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M. le Roi de Suéde % +% % +% Author: Vito Volterra % +% % +% Release Date: August 24, 2009 [EBook #29783] % +% Most recently updated: June 11, 2021 % +% % +% Language: French % +% % +% Character set encoding: UTF-8 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{29783} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% geometry: Enhanced page layout package. Required. %% +%% %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% fontenc: For accented characters in hyperrefs. Required. %% +%% babel: French hyphenation rules. Required. %% +%% textcomp: Larger textdegree symbol. Optional. %% +%% ifthen: Logical conditionals. Required. %% +%% %% +%% amsmath: AMS mathematics enhancements. Required. %% +%% amssymb: Additional mathematical symbols. 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Hwang, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + University of Glasgow Department of Mathematics}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% Conditional compilation switches %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\newboolean{KeepOps} +% The book uses trailing operators to signify continuation of a long +% expression. These are omitted by default, but can be incorporated +% by uncommenting the next line. +%\setboolean{KeepOps}{True} + +% For trailing operators on broken long expressions +\newcommand{\Trail}[1]{% +\ifthenelse{\boolean{KeepOps}} + {{}#1{}}% set operator + {}% discard +} + +%%%% Re-crop screen-formatted version, omit blank verso pages %%%% +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {} + {\ifthenelse{\boolean{KeepOps}} + {\hypersetup{pdfpagescrop = 60 90 552 752}}% Add a bit more margin + {\hypersetup{pdfpagescrop = 65 90 547 752}} + % If ForPrinting=false, don't skip to recto + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} +} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%% +% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width +\newenvironment{PGtext}{% +\begin{alltt} +\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}% +{\end{alltt}} + +% Cross-referencing: labels and refs +\newcommand{\Pagelabel}[1]{% + \phantomsection + \label{#1} +} + +\newcommand{\Lmargintag}[1]{\makebox[0pt][r]{\normalsize\upshape(#1)\quad}} + + +%% Sectioning: Chapter, Paragraph divisions + +% \Paragraph: numbered units +\newcounter{Parno} +\newcounter{Chapter} + +\setlength{\parindent}{2em} + +% \Chapter{Title} +\newcommand{\Chapter}[1]{% + \refstepcounter{Chapter} + + \ifthenelse{\value{Chapter}=1 \or \value{Chapter}=2}{\thispagestyle{empty}}{} + % page formatting + \subsection*{\centering\normalfont\upshape\textbf{\Large #1}} + + % drop anchors + \phantomsection + \label{pgchapter:\theChapter} + % \Pagelabel{pgchapter:\theChapter} + \ifthenelse{\value{Chapter}=12}% + {\pdfbookmark[0]{Note.}{chapter:\theChapter}}% + {\pdfbookmark[0]{Leçon \theChapter.}{chapter:\theChapter}}% +} + +\newcommand{\Preface}[1]{% + \refstepcounter{Chapter} + + \pagenumbering{Roman} + \thispagestyle{empty} + % page formatting + \subsection*{\centering\normalfont\upshape\textbf{\Large #1}\\[2ex]% + \textbf{\small Introduction.}} + + % drop anchors + \phantomsection + \label{pgchapter:\theChapter} + % \Pagelabel{pgchapter:\theChapter} + \pdfbookmark[0]{Leçon \theChapter.}{chapter:\theChapter} +} + +% Four section:n.k tags manually added for 2.2, 8.1, 8.3, and 8.5 +\newcommand{\Paragraph}[1]{% + \indent #1\ % + \refstepcounter{Parno}% + \phantomsection% + \pdfbookmark[1]{Section \theChapter.#1}{section:\theChapter.\theParno}% +} + + +\newenvironment{Theorem}{\par\normalfont\itshape}{} +\newenvironment{Prop}{\normalfont\itshape}{} + +\newenvironment{Bibliographie}% +{% + \subsubsection*{\centering\normalfont\upshape\textbf{Bibliographie.}}% + \refstepcounter{Parno}% + \phantomsection% + \pdfbookmark[1]{Bibliographie.}{biblio:\theChapter.\theParno}% +}{} + +\newcommand{\Bibitem}[2]% +{% + \par\hangindent 2em \hangafter 1 \noindent\textsc{#1}\quad#2% +} + +% Set the table of contents manually +\newcommand{\ToCline}[2]{% + \noindent\hyperref[#2]{#1}\dotfill% + \makebox[1.5em][r]{\hyperref[#2]{\pageref{#2}}}\\% +} + +% graphics inclusion that centralizes path and extensions +\newcommand{\Input}[2]{% +\ifthenelse{\equal{#2}{}}% +{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{./images/#1.pdf}}% +{\includegraphics[width=#2]{./images/#1.pdf}}% +} + + +\newcommand{\Mme}{M\textsuperscript{me}} +\newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}} +\newcommand{\Tb}{\bigskip\begin{center}\rule{1in}{0.5pt}\end{center}} + +\newcommand{\deriv}[2]{\dfrac{d #1}{d #2}} +\newcommand{\pderiv}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} + +\newcommand{\smfrac}[2]{\mbox{\footnotesize$\dfrac{#1}{#2}$}} + +\DeclareMathOperator{\arctg}{arc~tg} + +% Recurring expression on 055.png and 056.png +\newcommand{\Lorentz}{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 - (z-z_1)^2} + +\DeclareInputMath{176}{\mbox{\textdegree}} +\DeclareInputMath{183}{\cdot} + +\newcommand{\eps}{\varepsilon} +\renewcommand{\phi}{\varphi} + +% \theta changes to \vartheta starting on 046.png +\newboolean{UseVartheta} +\newcommand{\THETA}{% + \ifthenelse{\boolean{UseVartheta}}{\vartheta}{\theta}% +} + +\newcommand{\sameauthor}{\rule[2pt]{0.375in}{0.5pt}}% ---------} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{document} + +\pagestyle{empty} +\pagenumbering{Alph} + +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\phantomsection +\label{PGBoilerplate} +%\Pagelabel{PGBoilerplate} +\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Project Gutenberg Boilerplate} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{PGtext} +The Project Gutenberg EBook of Leçons sur l'intégration des Équations +Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Leçons sur l'intégration des Équations Différentielles aux Dérivées Partielles + Professées a Stockholm sur l'Invitation de S. M. le Roi de Suéde + +Author: Vito Volterra + +Release Date: August 24, 2009 [EBook #29783] +Most recently updated: June 11, 2021 + +Language: French + +Character set encoding: UTF-8 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\clearpage + +%%%% CREDITS %%%% + +\begin{PGtext} +Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The +original copy of this book was generously made available +for scanning by the Department of Mathematics at the +University of Glasgow.) +\end{PGtext} + +\vfill + +\begin{minipage}{0.8\textwidth} +\small +\subsection*{\centering \TransNote} + +\raggedright +\TransNoteText + +\end{minipage} +\vfil + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\frontmatter + +\allowhyphens +\pagenumbering{roman} +\pagestyle{empty} +\selectlanguage{french} + +\normalsize + +%% -----File: 001.png---Folio 1------- +% Title page +% [** PP: Omitting printer's mark Manuscrit] + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{center} +\textbf{\Huge LEÇONS} \\[18pt] +{\scriptsize SUR}\\[18pt] +\textbf{\large L'INTÉGRATION}\\[18pt] +{\scriptsize DES}\\[18pt] +\textbf{\Huge ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES}\\[18pt] +AUX\\[18pt] +\textbf{\huge DÉRIVÉES PARTIELLES}\\[24pt] +PROFESSÉES À STOCKHOLM\\ % [** PP: Typo A (assuming small caps)] +{\scriptsize (FÉVRIER, MARS 1906)}\\[24pt] +SUR L'INVITATION DE S. M. LE ROI DE SUÈDE\\[48pt] +{\scriptsize PAR}\\[12pt] +\textbf{\large M.~V.~VOLTERRA}\\ +{\scriptsize SÉNATEUR DU ROYAUME D'ITALIE}\\ +{\scriptsize PROFESSEUR DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE À L'UNIVERSITÉ DE ROME}\\[96pt] +{\small UPSAL \oldstylenums{1906}}\\ +{\scriptsize IMPRIMERIE ALMQVIST \& WIKSELL} +\end{center} +\end{minipage} + +\cleardoublepage + +%% -----File: 002.png---Folio 2------- +%% [Blank Page] +%% -----File: 003.png---Folio 3------- + +% global initialization +\pagestyle{fancy} +\fancyfoot{} +\fancyhead{} +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {\fancyhead[RO,LE]{\textsc{\MakeLowercase{\thepage}}}} + {\fancyhead[R]{\textsc{\MakeLowercase{\thepage}}}} + +\setlength{\headheight}{14.5pt} + +\Preface{\Ord{1}{ière} leçon.} + +\Paragraph{1.} Le cours que je ferai se rapportera à quelques points de la théorie des +équations différentielles de la physique mathématique. On sait que la physique +mathématique traverse une période de crise. On abandonne certaines idées pour +en suivre de nouvelles. Tous ceux, par exemple, qui ont lu les éloquentes +pages que M.~Poincaré a consacré à cette question et ceux, qui ont pris connaissance +de l'état actuel de la science dans le bel ouvrage de M.~Picard, sont renseignés +d'une manière fort claire là -dessus. Mais, même si certains concepts que +nous avons maintenant sur la nature des phénomènes naturels et quelques principes +fondamentaux devaient être ébranlés par de nouveaux faits et de nouvelles découvertes, +une partie de la physique mathématique a bien des chances de se sauver +du naufrage. Elle représente en effet, peut-être d'une manière grossière, mais +certainement d'une manière très-simple, une grande partie des faits naturels connus, +les relie ensemble et a une utilité pratique hors de toute discussion. + +L'histoire des sciences nous offre l'exemple de théories analytiques de certains +phénomènes qui ont été créées sous l'influence de certains principes et +qui ont résisté à la chute de ces principes. Pour n'en citer qu'un seul, parmi +la foule de ceux qui se présentent, il suffit de rappeler la théorie des instruments +optiques qui se conserve dans ses lignes générales, tandis que les principes de +l'optique ont subi tant d'évolutions. + +\Paragraph{2.} Les théories de la propagation de la chaleur, de l'hydrodynamique, de +l'élasticité, des forces newtoniennes et de l'électromagnétisme peuvent être aujourd'hui +traitées sous un point de vue commun, de sorte qu'elles peuvent constituer +un seul chapitre d'analyse. On peut systématiser les méthodes qu'on +emploie et classifier tous les faits qui s'y rapportent par la classification des équations +différentielles dont ils dépendent. Cela conduit à envisager trois \emph{types} d'équations +différentielles qu'on a l'habitude d'appeler \emph{elliptique}, \emph{hyperbolique} et \emph{parabolique} +et des \emph{types mixtes}. +%% -----File: 004.png---Folio 4------- + +Lorsqu'on étudie les choses sous cet aspect une seule formule est capable de nous +révéler sous une forme unique des propriétés qui se rapportent à des phénomènes +en apparence divers entre eux. Quelquefois l'analogie est une simple analogie +analytique, quelquefois elle va bien au delà . + +Supposons maintenant pour un instant que la base des faits physiques sur +laquelle pose l'édifice analytique vienne manquer, ou qu'on la néglige. Cet édifice +est tellement solide et utile par lui-même qu'il continuerait à subsister comme un +des plus beaux chapitres de l'analyse. + +\Paragraph{3.} Le point de départ de toutes les considérations dont nous venons de parler +est d'envisager un ensemble continu ou un \emph{domaine} à une, deux ou trois +dimensions. A % [** PP: Typo À] +chaque point du domaine correspond une quantité scalaire ou un +vecteur ou plusieurs quantités scalaires et plusieurs vecteurs liés par les équations +différentielles. Ces quantités sont quelquefois constantes par rapport au temps +et quelquefois variables. Dans ce cas on a en général un grand avantage en +considérant le temps comme une nouvelle coordonnée. + +Tout le monde sait que les idées des physiciens ont toujours oscillé entre le +concept d'un milieu continu, siège de tous les phénomènes par lequel on tâche de +supprimer toute action à distance, et le concept fondé sur l'hypothèse des molécules +séparées et des actions à distance. + +Il ne faut pas croire que nos considérations soient liées forcément au premier +concept. Elles correspondent aussi à l'autre. Il suffit pour cela de rappeler que +Cauchy, Poisson, Fourier, Laplace, qui suivaient les idées, qu'on appelle maintenant +de la mécanique physique, c'est à dire au fond le second système, ont été +les premiers à découvrir les équations différentielles qui forment la base des théories +analytiques. Il leur a fallu, pour y parvenir, faire un passage à la limite qui +les a amené du discontinu au continu. Mais une fois cette limite franchie, les +deux conceptions au point de vue analytique se mêlent dans la plupart des cas. + +\Paragraph{4.} Je n'aurai pas le temps de traiter d'une manière complète le chapitre d'analyse +dont je viens de parler. Je toucherai seulement à quelques points, qui me +semblent avoir un certain intérêt et que je crois nouveaux. Le rôle que certaines +solutions polydromes jouent dans les différents cas, voilà un point que je tâcherai +d'examiner avec quelque détail. Nous envisagerons ces solutions dans les différents +types d'équations et pour nous familiariser avec elles nous étudierons d'abord les +solutions polydromes dans le cas de l'équilibre élastique. Elles nous conduisent à +des résultats pratiques et frappants qu'on peut montrer par des modèles matériels +qui nous dévoilent leur vrai caractère et leur importance. Le cas d'équilibre des +corps élastiques à connexion multiple, non assujettis % [** PP: Typo assujetis] +à des forces externes, est en +%% -----File: 005.png---Folio 5------- +dépendance étroite avec les solutions polydromes, et nous offre de nouveaux problèmes +de la théorie de l'élasticité. + +\Paragraph{5.} La théorie des fonctions est liée aux problèmes de physique mathématique +qui dépendent de l'équation de Laplace à deux variables. Si l'on envisage, par +exemple, un voile liquide incompressible infiniment mince qui est en mouvement, +tout théorème de la théorie des fonctions peut être interprété comme un théorème +relatif au mouvement. Réciproquement toute propriété du mouvement peut être +interprétée comme un théorème de la théorie des fonctions. On obtient cette +relation par les fonctions conjuguées qu'il faut regarder comme la partie réelle +et le coefficient de l'imaginaire dans la théorie des fonctions et en hydrodynamique +comme le potentiel de vitesse et la fonction qui définit les lignes des courants. + +Mais cela est borné au cas de deux dimensions. Comment généraliser la +chose au cas d'un nombre quelconque de dimensions? Je montrerai que la théorie +des fonctions conjuguées peut s'étendre au cas général par l'introduction d'un +nouveau concept analytique sur lequel je reviendrai tout à l'heure. Cela nous +amènera à exposer certaines vues nouvelles sur la théorie générale des fonctions. + +\Paragraph{6.} Par rapport aux équations du type hyperbolique j'exposerai d'abord, sans +entrer dans les détails, quelques résultats %[** PP: Typo resultats] +que j'ai trouvés et publiés il y a quelque +temps et qui plus récemment ont été étendus et complétés par d'autres géomètres. + +Ensuite je tâcherai de montrer le rôle bien singulier que joue le principe +des images. La mémorable méthode de Lord Kelvin peut être employée quelquefois +même dans ce cas et amène à des résultats plus simples que dans celui des +équations du type elliptique. L'influence de la réalité des caractéristiques se +révèle par là d'une manière frappante. + +Il y a un mémoire très-profond de Weierstrass sur l'intégration des équations +différentielles linéaires aux dérivées partielles où il expose une méthode par +laquelle il intègre quelques équations du type hyperbolique. \Mme\ Kowalewski a +appliqué dans un travail sur l'optique la méthode de Weierstrass, mais, sans s'en +douter, elle avait à faire avec des fonctions polydromes, c'est pourquoi la méthode %[** PP: Typo methode] +ne l'a pas amenée au résultat qu'elle cherchait. J'entrerai dans la discussion de +cette question et du rôle de la solution polydrome. Je n'ai connu aucun géomètre, +après \Mme\ Kowalewski, qui ait employé la méthode de Weierstrass et elle paraît % [** PP: Typo parait] +comme une méthode %[** PP: Typo méthodé] +à part qui n'est pas reliée aux autres. Je serai heureux de +montrer qu'elle se rattache d'une manière très-simple à la méthode de Kirchhoff. +Or, puisque les méthodes de Kirchhoff de Green et de Riemann ont des rapports +étroits entre elles, toutes ces différentes méthodes restent reliées ensemble. + +\Paragraph{7.} Les dernières leçons seront consacrées aux équations différentielles du +type parabolique. Leur étude n'est pas si avancée que celle des équations des +%% -----File: 006.png---Folio 6------- +autres types. Au premier abord il ne semble pas que la méthode des caractéristiques, +qui a donné les résultats les plus généraux dans le cas hyperbolique, puisse +conduire à embrasser tous les résultats connus lorsqu'on l'applique aux équations +du type parabolique. Nous montrerons où est la difficulté. On a toujours conçu +la méthode de Riemann comme bornée au domaine des variables réelles. Au contraire +pour approfondir avec succès la question des équations du type parabolique, +il faut commencer par étendre la méthode aux variables complexes et ensuite +l'employer ainsi généralisée. + +Comme application des formules qu'on a dans les cas des équations du type +parabolique j'exposerai la solution d'un problème qui se rapporte aux oscillations +des fluides incompressibles. J'aurai ainsi l'occasion de dire quelques mots par rapport à +cette question générale qui d'un côté est liée aux équations du type elliptique et d'un +autre côté a bien des rapports avec les problèmes des ondes qu'on étudie par des +équations du type hyperbolique. Je donnerai à ce propos une formule analogue à +celle ordinaire de Green qui contient une fonction analogue à celle qu'on appelle +fonction de Green. + +\Paragraph{8.} Voilà le programme du cours. Cependant je n'ai pas encore parlé d'une +manière explicite d'une question dont j'aurai l'occasion de traiter avec quelque +détail. Nous avons vu que dans nos considérations nous prenons comme fondement +un continu à un certain nombre de dimensions, dans lequel on envisage des quantités +scalaires ou des vecteurs. Supposons que nous ayons une quantité scalaire +qui soit une fonction des points d'un domaine à trois dimensions, et pour fixer les +idées supposons que ce soit la température des points d'une surface. Aura-t-on +examiné d'une manière complète la question en envisageant cette quantité scalaire +comme une fonction de trois variables, c'est à dire des coordonnées des différents +points de la surface et du temps? Il est facile de se convaincre que, si nous +pouvons changer arbitrairement la température au contour du corps, la température +dépendra aussi de toutes les valeurs de la fonction qui exprime la température +au contour. De même le potentiel d'un corps déformable dépendra de la forme du +corps. On est par là amené d'une manière fort naturelle, et l'on peut même dire +qu'on est forcé d'envisager non seulement les fonctions qui dépendent d'un certain +nombre de variables, mais aussi celles qui dépendent de la forme de certaines +lignes et de certaines surfaces et de toutes les valeurs de certaines fonctions. +Nous aurons l'occasion de parler de ce concept et de développer quelques idées +sur ces fonctions et sur leur inversion, lorsque nous entrerons dans le sujet dont +nous avons touché au §~5. % [** Xref] + +\Tb +%% -----File: 007.png---Folio 7------- + +\clearpage +\pagenumbering{arabic} +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {\fancyhead[RO,LE]{\thepage}} + {\fancyhead[R]{\thepage}} + +\Chapter{\Ord{2}{ième} leçon.} + +\Paragraph{1.} Envisageons dans un plan les axes coordonnés $x$, $y$ et la fonction +$\THETA = \arctg \dfrac{y}{x}$. + +\begin{wrapfigure}[9]{r}{2in}% **** Explicit height +%[Illustration] +\raisebox{0.25in}[1.75in][0pt]{\Input{007a}{2in}} +\end{wrapfigure} +$\THETA$ est l'angle que le rayon vecteur fait +avec l'axe~$x$. Partons d'un point~$M_0$ situé sur +l'axe~$x$, et, après avoir parcouru un cycle $M_0NM'$ +autour de l'origine, revenons au point de +départ~$M_1$. + +En prenant les valeurs de $\THETA$ qui se suivent +avec continuité la valeur~$\THETA_1$ qu'on trouve +en $M_1$ après avoir parcouru le cycle est égale à +la valeur initiale augmentée de~$2\pi$. Voilà un +exemple très-simple d'une fonction \emph{polydrome}. + +Les dérivées partielles $\pderiv{\THETA}{x} = -\dfrac{y}{x^2+y^2}$, $\pderiv{\THETA}{y} = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ ainsi que les dérivées +successives sont finies continues et monodromes excepté à l'origine. C'est pourquoi +dans un domaine~$S$ qui ne comprend pas l'origine +les dérivées $\pderiv{\THETA}{x}$, $\pderiv{\THETA}{y}$ seront régulières ainsi que +leurs dérivées successives. + +\begin{wrapfigure}{r}{2in} +%[Illustration] +\raisebox{0.125in}[1.875in][0pt]{\Input{007b}{2in}} +\end{wrapfigure} +\phantomsection\label{section:2.2}% +\Paragraph{2.} Rappelons %[** PP: Typo Rappellons] +un théorème de calcul intégral +qu'on appelle théorème de Gauss. + +\begin{Theorem} +Soit $S$ un domaine à trois dimensions $X$, $Y$, $Z$, +trois fonctions monodromes finies et continues qui +ont des dérivées monodromes finies et continues. +On a +%% -----File: 008.png---Folio 8------- +\begin{multline*} +\int_S \left(\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z}\right)\, dS \\ + = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma +\end{multline*} +$\sigma$ étant le contour du domaine~$S$, $n$ la normale à $\sigma$ dirigée vers l'extérieur du domaine~$S$. +\end{Theorem} + +Rappelons aussi le théorème de Stokes. %[** PP: Typo Rappellons] + +\begin{Theorem} +$\sigma$ étant une surface ayant pour contour~$S$ %[** PP: Typo $s$] +et $X$, $Y$, $Z$ étant des fonctions monodromes +finies et continues dont les dérivées sont aussi monodromes finies et continues on a +\begin{multline*} +\int_\sigma \left\{\left(\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z}\right) \cos nx + + \left(\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x}\right) \cos ny + + \left(\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y}\right) \cos nz \right\} d\sigma \\ + = ± \int_S (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) +\end{multline*} +$n$ étant la normale à ~$\sigma$. On peut faire l'intégration sur le contour~$s$ dans une direction +telle que l'intégrale du second membre soit précédée du signe~$+$. %[** PP: Added period] +\end{Theorem} + +\Paragraph{3.} Un domaine à trois dimensions est \emph{acyclique} ou à \emph{connexion simple} si toute +ligne fermée que l'on peut tirer à l'intérieur peut se réduire infiniment petite par +une déformation continue sans sortir du domaine. + +Si cette condition n'est pas vérifiée, le domaine est \emph{cyclique} ou à \emph{connexion +multiple}. Supposons que par une coupure transversale un espace cyclique devienne +acyclique, on dit alors que cette \emph{connexion est double}. Si l'espace cyclique devient +acyclique lorsqu'on fait deux coupures, on dit que la \emph{connexion est triple}, et ainsi de +suite. Dans tout domaine acyclique une ligne fermée peut être regardée comme +le contour d'une surface située à l'intérieur du domaine. + +\Paragraph{4.} Dans la théorie de l'élasticité on peut envisager un milieu continu et l'on +peut supposer qu'il existe un \emph{état naturel} où il n'y a aucune tension interne. Déplaçons +infiniment peu les points du milieu, et soient $u$, $v$, $w$ les composantes des +déplacements, alors la déformation du milieu est définie par les quantités que les +Anglais appellent \emph{strains} +\begin{gather*} +\gamma_{11} = \pderiv{u}{x}\quad +\gamma_{22} = \pderiv{v}{y}\quad +\gamma_{33} = \pderiv{w}{z} \\ +\gamma_{32} = \gamma_{23} = \pderiv{v}{z} + \pderiv{w}{y},\ +\gamma_{13} = \gamma_{31} = \pderiv{w}{x} + \pderiv{u}{z},\ +\gamma_{21} = \gamma_{12} = \pderiv{u}{y} + \pderiv{v}{x}. +\end{gather*} +Il peut y avoir déplacement sans déformation lorsque ces quantités sont nulles. + +Le potentiel des forces élastiques relatif à chaque élément~$dS$ du milieu +déformé s'exprime par +\[ +F(\gamma_{11}, \gamma_{22}, \gamma_{33}, \gamma_{23}, \gamma_{31}, \gamma_{12} )\, dS +\] +%% -----File: 009.png---Folio 9------- +où $F$ est un polynôme %[** PP: Typo polynome] +homogène de \Ord{2}{d}~degré par rapport à +$\gamma_{11}$, $\gamma_{22}$, $\gamma_{33}$, $\gamma_{23}$, $\gamma_{31}$, $\gamma_{12}$ +qui est toujours négatif et s'annule %[** PP: Typo s'annulle] +seulement lorsque toutes les quantités~$\gamma_{rs}$ +sont nulles. + +La tension dans chaque point est caractérisée par les quantités +\begin{gather*} +t_{11} = \pderiv{F}{\gamma_{11}},\quad +t_{22} = \pderiv{F}{\gamma_{22}},\quad +t_{33} = \pderiv{F}{\gamma_{33}}, \\ % [** PP: Added comma] +t_{32} = t_{23} = \pderiv{F}{\gamma_{32}},\ +t_{13} = t_{31} = \pderiv{F}{\gamma_{31}},\ +t_{21} = t_{12} = \pderiv{F}{\gamma_{12}}, +\end{gather*} +que les Anglais appellent \emph{stress}.%[** PP: Typo streis] + +La \emph{tension unitaire} qui s'exerce sur chaque élément d'aire $d\sigma$ du milieu a +pour composantes +\begin{align*} +T_{x} &= t_{11} \cos nx + t_{12} \cos ny + t_{13} \cos nz \\ +T_{y} &= t_{21} \cos nx + t_{22} \cos ny + t_{23} \cos nz \\ +T_{z} &= t_{31} \cos nx + t_{32} \cos ny + t_{33} \cos nz +\end{align*} +$n$ étant la normale de l'élément~$d\sigma$. + +Si $X$, $Y$, $Z$ sont les composantes des forces extérieures unitaires qui s'exercent +sur chaque élément~$dS$ du corps élastique, et $T_x$, $T_y$, $T_z$ les composantes de la +tension unitaire qui s'exerce sur chaque élément du contour, les équations de +l'équilibre élastique sont +\[ +(1)\quad\left\{ +\begin{aligned} + X &= \pderiv{t_{11}}{x} + \pderiv{t_{12}}{y} + \pderiv{t_{13}}{z} \\ + Y &= \pderiv{t_{21}}{x} + \pderiv{t_{22}}{y} + \pderiv{t_{23}}{z} \\ + Z &= \pderiv{t_{31}}{x} + \pderiv{t_{32}}{y} + \pderiv{t_{33}}{z} +\end{aligned} +\right. +\qquad +(2)\quad\left\{ +\begin{aligned} + T_{x} &= t_{11} \cos nx + t_{12} \cos ny + t_{13} \cos nz \\ + T_{y} &= t_{21} \cos nx + t_{22} \cos ny + t_{23} \cos nz \\ + T_{z} &= t_{31} \cos nx + t_{32} \cos ny + t_{33} \cos nz +\end{aligned} +\right. +\] +où $n$ est la normale au contour dirigée vers l'intérieur du corps. + +Lorsque le corps est isotrope et homogène on a +\[ +F = \tfrac{1}{2} L \THETA^2 + K \psi, % [** PP: Typo \Psi] +\] +en ayant posé +\[ +\THETA = \gamma_{11} + \gamma_{22} %[** PP: Typo 21] + + \gamma_{33} ,\quad + \psi = \gamma_{11}^2 + \gamma_{22}^2 + \gamma_{33}^2 + + \tfrac{1}{2} + (\gamma_{23}^2 + \gamma_{31}^2 + \gamma_{12}^2); +\] +c'est pourquoi +\[ +\begin{aligned} +t_{11} &= L \THETA + 2 K \gamma_{11} \\ +t_{22} &= L \THETA + 2 K \gamma_{22} \\ +t_{33} &= L \THETA + 2 K \gamma_{33} \\ +\end{aligned} +\qquad\qquad +\begin{aligned} +t_{23} &= K \gamma_{23} \\ +t_{31} &= K \gamma_{31} \\ +t_{12} &= K \gamma_{12}. +\end{aligned} +\] +$L$ et~$K$ sont des quantités constantes et négatives, $\THETA$ est la \emph{dilatation cubique}. +%% -----File: 010.png---Folio 10------- + +Les équations~$(1)$ deviennent alors +\[ +\tag{$1'$} +\left\{ +\begin{aligned} + X &= K \Delta^{2} u + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{x} \\ + Y &= K \Delta^{2} v + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{y} \\ + Z &= K \Delta^{2} w + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{z} +\end{aligned} +\right. +\] +le symbole $\Delta^{2}$ représentant l'opération +\[ + \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} ++ \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} ++ \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}. +\] + +\Paragraph{6.} Ayant rappelé ces notions fondamentales nous voulons montrer que la +théorie de l'élasticité pour les corps ayant une forme cyclique se présente d'une +manière différente que pour les corps acycliques, et cela tient au rôle que les solutions +polydromes jouent dans la question. + +On % [** PP: Typo Or] +énonce en général le théorème qu'\emph{un corps élastique qui n'est pas soumis +à des actions externes est en équilibre}, et on tire de là que \emph{les forces externes étant +données la déformation du corps est connue}. Or ces propositions ne sont exactes +que si le corps a une connexion simple. + + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.5in} +\Input{010a}{1.5in} +\end{wrapfigure} +Pour montrer qu'il y a des cas où elles ne +se vérifient pas, envisageons un \emph{anneau}. Retranchons +une tranche radiale $AA'$, $BB'$ très mince, et +soudons les deux bouts $AA'$ et~$BB'$. Le corps +après la soudure sera soumis à des tensions internes +et cependant il ne supportera aucune action +extérieure. + +On pourrait soupçonner que quelque discontinuité +ou quelque singularité s'est produite dans +la déformation à l'endroit où l'on a fait la soudure; +mais on peut démontrer qu'il n'y a aucune singularité de cette sorte, de +manière que si l'on voulait trouver l'endroit où l'on a fait la soudure par quelque +particularité de la déformation il serait impossible de la retrouver. + +On peut se demander à quoi tient la contradiction entre les propositions précédentes +et le résultat que nous venons d'examiner. + +Le n{\oe}ud de la question est dans l'application du théorème de Gauss. En +effet pour démontrer les propositions que nous avons énoncées tout à l'heure on suppose +que dans les équations $(1)$ et~$(2)$ $X = Y = Z = T_{x} = T_{y} = T_{z} = 0$, on multiplie +%% -----File: 011.png---Folio 11------- +les deux membres des équations~$(1)$ respectivement par $u$, $v$, $w$, qu'on somme, qu'on +intègre et transforme par le théorème de Gauss. On tire de là que +\[ +\int_S F\, dS = 0, % [** PP: Changed . to , +\] +$S$ étant l'espace occupé par le corps élastique; d'où l'on déduit +\[ + \gamma_{11} = \gamma_{22} = \gamma_{33} += \gamma_{23} = \gamma_{31} = \gamma_{12} = 0 +\] +c'est à dire que si les forces extérieures sont nulles il n'y a pas de déformation. +Or nous avons remarqué que pour appliquer le théorème de Gauss il faut que +toutes les fonctions qu'on emploie soient monodromes. Montrons que dans le cas +de l'anneau les composantes des déplacements $u$, $v$, $w$ sont polydromes. +%[Illustrations] +\begin{center} +\Input{010a}{1.5in}\hfil\Input{011b}{1.5in} % [sic 010a] +\end{center} + +En effet examinons les déplacements après la soudure. Les points de~$AA'$ ne +se seront pas déplacés tandis que les points de~$BB'$ se seront déplacés de la largeur +de la fissure qu'on a faite. C'est pourquoi si nous partons d'un point~$M_{0}$ de~$AA'$, +parcourons un cycle à l'intérieur de l'anneau et prenons les valeurs des déplacements +qui se suivent avec continuité, nous revenons au point de départ de l'autre +côté~$M_{1}$ % [** PP: Typo coté] +de la coupure avec des valeurs des déplacements différents des valeurs +qu'on avait au point de départ. C'est un cas de polydromie analogue à celui que +nous avons envisagé dans le premier~§. % [** Xref] + +On tire de là deux conséquences: + +La première est que pour rendre exactes les deux propositions qu'on a énoncées +il faut ajouter la condition que les déplacements soient monodromes. + +La seconde conséquence est qu'il faut reposer la question: + +Quand est-ce que les déplacements peuvent être polydromes? + +\Paragraph{7.} Dans les considérations que nous venons de faire nous nous sommes laissés +conduire par l'intuition; mais il serait dangereux de continuer de la sorte. En +effet par intuition on serait amené à penser que le même résultat qu'on a obtenu +dans le cas de l'anneau on pourrait l'obtenir dans le cas d'un corps acyclique quelconque +%% -----File: 012.png---Folio 12------- +en y retranchant une tranche très-mince et en soudant les faces de la coupure. +Or dans ce cas, par cette opération, la déformation du corps ne serait pas +régulière, c'est pourquoi tout se présenterait d'une manière différente, que dans le +cas de l'anneau. + +Nous allons démontrer que si l'on suppose que la déformation est régulière, +c'est à dire que si $\gamma_{11}, \gamma_{22}, \gamma_{33}, \gamma_{23}, \gamma_{31}, \gamma_{12}$ sont des fonctions finies monodromes +et continues et que leurs dérivées sont aussi finies continues et monodromes, la polydromie +des déplacements ne peut se présenter que si le corps a une forme cyclique. + +Il suffit de trouver des formules par lesquelles on puisse calculer $u$, $v$, $w$ en +connaissant les quantités~$\gamma_{rs}$. + +Soit $s$ une ligne, et désignons par $A_0$ et~$A_1$ ses points extrêmes. Soient~$\gamma_{rs}^{(0)}$ +et~$\gamma_{rs}^{(1)}$ les valeurs de~$\gamma_{rs}$ aux points $A_0$ et~$A_1$, $x_0\, y_0\, z_0$ les coordonnées de~$A_{0}$, +$x_1\, y_1\, z_1$ les coordonnées de~$A_1$. Les valeurs de $u$, $v$, $w$ au point~$A_1$ seront données +par les formules +\begin{align*} +%[** PP: References to these on 013--015.png are clearly (1) (1') (1'')] +\Lmargintag{I} +u_1 &= u_0 + + \frac{1}{2} ( \gamma_{21}^{(0)} + r_0 ) (y_1 - y_0) + + \frac{1}{2} ( \gamma_{31}^{(0)} - q_0 ) (z_1 - z_0) +\Trail{+} \\ +% + &+ \int_s \left\{ \left[\gamma_{11} + + (y_1 - y) \pderiv{\gamma_{11}}{y} + + (z_1 - z) \pderiv{\gamma_{11}}{z} \right] \deriv{x}{s} \right. +\Trail{+} \\ +% + &\qquad+ + \left[ (y_1 - y) \left(\pderiv{\gamma_{12}}{y} + - \pderiv{\gamma_{22}}{x}\right) + + \left(\frac{z_1 - z}{2}\right) + \left(\pderiv{\gamma_{21}}{z} + + \pderiv{\gamma_{31}}{y} + - \pderiv{\gamma_{23}}{x}\right)\right] \deriv{y}{s} +\Trail{+} \\ +% + &\qquad+ \left. + \left[ \left(\frac{y_1 - y}{2}\right) + \left(\pderiv{\gamma_{21}}{z} + + \pderiv{\gamma_{31}}{y} + - \pderiv{\gamma_{23}}{x}\right) + + (z_1-z) \left( + \pderiv{\gamma_{13}}{z} + - \pderiv{\gamma_{33}}{x}\right) \right] \deriv{z}{s} + \right\} ds \\[1ex] +%% +\Lmargintag{I${}'$} +v_1 &= v_0 + + \frac{1}{2} ( \gamma_{32}^{(0)} + p_0 ) (z_1 - z_0) + + \frac{1}{2} ( \gamma_{12}^{(0)} - r_0 ) (x_1 - x_0) +\Trail{+} \\ +% + &+ \int_s \left\{ + \left[ \left( \frac{z_1 - z}{2} \right) + \left( \pderiv{\gamma_{32}}{x} + + \pderiv{\gamma_{12}}{z} + - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right) + + (x_1-x) \left( \pderiv{\gamma_{21}}{x} + - \pderiv{\gamma_{11}}{y} \right) + \right] \deriv{x}{s} \right. +\Trail{+} \\ +% + &\qquad+ + \left[ \gamma_{22} + + (z_1 - z) \pderiv{\gamma_{22}}{z} + + (x_1 - x) \pderiv{\gamma_{22}}{x} + \right] \deriv{y}{s} +\Trail{+} \\ +% + &\qquad+ \left. + \left[ (z_1-z) + \left( \pderiv{\gamma_{23}}{z} + - \pderiv{\gamma_{33}}{y} \right) + + \left( \frac{x_1 - x}{2} \right) + \left( \pderiv{\gamma_{32}}{x} + + \pderiv{\gamma_{12}}{z} + - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right) + \right] \deriv{z}{s} \right\} ds \\[1ex] +%% +\Lmargintag{I${}''$} +w_1 &= w_0 + + \frac{1}{2} ( \gamma_{13}^{(0)} + q_0 ) (x_1 - x_0) + + \frac{1}{2} ( \gamma_{23}^{(0)} - p_0 ) (y_1 - y_0) +\Trail{+} \\ +% + &+ \int_s \left\{ + \left[ (x_1-x) + \left( \pderiv{\gamma_{31}}{x} + - \pderiv{\gamma_{11}}{z} \right) + + \left( \frac{y_1 - y}{2} \right) + \left( \pderiv{\gamma_{13}}{y} + + \pderiv{\gamma_{23}}{x} + - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right) + \right] \deriv{x}{s} \right. +\Trail{+} \\ +% + &\qquad+ + \left[ \left( \frac{x_1 - x}{2} \right) + \left( \pderiv{\gamma_{13}}{y} + + \pderiv{\gamma_{23}}{x} + - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right) + + (y_1-y) \left( \pderiv{\gamma_{32}}{y} + - \pderiv{\gamma_{22}}{z} \right) + \right] \deriv{y}{s} +\Trail{+} \\ +% + &\qquad+ \left. + \left[ \gamma_{33} + + (x_1 - x) \pderiv{\gamma_{33}}{x} + + (y_1 - y) \pderiv{\gamma_{33}}{y} + \right] \deriv{z}{s} \right\} ds +\end{align*} +%% -----File: 013.png---Folio 13------- +où $u_0$, $v_0$, $w_0$ sont les valeurs de $u$, $v$, $w$ au point~$A_0$ et $p_0$, $q_0$, $r_0$ sont égales aux +valeurs des différences +\[ +\pderiv{v}{z} - \pderiv{w}{y},\quad +\pderiv{w}{x} - \pderiv{u}{z},\quad +\pderiv{u}{y} - \pderiv{v}{x} +\] +au point~$A_0$. + +On le vérifie aisément en faisant les dérivées de $u_1$, $v_1$, $w_1$ par rapport à $x_1$, $y_1$, $z_1$. + +Il faut maintenant chercher les conditions pour la monodromie. + +Supposons que la ligne $s$ se réduise à un cycle fermé. Si le corps élastique +occupe une région acyclique, on pourra regarder~$s$ comme le contour d'une surface~$\sigma$ +située à l'intérieur du corps; c'est pourquoi les intégrales qui paraissent dans les +formules précédentes pourront se transformer par le théorème de Stokes et elles +s'écriront \\ +% [** PP: Add missing d\sigma in 2nd, 3rd equations, remove period on 3rd.] +% [** PP: Width-dependent formatting +% - Shift display 2em into left margin and set \footnotesize +% - Explicit \;s to fine-tune alignment] +\hspace*{-2em}\begin{minipage}{\textwidth}% +{\footnotesize +\begin{align*} +&\int_\sigma \left\{ + \left[ \;\frac{y_1-y}{2} B\; - \frac{z_1-z}{2} C \right] \cos nx + + \left[ (z_1-z) F\; + \frac{y_1-y}{2} A \right] \cos ny + + \left[ (y_1-y) G + \frac{z_1-z}{2} A \right] \cos nz \right\} d\sigma \\ +%% +&\int_\sigma \left\{ + \left[ (z_1-z) E + \frac{x_1-x}{2} B \right] \cos nx + + \left[ \;\frac{z_1-z}{2} C\; - \frac{x_1-x}{2} A \right] \cos ny + + \left[ (x_1-x) G + \frac{z_1-z}{2} B \right] \cos nz \right\} d\sigma \\ +%% +&\int_\sigma \left\{ + \left[ (y_1-y) E + \frac{x_1-x}{2} C \right] \cos nx + + \left[ (x_1-x) F + \frac{y_1-y}{2} C \right] \cos ny + + \left[ \;\frac{x_1-x}{2} A\; - \frac{y_1-y}{2} B \right] \cos nz + \right\} d\sigma +\end{align*} +}% [** End footnotesize] +\end{minipage}\\[1ex]% [** PP: Explicit vertical space] +où % [** Typo: oú] +$n$ est la normale à ~$\sigma$ et +\[ +\begin{aligned} +A &= \pderiv{}{x} \left( + \pderiv{\gamma_{31}}{y} + + \pderiv{\gamma_{12}}{z} + - \pderiv{\gamma_{23}}{x} \right) + - 2 \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial z \partial y} \\ +%% +B &= \pderiv{}{y} \left( + \pderiv{\gamma_{12}}{z} + + \pderiv{\gamma_{23}}{x} + - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right) + - 2 \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial x \partial z} \\ +%% +C &= \pderiv{}{z} \left( + \pderiv{\gamma_{23}}{x} + + \pderiv{\gamma_{31}}{y} + - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right) + - 2 \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial y \partial x} +\end{aligned} +\qquad +\begin{aligned} +E &= \frac{\partial^2\gamma_{32}}{\partial y \partial z} + - \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial z^2} + - \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial y^2} \\ +%% +F &= \frac{\partial^2\gamma_{31}}{\partial z \partial x} + - \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial x^2} + - \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial z^2} \\ +%% +G &= \frac{\partial^2\gamma_{12}}{\partial x \partial y} + - \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial y^2} + - \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial x^2} +\end{aligned} +\] + +Mais par un théorème de De Saint Venant on a +\[ +A = B = C = E = F = G = 0 %[** PP: Changed D = E = F to E = F = G] +\] +c'est pourquoi les intégrales des formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) s'annuleront, et on aura % [** Xref] %[** PP: Typos: formules (1)..., and s'annulleront] +\[ +u_1=u_0\quad +v_1=v_0\quad +w_1=w_0 %[** PP: v_1-v_0 changed to v_1=v_0] +\] +ce qui prouve que si la forme du corps est acyclique et la déformation régulière, +les déplacements sont monodromes. Mais si le corps est cyclique, le cycle fermé~$s$ +n'est pas en général le contour d'une surface~$\sigma$ appartenant à la région occupée +%% -----File: 014.png---Folio 14------- +par le corps, et par suite on ne peut pas en général appliquer le théorème de Stokes +et enfin les déplacements peuvent être polydromes. + +\Paragraph{8.} On peut résumer les résultats qu'on vient d'obtenir en énonçant les +propositions suivantes. +\begin{Prop} +Un corps élastique ayant une forme acyclique et une déformation +régulière peut être amené à l'état naturel par des déplacements finis continus et +monodromes. +\end{Prop} + +\begin{Prop} +Si le corps élastique a une forme cyclique, cela n'est pas toujours possible, et +pour l'amener à l'état naturel il sera nécessaire quelquefois de faire des coupures et +de retrancher des parties du corps. +\end{Prop} + +\begin{Prop} +Un corps élastique fini ayant une forme acyclique et n'étant pas sujet à des forces +extérieures est à l'état naturel si la déformation ne peut cesser d'être régulière, +mais si le corps est cyclique, le corps peut être à l'état de tension, même si n'existent +pas des actions extérieures. +\end{Prop} + +\begin{Prop} +Les forces extérieures étant connues, la déformation régulière d'un corps acyclique +est connue, mais celle d'un corps cyclique n'est pas connue. Elle est connue seulement +dans le cas où l'on sait d'avance que le corps élastique peut être amené à l'état naturel +par des déplacements monodromes. +\end{Prop} + + +\Chapter{\Ord{3}{ième} leçon.} + +%[** PP: Changed reference (1)(1')(1'') to (I)(I')(I'')] +\Paragraph{9.} Lorsque le corps est cyclique, on peut le réduire acyclique en faisant des +coupures. Les formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) donnent aisément la loi des discontinuités des % [** Xref] +déplacements le long des coupures. Les valeurs des déplacements d'un côté d'une +coupure étant $u_{\alpha}$, $v_{\alpha}$, $w_{\alpha}$ et celles de l'autre côté étant $u_{\beta}$, $v_{\beta}$, $w_{\beta}$ on a +\[ +\tag{3} +\left\{ +\begin{aligned} +u_{\beta} - u_{\alpha} &= l + ry - qz \\ +v_{\beta} - v_{\alpha} &= m + pz - rx \\ +w_{\beta} - w_{\alpha} &= n + qx - py +\end{aligned} +\right. +\] +$l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$, étant des quantités constantes pour chaque coupure. + +A chaque coupure correspondent donc 6~valeurs constantes qu'on peut appeler +les constantes de la coupure, et l'on a le théorème: + +\begin{Theorem} +Un corps élastique cyclique étant déformé régulièrement, %[** PP: Typo regulièrement] +la déformation est déterminée +par les forces extérieures et les constantes de chaque coupure. +\end{Theorem} + +On voit par là que les problèmes de l'élasticité pour les corps cycliques se présentent +d'une manière fort différente que pour les corps acycliques. +%% -----File: 015.png---Folio 15------- + +%[** Xrefs] +\Paragraph{10.} Les formules~(3) montrent très-facilement la signification mécanique des +constantes de chaque coupure. En effet supposons que nous fassions effectivement +les coupures dans le corps cyclique déformé de manière qu'il puisse reprendre l'état +naturel; et s'il est nécessaire retranchons les parties surabondantes du corps. + +Alors les formules~(3) nous montrent que +\begin{Prop} +les molécules situées des deux côtés de +chaque coupure et qui adhéraient auparavant, ont été séparées par un déplacement +relatif qui résulte d'une translation et d'une rotation. Cette translation et cette rotation +sont égales pour tous les couples de molécules qui adhéraient le long de la coupure. + +Si l'on prend pour centre de réduction l'origine, les constantes de la coupure +sont les composantes de la translation et de la rotation par rapport aux axes +coordonnés. +\end{Prop} + +Réciproquement pour déformer le corps cyclique on pourra faire les coupures +qui le rendent acyclique. Ensuite, l'on pourra déplacer les deux faces de chaque +coupure de manière que le déplacement relatif de tous les couples de molécules +qui se trouvent vis à vis soit résultant de la même rotation et de la même translation. +Enfin on pourra souder entre elles les faces en retranchant ou en ajoutant +la matière qui sera nécessaire. + +Nous appelons cette opération une \emph{distorsion} du corps et les 6~constantes +de chaque coupure les \emph{caractéristiques} de chaque distorsion. + +%[** PP: Changed reference (1)(1')(1'') to (I)(I')(I'')] +Les formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) conduisent aussi immédiatement à un autre résultat. + +Prenons deux coupures qui peuvent se réduire l'une à l'autre par une transformation +continue, alors \emph{les caractéristiques des deux coupures sont égales entre elles}. + +On voit par là que les caractéristiques d'une distorsion ne dépendent pas des +coupures que l'on a faites, mais de la déformation du corps et de sa nature géométrique. +\begin{Prop} +Le nombre des distorsions indépendantes d'un corps est égal à l'ordre +de la connexion diminué d'une unité. +\end{Prop} + +\Paragraph{11.} Une question qui se pose naturellement est la suivante: \emph{Peut-on choisir +toutes les caractéristiques d'une manière arbitraire?} + +On démontre en général que les caractéristiques des distorsions étant données +d'une manière arbitraire, le problème de la déformation du corps peut être ramené +à un problème ordinaire de l'équilibre où le corps n'est assujetti à aucune distorsion +mais seulement à des forces données. + +Nous laisserons de côté ce théorème, général, et nous envisagerons un cas +particulier. Soit~$\sigma$ une aire finie du plan~$xz$ qui ne rencontre pas l'axe~$z$. Faisons +tourner le plan autour de cet axe et en même temps déformons et déplaçons l'aire~$\sigma$ +dans le plan de manière qu'elle ne rencontre jamais l'axe~$z$ et qu'elle revienne +à la forme et à la position initiale après avoir fait un tour. +%% -----File: 016.png---Folio 16------- + +L'aire $\sigma$ décrit un volume à connexion double qu'on peut supposer rempli +d'une substance élastique isotrope. $l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$, étant des constantes, posons +\[ +\Lmargintag{4} +\left\{ +\begin{aligned} %[** PP: Changed arco tg to arctg] +u &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (l - qz + ry) \arctg \frac{y}{x} + + \frac{1}{2} \left(-m - pz - \frac{rK}{L + 2K} x\right) + \log (x^2 + y^2) \right\} \\ +% +v &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (m - rx + pz) \arctg \frac{y}{x} + + \frac{1}{2} \left( l - qz - \frac{rK}{L + 2K} y\right) + \log (x^2 + y^2) \right\} \\ +% +w &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (n - py + qx) \arctg \frac{y}{x} + + \frac{1}{2} (px + qy) \log (x^2 + y^2) \right\}. +\end{aligned} +\right. +\] % [** Xrefs] +On % [** PP: Typo on] +vérifie aisément que ces fonctions satisfont les équations~($1'$) et en même temps +à cause de la polydromie de la fonction $\arctg \frac{y}{x}$ (Voir §~1) qu'elles sont polydromes +et correspondent à la distorsion la plus générale du corps, $l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$ +sont les caractéristiques de la distorsion. Il est facile de calculer les tensions qui +agissent sur la surface libre du corps. + +% [** PP: Paragraph numbering restarts, later resumes at 12.] +\Paragraph{1.} Le problème fondamental de la théorie des \emph{distorsions} des corps élastiques +ayant une forme cyclique est de déterminer la déformation du corps lorsque les +caractéristiques des distorsions sont données. + +Nous allons calculer l'énergie d'un corps élastique qui n'est assujetti à aucune +action externe et dont les distorsions sont connues. + +L'énergie est donnée par +\[ +E = -\int_S F\, dS + = - \frac{1}{2} \int_S + (t_{11} \gamma_{11} + t_{22} \gamma_{22} + t_{33} \gamma_{33} + + t_{23} \gamma_{23} + t_{31} \gamma_{31} + t_{12} \gamma_{12} )\, dS +\] +où $S$ est le volume du corps. + +On peut maintenant transformer cette intégrale en employant le théorème de +Gauss, mais il faut prendre garde que $u$, $v$, $w$ sont des fonctions polydromes. +C'est pourquoi l'application directe du théorème ne peut pas se faire comme nous +avons déjà vu dans la leçon précédente. + +\Paragraph{2.} Pour pouvoir appliquer le théorème de Gauss il faut commencer par sectionner +le volume~$S$ de sorte qu'il devienne acyclique, et il faut ensuite regarder les +deux faces de chaque coupure comme faisant partie du contour du corps. + +On trouve alors, en désignant par $\sigma_1\, \sigma_2\, \dotsc\, \sigma_n$ les coupures, que la transformation +de l'intégrale conduit à la formule suivante +%% -----File: 017.png---Folio 17------- +\begin{align*} +E &= \frac{1}{2} \sum_1^n \int_{\sigma_i} + \{ X_i ( u_\alpha^{(i)} - u_\beta^{(i)} ) + + Y_i ( v_\alpha^{(i)} - v_\beta^{(i)} ) + + Z_i ( w_\alpha^{(i)} - w_\beta^{(i)} ) \}\, d\sigma_i +\Trail{=} \\ +% + &= \frac{1}{2} \sum_1^n \left\{ + l_i \int_{\sigma_i} X_i\, d\sigma_i + + m_i \int_{\sigma_i} Y_i\, d\sigma_i + + n_i \int_{\sigma_i} Z_i\, d\sigma_i \right. +\Trail{+} \\ % [** PP: Re-breaking] + &\quad+ \left. %[** PP: Changed \int_{\tau_i} to \int_{\sigma_i}] + p_i \int_{\sigma_i} (Y_i z - Z_i y)\, d\sigma_i +% + + q_i \int_{\sigma_i} (Z_i x - X_i z)\, d\sigma_i + + r_i \int_{\sigma_i} (X_i y - Y_i x)\, d\sigma_i \right\} +\end{align*} +où $u_{\alpha}^{(i)}$, $v_{\alpha}^{(i)}$, $w_{\alpha}^{(i)}$; $u_{\beta}^{(i)}$, $v_{\beta}^{(i)}$, $w_{\beta}^{(i)}$, sont les valeurs des composantes des déplacements +des deux côtés de la coupure~$\sigma_i$: $l_i, m_i, n_i, p_i, q_i, r_i$ sont les caractéristiques de la +distorsion relatives à la coupure~$\sigma_i$; et $X_i\, Y_i\, Z_i$ sont les composantes de la tension +unitaire qui s'exerce sur chaque élément d'aire de la même coupure. + +Posons +\begin{gather*} +L_i = \int_{\sigma_i} X_i\, d\sigma_i\qquad +M_i = \int_{\sigma_i} Y_i\, d\sigma_i\qquad +N_i = \int_{\sigma_i} Z_i\, d\sigma_i \\ +P_i = \int_{\sigma_i} (Y_i z - Z_i y)\, d\sigma_i\quad +Q_i = \int_{\sigma_i} (Z_i x - X_i z)\, d\sigma_i\quad +R_i = \int_{\sigma_i} (X_i y - Y_i x)\, d\sigma_i +\end{gather*} +on aura +\[ %[** PP: Modernized notation, added period] +E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n + (L_i l_i + M_i m_i + N_i n_i + P_i p_i + Q_i q_i + R_i r_i ). +\] + +Si l'on compose les tensions qui sont appliquées sur la coupure~$\sigma_i$, en prenant +pour centre de réduction l'origine, on trouve que $L_i, M_i, N_i$ sont les composantes +de la force résultante et $P_i, Q_i, R_i$ les composantes de la couple résultante. + +On peut écrire la formule précédente d'une manière plus simple en appelant +$s_1\, s_2\, \dotsc\, s_{6n}$ les quantités $l_i, m_i, n_i$ et~$E_1, E_2 \dotsc E_{6n}$ les quantités correspondantes +$L_i, M_i, N_i$; elle devient en effet +\[ +E = \frac{1}{2} \sum_1^{6n} E_i s_i. +\] + +Supposons que les quantités $s_1\, s_2\, \dotsc s_{6n}$ soient nulles excepté $s_h = 1$. Appelons +$E_{ih}$ les valeurs correspondantes des coefficients~$E_i$. Lorsque $s_1\, s_2\, \dotsc s_{6n}$ sont quelconques +on aura +%% -----File: 018.png---Folio 18------- +\[ +E_i = \sum_1^{6n} E_{ih} s_h +\] +c'est pourquoi + % [** PP: Added period] +\[ +E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s_i s_h. +\] + +\Paragraph{3.} Nous allons démontrer maintenant une propriété fondamentale des coefficients~$E_{ih}$, +et nous nous permettons à ce propos de faire quelques remarques générales. + +Green a démontré par l'application du théorème de Gauss un théorème fondamental +dans la théorie du potentiel. Mais le théorème de Green n'est pas borné au +cas du potentiel, il peut s'étendre à un nombre considérable de cas. J'ai démontré +qu'il peut s'étendre à tous les problèmes qui dépendent du calcul des variations. + +Même le problème de l'élasticité, comme tout problème de mécanique, se +rattache à une question de calcul de variation, c'est pourquoi on a le théorème +analogue à celui de Green pour l'élasticité. Il a été donné pour la première fois +par Betti qui en a fait des applications remarquables pour l'intégration des problèmes +de l'équilibre élastique. Cerruti, Boussinesq, Somigliania ont continué par +le chemin qui avait été tracé par Betti. + +Or si les déplacements sont polydromes, puisque le théorème de Gauss ne +peut plus s'appliquer, le théorème de Betti n'est plus applicable. %[** PP: Changed , to .] +Nous allons voir +cependant qu'on peut reprendre, même dans ce cas, l'idée fondamentale de Green, +et l'on est amené par là à une loi de réciprocité fort intéressante. + +Supposons que nous appliquons successivement au corps élastique deux distorsions +caractérisées par les valeurs $s'_1, s'_2, \dotsc s'_{6n}$ et $s''_1, s''_2 \dotsc s''_{6n}$ des caractéristiques. +Soient $\gamma'_{rs}$ et~$\gamma''_{rs}$ les valeurs des~$\gamma_{rs}$ correspondant aux deux déformations, $F'$ et~$F''$ +les valeurs du potentiel élastique. + +On aura, par un théorème bien connu d'algèbre, +\[ + \int_S \sum \pderiv{F'}{\gamma'_{rs}} \gamma''_{rs}\, dS += \int_S \sum \pderiv{F''}{\gamma''_{rs}} \gamma'_{rs}\, dS +\] +et si nous transformons ces intégrales, après avoir réduit acyclique le volume~$S$ +par les coupures, en regardant toujours les faces des coupures comme faisant partie +du contour du volume~$S$ on trouve +\[ +\sum_1^{6n} E''_i s'_i = \sum_1^{6n} E'_i s''_i +\] +%% -----File: 019.png---Folio 19------- +$E''_i$ et~$E'_i$ étant les valeurs des quantités~$E_i$ correspondant aux deux distorsions. +On tire de là +\[ + \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s'_i s''_h += \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s''_i s'_h +\] +et puisque les quantités $s'_i$ et~$s''_i$ sont arbitraires, on doit avoir +\[ +E_{ih} = E_{hi}. +\] + +Cette propriété réciproque des coefficients~$E_{ih}$ peut s'interpréter de plusieurs +manières et conduit à des théorèmes mécaniques qu'on énonce facilement. + +On peut appeler l'ensemble de la force ayant pour composantes $L_i, M_i, N_i$ et +de la couple ayant pour composantes $P_i, Q_i, R_i$ \emph{l'effort total} appliqué à la coupure~$\sigma_i$ +et l'on peut appeler toutes les quantités $E_1, E_2 \dotsc E_{6n}$ les \emph{caractéristiques des +efforts}. + +On a alors que% +\begin{Prop} +si deux systèmes de distorsions engendrent deux systèmes d'efforts, +la somme des produits des caractéristiques des efforts du premier système multipliées +par les caractéristiques des distorsions du second système est égale à la somme des +produits des caractéristiques des efforts du second système multipliées par les caractéristiques +des distorsions du premier système. +\end{Prop} + +Lorsque les quantités $s_1, s_2 \dotsc, s_{6n}$ sont nulles excepté $s_h = 1$ la distorsion peut +s'appeler une \emph{distorsion élémentaire d'ordre~$h$}. $E_{ih}$~est l'effort d'ordre~$i$ engendré +par la distorsion élémentaire d'ordre~$h$. $E_{hh}$~est l'effort conjugué de la distorsion +élémentaire. Le théorème précédent peut donc s'énoncer en disant que% +\begin{Prop} +l'effort +d'ordre~$i$ engendré par la distorsion élémentaire d'ordre~$h$ est égal à l'effort d'ordre~$h$ +engendré par la distorsion élémentaire d'ordre~$i$. +\end{Prop} + + +\Chapter{\Ord{4}{ième} leçon.