du rayon~$h$, ayant +son centre à l'origine: +\[ +X(Z^2 - Y^2) [3(Y^2 + Z^2) + 2X^2] = h(Y^2 + Z^2)^2. +\] + +\emph{L'élassoïde est donc de cinquième classe.} + +Nous trouvons de même, pour la polaire réciproque de l'élassoïde conjugué, +l'équation +\[ +Y^2 Z^2 (X^2 + Y^2 + Z^2)^3 = h^2(Y^2 + Z^2)^4. +\] + +\emph{L'élassoïde conjugué est de dixième classe.} + +On trouve avec la même facilité l'équation de la polaire réciproque d'un +des élassoïdes stratifiés quelconque +\[ +\bigl[h(Y^2 + Z^2)^2 - mX(Z^2 - Y^2)[3(Y^2 + Z^2) + 2X^2]\bigr]^2 + - 4n^2 Y^2 Z^2(X^2 + Y^2 + Z^2)^3; +\] +on voit que leur classe n'est jamais supérieure à \emph{dix}. + + +\Section{162.} +{Le degré de l'élassoïde central est~$15$. Considération de la section par le plan +de l'infini et de la section par le plan des~$XY$.} + +La développable isotrope unique touchant chacun des paraboloïdes homofocaux +a son arête de rebroussement du sixième ordre; l'intersection de +l'élassoïde moyen et du plan de l'infini doit donc être composée de $\frac{6(6-1)}{2}$ +droites; conséquemment la surface doit être du quinzième degré. On le +%% -----File: 215.png---Folio 209------- +vérifie bien facilement comme il suit: cherchons l'intersection par le plan +des~$XY$; il y a trois cas à examiner: + +\primo~$\lambda= 0$, alors $Y$ est nul et +\[ +X = -3h(\cos^2 \varphi - \sin^2\varphi), +\] +le plan tangent, tout le long de l'axe des~$X$, qui forme ligne multiple, est +défini par l'équation +\[ +Y \sin\varphi + Z \cos\varphi = 0, +\] +le point de contact a pour abscisse +\[ +X_0 = -3h \frac{1 - \tg^2\varphi}{1 + \tg^2\varphi}; +\] +on voit qu'à chaque valeur de~$X_0$ % [**** X_O?] +correspondent deux valeurs de $\tg\varphi$ et par +conséquent deux plans tangents. L'axe des~$X$ est donc \emph{ligne double}. + +\secundo~$\cos \varphi = 0$. Le plan tangent a son équation de la forme +\[ +\lambda X ± Y - \lambda h(3 + 2\lambda^2) = 0; +\] +il est parallèle à l'axe des $Z$ tout le long de la section qui est ligne simple; +son équation est +\[ +\left(\frac{X-3h}{6h}\right)^3 = \frac{Y^2}{16h^2}, +\] +\emph{c'est la développée de la parabole focale contenue dans le plan des~$XY$}; +\begin{flalign*} +&\text{\indent\tertio}&& +3\sin^2\varphi(1 + \lambda^2) - \cos^2\varphi\lambda^2 = 0.\qquad && +\end{flalign*} + +La ligne correspondante est double, les plans tangents en un de ses points +sont définis par l'équation +\[ +\cos V = \frac{\cos\varphi}{\sqrt{1 + \lambda^2}}. +\] + +%% -----File: 216.png---Folio 210------- + +Effectuant l'élimination on trouve pour l'équation de la courbe double +\begin{align*}% [** PP: Re-breaking] +-24 x^3 y^2 &+ 3h(2^6 x^4 - 2^3·3x^2 y^2 - 3^2·y^4) \\ + &+ 3^2·2^3h^2x(3y^2 + 2^2·5·y^2) + 2^4·3^2h^3(3x^2 + y^2)=0; +\end{align*} +\emph{elle est du cinquième ordre et doit être comptée pour dix unités}. + +Additionnant les degrés des courbes d'intersection, on trouve bien $15$ +pour le degré de la surface. + + +\Section{163.} +{La section de l'élassoïde par le plan des $ZY$ se compose de deux droites triples +et d'une ligne de courbure imaginaire qui est une hypocycloïde à quatre +rebroussements.} + +Si l'on cherche la section de la surface par le plan des $ZY$ on trouve +\primo~comme \emph{droites triples} les bissectrices des angles des axes; \secundo~en rapportant +la section à ces lignes triples, on trouve pour l'équation du complément +\[ +2 = \left(-\frac{z'^2}{h^2}\right)^{\frac{1}{3}} % [** PP: Exponent indistinct, typo 5?] + + \left(-\frac{y'^2}{h^2}\right)^{\frac{1}{3}}, +\] +ce qui dénote une hypocycloïde imaginaire à quatre rebroussements. Tout le +long de cette courbe le plan tangent à la surface est défini par la relation +\[ +\cos V = \frac{i}{\sqrt{3}}, +\] +\emph{c'est donc une ligne de courbure imaginaire}. + +\tertio~La droite de l'infini appartient tout entière au lieu. On vérifie sans difficulté +que la section de la surface par le plan de l'infini se compose de cette +droite \emph{nonuple} et des deux tangentes à l'ombilicale (comptées \emph{triples}) menées +aux ombilics du plan~$ZY$. + +%% -----File: 217.png---Folio 211------- + +\Section{164.} +{L'élassoïde est inscrit dans un cône de révolution ayant son sommet à l'origine.} + +Si l'on cherche l'équation du cône circonscrit à la surface et ayant son +sommet à l'origine, on trouve le \emph{cône de révolution} +\[ +\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}} (Y^2 + Z^2) = X^2, +\] +dont la courbe de contact est définie par l'équation +\[ +\frac{X^5}{6h} + \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}} (Z^2 - Y^2) = 0. +\] + + +\Section{165.} +{Les courbes de l'élassoïde correspondant aux paraboloïdes homofocaux sont +de quatrième ordre et de deuxième espèce, leurs trajectoires orthogonales +sont du sixième ordre.} + +Les lignes les plus simples que l'on puisse tracer sur l'élassoïde moyen +sont celles qui correspondent à chacun des paraboloïdes homofocaux; ce +sont les courbes de contact de cylindres dont les génératrices sont perpendiculaires +aux divers plans directeurs des paraboloïdes. Tous ces plans +directeurs sont parallèles à l'axe des~$X$, et si l'on mène les plans parallèles +passant par cet axe ils couperont les cylindres circonscrits suivant les développées +des paraboles, projections des lignes de striction. + +Prenant toujours pour origine et pour axe des $X$ les mêmes données, +mais pour plan des $XY$ le plan directeur correspondant à une valeur donnée +de $\varphi=\frac{\omega}{2}$, nous trouvons pour équation de la ligne de contact +\begin{gather*} +2h^2 \cos^2 \omega y^2 + (x + 3h \cos\omega)^3 = 0, \\ +\frac{2}{y} = \tg\omega \frac{6h \cos\omega - x}{3h \cos\omega + x}. +\end{gather*} + +%% -----File: 218.png---Folio 212------- + +Ces deux surfaces ont pour intersection la génératrice représentée par +\[ +x = -3h \cos\omega,\quad y = 0, +\] +et la courbe de contact proprement dite, qui est du quatrième ordre, à point +de rebroussement, et de deuxième espèce. + +Sur la surface, ces courbes forment une famille dont les trajectoires orthogonales +sont des courbes du sixième ordre tracées sur des quadriques de +révolution. + + +\Section{166.} +{Lignes de l'élassoïde conjugué correspondant aux paraboloïdes homofocaux: +courbes de contact de cylindres dont la section droite, du sixième ordre, est +la développée d'une courbe du sixième ordre.} + +Il convient maintenant d'étudier l'élassoïde conjugué. Commençons par +chercher, dans le dernier système d'axes, les courbes correspondant aux +paraboloïdes homofocaux successifs. Posons, pour plus de commodité, +\[ +\lambda = \cot\mu. % [** PP: cotg in original] +\] + +L'équation du plan tangent à l'élassoïde conjugué devient +\[ +x \cos\mu + y \sin\mu = \frac{h \sin\omega}{2\sin^2\mu}. +\] + +On vérifie (comme l'indiquait déjà la théorie générale) que la développable +correspondant à une valeur de~$\omega$ est un cylindre; on sait que sa section +droite doit être la développée d'une courbe algébrique. Il suffira de le +démontrer pour le cas où $\omega$ sera égal à~$\frac{\pi}{2}$. + +Les coordonnées du point de tangence sont +\[ +x = \frac{5h}{2}\, \frac{\cos\mu}{\sin^2\mu},\quad % y[**looks more like eta, but (x,y) on rest of page] +y = \frac{h}{2}\, \frac{(\sin^2\mu - 2\cos^2\mu)}{\sin^3\mu}, +\] +%% -----File: 219.png---Folio 213------- +mais, d'après la théorie générale, le rayon de courbure de la développante +cherchée est +\[ +R = \frac{h}{2} \cos\mu \frac{3\sin^2\mu + 2\cos^2\mu}{\sin^3\mu}; +\] +on en déduit sans peine que la développante est l'enveloppe de la droite +ayant pour équation +\[ +-x \sin\mu + y \cos\mu = \frac{h}{2} \cot \mu. +\] + +On en peut donner la définition suivante: c'est l'\emph{enveloppe d'un côté d'un +angle droit dont l'autre côté touche le cercle de rayon~$\frac{h}{2}$ et dont le sommet +décrit un diamètre du cercle}. + +On peut définir l'élassoïde conjugué comme admettant pour géodésique la +développée de la courbe précédente; celle-ci a pour équation cartésienne +\[ +x^2(8a^2 + y^2)^2 = [4x^2 + 3(y^2 - a^2)][(y^2 - a^2)^2 - 12a^2 x^2], +\] +et sa développée +\[ +\frac{2^4}{3^4}\, \frac{x^6}{a^4} + - \frac{4}{3}\, \frac{x^2}{a^2} (2x^2 + 9y^2) + - \frac{9y^2}{a^2} + 9(x^2 + y^2) = 0, +\] +elles sont toutes deux \emph{du sixième ordre}. + + +\Section{167.} +{Équation de la courbe de contact des cylindres dérivant des paraboloïdes +homofocaux lorsqu'on les a étendus sur un plan {\upshape(}sixième ordre{\upshape)}.