initial commit of ebook 29800HEADmain

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+% The Project Gutenberg EBook of Étude des Élassoïdes ou Surfaces A Courbure
+% Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour                                      %
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+% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
+% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
+% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
+% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
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+% Title: Étude des Élassoïdes ou Surfaces A Courbure Moyenne Nulle        %
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+% Author: Albert Ribaucour                                                %
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+% Release Date: August 25, 2009 [EBook #29800]                            %
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+% Language: French                                                        %
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+% Character set encoding: UTF-8                                           %
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+% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES ***      %
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+%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
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+%%                                                                  %%
+%%   A straightforward book with no diagrams and one half-page      %%
+%%   table.                                                         %%
+%%                                                                  %%
+%%   Special thanks to DP:mcbax for tracking down four missing      %%
+%%   pages at the Staatsbibliothek Zu Berlin, and to DP:stegel      %%
+%%   for meticulously proofreading the finished book!               %%
+%%                                                                  %%
+%%                                                                  %%
+%% Things to Check:                                                 %%
+%%                                                                  %%
+%%   The large brace labeled (12) on page 39 groups three equations %%
+%%   on one page, i.e., does not extend off the top or bottom of    %%
+%%   the page.                                                      %%
+%%                                                                  %%
+%%   End-of-chapter rules are on the same page as the final text of %%
+%%   the chapter.                                                   %%
+%%                                                                  %%
+%% Spellcheck: .................................. OK                %%
+%% Smoothreading pool: ......................... Yes                %%
+%%                                                                  %%
+%% lacheck: ..................................... OK                %%
+%%   False positives:                                               %%
+%%   "Do not use @ in LaTeX macro names" (x 10)                     %%
+%%   "bad character in label"                                       %%
+%%   "unmatched ..."                     (x 10)                     %%
+%%                                                                  %%
+%% Lprep/gutcheck: .............................. OK                %%
+%% ToC page numbers: ............................ OK                %%
+%%                                                                  %%
+%% PDF pages: 216                                                   %%
+%% PDF page size: US Letter                                         %%
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+%% PDF document info: filled in                                     %%
+%% Images: None                                                     %%
+%%                                                                  %%
+%% Summary of log file:                                             %%
+%% * Three overfull hboxes (largest ~0.38pt).                       %%
+%%                                                                  %%
+%% Compile History:                                                 %%
+%%                                                                  %%
+%% April, 2009: adhere (Andrew D. Hwang)                            %%
+%%              texlive2007, GNU/Linux                              %%
+%%                                                                  %%
+%% Command block:                                                   %%
+%%                                                                  %%
+%%     pdflatex x3 (Run pdflatex three times)                       %%
+%%                                                                  %%
+%%                                                                  %%
+%% August 2009: pglatex.                                            %%
+%%   Compile this project with:                                     %%
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+%%                                                                  %%
+%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
+%%                                                                  %%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+\listfiles
+% N.B. global french option
+\documentclass[12pt]{book}[2005/09/16]
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding
+\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]      %%
+\usepackage[greek,french]{babel}[2005/11/23]
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+\IfFileExists{textcomp.sty}{%    %% French degree symbol
+\usepackage{textcomp}[2005/09/27]%
+}{}
+
+\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Required for displayed equations
+\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols
+
+\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license
+
+% footnote numbering restarts on each page; use symbols
+\usepackage[symbol,perpage]{footmisc}[2005/03/17]
+
+\usepackage{ifthen}[2001/05/26]
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+\usepackage{graphicx}[1999/02/16]
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+% for running heads
+\usepackage{fancyhdr}
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+% %% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %% %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+% ForPrinting=true (default)           false
+% Asymmetric margins                   Symmetric margins
+% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
+% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
+%
+% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned
+% book. This behavior has been retained.
+\newboolean{ForPrinting}
+
+% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %
+\setboolean{ForPrinting}{true}
+
+% Initialize values to ForPrinting=false
+\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
+\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
+\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
+\newcommand{\TransNote}{Note sur la transcription}
+\newcommand{\TransNoteCommon}{%
+  Les résumés de chapitre des pages \pageref{Summ1}--\pageref{Summ2}
+  ne concordent pas avec la division des chapitres du présent
+  livre. Le résumé pour le Chapitre~XIX renvoie à des informations non
+  contenues dans ce livre. Les résumés pour les Chapitres XX, XXI,
+  XXII et~XXIII correspondent respectivement aux Chapitres XIX, XX,
+  XXI et~XXII.
+  \phantomsection\label{Tnote}
+  \bigskip
+
+  Des modifications mineures ont été apportées à la présentation,
+  l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathématiques. Le
+  fichier \LaTeX\ source contient des notes de ces corrections.
+}
+
+\newcommand{\TransNoteText}{%
+  \TransNoteCommon
+  \bigskip
+
+  Ce fichier est optimisée pour être lu sur un écran, mais peut être
+  aisément reformater pour être imprimer. Veuillez consulter le
+  préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
+}
+
+% Re-set if ForPrinting=true
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
+  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
+  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
+  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
+  \renewcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription}
+  \renewcommand{\TransNoteText}{%
+    \TransNoteCommon
+    \bigskip
+
+    Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément
+    reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le
+    préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
+  }
+}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto
+  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
+}
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+% %%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %% %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+
+%\usepackage[body={5.9in,8.5in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
+\usepackage[body={5.9in,8.5in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
+
+\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
+\usepackage[pdftex,
+  hyperfootnotes=false,
+  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Étude des Élassoïdes},
+  pdfauthor={Albert Ribaucour},
+  pdfkeywords={Laura Wisewell, Andrew D. Hwang,
+               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
+               University of Glasgow Department of Mathematics},
+  pdfstartview=Fit,    % default value
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+  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
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+% Re-crop screen-formatted version, accommodating wide displays
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
+  {}
+  {\hypersetup{pdfpagescrop= 70 70 543 780}}
+
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% END OF PACKAGE SETUP %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+
+% ·s are used somewhat irregularly. Setting RegularizeMath to true
+% inserts/removes dots for consistency.
+\newboolean{RegularizeMath}
+\setboolean{RegularizeMath}{true}
+
+\newcommand{\Reg}[2]{\ifthenelse{\boolean{RegularizeMath}}{#2}{#1}}
+
+
+% No hrule in page header
+\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
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+% Fixed-width environment to format PG boilerplate
+% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width
+\newenvironment{PGtext}{%
+\begin{alltt}
+\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
+{\end{alltt}}
+
+
+% Thought breaks
+\newcommand{\Rule}[1]{\rule{#1}{0.5pt}}
+
+\newcommand{\TbPref}{\Rule{0.5in}}% Preface/Chapter I heading
+
+\newcommand{\TbChap}{\Rule{0.375in}}% Chapter heading
+
+\newcommand{\TbEoC}% End of Chapter
+{\null\vfil%
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+
+\newcommand{\TbFancy}%
+{\begin{center}\includegraphics[width=0.75in]{./images/tb.pdf}\end{center}}
+
+
+% Footnotes: Surround markers with upright parentheses
+\makeatletter
+\renewcommand\@makefnmark%
+  {\mbox{\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}
+
+\renewcommand\@makefntext[1]%
+  {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark}\ #1}
+\makeatother
+
+
+% Cross-referencing commands
+\newcommand{\Pagelabel}[1]{%
+  \phantomsection
+  \label{#1}
+}
+
+\newcommand{\Tag}[1]{%
+  \Pagelabel{equation:#1}
+  \tag{$#1$}
+}
+
+\newcommand{\Eqref}[2]{%
+  \ifthenelse{\equal{#1}{}}%
+  {\hyperref[equation:#2]{$(#2)$}}%
+  {\hyperref[equation:#2]{#1 $(#2)$}}%
+}
+
+% Chapter reference
+\newcommand{\chapitre}[1]{\hyperref[chapter:#1.]{chapitre~#1}}
+\newcommand{\ChapRef}[2][]
+{\ifthenelse{\equal{#1}{}}
+  {\hyperref[chapter:#2]{Chapitre~#2}}% Empty optional arg
+  {\hyperref[chapter:#1]{Chapitre~#2}}
+}
+
+\newcommand{\Secref}[1]%
+{\hyperref[paragraph:#1.]{\texorpdfstring{§~#1}{Section~#1}}}
+
+% Preface, Chapter, Section
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+  % drop anchors
+  \Pagelabel{preface}
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+  \break \TbPref}
+
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+
+  % Running heads
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+  \fancyhead[C]{\textsc{AVANT-PROPOS.}}
+
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+
+\newcommand{\Chapter}[2]
+{
+% Running heads same throughout, set up explicitly in document
+% Use explicit \clearpage for Chapitre I, which has a half-title
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+  % Title; Chapter I rule wider than others in original, standardizing
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+
+  \thispagestyle{empty}
+
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+
+\newcommand{\Section}[2]
+{
+  % drop anchors
+  \Pagelabel{paragraph:#1}
+  \pdfbookmark[1]{Section #1}{section:#1}
+
+  \section*{\normalfont\upshape\centering\normalsize%
+    §~#1\rule[-12pt]{0pt}{12pt} \break
+  \textit{\normalsize#2}}
+}
+
+
+% Miscellaneous environments
+\newenvironment{Summary}[1]{\par\medskip\textit{#1}}{}
+\newenvironment{Problem}[1]{\par\medskip\textsc{#1}\normalfont\itshape}{}
+\newenvironment{Emph}{\par\medskip\normalfont\itshape}{}
+
+
+\newlength{\TmpLen} % for ad hoc use
+
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+\newcommand{\HalfTitle}%
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+\textbf{\LARGE ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES} \\[\TPSkip]
+{\small OU} \\[\TPSkip]
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
+{\makebox[0pt][c]{\textbf{\LARGE SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE}}}
+{\makebox[0pt][c]{\textbf{\Large SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE}}}
+}
+
+
+% See 138.png
+\newcommand{\BoxTag}[2]{%
+\smash{%
+  \raisebox{12pt}{%
+    \framebox{%
+      \begin{tabular}{c}
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+      }
+    }
+  }
+}
+
+
+% %%%% Math set-up %%%% %
+% Globally adjust math font size
+\makeatletter
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+\makeatother
+
+% Math operators and symbols
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+
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+\newcommand{\smfrac}[2]{\mbox{\footnotesize$\dfrac{#1}{#2}$}}
+
+\newcommand{\tsum}{{\textstyle\sum}}
+
+% Use upright Roman capitals in math mode
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+
+
+% Miscellaneous text macros
+\newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}}
+
+\DeclareInputMath{176}{\mbox{\textdegree}}
+\DeclareInputMath{183}{\cdot}
+
+% Re-define these to be upright; explicit space required
+\renewcommand{\primo}{{\upshape 1\up{\lowercase{o}}}}
+\renewcommand{\secundo}{{\upshape 2\up{\lowercase{o}}}}
+\renewcommand{\tertio}{{\upshape 3\up{\lowercase{o}}}}
+\renewcommand{\quarto}{{\upshape 4\up{\lowercase{o}}}}
+
+
+% Macros for table on 159.png
+\newcommand{\Strut}{\rule{0pt}{12pt}} % top
+\newcommand{\Strub}{\rule[-6pt]{0pt}{12pt}} % bottom
+\newcommand{\NS}[1]{\makebox[2em][r]{\footnotesize$#1\Strut$}}
+\newcommand{\Ditto}{»}
+
+% Spacing hacks:
+% For ad hoc handling of wide displays
+\newcommand{\mSmall}[1]{\mbox{\small$\displaystyle#1$}}
+
+\hyphenation{con-gru-ence con-gru-ences con-stantes moy-enne}
+
+%% Loosen vertical spacing
+\setlength{\parskip}{0pt plus 12pt}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BEGIN DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\begin{document}
+
+\pagenumbering{Alph}
+\pagestyle{empty}
+
+%%%% PG BOILERPLATE %%%%
+\Pagelabel{PGBoilerplate}
+\pdfbookmark[0]{Boilerplate.}{Boilerplate}
+
+\begin{center}
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\small
+\begin{PGtext}
+The Project Gutenberg EBook of Étude des Élassoïdes ou Surfaces A Courbure
+Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour
+
+This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
+almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
+re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
+with this eBook or online at www.gutenberg.org
+
+
+Title: Étude des Élassoïdes ou Surfaces A Courbure Moyenne Nulle
+
+Author: Albert Ribaucour
+
+Release Date: August 25, 2009 [EBook #29800]
+Most recently updated: June 11, 2021
+
+Language: French
+
+Character set encoding: UTF-8     
+
+*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES ***
+\end{PGtext}
+\end{minipage}
+\end{center}
+\vfill
+
+
+%%%% CREDITS %%%%
+
+\clearpage
+\begin{center}
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\small
+\begin{PGtext}
+Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online
+Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The
+original copy of this book was generously made available
+for scanning by the Department of Mathematics at the
+University of Glasgow.)
+\end{PGtext}
+\end{minipage}
+\end{center}
+\vfill
+
+\begin{minipage}{0.8\textwidth}
+\small
+\subsection*{\centering \TransNote}
+
+\raggedright
+\TransNoteText
+
+\end{minipage}
+\vfil
+
+%% -----File: 001.png---Folio xx-------
+\frontmatter
+\pagestyle{empty}
+
+% Titlepage
+%\clearpage
+
+\begin{center}
+\HalfTitle \\[\TPSkip]
+{\footnotesize PAR} \\[\TPSkip]
+\textsf{\Large ALBERT RIBAUCOUR,} \\[0.5\TPSkip]
+% INGÉNIEUR DES PONTS ET CHAUSSÉES, A AIX (BOUCHES-DU-RHÔNE).
+\textsc{\footnotesize
+ingénieur des ponts et chaussées, a aix (bouches-du-rhône).} \\[2\TPSkip]
+\includegraphics[width=1in]{./images/device.pdf} \\[2\TPSkip]
+\rule{1.5in}{0.5pt} \\[2\TPSkip]
+{\footnotesize(Couronné par l'Académie dans la séance publique du 16 décembre 1880.)}
+\end{center}
+
+%% -----File: 002.png---Folio xx-------
+
+\pagenumbering{roman}
+
+\Preface{AVANT-PROPOS.}
+
+La classe des sciences de l'Académie royale de Belgique avait inscrit sur
+son programme de concours de 1880, la question suivante:
+\begin{center}
+«\ \textsc{Trouver et discuter les équations de quelques} \\
+\textsc{surfaces algébriques a courbure moyenne nulle}.\ » \\
+\TbPref
+\end{center}
+
+De toutes les applications des mathématiques il n'en est pas qui présentent
+plus de séductions que la théorie des surfaces; il en est peu qui soient facilement,
+comme elle, susceptibles d'élégance et de pittoresque. Laplace a dit:
+«Cependant les considérations géométriques ne doivent pas être abandonnées,
+elles sont de la plus grande utilité dans les arts. D'ailleurs, il est curieux
+de se figurer dans l'espace, les divers résultats de l'analyse; et réciproquement,
+de lire toutes les modifications des lignes et des surfaces, et les variations du
+mouvement des corps, dans les équations qui les expriment. Ce rapprochement
+de la géométrie et de l'analyse répand un jour nouveau sur ces deux
+sciences: les opérations intellectuelles de celles-ci, rendues sensibles par les
+images de la première, sont plus faciles à saisir, plus intéressantes à suivre;
+et quand l'observation réalise ces images et transforme les résultats géométriques
+en lois de la nature,\ldots\ la vue de ce sublime spectacle nous fait
+éprouver le plus noble des plaisirs réservés à la nature humaine.»
+
+La question proposée par l'Académie royale de Belgique, malgré sa limitation
+et son caractère particulier, présente, à un certain degré, l'intérêt
+éloquemment défini par Laplace: en effet, depuis qu'entre les mains d'un
+illustre physicien belge «la nature se fait géomètre»; depuis que chacun % [** PP: Typo chacuu]
+%% -----File: 003.png---Folio xx-------
+a pu réaliser les \emph{lames minces à courbure moyenne nulle}, les plus variées,
+tous ceux que l'exactitude et la perfection enchantent, ne se lassent de vérifier,
+jusque dans ses conséquences les plus délicates, ou les plus imprévues, une
+des lois dérobées au monde moléculaire.
+
+D'un autre côté, il n'est peut-être pas, dans l'étude des surfaces, de chapitre
+plus attachant, dans sa simplicité, que celui où l'on traite des surfaces
+à courbure moyenne nulle. Depuis Lagrange, tous les géomètres, pour ainsi
+dire, les ont étudiées, chacun ajoutant des résultats nouveaux, soit très-généraux,
+soit très-particuliers, également recommandables par leur netteté ou
+leur élégance.
+
+L'Académie nous excusera sans doute de prendre pour guide dans notre
+étude plutôt l'imagination en quête de résultats que la question même soumise
+au concours.
+
+C'est un chapitre au sujet des surfaces à courbure moyenne nulle que
+nous écrirons, et, par surcroît, le problème posé recevra sans doute une
+solution suffisamment développée.
+
+Nous ne pouvons mieux faire, pour indiquer dans quel ordre d'idées nous
+entraînons le lecteur, que de relater dans un historique rapide, les contributions
+successives à la théorie qui nous occupe, apportées par les géomètres,
+comme autant de phrases d'un poëme facile, mais séduisant.
+
+Lagrange, le premier, a montré que, par un contour fixe, il passe des
+surfaces moins étendues que toutes les surfaces voisines.
+
+%**** Comma after quotes?
+Monge, en étudiant «les surfaces dont les rayons de courbure sont toujours
+égaux entre eux et de signes contraires,» trouva l'équation aux différentielles
+partielles des surfaces à étendue minima.
+
+Le premier il en donna l'intégrale générale, mais sous une forme compliquée
+d'imaginaire, qui ne le satisfaisait pas, et qui surtout ne lui paraissait
+pas susceptible de conduire à la construction géométrique qu'il considérait
+comme le complément indispensable d'une étude achevée. Voici comment il
+pose un problème bien digne d'intérêt, en lui-même et par son origine: «Il
+%% -----File: 004.png---Folio xx-------
+s'agirait actuellement de construire cette intégrale, ou, ce qui revient au
+même, de trouver la génération de la surface. La seule construction à laquelle
+nous soyons encore parvenu, procède par courbes, infiniment voisines, \ldots\ %[** F1: five dots]
+mais elle ne peut être d'aucune utilité dans la pratique. Nous allons néanmoins
+la rapporter, parce qu'elle pourra donner lieu à des efforts plus heureux.»
+
+Les premières surfaces à étendue minima étudiées le furent par Meusnier
+qui fit connaître celle qui est de révolution, appelée depuis \emph{alysséïde}, par
+Bour, et la surface de vis à filet quarré. La considération des lignes asymptotiques,
+introduite par Ch.\ Dupin, vint donner un attrait nouveau aux surfaces
+qui nous occupent; car leurs lignes asymptotiques sont rectangulaires.
+
+M.~Catalan fit voir que seule la surface de vis à filet quarré est à la fois
+gauche et à étendue minima.
+
+M.~O. Bonnet démontra, dans une série d'études importantes: \primo~qu'on
+peut faire la carte d'une surface à étendue minima sur la sphère, les angles
+étant conservés; \secundo~que les lignes de courbure et les asymptotiques de ces
+surfaces sont isométriques ainsi que leurs images sphériques; \tertio~que si l'on
+cherche les surfaces de la famille admettant une ligne sphérique donnée pour
+image de ligne de courbure ou d'asymptotique, on obtient deux surfaces minimas,
+applicables l'une sur l'autre; \quarto~que l'on peut écrire l'intégrale des
+surfaces admettant pour ligne de courbure, asymptotique ou géodésique, un
+contour déterminé.
+
+Le théorème de M.~Bonnet, sur les deux surfaces \emph{minimas}, est doublement
+intéressant, parce qu'il donne un exemple de surfaces applicables, et surtout
+de deux surfaces dont les lignes de courbure de l'une correspondent aux
+lignes asymptotiques de l'autre.
+
+Il faut ajouter que M.~Bonnet a fait connaître les surfaces minimas dont
+toutes les lignes de courbure sont planes; il a indiqué comment on pourrait
+former des surfaces, de la famille, algébriques; enfin il a montré comment on
+pouvait éliminer les imaginaires de l'intégrale, et donné des exemples particuliers.
+
+%% -----File: 005.png---Folio xx-------
+
+M.~Catalan se proposait, au même moment, de former des exemples simples
+de surfaces minimas. Il indiqua plusieurs surfaces algébriques dégagées des
+généralités dont la particularisation seule constitue l'intérêt. Mais il faut
+signaler surtout parmi des surfaces construites élégamment par M.~Catalan,
+celle qui présente une double génération par des paraboles et des cycloïdes.
+On verra, par la suite, comment le rapprochement de cette surface remarquable
+de l'alysséïde qui admet parallèlement une double génération par des
+cercles et des chaînettes, nous a amené à trouver une singulière propriété,
+tout à fait générale, d'ailleurs, des surfaces à l'étude.
+
+Il convient, en outre, d'observer que cette surface est la première de la
+famille, transcendante, mais sur laquelle on ait pu tracer des lignes algébriques.
+M.~Schwartz a tiré grand parti de cet exemple, et nous aurons
+l'occasion de montrer comme il est profitable d'en chercher de semblables.
+
+Nous ne passerons pas sous silence une remarque de M.~J. Serret, fort
+importante malgré son apparence de simple curiosité: ce géomètre a fait
+voir que certaines développables imaginaires doivent être considérées comme
+des surfaces à étendue minima. C'était un retour inconscient à l'intégrale de
+Monge et la clef du problème dont il avait laissé la solution à de plus heureux.
+
+M.~Mathet, parmi les géomètres français, donna une construction différentielle
+des surfaces minimas les plus générales, mais sans prétendre à la
+construction intégrale.
+
+Les études sur la déformation des surfaces mirent en lumière de nouvelles
+propriétés: Bour fit voir qu'une surface minima peut être déformée sans
+perdre son caractère de minimum; déjà M.~O. Bonnet en avait donné un
+exemple cité plus haut. Bour montra qu'il est une infinité de surfaces minimas
+applicables sur des surfaces de révolution; il parvint même à donner leur
+intégrale, mais sans particulariser; il montra que de toutes les surfaces, la
+plus simple au point de vue de la déformation est l'allyséïde, %[**typo alysséïde]
+à la fois minima
+et de révolution.
+
+Il est très-remarquable que les surfaces caractérisées par une condition de
+%% -----File: 006.png---Folio xx-------
+minimum le long d'un contour déterminé jouissent d'une définition ponctuelle
+indépendante de ce contour. Ce fait devait amener à reconnaître que le
+minimum considéré n'est pas absolu et que par un contour donné on peut
+faire passer une infinité de surfaces minimas. On attribue à Björling le
+mérite d'avoir établi que si le long du contour on fixe les plans tangents, la
+surface minima est entièrement définie. MM.~O. Bonnet et Catalan ont, d'ailleurs,
+dans leurs mémoires \emph{précités}, appliqué fréquemment ce lemme.
+
+Quoi qu'il en soit, un problème, plus assujetti que celui de Monge, résulte
+de cette remarque: \textit{construire géométriquement la surface minima inscrite
+à une développable donnée, le long d'un contour tracé sur cette surface}.
+Que si le problème analytique ne présente pas de difficultés réelles, tant
+que l'on reste dans la généralité, la question géométrique, à raison même du
+caractère de minimum qui la domine, présente un intérêt indiscutable. Nous
+montrerons comment elle reçoit une entière solution par l'introduction d'une
+idée féconde due à M.~Moutard, je veux parler de la correspondance par
+orthogonalité des éléments.
+
+Un autre problème tout aussi précis s'impose également: puisque, cette
+fois, la surface est minima minimorum, son aire, limitée au contour, est
+\emph{unique} et sa mesure doit résulter uniquement des éléments du contour.
+
+Un très-beau théorème de Riemann a répondu à ce \emph{desideratum}. Il en est
+de ce résultat comme de tous ceux qui sont marqués au coin de la simplicité;
+les considérations les plus simples (\emph{à~posteriori}) permettent de les
+rétablir. Nous en rattacherons la démonstration aux idées de Gauss, en
+essayant une ébauche d'exposé simplement géométrique de la théorie des
+surfaces minimas.
+
+Si les premiers géomètres qui s'occupèrent des surfaces minimas tendirent
+aux résultats généraux, leurs successeurs devaient s'attacher à particulariser
+et à simplifier; les admirables expériences de M.~Plateau devaient amener,
+d'ailleurs, à des recherches plus précises, et, la satisfaction de voir façonner,
+par la nature, des surfaces dont la discussion est parfois hérissée de difficultés;
+%% -----File: 007.png---Folio xx-------
+de lui voir tracer toutes les singularités calculées, conduisirent à les
+isoler dans des exemples assujettis à diverses conditions de simplicité
+maxima.
+
+M.~Schwartz se proposa de trouver les surfaces minimas admettant une
+géodésique plane donnée; Henneberg fit remarquer, le premier, que si la
+géodésique est la développée d'une courbe algébrique, la surface minima est
+algébrique.
+
+Geiser démontra que ces surfaces ne coupent le plan de l'infini que suivant
+des droites.
+
+Enfin Weierstrass a donné une méthode pour trouver toutes les surfaces à
+étendue \emph{minima}, algébriques et réelles.
+
+Enneper a fait connaître une surface du neuvième degré et de sixième
+classe, extrêmement remarquable, qui peut, par exemple, être déformée d'une
+infinité de façons, tout en restant identique à elle-même.
+
+Depuis que l'Académie royale de Belgique a posé ce problème qui fait
+l'objet de notre étude, un géomètre du plus grand mérite a successivement
+publié un grand nombre de beaux résultats sur les surfaces \emph{minimas}:
+M.~Sophus Lie a donné la véritable solution du problème de Monge; il a
+montré que les surfaces à courbure moyenne nulle sont de deux façons des
+surfaces moulures; il a en outre donné, du problème de Björling, une solution
+s'appliquant à des cas particuliers intéressants. Enfin il a discuté quelles
+sont les surfaces minimas d'ordre et de classe déterminés.
+
+Les résultats de M.~Sophus Lie viennent ôter le plus grand intérêt à nos
+recherches. S'il nous a été pénible, après avoir cherché et trouvé la solution
+du problème de Monge et de bien d'autres, de recevoir les communications
+du très-savant géomètre de Christiania, nous n'avons pas moins résolu de
+transmettre à l'Académie royale de Belgique nos recherches en développant
+surtout ce qui s'écarte des propriétés publiées.
+
+C'est ce qui doit justifier les écarts du mémoire, en dehors de la question
+posée par l'Académie.
+
+\vfil
+\TbFancy
+\vfil
+
+\clearpage
+\fancyhead{} % Clear stale heading
+
+%% -----File: 008.png---Folio 2-------
+
+\cleardoublepage
+\pagenumbering{arabic}
+
+% Running heads same throughout
+\fancyhead[CE]{ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES} % [** PP: ÉLASSOIDES in original]
+\fancyhead[CO]{OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE.}
+
+\begin{center}
+\HalfTitle
+\end{center}
+\TbFancy
+
+\Chapter{I.}
+{LOCUTIONS EMPLOYÉES.---PROCÉDÉS DE DÉMONSTRATION.---PÉRIMORPHIE.
+PROGRAMME.}
+
+\Section{1.}
+{Définition du mot élassoïde.}
+
+Il faut commencer par s'entendre au sujet des locutions employées dans
+ce mémoire. Il n'est pas commode d'employer constamment l'expression de
+\emph{surface à courbure moyenne nulle} ni même celle de \emph{surface minima}, que
+les Allemands ont adoptée, sous le vocable de «Minimälfläche». %[**typo Minimalfläche]
+D'ailleurs ce
+terme est impropre, en général, l'aire de la surface n'étant pas, le plus
+souvent, un minimum absolu.
+
+Nous emploierons le mot \emph{Élassoïde} formé des deux mots grecs
+\textgreek{<elasswn} %[Greek: helassôn]
+(comparatif de \textgreek{mikros}) %[**Greek: michros]
+et de \textgreek{eidos} %[**Greek: eidos]
+(apparence). La substitution de l'\emph{o} à l'\emph{é} est
+consacrée par l'usage. Nous dirons donc, conformément à l'avis de Terquem,
+%% -----File: 009.png---Folio 3-------
+\emph{un élassoïde}. Cette locution nous paraît réunir les deux avantages d'être
+régulièrement établie et surtout d'être brève.
+
+A l'exemple de M.~O. Bonnet nous dirons que deux \emph{élassoïdes} sont \emph{conjugués}
+quand ils sont applicables l'un sur l'autre et que les lignes de courbure
+de l'un correspondent aux asymptotiques de l'autre.
+
+
+\Section{2.}
+{Locutions employées.}
+
+La plupart des géomètres appellent \emph{congruence} de droites, une famille de
+droites analogues aux normales d'une surface et telles que, par un point de
+l'espace, choisi arbitrairement, il passe \emph{une} droite de la congruence.
+
+Les \emph{focales} de la congruence sont deux surfaces, réelles ou imaginaires,
+qui sont touchées par chacune des droites de la famille.
+
+Les droites d'une congruence, qui rencontrent une courbe donnée, forment
+une \emph{surface élémentaire}. Les surfaces élémentaires développables forment
+deux familles, ce sont les \emph{surfaces principales} de la congruence.
+
+Ces dénominations sont usuelles. Nous conviendrons d'appeler \emph{développée}
+d'une \emph{congruence de normales} les deux nappes focales de cette congruence
+prises dans leur ensemble; c'est le lieu des centres de courbure principaux
+d'une famille de surfaces parallèles.
+
+Sur une droite de la congruence, le point milieu du segment qui se limite
+aux deux foyers sera le \emph{point moyen}. Le lieu de ces points pour toute congruence
+sera la \emph{surface moyenne}.
+
+Le plan perpendiculaire à une droite de la congruence, et mené par le
+\emph{point moyen} situé sur cette droite, sera le \emph{plan moyen}. Tous les plans
+moyens, relatifs aux droites d'une congruence, touchent une même surface
+que nous appellerons l'\emph{enveloppée moyenne}. Ce sera la \emph{développée moyenne}, si
+la famille de droites est une \emph{congruence de normales}.
+
+Nous aurons à considérer des congruences dans leurs rapports avec une
+surface déterminée: nous dirons qu'une congruence de droites est \emph{harmonique
+par rapport à une surface}~$(A)$, si les surfaces principales de la congruence
+découpent, sur~$(A)$, un réseau conjugué.
+
+%% -----File: 010.png---Folio 4-------
+
+Lorsqu'une \emph{congruence de normales} sera \emph{harmonique} par rapport à une
+surface~$(A)$, nous dirons qu'elle constitue une \emph{congruence de Dupin} (par rapport
+à cette surface), rappelant ainsi le nom de Charles Dupin qui, le premier,
+a considéré des familles de droites de cette espèce.
+
+Il nous reste à rappeler les termes du vocabulaire, adopté dans la géométrie
+des imaginaires, dont nous ferons un constant usage.
+
+L'\emph{ombilicale} est le cercle imaginaire commun à toutes les sphères et situé
+dans le plan de l'infini.
+
+Une \emph{droite isotrope} se dira de toute droite rencontrant l'ombilicale.
+
+Un \emph{plan isotrope} se dira de tout plan tangent à l'ombilicale.
+
+Une \emph{développable isotrope} se dira de toute développable qui contient
+l'ombilicale.
+
+Une \emph{ligne isotrope}, ou ligne de \emph{longueur nulle}, sera une courbe, arête de
+rebroussement d'une développable isotrope, dont, par conséquent, toutes les
+tangentes seront des droites isotropes.
+
+Enfin nous appellerons \emph{congruence isotrope} une famille de droites dont les
+surfaces focales sont des développables isotropes. Ces congruences seront
+réelles toutes les fois que les deux développables isotropes focales seront
+imaginaires conjuguées.
+
+Ajoutons qu'un réseau de lignes orthogonales $(u)$, $(v)$, tracées sur une
+surface, sera isométrique toutes les fois que le carré de l'élément linéaire de
+la surface rapportée aux lignes $(u)$, $(v)$, pourra s'écrire
+\[
+dS^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2),
+\]
+en particularisant convenablement les variables $u$ et~$v$.
+
+On appelle \emph{image sphérique} d'une surface, en général, la représentation
+sur la sphère de cette surface (le mode de correspondance étant le parallélisme
+des plans tangents de la sphère et de la surface aux points correspondants).
+On considérera de la sorte les images sphériques des lignes de
+courbure, des lignes asymptotiques, etc.
+
+%% -----File: 011.png---Folio 5-------
+
+\Section{3.}
+{Définition de la périmorphie comme procédé de démonstration.}
+
+Les procédés de démonstration que nous emploierons uniformément dans
+notre étude analytique se rapportent à une méthode particulière que l'on a
+désignée par un néologisme imagé en l'appelant la \emph{périmorphie}. Dans cette
+géométrie, l'origine des coordonnées est remplacée par une surface dite \emph{de
+référence}, et les axes de coordonnées sont simplement définis, en chaque
+point de la surface de référence, par des relations où figurent les coordonnées
+superficielles $u$ et~$v$ (à la façon de Gauss) du point, considéré comme
+origine instantanée.
+
+Dans cette étude, nous considérerons toujours, comme base de nos calculs,
+un réseau orthogonal des courbes $(u)$, $(v)$ tracé sur une surface de référence
+$(O)$: les courbes $(u)$ correspondront aux différentes valeurs du
+paramètre~$u$, de même, les courbes $(v)$ correspondront aux différentes valeurs
+du paramètre~$v$.
+
+Le quarré de l'élément linéaire de la surface de référence $(O)$ s'écrira,
+comme d'habitude:
+\[
+dS^2 = f^2\, du^2 + g^2\, dv^2.
+\]
+
+Ceci posé, les axes de coordonnées instantanés seront toujours en un
+point $O(u, v)$ (c'est-à dire en un point~$O$ défini par les valeurs $u$ et~$v$ des
+paramètres): \primo~$OX$ tangente à la courbe~$(v)$; \secundo~$OY$ tangente à la courbe~$(u)$;
+\tertio~$OZ$ normale à la surface. Les trois axes seront ainsi rectangulaires.
+
+Les calculs de \emph{périmorphie} réclament l'emploi constant de six formules
+que nous allons transcrire en les définissant.
+
+
+\Section{4.}
+{Six formules fondamentales de périmorphie.}
+
+En \emph{périmorphie}, on se donne, à chaque instant, les coordonnées $\xi$, $\eta$, $\zeta$
+d'un point~$M$ variable avec le point~$O$, coordonnées mesurées sur les axes $OX$,
+$OY$, $OZ$. Ces coordonnées sont des fonctions de~$u$ et~$v$. Lorsque l'on donne à
+%% -----File: 012.png---Folio 6-------
+ces paramètres les accroissements $du$ et~$dv$, l'origine se transporte en~$O'$ et le
+point correspondant de l'espace sera un certain point~$M'$ défini par les
+coordonnées
+\[
+\xi + \Delta\xi,\quad \eta + \Delta\eta,\quad \zeta + \Delta\zeta,
+\]
+comptées sur les axes nouveaux $O'X'$, $O'Y'$, $O'Z'$. Mais l'élément~$MM'$, projeté
+sur les trois axes primitifs, donne lieu à trois longueurs, fonctions de
+$u$, $v$, $du$ et~$dv$.
+
+Suivant l'axe $OX$, on a
+\begin{align*}
+\Delta X
+  &= du \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta +  P\zeta\right)
+   + dv \left(    \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta - gD\zeta\right), \\
+\intertext{suivant l'axe $OY$, on a}
+\Delta Y
+  &= du \left(    \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \xi - fD\zeta\right)
+   + dv \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi +  Q\zeta\right),
+% [**** PP: Hard-coded lengths; vulnerable to bad page break]
+\smash{\left.\rule[-1.125in]{0pt}{2.25in}\right\}}
+\Tag{1} \\
+\intertext{suivant l'axe $OZ$, on a}
+\Delta Z
+  &= du \left(\frac{d\zeta}{du} - P\xi + fD\eta\right)
+   + dv \left(\frac{d\zeta}{dv} - Q\eta + gD\xi\right).
+\end{align*}
+
+Telles sont les trois formules fondamentales de la géométrie considérée.
+Trois autres formules, également nécessaires, s'en déduisent immédiatement:
+
+Soient $X'$, $Y'$, $Z'$ les coordonnées d'un point de l'espace, par rapport au
+trièdre instantané $O'$, $X'$, $Y'$, $Z'$ défini ci-dessus; soient, d'un autre côté, $X$,
+$Y$, $Z$ les coordonnées du même point par rapport au trièdre primitif $O$, $X$,
+$Y$, $Z$. On a
+\[
+\left.
+\begin{aligned} % [** PP: Typo -= in first equation]
+X' &= -f\, du
+  + X + Y\left(-\frac{df}{g\, dv}\, du + \frac{dg}{f\, du}\, dv\right)
+  + Z(-P\, du + gD\, dv), \\
+%
+Y' &= -g\, dv
+  +     X\left(-\frac{dg}{f\, du}\, dv + \frac{df}{g\, dv}\, du\right) + Y
+  + Z(-Q\, dv + fD\, du), \\
+%
+Z' &= X(P\,du - gD\, dv) + Y(Q\,dv - fD\, du) + Z.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{2}
+\]
+
+Ces formules contiennent cinq coefficients: $f$ et~$g$ déjà définis, $P$, $Q$, $D$
+tels que:
+
+% [** PP: Itemized list with em-dash bullets]
+\begin{itemize}
+\item[---] $\frac{f}{P}$ représente le rayon de courbure de la section normale tangente à~$OX$;
+
+%% -----File: 013.png---Folio 7-------
+
+\item[---] $\frac{g}{Q}$ représente le rayon de courbure de la section normale tangente à~$OY$;
+
+\item[---] $\frac{1}{D}$ représente le paramètre de déviation relatif aux deux directions
+rectangulaires $OX$, $OY$ (\textsc{Bertrand}).
+\end{itemize}
+
+
+\Section{5.}
+{Équations de Codazzi.}
+
+Ces cinq coefficients sont liés par trois équations célèbres, dites équations
+de Codazzi, auxquelles il faut constamment recourir:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+PQ - fgD^2 + \frac{d}{dv}\left(\frac{df}{g\, dv}\right)
+           + \frac{d}{du}\left(\frac{dg}{f\, du}\right) &= 0, \\
+\frac{dP}{dv} + g\frac{dD}{du} + 2\frac{dg}{du} D - \frac{df}{g\, dv}Q &= 0, \\
+\frac{dQ}{du} + f\frac{dD}{dv} + 2\frac{df}{dv} D - \frac{dg}{f\, du}P &= 0.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{3}
+\]
+
+Les trois groupes d'équations que nous venons de décrire constituent les
+bases de la \emph{périmorphie}. Quant aux procédés, il serait oiseux de les résumer,
+ils s'indiqueront d'eux-mêmes par les applications que nous en ferons dans
+le cours de ce mémoire; la simplicité qui les caractérise permettra de les
+exposer, le plus souvent, en détail.
+
+
+\Section{6.}
+{Programme des recherches comprises dans ce mémoire.}
+
+Il nous reste à indiquer le programme des recherches successivement
+exposées dans ce mémoire.
+
+Nous avons cru qu'il convenait de rappeler rapidement, mais d'une façon
+synthétique et pour ainsi dire évidente, les résultats connus. L'Académie nous
+permettra de commencer notre étude par un rapide exposé géométrique qui,
+nous l'espérons, intéressera une assemblée où la théorie qui nous occupe a
+reçu de si belles contributions.
+
+Ce sera l'objet du \emph{second chapitre et du troisième}.
+
+%% -----File: 014.png---Folio 8-------
+
+Voici, d'une façon très-sommaire, la composition des autres chapitres.
+
+\phantomsection\label{Summ1}
+\begin{Summary}{\ChapRef{IV.}}
+Des congruences isotropes, des surfaces d'about; la surface
+moyenne est le lieu des lignes de striction des surfaces élémentaires; l'enveloppée
+moyenne est un élassoïde.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{V.}}
+Des congruences isotropes qui donnent lieu au même élassoïde
+central; construction directe donnant toutes les congruences satisfaisantes
+en fonction d'une première congruence isotrope.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{VI.}}
+Toute congruence isotrope est définie par une seule surface
+élémentaire; construction des éléments de l'élassoïde central à l'aide d'une
+surface élémentaire donnée. Construction ponctuelle d'un élassoïde en utilisant
+deux lignes de longueur nulle.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{VII.}}
+Tout élassoïde est le lieu d'une $\infty^3$ de courbes lieux des
+centres de courbure de courbes gauches, qui sont les lignes doubles de toutes
+les congruences isotropes satisfaisantes.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{VIII.}}
+Étude des surfaces moyennes des congruences isotropes;
+elles s'introduisent en géométrie cinématique; elles correspondent par orthogonalité
+des éléments à la sphère. Sur l'élassoïde moyen et la surface
+moyenne les asymptotiques se correspondent; relations entre les courbures
+des deux surfaces. Une surface moyenne ne peut être élassoïde sans être
+une surface de vis à filet quarré.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{IX.}}
+Formules générales de représentation sphérique. Élassoïdes
+groupés, dérivés d'un réseau isométrique de la sphère; ils sont applicables
+sur l'un d'entre eux.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{X.}}
+Définition des élassoïdes conjugués, des élassoïdes stratifiés.
+Deux surfaces qui se correspondent par orthogonalité et égalité des éléments
+sont deux élassoïdes conjugués.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XI.}}
+Solution du problème de Björling. Définition de contours
+conjugués. Une surface gauche arbitraire définit deux contours conjugués.
+Contours correspondants à une ligne plane.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XII.}}
+Calculs au sujet de la dérivation des élassoïdes du plan.
+Élassoïdes transcendants à lignes algébriques.
+\end{Summary}
+
+%% -----File: 015.png---Folio 9-------
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XIII.}}
+Lignes de courbure des élassoïdes. Exemples de lignes
+algébriques ou dépendant des fonctions elliptiques.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XIV.}}
+On peut mettre simultanément sur un élassoïde les courbes
+pour lesquelles $R = ± k\rho$. Recherche de ces courbes; élassoïdes qui les
+admettent pour géodésiques. Lignes algébriques.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XV.}}
+Nouvelles propriétés des congruences isotropes dérivées du
+plan. Courbes de contact de cônes dont les sommets sont en ligne droite.
+Nouvelle définition des élassoïdes.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XVI.}}
+Propriétés des lignes de niveau des élassoïdes groupés;
+rotation des lignes de niveau par déformation.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XVII.}}
+Propriété caractéristique des congruences composées des
+génératrices d'une famille de quadriques homofocales.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XVIII.}}
+Recherche des élassoïdes algébriques passant par un
+cercle.
+\end{Summary}
+
+% [** PP: Chapter not present, remaining numbers off by one]
+\begin{Summary}{Chapitre~XIX.}\footnote
+  {\textit{Voir} \hyperref[Tnote]{Notes sur la transcription},
+  page~\pageref{Tnote}.}
+Étude des élassoïdes dérivés des quadriques à centre,
+homofocales.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef[XIX.]{XX.}}
+Étude des élassoïdes dérivés des paraboloïdes du deuxième
+ordre, homofocaux.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef[XX.]{XXI.}}
+Recherche des élassoïdes applicables sur des surfaces de
+révolution. Équations des élassoïdes du neuvième et du douzième ordre.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef[XXI.]{XXII.}}
+Énoncé de plusieurs propriétés relatives aux élassoïdes.
+Renvoi à la théorie de la correspondance par orthogonalité des éléments.
+Généralisations se rattachant plus directement à la théorie des couples de
+surfaces applicables l'une sur l'autre. Sur le problème de la correspondance
+de deux surfaces par correspondance des plans tangents et des lignes
+isotropes.
+\end{Summary}
+
+% [** PP: Note book contains no Chapter XXIII]
+\begin{Summary}{\ChapRef[XXII.]{XXIII.}}
+Conclusions: \emph{Desiderata} de l'étude entreprise et résultats
+obtenus.
+\end{Summary}
+\phantomsection\label{Summ2}
+
+Telles sont les lignes principales de l'étude que nous allons maintenant
+détailler.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 016.png---Folio 10-------
+
+
+\Chapter{II.}
+{CONSIDÉRATIONS GÉOMÉTRIQUES DIRECTES AU SUJET DES ÉLASSOÏDES.}
+
+\Section{7.}
+{En chaque point d'un élassoïde la courbure moyenne est nulle.}
+
+L'existence des élassoïdes se déduit du problème posé pour la première
+fois par Lagrange: \emph{trouver la surface à étendue minima limitée à un contour
+déterminé}.
+
+Soit $(C)$ un contour fermé, gauche. Admettons qu'il existe une surface~$(O)$,
+passant par~$(C)$, ne présentant à l'intérieur aucune nappe infinie et jouissant
+du caractère de minimum; celui-ci sera réalisé si toute surface~$(O')$, infiniment
+voisine de~$(O)$, et passant comme elle par le contour~$(C)$, a une étendue
+comprise à l'intérieur du contour ne différant de l'étendue correspondante
+de la surface~$(O)$ que par un infiniment petit du second ordre (les quantités
+qui mesurent l'écart des surfaces $(O)$ et~$(O')$ étant des infiniment petits du
+premier ordre).
+
+Il importe d'observer que le mode de correspondance des surfaces $(O)$ et~$(O')$
+est arbitraire; il doit simplement satisfaire à ces conditions, qu'aux
+points correspondants les plans tangents fassent entre eux des angles infiniment
+petits du premier ordre et que le contour~$(C)$ se corresponde à lui-même
+sur les deux surfaces. En particulier, le long de ce contour, les plans
+tangents correspondants doivent faire des angles infiniment petits du premier
+ordre.
+
+Ces restrictions préalables vont montrer tout à l'heure pourquoi la solution
+du problème de Lagrange n'est réellement jamais obtenue.
+
+%% -----File: 017.png---Folio 11-------
+
+Puisque le mode de correspondance des surfaces $(O)$ et~$(O')$ est arbitraire,
+il est naturel d'avoir recours au suivant: prendre comme points correspondants
+$a'$ et~$a$ deux points de~$(O')$ et de~$(O)$ situés sur une même normale
+à~$(O)$. Il est clair que si $(O)$ et~$(O')$ n'ont pas de nappes infinies et sont infiniment
+voisines, les restrictions obligatoires sont observées.
+
+Ceci posé, traçons sur $(O)$ un petit contour fermé~$(a)$ et, tout le long,
+menons les normales à la surface~$(O)$: elles vont découper, sur~$(O')$, un contour
+fermé~$(a')$, correspondant à~$(a)$. La longueur~$aa'$ du segment compté
+sur la normale et limitée aux deux surfaces, pour tous les points du contour,
+est un infiniment petit du premier ordre; sa valeur moyenne peut donc
+s'écrire $H · d\rho$ (où $H$ est une fonction finie). Désignons donc par~$d(a)$ l'aire du
+contour~$(a)$, par~$d\theta$ l'aire sphérique (entendue à la façon de Gauss) de ce
+même contour; enfin soient $R_1$ et~$R_2$ les rayons de courbure principaux
+de~$(O)$ pour un point moyen pris à l'intérieur du contour~$(a)$.
+
+D'après un théorème de Gauss, on a
+\[
+d(a) = R_1 · R_2\, d\theta,
+\]
+à une quantité infiniment petite près, par rapport à~$d(a)$.
+
+De même façon:
+\[
+d(a') = (R_1 + H\, d\rho)(R_2 + H\, d\rho) \frac{d\theta}{\cos i},
+\]
+si $i$ désigne l'angle des plans tangents en $a$ et~$a'$. Mais on doit écrire:
+\[
+d(a') = d(a) + \Delta d(a)
+\]
+et comme l'angle $i$ est infiniment petit du premier ordre, on est en droit
+d'écrire, au degré d'approximation précité
+\[
+\frac{\Delta d(a)}{d\theta} = (R_1 + R_2) · H\, d\rho + H^2\, d\rho^2.
+\]
+
+Ceci s'applique à deux surfaces infiniment voisines quelconques, et l'on
+voit que~$\Delta d(a)$ est ainsi du troisième ordre infinitésimal, en général.
+
+Dès lors, l'intégrale des éléments semblables étendue jusqu'au contour~$(C)$
+sera en général une quantité infiniment petite du premier ordre.
+
+%% -----File: 018.png---Folio 12-------
+
+Or, si le minimum a lieu, il faut que cette quantité soit infiniment petite
+du second ordre, et le terme correspondant de~$\Delta d(a)$ doit disparaître.
+
+On doit donc avoir, tout d'abord,
+\[
+R_1 + R_2 = 0.
+\]
+
+\begin{Emph}
+\emph{Ainsi,} la première condition du minimum est qu'en chaque point de la
+surface minima, les rayons de courbure principaux soient égaux et de
+signes contraires.
+\end{Emph}
+
+Cette condition équivaut à l'équation différentielle des élassoïdes; comme
+elle lie deux éléments de courbure, l'équation est du second ordre et par
+conséquent son intégrale générale ne comporte que deux fonctions arbitraires
+distinctes (on verra plus loin le parti qu'il faut tirer de cette remarque).
+
+\Section{8.}
+{Aire d'une portion d'élassoïde \upshape(\textsc{intégrale de Riemann}).}
+
+Afin de pousser plus avant la solution du problème de Lagrange il importe
+de chercher à évaluer immédiatement l'aire dont on demande le minimum;
+les considérations qui précèdent rendent cette recherche facile.
+
+Considérons en effet une famille d'élassoïdes se succédant par variations
+insensibles, commandées par celles d'un paramètre, et soient $(O)$ et~$(O')$
+deux élassoïdes infiniment voisins. Soient $(\alpha)$ et~$(\alpha')$ deux contours fermés,
+correspondants, tracés sur ces deux surfaces, $(A)$ et~$(A) + \Delta(A)$ les aires
+limitées à ces contours. Quelle que soit la loi de variation des élassoïdes, il
+est facile de trouver une expression géométrique de~$\Delta(A)$. Si, en effet, le long
+de~$(\alpha)$, nous menons au premier élassoïde la \emph{normalie} qu'il détermine, cette
+surface gauche trace sur~$(O')$ un contour fermé~$(\alpha'')$, et, d'après ce qui a été
+dit plus haut, l'aire de~$(O')$, limitée au contour~$(\alpha'')$, ne diffère de l'aire de~$(O)$,
+limitée au contour~$(\alpha)$, que d'une quantité infiniment petite du second ordre
+(l'aire étant finie). Par conséquent la variation $\Delta(A)$ est représentée, à un
+infiniment petit du second ordre près, par la couronne comprise entre les
+%% -----File: 019.png---Folio 13-------
+contours $(\alpha')$ et~$(\alpha'')$. Ce qui précède indique suffisamment ce qu'il y aurait
+lieu de compter positif ou négatif si les contours se rencontraient.
+
+Ceci posé, comme on est maître de considérer telle loi de variation des
+élassoïdes que l'on veut, il convient, pour la recherche de l'aire, de prendre
+la loi de variation la plus simple, savoir celle de la similitude: dans cette
+hypothèse, si $k$ est le paramètre de similitude, on aura
+\[
+(A) + \Delta(A) = (A)(1 + dk)^2 = (A)(1 + 2\,dk + dk^2),
+\]
+donc, au degré d'approximation requis,
+\[
+\Delta(A) = 2 · dk(A);
+\]
+si donc l'on parvient à calculer l'aire du ruban compris entre $(\alpha')$ et~$(\alpha'')$, la
+valeur de l'aire~$(A)$ en résultera.
+
+Prenons pour pôle de similitude un point de l'espace~$S$, soit~$P$ le plan tangent
+à la surface~$(O')$, au point~$a'$, $T$ la tangente au contour~$(\alpha)$; projetons
+le point~$a''$ en~$\beta$ sur~$a'T$ et~$S$ en~$B$ sur cette même droite. Il est clair que,
+si $d\sigma$ désigne l'élément de courbe~$(a')$, on a, pour l'élément d'aire du ruban
+limité aux contours $(a')$, $(a'')$,
+\[
+d\sigma · a''\beta.
+\]
+
+Si $\omega$ est l'angle du plan~$P$ et du plan contenant la droite~$T$ et le point~$S$,
+on a
+\[
+a''\beta = a\beta · \cos\omega.
+\]
+Mais la similitude des triangles $SBa'$ % [** PP: Spacing SB a' in original]
+et $a\beta a'$ donne
+\[
+a\beta = SB · \frac{aa'}{Sa'}.
+\]
+
+D'un autre côté:
+\[
+\frac{aa'}{Sa'} = \frac{dk}{1 + dk},
+\]
+par conséquent on peut écrire:
+\[
+\Delta(A) = 2\, dk(A) = \int d\sigma · SB\cos\omega\, dk,
+\]
+%% -----File: 020.png---Folio 14-------
+il en résulte
+\[
+(A) = \int \frac{d\sigma · SB}{2} \cos \omega.
+\]
+
+C'est l'expression donnée par Riemann.
+
+L'élément de l'intégrale n'est autre chose que la projection du triangle
+infinitésimal $a'a'_1S$ sur le plan tangent en~$a'$ à l'élassoïde.
+
+
+\Section{9.}
+{Aire d'une portion finie d'élassoïde inscrite à un cône.}
+
+Signalons en passant le cas où $\omega$ est constant tout le long du contour~$(\alpha)$:
+\emph{Lorsqu'un élassoïde coupe, sous un angle constant, un cône et lorsque la
+portion de surface comprise dans le contour d'intersection est fermée, sans
+nappes infinies, l'aire de cette portion de surface est proportionnelle à celle
+de la surface du cône limitée au même contour et au sommet.}
+
+\emph{Dans le cas où le cône est tangent à l'élassoïde, les deux surfaces sont
+équivalentes.}
+
+L'intégrale donnée ci-dessus montre tout d'abord que l'aire d'un élassoïde,
+et par conséquent la surface elle-même, dépendent non-seulement du contour
+donné $(\alpha)$, mais encore des plans tangents en chacun des points de ce
+contour. Il y a donc une infinité d'élassoïdes passant par un contour donné.
+
+Il convient de poser, avec Björling, le problème de la construction d'un
+élassoïde circonscrit à une développable déterminée le long d'un contour
+tracé sur celle-ci.
+
+
+\Section{10.}
+{Intégrale invariante le long d'un contour fermé.}
+
+Remarquons, d'un autre côté, que si la considération d'homothétie a
+disparu de l'intégrale, celle du point fixe dans l'espace a persisté, quoique
+l'aire de l'élassoïde soit indépendante de ce point choisi arbitrairement. Il
+%% -----File: 021.png---Folio 15-------
+en résulte que l'expression
+\[
+\int \frac{d\sigma · SB}{2} · \cos \omega
+\]
+étendue à un contour fermé tracé sur une développable, est \emph{invariante}, quelle
+que soit la position du point fixe~$S$ dans l'espace.
+
+On trouvera l'expression de l'aire d'une portion d'élassoïde quand on saura
+trouver une famille d'élassoïdes dont les surfaces varieront proportionnellement,
+et il n'est pas besoin pour cela que les élassoïdes soient tous semblables
+et semblablement placés.
+
+
+\Section{11.}
+{Définition des problèmes de Monge et de Björling.}
+
+Au point où nous en sommes arrivé, on comprend que le problème de
+Lagrange (\emph{faire passer par un contour donné une surface d'aire minima})
+sera susceptible de solution, seulement quand on saura construire tous les
+élassoïdes passant par un contour et ne présentant \emph{pas de nappes infinies à
+l'intérieur de ce contour}. Ainsi est-on amené, par la nécessité, à résoudre successivement
+les problèmes de Monge et de Björling, savoir:
+
+\begin{Problem}{Problème de Monge:}
+Construire toutes les surfaces à courbure moyenne
+nulle {\upshape(}élassoïdes{\upshape)}, c'est-à-dire en chaque point desquelles les rayons de courbure
+principaux sont égaux et de signes contraires.
+\end{Problem}
+
+\begin{Problem}{Problème de Björling:}
+Construire l'élassoïde circonscrit à une surface
+développable donnée, % [** PP: Typo donné]
+le long d'un contour déterminé.
+\end{Problem}
+
+Leur solution fera l'objet des chapitres qui vont suivre.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 022.png---Folio 16-------
+
+
+\Chapter{III.}
+{SOLUTION DU PROBLÈME DE MONGE.}
+
+\Section{12.}
+{Sur un élassoïde les lignes de longueur nulle sont toujours conjuguées.}
+
+Trouver un élassoïde c'est découvrir une surface telle qu'en chacun de ses
+points l'\emph{indicatrice}\footnote
+  {Il s'agit de l'indicatrice de \textsc{Charles Dupin}, qui donne l'image de la variation des courbures
+  dans chaque azimuth.}
+soit une hyperbole équilatère. La condition d'égalité
+des axes d'une conique s'exprime en disant que celle-ci passe par les
+\emph{ombilics} de son plan (cercle), de même l'hyberbole équilatère dont les
+carrés des axes sont égaux et de signes contraires, se caractérise par ce fait
+que \emph{les diamètres isotropes sont conjugués}.
+
+Cette simple remarque conduit à cette conséquence capitale: si sur un
+élassoïde on trace les deux séries de \emph{lignes isotropes}, arêtes de rebroussement
+des développables isotropes circonscrites à la surface, on obtient deux
+familles de courbes conjuguées. La réciproque n'est pas moins évidente.
+
+En conséquence \emph{toute développable isotrope doit être considérée comme
+un élassoïde}.
+
+En effet, sur une développable une génératrice est conjuguée de toute
+direction tangente à la surface et qui la rencontre; elle est aussi à elle-même
+sa propre conjuguée.
+
+Or, sur une développable isotrope, les deux familles de lignes isotropes
+coïncident entre elles et avec les génératrices; elles sont à elles-mêmes leurs
+%% -----File: 023.png---Folio 17-------
+propres conjuguées, donc elles caractérisent les élassoïdes. Ainsi se trouve,
+au début de cette étude, le résultat mis en lumière, pour la première fois,
+par M.~J. Serret (\textit{Journal de Liouville}, t.~XI, 1846) et dont nous déduirons
+presque intuitivement la solution du problème de Monge.
+
+
+\Section{13.}
+{Propriétés des congruences harmoniques.}
+
+Il convient de faire un moment diversion pour rappeler quelques notions
+très-simples relatives aux \emph{congruences harmoniques}.
+
+Soient $(A)$ et~$(B)$ deux surfaces arbitraires dont nous ferons correspondre
+les points par parallélisme des plans tangents. Soient $A$ et~$B$ deux points
+correspondants, les droites telles que $AB$ engendrent une \emph{congruence harmonique},
+c'est-à-dire telle que si on la décompose en ses deux familles
+de développables, celles-ci tracent, sur les surfaces $(A)$ et~$(B)$, deux familles
+de courbes conjuguées.
+
+La proposition sera démontrée si l'on fait voir que les indicatrices des
+surfaces $(A)$ et~$(B)$ ont toujours deux diamètres conjugués parallèles. M.~de
+la Gournerie a donné, de ceci, une démonstration réduite à l'évidence en
+montrant que l'on peut toujours: \primo~amener les coniques à avoir même
+centre; \secundo~en réduire une de telle façon qu'elle devienne doublement tangente
+à l'autre; le diamètre de contact et les tangentes sont manifestement les
+directions cherchées.
+
+Ainsi, dans le cas qui nous occupe, la congruence est harmonique par
+rapport aux surfaces $(A)$ et~$(B)$; il est clair qu'elle l'est également par
+rapport à chacune des surfaces divisant, en segments proportionnels, les
+cordes telles que~$AB$, surfaces correspondant à~$(A)$ et~$(B)$ par parallélisme
+de leurs plans tangents.
+
+Particularisons un peu, en supposant développables les surfaces $(A)$ et~$(B)$,
+que nous avions prises arbitraires.
+
+Soient $T_a$ et~$T_b$ les génératrices de ces deux surfaces situées dans deux
+plans tangents parallèles ou non, désignons par $(A)$, $(B)$ les arêtes de rebroussement
+%% -----File: 024.png---Folio 18-------
+des deux développables. La congruence des droites $AB$ existe
+toujours, elle se décompose en deux familles de surfaces principales qui sont
+les cônes ayant leurs sommets en tous les points de~$(A)$ et contenant~$(B)$,
+ou inversement. Les surfaces, lieux des points qui divisent les segments~$AB$
+en parties proportionnelles, existent toujours, les cônes précités les découpent
+suivant deux familles de courbes semblables aux courbes $(A)$ et~$(B)$, chaque
+famille se composant de courbes identiques. De plus (et c'est le point principal)
+ces familles de courbes sont conjuguées.
+
+
+\Section{14.}
+{Construction ponctuelle d'un élassoïde avec deux développables isotropes.}
+
+Particularisons davantage et supposons que $(A)$ et~$(B)$ sont deux développables
+isotropes.
+
+Dans ce cas les droites $T_a$ et~$T_b$ sont isotropes; par conséquent elles sont
+parallèles aux droites isotropes de tout plan parallèle à ces deux droites.
+
+Mais les surfaces divisant en parties proportionnelles les segments tels que
+$AB$ sont coupées par les cônes principaux suivant des courbes identiques (à
+l'homothétie près) aux arêtes de rebroussement $(A)$ et~$(B)$, dont par conséquent
+les tangentes, comme celles de~$(A)$ et de~$(B)$, sont isotropes. Ces deux
+familles de courbes (comme dans le cas général) sont conjuguées.
+
+On peut donc énoncer ce théorème important:
+
+\begin{Emph}
+Soient $(A)$ et~$(B)$ les arêtes de rebroussement de deux développables
+isotropes arbitraires, si l'on joint de deux en deux les points de~$(A)$ et de~$(B)$
+et que l'on divise, en parties proportionnelles, les segments ainsi
+obtenus, le lieu des points de division est un élassoïde.
+\end{Emph}
+
+Or, une développable est déterminée quand on se donne deux directrices;
+une développable isotrope, déjà assujettie à contenir l'ombilicale, est définie
+par une seule autre directrice; par conséquent, une développable de cette
+nature correspond à une fonction arbitraire. %[** PP: Added .]
+
+%% -----File: 025.png---Folio 19-------
+
+Ainsi la construction que nous venons de donner des élassoïdes contient
+deux fonctions arbitraires, elle conduit donc (d'après une remarque du
+chapitre précédent) à l'intégrale générale du problème de Monge.
+
+Les élassoïdes sont donc, de deux manières, des surfaces \emph{moulures}; les
+profils sont imaginaires. Les surfaces peuvent pourtant être réelles, mais à
+condition que les développables isotropes $(A)$ et~$(B)$ seront imaginaires
+conjuguées. En conséquence les élassoïdes réels ne contiennent, dans leur
+définition, qu'une seule fonction arbitraire.
+
+Nous montrerons plus loin comment nous avions été amené au résultat
+qui précède avant de lire, dans le \emph{Bulletin des sciences mathématiques}
+(novembre 1879), le résumé des mémoires de M.~Sophus Lie.
+
+
+\Section{15.}
+{Construction ponctuelle d'un élassoïde dérivé de deux élassoïdes.}
+
+Si, dans ce qui précède, on prend pour $(A)$ et~$(B)$ deux élassoïdes se
+correspondant par parallélisme de leurs plans tangents, les surfaces divisant,
+en segments proportionnels, le segment variable $AB$ sont encore des élassoïdes,
+puisque les traces principales de la congruence sur chacune de ces
+surfaces ont leurs tangentes parallèles aux droites isotropes des plans tangents
+en~$A$ et~$B$ à~$(A)$ et~$(B)$ et qu'en outre ces directions sont conjuguées.
+
+C'est même en faisant cette observation que nous avons été conduit à
+particulariser les surfaces $(A)$ et~$(B)$ dont la définition comporte en apparence
+quatre fonctions arbitraires, mais dont en réalité deux sont surabondantes.
+
+
+\Section{16.}
+{Élassoïdes stratifiés.}
+
+Deux développables isotropes arbitraires et arbitrairement placées dans
+l'espace, donnent lieu à une famille d'élassoïdes que nous nommerons
+\emph{stratifiés} pour rappeler qu'ils se correspondent par parallélisme de leurs
+%% -----File: 026.png---Folio 20-------
+plans tangents. Ces élassoïdes jouissent de propriétés fort singulières; elles
+seront développées dans un chapitre spécial. Ils comprennent comme limites
+les deux surfaces développables $(A)$ et~$(B)$ qui ont servi à les engendrer.
+Chacun des élassoïdes de la famille se distingue par la valeur d'un coefficient
+afférent au rapport de division du segment~$AB$, mais il est bien clair qu'on
+ne particularise en aucune façon en supposant le coefficient égal à \emph{un}
+puisque les deux fonctions arbitraires caractérisant la généralité de la définition
+restent générales. En conséquence on peut dire que \emph{tout élassoïde est
+le lieu des milieux des segments de droites limités à la rencontre de deux
+lignes de longueur nulle}.
+
+Il peut se faire que les deux lignes $(A)$ et~$(B)$ soient \emph{identiques}, c'est-à-dire
+appartiennent à une même courbe; dans ce cas, nous dirons, avec
+M.~Sophus Lie, que l'élassoïde est double.
+
+
+\Section{17.}
+{Le plan de l'infini coupe un élassoïde seulement suivant des droites.}
+
+Nous déduirons de ce qui précède une seule conséquence: \emph{la section d'un
+élassoïde, par le plan de l'infini, se compose de droites} (résultat énoncé depuis
+longtemps par Geiser).
+
+Il est clair en effet qu'on peut substituer aux définitions données précédemment
+la suivante:
+
+Tout élassoïde est le lieu d'un point associé sur les droites $AB$ rencontrant
+deux lignes de longueur nulle $(A)$ et~$(B)$, au point de l'infini, et tel que le
+rapport anharmonique des deux points associés et des points $A$ et~$B$ ait une
+valeur constante.
+
+Dans ces conditions, un point de l'élassoïde, situé à l'infini, correspond à
+deux points de~$(A)$ et~$(B)$ également situés à l'infini; dès lors, le point de
+rencontre de la droite~$AB$, avec le plan de l'infini, est indéterminé, par conséquent
+la droite, tout entière, appartient à l'élassoïde.
+
+Nous ne poursuivrons pas dans cette voie les belles conséquences que M.~Lie
+%% -----File: 027.png---Folio 21-------
+a développées avec un grand talent; désireux d'aborder des considérations
+nouvelles, nous n'entrerons pas dans la discussion des nombres déterminant
+le degré et la classe d'un élassoïde, en fonction des nombres caractéristiques
+de la classe, du degré, du rang et des singularités à l'infini, des développables
+isotropes $(A)$ et~$(B)$.
+
+En terminant ce chapitre, observons que si le problème de Monge est,
+ainsi, complétement résolu, la solution n'est pas dépourvue d'imaginaires.
+Bien que ce \emph{desideratum} paraisse aujourd'hui assez oiseux, nous montrerons
+plus loin comment on y satisfait par la considération des congruences
+isotropes.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 028.png---Folio 22-------
+
+
+\Chapter{IV.}
+{DES CONGRUENCES ISOTROPES.}
+
+Si nous écrivions un traité didactique, nous serions amené à résoudre en
+ce moment et par des procédés synthétiques, le problème de Björling, mais
+il nous paraît préférable de suivre la marche d'invention plus féconde en
+aperçus \emph{latéraux} et par conséquent susceptible, mieux qu'une synthèse
+étroite, de faire apprécier les nombreuses attaches géométriques de problèmes
+relatifs aux élassoïdes. A ce point de vue, il ne sera pas indifférent,
+à raison de la nouveauté et de la précision des résultats, d'indiquer les considérations
+qui nous ont conduit à l'\emph{étude des congruences isotropes} laquelle
+fera plus spécialement l'objet de ce chapitre. Nous supprimons d'ailleurs
+toute démonstration des résultats étrangers à l'étude proprement dite.
+
+
+\Section{18.}
+{Courbes symétriques par rapport aux plans tangents d'une surface le long
+d'une courbe unique, correspondant aux premières avec orthogonalité
+des plans tangents aux surfaces élémentaires. La courbe unique est
+asymptotique.}
+
+En général, étant données deux surfaces $(A)$ et~$(B)$ et une congruence
+arbitraire de droites telles que~$AB$, il y a seulement deux paires de lignes
+$(a)$ et~$(b)$ tracées sur $(A)$ et~$(B)$ se correspondant une à une et telles que les
+plans tangents aux abouts du segment~$AB$ des surfaces gauches élémentaires
+%% -----File: 029.png---Folio 23-------
+ayant pour traces sur $(A)$ et~$(B)$ les courbes $(a)$ et~$(b)$, soient rectangulaires.
+
+Dans ce qui suit, nous appellerons~$D$ la droite instantanée de la congruence
+et~$(D)$ cette congruence elle-même.
+
+Si l'on fait réfléchir les rayons $D$ de la congruence sur la surface $(A)$ et
+que l'on considère la surface~$(C)$ lieu des points~$C$ symétriques des points~$B$
+par rapport aux plans tangents de~$(A)$, les surfaces $(A)$ et~$(C)$ donneront lieu
+comme le couple $(A)$~$(B)$ à deux paires de courbes $(a')$ et~$(c)$ correspondantes
+et telles qu'aux abouts du segment~$AC$, les plans tangents aux
+surfaces élémentaires de la congruence~$(D')$ réfléchie [ayant pour traces sur
+$(A)$ et~$(C)$ les courbes $(a')$ et~$(c)$] soient rectangulaires.
+
+\emph{En général, les paires de courbes $(a)$ et~$(a')$ ne coïncident pas. Lorsqu'elles
+coïncident entre elles, elles sont les lignes asymptotiques de la surface~$(A)$.}
+
+Dans ce cas, la position de la droite $BC$ est définie sans quadrature; les
+surfaces $(B)$ et~$(C)$ sont uniques, et il suffit de connaître la congruence~$(D)$
+(qui est particulière) indépendamment de la surface~$(B)$.
+
+La congruence $(D)$ et la congruence réfléchie~$(D')$ satisfont à une seule
+et même équation différentielle.
+
+
+\Section{19.}
+{Cas où les deux congruences symétriques sont formées de normales
+à des surfaces. Ce sont des congruences de Dupin.}
+
+Si l'on veut qu'une congruence $(D)$ soit satisfaisante [par cette locution,
+employée généralement dans ce mémoire, nous entendons qu'un système géométrique
+vérifie les conditions du problème dont on s'occupe] et qu'en outre
+elle soit formée de normales à des surfaces, le problème se précise et donne
+lieu aux remarques suivantes:
+
+\primo~\emph{La droite $BC$ passe par le point de contact du plan d'incidence~$BAC$
+avec l'enveloppée qu'il touche constamment;}
+
+\secundo~\emph{Les traces $(\alpha)$, $(\alpha')$ sur $(A)$ des paires de développables suivant lesquelles
+on peut décomposer les congruences $(D)$ et~$(D')$ coïncident;}
+
+%% -----File: 030.png---Folio 24-------
+
+\tertio~\emph{Ces courbes $(\alpha)$ et~$(\alpha')$, coïncidant entre elles, sont conjuguées. Dès lors,
+les congruences $(D)$ et~$(D')$ sont des congruences de Dupin;}
+
+\quarto~\emph{Enfin, si l'on particularise davantage et qu'on veuille que les surfaces
+$(B)$ et~$(C)$ soient trajectoires des droites des congruences $(D)$ et~$(D')$, il
+faut alors que ces surfaces $(B)$ et~$(C)$ soient les deux nappes d'une enveloppe
+de sphères ayant leurs centres sur~$(A)$ et orthogonales à une sphère fixe.}
+
+Ces résultats, où figurent à la fois les lignes asymptotiques, les congruences
+de Dupin et les surfaces anallagmatiques prêtent un véritable intérêt à la
+correspondance par orthogonalité, qui leur donne naissance.
+
+
+\Section{20.}
+{Génération des normales aux surfaces anallagmatiques du quatrième ordre.}
+
+Une application fort élégante de ce qui précède se rapporte à la génération
+des surfaces anallagmatiques du quatrième ordre indiquée par M.~Laguerre,
+dans les termes suivants:
+
+\begin{Emph}
+Si par toutes les droites d'un plan on mène, à deux quadriques homofocales,
+deux plans tangents et que l'on joigne, par une droite, les points de
+contact, la congruence formée par les droites de même génération est aussi
+formée des normales à une surface anallagmatique du quatrième ordre.
+\end{Emph}
+
+Si nous avons indiqué les résultats précédents, c'est pour montrer comment
+nous avons été naturellement amené à l'étude des congruences isotropes.
+
+
+\Section{21.}
+{Congruences rencontrant deux surfaces suivant une infinité de courbes
+correspondantes, le long desquelles les plans tangents aux surfaces élémentaires
+sont rectangulaires.}
+
+Nous avons dit qu'en général, sur deux surfaces $(A)$ et~$(B)$ une congruence
+$(D)$ découpe seulement deux paires de courbes $(a)$ et~$(b)$ telles qu'aux abouts
+%% -----File: 031.png---Folio 25-------
+du segment~$AB$, les plans tangents aux surfaces élémentaires de la congruence
+soient rectangulaires. \emph{Mais il peut arriver, en particulier, qu'il y ait plus de
+deux paires de courbes. S'il en est ainsi, il y en a une infinité.} C'est ce que
+nous allons démontrer.
+
+Soient $(A)$ et~$(B)$ deux surfaces (arbitraires jusqu'à nouvel ordre), soit~$D$
+la droite d'une congruence~$(D)$ joignant les points correspondants $A$,~$B$.
+Si, par les milieux des segments~$AB$, on élève des plans perpendiculaires
+aux cordes~$AB$, ils toucheront une certaine surface~$(O)$ que nous prendrons
+pour surface de référence. Même, pour simplifier les calculs, nous supposerons
+que les lignes coordonnées $(u)$, $(v)$ sont les lignes de courbure
+de~$(O)$.
+
+$\xi$, $\eta$, $\zeta$ étant les coordonnées instantanées du point~$A$,
+
+$\xi$, $\eta$, $-\zeta$ seront les coordonnées instantanées du point~$B$.
+
+Si l'on suit, sur~$(O)$, une ligne satisfaisante (c'est-à-dire telle que les plans
+tangents à la surface élémentaire engendrée par~$D$ soient rectangulaires en
+$A$ et~$B$), on aura
+\[
+1 + \frac{\Delta Y_A - \Delta Y_B}{\Delta X_A - \Delta X_B} = 0.
+\]
+
+En effet, si $\theta$ désigne l'angle du plan tangent en~$A$, à la surface élémentaire,
+avec le plan~$ZOX$, on a manifestement
+\[
+\tg \theta = \frac{\Delta Y_A}{\Delta X_A},
+\]
+$\Delta X_A$ et~$\Delta Y_A$ ayant les valeurs déduites des \Eqref{formules}{1}, lorsque l'on particularise
+les axes en supposant que $(u)$ et~$(v)$ soient lignes de courbure,
+c'est-à-dire en annulant~$D$. Par conséquent, on suivra sur~$(O)$ une ligne
+satisfaisante si
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+&\left[du \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)
+     + dv \left(    \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)\right]^2
+     - P^2 \zeta^2\, du^2 \\
++
+&\left[dv \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right)
+     + du \left(    \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right)\right]^2
+     - Q^2 \zeta^2\, dv^2
+\end{aligned}\ \right\} = 0.
+\]
+
+%% -----File: 032.png---Folio 26-------
+
+%**** Sentence has no verb
+Équation du second degré en $\frac{dv}{du}$, comme nous l'avions annoncée. % [** PP: Typo annoncé]
+Dans la
+question qui nous occupe, cette équation doit être identique et alors, suivant
+toutes les directions, les plans tangents aux surfaces élémentaires, aux abouts
+des segments~$AB$, sont rectangulaires. Pour que ces circonstances se réalisent,
+il faut écrire
+\[
+±\frac{P}{Q}
+= \frac{f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv}\eta}
+       {g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi}
+= - \frac{\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv}\xi}
+         {\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta},
+\Tag{4}
+\]
+en même temps que:
+\[% [** PP: Breaking wide display]
+\begin{aligned}
+\zeta^2
+&= \frac{\left(f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv}\eta\right)^2
+      + \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv}\xi\right)^2}{P^2} \\
+&= \frac{\left(g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi\right)^2
+      + \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta\right)^2}{Q^2},
+\end{aligned}
+\Tag{5}
+\]
+système qui se réduit à trois équations.
+
+
+\Section{22.}
+{Équation des foyers et plans principaux d'une congruence formée de droites
+parallèles aux normales de la surface de référence.}
+
+Pour interpréter les relations précédentes, il faut établir les équations des
+foyers et des plans principaux de la congruence~$(D)$.
+
+Conformément à ce qui a été dit ci-dessus, le plan tangent à la surface
+élémentaire, en un point de~$D$ dont l'ordonnée $\zeta$ peut être différente du~$\zeta$  du
+point~$A$, est défini par la relation
+\[
+\tg \theta
+= \frac{dv \left(g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi + Q\zeta\right)
+      + du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv}\xi\right)}
+       {du \left(f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv}\eta + P\zeta\right)
+      + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta\right)},
+\]
+où $\theta$ est l'angle de ce plan et du plan~$ZOX$.
+
+%% -----File: 033.png---Folio 27-------
+
+On sait que les plans principaux sont tangents à toutes les surfaces élémentaires,
+aux foyers; on obtiendra donc les valeurs de~$\tg \theta$, afférentes aux plans
+principaux, et les valeurs de~$\zeta$, afférentes aux foyers, en écrivant que l'équation
+précédente est indépendante de $du$, $dv$.
+
+Le procédé est général: nous l'appliquerons à chaque instant dans ce qui
+suivra, mais sans revenir sur sa justification.
+
+On trouve ainsi, pour l'\emph{équation des points principaux}
+\[% [** PP: Re-breaking]
+\left.
+\begin{aligned}
+& P \tg^2\theta \left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right) \\
+&\qquad
+  - \tg  \theta \left[ P \left(g + \frac{d\eta}{dv}
+                      + \frac{dg}{f\, du}\xi\right)
+  - Q \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)\right] \\
+&\qquad
+  - Q\left[\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right]
+\end{aligned}\ \right\} = 0
+\Tag{6}
+\]
+et pour l'équation donnant \emph{les~$Z$ des foyers}
+\[% [** PP: Re-breaking]
+\left.
+\begin{aligned}
+PQZ^2
+ &+ Z\left[P\left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right)
+  + Q\left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)\right] \\
+%
+ &+ \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)
+    \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) \\
+ &- \left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
+    \left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right)
+\end{aligned}\ \right\} = 0.
+\Tag{7}
+\]
+
+Dès lors, si $Z_1$ % [** PP: Typo Z]
+et~$Z_2$ sont \emph{les~$Z$ des deux foyers}, on a toujours
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking]
+PQ · Z_1 · Z_2
+  = \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)
+    \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) \\
+  - \left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
+    \left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right).
+\end{multline*}
+
+Si l'on revient au problème, on trouve, en tenant compte des \Eqref{équations}{4}
+et~\hyperref[equation:5]{(5)}
+\[
+Z_1Z_2 = ±\zeta^2,
+\]
+première relation qui a lieu dans tous les cas. Faisons maintenant les deux
+hypothèses sur le signe.
+
+%% -----File: 034.png---Folio 28-------
+
+\Section{23.}
+{La congruence peut être formée de normales à une surface; les surfaces
+d'about sont les surfaces focales.}
+
+\emph{Première hypothèse:} mettons le signe $-$ devant~$\frac{P}{Q}$; il vient alors:
+\[
+  P\left(\frac{d\xi}{dv}  - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
+- Q\left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi \right) = 0;
+\]
+mais, si $\theta_1$ et~$\theta_2$ caractérisent les deux plans tangents principaux, l'\Eqref{équation}{6}
+rapprochée de la précédente, montre que celle-ci équivaut à la relation
+\[
+1 + \tg\theta_1 · \tg\theta_2 = 0.
+\]
+En conséquence, dans ce cas, \emph{la congruence est formée des normales à une
+famille de surfaces}.
+
+On a d'ailleurs en même temps
+\[
+  P\left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right)
++ Q\left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right) = 0.
+\]
+Cette relation, rapprochée de l'\Eqref{équation}{7}, conduit à écrire
+\[
+Z_1 + Z_2 = 0.
+\]
+Comme on a en même temps
+\[
+Z_1Z_2 = -\zeta^2:
+\]
+
+Les deux surfaces d'about $(A)$ et~$(B)$ sont les deux surfaces focales de la
+congruence.
+
+En effet, quelles que soient les surfaces élémentaires isolées dans une congruence
+de normales, les plans tangents aux foyers sont rectangulaires.
+
+%% -----File: 035.png---Folio 29-------
+
+\Section{24.}
+{La congruence est isotrope.}
+
+\emph{Deuxième hypothèse:} mettons le signe~$+$ devant~$\frac{P}{Q}$, nous avons alors les
+deux équations
+\begin{gather*}
+  P\left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
++ Q\left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right) = 0, \\
+%
+  Q\left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)
+- P\left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) = 0,
+\end{gather*}
+en vertu desquelles l'équation des plans principaux se réduit à
+\[
+\tg^2\theta + 1 = 0,
+\]
+à moins que l'on n'ait
+\[
+  P\left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
+= Q\left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right) = 0;
+\]
+si cette particularité se réalisait, l'\Eqref{équation}{6} serait entièrement indéterminée;
+par conséquent la congruence serait formée de droites parallèles ou
+concourantes.
+
+Écartant cette dernière hypothèse, on voit que \emph{les plans principaux de la
+congruence sont isotropes}. Par conséquent \emph{la congruence est isotrope, c'est-à-dire
+qu'elle a pour focales deux développables isotropes}.
+
+On trouve, immédiatement, que les foyers de la congruence sont donnés
+par l'équation
+\[
+Z = -\frac{g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi}{Q}
+    ±\sqrt{-1} \frac{\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta}{Q};
+\]
+ils sont naturellement imaginaires.
+
+Si l'on désigne par~$l$ la distance du pied~$M$ de la droite~$D$ au milieu du
+%% -----File: 036.png---Folio 30-------
+segment focal, et par $m\sqrt{-1}$ la valeur du demi-segment focal, on trouve
+\begin{gather*}
+-l = \frac{g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du} \xi}{Q}
+   = \frac{f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv} \eta}{P}, \\[1ex]
+ m = \frac{\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du} \eta}{Q}
+   = -\frac{\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv} \xi}{P};
+\end{gather*}
+on en conclut
+\[
+\zeta^2 = l^2 + m^2.
+\]
+
+
+\Section{25.}
+{Sur une congruence isotrope les points des surfaces d'about sont conjugués
+par rapport aux foyers.}
+
+Il importe de définir complétement les surfaces d'about $(A)$ et~$(B)$ par
+rapport à la congruence isotrope.
+
+L'équation précédente (si l'on désigne par~$F$ le milieu du segment focal)
+équivaut à la relation
+\[
+FA · FB = -m^2.
+\]
+
+On peut dès lors énoncer cette propriété, qui nous paraît importante:
+
+\begin{Emph}
+Sur les droites d'une congruence isotrope, les points correspondants de
+deux surfaces d'about sont conjugués harmoniques par rapport aux foyers
+de la congruence.
+\end{Emph}
+
+Nous désignons par surfaces d'about, pour abréger, les surfaces $(A)$ et~$(B)$
+jouissant de la propriété de se correspondre par orthogonalité des plans
+tangents des surfaces élémentaires de la congruence, aux abouts des
+segments tels que~$AB$.
+
+On voit aussi que les surfaces d'about sont transformées l'une de l'autre
+par une loi analogue à celle des figures inverses (transformation par rayons
+%% -----File: 037.png---Folio 31-------
+vecteurs réciproques) et que, quelle que soit la congruence isotrope choisie,
+l'une des surfaces est arbitraire.
+
+Pour donner dès l'abord un exemple des calculs habituels de la périmorphie
+et pour mettre en évidence un résultat très-général, nous allons
+montrer comment, lorsqu'on se donne arbitrairement la surface de référence~$(O)$
+définie comme l'enveloppée des plans moyens perpendiculaires aux
+segments~$AB$ joignant les points de surfaces d'about inconnues, celles-ci
+peuvent être déterminées.
+
+
+\Section{26.}
+{L'enveloppée moyenne d'une congruence isotrope est un élassoïde.}
+
+Ce problème serait identique à la recherche de toutes les congruences
+isotropes dont on ferait correspondre les droites par parallélisme aux
+normales de la surface de référence prise arbitrairement.
+
+A l'aide des valeurs de $l$ et~$m$, on peut écrire
+\begin{align*}
+-\frac{d\eta}{dv} &=  Ql + g + \frac{dg}{f\, du}\xi,&
+-\frac{d\eta}{du} &=  \phantom{-}Pm - \frac{df}{g\, dv}\xi, \\
+%
+-\frac{d\xi}{du}  &=  Pl + f + \frac{df}{g\, dv}\eta,&
+-\frac{d\xi}{dv}  &= -Qm - \frac{dg}{f\, du}\eta,
+\end{align*}
+et rien n'empêche de prendre pour variables principales $l$ et~$m$. Exprimant
+que les deux valeurs de $\smfrac{d^2\eta}{du\,dv}$ et de $\smfrac{d^2\xi}{du\, dv}$ sont égales individuellement et,
+tenant compte des \Eqref{équations de Codazzi}{3}, il vient simplement:
+\begin{align*}
+\xi  &= \frac{dl}{P\, du} - \frac{dm}{Q\, dv}, \\
+\eta &= \frac{dl}{Q\, dv} + \frac{dm}{P\, du}.
+\end{align*}
+mais il importe de particulariser, afin de mettre en lumière, sans effort, la
+propriété capitale des congruences isotropes.
+%% -----File: 038.png---Folio 32-------
+
+% [**** PP: New paragraph?] Isabelle: Yes, but no indent
+Puisque la surface de référence est arbitraire par rapport à la congruence
+isotrope~$(D)$, elle peut coïncider avec l'\emph{enveloppée moyenne} de la congruence
+(voir \Secref{2}), on réalisera cette hypothèse en annulant~$l$. Il vient alors:
+\begin{align*}
+\xi  &=           -\frac{dm}{Q\, dv}, \\
+\eta &= \phantom{-}\frac{dm}{P\, du},
+\end{align*}
+avec:
+\begin{align*}
+-\frac{d\eta}{dv} &= g + \frac{dg}{f\, du}\xi, &
+-\frac{d\eta}{du} &= -\frac{df}{g\, dv}\zeta, \\
+-\frac{d\xi}{du}  &= f + \frac{df}{g\, dv}\eta, &
+-\frac{d\xi}{dv}  &= -Qm - \frac{dg}{f\, du}\eta.
+\end{align*}
+Substituant les valeurs de $\xi$ et~$\eta$ dans les quatre équations différentielles,
+on trouve
+\[
+\Tag{8}
+\left.
+\begin{aligned}
+\frac{d^2m}{du\, dv} - \frac{1}{P}\frac{dP}{dv}\frac{dZ}{du}
+                     - \frac{1}{Q}\frac{dQ}{du}\frac{dZ}{dv}
+&= fQ = -gP, \\
+%
+\frac{d}{du}\left(\frac{dZ}{P\, du}\right)
+  + \frac{dP}{Q^2\, dv}\frac{dZ}{dv} + PZ % [**** PP: Should be dZ/du?]
+&= 0, \\
+%
+\frac{d}{dv}\left(\frac{dZ}{Q\, dv}\right)
+  + \frac{dQ}{P^2\, du}\frac{dZ}{dv} + QZ
+&= 0.
+\end{aligned}\ \right\}
+\]
+
+Les deux premières équations entraînant la relation
+\[
+fQ + gP=0,
+\]
+on voit, d'après la signification de $P$ et~$Q$ (\Secref{4}), que la surface de référence est
+à courbure moyenne nulle.
+
+Ainsi se trouve établie cette proposition, capitale dans notre étude:
+\emph{L'enveloppée moyenne, d'une congruence isotrope, est un élassoïde.}
+
+Avant d'aborder la résolution du groupe d'\Eqref{équations}{8}, établissons deux
+nouvelles propriétés essentielles des congruences isotropes.
+
+%% -----File: 039.png---Folio 33-------
+
+\Section{27.}
+{La recherche des congruences isotropes est ramenée à celle des
+réseaux isométriques orthogonaux de la sphère.}
+
+Particularisons différemment la surface de référence, en admettant qu'elle
+coïncide avec une sphère. Dans ce cas le réseau $(u, v)$ sera formé d'un
+réseau orthogonal arbitraire, et rien ne s'oppose à ce que nous le choisissions
+tel que les droites~$D$ soient, à chaque instant, situées dans le plan~$ZOX$; ces
+hypothèses seront réalisées, si l'on fait\footnote{$a$ étant le rayon de la sphère.}
+\begin{gather*}
+f = a · P,\quad g = a \Reg{}{·} Q. \\
+\eta = 0.
+\end{gather*}
+
+L'équation donnant la variation du plan tangent le long d'une droite~$D$
+appartenant à une surface élémentaire devient, en appelant~$\rho$ la longueur
+$\zeta+a$ comptée à partir du centre de la sphère
+\[
+\tg\theta
+  = \frac{du \left(f_\rho + \dfrac{d\xi}{du}\right) + dv · \dfrac{d\xi}{dv}}
+         {-du\dfrac{df}{g\, dv} · \xi + dv\left(g_\rho + \dfrac{dg}{f\, du} \xi\right)}.
+\Tag{9}
+\]
+
+L'équation des plans principaux devient
+\[
+  \tg^2\theta · \xi \frac{df}{fg\, dv}
++ \tg\theta \left(\frac{d\xi}{f\, du} - \frac{dg}{fg\, du}\xi\right)
++ \frac{d\xi}{g\, dv} = 0.
+\]
+Si la congruence~$(D)$ est isotrope, cette équation devra se réduire à
+\[
+\tg^2\theta + 1 = 0.
+\]
+Il faut donc que
+\begin{align*}
+\frac{d\xi}{\xi\, du} &= \frac{dg}{g\, du}, \\
+\frac{d\xi}{\xi\, dv} &= \frac{df}{f\, dv}.
+\end{align*}
+%% -----File: 040.png---Folio 34-------
+on doit, en conséquence, avoir
+\[
+\xi = f = g = \lambda
+\]
+et le carré de l'élément linéaire de la sphère peut s'écrire
+\[
+ds^2 = \lambda^2 (du^2 + dv^2).
+\]
+
+Ainsi la recherche des congruences isotropes est ramenée à celle des
+réseaux isométriques sphériques.
+
+\begin{Emph}
+Soit tracé, sur une sphère, un réseau isométrique arbitraire, que sur
+les tangentes aux courbes de l'une des familles on porte, à partir des
+points de contact, des segments égaux aux valeurs de~$\lambda$ en ces points; que,
+par les extrémités des segments, on mène des droites parallèles aux
+normales de la sphère, ces droites engendreront une congruence isotrope.
+\end{Emph}
+
+Le problème de l'intégration des réseaux isométriques sphériques a été
+résolu par M.~Liouville; on devra donc, de toute façon, trouver l'intégrale
+générale explicite des congruences isotropes ou des élassoïdes.
+
+
+\Section{28.}
+{Pour une congruence isotrope le paramètre de distribution est fonction
+de droite, et toutes les lignes de striction sont situées sur une surface
+unique.}
+
+Mais revenons à l'équation de la surface élémentaire. Sur chacune des
+droites~$D$, d'une surface élémentaire, existe un \emph{point central} dont le lieu est
+appelé la \emph{ligne de striction} de la surface élémentaire; le plan tangent à la
+surface au \emph{point central}, dit le plan central, est perpendiculaire au \emph{plan
+tangent à l'infini}. Enfin, il y a lieu de considérer ce que M.~Chasles a défini
+\emph{paramètre de distribution}; par abréviation nous le nommerons \emph{paramètre}.
+On sait qu'en un point de la droite, distant de~$x$ du point central, le plan
+tangent fait, avec le plan central, un angle~$\omega$ défini par l'équation
+\[
+x = p · \tg\omega,
+\]
+où $p$ représente la valeur du paramètre.
+
+%% -----File: 041.png---Folio 35-------
+
+L'équation de la surface élémentaire doit s'écrire
+\[
+\tg \theta
+= \frac{ du \left(\lambda\rho + \dfrac{d\lambda}{du}\right)
+      + \dfrac{d\lambda}{dv} · dv}
+       {-du · \dfrac{d\lambda}{dv}
+       + dv \left(\lambda\rho + \dfrac{d\lambda}{du}\right)}.
+\]
+
+Le plan tangent à l'infini s'obtient en faisant $\rho$ infini, on a donc:
+\[
+\tg\theta_\infty = \frac{du}{dv}
+\]
+et le plan central lui étant perpendiculaire, on doit avoir pour le déterminer
+\[
+\tg \theta_c
+= \frac{ du \left(\lambda\rho_c + \dfrac{d\lambda}{du}\right)
+        + \dfrac{d\lambda}{dv} \Reg{\,}{·} dv}
+       {-du \Reg{\,}{·} \dfrac{d\lambda}{dv}
+       + dv \left(\lambda\rho_c + \dfrac{d\lambda}{du}\right)}
+= -\frac{dv}{du}.
+\]
+
+Par conséquent, on déduit:
+\[
+\rho_c = -\frac{d\lambda}{\lambda\, du}
+\]
+et si l'on introduit $\tg\theta_c$ ainsi que $\rho_c$ dans l'équation de la surface élémentaire,
+on trouve
+\[
+\rho - \rho_c = -\frac{d\lambda}{\lambda\, dv}
+                 \frac{\tg \theta - \tg \theta_c}
+                      {1 + \tg \theta · \tg \theta_c}.
+\]
+On voit donc que le paramètre a pour valeur
+\[
+p = -\frac{d\lambda}{\lambda\, dv}; % [**** PP: \rho?]
+\]
+mais un fait capital résulte de cette analyse:
+
+\primo~\emph{Pour toutes les surfaces élémentaires possibles, contenant une droite~$D$,
+le paramètre est le même.}
+
+\secundo~\emph{Le lieu des lignes de striction de toutes les surfaces élémentaires est
+une surface.}
+
+Il est clair que la position du point central et la valeur du paramètre
+étant \emph{invariantes} sur chaque droite~$D$, sont liées aux éléments focaux.
+
+Cherchons l'équation des foyers, elle se réduit ici à
+\[
+\rho = -\frac{d\lambda}{\lambda\, du} ± i \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}.
+\]
+
+%% -----File: 042.png---Folio 36-------
+
+On voit donc qu'il y a lieu d'énoncer les propriétés suivantes:
+
+Étant donnée une congruence isotrope,
+
+\primo~\emph{Toutes les lignes de striction des surfaces élémentaires sont situées sur
+la surface moyenne de la congruence \emph{(voir \Secref{2})}.}
+
+\secundo~\emph{Sur chaque droite de la congruence le demi-segment focal est égal au
+produit, par $\sqrt{-1}$, du paramètre de toutes les surfaces élémentaires contenant
+la droite.}
+
+
+\Section{29.}
+{Valeur du paramètre d'une congruence isotrope en fonction
+du segment focal.}
+
+Il importe de mettre hors de doute que si, inversement, on trouve une
+congruence où les lignes de striction de toutes les surfaces élémentaires possibles
+soient situées sur une surface, cette congruence est isotrope.
+
+L'équation $(\rho)$, se rapportant à une congruence arbitraire, montre que la
+condition précitée sera réalisée si l'équation en $\rho$ afférente au point central,
+est indépendante de $dv$ et~$du$.
+
+Cette équation s'obtient, comme tout à l'heure, en écrivant
+\[
+-\frac{g\, dv}{f\, du}
+ = \frac{du\left(f\rho_c + \dfrac{d\xi}{du}\right) + dv \dfrac{d\xi}{dv}}
+        {-du \dfrac{df}{g\, dv} \xi + dv\left(g\rho_c + \dfrac{dg}{f\, du} \xi\right)}.
+\]
+
+Pour qu'elle soit identique en $du$ et~$dv$:
+\begin{gather*}
+\frac{df}{f\, dv} = \frac{d\xi}{\xi\, dv}, \\
+\frac{dg}{g\, du} = \frac{d\xi}{\xi\, du}, \\
+\rho_c = -\frac{d\xi}{f\, du}.
+\end{gather*}
+
+%% -----File: 043.png---Folio 37-------
+
+Les deux premières équations caractérisent la congruence isotrope,
+comme nous l'avons montré au \Secref{27}.
+
+L'invariabilité du \emph{paramètre} nécessite aussi que la congruence soit
+isotrope.
+
+
+\Section{30.}
+{Diagramme d'une congruence isotrope imaginé par M.~Mannheim.}
+
+Il n'est pas inutile de rapprocher ce qui précède d'un élégant diagramme
+imaginé par M.~Mannheim, pour représenter le déplacement du point central
+et la variation du paramètre de distribution sur une droite~$D$ d'une congruence,
+lorsqu'on envisage toutes les surfaces élémentaires contenant la
+droite (voir \emph{Journal de Liouville}, \Ord{2}{e}~série, t.~XVII, 1872, page~123).
+
+M.~Mannheim énonce ainsi la propriété:
+
+\begin{Emph}
+«Si dans un plan passant par un rayon d'un pinceau on porte, sur des
+perpendiculaires à ce rayon élevées des points centraux des surfaces élémentaires
+et à partir de ces points, des longueurs égales aux paramètres de
+distribution de ces surfaces, les extrémités des longueurs ainsi portées sont
+sur une circonférence~$C$ passant par les foyers du rayon.»
+\end{Emph}
+
+Chaque droite d'une congruence comporte ainsi un diagramme particulier.
+Dans l'espèce qui nous occupe, la projection du cercle-diagramme sur la
+droite~$D$ doit être nulle; par conséquent le cercle se réduit à un point, et
+l'on voit immédiatement que la distance de ce point à la droite~$D$ est la
+valeur invariante du \emph{paramètre}.
+
+Nous abandonnerons pour un moment la voie qui s'ouvre pour l'étude des
+élassoïdes dans la considération des réseaux sphériques isométriques. Il
+importe avant tout de préciser la connexité des problèmes de recherche d'un
+élassoïde et d'une congruence isotrope.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 044.png---Folio 38-------
+
+
+\Chapter{V.}
+{CONGRUENCES ISOTROPES DONNANT LIEU AU MÊME ÉLASSOÏDE.}
+
+\Section{31.}
+{Mise en équation du problème de la recherche de toutes les congruences
+isotropes donnant lieu au même élassoïde moyen.}
+
+Nous avons montré que l'enveloppée moyenne d'une congruence isotrope
+est un élassoïde.  Inversement, étant donné un élassoïde, comment
+trouver les congruences isotropes génératrices? Tel sera le problème
+dont ce chapitre donnera la solution.
+
+Prenons pour surface de référence l'élassoïde donné, et choisissons
+pour réseau $(u, v)$ celui des lignes asymptotiques, qui est rectangulaire. Les
+\Eqref{équations de Codazzi}{3} simplifiées par la disparition de~$P$ et de~$Q$, qui sont
+nuls, deviennent:
+\begin{gather*}
+g \frac{dD}{du} + 2 \frac{dg}{du} D = 0, \\[1ex]
+f \frac{dD}{dv} + 2 \frac{df}{dv} D = 0. \\[1ex] %[**,?]
+fg D^2 = \frac{d}{du} \left(\frac{dg}{f\, du}\right)
+       + \frac{d}{dv} \left(\frac{df}{g\, dv}\right).
+\end{gather*}
+
+Les deux premières entraînent
+\begin{align*}
+Dg^2 &= V, \\
+Df^2 &= U,
+\end{align*}
+où $U$ et~$V$ sont des fonctions arbitraires de $u$ et~$v$, mais le carré de l'élément
+linéaire étant de la forme
+\[
+dS^2 = \frac{U\, du^2}{D} + \frac{V\, dv^2}{D},
+\]
+%% -----File: 045.png---Folio 39-------
+on peut toujours particulariser les variables $u$ et~$v$ de telle façon que
+$U$ et~$V$ soient égales à l'unité. Alors
+\[
+f = g = D^{-\frac{1}{2}}
+\]
+et la troisième équation de Codazzi devient
+\[
+2D + \frac{d^2 \log D}{du^2} + \frac{d^2 \log D}{dv^2} = 0.
+\]
+
+Ceci posé si $\xi$ et~$\eta$ sont les coordonnées instantanées d'une droite~$D$ de la
+congruence, l'équation de la surface élémentaire sera, comme d'habitude:
+\[
+\tg \theta
+= \frac{dv \left[g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du} \xi\right]
+      + du \left[\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv} \xi - f D\zeta\right]}
+       {du \left[f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv} \eta\right]
+      + dv \left[\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du} \eta - g D\zeta\right]}.
+\]
+Posant:
+\begin{gather*}
+M  = g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi,\quad
+M' = f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta, \\
+N  = \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \xi,\quad
+N' = \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta,
+\end{gather*}
+on trouve, pour l'équation des plans principaux:
+\[
+-\tg^2\theta · gDM' + \tg\theta (gDN - fDN') + fD · M = 0;
+\]
+pour l'équation des ordonnées des foyers:
+\[
+-\zeta^2 fg D^2 + \zeta (fDN' + gDN) + MM' - NN' = 0.
+\]
+
+Écrivant que la congruence est isotrope, on obtient:
+\begin{align*}
+gN - fN' &= 0, \\
+fM + gM' &= 0.
+\end{align*}
+
+Si la surface de référence est l'enveloppée moyenne, dans l'équation en~$\zeta$,
+le terme du premier degré disparaît; par conséquent
+\[
+fN' + gN = 0.
+\]
+
+%% -----File: 046.png---Folio 40-------
+
+En outre, les foyers seront déterminés par l'équation
+\[
+± \sqrt{-1} · \zeta fgD = fM = -gM';
+\]
+et cette double relation, jointe à la suivante,
+\[
+N = N' = 0
+\]
+régit tout le problème.
+
+Mais, d'après ce qui a été établi au \Secref{28}, si $p$ désigne le \emph{paramètre}
+de la droite~$D$, on a en valeur absolue,
+\[
+\zeta = \sqrt{-1} p,
+\]
+par conséquent les équations du problème se réduisent au système
+\begin{gather*}
+N = N' = 0, \\
+pD = \frac{M}{g} = -\frac{M'}{f},
+\end{gather*}
+qui, développé, après substitution, devient:
+\[
+\left\{
+\begin{aligned}
+f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta + fDp &= 0,\quad
+\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta = 0, \\
+g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi - gDp &= 0,\quad
+\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \xi = 0.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+
+\Section{32.}
+{Réduction des équations à un système canonique.}
+
+Égalant les deux valeurs de $\smfrac{d^2\xi}{du\,dv}$, puis de $\smfrac{d^2\eta}{du\,dv}$, en tenant compte des
+valeurs de~$f$ et~$g$ en~$D$, on trouve
+\begin{align*}
+\xi  &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du}, \\
+\eta &=           -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv};
+\end{align*}
+%% -----File: 047.png---Folio 41-------
+puis, substituant ces valeurs dans les équations du problème, on obtient le
+nouveau système.
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+1 + \frac{d^2p}{du^2} - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{dp}{du}
+                      + \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{dp}{dv} + Dp &= 0, \\
+1 - \frac{d^2p}{dv^2} + \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{dp}{dv}
+                      - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{dp}{du} - Dp &= 0, \\
+  \frac{d^2p}{du\,dv} - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{dp}{dv}
+                      - \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{dp}{du} &= 0.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{10}
+\]
+
+Nous dirons que le problème est rendu canonique, en ce sens que les
+inconnues $\xi$ et~$\eta$ sont données explicitement en fonction des paramètres $p$ et~$D$
+et de leurs dérivées.
+
+Pour résoudre cet ensemble d'\Eqref{équations}{10} complété par l'équation de
+Codazzi en~$D$, non identique, nous poserons
+\begin{align*}
+u + \sqrt{-1} · v &= x, \\
+u - \sqrt{-1} · v &= y,
+\end{align*}
+$x$ et $y$ étant les coordonnées symétriques imaginaires habituelles. Le groupe
+se transforme ainsi:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\frac{D}{2}  + \frac{d^2 \log D}{dx\, dy} &= 0, \\
+\frac{D}{2} · p + \frac{d^2p}{dx\, dy} &= 0, \\
+\frac{1}{2} + \frac{d^2p}{dx^2} - \frac{dp}{dx} · \frac{dD}{D\, dx} &= 0, \\
+\frac{1}{2} + \frac{d^2p}{dy^2} - \frac{dp}{dy} · \frac{dD}{D\, dy} &= 0.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{11}
+\]
+
+
+\Section{33.}
+{Intégration des équations.}
+
+La première équation a été intégrée par M.~Liouville (Notes.---\emph{Application
+de l'analyse à la géométrie}); elle donne:
+\[
+-\frac{D}{2} = \frac{2X'Y'}{(X+Y)^2},
+\]
+%% -----File: 048.png---Folio 42-------
+$X$ et~$Y$ désignant deux fonctions arbitraires, l'une de~$x$ l'autre de~$y$, $X'$ et~$Y'$
+désignant les dérivées de ces quantités par rapport à $x$ et~$y$.
+
+La seconde équation a été intégrée par M.~Moutard, dans un très-beau
+mémoire publié dans le \Ord{XLV}{e}~cahier du \emph{Journal de l'École polytechnique}
+(page~5).
+
+$X_1$, $Y_1$ désignant deux nouvelles fonctions arbitraires, la valeur la plus
+générale de~$p$ est:
+\[
+p = \frac{X_1'}{X'} + \frac{Y_1'}{Y'} - 2\frac{X_1+Y_1}{X+Y}.
+\]
+
+Il s'agit maintenant de déterminer $X$ et~$Y$ de telle façon, que les
+deux dernières équations du \Eqref{groupe}{10} soient vérifiées. Effectuant la substitution,
+on obtient les deux équations définitives
+\begin{align*}
+\frac{1}{2} + \left(\frac{X_1'}{X'}\right)''
+  - \frac{X''}{X'} \left(\frac{X_1'}{X'}\right)' &= 0, \\
+\frac{1}{2} + \left(\frac{Y_1'}{Y'}\right)''
+  - \frac{Y''}{Y'} \left(\frac{Y_1'}{Y'}\right)' &= 0,
+\end{align*}
+qui, dans tous les cas, sont ramenées aux quadratures.
+
+En somme, le carré de l'élément linéaire d'un élassoïde étant mis sous la
+forme
+\[
+dS^2 = D^{-1}(du^2 + dv^2)
+     = D^{-1} · dx\Reg{·}{\,} dy,
+\]
+les coordonnées instantanées d'une droite de congruence isotrope satisfaisante
+auront pour valeurs
+\begin{gather*} % [** PP: Hard-coded lengths below]
+\xi  =  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du},\quad
+\eta = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv}, \\
+\intertext{où}
+D = -\frac{4X'Y'}{(X+Y)^2}, \\
+\rule{1in}{0pt}% **
+p = \frac{X_1'}{X'} + \frac{Y_1'}{Y'} - \frac{2(X_1 + Y_1)}{X + Y},
+\rule{1in}{0pt}% **
+% [**** PP: Vulnerable to bad page break]
+\smash{\left.\rule[-1.375in]{0pt}{2.75in}\right\}}%
+\Tag{12} \\
+\intertext{avec}
+X_1 = -\int dx\, X' \int dx\, X' \int \frac{dx}{2X'} +  aX^2 +  bX + c, \\
+Y_1 = -\int dy\, Y' \int dy\, Y' \int \frac{dy}{2Y'} + a'Y^2 + b'Y + c',
+\end{gather*}
+%% -----File: 049.png---Folio 43-------
+où $a, b, c, a', b', c'$, sont six constantes arbitraires introduites par les intégrations
+successives.
+
+Il résulte de cette analyse \emph{qu'un élassoïde donné est l'enveloppée moyenne
+d'une infinité de congruences isotropes}.
+
+
+\Section{34.}
+{Construction géométrique de toutes les congruences isotropes satisfaisantes
+à l'aide de l'une d'entre elles.}
+
+Nous terminerons ce chapitre en montrant comment on peut déduire,
+d'une congruence isotrope donnée, par une construction géométrique, toutes
+les congruences isotropes satisfaisantes. La liaison de cette infinité de
+congruences est définie analytiquement par les \Eqref{équations}{12}; mais la loi
+géométrique fort remarquable qui la régit, ne saurait s'en déduire aisément.
+On y parvient, au contraire, sans difficulté en remontant aux \Eqref{équations}{10}.
+
+Supposons que $p_1$ et~$p_2$ soient deux valeurs de~$p$ satisfaisantes, c'est-à-dire
+donnant lieu à deux congruences isotropes admettant pour enveloppée
+moyenne la surface de référence. $\xi_1$, $\eta_1$, $\xi_2$, $\eta_2$ étant les coordonnées
+instantanées des droites $D_1$, $D_2$ correspondantes, nous aurons
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\xi = \xi_2 - \xi_1
+    = D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp_2}{du} - \frac{dp_1}{du}\right)
+   &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\pi}{du}, \\
+\eta= \eta_2 - \eta_1
+    = -D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp_2}{dv} - \frac{dp_1}{dv}\right) % [** PP: Typo du -> dv]
+   &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\pi}{dv},
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{13}
+\]
+en désignant par $\pi$ la différence $p_2-p_1$; chacune de ces quantités $p_2$ et~$p_1$
+vérifiant les \Eqref{équations}{10}, $\pi$ vérifiera le groupe que voici:
+\[
+\left.
+\begin{gathered}
+\frac{d^2\pi}{du^2} - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{d\pi}{du}
+                    + \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{d\pi}{dv} + D\pi = 0, \\
+\frac{d^2\pi}{dv^2} - \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{d\pi}{dv}
+                    + \frac{dD}{2D\, du} · \frac{d\pi}{du} + D\pi = 0, \\
+\frac{d^2\pi}{du\, dv} - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{d\pi}{dv}
+                       - \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{d\pi}{du} = 0.
+\end{gathered}\ \right\}
+\Tag{14}
+\]
+
+%% -----File: 050.png---Folio 44-------
+
+Ceci posé, soient $\xi$, $\eta$, $\zeta$ les coordonnées instantanées d'un point~$O'$ d'un
+élassoïde identique à l'élassoïde de référence, et transporté parallèlement
+à lui-même dans l'espace. Il est clair que le segment~$OO'$ est constant en
+grandeur et en direction; par conséquent, on doit avoir, quels que soient
+$du$ et~$dv$:
+\begin{align*}
+\Delta XO' &= f\, du, \\
+\Delta YO' &= g\, dv, \\
+\Delta ZO' &= 0.
+\end{align*}
+
+Il faut, par conséquent, que les \Eqref{équations}{1} donnent:
+\begin{align*}
+& \frac{d\xi}{du}  + \frac{df}{g\, dv} \eta
+= \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi = 0, \\[1ex]
+& \frac{d\xi}{dv}  - \frac{dg}{f\, du} \eta - gD\zeta = 0, \\[1ex]
+& \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \Reg{·}{}\xi  - fD\zeta = 0, \\[1ex]
+& \frac{d\zeta}{du} + fD\eta = \frac{d\zeta}{dv} + gD\xi = 0.
+\end{align*}
+
+Tenant compte des valeurs de $f$ et de~$g$ en fonction de~$D$, le groupe précédent
+se ramène au groupe canonique que voici:
+\begin{align*}
+\xi  &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta}{dv}, \\
+\eta &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta}{du},
+\end{align*}
+complété par trois équations ne différant, de celles du \Eqref{groupe}{14}, que par
+le changement de~$\pi$ en~$\zeta$.
+
+Les deux problèmes analytiques seront donc identifiés en posant
+\begin{align*}
+\xi   &= \eta_2 - \eta_1, \\
+\eta  &= -(\xi_2 - \xi_1), \\
+\zeta &= \pi. % [** PP: Added .]
+\end{align*}
+
+%% -----File: 051.png---Folio 45-------
+
+De là résulte cette transformation géométrique des congruences isotropes
+satisfaisantes:
+
+\begin{Emph}
+Soit $D$ une droite d'une congruence isotrope~$(D)$: transportons-la dans
+l'espace, parallèlement à elle-même, suivant une direction toujours la même,
+et d'une quantité constante, nous obtiendrons ainsi une nouvelle congruence~$(D')$
+superposable à~$(D)$. Que l'on fasse tourner chaque droite~$D'$ de~$\frac{\pi}{2}$ autour
+de la droite~$D$ correspondante, on engendrera une nouvelle congruence~$(D'')$.
+Cette nouvelle congruence~$(D'')$ sera isotrope, elle sera satisfaisante
+comme~$(D)$.
+\end{Emph}
+
+La transformation précédente donne, de la façon la plus générale, avec
+\emph{trois constantes arbitraires} distinctes, toutes les congruences isotropes satisfaisantes
+dérivées de l'une d'entre elles. Les six constantes du \Eqref{groupe}{12}
+ne sont donc pas distinctes.
+
+En définitive, adoptant une notation très-expressive qui est admise
+aujourd'hui, nous dirons:
+
+\begin{Emph}
+Il existe $\infty^3$ congruences isotropes distinctes admettant le même élassoïde
+pour enveloppée moyenne. Elles se déduisent de l'une d'entre elles par
+un procédé cinématique; à un moment déterminé, tous les paramètres de
+ces congruences diffèrent entre eux des mêmes quantités que les distances
+de tous les points fixes de l'espace au plan moyen commun.
+\end{Emph}
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 052.png---Folio 46-------
+
+
+\Chapter{VI.}
+{GÉNÉRATION D'UNE CONGRUENCE ISOTROPE ET DE SON ENVELOPPÉE MOYENNE ÉLASSOÏDE.}
+
+Nous avons ramené la recherche des élassoïdes à celle des congruences
+isotropes; il est vrai que cette seconde recherche conduit à considérer comme
+différentes des congruences donnant lieu au même élassoïde, mais, à l'inverse,
+une congruence considérée donne également naissance à une infinité d'élassoïdes.
+Pour le moment, il importe d'observer que la recherche des
+\emph{élassoïdes algébriques} est ramenée à celle d'autant \emph{de surfaces réglées
+algébriques}.
+
+
+\Section{35.}
+{Une congruence isotrope est définie par une surface élémentaire.}
+
+Il est facile de voir qu'une surface gauche, réglée, considérée comme
+surface élémentaire d'une congruence isotrope, détermine entièrement cette
+congruence.
+
+Que l'on considère en effet tous les plans isotropes menés par les génératrices
+de la surface réglée, ces plans auront pour enveloppes deux développables
+isotropes; car, par chaque génératrice on pourra, en général,
+mener deux plans isotropes. Ces deux développables peuvent être considérées
+comme les focales d'une congruence isotrope dont la surface réglée originelle
+sera surface élémentaire.
+
+Les opérations que nous venons de relater sont toutes algébriques; on est
+%% -----File: 053.png---Folio 47-------
+donc en droit de conclure que l'enveloppée moyenne de la congruence sera
+algébrique si la surface gauche originelle est algébrique.
+
+Mais avant de poursuivre, dans la voie qui s'ouvre ainsi, la solution du
+problème mis au concours par l'Académie, nous devons préciser les relations
+de l'enveloppée moyenne élassoïde (que pour abréger nous appellerons
+dorénavant l'élassoïde moyen) avec la congruence isotrope génératrice.
+
+En outre, les congruences isotropes conduisant à une construction tangentielle
+des élassoïdes, il conviendra d'en déduire une génération ponctuelle.
+Telles seront les questions dont nous traiterons dans ce chapitre.
+
+
+\Section{36.}
+{Calcul des éléments de l'élassoïde moyen quand on se donne
+une seule surface élémentaire.}
+
+Étant donnée une surface réglée élémentaire~$(d)$, si par chacun des points
+centraux on élève des plans perpendiculaires aux génératrices, ces plans
+envelopperont une surface développable circonscrite à l'élassoïde moyen; il
+faut tout d'abord déterminer quelle sera la courbe de contact de la développable
+et de l'élassoïde.
+
+Considérons un point~$M$ pris arbitrairement sur chacune des droites~$D$ de
+la congruence et voyons ce que deviennent les \Eqref{formules}{1} lorsqu'on prend
+pour surface de référence l'élassoïde moyen, dans les conditions spécifiées
+au chapitre précédent. On a pour les coordonnées instantanées $\xi$ et~$\eta$
+\[
+\xi  =  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du},\quad
+\eta = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv};
+\]
+$\zeta$ est arbitraire.
+
+Si l'on tient compte des relations
+\begin{align*}
+f &= g = D^{-\frac{1}{2}}, \\
+P &= Q = 0,
+\end{align*}
+%% -----File: 054.png---Folio 48-------
+les \Eqref{formules}{1} deviennent
+\begin{align*}% [** PP: Re-breaking; Hard-coded skips]
+\Delta X
+&= du\, D^{-\frac{1}{2}}
+  \left(1 + \frac{d^2p}{du^2}
+          - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du}
+          + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv}\right) \\
+&+ dv\, D^{-\frac{1}{2}}
+      \left(\frac{d^2p}{du\, dv}
+          - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du}
+          - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv} - D\zeta\right), \\[1.5ex]
+%%
+\Delta Y
+&= du\, D^{-\frac{1}{2}}
+    \left(-\frac{d^2p}{du\, dv}
+          + \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv}
+          + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du} - D\zeta\right) \\
+&+ dv\, D^{-\frac{1}{2}}
+  \left(1 - \frac{d^2p}{dv^2}
+          + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv}
+          + \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du}\right), \\[1.5ex]
+%%
+\Delta Z
+&= du \left(\frac{d\zeta}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
+ + dv \left(\frac{d\zeta}{dv} + \frac{dp}{du}\right).
+\end{align*}
+
+Mais, si l'on tient compte des \Eqref{équations}{10}, il vient
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\Delta X &=           -D^{\frac{1}{2}} (p\, du + \zeta\, dv), \\
+\Delta Y &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} (p\, dv + \zeta\, du), \\
+\Delta Z &= du \left(\frac{d\zeta}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
+          + dv \left(\frac{d\zeta}{dv} + \frac{dp}{du}\right).
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{15}
+\]
+En particulier s'il s'agit du point central~$M$ on a:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\Delta X_M &=           -D^{\frac{1}{2}} p\, du, \\
+\Delta Y_M &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} p\, dv, \\
+\Delta Z_M &= -du\, \frac{dp}{dv} + dv\, \frac{dp}{du}.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{16}
+\]
+
+Lorsqu'on isolera, dans la congruence, une surface élémentaire, on
+suivra sur l'élassoïde un certain chemin caractérisé par les accroissements
+$du$, $dv$ des paramètres, et ce chemin sera précisément la courbe de contact
+cherchée.
+
+Pour déterminer le point de contact~$O$, alors qu'on ne dispose que de la
+surface élémentaire~$(d)$, il faudra connaître, dans le plan central, deux droites
+s'y rencontrant.
+
+Deux plans centraux consécutifs se couperont suivant une droite passant
+en~$O$, direction conjuguée sur l'élassoïde, de la tangente à la courbe de
+contact cherchée. On peut considérer cette caractéristique du plan central
+comme connue, car elle résulte directement des éléments de la surface élémentaire;
+ce sera \emph{une} droite satisfaisante.
+
+%% -----File: 055.png---Folio 49-------
+
+Cherchons à déterminer la droite~$OM$. Le plan passant par la droite~$D$ et
+par~$OM$ sera tangent à la surface élémentaire en un point défini par la hauteur~$\zeta'$;
+mais, dans l'espèce, l'équation donnant la variation des plans tangents
+le long de~$D$ devient [en désignant par~$\theta$ l'angle du plan tangent au
+point $(\xi\, \eta\, \zeta)$ avec le plan~$ZOX$]
+\[
+\tg \theta
+  = \frac{\Delta Y}{\Delta X}
+  = - \frac{p\, dv - \zeta\, du}{p\, du + \zeta\, dv},
+\]
+nous exprimerons que ce plan passe par~$O$ en écrivant
+\[
+\tg \theta
+  = \frac{\eta}{\xi}
+  = - \frac{\dfrac{dp}{dv}}{\dfrac{dp}{du}}
+  = - \frac{p\, dv - \zeta'\, du}{p\, du + \zeta'\, dv}.
+\]
+Conséquemment
+\[
+\zeta' \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right)
+  = p\left(\frac{dp}{du}\, dv - \frac{dp}{dv}\, du\right);
+\]
+mais le \Eqref{groupe}{16} montre que cette équation peut s'écrire
+\[
+\zeta'\, \Delta p = p · \Delta Z_M.
+\]
+
+D'un autre côté, puisque $M$ est le point central, si $\omega$ désigne l'angle du
+plan~$NMO$ avec le plan central, tangent en~$M$ à la surface élémentaire:
+\[
+\zeta' = p \tg \omega,
+\]
+on a donc, en somme
+\[
+\tg \omega = \frac{\Delta Z_M}{\Delta p},
+\Tag{17}
+\]
+$\Delta p$ est l'accroissement du paramètre de distribution quand on passe de la
+génératrice~$D$ à la génératrice infiniment voisine; $\Delta Z_M$ n'est autre chose que
+la projection de l'arc infiniment petit de la ligne de striction sur la génératrice~$D$.
+On voit donc que le plan~$OMN$ est entièrement défini à l'aide des
+éléments de la surface élémentaire.
+
+%% -----File: 056.png---Folio 50-------
+
+\Section{37.}
+{Construction des éléments de l'élassoïde moyen à l'aide de ceux
+d'une surface élémentaire.}
+
+Si le calcul qui précède est utile (surtout lorsque l'on particularise la
+surface élémentaire), il ne conduit pas à une construction purement géométrique
+du point de contact. Pour l'obtenir, portons, de part et d'autre du
+point central, sur la génératrice~$D$, un segment égal à~$p$; les extrémités de
+ces segments seront situées sur deux courbes $(p)$ et~$(p')$ que l'on peut supposer
+tracées sur la surface élémentaire~$(d)$. Cherchons à déterminer les
+équations des plans normaux à ces courbes, aux points $P$ et~$P'$, situés sur~$D$.
+On a pour le point~$P$, par exemple, situé au-dessus du plan~$XOY$
+\begin{align*}
+\Delta X_p &=           -D^{\frac{1}{2}} p(du + dv), \\
+\Delta Y_p &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} p(dv - du), \\
+\Delta Z_p &= du \left(\frac{dp}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
+            + dv \left(\frac{dp}{dv} + \frac{dp}{du}\right).
+\end{align*}
+Mais l'équation du plan normal étant
+\[
+(X - \xi) \Delta X_p + (Y - \eta) \Delta Y_p + (Z - \zeta) \Delta Z_p = 0,
+\]
+devient, après substitution,
+\[
+ -XD^{\frac{1}{2}}(du + dv)
++ YD^{\frac{1}{2}}(dv - du)
++ Z\left[\frac{dp}{p\, du} (du + dv) + \frac{dp}{p\, dv} (dv - du)\right] = 0.
+\]
+Pour obtenir l'équation du plan normal en~$P'$, il faudrait opérer semblablement
+sur les valeurs de~$\Delta XP'$, etc., on trouve
+\[
+  XD^{\frac{1}{2}}(dv - du)
++ YD^{\frac{1}{2}}(du + dv)
++ Z\left[\frac{dp}{p\, du} (dv - du) - \frac{dp}{p\, dv} (du + dv)\right] = 0.
+\]
+
+On voit \primo~\emph{que les deux plans normaux, aux courbes $(P)$ et~$(P')$, passent
+par le point de contact~$O$.}
+
+\secundo~\emph{Que ces plans normaux coupent le plan moyen suivant deux droites
+rectangulaires inclinées à~$45°$ sur la caractéristique.}
+
+%% -----File: 057.png---Folio 51-------
+
+\Section{38.}
+{L'élassoïde moyen est le lieu des milieux des cordes rencontrant les arêtes
+de rebroussement des développables focales de la congruence isotrope.}
+
+On pourra, de la sorte, connaissant une surface élémentaire de la congruence,
+déterminer le contour suivant lequel les plans moyens touchent
+l'élassoïde; mais il est nécessaire de trouver une construction ponctuelle,
+dépendant des développables isotropes, focales de la congruence, afin
+d'obtenir une détermination indépendante des surfaces élémentaires prises
+isolément. A cet effet, il convient de rechercher les génératrices des développables
+isotropes qui rencontrent la droite~$D$, et, sur ces génératrices, les
+points appartenant aux arêtes de rebroussement.
+
+Les développables isotropes sont, en somme, les enveloppes des plans
+isotropes passant par~$D$, plans dont les équations peuvent s'écrire
+\[
+(Y - \eta) ± (X - \xi) \sqrt{-1} = 0,
+\]
+ou, si l'on veut:
+\[
+Y +           D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv}
+  ± \left(X - D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du}\right) \sqrt{-1} = 0;
+\Tag{18}
+\]
+si l'on suit la surface élémentaire ($u$ et~$v$ croissant de $du$, $dv$) les équations
+des plans isotropes nouveaux, considérés dans la seconde position du trièdre
+$OX'Y'Z'$, seront
+\[
+Y' - \eta - \Delta\eta ± (X' - \xi - \Delta\xi) \sqrt{-1} = 0.
+\]
+Les \Eqref{équations}{2} donnent (et nous entrons dans le détail de ces calculs,
+courants en périmorphie, parce que c'est la première fois que nous y avons
+recours dans ce mémoire)
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+X' &= -D^{-\frac{1}{2}}\, du + X
+        + Y \left(+\frac{dD}{2D\, dv}\, du
+                  -\frac{dD}{2D\, du}\, dv\right)
+        + ZD^{\frac{1}{2}}\, dv, \\
+%%
+Y' &= -D^{-\frac{1}{2}}\, dv
+        + X \left(+\frac{dD}{2D\, du}\, dv
+                  -\frac{dD}{2D\, dv}\, du\right)
+        + Y
+        + ZD^{\frac{1}{2}}\, du, \\
+%%
+Z' &= -XD^{\frac{1}{2}}\, dv - YD^{\frac{1}{2}}\, du + Z.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{19}
+\]
+%% -----File: 058.png---Folio 52-------
+On en déduit sans difficulté [en tenant compte de~\Eqref{}{18}] pour les équations
+des caractéristiques des plans isotropes
+\[
+Z ± p \sqrt{-1} = 0.
+\]
+C'est là une simple vérification, car on savait que ces caractéristiques passent
+par les foyers situés sur~$D$, lesquels sont précisément déterminés par l'équation
+précédente en~$Z$; quant à l'orthogonalité des génératrices des développables
+isotropes et de la droite~$D$ qui les rencontre, elle résultait du lemme
+suivant, établi par Poncelet. % [**** Colon?]
+
+\begin{Emph}
+Dans un plan, si deux droites $OA$, $OB$ sont rectangulaires, elles rencontrent
+la droite de l'infini en deux points $A$ et~$B$ harmoniques conjugués
+par rapport aux ombilics $I$ et~$J$.
+\end{Emph}
+
+Lorsque le plan considéré est isotrope, toute droite~$OB$ qu'il contient est
+orthogonale aux droites isotropes; en effet, dans ce cas, les points $I$ et~$J$
+coïncident avec le point~$A$.  C'est pourquoi nous pouvons dire que, \emph{dans un
+plan isotrope, toute droite du plan est orthogonale à la direction isotrope
+unique de ce plan}.
+
+Ceci posé, cherchons, sur les génératrices des développables isotropes, les
+points appartenant aux arêtes de rebroussement. Rappelons tout d'abord que,
+\emph{si des plans passent par les diverses génératrices d'une surface gauche, la
+caractéristique d'un plan rencontre la génératrice contenue dans le plan,
+au point où celui-ci touche la surface réglée}. Dans le cas où la surface est
+développable, le point de rencontre appartient à l'arête de rebroussement.
+
+Dans le cas qui nous occupe, les plans
+\[
+Z = ± p \sqrt{-1}
+\]
+ont des caractéristiques contenues dans les plans
+\[
+Z' = ± (p + \Delta p) \sqrt{-1},
+\]
+ou d'après~\Eqref{}{19}
+\[
+X\, dv + Y\, du
+  ± \sqrt{-1} \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) D^{-\frac{1}{2}} = 0,
+\]
+%% -----File: 059.png---Folio 53-------
+soit en éliminant le symbole $±\sqrt{-1}$
+\[
+X\, dv + Y\, du + Z \frac{D^{-\frac{1}{2}}}{p}
+  \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) = 0.
+\]
+Comme les points cherchés sont les mêmes, quels que soient $du$ et~$dv$, on
+voit qu'ils sont déterminés par les équations
+\[
+  X + ZD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{p\, dv}
+= Y + ZD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{p\, du} = 0.
+\]
+
+Ainsi les points de contact, avec les arêtes de rebroussement des génératrices
+des développables rencontrant~$D$, sont situés sur une droite passant
+par le point de contact~$O$.  D'un autre côté, comme les deux génératrices sont
+situées dans des plans parallèles au plan moyen, on voit que:
+
+\begin{Emph}
+L'élassoïde moyen est le lieu des milieux des cordes rencontrant les arêtes
+de rebroussement des deux développables isotropes focales de la congruence.
+\end{Emph}
+
+Nous retrouvons ainsi la construction ponctuelle des élassoïdes, établie
+synthétiquement au \Secref{14}.
+
+En fait, constatant que les plans représentés par
+\[
+Z = ±p\sqrt{-1}
+\]
+enveloppent des \emph{courbes de longueur nulle}, et non des surfaces, nous avions
+trouvé la génération ponctuelle des élassoïdes que M.~Sophus Lie a publiée
+avant nous.
+
+Nous aurons l'occasion, plus loin, de vérifier que les arêtes de rebroussement
+des développables isotropes sont bien des lignes de longueur nulle.
+
+Pour le moment, voyons à déduire des conséquences des résultats établis
+dans ce chapitre.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 060.png---Folio 54-------
+
+
+\Chapter{VII.}
+{CONSÉQUENCES RELATIVES A UN ÉLASSOÏDE CONSIDÉRÉ ISOLÉMENT.}
+
+\Section{39.}
+{Construction de tous les couples de lignes isotropes donnant lieu au même
+élassoïde moyen. {\upshape(}Elles sont toutes identiques.{\upshape)}}
+
+Puisqu'il y a une $\infty^3$ de congruences isotropes admettant le même élassoïde
+moyen (\Secref{34}), il y a $\infty^3$ manières de considérer l'élassoïde comme
+lieu des milieux des cordes joignant les points de deux lignes isotropes.
+Comme celles-ci sont toujours semblables aux lignes de longueur nulle
+tracées sur l'élassoïde, les arêtes de rebroussement des focales de congruences
+isotropes satisfaisantes forment des couples ou semblables ou identiques. Il
+est facile de trancher la question:
+
+Soient $(A)$ et~$(B)$ deux lignes isotropes %[**cannot be an accent]
+satisfaisantes; transportons $(A)$ de
+droite à gauche, dans l'espace, d'une quantité~$Aa$, suivant une direction arbitraire;
+de même transportons $(B)$ de gauche à droite parallèlement à~$Aa$ et
+d'une quantité $Bb = Aa$, manifestement les lieux des milieux des cordes
+telles que $AB$ ou $ab$ sont les mêmes.
+
+Si donc on fait subir cette transformation (comportant \emph{trois} constantes
+arbitraires) à un couple satisfaisant de lignes isotropes, on obtiendra le couple
+satisfaisant le plus général.
+
+Vérifions cette conséquence par les procédés de périmorphie: des calculs
+%% -----File: 061.png---Folio 55-------
+du \Secref{38}, il résulte que les coordonnées instantanées des points $A$ et~$B$ sont
+\begin{align*}
+&&
+\xi_A   &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} \sqrt{-1}, &
+\xi_B   &=  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} \sqrt{-1}, && \\
+&&
+\eta_A  &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du} \sqrt{-1}, &
+\eta_B  &=  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du} \sqrt{-1}, && \\
+&&
+\zeta_A &=  p \sqrt{-1}, &
+\zeta_B &= -p \sqrt{-1}. &&
+\end{align*}
+
+Mais d'après les calculs du \Secref{34}, $\pi$ désignant la projection du segment
+$Aa$ sur~$OZ$, les coordonnées du point~$a$ sont:
+\begin{align*}
+\xi_a   &= -D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{dv} \sqrt{-1} + \frac{d\pi}{dv}\right), \\
+\eta_a  &= -D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{du} \sqrt{-1} + \frac{d\pi}{du}\right), \\
+\zeta_a &= p \sqrt{-1} + \pi.