} + +\Paragraph{4.} Nous avons démontré dans la leçon précédente que la même distorsion +exécutée sur deux coupures qui peuvent se réduire l'une à l'autre par une déformation +continue engendre la même déformation du corps. + +Les deux coupures peuvent s'appeler à cause de cela des \emph{coupures équivalentes}. +Le théorème qu'on vient de rappeler peut être complété en démontrant que les efforts +dans les coupures équivalentes sont égaux. Prenons en effet la partie du +corps entre deux coupures équivalentes. Les tensions qui sollicitent les éléments +%% -----File: 020.png---Folio 20------- +des coupures doivent se faire équilibre. On tire de là tout de suite l'égalité des +deux efforts. + +Donc les efforts dépendent, comme les distorsions, de la nature géométrique +du corps et de la déformation. + +Le problème que l'on peut se proposer est d'étudier les propriétés des efforts +et de les déterminer, les distorsions étant données. + +Nous allons voir que l'on peut obtenir des théorèmes généraux sans intégrer +directement les équations de l'élasticité. + +\Paragraph{5.} Supposons que nous ayons un solide de révolution qui ait une connexion +double; il peut être engendré par la révolution d'une aire plane simplement connexe +autour d'un axe du plan qui ne la rencontre pas, ou il peut être engendré +par la rotation d'une aire doublement connexe limitée par l'axe. Supposons que +le solide soit rempli d'une substance électrique dont la constitution soit symétrique +par rapport à l'axe. + +L'énergie du système est donnée par +\[ +E = \tfrac{1}{2} \sum_1^6 \sum_1^6 E_{ih} s_i s_h +\] +où +\[ +s_1=l,\quad s_2=m,\quad s_3=n,\quad s_4=p,\quad s_5=q,\quad s_6=r. +\] +Cette expression peut se comparer à la force vive d'un liquide indéfini sans tourbillons +à l'intérieur duquel se trouve un corps solide symétrique, et l'on peut répéter dans +ce cas des raisonnements tout à fait semblables à ceux que l'on fait dans cette +question d'hydrodynamique. On trouve par là , en vertu de la symétrie, qu'on +peut toujours choisir l'origine en un point de l'axe de symétrie de manière que +l'expression de~$E$ devienne +\[ +E = \tfrac{1}{2} + \{ E_{11} ( s^2_1 + s^2_2 ) + E_{33}\, s^2_3 + + E_{44} ( s^2_4 + s^2_5 ) + E_{66}\, s^2_6 \}. % [** PP: Added period] +\] +L'origine s'appelle le \emph{point central de l'axe de symétrie}. + +Les quantités~$E_{ih}$ sont nulles lorsque $i$ et~$h$ ne sont pas égaux; c'est pourquoi +on a le théorème: + +\begin{Theorem} +Dans un corps symétrique qui a une connexion double chaque distorsion élémentaire +engendre un seul effort qui est l'effort conjugué, le centre de réduction étant dans +le point central de l'axe de symétrie. +\end{Theorem} + +Donc si la distorsion est due à une translation relative des molécules des deux +faces de la coupure, l'effort total engendré est une force qui passe par le point central, +et si la distorsion est une rotation l'effort total est une couple. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{r}{1.75in} +\Input{021a}{1.5in} +\end{wrapfigure} +Revenons à l'exemple primitif des distorsions. Prenons un anneau symétrique, +%% -----File: 021.png---Folio 21------- +retranchons une mince tranche radiale, et soudons +les deux bouts. On serait facilement amené à croire +que les faces de la soudure sont sollicitées par une +traction, mais si nous réfléchissons que le déplacement +relatif des molécules situées d'un côté de la coupure +par rapport à celles situées de l'autre côté est dû +à une rotation autour de l'axe de symétrie, on tire +du théorème précédent que l'effort est une couple +ayant pour axe l'axe de symétrie. Mais si la résultante des tensions qui s'exercent +sur les faces de la soudure est une couple, il faut qu'une partie de la soudure +soit comprimée et qu'une partie soit tendue, et même que% +\begin{Prop} +la somme des efforts de +traction égalise la somme des efforts de compression. +\end{Prop} + +On arrive par là à un résultat qui est inattendu. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{r}{1.75in} +\Input{021b}{1.75in} +\end{wrapfigure} +Supposons maintenant que la même tranche +retranchée ait une largeur uniforme. La distorsion +consiste alors dans une translation, et l'effort est +une force normale à l'axe de symétrie et qui le +rencontre au point central. Même dans ce cas une +partie de la soudure est comprimée et une partie +supporte une traction, mais si nous envisageons l'énergie +du système, on a aisément que dans le cas de +la fissure radiale la partie comprimée est la partie +interne de la soudure et la partie externe supporte +la traction, tandis qu'on a le contraire si la fissure +est de largeur uniforme. + +Appliquons maintenant le théorème des coupures équivalentes. On en tire que +si la fissure est radiale toute section de l'anneau supporte, d'une manière symétrique, +la compression et la traction, mais dans le cas de la fissure uniforme dans la +région~$A'$ de l'anneau opposée à la soudure~$A$ les choses sont renversées, et une +section en~$A'$ supporte dans la partie interne la compression et dans la partie +externe la traction. + +Voilà que par la considération de l'énergie du système déformé on tire un +grand nombre de propriétés sans intégrer les équations de l'équilibre élastique. + +\Paragraph{12.} Il est intéressant cependant d'approfondir le cas de l'anneau symétrique +isotrope en étudiant en détail les déformations produites par les distorsions. Il faut +pour cela intégrer effectivement les équations de l'équilibre et il est nécessaire +de partir des formules~(6) que nous avons données dans la précédente leçon. % [** Xref] +%% -----File: 022.png---Folio 22------- + +Nous envisageons un cylindre creux symétrique isotrope, nous prenons +l'origine dans le centre de symétrie, et faisons coïncider l'axe~$z$ avec l'axe de +symétrie. Les déplacements donnés par les formules~(4) de la leçon précédente % [** Xref] +correspondent à la distorsion la plus générale ayant pour caractéristiques $l, m, n, +p, q, r$; mais si nous calculons les tensions qui sollicitent le corps, nous voyons que +pour obtenir ce cas d'équilibre il faut supposer que les surfaces latérales et les +bases du cylindre soient sollicitées par des tensions. Or nous voulons envisager le +cas où le cylindre est déformé par la distorsion et n'est pas assujetti %[** PP: Typo assujétti] +à des actions +externes. Il faut donc éliminer les tensions superficielles. + +Représentons par~$T$ l'ensemble de ces tensions. Supposons maintenant que le +cylindre primitif n'ayant pas de distorsions soit soumis à l'action des tensions~$-T$, +c'est à dire des tensions égales et contraires aux tensions~$T$. Soient $u'\, v'\, w'$ les +déplacements qu'on trouve. En prenant les différences +\[ +u-u'\quad v-v'\quad w-w' +\] +on aura des déplacements qui correspondent à la distorsion du corps, mais en même +temps les tensions au contour auront été éliminées. On voit par là que l'élimination +des tensions au contour est un problème ordinaire de l'équilibre élastique +qu'on peut tâcher de résoudre par les méthodes ordinaires. + +Dans les formules~(4) nous avons 6~constantes arbitraires qui correspondent % [** Xref] +aux six distorsions élémentaires. On peut simplifier beaucoup le problème en +envisageant séparément chaque distorsion élémentaire. On voit par la symétrie +que les distorsions d'ordre~$1$ et~$2$ se ramènent l'une à l'autre et de même celles +d'ordre~$4$ et~$5$. Il suffit donc d'envisager les distorsions d'ordre +\[ +2,\ 3,\ 5,\ 6. +\] +% [** PP: Removing paragraph break] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}[10]{l}{2in} % **** Explicit height, vertical adjustment +\raisebox{0.25in}[2in][0pt]{\Input{022a}{1.75in}} +\end{wrapfigure} +Commençons par celles d'ordre~$6$ et~$2$. La distorsion d'ordre~$6$ correspond +évidemment à la \emph{fissure radiale} et celle d'ordre~$2$ à la \emph{fissure de largeur uniforme}. + +Dans le cas de la distorsion d'ordre~$6$ on élimine +très aisément, en vertu de la symétrie, les tensions +latérales, et l'on trouve qu'après la distorsion le corps +garde sa forme cylindrique régulière et les bases +gardent leur distance initiale si on les comprime dans +la région (interne) que nous avons laissée en blanc et +si on exerce une traction dans la région (externe) +que nous avons hachée. Appelons~$T$ l'ensemble de %[** PP: Typo Appellons] +ces tensions. Il n'y a plus de difficulté alors à déterminer +la forme du corps lorsqu'il est complètement +libre et qu'aucune force ne s'exerce sur les bases. +%% -----File: 023.png---Folio 23------- +En effet il suffit d'envisager un cylindre à l'état naturel et de chercher la déformation +lorsqu'on le sollicite par les tensions~$-T$. La forme que le corps prendra +sera celle que nous cherchons. Prenons une tranche radiale du cylindre: la partie +en blanc supportera une traction, la partie hachée une compression; c'est pourquoi +cette tranche subira une flexion. +%[Illustrations] +\begin{center} +\quad\Input{023a}{1in}\hfill +\Input{023b}{1in}\hfill +\raisebox{0.25in}{\Input{023c}{2in}}\quad +\end{center} + +Chaque tranche du cylindre se déformant par une flexion pareille le cylindre +prendra la forme indiquée par la figure voisine, c'est à dire que le bord interne se +soulèvera, le bord externe s'abaissera tandis que la surface latérale externe deviendra +concave, et la surface latérale interne convexe. + +J'ai voulu vérifier par l'expérience ce résultat, et j'ai pris un gros cylindre +creux de caoutchouc, j'y ai fait une fissure radiale, et j'ai soudé les deux faces de +la fissure. La forme prise par le corps a été celle que le calcul avait prévue, et l'on +a pu même vérifier par des mesures que les résultats des calculs étaient exacts. +On pouvait aussi remarquer que la partie interne de la soudure était comprimée et +que la partie externe supportait un effort de traction. A cause de cet effort la +soudure ne résistait pas, c'est pourquoi pour garder la forme j'en ai pris le modèle +en plâtre que je vous montre. L'endroit de la coupure est parfaitement visible. + +Quelquefois il arrive que l'on veut rétrécir un tube, mais si l'on retranche +une tranche radiale du tube et que l'on soude les deux faces, le tube prend sa forme +cylindrique. Les forgerons et tous ceux qui ont essayé cette opération connaissent +très-bien ce résultat que maintenant la théorie des solutions polydromes explique +parfaitement. + +\Paragraph{13.} Quelle est maintenant la forme du cylindre lorsqu'on fait la fissure de +largeur uniforme, c'est à dire lorsqu'on fait une distorsion d'ordre~$2$? + +On peut procéder tout à fait de la même manière que dans le cas précédent. +On peut commencer par éliminer les tensions latérales et après les tensions sur les +%% -----File: 024.png---Folio 24------- +bases. La forme prise par le corps est même plus compliquée que dans le cas +précédent. Elle est représentée par la figure ci-jointe, et voici un plâtre qui est le +modèle d'un cylindre de caoutchouc qui +a supporté une distorsion d'ordre~$2$. Même +dans ce cas l'expérience a vérifié complètement +les résultats du calcul. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2.5in} +\Input{024a}{2.25in} +\end{wrapfigure} +Je n'entre pas dans les détails sur les +distorsions d'ordre~$5$ et d'ordre~$3$. La première +peut se déduire de celle d'ordre~$2$ par +des intégrations simples, et la dernière peut +se calculer directement sans difficulté. Cette +distorsion s'obtient en faisant glisser les +deux faces de la coupure, l'une par rapport +à l'autre, dans la direction de l'axe du +cylindre et en les soudant ensuite. + +Nous avons dit (§~4) qu'on peut se % [** Xref] +proposer le problème de déterminer les efforts lorsqu'on connaît %[** PP: Typo connait] +les distorsions +d'un corps cyclique. Avant de laisser ce sujet nous voulons indiquer en peu de mots +comment on peut traiter cette question dans le cas général d'un corps cyclique +formé par un nombre quelconque de verges droites ou courbes très-minces soudées +à leurs bouts en plusieurs n{\oe}uds. % [** PP: Typo noeuds] + +%[Illustration] +% [** PP: Bounding box of PDF file manually adjusted to [0 -2 112 124]] +\begin{wrapfigure}{l}{1.5in} +\Input{024b}{1.5in} +\end{wrapfigure} +Soit $AB$ l'une des verges, les efforts dans toutes les +sections de la verge seront égaux. Prenons l'origine +comme centre de réduction, et désignons par +\[ +X_1^{(ab)}\, X_2^{(ab)}\, X_3^{(ab)}\, X_4^{(ab)}\, X_5^{(ab)}\, X_6^{(ab)} +\] +les caractéristiques des efforts correspondantes aux sections +de la verge. + +Soient $x_1^{(a)}\, x_2^{(a)}\, x_3^{(a)}\, x_4^{(a)}\, x_5^{(a)}\, x_6^{(a)}$ les composantes de la +translation et de la rotation qui ont conduit la molécule~$A$ +de l'état naturel à % [** PP: Typo a] +l'état actuel et $x_1^{(b)}\, x_2^{(b)}\, x_3^{(b)}\, x_4^{(b)}\, x_5^{(b)}\, x_6^{(b)}$ les quantités analogues +relatives à la molécule~$B$. + +Soient $e_1^{(ab)}\, e_2^{(ab)}\, e_3^{(ab)}\, e_4^{(ab)}\, e_5^{(ab)}\, e_6^{(ab)}$ les caractéristiques de la distorsion qu'on a +appliquée à une section de la verge~$AB$. On aura des relations linéaires +\[ +x_r^{(a)} - x_r^{(b)} + e_r^{(ab)} %[** PP: Added operator +] + = \sum_1^6 H_{ri} X_i\qquad +r = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 +\] +%% -----File: 025.png---Folio 25------- +et les coefficients constants~$H_{ri}$ dépendront de la forme initiale et de la constitution +de la verge. + +En même temps si nous prenons toutes les verges qui aboutissent au point~$A$ +et qui sont soudées ensemble dans ce point on doit avoir pour l'équilibre +\[ +x_i^{(ab)} + x_i^{(ac)} + x_i^{(ad)} + \dotsb = 0\qquad +i = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6. +\] +On a donc six équations pour chaque n{\oe}ud % [** PP: Type noeud] +et six équations pour chaque verge. + +Ces équations sont tout à fait semblables aux équations de Kirchhoff pour les +courants électriques dans les fils; seulement elles sont sextuplées. On peut développer +une théorie du même type que celle de Kirchhoff où les caractéristiques +des distorsions remplacent les forces électromotrices et les caractéristiques des +efforts les intensités des courants. + +\begin{Bibliographie} + +\Bibitem{Riemann-Weber.}{Die Partiellen Diff.-gleich.\ der Math.\ Physik.\ 1.~Vol.} +\Bibitem{Love.}{Math.\ Theory of elasticity.} +\Bibitem{Weingarten.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. Vol.~X.} +\Bibitem{Volterra.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. Vol.~XIV. \primo Sem.\ +fasc.\ 3, 4, 8, 12. \secundo Sem.\ fasc.~7.} +\Bibitem{Maggi.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. %[** PP: Changed , to .] +Vol.~XIV. \secundo Sem.} +\Bibitem{Timpe.}{Inaugural-Dissertation. Göttingen. (Leipzig 1905).} +\end{Bibliographie} + + +\Chapter{\Ord{5}{ième} leçon.} + +\Paragraph{1.} Nous avons étudié dans les leçons précédentes les solutions des équations +de l'élasticité qui appartiennent au type elliptique, et nous avons envisagé particulièrement +les solutions polydromes et le rôle qu'elles jouent dans la théorie. Le +cas de l'élasticité nous offre le meilleur exemple pour trouver leur interprétation +et leur utilité pratique. + +Nous voulons pénétrer aujourd'hui plus profondément dans l'étude des solutions +des équations du type elliptique, mais pour cela nous laisserons de côté le +cas de l'élasticité, et nous envisagerons le cas le plus simple possible, celui de l'équation +de Laplace qui correspond à la théorie du potentiel. + +On peut considérer l'équation de Laplace relative à un nombre quelconque +de variables %[** PP: Removing period] +%% -----File: 026.png---Folio 26------- +\[ +\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0,\quad +\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0,\quad + \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} ++ \frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_4^2} = 0,\ \text{etc.} +\] + +Le cas devient de plus en plus compliqué, mais bien des théorèmes s'étendent +sans aucune difficulté de proche en proche. Par exemple le théorème de Green, +avec toutes ses conséquences et toutes ses applications. Il est utile, je puis dire +même indispensable, pour cette étude d'introduire le langage emprunté à la théorie +des espaces à plusieurs dimensions. C'est seulement un langage, mais il est un +instrument très-puissant pour énoncer des théorèmes, et il amène par l'induction à +trouver des propositions nouvelles. Je citerai dans cette direction les études de +Ch.\ Bjerknes qui correspondent au mouvement d'une ellipsoïde % [** PP: Typo ellipsoide] +à $n$~dimensions dans +un fluide à $n$~dimensions. + +\Paragraph{2.} Cependant dès les premiers pas dans les recherches dont je viens de parler +on a l'impression qu'il y a une lacune à combler, c'est à dire que quelque +chose manque. + +Je vais citer un seul exemple. Les domaines à deux dimensions ont une +seule sorte de connexion; les domaines à trois dimensions ont deux sortes de connexions. +En effet nous avons déjà distingué les espaces cycliques et les espaces +acycliques, et nous avons vu quel rôle joue la cyclicité dans le cas de l'élasticité. +Mais prenons le volume compris entre deux sphères concentriques. Il est acyclique, +c'est à dire que tout cycle formé par une ligne fermée peut se réduire aussi petit +que l'on veut par une déformation continue, sans sortir de l'espace, mais la même +propriété ne se vérifie pas pour toute surface fermée, car une surface menée entre +les deux sphères ne peut pas être réduite aussi petite que l'on veut sans sortir +de l'espace renfermé entre les deux sphères. Il y a donc deux sortes de connexions +dans le cas de trois dimensions, on les appelle \emph{connexion linéaire} ou cyclicité et +\emph{connexion superficielle}, mais on connaît % [** PP: Typo connait] +une seule sorte de polydromie. Si le nombre +des dimensions augmente, on a plusieurs sortes de connexions toujours plus compliquées, +mais à cela ne correspondent pas plusieurs sortes de polydromies. + +Le cas de deux variables est étroitement lié à la théorie des fonctions. En +effet par la séparation de la partie imaginaire dans une fonction d'une variable +complexe on trouve deux fonctions de deux variables qui satisfont à l'équation de +Laplace. Réciproquement toute fonction de deux variables qui satisfait à l'équation +de Laplace possède une fonction conjuguée, et en ajoutant la première à la fonction +conjuguée multipliée par $i = \sqrt{-1}$ on trouve une fonction d'une variable complexe. + +L'existence de la fonction conjuguée et la liaison avec la théorie des fonctions +engendrent un ensemble de propriétés dans le cas de deux variables qui manquent +dans le cas d'un nombre plus grand de variables et ce sont ces propriétés pourtant +%% -----File: 027.png---Folio 27------- +qui conduisent dans le cas de deux variables aux propositions les plus importantes +et les plus cachées de la théorie. + +On est amené par là à soupçonner que la lacune dont j'ai parlé tout à l'heure +pourrait être comblée en étendant au cas de plusieurs variables la théorie des fonctions +conjuguées. + +Je consacrerai cette leçon et la suivante à donner un aperçu de quelques recherches +qu'on a faites à ce sujet qui conduisent à deux branches différentes provenant +cependant d'une même source. + +\Paragraph{3.} Rappelons les propriétés des fonctions conjuguées dans le cas de deux +variables. + +Si la fonction~$u$ satisfait à l'équation de Laplace $\Delta^2 u = 0$ en posant +\[ +\pderiv{u}{x} = X,\quad +\pderiv{u}{y} = Y +\] +on trouve +\iffalse %[** PP: Commented code duplicates original] +\begin{align*} +\pderiv{X}{y} &= \pderiv{Y}{x} \\ +\pderiv{X}{x} &+ \pderiv{Y}{y} = 0. +\end{align*} +\fi %[** End of commented code] +\[ %[** PP: Setting on one line, adding comma] +\pderiv{X}{y} = \pderiv{Y}{x},\qquad \pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} = 0. +\] +C'est pourquoi +\[ +X\, dx + Y\, dy,\quad Y\, dx - X\, dy +\] +sont des différentielles exactes. + +Envisageons les fonctions dans une aire~$\sigma$ à connexion simple, où $X$, $Y$ sont +finies, continues et monodromes. Calculons +\[ +u = u_0 + \int_{A_0}^{A_1} (X\, dx + Y\, dy),\quad +v = v_0 + \int_{A_0}^{A_1} (Y\, dx - X\, dy), +\] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{r}{1.5in} +\Input{027a}{1.5in} +\end{wrapfigure} +les intégrales étant étendues à une ligne~$s$ qui en +partant du point~$A_0$ aboutit au point~$A_1$, où $u_0$ est +la valeur de~$u$ dans le point~$A_0$ et~$v_0$ est une quantité +constante. On a que les intégrales ne dépendent pas +de la ligne~$s$ pourvu que $A_0$ et~$A_1$ ne changent pas +et $u$ est la valeur de la fonction~$u$ dans le point~$A_1$ +et $v$ est la valeur de la fonction conjuguée dans +le même point. L'aire étant à connexion simple si le +point~$A_1$ coïncide avec~$A_0$ les intégrales sont nulles, c'est pourquoi $u$ et~$v$ sont +des fonctions monodromes, mais si l'aire~$\sigma$ est à connexion multiple $u$ et~$v$ peuvent +être polydromes. +%% -----File: 028.png---Folio 28------- + +La dérivée de~$u$ dans une direction quelconque~$\xi$ est égale à la dérivée de~$v$ +dans la direction normale~$\eta$, si les directions $\xi$, $\eta$ sont orientées l'une par rapport +à l'autre comme $x$ et~$y$. + +En calculant $u + iv = f$, on obtient une fonction de la variable complexe +$x + iy$. + +\Paragraph{4.} Passons maintenant au cas de trois variables. + +Soit $u$ une fonction qui satisfait à l'équation de Laplace; posons +\[ +\pderiv{u}{x} = X,\quad +\pderiv{u}{y} = Y,\quad +\pderiv{u}{z} = Z; +\] +on aura évidemment +\begin{gather*} +\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z} = 0,\quad +\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x} = 0,\quad +\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y} = 0; +\tag{1} \\ +\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z} = 0. +\tag{2} +\end{gather*} + +La propriété caractérisée par les équations~(1) peut s'énoncer en disant que +le \emph{curl} % [** PP: Typo curls] +du vecteur ayant pour composantes $X$, $Y$, $Z$ est nul et la propriété caractérisée +par l'équation~(2) en disant que la \emph{divergence} du vecteur est nulle. + +\Paragraph{5.} Cela posé, soit~$S$ un domaine ayant une connexion simple linéaire et aussi +une connexion superficielle simple. Toute ligne fermée sera le contour d'une surface +renfermée dans le domaine et toute surface fermée sera le contour d'un volume +aussi renfermé dans le domaine. C'est pourquoi en employant le théorème de +Stokes on trouvera +\[ +\int_s (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) = 0 +\tag{3} +\] +l'intégrale étant étendue à une ligne fermée~$s$, et en appliquant le théorème de +Gauss on aura +\[ +\int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma = 0 +\tag{4} +\] +où cette intégrale est étendue à une surface fermée quelconque. + +On tire de l'équation~(3) que si l'on étend l'intégrale à une ligne~$s'$ qui en +partant d'un point~$A_0$ aboutit à un point~$A_1$ la valeur de l'intégrale dépendra seulement +des points $A_0$ et~$A_1$, et ne dépendra pas de la ligne comprise entre +ces points. +%% -----File: 029.png---Folio 29------- + +Si nous appelons $u_0$ la valeur de~$u$ au point~$A_0$ on aura +\[ +u = u_0 + \int_{s'} (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) +\] +$u$ étant la valeur de la fonction au point~$A_1$. Envisageons maintenant l'intégrale~(4), +mais supposons qu'elle ne soit pas étendue à une surface fermée, mais à une +surface ouverte. Pour déterminer la direction de la normale~$n$ à la surface nous +convenons que, le bord de la surface ayant une direction déterminée personnifiée +par une poupée qui regarde la surface, $n$~soit dirigée de droite à gauche de la +poupée. Cela posé on tire % [** PP: Removed comma] +tout de suite de l'équation~(4) que la valeur de l'intégrale +étendue à la surface ouverte ne dépend pas de la surface où l'on a calculé +l'intégrale, mais de son bord. C'est pourquoi l'intégrale étendue à une ligne conduit +à une fonction des points de l'espace: c'est à dire à la fonction primitive, et de +même l'intégrale étendue à une surface conduit à une fonction des lignes de l'espace. + +Il n'y a pas de difficulté à concevoir des fonctions de lignes comme on conçoit +des fonctions ordinaires, c'est à dire les fonctions des points. En effet, si l'on +regarde tous les points de l'espace, et si l'on suppose qu'à chaque point correspond +la valeur d'une quantité, on a % [** PP: Typo à ] +une fonction des points de l'espace, c'est à dire une +fonction ordinaire de trois variables. Mais toutes les lignes forment aussi des +éléments géométriques de l'espace, et l'on peut évidemment concevoir une quantité +qui a une valeur correspondant à chaque ligne. Voilà donc une fonction des lignes. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{r}{2.5in} +\Input{029a}{2.5in} +\end{wrapfigure} +Celle que nous avons trouvée n'est +qu'une fonction particulière. Elle correspond +à des lignes fermées, elle est +continue et elle a aussi une autre propriété +intéressante. Soient $s$ et~$s'$ deux +lignes fermées qui ont un arc commun~$AB$. +Si on doit parcourir l'arc~$AB$ en +directions contraires en supposant qu'il +appartienne aux deux lignes, on pourra +retrancher~$AB$ et obtenir une courbe~$s''$ +dont la direction même sera déterminée. +On écrira +\[ +s'' = s + s'. +\] + +Soit $V$ la fonction des lignes que nous avons trouvée, et désignons par $V, +V', V''$ les valeurs correspondant aux lignes $s, s', s''$ il est évident que +\[ +V'' = V' + V. +\] +%% -----File: 030.png---Folio 30------- + +C'est pourquoi l'on peut appeler la fonction des lignes que nous avons trouvée +une \emph{fonction de premier degré}. + +\Paragraph{6.} Elle a été obtenue par un procédé d'intégration; il est facile d'y appliquer +un procédé inverse qu'on peut appeler un procédé de dérivation. + +%[Illustration] +% [** PP: Moved up one paragraph to accommodate pagination] +\begin{wrapfigure}[10]{l}{1.75in}% **** Explicit height +\Input{030a}{1.75in} +\end{wrapfigure} +Revenons à une fonction ordinaire des points de l'espace. Pour la dériver +il suffit de déplacer le point indice de la fonction dans une certaine direction, de +calculer le rapport entre la variation de la fonction et le déplacement, et d'en déterminer +la limite lorsque le déplacement devient infiniment petit. + +De même prenons la fonction des lignes que nous avons trouvée. Déplaçons +en~$l'$ un arc~$l$ de la ligne, et cherchons la variation correspondante de la fonction. +A % [** PP: Typo À] +cause des propriétés que nous avons trouvées +cette variation sera la valeur de la fonction correspondant +à la ligne formée par les arcs $l'$ et~$l$ +en supposant que l'on invertisse la direction dans +laquelle on doit parcourir l'arc~$l$. Elle pourra donc +s'exprimer par +\[ +W = \int_\Sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\Sigma, +\] +$\Sigma$ étant une surface ayant pour contour les lignes +$l$ et~$l'$; $n$~sa normale prise dans la direction qu'on +a établie précédemment. + +Supposons maintenant que la surface~$\Sigma$ en décroissant infiniment d'une manière +régulière tende vers un point~$M$; on aura +\[ +\lim \frac{W}{\Sigma} = X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz +\] +en prenant les valeurs de $X, Y, Z$ qui correspondent au point~$M$. + +On peut appeler $\lim \smash[b]{\dfrac{W}{\Sigma}}$ la dérivée de~$V$ par rapport à ~$\Sigma$, et l'on peut la représenter +par~$\dfrac{dV}{d\Sigma}$. Il est évident que le signe dont la dérivée est affectée n'est +déterminé que lorsqu'on connaît % [** PP: Typo connait] +la direction positive de la normale à la surface~$\Sigma$. +Prenons la dérivée de~$V$ par rapport à une surface~$\Sigma$ normale à l'axe~$X$ en~$M$, +on aura +\[ +\frac{dV}{d\Sigma} = X. +\] +De même, si $\Sigma_1$ et~$\Sigma_2$ sont des surfaces normales aux axes $Y$ et~$Z$, on aura +%% -----File: 031.png---Folio 31------- +\[ +\deriv{V}{\Sigma_1} = Y,\quad \deriv{V}{\Sigma_2} = Z, +\] +c'est pourquoi l'on peut désigner $X, Y, Z$ par les symboles +\[ +\deriv{V}{(yz)},\quad \deriv{V}{(zx)},\quad \deriv{V}{(xy)}. +\] + +Revenons maintenant à la fonction primitive~$u$. Nous avons +\[ +\pderiv{u}{x} = X\quad +\pderiv{u}{y} = Y\quad +\pderiv{u}{z} = Z; +\] +donc +\[ +\pderiv{u}{x} = \pderiv{V}{(yz)},\quad +\pderiv{u}{y} = \pderiv{V}{(zx)},\quad +\pderiv{u}{z} = \pderiv{V}{(xy)} +\] +ou en général, $n$~étant la normale à la surface~$\Sigma$, +\[ +\pderiv{u}{n} = \pderiv{V}{\Sigma}. +\] + +On tire de là qu'en dérivant la fonction des lignes~$V$ par rapport à une certaine +surface et en dérivant la fonction~$u$ par rapport à la normale à cette surface +on trouve la même valeur. Donc la fonction~$u$ et la fonction~$V$ ont une relation +réciproque tout à fait analogue à celle des deux fonctions conjuguées dans le cas +de deux variables. C'est pourquoi dans le cas de trois variables, pour arriver à +une fonction conjuguée de la fonction potentielle, il faut introduire les fonctions +des lignes. + +\Paragraph{7.} On pourrait penser que ce nouveau concept est tout à fait abstrait, mais +nous voulons montrer bien au contraire qu'il correspond à des concepts réels et à +des vues pratiques. + +Il suffit pour cela d'envisager un champ électromagnétique constant. Supposons +que nous ayons un pôle magnétique unitaire qui se déplace en prenant toutes +les positions possibles dans un certain domaine externe à toute masse magnétique, +électrique et à tout courant électrique. Le potentiel du champ par rapport au +pôle sera une fonction qui vérifie l'équation de Laplace, c'est à dire une \emph{fonction +harmonique}. + +Mais évidemment on pourra aussi penser avoir un courant électrique unitaire +qui parcourt un circuit fermé et qui se déplace en prenant toutes les positions et les +formes possibles dans le même domaine. Il est bien naturel que nous calculons le +potentiel du champ par rapport au courant électrique. On aura par là une idée +complète de la nature électromagnétique du champ, mais en même temps nous aurons +%% -----File: 032.png---Folio 32------- +envisagé une fonction des lignes fermées du domaine. Il est facile de démontrer +par un calcul très simple que cette fonction des lignes, c'est à dire le potentiel du +champ par rapport au courant, est justement la fonction conjuguée que nous avons +introduite tout à l'heure. + +On a donc que le nouveau concept a une base réelle et se présente même +comme un élément nécessaire à envisager dans les théories de la physique mathématique. + +\Paragraph{8.} Les fonctions conjuguées ordinaires qui se présentent dans le cas de deux +variables peuvent s'obtenir en particularisant celles que nous venons de définir. Il +suffit en effet d'envisager un champ électromagnétique à deux variables. Alors il +faut remplacer le pôle magnétique par un pôle logarithmique %[** PP: Typo logaritmique] +et le courant électrique +par un point tourbillon et le passage est déjà fait. + +Il y a aussi un autre cas particulier qui présente beaucoup d'intérêt. C'est celui +des potentiels symétriques. Dans ce cas il suffit de considérer les valeurs de la +fonction conjuguée correspondant aux lignes circulaires normales à l'axe de symétrie +et ayant le centre sur l'axe même. On arrive par là à des fonctions ordinaires +qu'on appelle les fonctions associées que Kirchhoff avait introduites en partant de +concepts tout à fait différents. + + +\Chapter{\Ord{6}{ième} leçon.} + +\Paragraph{9.} Jusqu'à présent nous avons envisagé les fonctions des lignes qui s'obtiennent +comme des fonctions conjuguées des fonctions qui satisfont à l'équation de Laplace; +mais on peut généraliser la chose. Soient $X, Y, Z$ trois fonctions quelconques +définies dans un espace~$S$ dont la connexion linéaire et la connexion superficielle +sont simples, et supposons qu'elles soient finies, monodromes et continues, et que +leurs dérivées aussi soient finies, continues et monodromes. Si l'on a +\[ +\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z} = 0 +\] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{r}{1.75in} +\Input{033a}{1.75in} +\end{wrapfigure} +on pourra toujours par le procédé que nous avons indiqué précédemment calculer +une fonction des lignes de l'espace. C'est pourquoi la condition pour l'existence +de la fonction des lignes est la condition~(2). Les conditions~(1) ne sont pas nécessaires % [** Xrefs] +pour son existence. Elles sont nécessaires pour qu'elle soit la fonction conjuguée +d'une fonction harmonique. Or, l'espace ayant les deux connexions simples, +%% -----File: 033.png---Folio 33------- +on peut calculer la valeur de la fonction des lignes pour chaque ligne fermée de +l'espace dont la direction est connue, et pour chaque ligne on trouve une seule +valeur. Envisageons maintenant un espace~$S$ dont +la connexion superficielle ne soit pas simple, par +exemple l'espace compris entre deux sphères concentriques +$\sigma_1$ et~$\sigma_2$. Conduisons une surface~$\sigma_3$ comprise +entre les deux, et traçons une ligne fermée~$s$ +qui partage~$\sigma_3$ en deux parties $\sigma'_3$ et~$\sigma''_3$. + +Ayant fixé la direction de la ligne~$s$ on pourra +calculer la valeur de la fonction correspondante à +la ligne~$s$ de deux manières en formant +\[ +\int_{\sigma'_3} (X \cos n'x + Y \cos n'y + Z \cos n'z)\, d\sigma'_3 +\tag{4} +\] +et +\[ +\int_{\sigma''_3} (X \cos n''x + Y \cos n''y + Z \cos n''z)\, d\sigma''_3, +\tag{5} +\] +$n'$ étant la normale à ~$\sigma'_3$ et $n''$ la normale à ~$\sigma''_3$. Les deux normales ont évidemment +la direction opposée, c'est à dire que si l'une est dirigée vers l'intérieur de~$\sigma_3$ l'autre +est dirigée vers la partie externe. Faisons maintenant la différence des deux intégrales. +On aura l'intégrale étendue à toute la surface~$\sigma_3$, et on devra prendre la +normale dirigée constamment dans la même direction. Mais~$\sigma_3$ à elle seule ne +limite pas un volume renfermé dans~$S$, c'est pourquoi la dernière intégrale pourra +n'être pas nulle et par suite les intégrales (4) et~(5) pourront être différentes. + +On voit donc que dans ce cas la valeur de la fonction des lignes n'est pas +déterminée pour chaque ligne. + +On peut se faire une idée de la polydromie d'une fonction des lignes aussi +d'une autre manière. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}[3]{r}{1.5in}% **** Explicit height +\raisebox{0.2in}[0.5in][0pt]{\Input{033b}{1.5in}} +\end{wrapfigure} +Pour avoir la différence des valeurs de la fonction correspondante +à deux lignes $s$, $s'$, on peut déplacer la ligne~$s$ +d'une manière continue de sorte qu'elle vienne %[** PP: Typo viennne] +coïncider en +position et direction avec la ligne~$s'$. Soit~$\sigma$ la surface engendrée +par ce déplacement, $V'$ la valeur de la fonction correspondante +à la ligne~$s'$ et $V$ la valeur correspondante à la +ligne~$s$. On aura +%% -----File: 034.png---Folio 34------- +\[ +V' - V = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma, +\] +%[Illustrations] +%[** PP: Width-dependent formatting] +\noindent\begin{minipage}[b]{1.5in} +\Input{034a}{1.375in}\\[0.5in] +\Input{034b}{1.375in} +\end{minipage}% +\begin{minipage}[b]{4.25in} % [**** Explicit width] +$n$ étant la normale à la surface~$\sigma$ dirigée par rapport à la direction de~$s'$ de la +manière que nous avons indiquée dans le §~5. Déplaçons maintenant $s'$ en lui % [** Xref] +faisant engendrer un tube de manière que $s'$ se +rapproche indéfiniment de~$s$ jusqu'à coïncider avec~$s'$. +$\sigma$~deviendra une surface fermée. Si le domaine +où nous envisageons les choses a la connexion +superficielle simple, $\sigma$~sera le contour d'un espace +interne au domaine et par suite en appliquant le +théorème de Gauss on aura que l'intégrale étendue +à ~$\sigma$ sera nulle, d'où l'on tire que les deux valeurs +$V'$ et~$V$ seront égales. Mais, si le domaine a une +connexion superficielle multiple, $\sigma$~n'est pas toujours +le contour d'un espace interne au domaine et par +suite les deux valeurs peuvent résulter différentes. +Dans ce cas donc, si une ligne fermée en décrivant +un tube revient à sa position initiale, en prenant +des valeurs de la fonction qui se suivent avec continuité, +on peut retourner avec une valeur différente +de celle du départ. Par conséquent la polydromie +pour les fonctions des lignes ne tient pas à la cyclicité, c'est à dire à la connexion +linéaire, mais à la connexion superficielle. +\end{minipage} + +\Paragraph{10.} Nous avons vu que, pour rendre acyclique un espace cyclique, il faut +faire une coupure ou plusieurs coupures. Qu'est-ce qu'il faut faire pour transformer +un espace qui a une connexion superficielle multiple en un espace qui a une connexion +simple? + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.75in} +\Input{034c}{1.5in} +\end{wrapfigure} +Envisageons l'espace compris entre deux sphères +concentriques. Imaginons un tube infiniment mince +qui réunit la grande sphère à la sphère interne. Par +ce tube la connexion superficielle devient simple. + +Il y a d'autres cas où il faut un plus grand +nombre de tubes pour obtenir la réduction. L'ordre +de la connexion superficielle est mesuré par le nombre +des tubes plus~$1$. A chaque tube correspond une +constante spéciale pour la fonction des lignes obtenue +%% -----File: 035.png---Folio 35------- +par intégration, comme à chaque coupure correspond une constante pour une fonction +ordinaire obtenue par intégration dans un espace cyclique. + +Si l'on cherche la fonction conjuguée de la fonction harmonique $\frac{1}{2} \log (x^2 + y^2)$ % [** PP: Using \frac] +dans le cas de deux variables on trouve la fonction polydrome $\arctg \dfrac{y}{x}$. De même +si l'on cherche la fonction des lignes conjuguée de la fonction harmonique +$\dfrac{1}{\sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)}}$ on trouve une fonction des lignes polydrome. + +\Paragraph{11.} On a calculé une fonction en regardant chaque ligne comme le contour +d'une surface. Si l'espace est cyclique il y a des lignes qui ne forment le contour +d'aucune surface. On peut trouver les différences des valeurs correspondantes +à ces lignes, mais nous n'insisterons pas ci-dessus. + +Il y a aussi une autre manière pour calculer des fonctions des lignes de premier +degré. Nous dirons en peu de mots en quoi elle consiste. + +L'équation~(2) étant satisfaite on peut trouver trois fonctions $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ de +$x, y, z$ telles que +\begin{align*} +X &= \pderiv{Z_2}{z} - \pderiv{Z_3}{y}, \\ +Y &= \pderiv{Z_3}{x} - \pderiv{Z_1}{z}, \\ +Z &= \pderiv{Z_1}{y} - \pderiv{Z_2}{x}. +\end{align*} + +Alors, si $s$ est une ligne qui forme le contour de la surface~$\sigma$ ayant pour +normale~$n$, on a par le théorème de Stokes +\[ +\int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, ds = \int_s (Z_1\, dx + Z_2\, dy + Z_3\, dz) +\] +en choisissant convenablement la direction de la ligne~$s$. On voit par là que la +fonction d'une ligne peut se calculer par une intégrale étendue à la ligne même. + +Nous avons fait usage précédemment %[** PP: Typo précédemmnnt] +du langage des champs vectoriels; on +peut y revenir pour donner une image visible et frappante des concepts que nous +avons introduits. + +Lorsqu'un champ scalaire est divisé en lames infiniment minces telles que +chacune correspond au même accroissement de la quantité scalaire, la fonction +%% -----File: 036.png---Folio 36------- +scalaire dans un point quelconque sert à dénombrer les lames comprises entre ce +point et un point fixe. + +Envisageons maintenant un champ solénoïdal % [** Typo solénoidal] +divisé en tubes équivalents infiniment +minces. Dans ce cas, pour connaître la nature du champ, il faut savoir +dénombrer les tubes qui passent à l'intérieur de toute ligne fermée. Voilà le concept +de fonction de ligne de premier degré qui surgit. Si le champ est en même +temps solénoïdal % [** PP: Typo solénoidal] +et scalaire, le nombre des lames comprises entre un point fixe et +le point variable et le nombre des tubes compris dans une ligne variable forment +des fonctions conjuguées. + +\Paragraph{12.} Nous nous sommes bornés jusqu'à présent au cas de trois variables; +mais on peut généraliser les concepts que nous venons d'exposer au cas d'un nombre +quelconque de variables. + +Dans un espace à $n$~dimensions on peut imaginer des points, des espaces à +une dimension, des espaces à deux dimensions, des espaces à trois dimensions etc.\ +et des espaces à $n-1$ dimensions, c'est pourquoi l'on peut imaginer des fonctions +des points, c'est à dire des fonctions ordinaires de $n$~variables, des fonctions des +espaces à une dimension, des fonctions des espaces à deux dimensions etc.\ et enfin +des fonctions des espaces à $n-1$ dimensions. + +Si ces espaces sont fermés et si nous définissons une direction des espaces, on peut +concevoir les fonctions des espaces à $r$~dimensions \emph{de premier degré}, c'est à dire, +si $S_r$ et~$S'_r$ sont deux espaces fermés à $r$~dimensions ayant une partie commune qui +a deux directions différentes selon qu'on la regarde comme appartenant à ~$S_r$ ou +à ~$S'_r$, retranchons cette partie et envisageons l'espace~$S''_r$ formé avec les parties +résiduelles. La fonction qu'on envisage sera de premier degré si, les valeurs correspondantes +à $S_r, S'_r, S''_r$ étant $V, V', V''$, on a +\[ +V'' = V' + V. +\] + +Les fonctions de premier degré des espaces à $r$~dimensions peuvent se calculer +par des intégrations étendues à des espaces à $r + 1$ dimensions, et l'on peut +former des dérivées de ces fonctions tout à fait analogues aux dérivées des fonctions +des lignes que nous avons envisagées. + +De cette manière dans un espace à $n$~dimensions on peut obtenir des fonctions +conjuguées de $\dfrac{n-1}{2}$ types différents, si $n$~est un nombre impair et de~$\dfrac{n}{2}$ +types, si $n$~est pair. En effet à une fonction des espaces à $r$~dimensions ($r < n-1$) +on peut faire correspondre comme fonction conjuguée une fonction de $n-r-2$ +dimensions. +%% -----File: 037.png---Folio 37------- + +Dans un espace à deux dimensions on a une seule sorte de fonctions conjuguées, +c'est à dire que les fonctions conjuguées à des fonctions harmoniques des +points sont aussi des fonctions des points. + +Dans un espace à $3$~dimensions les fonctions conjuguées à des fonctions harmoniques +des points sont des fonctions des lignes, comme nous venons de voir. +Dans un espace à $4$~dimensions les fonctions conjuguées à des fonctions harmoniques des +points sont des fonctions des espaces à deux dimensions, mais l'on peut avoir +aussi des fonctions conjuguées à des fonctions des espaces à une dimension qui +sont aussi des fonctions de la même nature. + +Dans un espace à $5$~dimensions les fonctions harmoniques des points sont +conjuguées à des fonctions des espaces à trois dimensions, et l'on peut avoir des +fonctions des espaces à une dimension conjuguées à des fonctions des espaces à +deux dimensions. Ainsi de suite avec la règle que nous avons exposée précédemment. + +On arrive par là à une théorie générale des fonctions conjuguées où les fonctions +harmoniques ordinaires à $n$~variables se présentent comme un cas très-particulier. +Il est bon de remarquer que dans les hyperespaces d'un nombre $n$ pair +de dimensions il y a des fonctions conjuguées d'ordre $\smash[b]{\dfrac{n-1}{2}}$ qui correspondent +aux mêmes hyperespaces. + +La connexion de plus en plus compliquée des espaces à $n$~dimensions joue +un rôle très important et est étroitement liée aux différentes espèces des polydromies +des fonctions, comme nous avons pu constater dans le cas de trois variables. +Ces polydromies se présentent comme une extension de celles qu'on a dans +les cas des intégrales Abéliennes. % [** PP: Typo Abeliennes] + +\Paragraph{13.} On peut envisager ces recherches comme une généralisation de l'étude +des fonctions conjuguées, c'est à dire de la partie réelle et de la partie imaginaire +d'une fonction d'une variable complexe considérées séparément. + +Mais si nous voulons parvenir à une vraie extension de la théorie des fonctions, +c'est à dire de l'ensemble des deux fonctions conjuguées, l'une étant multipliée +par~$\sqrt{-1}$, il faut changer le point de vue, mais les mêmes concepts que +nous avons exposés en sont toujours la base, c'est pourquoi nous avons dit dans +la leçon précédente, qu'il y avait deux branches d'études qui provenaient d'une +même source. Comme j'ai annoncé dans la première leçon je n'abandonnerai pas +ce sujet sans avoir donné aussi un aperçu de ces recherches qui sont liées à la +théorie des fonctions d'un côté et aux équations qui paraissent dans la physique +mathématique d'un autre côté. +%% -----File: 038.png---Folio 38------- + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1in}% +\Input{038a}{1in} +\end{wrapfigure}% +\Paragraph{14.} Si nous envisageons un plan et deux quantités complexes $F$ et~$\Phi$ qui +sont des fonctions des points du plan, la condition pour que $F$ soit une fonction +de~$\Phi$ est qu'en déplaçant le point indice~$M$ dans une direction quelconque $MM'$ +et, en calculant le rapport $\dfrac{\Delta F}{\Delta\Phi}$ des variations des deux fonctions, +la limite du rapport, lorsque $MM'$ devient infiniment petit, ne dépend +pas de la direction du déplacement mais soit une nouvelle fonction +du point indice. Cauchy employait dans ce cas le mot de \emph{fonction monogène}. + +Or une extension n'est pas possible dans l'espace, car si nous posons la même +condition que nous venons d'indiquer dans le cas où le point indice au lieu de se +déplacer dans un domaine à deux dimensions peut se déplacer dans un domaine +à trois dimensions, on trouve qu'elle conduit à la même relation entre $F$ et~$\Phi$ et +l'on trouve la même chose dans le cas d'un espace à plusieurs dimensions. + +Mais nous avons vu que dans les espaces à trois dimensions et à plusieurs +dimensions le concept des fonctions ordinaires, c'est à dire des fonctions des points, +n'est qu'un cas particulier du concept général de fonctions, car il y a les fonctions +des lignes et en général les fonctions des hyperespaces. Si nous appliquons +maintenant la condition que nous avons posée tout à l'heure pour $F$ et~$\Phi$, mais +en supposant que les fonctions soient des fonctions du nouveau genre que nous +avons introduites, toute difficulté disparaît, % [** PP: Typo disparait] +et l'on peut étendre à un espace d'un +nombre quelconque de dimensions la liaison de monogénéité de Cauchy, c'est à +dire on peut étendre la théorie des fonctions au cas d'un domaine quelconque +en trouvant quelque chose de nouveau. Faute du concept des fonctions des lignes +et des hyperespaces la base où fonder la théorie manquait complètement. %[** PP: Typo complétement] +D'autre +part il fallait bien penser qu'il aurait été nécessaire de tomber là dessus, si l'on +voulait étendre la théorie des fonctions, car si l'opération de l'intégration dans le +cas des fonctions d'une variable ne fait pas sortir du domaine des fonctions de la +même nature, l'intégration des fonctions de plusieurs variables, c'est à dire l'intégration +multiple qui est étendue à des domaines à plusieurs dimensions dont les +limites sont des lignes ou des surfaces etc., devait nous amener au nouveau concept +que nous avons introduit. + +\Paragraph{15.} Envisageons donc dans un espace à trois dimensions deux fonctions +complexes de premier degré des lignes, et soient $F$ et~$\Phi$ leurs valeurs correspondantes +à une ligne~$L$. Déformons un arc $AB$ de~$L$, et désignons par $\Delta F$ +et~$\Delta \Phi$ les variations de~$F$ et de~$\Phi$. Si en diminuant indéfiniment la déformation +et la distance entre $B$ et le point fixe~$A$, le rapport +\[ +\frac{\Delta \Phi}{\Delta F} +\] +%% -----File: 039.png---Folio 39------- +tend vers une limite qui dépend seulement du point~$A$, on pourra dire qu'entre +les variables complexes $\Phi$ et~$F$ passe une liaison tout à fait analogue à celle +de monogénéité de Cauchy. + +On peut exprimer cette condition d'une autre manière en faisant usage des +notations que nous avons introduites. Calculons +\[ +\deriv{\Phi}{\Sigma} : \deriv{F}{\Sigma} = f, +\tag{6} +\] +$\Sigma$ étant une surface quelconque, $f$ doit avoir une valeur indépendante de la +direction de la surface~$\Sigma$, c'est à dire doit être une fonction des points de +l'espace. + +Décomposons maintenant $\Phi$ et~$F$ et leurs dérivées dans les parties réelles +et imaginaires en posant +\begin{gather*} +F = F_1 + i F_2,\quad \Phi = \Phi_1 + i \Phi_2,\quad i = \sqrt{-1}; \\ +% +\deriv{F}{(y,z)} = p_1 + ip_2,\quad +\deriv{F}{(z,x)} = q_1 + iq_2,\quad +\deriv{F}{(x,y)} = r_1 + ir_2; \\ +% +\deriv{\Phi}{(y,z)} = \omega_1 + i\omega_2,\quad +\deriv{\Phi}{(z,x)} = \chi_1 + i\chi_2,\quad +\deriv{\Phi}{(x,y)} = \rho_1 + i\rho_2; +\end{gather*} +la condition~(6) pourra s'écrire +\[ + \frac{\omega_1 + i\omega_2}{p_1 + ip_2} += \frac{\chi_1 + i\chi_2}{q_1 + iq_2} += \frac{\rho_1 + i\rho_2}{r_1 + ir_2} = f +\tag{7} +\] +et l'on tire de là que $\Phi_1$ et~$\Phi_2$ doivent vérifier les mêmes équations, c'est à dire +% [** PP: Explicitly-sized parentheses] +\begin{gather*} + D_1 \deriv{\Psi}{(y,z)} ++ D_2 \deriv{\Psi}{(z,x)} ++ D_3 \deriv{\Psi}{(x,y)} = 0 \\ +% +\tag{8} +0 = \pderiv{}{x} + \Biggl(\dfrac{\eps_{12} \deriv{\Psi}{(x,y)} + - \eps_{13} \deriv{\Psi}{(z,x)}}{D_1}\Biggr) + + \pderiv{}{y} + \Biggl(\dfrac{\eps_{23} \deriv{\Psi}{(y,z)} + - \eps_{21} \deriv{\Psi}{(x,y)}}{D_2}\Biggr) +\Trail{+} \\ +% + + \pderiv{}{z} + \Biggl(\dfrac{\eps_{31} \deriv{\Psi}{(z,x)} + - \eps_{32} \deriv{\Psi}{(y,z)}}{D_3}\Biggr), +\end{gather*} +où $\Psi$ peut être remplacé par $\Phi_1$ et~$\Phi_2$ et l'on a +\begin{gather*} +\eps_{11} = p^2_1 + p^2_2, \quad +\eps_{22} = q^2_1 + q^2_2, \quad +\eps_{33} = r^2_1 + r^2_2, \\ +% +\eps_{23} = \eps_{32} = q_1 r_1 + q_2 r_2, \quad +\eps_{31} = \eps_{13} = r_1 p_1 + r_2 p_2, \quad +\eps_{12} = \eps_{21} = p_1 q_1 + p_2 q_2, \\ +% +D_1 = q_2 r_1 - r_2 q_1, \quad +D_2 = r_2 p_1 - p_2 r_1, \quad +D_3 = p_2 q_1 - q_2 p_1. +\end{gather*} +%% -----File: 040.png---Folio 40------- + +L'équation~(8) remplace dans ce cas l'équation de Laplace et a bien des propriétés +communes avec elle. + +\Paragraph{16.