} + +Pour compléter l'étude des courbes des deux élassoïdes correspondant aux +paraboloïdes, il convient de chercher ce qu'elles deviennent lorsqu'on aplatit +les cylindres circonscrits sur un plan. On sait d'après la théorie générale +que dans ce cas la courbe de contact se transforme \emph{en une seule courbe algébrique}; +elle a pour équation +\begin{align*}% [** PP: Re-breaking] +0 &= \frac{4^3}{3^3·h^4} %[**5^3?] + \left(\frac{z^2}{\cos^2\omega} - \frac{R^2}{\sin^2\omega} - h^2\right)^3 \\ + &\quad+ \frac{4^2}{3·h^2} + \left(\frac{z^2}{\cos^2\omega} - \frac{R^2}{\sin^2\omega} - h^2\right)^2 + + 3 + \left(\frac{z^2}{\cos^2\omega} - \frac{4}{3}\,\frac{R^2}{\sin^2\omega} - 1\right), +\end{align*} +%% -----File: 220.png---Folio 214------- +$Z$ et~$R$ étant les deux coordonnées; \emph{la courbe est donc du sixième degré}. + +Pour déterminer le degré de l'élassoïde conjugué, il convient de chercher +sa section par le plan des $XY$ qui est un plan de symétrie. + + +\Section{168.} +{Degré de l'élassoïde conjugué {\upshape(26)}.} + +\primo\quad$\sin\varphi = 0$ l'axe des~$y$ \emph{sextuple} appartient au lieu, quatre nappes sont +imaginaires, deux sont réelles aux points tels que +\[ +y^2 > h^2. +\] +\begin{flalign*} +&\text{\indent\secundo} && +(1 + \lambda^2)\sin^2\varphi - 3\lambda^2 \cos^2\varphi = 0.\qquad && +\end{flalign*} + +La courbe est double; remplaçant $\lambda^2$ par~$\omega$, l'équation s'obtiendra en éliminant +$\omega$ entre les relations +\begin{gather*} +\omega^2 + \omega \left(1 ± \frac{4}{3^\frac{3}{2}}\, \frac{x}{h}\right) ± \frac{x}{3^\frac{3}{2} h} = 0, \\ +\omega \frac{3^\frac{3}{2} y^2}{hx} + (1 + \omega)(1 - 2\omega)^2 = 0, +\end{gather*} +on trouve deux courbes distinctes suivant le signe donné à~$x$; elles sont du +cinquième degré et ont pour équation +\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking] +2 \frac{y^4}{h} + 3h\left(1 - 16 \frac{x'^2}{h^2}\right) \\ + \qquad= 2 · 3^2 hx'^2 \left(1 + 4 \frac{x'}{h}\right)^2 + + y^2 \left[\left(1 + \frac{6x'}{h}\right)2 % [**** F1: Coefficient at end?] + - x'\left(1 + \frac{8x'}{h}\right) \left(2^3 \frac{x'}{h} + 5\right)\right], +\end{multline*} +où l'on a posé +\[ +±x = x' 3^\frac{3}{2}\footnotemark. +\] + \footnotetext{Il existe deux autres plans (à $45°$ sur les premiers) qui sont plans de symétrie, qui coupent +par conséquent l'élassoïde suivant une ligne double laquelle se décompose en deux lignes +du cinquième degré. La section par le plan des $ZY$ comprend comme ligne de courbure une +hypocycloïde à quatre rebroussements.} + +On en conclut que le degré est~$26$. + +%% -----File: 221.png---Folio 215------- + +\Section{169.} +{Formation d'un réseau isométrique sphérique composé de biquadratiques, +comme application de la théorie générale.} + +On sait que les génératrices des paraboloïdes homofocaux peuvent être +considérées comme les rayons d'une congruence isotrope dérivée d'un certain +réseau isométrique tracé sur la sphère, réseau qui variera par conséquent +avec la position du centre de la sphère; cherchons en particulier ce qu'il +est dans le cas où la sphère a pour centre le point milieu du segment focal. + +Nous trouvons pour intégrales des lignes du réseau +\begin{align*} +\frac{\sin 2\omega}{\cos 2\varphi} &= ai, \\ +\frac{\sin 2\varphi}{\cos 2\omega} &= b, +\end{align*} +où $a$ et~$b$ sont les constantes caractéristiques de ces lignes. En coordonnées +cartésiennes, on trouve +\[ +\left. +\begin{aligned} +a &= \frac{2RX}{Y^2 - Z^2}, \\ +b &= \frac{2YZ}{2X^2 + Y^2 + Z^2} +\end{aligned}\ \right\} +\text{ avec}\quad R^2 = X^2 + Y^2 + Z^2; +\] +\emph{ce sont donc des biquadratiques}. + +Si l'on cherche l'expression du quarré de l'élément linéaire de la sphère, +on trouve +\[ +\frac{dS^2}{R^2} + = \frac{1}{2}\, \frac{(1 + a^2)(1 + b^2)} + {1 + a^2 b^2 + \sqrt{(1 + a^2)(1 + a^2 b^2)}} + \left[\frac{da^2}{(1 + a^2)^2} + \frac{db^2}{(1 - b^2)^2}\right], % [** PP: . -> ,] +\] +ainsi se vérifie cette conséquence de la théorie générale, que le réseau est +orthogonal et isométrique. + +Voilà bien assez de détails au sujet des élassoïdes dérivés des paraboloïdes +homofocaux. + +\TbEoC + +%% -----File: 222.png---Folio 216------- + + +\Chapter{XX.} +{ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES APPLICABLES SUR DES SURFACES DE RÉVOLUTION\footnotemark.} + +\footnotetext{Ce chapitre est le résumé d'une étude entreprise par M.~Rouquet sur ma demande.} + + +\Section{170.} +{Les géodésiques principales, et leurs trajectoires orthogonales, sur des élassoïdes +applicables sur des surfaces de révolution ont pour image sphérique +un réseau orthogonal formé de grands cercles et de petits cercles.} + +Bour a montré qu'il existe une famille d'élassoïdes applicables sur des surfaces +de révolution; nous terminerons cette étude des élassoïdes par une +étude de ces surfaces remarquables dont un grand nombre sont algébriques, +sur lesquelles on peut intégrer l'équation des lignes de courbure et de leurs +trajectoires, et dont (par définition) les géodésiques s'obtiennent par de +simples quadratures. + +Rappelons rapidement les propriétés fondamentales de ces surfaces. Tout +réseau orthogonal d'un élassoïde a pour image sphérique un réseau orthogonal. +Soient $A$, $B$ les courbures normales des courbes transformées, sur +l'élassoïde, des méridiens et des parallèles des surfaces de révolution, $D$~le +paramètre de déviation, l'élément linéaire de l'élassoïde et celui de la sphère +sont +\begin{align*} +dS^2 &= f^2\, du^2 + g^2\, dv^2, \\ +dS'^2 &= (A^2 + D^2)(f^2\, du^2 + g^2\, dv^2). +\end{align*} + +$A$ et~$B$ sont égaux et de signe contraire, mais les lignes $(v)$ et~$(u)$ étant +sur l'élassoïde des géodésiques et des cercles géodésiques, $f$ et~$g$ sont des +%% -----File: 223.png---Folio 217------- +fonctions de~$u$ seule. D'un autre côté, la troisième équation de Codazzi, +appliquée au réseau $(u, v)$ de l'élassoïde, donne +\[ +fg(A^2 + D^2) = \frac{d}{du} \left(\frac{dg}{f\, du}\right), +\] +par conséquent $A^2 + D^2$ qui est fonction de~$g$ et de~$f$ est une simple fonction +de~$u$. Ceci démontre que sur la sphère les coefficients du quarré de l'élément +linéaire sont tous deux fonction de~$u$ seule. Dès lors \emph{les lignes~$v$ sont des +géodésiques et par conséquent des grands cercles; les lignes~$u$ sont des cercles +géodésiques et par conséquent des petits cercles}. + +On sait qu'un semblable réseau ne peut être composé que de grands +cercles ayant un diamètre commun et de petits cercles ayant pour pôles +les extrémités de ce diamètre. + +En conséquence le carré de l'élément linéaire de la sphère se mettra sous +la forme la plus simple +\[ +dS'^2 = du^2 + \sin^2 u\Reg{·}{\,} dv^2. +\] +Nous prendrons pour surface de référence la sphère rapportée à ce réseau +particulier. Désignons par~$t$ la distance du centre de la sphère (de rayon +unité) au plan tangent de l'élassoïde; posant +\begin{align*} +M &= \frac{d^2 t}{du^2} + t, \\ +M' &= \frac{1}{\sin u}\Reg{·}{\,} \frac{d^2 t}{dv^2} + + \cos u\, \frac{dt}{du} + t \sin u, \\ +N &= \frac{d^2 t}{du\, dv} - \cot u\, \frac{dt}{dv}, +\end{align*} +on trouve pour l'élément linéaire de la surface-enveloppe du plan~$t$, par les +calculs de périmorphie +\[ +dS^2 = \left(M^2 + \frac{N^2}{\sin^2 u}\right) du^2 + + (M'^2 + N^2)\, dv^2 + + 2N \left(\frac{M'}{\sin u} + M\right)\, du\, dv. +\] + +La surface est élassoïde si le réseau $(u, v)$ correspondant au réseau sphérique +est orthogonal et n'est pas celui des lignes de courbure (ce qui élimine +l'hypothèse de $N = O$). % [**** F1: 0 -> O] + +%% -----File: 224.png---Folio 218------- + +Conséquemment nous devrons avoir +\[ +M'=-M \sin u, +\] +et pour que l'élassoïde soit applicable sur une surface de révolution (nous +désignerons par~$(\varepsilon_r)$ les élassoïdes de cette nature) il faut et il suffit que +$\left(M^2+\frac{N^2}{\sin^2 u}\right)$ soit une simple fonction de~$u$. + +\Section{171.} +{Équation générale des cylindres circonscrits le long des géodésiques +principales des élassoïdes~$(\varepsilon_r)$.} + +Nous poserons donc +\[ +M = U \cos V, \quad \frac{N}{\sin u} = U \sin V; +\] +on démontre que $V$ est une simple fonction de~$v$. Par des calculs dont nous +supprimons le détail, on trouve +\[ +t= \frac{a}{m(m^2-1)}\cot^m \frac{u}{2} (m-\cos u) \cos m (v+v_0) + \sin u(V_1+U_2), +\] +où l'on a posé +\[ +V_1=b \cos v + b'\sin v, \quad U_2=c \cot u. +\] + +Les constantes $b$, $b'$, $c$ n'ont d'influence que sur la position de la surface +et~$a$ sur son échelle de grandeur. La constante~$v_0$ influe seulement sur +l'orientation de la surface; la constante~$m$ est donc la seule à considérer et +toutes les autres peuvent être annulées sans inconvénient; on aura donc +\[ +t=\frac{a}{ m(m^2-1)} \cot^m \frac{u}{2}(m-\cos u) \cos mv. +\] + +\begin{Emph} +L'élassoïde $(\varepsilon_r)$ est l'enveloppe de cylindres semblables entre eux dont les +courbes de contact sont des géodésiques de l'élassoïde. +\end{Emph} + +%% -----File: 225.png---Folio 219------- + +\Section{172.