+\end{align*}
+
+D'ailleurs $\pi$ satisfait aux \Eqref{équations}{14}. Posons
+\[
+\pi = \sqrt{-1}(p_1 - p).
+\]
+
+Les coordonnées du point~$a$ deviennent
+\begin{align*}
+\xi_a   &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp_1}{dv} \sqrt{-1}, \\
+\eta_a  &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp_1}{du} \sqrt{-1}, \\
+\zeta_a &= p_1 \sqrt{-1}
+\end{align*}
+et par la façon même dont le \Eqref{groupe}{14} a été obtenu, on voit que~$p_1$ doit
+vérifier le \Eqref{groupe}{10}. Or ce dernier régit précisément le \emph{paramètre} le plus
+général des congruences isotropes satisfaisantes; les coordonnées du point~$a$,
+exprimées en fonction de~$p_1$, sont de même forme que les coordonnées du
+%% -----File: 062.png---Folio 56-------
+point~$A$ exprimées en fonction de~$p$. On peut donc conclure que la transformation
+indiquée ci-dessus est la plus générale.
+
+La vérification précédente permet de remarquer que si les droites d'une
+congruence isotrope $(D)$ sont réelles, pour obtenir une nouvelle congruence
+isotrope $(D')$ réelle (dont par conséquent le paramètre soit réel), le segment
+constant~$Aa$ doit être imaginaire, le segment~$Bb$ est alors imaginaire conjugué.
+
+Ces considérations accroissent l'intérêt de la transformation \emph{réelle} trouvée
+au \Secref{34} et qui permet de passer d'une congruence isotrope réelle à toutes les
+congruences isotropes réelles satisfaisantes.
+
+Il convient, maintenant, de particulariser les surfaces élémentaires des
+congruences isotropes, afin d'établir diverses propriétés des élassoïdes.
+
+
+\Section{40.}
+{L'élassoïde moyen est inscrit dans la polaire de la ligne double d'une congruence
+isotrope génératrice le long du lieu des centres de courbure de
+cette ligne double.}
+
+Un élassoïde réel est engendré ponctuellement par le point milieu de
+cordes réelles dont les extrémités décrivent deux lignes de longueur nulle,
+imaginaires conjuguées; les deux développables isotropes, lieux des tangentes
+à ces courbes, sont imaginaires conjuguées, elles se coupent mutuellement
+suivant des \emph{lignes doubles réelles}. La congruence isotrope qui admet ces développables
+conjuguées pour focales, est réelle. Les droites de la congruence
+qui rencontrent la ligne double, devant toucher à la fois chacune des développables,
+sont les tangentes de la ligne double. Dès lors \emph{la ligne double réelle
+est l'arête de rebroussement d'une surface élémentaire développable}. Si l'on
+se reporte à la \Eqref{formule}{17}, $\Delta Z$ étant l'arc élémentaire de la ligne double,
+$p$~étant nul (parce que la plus courte distance de deux génératrices consécutives
+de la surface élémentaire est infiniment petite du troisième ordre et
+que $p$ est le quotient de cette distance par l'angle de deux génératrices consécutives,
+angle infiniment petit du premier ordre) $\Delta p$ est nul et $\cot\omega$ % [** PP: cotg in original]
+est nulle.
+
+%% -----File: 063.png---Folio 57-------
+
+Ainsi, le plan~$NMO$ est perpendiculaire au plan tangent à la développable,
+le long de la génératrice. La droite~$MO$ est donc la normale à la ligne double
+située dans le plan osculateur. Mais ici la caractéristique du plan moyen est la
+droite \emph{polaire}, intersection des plans normaux consécutifs. En conséquence
+on peut dire que:
+
+\begin{Emph}
+Tout élassoïde est inscrit à la développable polaire de la ligne double
+réelle, intersection des deux développables isotropes qui servent à l'engendrer;
+la courbe de contact est le lieu des centres de courbure de la ligne
+double.
+\end{Emph}
+
+
+\Section{41.}
+{Sur un élassoïde donné on peut tracer une $\infty^3$ de lignes lieux des centres
+de courbure de courbes doubles.}
+
+Conséquemment, \emph{sur un élassoïde quelconque, on peut tracer une $\infty^3$ de
+lignes, le long desquelles la surface est tangente aux développables polaires
+de courbes gauches}.
+
+Si l'élassoïde est algébrique, toutes les congruences isotropes qui l'engendrent
+sont algébriques; donc les courbes gauches, précitées, sont également
+algébriques. Elles sont du reste, en général, de même degré; car ce
+sont les intersections de deux développables isotropes, déplacées, parallèlement
+à elles-mêmes, dans l'espace.
+
+Inversement, si l'on prend, pour surface élémentaire d'une congruence
+isotrope, une surface développable, son arête de rebroussement sera ligne
+double (souvent partielle) du couple de développables isotropes satisfaisantes.
+Il suffira que la développable soit algébrique pour que l'élassoïde moyen
+soit algébrique.
+
+C'est le cas de particulariser encore et de considérer une développable
+réduite à un plan: l'arête de rebroussement sera une courbe~$(C)$ arbitraire
+de ce plan, la surface polaire devient un cylindre, admettant pour section
+droite la développée $(D)$ de la courbe~$(C)$. Cette développée est une géodésique
+de l'élassoïde.
+
+%% -----File: 064.png---Folio 58-------
+
+\Section{42.}
+{Élassoïde admettant pour géodésique une courbe plane. Vérification
+de la transformation des congruences isotropes satisfaisantes.}
+
+On est donc en droit de dire avec Henneberg: \emph{tout élassoïde, qui admet
+pour géodésique une courbe plane, $(D)$, sera algébrique si~$(D)$ est la développée
+d'une courbe algébrique}.
+
+A cette occasion, nous vérifierons la transformation réelle des congruences
+isotropes satisfaisantes, donnée au \Secref{34}.
+
+Dans le cas particulier considéré, la surface élémentaire de la congruence
+est formée par les tangentes à une courbe~$(C)$ développante de la géodésique
+plane~$(D)$; on doit pouvoir adopter telle développante que l'on voudra
+et par conséquent la transformation précitée doit transformer les tangentes
+de la courbe~$(C)$ en tangentes d'une courbe parallèle. C'est ce qui a lieu en
+effet en considérant un déplacement des tangentes de~$(C)$ perpendiculaire au
+plan de cette courbe; la rotation de~$90°$ autour des tangentes primitives
+ramène les secondes tangentes dans le plan de~$(C)$ et à une distance constante
+des premières; les droites transformées enveloppent donc une courbe parallèle
+à~$(C)$.
+
+
+\Section{43.}
+{L'élassoïde moyen et la surface moyenne sont focales d'une même congruence.}
+
+Si dans la \Eqref{formule}{17} on annule $\Delta p$, $\cot\omega$ est aussi nulle; par conséquent
+les droites telles que~$OM$ sont normales aux surfaces élémentaires
+caractérisées par la constance du paramètre. Remarquons, à l'inverse, que
+si $\Delta Z$ est nul, les droites telles que $OM$ sont tangentes aux surfaces élémentaires;
+mais la condition
+\[
+\Delta Z = 0
+\]
+%% -----File: 065.png---Folio 59-------
+emporte que $OM$ soit tangente à la ligne de striction. De ceci résulte une
+conséquence importante:
+% ** smallskip?
+
+\primo~\emph{Les droites joignant le point central~$M$ d'une droite~$D$ de la congruence
+isotrope, au point de contact~$O$ de l'élassoïde et du plan moyen, forment
+une congruence dont les focales sont l'élassoïde moyen et la surface moyenne}.
+
+\secundo~\emph{Sur la surface moyenne, les trajectoires orthogonales des courbes
+enveloppes des droites~$OM$ \emph{(arêtes de rebroussement d'une famille de développables
+principales)} sont les lignes de striction des surfaces élémentaires,
+de la congruence isotrope, dont le paramètre est constant}.
+% ** smallskip?
+
+Nous sommes ainsi amenés à étudier les surfaces moyennes; le prochain
+chapitre fera connaître les singulières propriétés de ces surfaces dont la
+théorie, si intimement liée à celle des élassoïdes, mettra définitivement en
+lumière toute l'importance des congruences isotropes.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 066.png---Folio 60-------
+
+
+\Chapter{VIII.}
+{PROPRIÉTÉS DES SURFACES MOYENNES.}
+
+\Section{44.}
+{La surface moyenne d'une congruence isotrope est le lieu des milieux de
+cordes égales entre elles dont les extrémités décrivent des surfaces applicables
+l'une sur l'autre.}
+
+A un élassoïde donné correspondent autant de surfaces moyennes que de
+congruences isotropes satisfaisantes, la transformation géométrique du \Secref{34} % [** PP: Omitted () around section number]
+permet de construire toutes ces surfaces quand on connaît l'une d'entre elles
+et la congruence isotrope lui donnant naissance.
+
+Démontrons tout d'abord que les surfaces moyennes ont une définition
+propre indépendante des élassoïdes. Dans ce but, reprenons les \Eqref{formules}{15}
+qui se rapportent aux $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$ d'un point arbitraire~$N$ de la droite~$D$ et,
+par conséquent, à une surface arbitraire $(N)$ coupant la congruence isotrope~$(D)$.
+
+Supposons que sur~$D$ on porte, à chaque instant, une longueur constante~$c$;
+l'extrémité du segment décrira une surface~$(C)$ caractérisée par le groupe
+\begin{align*}
+\Delta X &=           -D^{\frac{1}{2}} (p\, du + c\, dv), \\
+\Delta Y &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} (p\, dv - c\, du), \\
+\Delta Z &= -\frac{dp}{dv}\, du + \frac{dp}{du}\, dv;
+\end{align*}
+%% -----File: 067.png---Folio 61-------
+et le carré de l'élément linéaire de cette surface a pour valeur
+\[
+dS^2 = (p^2 + c^2)(du^2 + dv^2) + \left(\frac{dp}{du}\, dv - \frac{dp}{dv}\, du\right)^2.
+\]
+
+Si sur les droites~$D$, à partir de~$M$, nous portons de haut en bas, le
+segment~$c$, nous obtiendrons une nouvelle surface~$(c)$ dont le carré de
+l'élément linéaire sera identique à celui de~$(C)$ puisque cette expression ne
+contient que~$c^2$. Conséquemment, \emph{les deux surfaces $(C)$ et~$(C')$ sont applicables
+l'une sur l'autre}.
+
+On obtiendra ainsi autant de couples de surfaces applicables qu'on donnera
+de valeur au paramètre~$c$.
+
+
+\Section{45.}
+{Réciproque de la proposition qui précède énoncée sous forme de théorème
+de géométrie cinématique.}
+
+Réciproquement, \emph{si les deux extrémités d'un segment constant de droite
+décrivent deux surfaces $(C)$ et~$(C')$ applicables l'une sur l'autre, la droite
+engendre une congruence isotrope}.
+
+Prenons pour surface de référence la surface que touchent tous les plans
+élevés par les milieux des segments perpendiculairement aux segments
+mêmes, et pour simplifier les calculs, supposons que la droite~$D$ joignant les
+points $CC'$ est constamment située dans le plan des~$ZOX$, ce qui ne particularise
+que les axes $(u, v)$.
+
+Les coordonnées du point~$C$ seront
+\[
+\xi,\quad O,\quad c,
+\]
+celles du point~$C'$ seront
+\[
+\xi,\quad O,\quad -c.
+\]
+
+Le \Eqref{groupe}{1} devient, pour le point~$C$:
+\begin{align*}
+\Delta X_c &= (P\, du - gD\, dv)c + du\left(f + \frac{d\xi}{du}\right)
+              + dv\, \frac{d\xi}{dv}, \\
+\Delta Y_c &= (-fD\, du+Q\, dv)c - du\, \frac{df}{g\, dv} \xi
+              + dv\left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right), \\ % [** PP: Typo fda]
+\Delta Z_c &= du\, (-P\xi + fD\eta) + dv\, (-Q\eta + gD\xi).
+\end{align*}
+%% -----File: 068.png---Folio 62-------
+Pour le point~$C'$ il faudrait changer le signe de~$c$. Si les surfaces $(C)$ et~$(C')$
+sont applicables l'une sur l'autre, l'expression du~$dS^2$ ne contient pas $c$ au
+premier degré.
+
+Il faut donc que l'équation
+\[ % [** PP: Re-breaking]
+\left.
+\begin{aligned}
+&(-fD\, du + Q\, dv)
+  \left[-du\, \frac{df}{g\, dv} \xi
+       + dv\, \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)\right] \\
+&+(P\, du - gD\, dv)
+  \left[du \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)
+      + dv\, \frac{d\xi}{dv}\right]
+\end{aligned}\ \right\} = 0
+\]
+soit identique, quels que soient $du$ et~$dv$.
+
+Cela entraîne le groupe de conditions
+\begin{gather*}
+-gD \left(f + \frac{d\xi}{du}\right) - fD \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)
+ - Q \frac{df}{g\, dv} \xi + P \frac{d\xi}{dv} = 0, \\
+fD \frac{df}{g\, dv} \xi + P \left(f + \frac{d\xi}{du}\right) = 0, \\
+Q \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right) - gD \frac{d\xi}{dv} = 0;
+\end{gather*}
+mais en tenant compte des deux dernières la première peut s'écrire
+\[
+(PQ -fgD^2) \left[\frac{d\xi}{Q\, dv} - \frac{df}{Pg\, dv} \xi\right] = 0;
+\]
+et l'on peut mettre les trois équations de condition sous la forme simple [en
+supposant que~$(O)$ n'est pas développable]
+\[
+\frac{\dfrac{d\xi}{\xi\, dv}}{Q} = \frac{\dfrac{df}{g\, dv}}{P}
+  = \frac{\dfrac{1}{\xi} + \dfrac{dg}{fg\, du}}{D}
+  = \frac{-\left(\dfrac{1}{\xi} + \dfrac{d\xi}{f\xi\, du}\right)}{D}.\footnotemark
+\Tag{20}
+\]
+\footnotetext{Chacun des \Eqref{rapports}{20} est encore égal au quotient du paramètre~$p$ par~$\xi$. On sait
+qu'une conséquence de ces équations doit être l'égalité des quantités $\frac{P}{f}$ et~$\frac{Q}{g}$.}
+
+D'un autre côté, si nous établissons comme d'habitude l'équation de la
+%% -----File: 069.png---Folio 63-------
+surface élémentaire de la congruence~$(D)$, puis celle des plans principaux,
+nous trouvons
+\[
+\left.
+\begin{gathered}
+\tg^2\theta \left[P\frac{d\xi}{dv} + gD \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)\right] \\
++ \tg\theta \left\{-P \left(g + \frac{dg}{f\,du} \xi\right)
+                   +Q \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)
+  + fD \frac{d\xi}{dv}
+  +  D \frac{df}{dv} \xi\right\} \\
++ Q \frac{df}{g\, dv} \xi - fD \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)
+\end{gathered}\ \right\} = 0.
+\Tag{21}
+\]
+
+Enfin, cherchant les équations des foyers, nous trouvons que leurs ordonnées
+satisfont à la condition
+\[
+\left.
+\begin{gathered}
+Z^2 (fgD^2 - PQ) \\
+-Z \left\{fD \left(\frac{d\xi}{dv}\right) - gD \frac{df}{g\, dv} \xi
+          + Pg + Qf + Q \frac{d\xi}{du} + P \frac{dg}{f\, du} \xi\right\} \\
+-\frac{df}{g\, dv} \xi \frac{d\xi}{dv}
+  - \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)\left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)
+\end{gathered}\ \right\} = 0.
+\Tag{22}
+\]
+
+Si l'\Eqref{équation}{21} se réduit à
+\[
+\tg^2 \theta + 1=0,
+\]
+et si~\Eqref{}{22} est privée du terme en~$Z$, la congruence~$(D)$ est isotrope et la
+surface de référence est son enveloppée moyenne. Cela donne trois conditions
+identiques à celles du \Eqref{groupe}{20}. La proposition est donc vérifiée.
+
+Conséquemment nous énoncerons cette proposition de \emph{Géométrie cinématique}
+(en adoptant une locution de M.~Mannheim).
+
+\begin{Emph}
+Si deux points d'une droite de longueur constante décrivent deux surfaces
+applicables l'une sur l'autre: \primo~cette droite engendre une congruence
+isotrope; \secundo~le plan mené à égale distance des deux points et perpendiculaire
+à la droite enveloppe un élassoïde.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 070.png---Folio 64-------
+
+\Section{46.}
+{La surface moyenne d'une congruence isotrope correspond
+par orthogonalité des éléments à la sphère.}
+
+Ceci posé, rien n'est plus simple que de définir directement la surface
+moyenne. Soient $x$, $y$, $z$ les coordonnées cartésiennes, rectangulaires, prises
+par rapport à des axes fixes, d'un point~$M$ de la surface moyenne; soient,
+d'autre part, $x$, $y$, $z$, les coordonnées d'un point~$P$ d'une sphère de rayon~$c$,
+point obtenu en menant par le centre de la sphère un rayon parallèle à la
+droite~$D$ de la congruence isotrope passant par~$M$. Il est manifeste que les
+coordonnées des points $C$ et~$C'$ appartenant aux surfaces applicables l'une
+sur l'autre sont:
+
+\noindent pour~$C$
+\[
+(x + x_1),\quad (y + y_1),\quad (z + z_1),
+\]
+pour~$C'$
+\[
+(x - x_1),\quad (y - y_1),\quad (z - z_1).
+\]
+
+Puisque par hypothèse les surfaces $(c)$ et~$(c')$ sont applicables l'une sur
+l'autre, on a identiquement
+\[
+ d\overline{(x+x_1)}^2 + d\overline{(y+y_1)}^2 + d\overline{(z+z_1)}^2
+=d\overline{(x-x_1)}^2 + d\overline{(y-y_1)}^2 + d\overline{(z-z_1)}^2,
+\]
+d'où résulte
+\[
+dx · dx_1 + dy · dy_1 + dz · dz_1 = 0.
+\]
+
+Et par conséquent on peut dire que \emph{la surface moyenne d'une congruence
+isotrope correspond par orthogonalité des éléments à la sphère}.
+
+Les points correspondants sont: \primo~sur une droite de la congruence, le
+point central; \secundo~sur la sphère, le point image de la droite.
+
+%% -----File: 071.png---Folio 65-------
+
+\Section{47.}
+{De la correspondance par orthogonalité des éléments entre deux surfaces
+dont l'une est une quadrique.}
+
+Ainsi s'introduit dans la théorie des élassoïdes la considération importante de
+la correspondance par orthogonalité des éléments.  Ce mode de correspondance
+qui va jouer un rôle capital dans nos recherches, a été imaginé par M.~Moutard.
+Ce géomètre en a fait une très-belle application en donnant l'intégrale avec
+deux fonctions arbitraires et même la construction géométrique des surfaces
+correspondant aux quadriques par orthogonalité des éléments. La théorie qui
+nous occupe en dérive immédiatement puisqu'ici la quadrique se réduit à la
+sphère. Nous aurions pu déduire de l'intégrale de M.~Moutard la nature des
+surfaces moyennes des congruences isotropes, mais il importait de tout établir
+directement, et les \Eqref{équations}{20} nous serviront tout à l'heure. D'ailleurs
+les procédés de la périmorphie s'appliquent très-simplement au mode de
+correspondance de M.~Moutard, ils conduisent à un théorème général, d'une
+grande simplicité, d'où découle avec évidence l'intégrale relative aux quadriques,
+intégrale qui a été le point de départ d'importantes recherches
+géométriques ou analytiques.
+
+Les surfaces moyennes sont rattachées aux élassoïdes moyens par d'élégantes
+relations où figurent les courbures des deux surfaces; nous allons les
+établir par les procédés de périmorphie, en insistant un peu sur leur emploi
+qui est absolument général.
+
+
+\Section{48.}
+{Tout réseau conjugué de la surface moyenne correspond à un réseau
+conjugué de l'élassoïde moyen.}
+
+Le \Eqref{groupe}{15} donnant les projections du déplacement du point~$M$ permet
+d'écrire immédiatement l'équation du plan tangent à la surface moyenne
+\[
+X \frac{dp}{dv} + Y \frac{dp}{du} = D^{\frac{1}{2}} p · Z.
+\Tag{23}
+\]
+
+%% -----File: 072.png---Folio 66-------
+
+Cherchons à déterminer la caractéristique du plan tangent à la surface
+moyenne. Le plan tangent au point~$M'$ a pour équation, dans le second
+trièdre,
+\[
+  X' \left(\frac{dp}{dv} + \Delta \frac{dp}{dv}\right)
++ Y' \left(\frac{dp}{du} + \Delta \frac{dp}{du}\right)
+= (D^{\frac{1}{2}} p + \Delta · D^{\frac{1}{2}} p) Z'.
+\]
+
+Les \Eqref{équations}{19} permettent d'écrire pour la caractéristique
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+  &X \left[\left(\frac{d^2 p}{du\, dv} - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du}\right) du
+        + \left(\frac{d^2 p}{dv^2} + \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du} + Dp\right) dv\right] \\
++ &Y \left[\left(\frac{d^2 p}{du^2} + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv} + Dp\right) du
+        + \left(\frac{d^2 p}{du\, dv} - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv}\right) dv\right] \\
+- &\frac{p}{2}\, D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dD}{du}\, du + \frac{dD}{dv}\, dv\right) Z
+            - D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{dv}\, du + \frac{dp}{du}\, dv\right)
+\end{aligned}\ \right\} = 0.
+\]
+
+Éliminant les dérivées secondes de~$p$ au moyen des équations du
+\Eqref{groupe}{10}, on trouve:
+\[
+0 =
+\left\{
+\begin{aligned}
+ &X \left[\frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv}\, du
+        + \left(\frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv} + 1\right) dv\right] \\
+%
++&Y \left[\left(\frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du} - 1\right) du
+        + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du}\, dv\right] \\
+%
+-&Z \frac{p}{2}\,
+    D^{-\frac{1}{2}}
+    \left(\frac{dD}{du}\, du + \frac{dD}{dv}\, dv\right) %[** PP: Typo dD/du]
+  - D^{-\frac{1}{2}}
+    \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right)
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{24}
+\]
+
+Soient $du'$, $dv'$ les accroissements qu'il faut donner aux paramètres $u$ et~$v$
+pour que le point~$M$ se déplace précisément suivant la caractéristique du
+chemin correspondant à $du$, $dv$, on obtiendra l'équation qui lie $du'$, $dv'$ à $du$,
+$dv$ en remplaçant $X$, $Y$, $Z$ dans la \Eqref{relation}{24} privée de termes constants
+par $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$. Ce sera, si l'on veut, l'équation des directions conjuguées de
+la surface moyenne.
+
+Les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ sont donnés par le \Eqref{groupe}{16} où $du$ et~$dv$ sont remplacés
+par $du'$ et~$dv'$. On trouve après substitution et réduction
+\[
+2D(du'\, dv + dv'\, du) = 0.
+\]
+%% -----File: 073.png---Folio 67-------
+Mais il est facile de voir que cette équation n'est autre que celle de directions
+conjuguées tracées sur l'élassoïde, car la caractéristique du plan moyen
+est déterminée par
+\[
+Z = X\, dv + Y\, du = 0,
+\]
+et comme ici
+\[
+\Delta X = D^{-\frac{1}{2}}\, du',\quad
+\Delta Y = D^{-\frac{1}{2}}\, dv',
+\]
+remplaçant $x$ et~$y$ par $\Delta X$ et~$\Delta Y$, on trouve en définitive pour l'équation des
+directions conjuguées
+\[
+du'\, dv + dv'\, du = 0.
+\Tag{25}
+\]
+
+Cette analyse établit donc un fait digne de remarque, savoir que, \emph{sur la
+surface moyenne tout réseau conjugué correspond à un réseau conjugué
+tracé sur l'élassoïde moyen. En particulier, les lignes asymptotiques d'une
+surface moyenne correspondent aux lignes asymptotiques de l'élassoïde}
+puisqu'une famille d'asymptotiques représente un réseau conjugué dont les
+courbes des deux familles coïncident.
+
+Le fait est d'autant plus remarquable qu'il y a une $\infty^3$ de surfaces
+moyennes correspondant à un même élassoïde.
+
+
+\Section{49.}
+{Sur la surface moyenne et l'élassoïde moyen les lignes asymptotiques
+se correspondent.}
+
+Nous verrons tout à l'heure que l'intégration des lignes asymptotiques
+d'un élassoïde ne dépend jamais que de quadratures; on peut donc
+dire que l'\emph{intégration des asymptotiques des surfaces correspondant par
+orthogonalité des éléments à la sphère, est toujours ramenée aux quadratures}.
+
+On peut encore conclure pour la projection de la direction conjuguée de
+%% -----File: 074.png---Folio 68-------
+l'élément de la surface moyenne correspondant à $du$, $dv$ (projection effectuée
+sur le plan moyen)
+\[
+X\, dv - Y\, du = D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right).
+\]
+Cette équation montre que: si  $Oo'$, $Oo''$ sont deux directions conjuguées de
+l'élassoïde, si  $Mm'$, $Mm''$ sont les projections sur le plan moyen des directions
+conjuguées correspondantes de la surface moyenne $Oo'$ et~$Mm''$ sont
+parallèles, $Oo''$ et~$Mm'$ le sont aussi.
+% **** Unclear to SR; another ``si''?
+
+
+\Section{50.}
+{Calcul des rayons de courbure principaux de la surface moyenne.}
+
+La simplicité des résultats précédents tient à ce qu'on peut, dans les
+calculs, éliminer les différentielles secondes de~$p$ chaque fois qu'elles se
+présentent en tenant compte des \Eqref{équations}{10}. Il en sera de même pour
+tout ce qui tient au second ordre. En particulier il doit exister deux relations
+simples pour déterminer les courbures principales des surfaces moyennes;
+leur recherche nous donnera l'occasion d'appliquer l'une des règles les plus
+utiles de la périmorphie, et de constater une analogie bien remarquable.
+
+% **** ``ses'' normales?
+Soit en général~$(S)$ une surface, portons sur ces normales une longueur
+constante $l$, l'extrémité du segment décrit une surface $(\Sigma)$ parallèle à~$(S)$;
+soient $d(S)$ et~$d(\Sigma)$ les éléments d'aires correspondants des deux surfaces,
+$R_1$ et~$R_2$ désignant les rayons de courbure principaux moyens de l'élément
+$d(S)$; on a, d'après un théorème de Gauss, rappelé au \Secref{7}: % [** PP: Omitted () around section number]
+\[
+d(\Sigma) = \frac{(R_1+ l)(R_2 + l)}{R_1 R_2} d(S);
+\]
+par conséquent
+\[
+\frac{d(\Sigma)}{d(S)} = 1 + \frac{l^2}{R_1R_2} + l\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right).
+\]
+
+%% -----File: 075.png---Folio 69-------
+
+Le rapport ne peut s'annuler que si $l$ égale l'un des rayons de courbure
+principaux; mais ce fait se présentera seulement si $d(\Sigma)$ est nul; et cela
+nécessite que les projections de l'élément d'aire $d(\Sigma)$ sur les trois plans coordonnés
+soient nulles. En général, si l'une de ces projections est nulle, les
+deux autres le sont, et, par conséquent, $d(\Sigma)$ s'annule. Il n'y a d'exception
+que dans le cas où la normale à~$(S)$ serait parallèle à l'un des plans coordonnés.
+
+En périmorphie, on porte, sur les normales à la surface~$(S)$, une longueur~$l$
+constante, on calcule, comme d'habitude, les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ de l'extrémité; il
+est visible que la projection de l'élément $d(\Sigma)$, sur le plan instantané~$XOY$,
+est proportionnelle à
+\[
+\Delta Y_v \Delta X_u - \Delta Y_u \Delta X_v.
+\]
+
+(En désignant par $\Delta X_u$, $\Delta Y_u$ les valeurs de $\Delta X$, $\Delta Y$ lorsque $u$ varie seul.)
+Écrivant que l'expression ci-dessus est nulle, on obtiendra une équation du
+second degré en~$l$, qui détermine les rayons de courbure principaux.
+
+Désignant par $\gamma$ le cosinus de l'angle que fait la normale à la surface
+moyenne avec~$OZ$, on déduit de~\Eqref{}{23}
+\[
+-\frac{p}{\gamma}
+  = \sqrt{p^2 + \frac{1}{D} \biggl[\left(\frac{dp}{du}\right)^2
+                                + \left(\frac{dp}{dv}\right)^2\,\biggr]}.
+\]
+
+Les coordonnées instantanées du point de la surface parallèle à~$(M)$ et
+distante de~$l$ de cette surface, sont
+\begin{align*}
+\zeta &= l\gamma, \\
+\xi   &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du} - l\gamma \frac{dp}{p\, dv} D^{-\frac{1}{2}}, \\
+\eta  &=           -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} - l\gamma \frac{dp}{p\, du} D^{-\frac{1}{2}}.
+\end{align*}
+
+On trouve à l'aide des \Eqref{formules}{1}:
+\begin{align*}% [** PP: Align with display on following page]
+\frac{\Delta X_u}{D^{-\frac{1}{2}}\, du} % [**** PP: \Delta X_u, etc.?]
+&= -Dp + \frac{l\gamma}{p}
+         \left(\frac{1}{p}\, \frac{dp}{du}\, \frac{dp}{dv}
+             - \frac{d\gamma}{\gamma\, du}\, \frac{dp}{dv}\right) \\
+%% -----File: 076.png---Folio 70-------
+\intertext{que nous écrirons}
+%
+\frac{\Delta X_u}{D^{-\frac{1}{2}}\, du}
+  &= -Dp + l\gamma\, \frac{dp}{p\, dv}\,
+           \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right); \\
+\intertext{de même}
+%
+\frac{\Delta X_v}{D^{-\frac{1}{2}}\, dv}
+  &= \frac{l\gamma}{p} \left[ -1 + \frac{dp}{dv}·
+           \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)\right], \\
+\intertext{également}
+%
+\frac{\Delta Y_u}{D^{-\frac{1}{2}}\, du}
+  &= \frac{l\gamma}{p} \left[ 1 + \frac{dp}{du}\,
+           \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)\right], \\
+\intertext{et, enfin,}
+%
+\frac{\Delta Y_v}{D^{-\frac{1}{2}}\, dv}
+  &= Dp + \frac{l\gamma}{p}\, \frac{dp}{du}·
+           \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right);
+\end{align*}
+on en conclut, pour l'équation des rayons de courbure principaux, comme il
+a été dit:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\frac{l^2\gamma^2}{p^2} &\left[ -1
+  + \frac{dp}{dv}\, \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)
+  - \frac{dp}{du}\, \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right) \right] \\
+%
+-Dl \gamma &\left[
+  + \frac{dp}{dv}\, \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)
+  - \frac{dp}{du}\, \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right) \right]
+  + D^2 p^2
+\end{aligned}\ \right\} = 0.
+\]
+Comme on trouve
+\begin{align*}
+\frac{d}{du} \log \frac{p}{\gamma}
+  &= \frac{-\dfrac{dp}{D\, du}}
+          {p^2 + \dfrac{1}{D} \left[\left(\dfrac{dp}{du}\right)^2
+                                  + \left(\dfrac{dp}{dv}\right)^2\right]}, \\
+%%
+\intertext{et}
+\frac{d}{dv} \log \frac{p}{\gamma}
+  &= \frac{\dfrac{dp}{D\, dv}}
+          {p^2 + \dfrac{1}{D} \left[\left(\dfrac{dp}{du}\right)^2
+                                  + \left(\dfrac{dp}{dv}\right)^2\right]},
+\end{align*}
+il vient, en définitive,
+\[
+l^2 - 2 \frac{l}{\gamma} D \frac{dp}{du}\, D^{-\frac{1}{2}} ·
+                           \frac{dp}{dv}\, D^{-\frac{1}{2}}
+    - \frac{D^2 p^4}{\gamma^4} = 0.
+\]
+
+%% -----File: 077.png---Folio 71-------
+
+Nous en déduirons, en désignant par $L_1$ et~$L_2$ les deux rayons de courbure
+principaux de la surface moyenne
+\begin{align*}
+L_1 + L_2 &= -\frac{2}{\gamma} D · \eta_M · \xi_M
+\Tag{26} \\
+\intertext{avec}
+L_1 · L_2 &= -\frac{D^2 · p^4}{\gamma^4}
+\Tag{27}
+\end{align*}
+
+
+\Section{51.}
+{Relation entre les courbures de la surface moyenne et de l'élassoïde moyen.}
+
+Laissons de côté provisoirement l'\Eqref{équation}{26} et ne nous occupons
+que de~\Eqref{}{27}.
+
+Si $R_1$ et~$R_2$ sont les rayons de courbure principaux de l'élassoïde, égaux
+d'ailleurs en valeur absolue, on a
+\[
+D = \frac{1}{\sqrt{-R_1 R_2}}.
+\]
+
+Désignons par $V$ l'angle des normales à la surface moyenne~$(M)$ et à
+l'élassoïde moyen~$(O)$; on a
+\begin{align*}
+\overline{OM}^2
+  &= \frac{1}{D} \left[\left(\frac{dp}{du}\right)^2 + \left(\frac{dp}{dv}\right)^2\right], \\
+\intertext{d'un autre côté}
+p^2 · \tg^2 V
+  &= \frac{1}{D} \left[\left(\frac{dp}{du}\right)^2 + \left(\frac{dp}{dv}\right)^2\right].
+\end{align*}
+
+Conséquemment, (27) équivaut à la relation géométrique
+\[
+L_1 L_2  · R_1R_2 = \frac{\overline{OM}^4}{\sin V^4}
+\Tag{28}
+\]
+
+%% -----File: 078.png---Folio 72-------
+
+\Section{52.}
+{La relation qui précède se retrouve en étudiant les nappes de la développée
+d'une surface dont les rayons de courbure principaux sont liés, et en
+général dans la théorie de la correspondance par orthogonalité des
+éléments.}
+
+C'est ici qu'il convient de faire un rapprochement.
+
+Nous avons montré que les deux nappes de la développée d'une surface
+dont les rayons de courbure sont liés (surfaces considérées pour la première
+fois par M.~Weingarten), se correspondent de telle manière qu'aux asymptotiques
+de l'une correspondent les asymptotiques de l'autre. M.~Halphen a
+ensuite établi que si $R_1$, $R_2$ sont les rayons de courbure principaux de l'une
+des nappes, $L_1$, $L_2$ ceux de l'autre nappe et~$OM$ le segment de normale
+compris entre les deux nappes de la développée,
+\[
+L_1 L_2 · R_1 R_2 = \overline{OM}^4.
+\]
+
+Dans l'espèce, la congruence, admettant les deux surfaces considérées
+comme focales, a ses plans principaux rectangulaires; on peut donc dire que
+l'\Eqref{équation}{28} régit aussi les relations des deux nappes, puisque $\sin V$ est
+égal à l'unité.
+
+Ces propriétés similaires tiennent à des lois beaucoup plus générales se
+rapportant aux liaisons des nappes de congruences particulières. C'est ce que
+nous établirions en rattachant toutes ces théories à celles des couples de
+surfaces applicables l'une sur l'autre.
+
+Mais nous devons nous refuser à nous écarter plus longtemps de la théorie
+des élassoïdes; nous aurons d'ailleurs encore l'occasion de faire allusion à
+plusieurs théorèmes généraux qui trouvent de remarquables applications dans
+la théorie des élassoïdes. (Voir \chapitre{XXII}.)
+
+Revenons aux surfaces moyennes, et cherchons s'il n'est pas possible
+qu'une surface moyenne soit élassoïde.
+
+%% -----File: 079.png---Folio 73-------
+
+\Section{53.}
+{La surface moyenne ne peut être un élassoïde réel qu'en coïncidant
+avec une surface de vis à filet quarré qui est aussi l'élassoïde moyen.}
+
+Il faut d'après~\Eqref{}{26} que
+\[
+\eta_M - \xi_M = 0.
+\]
+
+La droite~$OM$ serait donc toujours tangente à une asymptotique de l'élassoïde~$(o)$,
+mais le résultat s'obtient très-facilement à l'aide des \Eqref{équations}{20}:
+puisque l'axe des~$X$ est une asymptote de l'indicatrice, on doit avoir
+\[
+P = \frac{df}{g\, dv} = 0.
+\]
+
+Donc, l'\emph{élassoïde est réglé}, puisque l'\Eqref{asymptotique}{8} est géodésique.
+D'après un théorème dû à M.~Catalan, on sait que l'élassoïde (quand il est
+réel) n'est autre chose que la surface de vis à filet quarré.
+
+Comme il n'est pas sans intérêt de faire connaître les congruences
+isotropes assez singulières, dont nous venons de signaler l'existence, nous
+établirons, par nos procédés, le résultat de M.~Catalan, et nous intégrerons le
+\Eqref{groupe}{20}.
+
+Pour éviter les imaginaires, il convient de revenir aux premiers calculs
+du \Secref{29}. De ce que les \Eqref{lignes}{8} sont à la fois asymptotiques et géodésiques,
+\begin{align*}
+Dg^2 &= V, \\
+D    &= U,
+\end{align*}
+$f$ étant pris égal à l'unité. La troisième des équations de Codazzi donne,
+pour déterminer~$g$,
+\[
+\frac{V^2}{g^5} = \frac{d^2g}{du^2}
+\]
+%% -----File: 080.png---Folio 74-------
+dont l'intégrale générale est ici
+\[
+g^2 = Lu^2 + 2Mu + N,
+\]
+moyennant que
+\[
+V = NL - M^2;
+\]
+mais comme on doit avoir
+\[
+\frac{1}{D} = \frac{Lu^2 + 2Mu + N}{NL - M^2} = \frac{1}{u},
+\]
+$L$, $M$ et~$N$ doivent être des constantes.
+
+Dans le cas où $L$ ne sera pas nul, on changera de variable en prenant
+une nouvelle $v$ définie par
+\[
+dv_1= \sqrt{L}\, dv,
+\]
+et si l'on prend pour nouvelle variable~$u$, un terme convenable, on voit que
+le carré de l'élément linéaire de la surface peut s'écrire
+\[
+ds^2 = du^2 + (u^2 + A^2)\, dv^2.
+\Tag{29}
+\]
+
+Au contraire, dans le cas où $L$ serait nul, on pourrait écrire cette expression
+sous l'une des formes
+\begin{align*}
+ds^2 &= du^2 + u\, dv^2
+\Tag{30} \\
+ds^2 &= du^2 + dv^2.
+\end{align*}
+
+Cette dernière caractérise le plan.
+
+Dans l'hypothèse correspondant à l'\Eqref{équation}{29}, on a
+\[
+D = \frac{1}{\sqrt{-R_1R_2}} = \frac{A}{u^2 + A^2},
+\]
+les rayons de courbure principaux sont réels puisqu'ils sont égaux et qu'ils
+doivent être de signes opposés, pour que la surface soit réelle.
+
+%% -----File: 081.png---Folio 75-------
+
+Dans l'hypothèse caractérisée par l'\Eqref{équation}{30}
+\[
+-D^2 = \frac{1}{4u^2} = \frac{1}{R_1R_2};
+\]
+donc, pour toute valeur réelle de~$u$, les rayons de courbure principaux seront
+de même signe; la surface est imaginaire. (Les congruences isotropes ne
+peuvent apparaître dans les présents calculs basés sur l'hypothèse de l'orthogonalité
+de lignes asymptotiques distinctes).
+
+Revenons à l'\Eqref{équation}{29}, on a
+\[
+\frac{dg}{g\, du} = \frac{u}{u^2 + A^2}.
+\]
+
+Or, cette expression exprime la courbure géodésique des lignes~$(u)$; et
+comme les plans osculateurs sont tangents à l'élassoïde, on voit que les
+premières courbures de ces courbes sont constantes tout le long de l'une
+d'entre elles.
+
+Le rayon de seconde courbure~$D$ est dans le même cas.
+
+Les lignes~$(u)$ sont donc des \emph{hélices} orthogonales aux génératrices~$(v)$;
+l'une de ces hélices se réduit à une droite, au cas où $u$ s'annule. La surface
+est une \emph{surface de vis à filet quarré}, comme l'avait indiqué, depuis longtemps,
+M.~Catalan.
+
+
+\Section{54.}
+{Recherche des congruences isotropes dont la surface moyenne est élassoïde.}
+
+Passons à la détermination des congruences isotropes admettant cette
+surface de vis pour surface moyenne.
+
+Il est clair qu'il doit entrer dans leur définition une constante arbitraire,
+car si l'on opère sur une congruence satisfaisante la transformation du \Secref{34}
+en prenant pour direction fixe celle de l'hélice réduite à une droite, on obtient
+encore une congruence isotrope satisfaisante.
+
+%% -----File: 082.png---Folio 76-------
+
+Ici le \Eqref{groupe}{20} se réduit à
+\begin{align*}
+\frac{d\xi}{dv}    &= 0, \\
+\frac{d(g\xi)}{du} &= -2g.
+\end{align*}
+
+Si $u$ désigne la distance d'un point~$M'$ de la génératrice de l'héliçoïde à %[** PP: Typo héliçoide]
+l'axe~$OZ$, $\theta$ désignant l'angle de la normale en $M'$ avec cet axe, on a
+\begin{align*}
+u &= A \cot \theta, \\
+g &= \frac{A}{\sin \theta}, \\
+\intertext{et, par conséquent,}
+d \left(\frac{A\xi}{\sin \theta}\right)
+  &= 2 \frac{A^2}{\sin^3 \theta}\, d\theta, \\
+\intertext{on en conclut}
+\frac{\xi + A \cot \theta}{\sin \theta}
+  &= A \log \tg \frac{\theta}{2} + C. \\
+\intertext{\indent Si $D$ est la droite de la congruence isotrope,}
+CP &= \xi + A \cot \theta.
+\end{align*}
+
+Nous voulons seulement faire observer que si l'on considère les surfaces
+élémentaires de la congruence admettant pour lignes de striction les génératrices
+de l'héliçoïde, on aura une \emph{famille de surfaces identiques, déplacées
+héliçoïdalement}\footnotemark.
+\footnotetext{L'équation
+\[
+u = \sin \theta A \left(\log \tg \frac{\theta}{2} + C\right)
+\]
+est l'équation de la surface réglée élémentaire.}% End of footnote
+
+La transformation du \Secref{34}, effectuée avec généralité, donnera, avec deux
+%% -----File: 083.png---Folio 77-------
+constantes arbitraires, des surfaces moyennes dont les asymptotiques correspondront
+aux génératrices et aux hélices orthogonales de la surface
+de vis.
+
+Enfin, l'\Eqref{équation}{28} doit être vérifiée identiquement si l'on prend deux
+points arbitraires, situés sur une même génératrice de l'héliçoïde, sans quoi
+la relation précitée donnerait l'intégrale des congruences isotropes satisfaisantes,
+chose impossible, puisque la constante fait défaut. La vérification se
+fait immédiatement.
+
+Nous ne poursuivrons pas plus loin l'étude des surfaces moyennes qui se
+prêterait pourtant à d'intéressants développements. Nous avons désiré faire
+voir, par ce qui précède, combien la considération des congruences isotropes
+est motivée. Nous allons montrer maintenant comment en cherchant à obtenir,
+par les procédés les plus simples, les congruences isotropes, on arrive naturellement
+à étendre encore la théorie des élassoïdes.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 084.png---Folio 78-------
+
+
+\Chapter{IX.}
+{CONGRUENCES ISOTROPES DÉRIVÉES DE LA SPHÈRE.}
+
+\Section{55.}
+{Formules donnant le $ds^2$ d'une surface, ses lignes de courbure et asymptotiques,
+les rayons de courbure principaux, en fonction des éléments sphériques
+de l'image.}
+
+Avant de poursuivre les conséquences des résultats obtenus au \Secref{28} qui
+rattachent à la théorie des réseaux isométriques sphériques celle des congruences
+isotropes, il est nécessaire d'établir rapidement quelques calculs
+ayant trait à la représentation sphérique des surfaces, et qui, d'ailleurs, s'obtiennent
+aisément par les procédés de périmorphie.
+
+Prenons pour surface de référence une sphère de rayon un, pour réseau
+$(u, v)$ un réseau isométrique; soit~$p$ la distance au plan tangent d'une
+surface arbitraire~$(A)$, du centre de la sphère. L'équation instantanée du
+plan tangent est
+\[
+Z - p + 1 = 0.
+\]
+On obtiendra le point de contact en cherchant l'enveloppe des caractéristiques.
+
+Dans l'espèce, comme
+\begin{gather*}
+ds^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2), \\
+P = Q = \lambda,\quad D=0,
+\end{gather*}
+%% -----File: 085.png---Folio 79-------
+l'équation du plan tangent dans sa seconde position est
+\[
+Z + \left(\lambda X - \frac{dp}{du}\right) du
+  + \left(\lambda Y - \frac{dp}{dv}\right) dv + 1 = 0.
+\]
+
+On voit que les coordonnées instantanées du point de contact ont pour
+valeurs
+\[
+\xi  = \frac{dp}{\lambda\, du},\quad
+\eta = \frac{dp}{\lambda\, dv}.
+\]
+
+Si l'on suit un chemin caractérisé par les accroissements $du$, $dv$ sur la
+sphère, le point~$A$ de contact décrit une courbe et les normales le long de
+celle-ci, à la surface~$(A)$ normales parallèles à celles de la sphère, engendrent
+une surface élémentaire ou \emph{normalie} (d'après une locution introduite par
+M.~Mannheim). On a, comme d'habitude, pour l'équation de la variation du
+plan tangent le long d'une normale appartenant à la surface élémentaire
+\[
+\tg \theta =
+\frac{du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi \right)
+  + dv \left(\dfrac{d\eta}{dv} + \lambda l + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi\right)}
+     {du \left(\dfrac{d\xi}{du} + \lambda l + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta\right)
+  + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta\right)}.
+% [** PP: Added .]
+\Tag{31}
+\]
+
+Tenant compte des valeurs de $\xi$ et de~$\eta$, passant aux coordonnées symétriques
+imaginaires, et posant
+\begin{align*}
+a &= \frac{dp}{\lambda^2\, dx}, \\[1ex]
+b &= \frac{dp}{\lambda^2\, dy}, \\[1ex]
+c &= \frac{1}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy},
+\end{align*}
+il vient
+\[
+e^{-2i\theta}
+  = \frac{dx\, \dfrac{da}{dx} + dy \left(c + \dfrac{l}{2}\right)}
+         {dx \left(c + \dfrac{l}{2}\right) + dy\, \dfrac{db}{dy}}
+\Tag{32}
+% [** F1: Missing comma?]
+\]
+équation dans laquelle $\theta$ est l'angle du plan tangent à la normalie et du plan
+%% -----File: 086.png---Folio 80-------
+$ZOX$, $l-1$ est la hauteur au-dessus du plan~$XOY$ du point de contact du
+plan tangent précité.
+
+Puisqu'on a les valeurs instantanées des coordonnées du point de contact~$A$,
+rien n'est plus simple que de former les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ de ce point. Élevant
+au carré ces expressions et ajoutant, on trouve pour le carré de l'élément
+linéaire de la surface~$(A)$
+\[
+\frac{dS^2}{\lambda^2} =
+(p + 2c) \left[2 \frac{da}{dx}\, dx^2
+             + (p + 2c)\, dx · dy
+             + 2 \frac{db}{dy}\, dy^2\right]
+  + 4 \frac{da}{dx} · \frac{db}{dy}\, dx\, dy.
+\Tag{33}
+\]
+
+L'\Eqref{équation}{32} permet de trouver l'expression des rayons de courbure
+principaux de la surface~$(A)$ ainsi que les équations des images sphériques de
+ses lignes de courbure. Opérant comme nous l'avons déjà fait bien souvent
+dans ce mémoire, on trouve: \primo~pour l'équation des images sphériques
+\[
+% [** PP: Changed + to =]
+\frac{dy}{dx} = ± \sqrt{\frac{\;\dfrac{da}{dx}\;}{\dfrac{db}{dy}}}\;.
+\Tag{34}
+\]
+\secundo~pour l'équation des rayons de courbure principaux
+\[
+R^2 - 2R(2c+p) + (2c+p)^2 - 4 \frac{da}{dx} · \frac{db}{dy} = 0.
+% [** PP: Added .]
+\Tag{35}
+\]
+
+Enfin, nous exprimerons que deux directions de~$(A)$ caractérisées par les
+accroissements $dx$, $dy$ d'une part, $dx'$, $dy'$ d'autre part, sont conjuguées, en
+écrivant que le plan tangent en~$A$ à la normalie correspondant aux accroissements
+$dx'$, $dy'$ est le plan central de la normalie correspondant aux accroissements
+$dx$, $dy$ (théorème de Joachimstal). Nous n'insistons plus sur ces calculs.
+On trouve ainsi pour l'équation des lignes conjuguées de~$(A)$
+\[
+  \frac{da}{dx} · dx \Reg{·}{\,} dx'
++ \left(c + \frac{p}{2}\right)(dx\, dy' + dy\, dx')
++ \frac{db}{dy} · dy \Reg{}{\,} dy' = 0. % [** PP: Added .]
+\Tag{36}
+\]
+
+Il en résulte pour l'équation des lignes asymptotiques
+\[
+  \frac{da}{dx} · dx^2
++ 2\left(c + \frac{p}{2}\right) dx \Reg{·}{\,} dy
++ \frac{db}{dy} \Reg{}{·} dy^2 = 0.
+\]
+
+%% -----File: 087.png---Folio 81-------
+
+L'importance des calculs qui précèdent tient à ce que la surface~$(A)$ est
+arbitraire et à ce que le réseau sphérique $(u, v)$ l'est également (pourvu qu'il
+soit isométrique).
+
+
+\Section{56.}
+{Équation la plus générale d'un élassoïde en coordonnées sphériques.}
+
+Dans le cas actuel, puisqu'il s'agit d'élassoïdes, nous obtiendrons l'équation
+différentielle de ces surfaces en écrivant, par exemple, que dans l'\Eqref{équation}{35}
+le terme du premier degré en~$R$ disparaît, c'est-à-dire que la courbure
+moyenne de la surface est nulle. Il vient
+\[
+p + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} = 0
+\Tag{37}
+\]
+l'équation des lignes de courbure ne change pas, mais celle des asymptotiques
+devient
+\[
+dx \sqrt{\frac{da}{dx}} ± \sqrt{-1} \sqrt{\frac{db}{dy}} · dy = 0
+\Tag{38}
+\]
+enfin le carré de l'élément linéaire de l'élassoïde prend la forme remarquable
+\[
+\frac{dS^2}{\lambda^2} = 4 \frac{da}{dx} · \frac{db}{dy} · dx \Reg{·}{\,} dy.
+% [** PP: Added .]
+\Tag{39}
+\]
+
+Rappelons, en dernière analyse, que $\lambda$ satisfait à la troisième équation de
+Codazzi
+\[
+\lambda^2 + 2 \frac{\lambda^2 \log \lambda^2}{dx\, dy} = 0.
+\Tag{40}
+% [** PP: Added .]
+\]
+
+Si l'on remplace $\lambda^2$ par~$D$ on voit que les \Eqref{équations}{37} et~\Eqref{}{40} coïncident
+avec les deux premières du \Eqref{groupe}{11}.
+
+%% -----File: 088.png---Folio 82-------
+
+Leur intégrale générale est donc
+\begin{gather*}
+-\frac{\lambda^2}{2} = \frac{2X'Y'}{(X + Y)^2}, \\
+p = \frac{X'_1}{X'} + \frac{Y'_1}{Y'} - 2 \frac{X_1 + Y_1}{X + Y},
+\end{gather*}
+et ici, les fonctions $X_1$ et~$Y_1$ sont assujetties seulement à être, comme $X$ et~$Y$,
+des fonctions arbitraires des variables $x$ et~$y$.
+
+
+\Section{57.}
+{Un élassoïde et la sphère image ont toujours leurs lignes isotropes
+correspondantes.}
+
+Déduisons maintenant des conséquences.
+
+L'\Eqref{équation}{39} montre que les \textit{lignes isotropes d'un élassoïde ont pour
+image sphérique les lignes isotropes de la sphère}. D'après une théorie bien
+connue, il en résulte que, si l'on fait correspondre un élassoïde et une sphère
+par parallélisme des plans tangents, on a un mode de correspondance dans
+lequel les angles se conservent.
+
+Ceci démontre que l'élassoïde est la seule surface correspondant de la sorte
+à la sphère. (Théorème dû à M.~Ossian Bonnet.)
+
+
+\Section{58.}
+{Remarque au sujet de la forme explicite des fonctions arbitraires qui entrent
+dans l'équation intégrale d'un élassoïde.}
+
+On vérifie, sur l'\Eqref{équation}{38}, que les asymptotiques d'un élassoïde sont
+rectangulaires.
+
+La valeur la plus générale de~$p$, convenant aux élassoïdes, peut s'écrire
+%% -----File: 089.png---Folio 83-------
+sous la forme simple et très-utile
+\[
+p = X' + 2X \frac{d\lambda}{\lambda\, dx} + Y' + 2Y \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}
+\Tag{41}
+\]
+où ne figurent plus que les deux fonctions arbitraires nécessaires et suffisantes,
+celles qui caractérisent le réseau isométrique sphérique étant masquées.
+
+Inversement, on peut dans la formule qui précède particulariser autant
+que l'on voudra les fonctions arbitraires $X$ et~$Y$, pourvu qu'on laisse à $\lambda$ toute
+la généralité que comportent les deux fonctions arbitraires de son expression
+en $x$ et~$y$; on obtiendra encore l'intégrale générale des élassoïdes, seulement
+\textit{ils se sépareront en autant de groupes qu'il y a de réseaux isométriques sphériques
+distincts}.
+
+Cette conséquence résultait également des calculs du \Secref{27} relatifs aux
+congruence isotropes.
+
+
+\Section{59.}
+{Remarque sur les réseaux sphériques isométriques et trajectoires
+les uns des autres.}
+
+Avant de déduire, de ce qui précède, les remarquables propriétés des
+\emph{élassoïdes groupés}, il convient de démontrer un résultat simple et connu, mais
+qui nous importe particulièrement.
+
+\begin{Emph}
+Les trajectoires des courbes~$(u)$ sous un angle constant $\omega$ et les trajectoires
+sous le même angle des courbes~$(v)$ forment un réseau isométrique si le réseau
+sphérique $(u, v)$ est isométrique; la valeur du~$\lambda$, pour les deux réseaux, est la
+même.
+\end{Emph}
+
+Soit, en effet, sur une surface qui peut être arbitraire
+\[
+dS^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2),
+\]
+posons
+\begin{align*}
+du &= du' \cos\omega - dv' \sin\omega, \\
+dv &= du' \sin\omega + dv' \cos\omega,
+\end{align*}
+%% -----File: 090.png---Folio 84-------
+il est clair que
+\[
+du^2 + dv^2 = {du'}^2 + {dv'}^2.
+\]
+
+En conséquence, le carré de l'élément linéaire de la surface peut s'écrire
+indifféremment
+\[
+dS^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2)
+     = \lambda^2({du'}^2 + {dv'}^2),
+\]
+d'où résulte la proposition annoncée.
+
+
+\Section{60.}
+{D'un réseau sphérique isométrique on peut déduire une infinité de congruences
+isotropes donnant lieu à une famille d'élassoïdes groupés.}
+
+Ceci posé, si nous nous reportons aux calculs du \Secref{27}, nous voyous
+qu'étant donné un réseau isométrique sphérique, on en déduira une infinité
+de congruences isotropes, de la façon suivante: le pied~$M$ de chacune des
+droites~$D$ sera à la distance~$\lambda$ de~$O$, et la droite~$OM$ fera un angle constant~$\omega$
+avec la tangente~$OX$ de la courbe~$(v)$.
+
+Il est clair, d'ailleurs, que le segment~$OM$ peut être multiplié par une constante;
+car on obtiendra ainsi des congruences isotropes, homothétiques par
+rapport au centre de la sphère de référence.
+
+Chaque congruence isotrope, déduite du réseau isométrique sphérique,
+donnera lieu à un élassoïde moyen; tous ces élassoïdes formeront un groupe
+dont nous allons établir les propriétés.
+
+Nous avons trouvé, au \Secref{28}, que si l'on porte le segment $\lambda$ sur~$OX$:
+
+\primo~Le \emph{plan moyen} de la congruence isotrope est à la distance~$p$ du centre
+de la sphère, marquée par
+\[
+p = -\frac{d\lambda}{\lambda\, du}.
+\]
+
+\secundo~Le \emph{paramètre} de la congruence a pour valeur
+\[
+p = -\frac{d\lambda}{\lambda\, dv}.
+\]
+
+%% -----File: 091.png---Folio 85-------
+
+\Section{61.}
+{Calcul des éléments des élassoïdes groupés.}
+
+Il en résulte que, si nous désignons par~$\rho_{\omega}$ et~$p_{\omega}$ les valeurs analogues,
+relatives à la congruence isotrope définie par des positions de $OM$ faisant avec
+$OX$ l'angle~$\omega$, nous aurons
+\begin{align*}
+\rho_\omega &= -\frac{d\lambda}{\lambda\, du'}
+  = -\cos\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, du}
+    -\sin\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}, % [** PP: Added ,]
+\Tag{42} \\
+%
+p_\omega &= - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv'}
+  = \phantom{-}
+     \sin\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, du}
+    -\cos\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}. % [** PP: Added .]
+\Tag{43}
+\end{align*}
+
+L'\Eqref{équation}{42} donnant, en définitive, les distances du centre de la
+sphère de référence aux plans tangents parallèles des élassoïdes groupés
+doit coïncider avec~\Eqref{}{41} particularisée; passant aux coordonnées symétriques
+imaginaires, \Eqref{}{42}~devient
+\[
+\rho_\omega
+  = -\left[\frac{d\lambda}{\lambda\, dx} (\cos\omega + i \sin\omega)
+          +\frac{d\lambda}{\lambda\, dy} (\cos\omega - i \sin\omega)\right].
+\]
+Et cette équation coïncide avec~\Eqref{}{41} si l'on fait dans celle-ci
+\begin{align*}
+2X &= -(\cos\omega + i \sin\omega), \\
+2Y &= -(\cos\omega - i \sin\omega).
+\end{align*}
+
+Dans l'espèce, adoptant les notations du \Secref{55}, et tenant compte de
+l'\Eqref{équation}{40}, on trouve:
+\begin{align*}
+-a &= \frac{1}{\lambda^2}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\, (\cos\omega + i \sin\omega)
+    - \frac{1}{4} (\cos\omega - i \sin\omega), \\
+-b &= \frac{1}{\lambda^2}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\, (\cos\omega - i \sin\omega)
+    - \frac{1}{4} (\cos\omega + i \sin\omega);
+\end{align*}
+%% -----File: 092.png---Folio 86-------
+par conséquent,
+\begin{align*}
+-\frac{da}{dx} &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\right) (\cos\omega + i \sin\omega), \\
+-\frac{db}{dy} &= \frac{d}{dy} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\right) (\cos\omega - i \sin\omega).
+\end{align*}
+
+
+\Section{62.}
+{Tous les élassoïdes groupés sont applicables sur l'un d'entre eux;
+ils ne sont pas identiques.}
+
+La \Eqref{formule}{33} qui a trait au carré de l'élément linéaire devient en
+conséquence
+\[
+\frac{dS^2}{\lambda^2}
+  = 4 \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\right)
+      \frac{d}{dy} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\right) dx\, dy,
+\]
+résultat qui ne contient plus trace de l'angle~$\omega$. On peut donc énoncer cet
+important résultat:
+
+\begin{Emph}
+Tous les élassoïdes groupés, dérivés d'un même réseau isométrique
+sphérique, sont applicables sur l'un d'entre eux.
+\end{Emph}
+
+Mais il pourrait y avoir doute sur leur non-identité quoique l'identité dût
+entraîner des conséquences (en ce qui concerne les valeurs de~$\rho_\omega$) à priori
+non réalisées.
+
+Pour donner une preuve décisive, nous chercherons l'équation de l'image
+sphérique des lignes de courbure de l'élassoïde du groupe, le plus général,
+et nous ferons voir qu'elle varie avec~$\omega$.
+
+On a, d'après~\Eqref{}{34}, pour l'équation de l'image
+\[
+\frac{dy}{dx} = ± \sqrt{
+  \frac{\dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{1}{\lambda}\, \dfrac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\right) (\cos\omega + i \sin\omega)}
+       {\dfrac{d}{dy} \left(\dfrac{1}{\lambda}\, \dfrac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\right) (\cos\omega - i \sin\omega)}},
+\]
+ce qui établit la proposition annoncée.
+
+On peut même déduire de cette relation une conséquence géométrique
+importante.
+
+%% -----File: 093.png---Folio 87-------
+
+\Section{63.}
+{Les élassoïdes groupés ont pour images sphériques de leurs lignes de
+courbure des réseaux isométriques trajectoires les uns des autres sous
+des angles constants.}
+
+D'après~\Eqref{}{32}, si l'on suit une ligne de courbure de la surface~$(A)$, on a
+\[
+e^{-2i\theta} = \frac{dy}{dx}.
+\]
+
+Dès lors, si nous désignons par~$\theta_\omega$ l'angle que l'image d'une ligne de
+courbure de l'élassoïde général fait avec~$OX$, nous aurons
+\[
+e^{-4i\theta_\omega}
+  = e^{-4i\theta_0} \frac{\cos\omega + i \sin\omega}
+                         {\cos\omega - i \sin\omega}
+  = e^{-4i\theta_0} · e^{2\omega i},
+\]
+d'où résulte simplement
+\[
+\theta_\omega - \theta_0 = \frac{\omega}{2}.
+\]
+
+Ainsi \textit{les images sphériques des lignes de courbure des élassoïdes groupés
+sont trajectoires, sous des angles constants, les unes des autres}.
+
+Prenons, par exemple, deux élassoïdes du groupe caractérisés par des
+valeurs du paramètre~$\omega$ différant d'une constante~$\alpha$, leurs images sphériques
+se couperont mutuellement sous l'angle~$\frac{\alpha}{2}$.
+
+Il est bien clair que les résultats qui précèdent s'appliquent également
+aux images sphériques des asymptotiques des divers élassoïdes du groupe.
+
+Sans chercher à particulariser davantage pour le moment, faisons cette
+observation que les images sphériques des élassoïdes d'un même groupe
+forment sur la sphère un groupe de réseaux isométriques trajectoires, sous
+des angles constants, les uns des autres. [Les équations de Codazzi montrent
+immédiatement que l'image sphérique des lignes de courbure d'un élassoïde
+est isométrique.]
+
+Si donc on suppose obtenue l'image sphérique des lignes de courbure des
+élassoïdes groupés, on pourra la prendre pour point de départ d'un nouveau
+groupe d'élassoïdes et ainsi de suite.
+
+%% -----File: 094.png---Folio 88-------
+
+\Section{64.}
+{Recherche des élassoïdes admettant pour image sphérique de leurs lignes de
+courbure un réseau isométrique déterminé. Intégration des congruences
+isotropes satisfaisantes.}
+
+Inversement, on est conduit à résoudre le problème suivant: \emph{étant donné
+un réseau isométrique sphérique, trouver l'élassoïde qui l'admet pour image
+de ses lignes de courbure; intégrer ses congruences isotropes génératrices}.
+
+Nous pourrions déduire la solution, de ce qui précède, mais il est tout
+aussi simple de l'établir directement.
+
+Prenons pour réseau $(u, v)$ le réseau isométrique choisi. Soient $\xi$ et~$\eta$ les
+coordonnées instantanées du pied de la droite~$D$ de la congruence isotrope,
+$p$~le paramètre de la congruence, $\rho$~la distance du plan moyen au centre de
+la sphère de référence. Sans recommencer des calculs identiques à ceux qui
+ont été faits si souvent, nous écrirons immédiatement
+
+% **** Provisional code
+% N.B. Blank line to prevent \baselineskip reduction above
+{\scriptsize
+\begin{align*}
+\makebox[12pt][r]{$\rho-1$}
+ &= -\frac{dv \left[dv \left(\lambda + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi\right)
+                      + du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv}\xi\right)\right]
+             + du \left[du \left(\lambda + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta\right)
+                      + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv}  - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du}\eta\right)\right]}
+              {\lambda (du^2 + dv^2)}, \\[1.5ex]
+%
+p &= \Neg\frac{dv \left[du \left(\lambda + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta\right)
+                 + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du}\eta\right)\right]
+             - du \left[dv \left(\lambda + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi\right)
+                      + du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv}\xi\right)\right]}
+          {\lambda (du^2 + dv^2)}.
+\end{align*}
+%**
+}%
+
+La congruence étant isotrope, ces expressions doivent être indépendantes
+de $du$ et~$dv$, ce qui entraîne
+\begin{align*}
+& \frac{d\eta}{du} - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi + \frac{d\xi}{dv} - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta = 0, \\
+& \frac{d\eta}{dv} + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi = \frac{d\xi}{du} + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta.
+\end{align*}
+
+%% -----File: 095.png---Folio 89-------
+
+Et alors on a, en effet
+\begin{align*}
+p &=  \frac{\dfrac{d\xi}{dv}  - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta}{\lambda}
+   = -\frac{\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv}  \xi}{\lambda}, \\
+%
+-\rho
+  &= \frac{d\eta}{\lambda\, dv} - \frac{d\lambda}{\lambda^2\, du} \xi
+   = \frac{d\xi}{\lambda\, du} + \frac{d\lambda}{\lambda^2\, dv} \eta.
+\end{align*}
+
+Prenons pour variables canoniques $p$ et~$\rho$, nous aurons le groupe
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\frac{d\xi}{du} + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta &= -\lambda \rho,
+  & \frac{d\xi}{dv} - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta &= \lambda p \\
+%
+\frac{d\eta}{du} - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi &= -\lambda p,
+  & \frac{d\eta}{dv} + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi &= -\lambda \rho
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{44}
+\]
+
+Opérant comme au \Secref{31} en tenant compte de l'équation
+\[
+\frac{d^2 \log \lambda}{du^2} + \frac{d^2 \log \lambda}{dv^2} + \lambda^2 = 0,
+\]
+il vient
+\begin{align*}
+\xi  &= \lambda^{-1} \left(\frac{d\rho}{du} - \frac{dp}{dv}\right), \\
+\eta &= \lambda^{-1} \left(\frac{d\rho}{dv} + \frac{dp}{du}\right).
+\end{align*}
+
+Exprimant que ces valeurs de $\xi$ et~$\eta$ satisfont au \Eqref{groupe}{44}, on obtient
+le groupe définitif
+\[% [** PP: Added punctuation]
+\left.
+\begin{aligned}
+\frac{d^2\rho}{du^2}
+  - \frac{d^2p}{du\, dv}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{d\rho}{dv} + \frac{dp}{du}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{d\rho}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
+  + \lambda^2\rho = 0, \\
+%
+\frac{d^2\rho}{dv^2}
+  + \frac{d^2p}{du\, dv}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{d\rho}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{d\rho}{dv} + \frac{dp}{du}\right)
+  + \lambda^2\rho = 0, \\
+%
+\frac{d^2p}{du^2}
+  + \frac{d^2\rho}{du\, dv}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{dp}{dv} - \frac{d\rho}{du}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{dp}{du} + \frac{d\rho}{dv}\right)
+  + \lambda^2 p = 0, \\
+%
+\frac{d^2p}{dv^2}
+  - \frac{d^2\rho}{du\, dv}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{dp}{du} + \frac{d\rho}{dv}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{dp}{dv} - \frac{d\rho}{du}\right)
+  + \lambda^2 p = 0.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{45}
+\]
+
+Les valeurs des $\xi$, $\eta$ et le \Eqref{groupe}{45}, définissent, par rapport à la sphère
+%% -----File: 096.png---Folio 90-------
+de référence, la congruence isotrope la plus générale. Il s'agit d'exprimer
+maintenant que l'élassoïde central a pour image sphérique le réseau isométrique
+$(u, v)$.
+
+On a
+\[
+1 = e^{-2i\theta} = \frac{dy}{dx}
+  = \sqrt{\frac{\;\dfrac{da}{dx}\;}{\dfrac{db}{dy}}}.
+\]
+En outre, on sait d'avance que
+\[
+\rho + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} = 0.
+\Tag{46}
+\]
+
+Si l'on voulait simplement obtenir l'élassoïde satisfaisant, il faudrait intégrer~\Eqref{}{46}
+et vérifier la condition
+\[
+  \frac{d}{dx} \left(\frac{d\rho}{\lambda^2\, dx}\right)
+= \frac{d}{dy} \left(\frac{dp}{\lambda^2\, dy}\right)
+\Tag{47}
+\]
+mais pour obtenir les congruences isotropes correspondantes, il faut vérifier
+le \Eqref{groupe}{45}; celui-ci se transforme, en passant aux coordonnées symétriques
+imaginaires, en un groupe qu'il s'agit de former: \Eqref{}{45}~peut s'écrire
+\begin{gather*}
+\frac{d^2\rho}{du^2}
+  + \frac{d^2\rho}{dv^2}
+  + 2\lambda^2\rho
+  = \frac{d^2p}{du^2}
+  + \frac{d^2p}{dv^2}
+  + 2\lambda^2 p = 0, \\
+%
+\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dv^2} - \frac{d^2\rho}{du^2}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}  · \frac{d\rho}{dv}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, du}  · \frac{d\rho}{du}
+  + \left[\frac{d^2p}{du\, dv}
+        - \frac{d\lambda}{\lambda\, du}  · \frac{dp}{dv}
+        - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}  · \frac{dp}{du}\right] = 0, \\
+%
+\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{du^2} - \frac{d^2p}{dv^2}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, du}  · \frac{dp}{du}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}  · \frac{dp}{dv}
+  + \left[\frac{d^2\rho}{du\, dv}
+        - \frac{d\lambda}{\lambda\, du}  · \frac{d\rho}{dv}
+        - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}  · \frac{d\rho}{du}\right] = 0.
+\end{gather*}
+
+Il vient, en passant aux coordonnées imaginaires
+\begin{gather*}
+  \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2\rho}{dx\, dy} + \rho
+= \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} + p = 0, \\[2ex]
+%
+\begin{aligned}
+-\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dx^2} + \frac{d^2\rho}{dy^2}\right)
+ &+ \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  · \frac{d\rho}{dx}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  · \frac{d\rho}{dy} \\
+ &+ i\left[\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{dx^2} - \frac{d^2p}{dy^2}\right)
+         - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  · \frac{dp}{dx}
+         + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  · \frac{dp}{dy}\right] = 0, \\[2ex]
+%
++\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{dx^2} + \frac{d^2p}{dy^2}\right)
+ &- \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  · \frac{dp}{dx}
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  · \frac{dp}{dy} \\
+ &+ i\left[\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{d^2\rho}{dy^2}\right)
+         - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  · \frac{d\rho}{dx}
+         + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  · \frac{d\rho}{dy}\right] = 0,
+% [** PP: d^2 p/dx^2 -> d^2 \rho/dx^2]
+\end{aligned}
+\end{gather*}
+%% -----File: 097.png---Folio 91-------
+on en déduit
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\frac{d^2p}{dx^2} + i\frac{d^2\rho}{dx^2}
+  - 2\frac{d\lambda}{\lambda\, dx} \left(\frac{dp}{dx} + i\frac{d\rho}{dx}\right) &= 0 \\
+%
+\frac{d^2p}{dy^2} - i\frac{d^2\rho}{dy^2}
+  - 2\frac{d\lambda}{\lambda\, dy} \left(\frac{dp}{dy} - i\frac{d\rho}{dy}\right) &= 0 \\
+%
+\rho + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2\rho}{dx\, dy}
+  = p + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} &= 0
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{48}
+\]
+
+Ces quatre équations à elles seules régissent le problème des congruences
+isotropes.
+
+Comme cela devait être, (46) est vérifiée, ce qui démontre une fois de plus
+le théorème fondamental.
+
+L'\Eqref{équation}{47}, exprimant la coïncidence de l'image sphérique des lignes
+de courbure de l'élassoïde moyen et du réseau isométrique pris pour origine,
+devient, développée,
+\[
+\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{d^2\rho}{dy^2}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  · \frac{d\rho}{dx}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  · \frac{d\rho}{dy} = 0
+\Tag{49}
+\]
+on voit qu'elle entraîne
+\[
+\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{dx^2} + \frac{d^2p}{dy^2}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  · \frac{dp}{dx}
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  · \frac{dp}{dy} = 0. % [**PP: Added .]
+\Tag{50}
+\]
+
+Ainsi se trouve préparé le problème que nous avons en vue. Quant à
+l'intégration, elle ne présente pas de nouvelles difficultés:
+
+Remplaçons $\lambda^2$ par~$D$, nous aurons:
+
+\primo~Pour ce qui concerne~$\rho$
+\begin{gather*}
+\frac{D\rho}{2} + \frac{d^2\rho}{dx\, dy} = 0, \\
+\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{d^2\rho}{dy^2}
+  - \frac{dD}{D\, dx}  · \frac{d\rho}{dx}
+  + \frac{dD}{D\, dy}  · \frac{d\rho}{dy} = 0.
+\end{gather*}
+
+Comme
+\[
+D = -\frac{4X'Y'}{(X+Y)^2},
+\]
+on doit avoir
+\[
+\rho = \frac{X'_1}{X'} + \frac{Y'_1}{Y'}
+  - 2 \frac{X_1 + Y_1}{X + Y}.
+\]
+%% -----File: 098.png---Folio 92-------
+Mais alors
+\begin{align*}
+\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{dD}{D\, dx}  · \frac{d\rho}{dx}
+  &= \left(\frac{X'_1}{X'}\right)''
+   - \left(\frac{X'_1}{X'}\right)' \left(\frac{X''}{X'}\right), \\
+%
+\frac{d^2\rho}{dy^2} - \frac{dD}{D\, dy}  · \frac{d\rho}{dy}
+  &= \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)''
+   - \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)' \left(\frac{Y''}{Y'}\right).
+\end{align*}
+Par conséquent, l'\Eqref{équation}{49} ne peut être vérifiée que si
+\[
+\left(\frac{X'_1}{X'}\right)''
+  - \left(\frac{X'_1}{X'}\right)' \left(\frac{X''}{X'}\right)
+  = K
+  = \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)''
+  - \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)' \left(\frac{Y''}{Y'}\right),
+\]
+où $K$ désigne une constante arbitraire.
+
+On conclut facilement de ce qui précède
+\begin{align*}
+X_1 &= \int X'\, dx \int X'\, dx \int \frac{K\, dx}{X'} + aX^2  + bX  + c, \\
+Y_1 &= \int Y'\, dy \int Y'\, dy \int \frac{K\, dy}{Y'} + a'Y^2 + b'Y + c'.
+\end{align*}
+
+\secundo~En ce qui concerne~$p$, on trouverait semblablement
+\[
+p = \frac{X'_2}{X'} + \frac{Y'_2}{Y'}
+  - 2\frac{(X_2 + Y_2)}{X + Y}, %[** PP: Typo in numerator X_2 -> Y_2]
+\]
+avec
+\begin{align*}
+X_2 &= -i \int X'\, dx \int X'\, dx \int \frac{K\, dx}{X'} + a_1X^2 + b_1X + c_1, \\
+Y_2 &= +i \int Y'\, dy \int Y'\, dy \int \frac{K\, dy}{Y'} + a'_1Y^2 + b'_1Y + c'_1.
+\end{align*}
+
+On voit ainsi que
+\begin{align*}
+X_2 &= -iX_1 + \alpha  X^2 + \beta  X + \gamma, \\
+Y_2 &= +iY_1 + \alpha' Y^2 + \beta' Y + \gamma'.
+\end{align*}
+
+Les élassoïdes ainsi trouvés sont en nombre infini, mais il est facile de voir
+que la variation de la constante~$k$ donne des élassoïdes homothétiques par
+rapport au centre de la sphère de référence, et que les variations des
+constantes $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ donnent lieu à des élassoïdes déplacés dans
+l'espace, parallèlement à eux-mêmes.
+
+%% -----File: 099.png---Folio 93-------
+
+Considérons, en effet, l'expression du carré de l'élément linéaire de
+l'élassoïde, il a pour valeur, d'après~\Eqref{}{39}
+\[
+\frac{dS^2}{\lambda^2}
+  = 4dx · dy\, \frac{1}{\lambda^2}
+    \left[\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{dD}{D\, dx}  · \frac{d\rho}{dx}\right]
+    \frac{1}{\lambda^2}
+    \left[\frac{d^2\rho}{dy^2} - \frac{dD}{D\, dy}  · \frac{d\rho}{dy}\right];
+\]
+soit, à raison de ce qui a été dit ci-dessus,
+\[
+dS^2 = \frac{4K^2  · dx  · dy}{\lambda^2}.
+\]
+
+Les constantes $a, b, c, a', b', c'$ ne jouent aucun rôle et $k$ n'a d'autre
+effet que de rendre proportionnels tous les éléments correspondants des
+élassoïdes satisfaisants.
+
+Or, les éléments des lignes de courbure parallèles à ceux des courbes
+$(u)$ et~$(v)$ conservent des directions invariables, quelles que soient les variations
+des constantes; conséquemment tous les élassoïdes satisfaisants sont
+identiques ou homothétiques.
+
+
+\Section{65.}
+{Remarque au sujet de l'expression des paramètres des congruences isotropes
+déduites de réseaux sphériques isométriques.}
+
+On n'est pas sans avoir constaté la symétrie remarquable qui lie dans tous
+les calculs de ce chapitre les \emph{paramètres} d'une congruence isotrope et les
+\emph{distances du centre de la sphère de référence aux plans moyens}; nous
+avons à dessein réservé, pour les grouper, les remarques se présentant à
+chaque pas et qui mettaient naturellement sur la voie d'une très-importante
+propriété des élassoïdes, de celle qui va nous permettre bientôt de résoudre
+le problème de Björling; nous voulons parler de la coexistence des \emph{élassoïdes
+conjugués}, signalée pour la première fois par M.~Ossian Bonnet.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 100.png---Folio 94-------
+
+
+\Chapter{X.}
+{ÉLASSOÏDES CONJUGUÉS; ÉLASSOÏDES STRATIFIÉS.}
+
+\Section{66.}
+{Construction des élassoïdes conjugués à l'aide de la représentation sphérique.
+Les lignes de courbure de l'un correspondent aux lignes asymptotiques
+de l'autre.}
+
+Du \Secref{63} il résulte que, si l'on porte sur les tangentes $OX$, $OY$ des courbes
+$(v)$ et~$(u)$ d'un réseau isométrique se coupant en~$O$ (point de la sphère) des
+longueurs $OA$ et~$OB$ égales au~$\lambda$ du réseau, les droites menées par les extrémités
+parallèlement au rayon de la sphère engendrent des congruences isotropes;
+les \emph{élassoïdes moyens} de ces congruences sont applicables l'un sur
+l'autre; de plus, les images sphériques des lignes de courbure de ces élassoïdes
+se coupent sous un angle égal à~$\frac{\pi}{4}$.
+
+\emph{L'image sphérique des lignes de courbure de l'un des élassoïdes est l'image
+sphérique des lignes asymptotiques de l'autre} (puisque \primo~les asymptotiques
+d'un élassoïde coupent sous un angle égal à~$\frac{\pi}{4}$ les lignes de courbure et que
+\secundo~les angles sont conservés dans la correspondance de l'élassoïde %[** PP: Typo élassoide]
+et de la
+sphère).
+
+Nous dirons que \emph{les deux élassoïdes correspondant ainsi à deux directions
+rectangulaires isométriques sont conjugués. Tous les élassoïdes groupés
+s'accouplent en élassoïdes conjugués}.
+
+%% -----File: 101.png---Folio 95-------
+
+Mais les calculs du \Secref{28} ayant montré que, si l'on prend une congruence
+isotrope arbitraire~$(D)$, on peut toujours tracer sur une sphère donnée un
+réseau isométrique tel que les normales à la sphère soient parallèles aux
+droites de la congruence et que les tangentes aux courbes de l'une des
+familles du réseau rencontrent toujours les droites~$D$, on est en droit
+d'énoncer cette nouvelle proposition:
+
+
+\Section{67.}
+{Étant donnée une congruence isotrope définissant un élassoïde moyen, construire
+une congruence isotrope donnant lieu à l'élassoïde conjugué.}
+
+\begin{Emph}
+Si l'on fait tourner, de~$\frac{\pi}{2}$, autour d'un point fixe~$O$ les droites~$D$ d'une
+congruence isotrope, de telle façon que les nouvelles droites soient parallèles
+aux premières, on engendre une seconde congruence isotrope; les deux
+élassoïdes moyens de ces congruences sont conjugués.
+\end{Emph}
+
+Désignons uniformément par~$\rho_D$ la distance du centre de la sphère de
+référence au plan tangent de l'élassoïde moyen de la congruence~$(D)$ et par
+$p_D$ le paramètre de cette congruence, on a d'après les calculs du \Secref{28}:
+\begin{align*}
+p_D &= \rho_{D'} = \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}, \\
+\rho_D &= p_{D'} = \frac{d\lambda}{\lambda\, du}.
+\end{align*}
+
+
+\Section{68.}
+{Aux courbes lieux des centres de courbure d'une courbe double de congruence
+isotrope correspondent sur l'élassoïde conjugué les courbes de
+contact de cônes.}
+
+On peut, de ces relations, déduire un fait assez important. Nous avons
+montré (\Secref{41}) que \emph{l'on peut tracer sur un élassoïde une $\infty^3$ de lignes, lieux % [** Italics continue]
+%% -----File: 102.png---Folio 96-------
+des centres de courbure des lignes doubles des développables isotropes focales
+des congruences isotropes satisfaisantes; le long de ces courbes le paramètre
+est nul}. Ce qui précède montre que \emph{ces courbes ont pour transformées, sur
+l'élassoïde conjugué, les courbes de contact des cônes ayant pour sommets
+tous les points de l'espace}. En effet $p_D$ ne peut s'annuler sans~$\rho_{D'}$, par conséquent,
+les plans tangents à l'élassoïde conjugué le long de l'une des courbes
+transformées passent par le centre de la sphère de référence\footnotemark.
+\footnotetext{Ce centre peut effectivement coïncider avec un point quelconque de l'espace.}
+
+Ce résultat peut encore se généraliser en considérant les courbes le long
+desquelles $p_D$ ou~$\rho_{D'}$ sont constants; elles sont sur le premier élassoïde les
+trajectoires des droites, telles que~$OM$; sur l'élassoïde conjugué ce sont les
+courbes de contact de développables circonscrites à l'élassoïde et à des
+sphères.
+
+Si l'on fait tourner les droites~$D$ d'une congruence isotrope autour de tous
+les points de l'espace, de la manière indiquée ci-dessus, on obtiendra toutes
+les congruences isotropes satisfaisantes relatives à l'élassoïde conjugué. La
+question a pourtant besoin d'être approfondie, car on peut se demander
+quelles positions occupent dans l'espace les divers élassoïdes moyens des
+congruences isotropes dérivées des congruences relatives à un même élassoïde
+moyen choisi à priori. Le calcul nous amènera d'ailleurs à rencontrer
+la propriété capitale, qui domine la théorie des élassoïdes conjugués.
+
+Reprenons pour surface de référence l'élassoïde moyen d'une congruence
+isotrope et pour réseau $(u, v)$ celui des asymptotiques. Soit~$D$ la droite
+instantanée d'une congruence isotrope~$(D)$ et $P$ un point fixe de l'espace.
+Je dis que, si à partir de ce point fixe, on porte sur des parallèles aux normales
+de l'élassoïde des longueurs égales aux paramètres des diverses congruences
+isotropes satisfaisantes, les plans perpendiculaires aux normales et
+passant par les extrémités de ces segments touchent des surfaces identiques.
+Cette propriété résulte déjà de la transformation indiquée au \Secref{34}, mais
+établissons-la différemment.
+
+%% -----File: 103.png---Folio 97-------
+
+\Section{69.}
+{Toutes les congruences isotropes conjuguées des congruences engendrant le
+même élassoïde moyen donnent lieu au même élassoïde moyen conjugué % [** PP: Typo élassoide]
+du précédent.}
+
+Les coordonnées instantanées de la droite~$D$ sont
+\[
+\xi  =  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du},\quad
+\eta = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv},
+\]
+$p$ satisfaisant aux équations du \Eqref{groupe}{10}.
+
+Soient d'un autre côté $\xi, \eta, \zeta$, les coordonnées instantanées du point fixe~$P$,
+écrivant que les $\Delta X, \Delta Y, \Delta Z$ du point~$P$ sont nuls, quels que soient $du$ et~$dv$,
+on obtient le groupe canonique
+\[
+\left.
+\begin{gathered}
+\xi_1  = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{dv},\quad
+\eta_1 = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{du} \\
+%
+\frac{d^2\zeta_1}{du\, dv}
+  - \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{du}\, \frac{d\zeta_1}{dv}
+  - \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{dv}\, \frac{d\zeta_1}{du} - 1 = 0 \\
+%
+\frac{d^2\zeta_1}{du^2} + D\zeta_1
+  = \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{du}\, \frac{d\zeta_1}{du}
+  - \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{dv}\, \frac{d\zeta_1}{dv}
+  = -\frac{d^2\zeta_1}{dv^2} - D\zeta_1
+\end{gathered}\ \right\}
+\Tag{51}
+\]
+
+Portons sur $\zeta_1$, à partir de~$P$, une longueur égale au paramètre~$p$ et par
+le point obtenu menons un plan parallèle à~$XOY$, nous savons qu'il touchera
+l'élassoïde conjugué de~$(O)$; soit~$Z$ la distance de ce plan à~$XOY$, on aura
+\[
+Z = \zeta_1 - p.
+\]
+Combinant les \Eqref{groupes}{10} et~\Eqref{}{51}, on trouve que $Z$ satisfait au nouveau
+groupe:
+\[
+\left.
+\begin{gathered}
+\frac{d^2 Z}{du\, dv}
+  - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dZ}{du}
+  - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dZ}{dv} - 1 = 0, \\
+%
+\frac{d^2 Z}{du^2} + DZ - 1
+  = \frac{dD}{2D\, du}\Reg{·}{\,} \frac{dZ}{du}
+  - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dZ}{dv}
+  = -\frac{d^2 Z}{dv^2} - DZ - 1.
+\end{gathered}\ \right\}
+\Tag{52}
+\]
+%% -----File: 104.png---Folio 98-------
+Quant aux coordonnées instantanées du point de contact, écrivant que le $\Delta Z$
+est constamment nul, on trouve
+\[
+  \xi'   = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dZ}{dv},\quad
+  \eta'  = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dZ}{du},\quad
+  \zeta' = Z.
+\]
+
+Calculons les valeurs de $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ du point de contact, correspondant
+sur l'élassoïde conjugué de~$(O)$ au point~$O$.
+
+En opérant comme d'habitude, et tenant compte du \Eqref{groupe}{52}, on voit
+que
+\[ % [** PP: Added punctuation]
+\left.
+\begin{aligned}
+  \Delta X &= D^{-\frac{1}{2}}\, dv, \\
+  \Delta Y &=-D^{-\frac{1}{2}}\, du, \\
+  \Delta Z &= 0.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{53}
+\]
+
+La première conséquence à tirer est que ces éléments seront les mêmes,
+quelle que soit la valeur de~$p$ employée; on est donc en droit de dire que
+toutes les surfaces obtenues comme enveloppées des plans situés aux distances
+d'un point fixe, marquées par les différentes valeurs du \emph{paramètre},
+sont \emph{identiques} et même simplement déplacées parallèlement à elles-mêmes
+dans l'espace.
+
+Désignons dorénavant par~$(O')$ l'élassoïde conjugué de~$(O)$. Élevant au
+carré les valeurs des $\Delta X$, $\Delta Y$, et ajoutant, on vérifie de nouveau que les
+élassoïdes conjugués sont applicables l'un sur l'autre.
+
+
+\Section{70.}
+{Deux élassoïdes conjugués se correspondent par orthogonalité des éléments.}
+
+Mais le \Eqref{groupe}{53} met en relief un résultat beaucoup plus important,
+à savoir que \emph{les élassoïdes conjugués~$(O)$ et~$(O')$ se correspondent par orthogonalité
+des éléments}.
+
+%% -----File: 105.png---Folio 99-------
+
+Il suffit pour le démontrer de mettre en regard les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ des points
+$O$ et~$O'$.
+\begin{align*}
+&\qquad\textsc{\footnotesize sur}~(O)  &
+&\qquad\textsc{\footnotesize sur}~(O') \\
+%
+&\left.
+\begin{aligned}
+\Delta X &= D^{-\frac{1}{2}}\, du \\
+\Delta Y &= D^{-\frac{1}{2}}\, dv
+\end{aligned}\ \right\}\quad \Delta Z = 0, & % "top-level" alignment stop
+%
+&\left.
+\begin{aligned}
+\Delta X' &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}}\, dv \\
+\Delta Y' &=           -D^{-\frac{1}{2}}\, du
+\end{aligned}\ \right\}\quad \Delta Z' = 0.
+\end{align*}
+On a donc bien, identiquement, quels que soient $du$ et~$dv$:
+\[ % [** PP: Changed . to ·]
+  \Delta X · \Delta X'
++ \Delta Y · \Delta Y'
++ \Delta Z · \Delta Z' = 0.
+\]
+
+Ainsi peut-on énoncer ce théorème:
+
+\begin{Emph}
+A tout élassoïde en correspond un autre, \primo~par le parallélisme des plans
+tangents; \secundo~par égalité des éléments; et, \tertio~par orthogonalité de ces mêmes
+éléments.
+\end{Emph}
+
+Nous montrerons tout à l'heure dans quelles conditions de généralité a lieu
+la réciproque.
+
+
+\Section{71.}
+{Deux segments relatifs aux élassoïdes conjugués sont, en tous points
+correspondants, égaux et rectangulaires.}
+
+On peut encore déduire des calculs qui précèdent un résultat intéressant:
+
+Joignons dans le plan tangent à l'élassoïde~$(O)$ le point~$O$ au point~$M$ de
+la droite~$D$, appartenant à la congruence isotrope.
+
+Semblablement, dans le plan tangent à l'élassoïde~$(O')$, joignons le point
+$O'$ au point~$N$, pied de la perpendiculaire abaissée du point fixe~$P$ sur le
+plan tangent considéré.
+
+Je dis que \emph{les segments $OM$ et~$O'N$ sont égaux et rectangulaires}.
+
+Formons en effet le tableau des coordonnées instantanées des différents
+%% -----File: 106.png---Folio 100-------
+points de la figure:
+\[
+\overbrace{
+\begin{aligned}
+\xi_O  &= 0, \vphantom{\Bigg|} \\
+\eta_O &= 0, \vphantom{\Bigg|}
+\end{aligned}}^{\textsc{point}~O}
+\quad
+\overbrace{
+\begin{aligned}
+\xi_M  &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}}\, \frac{dp}{du},\vphantom{\Bigg|} \\
+\eta_M &=           -D^{-\frac{1}{2}}\, \frac{dp}{dv},\vphantom{\Bigg|}
+\end{aligned}}^{\textsc{point}~M}
+\quad
+\overbrace{
+\begin{aligned}
+\xi_N  &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{dv},\vphantom{\Bigg|} \\
+\eta_N &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{du},\vphantom{\Bigg|}
+\end{aligned}}^{\textsc{point}~N}
+\quad
+\overbrace{
+\begin{aligned}
+\xi_{O'}  &= -D^{-\frac{1}{2}}
+   \left(\frac{d\zeta_1}{dv} - \frac{dp}{dv}\right),\vphantom{\Bigg|} \\
+\eta_{O'} &= -D^{-\frac{1}{2}}
+   \left(\frac{d\zeta_1}{du} - \frac{dp}{du}\right);\vphantom{\Bigg|}
+\end{aligned}}^{\textsc{point}~O'}
+\]
+il en résulte
+\begin{align*}
+\xi_{O'}  &= \xi_N  - \eta_M, \\
+\eta_{O'} &= \eta_N + \xi_M,
+\end{align*}
+ce qui démontre la proposition annoncée.
+
+
+\Section{72.}
+{Construction ponctuelle simultanée des élassoïdes conjugués
+et des élassoïdes stratifiés.}
+
+Nous allons déduire de nos calculs \emph{la construction ponctuelle simultanée
+des élassoïdes conjugués}.
+
+Dans l'ordre d'idées énoncées au \Secref{46}, on peut manifestement déduire des
+surfaces~$(O)$ et~$(O')$ deux familles de surfaces applicables par couples les
+unes sur les autres.
+
+Considérons en effet les surfaces $(O)$ et~$(O')$ simplement comme deux surfaces
+applicables l'une sur l'autre; joignons à chaque instant les points~$O$
+et~$O'$, prenons les points $m$ milieux des segments; puis, portons de part et
+d'autre sur~$OO'$ deux segments $mO_1$ et~$m{O'}_1$ égaux à~$mO$ multiplié par une
+constante~$k$, il est visible que les surfaces, lieux des points~$O_1$ et~$O_2$, sont
+encore applicables l'une sur l'autre.
+
+Comme les surfaces $(O)$ et~$(O')$ ont leurs plans tangents parallèles, ces
+plans seront aussi parallèles aux plans tangents des surfaces $(m)$, $(O_1)$,~$({O'}_1)$.
+
+%% -----File: 107.png---Folio 101-------
+
+\Section{73.}
+{Seconde famille d'élassoïdes stratifiés.}
+
+Les considérations du \hyperref[chapter:III.]{chapitre~III} montrent même que toutes ces surfaces
+sont des élassoïdes.
+
+Considérons maintenant les surfaces $(O)$ et~$(O')$ comme correspondantes
+par orthogonalité de leurs éléments. Prenons en outre un point fixe arbitraire~$P$
+dans l'espace. D'après la remarque du \Secref{46}, si l'on joint à chaque instant
+le point~$P$ au point~$O'$, puis, que de part et d'autre du point~$O$ on porte
+parallèlement à~$PO'$ des segments $OC$ et~$OC'$ égaux au produit de $PO'$ par
+une constante~$k$, on obtiendra deux surfaces $(C)$ et~$(C')$ applicables l'une sur
+l'autre.
+
+En donnant à~$k$ toutes les valeurs, on obtiendra une famille de surfaces
+applicables par couples, surfaces qui sont visiblement des élassoïdes.
+
+Les deux familles ainsi obtenues ne sont pas identiques. C'est ce qui
+résultera de l'étude que nous allons en faire.
+
+Commençons par la famille dont les élassoïdes conjugués $(O)$ et~$(O')$ font
+partie.
+
+
+\Section{74.}
+{Les élassoïdes de la première famille sont tous applicables sur des élassoïdes
+homothétiques à l'un d'entre eux.}
+
+D'après le tableau de coordonnées du \Secref{71}, on obtient immédiatement
+les coordonnées instantanées des points~$O_1$ et~${O'}_1$; calculons les valeurs des
+$\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ de ces points: on a manifestement, pour les~$\Delta X$, par exemple,
+\begin{align*}
+\Delta X_{O'_1} &= \Delta X_{O'} \frac{(1+K)}{2} + \Delta X_O \frac{(1-K)}{2}, \\
+\Delta X_{O_1}  &= \Delta X_{O'} \frac{(1-K)}{2} + \Delta X_O \frac{(1+K)}{2},
+\end{align*}
+%% -----File: 108.png---Folio 102-------
+d'où l'on conclut:
+\begin{align*}
+\Delta X_{O'_1}
+  &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[dv(1+K) + du(1-K)\bigr], &
+\Delta Y_{O'_1}
+  &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[-du(1+K) + dv(1-K)\bigr], \\
+%
+\Delta X_{O_1}
+  &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[dv(1-K) + du(1+K)\bigr], &
+\Delta Y_{O_1}
+  &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[-du(1-K) + dv(1+K)\bigr].
+\end{align*}
+On en déduit, pour les carrés des éléments linéaires des surfaces $(O_1)$ et~$(O'_1)$:
+\[
+\overline{dS}_{O_1}^2 = \overline{dS}_{O'_1}^2
+  = \frac{D^{-1}}{2} (1 + K^2)(du^2 + dv^2).
+\]
+
+Ainsi les deux surfaces $(O_1)$ et~$(O'_1)$ sont applicables l'une sur l'autre, et,
+\textit{toutes les surfaces analogues de la famille, convenablement réduites par
+homothétie, sont applicables les unes sur les autres}.
+
+
+\Section{75.}
+{Une famille d'élassoïdes stratifiés comprend toujours
+deux développables isotropes.}
+
+Mais le fait important à déduire vient de ce que, si
+\[
+K = ±\sqrt{-1},
+\]
+le carré de l'élément linéaire s'annule.
+
+Dans cette hypothèse, les $\Delta X$, $\Delta Y$ ne s'annulent pas, bien que le $\overline{dS}^2$ se
+réduise à zéro. Dès lors les surfaces $(O_1)$ et~$(O'_1)$ se réduisent à deux courbes
+de longueur nulle. D'où cette proposition décisive:
+
+\begin{Emph}
+Soient $(O)$ et~$(O')$ deux élassoïdes conjugués; joignez, à chaque instant,
+les points correspondants $O$ et~$O'$; portez de part et d'autre des milieux~$m$
+de ces segments, et sur leurs directions, des longueurs égales entre elles et
+au produit par $\sqrt{-1}$ du demi-segment~$OO'$; les lieux des extrémités des
+segments imaginaires, ainsi construits, sont des lignes de longueur nulle.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 109.png---Folio 103-------
+
+\Section{76.}
+{Les élassoïdes de la seconde famille sont également stratifiés.}
+
+Occupons-nous maintenant de la seconde famille: comme les plans tangents
+sont parallèles, aux points correspondants des surfaces de la famille, il
+résulte de la construction même que leurs distances aux plans tangents de
+l'élassoïde~$(O)$ sont marquées par la valeur du produit de~$p$ (paramètre de
+la congruence isotrope originelle) par la constante~$K$.
+
+On est donc en droit d'énoncer cette proposition:
+
+\begin{Emph}
+Les plans parallèles au plan moyen d'une congruence isotrope et distants
+de ce plan de quantités proportionnelles au paramètre de la congruence, ont
+pour enveloppées des surfaces applicables par couples les unes sur les autres.
+\end{Emph}
+
+Mais nous avons montré au \Secref{38} que les plans distants du plan moyen de
+quantités égales à $p\sqrt{-1}$ ont pour enveloppées les lignes isotropes, arêtes
+de rebroussement des développables focales de la congruence.
+
+On voit par conséquent que les deux familles de surfaces auxquelles nous
+avons été conduit, sans être identiques [puisque la seconde ne contient pas
+l'élassoïde~$(O')$], répondent à une même définition: \textit{ce sont toujours des
+familles d'élassoïdes obtenus en divisant par segments proportionnels les
+cordes s'appuyant à leurs extrémités sur deux lignes de longueur nulle}.
+
+Mais il faut se souvenir que nous avons déjà déduit des réseaux isométriques
+trajectoires les uns des autres une famille d'élassoïdes groupés, tous
+applicables sur l'un d'entre eux.
+
+
+\Section{77.}
+{Les familles d'élassoïdes groupés et stratifiés sont composées
+de surfaces semblables.}
+
+Nous montrerons que les diverses familles se composent d'élassoïdes identiques
+ou semblables, de famille à famille, non identiques ni semblables, dans
+%% -----File: 110.png---Folio 104-------
+chaque famille, en établissant que les images sphériques des lignes de courbure
+de ces diverses surfaces sont, dans tous les cas, trajectoires (sous des
+angles constants) les unes des autres.
+
+Nous vérifierons en même temps (ce qui a  été prouvé jusqu'à présent,
+seulement, par les considérations directes du chapitre second) que toutes les
+surfaces des familles sont élassoïdes.
+
+Portons, sur la droite instantanée~$D$ d'une congruence isotrope, dont~$(O)$
+est l'élassoïde moyen, un segment~$MA$ égal au produit du paramètre~$p$ par
+une constante $k$. Sur chaque surface élémentaire de la congruence les plans
+tangents en~$M$ et~$A$ feront entre eux un angle~$\omega$ dont la tangente sera égale
+à~$K$; il est donc naturel de remplacer~$k$ par~$\tg \omega$.
+
+Une surface de la famille que nous voulons étudier est touchée par le plan
+contenant~$A$ et parallèle au plan~$XOY$; cette surface est donc enveloppée par
+le plan dont l'équation instantanée est
+\[
+Z - p \tg \omega = 0.
+\]
+On cherchera comme d'habitude la caractéristique de ce plan et l'on trouvera
+pour les coordonnées instantanées du point de contact:
+\begin{gather*}
+\xi  = -KD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv},\quad
+\eta = -KD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du}. \\
+\zeta = Kp.
+\end{gather*}
+On trouve ensuite pour les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ du point de contact:
+\begin{align*} % [** F1: Aligning on = instead of centering]
+\Delta X &= D^{-\frac{1}{2}}(du - k\, dv), \\
+\Delta Y &= D^{-\frac{1}{2}}(dv + k\, du), \\
+\Delta Z &= 0,
+\end{align*}
+par conséquent,
+\[
+dS^2 = D^{-1}(du^2 + dv^2)(1 + k^2)
+     = \frac{dS_O^2}{\cos^2\omega}.
+\]
+Ainsi l'enveloppée du plan considéré a ses éléments proportionnels à ceux
+de~$(O)$.
+
+%% -----File: 111.png---Folio 105-------
+
+Nous suivrons sur $(O)$ l'image d'une ligne de courbure de la surface considérée,
+si le déplacement du point de contact est perpendiculaire à la caractéristique
+du plan~$P$. Ayant les équations de la caractéristique:
+\begin{gather*}
+Z - Kp = 0, \\
+D^{-\frac{1}{2}} (X\, dv + Y\, du)
+  + K \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) = 0,
+\end{gather*}
+et les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$, rien de plus facile que de trouver la condition:
+\[
+\frac{dv}{du} = -K ± \sqrt{1 + K^2}
+  = \left\{
+    \begin{array}{c}
+      \tg \left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega}{2}\right), \\[1ex]
+      \text{ou} \\[1ex]
+      \tg \left(\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\omega}{2}\right).
+    \end{array}
+    \right.
+\]
+Mais si $\varphi$ désigne l'angle que l'image de la ligne de courbure de~$(P)$ sur~$(O)$
+fait avec une ligne de courbure de~$(O)$, on a:
+\[
+\frac{dv}{du} = \tg \left(\frac{\pi}{4} + \varphi\right),
+\]
+puisque les lignes de courbure de~$(O)$ sont bissectrices des angles des axes.
+En conséquence, on trouve, en valeur absolue:
+\[
+\varphi = \frac{\omega}{2}.
+\]
+
+Exprimons, au contraire, que le déplacement du point de contact a lieu
+suivant la caractéristique, nous obtiendrons ainsi l'équation différentielle des
+images sur~$(O)$ des lignes asymptotiques de la surface~$(P)$. On vérifie que les
+directions obtenues sont rectangulaires.
+
+%% -----File: 112.png---Folio 106-------
+
+\Section{78.}
+{Construction d'une famille d'élassoïdes stratifiés dérivés d'une congruence
+isotrope déterminée.}
+
+Combinant ces résultats avec les remarques suivantes:
+
+\primo~Que les images sur un élassoïde et sur la sphère donnent des angles
+correspondants égaux;
+
+\secundo~Qu'en général les lignes asymptotiques d'une surface correspondent
+par orthogonalité des éléments à leur image sphérique, nous serons en
+droit de dire:
+
+\begin{Emph}
+Les enveloppées des plans tels que~$P$, distants, du plan moyen de la congruence
+isotrope, de quantités proportionnelles au paramètre, sont des élassoïdes
+applicables après réduction par homothétie. Sur l'élassoïde moyen ou
+sur la sphère, les images de leurs lignes de courbure sont trajectoires, sous
+des angles constants, des lignes de courbure de l'élassoïde moyen, ou de
+leurs images sphériques.
+\end{Emph}
+
+On vérifie à l'aide des $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ du point de contact:
+
+\primo~\textit{Que deux des plans~$P$, également distants du plan moyen, touchent
+deux élassoïdes applicables l'un sur l'autre sans réduction par homothétie;}
+
+\secundo~\textit{Que parmi les surfaces analogues à~$(P)$, il en existe seulement deux
+se correspondant par orthogonalité des éléments; elles sont obtenues en égalant
+à l'unité la constante~$k$.}
+
+
+\Section{79.}
+{Caractères distinctifs des familles d'élassoïdes groupés et stratifiés.}
+
+En résumé, il n'y a, en réalité, que deux familles d'élassoïdes distinctes
+parmi les trois, primitivement envisagées.
+
+La première famille, déduite d'un réseau isométrique sphérique, comprend
+%% -----File: 113.png---Folio 107-------
+des élassoïdes tous applicables les uns sur les autres, ce sont les \emph{élassoïdes
+groupés}. A un point d'un élassoïde correspondent sur les autres élassoïdes
+des points distribués sur une ellipse.
+
+La seconde famille, déduite d'une congruence isotrope arbitraire, peut
+être identifiée à la précédente en ce sens qu'elle peut être composée avec des
+élassoïdes semblables à ceux de la première famille; mais \emph{il faudra toujours
+en laisser un de côté}. Nous dirons (pour la distinguer) qu'elle est composée
+d'\emph{élassoïdes stratifiés}.
+
+Une famille d'\emph{élassoïdes groupés} se décompose d'une infinité de manières
+en couples d'\emph{élassoïdes conjugués}.
+
+Une famille d'\emph{élassoïdes stratifiés} ne comprend qu'\emph{un couple d'élassoïdes
+conjugués}. Les points correspondants sont en ligne droite.
+
+Enfin la seconde famille comprend toujours comme élassoïdes limites deux
+développables isotropes; la première famille n'en contient jamais.
+
+
+\Section{80.}
+{Quand deux surfaces se correspondent avec réalisation de deux des trois
+conditions: \primo~parallélisme des plans tangents; \secundo~égalité des éléments;
+\tertio~orthogonalité des éléments, ce sont deux élassoïdes conjugués.}
+
+Nous terminerons ce chapitre en recherchant s'il est d'autres surfaces que
+les élassoïdes conjugués qui se correspondent par égalité et orthogonalité
+des éléments, avec parallélisme des plans tangents.
+
+Si l'on exige que les conditions soient réunies toutes les trois, il ne paraît
+pas possible d'obtenir autre chose.
+
+Si l'on n'exige que la réalisation de deux des conditions à la fois, on a trois
+problèmes à résoudre:
+
+\primo~Trouver les couples de surfaces se correspondant à la fois par le parallélisme
+de leurs plans tangents et l'égalité de leurs éléments.
+
+\secundo~Obtenir deux surfaces dont les plans tangents sont parallèles deux à
+deux et dont les éléments correspondants sont rectangulaires.
+
+%% -----File: 114.png---Folio 108-------
+
+\tertio~Former les couples de surfaces se correspondant à la fois par égalité
+et orthogonalité des éléments.
+
+Le premier problème peut être ramené au second, car étant données deux
+surfaces $(O)$ et~$(O')$ satisfaisantes, la surface~$(M)$, lieu des milieux des cordes $OO'$,
+a ses plans tangents parallèles à ceux de $(O)$ et de~$(O')$; de ce que ces
+dernières sont applicables l'une sur l'autre il résulte que, si, par un point fixe
+de l'espace, on mène des rayons égaux et parallèles aux demi-segments~$OO'$,
+la surface, lieu des extrémités des rayons~$(R)$, correspondra par orthogonalité
+de ses éléments à~$(M)$. Il est en outre visible que les plans tangents
+de~$(R)$ sont parallèles à ceux de~$(O)$, $(O')$ et de~$(M)$; donc les surfaces~$(M)$
+et~$(R)$ donnent la solution du second problème.
+
+Soient maintenant $(M)$ et~$(R)$ ces deux surfaces satisfaisantes. Considérons
+une asymptotique de~$(M)$, son image sur~$(R)$, ainsi que sur la sphère~$(S)$.
+Nous savons que l'asymptotique de~$(M)$ correspond par orthogonalité de ses
+éléments à son image sphérique; il faut donc que celle-ci corresponde par
+parallélisme d'éléments à l'image de l'asymptotique, sur~$(R)$; cette image est
+donc une ligne de courbure. Ainsi les asymptotiques de~$(M)$ correspondent
+aux lignes de courbure de~$(R)$ et réciproquement. Il faut en outre que les
+images sphériques de ces lignes soient rectangulaires (en tant qu'images de
+lignes de courbure). Il en résulte immédiatement que $(M)$ et~$(R)$ sont des
+élassoïdes conjugués.
+
+Reste donc à traiter le troisième problème: les éléments des deux surfaces
+sont deux à deux égaux et rectangulaires. Considérons sur ces surfaces les
+lignes de longueur nulle; elles se correspondent manifestement, comme étant
+égales éléments à éléments, mais deux éléments correspondants ne peuvent
+être rectangulaires sans que leurs tangentes isotropes rencontrent l'ombilicale
+au même point; dès lors, si les lignes de longueur nulle sont distinctes sur
+les deux surfaces, les plans tangents sont parallèles comme contenant deux
+couples de droites isotropes parallèles.
+
+Ainsi, dans tous les cas, on n'obtient que les élassoïdes conjugués.
+
+%% -----File: 115.png---Folio 109-------
+
+\Section{81.}
+{Sur deux élassoïdes conjugués, de deux familles de courbes correspondantes
+dérivent comme lignes conjuguées des lignes qui seraient orthogonales,
+rapportées sur l'une des surfaces.}
+
+Une conséquence intéressante de la propriété fondamentale des élassoïdes
+conjugués doit être signalée.
+
+Traçons sur $(O)$ une famille de courbes~$(u)$ et sur~$(O')$ les transformées
+des courbes~$(v)$ trajectoires orthogonales des courbes~$(u)$, \emph{les courbes conjuguées
+% **** des lignes?
+de lignes~$(u)$ sur~$(O)$ et des transformées des~$(v)$ sur~$(O')$ se correspondent}.
+
+Nous allons maintenant appliquer les résultats qui précèdent à la solution
+géométrique du problème de Björling.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 116.png---Folio 110-------
+
+
+\Chapter{XI.}
+{SOLUTION GÉOMÉTRIQUE DU PROBLÈME DE BJÖRLING.}
+
+\Section{82.}
+{Si on planifie deux développables circonscrites à deux élassoïdes conjugués
+suivant deux contours correspondants, on peut superposer les transformées
+de ces contours, et les transformées des génératrices seront des
+droites deux à deux rectangulaires.}
+
+Soient $(O)$ et~$(O')$ deux élassoïdes conjugués, considérons, sur ces surfaces,
+deux contours correspondants $(C)$ et~$(C')$; aux points correspondants les
+plans tangents sont parallèles et les développables circonscrites le long de~$(C)$
+et de~$(C')$ aux élassoïdes, ont leurs génératrices parallèles.
+
+D'un autre côté, puisque $(O)$ et~$(O')$ sont deux surfaces applicables l'une
+sur l'autre, les \emph{courbures géodésiques} des courbes correspondantes $(C)$ et~$(C')$
+sont égales, aux points correspondants.
+
+\begin{Emph}
+Si donc l'on étend les deux développables sur deux plans, les courbes~$(C)$
+et~$(C')$ se transformeront en deux courbes $(v)$ et~$(v')$ dont les éléments et les
+rayons de courbure seront égaux; conséquemment, les courbes $(v)$ et~$(v')$,
+transformées, seront superposables. \emph{Effectuant la superposition, tous les
+points correspondants des deux contours coïncideront;} quant aux transformées
+rectilignes des génératrices des développables, elles seront deux à deux
+rectangulaires.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 117.png---Folio 111-------
+
+Ceci posé, proposons-nous de construire l'élassoïde inscrit à une développable
+donnée $(\Delta)$ le long d'un contour déterminé $(C)$ (c'est-à-dire de résoudre
+le problème de Björling). % [** PP: Added de]
+
+
+\Section{83.}
+{Construire un élassoïde inscrit dans une développable donnée le long
+d'un contour déterminé {\upshape (\textsc{problème de björling}).}}
+
+Les opérations à effectuer comportent trois degrés.
+
+En premier lieu on déroulera $(\Delta)$ sur un plan et on tracera dans ce plan
+les perpendiculaires aux transformées des génératrices de la développable
+menées par les différents points du contour $(C)$ transformé. Les droites ainsi
+obtenues peuvent être considérées comme les transformées de génératrices
+d'une certaine développable $(\Delta')$ planifiée.
+
+En second lieu on formera cette seconde développable $(\Delta')$ en lui donnant
+même cône directeur qu'à~$(\Delta)$; et on lui assignera une telle position dans
+l'espace, que les génératrices correspondantes des développables $(\Delta)$, $(\Delta')$
+soient parallèles.
+
+En troisième lieu on joindra les points correspondants des contours $(C)$
+et~$(C')$ transformés; enfin, de part et d'autre des milieux des cordes, et
+sur celle-ci, on parlera des longueurs égales aux produits des demi-cordes
+par~$\sqrt{-1}$.
+
+Les courbes imaginaires, lieux des extrémités des segments ainsi construits,
+sont les lignes isotropes génératrices des deux élassoïdes.
+
+Les deux premières séries d'opérations peuvent conduire à des résultats
+non algébriques, la troisième série ne donne lieu qu'à des opérations algébriques.
+
+Les deux premières séries n'entraînent que des opérations essentiellement
+réelles, mais la troisième série introduit nécessairement des constructions
+imaginaires.
+
+%% -----File: 118.png---Folio 112-------
+
+\Section{84.}
+{Des contours conjugués.}
+
+En résumé, \emph{si l'on veut construire un élassoïde passant par un contour
+donné $(C)$, il faut tout d'abord construire un contour conjugué $(C')$ correspondant
+au premier, par égalité et par orthogonalité des éléments}.
+
+Ce résultat obtenu, des opérations, simplement algébriques, détermineront
+les deux élassoïdes conjugués passant par les deux contours.
+
+Nous avons montré par quelles opérations il faut passer pour obtenir le
+contour $(C')$ conjugué de~$(C)$ lorsqu'on se donne la développable circonscrite
+à l'élassoïde le long de~$(C)$, mais rien n'oblige à passer par l'intermédiaire
+du problème de Björling, dans tous les cas. Il est bien clair que, si, par un
+procédé quelconque, on a obtenu deux contours conjugués $(C)$ et~$(C')$, les
+tangentes de ces contours en deux points correspondants, étant situées dans
+deux plans tangents parallèles, déterminent ces plans eux-mêmes.
+
+
+\Section{85.}
+{Étant donnée une surface gauche, construire les contours conjugués
+qu'elle détermine.}
+
+Si l'on veut simplement obtenir des élassoïdes, sans s'assujettir à les faire
+passer par un contour déterminé, le procédé le plus simple est encore celui
+que nous avons déduit de la notion des congruences isotropes, à savoir:
+\emph{partir d'une surface gauche arbitraire}. Nous avons montré au \chapitre{VII}
+comment on doit construire le contour~$(C)$ suivant lequel les plans moyens
+touchent l'élassoïde. Il peut paraître intéressant d'indiquer comment s'obtiendrait
+le contour conjugué~$(C')$.
+
+Par un point fixe~$P$ de l'espace on mènerait des parallèles aux génératrices
+de la surface gauche, et, sur ces droites, on porterait des segments~$PN$ égaux
+aux valeurs des \emph{paramètres}; par les extrémités on élèverait des plans perpendiculaires
+%% -----File: 119.png---Folio 113-------
+aux droites; on obtiendrait ainsi les plans tangents à l'élassoïde
+conjugué le long du contour cherché~$(C')$; celui-ci s'obtiendrait point par
+point en tirant parti de la proposition % [** PP: Typo proportion]
+démontrée au \Secref{71}, en vertu de % [** PP: Omitted () around section number]
+laquelle le segment~$NC'$ est égal et perpendiculaire au segment joignant le
+point central d'une génératrice de la surface gauche au point de contact
+correspondant de l'élassoïde sur~$(C)$.
+
+Examinons quelques cas particuliers dans lesquels on peut obtenir immédiatement
+le contour~$(C')$ conjugué d'un contour déterminé.
+
+Si $(C)$ est le lieu des centres de courbure d'une courbe gauche~$(C_1)$, $(C')$
+est le lieu des extrémités de segments issus d'un point fixe de l'espace égaux
+et perpendiculaires aux rayons de courbure de~$(C)$.
+
+Dans ce cas la surface gauche élémentaire est la développable lieu des
+tangentes de~$(C_1)$.
+
+Si $(C_1)$ est algébrique les deux élassoïdes conjugués sont algébriques. Tout
+cela a déjà été démontré au \chapitre{VI}.
+
+Dans le cas où $(C_1)$ est une courbe plane, le problème prend, naturellement,
+une simplicité toute particulière.
+
+
+\Section{86.}
+{Contours conjugués d'un contour plan.}
+
+Soit $(C')$ le contour conjugué de~$(C)$; projetons $(C')$ en~$(\gamma)$ sur le plan
+de la courbe~$(C)$; appelons~$Z$ la hauteur variable du point~$C'$ au-dessus du
+plan: pour que les contours soient conjugués il faut que les tangentes à~$(C)$
+et~$(\gamma)$ aux points correspondants soient rectangulaires; en outre
+\[
+dZ = \sqrt{\overline{d(c)}^2 - \overline{d(\gamma)}^2},
+\]
+en désignant par $d(c)$ et~$d(\gamma)$ les éléments d'arc des courbes $(C)$ et~$(\gamma)$.
+
+Si les éléments $d(\gamma)$ et~$d(c)$ faisaient entre eux un angle constant, même
+nul, la courbe~$(C')$ obtenue deviendrait satisfaisante par une simple rotation
+autour d'un axe perpendiculaire au plan de~$(C)$.
+
+Le problème est, dans tous les cas, ramené aux quadratures.
+
+%% -----File: 120.png---Folio 114-------
+
+Supposons, tout d'abord, que l'on prenne pour $(\gamma)$ un point; $(C')$ se réduit
+à une droite. Le $Z$ de celle-ci est égal à l'arc de~$(C)$. Le premier élassoïde
+admet pour géodésique la courbe~$(C)$. Si celle-ci est la développée d'une
+courbe algébrique, on pourra algébriquement obtenir la correspondance sur
+la droite $(C')$ et, par conséquent, les deux élassoïdes conjugués seront
+algébriques.
+
+
+\Section{87.}
+{Un élassoïde admettant pour ligne de courbure une courbe plane sera
+algébrique en même temps que la développante de cette courbe.}
+
+Supposons maintenant que $(\gamma)$ soit une courbe semblable à~$(C)$; le rapport
+de similitude étant~$k$, on aura
+\[
+dZ = d(c) \sqrt{1 - k^2}.
+\]
+
+Ainsi $Z$ sera proportionnel à l'arc de~$(C)$; et, si cet arc peut s'obtenir
+algébriquement, c'est-à-dire si $(C)$ est la développée d'une courbe algébrique,
+la courbe~$(C')$ et les deux élassoïdes conjugués seront algébriques.
+
+Il est facile de pousser plus loin l'étude de ce cas intéressant: en effet, de
+ce que $dZ$ est proportionnel à $d(\gamma)$ résulte que les tangentes à la courbe~$(C')$
+font des angles constants avec la normale au plan de~$(C)$.
+
+Mais les plans tangents le long de~$(C)$ ont leur lignes de plus grande pente
+parallèles aux tangentes de~$(C')$; conséquemment, l'élassoïde passant par~$(C)$
+coupe le plan de cette courbe sous un angle constant.
+
+D'après un théorème bien connu, $(C)$~est alors ligne de courbure de
+l'élassoïde. Ainsi, on est en droit d'énoncer cette généralisation du théorème
+d'Henneberg:
+
+\begin{Emph}
+Tout élassoïde, admettant pour ligne de courbure une courbe plane,
+sera algébrique si cette courbe est la développée d'une courbe algébrique.
+\end{Emph}
+
+Il n'est pas besoin d'insister pour établir qu'un élassoïde ne pourrait être
+algébrique sans que son conjugué le fût. Tous les élassoïdes \emph{groupés} ou
+\emph{stratifiés} sont algébriques si l'un d'entre eux l'est.
+
+%% -----File: 121.png---Folio 115-------
+
+\Section{88.}
+{Surfaces dont les lignes asymptotiques et leurs images sphériques
+sont des contours conjugués.}
+
+Citons un exemple fort curieux de contours conjugués. Soit une surface~$(S)$
+telle qu'en chacun de ses points le produit des rayons de courbure principaux
+soit constant, négatif et égal, en valeur absolue, à~$a^2$. Considérons, d'autre
+part, une sphère de rayon~$a$ et faisons sur la sphère l'image du réseau des
+asymptotiques de~$(S)$.
+
+Soit $d\theta\, a^2$ l'aire sphérique d'un élément de la surface~$(S)$. $R_1$ et~$R_2$ désignant
+les rayons de courbure principaux de~$(S)$, on sait d'après Gauss, que
+\[
+d(S) = d\theta · R_1R_2.
+\]
+
+Il en résulte que, dans ce cas, l'\emph{aire d'une portion de la surface~$(S)$ est égale
+à l'aire sphérique correspondante, prise sur la sphère de rayon~$a$}. % [** PP: Put "a" in math mode]
+
+Manifestement, \emph{toutes les fois que deux surfaces se correspondent avec
+conservation des aires, on peut tracer sur elles un double réseau de courbes
+égales par correspondance, et réelles}. Il est manifeste également qu'en deux
+points correspondants les courbes de longueur conservée se coupent sous des
+angles supplémentaires (car leurs sinus doivent être égaux, pour que la correspondance
+homalographique ait lieu).
+
+Dans le cas actuel, on voit facilement que les images sphériques des asymptotiques
+de~$(S)$ (faisant entre elles un angle supplémentaire de celui des
+asymptotiques), sont, sur la sphère, les lignes de longueur conservée. Mais
+nous avons déjà eu l'occasion de faire observer qu'une ligne asymptotique et
+son image sphérique se correspondent toujours par orthogonalité des éléments.
+
+On voit, par conséquent, \emph{qu'une ligne asymptotique de la surface~$(S)$ et
+son image, sur la sphère de rayon~$a$, sont deux contours conjugués}.
+
+Les élassoïdes conjugués correspondants sont circonscrits à la surface~$(S)$,
+le long de l'asymptotique, et, à la sphère, suivant l'image\footnotemark.
+  \footnotetext{Nous avons démontré que sur~$(S)$ quatre asymptotiques quelconques, par deux, de familles
+différentes, forment toujours un parallélogramme courbe, en ce sens que les segments opposés
+sont égaux. Il en est de même des images sphériques.}
+
+%% -----File: 122.png---Folio 116-------
+
+\Section{89.}
+{Élassoïdes conjugués inscrits dans une même développable.}
+
+\begin{Emph}
+Peut-il se faire que deux élassoïdes conjugués soient inscrits à une même
+surface développable?
+\end{Emph}
+
+Si l'on planifie cette développable, les deux courbes de contact doivent
+être superposables, après la transformation, et leurs tangentes aux points
+correspondants doivent être rectangulaires. Rien de plus simple que de les
+obtenir: choisissons arbitrairement, dans le plan, un point~$P$; de ce point,
+abaissons sur chacune des génératrices limites de la développable, des droites
+faisant avec elles des angles de~$45°$, les lieux des points de rencontre seront
+des courbes identiques, semblables à la podaire par rapport au point~$P$ de
+l'arête de rebroussement planifiée.
+
+Que l'on forme à nouveau la développable, le point~$P$ décrira une courbe
+gauche $(P)$ dont les plans normaux seront tangents à la développable considérée;
+la podaire du point~$P$ devient le lieu des centres de courbure de la
+courbe trajectoire de~$P$.
+
+Les élassoïdes conjugués font partie d'une famille d'élassoïdes stratifiés dont
+l'élassoïde moyen est inscrit, le long de la podaire de~$P$, dans la développable
+donnée.
+
+Ainsi, \emph{deux élassoïdes conjugués, inscrits à une même développable, seront
+algébriques si cette développable est l'enveloppe des plans normaux d'une
+courbe algébrique}.
+
+Dans ce cas, la développable contient les deux lignes de longueur nulle
+génératrices des deux élassoïdes, ce sont les transformées des deux droites
+isotropes passant par le point~$P$ et tracées dans le plan de la développable
+aplatie.
+
+%% -----File: 123.png---Folio 117-------
+
+\Section{90.}
+{Construire deux élassoïdes conjugués inscrits dans deux développables
+ayant même cône directeur.}
+
+On peut, dans la même voie, obtenir un théorème beaucoup plus général:
+soient données deux développables $(\Delta)$ et~$(\Delta')$ satisfaisant à la seule condition
+d'avoir même cône directeur; supposons que l'on demande de leur inscrire
+deux élassoïdes conjugués de telle façon qu'elles leur soient tangentes le
+long de contours conjugués. Il s'agit de construire ces contours.
+
+$(\Delta)$ et $(\Delta')$ peuvent être considérées comme les enveloppes des plans
+normaux de deux courbes $(P)$ et~$(P')$ dont les tangentes correspondantes
+sont parallèles.
+
+Amenons le point $P'$ en~$P$, en y faisant coïncider les tangentes de $(P)$ et
+de~$(P')$ transportée: les génératrices correspondantes $G$, $G'$ de~$(\Delta)$ et de~$(\Delta')$
+seront alors dans un même plan normal à~$(P)$. Faisons tourner autour de la
+tangente à~$(P)$ la génératrice~$G'$ de~$(\Delta')$ correspondant au point~$P'$, jusqu'à ce
+qu'elle ait pris une position~$G_1$, à angle droit sur sa position première, les
+deux droites $G_1$ et~$G$ se rencontreront en un point~$M$ qui appartient au contour
+de contact de~$(\Delta)$ et de l'élassoïde satisfaisant.
+
+On construira, de la sorte, les deux contours conjugués par des opérations
+purement algébriques, pourvu que $(P)$ et~$(P')$ soient obtenues d'avance.
+
+Nous dirons, en conséquence, que deux élassoïdes conjugués assujettis à
+toucher deux développables données ayant même cône directeur seront algébriques
+si les deux développables sont les \emph{polaires} de deux courbes gauches
+algébriques.
+
+Comme on peut remplacer les points $P$ et~$P'$ par deux points arbitraires
+des plans des deux développables infiniment aplaties, on voit que le problème
+en question est susceptible d'une~$\infty^8$ de solutions\footnotemark.
+  \footnotetext{Comme on peut effectuer la rotation autour de~$P$ de deux côtés différents, les mêmes
+  courbes $(P)$ et~$(P')$ donnent lieu à deux systèmes de contours conjugués; c'est ce qui conduit à
+  l'$\infty^8$ de solutions.}
+
+%% -----File: 124.png---Folio 118-------
+
+Un cas très-simple se présente lorsque le point~$P$ décrit une courbe sphérique,
+la surface polaire est un cône et les courbes de contact de ce cône avec
+deux élassoïdes conjugués sont deux cercles géodésiques passant par le sommet
+du cône.
+
+
+\Section{91.}
+{Construction des deux contours conjugués résultant de la connaissance
+d'une surface gauche.}
+
+Le problème de la recherche des contours conjugués peut être abordé de
+bien des façons; comme il présente en lui-même un réel intérêt, il ne sera pas
+inutile de montrer, avec plus de précision que nous ne l'avons encore fait,
+comment la connaissance d'une surface gauche permet de construire deux
+couples de contours conjugués.
+
+% [** PP: Omitted () around section numbers]
+Nous avons indiqué, au \Secref{37}, comment se construisent les points du
+contour le long desquels les plans moyens de la surface gauche touchent
+l'élassoïde moyen, et au \Secref{85}, comment s'obtiennent les points du contour
+conjugué; nous n'y reviendrons pas; mais, rappelons que parmi les élassoïdes
+stratifiés que détermine directement la surface gauche, il en est deux qui
+sont conjugués. Soient $(C)$ et~$(C')$ les courbes tracées sur ces élassoïdes et
+correspondant à la surface gauche choisie (comme surface élémentaire de la
+congruence isotrope). Soient $C$ et~$C'$ les points correspondant à la génératrice~$D$
+de la congruence.
+
+On sait que $C$ et $C'$ sont dans des plans distants du plan moyen de quantités
+égales au paramètre de la droite~$D$.
+
+Si $O$ est le point de contact du plan moyen, $C$ et~$C'$ sont sur une droite
+$COC'$ parallèle à la normale à la surface moyenne en~$M$, droite située dans un
+plan perpendiculaire à~$OM$ et dans le plan normal à la ligne de striction.
+Les droites $CP$, $C'P'$ font des angles de~$45°$ avec le plan mené par~$D$ et
+par~$OM$\footnotemark.
+  \footnotetext{$P$ et $P'$ sont situés dans les plans tangents aux élassoïdes conjugués et sur la droite~$D$.}
+
+%% -----File: 125.png---Folio 119-------
+
+Nous terminerons cette étude des contours conjugués en montrant comment
+on en peut déduire une infinité de la connaissance d'une surface moyenne de
+congruence isotrope.
+
+
+\Section{92.}
+{La connaissance d'une surface moyenne conduit à celle d'une infinité
+de couples de contours conjugués.}
+
+On sait qu'une surface de cette nature correspond par orthogonalité de ses
+éléments à la sphère. Prenant donc une sphère de rayon déterminé, il y aura
+toujours sur la surface une famille double de courbes égales en arc à leurs
+correspondantes sur la sphère, ayant par conséquent ces courbes pour conjuguées.
+Une équation différentielle régit le problème.
+
+A ce propos, il est intéressant de connaître les surfaces les plus simples
+correspondant à la sphère par orthogonalité des éléments.
+
+L'élassoïde moyen peut se réduire à un point. Dans ce cas, il faut, d'après~\Eqref{}{28},
+que la surface moyenne ait sa courbure nulle. La considération de~\Eqref{}{26}
+montre immédiatement que la surface est \emph{plane}.
+
+La correspondance par orthogonalité de la sphère et d'un plan diamétral,
+par exemple, s'obtient en projetant un point de la sphère sur le plan, puis
+en faisant tourner cette projection autour du centre, de~$90°$.
+
+Dans ce cas, les contours conjugués sont imaginaires.
+
+Il convient de signaler que si l'on recherche les élassoïdes groupés, dérivés
+du réseau isométrique formé de cercles orthogonaux passant par un même
+point de la sphère, on trouve seulement des points.
+
+On pourrait développer bien davantage, mais il convient de poursuivre
+l'exposé des considérations générales, afin d'aborder, sans retard, les monographies
+d'élassoïdes.
+
+Il est naturel, après avoir cherché à déduire les congruences isotropes de
+la sphère, de voir comment on peut les déduire du plan; c'est ce qui fera
+l'objet du prochain chapitre.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 126.png---Folio 120-------
+
+
+\Chapter{XII.}
+{CONGRUENCES ISOTROPES DÉDUITES DU PLAN.}
+
+\Section{93.}
+{Calcul d'un réseau orthogonal plan duquel on peut déduire
+une congruence isotrope.}
+
+Établissons tout d'abord les conditions exprimant qu'une congruence de
+droites émanant des points d'une surface de référence est isotrope. Ce calcul
+nous sera nécessaire dans sa généralité, un peu plus loin, et, pour notre
+objet actuel, particularisé, il conduira immédiatement au but.
+
+Nous supposerons toujours que les droites~$D$ de la congruence sont situées
+dans les plans~$ZOX$. Désignons par~$i$ l'angle de~$D$ avec la normale~$OZ$.
+
+L'équation de la surface élémentaire, établie comme d'habitude, donne
+pour l'angle~$\theta$ du plan tangent en un point~$M$ de~$D$ avec le plan~$ZOX$
+\[
+\tg \theta
+  = \frac{g\, dv
+    + L \left[dv \left(\dfrac{dg}{f\, du} \sin i + Q  \cos i\right)
+            - du \left(\dfrac{df}{g\, dv} \sin i + fD \cos i\right)\right]}
+         {f \cos i\, du
+    + L \left[dv \left(\dfrac{di}{dv} + gD\right)
+            + du \left(\dfrac{di}{du} + P\right)\right]}.
+\]
+
+L'équation des plans focaux, établie comme précédemment, est
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking]
+\tg^2 \theta \left(-D + \frac{di}{g\, dv}\right)
+  + \frac{\tg \theta}{fg \cos i}
+     \left(gP - Qf \cos^2i + g \dfrac{di}{du}
+         - \cos i \sin i \frac{dg}{du}\right) \\
+  + D + \tg i \frac{df}{g\, dv} = 0.