} On peut écrire l'équation~(6) sous la forme +\[ +\deriv{\Phi}{F} = f. +\tag{9} +\] +Les fonctions $\Phi$ et~$F$ peuvent s'appeler \emph{isogènes}. Il est évident que deux fonctions +des lignes qui sont isogènes avec une troisième sont isogènes entre elles. De +même une fonction des points~$\phi$ peut s'appeler aussi isogène avec~$F$ si +\[ + \deriv{F}{(y,z)} · \pderiv{\phi}{x} ++ \deriv{F}{(z,x)} · \pderiv{\phi}{y} ++ \deriv{F}{(x,y)} · \pderiv{\phi}{z} = 0. +\tag{10} +\] +Elle sera isogène avec toutes les fonctions des lignes isogènes avec~$F$. On démontre +aussi facilement que $f$ est isogène avec~$F$, et réciproquement que si la +fonction des points $f$ est isogène avec la fonction des lignes~$F$, on peut trouver +une fonction~$\Phi$ telle que l'égalité~(9) soit vérifiée. + +Toutes les fonctions des points qui sont isogènes avec~$F$ peuvent s'appeler +isogènes entre elles. Puisqu'elles doivent vérifier l'équation~(10) on en tire que +deux d'entre elles sont indépendantes et les autres en sont des fonctions. Soient +$\phi_1$ et~$\phi_2$ des fonctions indépendantes. A cause de l'équation~(10) on pourra toujours +écrire +% [** PP: Dropped commas between matrix entries] +\[ +\tag{11} +\left\{ +\begin{aligned} +\deriv{F}{(y,z)} &= \phi_3 \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_1}{y} & \pderiv{\phi_1}{z} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{y} & \pderiv{\phi_2}{z} + \end{matrix} \right| = X, \\[2ex] +% +\deriv{F}{(z,x)} &= \phi_3 \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_1}{z} & \pderiv{\phi_1}{x} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{z} & \pderiv{\phi_2}{x} + \end{matrix} \right| = Y, \\[2ex] +% +% [** PP: Derivatives w.r.t. y, not x, in second column] +\deriv{F}{(x,y)} &= \phi_3 \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_1}{x} & \pderiv{\phi_1}{y} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{x} & \pderiv{\phi_2}{y} + \end{matrix} \right| = Z, +\end{aligned} +\right. +\] +où $\phi_3$ est une fonction des points isogène aux autres, c'est à dire $\phi_3 = \phi_3(\phi_1,\phi_2)$. + +Supposons que le domaine à trois dimensions que nous envisageons ait une +connexion superficielle simple et que dans ce domaine les fonctions que nous considérons +n'aient pas de singularités, alors pour avoir la valeur de la fonction~$F$ +correspondante à une certaine ligne il suffira de regarder cette ligne comme le +contour d'une surface~$\sigma$ et de former +%% -----File: 041.png---Folio 41------- +\[ +F = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma. +\] +Soient $u$, $v$ des coordonnées curvilignes de la surface. On aura +\begin{align*} +d\sigma \cos nx &= \left| + \begin{matrix} + \pderiv{y}{u} & \pderiv{z}{u} \\[2ex] + \pderiv{y}{v} & \pderiv{z}{v} + \end{matrix} \right|\, du\, dv; \\[2ex] +% +d\sigma \cos ny &= \left| + \begin{matrix} + \pderiv{z}{u} & \pderiv{x}{u} \\[2ex] + \pderiv{z}{v} & \pderiv{x}{v} + \end{matrix} \right|\, du\, dv; \\[2ex] +% +d\sigma \cos nz &= \left| + \begin{matrix} + \pderiv{x}{u} & \pderiv{y}{u} \\[2ex] + \pderiv{x}{v} & \pderiv{y}{v} + \end{matrix} \right|\, du\, dv. +\end{align*} + +C'est pourquoi l'intégrale précédente pourra s'écrire +\[ +F = \int_\sigma \phi_3 \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_1}{u} & \pderiv{\phi_1}{v} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{u} & \pderiv{\phi_2}{v} + \end{matrix} \right|\, du\, dv + = \int_\sigma \phi_3\, d\phi_1\, d\phi_2. +\tag{12} +\] + +On voit par là que tout ensemble de fonctions isogènes des lignes et des points +dans un espace à trois dimensions ressort des fonctions de deux variables complexes +et de leurs intégrales, comme tout ensemble de fonctions monogènes dans un +espace à deux dimensions ressort des fonctions d'une variable complexe et de leurs +intégrales. + +Si la surface~$\sigma$ dans l'intégrale~(12) est une surface fermée, l'intégrale devient +nulle. Cette propriété n'est autre chose que la théorie de Cauchy pour les fonctions +de deux variables telle que M.~Poincaré l'a donnée. + +Si l'espace n'a pas une connexion superficielle simple, ou si les fonctions qui +paraissent dans les formules ont des singularités, l'intégrale peut n'être pas nulle. +Il faut alors remplacer la surface~$\sigma$ par un ensemble de surfaces qui forment le +contour complet d'un domaine à trois dimensions où les fonctions n'ont pas de +singularités. +%% -----File: 042.png---Folio 42------- + +\Paragraph{17.} $\phi_4$ étant une fonction de $\phi_1$ et~$\phi_2$ telle que +\[ +\pderiv{\phi_4}{\phi_1} = \phi_3(\phi_1\, \phi_2), +\] +les équations~(11) s'écrivent +\begin{align*} +\deriv{F}{(y,z)} &= \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_4}{y} & \pderiv{\phi_4}{z} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{y} & \pderiv{\phi_2}{z} + \end{matrix} \right|, \\[2ex] +% +\deriv{F}{(z,x)} &= \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_4}{z} & \pderiv{\phi_4}{x} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{z} & \pderiv{\phi_2}{x} + \end{matrix} \right|, \\[2ex] +% +\deriv{F}{(x,y)} &= \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_4}{x} & \pderiv{\phi_4}{y} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{x} & \pderiv{\phi_2}{y} + \end{matrix} \right| +\end{align*} +et l'équation~(12) deviendra +\[ +F = \int_\sigma d\phi_4\, d\phi_2 , +\] +d'où l'on tire que $F$ peut s'obtenir par $\phi_4$ et~$\phi_2$ ou qu'elle est composée par ces +deux fonctions qu'on peut appeler des diviseurs de~$F$. On peut écrire +\[ +F = (\phi_4\, \phi_2). % [** PP: product?] +\] + +La décomposition de~$F$ en ses diviseurs peut se faire d'une infinité de manières. +Les diviseurs sont isogènes avec~$F$ et deux fonctions isogènes des lignes +ont toujours un diviseur commun. Les diviseurs étant des fonctions des points, +on peut les appeler élémentaires. + + +\Chapter{\Ord{7}{ième} leçon.} + +\Paragraph{18.} La théorie qu'on vient d'exposer se rapporte au cas des fonctions de deux +variables, et elle a l'avantage qu'on peut l'exposer sans recourir aux espaces à plus +de trois dimensions. Mais si l'on se borne à ces espaces, on n'a pas évidemment +%% -----File: 043.png---Folio 43------- +une théorie complète; et l'on voit la nécessité d'étendre tous les concepts à l'espace +à $n$~dimensions. Il n'est pas difficile de le faire. Mais par là la théorie se développe +d'une manière inattendue. C'est à dire qu'on ne trouve pas seulement la théorie +des fonctions de plusieurs variables complexes et de leurs intégrales, mais quelque +chose aussi de beaucoup plus général. En effet toute fonction complexe de premier degré +d'une ligne peut être attachée par la liaison d'isogénéité à un ensemble d'autres +fonctions des lignes et à des fonctions de deux variables complexes indépendantes, +et peut se décomposer en facteurs élémentaires. La même chose ne se présente pas, +lorsqu'on envisage une fonction des hyperespaces de $r<n$ dimensions dans un hyperespace +de $n>3$ dimensions. Pour ces fonctions aussi il y a, comme dans le cas des +fonctions des lignes dans l'espace à trois dimensions, une décomposition en fonctions +d'un ordre plus simple qui présente des caractères arithmétiques analogues à la +décomposition d'un nombre en facteurs premiers. Mais dans le cas des hyperespaces +cette décomposition ne peut pas être poussée toujours jusqu'à arriver aux +fonctions des points, c'est à dire que tous les diviseurs premiers de la fonction peuvent +être aussi des fonctions des hyperespaces. Or, pour qu'une fonction soit liable à +une autre par la liaison d'isogénéité il est nécessaire et suffisant qu'elle ait un diviseur +élémentaire, c'est à dire un diviseur qui soit une fonction des points. Il faut +donc poser des conditions spéciales avant de pouvoir établir la liaison d'isogénéité, +et même après avoir établi cette liaison on a une théorie bien plus générale que celle +qui ressort des fonctions de plusieurs variables et de leurs intégrales. Ce cas se +rapporte seulement à l'ensemble des fonctions des hyperespaces dont tous les diviseurs +sont des diviseurs élémentaires. + +Lorsqu'on envisage des espaces ayant un nombre de dimensions toujours +croissant, les différentes sortes de connexions possibles augmentent toujours. Listing, +Bei, Poincaré les ont étudiées. Elles jouent un rôle fondamental dans les théories +précédentes, car elles déterminent les différentes sortes de polydromies des +fonctions des hyperespaces. Dans le cas des fonctions d'une seule variable complexe +on n'a qu'une seule sorte de polydromie qui ressort de la cyclicité, mais dans +les cas précédents leur nombre est toujours plus élevé. La théorie des intégrales +Abéliennes ne présente que le premier cas de cette théorie générale. + +\Paragraph{19.} Les fonctions des lignes et des hyperespaces nous conduisent naturellement +à dire quelques mots sur d'autres études très voisines qui ont bien des rapports +avec des questions de la physique mathématique. + +Soient $x, y, z$ les coordonnées des points de l'espace. Une ligne est déterminée +par deux équations $y=f(x)$, $z=\phi(x)$. Donc une quantité qui dépend d'une +ligne peut être envisagée comme une quantité qui dépend des fonctions $f(x)$ et~$\phi(x)$. +%% -----File: 044.png---Folio 44------- + +Il est donc tout naturel d'envisager les quantités qui dépendent de toutes +les valeurs qu'une fonction ou plusieurs fonctions prennent dans certains domaines. +C'est un concept qui se présente dans un grand nombre de cas. Le plus simple +est celui d'une intégrale définie. La valeur de l'intégrale définie entre certaines +limites dépend de toutes les valeurs de la fonction entre ces limites. La physique +mathématique nous offre les exemples les plus frappants. Par exemple la température +en un point d'une lame qui est chauffée au bord dépend de toutes les +valeurs de la température au bord de la lame. Les fonctions des lignes et des +hyperespaces rentrent évidemment dans ce concept. + +Il est bien clair que lorsqu'on parle d'une quantité qui dépend de toutes les +valeurs d'une ou de plusieurs variables on entend quelque chose de bien différent +d'une fonction de fonction. + +\Paragraph{20.} La définition que nous venons de donner est analogue à la définition de +fonction ordinaire due à Dirichlet, d'après laquelle on dit qu'une variable est fonction +d'une autre variable si à chaque valeur de cette quantité, entre des limites +données, correspond une valeur de la première quantité. Nous n'entrerons pas +dans les discussions très-importantes, qui se rapportent à cette définition. Il est +bien évident qu'on a été amené à la donner par le concept fondamental de loi physique. +M.~Boutroux tout récemment a approfondi la question d'une manière fort +intéressante. Mais en posant certaines conditions on peut passer du concept de +fonction tel que l'a posé Dirichlet à celui de fonction analytique. Il est inutile +de rappeler ces conditions qui sont bien connues et qui se rapportent à la continuité, +à l'existence des dérivées etc. + +On peut procéder de la même manière dans le cas des fonctions qui dépendent +de toutes les valeurs d'une fonction ou de plusieurs fonctions. + +Envisageons le cas le plus simple, celui d'une quantité~$F$ qui dépend de toutes +les valeurs d'une fonction continue~$f(x)$ définie pour toutes les valeurs de~$x$ comprises +entre $a$ et~$b$. Il n'y a pas de difficulté à étendre le concept de continuité +à la quantité~$F$. Supposons maintenant qu'on part d'une fonction initiale~$f(x)$, et +qu'on la change en la remplaçant par $f(x) + \eps\phi(x)$ où $\eps$ est une quantité infiniment +petite. On peut tâcher de calculer la variation de~$F$. Sous certaines conditions +la partie du premier ordre de cette variation peut s'exprimer par une intégrale +définie +\[ +\eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1)\, d\xi_1. +\] + +La fonction $F'(\xi_1)$ joue le rôle de première dérivée. Elle est indépendante +de~$\phi(x)$, mais elle dépend en général de toutes les valeurs de~$f(x)$, c'est pourquoi +%% -----File: 045.png---Folio 45------- +on peut tâcher de trouver la variation de~$F'(\xi_1)$, lorsqu'on remplace $f(x)$ par $f(x) + \eps\phi(x)$. +Si l'on néglige les parties qui sont infiniment petites d'ordre supérieur à ~$\eps$, +sous certaines conditions, on trouve que cette variation est donnée par +\[ +\eps \int_a^b \phi(\xi_2) F''(\xi_1,\xi_2)\, d\xi_2. +\] +$F''(\xi_1,\xi_2)$ joue le rôle de première dérivée de $F'(\xi)$ et de seconde dérivée de~$F$. +Elle est indépendante de~$\phi(x)$, mais dépend de toutes les valeurs de~$f(x)$. Elle +est une fonction symétrique de $\xi_1$ et~$\xi_2$. + +On peut aussi procéder au calcul de la troisième dérivée qui s'exprime par une +fonction $F'''(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ symétrique et ainsi de suite. + +Cela posé, on peut se proposer de développer la valeur de~$F$ qui correspond +à $f(x)+\eps\phi(x)$ dans une série de puissances de~$\eps$. Sous certaines conditions qui +sont tout à fait semblables à celles qu'on a pour la série ordinaire de Taylor +on trouve +\[ +\Lmargintag{13} +\left\{ +\begin{aligned} +F &= F_0 + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1)\, d\xi_1 + + \frac{1}{2} \eps^2 \int_a^b \int_a^b + F''(\xi_1,\xi_2) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2)\, d\xi_1\, d\xi_2 +\Trail{+} \\ + &\quad+ \frac{1}{3!} \eps^3 \int_a^b \int_a^b \int_a^b + F''' (\xi_1,\xi_2,\xi_3) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2) \phi(\xi_3)\, + d\xi_1\, d\xi_2\, d\xi_3 + \dotsb %[** PP: Re-breaking] +\Trail{+} \\ + &\quad+ \frac{1}{n!} \eps^n \int_a^b \dotsi \int_a^b + F^{(n)}(\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n) + \phi(\xi_1) \phi(\xi_2) \dotsm \phi(\xi_n)\, + d\xi_1\, d\xi_2 \dotsm d\xi_n + \dotsb, +\end{aligned} +\right. +\] +où $F^{(n)} (\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n)$ %[** PP: Changed opening ) to (] +est une fonction symétrique des $n$~variables, $\xi_1, \xi_2 \dotsc \xi_n$, indépendante +de~$\phi(x)$. + +En prenant $\eps=1$ on passe facilement à une série analogue à celle de Mac\-Laurin. + +\Paragraph{21.} On pourrait prendre comme définition d'une quantité~$F$ qui dépend de +la fonction $\phi(x)$ définie pour les valeurs~$x$ comprises entre $a$ et~$b$ l'expression +précédente où l'on fait $\eps=1$, en supposant que la série soit convergente. Ce +serait une définition analytique d'une fonction qui dépend d'une autre fonction, et +l'on pourrait en étudier le domaine de convergence. Les différents termes représenteraient +des fonctions de différents degrés. +%% -----File: 046.png---Folio 46------- + +Cependant de cette manière on n'envisagerait pas le cas le plus général. + +\setboolean{UseVartheta}{true}% + +\Paragraph{22.} Lorsque $F$ dépend de toutes les valeurs d'une fonction ou de plusieurs +fonctions, que celles-ci sont inconnues, et qu'il faut les déterminer, étant données certaines +propriétés de~$F$, alors on tombe sur les problèmes les plus intéressants de +la théorie. Le calcul des variations n'est que le premier exemple d'une recherche +de ce genre. + +Mais prenons le cas qui correspond à la formule~(13), et supposons que nous +écrivions +{\small %[** PP: Resized display for horizontal fit] +\[ +\Lmargintag{14} +\left\{ +\begin{aligned} +\THETA\Psi(x) + &= \eps\phi(x)\alpha + + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1,x)\, d\xi_1 + + \frac{1}{2} \eps^2 \int_a^b \int_a^b + F''(\xi_1,\xi_2,x) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2)\, d\xi_1\, d\xi_2 +\Trail{+} \\ + &+ \dotsb + + \frac{1}{n!} \eps^n \int_a^b \dotsi \int_a^b F^{(n)} (\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n,x) \phi(\xi_1) \dotsm \phi(\xi_n)\, d\xi_1 \dotsm d\xi_n, +\end{aligned} +\right. +\] +}% [** End of \small] + +$\alpha$ étant une quantité donnée et~$\Psi(x)$ étant définie pour les valeurs de~$x$ comprises +entre $a$ et~$b$. + +Le cas le plus simple est celui où $F'', F''', \dotsc F^{(n)} \dotsc$ sont nulles, c'est à +dire où l'on a +% [** PP: Changed F^{('')} to F'] +\[ +\tag{15} +\THETA\Psi(x) = \eps \phi(x)\alpha + + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1,x)\, d\xi_1; +\] +c'est le cas de l'inversion des fonctions de premier degré qui est le cas envisagé +par M.~Fredholm et par moi même lorsque la limite supérieure est égale à ~$x$. + +Le problème d'invertir une fonction générale de la forme~(14) par rapport à +l'inversion de la formule~(15) n'est que le problème général de l'inversion d'une +fonction transcendante par rapport à l'inversion d'une fonction de premier degré. +Nous voulons montrer que le cas général peut être résolu. + +\Paragraph{23.} En effet pour obtenir $\phi(x)$ exprimée par~$\Psi(x)$, c'est à dire pour invertir +la formule~(14), il suffit de tâcher de développer $\eps\phi(x)$ dans une série de puissances de~$\THETA$. + +C'est pourquoi calculons +{\small +\[ +\left(\deriv{(\eps\phi)}{\THETA}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\! + = \left(\deriv{(\eps\phi)}{\THETA}\right)_0,\quad +\left(\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\! + = \left(\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right)_0,\quad +\left(\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\! + = \left(\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right)_0 \dotsc. +\] +}% [** End \small] +On trouve +\[ +\Psi(x) = \left(\deriv{[\eps\phi(x)]}{\THETA}\right)_0 \alpha + + \int_a^b \left(\deriv{[\eps\phi(\xi_1)]}{\THETA}\right)_0 F'(\xi_1,x)\, d\xi_1. +\] +%% -----File: 047.png---Folio 47------- +% [**** Math needs checking] + +Si nous pouvons invertir cette formule, % [** PP: Added comma] +ce qui arrive par exemple lorsque le +déterminant n'est pas nul, on trouve +\[ +\tag{16} +\left\{\deriv{\eps[\phi(x)]}{\THETA}\right\}_0 \phi(x) + = \Psi(x)\beta + \int_a^b \Psi(\eta_1) \Phi'(\eta_1, x)\, d\eta_1. +\] + +En dérivant une fois encore on a +\begin{multline*} +0 = \left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0 \alpha + + \int_a^b \left\{ + \frac{d^2[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA^2} + \right\}_0 F'(\xi_1, x)\, d\xi_1 +%[** PP: Re-breaking; added trailing operator for consistency] +\Trail{+} \\ + + \int_a^b \int_a^b F''(\xi_1, \xi_2, x) + \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0 + \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0\, d\xi_1\, d\xi_2 +\end{multline*} +c'est à dire +\[ +\tag{17} +\left\{ +\begin{aligned} + &\left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0 \alpha + + \int_a^b \left\{ + \frac{d^2[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA^2}\right\}_0 + F'(\xi_1, x)\, d\xi_1 +\Trail{=} \\ +% + &\qquad= - \int_a^b \int_a^b F''(\xi_1, \xi_2, x) + \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0 + \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0\, d\xi_1\, d\xi_2 +\Trail{=} \\ +%[** PP: Re-breaking; added trailing operator for consistency] +&\qquad= \phantom{-}\int_a^b \int_a^b + \Phi_1(\eta_1, \eta_2, x) \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2 +\end{aligned} +\right. +\] +en remplaçant +$\left\{\dfrac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0$, +$\left\{\dfrac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0$ par les valeurs données par la formule~(16). +Si l'on invertit la dernière formule en employant une formule analogue à la formule~(16) on trouve +\[ + \left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0 += \int_a^b \int_a^b \Phi''(\eta_1, \eta_2, x) + \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2. +\] + +De même on trouve +\[ + \left\{\frac{d^3[\eps\phi(x)]}{d\THETA^3}\right\}_0 += \int_a^b \int_a^b \int_a^b + \Phi'''(\eta_1, \eta_2, \eta_3, x) + \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2) \Psi(\eta_3)\, d\eta_1\, d\eta_2\, d\eta_3. +\] +et ainsi de suite, de sorte qu'on aura +%[** PP: Added missing trailing operators] +\begin{multline*} +\left[\frac{d(\eps\phi)}{d\THETA}\right]_0 \THETA ++ \frac{1}{2} \left[\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right]_0 \THETA^2 ++ \frac{1}{3!} \left[\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right]_0 \THETA^3 ++ \dotsb += \eps \phi(x) = \THETA \Psi(x) \beta +\Trail{+} \\ +%[** PP: Using \frac, not \tfrac] ++ \THETA \int_a^b \Psi(\eta_1) \Phi'(\eta_1,x)\, d\eta_1 ++ \frac{1}{2} \THETA^2 \int_a^b \int_a^b \Phi''(\eta_1, \eta_2, x) + \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2 +\Trail{+} \\ +% ++ \dotsb ++ \frac{1}{n!} \THETA^n \int_a^b \dotsi \int_a^b + \Phi^{(n)}(\eta_1 \dotsc \eta_n, x) + \Psi(\eta_1) \dotsm \Psi(\eta_n)\, d\eta_1 \dotsm d\eta_n + \dotsb. +\end{multline*} +%% -----File: 048.png---Folio 48------- + +Il faudra établir les conditions de convergence de la série précédente et son +domaine de validité.---On peut regarder~$\Phi^{(n)}$ comme une fonction symétrique +de $\eta_1, \eta_2 \dotsc \eta_n$. Nous n'entrerons pas dans les détails par rapport à la vérification +de la formule que nos avons donnée ni sur la question de l'unicité de la +solution. + +\Paragraph{24.} Je ne puis terminer cet argument sans toucher à la question des +méthodes qu'on appelle de Jacobi-Hamilton. Les mémoires de Hamilton publiés +en 1834 et~1835 ont été le point de départ d'un grand nombre de travaux qui +sont parmi les plus beaux de la mécanique analytique. Jacobi est le premier +qui en ait fait ressortir tout l'intérêt. Le principe d'abord limité aux questions mécaniques +a %[** PP: Typo à ] +été étendu aux problèmes des isopérimètres et enfin à tous les problèmes +du calcul des variations relatifs aux intégrales simples. On peut regarder la +plupart des problèmes de la physique mathématique comme ressortant des questions +du calcul des variations relatives aux intégrales multiples, et il est par suite intéressant +d'étendre les mêmes méthodes à ces cas. Pour atteindre le but il suffit de +remarquer que la méthode Jacobi-Hamilton est fondée sur le concept d'envisager +l'intégrale simple dont on veut annuler la variation comme une fonction des limites +de l'intégrale et des valeurs arbitraires des fonctions inconnues aux limites. +Donc pour étendre la même méthode au cas des intégrales multiples il faut les +regarder comme dépendantes des lignes ou des surfaces ou des hyperespaces qui +limitent les intégrales données et de toutes les valeurs des fonctions inconnues au +contour. C'est pourquoi les concepts que nous avons introduits sont nécessaires +pour étendre les méthodes Jacobi-Hamilton aux problèmes de la physique mathématique. + + +\begin{Bibliographie} + +\Bibitem{Picard.}{Traité d'analyse.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques. Journ.\ des Math.\ pures +et appliquées. 1889.} + +% [** PP: Retaining variant résidues] +\Bibitem{Poincaré.}{Sur les résidues des intégrales doubles. Acta Math. T.~9.} + +% [** PP: Changed census to Census, complexe to Complexe] +\Bibitem{Listing.}{Der Census räumlicher Complexe. Abh.\ K. Gesellsch.\ d.\ Wiss.\ zu Göttingen. +1862.} + +% [** PP: Changed Sugli to Sopra gli, quelconque to qualunque] +\Bibitem{Betti.}{Sopra gli spazii di un numero qualunque di dimensioni. Annali di Mat.\ T.~IV.} + +\Bibitem{Poincaré.}{Analysis situs. Journ.\ de l'École Polyt. 1895.} + +% [** PP: Changed dependenti da altro to dipendenti da altre] +\Bibitem{Volterra.}{Sulle funzioni dipendenti da altre funzioni. Rend.\ Acc.\ Lincei 1887.} + +% [** PP: Changed dependenti de linie to dipendenti da linee] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni dipendenti da linee. Ibid.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Delle variabili complessi negli iperspazii. Ibid.\ 1880.} +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni coniugate. Ibid.} + +%[** PP: Changed iperspaizi to iperspazii, loco to loro] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni di iperspazii e sui loro parametri diff. Ibid.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle equazioni differenziali che provengono da questioni di calcolo delle +variazioni. Ibid.\ 1890.} + +%% -----File: 049.png---Folio 49------- + +% [** PP: Changed variazoni to variazioni] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sopra una estensione della % [** PP: Type delle] +teoria Jacobi-Hamilton del calcolo delle +variazioni. Ibid.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle variabili complesse negli iperspazii. Ibid.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sur une généralisation de la théorie des variables imaginaires. Acta Mathematica +1889.} + +% [** PP: Changed Sulle inversione degli integrali definit to +% Sulla inversione degli integrali definiti; Acti to Atti] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali definiti. Note~I, II, III, IV\@. Atti della R. +Accademia di Torino 1896.} + +%[** PP: Changed Sulli to Sulla] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali definiti. Rend.\ Acc.\ Lincei 1896.} + +%[** PP: Changed Sulle to Sulla] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali multipli. Ibid.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti. Annali di Mat.\ 1897.} + +\end{Bibliographie} + + +\Chapter{\Ord{8}{ième} leçon.} + +\phantomsection\label{section:8.1}% +\Paragraph{1.} Il est bien souvent nécessaire de revenir sur la signification des mots dont +on fait un usage continuel dans la science. C'est leur sort d'évoluer et par suite +de se transformer et de se plier à tant d'exigences différentes que non seulement le +sens primitif est quelquefois presque complètement évanoui, mais que la signification +actuelle est très-difficile à découvrir lorsqu'on pense à la chercher. C'est ce qui +arrive par rapport à la \emph{théorie générale des ondes}. Tout le monde en parle et tous +parlent de son influence, en l'opposant à d'autres systèmes. Mais les limites +en sont elles-marquées, et peut-on établir sous quelles conditions une classe de +phénomènes s'explique par le système des ondes? Nous n'entrerons pas dans la discussion +de ces questions qui mériteraient une étude approfondie; nous dirons seulement +qu'une grande classe de phénomènes peuvent se grouper au point de vue analytique +sous une même catégorie bien définie, car leurs équations différentielles du type +hyperbolique ont des propriétés communes qui ressortent principalement de l'existence +de caractéristiques réelles. + +On envisage par là une grande partie des phénomènes qu'on a l'habitude de +regarder comme dépendant du système des ondes, mais on ne peut pas dire que +sous cette classe d'équations différentielles on ait groupé tous les phénomènes qui +se relient à la théorie des ondes. On peut citer, par exemple, les ondes des liquides +incompressibles et pesants qui dépendent d'équations d'une autre nature. (Voir \hyperref[pgchapter:11]{\Ord{11}{ème}~leçon}). %[** Xref] +Toujours est-il que l'étude des équations différentielles dont nous venons de +parler forme une théorie que l'on peut envisager à part et approfondir par des +méthodes générales qu'on est en train de perfectionner peu à peu. Par rapport à +ces équations il faut dire qu'elles ont marqué le plus grand triomphe de la physique +mathématique, car c'est l'analogie entre les équations des vibrations des corps +%% -----File: 050.png---Folio 50------- +élastiques et celles des champs électrodynamiques qui ont conduit à %[** PP: Typo a] +la théorie +électromagnétique de la lumière et aux expériences de Hertz. + +\Paragraph{2.} Nous envisageons dans cette leçon quelques équations qui rentrent dans +cette catégorie, et nous examinons les plus simples. Elles peuvent servir à +nous montrer d'une manière claire, sans entrer dans les détails, les propriétés +principales et la portée des méthodes qu'on a tâché d'employer pour leur étude. +Considérons les équations +\[ +\tag{1} +\frac{\partial^2v}{\partial x^2} - \frac{\partial^2v}{\partial y^2} = 0,\quad +% +\frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} - \frac{\partial^2v}{\partial z^2} = 0,\quad +% +\frac{\partial^2v}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2v}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2v}{\partial x_3^2} - \frac{\partial^2v}{\partial x_4^2} = 0\ldots. +%[** PP: Added period] +\] + +La première est celle qu'on appelle des cordes vibrantes, la seconde est celle +des membranes vibrantes, la troisième des corps vibrants etc.\ et l'on peut les +comparer avec les équations de Laplace à deux, trois, quatre variables indépendantes +que nous avons déjà envisagées dans les leçons précédentes. On peut passer +des unes aux autres par des transformations très-simples. C'est ainsi qu'en remplaçant +dans la seconde par exemple $z$ par~$iz$, elle devient l'équation de Laplace à +trois variables. Bien des propriétés peuvent se déduire par cette simple transformation. + +\phantomsection\label{section:8.3}% +\Paragraph{3.} Nous voulons d'abord comparer deux formules qui nous montreront tout +de suite le caractère des équations~(1) et celui de l'équation de Laplace. Le cas le +plus frappant et en même temps le plus simple est relatif à trois variables, et l'on +peut même considérer le cas plus général où le second membre n'est pas nul. +Soit~$u$ %[** PP: Changed v to u] +une fonction qui vérifie l'équation +\[ +\tag{I} +\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = f(x, y, z) +\] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}[8]{l}{1.75in}% +\raisebox{0.125in}[1.5in][0pt]{\Input{050a}{1.625in}} +\end{wrapfigure}% +et supposons qu'elle soit finie, continue et monodrome +dans un domaine~$S$ limité par un contour~$\sigma$. Supposons +que la fonction~$f$ soit aussi finie, continue et monodrome. +La formule de Green donne la valeur de~$u$, dans un point~$M_i$ +de coordonnées $x_1, y_1, z_1$ interne au domaine, exprimée +par les valeurs de~$u$ et de la dérivée de~$u$ par rapport +à la normale au contour. Voici la formule +\[ +\tag{2} +u(x_1, y_1, z_1) + = -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma + \biggl( u \pderiv{\smfrac{1}{r}}{n} + - \pderiv{u}{n} \cdot \frac{1}{r} \biggr)\, d\sigma + - \frac{1}{4\pi} \int_S f \frac{1}{r}\, dS +\] +où $r = \sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 + (z_1 - z)^2}$, $x, y, z$ étant les coordonnées du point +indice des intégrations. On suppose que la normale~$n$ soit dirigée vers la partie +%% -----File: 051.png---Folio 51------- +externe du domaine~$S$. %[** PP: S and handwritten marks?] +Si le point de coordonnées $x_1, y_1, z_1$ au lieu d'être un point +interne~$M_i$ est un point externe~$M_e$, la formule précédente devient +\[ +\tag{3} +0 = -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma + \biggl(u \pderiv{\smfrac{1}{r}}{n} + - \pderiv{u}{n} \frac{1}{r}\biggr)\, d\sigma + - \frac{1}{4\pi} \int_S f \frac{1}{r}\, dS. +\] +On peut par une simple transformation écrire la formule~(2) d'une autre manière. +Intégrons et dérivons successivement le second membre par rapport à ~$z_1$. On aura +\[ +\tag{$2'$} +u (x_1, y_1, z_1) = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma + \left(u \pderiv{\phi}{n} - \pderiv{u}{n} \phi\right) d\sigma + -\frac{1}{4\pi} \int_S f \phi\, dS \right\} +\] +où l'on a posé +\[ +\tag{4} +\phi = \log \left( \frac{z_1 - z}{\sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}} + + \sqrt{\frac{(z_1 - z)^2}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2} + 1} \right); +\] +de même la formule~(3) pourra s'écrire +\[ +\tag{$3'$} +0 = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma + \left( u \pderiv{\phi}{n} - \pderiv{u}{n} \phi\right) d\sigma + -\frac{1}{4\pi} \int_S f \phi\, dS \right\}. % [** PP: Added period] +\] + +\Paragraph{4.} Indiquons maintenant la formule analogue à la formule~($2'$) pour l'équation +\[ +\tag{II} + \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} ++ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} +- \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = f(x,y,z). +\] + +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/051ab.png. +% In the original, the normal vectors are not orthogonal +% to the surface.] +\begin{wrapfigure}{r}{3.5in}% +\Input{051a}{1.75in}\Input{051b}{1.75in} +\end{wrapfigure}% +Menons un cône de révolution +à ~$45°$ ayant pour axe une droite parallèle +à l'axe~$z$ et pour sommet le +point~$M_i$ dont les coordonnées sont +$x_1\, y_1\, z_1$, et appelons~$\sigma'$ une surface +simplement connexe découpée par +le cône et ayant pour contour la +ligne d'intersection avec le cône. Soit~$S'$ +l'espace compris entre le cône et +la surface, $n$~étant la normale à la +surface dirigée vers l'intérieur de +l'espace~$S'$, soient $\cos nx, \cos ny, \cos nz$ les cosinus des angles qu'elle forme avec +les axes coordonnés. +%% -----File: 052.png---Folio 52------- + +Nous appelons (avec M.~d'Adhémar) \emph{conormale} la direction~$n'$ telle que +\[ +\cos n'x = -\cos nx,\quad +\cos n'y = -\cos ny,\quad +\cos n'z = \cos nz. +\] +On aura alors +\[ +\tag{5} +v(x_1\, y_1\, z_1) = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'} + \left(v \pderiv{\phi'}{n'} - \pderiv{v}{n'} \phi' \right) d\sigma' + - \frac{1}{2\pi} \int_{S'} \phi' f\, dS' \right\} +\] +où +\[ +\tag{6} +\phi' = \log \left(\frac{z_1 - z}{\sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}} + + \sqrt{\frac{(z_1 - z)^2}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2} - 1}\;\right) +\] +en supposant $v$ et~$f$ finies, continues et monodromes, et $x, y, z$ étant les coordonnées +du point indice des intégrations. + +\phantomsection\label{section:8.5}% +\Paragraph{5.} Les deux formules $(2')$ et~(5) sont tout à fait correspondantes l'une à +l'autre. C'est en les comparant et en remarquant leurs différences qu'on pourra se +faire une idée des analogies et en même temps des propriétés différentes des équations +(I) et~(II). D'abord on remarquera que dans la formule~$(2')$ la surface~$\sigma$ et +l'espace~$S$ renferment le point où l'on détermine la fonction~$u$, tandis que dans la +formule~(5) paraissent seulement les valeurs de~$v$ et de la dérivée conormale le +long de la surface~$\sigma'$ découpée par le cône et les valeurs de~$f$ à l'intérieur de~$S'$. +Dans la formule~$(2')$ les espaces où l'on calcule les intégrales sont toujours les +mêmes quel que soit~$M_i$. Dans la formule~(5) ils changent en déplaçant~$M_i$. Les +cônes de révolution à ~$45°$ ayant l'axe parallèle à ~$z$ jouent donc dans ce cas un +rôle considérable. Ils sont en effet les cônes caractéristiques. + +En général lorsqu'on envisage une équation linéaire à coefficients constants +de \Ord{2}{ième}~ordre % [** PP: Typo 2^{ème}] +\[ +\sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^n a_{rs} \frac{\partial^2 u}{\partial x_r \partial x_s} + + \sum_{i=1}^n b_i \pderiv{u}{x_i} + ku = 0, +\] +les surfaces ayant pour équations dans l'hyperespace $x_1, x_2 \dotsc x_n$ +\[ +\textstyle{\sum_r \sum_s} a_{rs} (x_r - x^0_r) (x_s - x^0_s) = 0, +\] +où $x^0_1 \dotsc x^0_s$ sont des quantités constantes, s'appellent les cônes caractéristiques. + +Or par rapport à l'équation~(I) les cônes ont pour équation +\[ +(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = 0, +\] +c'est pourquoi ils sont imaginaires, tandis que pour l'équation~(II) les cônes sont +représentés par +\[ +(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 - (z - z_0)^2 = 0. +\] +%% -----File: 053.png---Folio 53------- + +Ils sont réels et sont justement les cônes de révolution à ~$45°$ que nous +avons envisagés. + +\Paragraph{6.} Une autre particularité qu'il faut mettre en évidence est que dans la +formule~$(2')$ les valeurs $u$ et~$\pderiv{u}{n}$ au contour ne sont pas indépendantes entre elles. %[** PP: Added period] +Si les valeurs de $u$ sont données, les valeurs de $\smash[t]{\pderiv{u}{n}}$ sont déterminées aussi. + +La chose est bien différente dans le cas de la formule~(5). Pour certaines +surfaces~$\sigma$ les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{n}$ sont indépendantes, tandis que pour d'autres +surfaces ou certaines parties d'une surface elles sont indépendantes et pour d'autres +ne le sont pas. Nous aurons l'occasion de revenir sur ce point. + +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/053ab.png. +% In the original, the normal vectors are not orthogonal to +% the surface, the cone axis is not parallel to the z-axis, +% and the cone is not a 45° cone.] +\begin{wrapfigure}[8]{r}{2.5in}% [**** Explicit height] +\raisebox{0.125in}[1.625in][0pt]{\Input{053a}{2.5in}} +\end{wrapfigure} +\Paragraph{7.} On peut chercher une formule qui corresponde +à la formule~$(3')$ et il est bien facile +de la trouver. + +Soit $\sigma'$ une surface interne au cône, et soit +$S'$ un domaine compris entre $\sigma'$ et la surface +du cône, mais supposons que le sommet~$M_e$ +du cône soit un point externe au domaine~$S'$. + +On aura alors +\[ +\tag{7} +0 = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'} + \left(u \pderiv{\phi'}{n'} - \pderiv{u}{n'} \phi'\right) d\sigma +%[** PP: Not breaking, so no trailing operator -] + - \frac{1}{2\pi} \int_{S'} \phi' f\, dS' \right\} +\] +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/053ab.png. +% In the original, the normal vectors are not orthogonal to +% the surface, the cone axis is not parallel to the z-axis, +% and the cone is not a 45° cone.] +\begin{wrapfigure}[10]{r}{2.5in}% [**** Explicit height] +\raisebox{2ex}[1.75in][0pt]{\Input{053b}{2.5in}} +\end{wrapfigure} +où $n'$~représente toujours la conormale de la surface~$\sigma'$. + +\Paragraph{8.} En calculant la dérivée par rapport +à $z_1$ qui paraît dans le second membre de +l'équation~$(2')$ on revient à la formule originaire~(2). + +Le calcul analogue dans la formule~(5) n'est pas aussi simple, parce qu'une +variation des coordonnées $x_1, y_1, z_1$ du point~$M_i$ change la surface~$\sigma'$ découpée par +le cône caractéristique. C'est pourquoi il est évident que la dérivation ne peut +pas être faite directement sous les intégrales. La dérivée peut cependant se calculer +très facilement dans le second et dans le troisième terme du second membre +et par là la formule~(5) peut s'écrire de la manière suivante +%% -----File: 054.png---Folio 54------- +{\small +\[ +\Lmargintag{$5'$} +\left\{ +\begin{aligned} +v(x_1, y_1, z_1) &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}} +\Trail{\cdot} \\ % [** PP: Added missing trailing operator] +% +&\quad\left(\cos nz - \frac{z_1 - z}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2} + \bigl[(x - x_1) \cos nx + (y - y_1) \cos ny \bigr] \right) v\, d\sigma' +\Trail{+} \\ +% + &+ \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}} + \pderiv{v}{n'}\, d\sigma' +\Trail{-} \\ +% + &- \frac{1}{2\pi} \int_{S'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}} f\, dS'. +\end{aligned} +\right. +\] +}% [** End of \small] + +La formule~(7) peut se transformer de même. Dans ce cas le premier membre +est nul. + +\Paragraph{9.} Revenons maintenant à la formule~(2). Le second membre peut se décomposer +en deux termes. La première intégrale étendue à la surface~$\sigma$ exprime +évidemment une fonction harmonique, c'est à dire qui vérifie l'équation de Laplace +à l'intérieur de~$S$, c'est pourquoi si l'on prend +\[ +W(x_1\, y_1\, z_1) = \int \frac{f\, dS}{z}%[** PP: Preserved lack of commas] +\] +on a +\[ + \frac{\partial^2 W}{\partial x_1^2} ++ \frac{\partial^2 W}{\partial y_1^2} ++ \frac{\partial^2 W}{\partial z_1^2} += -4 \pi f(x_1\, y_1\, z_1),%[** PP: Preserved lack of commas] +\] +formule qui correspond à un théorème célèbre de Poisson. De même prenons la +formule~$(5')$ et considérons la dernière partie du second membre, c'est à dire +\[ +W'(x_1\, y_1\, z_1) = \int_S \frac{f\, dS}{\sqrt{(x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2 - (z_1 - z)^2}}. +\] + +Puisque, comme on le vérifie facilement, la première partie du second membre +satisfait à l'équation~(II) où l'on suppose nul le second membre, on voit tout de +suite que +\[ + \frac{\partial^2 W'}{\partial x_1^2} ++ \frac{\partial^2 W'}{\partial y_1^2} +- \frac{\partial^2 W'}{\partial z_1^2} += -2\pi f(x_1\, y_1\, z_1). +\] + +On a par là un théorème qui a bien des rapports avec celui de Poisson. +Dans le cas de Poisson l'intégrale doit être étendue toujours au même espace~$S$, +dans le théorème que nous venons d'énoncer l'intégrale est étendue à la partie +%% -----File: 055.png---Folio 55------- +d'un espace qui est intérieur au cône caractéristique ayant pour sommet le point +$x_1\, y_1\, z_1$. + +Par la formule~(2) on peut facilement déduire les discontinuités relatives aux +dérivées des potentiels des surfaces et les discontinuités des potentiels des doubles +couches. On obtient des formules semblables en employant la formule~$(5')$ d'une +manière analogue. + +\Paragraph{10.} Nous avons jusqu'à présent envisagé l'espace interne au cône, mais pour +l'espace externe au cône on peut établir de nouvelles formules qui n'ont pas de +correspondantes dans le cas de l'équation de Laplace. + +Menons le cône caractéristique ayant pour sommet le point~$M$ de coordonnées +$x_1\, y_1\, z_1$. + +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/055a.png. +% In the original, the cone is not a 45° cone.] +\begin{wrapfigure}[9]{l}{2.5in}% [**** Explicit height] +\Input{055a}{2.5in} +\end{wrapfigure} +Soit $\sigma''$ une surface externe au cône et +découpée par le cône, et supposons que $S''$ soit +un domaine externe au cône limité par~$\sigma''$ et +par la surface du cône. $n$~étant la normale à +la surface~$\sigma''$ dirigée vers l'intérieur de~$S''$, appelons +$n''$ la conormale. Posons pour simplifier +\begin{gather*} +\rho = \sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2} \\ +\cos n\rho = \frac{x-x_1}{\rho} \cos nx + \frac{y-y_1}{\rho} \cos ny. +\end{gather*} + +Enfin supposons que dans le domaine~$S''$, $v$ et~$f$ soient finies, continues et +monodromes. Alors on aura +\iffalse%%%%%%%%%%%%% DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%% +% [** PP: See preamble for definition of \Lorentz] +{\small +\[ +\Lmargintag{8} +\left\{ +\begin{split} +&v(x_1\, y_1\, z_1) = - \frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} + \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\Lorentz}} v\, d\sigma'' \\ % [** -] +% +&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} + \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \\ % [** .] +% +&\quad \cdot \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma'' + -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \\ % [** .] +% +&\quad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma'' + + \frac{1}{2\pi^2} \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \\ % [** .] +% +&\quad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)f\, dS''. +\end{split} +\right. +\] +}% **** End \small +\fi %%%%%%%%%%%%%%%%%END DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%% +%[** PP: Re-breaking, added trailing operators] +\[ +\tag{8} +\left\{ +\begin{aligned} +v(x_1\, y_1\, z_1) + &= - \frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} + \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\Lorentz}} v\, d\sigma'' +\Trail{-} \\[2ex] +% +&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1} + \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} +\Trail{\cdot} \\ +%% +&\quad\qquad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) +\Trail{\cdot} \\ +% +&\quad\qquad + \cdot \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma'' +\Trail{-} \\[2ex] +%% +&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} +\Trail{\cdot} \\ +% +&\quad\qquad + \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma'' +\Trail{+} \\[2ex] +%% +&\quad +\frac{1}{2\pi^2} \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} +\Trail{\cdot} \\ +% +&\quad\qquad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)f\, dS'', +% [** PP: Changed period to comma] +\end{aligned} +\right. +\] +%% -----File: 056.png---Folio 56------- +où $x, y, z$ sont les coordonnées du point indice des intégrations. Si nous écrivons +dans le cas de l'espace externe une expression tout à fait analogue à celle qui +paraît dans le second membre de l'équation (5) ou~$(5')$, on ne trouve pas la valeur +de~$v$ au sommet du cône, mais une valeur nulle. On a donc: +\iffalse%%%%%%%%%%%%% DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%% +{\small +\[ +\Lmargintag{9} +\left\{ +\begin{aligned} +0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} + \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2} + \bigl[(x-x_1) \cos nx + (y-y_1) \cos ny\bigr]\right) v\, d\sigma'' \\ % [** +] +% +&\quad + \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma'' +- \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} f\, dS''. +\end{aligned} +\right. +\] +}% end \small +\fi%%%%%%%%%%%%% END OF DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%% +\[ %[** PP: Re-breaking, added trailing operators] +\Lmargintag{9} +\left\{ +\begin{aligned} +0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} +\Trail{\cdot} \\ + &\quad\qquad\Trail{\cdot} + \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2} + \bigl[(x-x_1) \cos nx + (y-y_1) \cos ny\bigr]\right) v\, d\sigma'' +\Trail{+} \\ +% +&\quad + \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma'' +\Trail{-} \\ +&\quad - \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} f\, dS''. +\end{aligned} +\right. +\] + +\Paragraph{11.} Particularisons maintenant les formules générales. On peut commencer +par supposer $f = 0$. Il est évident alors que dans les formules précédentes tous +les termes où paraît cette quantité s'évanouissent. Elles se rapportent alors aux +intégrales de l'équation +\[ +\tag{III} + \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} ++ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} +- \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = 0. +\] +C'est pourquoi les formules $(5')\, (9)\, (8)$ deviennent des formules correspondantes, +mais d'une nature complètement différente, aux formules bien connues des fonctions +harmoniques, c'est à dire des intégrales de l'équation de Laplace. Elles s'écriront +alors +\[ +\Lmargintag{10} +\left\{ +\begin{aligned} +v(x_1\, y_1\, z_1) &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} + \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right)v \,d\sigma' +\Trail{+} \\ +&\quad + \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} \pderiv{v}{n'}\, d\sigma'. +\end{aligned} +\right. +\] +%% +\[ % [** PP: Re-breaking] +\tag{11} +\left\{ +\begin{aligned} +0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} + \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) d\sigma'' +\Trail{+} \\ +&\quad + \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma''} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''. +\end{aligned} +\right. +\] +%% +{\small +\[ +\Lmargintag{12} +\left\{ +\begin{aligned} +&v(x_1\, y_1\, z_1) = -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} + \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}} v\, d\sigma'' +\Trail{-} \\ +% +&\qquad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} + \frac{1}{\sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}} \log \frac{\rho^2 - (z-z_1)^2}{\rho} + \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma'' +\Trail{-} \\ +% +&\qquad -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}} + \log\left(\frac{\rho^2 - (z-z_1)^2}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''. +\end{aligned} +\right. +\] +}% [** End of \small] +%% -----File: 057.png---Folio 57------- + +\Paragraph{12.} On peut ensuite particulariser la forme des surfaces $\sigma'$ et~$\sigma''$. Supposons +d'abord que la surface~$\sigma'$ soit le plan coordonné~$xy$, et supposons $z_1 > z = 0$. + +Alors la formule~(10) devient +\[ +\tag{13} +\left\{ +\begin{aligned} +v(x_1\, y_1\, z_1) + &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - (x_1-x)^2 - (y_1-y)^2}} v\, d\sigma' +\Trail{+} \\ + &+ \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - (x_1-x)^2 - (y_1-y)^2}}\, + \pderiv{v}{z}\, d\sigma', +\end{aligned} +\right. +\] +car la normale~$n$ et la conormale~$n'$ coïncident avec~$z$. + +%[Illustrations] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/057a.png. +% In the original, the cone is not a 45° cone.] +\begin{wrapfigure}{r}{1.75in} +\Input{057a}{1.75in} +\end{wrapfigure} +Dans ce cas, $v$ et~$\pderiv{v}{z}$ sont indépendants entre +eux (Voir §~6). Cette formule nous donne l'intégrale % [** Xref] +générale de l'équation~(III) sous une forme bien +connue qu'on appelle de Poisson-Parseval. + +On trouve une formule tout à fait +analogue si l'on suppose que le point~$M_i$ soit +au-dessous du plan~$xy$. % [** PP: Typo $xz$] + +Supposons maintenant que la surface~$\sigma'$ +devienne un cylindre indéfini~$\gamma$ ayant +les génératrices parallèles à l'axe~$z$ et +aussi que la coordonnée~$z_1$ du point~$M_i$ +soit supérieure aux coordonnées~$z$ des +points de~$\gamma$. Enfin supposons que $v$ soit +nulle pour toutes les valeurs de~$z$ inférieures +à une certaine limite~$-Z$. + +Dans ce cas la formule~(10) deviendra +{\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{\small}{\footnotesize} +\[ +\Lmargintag{14} +v(x_1\, y_1\, z_1) = \frac{1}{2\pi} \int_s ds + \left\{ \frac{\delta}{\delta n} + \int_\rho^\infty v(x, y, z_1-\xi)\, \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2-\rho^2}} + - \pderiv{}{n} + \int_\rho^\infty v(x, y, z_1-\xi)\, \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2-\rho^2}} +\right\}, +\] +}% [** End of \small] +\begin{wrapfigure}{r}{2.75in} +\Input{057b}{2.5in} +\end{wrapfigure} +où l'on suppose que +\[ +\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, +\] +$s$ étant l'intersection du cylindre~$\gamma$ avec un plan parallèle au plan~$xy$, et $x, y$ étant +les coordonnées des points de la ligne~$s$. +%% -----File: 058.png---Folio 58------- + +Par rapport aux dérivées normales représentées par les symboles $\pderiv{}{n}$ et $\dfrac{\delta}{\delta n}$ nous +convenons que si~$f$ est une fonction de $x, y, \rho$ et que si l'on regarde ces quantités +comme des variables indépendantes +\begin{align*} +\frac{\delta f}{\delta n} +%[** PP: Changed \pderiv{f}{z} to \pderiv{f}{x}] + &= \pderiv{f}{x} \pderiv{x}{n} + + \pderiv{f}{y} \pderiv{y}{n} \\ +\frac{\delta f}{\delta n} &= \pderiv{f}{\rho} \pderiv{\rho}{n}. % [** PP: Added period] +\end{align*} + +%[Illustrations] +\begin{wrapfigure}[6]{l}{2.75in}% [**** Explicit height] +\raisebox{0.5in}[1.5in][0pt]{\Input{058a}{2.5in}} +\end{wrapfigure} +Dans ce cas les valeurs de~$v$ et de la dérivée normale de~$v$ sur le cylindre ne +sont pas indépendantes entre elles. + +\Paragraph{13.} On peut enfin imaginer un cas +mixte des deux précédents où la surface~$\sigma'$ +est constituée en partie par un cylindre~$\gamma$ +et en partie par un plan parallèle au +plan~$xy$. Alors le second membre de la +formule~(10) est constitué de deux parties +dont l'une a la forme du second membre +de l'équation~(14) et l'autre celle du second +membre de l'équation~(13). Sur $\gamma$ les valeurs +de~$v$ et de la dérivée normale ne +sont pas indépendantes, tandis qu'elles +sont indépendantes sur le plan~$\omega$. + +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/058b.png. +% In the original, the cone is not a 45° cone.] +\begin{wrapfigure}[9]{l}[0.25in]{2.75in} % [**** Explicit height] +\raisebox{0.125in}[1.875in][0pt]{\Input{058b}{2.625in}} +\end{wrapfigure} +\Paragraph{14.} Les formules (8) et~(9) peuvent +aussi se particulariser en supposant que +$\sigma''$ se réduise à une surface cylindrique +ayant les génératrices parallèles à l'axe~$z$, +et alors elles deviennent respectivement +{\small +\[ +\Lmargintag{15} +\left\{ +\begin{aligned} +0 &= \int_s ds \left\{ \pderiv{}{n} + \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)\, + \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right. +\Trail{-} \\ +% + &\quad \left. -\frac{\delta}{\delta n} + \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)\, + \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right\} +\end{aligned} +\right. +\] +}% [** End of \small] +%% -----File: 059.png---Folio 59------- +\[ +\Lmargintag{16} +\left\{ +\begin{aligned} +v(x_1, y_1, z_1) &= \frac{1}{2\pi^2} \int_s ds + \left\{ \pderiv{}{n} \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi) + \log \left(\frac{\rho^2 - \xi^2}{\rho}\right)\, + \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right. +\Trail{-} \\ +% + &\quad + -\left.\frac{\delta}{\delta n} \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi) + \log \left(\frac{\rho^2 - \xi^2}{\rho}\right)\, + \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right\}. +\end{aligned} +\right. +\] +Dans ce cas $v$ et~$\pderiv{v}{n}$ ne sont pas indépendants. + + +\Chapter{\Ord{9}{ième} leçon.} + +\Paragraph{15.