} +{Forme des élassoïdes $(\varepsilon_r)$.} + +L'élassoïde est composé de nappes identiques dont une entière s'obtient +en faisant varier~$u$ de~$0$ à~$\pi$ et~$v$ de~$0$ à~$\frac{2\pi}{m}$. + +La surface entière s'obtiendra en faisant tourner cette nappe de l'angle~$\frac{2\pi}{m}$ +indéfiniment. Si~$m$ est un nombre entier on retrouvera la nappe primitive, +après $m$ rotations; si~$m$ est un nombre fractionnaire~$\frac{p}{q}$, $p$ rotations seront +nécessaires pour retrouver la première nappe $\left(\frac{p}{q}\text{ étant supposée irréductible}\right)$. + +De ce que $t$ ne change pas quand on change $v$ en~$\frac{2\pi}{m}-v$, il résulte que +chaque nappe admet un plan de symétrie. + +Les élassoïdes $(\varepsilon_r)$, algébriques, correspondent aux valeurs commensurables +de~$m$. + +\Section{173.} +{Rectification des géodésiques principales. Lignes de courbure.} + +Les lignes~$(v)$ de l'élassoïde ont pour longueur +\[ +S_v=\frac{a}{m^2-1}\frac{\cot^m \dfrac{u}{2}(m-\cos u)}{\sin u}. +\] + +\begin{Emph} +\emph{Si l'on cherche l'équation des lignes de courbure, on trouve, pour l'angle +qu'elles font avec la ligne~$(v)$, +\[ +\varphi=k\frac{\pi}{2}+\frac{mv}{2}; +\] +mais l'angle~$mv$ est celui que fait la ligne~$(v)$ de l'élassoïde avec son image +sphérique, conséquemment:} En un point d'un élassoïde~$(\varepsilon_r)$ les directions des +lignes de courbure sont les bissectrices des angles que forment les directions +de la ligne~$(v)$ passant en ce point et de son image sphérique; ces angles croissent +proportionnellement au module~$m$ et au paramètre~$v$. Une même ligne~$(v)$ +coupe sous un angle constant les lignes de courbure de la surface. +\end{Emph} + +%% -----File: 226.png---Folio 220------- + +Les équations des lignes de courbure sont +\begin{gather*} +\cot \frac{mu}{2} · \sin^2 \frac{mv}{2} = h^2, \\ +\cot \frac{mu}{2} · \cos^2 \frac{mv}{2} = k^2, +\end{gather*} +où~$h$ et~$k$ sont les paramètres de chacune de ces lignes. + +Les lignes de courbure comme les lignes asymptotiques sont algébriques. +Il con\-vi\-ent, pour se figurer ces courbes, de faire la projection stéréographique +de leur image sphérique sur le plan des $YZ$ (le point de vue étant à un pôle +du grand cercle situé dans ce plan). + +\Section{174.} +{Projections stéréographiques des images des lignes de courbure +(Spirales de Lamé).} + +$\rho$ désignant le rayon vecteur, dans le plan~$YZ$, on a pour les perspectives +des images des lignes de courbure +\begin{gather*} +\rho^m · \sin^2 \frac{mv}{2} = h^2, \\ +\rho^m · \cos^2 \frac{mv}{2} = k^2. +\end{gather*} + +Ce sont des spirales dont M.~Haton a résumé les propriétés (\textit{Nouvelles +Annales de mathématiques}, 1876, pp.~97 à~108). Les lignes asymptotiques +donneraient lieu à des perspectives identiques aux précédentes, l'axe polaire +ayant simplement tourné de $\frac{\pi}{2m}$. Ces spirales se coupent à angle droit; elles +forment un réseau isométrique (\textsc{Lamé}, \textit{Journal de Liouville}, \Ord{1}{re}~sér., t.~I, p.~86). + +Pour que les courbes précédentes deviennent des cercles ou des droites, $m$ +devra être égal à deux. Dans ce cas, les lignes de courbure ont pour image +sphérique des cercles et par conséquent sont planes. L'élassoïde correspondant +est celui d'Enneper. + +%% -----File: 227.png---Folio 221------- + +L'élément linéaire de l'élassoïde~$(\varepsilon_r)$, rapporté aux lignes de courbure, est +\[ +dS^2 = \frac{a^2}{m^2} (h^2+k^2) + \left[(h^2 + k^2)^{ \frac{1}{m}} + + (h^2 + k^2)^{-\frac{1}{m}}\right]^2 (dh^2 + dk^2). +\] + +\Section{175.} +{Tous les élassoïdes groupés correspondant à un élassoïde~$(\varepsilon_r)$ sont identiques +à celui-ci. Les élassoïdes groupés qu'on peut déduire du réseau isométrique +des lignes de courbure sont des~$(\varepsilon_r)$ identiques.} + +On pourrait manifestement déduire de nouveaux élassoïdes groupés de la +connaissance des réseaux isométriques, images des lignes de courbure. Ces +élassoïdes seraient algébriques en même temps que les spirales; il suffit de +les signaler. Ces nouveaux élassoïdes ne diffèrent pas de ceux qui nous +occupent. En effet, les trajectoires sous un angle arbitraire des spirales représentant +les lignes de courbure ne sont autre chose que ces spirales tournées +d'un certain angle; conséquemment tous les élassoïdes groupés seraient identiques +entre eux, absolument comme les élassoïdes $(\varepsilon_r)$ et les élassoïdes +stratifiés. Les images sphériques de leurs lignes de courbure, trajectoires les +unes des autres, devront être identiques, elles sont la perspective des spirales +indiquées ci-dessus. + +\Section{176.} +{Classe des élassoïdes~$(\varepsilon_r)$.} + +Il est facile d'établir la classe des élassoïdes~$(\varepsilon_r)$. + +Posant: +\[ +\rho^2=X^2+Y^2+Z^2, +\] +on obtient: +\begin{gather*} +X= \rho \cos u, \quad +Y=-\rho \sin u \cos v, \quad +Z=-\rho \sin u \sin v, \\ +\rho t=a^2, +\end{gather*} +%% -----File: 228.png---Folio 222------- +$X$, $Y$, $Z$ désignant les coordonnées d'un point de la polaire réciproque. On +trouve en exprimant~$t$ en~$X$ et~$Y$ +\[ +t = \frac{(-1)^m a}{2m(m^2-1)}\, + \frac{(Y+iZ)^m + (Y-iZ)^m }{(\rho - X)^m} + · \frac{m\rho - X}{\rho}, +\] +d'où résulte pour l'équation cherchée +\[ +\bigl[(Y+iZ)^m + (Y-iZ)^m\bigr] (m\rho - X) = 2am(m^2-1)(X-\rho)'''. +\] + +Il y a trois cas à distinguer suivant que $m$ est un nombre entier, fractionnaire +ou incommensurable. + +\begin{Emph} +\primo~Lorsque le module~$m$ est un nombre entier positif, la classe de l'élassoïde~$(\varepsilon_r)$ +est égale à~$2(m + 1)$. +\end{Emph} + +\secundo~Le module~$m$ est commensurable et égal à~$\frac{p}{q}$, on a donc +\[ +\bigl[(Y + iZ)^{\frac{p}{q}} + + (Y - iZ)^{\frac{p}{q}}\bigr]^q (m\rho - X)^q = k^q (X - \rho)^p, +\] +en donnant à $k$ la valeur +\[ +k = 2am(m^2 - 1). +\] + +Pour faire disparaître les radicaux d'indice~$q$, il faut former la \emph{norme} de +l'équation, c'est-à-dire le produit +\[ +\prod^{\mu=q-1}_{\mu=0} + \left[\bigl\{(Y + iZ)^{\frac{p}{q}} + + \alpha_\mu(Y - iZ)^{\frac{p}{q}}\bigr\}^q + (m\rho - X)^q - k^q (X - \rho)^p \right], +\] +où $\alpha_\mu$ désigne l'une quelconque des racines de l'équation binôme +\[ +\omega^q - 1 = 0. %[** PP: Typo \omega^2] +\] + +\begin{Emph} +\emph{On obtiendra ainsi une fonction entière de~$X$, $Y$, $Z$, $\rho$, de degré $q(p + q)$ +qui sera le premier membre d'une équation où il ne subsistera plus qu'un +radical contenant~$\rho$. Conséquemment l'}équation de la polaire réciproque sera +de degré $2q(p + q)$. +\end{Emph} + +Par exemple, lorsque $m = \frac{1}{2}$ la classe est~12. + +\tertio~Lorsque $m$ est incommensurable, les élassoïdes ne sont plus algébriques. + +%% -----File: 229.png---Folio 223------- + +\Section{177.} +{Valeurs des coordonnées d'un élassoïde~$(\varepsilon_r)$. Degré égal à $(m + 1)^2$ +si le module~$m$ est entier.} + +Les coordonnées d'un point de l'élassoïde, en introduisant comme paramètre +auxiliaire la fonction désignée ci-dessus +\[ +\rho = \cot \frac{u}{2}, +\] +deviennent +\begin{align*} +X &= \frac{a}{m} \rho^m \cos mv,\\ +Y &= \frac{a}{2} \left[\frac{ \rho^{m+1}}{m+1} \cos(m + 1)v - \frac{\rho^{m-1}}{m-1} \cos(m - 1)v \right],\\ +Z &= \frac{a}{2} \left[ \frac{\rho^{m+1} }{m+1} \sin(m + 1)v + \frac{\rho^{m-1}}{m-1} \sin(m - 1)v \right]. +\end{align*} + +Ce sont, à des différences insignifiantes près, les formules données par Bour. + +Dans le cas où $m$ est entier et positif, on peut établir l'ordre de l'élassoïde. +On trouve, par des considérations assez détaillées, que le plan des~$YZ$ coupe +la surface suivant~$m$ droites, écartées de l'angle~$\frac{\pi}{m}$, deux à deux, passant +toutes par l'origine, de multiplicité $m + 1$. Le plan contient en outre la +droite de l'infini comme droite de multiplicité égale à~$m + 1$. Dans ce cas, +l'ordre de la surface est égal à~$(m + 1)^2$. + +\Section{178.} +{Chaque courbe $(u)$ est située sur une quadrique.