+\end{multline*}
+
+%% -----File: 127.png---Folio 121-------
+
+La congruence sera isotrope si
+\[
+gP - fQ \cos^2 i + g \frac{di}{du} - \cos i \sin i \frac{dg}{du} = 0
+\Tag{54}
+\]
+en même temps que
+\[
+2Dg - \frac{di}{dv} + \tg i \frac{df}{f\, dv} = 0. % [** PP: tg -> \tg]
+\Tag{55}
+\]
+
+Supposons maintenant que $(O)$ se réduise à un plan, il vient ($P$, $Q$, $D$
+étant nuls),
+\begin{align*}
+\frac{di}{du}\, \frac{1}{\sin i \cos i} &= \frac{dg}{g\, du}, \\
+\frac{di}{dv}\, \frac{\cos i}{\sin i}   &= \frac{df}{f\, dv}, \\
+\intertext{on en déduit}
+g \cot i &= V, \\
+\frac{f}{\sin i} &= U.
+\end{align*}
+
+Éliminant l'angle~$i$, on trouve la relation
+\[
+\frac{U^2}{f^2} - \frac{V^2}{g^2} = 1.
+\Tag{56}
+\]
+
+Inversement, \emph{toutes les fois qu'on aura, dans le plan, un réseau orthogonal
+caractérisé par l'équation~{\upshape(56)}, on en déduira une congruence isotrope}.
+Les calculs précédents démontrent également cette réciproque. Mais on voit
+facilement que d'un réseau satisfaisant on peut déduire \emph{deux} congruences
+isotropes définies par les systèmes
+\[
+\left\{
+\begin{aligned}
+g \cot i &= V, \\
+\frac{f}{\sin i} &= U,
+\end{aligned}\right.
+\qquad
+\left\{
+\begin{aligned}
+f \cot \omega &= \sqrt{-1} U, \\
+\frac{g}{\sin \omega} &= \sqrt{-1}\Reg{·}{} V.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+On peut même, puisque $U$ et~$V$ sont des fonctions indéterminées de~$u$ et
+de~$v$, considérer $U$ et~$V$ comme de même signe dans~\Eqref{}{56}, en général.
+
+%% -----File: 128.png---Folio 122-------
+
+En fait, lorsque les signes de $U^2$ et de~$V^2$ seront tous deux positifs, les
+congruences isotropes seront imaginaires toutes les deux; lorsque les signes
+seront contraires, l'une des congruences sera formée de droites réelles et
+l'autre de droites imaginaires.
+
+On est également en droit de compter les congruences formées des droites
+symétriques, par rapport au plan, de celles des~$(D)$. Donc, en général, d'un
+réseau satisfaisant, on pourra déduire quatre congruences isotropes, symétriques
+par couple, relativement au plan~$(O)$.
+
+Il est facile de voir qu'il y a seulement quatre plans isotropes focaux pour
+ces quatre congruences, et que ces plans eux-mêmes se groupent par couples
+coupant le plan~$(O)$ suivant deux droites imaginaires.
+
+
+\Section{94.}
+{D'un réseau orthogonal satisfaisant on déduit quatre plans isotropes
+en chaque point du plan, se coupant suivant deux droites de ce plan.}
+
+C'est ce qu'on vérifie sans peine en cherchant en $du\, dv$ l'équation quadratique
+des traces sur~$(O)$ des plans focaux de la congruence. On trouve, en
+général, pour une surface de référence arbitraire
+\begin{align*}
+0 % [** PP: O -> 0]
+  = dv^2 \left(-g^2D + g \frac{di}{dv}\right)
+  &+ du\, dv \left(gP - Qf \cos^2 i + g \frac{di}{du}
+                         - \cos i \sin i \frac{dg}{du}\right) \\
+  &+ du^2 \left(f^2D \cos^2 i
+                   + \sin i \cos i \frac{f}{g}\, \frac{df}{dv}\right);
+% [** PP: Break last fraction]
+\end{align*}
+mais, \emph{dans l'espèce}, il vient
+\[
+g^2\, dv^2 + f^2 \cos^2 i\, du^2 = 0.
+\]
+
+Pour les autres congruences satisfaisantes, on aurait, symétriquement,
+\[
+f^2\, du^2 + g^2 \cos^2 \omega\, dv^2 = 0;
+\]
+%% -----File: 129.png---Folio 123-------
+et ces deux équations sont équivalentes à
+\[
+du^2 \frac{f^4}{U^2} + dv^2 \frac{g^4}{V^2} = 0.
+\Tag{57}
+\]
+
+Ces directions seront imaginaires, lorsque, parmi les congruences, deux
+seront réelles; inversement lorsque ces directions seront réelles toutes les
+congruences isotropes satisfaisantes seront imaginaires.
+
+On sait par la théorie des congruences isotropes que ces directions imaginaires
+sont les traces, sur le plan de référence, des plans tangents aux développables
+isotropes focales des congruences satisfaisantes. Conséquemment,
+les directions en question doivent former dans le plan deux familles de \emph{droites}
+imaginaires enveloppant les traces, sur le plan, des deux développables
+isotropes focales.
+
+
+\Section{95.}
+{Définition géométrique du réseau orthogonal satisfaisant.}
+
+Si l'on considère deux développantes des traces focales, le réseau orthogonal
+$(u, v)$ est formé par l'ensemble des courbes telles que la somme ou la
+différence des distances de leurs points aux deux développantes soient
+constantes.
+
+Vérifions au moyen de l'\Eqref{équation}{56}, que le réseau $(u, v)$ satisfait
+toujours à la définition précitée. On peut, dans chaque cas, particulariser
+ces variables $U$ et~$V$, et ramener l'expression du carré de l'élément linéaire
+à la forme
+\[
+dS^2 = \frac{dv^2}{\cos^2 \varphi} + \frac{du^2}{\sin^2 \varphi},
+\]
+qui caractérise d'après M.~Weingarten tout réseau orthogonal formé (sur une
+surface arbitraire) par les courbes dont tous les points sont à des distances
+géodésiques de deux courbes fixes dont la somme ou la différence est
+constante\footnotemark.
+  \footnotetext{\textsc{M.~Ossian Bonnet} a donné, de ce fait, une démonstration simple (p.~96 du \Ord{XLII}{e} cahier
+du \emph{Journal de l'École polytechnique}).}
+
+%% -----File: 130.png---Folio 124-------
+
+Ici, quand l'angle~$\varphi$ est réel, les congruences isotropes sont toutes imaginaires,
+et inversement.
+
+Comme vérification, on doit trouver que les lignes définies par l'\Eqref{équation}{57}
+sont des géodésiques.
+
+
+\Section{96.}
+{Cas où le réseau satisfaisant est isométrique: il est composé
+de coniques homofocales.}
+
+Le réseau $(u, v)$ ne peut, à la fois, être isométrique et être caractérisé
+par la \Eqref{relation}{56}, que si le carré de l'élément linéaire du plan peut se
+mettre sous la forme
+\[
+dS^2 = (U^2 - V^2)(du^2 + dv^2);
+\]
+mais alors, d'après une théorie \emph{bien connue} de M.~Liouville, l'intégrale des
+géodésiques du plan peut s'écrire
+\[
+U \sin^2 \varphi + V \cos^2 \varphi = k\footnotemark % [** PP: Typo K]
+\]
+et chaque valeur de la constante~$k$ définira une double famille de géodésiques,
+enveloppant, par conséquent, deux courbes. Lorsque les valeurs de~$k$
+seront telles que l'angle~$\varphi$ soit imaginaire, on déduira des droites ainsi obtenues
+deux congruences isotropes réelles.
+  \footnotetext{C'est d'ailleurs l'intégrale qu'on obtiendrait immédiatement en cherchant à résoudre~\Eqref{}{57}
+  qui est l'équation des traces principales des congruences isotropes.}
+
+Ainsi \emph{le réseau orthogonal plan, particulier, qui est à la fois isométrique
+et de la forme permettant l'intégration des géodésiques, donnera lieu à une $\infty^2$
+de congruences isotropes}. Nous ne nous arrêterons pas à démontrer, après
+M.~Liouville, que ce réseau plan, remarquable, est \emph{unique} et qu'il est formé
+par des coniques homofocales.
+
+\begin{Emph}
+\emph{Dans ce cas} les congruences isotropes satisfaisantes ne sont autre chose que
+%% -----File: 131.png---Folio 125-------
+l'ensemble des génératrices des hyperboloïdes homofocaux ayant pour trace,
+sur le plan de référence, les ellipses du réseau $(u, v)$ et dont \emph{une} quelconque
+de ces ellipses est la focale.
+\end{Emph}
+
+Autant on choisira de focales distinctes, autant on obtiendra de congruences
+isotropes différentes.
+
+Nous n'insistons pas davantage sur ces propriétés qui mettent à part les
+congruences isotropes formées des génératrices de quadriques homofocales;
+dans le \chapitre{XVII} nous montrerons, en effet, comment tout ce qui
+précède est un cas particulier d'une proposition plus générale et pourtant
+caractéristique.
+
+Pour obtenir, en termes finis, les équations d'élassoïdes et surtout des
+élassoïdes algébriques dont s'est préoccupée spécialement l'Académie de
+Belgique, il convient d'établir (maintenant que nous avons élucidé les propriétés
+des congruences), sous la forme la plus simple, des formules qui
+permettent d'effectuer en langage algébrique, et par avance, les opérations
+géométriques dont nous avons montré l'agencement. Cette nouvelle étude ne
+laissera pas de mettre en relief d'intéressantes propriétés des élassoïdes auxquelles
+nous n'avons pas encore été conduit.
+
+
+\Section{97.}
+{Plans isotropes passant par une droite déterminée. \\
+Équations.}
+
+Soit une congruence de droites. Si, par chaque droite, on mène les deux
+plans isotropes qu'elle détermine, ceux-ci couperont, suivant deux droites, un
+plan fixe arbitraire.
+
+Inversement si dans un plan on se donne deux droites, on peut en déduire,
+par \emph{isotropie}, quatre droites dans l'espace.
+
+Supposons que les droites considérées aient pour équations
+\begin{align*}
+x \cos \varphi + y \sin \varphi &= 0, \\
+x \cos \psi    + y \sin \psi    &= 0,
+\end{align*}
+%% -----File: 132.png---Folio 126-------
+où les angles $\varphi$ et~$\psi$ sont arbitraires et complexes (c'est-à-dire imaginaires,
+conjugués ou non).
+
+Les plans isotropes, passant par la première droite, ont pour équation
+quadratique
+\[
+X \cos \varphi + Y \sin \varphi ± iZ = 0.
+\]
+
+De même, les plans isotropes, passant par la seconde droite, sont représentés
+par l'équation à double signe
+\[
+X \cos \psi + Y \sin \psi ± iZ = 0.
+\]
+
+Les deux doubles signes sont indépendants.
+
+Les droites d'intersection des plans isotropes (en ne considérant pas les
+symétriques) ont pour équations, soit
+\begin{gather*}
+X = \frac{iZ(\sin \varphi - \sin \psi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \quad
+Y = \frac{iZ(\cos \psi - \cos \varphi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \\
+%
+\intertext{soit}
+X = -\frac{iZ(\sin \varphi + \sin \psi)}{\sin(\psi - \varphi)},\quad
+Y = -\frac{iZ(\cos \psi + \cos \varphi)}{\sin(\psi - \varphi)}.
+\end{gather*}
+
+Il ne faut considérer, naturellement, que les équations pouvant représenter
+des droites réelles quand $\varphi$ et~$\psi$ sont imaginaires conjugués. Posant
+\[
+\varphi = \alpha + \beta i,\quad \psi = \alpha - \beta i,
+\]
+les deux systèmes d'équations deviennent
+\begin{gather*}
+X = -\frac{2iZ \cos\alpha}{e^{\beta} + e^{-\beta}}, \quad
+Y = -\frac{2iZ \sin\alpha}{e^{\beta} + e^{-\beta}}, \\
+\intertext{ou}
+X = \frac{2Z \sin\alpha}{e^{\beta} - e^{-\beta}}, \quad
+Y = \frac{2Z \cos\alpha}{e^{-\beta} - e^{\beta}}.
+\end{gather*}
+
+Ainsi la seconde combinaison doit seule être conservée.
+
+%% -----File: 133.png---Folio 127-------
+
+\Section{98.}
+{Intégrale générale analytique d'une congruence isotrope.}
+
+Donnons-nous arbitrairement les traces, sur le plan de référence, de deux
+développables isotropes; ces traces peuvent être deux courbes arbitraires,
+imaginaires. On peut toujours les considérer comme les enveloppes de deux
+droites variables définies par les équations
+\begin{align*}
+x \cos\varphi + y \sin\varphi - F(\varphi) &= 0, \\
+x \cos\psi    + y \sin\psi    - f(\psi )   &= 0,
+\end{align*}
+où $F$ et~$f$ sont des fonctions, données, des angles complexes $\varphi$ et~$\psi$. D'après
+ce qui vient d'être dit, les droites de la congruence isotrope, dérivant de ces
+courbes imaginaires, sont définies ainsi
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+X &= -iZ\, \frac{\sin \varphi + \sin \psi}{\sin(\psi - \varphi)}
+         + \frac{F \sin \psi - f \sin \varphi}{\sin(\psi - \varphi)} \\
+%
+Y &= \phantom{-}iZ\,
+           \frac{\cos \psi + \cos \varphi}{\sin(\psi - \varphi)}
+         - \frac{F \cos \psi - f \cos\varphi}{\sin(\psi - \varphi)}
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{58}
+\]
+
+Telle est, si l'on veut, sous une forme simple, l'intégrale générale des
+congruences isotropes.
+
+
+\Section{99.}
+{Calcul du paramètre d'une congruence isotrope.}
+
+Il s'agit maintenant de calculer les équations du \emph{plan moyen} et la valeur
+du \emph{paramètre}.
+
+Soient, en général,
+\[
+x = aZ + p,\quad
+y = bZ + q,
+\]
+%% -----File: 134.png---Folio 128-------
+les équations d'une congruence, où $a$, $b$, $p$, $q$ sont des fonctions de deux
+paramètres variables. Établissons l'équation de variation des plans tangents
+à une surface élémentaire, le long de la droite~$D$, dont la trace est le point~$A$.
+
+Soit $DA\delta$ le plan projetant de la droite~$D$ sur le plan de référence; considérons
+une position~$D'$ de la droite, infiniment voisine de~$D$. Soit~$M'$ un point
+de~$D'$ situé à la hauteur~$Z$; projetons-le en~$m$, sur le plan~$DA\delta$ et en~$\mu$ sur~$D$.
+$\theta$~désignant toujours l'angle du plan tangent à la surface élémentaire avec le
+plan projetant de~$D$, on a
+\[
+\tg\theta = \frac{M'm}{m\mu}.
+\]
+
+L'équation du plan projetant est
+\[
+b(x-p) - a(y-q) = 0,
+\]
+les coordonnées du point~$M'$ (que, pour plus de simplicité, on suppose se
+déplacer dans un plan horizontal) croissent de
+\begin{align*}
+\Delta X &= \Delta a· Z + \Delta p, \\
+\Delta Y &= \Delta b· Z + \Delta q.
+\end{align*}
+On en conclut, par les règles élémentaires,
+\[
+M'm = \frac{b(\Delta a·Z - \Delta p)
+          - a(\Delta b·Z - \Delta q)}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}}\footnotemark.
+\]
+  \footnotetext{$M'm$ étant la plus courte distance des deux droites.}
+
+D'un autre coté, le plan passant par~$D$, perpendiculaire au plan projetant,
+a pour équation
+\[
+a(x - aZ - p) + b(y - bZ - q) = 0,
+\]
+$m\mu$ n'est autre chose que la distance de~$M'$ à ce plan. Conséquemment, nous
+aurons
+\[
+m\mu = \frac{a(\Delta a·Z + \Delta p)
+           + b(\Delta b·Z + \Delta q)}{\sqrt{(a^2 + b^2)(1 + a^2 + b^2)}}.
+\]
+
+%% -----File: 135.png---Folio 129-------
+
+En définitive,
+\[
+\tg \theta
+  = \frac{b(\Delta a·Z + \Delta p) - a(\Delta b·Z + \Delta q)}
+         {a(\Delta a·Z + \Delta p) + b(\Delta b·Z + \Delta q)}
+    \sqrt{a^2 + b^2}.
+\]
+
+Ici
+\begin{gather*} % [** PP: Moved "-" out of numerator]
+a = -\frac{i(\sin \varphi + \sin \psi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \quad
+b =  \frac{i(\cos \varphi + \cos \psi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \\
+%
+p =  \frac{F \sin \psi - f \sin\varphi}{\sin(\psi - \varphi)}, \quad
+q = -\frac{F \cos \psi - f \cos\varphi}{\sin(\psi - \varphi)}.
+\end{gather*}
+
+Si on laissait arbitraires les variations des paramètres $\varphi$ et~$\psi$, les calculs
+seraient longs, mais la théorie générale nous ayant appris que les résultats
+recherchés sont invariables quelles que soient les surfaces élémentaires
+choisies, on est libre de les particulariser et, par exemple, de supposer la
+relation
+\[
+\psi - \varphi = K,
+\]
+constamment vérifiée. Comme
+\[
+(a^2 + b^2) = -\frac{2\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]}{\sin^2(\psi - \varphi)},
+\]
+on voit que, par cet artifice, on a constamment
+\[
+a\Delta a + b\Delta b = 0.
+\]
+
+En somme, on obtient
+\[
+\tg \theta
+  = \frac{\bigl[2Z + i(F-f)\bigr]\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]
+       + i\bigl[F' + f'] \sin (\psi - \varphi)}
+         {-i[F' - f'] \bigl[1 + \cos (\psi - \varphi)\bigr]
+       + i[F + f] \sin (\psi - \varphi)}.
+\Tag{59}
+\]
+
+$Z$ et~$\tg \theta$ sont infinis en même temps. On aura, par conséquent, la
+valeur de~$Z$ afférente au \emph{point central} en annulant~$\tg \theta$:
+\[
+2Z_0 + i[F-f] + i[F'+f'] \frac{\sin (\psi-\varphi)}{1 + \cos (\psi - \varphi)} = 0.
+\Tag{60}
+\]
+
+Le \emph{paramètre} se trouve dès lors mis en évidence dans l'\Eqref{équation}{59}, il
+est défini par la relation
+\[
+2P_0 = i[F'-f']
+     + i[F + f] \frac{\sin (\psi - \varphi)}
+                     {1 + \cos (\psi - \varphi)}. % [**PP: Added .]
+\Tag{61}
+\]
+
+%% -----File: 136.png---Folio 130-------
+
+\Section{100.}
+{Calcul des équations des plans tangents aux élassoïdes conjugués.}
+
+Connaissant le~$Z$ du \emph{point central}, on obtient immédiatement pour l'équation
+du \emph{plan moyen}
+\begin{align*} % [** PP: Re-breaking]
+0 &= -2X(\sin\varphi + \sin\psi)
+   + 2Y(\cos\varphi + \cos\psi) \\
+  &\quad+ \sin(\psi - \varphi)
+       \left[-2Zi + (F - f) - (F' + f')\cot \frac{\psi - \varphi}{2}\right].
+\Tag{62}
+\end{align*}
+
+La distance de l'origine des coordonnées au plan moyen, distance égale au
+\emph{paramètre} d'une congruence isotrope conjuguée de~\Eqref{}{58}, c'est-à-dire ayant
+pour élassoïde moyen le conjugué de l'élassoïde défini par~\Eqref{}{58}, a pour
+expression
+\[ % [** F1: Subscript looks like O'?]
+2P_0 = -(F' + f') + (F - f) \tg \frac{\psi - \varphi}{2}.
+\Tag{63}
+\]
+
+Inversement, l'\Eqref{équation}{61} donne, pour le plan tangent de l'élassoïde
+conjugué:
+\[% [** PP: Re-breaking]
+\begin{aligned}
+&-2X(\sin\varphi + \sin\psi)
++2Y(\cos\varphi + \cos\psi) \\
+&\quad+i\bigl\{\sin(\psi - \varphi)[F + f - 2Z]
+  +(F'-f')\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]\bigr\} = 0.
+\end{aligned}
+\Tag{64}
+\]
+
+Pour obtenir une congruence isotrope génératrice de l'élassoïde conjugué,
+il suffit de faire tourner, de~$\frac{\pi}{2}$, la droite~\Eqref{}{58} autour de l'origine. Nous trouvons
+de la sorte par des calculs dont nous supprimons les détails
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+X &= -\frac{i(\sin\varphi + \sin\psi)}{\sin(\psi - \varphi)} Z
+     + (F \cos\psi - f \cos\varphi)\Delta \\
+Y &=  \frac{i(\cos\varphi + \cos\psi)}{\sin(\psi - \varphi)} Z
+     + (F \sin\psi - f \cos\varphi)\Delta,
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{65}
+\]
+où $\Delta^2$ a pour valeur
+\[
+\Delta^2 = \frac{2Ff}{\bigl[1 + \cos (\psi - \varphi)\bigr]
+                      \bigl[F^2 + f^2 - 2Ff\cos(\psi - \varphi)\bigr]}.
+\]
+
+%% -----File: 137.png---Folio 131-------
+
+Il serait très-facile, s'il y avait intérêt, de former les équations de toutes
+les congruences isotropes satisfaisantes, en utilisant la transformation du
+\Secref{34}; mais en général, quand on en aura besoin, ce sera pour chercher % [** PP: Omitted () around section number]
+toutes les surfaces moyennes, et il sera toujours plus rapide d'effectuer la
+transformation sur les congruences particulières définies par des paramètres
+réels.
+
+Cherchons maintenant à déterminer les coordonnées des points des deux
+élassoïdes, en fonction des paramètres complexes $\varphi$ et~$\psi$.
+
+Posons pour un instant
+\[
+\frac{\psi - \varphi}{2} = \alpha,\quad
+\frac{\psi + \varphi}{2} = \beta.
+\]
+
+Les équations des plans tangents aux deux élassoïdes deviennent, pour
+l'élassoïde moyen:
+\begin{align*}
+-X \sin\beta + Y \cos\beta
+ + \sin\alpha \left[-Zi +  \frac{F - f}{2}\right] -  \frac{F' + f'}{2} \cos\alpha &= 0,
+\Tag{62'} \\
+\intertext{pour l'élassoïde conjugué}
+-X \sin\beta + Y \cos\beta
+ + \sin\alpha \left[-Zi + i\frac{F + f}{2}\right] - i\frac{F' - f'}{2} \cos\alpha &= 0.
+\Tag{64'}
+\end{align*}
+
+
+\Section{101.}
+{Coordonnées des points des élassoïdes conjugués.}
+
+N'oublions pas que $F$ et~$f$ sont des fonctions de $\varphi$ et de~$\psi$ individuellement,
+et représentons comme d'habitude, par exemple
+\[
+\frac{d^2 F}{d\varphi^2}\quad\text{par}\quad F'',
+\]
+%% -----File: 138.png---Folio 132-------
+comme on a
+\begin{align*}
+\frac{d\varphi}{d\alpha} &= -1,\quad \frac{d\varphi}{d\beta} = +1, \\
+\frac{d\psi}{d\alpha}    &= +1,\quad \frac{d\psi}{d\beta} = +1,
+\end{align*}
+on peut considérer maintenant les équations $(62')$ $(64')$ comme formées de
+fonctions des paramètres $\alpha$ et~$\beta$, et chercher les caractéristiques.
+
+Tout d'abord, pour l'élassoïde moyen, on trouve
+\begin{gather*}
+2Zi = (F + F'') - (f + f''), \\
+X \cos\beta + Y \sin\beta
+  - \sin\alpha \frac{F' - f'}{2}
+  + \cos\alpha \frac{F'' + f''}{2} = 0;
+\end{gather*}
+repassant maintenant aux expressions en $\varphi$ et~$\psi$, il vient, en résumé,
+\begin{flalign*}
+&\BoxTag{élassoïde}{moyen} &
+\left.
+\begin{gathered} % [** PP: Added punctuation.]
+X + \frac{F' \sin \varphi + F'' \cos \varphi}{2}
+  + \frac{f' \sin \psi    + f'' \cos \psi}{2} = 0, \\
+Y - \frac{F' \cos \varphi - F'' \sin \varphi}{2}
+  - \frac{f' \cos \psi    - f'' \sin \psi}{2} = 0, \\
+Z = -i \frac{(F + F'') - (f + f'')}{2}.
+\end{gathered}\ \right\} &&
+\Tag{66}
+\end{flalign*}
+
+De la même manière on calculera les coordonnées du point correspondant
+de l'élassoïde conjugué; on trouve
+\begin{flalign*}
+&\BoxTag{élassoïde}{conjugué} &
+\left.
+\begin{gathered} % [** PP: Added commas.]
+\frac{X}{i} + \frac{F' \sin \varphi + F'' \cos \varphi}{2}
+            - \frac{f' \sin\psi     + f'' \cos \psi}{2} = 0, \\
+\frac{Y}{i} - \frac{F' \cos \varphi - F'' \sin \varphi}{2}
+            + \frac{f' \cos \psi    - f'' \sin \psi}{2} = 0, \\
+Z = \frac{(F + F'') + (f + f'')}{2}.
+\end{gathered}\ \right\} &&
+\Tag{67}
+\end{flalign*}
+
+Ces deux groupes d'équations fort simples sont susceptibles d'interprétations
+géométriques importantes.
+
+%% -----File: 139.png---Folio 133-------
+
+Soient $(A)$ et~$(B)$ les deux courbes imaginaires, sections des deux développables
+isotropes par le plan de référence, $P$~une origine fixe. Soient $A$ et~$B$
+les points des deux courbes déterminés par les deux valeurs $\varphi$ et~$\psi$ des paramètres.
+Enfin, soient $a$ et~$b$ les centres de courbure correspondants. Désignons
+par $R_A$, $R_B$ les rayons de courbure de~$(A)$ et~$(B)$ en~$A$ et~$B$.
+
+On sait que le centre de courbure~$a$, par exemple, est déterminé par
+l'équation de la normale en~$A$ à~$(A)$
+\[
+-x \sin\varphi + y \cos\varphi - F' = 0,
+\]
+et par celle de la caractéristique qui est la normale de la développée
+\[
+-x \cos\varphi - y \sin\varphi - F'' = 0.
+\]
+
+
+\Section{102.}
+{Définition géométrique des points des élassoïdes conjugués.}
+
+Désignons par $O$ et~$O'$ les points correspondants des deux élassoïdes, par
+$\omega$ et~$\omega'$ leurs projections sur le plan de référence.
+
+\primo~\textit{La projection~$\omega$ du point~$O$ de l'élassoïde moyen~$(O)$ est au milieu
+du segment~$ab$}; % [** PP: Moved ; out of italics]
+
+\secundo~\textit{Le $Z$ du point~$O$ de l'élassoïde moyen~$(O)$ est égal à la demi-différence
+des rayons de courbure $R_A$ et~$R_B$ multipliée par~$\sqrt{-1}$};
+
+\tertio~\textit{Si l'on joint l'origine~$P$, fixe, au point~$\omega'$ projection sur le plan de
+référence du point~$O'$ de l'élassoïde conjugué~$(O')$ le segment~$P\omega'$ est égal à
+la moitié du segment~$ab$ multiplié par~$\sqrt{-1}$, de plus~$P\omega'$ et~$ab$ sont
+parallèles}
+\[
+P\omega' = i \frac{ab}{2}.
+\]
+
+\quarto~\textit{Le $Z$ du point~$O'$ de l'élassoïde conjugué~$(O')$ est égal à la demi-somme
+des rayons de courbure $R_A$ et~$R_B$}.
+
+%% -----File: 140.png---Folio 134-------
+
+Les deux premières propriétés sont des conséquences immédiates de la
+construction ponctuelle de l'élassoïde moyen comme lieu des milieux des
+cordes s'appuyant à leurs extrémités sur les arêtes de rebroussement de deux
+développables isotropes, si l'on tient compte de cette proposition (énoncée
+pour la première fois par M.~Moutard): \emph{La projection de l'arête de rebroussement
+d'une développable isotrope, sur un plan donné, est la développée de
+la section, par le plan, de la développable}.
+
+
+\Section{103.}
+{Définition des sections planes d'un élassoïde.}
+
+Arrêtons-nous un moment, afin de tirer de ce qui précède des conséquences.
+Supposons que les courbes $(A)$ et~$(B)$ se superposent; elles coïncideront
+alors avec une courbe $(C)$ qui sera toujours réelle si les élassoïdes
+sont réels.
+
+On sait, et l'on vérifie d'ailleurs à première vue, que la développée~$(D)$ de
+la courbe appartient à l'élassoïde moyen, qu'elle est une géodésique de cette
+surface. On voit de nouveau que le contour conjugué est une droite perpendiculaire
+au plan de la courbe~$(C)$. Pour obtenir le point~$O'$ de cette droite
+correspondant à un point~$D$ de la développée~$(D)$, il suffit de prendre~$PO'$
+égal à~$AD$.
+
+\begin{Emph}
+Le plan de~$(C)$ coupe l'élassoïde moyen suivant une courbe double, lieu des
+milieux des cordes joignant les centres de courbure des cercles osculateurs,
+de même rayon, de la courbe~$(C)$.
+\end{Emph}
+
+Considérons maintenant une courbe~$(D)$ symétrique par rapport à une
+droite $PP'$. Il est clair que tous les couples de points symétriques $a$ et~$b$ donneront
+lieu à un point~$O$ situé dans le plan perpendiculaire au plan de~$(D)$
+et passant par l'axe de symétrie, mais deux cas sont à distinguer, ou~$(D)$
+coupe l'axe~$PP'$ à angle droit ou elle y présente un rebroussement de première
+espèce.
+
+%% -----File: 141.png---Folio 135-------
+
+Dans le premier cas $(C)$ présente en~$P$ un rebroussement et les rayons de
+courbure $Aa$, $Bb$ doivent être considérés comme étant de signe contraire;
+dès lors \emph{le point~$O$ est dans le plan de symétrie à une hauteur au-dessus de
+$\omega$ marquée par le produit de la longueur de l'arc imaginaire~$Pb$ par~$\sqrt{-1}$.
+On voit que le plan de symétrie coupera l'élassoïde moyen suivant une nouvelle
+géodésique dont les points réels correspondront aux couples de points
+symétriques, imaginaires, de $(D)$ et inversement}. Nous reviendrons plus loin
+sur ce cas particulier. Le contour conjugué n'est autre chose qu'une droite
+perpendiculaire au plan de symétrie.
+
+Au contraire, si la courbe~$(D)$ présente un rebroussement sur l'axe
+de symétrie, la développante $(C)$ coupant cet axe à angle droit en~$P$, les
+rayons de courbure en deux points symétriques ont même signe, leur
+différence est donc nulle. En conséquence, \emph{le plan de symétrie de~$(D)$ coupe
+l'élassoïde moyen suivant l'axe de symétrie~$PP'$. Le contour conjugué
+est, au contraire, une géodésique située dans un plan perpendiculaire à
+l'axe~$PP'$}.
+
+
+\Section{104.}
+{On peut tracer sur des élassoïdes, même algébriques, des droites
+n'ayant que des parties réelles situées sur ces surfaces.}
+
+Au point de vue de la réalisation physique par le procédé de M.~Plateau,
+il convient de faire observer que, toutes les fois qu'un élassoïde, algébrique
+ou non, admettra un plan de symétrie, lui et son conjugué, simultanément
+algébriques, contiendront des droites; mais il est fort remarquable que certaines
+de ces droites soient seulement réelles partiellement. Donnons un
+exemple.
+
+Soit proposé de construire l'élassoïde admettant pour géodésique la développée
+d'une ellipse; il est algébrique ainsi que son conjugué, mais, sur
+celui-ci, le contour correspondant à la développée est une droite égale en
+%% -----File: 142.png---Folio 136-------
+longueur (nous parlons de la partie réelle) au quart du périmètre total de la
+développée.
+
+Aussi dans la réalisation physique devra-t-on obtenir des nappes se reliant
+d'elles-mêmes à des segments de droite limités.
+
+On peut déduire, des formules interprétées ci-dessus, des conséquences
+d'un genre tout différent.
+
+Si les arcs $(a)$ et~$(b)$ des courbes développées de $(A)$ et~$(B)$ s'expriment
+algébriquement, les élassoïdes seront algébriques.
+
+
+\Section{105.}
+{Élassoïdes transcendants admettant des lignes algébriques.}
+
+Bornons-nous à examiner le cas de l'élassoïde admettant pour géodésique
+une courbe plane~$(D)$; si celle-ci n'est pas la développée d'une courbe algébrique~$(C)$,
+\emph{les élassoïdes seront transcendants, mais dans certains cas ils
+contiendront des courbes algébriques}.
+
+Les courbes algébriques d'un élassoïde transcendant correspondront aux
+groupements de points $a$ et~$b$ tels que la différence ou la somme des longueurs
+correspondantes des arcs $(a)$ et~$(b)$ soient algébriques.
+
+Un exemple éclaircira: Soit proposé de chercher l'\emph{élassoïde admettant
+pour géodésique une ellipse donnée~$(D)$}. Cette surface est transcendante,
+puisque le~$Z$ est proportionnel à la différence des deux arcs de l'ellipse.
+
+Mais, considérons les points du plan rangés suivant une hyperbole homofocale~$(H)$,
+ou suivant une ellipse~$(E)$ également homofocale à~$(D)$. On sait,
+d'après un théorème dû à M.~Chasles, que si le point~$M$ décrit l'ellipse~$(E)$, par
+exemple, les arcs décrits par les points de contact des tangentes à~$(D)$ issues
+de~$M$ ont une différence algébrique\footnotemark.
+  \footnotetext{A la façon de compter les arcs, adoptée ci-dessus, il faut dire ici la différence.}
+Dès lors, les points de l'élassoïde correspondant
+à ceux de l'ellipse~$(E)$ seront situés sur une courbe algébrique.
+
+%% -----File: 143.png---Folio 137-------
+
+Au contraire, si l'on suit l'hyperbole~$(H)$, ce sont les points de l'élassoïde
+conjugué qui se rangent suivant une courbe algébrique.
+
+Étant donnée la nature des transcendantes déterminant les longueurs
+d'arcs d'ellipse, on voit que sur chacun des deux élassoïdes précités il n'y
+a qu'une famille de courbes algébriques. Au demeurant, s'il y en avait
+deux, les élassoïdes seraient algébriques.
+
+
+\Section{106.}
+{Les lignes de niveau d'un élassoïde admettant pour géodésique une courbe
+plane algébrique dont l'arc s'exprime par une fonction elliptique de
+première espèce, sont algébriques.}
+
+Soit pris en général pour~$(D)$ une courbe algébrique dont l'arc s'exprime
+par une fonction elliptique de première espèce [M.~Serret a montré qu'il en
+existe une infinité, toutes unicursales; la plus simple est la lemniscate de
+Bernoulli]. \emph{L'élassoïde qui admet $(D)$ pour géodésique, et son conjugué,
+sont coupés par des plans parallèles à celui de~$(D)$ suivant des courbes
+algébriques}.
+
+Il importe d'observer que ces diverses courbes algébriques ne se correspondent
+pas d'un élassoïde à l'autre. On sait d'ailleurs qu'en thèse générale,
+si l'on trouve deux contours conjugués algébriques, les élassoïdes conjugués
+sont algébriques.
+
+Ajoutons que, \emph{le long d'une courbe algébrique d'un élassoïde transcendant,
+la développable circonscrite est algébrique}. En effet, l'équation~$(62')$
+donne pour la trace du plan tangent à l'élassoïde moyen sur le plan de
+référence
+\[
+-X \sin\beta + Y \cos\beta + \sin\alpha \frac{F-f}{2} - \frac{F'+f'}{2} \cos\alpha = 0.
+\]
+
+%% -----File: 144.png---Folio 138-------
+
+\Section{107.}
+{Sur l'algébricité des développables circonscrites à un élassoïde
+le long de courbes algébriques.}
+
+On peut toujours supposer que l'origine est transportée pour un instant
+au point de rencontre des tangentes en $a$ et~$b$, et que l'axe des $X$ coïncide
+avec la bissectrice de l'angle $aMb$ (car si les points $a$ et~$b$ sont imaginaires % [** PP: Not spacing AMb]
+conjugués, l'origine et l'axe seront réels), l'équation précédente devient
+alors
+\[
+Y + \sin \alpha \frac{F-f}{2} = 0.
+\]
+
+La trace du plan tangent est donc parallèle à la bissectrice de l'angle~$aMb$.
+Parce que la courbe suivie est algébrique, le $Z$ est algébrique, conséquemment
+(voir \Secref{101})
+\[
+F - f + F'' - f'',
+\]
+est une expression algébrique; or $F''$ et~$f''$ distance de l'origine aux normales
+en $a$ et~$b$ sont manifestement algébriques; dès lors la différence $F-f$ est
+algébrique.
+
+Conséquemment, les traces des développables circonscrites à un élassoïde
+le long d'un contour algébrique, traces prises sur un plan arbitraire, sont
+algébriques. L'algébricité des développables elles-mêmes est donc complétement
+démontrée.
+
+On vérifierait facilement que la trace du plan tangent à l'élassoïde moyen
+passe par le milieu de la corde~$AB$ (voir \Secref{101}). On donnerait une définition
+aussi simple du plan tangent à l'élassoïde conjugué.
+
+%% -----File: 145.png---Folio 139-------
+
+\Section{108.}
+{Lignes de longueur nulle se projetant sur un plan donné
+suivant des courbes algébriques.  Exemples.}
+
+Les considérations précédentes ne sont vraies que si les courbes $(a)$ et~$(b)$
+sont algébriques. Il est d'ailleurs bien facile de former autant d'exemples que
+l'on voudra d'élassoïdes satisfaisant à cette condition: nous avons montré
+à la \Secref{87} % [** PP: Typo page~87]
+qu'à toute section plane d'un élassoïde correspond un contour
+conjugué dont la projection sur le plan de la courbe peut être arbitraire. Si
+donc la première courbe et la projection de la seconde courbe sont prises
+algébriques, les lignes isotropes des élassoïdes conjugués auront pour projections
+des lignes algébriques.
+
+Par exemple, si l'on considère l'élassoïde admettant pour ligne de courbure
+une conique, on voit facilement que ses lignes isotropes ont pour projections
+sur le plan de la conique deux familles de coniques identiques.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 146.png---Folio 140-------
+
+
+\Chapter{XIII.}
+{LIGNES DE COURBURE OU LIGNES ASYMPTOTIQUES DES ÉLASSOÏDES DÉDUITS DU PLAN.}
+
+
+\Section{109.}
+{Calcul des éléments d'un élassoïde dépendant du deuxième ordre.}
+
+Déduisons, des calculs précédents, ce qui a trait à l'image sphérique des
+élassoïdes, afin de pouvoir appliquer les résultats obtenus au \Secref{55}.
+
+La \Eqref{formule}{62} fait voir que les coordonnées du point de l'image sphérique
+(sur une sphère de rayon~$R$) sont définies par le groupe
+\[
+  \frac{-X}{\sin \dfrac{\psi + \varphi}{2}}
+= \frac{ Y}{\cos \dfrac{\psi + \varphi}{2}}
+= \frac{Zi}{\sin \dfrac{\psi - \varphi}{2}}
+= \frac{ R}{\cos \dfrac{\psi - \varphi}{2}}.
+\]
+On en déduit, pour le carré de l'élément linéaire,
+\[
+dS^2 = \frac{R^2}{\cos^2 \smfrac{\psi - \varphi}{2}}\,
+       d\psi\Reg{·}{\,} d\varphi.
+\]
+
+On voit que les lignes isotropes de la sphère correspondent, comme cela
+devait être, aux tangentes des lignes $(A)$ et~$(B)$. Nous trouvons
+\begin{align*} % [** PP: Aligning, moved "-" out of numerator]
+a &= -\frac{1}{4} \Bigl\{F - f - F' \sin (\psi - \varphi)
+                      + F''\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]\Bigr\}, \\
+b &= \phantom{-}
+     \frac{1}{4} \Bigl\{F - f - f' \sin (\psi - \varphi)
+                      - f''\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]\Bigr\},
+\end{align*}
+%% -----File: 147.png---Folio 141-------
+et nous en concluons
+\begin{align*}
+\frac{da}{d\varphi}
+  &= -\frac{(F' + F''')}{2} \cos^2\frac{(\psi - \varphi)}{2}, \\
+\frac{db}{d\psi}
+  &= -\frac{(f' + f''')}{2} \cos^2\frac{(\psi - \varphi)}{2}.
+\end{align*}
+
+Conséquemment, nous déduirons:
+
+\primo~pour le carré de l'élément linéaire de l'élassoïde moyen
+\[
+dS^2 = (F' + F''')(f' + f'') \cos^2\frac{(\psi - \varphi)}{2}\, d\varphi\, d\psi.
+\Tag{68}
+\]
+
+\secundo~pour les rayons de courbure principaux
+\[
+R^2 = (F' + F''')(f' + f''') \cos^4\frac{(\psi - \varphi)}{2}.
+\Tag{69}
+\]
+
+\tertio~pour l'équation de directions conjuguées
+\[
+(F' + F''')\, d\varphi\, d\varphi' + (f' + f''')\, d\psi\, d\psi' = 0. % [* F1: Removed dot]
+\Tag{70}
+\]
+
+En particulier, l'équation des lignes de courbure peut s'écrire
+\[
+d\varphi \sqrt{F' + F'''} = ± d\psi \sqrt{f' + f'''}.
+\]
+
+
+\Section{110.}
+{Équations des lignes de courbure et des asymptotiques. Introduction des
+mêmes intégrales, en cherchant des élassoïdes passant par un contour
+plan.}
+
+Désignons par $R_a$ et~$R_b$ les rayons de courbure en $(a)$ et~$(b)$ des développées
+de~$(A)$ et de~$(B)$ projections des arêtes de rebroussement des focales
+isotropes; l'équation précédente est équivalente à
+\[
+d\varphi \sqrt{R_a} = ± d\psi \sqrt{R_b}. % [** PP: Added .]
+\Tag{71}
+\]
+
+%% -----File: 148.png---Folio 142-------
+
+Il est bien clair, également, que les lignes de courbure des élassoïdes
+stratifiés, dérivés de l'élassoïde moyen, sont définies par l'équation
+\[
+m\, d\varphi\, \sqrt{R_a} = ±n\, d\psi\, \sqrt{R_b}.
+\]
+
+Si donc les expressions
+\[
+\int d\varphi\, \sqrt{R_a}\quad\text{et}\quad
+\int d\psi\, \sqrt{R_b}, % [** PP: Typo d\varphi]
+\]
+qui dépendent de quadratures, sont algébriques, les projections des lignes
+de courbure de tous les élassoïdes stratifiés sont toutes algébriques\footnotemark.
+  \footnotetext{Les projections sur le plan de $(a)$ et~$(b)$ sont alors algébriques parce que l'on suppose~$(a)$
+  et~$(b)$ algébriques. Les images sphériques des lignes de courbure des élassoïdes dérivés sont
+  aussi toutes algébriques, elles peuvent même l'être si les intégrales caractéristiques sont algébriques
+  sans que $(a)$ et~$(b)$ le soient.}
+
+Il pourrait se faire que les lignes de courbure d'un seul des élassoïdes
+de la famille fussent algébriques. Ce cas se présenterait si les expressions
+précitées étaient des fonctions elliptiques de première espèce.
+
+La théorie des contours conjugués conduit aussi à considérer les mêmes
+intégrales à un point de vue tout différent.
+
+Soient trois courbes planes parallèles et équidistantes $(c)$ $(a)$ $(\gamma)$; désignons
+par~$a$ les distances constantes et égales $ca$ % [** PP: Typo Ca]
+et~$a\gamma$.
+
+Cherchons le $Z$ du contour~$(c')$ conjugué de~$(c)$ et qui admet pour projection
+sur le plan de la figure la courbe~$(\gamma)$, après une rotation de $90°$
+autour d'un point du plan. Comme
+\begin{align*}
+d(c)      &= (R + a)\, d\theta, \\
+d(\gamma) &= (R - a)\, d\theta,
+\end{align*}
+si $R$ et~$d\theta$ désignent le rayon de courbure et l'angle de contingence de~$(a)$ au
+point~$a$; d'après ce qui a été dit au \Secref{87}
+\[
+dZ = \sqrt{d(c)^2 - d(\gamma)^2} = \sqrt{2a}· d\theta\, \sqrt{R}.
+\]
+
+Conséquemment
+\[
+Z = \sqrt{2a} \int d\theta\, \sqrt{R}.
+\]
+
+%% -----File: 149.png---Folio 143-------
+
+Sans entrer dans aucun nouveau détail, nous dirons, par exemple,
+que:
+
+\begin{Emph}
+Toutes les fois qu'un élassoïde admet une géodésique plane~$(a)$ et que les
+projections de ses lignes de courbure, sur le plan de la géodésique, sont
+algébriques, on peut faire passer un élassoïde algébrique par chacune des
+courbes parallèles à~$(a)$.
+\end{Emph}
+
+Arrêtons-nous un instant à montrer comment se déterminent les lignes de
+courbure d'élassoïdes simples, algébriques ou non.
+
+
+\Section{111.}
+{Les lignes de courbure d'un élassoïde dont une parabole est géodésique
+dépendent des fonctions elliptiques.}
+
+\emph{Élassoïde admettant pour géodésique une parabole.}
+
+L'élassoïde n'est pas algébrique puisque l'arc de la développante de la
+parabole dépend des logarithmes. Prenant pour origine le foyer et pour axe
+polaire l'axe de la courbe, on voit, d'après les propriétés élémentaires de la
+parabole, que
+\[
+R = \frac{p}{\cos^3\theta}\footnotemark,
+\]
+\footnotetext{$\theta$ étant l'angle de la normale avec l'axe de la parabole.}%
+si $p$ désigne le paramètre de la courbe. Conséquemment l'intégrale caractéristique
+de l'équation des lignes de courbure (car les deux intégrales sont
+de même forme quand les deux courbes $(a)$ et~$(b)$ coïncident) est
+\[
+\sqrt{p}· \int \frac{d\theta}{\sqrt{\cos^3\theta}}\;,
+\]
+posons
+\[
+\cos \theta = \frac{1}{\cos 2\omega}\;,
+\]
+%% -----File: 150.png---Folio 144-------
+on obtient l'intégrale transformée
+\[
+\sqrt{p}\, \sqrt{-1} \int d\omega\, \sqrt{1 - 2\sin^2\omega}.
+\]
+
+\begin{Emph}
+Ainsi la détermination des lignes de courbure {\upshape(}ou des asymptotiques{\upshape)}
+dépend des fonctions elliptiques.
+\end{Emph}
+
+
+\Section{112.}
+{Lignes de courbure d'un élassoïde admettant pour géodésique la développée
+d'une parabole. {\upshape(}Fonctions elliptiques.{\upshape)}}
+
+\emph{Élassoïde admettant pour géodésique la développée d'une parabole.}
+
+Cette surface est algébrique:
+
+Le rayon de courbure de la développée n'est autre chose que la dérivée du
+rayon de courbure de la développante; on aura donc, en conservant les notations
+précédentes, pour l'intégrale caractéristique,
+\[
+\int \frac{d\theta\, \sqrt{\sin\theta}}{\cos^2\theta},
+\]
+posons cette fois,
+\[
+\cos\theta = \frac{1}{\smfrac{\sqrt{2}}{2} (\cos\omega + \sin\omega)};
+\]
+nous obtenons l'intégrale transformée
+\[
+\int d\omega\, \sqrt{1 - 2 \sin^2\omega}.
+\]
+
+Ainsi, \emph{la détermination des lignes de courbure ou des asymptotiques de
+l'élassoïde admettant pour géodésique la développée d'une parabole dépend
+aussi des fonctions elliptiques}.
+
+%% -----File: 151.png---Folio 145-------
+
+\Section{113.}
+{Lignes de courbure des élassoïdes admettant pour géodésique une épicycloïde.
+{\upshape(}Fonctions elliptiques.{\upshape)}}
+
+Considérons maintenant \emph{tous les élassoïdes admettant pour géodésiques des
+épicycloïdes ou des hypocycloïdes planes}. On sait que ces courbes sont semblables
+à leurs développées, par conséquent toutes celles qui sont algébriques
+[et il y en a une infinité] donnent lieu à des élassoïdes algébriques.
+
+$R$~désignant le rayon du cercle, \emph{base de l'épicycloïde}, et $r$~le rayon de la
+\emph{roulette génératrice}, $p$~la distance, à la tangente, du centre de la \emph{base}, $\omega$~étant
+l'angle de la normale et de l'axe polaire,
+\[
+p = (R + 2r) \sin \frac{R}{R + 2r} \omega,
+\]
+de même, pour une hypocycloïde on trouverait
+\[
+p' = (R - 2r)\sin \frac{R}{R - 2r} \omega.
+\]
+
+Conséquemment, d'une façon générale pour les deux genres de courbes,
+\[
+p = \alpha \sin k\omega,
+\]
+et les courbes correspondantes seront algébriques chaque fois que $k$ sera un
+nombre commensurable.
+
+L'intégrale caractéristique des lignes de courbure prend la forme
+\[
+\int d\omega\, \sqrt{\sin k\omega},
+\]
+posons
+\[
+\omega = \frac{\pi}{2k} - \frac{2}{k}\varphi
+\]
+%% -----File: 152.png---Folio 146-------
+et nous transformerons l'intégrale précédente en celle-ci
+\[
+\int d\varphi\, \sqrt{1 - 2\sin^2\varphi}.
+\]
+
+Donc on peut énoncer cette proposition générale:
+
+\begin{Emph}
+La détermination des lignes de courbure ou des asymptotiques des
+élassoïdes admettant pour géodésiques une épicycloïde ou une hypocycloïde,
+dépend des fonctions elliptiques.
+\end{Emph}
+
+
+\Section{114.}
+{Élassoïde d'Enneper à lignes de courbure algébriques.}
+
+Donnons maintenant des exemples d'élassoïdes dont les lignes de courbure
+sont algébriques.
+
+Considérons \emph{l'élassoïde admettant pour géodésique la première podaire
+négative de la parabole, prise par rapport au foyer}.
+
+La podaire de la courbe considérée n'est autre chose que la parabole;
+conséquemment, si $p$ désigne la distance de l'origine à une tangente, et
+$\theta$ l'angle de la normale avec l'axe polaire
+\[
+p = \frac{a}{\cos^2 \smfrac{\theta}{2}},
+\]
+($a$~désignant cette fois le demi-paramètre de la parabole) comme d'ailleurs
+\[
+R = p + \frac{d^2p}{d\theta^2}
+  = \frac{3}{2} a\, \frac{1}{\cos^4 \smfrac{\theta}{2}};
+\]
+on voit que l'intégrale caractéristique a pour valeur
+\[
+\tg \frac{\theta}{2},
+\]
+%% -----File: 153.png---Folio 147-------
+par conséquent l'équation des lignes de courbure est
+\[
+\tg \frac{\varphi}{2} ± \tg \frac{\psi}{2} = \text{constante},
+\]
+et l'on voit que les lignes de courbure ou les asymptotiques sont algébriques.
+
+D'un autre côté, on aura manifestement une développante de la courbe
+choisie en considérant l'équation tangentielle
+\[
+P = \int p\, d\theta,
+\]
+où $P$ désigne la distance de l'origine à la tangente de cette développante et~$\varphi$
+l'angle de la tangente et de l'axe polaire. Or,
+\[
+P = 2a·\tg \frac{\theta}{2}.
+\]
+
+La développante est donc algébrique.
+
+On voit que \emph{l'élassoïde qui admet pour géodésique la première podaire
+négative de la parabole prise par rapport au foyer, est algébrique; il a ses
+lignes de courbure et ses lignes asymptotiques algébriques}.
+
+Nous montrerons plus loin que cet élassoïde a ses lignes de courbure
+planes. Il a été découvert par Enneper.
+
+% [** PP: Omitted () around section number]
+Les considérations du \Secref{109} peuvent être invoquées; elles montrent que
+\emph{par les courbes parallèles à la première podaire négative de la parabole \emph{(le
+pôle étant au foyer)} on peut faire passer des élassoïdes algébriques}.
+
+
+\Section{115.}
+{On peut déduire de l'élassoïde d'Enneper un nouvel élassoïde algébrique
+dont les lignes de courbure s'intègrent.}
+
+Mais on peut déduire de ce qui précède un nouvel élassoïde algébrique
+dont les lignes de courbure ou les asymptotiques s'intègrent.
+
+%% -----File: 154.png---Folio 148-------
+
+Si nous considérons en effet l'élassoïde admettant pour géodésique la développée
+de cette première podaire négative de la parabole (surface manifestement
+algébrique), nous trouvons pour l'intégrale caractéristique des lignes de
+courbure
+\[
+\int \frac{d\theta}{\cos^2\smfrac{\theta}{2}} \sqrt{\tg \smfrac{\theta}{2}}.
+\]
+
+Dès lors l'intégrale des lignes de courbure ou des asymptotiques est
+donnée par une relation de la forme
+\[
+  m \left(\tg \frac{\varphi}{2}\right)^{\frac{3}{2}}
+± n \left(\tg \frac{\psi}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \text{constante}.
+\]
+
+Enfin, ce qui précède met en évidence une application des plus remarquables
+sur laquelle il convient d'insister.
+
+
+\Section{116.}
+{Deux exemples de lignes de courbure transcendantes.}
+
+La podaire négative dont il vient d'être question est la développée d'une
+courbe algébrique~$(C)$ dont l'équation tangentielle est, comme nous l'avons
+montré,
+\[
+P = 2a - \tg \frac{\theta}{2}.
+\]
+
+Les développantes de celles-ci sont à leur tour définies par l'équation
+\[
+P' = -4a \log\Reg{·}{} \cos \frac{\theta}{2} + C,
+\]
+laquelle est transcendante, par conséquent \emph{l'élassoïde, qui admet~$(C)$ pour
+géodésique, est transcendant}.
+
+Les lignes de courbure et les asymptotiques sont également transcendantes;
+donc de ce côté il n'y a rien à découvrir au point de vue de l'\emph{algébricité}.
+
+%% -----File: 155.png---Folio 149-------
+
+Mais il n'en sera pas de même si nous considérons la transformée par
+rayons vecteurs réciproques de la parabole en prenant pour pôle de transformation
+le foyer.
+
+Soit $\theta$ l'angle de la parallèle à la normale en c à la courbe considérée~$(C)$.
+Soit~$P$ le pied de la perpendiculaire abaissée du foyer~$F$ sur la tangente.
+Enfin soit~$b$ le point correspondant de la première podaire négative de la
+parabole. On sait que $Fb$ est parallèle à la normale en~$c$ à~$(C)$ et que~$F$, $P$ et
+$b$ sont en ligne droite. % [** PP: Not spacing F b]
+
+On a manifestement
+\[
+Fb = \frac{a}{\cos^3 \smfrac{\theta}{3}}\;,
+\]
+comme d'ailleurs
+\[
+Fb × FP = a^2,
+\]
+($a^2$ étant pris pour la puissance de transformation)
+\[
+FP = a \cos^3 \frac{\theta}{3};
+\]
+mais, si l'on forme l'équation de la développante
+\[
+P = \int d\theta\, a \cos^3 \frac{\theta}{3}
+= 3a \sin \frac{\theta}{3} \left(1 - \frac{1}{3} \sin^2 \frac{\theta}{3}\right).
+\]
+On voit qu'elle est algébrique; conséquemment:
+
+\begin{Emph}
+L'élassoïde qui admet pour géodésique la transformée par rayons vecteur~$s$
+réciproques d'une parabole \emph{(le pôle étant au foyer)} est algébrique\footnotemark.
+\end{Emph}
+  \footnotetext{Cette courbe est une cardioïde, variété d'une épicycloïde algébrique; conséquemment, on
+  devait prévoir que l'élassoïde serait algébrique, mais ce qui précède conduit à la généralisation
+  qu'il importait de signaler.}
+
+On trouve en opérant comme d'habitude, pour le rayon de courbure
+de~$(C)$,
+\[
+R_c = \frac{2}{3} a \cos \frac{\theta}{3}.
+\]
+
+%% -----File: 156.png---Folio 150-------
+
+Dès lors l'intégrale caractéristique des lignes de courbure et des asymptotiques
+devient
+\[
+  \int \frac{d\theta}{6}\, \sqrt{\cos \frac{2\theta}{6}}
+= \int \frac{d\theta}{6}\, \sqrt{1 - 2\sin^2\frac{\theta}{6}}.
+\]
+
+\emph{La détermination des lignes de courbure de cet élassoïde dépend encore des
+fonctions elliptiques.}
+
+
+\Section{117.}
+{Étude d'une famille d'élassoïdes algébriques ou dépendant
+de fonctions circulaires.}
+
+Plus généralement, considérons la courbe~$(C_n)$ dont l'équation tangentielle
+est
+\[
+p_n = a \cos^n \frac{\theta}{n};
+\]
+on trouve pour son rayon de courbure~$R_n$
+\[
+R_n = a · \frac{n-1}{n} \cos^{n-2} \frac{\theta}{n}.
+\]
+
+Conséquemment la développante serait définie par l'équation
+\[
+P_{D_n} = na \int \frac{d\theta}{n}\, \cos^n \frac{\theta}{n},
+\]
+et l'intégrale caractéristique des lignes de courbure des élassoïdes dérivés de~$(C_n)$
+serait
+\[
+\int d\theta\, \cos^{\frac{n}{2} - 1} \frac{\theta}{n}.
+\]
+
+Si $n$ est impair,
+\[
+P_{D_n} = a \sin \frac{\theta}{n}
+  \left[\cos^{n-1}\frac{\theta}{n} + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \frac{\theta}{n}
+        + \dotsb \frac{2·4\dotsm (n-3)(n-1)}{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}\right] + C;
+\]
+par conséquent \emph{la développante est toujours algébrique}.
+
+Il en résulte, alors, que \emph{tout élassoïde admettant pour géodésique une
+%% -----File: 157.png---Folio 151-------
+courbe $(C_{2m+1})$ est algébrique.} [Nous indiquons par les notations $(C_{2m})$,
+$(C_{2m+1})$ des courbes satisfaisantes pour lesquelles le coefficient~$n$ prend des
+valeurs paires et impaires.]
+
+Si $n$ est pair,
+\begin{align*}
+P_{D_n} = a \sin \frac{\theta}{n}
+  \left[\cos^{n-1}\frac{\theta}{n} \right.
+  &+ \left.\frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3}\frac{\theta}{n}
+   + \dotsb \frac{3·5\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-4)(n-2)}
+     \cos \frac{\theta}{n}\right] \\
+  &+ \frac{1·3\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-2)n}\, \frac{\theta}{n} + C.
+\end{align*}
+Conséquemment \emph{tout élassoïde admettant pour géodésique une courbe $(C_{2m})$
+dépend des fonctions circulaires}.
+
+Mais il est remarquable que, dans ce cas, les intégrales caractéristiques, et
+par conséquent les lignes de courbure des élassoïdes dérivés dépendent aussi
+seulement des fonctions circulaires. En effet, on a
+\[
+n = 4m;\quad \text{ou}\quad n = 2m,
+\]
+suivant que le nombre pair $n$ est ou n'est pas divisible par~$4$.
+
+\begin{Emph}
+Supposons tout d'abord que $n$ soit divisible par~$4$; \emph{il vient alors}
+\[
+\int d\theta\, \sqrt{R}
+  = k \int d\omega\Reg{·}{\,} \cos^{2m-1}\omega,
+\]
+dont l'expression intégrale est algébrique. \emph{Il en résulte que} les projections
+des lignes de courbure et des asymptotiques des élassoïdes dérivés d'une courbe
+$(C_{4n})$, sur le plan de cette courbe, sont algébriques. Les courbes elles-mêmes,
+comme les élassoïdes, dépendent des fonctions circulaires.
+
+Supposons maintenant que $n$ ne soit divisible que par~$2$
+\[
+\int d\theta\, \sqrt{R} = k \int d\omega\, \cos^{m-1}\omega,
+\]
+\emph{et comme la puissance du cosinus est paire}, les projections des lignes de
+courbure des élassoïdes dérivés de la courbe $(C_{2n})$ dépendent des fonctions
+circulaires.
+
+Considérons encore le cas où $n$ est pair et négatif. \emph{Soit, par exemple,}
+\[
+n = -4m,\quad \text{ou}\quad n = -2m
+\]
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 158.png---Folio 152-------
+
+Dans le premier et le second cas
+\begin{align*}% [** PP: Aligning, re-breaking]
+P_{D_{-2m}}
+  &= a\int d\theta\, \sec^{2m} \frac{\theta}{2m} \\
+  &=
+\begin{aligned}
+  a \frac{\sin \smfrac{\theta}{2m}}{2m-1}
+       \left[\sec^{2n-1} \frac{\theta}{2m} \right.
+          &+ \frac{2m-2}{2m-3} \sec^{2m-3} \frac{\theta}{2m}
+           + \dotsb \\
+       &\left.
+           + \frac{2·4\dotsm (2m-4)(2m-2)}
+                  {1·3\dotsm (2m-5)(2m-3)} \sec \frac{\theta}{2m}\right] + C;
+\end{aligned}
+\end{align*}
+par conséquent \emph{les élassoïdes dérivés sont tous algébriques}.
+
+Dans le premier cas [$n = -4m$]
+\begin{align*} % [** PP: Aligning, re-breaking]
+&\int d\theta\, \sqrt{R}
+  = k \int d\omega\, \sec^{2m+1}\omega \\
+&\qquad
+  = k \frac{\sin \omega}{2m}
+      \left[\sec^{2m}\omega + \frac{2m-1}{2m-2} \sec^{2m-1}\omega + \dotsb
+% [** PP: Adding +]
+  + \frac{3·5\dotsm (2m-1)}{2·4\dotsm (2m-2)} \sec^2\omega\right] \\
+  &\qquad\qquad
+  + \frac{1·3\dotsm (2m-1)}{2·4\dotsm 2m}
+          \log \tg \left(\frac{\omega}{2} + \frac{\pi}{4}\right),
+\end{align*}
+donc \emph{les projections des lignes de courbure des élassoïdes dérivés, sur le plan
+de $(C_{-4m})$, dépendent des logarithmes}.
+
+Dans le second cas [$n = -2m$]
+\begin{align*}% [** PP: Re-breaking]
+\int d\theta\, \sqrt{R}
+  &= k \int d\omega\, \sec^{2m'}\omega \\
+&\begin{aligned}
+   = k \frac{\sin\omega}{2m'-1}
+     \left[\vphantom{\dfrac{(2)}{(1)}}\sec^{2m'-1}\omega \right.
+     &+ \frac{2m'-2}{2m'-3} \sec^{2m'-3}\omega + \dotsb \\
+     &+ \left.
+        \frac{2·4\dotsm (2m'-4)(2m'-2)}
+             {1·3\dotsm (2m'-5)(2m'-3)} \sec\omega\right] + C;
+\end{aligned}
+\end{align*}
+par conséquent \emph{les lignes de courbure des élassoïdes dérivés de~$(C_{-2m})$ sont
+algébriques}.
+
+
+\Section{118.}
+{Récapitulation de la nature des élassoïdes et de leurs lignes de courbure.}
+
+% [** PP: If the table gets separated from the text reference, make a footnote]
+On peut résumer les résultats établis ci-dessus, dans un
+\hyperref[table1]{tableau récapitulatif}.\phantomsection\label{table1ref}%
+\ifthenelse{\not\equal{\pageref{table1}}{\pageref{table1ref}}}%
+{\footnote{\textit{Voir} page~\pageref{table1}. \quad ---\bsc{Trans}.}}{}
+Remarquons tout d'abord que les courbes~$(C)$ sont des \emph{podaires positives
+ou négatives d'un point fixe}\footnotemark, que par conséquent \emph{une podaire positive et}
+\footnotetext{Si $n$ est entier seulement.}
+%% -----File: 159.png---Folio 153-------
+\emph{la podaire négative de même rang peuvent être considérées comme les transformées
+par rayons vecteurs réciproques l'une de l'autre.}
+
+\begin{table*}[htb]
+\begin{center}
+\phantomsection\label{table1}%
+\makebox[0pt][c]% Coax overall centering regardless of true width
+{\scriptsize
+\begin{tabular}{|*{6}{|@{\;}c@{\;}}||}
+\hline
+\settowidth{\TmpLen}{coefficient~$n$. }%
+\begin{minipage}{\TmpLen}
+\centering
+\Strut Valeurs \\ du \\ coefficient~$n$.
+\end{minipage} &
+\settowidth{\TmpLen}{des podaires}%
+\begin{minipage}{\TmpLen}
+\centering
+\Strut Indices \\ des podaires \\ de points.
+\end{minipage} &
+\settowidth{\TmpLen}{Désignation}%
+\begin{minipage}{\TmpLen}
+\centering
+\Strut Désignation \\ de la \\ courbe~$(C)$.
+\end{minipage} &
+\settowidth{\TmpLen}{Fonctions circulaires}%
+\begin{minipage}{\TmpLen}
+\centering
+\Strut Nature \\ des \\ élassoïdes dérivés.
+\end{minipage} &
+\multicolumn{2}{c||}{%
+\settowidth{\TmpLen}{Lignes de courbure ou asymptotiques.}%
+\begin{minipage}{\TmpLen}%
+\centering
+\Strut Lignes de courbure ou asymptotiques.\\
+\rule{0.25in}{0.5pt} \\
+\textsc{nature} \\
+%\settowidth{\TmpLen}{Fonctions logarithmiques Fonctions logarithmiques}%
+%$\overbrace{\rule{\TmpLen}{0pt}}^{}$ % [** PP; Omitting brace]
+\smallskip
+\end{minipage}}% End of multicolumn
+\\
+& & & & des projections.\Strub & des courbes mêmes. \\
+\hline
+\Strut\dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \\
+\NS{-8} & \NS{-9} & \Ditto & Algébrique & Fonctions logarithmiques & Fonctions logarithmiques \\
+\NS{-7} & \NS{-8} & \Ditto & \Ditto     & \Ditto      & \Ditto \\
+\NS{-6} & \NS{-7} & \Ditto & \emph{Algébrique} & \emph{Algébriques} & \emph{Algébriques} \\
+\NS{-5} & \NS{-6} & \Ditto & \Ditto     & \Ditto      & \Ditto \\
+\NS{-4} & \NS{-5} & \Ditto & Algébrique & Fonctions logarithmiques & Fonctions logarithmiques \\
+\NS{-3} & \NS{-4} & \Ditto & \Ditto     & \Ditto      & \Ditto \\
+\NS{-2} & \NS{-3} &
+\settowidth{\TmpLen}{Géodésique de}%
+  \begin{minipage}{\TmpLen}
+    \centering
+    \scriptsize Géodésique de \\
+    \scriptsize l'ennépérien
+  \end{minipage} & \emph{Algébrique} & \emph{Algébriques} & \emph{Algébriques} \\
+\NS{-1} & \NS{-2} & Parabole & Logarithmique & Fonctions elliptiques & De deuxième espèce \\
+\NS{0} & \NS{-1} & Droite & Plan & \Ditto & \Ditto \\
+\NS{+1} & \NS{0} & Point & Point & Fonctions elliptiques & De première espèce \\
+\NS{+2} & \NS{+1} & Cercle & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires \\
+\NS{+3} & \NS{+2} & Cardioïde & Algébrique & Fonctions elliptiques & De deuxième espèce \\
+\NS{+4} & \NS{+3} & \Ditto & Fonctions circulaires & \emph{Algébriques} & Fonctions circulaires \\
+\NS{+5} & \NS{+4} & \Ditto & Algébrique & \Ditto & \Ditto \\
+\NS{+6} & \NS{+5} & \Ditto & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires \\
+\NS{+7} & \NS{+6} & \Ditto & Algébrique & \Ditto & \Ditto \\
+\NS{+8} & \NS{+7} & \Ditto & Fonctions circulaires & \emph{Algébriques} & Fonctions circulaires \\
+\NS{+9} & \NS{+8} & \Ditto & Algébrique & \Ditto & \Ditto \\
+\Strub\dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \\
+\hline
+\end{tabular}} % End of \scriptsize
+\end{center}
+\end{table*}
+
+
+\Section{119.}
+{Autres élassoïdes algébriques à lignes de courbure intégrables.}
+
+Il serait bien facile de former les équations d'élassoïdes dont les lignes de
+courbure ou les asymptotiques peuvent s'intégrer; démontrons-en simplement
+la possibilité.
+
+Tout élassoïde admettant pour géodésique la développée d'une courbe~$(C_n)$
+podaire, positive ou négative d'un point fixe, sera algébrique. Mais puisque
+\[
+R_n = a \frac{n-1}{n} \cos^{n-2} \frac{\theta}{n},
+\]
+%% -----File: 160.png---Folio 154-------
+on obtient par dérivation pour le rayon de courbure de la développée
+\[
+\frac{d}{d\theta} R_n
+  = -\frac{a(n-1)(n-2)}{n^2} \cos^{n-3} \frac{\theta}{n} \sin \frac{\theta}{n}.
+\]
+Conséquemment l'intégrale caractéristique des lignes de courbure du nouvel
+élassoïde sera de la forme
+\[
+\int d\omega\Reg{·}{\,}
+  \cos^{\frac{n-3}{2}}\omega · \sin^{\frac{1}{2}}\omega,
+\]
+qui se ramène immédiatement aux intégrales binômes. En particulier si $n$ est
+égal à
+\[
+4\alpha + 2\quad\text{ou}\quad 4\alpha + 1, % [** PP: Typo .]
+\]
+l'intégration s'effectue complétement, $\alpha$ étant un nombre entier arbitraire.
+% [** PP: In the original, previous line is a complete paragraph.]
+
+A propos de l'étude des élassoïdes applicables sur des surfaces de révolution,
+nous aurons l'occasion de montrer de nouveaux exemples d'élassoïdes
+dont les lignes de courbure sont algébriques.
+
+
+\Section{120.}
+{Relations entre deux géodésiques planes réciproques, d'un même élassoïde.}
+
+Nous terminerons ce chapitre en établissant une propriété fort curieuse
+des élassoïdes admettant un plan de symétrie. Un élassoïde de cette nature
+est coupé par le plan suivant une géodésique; si celle-ci admet un axe de
+symétrie, le plan mené par cet axe perpendiculairement au premier est
+encore plan de symétrie; il coupe donc l'élassoïde suivant une nouvelle
+géodésique et ce sont les relations de ces deux géodésiques réciproques que
+nous allons mettre en évidence.
+
+Soient pris pour plan des $XY$ et des $ZX$ les deux plans de symétrie, le
+plan des $YZ$ étant pris perpendiculairement aux précédents, et l'origine étant
+arbitraire.
+
+%% -----File: 161.png---Folio 155-------
+
+Considérons une développable isotrope dont les tangentes sur le plan des
+$XY$ ont pour équation
+\[
+X \cos\varphi + Y \sin\varphi - F = 0.
+\]
+Soit d'un autre côté pour l'équation des traces des plans tangents de cette
+développable sur le plan des~$ZX$
+\[
+X \cos\alpha + Z \sin\alpha - p = 0.
+\]
+L'équation du plan tangent isotrope étant
+\[
+X \cos\varphi + Y \sin\varphi + iZ - F = 0,
+\]
+sa section par le plan des $ZX$ aura pour équation
+\[
+X \cos\varphi + iZ - F = 0,
+\]
+on l'identifiera à la trace déjà considérée en posant
+\begin{gather*}
+p = \frac{F}{i \sin\varphi} = -\frac{iF}{\sin\varphi}, \\ % [** PP: Moved - out of numerator]
+\tg \alpha = \frac{i}{\cos\varphi}\quad \text{d'où}\quad
+\cos\alpha = ±i \cot\varphi,
+\end{gather*}
+on en déduit
+\[
+\frac{d\varphi}{d\alpha} = i \sin\varphi.
+\]
+
+Désignons par $(M)$ et~$(N)$ les traces de la développable isotrope sur les
+plans des $XY$ et des~$XZ$, par $M$ et~$N$ les points de contact des tangentes correspondantes; % [** PP: Typo corresdantes]
+par~$(m)$ et~$(n)$ les développées respectives de~$(M)$ et~$(N)$; par~$m$ et~$n$
+les points correspondants de ces courbes; enfin par~$R_M$ et~$R_N$ ou~$R_m$ et~$R_n$ les
+rayons de courbure des courbes $(M)$ et~$(N)$ ou~$(m)$ et~$(n)$. Comme
+\begin{gather*}
+\frac{dp}{d\alpha} = F' - F \cot\varphi, \\
+\frac{d^2p}{d\alpha^2} = i(F'' \sin\varphi - F' \cos\varphi) + \frac{F}{\sin\varphi}, \\
+\intertext{on voit que}
+R_N = p + \frac{d^2p}{d\alpha^2} = i(F'' \sin\varphi - F' \cos\varphi).
+\end{gather*}
+
+%% -----File: 162.png---Folio 156-------
+
+Pour le rayon de courbure de la développée on obtient de même
+\[
+R'_n
+  = \frac{d}{d\alpha} R_N
+  = -(F''' + F') \sin^2\varphi.
+\]
+
+Enfin, désignons par $m$ et~$n$ les longueurs des normales menées en~$m$ et~$n$
+aux courbes~$(m)$ et~$(n)$ et prolongées l'une jusqu'à la rencontre de l'axe~$OY$,
+l'autre jusqu'à la rencontre de l'axe~$OZ$. Nous trouvons
+\[
+n = (F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi) \sin\varphi.
+\]
+
+Parallèlement on a
+\begin{gather*}
+R'_m = F''' + F', \\
+m = \frac{F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi}{\sin\varphi}.
+\end{gather*}
+
+Le tableau suivant, dans lequel nous avons introduit les coordonnées des
+points $m$ et~$n$, résume l'analyse précédente.
+\[
+\begin{array}{c|c}
+\text{\textsc{\footnotesize dans le plan des} $X$, $Y$.} &
+\text{\textsc{\footnotesize dans le plan des} $X$, $Z$.} \\
+\hline % [** PP: Using \hline in lieu of braces]
+\begin{aligned}
+  -x_m &= F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi, \vphantom{\bigg|} \\
+  +y_m &= F'' \sin\varphi - F' \sin\varphi, \\
+     m &= \frac{F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi}{\sin\varphi}, \\
+  R'_m &= F''' + F'.
+\end{aligned} &
+\begin{aligned}
+  -x_n &= F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi, \vphantom{\bigg|} \\
+   z_n &= i(F'' + F), \\
+     n &= (F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi) \sin\varphi,\vphantom{\bigg|} \\
+  R'_n &= -(F''' + F') \sin^2\varphi.
+\end{aligned}
+\end{array}
+\]
+
+Prenons pour $(m)$ une courbe réelle et cherchons l'élassoïde qui l'admet
+pour géodésique. Cet élassoïde est \emph{double}; les deux arêtes de rebroussement
+des focales isotropes génératrices coïncident avec une seule ligne de longueur
+nulle dont la projection sur le plan des~$XY$ sera~$(m)$, comme elle sera~$(n)$
+sur le plan des~$XZ$. Conséquemment le tableau précédent donne les relations
+existant entre deux géodésiques particulières de l'élassoïde. Si $S_{(m)}$ et~$S_{(n)}$ désignent
+les longueurs des arcs de ces deux courbes (toutes deux réelles si~$OX$
+%% -----File: 163.png---Folio 157-------
+est axe de symétrie) on a
+\begin{gather*}
+z_n = iS_{(m)},\qquad y_m = iS_{(n)}, \\
+x_n = x_m, \\
+\frac{R'_m}{m} = -\frac{R'_n}{n}.
+\end{gather*}
+
+Les deux premières relations sont de simples vérifications de ce fait que
+les courbes $(m)$ et~$(n)$ sont les deux projections d'une courbe de longueur
+nulle.
+
+
+\Section{121.}
+{Géodésiques planes pour lesquelles $R = ± kn$; elles sont toujours associées
+sur un même élassoïde.}
+
+La troisième relation présente un intérêt tout particulier. Il est clair qu'aux
+points réels de la courbe~$(m)$ correspondent des points imaginaires de~$(n)$ et
+inversement; la relation qui nous occupe n'aurait donc qu'un intérêt secondaire
+si elle ne caractérisait pour certaines courbes une double propriété
+invariante.
+
+Considérons en effet une courbe~$(m)$ telle que le rapport du rayon de courbure
+à la normale (comptée jusqu'à l'axe~$OY$) soit constant et égal à~$k$. La
+relation précitée exprime que la courbe~$(n)$ jouit d'une propriété analogue,
+le rapport du rayon de courbure et de la normale étant cette fois égal à~$-k$.
+
+L'étude des élassoïdes qui donnent lieu à ces propriétés fera l'objet du
+chapitre qui suit.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 164.png---Folio 158-------
+
+
+\Chapter{XIV.}
+{ÉTUDE D'UNE FAMILLE D'ÉLASSOÏDES PARTICULIERS.---LIGNES ALGÉBRIQUES.
+LIGNES DE COURBURE.}
+
+\Section{122.}
+{Il y a deux élassoïdes satisfaisants déjà connus, l'alysséide et la surface
+de M.~Catalan.}
+
+Il convient tout d'abord d'observer que l'on connaît déjà deux élassoïdes
+de la famille.
+
+L'élassoïde de révolution a pour méridienne une chaînette qui est une
+ligne géodésique plane; il admet une autre géodésique plane qui est le
+cercle de gorge. Pour cette courbe le rayon de courbure est égal à la normale,
+et, conformément au théorème général, le rayon de courbure de la chaînette
+est bien égal et de signe contraire à la normale comptée jusqu'à la base.
+L'élassoïde de révolution est transcendant, mais il admet une famille de lignes
+algébriques qui sont les sections par des plans perpendiculaires à l'axe de
+révolution.
+
+En second lieu, M.~Catalan a fait connaître un très-bel élassoïde engendré
+par des paraboles et une cycloïde, admettant deux géodésiques planes, l'une
+parabolique, l'autre cycloïdale, comportant aussi une famille de courbes algébriques,
+les paraboles du second degré. Or la parabole, comme la cycloïde,
+jouit de cette propriété que son rayon de courbure est double de la normale.
+%% -----File: 165.png---Folio 159-------
+Dans le premier cas, le rapport est négatif (la normale est comptée jusqu'à la
+directrice), dans le second cas, le rapport est positif (la normale est comptée
+jusqu'à la base).
+
+C'est en faisant \emph{à priori} ce rapprochement et en cherchant pourquoi s'associent
+sur un même élassoïde des courbes algébriques et transcendantes
+disparates, comme la parabole et la cycloïde, que nous avons été amené à
+soupçonner le théorème général.
+
+
+\Section{123.}
+{Les roulettes génératrices des courbes pour lesquelles $R = n\rho$ ont
+pour équation $p = a \cos^n \dfrac{\theta}{n}$.}
+
+Cherchons les courbes planes $(O)$ pour lesquelles le rayon de courbure~$R_0$
+est égal au produit de la normale comptée jusqu'à la rencontre d'une
+droite~$DD'$, par un coefficient $n$ arbitraire, mais constant. Bien que le problème
+soit résolu dans tous les traités, il convient pour notre objet d'en donner
+une solution fort simple et qui a l'avantage d'introduire à nouveau des
+courbes intéressantes, rencontrées précédemment.
+
+Considérons la roulette $(C)$ qui, roulant sur~$DD'$, ferait décrire à un point~$O$
+de son plan la courbe satisfaisante~$(O)$: $\mu$~désignant à chaque instant l'angle
+de~$OC$ avec~$DD'$, $r$~désignant le rayon de courbure en~$C$ de~$(C)$, on
+obtient sans difficulté la relation\footnote{$\rho$ désigne la distance~$OC$.}
+\[
+R_0 = \frac{\rho^2}{\rho - r \sin\mu}.
+\]
+
+Dans le cas actuel, de ce que
+\[
+R_0 = n\rho,
+\]
+on déduit
+\[
+\frac{\rho}{\sin\mu} · \frac{n-1}{n} = r.
+\]
+
+%% -----File: 166.png---Folio 160-------
+
+Considérons maintenant la roulette~$(C)$ dans son plan, $XX'$~étant un axe
+fixe passant par le pôle~$O$, $\omega$ désignant l'angle polaire~$COX'$, $\theta$~l'angle de la
+normale à~$(C)$ avec l'axe fixe. On sait que, si~$d(C)$ représente l'élément
+d'arc
+\begin{align*}
+\frac{d(C)}{d\omega} &= \frac{\rho}{\sin\mu}, \\
+\frac{d(C)}{d\theta} &= r.
+\end{align*}
+Conséquemment l'équation du problème devient
+\[
+d\theta\, \frac{n-1}{n} = d\omega.
+\]
+Donc, en choisissant pour~$XX'$ une direction convenable
+\[
+\theta \frac{n-1}{n} = \omega;
+\]
+mais d'un autre côté, on a généralement
+\[
+\theta = \frac{\pi}{2} - \mu + \omega,
+\]
+ce qui, dans l'espèce, donne
+\[
+\frac{\pi}{2} - \mu = \frac{\theta}{n}.
+\]
+
+Il est maintenant facile d'intégrer l'équation des courbes~$(C)$. Si $p$ désigne
+la distance~$OP$ de l'origine à la tangente, comme l'angle de la tangente à la
+podaire~$(P)$ avec~$OP$ est égal à~$\mu$, on sait que
+\[
+\cot\mu = -\frac{dp}{p\, d\theta}. % [** PP: cotg in original]
+\]
+Il en résulte pour l'équation différentielle des courbes~$(C)$
+\[
+\frac{dp}{p} + n\, \frac{d\theta}{n} \tg \frac{\theta}{n} = 0.
+\]
+%% -----File: 167.png---Folio 161-------
+En définitive
+\[
+p = a \cos^n \frac{\theta}{n}.
+\]
+Ainsi les roulettes~$(C)$ sont précisément les courbes étudiées au chapitre précédent.
+
+Si nous revenons aux courbes~$(O)$, nous voyons que
+\settowidth{\TmpLen}{\text{l'ordonnée}}%
+\begin{align*}
+\makebox[\TmpLen][l]{\text{l'ordonnée}}\quad y &= p, \\
+\makebox[\TmpLen][l]{\text{l'abscisse}}\quad x &= \int p\, d\theta;
+\end{align*}
+car cette dernière intégrale est, comme il a été dit déjà, l'expression de la
+distance de l'origine~$(O)$ à la tangente d'une développante $(D)$ de~$(C)$, et, la
+courbe~$(D)$ entraînée dans le roulement de~$(C)$ sur~$DD'$ passe constamment
+par un point fixe qu'on peut prendre pour origine des abscisses.
+
+Conséquemment la courbe~$(O)$ sera algébrique \emph{en même temps que l'élassoïde
+admettant la roulette correspondante~$(C)$ pour géodésique}.
+
+
+\Section{124.}
+{Les deux roulettes génératrices des courbes pour lesquelles $R = ± n\rho$
+sont transformées l'une de l'autre par rayons vecteurs réciproques.}
+
+D'après le théorème général qui a motivé cette étude, l'élassoïde, admettant~$(O)$
+pour géodésique, en admet une autre~$(O')$ telle qu'en chacun de ses
+points
+\[
+R_{O'} = -n\rho.
+\]
+Dès lors, la roulette~$(C')$ correspondante a pour équation tangentielle
+\[
+p' = a \cos^{-n} \frac{\theta}{n},
+\]
+et l'on a
+\[
+pp' = a^2.
+\]
+%% -----File: 168.png---Folio 162-------
+\emph{Les podaires des roulettes $(C)$, $(C')$ correspondantes, sont transformées, par
+rayons vecteurs réciproques, l'une de l'autre.}
+
+Le rayon de courbure $R_O$ a pour valeur
+\[
+R_O = n\rho = n\, \frac{p}{\sin\mu}
+  = na \cos^{n-1} \frac{\theta}{n};
+\]
+par conséquent l'intégrale caractéristique de l'élassoïde qui admet pour
+géodésique $(O)$ (l'angle de contingence de~$(O)$ étant précisément~$d\mu$) a pour
+valeur
+\[
+\int d\theta\, \cos^{\frac{n-1}{2}} \frac{\theta}{n},
+\]
+et l'équation des lignes de courbure ou des asymptotiques de l'élassoïde sera
+algébrique toutes les fois que l'intégrale précédente le sera. Les projections
+de ces lignes, ou seulement leurs images sphériques, seront alors algébriques.
+
+Occupons-nous en premier lieu des courbes~$(O)$ seules. D'après ce
+qui vient d'être dit, on voit qu'il convient de distinguer quatre classes de
+courbes~$(O)$.
+
+
+\Section{125.}
+{Courbes du genre cycloïde.}
+
+\emph{Première classe caractérisée par des valeurs paires et positives de~$n$.} Les
+points de la courbe correspondant à une valeur du paramètre sont définis
+par les équations simultanées
+\begin{gather*}
+y = a \cos^n \omega, \\
+\begin{aligned}% [** PP: Re-breaking]
+\frac{x}{a} &= \sin\omega
+  \left[\cos^{n-1} \omega
+      + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
+        \frac{3·5\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-4)(n-2)} \cos\omega\right] \\
+     &\qquad+ \frac{1·3\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-2)n} \omega;
+\end{aligned}
+\end{gather*}
+ces courbes sont périodiques, elles présentent une suite d'ondes cycloïdales;
+\emph{la cycloïde en est le type}.
+
+%% -----File: 169.png---Folio 163-------
+
+\Section{126.}
+{Paraboles du degré~$n$.}
+
+\emph{Deuxième classe caractérisée par des valeurs paires et négatives de~$n$.} Les
+points d'une courbe correspondant à une valeur du paramètre (considéré ci-après
+en valeur absolue) sont donnés par les équations simultanées
+\begin{gather*}
+y = a \cos^{-n} \omega, \\
+\frac{x}{a} = \frac{n}{n-1} \tg\omega
+  \left[\frac{1}{\cos^{n-2} \omega}
+      + \frac{n-2}{n-3}\, \frac{1}{\cos^{n-4} \omega}
+      + \dotsb \frac{2·4\dotsm (n-4)(n-2)}{1·3\dotsm (n-5)(n-3)}\right].
+\end{gather*}
+Si l'on donne à~$y$ % [** PP: Typo a~$y$]
+une certaine valeur il n'y a que $n$~valeurs de~$x$ correspondantes,
+car les valeurs de~$\cos\omega$ affectées des signes~$±$ donnent le même
+résultat dans la parenthèse et comme $\tg\omega$ comporte le double signe, on voit
+que \emph{les courbes considérées sont algébriques et du~\emph{\Ord{$n$}{ième}} degré}. Il faut vérifier
+qu'il n'y a pas de points à l'infini sur les directions parallèles à l'axe des~$x$
+pour que le raisonnement qui précède soit légitime; or pour que $x$ devienne
+infini il faut que
+\[
+\lim \frac{y}{x} = \frac{2(n-1)}{n} \lim \frac{1}{\sin 2\omega} = \infty;
+\]
+d'ailleurs comme $y$ est infini en même temps que~$x$, on voit que \emph{les courbes
+sont des paraboles de degré~$n$} dont la direction asymptotique est perpendiculaire
+à la directrice ou base. Le type est la parabole du second degré. On
+aura des courbes de la même famille du quatrième, du sixième, du huitième
+degré, en un mot de tous les degrés pairs.
+
+L'équation de la parabole du quatrième ordre est
+\[
+\biggl[\frac{9}{16} · \frac{x^2}{a^2} - \frac{y}{a} + 4\biggr]^2
+  = \frac{y}{a} \biggl[2 + \frac{y}{a}\biggr]^2.
+\]
+
+%% -----File: 170.png---Folio 164-------
+
+\Section{127.}
+{Cercles de degré~$2n$.}
+
+\emph{Troisième classe caractérisée par des valeurs impaires et positives de~$n$.}
+Les points d'une courbe de la famille sont déterminés par les équations
+\begin{gather*}
+y = a \cos^n \omega, \\
+\frac{x}{a} = \sin \omega
+  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
+      + \frac{2·4\dotsm (n-3)(n-1)}{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}\right].
+\end{gather*}
+Remarquons tout d'abord que ces courbes algébriques sont fermées, car elles
+n'ont d'autres points à l'infini que les ombilics puisque
+\[
+\lim \frac{y}{x} = ± i,
+\]
+lorsque $\sin \omega$ ou $\cos \omega$ tendent vers l'infini, ce qui est nécessaire pour que
+les coordonnées croissent indéfiniment.
+
+\emph{L'axe des~$y$ est un axe de symétrie; aussi la courbe est-elle du degré~$2n$};
+les degrés de ces courbes seront donc~$2$ (cercle), $6$, $10$, $14 \dotsc$, etc. Le cercle
+en est le type.
+
+Le cercle du sixième degré a pour équation
+\[
+(x^2 + y^2 - 4a^2)^3 + 27a^2y^4 = 0.
+\]
+
+
+\Section{128.}
+{Courbes transcendantes du genre chaînette.}
+
+\emph{Quatrième classe caractérisée par des valeurs impaires et négatives du
+paramètre~$n$.} On a (en prenant la valeur absolue de~$n$)
+\begin{gather*}
+\frac{x}{a} = \frac{n}{n-1} \sin \omega
+  \left[\frac{1}{\cos^{n-1}\omega}
+      + \frac{n-2}{(n-3)}\, \frac{1}{\cos^{n-2}\omega}
+      + \dotsb \frac{3·5\dotsm (n-2)}{2·4\dotsm (n-3)}\,
+               \frac{1}{\cos^2\omega}\right] \\
+  + \frac{1·3\dotsm (n-2)}{2·4\dotsm (n-3)} % [** PP: Typo (n-2)/(n-2)]
+    \log \tg \left(\frac{\omega}{2} + \frac{\pi}{4}\right);
+\end{gather*}
+%% -----File: 171.png---Folio 165-------
+ces courbes, dont la chaînette est le type, sont toutes transcendantes.
+
+On voit par cette énumération qu'aucun des élassoïdes admettant des
+courbes $(O)$ pour géodésiques ne peut être algébrique, car tant que~$n$ est
+entier, à toute courbe~$(O)$ algébrique correspond une courbe~$(O')$ transcendante
+et inversement. Lorsque $n$ est fractionnaire, aucune des géodésiques
+$(O)$ et~$(O')$ n'est algébrique.
+
+
+\Section{129.}
+{Longueurs des courbes satisfaisantes.}
+
+Désignons par $F'$ la distance de l'origine aux tangentes d'une courbe~$(O)$, $\omega$,
+l'angle auxiliaire employé précédemment, est l'angle que fait la normale
+avec la base prise pour axe polaire, on a, en conservant les notations relatives
+aux courbes génératrices~$(C)$,
+\[
+\frac{F'}{a} = + n \sin\omega \int p\, d\omega + \cos\omega · p;
+\]
+par conséquent
+\[
+\frac{F''}{a}
+  = + n \cos\omega \int \cos^n \omega\Reg{·}{\,} d\omega
+    - \sin\omega·\cos^n \omega.
+\]
+Soit en intégrant par parties
+\[
+\frac{F}{a}
+  = -n \cos\omega \int \cos^n \omega\, d\omega
+  + (n + 1) \int \cos^{n+1} \omega·d\omega.
+\]
+Mais d'après la formule de réduction bien connue
+\[
+(n + 1) \int \cos^{n+1} \omega\, d\omega
+  = \sin\omega \cos^n\omega + n \int \cos^{n-1}\omega\, d\omega,
+\]
+il vient aussi
+\[
+\frac{F}{a} = n \int \cos^{n-1} \omega\, d\omega
+  + \sin\omega \cos^n \omega
+  - n \cos\omega \int \cos^n \omega\, d\omega.
+\]
+%% -----File: 172.png---Folio 166-------
+On en déduit pour l'arc de la courbe~$(O)$
+\[
+S_{(O)} = F + F'' = na \int \cos^{n-1} \omega\Reg{·}{\,} d\omega,
+\]
+ce qui peut être considéré comme une vérification.
+
+
+\Section{130.}
+{Lignes algébriques des élassoïdes % [** PP: Typo élassoides]
+$(E_n)$ et de leurs conjugués~$(E'_n)$. Leurs
+images sphériques forment un réseau orthogonal de grands et de petits
+cercles.}
+
+Cherchons maintenant à déterminer sur les élassoïdes, admettant une
+courbe $(O)$ pour géodésique, les lignes algébriques. Les calculs s'appliqueront
+immédiatement aux élassoïdes conjugués en utilisant les formules des
+§\Secref{101} et~\hyperref[paragraph:109.]{§~109}.
+
+Nous désignerons par $[E_n]$ et~$[E'_n]$ les élassoïdes dérivés l'un d'une courbe $(O)$,
+dont le paramètre est~$n$, l'autre conjugué du précédent.
+
+D'après le théorème sur l'association des géodésiques~$(O)$, caractérisées
+par les paramètres~$±n$, il suffira de considérer deux cas:
+
+\primo~\emph{$n$~positif et pair} [$(O)$ est du genre cycloïdal]. Remplaçant $\omega$ par $\varphi$ et~$\psi$,
+comme dans la théorie générale, on trouve d'après (66), (67), pour les
+coordonnées de l'élassoïde~$[E_n]$
+\[
+\left\{
+\begin{aligned}
+& \begin{aligned}
+  \frac{2x}{a} &= {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega
+  \mSmall{%
+  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
+        \frac{3·5\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-4)(n-2)} \cos\omega\right]
+  } \\
+  &\qquad
+      + \mSmall{\frac{1·3\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-2)n} \omega},
+  \end{aligned} \\
+%
+&\frac{2y}{a} = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \cos^n \omega, \\
+%
+& \begin{aligned}
+  &\frac{2n-1}{n} · \frac{z}{a} · i \\
+  &\qquad = \Delta^\varphi_\psi \sin\omega
+% [** PP: Typo 2-n in next line? Also, n-4 indistinct, but fits pattern.]
+  \mSmall{\left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega
+  + \dotsb \frac{2·4\dotsm (n-4)(n-2)}{1·3\dotsm (n-5)(n-3)}\right]},
+  \end{aligned}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+groupe où les symboles $\sum^\varphi_\psi$ et~$\Delta^\varphi_\psi$ représentent les sommes et les différences
+%% -----File: 173.png---Folio 167-------
+des deux expressions obtenues en remplaçant successivement $\omega$ par $\varphi$ et~$\psi$,
+dans les expressions régies par ces symboles.
+
+En ce qui concerne %[** PP: Typo conserne]
+l'élassoïde conjugué du précédent, on trouve pour les
+coordonnées de l'élassoïde~$[E'_n]$
+\[
+\left\{
+\begin{aligned}
+& \begin{aligned}
+\frac{2x'i}{a} &= \Delta^\varphi_\psi \sin\omega
+  \mSmall{%
+% [** PP: in next line, 1·2 probably n-2]
+  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{1·2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
+        \frac{3·5\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-4)(n-2)} \cos\omega \right]
+  } \\
+  &\qquad
+  + \mSmall{\frac{1·3\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-2)n} \omega},
+  \end{aligned} \\
+%
+&\frac{2y'i}{a} = \Delta^\varphi_\psi \cos^n \omega, \\
+%
+& \begin{aligned}
+&\frac{2(n-1)}{n} · \frac{z}{a} \\
+& \qquad = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega
+  \mSmall{%
+  \left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + \dotsb
+        \frac{2·4\dotsm (n-4)(n-2)}{1·3\dotsm (n-5)(n-3)}\right]}.
+  \end{aligned}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+\secundo~\emph{$n$~positif et impair} [$(O)$ est du genre circulaire], on a de même, pour
+les coordonnées de l'élassoïde~$[E_n]$
+\[
+\left\{
+\begin{aligned}
+&\frac{2x}{a} = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega
+  \mSmall{%
+  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
+        \frac{2·4\dotsm (n-3)(n-1)}{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}\right]}, \\
+%
+&\frac{2y}{a} = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \cos^n \omega, \\
+%
+& \begin{aligned}
+  &\frac{2(n-1)}{n}\, \frac{z}{a} i \\
+  &\qquad = \Delta^\varphi_\psi \sin\omega
+  \mSmall{%
+  \left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + \dotsb
+        \frac{3·5\dotsm (n-4)(n-2)}{2·4\dotsm (n-5)(n-3)} \cos\omega \right]
+  } \\
+  &\qquad\qquad
+  + \mSmall{\frac{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}{2·4\dotsm (n-3)(n-1)} \omega}.
+  \end{aligned}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+Pareillement, pour les coordonnées de l'élassoïde~$[E'_n]$
+\[
+\left\{
+\begin{aligned}
+&\frac{2x'}{a} i = \Delta^\varphi_\psi \sin\omega
+  \mSmall{%
+  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
+        \frac{2·4\dotsm (n-3)(n-1)}{1·3\dotsm (n-4)(n-2)} \right]}, \\
+%
+&\frac{2y'}{a} i = \Delta^\varphi_\psi \cos^n \omega, \\
+%
+&\begin{aligned}
+  &\frac{2(n-1)}{n} · \frac{z}{a} \\
+  &\qquad = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega
+  \mSmall{%
+  \left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + \dotsb
+        \frac{3·5\dotsm (n-4)(n-2)}{2·4\dotsm (n-5)(n-3)} \cos\omega\right]
+  } \\
+  &\qquad\qquad+
+  \mSmall{\frac{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}{2·4\dotsm (n-3)(n-1)} \omega}.
+  \end{aligned}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+%**}%
+
+Il est bien entendu que dans ces formules $\varphi$ et~$\psi$ représentent des angles
+imaginaires conjugués
+\[
+\varphi = \alpha + i\beta,\quad \psi = \alpha - i\beta.
+\]
+
+%% -----File: 174.png---Folio 168-------
+
+Les formules qui précèdent montrent immédiatement par quelles associations
+de valeurs de $\varphi$ et~$\psi$ on obtiendra des lignes algébriques des
+élassoïdes.
+
+\primo~\emph{$n$ étant positif et pair} [$(O)$~étant du genre cycloïdal] les lignes algébriques
+sont déterminées sur~$[E_n]$ par
+\[
+\varphi + \psi = 2\alpha = \text{constante},
+\]
+sur $[E'_n]$ par
+\[
+\varphi - \psi = 2i\beta = \text{constante};
+\]
+inversement
+
+\secundo~\emph{$n$~étant positif et impair} [$(O)$~étant du genre circulaire] les lignes
+algébriques sont déterminées sur~$[E_n]$ par
+\[
+\varphi - \psi = 2i\beta = \text{constante},
+\]
+sur $[E'_n]$ par
+\[
+\varphi + \psi = 2\alpha = \text{constante}.
+\]
+
+Les images sphériques de ces courbes algébriques sont, dans tous les cas,
+déterminées par les équations
+\[
+ -\frac{X}{\sin\alpha} % [** PP: Moved - out of numerator]
+= \frac{Y}{\cos\alpha}
+= \frac{Zi}{\sin i\beta}
+= \frac{R}{\cos i\beta}.
+\]
+
+\begin{Emph}
+\emph{Conséquemment}, elles sont tantôt de grands cercles admettant l'axe des~$Z$
+pour diamètre, tantôt les petits cercles dont les plans sont perpendiculaires
+à l'axe des~$Z$.
+
+\emph{Ainsi}, lorsque $n$ est positif et pair: sur $[E_n]$ les lignes algébriques
+sont les courbes de contact de cylindres dont les génératrices sont parallèles
+au plan de la courbe cycloïdale~$(O)$.
+
+Il en est de même sur $[E'_n]$ lorsque $n$ est positif et impair.
+\end{Emph}
+
+Par exemple, si $n = 2$, $[E_2]$ est l'élassoïde de M.~Catalan, où s'associent la
+cycloïde et la parabole; les lignes algébriques sont des paraboles dont les plans
+%% -----File: 175.png---Folio 169-------
+sont perpendiculaires à celui de la cycloïde et les développables circonscrites
+à l'élassoïde %[** PP: Typo élassoide]
+le long de ces courbes sont des cylindres.
+
+Si $n=1$, $[E'_1]$ est la surface de vis à filet quarré.
+
+\begin{Emph}
+Lorsque $n$ est positif et impair, les développables algébriques circonscrites
+à l'élassoïde % [** PP: Typo élassoide]
+$[E_n]$ ont leurs cônes directeurs circulaires. Il en est de même en
+ce qui concerne $[E'_n]$, lorsque $n$~est positif et pair.
+\end{Emph}
+
+Par exemple, si $n = 1$, l'élassoïde %[** PP: Typo élassoide]
+$[E_1]$ est de révolution et les développables
+algébriques sont les cônes ayant leurs sommets sur l'axe de
+révolution.
+
+
+\Section{131.}
+{$[E'_2]$\footnotemark a pour lignes algébriques des biquadratiques.}
+\footnotetext{Il s'agit de l'élassoïde conjugué de celui qui comporte un assemblage de paraboles et de
+cycloïdes.}%
+
+Si $n = 2$ l'élassoïde $[E'_2]$ a ses lignes algébriques définies par les équations
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+&\frac{2xi}{a} - \beta i = \cos 2\alpha · \sin 2i\beta, \\
+&\frac{2yi}{a}           = -\sin 2\alpha · \sin 2i\beta, \\
+&\frac{z}{a}             = 2\sin \alpha · \cos i\beta,
+\end{aligned}\ \right\}
+\quad\text{où $\beta$ est constante.}
+\]
+Soit, en éliminant $\alpha$
+\[
+\frac{2xi}{a} - \beta i
+  = \sin 2i\beta \left[1 - \frac{z^2}{2a^2 \cos^2 i\beta}\right]
+\]
+avec
+\[
+\left[\frac{2x}{a} - \beta\right]^2 + \frac{4y^2}{a^2} + \sin^2 2i\beta = 0,
+\]
+%% -----File: 176.png---Folio 170-------
+on a donc des biquadratiques qui se projettent suivant des cercles ou des
+paraboles sur les plans des $XY$ ou des~$XZ$.
+
+Nous verrons dans une autre occasion comment on peut établir avec
+généralité de nouvelles propriétés de ces courbes algébriques, mais il
+faut se limiter.
+
+
+\Section{132.}
+{Sur les lignes de courbure des élassoïdes~$[E_n]$.}
+
+Examinons rapidement dans quels cas les lignes de courbure ou les
+asymptotiques donnent lieu à des propriétés se rapportant à l'algébricité.
+
+Nous avons montré que l'équation caractéristique de ces lignes sur~$[E_n]$
+est
+\[
+\int d\varphi\, \cos^{\frac{n+1}{2}}\varphi
+ ± \int d\psi\, \cos^{\frac{n-1}{2}}\psi = 0,
+\]
+obtenue en partant de la géodésique~$(O_{+n})$; on aurait, au contraire,
+\[
+\int d\varphi'\, \cos^{\frac{-n+1}{2}}\varphi' % [**** PP: Typo -n-1?]
+ ± \int d\psi'\, \cos^{\frac{-n-1}{2}}\psi' = 0,
+\]
+si l'on partait de la géodésique~$(O_{-n})$.
+
+On peut facilement vérifier l'identité des deux formules en partant
+des relations du \Secref{119} qui lient les éléments des deux courbes transformées.
+
+Tenant compte de la nouvelle direction des axes, on aura, par exemple,
+\begin{align*}
+\cos\varphi &= \frac{1}{\cos\varphi'}\;, \\
+\frac{d\varphi}{d\varphi'} &= i \cos\varphi.
+\end{align*}
+%% -----File: 177.png---Folio 171-------
+Conséquemment, en substituant, on trouve
+\[ % [** Removed dot]
+d\varphi\, \cos^{\frac{n-1}{2}} \varphi = i\, d\varphi'\, \cos^{\frac{-n-1}{2}} \varphi',
+\]
+et l'identité est vérifiée.
+
+Pour $n = 1$ l'élassoïde $[E_1]$ est l'alysséide, qui est de révolution; on a en
+effet pour l'intégrale des lignes de courbure prises par rapport au cercle de
+gorge,
+\[
+\varphi ± \psi = 0,
+\]
+équation qui caractérise le réseau sphérique des grands cercles ayant un
+diamètre commun et coupés par de petits cercles à plans parallèles.
+
+Pour $n=2$, l'élassoïde $[E_2]$ est celui de M.~Catalan; les lignes de courbure
+dépendent des fonctions elliptiques de seconde espèce.
+
+
+\Section{133.}
+{Le réseau sphérique, image des lignes de courbure de~$[E_n]$, est formé de
+biquadratiques; une projection des lignes de courbure est algébrique.}
+
+Pour $n = 3$ l'intégrale des lignes de courbure est
+\[
+\sin\varphi ± \sin\psi = \text{constante},
+\]
+soit en passant aux angles réels
+\begin{align*}
+\sin\alpha \cos i\beta &= m, \\
+\cos\alpha \sin i\beta &= ni,
+\end{align*}
+où $m$ et~$n$ sont les paramètres des lignes de courbure. Les images sphériques
+sont les deux familles de biquadratiques
+\[
+X^2 + Y^2 + Z^2 - R^2 = 0\quad
+\left\{
+\begin{aligned}
+m(X^2 + Y^2) + RX &= 0, \\
+n(X^2 + Y^2) - ZY &= 0.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+%% -----File: 178.png---Folio 172-------
+on sait d'avance que le réseau formé par ces deux familles de courbes est
+orthogonal et isométrique, et que toutes les trajectoires des courbes d'une
+même famille sont algébriques.
+
+Les lignes de courbure de $[E_3]$ se projettent sur le plan du cercle~$[O_3]$, du
+degré~$6$ (voir \Secref{126}), suivant des courbes algébriques. Il est remarquable que
+les asymptotiques de l'élassoïde $[E'_3]$ transformées des lignes de courbure
+de $[E_3]$ ont aussi leurs projections % [** PP: Typo projectons]
+algébriques sur le plan de~$(O_3)$. Pour $n=1$
+on a un résultat semblable avec cette particularité, qui ne se retrouve plus
+ici, que les deux projections coïncident avec des droites et des cercles
+orthogonaux.
+
+Il est facile de voir que si l'on a
+\[
+n = 4\alpha + 3,
+\]
+$\alpha$ étant un nombre entier quelconque, les images sphériques et les projections
+des lignes de courbure des élassoïdes $(E_n)$ et~$[E'_n]$ seront algébriques. Il
+faudra, bien entendu, ne considérer que les projections des lignes de courbure
+effectuées sur les plans des cercles $(O)$ de degré~$2n$.
+
+
+\Section{134.}
+{Au sujet des courbes $(O)$ quand $n$ est fractionnaire.}
+
+Dans tout ce qui précède, il n'a été question que des séries dérivées de
+$n = 1$, séries qui comprennent tous les élassoïdes caractérisés par des
+valeurs entières de~$n$. On pourrait également considérer le cas beaucoup plus
+étendu où $n$ est fractionnaire. Les élassoïdes $[E_n]$ correspondants possèdent
+toujours deux géodésiques~$(O_±n)$. Ces courbes elles-mêmes font partie de
+deux séries de courbes, podaires les unes des autres, correspondant à toutes
+les valeurs du paramètre augmentées ou diminuées de nombres entiers. Ces
+deux séries seront toujours distinctes hormis dans le cas où $n = ±\frac{1}{2}$. Dans ce
+%% -----File: 179.png---Folio 173-------
+cas la courbe $(O_{-\frac{1}{2}})$ est une hyperbole équilatère, $(O_{\frac{1}{2}})$ est la lemniscate de
+Bernoulli, % [** PP: Typo Bernouilli]
+podaire de l'hyperbole par rapport au centre. Tous les élassoïdes
+qu'on déduirait de ces courbes sont transcendants, aussi bien ceux qui
+admettent les courbes~$(O)$ pour géodésiques que les élassoïdes~$[E_n]$.
+
+Nous aurions pu préciser davantage certaines propriétés des courbes algébriques,
+mais il sera plus commode d'en déduire des propriétés générales
+nouvelles ayant trait à la dérivation des congruences isotropes d'un plan
+donné, propriétés qui feront l'objet du chapitre suivant.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 180.png---Folio 174-------
+
+
+\Chapter{XV.}
+{NOUVELLES PROPRIÉTÉS DES CONGRUENCES ISOTROPES DÉRIVÉES D'UN PLAN DONNÉ.}
+
+Conservant les notations et les définitions du \chapitre{XII}:
+\begin{align*}
+-x\sin\varphi + y\cos\varphi - F' &= 0, \\
+-x\sin\psi    + y\cos\psi    - f' &= 0
+\end{align*}
+seront les équations des normales $Aa$ et $Bb$ aux courbes $(A)$ et $(B)$ traces de
+deux développables isotropes, focales d'une congruence isotrope. Soit $N$ le
+point commun aux normales en $A$ et $B$ à $(A)$ et~$(B)$; et $\omega$ le milieu du
+segment~$ab$.
+
+\Section{135.}
+{Au sujet des courbes orthogonales $(\lambda)$ et~$(\mu)$.}
+
+Posant
+\[
+\frac{\psi - \varphi}{2} = \alpha,\quad
+\frac{\psi + \varphi}{2} = \beta,
+\]
+on trouve que
+\begin{align*}
+NA &= P = \frac{F'\cos2\alpha - f'}{\sin2\alpha} - F, \\
+NB &= p = \frac{F' - f'\cos2\alpha}{\sin2\alpha} - f.
+\end{align*}
+%% -----File: 181.png---Folio 175-------
+On en déduit
+\begin{align*}
+\lambda &= P + p =   (F' - f')\cot\alpha - (F + f), \\
+\mu     &= P - p = - (F' + f')\tg \alpha - (F - f),
+\end{align*}
+$\lambda$ et~$\mu$ désignant les paramètres des courbes orthogonales, lieux du point~$N$,
+les unes analogues à des ellipses homofocales [ce sont les courbes~$(\mu)$], les
+autres analogues à des hyperboles homofocales [ce sont les courbes~$(\lambda)$]\footnotemark.
+  \footnotetext{Soit en effet $(AB)$ une développante d'ellipse~$(E)$; si $M$ décrit une ellipse homofocale à~$(E)$,
+on sait que
+\[
+Ma + Mb = \operatorname{arc}ab + \text{constante}.
+\]
+Conséquemment:
+\[
+Ma + Mb = bB - aA + \text{constante},
+\]
+et, en définitive
+\[
+MA - MB = \text{constante}.
+\]
+}% End of footnote
+
+Rappelons que, l'équation du plan tangent à l'élassoïde moyen est
+\[
+-2X\sin\beta + 2Y\cos\beta
+  + \sin\alpha [-2Zi - (F' + f')\cot\alpha + F - f] = 0
+\]
+et que celle du plan tangent à l'élassoïde conjugué peut s'écrire
+\[
+-2X'\sin\beta + 2Y'\cos\beta
+  + i\sin\alpha [-2Z' + (F + f)  - (F' - f')\cot\alpha] = 0.
+\]
+
+On voit donc que $Z'_O$ désignant l'ordonnée à l'origine du plan tangent à
+l'élassoïde conjugué
+\[
+2Z'_O + \lambda = 0.
+\]
+
+\begin{Emph}
+\emph{Il en résulte que} si l'on fait décrire au point~$N$ une courbe~$(\lambda)$, la courbe
+suivie sur l'élassoïde conjugué est la courbe de contact de l'élassoïde et d'un
+cône.
+
+Tous les cônes correspondant aux diverses valeurs du paramètre~$\lambda$ ont
+leurs sommets sur une perpendiculaire au plan auxiliaire d'où l'on fait
+dériver les élassoïdes.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 182.png---Folio 176-------
+
+\Section{136.}
+{Aux courbes $(\lambda)$ correspondent, comme développables circonscrites à l'élassoïde moyen, des polaires de courbes gauches.}
+
+\begin{Emph}
+\emph{D'après la théorie des contours conjugués,} si l'on suit une courbe~$(\lambda)$, les
+plans tangents à l'élassoïde moyen sont les plans normaux d'une certaine
+courbe gauche qui est la ligne d'intersection des deux développables isotropes
+supposées relevées et abaissées de quantités égales et imaginaires,
+au-dessus ou au-dessous du plan auxiliaire. La courbe de contact des plans
+tangents et de l'élassoïde moyen est le lieu des centres de courbure de la
+courbe gauche indiquée.
+\end{Emph}
+
+Ceci fait entrevoir la possibilité d'obtenir sur le plan, non-seulement une
+représentation conforme des élassoïdes moyen et conjugué, mais encore une
+image des surfaces et des courbes gauches qui jouent un rôle dans leur
+étude.
+
+\Section{137.}
+{Les courbes gauches en question ont pour lieux des centres de courbure
+les lignes de plus grande pente d'une certaine surface.}
+
+Cherchons tout d'abord la courbe gauche dont le lieu des centres de
+courbure se projette suivant le lieu de~$\omega$, lorsque $N$ décrit la courbe~$\lambda$. On
+sait que si $P$ désigne le point de cette courbe, $S$~étant le sommet du cône
+circonscrit à l'élassoïde conjugué, les segments $PO$ et $SO'$ sont égaux, situés
+dans les plans tangents aux deux élassoïdes, et rectangulaires.
+
+Transportons l'origine des coordonnées au point $N$ et prenons pour axe
+des $x$ la bissectrice de l'angle $ANB$, de façon à annuler~$\beta$. Les coordonnées
+%% -----File: 183.png---Folio 177-------
+du point de l'élassoïde moyen deviennent
+\begin{gather*}
+X_O + \frac{F'' + f''}{2}\cos\alpha = 0, \\
+Y_O - \frac{F'' - f''}{2}\sin\alpha = 0, \\
+Z_O = -i\frac{(F + F'') - (f + f'')}{2}.
+\end{gather*}
+
+L'équation du plan moyen est
+\[
+Y + \sin\alpha\left(-Zi + \frac{F-f}{2}\right) = 0.
+\]
+
+Les coordonnées du point de l'élassoïde conjugué sont
+\begin{gather*}
+\frac{X_{O'}}{i} + \frac{F'' - f''}{2}\cos\alpha = 0, \\
+\frac{Y_{O'}}{i} - \frac{F'' + f''}{2}\sin\alpha = 0, \\
+Z_{O'} = \frac{F + F'' + f + f''}{2}.
+\end{gather*}
+
+L'équation du plan tangent à l'élassoïde conjugué est
+\[
+Y + i\sin\alpha \left[-Z + \frac{F + f}{2}\right] = 0.
+\]
+
+Le sommet du cône~$S$ étant le point où ce plan moyen est percé par l'axe
+des $Z$, le $Z$ de $S$~est
+\[
+Z_S = \frac{F + f}{2}.
+\]
+
+Conséquemment
+\[
+\frac{X_{O'}}{-i\cos\alpha\smfrac{(F'' - f'')}{2}}
+  = \frac{Y_{O'}}{i\sin\alpha\smfrac{(F'' + f'')}{2}}
+  = \frac{Z_{O'}-Z_S}{\smfrac{F'' + f''}{2}}=1
+  = \frac{±SO'}{\cos\alpha\sqrt{F'' f''}}.
+\]
+
+%% -----File: 184.png---Folio 178-------
+
+La droite $OP$ perpendiculaire à~$SO'$ et située dans le plan moyen est
+parallèle à l'intersection du plan moyen et de
+\[
+- Xi\cos\alpha(F'' - f'')
++ Yi\sin\alpha(F'' + f'') + Z(F'' + f'') = 0;
+\]
+elle est donc parallèle à la droite définie par les équations
+\[
+\frac{X}{-i\cos\alpha\smfrac{(F'' + f'')}{2}}
+  = \frac{Y}{i\sin\alpha\smfrac{(F'' - f'')}{2}}
+  = \frac{Z}{\smfrac{(F'' - f'')}{2}}
+  = \frac{±\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}}{i\cos\alpha \sqrt{F'' · f''}}.
+\]
+
+Dès lors les coordonnées du point $P$ sont
+\begin{gather*}
+X_P = X_O \mp \cos\alpha \frac{(F'' + f'')}{2},\\
+Y_P = Y_O  ±  \sin\alpha \frac{(F'' - f'')}{2},\\
+Z_P = Z_O \mp i\frac{(F'' - f'')}{2}.
+\end{gather*}
+
+Il n'y a manifestement qu'une combinaison de signes qui soit satisfaisante,
+c'est celle qui réduit la valeur de $Z_P$. On en conclut
+\begin{gather*}
+X_P = Y_P = 0,\\
+Z_P = -i\frac{(F - f)}{2} = i\frac{\mu}{2}.
+\end{gather*}
+
+D'ailleurs, cet important résultat se vérifiera en étudiant les variations
+des paramètres $\lambda$ et~$\mu$.
+
+Revenons maintenant aux axes primitifs, différentiant les valeurs de $\lambda$ et~$\mu$,
+il vient
+\begin{align*}
+-d\lambda
+  &= d\beta[F' + f' - (F'' - f'') \cot\alpha]
+   + d\alpha \cot\alpha[F'' + f'' + (F' - f')\cot\alpha], \\
+-d\mu
+  &= d\beta[F' - f' + (F'' + f'')  \tg\alpha]
+   + d\alpha · \tg\alpha[-(F'' - f'') + (F' + f')\tg\alpha].
+\end{align*}
+
+%% -----File: 185.png---Folio 179-------
+
+Cherchons les équations des projections, sur le plan auxiliaire, des caractéristiques
+du plan moyen et de son conjugué, nous trouvons
+\begin{align*}
+\Delta\alpha · \cot\alpha
+  & [(F'' - f'') \sin\alpha + (F' + f')\cos\alpha
+    + 2X\sin\beta - 2Y\cos\beta] \\
++ \Delta\beta ·
+  & [(F' - f') \sin\alpha - (F'' + f'')\cos\alpha
+    - 2X\cos\beta - 2Y\sin\beta] = 0,
+\end{align*}
+pour la caractéristique du plan moyen projetée, et
+\begin{align*}
+\Delta\alpha · \cot\alpha · i
+  & [(F'' + f'')\sin\alpha + (F' - f')\cos\alpha
+    + 2X'\sin\beta - 2Y'\cos\beta] \\
++\Delta\beta
+  & [i(F' + f')\sin\alpha - i(F'' - f'')\cos\alpha
+    - 2X'\cos\beta - 2Y'\sin\beta] = 0,
+\end{align*}
+pour la caractéristique projetée du plan conjugué.
+
+Commençons par vérifier la propriété de la surface, lieu du point~$P$, qui
+se projette en~$N$, et dont le $Z_P$ est égal à~$\frac{i\mu}{2}$. A cet effet, nous chercherons les
+$\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$ du point~$P$, d'une façon générale, puis en supposant que les
+axes sont particularisés; c'est-à-dire en annulant $F'$, $f'$ et $\sin\beta$. On a manifestement
+\begin{align*}
+-\Delta x\sin\varphi + \Delta y\cos\varphi
+  - (x\cos\varphi + y\sin\varphi + F'')\, d\varphi &= 0, \\
+%
+-\Delta x\sin\psi    + \Delta y\cos\psi
+  - (x\cos\psi    + y\sin\psi    + f'')\, d\psi    &= 0,
+\end{align*}
+d'où l'on déduit, en particularisant comme il a été dit:
+\begin{align*}
+2\Delta x &= \frac{d\beta(F'' - f'') - d\alpha(F'' + f'')}{\sin\alpha},\\
+2\Delta y &= \frac{d\beta(F'' + f'') - d\alpha(F'' - f'')}{\cos\alpha},
+\end{align*}
+et puisque, par hypothèse
+\begin{gather*}
+2Z_P i = -\mu,\\
+2\Delta Z i = -d\mu
+  = \tg\alpha[d\beta(F'' + f'') - d\alpha(F'' - f'')];
+\end{gather*}
+mais on a dans l'espèce
+\[
+-d\lambda = -[d\beta (F'' - f'') - d\alpha(F'' + f'')]\cot\alpha.
+\]
+
+%% -----File: 186.png---Folio 180-------
+
+Il en résulte que si $\lambda$ reste constant, $\Delta x$ s'annule et que
+\[
+\frac{\Delta z · i}{\Delta y} = \sin\alpha
+\]
+
+Ainsi se trouve démontrée, sans ambiguïté de signe, la propriété trouvée
+plus haut et qu'on peut énoncer ainsi:
+
+\begin{Emph}
+Les courbes~$(P)$ dont les plans normaux touchent l'élassoïde moyen,
+caractérisées par les diverses valeurs du paramètre~$\lambda$, sont, par rapport
+au plan auxiliaire, les lignes de plus grande pente d'une surface dont les
+lignes de niveau se projettent sur le plan auxiliaire suivant les courbes~$(\mu)$.
+\end{Emph}
+
+
+\Section{138.}
+{Nouvelle dérivation des élassoïdes du plan.}
+
+Cette proposition conduit à une définition géométrique nouvelle de l'élassoïde
+considéré comme l'enveloppée des plans normaux aux lignes de plus
+grande pente d'une certaine surface. La définition de celle-ci est fort simple,
+puisque les courbes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$ constituent dans le plan auxiliaire un réseau
+orthogonal tel que l'élément linéaire soit exprimé par la relation
+\[
+4dS^2 = \frac{d\lambda^2}{\cos^2\alpha} + \frac{d\mu^2}{\sin^2\alpha}.
+\]
+
+Toutes les fois qu'on aura obtenu, dans le plan, un réseau orthogonal
+satisfaisant, il suffira d'élever en chacun des points du plan une perpendiculaire
+et d'y porter un segment égal à~$\frac{i\mu}{2}$ ou~$\frac{i\lambda}{2}$, les lieux des extrémités
+donneront des surfaces~$(P)$, dont l'une sera réelle et l'autre imaginaire toutes
+les fois que l'angle~$\alpha$ sera imaginaire [les courbes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$ étant réelles]\footnotemark.
+\footnotetext{Elles seront toujours imaginaires si l'angle $\alpha$ est réel.}
+
+Il est manifeste que les surfaces $(P)$ ainsi trouvées sont d'un genre particulier
+caractérisé par la nature du réseau $(\lambda) (\mu)$ plan. Elles sont ainsi suffisamment
+définies.
+
+%% -----File: 187.png---Folio 181-------
+
+\Section{139.}
+{Sur les développables circonscrites aux élassoïdes
+correspondant aux courbes $(\lambda)$ et~$(\mu)$.}
+
+Considérons maintenant les équations des projections des caractéristiques,
+en les rapportant aux axes particularisés.
+
+En ce qui concerne l'élassoïde moyen, l'équation est
+\[
+2X\,d\beta · \tg\alpha + 2Y\,d\alpha = \cos\alpha · d\mu.
+\]
+
+En ce qui concerne l'élassoïde conjugué, on trouve
+\[
+2X'\,d\beta + 2 · Y'i \cot\alpha = -i \sin\alpha · d\lambda.
+\]
+
+\begin{Emph}
+Si donc l'on suit une courbe~$(\mu)$, la projection de la caractéristique passe
+par le point~$N$, en ce qui concerne l'élassoïde moyen.
+\end{Emph}
+
+Si l'on suit une courbe~$(\lambda)$ la projection de la caractéristique du plan tangent
+à l'élassoïde conjugué passe par l'origine. Cette dernière remarque est
+d'ailleurs une conséquence de ce fait que la développable, enveloppe des
+plans conjugués, est un cône.
+
+Mais si l'on observe que les caractéristiques des plans moyens et conjugués
+sont toujours parallèles quand elles sont correspondantes, on peut
+énoncer deux élégantes propriétés des développables, enveloppes des plans
+moyen et conjugué, obtenues en suivant les lignes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$.
+
+\begin{Emph}
+Lorsqu'on suit dans le plan auxiliaire une courbe~$(\lambda)$ [du genre hyperbole]
+les génératrices de la développable, enveloppe du plan moyen, se projettent
+sur le plan suivant les droites $ab$, dont l'enveloppe est, par conséquent, la
+projection de l'arête de rebroussement de la développable considérée.
+
+Lorsqu'on suit dans le plan auxiliaire une courbe~$(\mu)$ [du genre ellipse]
+les droites, telles que $N\omega$, représentent les projections, sur le plan auxiliaire,
+des génératrices de la développable, enveloppe des plans moyens.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 188.png---Folio 182-------
+
+\Section{140.}
+{Élassoïde admettant pour géodésique une conique et élassoïde conjugué.}
+
+L'application la plus simple de ces propriétés générales est celle que l'on
+peut faire en prenant pour courbes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$ des coniques homofocales.
+
+Dans ce cas, les surfaces~$(P)$ ont pour lignes de niveau des ellipses qui
+se projettent sur le plan auxiliaire suivant un réseau homofocal. Les lignes
+de plus grande pente sont transcendantes, mais elles se projettent suivant des
+hyperboles homofocales; de plus leurs surfaces polaires ont pour conjuguées
+des cônes dont les sommets sont en ligne droite. Les lignes, lieux des
+centres de courbure des lignes de plus grande pente, appartiennent à
+l'élassoïde moyen.
+
+D'un autre côté, les lignes $ab$ étant les polaires des points~$N$, par rapport
+à l'ellipse $(a, b)$, les surfaces polaires des lignes de plus grande pente ont
+des arêtes de rebroussement qui se projettent sur le plan auxiliaire suivant
+des coniques polaires réciproques des hyperboles $(\lambda)$ par rapport à l'ellipse
+$(a, b)$ [ellipse qui est une géodésique de l'élassoïde moyen].
+
+
+\Section{141.}
+{Cônes du second degré circonscrits à l'élassoïde.}
+
+Enfin, les droites, telles que~$N\omega$, passent par le centre de l'ellipse; conséquemment,
+les développables circonscrites à l'élassoïde moyen sont des cônes
+ayant leurs sommets sur la perpendiculaire au plan auxiliaire, élevée au
+centre des coniques homofocales. On a vu que ces développables contiennent
+individuellement les courbes $(\mu)$. Les cônes considérés sont donc du
+second degré.
+
+Il est bien facile de compléter cette étude particulière en montrant que les
+%% -----File: 189.png---Folio 183-------
+cônes, correspondant aux hyperboles $(\lambda)$ et circonscrits à l'élassoïde conjugué,
+ou correspondant aux ellipses $(\lambda)$ et circonscrits à l'élassoïde moyen,
+sont les cônes supplémentaires de cônes homofocaux [pourvu qu'on les transporte
+convenablement].
+
+
+\Section{142.}
+{Les lignes algébriques des deux élassoïdes ont pour image sphérique
+un réseau de coniques homofocales.}
+
+Si l'on considère en effet les plans isotropes passant par les droites $Aa$, $Bb$,
+ils se couperont suivant quatre droites, génératrices des quadriques homofocales
+ayant pour traces, sur le plan auxiliaire, les diverses coniques homofocales
+$(\lambda)$ et~$(\mu)$. On sait que les cônes asymptotes de ces quadriques sont
+homofocaux. Mais l'une des génératrices passant en $N$ occupe, par rapport à
+l'angle $aNb$, la même position que la droite de la congruence isotrope originelle,
+par rapport à l'angle supplémentaire de~$ANB$; donc, si l'on fait tourner
+de~$90°$, autour de la verticale, la génératrice de la congruence, on aura une
+parallèle à la génératrice de l'hyperboloïde passant en~$N$ et ayant pour
+trace~$(\mu)$. Conséquemment les traces sphériques des cônes asymptotes, tournées
+de~$90°$ autour de la verticale, constitueront l'image sphérique complète
+des courbes algébriques des élassoïdes moyen et conjugué. On peut donc
+dire que ces lignes ont pour image sphérique une famille de coniques sphériques
+homofocales.
+
+La plupart de ces propriétés ont été énoncées par M.~Schwartz, en ce qui
+concerne l'élassoïde admettant pour géodésique une conique [\textit{Journal de
+Borchardt}, page~293, année~1874].
+
+%% -----File: 190.png---Folio 184-------
+
+\Section{143.}
+{Le réseau $(\mu\lambda)$ est le seul du plan qui corresponde à un réseau orthogonal
+de l'élassoïde.}
+
+Dans le cas général, les courbes correspondant, sur les deux élassoïdes,
+aux lignes $(\mu)$ et~$(\lambda)$ sont rectangulaires; les calculs du \Secref{137} montrent en
+effet que leurs conjuguées sont orthogonales, ce qui équivaut à la proposition;
+mais cette propriété peut s'établir directement comme il suit.
+
+Calculons, sur la sphère, le carré de l'élément linéaire rapporté au réseau
+des images sphériques des lignes correspondant aux $(\mu)$ et~$(\lambda)$. On sait que,
+d'une façon générale, on a sur la sphère de rayon unité (\Secref{109})
+\begin{align*}
+dS^2 &= \frac{d\varphi · d\psi}{\cos^2\alpha}, \\
+\intertext{ou encore}
+dS^2 &= \frac{d\beta^2 - d\alpha^2}{\cos^2\alpha}.
+\end{align*}
+Mais on déduit des valeurs de $d\lambda$ et~$d\mu$ particularisées
+\begin{align*}
+-4F''f'' · d\beta
+  &= \frac{d\mu}{\tg\alpha} (F'' + f'')
+   + \frac{d\lambda}{\cot\alpha} (F'' - f''), \\
+%
+-4F''f'' · d\alpha
+  &= \frac{d\mu}{\tg\alpha} (F'' - f'')
+   + \frac{d\lambda}{\cot\alpha} (F'' + f'').
+\end{align*}
+
+On en conclut
+\[
+dS^2 = \frac{d\mu^2\, \cot^2\alpha - d\lambda^2\, \tg^2\alpha}
+            {4F'' · f'' · \cos^2\alpha}.
+\]
+Ce qui montre bien que l'image sphérique est formée de courbes orthogonales.
+Comme, sur les élassoïdes et sur la sphère image, les angles se conservent
+dans la correspondance:
+
+\emph{Le réseau orthogonal plan $(\lambda,\mu)$ correspond, sur les deux élassoïdes, à un
+%% -----File: 191.png---Folio 185-------
+réseau orthogonal.} Il est même clair qu'il n'y a pas d'autres réseaux orthogonaux
+se correspondant sur le plan et sur les élassoïdes.
+
+Nous venons de voir que, dans le cas où le réseau $(\lambda,\mu)$ est formé de
+coniques homofocales, le réseau sphérique correspondant est formé également
+de coniques sphériques homofocales, constituant un réseau isométrique.
+On sait, d'après un théorème de M.~Ossian % [** PP: Typo Ossiau]
+Bonnet, que les courbes correspondantes
+des élassoïdes sont aussi isométriques.
+
+
+\Section{144.}
+{Si le réseau $(\lambda\mu)$ de l'élassoïde est isométrique, son correspondant du plan
+est formé de coniques homofocales.}
+
+Il est intéressant de chercher dans quel cas cette propriété subsistera, à
+raison du caractère du réseau $(\lambda, \mu)$.
+
+Il faut que le logarithme du quotient des coefficients du carré de l'élément
+linéaire soit la somme de deux fonctions, l'une de~$\lambda$, l'autre de~$\mu$. Ce qui
+conduit à la condition
+\[
+2 \frac{d^2}{du\, dv} · \log \tg\alpha = 0.
+\]
+
+D'ailleurs on trouve la même condition en exprimant que le réseau plan
+$(\lambda\mu)$ lui-même est isométrique. Mais nous avons montré d'après M.~Liouville
+que le réseau $(\lambda, \mu)$ ne peut être dans ce cas composé que de coniques homofocales;
+conséquemment les élassoïdes admettant une conique pour géodésique
+jouissent d'un caractère distinctif tout particulier, qui permet d'énoncer
+la proposition suivante:
+
+\begin{Emph}
+Que, de tous les points d'une droite, comme sommets on circonscrive des
+cônes à un élassoïde; que l'on trace sur celui-ci les trajectoires orthogonales
+des courbes de contact; si le réseau orthogonal ainsi obtenu est isométrique,
+l'élassoïde est conjugué de celui qui admet une conique pour géodésique.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 192.png---Folio 186-------
+
+C'est le moment de faire une remarque sur l'expression du carré de l'élément
+linéaire d'un élassoïde.
+
+$(a)$ et~$(b)$ désignant les projections planes des arêtes de rebroussement
+des développables génératrices, on a d'après~\Eqref{}{68} l'expression
+\[
+dS^2 = d(a)·d(b) \cos^2 \frac{V}{2},
+\]
+où $d(a)$ et~$d(b)$ désignent les longueurs des éléments correspondants et~$V$
+l'angle des tangentes aux courbes $(a)$ et~$(b)$. Il en résulte que si les courbes
+$(a)$ et~$(b)$ sont algébriques, l'élassoïde moyen correspondant aura son élément
+linéaire exprimé par une formule algébrique.