} Dans le §~13 nous avons envisagé le cas mixte où sur~$\omega$ les valeurs de~$v$ et +de~$\pderiv{v}{n}$ sont indépendantes entre elles, tandis qu'elles ne sont pas indépendantes sur +la surface cylindrique~$\gamma$. Sur cette surface il suffit de donner les valeurs de~$v$ ou de +$\pderiv{n}{n}$ pour déterminer $v(x_1\, y_1\, z_1)$. Il faut donc tâcher d'éliminer les valeurs de~$\pderiv{v}{n}$ +ou de~$v$ sur~$\gamma$. On peut atteindre le but dans certains cas très-aisément, et nous +allons les approfondir pour montrer que la célèbre méthode des images découverte +par Lord Kelvin pour l'intégration de l'équation de Laplace peut être aussi employée +quelquefois pour les équations analogues ayant les cônes caractéristiques réels. +On trouve par là un résultat complètement inattendu, c'est à dire que lorsqu'on % [** PP: Typo l'orsqu' on] +envisage les équations à caractéristiques réelles, même dans le cas où l'on a un +nombre infini d'images, la solution peut ne pas être donnée par des séries infinies, +mais par un nombre fini de termes. Ce résultat semble au premier abord paradoxal, +mais il tient à ce que dans chaque cas le nombre des images dont on a +besoin est fini en vertu de la réalité des cônes caractéristiques. + +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/059a.png. +% In the original, the cone is not a 45° cone.] +\begin{wrapfigure}[8]{r}{3in}% [**** Explicit height] +\qquad\raisebox{0.0625in}[1.25in][0pt]{\Input{059a}{2.5in}} +\end{wrapfigure} +Supposons que la surface +cylindrique~$\gamma$ se réduise au plan~$yz$ +($z>0$) et~$\omega$ au plan~$xy$ ($x>0$), +c'est à dire que $\omega$ soit un segment +d'un cercle et $\gamma$ un segment +d'hyperbole. + +Dans ce cas la formule~($5'$) s'écrit +\smallskip +%% -----File: 060.png---Folio 60------- +% [** PP: Re-breaking, added trailing operators] +\[ +\tag{17} +\left\{ +\begin{aligned} +v(x_1\, y_1\, z_1) +&= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}} v\, d\omega + + \frac{1}{2\pi} + \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{z}\, d\omega +\Trail{-} \\ +%% +&\quad -\frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\, + \frac{z_1 - z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma +\Trail{-} \\ +% +&\quad -\frac{1}{2\pi} + \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\, + \pderiv{v}{x}\, d\gamma. +\end{aligned} +\right. +\] + +Or pour éliminer les valeurs de~$v$ ou de $\smash[b]{\pderiv{v}{x}}$ sur $\gamma$ on peut se servir de la +méthode des images. +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/060a.png. +% In the original, the cone is not a 45° cone.] +\begin{center} +\Input{060a}{} +\end{center} + +Soit $M'_i$ l'image optique du point~$M_i$ réfléchi par le plan~$yz$. Menons le cône +caractéristique qui a pour sommet~$M'_i$. Il découpera sur le plan~$yz$ le segment +d'hyperbole~$\gamma$ et sur la partie du plan~$xy$ ($x>0$) un segment de cercle~$\omega'$. Si +nous appliquons la formule~(7), transformée convenablement, à l'ensemble des surfaces +$\omega'$ et~$\gamma$ on trouvera +%[** PP: Changed total derivative to partial derivative three times (##)] +\[ +\tag{18} +\left\{ +\begin{aligned} +0 &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_{\omega'} \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - {\rho'}^2}} v\, d\omega' + + \frac{1}{2\pi} + \int_{\omega'} \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - {\rho'}^2}}\, + \pderiv{v}{z}\, d\omega' %## +\Trail{+} \\ +% + &\quad + + \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - {\rho'}^2}}\, + \frac{z_1 - z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma +\Trail{-} \\ +% + &\quad + - \frac{1}{2\pi} \int_\gamma + \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\, + \pderiv{v}{x}\, d\gamma %## +\end{aligned} +\right. +\] +où +\[ +{\rho'}^2 = (x_1 + x)^2 + (y_1 - y)^2. +\] + +En ajoutant les deux formules (17) et~(18) on élimine $v$ dans l'intégrale étendue % [** PP: Typo étendre] +à ~$\gamma$, et par soustraction on élimine~$\pderiv{v}{x}$. La méthode des images conduit donc %## +%% -----File: 061.png---Folio 61------- +bien aisément au résultat qu'on cherchait. Passons maintenant au cas des images +successives. Admettons que la surface~$\gamma$ soit constituée par les segments d'hyperboles +$\gamma'$ et~$\gamma''$ découpés par la nappe inférieure du cône ayant pour sommet~$M_i$ sur les demi-plans +$x=0$, $x=a$ ($a>0$) qui sont au-dessus %[** PP: Typo audessus] +du plan~$xy$. Soit $\omega$ la partie de la +bande du plan~$xy$ comprise entre les plans $x = 0$, $x = a$ et renfermée à l'intérieur +du cône. + +Dans ce cas la formule~$(2')$ s'écrit % [** PP: Typo (2^1)] +{\small +\begin{align*} % [** PP: Omitted left brace] +&v(x_1\, y_1\, z_1) + = \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}} v\, d\omega + + \frac{1}{2\pi} \int_\omega + \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{z}\, d\omega +\Trail{-} \\ +% +&\quad + - \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_{\gamma'} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, + \frac{z_1-z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma' + - \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{x}\, d\gamma' +\Trail{-} \\ +% +&\quad + - \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_{\gamma''} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, + \frac{z_1-z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma'' + + \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma''} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{x}\, d\gamma''. +\end{align*} +}% End of \small +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/061a.png. +% In the original, the cone is not a 45° cone.] +\begin{center} +\Input{061a}{3.5in} +\end{center} + +Dans cette formule les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{x}$ sur $\gamma'$ et~$\gamma''$ ne sont pas indépendantes, +c'est pourquoi l'on peut tâcher d'employer la méthode des images pour +éliminer les unes ou les autres. + +A cet effet prenons les images de~$M_i$ par rapport aux plans $\gamma'$ et~$\gamma''$ et ensuite +les images de ces images par rapport aux mêmes plans, et ainsi de suite indéfiniment. +Le nombre des images qu'on obtient est évidemment infini, mais il est intéressant +de remarquer qu'il n'est pas nécessaire de les employer toutes, car un +nombre fini d'entre elles suffit pour la solution du problème. Menons les cônes caractéristiques +dont les sommets sont les images que nous avons construites, et envisageons +les nappes inférieures de ces cônes, c'est à dire celles qui sont dirigées du côté +négatif de l'axe~$z$. Tous les cônes dont les sommets ont une distance des plans $\gamma'$ +et~$\gamma''$ supérieure à ~$z$, ne rencontrent ces plans qu'au-dessous du plan~$\omega$, c'est +pourquoi il n'est pas nécessaire de les envisager. Il est clair donc qu'on pourra +%% -----File: 062.png---Folio 62------- +éliminer les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{x}$ sur $\gamma'$ et~$\gamma''$ en faisant usage seulement des +images qui sont à une distance de ces plans inférieure à ~$z_1$. En employant donc +dans ce cas la méthode des images, on ne trouvera pas des séries infinies, mais la +solution du problème sera donnée par un nombre fini de termes. + +Au lieu des trois plans $\omega$, $\gamma'$, $\gamma''$ on peut en avoir cinq, dont quatre sont perpendiculaires +au plan $xy$, et le rencontrent en formant les côtés d'un rectangle. +La solution s'obtient toujours de la même manière par un nombre fini de termes. +Si~$v$ s'annule %[** PP: Typo annulle] +sur les quatre plans perpendiculaires à ~$xy$, on obtient une solution +du problème bien connu des vibrations d'une membrane plane, fixée dans un cadre +rectangulaire sans avoir besoin de recourir à des séries, mais par des intégrales +définies. + +\Paragraph{16.} On peut chercher à étendre les résultats que nous avons indiqués au +cas des équations~(1) à quatre, cinq etc.\ variables. Il suffit pour cela d'envisager +des hyperespaces à $4, 5, \dotsc$ dimensions. Les cônes caractéristiques ont $3, 4 \dotsc$ +dimensions. Au lieu des surfaces $\sigma'$, $\sigma''$ il faut envisager des espaces à $3, 4 \dotsc$ +dimensions. Tout cela se conçoit très-bien. Mais si l'on passe de trois à quatre +variables on arrive à un résultat inattendu, c'est à dire que les choses au lieu de se +compliquer deviennent à un certain point de vue plus simples. En effet, on %[** PP: Typo ou] +trouve +des formules où la valeur de l'intégrale au sommet du cône dépend seulement des +valeurs de la même fonction et de ses dérivées dans les intersections des cônes +caractéristiques avec les espaces analogues aux surfaces $\sigma'$ et~$\sigma''$. Il n'y a pas +deux formules des types (2) et~(8), mais une seule formule. + +En général, le cas de deux variables excepté, les choses se présentent d'une +manière différente si l'on a un nombre pair ou si l'on a un nombre impair de +variables, et le cas le plus simple est celui d'un nombre pair. Tout cela lorsque +les équations ont une forme aussi simple que les équations~(1). Si les équations +avaient, par exemple, des termes de premier ordre la chose changerait. + +\Paragraph{17.} Nous n'entrerons pas dans les détails sur ce sujet qui sont très-compliqués. +Nous renvoyons pour cela aux travaux de M.~Tedone, de M.~Coulon, de M.~d'Adhémar +et de M.~Hadamard. Je rapporterai seulement les formules qu'on a +dans le cas de quatre variables et qui ont été données pour la première fois par +Kirchhoff, qui en a déduit avec rigueur le principe de Huyghens. + +Écrivons l'équation à quatre variables sous la forme +\[ +\tag{19} +\frac{\partial^2 v}{\partial t^2} + = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} +\] +%% -----File: 063.png---Folio 63------- +et envisageons $x, y, z$ comme les coordonnées des points de l'espace à 3~dimensions. +$t$~peut être envisagée comme une quatrième variable, qui dans les questions +de la physique mathématique est le temps. + +$\sigma$~étant le contour de l'espace~$S$ à l'intérieur duquel se trouve un point~$M_1$ +de coordonnées $x_1, y_1, z_1$ on a +\[ +v(x_1, y_1, z_1, t) + = \frac{1}{4\pi} \int_\sigma \left\{ + \pderiv{}{n} \left(\frac{v(x, y, z, t-r)}{r}\right) + - \frac{\delta}{\delta n} \left(\frac{v(x_1, y_1, z_1, t-r)}{r}\right) +\right\} d\sigma +\] +où $r = \sqrt{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2 + (z_1-z)^2}$, $n$~est la normale interne à la surface~$\sigma$ et +les symboles $\pderiv{f}{n}$ et~$\dfrac{\delta f}{\delta n}$ représentent par rapport à une fonction $f(x, y, z, r)$ +\[ +\pderiv{f}{n} = \pderiv{f}{r} \pderiv{r}{n},\quad +\frac{\delta f}{\delta n} + = \pderiv{f}{x} \pderiv{x}{n} + + \pderiv{f}{y} \pderiv{y}{n} + + \pderiv{f}{z} \pderiv{z}{n} +\] +en regardant $x, y, z, r$ comme des variables indépendantes. Si la surface~$\sigma$ se +réduit à une sphère ayant pour centre le point~$M_1$, la formule précédente se +particularise et devient l'intégrale générale de l'équation~(19) donnée par Poisson. + +\Paragraph{18.} Le succès de la méthode de Kirchhoff est dû à l'emploi des méthodes de +Green et à l'existence de l'intégrale % [** PP: Remove period] +\[ +\tag{20} +\frac{f(r ± t)}{r} +\] +de l'équation~(19), où $f$ est une fonction arbitraire. Pour toutes les équations pour +lesquelles existent des intégrales de la même nature, qui n'ont d'autres points +singuliers que $r = 0$, on peut procéder par des méthodes analogues à celles de +Kirchhoff. + +Voyons si l'équation à trois variables qu'on peut écrire +\[ +\frac{\partial^2 v}{\partial t^2} + = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} +\] +possède une intégrale de la forme précédente, c'est à dire de la forme $\THETA f(\rho ± t)$ +où $\THETA$ est une quantité indépendante de~$t$, +\[ +\rho = \sqrt{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2} +\] +et $f$ est une fonction arbitraire. En posant +\[ +x_1 - x = \rho \cos \alpha,\quad +y_1 - y = \rho \sin \alpha +\] +on trouve l'intégrale +%% -----File: 064.png---Folio 64------- +\[ +\tag{21} +\frac{A \sin \frac{1}{2} \alpha + B \cos \frac{1}{2} \alpha}{\sqrt{r}}\, f(\rho ± t). +\] + +Il paraît donc tout naturel que, même dans ce cas, on puisse employer cette +intégrale en suivant les méthodes de Kirchhoff. Mais il est facile de se persuader +que l'intégrale précédente est polydrome. Or les méthodes de Kirchhoff étant +fondées sur celles de Green, c'est à dire sur le théorème de Gauss, dont nous avons +parlé dans la deuxième leçon, on ne peut pas les employer dans ce cas. + +Il faut donc recourir à d'autres méthodes ou à d'autres intégrales dans le +cas de l'équation à trois variables, et cela explique pourquoi les résultats étaient +plus simples et aussi plus faciles à trouver dans le cas de quatre variables que +dans celui de trois variables. C'est pourquoi le cas de 4~variables a été le premier +à être résolu après celui tout à fait élémentaire de deux variables. Nous voyons +quel rôle joue la polydromie des intégrales dans le cas des équations à caractéristiques +réelles par l'exemple très simple que nous avons envisagé. + +\Paragraph{19.} Weierstrass a découvert une méthode pour donner l'intégrale générale +des équations et des systèmes d'équations aux dérivées partielles à coefficients +constants. Cette méthode a paru maintenant dans les {\oe}uvres de Weierstrass; +mais dès l'année 1881 il l'avait communiquée à \Mme\ Kowalewski qui chercha à +l'employer pour intégrer les équations des vibrations de la lumière dans les +milieux biréfringents. + +Supposons que +\[ +\tag{22} +\THETA (u, v, w) = t +\] +soit l'équation d'une surface fermée telle que toute droite qui part de l'origine ne +la rencontre que dans un seul point, et supposons qu'on ait +\[ +\THETA (Kx, Ky, Kz) = K \THETA (x, y, z). +\] + +Par +\[ +\int f(u, v, w)\, d\omega +\] +représentons une intégrale étendue à l'espace renfermé entre deux surfaces~(22) +correspondantes aux valeurs $t_0$ et~$t$ de~$t$, dont la première est constante. + +Les formules fondamentales découvertes par Weierstrass sont les suivantes. + +Si +\[ +\tag{23} +F(x, y, z, t) = D_t \int \phi (u, v, w) f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega +\] +on a +%% -----File: 065.png---Folio 65------- +\[ +\Lmargintag{24} +\left\{ +\begin{aligned} +D_x F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{u} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{u} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\ +D_y F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{v} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{v} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\ +D_z F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{w} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{w} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\ +D_t F &= D^2_t \int \phi f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega +\end{aligned} +\right. +\] +où $D_\alpha$ est le symbole de dérivation par rapport à ~$\alpha$. On calcule de même les +dérivées successives de~$F$, et l'on tâche de prendre $\THETA$ et~$\phi$ de manière que les +dérivées d'un certain ordre vérifient une relation linéaire à coefficients constants. +On trouve alors une intégrale de l'équation ayant la forme~(23) avec la fonction +arbitraire~$f$. De là on passe à l'intégrale générale. La méthode est analogue +dans le cas des systèmes d'équations différentielles. + +Or envisageons la fonction +\[ +\psi(u,v,w,t) = \phi(u,v,w) \Phi(t - \THETA) +\] +où $\Phi$ est une fonction arbitraire. On aura les formules suivantes +\[ +\tag{$24'$} +\left\{ +\begin{aligned} +\pderiv{\psi}{u} &= -\phi \pderiv{\THETA}{u}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{u}\, \Phi(t-\THETA) \\ +\pderiv{\psi}{v} &= -\phi \pderiv{\THETA}{v}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{v}\, \Phi(t-\THETA) \\ +\pderiv{\psi}{w} &= -\phi \pderiv{\THETA}{w}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{w}\, \Phi(t-\THETA) \\ +\pderiv{\psi}{t} &= \phantom{-}\phi \Phi'(t-\THETA). +\end{aligned} +\right. +\] + +Comparons les trois premières équations~(24) et les trois premières équations~$(24')$. +Les coefficients de $f$ sous les intégrales des égalités~(24) sont égaux et de +signe contraire aux coefficients de $\Phi$ et~$\Phi'$ dans les égalités~$(24')$. On ne trouve +pas de changement de signe en comparant la dernière des équations~(24) avec la +dernière des équations~$(24')$. + +On en déduit bien aisément la propriété suivante. Posons +\[ +\frac{\partial^n \psi}{\partial u^{h_1}\, \partial v^{h_2}\, \partial w^{h_3}\, \partial t^{h_4}} + = \psi_{h_1 h_2 h_3 h_4},\quad +\frac{\partial^n F}{\partial x^{h_1}\, \partial y^{h_2}\, \partial z^{h_3}\, \partial t^{h_4}} + = F_{h_1 h_2 h_3 h_4} +\] +où $n = h_1 + h_2 + h_3 + h_4$, on aura +%% -----File: 066.png---Folio 66------- +{\small +\begin{gather*} +F_{h_1 h_2 h_3 h_4} + = D_t^{n+1} \int P_n f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega + + D_t^n \int P_{n-1} f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega +\Trail{+\dotsb} \\ ++ \dotsb + D_t^{h_4 + 1} \int P_{h_4} f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega. \\ +\psi_{h_1 h_2 h_3 h_4} = (-1)^{n - h_4} + \{ P_n \Phi^{(n)} (t - \THETA) + + P_{n-1} \Phi^{(n-1)} (t - \THETA) + \dotsb + + P_{h_4} \Phi^{(h_4)} (t - \THETA)\} +\end{gather*} +}% End of \small +et par suite si l'équation différentielle à coefficients constants +\[ +\tag{25} +\sum A_{h_1 h_2 h_3 h_4} + \frac{\partial^n V} + {\partial x^{h_1}\, \partial y^{h_2}\, \partial z^{h_3}\, \partial t^{h_4}} + = 0 +\] +possède une intégrale +\[ +\tag{26} +F(x\, y\, z\, t) %[** PP: no commas] + = D_t \int \phi (u, v, w)\, f(x + u, y + v, z+ w)\, d\omega +\] +$f$ étant une fonction arbitraire, l'équation +\[ +\tag{$25'$} +\sum (-1)^{n - h_4} A_{h_1 h_2 h_3 h_4}\, + \frac{\partial^n V} + {\partial u^{h_1}\, \partial v^{h_2}\, \partial w^{h_3}\, + \partial t^{h_4}} % [** PP: Changed dt to \partial t] + = 0 +\] +aura l'intégrale +\[ +\tag{$26'$} +\psi(u\, v\, w\, t) = \phi(u\, v\, w)\, \Phi (t - \THETA) %[** PP: no commas] +\] +où $\Phi$ est une fonction arbitraire. %[** PP: Typo arbitaire] +Réciproquement si l'équation~$(25')$ possède l'intégrale~$(26')$, +$\Phi$~étant une fonction arbitraire, l'équation~(25) aura l'intégrale~(26). + +L'intégrale~$(26')$ a la forme de l'intégrale~(20), c'est pourquoi en comptant sur +les singularités de~$\phi$ pour $u = v = w = 0$, on peut passer de la méthode de Weierstrass +à celle de Kirchhoff, c'est à dire des intégrales générales du type Poisson +à des formules qui les comprennent. + +Le même résultat peut s'établir pour les systèmes d'équations différentielles. + +Je possédais en 1892 ce théorème lorsque j'étudiais le mémoire de \Mme\ Kowalewski +sur la propagation de la lumière dans les cristaux. Puisqu'elle avait cru +obtenir par la méthode de Weierstrass les intégrales générales des équations de +l'optique, je croyais posséder la méthode pour parvenir aux formules analogues +à celles de Kirchhoff et pour pouvoir établir le principe de Huyghens pour les milieux +biréfringents. Mais l'emploi de la méthode conduisait à des résultats paradoxaux. +D'où provenaient-ils? En voici la raison. Les fonctions qui dans ce cas +remplacent $\phi$ dans les formules sont des fonctions polydromes du même genre +que la fonction polydrome que nous avons trouvée dans le §~18. Il n'était pas % [** Xref] +facile de s'en apercevoir, car ces fonctions sont très compliquées, et elles avaient +été étudiées depuis Lamé sans que cette propriété ressortît. C'est pourquoi ni +la méthode de Weierstrass ni celle de Kirchhoff n'étaient applicables et les +formules de \Mme\ Kowalewski ne donnaient pas les intégrales de l'optique. Voilà +encore une fois que le rôle des fonctions polydromes ressort dans cette question +d'analyse et de physique mathématique. +%% -----File: 067.png---Folio 67------- + +\begin{Bibliographie} + +\Bibitem{Kirchhoff.}{Zur Theorie der Lichtstrahlen (Sitzb.\ d.\ %[**P2:space inserted] +Ak.\ d.\ Wiss.,\ Berlin 1882).} + +\Bibitem{Kowalewski.}{Ueber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln. Acta +Math.\ 1885.} + +\Bibitem{Weierstrass.}{Werke. Bd.~I.} % [** PP: Changed Bd to Bd.] + +\Bibitem{Volterra.}{Sul principio di Huyghens. Nuovo Cimento 1893.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle onde cilindriche dei mezzi isotropi. Rend.\ Acc.\ Lincei 1892.} + +%[** PP: Changed luminare to luminose] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni luminose nei mezzi isotropi. Ibid.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni dei corpi elastici. Ibid.\ 1893.} + +%[** PP: Changed integrazione to integrazioni, equzioni to equazioni] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle integrazioni delle equazioni differenziali del moto di un corpo elastico +isotropo. Ibid.\ 1893.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les vibrations dans les milieux biréfringents. Acta Math.\ 1892.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les vibrations des corps élastiques isotropes. Ibid.\ 1894.} + +% [** PP: Changed II to II^e] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les équations aux dérivées partielles. \Ord{II}{e} congrès des mathématiciens +1900.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Note on the application of the method of images to problems of vibrations. +London Math.\ Soc.\ 1904.} + +%[** PP: Changed +% Sulle dimostr.\ delle formula che rappresenta analiticamento il principio di Huyghens to +% Sulla dimostr.\ della formola che rappresenta analiticamente il principio di Huyghens] +\Bibitem{Tedone.}{Sulla dimostr.\ della formola che rappresenta analiticamente il principio +di Huyghens. Rend.\ Acc.\ Lincei 1896.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni dei corpi elastici. Ibid.} + +% [** PP: Removed space after apostrophe] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sull' int.\ dell'equazione +$\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x^2} - \sum_1^m \frac{\partial \phi}{\partial x_i^2} = 0$. Annali di Mat.\ 1898.} + +%[** PP: Changed sisteme to sistema] +\Bibitem{\sameauthor.}{Su di un sistema generale di equazioni che si può integrare col metodo delle +caratteristiche. Ibid.} + +\Bibitem{Coulon.}{Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre +par la méthode des caractéristiques. Thèse 1902.} + +\Bibitem{d'Adhémar.}{Sur une classe d'équations aux dérivées partielles du second ordre, +du type hyperbolique à 3 ou 4~variables indépendantes. Thèse 1904.} + +%[** PP: Changed hydrodinamique to hydrodynamique]. +\Bibitem{Hadamard.}{Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique. +Paris 1903.} + +%[** PP: Changed Ecole to École] +\Bibitem{\sameauthor.}{Recherches sur les solutions fondamentales et l'intégration des équations +linéaires aux dérivées partielles. Ann.\ de l'École normale de Paris 1903--1905.} + +\end{Bibliographie} +%% -----File: 068.png---Folio 68------- + + +\Chapter{\Ord{10}{ième} leçon.} + +\Paragraph{1.} Nous avons jusqu'à présent examiné quelques équations du type elliptique +et du type hyperbolique. Nous parvenons maintenant aux équations du type +parabolique. + +L'équation de la propagation de la chaleur appartient à ce type. Fourier, +Poisson, Laplace, pour ne citer que les plus anciens, ont consacré de profondes +études à cette équation. Tout le monde sait que les méthodes introduites par +Fourier sont devenues classiques et ont formé le point de départ, la base et le +modèle de bien des recherches de l'analyse et de la physique mathématique. + +Plus récemment on a introduit dans la théorie de la propagation de la chaleur +des méthodes qui se rattachent à celles de Green. Betti a consacré un très beau +mémoire à cette étude, sans cependant recourir à la notion des caractéristiques. +Appell et Boussinesq ont profondément examiné par des concepts plus modernes +encore, bien des questions qui s'y rapportent. + +Mais à mon avis pour les équations du type parabolique on n'est pas si avancé +que pour les équations des autres types que nous avons examinées dans les leçons +précédentes. + +\Paragraph{2.} Nous allons envisager l'équation la plus simple possible +\[ +\tag{1} +\pderiv{u}{t} = \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}. +\] + +Le rôle des deux variables $t$ et~$z$ est très-différent, ce qu'on comprend dès +le premier abord, car l'équation différentielle est de premier ordre par rapport à ~$t$ +et de deuxième ordre par rapport à ~$z$. + +Poisson a bien mis en lumière ce fait par un résultat sur lequel il a insisté +beaucoup en y revenant plusieurs fois dans ses différents ouvrages. + +Nous allons l'exposer en empruntant à peu près les termes de son livre sur +la théorie mathématique de la chaleur. + +Si nous essayons de développer $u$ dans une série de puissances de~$t-h$, $h$ +étant une quantité constante, nous trouvons, en calculant de proche en proche les +coefficients, +\[ +\tag{2} +u = \phi(z) + (t-h) \frac{d^2 \phi}{dz^2} + + \frac{1}{2} (t-h)^2 \frac{d^4 \phi}{dz^4} + \dotsb + + \frac{1}{n!} (t-h)^n \frac{d^{2n} \phi}{dz^{2n}} + \dotsb +\] +%% -----File: 069.png---Folio 69------- +où $\phi$ représente une fonction arbitraire. Si l'on fait $t = h$, on a +\[ +u = \phi(z). +\] +$\phi(z)$ est donc la fonction à laquelle se réduit~$u$ pour $t = h$. Au contraire si nous +développons $u$ par les puissances de~$z-k$, on trouvera par la même méthode +\[ +\tag{3} +\left\{ +\begin{aligned} +u &= \psi(t) + \frac{(z-k)^2}{2!} \frac{d \psi}{dt} + + \frac{(z-k)^4}{4!} \frac{d^2 \psi}{dt^2} + \dotsb + % [** PP: Added + before next term, changed 2n! to (2n)!] + + \frac{(z-k)^{2n}}{(2n)!} \frac{d^n \psi}{dt^n} + \dotsb \\ +%% + &\quad+ (z-k) \Psi(t) + \frac{(z-k)^3}{3!} \frac{d \Psi}{dt} + \dotsb + + \frac{(z-k)^{2n+1}}{(2n+1)!} \frac{d^n \Psi}{dt^n} + \dotsb +\end{aligned} +\right. +\] +où $\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ sont des fonctions arbitraires. + +En faisant $z = k$ on trouve +\[ +u = \psi(t),\quad \pderiv{u}{t} = \Psi(t); +\] +donc $\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ représentent les valeurs de~$u$ et $\pderiv{u}{t}$ pour $z = k$. + +Or il est facile de prouver que la même intégrale peut se mettre sous la +forme~(2) ou la forme~(3). Il suffit pour cela de développer~$\phi(z)$ dans une série +de puissances de~$z-k$ et~$\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ en des séries de puissances de~$t-h$. + +En posant +\begin{align*} +\phi(z) &= a_0 + a_1 (z-k) + \frac{a_2}{1\cdot2} (z-k)^2 + + \dotsb + \frac{a_n}{n!} (z-k)^n + \dotsb \\ +\intertext{on trouvera en comparant les coefficients dans les formules (2) et~(3)} +\psi(t) &= a_0 + a_2 (t-h) + \frac{a_4}{2!} (t-h)^2 + + \dotsb + \frac{a_{2n}}{n!} (t-h)^n + \dotsb \\ +\Psi(t) &= a_1 + a_3 (t-h) + \frac{a_5}{2!} (t-h)^2 + + \dotsb + \frac{a_{2n+1}}{n!} (t-h)^n + \dotsb. % [** PP: Added period] +\end{align*} + +On voit donc que la même intégrale peut s'écrire avec une ou avec deux +fonctions arbitraires de deux manières complètement équivalentes. + +Poisson a ensuite transformé les deux intégrales en les exprimant par des +intégrales définies. Il écrit l'intégrale~(2) sous la forme +%% -----File: 070.png---Folio 70------- +\[ +\tag{$2'$} +u(z,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int \phi(\xi)\, + \frac{e^{-\smfrac{(\xi - z)^2}{4(t - h)}}}{\sqrt{t - h}}\, d\xi +\] +et l'intégrale~(3) sous la forme +\begin{align*} +u(z,t) &= \gamma \int_{-\infty}^\infty + \psi \left( t + \frac{(z - k)^2}{4(c + i\xi)} \right)\, + \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{c + i\xi}} +\tag{$3'$} +\Trail{+} \\ +% + &\quad+ \frac{1}{2} \gamma(z - k) \int_{-\infty}^\infty + \Psi \left( t + \frac{(z - k)^2}{4(c + i\xi)} \right)\, + \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{(c + i\xi)^3}}\;, +\end{align*} +où +\[ +\frac{1}{\gamma} + = \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{c + i\xi}}\;, +\] +$c$ étant une constante réelle qui n'est pas nulle. + +Après Poisson, Schlaefli est revenu là dessus en exprimant les mêmes intégrales +sous des formes différentes dans un très beau mémoire inséré dans le T.~72 +du Journal de Crelle. + +\Paragraph{3.} Cela posé voyons ce qu'on peut tirer des méthodes qui ont été les +plus puissantes dans le cas des équations que nous avons envisagées dans les +leçons précédentes. Il est évident que ces méthodes sont celles de Green, mais +où l'on introduit la notion des caractéristiques par les méthodes de Riemann. %[** PP: Added period] + +Il n'y a pas de difficultés à procéder par une voie tout à fait analogue +dans notre cas. + +On peut évidemment commencer par envisager une équation plus générale +que l'équation~(1), c'est à dire +\[ +\tag{$1'$} +\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - \pderiv{u}{t} = f(z,t). %[** PP: Added period] +\] + +Les caractéristiques de l'équation~$(1')$ sont des lignes parallèles à l'axe~$z$ +(voir la \hyperref[section:8.5]{leçon~\Ord{8}{ième} §~5}). % [** Xref] + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2in} +\Input{070a}{2in} +\end{wrapfigure} +Prenons la direction de l'axe~$t$ de la gauche +à la droite. Alors chaque caractéristique partage +le plan en deux domaines qu'on peut appeler le +domaine de gauche et celui de droite. + +Il est facile de démontrer le théorème: + +\textit{% [**** Not \begin{Theorem}; must accommodate illustration] +Soit $s$ une courbe ouverte dont les deux bouts $A, B$ +se trouvent sur une caractéristique, et qui renferme avec +cette caractéristique une aire~$\sigma$ située à gauche de celle-ci. +Si nous connaissons $u$ sur~$s$ et~$f(z, t)$ à l'intérieur +de l'aire~$\sigma$, $u$~sera déterminée dans tous les points de~$\sigma$. +}%\end{Theorem} +%% -----File: 071.png---Folio 71------- + +La démonstration est très-simple et du même type des démonstrations des +théorèmes analogues qu'on a dans les autres théories. En effet, si $u_1$ et~$u_2$ sont +des fonctions qui vérifient l'équation~$(1')$ et qui prennent les mêmes valeurs sur~$s$, %[** PP: Changed . to ,] +on calcule leur différence $u_3 = u_1 - u_2$ qui vérifiera l'équation~$(1)$ et qui sera +nulle sur~$s$. + +Par les transformations bien connues des intégrales on tire de là que +\[ +0 = \int_\sigma u_3 + \left(\frac{\partial^2 u_3}{\partial z^2} + - \pderiv{u_3}{t}\right) d\sigma + = - \frac{1}{2} \int_l u_3^2\, dl + - \int_\sigma \left(\pderiv{u_3}{z}\right)^2 d\sigma +\] +où $l$ est la partie de la caractéristique comprise entre les points $A, B$. + +C'est pourquoi $u_3$ sera nulle dans l'aire~$\sigma$ et par suite $u_1 = u_2$. Donc il n'y a %[** PP: Added a] +pas deux fonctions différentes qui satisfont aux conditions que nous avons posées, +et on a par là la démonstration du théorème que nous avons énoncé. + +Il faut maintenant remarquer que les raisonnements que nous venons de faire +ne pourraient pas être répétés si l'on supposait que la courbe~$s$ était à droite de la +ligne caractéristique, et par suite il n'y a pas une symétrie des propriétés des +intégrales de l'équation différentielle des deux côtés de chaque caractéristique, +comme d'autre part il était facile de prévoir. + +\Paragraph{4.} On peut donner une formule tout à fait analogue à la formule de Green +en envisageant avec l'équation~$(1')$ son adjointe +\[ +\tag{4} +\frac{\partial^2 v}{\partial z^2} + \pderiv{v}{t} = g(z, t). +\] + +Alors on trouve +\[ +\tag{5} +- \int_\sigma (vf - ug)\, d\sigma + = \int_s \left[\left(v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z}\right) \cos nz - uv \cos nt\right] ds + + \int_l uv\, dl, +\] +$n$ étant la normale à la ligne~$s$ dirigée vers l'intérieur +de~$\sigma$. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}[10]{r}{2in} +\raisebox{0.125in}[1.75in][0pt]{\Input{071a}{2in}}% [**** Explicit height] +\end{wrapfigure} +Or la fonction qui joue le rôle principal dans +cette théorie est, comme il est bien connu, l'intégrale +suivante de l'équation~(4) où l'on suppose $g = 0$ +\[ +v = \frac{1}{2 \sqrt{\pi} \sqrt{t_1 - t}} e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(t_1-t)}}, +\] +$t_1 > t$ et~$z_1$ étant des valeurs constantes. Le radical +est supposé positif. Prenons le point~$M_1$ de coordonnées +%% -----File: 072.png---Folio 72------- +$t_1\, z_1$ à droite de la caractéristique~$l$. Remplaçons cette valeur de~$v$ dans +l'équation où l'on suppose $g = 0$, puis faisons approcher~$M_1$ de la ligne caractéristique. + +A ce point il faut rappeler un théorème bien connu d'analyse. $F(z)$ étant +une fonction continue et finie et $z'' > z'$ on a +\[ +\tag{I} +\lim_{t_1=t} \int_{z'}^{z''} + \frac{1}{\sqrt{t_1 - t}} e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(t_1-t)}} F(z)\, dz + = \begin{cases} + F(z_1) 2\sqrt{\pi} \\ + 0 + \end{cases}\!\!\!\!\!\!. % [** PP: Explicit horizontal space] +\] + +Il faut prendre le second membre égal à $2\sqrt{\pi} F(z_1)$ si~$z_1$ est comprise entre +$z'$ et~$z''$, et il faut le prendre égal~$0$ si $z_1$ n'est pas comprise entre les valeurs $z'$ et~$z''$. + +On suppose que le radical qui paraît sous l'intégrale soit positif. S'il était +négatif le second membre changerait de signe. + +Deux cas pourront donc se présenter. Si le point~$M_1$ s'approche d'un point~$M'$ +compris entre $A$ et~$B$ on aura +\[ +\lim \int_l uv\, dl +\] +égale à la valeur de la fonction~$u$ dans le point~$M'$. Si au contraire il s'approche +d'un point~$M''$ qui n'est pas compris entre $A$ et~$B$ la même limite est nulle. + +On tire de là les deux formules suivantes +\begin{align*} +& -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} + \int_s \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}} + \left\{\left[\pderiv{u}{z} - u \frac{z_1-z}{2(t_1-t)}\right] + \cos nz - u \cos nt\right\}ds +\Trail{-} \\ +% +& -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} + \int_\sigma \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}} + {\sqrt{t_1-t}} f\, d\sigma + = \left\{\begin{matrix} + u(z_1\, t_1) \\[2ex] %[** PP: Height must match \tag* below] + 0 + \end{matrix}\right\} +\tag*{$\begin{matrix}(6) \\[2ex] (6')\end{matrix}$} +\end{align*} +où $t = t_1$ est l'équation de la caractéristique~$l$. Le +premier cas se présente lorsque le point $z_1\, t_1$ est +compris entre $A$ et~$B$ et le second cas lorsqu'il est +externe. + +Dans cette formule, comme dans toutes les formules +analogues que l'on trouve par les procédés de +Green (Cf.\ le \hyperref[section:8.3]{§~3 de la \Ord{8}{ième}~leçon}), la valeur de l'intégrale % [** Xref] +au point $z_1\, t_1$ est donnée par les valeurs de l'intégrale +même et de ses dérivées sur la ligne~$s$. Or, +comme nous avons vu (§~3), il est nécessaire de connaître +%% -----File: 073.png---Folio 73------- +les seules valeurs de~$u$ sur~$l$ pour la déterminer +dans~$\sigma$, c'est pourquoi il y a dans la formule précédente +la quantité $\pderiv{u}{z}$ qu'il faut éliminer. Elle s'élimine +d'elle-même sur toute partie $CD$ de la ligne~$s$ +qui est un segment de droite parallèle à l'axe~$z$, +car sur $CD$ on a $\cos nz = 0$. Ainsi, si les points +$A, B$ s'éloignent indéfiniment dans la direction positive +et négative de~$z$ de manière que la ligne~$s$ +devienne la parallèle $t = h$ à l'axe~$z$, la quantité +$\pderiv{u}{z}$ est complètement éliminée. +\begin{center} +\Input{072a}{1.75in}\hfil\Input{073a}{1.75in} +\end{center} + +Alors si nous posons dans la formule~(6) $f = 0$ elle devient la formule~$(2')$ de +Poisson. En effet elle exprime la valeur de~$u$ par les valeurs de cette intégrale +pour $t = h$. + +%[Illustrations] +\begin{center} +\Input{073b}{2in}\hfil\Input{073c}{2.75in} +\end{center} + +\Paragraph{5.} Les valeurs de $\pderiv{u}{z}$ sur~$s$ peuvent s'éliminer aussi en d'autres cas. Nous +allons démontrer qu'elles peuvent s'éliminer sur toute partie $CD$ de~$s$ qui est un +segment de ligne droite telle que toute l'aire~$\sigma$ est située d'un côté %[** PP: Typo coté] +de cette droite. +Prenons en effet le point~$M''$ symétrique du point~$M'$ par rapport au point~$E$. +$M'$~étant interne au segment $AB$, $M''$~sera externe. C'est pourquoi, si $z_1\, t_1$ sont +les coordonnées de~$M'$ et $z_2\, t_1$ celles de~$M''$, en remplaçant dans la formule~(6) $z_1$ +par $z_2$ on passe à la formule~$(6')$. + +Le premier membre peut se décomposer en deux parties, l'intégrale qui est +étendue à $CD$ et toute la partie résiduelle. En appelant~$I$ cette dernière, on aura % [** PP: Put "I" in math mode] +%% -----File: 074.png---Folio 74------- +\begin{align*} +I' - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{CD} + \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}} + \left\{ \left[ \pderiv{u}{z} - u \frac{z_1-z}{2(t_1-t)} \right] \cos nz - u \cos nt \right\} ds &= u(z_1\, t_1) \\ +% +I'' - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{CD} + \frac{e^{-\smfrac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}} + \left\{ \left[ \pderiv{u}{z} - u \frac{z_2-z}{2(t_1-t)} \right] \cos nz - u \cos nt \right\} ds &= 0 +\end{align*} +où $I'$ et~$I''$ sont les valeurs de $I$ si l'on se rapporte respectivement aux points $M'$ +et~$M''$. Ajoutons la première équation à la seconde après avoir multiplié celle-ci +par une quantité constante~$-e^c$. Le second membre sera $u(z_1\, t_1)$ et dans le premier +membre le coefficient de $\pderiv{u}{z}$ sous l'intégrale deviendra +\[ +\biggl( e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}} + - e^{-\smfrac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)} + c} \biggr) \frac{\cos nz}{\sqrt{t_1-t}}\, ds. +\] + +Pour éliminer $\pderiv{u}{z}$ le long de l'intégrale étendue à $CD$ il suffit d'annuler ce +coefficient. Posons donc +\[ + \frac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)} += \frac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)} - c. +\] +On tire de là en appelant~$z_e$ la coordonnée du point $E$ et~$h$ la longueur~$M'M''$ +\[ +\frac{z_e - z}{t_1 - t} = \frac{2c}{h}. +\] +Mais la droite $CD$ passe par le point~$E$; c'est pourquoi son équation est +\[ +\frac{z_e - z}{t_1 - t} = \alpha, +\] +$\alpha$ étant une quantité constante. + +Il suffit donc de prendre +\[ +c = \frac{h\alpha}{2} +\] +pour faire l'élimination de $\pderiv{u}{z}$. + +%%[Illustration] +% [**** Explicit height; illus on next page in original] +\begin{wrapfigure}[10]{r}{2.5in} +\raisebox{0.25in}[2in][0pt]{\Input{075a}{2.25in}} +\end{wrapfigure} +La méthode qu'on a suivie est bien une méthode des images, car on peut appeler +le point~$M''$ l'image du point~$M'$ par rapport au point~$E$. + +Si la ligne~$s$ est formée de plusieurs droites on peut appliquer dans certains +cas le principe des images successives pour éliminer $\pderiv{u}{z}$ sur toute la ligne~$s$. +%% -----File: 075.png---Folio 75------- + +%[Illustration] +Soit $s$ formée par trois droites $AC$, +$CD$, $DB$ dont $CD$ est parallèle à ~$z$, alors +la méthode peut servir pour tout point $M'$ +d'une manière très simple. L'on trouve dans +ce cas un nombre infini d'images. + +\Paragraph{6.} Ce que nous avons exposé jusqu'ici +nous prouve qu'une méthode tout à fait analogue +à celle qu'on emploie dans le cas des +équations du type hyperbolique peut être +aussi employée dans celui des équations du +type parabolique, en tenant compte des lignes +caractéristiques. + +Cependant nous pouvons bien facilement +nous convaincre que par cette méthode on n'épuise pas les propriétés les plus importantes +de l'équation~$(1')$, et que la méthode même est impuissante à nous en +dévoiler les plus cachées. + +En effet nous avons montré dès le \Ord{2}{ième}~§ le résultat obtenu par Poisson, +c'est à dire que l'intégrale générale de l'équation~(1) peut s'exprimer par une fonction +arbitraire ou par deux fonctions arbitraires. Or la formule~(6) peut nous +conduire à l'intégrale~(2), comme nous avons déjà vu, mais elle ne nous amène pas +à l'intégrale~(3). Même en tâchant de faire coïncider la ligne~$s$ avec l'axe des~$z$ +on n'arrive pas à cette formule. + +On serait conduit à cette conclusion, que les équations du type parabolique +n'offrent pas de prise aux méthodes modernes d'une manière complète, et que +par exemple les anciennes méthodes de Poisson nous disent davantage. Il +semble donc que les méthodes modernes peuvent nous donner l'explication d'un +grand nombre de faits, mais tous les faits connus semblent ne pas ressortir d'elles. + +Malgré cela nous allons voir que cette impuissance n'est qu'apparente et que +nous pouvons réunir dans un ensemble unique tous les faits et par une seule formule +embrasser toutes les formules connues. Pour rejoindre le but il n'y a qu'à +aborder les nouvelles méthodes avec une conception nouvelle, c'est à dire en les +étendant aux variables complexes, ce qu'on n'avait pas fait jusqu'à présent. L'équation~$(1')$ +se prête avec beaucoup de facilité à cette généralisation, car elle n'a que +deux variables $z$ et~$t$, et si nous posons $t = x + iy$ en regardant $x, y, z$ comme les +coordonnées des points de l'espace, on pourra se servir des images géométriques +dans un domaine à trois dimensions. + +Envisageons une fois encore la fonction qui joue le rôle principal dans ces +recherches, c'est à dire +%% -----File: 076.png---Folio 76------- +\[ +\tag{7} +\frac{e^{-\smfrac{(z_1 - z)^2}{4(t_1 - t)}}}{\sqrt{t_1 - t}}. +\] +Nous verrons dans la leçon suivante que c'est la polydromie de cette fonction +qui a l'importance la plus grande dans tous les résultats que nous allons obtenir. +Cette fonction est en effet polydrome par rapport à la variable~$t$. Or cette polydromie +ne peut pas ressortir si on n'envisage pas $t$ comme une variable complexe. +C'est pourquoi toute la théorie que nous avons développée qui était bâtie en dehors +de cette propriété était justement incomplète. + + +\Chapter{\Ord{11}{ième} leçon.} + +\Paragraph{7.} La première question qui se pose est de voir si l'on peut étendre dans +les intégrales de l'équation~$(1')$ la variabilité de~$t$, c'est à dire si l'on peut la regarder +comme un nombre complexe. A cet effet considérons les intégrales de +l'équation~(1) qui est plus simple que l'autre. Il est facile de démontrer, et d'autre +part la chose est connue, qu'elles ne sont pas en général des fonctions analytiques +de~$t$. + +Pour s'en persuader d'une manière tout à fait élémentaire prenons la fonction +\[ +u(z, t) = z \int_0^t \phi(\xi) e^{-\smfrac{z^2}{4(t - \xi)}}\, (t - \xi)^{-\frac{3}{2}}\, d\xi +\] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2.75in} +\Input{076a}{2.5in} +\end{wrapfigure} +où $\phi(\xi)$ est une fonction finie et intégrable. +Si $\phi(\xi)$ est définie dans le domaine $(0\, a)$ on % [** PP: Typo (o a)] +voit aisément que $u(z, t)$ est définie pour toutes +les valeurs positives de~$z$ à l'intérieur de la +bande $\Sigma_1$ limitée par l'axe~$t$, l'axe~$z$ et la +droite $t = a$. + +On vérifie qu'à l'intérieur de ce domaine +$u(z, t)$ est une fonction continue, que les dérivées +$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}$ et $\pderiv{u}{t}$ sont déterminées et que l'on a +\[ +\tag{1} +\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \pderiv{u}{t}. +\] +%% -----File: 077.png---Folio 77------- + +Cela posé, si nous prolongeons $\phi(\xi)$ entre $a$ et~$2a$, alors $u(z, t)$ pourra se +prolonger à l'intérieur de la bande $\Sigma_2$ comprise entre l'axe~$t$ et les droites $t = a$, +$t = 2a$. + +Dans le domaine formé par l'ensemble des points internes aux bandes $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ +$u(z,t)$ sera continue et vérifiera l'équation~(1). Mais puisque le prolongement de +$\phi(\xi)$ peut se faire avec la seule condition qu'elle soit finie et intégrable et que +d'autre part elle est tout à fait arbitraire, il s'en suit que les valeurs de $u$ en $\Sigma_2$ +pourront être changées, celles en $\Sigma_1$ restant toujours les mêmes. + +Si par exemple nous prenons d'abord $\phi(\xi) = 0$ dans l'intervalle $(a, 2a)$ et +après $\phi(\xi) = 1$, les valeurs de $u(z, t)$ en $\Sigma_2$ seront changées. Cela prouve que +$u(z, t)$ n'est pas en général une fonction analytique de~$t$. + +\Paragraph{8.} Il faudra donc poser comme une condition nouvelle que l'intégrale de +l'équation~(1) soit une fonction analytique de~$t$, et de même si nous envisageons +l'équation~$(1')$, il faudra poser deux conditions, c'est à dire que $f$ et $u$ soient des +fonctions analytiques de $t = x + iy$. + +Supposons aussi, en ayant égard à l'équation adjointe~(4), que $g$ et $v$ soient +des fonctions analytiques de $t = x + iy$. + +Nous écrirons alors +\begin{align*} +u(z, t) &= u(x, y, z) & f(z, t) &= f(x, y, z) \\ +v(z, t) &= v(x, y, z) & g(z, t) &= g(x, y, z) +\end{align*} +et l'on regardera $x, y, z$ comme les coordonnées +des points de l'espace. Il est évident +que $u, v, f, g$ seront en général des quantités +complexes et on aura +\[ +\tag{8} +\pderiv{u}{t} = \pderiv{u}{x} = -i \pderiv{u}{y},\quad +\pderiv{v}{t} = \pderiv{v}{x} = -i \pderiv{v}{y}. +\] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{r}{2.25in} +\Input{077a}{2in} +\end{wrapfigure} + +Posons +\[ +X = v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z},\quad +Y = i\left(v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z}\right),\quad +Z = uv +\] +et, en prenant une surface $\sigma$ ayant deux +faces distinctes et pour contour la ligne~$s$, +appliquons le théorème de Stokes (\hyperref[section:2.2]{\Ord{2}{ième}~leçon §~2}) en supposant que toutes les % [** Xref] +quantités précédentes soient finies, continues et monodromes sur la surface~$\sigma$. + +On aura +%% -----File: 078.png---Folio 78------- +\[ +\Lmargintag{9} +\left\{ +\begin{gathered} +\int_\sigma \left\{ + \left(\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z}\right) \cos nx + + \left(\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x}\right) \cos ny + + \left(\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y}\right) \cos nz \right\} d\sigma \\ += \int_s ( X\, dx + Y\, dy + Z\, dz ). +\end{gathered} +\right. +\] + +Or on a bien aisément en vertu des relations~(8) et des équations $(1')$ et~(4) +\begin{align*} +%[** PP: Changed d to \partial in denominator of first term] +\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z} &= - ivf + iug \\ +\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x} &= \phantom{-}vf - ug \\ +\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y} &= 0; +\end{align*} +par suite l'égalité~(9) deviendra +\[ +\frac{1}{i} \int_\sigma (vf - ug) (\cos nx + i \cos ny)\, d\sigma + = \int_s \left[ \left( v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z} \right) (dx + i dy) + uv\, dz \right], +\] +c'est à dire +\[ +\tag{10} +\frac{1}{i} \int_\sigma (vf - ug) \pderiv{t}{n}\, d\sigma + = \int_s \left[ + \left( v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z} \right) dt + uv\, dz + \right]. %[** PP: Added period] +\] + +\Paragraph{9.} Cela posé supposons que dans tout le domaine à trois dimensions que +nous envisageons $u$, $f$ soient finies, continues et monodromes. Prenons +\[ +\tag{11} +v = \frac{e^{-\smfrac{(z - z_1)^2}{4(t_0 - t)}}}{\sqrt{t_0 - t}},\quad g = 0 +% [** PP: comma?] +\] +étant $t_0 = x_0 + iy_0$. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}[13]{l}{3in} % [**** Explicit height] +\raisebox{0.25in}[2.5in][0pt]{\Input{078a}{2.75in}} +\end{wrapfigure} +Si la droite $x = x_0$, $y = y_0$ rencontre +la surface $\sigma$, la formule~(10) n'est pas +applicable, car pour $x = x_0$, $y = y_0$ la fonction +$v$ a une singularité. Mais elle n'est +pas applicable en d'autres cas où la même +droite ne rencontre pas la surface. En +effet supposons que la surface soit limitée +par deux lignes, et qu'en conséquence le contour +$s$ soit formé de deux parties, et supposons +aussi que la droite $x = x_0$, $y = y_0$ passe +au milieu du bord interne de la surface, et que par suite on puisse parcourir sur la +%% -----File: 079.png---Folio 79------- +surface un cycle fermé $c$ autour de +la droite. Même dans ce cas la formule +ne sera pas applicable, car $v$ sera +polydrome sur la surface à cause du +radical qui paraît dans le dénominateur. +En parcourant le cycle $c$ et en +prenant les valeurs de $v$ qui se suivent +avec continuité on reviendra au +point de départ avec la valeur initiale +changée de signe. + +%[Illustrations] +Donc la formule~(10) n'est applicable, +en prenant $v$ donné par +la formule~(11), que si aucun cycle +fermé sur la surface %[** PP: Typo surtace] +n'entoure la +droite $x = x_0$, $y = y_0$ et si en même +temps cette droite ne rencontre pas +la surface. + +Le contour étant formé par une +seule ligne continue et fermée, il suffit +évidemment de la seconde condition, +pour que la première soit aussi +satisfaite. + +% [** PP: Changed x=t_1 in figure labels to x=x_1] +\begin{wrapfigure}[36]{r}{2.5in} +\Input{079a}{2.5in}\\[0.125in] +\Input{079b}{2.5in}\\[0.125in] +\Input{079c}{2.5in} +\end{wrapfigure} +\Paragraph{10.} Prenons maintenant (fig.~$a$) +un contour~$s$ formé par une seule ligne +continue, constituée par la courbe +$MNP$ et par la courbe $M'N'P'$ reliées +entre elles par les droites $PP'$ +et $MM'$ parallèles à l'axe~$z$. + +La ligne $MNPP'N'M'M$ sera +une ligne continue. Les flèches indiquent +comment il faut la parcourir. +Supposons que nous menions une surface +$\sigma$ ayant pour contour cette ligne, et +ensuite faisons approcher les deux +bords $MM'$ et $PP'$ d'une même droite +$HH'$ du plan $xz$ parallèle à l'axe $z$ +de manière qu'ils se disposent le long +de cette droite. Mais en même temps +%% -----File: 080.png---Folio 80------- +supposons que si certaines parties des deux bords se superposent, comme il arrive +dans la fig.~$b$, les deux bords restent toujours distingués comme les bords d'une +coupure, et qu'on doive les parcourir en sens opposé. La même chose est indiquée +dans la fig.~$b'$ où les dispositions sont changées. Les flèches désignent toujours la +manière de parcourir le contour. On peut donc regarder toujours la surface $\sigma$ +comme limitée par un contour formé par la ligne continue et fermée $M N P P' N' M' M$. + +\iffalse +\begin{center} +\Input{079b}{0.5\textwidth}\hfil +\Input{079c}{0.5\textwidth} +\end{center} +\fi + +La ligne $H H'$ ayant pour équation +\[ +x=x_1,\quad y=0, +\] +menons une droite parallèle $KK'$ dans le plan $xz$ ayant pour équation +\[ +x = x_0 > x_1,\quad y = y_0 = 0 +\] +qui ne rencontre pas la surface $\sigma$. Alors on pourra appliquer la formule~(10), et +l'on trouvera en remarquant que $g = 0$ +%[** PP: Added trailing operators] +\begin{align*} +& \int_{MNP} \left[ + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + + uv_{A_0}\, dz \right] +\Trail{+} \\ +% +&\qquad+ \int_{P'N'M'} \left[ + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + + uv_{A_0}\, dz \right] +\Trail{+} \\ +% +&\qquad+ \int_{PP'} uv_{A_0}\, dz + \int_{M'M} uv_{A_0}\, dz += \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma, +\end{align*} +où l'on a désigné par $v_{A_0}$ la fonction +$\dfrac{e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(x_0-t)}}}{\sqrt{x_0-t}}$, $A_0$ étant le point de coordonnées +$x_0, 0, z_1$. + +\Paragraph{11.} On peut maintenant distinguer deux cas. Projetons la surface $\sigma$ sur +le plan~$xy$. Dans les figures nous avons désigné la projection par l'aire hachée. +Le point $x_0, 0$ du plan $xy$ peut se trouver entouré par la projection (fig.~$b$) ou +peut ne pas être entouré par elle (fig.~$b'$). + +Puisque la fonction $v$ est polydrome et qu'elle change de signe en parcourant +un cycle autour de la droite $x = x_0$, $y = 0$, les choses seront différentes dans les +deux cas. Les valeurs de $v$ dans les points de la droite $H H'$ sont réelles. Prenons +ces valeurs positives sur $P' P$, alors + +dans \emph{le premier cas} les valeurs de $v$ seront négatives %** PP: Typo nègatives] +sur $MM'$ + +dans \emph{le second cas} les valeurs de $v$ seront positives sur $MM'$. + +Or déplaçons le point $A_0$ sur $A_0 A_1$ parallèle à l'axe $x$ en l'approchant indéfiniment +du point $A_1$ sur la droite $H H'$, et supposons que la droite $K K'$ se déplace +avec $A_0$ en restant parallèle à l'axe $z$, et supposons aussi qu'en se déplaçant elle +ne rencontre jamais la surface~$\sigma$. +%% -----File: 081.png---Folio 81------- + +Cherchons les limites de +\[ +\int_{PP'} u v_{A_0}\, dz,\quad +\int_{M'M} u v_{A_0}\, dz. +\] + +Il suffit pour cela de faire usage de la formule~(I) qu'on a déjà employée +dans le §~4. Puisque $v_{A_0}$ est positif sur $PP'$ on aura % [** Xref] +\[ +%[** PP: No comma between arguments in several expressions] +\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = \phantom{-}2 \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1), +\] +si le point $A_1$ est compris entre les points $P, P'$ et si le segment $PP'$ a la direction +positive de l'axe~$z$. On aura au contraire +\[ +\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = -2 \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1),%[** No comma] +\] +si le point $A_1$ est compris entre les points $P, P'$ et si le segment $PP'$ a la direction +négative de l'axe~$z$. Enfin on aura +\[ +\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = 0, +\] +si le point $A_1$ est externe au segment~$PP'$. (C'est le dernier cas qui se présente +dans les figures $b$ et~$b'$, mais on imagine tout de suite comment il faudrait dessiner +les figures pour que les autres cas se présentent.) + +Les trois formules précédentes peuvent se réunir en une seule en représentant +par le symbole $(p)$ le numéro $±1$ selon que le segment $A_1P$ a la direction +positive ou négative de~$z$. On aura alors +\[ +\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz += \bigl[(p') - (p)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma] +\] + +Si nous étendons la signification du symbole $(p)$, et si nous supposons qu'il représente +$0$, si $A_1$ coïncide avec $P$, alors la formule précédente nous donne la limite +de l'intégrale même dans le cas où $A_1$ coïncide avec l'un des points $P$ ou~$P'$. + +Passons maintenant à +\[ +\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz, +\] +si le point $x_0, 0$ est entouré par la projection (\Ord{1}{er}~cas); on a que $v_{A_0}$ est négatif +sur $MM'$, c'est pourquoi +%% -----File: 082.png---Folio 82------- +\[ +\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz + = - \bigl[(m) - (m')\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma] +\] + +Si le point $x_0, 0$ n'est pas entouré par la projection (\Ord{2}{ième}~cas) $v_{A_0}$ est positif +sur~$MM'$ et par suite +\[ +\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz = \phantom{-} \bigl[(m) - (m')\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma] +\] + +Les deux formules peuvent se réunir en une seule en indiquant par le +symbole $(e)$ le numéro $±1$ selon que la projection entoure ou n'entoure pas le +point $x_0, 0$ et l'on aura +\[ +\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz + = -(e) \bigl[(m) - (m')\bigr]\sqrt{\pi} u(t_1\, z_1). +% [** PP: Added \sqrt{\pi}u, w/o comma] +\] + +Donc +\[ +\lim \left[ \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz + + \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz \right] + = \left\{\bigl[(p') - (p)\bigr] + (e) \bigl[(m') - (m)\bigr]\right\} + \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) +\] +d'où l'on tire en posant + +\[ +\bigl[(p') - (p)\bigr] + (e) \bigl[(m') - (m)\bigr] \sqrt{\pi} = h +\] +%% +\[ +\Lmargintag{II} +\left\{ +\begin{aligned} +h\, u(t_1\, z_1) = \lim \left( + \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right. + &- \int_{MNP} + \left[ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z}\right) dt + + u v_{A_0}\, dz \right] +\Trail{-} \\ %[** PP: Added trailing operator] +%[** PP: Explicit horizontal space] + &\makebox[0pt][r]{$-$}\;\int_{P'N'M'} \left. + \left[ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + + u v_{A_0}\, dz \right] \right). +\end{aligned} +\right. +\] + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2.5in} +\Input{082a}{2.5in} +\end{wrapfigure} +Cette formule est la plus générale +possible et comprend toutes les autres. +Il n'y a qu'à la particulariser pour déduire +toutes les formules de la théorie. + +\Paragraph{12.