} + +On peut, sans sortir de la généralité, établir certaines propriétés des +courbes $(u)$; on trouve, en effet, la relation +\[ +\frac{4}{a^2}\left( Y^2 + Z^2 + \frac{m^2}{m^2-1} X^2 \right) = +\left( \frac{\rho^{m+1}}{m+1} - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}\right)^2; +\] +lorsque $u$ reste constant et par conséquent~$\rho$, on voit que la courbe +$(u)$ est +%% -----File: 230.png---Folio 224------- +située sur une quadrique de révolution homothétique à la quadrique fixe +\[ +Y^2 + Z^2 + \frac{m^2}{m^2-1} X^2 = a^2. +\] + +On peut trouver une autre relation indépendante de~$v$. En posant +\[ +\cos v + i \sin v = \lambda, +\] +on a les équations simultanées +\begin{align*} +\frac{2}{a} (Y + iZ) &= \frac{ \rho^{m+1}}{m+1} \lambda^{m+1} - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}\frac{ 1}{\lambda^{m-1}},\\ +\frac{2}{a} (Y - iZ) &= \frac{ \rho^{m+1}}{m+1}·\frac{ 1}{\lambda^{m+1}} - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}· \lambda^{m-1}, +\end{align*} +entre lesquelles, si on éliminait $\lambda$, on aurait une relation ne dépendant que +de~$u$. + +\Section{179.} +{Les géodésiques principales $(v)$ sont l'intersection de cônes du second degré +et de cylindres, elles sont de degré $2m - 1$ si $m$ est entier.} + +De même en cherchant à isoler les courbes~$(v)$ on trouve +\[ +[Z \cos(m - 1)v + Y \sin(m - 1)v][Z \cos(m + 1)v - Y \sin(m + 1)v] = +\frac{m^2 X^2 }{m^2-1} \sin^2 mv, % [** PP: Typo mV] +\] +avec la relation +\[ +\frac{2}{a} [Z \cos(m + 1)v - Y \sin(m + 1)v]^m = \frac{(mX \sin mv)^{m-1}· \sin2mv}{(m - 1)^m}; +\] +ces lignes sont les intersections de cônes du second degré et de cylindres, +ayant en commun l'intersection des plans +\[ +X = Z \cos(m + 1)v - Y \sin(m +1)v = 0. +\] + +Conséquemment, lorsque $m$ est un nombre entier, les courbes~$(v)$ sont +d'ordre $2m - 1$. + +Enfin, on peut trouver deux plans correspondants à chaque courbe~$(v)$ et +tels que cette courbe s'y projette suivant deux courbes toujours semblables à +elles-mêmes. + +%% -----File: 231.png---Folio 225------- + +\Section{180.} +{Géodésiques principales planes. Équation.} + +On sait que les lignes~$(v)$ sont géodésiques, il en est de planes, toutes +identiques entre elles; une de ces courbes détermine l'élassoïde~$(\varepsilon_r)$; on peut +la définir par les valeurs des coordonnées d'un point +\[ +X = \frac{a}{m} \rho^m, \quad +Y = \frac{a}{2} \left(\frac{\rho^{m+1}}{m+1} + - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}\right), +\] +ou comme l'enveloppe de la droite +\[ +X \cos u - Y \sin u = \frac{a}{m(m^2 - 1)} \cot^m \frac{u}{2} (m - \cos u). +\] + +\Section{181.} +{$m = 2$, élassoïde d'Enneper du neuvième degré. $m = \frac{1}{2}$, élassoïde de +douzième ordre et de douzième classe. Équations.} + +Pour ne pas prolonger indéfiniment ces monographies, nous rappellerons +simplement que dans le cas où $m = 2$, l'élassoïde est celui d'Enneper; ses +lignes de courbure sont des cubiques planes; en appliquant les considérations +développées ci-dessus, on trouve pour son équation +\[ +\left[\frac{ 3}{a^2}\left(Y^2 + Z^2 + \frac{8}{9} X^2 \right) - \frac{2}{3} + \frac{3(Y^2 - Z^2)}{aX}\right]^2 = +6\left[\frac{8X^2}{9a^2} - \frac{Y^2 - Z^2}{aX} + \frac{2}{3} \right]^3 . +\] + +Un cas fort intéressant et qui justifierait une étude détaillée est celui où +$m = \frac{1}{2}$; les lignes~$(v)$ dans ce cas sont des biquadratiques; l'équation de la +surface est +\begin{gather*} +[12a^4 X^2 - (X^3 - 6a^2 Y)^2]^2 \\ += \mSmall{27X \left( Y^2 + Z^2 - \frac{X^2}{3}\right) + \bigl\{27a^4 X^2 [9X(Y^2 + Z^2) + (X^3 - 24a^2 Y)] - (X^3 - 6a^2 Y)^3\bigr\}}; +\end{gather*} +on voit qu'elle est du douzième degré; on sait d'ailleurs que cette surface est +aussi de douzième classe. + +\TbEoC + +%% -----File: 232.png---Folio 226------- + +\Chapter{XXI.} +{PROPRIÉTÉS DIVERSES, RELATIVES AUX ÉLASSOÏDES.} + +Nous terminerons cette étude en réunissant quelques propositions relatives +aux élassoïdes et ne se rattachant pas directement aux divers chapitres +dont il a été traité. + +\Section{182.} +{Les axes d'une congruence de cercles qui n'a que deux focales à distance +finie, forment une congruence isotrope. Transformation par rayons vecteurs +réciproques.} + +Occupons-nous d'abord des congruences isotropes: cet élément géométrique +s'introduit d'une façon tout à fait inattendue dans la théorie des congruences +de cercles. Lorsque des cercles remplissent l'espace comme les +droites d'une congruence (lorsque, par exemple, on trace un cercle unique +dans chacun des plans tangents d'une surface donnée), ces courbes touchent +dans l'espace certaines surfaces qui, en général, ont quatre nappes situées à +distance finie et qui à l'infini rencontrent l'ombilicale, \emph{mais lorsque deux des +nappes-enveloppes passent à l'infini, les axes des cercles forment toujours +une congruence isotrope}. + +%% -----File: 233.png---Folio 227------- + +La réciproque est exacte. On peut donc former autant de congruences +de cercles que l'on veut, n'ayant que deux focales simples à distance +finie, car les rayons des cercles sont arbitraires [pourvu qu'ils ne soient +pas nuls]. + +Si, par exemple, on considère des congruences de cercles, ayant mêmes +axes, et formant une congruence isotrope, les fonctions définissant la variation +arbitraire des rayons ne joueront aucun rôle dans la nature de l'élassoïde +moyen; mais, que l'on vienne à transformer ces congruences de cercles par +rayons vecteurs réciproques, il est manifeste qu'on obtiendra de nouvelles +congruences de cercles n'ayant que deux focales à distance finie. Seulement +on aura fusionné, pour ainsi dire, les deux fonctions caractéristiques de la +congruence isotrope primitive avec deux autres---qui définissent les cercles;---on +aura donc créé une congruence isotrope nouvelle. On conçoit, de la +sorte, qu'il soit facile d'obtenir une infinité d'élassoïdes algébriques déduits +tous les uns des autres\footnotemark. + \footnotetext{En réalité, bien qu'on ait introduit par une transformation deux fonctions arbitraires nouvelles, + elles se confondront en partie avec celles de la première congruence isotrope, de façon + qu'il ne figure réellement que deux fonctions arbitraires dans la définition de la nouvelle + congruence.} + + +\Section{183.} +{Transformation d'une congruence isotrope en congruence normale.} + +Nous avons montré que si l'on porte sur les tangentes à la sphère, dans +la direction des courbes ($u$ ou~$v$) d'un réseau isométrique des longueurs +égales au~$\lambda$ du réseau isométrique, l'extrémité du segment est le pied mobile +du rayon d'une congruence isotrope. Si, au lieu de porter un segment +égal à~$\lambda$, on portait un segment égal à~$\frac{a^2}{\lambda}$, on construirait une nouvelle +congruence, cette fois, formée de normales à une surface. L'application +aux quadriques homofocales introduit une surface dépendant des fonctions +elliptiques. + +%% -----File: 234.png---Folio 228------- + +\Section{184.} +{Congruence normale déduite d'un réseau isométrique +tracé sur un élassoïde.} + +Portant sur les tangentes aux courbes~$(u, v)$ d'un réseau isométrique des +segments égaux aux valeurs des~$\lambda$, et, par les extrémités menant des parallèles +à la normale au point~$(u, v)$, on sait que les congruences des droites +obtenues sont isotropes, si la surface de référence est une sphère. Au contraire, +si cette surface est un élassoïde, les congruences sont formées de normales +à des surfaces. + +Les élassoïdes~$(\varepsilon_r)$ applicables sur des surfaces de révolution donnent lieu +à des lignes asymptotiques algébriques si le module~$m$ est commensurable; +d'après notre théorème sur la correspondance des asymptotiques d'un élassoïde +moyen et de la surface moyenne, on voit que pour chaque valeur de~$m$ +on aura une $\infty^1$ %[**Check the exponent] +de surfaces moyennes des congruences isotropes satisfaisantes +sur lesquelles les asymptotiques s'obtiendront immédiatement sans quadratures. + +\Section{185.} +{Les surfaces moyennes correspondant aux élassoïdes~$(\varepsilon_r)$ et une surface par +élassoïde, également applicable sur une surface de révolution, ont leurs +asymptotiques qui correspondent à celles des~$(\varepsilon_r)$.} + +Mais, d'après un théorème de M.~Weingarten, à tout élassoïde~$(\varepsilon_r)$ applicable +sur une surface de révolution correspondra une autre surface~$(S)$ +également applicable sur une surface de révolution, mais non élassoïde, +constituant avec~$(\varepsilon_r)$ la développée d'une certaine surface dont les rayons de +courbure sont fonctions l'un de l'autre. Cette dernière surface s'obtiendra +%% -----File: 235.png---Folio 229------- +chaque fois sans quadrature puisque nous avons rectifié les géodésiques +méridiennes de~$(\varepsilon_r)$; elle sera algébrique en même temps que~$(\varepsilon_r)$, c'est-à-dire +toutes les fois que le module~$m$ sera commensurable. + +D'après un théorème (qui nous appartient), sur les surfaces~$(\varepsilon_r)$ et~$(S)$, +nappes de la développée d'une surface dont les rayons de courbure principaux +sont liés, les asymptotiques se correspondent encore; conséquemment à +chaque valeur du module~$m$ correspondra une surface~$(S)$ dont on saura +trouver sans quadrature les asymptotiques. + +On obtient ainsi une double famille de surfaces~$(\varepsilon_r)$ et~$(S)$ simultanément +algébriques et toutes deux applicables sur des surfaces de révolution; celles-ci +ne peuvent être que transcendantes quand elles sont réelles. + +\Section{186.