+
+
+\Section{145.}
+{$dS^2$ de l'élassoïde sur lequel le réseau $(\lambda,\mu)$ est isométrique.}
+
+A titre d'exemple, prenons pour courbes $(\mu)$ et~$(\lambda)$ un réseau de coniques
+homofocales, et cherchons l'expression de l'élément linéaire de l'élassoïde
+admettant l'une d'entre elles pour géodésique.
+
+L'élément linéaire du plan, rapporté aux coniques dont l'équation est de
+la forme
+\[
+\frac{x^2}{a^2 - \lambda} + \frac{y^2}{b^2 - \lambda} = 1,
+\]
+peut s'écrire
+\[
+4·dS^2
+  = (\mu - \lambda) \left[\frac{d\lambda^2}{(a^2 - \lambda)(b^2 - \lambda)}
+                        - \frac{d\mu^2}{(a^2 - \mu)(b^2-\mu)} \right].
+\]
+
+La \Eqref{condition}{56} est vérifiée et l'\Eqref{équation}{57} donne pour les traces
+d'une congruence isotrope la relation bien connue
+\[
+\mu \cos^2i + \lambda \sin^2i = k,
+\]
+qui donne les directions des deux tangentes à l'une des coniques du réseau
+%% -----File: 193.png---Folio 187-------
+définie par le paramètre~$k$, tangentes issues du point $(\lambda,\mu)$. Soient $(a)$ et~$(b)$
+les deux branches de la conique enveloppe. Pour calculer l'élément linéaire
+de l'élassoïde l'admettant pour géodésique, il faut obtenir l'expression
+\[
+dS^2 = R_a \, d\varphi · R_b \Reg{·}{\,} d\psi\, \cos^2i,
+\]
+$R_a$ et~$R_b$ désignant les rayons de courbure en $(a)$ et~$(b)$, $d\varphi$ et~$d\psi$ les angles
+de contingence, en ces points, de la conique enveloppe. On a
+\[
+\Delta i = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{-1}{(k - \mu)(k - \lambda)}}
+  \left[\frac{d\mu\, (k - \lambda) - d\lambda\, (k - \mu)}{\mu - \lambda}\right].
+\]
+
+Prenant pour réseau de référence celui des coniques $(\lambda,\mu)$ on a les formules
+générales, analogues à~\Eqref{}{2}
+\begin{gather*}
+X' = X - \frac{d\lambda}{2}
+  \mSmall{\sqrt{\frac{\mu-\lambda}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}}} \\
+  \mSmall{%
+  -\frac{Y}{2} \frac{\sqrt{-1}}{\mu-\lambda}
+   \sqrt{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(a^2-\mu)(b^2-\mu)}
+   \left[\frac{d\mu}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}
+       - \frac{d\lambda}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}\right]}, \\[2ex]
+%
+Y' = Y - \frac{d\mu}{2}
+  \mSmall{\sqrt{\frac{\lambda-\mu}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}}} \\
+  \mSmall{%
+  +\frac{X}{2} \frac{\sqrt{-1}}{\mu-\lambda}
+   \sqrt{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(a^2-\mu)(b^2-\mu)}
+   \left[\frac{d\mu}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}
+       - \frac{d\lambda}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}\right]}.
+\end{gather*}
+
+L'équation instantanée de la tangente à l'ellipse fixe est
+\[
+Y \cos i \mp X \sin i = 0,
+\]
+son point de contact avec la conique est le même quels que soient $d\mu$ et~$d\lambda$;
+il est déterminé par l'équation de la normale instantanée
+\[
+-Y \sin i \mp X \cos i ± \frac{\mu-\lambda}{L \mp M} = 0,
+\]
+où $L$ et~$M$ désignent les fonctions de $\lambda$ et~$\mu$ seules que voici
+\[
+L = \sqrt{\frac{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}{k-\lambda}},\qquad
+M = \sqrt{\frac{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}{k-\mu}}.
+\]
+
+%% -----File: 194.png---Folio 188-------
+
+En posant
+\[
+P = \frac{\mu - \lambda}{L\mp M},
+\]
+on trouve [par les procédés habituels de périmorphie, en observant que le
+résultat est indépendant de $d\mu$ et~$d\lambda$] pour l'équation déterminant le centre
+de courbure
+\[
+\left(\frac{2\, dP}{d\lambda} + \frac{1}{L}\right)
+  \sqrt{\frac{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}{k-\mu}}
+  = \frac{\sqrt{-1}}{\mu - \lambda}(Y \cos i \mp X \sin i)(M\mp L);
+\]
+après différentes réductions on obtient l'équation indépendante des variations
+particulières
+\[
+\frac{(a^2-k)(b^2-k)}{(k-\mu)(k-\lambda)}
+  = ±\sqrt{-1} \frac{\sqrt{(k-\mu)(k-\lambda)}}{(\mu - \lambda)^3}
+     (Y \cos i \mp X \sin i)(L^2 - M^2)(L\mp M).
+\]
+Cette équation donne immédiatement
+\[
+R_a · R_b = \mp\frac{(a^2-k)^2(b^2-k)^2(\mu-\lambda)^6}{(k-\mu)^3(k-\lambda)^3(L^2-M^2)^3}.
+\]
+
+Il s'agit maintenant de calculer les angles de contingence. $\Delta x$, $\Delta y$ étant
+relatifs au point $(\lambda \mu)$ on a manifestement
+\[
+P\, d\varphi = \Delta Y \cos i \mp \Delta X \sin i; % [** Typo y]
+\]
+conséquemment
+\[
+d\varphi·d\psi
+  = \frac{\overline{\Delta Y}^2 \cos^2 i - \overline{\Delta X}^2 \sin^2 i}{P·P'}.
+\]
+
+Si $P'$ désigne la seconde valeur de~$P$ lorsqu'on change le signe, on trouve
+ainsi
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding ×]
+d\varphi·d\psi
+  = \frac{L^2-M^2}{(\mu-\lambda)^2}\,
+    \frac{(k-\lambda)(k-\mu)}{4} \\
+  × \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)}
+        - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right].
+\end{multline*}
+%% -----File: 195.png---Folio 189-------
+On en déduit immédiatement
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding ×]
+dS^2 =
+  \frac{(a^2-k)^2(b^2-k)^2(\mu-\lambda)^3}
+       {4(k-\mu)^2(k-\lambda)^2(L^2-M^2)^2} \\
+  × \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)}
+        - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right],
+\end{multline*}
+car $\cos^2 \frac{V}{2}$ est égal à~$\cos^2i$.
+
+Si enfin l'on observe que
+\[
+L^2 - M^2 = (\mu -\lambda)\left[1 - \frac{(k-a^2)(k-b^2)}{(k-\lambda)(k-\mu)}\right],
+\]
+on obtient en somme
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding ×]
+dS^2 = \frac{1}{4} ·
+  \frac{(a^2-k)^2(b^2-k)^2(\mu-\lambda)(k-\lambda)}
+       {\bigl[(k-\lambda)(k-\mu) - (k-a^2)(k-b^2)\bigr]^2} \\
+  × \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)}
+        - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right].
+\end{multline*}
+
+Quant à l'image sphérique, l'expression du carré de l'élément linéaire
+est, d'après la théorie générale,
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding ×]
+dS'^2 = \frac{R^2}{4}
+  \left[(k-\mu) - \frac{(k-a^2)(k-b^2)}{(k-\lambda)}\right] \\
+  × \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)}
+        - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right].
+\end{multline*}
+
+Les deux réseaux sont bien isométriques, et, le réseau sphérique, comme
+le réseau plan, est de la forme signalée par M.~Liouville, forme qui permet
+l'intégration des lignes géodésiques; il devait en être ainsi, puisque le réseau
+est composé de coniques sphériques homofocales.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 196.png---Folio 190-------
+
+
+\Chapter{XVI.}
+{AU SUJET DES LIGNES DE NIVEAU DES ÉLASSOÏDES.}
+
+
+\Section{146.}
+{Conditions pour qu'un réseau orthogonal tracé sur un élassoïde soit formé
+de lignes de niveau et de lignes de plus grande pente.}
+
+Nous avons déjà montré que tous les \emph{élassoïdes groupés} provenant de la
+déformation d'un même élassoïde ont leurs lignes de courbure correspondant
+sur l'élassoïde originel aux trajectoires sous un angle constant des
+lignes de courbure de cette surface.
+
+Une propriété toute semblable a lieu pour les lignes de niveau; c'est ce
+que nous allons établir.
+
+Considérons, en général, une surface de référence $(O)$ prise arbitrairement;
+prenons pour réseau $(u, v)$ celui des sections planes toutes parallèles
+à un plan~$(P)$ donné, ainsi que leurs trajectoires orthogonales. $i$~désignant
+l'angle qu'en chaque point de~$(O)$ fait la normale à la surface avec la perpendiculaire
+au plan~$(P)$, on trouve facilement par nos procédés habituels,
+%% -----File: 197.png---Folio 191-------
+pour déterminer les éléments du réseau $(u, v)$
+\begin{align*}
+P &= -\frac{di}{du}, \\
+Q &= -\frac{dg}{f\, du}  \tg i, \\
+D &= -\frac{df}{fg\, dv} \tg i,
+\end{align*}
+équations auxquelles il faut ajouter les conditions
+\begin{gather*}
+\frac{df}{f\, dv} + \frac{di}{dv} · \cot i = 0, \\
+\frac{di}{du} · \frac{dg}{f\, du} \tg i
+  - \frac{1}{fg} \left(\frac{df}{dv}\right)^2 \tg^2 i
+  + \frac{d}{dv} \left(\frac{df}{g\, dv}\right)
+  + \frac{d}{du} \left(\frac{dg}{f\, du}\right) = 0.
+\end{gather*}
+
+Si la surface est élassoïde, on a à la fois
+\[
+\frac{df}{f\, dv} + \frac{di}{dv} \cot i = 0,\quad
+\frac{dg}{g\, du} + \frac{di}{du} \cot i = 0;
+\]
+on peut donc poser
+\[
+f = g = \frac{1}{\sin i}.
+\]
+
+Dès lors la seule équation non résolue devient
+\[
+  \left(\frac{di}{du}\right)^2
++ \left(\frac{di}{dv}\right)^2
+  = \frac{d^2}{du^2} \log \frac{1}{\sin i}
+  + \frac{d^2}{dv^2} \log \frac{1}{\sin i}.
+\]
+
+Soit, en passant aux coordonnées symétriques imaginaires
+\[
+\frac{di}{dx}\, \frac{di}{dy} + \frac{d^2 \log \sin i}{dx\, dy} = 0,
+\]
+et par conséquent
+\[
+\tg \frac{i}{2} = X+Y.
+\]
+
+%% -----File: 198.png---Folio 192-------
+
+\Section{147.}
+{Les trajectoires sous un angle constant des lignes de niveau d'un élassoïde
+correspondent aux lignes de niveau des élassoïdes groupés.}
+
+On voit que l'on peut poser indifféremment
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+P &= -\frac{di}{du}, \\
+Q &= +\frac{di}{du}, \\
+D &= \sin i \frac{di}{dv},
+\end{aligned}\ \right\}\quad\text{ou}\quad \left\{
+\begin{aligned}
+P &= \phantom{-}\frac{di}{dv}, \\
+Q &= -\frac{di}{dv}, \\
+D &= \sin i \frac{di}{du},
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+sans que l'équation canonique soit modifiée et sans que la surface cesse
+d'être élassoïde, mais ces valeurs sont comprises dans les formules générales
+\begin{align*}
+P &=           -\cos\varphi\, \frac{di}{du} + \sin\varphi\, \frac{di}{dv}, \\
+Q &= \phantom{-}\cos\varphi\, \frac{di}{du} - \sin\varphi\, \frac{di}{dv}, \\
+D &= \sin i\left(\frac{di}{dv}\, \cos\varphi + \frac{di}{du}\, \sin\varphi\right),
+\end{align*}
+où l'angle $\varphi$ est considéré comme une constante. On vérifie facilement que
+ces valeurs correspondent bien à des solutions des équations de Codazzi;
+conséquemment elles représentent des valeurs de $P$, $Q$, $D$ correspondant à
+une forme particulière de la surface, et, comme dans chaque cas la somme
+$P + Q$ est nulle, chacune des surfaces déformées (puisque le réseau $u, v$
+est isométrique) reste élassoïde.
+
+Il est facile de voir que les élassoïdes correspondant aux valeurs~$0$ et~$\frac{\pi}{2}$ % [** PP: O -> 0]
+de l'angle~$\varphi$ sont conjugués. Tous les autres appartiennent naturellement à la
+famille des \emph{élassoïdes groupés} dérivés de la surface de référence.
+
+%% -----File: 199.png---Folio 193-------
+
+\Section{148.}
+{Nouvelle forme du $\lambda$ d'un réseau isométrique sphérique.}
+
+On trouve, d'une façon générale, que l'image sphérique a pour élément
+linéaire
+\[
+dS^2 = du^2\, (P^2 + f^2D^2) + dv^2\, (Q^2 + g^2D^2);
+\]
+dans l'espèce on a
+\[
+dS^2 = \left[\left(\frac{di}{du}\right)^2
+           + \left(\frac{di}{dv}\right)^2\right] (du^2 + dv^2),
+\]
+soit en passant aux coordonnées symétriques imaginaires
+\[
+dS^2 = 4·\frac{di}{dx} · \frac{di}{dy}\, dx\Reg{·}{\,} dy.
+\]
+
+Désignant par $\lambda$ le coefficient des $du$, $dv$ sur la sphère, on trouve
+\[
+\lambda = \frac{1}{4}\, \frac{\sqrt{X'}\Reg{·}{\,} \sqrt{Y'}}{1 + (X+Y)^2},
+\]
+ce qui constitue une forme digne d'intérêt.
+
+
+\Section{149.}
+{Sur un théorème général.}
+
+Plus généralement: toutes les fois qu'on peut déformer une surface, de
+telle façon que \emph{deux} familles de courbes orthogonales deviennent successivement
+des lignes de niveau de surfaces transformées, les trajectoires sous un
+même angle constant, de ces deux séries de courbes, peuvent, par une
+déformation convenable de la surface, devenir à leur tour lignes de niveau.
+
+%% -----File: 200.png---Folio 194-------
+
+Cette propriété tient à ce que les lignes de niveau d'une surface, les lignes
+de plus grande pente correspondantes et leurs trajectoires sous des angles
+constants, sont telles qu'en un même point de la surface les centres de courbure
+géodésiques de toutes ces courbes sont sur une même ligne droite.
+
+La propriété énoncée ci-dessus s'applique à d'autres surfaces que les élassoïdes
+dérivés par flexion les uns des autres.
+
+
+\Section{150.}
+{Réseau plan dont les courbes se coupent sous un angle constant et peuvent
+être lignes de niveau de développables résultant de l'enroulement du
+plan.}
+
+Si l'on prend, par exemple, pour surface de référence un plan, on parvient
+à construire les surfaces développables suivant lesquelles il faut enrouler
+le plan pour que deux courbes, prises au hasard, se transforment successivement
+en lignes de niveau se coupant mutuellement sous un angle
+donné.
+
+Les deux développables déformées sont applicables l'une sur l'autre par
+de simples rotations autour des génératrices.
+
+Ce n'est pas le moment de montrer comment la construction géométrique
+s'achève sans difficulté, ni comment le quarré de l'élément linéaire du plan
+s'obtient avec deux fonctions arbitraires [mettant ainsi en évidence les
+réseaux orthogonaux intéressants dont nous venons de donner la définition,
+réseaux dont les trajectoires comprennent également des courbes de même
+nature]\footnotemark.
+  \footnotetext{Soient deux courbes arbitraires $(a)$ et~$(b)$, faisant correspondre des points $a$ et~$b$ tels que
+les tangentes y fassent entre elles un angle constant, enroulant le plan de telle façon que la
+corde~$ab$ devienne génératrice et que~$(a)$ reste plane, toutes les lignes de niveau de la développable
+situées dans des plans parallèles à~$(a)$ formeront les courbes de la première famille; on
+obtiendra de même les courbes de la seconde. Telle est l'intégrale avec deux fonctions arbitraires.}
+
+%% -----File: 201.png---Folio 195-------
+
+\Section{151.}
+{Une propriété générale des courbes de niveau.}
+
+Nous terminerons en observant que sur toutes les surfaces dont les lignes
+de niveau sont trajectoires les unes des autres, la forme variant, les conjuguées
+des courbes de niveau se correspondent toutes; on peut dire que ces
+conjuguées sont immobiles, et cela correspond à une propriété tout à fait
+générale: sur une surface arbitraire, en un même point les centres de courbure
+de la ligne de niveau et de toutes ses trajectoires sont sur une même
+droite perpendiculaire à la direction conjuguée de la courbe de niveau.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 202.png---Folio 196-------
+
+
+\Chapter{XVII.}
+{PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE DE LA CONGRUENCE ISOTROPE FORMÉE
+DES GÉNÉRATRICES DE QUADRIQUES HOMOFOCALES.}
+
+
+\Section{152.}
+{Si deux congruences incidente et réfléchie sont isotropes, la surface dirimante
+est une quadrique.}
+
+La théorie des congruences isotropes comprend, comme exemple particulièrement
+intéressant, celui d'une congruence formée des génératrices de
+quadriques homofocales. Nous allons établir que cette congruence jouit
+d'une propriété fondamentale.
+
+Cherchons s'il est possible de trouver une surface de référence et une congruence
+de droites, telles que les droites données et les droites réfléchies
+forment deux congruences isotropes.
+
+Considérons le réseau orthogonal $(u, v)$ tel que les droites $D$ de la congruence
+incidente soient toujours comprises dans le plan des $ZOX$, soit $i$
+l'angle d'incidence, on a pour l'équation de la surface élémentaire
+\[
+\tg \theta
+  = \frac{g\, dv + L\left[dv\left(\dfrac{dg}{f\, du} \sin i +  Q \cos i\right)
+                        - du\left(\dfrac{df}{g\, dv} \sin i + fD \cos i\right)\right]}
+         {f \cos i\, du + L\left[dv\left(\dfrac{di}{dv} - gD\right)
+                               + du\left(\dfrac{di}{du} +  P\right)\right]},
+\]
+%% -----File: 203.png---Folio 197-------
+on en déduit que la congruence des droites $D$ sera isotrope si
+\[
+gP - Qf \cos^2i + g\frac{di}{du} - \cos i \sin i \frac{dg}{du} = 0,
+\]
+avec
+\[
+2Dg - \frac{di}{dv} + \tg i \frac{df}{f\, dv} = 0.
+\]
+Si la congruence réfléchie est aussi isotrope, les deux équations qui précèdent
+doivent être indépendantes du signe de~$i$; on a donc $D = 0$. %[**O?].
+Ainsi
+le réseau $(u, v)$ est formé des lignes de courbure de la surface de référence.
+
+Posons $\frac{P}{f} = A$ et $\frac{Q}{g} = B$. On devra avoir
+\begin{gather*}
+A - B \cos^2i = 0, \\
+\frac{di}{du} = \cos i \sin i \frac{dg}{g\, du}, \\
+\frac{di}{dv} = \tg i \Reg{·}{} \frac{df}{f\, dv}.
+\end{gather*}
+
+On a l'équation de Codazzi
+\[
+\frac{df}{f\, dv}(A-B) + \frac{dA}{dv} = 0.
+\]
+
+De la troisième des équations de Codazzi on déduit
+\[
+-\frac{di}{dv} \tg i + \frac{dA}{A\, dv} = 0;
+\]
+d'où résulte, d'après ce qui précède,
+\begin{gather*}
+A \cos i = U_1, \\
+B = \frac{U_1}{\cos^3i};
+\end{gather*}
+%% -----File: 204.png---Folio 198-------
+et, par conséquent,
+\[
+\frac{A^3}{B} = U_1^2.
+\]
+
+D'un autre côté, on a
+\[
+\frac{dg}{g\, du} % [** PP: Typo dg/(g dn)]
+  = \frac{di}{du}\, \frac{1}{\cos i \sin i},
+\]
+avec l'équation de Codazzi:
+\[
+\frac{dg}{g\, du}(B-A) + \frac{dB}{du} = 0,
+\]
+on obtient
+\[
+\frac{di}{du}\, \frac{\sin i}{\cos i} + \frac{dB}{B\, du} = 0;
+\]
+d'où résulte
+\[
+B = V\cos i;
+\]
+ce qui entraîne, comme conséquence,
+\[
+\cos^4 i = \frac{U_1}{V};
+\]
+et, en définitive,
+\[
+\frac{B^3}{A} = V^2.
+\]
+
+Ainsi les quantités $\frac{A^3}{B}$ et $\frac{B^3}{A}$ sont respectivement des fonctions de~$U$ et
+de~$V$; d'après un beau résultat établi par M.~Ossian Bonnet, on sait que cette
+double condition caractérise des surfaces du second ordre\footnotemark.
+  \footnotetext{Voir page~113 du \Ord{XLII}{e}~cahier du \textit{Journal de l'École polytechnique}.}
+
+\Section{153.}
+{Les congruences isotropes incidente et réfléchie sont les génératrices
+d'une famille de quadriques homofocales.}
+
+Il n'est pas difficile de trouver maintenant ce que sont les rayons des congruences
+isotropes: on vérifie, en effet, immédiatement, que les traces principales
+%% -----File: 205.png---Folio 199-------
+des congruences isotropes, sur la surface de référence, coïncident
+avec les asymptotiques de celle-ci\footnotemark.
+  \footnotetext{La nécessité d'abréger nous fait supprimer ce calcul. De ce que les traces principales sont
+  les asymptotiques, il résulte, comme au \chapitre{XII}, que les plans isotropes tangents se coupent
+  suivant les rayons des congruences; et, le long d'une ligne de courbure de la surface dirimante,
+  ces droites se rangent suivant un hyperboloïde orthogonal à la quadrique.}
+
+\begin{Emph}
+\emph{Conséquemment on peut énoncer cette importante proposition}: Si une
+congruence, réfléchie sur une surface de référence, est isotrope avant et
+après la réflexion, \primo~la surface de référence est une quadrique; \secundo~les
+rayons de la congruence sont formés des génératrices des quadriques homofocales
+à la surface de référence et qui lui sont orthogonales.
+\end{Emph}
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 206.png---Folio 200-------
+
+
+\Chapter{XVIII.}
+{ÉLASSOÏDES ALGÉBRIQUES PASSANT PAR UN CERCLE.}
+
+\Section{154.}
+{Par un cercle déterminé on peut faire passer autant d'élassoïdes algébriques
+qu'on peut construire d'épicycloïdes ou d'hypocycloïdes algébriques.}
+
+
+D'après la théorie que nous avons donnée des contours conjugués, on sait
+comment doit s'aborder la recherche des élassoïdes passant par un contour
+plan.
+
+Une application de quelque élégance peut être faite dans le cas où le
+contour donné est un cercle. Le problème de la recherche de tous les
+élassoïdes passant par le cercle revient, comme nous l'avons montré, à la
+découverte de tous les contours conjugués au cercle. Chaque fois que les
+contours seront algébriques, les élassoïdes seront algébriques.
+
+Considérons la courbe, projection sur le plan du cercle, du contour
+conjugué; faisons correspondre par parallélisme des tangentes les points du
+cercle et de la projection. (Il suffira de tourner le cercle dans son plan,
+de $\frac{\pi}{2}$ pour que les éléments correspondants des deux courbes soient rectangulaires.)
+L'élément du cercle a pour valeur
+\[
+dS_c^2= a^2\,d\theta^2,
+\]
+l'élément de la courbe conjuguée a pour valeur
+\[
+dS_{c'}^{'2}= R^2\,d\theta^2+dZ^2,
+\]
+%% -----File: 207.png---Folio 201-------
+expression où $R$ désigne le rayon de courbure de la projection sur le plan
+du cercle et $Z$ la distance d'un point du contour au plan.
+
+Prenons, pour projection du contour indéterminé, l'épicycloïde ayant
+pour équation
+\[
+p=b\sin k\theta;
+\]
+dans ce cas
+\[
+R=b(1-k^2)\sin k\theta,
+\]
+et puisque les éléments des deux contours sont égaux, on obtient
+\[
+dZ=d\theta \sqrt{ a^2-b^2(1-k^2)^2 \sin^2 k\theta}.
+\]
+
+Pour que le contour soit algébrique, sa projection doit être algébrique et
+la valeur de $Z$ doit également être algébrique.
+
+En général $Z$ dépend des fonctions elliptiques, mais on peut toujours
+choisir $a$ de telle façon que
+\[
+a=b(1-K^2),
+\]
+et alors
+\[
+Z=\frac{a \sin k\theta}{K}.
+\]
+
+Dès lors, si la projection est algébrique, les élassoïdes conjugués, dont
+l'un passe par le cercle, seront algébriques.
+
+\begin{Emph}
+\emph{Mais la projection sera algébrique toutes les fois que le coefficient~$R$ sera
+un nombre commensurable; conséquemment:} par un cercle déterminé ou
+peut faire passer autant d'élassoïdes algébriques qu'on peut construire
+d'épicycloïdes ou d'hypocycloïdes algébriques.
+\end{Emph}
+
+Le contour conjugué est défini par les équations suivantes entre lesquelles
+il faut éliminer~$\theta$:
+\begin{gather*}
+x \cos\theta + y \sin\theta = b \sin k\theta,\\
+y \cos \theta-x \sin \theta = b k \cos k\theta,\\
+Z=\frac{b(1-K^2)}{K} \sin k\theta;
+\end{gather*}
+on en déduit immédiatement l'équation
+\[
+x^2+y^2=b^2K^2+z^2 \frac{K^2}{1-K^2},
+\]
+qui représente une quadrique de révolution.
+
+%% -----File: 208.png---Folio 202-------
+
+Si l'on désigne par~$R$ le rayon du cercle de base d'une hypocycloïde et
+par~$r$ celui du cercle roulant, l'équation précédente peut s'écrire
+\[
+\frac{x^2}{R^2}+\frac{y^2}{R^2}-\frac{z^2}{4r(r-R)}=1.
+\]
+
+Dans le cas des épicycloïdes, il suffirait de changer le signe de~$r$.
+
+Le rayon du cercle conjugué au contour est
+\[
+a=\frac{4r(r-R)}{R-2r}.
+\]
+
+Nous réservons l'étude détaillée des élassoïdes intéressants dont nous
+venons d'établir l'existence.
+
+\Section{155.}
+{Congruence déduite du réseau isométrique sphérique formé
+de coniques homofocales.}
+
+De toutes les congruences isotropes, la plus remarquable est celle que
+l'on déduit de la considération des quadriques homofocales. Il y a lieu de
+traiter différemment le cas des quadriques à centre et celui des paraboloïdes
+homofocaux. Dans ce chapitre, nous ne nous occuperons que du
+premier cas.
+
+On sait que le plan tangent au cône asymptote d'un hyperboloïde coupe
+cette surface suivant deux génératrices parallèles à la génératrice suivant
+laquelle le cône asymptote est touché par le plan tangent. Conséquemment
+les cônes asymptotes de tous les hyperboloïdes homofocaux découpent, sur
+une sphère de rayon unité, ayant leur sommet commun pour centre, une
+famille de coniques sphériques orthogonales formant un réseau isométrique.
+
+On voit que tous les élassoïdes groupés déduits de ce réseau isométrique
+sphérique seront algébriques; l'une des congruences (et elle sera double) sera
+formée des génératrices des quadriques homofocales; la congruence conjuguée
+s'obtiendra en portant sur les tangentes aux courbes du réseau des
+%% -----File: 209.png---Folio 203-------
+longueurs égales aux valeurs du coefficient~$\lambda$ de l'élément linéaire; cette
+longueur portée tangentiellement aux coniques intersections avec la sphère
+des cônes asymptotes des hyperboloïdes à une nappe, donnerait le pied des
+rayons de la congruence formée par les génératrices des hyperboloïdes
+homofocaux; portée à angle droit et tangentiellement aux coniques du
+réseau, intersection de la sphère et des cônes asymptotes des hyperboloïdes
+à une nappe, homofocaux, elle déterminera le pied de génératrices d'hyperboloïdes
+encore homofocaux aux premiers. On obtiendra donc les deux
+congruences conjuguées en considérant les génératrices des quadriques
+\[
+\frac{x^2}{a^2-\lambda} + \frac{y^2}{b^2-\lambda} + \frac{z^2}{c^2-\lambda} = 1.
+\]
+
+
+\Section{156.}
+{Les élassoïdes conjugués coïncident.}
+
+Ainsi, les deux élassoïdes conjugués ont même nature, même degré,
+même classe. Ils forment la même surface.
+
+Désignant par $u$ et~$v$ les paramètres des coniques homofocales sphériques,
+on trouve pour l'élément linéaire de la sphère en fonction des éléments du
+réseau $(u, v)$, la sphère ayant pour rayon~$R$
+\[
+\frac{4\, dS^2}{R^2}
+  = \frac{(u-v)\, du^2}{(a^2-u)(b^2-u)(c^2-u)}
+  + \frac{(v-u)\, dv^2}{(a^2-v)(b^2-v)(c^2-v)}.
+\]
+
+Les coordonnées d'un point de l'image sphérique sont définies par le
+système
+\begin{align*}
+x_0 &= R \sqrt{\frac{(a^2-u)(a^2-v)}{(b^2-a^2)(c^2-a^2)}}, \\
+y_0 &= R \sqrt{\frac{(b^2-u)(b^2-v)}{(c^2-b^2)(a^2-b^2)}}, \\
+z_0 &= R \sqrt{\frac{(c^2-u)(c^2-v)}{(a^2-c^2)(b^2-c^2)}}.
+\end{align*}
+
+%% -----File: 210.png---Folio 204-------
+
+\Section{157.}
+{Valeur du paramètre de la congruence isotrope.}
+
+Par des calculs dont nous supprimons le détail on trouve que sur l'hyperboloïde
+$(u)$ le paramètre des génératrices de la quadrique $(u)$ a pour valeur
+\[
+p = i \frac{\sqrt{(a^2-u)(b^2-u)(c^2-u)}}{(u-v)}.
+\]
+
+Quant à la distance de la génératrice et de sa parallèle menée par le centre
+de la sphère, on trouve
+\[
+L = \sqrt{v-u}.
+\]
+
+Rien n'est plus simple que d'établir l'équation du plan tangent à l'un des
+élassoïdes groupés, on a
+\begin{multline*}
+\sum \sqrt{\frac{(a^2-u)(a^2-v)}{(b^2-a^2)(c^2-a^2)}} X \\
+  = m \frac{\sqrt{(a^2-u)(b^2-u)(c^2-u)}}{(u-v)}
+  + n \frac{\sqrt{(a^2-v)(b^2-v)(c^2-v)}}{(v-u)},
+\end{multline*}
+où $\sum$ s'applique à trois termes permutés et où $m$ et~$n$ sont des constantes
+arbitraires dont l'annulation donne lieu aux deux élassoïdes moyen et
+conjugué ou, plus exactement, aux deux nappes de l'élassoïde unique.
+
+
+\Section{158.}
+{Discussion de l'élassoïde.}
+
+Les coordonnées d'un point de l'élassoïde stratifié sont données par trois
+formules symétriques de la suivante\footnote
+  {L'élassoïde moyen s'obtiendrait en faisant $m=1$, $n=0$, l'élassoïde conjugué en faisant $m=0$,
+   $n=1$, un couple arbitraire de valeur de~$m$ et~$n$ correspond à un élassoïde stratifié arbitraire.}
+\begin{gather*}% [** PP: Re-breaking, adding ×]
+X \sqrt{(b^2-a^2)(c^2-a^2)} \\
+= \frac{1}{(v-u)^3}
+\left\{
+\begin{aligned}
+ m & \begin{aligned}
+     &\sqrt{(a^2-v)(b^2-u)(c^2-u)} \\
+     &×\bigl[3(a^2-u)(b^2-v)(c^2-v) + (a^2-v)(b^2-u)(c^2-u)\bigr]
+     \end{aligned} \\[2ex]
+-n & \begin{aligned}
+     &\sqrt{(a^2-u)(b^2-v)(c^2-v)} \\
+     &×\bigl[3(a^2-v)(b^2-u)(c^2-u) + (a^2-u)(b^2-v)(c^2-v)\bigr]
+      \end{aligned}
+\end{aligned}\right\},
+\end{gather*}
+%% -----File: 211.png---Folio 205-------
+les valeurs des deux autres coordonnées s'obtenant par permutation circulaire.
+
+On vérifie sans difficulté sur ces formules que les élassoïdes principaux
+sont coupés par les plans coordonnés suivant les développées des coniques
+focales du réseau de quadrique; ces courbes sont des géodésiques de la
+surface. Les axes de coordonnées appartiennent aussi au lieu comme lignes
+multiples; mais on sait qu'il n'y a que des segments de ces axes qui soient
+situés sur des nappes réelles; on obtiendra les points limites de ces segments
+en portant sur un axe à partir du centre des longueurs égales aux rayons
+de courbure limites de la conique focale située dans un plan de symétrie
+perpendiculaire et appartenant au système conjugué.
+
+On sait que les plans de symétrie coupent encore l'élassoïde moyen suivant
+des lignes doubles dont on construira les points \emph{en prenant les points milieux
+des droites joignant les centres des cercles de courbure de même rayon,
+d'une conique focale}.
+
+La classe de l'élassoïde moyen est $12$ et son degré~$66$.
+
+Si l'on considère un des hyperboloïdes homofocaux, tous les plans moyens
+correspondants enveloppent une développable de quatrième classe.
+
+Dans le cas où l'on considère au lieu d'hyperboloïdes des paraboloïdes
+homofocaux, on voit directement en considérant les droites de l'élassoïde
+situées dans le plan de l'infini que la classe est $5$ et le degré~$15$\footnotemark.
+  \footnotetext{La considération de la développable imaginaire double circonscrite à toutes les quadriques
+  homofocales, surface complétement étudiée et connue dans ses plus grands détails, permet de
+  traiter géométriquement et du premier coup tout ce qui a trait au degré et à la classe de ces
+  élassoïdes.}
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 212.png---Folio 206-------
+
+
+\Chapter{XIX.}
+{ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES DÉRIVÉS DES PARABOLOÏDES HOMOFOCAUX.}
+
+
+\Section{159.}
+{Calcul des coordonnées de l'élassoïde moyen en fonction
+de deux paramètres.}
+
+L'extrême complication des élassoïdes dérivés des quadriques homofocales
+à centre conduit à examiner plus en détail le cas particulier qui a trait aux
+paraboloïdes homofocaux: nous étudierons les propriétés de l'élassoïde moyen
+et de son conjugué, car ici les deux nappes se séparent.
+
+Rappelons que la recherche des lignes de courbure dépend des fonctions
+elliptiques; nous l'avons déjà établi en dérivant des élassoïdes du plan;
+nous n'y reviendrons plus.
+
+L'équation la plus générale des paraboloïdes homofocaux rapportés à leurs
+plans principaux (l'origine étant au milieu du segment focal) est
+\[
+\frac{y^2}{\sin^2\varphi} - \frac{z^2}{\cos^2\varphi} = 8h(x-h \cos 2\varphi).
+\]
+
+Il en résulte que les équations d'une génératrice peuvent s'écrire
+\begin{align*}
+y &= \frac{\sin\varphi}{\lambda} x
+   - \frac{h \sin\varphi}{\lambda} (-2\lambda^2 + \cos 2\varphi), \\
+z &= \frac{\cos\varphi}{\lambda} x
+   - \frac{h \cos\varphi}{\lambda} (2\lambda^2 + \cos 2\varphi);
+\end{align*}
+%% -----File: 213.png---Folio 207-------
+l'équation de la ligne de striction est
+\[
+y \cos^3\varphi + z \sin^3\varphi = 0.
+\]
+
+Dès lors, on trouve pour les coordonnées du point central
+\begin{align*}
+x' &= h \cos2\varphi(1 - 2\lambda^2), \\
+y' &= 4h\lambda \sin^3\varphi, \\
+z' &= 4h\lambda \cos^3\varphi. %[** . added]
+\end{align*}
+
+En conséquence l'équation du plan moyen est
+\[
+\lambda x + y \sin\varphi + z \cos\varphi
+  + \lambda h \cos2\varphi (3 + 2\lambda^2) = 0;
+\]
+on en déduit pour les coordonnées du point de contact du plan moyen et de
+l'élassoïde
+\begin{align*}
+X &= -3h \cos2\varphi (1 + 2\lambda^2), \\
+Y &= 2\lambda h \sin \varphi [\cos 2\varphi (4\lambda^2 + 3) + (2\lambda^2 + 3)], \\
+Z &= 2\lambda h \cos \varphi [\cos 2\varphi (4\lambda^2 + 3) - (2\lambda^2 + 3)].
+\end{align*}
+
+
+\Section{160.}
+{Calcul des coordonnées de l'élassoïde conjugué.}
+
+Nous trouvons pour le paramètre de distribution
+\[
+P = -2h \sin 2\varphi (1 + \lambda^2).
+\]
+
+L'équation du plan tangent à l'élassoïde conjugué est
+\[
+\lambda X + Y \sin\varphi + Z \cos\varphi
+  = 2h \sin^2\varphi (1 + \lambda^2)^{\frac{3}{2}}.
+\]
+
+Les coordonnées de l'élassoïde sont définies par les équations
+\begin{align*}
+X' &= 6h \sin 2\varphi\lambda (1 + \lambda^2)^{\frac{1}{2}}, \\
+Y' &= 4h \cos \varphi(1 + \lambda^2)^{\frac{1}{2}}
+      \bigl[\cos^2\varphi + \lambda^2(\cos^2\varphi - 3\sin^2\varphi)\bigr], \\
+Z' &= 4h \sin \varphi(1 + \lambda^2)^{\frac{1}{2}}
+      \bigl[\sin^2\varphi + \lambda^2(\sin^2\varphi - 3\cos^2\varphi)\bigr].
+\end{align*}
+
+%% -----File: 214.png---Folio 208-------
+
+\Section{161.}
+{Classe de l'élassoïde moyen et des élassoïdes stratifiés.}
+
+Cherchons la classe de l'élassoïde central: nous trouvons pour l'équation
+de la surface polaire réciproque par rapport à une sphère du rayon~$h$, ayant
+son centre à l'origine:
+\[
+X(Z^2 - Y^2) [3(Y^2 + Z^2) + 2X^2] = h(Y^2 + Z^2)^2.
+\]
+
+\emph{L'élassoïde est donc de cinquième classe.}
+
+Nous trouvons de même, pour la polaire réciproque de l'élassoïde conjugué,
+l'équation
+\[
+Y^2 Z^2 (X^2 + Y^2 + Z^2)^3 = h^2(Y^2 + Z^2)^4.
+\]
+
+\emph{L'élassoïde conjugué est de dixième classe.}
+
+On trouve avec la même facilité l'équation de la polaire réciproque d'un
+des élassoïdes stratifiés quelconque
+\[
+\bigl[h(Y^2 + Z^2)^2 - mX(Z^2 - Y^2)[3(Y^2 + Z^2) + 2X^2]\bigr]^2
+  - 4n^2 Y^2 Z^2(X^2 + Y^2 + Z^2)^3;
+\]
+on voit que leur classe n'est jamais supérieure à \emph{dix}.
+
+
+\Section{162.}
+{Le degré de l'élassoïde central est~$15$. Considération de la section par le plan
+de l'infini et de la section par le plan des~$XY$.}
+
+La développable isotrope unique touchant chacun des paraboloïdes homofocaux
+a son arête de rebroussement du sixième ordre; l'intersection de
+l'élassoïde moyen et du plan de l'infini doit donc être composée de $\frac{6(6-1)}{2}$
+droites; conséquemment la surface doit être du quinzième degré. On le
+%% -----File: 215.png---Folio 209-------
+vérifie bien facilement comme il suit: cherchons l'intersection par le plan
+des~$XY$; il y a trois cas à examiner:
+
+\primo~$\lambda= 0$, alors $Y$ est nul et
+\[
+X = -3h(\cos^2 \varphi - \sin^2\varphi),
+\]
+le plan tangent, tout le long de l'axe des~$X$, qui forme ligne multiple, est
+défini par l'équation
+\[
+Y \sin\varphi + Z \cos\varphi = 0,
+\]
+le point de contact a pour abscisse
+\[
+X_0 = -3h \frac{1 - \tg^2\varphi}{1 + \tg^2\varphi};
+\]
+on voit qu'à chaque valeur de~$X_0$ % [**** X_O?]
+correspondent deux valeurs de $\tg\varphi$ et par
+conséquent deux plans tangents. L'axe des~$X$ est donc \emph{ligne double}.
+
+\secundo~$\cos \varphi = 0$. Le plan tangent a son équation de la forme
+\[
+\lambda X ± Y - \lambda h(3 + 2\lambda^2) = 0;
+\]
+il est parallèle à l'axe des $Z$ tout le long de la section qui est ligne simple;
+son équation est
+\[
+\left(\frac{X-3h}{6h}\right)^3 = \frac{Y^2}{16h^2},
+\]
+\emph{c'est la développée de la parabole focale contenue dans le plan des~$XY$};
+\begin{flalign*}
+&\text{\indent\tertio}&&
+3\sin^2\varphi(1 + \lambda^2) - \cos^2\varphi\lambda^2 = 0.\qquad &&
+\end{flalign*}
+
+La ligne correspondante est double, les plans tangents en un de ses points
+sont définis par l'équation
+\[
+\cos V = \frac{\cos\varphi}{\sqrt{1 + \lambda^2}}.
+\]
+
+%% -----File: 216.png---Folio 210-------
+
+Effectuant l'élimination on trouve pour l'équation de la courbe double
+\begin{align*}% [** PP: Re-breaking]
+-24 x^3 y^2 &+ 3h(2^6 x^4 - 2^3·3x^2 y^2 - 3^2·y^4) \\
+  &+ 3^2·2^3h^2x(3y^2 + 2^2·5·y^2) + 2^4·3^2h^3(3x^2 + y^2)=0;
+\end{align*}
+\emph{elle est du cinquième ordre et doit être comptée pour dix unités}.
+
+Additionnant les degrés des courbes d'intersection, on trouve bien $15$
+pour le degré de la surface.
+
+
+\Section{163.}
+{La section de l'élassoïde par le plan des $ZY$ se compose de deux droites triples
+et d'une ligne de courbure imaginaire qui est une hypocycloïde à quatre
+rebroussements.}
+
+Si l'on cherche la section de la surface par le plan des $ZY$ on trouve
+\primo~comme \emph{droites triples} les bissectrices des angles des axes; \secundo~en rapportant
+la section à ces lignes triples, on trouve pour l'équation du complément
+\[
+2 = \left(-\frac{z'^2}{h^2}\right)^{\frac{1}{3}} % [** PP: Exponent indistinct, typo 5?]
+  + \left(-\frac{y'^2}{h^2}\right)^{\frac{1}{3}},
+\]
+ce qui dénote une hypocycloïde imaginaire à quatre rebroussements. Tout le
+long de cette courbe le plan tangent à la surface est défini par la relation
+\[
+\cos V = \frac{i}{\sqrt{3}},
+\]
+\emph{c'est donc une ligne de courbure imaginaire}.
+
+\tertio~La droite de l'infini appartient tout entière au lieu. On vérifie sans difficulté
+que la section de la surface par le plan de l'infini se compose de cette
+droite \emph{nonuple} et des deux tangentes à l'ombilicale (comptées \emph{triples}) menées
+aux ombilics du plan~$ZY$.
+
+%% -----File: 217.png---Folio 211-------
+
+\Section{164.}
+{L'élassoïde est inscrit dans un cône de révolution ayant son sommet à l'origine.}
+
+Si l'on cherche l'équation du cône circonscrit à la surface et ayant son
+sommet à l'origine, on trouve le \emph{cône de révolution}
+\[
+\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}} (Y^2 + Z^2) = X^2,
+\]
+dont la courbe de contact est définie par l'équation
+\[
+\frac{X^5}{6h} + \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}} (Z^2 - Y^2) = 0.
+\]
+
+
+\Section{165.}
+{Les courbes de l'élassoïde correspondant aux paraboloïdes homofocaux sont
+de quatrième ordre et de deuxième espèce, leurs trajectoires orthogonales
+sont du sixième ordre.}
+
+Les lignes les plus simples que l'on puisse tracer sur l'élassoïde moyen
+sont celles qui correspondent à chacun des paraboloïdes homofocaux; ce
+sont les courbes de contact de cylindres dont les génératrices sont perpendiculaires
+aux divers plans directeurs des paraboloïdes. Tous ces plans
+directeurs sont parallèles à l'axe des~$X$, et si l'on mène les plans parallèles
+passant par cet axe ils couperont les cylindres circonscrits suivant les développées
+des paraboles, projections des lignes de striction.
+
+Prenant toujours pour origine et pour axe des $X$ les mêmes données,
+mais pour plan des $XY$ le plan directeur correspondant à une valeur donnée
+de $\varphi=\frac{\omega}{2}$, nous trouvons pour équation de la ligne de contact
+\begin{gather*}
+2h^2 \cos^2 \omega y^2 + (x + 3h \cos\omega)^3 = 0, \\
+\frac{2}{y} = \tg\omega \frac{6h \cos\omega - x}{3h \cos\omega + x}.
+\end{gather*}
+
+%% -----File: 218.png---Folio 212-------
+
+Ces deux surfaces ont pour intersection la génératrice représentée par
+\[
+x = -3h \cos\omega,\quad y = 0,
+\]
+et la courbe de contact proprement dite, qui est du quatrième ordre, à point
+de rebroussement, et de deuxième espèce.
+
+Sur la surface, ces courbes forment une famille dont les trajectoires orthogonales
+sont des courbes du sixième ordre tracées sur des quadriques de
+révolution.
+
+
+\Section{166.}
+{Lignes de l'élassoïde conjugué correspondant aux paraboloïdes homofocaux:
+courbes de contact de cylindres dont la section droite, du sixième ordre, est
+la développée d'une courbe du sixième ordre.}
+
+Il convient maintenant d'étudier l'élassoïde conjugué. Commençons par
+chercher, dans le dernier système d'axes, les courbes correspondant aux
+paraboloïdes homofocaux successifs. Posons, pour plus de commodité,
+\[
+\lambda = \cot\mu. % [** PP: cotg in original]
+\]
+
+L'équation du plan tangent à l'élassoïde conjugué devient
+\[
+x \cos\mu + y \sin\mu = \frac{h \sin\omega}{2\sin^2\mu}.
+\]
+
+On vérifie (comme l'indiquait déjà la théorie générale) que la développable
+correspondant à une valeur de~$\omega$ est un cylindre; on sait que sa section
+droite doit être la développée d'une courbe algébrique. Il suffira de le
+démontrer pour le cas où $\omega$ sera égal à~$\frac{\pi}{2}$.
+
+Les coordonnées du point de tangence sont
+\[
+x = \frac{5h}{2}\, \frac{\cos\mu}{\sin^2\mu},\quad % y[**looks more like eta, but (x,y) on rest of page]
+y = \frac{h}{2}\,  \frac{(\sin^2\mu - 2\cos^2\mu)}{\sin^3\mu},
+\]
+%% -----File: 219.png---Folio 213-------
+mais, d'après la théorie générale, le rayon de courbure de la développante
+cherchée est
+\[
+R = \frac{h}{2} \cos\mu \frac{3\sin^2\mu + 2\cos^2\mu}{\sin^3\mu};
+\]
+on en déduit sans peine que la développante est l'enveloppe de la droite
+ayant pour équation
+\[
+-x \sin\mu + y \cos\mu = \frac{h}{2} \cot \mu.
+\]
+
+On en peut donner la définition suivante: c'est l'\emph{enveloppe d'un côté d'un
+angle droit dont l'autre côté touche le cercle de rayon~$\frac{h}{2}$ et dont le sommet
+décrit un diamètre du cercle}.
+
+On peut définir l'élassoïde conjugué comme admettant pour géodésique la
+développée de la courbe précédente; celle-ci a pour équation cartésienne
+\[
+x^2(8a^2 + y^2)^2 = [4x^2 + 3(y^2 - a^2)][(y^2 - a^2)^2 - 12a^2 x^2],
+\]
+et sa développée
+\[
+\frac{2^4}{3^4}\, \frac{x^6}{a^4}
+  - \frac{4}{3}\, \frac{x^2}{a^2} (2x^2 + 9y^2)
+  - \frac{9y^2}{a^2} + 9(x^2 + y^2) = 0,
+\]
+elles sont toutes deux \emph{du sixième ordre}.
+
+
+\Section{167.}
+{Équation de la courbe de contact des cylindres dérivant des paraboloïdes
+homofocaux lorsqu'on les a étendus sur un plan {\upshape(}sixième ordre{\upshape)}.}
+
+Pour compléter l'étude des courbes des deux élassoïdes correspondant aux
+paraboloïdes, il convient de chercher ce qu'elles deviennent lorsqu'on aplatit
+les cylindres circonscrits sur un plan. On sait d'après la théorie générale
+que dans ce cas la courbe de contact se transforme \emph{en une seule courbe algébrique};
+elle a pour équation
+\begin{align*}% [** PP: Re-breaking]
+0 &= \frac{4^3}{3^3·h^4} %[**5^3?]
+  \left(\frac{z^2}{\cos^2\omega} - \frac{R^2}{\sin^2\omega} - h^2\right)^3 \\
+  &\quad+ \frac{4^2}{3·h^2}
+  \left(\frac{z^2}{\cos^2\omega} - \frac{R^2}{\sin^2\omega} - h^2\right)^2
+  + 3
+  \left(\frac{z^2}{\cos^2\omega} - \frac{4}{3}\,\frac{R^2}{\sin^2\omega} - 1\right),
+\end{align*}
+%% -----File: 220.png---Folio 214-------
+$Z$ et~$R$ étant les deux coordonnées; \emph{la courbe est donc du sixième degré}.
+
+Pour déterminer le degré de l'élassoïde conjugué, il convient de chercher
+sa section par le plan des $XY$ qui est un plan de symétrie.
+
+
+\Section{168.}
+{Degré de l'élassoïde conjugué {\upshape(26)}.}
+
+\primo\quad$\sin\varphi = 0$ l'axe des~$y$ \emph{sextuple} appartient au lieu, quatre nappes sont
+imaginaires, deux sont réelles aux points tels que
+\[
+y^2 > h^2.
+\]
+\begin{flalign*}
+&\text{\indent\secundo} &&
+(1 + \lambda^2)\sin^2\varphi - 3\lambda^2 \cos^2\varphi = 0.\qquad &&
+\end{flalign*}
+
+La courbe est double; remplaçant $\lambda^2$ par~$\omega$, l'équation s'obtiendra en éliminant
+$\omega$ entre les relations
+\begin{gather*}
+\omega^2 + \omega \left(1 ± \frac{4}{3^\frac{3}{2}}\, \frac{x}{h}\right) ± \frac{x}{3^\frac{3}{2} h} = 0, \\
+\omega \frac{3^\frac{3}{2} y^2}{hx} + (1 + \omega)(1 - 2\omega)^2 = 0,
+\end{gather*}
+on trouve deux courbes distinctes suivant le signe donné à~$x$; elles sont du
+cinquième degré et ont pour équation
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking]
+2 \frac{y^4}{h} + 3h\left(1 - 16 \frac{x'^2}{h^2}\right) \\
+  \qquad= 2 · 3^2 hx'^2 \left(1 + 4 \frac{x'}{h}\right)^2
+  + y^2 \left[\left(1 + \frac{6x'}{h}\right)2 % [**** F1: Coefficient at end?]
+              - x'\left(1 + \frac{8x'}{h}\right) \left(2^3 \frac{x'}{h} + 5\right)\right],
+\end{multline*}
+où l'on a posé
+\[
+±x = x' 3^\frac{3}{2}\footnotemark.
+\]
+  \footnotetext{Il existe deux autres plans (à $45°$ sur les premiers) qui sont plans de symétrie, qui coupent
+par conséquent l'élassoïde suivant une ligne double laquelle se décompose en deux lignes
+du cinquième degré. La section par le plan des $ZY$ comprend comme ligne de courbure une
+hypocycloïde à quatre rebroussements.}
+
+On en conclut que le degré est~$26$.
+
+%% -----File: 221.png---Folio 215-------
+
+\Section{169.}
+{Formation d'un réseau isométrique sphérique composé de biquadratiques,
+comme application de la théorie générale.}
+
+On sait que les génératrices des paraboloïdes homofocaux peuvent être
+considérées comme les rayons d'une congruence isotrope dérivée d'un certain
+réseau isométrique tracé sur la sphère, réseau qui variera par conséquent
+avec la position du centre de la sphère; cherchons en particulier ce qu'il
+est dans le cas où la sphère a pour centre le point milieu du segment focal.
+
+Nous trouvons pour intégrales des lignes du réseau
+\begin{align*}
+\frac{\sin 2\omega}{\cos 2\varphi} &= ai, \\
+\frac{\sin 2\varphi}{\cos 2\omega} &= b,
+\end{align*}
+où $a$ et~$b$ sont les constantes caractéristiques de ces lignes. En coordonnées
+cartésiennes, on trouve
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+a &= \frac{2RX}{Y^2 - Z^2}, \\
+b &= \frac{2YZ}{2X^2 + Y^2 + Z^2}
+\end{aligned}\ \right\}
+\text{ avec}\quad R^2 = X^2 + Y^2 + Z^2;
+\]
+\emph{ce sont donc des biquadratiques}.
+
+Si l'on cherche l'expression du quarré de l'élément linéaire de la sphère,
+on trouve
+\[
+\frac{dS^2}{R^2}
+  = \frac{1}{2}\, \frac{(1 + a^2)(1 + b^2)}
+                       {1 + a^2 b^2 + \sqrt{(1 + a^2)(1 + a^2 b^2)}}
+  \left[\frac{da^2}{(1 + a^2)^2} + \frac{db^2}{(1 - b^2)^2}\right], % [** PP: . -> ,]
+\]
+ainsi se vérifie cette conséquence de la théorie générale, que le réseau est
+orthogonal et isométrique.
+
+Voilà bien assez de détails au sujet des élassoïdes dérivés des paraboloïdes
+homofocaux.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 222.png---Folio 216-------
+
+
+\Chapter{XX.}
+{ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES APPLICABLES SUR DES SURFACES DE RÉVOLUTION\footnotemark.}
+
+\footnotetext{Ce chapitre est le résumé d'une étude entreprise par M.~Rouquet sur ma demande.}
+
+
+\Section{170.}
+{Les géodésiques principales, et leurs trajectoires orthogonales, sur des élassoïdes
+applicables sur des surfaces de révolution ont pour image sphérique
+un réseau orthogonal formé de grands cercles et de petits cercles.}
+
+Bour a montré qu'il existe une famille d'élassoïdes applicables sur des surfaces
+de révolution; nous terminerons cette étude des élassoïdes par une
+étude de ces surfaces remarquables dont un grand nombre sont algébriques,
+sur lesquelles on peut intégrer l'équation des lignes de courbure et de leurs
+trajectoires, et dont (par définition) les géodésiques s'obtiennent par de
+simples quadratures.
+
+Rappelons rapidement les propriétés fondamentales de ces surfaces. Tout
+réseau orthogonal d'un élassoïde a pour image sphérique un réseau orthogonal.
+Soient $A$, $B$ les courbures normales des courbes transformées, sur
+l'élassoïde, des méridiens et des parallèles des surfaces de révolution, $D$~le
+paramètre de déviation, l'élément linéaire de l'élassoïde et celui de la sphère
+sont
+\begin{align*}
+dS^2  &= f^2\, du^2 + g^2\, dv^2, \\
+dS'^2 &= (A^2 + D^2)(f^2\, du^2 + g^2\, dv^2).
+\end{align*}
+
+$A$ et~$B$ sont égaux et de signe contraire, mais les lignes $(v)$ et~$(u)$ étant
+sur l'élassoïde des géodésiques et des cercles géodésiques, $f$ et~$g$ sont des
+%% -----File: 223.png---Folio 217-------
+fonctions de~$u$ seule. D'un autre côté, la troisième équation de Codazzi,
+appliquée au réseau $(u, v)$ de l'élassoïde, donne
+\[
+fg(A^2 + D^2) = \frac{d}{du} \left(\frac{dg}{f\, du}\right),
+\]
+par conséquent $A^2 + D^2$ qui est fonction de~$g$ et de~$f$ est une simple fonction
+de~$u$. Ceci démontre que sur la sphère les coefficients du quarré de l'élément
+linéaire sont tous deux fonction de~$u$ seule. Dès lors \emph{les lignes~$v$ sont des
+géodésiques et par conséquent des grands cercles; les lignes~$u$ sont des cercles
+géodésiques et par conséquent des petits cercles}.
+
+On sait qu'un semblable réseau ne peut être composé que de grands
+cercles ayant un diamètre commun et de petits cercles ayant pour pôles
+les extrémités de ce diamètre.
+
+En conséquence le carré de l'élément linéaire de la sphère se mettra sous
+la forme la plus simple
+\[
+dS'^2 = du^2 + \sin^2 u\Reg{·}{\,} dv^2.
+\]
+Nous prendrons pour surface de référence la sphère rapportée à ce réseau
+particulier. Désignons par~$t$ la distance du centre de la sphère (de rayon
+unité) au plan tangent de l'élassoïde; posant
+\begin{align*}
+M  &= \frac{d^2 t}{du^2} + t, \\
+M' &= \frac{1}{\sin u}\Reg{·}{\,} \frac{d^2 t}{dv^2}
+    + \cos u\, \frac{dt}{du} + t \sin u, \\
+N  &= \frac{d^2 t}{du\, dv} - \cot u\, \frac{dt}{dv},
+\end{align*}
+on trouve pour l'élément linéaire de la surface-enveloppe du plan~$t$, par les
+calculs de périmorphie
+\[
+dS^2 = \left(M^2  + \frac{N^2}{\sin^2 u}\right) du^2
+     + (M'^2 + N^2)\, dv^2
+     + 2N \left(\frac{M'}{\sin u} + M\right)\, du\, dv.
+\]
+
+La surface est élassoïde si le réseau $(u, v)$ correspondant au réseau sphérique
+est orthogonal et n'est pas celui des lignes de courbure (ce qui élimine
+l'hypothèse de $N = O$). % [**** F1: 0 -> O]
+
+%% -----File: 224.png---Folio 218-------
+
+Conséquemment nous devrons avoir
+\[
+M'=-M \sin u,
+\]
+et pour que l'élassoïde soit applicable sur une surface de révolution (nous
+désignerons par~$(\varepsilon_r)$ les élassoïdes de cette nature) il faut et il suffit que
+$\left(M^2+\frac{N^2}{\sin^2 u}\right)$ soit une simple fonction de~$u$.
+
+\Section{171.}
+{Équation générale des cylindres circonscrits le long des géodésiques
+principales des élassoïdes~$(\varepsilon_r)$.}
+
+Nous poserons donc
+\[
+M = U \cos V, \quad \frac{N}{\sin u} = U \sin V;
+\]
+on démontre que $V$ est une simple fonction de~$v$. Par des calculs dont nous
+supprimons le détail, on trouve
+\[
+t= \frac{a}{m(m^2-1)}\cot^m \frac{u}{2} (m-\cos u) \cos m (v+v_0) + \sin u(V_1+U_2),
+\]
+où l'on a posé
+\[
+V_1=b \cos v + b'\sin v, \quad U_2=c \cot u.
+\]
+
+Les constantes $b$, $b'$, $c$ n'ont d'influence que sur la position de la surface
+et~$a$ sur son échelle de grandeur. La constante~$v_0$ influe seulement sur
+l'orientation de la surface; la constante~$m$ est donc la seule à considérer et
+toutes les autres peuvent être annulées sans inconvénient; on aura donc
+\[
+t=\frac{a}{ m(m^2-1)} \cot^m \frac{u}{2}(m-\cos u) \cos mv.
+\]
+
+\begin{Emph}
+L'élassoïde $(\varepsilon_r)$ est l'enveloppe de cylindres semblables entre eux dont les
+courbes de contact sont des géodésiques de l'élassoïde.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 225.png---Folio 219-------
+
+\Section{172.}
+{Forme des élassoïdes $(\varepsilon_r)$.}
+
+L'élassoïde est composé de nappes identiques dont une entière s'obtient
+en faisant varier~$u$ de~$0$ à~$\pi$ et~$v$ de~$0$ à~$\frac{2\pi}{m}$.
+
+La surface entière s'obtiendra en faisant tourner cette nappe de l'angle~$\frac{2\pi}{m}$
+indéfiniment. Si~$m$ est un nombre entier on retrouvera la nappe primitive,
+après $m$ rotations; si~$m$ est un nombre fractionnaire~$\frac{p}{q}$, $p$ rotations seront
+nécessaires pour retrouver la première nappe $\left(\frac{p}{q}\text{ étant supposée irréductible}\right)$.
+
+De ce que $t$ ne change pas quand on change $v$ en~$\frac{2\pi}{m}-v$, il résulte que
+chaque nappe admet un plan de symétrie.
+
+Les élassoïdes $(\varepsilon_r)$, algébriques, correspondent aux valeurs commensurables
+de~$m$.
+
+\Section{173.}
+{Rectification des géodésiques principales. Lignes de courbure.}
+
+Les lignes~$(v)$ de l'élassoïde ont pour longueur
+\[
+S_v=\frac{a}{m^2-1}\frac{\cot^m \dfrac{u}{2}(m-\cos u)}{\sin u}.
+\]
+
+\begin{Emph}
+\emph{Si l'on cherche l'équation des lignes de courbure, on trouve, pour l'angle
+qu'elles font avec la ligne~$(v)$,
+\[
+\varphi=k\frac{\pi}{2}+\frac{mv}{2};
+\]
+mais l'angle~$mv$ est celui que fait la ligne~$(v)$ de l'élassoïde avec son image
+sphérique, conséquemment:} En un point d'un élassoïde~$(\varepsilon_r)$ les directions des
+lignes de courbure sont les bissectrices des angles que forment les directions
+de la ligne~$(v)$ passant en ce point et de son image sphérique; ces angles croissent
+proportionnellement au module~$m$ et au paramètre~$v$. Une même ligne~$(v)$
+coupe sous un angle constant les lignes de courbure de la surface.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 226.png---Folio 220-------
+
+Les équations des lignes de courbure sont
+\begin{gather*}
+\cot \frac{mu}{2} · \sin^2 \frac{mv}{2} = h^2, \\
+\cot \frac{mu}{2} · \cos^2 \frac{mv}{2} = k^2,
+\end{gather*}
+où~$h$ et~$k$ sont les paramètres de chacune de ces lignes.
+
+Les lignes de courbure comme les lignes asymptotiques sont algébriques.
+Il con\-vi\-ent, pour se figurer ces courbes, de faire la projection stéréographique
+de leur image sphérique sur le plan des $YZ$ (le point de vue étant à un pôle
+du grand cercle situé dans ce plan).
+
+\Section{174.}
+{Projections stéréographiques des images des lignes de courbure
+(Spirales de Lamé).}
+
+$\rho$ désignant le rayon vecteur, dans le plan~$YZ$, on a pour les perspectives
+des images des lignes de courbure
+\begin{gather*}
+\rho^m · \sin^2 \frac{mv}{2} = h^2, \\
+\rho^m · \cos^2 \frac{mv}{2} = k^2.
+\end{gather*}
+
+Ce sont des spirales dont M.~Haton a résumé les propriétés (\textit{Nouvelles
+Annales de mathématiques}, 1876, pp.~97 à~108). Les lignes asymptotiques
+donneraient lieu à des perspectives identiques aux précédentes, l'axe polaire
+ayant simplement tourné de $\frac{\pi}{2m}$. Ces spirales se coupent à angle droit; elles
+forment un réseau isométrique (\textsc{Lamé}, \textit{Journal de Liouville}, \Ord{1}{re}~sér., t.~I, p.~86).
+
+Pour que les courbes précédentes deviennent des cercles ou des droites, $m$
+devra être égal à deux. Dans ce cas, les lignes de courbure ont pour image
+sphérique des cercles et par conséquent sont planes. L'élassoïde correspondant
+est celui d'Enneper.
+
+%% -----File: 227.png---Folio 221-------
+
+L'élément linéaire de l'élassoïde~$(\varepsilon_r)$, rapporté aux lignes de courbure, est
+\[
+dS^2 = \frac{a^2}{m^2} (h^2+k^2)
+  \left[(h^2 + k^2)^{ \frac{1}{m}}
+      + (h^2 + k^2)^{-\frac{1}{m}}\right]^2 (dh^2 + dk^2).
+\]
+
+\Section{175.}
+{Tous les élassoïdes groupés correspondant à un élassoïde~$(\varepsilon_r)$ sont identiques
+à celui-ci. Les élassoïdes groupés qu'on peut déduire du réseau isométrique
+des lignes de courbure sont des~$(\varepsilon_r)$ identiques.}
+
+On pourrait manifestement déduire de nouveaux élassoïdes groupés de la
+connaissance des réseaux isométriques, images des lignes de courbure. Ces
+élassoïdes seraient algébriques en même temps que les spirales; il suffit de
+les signaler. Ces nouveaux élassoïdes ne diffèrent pas de ceux qui nous
+occupent. En effet, les trajectoires sous un angle arbitraire des spirales représentant
+les lignes de courbure ne sont autre chose que ces spirales tournées
+d'un certain angle; conséquemment tous les élassoïdes groupés seraient identiques
+entre eux, absolument comme les élassoïdes $(\varepsilon_r)$ et les élassoïdes
+stratifiés. Les images sphériques de leurs lignes de courbure, trajectoires les
+unes des autres, devront être identiques, elles sont la perspective des spirales
+indiquées ci-dessus.
+
+\Section{176.}
+{Classe des élassoïdes~$(\varepsilon_r)$.}
+
+Il est facile d'établir la classe des élassoïdes~$(\varepsilon_r)$.
+
+Posant:
+\[
+\rho^2=X^2+Y^2+Z^2,
+\]
+on obtient:
+\begin{gather*}
+X= \rho \cos u, \quad
+Y=-\rho \sin u \cos v, \quad
+Z=-\rho \sin u \sin v, \\
+\rho t=a^2,
+\end{gather*}
+%% -----File: 228.png---Folio 222-------
+$X$, $Y$, $Z$ désignant les coordonnées d'un point de la polaire réciproque. On
+trouve en exprimant~$t$ en~$X$ et~$Y$
+\[
+t = \frac{(-1)^m a}{2m(m^2-1)}\,
+    \frac{(Y+iZ)^m + (Y-iZ)^m }{(\rho - X)^m}
+  · \frac{m\rho - X}{\rho},
+\]
+d'où résulte pour l'équation cherchée
+\[
+\bigl[(Y+iZ)^m + (Y-iZ)^m\bigr] (m\rho - X) = 2am(m^2-1)(X-\rho)'''.
+\]
+
+Il y a trois cas à distinguer suivant que $m$ est un nombre entier, fractionnaire
+ou incommensurable.
+
+\begin{Emph}
+\primo~Lorsque le module~$m$ est un nombre entier positif, la classe de l'élassoïde~$(\varepsilon_r)$
+est égale à~$2(m + 1)$.
+\end{Emph}
+
+\secundo~Le module~$m$ est commensurable et égal à~$\frac{p}{q}$, on a donc
+\[
+\bigl[(Y + iZ)^{\frac{p}{q}}
+    + (Y - iZ)^{\frac{p}{q}}\bigr]^q (m\rho - X)^q = k^q (X - \rho)^p,
+\]
+en donnant à $k$ la valeur
+\[
+k = 2am(m^2 - 1).
+\]
+
+Pour faire disparaître les radicaux d'indice~$q$, il faut former la \emph{norme} de
+l'équation, c'est-à-dire le produit
+\[
+\prod^{\mu=q-1}_{\mu=0}
+   \left[\bigl\{(Y + iZ)^{\frac{p}{q}}
+    + \alpha_\mu(Y - iZ)^{\frac{p}{q}}\bigr\}^q
+      (m\rho - X)^q - k^q (X - \rho)^p \right],
+\]
+où $\alpha_\mu$ désigne l'une quelconque des racines de l'équation binôme
+\[
+\omega^q - 1 = 0. %[** PP: Typo \omega^2]
+\]
+
+\begin{Emph}
+\emph{On obtiendra ainsi une fonction entière de~$X$, $Y$, $Z$, $\rho$, de degré $q(p + q)$
+qui sera le premier membre d'une équation où il ne subsistera plus qu'un
+radical contenant~$\rho$. Conséquemment l'}équation de la polaire réciproque sera
+de degré $2q(p + q)$.
+\end{Emph}
+
+Par exemple, lorsque $m = \frac{1}{2}$ la classe est~12.
+
+\tertio~Lorsque $m$ est incommensurable, les élassoïdes ne sont plus algébriques.
+
+%% -----File: 229.png---Folio 223-------
+
+\Section{177.}
+{Valeurs des coordonnées d'un élassoïde~$(\varepsilon_r)$. Degré égal à $(m + 1)^2$
+si le module~$m$ est entier.}
+
+Les coordonnées d'un point de l'élassoïde, en introduisant comme paramètre
+auxiliaire la fonction désignée ci-dessus
+\[
+\rho = \cot \frac{u}{2},
+\]
+deviennent
+\begin{align*}
+X &= \frac{a}{m} \rho^m \cos mv,\\
+Y &= \frac{a}{2} \left[\frac{ \rho^{m+1}}{m+1} \cos(m + 1)v - \frac{\rho^{m-1}}{m-1} \cos(m - 1)v \right],\\
+Z &= \frac{a}{2} \left[ \frac{\rho^{m+1} }{m+1} \sin(m + 1)v + \frac{\rho^{m-1}}{m-1} \sin(m - 1)v \right].
+\end{align*}
+
+Ce sont, à des différences insignifiantes près, les formules données par Bour.
+
+Dans le cas où $m$ est entier et positif, on peut établir l'ordre de l'élassoïde.
+On trouve, par des considérations assez détaillées, que le plan des~$YZ$ coupe
+la surface suivant~$m$ droites, écartées de l'angle~$\frac{\pi}{m}$, deux à deux, passant
+toutes par l'origine, de multiplicité $m + 1$. Le plan contient en outre la
+droite de l'infini comme droite de multiplicité égale à~$m + 1$. Dans ce cas,
+l'ordre de la surface est égal à~$(m + 1)^2$.
+
+\Section{178.}
+{Chaque courbe $(u)$ est située sur une quadrique.}
+
+On peut, sans sortir de la généralité, établir certaines propriétés des
+courbes $(u)$; on trouve, en effet, la relation
+\[
+\frac{4}{a^2}\left( Y^2 + Z^2 + \frac{m^2}{m^2-1} X^2 \right) =
+\left( \frac{\rho^{m+1}}{m+1} - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}\right)^2;
+\]
+lorsque $u$ reste constant et par conséquent~$\rho$, on voit que la courbe
+$(u)$ est
+%% -----File: 230.png---Folio 224-------
+située sur une quadrique de révolution homothétique à la quadrique fixe
+\[
+Y^2 + Z^2 + \frac{m^2}{m^2-1} X^2 = a^2.
+\]
+
+On peut trouver une autre relation indépendante de~$v$. En posant
+\[
+\cos v + i \sin v = \lambda,
+\]
+on a les équations simultanées
+\begin{align*}
+\frac{2}{a} (Y + iZ) &= \frac{ \rho^{m+1}}{m+1} \lambda^{m+1} - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}\frac{ 1}{\lambda^{m-1}},\\
+\frac{2}{a} (Y - iZ) &= \frac{ \rho^{m+1}}{m+1}·\frac{ 1}{\lambda^{m+1}} - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}· \lambda^{m-1},
+\end{align*}
+entre lesquelles, si on éliminait $\lambda$, on aurait une relation ne dépendant que
+de~$u$.
+
+\Section{179.}
+{Les géodésiques principales $(v)$ sont l'intersection de cônes du second degré
+et de cylindres, elles sont de degré $2m - 1$ si $m$ est entier.}
+
+De même en cherchant à isoler les courbes~$(v)$ on trouve
+\[
+[Z \cos(m - 1)v + Y \sin(m - 1)v][Z \cos(m + 1)v - Y \sin(m + 1)v] =
+\frac{m^2 X^2 }{m^2-1} \sin^2 mv, % [** PP: Typo mV]
+\]
+avec la relation
+\[
+\frac{2}{a} [Z \cos(m + 1)v - Y \sin(m + 1)v]^m = \frac{(mX \sin mv)^{m-1}· \sin2mv}{(m - 1)^m};
+\]
+ces lignes sont les intersections de cônes du second degré et de cylindres,
+ayant en commun l'intersection des plans
+\[
+X = Z \cos(m + 1)v - Y \sin(m +1)v = 0.
+\]
+
+Conséquemment, lorsque $m$ est un nombre entier, les courbes~$(v)$ sont
+d'ordre $2m - 1$.
+
+Enfin, on peut trouver deux plans correspondants à chaque courbe~$(v)$ et
+tels que cette courbe s'y projette suivant deux courbes toujours semblables à
+elles-mêmes.
+
+%% -----File: 231.png---Folio 225-------
+
+\Section{180.}
+{Géodésiques principales planes. Équation.}
+
+On sait que les lignes~$(v)$ sont géodésiques, il en est de planes, toutes
+identiques entre elles; une de ces courbes détermine l'élassoïde~$(\varepsilon_r)$; on peut
+la définir par les valeurs des coordonnées d'un point
+\[
+X = \frac{a}{m} \rho^m, \quad
+Y = \frac{a}{2} \left(\frac{\rho^{m+1}}{m+1}
+                    - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}\right),
+\]
+ou comme l'enveloppe de la droite
+\[
+X \cos u - Y \sin u = \frac{a}{m(m^2 - 1)} \cot^m \frac{u}{2} (m - \cos u).
+\]
+
+\Section{181.}
+{$m = 2$, élassoïde d'Enneper du neuvième degré. $m = \frac{1}{2}$, élassoïde de
+douzième ordre et de douzième classe. Équations.}
+
+Pour ne pas prolonger indéfiniment ces monographies, nous rappellerons
+simplement que dans le cas où $m = 2$, l'élassoïde est celui d'Enneper; ses
+lignes de courbure sont des cubiques planes; en appliquant les considérations
+développées ci-dessus, on trouve pour son équation
+\[
+\left[\frac{ 3}{a^2}\left(Y^2 + Z^2 + \frac{8}{9} X^2 \right) - \frac{2}{3} + \frac{3(Y^2 - Z^2)}{aX}\right]^2 =
+6\left[\frac{8X^2}{9a^2} - \frac{Y^2 - Z^2}{aX} + \frac{2}{3} \right]^3 .
+\]
+
+Un cas fort intéressant et qui justifierait une étude détaillée est celui où
+$m = \frac{1}{2}$; les lignes~$(v)$ dans ce cas sont des biquadratiques; l'équation de la
+surface est
+\begin{gather*}
+[12a^4 X^2 - (X^3 - 6a^2 Y)^2]^2 \\
+= \mSmall{27X \left( Y^2 + Z^2 - \frac{X^2}{3}\right)
+  \bigl\{27a^4 X^2 [9X(Y^2 + Z^2) + (X^3 - 24a^2 Y)] - (X^3 - 6a^2 Y)^3\bigr\}};
+\end{gather*}
+on voit qu'elle est du douzième degré; on sait d'ailleurs que cette surface est
+aussi de douzième classe.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 232.png---Folio 226-------
+
+\Chapter{XXI.}
+{PROPRIÉTÉS DIVERSES, RELATIVES AUX ÉLASSOÏDES.}
+
+Nous terminerons cette étude en réunissant quelques propositions relatives
+aux élassoïdes et ne se rattachant pas directement aux divers chapitres
+dont il a été traité.
+
+\Section{182.}
+{Les axes d'une congruence de cercles qui n'a que deux focales à distance
+finie, forment une congruence isotrope. Transformation par rayons vecteurs
+réciproques.}
+
+Occupons-nous d'abord des congruences isotropes: cet élément géométrique
+s'introduit d'une façon tout à fait inattendue dans la théorie des congruences
+de cercles. Lorsque des cercles remplissent l'espace comme les
+droites d'une congruence (lorsque, par exemple, on trace un cercle unique
+dans chacun des plans tangents d'une surface donnée), ces courbes touchent
+dans l'espace certaines surfaces qui, en général, ont quatre nappes situées à
+distance finie et qui à l'infini rencontrent l'ombilicale, \emph{mais lorsque deux des
+nappes-enveloppes passent à l'infini, les axes des cercles forment toujours
+une congruence isotrope}.
+
+%% -----File: 233.png---Folio 227-------
+
+La réciproque est exacte. On peut donc former autant de congruences
+de cercles que l'on veut, n'ayant que deux focales simples à distance
+finie, car les rayons des cercles sont arbitraires [pourvu qu'ils ne soient
+pas nuls].
+
+Si, par exemple, on considère des congruences de cercles, ayant mêmes
+axes, et formant une congruence isotrope, les fonctions définissant la variation
+arbitraire des rayons ne joueront aucun rôle dans la nature de l'élassoïde
+moyen; mais, que l'on vienne à transformer ces congruences de cercles par
+rayons vecteurs réciproques, il est manifeste qu'on obtiendra de nouvelles
+congruences de cercles n'ayant que deux focales à distance finie. Seulement
+on aura fusionné, pour ainsi dire, les deux fonctions caractéristiques de la
+congruence isotrope primitive avec deux autres---qui définissent les cercles;---on
+aura donc créé une congruence isotrope nouvelle. On conçoit, de la
+sorte, qu'il soit facile d'obtenir une infinité d'élassoïdes algébriques déduits
+tous les uns des autres\footnotemark.
+  \footnotetext{En réalité, bien qu'on ait introduit par une transformation deux fonctions arbitraires nouvelles,
+  elles se confondront en partie avec celles de la première congruence isotrope, de façon
+  qu'il ne figure réellement que deux fonctions arbitraires dans la définition de la nouvelle
+  congruence.}
+
+
+\Section{183.}
+{Transformation d'une congruence isotrope en congruence normale.}
+
+Nous avons montré que si l'on porte sur les tangentes à la sphère, dans
+la direction des courbes ($u$ ou~$v$) d'un réseau isométrique des longueurs
+égales au~$\lambda$ du réseau isométrique, l'extrémité du segment est le pied mobile
+du rayon d'une congruence isotrope. Si, au lieu de porter un segment
+égal à~$\lambda$, on portait un segment égal à~$\frac{a^2}{\lambda}$, on construirait une nouvelle
+congruence, cette fois, formée de normales à une surface. L'application
+aux quadriques homofocales introduit une surface dépendant des fonctions
+elliptiques.
+
+%% -----File: 234.png---Folio 228-------
+
+\Section{184.}
+{Congruence normale déduite d'un réseau isométrique
+tracé sur un élassoïde.}
+
+Portant sur les tangentes aux courbes~$(u, v)$ d'un réseau isométrique des
+segments égaux aux valeurs des~$\lambda$, et, par les extrémités menant des parallèles
+à la normale au point~$(u, v)$, on sait que les congruences des droites
+obtenues sont isotropes, si la surface de référence est une sphère. Au contraire,
+si cette surface est un élassoïde, les congruences sont formées de normales
+à des surfaces.
+
+Les élassoïdes~$(\varepsilon_r)$ applicables sur des surfaces de révolution donnent lieu
+à des lignes asymptotiques algébriques si le module~$m$ est commensurable;
+d'après notre théorème sur la correspondance des asymptotiques d'un élassoïde
+moyen et de la surface moyenne, on voit que pour chaque valeur de~$m$
+on aura une $\infty^1$ %[**Check the exponent]
+de surfaces moyennes des congruences isotropes satisfaisantes
+sur lesquelles les asymptotiques s'obtiendront immédiatement sans quadratures.
+
+\Section{185.}
+{Les surfaces moyennes correspondant aux élassoïdes~$(\varepsilon_r)$ et une surface par
+élassoïde, également applicable sur une surface de révolution, ont leurs
+asymptotiques qui correspondent à celles des~$(\varepsilon_r)$.}
+
+Mais, d'après un théorème de M.~Weingarten, à tout élassoïde~$(\varepsilon_r)$ applicable
+sur une surface de révolution correspondra une autre surface~$(S)$
+également applicable sur une surface de révolution, mais non élassoïde,
+constituant avec~$(\varepsilon_r)$ la développée d'une certaine surface dont les rayons de
+courbure sont fonctions l'un de l'autre. Cette dernière surface s'obtiendra
+%% -----File: 235.png---Folio 229-------
+chaque fois sans quadrature puisque nous avons rectifié les géodésiques
+méridiennes de~$(\varepsilon_r)$; elle sera algébrique en même temps que~$(\varepsilon_r)$, c'est-à-dire
+toutes les fois que le module~$m$ sera commensurable.
+
+D'après un théorème (qui nous appartient), sur les surfaces~$(\varepsilon_r)$  et~$(S)$,
+nappes de la développée d'une surface dont les rayons de courbure principaux
+sont liés, les asymptotiques se correspondent encore; conséquemment à
+chaque valeur du module~$m$ correspondra une surface~$(S)$ dont on saura
+trouver sans quadrature les asymptotiques.
+
+On obtient ainsi une double famille de surfaces~$(\varepsilon_r)$ et~$(S)$ simultanément
+algébriques et toutes deux applicables sur des surfaces de révolution; celles-ci
+ne peuvent être que transcendantes quand elles sont réelles.
+
+\Section{186.}
+{Sur les deux nappes de la développée d'un élassoïde les asymptotiques
+se correspondent, ainsi qu'aux lignes de longueur nulle de l'élassoïde.}
+
+Dans le même ordre d'idées, la théorie des élassoïdes met aussi en évidence
+une famille intéressante de surfaces applicables sur des surfaces de
+révolution; en effet, on peut envisager les deux nappes de la développée d'un
+élassoïde comme satisfaisant à cette condition; toutes deux sont applicables
+sur une surface de révolution dont le profil serait une développée de chaînette
+(qui serait, par conséquent, transcendante); pourtant chaque élassoïde
+algébrique donne lieu à une développée algébrique.
+
+Si l'on applique notre théorème à ces nappes de développée d'élassoïde,
+on voit que leurs asymptotiques se correspondent; elles sont toujours imaginaires,
+mais elles correspondent aux lignes de longueur nulle de l'élassoïde
+dont elles constituent la développée.
+
+%% -----File: 236.png---Folio 230-------
+
+\Section{187.}
+{Propriété générale au sujet de doubles couples de surfaces
+applicables l'une sur l'autre.}
+
+Tout ce qui précède n'est point une conséquence propre de la théorie
+des élassoïdes, mais bien de celle, beaucoup plus générale, des couples de
+surfaces applicables l'une sur l'autre. Si les asymptotiques se correspondent
+sur l'élassoïde moyen et sur la surface moyenne d'une congruence isotrope,
+si, de même, elles se correspondent sur les deux nappes de la développée
+d'une surface dont les rayons de courbure sont liés, c'est qu'il se présente une
+particularité commune, bien digne d'être mise en lumière: les deux surfaces,
+dont les asymptotiques se correspondent, peuvent, dans chaque cas, être
+considérées comme les lieux des milieux de segments dont les extrémités
+décrivent des surfaces applicables l'une sur l'autre. Or ces doubles couples
+de surfaces applicables existent toujours associés, et le théorème que voici
+montre qu'un couple quelconque entraîne avec lui son correspondant:
+
+Soient~$(A)$, $(A')$ deux surfaces applicables, l'une sur l'autre, et~$(O)$ la
+surface lieu des milieux des cordes joignant les points correspondants~$A$
+et~$A'$; il existe toujours un autre couple~$(B) (B')$ de surfaces applicables tel
+que la surface~$(O)$ soit touchée par tous les plans perpendiculaires sur les
+milieux des cordes $BB'$; les couples de points $AA'$ et $BB'$ sont réciproques.
+Conséquemment les surfaces~$(O)$ et~$(\Omega)$ lieux des milieux des cordes~$AA'$,
+$BB'$, sont les focales d'une même congruence de droites; de plus, les cordes
+elles-mêmes sont parallèles aux normales en~$O$ et~$\Omega$ des surfaces~$(O)$
+et~$(\Omega)$, $AA'$ étant parallèle à la normale de~$(\Omega)$. Enfin, entre les longueurs
+des cordes~$AA'$, $BB'$, et les autres éléments de la figure, il existe la
+relation
+\[
+AA' × BB'\sin V = k × O\Omega,
+\]
+où~$V$ désigne l'angle des normales à~$(O)$ et~$(\Omega)$ et~$k$ une constante. On voit
+%% -----File: 237.png---Folio 231-------
+qu'il y a une infinité de couples associés correspondant à toutes les valeurs
+de la constante et dérivant d'une même congruence de droites~$O\Omega$; celle-ci
+jouit donc de propriétés spéciales qui ont été mises en évidence dans le cas
+particulier traité au \chapitre{VIII}.
+
+\Section{188.}
+{Autre propriété générale de la correspondance par orthogonalité
+des éléments.}
+
+Mais comme nous l'avons dit, cette théorie des couples de surfaces applicables
+peut aussi être envisagée différemment: elle coïncide avec celle de la
+correspondance des surfaces par orthogonalité des éléments dont nous avons
+parlé constamment au cours de l'étude qui précède. Il ne sera pas inutile de
+donner ici (à raison d'une application fort simple aux élassoïdes) le théorème
+qui domine la théorie.
+
+Soient deux surfaces~$(O)$ et~$(M)$ qui se correspondent par orthogonalité
+des éléments; si par les points de~$(M)$ on mène des droites~$D$ parallèles aux
+normales de~$(O)$, elles forment une congruence telle que: \primo~\emph{$(M)$ en soit la
+surface moyenne; \secundo~les plans principaux (tangents aux surfaces focales)
+sont perpendiculaires aux asymptotes de l'indicatrice en~$O$ à~$(O)$.}
+
+Dès lors, si l'on trace les images sphériques~$(\alpha)$ et~$(\beta)$ des asymptotiques
+de~$(O)$, \emph{ce sont précisément les images sphériques principales de la congruence $(D)$}.
+
+Conséquemment, si l'on connaît le réseau sphérique, image des asymptotiques
+d'une surface~$(O)$, il faudra chercher toutes les congruences l'admettant
+pour image principale et leurs surfaces moyennes donneront l'intégrale
+des surfaces~$(M)$ correspondant par orthogonalité des éléments à~$(O)$.
+
+On peut se donner le réseau sphérique, image des asymptotiques d'une
+surface inconnue; on sait que (si certaines conditions sont remplies) la surface~$(O)$
+est déterminée \emph{uniquement}. Quant à la congruence~$(D)$, qui admet
+%% -----File: 238.png---Folio 232-------
+le réseau sphérique pour image principale, elle est déterminée par un système
+\emph{canonique}, c'est-à-dire ramené à l'intégration d'une seule équation
+aux différentielles partielles, linéaire et du second ordre, de cette forme,
+seule intégrable explicitement, mise en lumière par M.~Moutard.
+
+\Section{189.}
+{Recherche des surfaces correspondant par orthogonalité des éléments
+à un élassoïde.}
+
+L'application la plus simple de cette théorie a trait aux élassoïdes. Si~$(O)$
+est élassoïde, le réseau sphérique, image de ses asymptotiques, est un réseau
+orthogonal et isométrique; il n'est pas différemment assujetti. On voit d'abord
+que les congruences~$(D)$ sont formées de normales à des surfaces, et en second
+lieu que ces surfaces ont pour image sphérique de leurs lignes de courbure
+le réseau isométrique choisi.
+
+Prenant la sphère pour surface de référence et le réseau isométrique pour
+réseau~$(u, v)$ tel que
+\[
+dS^2=\lambda^2(du^2 +dv^2),
+\]
+on trouve pour l'équation canonique
+\[
+\frac{d^2X}{ X \,du \,dv}=\frac{d^2\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)}
+{\left( \dfrac{1}{\lambda}\right)\,du \,dv}.
+\]
+
+(Voir pour l'intégration le mémoire de M.~Moutard, au \Ord{XLV}{e} cahier du
+\textit{Journal de l'École polytechnique}.)
+
+%% -----File: 239.png---Folio 233-------
+
+\Section{190.}
+{Recherche des surfaces se correspondant par parallélisme des plans tangents
+et par leurs lignes isotropes.}
+
+Ces diverses théories se rapprochent encore dans une question qui dérive
+tout naturellement de l'étude des élassoïdes. La sphère et un élassoïde arbitraire
+se correspondent à la fois par le parallélisme des plans tangents et par
+leurs lignes isotropes. Il serait intéressant de connaître tous les couples de
+surfaces analogues, parce que l'on pourrait faire sur l'une des surfaces la
+carte de l'autre, en conservant les angles.
+
+Sur les deux surfaces les lignes de courbure se correspondent, et les rayons
+de courbure principaux sont liés par la relation
+\[
+\frac{R_1}{r_1} + \frac{R_2}{r_2}=0\footnotemark;
+\]
+poussant plus avant, on introduit à nouveau la correspondance par orthogonalité
+des éléments.
+  \footnotetext{Cette relation peut s'écrire
+\[
+% [** PP: Typo \frac{R_1}{R_2} on right-hand side]
+\sqrt{\frac{ R_1}{R_2}}=± i \sqrt{\frac{r_1}{r_2}};
+\]
+on voit que si~$\omega$ et~$\omega'$ désignent les demi-angles des asymptotes de l'indicatrice
+\[
+\tg \omega =± i \tg \omega'.
+\]
+
+Donc les images sphériques des asymptotiques sont simultanément déterminées pour les deux
+surfaces; l'une est convexe et l'autre à courbures opposées.} % End of footnote
+
+Le développement des recherches qui viennent d'être indiquées s'écarterait
+trop du sujet de ce mémoire; il convient de le réserver pour un travail
+différent.
+
+\TbEoC
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Missing pages hand-typed %%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+%% -----File: 240.png---Folio 233-------
+
+\Chapter{XXII.}
+{CONCLUSIONS.}
+
+\Section{191.}
+{Indication d'une théorie générale dominante.}
+
+On a envisagé dans ce qui précède, certaines questions d'ordre général
+soulevées par la théorie des élassoïdes.
+
+Les propositions importantes dominant notre mémoire sont des manifestations
+plus ou moins élégantes des idées fondamentales émises à propos de
+l'intégration, sous forme explicite et finie, des équations aux différentielles
+partielles du second ordre, par M.~Moutard; idées indiquées à la Société
+Philomatique de Paris, le 23~octobre 1869, poursuivies dans le détail à
+propos de l'équation particulière
+\[
+\frac{1}{Z}\, \frac{d²Z}{du\, dv} = \lambda,
+\]
+dans le \Ord{XVL}{e} cahier du \emph{Journal de l'École polytechnique}.
+
+%% -----File: 241.png---Folio 234-------
+
+
+\Section{192.}
+{Des compléments à donner à ce mémoire.}
+
+Si ce mémoire, déjà étendu, comprenait le développement entier du
+programme que nous nous % [** PP: Typo nons]
+étions tracé, il contiendrait un chapitre analogue
+aux chapitres XII et~XIII, établissant tous les éléments d'un élassoïde passant
+par un contour-plan, conjugué d'un autre contour déterminé. Une
+application intéressante serait faite aux élassoïdes algébriques passant par
+un cercle. A titre de généralisation, nous aurions voulu pouvoir traiter le
+problème de la recherche des élassoïdes algébriques passant par une conique
+ou une biquadratique\footnotemark.
+\footnotetext{Nous n'en connaissons d'autres exemples que ceux relatés au chapitre~XVIII et au §~181.} % [** Xrefs]
+
+Ne conviendrait-il pas également de discuter les élassoïdes algébriques
+admettant pour géodésiques les épicycloïdes les plus simples? Déjà nous
+avons vu que l'élassoïde qui admet pour géodésique une hypocycloïde à
+quatre rebroussements est le conjugué de l'élassoïde dérivé des paraboloïdes
+homofocaux; il faudrait au moins définir l'élassoïde dont l'hypocycloïde à
+trois rebroussements et la cardioïde sont des géodésiques.
+
+L'étude des surfaces moyennes mériterait un chapitre spécial; il n'y en a
+qu'une, celle dérivée des quadriques homofocales, qui soit un peu connue.
+M.~Moutard a montré qu'elle est le lieu de biquadratiques, intersections des
+hyperboloïdes homofocaux et des cônes supplémentaires aux cônes asymptotes
+de ces quadriques, ayant pour sommet le centre.
+
+La surface moyenne dérivée des paraboloïdes homofocaux est le lieu d'une
+double série de paraboles, elle a pour équation
+\[
+(y^{\frac{2}{3}} + z^{\frac{2}{3}})^3
+(y^{\frac{2}{3}} - z^{\frac{2}{3}})
+=8h\bigl[x(y^{\frac{2}{3}} + z^{\frac{2}{3}})
+        -h(y^{\frac{2}{3}} - z^{\frac{2}{3}})\bigr].
+\]
+
+L'étude des surfaces moyennes dont les asymptotiques sont algébriques,
+serait particulièrement intéressante, par exemple, la surface moyenne, la
+%% -----File: 242.png---Folio 235-------
+plus générale, correspondant à l'élassoïde d'Enneper, dont les coordonnées
+en fonction des paramètres $u$ et~$v$ des lignes de courbure de l'élassoïde
+sont
+\begin{gather*}
+\begin{aligned}
+X &= \frac{a(u^2 - v^2)(u^2 + v^2 - 3) + 2(Cu - Bv)}{u^2 + v^2 + 1}, \\
+Y &= \frac{-4au^3 + C(u^2 + v^2 - 1) + 2Av}{u^2 + v^2 + 1}, \\
+Z &= \frac{ 4av^3 - B(u^2 + v^2 - 1) - 2Au}{u^2 + v^2 + 1}, \\
+\end{aligned} \\
+u ± v = k
+\end{gather*}
+étant l'équation des asymptotiques.
+
+Sans parler de la transformation par rayons vecteurs réciproques des
+congruences de cercles à focales doubles, il est d'autres questions véritablement
+importantes au point de vue théorique et qu'il faudrait élucider.
+
+De même que, si l'on recherche les surfaces dont le réseau des lignes de
+courbure est de cette nature définie par M.~Liouville et qui permet l'intégration
+des lignes géodésiques, de même, disons-nous, que dans ce cas on
+trouve avec M.~Ossian Bonnet, qu'à part les surfaces de révolution il n'y a
+que les quadriques; de même si l'on recherche les surfaces élassoïdes sur
+lesquelles on peut tracer un réseau orthogonal de genre caractérisé par
+M.~Liouville, le problème se divisera en deux parts, la première afférente à
+la famille de surfaces applicables sur des surfaces de révolution, la seconde
+se rapportant à \emph{une} surface élassoïde qui n'a pas encore été isolée.
+
+
+\Section{193.}
+{Résultats du présent mémoire.}
+
+En résumé, notre travail indique les solutions des problèmes de Monge
+et de Björling; il fait, croyons-nous, suffisamment ressortir l'importance
+d'un être géométrique particulièrement simple, la congruence isotrope; il
+%% -----File: 243.png---Folio 236-------
+indique toute l'importance de la correspondance par orthogonalité des éléments,
+et la liaison naturelle qui existe entre les élassoïdes et les couples de
+surfaces applicables l'une sur l'autre. La notion des contours conjugués n'est
+pas sans utilité, et la recherche des contours conjugués algébriques d'un
+contour algébrique conduit à des applications géométriques intéressantes.
+
+Qu'on nous permette d'attacher quelque importance au résultat trouvé à
+propos des élassoïdes sur lesquels on peut tracer deux géodésiques pour
+lesquelles
+\[
+R = ±k \rho;
+\]
+il met en évidence une sorte de transformation isotrope des courbes, qui
+fait correspondre deux parties de la ligne double d'une congruence isotrope.
+Il serait bien facile d'effectuer d'élégantes vérifications par le procédé auquel
+nous faisons allusion.
+
+
+\TbEoC
+
+
+%%%% PG License %%%%
+\cleardoublepage
+\fancyhead{}
+%\phantomsection
+\Pagelabel{License}
+\pdfbookmark[0]{PG License.}{License}
+
+\begin{center}
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\small
+\begin{PGtext}
+End of the Project Gutenberg EBook of Étude des Élassoïdes ou Surfaces A
+Courbure Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour
+
+*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES ***
+
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+*** START: FULL LICENSE ***
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+
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+     has agreed to donate royalties under this paragraph to the
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+     must be paid within 60 days following each date on which you
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+     returns.  Royalty payments should be clearly marked as such and
+     sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the
+     address specified in Section 4, "Information about donations to
+     the Project Gutenberg Literary Archive Foundation."
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+     destroy all copies of the works possessed in a physical medium
+     and discontinue all use of and all access to other copies of
+     Project Gutenberg-tm works.
+
+- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
+     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
+     electronic work is discovered and reported to you within 90 days
+     of receipt of the work.
+
+- You comply with all other terms of this agreement for free
+     distribution of Project Gutenberg-tm works.
+
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+interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
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+or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
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+Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.
+
+
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+
+Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
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+including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
+because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
+people in all walks of life.
+
+Volunteers and financial support to provide volunteers with the
+assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
+goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
+remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
+Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
+and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
+To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
+and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
+and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.
+
+
+Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
+Foundation
+
+The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
+501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
+state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
+Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
+number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
+http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
+permitted by U.S. federal laws and your state's laws.
+
+The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
+Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
+throughout numerous locations.  Its business office is located at
+809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
+business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
+information can be found at the Foundation's web site and official
+page at http://pglaf.org
+
+For additional contact information:
+     Dr. Gregory B. Newby
+     Chief Executive and Director
+     gbnewby@pglaf.org
+
+
+Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation
+
+Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
+spread public support and donations to carry out its mission of
+increasing the number of public domain and licensed works that can be
+freely distributed in machine readable form accessible by the widest
+array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
+($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
+status with the IRS.
+
+The Foundation is committed to complying with the laws regulating
+charities and charitable donations in all 50 states of the United
+States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
+considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
+with these requirements.  We do not solicit donations in locations
+where we have not received written confirmation of compliance.  To
+SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
+particular state visit http://pglaf.org
+
+While we cannot and do not solicit contributions from states where we
+have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
+against accepting unsolicited donations from donors in such states who
+approach us with offers to donate.
+
+International donations are gratefully accepted, but we cannot make
+any statements concerning tax treatment of donations received from
+outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.
+
+Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
+methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
+ways including checks, online payments and credit card donations.
+To donate, please visit: http://pglaf.org/donate
+
+
+Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
+works.
+
+Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
+concept of a library of electronic works that could be freely shared
+with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
+Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.
+
+
+Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
+editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
+unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
+keep eBooks in compliance with any particular paper edition.
+
+
+Most people start at our Web site which has the main PG search facility:
+
+     http://www.gutenberg.org
+
+This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
+including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
+Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
+subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
+\end{PGtext}
+\end{minipage}
+\end{center}
+\vfill
+
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+%                                                                         %
+% End of the Project Gutenberg EBook of Étude des Élassoïdes ou Surfaces A%
+% Courbure Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour                             %
+%                                                                         %
+% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES ***        %
+%                                                                         %
+% ***** This file should be named 29800-t.tex or 29800-t.zip *****        %
+% This and all associated files of various formats will be found in:      %
+%         http://www.gutenberg.org/2/9/8/0/29800/                         %
+%                                                                         %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+\end{document}
+###
+#@ControlwordReplace = (
+#  ['\\Appendix', 'Appendix. '],
+#  ['\\Prologue', 'Prologue. ']
+#  );
+
+@ControlwordArguments = (
+  ['\\hyperref', 0, 0, '', ''],
+  ['\\Chapter', 1, 1, 'Chapitre ', '  ', 1, 1, '', '\n'],
+  ['\\Section', 1, 1, '§ ', '  ', 1, 1, '', ''],
+  ['\\ChapRef', 1, 1, 'Chapitre ', '']
+  );
+###
+This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.8.25)  25 AUG 2009 14:24
+entering extended mode
+ %&-line parsing enabled.
+**29800-t.tex
+(./29800-t.tex
+LaTeX2e <2005/12/01>
+Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
+yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
+ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
+ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
+nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
+eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
+n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
+Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
+File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count79
+\c@chapter=\count80
+\c@section=\count81
+\c@subsection=\count82
+\c@subsubsection=\count83
+\c@paragraph=\count84
+\c@subparagraph=\count85
+\c@figure=\count86
+\c@table=\count87
+\abovecaptionskip=\skip41
+\belowcaptionskip=\skip42
+\bibindent=\dimen102
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+\inpenc@prehook=\toks14
+\inpenc@posthook=\toks15
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
+File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
+Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
+File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf
+Language: greek 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count88
+\U@D=\dimen103
+) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive
+/tex/generic/babel/lgrenc.def
+File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
+Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
+Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
+Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
+Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
+Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
+\parindentFFN=\dimen104
+\std@mcc=\count89
+\dec@mcc=\count90
+*************************************
+* Local config file frenchb.cfg used
+*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
+xlive/tex/latex/base/textcomp.sty
+Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+Package textcomp Info: Sub-encoding information:
+(textcomp)               5 = only ISO-Adobe without \textcurrency
+(textcomp)               4 = 5 + \texteuro
+(textcomp)               3 = 4 + \textohm
+(textcomp)               2 = 3 + \textestimated + \textcurrency
+(textcomp)               1 = TS1 - \textcircled - \t
+(textcomp)               0 = TS1 (full)
+(textcomp)             Font families with sub-encoding setting implement
+(textcomp)             only a restricted character set as indicated.
+(textcomp)             Family '?' is the default used for unknown fonts.
+(textcomp)             See the documentation for details.
+Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def
+File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
+)
+LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266.
+Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281.
+Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282.
+Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283.
+Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284.
+Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285.
+Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286.
+Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287.
+Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288.
+Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289.
+Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290.
+Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291.
+Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292.
+Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293.
+Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294.
+Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295.
+Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296.
+Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297.
+Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298.
+Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299.
+Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300.
+Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301.
+Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302.
+Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303.
+Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304.
+
+Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305.
+Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306.
+Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307.
+Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308.
+Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309.
+Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310.
+Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 311.
+Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 312.
+Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313.
+Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314.
+Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315.
+Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316.
+Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317.
+Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318.
+Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319.
+Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320.
+Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321.
+Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322.
+Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323.
+Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324.
+Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325.
+Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
+\@emptytoks=\toks16
+\ex@=\dimen105
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
+\pmbraise@=\dimen106
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
+)
+\inf@bad=\count91
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
+\uproot@=\count92
+\leftroot@=\count93
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
+\classnum@=\count94
+\DOTSCASE@=\count95
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
+\Mathstrutbox@=\box26
+\strutbox@=\box27
+\big@size=\dimen107
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
+\macc@depth=\count96
+\c@MaxMatrixCols=\count97
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count98
+\dspbrk@lvl=\count99
+\tag@help=\toks17
+\row@=\count100
+\column@=\count101
+\maxfields@=\count102
+\andhelp@=\toks18
+\eqnshift@=\dimen108
+\alignsep@=\dimen109
+\tagshift@=\dimen110
+\tagwidth@=\dimen111
+\totwidth@=\dimen112
+\lineht@=\dimen113
+\@envbody=\toks19
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks20
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
+Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
+Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
+\FN@temptoken=\toks21
+\footnotemargin=\dimen114
+\c@pp@next@reset=\count103
+\c@@fnserial=\count104
+Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.
+
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
+.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
+Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks22
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
+File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
+\Gread@gobject=\count105
+))
+\Gin@req@height=\dimen115
+\Gin@req@width=\dimen116
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
+\fancy@headwidth=\skip46
+\f@ncyO@elh=\skip47
+\f@ncyO@erh=\skip48
+\f@ncyO@olh=\skip49
+\f@ncyO@orh=\skip50
+\f@ncyO@elf=\skip51
+\f@ncyO@erf=\skip52
+\f@ncyO@olf=\skip53
+\f@ncyO@orf=\skip54
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
+Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
+\Gm@cnth=\count106
+\Gm@cntv=\count107
+\c@Gm@tempcnt=\count108
+\Gm@bindingoffset=\dimen117
+\Gm@wd@mp=\dimen118
+\Gm@odd@mp=\dimen119
+\Gm@even@mp=\dimen120
+\Gm@dimlist=\toks23
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
+xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
+\@linkdim=\dimen121
+\Hy@linkcounter=\count109
+\Hy@pagecounter=\count110
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
+File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
+Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
+HO)
+)
+Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
+8.
+Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
+Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
+Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip11
+Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
+)
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
+\Fld@menulength=\count111
+\Field@Width=\dimen122
+\Fld@charsize=\dimen123
+\Choice@toks=\toks24
+\Field@toks=\toks25
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
+\Hy@abspage=\count112
+\c@Item=\count113
+)
+*hyperref using driver hpdftex*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
+\Fld@listcount=\count114
+)
+\TmpLen=\skip55
+\TPSkip=\skip56
+\symupletters=\mathgroup6
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `upletters' in version `bold'
+(Font)                  T1/cmr/m/n --> T1/cmr/b/n on input line 433.
+(./29800-t.aux)
+\openout1 = `29800-t.aux'.
+
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 494.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 494.
+(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
+File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for LGR+cmr on input line 494.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd
+File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for TS1+cmr on input line 494.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd
+File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 494.
+(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
+[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
+\scratchcounter=\count115
+\scratchdimen=\dimen124
+\scratchbox=\box28
+\nofMPsegments=\count116
+\nofMParguments=\count117
+\everyMPshowfont=\toks26
+\MPscratchCnt=\count118
+\MPscratchDim=\dimen125
+\MPnumerator=\count119
+\everyMPtoPDFconversion=\toks27
+)
+-------------------- Geometry parameters
+paper: class default
+landscape: --
+twocolumn: --
+twoside: true
+asymmetric: --
+h-parts: 75.16098pt, 426.39255pt, 112.74147pt
+v-parts: 72.26999pt, 614.295pt, 108.405pt
+hmarginratio: 2:3
+vmarginratio: 2:3
+lines: --
+heightrounded: --
+bindingoffset: 0.0pt
+truedimen: --
+includehead: --
+includefoot: --
+includemp: --
+driver: pdftex
+-------------------- Page layout dimensions and switches
+\paperwidth  614.295pt
+\paperheight 794.96999pt
+\textwidth  426.39255pt
+\textheight 614.295pt
+\oddsidemargin  2.89099pt
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+\topmargin  -31.8738pt
+\headheight 12.0pt
+\headsep    19.8738pt
+\footskip   30.0pt
+\marginparwidth 98.0pt
+\marginparsep   7.0pt
+\columnsep  10.0pt
+\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
+\hoffset 0.0pt
+\voffset 0.0pt
+\mag 1000
+\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
+(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
+-----------------------
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
+Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
+File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
+)
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 494.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
+Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
+Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
+)
+\c@section@level=\count120
+)
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 494.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 494.
+(./29800-t.out) (./29800-t.out)
+\@outlinefile=\write3
+\openout3 = `29800-t.out'.
+
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 506.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
+File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 528.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 528.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+) [1
+
+{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2
+
+]
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmss on input line 570.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmss.fd
+File: t1cmss.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+) <./images/device.pdf, id=899, 76.285pt x 76.285pt>
+File: ./images/device.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/device.pdf> [1
+
+ <./images/device.pdf>] [2
+
+] [3] [4] [5] <./images/tb.pdf, id=946, 96.36pt x 7.02625pt>
+File: ./images/tb.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/tb.pdf> [6 <./images/tb.pdf>]
+File: ./images/tb.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/tb.pdf> [1
+
+
+] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8
+
+] [9] [10] [11] [12] [13] [14
+
+] [15] [16] [17] [18] [19] [20
+
+] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34
+
+] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42
+
+] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50
+
+] [51] [52] [53] [54] [55] [56
+
+] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71
+
+] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84
+
+] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97
+
+] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105
+
+] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118]
+[119] [120
+
+] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133]
+[134] [135] [136
+
+] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149]
+[150
+
+] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]
+[164
+
+] [165] [166] [167]
+Overfull \hbox (0.12828pt too wide) in paragraph at lines 8983--8985
+[]\T1/cmr/m/n/12 Les deux dé-ve-lop-pables dé-for-mées sont ap-pli-cables l'une
+ sur l'autre par de simples
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.35886pt too wide) in paragraph at lines 8986--8997
+[]\T1/cmr/m/n/12 Ce n'est pas le mo-ment de mon-trer com-ment la construc-tion 
+géo-mé-trique s'achève
+ []
+
+[168] [169
+
+] [170] [171] [172
+
+] [173] [174] [175] [176] [177] [178
+
+] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187
+
+] [188]
+Overfull \hbox (0.38002pt too wide) in paragraph at lines 9937--9939
+[]\T1/cmr/m/n/12 Les élas-soïdes $\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 "[]\OT1/cmr
+/m/n/12 )$\T1/cmr/m/n/12 , al-gé-briques, cor-res-pondent aux va-leurs com-men-
+su-rables de $\OML/cmm/m/it/12 m$\T1/cmr/m/n/12 . 
+ []
+
+[189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196
+
+] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203
+
+] [204] [205] [206
+
+]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[207]
+Overfull \vbox (3229.72064pt too high) has occurred while \output is active []
+
+[208] (./29800-t.aux)
+
+ *File List*
+    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
+    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
+inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+ fontenc.sty
+   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
+   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
+   greek.ldf    2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
+  lgrenc.def    2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
+ frenchb.ldf
+ frenchb.cfg
+textcomp.sty    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+  ts1enc.def    2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
+ amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
+ amstext.sty    2000/06/29 v2.01
+  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
+  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
+  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
+ amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
+amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
+   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
+footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
+  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
+fancyhdr.sty    
+geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
+geometry.cfg
+hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
+  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
+)
+     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
+ hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
+   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
+  lgrcmr.fd    2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
+  ts1cmr.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+supp-pdf.tex
+   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+ nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
+refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
+ 29800-t.out
+ 29800-t.out
+  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+  t1cmss.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+./images/device.pdf
+./images/tb.pdf
+./images/tb.pdf
+ ***********
+
+ ) 
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 7359 strings out of 94074
+ 97108 string characters out of 1165153
+ 207818 words of memory out of 1500000
+ 9491 multiletter control sequences out of 10000+50000
+ 32217 words of font info for 77 fonts, out of 1200000 for 2000
+ 649 hyphenation exceptions out of 8191
+ 28i,25n,43p,457b,430s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
+{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc}{/usr/share/texmf
+/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc} </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/lj
+four/public/cb/grmn1200.600pk></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/
+cmbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/sh
+are/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
+onts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/
+cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></usr/s
+hare/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
+onts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/c
+m/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/sha
+re/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/font
+s/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cm
+sy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share
+/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts
+/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/f
+mex8.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share
+/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/p
+ublic/cm-super/sfbx2074.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc0
+800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1000.pfb></usr/share/
+texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu
+blic/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm07
+00.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/t
+exmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pub
+lic/cm-super/sfrm1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm120
+0.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfss1728.pfb></usr/share/te
+xmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publ
+ic/cm-super/sfti1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1200
+.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sftt0900.pfb>
+Output written on 29800-t.pdf (216 pages, 1234161 bytes).
+PDF statistics:
+ 2943 PDF objects out of 2984 (max. 8388607)
+ 1021 named destinations out of 1200 (max. 131072)
+ 1771 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
+
diff --git a/29800-t/images/device.pdf b/29800-t/images/device.pdf
new file mode 100644
index 0000000..da5a085
--- /dev/null
+++ b/29800-t/images/device.pdf
diff --git a/29800-t/images/gamma.pdf b/29800-t/images/gamma.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2c0d629
--- /dev/null
+++ b/29800-t/images/gamma.pdf
diff --git a/29800-t/images/gauthier_villars.pdf b/29800-t/images/gauthier_villars.pdf
new file mode 100644
index 0000000..f7a75ee
--- /dev/null
+++ b/29800-t/images/gauthier_villars.pdf
diff --git a/29800-t/images/sources/device.eepic b/29800-t/images/sources/device.eepic
new file mode 100644
index 0000000..cc87d4a
--- /dev/null
+++ b/29800-t/images/sources/device.eepic
@@ -0,0 +1,93 @@
+%% Generated from device.xp on Thu Apr  9 21:42:13 EDT 2009 by
+%% ePiX-1.2.6
+%% 
+%%   Cartesian bounding box: [-1,1] x [-1,1]
+%%   Actual size: 1 x 1in
+%%   Figure offset: left by 0in, down by 0in
+%% 
+%% usepackages tikz
+%% 
+\xdefinecolor{rgb_000000}{rgb}{0,0,0}%
+\begin{tikzpicture}
+\pgfsetlinewidth{0.4pt}
+\useasboundingbox (0in,0in) rectangle (1in,1in);
+\pgfsetlinewidth{0.8pt}
+\draw (1in,0.5in)--(0.999315in,0.526168in)--
+  (0.997261in,0.552264in)--(0.993844in,0.578217in)--
+  (0.989074in,0.603956in)--(0.982963in,0.62941in)--
+  (0.975528in,0.654508in)--(0.96679in,0.679184in)--
+  (0.956773in,0.703368in)--(0.945503in,0.726995in)--
+  (0.933013in,0.75in)--(0.919335in,0.77232in)--
+  (0.904508in,0.793893in)--(0.888573in,0.81466in)--
+  (0.871572in,0.834565in)--(0.853553in,0.853553in)--
+  (0.834565in,0.871572in)--(0.81466in,0.888573in)--
+  (0.793893in,0.904508in)--(0.77232in,0.919335in)--
+  (0.75in,0.933013in)--(0.726995in,0.945503in)--
+  (0.703368in,0.956773in)--(0.679184in,0.96679in)--
+  (0.654508in,0.975528in)--(0.62941in,0.982963in)--
+  (0.603956in,0.989074in)--(0.578217in,0.993844in)--
+  (0.552264in,0.997261in)--(0.526168in,0.999315in)--(0.5in,1in)--
+  (0.473832in,0.999315in)--(0.447736in,0.997261in)--
+  (0.421783in,0.993844in)--(0.396044in,0.989074in)--
+  (0.37059in,0.982963in)--(0.345492in,0.975528in)--
+  (0.320816in,0.96679in)--(0.296632in,0.956773in)--
+  (0.273005in,0.945503in)--(0.25in,0.933013in)--
+  (0.22768in,0.919335in)--(0.206107in,0.904508in)--
+  (0.18534in,0.888573in)--(0.165435in,0.871572in)--
+  (0.146447in,0.853553in)--(0.128428in,0.834565in)--
+  (0.111427in,0.81466in)--(0.0954915in,0.793893in)--
+  (0.0806647in,0.77232in)--(0.0669873in,0.75in)--
+  (0.0544967in,0.726995in)--(0.0432273in,0.703368in)--
+  (0.0332098in,0.679184in)--(0.0244717in,0.654508in)--
+  (0.0170371in,0.62941in)--(0.0109262in,0.603956in)--
+  (0.00615583in,0.578217in)--(0.00273905in,0.552264in)--
+  (0.000685233in,0.526168in)--(0in,0.5in)--
+  (0.000685233in,0.473832in)--(0.00273905in,0.447736in)--
+  (0.00615583in,0.421783in)--(0.0109262in,0.396044in)--
+  (0.0170371in,0.37059in)--(0.0244717in,0.345492in)--
+  (0.0332098in,0.320816in)--(0.0432273in,0.296632in)--
+  (0.0544967in,0.273005in)--(0.0669873in,0.25in)--
+  (0.0806647in,0.22768in)--(0.0954915in,0.206107in)--
+  (0.111427in,0.18534in)--(0.128428in,0.165435in)--
+  (0.146447in,0.146447in)--(0.165435in,0.128428in)--
+  (0.18534in,0.111427in)--(0.206107in,0.0954915in)--
+  (0.22768in,0.0806647in)--(0.25in,0.0669873in)--
+  (0.273005in,0.0544967in)--(0.296632in,0.0432273in)--
+  (0.320816in,0.0332098in)--(0.345492in,0.0244717in)--
+  (0.37059in,0.0170371in)--(0.396044in,0.0109262in)--
+  (0.421783in,0.00615583in)--(0.447736in,0.00273905in)--
+  (0.473832in,0.000685233in)--(0.5in,0in)--
+  (0.526168in,0.000685233in)--(0.552264in,0.00273905in)--
+  (0.578217in,0.00615583in)--(0.603956in,0.0109262in)--
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+\pgftext[at={\pgfpoint{0.5in}{0.5in}}] {\makebox(0,0)[c]{\hbox{\color{rgb_000000}\textbf{\footnotesize $\sqrt{-1}$}}}}
+\pgftext[at={\pgfpoint{0.278861in}{0.833313in}}] {\makebox(0,0)[c]{\rotatebox{-146.438}{\hbox{\color{rgb_000000}\textbf{\footnotesize L'}}}}}
+\pgftext[at={\pgfpoint{0.175626in}{0.734054in}}] {\makebox(0,0)[c]{\rotatebox{-125.812}{\hbox{\color{rgb_000000}\textbf{\footnotesize U}}}}}
+\pgftext[at={\pgfpoint{0.122508in}{0.632288in}}] {\makebox(0,0)[c]{\rotatebox{-109.312}{\hbox{\color{rgb_000000}\textbf{\footnotesize N}}}}}
+\pgftext[at={\pgfpoint{0.100482in}{0.519627in}}] {\makebox(0,0)[c]{\rotatebox{-92.8125}{\hbox{\color{rgb_000000}\textbf{\footnotesize I}}}}}
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+\pgftext[at={\pgfpoint{0.897071in}{0.548315in}}] {\makebox(0,0)[c]{\rotatebox{96.9375}{\hbox{\color{rgb_000000}\textbf{\footnotesize O}}}}}
+\pgftext[at={\pgfpoint{0.866998in}{0.659099in}}] {\makebox(0,0)[c]{\rotatebox{113.438}{\hbox{\color{rgb_000000}\textbf{\footnotesize R}}}}}
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+\pgftext[at={\pgfpoint{0.721139in}{0.833313in}}] {\makebox(0,0)[c]{\rotatebox{146.438}{\hbox{\color{rgb_000000}\textbf{\footnotesize E}}}}}
+\end{tikzpicture}
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--- /dev/null
+++ b/29800-t/images/sources/device.xp
@@ -0,0 +1,92 @@
+/* -*-ePiX-*- */
+#include "epix.h"
+using namespace ePiX;
+
+const double rad(0.8);
+
+const double lett(16.5); // inter-letter spacing
+const double skip(0.25); // extra apostrophe space
+const double word(1.5*lett); // inter-word spacing
+const double start(90 + 0.5*(360 - (13+skip)*lett - 3*word));
+
+void label(double th, const std::string& C)
+{
+  label_angle(90+th);
+  label(polar(rad, th), C);
+}
+
+void runtext()
+{
+  double th(start);
+  label(th, "L'");
+  th += (1+skip)*lett;
+
+  label(th, "U");
+  th += lett;
+
+  label(th, "N");
+  th += lett;
+
+  label(th, "I");
+  th += lett;
+
+  label(th, "O");
+  th += lett;
+
+  label(th, "N");
+  th += word;
+
+
+  label(th, "F");
+  th += lett;
+
+  label(th, "A");
+  th += lett;
+
+  label(th, "I");
+  th += lett;
+
+  label(th, "T");
+  th += word;
+
+
+  label(th, "L");
+  th += lett;
+
+  label(th, "A");
+  th += word;
+
+
+  label(th, "F");
+  th += lett;
+
+  label(th, "O");
+  th += lett;
+
+  label(th, "R");
+  th += lett;
+
+  label(th, "C");
+  th += lett;
+
+  label(th, "E");
+}
+
+int main()
+{
+  picture(P(-1,-1), P(1,1), "1 x 1in");
+
+  begin();
+
+  bold();
+  degrees();
+  circle();
+
+  font_size("footnotesize");
+  font_face("bf");
+  label(P(0,0), "$\\sqrt{-1}$");
+
+  runtext();
+  tikz_format();
+  end();
+}
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index 0000000..ba76689
--- /dev/null
+++ b/29800-t/images/tb.pdf
diff --git a/29800-t/old/29800-t.tex b/29800-t/old/29800-t.tex
new file mode 100644
index 0000000..4aa8bac
--- /dev/null
+++ b/29800-t/old/29800-t.tex
@@ -0,0 +1,11638 @@
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
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+% The Project Gutenberg EBook of �tude des �lasso�des ou Surfaces A Courbure
+% Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour                                      %
+%                                                                         %
+% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
+% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
+% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
+% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
+%                                                                         %
+%                                                                         %
+% Title: �tude des �lasso�des ou Surfaces A Courbure Moyenne Nulle        %
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+% Author: Albert Ribaucour                                                %
+%                                                                         %
+% Release Date: August 25, 2009 [EBook #29800]                            %
+%                                                                         %
+% Language: French                                                        %
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+% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
+%                                                                         %
+% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK �TUDE DES �LASSO�DES ***      %
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+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+\def\ebook{29800}
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+%% Packages and substitutions:                                      %%
+%%                                                                  %%
+%% book:     Required.                                              %%
+%%                                                                  %%
+%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
+%% fontenc:  For accented hyphenation. Required.                    %%
+%% babel:    French hyphenation rules. Required.                    %%
+%% textcomp: French degree symbol. Optional.                        %%
+%%                                                                  %%
+%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
+%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
+%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
+%%                                                                  %%
+%% footmisc: Footnote numbering restarts on each page. Required.    %%
+%%                                                                  %%
+%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
+%%                                                                  %%
+%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
+%%                                                                  %%
+%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
+%%                                                                  %%
+%% graphicx: For title page. Required.                              %%
+%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
+%%                                                                  %%
+%%                                                                  %%
+%% Producer's Comments:                                             %%
+%%                                                                  %%
+%%   A straightforward book with no diagrams and one half-page      %%
+%%   table.                                                         %%
+%%                                                                  %%
+%%   Special thanks to DP:mcbax for tracking down four missing      %%
+%%   pages at the Staatsbibliothek Zu Berlin, and to DP:stegel      %%
+%%   for meticulously proofreading the finished book!               %%
+%%                                                                  %%
+%%                                                                  %%
+%% Things to Check:                                                 %%
+%%                                                                  %%
+%%   The large brace labeled (12) on page 39 groups three equations %%
+%%   on one page, i.e., does not extend off the top or bottom of    %%
+%%   the page.                                                      %%
+%%                                                                  %%
+%%   End-of-chapter rules are on the same page as the final text of %%
+%%   the chapter.                                                   %%
+%%                                                                  %%
+%% Spellcheck: .................................. OK                %%
+%% Smoothreading pool: ......................... Yes                %%
+%%                                                                  %%
+%% lacheck: ..................................... OK                %%
+%%   False positives:                                               %%
+%%   "Do not use @ in LaTeX macro names" (x 10)                     %%
+%%   "bad character in label"                                       %%
+%%   "unmatched ..."                     (x 10)                     %%
+%%                                                                  %%
+%% Lprep/gutcheck: .............................. OK                %%
+%% ToC page numbers: ............................ OK                %%
+%%                                                                  %%
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+%% Summary of log file:                                             %%
+%% * Three overfull hboxes (largest ~0.38pt).                       %%
+%%                                                                  %%
+%% Compile History:                                                 %%
+%%                                                                  %%
+%% April, 2009: adhere (Andrew D. Hwang)                            %%
+%%              texlive2007, GNU/Linux                              %%
+%%                                                                  %%
+%% Command block:                                                   %%
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+%%     pdflatex x3 (Run pdflatex three times)                       %%
+%%                                                                  %%
+%%                                                                  %%
+%% August 2009: pglatex.                                            %%
+%%   Compile this project with:                                     %%
+%%   pdflatex 29800-t.tex ..... THREE times                         %%
+%%                                                                  %%
+%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
+%%                                                                  %%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+\listfiles
+% N.B. global french option
+\documentclass[12pt]{book}[2005/09/16]
+
+\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding
+\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]      %%
+\usepackage[greek,french]{babel}[2005/11/23]
+
+\IfFileExists{textcomp.sty}{%    %% French degree symbol
+\usepackage{textcomp}[2005/09/27]%
+}{}
+
+\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Required for displayed equations
+\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols
+
+\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license
+
+% footnote numbering restarts on each page; use symbols
+\usepackage[symbol,perpage]{footmisc}[2005/03/17]
+
+\usepackage{ifthen}[2001/05/26]
+
+\usepackage{graphicx}[1999/02/16]
+
+% for running heads
+\usepackage{fancyhdr}
+
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+% %% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %% %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+% ForPrinting=true (default)           false
+% Asymmetric margins                   Symmetric margins
+% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
+% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
+%
+% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned
+% book. This behavior has been retained.
+\newboolean{ForPrinting}
+
+% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %
+\setboolean{ForPrinting}{true}
+
+% Initialize values to ForPrinting=false
+\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
+\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
+\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
+\newcommand{\TransNote}{Note sur la transcription}
+\newcommand{\TransNoteCommon}{%
+  Les r�sum�s de chapitre des pages \pageref{Summ1}--\pageref{Summ2}
+  ne concordent pas avec la division des chapitres du pr�sent
+  livre. Le r�sum� pour le Chapitre~XIX renvoie � des informations non
+  contenues dans ce livre. Les r�sum�s pour les Chapitres XX, XXI,
+  XXII et~XXIII correspondent respectivement aux Chapitres XIX, XX,
+  XXI et~XXII.
+  \phantomsection\label{Tnote}
+  \bigskip
+
+  Des modifications mineures ont �t� apport�es � la pr�sentation,
+  l'orthographe, la ponctuation et aux notations math�matiques. Le
+  fichier \LaTeX\ source contient des notes de ces corrections.
+}
+
+\newcommand{\TransNoteText}{%
+  \TransNoteCommon
+  \bigskip
+
+  Ce fichier est optimis�e pour �tre lu sur un �cran, mais peut �tre
+  ais�ment reformater pour �tre imprimer. Veuillez consulter le
+  pr�ambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
+}
+
+% Re-set if ForPrinting=true
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
+  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
+  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
+  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
+  \renewcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription}
+  \renewcommand{\TransNoteText}{%
+    \TransNoteCommon
+    \bigskip
+
+    Ce fichier est optimis�e pour imprimer, mais peut �tre ais�ment
+    reformater pour �tre lu sur un �cran. Veuillez consulter le
+    pr�ambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
+  }
+}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto
+  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
+}
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+% %%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %% %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+
+%\usepackage[body={5.9in,8.5in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
+\usepackage[body={5.9in,8.5in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
+
+\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
+\usepackage[pdftex,
+  hyperfootnotes=false,
+  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: �tude des �lasso�des},
+  pdfauthor={Albert Ribaucour},
+  pdfkeywords={Laura Wisewell, Andrew D. Hwang,
+               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
+               University of Glasgow Department of Mathematics},
+  pdfstartview=Fit,    % default value
+  pdfstartpage=1,      % default value
+  pdfpagemode=UseNone, % default value
+  bookmarks=true,      % default value
+  linktocpage=false,   % default value
+  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
+  pdfdisplaydoctitle,
+  pdfpagelabels=true,
+  bookmarksopen=true,
+  bookmarksopenlevel=1,
+  colorlinks=true,
+  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]
+
+% Re-crop screen-formatted version, accommodating wide displays
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
+  {}
+  {\hypersetup{pdfpagescrop= 70 70 543 780}}
+
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% END OF PACKAGE SETUP %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+
+% �s are used somewhat irregularly. Setting RegularizeMath to true
+% inserts/removes dots for consistency.
+\newboolean{RegularizeMath}
+\setboolean{RegularizeMath}{true}
+
+\newcommand{\Reg}[2]{\ifthenelse{\boolean{RegularizeMath}}{#2}{#1}}
+
+
+% No hrule in page header
+\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
+
+
+% Fixed-width environment to format PG boilerplate
+% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width
+\newenvironment{PGtext}{%
+\begin{alltt}
+\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
+{\end{alltt}}
+
+
+% Thought breaks
+\newcommand{\Rule}[1]{\rule{#1}{0.5pt}}
+
+\newcommand{\TbPref}{\Rule{0.5in}}% Preface/Chapter I heading
+
+\newcommand{\TbChap}{\Rule{0.375in}}% Chapter heading
+
+\newcommand{\TbEoC}% End of Chapter
+{\null\vfil%
+ \begin{center}%
+   \Rule{0.75in}%
+ \end{center}%
+ \vfil%
+}%
+
+\newcommand{\TbFancy}%
+{\begin{center}\includegraphics[width=0.75in]{./images/tb.pdf}\end{center}}
+
+
+% Footnotes: Surround markers with upright parentheses
+\makeatletter
+\renewcommand\@makefnmark%
+  {\mbox{\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}
+
+\renewcommand\@makefntext[1]%
+  {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark}\ #1}
+\makeatother
+
+
+% Cross-referencing commands
+\newcommand{\Pagelabel}[1]{%
+  \phantomsection
+  \label{#1}
+}
+
+\newcommand{\Tag}[1]{%
+  \Pagelabel{equation:#1}
+  \tag{$#1$}
+}
+
+\newcommand{\Eqref}[2]{%
+  \ifthenelse{\equal{#1}{}}%
+  {\hyperref[equation:#2]{$(#2)$}}%
+  {\hyperref[equation:#2]{#1 $(#2)$}}%
+}
+
+% Chapter reference
+\newcommand{\chapitre}[1]{\hyperref[chapter:#1.]{chapitre~#1}}
+\newcommand{\ChapRef}[2][]
+{\ifthenelse{\equal{#1}{}}
+  {\hyperref[chapter:#2]{Chapitre~#2}}% Empty optional arg
+  {\hyperref[chapter:#1]{Chapitre~#2}}
+}
+
+\newcommand{\Secref}[1]%
+{\hyperref[paragraph:#1.]{\texorpdfstring{�~#1}{Section~#1}}}
+
+% Preface, Chapter, Section
+\newcommand{\Preface}[2]
+{
+  \cleardoublepage
+  % drop anchors
+  \Pagelabel{preface}
+  \pdfbookmark[0]{Avant-Propos.}{chapitre:0}
+
+  % page formatting
+  \section*{\normalfont\upshape\centering\textbf{\Large #1}
+  \break \TbPref}
+
+  \thispagestyle{empty}
+
+  % Running heads
+  \pagestyle{fancy}
+  \setlength{\headheight}{15.1pt}
+  \fancyhead{}
+  \fancyfoot{}
+  \fancyhead[C]{\textsc{AVANT-PROPOS.}}
+
+  \thispagestyle{empty}
+  \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}%
+    {\fancyhead[RO,LE]{\textsc{\thepage}}}% End of ForPrinting
+    {\fancyhead[R]{\textsc{\thepage}}}
+}
+
+\newcommand{\Chapter}[2]
+{
+% Running heads same throughout, set up explicitly in document
+% Use explicit \clearpage for Chapitre I, which has a half-title
+  \ifthenelse{\equal{#1}{I.}}{}{\cleardoublepage\vspace*{0.5in}}
+  % drop anchors
+  \Pagelabel{chapter:#1}
+  \pdfbookmark[0]{Chapitre #1}{chapitre:#1}
+
+  % Title; Chapter I rule wider than others in original, standardizing
+  \section*{\normalfont\upshape\centering\textbf{\Large CHAPITRE~#1} \break
+  \textsc{\small #2} \break \TbChap}
+
+  \thispagestyle{empty}
+
+  \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}%
+    {\fancyhead[RO,LE]{\thepage}}% End of ForPrinting
+    {\fancyhead[R]{\thepage}}
+}
+
+\newcommand{\Section}[2]
+{
+  % drop anchors
+  \Pagelabel{paragraph:#1}
+  \pdfbookmark[1]{Section #1}{section:#1}
+
+  \section*{\normalfont\upshape\centering\normalsize%
+    �~#1\rule[-12pt]{0pt}{12pt} \break
+  \textit{\normalsize#2}}
+}
+
+
+% Miscellaneous environments
+\newenvironment{Summary}[1]{\par\medskip\textit{#1}}{}
+\newenvironment{Problem}[1]{\par\medskip\textsc{#1}\normalfont\itshape}{}
+\newenvironment{Emph}{\par\medskip\normalfont\itshape}{}
+
+
+\newlength{\TmpLen} % for ad hoc use
+
+% Half-titlepage
+\newlength{\TPSkip} % titlepage skip
+\setlength{\TPSkip}{0.4in}
+
+\newcommand{\HalfTitle}%
+{
+\textbf{\LARGE �TUDE DES �LASSO�DES} \\[\TPSkip]
+{\small OU} \\[\TPSkip]
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
+{\makebox[0pt][c]{\textbf{\LARGE SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE}}}
+{\makebox[0pt][c]{\textbf{\Large SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE}}}
+}
+
+
+% See 138.png
+\newcommand{\BoxTag}[2]{%
+\smash{%
+  \raisebox{12pt}{%
+    \framebox{%
+      \begin{tabular}{c}
+        \textsc{\vphantom{\bigg|}\footnotesize #1} \\
+        \textsc{\vphantom{\bigg|}\footnotesize #2}.