} Supposons d'abord que le second +cas se présente. Alors on peut très bien +imaginer que les lignes $MNP$ et $M'N'P'$ +appartiennent au plan $xz$ de manière que +$\sigma$ soit une partie du plan, et l'on peut +supposer que la ligne $M'N'P'$ se rétrécisse +indéfiniment de sorte qu'elle % [** PP: Typo quelle] +se réduise à +un point. Alors dans la formule~(II) l'intégrale +étendue à $M'N'P'$ s'annule, et elle %[** PP: Typo annulle] +%% -----File: 083.png---Folio 83------- +conduit aux formules (6) et~$(6')$ dont la première nous amène à la formule~$(2')$ +de Poisson. + +\Paragraph{13.} Soit $M'\, N'\, P'$ une courbe appartenant au plan parallèle à $xy$ mené +par $A_0$, alors on %[** PP: Typo en] +démontre facilement que la limite de l'intégrale étendue à la +ligne $M'\, N'\, P'$ dans la formule~(II) est nulle. En même temps on a $(m') = (p') = 0$ +par suite la formule~(II) devient +\begin{align*} +&\bigl[(p)+(e)(m)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) \\ +&\qquad = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[ + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + uv_{A_0}\, dz \right] + - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}. +\intertext{\indent Si $M$ et $P$ coïncident on a $(m) = (p)$, donc} +&(m) \bigl[1+(e)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) \\ +&\qquad = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[ + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + uv_{A_0}\, dz \right] + - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}. +\end{align*} + +Dans le second cas où $(e) = -1$ le premier membre est toujours nul. + +Envisageons le second cas où $(e) = 1$. Alors +{\small +\[ +2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) + = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[ + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + + uv_{A_0}\, dz \right] + - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}. +\] +}% End of \small + +Supposons maintenant que la courbe $MNP$ appartienne à un plan parallèle +à $xy$, alors $dz = 0$ sur la courbe, et l'on a +\[ +2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) + = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[ + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + \right] + - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}. +\] + +Si $f = 0$ la formule se réduit encore et devient +\[ +2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) + = \lim \left\{ \int_{MNP} + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt \right\}. +\] + +Enfin si nous prenons pour $MNP$ un cercle ayant le centre sur l'axe $x$ la +formule précédente devient la formule~$(3')$ de Poisson. +%% -----File: 084.png---Folio 84------- + +De même les formules de Schlaefli peuvent se déduire comme cas particuliers +de celles que nous avons données. + +Il faut remarquer que toutes ces formules se rattachent au premier cas, c'est +à dire à celui où la projection de la surface $\sigma$ entoure le point $x_0, 0$. Or cela ne +peut arriver que si l'on suppose que la courbe $MNM'$ n'appartient pas au plan +$xz$. Il fallait donc sortir des valeurs réelles de $t$ pour trouver ces formules, +et c'est justement ce que nous avons fait. Ce n'est qu'en sortant du domaine réel +et en pénétrant dans le domaine complexe que la polydromie de la fonction~(7) a +pu jouer son rôle, car la polydromie ne ressort qu'en parcourant des cycles +autour de la droite $KK'$. Nous avons mis en lumière qu'à cette polydromie se +rattache tout le succès de la méthode nouvelle qu'on a employée. + +\Paragraph{14.} Nous finirons en donnant une application de la formule de Poisson, ce +qui nous amènera à revenir sur un point auquel nous avons touché dans la +\hyperref[section:8.1]{\Ord{8}{ième} leçon (§~1)}. % [** Xref] +Nous avons dit qu'il y avait des problèmes de la théorie des ondes +qui ne ressortent pas des équations du type hyperbolique. Ce sont les problèmes +des ondes des liquides incompressibles. Si l'on envisage le cas le plus général +des petites vibrations des liquides assujettis à des forces quelconques ayant un +potentiel, on trouve que le problème se réduit à trouver une fonction $V$ harmonique +dans le domaine $S$ occupé par le liquide qui le long de la surface libre $\omega$ du liquide +vérifie l'équation $-\alpha \pderiv{V}{n} += \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$ et sur les parois rigides $\sigma$ qui renferment le liquide +vérifie l'équation $\pderiv{V}{n} = 0$, $n$ étant la normale au contour dirigée vers l'intérieur de +l'espace $S$, $\alpha$ une quantité positive, $t$ le temps. + +Le problème dépend de l'équation différentielle de Laplace +\[ +\Delta^2 V = 0, +\] +car $V$ doit être harmonique. Il est donc rattaché à une équation du type elliptique. +Ce sont les conditions le long de la partie $\omega$ du contour qui déterminent +le %[** PP: Typo la] +caractère ondulatoire du mouvement. + +Or on démontre que $V$ est déterminée si l'on connaît % [** PP: Typo connait] +les valeurs $V_0$ et +$\left(\pderiv{V}{t}\right)_0 = V'_0$ de $V$ et de $\pderiv{V}{t}$ sur $\omega$ pour $t=0$. On peut aussi donner une méthode +générale pour résoudre le problème. Soit $U_A(x, y, z, t)$ une fonction harmonique +régulière de $x, y, z$ dans le domaine~$S$, excepté dans le point $A$ de coordonnées +$x_1, y_1, z_1$ où l'on a +\[ +U_A(x,y,z,t) = \frac{1}{r_A} + W_A(x,y,z,t),\quad +r_A = \sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 + (z_1 - z)^2}, +\] +%% -----File: 085.png---Folio 85------- +$W_A(x, y, z, t)$ étant une fonction régulière. Si nous supposons que sur $\omega$ soit +vérifiée l'égalité +\[ +- \alpha \pderiv{U_A}{n} = \dfrac{\partial^2 U_A}{\partial t^2} +\] +et sur $\sigma$ +\[ +\pderiv{U_A}{n} = 0 +\] +et pour $t = t_1$ sur $\omega$\quad $U_A$ et $\pderiv{U_A}{t}$ soient nulles, alors on aura +\[ +\tag{12} +V(x_1\, y_1\, z_1\, t_1) % [** PP: No commas] + = - \frac{1}{4\pi} \deriv{}{t_1} \int_\omega + \left[ (U_A)_0 \left(\pderiv{V}{t}\right)_0 + - V_0 \left(\pderiv{U_A}{t}\right)_0 \right] \frac{1}{\alpha}\, d\omega, +\] +$(U_A)_0$ et $\left(\pderiv{U_A}{t}\right)_0$ désignant les valeurs de $U_A$ et $\pderiv{U_A}{t}$ pour $t = 0$. Cette formule +sert pour reconduire le problème de déterminer $V$ à celui de trouver $U_A$, c'est +à dire à déterminer une fonction qui à certains points de vue est analogue à la +fonction de Green. + +\Paragraph{15.} Mais laissons de côté la théorie générale qui nous conduirait trop loin, +et envisageons le cas où le liquide occupe un domaine sphérique et où $\omega$ est toute +la surface de la sphère. Supposons aussi que $\alpha$ soit constante de sorte que l'on +puisse prendre $\alpha = 1$. Alors sur la surface de la sphère on aura $\pderiv{V}{r} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$, $r$ étant +le rayon vecteur conduit par le centre de la sphère. Posons $\log r = \rho$, et supposons +que le rayon de la sphère soit égal~1. Alors l'équation précédente pourra +s'écrire +\[ +\tag{13} +\pderiv{V}{\rho} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}. +\] + +Cela posé, $r, \THETA, \phi$ étant les coordonnées polaires soient $V_0(r, \THETA, \phi)$ et +$V'_0(r, \THETA, \phi)$ les fonctions harmoniques à l'intérieur %[** PP:Typo l'interieure] +de la sphère qui sur la surface +de la sphère deviennent égales aux valeurs $V_0$ et $V'_0$ données de $V$ et de $\pderiv{V}{t}$ +pour $t = 0$ sur la surface même. On pourra aussi les considérer comme des fonctions +de $\rho, \THETA, \phi$, et l'on écrira $V_0(\rho, \THETA, \phi)$, $V'_0(\rho, \THETA, \phi)$. Regardons $\THETA$ et $\phi$ comme +des quantités constantes, et déterminons par la formule de Poisson l'intégrale +de l'équation~(13) qui pour $t = 0$ se réduit à $V_0(\rho, \THETA, \phi)$ et dont la dérivée par +rapport à $t$ pour $t = 0$ se réduit à $V'_0(\rho, \THETA, \phi)$. Appelons cette intégrale $V(\rho, \THETA, \phi, t)$. +On voit facilement qu'elle est la fonction qu'on veut déterminer. +%% -----File: 086.png---Folio 86------- + +En effet on aura +\[ +\tag{14} +\Delta^2 \pderiv{V}{\rho} = \frac{\partial^2 \Delta^2 V}{\partial t^2}. +\] + +% [**** Putative mathematical corrections] +Mais +\[ +%% In original: +%% \Delta^2 \pderiv{V}{\rho} +%% = \frac{1}{r^2}\, \frac{\partial^2 (r^2 \Delta^2 V)}{\partial \rho} +\Delta^2 \pderiv{V}{\rho} + = \frac{1}{r^2}\, \pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho} +\] +par suite l'équation~(14) s'écrit +\[ +\tag{15} +%% In original: +%% \pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho} +%% = \frac{\partial^2 (r^2 \Delta^2 V)}{\partial t^2}. +\pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho} + = \frac{r^2 \partial^2 (\Delta^2 V)}{\partial t^2}. +\] +Or $r^2 \Delta^2 V$ pour $t = 0$ devient $r^2 \Delta^2 V_0 = 0$ et $\pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{t}$ pour $t = 0$ devient $r^2 \Delta^2 V'_0 = 0$: +par suite $r^2 \Delta^2 V = 0$. Donc $V$ est harmonique, vérifie l'équation $-\pderiv{V}{n} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$ +à la surface de la sphère et en même temps $V$ et $\pderiv{V}{t}$ pour $t = 0$ prennent à la +surface de la sphère les valeurs données, comme il fallait démontrer. Il est facile +de vérifier que $V$ est régulière au centre de la sphère. Le problème est donc +résolu. + +On pourrait aussi se servir de cette méthode pour calculer la fonction $U_A$ +analogue à la fonction de Green et calculer ensuite $V$ par la formule~(12). + +\begin{Bibliographie} + +\Bibitem{Poisson.}{Théorie mathématique de la chaleur, Chapitre VI.\ Paris 1835.} + +% [** PP: Probably should be Partielle] +\Bibitem{Schlaefli.}{Ãœber die partielle Differentialgl.\ $\pderiv{u}{t} - \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2} = 0$. Journ.\ de Crelle T.~72.} + +\Bibitem{Betti.}{Sopra la determinazione delle temperature nei corpi solidi omogenei. +Memorie delle Soc.\ Italiana della Scienza (detta % [** PP: Typo delta] +dei~XL). S.~III, T.~I. \Ord{P}{o}~II.} + +\Bibitem{Appell.}{Sur l'équation $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} - \pderiv{z}{y} = 0$. Journ.\ de Math.\ T.~VIII, s.~4.} + +\Bibitem{Volterra.}{Sur les équations différentielles du type parabolique. Comptes rendus +des Séances de l'Ac.\ des Sciences. 5~Déc.\ 1904.} +\end{Bibliographie} + +\Tb + +%% -----File: 087.png---Folio 87------- + +\Chapter{Note additionnelle à la \Ord{5}{ième} leçon.} + +\begin{center} +Communication faite le soir du 2~Mars. +\end{center} + +\Paragraph{1.} Rappelons la formule bien connue de trigonométrie +\[ +\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha, +\] +on peut en tirer que si +\[ +\tag{1} +\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha = \text{const}. +\] +on doit avoir +\[ +\alpha + \beta = \text{const}. +\] + +Posons maintenant +\[ +\alpha = \int_0^x \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\qquad +\beta = \int_0^y \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} +\] +l'équation~(1) s'écrira +\[ +\tag{2} +x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2} = \text{const}. +\] + +Donc si cette égalité est vérifiée on doit avoir +\[ +\tag{3} +\int_0^x \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} + \int_0^y \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = \text{const}. +\] + +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/087a.png. +% The original differs qualitatively from its equation in the text.] +\begin{wrapfigure}[6]{l}{1.25in} +\raisebox{0.125in}[1.125in][0pt]{\Input{087a}{1.25in}} +\end{wrapfigure} +Rapportons-nous à deux axes coordonnés $x, y,$ et soit +$s$ un arc de la courbe ayant pour équation~(2), $M$ un point +de la courbe, $M_1$ et $M_2$ ses projections sur les axes; alors +$OM_1$ et $OM_2$ seront les amplitudes des deux intégrales qui +paraissent dans la formule~(3). + +Le théorème de trigonométrie %[** Typo trigométrie] +peut s'énoncer en disant:% +\begin{Prop} +si on déplace le point $M$ sur la courbe $s$ la somme des intégrales +\[ +\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\qquad \int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} +\] +étendues respectivement à $OM_1$ et $OM_2$ est constante. +\end{Prop} + +\Paragraph{2.} Passons à une extension de ce théorème au cas de trois variables. + +\begin{Theorem} +Envisageons les trois intégrales +\[ +\Lmargintag{4} % [** PP: Typo (2)] +\iint_{\sigma_1} \frac{dy\, dz}{\sqrt{\dfrac{b_2}{\lambda} z^2 - \dfrac{b_3}{\lambda} y^2 + \beta_1}},\quad +\iint_{\sigma_2} \frac{dz\, dx}{\sqrt{\dfrac{b_3}{\mu} x^2 - \dfrac{b_1}{\mu} z^2 + \beta_2}},\quad +\iint_{\sigma_3} \frac{dx\, dy}{\sqrt{\dfrac{b_1}{\nu} y^2 - \dfrac{b_2}{\nu} x^2 + \beta_3}} +\] +% [** PP: Changed \sigma_2 to \sigma_3 in third integral] +%% -----File: 088.png---Folio 88------- +où $b_1, b_2, b_3$; $\beta_1, \beta_2, \beta_3$; $\lambda, \mu, \nu$ sont des quantités constantes et $\lambda + \mu + \nu = 0$. Prenons +la surface algébrique ayant pour équation par rapport aux axes coordonnés $x, y, z$ +\end{Theorem} +\[ +\Lmargintag{5} +\lambda x \sqrt{\dfrac{b_2}{\lambda} z^2 - \dfrac{b_3}{\lambda} y^2 + \beta_1} + + \mu y \sqrt{\dfrac{b_3}{\mu} x^2 - \dfrac{b_1}{\mu} z^2 + \beta_2} + + \nu z \sqrt{\dfrac{b_1}{\nu} y^2 - \dfrac{b_2}{\nu} x^2 + \beta_3} + = \text{\upshape const}. +\] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2.75in} +\Input{088a}{2.5in} +\end{wrapfigure} +\textit{et menons une ligne quelconque %[** PP: Typo quelqonque] +$s$ fermée +sur cette surface. Soient $s_1, s_2, s_3$ +les projections de cette ligne sur les plans +coordonnés, et supposons que nous étendions +les trois intégrales~{\upshape(4)} aux aires $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ +renfermées dans ces projections. Alors la +somme des trois intégrales~{\upshape(4)} ne changera +pas en déplaçant et en déformant +la ligne $s$ sur la surface~{\upshape(5)}.} + + +La démonstration de ce théorème +ne présente pas de difficultés. Il donne +évidemment une extension du théorème +élémentaire de trigonométrie par l'emploi +des fonctions de lignes. La remarque +la plus intéressante à faire est que la +surface algébrique constitue une liaison +algébrique entre les trois lignes dont dépendent les trois intégrales. Ce théorème +peut bien se généraliser. + +\Tb + +Voir Volterra: Un teorema sugli integrali multipli. Att.\ della R. Accad.\ +di Torino, 1897. +\vspace*{1in} +\begin{center} +\includegraphics[height=12pt]{./images/decoration.pdf} +\end{center} +%% -----File: 089.png---Folio 89------- + +%% Contents +\cleardoublepage + +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Table des Matières}{Table} + +\begin{center} +\textbf{\Large Table.} +\end{center} + +\null\hfill{\footnotesize{Page}} + +\ToCline{Première leçon}{pgchapter:1} +\ToCline{Deuxième leçon}{pgchapter:2} +\ToCline{Troisième leçon}{pgchapter:3} +\ToCline{Quatrième leçon}{pgchapter:4} +\ToCline{Cinquième leçon}{pgchapter:5} +\ToCline{Sixième leçon}{pgchapter:6} +\ToCline{Septième leçon}{pgchapter:7} +\ToCline{Huitième leçon}{pgchapter:8} +\ToCline{Neuvième leçon}{pgchapter:9} +\ToCline{Dixième leçon}{pgchapter:10} +\ToCline{Onzième leçon}{pgchapter:11} +\ToCline{Note}{pgchapter:12} + +%% License +\cleardoublepage + +\phantomsection +\label{License} +\pdfbookmark[0]{PG License.}{License} + +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Leçons sur l'intégration des Équations +Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES *** + +***** This file should be named 29783-pdf.pdf or 29783-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29783/ + +Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The +original copy of this book was generously made available +for scanning by the Department of Mathematics at the +University of Glasgow.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. 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Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. 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LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a +defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can +receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a +written explanation to the person you received the work from. If you +received the work on a physical medium, you must return the medium with +your written explanation. The person or entity that provided you with +the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a +refund. If you received the work electronically, the person or entity +providing it to you may choose to give you a second opportunity to +receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy +is also defective, you may demand a refund in writing without further +opportunities to fix the problem. + +1.F.4. 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INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. Compliance requirements are not uniform and it takes a +considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up +with these requirements. We do not solicit donations in locations +where we have not received written confirmation of compliance. To +SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any +particular state visit http://pglaf.org + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we +have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition +against accepting unsolicited donations from donors in such states who +approach us with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make +any statements concerning tax treatment of donations received from +outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation +methods and addresses. Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +\vfill + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Leçons sur l'intégration des Équations +% Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES *** % +% % +% ***** This file should be named 29783-t.tex or 29783-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29783/ % +% % +% 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`true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308. +Implicit mode ON; LaTeX internals redefined +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty +\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. +\Fld@menulength=\count110 +\Field@Width=\dimen123 +\Fld@charsize=\dimen124 +\Choice@toks=\toks24 +\Field@toks=\toks25 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. +\Hy@abspage=\count111 +\c@Item=\count112 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count113 +) +\c@Parno=\count114 +\c@Chapter=\count115 +(./29783-t.aux) +\openout1 = `29783-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 408. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 408. +(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd +File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: Try loading font information for TS1+cmr on input line 408. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd +File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 408. +-------------------- Geometry parameters +paper: class default +landscape: -- +twocolumn: -- +twoside: true +asymmetric: -- +h-parts: 79.49698pt, 415.55249pt, 119.24553pt +v-parts: 86.724pt, 578.15999pt, 130.086pt +hmarginratio: 2:3 +vmarginratio: 2:3 +lines: -- +heightrounded: -- +bindingoffset: 0.0pt +truedimen: -- +includehead: -- +includefoot: -- +includemp: -- +driver: pdftex +-------------------- Page layout dimensions and switches +\paperwidth 614.295pt +\paperheight 794.96999pt +\textwidth 415.55249pt +\textheight 578.15999pt +\oddsidemargin 7.22699pt +\evensidemargin 46.97554pt +\topmargin -17.41978pt +\headheight 12.0pt +\headsep 19.8738pt +\footskip 30.0pt +\marginparwidth 98.0pt +\marginparsep 7.0pt +\columnsep 10.0pt +\skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt +\hoffset 0.0pt +\voffset 0.0pt +\mag 1000 +\@twosidetrue \@mparswitchtrue +(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt) +----------------------- +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty +Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) +(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg +File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive +) +Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. +) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 408. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count116 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 408. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 408. +(./29783-t.out) (./29783-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `29783-t.out'. + +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmtt on input line 421. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd +File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) [1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] [1 + +] [2 + +] [1] [2] [3] [4] <./images/007a.pdf, id=490, 146.5475pt x 145.54375pt> +File: ./images/007a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/007a.pdf> <./images/007b.pdf, id=491, 146.5475pt x 145.54375pt> +File: ./images/007b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/007b.pdf> [1 + + <./images/007a.pdf> <./images/007b.pdf>] [2] +Overfull \hbox (13.85364pt too wide) detected at line 841 +\OT1/cmr/m/n/12 (1) [] (2) [] + [] + +[3] <./images/010a.pdf, id=540, 160.6pt x 145.54375pt> +File: ./images/010a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/010a.pdf> +File: ./images/010a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/010a.pdf> <./images/011b.pdf, id=541, 160.6pt x 146.5475pt> +File: ./images/011b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/011b.pdf> [4 <./images/010a.pdf>] [5 <./images/011b.pdf>] +Overfull \hbox (0.77466pt too wide) in paragraph at lines 1086--1086 +[] + [] + + +Overfull \hbox (46.51907pt too wide) in paragraph at lines 1128--1128 +[] + [] + + +Overfull \hbox (23.02481pt too wide) in paragraph at lines 1101--1133 +| $[]$ + [] + +[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] <./images/021a.pdf, id=634, 110.4125pt x 110.412 +5pt> +File: ./images/021a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/021a.pdf> [13] +Underfull \hbox (badness 2529) in paragraph at lines 1565--1582 +\T1/cmr/m/n/12 tranche ra-di-ale, et soudons les deux bouts. On + [] + +<./images/021b.pdf, id=641, 154.5775pt x 128.48pt> +File: ./images/021b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/021b.pdf> [14 <./images/021a.pdf> <./images/021b.pdf>] <./images/ +022a.pdf, id=660, 114.4275pt x 152.57pt> +File: ./images/022a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/022a.pdf> [15 <./images/022a.pdf>] <./images/023a.pdf, id=668, 82 +.3075pt x 199.74625pt> +File: ./images/023a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/023a.pdf> <./images/023b.pdf, id=669, 89.33376pt x 191.71625pt> +File: ./images/023b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/023b.pdf> <./images/023c.pdf, id=670, 160.6pt x 123.46124pt> +File: ./images/023c.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/023c.pdf> [16 <./images/023a.pdf> <./images/023b.pdf> <./images/0 +23c.pdf>] <./images/024a.pdf, id=686, 189.70876pt x 201.75375pt> +File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/024a.pdf> <./images/024b.pdf, id=687, 112.42pt x 126.4725pt> +File: ./images/024b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/024b.pdf> [17 <./images/024a.pdf> <./images/024b.pdf>] [18] [19] +<./images/027a.pdf, id=719, 110.4125pt x 110.4125pt> +File: ./images/027a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/027a.pdf> [20 <./images/027a.pdf>] [21] <./images/029a.pdf, id=75 +1, 173.64874pt x 95.35625pt> +File: ./images/029a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/029a.pdf> +Underfull \hbox (badness 1533) in paragraph at lines 2000--2012 +[][]\T1/cmr/m/n/12 Celle que nous avons trou-vée n'est + [] + +<./images/030a.pdf, id=752, 141.52875pt x 147.55125pt> +File: ./images/030a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/030a.pdf> [22 <./images/029a.pdf> <./images/030a.pdf>] +Overfull \hbox (6.04103pt too wide) in paragraph at lines 2055--2057 +[]\T1/cmr/m/n/12 Supposons main-tenant que la sur-face $\OT1/cmr/m/n/12 ^^F$ \T +1/cmr/m/n/12 en décrois-sant in-fin-i-ment d'une manière + [] + +[23] +Underfull \vbox (badness 1609) has occurred while \output is active [] + +[24] <./images/033a.pdf, id=793, 143.53625pt x 128.48pt> +File: ./images/033a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/033a.pdf> [25 <./images/033a.pdf>] <./images/033b.pdf, id=815, 13 +0.4875pt x 56.21pt> +File: ./images/033b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/033b.pdf> <./images/034a.pdf, id=816, 102.3825pt x 110.4125pt> +File: ./images/034a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/034a.pdf> <./images/034b.pdf, id=817, 102.3825pt x 110.4125pt> +File: ./images/034b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/034b.pdf> <./images/034c.pdf, id=818, 110.4125pt x 110.4125pt> +File: ./images/034c.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/034c.pdf> [26 <./images/033b.pdf> <./images/034a.pdf> <./images/0 +34b.pdf>] [27 <./images/034c.pdf>] [28] <./images/038a.pdf, id=867, 103.38625pt + x 44.165pt> +File: ./images/038a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/038a.pdf> +Underfull \vbox (badness 4531) has occurred while \output is active [] + +[29] [30 <./images/038a.pdf>] [31] [32] [33] +Overfull \hbox (0.23227pt too wide) in paragraph at lines 2663--2667 +[]\T1/cmr/m/n/12 La dé-com-po-si-tion de $\OML/cmm/m/it/12 F$ \T1/cmr/m/n/12 en + ses di-viseurs peut se faire d'une in-finité de manières. + [] + +[34] [35] [36] +Overfull \hbox (1.79791pt too wide) detected at line 2796 +[] [] + [] + + +Overfull \hbox (6.14494pt too wide) detected at line 2838 +[] [] + [] + +[37] +Overfull \hbox (15.3391pt too wide) detected at line 2872 +[][] \OT1/cmr/m/n/10.95 = [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ; [][] \OT1/cmr/m/n +/10.95 = [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ; [][] \OT1/cmr/m/n/10.95 = [][] [] \OM +L/cmm/m/it/10.95 : + [] + +[38] [39] [40] [41] <./images/050a.pdf, id=986, 128.48pt x 128.48pt> +File: ./images/050a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/050a.pdf> <./images/051a.pdf, id=987, 144.54pt x 152.57pt> +File: ./images/051a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/051a.pdf> <./images/051b.pdf, id=988, 144.54pt x 156.585pt> +File: ./images/051b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/051b.pdf> [42 <./images/050a.pdf>] +Underfull \hbox (badness 1331) in paragraph at lines 3188--3202 +\T1/cmr/m/n/12 et ap-pelons $\OML/cmm/m/it/12 ^^[[]$ \T1/cmr/m/n/12 une sur-fac +e + [] + + +Underfull \hbox (badness 1303) in paragraph at lines 3188--3202 +\T1/cmr/m/n/12 par le cône et ayant pour + [] + +[43 <./images/051a.pdf> <./images/051b.pdf>] <./images/053a.pdf, id=1043, 185.6 +9376pt x 120.45pt> +File: ./images/053a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/053a.pdf> <./images/053b.pdf, id=1044, 185.69376pt x 120.45pt> +File: ./images/053b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/053b.pdf> [44 <./images/053a.pdf>] +Overfull \hbox (12.7762pt too wide) detected at line 3341 +[] [] + [] + +[45 <./images/053b.pdf>] <./images/055a.pdf, id=1084, 201.75375pt x 122.4575pt> +File: ./images/055a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/055a.pdf> +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[46 <./images/055a.pdf>] +Overfull \hbox (16.81837pt too wide) detected at line 3515 +[] [] + [] + +[47] +Overfull \hbox (6.16205pt too wide) detected at line 3576 +[] [] + [] + +<./images/057a.pdf, id=1108, 146.5475pt x 109.40875pt> +File: ./images/057a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/057a.pdf> [48] +Overfull \hbox (28.96294pt too wide) detected at line 3634 +[]\OML/cmm/m/it/10.95 v\OT1/cmr/m/n/10.95 (\OML/cmm/m/it/10.95 x[] y[] z[]\OT1/ +cmr/m/n/10.95 ) = [] [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ds [] ; + [] + +<./images/057b.pdf, id=1118, 218.8175pt x 162.6075pt> +File: ./images/057b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/057b.pdf> <./images/058a.pdf, id=1119, 218.8175pt x 160.6pt> +File: ./images/058a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/058a.pdf> [49 <./images/057a.pdf> <./images/057b.pdf> <./images/0 +58a.pdf>] <./images/058b.pdf, id=1159, 248.93pt x 182.6825pt> +File: ./images/058b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/058b.pdf> +Overfull \hbox (4.00078pt too wide) detected at line 3704 +[] [] + [] + +<./images/059a.pdf, id=1160, 192.72pt x 104.39pt> +File: ./images/059a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/059a.pdf> [50 <./images/058b.pdf>] <./images/060a.pdf, id=1183, 3 +54.32375pt x 127.47626pt> +File: ./images/060a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/060a.pdf> [51 <./images/059a.pdf> <./images/060a.pdf>] +Overfull \hbox (1.88567pt too wide) in paragraph at lines 3863--3863 +[] + [] + +<./images/061a.pdf, id=1208, 256.96pt x 140.525pt> +File: ./images/061a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/061a.pdf> [52 <./images/061a.pdf>] [53] [54] +Overfull \hbox (11.59103pt too wide) detected at line 4053 +[] [] + [] + +[55] [56] +Overfull \hbox (19.2471pt too wide) in paragraph at lines 4145--4161 +[]\T1/cmr/m/n/12 Je pos-sé-dais en 1892 ce théorème lorsque j'é-tu-di-ais le mé +-moire de M$[]$ Kowalewski + [] + +[57] [58] [59] [60] <./images/070a.pdf, id=1290, 161.60374pt x 151.56625pt> +File: ./images/070a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/070a.pdf> [61 <./images/070a.pdf>] <./images/071a.pdf, id=1303, 1 +61.60374pt x 151.56625pt> +File: ./images/071a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/071a.pdf> [62 <./images/071a.pdf>] <./images/072a.pdf, id=1325, 1 +43.53625pt x 133.49875pt> +File: ./images/072a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/072a.pdf> <./images/073a.pdf, id=1326, 136.51pt x 130.4875pt> +File: ./images/073a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/073a.pdf> [63 <./images/072a.pdf> <./images/073a.pdf>] <./images/ +073b.pdf, id=1352, 161.60374pt x 218.8175pt> +File: ./images/073b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/073b.pdf> <./images/073c.pdf, id=1353, 215.80624pt x 208.78pt> +File: ./images/073c.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/073c.pdf> [64 <./images/073b.pdf> <./images/073c.pdf>] <./images/ +075a.pdf, id=1384, 179.67125pt x 167.62625pt> +File: ./images/075a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/075a.pdf> [65 <./images/075a.pdf>] +Underfull \vbox (badness 3281) has occurred while \output is active [] + +[66] <./images/076a.pdf, id=1407, 204.765pt x 195.73125pt> +File: ./images/076a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/076a.pdf> [67 <./images/076a.pdf>] <./images/077a.pdf, id=1427, 1 +18.4425pt x 98.3675pt> +File: ./images/077a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/077a.pdf> +Overfull \hbox (18.20973pt too wide) detected at line 4731 +\OML/cmm/m/it/12 X \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 v[] \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ +\OML/cmm/m/it/12 u[]; Y \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 i [] ; Z \OT1/cmr/ +m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 uv + [] + +[68 <./images/077a.pdf>] <./images/078a.pdf, id=1439, 199.74625pt x 175.65625pt +> +File: ./images/078a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/078a.pdf> <./images/079a.pdf, id=1440, 204.765pt x 187.70125pt> +File: ./images/079a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/079a.pdf> <./images/079b.pdf, id=1441, 201.75375pt x 219.82124pt> +File: ./images/079b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/079b.pdf> <./images/079c.pdf, id=1442, 216.81pt x 225.84375pt> +File: ./images/079c.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/079c.pdf> [69 <./images/078a.pdf>] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[70 <./images/079a.pdf> <./images/079b.pdf> <./images/079c.pdf>] [71] +Overfull \hbox (0.63164pt too wide) detected at line 4984 +[] [] \OT1/cmr/m/n/12 = [] [] \OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/ +12 t[] z[]\OT1/cmr/m/n/12 ) + [] + + +Overfull \hbox (7.81781pt too wide) detected at line 5007 +[] [] + [] + +[72] <./images/082a.pdf, id=1536, 184.69pt x 163.61125pt> +File: ./images/082a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/082a.pdf> +Overfull \hbox (0.716pt too wide) detected at line 5059 +\OT1/cmr/m/n/10.95 2(\OML/cmm/m/it/10.95 m\OT1/cmr/m/n/10.95 )[] \OML/cmm/m/it/ +10.95 u\OT1/cmr/m/n/10.95 (\OML/cmm/m/it/10.95 t[] z[]\OT1/cmr/m/n/10.95 ) = [] + [] \OML/cmm/m/it/10.95 : + [] + +[73 <./images/082a.pdf>] [74] +Overfull \hbox (4.93651pt too wide) in paragraph at lines 5119--5125 +[]\T1/cmr/m/n/12 Or on dé-mon-tre que $\OML/cmm/m/it/12 V$ \T1/cmr/m/n/12 est d +éter-minée si l'on con-naît les valeurs $\OML/cmm/m/it/12 V[]$ \T1/cmr/m/n/12 e +t $[][] \OT1/cmr/m/n/12 = + [] + +[75] [76] <./images/087a.pdf, id=1581, 118.4425pt x 113.42375pt> +File: ./images/087a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/087a.pdf> [77] +Overfull \hbox (3.34244pt too wide) detected at line 5299 +[] [] [][] []\OML/cmm/m/it/12 ; [] [][] []; [] [][] [] + [] + +<./images/088a.pdf, id=1595, 173.64874pt x 164.615pt> +File: ./images/088a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/088a.pdf> [78 <./images/087a.pdf> <./images/088a.pdf>] <./images/ +decoration.pdf, id=1618, 469.755pt x 40.15pt> +File: ./images/decoration.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/decoration.pdf> [79 <./images/decoration.pdf>] [80 + +] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5360--5372 + + [] + +[81] [82 + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[83] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[84] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[85] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[86] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[87] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[88] [89] (./29783-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + frenchb.ldf + frenchb.cfg +textcomp.sty 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package + ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d +amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment +graphicx.sty 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +graphics.sty 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + trig.sty 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) +graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive + pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX + wrapfig.sty 2003/01/31 v 3.6 +fancyhdr.sty +geometry.sty 2002/07/08 v3.2 Page Geometry +hyperref.sty 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX + pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +kvoptions.sty 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO +) + url.sty 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. + hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX + t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern + ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions + color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) + color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) + 29783-t.out + 29783-t.out + t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions + umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +./images/007a.pdf +./images/007b.pdf +./images/010a.pdf +./images/010a.pdf +./images/011b.pdf +./images/021a.pdf +./images/021b.pdf +./images/022a.pdf +./images/023a.pdf +./images/023b.pdf +./images/023c.pdf +./images/024a.pdf +./images/024b.pdf +./images/027a.pdf +./images/029a.pdf +./images/030a.pdf +./images/033a.pdf +./images/033b.pdf +./images/034a.pdf +./images/034b.pdf +./images/034c.pdf +./images/038a.pdf +./images/050a.pdf +./images/051a.pdf +./images/051b.pdf +./images/053a.pdf +./images/053b.pdf +./images/055a.pdf +./images/057a.pdf +./images/057b.pdf +./images/058a.pdf +./images/058b.pdf +./images/059a.pdf +./images/060a.pdf +./images/061a.pdf +./images/070a.pdf +./images/071a.pdf +./images/072a.pdf +./images/073a.pdf +./images/073b.pdf +./images/073c.pdf +./images/075a.pdf +./images/076a.pdf +./images/077a.pdf +./images/078a.pdf +./images/079a.pdf +./images/079b.pdf +./images/079c.pdf +./images/082a.pdf +./images/087a.pdf +./images/088a.pdf +./images/decoration.pdf + *********** + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 6206 strings out of 95086 + 81941 string characters out of 1183255 + 143218 words of memory out of 1500000 + 8733 multiletter control sequences out of 10000+50000 + 24994 words of font info for 70 fonts, out of 1200000 for 2000 + 28 hyphenation exceptions out of 8191 + 27i,15n,43p,258b,488s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s + </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1000.600pk> </home/ +widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/tcrm1200.600pk> </home/widger/.te +xmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/eccc1200.600pk> </home/widger/.texmf-var/fo +nts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecti1200.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljf +our/jknappen/ec/ecbx1095.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknapp +en/ec/ecbx1200.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecbx +1728.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/tcrm1095.600pk +> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1200.600pk> </home/w +idger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecbx2488.600pk> </home/widger/.tex +mf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm0800.600pk> </home/widger/.texmf-var/fon +ts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1095.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfo +ur/jknappen/ec/ecbx1440.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappe +n/ec/ectt0900.600pk></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb +></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf- +texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1 +/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pf +b></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf- +texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/ +bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb> +</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-tex +live/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blue +sky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></ +usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texl +ive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb> +Output written on 29783-t.pdf (97 pages, 1079383 bytes). +PDF statistics: + 2335 PDF objects out of 2487 (max. 8388607) + 495 named destinations out of 1000 (max. 131072) + 1104 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/29783-t/images/007a.pdf b/29783-t/images/007a.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..15e9050 --- /dev/null +++ b/29783-t/images/007a.pdf diff --git a/29783-t/images/007b.pdf b/29783-t/images/007b.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..41afbd7 --- /dev/null +++ b/29783-t/images/007b.pdf diff --git a/29783-t/images/010a.pdf b/29783-t/images/010a.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4e50f85 --- /dev/null +++ b/29783-t/images/010a.pdf diff --git a/29783-t/images/011b.pdf b/29783-t/images/011b.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1437cd8 --- /dev/null +++ b/29783-t/images/011b.pdf diff --git a/29783-t/images/021a.pdf b/29783-t/images/021a.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..003cf9b --- /dev/null +++ b/29783-t/images/021a.pdf diff --git a/29783-t/images/021b.pdf b/29783-t/images/021b.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..6804ccb --- /dev/null +++ b/29783-t/images/021b.pdf diff --git a/29783-t/images/022a.pdf b/29783-t/images/022a.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..78091be --- /dev/null +++ b/29783-t/images/022a.pdf diff --git a/29783-t/images/023a.pdf b/29783-t/images/023a.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..6caf6dd --- /dev/null +++ b/29783-t/images/023a.pdf diff --git a/29783-t/images/023b.pdf b/29783-t/images/023b.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e9fc836 --- /dev/null +++ b/29783-t/images/023b.pdf diff --git a/29783-t/images/023c.pdf b/29783-t/images/023c.pdf Binary files differnew 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You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Leçons sur l'intégration des Équations Différentielles aux Dérivées Partielles +% Professées a Stockholm sur l'Invitation de S. M. le Roi de Suéde % +% % +% Author: Vito Volterra % +% % +% Release Date: August 24, 2009 [EBook #29783] % +% % +% Language: French % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{29783} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% geometry: Enhanced page layout package. Required. %% +%% %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% fontenc: For accented characters in hyperrefs. 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You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Leçons sur l'intégration des Équations Différentielles aux Dérivées Partielles + Professées a Stockholm sur l'Invitation de S. M. le Roi de Suéde + +Author: Vito Volterra + +Release Date: August 24, 2009 [EBook #29783] + +Language: French + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\clearpage + +%%%% CREDITS %%%% + +\begin{PGtext} +Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The +original copy of this book was generously made available +for scanning by the Department of Mathematics at the +University of Glasgow.) +\end{PGtext} + +\vfill + +\begin{minipage}{0.8\textwidth} +\small +\subsection*{\centering \TransNote} + +\raggedright +\TransNoteText + +\end{minipage} +\vfil + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\frontmatter + +\allowhyphens +\pagenumbering{roman} +\pagestyle{empty} +\selectlanguage{french} + +\normalsize + +%% -----File: 001.png---Folio 1------- +% Title page +% [** PP: Omitting printer's mark Manuscrit] + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{center} +\textbf{\Huge LEÇONS} \\[18pt] +{\scriptsize SUR}\\[18pt] +\textbf{\large L'INTÉGRATION}\\[18pt] +{\scriptsize DES}\\[18pt] +\textbf{\Huge ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES}\\[18pt] +AUX\\[18pt] +\textbf{\huge DÉRIVÉES PARTIELLES}\\[24pt] +PROFESSÉES À STOCKHOLM\\ % [** PP: Typo A (assuming small caps)] +{\scriptsize (FÉVRIER, MARS 1906)}\\[24pt] +SUR L'INVITATION DE S. M. LE ROI DE SUÈDE\\[48pt] +{\scriptsize PAR}\\[12pt] +\textbf{\large M.~V.~VOLTERRA}\\ +{\scriptsize SÉNATEUR DU ROYAUME D'ITALIE}\\ +{\scriptsize PROFESSEUR DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE À L'UNIVERSITÉ DE ROME}\\[96pt] +{\small UPSAL \oldstylenums{1906}}\\ +{\scriptsize IMPRIMERIE ALMQVIST \& WIKSELL} +\end{center} +\end{minipage} + +\cleardoublepage + +%% -----File: 002.png---Folio 2------- +%% [Blank Page] +%% -----File: 003.png---Folio 3------- + +% global initialization +\pagestyle{fancy} +\fancyfoot{} +\fancyhead{} +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {\fancyhead[RO,LE]{\textsc{\MakeLowercase{\thepage}}}} + {\fancyhead[R]{\textsc{\MakeLowercase{\thepage}}}} + +\setlength{\headheight}{14.5pt} + +\Preface{\Ord{1}{ière} leçon.} + +\Paragraph{1.} Le cours que je ferai se rapportera à quelques points de la théorie des +équations différentielles de la physique mathématique. On sait que la physique +mathématique traverse une période de crise. On abandonne certaines idées pour +en suivre de nouvelles. Tous ceux, par exemple, qui ont lu les éloquentes +pages que M.~Poincaré a consacré à cette question et ceux, qui ont pris connaissance +de l'état actuel de la science dans le bel ouvrage de M.~Picard, sont renseignés +d'une manière fort claire là-dessus. Mais, même si certains concepts que +nous avons maintenant sur la nature des phénomènes naturels et quelques principes +fondamentaux devaient être ébranlés par de nouveaux faits et de nouvelles découvertes, +une partie de la physique mathématique a bien des chances de se sauver +du naufrage. Elle représente en effet, peut-être d'une manière grossière, mais +certainement d'une manière très-simple, une grande partie des faits naturels connus, +les relie ensemble et a une utilité pratique hors de toute discussion. + +L'histoire des sciences nous offre l'exemple de théories analytiques de certains +phénomènes qui ont été créées sous l'influence de certains principes et +qui ont résisté à la chute de ces principes. Pour n'en citer qu'un seul, parmi +la foule de ceux qui se présentent, il suffit de rappeler la théorie des instruments +optiques qui se conserve dans ses lignes générales, tandis que les principes de +l'optique ont subi tant d'évolutions. + +\Paragraph{2.} Les théories de la propagation de la chaleur, de l'hydrodynamique, de +l'élasticité, des forces newtoniennes et de l'électromagnétisme peuvent être aujourd'hui +traitées sous un point de vue commun, de sorte qu'elles peuvent constituer +un seul chapitre d'analyse. On peut systématiser les méthodes qu'on +emploie et classifier tous les faits qui s'y rapportent par la classification des équations +différentielles dont ils dépendent. Cela conduit à envisager trois \emph{types} d'équations +différentielles qu'on a l'habitude d'appeler \emph{elliptique}, \emph{hyperbolique} et \emph{parabolique} +et des \emph{types mixtes}. +%% -----File: 004.png---Folio 4------- + +Lorsqu'on étudie les choses sous cet aspect une seule formule est capable de nous +révéler sous une forme unique des propriétés qui se rapportent à des phénomènes +en apparence divers entre eux. Quelquefois l'analogie est une simple analogie +analytique, quelquefois elle va bien au delà. + +Supposons maintenant pour un instant que la base des faits physiques sur +laquelle pose l'édifice analytique vienne manquer, ou qu'on la néglige. Cet édifice +est tellement solide et utile par lui-même qu'il continuerait à subsister comme un +des plus beaux chapitres de l'analyse. + +\Paragraph{3.} Le point de départ de toutes les considérations dont nous venons de parler +est d'envisager un ensemble continu ou un \emph{domaine} à une, deux ou trois +dimensions. A % [** PP: Typo À] +chaque point du domaine correspond une quantité scalaire ou un +vecteur ou plusieurs quantités scalaires et plusieurs vecteurs liés par les équations +différentielles. Ces quantités sont quelquefois constantes par rapport au temps +et quelquefois variables. Dans ce cas on a en général un grand avantage en +considérant le temps comme une nouvelle coordonnée. + +Tout le monde sait que les idées des physiciens ont toujours oscillé entre le +concept d'un milieu continu, siège de tous les phénomènes par lequel on tâche de +supprimer toute action à distance, et le concept fondé sur l'hypothèse des molécules +séparées et des actions à distance. + +Il ne faut pas croire que nos considérations soient liées forcément au premier +concept. Elles correspondent aussi à l'autre. Il suffit pour cela de rappeler que +Cauchy, Poisson, Fourier, Laplace, qui suivaient les idées, qu'on appelle maintenant +de la mécanique physique, c'est à dire au fond le second système, ont été +les premiers à découvrir les équations différentielles qui forment la base des théories +analytiques. Il leur a fallu, pour y parvenir, faire un passage à la limite qui +les a amené du discontinu au continu. Mais une fois cette limite franchie, les +deux conceptions au point de vue analytique se mêlent dans la plupart des cas. + +\Paragraph{4.} Je n'aurai pas le temps de traiter d'une manière complète le chapitre d'analyse +dont je viens de parler. Je toucherai seulement à quelques points, qui me +semblent avoir un certain intérêt et que je crois nouveaux. Le rôle que certaines +solutions polydromes jouent dans les différents cas, voilà un point que je tâcherai +d'examiner avec quelque détail. Nous envisagerons ces solutions dans les différents +types d'équations et pour nous familiariser avec elles nous étudierons d'abord les +solutions polydromes dans le cas de l'équilibre élastique. Elles nous conduisent à +des résultats pratiques et frappants qu'on peut montrer par des modèles matériels +qui nous dévoilent leur vrai caractère et leur importance. Le cas d'équilibre des +corps élastiques à connexion multiple, non assujettis % [** PP: Typo assujetis] +à des forces externes, est en +%% -----File: 005.png---Folio 5------- +dépendance étroite avec les solutions polydromes, et nous offre de nouveaux problèmes +de la théorie de l'élasticité. + +\Paragraph{5.} La théorie des fonctions est liée aux problèmes de physique mathématique +qui dépendent de l'équation de Laplace à deux variables. Si l'on envisage, par +exemple, un voile liquide incompressible infiniment mince qui est en mouvement, +tout théorème de la théorie des fonctions peut être interprété comme un théorème +relatif au mouvement. Réciproquement toute propriété du mouvement peut être +interprétée comme un théorème de la théorie des fonctions. On obtient cette +relation par les fonctions conjuguées qu'il faut regarder comme la partie réelle +et le coefficient de l'imaginaire dans la théorie des fonctions et en hydrodynamique +comme le potentiel de vitesse et la fonction qui définit les lignes des courants. + +Mais cela est borné au cas de deux dimensions. Comment généraliser la +chose au cas d'un nombre quelconque de dimensions? Je montrerai que la théorie +des fonctions conjuguées peut s'étendre au cas général par l'introduction d'un +nouveau concept analytique sur lequel je reviendrai tout à l'heure. Cela nous +amènera à exposer certaines vues nouvelles sur la théorie générale des fonctions. + +\Paragraph{6.} Par rapport aux équations du type hyperbolique j'exposerai d'abord, sans +entrer dans les détails, quelques résultats %[** PP: Typo resultats] +que j'ai trouvés et publiés il y a quelque +temps et qui plus récemment ont été étendus et complétés par d'autres géomètres. + +Ensuite je tâcherai de montrer le rôle bien singulier que joue le principe +des images. La mémorable méthode de Lord Kelvin peut être employée quelquefois +même dans ce cas et amène à des résultats plus simples que dans celui des +équations du type elliptique. L'influence de la réalité des caractéristiques se +révèle par là d'une manière frappante. + +Il y a un mémoire très-profond de Weierstrass sur l'intégration des équations +différentielles linéaires aux dérivées partielles où il expose une méthode par +laquelle il intègre quelques équations du type hyperbolique. \Mme\ Kowalewski a +appliqué dans un travail sur l'optique la méthode de Weierstrass, mais, sans s'en +douter, elle avait à faire avec des fonctions polydromes, c'est pourquoi la méthode %[** PP: Typo methode] +ne l'a pas amenée au résultat qu'elle cherchait. J'entrerai dans la discussion de +cette question et du rôle de la solution polydrome. Je n'ai connu aucun géomètre, +après \Mme\ Kowalewski, qui ait employé la méthode de Weierstrass et elle paraît % [** PP: Typo parait] +comme une méthode %[** PP: Typo méthodé] +à part qui n'est pas reliée aux autres. Je serai heureux de +montrer qu'elle se rattache d'une manière très-simple à la méthode de Kirchhoff. +Or, puisque les méthodes de Kirchhoff de Green et de Riemann ont des rapports +étroits entre elles, toutes ces différentes méthodes restent reliées ensemble. + +\Paragraph{7.