} +{Sur les deux nappes de la développée d'un élassoïde les asymptotiques +se correspondent, ainsi qu'aux lignes de longueur nulle de l'élassoïde.} + +Dans le même ordre d'idées, la théorie des élassoïdes met aussi en évidence +une famille intéressante de surfaces applicables sur des surfaces de +révolution; en effet, on peut envisager les deux nappes de la développée d'un +élassoïde comme satisfaisant à cette condition; toutes deux sont applicables +sur une surface de révolution dont le profil serait une développée de chaînette +(qui serait, par conséquent, transcendante); pourtant chaque élassoïde +algébrique donne lieu à une développée algébrique. + +Si l'on applique notre théorème à ces nappes de développée d'élassoïde, +on voit que leurs asymptotiques se correspondent; elles sont toujours imaginaires, +mais elles correspondent aux lignes de longueur nulle de l'élassoïde +dont elles constituent la développée. + +%% -----File: 236.png---Folio 230------- + +\Section{187.} +{Propriété générale au sujet de doubles couples de surfaces +applicables l'une sur l'autre.} + +Tout ce qui précède n'est point une conséquence propre de la théorie +des élassoïdes, mais bien de celle, beaucoup plus générale, des couples de +surfaces applicables l'une sur l'autre. Si les asymptotiques se correspondent +sur l'élassoïde moyen et sur la surface moyenne d'une congruence isotrope, +si, de même, elles se correspondent sur les deux nappes de la développée +d'une surface dont les rayons de courbure sont liés, c'est qu'il se présente une +particularité commune, bien digne d'être mise en lumière: les deux surfaces, +dont les asymptotiques se correspondent, peuvent, dans chaque cas, être +considérées comme les lieux des milieux de segments dont les extrémités +décrivent des surfaces applicables l'une sur l'autre. Or ces doubles couples +de surfaces applicables existent toujours associés, et le théorème que voici +montre qu'un couple quelconque entraîne avec lui son correspondant: + +Soient~$(A)$, $(A')$ deux surfaces applicables, l'une sur l'autre, et~$(O)$ la +surface lieu des milieux des cordes joignant les points correspondants~$A$ +et~$A'$; il existe toujours un autre couple~$(B) (B')$ de surfaces applicables tel +que la surface~$(O)$ soit touchée par tous les plans perpendiculaires sur les +milieux des cordes $BB'$; les couples de points $AA'$ et $BB'$ sont réciproques. +Conséquemment les surfaces~$(O)$ et~$(\Omega)$ lieux des milieux des cordes~$AA'$, +$BB'$, sont les focales d'une même congruence de droites; de plus, les cordes +elles-mêmes sont parallèles aux normales en~$O$ et~$\Omega$ des surfaces~$(O)$ +et~$(\Omega)$, $AA'$ étant parallèle à la normale de~$(\Omega)$. Enfin, entre les longueurs +des cordes~$AA'$, $BB'$, et les autres éléments de la figure, il existe la +relation +\[ +AA' × BB'\sin V = k × O\Omega, +\] +où~$V$ désigne l'angle des normales à~$(O)$ et~$(\Omega)$ et~$k$ une constante. On voit +%% -----File: 237.png---Folio 231------- +qu'il y a une infinité de couples associés correspondant à toutes les valeurs +de la constante et dérivant d'une même congruence de droites~$O\Omega$; celle-ci +jouit donc de propriétés spéciales qui ont été mises en évidence dans le cas +particulier traité au \chapitre{VIII}. + +\Section{188.} +{Autre propriété générale de la correspondance par orthogonalité +des éléments.} + +Mais comme nous l'avons dit, cette théorie des couples de surfaces applicables +peut aussi être envisagée différemment: elle coïncide avec celle de la +correspondance des surfaces par orthogonalité des éléments dont nous avons +parlé constamment au cours de l'étude qui précède. Il ne sera pas inutile de +donner ici (à raison d'une application fort simple aux élassoïdes) le théorème +qui domine la théorie. + +Soient deux surfaces~$(O)$ et~$(M)$ qui se correspondent par orthogonalité +des éléments; si par les points de~$(M)$ on mène des droites~$D$ parallèles aux +normales de~$(O)$, elles forment une congruence telle que: \primo~\emph{$(M)$ en soit la +surface moyenne; \secundo~les plans principaux (tangents aux surfaces focales) +sont perpendiculaires aux asymptotes de l'indicatrice en~$O$ à~$(O)$.} + +Dès lors, si l'on trace les images sphériques~$(\alpha)$ et~$(\beta)$ des asymptotiques +de~$(O)$, \emph{ce sont précisément les images sphériques principales de la congruence $(D)$}. + +Conséquemment, si l'on connaît le réseau sphérique, image des asymptotiques +d'une surface~$(O)$, il faudra chercher toutes les congruences l'admettant +pour image principale et leurs surfaces moyennes donneront l'intégrale +des surfaces~$(M)$ correspondant par orthogonalité des éléments à~$(O)$. + +On peut se donner le réseau sphérique, image des asymptotiques d'une +surface inconnue; on sait que (si certaines conditions sont remplies) la surface~$(O)$ +est déterminée \emph{uniquement}. Quant à la congruence~$(D)$, qui admet +%% -----File: 238.png---Folio 232------- +le réseau sphérique pour image principale, elle est déterminée par un système +\emph{canonique}, c'est-à-dire ramené à l'intégration d'une seule équation +aux différentielles partielles, linéaire et du second ordre, de cette forme, +seule intégrable explicitement, mise en lumière par M.~Moutard. + +\Section{189.} +{Recherche des surfaces correspondant par orthogonalité des éléments +à un élassoïde.} + +L'application la plus simple de cette théorie a trait aux élassoïdes. Si~$(O)$ +est élassoïde, le réseau sphérique, image de ses asymptotiques, est un réseau +orthogonal et isométrique; il n'est pas différemment assujetti. On voit d'abord +que les congruences~$(D)$ sont formées de normales à des surfaces, et en second +lieu que ces surfaces ont pour image sphérique de leurs lignes de courbure +le réseau isométrique choisi. + +Prenant la sphère pour surface de référence et le réseau isométrique pour +réseau~$(u, v)$ tel que +\[ +dS^2=\lambda^2(du^2 +dv^2), +\] +on trouve pour l'équation canonique +\[ +\frac{d^2X}{ X \,du \,dv}=\frac{d^2\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)} +{\left( \dfrac{1}{\lambda}\right)\,du \,dv}. +\] + +(Voir pour l'intégration le mémoire de M.~Moutard, au \Ord{XLV}{e} cahier du +\textit{Journal de l'École polytechnique}.) + +%% -----File: 239.png---Folio 233------- + +\Section{190.} +{Recherche des surfaces se correspondant par parallélisme des plans tangents +et par leurs lignes isotropes.} + +Ces diverses théories se rapprochent encore dans une question qui dérive +tout naturellement de l'étude des élassoïdes. La sphère et un élassoïde arbitraire +se correspondent à la fois par le parallélisme des plans tangents et par +leurs lignes isotropes. Il serait intéressant de connaître tous les couples de +surfaces analogues, parce que l'on pourrait faire sur l'une des surfaces la +carte de l'autre, en conservant les angles. + +Sur les deux surfaces les lignes de courbure se correspondent, et les rayons +de courbure principaux sont liés par la relation +\[ +\frac{R_1}{r_1} + \frac{R_2}{r_2}=0\footnotemark; +\] +poussant plus avant, on introduit à nouveau la correspondance par orthogonalité +des éléments. + \footnotetext{Cette relation peut s'écrire +\[ +% [** PP: Typo \frac{R_1}{R_2} on right-hand side] +\sqrt{\frac{ R_1}{R_2}}=± i \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}; +\] +on voit que si~$\omega$ et~$\omega'$ désignent les demi-angles des asymptotes de l'indicatrice +\[ +\tg \omega =± i \tg \omega'. +\] + +Donc les images sphériques des asymptotiques sont simultanément déterminées pour les deux +surfaces; l'une est convexe et l'autre à courbures opposées.} % End of footnote + +Le développement des recherches qui viennent d'être indiquées s'écarterait +trop du sujet de ce mémoire; il convient de le réserver pour un travail +différent. + +\TbEoC + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Missing pages hand-typed %%%%%%%%%%%%%%%%%% + +%% -----File: 240.png---Folio 233------- + +\Chapter{XXII.} +{CONCLUSIONS.} + +\Section{191.} +{Indication d'une théorie générale dominante.