+      \end{tabular}
+      }
+    }
+  }
+}
+
+
+% %%%% Math set-up %%%% %
+% Globally adjust math font size
+\makeatletter
+\DeclareMathSizes{\@xiipt}{12}{10}{6}
+\makeatother
+
+% Math operators and symbols
+\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
+
+\DeclareMathOperator{\Sec}{\text{s�c}}
+\renewcommand{\sec}{\Sec}
+
+\newcommand{\Neg}{\phantom{-}}
+
+\newcommand{\smfrac}[2]{\mbox{\footnotesize$\dfrac{#1}{#2}$}}
+
+\newcommand{\tsum}{{\textstyle\sum}}
+
+% Use upright Roman capitals in math mode
+\DeclareSymbolFont{upletters} {T1}{cmr} {m}{n}
+\SetSymbolFont{upletters} {bold}{T1}{cmr} {b}{n}
+\DeclareSymbolFontAlphabet{\mathnormal}{upletters}
+
+\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{upletters}{`A}
+\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{upletters}{`B}
+\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{upletters}{`C}
+\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{upletters}{`D}
+\DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{upletters}{`E}
+\DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{upletters}{`F}
+\DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{upletters}{`G}
+\DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{upletters}{`H}
+\DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{upletters}{`I}
+\DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{upletters}{`J}
+\DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{upletters}{`K}
+\DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{upletters}{`L}
+\DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{upletters}{`M}
+\DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{upletters}{`N}
+\DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{upletters}{`O}
+\DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{upletters}{`P}
+\DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{upletters}{`Q}
+\DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{upletters}{`R}
+\DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{upletters}{`S}
+\DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{upletters}{`T}
+\DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{upletters}{`U}
+\DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{upletters}{`V}
+\DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{upletters}{`W}
+\DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{upletters}{`X}
+\DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{upletters}{`Y}
+\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{upletters}{`Z}
+
+
+% Miscellaneous text macros
+\newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}}
+
+\DeclareInputMath{176}{\mbox{\textdegree}}
+\DeclareInputMath{183}{\cdot}
+
+% Re-define these to be upright; explicit space required
+\renewcommand{\primo}{{\upshape 1\up{\lowercase{o}}}}
+\renewcommand{\secundo}{{\upshape 2\up{\lowercase{o}}}}
+\renewcommand{\tertio}{{\upshape 3\up{\lowercase{o}}}}
+\renewcommand{\quarto}{{\upshape 4\up{\lowercase{o}}}}
+
+
+% Macros for table on 159.png
+\newcommand{\Strut}{\rule{0pt}{12pt}} % top
+\newcommand{\Strub}{\rule[-6pt]{0pt}{12pt}} % bottom
+\newcommand{\NS}[1]{\makebox[2em][r]{\footnotesize$#1\Strut$}}
+\newcommand{\Ditto}{�}
+
+% Spacing hacks:
+% For ad hoc handling of wide displays
+\newcommand{\mSmall}[1]{\mbox{\small$\displaystyle#1$}}
+
+\hyphenation{con-gru-ence con-gru-ences con-stantes moy-enne}
+
+%% Loosen vertical spacing
+\setlength{\parskip}{0pt plus 12pt}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BEGIN DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\begin{document}
+
+\pagenumbering{Alph}
+\pagestyle{empty}
+
+%%%% PG BOILERPLATE %%%%
+\Pagelabel{PGBoilerplate}
+\pdfbookmark[0]{Boilerplate.}{Boilerplate}
+
+\begin{center}
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\small
+\begin{PGtext}
+The Project Gutenberg EBook of �tude des �lasso�des ou Surfaces A Courbure
+Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour
+
+This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
+almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
+re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
+with this eBook or online at www.gutenberg.org
+
+
+Title: �tude des �lasso�des ou Surfaces A Courbure Moyenne Nulle
+
+Author: Albert Ribaucour
+
+Release Date: August 25, 2009 [EBook #29800]
+
+Language: French
+
+Character set encoding: ISO-8859-1
+
+*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK �TUDE DES �LASSO�DES ***
+\end{PGtext}
+\end{minipage}
+\end{center}
+\vfill
+
+
+%%%% CREDITS %%%%
+
+\clearpage
+\begin{center}
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\small
+\begin{PGtext}
+Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online
+Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The
+original copy of this book was generously made available
+for scanning by the Department of Mathematics at the
+University of Glasgow.)
+\end{PGtext}
+\end{minipage}
+\end{center}
+\vfill
+
+\begin{minipage}{0.8\textwidth}
+\small
+\subsection*{\centering \TransNote}
+
+\raggedright
+\TransNoteText
+
+\end{minipage}
+\vfil
+
+%% -----File: 001.png---Folio xx-------
+\frontmatter
+\pagestyle{empty}
+
+% Titlepage
+%\clearpage
+
+\begin{center}
+\HalfTitle \\[\TPSkip]
+{\footnotesize PAR} \\[\TPSkip]
+\textsf{\Large ALBERT RIBAUCOUR,} \\[0.5\TPSkip]
+% ING�NIEUR DES PONTS ET CHAUSS�ES, A AIX (BOUCHES-DU-RH�NE).
+\textsc{\footnotesize
+ing�nieur des ponts et chauss�es, a aix (bouches-du-rh�ne).} \\[2\TPSkip]
+\includegraphics[width=1in]{./images/device.pdf} \\[2\TPSkip]
+\rule{1.5in}{0.5pt} \\[2\TPSkip]
+{\footnotesize(Couronn� par l'Acad�mie dans la s�ance publique du 16 d�cembre 1880.)}
+\end{center}
+
+%% -----File: 002.png---Folio xx-------
+
+\pagenumbering{roman}
+
+\Preface{AVANT-PROPOS.}
+
+La classe des sciences de l'Acad�mie royale de Belgique avait inscrit sur
+son programme de concours de 1880, la question suivante:
+\begin{center}
+�\ \textsc{Trouver et discuter les �quations de quelques} \\
+\textsc{surfaces alg�briques a courbure moyenne nulle}.\ � \\
+\TbPref
+\end{center}
+
+De toutes les applications des math�matiques il n'en est pas qui pr�sentent
+plus de s�ductions que la th�orie des surfaces; il en est peu qui soient facilement,
+comme elle, susceptibles d'�l�gance et de pittoresque. Laplace a dit:
+�Cependant les consid�rations g�om�triques ne doivent pas �tre abandonn�es,
+elles sont de la plus grande utilit� dans les arts. D'ailleurs, il est curieux
+de se figurer dans l'espace, les divers r�sultats de l'analyse; et r�ciproquement,
+de lire toutes les modifications des lignes et des surfaces, et les variations du
+mouvement des corps, dans les �quations qui les expriment. Ce rapprochement
+de la g�om�trie et de l'analyse r�pand un jour nouveau sur ces deux
+sciences: les op�rations intellectuelles de celles-ci, rendues sensibles par les
+images de la premi�re, sont plus faciles � saisir, plus int�ressantes � suivre;
+et quand l'observation r�alise ces images et transforme les r�sultats g�om�triques
+en lois de la nature,\ldots\ la vue de ce sublime spectacle nous fait
+�prouver le plus noble des plaisirs r�serv�s � la nature humaine.�
+
+La question propos�e par l'Acad�mie royale de Belgique, malgr� sa limitation
+et son caract�re particulier, pr�sente, � un certain degr�, l'int�r�t
+�loquemment d�fini par Laplace: en effet, depuis qu'entre les mains d'un
+illustre physicien belge �la nature se fait g�om�tre�; depuis que chacun % [** PP: Typo chacuu]
+%% -----File: 003.png---Folio xx-------
+a pu r�aliser les \emph{lames minces � courbure moyenne nulle}, les plus vari�es,
+tous ceux que l'exactitude et la perfection enchantent, ne se lassent de v�rifier,
+jusque dans ses cons�quences les plus d�licates, ou les plus impr�vues, une
+des lois d�rob�es au monde mol�culaire.
+
+D'un autre c�t�, il n'est peut-�tre pas, dans l'�tude des surfaces, de chapitre
+plus attachant, dans sa simplicit�, que celui o� l'on traite des surfaces
+� courbure moyenne nulle. Depuis Lagrange, tous les g�om�tres, pour ainsi
+dire, les ont �tudi�es, chacun ajoutant des r�sultats nouveaux, soit tr�s-g�n�raux,
+soit tr�s-particuliers, �galement recommandables par leur nettet� ou
+leur �l�gance.
+
+L'Acad�mie nous excusera sans doute de prendre pour guide dans notre
+�tude plut�t l'imagination en qu�te de r�sultats que la question m�me soumise
+au concours.
+
+C'est un chapitre au sujet des surfaces � courbure moyenne nulle que
+nous �crirons, et, par surcro�t, le probl�me pos� recevra sans doute une
+solution suffisamment d�velopp�e.
+
+Nous ne pouvons mieux faire, pour indiquer dans quel ordre d'id�es nous
+entra�nons le lecteur, que de relater dans un historique rapide, les contributions
+successives � la th�orie qui nous occupe, apport�es par les g�om�tres,
+comme autant de phrases d'un po�me facile, mais s�duisant.
+
+Lagrange, le premier, a montr� que, par un contour fixe, il passe des
+surfaces moins �tendues que toutes les surfaces voisines.
+
+%**** Comma after quotes?
+Monge, en �tudiant �les surfaces dont les rayons de courbure sont toujours
+�gaux entre eux et de signes contraires,� trouva l'�quation aux diff�rentielles
+partielles des surfaces � �tendue minima.
+
+Le premier il en donna l'int�grale g�n�rale, mais sous une forme compliqu�e
+d'imaginaire, qui ne le satisfaisait pas, et qui surtout ne lui paraissait
+pas susceptible de conduire � la construction g�om�trique qu'il consid�rait
+comme le compl�ment indispensable d'une �tude achev�e. Voici comment il
+pose un probl�me bien digne d'int�r�t, en lui-m�me et par son origine: �Il
+%% -----File: 004.png---Folio xx-------
+s'agirait actuellement de construire cette int�grale, ou, ce qui revient au
+m�me, de trouver la g�n�ration de la surface. La seule construction � laquelle
+nous soyons encore parvenu, proc�de par courbes, infiniment voisines, \ldots\ %[** F1: five dots]
+mais elle ne peut �tre d'aucune utilit� dans la pratique. Nous allons n�anmoins
+la rapporter, parce qu'elle pourra donner lieu � des efforts plus heureux.�
+
+Les premi�res surfaces � �tendue minima �tudi�es le furent par Meusnier
+qui fit conna�tre celle qui est de r�volution, appel�e depuis \emph{alyss��de}, par
+Bour, et la surface de vis � filet quarr�. La consid�ration des lignes asymptotiques,
+introduite par Ch.\ Dupin, vint donner un attrait nouveau aux surfaces
+qui nous occupent; car leurs lignes asymptotiques sont rectangulaires.
+
+M.~Catalan fit voir que seule la surface de vis � filet quarr� est � la fois
+gauche et � �tendue minima.
+
+M.~O. Bonnet d�montra, dans une s�rie d'�tudes importantes: \primo~qu'on
+peut faire la carte d'une surface � �tendue minima sur la sph�re, les angles
+�tant conserv�s; \secundo~que les lignes de courbure et les asymptotiques de ces
+surfaces sont isom�triques ainsi que leurs images sph�riques; \tertio~que si l'on
+cherche les surfaces de la famille admettant une ligne sph�rique donn�e pour
+image de ligne de courbure ou d'asymptotique, on obtient deux surfaces minimas,
+applicables l'une sur l'autre; \quarto~que l'on peut �crire l'int�grale des
+surfaces admettant pour ligne de courbure, asymptotique ou g�od�sique, un
+contour d�termin�.
+
+Le th�or�me de M.~Bonnet, sur les deux surfaces \emph{minimas}, est doublement
+int�ressant, parce qu'il donne un exemple de surfaces applicables, et surtout
+de deux surfaces dont les lignes de courbure de l'une correspondent aux
+lignes asymptotiques de l'autre.
+
+Il faut ajouter que M.~Bonnet a fait conna�tre les surfaces minimas dont
+toutes les lignes de courbure sont planes; il a indiqu� comment on pourrait
+former des surfaces, de la famille, alg�briques; enfin il a montr� comment on
+pouvait �liminer les imaginaires de l'int�grale, et donn� des exemples particuliers.
+
+%% -----File: 005.png---Folio xx-------
+
+M.~Catalan se proposait, au m�me moment, de former des exemples simples
+de surfaces minimas. Il indiqua plusieurs surfaces alg�briques d�gag�es des
+g�n�ralit�s dont la particularisation seule constitue l'int�r�t. Mais il faut
+signaler surtout parmi des surfaces construites �l�gamment par M.~Catalan,
+celle qui pr�sente une double g�n�ration par des paraboles et des cyclo�des.
+On verra, par la suite, comment le rapprochement de cette surface remarquable
+de l'alyss��de qui admet parall�lement une double g�n�ration par des
+cercles et des cha�nettes, nous a amen� � trouver une singuli�re propri�t�,
+tout � fait g�n�rale, d'ailleurs, des surfaces � l'�tude.
+
+Il convient, en outre, d'observer que cette surface est la premi�re de la
+famille, transcendante, mais sur laquelle on ait pu tracer des lignes alg�briques.
+M.~Schwartz a tir� grand parti de cet exemple, et nous aurons
+l'occasion de montrer comme il est profitable d'en chercher de semblables.
+
+Nous ne passerons pas sous silence une remarque de M.~J. Serret, fort
+importante malgr� son apparence de simple curiosit�: ce g�om�tre a fait
+voir que certaines d�veloppables imaginaires doivent �tre consid�r�es comme
+des surfaces � �tendue minima. C'�tait un retour inconscient � l'int�grale de
+Monge et la clef du probl�me dont il avait laiss� la solution � de plus heureux.
+
+M.~Mathet, parmi les g�om�tres fran�ais, donna une construction diff�rentielle
+des surfaces minimas les plus g�n�rales, mais sans pr�tendre � la
+construction int�grale.
+
+Les �tudes sur la d�formation des surfaces mirent en lumi�re de nouvelles
+propri�t�s: Bour fit voir qu'une surface minima peut �tre d�form�e sans
+perdre son caract�re de minimum; d�j� M.~O. Bonnet en avait donn� un
+exemple cit� plus haut. Bour montra qu'il est une infinit� de surfaces minimas
+applicables sur des surfaces de r�volution; il parvint m�me � donner leur
+int�grale, mais sans particulariser; il montra que de toutes les surfaces, la
+plus simple au point de vue de la d�formation est l'allys��de, %[**typo alyss��de]
+� la fois minima
+et de r�volution.
+
+Il est tr�s-remarquable que les surfaces caract�ris�es par une condition de
+%% -----File: 006.png---Folio xx-------
+minimum le long d'un contour d�termin� jouissent d'une d�finition ponctuelle
+ind�pendante de ce contour. Ce fait devait amener � reconna�tre que le
+minimum consid�r� n'est pas absolu et que par un contour donn� on peut
+faire passer une infinit� de surfaces minimas. On attribue � Bj�rling le
+m�rite d'avoir �tabli que si le long du contour on fixe les plans tangents, la
+surface minima est enti�rement d�finie. MM.~O. Bonnet et Catalan ont, d'ailleurs,
+dans leurs m�moires \emph{pr�cit�s}, appliqu� fr�quemment ce lemme.
+
+Quoi qu'il en soit, un probl�me, plus assujetti que celui de Monge, r�sulte
+de cette remarque: \textit{construire g�om�triquement la surface minima inscrite
+� une d�veloppable donn�e, le long d'un contour trac� sur cette surface}.
+Que si le probl�me analytique ne pr�sente pas de difficult�s r�elles, tant
+que l'on reste dans la g�n�ralit�, la question g�om�trique, � raison m�me du
+caract�re de minimum qui la domine, pr�sente un int�r�t indiscutable. Nous
+montrerons comment elle re�oit une enti�re solution par l'introduction d'une
+id�e f�conde due � M.~Moutard, je veux parler de la correspondance par
+orthogonalit� des �l�ments.
+
+Un autre probl�me tout aussi pr�cis s'impose �galement: puisque, cette
+fois, la surface est minima minimorum, son aire, limit�e au contour, est
+\emph{unique} et sa mesure doit r�sulter uniquement des �l�ments du contour.
+
+Un tr�s-beau th�or�me de Riemann a r�pondu � ce \emph{desideratum}. Il en est
+de ce r�sultat comme de tous ceux qui sont marqu�s au coin de la simplicit�;
+les consid�rations les plus simples (\emph{�~posteriori}) permettent de les
+r�tablir. Nous en rattacherons la d�monstration aux id�es de Gauss, en
+essayant une �bauche d'expos� simplement g�om�trique de la th�orie des
+surfaces minimas.
+
+Si les premiers g�om�tres qui s'occup�rent des surfaces minimas tendirent
+aux r�sultats g�n�raux, leurs successeurs devaient s'attacher � particulariser
+et � simplifier; les admirables exp�riences de M.~Plateau devaient amener,
+d'ailleurs, � des recherches plus pr�cises, et, la satisfaction de voir fa�onner,
+par la nature, des surfaces dont la discussion est parfois h�riss�e de difficult�s;
+%% -----File: 007.png---Folio xx-------
+de lui voir tracer toutes les singularit�s calcul�es, conduisirent � les
+isoler dans des exemples assujettis � diverses conditions de simplicit�
+maxima.
+
+M.~Schwartz se proposa de trouver les surfaces minimas admettant une
+g�od�sique plane donn�e; Henneberg fit remarquer, le premier, que si la
+g�od�sique est la d�velopp�e d'une courbe alg�brique, la surface minima est
+alg�brique.
+
+Geiser d�montra que ces surfaces ne coupent le plan de l'infini que suivant
+des droites.
+
+Enfin Weierstrass a donn� une m�thode pour trouver toutes les surfaces �
+�tendue \emph{minima}, alg�briques et r�elles.
+
+Enneper a fait conna�tre une surface du neuvi�me degr� et de sixi�me
+classe, extr�mement remarquable, qui peut, par exemple, �tre d�form�e d'une
+infinit� de fa�ons, tout en restant identique � elle-m�me.
+
+Depuis que l'Acad�mie royale de Belgique a pos� ce probl�me qui fait
+l'objet de notre �tude, un g�om�tre du plus grand m�rite a successivement
+publi� un grand nombre de beaux r�sultats sur les surfaces \emph{minimas}:
+M.~Sophus Lie a donn� la v�ritable solution du probl�me de Monge; il a
+montr� que les surfaces � courbure moyenne nulle sont de deux fa�ons des
+surfaces moulures; il a en outre donn�, du probl�me de Bj�rling, une solution
+s'appliquant � des cas particuliers int�ressants. Enfin il a discut� quelles
+sont les surfaces minimas d'ordre et de classe d�termin�s.
+
+Les r�sultats de M.~Sophus Lie viennent �ter le plus grand int�r�t � nos
+recherches. S'il nous a �t� p�nible, apr�s avoir cherch� et trouv� la solution
+du probl�me de Monge et de bien d'autres, de recevoir les communications
+du tr�s-savant g�om�tre de Christiania, nous n'avons pas moins r�solu de
+transmettre � l'Acad�mie royale de Belgique nos recherches en d�veloppant
+surtout ce qui s'�carte des propri�t�s publi�es.
+
+C'est ce qui doit justifier les �carts du m�moire, en dehors de la question
+pos�e par l'Acad�mie.
+
+\vfil
+\TbFancy
+\vfil
+
+\clearpage
+\fancyhead{} % Clear stale heading
+
+%% -----File: 008.png---Folio 2-------
+
+\cleardoublepage
+\pagenumbering{arabic}
+
+% Running heads same throughout
+\fancyhead[CE]{�TUDE DES �LASSO�DES} % [** PP: �LASSOIDES in original]
+\fancyhead[CO]{OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE.}
+
+\begin{center}
+\HalfTitle
+\end{center}
+\TbFancy
+
+\Chapter{I.}
+{LOCUTIONS EMPLOY�ES.---PROC�D�S DE D�MONSTRATION.---P�RIMORPHIE.
+PROGRAMME.}
+
+\Section{1.}
+{D�finition du mot �lasso�de.}
+
+Il faut commencer par s'entendre au sujet des locutions employ�es dans
+ce m�moire. Il n'est pas commode d'employer constamment l'expression de
+\emph{surface � courbure moyenne nulle} ni m�me celle de \emph{surface minima}, que
+les Allemands ont adopt�e, sous le vocable de �Minim�lfl�che�. %[**typo Minimalfl�che]
+D'ailleurs ce
+terme est impropre, en g�n�ral, l'aire de la surface n'�tant pas, le plus
+souvent, un minimum absolu.
+
+Nous emploierons le mot \emph{�lasso�de} form� des deux mots grecs
+\textgreek{<elasswn} %[Greek: helass�n]
+(comparatif de \textgreek{mikros}) %[**Greek: michros]
+et de \textgreek{eidos} %[**Greek: eidos]
+(apparence). La substitution de l'\emph{o} � l'\emph{�} est
+consacr�e par l'usage. Nous dirons donc, conform�ment � l'avis de Terquem,
+%% -----File: 009.png---Folio 3-------
+\emph{un �lasso�de}. Cette locution nous para�t r�unir les deux avantages d'�tre
+r�guli�rement �tablie et surtout d'�tre br�ve.
+
+A l'exemple de M.~O. Bonnet nous dirons que deux \emph{�lasso�des} sont \emph{conjugu�s}
+quand ils sont applicables l'un sur l'autre et que les lignes de courbure
+de l'un correspondent aux asymptotiques de l'autre.
+
+
+\Section{2.}
+{Locutions employ�es.}
+
+La plupart des g�om�tres appellent \emph{congruence} de droites, une famille de
+droites analogues aux normales d'une surface et telles que, par un point de
+l'espace, choisi arbitrairement, il passe \emph{une} droite de la congruence.
+
+Les \emph{focales} de la congruence sont deux surfaces, r�elles ou imaginaires,
+qui sont touch�es par chacune des droites de la famille.
+
+Les droites d'une congruence, qui rencontrent une courbe donn�e, forment
+une \emph{surface �l�mentaire}. Les surfaces �l�mentaires d�veloppables forment
+deux familles, ce sont les \emph{surfaces principales} de la congruence.
+
+Ces d�nominations sont usuelles. Nous conviendrons d'appeler \emph{d�velopp�e}
+d'une \emph{congruence de normales} les deux nappes focales de cette congruence
+prises dans leur ensemble; c'est le lieu des centres de courbure principaux
+d'une famille de surfaces parall�les.
+
+Sur une droite de la congruence, le point milieu du segment qui se limite
+aux deux foyers sera le \emph{point moyen}. Le lieu de ces points pour toute congruence
+sera la \emph{surface moyenne}.
+
+Le plan perpendiculaire � une droite de la congruence, et men� par le
+\emph{point moyen} situ� sur cette droite, sera le \emph{plan moyen}. Tous les plans
+moyens, relatifs aux droites d'une congruence, touchent une m�me surface
+que nous appellerons l'\emph{envelopp�e moyenne}. Ce sera la \emph{d�velopp�e moyenne}, si
+la famille de droites est une \emph{congruence de normales}.
+
+Nous aurons � consid�rer des congruences dans leurs rapports avec une
+surface d�termin�e: nous dirons qu'une congruence de droites est \emph{harmonique
+par rapport � une surface}~$(A)$, si les surfaces principales de la congruence
+d�coupent, sur~$(A)$, un r�seau conjugu�.
+
+%% -----File: 010.png---Folio 4-------
+
+Lorsqu'une \emph{congruence de normales} sera \emph{harmonique} par rapport � une
+surface~$(A)$, nous dirons qu'elle constitue une \emph{congruence de Dupin} (par rapport
+� cette surface), rappelant ainsi le nom de Charles Dupin qui, le premier,
+a consid�r� des familles de droites de cette esp�ce.
+
+Il nous reste � rappeler les termes du vocabulaire, adopt� dans la g�om�trie
+des imaginaires, dont nous ferons un constant usage.
+
+L'\emph{ombilicale} est le cercle imaginaire commun � toutes les sph�res et situ�
+dans le plan de l'infini.
+
+Une \emph{droite isotrope} se dira de toute droite rencontrant l'ombilicale.
+
+Un \emph{plan isotrope} se dira de tout plan tangent � l'ombilicale.
+
+Une \emph{d�veloppable isotrope} se dira de toute d�veloppable qui contient
+l'ombilicale.
+
+Une \emph{ligne isotrope}, ou ligne de \emph{longueur nulle}, sera une courbe, ar�te de
+rebroussement d'une d�veloppable isotrope, dont, par cons�quent, toutes les
+tangentes seront des droites isotropes.
+
+Enfin nous appellerons \emph{congruence isotrope} une famille de droites dont les
+surfaces focales sont des d�veloppables isotropes. Ces congruences seront
+r�elles toutes les fois que les deux d�veloppables isotropes focales seront
+imaginaires conjugu�es.
+
+Ajoutons qu'un r�seau de lignes orthogonales $(u)$, $(v)$, trac�es sur une
+surface, sera isom�trique toutes les fois que le carr� de l'�l�ment lin�aire de
+la surface rapport�e aux lignes $(u)$, $(v)$, pourra s'�crire
+\[
+dS^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2),
+\]
+en particularisant convenablement les variables $u$ et~$v$.
+
+On appelle \emph{image sph�rique} d'une surface, en g�n�ral, la repr�sentation
+sur la sph�re de cette surface (le mode de correspondance �tant le parall�lisme
+des plans tangents de la sph�re et de la surface aux points correspondants).
+On consid�rera de la sorte les images sph�riques des lignes de
+courbure, des lignes asymptotiques, etc.
+
+%% -----File: 011.png---Folio 5-------
+
+\Section{3.}
+{D�finition de la p�rimorphie comme proc�d� de d�monstration.}
+
+Les proc�d�s de d�monstration que nous emploierons uniform�ment dans
+notre �tude analytique se rapportent � une m�thode particuli�re que l'on a
+d�sign�e par un n�ologisme imag� en l'appelant la \emph{p�rimorphie}. Dans cette
+g�om�trie, l'origine des coordonn�es est remplac�e par une surface dite \emph{de
+r�f�rence}, et les axes de coordonn�es sont simplement d�finis, en chaque
+point de la surface de r�f�rence, par des relations o� figurent les coordonn�es
+superficielles $u$ et~$v$ (� la fa�on de Gauss) du point, consid�r� comme
+origine instantan�e.
+
+Dans cette �tude, nous consid�rerons toujours, comme base de nos calculs,
+un r�seau orthogonal des courbes $(u)$, $(v)$ trac� sur une surface de r�f�rence
+$(O)$: les courbes $(u)$ correspondront aux diff�rentes valeurs du
+param�tre~$u$, de m�me, les courbes $(v)$ correspondront aux diff�rentes valeurs
+du param�tre~$v$.
+
+Le quarr� de l'�l�ment lin�aire de la surface de r�f�rence $(O)$ s'�crira,
+comme d'habitude:
+\[
+dS^2 = f^2\, du^2 + g^2\, dv^2.
+\]
+
+Ceci pos�, les axes de coordonn�es instantan�s seront toujours en un
+point $O(u, v)$ (c'est-� dire en un point~$O$ d�fini par les valeurs $u$ et~$v$ des
+param�tres): \primo~$OX$ tangente � la courbe~$(v)$; \secundo~$OY$ tangente � la courbe~$(u)$;
+\tertio~$OZ$ normale � la surface. Les trois axes seront ainsi rectangulaires.
+
+Les calculs de \emph{p�rimorphie} r�clament l'emploi constant de six formules
+que nous allons transcrire en les d�finissant.
+
+
+\Section{4.}
+{Six formules fondamentales de p�rimorphie.}
+
+En \emph{p�rimorphie}, on se donne, � chaque instant, les coordonn�es $\xi$, $\eta$, $\zeta$
+d'un point~$M$ variable avec le point~$O$, coordonn�es mesur�es sur les axes $OX$,
+$OY$, $OZ$. Ces coordonn�es sont des fonctions de~$u$ et~$v$. Lorsque l'on donne �
+%% -----File: 012.png---Folio 6-------
+ces param�tres les accroissements $du$ et~$dv$, l'origine se transporte en~$O'$ et le
+point correspondant de l'espace sera un certain point~$M'$ d�fini par les
+coordonn�es
+\[
+\xi + \Delta\xi,\quad \eta + \Delta\eta,\quad \zeta + \Delta\zeta,
+\]
+compt�es sur les axes nouveaux $O'X'$, $O'Y'$, $O'Z'$. Mais l'�l�ment~$MM'$, projet�
+sur les trois axes primitifs, donne lieu � trois longueurs, fonctions de
+$u$, $v$, $du$ et~$dv$.
+
+Suivant l'axe $OX$, on a
+\begin{align*}
+\Delta X
+  &= du \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta +  P\zeta\right)
+   + dv \left(    \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta - gD\zeta\right), \\
+\intertext{suivant l'axe $OY$, on a}
+\Delta Y
+  &= du \left(    \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \xi - fD\zeta\right)
+   + dv \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi +  Q\zeta\right),
+% [**** PP: Hard-coded lengths; vulnerable to bad page break]
+\smash{\left.\rule[-1.125in]{0pt}{2.25in}\right\}}
+\Tag{1} \\
+\intertext{suivant l'axe $OZ$, on a}
+\Delta Z
+  &= du \left(\frac{d\zeta}{du} - P\xi + fD\eta\right)
+   + dv \left(\frac{d\zeta}{dv} - Q\eta + gD\xi\right).
+\end{align*}
+
+Telles sont les trois formules fondamentales de la g�om�trie consid�r�e.
+Trois autres formules, �galement n�cessaires, s'en d�duisent imm�diatement:
+
+Soient $X'$, $Y'$, $Z'$ les coordonn�es d'un point de l'espace, par rapport au
+tri�dre instantan� $O'$, $X'$, $Y'$, $Z'$ d�fini ci-dessus; soient, d'un autre c�t�, $X$,
+$Y$, $Z$ les coordonn�es du m�me point par rapport au tri�dre primitif $O$, $X$,
+$Y$, $Z$. On a
+\[
+\left.
+\begin{aligned} % [** PP: Typo -= in first equation]
+X' &= -f\, du
+  + X + Y\left(-\frac{df}{g\, dv}\, du + \frac{dg}{f\, du}\, dv\right)
+  + Z(-P\, du + gD\, dv), \\
+%
+Y' &= -g\, dv
+  +     X\left(-\frac{dg}{f\, du}\, dv + \frac{df}{g\, dv}\, du\right) + Y
+  + Z(-Q\, dv + fD\, du), \\
+%
+Z' &= X(P\,du - gD\, dv) + Y(Q\,dv - fD\, du) + Z.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{2}
+\]
+
+Ces formules contiennent cinq coefficients: $f$ et~$g$ d�j� d�finis, $P$, $Q$, $D$
+tels que:
+
+% [** PP: Itemized list with em-dash bullets]
+\begin{itemize}
+\item[---] $\frac{f}{P}$ repr�sente le rayon de courbure de la section normale tangente �~$OX$;
+
+%% -----File: 013.png---Folio 7-------
+
+\item[---] $\frac{g}{Q}$ repr�sente le rayon de courbure de la section normale tangente �~$OY$;
+
+\item[---] $\frac{1}{D}$ repr�sente le param�tre de d�viation relatif aux deux directions
+rectangulaires $OX$, $OY$ (\textsc{Bertrand}).
+\end{itemize}
+
+
+\Section{5.}
+{�quations de Codazzi.}
+
+Ces cinq coefficients sont li�s par trois �quations c�l�bres, dites �quations
+de Codazzi, auxquelles il faut constamment recourir:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+PQ - fgD^2 + \frac{d}{dv}\left(\frac{df}{g\, dv}\right)
+           + \frac{d}{du}\left(\frac{dg}{f\, du}\right) &= 0, \\
+\frac{dP}{dv} + g\frac{dD}{du} + 2\frac{dg}{du} D - \frac{df}{g\, dv}Q &= 0, \\
+\frac{dQ}{du} + f\frac{dD}{dv} + 2\frac{df}{dv} D - \frac{dg}{f\, du}P &= 0.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{3}
+\]
+
+Les trois groupes d'�quations que nous venons de d�crire constituent les
+bases de la \emph{p�rimorphie}. Quant aux proc�d�s, il serait oiseux de les r�sumer,
+ils s'indiqueront d'eux-m�mes par les applications que nous en ferons dans
+le cours de ce m�moire; la simplicit� qui les caract�rise permettra de les
+exposer, le plus souvent, en d�tail.
+
+
+\Section{6.}
+{Programme des recherches comprises dans ce m�moire.}
+
+Il nous reste � indiquer le programme des recherches successivement
+expos�es dans ce m�moire.
+
+Nous avons cru qu'il convenait de rappeler rapidement, mais d'une fa�on
+synth�tique et pour ainsi dire �vidente, les r�sultats connus. L'Acad�mie nous
+permettra de commencer notre �tude par un rapide expos� g�om�trique qui,
+nous l'esp�rons, int�ressera une assembl�e o� la th�orie qui nous occupe a
+re�u de si belles contributions.
+
+Ce sera l'objet du \emph{second chapitre et du troisi�me}.
+
+%% -----File: 014.png---Folio 8-------
+
+Voici, d'une fa�on tr�s-sommaire, la composition des autres chapitres.
+
+\phantomsection\label{Summ1}
+\begin{Summary}{\ChapRef{IV.}}
+Des congruences isotropes, des surfaces d'about; la surface
+moyenne est le lieu des lignes de striction des surfaces �l�mentaires; l'envelopp�e
+moyenne est un �lasso�de.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{V.}}
+Des congruences isotropes qui donnent lieu au m�me �lasso�de
+central; construction directe donnant toutes les congruences satisfaisantes
+en fonction d'une premi�re congruence isotrope.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{VI.}}
+Toute congruence isotrope est d�finie par une seule surface
+�l�mentaire; construction des �l�ments de l'�lasso�de central � l'aide d'une
+surface �l�mentaire donn�e. Construction ponctuelle d'un �lasso�de en utilisant
+deux lignes de longueur nulle.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{VII.}}
+Tout �lasso�de est le lieu d'une $\infty^3$ de courbes lieux des
+centres de courbure de courbes gauches, qui sont les lignes doubles de toutes
+les congruences isotropes satisfaisantes.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{VIII.}}
+�tude des surfaces moyennes des congruences isotropes;
+elles s'introduisent en g�om�trie cin�matique; elles correspondent par orthogonalit�
+des �l�ments � la sph�re. Sur l'�lasso�de moyen et la surface
+moyenne les asymptotiques se correspondent; relations entre les courbures
+des deux surfaces. Une surface moyenne ne peut �tre �lasso�de sans �tre
+une surface de vis � filet quarr�.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{IX.}}
+Formules g�n�rales de repr�sentation sph�rique. �lasso�des
+group�s, d�riv�s d'un r�seau isom�trique de la sph�re; ils sont applicables
+sur l'un d'entre eux.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{X.}}
+D�finition des �lasso�des conjugu�s, des �lasso�des stratifi�s.
+Deux surfaces qui se correspondent par orthogonalit� et �galit� des �l�ments
+sont deux �lasso�des conjugu�s.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XI.}}
+Solution du probl�me de Bj�rling. D�finition de contours
+conjugu�s. Une surface gauche arbitraire d�finit deux contours conjugu�s.
+Contours correspondants � une ligne plane.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XII.}}
+Calculs au sujet de la d�rivation des �lasso�des du plan.
+�lasso�des transcendants � lignes alg�briques.
+\end{Summary}
+
+%% -----File: 015.png---Folio 9-------
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XIII.}}
+Lignes de courbure des �lasso�des. Exemples de lignes
+alg�briques ou d�pendant des fonctions elliptiques.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XIV.}}
+On peut mettre simultan�ment sur un �lasso�de les courbes
+pour lesquelles $R = � k\rho$. Recherche de ces courbes; �lasso�des qui les
+admettent pour g�od�siques. Lignes alg�briques.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XV.}}
+Nouvelles propri�t�s des congruences isotropes d�riv�es du
+plan. Courbes de contact de c�nes dont les sommets sont en ligne droite.
+Nouvelle d�finition des �lasso�des.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XVI.}}
+Propri�t�s des lignes de niveau des �lasso�des group�s;
+rotation des lignes de niveau par d�formation.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XVII.}}
+Propri�t� caract�ristique des congruences compos�es des
+g�n�ratrices d'une famille de quadriques homofocales.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef{XVIII.}}
+Recherche des �lasso�des alg�briques passant par un
+cercle.
+\end{Summary}
+
+% [** PP: Chapter not present, remaining numbers off by one]
+\begin{Summary}{Chapitre~XIX.}\footnote
+  {\textit{Voir} \hyperref[Tnote]{Notes sur la transcription},
+  page~\pageref{Tnote}.}
+�tude des �lasso�des d�riv�s des quadriques � centre,
+homofocales.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef[XIX.]{XX.}}
+�tude des �lasso�des d�riv�s des parabolo�des du deuxi�me
+ordre, homofocaux.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef[XX.]{XXI.}}
+Recherche des �lasso�des applicables sur des surfaces de
+r�volution. �quations des �lasso�des du neuvi�me et du douzi�me ordre.
+\end{Summary}
+
+\begin{Summary}{\ChapRef[XXI.]{XXII.}}
+�nonc� de plusieurs propri�t�s relatives aux �lasso�des.
+Renvoi � la th�orie de la correspondance par orthogonalit� des �l�ments.
+G�n�ralisations se rattachant plus directement � la th�orie des couples de
+surfaces applicables l'une sur l'autre. Sur le probl�me de la correspondance
+de deux surfaces par correspondance des plans tangents et des lignes
+isotropes.
+\end{Summary}
+
+% [** PP: Note book contains no Chapter XXIII]
+\begin{Summary}{\ChapRef[XXII.]{XXIII.}}
+Conclusions: \emph{Desiderata} de l'�tude entreprise et r�sultats
+obtenus.
+\end{Summary}
+\phantomsection\label{Summ2}
+
+Telles sont les lignes principales de l'�tude que nous allons maintenant
+d�tailler.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 016.png---Folio 10-------
+
+
+\Chapter{II.}
+{CONSID�RATIONS G�OM�TRIQUES DIRECTES AU SUJET DES �LASSO�DES.}
+
+\Section{7.}
+{En chaque point d'un �lasso�de la courbure moyenne est nulle.}
+
+L'existence des �lasso�des se d�duit du probl�me pos� pour la premi�re
+fois par Lagrange: \emph{trouver la surface � �tendue minima limit�e � un contour
+d�termin�}.
+
+Soit $(C)$ un contour ferm�, gauche. Admettons qu'il existe une surface~$(O)$,
+passant par~$(C)$, ne pr�sentant � l'int�rieur aucune nappe infinie et jouissant
+du caract�re de minimum; celui-ci sera r�alis� si toute surface~$(O')$, infiniment
+voisine de~$(O)$, et passant comme elle par le contour~$(C)$, a une �tendue
+comprise � l'int�rieur du contour ne diff�rant de l'�tendue correspondante
+de la surface~$(O)$ que par un infiniment petit du second ordre (les quantit�s
+qui mesurent l'�cart des surfaces $(O)$ et~$(O')$ �tant des infiniment petits du
+premier ordre).
+
+Il importe d'observer que le mode de correspondance des surfaces $(O)$ et~$(O')$
+est arbitraire; il doit simplement satisfaire � ces conditions, qu'aux
+points correspondants les plans tangents fassent entre eux des angles infiniment
+petits du premier ordre et que le contour~$(C)$ se corresponde � lui-m�me
+sur les deux surfaces. En particulier, le long de ce contour, les plans
+tangents correspondants doivent faire des angles infiniment petits du premier
+ordre.
+
+Ces restrictions pr�alables vont montrer tout � l'heure pourquoi la solution
+du probl�me de Lagrange n'est r�ellement jamais obtenue.
+
+%% -----File: 017.png---Folio 11-------
+
+Puisque le mode de correspondance des surfaces $(O)$ et~$(O')$ est arbitraire,
+il est naturel d'avoir recours au suivant: prendre comme points correspondants
+$a'$ et~$a$ deux points de~$(O')$ et de~$(O)$ situ�s sur une m�me normale
+�~$(O)$. Il est clair que si $(O)$ et~$(O')$ n'ont pas de nappes infinies et sont infiniment
+voisines, les restrictions obligatoires sont observ�es.
+
+Ceci pos�, tra�ons sur $(O)$ un petit contour ferm�~$(a)$ et, tout le long,
+menons les normales � la surface~$(O)$: elles vont d�couper, sur~$(O')$, un contour
+ferm�~$(a')$, correspondant �~$(a)$. La longueur~$aa'$ du segment compt�
+sur la normale et limit�e aux deux surfaces, pour tous les points du contour,
+est un infiniment petit du premier ordre; sa valeur moyenne peut donc
+s'�crire $H � d\rho$ (o� $H$ est une fonction finie). D�signons donc par~$d(a)$ l'aire du
+contour~$(a)$, par~$d\theta$ l'aire sph�rique (entendue � la fa�on de Gauss) de ce
+m�me contour; enfin soient $R_1$ et~$R_2$ les rayons de courbure principaux
+de~$(O)$ pour un point moyen pris � l'int�rieur du contour~$(a)$.
+
+D'apr�s un th�or�me de Gauss, on a
+\[
+d(a) = R_1 � R_2\, d\theta,
+\]
+� une quantit� infiniment petite pr�s, par rapport �~$d(a)$.
+
+De m�me fa�on:
+\[
+d(a') = (R_1 + H\, d\rho)(R_2 + H\, d\rho) \frac{d\theta}{\cos i},
+\]
+si $i$ d�signe l'angle des plans tangents en $a$ et~$a'$. Mais on doit �crire:
+\[
+d(a') = d(a) + \Delta d(a)
+\]
+et comme l'angle $i$ est infiniment petit du premier ordre, on est en droit
+d'�crire, au degr� d'approximation pr�cit�
+\[
+\frac{\Delta d(a)}{d\theta} = (R_1 + R_2) � H\, d\rho + H^2\, d\rho^2.
+\]
+
+Ceci s'applique � deux surfaces infiniment voisines quelconques, et l'on
+voit que~$\Delta d(a)$ est ainsi du troisi�me ordre infinit�simal, en g�n�ral.
+
+D�s lors, l'int�grale des �l�ments semblables �tendue jusqu'au contour~$(C)$
+sera en g�n�ral une quantit� infiniment petite du premier ordre.
+
+%% -----File: 018.png---Folio 12-------
+
+Or, si le minimum a lieu, il faut que cette quantit� soit infiniment petite
+du second ordre, et le terme correspondant de~$\Delta d(a)$ doit dispara�tre.
+
+On doit donc avoir, tout d'abord,
+\[
+R_1 + R_2 = 0.
+\]
+
+\begin{Emph}
+\emph{Ainsi,} la premi�re condition du minimum est qu'en chaque point de la
+surface minima, les rayons de courbure principaux soient �gaux et de
+signes contraires.
+\end{Emph}
+
+Cette condition �quivaut � l'�quation diff�rentielle des �lasso�des; comme
+elle lie deux �l�ments de courbure, l'�quation est du second ordre et par
+cons�quent son int�grale g�n�rale ne comporte que deux fonctions arbitraires
+distinctes (on verra plus loin le parti qu'il faut tirer de cette remarque).
+
+\Section{8.}
+{Aire d'une portion d'�lasso�de \upshape(\textsc{int�grale de Riemann}).}
+
+Afin de pousser plus avant la solution du probl�me de Lagrange il importe
+de chercher � �valuer imm�diatement l'aire dont on demande le minimum;
+les consid�rations qui pr�c�dent rendent cette recherche facile.
+
+Consid�rons en effet une famille d'�lasso�des se succ�dant par variations
+insensibles, command�es par celles d'un param�tre, et soient $(O)$ et~$(O')$
+deux �lasso�des infiniment voisins. Soient $(\alpha)$ et~$(\alpha')$ deux contours ferm�s,
+correspondants, trac�s sur ces deux surfaces, $(A)$ et~$(A) + \Delta(A)$ les aires
+limit�es � ces contours. Quelle que soit la loi de variation des �lasso�des, il
+est facile de trouver une expression g�om�trique de~$\Delta(A)$. Si, en effet, le long
+de~$(\alpha)$, nous menons au premier �lasso�de la \emph{normalie} qu'il d�termine, cette
+surface gauche trace sur~$(O')$ un contour ferm�~$(\alpha'')$, et, d'apr�s ce qui a �t�
+dit plus haut, l'aire de~$(O')$, limit�e au contour~$(\alpha'')$, ne diff�re de l'aire de~$(O)$,
+limit�e au contour~$(\alpha)$, que d'une quantit� infiniment petite du second ordre
+(l'aire �tant finie). Par cons�quent la variation $\Delta(A)$ est repr�sent�e, � un
+infiniment petit du second ordre pr�s, par la couronne comprise entre les
+%% -----File: 019.png---Folio 13-------
+contours $(\alpha')$ et~$(\alpha'')$. Ce qui pr�c�de indique suffisamment ce qu'il y aurait
+lieu de compter positif ou n�gatif si les contours se rencontraient.
+
+Ceci pos�, comme on est ma�tre de consid�rer telle loi de variation des
+�lasso�des que l'on veut, il convient, pour la recherche de l'aire, de prendre
+la loi de variation la plus simple, savoir celle de la similitude: dans cette
+hypoth�se, si $k$ est le param�tre de similitude, on aura
+\[
+(A) + \Delta(A) = (A)(1 + dk)^2 = (A)(1 + 2\,dk + dk^2),
+\]
+donc, au degr� d'approximation requis,
+\[
+\Delta(A) = 2 � dk(A);
+\]
+si donc l'on parvient � calculer l'aire du ruban compris entre $(\alpha')$ et~$(\alpha'')$, la
+valeur de l'aire~$(A)$ en r�sultera.
+
+Prenons pour p�le de similitude un point de l'espace~$S$, soit~$P$ le plan tangent
+� la surface~$(O')$, au point~$a'$, $T$ la tangente au contour~$(\alpha)$; projetons
+le point~$a''$ en~$\beta$ sur~$a'T$ et~$S$ en~$B$ sur cette m�me droite. Il est clair que,
+si $d\sigma$ d�signe l'�l�ment de courbe~$(a')$, on a, pour l'�l�ment d'aire du ruban
+limit� aux contours $(a')$, $(a'')$,
+\[
+d\sigma � a''\beta.
+\]
+
+Si $\omega$ est l'angle du plan~$P$ et du plan contenant la droite~$T$ et le point~$S$,
+on a
+\[
+a''\beta = a\beta � \cos\omega.
+\]
+Mais la similitude des triangles $SBa'$ % [** PP: Spacing SB a' in original]
+et $a\beta a'$ donne
+\[
+a\beta = SB � \frac{aa'}{Sa'}.
+\]
+
+D'un autre c�t�:
+\[
+\frac{aa'}{Sa'} = \frac{dk}{1 + dk},
+\]
+par cons�quent on peut �crire:
+\[
+\Delta(A) = 2\, dk(A) = \int d\sigma � SB\cos\omega\, dk,
+\]
+%% -----File: 020.png---Folio 14-------
+il en r�sulte
+\[
+(A) = \int \frac{d\sigma � SB}{2} \cos \omega.
+\]
+
+C'est l'expression donn�e par Riemann.
+
+L'�l�ment de l'int�grale n'est autre chose que la projection du triangle
+infinit�simal $a'a'_1S$ sur le plan tangent en~$a'$ � l'�lasso�de.
+
+
+\Section{9.}
+{Aire d'une portion finie d'�lasso�de inscrite � un c�ne.}
+
+Signalons en passant le cas o� $\omega$ est constant tout le long du contour~$(\alpha)$:
+\emph{Lorsqu'un �lasso�de coupe, sous un angle constant, un c�ne et lorsque la
+portion de surface comprise dans le contour d'intersection est ferm�e, sans
+nappes infinies, l'aire de cette portion de surface est proportionnelle � celle
+de la surface du c�ne limit�e au m�me contour et au sommet.}
+
+\emph{Dans le cas o� le c�ne est tangent � l'�lasso�de, les deux surfaces sont
+�quivalentes.}
+
+L'int�grale donn�e ci-dessus montre tout d'abord que l'aire d'un �lasso�de,
+et par cons�quent la surface elle-m�me, d�pendent non-seulement du contour
+donn� $(\alpha)$, mais encore des plans tangents en chacun des points de ce
+contour. Il y a donc une infinit� d'�lasso�des passant par un contour donn�.
+
+Il convient de poser, avec Bj�rling, le probl�me de la construction d'un
+�lasso�de circonscrit � une d�veloppable d�termin�e le long d'un contour
+trac� sur celle-ci.
+
+
+\Section{10.}
+{Int�grale invariante le long d'un contour ferm�.}
+
+Remarquons, d'un autre c�t�, que si la consid�ration d'homoth�tie a
+disparu de l'int�grale, celle du point fixe dans l'espace a persist�, quoique
+l'aire de l'�lasso�de soit ind�pendante de ce point choisi arbitrairement. Il
+%% -----File: 021.png---Folio 15-------
+en r�sulte que l'expression
+\[
+\int \frac{d\sigma � SB}{2} � \cos \omega
+\]
+�tendue � un contour ferm� trac� sur une d�veloppable, est \emph{invariante}, quelle
+que soit la position du point fixe~$S$ dans l'espace.
+
+On trouvera l'expression de l'aire d'une portion d'�lasso�de quand on saura
+trouver une famille d'�lasso�des dont les surfaces varieront proportionnellement,
+et il n'est pas besoin pour cela que les �lasso�des soient tous semblables
+et semblablement plac�s.
+
+
+\Section{11.}
+{D�finition des probl�mes de Monge et de Bj�rling.}
+
+Au point o� nous en sommes arriv�, on comprend que le probl�me de
+Lagrange (\emph{faire passer par un contour donn� une surface d'aire minima})
+sera susceptible de solution, seulement quand on saura construire tous les
+�lasso�des passant par un contour et ne pr�sentant \emph{pas de nappes infinies �
+l'int�rieur de ce contour}. Ainsi est-on amen�, par la n�cessit�, � r�soudre successivement
+les probl�mes de Monge et de Bj�rling, savoir:
+
+\begin{Problem}{Probl�me de Monge:}
+Construire toutes les surfaces � courbure moyenne
+nulle {\upshape(}�lasso�des{\upshape)}, c'est-�-dire en chaque point desquelles les rayons de courbure
+principaux sont �gaux et de signes contraires.
+\end{Problem}
+
+\begin{Problem}{Probl�me de Bj�rling:}
+Construire l'�lasso�de circonscrit � une surface
+d�veloppable donn�e, % [** PP: Typo donn�]
+le long d'un contour d�termin�.
+\end{Problem}
+
+Leur solution fera l'objet des chapitres qui vont suivre.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 022.png---Folio 16-------
+
+
+\Chapter{III.}
+{SOLUTION DU PROBL�ME DE MONGE.}
+
+\Section{12.}
+{Sur un �lasso�de les lignes de longueur nulle sont toujours conjugu�es.}
+
+Trouver un �lasso�de c'est d�couvrir une surface telle qu'en chacun de ses
+points l'\emph{indicatrice}\footnote
+  {Il s'agit de l'indicatrice de \textsc{Charles Dupin}, qui donne l'image de la variation des courbures
+  dans chaque azimuth.}
+soit une hyperbole �quilat�re. La condition d'�galit�
+des axes d'une conique s'exprime en disant que celle-ci passe par les
+\emph{ombilics} de son plan (cercle), de m�me l'hyberbole �quilat�re dont les
+carr�s des axes sont �gaux et de signes contraires, se caract�rise par ce fait
+que \emph{les diam�tres isotropes sont conjugu�s}.
+
+Cette simple remarque conduit � cette cons�quence capitale: si sur un
+�lasso�de on trace les deux s�ries de \emph{lignes isotropes}, ar�tes de rebroussement
+des d�veloppables isotropes circonscrites � la surface, on obtient deux
+familles de courbes conjugu�es. La r�ciproque n'est pas moins �vidente.
+
+En cons�quence \emph{toute d�veloppable isotrope doit �tre consid�r�e comme
+un �lasso�de}.
+
+En effet, sur une d�veloppable une g�n�ratrice est conjugu�e de toute
+direction tangente � la surface et qui la rencontre; elle est aussi � elle-m�me
+sa propre conjugu�e.
+
+Or, sur une d�veloppable isotrope, les deux familles de lignes isotropes
+co�ncident entre elles et avec les g�n�ratrices; elles sont � elles-m�mes leurs
+%% -----File: 023.png---Folio 17-------
+propres conjugu�es, donc elles caract�risent les �lasso�des. Ainsi se trouve,
+au d�but de cette �tude, le r�sultat mis en lumi�re, pour la premi�re fois,
+par M.~J. Serret (\textit{Journal de Liouville}, t.~XI, 1846) et dont nous d�duirons
+presque intuitivement la solution du probl�me de Monge.
+
+
+\Section{13.}
+{Propri�t�s des congruences harmoniques.}
+
+Il convient de faire un moment diversion pour rappeler quelques notions
+tr�s-simples relatives aux \emph{congruences harmoniques}.
+
+Soient $(A)$ et~$(B)$ deux surfaces arbitraires dont nous ferons correspondre
+les points par parall�lisme des plans tangents. Soient $A$ et~$B$ deux points
+correspondants, les droites telles que $AB$ engendrent une \emph{congruence harmonique},
+c'est-�-dire telle que si on la d�compose en ses deux familles
+de d�veloppables, celles-ci tracent, sur les surfaces $(A)$ et~$(B)$, deux familles
+de courbes conjugu�es.
+
+La proposition sera d�montr�e si l'on fait voir que les indicatrices des
+surfaces $(A)$ et~$(B)$ ont toujours deux diam�tres conjugu�s parall�les. M.~de
+la Gournerie a donn�, de ceci, une d�monstration r�duite � l'�vidence en
+montrant que l'on peut toujours: \primo~amener les coniques � avoir m�me
+centre; \secundo~en r�duire une de telle fa�on qu'elle devienne doublement tangente
+� l'autre; le diam�tre de contact et les tangentes sont manifestement les
+directions cherch�es.
+
+Ainsi, dans le cas qui nous occupe, la congruence est harmonique par
+rapport aux surfaces $(A)$ et~$(B)$; il est clair qu'elle l'est �galement par
+rapport � chacune des surfaces divisant, en segments proportionnels, les
+cordes telles que~$AB$, surfaces correspondant �~$(A)$ et~$(B)$ par parall�lisme
+de leurs plans tangents.
+
+Particularisons un peu, en supposant d�veloppables les surfaces $(A)$ et~$(B)$,
+que nous avions prises arbitraires.
+
+Soient $T_a$ et~$T_b$ les g�n�ratrices de ces deux surfaces situ�es dans deux
+plans tangents parall�les ou non, d�signons par $(A)$, $(B)$ les ar�tes de rebroussement
+%% -----File: 024.png---Folio 18-------
+des deux d�veloppables. La congruence des droites $AB$ existe
+toujours, elle se d�compose en deux familles de surfaces principales qui sont
+les c�nes ayant leurs sommets en tous les points de~$(A)$ et contenant~$(B)$,
+ou inversement. Les surfaces, lieux des points qui divisent les segments~$AB$
+en parties proportionnelles, existent toujours, les c�nes pr�cit�s les d�coupent
+suivant deux familles de courbes semblables aux courbes $(A)$ et~$(B)$, chaque
+famille se composant de courbes identiques. De plus (et c'est le point principal)
+ces familles de courbes sont conjugu�es.
+
+
+\Section{14.}
+{Construction ponctuelle d'un �lasso�de avec deux d�veloppables isotropes.}
+
+Particularisons davantage et supposons que $(A)$ et~$(B)$ sont deux d�veloppables
+isotropes.
+
+Dans ce cas les droites $T_a$ et~$T_b$ sont isotropes; par cons�quent elles sont
+parall�les aux droites isotropes de tout plan parall�le � ces deux droites.
+
+Mais les surfaces divisant en parties proportionnelles les segments tels que
+$AB$ sont coup�es par les c�nes principaux suivant des courbes identiques (�
+l'homoth�tie pr�s) aux ar�tes de rebroussement $(A)$ et~$(B)$, dont par cons�quent
+les tangentes, comme celles de~$(A)$ et de~$(B)$, sont isotropes. Ces deux
+familles de courbes (comme dans le cas g�n�ral) sont conjugu�es.
+
+On peut donc �noncer ce th�or�me important:
+
+\begin{Emph}
+Soient $(A)$ et~$(B)$ les ar�tes de rebroussement de deux d�veloppables
+isotropes arbitraires, si l'on joint de deux en deux les points de~$(A)$ et de~$(B)$
+et que l'on divise, en parties proportionnelles, les segments ainsi
+obtenus, le lieu des points de division est un �lasso�de.
+\end{Emph}
+
+Or, une d�veloppable est d�termin�e quand on se donne deux directrices;
+une d�veloppable isotrope, d�j� assujettie � contenir l'ombilicale, est d�finie
+par une seule autre directrice; par cons�quent, une d�veloppable de cette
+nature correspond � une fonction arbitraire. %[** PP: Added .]
+
+%% -----File: 025.png---Folio 19-------
+
+Ainsi la construction que nous venons de donner des �lasso�des contient
+deux fonctions arbitraires, elle conduit donc (d'apr�s une remarque du
+chapitre pr�c�dent) � l'int�grale g�n�rale du probl�me de Monge.
+
+Les �lasso�des sont donc, de deux mani�res, des surfaces \emph{moulures}; les
+profils sont imaginaires. Les surfaces peuvent pourtant �tre r�elles, mais �
+condition que les d�veloppables isotropes $(A)$ et~$(B)$ seront imaginaires
+conjugu�es. En cons�quence les �lasso�des r�els ne contiennent, dans leur
+d�finition, qu'une seule fonction arbitraire.
+
+Nous montrerons plus loin comment nous avions �t� amen� au r�sultat
+qui pr�c�de avant de lire, dans le \emph{Bulletin des sciences math�matiques}
+(novembre 1879), le r�sum� des m�moires de M.~Sophus Lie.
+
+
+\Section{15.}
+{Construction ponctuelle d'un �lasso�de d�riv� de deux �lasso�des.}
+
+Si, dans ce qui pr�c�de, on prend pour $(A)$ et~$(B)$ deux �lasso�des se
+correspondant par parall�lisme de leurs plans tangents, les surfaces divisant,
+en segments proportionnels, le segment variable $AB$ sont encore des �lasso�des,
+puisque les traces principales de la congruence sur chacune de ces
+surfaces ont leurs tangentes parall�les aux droites isotropes des plans tangents
+en~$A$ et~$B$ �~$(A)$ et~$(B)$ et qu'en outre ces directions sont conjugu�es.
+
+C'est m�me en faisant cette observation que nous avons �t� conduit �
+particulariser les surfaces $(A)$ et~$(B)$ dont la d�finition comporte en apparence
+quatre fonctions arbitraires, mais dont en r�alit� deux sont surabondantes.
+
+
+\Section{16.}
+{�lasso�des stratifi�s.}
+
+Deux d�veloppables isotropes arbitraires et arbitrairement plac�es dans
+l'espace, donnent lieu � une famille d'�lasso�des que nous nommerons
+\emph{stratifi�s} pour rappeler qu'ils se correspondent par parall�lisme de leurs
+%% -----File: 026.png---Folio 20-------
+plans tangents. Ces �lasso�des jouissent de propri�t�s fort singuli�res; elles
+seront d�velopp�es dans un chapitre sp�cial. Ils comprennent comme limites
+les deux surfaces d�veloppables $(A)$ et~$(B)$ qui ont servi � les engendrer.
+Chacun des �lasso�des de la famille se distingue par la valeur d'un coefficient
+aff�rent au rapport de division du segment~$AB$, mais il est bien clair qu'on
+ne particularise en aucune fa�on en supposant le coefficient �gal � \emph{un}
+puisque les deux fonctions arbitraires caract�risant la g�n�ralit� de la d�finition
+restent g�n�rales. En cons�quence on peut dire que \emph{tout �lasso�de est
+le lieu des milieux des segments de droites limit�s � la rencontre de deux
+lignes de longueur nulle}.
+
+Il peut se faire que les deux lignes $(A)$ et~$(B)$ soient \emph{identiques}, c'est-�-dire
+appartiennent � une m�me courbe; dans ce cas, nous dirons, avec
+M.~Sophus Lie, que l'�lasso�de est double.
+
+
+\Section{17.}
+{Le plan de l'infini coupe un �lasso�de seulement suivant des droites.}
+
+Nous d�duirons de ce qui pr�c�de une seule cons�quence: \emph{la section d'un
+�lasso�de, par le plan de l'infini, se compose de droites} (r�sultat �nonc� depuis
+longtemps par Geiser).
+
+Il est clair en effet qu'on peut substituer aux d�finitions donn�es pr�c�demment
+la suivante:
+
+Tout �lasso�de est le lieu d'un point associ� sur les droites $AB$ rencontrant
+deux lignes de longueur nulle $(A)$ et~$(B)$, au point de l'infini, et tel que le
+rapport anharmonique des deux points associ�s et des points $A$ et~$B$ ait une
+valeur constante.
+
+Dans ces conditions, un point de l'�lasso�de, situ� � l'infini, correspond �
+deux points de~$(A)$ et~$(B)$ �galement situ�s � l'infini; d�s lors, le point de
+rencontre de la droite~$AB$, avec le plan de l'infini, est ind�termin�, par cons�quent
+la droite, tout enti�re, appartient � l'�lasso�de.
+
+Nous ne poursuivrons pas dans cette voie les belles cons�quences que M.~Lie
+%% -----File: 027.png---Folio 21-------
+a d�velopp�es avec un grand talent; d�sireux d'aborder des consid�rations
+nouvelles, nous n'entrerons pas dans la discussion des nombres d�terminant
+le degr� et la classe d'un �lasso�de, en fonction des nombres caract�ristiques
+de la classe, du degr�, du rang et des singularit�s � l'infini, des d�veloppables
+isotropes $(A)$ et~$(B)$.
+
+En terminant ce chapitre, observons que si le probl�me de Monge est,
+ainsi, compl�tement r�solu, la solution n'est pas d�pourvue d'imaginaires.
+Bien que ce \emph{desideratum} paraisse aujourd'hui assez oiseux, nous montrerons
+plus loin comment on y satisfait par la consid�ration des congruences
+isotropes.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 028.png---Folio 22-------
+
+
+\Chapter{IV.}
+{DES CONGRUENCES ISOTROPES.}
+
+Si nous �crivions un trait� didactique, nous serions amen� � r�soudre en
+ce moment et par des proc�d�s synth�tiques, le probl�me de Bj�rling, mais
+il nous para�t pr�f�rable de suivre la marche d'invention plus f�conde en
+aper�us \emph{lat�raux} et par cons�quent susceptible, mieux qu'une synth�se
+�troite, de faire appr�cier les nombreuses attaches g�om�triques de probl�mes
+relatifs aux �lasso�des. A ce point de vue, il ne sera pas indiff�rent,
+� raison de la nouveaut� et de la pr�cision des r�sultats, d'indiquer les consid�rations
+qui nous ont conduit � l'\emph{�tude des congruences isotropes} laquelle
+fera plus sp�cialement l'objet de ce chapitre. Nous supprimons d'ailleurs
+toute d�monstration des r�sultats �trangers � l'�tude proprement dite.
+
+
+\Section{18.}
+{Courbes sym�triques par rapport aux plans tangents d'une surface le long
+d'une courbe unique, correspondant aux premi�res avec orthogonalit�
+des plans tangents aux surfaces �l�mentaires. La courbe unique est
+asymptotique.}
+
+En g�n�ral, �tant donn�es deux surfaces $(A)$ et~$(B)$ et une congruence
+arbitraire de droites telles que~$AB$, il y a seulement deux paires de lignes
+$(a)$ et~$(b)$ trac�es sur $(A)$ et~$(B)$ se correspondant une � une et telles que les
+plans tangents aux abouts du segment~$AB$ des surfaces gauches �l�mentaires
+%% -----File: 029.png---Folio 23-------
+ayant pour traces sur $(A)$ et~$(B)$ les courbes $(a)$ et~$(b)$, soient rectangulaires.
+
+Dans ce qui suit, nous appellerons~$D$ la droite instantan�e de la congruence
+et~$(D)$ cette congruence elle-m�me.
+
+Si l'on fait r�fl�chir les rayons $D$ de la congruence sur la surface $(A)$ et
+que l'on consid�re la surface~$(C)$ lieu des points~$C$ sym�triques des points~$B$
+par rapport aux plans tangents de~$(A)$, les surfaces $(A)$ et~$(C)$ donneront lieu
+comme le couple $(A)$~$(B)$ � deux paires de courbes $(a')$ et~$(c)$ correspondantes
+et telles qu'aux abouts du segment~$AC$, les plans tangents aux
+surfaces �l�mentaires de la congruence~$(D')$ r�fl�chie [ayant pour traces sur
+$(A)$ et~$(C)$ les courbes $(a')$ et~$(c)$] soient rectangulaires.
+
+\emph{En g�n�ral, les paires de courbes $(a)$ et~$(a')$ ne co�ncident pas. Lorsqu'elles
+co�ncident entre elles, elles sont les lignes asymptotiques de la surface~$(A)$.}
+
+Dans ce cas, la position de la droite $BC$ est d�finie sans quadrature; les
+surfaces $(B)$ et~$(C)$ sont uniques, et il suffit de conna�tre la congruence~$(D)$
+(qui est particuli�re) ind�pendamment de la surface~$(B)$.
+
+La congruence $(D)$ et la congruence r�fl�chie~$(D')$ satisfont � une seule
+et m�me �quation diff�rentielle.
+
+
+\Section{19.}
+{Cas o� les deux congruences sym�triques sont form�es de normales
+� des surfaces. Ce sont des congruences de Dupin.}
+
+Si l'on veut qu'une congruence $(D)$ soit satisfaisante [par cette locution,
+employ�e g�n�ralement dans ce m�moire, nous entendons qu'un syst�me g�om�trique
+v�rifie les conditions du probl�me dont on s'occupe] et qu'en outre
+elle soit form�e de normales � des surfaces, le probl�me se pr�cise et donne
+lieu aux remarques suivantes:
+
+\primo~\emph{La droite $BC$ passe par le point de contact du plan d'incidence~$BAC$
+avec l'envelopp�e qu'il touche constamment;}
+
+\secundo~\emph{Les traces $(\alpha)$, $(\alpha')$ sur $(A)$ des paires de d�veloppables suivant lesquelles
+on peut d�composer les congruences $(D)$ et~$(D')$ co�ncident;}
+
+%% -----File: 030.png---Folio 24-------
+
+\tertio~\emph{Ces courbes $(\alpha)$ et~$(\alpha')$, co�ncidant entre elles, sont conjugu�es. D�s lors,
+les congruences $(D)$ et~$(D')$ sont des congruences de Dupin;}
+
+\quarto~\emph{Enfin, si l'on particularise davantage et qu'on veuille que les surfaces
+$(B)$ et~$(C)$ soient trajectoires des droites des congruences $(D)$ et~$(D')$, il
+faut alors que ces surfaces $(B)$ et~$(C)$ soient les deux nappes d'une enveloppe
+de sph�res ayant leurs centres sur~$(A)$ et orthogonales � une sph�re fixe.}
+
+Ces r�sultats, o� figurent � la fois les lignes asymptotiques, les congruences
+de Dupin et les surfaces anallagmatiques pr�tent un v�ritable int�r�t � la
+correspondance par orthogonalit�, qui leur donne naissance.
+
+
+\Section{20.}
+{G�n�ration des normales aux surfaces anallagmatiques du quatri�me ordre.}
+
+Une application fort �l�gante de ce qui pr�c�de se rapporte � la g�n�ration
+des surfaces anallagmatiques du quatri�me ordre indiqu�e par M.~Laguerre,
+dans les termes suivants:
+
+\begin{Emph}
+Si par toutes les droites d'un plan on m�ne, � deux quadriques homofocales,
+deux plans tangents et que l'on joigne, par une droite, les points de
+contact, la congruence form�e par les droites de m�me g�n�ration est aussi
+form�e des normales � une surface anallagmatique du quatri�me ordre.
+\end{Emph}
+
+Si nous avons indiqu� les r�sultats pr�c�dents, c'est pour montrer comment
+nous avons �t� naturellement amen� � l'�tude des congruences isotropes.
+
+
+\Section{21.}
+{Congruences rencontrant deux surfaces suivant une infinit� de courbes
+correspondantes, le long desquelles les plans tangents aux surfaces �l�mentaires
+sont rectangulaires.}
+
+Nous avons dit qu'en g�n�ral, sur deux surfaces $(A)$ et~$(B)$ une congruence
+$(D)$ d�coupe seulement deux paires de courbes $(a)$ et~$(b)$ telles qu'aux abouts
+%% -----File: 031.png---Folio 25-------
+du segment~$AB$, les plans tangents aux surfaces �l�mentaires de la congruence
+soient rectangulaires. \emph{Mais il peut arriver, en particulier, qu'il y ait plus de
+deux paires de courbes. S'il en est ainsi, il y en a une infinit�.} C'est ce que
+nous allons d�montrer.
+
+Soient $(A)$ et~$(B)$ deux surfaces (arbitraires jusqu'� nouvel ordre), soit~$D$
+la droite d'une congruence~$(D)$ joignant les points correspondants $A$,~$B$.
+Si, par les milieux des segments~$AB$, on �l�ve des plans perpendiculaires
+aux cordes~$AB$, ils toucheront une certaine surface~$(O)$ que nous prendrons
+pour surface de r�f�rence. M�me, pour simplifier les calculs, nous supposerons
+que les lignes coordonn�es $(u)$, $(v)$ sont les lignes de courbure
+de~$(O)$.
+
+$\xi$, $\eta$, $\zeta$ �tant les coordonn�es instantan�es du point~$A$,
+
+$\xi$, $\eta$, $-\zeta$ seront les coordonn�es instantan�es du point~$B$.
+
+Si l'on suit, sur~$(O)$, une ligne satisfaisante (c'est-�-dire telle que les plans
+tangents � la surface �l�mentaire engendr�e par~$D$ soient rectangulaires en
+$A$ et~$B$), on aura
+\[
+1 + \frac{\Delta Y_A - \Delta Y_B}{\Delta X_A - \Delta X_B} = 0.
+\]
+
+En effet, si $\theta$ d�signe l'angle du plan tangent en~$A$, � la surface �l�mentaire,
+avec le plan~$ZOX$, on a manifestement
+\[
+\tg \theta = \frac{\Delta Y_A}{\Delta X_A},
+\]
+$\Delta X_A$ et~$\Delta Y_A$ ayant les valeurs d�duites des \Eqref{formules}{1}, lorsque l'on particularise
+les axes en supposant que $(u)$ et~$(v)$ soient lignes de courbure,
+c'est-�-dire en annulant~$D$. Par cons�quent, on suivra sur~$(O)$ une ligne
+satisfaisante si
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+&\left[du \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)
+     + dv \left(    \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)\right]^2
+     - P^2 \zeta^2\, du^2 \\
++
+&\left[dv \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right)
+     + du \left(    \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right)\right]^2
+     - Q^2 \zeta^2\, dv^2
+\end{aligned}\ \right\} = 0.
+\]
+
+%% -----File: 032.png---Folio 26-------
+
+%**** Sentence has no verb
+�quation du second degr� en $\frac{dv}{du}$, comme nous l'avions annonc�e. % [** PP: Typo annonc�]
+Dans la
+question qui nous occupe, cette �quation doit �tre identique et alors, suivant
+toutes les directions, les plans tangents aux surfaces �l�mentaires, aux abouts
+des segments~$AB$, sont rectangulaires. Pour que ces circonstances se r�alisent,
+il faut �crire
+\[
+�\frac{P}{Q}
+= \frac{f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv}\eta}
+       {g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi}
+= - \frac{\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv}\xi}
+         {\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta},
+\Tag{4}
+\]
+en m�me temps que:
+\[% [** PP: Breaking wide display]
+\begin{aligned}
+\zeta^2
+&= \frac{\left(f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv}\eta\right)^2
+      + \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv}\xi\right)^2}{P^2} \\
+&= \frac{\left(g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi\right)^2
+      + \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta\right)^2}{Q^2},
+\end{aligned}
+\Tag{5}
+\]
+syst�me qui se r�duit � trois �quations.
+
+
+\Section{22.}
+{�quation des foyers et plans principaux d'une congruence form�e de droites
+parall�les aux normales de la surface de r�f�rence.}
+
+Pour interpr�ter les relations pr�c�dentes, il faut �tablir les �quations des
+foyers et des plans principaux de la congruence~$(D)$.
+
+Conform�ment � ce qui a �t� dit ci-dessus, le plan tangent � la surface
+�l�mentaire, en un point de~$D$ dont l'ordonn�e $\zeta$ peut �tre diff�rente du~$\zeta$  du
+point~$A$, est d�fini par la relation
+\[
+\tg \theta
+= \frac{dv \left(g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi + Q\zeta\right)
+      + du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv}\xi\right)}
+       {du \left(f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv}\eta + P\zeta\right)
+      + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta\right)},
+\]
+o� $\theta$ est l'angle de ce plan et du plan~$ZOX$.
+
+%% -----File: 033.png---Folio 27-------
+
+On sait que les plans principaux sont tangents � toutes les surfaces �l�mentaires,
+aux foyers; on obtiendra donc les valeurs de~$\tg \theta$, aff�rentes aux plans
+principaux, et les valeurs de~$\zeta$, aff�rentes aux foyers, en �crivant que l'�quation
+pr�c�dente est ind�pendante de $du$, $dv$.
+
+Le proc�d� est g�n�ral: nous l'appliquerons � chaque instant dans ce qui
+suivra, mais sans revenir sur sa justification.
+
+On trouve ainsi, pour l'\emph{�quation des points principaux}
+\[% [** PP: Re-breaking]
+\left.
+\begin{aligned}
+& P \tg^2\theta \left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right) \\
+&\qquad
+  - \tg  \theta \left[ P \left(g + \frac{d\eta}{dv}
+                      + \frac{dg}{f\, du}\xi\right)
+  - Q \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)\right] \\
+&\qquad
+  - Q\left[\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right]
+\end{aligned}\ \right\} = 0
+\Tag{6}
+\]
+et pour l'�quation donnant \emph{les~$Z$ des foyers}
+\[% [** PP: Re-breaking]
+\left.
+\begin{aligned}
+PQZ^2
+ &+ Z\left[P\left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right)
+  + Q\left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)\right] \\
+%
+ &+ \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)
+    \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) \\
+ &- \left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
+    \left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right)
+\end{aligned}\ \right\} = 0.
+\Tag{7}
+\]
+
+D�s lors, si $Z_1$ % [** PP: Typo Z]
+et~$Z_2$ sont \emph{les~$Z$ des deux foyers}, on a toujours
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking]
+PQ � Z_1 � Z_2
+  = \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)
+    \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) \\
+  - \left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
+    \left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right).
+\end{multline*}
+
+Si l'on revient au probl�me, on trouve, en tenant compte des \Eqref{�quations}{4}
+et~\hyperref[equation:5]{(5)}
+\[
+Z_1Z_2 = �\zeta^2,
+\]
+premi�re relation qui a lieu dans tous les cas. Faisons maintenant les deux
+hypoth�ses sur le signe.
+
+%% -----File: 034.png---Folio 28-------
+
+\Section{23.}
+{La congruence peut �tre form�e de normales � une surface; les surfaces
+d'about sont les surfaces focales.}
+
+\emph{Premi�re hypoth�se:} mettons le signe $-$ devant~$\frac{P}{Q}$; il vient alors:
+\[
+  P\left(\frac{d\xi}{dv}  - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
+- Q\left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi \right) = 0;
+\]
+mais, si $\theta_1$ et~$\theta_2$ caract�risent les deux plans tangents principaux, l'\Eqref{�quation}{6}
+rapproch�e de la pr�c�dente, montre que celle-ci �quivaut � la relation
+\[
+1 + \tg\theta_1 � \tg\theta_2 = 0.
+\]
+En cons�quence, dans ce cas, \emph{la congruence est form�e des normales � une
+famille de surfaces}.
+
+On a d'ailleurs en m�me temps
+\[
+  P\left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right)
++ Q\left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right) = 0.
+\]
+Cette relation, rapproch�e de l'\Eqref{�quation}{7}, conduit � �crire
+\[
+Z_1 + Z_2 = 0.
+\]
+Comme on a en m�me temps
+\[
+Z_1Z_2 = -\zeta^2:
+\]
+
+Les deux surfaces d'about $(A)$ et~$(B)$ sont les deux surfaces focales de la
+congruence.
+
+En effet, quelles que soient les surfaces �l�mentaires isol�es dans une congruence
+de normales, les plans tangents aux foyers sont rectangulaires.
+
+%% -----File: 035.png---Folio 29-------
+
+\Section{24.}
+{La congruence est isotrope.}
+
+\emph{Deuxi�me hypoth�se:} mettons le signe~$+$ devant~$\frac{P}{Q}$, nous avons alors les
+deux �quations
+\begin{gather*}
+  P\left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
++ Q\left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right) = 0, \\
+%
+  Q\left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)
+- P\left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) = 0,
+\end{gather*}
+en vertu desquelles l'�quation des plans principaux se r�duit �
+\[
+\tg^2\theta + 1 = 0,
+\]
+� moins que l'on n'ait
+\[
+  P\left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
+= Q\left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right) = 0;
+\]
+si cette particularit� se r�alisait, l'\Eqref{�quation}{6} serait enti�rement ind�termin�e;
+par cons�quent la congruence serait form�e de droites parall�les ou
+concourantes.
+
+�cartant cette derni�re hypoth�se, on voit que \emph{les plans principaux de la
+congruence sont isotropes}. Par cons�quent \emph{la congruence est isotrope, c'est-�-dire
+qu'elle a pour focales deux d�veloppables isotropes}.
+
+On trouve, imm�diatement, que les foyers de la congruence sont donn�s
+par l'�quation
+\[
+Z = -\frac{g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi}{Q}
+    �\sqrt{-1} \frac{\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta}{Q};
+\]
+ils sont naturellement imaginaires.
+
+Si l'on d�signe par~$l$ la distance du pied~$M$ de la droite~$D$ au milieu du
+%% -----File: 036.png---Folio 30-------
+segment focal, et par $m\sqrt{-1}$ la valeur du demi-segment focal, on trouve
+\begin{gather*}
+-l = \frac{g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du} \xi}{Q}
+   = \frac{f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv} \eta}{P}, \\[1ex]
+ m = \frac{\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du} \eta}{Q}
+   = -\frac{\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv} \xi}{P};
+\end{gather*}
+on en conclut
+\[
+\zeta^2 = l^2 + m^2.
+\]
+
+
+\Section{25.}
+{Sur une congruence isotrope les points des surfaces d'about sont conjugu�s
+par rapport aux foyers.}
+
+Il importe de d�finir compl�tement les surfaces d'about $(A)$ et~$(B)$ par
+rapport � la congruence isotrope.
+
+L'�quation pr�c�dente (si l'on d�signe par~$F$ le milieu du segment focal)
+�quivaut � la relation
+\[
+FA � FB = -m^2.
+\]
+
+On peut d�s lors �noncer cette propri�t�, qui nous para�t importante:
+
+\begin{Emph}
+Sur les droites d'une congruence isotrope, les points correspondants de
+deux surfaces d'about sont conjugu�s harmoniques par rapport aux foyers
+de la congruence.
+\end{Emph}
+
+Nous d�signons par surfaces d'about, pour abr�ger, les surfaces $(A)$ et~$(B)$
+jouissant de la propri�t� de se correspondre par orthogonalit� des plans
+tangents des surfaces �l�mentaires de la congruence, aux abouts des
+segments tels que~$AB$.
+
+On voit aussi que les surfaces d'about sont transform�es l'une de l'autre
+par une loi analogue � celle des figures inverses (transformation par rayons
+%% -----File: 037.png---Folio 31-------
+vecteurs r�ciproques) et que, quelle que soit la congruence isotrope choisie,
+l'une des surfaces est arbitraire.
+
+Pour donner d�s l'abord un exemple des calculs habituels de la p�rimorphie
+et pour mettre en �vidence un r�sultat tr�s-g�n�ral, nous allons
+montrer comment, lorsqu'on se donne arbitrairement la surface de r�f�rence~$(O)$
+d�finie comme l'envelopp�e des plans moyens perpendiculaires aux
+segments~$AB$ joignant les points de surfaces d'about inconnues, celles-ci
+peuvent �tre d�termin�es.
+
+
+\Section{26.}
+{L'envelopp�e moyenne d'une congruence isotrope est un �lasso�de.}
+
+Ce probl�me serait identique � la recherche de toutes les congruences
+isotropes dont on ferait correspondre les droites par parall�lisme aux
+normales de la surface de r�f�rence prise arbitrairement.
+
+A l'aide des valeurs de $l$ et~$m$, on peut �crire
+\begin{align*}
+-\frac{d\eta}{dv} &=  Ql + g + \frac{dg}{f\, du}\xi,&
+-\frac{d\eta}{du} &=  \phantom{-}Pm - \frac{df}{g\, dv}\xi, \\
+%
+-\frac{d\xi}{du}  &=  Pl + f + \frac{df}{g\, dv}\eta,&
+-\frac{d\xi}{dv}  &= -Qm - \frac{dg}{f\, du}\eta,
+\end{align*}
+et rien n'emp�che de prendre pour variables principales $l$ et~$m$. Exprimant
+que les deux valeurs de $\smfrac{d^2\eta}{du\,dv}$ et de $\smfrac{d^2\xi}{du\, dv}$ sont �gales individuellement et,
+tenant compte des \Eqref{�quations de Codazzi}{3}, il vient simplement:
+\begin{align*}
+\xi  &= \frac{dl}{P\, du} - \frac{dm}{Q\, dv}, \\
+\eta &= \frac{dl}{Q\, dv} + \frac{dm}{P\, du}.
+\end{align*}
+mais il importe de particulariser, afin de mettre en lumi�re, sans effort, la
+propri�t� capitale des congruences isotropes.
+%% -----File: 038.png---Folio 32-------
+
+% [**** PP: New paragraph?] Isabelle: Yes, but no indent
+Puisque la surface de r�f�rence est arbitraire par rapport � la congruence
+isotrope~$(D)$, elle peut co�ncider avec l'\emph{envelopp�e moyenne} de la congruence
+(voir \Secref{2}), on r�alisera cette hypoth�se en annulant~$l$. Il vient alors:
+\begin{align*}
+\xi  &=           -\frac{dm}{Q\, dv}, \\
+\eta &= \phantom{-}\frac{dm}{P\, du},
+\end{align*}
+avec:
+\begin{align*}
+-\frac{d\eta}{dv} &= g + \frac{dg}{f\, du}\xi, &
+-\frac{d\eta}{du} &= -\frac{df}{g\, dv}\zeta, \\
+-\frac{d\xi}{du}  &= f + \frac{df}{g\, dv}\eta, &
+-\frac{d\xi}{dv}  &= -Qm - \frac{dg}{f\, du}\eta.
+\end{align*}
+Substituant les valeurs de $\xi$ et~$\eta$ dans les quatre �quations diff�rentielles,
+on trouve
+\[
+\Tag{8}
+\left.
+\begin{aligned}
+\frac{d^2m}{du\, dv} - \frac{1}{P}\frac{dP}{dv}\frac{dZ}{du}
+                     - \frac{1}{Q}\frac{dQ}{du}\frac{dZ}{dv}
+&= fQ = -gP, \\
+%
+\frac{d}{du}\left(\frac{dZ}{P\, du}\right)
+  + \frac{dP}{Q^2\, dv}\frac{dZ}{dv} + PZ % [**** PP: Should be dZ/du?]
+&= 0, \\
+%
+\frac{d}{dv}\left(\frac{dZ}{Q\, dv}\right)
+  + \frac{dQ}{P^2\, du}\frac{dZ}{dv} + QZ
+&= 0.
+\end{aligned}\ \right\}
+\]
+
+Les deux premi�res �quations entra�nant la relation
+\[
+fQ + gP=0,
+\]
+on voit, d'apr�s la signification de $P$ et~$Q$ (\Secref{4}), que la surface de r�f�rence est
+� courbure moyenne nulle.
+
+Ainsi se trouve �tablie cette proposition, capitale dans notre �tude:
+\emph{L'envelopp�e moyenne, d'une congruence isotrope, est un �lasso�de.}
+
+Avant d'aborder la r�solution du groupe d'\Eqref{�quations}{8}, �tablissons deux
+nouvelles propri�t�s essentielles des congruences isotropes.
+
+%% -----File: 039.png---Folio 33-------
+
+\Section{27.}
+{La recherche des congruences isotropes est ramen�e � celle des
+r�seaux isom�triques orthogonaux de la sph�re.}
+
+Particularisons diff�remment la surface de r�f�rence, en admettant qu'elle
+co�ncide avec une sph�re. Dans ce cas le r�seau $(u, v)$ sera form� d'un
+r�seau orthogonal arbitraire, et rien ne s'oppose � ce que nous le choisissions
+tel que les droites~$D$ soient, � chaque instant, situ�es dans le plan~$ZOX$; ces
+hypoth�ses seront r�alis�es, si l'on fait\footnote{$a$ �tant le rayon de la sph�re.}
+\begin{gather*}
+f = a � P,\quad g = a \Reg{}{�} Q. \\
+\eta = 0.
+\end{gather*}
+
+L'�quation donnant la variation du plan tangent le long d'une droite~$D$
+appartenant � une surface �l�mentaire devient, en appelant~$\rho$ la longueur
+$\zeta+a$ compt�e � partir du centre de la sph�re
+\[
+\tg\theta
+  = \frac{du \left(f_\rho + \dfrac{d\xi}{du}\right) + dv � \dfrac{d\xi}{dv}}
+         {-du\dfrac{df}{g\, dv} � \xi + dv\left(g_\rho + \dfrac{dg}{f\, du} \xi\right)}.
+\Tag{9}
+\]
+
+L'�quation des plans principaux devient
+\[
+  \tg^2\theta � \xi \frac{df}{fg\, dv}
++ \tg\theta \left(\frac{d\xi}{f\, du} - \frac{dg}{fg\, du}\xi\right)
++ \frac{d\xi}{g\, dv} = 0.
+\]
+Si la congruence~$(D)$ est isotrope, cette �quation devra se r�duire �
+\[
+\tg^2\theta + 1 = 0.
+\]
+Il faut donc que
+\begin{align*}
+\frac{d\xi}{\xi\, du} &= \frac{dg}{g\, du}, \\
+\frac{d\xi}{\xi\, dv} &= \frac{df}{f\, dv}.
+\end{align*}
+%% -----File: 040.png---Folio 34-------
+on doit, en cons�quence, avoir
+\[
+\xi = f = g = \lambda
+\]
+et le carr� de l'�l�ment lin�aire de la sph�re peut s'�crire
+\[
+ds^2 = \lambda^2 (du^2 + dv^2).
+\]
+
+Ainsi la recherche des congruences isotropes est ramen�e � celle des
+r�seaux isom�triques sph�riques.
+
+\begin{Emph}
+Soit trac�, sur une sph�re, un r�seau isom�trique arbitraire, que sur
+les tangentes aux courbes de l'une des familles on porte, � partir des
+points de contact, des segments �gaux aux valeurs de~$\lambda$ en ces points; que,
+par les extr�mit�s des segments, on m�ne des droites parall�les aux
+normales de la sph�re, ces droites engendreront une congruence isotrope.
+\end{Emph}
+
+Le probl�me de l'int�gration des r�seaux isom�triques sph�riques a �t�
+r�solu par M.~Liouville; on devra donc, de toute fa�on, trouver l'int�grale
+g�n�rale explicite des congruences isotropes ou des �lasso�des.
+
+
+\Section{28.}
+{Pour une congruence isotrope le param�tre de distribution est fonction
+de droite, et toutes les lignes de striction sont situ�es sur une surface
+unique.}
+
+Mais revenons � l'�quation de la surface �l�mentaire. Sur chacune des
+droites~$D$, d'une surface �l�mentaire, existe un \emph{point central} dont le lieu est
+appel� la \emph{ligne de striction} de la surface �l�mentaire; le plan tangent � la
+surface au \emph{point central}, dit le plan central, est perpendiculaire au \emph{plan
+tangent � l'infini}. Enfin, il y a lieu de consid�rer ce que M.~Chasles a d�fini
+\emph{param�tre de distribution}; par abr�viation nous le nommerons \emph{param�tre}.
+On sait qu'en un point de la droite, distant de~$x$ du point central, le plan
+tangent fait, avec le plan central, un angle~$\omega$ d�fini par l'�quation
+\[
+x = p � \tg\omega,
+\]
+o� $p$ repr�sente la valeur du param�tre.
+
+%% -----File: 041.png---Folio 35-------
+
+L'�quation de la surface �l�mentaire doit s'�crire
+\[
+\tg \theta
+= \frac{ du \left(\lambda\rho + \dfrac{d\lambda}{du}\right)
+      + \dfrac{d\lambda}{dv} � dv}
+       {-du � \dfrac{d\lambda}{dv}
+       + dv \left(\lambda\rho + \dfrac{d\lambda}{du}\right)}.
+\]
+
+Le plan tangent � l'infini s'obtient en faisant $\rho$ infini, on a donc:
+\[
+\tg\theta_\infty = \frac{du}{dv}
+\]
+et le plan central lui �tant perpendiculaire, on doit avoir pour le d�terminer
+\[
+\tg \theta_c
+= \frac{ du \left(\lambda\rho_c + \dfrac{d\lambda}{du}\right)
+        + \dfrac{d\lambda}{dv} \Reg{\,}{�} dv}
+       {-du \Reg{\,}{�} \dfrac{d\lambda}{dv}
+       + dv \left(\lambda\rho_c + \dfrac{d\lambda}{du}\right)}
+= -\frac{dv}{du}.
+\]
+
+Par cons�quent, on d�duit:
+\[
+\rho_c = -\frac{d\lambda}{\lambda\, du}
+\]
+et si l'on introduit $\tg\theta_c$ ainsi que $\rho_c$ dans l'�quation de la surface �l�mentaire,
+on trouve
+\[
+\rho - \rho_c = -\frac{d\lambda}{\lambda\, dv}
+                 \frac{\tg \theta - \tg \theta_c}
+                      {1 + \tg \theta � \tg \theta_c}.
+\]
+On voit donc que le param�tre a pour valeur
+\[
+p = -\frac{d\lambda}{\lambda\, dv}; % [**** PP: \rho?]
+\]
+mais un fait capital r�sulte de cette analyse:
+
+\primo~\emph{Pour toutes les surfaces �l�mentaires possibles, contenant une droite~$D$,
+le param�tre est le m�me.}
+
+\secundo~\emph{Le lieu des lignes de striction de toutes les surfaces �l�mentaires est
+une surface.}
+
+Il est clair que la position du point central et la valeur du param�tre
+�tant \emph{invariantes} sur chaque droite~$D$, sont li�es aux �l�ments focaux.
+
+Cherchons l'�quation des foyers, elle se r�duit ici �
+\[
+\rho = -\frac{d\lambda}{\lambda\, du} � i \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}.
+\]
+
+%% -----File: 042.png---Folio 36-------
+
+On voit donc qu'il y a lieu d'�noncer les propri�t�s suivantes:
+
+�tant donn�e une congruence isotrope,
+
+\primo~\emph{Toutes les lignes de striction des surfaces �l�mentaires sont situ�es sur
+la surface moyenne de la congruence \emph{(voir \Secref{2})}.}
+
+\secundo~\emph{Sur chaque droite de la congruence le demi-segment focal est �gal au
+produit, par $\sqrt{-1}$, du param�tre de toutes les surfaces �l�mentaires contenant
+la droite.}
+
+
+\Section{29.}
+{Valeur du param�tre d'une congruence isotrope en fonction
+du segment focal.}
+
+Il importe de mettre hors de doute que si, inversement, on trouve une
+congruence o� les lignes de striction de toutes les surfaces �l�mentaires possibles
+soient situ�es sur une surface, cette congruence est isotrope.
+
+L'�quation $(\rho)$, se rapportant � une congruence arbitraire, montre que la
+condition pr�cit�e sera r�alis�e si l'�quation en $\rho$ aff�rente au point central,
+est ind�pendante de $dv$ et~$du$.
+
+Cette �quation s'obtient, comme tout � l'heure, en �crivant
+\[
+-\frac{g\, dv}{f\, du}
+ = \frac{du\left(f\rho_c + \dfrac{d\xi}{du}\right) + dv \dfrac{d\xi}{dv}}
+        {-du \dfrac{df}{g\, dv} \xi + dv\left(g\rho_c + \dfrac{dg}{f\, du} \xi\right)}.
+\]
+
+Pour qu'elle soit identique en $du$ et~$dv$:
+\begin{gather*}
+\frac{df}{f\, dv} = \frac{d\xi}{\xi\, dv}, \\
+\frac{dg}{g\, du} = \frac{d\xi}{\xi\, du}, \\
+\rho_c = -\frac{d\xi}{f\, du}.
+\end{gather*}
+
+%% -----File: 043.png---Folio 37-------
+
+Les deux premi�res �quations caract�risent la congruence isotrope,
+comme nous l'avons montr� au \Secref{27}.
+
+L'invariabilit� du \emph{param�tre} n�cessite aussi que la congruence soit
+isotrope.
+
+
+\Section{30.}
+{Diagramme d'une congruence isotrope imagin� par M.~Mannheim.}
+
+Il n'est pas inutile de rapprocher ce qui pr�c�de d'un �l�gant diagramme
+imagin� par M.~Mannheim, pour repr�senter le d�placement du point central
+et la variation du param�tre de distribution sur une droite~$D$ d'une congruence,
+lorsqu'on envisage toutes les surfaces �l�mentaires contenant la
+droite (voir \emph{Journal de Liouville}, \Ord{2}{e}~s�rie, t.~XVII, 1872, page~123).
+
+M.~Mannheim �nonce ainsi la propri�t�:
+
+\begin{Emph}
+�Si dans un plan passant par un rayon d'un pinceau on porte, sur des
+perpendiculaires � ce rayon �lev�es des points centraux des surfaces �l�mentaires
+et � partir de ces points, des longueurs �gales aux param�tres de
+distribution de ces surfaces, les extr�mit�s des longueurs ainsi port�es sont
+sur une circonf�rence~$C$ passant par les foyers du rayon.�
+\end{Emph}
+
+Chaque droite d'une congruence comporte ainsi un diagramme particulier.
+Dans l'esp�ce qui nous occupe, la projection du cercle-diagramme sur la
+droite~$D$ doit �tre nulle; par cons�quent le cercle se r�duit � un point, et
+l'on voit imm�diatement que la distance de ce point � la droite~$D$ est la
+valeur invariante du \emph{param�tre}.
+
+Nous abandonnerons pour un moment la voie qui s'ouvre pour l'�tude des
+�lasso�des dans la consid�ration des r�seaux sph�riques isom�triques. Il
+importe avant tout de pr�ciser la connexit� des probl�mes de recherche d'un
+�lasso�de et d'une congruence isotrope.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 044.png---Folio 38-------
+
+
+\Chapter{V.}
+{CONGRUENCES ISOTROPES DONNANT LIEU AU M�ME �LASSO�DE.}
+
+\Section{31.}
+{Mise en �quation du probl�me de la recherche de toutes les congruences
+isotropes donnant lieu au m�me �lasso�de moyen.}
+
+Nous avons montr� que l'envelopp�e moyenne d'une congruence isotrope
+est un �lasso�de.  Inversement, �tant donn� un �lasso�de, comment
+trouver les congruences isotropes g�n�ratrices? Tel sera le probl�me
+dont ce chapitre donnera la solution.
+
+Prenons pour surface de r�f�rence l'�lasso�de donn�, et choisissons
+pour r�seau $(u, v)$ celui des lignes asymptotiques, qui est rectangulaire. Les
+\Eqref{�quations de Codazzi}{3} simplifi�es par la disparition de~$P$ et de~$Q$, qui sont
+nuls, deviennent:
+\begin{gather*}
+g \frac{dD}{du} + 2 \frac{dg}{du} D = 0, \\[1ex]
+f \frac{dD}{dv} + 2 \frac{df}{dv} D = 0. \\[1ex] %[**,?]
+fg D^2 = \frac{d}{du} \left(\frac{dg}{f\, du}\right)
+       + \frac{d}{dv} \left(\frac{df}{g\, dv}\right).
+\end{gather*}
+
+Les deux premi�res entra�nent
+\begin{align*}
+Dg^2 &= V, \\
+Df^2 &= U,
+\end{align*}
+o� $U$ et~$V$ sont des fonctions arbitraires de $u$ et~$v$, mais le carr� de l'�l�ment
+lin�aire �tant de la forme
+\[
+dS^2 = \frac{U\, du^2}{D} + \frac{V\, dv^2}{D},
+\]
+%% -----File: 045.png---Folio 39-------
+on peut toujours particulariser les variables $u$ et~$v$ de telle fa�on que
+$U$ et~$V$ soient �gales � l'unit�. Alors
+\[
+f = g = D^{-\frac{1}{2}}
+\]
+et la troisi�me �quation de Codazzi devient
+\[
+2D + \frac{d^2 \log D}{du^2} + \frac{d^2 \log D}{dv^2} = 0.
+\]
+
+Ceci pos� si $\xi$ et~$\eta$ sont les coordonn�es instantan�es d'une droite~$D$ de la
+congruence, l'�quation de la surface �l�mentaire sera, comme d'habitude:
+\[
+\tg \theta
+= \frac{dv \left[g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du} \xi\right]
+      + du \left[\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv} \xi - f D\zeta\right]}
+       {du \left[f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv} \eta\right]
+      + dv \left[\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du} \eta - g D\zeta\right]}.
+\]
+Posant:
+\begin{gather*}
+M  = g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi,\quad
+M' = f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta, \\
+N  = \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \xi,\quad
+N' = \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta,
+\end{gather*}
+on trouve, pour l'�quation des plans principaux:
+\[
+-\tg^2\theta � gDM' + \tg\theta (gDN - fDN') + fD � M = 0;
+\]
+pour l'�quation des ordonn�es des foyers:
+\[
+-\zeta^2 fg D^2 + \zeta (fDN' + gDN) + MM' - NN' = 0.
+\]
+
+�crivant que la congruence est isotrope, on obtient:
+\begin{align*}
+gN - fN' &= 0, \\
+fM + gM' &= 0.
+\end{align*}
+
+Si la surface de r�f�rence est l'envelopp�e moyenne, dans l'�quation en~$\zeta$,
+le terme du premier degr� dispara�t; par cons�quent
+\[
+fN' + gN = 0.
+\]
+
+%% -----File: 046.png---Folio 40-------
+
+En outre, les foyers seront d�termin�s par l'�quation
+\[
+� \sqrt{-1} � \zeta fgD = fM = -gM';
+\]
+et cette double relation, jointe � la suivante,
+\[
+N = N' = 0
+\]
+r�git tout le probl�me.
+
+Mais, d'apr�s ce qui a �t� �tabli au \Secref{28}, si $p$ d�signe le \emph{param�tre}
+de la droite~$D$, on a en valeur absolue,
+\[
+\zeta = \sqrt{-1} p,
+\]
+par cons�quent les �quations du probl�me se r�duisent au syst�me
+\begin{gather*}
+N = N' = 0, \\
+pD = \frac{M}{g} = -\frac{M'}{f},
+\end{gather*}
+qui, d�velopp�, apr�s substitution, devient:
+\[
+\left\{
+\begin{aligned}
+f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta + fDp &= 0,\quad
+\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta = 0, \\
+g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi - gDp &= 0,\quad
+\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \xi = 0.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+
+\Section{32.}
+{R�duction des �quations � un syst�me canonique.}
+
+�galant les deux valeurs de $\smfrac{d^2\xi}{du\,dv}$, puis de $\smfrac{d^2\eta}{du\,dv}$, en tenant compte des
+valeurs de~$f$ et~$g$ en~$D$, on trouve
+\begin{align*}
+\xi  &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du}, \\
+\eta &=           -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv};
+\end{align*}
+%% -----File: 047.png---Folio 41-------
+puis, substituant ces valeurs dans les �quations du probl�me, on obtient le
+nouveau syst�me.
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+1 + \frac{d^2p}{du^2} - \frac{dD}{2D\, du} � \frac{dp}{du}
+                      + \frac{dD}{2D\, dv} � \frac{dp}{dv} + Dp &= 0, \\
+1 - \frac{d^2p}{dv^2} + \frac{dD}{2D\, dv} � \frac{dp}{dv}
+                      - \frac{dD}{2D\, du} � \frac{dp}{du} - Dp &= 0, \\
+  \frac{d^2p}{du\,dv} - \frac{dD}{2D\, du} � \frac{dp}{dv}
+                      - \frac{dD}{2D\, dv} � \frac{dp}{du} &= 0.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{10}
+\]
+
+Nous dirons que le probl�me est rendu canonique, en ce sens que les
+inconnues $\xi$ et~$\eta$ sont donn�es explicitement en fonction des param�tres $p$ et~$D$
+et de leurs d�riv�es.
+
+Pour r�soudre cet ensemble d'\Eqref{�quations}{10} compl�t� par l'�quation de
+Codazzi en~$D$, non identique, nous poserons
+\begin{align*}
+u + \sqrt{-1} � v &= x, \\
+u - \sqrt{-1} � v &= y,
+\end{align*}
+$x$ et $y$ �tant les coordonn�es sym�triques imaginaires habituelles. Le groupe
+se transforme ainsi:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\frac{D}{2}  + \frac{d^2 \log D}{dx\, dy} &= 0, \\
+\frac{D}{2} � p + \frac{d^2p}{dx\, dy} &= 0, \\
+\frac{1}{2} + \frac{d^2p}{dx^2} - \frac{dp}{dx} � \frac{dD}{D\, dx} &= 0, \\
+\frac{1}{2} + \frac{d^2p}{dy^2} - \frac{dp}{dy} � \frac{dD}{D\, dy} &= 0.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{11}
+\]
+
+
+\Section{33.}
+{Int�gration des �quations.}
+
+La premi�re �quation a �t� int�gr�e par M.~Liouville (Notes.---\emph{Application
+de l'analyse � la g�om�trie}); elle donne:
+\[
+-\frac{D}{2} = \frac{2X'Y'}{(X+Y)^2},
+\]
+%% -----File: 048.png---Folio 42-------
+$X$ et~$Y$ d�signant deux fonctions arbitraires, l'une de~$x$ l'autre de~$y$, $X'$ et~$Y'$
+d�signant les d�riv�es de ces quantit�s par rapport � $x$ et~$y$.
+
+La seconde �quation a �t� int�gr�e par M.~Moutard, dans un tr�s-beau
+m�moire publi� dans le \Ord{XLV}{e}~cahier du \emph{Journal de l'�cole polytechnique}
+(page~5).
+
+$X_1$, $Y_1$ d�signant deux nouvelles fonctions arbitraires, la valeur la plus
+g�n�rale de~$p$ est:
+\[
+p = \frac{X_1'}{X'} + \frac{Y_1'}{Y'} - 2\frac{X_1+Y_1}{X+Y}.
+\]
+
+Il s'agit maintenant de d�terminer $X$ et~$Y$ de telle fa�on, que les
+deux derni�res �quations du \Eqref{groupe}{10} soient v�rifi�es. Effectuant la substitution,
+on obtient les deux �quations d�finitives
+\begin{align*}
+\frac{1}{2} + \left(\frac{X_1'}{X'}\right)''
+  - \frac{X''}{X'} \left(\frac{X_1'}{X'}\right)' &= 0, \\
+\frac{1}{2} + \left(\frac{Y_1'}{Y'}\right)''
+  - \frac{Y''}{Y'} \left(\frac{Y_1'}{Y'}\right)' &= 0,
+\end{align*}
+qui, dans tous les cas, sont ramen�es aux quadratures.
+
+En somme, le carr� de l'�l�ment lin�aire d'un �lasso�de �tant mis sous la
+forme
+\[
+dS^2 = D^{-1}(du^2 + dv^2)
+     = D^{-1} � dx\Reg{�}{\,} dy,
+\]
+les coordonn�es instantan�es d'une droite de congruence isotrope satisfaisante
+auront pour valeurs
+\begin{gather*} % [** PP: Hard-coded lengths below]
+\xi  =  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du},\quad
+\eta = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv}, \\
+\intertext{o�}
+D = -\frac{4X'Y'}{(X+Y)^2}, \\
+\rule{1in}{0pt}% **
+p = \frac{X_1'}{X'} + \frac{Y_1'}{Y'} - \frac{2(X_1 + Y_1)}{X + Y},
+\rule{1in}{0pt}% **
+% [**** PP: Vulnerable to bad page break]
+\smash{\left.\rule[-1.375in]{0pt}{2.75in}\right\}}%
+\Tag{12} \\
+\intertext{avec}
+X_1 = -\int dx\, X' \int dx\, X' \int \frac{dx}{2X'} +  aX^2 +  bX + c, \\
+Y_1 = -\int dy\, Y' \int dy\, Y' \int \frac{dy}{2Y'} + a'Y^2 + b'Y + c',
+\end{gather*}
+%% -----File: 049.png---Folio 43-------
+o� $a, b, c, a', b', c'$, sont six constantes arbitraires introduites par les int�grations
+successives.
+
+Il r�sulte de cette analyse \emph{qu'un �lasso�de donn� est l'envelopp�e moyenne
+d'une infinit� de congruences isotropes}.
+
+
+\Section{34.}
+{Construction g�om�trique de toutes les congruences isotropes satisfaisantes
+� l'aide de l'une d'entre elles.}
+
+Nous terminerons ce chapitre en montrant comment on peut d�duire,
+d'une congruence isotrope donn�e, par une construction g�om�trique, toutes
+les congruences isotropes satisfaisantes. La liaison de cette infinit� de
+congruences est d�finie analytiquement par les \Eqref{�quations}{12}; mais la loi
+g�om�trique fort remarquable qui la r�git, ne saurait s'en d�duire ais�ment.
+On y parvient, au contraire, sans difficult� en remontant aux \Eqref{�quations}{10}.
+
+Supposons que $p_1$ et~$p_2$ soient deux valeurs de~$p$ satisfaisantes, c'est-�-dire
+donnant lieu � deux congruences isotropes admettant pour envelopp�e
+moyenne la surface de r�f�rence. $\xi_1$, $\eta_1$, $\xi_2$, $\eta_2$ �tant les coordonn�es
+instantan�es des droites $D_1$, $D_2$ correspondantes, nous aurons
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\xi = \xi_2 - \xi_1
+    = D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp_2}{du} - \frac{dp_1}{du}\right)
+   &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\pi}{du}, \\
+\eta= \eta_2 - \eta_1
+    = -D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp_2}{dv} - \frac{dp_1}{dv}\right) % [** PP: Typo du -> dv]
+   &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\pi}{dv},
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{13}
+\]
+en d�signant par $\pi$ la diff�rence $p_2-p_1$; chacune de ces quantit�s $p_2$ et~$p_1$
+v�rifiant les \Eqref{�quations}{10}, $\pi$ v�rifiera le groupe que voici:
+\[
+\left.
+\begin{gathered}
+\frac{d^2\pi}{du^2} - \frac{dD}{2D\, du} � \frac{d\pi}{du}
+                    + \frac{dD}{2D\, dv} � \frac{d\pi}{dv} + D\pi = 0, \\
+\frac{d^2\pi}{dv^2} - \frac{dD}{2D\, dv} � \frac{d\pi}{dv}
+                    + \frac{dD}{2D\, du} � \frac{d\pi}{du} + D\pi = 0, \\
+\frac{d^2\pi}{du\, dv} - \frac{dD}{2D\, du} � \frac{d\pi}{dv}
+                       - \frac{dD}{2D\, dv} � \frac{d\pi}{du} = 0.
+\end{gathered}\ \right\}
+\Tag{14}
+\]
+
+%% -----File: 050.png---Folio 44-------
+
+Ceci pos�, soient $\xi$, $\eta$, $\zeta$ les coordonn�es instantan�es d'un point~$O'$ d'un
+�lasso�de identique � l'�lasso�de de r�f�rence, et transport� parall�lement
+� lui-m�me dans l'espace. Il est clair que le segment~$OO'$ est constant en
+grandeur et en direction; par cons�quent, on doit avoir, quels que soient
+$du$ et~$dv$:
+\begin{align*}
+\Delta XO' &= f\, du, \\
+\Delta YO' &= g\, dv, \\
+\Delta ZO' &= 0.
+\end{align*}
+
+Il faut, par cons�quent, que les \Eqref{�quations}{1} donnent:
+\begin{align*}
+& \frac{d\xi}{du}  + \frac{df}{g\, dv} \eta
+= \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi = 0, \\[1ex]
+& \frac{d\xi}{dv}  - \frac{dg}{f\, du} \eta - gD\zeta = 0, \\[1ex]
+& \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \Reg{�}{}\xi  - fD\zeta = 0, \\[1ex]
+& \frac{d\zeta}{du} + fD\eta = \frac{d\zeta}{dv} + gD\xi = 0.
+\end{align*}
+
+Tenant compte des valeurs de $f$ et de~$g$ en fonction de~$D$, le groupe pr�c�dent
+se ram�ne au groupe canonique que voici:
+\begin{align*}
+\xi  &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta}{dv}, \\
+\eta &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta}{du},
+\end{align*}
+compl�t� par trois �quations ne diff�rant, de celles du \Eqref{groupe}{14}, que par
+le changement de~$\pi$ en~$\zeta$.
+
+Les deux probl�mes analytiques seront donc identifi�s en posant
+\begin{align*}
+\xi   &= \eta_2 - \eta_1, \\
+\eta  &= -(\xi_2 - \xi_1), \\
+\zeta &= \pi. % [** PP: Added .]
+\end{align*}
+
+%% -----File: 051.png---Folio 45-------
+
+De l� r�sulte cette transformation g�om�trique des congruences isotropes
+satisfaisantes:
+
+\begin{Emph}
+Soit $D$ une droite d'une congruence isotrope~$(D)$: transportons-la dans
+l'espace, parall�lement � elle-m�me, suivant une direction toujours la m�me,
+et d'une quantit� constante, nous obtiendrons ainsi une nouvelle congruence~$(D')$
+superposable �~$(D)$. Que l'on fasse tourner chaque droite~$D'$ de~$\frac{\pi}{2}$ autour
+de la droite~$D$ correspondante, on engendrera une nouvelle congruence~$(D'')$.
+Cette nouvelle congruence~$(D'')$ sera isotrope, elle sera satisfaisante
+comme~$(D)$.
+\end{Emph}
+
+La transformation pr�c�dente donne, de la fa�on la plus g�n�rale, avec
+\emph{trois constantes arbitraires} distinctes, toutes les congruences isotropes satisfaisantes
+d�riv�es de l'une d'entre elles. Les six constantes du \Eqref{groupe}{12}
+ne sont donc pas distinctes.
+
+En d�finitive, adoptant une notation tr�s-expressive qui est admise
+aujourd'hui, nous dirons:
+
+\begin{Emph}
+Il existe $\infty^3$ congruences isotropes distinctes admettant le m�me �lasso�de
+pour envelopp�e moyenne. Elles se d�duisent de l'une d'entre elles par
+un proc�d� cin�matique; � un moment d�termin�, tous les param�tres de
+ces congruences diff�rent entre eux des m�mes quantit�s que les distances
+de tous les points fixes de l'espace au plan moyen commun.
+\end{Emph}
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 052.png---Folio 46-------
+
+
+\Chapter{VI.}
+{G�N�RATION D'UNE CONGRUENCE ISOTROPE ET DE SON ENVELOPP�E MOYENNE �LASSO�DE.}
+
+Nous avons ramen� la recherche des �lasso�des � celle des congruences
+isotropes; il est vrai que cette seconde recherche conduit � consid�rer comme
+diff�rentes des congruences donnant lieu au m�me �lasso�de, mais, � l'inverse,
+une congruence consid�r�e donne �galement naissance � une infinit� d'�lasso�des.
+Pour le moment, il importe d'observer que la recherche des
+\emph{�lasso�des alg�briques} est ramen�e � celle d'autant \emph{de surfaces r�gl�es
+alg�briques}.
+
+
+\Section{35.}
+{Une congruence isotrope est d�finie par une surface �l�mentaire.}
+
+Il est facile de voir qu'une surface gauche, r�gl�e, consid�r�e comme
+surface �l�mentaire d'une congruence isotrope, d�termine enti�rement cette
+congruence.
+
+Que l'on consid�re en effet tous les plans isotropes men�s par les g�n�ratrices
+de la surface r�gl�e, ces plans auront pour enveloppes deux d�veloppables
+isotropes; car, par chaque g�n�ratrice on pourra, en g�n�ral,
+mener deux plans isotropes. Ces deux d�veloppables peuvent �tre consid�r�es
+comme les focales d'une congruence isotrope dont la surface r�gl�e originelle
+sera surface �l�mentaire.
+
+Les op�rations que nous venons de relater sont toutes alg�briques; on est
+%% -----File: 053.png---Folio 47-------
+donc en droit de conclure que l'envelopp�e moyenne de la congruence sera
+alg�brique si la surface gauche originelle est alg�brique.
+
+Mais avant de poursuivre, dans la voie qui s'ouvre ainsi, la solution du
+probl�me mis au concours par l'Acad�mie, nous devons pr�ciser les relations
+de l'envelopp�e moyenne �lasso�de (que pour abr�ger nous appellerons
+dor�navant l'�lasso�de moyen) avec la congruence isotrope g�n�ratrice.
+
+En outre, les congruences isotropes conduisant � une construction tangentielle
+des �lasso�des, il conviendra d'en d�duire une g�n�ration ponctuelle.
+Telles seront les questions dont nous traiterons dans ce chapitre.
+
+
+\Section{36.}
+{Calcul des �l�ments de l'�lasso�de moyen quand on se donne
+une seule surface �l�mentaire.}
+
+�tant donn�e une surface r�gl�e �l�mentaire~$(d)$, si par chacun des points
+centraux on �l�ve des plans perpendiculaires aux g�n�ratrices, ces plans
+envelopperont une surface d�veloppable circonscrite � l'�lasso�de moyen; il
+faut tout d'abord d�terminer quelle sera la courbe de contact de la d�veloppable
+et de l'�lasso�de.
+
+Consid�rons un point~$M$ pris arbitrairement sur chacune des droites~$D$ de
+la congruence et voyons ce que deviennent les \Eqref{formules}{1} lorsqu'on prend
+pour surface de r�f�rence l'�lasso�de moyen, dans les conditions sp�cifi�es
+au chapitre pr�c�dent. On a pour les coordonn�es instantan�es $\xi$ et~$\eta$
+\[
+\xi  =  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du},\quad
+\eta = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv};
+\]
+$\zeta$ est arbitraire.
+
+Si l'on tient compte des relations
+\begin{align*}
+f &= g = D^{-\frac{1}{2}}, \\
+P &= Q = 0,
+\end{align*}
+%% -----File: 054.png---Folio 48-------
+les \Eqref{formules}{1} deviennent
+\begin{align*}% [** PP: Re-breaking; Hard-coded skips]
+\Delta X
+&= du\, D^{-\frac{1}{2}}
+  \left(1 + \frac{d^2p}{du^2}
+          - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du}
+          + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv}\right) \\
+&+ dv\, D^{-\frac{1}{2}}
+      \left(\frac{d^2p}{du\, dv}
+          - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du}
+          - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv} - D\zeta\right), \\[1.5ex]
+%%
+\Delta Y
+&= du\, D^{-\frac{1}{2}}
+    \left(-\frac{d^2p}{du\, dv}
+          + \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv}
+          + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du} - D\zeta\right) \\
+&+ dv\, D^{-\frac{1}{2}}
+  \left(1 - \frac{d^2p}{dv^2}
+          + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv}
+          + \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du}\right), \\[1.5ex]
+%%
+\Delta Z
+&= du \left(\frac{d\zeta}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
+ + dv \left(\frac{d\zeta}{dv} + \frac{dp}{du}\right).
+\end{align*}
+
+Mais, si l'on tient compte des \Eqref{�quations}{10}, il vient
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\Delta X &=           -D^{\frac{1}{2}} (p\, du + \zeta\, dv), \\
+\Delta Y &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} (p\, dv + \zeta\, du), \\
+\Delta Z &= du \left(\frac{d\zeta}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
+          + dv \left(\frac{d\zeta}{dv} + \frac{dp}{du}\right).
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{15}
+\]
+En particulier s'il s'agit du point central~$M$ on a:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\Delta X_M &=           -D^{\frac{1}{2}} p\, du, \\
+\Delta Y_M &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} p\, dv, \\
+\Delta Z_M &= -du\, \frac{dp}{dv} + dv\, \frac{dp}{du}.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{16}
+\]
+
+Lorsqu'on isolera, dans la congruence, une surface �l�mentaire, on
+suivra sur l'�lasso�de un certain chemin caract�ris� par les accroissements
+$du$, $dv$ des param�tres, et ce chemin sera pr�cis�ment la courbe de contact
+cherch�e.
+
+Pour d�terminer le point de contact~$O$, alors qu'on ne dispose que de la
+surface �l�mentaire~$(d)$, il faudra conna�tre, dans le plan central, deux droites
+s'y rencontrant.
+
+Deux plans centraux cons�cutifs se couperont suivant une droite passant
+en~$O$, direction conjugu�e sur l'�lasso�de, de la tangente � la courbe de
+contact cherch�e. On peut consid�rer cette caract�ristique du plan central
+comme connue, car elle r�sulte directement des �l�ments de la surface �l�mentaire;
+ce sera \emph{une} droite satisfaisante.
+
+%% -----File: 055.png---Folio 49-------
+
+Cherchons � d�terminer la droite~$OM$. Le plan passant par la droite~$D$ et
+par~$OM$ sera tangent � la surface �l�mentaire en un point d�fini par la hauteur~$\zeta'$;
+mais, dans l'esp�ce, l'�quation donnant la variation des plans tangents
+le long de~$D$ devient [en d�signant par~$\theta$ l'angle du plan tangent au
+point $(\xi\, \eta\, \zeta)$ avec le plan~$ZOX$]
+\[
+\tg \theta
+  = \frac{\Delta Y}{\Delta X}
+  = - \frac{p\, dv - \zeta\, du}{p\, du + \zeta\, dv},
+\]
+nous exprimerons que ce plan passe par~$O$ en �crivant
+\[
+\tg \theta
+  = \frac{\eta}{\xi}
+  = - \frac{\dfrac{dp}{dv}}{\dfrac{dp}{du}}
+  = - \frac{p\, dv - \zeta'\, du}{p\, du + \zeta'\, dv}.
+\]
+Cons�quemment
+\[
+\zeta' \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right)
+  = p\left(\frac{dp}{du}\, dv - \frac{dp}{dv}\, du\right);
+\]
+mais le \Eqref{groupe}{16} montre que cette �quation peut s'�crire
+\[
+\zeta'\, \Delta p = p � \Delta Z_M.
+\]
+
+D'un autre c�t�, puisque $M$ est le point central, si $\omega$ d�signe l'angle du
+plan~$NMO$ avec le plan central, tangent en~$M$ � la surface �l�mentaire:
+\[
+\zeta' = p \tg \omega,
+\]
+on a donc, en somme
+\[
+\tg \omega = \frac{\Delta Z_M}{\Delta p},
+\Tag{17}
+\]
+$\Delta p$ est l'accroissement du param�tre de distribution quand on passe de la
+g�n�ratrice~$D$ � la g�n�ratrice infiniment voisine; $\Delta Z_M$ n'est autre chose que
+la projection de l'arc infiniment petit de la ligne de striction sur la g�n�ratrice~$D$.
+On voit donc que le plan~$OMN$ est enti�rement d�fini � l'aide des
+�l�ments de la surface �l�mentaire.
+
+%% -----File: 056.png---Folio 50-------
+
+\Section{37.}
+{Construction des �l�ments de l'�lasso�de moyen � l'aide de ceux
+d'une surface �l�mentaire.}
+
+Si le calcul qui pr�c�de est utile (surtout lorsque l'on particularise la
+surface �l�mentaire), il ne conduit pas � une construction purement g�om�trique
+du point de contact. Pour l'obtenir, portons, de part et d'autre du
+point central, sur la g�n�ratrice~$D$, un segment �gal �~$p$; les extr�mit�s de
+ces segments seront situ�es sur deux courbes $(p)$ et~$(p')$ que l'on peut supposer
+trac�es sur la surface �l�mentaire~$(d)$. Cherchons � d�terminer les
+�quations des plans normaux � ces courbes, aux points $P$ et~$P'$, situ�s sur~$D$.
+On a pour le point~$P$, par exemple, situ� au-dessus du plan~$XOY$
+\begin{align*}
+\Delta X_p &=           -D^{\frac{1}{2}} p(du + dv), \\
+\Delta Y_p &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} p(dv - du), \\
+\Delta Z_p &= du \left(\frac{dp}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
+            + dv \left(\frac{dp}{dv} + \frac{dp}{du}\right).
+\end{align*}
+Mais l'�quation du plan normal �tant
+\[
+(X - \xi) \Delta X_p + (Y - \eta) \Delta Y_p + (Z - \zeta) \Delta Z_p = 0,
+\]
+devient, apr�s substitution,
+\[
+ -XD^{\frac{1}{2}}(du + dv)
++ YD^{\frac{1}{2}}(dv - du)
++ Z\left[\frac{dp}{p\, du} (du + dv) + \frac{dp}{p\, dv} (dv - du)\right] = 0.
+\]
+Pour obtenir l'�quation du plan normal en~$P'$, il faudrait op�rer semblablement
+sur les valeurs de~$\Delta XP'$, etc., on trouve
+\[
+  XD^{\frac{1}{2}}(dv - du)
++ YD^{\frac{1}{2}}(du + dv)
++ Z\left[\frac{dp}{p\, du} (dv - du) - \frac{dp}{p\, dv} (du + dv)\right] = 0.
+\]
+
+On voit \primo~\emph{que les deux plans normaux, aux courbes $(P)$ et~$(P')$, passent
+par le point de contact~$O$.}
+
+\secundo~\emph{Que ces plans normaux coupent le plan moyen suivant deux droites
+rectangulaires inclin�es �~$45�$ sur la caract�ristique.}
+
+%% -----File: 057.png---Folio 51-------
+
+\Section{38.}
+{L'�lasso�de moyen est le lieu des milieux des cordes rencontrant les ar�tes
+de rebroussement des d�veloppables focales de la congruence isotrope.}
+
+On pourra, de la sorte, connaissant une surface �l�mentaire de la congruence,
+d�terminer le contour suivant lequel les plans moyens touchent
+l'�lasso�de; mais il est n�cessaire de trouver une construction ponctuelle,
+d�pendant des d�veloppables isotropes, focales de la congruence, afin
+d'obtenir une d�termination ind�pendante des surfaces �l�mentaires prises
+isol�ment. A cet effet, il convient de rechercher les g�n�ratrices des d�veloppables
+isotropes qui rencontrent la droite~$D$, et, sur ces g�n�ratrices, les
+points appartenant aux ar�tes de rebroussement.
+
+Les d�veloppables isotropes sont, en somme, les enveloppes des plans
+isotropes passant par~$D$, plans dont les �quations peuvent s'�crire
+\[
+(Y - \eta) � (X - \xi) \sqrt{-1} = 0,
+\]
+ou, si l'on veut:
+\[
+Y +           D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv}
+  � \left(X - D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du}\right) \sqrt{-1} = 0;
+\Tag{18}
+\]
+si l'on suit la surface �l�mentaire ($u$ et~$v$ croissant de $du$, $dv$) les �quations
+des plans isotropes nouveaux, consid�r�s dans la seconde position du tri�dre
+$OX'Y'Z'$, seront
+\[
+Y' - \eta - \Delta\eta � (X' - \xi - \Delta\xi) \sqrt{-1} = 0.
+\]
+Les \Eqref{�quations}{2} donnent (et nous entrons dans le d�tail de ces calculs,
+courants en p�rimorphie, parce que c'est la premi�re fois que nous y avons
+recours dans ce m�moire)
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+X' &= -D^{-\frac{1}{2}}\, du + X
+        + Y \left(+\frac{dD}{2D\, dv}\, du
+                  -\frac{dD}{2D\, du}\, dv\right)
+        + ZD^{\frac{1}{2}}\, dv, \\
+%%
+Y' &= -D^{-\frac{1}{2}}\, dv
+        + X \left(+\frac{dD}{2D\, du}\, dv
+                  -\frac{dD}{2D\, dv}\, du\right)
+        + Y
+        + ZD^{\frac{1}{2}}\, du, \\
+%%
+Z' &= -XD^{\frac{1}{2}}\, dv - YD^{\frac{1}{2}}\, du + Z.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{19}
+\]
+%% -----File: 058.png---Folio 52-------
+On en d�duit sans difficult� [en tenant compte de~\Eqref{}{18}] pour les �quations
+des caract�ristiques des plans isotropes
+\[
+Z � p \sqrt{-1} = 0.
+\]
+C'est l� une simple v�rification, car on savait que ces caract�ristiques passent
+par les foyers situ�s sur~$D$, lesquels sont pr�cis�ment d�termin�s par l'�quation
+pr�c�dente en~$Z$; quant � l'orthogonalit� des g�n�ratrices des d�veloppables
+isotropes et de la droite~$D$ qui les rencontre, elle r�sultait du lemme
+suivant, �tabli par Poncelet. % [**** Colon?]
+
+\begin{Emph}
+Dans un plan, si deux droites $OA$, $OB$ sont rectangulaires, elles rencontrent
+la droite de l'infini en deux points $A$ et~$B$ harmoniques conjugu�s
+par rapport aux ombilics $I$ et~$J$.
+\end{Emph}
+
+Lorsque le plan consid�r� est isotrope, toute droite~$OB$ qu'il contient est
+orthogonale aux droites isotropes; en effet, dans ce cas, les points $I$ et~$J$
+co�ncident avec le point~$A$.  C'est pourquoi nous pouvons dire que, \emph{dans un
+plan isotrope, toute droite du plan est orthogonale � la direction isotrope
+unique de ce plan}.
+
+Ceci pos�, cherchons, sur les g�n�ratrices des d�veloppables isotropes, les
+points appartenant aux ar�tes de rebroussement. Rappelons tout d'abord que,
+\emph{si des plans passent par les diverses g�n�ratrices d'une surface gauche, la
+caract�ristique d'un plan rencontre la g�n�ratrice contenue dans le plan,
+au point o� celui-ci touche la surface r�gl�e}. Dans le cas o� la surface est
+d�veloppable, le point de rencontre appartient � l'ar�te de rebroussement.
+
+Dans le cas qui nous occupe, les plans
+\[
+Z = � p \sqrt{-1}
+\]
+ont des caract�ristiques contenues dans les plans
+\[
+Z' = � (p + \Delta p) \sqrt{-1},
+\]
+ou d'apr�s~\Eqref{}{19}
+\[
+X\, dv + Y\, du
+  � \sqrt{-1} \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) D^{-\frac{1}{2}} = 0,
+\]
+%% -----File: 059.png---Folio 53-------
+soit en �liminant le symbole $�\sqrt{-1}$
+\[
+X\, dv + Y\, du + Z \frac{D^{-\frac{1}{2}}}{p}
+  \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) = 0.
+\]
+Comme les points cherch�s sont les m�mes, quels que soient $du$ et~$dv$, on
+voit qu'ils sont d�termin�s par les �quations
+\[
+  X + ZD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{p\, dv}
+= Y + ZD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{p\, du} = 0.
+\]
+
+Ainsi les points de contact, avec les ar�tes de rebroussement des g�n�ratrices
+des d�veloppables rencontrant~$D$, sont situ�s sur une droite passant
+par le point de contact~$O$.  D'un autre c�t�, comme les deux g�n�ratrices sont
+situ�es dans des plans parall�les au plan moyen, on voit que:
+
+\begin{Emph}
+L'�lasso�de moyen est le lieu des milieux des cordes rencontrant les ar�tes
+de rebroussement des deux d�veloppables isotropes focales de la congruence.
+\end{Emph}
+
+Nous retrouvons ainsi la construction ponctuelle des �lasso�des, �tablie
+synth�tiquement au \Secref{14}.
+
+En fait, constatant que les plans repr�sent�s par
+\[
+Z = �p\sqrt{-1}
+\]
+enveloppent des \emph{courbes de longueur nulle}, et non des surfaces, nous avions
+trouv� la g�n�ration ponctuelle des �lasso�des que M.~Sophus Lie a publi�e
+avant nous.
+
+Nous aurons l'occasion, plus loin, de v�rifier que les ar�tes de rebroussement
+des d�veloppables isotropes sont bien des lignes de longueur nulle.
+
+Pour le moment, voyons � d�duire des cons�quences des r�sultats �tablis
+dans ce chapitre.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 060.png---Folio 54-------
+
+
+\Chapter{VII.}
+{CONS�QUENCES RELATIVES A UN �LASSO�DE CONSID�R� ISOL�MENT.}
+
+\Section{39.}
+{Construction de tous les couples de lignes isotropes donnant lieu au m�me
+�lasso�de moyen. {\upshape(}Elles sont toutes identiques.{\upshape)}}
+
+Puisqu'il y a une $\infty^3$ de congruences isotropes admettant le m�me �lasso�de
+moyen (\Secref{34}), il y a $\infty^3$ mani�res de consid�rer l'�lasso�de comme
+lieu des milieux des cordes joignant les points de deux lignes isotropes.
+Comme celles-ci sont toujours semblables aux lignes de longueur nulle
+trac�es sur l'�lasso�de, les ar�tes de rebroussement des focales de congruences
+isotropes satisfaisantes forment des couples ou semblables ou identiques. Il
+est facile de trancher la question:
+
+Soient $(A)$ et~$(B)$ deux lignes isotropes %[**cannot be an accent]
+satisfaisantes; transportons $(A)$ de
+droite � gauche, dans l'espace, d'une quantit�~$Aa$, suivant une direction arbitraire;
+de m�me transportons $(B)$ de gauche � droite parall�lement �~$Aa$ et
+d'une quantit� $Bb = Aa$, manifestement les lieux des milieux des cordes
+telles que $AB$ ou $ab$ sont les m�mes.
+
+Si donc on fait subir cette transformation (comportant \emph{trois} constantes
+arbitraires) � un couple satisfaisant de lignes isotropes, on obtiendra le couple
+satisfaisant le plus g�n�ral.
+
+V�rifions cette cons�quence par les proc�d�s de p�rimorphie: des calculs
+%% -----File: 061.png---Folio 55-------
+du \Secref{38}, il r�sulte que les coordonn�es instantan�es des points $A$ et~$B$ sont
+\begin{align*}
+&&
+\xi_A   &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} \sqrt{-1}, &
+\xi_B   &=  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} \sqrt{-1}, && \\
+&&
+\eta_A  &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du} \sqrt{-1}, &
+\eta_B  &=  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du} \sqrt{-1}, && \\
+&&
+\zeta_A &=  p \sqrt{-1}, &
+\zeta_B &= -p \sqrt{-1}. &&
+\end{align*}
+
+Mais d'apr�s les calculs du \Secref{34}, $\pi$ d�signant la projection du segment
+$Aa$ sur~$OZ$, les coordonn�es du point~$a$ sont:
+\begin{align*}
+\xi_a   &= -D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{dv} \sqrt{-1} + \frac{d\pi}{dv}\right), \\
+\eta_a  &= -D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{du} \sqrt{-1} + \frac{d\pi}{du}\right), \\
+\zeta_a &= p \sqrt{-1} + \pi.
+\end{align*}
+
+D'ailleurs $\pi$ satisfait aux \Eqref{�quations}{14}. Posons
+\[
+\pi = \sqrt{-1}(p_1 - p).