} Les dernières leçons seront consacrées aux équations différentielles du +type parabolique. Leur étude n'est pas si avancée que celle des équations des +%% -----File: 006.png---Folio 6------- +autres types. Au premier abord il ne semble pas que la méthode des caractéristiques, +qui a donné les résultats les plus généraux dans le cas hyperbolique, puisse +conduire à embrasser tous les résultats connus lorsqu'on l'applique aux équations +du type parabolique. Nous montrerons où est la difficulté. On a toujours conçu +la méthode de Riemann comme bornée au domaine des variables réelles. Au contraire +pour approfondir avec succès la question des équations du type parabolique, +il faut commencer par étendre la méthode aux variables complexes et ensuite +l'employer ainsi généralisée. + +Comme application des formules qu'on a dans les cas des équations du type +parabolique j'exposerai la solution d'un problème qui se rapporte aux oscillations +des fluides incompressibles. J'aurai ainsi l'occasion de dire quelques mots par rapport à +cette question générale qui d'un côté est liée aux équations du type elliptique et d'un +autre côté a bien des rapports avec les problèmes des ondes qu'on étudie par des +équations du type hyperbolique. Je donnerai à ce propos une formule analogue à +celle ordinaire de Green qui contient une fonction analogue à celle qu'on appelle +fonction de Green. + +\Paragraph{8.} Voilà le programme du cours. Cependant je n'ai pas encore parlé d'une +manière explicite d'une question dont j'aurai l'occasion de traiter avec quelque +détail. Nous avons vu que dans nos considérations nous prenons comme fondement +un continu à un certain nombre de dimensions, dans lequel on envisage des quantités +scalaires ou des vecteurs. Supposons que nous ayons une quantité scalaire +qui soit une fonction des points d'un domaine à trois dimensions, et pour fixer les +idées supposons que ce soit la température des points d'une surface. Aura-t-on +examiné d'une manière complète la question en envisageant cette quantité scalaire +comme une fonction de trois variables, c'est à dire des coordonnées des différents +points de la surface et du temps? Il est facile de se convaincre que, si nous +pouvons changer arbitrairement la température au contour du corps, la température +dépendra aussi de toutes les valeurs de la fonction qui exprime la température +au contour. De même le potentiel d'un corps déformable dépendra de la forme du +corps. On est par là amené d'une manière fort naturelle, et l'on peut même dire +qu'on est forcé d'envisager non seulement les fonctions qui dépendent d'un certain +nombre de variables, mais aussi celles qui dépendent de la forme de certaines +lignes et de certaines surfaces et de toutes les valeurs de certaines fonctions. +Nous aurons l'occasion de parler de ce concept et de développer quelques idées +sur ces fonctions et sur leur inversion, lorsque nous entrerons dans le sujet dont +nous avons touché au §~5. % [** Xref] + +\Tb +%% -----File: 007.png---Folio 7------- + +\clearpage +\pagenumbering{arabic} +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {\fancyhead[RO,LE]{\thepage}} + {\fancyhead[R]{\thepage}} + +\Chapter{\Ord{2}{ième} leçon.} + +\Paragraph{1.} Envisageons dans un plan les axes coordonnés $x$, $y$ et la fonction +$\THETA = \arctg \dfrac{y}{x}$. + +\begin{wrapfigure}[9]{r}{2in}% **** Explicit height +%[Illustration] +\raisebox{0.25in}[1.75in][0pt]{\Input{007a}{2in}} +\end{wrapfigure} +$\THETA$ est l'angle que le rayon vecteur fait +avec l'axe~$x$. Partons d'un point~$M_0$ situé sur +l'axe~$x$, et, après avoir parcouru un cycle $M_0NM'$ +autour de l'origine, revenons au point de +départ~$M_1$. + +En prenant les valeurs de $\THETA$ qui se suivent +avec continuité la valeur~$\THETA_1$ qu'on trouve +en $M_1$ après avoir parcouru le cycle est égale à +la valeur initiale augmentée de~$2\pi$. Voilà un +exemple très-simple d'une fonction \emph{polydrome}. + +Les dérivées partielles $\pderiv{\THETA}{x} = -\dfrac{y}{x^2+y^2}$, $\pderiv{\THETA}{y} = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ ainsi que les dérivées +successives sont finies continues et monodromes excepté à l'origine. C'est pourquoi +dans un domaine~$S$ qui ne comprend pas l'origine +les dérivées $\pderiv{\THETA}{x}$, $\pderiv{\THETA}{y}$ seront régulières ainsi que +leurs dérivées successives. + +\begin{wrapfigure}{r}{2in} +%[Illustration] +\raisebox{0.125in}[1.875in][0pt]{\Input{007b}{2in}} +\end{wrapfigure} +\phantomsection\label{section:2.2}% +\Paragraph{2.} Rappelons %[** PP: Typo Rappellons] +un théorème de calcul intégral +qu'on appelle théorème de Gauss. + +\begin{Theorem} +Soit $S$ un domaine à trois dimensions $X$, $Y$, $Z$, +trois fonctions monodromes finies et continues qui +ont des dérivées monodromes finies et continues. +On a +%% -----File: 008.png---Folio 8------- +\begin{multline*} +\int_S \left(\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z}\right)\, dS \\ + = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma +\end{multline*} +$\sigma$ étant le contour du domaine~$S$, $n$ la normale à $\sigma$ dirigée vers l'extérieur du domaine~$S$. +\end{Theorem} + +Rappelons aussi le théorème de Stokes. %[** PP: Typo Rappellons] + +\begin{Theorem} +$\sigma$ étant une surface ayant pour contour~$S$ %[** PP: Typo $s$] +et $X$, $Y$, $Z$ étant des fonctions monodromes +finies et continues dont les dérivées sont aussi monodromes finies et continues on a +\begin{multline*} +\int_\sigma \left\{\left(\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z}\right) \cos nx + + \left(\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x}\right) \cos ny + + \left(\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y}\right) \cos nz \right\} d\sigma \\ + = ± \int_S (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) +\end{multline*} +$n$ étant la normale à~$\sigma$. On peut faire l'intégration sur le contour~$s$ dans une direction +telle que l'intégrale du second membre soit précédée du signe~$+$. %[** PP: Added period] +\end{Theorem} + +\Paragraph{3.} Un domaine à trois dimensions est \emph{acyclique} ou à \emph{connexion simple} si toute +ligne fermée que l'on peut tirer à l'intérieur peut se réduire infiniment petite par +une déformation continue sans sortir du domaine. + +Si cette condition n'est pas vérifiée, le domaine est \emph{cyclique} ou à \emph{connexion +multiple}. Supposons que par une coupure transversale un espace cyclique devienne +acyclique, on dit alors que cette \emph{connexion est double}. Si l'espace cyclique devient +acyclique lorsqu'on fait deux coupures, on dit que la \emph{connexion est triple}, et ainsi de +suite. Dans tout domaine acyclique une ligne fermée peut être regardée comme +le contour d'une surface située à l'intérieur du domaine. + +\Paragraph{4.} Dans la théorie de l'élasticité on peut envisager un milieu continu et l'on +peut supposer qu'il existe un \emph{état naturel} où il n'y a aucune tension interne. Déplaçons +infiniment peu les points du milieu, et soient $u$, $v$, $w$ les composantes des +déplacements, alors la déformation du milieu est définie par les quantités que les +Anglais appellent \emph{strains} +\begin{gather*} +\gamma_{11} = \pderiv{u}{x}\quad +\gamma_{22} = \pderiv{v}{y}\quad +\gamma_{33} = \pderiv{w}{z} \\ +\gamma_{32} = \gamma_{23} = \pderiv{v}{z} + \pderiv{w}{y},\ +\gamma_{13} = \gamma_{31} = \pderiv{w}{x} + \pderiv{u}{z},\ +\gamma_{21} = \gamma_{12} = \pderiv{u}{y} + \pderiv{v}{x}. +\end{gather*} +Il peut y avoir déplacement sans déformation lorsque ces quantités sont nulles. + +Le potentiel des forces élastiques relatif à chaque élément~$dS$ du milieu +déformé s'exprime par +\[ +F(\gamma_{11}, \gamma_{22}, \gamma_{33}, \gamma_{23}, \gamma_{31}, \gamma_{12} )\, dS +\] +%% -----File: 009.png---Folio 9------- +où $F$ est un polynôme %[** PP: Typo polynome] +homogène de \Ord{2}{d}~degré par rapport à +$\gamma_{11}$, $\gamma_{22}$, $\gamma_{33}$, $\gamma_{23}$, $\gamma_{31}$, $\gamma_{12}$ +qui est toujours négatif et s'annule %[** PP: Typo s'annulle] +seulement lorsque toutes les quantités~$\gamma_{rs}$ +sont nulles. + +La tension dans chaque point est caractérisée par les quantités +\begin{gather*} +t_{11} = \pderiv{F}{\gamma_{11}},\quad +t_{22} = \pderiv{F}{\gamma_{22}},\quad +t_{33} = \pderiv{F}{\gamma_{33}}, \\ % [** PP: Added comma] +t_{32} = t_{23} = \pderiv{F}{\gamma_{32}},\ +t_{13} = t_{31} = \pderiv{F}{\gamma_{31}},\ +t_{21} = t_{12} = \pderiv{F}{\gamma_{12}}, +\end{gather*} +que les Anglais appellent \emph{stress}.%[** PP: Typo streis] + +La \emph{tension unitaire} qui s'exerce sur chaque élément d'aire $d\sigma$ du milieu a +pour composantes +\begin{align*} +T_{x} &= t_{11} \cos nx + t_{12} \cos ny + t_{13} \cos nz \\ +T_{y} &= t_{21} \cos nx + t_{22} \cos ny + t_{23} \cos nz \\ +T_{z} &= t_{31} \cos nx + t_{32} \cos ny + t_{33} \cos nz +\end{align*} +$n$ étant la normale de l'élément~$d\sigma$. + +Si $X$, $Y$, $Z$ sont les composantes des forces extérieures unitaires qui s'exercent +sur chaque élément~$dS$ du corps élastique, et $T_x$, $T_y$, $T_z$ les composantes de la +tension unitaire qui s'exerce sur chaque élément du contour, les équations de +l'équilibre élastique sont +\[ +(1)\quad\left\{ +\begin{aligned} + X &= \pderiv{t_{11}}{x} + \pderiv{t_{12}}{y} + \pderiv{t_{13}}{z} \\ + Y &= \pderiv{t_{21}}{x} + \pderiv{t_{22}}{y} + \pderiv{t_{23}}{z} \\ + Z &= \pderiv{t_{31}}{x} + \pderiv{t_{32}}{y} + \pderiv{t_{33}}{z} +\end{aligned} +\right. +\qquad +(2)\quad\left\{ +\begin{aligned} + T_{x} &= t_{11} \cos nx + t_{12} \cos ny + t_{13} \cos nz \\ + T_{y} &= t_{21} \cos nx + t_{22} \cos ny + t_{23} \cos nz \\ + T_{z} &= t_{31} \cos nx + t_{32} \cos ny + t_{33} \cos nz +\end{aligned} +\right. +\] +où $n$ est la normale au contour dirigée vers l'intérieur du corps. + +Lorsque le corps est isotrope et homogène on a +\[ +F = \tfrac{1}{2} L \THETA^2 + K \psi, % [** PP: Typo \Psi] +\] +en ayant posé +\[ +\THETA = \gamma_{11} + \gamma_{22} %[** PP: Typo 21] + + \gamma_{33} ,\quad + \psi = \gamma_{11}^2 + \gamma_{22}^2 + \gamma_{33}^2 + + \tfrac{1}{2} + (\gamma_{23}^2 + \gamma_{31}^2 + \gamma_{12}^2); +\] +c'est pourquoi +\[ +\begin{aligned} +t_{11} &= L \THETA + 2 K \gamma_{11} \\ +t_{22} &= L \THETA + 2 K \gamma_{22} \\ +t_{33} &= L \THETA + 2 K \gamma_{33} \\ +\end{aligned} +\qquad\qquad +\begin{aligned} +t_{23} &= K \gamma_{23} \\ +t_{31} &= K \gamma_{31} \\ +t_{12} &= K \gamma_{12}. +\end{aligned} +\] +$L$ et~$K$ sont des quantités constantes et négatives, $\THETA$ est la \emph{dilatation cubique}. +%% -----File: 010.png---Folio 10------- + +Les équations~$(1)$ deviennent alors +\[ +\tag{$1'$} +\left\{ +\begin{aligned} + X &= K \Delta^{2} u + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{x} \\ + Y &= K \Delta^{2} v + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{y} \\ + Z &= K \Delta^{2} w + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{z} +\end{aligned} +\right. +\] +le symbole $\Delta^{2}$ représentant l'opération +\[ + \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} ++ \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} ++ \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}. +\] + +\Paragraph{6.} Ayant rappelé ces notions fondamentales nous voulons montrer que la +théorie de l'élasticité pour les corps ayant une forme cyclique se présente d'une +manière différente que pour les corps acycliques, et cela tient au rôle que les solutions +polydromes jouent dans la question. + +On % [** PP: Typo Or] +énonce en général le théorème qu'\emph{un corps élastique qui n'est pas soumis +à des actions externes est en équilibre}, et on tire de là que \emph{les forces externes étant +données la déformation du corps est connue}. Or ces propositions ne sont exactes +que si le corps a une connexion simple. + + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.5in} +\Input{010a}{1.5in} +\end{wrapfigure} +Pour montrer qu'il y a des cas où elles ne +se vérifient pas, envisageons un \emph{anneau}. Retranchons +une tranche radiale $AA'$, $BB'$ très mince, et +soudons les deux bouts $AA'$ et~$BB'$. Le corps +après la soudure sera soumis à des tensions internes +et cependant il ne supportera aucune action +extérieure. + +On pourrait soupçonner que quelque discontinuité +ou quelque singularité s'est produite dans +la déformation à l'endroit où l'on a fait la soudure; +mais on peut démontrer qu'il n'y a aucune singularité de cette sorte, de +manière que si l'on voulait trouver l'endroit où l'on a fait la soudure par quelque +particularité de la déformation il serait impossible de la retrouver. + +On peut se demander à quoi tient la contradiction entre les propositions précédentes +et le résultat que nous venons d'examiner. + +Le n{\oe}ud de la question est dans l'application du théorème de Gauss. En +effet pour démontrer les propositions que nous avons énoncées tout à l'heure on suppose +que dans les équations $(1)$ et~$(2)$ $X = Y = Z = T_{x} = T_{y} = T_{z} = 0$, on multiplie +%% -----File: 011.png---Folio 11------- +les deux membres des équations~$(1)$ respectivement par $u$, $v$, $w$, qu'on somme, qu'on +intègre et transforme par le théorème de Gauss. On tire de là que +\[ +\int_S F\, dS = 0, % [** PP: Changed . to , +\] +$S$ étant l'espace occupé par le corps élastique; d'où l'on déduit +\[ + \gamma_{11} = \gamma_{22} = \gamma_{33} += \gamma_{23} = \gamma_{31} = \gamma_{12} = 0 +\] +c'est à dire que si les forces extérieures sont nulles il n'y a pas de déformation. +Or nous avons remarqué que pour appliquer le théorème de Gauss il faut que +toutes les fonctions qu'on emploie soient monodromes. Montrons que dans le cas +de l'anneau les composantes des déplacements $u$, $v$, $w$ sont polydromes. +%[Illustrations] +\begin{center} +\Input{010a}{1.5in}\hfil\Input{011b}{1.5in} % [sic 010a] +\end{center} + +En effet examinons les déplacements après la soudure. Les points de~$AA'$ ne +se seront pas déplacés tandis que les points de~$BB'$ se seront déplacés de la largeur +de la fissure qu'on a faite. C'est pourquoi si nous partons d'un point~$M_{0}$ de~$AA'$, +parcourons un cycle à l'intérieur de l'anneau et prenons les valeurs des déplacements +qui se suivent avec continuité, nous revenons au point de départ de l'autre +côté~$M_{1}$ % [** PP: Typo coté] +de la coupure avec des valeurs des déplacements différents des valeurs +qu'on avait au point de départ. C'est un cas de polydromie analogue à celui que +nous avons envisagé dans le premier~§. % [** Xref] + +On tire de là deux conséquences: + +La première est que pour rendre exactes les deux propositions qu'on a énoncées +il faut ajouter la condition que les déplacements soient monodromes. + +La seconde conséquence est qu'il faut reposer la question: + +Quand est-ce que les déplacements peuvent être polydromes? + +\Paragraph{7.} Dans les considérations que nous venons de faire nous nous sommes laissés +conduire par l'intuition; mais il serait dangereux de continuer de la sorte. En +effet par intuition on serait amené à penser que le même résultat qu'on a obtenu +dans le cas de l'anneau on pourrait l'obtenir dans le cas d'un corps acyclique quelconque +%% -----File: 012.png---Folio 12------- +en y retranchant une tranche très-mince et en soudant les faces de la coupure. +Or dans ce cas, par cette opération, la déformation du corps ne serait pas +régulière, c'est pourquoi tout se présenterait d'une manière différente, que dans le +cas de l'anneau. + +Nous allons démontrer que si l'on suppose que la déformation est régulière, +c'est à dire que si $\gamma_{11}, \gamma_{22}, \gamma_{33}, \gamma_{23}, \gamma_{31}, \gamma_{12}$ sont des fonctions finies monodromes +et continues et que leurs dérivées sont aussi finies continues et monodromes, la polydromie +des déplacements ne peut se présenter que si le corps a une forme cyclique. + +Il suffit de trouver des formules par lesquelles on puisse calculer $u$, $v$, $w$ en +connaissant les quantités~$\gamma_{rs}$. + +Soit $s$ une ligne, et désignons par $A_0$ et~$A_1$ ses points extrêmes. Soient~$\gamma_{rs}^{(0)}$ +et~$\gamma_{rs}^{(1)}$ les valeurs de~$\gamma_{rs}$ aux points $A_0$ et~$A_1$, $x_0\, y_0\, z_0$ les coordonnées de~$A_{0}$, +$x_1\, y_1\, z_1$ les coordonnées de~$A_1$. Les valeurs de $u$, $v$, $w$ au point~$A_1$ seront données +par les formules +\begin{align*} +%[** PP: References to these on 013--015.png are clearly (1) (1') (1'')] +\Lmargintag{I} +u_1 &= u_0 + + \frac{1}{2} ( \gamma_{21}^{(0)} + r_0 ) (y_1 - y_0) + + \frac{1}{2} ( \gamma_{31}^{(0)} - q_0 ) (z_1 - z_0) +\Trail{+} \\ +% + &+ \int_s \left\{ \left[\gamma_{11} + + (y_1 - y) \pderiv{\gamma_{11}}{y} + + (z_1 - z) \pderiv{\gamma_{11}}{z} \right] \deriv{x}{s} \right. +\Trail{+} \\ +% + &\qquad+ + \left[ (y_1 - y) \left(\pderiv{\gamma_{12}}{y} + - \pderiv{\gamma_{22}}{x}\right) + + \left(\frac{z_1 - z}{2}\right) + \left(\pderiv{\gamma_{21}}{z} + + \pderiv{\gamma_{31}}{y} + - \pderiv{\gamma_{23}}{x}\right)\right] \deriv{y}{s} +\Trail{+} \\ +% + &\qquad+ \left. + \left[ \left(\frac{y_1 - y}{2}\right) + \left(\pderiv{\gamma_{21}}{z} + + \pderiv{\gamma_{31}}{y} + - \pderiv{\gamma_{23}}{x}\right) + + (z_1-z) \left( + \pderiv{\gamma_{13}}{z} + - \pderiv{\gamma_{33}}{x}\right) \right] \deriv{z}{s} + \right\} ds \\[1ex] +%% +\Lmargintag{I${}'$} +v_1 &= v_0 + + \frac{1}{2} ( \gamma_{32}^{(0)} + p_0 ) (z_1 - z_0) + + \frac{1}{2} ( \gamma_{12}^{(0)} - r_0 ) (x_1 - x_0) +\Trail{+} \\ +% + &+ \int_s \left\{ + \left[ \left( \frac{z_1 - z}{2} \right) + \left( \pderiv{\gamma_{32}}{x} + + \pderiv{\gamma_{12}}{z} + - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right) + + (x_1-x) \left( \pderiv{\gamma_{21}}{x} + - \pderiv{\gamma_{11}}{y} \right) + \right] \deriv{x}{s} \right. +\Trail{+} \\ +% + &\qquad+ + \left[ \gamma_{22} + + (z_1 - z) \pderiv{\gamma_{22}}{z} + + (x_1 - x) \pderiv{\gamma_{22}}{x} + \right] \deriv{y}{s} +\Trail{+} \\ +% + &\qquad+ \left. + \left[ (z_1-z) + \left( \pderiv{\gamma_{23}}{z} + - \pderiv{\gamma_{33}}{y} \right) + + \left( \frac{x_1 - x}{2} \right) + \left( \pderiv{\gamma_{32}}{x} + + \pderiv{\gamma_{12}}{z} + - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right) + \right] \deriv{z}{s} \right\} ds \\[1ex] +%% +\Lmargintag{I${}''$} +w_1 &= w_0 + + \frac{1}{2} ( \gamma_{13}^{(0)} + q_0 ) (x_1 - x_0) + + \frac{1}{2} ( \gamma_{23}^{(0)} - p_0 ) (y_1 - y_0) +\Trail{+} \\ +% + &+ \int_s \left\{ + \left[ (x_1-x) + \left( \pderiv{\gamma_{31}}{x} + - \pderiv{\gamma_{11}}{z} \right) + + \left( \frac{y_1 - y}{2} \right) + \left( \pderiv{\gamma_{13}}{y} + + \pderiv{\gamma_{23}}{x} + - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right) + \right] \deriv{x}{s} \right. +\Trail{+} \\ +% + &\qquad+ + \left[ \left( \frac{x_1 - x}{2} \right) + \left( \pderiv{\gamma_{13}}{y} + + \pderiv{\gamma_{23}}{x} + - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right) + + (y_1-y) \left( \pderiv{\gamma_{32}}{y} + - \pderiv{\gamma_{22}}{z} \right) + \right] \deriv{y}{s} +\Trail{+} \\ +% + &\qquad+ \left. + \left[ \gamma_{33} + + (x_1 - x) \pderiv{\gamma_{33}}{x} + + (y_1 - y) \pderiv{\gamma_{33}}{y} + \right] \deriv{z}{s} \right\} ds +\end{align*} +%% -----File: 013.png---Folio 13------- +où $u_0$, $v_0$, $w_0$ sont les valeurs de $u$, $v$, $w$ au point~$A_0$ et $p_0$, $q_0$, $r_0$ sont égales aux +valeurs des différences +\[ +\pderiv{v}{z} - \pderiv{w}{y},\quad +\pderiv{w}{x} - \pderiv{u}{z},\quad +\pderiv{u}{y} - \pderiv{v}{x} +\] +au point~$A_0$. + +On le vérifie aisément en faisant les dérivées de $u_1$, $v_1$, $w_1$ par rapport à $x_1$, $y_1$, $z_1$. + +Il faut maintenant chercher les conditions pour la monodromie. + +Supposons que la ligne $s$ se réduise à un cycle fermé. Si le corps élastique +occupe une région acyclique, on pourra regarder~$s$ comme le contour d'une surface~$\sigma$ +située à l'intérieur du corps; c'est pourquoi les intégrales qui paraissent dans les +formules précédentes pourront se transformer par le théorème de Stokes et elles +s'écriront \\ +% [** PP: Add missing d\sigma in 2nd, 3rd equations, remove period on 3rd.] +% [** PP: Width-dependent formatting +% - Shift display 2em into left margin and set \footnotesize +% - Explicit \;s to fine-tune alignment] +\hspace*{-2em}\begin{minipage}{\textwidth}% +{\footnotesize +\begin{align*} +&\int_\sigma \left\{ + \left[ \;\frac{y_1-y}{2} B\; - \frac{z_1-z}{2} C \right] \cos nx + + \left[ (z_1-z) F\; + \frac{y_1-y}{2} A \right] \cos ny + + \left[ (y_1-y) G + \frac{z_1-z}{2} A \right] \cos nz \right\} d\sigma \\ +%% +&\int_\sigma \left\{ + \left[ (z_1-z) E + \frac{x_1-x}{2} B \right] \cos nx + + \left[ \;\frac{z_1-z}{2} C\; - \frac{x_1-x}{2} A \right] \cos ny + + \left[ (x_1-x) G + \frac{z_1-z}{2} B \right] \cos nz \right\} d\sigma \\ +%% +&\int_\sigma \left\{ + \left[ (y_1-y) E + \frac{x_1-x}{2} C \right] \cos nx + + \left[ (x_1-x) F + \frac{y_1-y}{2} C \right] \cos ny + + \left[ \;\frac{x_1-x}{2} A\; - \frac{y_1-y}{2} B \right] \cos nz + \right\} d\sigma +\end{align*} +}% [** End footnotesize] +\end{minipage}\\[1ex]% [** PP: Explicit vertical space] +où % [** Typo: oú] +$n$ est la normale à~$\sigma$ et +\[ +\begin{aligned} +A &= \pderiv{}{x} \left( + \pderiv{\gamma_{31}}{y} + + \pderiv{\gamma_{12}}{z} + - \pderiv{\gamma_{23}}{x} \right) + - 2 \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial z \partial y} \\ +%% +B &= \pderiv{}{y} \left( + \pderiv{\gamma_{12}}{z} + + \pderiv{\gamma_{23}}{x} + - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right) + - 2 \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial x \partial z} \\ +%% +C &= \pderiv{}{z} \left( + \pderiv{\gamma_{23}}{x} + + \pderiv{\gamma_{31}}{y} + - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right) + - 2 \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial y \partial x} +\end{aligned} +\qquad +\begin{aligned} +E &= \frac{\partial^2\gamma_{32}}{\partial y \partial z} + - \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial z^2} + - \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial y^2} \\ +%% +F &= \frac{\partial^2\gamma_{31}}{\partial z \partial x} + - \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial x^2} + - \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial z^2} \\ +%% +G &= \frac{\partial^2\gamma_{12}}{\partial x \partial y} + - \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial y^2} + - \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial x^2} +\end{aligned} +\] + +Mais par un théorème de De Saint Venant on a +\[ +A = B = C = E = F = G = 0 %[** PP: Changed D = E = F to E = F = G] +\] +c'est pourquoi les intégrales des formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) s'annuleront, et on aura % [** Xref] %[** PP: Typos: formules (1)..., and s'annulleront] +\[ +u_1=u_0\quad +v_1=v_0\quad +w_1=w_0 %[** PP: v_1-v_0 changed to v_1=v_0] +\] +ce qui prouve que si la forme du corps est acyclique et la déformation régulière, +les déplacements sont monodromes. Mais si le corps est cyclique, le cycle fermé~$s$ +n'est pas en général le contour d'une surface~$\sigma$ appartenant à la région occupée +%% -----File: 014.png---Folio 14------- +par le corps, et par suite on ne peut pas en général appliquer le théorème de Stokes +et enfin les déplacements peuvent être polydromes. + +\Paragraph{8.} On peut résumer les résultats qu'on vient d'obtenir en énonçant les +propositions suivantes. +\begin{Prop} +Un corps élastique ayant une forme acyclique et une déformation +régulière peut être amené à l'état naturel par des déplacements finis continus et +monodromes. +\end{Prop} + +\begin{Prop} +Si le corps élastique a une forme cyclique, cela n'est pas toujours possible, et +pour l'amener à l'état naturel il sera nécessaire quelquefois de faire des coupures et +de retrancher des parties du corps. +\end{Prop} + +\begin{Prop} +Un corps élastique fini ayant une forme acyclique et n'étant pas sujet à des forces +extérieures est à l'état naturel si la déformation ne peut cesser d'être régulière, +mais si le corps est cyclique, le corps peut être à l'état de tension, même si n'existent +pas des actions extérieures. +\end{Prop} + +\begin{Prop} +Les forces extérieures étant connues, la déformation régulière d'un corps acyclique +est connue, mais celle d'un corps cyclique n'est pas connue. Elle est connue seulement +dans le cas où l'on sait d'avance que le corps élastique peut être amené à l'état naturel +par des déplacements monodromes. +\end{Prop} + + +\Chapter{\Ord{3}{ième} leçon.} + +%[** PP: Changed reference (1)(1')(1'') to (I)(I')(I'')] +\Paragraph{9.} Lorsque le corps est cyclique, on peut le réduire acyclique en faisant des +coupures. Les formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) donnent aisément la loi des discontinuités des % [** Xref] +déplacements le long des coupures. Les valeurs des déplacements d'un côté d'une +coupure étant $u_{\alpha}$, $v_{\alpha}$, $w_{\alpha}$ et celles de l'autre côté étant $u_{\beta}$, $v_{\beta}$, $w_{\beta}$ on a +\[ +\tag{3} +\left\{ +\begin{aligned} +u_{\beta} - u_{\alpha} &= l + ry - qz \\ +v_{\beta} - v_{\alpha} &= m + pz - rx \\ +w_{\beta} - w_{\alpha} &= n + qx - py +\end{aligned} +\right. +\] +$l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$, étant des quantités constantes pour chaque coupure. + +A chaque coupure correspondent donc 6~valeurs constantes qu'on peut appeler +les constantes de la coupure, et l'on a le théorème: + +\begin{Theorem} +Un corps élastique cyclique étant déformé régulièrement, %[** PP: Typo regulièrement] +la déformation est déterminée +par les forces extérieures et les constantes de chaque coupure. +\end{Theorem} + +On voit par là que les problèmes de l'élasticité pour les corps cycliques se présentent +d'une manière fort différente que pour les corps acycliques. +%% -----File: 015.png---Folio 15------- + +%[** Xrefs] +\Paragraph{10.} Les formules~(3) montrent très-facilement la signification mécanique des +constantes de chaque coupure. En effet supposons que nous fassions effectivement +les coupures dans le corps cyclique déformé de manière qu'il puisse reprendre l'état +naturel; et s'il est nécessaire retranchons les parties surabondantes du corps. + +Alors les formules~(3) nous montrent que +\begin{Prop} +les molécules situées des deux côtés de +chaque coupure et qui adhéraient auparavant, ont été séparées par un déplacement +relatif qui résulte d'une translation et d'une rotation. Cette translation et cette rotation +sont égales pour tous les couples de molécules qui adhéraient le long de la coupure. + +Si l'on prend pour centre de réduction l'origine, les constantes de la coupure +sont les composantes de la translation et de la rotation par rapport aux axes +coordonnés. +\end{Prop} + +Réciproquement pour déformer le corps cyclique on pourra faire les coupures +qui le rendent acyclique. Ensuite, l'on pourra déplacer les deux faces de chaque +coupure de manière que le déplacement relatif de tous les couples de molécules +qui se trouvent vis à vis soit résultant de la même rotation et de la même translation. +Enfin on pourra souder entre elles les faces en retranchant ou en ajoutant +la matière qui sera nécessaire. + +Nous appelons cette opération une \emph{distorsion} du corps et les 6~constantes +de chaque coupure les \emph{caractéristiques} de chaque distorsion. + +%[** PP: Changed reference (1)(1')(1'') to (I)(I')(I'')] +Les formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) conduisent aussi immédiatement à un autre résultat. + +Prenons deux coupures qui peuvent se réduire l'une à l'autre par une transformation +continue, alors \emph{les caractéristiques des deux coupures sont égales entre elles}. + +On voit par là que les caractéristiques d'une distorsion ne dépendent pas des +coupures que l'on a faites, mais de la déformation du corps et de sa nature géométrique. +\begin{Prop} +Le nombre des distorsions indépendantes d'un corps est égal à l'ordre +de la connexion diminué d'une unité. +\end{Prop} + +\Paragraph{11.} Une question qui se pose naturellement est la suivante: \emph{Peut-on choisir +toutes les caractéristiques d'une manière arbitraire?} + +On démontre en général que les caractéristiques des distorsions étant données +d'une manière arbitraire, le problème de la déformation du corps peut être ramené +à un problème ordinaire de l'équilibre où le corps n'est assujetti à aucune distorsion +mais seulement à des forces données. + +Nous laisserons de côté ce théorème, général, et nous envisagerons un cas +particulier. Soit~$\sigma$ une aire finie du plan~$xz$ qui ne rencontre pas l'axe~$z$. Faisons +tourner le plan autour de cet axe et en même temps déformons et déplaçons l'aire~$\sigma$ +dans le plan de manière qu'elle ne rencontre jamais l'axe~$z$ et qu'elle revienne +à la forme et à la position initiale après avoir fait un tour. +%% -----File: 016.png---Folio 16------- + +L'aire $\sigma$ décrit un volume à connexion double qu'on peut supposer rempli +d'une substance élastique isotrope. $l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$, étant des constantes, posons +\[ +\Lmargintag{4} +\left\{ +\begin{aligned} %[** PP: Changed arco tg to arctg] +u &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (l - qz + ry) \arctg \frac{y}{x} + + \frac{1}{2} \left(-m - pz - \frac{rK}{L + 2K} x\right) + \log (x^2 + y^2) \right\} \\ +% +v &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (m - rx + pz) \arctg \frac{y}{x} + + \frac{1}{2} \left( l - qz - \frac{rK}{L + 2K} y\right) + \log (x^2 + y^2) \right\} \\ +% +w &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (n - py + qx) \arctg \frac{y}{x} + + \frac{1}{2} (px + qy) \log (x^2 + y^2) \right\}. +\end{aligned} +\right. +\] % [** Xrefs] +On % [** PP: Typo on] +vérifie aisément que ces fonctions satisfont les équations~($1'$) et en même temps +à cause de la polydromie de la fonction $\arctg \frac{y}{x}$ (Voir §~1) qu'elles sont polydromes +et correspondent à la distorsion la plus générale du corps, $l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$ +sont les caractéristiques de la distorsion. Il est facile de calculer les tensions qui +agissent sur la surface libre du corps. + +% [** PP: Paragraph numbering restarts, later resumes at 12.] +\Paragraph{1.} Le problème fondamental de la théorie des \emph{distorsions} des corps élastiques +ayant une forme cyclique est de déterminer la déformation du corps lorsque les +caractéristiques des distorsions sont données. + +Nous allons calculer l'énergie d'un corps élastique qui n'est assujetti à aucune +action externe et dont les distorsions sont connues. + +L'énergie est donnée par +\[ +E = -\int_S F\, dS + = - \frac{1}{2} \int_S + (t_{11} \gamma_{11} + t_{22} \gamma_{22} + t_{33} \gamma_{33} + + t_{23} \gamma_{23} + t_{31} \gamma_{31} + t_{12} \gamma_{12} )\, dS +\] +où $S$ est le volume du corps. + +On peut maintenant transformer cette intégrale en employant le théorème de +Gauss, mais il faut prendre garde que $u$, $v$, $w$ sont des fonctions polydromes. +C'est pourquoi l'application directe du théorème ne peut pas se faire comme nous +avons déjà vu dans la leçon précédente. + +\Paragraph{2.} Pour pouvoir appliquer le théorème de Gauss il faut commencer par sectionner +le volume~$S$ de sorte qu'il devienne acyclique, et il faut ensuite regarder les +deux faces de chaque coupure comme faisant partie du contour du corps. + +On trouve alors, en désignant par $\sigma_1\, \sigma_2\, \dotsc\, \sigma_n$ les coupures, que la transformation +de l'intégrale conduit à la formule suivante +%% -----File: 017.png---Folio 17------- +\begin{align*} +E &= \frac{1}{2} \sum_1^n \int_{\sigma_i} + \{ X_i ( u_\alpha^{(i)} - u_\beta^{(i)} ) + + Y_i ( v_\alpha^{(i)} - v_\beta^{(i)} ) + + Z_i ( w_\alpha^{(i)} - w_\beta^{(i)} ) \}\, d\sigma_i +\Trail{=} \\ +% + &= \frac{1}{2} \sum_1^n \left\{ + l_i \int_{\sigma_i} X_i\, d\sigma_i + + m_i \int_{\sigma_i} Y_i\, d\sigma_i + + n_i \int_{\sigma_i} Z_i\, d\sigma_i \right. +\Trail{+} \\ % [** PP: Re-breaking] + &\quad+ \left. %[** PP: Changed \int_{\tau_i} to \int_{\sigma_i}] + p_i \int_{\sigma_i} (Y_i z - Z_i y)\, d\sigma_i +% + + q_i \int_{\sigma_i} (Z_i x - X_i z)\, d\sigma_i + + r_i \int_{\sigma_i} (X_i y - Y_i x)\, d\sigma_i \right\} +\end{align*} +où $u_{\alpha}^{(i)}$, $v_{\alpha}^{(i)}$, $w_{\alpha}^{(i)}$; $u_{\beta}^{(i)}$, $v_{\beta}^{(i)}$, $w_{\beta}^{(i)}$, sont les valeurs des composantes des déplacements +des deux côtés de la coupure~$\sigma_i$: $l_i, m_i, n_i, p_i, q_i, r_i$ sont les caractéristiques de la +distorsion relatives à la coupure~$\sigma_i$; et $X_i\, Y_i\, Z_i$ sont les composantes de la tension +unitaire qui s'exerce sur chaque élément d'aire de la même coupure. + +Posons +\begin{gather*} +L_i = \int_{\sigma_i} X_i\, d\sigma_i\qquad +M_i = \int_{\sigma_i} Y_i\, d\sigma_i\qquad +N_i = \int_{\sigma_i} Z_i\, d\sigma_i \\ +P_i = \int_{\sigma_i} (Y_i z - Z_i y)\, d\sigma_i\quad +Q_i = \int_{\sigma_i} (Z_i x - X_i z)\, d\sigma_i\quad +R_i = \int_{\sigma_i} (X_i y - Y_i x)\, d\sigma_i +\end{gather*} +on aura +\[ %[** PP: Modernized notation, added period] +E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n + (L_i l_i + M_i m_i + N_i n_i + P_i p_i + Q_i q_i + R_i r_i ). +\] + +Si l'on compose les tensions qui sont appliquées sur la coupure~$\sigma_i$, en prenant +pour centre de réduction l'origine, on trouve que $L_i, M_i, N_i$ sont les composantes +de la force résultante et $P_i, Q_i, R_i$ les composantes de la couple résultante. + +On peut écrire la formule précédente d'une manière plus simple en appelant +$s_1\, s_2\, \dotsc\, s_{6n}$ les quantités $l_i, m_i, n_i$ et~$E_1, E_2 \dotsc E_{6n}$ les quantités correspondantes +$L_i, M_i, N_i$; elle devient en effet +\[ +E = \frac{1}{2} \sum_1^{6n} E_i s_i. +\] + +Supposons que les quantités $s_1\, s_2\, \dotsc s_{6n}$ soient nulles excepté $s_h = 1$. Appelons +$E_{ih}$ les valeurs correspondantes des coefficients~$E_i$. Lorsque $s_1\, s_2\, \dotsc s_{6n}$ sont quelconques +on aura +%% -----File: 018.png---Folio 18------- +\[ +E_i = \sum_1^{6n} E_{ih} s_h +\] +c'est pourquoi + % [** PP: Added period] +\[ +E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s_i s_h. +\] + +\Paragraph{3.} Nous allons démontrer maintenant une propriété fondamentale des coefficients~$E_{ih}$, +et nous nous permettons à ce propos de faire quelques remarques générales. + +Green a démontré par l'application du théorème de Gauss un théorème fondamental +dans la théorie du potentiel. Mais le théorème de Green n'est pas borné au +cas du potentiel, il peut s'étendre à un nombre considérable de cas. J'ai démontré +qu'il peut s'étendre à tous les problèmes qui dépendent du calcul des variations. + +Même le problème de l'élasticité, comme tout problème de mécanique, se +rattache à une question de calcul de variation, c'est pourquoi on a le théorème +analogue à celui de Green pour l'élasticité. Il a été donné pour la première fois +par Betti qui en a fait des applications remarquables pour l'intégration des problèmes +de l'équilibre élastique. Cerruti, Boussinesq, Somigliania ont continué par +le chemin qui avait été tracé par Betti. + +Or si les déplacements sont polydromes, puisque le théorème de Gauss ne +peut plus s'appliquer, le théorème de Betti n'est plus applicable. %[** PP: Changed , to .] +Nous allons voir +cependant qu'on peut reprendre, même dans ce cas, l'idée fondamentale de Green, +et l'on est amené par là à une loi de réciprocité fort intéressante. + +Supposons que nous appliquons successivement au corps élastique deux distorsions +caractérisées par les valeurs $s'_1, s'_2, \dotsc s'_{6n}$ et $s''_1, s''_2 \dotsc s''_{6n}$ des caractéristiques. +Soient $\gamma'_{rs}$ et~$\gamma''_{rs}$ les valeurs des~$\gamma_{rs}$ correspondant aux deux déformations, $F'$ et~$F''$ +les valeurs du potentiel élastique. + +On aura, par un théorème bien connu d'algèbre, +\[ + \int_S \sum \pderiv{F'}{\gamma'_{rs}} \gamma''_{rs}\, dS += \int_S \sum \pderiv{F''}{\gamma''_{rs}} \gamma'_{rs}\, dS +\] +et si nous transformons ces intégrales, après avoir réduit acyclique le volume~$S$ +par les coupures, en regardant toujours les faces des coupures comme faisant partie +du contour du volume~$S$ on trouve +\[ +\sum_1^{6n} E''_i s'_i = \sum_1^{6n} E'_i s''_i +\] +%% -----File: 019.png---Folio 19------- +$E''_i$ et~$E'_i$ étant les valeurs des quantités~$E_i$ correspondant aux deux distorsions. +On tire de là +\[ + \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s'_i s''_h += \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s''_i s'_h +\] +et puisque les quantités $s'_i$ et~$s''_i$ sont arbitraires, on doit avoir +\[ +E_{ih} = E_{hi}. +\] + +Cette propriété réciproque des coefficients~$E_{ih}$ peut s'interpréter de plusieurs +manières et conduit à des théorèmes mécaniques qu'on énonce facilement. + +On peut appeler l'ensemble de la force ayant pour composantes $L_i, M_i, N_i$ et +de la couple ayant pour composantes $P_i, Q_i, R_i$ \emph{l'effort total} appliqué à la coupure~$\sigma_i$ +et l'on peut appeler toutes les quantités $E_1, E_2 \dotsc E_{6n}$ les \emph{caractéristiques des +efforts}. + +On a alors que% +\begin{Prop} +si deux systèmes de distorsions engendrent deux systèmes d'efforts, +la somme des produits des caractéristiques des efforts du premier système multipliées +par les caractéristiques des distorsions du second système est égale à la somme des +produits des caractéristiques des efforts du second système multipliées par les caractéristiques +des distorsions du premier système. +\end{Prop} + +Lorsque les quantités $s_1, s_2 \dotsc, s_{6n}$ sont nulles excepté $s_h = 1$ la distorsion peut +s'appeler une \emph{distorsion élémentaire d'ordre~$h$}. $E_{ih}$~est l'effort d'ordre~$i$ engendré +par la distorsion élémentaire d'ordre~$h$. $E_{hh}$~est l'effort conjugué de la distorsion +élémentaire. Le théorème précédent peut donc s'énoncer en disant que% +\begin{Prop} +l'effort +d'ordre~$i$ engendré par la distorsion élémentaire d'ordre~$h$ est égal à l'effort d'ordre~$h$ +engendré par la distorsion élémentaire d'ordre~$i$. +\end{Prop} + + +\Chapter{\Ord{4}{ième} leçon.} + +\Paragraph{4.} Nous avons démontré dans la leçon précédente que la même distorsion +exécutée sur deux coupures qui peuvent se réduire l'une à l'autre par une déformation +continue engendre la même déformation du corps. + +Les deux coupures peuvent s'appeler à cause de cela des \emph{coupures équivalentes}. +Le théorème qu'on vient de rappeler peut être complété en démontrant que les efforts +dans les coupures équivalentes sont égaux. Prenons en effet la partie du +corps entre deux coupures équivalentes. Les tensions qui sollicitent les éléments +%% -----File: 020.png---Folio 20------- +des coupures doivent se faire équilibre. On tire de là tout de suite l'égalité des +deux efforts. + +Donc les efforts dépendent, comme les distorsions, de la nature géométrique +du corps et de la déformation. + +Le problème que l'on peut se proposer est d'étudier les propriétés des efforts +et de les déterminer, les distorsions étant données. + +Nous allons voir que l'on peut obtenir des théorèmes généraux sans intégrer +directement les équations de l'élasticité. + +\Paragraph{5.} Supposons que nous ayons un solide de révolution qui ait une connexion +double; il peut être engendré par la révolution d'une aire plane simplement connexe +autour d'un axe du plan qui ne la rencontre pas, ou il peut être engendré +par la rotation d'une aire doublement connexe limitée par l'axe. Supposons que +le solide soit rempli d'une substance électrique dont la constitution soit symétrique +par rapport à l'axe. + +L'énergie du système est donnée par +\[ +E = \tfrac{1}{2} \sum_1^6 \sum_1^6 E_{ih} s_i s_h +\] +où +\[ +s_1=l,\quad s_2=m,\quad s_3=n,\quad s_4=p,\quad s_5=q,\quad s_6=r. +\] +Cette expression peut se comparer à la force vive d'un liquide indéfini sans tourbillons +à l'intérieur duquel se trouve un corps solide symétrique, et l'on peut répéter dans +ce cas des raisonnements tout à fait semblables à ceux que l'on fait dans cette +question d'hydrodynamique. On trouve par là, en vertu de la symétrie, qu'on +peut toujours choisir l'origine en un point de l'axe de symétrie de manière que +l'expression de~$E$ devienne +\[ +E = \tfrac{1}{2} + \{ E_{11} ( s^2_1 + s^2_2 ) + E_{33}\, s^2_3 + + E_{44} ( s^2_4 + s^2_5 ) + E_{66}\, s^2_6 \}. % [** PP: Added period] +\] +L'origine s'appelle le \emph{point central de l'axe de symétrie}. + +Les quantités~$E_{ih}$ sont nulles lorsque $i$ et~$h$ ne sont pas égaux; c'est pourquoi +on a le théorème: + +\begin{Theorem} +Dans un corps symétrique qui a une connexion double chaque distorsion élémentaire +engendre un seul effort qui est l'effort conjugué, le centre de réduction étant dans +le point central de l'axe de symétrie. +\end{Theorem} + +Donc si la distorsion est due à une translation relative des molécules des deux +faces de la coupure, l'effort total engendré est une force qui passe par le point central, +et si la distorsion est une rotation l'effort total est une couple. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{r}{1.75in} +\Input{021a}{1.5in} +\end{wrapfigure} +Revenons à l'exemple primitif des distorsions. Prenons un anneau symétrique, +%% -----File: 021.png---Folio 21------- +retranchons une mince tranche radiale, et soudons +les deux bouts. On serait facilement amené à croire +que les faces de la soudure sont sollicitées par une +traction, mais si nous réfléchissons que le déplacement +relatif des molécules situées d'un côté de la coupure +par rapport à celles situées de l'autre côté est dû +à une rotation autour de l'axe de symétrie, on tire +du théorème précédent que l'effort est une couple +ayant pour axe l'axe de symétrie. Mais si la résultante des tensions qui s'exercent +sur les faces de la soudure est une couple, il faut qu'une partie de la soudure +soit comprimée et qu'une partie soit tendue, et même que% +\begin{Prop} +la somme des efforts de +traction égalise la somme des efforts de compression. +\end{Prop} + +On arrive par là à un résultat qui est inattendu. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{r}{1.75in} +\Input{021b}{1.75in} +\end{wrapfigure} +Supposons maintenant que la même tranche +retranchée ait une largeur uniforme. La distorsion +consiste alors dans une translation, et l'effort est +une force normale à l'axe de symétrie et qui le +rencontre au point central. Même dans ce cas une +partie de la soudure est comprimée et une partie +supporte une traction, mais si nous envisageons l'énergie +du système, on a aisément que dans le cas de +la fissure radiale la partie comprimée est la partie +interne de la soudure et la partie externe supporte +la traction, tandis qu'on a le contraire si la fissure +est de largeur uniforme. + +Appliquons maintenant le théorème des coupures équivalentes. On en tire que +si la fissure est radiale toute section de l'anneau supporte, d'une manière symétrique, +la compression et la traction, mais dans le cas de la fissure uniforme dans la +région~$A'$ de l'anneau opposée à la soudure~$A$ les choses sont renversées, et une +section en~$A'$ supporte dans la partie interne la compression et dans la partie +externe la traction. + +Voilà que par la considération de l'énergie du système déformé on tire un +grand nombre de propriétés sans intégrer les équations de l'équilibre élastique. + +\Paragraph{12.} Il est intéressant cependant d'approfondir le cas de l'anneau symétrique +isotrope en étudiant en détail les déformations produites par les distorsions. Il faut +pour cela intégrer effectivement les équations de l'équilibre et il est nécessaire +de partir des formules~(6) que nous avons données dans la précédente leçon. % [** Xref] +%% -----File: 022.png---Folio 22------- + +Nous envisageons un cylindre creux symétrique isotrope, nous prenons +l'origine dans le centre de symétrie, et faisons coïncider l'axe~$z$ avec l'axe de +symétrie. Les déplacements donnés par les formules~(4) de la leçon précédente % [** Xref] +correspondent à la distorsion la plus générale ayant pour caractéristiques $l, m, n, +p, q, r$; mais si nous calculons les tensions qui sollicitent le corps, nous voyons que +pour obtenir ce cas d'équilibre il faut supposer que les surfaces latérales et les +bases du cylindre soient sollicitées par des tensions. Or nous voulons envisager le +cas où le cylindre est déformé par la distorsion et n'est pas assujetti %[** PP: Typo assujétti] +à des actions +externes. Il faut donc éliminer les tensions superficielles. + +Représentons par~$T$ l'ensemble de ces tensions. Supposons maintenant que le +cylindre primitif n'ayant pas de distorsions soit soumis à l'action des tensions~$-T$, +c'est à dire des tensions égales et contraires aux tensions~$T$. Soient $u'\, v'\, w'$ les +déplacements qu'on trouve. En prenant les différences +\[ +u-u'\quad v-v'\quad w-w' +\] +on aura des déplacements qui correspondent à la distorsion du corps, mais en même +temps les tensions au contour auront été éliminées. On voit par là que l'élimination +des tensions au contour est un problème ordinaire de l'équilibre élastique +qu'on peut tâcher de résoudre par les méthodes ordinaires. + +Dans les formules~(4) nous avons 6~constantes arbitraires qui correspondent % [** Xref] +aux six distorsions élémentaires. On peut simplifier beaucoup le problème en +envisageant séparément chaque distorsion élémentaire. On voit par la symétrie +que les distorsions d'ordre~$1$ et~$2$ se ramènent l'une à l'autre et de même celles +d'ordre~$4$ et~$5$. Il suffit donc d'envisager les distorsions d'ordre +\[ +2,\ 3,\ 5,\ 6. +\] +% [** PP: Removing paragraph break] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}[10]{l}{2in} % **** Explicit height, vertical adjustment +\raisebox{0.25in}[2in][0pt]{\Input{022a}{1.75in}} +\end{wrapfigure} +Commençons par celles d'ordre~$6$ et~$2$. La distorsion d'ordre~$6$ correspond +évidemment à la \emph{fissure radiale} et celle d'ordre~$2$ à la \emph{fissure de largeur uniforme}. + +Dans le cas de la distorsion d'ordre~$6$ on élimine +très aisément, en vertu de la symétrie, les tensions +latérales, et l'on trouve qu'après la distorsion le corps +garde sa forme cylindrique régulière et les bases +gardent leur distance initiale si on les comprime dans +la région (interne) que nous avons laissée en blanc et +si on exerce une traction dans la région (externe) +que nous avons hachée. Appelons~$T$ l'ensemble de %[** PP: Typo Appellons] +ces tensions. Il n'y a plus de difficulté alors à déterminer +la forme du corps lorsqu'il est complètement +libre et qu'aucune force ne s'exerce sur les bases. +%% -----File: 023.png---Folio 23------- +En effet il suffit d'envisager un cylindre à l'état naturel et de chercher la déformation +lorsqu'on le sollicite par les tensions~$-T$. La forme que le corps prendra +sera celle que nous cherchons. Prenons une tranche radiale du cylindre: la partie +en blanc supportera une traction, la partie hachée une compression; c'est pourquoi +cette tranche subira une flexion. +%[Illustrations] +\begin{center} +\quad\Input{023a}{1in}\hfill +\Input{023b}{1in}\hfill +\raisebox{0.25in}{\Input{023c}{2in}}\quad +\end{center} + +Chaque tranche du cylindre se déformant par une flexion pareille le cylindre +prendra la forme indiquée par la figure voisine, c'est à dire que le bord interne se +soulèvera, le bord externe s'abaissera tandis que la surface latérale externe deviendra +concave, et la surface latérale interne convexe. + +J'ai voulu vérifier par l'expérience ce résultat, et j'ai pris un gros cylindre +creux de caoutchouc, j'y ai fait une fissure radiale, et j'ai soudé les deux faces de +la fissure. La forme prise par le corps a été celle que le calcul avait prévue, et l'on +a pu même vérifier par des mesures que les résultats des calculs étaient exacts. +On pouvait aussi remarquer que la partie interne de la soudure était comprimée et +que la partie externe supportait un effort de traction. A cause de cet effort la +soudure ne résistait pas, c'est pourquoi pour garder la forme j'en ai pris le modèle +en plâtre que je vous montre. L'endroit de la coupure est parfaitement visible. + +Quelquefois il arrive que l'on veut rétrécir un tube, mais si l'on retranche +une tranche radiale du tube et que l'on soude les deux faces, le tube prend sa forme +cylindrique. Les forgerons et tous ceux qui ont essayé cette opération connaissent +très-bien ce résultat que maintenant la théorie des solutions polydromes explique +parfaitement. + +\Paragraph{13.} Quelle est maintenant la forme du cylindre lorsqu'on fait la fissure de +largeur uniforme, c'est à dire lorsqu'on fait une distorsion d'ordre~$2$? + +On peut procéder tout à fait de la même manière que dans le cas précédent. +On peut commencer par éliminer les tensions latérales et après les tensions sur les +%% -----File: 024.png---Folio 24------- +bases. La forme prise par le corps est même plus compliquée que dans le cas +précédent. Elle est représentée par la figure ci-jointe, et voici un plâtre qui est le +modèle d'un cylindre de caoutchouc qui +a supporté une distorsion d'ordre~$2$. Même +dans ce cas l'expérience a vérifié complètement +les résultats du calcul. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2.5in} +\Input{024a}{2.25in} +\end{wrapfigure} +Je n'entre pas dans les détails sur les +distorsions d'ordre~$5$ et d'ordre~$3$. La première +peut se déduire de celle d'ordre~$2$ par +des intégrations simples, et la dernière peut +se calculer directement sans difficulté. Cette +distorsion s'obtient en faisant glisser les +deux faces de la coupure, l'une par rapport +à l'autre, dans la direction de l'axe du +cylindre et en les soudant ensuite. + +Nous avons dit (§~4) qu'on peut se % [** Xref] +proposer le problème de déterminer les efforts lorsqu'on connaît %[** PP: Typo connait] +les distorsions +d'un corps cyclique. Avant de laisser ce sujet nous voulons indiquer en peu de mots +comment on peut traiter cette question dans le cas général d'un corps cyclique +formé par un nombre quelconque de verges droites ou courbes très-minces soudées +à leurs bouts en plusieurs n{\oe}uds. % [** PP: Typo noeuds] + +%[Illustration] +% [** PP: Bounding box of PDF file manually adjusted to [0 -2 112 124]] +\begin{wrapfigure}{l}{1.5in} +\Input{024b}{1.5in} +\end{wrapfigure} +Soit $AB$ l'une des verges, les efforts dans toutes les +sections de la verge seront égaux. Prenons l'origine +comme centre de réduction, et désignons par +\[ +X_1^{(ab)}\, X_2^{(ab)}\, X_3^{(ab)}\, X_4^{(ab)}\, X_5^{(ab)}\, X_6^{(ab)} +\] +les caractéristiques des efforts correspondantes aux sections +de la verge. + +Soient $x_1^{(a)}\, x_2^{(a)}\, x_3^{(a)}\, x_4^{(a)}\, x_5^{(a)}\, x_6^{(a)}$ les composantes de la +translation et de la rotation qui ont conduit la molécule~$A$ +de l'état naturel à % [** PP: Typo a] +l'état actuel et $x_1^{(b)}\, x_2^{(b)}\, x_3^{(b)}\, x_4^{(b)}\, x_5^{(b)}\, x_6^{(b)}$ les quantités analogues +relatives à la molécule~$B$. + +Soient $e_1^{(ab)}\, e_2^{(ab)}\, e_3^{(ab)}\, e_4^{(ab)}\, e_5^{(ab)}\, e_6^{(ab)}$ les caractéristiques de la distorsion qu'on a +appliquée à une section de la verge~$AB$. On aura des relations linéaires +\[ +x_r^{(a)} - x_r^{(b)} + e_r^{(ab)} %[** PP: Added operator +] + = \sum_1^6 H_{ri} X_i\qquad +r = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 +\] +%% -----File: 025.png---Folio 25------- +et les coefficients constants~$H_{ri}$ dépendront de la forme initiale et de la constitution +de la verge. + +En même temps si nous prenons toutes les verges qui aboutissent au point~$A$ +et qui sont soudées ensemble dans ce point on doit avoir pour l'équilibre +\[ +x_i^{(ab)} + x_i^{(ac)} + x_i^{(ad)} + \dotsb = 0\qquad +i = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6. +\] +On a donc six équations pour chaque n{\oe}ud % [** PP: Type noeud] +et six équations pour chaque verge. + +Ces équations sont tout à fait semblables aux équations de Kirchhoff pour les +courants électriques dans les fils; seulement elles sont sextuplées. On peut développer +une théorie du même type que celle de Kirchhoff où les caractéristiques +des distorsions remplacent les forces électromotrices et les caractéristiques des +efforts les intensités des courants. + +\begin{Bibliographie} + +\Bibitem{Riemann-Weber.