} + +On a envisagé dans ce qui précède, certaines questions d'ordre général +soulevées par la théorie des élassoïdes. + +Les propositions importantes dominant notre mémoire sont des manifestations +plus ou moins élégantes des idées fondamentales émises à propos de +l'intégration, sous forme explicite et finie, des équations aux différentielles +partielles du second ordre, par M.~Moutard; idées indiquées à la Société +Philomatique de Paris, le 23~octobre 1869, poursuivies dans le détail à +propos de l'équation particulière +\[ +\frac{1}{Z}\, \frac{d²Z}{du\, dv} = \lambda, +\] +dans le \Ord{XVL}{e} cahier du \emph{Journal de l'École polytechnique}. + +%% -----File: 241.png---Folio 234------- + + +\Section{192.} +{Des compléments à donner à ce mémoire.} + +Si ce mémoire, déjà étendu, comprenait le développement entier du +programme que nous nous % [** PP: Typo nons] +étions tracé, il contiendrait un chapitre analogue +aux chapitres XII et~XIII, établissant tous les éléments d'un élassoïde passant +par un contour-plan, conjugué d'un autre contour déterminé. Une +application intéressante serait faite aux élassoïdes algébriques passant par +un cercle. A titre de généralisation, nous aurions voulu pouvoir traiter le +problème de la recherche des élassoïdes algébriques passant par une conique +ou une biquadratique\footnotemark. +\footnotetext{Nous n'en connaissons d'autres exemples que ceux relatés au chapitre~XVIII et au §~181.} % [** Xrefs] + +Ne conviendrait-il pas également de discuter les élassoïdes algébriques +admettant pour géodésiques les épicycloïdes les plus simples? Déjà nous +avons vu que l'élassoïde qui admet pour géodésique une hypocycloïde à +quatre rebroussements est le conjugué de l'élassoïde dérivé des paraboloïdes +homofocaux; il faudrait au moins définir l'élassoïde dont l'hypocycloïde à +trois rebroussements et la cardioïde sont des géodésiques. + +L'étude des surfaces moyennes mériterait un chapitre spécial; il n'y en a +qu'une, celle dérivée des quadriques homofocales, qui soit un peu connue. +M.~Moutard a montré qu'elle est le lieu de biquadratiques, intersections des +hyperboloïdes homofocaux et des cônes supplémentaires aux cônes asymptotes +de ces quadriques, ayant pour sommet le centre. + +La surface moyenne dérivée des paraboloïdes homofocaux est le lieu d'une +double série de paraboles, elle a pour équation +\[ +(y^{\frac{2}{3}} + z^{\frac{2}{3}})^3 +(y^{\frac{2}{3}} - z^{\frac{2}{3}}) +=8h\bigl[x(y^{\frac{2}{3}} + z^{\frac{2}{3}}) + -h(y^{\frac{2}{3}} - z^{\frac{2}{3}})\bigr]. +\] + +L'étude des surfaces moyennes dont les asymptotiques sont algébriques, +serait particulièrement intéressante, par exemple, la surface moyenne, la +%% -----File: 242.png---Folio 235------- +plus générale, correspondant à l'élassoïde d'Enneper, dont les coordonnées +en fonction des paramètres $u$ et~$v$ des lignes de courbure de l'élassoïde +sont +\begin{gather*} +\begin{aligned} +X &= \frac{a(u^2 - v^2)(u^2 + v^2 - 3) + 2(Cu - Bv)}{u^2 + v^2 + 1}, \\ +Y &= \frac{-4au^3 + C(u^2 + v^2 - 1) + 2Av}{u^2 + v^2 + 1}, \\ +Z &= \frac{ 4av^3 - B(u^2 + v^2 - 1) - 2Au}{u^2 + v^2 + 1}, \\ +\end{aligned} \\ +u ± v = k +\end{gather*} +étant l'équation des asymptotiques. + +Sans parler de la transformation par rayons vecteurs réciproques des +congruences de cercles à focales doubles, il est d'autres questions véritablement +importantes au point de vue théorique et qu'il faudrait élucider. + +De même que, si l'on recherche les surfaces dont le réseau des lignes de +courbure est de cette nature définie par M.~Liouville et qui permet l'intégration +des lignes géodésiques, de même, disons-nous, que dans ce cas on +trouve avec M.~Ossian Bonnet, qu'à part les surfaces de révolution il n'y a +que les quadriques; de même si l'on recherche les surfaces élassoïdes sur +lesquelles on peut tracer un réseau orthogonal de genre caractérisé par +M.~Liouville, le problème se divisera en deux parts, la première afférente à +la famille de surfaces applicables sur des surfaces de révolution, la seconde +se rapportant à \emph{une} surface élassoïde qui n'a pas encore été isolée. + + +\Section{193.} +{Résultats du présent mémoire.} + +En résumé, notre travail indique les solutions des problèmes de Monge +et de Björling; il fait, croyons-nous, suffisamment ressortir l'importance +d'un être géométrique particulièrement simple, la congruence isotrope; il +%% -----File: 243.png---Folio 236------- +indique toute l'importance de la correspondance par orthogonalité des éléments, +et la liaison naturelle qui existe entre les élassoïdes et les couples de +surfaces applicables l'une sur l'autre. La notion des contours conjugués n'est +pas sans utilité, et la recherche des contours conjugués algébriques d'un +contour algébrique conduit à des applications géométriques intéressantes. + +Qu'on nous permette d'attacher quelque importance au résultat trouvé à +propos des élassoïdes sur lesquels on peut tracer deux géodésiques pour +lesquelles +\[ +R = ±k \rho; +\] +il met en évidence une sorte de transformation isotrope des courbes, qui +fait correspondre deux parties de la ligne double d'une congruence isotrope. +Il serait bien facile d'effectuer d'élégantes vérifications par le procédé auquel +nous faisons allusion. + + +\TbEoC + + +%%%% PG License %%%% +\cleardoublepage +\fancyhead{} +%\phantomsection +\Pagelabel{License} +\pdfbookmark[0]{PG License.}{License} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Étude des Élassoïdes ou Surfaces A +Courbure Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES *** + +***** This file should be named 29800-pdf.pdf or 29800-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/2/9/8/0/29800/ + +Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The +original copy of this book was generously made available +for scanning by the Department of Mathematics at the +University of Glasgow.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. 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General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. 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Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Étude des Élassoïdes ou Surfaces A% +% Courbure Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES *** % +% % +% ***** This file should be named 29800-t.tex or 29800-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/2/9/8/0/29800/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} +### +#@ControlwordReplace = ( +# ['\\Appendix', 'Appendix. '], +# ['\\Prologue', 'Prologue. '] +# ); + +@ControlwordArguments = ( + ['\\hyperref', 0, 0, '', ''], + ['\\Chapter', 1, 1, 'Chapitre ', ' ', 1, 1, '', '\n'], + ['\\Section', 1, 1, '§ ', ' ', 1, 1, '', ''], + ['\\ChapRef', 1, 1, 'Chapitre ', ''] + ); +### +This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.8.25) 25 AUG 2009 14:24 +entering extended mode + %&-line parsing enabled. +**29800-t.tex +(./29800-t.tex +LaTeX2e <2005/12/01> +Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh +yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov +ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon +ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i +nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp +eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia +n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls +Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo +File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count79 +\c@chapter=\count80 +\c@section=\count81 +\c@subsection=\count82 +\c@subsubsection=\count83 +\c@paragraph=\count84 +\c@subparagraph=\count85 +\c@figure=\count86 +\c@table=\count87 +\abovecaptionskip=\skip41 +\belowcaptionskip=\skip42 +\bibindent=\dimen102 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty +Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file +\inpenc@prehook=\toks14 +\inpenc@posthook=\toks15 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def +File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty +Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def +File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 43. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty +Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf +Language: greek 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def +File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions +\babel@savecnt=\count88 +\U@D=\dimen103 +) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive +/tex/generic/babel/lgrenc.def +File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf +Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system +Package babel Info: Making : an active character on input line 219. +Package babel Info: Making ; an active character on input line 220. +Package babel Info: Making ! an active character on input line 221. +Package babel Info: Making ? an active character on input line 222. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 299. +\parindentFFN=\dimen104 +\std@mcc=\count89 +\dec@mcc=\count90 +************************************* +* Local config file frenchb.cfg used +* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te +xlive/tex/latex/base/textcomp.sty +Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package +Package textcomp Info: Sub-encoding information: +(textcomp) 5 = only ISO-Adobe without \textcurrency +(textcomp) 4 = 5 + \texteuro +(textcomp) 3 = 4 + \textohm +(textcomp) 2 = 3 + \textestimated + \textcurrency +(textcomp) 1 = TS1 - \textcircled - \t +(textcomp) 0 = TS1 (full) +(textcomp) Font families with sub-encoding setting implement +(textcomp) only a restricted character set as indicated. +(textcomp) Family '?' is the default used for unknown fonts. +(textcomp) See the documentation for details. +Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def +File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file +) +LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266. +Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281. +Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282. +Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283. +Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284. +Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285. +Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286. +Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287. +Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288. +Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289. +Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290. +Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291. +Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292. +Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293. +Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294. +Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295. +Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296. +Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297. +Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298. +Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299. +Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300. +Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301. +Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302. +Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303. +Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304. + +Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305. +Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306. +Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307. +Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308. +Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309. +Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310. +Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 311. +Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 312. +Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313. +Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314. +Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315. +Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316. +Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317. +Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318. +Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319. +Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320. +Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321. +Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322. +Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323. +Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324. +Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325. +Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features +\@mathmargin=\skip43 +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2000/06/29 v2.01 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 +\@emptytoks=\toks16 +\ex@=\dimen105 +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d +\pmbraise@=\dimen106 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names +) +\inf@bad=\count91 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. +\uproot@=\count92 +\leftroot@=\count93 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. +\classnum@=\count94 +\DOTSCASE@=\count95 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. +\Mathstrutbox@=\box26 +\strutbox@=\box27 +\big@size=\dimen107 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. +\macc@depth=\count96 +\c@MaxMatrixCols=\count97 +\dotsspace@=\muskip10 +\c@parentequation=\count98 +\dspbrk@lvl=\count99 +\tag@help=\toks17 +\row@=\count100 +\column@=\count101 +\maxfields@=\count102 +\andhelp@=\toks18 +\eqnshift@=\dimen108 +\alignsep@=\dimen109 +\tagshift@=\dimen110 +\tagwidth@=\dimen111 +\totwidth@=\dimen112 +\lineht@=\dimen113 +\@envbody=\toks19 +\multlinegap=\skip44 +\multlinetaggap=\skip45 +\mathdisplay@stack=\toks20 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f +\symAMSa=\mathgroup4 +\symAMSb=\mathgroup5 +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' +(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty +Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty +Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +\FN@temptoken=\toks21 +\footnotemargin=\dimen114 +\c@pp@next@reset=\count103 +\c@@fnserial=\count104 +Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817. +Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818. +Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823. + +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840 +. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty +Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty +Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks22 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty +Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty +Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg +File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +\Gread@gobject=\count105 +)) +\Gin@req@height=\dimen115 +\Gin@req@width=\dimen116 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty +\fancy@headwidth=\skip46 +\f@ncyO@elh=\skip47 +\f@ncyO@erh=\skip48 +\f@ncyO@olh=\skip49 +\f@ncyO@orh=\skip50 +\f@ncyO@elf=\skip51 +\f@ncyO@erf=\skip52 +\f@ncyO@olf=\skip53 +\f@ncyO@orf=\skip54 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty +Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry +\Gm@cnth=\count106 +\Gm@cntv=\count107 +\c@Gm@tempcnt=\count108 +\Gm@bindingoffset=\dimen117 +\Gm@wd@mp=\dimen118 +\Gm@odd@mp=\dimen119 +\Gm@even@mp=\dimen120 +\Gm@dimlist=\toks23 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te +xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX +\@linkdim=\dimen121 +\Hy@linkcounter=\count109 +\Hy@pagecounter=\count110 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg +File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty +Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options ( +HO) +) +Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223 +8. +Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308. +Implicit mode ON; LaTeX internals redefined +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty +\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. +\Fld@menulength=\count111 +\Field@Width=\dimen122 +\Fld@charsize=\dimen123 +\Choice@toks=\toks24 +\Field@toks=\toks25 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. +\Hy@abspage=\count112 +\c@Item=\count113 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count114 +) +\TmpLen=\skip55 +\TPSkip=\skip56 +\symupletters=\mathgroup6 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `upletters' in version `bold' +(Font) T1/cmr/m/n --> T1/cmr/b/n on input line 433. +(./29800-t.aux) +\openout1 = `29800-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 494. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 494. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 494. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 494. +(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd +File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 494. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 494. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 494. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 494. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 494. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 494. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 494. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 494. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 494. +LaTeX Font Info: Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 494. +LaTeX Font Info: Try loading font information for LGR+cmr on input line 494. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd +File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 494. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 494. +LaTeX Font Info: Try loading font information for TS1+cmr on input line 494. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd +File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 494. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 494. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 494. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 494. +(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count115 +\scratchdimen=\dimen124 +\scratchbox=\box28 +\nofMPsegments=\count116 +\nofMParguments=\count117 +\everyMPshowfont=\toks26 +\MPscratchCnt=\count118 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v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 528. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 528. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) [1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmss on input line 570. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmss.fd +File: t1cmss.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) <./images/device.pdf, id=899, 76.285pt x 76.285pt> +File: ./images/device.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/device.pdf> [1 + + <./images/device.pdf>] [2 + +] [3] [4] [5] <./images/tb.pdf, id=946, 96.36pt x 7.02625pt> +File: ./images/tb.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb.pdf> [6 <./images/tb.pdf>] +File: ./images/tb.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb.pdf> [1 + + +] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8 + +] [9] [10] [11] [12] [13] [14 + +] [15] [16] [17] [18] [19] [20 + +] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34 + +] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42 + +] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50 + +] [51] [52] [53] [54] [55] [56 + +] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71 + +] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84 + +] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97 + +] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105 + +] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] +[119] [120 + +] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] +[134] [135] [136 + +] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] +[150 + +] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] +[164 + +] [165] [166] [167] +Overfull \hbox (0.12828pt too wide) in paragraph at lines 8983--8985 +[]\T1/cmr/m/n/12 Les deux dé-ve-lop-pables dé-for-mées sont ap-pli-cables l'une + sur l'autre par de simples + [] + + +Overfull \hbox (0.35886pt too wide) in paragraph at lines 8986--8997 +[]\T1/cmr/m/n/12 Ce n'est pas le mo-ment de mon-trer com-ment la construc-tion +géo-mé-trique s'achève + [] + +[168] [169 + +] [170] [171] [172 + +] [173] [174] [175] [176] [177] [178 + +] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187 + +] [188] +Overfull \hbox (0.38002pt too wide) in paragraph at lines 9937--9939 +[]\T1/cmr/m/n/12 Les élas-soïdes $\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 "[]\OT1/cmr +/m/n/12 )$\T1/cmr/m/n/12 , al-gé-briques, cor-res-pondent aux va-leurs com-men- +su-rables de $\OML/cmm/m/it/12 m$\T1/cmr/m/n/12 . + [] + +[189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196 + +] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203 + +] [204] [205] [206 + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[207] +Overfull \vbox (3229.72064pt too high) has occurred while \output is active [] + +[208] (./29800-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + greek.ldf 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system + lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding + frenchb.ldf + frenchb.cfg +textcomp.sty 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package + ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d +amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment +footmisc.sty 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) +graphicx.sty 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +graphics.sty 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + trig.sty 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) +graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive + pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +fancyhdr.sty +geometry.sty 2002/07/08 v3.2 Page Geometry +geometry.cfg +hyperref.sty 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX + pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +kvoptions.sty 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO +) + url.sty 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. + hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX + t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern + lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern + ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +supp-pdf.tex + color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) + color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) + 29800-t.out + 29800-t.out + t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions + umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + t1cmss.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +./images/device.pdf +./images/tb.pdf +./images/tb.pdf + *********** + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 7359 strings out of 94074 + 97108 string characters out of 1165153 + 207818 words of memory out of 1500000 + 9491 multiletter control sequences out of 10000+50000 + 32217 words of font info for 77 fonts, out of 1200000 for 2000 + 649 hyphenation exceptions out of 8191 + 28i,25n,43p,457b,430s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s +{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc}{/usr/share/texmf +/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc} </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/lj +four/public/cb/grmn1200.600pk></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/ +cmbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/sh +are/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/f +onts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ +cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></usr/s +hare/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/f +onts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/c +m/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/sha +re/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/font +s/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cm +sy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share +/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts +/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/f +mex8.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share +/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/p +ublic/cm-super/sfbx2074.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc0 +800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1000.pfb></usr/share/ +texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu +blic/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm07 +00.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/t +exmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pub +lic/cm-super/sfrm1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm120 +0.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfss1728.pfb></usr/share/te +xmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publ +ic/cm-super/sfti1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1200 +.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sftt0900.pfb> +Output written on 29800-t.pdf (216 pages, 1234161 bytes). +PDF statistics: + 2943 PDF objects out of 2984 (max. 8388607) + 1021 named destinations out of 1200 (max. 131072) + 1771 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/29800-t/old/29800-t.zip b/29800-t/old/29800-t.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..b7af5ce --- /dev/null +++ b/29800-t/old/29800-t.zip |