+\]
+
+Les coordonn�es du point~$a$ deviennent
+\begin{align*}
+\xi_a   &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp_1}{dv} \sqrt{-1}, \\
+\eta_a  &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp_1}{du} \sqrt{-1}, \\
+\zeta_a &= p_1 \sqrt{-1}
+\end{align*}
+et par la fa�on m�me dont le \Eqref{groupe}{14} a �t� obtenu, on voit que~$p_1$ doit
+v�rifier le \Eqref{groupe}{10}. Or ce dernier r�git pr�cis�ment le \emph{param�tre} le plus
+g�n�ral des congruences isotropes satisfaisantes; les coordonn�es du point~$a$,
+exprim�es en fonction de~$p_1$, sont de m�me forme que les coordonn�es du
+%% -----File: 062.png---Folio 56-------
+point~$A$ exprim�es en fonction de~$p$. On peut donc conclure que la transformation
+indiqu�e ci-dessus est la plus g�n�rale.
+
+La v�rification pr�c�dente permet de remarquer que si les droites d'une
+congruence isotrope $(D)$ sont r�elles, pour obtenir une nouvelle congruence
+isotrope $(D')$ r�elle (dont par cons�quent le param�tre soit r�el), le segment
+constant~$Aa$ doit �tre imaginaire, le segment~$Bb$ est alors imaginaire conjugu�.
+
+Ces consid�rations accroissent l'int�r�t de la transformation \emph{r�elle} trouv�e
+au \Secref{34} et qui permet de passer d'une congruence isotrope r�elle � toutes les
+congruences isotropes r�elles satisfaisantes.
+
+Il convient, maintenant, de particulariser les surfaces �l�mentaires des
+congruences isotropes, afin d'�tablir diverses propri�t�s des �lasso�des.
+
+
+\Section{40.}
+{L'�lasso�de moyen est inscrit dans la polaire de la ligne double d'une congruence
+isotrope g�n�ratrice le long du lieu des centres de courbure de
+cette ligne double.}
+
+Un �lasso�de r�el est engendr� ponctuellement par le point milieu de
+cordes r�elles dont les extr�mit�s d�crivent deux lignes de longueur nulle,
+imaginaires conjugu�es; les deux d�veloppables isotropes, lieux des tangentes
+� ces courbes, sont imaginaires conjugu�es, elles se coupent mutuellement
+suivant des \emph{lignes doubles r�elles}. La congruence isotrope qui admet ces d�veloppables
+conjugu�es pour focales, est r�elle. Les droites de la congruence
+qui rencontrent la ligne double, devant toucher � la fois chacune des d�veloppables,
+sont les tangentes de la ligne double. D�s lors \emph{la ligne double r�elle
+est l'ar�te de rebroussement d'une surface �l�mentaire d�veloppable}. Si l'on
+se reporte � la \Eqref{formule}{17}, $\Delta Z$ �tant l'arc �l�mentaire de la ligne double,
+$p$~�tant nul (parce que la plus courte distance de deux g�n�ratrices cons�cutives
+de la surface �l�mentaire est infiniment petite du troisi�me ordre et
+que $p$ est le quotient de cette distance par l'angle de deux g�n�ratrices cons�cutives,
+angle infiniment petit du premier ordre) $\Delta p$ est nul et $\cot\omega$ % [** PP: cotg in original]
+est nulle.
+
+%% -----File: 063.png---Folio 57-------
+
+Ainsi, le plan~$NMO$ est perpendiculaire au plan tangent � la d�veloppable,
+le long de la g�n�ratrice. La droite~$MO$ est donc la normale � la ligne double
+situ�e dans le plan osculateur. Mais ici la caract�ristique du plan moyen est la
+droite \emph{polaire}, intersection des plans normaux cons�cutifs. En cons�quence
+on peut dire que:
+
+\begin{Emph}
+Tout �lasso�de est inscrit � la d�veloppable polaire de la ligne double
+r�elle, intersection des deux d�veloppables isotropes qui servent � l'engendrer;
+la courbe de contact est le lieu des centres de courbure de la ligne
+double.
+\end{Emph}
+
+
+\Section{41.}
+{Sur un �lasso�de donn� on peut tracer une $\infty^3$ de lignes lieux des centres
+de courbure de courbes doubles.}
+
+Cons�quemment, \emph{sur un �lasso�de quelconque, on peut tracer une $\infty^3$ de
+lignes, le long desquelles la surface est tangente aux d�veloppables polaires
+de courbes gauches}.
+
+Si l'�lasso�de est alg�brique, toutes les congruences isotropes qui l'engendrent
+sont alg�briques; donc les courbes gauches, pr�cit�es, sont �galement
+alg�briques. Elles sont du reste, en g�n�ral, de m�me degr�; car ce
+sont les intersections de deux d�veloppables isotropes, d�plac�es, parall�lement
+� elles-m�mes, dans l'espace.
+
+Inversement, si l'on prend, pour surface �l�mentaire d'une congruence
+isotrope, une surface d�veloppable, son ar�te de rebroussement sera ligne
+double (souvent partielle) du couple de d�veloppables isotropes satisfaisantes.
+Il suffira que la d�veloppable soit alg�brique pour que l'�lasso�de moyen
+soit alg�brique.
+
+C'est le cas de particulariser encore et de consid�rer une d�veloppable
+r�duite � un plan: l'ar�te de rebroussement sera une courbe~$(C)$ arbitraire
+de ce plan, la surface polaire devient un cylindre, admettant pour section
+droite la d�velopp�e $(D)$ de la courbe~$(C)$. Cette d�velopp�e est une g�od�sique
+de l'�lasso�de.
+
+%% -----File: 064.png---Folio 58-------
+
+\Section{42.}
+{�lasso�de admettant pour g�od�sique une courbe plane. V�rification
+de la transformation des congruences isotropes satisfaisantes.}
+
+On est donc en droit de dire avec Henneberg: \emph{tout �lasso�de, qui admet
+pour g�od�sique une courbe plane, $(D)$, sera alg�brique si~$(D)$ est la d�velopp�e
+d'une courbe alg�brique}.
+
+A cette occasion, nous v�rifierons la transformation r�elle des congruences
+isotropes satisfaisantes, donn�e au \Secref{34}.
+
+Dans le cas particulier consid�r�, la surface �l�mentaire de la congruence
+est form�e par les tangentes � une courbe~$(C)$ d�veloppante de la g�od�sique
+plane~$(D)$; on doit pouvoir adopter telle d�veloppante que l'on voudra
+et par cons�quent la transformation pr�cit�e doit transformer les tangentes
+de la courbe~$(C)$ en tangentes d'une courbe parall�le. C'est ce qui a lieu en
+effet en consid�rant un d�placement des tangentes de~$(C)$ perpendiculaire au
+plan de cette courbe; la rotation de~$90�$ autour des tangentes primitives
+ram�ne les secondes tangentes dans le plan de~$(C)$ et � une distance constante
+des premi�res; les droites transform�es enveloppent donc une courbe parall�le
+�~$(C)$.
+
+
+\Section{43.}
+{L'�lasso�de moyen et la surface moyenne sont focales d'une m�me congruence.}
+
+Si dans la \Eqref{formule}{17} on annule $\Delta p$, $\cot\omega$ est aussi nulle; par cons�quent
+les droites telles que~$OM$ sont normales aux surfaces �l�mentaires
+caract�ris�es par la constance du param�tre. Remarquons, � l'inverse, que
+si $\Delta Z$ est nul, les droites telles que $OM$ sont tangentes aux surfaces �l�mentaires;
+mais la condition
+\[
+\Delta Z = 0
+\]
+%% -----File: 065.png---Folio 59-------
+emporte que $OM$ soit tangente � la ligne de striction. De ceci r�sulte une
+cons�quence importante:
+% ** smallskip?
+
+\primo~\emph{Les droites joignant le point central~$M$ d'une droite~$D$ de la congruence
+isotrope, au point de contact~$O$ de l'�lasso�de et du plan moyen, forment
+une congruence dont les focales sont l'�lasso�de moyen et la surface moyenne}.
+
+\secundo~\emph{Sur la surface moyenne, les trajectoires orthogonales des courbes
+enveloppes des droites~$OM$ \emph{(ar�tes de rebroussement d'une famille de d�veloppables
+principales)} sont les lignes de striction des surfaces �l�mentaires,
+de la congruence isotrope, dont le param�tre est constant}.
+% ** smallskip?
+
+Nous sommes ainsi amen�s � �tudier les surfaces moyennes; le prochain
+chapitre fera conna�tre les singuli�res propri�t�s de ces surfaces dont la
+th�orie, si intimement li�e � celle des �lasso�des, mettra d�finitivement en
+lumi�re toute l'importance des congruences isotropes.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 066.png---Folio 60-------
+
+
+\Chapter{VIII.}
+{PROPRI�T�S DES SURFACES MOYENNES.}
+
+\Section{44.}
+{La surface moyenne d'une congruence isotrope est le lieu des milieux de
+cordes �gales entre elles dont les extr�mit�s d�crivent des surfaces applicables
+l'une sur l'autre.}
+
+A un �lasso�de donn� correspondent autant de surfaces moyennes que de
+congruences isotropes satisfaisantes, la transformation g�om�trique du \Secref{34} % [** PP: Omitted () around section number]
+permet de construire toutes ces surfaces quand on conna�t l'une d'entre elles
+et la congruence isotrope lui donnant naissance.
+
+D�montrons tout d'abord que les surfaces moyennes ont une d�finition
+propre ind�pendante des �lasso�des. Dans ce but, reprenons les \Eqref{formules}{15}
+qui se rapportent aux $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$ d'un point arbitraire~$N$ de la droite~$D$ et,
+par cons�quent, � une surface arbitraire $(N)$ coupant la congruence isotrope~$(D)$.
+
+Supposons que sur~$D$ on porte, � chaque instant, une longueur constante~$c$;
+l'extr�mit� du segment d�crira une surface~$(C)$ caract�ris�e par le groupe
+\begin{align*}
+\Delta X &=           -D^{\frac{1}{2}} (p\, du + c\, dv), \\
+\Delta Y &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} (p\, dv - c\, du), \\
+\Delta Z &= -\frac{dp}{dv}\, du + \frac{dp}{du}\, dv;
+\end{align*}
+%% -----File: 067.png---Folio 61-------
+et le carr� de l'�l�ment lin�aire de cette surface a pour valeur
+\[
+dS^2 = (p^2 + c^2)(du^2 + dv^2) + \left(\frac{dp}{du}\, dv - \frac{dp}{dv}\, du\right)^2.
+\]
+
+Si sur les droites~$D$, � partir de~$M$, nous portons de haut en bas, le
+segment~$c$, nous obtiendrons une nouvelle surface~$(c)$ dont le carr� de
+l'�l�ment lin�aire sera identique � celui de~$(C)$ puisque cette expression ne
+contient que~$c^2$. Cons�quemment, \emph{les deux surfaces $(C)$ et~$(C')$ sont applicables
+l'une sur l'autre}.
+
+On obtiendra ainsi autant de couples de surfaces applicables qu'on donnera
+de valeur au param�tre~$c$.
+
+
+\Section{45.}
+{R�ciproque de la proposition qui pr�c�de �nonc�e sous forme de th�or�me
+de g�om�trie cin�matique.}
+
+R�ciproquement, \emph{si les deux extr�mit�s d'un segment constant de droite
+d�crivent deux surfaces $(C)$ et~$(C')$ applicables l'une sur l'autre, la droite
+engendre une congruence isotrope}.
+
+Prenons pour surface de r�f�rence la surface que touchent tous les plans
+�lev�s par les milieux des segments perpendiculairement aux segments
+m�mes, et pour simplifier les calculs, supposons que la droite~$D$ joignant les
+points $CC'$ est constamment situ�e dans le plan des~$ZOX$, ce qui ne particularise
+que les axes $(u, v)$.
+
+Les coordonn�es du point~$C$ seront
+\[
+\xi,\quad O,\quad c,
+\]
+celles du point~$C'$ seront
+\[
+\xi,\quad O,\quad -c.
+\]
+
+Le \Eqref{groupe}{1} devient, pour le point~$C$:
+\begin{align*}
+\Delta X_c &= (P\, du - gD\, dv)c + du\left(f + \frac{d\xi}{du}\right)
+              + dv\, \frac{d\xi}{dv}, \\
+\Delta Y_c &= (-fD\, du+Q\, dv)c - du\, \frac{df}{g\, dv} \xi
+              + dv\left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right), \\ % [** PP: Typo fda]
+\Delta Z_c &= du\, (-P\xi + fD\eta) + dv\, (-Q\eta + gD\xi).
+\end{align*}
+%% -----File: 068.png---Folio 62-------
+Pour le point~$C'$ il faudrait changer le signe de~$c$. Si les surfaces $(C)$ et~$(C')$
+sont applicables l'une sur l'autre, l'expression du~$dS^2$ ne contient pas $c$ au
+premier degr�.
+
+Il faut donc que l'�quation
+\[ % [** PP: Re-breaking]
+\left.
+\begin{aligned}
+&(-fD\, du + Q\, dv)
+  \left[-du\, \frac{df}{g\, dv} \xi
+       + dv\, \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)\right] \\
+&+(P\, du - gD\, dv)
+  \left[du \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)
+      + dv\, \frac{d\xi}{dv}\right]
+\end{aligned}\ \right\} = 0
+\]
+soit identique, quels que soient $du$ et~$dv$.
+
+Cela entra�ne le groupe de conditions
+\begin{gather*}
+-gD \left(f + \frac{d\xi}{du}\right) - fD \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)
+ - Q \frac{df}{g\, dv} \xi + P \frac{d\xi}{dv} = 0, \\
+fD \frac{df}{g\, dv} \xi + P \left(f + \frac{d\xi}{du}\right) = 0, \\
+Q \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right) - gD \frac{d\xi}{dv} = 0;
+\end{gather*}
+mais en tenant compte des deux derni�res la premi�re peut s'�crire
+\[
+(PQ -fgD^2) \left[\frac{d\xi}{Q\, dv} - \frac{df}{Pg\, dv} \xi\right] = 0;
+\]
+et l'on peut mettre les trois �quations de condition sous la forme simple [en
+supposant que~$(O)$ n'est pas d�veloppable]
+\[
+\frac{\dfrac{d\xi}{\xi\, dv}}{Q} = \frac{\dfrac{df}{g\, dv}}{P}
+  = \frac{\dfrac{1}{\xi} + \dfrac{dg}{fg\, du}}{D}
+  = \frac{-\left(\dfrac{1}{\xi} + \dfrac{d\xi}{f\xi\, du}\right)}{D}.\footnotemark
+\Tag{20}
+\]
+\footnotetext{Chacun des \Eqref{rapports}{20} est encore �gal au quotient du param�tre~$p$ par~$\xi$. On sait
+qu'une cons�quence de ces �quations doit �tre l'�galit� des quantit�s $\frac{P}{f}$ et~$\frac{Q}{g}$.}
+
+D'un autre c�t�, si nous �tablissons comme d'habitude l'�quation de la
+%% -----File: 069.png---Folio 63-------
+surface �l�mentaire de la congruence~$(D)$, puis celle des plans principaux,
+nous trouvons
+\[
+\left.
+\begin{gathered}
+\tg^2\theta \left[P\frac{d\xi}{dv} + gD \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)\right] \\
++ \tg\theta \left\{-P \left(g + \frac{dg}{f\,du} \xi\right)
+                   +Q \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)
+  + fD \frac{d\xi}{dv}
+  +  D \frac{df}{dv} \xi\right\} \\
++ Q \frac{df}{g\, dv} \xi - fD \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)
+\end{gathered}\ \right\} = 0.
+\Tag{21}
+\]
+
+Enfin, cherchant les �quations des foyers, nous trouvons que leurs ordonn�es
+satisfont � la condition
+\[
+\left.
+\begin{gathered}
+Z^2 (fgD^2 - PQ) \\
+-Z \left\{fD \left(\frac{d\xi}{dv}\right) - gD \frac{df}{g\, dv} \xi
+          + Pg + Qf + Q \frac{d\xi}{du} + P \frac{dg}{f\, du} \xi\right\} \\
+-\frac{df}{g\, dv} \xi \frac{d\xi}{dv}
+  - \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)\left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)
+\end{gathered}\ \right\} = 0.
+\Tag{22}
+\]
+
+Si l'\Eqref{�quation}{21} se r�duit �
+\[
+\tg^2 \theta + 1=0,
+\]
+et si~\Eqref{}{22} est priv�e du terme en~$Z$, la congruence~$(D)$ est isotrope et la
+surface de r�f�rence est son envelopp�e moyenne. Cela donne trois conditions
+identiques � celles du \Eqref{groupe}{20}. La proposition est donc v�rifi�e.
+
+Cons�quemment nous �noncerons cette proposition de \emph{G�om�trie cin�matique}
+(en adoptant une locution de M.~Mannheim).
+
+\begin{Emph}
+Si deux points d'une droite de longueur constante d�crivent deux surfaces
+applicables l'une sur l'autre: \primo~cette droite engendre une congruence
+isotrope; \secundo~le plan men� � �gale distance des deux points et perpendiculaire
+� la droite enveloppe un �lasso�de.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 070.png---Folio 64-------
+
+\Section{46.}
+{La surface moyenne d'une congruence isotrope correspond
+par orthogonalit� des �l�ments � la sph�re.}
+
+Ceci pos�, rien n'est plus simple que de d�finir directement la surface
+moyenne. Soient $x$, $y$, $z$ les coordonn�es cart�siennes, rectangulaires, prises
+par rapport � des axes fixes, d'un point~$M$ de la surface moyenne; soient,
+d'autre part, $x$, $y$, $z$, les coordonn�es d'un point~$P$ d'une sph�re de rayon~$c$,
+point obtenu en menant par le centre de la sph�re un rayon parall�le � la
+droite~$D$ de la congruence isotrope passant par~$M$. Il est manifeste que les
+coordonn�es des points $C$ et~$C'$ appartenant aux surfaces applicables l'une
+sur l'autre sont:
+
+\noindent pour~$C$
+\[
+(x + x_1),\quad (y + y_1),\quad (z + z_1),
+\]
+pour~$C'$
+\[
+(x - x_1),\quad (y - y_1),\quad (z - z_1).
+\]
+
+Puisque par hypoth�se les surfaces $(c)$ et~$(c')$ sont applicables l'une sur
+l'autre, on a identiquement
+\[
+ d\overline{(x+x_1)}^2 + d\overline{(y+y_1)}^2 + d\overline{(z+z_1)}^2
+=d\overline{(x-x_1)}^2 + d\overline{(y-y_1)}^2 + d\overline{(z-z_1)}^2,
+\]
+d'o� r�sulte
+\[
+dx � dx_1 + dy � dy_1 + dz � dz_1 = 0.
+\]
+
+Et par cons�quent on peut dire que \emph{la surface moyenne d'une congruence
+isotrope correspond par orthogonalit� des �l�ments � la sph�re}.
+
+Les points correspondants sont: \primo~sur une droite de la congruence, le
+point central; \secundo~sur la sph�re, le point image de la droite.
+
+%% -----File: 071.png---Folio 65-------
+
+\Section{47.}
+{De la correspondance par orthogonalit� des �l�ments entre deux surfaces
+dont l'une est une quadrique.}
+
+Ainsi s'introduit dans la th�orie des �lasso�des la consid�ration importante de
+la correspondance par orthogonalit� des �l�ments.  Ce mode de correspondance
+qui va jouer un r�le capital dans nos recherches, a �t� imagin� par M.~Moutard.
+Ce g�om�tre en a fait une tr�s-belle application en donnant l'int�grale avec
+deux fonctions arbitraires et m�me la construction g�om�trique des surfaces
+correspondant aux quadriques par orthogonalit� des �l�ments. La th�orie qui
+nous occupe en d�rive imm�diatement puisqu'ici la quadrique se r�duit � la
+sph�re. Nous aurions pu d�duire de l'int�grale de M.~Moutard la nature des
+surfaces moyennes des congruences isotropes, mais il importait de tout �tablir
+directement, et les \Eqref{�quations}{20} nous serviront tout � l'heure. D'ailleurs
+les proc�d�s de la p�rimorphie s'appliquent tr�s-simplement au mode de
+correspondance de M.~Moutard, ils conduisent � un th�or�me g�n�ral, d'une
+grande simplicit�, d'o� d�coule avec �vidence l'int�grale relative aux quadriques,
+int�grale qui a �t� le point de d�part d'importantes recherches
+g�om�triques ou analytiques.
+
+Les surfaces moyennes sont rattach�es aux �lasso�des moyens par d'�l�gantes
+relations o� figurent les courbures des deux surfaces; nous allons les
+�tablir par les proc�d�s de p�rimorphie, en insistant un peu sur leur emploi
+qui est absolument g�n�ral.
+
+
+\Section{48.}
+{Tout r�seau conjugu� de la surface moyenne correspond � un r�seau
+conjugu� de l'�lasso�de moyen.}
+
+Le \Eqref{groupe}{15} donnant les projections du d�placement du point~$M$ permet
+d'�crire imm�diatement l'�quation du plan tangent � la surface moyenne
+\[
+X \frac{dp}{dv} + Y \frac{dp}{du} = D^{\frac{1}{2}} p � Z.
+\Tag{23}
+\]
+
+%% -----File: 072.png---Folio 66-------
+
+Cherchons � d�terminer la caract�ristique du plan tangent � la surface
+moyenne. Le plan tangent au point~$M'$ a pour �quation, dans le second
+tri�dre,
+\[
+  X' \left(\frac{dp}{dv} + \Delta \frac{dp}{dv}\right)
++ Y' \left(\frac{dp}{du} + \Delta \frac{dp}{du}\right)
+= (D^{\frac{1}{2}} p + \Delta � D^{\frac{1}{2}} p) Z'.
+\]
+
+Les \Eqref{�quations}{19} permettent d'�crire pour la caract�ristique
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+  &X \left[\left(\frac{d^2 p}{du\, dv} - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du}\right) du
+        + \left(\frac{d^2 p}{dv^2} + \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du} + Dp\right) dv\right] \\
++ &Y \left[\left(\frac{d^2 p}{du^2} + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv} + Dp\right) du
+        + \left(\frac{d^2 p}{du\, dv} - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv}\right) dv\right] \\
+- &\frac{p}{2}\, D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dD}{du}\, du + \frac{dD}{dv}\, dv\right) Z
+            - D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{dv}\, du + \frac{dp}{du}\, dv\right)
+\end{aligned}\ \right\} = 0.
+\]
+
+�liminant les d�riv�es secondes de~$p$ au moyen des �quations du
+\Eqref{groupe}{10}, on trouve:
+\[
+0 =
+\left\{
+\begin{aligned}
+ &X \left[\frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv}\, du
+        + \left(\frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv} + 1\right) dv\right] \\
+%
++&Y \left[\left(\frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du} - 1\right) du
+        + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du}\, dv\right] \\
+%
+-&Z \frac{p}{2}\,
+    D^{-\frac{1}{2}}
+    \left(\frac{dD}{du}\, du + \frac{dD}{dv}\, dv\right) %[** PP: Typo dD/du]
+  - D^{-\frac{1}{2}}
+    \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right)
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{24}
+\]
+
+Soient $du'$, $dv'$ les accroissements qu'il faut donner aux param�tres $u$ et~$v$
+pour que le point~$M$ se d�place pr�cis�ment suivant la caract�ristique du
+chemin correspondant � $du$, $dv$, on obtiendra l'�quation qui lie $du'$, $dv'$ � $du$,
+$dv$ en rempla�ant $X$, $Y$, $Z$ dans la \Eqref{relation}{24} priv�e de termes constants
+par $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$. Ce sera, si l'on veut, l'�quation des directions conjugu�es de
+la surface moyenne.
+
+Les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ sont donn�s par le \Eqref{groupe}{16} o� $du$ et~$dv$ sont remplac�s
+par $du'$ et~$dv'$. On trouve apr�s substitution et r�duction
+\[
+2D(du'\, dv + dv'\, du) = 0.
+\]
+%% -----File: 073.png---Folio 67-------
+Mais il est facile de voir que cette �quation n'est autre que celle de directions
+conjugu�es trac�es sur l'�lasso�de, car la caract�ristique du plan moyen
+est d�termin�e par
+\[
+Z = X\, dv + Y\, du = 0,
+\]
+et comme ici
+\[
+\Delta X = D^{-\frac{1}{2}}\, du',\quad
+\Delta Y = D^{-\frac{1}{2}}\, dv',
+\]
+rempla�ant $x$ et~$y$ par $\Delta X$ et~$\Delta Y$, on trouve en d�finitive pour l'�quation des
+directions conjugu�es
+\[
+du'\, dv + dv'\, du = 0.
+\Tag{25}
+\]
+
+Cette analyse �tablit donc un fait digne de remarque, savoir que, \emph{sur la
+surface moyenne tout r�seau conjugu� correspond � un r�seau conjugu�
+trac� sur l'�lasso�de moyen. En particulier, les lignes asymptotiques d'une
+surface moyenne correspondent aux lignes asymptotiques de l'�lasso�de}
+puisqu'une famille d'asymptotiques repr�sente un r�seau conjugu� dont les
+courbes des deux familles co�ncident.
+
+Le fait est d'autant plus remarquable qu'il y a une $\infty^3$ de surfaces
+moyennes correspondant � un m�me �lasso�de.
+
+
+\Section{49.}
+{Sur la surface moyenne et l'�lasso�de moyen les lignes asymptotiques
+se correspondent.}
+
+Nous verrons tout � l'heure que l'int�gration des lignes asymptotiques
+d'un �lasso�de ne d�pend jamais que de quadratures; on peut donc
+dire que l'\emph{int�gration des asymptotiques des surfaces correspondant par
+orthogonalit� des �l�ments � la sph�re, est toujours ramen�e aux quadratures}.
+
+On peut encore conclure pour la projection de la direction conjugu�e de
+%% -----File: 074.png---Folio 68-------
+l'�l�ment de la surface moyenne correspondant � $du$, $dv$ (projection effectu�e
+sur le plan moyen)
+\[
+X\, dv - Y\, du = D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right).
+\]
+Cette �quation montre que: si  $Oo'$, $Oo''$ sont deux directions conjugu�es de
+l'�lasso�de, si  $Mm'$, $Mm''$ sont les projections sur le plan moyen des directions
+conjugu�es correspondantes de la surface moyenne $Oo'$ et~$Mm''$ sont
+parall�les, $Oo''$ et~$Mm'$ le sont aussi.
+% **** Unclear to SR; another ``si''?
+
+
+\Section{50.}
+{Calcul des rayons de courbure principaux de la surface moyenne.}
+
+La simplicit� des r�sultats pr�c�dents tient � ce qu'on peut, dans les
+calculs, �liminer les diff�rentielles secondes de~$p$ chaque fois qu'elles se
+pr�sentent en tenant compte des \Eqref{�quations}{10}. Il en sera de m�me pour
+tout ce qui tient au second ordre. En particulier il doit exister deux relations
+simples pour d�terminer les courbures principales des surfaces moyennes;
+leur recherche nous donnera l'occasion d'appliquer l'une des r�gles les plus
+utiles de la p�rimorphie, et de constater une analogie bien remarquable.
+
+% **** ``ses'' normales?
+Soit en g�n�ral~$(S)$ une surface, portons sur ces normales une longueur
+constante $l$, l'extr�mit� du segment d�crit une surface $(\Sigma)$ parall�le �~$(S)$;
+soient $d(S)$ et~$d(\Sigma)$ les �l�ments d'aires correspondants des deux surfaces,
+$R_1$ et~$R_2$ d�signant les rayons de courbure principaux moyens de l'�l�ment
+$d(S)$; on a, d'apr�s un th�or�me de Gauss, rappel� au \Secref{7}: % [** PP: Omitted () around section number]
+\[
+d(\Sigma) = \frac{(R_1+ l)(R_2 + l)}{R_1 R_2} d(S);
+\]
+par cons�quent
+\[
+\frac{d(\Sigma)}{d(S)} = 1 + \frac{l^2}{R_1R_2} + l\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right).
+\]
+
+%% -----File: 075.png---Folio 69-------
+
+Le rapport ne peut s'annuler que si $l$ �gale l'un des rayons de courbure
+principaux; mais ce fait se pr�sentera seulement si $d(\Sigma)$ est nul; et cela
+n�cessite que les projections de l'�l�ment d'aire $d(\Sigma)$ sur les trois plans coordonn�s
+soient nulles. En g�n�ral, si l'une de ces projections est nulle, les
+deux autres le sont, et, par cons�quent, $d(\Sigma)$ s'annule. Il n'y a d'exception
+que dans le cas o� la normale �~$(S)$ serait parall�le � l'un des plans coordonn�s.
+
+En p�rimorphie, on porte, sur les normales � la surface~$(S)$, une longueur~$l$
+constante, on calcule, comme d'habitude, les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ de l'extr�mit�; il
+est visible que la projection de l'�l�ment $d(\Sigma)$, sur le plan instantan�~$XOY$,
+est proportionnelle �
+\[
+\Delta Y_v \Delta X_u - \Delta Y_u \Delta X_v.
+\]
+
+(En d�signant par $\Delta X_u$, $\Delta Y_u$ les valeurs de $\Delta X$, $\Delta Y$ lorsque $u$ varie seul.)
+�crivant que l'expression ci-dessus est nulle, on obtiendra une �quation du
+second degr� en~$l$, qui d�termine les rayons de courbure principaux.
+
+D�signant par $\gamma$ le cosinus de l'angle que fait la normale � la surface
+moyenne avec~$OZ$, on d�duit de~\Eqref{}{23}
+\[
+-\frac{p}{\gamma}
+  = \sqrt{p^2 + \frac{1}{D} \biggl[\left(\frac{dp}{du}\right)^2
+                                + \left(\frac{dp}{dv}\right)^2\,\biggr]}.
+\]
+
+Les coordonn�es instantan�es du point de la surface parall�le �~$(M)$ et
+distante de~$l$ de cette surface, sont
+\begin{align*}
+\zeta &= l\gamma, \\
+\xi   &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du} - l\gamma \frac{dp}{p\, dv} D^{-\frac{1}{2}}, \\
+\eta  &=           -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} - l\gamma \frac{dp}{p\, du} D^{-\frac{1}{2}}.
+\end{align*}
+
+On trouve � l'aide des \Eqref{formules}{1}:
+\begin{align*}% [** PP: Align with display on following page]
+\frac{\Delta X_u}{D^{-\frac{1}{2}}\, du} % [**** PP: \Delta X_u, etc.?]
+&= -Dp + \frac{l\gamma}{p}
+         \left(\frac{1}{p}\, \frac{dp}{du}\, \frac{dp}{dv}
+             - \frac{d\gamma}{\gamma\, du}\, \frac{dp}{dv}\right) \\
+%% -----File: 076.png---Folio 70-------
+\intertext{que nous �crirons}
+%
+\frac{\Delta X_u}{D^{-\frac{1}{2}}\, du}
+  &= -Dp + l\gamma\, \frac{dp}{p\, dv}\,
+           \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right); \\
+\intertext{de m�me}
+%
+\frac{\Delta X_v}{D^{-\frac{1}{2}}\, dv}
+  &= \frac{l\gamma}{p} \left[ -1 + \frac{dp}{dv}�
+           \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)\right], \\
+\intertext{�galement}
+%
+\frac{\Delta Y_u}{D^{-\frac{1}{2}}\, du}
+  &= \frac{l\gamma}{p} \left[ 1 + \frac{dp}{du}\,
+           \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)\right], \\
+\intertext{et, enfin,}
+%
+\frac{\Delta Y_v}{D^{-\frac{1}{2}}\, dv}
+  &= Dp + \frac{l\gamma}{p}\, \frac{dp}{du}�
+           \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right);
+\end{align*}
+on en conclut, pour l'�quation des rayons de courbure principaux, comme il
+a �t� dit:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\frac{l^2\gamma^2}{p^2} &\left[ -1
+  + \frac{dp}{dv}\, \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)
+  - \frac{dp}{du}\, \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right) \right] \\
+%
+-Dl \gamma &\left[
+  + \frac{dp}{dv}\, \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)
+  - \frac{dp}{du}\, \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right) \right]
+  + D^2 p^2
+\end{aligned}\ \right\} = 0.
+\]
+Comme on trouve
+\begin{align*}
+\frac{d}{du} \log \frac{p}{\gamma}
+  &= \frac{-\dfrac{dp}{D\, du}}
+          {p^2 + \dfrac{1}{D} \left[\left(\dfrac{dp}{du}\right)^2
+                                  + \left(\dfrac{dp}{dv}\right)^2\right]}, \\
+%%
+\intertext{et}
+\frac{d}{dv} \log \frac{p}{\gamma}
+  &= \frac{\dfrac{dp}{D\, dv}}
+          {p^2 + \dfrac{1}{D} \left[\left(\dfrac{dp}{du}\right)^2
+                                  + \left(\dfrac{dp}{dv}\right)^2\right]},
+\end{align*}
+il vient, en d�finitive,
+\[
+l^2 - 2 \frac{l}{\gamma} D \frac{dp}{du}\, D^{-\frac{1}{2}} �
+                           \frac{dp}{dv}\, D^{-\frac{1}{2}}
+    - \frac{D^2 p^4}{\gamma^4} = 0.
+\]
+
+%% -----File: 077.png---Folio 71-------
+
+Nous en d�duirons, en d�signant par $L_1$ et~$L_2$ les deux rayons de courbure
+principaux de la surface moyenne
+\begin{align*}
+L_1 + L_2 &= -\frac{2}{\gamma} D � \eta_M � \xi_M
+\Tag{26} \\
+\intertext{avec}
+L_1 � L_2 &= -\frac{D^2 � p^4}{\gamma^4}
+\Tag{27}
+\end{align*}
+
+
+\Section{51.}
+{Relation entre les courbures de la surface moyenne et de l'�lasso�de moyen.}
+
+Laissons de c�t� provisoirement l'\Eqref{�quation}{26} et ne nous occupons
+que de~\Eqref{}{27}.
+
+Si $R_1$ et~$R_2$ sont les rayons de courbure principaux de l'�lasso�de, �gaux
+d'ailleurs en valeur absolue, on a
+\[
+D = \frac{1}{\sqrt{-R_1 R_2}}.
+\]
+
+D�signons par $V$ l'angle des normales � la surface moyenne~$(M)$ et �
+l'�lasso�de moyen~$(O)$; on a
+\begin{align*}
+\overline{OM}^2
+  &= \frac{1}{D} \left[\left(\frac{dp}{du}\right)^2 + \left(\frac{dp}{dv}\right)^2\right], \\
+\intertext{d'un autre c�t�}
+p^2 � \tg^2 V
+  &= \frac{1}{D} \left[\left(\frac{dp}{du}\right)^2 + \left(\frac{dp}{dv}\right)^2\right].
+\end{align*}
+
+Cons�quemment, (27) �quivaut � la relation g�om�trique
+\[
+L_1 L_2  � R_1R_2 = \frac{\overline{OM}^4}{\sin V^4}
+\Tag{28}
+\]
+
+%% -----File: 078.png---Folio 72-------
+
+\Section{52.}
+{La relation qui pr�c�de se retrouve en �tudiant les nappes de la d�velopp�e
+d'une surface dont les rayons de courbure principaux sont li�s, et en
+g�n�ral dans la th�orie de la correspondance par orthogonalit� des
+�l�ments.}
+
+C'est ici qu'il convient de faire un rapprochement.
+
+Nous avons montr� que les deux nappes de la d�velopp�e d'une surface
+dont les rayons de courbure sont li�s (surfaces consid�r�es pour la premi�re
+fois par M.~Weingarten), se correspondent de telle mani�re qu'aux asymptotiques
+de l'une correspondent les asymptotiques de l'autre. M.~Halphen a
+ensuite �tabli que si $R_1$, $R_2$ sont les rayons de courbure principaux de l'une
+des nappes, $L_1$, $L_2$ ceux de l'autre nappe et~$OM$ le segment de normale
+compris entre les deux nappes de la d�velopp�e,
+\[
+L_1 L_2 � R_1 R_2 = \overline{OM}^4.
+\]
+
+Dans l'esp�ce, la congruence, admettant les deux surfaces consid�r�es
+comme focales, a ses plans principaux rectangulaires; on peut donc dire que
+l'\Eqref{�quation}{28} r�git aussi les relations des deux nappes, puisque $\sin V$ est
+�gal � l'unit�.
+
+Ces propri�t�s similaires tiennent � des lois beaucoup plus g�n�rales se
+rapportant aux liaisons des nappes de congruences particuli�res. C'est ce que
+nous �tablirions en rattachant toutes ces th�ories � celles des couples de
+surfaces applicables l'une sur l'autre.
+
+Mais nous devons nous refuser � nous �carter plus longtemps de la th�orie
+des �lasso�des; nous aurons d'ailleurs encore l'occasion de faire allusion �
+plusieurs th�or�mes g�n�raux qui trouvent de remarquables applications dans
+la th�orie des �lasso�des. (Voir \chapitre{XXII}.)
+
+Revenons aux surfaces moyennes, et cherchons s'il n'est pas possible
+qu'une surface moyenne soit �lasso�de.
+
+%% -----File: 079.png---Folio 73-------
+
+\Section{53.}
+{La surface moyenne ne peut �tre un �lasso�de r�el qu'en co�ncidant
+avec une surface de vis � filet quarr� qui est aussi l'�lasso�de moyen.}
+
+Il faut d'apr�s~\Eqref{}{26} que
+\[
+\eta_M - \xi_M = 0.
+\]
+
+La droite~$OM$ serait donc toujours tangente � une asymptotique de l'�lasso�de~$(o)$,
+mais le r�sultat s'obtient tr�s-facilement � l'aide des \Eqref{�quations}{20}:
+puisque l'axe des~$X$ est une asymptote de l'indicatrice, on doit avoir
+\[
+P = \frac{df}{g\, dv} = 0.
+\]
+
+Donc, l'\emph{�lasso�de est r�gl�}, puisque l'\Eqref{asymptotique}{8} est g�od�sique.
+D'apr�s un th�or�me d� � M.~Catalan, on sait que l'�lasso�de (quand il est
+r�el) n'est autre chose que la surface de vis � filet quarr�.
+
+Comme il n'est pas sans int�r�t de faire conna�tre les congruences
+isotropes assez singuli�res, dont nous venons de signaler l'existence, nous
+�tablirons, par nos proc�d�s, le r�sultat de M.~Catalan, et nous int�grerons le
+\Eqref{groupe}{20}.
+
+Pour �viter les imaginaires, il convient de revenir aux premiers calculs
+du \Secref{29}. De ce que les \Eqref{lignes}{8} sont � la fois asymptotiques et g�od�siques,
+\begin{align*}
+Dg^2 &= V, \\
+D    &= U,
+\end{align*}
+$f$ �tant pris �gal � l'unit�. La troisi�me des �quations de Codazzi donne,
+pour d�terminer~$g$,
+\[
+\frac{V^2}{g^5} = \frac{d^2g}{du^2}
+\]
+%% -----File: 080.png---Folio 74-------
+dont l'int�grale g�n�rale est ici
+\[
+g^2 = Lu^2 + 2Mu + N,
+\]
+moyennant que
+\[
+V = NL - M^2;
+\]
+mais comme on doit avoir
+\[
+\frac{1}{D} = \frac{Lu^2 + 2Mu + N}{NL - M^2} = \frac{1}{u},
+\]
+$L$, $M$ et~$N$ doivent �tre des constantes.
+
+Dans le cas o� $L$ ne sera pas nul, on changera de variable en prenant
+une nouvelle $v$ d�finie par
+\[
+dv_1= \sqrt{L}\, dv,
+\]
+et si l'on prend pour nouvelle variable~$u$, un terme convenable, on voit que
+le carr� de l'�l�ment lin�aire de la surface peut s'�crire
+\[
+ds^2 = du^2 + (u^2 + A^2)\, dv^2.
+\Tag{29}
+\]
+
+Au contraire, dans le cas o� $L$ serait nul, on pourrait �crire cette expression
+sous l'une des formes
+\begin{align*}
+ds^2 &= du^2 + u\, dv^2
+\Tag{30} \\
+ds^2 &= du^2 + dv^2.
+\end{align*}
+
+Cette derni�re caract�rise le plan.
+
+Dans l'hypoth�se correspondant � l'\Eqref{�quation}{29}, on a
+\[
+D = \frac{1}{\sqrt{-R_1R_2}} = \frac{A}{u^2 + A^2},
+\]
+les rayons de courbure principaux sont r�els puisqu'ils sont �gaux et qu'ils
+doivent �tre de signes oppos�s, pour que la surface soit r�elle.
+
+%% -----File: 081.png---Folio 75-------
+
+Dans l'hypoth�se caract�ris�e par l'\Eqref{�quation}{30}
+\[
+-D^2 = \frac{1}{4u^2} = \frac{1}{R_1R_2};
+\]
+donc, pour toute valeur r�elle de~$u$, les rayons de courbure principaux seront
+de m�me signe; la surface est imaginaire. (Les congruences isotropes ne
+peuvent appara�tre dans les pr�sents calculs bas�s sur l'hypoth�se de l'orthogonalit�
+de lignes asymptotiques distinctes).
+
+Revenons � l'\Eqref{�quation}{29}, on a
+\[
+\frac{dg}{g\, du} = \frac{u}{u^2 + A^2}.
+\]
+
+Or, cette expression exprime la courbure g�od�sique des lignes~$(u)$; et
+comme les plans osculateurs sont tangents � l'�lasso�de, on voit que les
+premi�res courbures de ces courbes sont constantes tout le long de l'une
+d'entre elles.
+
+Le rayon de seconde courbure~$D$ est dans le m�me cas.
+
+Les lignes~$(u)$ sont donc des \emph{h�lices} orthogonales aux g�n�ratrices~$(v)$;
+l'une de ces h�lices se r�duit � une droite, au cas o� $u$ s'annule. La surface
+est une \emph{surface de vis � filet quarr�}, comme l'avait indiqu�, depuis longtemps,
+M.~Catalan.
+
+
+\Section{54.}
+{Recherche des congruences isotropes dont la surface moyenne est �lasso�de.}
+
+Passons � la d�termination des congruences isotropes admettant cette
+surface de vis pour surface moyenne.
+
+Il est clair qu'il doit entrer dans leur d�finition une constante arbitraire,
+car si l'on op�re sur une congruence satisfaisante la transformation du \Secref{34}
+en prenant pour direction fixe celle de l'h�lice r�duite � une droite, on obtient
+encore une congruence isotrope satisfaisante.
+
+%% -----File: 082.png---Folio 76-------
+
+Ici le \Eqref{groupe}{20} se r�duit �
+\begin{align*}
+\frac{d\xi}{dv}    &= 0, \\
+\frac{d(g\xi)}{du} &= -2g.
+\end{align*}
+
+Si $u$ d�signe la distance d'un point~$M'$ de la g�n�ratrice de l'h�li�o�de � %[** PP: Typo h�li�oide]
+l'axe~$OZ$, $\theta$ d�signant l'angle de la normale en $M'$ avec cet axe, on a
+\begin{align*}
+u &= A \cot \theta, \\
+g &= \frac{A}{\sin \theta}, \\
+\intertext{et, par cons�quent,}
+d \left(\frac{A\xi}{\sin \theta}\right)
+  &= 2 \frac{A^2}{\sin^3 \theta}\, d\theta, \\
+\intertext{on en conclut}
+\frac{\xi + A \cot \theta}{\sin \theta}
+  &= A \log \tg \frac{\theta}{2} + C. \\
+\intertext{\indent Si $D$ est la droite de la congruence isotrope,}
+CP &= \xi + A \cot \theta.
+\end{align*}
+
+Nous voulons seulement faire observer que si l'on consid�re les surfaces
+�l�mentaires de la congruence admettant pour lignes de striction les g�n�ratrices
+de l'h�li�o�de, on aura une \emph{famille de surfaces identiques, d�plac�es
+h�li�o�dalement}\footnotemark.
+\footnotetext{L'�quation
+\[
+u = \sin \theta A \left(\log \tg \frac{\theta}{2} + C\right)
+\]
+est l'�quation de la surface r�gl�e �l�mentaire.}% End of footnote
+
+La transformation du \Secref{34}, effectu�e avec g�n�ralit�, donnera, avec deux
+%% -----File: 083.png---Folio 77-------
+constantes arbitraires, des surfaces moyennes dont les asymptotiques correspondront
+aux g�n�ratrices et aux h�lices orthogonales de la surface
+de vis.
+
+Enfin, l'\Eqref{�quation}{28} doit �tre v�rifi�e identiquement si l'on prend deux
+points arbitraires, situ�s sur une m�me g�n�ratrice de l'h�li�o�de, sans quoi
+la relation pr�cit�e donnerait l'int�grale des congruences isotropes satisfaisantes,
+chose impossible, puisque la constante fait d�faut. La v�rification se
+fait imm�diatement.
+
+Nous ne poursuivrons pas plus loin l'�tude des surfaces moyennes qui se
+pr�terait pourtant � d'int�ressants d�veloppements. Nous avons d�sir� faire
+voir, par ce qui pr�c�de, combien la consid�ration des congruences isotropes
+est motiv�e. Nous allons montrer maintenant comment en cherchant � obtenir,
+par les proc�d�s les plus simples, les congruences isotropes, on arrive naturellement
+� �tendre encore la th�orie des �lasso�des.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 084.png---Folio 78-------
+
+
+\Chapter{IX.}
+{CONGRUENCES ISOTROPES D�RIV�ES DE LA SPH�RE.}
+
+\Section{55.}
+{Formules donnant le $ds^2$ d'une surface, ses lignes de courbure et asymptotiques,
+les rayons de courbure principaux, en fonction des �l�ments sph�riques
+de l'image.}
+
+Avant de poursuivre les cons�quences des r�sultats obtenus au \Secref{28} qui
+rattachent � la th�orie des r�seaux isom�triques sph�riques celle des congruences
+isotropes, il est n�cessaire d'�tablir rapidement quelques calculs
+ayant trait � la repr�sentation sph�rique des surfaces, et qui, d'ailleurs, s'obtiennent
+ais�ment par les proc�d�s de p�rimorphie.
+
+Prenons pour surface de r�f�rence une sph�re de rayon un, pour r�seau
+$(u, v)$ un r�seau isom�trique; soit~$p$ la distance au plan tangent d'une
+surface arbitraire~$(A)$, du centre de la sph�re. L'�quation instantan�e du
+plan tangent est
+\[
+Z - p + 1 = 0.
+\]
+On obtiendra le point de contact en cherchant l'enveloppe des caract�ristiques.
+
+Dans l'esp�ce, comme
+\begin{gather*}
+ds^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2), \\
+P = Q = \lambda,\quad D=0,
+\end{gather*}
+%% -----File: 085.png---Folio 79-------
+l'�quation du plan tangent dans sa seconde position est
+\[
+Z + \left(\lambda X - \frac{dp}{du}\right) du
+  + \left(\lambda Y - \frac{dp}{dv}\right) dv + 1 = 0.
+\]
+
+On voit que les coordonn�es instantan�es du point de contact ont pour
+valeurs
+\[
+\xi  = \frac{dp}{\lambda\, du},\quad
+\eta = \frac{dp}{\lambda\, dv}.
+\]
+
+Si l'on suit un chemin caract�ris� par les accroissements $du$, $dv$ sur la
+sph�re, le point~$A$ de contact d�crit une courbe et les normales le long de
+celle-ci, � la surface~$(A)$ normales parall�les � celles de la sph�re, engendrent
+une surface �l�mentaire ou \emph{normalie} (d'apr�s une locution introduite par
+M.~Mannheim). On a, comme d'habitude, pour l'�quation de la variation du
+plan tangent le long d'une normale appartenant � la surface �l�mentaire
+\[
+\tg \theta =
+\frac{du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi \right)
+  + dv \left(\dfrac{d\eta}{dv} + \lambda l + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi\right)}
+     {du \left(\dfrac{d\xi}{du} + \lambda l + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta\right)
+  + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta\right)}.
+% [** PP: Added .]
+\Tag{31}
+\]
+
+Tenant compte des valeurs de $\xi$ et de~$\eta$, passant aux coordonn�es sym�triques
+imaginaires, et posant
+\begin{align*}
+a &= \frac{dp}{\lambda^2\, dx}, \\[1ex]
+b &= \frac{dp}{\lambda^2\, dy}, \\[1ex]
+c &= \frac{1}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy},
+\end{align*}
+il vient
+\[
+e^{-2i\theta}
+  = \frac{dx\, \dfrac{da}{dx} + dy \left(c + \dfrac{l}{2}\right)}
+         {dx \left(c + \dfrac{l}{2}\right) + dy\, \dfrac{db}{dy}}
+\Tag{32}
+% [** F1: Missing comma?]
+\]
+�quation dans laquelle $\theta$ est l'angle du plan tangent � la normalie et du plan
+%% -----File: 086.png---Folio 80-------
+$ZOX$, $l-1$ est la hauteur au-dessus du plan~$XOY$ du point de contact du
+plan tangent pr�cit�.
+
+Puisqu'on a les valeurs instantan�es des coordonn�es du point de contact~$A$,
+rien n'est plus simple que de former les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ de ce point. �levant
+au carr� ces expressions et ajoutant, on trouve pour le carr� de l'�l�ment
+lin�aire de la surface~$(A)$
+\[
+\frac{dS^2}{\lambda^2} =
+(p + 2c) \left[2 \frac{da}{dx}\, dx^2
+             + (p + 2c)\, dx � dy
+             + 2 \frac{db}{dy}\, dy^2\right]
+  + 4 \frac{da}{dx} � \frac{db}{dy}\, dx\, dy.
+\Tag{33}
+\]
+
+L'\Eqref{�quation}{32} permet de trouver l'expression des rayons de courbure
+principaux de la surface~$(A)$ ainsi que les �quations des images sph�riques de
+ses lignes de courbure. Op�rant comme nous l'avons d�j� fait bien souvent
+dans ce m�moire, on trouve: \primo~pour l'�quation des images sph�riques
+\[
+% [** PP: Changed + to =]
+\frac{dy}{dx} = � \sqrt{\frac{\;\dfrac{da}{dx}\;}{\dfrac{db}{dy}}}\;.
+\Tag{34}
+\]
+\secundo~pour l'�quation des rayons de courbure principaux
+\[
+R^2 - 2R(2c+p) + (2c+p)^2 - 4 \frac{da}{dx} � \frac{db}{dy} = 0.
+% [** PP: Added .]
+\Tag{35}
+\]
+
+Enfin, nous exprimerons que deux directions de~$(A)$ caract�ris�es par les
+accroissements $dx$, $dy$ d'une part, $dx'$, $dy'$ d'autre part, sont conjugu�es, en
+�crivant que le plan tangent en~$A$ � la normalie correspondant aux accroissements
+$dx'$, $dy'$ est le plan central de la normalie correspondant aux accroissements
+$dx$, $dy$ (th�or�me de Joachimstal). Nous n'insistons plus sur ces calculs.
+On trouve ainsi pour l'�quation des lignes conjugu�es de~$(A)$
+\[
+  \frac{da}{dx} � dx \Reg{�}{\,} dx'
++ \left(c + \frac{p}{2}\right)(dx\, dy' + dy\, dx')
++ \frac{db}{dy} � dy \Reg{}{\,} dy' = 0. % [** PP: Added .]
+\Tag{36}
+\]
+
+Il en r�sulte pour l'�quation des lignes asymptotiques
+\[
+  \frac{da}{dx} � dx^2
++ 2\left(c + \frac{p}{2}\right) dx \Reg{�}{\,} dy
++ \frac{db}{dy} \Reg{}{�} dy^2 = 0.
+\]
+
+%% -----File: 087.png---Folio 81-------
+
+L'importance des calculs qui pr�c�dent tient � ce que la surface~$(A)$ est
+arbitraire et � ce que le r�seau sph�rique $(u, v)$ l'est �galement (pourvu qu'il
+soit isom�trique).
+
+
+\Section{56.}
+{�quation la plus g�n�rale d'un �lasso�de en coordonn�es sph�riques.}
+
+Dans le cas actuel, puisqu'il s'agit d'�lasso�des, nous obtiendrons l'�quation
+diff�rentielle de ces surfaces en �crivant, par exemple, que dans l'\Eqref{�quation}{35}
+le terme du premier degr� en~$R$ dispara�t, c'est-�-dire que la courbure
+moyenne de la surface est nulle. Il vient
+\[
+p + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} = 0
+\Tag{37}
+\]
+l'�quation des lignes de courbure ne change pas, mais celle des asymptotiques
+devient
+\[
+dx \sqrt{\frac{da}{dx}} � \sqrt{-1} \sqrt{\frac{db}{dy}} � dy = 0
+\Tag{38}
+\]
+enfin le carr� de l'�l�ment lin�aire de l'�lasso�de prend la forme remarquable
+\[
+\frac{dS^2}{\lambda^2} = 4 \frac{da}{dx} � \frac{db}{dy} � dx \Reg{�}{\,} dy.
+% [** PP: Added .]
+\Tag{39}
+\]
+
+Rappelons, en derni�re analyse, que $\lambda$ satisfait � la troisi�me �quation de
+Codazzi
+\[
+\lambda^2 + 2 \frac{\lambda^2 \log \lambda^2}{dx\, dy} = 0.
+\Tag{40}
+% [** PP: Added .]
+\]
+
+Si l'on remplace $\lambda^2$ par~$D$ on voit que les \Eqref{�quations}{37} et~\Eqref{}{40} co�ncident
+avec les deux premi�res du \Eqref{groupe}{11}.
+
+%% -----File: 088.png---Folio 82-------
+
+Leur int�grale g�n�rale est donc
+\begin{gather*}
+-\frac{\lambda^2}{2} = \frac{2X'Y'}{(X + Y)^2}, \\
+p = \frac{X'_1}{X'} + \frac{Y'_1}{Y'} - 2 \frac{X_1 + Y_1}{X + Y},
+\end{gather*}
+et ici, les fonctions $X_1$ et~$Y_1$ sont assujetties seulement � �tre, comme $X$ et~$Y$,
+des fonctions arbitraires des variables $x$ et~$y$.
+
+
+\Section{57.}
+{Un �lasso�de et la sph�re image ont toujours leurs lignes isotropes
+correspondantes.}
+
+D�duisons maintenant des cons�quences.
+
+L'\Eqref{�quation}{39} montre que les \textit{lignes isotropes d'un �lasso�de ont pour
+image sph�rique les lignes isotropes de la sph�re}. D'apr�s une th�orie bien
+connue, il en r�sulte que, si l'on fait correspondre un �lasso�de et une sph�re
+par parall�lisme des plans tangents, on a un mode de correspondance dans
+lequel les angles se conservent.
+
+Ceci d�montre que l'�lasso�de est la seule surface correspondant de la sorte
+� la sph�re. (Th�or�me d� � M.~Ossian Bonnet.)
+
+
+\Section{58.}
+{Remarque au sujet de la forme explicite des fonctions arbitraires qui entrent
+dans l'�quation int�grale d'un �lasso�de.}
+
+On v�rifie, sur l'\Eqref{�quation}{38}, que les asymptotiques d'un �lasso�de sont
+rectangulaires.
+
+La valeur la plus g�n�rale de~$p$, convenant aux �lasso�des, peut s'�crire
+%% -----File: 089.png---Folio 83-------
+sous la forme simple et tr�s-utile
+\[
+p = X' + 2X \frac{d\lambda}{\lambda\, dx} + Y' + 2Y \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}
+\Tag{41}
+\]
+o� ne figurent plus que les deux fonctions arbitraires n�cessaires et suffisantes,
+celles qui caract�risent le r�seau isom�trique sph�rique �tant masqu�es.
+
+Inversement, on peut dans la formule qui pr�c�de particulariser autant
+que l'on voudra les fonctions arbitraires $X$ et~$Y$, pourvu qu'on laisse � $\lambda$ toute
+la g�n�ralit� que comportent les deux fonctions arbitraires de son expression
+en $x$ et~$y$; on obtiendra encore l'int�grale g�n�rale des �lasso�des, seulement
+\textit{ils se s�pareront en autant de groupes qu'il y a de r�seaux isom�triques sph�riques
+distincts}.
+
+Cette cons�quence r�sultait �galement des calculs du \Secref{27} relatifs aux
+congruence isotropes.
+
+
+\Section{59.}
+{Remarque sur les r�seaux sph�riques isom�triques et trajectoires
+les uns des autres.}
+
+Avant de d�duire, de ce qui pr�c�de, les remarquables propri�t�s des
+\emph{�lasso�des group�s}, il convient de d�montrer un r�sultat simple et connu, mais
+qui nous importe particuli�rement.
+
+\begin{Emph}
+Les trajectoires des courbes~$(u)$ sous un angle constant $\omega$ et les trajectoires
+sous le m�me angle des courbes~$(v)$ forment un r�seau isom�trique si le r�seau
+sph�rique $(u, v)$ est isom�trique; la valeur du~$\lambda$, pour les deux r�seaux, est la
+m�me.
+\end{Emph}
+
+Soit, en effet, sur une surface qui peut �tre arbitraire
+\[
+dS^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2),
+\]
+posons
+\begin{align*}
+du &= du' \cos\omega - dv' \sin\omega, \\
+dv &= du' \sin\omega + dv' \cos\omega,
+\end{align*}
+%% -----File: 090.png---Folio 84-------
+il est clair que
+\[
+du^2 + dv^2 = {du'}^2 + {dv'}^2.
+\]
+
+En cons�quence, le carr� de l'�l�ment lin�aire de la surface peut s'�crire
+indiff�remment
+\[
+dS^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2)
+     = \lambda^2({du'}^2 + {dv'}^2),
+\]
+d'o� r�sulte la proposition annonc�e.
+
+
+\Section{60.}
+{D'un r�seau sph�rique isom�trique on peut d�duire une infinit� de congruences
+isotropes donnant lieu � une famille d'�lasso�des group�s.}
+
+Ceci pos�, si nous nous reportons aux calculs du \Secref{27}, nous voyous
+qu'�tant donn� un r�seau isom�trique sph�rique, on en d�duira une infinit�
+de congruences isotropes, de la fa�on suivante: le pied~$M$ de chacune des
+droites~$D$ sera � la distance~$\lambda$ de~$O$, et la droite~$OM$ fera un angle constant~$\omega$
+avec la tangente~$OX$ de la courbe~$(v)$.
+
+Il est clair, d'ailleurs, que le segment~$OM$ peut �tre multipli� par une constante;
+car on obtiendra ainsi des congruences isotropes, homoth�tiques par
+rapport au centre de la sph�re de r�f�rence.
+
+Chaque congruence isotrope, d�duite du r�seau isom�trique sph�rique,
+donnera lieu � un �lasso�de moyen; tous ces �lasso�des formeront un groupe
+dont nous allons �tablir les propri�t�s.
+
+Nous avons trouv�, au \Secref{28}, que si l'on porte le segment $\lambda$ sur~$OX$:
+
+\primo~Le \emph{plan moyen} de la congruence isotrope est � la distance~$p$ du centre
+de la sph�re, marqu�e par
+\[
+p = -\frac{d\lambda}{\lambda\, du}.
+\]
+
+\secundo~Le \emph{param�tre} de la congruence a pour valeur
+\[
+p = -\frac{d\lambda}{\lambda\, dv}.
+\]
+
+%% -----File: 091.png---Folio 85-------
+
+\Section{61.}
+{Calcul des �l�ments des �lasso�des group�s.}
+
+Il en r�sulte que, si nous d�signons par~$\rho_{\omega}$ et~$p_{\omega}$ les valeurs analogues,
+relatives � la congruence isotrope d�finie par des positions de $OM$ faisant avec
+$OX$ l'angle~$\omega$, nous aurons
+\begin{align*}
+\rho_\omega &= -\frac{d\lambda}{\lambda\, du'}
+  = -\cos\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, du}
+    -\sin\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}, % [** PP: Added ,]
+\Tag{42} \\
+%
+p_\omega &= - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv'}
+  = \phantom{-}
+     \sin\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, du}
+    -\cos\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}. % [** PP: Added .]
+\Tag{43}
+\end{align*}
+
+L'\Eqref{�quation}{42} donnant, en d�finitive, les distances du centre de la
+sph�re de r�f�rence aux plans tangents parall�les des �lasso�des group�s
+doit co�ncider avec~\Eqref{}{41} particularis�e; passant aux coordonn�es sym�triques
+imaginaires, \Eqref{}{42}~devient
+\[
+\rho_\omega
+  = -\left[\frac{d\lambda}{\lambda\, dx} (\cos\omega + i \sin\omega)
+          +\frac{d\lambda}{\lambda\, dy} (\cos\omega - i \sin\omega)\right].
+\]
+Et cette �quation co�ncide avec~\Eqref{}{41} si l'on fait dans celle-ci
+\begin{align*}
+2X &= -(\cos\omega + i \sin\omega), \\
+2Y &= -(\cos\omega - i \sin\omega).
+\end{align*}
+
+Dans l'esp�ce, adoptant les notations du \Secref{55}, et tenant compte de
+l'\Eqref{�quation}{40}, on trouve:
+\begin{align*}
+-a &= \frac{1}{\lambda^2}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\, (\cos\omega + i \sin\omega)
+    - \frac{1}{4} (\cos\omega - i \sin\omega), \\
+-b &= \frac{1}{\lambda^2}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\, (\cos\omega - i \sin\omega)
+    - \frac{1}{4} (\cos\omega + i \sin\omega);
+\end{align*}
+%% -----File: 092.png---Folio 86-------
+par cons�quent,
+\begin{align*}
+-\frac{da}{dx} &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\right) (\cos\omega + i \sin\omega), \\
+-\frac{db}{dy} &= \frac{d}{dy} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\right) (\cos\omega - i \sin\omega).
+\end{align*}
+
+
+\Section{62.}
+{Tous les �lasso�des group�s sont applicables sur l'un d'entre eux;
+ils ne sont pas identiques.}
+
+La \Eqref{formule}{33} qui a trait au carr� de l'�l�ment lin�aire devient en
+cons�quence
+\[
+\frac{dS^2}{\lambda^2}
+  = 4 \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\right)
+      \frac{d}{dy} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\right) dx\, dy,
+\]
+r�sultat qui ne contient plus trace de l'angle~$\omega$. On peut donc �noncer cet
+important r�sultat:
+
+\begin{Emph}
+Tous les �lasso�des group�s, d�riv�s d'un m�me r�seau isom�trique
+sph�rique, sont applicables sur l'un d'entre eux.
+\end{Emph}
+
+Mais il pourrait y avoir doute sur leur non-identit� quoique l'identit� d�t
+entra�ner des cons�quences (en ce qui concerne les valeurs de~$\rho_\omega$) � priori
+non r�alis�es.
+
+Pour donner une preuve d�cisive, nous chercherons l'�quation de l'image
+sph�rique des lignes de courbure de l'�lasso�de du groupe, le plus g�n�ral,
+et nous ferons voir qu'elle varie avec~$\omega$.
+
+On a, d'apr�s~\Eqref{}{34}, pour l'�quation de l'image
+\[
+\frac{dy}{dx} = � \sqrt{
+  \frac{\dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{1}{\lambda}\, \dfrac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\right) (\cos\omega + i \sin\omega)}
+       {\dfrac{d}{dy} \left(\dfrac{1}{\lambda}\, \dfrac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\right) (\cos\omega - i \sin\omega)}},
+\]
+ce qui �tablit la proposition annonc�e.
+
+On peut m�me d�duire de cette relation une cons�quence g�om�trique
+importante.
+
+%% -----File: 093.png---Folio 87-------
+
+\Section{63.}
+{Les �lasso�des group�s ont pour images sph�riques de leurs lignes de
+courbure des r�seaux isom�triques trajectoires les uns des autres sous
+des angles constants.}
+
+D'apr�s~\Eqref{}{32}, si l'on suit une ligne de courbure de la surface~$(A)$, on a
+\[
+e^{-2i\theta} = \frac{dy}{dx}.
+\]
+
+D�s lors, si nous d�signons par~$\theta_\omega$ l'angle que l'image d'une ligne de
+courbure de l'�lasso�de g�n�ral fait avec~$OX$, nous aurons
+\[
+e^{-4i\theta_\omega}
+  = e^{-4i\theta_0} \frac{\cos\omega + i \sin\omega}
+                         {\cos\omega - i \sin\omega}
+  = e^{-4i\theta_0} � e^{2\omega i},
+\]
+d'o� r�sulte simplement
+\[
+\theta_\omega - \theta_0 = \frac{\omega}{2}.
+\]
+
+Ainsi \textit{les images sph�riques des lignes de courbure des �lasso�des group�s
+sont trajectoires, sous des angles constants, les unes des autres}.
+
+Prenons, par exemple, deux �lasso�des du groupe caract�ris�s par des
+valeurs du param�tre~$\omega$ diff�rant d'une constante~$\alpha$, leurs images sph�riques
+se couperont mutuellement sous l'angle~$\frac{\alpha}{2}$.
+
+Il est bien clair que les r�sultats qui pr�c�dent s'appliquent �galement
+aux images sph�riques des asymptotiques des divers �lasso�des du groupe.
+
+Sans chercher � particulariser davantage pour le moment, faisons cette
+observation que les images sph�riques des �lasso�des d'un m�me groupe
+forment sur la sph�re un groupe de r�seaux isom�triques trajectoires, sous
+des angles constants, les uns des autres. [Les �quations de Codazzi montrent
+imm�diatement que l'image sph�rique des lignes de courbure d'un �lasso�de
+est isom�trique.]
+
+Si donc on suppose obtenue l'image sph�rique des lignes de courbure des
+�lasso�des group�s, on pourra la prendre pour point de d�part d'un nouveau
+groupe d'�lasso�des et ainsi de suite.
+
+%% -----File: 094.png---Folio 88-------
+
+\Section{64.}
+{Recherche des �lasso�des admettant pour image sph�rique de leurs lignes de
+courbure un r�seau isom�trique d�termin�. Int�gration des congruences
+isotropes satisfaisantes.}
+
+Inversement, on est conduit � r�soudre le probl�me suivant: \emph{�tant donn�
+un r�seau isom�trique sph�rique, trouver l'�lasso�de qui l'admet pour image
+de ses lignes de courbure; int�grer ses congruences isotropes g�n�ratrices}.
+
+Nous pourrions d�duire la solution, de ce qui pr�c�de, mais il est tout
+aussi simple de l'�tablir directement.
+
+Prenons pour r�seau $(u, v)$ le r�seau isom�trique choisi. Soient $\xi$ et~$\eta$ les
+coordonn�es instantan�es du pied de la droite~$D$ de la congruence isotrope,
+$p$~le param�tre de la congruence, $\rho$~la distance du plan moyen au centre de
+la sph�re de r�f�rence. Sans recommencer des calculs identiques � ceux qui
+ont �t� faits si souvent, nous �crirons imm�diatement
+
+% **** Provisional code
+% N.B. Blank line to prevent \baselineskip reduction above
+{\scriptsize
+\begin{align*}
+\makebox[12pt][r]{$\rho-1$}
+ &= -\frac{dv \left[dv \left(\lambda + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi\right)
+                      + du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv}\xi\right)\right]
+             + du \left[du \left(\lambda + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta\right)
+                      + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv}  - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du}\eta\right)\right]}
+              {\lambda (du^2 + dv^2)}, \\[1.5ex]
+%
+p &= \Neg\frac{dv \left[du \left(\lambda + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta\right)
+                 + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du}\eta\right)\right]
+             - du \left[dv \left(\lambda + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi\right)
+                      + du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv}\xi\right)\right]}
+          {\lambda (du^2 + dv^2)}.
+\end{align*}
+%**
+}%
+
+La congruence �tant isotrope, ces expressions doivent �tre ind�pendantes
+de $du$ et~$dv$, ce qui entra�ne
+\begin{align*}
+& \frac{d\eta}{du} - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi + \frac{d\xi}{dv} - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta = 0, \\
+& \frac{d\eta}{dv} + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi = \frac{d\xi}{du} + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta.
+\end{align*}
+
+%% -----File: 095.png---Folio 89-------
+
+Et alors on a, en effet
+\begin{align*}
+p &=  \frac{\dfrac{d\xi}{dv}  - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta}{\lambda}
+   = -\frac{\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv}  \xi}{\lambda}, \\
+%
+-\rho
+  &= \frac{d\eta}{\lambda\, dv} - \frac{d\lambda}{\lambda^2\, du} \xi
+   = \frac{d\xi}{\lambda\, du} + \frac{d\lambda}{\lambda^2\, dv} \eta.
+\end{align*}
+
+Prenons pour variables canoniques $p$ et~$\rho$, nous aurons le groupe
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\frac{d\xi}{du} + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta &= -\lambda \rho,
+  & \frac{d\xi}{dv} - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta &= \lambda p \\
+%
+\frac{d\eta}{du} - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi &= -\lambda p,
+  & \frac{d\eta}{dv} + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi &= -\lambda \rho
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{44}
+\]
+
+Op�rant comme au \Secref{31} en tenant compte de l'�quation
+\[
+\frac{d^2 \log \lambda}{du^2} + \frac{d^2 \log \lambda}{dv^2} + \lambda^2 = 0,
+\]
+il vient
+\begin{align*}
+\xi  &= \lambda^{-1} \left(\frac{d\rho}{du} - \frac{dp}{dv}\right), \\
+\eta &= \lambda^{-1} \left(\frac{d\rho}{dv} + \frac{dp}{du}\right).
+\end{align*}
+
+Exprimant que ces valeurs de $\xi$ et~$\eta$ satisfont au \Eqref{groupe}{44}, on obtient
+le groupe d�finitif
+\[% [** PP: Added punctuation]
+\left.
+\begin{aligned}
+\frac{d^2\rho}{du^2}
+  - \frac{d^2p}{du\, dv}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{d\rho}{dv} + \frac{dp}{du}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{d\rho}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
+  + \lambda^2\rho = 0, \\
+%
+\frac{d^2\rho}{dv^2}
+  + \frac{d^2p}{du\, dv}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{d\rho}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{d\rho}{dv} + \frac{dp}{du}\right)
+  + \lambda^2\rho = 0, \\
+%
+\frac{d^2p}{du^2}
+  + \frac{d^2\rho}{du\, dv}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{dp}{dv} - \frac{d\rho}{du}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{dp}{du} + \frac{d\rho}{dv}\right)
+  + \lambda^2 p = 0, \\
+%
+\frac{d^2p}{dv^2}
+  - \frac{d^2\rho}{du\, dv}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{dp}{du} + \frac{d\rho}{dv}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{dp}{dv} - \frac{d\rho}{du}\right)
+  + \lambda^2 p = 0.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{45}
+\]
+
+Les valeurs des $\xi$, $\eta$ et le \Eqref{groupe}{45}, d�finissent, par rapport � la sph�re
+%% -----File: 096.png---Folio 90-------
+de r�f�rence, la congruence isotrope la plus g�n�rale. Il s'agit d'exprimer
+maintenant que l'�lasso�de central a pour image sph�rique le r�seau isom�trique
+$(u, v)$.
+
+On a
+\[
+1 = e^{-2i\theta} = \frac{dy}{dx}
+  = \sqrt{\frac{\;\dfrac{da}{dx}\;}{\dfrac{db}{dy}}}.
+\]
+En outre, on sait d'avance que
+\[
+\rho + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} = 0.
+\Tag{46}
+\]
+
+Si l'on voulait simplement obtenir l'�lasso�de satisfaisant, il faudrait int�grer~\Eqref{}{46}
+et v�rifier la condition
+\[
+  \frac{d}{dx} \left(\frac{d\rho}{\lambda^2\, dx}\right)
+= \frac{d}{dy} \left(\frac{dp}{\lambda^2\, dy}\right)
+\Tag{47}
+\]
+mais pour obtenir les congruences isotropes correspondantes, il faut v�rifier
+le \Eqref{groupe}{45}; celui-ci se transforme, en passant aux coordonn�es sym�triques
+imaginaires, en un groupe qu'il s'agit de former: \Eqref{}{45}~peut s'�crire
+\begin{gather*}
+\frac{d^2\rho}{du^2}
+  + \frac{d^2\rho}{dv^2}
+  + 2\lambda^2\rho
+  = \frac{d^2p}{du^2}
+  + \frac{d^2p}{dv^2}
+  + 2\lambda^2 p = 0, \\
+%
+\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dv^2} - \frac{d^2\rho}{du^2}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}  � \frac{d\rho}{dv}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, du}  � \frac{d\rho}{du}
+  + \left[\frac{d^2p}{du\, dv}
+        - \frac{d\lambda}{\lambda\, du}  � \frac{dp}{dv}
+        - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}  � \frac{dp}{du}\right] = 0, \\
+%
+\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{du^2} - \frac{d^2p}{dv^2}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, du}  � \frac{dp}{du}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}  � \frac{dp}{dv}
+  + \left[\frac{d^2\rho}{du\, dv}
+        - \frac{d\lambda}{\lambda\, du}  � \frac{d\rho}{dv}
+        - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}  � \frac{d\rho}{du}\right] = 0.
+\end{gather*}
+
+Il vient, en passant aux coordonn�es imaginaires
+\begin{gather*}
+  \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2\rho}{dx\, dy} + \rho
+= \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} + p = 0, \\[2ex]
+%
+\begin{aligned}
+-\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dx^2} + \frac{d^2\rho}{dy^2}\right)
+ &+ \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  � \frac{d\rho}{dx}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  � \frac{d\rho}{dy} \\
+ &+ i\left[\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{dx^2} - \frac{d^2p}{dy^2}\right)
+         - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  � \frac{dp}{dx}
+         + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  � \frac{dp}{dy}\right] = 0, \\[2ex]
+%
++\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{dx^2} + \frac{d^2p}{dy^2}\right)
+ &- \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  � \frac{dp}{dx}
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  � \frac{dp}{dy} \\
+ &+ i\left[\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{d^2\rho}{dy^2}\right)
+         - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  � \frac{d\rho}{dx}
+         + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  � \frac{d\rho}{dy}\right] = 0,
+% [** PP: d^2 p/dx^2 -> d^2 \rho/dx^2]
+\end{aligned}
+\end{gather*}
+%% -----File: 097.png---Folio 91-------
+on en d�duit
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\frac{d^2p}{dx^2} + i\frac{d^2\rho}{dx^2}
+  - 2\frac{d\lambda}{\lambda\, dx} \left(\frac{dp}{dx} + i\frac{d\rho}{dx}\right) &= 0 \\
+%
+\frac{d^2p}{dy^2} - i\frac{d^2\rho}{dy^2}
+  - 2\frac{d\lambda}{\lambda\, dy} \left(\frac{dp}{dy} - i\frac{d\rho}{dy}\right) &= 0 \\
+%
+\rho + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2\rho}{dx\, dy}
+  = p + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} &= 0
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{48}
+\]
+
+Ces quatre �quations � elles seules r�gissent le probl�me des congruences
+isotropes.
+
+Comme cela devait �tre, (46) est v�rifi�e, ce qui d�montre une fois de plus
+le th�or�me fondamental.
+
+L'\Eqref{�quation}{47}, exprimant la co�ncidence de l'image sph�rique des lignes
+de courbure de l'�lasso�de moyen et du r�seau isom�trique pris pour origine,
+devient, d�velopp�e,
+\[
+\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{d^2\rho}{dy^2}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  � \frac{d\rho}{dx}
+  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  � \frac{d\rho}{dy} = 0
+\Tag{49}
+\]
+on voit qu'elle entra�ne
+\[
+\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{dx^2} + \frac{d^2p}{dy^2}\right)
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  � \frac{dp}{dx}
+  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  � \frac{dp}{dy} = 0. % [**PP: Added .]
+\Tag{50}
+\]
+
+Ainsi se trouve pr�par� le probl�me que nous avons en vue. Quant �
+l'int�gration, elle ne pr�sente pas de nouvelles difficult�s:
+
+Rempla�ons $\lambda^2$ par~$D$, nous aurons:
+
+\primo~Pour ce qui concerne~$\rho$
+\begin{gather*}
+\frac{D\rho}{2} + \frac{d^2\rho}{dx\, dy} = 0, \\
+\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{d^2\rho}{dy^2}
+  - \frac{dD}{D\, dx}  � \frac{d\rho}{dx}
+  + \frac{dD}{D\, dy}  � \frac{d\rho}{dy} = 0.
+\end{gather*}
+
+Comme
+\[
+D = -\frac{4X'Y'}{(X+Y)^2},
+\]
+on doit avoir
+\[
+\rho = \frac{X'_1}{X'} + \frac{Y'_1}{Y'}
+  - 2 \frac{X_1 + Y_1}{X + Y}.
+\]
+%% -----File: 098.png---Folio 92-------
+Mais alors
+\begin{align*}
+\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{dD}{D\, dx}  � \frac{d\rho}{dx}
+  &= \left(\frac{X'_1}{X'}\right)''
+   - \left(\frac{X'_1}{X'}\right)' \left(\frac{X''}{X'}\right), \\
+%
+\frac{d^2\rho}{dy^2} - \frac{dD}{D\, dy}  � \frac{d\rho}{dy}
+  &= \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)''
+   - \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)' \left(\frac{Y''}{Y'}\right).
+\end{align*}
+Par cons�quent, l'\Eqref{�quation}{49} ne peut �tre v�rifi�e que si
+\[
+\left(\frac{X'_1}{X'}\right)''
+  - \left(\frac{X'_1}{X'}\right)' \left(\frac{X''}{X'}\right)
+  = K
+  = \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)''
+  - \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)' \left(\frac{Y''}{Y'}\right),
+\]
+o� $K$ d�signe une constante arbitraire.
+
+On conclut facilement de ce qui pr�c�de
+\begin{align*}
+X_1 &= \int X'\, dx \int X'\, dx \int \frac{K\, dx}{X'} + aX^2  + bX  + c, \\
+Y_1 &= \int Y'\, dy \int Y'\, dy \int \frac{K\, dy}{Y'} + a'Y^2 + b'Y + c'.
+\end{align*}
+
+\secundo~En ce qui concerne~$p$, on trouverait semblablement
+\[
+p = \frac{X'_2}{X'} + \frac{Y'_2}{Y'}
+  - 2\frac{(X_2 + Y_2)}{X + Y}, %[** PP: Typo in numerator X_2 -> Y_2]
+\]
+avec
+\begin{align*}
+X_2 &= -i \int X'\, dx \int X'\, dx \int \frac{K\, dx}{X'} + a_1X^2 + b_1X + c_1, \\
+Y_2 &= +i \int Y'\, dy \int Y'\, dy \int \frac{K\, dy}{Y'} + a'_1Y^2 + b'_1Y + c'_1.
+\end{align*}
+
+On voit ainsi que
+\begin{align*}
+X_2 &= -iX_1 + \alpha  X^2 + \beta  X + \gamma, \\
+Y_2 &= +iY_1 + \alpha' Y^2 + \beta' Y + \gamma'.
+\end{align*}
+
+Les �lasso�des ainsi trouv�s sont en nombre infini, mais il est facile de voir
+que la variation de la constante~$k$ donne des �lasso�des homoth�tiques par
+rapport au centre de la sph�re de r�f�rence, et que les variations des
+constantes $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ donnent lieu � des �lasso�des d�plac�s dans
+l'espace, parall�lement � eux-m�mes.
+
+%% -----File: 099.png---Folio 93-------
+
+Consid�rons, en effet, l'expression du carr� de l'�l�ment lin�aire de
+l'�lasso�de, il a pour valeur, d'apr�s~\Eqref{}{39}
+\[
+\frac{dS^2}{\lambda^2}
+  = 4dx � dy\, \frac{1}{\lambda^2}
+    \left[\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{dD}{D\, dx}  � \frac{d\rho}{dx}\right]
+    \frac{1}{\lambda^2}
+    \left[\frac{d^2\rho}{dy^2} - \frac{dD}{D\, dy}  � \frac{d\rho}{dy}\right];
+\]
+soit, � raison de ce qui a �t� dit ci-dessus,
+\[
+dS^2 = \frac{4K^2  � dx  � dy}{\lambda^2}.
+\]
+
+Les constantes $a, b, c, a', b', c'$ ne jouent aucun r�le et $k$ n'a d'autre
+effet que de rendre proportionnels tous les �l�ments correspondants des
+�lasso�des satisfaisants.
+
+Or, les �l�ments des lignes de courbure parall�les � ceux des courbes
+$(u)$ et~$(v)$ conservent des directions invariables, quelles que soient les variations
+des constantes; cons�quemment tous les �lasso�des satisfaisants sont
+identiques ou homoth�tiques.
+
+
+\Section{65.}
+{Remarque au sujet de l'expression des param�tres des congruences isotropes
+d�duites de r�seaux sph�riques isom�triques.}
+
+On n'est pas sans avoir constat� la sym�trie remarquable qui lie dans tous
+les calculs de ce chapitre les \emph{param�tres} d'une congruence isotrope et les
+\emph{distances du centre de la sph�re de r�f�rence aux plans moyens}; nous
+avons � dessein r�serv�, pour les grouper, les remarques se pr�sentant �
+chaque pas et qui mettaient naturellement sur la voie d'une tr�s-importante
+propri�t� des �lasso�des, de celle qui va nous permettre bient�t de r�soudre
+le probl�me de Bj�rling; nous voulons parler de la coexistence des \emph{�lasso�des
+conjugu�s}, signal�e pour la premi�re fois par M.~Ossian Bonnet.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 100.png---Folio 94-------
+
+
+\Chapter{X.}
+{�LASSO�DES CONJUGU�S; �LASSO�DES STRATIFI�S.}
+
+\Section{66.}
+{Construction des �lasso�des conjugu�s � l'aide de la repr�sentation sph�rique.
+Les lignes de courbure de l'un correspondent aux lignes asymptotiques
+de l'autre.}
+
+Du \Secref{63} il r�sulte que, si l'on porte sur les tangentes $OX$, $OY$ des courbes
+$(v)$ et~$(u)$ d'un r�seau isom�trique se coupant en~$O$ (point de la sph�re) des
+longueurs $OA$ et~$OB$ �gales au~$\lambda$ du r�seau, les droites men�es par les extr�mit�s
+parall�lement au rayon de la sph�re engendrent des congruences isotropes;
+les \emph{�lasso�des moyens} de ces congruences sont applicables l'un sur
+l'autre; de plus, les images sph�riques des lignes de courbure de ces �lasso�des
+se coupent sous un angle �gal �~$\frac{\pi}{4}$.
+
+\emph{L'image sph�rique des lignes de courbure de l'un des �lasso�des est l'image
+sph�rique des lignes asymptotiques de l'autre} (puisque \primo~les asymptotiques
+d'un �lasso�de coupent sous un angle �gal �~$\frac{\pi}{4}$ les lignes de courbure et que
+\secundo~les angles sont conserv�s dans la correspondance de l'�lasso�de %[** PP: Typo �lassoide]
+et de la
+sph�re).
+
+Nous dirons que \emph{les deux �lasso�des correspondant ainsi � deux directions
+rectangulaires isom�triques sont conjugu�s. Tous les �lasso�des group�s
+s'accouplent en �lasso�des conjugu�s}.
+
+%% -----File: 101.png---Folio 95-------
+
+Mais les calculs du \Secref{28} ayant montr� que, si l'on prend une congruence
+isotrope arbitraire~$(D)$, on peut toujours tracer sur une sph�re donn�e un
+r�seau isom�trique tel que les normales � la sph�re soient parall�les aux
+droites de la congruence et que les tangentes aux courbes de l'une des
+familles du r�seau rencontrent toujours les droites~$D$, on est en droit
+d'�noncer cette nouvelle proposition:
+
+
+\Section{67.}
+{�tant donn�e une congruence isotrope d�finissant un �lasso�de moyen, construire
+une congruence isotrope donnant lieu � l'�lasso�de conjugu�.}
+
+\begin{Emph}
+Si l'on fait tourner, de~$\frac{\pi}{2}$, autour d'un point fixe~$O$ les droites~$D$ d'une
+congruence isotrope, de telle fa�on que les nouvelles droites soient parall�les
+aux premi�res, on engendre une seconde congruence isotrope; les deux
+�lasso�des moyens de ces congruences sont conjugu�s.
+\end{Emph}
+
+D�signons uniform�ment par~$\rho_D$ la distance du centre de la sph�re de
+r�f�rence au plan tangent de l'�lasso�de moyen de la congruence~$(D)$ et par
+$p_D$ le param�tre de cette congruence, on a d'apr�s les calculs du \Secref{28}:
+\begin{align*}
+p_D &= \rho_{D'} = \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}, \\
+\rho_D &= p_{D'} = \frac{d\lambda}{\lambda\, du}.
+\end{align*}
+
+
+\Section{68.}
+{Aux courbes lieux des centres de courbure d'une courbe double de congruence
+isotrope correspondent sur l'�lasso�de conjugu� les courbes de
+contact de c�nes.}
+
+On peut, de ces relations, d�duire un fait assez important. Nous avons
+montr� (\Secref{41}) que \emph{l'on peut tracer sur un �lasso�de une $\infty^3$ de lignes, lieux % [** Italics continue]
+%% -----File: 102.png---Folio 96-------
+des centres de courbure des lignes doubles des d�veloppables isotropes focales
+des congruences isotropes satisfaisantes; le long de ces courbes le param�tre
+est nul}. Ce qui pr�c�de montre que \emph{ces courbes ont pour transform�es, sur
+l'�lasso�de conjugu�, les courbes de contact des c�nes ayant pour sommets
+tous les points de l'espace}. En effet $p_D$ ne peut s'annuler sans~$\rho_{D'}$, par cons�quent,
+les plans tangents � l'�lasso�de conjugu� le long de l'une des courbes
+transform�es passent par le centre de la sph�re de r�f�rence\footnotemark.
+\footnotetext{Ce centre peut effectivement co�ncider avec un point quelconque de l'espace.}
+
+Ce r�sultat peut encore se g�n�raliser en consid�rant les courbes le long
+desquelles $p_D$ ou~$\rho_{D'}$ sont constants; elles sont sur le premier �lasso�de les
+trajectoires des droites, telles que~$OM$; sur l'�lasso�de conjugu� ce sont les
+courbes de contact de d�veloppables circonscrites � l'�lasso�de et � des
+sph�res.
+
+Si l'on fait tourner les droites~$D$ d'une congruence isotrope autour de tous
+les points de l'espace, de la mani�re indiqu�e ci-dessus, on obtiendra toutes
+les congruences isotropes satisfaisantes relatives � l'�lasso�de conjugu�. La
+question a pourtant besoin d'�tre approfondie, car on peut se demander
+quelles positions occupent dans l'espace les divers �lasso�des moyens des
+congruences isotropes d�riv�es des congruences relatives � un m�me �lasso�de
+moyen choisi � priori. Le calcul nous am�nera d'ailleurs � rencontrer
+la propri�t� capitale, qui domine la th�orie des �lasso�des conjugu�s.
+
+Reprenons pour surface de r�f�rence l'�lasso�de moyen d'une congruence
+isotrope et pour r�seau $(u, v)$ celui des asymptotiques. Soit~$D$ la droite
+instantan�e d'une congruence isotrope~$(D)$ et $P$ un point fixe de l'espace.
+Je dis que, si � partir de ce point fixe, on porte sur des parall�les aux normales
+de l'�lasso�de des longueurs �gales aux param�tres des diverses congruences
+isotropes satisfaisantes, les plans perpendiculaires aux normales et
+passant par les extr�mit�s de ces segments touchent des surfaces identiques.
+Cette propri�t� r�sulte d�j� de la transformation indiqu�e au \Secref{34}, mais
+�tablissons-la diff�remment.
+
+%% -----File: 103.png---Folio 97-------
+
+\Section{69.}
+{Toutes les congruences isotropes conjugu�es des congruences engendrant le
+m�me �lasso�de moyen donnent lieu au m�me �lasso�de moyen conjugu� % [** PP: Typo �lassoide]
+du pr�c�dent.}
+
+Les coordonn�es instantan�es de la droite~$D$ sont
+\[
+\xi  =  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du},\quad
+\eta = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv},
+\]
+$p$ satisfaisant aux �quations du \Eqref{groupe}{10}.
+
+Soient d'un autre c�t� $\xi, \eta, \zeta$, les coordonn�es instantan�es du point fixe~$P$,
+�crivant que les $\Delta X, \Delta Y, \Delta Z$ du point~$P$ sont nuls, quels que soient $du$ et~$dv$,
+on obtient le groupe canonique
+\[
+\left.
+\begin{gathered}
+\xi_1  = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{dv},\quad
+\eta_1 = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{du} \\
+%
+\frac{d^2\zeta_1}{du\, dv}
+  - \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{du}\, \frac{d\zeta_1}{dv}
+  - \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{dv}\, \frac{d\zeta_1}{du} - 1 = 0 \\
+%
+\frac{d^2\zeta_1}{du^2} + D\zeta_1
+  = \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{du}\, \frac{d\zeta_1}{du}
+  - \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{dv}\, \frac{d\zeta_1}{dv}
+  = -\frac{d^2\zeta_1}{dv^2} - D\zeta_1
+\end{gathered}\ \right\}
+\Tag{51}
+\]
+
+Portons sur $\zeta_1$, � partir de~$P$, une longueur �gale au param�tre~$p$ et par
+le point obtenu menons un plan parall�le �~$XOY$, nous savons qu'il touchera
+l'�lasso�de conjugu� de~$(O)$; soit~$Z$ la distance de ce plan �~$XOY$, on aura
+\[
+Z = \zeta_1 - p.
+\]
+Combinant les \Eqref{groupes}{10} et~\Eqref{}{51}, on trouve que $Z$ satisfait au nouveau
+groupe:
+\[
+\left.
+\begin{gathered}
+\frac{d^2 Z}{du\, dv}
+  - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dZ}{du}
+  - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dZ}{dv} - 1 = 0, \\
+%
+\frac{d^2 Z}{du^2} + DZ - 1
+  = \frac{dD}{2D\, du}\Reg{�}{\,} \frac{dZ}{du}
+  - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dZ}{dv}
+  = -\frac{d^2 Z}{dv^2} - DZ - 1.
+\end{gathered}\ \right\}
+\Tag{52}
+\]
+%% -----File: 104.png---Folio 98-------
+Quant aux coordonn�es instantan�es du point de contact, �crivant que le $\Delta Z$
+est constamment nul, on trouve
+\[
+  \xi'   = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dZ}{dv},\quad
+  \eta'  = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dZ}{du},\quad
+  \zeta' = Z.
+\]
+
+Calculons les valeurs de $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ du point de contact, correspondant
+sur l'�lasso�de conjugu� de~$(O)$ au point~$O$.
+
+En op�rant comme d'habitude, et tenant compte du \Eqref{groupe}{52}, on voit
+que
+\[ % [** PP: Added punctuation]
+\left.
+\begin{aligned}
+  \Delta X &= D^{-\frac{1}{2}}\, dv, \\
+  \Delta Y &=-D^{-\frac{1}{2}}\, du, \\
+  \Delta Z &= 0.
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{53}
+\]
+
+La premi�re cons�quence � tirer est que ces �l�ments seront les m�mes,
+quelle que soit la valeur de~$p$ employ�e; on est donc en droit de dire que
+toutes les surfaces obtenues comme envelopp�es des plans situ�s aux distances
+d'un point fixe, marqu�es par les diff�rentes valeurs du \emph{param�tre},
+sont \emph{identiques} et m�me simplement d�plac�es parall�lement � elles-m�mes
+dans l'espace.
+
+D�signons dor�navant par~$(O')$ l'�lasso�de conjugu� de~$(O)$. �levant au
+carr� les valeurs des $\Delta X$, $\Delta Y$, et ajoutant, on v�rifie de nouveau que les
+�lasso�des conjugu�s sont applicables l'un sur l'autre.
+
+
+\Section{70.}
+{Deux �lasso�des conjugu�s se correspondent par orthogonalit� des �l�ments.}
+
+Mais le \Eqref{groupe}{53} met en relief un r�sultat beaucoup plus important,
+� savoir que \emph{les �lasso�des conjugu�s~$(O)$ et~$(O')$ se correspondent par orthogonalit�
+des �l�ments}.
+
+%% -----File: 105.png---Folio 99-------
+
+Il suffit pour le d�montrer de mettre en regard les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ des points
+$O$ et~$O'$.
+\begin{align*}
+&\qquad\textsc{\footnotesize sur}~(O)  &
+&\qquad\textsc{\footnotesize sur}~(O') \\
+%
+&\left.
+\begin{aligned}
+\Delta X &= D^{-\frac{1}{2}}\, du \\
+\Delta Y &= D^{-\frac{1}{2}}\, dv
+\end{aligned}\ \right\}\quad \Delta Z = 0, & % "top-level" alignment stop
+%
+&\left.
+\begin{aligned}
+\Delta X' &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}}\, dv \\
+\Delta Y' &=           -D^{-\frac{1}{2}}\, du
+\end{aligned}\ \right\}\quad \Delta Z' = 0.
+\end{align*}
+On a donc bien, identiquement, quels que soient $du$ et~$dv$:
+\[ % [** PP: Changed . to �]
+  \Delta X � \Delta X'
++ \Delta Y � \Delta Y'
++ \Delta Z � \Delta Z' = 0.
+\]
+
+Ainsi peut-on �noncer ce th�or�me:
+
+\begin{Emph}
+A tout �lasso�de en correspond un autre, \primo~par le parall�lisme des plans
+tangents; \secundo~par �galit� des �l�ments; et, \tertio~par orthogonalit� de ces m�mes
+�l�ments.
+\end{Emph}
+
+Nous montrerons tout � l'heure dans quelles conditions de g�n�ralit� a lieu
+la r�ciproque.
+
+
+\Section{71.}
+{Deux segments relatifs aux �lasso�des conjugu�s sont, en tous points
+correspondants, �gaux et rectangulaires.}
+
+On peut encore d�duire des calculs qui pr�c�dent un r�sultat int�ressant:
+
+Joignons dans le plan tangent � l'�lasso�de~$(O)$ le point~$O$ au point~$M$ de
+la droite~$D$, appartenant � la congruence isotrope.
+
+Semblablement, dans le plan tangent � l'�lasso�de~$(O')$, joignons le point
+$O'$ au point~$N$, pied de la perpendiculaire abaiss�e du point fixe~$P$ sur le
+plan tangent consid�r�.
+
+Je dis que \emph{les segments $OM$ et~$O'N$ sont �gaux et rectangulaires}.
+
+Formons en effet le tableau des coordonn�es instantan�es des diff�rents
+%% -----File: 106.png---Folio 100-------
+points de la figure:
+\[
+\overbrace{
+\begin{aligned}
+\xi_O  &= 0, \vphantom{\Bigg|} \\
+\eta_O &= 0, \vphantom{\Bigg|}
+\end{aligned}}^{\textsc{point}~O}
+\quad
+\overbrace{
+\begin{aligned}
+\xi_M  &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}}\, \frac{dp}{du},\vphantom{\Bigg|} \\
+\eta_M &=           -D^{-\frac{1}{2}}\, \frac{dp}{dv},\vphantom{\Bigg|}
+\end{aligned}}^{\textsc{point}~M}
+\quad
+\overbrace{
+\begin{aligned}
+\xi_N  &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{dv},\vphantom{\Bigg|} \\
+\eta_N &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{du},\vphantom{\Bigg|}
+\end{aligned}}^{\textsc{point}~N}
+\quad
+\overbrace{
+\begin{aligned}
+\xi_{O'}  &= -D^{-\frac{1}{2}}
+   \left(\frac{d\zeta_1}{dv} - \frac{dp}{dv}\right),\vphantom{\Bigg|} \\
+\eta_{O'} &= -D^{-\frac{1}{2}}
+   \left(\frac{d\zeta_1}{du} - \frac{dp}{du}\right);\vphantom{\Bigg|}
+\end{aligned}}^{\textsc{point}~O'}
+\]
+il en r�sulte
+\begin{align*}
+\xi_{O'}  &= \xi_N  - \eta_M, \\
+\eta_{O'} &= \eta_N + \xi_M,
+\end{align*}
+ce qui d�montre la proposition annonc�e.
+
+
+\Section{72.}
+{Construction ponctuelle simultan�e des �lasso�des conjugu�s
+et des �lasso�des stratifi�s.}
+
+Nous allons d�duire de nos calculs \emph{la construction ponctuelle simultan�e
+des �lasso�des conjugu�s}.
+
+Dans l'ordre d'id�es �nonc�es au \Secref{46}, on peut manifestement d�duire des
+surfaces~$(O)$ et~$(O')$ deux familles de surfaces applicables par couples les
+unes sur les autres.
+
+Consid�rons en effet les surfaces $(O)$ et~$(O')$ simplement comme deux surfaces
+applicables l'une sur l'autre; joignons � chaque instant les points~$O$
+et~$O'$, prenons les points $m$ milieux des segments; puis, portons de part et
+d'autre sur~$OO'$ deux segments $mO_1$ et~$m{O'}_1$ �gaux �~$mO$ multipli� par une
+constante~$k$, il est visible que les surfaces, lieux des points~$O_1$ et~$O_2$, sont
+encore applicables l'une sur l'autre.
+
+Comme les surfaces $(O)$ et~$(O')$ ont leurs plans tangents parall�les, ces
+plans seront aussi parall�les aux plans tangents des surfaces $(m)$, $(O_1)$,~$({O'}_1)$.
+
+%% -----File: 107.png---Folio 101-------
+
+\Section{73.}
+{Seconde famille d'�lasso�des stratifi�s.}
+
+Les consid�rations du \hyperref[chapter:III.]{chapitre~III} montrent m�me que toutes ces surfaces
+sont des �lasso�des.
+
+Consid�rons maintenant les surfaces $(O)$ et~$(O')$ comme correspondantes
+par orthogonalit� de leurs �l�ments. Prenons en outre un point fixe arbitraire~$P$
+dans l'espace. D'apr�s la remarque du \Secref{46}, si l'on joint � chaque instant
+le point~$P$ au point~$O'$, puis, que de part et d'autre du point~$O$ on porte
+parall�lement �~$PO'$ des segments $OC$ et~$OC'$ �gaux au produit de $PO'$ par
+une constante~$k$, on obtiendra deux surfaces $(C)$ et~$(C')$ applicables l'une sur
+l'autre.
+
+En donnant �~$k$ toutes les valeurs, on obtiendra une famille de surfaces
+applicables par couples, surfaces qui sont visiblement des �lasso�des.
+
+Les deux familles ainsi obtenues ne sont pas identiques. C'est ce qui
+r�sultera de l'�tude que nous allons en faire.
+
+Commen�ons par la famille dont les �lasso�des conjugu�s $(O)$ et~$(O')$ font
+partie.
+
+
+\Section{74.}
+{Les �lasso�des de la premi�re famille sont tous applicables sur des �lasso�des
+homoth�tiques � l'un d'entre eux.}
+
+D'apr�s le tableau de coordonn�es du \Secref{71}, on obtient imm�diatement
+les coordonn�es instantan�es des points~$O_1$ et~${O'}_1$; calculons les valeurs des
+$\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ de ces points: on a manifestement, pour les~$\Delta X$, par exemple,
+\begin{align*}
+\Delta X_{O'_1} &= \Delta X_{O'} \frac{(1+K)}{2} + \Delta X_O \frac{(1-K)}{2}, \\
+\Delta X_{O_1}  &= \Delta X_{O'} \frac{(1-K)}{2} + \Delta X_O \frac{(1+K)}{2},
+\end{align*}
+%% -----File: 108.png---Folio 102-------
+d'o� l'on conclut:
+\begin{align*}
+\Delta X_{O'_1}
+  &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[dv(1+K) + du(1-K)\bigr], &
+\Delta Y_{O'_1}
+  &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[-du(1+K) + dv(1-K)\bigr], \\
+%
+\Delta X_{O_1}
+  &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[dv(1-K) + du(1+K)\bigr], &
+\Delta Y_{O_1}
+  &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[-du(1-K) + dv(1+K)\bigr].
+\end{align*}
+On en d�duit, pour les carr�s des �l�ments lin�aires des surfaces $(O_1)$ et~$(O'_1)$:
+\[
+\overline{dS}_{O_1}^2 = \overline{dS}_{O'_1}^2
+  = \frac{D^{-1}}{2} (1 + K^2)(du^2 + dv^2).
+\]
+
+Ainsi les deux surfaces $(O_1)$ et~$(O'_1)$ sont applicables l'une sur l'autre, et,
+\textit{toutes les surfaces analogues de la famille, convenablement r�duites par
+homoth�tie, sont applicables les unes sur les autres}.
+
+
+\Section{75.}
+{Une famille d'�lasso�des stratifi�s comprend toujours
+deux d�veloppables isotropes.}
+
+Mais le fait important � d�duire vient de ce que, si
+\[
+K = �\sqrt{-1},
+\]
+le carr� de l'�l�ment lin�aire s'annule.
+
+Dans cette hypoth�se, les $\Delta X$, $\Delta Y$ ne s'annulent pas, bien que le $\overline{dS}^2$ se
+r�duise � z�ro. D�s lors les surfaces $(O_1)$ et~$(O'_1)$ se r�duisent � deux courbes
+de longueur nulle. D'o� cette proposition d�cisive:
+
+\begin{Emph}
+Soient $(O)$ et~$(O')$ deux �lasso�des conjugu�s; joignez, � chaque instant,
+les points correspondants $O$ et~$O'$; portez de part et d'autre des milieux~$m$
+de ces segments, et sur leurs directions, des longueurs �gales entre elles et
+au produit par $\sqrt{-1}$ du demi-segment~$OO'$; les lieux des extr�mit�s des
+segments imaginaires, ainsi construits, sont des lignes de longueur nulle.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 109.png---Folio 103-------
+
+\Section{76.}
+{Les �lasso�des de la seconde famille sont �galement stratifi�s.}
+
+Occupons-nous maintenant de la seconde famille: comme les plans tangents
+sont parall�les, aux points correspondants des surfaces de la famille, il
+r�sulte de la construction m�me que leurs distances aux plans tangents de
+l'�lasso�de~$(O)$ sont marqu�es par la valeur du produit de~$p$ (param�tre de
+la congruence isotrope originelle) par la constante~$K$.
+
+On est donc en droit d'�noncer cette proposition:
+
+\begin{Emph}
+Les plans parall�les au plan moyen d'une congruence isotrope et distants
+de ce plan de quantit�s proportionnelles au param�tre de la congruence, ont
+pour envelopp�es des surfaces applicables par couples les unes sur les autres.
+\end{Emph}
+
+Mais nous avons montr� au \Secref{38} que les plans distants du plan moyen de
+quantit�s �gales � $p\sqrt{-1}$ ont pour envelopp�es les lignes isotropes, ar�tes
+de rebroussement des d�veloppables focales de la congruence.
+
+On voit par cons�quent que les deux familles de surfaces auxquelles nous
+avons �t� conduit, sans �tre identiques [puisque la seconde ne contient pas
+l'�lasso�de~$(O')$], r�pondent � une m�me d�finition: \textit{ce sont toujours des
+familles d'�lasso�des obtenus en divisant par segments proportionnels les
+cordes s'appuyant � leurs extr�mit�s sur deux lignes de longueur nulle}.
+
+Mais il faut se souvenir que nous avons d�j� d�duit des r�seaux isom�triques
+trajectoires les uns des autres une famille d'�lasso�des group�s, tous
+applicables sur l'un d'entre eux.
+
+
+\Section{77.}
+{Les familles d'�lasso�des group�s et stratifi�s sont compos�es
+de surfaces semblables.}
+
+Nous montrerons que les diverses familles se composent d'�lasso�des identiques
+ou semblables, de famille � famille, non identiques ni semblables, dans
+%% -----File: 110.png---Folio 104-------
+chaque famille, en �tablissant que les images sph�riques des lignes de courbure
+de ces diverses surfaces sont, dans tous les cas, trajectoires (sous des
+angles constants) les unes des autres.
+
+Nous v�rifierons en m�me temps (ce qui a  �t� prouv� jusqu'� pr�sent,
+seulement, par les consid�rations directes du chapitre second) que toutes les
+surfaces des familles sont �lasso�des.
+
+Portons, sur la droite instantan�e~$D$ d'une congruence isotrope, dont~$(O)$
+est l'�lasso�de moyen, un segment~$MA$ �gal au produit du param�tre~$p$ par
+une constante $k$. Sur chaque surface �l�mentaire de la congruence les plans
+tangents en~$M$ et~$A$ feront entre eux un angle~$\omega$ dont la tangente sera �gale
+�~$K$; il est donc naturel de remplacer~$k$ par~$\tg \omega$.
+
+Une surface de la famille que nous voulons �tudier est touch�e par le plan
+contenant~$A$ et parall�le au plan~$XOY$; cette surface est donc envelopp�e par
+le plan dont l'�quation instantan�e est
+\[
+Z - p \tg \omega = 0.
+\]
+On cherchera comme d'habitude la caract�ristique de ce plan et l'on trouvera
+pour les coordonn�es instantan�es du point de contact:
+\begin{gather*}
+\xi  = -KD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv},\quad
+\eta = -KD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du}. \\
+\zeta = Kp.
+\end{gather*}
+On trouve ensuite pour les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ du point de contact:
+\begin{align*} % [** F1: Aligning on = instead of centering]
+\Delta X &= D^{-\frac{1}{2}}(du - k\, dv), \\
+\Delta Y &= D^{-\frac{1}{2}}(dv + k\, du), \\
+\Delta Z &= 0,
+\end{align*}
+par cons�quent,
+\[
+dS^2 = D^{-1}(du^2 + dv^2)(1 + k^2)
+     = \frac{dS_O^2}{\cos^2\omega}.
+\]
+Ainsi l'envelopp�e du plan consid�r� a ses �l�ments proportionnels � ceux
+de~$(O)$.
+
+%% -----File: 111.png---Folio 105-------
+
+Nous suivrons sur $(O)$ l'image d'une ligne de courbure de la surface consid�r�e,
+si le d�placement du point de contact est perpendiculaire � la caract�ristique
+du plan~$P$. Ayant les �quations de la caract�ristique:
+\begin{gather*}
+Z - Kp = 0, \\
+D^{-\frac{1}{2}} (X\, dv + Y\, du)
+  + K \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) = 0,
+\end{gather*}
+et les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$, rien de plus facile que de trouver la condition:
+\[
+\frac{dv}{du} = -K � \sqrt{1 + K^2}
+  = \left\{
+    \begin{array}{c}
+      \tg \left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega}{2}\right), \\[1ex]
+      \text{ou} \\[1ex]
+      \tg \left(\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\omega}{2}\right).
+    \end{array}
+    \right.
+\]
+Mais si $\varphi$ d�signe l'angle que l'image de la ligne de courbure de~$(P)$ sur~$(O)$
+fait avec une ligne de courbure de~$(O)$, on a:
+\[
+\frac{dv}{du} = \tg \left(\frac{\pi}{4} + \varphi\right),
+\]
+puisque les lignes de courbure de~$(O)$ sont bissectrices des angles des axes.
+En cons�quence, on trouve, en valeur absolue:
+\[
+\varphi = \frac{\omega}{2}.
+\]
+
+Exprimons, au contraire, que le d�placement du point de contact a lieu
+suivant la caract�ristique, nous obtiendrons ainsi l'�quation diff�rentielle des
+images sur~$(O)$ des lignes asymptotiques de la surface~$(P)$. On v�rifie que les
+directions obtenues sont rectangulaires.
+
+%% -----File: 112.png---Folio 106-------
+
+\Section{78.}
+{Construction d'une famille d'�lasso�des stratifi�s d�riv�s d'une congruence
+isotrope d�termin�e.}
+
+Combinant ces r�sultats avec les remarques suivantes:
+
+\primo~Que les images sur un �lasso�de et sur la sph�re donnent des angles
+correspondants �gaux;
+
+\secundo~Qu'en g�n�ral les lignes asymptotiques d'une surface correspondent
+par orthogonalit� des �l�ments � leur image sph�rique, nous serons en
+droit de dire:
+
+\begin{Emph}
+Les envelopp�es des plans tels que~$P$, distants, du plan moyen de la congruence
+isotrope, de quantit�s proportionnelles au param�tre, sont des �lasso�des
+applicables apr�s r�duction par homoth�tie. Sur l'�lasso�de moyen ou
+sur la sph�re, les images de leurs lignes de courbure sont trajectoires, sous
+des angles constants, des lignes de courbure de l'�lasso�de moyen, ou de
+leurs images sph�riques.
+\end{Emph}
+
+On v�rifie � l'aide des $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ du point de contact:
+
+\primo~\textit{Que deux des plans~$P$, �galement distants du plan moyen, touchent
+deux �lasso�des applicables l'un sur l'autre sans r�duction par homoth�tie;}
+
+\secundo~\textit{Que parmi les surfaces analogues �~$(P)$, il en existe seulement deux
+se correspondant par orthogonalit� des �l�ments; elles sont obtenues en �galant
+� l'unit� la constante~$k$.}
+
+
+\Section{79.}
+{Caract�res distinctifs des familles d'�lasso�des group�s et stratifi�s.}
+
+En r�sum�, il n'y a, en r�alit�, que deux familles d'�lasso�des distinctes
+parmi les trois, primitivement envisag�es.
+
+La premi�re famille, d�duite d'un r�seau isom�trique sph�rique, comprend
+%% -----File: 113.png---Folio 107-------
+des �lasso�des tous applicables les uns sur les autres, ce sont les \emph{�lasso�des
+group�s}. A un point d'un �lasso�de correspondent sur les autres �lasso�des
+des points distribu�s sur une ellipse.
+
+La seconde famille, d�duite d'une congruence isotrope arbitraire, peut
+�tre identifi�e � la pr�c�dente en ce sens qu'elle peut �tre compos�e avec des
+�lasso�des semblables � ceux de la premi�re famille; mais \emph{il faudra toujours
+en laisser un de c�t�}. Nous dirons (pour la distinguer) qu'elle est compos�e
+d'\emph{�lasso�des stratifi�s}.
+
+Une famille d'\emph{�lasso�des group�s} se d�compose d'une infinit� de mani�res
+en couples d'\emph{�lasso�des conjugu�s}.
+
+Une famille d'\emph{�lasso�des stratifi�s} ne comprend qu'\emph{un couple d'�lasso�des
+conjugu�s}. Les points correspondants sont en ligne droite.
+
+Enfin la seconde famille comprend toujours comme �lasso�des limites deux
+d�veloppables isotropes; la premi�re famille n'en contient jamais.
+
+
+\Section{80.}
+{Quand deux surfaces se correspondent avec r�alisation de deux des trois
+conditions: \primo~parall�lisme des plans tangents; \secundo~�galit� des �l�ments;
+\tertio~orthogonalit� des �l�ments, ce sont deux �lasso�des conjugu�s.}
+
+Nous terminerons ce chapitre en recherchant s'il est d'autres surfaces que
+les �lasso�des conjugu�s qui se correspondent par �galit� et orthogonalit�
+des �l�ments, avec parall�lisme des plans tangents.
+
+Si l'on exige que les conditions soient r�unies toutes les trois, il ne para�t
+pas possible d'obtenir autre chose.
+
+Si l'on n'exige que la r�alisation de deux des conditions � la fois, on a trois
+probl�mes � r�soudre:
+
+\primo~Trouver les couples de surfaces se correspondant � la fois par le parall�lisme
+de leurs plans tangents et l'�galit� de leurs �l�ments.
+
+\secundo~Obtenir deux surfaces dont les plans tangents sont parall�les deux �
+deux et dont les �l�ments correspondants sont rectangulaires.
+
+%% -----File: 114.png---Folio 108-------
+
+\tertio~Former les couples de surfaces se correspondant � la fois par �galit�
+et orthogonalit� des �l�ments.
+
+Le premier probl�me peut �tre ramen� au second, car �tant donn�es deux
+surfaces $(O)$ et~$(O')$ satisfaisantes, la surface~$(M)$, lieu des milieux des cordes $OO'$,
+a ses plans tangents parall�les � ceux de $(O)$ et de~$(O')$; de ce que ces
+derni�res sont applicables l'une sur l'autre il r�sulte que, si, par un point fixe
+de l'espace, on m�ne des rayons �gaux et parall�les aux demi-segments~$OO'$,
+la surface, lieu des extr�mit�s des rayons~$(R)$, correspondra par orthogonalit�
+de ses �l�ments �~$(M)$. Il est en outre visible que les plans tangents
+de~$(R)$ sont parall�les � ceux de~$(O)$, $(O')$ et de~$(M)$; donc les surfaces~$(M)$
+et~$(R)$ donnent la solution du second probl�me.
+
+Soient maintenant $(M)$ et~$(R)$ ces deux surfaces satisfaisantes. Consid�rons
+une asymptotique de~$(M)$, son image sur~$(R)$, ainsi que sur la sph�re~$(S)$.
+Nous savons que l'asymptotique de~$(M)$ correspond par orthogonalit� de ses
+�l�ments � son image sph�rique; il faut donc que celle-ci corresponde par
+parall�lisme d'�l�ments � l'image de l'asymptotique, sur~$(R)$; cette image est
+donc une ligne de courbure. Ainsi les asymptotiques de~$(M)$ correspondent
+aux lignes de courbure de~$(R)$ et r�ciproquement. Il faut en outre que les
+images sph�riques de ces lignes soient rectangulaires (en tant qu'images de
+lignes de courbure). Il en r�sulte imm�diatement que $(M)$ et~$(R)$ sont des
+�lasso�des conjugu�s.
+
+Reste donc � traiter le troisi�me probl�me: les �l�ments des deux surfaces
+sont deux � deux �gaux et rectangulaires. Consid�rons sur ces surfaces les
+lignes de longueur nulle; elles se correspondent manifestement, comme �tant
+�gales �l�ments � �l�ments, mais deux �l�ments correspondants ne peuvent
+�tre rectangulaires sans que leurs tangentes isotropes rencontrent l'ombilicale
+au m�me point; d�s lors, si les lignes de longueur nulle sont distinctes sur
+les deux surfaces, les plans tangents sont parall�les comme contenant deux
+couples de droites isotropes parall�les.
+
+Ainsi, dans tous les cas, on n'obtient que les �lasso�des conjugu�s.
+
+%% -----File: 115.png---Folio 109-------
+
+\Section{81.}
+{Sur deux �lasso�des conjugu�s, de deux familles de courbes correspondantes
+d�rivent comme lignes conjugu�es des lignes qui seraient orthogonales,
+rapport�es sur l'une des surfaces.}
+
+Une cons�quence int�ressante de la propri�t� fondamentale des �lasso�des
+conjugu�s doit �tre signal�e.
+
+Tra�ons sur $(O)$ une famille de courbes~$(u)$ et sur~$(O')$ les transform�es
+des courbes~$(v)$ trajectoires orthogonales des courbes~$(u)$, \emph{les courbes conjugu�es
+% **** des lignes?
+de lignes~$(u)$ sur~$(O)$ et des transform�es des~$(v)$ sur~$(O')$ se correspondent}.
+
+Nous allons maintenant appliquer les r�sultats qui pr�c�dent � la solution
+g�om�trique du probl�me de Bj�rling.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 116.png---Folio 110-------
+
+
+\Chapter{XI.}
+{SOLUTION G�OM�TRIQUE DU PROBL�ME DE BJ�RLING.}
+
+\Section{82.}
+{Si on planifie deux d�veloppables circonscrites � deux �lasso�des conjugu�s
+suivant deux contours correspondants, on peut superposer les transform�es
+de ces contours, et les transform�es des g�n�ratrices seront des
+droites deux � deux rectangulaires.}
+
+Soient $(O)$ et~$(O')$ deux �lasso�des conjugu�s, consid�rons, sur ces surfaces,
+deux contours correspondants $(C)$ et~$(C')$; aux points correspondants les
+plans tangents sont parall�les et les d�veloppables circonscrites le long de~$(C)$
+et de~$(C')$ aux �lasso�des, ont leurs g�n�ratrices parall�les.
+
+D'un autre c�t�, puisque $(O)$ et~$(O')$ sont deux surfaces applicables l'une
+sur l'autre, les \emph{courbures g�od�siques} des courbes correspondantes $(C)$ et~$(C')$
+sont �gales, aux points correspondants.
+
+\begin{Emph}
+Si donc l'on �tend les deux d�veloppables sur deux plans, les courbes~$(C)$
+et~$(C')$ se transformeront en deux courbes $(v)$ et~$(v')$ dont les �l�ments et les
+rayons de courbure seront �gaux; cons�quemment, les courbes $(v)$ et~$(v')$,
+transform�es, seront superposables. \emph{Effectuant la superposition, tous les
+points correspondants des deux contours co�ncideront;} quant aux transform�es
+rectilignes des g�n�ratrices des d�veloppables, elles seront deux � deux
+rectangulaires.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 117.png---Folio 111-------
+
+Ceci pos�, proposons-nous de construire l'�lasso�de inscrit � une d�veloppable
+donn�e $(\Delta)$ le long d'un contour d�termin� $(C)$ (c'est-�-dire de r�soudre
+le probl�me de Bj�rling). % [** PP: Added de]
+
+
+\Section{83.}
+{Construire un �lasso�de inscrit dans une d�veloppable donn�e le long
+d'un contour d�termin� {\upshape (\textsc{probl�me de bj�rling}).}}
+
+Les op�rations � effectuer comportent trois degr�s.
+
+En premier lieu on d�roulera $(\Delta)$ sur un plan et on tracera dans ce plan
+les perpendiculaires aux transform�es des g�n�ratrices de la d�veloppable
+men�es par les diff�rents points du contour $(C)$ transform�. Les droites ainsi
+obtenues peuvent �tre consid�r�es comme les transform�es de g�n�ratrices
+d'une certaine d�veloppable $(\Delta')$ planifi�e.
+
+En second lieu on formera cette seconde d�veloppable $(\Delta')$ en lui donnant
+m�me c�ne directeur qu'�~$(\Delta)$; et on lui assignera une telle position dans
+l'espace, que les g�n�ratrices correspondantes des d�veloppables $(\Delta)$, $(\Delta')$
+soient parall�les.
+
+En troisi�me lieu on joindra les points correspondants des contours $(C)$
+et~$(C')$ transform�s; enfin, de part et d'autre des milieux des cordes, et
+sur celle-ci, on parlera des longueurs �gales aux produits des demi-cordes
+par~$\sqrt{-1}$.
+
+Les courbes imaginaires, lieux des extr�mit�s des segments ainsi construits,
+sont les lignes isotropes g�n�ratrices des deux �lasso�des.
+
+Les deux premi�res s�ries d'op�rations peuvent conduire � des r�sultats
+non alg�briques, la troisi�me s�rie ne donne lieu qu'� des op�rations alg�briques.
+
+Les deux premi�res s�ries n'entra�nent que des op�rations essentiellement
+r�elles, mais la troisi�me s�rie introduit n�cessairement des constructions
+imaginaires.
+
+%% -----File: 118.png---Folio 112-------
+
+\Section{84.}
+{Des contours conjugu�s.}
+
+En r�sum�, \emph{si l'on veut construire un �lasso�de passant par un contour
+donn� $(C)$, il faut tout d'abord construire un contour conjugu� $(C')$ correspondant
+au premier, par �galit� et par orthogonalit� des �l�ments}.
+
+Ce r�sultat obtenu, des op�rations, simplement alg�briques, d�termineront
+les deux �lasso�des conjugu�s passant par les deux contours.
+
+Nous avons montr� par quelles op�rations il faut passer pour obtenir le
+contour $(C')$ conjugu� de~$(C)$ lorsqu'on se donne la d�veloppable circonscrite
+� l'�lasso�de le long de~$(C)$, mais rien n'oblige � passer par l'interm�diaire
+du probl�me de Bj�rling, dans tous les cas. Il est bien clair que, si, par un
+proc�d� quelconque, on a obtenu deux contours conjugu�s $(C)$ et~$(C')$, les
+tangentes de ces contours en deux points correspondants, �tant situ�es dans
+deux plans tangents parall�les, d�terminent ces plans eux-m�mes.
+
+
+\Section{85.}
+{�tant donn�e une surface gauche, construire les contours conjugu�s
+qu'elle d�termine.}
+
+Si l'on veut simplement obtenir des �lasso�des, sans s'assujettir � les faire
+passer par un contour d�termin�, le proc�d� le plus simple est encore celui
+que nous avons d�duit de la notion des congruences isotropes, � savoir:
+\emph{partir d'une surface gauche arbitraire}. Nous avons montr� au \chapitre{VII}
+comment on doit construire le contour~$(C)$ suivant lequel les plans moyens
+touchent l'�lasso�de. Il peut para�tre int�ressant d'indiquer comment s'obtiendrait
+le contour conjugu�~$(C')$.
+
+Par un point fixe~$P$ de l'espace on m�nerait des parall�les aux g�n�ratrices
+de la surface gauche, et, sur ces droites, on porterait des segments~$PN$ �gaux
+aux valeurs des \emph{param�tres}; par les extr�mit�s on �l�verait des plans perpendiculaires
+%% -----File: 119.png---Folio 113-------
+aux droites; on obtiendrait ainsi les plans tangents � l'�lasso�de
+conjugu� le long du contour cherch�~$(C')$; celui-ci s'obtiendrait point par
+point en tirant parti de la proposition % [** PP: Typo proportion]
+d�montr�e au \Secref{71}, en vertu de % [** PP: Omitted () around section number]
+laquelle le segment~$NC'$ est �gal et perpendiculaire au segment joignant le
+point central d'une g�n�ratrice de la surface gauche au point de contact
+correspondant de l'�lasso�de sur~$(C)$.
+
+Examinons quelques cas particuliers dans lesquels on peut obtenir imm�diatement
+le contour~$(C')$ conjugu� d'un contour d�termin�.
+
+Si $(C)$ est le lieu des centres de courbure d'une courbe gauche~$(C_1)$, $(C')$
+est le lieu des extr�mit�s de segments issus d'un point fixe de l'espace �gaux
+et perpendiculaires aux rayons de courbure de~$(C)$.
+
+Dans ce cas la surface gauche �l�mentaire est la d�veloppable lieu des
+tangentes de~$(C_1)$.
+
+Si $(C_1)$ est alg�brique les deux �lasso�des conjugu�s sont alg�briques. Tout
+cela a d�j� �t� d�montr� au \chapitre{VI}.
+
+Dans le cas o� $(C_1)$ est une courbe plane, le probl�me prend, naturellement,
+une simplicit� toute particuli�re.
+
+
+\Section{86.}
+{Contours conjugu�s d'un contour plan.}
+
+Soit $(C')$ le contour conjugu� de~$(C)$; projetons $(C')$ en~$(\gamma)$ sur le plan
+de la courbe~$(C)$; appelons~$Z$ la hauteur variable du point~$C'$ au-dessus du
+plan: pour que les contours soient conjugu�s il faut que les tangentes �~$(C)$
+et~$(\gamma)$ aux points correspondants soient rectangulaires; en outre
+\[
+dZ = \sqrt{\overline{d(c)}^2 - \overline{d(\gamma)}^2},
+\]
+en d�signant par $d(c)$ et~$d(\gamma)$ les �l�ments d'arc des courbes $(C)$ et~$(\gamma)$.
+
+Si les �l�ments $d(\gamma)$ et~$d(c)$ faisaient entre eux un angle constant, m�me
+nul, la courbe~$(C')$ obtenue deviendrait satisfaisante par une simple rotation
+autour d'un axe perpendiculaire au plan de~$(C)$.
+
+Le probl�me est, dans tous les cas, ramen� aux quadratures.
+
+%% -----File: 120.png---Folio 114-------
+
+Supposons, tout d'abord, que l'on prenne pour $(\gamma)$ un point; $(C')$ se r�duit
+� une droite. Le $Z$ de celle-ci est �gal � l'arc de~$(C)$. Le premier �lasso�de
+admet pour g�od�sique la courbe~$(C)$. Si celle-ci est la d�velopp�e d'une
+courbe alg�brique, on pourra alg�briquement obtenir la correspondance sur
+la droite $(C')$ et, par cons�quent, les deux �lasso�des conjugu�s seront
+alg�briques.
+
+
+\Section{87.}
+{Un �lasso�de admettant pour ligne de courbure une courbe plane sera
+alg�brique en m�me temps que la d�veloppante de cette courbe.}
+
+Supposons maintenant que $(\gamma)$ soit une courbe semblable �~$(C)$; le rapport
+de similitude �tant~$k$, on aura
+\[
+dZ = d(c) \sqrt{1 - k^2}.
+\]
+
+Ainsi $Z$ sera proportionnel � l'arc de~$(C)$; et, si cet arc peut s'obtenir
+alg�briquement, c'est-�-dire si $(C)$ est la d�velopp�e d'une courbe alg�brique,
+la courbe~$(C')$ et les deux �lasso�des conjugu�s seront alg�briques.
+
+Il est facile de pousser plus loin l'�tude de ce cas int�ressant: en effet, de
+ce que $dZ$ est proportionnel � $d(\gamma)$ r�sulte que les tangentes � la courbe~$(C')$
+font des angles constants avec la normale au plan de~$(C)$.
+
+Mais les plans tangents le long de~$(C)$ ont leur lignes de plus grande pente
+parall�les aux tangentes de~$(C')$; cons�quemment, l'�lasso�de passant par~$(C)$
+coupe le plan de cette courbe sous un angle constant.
+
+D'apr�s un th�or�me bien connu, $(C)$~est alors ligne de courbure de
+l'�lasso�de. Ainsi, on est en droit d'�noncer cette g�n�ralisation du th�or�me
+d'Henneberg:
+
+\begin{Emph}
+Tout �lasso�de, admettant pour ligne de courbure une courbe plane,
+sera alg�brique si cette courbe est la d�velopp�e d'une courbe alg�brique.
+\end{Emph}
+
+Il n'est pas besoin d'insister pour �tablir qu'un �lasso�de ne pourrait �tre
+alg�brique sans que son conjugu� le f�t. Tous les �lasso�des \emph{group�s} ou
+\emph{stratifi�s} sont alg�briques si l'un d'entre eux l'est.
+
+%% -----File: 121.png---Folio 115-------
+
+\Section{88.}
+{Surfaces dont les lignes asymptotiques et leurs images sph�riques
+sont des contours conjugu�s.}
+
+Citons un exemple fort curieux de contours conjugu�s. Soit une surface~$(S)$
+telle qu'en chacun de ses points le produit des rayons de courbure principaux
+soit constant, n�gatif et �gal, en valeur absolue, �~$a^2$. Consid�rons, d'autre
+part, une sph�re de rayon~$a$ et faisons sur la sph�re l'image du r�seau des
+asymptotiques de~$(S)$.
+
+Soit $d\theta\, a^2$ l'aire sph�rique d'un �l�ment de la surface~$(S)$. $R_1$ et~$R_2$ d�signant
+les rayons de courbure principaux de~$(S)$, on sait d'apr�s Gauss, que
+\[
+d(S) = d\theta � R_1R_2.
+\]
+
+Il en r�sulte que, dans ce cas, l'\emph{aire d'une portion de la surface~$(S)$ est �gale
+� l'aire sph�rique correspondante, prise sur la sph�re de rayon~$a$}. % [** PP: Put "a" in math mode]
+
+Manifestement, \emph{toutes les fois que deux surfaces se correspondent avec
+conservation des aires, on peut tracer sur elles un double r�seau de courbes
+�gales par correspondance, et r�elles}. Il est manifeste �galement qu'en deux
+points correspondants les courbes de longueur conserv�e se coupent sous des
+angles suppl�mentaires (car leurs sinus doivent �tre �gaux, pour que la correspondance
+homalographique ait lieu).
+
+Dans le cas actuel, on voit facilement que les images sph�riques des asymptotiques
+de~$(S)$ (faisant entre elles un angle suppl�mentaire de celui des
+asymptotiques), sont, sur la sph�re, les lignes de longueur conserv�e. Mais
+nous avons d�j� eu l'occasion de faire observer qu'une ligne asymptotique et
+son image sph�rique se correspondent toujours par orthogonalit� des �l�ments.
+
+On voit, par cons�quent, \emph{qu'une ligne asymptotique de la surface~$(S)$ et
+son image, sur la sph�re de rayon~$a$, sont deux contours conjugu�s}.
+
+Les �lasso�des conjugu�s correspondants sont circonscrits � la surface~$(S)$,
+le long de l'asymptotique, et, � la sph�re, suivant l'image\footnotemark.
+  \footnotetext{Nous avons d�montr� que sur~$(S)$ quatre asymptotiques quelconques, par deux, de familles
+diff�rentes, forment toujours un parall�logramme courbe, en ce sens que les segments oppos�s
+sont �gaux. Il en est de m�me des images sph�riques.}
+
+%% -----File: 122.png---Folio 116-------
+
+\Section{89.}
+{�lasso�des conjugu�s inscrits dans une m�me d�veloppable.}
+
+\begin{Emph}
+Peut-il se faire que deux �lasso�des conjugu�s soient inscrits � une m�me
+surface d�veloppable?
+\end{Emph}
+
+Si l'on planifie cette d�veloppable, les deux courbes de contact doivent
+�tre superposables, apr�s la transformation, et leurs tangentes aux points
+correspondants doivent �tre rectangulaires. Rien de plus simple que de les
+obtenir: choisissons arbitrairement, dans le plan, un point~$P$; de ce point,
+abaissons sur chacune des g�n�ratrices limites de la d�veloppable, des droites
+faisant avec elles des angles de~$45�$, les lieux des points de rencontre seront
+des courbes identiques, semblables � la podaire par rapport au point~$P$ de
+l'ar�te de rebroussement planifi�e.
+
+Que l'on forme � nouveau la d�veloppable, le point~$P$ d�crira une courbe
+gauche $(P)$ dont les plans normaux seront tangents � la d�veloppable consid�r�e;
+la podaire du point~$P$ devient le lieu des centres de courbure de la
+courbe trajectoire de~$P$.
+
+Les �lasso�des conjugu�s font partie d'une famille d'�lasso�des stratifi�s dont
+l'�lasso�de moyen est inscrit, le long de la podaire de~$P$, dans la d�veloppable
+donn�e.
+
+Ainsi, \emph{deux �lasso�des conjugu�s, inscrits � une m�me d�veloppable, seront
+alg�briques si cette d�veloppable est l'enveloppe des plans normaux d'une
+courbe alg�brique}.
+
+Dans ce cas, la d�veloppable contient les deux lignes de longueur nulle
+g�n�ratrices des deux �lasso�des, ce sont les transform�es des deux droites
+isotropes passant par le point~$P$ et trac�es dans le plan de la d�veloppable
+aplatie.
+
+%% -----File: 123.png---Folio 117-------
+
+\Section{90.}
+{Construire deux �lasso�des conjugu�s inscrits dans deux d�veloppables
+ayant m�me c�ne directeur.}
+
+On peut, dans la m�me voie, obtenir un th�or�me beaucoup plus g�n�ral:
+soient donn�es deux d�veloppables $(\Delta)$ et~$(\Delta')$ satisfaisant � la seule condition
+d'avoir m�me c�ne directeur; supposons que l'on demande de leur inscrire
+deux �lasso�des conjugu�s de telle fa�on qu'elles leur soient tangentes le
+long de contours conjugu�s. Il s'agit de construire ces contours.
+
+$(\Delta)$ et $(\Delta')$ peuvent �tre consid�r�es comme les enveloppes des plans
+normaux de deux courbes $(P)$ et~$(P')$ dont les tangentes correspondantes
+sont parall�les.
+
+Amenons le point $P'$ en~$P$, en y faisant co�ncider les tangentes de $(P)$ et
+de~$(P')$ transport�e: les g�n�ratrices correspondantes $G$, $G'$ de~$(\Delta)$ et de~$(\Delta')$
+seront alors dans un m�me plan normal �~$(P)$. Faisons tourner autour de la
+tangente �~$(P)$ la g�n�ratrice~$G'$ de~$(\Delta')$ correspondant au point~$P'$, jusqu'� ce
+qu'elle ait pris une position~$G_1$, � angle droit sur sa position premi�re, les
+deux droites $G_1$ et~$G$ se rencontreront en un point~$M$ qui appartient au contour
+de contact de~$(\Delta)$ et de l'�lasso�de satisfaisant.
+
+On construira, de la sorte, les deux contours conjugu�s par des op�rations
+purement alg�briques, pourvu que $(P)$ et~$(P')$ soient obtenues d'avance.
+
+Nous dirons, en cons�quence, que deux �lasso�des conjugu�s assujettis �
+toucher deux d�veloppables donn�es ayant m�me c�ne directeur seront alg�briques
+si les deux d�veloppables sont les \emph{polaires} de deux courbes gauches
+alg�briques.
+
+Comme on peut remplacer les points $P$ et~$P'$ par deux points arbitraires
+des plans des deux d�veloppables infiniment aplaties, on voit que le probl�me
+en question est susceptible d'une~$\infty^8$ de solutions\footnotemark.