}{Die Partiellen Diff.-gleich.\ der Math.\ Physik.\ 1.~Vol.} +\Bibitem{Love.}{Math.\ Theory of elasticity.} +\Bibitem{Weingarten.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. Vol.~X.} +\Bibitem{Volterra.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. Vol.~XIV. \primo Sem.\ +fasc.\ 3, 4, 8, 12. \secundo Sem.\ fasc.~7.} +\Bibitem{Maggi.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. %[** PP: Changed , to .] +Vol.~XIV. \secundo Sem.} +\Bibitem{Timpe.}{Inaugural-Dissertation. Göttingen. (Leipzig 1905).} +\end{Bibliographie} + + +\Chapter{\Ord{5}{ième} leçon.} + +\Paragraph{1.} Nous avons étudié dans les leçons précédentes les solutions des équations +de l'élasticité qui appartiennent au type elliptique, et nous avons envisagé particulièrement +les solutions polydromes et le rôle qu'elles jouent dans la théorie. Le +cas de l'élasticité nous offre le meilleur exemple pour trouver leur interprétation +et leur utilité pratique. + +Nous voulons pénétrer aujourd'hui plus profondément dans l'étude des solutions +des équations du type elliptique, mais pour cela nous laisserons de côté le +cas de l'élasticité, et nous envisagerons le cas le plus simple possible, celui de l'équation +de Laplace qui correspond à la théorie du potentiel. + +On peut considérer l'équation de Laplace relative à un nombre quelconque +de variables %[** PP: Removing period] +%% -----File: 026.png---Folio 26------- +\[ +\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0,\quad +\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0,\quad + \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} ++ \frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_4^2} = 0,\ \text{etc.} +\] + +Le cas devient de plus en plus compliqué, mais bien des théorèmes s'étendent +sans aucune difficulté de proche en proche. Par exemple le théorème de Green, +avec toutes ses conséquences et toutes ses applications. Il est utile, je puis dire +même indispensable, pour cette étude d'introduire le langage emprunté à la théorie +des espaces à plusieurs dimensions. C'est seulement un langage, mais il est un +instrument très-puissant pour énoncer des théorèmes, et il amène par l'induction à +trouver des propositions nouvelles. Je citerai dans cette direction les études de +Ch.\ Bjerknes qui correspondent au mouvement d'une ellipsoïde % [** PP: Typo ellipsoide] +à $n$~dimensions dans +un fluide à $n$~dimensions. + +\Paragraph{2.} Cependant dès les premiers pas dans les recherches dont je viens de parler +on a l'impression qu'il y a une lacune à combler, c'est à dire que quelque +chose manque. + +Je vais citer un seul exemple. Les domaines à deux dimensions ont une +seule sorte de connexion; les domaines à trois dimensions ont deux sortes de connexions. +En effet nous avons déjà distingué les espaces cycliques et les espaces +acycliques, et nous avons vu quel rôle joue la cyclicité dans le cas de l'élasticité. +Mais prenons le volume compris entre deux sphères concentriques. Il est acyclique, +c'est à dire que tout cycle formé par une ligne fermée peut se réduire aussi petit +que l'on veut par une déformation continue, sans sortir de l'espace, mais la même +propriété ne se vérifie pas pour toute surface fermée, car une surface menée entre +les deux sphères ne peut pas être réduite aussi petite que l'on veut sans sortir +de l'espace renfermé entre les deux sphères. Il y a donc deux sortes de connexions +dans le cas de trois dimensions, on les appelle \emph{connexion linéaire} ou cyclicité et +\emph{connexion superficielle}, mais on connaît % [** PP: Typo connait] +une seule sorte de polydromie. Si le nombre +des dimensions augmente, on a plusieurs sortes de connexions toujours plus compliquées, +mais à cela ne correspondent pas plusieurs sortes de polydromies. + +Le cas de deux variables est étroitement lié à la théorie des fonctions. En +effet par la séparation de la partie imaginaire dans une fonction d'une variable +complexe on trouve deux fonctions de deux variables qui satisfont à l'équation de +Laplace. Réciproquement toute fonction de deux variables qui satisfait à l'équation +de Laplace possède une fonction conjuguée, et en ajoutant la première à la fonction +conjuguée multipliée par $i = \sqrt{-1}$ on trouve une fonction d'une variable complexe. + +L'existence de la fonction conjuguée et la liaison avec la théorie des fonctions +engendrent un ensemble de propriétés dans le cas de deux variables qui manquent +dans le cas d'un nombre plus grand de variables et ce sont ces propriétés pourtant +%% -----File: 027.png---Folio 27------- +qui conduisent dans le cas de deux variables aux propositions les plus importantes +et les plus cachées de la théorie. + +On est amené par là à soupçonner que la lacune dont j'ai parlé tout à l'heure +pourrait être comblée en étendant au cas de plusieurs variables la théorie des fonctions +conjuguées. + +Je consacrerai cette leçon et la suivante à donner un aperçu de quelques recherches +qu'on a faites à ce sujet qui conduisent à deux branches différentes provenant +cependant d'une même source. + +\Paragraph{3.} Rappelons les propriétés des fonctions conjuguées dans le cas de deux +variables. + +Si la fonction~$u$ satisfait à l'équation de Laplace $\Delta^2 u = 0$ en posant +\[ +\pderiv{u}{x} = X,\quad +\pderiv{u}{y} = Y +\] +on trouve +\iffalse %[** PP: Commented code duplicates original] +\begin{align*} +\pderiv{X}{y} &= \pderiv{Y}{x} \\ +\pderiv{X}{x} &+ \pderiv{Y}{y} = 0. +\end{align*} +\fi %[** End of commented code] +\[ %[** PP: Setting on one line, adding comma] +\pderiv{X}{y} = \pderiv{Y}{x},\qquad \pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} = 0. +\] +C'est pourquoi +\[ +X\, dx + Y\, dy,\quad Y\, dx - X\, dy +\] +sont des différentielles exactes. + +Envisageons les fonctions dans une aire~$\sigma$ à connexion simple, où $X$, $Y$ sont +finies, continues et monodromes. Calculons +\[ +u = u_0 + \int_{A_0}^{A_1} (X\, dx + Y\, dy),\quad +v = v_0 + \int_{A_0}^{A_1} (Y\, dx - X\, dy), +\] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{r}{1.5in} +\Input{027a}{1.5in} +\end{wrapfigure} +les intégrales étant étendues à une ligne~$s$ qui en +partant du point~$A_0$ aboutit au point~$A_1$, où $u_0$ est +la valeur de~$u$ dans le point~$A_0$ et~$v_0$ est une quantité +constante. On a que les intégrales ne dépendent pas +de la ligne~$s$ pourvu que $A_0$ et~$A_1$ ne changent pas +et $u$ est la valeur de la fonction~$u$ dans le point~$A_1$ +et $v$ est la valeur de la fonction conjuguée dans +le même point. L'aire étant à connexion simple si le +point~$A_1$ coïncide avec~$A_0$ les intégrales sont nulles, c'est pourquoi $u$ et~$v$ sont +des fonctions monodromes, mais si l'aire~$\sigma$ est à connexion multiple $u$ et~$v$ peuvent +être polydromes. +%% -----File: 028.png---Folio 28------- + +La dérivée de~$u$ dans une direction quelconque~$\xi$ est égale à la dérivée de~$v$ +dans la direction normale~$\eta$, si les directions $\xi$, $\eta$ sont orientées l'une par rapport +à l'autre comme $x$ et~$y$. + +En calculant $u + iv = f$, on obtient une fonction de la variable complexe +$x + iy$. + +\Paragraph{4.} Passons maintenant au cas de trois variables. + +Soit $u$ une fonction qui satisfait à l'équation de Laplace; posons +\[ +\pderiv{u}{x} = X,\quad +\pderiv{u}{y} = Y,\quad +\pderiv{u}{z} = Z; +\] +on aura évidemment +\begin{gather*} +\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z} = 0,\quad +\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x} = 0,\quad +\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y} = 0; +\tag{1} \\ +\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z} = 0. +\tag{2} +\end{gather*} + +La propriété caractérisée par les équations~(1) peut s'énoncer en disant que +le \emph{curl} % [** PP: Typo curls] +du vecteur ayant pour composantes $X$, $Y$, $Z$ est nul et la propriété caractérisée +par l'équation~(2) en disant que la \emph{divergence} du vecteur est nulle. + +\Paragraph{5.} Cela posé, soit~$S$ un domaine ayant une connexion simple linéaire et aussi +une connexion superficielle simple. Toute ligne fermée sera le contour d'une surface +renfermée dans le domaine et toute surface fermée sera le contour d'un volume +aussi renfermé dans le domaine. C'est pourquoi en employant le théorème de +Stokes on trouvera +\[ +\int_s (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) = 0 +\tag{3} +\] +l'intégrale étant étendue à une ligne fermée~$s$, et en appliquant le théorème de +Gauss on aura +\[ +\int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma = 0 +\tag{4} +\] +où cette intégrale est étendue à une surface fermée quelconque. + +On tire de l'équation~(3) que si l'on étend l'intégrale à une ligne~$s'$ qui en +partant d'un point~$A_0$ aboutit à un point~$A_1$ la valeur de l'intégrale dépendra seulement +des points $A_0$ et~$A_1$, et ne dépendra pas de la ligne comprise entre +ces points. +%% -----File: 029.png---Folio 29------- + +Si nous appelons $u_0$ la valeur de~$u$ au point~$A_0$ on aura +\[ +u = u_0 + \int_{s'} (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) +\] +$u$ étant la valeur de la fonction au point~$A_1$. Envisageons maintenant l'intégrale~(4), +mais supposons qu'elle ne soit pas étendue à une surface fermée, mais à une +surface ouverte. Pour déterminer la direction de la normale~$n$ à la surface nous +convenons que, le bord de la surface ayant une direction déterminée personnifiée +par une poupée qui regarde la surface, $n$~soit dirigée de droite à gauche de la +poupée. Cela posé on tire % [** PP: Removed comma] +tout de suite de l'équation~(4) que la valeur de l'intégrale +étendue à la surface ouverte ne dépend pas de la surface où l'on a calculé +l'intégrale, mais de son bord. C'est pourquoi l'intégrale étendue à une ligne conduit +à une fonction des points de l'espace: c'est à dire à la fonction primitive, et de +même l'intégrale étendue à une surface conduit à une fonction des lignes de l'espace. + +Il n'y a pas de difficulté à concevoir des fonctions de lignes comme on conçoit +des fonctions ordinaires, c'est à dire les fonctions des points. En effet, si l'on +regarde tous les points de l'espace, et si l'on suppose qu'à chaque point correspond +la valeur d'une quantité, on a % [** PP: Typo à] +une fonction des points de l'espace, c'est à dire une +fonction ordinaire de trois variables. Mais toutes les lignes forment aussi des +éléments géométriques de l'espace, et l'on peut évidemment concevoir une quantité +qui a une valeur correspondant à chaque ligne. Voilà donc une fonction des lignes. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{r}{2.5in} +\Input{029a}{2.5in} +\end{wrapfigure} +Celle que nous avons trouvée n'est +qu'une fonction particulière. Elle correspond +à des lignes fermées, elle est +continue et elle a aussi une autre propriété +intéressante. Soient $s$ et~$s'$ deux +lignes fermées qui ont un arc commun~$AB$. +Si on doit parcourir l'arc~$AB$ en +directions contraires en supposant qu'il +appartienne aux deux lignes, on pourra +retrancher~$AB$ et obtenir une courbe~$s''$ +dont la direction même sera déterminée. +On écrira +\[ +s'' = s + s'. +\] + +Soit $V$ la fonction des lignes que nous avons trouvée, et désignons par $V, +V', V''$ les valeurs correspondant aux lignes $s, s', s''$ il est évident que +\[ +V'' = V' + V. +\] +%% -----File: 030.png---Folio 30------- + +C'est pourquoi l'on peut appeler la fonction des lignes que nous avons trouvée +une \emph{fonction de premier degré}. + +\Paragraph{6.} Elle a été obtenue par un procédé d'intégration; il est facile d'y appliquer +un procédé inverse qu'on peut appeler un procédé de dérivation. + +%[Illustration] +% [** PP: Moved up one paragraph to accommodate pagination] +\begin{wrapfigure}[10]{l}{1.75in}% **** Explicit height +\Input{030a}{1.75in} +\end{wrapfigure} +Revenons à une fonction ordinaire des points de l'espace. Pour la dériver +il suffit de déplacer le point indice de la fonction dans une certaine direction, de +calculer le rapport entre la variation de la fonction et le déplacement, et d'en déterminer +la limite lorsque le déplacement devient infiniment petit. + +De même prenons la fonction des lignes que nous avons trouvée. Déplaçons +en~$l'$ un arc~$l$ de la ligne, et cherchons la variation correspondante de la fonction. +A % [** PP: Typo À] +cause des propriétés que nous avons trouvées +cette variation sera la valeur de la fonction correspondant +à la ligne formée par les arcs $l'$ et~$l$ +en supposant que l'on invertisse la direction dans +laquelle on doit parcourir l'arc~$l$. Elle pourra donc +s'exprimer par +\[ +W = \int_\Sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\Sigma, +\] +$\Sigma$ étant une surface ayant pour contour les lignes +$l$ et~$l'$; $n$~sa normale prise dans la direction qu'on +a établie précédemment. + +Supposons maintenant que la surface~$\Sigma$ en décroissant infiniment d'une manière +régulière tende vers un point~$M$; on aura +\[ +\lim \frac{W}{\Sigma} = X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz +\] +en prenant les valeurs de $X, Y, Z$ qui correspondent au point~$M$. + +On peut appeler $\lim \smash[b]{\dfrac{W}{\Sigma}}$ la dérivée de~$V$ par rapport à~$\Sigma$, et l'on peut la représenter +par~$\dfrac{dV}{d\Sigma}$. Il est évident que le signe dont la dérivée est affectée n'est +déterminé que lorsqu'on connaît % [** PP: Typo connait] +la direction positive de la normale à la surface~$\Sigma$. +Prenons la dérivée de~$V$ par rapport à une surface~$\Sigma$ normale à l'axe~$X$ en~$M$, +on aura +\[ +\frac{dV}{d\Sigma} = X. +\] +De même, si $\Sigma_1$ et~$\Sigma_2$ sont des surfaces normales aux axes $Y$ et~$Z$, on aura +%% -----File: 031.png---Folio 31------- +\[ +\deriv{V}{\Sigma_1} = Y,\quad \deriv{V}{\Sigma_2} = Z, +\] +c'est pourquoi l'on peut désigner $X, Y, Z$ par les symboles +\[ +\deriv{V}{(yz)},\quad \deriv{V}{(zx)},\quad \deriv{V}{(xy)}. +\] + +Revenons maintenant à la fonction primitive~$u$. Nous avons +\[ +\pderiv{u}{x} = X\quad +\pderiv{u}{y} = Y\quad +\pderiv{u}{z} = Z; +\] +donc +\[ +\pderiv{u}{x} = \pderiv{V}{(yz)},\quad +\pderiv{u}{y} = \pderiv{V}{(zx)},\quad +\pderiv{u}{z} = \pderiv{V}{(xy)} +\] +ou en général, $n$~étant la normale à la surface~$\Sigma$, +\[ +\pderiv{u}{n} = \pderiv{V}{\Sigma}. +\] + +On tire de là qu'en dérivant la fonction des lignes~$V$ par rapport à une certaine +surface et en dérivant la fonction~$u$ par rapport à la normale à cette surface +on trouve la même valeur. Donc la fonction~$u$ et la fonction~$V$ ont une relation +réciproque tout à fait analogue à celle des deux fonctions conjuguées dans le cas +de deux variables. C'est pourquoi dans le cas de trois variables, pour arriver à +une fonction conjuguée de la fonction potentielle, il faut introduire les fonctions +des lignes. + +\Paragraph{7.} On pourrait penser que ce nouveau concept est tout à fait abstrait, mais +nous voulons montrer bien au contraire qu'il correspond à des concepts réels et à +des vues pratiques. + +Il suffit pour cela d'envisager un champ électromagnétique constant. Supposons +que nous ayons un pôle magnétique unitaire qui se déplace en prenant toutes +les positions possibles dans un certain domaine externe à toute masse magnétique, +électrique et à tout courant électrique. Le potentiel du champ par rapport au +pôle sera une fonction qui vérifie l'équation de Laplace, c'est à dire une \emph{fonction +harmonique}. + +Mais évidemment on pourra aussi penser avoir un courant électrique unitaire +qui parcourt un circuit fermé et qui se déplace en prenant toutes les positions et les +formes possibles dans le même domaine. Il est bien naturel que nous calculons le +potentiel du champ par rapport au courant électrique. On aura par là une idée +complète de la nature électromagnétique du champ, mais en même temps nous aurons +%% -----File: 032.png---Folio 32------- +envisagé une fonction des lignes fermées du domaine. Il est facile de démontrer +par un calcul très simple que cette fonction des lignes, c'est à dire le potentiel du +champ par rapport au courant, est justement la fonction conjuguée que nous avons +introduite tout à l'heure. + +On a donc que le nouveau concept a une base réelle et se présente même +comme un élément nécessaire à envisager dans les théories de la physique mathématique. + +\Paragraph{8.} Les fonctions conjuguées ordinaires qui se présentent dans le cas de deux +variables peuvent s'obtenir en particularisant celles que nous venons de définir. Il +suffit en effet d'envisager un champ électromagnétique à deux variables. Alors il +faut remplacer le pôle magnétique par un pôle logarithmique %[** PP: Typo logaritmique] +et le courant électrique +par un point tourbillon et le passage est déjà fait. + +Il y a aussi un autre cas particulier qui présente beaucoup d'intérêt. C'est celui +des potentiels symétriques. Dans ce cas il suffit de considérer les valeurs de la +fonction conjuguée correspondant aux lignes circulaires normales à l'axe de symétrie +et ayant le centre sur l'axe même. On arrive par là à des fonctions ordinaires +qu'on appelle les fonctions associées que Kirchhoff avait introduites en partant de +concepts tout à fait différents. + + +\Chapter{\Ord{6}{ième} leçon.} + +\Paragraph{9.} Jusqu'à présent nous avons envisagé les fonctions des lignes qui s'obtiennent +comme des fonctions conjuguées des fonctions qui satisfont à l'équation de Laplace; +mais on peut généraliser la chose. Soient $X, Y, Z$ trois fonctions quelconques +définies dans un espace~$S$ dont la connexion linéaire et la connexion superficielle +sont simples, et supposons qu'elles soient finies, monodromes et continues, et que +leurs dérivées aussi soient finies, continues et monodromes. Si l'on a +\[ +\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z} = 0 +\] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{r}{1.75in} +\Input{033a}{1.75in} +\end{wrapfigure} +on pourra toujours par le procédé que nous avons indiqué précédemment calculer +une fonction des lignes de l'espace. C'est pourquoi la condition pour l'existence +de la fonction des lignes est la condition~(2). Les conditions~(1) ne sont pas nécessaires % [** Xrefs] +pour son existence. Elles sont nécessaires pour qu'elle soit la fonction conjuguée +d'une fonction harmonique. Or, l'espace ayant les deux connexions simples, +%% -----File: 033.png---Folio 33------- +on peut calculer la valeur de la fonction des lignes pour chaque ligne fermée de +l'espace dont la direction est connue, et pour chaque ligne on trouve une seule +valeur. Envisageons maintenant un espace~$S$ dont +la connexion superficielle ne soit pas simple, par +exemple l'espace compris entre deux sphères concentriques +$\sigma_1$ et~$\sigma_2$. Conduisons une surface~$\sigma_3$ comprise +entre les deux, et traçons une ligne fermée~$s$ +qui partage~$\sigma_3$ en deux parties $\sigma'_3$ et~$\sigma''_3$. + +Ayant fixé la direction de la ligne~$s$ on pourra +calculer la valeur de la fonction correspondante à +la ligne~$s$ de deux manières en formant +\[ +\int_{\sigma'_3} (X \cos n'x + Y \cos n'y + Z \cos n'z)\, d\sigma'_3 +\tag{4} +\] +et +\[ +\int_{\sigma''_3} (X \cos n''x + Y \cos n''y + Z \cos n''z)\, d\sigma''_3, +\tag{5} +\] +$n'$ étant la normale à~$\sigma'_3$ et $n''$ la normale à~$\sigma''_3$. Les deux normales ont évidemment +la direction opposée, c'est à dire que si l'une est dirigée vers l'intérieur de~$\sigma_3$ l'autre +est dirigée vers la partie externe. Faisons maintenant la différence des deux intégrales. +On aura l'intégrale étendue à toute la surface~$\sigma_3$, et on devra prendre la +normale dirigée constamment dans la même direction. Mais~$\sigma_3$ à elle seule ne +limite pas un volume renfermé dans~$S$, c'est pourquoi la dernière intégrale pourra +n'être pas nulle et par suite les intégrales (4) et~(5) pourront être différentes. + +On voit donc que dans ce cas la valeur de la fonction des lignes n'est pas +déterminée pour chaque ligne. + +On peut se faire une idée de la polydromie d'une fonction des lignes aussi +d'une autre manière. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}[3]{r}{1.5in}% **** Explicit height +\raisebox{0.2in}[0.5in][0pt]{\Input{033b}{1.5in}} +\end{wrapfigure} +Pour avoir la différence des valeurs de la fonction correspondante +à deux lignes $s$, $s'$, on peut déplacer la ligne~$s$ +d'une manière continue de sorte qu'elle vienne %[** PP: Typo viennne] +coïncider en +position et direction avec la ligne~$s'$. Soit~$\sigma$ la surface engendrée +par ce déplacement, $V'$ la valeur de la fonction correspondante +à la ligne~$s'$ et $V$ la valeur correspondante à la +ligne~$s$. On aura +%% -----File: 034.png---Folio 34------- +\[ +V' - V = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma, +\] +%[Illustrations] +%[** PP: Width-dependent formatting] +\noindent\begin{minipage}[b]{1.5in} +\Input{034a}{1.375in}\\[0.5in] +\Input{034b}{1.375in} +\end{minipage}% +\begin{minipage}[b]{4.25in} % [**** Explicit width] +$n$ étant la normale à la surface~$\sigma$ dirigée par rapport à la direction de~$s'$ de la +manière que nous avons indiquée dans le §~5. Déplaçons maintenant $s'$ en lui % [** Xref] +faisant engendrer un tube de manière que $s'$ se +rapproche indéfiniment de~$s$ jusqu'à coïncider avec~$s'$. +$\sigma$~deviendra une surface fermée. Si le domaine +où nous envisageons les choses a la connexion +superficielle simple, $\sigma$~sera le contour d'un espace +interne au domaine et par suite en appliquant le +théorème de Gauss on aura que l'intégrale étendue +à~$\sigma$ sera nulle, d'où l'on tire que les deux valeurs +$V'$ et~$V$ seront égales. Mais, si le domaine a une +connexion superficielle multiple, $\sigma$~n'est pas toujours +le contour d'un espace interne au domaine et par +suite les deux valeurs peuvent résulter différentes. +Dans ce cas donc, si une ligne fermée en décrivant +un tube revient à sa position initiale, en prenant +des valeurs de la fonction qui se suivent avec continuité, +on peut retourner avec une valeur différente +de celle du départ. Par conséquent la polydromie +pour les fonctions des lignes ne tient pas à la cyclicité, c'est à dire à la connexion +linéaire, mais à la connexion superficielle. +\end{minipage} + +\Paragraph{10.} Nous avons vu que, pour rendre acyclique un espace cyclique, il faut +faire une coupure ou plusieurs coupures. Qu'est-ce qu'il faut faire pour transformer +un espace qui a une connexion superficielle multiple en un espace qui a une connexion +simple? + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.75in} +\Input{034c}{1.5in} +\end{wrapfigure} +Envisageons l'espace compris entre deux sphères +concentriques. Imaginons un tube infiniment mince +qui réunit la grande sphère à la sphère interne. Par +ce tube la connexion superficielle devient simple. + +Il y a d'autres cas où il faut un plus grand +nombre de tubes pour obtenir la réduction. L'ordre +de la connexion superficielle est mesuré par le nombre +des tubes plus~$1$. A chaque tube correspond une +constante spéciale pour la fonction des lignes obtenue +%% -----File: 035.png---Folio 35------- +par intégration, comme à chaque coupure correspond une constante pour une fonction +ordinaire obtenue par intégration dans un espace cyclique. + +Si l'on cherche la fonction conjuguée de la fonction harmonique $\frac{1}{2} \log (x^2 + y^2)$ % [** PP: Using \frac] +dans le cas de deux variables on trouve la fonction polydrome $\arctg \dfrac{y}{x}$. De même +si l'on cherche la fonction des lignes conjuguée de la fonction harmonique +$\dfrac{1}{\sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)}}$ on trouve une fonction des lignes polydrome. + +\Paragraph{11.} On a calculé une fonction en regardant chaque ligne comme le contour +d'une surface. Si l'espace est cyclique il y a des lignes qui ne forment le contour +d'aucune surface. On peut trouver les différences des valeurs correspondantes +à ces lignes, mais nous n'insisterons pas ci-dessus. + +Il y a aussi une autre manière pour calculer des fonctions des lignes de premier +degré. Nous dirons en peu de mots en quoi elle consiste. + +L'équation~(2) étant satisfaite on peut trouver trois fonctions $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ de +$x, y, z$ telles que +\begin{align*} +X &= \pderiv{Z_2}{z} - \pderiv{Z_3}{y}, \\ +Y &= \pderiv{Z_3}{x} - \pderiv{Z_1}{z}, \\ +Z &= \pderiv{Z_1}{y} - \pderiv{Z_2}{x}. +\end{align*} + +Alors, si $s$ est une ligne qui forme le contour de la surface~$\sigma$ ayant pour +normale~$n$, on a par le théorème de Stokes +\[ +\int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, ds = \int_s (Z_1\, dx + Z_2\, dy + Z_3\, dz) +\] +en choisissant convenablement la direction de la ligne~$s$. On voit par là que la +fonction d'une ligne peut se calculer par une intégrale étendue à la ligne même. + +Nous avons fait usage précédemment %[** PP: Typo précédemmnnt] +du langage des champs vectoriels; on +peut y revenir pour donner une image visible et frappante des concepts que nous +avons introduits. + +Lorsqu'un champ scalaire est divisé en lames infiniment minces telles que +chacune correspond au même accroissement de la quantité scalaire, la fonction +%% -----File: 036.png---Folio 36------- +scalaire dans un point quelconque sert à dénombrer les lames comprises entre ce +point et un point fixe. + +Envisageons maintenant un champ solénoïdal % [** Typo solénoidal] +divisé en tubes équivalents infiniment +minces. Dans ce cas, pour connaître la nature du champ, il faut savoir +dénombrer les tubes qui passent à l'intérieur de toute ligne fermée. Voilà le concept +de fonction de ligne de premier degré qui surgit. Si le champ est en même +temps solénoïdal % [** PP: Typo solénoidal] +et scalaire, le nombre des lames comprises entre un point fixe et +le point variable et le nombre des tubes compris dans une ligne variable forment +des fonctions conjuguées. + +\Paragraph{12.} Nous nous sommes bornés jusqu'à présent au cas de trois variables; +mais on peut généraliser les concepts que nous venons d'exposer au cas d'un nombre +quelconque de variables. + +Dans un espace à $n$~dimensions on peut imaginer des points, des espaces à +une dimension, des espaces à deux dimensions, des espaces à trois dimensions etc.\ +et des espaces à $n-1$ dimensions, c'est pourquoi l'on peut imaginer des fonctions +des points, c'est à dire des fonctions ordinaires de $n$~variables, des fonctions des +espaces à une dimension, des fonctions des espaces à deux dimensions etc.\ et enfin +des fonctions des espaces à $n-1$ dimensions. + +Si ces espaces sont fermés et si nous définissons une direction des espaces, on peut +concevoir les fonctions des espaces à $r$~dimensions \emph{de premier degré}, c'est à dire, +si $S_r$ et~$S'_r$ sont deux espaces fermés à $r$~dimensions ayant une partie commune qui +a deux directions différentes selon qu'on la regarde comme appartenant à~$S_r$ ou +à~$S'_r$, retranchons cette partie et envisageons l'espace~$S''_r$ formé avec les parties +résiduelles. La fonction qu'on envisage sera de premier degré si, les valeurs correspondantes +à $S_r, S'_r, S''_r$ étant $V, V', V''$, on a +\[ +V'' = V' + V. +\] + +Les fonctions de premier degré des espaces à $r$~dimensions peuvent se calculer +par des intégrations étendues à des espaces à $r + 1$ dimensions, et l'on peut +former des dérivées de ces fonctions tout à fait analogues aux dérivées des fonctions +des lignes que nous avons envisagées. + +De cette manière dans un espace à $n$~dimensions on peut obtenir des fonctions +conjuguées de $\dfrac{n-1}{2}$ types différents, si $n$~est un nombre impair et de~$\dfrac{n}{2}$ +types, si $n$~est pair. En effet à une fonction des espaces à $r$~dimensions ($r < n-1$) +on peut faire correspondre comme fonction conjuguée une fonction de $n-r-2$ +dimensions. +%% -----File: 037.png---Folio 37------- + +Dans un espace à deux dimensions on a une seule sorte de fonctions conjuguées, +c'est à dire que les fonctions conjuguées à des fonctions harmoniques des +points sont aussi des fonctions des points. + +Dans un espace à $3$~dimensions les fonctions conjuguées à des fonctions harmoniques +des points sont des fonctions des lignes, comme nous venons de voir. +Dans un espace à $4$~dimensions les fonctions conjuguées à des fonctions harmoniques des +points sont des fonctions des espaces à deux dimensions, mais l'on peut avoir +aussi des fonctions conjuguées à des fonctions des espaces à une dimension qui +sont aussi des fonctions de la même nature. + +Dans un espace à $5$~dimensions les fonctions harmoniques des points sont +conjuguées à des fonctions des espaces à trois dimensions, et l'on peut avoir des +fonctions des espaces à une dimension conjuguées à des fonctions des espaces à +deux dimensions. Ainsi de suite avec la règle que nous avons exposée précédemment. + +On arrive par là à une théorie générale des fonctions conjuguées où les fonctions +harmoniques ordinaires à $n$~variables se présentent comme un cas très-particulier. +Il est bon de remarquer que dans les hyperespaces d'un nombre $n$ pair +de dimensions il y a des fonctions conjuguées d'ordre $\smash[b]{\dfrac{n-1}{2}}$ qui correspondent +aux mêmes hyperespaces. + +La connexion de plus en plus compliquée des espaces à $n$~dimensions joue +un rôle très important et est étroitement liée aux différentes espèces des polydromies +des fonctions, comme nous avons pu constater dans le cas de trois variables. +Ces polydromies se présentent comme une extension de celles qu'on a dans +les cas des intégrales Abéliennes. % [** PP: Typo Abeliennes] + +\Paragraph{13.} On peut envisager ces recherches comme une généralisation de l'étude +des fonctions conjuguées, c'est à dire de la partie réelle et de la partie imaginaire +d'une fonction d'une variable complexe considérées séparément. + +Mais si nous voulons parvenir à une vraie extension de la théorie des fonctions, +c'est à dire de l'ensemble des deux fonctions conjuguées, l'une étant multipliée +par~$\sqrt{-1}$, il faut changer le point de vue, mais les mêmes concepts que +nous avons exposés en sont toujours la base, c'est pourquoi nous avons dit dans +la leçon précédente, qu'il y avait deux branches d'études qui provenaient d'une +même source. Comme j'ai annoncé dans la première leçon je n'abandonnerai pas +ce sujet sans avoir donné aussi un aperçu de ces recherches qui sont liées à la +théorie des fonctions d'un côté et aux équations qui paraissent dans la physique +mathématique d'un autre côté. +%% -----File: 038.png---Folio 38------- + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1in}% +\Input{038a}{1in} +\end{wrapfigure}% +\Paragraph{14.} Si nous envisageons un plan et deux quantités complexes $F$ et~$\Phi$ qui +sont des fonctions des points du plan, la condition pour que $F$ soit une fonction +de~$\Phi$ est qu'en déplaçant le point indice~$M$ dans une direction quelconque $MM'$ +et, en calculant le rapport $\dfrac{\Delta F}{\Delta\Phi}$ des variations des deux fonctions, +la limite du rapport, lorsque $MM'$ devient infiniment petit, ne dépend +pas de la direction du déplacement mais soit une nouvelle fonction +du point indice. Cauchy employait dans ce cas le mot de \emph{fonction monogène}. + +Or une extension n'est pas possible dans l'espace, car si nous posons la même +condition que nous venons d'indiquer dans le cas où le point indice au lieu de se +déplacer dans un domaine à deux dimensions peut se déplacer dans un domaine +à trois dimensions, on trouve qu'elle conduit à la même relation entre $F$ et~$\Phi$ et +l'on trouve la même chose dans le cas d'un espace à plusieurs dimensions. + +Mais nous avons vu que dans les espaces à trois dimensions et à plusieurs +dimensions le concept des fonctions ordinaires, c'est à dire des fonctions des points, +n'est qu'un cas particulier du concept général de fonctions, car il y a les fonctions +des lignes et en général les fonctions des hyperespaces. Si nous appliquons +maintenant la condition que nous avons posée tout à l'heure pour $F$ et~$\Phi$, mais +en supposant que les fonctions soient des fonctions du nouveau genre que nous +avons introduites, toute difficulté disparaît, % [** PP: Typo disparait] +et l'on peut étendre à un espace d'un +nombre quelconque de dimensions la liaison de monogénéité de Cauchy, c'est à +dire on peut étendre la théorie des fonctions au cas d'un domaine quelconque +en trouvant quelque chose de nouveau. Faute du concept des fonctions des lignes +et des hyperespaces la base où fonder la théorie manquait complètement. %[** PP: Typo complétement] +D'autre +part il fallait bien penser qu'il aurait été nécessaire de tomber là dessus, si l'on +voulait étendre la théorie des fonctions, car si l'opération de l'intégration dans le +cas des fonctions d'une variable ne fait pas sortir du domaine des fonctions de la +même nature, l'intégration des fonctions de plusieurs variables, c'est à dire l'intégration +multiple qui est étendue à des domaines à plusieurs dimensions dont les +limites sont des lignes ou des surfaces etc., devait nous amener au nouveau concept +que nous avons introduit. + +\Paragraph{15.} Envisageons donc dans un espace à trois dimensions deux fonctions +complexes de premier degré des lignes, et soient $F$ et~$\Phi$ leurs valeurs correspondantes +à une ligne~$L$. Déformons un arc $AB$ de~$L$, et désignons par $\Delta F$ +et~$\Delta \Phi$ les variations de~$F$ et de~$\Phi$. Si en diminuant indéfiniment la déformation +et la distance entre $B$ et le point fixe~$A$, le rapport +\[ +\frac{\Delta \Phi}{\Delta F} +\] +%% -----File: 039.png---Folio 39------- +tend vers une limite qui dépend seulement du point~$A$, on pourra dire qu'entre +les variables complexes $\Phi$ et~$F$ passe une liaison tout à fait analogue à celle +de monogénéité de Cauchy. + +On peut exprimer cette condition d'une autre manière en faisant usage des +notations que nous avons introduites. Calculons +\[ +\deriv{\Phi}{\Sigma} : \deriv{F}{\Sigma} = f, +\tag{6} +\] +$\Sigma$ étant une surface quelconque, $f$ doit avoir une valeur indépendante de la +direction de la surface~$\Sigma$, c'est à dire doit être une fonction des points de +l'espace. + +Décomposons maintenant $\Phi$ et~$F$ et leurs dérivées dans les parties réelles +et imaginaires en posant +\begin{gather*} +F = F_1 + i F_2,\quad \Phi = \Phi_1 + i \Phi_2,\quad i = \sqrt{-1}; \\ +% +\deriv{F}{(y,z)} = p_1 + ip_2,\quad +\deriv{F}{(z,x)} = q_1 + iq_2,\quad +\deriv{F}{(x,y)} = r_1 + ir_2; \\ +% +\deriv{\Phi}{(y,z)} = \omega_1 + i\omega_2,\quad +\deriv{\Phi}{(z,x)} = \chi_1 + i\chi_2,\quad +\deriv{\Phi}{(x,y)} = \rho_1 + i\rho_2; +\end{gather*} +la condition~(6) pourra s'écrire +\[ + \frac{\omega_1 + i\omega_2}{p_1 + ip_2} += \frac{\chi_1 + i\chi_2}{q_1 + iq_2} += \frac{\rho_1 + i\rho_2}{r_1 + ir_2} = f +\tag{7} +\] +et l'on tire de là que $\Phi_1$ et~$\Phi_2$ doivent vérifier les mêmes équations, c'est à dire +% [** PP: Explicitly-sized parentheses] +\begin{gather*} + D_1 \deriv{\Psi}{(y,z)} ++ D_2 \deriv{\Psi}{(z,x)} ++ D_3 \deriv{\Psi}{(x,y)} = 0 \\ +% +\tag{8} +0 = \pderiv{}{x} + \Biggl(\dfrac{\eps_{12} \deriv{\Psi}{(x,y)} + - \eps_{13} \deriv{\Psi}{(z,x)}}{D_1}\Biggr) + + \pderiv{}{y} + \Biggl(\dfrac{\eps_{23} \deriv{\Psi}{(y,z)} + - \eps_{21} \deriv{\Psi}{(x,y)}}{D_2}\Biggr) +\Trail{+} \\ +% + + \pderiv{}{z} + \Biggl(\dfrac{\eps_{31} \deriv{\Psi}{(z,x)} + - \eps_{32} \deriv{\Psi}{(y,z)}}{D_3}\Biggr), +\end{gather*} +où $\Psi$ peut être remplacé par $\Phi_1$ et~$\Phi_2$ et l'on a +\begin{gather*} +\eps_{11} = p^2_1 + p^2_2, \quad +\eps_{22} = q^2_1 + q^2_2, \quad +\eps_{33} = r^2_1 + r^2_2, \\ +% +\eps_{23} = \eps_{32} = q_1 r_1 + q_2 r_2, \quad +\eps_{31} = \eps_{13} = r_1 p_1 + r_2 p_2, \quad +\eps_{12} = \eps_{21} = p_1 q_1 + p_2 q_2, \\ +% +D_1 = q_2 r_1 - r_2 q_1, \quad +D_2 = r_2 p_1 - p_2 r_1, \quad +D_3 = p_2 q_1 - q_2 p_1. +\end{gather*} +%% -----File: 040.png---Folio 40------- + +L'équation~(8) remplace dans ce cas l'équation de Laplace et a bien des propriétés +communes avec elle. + +\Paragraph{16.} On peut écrire l'équation~(6) sous la forme +\[ +\deriv{\Phi}{F} = f. +\tag{9} +\] +Les fonctions $\Phi$ et~$F$ peuvent s'appeler \emph{isogènes}. Il est évident que deux fonctions +des lignes qui sont isogènes avec une troisième sont isogènes entre elles. De +même une fonction des points~$\phi$ peut s'appeler aussi isogène avec~$F$ si +\[ + \deriv{F}{(y,z)} · \pderiv{\phi}{x} ++ \deriv{F}{(z,x)} · \pderiv{\phi}{y} ++ \deriv{F}{(x,y)} · \pderiv{\phi}{z} = 0. +\tag{10} +\] +Elle sera isogène avec toutes les fonctions des lignes isogènes avec~$F$. On démontre +aussi facilement que $f$ est isogène avec~$F$, et réciproquement que si la +fonction des points $f$ est isogène avec la fonction des lignes~$F$, on peut trouver +une fonction~$\Phi$ telle que l'égalité~(9) soit vérifiée. + +Toutes les fonctions des points qui sont isogènes avec~$F$ peuvent s'appeler +isogènes entre elles. Puisqu'elles doivent vérifier l'équation~(10) on en tire que +deux d'entre elles sont indépendantes et les autres en sont des fonctions. Soient +$\phi_1$ et~$\phi_2$ des fonctions indépendantes. A cause de l'équation~(10) on pourra toujours +écrire +% [** PP: Dropped commas between matrix entries] +\[ +\tag{11} +\left\{ +\begin{aligned} +\deriv{F}{(y,z)} &= \phi_3 \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_1}{y} & \pderiv{\phi_1}{z} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{y} & \pderiv{\phi_2}{z} + \end{matrix} \right| = X, \\[2ex] +% +\deriv{F}{(z,x)} &= \phi_3 \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_1}{z} & \pderiv{\phi_1}{x} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{z} & \pderiv{\phi_2}{x} + \end{matrix} \right| = Y, \\[2ex] +% +% [** PP: Derivatives w.r.t. y, not x, in second column] +\deriv{F}{(x,y)} &= \phi_3 \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_1}{x} & \pderiv{\phi_1}{y} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{x} & \pderiv{\phi_2}{y} + \end{matrix} \right| = Z, +\end{aligned} +\right. +\] +où $\phi_3$ est une fonction des points isogène aux autres, c'est à dire $\phi_3 = \phi_3(\phi_1,\phi_2)$. + +Supposons que le domaine à trois dimensions que nous envisageons ait une +connexion superficielle simple et que dans ce domaine les fonctions que nous considérons +n'aient pas de singularités, alors pour avoir la valeur de la fonction~$F$ +correspondante à une certaine ligne il suffira de regarder cette ligne comme le +contour d'une surface~$\sigma$ et de former +%% -----File: 041.png---Folio 41------- +\[ +F = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma. +\] +Soient $u$, $v$ des coordonnées curvilignes de la surface. On aura +\begin{align*} +d\sigma \cos nx &= \left| + \begin{matrix} + \pderiv{y}{u} & \pderiv{z}{u} \\[2ex] + \pderiv{y}{v} & \pderiv{z}{v} + \end{matrix} \right|\, du\, dv; \\[2ex] +% +d\sigma \cos ny &= \left| + \begin{matrix} + \pderiv{z}{u} & \pderiv{x}{u} \\[2ex] + \pderiv{z}{v} & \pderiv{x}{v} + \end{matrix} \right|\, du\, dv; \\[2ex] +% +d\sigma \cos nz &= \left| + \begin{matrix} + \pderiv{x}{u} & \pderiv{y}{u} \\[2ex] + \pderiv{x}{v} & \pderiv{y}{v} + \end{matrix} \right|\, du\, dv. +\end{align*} + +C'est pourquoi l'intégrale précédente pourra s'écrire +\[ +F = \int_\sigma \phi_3 \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_1}{u} & \pderiv{\phi_1}{v} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{u} & \pderiv{\phi_2}{v} + \end{matrix} \right|\, du\, dv + = \int_\sigma \phi_3\, d\phi_1\, d\phi_2. +\tag{12} +\] + +On voit par là que tout ensemble de fonctions isogènes des lignes et des points +dans un espace à trois dimensions ressort des fonctions de deux variables complexes +et de leurs intégrales, comme tout ensemble de fonctions monogènes dans un +espace à deux dimensions ressort des fonctions d'une variable complexe et de leurs +intégrales. + +Si la surface~$\sigma$ dans l'intégrale~(12) est une surface fermée, l'intégrale devient +nulle. Cette propriété n'est autre chose que la théorie de Cauchy pour les fonctions +de deux variables telle que M.~Poincaré l'a donnée. + +Si l'espace n'a pas une connexion superficielle simple, ou si les fonctions qui +paraissent dans les formules ont des singularités, l'intégrale peut n'être pas nulle. +Il faut alors remplacer la surface~$\sigma$ par un ensemble de surfaces qui forment le +contour complet d'un domaine à trois dimensions où les fonctions n'ont pas de +singularités. +%% -----File: 042.png---Folio 42------- + +\Paragraph{17.} $\phi_4$ étant une fonction de $\phi_1$ et~$\phi_2$ telle que +\[ +\pderiv{\phi_4}{\phi_1} = \phi_3(\phi_1\, \phi_2), +\] +les équations~(11) s'écrivent +\begin{align*} +\deriv{F}{(y,z)} &= \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_4}{y} & \pderiv{\phi_4}{z} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{y} & \pderiv{\phi_2}{z} + \end{matrix} \right|, \\[2ex] +% +\deriv{F}{(z,x)} &= \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_4}{z} & \pderiv{\phi_4}{x} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{z} & \pderiv{\phi_2}{x} + \end{matrix} \right|, \\[2ex] +% +\deriv{F}{(x,y)} &= \left| + \begin{matrix} + \pderiv{\phi_4}{x} & \pderiv{\phi_4}{y} \\[2ex] + \pderiv{\phi_2}{x} & \pderiv{\phi_2}{y} + \end{matrix} \right| +\end{align*} +et l'équation~(12) deviendra +\[ +F = \int_\sigma d\phi_4\, d\phi_2 , +\] +d'où l'on tire que $F$ peut s'obtenir par $\phi_4$ et~$\phi_2$ ou qu'elle est composée par ces +deux fonctions qu'on peut appeler des diviseurs de~$F$. On peut écrire +\[ +F = (\phi_4\, \phi_2). % [** PP: product?] +\] + +La décomposition de~$F$ en ses diviseurs peut se faire d'une infinité de manières. +Les diviseurs sont isogènes avec~$F$ et deux fonctions isogènes des lignes +ont toujours un diviseur commun. Les diviseurs étant des fonctions des points, +on peut les appeler élémentaires. + + +\Chapter{\Ord{7}{ième} leçon.} + +\Paragraph{18.} La théorie qu'on vient d'exposer se rapporte au cas des fonctions de deux +variables, et elle a l'avantage qu'on peut l'exposer sans recourir aux espaces à plus +de trois dimensions. Mais si l'on se borne à ces espaces, on n'a pas évidemment +%% -----File: 043.png---Folio 43------- +une théorie complète; et l'on voit la nécessité d'étendre tous les concepts à l'espace +à $n$~dimensions. Il n'est pas difficile de le faire. Mais par là la théorie se développe +d'une manière inattendue. C'est à dire qu'on ne trouve pas seulement la théorie +des fonctions de plusieurs variables complexes et de leurs intégrales, mais quelque +chose aussi de beaucoup plus général. En effet toute fonction complexe de premier degré +d'une ligne peut être attachée par la liaison d'isogénéité à un ensemble d'autres +fonctions des lignes et à des fonctions de deux variables complexes indépendantes, +et peut se décomposer en facteurs élémentaires. La même chose ne se présente pas, +lorsqu'on envisage une fonction des hyperespaces de $r<n$ dimensions dans un hyperespace +de $n>3$ dimensions. Pour ces fonctions aussi il y a, comme dans le cas des +fonctions des lignes dans l'espace à trois dimensions, une décomposition en fonctions +d'un ordre plus simple qui présente des caractères arithmétiques analogues à la +décomposition d'un nombre en facteurs premiers. Mais dans le cas des hyperespaces +cette décomposition ne peut pas être poussée toujours jusqu'à arriver aux +fonctions des points, c'est à dire que tous les diviseurs premiers de la fonction peuvent +être aussi des fonctions des hyperespaces. Or, pour qu'une fonction soit liable à +une autre par la liaison d'isogénéité il est nécessaire et suffisant qu'elle ait un diviseur +élémentaire, c'est à dire un diviseur qui soit une fonction des points. Il faut +donc poser des conditions spéciales avant de pouvoir établir la liaison d'isogénéité, +et même après avoir établi cette liaison on a une théorie bien plus générale que celle +qui ressort des fonctions de plusieurs variables et de leurs intégrales. Ce cas se +rapporte seulement à l'ensemble des fonctions des hyperespaces dont tous les diviseurs +sont des diviseurs élémentaires. + +Lorsqu'on envisage des espaces ayant un nombre de dimensions toujours +croissant, les différentes sortes de connexions possibles augmentent toujours. Listing, +Bei, Poincaré les ont étudiées. Elles jouent un rôle fondamental dans les théories +précédentes, car elles déterminent les différentes sortes de polydromies des +fonctions des hyperespaces. Dans le cas des fonctions d'une seule variable complexe +on n'a qu'une seule sorte de polydromie qui ressort de la cyclicité, mais dans +les cas précédents leur nombre est toujours plus élevé. La théorie des intégrales +Abéliennes ne présente que le premier cas de cette théorie générale. + +\Paragraph{19.} Les fonctions des lignes et des hyperespaces nous conduisent naturellement +à dire quelques mots sur d'autres études très voisines qui ont bien des rapports +avec des questions de la physique mathématique. + +Soient $x, y, z$ les coordonnées des points de l'espace. Une ligne est déterminée +par deux équations $y=f(x)$, $z=\phi(x)$. Donc une quantité qui dépend d'une +ligne peut être envisagée comme une quantité qui dépend des fonctions $f(x)$ et~$\phi(x)$. +%% -----File: 044.png---Folio 44------- + +Il est donc tout naturel d'envisager les quantités qui dépendent de toutes +les valeurs qu'une fonction ou plusieurs fonctions prennent dans certains domaines. +C'est un concept qui se présente dans un grand nombre de cas. Le plus simple +est celui d'une intégrale définie. La valeur de l'intégrale définie entre certaines +limites dépend de toutes les valeurs de la fonction entre ces limites. La physique +mathématique nous offre les exemples les plus frappants. Par exemple la température +en un point d'une lame qui est chauffée au bord dépend de toutes les +valeurs de la température au bord de la lame. Les fonctions des lignes et des +hyperespaces rentrent évidemment dans ce concept. + +Il est bien clair que lorsqu'on parle d'une quantité qui dépend de toutes les +valeurs d'une ou de plusieurs variables on entend quelque chose de bien différent +d'une fonction de fonction. + +\Paragraph{20.} La définition que nous venons de donner est analogue à la définition de +fonction ordinaire due à Dirichlet, d'après laquelle on dit qu'une variable est fonction +d'une autre variable si à chaque valeur de cette quantité, entre des limites +données, correspond une valeur de la première quantité. Nous n'entrerons pas +dans les discussions très-importantes, qui se rapportent à cette définition. Il est +bien évident qu'on a été amené à la donner par le concept fondamental de loi physique. +M.~Boutroux tout récemment a approfondi la question d'une manière fort +intéressante. Mais en posant certaines conditions on peut passer du concept de +fonction tel que l'a posé Dirichlet à celui de fonction analytique. Il est inutile +de rappeler ces conditions qui sont bien connues et qui se rapportent à la continuité, +à l'existence des dérivées etc. + +On peut procéder de la même manière dans le cas des fonctions qui dépendent +de toutes les valeurs d'une fonction ou de plusieurs fonctions. + +Envisageons le cas le plus simple, celui d'une quantité~$F$ qui dépend de toutes +les valeurs d'une fonction continue~$f(x)$ définie pour toutes les valeurs de~$x$ comprises +entre $a$ et~$b$. Il n'y a pas de difficulté à étendre le concept de continuité +à la quantité~$F$. Supposons maintenant qu'on part d'une fonction initiale~$f(x)$, et +qu'on la change en la remplaçant par $f(x) + \eps\phi(x)$ où $\eps$ est une quantité infiniment +petite. On peut tâcher de calculer la variation de~$F$. Sous certaines conditions +la partie du premier ordre de cette variation peut s'exprimer par une intégrale +définie +\[ +\eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1)\, d\xi_1. +\] + +La fonction $F'(\xi_1)$ joue le rôle de première dérivée. Elle est indépendante +de~$\phi(x)$, mais elle dépend en général de toutes les valeurs de~$f(x)$, c'est pourquoi +%% -----File: 045.png---Folio 45------- +on peut tâcher de trouver la variation de~$F'(\xi_1)$, lorsqu'on remplace $f(x)$ par $f(x) + \eps\phi(x)$. +Si l'on néglige les parties qui sont infiniment petites d'ordre supérieur à~$\eps$, +sous certaines conditions, on trouve que cette variation est donnée par +\[ +\eps \int_a^b \phi(\xi_2) F''(\xi_1,\xi_2)\, d\xi_2. +\] +$F''(\xi_1,\xi_2)$ joue le rôle de première dérivée de $F'(\xi)$ et de seconde dérivée de~$F$. +Elle est indépendante de~$\phi(x)$, mais dépend de toutes les valeurs de~$f(x)$. Elle +est une fonction symétrique de $\xi_1$ et~$\xi_2$. + +On peut aussi procéder au calcul de la troisième dérivée qui s'exprime par une +fonction $F'''(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ symétrique et ainsi de suite. + +Cela posé, on peut se proposer de développer la valeur de~$F$ qui correspond +à $f(x)+\eps\phi(x)$ dans une série de puissances de~$\eps$. Sous certaines conditions qui +sont tout à fait semblables à celles qu'on a pour la série ordinaire de Taylor +on trouve +\[ +\Lmargintag{13} +\left\{ +\begin{aligned} +F &= F_0 + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1)\, d\xi_1 + + \frac{1}{2} \eps^2 \int_a^b \int_a^b + F''(\xi_1,\xi_2) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2)\, d\xi_1\, d\xi_2 +\Trail{+} \\ + &\quad+ \frac{1}{3!} \eps^3 \int_a^b \int_a^b \int_a^b + F''' (\xi_1,\xi_2,\xi_3) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2) \phi(\xi_3)\, + d\xi_1\, d\xi_2\, d\xi_3 + \dotsb %[** PP: Re-breaking] +\Trail{+} \\ + &\quad+ \frac{1}{n!} \eps^n \int_a^b \dotsi \int_a^b + F^{(n)}(\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n) + \phi(\xi_1) \phi(\xi_2) \dotsm \phi(\xi_n)\, + d\xi_1\, d\xi_2 \dotsm d\xi_n + \dotsb, +\end{aligned} +\right. +\] +où $F^{(n)} (\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n)$ %[** PP: Changed opening ) to (] +est une fonction symétrique des $n$~variables, $\xi_1, \xi_2 \dotsc \xi_n$, indépendante +de~$\phi(x)$. + +En prenant $\eps=1$ on passe facilement à une série analogue à celle de Mac\-Laurin. + +\Paragraph{21.} On pourrait prendre comme définition d'une quantité~$F$ qui dépend de +la fonction $\phi(x)$ définie pour les valeurs~$x$ comprises entre $a$ et~$b$ l'expression +précédente où l'on fait $\eps=1$, en supposant que la série soit convergente. Ce +serait une définition analytique d'une fonction qui dépend d'une autre fonction, et +l'on pourrait en étudier le domaine de convergence. Les différents termes représenteraient +des fonctions de différents degrés. +%% -----File: 046.png---Folio 46------- + +Cependant de cette manière on n'envisagerait pas le cas le plus général. + +\setboolean{UseVartheta}{true}% + +\Paragraph{22.} Lorsque $F$ dépend de toutes les valeurs d'une fonction ou de plusieurs +fonctions, que celles-ci sont inconnues, et qu'il faut les déterminer, étant données certaines +propriétés de~$F$, alors on tombe sur les problèmes les plus intéressants de +la théorie. Le calcul des variations n'est que le premier exemple d'une recherche +de ce genre. + +Mais prenons le cas qui correspond à la formule~(13), et supposons que nous +écrivions +{\small %[** PP: Resized display for horizontal fit] +\[ +\Lmargintag{14} +\left\{ +\begin{aligned} +\THETA\Psi(x) + &= \eps\phi(x)\alpha + + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1,x)\, d\xi_1 + + \frac{1}{2} \eps^2 \int_a^b \int_a^b + F''(\xi_1,\xi_2,x) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2)\, d\xi_1\, d\xi_2 +\Trail{+} \\ + &+ \dotsb + + \frac{1}{n!} \eps^n \int_a^b \dotsi \int_a^b F^{(n)} (\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n,x) \phi(\xi_1) \dotsm \phi(\xi_n)\, d\xi_1 \dotsm d\xi_n, +\end{aligned} +\right. +\] +}% [** End of \small] + +$\alpha$ étant une quantité donnée et~$\Psi(x)$ étant définie pour les valeurs de~$x$ comprises +entre $a$ et~$b$. + +Le cas le plus simple est celui où $F'', F''', \dotsc F^{(n)} \dotsc$ sont nulles, c'est à +dire où l'on a +% [** PP: Changed F^{('')} to F'] +\[ +\tag{15} +\THETA\Psi(x) = \eps \phi(x)\alpha + + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1,x)\, d\xi_1; +\] +c'est le cas de l'inversion des fonctions de premier degré qui est le cas envisagé +par M.~Fredholm et par moi même lorsque la limite supérieure est égale à~$x$. + +Le problème d'invertir une fonction générale de la forme~(14) par rapport à +l'inversion de la formule~(15) n'est que le problème général de l'inversion d'une +fonction transcendante par rapport à l'inversion d'une fonction de premier degré. +Nous voulons montrer que le cas général peut être résolu. + +\Paragraph{23.