+  \footnotetext{Comme on peut effectuer la rotation autour de~$P$ de deux c�t�s diff�rents, les m�mes
+  courbes $(P)$ et~$(P')$ donnent lieu � deux syst�mes de contours conjugu�s; c'est ce qui conduit �
+  l'$\infty^8$ de solutions.}
+
+%% -----File: 124.png---Folio 118-------
+
+Un cas tr�s-simple se pr�sente lorsque le point~$P$ d�crit une courbe sph�rique,
+la surface polaire est un c�ne et les courbes de contact de ce c�ne avec
+deux �lasso�des conjugu�s sont deux cercles g�od�siques passant par le sommet
+du c�ne.
+
+
+\Section{91.}
+{Construction des deux contours conjugu�s r�sultant de la connaissance
+d'une surface gauche.}
+
+Le probl�me de la recherche des contours conjugu�s peut �tre abord� de
+bien des fa�ons; comme il pr�sente en lui-m�me un r�el int�r�t, il ne sera pas
+inutile de montrer, avec plus de pr�cision que nous ne l'avons encore fait,
+comment la connaissance d'une surface gauche permet de construire deux
+couples de contours conjugu�s.
+
+% [** PP: Omitted () around section numbers]
+Nous avons indiqu�, au \Secref{37}, comment se construisent les points du
+contour le long desquels les plans moyens de la surface gauche touchent
+l'�lasso�de moyen, et au \Secref{85}, comment s'obtiennent les points du contour
+conjugu�; nous n'y reviendrons pas; mais, rappelons que parmi les �lasso�des
+stratifi�s que d�termine directement la surface gauche, il en est deux qui
+sont conjugu�s. Soient $(C)$ et~$(C')$ les courbes trac�es sur ces �lasso�des et
+correspondant � la surface gauche choisie (comme surface �l�mentaire de la
+congruence isotrope). Soient $C$ et~$C'$ les points correspondant � la g�n�ratrice~$D$
+de la congruence.
+
+On sait que $C$ et $C'$ sont dans des plans distants du plan moyen de quantit�s
+�gales au param�tre de la droite~$D$.
+
+Si $O$ est le point de contact du plan moyen, $C$ et~$C'$ sont sur une droite
+$COC'$ parall�le � la normale � la surface moyenne en~$M$, droite situ�e dans un
+plan perpendiculaire �~$OM$ et dans le plan normal � la ligne de striction.
+Les droites $CP$, $C'P'$ font des angles de~$45�$ avec le plan men� par~$D$ et
+par~$OM$\footnotemark.
+  \footnotetext{$P$ et $P'$ sont situ�s dans les plans tangents aux �lasso�des conjugu�s et sur la droite~$D$.}
+
+%% -----File: 125.png---Folio 119-------
+
+Nous terminerons cette �tude des contours conjugu�s en montrant comment
+on en peut d�duire une infinit� de la connaissance d'une surface moyenne de
+congruence isotrope.
+
+
+\Section{92.}
+{La connaissance d'une surface moyenne conduit � celle d'une infinit�
+de couples de contours conjugu�s.}
+
+On sait qu'une surface de cette nature correspond par orthogonalit� de ses
+�l�ments � la sph�re. Prenant donc une sph�re de rayon d�termin�, il y aura
+toujours sur la surface une famille double de courbes �gales en arc � leurs
+correspondantes sur la sph�re, ayant par cons�quent ces courbes pour conjugu�es.
+Une �quation diff�rentielle r�git le probl�me.
+
+A ce propos, il est int�ressant de conna�tre les surfaces les plus simples
+correspondant � la sph�re par orthogonalit� des �l�ments.
+
+L'�lasso�de moyen peut se r�duire � un point. Dans ce cas, il faut, d'apr�s~\Eqref{}{28},
+que la surface moyenne ait sa courbure nulle. La consid�ration de~\Eqref{}{26}
+montre imm�diatement que la surface est \emph{plane}.
+
+La correspondance par orthogonalit� de la sph�re et d'un plan diam�tral,
+par exemple, s'obtient en projetant un point de la sph�re sur le plan, puis
+en faisant tourner cette projection autour du centre, de~$90�$.
+
+Dans ce cas, les contours conjugu�s sont imaginaires.
+
+Il convient de signaler que si l'on recherche les �lasso�des group�s, d�riv�s
+du r�seau isom�trique form� de cercles orthogonaux passant par un m�me
+point de la sph�re, on trouve seulement des points.
+
+On pourrait d�velopper bien davantage, mais il convient de poursuivre
+l'expos� des consid�rations g�n�rales, afin d'aborder, sans retard, les monographies
+d'�lasso�des.
+
+Il est naturel, apr�s avoir cherch� � d�duire les congruences isotropes de
+la sph�re, de voir comment on peut les d�duire du plan; c'est ce qui fera
+l'objet du prochain chapitre.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 126.png---Folio 120-------
+
+
+\Chapter{XII.}
+{CONGRUENCES ISOTROPES D�DUITES DU PLAN.}
+
+\Section{93.}
+{Calcul d'un r�seau orthogonal plan duquel on peut d�duire
+une congruence isotrope.}
+
+�tablissons tout d'abord les conditions exprimant qu'une congruence de
+droites �manant des points d'une surface de r�f�rence est isotrope. Ce calcul
+nous sera n�cessaire dans sa g�n�ralit�, un peu plus loin, et, pour notre
+objet actuel, particularis�, il conduira imm�diatement au but.
+
+Nous supposerons toujours que les droites~$D$ de la congruence sont situ�es
+dans les plans~$ZOX$. D�signons par~$i$ l'angle de~$D$ avec la normale~$OZ$.
+
+L'�quation de la surface �l�mentaire, �tablie comme d'habitude, donne
+pour l'angle~$\theta$ du plan tangent en un point~$M$ de~$D$ avec le plan~$ZOX$
+\[
+\tg \theta
+  = \frac{g\, dv
+    + L \left[dv \left(\dfrac{dg}{f\, du} \sin i + Q  \cos i\right)
+            - du \left(\dfrac{df}{g\, dv} \sin i + fD \cos i\right)\right]}
+         {f \cos i\, du
+    + L \left[dv \left(\dfrac{di}{dv} + gD\right)
+            + du \left(\dfrac{di}{du} + P\right)\right]}.
+\]
+
+L'�quation des plans focaux, �tablie comme pr�c�demment, est
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking]
+\tg^2 \theta \left(-D + \frac{di}{g\, dv}\right)
+  + \frac{\tg \theta}{fg \cos i}
+     \left(gP - Qf \cos^2i + g \dfrac{di}{du}
+         - \cos i \sin i \frac{dg}{du}\right) \\
+  + D + \tg i \frac{df}{g\, dv} = 0.
+\end{multline*}
+
+%% -----File: 127.png---Folio 121-------
+
+La congruence sera isotrope si
+\[
+gP - fQ \cos^2 i + g \frac{di}{du} - \cos i \sin i \frac{dg}{du} = 0
+\Tag{54}
+\]
+en m�me temps que
+\[
+2Dg - \frac{di}{dv} + \tg i \frac{df}{f\, dv} = 0. % [** PP: tg -> \tg]
+\Tag{55}
+\]
+
+Supposons maintenant que $(O)$ se r�duise � un plan, il vient ($P$, $Q$, $D$
+�tant nuls),
+\begin{align*}
+\frac{di}{du}\, \frac{1}{\sin i \cos i} &= \frac{dg}{g\, du}, \\
+\frac{di}{dv}\, \frac{\cos i}{\sin i}   &= \frac{df}{f\, dv}, \\
+\intertext{on en d�duit}
+g \cot i &= V, \\
+\frac{f}{\sin i} &= U.
+\end{align*}
+
+�liminant l'angle~$i$, on trouve la relation
+\[
+\frac{U^2}{f^2} - \frac{V^2}{g^2} = 1.
+\Tag{56}
+\]
+
+Inversement, \emph{toutes les fois qu'on aura, dans le plan, un r�seau orthogonal
+caract�ris� par l'�quation~{\upshape(56)}, on en d�duira une congruence isotrope}.
+Les calculs pr�c�dents d�montrent �galement cette r�ciproque. Mais on voit
+facilement que d'un r�seau satisfaisant on peut d�duire \emph{deux} congruences
+isotropes d�finies par les syst�mes
+\[
+\left\{
+\begin{aligned}
+g \cot i &= V, \\
+\frac{f}{\sin i} &= U,
+\end{aligned}\right.
+\qquad
+\left\{
+\begin{aligned}
+f \cot \omega &= \sqrt{-1} U, \\
+\frac{g}{\sin \omega} &= \sqrt{-1}\Reg{�}{} V.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+On peut m�me, puisque $U$ et~$V$ sont des fonctions ind�termin�es de~$u$ et
+de~$v$, consid�rer $U$ et~$V$ comme de m�me signe dans~\Eqref{}{56}, en g�n�ral.
+
+%% -----File: 128.png---Folio 122-------
+
+En fait, lorsque les signes de $U^2$ et de~$V^2$ seront tous deux positifs, les
+congruences isotropes seront imaginaires toutes les deux; lorsque les signes
+seront contraires, l'une des congruences sera form�e de droites r�elles et
+l'autre de droites imaginaires.
+
+On est �galement en droit de compter les congruences form�es des droites
+sym�triques, par rapport au plan, de celles des~$(D)$. Donc, en g�n�ral, d'un
+r�seau satisfaisant, on pourra d�duire quatre congruences isotropes, sym�triques
+par couple, relativement au plan~$(O)$.
+
+Il est facile de voir qu'il y a seulement quatre plans isotropes focaux pour
+ces quatre congruences, et que ces plans eux-m�mes se groupent par couples
+coupant le plan~$(O)$ suivant deux droites imaginaires.
+
+
+\Section{94.}
+{D'un r�seau orthogonal satisfaisant on d�duit quatre plans isotropes
+en chaque point du plan, se coupant suivant deux droites de ce plan.}
+
+C'est ce qu'on v�rifie sans peine en cherchant en $du\, dv$ l'�quation quadratique
+des traces sur~$(O)$ des plans focaux de la congruence. On trouve, en
+g�n�ral, pour une surface de r�f�rence arbitraire
+\begin{align*}
+0 % [** PP: O -> 0]
+  = dv^2 \left(-g^2D + g \frac{di}{dv}\right)
+  &+ du\, dv \left(gP - Qf \cos^2 i + g \frac{di}{du}
+                         - \cos i \sin i \frac{dg}{du}\right) \\
+  &+ du^2 \left(f^2D \cos^2 i
+                   + \sin i \cos i \frac{f}{g}\, \frac{df}{dv}\right);
+% [** PP: Break last fraction]
+\end{align*}
+mais, \emph{dans l'esp�ce}, il vient
+\[
+g^2\, dv^2 + f^2 \cos^2 i\, du^2 = 0.
+\]
+
+Pour les autres congruences satisfaisantes, on aurait, sym�triquement,
+\[
+f^2\, du^2 + g^2 \cos^2 \omega\, dv^2 = 0;
+\]
+%% -----File: 129.png---Folio 123-------
+et ces deux �quations sont �quivalentes �
+\[
+du^2 \frac{f^4}{U^2} + dv^2 \frac{g^4}{V^2} = 0.
+\Tag{57}
+\]
+
+Ces directions seront imaginaires, lorsque, parmi les congruences, deux
+seront r�elles; inversement lorsque ces directions seront r�elles toutes les
+congruences isotropes satisfaisantes seront imaginaires.
+
+On sait par la th�orie des congruences isotropes que ces directions imaginaires
+sont les traces, sur le plan de r�f�rence, des plans tangents aux d�veloppables
+isotropes focales des congruences satisfaisantes. Cons�quemment,
+les directions en question doivent former dans le plan deux familles de \emph{droites}
+imaginaires enveloppant les traces, sur le plan, des deux d�veloppables
+isotropes focales.
+
+
+\Section{95.}
+{D�finition g�om�trique du r�seau orthogonal satisfaisant.}
+
+Si l'on consid�re deux d�veloppantes des traces focales, le r�seau orthogonal
+$(u, v)$ est form� par l'ensemble des courbes telles que la somme ou la
+diff�rence des distances de leurs points aux deux d�veloppantes soient
+constantes.
+
+V�rifions au moyen de l'\Eqref{�quation}{56}, que le r�seau $(u, v)$ satisfait
+toujours � la d�finition pr�cit�e. On peut, dans chaque cas, particulariser
+ces variables $U$ et~$V$, et ramener l'expression du carr� de l'�l�ment lin�aire
+� la forme
+\[
+dS^2 = \frac{dv^2}{\cos^2 \varphi} + \frac{du^2}{\sin^2 \varphi},
+\]
+qui caract�rise d'apr�s M.~Weingarten tout r�seau orthogonal form� (sur une
+surface arbitraire) par les courbes dont tous les points sont � des distances
+g�od�siques de deux courbes fixes dont la somme ou la diff�rence est
+constante\footnotemark.
+  \footnotetext{\textsc{M.~Ossian Bonnet} a donn�, de ce fait, une d�monstration simple (p.~96 du \Ord{XLII}{e} cahier
+du \emph{Journal de l'�cole polytechnique}).}
+
+%% -----File: 130.png---Folio 124-------
+
+Ici, quand l'angle~$\varphi$ est r�el, les congruences isotropes sont toutes imaginaires,
+et inversement.
+
+Comme v�rification, on doit trouver que les lignes d�finies par l'\Eqref{�quation}{57}
+sont des g�od�siques.
+
+
+\Section{96.}
+{Cas o� le r�seau satisfaisant est isom�trique: il est compos�
+de coniques homofocales.}
+
+Le r�seau $(u, v)$ ne peut, � la fois, �tre isom�trique et �tre caract�ris�
+par la \Eqref{relation}{56}, que si le carr� de l'�l�ment lin�aire du plan peut se
+mettre sous la forme
+\[
+dS^2 = (U^2 - V^2)(du^2 + dv^2);
+\]
+mais alors, d'apr�s une th�orie \emph{bien connue} de M.~Liouville, l'int�grale des
+g�od�siques du plan peut s'�crire
+\[
+U \sin^2 \varphi + V \cos^2 \varphi = k\footnotemark % [** PP: Typo K]
+\]
+et chaque valeur de la constante~$k$ d�finira une double famille de g�od�siques,
+enveloppant, par cons�quent, deux courbes. Lorsque les valeurs de~$k$
+seront telles que l'angle~$\varphi$ soit imaginaire, on d�duira des droites ainsi obtenues
+deux congruences isotropes r�elles.
+  \footnotetext{C'est d'ailleurs l'int�grale qu'on obtiendrait imm�diatement en cherchant � r�soudre~\Eqref{}{57}
+  qui est l'�quation des traces principales des congruences isotropes.}
+
+Ainsi \emph{le r�seau orthogonal plan, particulier, qui est � la fois isom�trique
+et de la forme permettant l'int�gration des g�od�siques, donnera lieu � une $\infty^2$
+de congruences isotropes}. Nous ne nous arr�terons pas � d�montrer, apr�s
+M.~Liouville, que ce r�seau plan, remarquable, est \emph{unique} et qu'il est form�
+par des coniques homofocales.
+
+\begin{Emph}
+\emph{Dans ce cas} les congruences isotropes satisfaisantes ne sont autre chose que
+%% -----File: 131.png---Folio 125-------
+l'ensemble des g�n�ratrices des hyperbolo�des homofocaux ayant pour trace,
+sur le plan de r�f�rence, les ellipses du r�seau $(u, v)$ et dont \emph{une} quelconque
+de ces ellipses est la focale.
+\end{Emph}
+
+Autant on choisira de focales distinctes, autant on obtiendra de congruences
+isotropes diff�rentes.
+
+Nous n'insistons pas davantage sur ces propri�t�s qui mettent � part les
+congruences isotropes form�es des g�n�ratrices de quadriques homofocales;
+dans le \chapitre{XVII} nous montrerons, en effet, comment tout ce qui
+pr�c�de est un cas particulier d'une proposition plus g�n�rale et pourtant
+caract�ristique.
+
+Pour obtenir, en termes finis, les �quations d'�lasso�des et surtout des
+�lasso�des alg�briques dont s'est pr�occup�e sp�cialement l'Acad�mie de
+Belgique, il convient d'�tablir (maintenant que nous avons �lucid� les propri�t�s
+des congruences), sous la forme la plus simple, des formules qui
+permettent d'effectuer en langage alg�brique, et par avance, les op�rations
+g�om�triques dont nous avons montr� l'agencement. Cette nouvelle �tude ne
+laissera pas de mettre en relief d'int�ressantes propri�t�s des �lasso�des auxquelles
+nous n'avons pas encore �t� conduit.
+
+
+\Section{97.}
+{Plans isotropes passant par une droite d�termin�e. \\
+�quations.}
+
+Soit une congruence de droites. Si, par chaque droite, on m�ne les deux
+plans isotropes qu'elle d�termine, ceux-ci couperont, suivant deux droites, un
+plan fixe arbitraire.
+
+Inversement si dans un plan on se donne deux droites, on peut en d�duire,
+par \emph{isotropie}, quatre droites dans l'espace.
+
+Supposons que les droites consid�r�es aient pour �quations
+\begin{align*}
+x \cos \varphi + y \sin \varphi &= 0, \\
+x \cos \psi    + y \sin \psi    &= 0,
+\end{align*}
+%% -----File: 132.png---Folio 126-------
+o� les angles $\varphi$ et~$\psi$ sont arbitraires et complexes (c'est-�-dire imaginaires,
+conjugu�s ou non).
+
+Les plans isotropes, passant par la premi�re droite, ont pour �quation
+quadratique
+\[
+X \cos \varphi + Y \sin \varphi � iZ = 0.
+\]
+
+De m�me, les plans isotropes, passant par la seconde droite, sont repr�sent�s
+par l'�quation � double signe
+\[
+X \cos \psi + Y \sin \psi � iZ = 0.
+\]
+
+Les deux doubles signes sont ind�pendants.
+
+Les droites d'intersection des plans isotropes (en ne consid�rant pas les
+sym�triques) ont pour �quations, soit
+\begin{gather*}
+X = \frac{iZ(\sin \varphi - \sin \psi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \quad
+Y = \frac{iZ(\cos \psi - \cos \varphi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \\
+%
+\intertext{soit}
+X = -\frac{iZ(\sin \varphi + \sin \psi)}{\sin(\psi - \varphi)},\quad
+Y = -\frac{iZ(\cos \psi + \cos \varphi)}{\sin(\psi - \varphi)}.
+\end{gather*}
+
+Il ne faut consid�rer, naturellement, que les �quations pouvant repr�senter
+des droites r�elles quand $\varphi$ et~$\psi$ sont imaginaires conjugu�s. Posant
+\[
+\varphi = \alpha + \beta i,\quad \psi = \alpha - \beta i,
+\]
+les deux syst�mes d'�quations deviennent
+\begin{gather*}
+X = -\frac{2iZ \cos\alpha}{e^{\beta} + e^{-\beta}}, \quad
+Y = -\frac{2iZ \sin\alpha}{e^{\beta} + e^{-\beta}}, \\
+\intertext{ou}
+X = \frac{2Z \sin\alpha}{e^{\beta} - e^{-\beta}}, \quad
+Y = \frac{2Z \cos\alpha}{e^{-\beta} - e^{\beta}}.
+\end{gather*}
+
+Ainsi la seconde combinaison doit seule �tre conserv�e.
+
+%% -----File: 133.png---Folio 127-------
+
+\Section{98.}
+{Int�grale g�n�rale analytique d'une congruence isotrope.}
+
+Donnons-nous arbitrairement les traces, sur le plan de r�f�rence, de deux
+d�veloppables isotropes; ces traces peuvent �tre deux courbes arbitraires,
+imaginaires. On peut toujours les consid�rer comme les enveloppes de deux
+droites variables d�finies par les �quations
+\begin{align*}
+x \cos\varphi + y \sin\varphi - F(\varphi) &= 0, \\
+x \cos\psi    + y \sin\psi    - f(\psi )   &= 0,
+\end{align*}
+o� $F$ et~$f$ sont des fonctions, donn�es, des angles complexes $\varphi$ et~$\psi$. D'apr�s
+ce qui vient d'�tre dit, les droites de la congruence isotrope, d�rivant de ces
+courbes imaginaires, sont d�finies ainsi
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+X &= -iZ\, \frac{\sin \varphi + \sin \psi}{\sin(\psi - \varphi)}
+         + \frac{F \sin \psi - f \sin \varphi}{\sin(\psi - \varphi)} \\
+%
+Y &= \phantom{-}iZ\,
+           \frac{\cos \psi + \cos \varphi}{\sin(\psi - \varphi)}
+         - \frac{F \cos \psi - f \cos\varphi}{\sin(\psi - \varphi)}
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{58}
+\]
+
+Telle est, si l'on veut, sous une forme simple, l'int�grale g�n�rale des
+congruences isotropes.
+
+
+\Section{99.}
+{Calcul du param�tre d'une congruence isotrope.}
+
+Il s'agit maintenant de calculer les �quations du \emph{plan moyen} et la valeur
+du \emph{param�tre}.
+
+Soient, en g�n�ral,
+\[
+x = aZ + p,\quad
+y = bZ + q,
+\]
+%% -----File: 134.png---Folio 128-------
+les �quations d'une congruence, o� $a$, $b$, $p$, $q$ sont des fonctions de deux
+param�tres variables. �tablissons l'�quation de variation des plans tangents
+� une surface �l�mentaire, le long de la droite~$D$, dont la trace est le point~$A$.
+
+Soit $DA\delta$ le plan projetant de la droite~$D$ sur le plan de r�f�rence; consid�rons
+une position~$D'$ de la droite, infiniment voisine de~$D$. Soit~$M'$ un point
+de~$D'$ situ� � la hauteur~$Z$; projetons-le en~$m$, sur le plan~$DA\delta$ et en~$\mu$ sur~$D$.
+$\theta$~d�signant toujours l'angle du plan tangent � la surface �l�mentaire avec le
+plan projetant de~$D$, on a
+\[
+\tg\theta = \frac{M'm}{m\mu}.
+\]
+
+L'�quation du plan projetant est
+\[
+b(x-p) - a(y-q) = 0,
+\]
+les coordonn�es du point~$M'$ (que, pour plus de simplicit�, on suppose se
+d�placer dans un plan horizontal) croissent de
+\begin{align*}
+\Delta X &= \Delta a� Z + \Delta p, \\
+\Delta Y &= \Delta b� Z + \Delta q.
+\end{align*}
+On en conclut, par les r�gles �l�mentaires,
+\[
+M'm = \frac{b(\Delta a�Z - \Delta p)
+          - a(\Delta b�Z - \Delta q)}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}}\footnotemark.
+\]
+  \footnotetext{$M'm$ �tant la plus courte distance des deux droites.}
+
+D'un autre cot�, le plan passant par~$D$, perpendiculaire au plan projetant,
+a pour �quation
+\[
+a(x - aZ - p) + b(y - bZ - q) = 0,
+\]
+$m\mu$ n'est autre chose que la distance de~$M'$ � ce plan. Cons�quemment, nous
+aurons
+\[
+m\mu = \frac{a(\Delta a�Z + \Delta p)
+           + b(\Delta b�Z + \Delta q)}{\sqrt{(a^2 + b^2)(1 + a^2 + b^2)}}.
+\]
+
+%% -----File: 135.png---Folio 129-------
+
+En d�finitive,
+\[
+\tg \theta
+  = \frac{b(\Delta a�Z + \Delta p) - a(\Delta b�Z + \Delta q)}
+         {a(\Delta a�Z + \Delta p) + b(\Delta b�Z + \Delta q)}
+    \sqrt{a^2 + b^2}.
+\]
+
+Ici
+\begin{gather*} % [** PP: Moved "-" out of numerator]
+a = -\frac{i(\sin \varphi + \sin \psi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \quad
+b =  \frac{i(\cos \varphi + \cos \psi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \\
+%
+p =  \frac{F \sin \psi - f \sin\varphi}{\sin(\psi - \varphi)}, \quad
+q = -\frac{F \cos \psi - f \cos\varphi}{\sin(\psi - \varphi)}.
+\end{gather*}
+
+Si on laissait arbitraires les variations des param�tres $\varphi$ et~$\psi$, les calculs
+seraient longs, mais la th�orie g�n�rale nous ayant appris que les r�sultats
+recherch�s sont invariables quelles que soient les surfaces �l�mentaires
+choisies, on est libre de les particulariser et, par exemple, de supposer la
+relation
+\[
+\psi - \varphi = K,
+\]
+constamment v�rifi�e. Comme
+\[
+(a^2 + b^2) = -\frac{2\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]}{\sin^2(\psi - \varphi)},
+\]
+on voit que, par cet artifice, on a constamment
+\[
+a\Delta a + b\Delta b = 0.
+\]
+
+En somme, on obtient
+\[
+\tg \theta
+  = \frac{\bigl[2Z + i(F-f)\bigr]\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]
+       + i\bigl[F' + f'] \sin (\psi - \varphi)}
+         {-i[F' - f'] \bigl[1 + \cos (\psi - \varphi)\bigr]
+       + i[F + f] \sin (\psi - \varphi)}.
+\Tag{59}
+\]
+
+$Z$ et~$\tg \theta$ sont infinis en m�me temps. On aura, par cons�quent, la
+valeur de~$Z$ aff�rente au \emph{point central} en annulant~$\tg \theta$:
+\[
+2Z_0 + i[F-f] + i[F'+f'] \frac{\sin (\psi-\varphi)}{1 + \cos (\psi - \varphi)} = 0.
+\Tag{60}
+\]
+
+Le \emph{param�tre} se trouve d�s lors mis en �vidence dans l'\Eqref{�quation}{59}, il
+est d�fini par la relation
+\[
+2P_0 = i[F'-f']
+     + i[F + f] \frac{\sin (\psi - \varphi)}
+                     {1 + \cos (\psi - \varphi)}. % [**PP: Added .]
+\Tag{61}
+\]
+
+%% -----File: 136.png---Folio 130-------
+
+\Section{100.}
+{Calcul des �quations des plans tangents aux �lasso�des conjugu�s.}
+
+Connaissant le~$Z$ du \emph{point central}, on obtient imm�diatement pour l'�quation
+du \emph{plan moyen}
+\begin{align*} % [** PP: Re-breaking]
+0 &= -2X(\sin\varphi + \sin\psi)
+   + 2Y(\cos\varphi + \cos\psi) \\
+  &\quad+ \sin(\psi - \varphi)
+       \left[-2Zi + (F - f) - (F' + f')\cot \frac{\psi - \varphi}{2}\right].
+\Tag{62}
+\end{align*}
+
+La distance de l'origine des coordonn�es au plan moyen, distance �gale au
+\emph{param�tre} d'une congruence isotrope conjugu�e de~\Eqref{}{58}, c'est-�-dire ayant
+pour �lasso�de moyen le conjugu� de l'�lasso�de d�fini par~\Eqref{}{58}, a pour
+expression
+\[ % [** F1: Subscript looks like O'?]
+2P_0 = -(F' + f') + (F - f) \tg \frac{\psi - \varphi}{2}.
+\Tag{63}
+\]
+
+Inversement, l'\Eqref{�quation}{61} donne, pour le plan tangent de l'�lasso�de
+conjugu�:
+\[% [** PP: Re-breaking]
+\begin{aligned}
+&-2X(\sin\varphi + \sin\psi)
++2Y(\cos\varphi + \cos\psi) \\
+&\quad+i\bigl\{\sin(\psi - \varphi)[F + f - 2Z]
+  +(F'-f')\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]\bigr\} = 0.
+\end{aligned}
+\Tag{64}
+\]
+
+Pour obtenir une congruence isotrope g�n�ratrice de l'�lasso�de conjugu�,
+il suffit de faire tourner, de~$\frac{\pi}{2}$, la droite~\Eqref{}{58} autour de l'origine. Nous trouvons
+de la sorte par des calculs dont nous supprimons les d�tails
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+X &= -\frac{i(\sin\varphi + \sin\psi)}{\sin(\psi - \varphi)} Z
+     + (F \cos\psi - f \cos\varphi)\Delta \\
+Y &=  \frac{i(\cos\varphi + \cos\psi)}{\sin(\psi - \varphi)} Z
+     + (F \sin\psi - f \cos\varphi)\Delta,
+\end{aligned}\ \right\}
+\Tag{65}
+\]
+o� $\Delta^2$ a pour valeur
+\[
+\Delta^2 = \frac{2Ff}{\bigl[1 + \cos (\psi - \varphi)\bigr]
+                      \bigl[F^2 + f^2 - 2Ff\cos(\psi - \varphi)\bigr]}.
+\]
+
+%% -----File: 137.png---Folio 131-------
+
+Il serait tr�s-facile, s'il y avait int�r�t, de former les �quations de toutes
+les congruences isotropes satisfaisantes, en utilisant la transformation du
+\Secref{34}; mais en g�n�ral, quand on en aura besoin, ce sera pour chercher % [** PP: Omitted () around section number]
+toutes les surfaces moyennes, et il sera toujours plus rapide d'effectuer la
+transformation sur les congruences particuli�res d�finies par des param�tres
+r�els.
+
+Cherchons maintenant � d�terminer les coordonn�es des points des deux
+�lasso�des, en fonction des param�tres complexes $\varphi$ et~$\psi$.
+
+Posons pour un instant
+\[
+\frac{\psi - \varphi}{2} = \alpha,\quad
+\frac{\psi + \varphi}{2} = \beta.
+\]
+
+Les �quations des plans tangents aux deux �lasso�des deviennent, pour
+l'�lasso�de moyen:
+\begin{align*}
+-X \sin\beta + Y \cos\beta
+ + \sin\alpha \left[-Zi +  \frac{F - f}{2}\right] -  \frac{F' + f'}{2} \cos\alpha &= 0,
+\Tag{62'} \\
+\intertext{pour l'�lasso�de conjugu�}
+-X \sin\beta + Y \cos\beta
+ + \sin\alpha \left[-Zi + i\frac{F + f}{2}\right] - i\frac{F' - f'}{2} \cos\alpha &= 0.
+\Tag{64'}
+\end{align*}
+
+
+\Section{101.}
+{Coordonn�es des points des �lasso�des conjugu�s.}
+
+N'oublions pas que $F$ et~$f$ sont des fonctions de $\varphi$ et de~$\psi$ individuellement,
+et repr�sentons comme d'habitude, par exemple
+\[
+\frac{d^2 F}{d\varphi^2}\quad\text{par}\quad F'',
+\]
+%% -----File: 138.png---Folio 132-------
+comme on a
+\begin{align*}
+\frac{d\varphi}{d\alpha} &= -1,\quad \frac{d\varphi}{d\beta} = +1, \\
+\frac{d\psi}{d\alpha}    &= +1,\quad \frac{d\psi}{d\beta} = +1,
+\end{align*}
+on peut consid�rer maintenant les �quations $(62')$ $(64')$ comme form�es de
+fonctions des param�tres $\alpha$ et~$\beta$, et chercher les caract�ristiques.
+
+Tout d'abord, pour l'�lasso�de moyen, on trouve
+\begin{gather*}
+2Zi = (F + F'') - (f + f''), \\
+X \cos\beta + Y \sin\beta
+  - \sin\alpha \frac{F' - f'}{2}
+  + \cos\alpha \frac{F'' + f''}{2} = 0;
+\end{gather*}
+repassant maintenant aux expressions en $\varphi$ et~$\psi$, il vient, en r�sum�,
+\begin{flalign*}
+&\BoxTag{�lasso�de}{moyen} &
+\left.
+\begin{gathered} % [** PP: Added punctuation.]
+X + \frac{F' \sin \varphi + F'' \cos \varphi}{2}
+  + \frac{f' \sin \psi    + f'' \cos \psi}{2} = 0, \\
+Y - \frac{F' \cos \varphi - F'' \sin \varphi}{2}
+  - \frac{f' \cos \psi    - f'' \sin \psi}{2} = 0, \\
+Z = -i \frac{(F + F'') - (f + f'')}{2}.
+\end{gathered}\ \right\} &&
+\Tag{66}
+\end{flalign*}
+
+De la m�me mani�re on calculera les coordonn�es du point correspondant
+de l'�lasso�de conjugu�; on trouve
+\begin{flalign*}
+&\BoxTag{�lasso�de}{conjugu�} &
+\left.
+\begin{gathered} % [** PP: Added commas.]
+\frac{X}{i} + \frac{F' \sin \varphi + F'' \cos \varphi}{2}
+            - \frac{f' \sin\psi     + f'' \cos \psi}{2} = 0, \\
+\frac{Y}{i} - \frac{F' \cos \varphi - F'' \sin \varphi}{2}
+            + \frac{f' \cos \psi    - f'' \sin \psi}{2} = 0, \\
+Z = \frac{(F + F'') + (f + f'')}{2}.
+\end{gathered}\ \right\} &&
+\Tag{67}
+\end{flalign*}
+
+Ces deux groupes d'�quations fort simples sont susceptibles d'interpr�tations
+g�om�triques importantes.
+
+%% -----File: 139.png---Folio 133-------
+
+Soient $(A)$ et~$(B)$ les deux courbes imaginaires, sections des deux d�veloppables
+isotropes par le plan de r�f�rence, $P$~une origine fixe. Soient $A$ et~$B$
+les points des deux courbes d�termin�s par les deux valeurs $\varphi$ et~$\psi$ des param�tres.
+Enfin, soient $a$ et~$b$ les centres de courbure correspondants. D�signons
+par $R_A$, $R_B$ les rayons de courbure de~$(A)$ et~$(B)$ en~$A$ et~$B$.
+
+On sait que le centre de courbure~$a$, par exemple, est d�termin� par
+l'�quation de la normale en~$A$ �~$(A)$
+\[
+-x \sin\varphi + y \cos\varphi - F' = 0,
+\]
+et par celle de la caract�ristique qui est la normale de la d�velopp�e
+\[
+-x \cos\varphi - y \sin\varphi - F'' = 0.
+\]
+
+
+\Section{102.}
+{D�finition g�om�trique des points des �lasso�des conjugu�s.}
+
+D�signons par $O$ et~$O'$ les points correspondants des deux �lasso�des, par
+$\omega$ et~$\omega'$ leurs projections sur le plan de r�f�rence.
+
+\primo~\textit{La projection~$\omega$ du point~$O$ de l'�lasso�de moyen~$(O)$ est au milieu
+du segment~$ab$}; % [** PP: Moved ; out of italics]
+
+\secundo~\textit{Le $Z$ du point~$O$ de l'�lasso�de moyen~$(O)$ est �gal � la demi-diff�rence
+des rayons de courbure $R_A$ et~$R_B$ multipli�e par~$\sqrt{-1}$};
+
+\tertio~\textit{Si l'on joint l'origine~$P$, fixe, au point~$\omega'$ projection sur le plan de
+r�f�rence du point~$O'$ de l'�lasso�de conjugu�~$(O')$ le segment~$P\omega'$ est �gal �
+la moiti� du segment~$ab$ multipli� par~$\sqrt{-1}$, de plus~$P\omega'$ et~$ab$ sont
+parall�les}
+\[
+P\omega' = i \frac{ab}{2}.
+\]
+
+\quarto~\textit{Le $Z$ du point~$O'$ de l'�lasso�de conjugu�~$(O')$ est �gal � la demi-somme
+des rayons de courbure $R_A$ et~$R_B$}.
+
+%% -----File: 140.png---Folio 134-------
+
+Les deux premi�res propri�t�s sont des cons�quences imm�diates de la
+construction ponctuelle de l'�lasso�de moyen comme lieu des milieux des
+cordes s'appuyant � leurs extr�mit�s sur les ar�tes de rebroussement de deux
+d�veloppables isotropes, si l'on tient compte de cette proposition (�nonc�e
+pour la premi�re fois par M.~Moutard): \emph{La projection de l'ar�te de rebroussement
+d'une d�veloppable isotrope, sur un plan donn�, est la d�velopp�e de
+la section, par le plan, de la d�veloppable}.
+
+
+\Section{103.}
+{D�finition des sections planes d'un �lasso�de.}
+
+Arr�tons-nous un moment, afin de tirer de ce qui pr�c�de des cons�quences.
+Supposons que les courbes $(A)$ et~$(B)$ se superposent; elles co�ncideront
+alors avec une courbe $(C)$ qui sera toujours r�elle si les �lasso�des
+sont r�els.
+
+On sait, et l'on v�rifie d'ailleurs � premi�re vue, que la d�velopp�e~$(D)$ de
+la courbe appartient � l'�lasso�de moyen, qu'elle est une g�od�sique de cette
+surface. On voit de nouveau que le contour conjugu� est une droite perpendiculaire
+au plan de la courbe~$(C)$. Pour obtenir le point~$O'$ de cette droite
+correspondant � un point~$D$ de la d�velopp�e~$(D)$, il suffit de prendre~$PO'$
+�gal �~$AD$.
+
+\begin{Emph}
+Le plan de~$(C)$ coupe l'�lasso�de moyen suivant une courbe double, lieu des
+milieux des cordes joignant les centres de courbure des cercles osculateurs,
+de m�me rayon, de la courbe~$(C)$.
+\end{Emph}
+
+Consid�rons maintenant une courbe~$(D)$ sym�trique par rapport � une
+droite $PP'$. Il est clair que tous les couples de points sym�triques $a$ et~$b$ donneront
+lieu � un point~$O$ situ� dans le plan perpendiculaire au plan de~$(D)$
+et passant par l'axe de sym�trie, mais deux cas sont � distinguer, ou~$(D)$
+coupe l'axe~$PP'$ � angle droit ou elle y pr�sente un rebroussement de premi�re
+esp�ce.
+
+%% -----File: 141.png---Folio 135-------
+
+Dans le premier cas $(C)$ pr�sente en~$P$ un rebroussement et les rayons de
+courbure $Aa$, $Bb$ doivent �tre consid�r�s comme �tant de signe contraire;
+d�s lors \emph{le point~$O$ est dans le plan de sym�trie � une hauteur au-dessus de
+$\omega$ marqu�e par le produit de la longueur de l'arc imaginaire~$Pb$ par~$\sqrt{-1}$.
+On voit que le plan de sym�trie coupera l'�lasso�de moyen suivant une nouvelle
+g�od�sique dont les points r�els correspondront aux couples de points
+sym�triques, imaginaires, de $(D)$ et inversement}. Nous reviendrons plus loin
+sur ce cas particulier. Le contour conjugu� n'est autre chose qu'une droite
+perpendiculaire au plan de sym�trie.
+
+Au contraire, si la courbe~$(D)$ pr�sente un rebroussement sur l'axe
+de sym�trie, la d�veloppante $(C)$ coupant cet axe � angle droit en~$P$, les
+rayons de courbure en deux points sym�triques ont m�me signe, leur
+diff�rence est donc nulle. En cons�quence, \emph{le plan de sym�trie de~$(D)$ coupe
+l'�lasso�de moyen suivant l'axe de sym�trie~$PP'$. Le contour conjugu�
+est, au contraire, une g�od�sique situ�e dans un plan perpendiculaire �
+l'axe~$PP'$}.
+
+
+\Section{104.}
+{On peut tracer sur des �lasso�des, m�me alg�briques, des droites
+n'ayant que des parties r�elles situ�es sur ces surfaces.}
+
+Au point de vue de la r�alisation physique par le proc�d� de M.~Plateau,
+il convient de faire observer que, toutes les fois qu'un �lasso�de, alg�brique
+ou non, admettra un plan de sym�trie, lui et son conjugu�, simultan�ment
+alg�briques, contiendront des droites; mais il est fort remarquable que certaines
+de ces droites soient seulement r�elles partiellement. Donnons un
+exemple.
+
+Soit propos� de construire l'�lasso�de admettant pour g�od�sique la d�velopp�e
+d'une ellipse; il est alg�brique ainsi que son conjugu�, mais, sur
+celui-ci, le contour correspondant � la d�velopp�e est une droite �gale en
+%% -----File: 142.png---Folio 136-------
+longueur (nous parlons de la partie r�elle) au quart du p�rim�tre total de la
+d�velopp�e.
+
+Aussi dans la r�alisation physique devra-t-on obtenir des nappes se reliant
+d'elles-m�mes � des segments de droite limit�s.
+
+On peut d�duire, des formules interpr�t�es ci-dessus, des cons�quences
+d'un genre tout diff�rent.
+
+Si les arcs $(a)$ et~$(b)$ des courbes d�velopp�es de $(A)$ et~$(B)$ s'expriment
+alg�briquement, les �lasso�des seront alg�briques.
+
+
+\Section{105.}
+{�lasso�des transcendants admettant des lignes alg�briques.}
+
+Bornons-nous � examiner le cas de l'�lasso�de admettant pour g�od�sique
+une courbe plane~$(D)$; si celle-ci n'est pas la d�velopp�e d'une courbe alg�brique~$(C)$,
+\emph{les �lasso�des seront transcendants, mais dans certains cas ils
+contiendront des courbes alg�briques}.
+
+Les courbes alg�briques d'un �lasso�de transcendant correspondront aux
+groupements de points $a$ et~$b$ tels que la diff�rence ou la somme des longueurs
+correspondantes des arcs $(a)$ et~$(b)$ soient alg�briques.
+
+Un exemple �claircira: Soit propos� de chercher l'\emph{�lasso�de admettant
+pour g�od�sique une ellipse donn�e~$(D)$}. Cette surface est transcendante,
+puisque le~$Z$ est proportionnel � la diff�rence des deux arcs de l'ellipse.
+
+Mais, consid�rons les points du plan rang�s suivant une hyperbole homofocale~$(H)$,
+ou suivant une ellipse~$(E)$ �galement homofocale �~$(D)$. On sait,
+d'apr�s un th�or�me d� � M.~Chasles, que si le point~$M$ d�crit l'ellipse~$(E)$, par
+exemple, les arcs d�crits par les points de contact des tangentes �~$(D)$ issues
+de~$M$ ont une diff�rence alg�brique\footnotemark.
+  \footnotetext{A la fa�on de compter les arcs, adopt�e ci-dessus, il faut dire ici la diff�rence.}
+D�s lors, les points de l'�lasso�de correspondant
+� ceux de l'ellipse~$(E)$ seront situ�s sur une courbe alg�brique.
+
+%% -----File: 143.png---Folio 137-------
+
+Au contraire, si l'on suit l'hyperbole~$(H)$, ce sont les points de l'�lasso�de
+conjugu� qui se rangent suivant une courbe alg�brique.
+
+�tant donn�e la nature des transcendantes d�terminant les longueurs
+d'arcs d'ellipse, on voit que sur chacun des deux �lasso�des pr�cit�s il n'y
+a qu'une famille de courbes alg�briques. Au demeurant, s'il y en avait
+deux, les �lasso�des seraient alg�briques.
+
+
+\Section{106.}
+{Les lignes de niveau d'un �lasso�de admettant pour g�od�sique une courbe
+plane alg�brique dont l'arc s'exprime par une fonction elliptique de
+premi�re esp�ce, sont alg�briques.}
+
+Soit pris en g�n�ral pour~$(D)$ une courbe alg�brique dont l'arc s'exprime
+par une fonction elliptique de premi�re esp�ce [M.~Serret a montr� qu'il en
+existe une infinit�, toutes unicursales; la plus simple est la lemniscate de
+Bernoulli]. \emph{L'�lasso�de qui admet $(D)$ pour g�od�sique, et son conjugu�,
+sont coup�s par des plans parall�les � celui de~$(D)$ suivant des courbes
+alg�briques}.
+
+Il importe d'observer que ces diverses courbes alg�briques ne se correspondent
+pas d'un �lasso�de � l'autre. On sait d'ailleurs qu'en th�se g�n�rale,
+si l'on trouve deux contours conjugu�s alg�briques, les �lasso�des conjugu�s
+sont alg�briques.
+
+Ajoutons que, \emph{le long d'une courbe alg�brique d'un �lasso�de transcendant,
+la d�veloppable circonscrite est alg�brique}. En effet, l'�quation~$(62')$
+donne pour la trace du plan tangent � l'�lasso�de moyen sur le plan de
+r�f�rence
+\[
+-X \sin\beta + Y \cos\beta + \sin\alpha \frac{F-f}{2} - \frac{F'+f'}{2} \cos\alpha = 0.
+\]
+
+%% -----File: 144.png---Folio 138-------
+
+\Section{107.}
+{Sur l'alg�bricit� des d�veloppables circonscrites � un �lasso�de
+le long de courbes alg�briques.}
+
+On peut toujours supposer que l'origine est transport�e pour un instant
+au point de rencontre des tangentes en $a$ et~$b$, et que l'axe des $X$ co�ncide
+avec la bissectrice de l'angle $aMb$ (car si les points $a$ et~$b$ sont imaginaires % [** PP: Not spacing AMb]
+conjugu�s, l'origine et l'axe seront r�els), l'�quation pr�c�dente devient
+alors
+\[
+Y + \sin \alpha \frac{F-f}{2} = 0.
+\]
+
+La trace du plan tangent est donc parall�le � la bissectrice de l'angle~$aMb$.
+Parce que la courbe suivie est alg�brique, le $Z$ est alg�brique, cons�quemment
+(voir \Secref{101})
+\[
+F - f + F'' - f'',
+\]
+est une expression alg�brique; or $F''$ et~$f''$ distance de l'origine aux normales
+en $a$ et~$b$ sont manifestement alg�briques; d�s lors la diff�rence $F-f$ est
+alg�brique.
+
+Cons�quemment, les traces des d�veloppables circonscrites � un �lasso�de
+le long d'un contour alg�brique, traces prises sur un plan arbitraire, sont
+alg�briques. L'alg�bricit� des d�veloppables elles-m�mes est donc compl�tement
+d�montr�e.
+
+On v�rifierait facilement que la trace du plan tangent � l'�lasso�de moyen
+passe par le milieu de la corde~$AB$ (voir \Secref{101}). On donnerait une d�finition
+aussi simple du plan tangent � l'�lasso�de conjugu�.
+
+%% -----File: 145.png---Folio 139-------
+
+\Section{108.}
+{Lignes de longueur nulle se projetant sur un plan donn�
+suivant des courbes alg�briques.  Exemples.}
+
+Les consid�rations pr�c�dentes ne sont vraies que si les courbes $(a)$ et~$(b)$
+sont alg�briques. Il est d'ailleurs bien facile de former autant d'exemples que
+l'on voudra d'�lasso�des satisfaisant � cette condition: nous avons montr�
+� la \Secref{87} % [** PP: Typo page~87]
+qu'� toute section plane d'un �lasso�de correspond un contour
+conjugu� dont la projection sur le plan de la courbe peut �tre arbitraire. Si
+donc la premi�re courbe et la projection de la seconde courbe sont prises
+alg�briques, les lignes isotropes des �lasso�des conjugu�s auront pour projections
+des lignes alg�briques.
+
+Par exemple, si l'on consid�re l'�lasso�de admettant pour ligne de courbure
+une conique, on voit facilement que ses lignes isotropes ont pour projections
+sur le plan de la conique deux familles de coniques identiques.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 146.png---Folio 140-------
+
+
+\Chapter{XIII.}
+{LIGNES DE COURBURE OU LIGNES ASYMPTOTIQUES DES �LASSO�DES D�DUITS DU PLAN.}
+
+
+\Section{109.}
+{Calcul des �l�ments d'un �lasso�de d�pendant du deuxi�me ordre.}
+
+D�duisons, des calculs pr�c�dents, ce qui a trait � l'image sph�rique des
+�lasso�des, afin de pouvoir appliquer les r�sultats obtenus au \Secref{55}.
+
+La \Eqref{formule}{62} fait voir que les coordonn�es du point de l'image sph�rique
+(sur une sph�re de rayon~$R$) sont d�finies par le groupe
+\[
+  \frac{-X}{\sin \dfrac{\psi + \varphi}{2}}
+= \frac{ Y}{\cos \dfrac{\psi + \varphi}{2}}
+= \frac{Zi}{\sin \dfrac{\psi - \varphi}{2}}
+= \frac{ R}{\cos \dfrac{\psi - \varphi}{2}}.
+\]
+On en d�duit, pour le carr� de l'�l�ment lin�aire,
+\[
+dS^2 = \frac{R^2}{\cos^2 \smfrac{\psi - \varphi}{2}}\,
+       d\psi\Reg{�}{\,} d\varphi.
+\]
+
+On voit que les lignes isotropes de la sph�re correspondent, comme cela
+devait �tre, aux tangentes des lignes $(A)$ et~$(B)$. Nous trouvons
+\begin{align*} % [** PP: Aligning, moved "-" out of numerator]
+a &= -\frac{1}{4} \Bigl\{F - f - F' \sin (\psi - \varphi)
+                      + F''\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]\Bigr\}, \\
+b &= \phantom{-}
+     \frac{1}{4} \Bigl\{F - f - f' \sin (\psi - \varphi)
+                      - f''\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]\Bigr\},
+\end{align*}
+%% -----File: 147.png---Folio 141-------
+et nous en concluons
+\begin{align*}
+\frac{da}{d\varphi}
+  &= -\frac{(F' + F''')}{2} \cos^2\frac{(\psi - \varphi)}{2}, \\
+\frac{db}{d\psi}
+  &= -\frac{(f' + f''')}{2} \cos^2\frac{(\psi - \varphi)}{2}.
+\end{align*}
+
+Cons�quemment, nous d�duirons:
+
+\primo~pour le carr� de l'�l�ment lin�aire de l'�lasso�de moyen
+\[
+dS^2 = (F' + F''')(f' + f'') \cos^2\frac{(\psi - \varphi)}{2}\, d\varphi\, d\psi.
+\Tag{68}
+\]
+
+\secundo~pour les rayons de courbure principaux
+\[
+R^2 = (F' + F''')(f' + f''') \cos^4\frac{(\psi - \varphi)}{2}.
+\Tag{69}
+\]
+
+\tertio~pour l'�quation de directions conjugu�es
+\[
+(F' + F''')\, d\varphi\, d\varphi' + (f' + f''')\, d\psi\, d\psi' = 0. % [* F1: Removed dot]
+\Tag{70}
+\]
+
+En particulier, l'�quation des lignes de courbure peut s'�crire
+\[
+d\varphi \sqrt{F' + F'''} = � d\psi \sqrt{f' + f'''}.
+\]
+
+
+\Section{110.}
+{�quations des lignes de courbure et des asymptotiques. Introduction des
+m�mes int�grales, en cherchant des �lasso�des passant par un contour
+plan.}
+
+D�signons par $R_a$ et~$R_b$ les rayons de courbure en $(a)$ et~$(b)$ des d�velopp�es
+de~$(A)$ et de~$(B)$ projections des ar�tes de rebroussement des focales
+isotropes; l'�quation pr�c�dente est �quivalente �
+\[
+d\varphi \sqrt{R_a} = � d\psi \sqrt{R_b}. % [** PP: Added .]
+\Tag{71}
+\]
+
+%% -----File: 148.png---Folio 142-------
+
+Il est bien clair, �galement, que les lignes de courbure des �lasso�des
+stratifi�s, d�riv�s de l'�lasso�de moyen, sont d�finies par l'�quation
+\[
+m\, d\varphi\, \sqrt{R_a} = �n\, d\psi\, \sqrt{R_b}.
+\]
+
+Si donc les expressions
+\[
+\int d\varphi\, \sqrt{R_a}\quad\text{et}\quad
+\int d\psi\, \sqrt{R_b}, % [** PP: Typo d\varphi]
+\]
+qui d�pendent de quadratures, sont alg�briques, les projections des lignes
+de courbure de tous les �lasso�des stratifi�s sont toutes alg�briques\footnotemark.
+  \footnotetext{Les projections sur le plan de $(a)$ et~$(b)$ sont alors alg�briques parce que l'on suppose~$(a)$
+  et~$(b)$ alg�briques. Les images sph�riques des lignes de courbure des �lasso�des d�riv�s sont
+  aussi toutes alg�briques, elles peuvent m�me l'�tre si les int�grales caract�ristiques sont alg�briques
+  sans que $(a)$ et~$(b)$ le soient.}
+
+Il pourrait se faire que les lignes de courbure d'un seul des �lasso�des
+de la famille fussent alg�briques. Ce cas se pr�senterait si les expressions
+pr�cit�es �taient des fonctions elliptiques de premi�re esp�ce.
+
+La th�orie des contours conjugu�s conduit aussi � consid�rer les m�mes
+int�grales � un point de vue tout diff�rent.
+
+Soient trois courbes planes parall�les et �quidistantes $(c)$ $(a)$ $(\gamma)$; d�signons
+par~$a$ les distances constantes et �gales $ca$ % [** PP: Typo Ca]
+et~$a\gamma$.
+
+Cherchons le $Z$ du contour~$(c')$ conjugu� de~$(c)$ et qui admet pour projection
+sur le plan de la figure la courbe~$(\gamma)$, apr�s une rotation de $90�$
+autour d'un point du plan. Comme
+\begin{align*}
+d(c)      &= (R + a)\, d\theta, \\
+d(\gamma) &= (R - a)\, d\theta,
+\end{align*}
+si $R$ et~$d\theta$ d�signent le rayon de courbure et l'angle de contingence de~$(a)$ au
+point~$a$; d'apr�s ce qui a �t� dit au \Secref{87}
+\[
+dZ = \sqrt{d(c)^2 - d(\gamma)^2} = \sqrt{2a}� d\theta\, \sqrt{R}.
+\]
+
+Cons�quemment
+\[
+Z = \sqrt{2a} \int d\theta\, \sqrt{R}.
+\]
+
+%% -----File: 149.png---Folio 143-------
+
+Sans entrer dans aucun nouveau d�tail, nous dirons, par exemple,
+que:
+
+\begin{Emph}
+Toutes les fois qu'un �lasso�de admet une g�od�sique plane~$(a)$ et que les
+projections de ses lignes de courbure, sur le plan de la g�od�sique, sont
+alg�briques, on peut faire passer un �lasso�de alg�brique par chacune des
+courbes parall�les �~$(a)$.
+\end{Emph}
+
+Arr�tons-nous un instant � montrer comment se d�terminent les lignes de
+courbure d'�lasso�des simples, alg�briques ou non.
+
+
+\Section{111.}
+{Les lignes de courbure d'un �lasso�de dont une parabole est g�od�sique
+d�pendent des fonctions elliptiques.}
+
+\emph{�lasso�de admettant pour g�od�sique une parabole.}
+
+L'�lasso�de n'est pas alg�brique puisque l'arc de la d�veloppante de la
+parabole d�pend des logarithmes. Prenant pour origine le foyer et pour axe
+polaire l'axe de la courbe, on voit, d'apr�s les propri�t�s �l�mentaires de la
+parabole, que
+\[
+R = \frac{p}{\cos^3\theta}\footnotemark,
+\]
+\footnotetext{$\theta$ �tant l'angle de la normale avec l'axe de la parabole.}%
+si $p$ d�signe le param�tre de la courbe. Cons�quemment l'int�grale caract�ristique
+de l'�quation des lignes de courbure (car les deux int�grales sont
+de m�me forme quand les deux courbes $(a)$ et~$(b)$ co�ncident) est
+\[
+\sqrt{p}� \int \frac{d\theta}{\sqrt{\cos^3\theta}}\;,
+\]
+posons
+\[
+\cos \theta = \frac{1}{\cos 2\omega}\;,
+\]
+%% -----File: 150.png---Folio 144-------
+on obtient l'int�grale transform�e
+\[
+\sqrt{p}\, \sqrt{-1} \int d\omega\, \sqrt{1 - 2\sin^2\omega}.
+\]
+
+\begin{Emph}
+Ainsi la d�termination des lignes de courbure {\upshape(}ou des asymptotiques{\upshape)}
+d�pend des fonctions elliptiques.
+\end{Emph}
+
+
+\Section{112.}
+{Lignes de courbure d'un �lasso�de admettant pour g�od�sique la d�velopp�e
+d'une parabole. {\upshape(}Fonctions elliptiques.{\upshape)}}
+
+\emph{�lasso�de admettant pour g�od�sique la d�velopp�e d'une parabole.}
+
+Cette surface est alg�brique:
+
+Le rayon de courbure de la d�velopp�e n'est autre chose que la d�riv�e du
+rayon de courbure de la d�veloppante; on aura donc, en conservant les notations
+pr�c�dentes, pour l'int�grale caract�ristique,
+\[
+\int \frac{d\theta\, \sqrt{\sin\theta}}{\cos^2\theta},
+\]
+posons cette fois,
+\[
+\cos\theta = \frac{1}{\smfrac{\sqrt{2}}{2} (\cos\omega + \sin\omega)};
+\]
+nous obtenons l'int�grale transform�e
+\[
+\int d\omega\, \sqrt{1 - 2 \sin^2\omega}.
+\]
+
+Ainsi, \emph{la d�termination des lignes de courbure ou des asymptotiques de
+l'�lasso�de admettant pour g�od�sique la d�velopp�e d'une parabole d�pend
+aussi des fonctions elliptiques}.
+
+%% -----File: 151.png---Folio 145-------
+
+\Section{113.}
+{Lignes de courbure des �lasso�des admettant pour g�od�sique une �picyclo�de.
+{\upshape(}Fonctions elliptiques.{\upshape)}}
+
+Consid�rons maintenant \emph{tous les �lasso�des admettant pour g�od�siques des
+�picyclo�des ou des hypocyclo�des planes}. On sait que ces courbes sont semblables
+� leurs d�velopp�es, par cons�quent toutes celles qui sont alg�briques
+[et il y en a une infinit�] donnent lieu � des �lasso�des alg�briques.
+
+$R$~d�signant le rayon du cercle, \emph{base de l'�picyclo�de}, et $r$~le rayon de la
+\emph{roulette g�n�ratrice}, $p$~la distance, � la tangente, du centre de la \emph{base}, $\omega$~�tant
+l'angle de la normale et de l'axe polaire,
+\[
+p = (R + 2r) \sin \frac{R}{R + 2r} \omega,
+\]
+de m�me, pour une hypocyclo�de on trouverait
+\[
+p' = (R - 2r)\sin \frac{R}{R - 2r} \omega.
+\]
+
+Cons�quemment, d'une fa�on g�n�rale pour les deux genres de courbes,
+\[
+p = \alpha \sin k\omega,
+\]
+et les courbes correspondantes seront alg�briques chaque fois que $k$ sera un
+nombre commensurable.
+
+L'int�grale caract�ristique des lignes de courbure prend la forme
+\[
+\int d\omega\, \sqrt{\sin k\omega},
+\]
+posons
+\[
+\omega = \frac{\pi}{2k} - \frac{2}{k}\varphi
+\]
+%% -----File: 152.png---Folio 146-------
+et nous transformerons l'int�grale pr�c�dente en celle-ci
+\[
+\int d\varphi\, \sqrt{1 - 2\sin^2\varphi}.
+\]
+
+Donc on peut �noncer cette proposition g�n�rale:
+
+\begin{Emph}
+La d�termination des lignes de courbure ou des asymptotiques des
+�lasso�des admettant pour g�od�siques une �picyclo�de ou une hypocyclo�de,
+d�pend des fonctions elliptiques.
+\end{Emph}
+
+
+\Section{114.}
+{�lasso�de d'Enneper � lignes de courbure alg�briques.}
+
+Donnons maintenant des exemples d'�lasso�des dont les lignes de courbure
+sont alg�briques.
+
+Consid�rons \emph{l'�lasso�de admettant pour g�od�sique la premi�re podaire
+n�gative de la parabole, prise par rapport au foyer}.
+
+La podaire de la courbe consid�r�e n'est autre chose que la parabole;
+cons�quemment, si $p$ d�signe la distance de l'origine � une tangente, et
+$\theta$ l'angle de la normale avec l'axe polaire
+\[
+p = \frac{a}{\cos^2 \smfrac{\theta}{2}},
+\]
+($a$~d�signant cette fois le demi-param�tre de la parabole) comme d'ailleurs
+\[
+R = p + \frac{d^2p}{d\theta^2}
+  = \frac{3}{2} a\, \frac{1}{\cos^4 \smfrac{\theta}{2}};
+\]
+on voit que l'int�grale caract�ristique a pour valeur
+\[
+\tg \frac{\theta}{2},
+\]
+%% -----File: 153.png---Folio 147-------
+par cons�quent l'�quation des lignes de courbure est
+\[
+\tg \frac{\varphi}{2} � \tg \frac{\psi}{2} = \text{constante},
+\]
+et l'on voit que les lignes de courbure ou les asymptotiques sont alg�briques.
+
+D'un autre c�t�, on aura manifestement une d�veloppante de la courbe
+choisie en consid�rant l'�quation tangentielle
+\[
+P = \int p\, d\theta,
+\]
+o� $P$ d�signe la distance de l'origine � la tangente de cette d�veloppante et~$\varphi$
+l'angle de la tangente et de l'axe polaire. Or,
+\[
+P = 2a�\tg \frac{\theta}{2}.
+\]
+
+La d�veloppante est donc alg�brique.
+
+On voit que \emph{l'�lasso�de qui admet pour g�od�sique la premi�re podaire
+n�gative de la parabole prise par rapport au foyer, est alg�brique; il a ses
+lignes de courbure et ses lignes asymptotiques alg�briques}.
+
+Nous montrerons plus loin que cet �lasso�de a ses lignes de courbure
+planes. Il a �t� d�couvert par Enneper.
+
+% [** PP: Omitted () around section number]
+Les consid�rations du \Secref{109} peuvent �tre invoqu�es; elles montrent que
+\emph{par les courbes parall�les � la premi�re podaire n�gative de la parabole \emph{(le
+p�le �tant au foyer)} on peut faire passer des �lasso�des alg�briques}.
+
+
+\Section{115.}
+{On peut d�duire de l'�lasso�de d'Enneper un nouvel �lasso�de alg�brique
+dont les lignes de courbure s'int�grent.}
+
+Mais on peut d�duire de ce qui pr�c�de un nouvel �lasso�de alg�brique
+dont les lignes de courbure ou les asymptotiques s'int�grent.
+
+%% -----File: 154.png---Folio 148-------
+
+Si nous consid�rons en effet l'�lasso�de admettant pour g�od�sique la d�velopp�e
+de cette premi�re podaire n�gative de la parabole (surface manifestement
+alg�brique), nous trouvons pour l'int�grale caract�ristique des lignes de
+courbure
+\[
+\int \frac{d\theta}{\cos^2\smfrac{\theta}{2}} \sqrt{\tg \smfrac{\theta}{2}}.
+\]
+
+D�s lors l'int�grale des lignes de courbure ou des asymptotiques est
+donn�e par une relation de la forme
+\[
+  m \left(\tg \frac{\varphi}{2}\right)^{\frac{3}{2}}
+� n \left(\tg \frac{\psi}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \text{constante}.
+\]
+
+Enfin, ce qui pr�c�de met en �vidence une application des plus remarquables
+sur laquelle il convient d'insister.
+
+
+\Section{116.}
+{Deux exemples de lignes de courbure transcendantes.}
+
+La podaire n�gative dont il vient d'�tre question est la d�velopp�e d'une
+courbe alg�brique~$(C)$ dont l'�quation tangentielle est, comme nous l'avons
+montr�,
+\[
+P = 2a - \tg \frac{\theta}{2}.
+\]
+
+Les d�veloppantes de celles-ci sont � leur tour d�finies par l'�quation
+\[
+P' = -4a \log\Reg{�}{} \cos \frac{\theta}{2} + C,
+\]
+laquelle est transcendante, par cons�quent \emph{l'�lasso�de, qui admet~$(C)$ pour
+g�od�sique, est transcendant}.
+
+Les lignes de courbure et les asymptotiques sont �galement transcendantes;
+donc de ce c�t� il n'y a rien � d�couvrir au point de vue de l'\emph{alg�bricit�}.
+
+%% -----File: 155.png---Folio 149-------
+
+Mais il n'en sera pas de m�me si nous consid�rons la transform�e par
+rayons vecteurs r�ciproques de la parabole en prenant pour p�le de transformation
+le foyer.
+
+Soit $\theta$ l'angle de la parall�le � la normale en c � la courbe consid�r�e~$(C)$.
+Soit~$P$ le pied de la perpendiculaire abaiss�e du foyer~$F$ sur la tangente.
+Enfin soit~$b$ le point correspondant de la premi�re podaire n�gative de la
+parabole. On sait que $Fb$ est parall�le � la normale en~$c$ �~$(C)$ et que~$F$, $P$ et
+$b$ sont en ligne droite. % [** PP: Not spacing F b]
+
+On a manifestement
+\[
+Fb = \frac{a}{\cos^3 \smfrac{\theta}{3}}\;,
+\]
+comme d'ailleurs
+\[
+Fb � FP = a^2,
+\]
+($a^2$ �tant pris pour la puissance de transformation)
+\[
+FP = a \cos^3 \frac{\theta}{3};
+\]
+mais, si l'on forme l'�quation de la d�veloppante
+\[
+P = \int d\theta\, a \cos^3 \frac{\theta}{3}
+= 3a \sin \frac{\theta}{3} \left(1 - \frac{1}{3} \sin^2 \frac{\theta}{3}\right).
+\]
+On voit qu'elle est alg�brique; cons�quemment:
+
+\begin{Emph}
+L'�lasso�de qui admet pour g�od�sique la transform�e par rayons vecteur~$s$
+r�ciproques d'une parabole \emph{(le p�le �tant au foyer)} est alg�brique\footnotemark.
+\end{Emph}
+  \footnotetext{Cette courbe est une cardio�de, vari�t� d'une �picyclo�de alg�brique; cons�quemment, on
+  devait pr�voir que l'�lasso�de serait alg�brique, mais ce qui pr�c�de conduit � la g�n�ralisation
+  qu'il importait de signaler.}
+
+On trouve en op�rant comme d'habitude, pour le rayon de courbure
+de~$(C)$,
+\[
+R_c = \frac{2}{3} a \cos \frac{\theta}{3}.
+\]
+
+%% -----File: 156.png---Folio 150-------
+
+D�s lors l'int�grale caract�ristique des lignes de courbure et des asymptotiques
+devient
+\[
+  \int \frac{d\theta}{6}\, \sqrt{\cos \frac{2\theta}{6}}
+= \int \frac{d\theta}{6}\, \sqrt{1 - 2\sin^2\frac{\theta}{6}}.
+\]
+
+\emph{La d�termination des lignes de courbure de cet �lasso�de d�pend encore des
+fonctions elliptiques.}
+
+
+\Section{117.}
+{�tude d'une famille d'�lasso�des alg�briques ou d�pendant
+de fonctions circulaires.}
+
+Plus g�n�ralement, consid�rons la courbe~$(C_n)$ dont l'�quation tangentielle
+est
+\[
+p_n = a \cos^n \frac{\theta}{n};
+\]
+on trouve pour son rayon de courbure~$R_n$
+\[
+R_n = a � \frac{n-1}{n} \cos^{n-2} \frac{\theta}{n}.
+\]
+
+Cons�quemment la d�veloppante serait d�finie par l'�quation
+\[
+P_{D_n} = na \int \frac{d\theta}{n}\, \cos^n \frac{\theta}{n},
+\]
+et l'int�grale caract�ristique des lignes de courbure des �lasso�des d�riv�s de~$(C_n)$
+serait
+\[
+\int d\theta\, \cos^{\frac{n}{2} - 1} \frac{\theta}{n}.
+\]
+
+Si $n$ est impair,
+\[
+P_{D_n} = a \sin \frac{\theta}{n}
+  \left[\cos^{n-1}\frac{\theta}{n} + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \frac{\theta}{n}
+        + \dotsb \frac{2�4\dotsm (n-3)(n-1)}{1�3\dotsm (n-4)(n-2)}\right] + C;
+\]
+par cons�quent \emph{la d�veloppante est toujours alg�brique}.
+
+Il en r�sulte, alors, que \emph{tout �lasso�de admettant pour g�od�sique une
+%% -----File: 157.png---Folio 151-------
+courbe $(C_{2m+1})$ est alg�brique.} [Nous indiquons par les notations $(C_{2m})$,
+$(C_{2m+1})$ des courbes satisfaisantes pour lesquelles le coefficient~$n$ prend des
+valeurs paires et impaires.]
+
+Si $n$ est pair,
+\begin{align*}
+P_{D_n} = a \sin \frac{\theta}{n}
+  \left[\cos^{n-1}\frac{\theta}{n} \right.
+  &+ \left.\frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3}\frac{\theta}{n}
+   + \dotsb \frac{3�5\dotsm (n-3)(n-1)}{2�4\dotsm (n-4)(n-2)}
+     \cos \frac{\theta}{n}\right] \\
+  &+ \frac{1�3\dotsm (n-3)(n-1)}{2�4\dotsm (n-2)n}\, \frac{\theta}{n} + C.
+\end{align*}
+Cons�quemment \emph{tout �lasso�de admettant pour g�od�sique une courbe $(C_{2m})$
+d�pend des fonctions circulaires}.
+
+Mais il est remarquable que, dans ce cas, les int�grales caract�ristiques, et
+par cons�quent les lignes de courbure des �lasso�des d�riv�s d�pendent aussi
+seulement des fonctions circulaires. En effet, on a
+\[
+n = 4m;\quad \text{ou}\quad n = 2m,
+\]
+suivant que le nombre pair $n$ est ou n'est pas divisible par~$4$.
+
+\begin{Emph}
+Supposons tout d'abord que $n$ soit divisible par~$4$; \emph{il vient alors}
+\[
+\int d\theta\, \sqrt{R}
+  = k \int d\omega\Reg{�}{\,} \cos^{2m-1}\omega,
+\]
+dont l'expression int�grale est alg�brique. \emph{Il en r�sulte que} les projections
+des lignes de courbure et des asymptotiques des �lasso�des d�riv�s d'une courbe
+$(C_{4n})$, sur le plan de cette courbe, sont alg�briques. Les courbes elles-m�mes,
+comme les �lasso�des, d�pendent des fonctions circulaires.
+
+Supposons maintenant que $n$ ne soit divisible que par~$2$
+\[
+\int d\theta\, \sqrt{R} = k \int d\omega\, \cos^{m-1}\omega,
+\]
+\emph{et comme la puissance du cosinus est paire}, les projections des lignes de
+courbure des �lasso�des d�riv�s de la courbe $(C_{2n})$ d�pendent des fonctions
+circulaires.
+
+Consid�rons encore le cas o� $n$ est pair et n�gatif. \emph{Soit, par exemple,}
+\[
+n = -4m,\quad \text{ou}\quad n = -2m
+\]
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 158.png---Folio 152-------
+
+Dans le premier et le second cas
+\begin{align*}% [** PP: Aligning, re-breaking]
+P_{D_{-2m}}
+  &= a\int d\theta\, \sec^{2m} \frac{\theta}{2m} \\
+  &=
+\begin{aligned}
+  a \frac{\sin \smfrac{\theta}{2m}}{2m-1}
+       \left[\sec^{2n-1} \frac{\theta}{2m} \right.
+          &+ \frac{2m-2}{2m-3} \sec^{2m-3} \frac{\theta}{2m}
+           + \dotsb \\
+       &\left.
+           + \frac{2�4\dotsm (2m-4)(2m-2)}
+                  {1�3\dotsm (2m-5)(2m-3)} \sec \frac{\theta}{2m}\right] + C;
+\end{aligned}
+\end{align*}
+par cons�quent \emph{les �lasso�des d�riv�s sont tous alg�briques}.
+
+Dans le premier cas [$n = -4m$]
+\begin{align*} % [** PP: Aligning, re-breaking]
+&\int d\theta\, \sqrt{R}
+  = k \int d\omega\, \sec^{2m+1}\omega \\
+&\qquad
+  = k \frac{\sin \omega}{2m}
+      \left[\sec^{2m}\omega + \frac{2m-1}{2m-2} \sec^{2m-1}\omega + \dotsb
+% [** PP: Adding +]
+  + \frac{3�5\dotsm (2m-1)}{2�4\dotsm (2m-2)} \sec^2\omega\right] \\
+  &\qquad\qquad
+  + \frac{1�3\dotsm (2m-1)}{2�4\dotsm 2m}
+          \log \tg \left(\frac{\omega}{2} + \frac{\pi}{4}\right),
+\end{align*}
+donc \emph{les projections des lignes de courbure des �lasso�des d�riv�s, sur le plan
+de $(C_{-4m})$, d�pendent des logarithmes}.
+
+Dans le second cas [$n = -2m$]
+\begin{align*}% [** PP: Re-breaking]
+\int d\theta\, \sqrt{R}
+  &= k \int d\omega\, \sec^{2m'}\omega \\
+&\begin{aligned}
+   = k \frac{\sin\omega}{2m'-1}
+     \left[\vphantom{\dfrac{(2)}{(1)}}\sec^{2m'-1}\omega \right.
+     &+ \frac{2m'-2}{2m'-3} \sec^{2m'-3}\omega + \dotsb \\
+     &+ \left.
+        \frac{2�4\dotsm (2m'-4)(2m'-2)}
+             {1�3\dotsm (2m'-5)(2m'-3)} \sec\omega\right] + C;
+\end{aligned}
+\end{align*}
+par cons�quent \emph{les lignes de courbure des �lasso�des d�riv�s de~$(C_{-2m})$ sont
+alg�briques}.
+
+
+\Section{118.}
+{R�capitulation de la nature des �lasso�des et de leurs lignes de courbure.}
+
+% [** PP: If the table gets separated from the text reference, make a footnote]
+On peut r�sumer les r�sultats �tablis ci-dessus, dans un
+\hyperref[table1]{tableau r�capitulatif}.\phantomsection\label{table1ref}%
+\ifthenelse{\not\equal{\pageref{table1}}{\pageref{table1ref}}}%
+{\footnote{\textit{Voir} page~\pageref{table1}. \quad ---\bsc{Trans}.}}{}
+Remarquons tout d'abord que les courbes~$(C)$ sont des \emph{podaires positives
+ou n�gatives d'un point fixe}\footnotemark, que par cons�quent \emph{une podaire positive et}
+\footnotetext{Si $n$ est entier seulement.}
+%% -----File: 159.png---Folio 153-------
+\emph{la podaire n�gative de m�me rang peuvent �tre consid�r�es comme les transform�es
+par rayons vecteurs r�ciproques l'une de l'autre.}
+
+\begin{table*}[htb]
+\begin{center}
+\phantomsection\label{table1}%
+\makebox[0pt][c]% Coax overall centering regardless of true width
+{\scriptsize
+\begin{tabular}{|*{6}{|@{\;}c@{\;}}||}
+\hline
+\settowidth{\TmpLen}{coefficient~$n$. }%
+\begin{minipage}{\TmpLen}
+\centering
+\Strut Valeurs \\ du \\ coefficient~$n$.
+\end{minipage} &
+\settowidth{\TmpLen}{des podaires}%
+\begin{minipage}{\TmpLen}
+\centering
+\Strut Indices \\ des podaires \\ de points.
+\end{minipage} &
+\settowidth{\TmpLen}{D�signation}%
+\begin{minipage}{\TmpLen}
+\centering
+\Strut D�signation \\ de la \\ courbe~$(C)$.
+\end{minipage} &
+\settowidth{\TmpLen}{Fonctions circulaires}%
+\begin{minipage}{\TmpLen}
+\centering
+\Strut Nature \\ des \\ �lasso�des d�riv�s.
+\end{minipage} &
+\multicolumn{2}{c||}{%
+\settowidth{\TmpLen}{Lignes de courbure ou asymptotiques.}%
+\begin{minipage}{\TmpLen}%
+\centering
+\Strut Lignes de courbure ou asymptotiques.\\
+\rule{0.25in}{0.5pt} \\
+\textsc{nature} \\
+%\settowidth{\TmpLen}{Fonctions logarithmiques Fonctions logarithmiques}%
+%$\overbrace{\rule{\TmpLen}{0pt}}^{}$ % [** PP; Omitting brace]
+\smallskip
+\end{minipage}}% End of multicolumn
+\\
+& & & & des projections.\Strub & des courbes m�mes. \\
+\hline
+\Strut\dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \\
+\NS{-8} & \NS{-9} & \Ditto & Alg�brique & Fonctions logarithmiques & Fonctions logarithmiques \\
+\NS{-7} & \NS{-8} & \Ditto & \Ditto     & \Ditto      & \Ditto \\
+\NS{-6} & \NS{-7} & \Ditto & \emph{Alg�brique} & \emph{Alg�briques} & \emph{Alg�briques} \\
+\NS{-5} & \NS{-6} & \Ditto & \Ditto     & \Ditto      & \Ditto \\
+\NS{-4} & \NS{-5} & \Ditto & Alg�brique & Fonctions logarithmiques & Fonctions logarithmiques \\
+\NS{-3} & \NS{-4} & \Ditto & \Ditto     & \Ditto      & \Ditto \\
+\NS{-2} & \NS{-3} &
+\settowidth{\TmpLen}{G�od�sique de}%
+  \begin{minipage}{\TmpLen}
+    \centering
+    \scriptsize G�od�sique de \\
+    \scriptsize l'enn�p�rien
+  \end{minipage} & \emph{Alg�brique} & \emph{Alg�briques} & \emph{Alg�briques} \\
+\NS{-1} & \NS{-2} & Parabole & Logarithmique & Fonctions elliptiques & De deuxi�me esp�ce \\
+\NS{0} & \NS{-1} & Droite & Plan & \Ditto & \Ditto \\
+\NS{+1} & \NS{0} & Point & Point & Fonctions elliptiques & De premi�re esp�ce \\
+\NS{+2} & \NS{+1} & Cercle & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires \\
+\NS{+3} & \NS{+2} & Cardio�de & Alg�brique & Fonctions elliptiques & De deuxi�me esp�ce \\
+\NS{+4} & \NS{+3} & \Ditto & Fonctions circulaires & \emph{Alg�briques} & Fonctions circulaires \\
+\NS{+5} & \NS{+4} & \Ditto & Alg�brique & \Ditto & \Ditto \\
+\NS{+6} & \NS{+5} & \Ditto & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires \\
+\NS{+7} & \NS{+6} & \Ditto & Alg�brique & \Ditto & \Ditto \\
+\NS{+8} & \NS{+7} & \Ditto & Fonctions circulaires & \emph{Alg�briques} & Fonctions circulaires \\
+\NS{+9} & \NS{+8} & \Ditto & Alg�brique & \Ditto & \Ditto \\
+\Strub\dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \\
+\hline
+\end{tabular}} % End of \scriptsize
+\end{center}
+\end{table*}
+
+
+\Section{119.}
+{Autres �lasso�des alg�briques � lignes de courbure int�grables.}
+
+Il serait bien facile de former les �quations d'�lasso�des dont les lignes de
+courbure ou les asymptotiques peuvent s'int�grer; d�montrons-en simplement
+la possibilit�.
+
+Tout �lasso�de admettant pour g�od�sique la d�velopp�e d'une courbe~$(C_n)$
+podaire, positive ou n�gative d'un point fixe, sera alg�brique. Mais puisque
+\[
+R_n = a \frac{n-1}{n} \cos^{n-2} \frac{\theta}{n},
+\]
+%% -----File: 160.png---Folio 154-------
+on obtient par d�rivation pour le rayon de courbure de la d�velopp�e
+\[
+\frac{d}{d\theta} R_n
+  = -\frac{a(n-1)(n-2)}{n^2} \cos^{n-3} \frac{\theta}{n} \sin \frac{\theta}{n}.
+\]
+Cons�quemment l'int�grale caract�ristique des lignes de courbure du nouvel
+�lasso�de sera de la forme
+\[
+\int d\omega\Reg{�}{\,}
+  \cos^{\frac{n-3}{2}}\omega � \sin^{\frac{1}{2}}\omega,
+\]
+qui se ram�ne imm�diatement aux int�grales bin�mes. En particulier si $n$ est
+�gal �
+\[
+4\alpha + 2\quad\text{ou}\quad 4\alpha + 1, % [** PP: Typo .]
+\]
+l'int�gration s'effectue compl�tement, $\alpha$ �tant un nombre entier arbitraire.
+% [** PP: In the original, previous line is a complete paragraph.]
+
+A propos de l'�tude des �lasso�des applicables sur des surfaces de r�volution,
+nous aurons l'occasion de montrer de nouveaux exemples d'�lasso�des
+dont les lignes de courbure sont alg�briques.
+
+
+\Section{120.}
+{Relations entre deux g�od�siques planes r�ciproques, d'un m�me �lasso�de.}
+
+Nous terminerons ce chapitre en �tablissant une propri�t� fort curieuse
+des �lasso�des admettant un plan de sym�trie. Un �lasso�de de cette nature
+est coup� par le plan suivant une g�od�sique; si celle-ci admet un axe de
+sym�trie, le plan men� par cet axe perpendiculairement au premier est
+encore plan de sym�trie; il coupe donc l'�lasso�de suivant une nouvelle
+g�od�sique et ce sont les relations de ces deux g�od�siques r�ciproques que
+nous allons mettre en �vidence.
+
+Soient pris pour plan des $XY$ et des $ZX$ les deux plans de sym�trie, le
+plan des $YZ$ �tant pris perpendiculairement aux pr�c�dents, et l'origine �tant
+arbitraire.
+
+%% -----File: 161.png---Folio 155-------
+
+Consid�rons une d�veloppable isotrope dont les tangentes sur le plan des
+$XY$ ont pour �quation
+\[
+X \cos\varphi + Y \sin\varphi - F = 0.
+\]
+Soit d'un autre c�t� pour l'�quation des traces des plans tangents de cette
+d�veloppable sur le plan des~$ZX$
+\[
+X \cos\alpha + Z \sin\alpha - p = 0.
+\]
+L'�quation du plan tangent isotrope �tant
+\[
+X \cos\varphi + Y \sin\varphi + iZ - F = 0,
+\]
+sa section par le plan des $ZX$ aura pour �quation
+\[
+X \cos\varphi + iZ - F = 0,
+\]
+on l'identifiera � la trace d�j� consid�r�e en posant
+\begin{gather*}
+p = \frac{F}{i \sin\varphi} = -\frac{iF}{\sin\varphi}, \\ % [** PP: Moved - out of numerator]
+\tg \alpha = \frac{i}{\cos\varphi}\quad \text{d'o�}\quad
+\cos\alpha = �i \cot\varphi,
+\end{gather*}
+on en d�duit
+\[
+\frac{d\varphi}{d\alpha} = i \sin\varphi.
+\]
+
+D�signons par $(M)$ et~$(N)$ les traces de la d�veloppable isotrope sur les
+plans des $XY$ et des~$XZ$, par $M$ et~$N$ les points de contact des tangentes correspondantes; % [** PP: Typo corresdantes]
+par~$(m)$ et~$(n)$ les d�velopp�es respectives de~$(M)$ et~$(N)$; par~$m$ et~$n$
+les points correspondants de ces courbes; enfin par~$R_M$ et~$R_N$ ou~$R_m$ et~$R_n$ les
+rayons de courbure des courbes $(M)$ et~$(N)$ ou~$(m)$ et~$(n)$. Comme
+\begin{gather*}
+\frac{dp}{d\alpha} = F' - F \cot\varphi, \\
+\frac{d^2p}{d\alpha^2} = i(F'' \sin\varphi - F' \cos\varphi) + \frac{F}{\sin\varphi}, \\
+\intertext{on voit que}
+R_N = p + \frac{d^2p}{d\alpha^2} = i(F'' \sin\varphi - F' \cos\varphi).
+\end{gather*}
+
+%% -----File: 162.png---Folio 156-------
+
+Pour le rayon de courbure de la d�velopp�e on obtient de m�me
+\[
+R'_n
+  = \frac{d}{d\alpha} R_N
+  = -(F''' + F') \sin^2\varphi.
+\]
+
+Enfin, d�signons par $m$ et~$n$ les longueurs des normales men�es en~$m$ et~$n$
+aux courbes~$(m)$ et~$(n)$ et prolong�es l'une jusqu'� la rencontre de l'axe~$OY$,
+l'autre jusqu'� la rencontre de l'axe~$OZ$. Nous trouvons
+\[
+n = (F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi) \sin\varphi.
+\]
+
+Parall�lement on a
+\begin{gather*}
+R'_m = F''' + F', \\
+m = \frac{F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi}{\sin\varphi}.
+\end{gather*}
+
+Le tableau suivant, dans lequel nous avons introduit les coordonn�es des
+points $m$ et~$n$, r�sume l'analyse pr�c�dente.
+\[
+\begin{array}{c|c}
+\text{\textsc{\footnotesize dans le plan des} $X$, $Y$.} &
+\text{\textsc{\footnotesize dans le plan des} $X$, $Z$.} \\
+\hline % [** PP: Using \hline in lieu of braces]
+\begin{aligned}
+  -x_m &= F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi, \vphantom{\bigg|} \\
+  +y_m &= F'' \sin\varphi - F' \sin\varphi, \\
+     m &= \frac{F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi}{\sin\varphi}, \\
+  R'_m &= F''' + F'.
+\end{aligned} &
+\begin{aligned}
+  -x_n &= F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi, \vphantom{\bigg|} \\
+   z_n &= i(F'' + F), \\
+     n &= (F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi) \sin\varphi,\vphantom{\bigg|} \\
+  R'_n &= -(F''' + F') \sin^2\varphi.
+\end{aligned}
+\end{array}
+\]
+
+Prenons pour $(m)$ une courbe r�elle et cherchons l'�lasso�de qui l'admet
+pour g�od�sique. Cet �lasso�de est \emph{double}; les deux ar�tes de rebroussement
+des focales isotropes g�n�ratrices co�ncident avec une seule ligne de longueur
+nulle dont la projection sur le plan des~$XY$ sera~$(m)$, comme elle sera~$(n)$
+sur le plan des~$XZ$. Cons�quemment le tableau pr�c�dent donne les relations
+existant entre deux g�od�siques particuli�res de l'�lasso�de. Si $S_{(m)}$ et~$S_{(n)}$ d�signent
+les longueurs des arcs de ces deux courbes (toutes deux r�elles si~$OX$
+%% -----File: 163.png---Folio 157-------
+est axe de sym�trie) on a
+\begin{gather*}
+z_n = iS_{(m)},\qquad y_m = iS_{(n)}, \\
+x_n = x_m, \\
+\frac{R'_m}{m} = -\frac{R'_n}{n}.
+\end{gather*}
+
+Les deux premi�res relations sont de simples v�rifications de ce fait que
+les courbes $(m)$ et~$(n)$ sont les deux projections d'une courbe de longueur
+nulle.
+
+
+\Section{121.}
+{G�od�siques planes pour lesquelles $R = � kn$; elles sont toujours associ�es
+sur un m�me �lasso�de.}
+
+La troisi�me relation pr�sente un int�r�t tout particulier. Il est clair qu'aux
+points r�els de la courbe~$(m)$ correspondent des points imaginaires de~$(n)$ et
+inversement; la relation qui nous occupe n'aurait donc qu'un int�r�t secondaire
+si elle ne caract�risait pour certaines courbes une double propri�t�
+invariante.
+
+Consid�rons en effet une courbe~$(m)$ telle que le rapport du rayon de courbure
+� la normale (compt�e jusqu'� l'axe~$OY$) soit constant et �gal �~$k$. La
+relation pr�cit�e exprime que la courbe~$(n)$ jouit d'une propri�t� analogue,
+le rapport du rayon de courbure et de la normale �tant cette fois �gal �~$-k$.
+
+L'�tude des �lasso�des qui donnent lieu � ces propri�t�s fera l'objet du
+chapitre qui suit.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 164.png---Folio 158-------
+
+
+\Chapter{XIV.}
+{�TUDE D'UNE FAMILLE D'�LASSO�DES PARTICULIERS.---LIGNES ALG�BRIQUES.
+LIGNES DE COURBURE.}
+
+\Section{122.}
+{Il y a deux �lasso�des satisfaisants d�j� connus, l'alyss�ide et la surface
+de M.~Catalan.}
+
+Il convient tout d'abord d'observer que l'on conna�t d�j� deux �lasso�des
+de la famille.
+
+L'�lasso�de de r�volution a pour m�ridienne une cha�nette qui est une
+ligne g�od�sique plane; il admet une autre g�od�sique plane qui est le
+cercle de gorge. Pour cette courbe le rayon de courbure est �gal � la normale,
+et, conform�ment au th�or�me g�n�ral, le rayon de courbure de la cha�nette
+est bien �gal et de signe contraire � la normale compt�e jusqu'� la base.
+L'�lasso�de de r�volution est transcendant, mais il admet une famille de lignes
+alg�briques qui sont les sections par des plans perpendiculaires � l'axe de
+r�volution.
+
+En second lieu, M.~Catalan a fait conna�tre un tr�s-bel �lasso�de engendr�
+par des paraboles et une cyclo�de, admettant deux g�od�siques planes, l'une
+parabolique, l'autre cyclo�dale, comportant aussi une famille de courbes alg�briques,
+les paraboles du second degr�. Or la parabole, comme la cyclo�de,
+jouit de cette propri�t� que son rayon de courbure est double de la normale.
+%% -----File: 165.png---Folio 159-------
+Dans le premier cas, le rapport est n�gatif (la normale est compt�e jusqu'� la
+directrice), dans le second cas, le rapport est positif (la normale est compt�e
+jusqu'� la base).
+
+C'est en faisant \emph{� priori} ce rapprochement et en cherchant pourquoi s'associent
+sur un m�me �lasso�de des courbes alg�briques et transcendantes
+disparates, comme la parabole et la cyclo�de, que nous avons �t� amen� �
+soup�onner le th�or�me g�n�ral.
+
+
+\Section{123.}
+{Les roulettes g�n�ratrices des courbes pour lesquelles $R = n\rho$ ont
+pour �quation $p = a \cos^n \dfrac{\theta}{n}$.}
+
+Cherchons les courbes planes $(O)$ pour lesquelles le rayon de courbure~$R_0$
+est �gal au produit de la normale compt�e jusqu'� la rencontre d'une
+droite~$DD'$, par un coefficient $n$ arbitraire, mais constant. Bien que le probl�me
+soit r�solu dans tous les trait�s, il convient pour notre objet d'en donner
+une solution fort simple et qui a l'avantage d'introduire � nouveau des
+courbes int�ressantes, rencontr�es pr�c�demment.
+
+Consid�rons la roulette $(C)$ qui, roulant sur~$DD'$, ferait d�crire � un point~$O$
+de son plan la courbe satisfaisante~$(O)$: $\mu$~d�signant � chaque instant l'angle
+de~$OC$ avec~$DD'$, $r$~d�signant le rayon de courbure en~$C$ de~$(C)$, on
+obtient sans difficult� la relation\footnote{$\rho$ d�signe la distance~$OC$.}
+\[
+R_0 = \frac{\rho^2}{\rho - r \sin\mu}.
+\]
+
+Dans le cas actuel, de ce que
+\[
+R_0 = n\rho,
+\]
+on d�duit
+\[
+\frac{\rho}{\sin\mu} � \frac{n-1}{n} = r.
+\]
+
+%% -----File: 166.png---Folio 160-------
+
+Consid�rons maintenant la roulette~$(C)$ dans son plan, $XX'$~�tant un axe
+fixe passant par le p�le~$O$, $\omega$ d�signant l'angle polaire~$COX'$, $\theta$~l'angle de la
+normale �~$(C)$ avec l'axe fixe. On sait que, si~$d(C)$ repr�sente l'�l�ment
+d'arc
+\begin{align*}
+\frac{d(C)}{d\omega} &= \frac{\rho}{\sin\mu}, \\
+\frac{d(C)}{d\theta} &= r.
+\end{align*}
+Cons�quemment l'�quation du probl�me devient
+\[
+d\theta\, \frac{n-1}{n} = d\omega.
+\]
+Donc, en choisissant pour~$XX'$ une direction convenable
+\[
+\theta \frac{n-1}{n} = \omega;
+\]
+mais d'un autre c�t�, on a g�n�ralement
+\[
+\theta = \frac{\pi}{2} - \mu + \omega,
+\]
+ce qui, dans l'esp�ce, donne
+\[
+\frac{\pi}{2} - \mu = \frac{\theta}{n}.
+\]
+
+Il est maintenant facile d'int�grer l'�quation des courbes~$(C)$. Si $p$ d�signe
+la distance~$OP$ de l'origine � la tangente, comme l'angle de la tangente � la
+podaire~$(P)$ avec~$OP$ est �gal �~$\mu$, on sait que
+\[
+\cot\mu = -\frac{dp}{p\, d\theta}. % [** PP: cotg in original]
+\]
+Il en r�sulte pour l'�quation diff�rentielle des courbes~$(C)$
+\[
+\frac{dp}{p} + n\, \frac{d\theta}{n} \tg \frac{\theta}{n} = 0.
+\]
+%% -----File: 167.png---Folio 161-------
+En d�finitive
+\[
+p = a \cos^n \frac{\theta}{n}.
+\]
+Ainsi les roulettes~$(C)$ sont pr�cis�ment les courbes �tudi�es au chapitre pr�c�dent.
+
+Si nous revenons aux courbes~$(O)$, nous voyons que
+\settowidth{\TmpLen}{\text{l'ordonn�e}}%
+\begin{align*}
+\makebox[\TmpLen][l]{\text{l'ordonn�e}}\quad y &= p, \\
+\makebox[\TmpLen][l]{\text{l'abscisse}}\quad x &= \int p\, d\theta;
+\end{align*}
+car cette derni�re int�grale est, comme il a �t� dit d�j�, l'expression de la
+distance de l'origine~$(O)$ � la tangente d'une d�veloppante $(D)$ de~$(C)$, et, la
+courbe~$(D)$ entra�n�e dans le roulement de~$(C)$ sur~$DD'$ passe constamment
+par un point fixe qu'on peut prendre pour origine des abscisses.
+
+Cons�quemment la courbe~$(O)$ sera alg�brique \emph{en m�me temps que l'�lasso�de
+admettant la roulette correspondante~$(C)$ pour g�od�sique}.
+
+
+\Section{124.}
+{Les deux roulettes g�n�ratrices des courbes pour lesquelles $R = � n\rho$
+sont transform�es l'une de l'autre par rayons vecteurs r�ciproques.}
+
+D'apr�s le th�or�me g�n�ral qui a motiv� cette �tude, l'�lasso�de, admettant~$(O)$
+pour g�od�sique, en admet une autre~$(O')$ telle qu'en chacun de ses
+points
+\[
+R_{O'} = -n\rho.
+\]
+D�s lors, la roulette~$(C')$ correspondante a pour �quation tangentielle
+\[
+p' = a \cos^{-n} \frac{\theta}{n},
+\]
+et l'on a
+\[
+pp' = a^2.
+\]
+%% -----File: 168.png---Folio 162-------
+\emph{Les podaires des roulettes $(C)$, $(C')$ correspondantes, sont transform�es, par
+rayons vecteurs r�ciproques, l'une de l'autre.}
+
+Le rayon de courbure $R_O$ a pour valeur
+\[
+R_O = n\rho = n\, \frac{p}{\sin\mu}
+  = na \cos^{n-1} \frac{\theta}{n};
+\]
+par cons�quent l'int�grale caract�ristique de l'�lasso�de qui admet pour
+g�od�sique $(O)$ (l'angle de contingence de~$(O)$ �tant pr�cis�ment~$d\mu$) a pour
+valeur
+\[
+\int d\theta\, \cos^{\frac{n-1}{2}} \frac{\theta}{n},
+\]
+et l'�quation des lignes de courbure ou des asymptotiques de l'�lasso�de sera
+alg�brique toutes les fois que l'int�grale pr�c�dente le sera. Les projections
+de ces lignes, ou seulement leurs images sph�riques, seront alors alg�briques.
+
+Occupons-nous en premier lieu des courbes~$(O)$ seules. D'apr�s ce
+qui vient d'�tre dit, on voit qu'il convient de distinguer quatre classes de
+courbes~$(O)$.
+
+
+\Section{125.}
+{Courbes du genre cyclo�de.}
+
+\emph{Premi�re classe caract�ris�e par des valeurs paires et positives de~$n$.} Les
+points de la courbe correspondant � une valeur du param�tre sont d�finis
+par les �quations simultan�es
+\begin{gather*}
+y = a \cos^n \omega, \\
+\begin{aligned}% [** PP: Re-breaking]
+\frac{x}{a} &= \sin\omega
+  \left[\cos^{n-1} \omega
+      + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
+        \frac{3�5\dotsm (n-3)(n-1)}{2�4\dotsm (n-4)(n-2)} \cos\omega\right] \\
+     &\qquad+ \frac{1�3\dotsm (n-3)(n-1)}{2�4\dotsm (n-2)n} \omega;
+\end{aligned}
+\end{gather*}
+ces courbes sont p�riodiques, elles pr�sentent une suite d'ondes cyclo�dales;
+\emph{la cyclo�de en est le type}.
+
+%% -----File: 169.png---Folio 163-------
+
+\Section{126.}
+{Paraboles du degr�~$n$.}
+
+\emph{Deuxi�me classe caract�ris�e par des valeurs paires et n�gatives de~$n$.} Les
+points d'une courbe correspondant � une valeur du param�tre (consid�r� ci-apr�s
+en valeur absolue) sont donn�s par les �quations simultan�es
+\begin{gather*}
+y = a \cos^{-n} \omega, \\
+\frac{x}{a} = \frac{n}{n-1} \tg\omega
+  \left[\frac{1}{\cos^{n-2} \omega}
+      + \frac{n-2}{n-3}\, \frac{1}{\cos^{n-4} \omega}
+      + \dotsb \frac{2�4\dotsm (n-4)(n-2)}{1�3\dotsm (n-5)(n-3)}\right].
+\end{gather*}
+Si l'on donne �~$y$ % [** PP: Typo a~$y$]
+une certaine valeur il n'y a que $n$~valeurs de~$x$ correspondantes,
+car les valeurs de~$\cos\omega$ affect�es des signes~$�$ donnent le m�me
+r�sultat dans la parenth�se et comme $\tg\omega$ comporte le double signe, on voit
+que \emph{les courbes consid�r�es sont alg�briques et du~\emph{\Ord{$n$}{i�me}} degr�}. Il faut v�rifier
+qu'il n'y a pas de points � l'infini sur les directions parall�les � l'axe des~$x$
+pour que le raisonnement qui pr�c�de soit l�gitime; or pour que $x$ devienne
+infini il faut que
+\[
+\lim \frac{y}{x} = \frac{2(n-1)}{n} \lim \frac{1}{\sin 2\omega} = \infty;
+\]
+d'ailleurs comme $y$ est infini en m�me temps que~$x$, on voit que \emph{les courbes
+sont des paraboles de degr�~$n$} dont la direction asymptotique est perpendiculaire
+� la directrice ou base. Le type est la parabole du second degr�. On
+aura des courbes de la m�me famille du quatri�me, du sixi�me, du huiti�me
+degr�, en un mot de tous les degr�s pairs.
+
+L'�quation de la parabole du quatri�me ordre est
+\[
+\biggl[\frac{9}{16} � \frac{x^2}{a^2} - \frac{y}{a} + 4\biggr]^2
+  = \frac{y}{a} \biggl[2 + \frac{y}{a}\biggr]^2.
+\]
+
+%% -----File: 170.png---Folio 164-------
+
+\Section{127.}
+{Cercles de degr�~$2n$.}
+
+\emph{Troisi�me classe caract�ris�e par des valeurs impaires et positives de~$n$.}
+Les points d'une courbe de la famille sont d�termin�s par les �quations
+\begin{gather*}
+y = a \cos^n \omega, \\
+\frac{x}{a} = \sin \omega
+  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
+      + \frac{2�4\dotsm (n-3)(n-1)}{1�3\dotsm (n-4)(n-2)}\right].
+\end{gather*}
+Remarquons tout d'abord que ces courbes alg�briques sont ferm�es, car elles
+n'ont d'autres points � l'infini que les ombilics puisque
+\[
+\lim \frac{y}{x} = � i,
+\]
+lorsque $\sin \omega$ ou $\cos \omega$ tendent vers l'infini, ce qui est n�cessaire pour que
+les coordonn�es croissent ind�finiment.
+
+\emph{L'axe des~$y$ est un axe de sym�trie; aussi la courbe est-elle du degr�~$2n$};
+les degr�s de ces courbes seront donc~$2$ (cercle), $6$, $10$, $14 \dotsc$, etc. Le cercle
+en est le type.
+
+Le cercle du sixi�me degr� a pour �quation
+\[
+(x^2 + y^2 - 4a^2)^3 + 27a^2y^4 = 0.
+\]
+
+
+\Section{128.}
+{Courbes transcendantes du genre cha�nette.}
+
+\emph{Quatri�me classe caract�ris�e par des valeurs impaires et n�gatives du
+param�tre~$n$.} On a (en prenant la valeur absolue de~$n$)
+\begin{gather*}
+\frac{x}{a} = \frac{n}{n-1} \sin \omega
+  \left[\frac{1}{\cos^{n-1}\omega}
+      + \frac{n-2}{(n-3)}\, \frac{1}{\cos^{n-2}\omega}
+      + \dotsb \frac{3�5\dotsm (n-2)}{2�4\dotsm (n-3)}\,
+               \frac{1}{\cos^2\omega}\right] \\
+  + \frac{1�3\dotsm (n-2)}{2�4\dotsm (n-3)} % [** PP: Typo (n-2)/(n-2)]
+    \log \tg \left(\frac{\omega}{2} + \frac{\pi}{4}\right);
+\end{gather*}
+%% -----File: 171.png---Folio 165-------
+ces courbes, dont la cha�nette est le type, sont toutes transcendantes.
+
+On voit par cette �num�ration qu'aucun des �lasso�des admettant des
+courbes $(O)$ pour g�od�siques ne peut �tre alg�brique, car tant que~$n$ est
+entier, � toute courbe~$(O)$ alg�brique correspond une courbe~$(O')$ transcendante
+et inversement. Lorsque $n$ est fractionnaire, aucune des g�od�siques
+$(O)$ et~$(O')$ n'est alg�brique.
+
+
+\Section{129.}
+{Longueurs des courbes satisfaisantes.}
+
+D�signons par $F'$ la distance de l'origine aux tangentes d'une courbe~$(O)$, $\omega$,
+l'angle auxiliaire employ� pr�c�demment, est l'angle que fait la normale
+avec la base prise pour axe polaire, on a, en conservant les notations relatives
+aux courbes g�n�ratrices~$(C)$,
+\[
+\frac{F'}{a} = + n \sin\omega \int p\, d\omega + \cos\omega � p;
+\]
+par cons�quent
+\[
+\frac{F''}{a}
+  = + n \cos\omega \int \cos^n \omega\Reg{�}{\,} d\omega
+    - \sin\omega�\cos^n \omega.
+\]
+Soit en int�grant par parties
+\[
+\frac{F}{a}
+  = -n \cos\omega \int \cos^n \omega\, d\omega
+  + (n + 1) \int \cos^{n+1} \omega�d\omega.
+\]
+Mais d'apr�s la formule de r�duction bien connue
+\[
+(n + 1) \int \cos^{n+1} \omega\, d\omega
+  = \sin\omega \cos^n\omega + n \int \cos^{n-1}\omega\, d\omega,
+\]
+il vient aussi
+\[
+\frac{F}{a} = n \int \cos^{n-1} \omega\, d\omega
+  + \sin\omega \cos^n \omega
+  - n \cos\omega \int \cos^n \omega\, d\omega.
+\]
+%% -----File: 172.png---Folio 166-------
+On en d�duit pour l'arc de la courbe~$(O)$
+\[
+S_{(O)} = F + F'' = na \int \cos^{n-1} \omega\Reg{�}{\,} d\omega,
+\]
+ce qui peut �tre consid�r� comme une v�rification.
+
+
+\Section{130.}
+{Lignes alg�briques des �lasso�des % [** PP: Typo �lassoides]
+$(E_n)$ et de leurs conjugu�s~$(E'_n)$. Leurs
+images sph�riques forment un r�seau orthogonal de grands et de petits
+cercles.}
+
+Cherchons maintenant � d�terminer sur les �lasso�des, admettant une
+courbe $(O)$ pour g�od�sique, les lignes alg�briques. Les calculs s'appliqueront
+imm�diatement aux �lasso�des conjugu�s en utilisant les formules des
+�\Secref{101} et~\hyperref[paragraph:109.]{�~109}.
+
+Nous d�signerons par $[E_n]$ et~$[E'_n]$ les �lasso�des d�riv�s l'un d'une courbe $(O)$,
+dont le param�tre est~$n$, l'autre conjugu� du pr�c�dent.
+
+D'apr�s le th�or�me sur l'association des g�od�siques~$(O)$, caract�ris�es
+par les param�tres~$�n$, il suffira de consid�rer deux cas:
+
+\primo~\emph{$n$~positif et pair} [$(O)$ est du genre cyclo�dal]. Rempla�ant $\omega$ par $\varphi$ et~$\psi$,
+comme dans la th�orie g�n�rale, on trouve d'apr�s (66), (67), pour les
+coordonn�es de l'�lasso�de~$[E_n]$
+\[
+\left\{
+\begin{aligned}
+& \begin{aligned}
+  \frac{2x}{a} &= {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega
+  \mSmall{%
+  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
+        \frac{3�5\dotsm (n-3)(n-1)}{2�4\dotsm (n-4)(n-2)} \cos\omega\right]
+  } \\
+  &\qquad
+      + \mSmall{\frac{1�3\dotsm (n-3)(n-1)}{2�4\dotsm (n-2)n} \omega},
+  \end{aligned} \\
+%
+&\frac{2y}{a} = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \cos^n \omega, \\
+%
+& \begin{aligned}
+  &\frac{2n-1}{n} � \frac{z}{a} � i \\
+  &\qquad = \Delta^\varphi_\psi \sin\omega
+% [** PP: Typo 2-n in next line? Also, n-4 indistinct, but fits pattern.]
+  \mSmall{\left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega
+  + \dotsb \frac{2�4\dotsm (n-4)(n-2)}{1�3\dotsm (n-5)(n-3)}\right]},
+  \end{aligned}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+groupe o� les symboles $\sum^\varphi_\psi$ et~$\Delta^\varphi_\psi$ repr�sentent les sommes et les diff�rences
+%% -----File: 173.png---Folio 167-------
+des deux expressions obtenues en rempla�ant successivement $\omega$ par $\varphi$ et~$\psi$,
+dans les expressions r�gies par ces symboles.
+
+En ce qui concerne %[** PP: Typo conserne]
+l'�lasso�de conjugu� du pr�c�dent, on trouve pour les
+coordonn�es de l'�lasso�de~$[E'_n]$
+\[
+\left\{
+\begin{aligned}
+& \begin{aligned}
+\frac{2x'i}{a} &= \Delta^\varphi_\psi \sin\omega
+  \mSmall{%
+% [** PP: in next line, 1�2 probably n-2]
+  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{1�2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
+        \frac{3�5\dotsm (n-3)(n-1)}{2�4\dotsm (n-4)(n-2)} \cos\omega \right]
+  } \\
+  &\qquad
+  + \mSmall{\frac{1�3\dotsm (n-3)(n-1)}{2�4\dotsm (n-2)n} \omega},
+  \end{aligned} \\
+%
+&\frac{2y'i}{a} = \Delta^\varphi_\psi \cos^n \omega, \\
+%
+& \begin{aligned}
+&\frac{2(n-1)}{n} � \frac{z}{a} \\
+& \qquad = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega
+  \mSmall{%
+  \left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + \dotsb
+        \frac{2�4\dotsm (n-4)(n-2)}{1�3\dotsm (n-5)(n-3)}\right]}.
+  \end{aligned}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+\secundo~\emph{$n$~positif et impair} [$(O)$ est du genre circulaire], on a de m�me, pour
+les coordonn�es de l'�lasso�de~$[E_n]$
+\[
+\left\{
+\begin{aligned}
+&\frac{2x}{a} = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega
+  \mSmall{%
+  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
+        \frac{2�4\dotsm (n-3)(n-1)}{1�3\dotsm (n-4)(n-2)}\right]}, \\
+%
+&\frac{2y}{a} = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \cos^n \omega, \\
+%
+& \begin{aligned}
+  &\frac{2(n-1)}{n}\, \frac{z}{a} i \\
+  &\qquad = \Delta^\varphi_\psi \sin\omega
+  \mSmall{%
+  \left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + \dotsb
+        \frac{3�5\dotsm (n-4)(n-2)}{2�4\dotsm (n-5)(n-3)} \cos\omega \right]
+  } \\
+  &\qquad\qquad
+  + \mSmall{\frac{1�3\dotsm (n-4)(n-2)}{2�4\dotsm (n-3)(n-1)} \omega}.
+  \end{aligned}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+Pareillement, pour les coordonn�es de l'�lasso�de~$[E'_n]$
+\[
+\left\{
+\begin{aligned}
+&\frac{2x'}{a} i = \Delta^\varphi_\psi \sin\omega
+  \mSmall{%
+  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
+        \frac{2�4\dotsm (n-3)(n-1)}{1�3\dotsm (n-4)(n-2)} \right]}, \\
+%
+&\frac{2y'}{a} i = \Delta^\varphi_\psi \cos^n \omega, \\
+%
+&\begin{aligned}
+  &\frac{2(n-1)}{n} � \frac{z}{a} \\
+  &\qquad = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega
+  \mSmall{%
+  \left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + \dotsb
+        \frac{3�5\dotsm (n-4)(n-2)}{2�4\dotsm (n-5)(n-3)} \cos\omega\right]
+  } \\
+  &\qquad\qquad+
+  \mSmall{\frac{1�3\dotsm (n-4)(n-2)}{2�4\dotsm (n-3)(n-1)} \omega}.
+  \end{aligned}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+%**}%
+
+Il est bien entendu que dans ces formules $\varphi$ et~$\psi$ repr�sentent des angles
+imaginaires conjugu�s
+\[
+\varphi = \alpha + i\beta,\quad \psi = \alpha - i\beta.
+\]
+
+%% -----File: 174.png---Folio 168-------
+
+Les formules qui pr�c�dent montrent imm�diatement par quelles associations
+de valeurs de $\varphi$ et~$\psi$ on obtiendra des lignes alg�briques des
+�lasso�des.
+
+\primo~\emph{$n$ �tant positif et pair} [$(O)$~�tant du genre cyclo�dal] les lignes alg�briques
+sont d�termin�es sur~$[E_n]$ par
+\[
+\varphi + \psi = 2\alpha = \text{constante},
+\]
+sur $[E'_n]$ par
+\[
+\varphi - \psi = 2i\beta = \text{constante};
+\]
+inversement
+
+\secundo~\emph{$n$~�tant positif et impair} [$(O)$~�tant du genre circulaire] les lignes
+alg�briques sont d�termin�es sur~$[E_n]$ par
+\[
+\varphi - \psi = 2i\beta = \text{constante},
+\]
+sur $[E'_n]$ par
+\[
+\varphi + \psi = 2\alpha = \text{constante}.
+\]
+
+Les images sph�riques de ces courbes alg�briques sont, dans tous les cas,
+d�termin�es par les �quations
+\[
+ -\frac{X}{\sin\alpha} % [** PP: Moved - out of numerator]
+= \frac{Y}{\cos\alpha}
+= \frac{Zi}{\sin i\beta}
+= \frac{R}{\cos i\beta}.
+\]
+
+\begin{Emph}
+\emph{Cons�quemment}, elles sont tant�t de grands cercles admettant l'axe des~$Z$
+pour diam�tre, tant�t les petits cercles dont les plans sont perpendiculaires
+� l'axe des~$Z$.
+
+\emph{Ainsi}, lorsque $n$ est positif et pair: sur $[E_n]$ les lignes alg�briques
+sont les courbes de contact de cylindres dont les g�n�ratrices sont parall�les
+au plan de la courbe cyclo�dale~$(O)$.
+
+Il en est de m�me sur $[E'_n]$ lorsque $n$ est positif et impair.
+\end{Emph}
+
+Par exemple, si $n = 2$, $[E_2]$ est l'�lasso�de de M.~Catalan, o� s'associent la
+cyclo�de et la parabole; les lignes alg�briques sont des paraboles dont les plans
+%% -----File: 175.png---Folio 169-------
+sont perpendiculaires � celui de la cyclo�de et les d�veloppables circonscrites
+� l'�lasso�de %[** PP: Typo �lassoide]
+le long de ces courbes sont des cylindres.
+
+Si $n=1$, $[E'_1]$ est la surface de vis � filet quarr�.
+
+\begin{Emph}
+Lorsque $n$ est positif et impair, les d�veloppables alg�briques circonscrites
+� l'�lasso�de % [** PP: Typo �lassoide]
+$[E_n]$ ont leurs c�nes directeurs circulaires. Il en est de m�me en
+ce qui concerne $[E'_n]$, lorsque $n$~est positif et pair.
+\end{Emph}
+
+Par exemple, si $n = 1$, l'�lasso�de %[** PP: Typo �lassoide]
+$[E_1]$ est de r�volution et les d�veloppables
+alg�briques sont les c�nes ayant leurs sommets sur l'axe de
+r�volution.
+
+
+\Section{131.}
+{$[E'_2]$\footnotemark a pour lignes alg�briques des biquadratiques.}
+\footnotetext{Il s'agit de l'�lasso�de conjugu� de celui qui comporte un assemblage de paraboles et de
+cyclo�des.}%
+
+Si $n = 2$ l'�lasso�de $[E'_2]$ a ses lignes alg�briques d�finies par les �quations
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+&\frac{2xi}{a} - \beta i = \cos 2\alpha � \sin 2i\beta, \\
+&\frac{2yi}{a}           = -\sin 2\alpha � \sin 2i\beta, \\
+&\frac{z}{a}             = 2\sin \alpha � \cos i\beta,
+\end{aligned}\ \right\}
+\quad\text{o� $\beta$ est constante.}
+\]
+Soit, en �liminant $\alpha$
+\[
+\frac{2xi}{a} - \beta i
+  = \sin 2i\beta \left[1 - \frac{z^2}{2a^2 \cos^2 i\beta}\right]
+\]
+avec
+\[
+\left[\frac{2x}{a} - \beta\right]^2 + \frac{4y^2}{a^2} + \sin^2 2i\beta = 0,
+\]
+%% -----File: 176.png---Folio 170-------
+on a donc des biquadratiques qui se projettent suivant des cercles ou des
+paraboles sur les plans des $XY$ ou des~$XZ$.
+
+Nous verrons dans une autre occasion comment on peut �tablir avec
+g�n�ralit� de nouvelles propri�t�s de ces courbes alg�briques, mais il
+faut se limiter.
+
+
+\Section{132.}
+{Sur les lignes de courbure des �lasso�des~$[E_n]$.}
+
+Examinons rapidement dans quels cas les lignes de courbure ou les
+asymptotiques donnent lieu � des propri�t�s se rapportant � l'alg�bricit�.
+
+Nous avons montr� que l'�quation caract�ristique de ces lignes sur~$[E_n]$
+est
+\[
+\int d\varphi\, \cos^{\frac{n+1}{2}}\varphi
+ � \int d\psi\, \cos^{\frac{n-1}{2}}\psi = 0,
+\]
+obtenue en partant de la g�od�sique~$(O_{+n})$; on aurait, au contraire,
+\[
+\int d\varphi'\, \cos^{\frac{-n+1}{2}}\varphi' % [**** PP: Typo -n-1?]
+ � \int d\psi'\, \cos^{\frac{-n-1}{2}}\psi' = 0,
+\]
+si l'on partait de la g�od�sique~$(O_{-n})$.
+
+On peut facilement v�rifier l'identit� des deux formules en partant
+des relations du \Secref{119} qui lient les �l�ments des deux courbes transform�es.
+
+Tenant compte de la nouvelle direction des axes, on aura, par exemple,
+\begin{align*}
+\cos\varphi &= \frac{1}{\cos\varphi'}\;, \\
+\frac{d\varphi}{d\varphi'} &= i \cos\varphi.
+\end{align*}
+%% -----File: 177.png---Folio 171-------
+Cons�quemment, en substituant, on trouve
+\[ % [** Removed dot]
+d\varphi\, \cos^{\frac{n-1}{2}} \varphi = i\, d\varphi'\, \cos^{\frac{-n-1}{2}} \varphi',
+\]
+et l'identit� est v�rifi�e.
+
+Pour $n = 1$ l'�lasso�de $[E_1]$ est l'alyss�ide, qui est de r�volution; on a en
+effet pour l'int�grale des lignes de courbure prises par rapport au cercle de
+gorge,
+\[
+\varphi � \psi = 0,
+\]
+�quation qui caract�rise le r�seau sph�rique des grands cercles ayant un
+diam�tre commun et coup�s par de petits cercles � plans parall�les.
+
+Pour $n=2$, l'�lasso�de $[E_2]$ est celui de M.~Catalan; les lignes de courbure
+d�pendent des fonctions elliptiques de seconde esp�ce.
+
+
+\Section{133.}
+{Le r�seau sph�rique, image des lignes de courbure de~$[E_n]$, est form� de
+biquadratiques; une projection des lignes de courbure est alg�brique.}
+
+Pour $n = 3$ l'int�grale des lignes de courbure est
+\[
+\sin\varphi � \sin\psi = \text{constante},
+\]
+soit en passant aux angles r�els
+\begin{align*}
+\sin\alpha \cos i\beta &= m, \\
+\cos\alpha \sin i\beta &= ni,
+\end{align*}
+o� $m$ et~$n$ sont les param�tres des lignes de courbure. Les images sph�riques
+sont les deux familles de biquadratiques
+\[
+X^2 + Y^2 + Z^2 - R^2 = 0\quad
+\left\{
+\begin{aligned}
+m(X^2 + Y^2) + RX &= 0, \\
+n(X^2 + Y^2) - ZY &= 0.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+%% -----File: 178.png---Folio 172-------
+on sait d'avance que le r�seau form� par ces deux familles de courbes est
+orthogonal et isom�trique, et que toutes les trajectoires des courbes d'une
+m�me famille sont alg�briques.
+
+Les lignes de courbure de $[E_3]$ se projettent sur le plan du cercle~$[O_3]$, du
+degr�~$6$ (voir \Secref{126}), suivant des courbes alg�briques. Il est remarquable que
+les asymptotiques de l'�lasso�de $[E'_3]$ transform�es des lignes de courbure
+de $[E_3]$ ont aussi leurs projections % [** PP: Typo projectons]
+alg�briques sur le plan de~$(O_3)$. Pour $n=1$
+on a un r�sultat semblable avec cette particularit�, qui ne se retrouve plus
+ici, que les deux projections co�ncident avec des droites et des cercles
+orthogonaux.
+
+Il est facile de voir que si l'on a
+\[
+n = 4\alpha + 3,
+\]
+$\alpha$ �tant un nombre entier quelconque, les images sph�riques et les projections
+des lignes de courbure des �lasso�des $(E_n)$ et~$[E'_n]$ seront alg�briques. Il
+faudra, bien entendu, ne consid�rer que les projections des lignes de courbure
+effectu�es sur les plans des cercles $(O)$ de degr�~$2n$.
+
+
+\Section{134.}
+{Au sujet des courbes $(O)$ quand $n$ est fractionnaire.}
+
+Dans tout ce qui pr�c�de, il n'a �t� question que des s�ries d�riv�es de
+$n = 1$, s�ries qui comprennent tous les �lasso�des caract�ris�s par des
+valeurs enti�res de~$n$. On pourrait �galement consid�rer le cas beaucoup plus
+�tendu o� $n$ est fractionnaire. Les �lasso�des $[E_n]$ correspondants poss�dent
+toujours deux g�od�siques~$(O_�n)$. Ces courbes elles-m�mes font partie de
+deux s�ries de courbes, podaires les unes des autres, correspondant � toutes
+les valeurs du param�tre augment�es ou diminu�es de nombres entiers. Ces
+deux s�ries seront toujours distinctes hormis dans le cas o� $n = �\frac{1}{2}$. Dans ce
+%% -----File: 179.png---Folio 173-------
+cas la courbe $(O_{-\frac{1}{2}})$ est une hyperbole �quilat�re, $(O_{\frac{1}{2}})$ est la lemniscate de
+Bernoulli, % [** PP: Typo Bernouilli]
+podaire de l'hyperbole par rapport au centre. Tous les �lasso�des
+qu'on d�duirait de ces courbes sont transcendants, aussi bien ceux qui
+admettent les courbes~$(O)$ pour g�od�siques que les �lasso�des~$[E_n]$.
+
+Nous aurions pu pr�ciser davantage certaines propri�t�s des courbes alg�briques,
+mais il sera plus commode d'en d�duire des propri�t�s g�n�rales
+nouvelles ayant trait � la d�rivation des congruences isotropes d'un plan
+donn�, propri�t�s qui feront l'objet du chapitre suivant.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 180.png---Folio 174-------
+
+
+\Chapter{XV.}
+{NOUVELLES PROPRI�T�S DES CONGRUENCES ISOTROPES D�RIV�ES D'UN PLAN DONN�.}
+
+Conservant les notations et les d�finitions du \chapitre{XII}:
+\begin{align*}
+-x\sin\varphi + y\cos\varphi - F' &= 0, \\
+-x\sin\psi    + y\cos\psi    - f' &= 0
+\end{align*}
+seront les �quations des normales $Aa$ et $Bb$ aux courbes $(A)$ et $(B)$ traces de
+deux d�veloppables isotropes, focales d'une congruence isotrope. Soit $N$ le
+point commun aux normales en $A$ et $B$ � $(A)$ et~$(B)$; et $\omega$ le milieu du
+segment~$ab$.
+
+\Section{135.}
+{Au sujet des courbes orthogonales $(\lambda)$ et~$(\mu)$.}
+
+Posant
+\[
+\frac{\psi - \varphi}{2} = \alpha,\quad
+\frac{\psi + \varphi}{2} = \beta,
+\]
+on trouve que
+\begin{align*}
+NA &= P = \frac{F'\cos2\alpha - f'}{\sin2\alpha} - F, \\
+NB &= p = \frac{F' - f'\cos2\alpha}{\sin2\alpha} - f.
+\end{align*}
+%% -----File: 181.png---Folio 175-------
+On en d�duit
+\begin{align*}
+\lambda &= P + p =   (F' - f')\cot\alpha - (F + f), \\
+\mu     &= P - p = - (F' + f')\tg \alpha - (F - f),
+\end{align*}
+$\lambda$ et~$\mu$ d�signant les param�tres des courbes orthogonales, lieux du point~$N$,
+les unes analogues � des ellipses homofocales [ce sont les courbes~$(\mu)$], les
+autres analogues � des hyperboles homofocales [ce sont les courbes~$(\lambda)$]\footnotemark.
+  \footnotetext{Soit en effet $(AB)$ une d�veloppante d'ellipse~$(E)$; si $M$ d�crit une ellipse homofocale �~$(E)$,
+on sait que
+\[
+Ma + Mb = \operatorname{arc}ab + \text{constante}.
+\]
+Cons�quemment:
+\[
+Ma + Mb = bB - aA + \text{constante},
+\]
+et, en d�finitive
+\[
+MA - MB = \text{constante}.
+\]
+}% End of footnote
+
+Rappelons que, l'�quation du plan tangent � l'�lasso�de moyen est
+\[
+-2X\sin\beta + 2Y\cos\beta
+  + \sin\alpha [-2Zi - (F' + f')\cot\alpha + F - f] = 0
+\]
+et que celle du plan tangent � l'�lasso�de conjugu� peut s'�crire
+\[
+-2X'\sin\beta + 2Y'\cos\beta
+  + i\sin\alpha [-2Z' + (F + f)  - (F' - f')\cot\alpha] = 0.
+\]
+
+On voit donc que $Z'_O$ d�signant l'ordonn�e � l'origine du plan tangent �
+l'�lasso�de conjugu�
+\[
+2Z'_O + \lambda = 0.
+\]
+
+\begin{Emph}
+\emph{Il en r�sulte que} si l'on fait d�crire au point~$N$ une courbe~$(\lambda)$, la courbe
+suivie sur l'�lasso�de conjugu� est la courbe de contact de l'�lasso�de et d'un
+c�ne.
+
+Tous les c�nes correspondant aux diverses valeurs du param�tre~$\lambda$ ont
+leurs sommets sur une perpendiculaire au plan auxiliaire d'o� l'on fait
+d�river les �lasso�des.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 182.png---Folio 176-------
+
+\Section{136.}
+{Aux courbes $(\lambda)$ correspondent, comme d�veloppables circonscrites � l'�lasso�de moyen, des polaires de courbes gauches.}
+
+\begin{Emph}
+\emph{D'apr�s la th�orie des contours conjugu�s,} si l'on suit une courbe~$(\lambda)$, les
+plans tangents � l'�lasso�de moyen sont les plans normaux d'une certaine
+courbe gauche qui est la ligne d'intersection des deux d�veloppables isotropes
+suppos�es relev�es et abaiss�es de quantit�s �gales et imaginaires,
+au-dessus ou au-dessous du plan auxiliaire. La courbe de contact des plans
+tangents et de l'�lasso�de moyen est le lieu des centres de courbure de la
+courbe gauche indiqu�e.
+\end{Emph}
+
+Ceci fait entrevoir la possibilit� d'obtenir sur le plan, non-seulement une
+repr�sentation conforme des �lasso�des moyen et conjugu�, mais encore une
+image des surfaces et des courbes gauches qui jouent un r�le dans leur
+�tude.
+
+\Section{137.}
+{Les courbes gauches en question ont pour lieux des centres de courbure
+les lignes de plus grande pente d'une certaine surface.}
+
+Cherchons tout d'abord la courbe gauche dont le lieu des centres de
+courbure se projette suivant le lieu de~$\omega$, lorsque $N$ d�crit la courbe~$\lambda$. On
+sait que si $P$ d�signe le point de cette courbe, $S$~�tant le sommet du c�ne
+circonscrit � l'�lasso�de conjugu�, les segments $PO$ et $SO'$ sont �gaux, situ�s
+dans les plans tangents aux deux �lasso�des, et rectangulaires.
+
+Transportons l'origine des coordonn�es au point $N$ et prenons pour axe
+des $x$ la bissectrice de l'angle $ANB$, de fa�on � annuler~$\beta$. Les coordonn�es
+%% -----File: 183.png---Folio 177-------
+du point de l'�lasso�de moyen deviennent
+\begin{gather*}
+X_O + \frac{F'' + f''}{2}\cos\alpha = 0, \\
+Y_O - \frac{F'' - f''}{2}\sin\alpha = 0, \\
+Z_O = -i\frac{(F + F'') - (f + f'')}{2}.
+\end{gather*}
+
+L'�quation du plan moyen est
+\[
+Y + \sin\alpha\left(-Zi + \frac{F-f}{2}\right) = 0.
+\]
+
+Les coordonn�es du point de l'�lasso�de conjugu� sont
+\begin{gather*}
+\frac{X_{O'}}{i} + \frac{F'' - f''}{2}\cos\alpha = 0, \\
+\frac{Y_{O'}}{i} - \frac{F'' + f''}{2}\sin\alpha = 0, \\
+Z_{O'} = \frac{F + F'' + f + f''}{2}.
+\end{gather*}
+
+L'�quation du plan tangent � l'�lasso�de conjugu� est
+\[
+Y + i\sin\alpha \left[-Z + \frac{F + f}{2}\right] = 0.
+\]
+
+Le sommet du c�ne~$S$ �tant le point o� ce plan moyen est perc� par l'axe
+des $Z$, le $Z$ de $S$~est
+\[
+Z_S = \frac{F + f}{2}.
+\]
+
+Cons�quemment
+\[
+\frac{X_{O'}}{-i\cos\alpha\smfrac{(F'' - f'')}{2}}
+  = \frac{Y_{O'}}{i\sin\alpha\smfrac{(F'' + f'')}{2}}
+  = \frac{Z_{O'}-Z_S}{\smfrac{F'' + f''}{2}}=1
+  = \frac{�SO'}{\cos\alpha\sqrt{F'' f''}}.
+\]
+
+%% -----File: 184.png---Folio 178-------
+
+La droite $OP$ perpendiculaire �~$SO'$ et situ�e dans le plan moyen est
+parall�le � l'intersection du plan moyen et de
+\[
+- Xi\cos\alpha(F'' - f'')
++ Yi\sin\alpha(F'' + f'') + Z(F'' + f'') = 0;
+\]
+elle est donc parall�le � la droite d�finie par les �quations
+\[
+\frac{X}{-i\cos\alpha\smfrac{(F'' + f'')}{2}}
+  = \frac{Y}{i\sin\alpha\smfrac{(F'' - f'')}{2}}
+  = \frac{Z}{\smfrac{(F'' - f'')}{2}}
+  = \frac{�\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}}{i\cos\alpha \sqrt{F'' � f''}}.
+\]
+
+D�s lors les coordonn�es du point $P$ sont
+\begin{gather*}
+X_P = X_O \mp \cos\alpha \frac{(F'' + f'')}{2},\\
+Y_P = Y_O  �  \sin\alpha \frac{(F'' - f'')}{2},\\
+Z_P = Z_O \mp i\frac{(F'' - f'')}{2}.
+\end{gather*}
+
+Il n'y a manifestement qu'une combinaison de signes qui soit satisfaisante,
+c'est celle qui r�duit la valeur de $Z_P$. On en conclut
+\begin{gather*}
+X_P = Y_P = 0,\\
+Z_P = -i\frac{(F - f)}{2} = i\frac{\mu}{2}.
+\end{gather*}
+
+D'ailleurs, cet important r�sultat se v�rifiera en �tudiant les variations
+des param�tres $\lambda$ et~$\mu$.
+
+Revenons maintenant aux axes primitifs, diff�rentiant les valeurs de $\lambda$ et~$\mu$,
+il vient
+\begin{align*}
+-d\lambda
+  &= d\beta[F' + f' - (F'' - f'') \cot\alpha]
+   + d\alpha \cot\alpha[F'' + f'' + (F' - f')\cot\alpha], \\
+-d\mu
+  &= d\beta[F' - f' + (F'' + f'')  \tg\alpha]
+   + d\alpha � \tg\alpha[-(F'' - f'') + (F' + f')\tg\alpha].
+\end{align*}
+
+%% -----File: 185.png---Folio 179-------
+
+Cherchons les �quations des projections, sur le plan auxiliaire, des caract�ristiques
+du plan moyen et de son conjugu�, nous trouvons
+\begin{align*}
+\Delta\alpha � \cot\alpha
+  & [(F'' - f'') \sin\alpha + (F' + f')\cos\alpha
+    + 2X\sin\beta - 2Y\cos\beta] \\
++ \Delta\beta �
+  & [(F' - f') \sin\alpha - (F'' + f'')\cos\alpha
+    - 2X\cos\beta - 2Y\sin\beta] = 0,
+\end{align*}
+pour la caract�ristique du plan moyen projet�e, et
+\begin{align*}
+\Delta\alpha � \cot\alpha � i
+  & [(F'' + f'')\sin\alpha + (F' - f')\cos\alpha
+    + 2X'\sin\beta - 2Y'\cos\beta] \\
++\Delta\beta
+  & [i(F' + f')\sin\alpha - i(F'' - f'')\cos\alpha
+    - 2X'\cos\beta - 2Y'\sin\beta] = 0,
+\end{align*}
+pour la caract�ristique projet�e du plan conjugu�.
+
+Commen�ons par v�rifier la propri�t� de la surface, lieu du point~$P$, qui
+se projette en~$N$, et dont le $Z_P$ est �gal �~$\frac{i\mu}{2}$. A cet effet, nous chercherons les
+$\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$ du point~$P$, d'une fa�on g�n�rale, puis en supposant que les
+axes sont particularis�s; c'est-�-dire en annulant $F'$, $f'$ et $\sin\beta$. On a manifestement
+\begin{align*}
+-\Delta x\sin\varphi + \Delta y\cos\varphi
+  - (x\cos\varphi + y\sin\varphi + F'')\, d\varphi &= 0, \\
+%
+-\Delta x\sin\psi    + \Delta y\cos\psi
+  - (x\cos\psi    + y\sin\psi    + f'')\, d\psi    &= 0,
+\end{align*}
+d'o� l'on d�duit, en particularisant comme il a �t� dit:
+\begin{align*}
+2\Delta x &= \frac{d\beta(F'' - f'') - d\alpha(F'' + f'')}{\sin\alpha},\\
+2\Delta y &= \frac{d\beta(F'' + f'') - d\alpha(F'' - f'')}{\cos\alpha},
+\end{align*}
+et puisque, par hypoth�se
+\begin{gather*}
+2Z_P i = -\mu,\\
+2\Delta Z i = -d\mu
+  = \tg\alpha[d\beta(F'' + f'') - d\alpha(F'' - f'')];
+\end{gather*}
+mais on a dans l'esp�ce
+\[
+-d\lambda = -[d\beta (F'' - f'') - d\alpha(F'' + f'')]\cot\alpha.
+\]
+
+%% -----File: 186.png---Folio 180-------
+
+Il en r�sulte que si $\lambda$ reste constant, $\Delta x$ s'annule et que
+\[
+\frac{\Delta z � i}{\Delta y} = \sin\alpha
+\]
+
+Ainsi se trouve d�montr�e, sans ambigu�t� de signe, la propri�t� trouv�e
+plus haut et qu'on peut �noncer ainsi:
+
+\begin{Emph}
+Les courbes~$(P)$ dont les plans normaux touchent l'�lasso�de moyen,
+caract�ris�es par les diverses valeurs du param�tre~$\lambda$, sont, par rapport
+au plan auxiliaire, les lignes de plus grande pente d'une surface dont les
+lignes de niveau se projettent sur le plan auxiliaire suivant les courbes~$(\mu)$.
+\end{Emph}
+
+
+\Section{138.}
+{Nouvelle d�rivation des �lasso�des du plan.}
+
+Cette proposition conduit � une d�finition g�om�trique nouvelle de l'�lasso�de
+consid�r� comme l'envelopp�e des plans normaux aux lignes de plus
+grande pente d'une certaine surface. La d�finition de celle-ci est fort simple,
+puisque les courbes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$ constituent dans le plan auxiliaire un r�seau
+orthogonal tel que l'�l�ment lin�aire soit exprim� par la relation
+\[
+4dS^2 = \frac{d\lambda^2}{\cos^2\alpha} + \frac{d\mu^2}{\sin^2\alpha}.
+\]
+
+Toutes les fois qu'on aura obtenu, dans le plan, un r�seau orthogonal
+satisfaisant, il suffira d'�lever en chacun des points du plan une perpendiculaire
+et d'y porter un segment �gal �~$\frac{i\mu}{2}$ ou~$\frac{i\lambda}{2}$, les lieux des extr�mit�s
+donneront des surfaces~$(P)$, dont l'une sera r�elle et l'autre imaginaire toutes
+les fois que l'angle~$\alpha$ sera imaginaire [les courbes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$ �tant r�elles]\footnotemark.
+\footnotetext{Elles seront toujours imaginaires si l'angle $\alpha$ est r�el.}
+
+Il est manifeste que les surfaces $(P)$ ainsi trouv�es sont d'un genre particulier
+caract�ris� par la nature du r�seau $(\lambda) (\mu)$ plan. Elles sont ainsi suffisamment
+d�finies.
+
+%% -----File: 187.png---Folio 181-------
+
+\Section{139.}
+{Sur les d�veloppables circonscrites aux �lasso�des
+correspondant aux courbes $(\lambda)$ et~$(\mu)$.}
+
+Consid�rons maintenant les �quations des projections des caract�ristiques,
+en les rapportant aux axes particularis�s.
+
+En ce qui concerne l'�lasso�de moyen, l'�quation est
+\[
+2X\,d\beta � \tg\alpha + 2Y\,d\alpha = \cos\alpha � d\mu.
+\]
+
+En ce qui concerne l'�lasso�de conjugu�, on trouve
+\[
+2X'\,d\beta + 2 � Y'i \cot\alpha = -i \sin\alpha � d\lambda.
+\]
+
+\begin{Emph}
+Si donc l'on suit une courbe~$(\mu)$, la projection de la caract�ristique passe
+par le point~$N$, en ce qui concerne l'�lasso�de moyen.
+\end{Emph}
+
+Si l'on suit une courbe~$(\lambda)$ la projection de la caract�ristique du plan tangent
+� l'�lasso�de conjugu� passe par l'origine. Cette derni�re remarque est
+d'ailleurs une cons�quence de ce fait que la d�veloppable, enveloppe des
+plans conjugu�s, est un c�ne.
+
+Mais si l'on observe que les caract�ristiques des plans moyens et conjugu�s
+sont toujours parall�les quand elles sont correspondantes, on peut
+�noncer deux �l�gantes propri�t�s des d�veloppables, enveloppes des plans
+moyen et conjugu�, obtenues en suivant les lignes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$.
+
+\begin{Emph}
+Lorsqu'on suit dans le plan auxiliaire une courbe~$(\lambda)$ [du genre hyperbole]
+les g�n�ratrices de la d�veloppable, enveloppe du plan moyen, se projettent
+sur le plan suivant les droites $ab$, dont l'enveloppe est, par cons�quent, la
+projection de l'ar�te de rebroussement de la d�veloppable consid�r�e.
+
+Lorsqu'on suit dans le plan auxiliaire une courbe~$(\mu)$ [du genre ellipse]
+les droites, telles que $N\omega$, repr�sentent les projections, sur le plan auxiliaire,
+des g�n�ratrices de la d�veloppable, enveloppe des plans moyens.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 188.png---Folio 182-------
+
+\Section{140.}
+{�lasso�de admettant pour g�od�sique une conique et �lasso�de conjugu�.}
+
+L'application la plus simple de ces propri�t�s g�n�rales est celle que l'on
+peut faire en prenant pour courbes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$ des coniques homofocales.
+
+Dans ce cas, les surfaces~$(P)$ ont pour lignes de niveau des ellipses qui
+se projettent sur le plan auxiliaire suivant un r�seau homofocal. Les lignes
+de plus grande pente sont transcendantes, mais elles se projettent suivant des
+hyperboles homofocales; de plus leurs surfaces polaires ont pour conjugu�es
+des c�nes dont les sommets sont en ligne droite. Les lignes, lieux des
+centres de courbure des lignes de plus grande pente, appartiennent �
+l'�lasso�de moyen.
+
+D'un autre c�t�, les lignes $ab$ �tant les polaires des points~$N$, par rapport
+� l'ellipse $(a, b)$, les surfaces polaires des lignes de plus grande pente ont
+des ar�tes de rebroussement qui se projettent sur le plan auxiliaire suivant
+des coniques polaires r�ciproques des hyperboles $(\lambda)$ par rapport � l'ellipse
+$(a, b)$ [ellipse qui est une g�od�sique de l'�lasso�de moyen].
+
+
+\Section{141.}
+{C�nes du second degr� circonscrits � l'�lasso�de.}
+
+Enfin, les droites, telles que~$N\omega$, passent par le centre de l'ellipse; cons�quemment,
+les d�veloppables circonscrites � l'�lasso�de moyen sont des c�nes
+ayant leurs sommets sur la perpendiculaire au plan auxiliaire, �lev�e au
+centre des coniques homofocales. On a vu que ces d�veloppables contiennent
+individuellement les courbes $(\mu)$. Les c�nes consid�r�s sont donc du
+second degr�.
+
+Il est bien facile de compl�ter cette �tude particuli�re en montrant que les
+%% -----File: 189.png---Folio 183-------
+c�nes, correspondant aux hyperboles $(\lambda)$ et circonscrits � l'�lasso�de conjugu�,
+ou correspondant aux ellipses $(\lambda)$ et circonscrits � l'�lasso�de moyen,
+sont les c�nes suppl�mentaires de c�nes homofocaux [pourvu qu'on les transporte
+convenablement].
+
+
+\Section{142.}
+{Les lignes alg�briques des deux �lasso�des ont pour image sph�rique
+un r�seau de coniques homofocales.}
+
+Si l'on consid�re en effet les plans isotropes passant par les droites $Aa$, $Bb$,
+ils se couperont suivant quatre droites, g�n�ratrices des quadriques homofocales
+ayant pour traces, sur le plan auxiliaire, les diverses coniques homofocales
+$(\lambda)$ et~$(\mu)$. On sait que les c�nes asymptotes de ces quadriques sont
+homofocaux. Mais l'une des g�n�ratrices passant en $N$ occupe, par rapport �
+l'angle $aNb$, la m�me position que la droite de la congruence isotrope originelle,
+par rapport � l'angle suppl�mentaire de~$ANB$; donc, si l'on fait tourner
+de~$90�$, autour de la verticale, la g�n�ratrice de la congruence, on aura une
+parall�le � la g�n�ratrice de l'hyperbolo�de passant en~$N$ et ayant pour
+trace~$(\mu)$. Cons�quemment les traces sph�riques des c�nes asymptotes, tourn�es
+de~$90�$ autour de la verticale, constitueront l'image sph�rique compl�te
+des courbes alg�briques des �lasso�des moyen et conjugu�. On peut donc
+dire que ces lignes ont pour image sph�rique une famille de coniques sph�riques
+homofocales.
+
+La plupart de ces propri�t�s ont �t� �nonc�es par M.~Schwartz, en ce qui
+concerne l'�lasso�de admettant pour g�od�sique une conique [\textit{Journal de
+Borchardt}, page~293, ann�e~1874].
+
+%% -----File: 190.png---Folio 184-------
+
+\Section{143.}
+{Le r�seau $(\mu\lambda)$ est le seul du plan qui corresponde � un r�seau orthogonal
+de l'�lasso�de.}
+
+Dans le cas g�n�ral, les courbes correspondant, sur les deux �lasso�des,
+aux lignes $(\mu)$ et~$(\lambda)$ sont rectangulaires; les calculs du \Secref{137} montrent en
+effet que leurs conjugu�es sont orthogonales, ce qui �quivaut � la proposition;
+mais cette propri�t� peut s'�tablir directement comme il suit.
+
+Calculons, sur la sph�re, le carr� de l'�l�ment lin�aire rapport� au r�seau
+des images sph�riques des lignes correspondant aux $(\mu)$ et~$(\lambda)$. On sait que,
+d'une fa�on g�n�rale, on a sur la sph�re de rayon unit� (\Secref{109})
+\begin{align*}
+dS^2 &= \frac{d\varphi � d\psi}{\cos^2\alpha}, \\
+\intertext{ou encore}
+dS^2 &= \frac{d\beta^2 - d\alpha^2}{\cos^2\alpha}.
+\end{align*}
+Mais on d�duit des valeurs de $d\lambda$ et~$d\mu$ particularis�es
+\begin{align*}
+-4F''f'' � d\beta
+  &= \frac{d\mu}{\tg\alpha} (F'' + f'')
+   + \frac{d\lambda}{\cot\alpha} (F'' - f''), \\
+%
+-4F''f'' � d\alpha
+  &= \frac{d\mu}{\tg\alpha} (F'' - f'')
+   + \frac{d\lambda}{\cot\alpha} (F'' + f'').
+\end{align*}
+
+On en conclut
+\[
+dS^2 = \frac{d\mu^2\, \cot^2\alpha - d\lambda^2\, \tg^2\alpha}
+            {4F'' � f'' � \cos^2\alpha}.
+\]
+Ce qui montre bien que l'image sph�rique est form�e de courbes orthogonales.
+Comme, sur les �lasso�des et sur la sph�re image, les angles se conservent
+dans la correspondance:
+
+\emph{Le r�seau orthogonal plan $(\lambda,\mu)$ correspond, sur les deux �lasso�des, � un
+%% -----File: 191.png---Folio 185-------
+r�seau orthogonal.} Il est m�me clair qu'il n'y a pas d'autres r�seaux orthogonaux
+se correspondant sur le plan et sur les �lasso�des.
+
+Nous venons de voir que, dans le cas o� le r�seau $(\lambda,\mu)$ est form� de
+coniques homofocales, le r�seau sph�rique correspondant est form� �galement
+de coniques sph�riques homofocales, constituant un r�seau isom�trique.
+On sait, d'apr�s un th�or�me de M.~Ossian % [** PP: Typo Ossiau]
+Bonnet, que les courbes correspondantes
+des �lasso�des sont aussi isom�triques.
+
+
+\Section{144.}
+{Si le r�seau $(\lambda\mu)$ de l'�lasso�de est isom�trique, son correspondant du plan
+est form� de coniques homofocales.}
+
+Il est int�ressant de chercher dans quel cas cette propri�t� subsistera, �
+raison du caract�re du r�seau $(\lambda, \mu)$.
+
+Il faut que le logarithme du quotient des coefficients du carr� de l'�l�ment
+lin�aire soit la somme de deux fonctions, l'une de~$\lambda$, l'autre de~$\mu$. Ce qui
+conduit � la condition
+\[
+2 \frac{d^2}{du\, dv} � \log \tg\alpha = 0.
+\]
+
+D'ailleurs on trouve la m�me condition en exprimant que le r�seau plan
+$(\lambda\mu)$ lui-m�me est isom�trique. Mais nous avons montr� d'apr�s M.~Liouville
+que le r�seau $(\lambda, \mu)$ ne peut �tre dans ce cas compos� que de coniques homofocales;
+cons�quemment les �lasso�des admettant une conique pour g�od�sique
+jouissent d'un caract�re distinctif tout particulier, qui permet d'�noncer
+la proposition suivante:
+
+\begin{Emph}
+Que, de tous les points d'une droite, comme sommets on circonscrive des
+c�nes � un �lasso�de; que l'on trace sur celui-ci les trajectoires orthogonales
+des courbes de contact; si le r�seau orthogonal ainsi obtenu est isom�trique,
+l'�lasso�de est conjugu� de celui qui admet une conique pour g�od�sique.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 192.png---Folio 186-------
+
+C'est le moment de faire une remarque sur l'expression du carr� de l'�l�ment
+lin�aire d'un �lasso�de.
+
+$(a)$ et~$(b)$ d�signant les projections planes des ar�tes de rebroussement
+des d�veloppables g�n�ratrices, on a d'apr�s~\Eqref{}{68} l'expression
+\[
+dS^2 = d(a)�d(b) \cos^2 \frac{V}{2},
+\]
+o� $d(a)$ et~$d(b)$ d�signent les longueurs des �l�ments correspondants et~$V$
+l'angle des tangentes aux courbes $(a)$ et~$(b)$. Il en r�sulte que si les courbes
+$(a)$ et~$(b)$ sont alg�briques, l'�lasso�de moyen correspondant aura son �l�ment
+lin�aire exprim� par une formule alg�brique.
+
+
+\Section{145.}
+{$dS^2$ de l'�lasso�de sur lequel le r�seau $(\lambda,\mu)$ est isom�trique.}
+
+A titre d'exemple, prenons pour courbes $(\mu)$ et~$(\lambda)$ un r�seau de coniques
+homofocales, et cherchons l'expression de l'�l�ment lin�aire de l'�lasso�de
+admettant l'une d'entre elles pour g�od�sique.
+
+L'�l�ment lin�aire du plan, rapport� aux coniques dont l'�quation est de
+la forme
+\[
+\frac{x^2}{a^2 - \lambda} + \frac{y^2}{b^2 - \lambda} = 1,
+\]
+peut s'�crire
+\[
+4�dS^2
+  = (\mu - \lambda) \left[\frac{d\lambda^2}{(a^2 - \lambda)(b^2 - \lambda)}
+                        - \frac{d\mu^2}{(a^2 - \mu)(b^2-\mu)} \right].
+\]
+
+La \Eqref{condition}{56} est v�rifi�e et l'\Eqref{�quation}{57} donne pour les traces
+d'une congruence isotrope la relation bien connue
+\[
+\mu \cos^2i + \lambda \sin^2i = k,
+\]
+qui donne les directions des deux tangentes � l'une des coniques du r�seau
+%% -----File: 193.png---Folio 187-------
+d�finie par le param�tre~$k$, tangentes issues du point $(\lambda,\mu)$. Soient $(a)$ et~$(b)$
+les deux branches de la conique enveloppe. Pour calculer l'�l�ment lin�aire
+de l'�lasso�de l'admettant pour g�od�sique, il faut obtenir l'expression
+\[
+dS^2 = R_a \, d\varphi � R_b \Reg{�}{\,} d\psi\, \cos^2i,
+\]
+$R_a$ et~$R_b$ d�signant les rayons de courbure en $(a)$ et~$(b)$, $d\varphi$ et~$d\psi$ les angles
+de contingence, en ces points, de la conique enveloppe. On a
+\[
+\Delta i = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{-1}{(k - \mu)(k - \lambda)}}
+  \left[\frac{d\mu\, (k - \lambda) - d\lambda\, (k - \mu)}{\mu - \lambda}\right].
+\]
+
+Prenant pour r�seau de r�f�rence celui des coniques $(\lambda,\mu)$ on a les formules
+g�n�rales, analogues �~\Eqref{}{2}
+\begin{gather*}
+X' = X - \frac{d\lambda}{2}
+  \mSmall{\sqrt{\frac{\mu-\lambda}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}}} \\
+  \mSmall{%
+  -\frac{Y}{2} \frac{\sqrt{-1}}{\mu-\lambda}
+   \sqrt{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(a^2-\mu)(b^2-\mu)}
+   \left[\frac{d\mu}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}
+       - \frac{d\lambda}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}\right]}, \\[2ex]
+%
+Y' = Y - \frac{d\mu}{2}
+  \mSmall{\sqrt{\frac{\lambda-\mu}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}}} \\
+  \mSmall{%
+  +\frac{X}{2} \frac{\sqrt{-1}}{\mu-\lambda}
+   \sqrt{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(a^2-\mu)(b^2-\mu)}
+   \left[\frac{d\mu}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}
+       - \frac{d\lambda}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}\right]}.
+\end{gather*}
+
+L'�quation instantan�e de la tangente � l'ellipse fixe est
+\[
+Y \cos i \mp X \sin i = 0,
+\]
+son point de contact avec la conique est le m�me quels que soient $d\mu$ et~$d\lambda$;
+il est d�termin� par l'�quation de la normale instantan�e
+\[
+-Y \sin i \mp X \cos i � \frac{\mu-\lambda}{L \mp M} = 0,
+\]
+o� $L$ et~$M$ d�signent les fonctions de $\lambda$ et~$\mu$ seules que voici
+\[
+L = \sqrt{\frac{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}{k-\lambda}},\qquad
+M = \sqrt{\frac{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}{k-\mu}}.
+\]
+
+%% -----File: 194.png---Folio 188-------
+
+En posant
+\[
+P = \frac{\mu - \lambda}{L\mp M},
+\]
+on trouve [par les proc�d�s habituels de p�rimorphie, en observant que le
+r�sultat est ind�pendant de $d\mu$ et~$d\lambda$] pour l'�quation d�terminant le centre
+de courbure
+\[
+\left(\frac{2\, dP}{d\lambda} + \frac{1}{L}\right)
+  \sqrt{\frac{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}{k-\mu}}
+  = \frac{\sqrt{-1}}{\mu - \lambda}(Y \cos i \mp X \sin i)(M\mp L);
+\]
+apr�s diff�rentes r�ductions on obtient l'�quation ind�pendante des variations
+particuli�res
+\[
+\frac{(a^2-k)(b^2-k)}{(k-\mu)(k-\lambda)}
+  = �\sqrt{-1} \frac{\sqrt{(k-\mu)(k-\lambda)}}{(\mu - \lambda)^3}
+     (Y \cos i \mp X \sin i)(L^2 - M^2)(L\mp M).
+\]
+Cette �quation donne imm�diatement
+\[
+R_a � R_b = \mp\frac{(a^2-k)^2(b^2-k)^2(\mu-\lambda)^6}{(k-\mu)^3(k-\lambda)^3(L^2-M^2)^3}.
+\]
+
+Il s'agit maintenant de calculer les angles de contingence. $\Delta x$, $\Delta y$ �tant
+relatifs au point $(\lambda \mu)$ on a manifestement
+\[
+P\, d\varphi = \Delta Y \cos i \mp \Delta X \sin i; % [** Typo y]
+\]
+cons�quemment
+\[
+d\varphi�d\psi
+  = \frac{\overline{\Delta Y}^2 \cos^2 i - \overline{\Delta X}^2 \sin^2 i}{P�P'}.
+\]
+
+Si $P'$ d�signe la seconde valeur de~$P$ lorsqu'on change le signe, on trouve
+ainsi
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding �]
+d\varphi�d\psi
+  = \frac{L^2-M^2}{(\mu-\lambda)^2}\,
+    \frac{(k-\lambda)(k-\mu)}{4} \\
+  � \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)}
+        - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right].
+\end{multline*}
+%% -----File: 195.png---Folio 189-------
+On en d�duit imm�diatement
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding �]
+dS^2 =
+  \frac{(a^2-k)^2(b^2-k)^2(\mu-\lambda)^3}
+       {4(k-\mu)^2(k-\lambda)^2(L^2-M^2)^2} \\
+  � \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)}
+        - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right],
+\end{multline*}
+car $\cos^2 \frac{V}{2}$ est �gal �~$\cos^2i$.
+
+Si enfin l'on observe que
+\[
+L^2 - M^2 = (\mu -\lambda)\left[1 - \frac{(k-a^2)(k-b^2)}{(k-\lambda)(k-\mu)}\right],
+\]
+on obtient en somme
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding �]
+dS^2 = \frac{1}{4} �
+  \frac{(a^2-k)^2(b^2-k)^2(\mu-\lambda)(k-\lambda)}
+       {\bigl[(k-\lambda)(k-\mu) - (k-a^2)(k-b^2)\bigr]^2} \\
+  � \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)}
+        - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right].
+\end{multline*}
+
+Quant � l'image sph�rique, l'expression du carr� de l'�l�ment lin�aire
+est, d'apr�s la th�orie g�n�rale,
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding �]
+dS'^2 = \frac{R^2}{4}
+  \left[(k-\mu) - \frac{(k-a^2)(k-b^2)}{(k-\lambda)}\right] \\
+  � \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)}
+        - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right].
+\end{multline*}
+
+Les deux r�seaux sont bien isom�triques, et, le r�seau sph�rique, comme
+le r�seau plan, est de la forme signal�e par M.~Liouville, forme qui permet
+l'int�gration des lignes g�od�siques; il devait en �tre ainsi, puisque le r�seau
+est compos� de coniques sph�riques homofocales.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 196.png---Folio 190-------
+
+
+\Chapter{XVI.}
+{AU SUJET DES LIGNES DE NIVEAU DES �LASSO�DES.}
+
+
+\Section{146.}
+{Conditions pour qu'un r�seau orthogonal trac� sur un �lasso�de soit form�
+de lignes de niveau et de lignes de plus grande pente.}
+
+Nous avons d�j� montr� que tous les \emph{�lasso�des group�s} provenant de la
+d�formation d'un m�me �lasso�de ont leurs lignes de courbure correspondant
+sur l'�lasso�de originel aux trajectoires sous un angle constant des
+lignes de courbure de cette surface.
+
+Une propri�t� toute semblable a lieu pour les lignes de niveau; c'est ce
+que nous allons �tablir.
+
+Consid�rons, en g�n�ral, une surface de r�f�rence $(O)$ prise arbitrairement;
+prenons pour r�seau $(u, v)$ celui des sections planes toutes parall�les
+� un plan~$(P)$ donn�, ainsi que leurs trajectoires orthogonales. $i$~d�signant
+l'angle qu'en chaque point de~$(O)$ fait la normale � la surface avec la perpendiculaire
+au plan~$(P)$, on trouve facilement par nos proc�d�s habituels,
+%% -----File: 197.png---Folio 191-------
+pour d�terminer les �l�ments du r�seau $(u, v)$
+\begin{align*}
+P &= -\frac{di}{du}, \\
+Q &= -\frac{dg}{f\, du}  \tg i, \\
+D &= -\frac{df}{fg\, dv} \tg i,
+\end{align*}
+�quations auxquelles il faut ajouter les conditions
+\begin{gather*}
+\frac{df}{f\, dv} + \frac{di}{dv} � \cot i = 0, \\
+\frac{di}{du} � \frac{dg}{f\, du} \tg i
+  - \frac{1}{fg} \left(\frac{df}{dv}\right)^2 \tg^2 i
+  + \frac{d}{dv} \left(\frac{df}{g\, dv}\right)
+  + \frac{d}{du} \left(\frac{dg}{f\, du}\right) = 0.
+\end{gather*}
+
+Si la surface est �lasso�de, on a � la fois
+\[
+\frac{df}{f\, dv} + \frac{di}{dv} \cot i = 0,\quad
+\frac{dg}{g\, du} + \frac{di}{du} \cot i = 0;
+\]
+on peut donc poser
+\[
+f = g = \frac{1}{\sin i}.
+\]
+
+D�s lors la seule �quation non r�solue devient
+\[
+  \left(\frac{di}{du}\right)^2
++ \left(\frac{di}{dv}\right)^2
+  = \frac{d^2}{du^2} \log \frac{1}{\sin i}
+  + \frac{d^2}{dv^2} \log \frac{1}{\sin i}.
+\]
+
+Soit, en passant aux coordonn�es sym�triques imaginaires
+\[
+\frac{di}{dx}\, \frac{di}{dy} + \frac{d^2 \log \sin i}{dx\, dy} = 0,
+\]
+et par cons�quent
+\[
+\tg \frac{i}{2} = X+Y.
+\]
+
+%% -----File: 198.png---Folio 192-------
+
+\Section{147.}
+{Les trajectoires sous un angle constant des lignes de niveau d'un �lasso�de
+correspondent aux lignes de niveau des �lasso�des group�s.}
+
+On voit que l'on peut poser indiff�remment
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+P &= -\frac{di}{du}, \\
+Q &= +\frac{di}{du}, \\
+D &= \sin i \frac{di}{dv},
+\end{aligned}\ \right\}\quad\text{ou}\quad \left\{
+\begin{aligned}
+P &= \phantom{-}\frac{di}{dv}, \\
+Q &= -\frac{di}{dv}, \\
+D &= \sin i \frac{di}{du},
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+sans que l'�quation canonique soit modifi�e et sans que la surface cesse
+d'�tre �lasso�de, mais ces valeurs sont comprises dans les formules g�n�rales
+\begin{align*}
+P &=           -\cos\varphi\, \frac{di}{du} + \sin\varphi\, \frac{di}{dv}, \\
+Q &= \phantom{-}\cos\varphi\, \frac{di}{du} - \sin\varphi\, \frac{di}{dv}, \\
+D &= \sin i\left(\frac{di}{dv}\, \cos\varphi + \frac{di}{du}\, \sin\varphi\right),
+\end{align*}
+o� l'angle $\varphi$ est consid�r� comme une constante. On v�rifie facilement que
+ces valeurs correspondent bien � des solutions des �quations de Codazzi;
+cons�quemment elles repr�sentent des valeurs de $P$, $Q$, $D$ correspondant �
+une forme particuli�re de la surface, et, comme dans chaque cas la somme
+$P + Q$ est nulle, chacune des surfaces d�form�es (puisque le r�seau $u, v$
+est isom�trique) reste �lasso�de.
+
+Il est facile de voir que les �lasso�des correspondant aux valeurs~$0$ et~$\frac{\pi}{2}$ % [** PP: O -> 0]
+de l'angle~$\varphi$ sont conjugu�s. Tous les autres appartiennent naturellement � la
+famille des \emph{�lasso�des group�s} d�riv�s de la surface de r�f�rence.
+
+%% -----File: 199.png---Folio 193-------
+
+\Section{148.}
+{Nouvelle forme du $\lambda$ d'un r�seau isom�trique sph�rique.}
+
+On trouve, d'une fa�on g�n�rale, que l'image sph�rique a pour �l�ment
+lin�aire
+\[
+dS^2 = du^2\, (P^2 + f^2D^2) + dv^2\, (Q^2 + g^2D^2);
+\]
+dans l'esp�ce on a
+\[
+dS^2 = \left[\left(\frac{di}{du}\right)^2
+           + \left(\frac{di}{dv}\right)^2\right] (du^2 + dv^2),
+\]
+soit en passant aux coordonn�es sym�triques imaginaires
+\[
+dS^2 = 4�\frac{di}{dx} � \frac{di}{dy}\, dx\Reg{�}{\,} dy.
+\]
+
+D�signant par $\lambda$ le coefficient des $du$, $dv$ sur la sph�re, on trouve
+\[
+\lambda = \frac{1}{4}\, \frac{\sqrt{X'}\Reg{�}{\,} \sqrt{Y'}}{1 + (X+Y)^2},
+\]
+ce qui constitue une forme digne d'int�r�t.
+
+
+\Section{149.}
+{Sur un th�or�me g�n�ral.}
+
+Plus g�n�ralement: toutes les fois qu'on peut d�former une surface, de
+telle fa�on que \emph{deux} familles de courbes orthogonales deviennent successivement
+des lignes de niveau de surfaces transform�es, les trajectoires sous un
+m�me angle constant, de ces deux s�ries de courbes, peuvent, par une
+d�formation convenable de la surface, devenir � leur tour lignes de niveau.
+
+%% -----File: 200.png---Folio 194-------
+
+Cette propri�t� tient � ce que les lignes de niveau d'une surface, les lignes
+de plus grande pente correspondantes et leurs trajectoires sous des angles
+constants, sont telles qu'en un m�me point de la surface les centres de courbure
+g�od�siques de toutes ces courbes sont sur une m�me ligne droite.
+
+La propri�t� �nonc�e ci-dessus s'applique � d'autres surfaces que les �lasso�des
+d�riv�s par flexion les uns des autres.
+
+
+\Section{150.}
+{R�seau plan dont les courbes se coupent sous un angle constant et peuvent
+�tre lignes de niveau de d�veloppables r�sultant de l'enroulement du
+plan.}
+
+Si l'on prend, par exemple, pour surface de r�f�rence un plan, on parvient
+� construire les surfaces d�veloppables suivant lesquelles il faut enrouler
+le plan pour que deux courbes, prises au hasard, se transforment successivement
+en lignes de niveau se coupant mutuellement sous un angle
+donn�.
+
+Les deux d�veloppables d�form�es sont applicables l'une sur l'autre par
+de simples rotations autour des g�n�ratrices.
+
+Ce n'est pas le moment de montrer comment la construction g�om�trique
+s'ach�ve sans difficult�, ni comment le quarr� de l'�l�ment lin�aire du plan
+s'obtient avec deux fonctions arbitraires [mettant ainsi en �vidence les
+r�seaux orthogonaux int�ressants dont nous venons de donner la d�finition,
+r�seaux dont les trajectoires comprennent �galement des courbes de m�me
+nature]\footnotemark.
+  \footnotetext{Soient deux courbes arbitraires $(a)$ et~$(b)$, faisant correspondre des points $a$ et~$b$ tels que
+les tangentes y fassent entre elles un angle constant, enroulant le plan de telle fa�on que la
+corde~$ab$ devienne g�n�ratrice et que~$(a)$ reste plane, toutes les lignes de niveau de la d�veloppable
+situ�es dans des plans parall�les �~$(a)$ formeront les courbes de la premi�re famille; on
+obtiendra de m�me les courbes de la seconde. Telle est l'int�grale avec deux fonctions arbitraires.}
+
+%% -----File: 201.png---Folio 195-------
+
+\Section{151.}
+{Une propri�t� g�n�rale des courbes de niveau.}
+
+Nous terminerons en observant que sur toutes les surfaces dont les lignes
+de niveau sont trajectoires les unes des autres, la forme variant, les conjugu�es
+des courbes de niveau se correspondent toutes; on peut dire que ces
+conjugu�es sont immobiles, et cela correspond � une propri�t� tout � fait
+g�n�rale: sur une surface arbitraire, en un m�me point les centres de courbure
+de la ligne de niveau et de toutes ses trajectoires sont sur une m�me
+droite perpendiculaire � la direction conjugu�e de la courbe de niveau.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 202.png---Folio 196-------
+
+
+\Chapter{XVII.}
+{PROPRI�T� CARACT�RISTIQUE DE LA CONGRUENCE ISOTROPE FORM�E
+DES G�N�RATRICES DE QUADRIQUES HOMOFOCALES.}
+
+
+\Section{152.}
+{Si deux congruences incidente et r�fl�chie sont isotropes, la surface dirimante
+est une quadrique.}
+
+La th�orie des congruences isotropes comprend, comme exemple particuli�rement
+int�ressant, celui d'une congruence form�e des g�n�ratrices de
+quadriques homofocales. Nous allons �tablir que cette congruence jouit
+d'une propri�t� fondamentale.
+
+Cherchons s'il est possible de trouver une surface de r�f�rence et une congruence
+de droites, telles que les droites donn�es et les droites r�fl�chies
+forment deux congruences isotropes.
+
+Consid�rons le r�seau orthogonal $(u, v)$ tel que les droites $D$ de la congruence
+incidente soient toujours comprises dans le plan des $ZOX$, soit $i$
+l'angle d'incidence, on a pour l'�quation de la surface �l�mentaire
+\[
+\tg \theta
+  = \frac{g\, dv + L\left[dv\left(\dfrac{dg}{f\, du} \sin i +  Q \cos i\right)
+                        - du\left(\dfrac{df}{g\, dv} \sin i + fD \cos i\right)\right]}
+         {f \cos i\, du + L\left[dv\left(\dfrac{di}{dv} - gD\right)
+                               + du\left(\dfrac{di}{du} +  P\right)\right]},
+\]
+%% -----File: 203.png---Folio 197-------
+on en d�duit que la congruence des droites $D$ sera isotrope si
+\[
+gP - Qf \cos^2i + g\frac{di}{du} - \cos i \sin i \frac{dg}{du} = 0,
+\]
+avec
+\[
+2Dg - \frac{di}{dv} + \tg i \frac{df}{f\, dv} = 0.
+\]
+Si la congruence r�fl�chie est aussi isotrope, les deux �quations qui pr�c�dent
+doivent �tre ind�pendantes du signe de~$i$; on a donc $D = 0$. %[**O?].
+Ainsi
+le r�seau $(u, v)$ est form� des lignes de courbure de la surface de r�f�rence.
+
+Posons $\frac{P}{f} = A$ et $\frac{Q}{g} = B$. On devra avoir
+\begin{gather*}
+A - B \cos^2i = 0, \\
+\frac{di}{du} = \cos i \sin i \frac{dg}{g\, du}, \\
+\frac{di}{dv} = \tg i \Reg{�}{} \frac{df}{f\, dv}.
+\end{gather*}
+
+On a l'�quation de Codazzi
+\[
+\frac{df}{f\, dv}(A-B) + \frac{dA}{dv} = 0.
+\]
+
+De la troisi�me des �quations de Codazzi on d�duit
+\[
+-\frac{di}{dv} \tg i + \frac{dA}{A\, dv} = 0;
+\]
+d'o� r�sulte, d'apr�s ce qui pr�c�de,
+\begin{gather*}
+A \cos i = U_1, \\
+B = \frac{U_1}{\cos^3i};
+\end{gather*}
+%% -----File: 204.png---Folio 198-------
+et, par cons�quent,
+\[
+\frac{A^3}{B} = U_1^2.
+\]
+
+D'un autre c�t�, on a
+\[
+\frac{dg}{g\, du} % [** PP: Typo dg/(g dn)]
+  = \frac{di}{du}\, \frac{1}{\cos i \sin i},
+\]
+avec l'�quation de Codazzi:
+\[
+\frac{dg}{g\, du}(B-A) + \frac{dB}{du} = 0,
+\]
+on obtient
+\[
+\frac{di}{du}\, \frac{\sin i}{\cos i} + \frac{dB}{B\, du} = 0;
+\]
+d'o� r�sulte
+\[
+B = V\cos i;
+\]
+ce qui entra�ne, comme cons�quence,
+\[
+\cos^4 i = \frac{U_1}{V};
+\]
+et, en d�finitive,
+\[
+\frac{B^3}{A} = V^2.
+\]
+
+Ainsi les quantit�s $\frac{A^3}{B}$ et $\frac{B^3}{A}$ sont respectivement des fonctions de~$U$ et
+de~$V$; d'apr�s un beau r�sultat �tabli par M.~Ossian Bonnet, on sait que cette
+double condition caract�rise des surfaces du second ordre\footnotemark.
+  \footnotetext{Voir page~113 du \Ord{XLII}{e}~cahier du \textit{Journal de l'�cole polytechnique}.}
+
+\Section{153.}
+{Les congruences isotropes incidente et r�fl�chie sont les g�n�ratrices
+d'une famille de quadriques homofocales.}
+
+Il n'est pas difficile de trouver maintenant ce que sont les rayons des congruences
+isotropes: on v�rifie, en effet, imm�diatement, que les traces principales
+%% -----File: 205.png---Folio 199-------
+des congruences isotropes, sur la surface de r�f�rence, co�ncident
+avec les asymptotiques de celle-ci\footnotemark.
+  \footnotetext{La n�cessit� d'abr�ger nous fait supprimer ce calcul. De ce que les traces principales sont
+  les asymptotiques, il r�sulte, comme au \chapitre{XII}, que les plans isotropes tangents se coupent
+  suivant les rayons des congruences; et, le long d'une ligne de courbure de la surface dirimante,
+  ces droites se rangent suivant un hyperbolo�de orthogonal � la quadrique.}
+
+\begin{Emph}
+\emph{Cons�quemment on peut �noncer cette importante proposition}: Si une
+congruence, r�fl�chie sur une surface de r�f�rence, est isotrope avant et
+apr�s la r�flexion, \primo~la surface de r�f�rence est une quadrique; \secundo~les
+rayons de la congruence sont form�s des g�n�ratrices des quadriques homofocales
+� la surface de r�f�rence et qui lui sont orthogonales.
+\end{Emph}
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 206.png---Folio 200-------
+
+
+\Chapter{XVIII.}
+{�LASSO�DES ALG�BRIQUES PASSANT PAR UN CERCLE.}
+
+\Section{154.}
+{Par un cercle d�termin� on peut faire passer autant d'�lasso�des alg�briques
+qu'on peut construire d'�picyclo�des ou d'hypocyclo�des alg�briques.}
+
+
+D'apr�s la th�orie que nous avons donn�e des contours conjugu�s, on sait
+comment doit s'aborder la recherche des �lasso�des passant par un contour
+plan.
+
+Une application de quelque �l�gance peut �tre faite dans le cas o� le
+contour donn� est un cercle. Le probl�me de la recherche de tous les
+�lasso�des passant par le cercle revient, comme nous l'avons montr�, � la
+d�couverte de tous les contours conjugu�s au cercle. Chaque fois que les
+contours seront alg�briques, les �lasso�des seront alg�briques.
+
+Consid�rons la courbe, projection sur le plan du cercle, du contour
+conjugu�; faisons correspondre par parall�lisme des tangentes les points du
+cercle et de la projection. (Il suffira de tourner le cercle dans son plan,
+de $\frac{\pi}{2}$ pour que les �l�ments correspondants des deux courbes soient rectangulaires.)
+L'�l�ment du cercle a pour valeur
+\[
+dS_c^2= a^2\,d\theta^2,
+\]
+l'�l�ment de la courbe conjugu�e a pour valeur
+\[
+dS_{c'}^{'2}= R^2\,d\theta^2+dZ^2,
+\]
+%% -----File: 207.png---Folio 201-------
+expression o� $R$ d�signe le rayon de courbure de la projection sur le plan
+du cercle et $Z$ la distance d'un point du contour au plan.
+
+Prenons, pour projection du contour ind�termin�, l'�picyclo�de ayant
+pour �quation
+\[
+p=b\sin k\theta;
+\]
+dans ce cas
+\[
+R=b(1-k^2)\sin k\theta,
+\]
+et puisque les �l�ments des deux contours sont �gaux, on obtient
+\[
+dZ=d\theta \sqrt{ a^2-b^2(1-k^2)^2 \sin^2 k\theta}.
+\]
+
+Pour que le contour soit alg�brique, sa projection doit �tre alg�brique et
+la valeur de $Z$ doit �galement �tre alg�brique.
+
+En g�n�ral $Z$ d�pend des fonctions elliptiques, mais on peut toujours
+choisir $a$ de telle fa�on que
+\[
+a=b(1-K^2),
+\]
+et alors
+\[
+Z=\frac{a \sin k\theta}{K}.
+\]
+
+D�s lors, si la projection est alg�brique, les �lasso�des conjugu�s, dont
+l'un passe par le cercle, seront alg�briques.
+
+\begin{Emph}
+\emph{Mais la projection sera alg�brique toutes les fois que le coefficient~$R$ sera
+un nombre commensurable; cons�quemment:} par un cercle d�termin� ou
+peut faire passer autant d'�lasso�des alg�briques qu'on peut construire
+d'�picyclo�des ou d'hypocyclo�des alg�briques.
+\end{Emph}
+
+Le contour conjugu� est d�fini par les �quations suivantes entre lesquelles
+il faut �liminer~$\theta$:
+\begin{gather*}
+x \cos\theta + y \sin\theta = b \sin k\theta,\\
+y \cos \theta-x \sin \theta = b k \cos k\theta,\\
+Z=\frac{b(1-K^2)}{K} \sin k\theta;
+\end{gather*}
+on en d�duit imm�diatement l'�quation
+\[
+x^2+y^2=b^2K^2+z^2 \frac{K^2}{1-K^2},
+\]
+qui repr�sente une quadrique de r�volution.
+
+%% -----File: 208.png---Folio 202-------
+
+Si l'on d�signe par~$R$ le rayon du cercle de base d'une hypocyclo�de et
+par~$r$ celui du cercle roulant, l'�quation pr�c�dente peut s'�crire
+\[
+\frac{x^2}{R^2}+\frac{y^2}{R^2}-\frac{z^2}{4r(r-R)}=1.
+\]
+
+Dans le cas des �picyclo�des, il suffirait de changer le signe de~$r$.
+
+Le rayon du cercle conjugu� au contour est
+\[
+a=\frac{4r(r-R)}{R-2r}.
+\]
+
+Nous r�servons l'�tude d�taill�e des �lasso�des int�ressants dont nous
+venons d'�tablir l'existence.
+
+\Section{155.}
+{Congruence d�duite du r�seau isom�trique sph�rique form�
+de coniques homofocales.}
+
+De toutes les congruences isotropes, la plus remarquable est celle que
+l'on d�duit de la consid�ration des quadriques homofocales. Il y a lieu de
+traiter diff�remment le cas des quadriques � centre et celui des parabolo�des
+homofocaux. Dans ce chapitre, nous ne nous occuperons que du
+premier cas.
+
+On sait que le plan tangent au c�ne asymptote d'un hyperbolo�de coupe
+cette surface suivant deux g�n�ratrices parall�les � la g�n�ratrice suivant
+laquelle le c�ne asymptote est touch� par le plan tangent. Cons�quemment
+les c�nes asymptotes de tous les hyperbolo�des homofocaux d�coupent, sur
+une sph�re de rayon unit�, ayant leur sommet commun pour centre, une
+famille de coniques sph�riques orthogonales formant un r�seau isom�trique.
+
+On voit que tous les �lasso�des group�s d�duits de ce r�seau isom�trique
+sph�rique seront alg�briques; l'une des congruences (et elle sera double) sera
+form�e des g�n�ratrices des quadriques homofocales; la congruence conjugu�e
+s'obtiendra en portant sur les tangentes aux courbes du r�seau des
+%% -----File: 209.png---Folio 203-------
+longueurs �gales aux valeurs du coefficient~$\lambda$ de l'�l�ment lin�aire; cette
+longueur port�e tangentiellement aux coniques intersections avec la sph�re
+des c�nes asymptotes des hyperbolo�des � une nappe, donnerait le pied des
+rayons de la congruence form�e par les g�n�ratrices des hyperbolo�des
+homofocaux; port�e � angle droit et tangentiellement aux coniques du
+r�seau, intersection de la sph�re et des c�nes asymptotes des hyperbolo�des
+� une nappe, homofocaux, elle d�terminera le pied de g�n�ratrices d'hyperbolo�des
+encore homofocaux aux premiers. On obtiendra donc les deux
+congruences conjugu�es en consid�rant les g�n�ratrices des quadriques
+\[
+\frac{x^2}{a^2-\lambda} + \frac{y^2}{b^2-\lambda} + \frac{z^2}{c^2-\lambda} = 1.
+\]
+
+
+\Section{156.}
+{Les �lasso�des conjugu�s co�ncident.}
+
+Ainsi, les deux �lasso�des conjugu�s ont m�me nature, m�me degr�,
+m�me classe. Ils forment la m�me surface.
+
+D�signant par $u$ et~$v$ les param�tres des coniques homofocales sph�riques,
+on trouve pour l'�l�ment lin�aire de la sph�re en fonction des �l�ments du
+r�seau $(u, v)$, la sph�re ayant pour rayon~$R$
+\[
+\frac{4\, dS^2}{R^2}
+  = \frac{(u-v)\, du^2}{(a^2-u)(b^2-u)(c^2-u)}
+  + \frac{(v-u)\, dv^2}{(a^2-v)(b^2-v)(c^2-v)}.
+\]
+
+Les coordonn�es d'un point de l'image sph�rique sont d�finies par le
+syst�me
+\begin{align*}
+x_0 &= R \sqrt{\frac{(a^2-u)(a^2-v)}{(b^2-a^2)(c^2-a^2)}}, \\
+y_0 &= R \sqrt{\frac{(b^2-u)(b^2-v)}{(c^2-b^2)(a^2-b^2)}}, \\
+z_0 &= R \sqrt{\frac{(c^2-u)(c^2-v)}{(a^2-c^2)(b^2-c^2)}}.
+\end{align*}
+
+%% -----File: 210.png---Folio 204-------
+
+\Section{157.}
+{Valeur du param�tre de la congruence isotrope.}
+
+Par des calculs dont nous supprimons le d�tail on trouve que sur l'hyperbolo�de
+$(u)$ le param�tre des g�n�ratrices de la quadrique $(u)$ a pour valeur
+\[
+p = i \frac{\sqrt{(a^2-u)(b^2-u)(c^2-u)}}{(u-v)}.
+\]
+
+Quant � la distance de la g�n�ratrice et de sa parall�le men�e par le centre
+de la sph�re, on trouve
+\[
+L = \sqrt{v-u}.
+\]
+
+Rien n'est plus simple que d'�tablir l'�quation du plan tangent � l'un des
+�lasso�des group�s, on a
+\begin{multline*}
+\sum \sqrt{\frac{(a^2-u)(a^2-v)}{(b^2-a^2)(c^2-a^2)}} X \\
+  = m \frac{\sqrt{(a^2-u)(b^2-u)(c^2-u)}}{(u-v)}
+  + n \frac{\sqrt{(a^2-v)(b^2-v)(c^2-v)}}{(v-u)},
+\end{multline*}
+o� $\sum$ s'applique � trois termes permut�s et o� $m$ et~$n$ sont des constantes
+arbitraires dont l'annulation donne lieu aux deux �lasso�des moyen et
+conjugu� ou, plus exactement, aux deux nappes de l'�lasso�de unique.
+
+
+\Section{158.}
+{Discussion de l'�lasso�de.}
+
+Les coordonn�es d'un point de l'�lasso�de stratifi� sont donn�es par trois
+formules sym�triques de la suivante\footnote
+  {L'�lasso�de moyen s'obtiendrait en faisant $m=1$, $n=0$, l'�lasso�de conjugu� en faisant $m=0$,
+   $n=1$, un couple arbitraire de valeur de~$m$ et~$n$ correspond � un �lasso�de stratifi� arbitraire.}
+\begin{gather*}% [** PP: Re-breaking, adding �]
+X \sqrt{(b^2-a^2)(c^2-a^2)} \\
+= \frac{1}{(v-u)^3}
+\left\{
+\begin{aligned}
+ m & \begin{aligned}
+     &\sqrt{(a^2-v)(b^2-u)(c^2-u)} \\
+     &�\bigl[3(a^2-u)(b^2-v)(c^2-v) + (a^2-v)(b^2-u)(c^2-u)\bigr]
+     \end{aligned} \\[2ex]
+-n & \begin{aligned}
+     &\sqrt{(a^2-u)(b^2-v)(c^2-v)} \\
+     &�\bigl[3(a^2-v)(b^2-u)(c^2-u) + (a^2-u)(b^2-v)(c^2-v)\bigr]
+      \end{aligned}
+\end{aligned}\right\},
+\end{gather*}
+%% -----File: 211.png---Folio 205-------
+les valeurs des deux autres coordonn�es s'obtenant par permutation circulaire.
+
+On v�rifie sans difficult� sur ces formules que les �lasso�des principaux
+sont coup�s par les plans coordonn�s suivant les d�velopp�es des coniques
+focales du r�seau de quadrique; ces courbes sont des g�od�siques de la
+surface. Les axes de coordonn�es appartiennent aussi au lieu comme lignes
+multiples; mais on sait qu'il n'y a que des segments de ces axes qui soient
+situ�s sur des nappes r�elles; on obtiendra les points limites de ces segments
+en portant sur un axe � partir du centre des longueurs �gales aux rayons
+de courbure limites de la conique focale situ�e dans un plan de sym�trie
+perpendiculaire et appartenant au syst�me conjugu�.
+
+On sait que les plans de sym�trie coupent encore l'�lasso�de moyen suivant
+des lignes doubles dont on construira les points \emph{en prenant les points milieux
+des droites joignant les centres des cercles de courbure de m�me rayon,
+d'une conique focale}.
+
+La classe de l'�lasso�de moyen est $12$ et son degr�~$66$.
+
+Si l'on consid�re un des hyperbolo�des homofocaux, tous les plans moyens
+correspondants enveloppent une d�veloppable de quatri�me classe.
+
+Dans le cas o� l'on consid�re au lieu d'hyperbolo�des des parabolo�des
+homofocaux, on voit directement en consid�rant les droites de l'�lasso�de
+situ�es dans le plan de l'infini que la classe est $5$ et le degr�~$15$\footnotemark.
+  \footnotetext{La consid�ration de la d�veloppable imaginaire double circonscrite � toutes les quadriques
+  homofocales, surface compl�tement �tudi�e et connue dans ses plus grands d�tails, permet de
+  traiter g�om�triquement et du premier coup tout ce qui a trait au degr� et � la classe de ces
+  �lasso�des.}
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 212.png---Folio 206-------
+
+
+\Chapter{XIX.}
+{�TUDE DES �LASSO�DES D�RIV�S DES PARABOLO�DES HOMOFOCAUX.}
+
+
+\Section{159.}
+{Calcul des coordonn�es de l'�lasso�de moyen en fonction
+de deux param�tres.}
+
+L'extr�me complication des �lasso�des d�riv�s des quadriques homofocales
+� centre conduit � examiner plus en d�tail le cas particulier qui a trait aux
+parabolo�des homofocaux: nous �tudierons les propri�t�s de l'�lasso�de moyen
+et de son conjugu�, car ici les deux nappes se s�parent.
+
+Rappelons que la recherche des lignes de courbure d�pend des fonctions
+elliptiques; nous l'avons d�j� �tabli en d�rivant des �lasso�des du plan;
+nous n'y reviendrons plus.
+
+L'�quation la plus g�n�rale des parabolo�des homofocaux rapport�s � leurs
+plans principaux (l'origine �tant au milieu du segment focal) est
+\[
+\frac{y^2}{\sin^2\varphi} - \frac{z^2}{\cos^2\varphi} = 8h(x-h \cos 2\varphi).
+\]
+
+Il en r�sulte que les �quations d'une g�n�ratrice peuvent s'�crire
+\begin{align*}
+y &= \frac{\sin\varphi}{\lambda} x
+   - \frac{h \sin\varphi}{\lambda} (-2\lambda^2 + \cos 2\varphi), \\
+z &= \frac{\cos\varphi}{\lambda} x
+   - \frac{h \cos\varphi}{\lambda} (2\lambda^2 + \cos 2\varphi);
+\end{align*}
+%% -----File: 213.png---Folio 207-------
+l'�quation de la ligne de striction est
+\[
+y \cos^3\varphi + z \sin^3\varphi = 0.
+\]
+
+D�s lors, on trouve pour les coordonn�es du point central
+\begin{align*}
+x' &= h \cos2\varphi(1 - 2\lambda^2), \\
+y' &= 4h\lambda \sin^3\varphi, \\
+z' &= 4h\lambda \cos^3\varphi. %[** . added]
+\end{align*}
+
+En cons�quence l'�quation du plan moyen est
+\[
+\lambda x + y \sin\varphi + z \cos\varphi
+  + \lambda h \cos2\varphi (3 + 2\lambda^2) = 0;
+\]
+on en d�duit pour les coordonn�es du point de contact du plan moyen et de
+l'�lasso�de
+\begin{align*}
+X &= -3h \cos2\varphi (1 + 2\lambda^2), \\
+Y &= 2\lambda h \sin \varphi [\cos 2\varphi (4\lambda^2 + 3) + (2\lambda^2 + 3)], \\
+Z &= 2\lambda h \cos \varphi [\cos 2\varphi (4\lambda^2 + 3) - (2\lambda^2 + 3)].
+\end{align*}
+
+
+\Section{160.}
+{Calcul des coordonn�es de l'�lasso�de conjugu�.}
+
+Nous trouvons pour le param�tre de distribution
+\[
+P = -2h \sin 2\varphi (1 + \lambda^2).
+\]
+
+L'�quation du plan tangent � l'�lasso�de conjugu� est
+\[
+\lambda X + Y \sin\varphi + Z \cos\varphi
+  = 2h \sin^2\varphi (1 + \lambda^2)^{\frac{3}{2}}.
+\]
+
+Les coordonn�es de l'�lasso�de sont d�finies par les �quations
+\begin{align*}
+X' &= 6h \sin 2\varphi\lambda (1 + \lambda^2)^{\frac{1}{2}}, \\
+Y' &= 4h \cos \varphi(1 + \lambda^2)^{\frac{1}{2}}
+      \bigl[\cos^2\varphi + \lambda^2(\cos^2\varphi - 3\sin^2\varphi)\bigr], \\
+Z' &= 4h \sin \varphi(1 + \lambda^2)^{\frac{1}{2}}
+      \bigl[\sin^2\varphi + \lambda^2(\sin^2\varphi - 3\cos^2\varphi)\bigr].
+\end{align*}
+
+%% -----File: 214.png---Folio 208-------
+
+\Section{161.}
+{Classe de l'�lasso�de moyen et des �lasso�des stratifi�s.}
+
+Cherchons la classe de l'�lasso�de central: nous trouvons pour l'�quation
+de la surface polaire r�ciproque par rapport � une sph�re du rayon~$h$, ayant
+son centre � l'origine:
+\[
+X(Z^2 - Y^2) [3(Y^2 + Z^2) + 2X^2] = h(Y^2 + Z^2)^2.
+\]
+
+\emph{L'�lasso�de est donc de cinqui�me classe.}
+
+Nous trouvons de m�me, pour la polaire r�ciproque de l'�lasso�de conjugu�,
+l'�quation
+\[
+Y^2 Z^2 (X^2 + Y^2 + Z^2)^3 = h^2(Y^2 + Z^2)^4.
+\]
+
+\emph{L'�lasso�de conjugu� est de dixi�me classe.}
+
+On trouve avec la m�me facilit� l'�quation de la polaire r�ciproque d'un
+des �lasso�des stratifi�s quelconque
+\[
+\bigl[h(Y^2 + Z^2)^2 - mX(Z^2 - Y^2)[3(Y^2 + Z^2) + 2X^2]\bigr]^2
+  - 4n^2 Y^2 Z^2(X^2 + Y^2 + Z^2)^3;
+\]
+on voit que leur classe n'est jamais sup�rieure � \emph{dix}.
+
+
+\Section{162.}
+{Le degr� de l'�lasso�de central est~$15$. Consid�ration de la section par le plan
+de l'infini et de la section par le plan des~$XY$.}
+
+La d�veloppable isotrope unique touchant chacun des parabolo�des homofocaux
+a son ar�te de rebroussement du sixi�me ordre; l'intersection de
+l'�lasso�de moyen et du plan de l'infini doit donc �tre compos�e de $\frac{6(6-1)}{2}$
+droites; cons�quemment la surface doit �tre du quinzi�me degr�. On le
+%% -----File: 215.png---Folio 209-------
+v�rifie bien facilement comme il suit: cherchons l'intersection par le plan
+des~$XY$; il y a trois cas � examiner:
+
+\primo~$\lambda= 0$, alors $Y$ est nul et
+\[
+X = -3h(\cos^2 \varphi - \sin^2\varphi),
+\]
+le plan tangent, tout le long de l'axe des~$X$, qui forme ligne multiple, est
+d�fini par l'�quation
+\[
+Y \sin\varphi + Z \cos\varphi = 0,
+\]
+le point de contact a pour abscisse
+\[
+X_0 = -3h \frac{1 - \tg^2\varphi}{1 + \tg^2\varphi};
+\]
+on voit qu'� chaque valeur de~$X_0$ % [**** X_O?]
+correspondent deux valeurs de $\tg\varphi$ et par
+cons�quent deux plans tangents. L'axe des~$X$ est donc \emph{ligne double}.
+
+\secundo~$\cos \varphi = 0$. Le plan tangent a son �quation de la forme
+\[
+\lambda X � Y - \lambda h(3 + 2\lambda^2) = 0;
+\]
+il est parall�le � l'axe des $Z$ tout le long de la section qui est ligne simple;
+son �quation est
+\[
+\left(\frac{X-3h}{6h}\right)^3 = \frac{Y^2}{16h^2},
+\]
+\emph{c'est la d�velopp�e de la parabole focale contenue dans le plan des~$XY$};
+\begin{flalign*}
+&\text{\indent\tertio}&&
+3\sin^2\varphi(1 + \lambda^2) - \cos^2\varphi\lambda^2 = 0.\qquad &&
+\end{flalign*}
+
+La ligne correspondante est double, les plans tangents en un de ses points
+sont d�finis par l'�quation
+\[
+\cos V = \frac{\cos\varphi}{\sqrt{1 + \lambda^2}}.
+\]
+
+%% -----File: 216.png---Folio 210-------
+
+Effectuant l'�limination on trouve pour l'�quation de la courbe double
+\begin{align*}% [** PP: Re-breaking]
+-24 x^3 y^2 &+ 3h(2^6 x^4 - 2^3�3x^2 y^2 - 3^2�y^4) \\
+  &+ 3^2�2^3h^2x(3y^2 + 2^2�5�y^2) + 2^4�3^2h^3(3x^2 + y^2)=0;
+\end{align*}
+\emph{elle est du cinqui�me ordre et doit �tre compt�e pour dix unit�s}.
+
+Additionnant les degr�s des courbes d'intersection, on trouve bien $15$
+pour le degr� de la surface.
+
+
+\Section{163.}
+{La section de l'�lasso�de par le plan des $ZY$ se compose de deux droites triples
+et d'une ligne de courbure imaginaire qui est une hypocyclo�de � quatre
+rebroussements.}
+
+Si l'on cherche la section de la surface par le plan des $ZY$ on trouve
+\primo~comme \emph{droites triples} les bissectrices des angles des axes; \secundo~en rapportant
+la section � ces lignes triples, on trouve pour l'�quation du compl�ment
+\[
+2 = \left(-\frac{z'^2}{h^2}\right)^{\frac{1}{3}} % [** PP: Exponent indistinct, typo 5?]
+  + \left(-\frac{y'^2}{h^2}\right)^{\frac{1}{3}},
+\]
+ce qui d�note une hypocyclo�de imaginaire � quatre rebroussements. Tout le
+long de cette courbe le plan tangent � la surface est d�fini par la relation
+\[
+\cos V = \frac{i}{\sqrt{3}},
+\]
+\emph{c'est donc une ligne de courbure imaginaire}.
+
+\tertio~La droite de l'infini appartient tout enti�re au lieu. On v�rifie sans difficult�
+que la section de la surface par le plan de l'infini se compose de cette
+droite \emph{nonuple} et des deux tangentes � l'ombilicale (compt�es \emph{triples}) men�es
+aux ombilics du plan~$ZY$.
+
+%% -----File: 217.png---Folio 211-------
+
+\Section{164.}
+{L'�lasso�de est inscrit dans un c�ne de r�volution ayant son sommet � l'origine.}
+
+Si l'on cherche l'�quation du c�ne circonscrit � la surface et ayant son
+sommet � l'origine, on trouve le \emph{c�ne de r�volution}
+\[
+\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}} (Y^2 + Z^2) = X^2,
+\]
+dont la courbe de contact est d�finie par l'�quation
+\[
+\frac{X^5}{6h} + \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}} (Z^2 - Y^2) = 0.
+\]
+
+
+\Section{165.}
+{Les courbes de l'�lasso�de correspondant aux parabolo�des homofocaux sont
+de quatri�me ordre et de deuxi�me esp�ce, leurs trajectoires orthogonales
+sont du sixi�me ordre.}
+
+Les lignes les plus simples que l'on puisse tracer sur l'�lasso�de moyen
+sont celles qui correspondent � chacun des parabolo�des homofocaux; ce
+sont les courbes de contact de cylindres dont les g�n�ratrices sont perpendiculaires
+aux divers plans directeurs des parabolo�des. Tous ces plans
+directeurs sont parall�les � l'axe des~$X$, et si l'on m�ne les plans parall�les
+passant par cet axe ils couperont les cylindres circonscrits suivant les d�velopp�es
+des paraboles, projections des lignes de striction.
+
+Prenant toujours pour origine et pour axe des $X$ les m�mes donn�es,
+mais pour plan des $XY$ le plan directeur correspondant � une valeur donn�e
+de $\varphi=\frac{\omega}{2}$, nous trouvons pour �quation de la ligne de contact
+\begin{gather*}
+2h^2 \cos^2 \omega y^2 + (x + 3h \cos\omega)^3 = 0, \\
+\frac{2}{y} = \tg\omega \frac{6h \cos\omega - x}{3h \cos\omega + x}.
+\end{gather*}
+
+%% -----File: 218.png---Folio 212-------
+
+Ces deux surfaces ont pour intersection la g�n�ratrice repr�sent�e par
+\[
+x = -3h \cos\omega,\quad y = 0,
+\]
+et la courbe de contact proprement dite, qui est du quatri�me ordre, � point
+de rebroussement, et de deuxi�me esp�ce.
+
+Sur la surface, ces courbes forment une famille dont les trajectoires orthogonales
+sont des courbes du sixi�me ordre trac�es sur des quadriques de
+r�volution.
+
+
+\Section{166.}
+{Lignes de l'�lasso�de conjugu� correspondant aux parabolo�des homofocaux:
+courbes de contact de cylindres dont la section droite, du sixi�me ordre, est
+la d�velopp�e d'une courbe du sixi�me ordre.}
+
+Il convient maintenant d'�tudier l'�lasso�de conjugu�. Commen�ons par
+chercher, dans le dernier syst�me d'axes, les courbes correspondant aux
+parabolo�des homofocaux successifs. Posons, pour plus de commodit�,
+\[
+\lambda = \cot\mu. % [** PP: cotg in original]
+\]
+
+L'�quation du plan tangent � l'�lasso�de conjugu� devient
+\[
+x \cos\mu + y \sin\mu = \frac{h \sin\omega}{2\sin^2\mu}.
+\]
+
+On v�rifie (comme l'indiquait d�j� la th�orie g�n�rale) que la d�veloppable
+correspondant � une valeur de~$\omega$ est un cylindre; on sait que sa section
+droite doit �tre la d�velopp�e d'une courbe alg�brique. Il suffira de le
+d�montrer pour le cas o� $\omega$ sera �gal �~$\frac{\pi}{2}$.
+
+Les coordonn�es du point de tangence sont
+\[
+x = \frac{5h}{2}\, \frac{\cos\mu}{\sin^2\mu},\quad % y[**looks more like eta, but (x,y) on rest of page]
+y = \frac{h}{2}\,  \frac{(\sin^2\mu - 2\cos^2\mu)}{\sin^3\mu},
+\]
+%% -----File: 219.png---Folio 213-------
+mais, d'apr�s la th�orie g�n�rale, le rayon de courbure de la d�veloppante
+cherch�e est
+\[
+R = \frac{h}{2} \cos\mu \frac{3\sin^2\mu + 2\cos^2\mu}{\sin^3\mu};
+\]
+on en d�duit sans peine que la d�veloppante est l'enveloppe de la droite
+ayant pour �quation
+\[
+-x \sin\mu + y \cos\mu = \frac{h}{2} \cot \mu.
+\]
+
+On en peut donner la d�finition suivante: c'est l'\emph{enveloppe d'un c�t� d'un
+angle droit dont l'autre c�t� touche le cercle de rayon~$\frac{h}{2}$ et dont le sommet
+d�crit un diam�tre du cercle}.
+
+On peut d�finir l'�lasso�de conjugu� comme admettant pour g�od�sique la
+d�velopp�e de la courbe pr�c�dente; celle-ci a pour �quation cart�sienne
+\[
+x^2(8a^2 + y^2)^2 = [4x^2 + 3(y^2 - a^2)][(y^2 - a^2)^2 - 12a^2 x^2],
+\]
+et sa d�velopp�e
+\[
+\frac{2^4}{3^4}\, \frac{x^6}{a^4}
+  - \frac{4}{3}\, \frac{x^2}{a^2} (2x^2 + 9y^2)
+  - \frac{9y^2}{a^2} + 9(x^2 + y^2) = 0,
+\]
+elles sont toutes deux \emph{du sixi�me ordre}.
+
+
+\Section{167.}
+{�quation de la courbe de contact des cylindres d�rivant des parabolo�des
+homofocaux lorsqu'on les a �tendus sur un plan {\upshape(}sixi�me ordre{\upshape)}.}
+
+Pour compl�ter l'�tude des courbes des deux �lasso�des correspondant aux
+parabolo�des, il convient de chercher ce qu'elles deviennent lorsqu'on aplatit
+les cylindres circonscrits sur un plan. On sait d'apr�s la th�orie g�n�rale
+que dans ce cas la courbe de contact se transforme \emph{en une seule courbe alg�brique};
+elle a pour �quation
+\begin{align*}% [** PP: Re-breaking]
+0 &= \frac{4^3}{3^3�h^4} %[**5^3?]
+  \left(\frac{z^2}{\cos^2\omega} - \frac{R^2}{\sin^2\omega} - h^2\right)^3 \\
+  &\quad+ \frac{4^2}{3�h^2}
+  \left(\frac{z^2}{\cos^2\omega} - \frac{R^2}{\sin^2\omega} - h^2\right)^2
+  + 3
+  \left(\frac{z^2}{\cos^2\omega} - \frac{4}{3}\,\frac{R^2}{\sin^2\omega} - 1\right),
+\end{align*}
+%% -----File: 220.png---Folio 214-------
+$Z$ et~$R$ �tant les deux coordonn�es; \emph{la courbe est donc du sixi�me degr�}.
+
+Pour d�terminer le degr� de l'�lasso�de conjugu�, il convient de chercher
+sa section par le plan des $XY$ qui est un plan de sym�trie.
+
+
+\Section{168.}
+{Degr� de l'�lasso�de conjugu� {\upshape(26)}.}
+
+\primo\quad$\sin\varphi = 0$ l'axe des~$y$ \emph{sextuple} appartient au lieu, quatre nappes sont
+imaginaires, deux sont r�elles aux points tels que
+\[
+y^2 > h^2.
+\]
+\begin{flalign*}
+&\text{\indent\secundo} &&
+(1 + \lambda^2)\sin^2\varphi - 3\lambda^2 \cos^2\varphi = 0.\qquad &&
+\end{flalign*}
+
+La courbe est double; rempla�ant $\lambda^2$ par~$\omega$, l'�quation s'obtiendra en �liminant
+$\omega$ entre les relations
+\begin{gather*}
+\omega^2 + \omega \left(1 � \frac{4}{3^\frac{3}{2}}\, \frac{x}{h}\right) � \frac{x}{3^\frac{3}{2} h} = 0, \\
+\omega \frac{3^\frac{3}{2} y^2}{hx} + (1 + \omega)(1 - 2\omega)^2 = 0,
+\end{gather*}
+on trouve deux courbes distinctes suivant le signe donn� �~$x$; elles sont du
+cinqui�me degr� et ont pour �quation
+\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking]
+2 \frac{y^4}{h} + 3h\left(1 - 16 \frac{x'^2}{h^2}\right) \\
+  \qquad= 2 � 3^2 hx'^2 \left(1 + 4 \frac{x'}{h}\right)^2
+  + y^2 \left[\left(1 + \frac{6x'}{h}\right)2 % [**** F1: Coefficient at end?]
+              - x'\left(1 + \frac{8x'}{h}\right) \left(2^3 \frac{x'}{h} + 5\right)\right],
+\end{multline*}
+o� l'on a pos�
+\[
+�x = x' 3^\frac{3}{2}\footnotemark.
+\]
+  \footnotetext{Il existe deux autres plans (� $45�$ sur les premiers) qui sont plans de sym�trie, qui coupent
+par cons�quent l'�lasso�de suivant une ligne double laquelle se d�compose en deux lignes
+du cinqui�me degr�. La section par le plan des $ZY$ comprend comme ligne de courbure une
+hypocyclo�de � quatre rebroussements.}
+
+On en conclut que le degr� est~$26$.
+
+%% -----File: 221.png---Folio 215-------
+
+\Section{169.}
+{Formation d'un r�seau isom�trique sph�rique compos� de biquadratiques,
+comme application de la th�orie g�n�rale.}
+
+On sait que les g�n�ratrices des parabolo�des homofocaux peuvent �tre
+consid�r�es comme les rayons d'une congruence isotrope d�riv�e d'un certain
+r�seau isom�trique trac� sur la sph�re, r�seau qui variera par cons�quent
+avec la position du centre de la sph�re; cherchons en particulier ce qu'il
+est dans le cas o� la sph�re a pour centre le point milieu du segment focal.
+
+Nous trouvons pour int�grales des lignes du r�seau
+\begin{align*}
+\frac{\sin 2\omega}{\cos 2\varphi} &= ai, \\
+\frac{\sin 2\varphi}{\cos 2\omega} &= b,
+\end{align*}
+o� $a$ et~$b$ sont les constantes caract�ristiques de ces lignes. En coordonn�es
+cart�siennes, on trouve
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+a &= \frac{2RX}{Y^2 - Z^2}, \\
+b &= \frac{2YZ}{2X^2 + Y^2 + Z^2}
+\end{aligned}\ \right\}
+\text{ avec}\quad R^2 = X^2 + Y^2 + Z^2;
+\]
+\emph{ce sont donc des biquadratiques}.
+
+Si l'on cherche l'expression du quarr� de l'�l�ment lin�aire de la sph�re,
+on trouve
+\[
+\frac{dS^2}{R^2}
+  = \frac{1}{2}\, \frac{(1 + a^2)(1 + b^2)}
+                       {1 + a^2 b^2 + \sqrt{(1 + a^2)(1 + a^2 b^2)}}
+  \left[\frac{da^2}{(1 + a^2)^2} + \frac{db^2}{(1 - b^2)^2}\right], % [** PP: . -> ,]
+\]
+ainsi se v�rifie cette cons�quence de la th�orie g�n�rale, que le r�seau est
+orthogonal et isom�trique.
+
+Voil� bien assez de d�tails au sujet des �lasso�des d�riv�s des parabolo�des
+homofocaux.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 222.png---Folio 216-------
+
+
+\Chapter{XX.}
+{�TUDE DES �LASSO�DES APPLICABLES SUR DES SURFACES DE R�VOLUTION\footnotemark.}
+
+\footnotetext{Ce chapitre est le r�sum� d'une �tude entreprise par M.~Rouquet sur ma demande.}
+
+
+\Section{170.}
+{Les g�od�siques principales, et leurs trajectoires orthogonales, sur des �lasso�des
+applicables sur des surfaces de r�volution ont pour image sph�rique
+un r�seau orthogonal form� de grands cercles et de petits cercles.}
+
+Bour a montr� qu'il existe une famille d'�lasso�des applicables sur des surfaces
+de r�volution; nous terminerons cette �tude des �lasso�des par une
+�tude de ces surfaces remarquables dont un grand nombre sont alg�briques,
+sur lesquelles on peut int�grer l'�quation des lignes de courbure et de leurs
+trajectoires, et dont (par d�finition) les g�od�siques s'obtiennent par de
+simples quadratures.
+
+Rappelons rapidement les propri�t�s fondamentales de ces surfaces. Tout
+r�seau orthogonal d'un �lasso�de a pour image sph�rique un r�seau orthogonal.
+Soient $A$, $B$ les courbures normales des courbes transform�es, sur
+l'�lasso�de, des m�ridiens et des parall�les des surfaces de r�volution, $D$~le
+param�tre de d�viation, l'�l�ment lin�aire de l'�lasso�de et celui de la sph�re
+sont
+\begin{align*}
+dS^2  &= f^2\, du^2 + g^2\, dv^2, \\
+dS'^2 &= (A^2 + D^2)(f^2\, du^2 + g^2\, dv^2).
+\end{align*}
+
+$A$ et~$B$ sont �gaux et de signe contraire, mais les lignes $(v)$ et~$(u)$ �tant
+sur l'�lasso�de des g�od�siques et des cercles g�od�siques, $f$ et~$g$ sont des
+%% -----File: 223.png---Folio 217-------
+fonctions de~$u$ seule. D'un autre c�t�, la troisi�me �quation de Codazzi,
+appliqu�e au r�seau $(u, v)$ de l'�lasso�de, donne
+\[
+fg(A^2 + D^2) = \frac{d}{du} \left(\frac{dg}{f\, du}\right),
+\]
+par cons�quent $A^2 + D^2$ qui est fonction de~$g$ et de~$f$ est une simple fonction
+de~$u$. Ceci d�montre que sur la sph�re les coefficients du quarr� de l'�l�ment
+lin�aire sont tous deux fonction de~$u$ seule. D�s lors \emph{les lignes~$v$ sont des
+g�od�siques et par cons�quent des grands cercles; les lignes~$u$ sont des cercles
+g�od�siques et par cons�quent des petits cercles}.
+
+On sait qu'un semblable r�seau ne peut �tre compos� que de grands
+cercles ayant un diam�tre commun et de petits cercles ayant pour p�les
+les extr�mit�s de ce diam�tre.
+
+En cons�quence le carr� de l'�l�ment lin�aire de la sph�re se mettra sous
+la forme la plus simple
+\[
+dS'^2 = du^2 + \sin^2 u\Reg{�}{\,} dv^2.
+\]
+Nous prendrons pour surface de r�f�rence la sph�re rapport�e � ce r�seau
+particulier. D�signons par~$t$ la distance du centre de la sph�re (de rayon
+unit�) au plan tangent de l'�lasso�de; posant
+\begin{align*}
+M  &= \frac{d^2 t}{du^2} + t, \\
+M' &= \frac{1}{\sin u}\Reg{�}{\,} \frac{d^2 t}{dv^2}
+    + \cos u\, \frac{dt}{du} + t \sin u, \\
+N  &= \frac{d^2 t}{du\, dv} - \cot u\, \frac{dt}{dv},
+\end{align*}
+on trouve pour l'�l�ment lin�aire de la surface-enveloppe du plan~$t$, par les
+calculs de p�rimorphie
+\[
+dS^2 = \left(M^2  + \frac{N^2}{\sin^2 u}\right) du^2
+     + (M'^2 + N^2)\, dv^2
+     + 2N \left(\frac{M'}{\sin u} + M\right)\, du\, dv.
+\]
+
+La surface est �lasso�de si le r�seau $(u, v)$ correspondant au r�seau sph�rique
+est orthogonal et n'est pas celui des lignes de courbure (ce qui �limine
+l'hypoth�se de $N = O$). % [**** F1: 0 -> O]
+
+%% -----File: 224.png---Folio 218-------
+
+Cons�quemment nous devrons avoir
+\[
+M'=-M \sin u,
+\]
+et pour que l'�lasso�de soit applicable sur une surface de r�volution (nous
+d�signerons par~$(\varepsilon_r)$ les �lasso�des de cette nature) il faut et il suffit que
+$\left(M^2+\frac{N^2}{\sin^2 u}\right)$ soit une simple fonction de~$u$.
+
+\Section{171.}
+{�quation g�n�rale des cylindres circonscrits le long des g�od�siques
+principales des �lasso�des~$(\varepsilon_r)$.}
+
+Nous poserons donc
+\[
+M = U \cos V, \quad \frac{N}{\sin u} = U \sin V;
+\]
+on d�montre que $V$ est une simple fonction de~$v$. Par des calculs dont nous
+supprimons le d�tail, on trouve
+\[
+t= \frac{a}{m(m^2-1)}\cot^m \frac{u}{2} (m-\cos u) \cos m (v+v_0) + \sin u(V_1+U_2),
+\]
+o� l'on a pos�
+\[
+V_1=b \cos v + b'\sin v, \quad U_2=c \cot u.
+\]
+
+Les constantes $b$, $b'$, $c$ n'ont d'influence que sur la position de la surface
+et~$a$ sur son �chelle de grandeur. La constante~$v_0$ influe seulement sur
+l'orientation de la surface; la constante~$m$ est donc la seule � consid�rer et
+toutes les autres peuvent �tre annul�es sans inconv�nient; on aura donc
+\[
+t=\frac{a}{ m(m^2-1)} \cot^m \frac{u}{2}(m-\cos u) \cos mv.
+\]
+
+\begin{Emph}
+L'�lasso�de $(\varepsilon_r)$ est l'enveloppe de cylindres semblables entre eux dont les
+courbes de contact sont des g�od�siques de l'�lasso�de.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 225.png---Folio 219-------
+
+\Section{172.}
+{Forme des �lasso�des $(\varepsilon_r)$.}
+
+L'�lasso�de est compos� de nappes identiques dont une enti�re s'obtient
+en faisant varier~$u$ de~$0$ �~$\pi$ et~$v$ de~$0$ �~$\frac{2\pi}{m}$.
+
+La surface enti�re s'obtiendra en faisant tourner cette nappe de l'angle~$\frac{2\pi}{m}$
+ind�finiment. Si~$m$ est un nombre entier on retrouvera la nappe primitive,
+apr�s $m$ rotations; si~$m$ est un nombre fractionnaire~$\frac{p}{q}$, $p$ rotations seront
+n�cessaires pour retrouver la premi�re nappe $\left(\frac{p}{q}\text{ �tant suppos�e irr�ductible}\right)$.
+
+De ce que $t$ ne change pas quand on change $v$ en~$\frac{2\pi}{m}-v$, il r�sulte que
+chaque nappe admet un plan de sym�trie.
+
+Les �lasso�des $(\varepsilon_r)$, alg�briques, correspondent aux valeurs commensurables
+de~$m$.
+
+\Section{173.}
+{Rectification des g�od�siques principales. Lignes de courbure.}
+
+Les lignes~$(v)$ de l'�lasso�de ont pour longueur
+\[
+S_v=\frac{a}{m^2-1}\frac{\cot^m \dfrac{u}{2}(m-\cos u)}{\sin u}.
+\]
+
+\begin{Emph}
+\emph{Si l'on cherche l'�quation des lignes de courbure, on trouve, pour l'angle
+qu'elles font avec la ligne~$(v)$,
+\[
+\varphi=k\frac{\pi}{2}+\frac{mv}{2};
+\]
+mais l'angle~$mv$ est celui que fait la ligne~$(v)$ de l'�lasso�de avec son image
+sph�rique, cons�quemment:} En un point d'un �lasso�de~$(\varepsilon_r)$ les directions des
+lignes de courbure sont les bissectrices des angles que forment les directions
+de la ligne~$(v)$ passant en ce point et de son image sph�rique; ces angles croissent
+proportionnellement au module~$m$ et au param�tre~$v$. Une m�me ligne~$(v)$
+coupe sous un angle constant les lignes de courbure de la surface.
+\end{Emph}
+
+%% -----File: 226.png---Folio 220-------
+
+Les �quations des lignes de courbure sont
+\begin{gather*}
+\cot \frac{mu}{2} � \sin^2 \frac{mv}{2} = h^2, \\
+\cot \frac{mu}{2} � \cos^2 \frac{mv}{2} = k^2,
+\end{gather*}
+o�~$h$ et~$k$ sont les param�tres de chacune de ces lignes.
+
+Les lignes de courbure comme les lignes asymptotiques sont alg�briques.
+Il con\-vi\-ent, pour se figurer ces courbes, de faire la projection st�r�ographique
+de leur image sph�rique sur le plan des $YZ$ (le point de vue �tant � un p�le
+du grand cercle situ� dans ce plan).
+
+\Section{174.}
+{Projections st�r�ographiques des images des lignes de courbure
+(Spirales de Lam�).}
+
+$\rho$ d�signant le rayon vecteur, dans le plan~$YZ$, on a pour les perspectives
+des images des lignes de courbure
+\begin{gather*}
+\rho^m � \sin^2 \frac{mv}{2} = h^2, \\
+\rho^m � \cos^2 \frac{mv}{2} = k^2.
+\end{gather*}
+
+Ce sont des spirales dont M.~Haton a r�sum� les propri�t�s (\textit{Nouvelles
+Annales de math�matiques}, 1876, pp.~97 �~108). Les lignes asymptotiques
+donneraient lieu � des perspectives identiques aux pr�c�dentes, l'axe polaire
+ayant simplement tourn� de $\frac{\pi}{2m}$. Ces spirales se coupent � angle droit; elles
+forment un r�seau isom�trique (\textsc{Lam�}, \textit{Journal de Liouville}, \Ord{1}{re}~s�r., t.~I, p.~86).
+
+Pour que les courbes pr�c�dentes deviennent des cercles ou des droites, $m$
+devra �tre �gal � deux. Dans ce cas, les lignes de courbure ont pour image
+sph�rique des cercles et par cons�quent sont planes. L'�lasso�de correspondant
+est celui d'Enneper.
+
+%% -----File: 227.png---Folio 221-------
+
+L'�l�ment lin�aire de l'�lasso�de~$(\varepsilon_r)$, rapport� aux lignes de courbure, est
+\[
+dS^2 = \frac{a^2}{m^2} (h^2+k^2)
+  \left[(h^2 + k^2)^{ \frac{1}{m}}
+      + (h^2 + k^2)^{-\frac{1}{m}}\right]^2 (dh^2 + dk^2).
+\]
+
+\Section{175.}
+{Tous les �lasso�des group�s correspondant � un �lasso�de~$(\varepsilon_r)$ sont identiques
+� celui-ci. Les �lasso�des group�s qu'on peut d�duire du r�seau isom�trique
+des lignes de courbure sont des~$(\varepsilon_r)$ identiques.}
+
+On pourrait manifestement d�duire de nouveaux �lasso�des group�s de la
+connaissance des r�seaux isom�triques, images des lignes de courbure. Ces
+�lasso�des seraient alg�briques en m�me temps que les spirales; il suffit de
+les signaler. Ces nouveaux �lasso�des ne diff�rent pas de ceux qui nous
+occupent. En effet, les trajectoires sous un angle arbitraire des spirales repr�sentant
+les lignes de courbure ne sont autre chose que ces spirales tourn�es
+d'un certain angle; cons�quemment tous les �lasso�des group�s seraient identiques
+entre eux, absolument comme les �lasso�des $(\varepsilon_r)$ et les �lasso�des
+stratifi�s. Les images sph�riques de leurs lignes de courbure, trajectoires les
+unes des autres, devront �tre identiques, elles sont la perspective des spirales
+indiqu�es ci-dessus.
+
+\Section{176.}
+{Classe des �lasso�des~$(\varepsilon_r)$.}
+
+Il est facile d'�tablir la classe des �lasso�des~$(\varepsilon_r)$.
+
+Posant:
+\[
+\rho^2=X^2+Y^2+Z^2,
+\]
+on obtient:
+\begin{gather*}
+X= \rho \cos u, \quad
+Y=-\rho \sin u \cos v, \quad
+Z=-\rho \sin u \sin v, \\
+\rho t=a^2,
+\end{gather*}
+%% -----File: 228.png---Folio 222-------
+$X$, $Y$, $Z$ d�signant les coordonn�es d'un point de la polaire r�ciproque. On
+trouve en exprimant~$t$ en~$X$ et~$Y$
+\[
+t = \frac{(-1)^m a}{2m(m^2-1)}\,
+    \frac{(Y+iZ)^m + (Y-iZ)^m }{(\rho - X)^m}
+  � \frac{m\rho - X}{\rho},
+\]
+d'o� r�sulte pour l'�quation cherch�e
+\[
+\bigl[(Y+iZ)^m + (Y-iZ)^m\bigr] (m\rho - X) = 2am(m^2-1)(X-\rho)'''.
+\]
+
+Il y a trois cas � distinguer suivant que $m$ est un nombre entier, fractionnaire
+ou incommensurable.
+
+\begin{Emph}
+\primo~Lorsque le module~$m$ est un nombre entier positif, la classe de l'�lasso�de~$(\varepsilon_r)$
+est �gale �~$2(m + 1)$.
+\end{Emph}
+
+\secundo~Le module~$m$ est commensurable et �gal �~$\frac{p}{q}$, on a donc
+\[
+\bigl[(Y + iZ)^{\frac{p}{q}}
+    + (Y - iZ)^{\frac{p}{q}}\bigr]^q (m\rho - X)^q = k^q (X - \rho)^p,
+\]
+en donnant � $k$ la valeur
+\[
+k = 2am(m^2 - 1).
+\]
+
+Pour faire dispara�tre les radicaux d'indice~$q$, il faut former la \emph{norme} de
+l'�quation, c'est-�-dire le produit
+\[
+\prod^{\mu=q-1}_{\mu=0}
+   \left[\bigl\{(Y + iZ)^{\frac{p}{q}}
+    + \alpha_\mu(Y - iZ)^{\frac{p}{q}}\bigr\}^q
+      (m\rho - X)^q - k^q (X - \rho)^p \right],
+\]
+o� $\alpha_\mu$ d�signe l'une quelconque des racines de l'�quation bin�me
+\[
+\omega^q - 1 = 0. %[** PP: Typo \omega^2]
+\]
+
+\begin{Emph}
+\emph{On obtiendra ainsi une fonction enti�re de~$X$, $Y$, $Z$, $\rho$, de degr� $q(p + q)$
+qui sera le premier membre d'une �quation o� il ne subsistera plus qu'un
+radical contenant~$\rho$. Cons�quemment l'}�quation de la polaire r�ciproque sera
+de degr� $2q(p + q)$.
+\end{Emph}
+
+Par exemple, lorsque $m = \frac{1}{2}$ la classe est~12.
+
+\tertio~Lorsque $m$ est incommensurable, les �lasso�des ne sont plus alg�briques.
+
+%% -----File: 229.png---Folio 223-------
+
+\Section{177.}
+{Valeurs des coordonn�es d'un �lasso�de~$(\varepsilon_r)$. Degr� �gal � $(m + 1)^2$
+si le module~$m$ est entier.}
+
+Les coordonn�es d'un point de l'�lasso�de, en introduisant comme param�tre
+auxiliaire la fonction d�sign�e ci-dessus
+\[
+\rho = \cot \frac{u}{2},
+\]
+deviennent
+\begin{align*}
+X &= \frac{a}{m} \rho^m \cos mv,\\
+Y &= \frac{a}{2} \left[\frac{ \rho^{m+1}}{m+1} \cos(m + 1)v - \frac{\rho^{m-1}}{m-1} \cos(m - 1)v \right],\\
+Z &= \frac{a}{2} \left[ \frac{\rho^{m+1} }{m+1} \sin(m + 1)v + \frac{\rho^{m-1}}{m-1} \sin(m - 1)v \right].
+\end{align*}
+
+Ce sont, � des diff�rences insignifiantes pr�s, les formules donn�es par Bour.
+
+Dans le cas o� $m$ est entier et positif, on peut �tablir l'ordre de l'�lasso�de.
+On trouve, par des consid�rations assez d�taill�es, que le plan des~$YZ$ coupe
+la surface suivant~$m$ droites, �cart�es de l'angle~$\frac{\pi}{m}$, deux � deux, passant
+toutes par l'origine, de multiplicit� $m + 1$. Le plan contient en outre la
+droite de l'infini comme droite de multiplicit� �gale �~$m + 1$. Dans ce cas,
+l'ordre de la surface est �gal �~$(m + 1)^2$.
+
+\Section{178.}
+{Chaque courbe $(u)$ est situ�e sur une quadrique.}
+
+On peut, sans sortir de la g�n�ralit�, �tablir certaines propri�t�s des
+courbes $(u)$; on trouve, en effet, la relation
+\[
+\frac{4}{a^2}\left( Y^2 + Z^2 + \frac{m^2}{m^2-1} X^2 \right) =
+\left( \frac{\rho^{m+1}}{m+1} - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}\right)^2;
+\]
+lorsque $u$ reste constant et par cons�quent~$\rho$, on voit que la courbe
+$(u)$ est
+%% -----File: 230.png---Folio 224-------
+situ�e sur une quadrique de r�volution homoth�tique � la quadrique fixe
+\[
+Y^2 + Z^2 + \frac{m^2}{m^2-1} X^2 = a^2.
+\]
+
+On peut trouver une autre relation ind�pendante de~$v$. En posant
+\[
+\cos v + i \sin v = \lambda,
+\]
+on a les �quations simultan�es
+\begin{align*}
+\frac{2}{a} (Y + iZ) &= \frac{ \rho^{m+1}}{m+1} \lambda^{m+1} - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}\frac{ 1}{\lambda^{m-1}},\\
+\frac{2}{a} (Y - iZ) &= \frac{ \rho^{m+1}}{m+1}�\frac{ 1}{\lambda^{m+1}} - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}� \lambda^{m-1},
+\end{align*}
+entre lesquelles, si on �liminait $\lambda$, on aurait une relation ne d�pendant que
+de~$u$.
+
+\Section{179.}
+{Les g�od�siques principales $(v)$ sont l'intersection de c�nes du second degr�
+et de cylindres, elles sont de degr� $2m - 1$ si $m$ est entier.}
+
+De m�me en cherchant � isoler les courbes~$(v)$ on trouve
+\[
+[Z \cos(m - 1)v + Y \sin(m - 1)v][Z \cos(m + 1)v - Y \sin(m + 1)v] =
+\frac{m^2 X^2 }{m^2-1} \sin^2 mv, % [** PP: Typo mV]
+\]
+avec la relation
+\[
+\frac{2}{a} [Z \cos(m + 1)v - Y \sin(m + 1)v]^m = \frac{(mX \sin mv)^{m-1}� \sin2mv}{(m - 1)^m};
+\]
+ces lignes sont les intersections de c�nes du second degr� et de cylindres,
+ayant en commun l'intersection des plans
+\[
+X = Z \cos(m + 1)v - Y \sin(m +1)v = 0.
+\]
+
+Cons�quemment, lorsque $m$ est un nombre entier, les courbes~$(v)$ sont
+d'ordre $2m - 1$.
+
+Enfin, on peut trouver deux plans correspondants � chaque courbe~$(v)$ et
+tels que cette courbe s'y projette suivant deux courbes toujours semblables �
+elles-m�mes.
+
+%% -----File: 231.png---Folio 225-------
+
+\Section{180.}
+{G�od�siques principales planes. �quation.}
+
+On sait que les lignes~$(v)$ sont g�od�siques, il en est de planes, toutes
+identiques entre elles; une de ces courbes d�termine l'�lasso�de~$(\varepsilon_r)$; on peut
+la d�finir par les valeurs des coordonn�es d'un point
+\[
+X = \frac{a}{m} \rho^m, \quad
+Y = \frac{a}{2} \left(\frac{\rho^{m+1}}{m+1}
+                    - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}\right),
+\]
+ou comme l'enveloppe de la droite
+\[
+X \cos u - Y \sin u = \frac{a}{m(m^2 - 1)} \cot^m \frac{u}{2} (m - \cos u).
+\]
+
+\Section{181.}
+{$m = 2$, �lasso�de d'Enneper du neuvi�me degr�. $m = \frac{1}{2}$, �lasso�de de
+douzi�me ordre et de douzi�me classe. �quations.}
+
+Pour ne pas prolonger ind�finiment ces monographies, nous rappellerons
+simplement que dans le cas o� $m = 2$, l'�lasso�de est celui d'Enneper; ses
+lignes de courbure sont des cubiques planes; en appliquant les consid�rations
+d�velopp�es ci-dessus, on trouve pour son �quation
+\[
+\left[\frac{ 3}{a^2}\left(Y^2 + Z^2 + \frac{8}{9} X^2 \right) - \frac{2}{3} + \frac{3(Y^2 - Z^2)}{aX}\right]^2 =
+6\left[\frac{8X^2}{9a^2} - \frac{Y^2 - Z^2}{aX} + \frac{2}{3} \right]^3 .
+\]
+
+Un cas fort int�ressant et qui justifierait une �tude d�taill�e est celui o�
+$m = \frac{1}{2}$; les lignes~$(v)$ dans ce cas sont des biquadratiques; l'�quation de la
+surface est
+\begin{gather*}
+[12a^4 X^2 - (X^3 - 6a^2 Y)^2]^2 \\
+= \mSmall{27X \left( Y^2 + Z^2 - \frac{X^2}{3}\right)
+  \bigl\{27a^4 X^2 [9X(Y^2 + Z^2) + (X^3 - 24a^2 Y)] - (X^3 - 6a^2 Y)^3\bigr\}};
+\end{gather*}
+on voit qu'elle est du douzi�me degr�; on sait d'ailleurs que cette surface est
+aussi de douzi�me classe.
+
+\TbEoC
+
+%% -----File: 232.png---Folio 226-------
+
+\Chapter{XXI.}
+{PROPRI�T�S DIVERSES, RELATIVES AUX �LASSO�DES.}
+
+Nous terminerons cette �tude en r�unissant quelques propositions relatives
+aux �lasso�des et ne se rattachant pas directement aux divers chapitres
+dont il a �t� trait�.
+
+\Section{182.}
+{Les axes d'une congruence de cercles qui n'a que deux focales � distance
+finie, forment une congruence isotrope. Transformation par rayons vecteurs
+r�ciproques.}
+
+Occupons-nous d'abord des congruences isotropes: cet �l�ment g�om�trique
+s'introduit d'une fa�on tout � fait inattendue dans la th�orie des congruences
+de cercles. Lorsque des cercles remplissent l'espace comme les
+droites d'une congruence (lorsque, par exemple, on trace un cercle unique
+dans chacun des plans tangents d'une surface donn�e), ces courbes touchent
+dans l'espace certaines surfaces qui, en g�n�ral, ont quatre nappes situ�es �
+distance finie et qui � l'infini rencontrent l'ombilicale, \emph{mais lorsque deux des
+nappes-enveloppes passent � l'infini, les axes des cercles forment toujours
+une congruence isotrope}.
+
+%% -----File: 233.png---Folio 227-------
+
+La r�ciproque est exacte. On peut donc former autant de congruences
+de cercles que l'on veut, n'ayant que deux focales simples � distance
+finie, car les rayons des cercles sont arbitraires [pourvu qu'ils ne soient
+pas nuls].
+
+Si, par exemple, on consid�re des congruences de cercles, ayant m�mes
+axes, et formant une congruence isotrope, les fonctions d�finissant la variation
+arbitraire des rayons ne joueront aucun r�le dans la nature de l'�lasso�de
+moyen; mais, que l'on vienne � transformer ces congruences de cercles par
+rayons vecteurs r�ciproques, il est manifeste qu'on obtiendra de nouvelles
+congruences de cercles n'ayant que deux focales � distance finie. Seulement
+on aura fusionn�, pour ainsi dire, les deux fonctions caract�ristiques de la
+congruence isotrope primitive avec deux autres---qui d�finissent les cercles;---on
+aura donc cr�� une congruence isotrope nouvelle. On con�oit, de la
+sorte, qu'il soit facile d'obtenir une infinit� d'�lasso�des alg�briques d�duits
+tous les uns des autres\footnotemark.
+  \footnotetext{En r�alit�, bien qu'on ait introduit par une transformation deux fonctions arbitraires nouvelles,
+  elles se confondront en partie avec celles de la premi�re congruence isotrope, de fa�on
+  qu'il ne figure r�ellement que deux fonctions arbitraires dans la d�finition de la nouvelle
+  congruence.}
+
+
+\Section{183.}
+{Transformation d'une congruence isotrope en congruence normale.}
+
+Nous avons montr� que si l'on porte sur les tangentes � la sph�re, dans
+la direction des courbes ($u$ ou~$v$) d'un r�seau isom�trique des longueurs
+�gales au~$\lambda$ du r�seau isom�trique, l'extr�mit� du segment est le pied mobile
+du rayon d'une congruence isotrope. Si, au lieu de porter un segment
+�gal �~$\lambda$, on portait un segment �gal �~$\frac{a^2}{\lambda}$, on construirait une nouvelle
+congruence, cette fois, form�e de normales � une surface. L'application
+aux quadriques homofocales introduit une surface d�pendant des fonctions
+elliptiques.
+
+%% -----File: 234.png---Folio 228-------
+
+\Section{184.}
+{Congruence normale d�duite d'un r�seau isom�trique
+trac� sur un �lasso�de.}
+
+Portant sur les tangentes aux courbes~$(u, v)$ d'un r�seau isom�trique des
+segments �gaux aux valeurs des~$\lambda$, et, par les extr�mit�s menant des parall�les
+� la normale au point~$(u, v)$, on sait que les congruences des droites
+obtenues sont isotropes, si la surface de r�f�rence est une sph�re. Au contraire,
+si cette surface est un �lasso�de, les congruences sont form�es de normales
+� des surfaces.
+
+Les �lasso�des~$(\varepsilon_r)$ applicables sur des surfaces de r�volution donnent lieu
+� des lignes asymptotiques alg�briques si le module~$m$ est commensurable;
+d'apr�s notre th�or�me sur la correspondance des asymptotiques d'un �lasso�de
+moyen et de la surface moyenne, on voit que pour chaque valeur de~$m$
+on aura une $\infty^1$ %[**Check the exponent]
+de surfaces moyennes des congruences isotropes satisfaisantes
+sur lesquelles les asymptotiques s'obtiendront imm�diatement sans quadratures.
+
+\Section{185.}
+{Les surfaces moyennes correspondant aux �lasso�des~$(\varepsilon_r)$ et une surface par
+�lasso�de, �galement applicable sur une surface de r�volution, ont leurs
+asymptotiques qui correspondent � celles des~$(\varepsilon_r)$.}
+
+Mais, d'apr�s un th�or�me de M.~Weingarten, � tout �lasso�de~$(\varepsilon_r)$ applicable
+sur une surface de r�volution correspondra une autre surface~$(S)$
+�galement applicable sur une surface de r�volution, mais non �lasso�de,
+constituant avec~$(\varepsilon_r)$ la d�velopp�e d'une certaine surface dont les rayons de
+courbure sont fonctions l'un de l'autre. Cette derni�re surface s'obtiendra
+%% -----File: 235.png---Folio 229-------
+chaque fois sans quadrature puisque nous avons rectifi� les g�od�siques
+m�ridiennes de~$(\varepsilon_r)$; elle sera alg�brique en m�me temps que~$(\varepsilon_r)$, c'est-�-dire
+toutes les fois que le module~$m$ sera commensurable.
+
+D'apr�s un th�or�me (qui nous appartient), sur les surfaces~$(\varepsilon_r)$  et~$(S)$,
+nappes de la d�velopp�e d'une surface dont les rayons de courbure principaux
+sont li�s, les asymptotiques se correspondent encore; cons�quemment �
+chaque valeur du module~$m$ correspondra une surface~$(S)$ dont on saura
+trouver sans quadrature les asymptotiques.
+
+On obtient ainsi une double famille de surfaces~$(\varepsilon_r)$ et~$(S)$ simultan�ment
+alg�briques et toutes deux applicables sur des surfaces de r�volution; celles-ci
+ne peuvent �tre que transcendantes quand elles sont r�elles.
+
+\Section{186.}
+{Sur les deux nappes de la d�velopp�e d'un �lasso�de les asymptotiques
+se correspondent, ainsi qu'aux lignes de longueur nulle de l'�lasso�de.}
+
+Dans le m�me ordre d'id�es, la th�orie des �lasso�des met aussi en �vidence
+une famille int�ressante de surfaces applicables sur des surfaces de
+r�volution; en effet, on peut envisager les deux nappes de la d�velopp�e d'un
+�lasso�de comme satisfaisant � cette condition; toutes deux sont applicables
+sur une surface de r�volution dont le profil serait une d�velopp�e de cha�nette
+(qui serait, par cons�quent, transcendante); pourtant chaque �lasso�de
+alg�brique donne lieu � une d�velopp�e alg�brique.
+
+Si l'on applique notre th�or�me � ces nappes de d�velopp�e d'�lasso�de,
+on voit que leurs asymptotiques se correspondent; elles sont toujours imaginaires,
+mais elles correspondent aux lignes de longueur nulle de l'�lasso�de
+dont elles constituent la d�velopp�e.
+
+%% -----File: 236.png---Folio 230-------
+
+\Section{187.}
+{Propri�t� g�n�rale au sujet de doubles couples de surfaces
+applicables l'une sur l'autre.}
+
+Tout ce qui pr�c�de n'est point une cons�quence propre de la th�orie
+des �lasso�des, mais bien de celle, beaucoup plus g�n�rale, des couples de
+surfaces applicables l'une sur l'autre. Si les asymptotiques se correspondent
+sur l'�lasso�de moyen et sur la surface moyenne d'une congruence isotrope,
+si, de m�me, elles se correspondent sur les deux nappes de la d�velopp�e
+d'une surface dont les rayons de courbure sont li�s, c'est qu'il se pr�sente une
+particularit� commune, bien digne d'�tre mise en lumi�re: les deux surfaces,
+dont les asymptotiques se correspondent, peuvent, dans chaque cas, �tre
+consid�r�es comme les lieux des milieux de segments dont les extr�mit�s
+d�crivent des surfaces applicables l'une sur l'autre. Or ces doubles couples
+de surfaces applicables existent toujours associ�s, et le th�or�me que voici
+montre qu'un couple quelconque entra�ne avec lui son correspondant:
+
+Soient~$(A)$, $(A')$ deux surfaces applicables, l'une sur l'autre, et~$(O)$ la
+surface lieu des milieux des cordes joignant les points correspondants~$A$
+et~$A'$; il existe toujours un autre couple~$(B) (B')$ de surfaces applicables tel
+que la surface~$(O)$ soit touch�e par tous les plans perpendiculaires sur les
+milieux des cordes $BB'$; les couples de points $AA'$ et $BB'$ sont r�ciproques.
+Cons�quemment les surfaces~$(O)$ et~$(\Omega)$ lieux des milieux des cordes~$AA'$,
+$BB'$, sont les focales d'une m�me congruence de droites; de plus, les cordes
+elles-m�mes sont parall�les aux normales en~$O$ et~$\Omega$ des surfaces~$(O)$
+et~$(\Omega)$, $AA'$ �tant parall�le � la normale de~$(\Omega)$. Enfin, entre les longueurs
+des cordes~$AA'$, $BB'$, et les autres �l�ments de la figure, il existe la
+relation
+\[
+AA' � BB'\sin V = k � O\Omega,
+\]
+o�~$V$ d�signe l'angle des normales �~$(O)$ et~$(\Omega)$ et~$k$ une constante. On voit
+%% -----File: 237.png---Folio 231-------
+qu'il y a une infinit� de couples associ�s correspondant � toutes les valeurs
+de la constante et d�rivant d'une m�me congruence de droites~$O\Omega$; celle-ci
+jouit donc de propri�t�s sp�ciales qui ont �t� mises en �vidence dans le cas
+particulier trait� au \chapitre{VIII}.
+
+\Section{188.}
+{Autre propri�t� g�n�rale de la correspondance par orthogonalit�
+des �l�ments.}
+
+Mais comme nous l'avons dit, cette th�orie des couples de surfaces applicables
+peut aussi �tre envisag�e diff�remment: elle co�ncide avec celle de la
+correspondance des surfaces par orthogonalit� des �l�ments dont nous avons
+parl� constamment au cours de l'�tude qui pr�c�de. Il ne sera pas inutile de
+donner ici (� raison d'une application fort simple aux �lasso�des) le th�or�me
+qui domine la th�orie.
+
+Soient deux surfaces~$(O)$ et~$(M)$ qui se correspondent par orthogonalit�
+des �l�ments; si par les points de~$(M)$ on m�ne des droites~$D$ parall�les aux
+normales de~$(O)$, elles forment une congruence telle que: \primo~\emph{$(M)$ en soit la
+surface moyenne; \secundo~les plans principaux (tangents aux surfaces focales)
+sont perpendiculaires aux asymptotes de l'indicatrice en~$O$ �~$(O)$.}
+
+D�s lors, si l'on trace les images sph�riques~$(\alpha)$ et~$(\beta)$ des asymptotiques
+de~$(O)$, \emph{ce sont pr�cis�ment les images sph�riques principales de la congruence $(D)$}.
+
+Cons�quemment, si l'on conna�t le r�seau sph�rique, image des asymptotiques
+d'une surface~$(O)$, il faudra chercher toutes les congruences l'admettant
+pour image principale et leurs surfaces moyennes donneront l'int�grale
+des surfaces~$(M)$ correspondant par orthogonalit� des �l�ments �~$(O)$.
+
+On peut se donner le r�seau sph�rique, image des asymptotiques d'une
+surface inconnue; on sait que (si certaines conditions sont remplies) la surface~$(O)$
+est d�termin�e \emph{uniquement}. Quant � la congruence~$(D)$, qui admet
+%% -----File: 238.png---Folio 232-------
+le r�seau sph�rique pour image principale, elle est d�termin�e par un syst�me
+\emph{canonique}, c'est-�-dire ramen� � l'int�gration d'une seule �quation
+aux diff�rentielles partielles, lin�aire et du second ordre, de cette forme,
+seule int�grable explicitement, mise en lumi�re par M.~Moutard.
+
+\Section{189.}
+{Recherche des surfaces correspondant par orthogonalit� des �l�ments
+� un �lasso�de.}
+
+L'application la plus simple de cette th�orie a trait aux �lasso�des. Si~$(O)$
+est �lasso�de, le r�seau sph�rique, image de ses asymptotiques, est un r�seau
+orthogonal et isom�trique; il n'est pas diff�remment assujetti. On voit d'abord
+que les congruences~$(D)$ sont form�es de normales � des surfaces, et en second
+lieu que ces surfaces ont pour image sph�rique de leurs lignes de courbure
+le r�seau isom�trique choisi.
+
+Prenant la sph�re pour surface de r�f�rence et le r�seau isom�trique pour
+r�seau~$(u, v)$ tel que
+\[
+dS^2=\lambda^2(du^2 +dv^2),
+\]
+on trouve pour l'�quation canonique
+\[
+\frac{d^2X}{ X \,du \,dv}=\frac{d^2\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)}
+{\left( \dfrac{1}{\lambda}\right)\,du \,dv}.
+\]
+
+(Voir pour l'int�gration le m�moire de M.~Moutard, au \Ord{XLV}{e} cahier du
+\textit{Journal de l'�cole polytechnique}.)
+
+%% -----File: 239.png---Folio 233-------
+
+\Section{190.}
+{Recherche des surfaces se correspondant par parall�lisme des plans tangents
+et par leurs lignes isotropes.}
+
+Ces diverses th�ories se rapprochent encore dans une question qui d�rive
+tout naturellement de l'�tude des �lasso�des. La sph�re et un �lasso�de arbitraire
+se correspondent � la fois par le parall�lisme des plans tangents et par
+leurs lignes isotropes. Il serait int�ressant de conna�tre tous les couples de
+surfaces analogues, parce que l'on pourrait faire sur l'une des surfaces la
+carte de l'autre, en conservant les angles.
+
+Sur les deux surfaces les lignes de courbure se correspondent, et les rayons
+de courbure principaux sont li�s par la relation
+\[
+\frac{R_1}{r_1} + \frac{R_2}{r_2}=0\footnotemark;
+\]
+poussant plus avant, on introduit � nouveau la correspondance par orthogonalit�
+des �l�ments.
+  \footnotetext{Cette relation peut s'�crire
+\[
+% [** PP: Typo \frac{R_1}{R_2} on right-hand side]
+\sqrt{\frac{ R_1}{R_2}}=� i \sqrt{\frac{r_1}{r_2}};
+\]
+on voit que si~$\omega$ et~$\omega'$ d�signent les demi-angles des asymptotes de l'indicatrice
+\[
+\tg \omega =� i \tg \omega'.
+\]
+
+Donc les images sph�riques des asymptotiques sont simultan�ment d�termin�es pour les deux
+surfaces; l'une est convexe et l'autre � courbures oppos�es.} % End of footnote
+
+Le d�veloppement des recherches qui viennent d'�tre indiqu�es s'�carterait
+trop du sujet de ce m�moire; il convient de le r�server pour un travail
+diff�rent.
+
+\TbEoC
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Missing pages hand-typed %%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+%% -----File: 240.png---Folio 233-------
+
+\Chapter{XXII.}
+{CONCLUSIONS.}
+
+\Section{191.}
+{Indication d'une th�orie g�n�rale dominante.}
+
+On a envisag� dans ce qui pr�c�de, certaines questions d'ordre g�n�ral
+soulev�es par la th�orie des �lasso�des.
+
+Les propositions importantes dominant notre m�moire sont des manifestations
+plus ou moins �l�gantes des id�es fondamentales �mises � propos de
+l'int�gration, sous forme explicite et finie, des �quations aux diff�rentielles
+partielles du second ordre, par M.~Moutard; id�es indiqu�es � la Soci�t�
+Philomatique de Paris, le 23~octobre 1869, poursuivies dans le d�tail �
+propos de l'�quation particuli�re
+\[
+\frac{1}{Z}\, \frac{d�Z}{du\, dv} = \lambda,
+\]
+dans le \Ord{XVL}{e} cahier du \emph{Journal de l'�cole polytechnique}.
+
+%% -----File: 241.png---Folio 234-------
+
+
+\Section{192.}
+{Des compl�ments � donner � ce m�moire.}
+
+Si ce m�moire, d�j� �tendu, comprenait le d�veloppement entier du
+programme que nous nous % [** PP: Typo nons]
+�tions trac�, il contiendrait un chapitre analogue
+aux chapitres XII et~XIII, �tablissant tous les �l�ments d'un �lasso�de passant
+par un contour-plan, conjugu� d'un autre contour d�termin�. Une
+application int�ressante serait faite aux �lasso�des alg�briques passant par
+un cercle. A titre de g�n�ralisation, nous aurions voulu pouvoir traiter le
+probl�me de la recherche des �lasso�des alg�briques passant par une conique
+ou une biquadratique\footnotemark.
+\footnotetext{Nous n'en connaissons d'autres exemples que ceux relat�s au chapitre~XVIII et au �~181.} % [** Xrefs]
+
+Ne conviendrait-il pas �galement de discuter les �lasso�des alg�briques
+admettant pour g�od�siques les �picyclo�des les plus simples? D�j� nous
+avons vu que l'�lasso�de qui admet pour g�od�sique une hypocyclo�de �
+quatre rebroussements est le conjugu� de l'�lasso�de d�riv� des parabolo�des
+homofocaux; il faudrait au moins d�finir l'�lasso�de dont l'hypocyclo�de �
+trois rebroussements et la cardio�de sont des g�od�siques.
+
+L'�tude des surfaces moyennes m�riterait un chapitre sp�cial; il n'y en a
+qu'une, celle d�riv�e des quadriques homofocales, qui soit un peu connue.
+M.~Moutard a montr� qu'elle est le lieu de biquadratiques, intersections des
+hyperbolo�des homofocaux et des c�nes suppl�mentaires aux c�nes asymptotes
+de ces quadriques, ayant pour sommet le centre.
+
+La surface moyenne d�riv�e des parabolo�des homofocaux est le lieu d'une
+double s�rie de paraboles, elle a pour �quation
+\[
+(y^{\frac{2}{3}} + z^{\frac{2}{3}})^3
+(y^{\frac{2}{3}} - z^{\frac{2}{3}})
+=8h\bigl[x(y^{\frac{2}{3}} + z^{\frac{2}{3}})
+        -h(y^{\frac{2}{3}} - z^{\frac{2}{3}})\bigr].
+\]
+
+L'�tude des surfaces moyennes dont les asymptotiques sont alg�briques,
+serait particuli�rement int�ressante, par exemple, la surface moyenne, la
+%% -----File: 242.png---Folio 235-------
+plus g�n�rale, correspondant � l'�lasso�de d'Enneper, dont les coordonn�es
+en fonction des param�tres $u$ et~$v$ des lignes de courbure de l'�lasso�de
+sont
+\begin{gather*}
+\begin{aligned}
+X &= \frac{a(u^2 - v^2)(u^2 + v^2 - 3) + 2(Cu - Bv)}{u^2 + v^2 + 1}, \\
+Y &= \frac{-4au^3 + C(u^2 + v^2 - 1) + 2Av}{u^2 + v^2 + 1}, \\
+Z &= \frac{ 4av^3 - B(u^2 + v^2 - 1) - 2Au}{u^2 + v^2 + 1}, \\
+\end{aligned} \\
+u � v = k
+\end{gather*}
+�tant l'�quation des asymptotiques.
+
+Sans parler de la transformation par rayons vecteurs r�ciproques des
+congruences de cercles � focales doubles, il est d'autres questions v�ritablement
+importantes au point de vue th�orique et qu'il faudrait �lucider.
+
+De m�me que, si l'on recherche les surfaces dont le r�seau des lignes de
+courbure est de cette nature d�finie par M.~Liouville et qui permet l'int�gration
+des lignes g�od�siques, de m�me, disons-nous, que dans ce cas on
+trouve avec M.~Ossian Bonnet, qu'� part les surfaces de r�volution il n'y a
+que les quadriques; de m�me si l'on recherche les surfaces �lasso�des sur
+lesquelles on peut tracer un r�seau orthogonal de genre caract�ris� par
+M.~Liouville, le probl�me se divisera en deux parts, la premi�re aff�rente �
+la famille de surfaces applicables sur des surfaces de r�volution, la seconde
+se rapportant � \emph{une} surface �lasso�de qui n'a pas encore �t� isol�e.
+
+
+\Section{193.}
+{R�sultats du pr�sent m�moire.}
+
+En r�sum�, notre travail indique les solutions des probl�mes de Monge
+et de Bj�rling; il fait, croyons-nous, suffisamment ressortir l'importance
+d'un �tre g�om�trique particuli�rement simple, la congruence isotrope; il
+%% -----File: 243.png---Folio 236-------
+indique toute l'importance de la correspondance par orthogonalit� des �l�ments,
+et la liaison naturelle qui existe entre les �lasso�des et les couples de
+surfaces applicables l'une sur l'autre. La notion des contours conjugu�s n'est
+pas sans utilit�, et la recherche des contours conjugu�s alg�briques d'un
+contour alg�brique conduit � des applications g�om�triques int�ressantes.
+
+Qu'on nous permette d'attacher quelque importance au r�sultat trouv� �
+propos des �lasso�des sur lesquels on peut tracer deux g�od�siques pour
+lesquelles
+\[
+R = �k \rho;
+\]
+il met en �vidence une sorte de transformation isotrope des courbes, qui
+fait correspondre deux parties de la ligne double d'une congruence isotrope.
+Il serait bien facile d'effectuer d'�l�gantes v�rifications par le proc�d� auquel
+nous faisons allusion.
+
+
+\TbEoC
+
+
+%%%% PG License %%%%
+\cleardoublepage
+\fancyhead{}
+%\phantomsection
+\Pagelabel{License}
+\pdfbookmark[0]{PG License.}{License}
+
+\begin{center}
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\small
+\begin{PGtext}
+End of the Project Gutenberg EBook of �tude des �lasso�des ou Surfaces A
+Courbure Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour
+
+*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK �TUDE DES �LASSO�DES ***
+
+***** This file should be named 29800-pdf.pdf or 29800-pdf.zip *****
+This and all associated files of various formats will be found in:
+        http://www.gutenberg.org/2/9/8/0/29800/
+
+Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online
+Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The
+original copy of this book was generously made available
+for scanning by the Department of Mathematics at the
+University of Glasgow.)
+
+
+Updated editions will replace the previous one--the old editions
+will be renamed.
+
+Creating the works from public domain print editions means that no
+one owns a United States copyright in these works, so the Foundation
+(and you!) can copy and distribute it in the United States without
+permission and without paying copyright royalties.  Special rules,
+set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to
+copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to
+protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark.  Project
+Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you
+charge for the eBooks, unless you receive specific permission.  If you
+do not charge anything for copies of this eBook, complying with the
+rules is very easy.  You may use this eBook for nearly any purpose
+such as creation of derivative works, reports, performances and
+research.  They may be modified and printed and given away--you may do
+practically ANYTHING with public domain eBooks.  Redistribution is
+subject to the trademark license, especially commercial
+redistribution.
+
+
+
+*** START: FULL LICENSE ***
+
+THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE
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+electronic works
+
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+the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy
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+If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project
+Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the
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+entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8.
+
+1.B.  "Project Gutenberg" is a registered trademark.  It may only be
+used on or associated in any way with an electronic work by people who
+agree to be bound by the terms of this agreement.  There are a few
+things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works
+even without complying with the full terms of this agreement.  See
+paragraph 1.C below.  There are a lot of things you can do with Project
+Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement
+and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic
+works.  See paragraph 1.E below.
+
+1.C.  The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation"
+or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project
+Gutenberg-tm electronic works.  Nearly all the individual works in the
+collection are in the public domain in the United States.  If an
+individual work is in the public domain in the United States and you are
+located in the United States, we do not claim a right to prevent you from
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+are removed.  Of course, we hope that you will support the Project
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+
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+that
+
+- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from
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+     you already use to calculate your applicable taxes.  The fee is
+     owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he
+     has agreed to donate royalties under this paragraph to the
+     Project Gutenberg Literary Archive Foundation.  Royalty payments
+     must be paid within 60 days following each date on which you
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+     returns.  Royalty payments should be clearly marked as such and
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+     address specified in Section 4, "Information about donations to
+     the Project Gutenberg Literary Archive Foundation."
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+- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies
+     you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he
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+     License.  You must require such a user to return or
+     destroy all copies of the works possessed in a physical medium
+     and discontinue all use of and all access to other copies of
+     Project Gutenberg-tm works.
+
+- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
+     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
+     electronic work is discovered and reported to you within 90 days
+     of receipt of the work.
+
+- You comply with all other terms of this agreement for free
+     distribution of Project Gutenberg-tm works.
+
+1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
+electronic work or group of works on different terms than are set
+forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
+both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
+Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
+Foundation as set forth in Section 3 below.
+
+1.F.
+
+1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable
+effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
+public domain works in creating the Project Gutenberg-tm
+collection.  Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic
+works, and the medium on which they may be stored, may contain
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+
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+fees.  YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT
+LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE
+PROVIDED IN PARAGRAPH F3.  YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE
+TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE
+LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
+INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH
+DAMAGE.
+
+1.F.3.  LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a
+defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can
+receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a
+written explanation to the person you received the work from.  If you
+received the work on a physical medium, you must return the medium with
+your written explanation.  The person or entity that provided you with
+the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a
+refund.  If you received the work electronically, the person or entity
+providing it to you may choose to give you a second opportunity to
+receive the work electronically in lieu of a refund.  If the second copy
+is also defective, you may demand a refund in writing without further
+opportunities to fix the problem.
+
+1.F.4.  Except for the limited right of replacement or refund set forth
+in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
+WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
+WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.
+
+1.F.5.  Some states do not allow disclaimers of certain implied
+warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages.
+If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the
+law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be
+interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
+the applicable state law.  The invalidity or unenforceability of any
+provision of this agreement shall not void the remaining provisions.
+
+1.F.6.  INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the
+trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
+providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
+with this agreement, and any volunteers associated with the production,
+promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
+harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
+that arise directly or indirectly from any of the following which you do
+or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
+work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
+Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.
+
+
+Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm
+
+Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
+electronic works in formats readable by the widest variety of computers
+including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
+because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
+people in all walks of life.
+
+Volunteers and financial support to provide volunteers with the
+assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
+goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
+remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
+Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
+and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
+To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
+and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
+and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.
+
+
+Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
+Foundation
+
+The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
+501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
+state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
+Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
+number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
+http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
+permitted by U.S. federal laws and your state's laws.
+
+The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
+Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
+throughout numerous locations.  Its business office is located at
+809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
+business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
+information can be found at the Foundation's web site and official
+page at http://pglaf.org
+
+For additional contact information:
+     Dr. Gregory B. Newby
+     Chief Executive and Director
+     gbnewby@pglaf.org
+
+
+Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation
+
+Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
+spread public support and donations to carry out its mission of
+increasing the number of public domain and licensed works that can be
+freely distributed in machine readable form accessible by the widest
+array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
+($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
+status with the IRS.
+
+The Foundation is committed to complying with the laws regulating
+charities and charitable donations in all 50 states of the United
+States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
+considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
+with these requirements.  We do not solicit donations in locations
+where we have not received written confirmation of compliance.  To
+SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
+particular state visit http://pglaf.org
+
+While we cannot and do not solicit contributions from states where we
+have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
+against accepting unsolicited donations from donors in such states who
+approach us with offers to donate.
+
+International donations are gratefully accepted, but we cannot make
+any statements concerning tax treatment of donations received from
+outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.
+
+Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
+methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
+ways including checks, online payments and credit card donations.
+To donate, please visit: http://pglaf.org/donate
+
+
+Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
+works.
+
+Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
+concept of a library of electronic works that could be freely shared
+with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
+Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.
+
+
+Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
+editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
+unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
+keep eBooks in compliance with any particular paper edition.
+
+
+Most people start at our Web site which has the main PG search facility:
+
+     http://www.gutenberg.org
+
+This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
+including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
+Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
+subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
+\end{PGtext}
+\end{minipage}
+\end{center}
+\vfill
+
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+%                                                                         %
+% End of the Project Gutenberg EBook of �tude des �lasso�des ou Surfaces A%
+% Courbure Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour                             %
+%                                                                         %
+% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK �TUDE DES �LASSO�DES ***        %
+%                                                                         %
+% ***** This file should be named 29800-t.tex or 29800-t.zip *****        %
+% This and all associated files of various formats will be found in:      %
+%         http://www.gutenberg.org/2/9/8/0/29800/                         %
+%                                                                         %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+\end{document}
+###
+#@ControlwordReplace = (
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+###
+This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.8.25)  25 AUG 2009 14:24
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+ %&-line parsing enabled.
+**29800-t.tex
+(./29800-t.tex
+LaTeX2e <2005/12/01>
+Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
+yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
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+Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
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+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf
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+\U@D=\dimen103
+) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive
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+File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
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+Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
+Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
+Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
+Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
+Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
+\parindentFFN=\dimen104
+\std@mcc=\count89
+\dec@mcc=\count90
+*************************************
+* Local config file frenchb.cfg used
+*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
+xlive/tex/latex/base/textcomp.sty
+Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+Package textcomp Info: Sub-encoding information:
+(textcomp)               5 = only ISO-Adobe without \textcurrency
+(textcomp)               4 = 5 + \texteuro
+(textcomp)               3 = 4 + \textohm
+(textcomp)               2 = 3 + \textestimated + \textcurrency
+(textcomp)               1 = TS1 - \textcircled - \t
+(textcomp)               0 = TS1 (full)
+(textcomp)             Font families with sub-encoding setting implement
+(textcomp)             only a restricted character set as indicated.
+(textcomp)             Family '?' is the default used for unknown fonts.
+(textcomp)             See the documentation for details.
+Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def
+File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
+)
+LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266.
+Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281.
+Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282.
+Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283.
+Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284.
+Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285.
+Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286.
+Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287.
+Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288.
+Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289.
+Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290.
+Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291.
+Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292.
+Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293.
+Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294.
+Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295.
+Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296.
+Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297.
+Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298.
+Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299.
+Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300.
+Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301.
+Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302.
+Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303.
+Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304.
+
+Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305.
+Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306.
+Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307.
+Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308.
+Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309.
+Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310.
+Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 311.
+Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 312.
+Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313.
+Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314.
+Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315.
+Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316.
+Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317.
+Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318.
+Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319.
+Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320.
+Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321.
+Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322.
+Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323.
+Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324.
+Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325.
+Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
+\@emptytoks=\toks16
+\ex@=\dimen105
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
+\pmbraise@=\dimen106
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
+)
+\inf@bad=\count91
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
+\uproot@=\count92
+\leftroot@=\count93
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
+\classnum@=\count94
+\DOTSCASE@=\count95
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
+\Mathstrutbox@=\box26
+\strutbox@=\box27
+\big@size=\dimen107
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
+\macc@depth=\count96
+\c@MaxMatrixCols=\count97
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count98
+\dspbrk@lvl=\count99
+\tag@help=\toks17
+\row@=\count100
+\column@=\count101
+\maxfields@=\count102
+\andhelp@=\toks18
+\eqnshift@=\dimen108
+\alignsep@=\dimen109
+\tagshift@=\dimen110
+\tagwidth@=\dimen111
+\totwidth@=\dimen112
+\lineht@=\dimen113
+\@envbody=\toks19
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks20
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
+Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
+Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
+\FN@temptoken=\toks21
+\footnotemargin=\dimen114
+\c@pp@next@reset=\count103
+\c@@fnserial=\count104
+Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.
+
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
+.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
+Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks22
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
+File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
+\Gread@gobject=\count105
+))
+\Gin@req@height=\dimen115
+\Gin@req@width=\dimen116
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
+\fancy@headwidth=\skip46
+\f@ncyO@elh=\skip47
+\f@ncyO@erh=\skip48
+\f@ncyO@olh=\skip49
+\f@ncyO@orh=\skip50
+\f@ncyO@elf=\skip51
+\f@ncyO@erf=\skip52
+\f@ncyO@olf=\skip53
+\f@ncyO@orf=\skip54
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
+Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
+\Gm@cnth=\count106
+\Gm@cntv=\count107
+\c@Gm@tempcnt=\count108
+\Gm@bindingoffset=\dimen117
+\Gm@wd@mp=\dimen118
+\Gm@odd@mp=\dimen119
+\Gm@even@mp=\dimen120
+\Gm@dimlist=\toks23
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
+xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
+\@linkdim=\dimen121
+\Hy@linkcounter=\count109
+\Hy@pagecounter=\count110
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
+File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
+Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
+HO)
+)
+Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
+8.
+Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
+Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
+Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip11
+Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
+)
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
+\Fld@menulength=\count111
+\Field@Width=\dimen122
+\Fld@charsize=\dimen123
+\Choice@toks=\toks24
+\Field@toks=\toks25
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
+\Hy@abspage=\count112
+\c@Item=\count113
+)
+*hyperref using driver hpdftex*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
+\Fld@listcount=\count114
+)
+\TmpLen=\skip55
+\TPSkip=\skip56
+\symupletters=\mathgroup6
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `upletters' in version `bold'
+(Font)                  T1/cmr/m/n --> T1/cmr/b/n on input line 433.
+(./29800-t.aux)
+\openout1 = `29800-t.aux'.
+
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 494.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 494.
+(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
+File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for LGR+cmr on input line 494.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd
+File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for TS1+cmr on input line 494.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd
+File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 494.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 494.
+(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
+[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
+\scratchcounter=\count115
+\scratchdimen=\dimen124
+\scratchbox=\box28
+\nofMPsegments=\count116
+\nofMParguments=\count117
+\everyMPshowfont=\toks26
+\MPscratchCnt=\count118
+\MPscratchDim=\dimen125
+\MPnumerator=\count119
+\everyMPtoPDFconversion=\toks27
+)
+-------------------- Geometry parameters
+paper: class default
+landscape: --
+twocolumn: --
+twoside: true
+asymmetric: --
+h-parts: 75.16098pt, 426.39255pt, 112.74147pt
+v-parts: 72.26999pt, 614.295pt, 108.405pt
+hmarginratio: 2:3
+vmarginratio: 2:3
+lines: --
+heightrounded: --
+bindingoffset: 0.0pt
+truedimen: --
+includehead: --
+includefoot: --
+includemp: --
+driver: pdftex
+-------------------- Page layout dimensions and switches
+\paperwidth  614.295pt
+\paperheight 794.96999pt
+\textwidth  426.39255pt
+\textheight 614.295pt
+\oddsidemargin  2.89099pt
+\evensidemargin 40.47148pt
+\topmargin  -31.8738pt
+\headheight 12.0pt
+\headsep    19.8738pt
+\footskip   30.0pt
+\marginparwidth 98.0pt
+\marginparsep   7.0pt
+\columnsep  10.0pt
+\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
+\hoffset 0.0pt
+\voffset 0.0pt
+\mag 1000
+\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
+(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
+-----------------------
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
+Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
+File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
+)
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 494.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
+Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
+Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
+)
+\c@section@level=\count120
+)
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 494.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 494.
+(./29800-t.out) (./29800-t.out)
+\@outlinefile=\write3
+\openout3 = `29800-t.out'.
+
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 506.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
+File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 528.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 528.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+) [1
+
+{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2
+
+]
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmss on input line 570.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmss.fd
+File: t1cmss.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+) <./images/device.pdf, id=899, 76.285pt x 76.285pt>
+File: ./images/device.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/device.pdf> [1
+
+ <./images/device.pdf>] [2
+
+] [3] [4] [5] <./images/tb.pdf, id=946, 96.36pt x 7.02625pt>
+File: ./images/tb.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/tb.pdf> [6 <./images/tb.pdf>]
+File: ./images/tb.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/tb.pdf> [1
+
+
+] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8
+
+] [9] [10] [11] [12] [13] [14
+
+] [15] [16] [17] [18] [19] [20
+
+] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34
+
+] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42
+
+] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50
+
+] [51] [52] [53] [54] [55] [56
+
+] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71
+
+] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84
+
+] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97
+
+] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105
+
+] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118]
+[119] [120
+
+] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133]
+[134] [135] [136
+
+] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149]
+[150
+
+] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]
+[164
+
+] [165] [166] [167]
+Overfull \hbox (0.12828pt too wide) in paragraph at lines 8983--8985
+[]\T1/cmr/m/n/12 Les deux d�-ve-lop-pables d�-for-m�es sont ap-pli-cables l'une
+ sur l'autre par de simples
+ []
+
+
+Overfull \hbox (0.35886pt too wide) in paragraph at lines 8986--8997
+[]\T1/cmr/m/n/12 Ce n'est pas le mo-ment de mon-trer com-ment la construc-tion 
+g�o-m�-trique s'ach�ve
+ []
+
+[168] [169
+
+] [170] [171] [172
+
+] [173] [174] [175] [176] [177] [178
+
+] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187
+
+] [188]
+Overfull \hbox (0.38002pt too wide) in paragraph at lines 9937--9939
+[]\T1/cmr/m/n/12 Les �las-so�des $\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 "[]\OT1/cmr
+/m/n/12 )$\T1/cmr/m/n/12 , al-g�-briques, cor-res-pondent aux va-leurs com-men-
+su-rables de $\OML/cmm/m/it/12 m$\T1/cmr/m/n/12 . 
+ []
+
+[189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196
+
+] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203
+
+] [204] [205] [206
+
+]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[207]
+Overfull \vbox (3229.72064pt too high) has occurred while \output is active []
+
+[208] (./29800-t.aux)
+
+ *File List*
+    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
+    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
+inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+ fontenc.sty
+   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
+   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
+   greek.ldf    2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
+  lgrenc.def    2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
+ frenchb.ldf
+ frenchb.cfg
+textcomp.sty    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+  ts1enc.def    2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
+ amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
+ amstext.sty    2000/06/29 v2.01
+  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
+  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
+  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
+ amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
+amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
+   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
+footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
+  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
+fancyhdr.sty    
+geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
+geometry.cfg
+hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
+  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
+)
+     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
+ hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
+   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
+  lgrcmr.fd    2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
+  ts1cmr.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+supp-pdf.tex
+   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+ nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
+refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
+ 29800-t.out
+ 29800-t.out
+  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+  t1cmss.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+./images/device.pdf
+./images/tb.pdf
+./images/tb.pdf
+ ***********
+
+ ) 
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 7359 strings out of 94074
+ 97108 string characters out of 1165153
+ 207818 words of memory out of 1500000
+ 9491 multiletter control sequences out of 10000+50000
+ 32217 words of font info for 77 fonts, out of 1200000 for 2000
+ 649 hyphenation exceptions out of 8191
+ 28i,25n,43p,457b,430s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
+{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc}{/usr/share/texmf
+/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc} </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/lj
+four/public/cb/grmn1200.600pk></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/
+cmbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/sh
+are/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
+onts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/
+cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></usr/s
+hare/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
+onts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/c
+m/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/sha
+re/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/font
+s/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cm
+sy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share
+/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts
+/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/f
+mex8.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share
+/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/p
+ublic/cm-super/sfbx2074.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc0
+800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1000.pfb></usr/share/
+texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu
+blic/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm07
+00.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/t
+exmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pub
+lic/cm-super/sfrm1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm120
+0.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfss1728.pfb></usr/share/te
+xmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publ
+ic/cm-super/sfti1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1200
+.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sftt0900.pfb>
+Output written on 29800-t.pdf (216 pages, 1234161 bytes).
+PDF statistics:
+ 2943 PDF objects out of 2984 (max. 8388607)
+ 1021 named destinations out of 1200 (max. 131072)
+ 1771 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
+
diff --git a/29800-t/old/29800-t.zip b/29800-t/old/29800-t.zip
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index 0000000..b7af5ce
--- /dev/null
+++ b/29800-t/old/29800-t.zip
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@@ -0,0 +1,11 @@
+This eBook, including all associated images, markup, improvements,
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+in the PUBLIC DOMAIN IN THE UNITED STATES.
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index 0000000..c6b227f
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