} En effet pour obtenir $\phi(x)$ exprimée par~$\Psi(x)$, c'est à dire pour invertir +la formule~(14), il suffit de tâcher de développer $\eps\phi(x)$ dans une série de puissances de~$\THETA$. + +C'est pourquoi calculons +{\small +\[ +\left(\deriv{(\eps\phi)}{\THETA}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\! + = \left(\deriv{(\eps\phi)}{\THETA}\right)_0,\quad +\left(\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\! + = \left(\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right)_0,\quad +\left(\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\! + = \left(\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right)_0 \dotsc. +\] +}% [** End \small] +On trouve +\[ +\Psi(x) = \left(\deriv{[\eps\phi(x)]}{\THETA}\right)_0 \alpha + + \int_a^b \left(\deriv{[\eps\phi(\xi_1)]}{\THETA}\right)_0 F'(\xi_1,x)\, d\xi_1. +\] +%% -----File: 047.png---Folio 47------- +% [**** Math needs checking] + +Si nous pouvons invertir cette formule, % [** PP: Added comma] +ce qui arrive par exemple lorsque le +déterminant n'est pas nul, on trouve +\[ +\tag{16} +\left\{\deriv{\eps[\phi(x)]}{\THETA}\right\}_0 \phi(x) + = \Psi(x)\beta + \int_a^b \Psi(\eta_1) \Phi'(\eta_1, x)\, d\eta_1. +\] + +En dérivant une fois encore on a +\begin{multline*} +0 = \left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0 \alpha + + \int_a^b \left\{ + \frac{d^2[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA^2} + \right\}_0 F'(\xi_1, x)\, d\xi_1 +%[** PP: Re-breaking; added trailing operator for consistency] +\Trail{+} \\ + + \int_a^b \int_a^b F''(\xi_1, \xi_2, x) + \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0 + \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0\, d\xi_1\, d\xi_2 +\end{multline*} +c'est à dire +\[ +\tag{17} +\left\{ +\begin{aligned} + &\left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0 \alpha + + \int_a^b \left\{ + \frac{d^2[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA^2}\right\}_0 + F'(\xi_1, x)\, d\xi_1 +\Trail{=} \\ +% + &\qquad= - \int_a^b \int_a^b F''(\xi_1, \xi_2, x) + \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0 + \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0\, d\xi_1\, d\xi_2 +\Trail{=} \\ +%[** PP: Re-breaking; added trailing operator for consistency] +&\qquad= \phantom{-}\int_a^b \int_a^b + \Phi_1(\eta_1, \eta_2, x) \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2 +\end{aligned} +\right. +\] +en remplaçant +$\left\{\dfrac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0$, +$\left\{\dfrac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0$ par les valeurs données par la formule~(16). +Si l'on invertit la dernière formule en employant une formule analogue à la formule~(16) on trouve +\[ + \left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0 += \int_a^b \int_a^b \Phi''(\eta_1, \eta_2, x) + \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2. +\] + +De même on trouve +\[ + \left\{\frac{d^3[\eps\phi(x)]}{d\THETA^3}\right\}_0 += \int_a^b \int_a^b \int_a^b + \Phi'''(\eta_1, \eta_2, \eta_3, x) + \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2) \Psi(\eta_3)\, d\eta_1\, d\eta_2\, d\eta_3. +\] +et ainsi de suite, de sorte qu'on aura +%[** PP: Added missing trailing operators] +\begin{multline*} +\left[\frac{d(\eps\phi)}{d\THETA}\right]_0 \THETA ++ \frac{1}{2} \left[\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right]_0 \THETA^2 ++ \frac{1}{3!} \left[\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right]_0 \THETA^3 ++ \dotsb += \eps \phi(x) = \THETA \Psi(x) \beta +\Trail{+} \\ +%[** PP: Using \frac, not \tfrac] ++ \THETA \int_a^b \Psi(\eta_1) \Phi'(\eta_1,x)\, d\eta_1 ++ \frac{1}{2} \THETA^2 \int_a^b \int_a^b \Phi''(\eta_1, \eta_2, x) + \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2 +\Trail{+} \\ +% ++ \dotsb ++ \frac{1}{n!} \THETA^n \int_a^b \dotsi \int_a^b + \Phi^{(n)}(\eta_1 \dotsc \eta_n, x) + \Psi(\eta_1) \dotsm \Psi(\eta_n)\, d\eta_1 \dotsm d\eta_n + \dotsb. +\end{multline*} +%% -----File: 048.png---Folio 48------- + +Il faudra établir les conditions de convergence de la série précédente et son +domaine de validité.---On peut regarder~$\Phi^{(n)}$ comme une fonction symétrique +de $\eta_1, \eta_2 \dotsc \eta_n$. Nous n'entrerons pas dans les détails par rapport à la vérification +de la formule que nos avons donnée ni sur la question de l'unicité de la +solution. + +\Paragraph{24.} Je ne puis terminer cet argument sans toucher à la question des +méthodes qu'on appelle de Jacobi-Hamilton. Les mémoires de Hamilton publiés +en 1834 et~1835 ont été le point de départ d'un grand nombre de travaux qui +sont parmi les plus beaux de la mécanique analytique. Jacobi est le premier +qui en ait fait ressortir tout l'intérêt. Le principe d'abord limité aux questions mécaniques +a %[** PP: Typo à] +été étendu aux problèmes des isopérimètres et enfin à tous les problèmes +du calcul des variations relatifs aux intégrales simples. On peut regarder la +plupart des problèmes de la physique mathématique comme ressortant des questions +du calcul des variations relatives aux intégrales multiples, et il est par suite intéressant +d'étendre les mêmes méthodes à ces cas. Pour atteindre le but il suffit de +remarquer que la méthode Jacobi-Hamilton est fondée sur le concept d'envisager +l'intégrale simple dont on veut annuler la variation comme une fonction des limites +de l'intégrale et des valeurs arbitraires des fonctions inconnues aux limites. +Donc pour étendre la même méthode au cas des intégrales multiples il faut les +regarder comme dépendantes des lignes ou des surfaces ou des hyperespaces qui +limitent les intégrales données et de toutes les valeurs des fonctions inconnues au +contour. C'est pourquoi les concepts que nous avons introduits sont nécessaires +pour étendre les méthodes Jacobi-Hamilton aux problèmes de la physique mathématique. + + +\begin{Bibliographie} + +\Bibitem{Picard.}{Traité d'analyse.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques. Journ.\ des Math.\ pures +et appliquées. 1889.} + +% [** PP: Retaining variant résidues] +\Bibitem{Poincaré.}{Sur les résidues des intégrales doubles. Acta Math. T.~9.} + +% [** PP: Changed census to Census, complexe to Complexe] +\Bibitem{Listing.}{Der Census räumlicher Complexe. Abh.\ K. Gesellsch.\ d.\ Wiss.\ zu Göttingen. +1862.} + +% [** PP: Changed Sugli to Sopra gli, quelconque to qualunque] +\Bibitem{Betti.}{Sopra gli spazii di un numero qualunque di dimensioni. Annali di Mat.\ T.~IV.} + +\Bibitem{Poincaré.}{Analysis situs. Journ.\ de l'École Polyt. 1895.} + +% [** PP: Changed dependenti da altro to dipendenti da altre] +\Bibitem{Volterra.}{Sulle funzioni dipendenti da altre funzioni. Rend.\ Acc.\ Lincei 1887.} + +% [** PP: Changed dependenti de linie to dipendenti da linee] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni dipendenti da linee. Ibid.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Delle variabili complessi negli iperspazii. Ibid.\ 1880.} +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni coniugate. Ibid.} + +%[** PP: Changed iperspaizi to iperspazii, loco to loro] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni di iperspazii e sui loro parametri diff. Ibid.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle equazioni differenziali che provengono da questioni di calcolo delle +variazioni. Ibid.\ 1890.} + +%% -----File: 049.png---Folio 49------- + +% [** PP: Changed variazoni to variazioni] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sopra una estensione della % [** PP: Type delle] +teoria Jacobi-Hamilton del calcolo delle +variazioni. Ibid.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle variabili complesse negli iperspazii. Ibid.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sur une généralisation de la théorie des variables imaginaires. Acta Mathematica +1889.} + +% [** PP: Changed Sulle inversione degli integrali definit to +% Sulla inversione degli integrali definiti; Acti to Atti] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali definiti. Note~I, II, III, IV\@. Atti della R. +Accademia di Torino 1896.} + +%[** PP: Changed Sulli to Sulla] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali definiti. Rend.\ Acc.\ Lincei 1896.} + +%[** PP: Changed Sulle to Sulla] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali multipli. Ibid.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti. Annali di Mat.\ 1897.} + +\end{Bibliographie} + + +\Chapter{\Ord{8}{ième} leçon.} + +\phantomsection\label{section:8.1}% +\Paragraph{1.} Il est bien souvent nécessaire de revenir sur la signification des mots dont +on fait un usage continuel dans la science. C'est leur sort d'évoluer et par suite +de se transformer et de se plier à tant d'exigences différentes que non seulement le +sens primitif est quelquefois presque complètement évanoui, mais que la signification +actuelle est très-difficile à découvrir lorsqu'on pense à la chercher. C'est ce qui +arrive par rapport à la \emph{théorie générale des ondes}. Tout le monde en parle et tous +parlent de son influence, en l'opposant à d'autres systèmes. Mais les limites +en sont elles-marquées, et peut-on établir sous quelles conditions une classe de +phénomènes s'explique par le système des ondes? Nous n'entrerons pas dans la discussion +de ces questions qui mériteraient une étude approfondie; nous dirons seulement +qu'une grande classe de phénomènes peuvent se grouper au point de vue analytique +sous une même catégorie bien définie, car leurs équations différentielles du type +hyperbolique ont des propriétés communes qui ressortent principalement de l'existence +de caractéristiques réelles. + +On envisage par là une grande partie des phénomènes qu'on a l'habitude de +regarder comme dépendant du système des ondes, mais on ne peut pas dire que +sous cette classe d'équations différentielles on ait groupé tous les phénomènes qui +se relient à la théorie des ondes. On peut citer, par exemple, les ondes des liquides +incompressibles et pesants qui dépendent d'équations d'une autre nature. (Voir \hyperref[pgchapter:11]{\Ord{11}{ème}~leçon}). %[** Xref] +Toujours est-il que l'étude des équations différentielles dont nous venons de +parler forme une théorie que l'on peut envisager à part et approfondir par des +méthodes générales qu'on est en train de perfectionner peu à peu. Par rapport à +ces équations il faut dire qu'elles ont marqué le plus grand triomphe de la physique +mathématique, car c'est l'analogie entre les équations des vibrations des corps +%% -----File: 050.png---Folio 50------- +élastiques et celles des champs électrodynamiques qui ont conduit à %[** PP: Typo a] +la théorie +électromagnétique de la lumière et aux expériences de Hertz. + +\Paragraph{2.} Nous envisageons dans cette leçon quelques équations qui rentrent dans +cette catégorie, et nous examinons les plus simples. Elles peuvent servir à +nous montrer d'une manière claire, sans entrer dans les détails, les propriétés +principales et la portée des méthodes qu'on a tâché d'employer pour leur étude. +Considérons les équations +\[ +\tag{1} +\frac{\partial^2v}{\partial x^2} - \frac{\partial^2v}{\partial y^2} = 0,\quad +% +\frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} - \frac{\partial^2v}{\partial z^2} = 0,\quad +% +\frac{\partial^2v}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2v}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2v}{\partial x_3^2} - \frac{\partial^2v}{\partial x_4^2} = 0\ldots. +%[** PP: Added period] +\] + +La première est celle qu'on appelle des cordes vibrantes, la seconde est celle +des membranes vibrantes, la troisième des corps vibrants etc.\ et l'on peut les +comparer avec les équations de Laplace à deux, trois, quatre variables indépendantes +que nous avons déjà envisagées dans les leçons précédentes. On peut passer +des unes aux autres par des transformations très-simples. C'est ainsi qu'en remplaçant +dans la seconde par exemple $z$ par~$iz$, elle devient l'équation de Laplace à +trois variables. Bien des propriétés peuvent se déduire par cette simple transformation. + +\phantomsection\label{section:8.3}% +\Paragraph{3.} Nous voulons d'abord comparer deux formules qui nous montreront tout +de suite le caractère des équations~(1) et celui de l'équation de Laplace. Le cas le +plus frappant et en même temps le plus simple est relatif à trois variables, et l'on +peut même considérer le cas plus général où le second membre n'est pas nul. +Soit~$u$ %[** PP: Changed v to u] +une fonction qui vérifie l'équation +\[ +\tag{I} +\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = f(x, y, z) +\] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}[8]{l}{1.75in}% +\raisebox{0.125in}[1.5in][0pt]{\Input{050a}{1.625in}} +\end{wrapfigure}% +et supposons qu'elle soit finie, continue et monodrome +dans un domaine~$S$ limité par un contour~$\sigma$. Supposons +que la fonction~$f$ soit aussi finie, continue et monodrome. +La formule de Green donne la valeur de~$u$, dans un point~$M_i$ +de coordonnées $x_1, y_1, z_1$ interne au domaine, exprimée +par les valeurs de~$u$ et de la dérivée de~$u$ par rapport +à la normale au contour. Voici la formule +\[ +\tag{2} +u(x_1, y_1, z_1) + = -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma + \biggl( u \pderiv{\smfrac{1}{r}}{n} + - \pderiv{u}{n} \cdot \frac{1}{r} \biggr)\, d\sigma + - \frac{1}{4\pi} \int_S f \frac{1}{r}\, dS +\] +où $r = \sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 + (z_1 - z)^2}$, $x, y, z$ étant les coordonnées du point +indice des intégrations. On suppose que la normale~$n$ soit dirigée vers la partie +%% -----File: 051.png---Folio 51------- +externe du domaine~$S$. %[** PP: S and handwritten marks?] +Si le point de coordonnées $x_1, y_1, z_1$ au lieu d'être un point +interne~$M_i$ est un point externe~$M_e$, la formule précédente devient +\[ +\tag{3} +0 = -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma + \biggl(u \pderiv{\smfrac{1}{r}}{n} + - \pderiv{u}{n} \frac{1}{r}\biggr)\, d\sigma + - \frac{1}{4\pi} \int_S f \frac{1}{r}\, dS. +\] +On peut par une simple transformation écrire la formule~(2) d'une autre manière. +Intégrons et dérivons successivement le second membre par rapport à~$z_1$. On aura +\[ +\tag{$2'$} +u (x_1, y_1, z_1) = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma + \left(u \pderiv{\phi}{n} - \pderiv{u}{n} \phi\right) d\sigma + -\frac{1}{4\pi} \int_S f \phi\, dS \right\} +\] +où l'on a posé +\[ +\tag{4} +\phi = \log \left( \frac{z_1 - z}{\sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}} + + \sqrt{\frac{(z_1 - z)^2}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2} + 1} \right); +\] +de même la formule~(3) pourra s'écrire +\[ +\tag{$3'$} +0 = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma + \left( u \pderiv{\phi}{n} - \pderiv{u}{n} \phi\right) d\sigma + -\frac{1}{4\pi} \int_S f \phi\, dS \right\}. % [** PP: Added period] +\] + +\Paragraph{4.} Indiquons maintenant la formule analogue à la formule~($2'$) pour l'équation +\[ +\tag{II} + \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} ++ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} +- \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = f(x,y,z). +\] + +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/051ab.png. +% In the original, the normal vectors are not orthogonal +% to the surface.] +\begin{wrapfigure}{r}{3.5in}% +\Input{051a}{1.75in}\Input{051b}{1.75in} +\end{wrapfigure}% +Menons un cône de révolution +à~$45°$ ayant pour axe une droite parallèle +à l'axe~$z$ et pour sommet le +point~$M_i$ dont les coordonnées sont +$x_1\, y_1\, z_1$, et appelons~$\sigma'$ une surface +simplement connexe découpée par +le cône et ayant pour contour la +ligne d'intersection avec le cône. Soit~$S'$ +l'espace compris entre le cône et +la surface, $n$~étant la normale à la +surface dirigée vers l'intérieur de +l'espace~$S'$, soient $\cos nx, \cos ny, \cos nz$ les cosinus des angles qu'elle forme avec +les axes coordonnés. +%% -----File: 052.png---Folio 52------- + +Nous appelons (avec M.~d'Adhémar) \emph{conormale} la direction~$n'$ telle que +\[ +\cos n'x = -\cos nx,\quad +\cos n'y = -\cos ny,\quad +\cos n'z = \cos nz. +\] +On aura alors +\[ +\tag{5} +v(x_1\, y_1\, z_1) = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'} + \left(v \pderiv{\phi'}{n'} - \pderiv{v}{n'} \phi' \right) d\sigma' + - \frac{1}{2\pi} \int_{S'} \phi' f\, dS' \right\} +\] +où +\[ +\tag{6} +\phi' = \log \left(\frac{z_1 - z}{\sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}} + + \sqrt{\frac{(z_1 - z)^2}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2} - 1}\;\right) +\] +en supposant $v$ et~$f$ finies, continues et monodromes, et $x, y, z$ étant les coordonnées +du point indice des intégrations. + +\phantomsection\label{section:8.5}% +\Paragraph{5.} Les deux formules $(2')$ et~(5) sont tout à fait correspondantes l'une à +l'autre. C'est en les comparant et en remarquant leurs différences qu'on pourra se +faire une idée des analogies et en même temps des propriétés différentes des équations +(I) et~(II). D'abord on remarquera que dans la formule~$(2')$ la surface~$\sigma$ et +l'espace~$S$ renferment le point où l'on détermine la fonction~$u$, tandis que dans la +formule~(5) paraissent seulement les valeurs de~$v$ et de la dérivée conormale le +long de la surface~$\sigma'$ découpée par le cône et les valeurs de~$f$ à l'intérieur de~$S'$. +Dans la formule~$(2')$ les espaces où l'on calcule les intégrales sont toujours les +mêmes quel que soit~$M_i$. Dans la formule~(5) ils changent en déplaçant~$M_i$. Les +cônes de révolution à~$45°$ ayant l'axe parallèle à~$z$ jouent donc dans ce cas un +rôle considérable. Ils sont en effet les cônes caractéristiques. + +En général lorsqu'on envisage une équation linéaire à coefficients constants +de \Ord{2}{ième}~ordre % [** PP: Typo 2^{ème}] +\[ +\sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^n a_{rs} \frac{\partial^2 u}{\partial x_r \partial x_s} + + \sum_{i=1}^n b_i \pderiv{u}{x_i} + ku = 0, +\] +les surfaces ayant pour équations dans l'hyperespace $x_1, x_2 \dotsc x_n$ +\[ +\textstyle{\sum_r \sum_s} a_{rs} (x_r - x^0_r) (x_s - x^0_s) = 0, +\] +où $x^0_1 \dotsc x^0_s$ sont des quantités constantes, s'appellent les cônes caractéristiques. + +Or par rapport à l'équation~(I) les cônes ont pour équation +\[ +(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = 0, +\] +c'est pourquoi ils sont imaginaires, tandis que pour l'équation~(II) les cônes sont +représentés par +\[ +(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 - (z - z_0)^2 = 0. +\] +%% -----File: 053.png---Folio 53------- + +Ils sont réels et sont justement les cônes de révolution à~$45°$ que nous +avons envisagés. + +\Paragraph{6.} Une autre particularité qu'il faut mettre en évidence est que dans la +formule~$(2')$ les valeurs $u$ et~$\pderiv{u}{n}$ au contour ne sont pas indépendantes entre elles. %[** PP: Added period] +Si les valeurs de $u$ sont données, les valeurs de $\smash[t]{\pderiv{u}{n}}$ sont déterminées aussi. + +La chose est bien différente dans le cas de la formule~(5). Pour certaines +surfaces~$\sigma$ les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{n}$ sont indépendantes, tandis que pour d'autres +surfaces ou certaines parties d'une surface elles sont indépendantes et pour d'autres +ne le sont pas. Nous aurons l'occasion de revenir sur ce point. + +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/053ab.png. +% In the original, the normal vectors are not orthogonal to +% the surface, the cone axis is not parallel to the z-axis, +% and the cone is not a 45° cone.] +\begin{wrapfigure}[8]{r}{2.5in}% [**** Explicit height] +\raisebox{0.125in}[1.625in][0pt]{\Input{053a}{2.5in}} +\end{wrapfigure} +\Paragraph{7.} On peut chercher une formule qui corresponde +à la formule~$(3')$ et il est bien facile +de la trouver. + +Soit $\sigma'$ une surface interne au cône, et soit +$S'$ un domaine compris entre $\sigma'$ et la surface +du cône, mais supposons que le sommet~$M_e$ +du cône soit un point externe au domaine~$S'$. + +On aura alors +\[ +\tag{7} +0 = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'} + \left(u \pderiv{\phi'}{n'} - \pderiv{u}{n'} \phi'\right) d\sigma +%[** PP: Not breaking, so no trailing operator -] + - \frac{1}{2\pi} \int_{S'} \phi' f\, dS' \right\} +\] +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/053ab.png. +% In the original, the normal vectors are not orthogonal to +% the surface, the cone axis is not parallel to the z-axis, +% and the cone is not a 45° cone.] +\begin{wrapfigure}[10]{r}{2.5in}% [**** Explicit height] +\raisebox{2ex}[1.75in][0pt]{\Input{053b}{2.5in}} +\end{wrapfigure} +où $n'$~représente toujours la conormale de la surface~$\sigma'$. + +\Paragraph{8.} En calculant la dérivée par rapport +à $z_1$ qui paraît dans le second membre de +l'équation~$(2')$ on revient à la formule originaire~(2). + +Le calcul analogue dans la formule~(5) n'est pas aussi simple, parce qu'une +variation des coordonnées $x_1, y_1, z_1$ du point~$M_i$ change la surface~$\sigma'$ découpée par +le cône caractéristique. C'est pourquoi il est évident que la dérivation ne peut +pas être faite directement sous les intégrales. La dérivée peut cependant se calculer +très facilement dans le second et dans le troisième terme du second membre +et par là la formule~(5) peut s'écrire de la manière suivante +%% -----File: 054.png---Folio 54------- +{\small +\[ +\Lmargintag{$5'$} +\left\{ +\begin{aligned} +v(x_1, y_1, z_1) &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}} +\Trail{\cdot} \\ % [** PP: Added missing trailing operator] +% +&\quad\left(\cos nz - \frac{z_1 - z}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2} + \bigl[(x - x_1) \cos nx + (y - y_1) \cos ny \bigr] \right) v\, d\sigma' +\Trail{+} \\ +% + &+ \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}} + \pderiv{v}{n'}\, d\sigma' +\Trail{-} \\ +% + &- \frac{1}{2\pi} \int_{S'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}} f\, dS'. +\end{aligned} +\right. +\] +}% [** End of \small] + +La formule~(7) peut se transformer de même. Dans ce cas le premier membre +est nul. + +\Paragraph{9.} Revenons maintenant à la formule~(2). Le second membre peut se décomposer +en deux termes. La première intégrale étendue à la surface~$\sigma$ exprime +évidemment une fonction harmonique, c'est à dire qui vérifie l'équation de Laplace +à l'intérieur de~$S$, c'est pourquoi si l'on prend +\[ +W(x_1\, y_1\, z_1) = \int \frac{f\, dS}{z}%[** PP: Preserved lack of commas] +\] +on a +\[ + \frac{\partial^2 W}{\partial x_1^2} ++ \frac{\partial^2 W}{\partial y_1^2} ++ \frac{\partial^2 W}{\partial z_1^2} += -4 \pi f(x_1\, y_1\, z_1),%[** PP: Preserved lack of commas] +\] +formule qui correspond à un théorème célèbre de Poisson. De même prenons la +formule~$(5')$ et considérons la dernière partie du second membre, c'est à dire +\[ +W'(x_1\, y_1\, z_1) = \int_S \frac{f\, dS}{\sqrt{(x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2 - (z_1 - z)^2}}. +\] + +Puisque, comme on le vérifie facilement, la première partie du second membre +satisfait à l'équation~(II) où l'on suppose nul le second membre, on voit tout de +suite que +\[ + \frac{\partial^2 W'}{\partial x_1^2} ++ \frac{\partial^2 W'}{\partial y_1^2} +- \frac{\partial^2 W'}{\partial z_1^2} += -2\pi f(x_1\, y_1\, z_1). +\] + +On a par là un théorème qui a bien des rapports avec celui de Poisson. +Dans le cas de Poisson l'intégrale doit être étendue toujours au même espace~$S$, +dans le théorème que nous venons d'énoncer l'intégrale est étendue à la partie +%% -----File: 055.png---Folio 55------- +d'un espace qui est intérieur au cône caractéristique ayant pour sommet le point +$x_1\, y_1\, z_1$. + +Par la formule~(2) on peut facilement déduire les discontinuités relatives aux +dérivées des potentiels des surfaces et les discontinuités des potentiels des doubles +couches. On obtient des formules semblables en employant la formule~$(5')$ d'une +manière analogue. + +\Paragraph{10.} Nous avons jusqu'à présent envisagé l'espace interne au cône, mais pour +l'espace externe au cône on peut établir de nouvelles formules qui n'ont pas de +correspondantes dans le cas de l'équation de Laplace. + +Menons le cône caractéristique ayant pour sommet le point~$M$ de coordonnées +$x_1\, y_1\, z_1$. + +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/055a.png. +% In the original, the cone is not a 45° cone.] +\begin{wrapfigure}[9]{l}{2.5in}% [**** Explicit height] +\Input{055a}{2.5in} +\end{wrapfigure} +Soit $\sigma''$ une surface externe au cône et +découpée par le cône, et supposons que $S''$ soit +un domaine externe au cône limité par~$\sigma''$ et +par la surface du cône. $n$~étant la normale à +la surface~$\sigma''$ dirigée vers l'intérieur de~$S''$, appelons +$n''$ la conormale. Posons pour simplifier +\begin{gather*} +\rho = \sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2} \\ +\cos n\rho = \frac{x-x_1}{\rho} \cos nx + \frac{y-y_1}{\rho} \cos ny. +\end{gather*} + +Enfin supposons que dans le domaine~$S''$, $v$ et~$f$ soient finies, continues et +monodromes. Alors on aura +\iffalse%%%%%%%%%%%%% DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%% +% [** PP: See preamble for definition of \Lorentz] +{\small +\[ +\Lmargintag{8} +\left\{ +\begin{split} +&v(x_1\, y_1\, z_1) = - \frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} + \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\Lorentz}} v\, d\sigma'' \\ % [** -] +% +&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} + \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \\ % [** .] +% +&\quad \cdot \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma'' + -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \\ % [** .] +% +&\quad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma'' + + \frac{1}{2\pi^2} \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \\ % [** .] +% +&\quad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)f\, dS''. +\end{split} +\right. +\] +}% **** End \small +\fi %%%%%%%%%%%%%%%%%END DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%% +%[** PP: Re-breaking, added trailing operators] +\[ +\tag{8} +\left\{ +\begin{aligned} +v(x_1\, y_1\, z_1) + &= - \frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} + \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\Lorentz}} v\, d\sigma'' +\Trail{-} \\[2ex] +% +&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1} + \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} +\Trail{\cdot} \\ +%% +&\quad\qquad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) +\Trail{\cdot} \\ +% +&\quad\qquad + \cdot \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma'' +\Trail{-} \\[2ex] +%% +&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} +\Trail{\cdot} \\ +% +&\quad\qquad + \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma'' +\Trail{+} \\[2ex] +%% +&\quad +\frac{1}{2\pi^2} \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} +\Trail{\cdot} \\ +% +&\quad\qquad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)f\, dS'', +% [** PP: Changed period to comma] +\end{aligned} +\right. +\] +%% -----File: 056.png---Folio 56------- +où $x, y, z$ sont les coordonnées du point indice des intégrations. Si nous écrivons +dans le cas de l'espace externe une expression tout à fait analogue à celle qui +paraît dans le second membre de l'équation (5) ou~$(5')$, on ne trouve pas la valeur +de~$v$ au sommet du cône, mais une valeur nulle. On a donc: +\iffalse%%%%%%%%%%%%% DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%% +{\small +\[ +\Lmargintag{9} +\left\{ +\begin{aligned} +0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} + \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2} + \bigl[(x-x_1) \cos nx + (y-y_1) \cos ny\bigr]\right) v\, d\sigma'' \\ % [** +] +% +&\quad + \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma'' +- \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} f\, dS''. +\end{aligned} +\right. +\] +}% end \small +\fi%%%%%%%%%%%%% END OF DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%% +\[ %[** PP: Re-breaking, added trailing operators] +\Lmargintag{9} +\left\{ +\begin{aligned} +0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} +\Trail{\cdot} \\ + &\quad\qquad\Trail{\cdot} + \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2} + \bigl[(x-x_1) \cos nx + (y-y_1) \cos ny\bigr]\right) v\, d\sigma'' +\Trail{+} \\ +% +&\quad + \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma'' +\Trail{-} \\ +&\quad - \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} f\, dS''. +\end{aligned} +\right. +\] + +\Paragraph{11.} Particularisons maintenant les formules générales. On peut commencer +par supposer $f = 0$. Il est évident alors que dans les formules précédentes tous +les termes où paraît cette quantité s'évanouissent. Elles se rapportent alors aux +intégrales de l'équation +\[ +\tag{III} + \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} ++ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} +- \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = 0. +\] +C'est pourquoi les formules $(5')\, (9)\, (8)$ deviennent des formules correspondantes, +mais d'une nature complètement différente, aux formules bien connues des fonctions +harmoniques, c'est à dire des intégrales de l'équation de Laplace. Elles s'écriront +alors +\[ +\Lmargintag{10} +\left\{ +\begin{aligned} +v(x_1\, y_1\, z_1) &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} + \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right)v \,d\sigma' +\Trail{+} \\ +&\quad + \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} \pderiv{v}{n'}\, d\sigma'. +\end{aligned} +\right. +\] +%% +\[ % [** PP: Re-breaking] +\tag{11} +\left\{ +\begin{aligned} +0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} + \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) d\sigma'' +\Trail{+} \\ +&\quad + \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma''} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''. +\end{aligned} +\right. +\] +%% +{\small +\[ +\Lmargintag{12} +\left\{ +\begin{aligned} +&v(x_1\, y_1\, z_1) = -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} + \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}} v\, d\sigma'' +\Trail{-} \\ +% +&\qquad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} + \frac{1}{\sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}} \log \frac{\rho^2 - (z-z_1)^2}{\rho} + \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma'' +\Trail{-} \\ +% +&\qquad -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}} + \log\left(\frac{\rho^2 - (z-z_1)^2}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''. +\end{aligned} +\right. +\] +}% [** End of \small] +%% -----File: 057.png---Folio 57------- + +\Paragraph{12.} On peut ensuite particulariser la forme des surfaces $\sigma'$ et~$\sigma''$. Supposons +d'abord que la surface~$\sigma'$ soit le plan coordonné~$xy$, et supposons $z_1 > z = 0$. + +Alors la formule~(10) devient +\[ +\tag{13} +\left\{ +\begin{aligned} +v(x_1\, y_1\, z_1) + &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - (x_1-x)^2 - (y_1-y)^2}} v\, d\sigma' +\Trail{+} \\ + &+ \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - (x_1-x)^2 - (y_1-y)^2}}\, + \pderiv{v}{z}\, d\sigma', +\end{aligned} +\right. +\] +car la normale~$n$ et la conormale~$n'$ coïncident avec~$z$. + +%[Illustrations] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/057a.png. +% In the original, the cone is not a 45° cone.] +\begin{wrapfigure}{r}{1.75in} +\Input{057a}{1.75in} +\end{wrapfigure} +Dans ce cas, $v$ et~$\pderiv{v}{z}$ sont indépendants entre +eux (Voir §~6). Cette formule nous donne l'intégrale % [** Xref] +générale de l'équation~(III) sous une forme bien +connue qu'on appelle de Poisson-Parseval. + +On trouve une formule tout à fait +analogue si l'on suppose que le point~$M_i$ soit +au-dessous du plan~$xy$. % [** PP: Typo $xz$] + +Supposons maintenant que la surface~$\sigma'$ +devienne un cylindre indéfini~$\gamma$ ayant +les génératrices parallèles à l'axe~$z$ et +aussi que la coordonnée~$z_1$ du point~$M_i$ +soit supérieure aux coordonnées~$z$ des +points de~$\gamma$. Enfin supposons que $v$ soit +nulle pour toutes les valeurs de~$z$ inférieures +à une certaine limite~$-Z$. + +Dans ce cas la formule~(10) deviendra +{\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{\small}{\footnotesize} +\[ +\Lmargintag{14} +v(x_1\, y_1\, z_1) = \frac{1}{2\pi} \int_s ds + \left\{ \frac{\delta}{\delta n} + \int_\rho^\infty v(x, y, z_1-\xi)\, \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2-\rho^2}} + - \pderiv{}{n} + \int_\rho^\infty v(x, y, z_1-\xi)\, \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2-\rho^2}} +\right\}, +\] +}% [** End of \small] +\begin{wrapfigure}{r}{2.75in} +\Input{057b}{2.5in} +\end{wrapfigure} +où l'on suppose que +\[ +\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, +\] +$s$ étant l'intersection du cylindre~$\gamma$ avec un plan parallèle au plan~$xy$, et $x, y$ étant +les coordonnées des points de la ligne~$s$. +%% -----File: 058.png---Folio 58------- + +Par rapport aux dérivées normales représentées par les symboles $\pderiv{}{n}$ et $\dfrac{\delta}{\delta n}$ nous +convenons que si~$f$ est une fonction de $x, y, \rho$ et que si l'on regarde ces quantités +comme des variables indépendantes +\begin{align*} +\frac{\delta f}{\delta n} +%[** PP: Changed \pderiv{f}{z} to \pderiv{f}{x}] + &= \pderiv{f}{x} \pderiv{x}{n} + + \pderiv{f}{y} \pderiv{y}{n} \\ +\frac{\delta f}{\delta n} &= \pderiv{f}{\rho} \pderiv{\rho}{n}. % [** PP: Added period] +\end{align*} + +%[Illustrations] +\begin{wrapfigure}[6]{l}{2.75in}% [**** Explicit height] +\raisebox{0.5in}[1.5in][0pt]{\Input{058a}{2.5in}} +\end{wrapfigure} +Dans ce cas les valeurs de~$v$ et de la dérivée normale de~$v$ sur le cylindre ne +sont pas indépendantes entre elles. + +\Paragraph{13.} On peut enfin imaginer un cas +mixte des deux précédents où la surface~$\sigma'$ +est constituée en partie par un cylindre~$\gamma$ +et en partie par un plan parallèle au +plan~$xy$. Alors le second membre de la +formule~(10) est constitué de deux parties +dont l'une a la forme du second membre +de l'équation~(14) et l'autre celle du second +membre de l'équation~(13). Sur $\gamma$ les valeurs +de~$v$ et de la dérivée normale ne +sont pas indépendantes, tandis qu'elles +sont indépendantes sur le plan~$\omega$. + +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/058b.png. +% In the original, the cone is not a 45° cone.] +\begin{wrapfigure}[9]{l}[0.25in]{2.75in} % [**** Explicit height] +\raisebox{0.125in}[1.875in][0pt]{\Input{058b}{2.625in}} +\end{wrapfigure} +\Paragraph{14.} Les formules (8) et~(9) peuvent +aussi se particulariser en supposant que +$\sigma''$ se réduise à une surface cylindrique +ayant les génératrices parallèles à l'axe~$z$, +et alors elles deviennent respectivement +{\small +\[ +\Lmargintag{15} +\left\{ +\begin{aligned} +0 &= \int_s ds \left\{ \pderiv{}{n} + \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)\, + \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right. +\Trail{-} \\ +% + &\quad \left. -\frac{\delta}{\delta n} + \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)\, + \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right\} +\end{aligned} +\right. +\] +}% [** End of \small] +%% -----File: 059.png---Folio 59------- +\[ +\Lmargintag{16} +\left\{ +\begin{aligned} +v(x_1, y_1, z_1) &= \frac{1}{2\pi^2} \int_s ds + \left\{ \pderiv{}{n} \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi) + \log \left(\frac{\rho^2 - \xi^2}{\rho}\right)\, + \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right. +\Trail{-} \\ +% + &\quad + -\left.\frac{\delta}{\delta n} \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi) + \log \left(\frac{\rho^2 - \xi^2}{\rho}\right)\, + \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right\}. +\end{aligned} +\right. +\] +Dans ce cas $v$ et~$\pderiv{v}{n}$ ne sont pas indépendants. + + +\Chapter{\Ord{9}{ième} leçon.} + +\Paragraph{15.} Dans le §~13 nous avons envisagé le cas mixte où sur~$\omega$ les valeurs de~$v$ et +de~$\pderiv{v}{n}$ sont indépendantes entre elles, tandis qu'elles ne sont pas indépendantes sur +la surface cylindrique~$\gamma$. Sur cette surface il suffit de donner les valeurs de~$v$ ou de +$\pderiv{n}{n}$ pour déterminer $v(x_1\, y_1\, z_1)$. Il faut donc tâcher d'éliminer les valeurs de~$\pderiv{v}{n}$ +ou de~$v$ sur~$\gamma$. On peut atteindre le but dans certains cas très-aisément, et nous +allons les approfondir pour montrer que la célèbre méthode des images découverte +par Lord Kelvin pour l'intégration de l'équation de Laplace peut être aussi employée +quelquefois pour les équations analogues ayant les cônes caractéristiques réels. +On trouve par là un résultat complètement inattendu, c'est à dire que lorsqu'on % [** PP: Typo l'orsqu' on] +envisage les équations à caractéristiques réelles, même dans le cas où l'on a un +nombre infini d'images, la solution peut ne pas être donnée par des séries infinies, +mais par un nombre fini de termes. Ce résultat semble au premier abord paradoxal, +mais il tient à ce que dans chaque cas le nombre des images dont on a +besoin est fini en vertu de la réalité des cônes caractéristiques. + +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/059a.png. +% In the original, the cone is not a 45° cone.] +\begin{wrapfigure}[8]{r}{3in}% [**** Explicit height] +\qquad\raisebox{0.0625in}[1.25in][0pt]{\Input{059a}{2.5in}} +\end{wrapfigure} +Supposons que la surface +cylindrique~$\gamma$ se réduise au plan~$yz$ +($z>0$) et~$\omega$ au plan~$xy$ ($x>0$), +c'est à dire que $\omega$ soit un segment +d'un cercle et $\gamma$ un segment +d'hyperbole. + +Dans ce cas la formule~($5'$) s'écrit +\smallskip +%% -----File: 060.png---Folio 60------- +% [** PP: Re-breaking, added trailing operators] +\[ +\tag{17} +\left\{ +\begin{aligned} +v(x_1\, y_1\, z_1) +&= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}} v\, d\omega + + \frac{1}{2\pi} + \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{z}\, d\omega +\Trail{-} \\ +%% +&\quad -\frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\, + \frac{z_1 - z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma +\Trail{-} \\ +% +&\quad -\frac{1}{2\pi} + \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\, + \pderiv{v}{x}\, d\gamma. +\end{aligned} +\right. +\] + +Or pour éliminer les valeurs de~$v$ ou de $\smash[b]{\pderiv{v}{x}}$ sur $\gamma$ on peut se servir de la +méthode des images. +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/060a.png. +% In the original, the cone is not a 45° cone.] +\begin{center} +\Input{060a}{} +\end{center} + +Soit $M'_i$ l'image optique du point~$M_i$ réfléchi par le plan~$yz$. Menons le cône +caractéristique qui a pour sommet~$M'_i$. Il découpera sur le plan~$yz$ le segment +d'hyperbole~$\gamma$ et sur la partie du plan~$xy$ ($x>0$) un segment de cercle~$\omega'$. Si +nous appliquons la formule~(7), transformée convenablement, à l'ensemble des surfaces +$\omega'$ et~$\gamma$ on trouvera +%[** PP: Changed total derivative to partial derivative three times (##)] +\[ +\tag{18} +\left\{ +\begin{aligned} +0 &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_{\omega'} \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - {\rho'}^2}} v\, d\omega' + + \frac{1}{2\pi} + \int_{\omega'} \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - {\rho'}^2}}\, + \pderiv{v}{z}\, d\omega' %## +\Trail{+} \\ +% + &\quad + + \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - {\rho'}^2}}\, + \frac{z_1 - z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma +\Trail{-} \\ +% + &\quad + - \frac{1}{2\pi} \int_\gamma + \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\, + \pderiv{v}{x}\, d\gamma %## +\end{aligned} +\right. +\] +où +\[ +{\rho'}^2 = (x_1 + x)^2 + (y_1 - y)^2. +\] + +En ajoutant les deux formules (17) et~(18) on élimine $v$ dans l'intégrale étendue % [** PP: Typo étendre] +à~$\gamma$, et par soustraction on élimine~$\pderiv{v}{x}$. La méthode des images conduit donc %## +%% -----File: 061.png---Folio 61------- +bien aisément au résultat qu'on cherchait. Passons maintenant au cas des images +successives. Admettons que la surface~$\gamma$ soit constituée par les segments d'hyperboles +$\gamma'$ et~$\gamma''$ découpés par la nappe inférieure du cône ayant pour sommet~$M_i$ sur les demi-plans +$x=0$, $x=a$ ($a>0$) qui sont au-dessus %[** PP: Typo audessus] +du plan~$xy$. Soit $\omega$ la partie de la +bande du plan~$xy$ comprise entre les plans $x = 0$, $x = a$ et renfermée à l'intérieur +du cône. + +Dans ce cas la formule~$(2')$ s'écrit % [** PP: Typo (2^1)] +{\small +\begin{align*} % [** PP: Omitted left brace] +&v(x_1\, y_1\, z_1) + = \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}} v\, d\omega + + \frac{1}{2\pi} \int_\omega + \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{z}\, d\omega +\Trail{-} \\ +% +&\quad + - \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_{\gamma'} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, + \frac{z_1-z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma' + - \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma'} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{x}\, d\gamma' +\Trail{-} \\ +% +&\quad + - \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} + \int_{\gamma''} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, + \frac{z_1-z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma'' + + \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma''} + \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{x}\, d\gamma''. +\end{align*} +}% End of \small +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/061a.png. +% In the original, the cone is not a 45° cone.] +\begin{center} +\Input{061a}{3.5in} +\end{center} + +Dans cette formule les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{x}$ sur $\gamma'$ et~$\gamma''$ ne sont pas indépendantes, +c'est pourquoi l'on peut tâcher d'employer la méthode des images pour +éliminer les unes ou les autres. + +A cet effet prenons les images de~$M_i$ par rapport aux plans $\gamma'$ et~$\gamma''$ et ensuite +les images de ces images par rapport aux mêmes plans, et ainsi de suite indéfiniment. +Le nombre des images qu'on obtient est évidemment infini, mais il est intéressant +de remarquer qu'il n'est pas nécessaire de les employer toutes, car un +nombre fini d'entre elles suffit pour la solution du problème. Menons les cônes caractéristiques +dont les sommets sont les images que nous avons construites, et envisageons +les nappes inférieures de ces cônes, c'est à dire celles qui sont dirigées du côté +négatif de l'axe~$z$. Tous les cônes dont les sommets ont une distance des plans $\gamma'$ +et~$\gamma''$ supérieure à~$z$, ne rencontrent ces plans qu'au-dessous du plan~$\omega$, c'est +pourquoi il n'est pas nécessaire de les envisager. Il est clair donc qu'on pourra +%% -----File: 062.png---Folio 62------- +éliminer les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{x}$ sur $\gamma'$ et~$\gamma''$ en faisant usage seulement des +images qui sont à une distance de ces plans inférieure à~$z_1$. En employant donc +dans ce cas la méthode des images, on ne trouvera pas des séries infinies, mais la +solution du problème sera donnée par un nombre fini de termes. + +Au lieu des trois plans $\omega$, $\gamma'$, $\gamma''$ on peut en avoir cinq, dont quatre sont perpendiculaires +au plan $xy$, et le rencontrent en formant les côtés d'un rectangle. +La solution s'obtient toujours de la même manière par un nombre fini de termes. +Si~$v$ s'annule %[** PP: Typo annulle] +sur les quatre plans perpendiculaires à~$xy$, on obtient une solution +du problème bien connu des vibrations d'une membrane plane, fixée dans un cadre +rectangulaire sans avoir besoin de recourir à des séries, mais par des intégrales +définies. + +\Paragraph{16.} On peut chercher à étendre les résultats que nous avons indiqués au +cas des équations~(1) à quatre, cinq etc.\ variables. Il suffit pour cela d'envisager +des hyperespaces à $4, 5, \dotsc$ dimensions. Les cônes caractéristiques ont $3, 4 \dotsc$ +dimensions. Au lieu des surfaces $\sigma'$, $\sigma''$ il faut envisager des espaces à $3, 4 \dotsc$ +dimensions. Tout cela se conçoit très-bien. Mais si l'on passe de trois à quatre +variables on arrive à un résultat inattendu, c'est à dire que les choses au lieu de se +compliquer deviennent à un certain point de vue plus simples. En effet, on %[** PP: Typo ou] +trouve +des formules où la valeur de l'intégrale au sommet du cône dépend seulement des +valeurs de la même fonction et de ses dérivées dans les intersections des cônes +caractéristiques avec les espaces analogues aux surfaces $\sigma'$ et~$\sigma''$. Il n'y a pas +deux formules des types (2) et~(8), mais une seule formule. + +En général, le cas de deux variables excepté, les choses se présentent d'une +manière différente si l'on a un nombre pair ou si l'on a un nombre impair de +variables, et le cas le plus simple est celui d'un nombre pair. Tout cela lorsque +les équations ont une forme aussi simple que les équations~(1). Si les équations +avaient, par exemple, des termes de premier ordre la chose changerait. + +\Paragraph{17.} Nous n'entrerons pas dans les détails sur ce sujet qui sont très-compliqués. +Nous renvoyons pour cela aux travaux de M.~Tedone, de M.~Coulon, de M.~d'Adhémar +et de M.~Hadamard. Je rapporterai seulement les formules qu'on a +dans le cas de quatre variables et qui ont été données pour la première fois par +Kirchhoff, qui en a déduit avec rigueur le principe de Huyghens. + +Écrivons l'équation à quatre variables sous la forme +\[ +\tag{19} +\frac{\partial^2 v}{\partial t^2} + = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} +\] +%% -----File: 063.png---Folio 63------- +et envisageons $x, y, z$ comme les coordonnées des points de l'espace à 3~dimensions. +$t$~peut être envisagée comme une quatrième variable, qui dans les questions +de la physique mathématique est le temps. + +$\sigma$~étant le contour de l'espace~$S$ à l'intérieur duquel se trouve un point~$M_1$ +de coordonnées $x_1, y_1, z_1$ on a +\[ +v(x_1, y_1, z_1, t) + = \frac{1}{4\pi} \int_\sigma \left\{ + \pderiv{}{n} \left(\frac{v(x, y, z, t-r)}{r}\right) + - \frac{\delta}{\delta n} \left(\frac{v(x_1, y_1, z_1, t-r)}{r}\right) +\right\} d\sigma +\] +où $r = \sqrt{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2 + (z_1-z)^2}$, $n$~est la normale interne à la surface~$\sigma$ et +les symboles $\pderiv{f}{n}$ et~$\dfrac{\delta f}{\delta n}$ représentent par rapport à une fonction $f(x, y, z, r)$ +\[ +\pderiv{f}{n} = \pderiv{f}{r} \pderiv{r}{n},\quad +\frac{\delta f}{\delta n} + = \pderiv{f}{x} \pderiv{x}{n} + + \pderiv{f}{y} \pderiv{y}{n} + + \pderiv{f}{z} \pderiv{z}{n} +\] +en regardant $x, y, z, r$ comme des variables indépendantes. Si la surface~$\sigma$ se +réduit à une sphère ayant pour centre le point~$M_1$, la formule précédente se +particularise et devient l'intégrale générale de l'équation~(19) donnée par Poisson. + +\Paragraph{18.} Le succès de la méthode de Kirchhoff est dû à l'emploi des méthodes de +Green et à l'existence de l'intégrale % [** PP: Remove period] +\[ +\tag{20} +\frac{f(r ± t)}{r} +\] +de l'équation~(19), où $f$ est une fonction arbitraire. Pour toutes les équations pour +lesquelles existent des intégrales de la même nature, qui n'ont d'autres points +singuliers que $r = 0$, on peut procéder par des méthodes analogues à celles de +Kirchhoff. + +Voyons si l'équation à trois variables qu'on peut écrire +\[ +\frac{\partial^2 v}{\partial t^2} + = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} +\] +possède une intégrale de la forme précédente, c'est à dire de la forme $\THETA f(\rho ± t)$ +où $\THETA$ est une quantité indépendante de~$t$, +\[ +\rho = \sqrt{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2} +\] +et $f$ est une fonction arbitraire. En posant +\[ +x_1 - x = \rho \cos \alpha,\quad +y_1 - y = \rho \sin \alpha +\] +on trouve l'intégrale +%% -----File: 064.png---Folio 64------- +\[ +\tag{21} +\frac{A \sin \frac{1}{2} \alpha + B \cos \frac{1}{2} \alpha}{\sqrt{r}}\, f(\rho ± t). +\] + +Il paraît donc tout naturel que, même dans ce cas, on puisse employer cette +intégrale en suivant les méthodes de Kirchhoff. Mais il est facile de se persuader +que l'intégrale précédente est polydrome. Or les méthodes de Kirchhoff étant +fondées sur celles de Green, c'est à dire sur le théorème de Gauss, dont nous avons +parlé dans la deuxième leçon, on ne peut pas les employer dans ce cas. + +Il faut donc recourir à d'autres méthodes ou à d'autres intégrales dans le +cas de l'équation à trois variables, et cela explique pourquoi les résultats étaient +plus simples et aussi plus faciles à trouver dans le cas de quatre variables que +dans celui de trois variables. C'est pourquoi le cas de 4~variables a été le premier +à être résolu après celui tout à fait élémentaire de deux variables. Nous voyons +quel rôle joue la polydromie des intégrales dans le cas des équations à caractéristiques +réelles par l'exemple très simple que nous avons envisagé. + +\Paragraph{19.} Weierstrass a découvert une méthode pour donner l'intégrale générale +des équations et des systèmes d'équations aux dérivées partielles à coefficients +constants. Cette méthode a paru maintenant dans les {\oe}uvres de Weierstrass; +mais dès l'année 1881 il l'avait communiquée à \Mme\ Kowalewski qui chercha à +l'employer pour intégrer les équations des vibrations de la lumière dans les +milieux biréfringents. + +Supposons que +\[ +\tag{22} +\THETA (u, v, w) = t +\] +soit l'équation d'une surface fermée telle que toute droite qui part de l'origine ne +la rencontre que dans un seul point, et supposons qu'on ait +\[ +\THETA (Kx, Ky, Kz) = K \THETA (x, y, z). +\] + +Par +\[ +\int f(u, v, w)\, d\omega +\] +représentons une intégrale étendue à l'espace renfermé entre deux surfaces~(22) +correspondantes aux valeurs $t_0$ et~$t$ de~$t$, dont la première est constante. + +Les formules fondamentales découvertes par Weierstrass sont les suivantes. + +Si +\[ +\tag{23} +F(x, y, z, t) = D_t \int \phi (u, v, w) f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega +\] +on a +%% -----File: 065.png---Folio 65------- +\[ +\Lmargintag{24} +\left\{ +\begin{aligned} +D_x F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{u} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{u} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\ +D_y F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{v} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{v} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\ +D_z F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{w} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{w} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\ +D_t F &= D^2_t \int \phi f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega +\end{aligned} +\right. +\] +où $D_\alpha$ est le symbole de dérivation par rapport à~$\alpha$. On calcule de même les +dérivées successives de~$F$, et l'on tâche de prendre $\THETA$ et~$\phi$ de manière que les +dérivées d'un certain ordre vérifient une relation linéaire à coefficients constants. +On trouve alors une intégrale de l'équation ayant la forme~(23) avec la fonction +arbitraire~$f$. De là on passe à l'intégrale générale. La méthode est analogue +dans le cas des systèmes d'équations différentielles. + +Or envisageons la fonction +\[ +\psi(u,v,w,t) = \phi(u,v,w) \Phi(t - \THETA) +\] +où $\Phi$ est une fonction arbitraire. On aura les formules suivantes +\[ +\tag{$24'$} +\left\{ +\begin{aligned} +\pderiv{\psi}{u} &= -\phi \pderiv{\THETA}{u}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{u}\, \Phi(t-\THETA) \\ +\pderiv{\psi}{v} &= -\phi \pderiv{\THETA}{v}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{v}\, \Phi(t-\THETA) \\ +\pderiv{\psi}{w} &= -\phi \pderiv{\THETA}{w}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{w}\, \Phi(t-\THETA) \\ +\pderiv{\psi}{t} &= \phantom{-}\phi \Phi'(t-\THETA). +\end{aligned} +\right. +\] + +Comparons les trois premières équations~(24) et les trois premières équations~$(24')$. +Les coefficients de $f$ sous les intégrales des égalités~(24) sont égaux et de +signe contraire aux coefficients de $\Phi$ et~$\Phi'$ dans les égalités~$(24')$. On ne trouve +pas de changement de signe en comparant la dernière des équations~(24) avec la +dernière des équations~$(24')$. + +On en déduit bien aisément la propriété suivante. Posons +\[ +\frac{\partial^n \psi}{\partial u^{h_1}\, \partial v^{h_2}\, \partial w^{h_3}\, \partial t^{h_4}} + = \psi_{h_1 h_2 h_3 h_4},\quad +\frac{\partial^n F}{\partial x^{h_1}\, \partial y^{h_2}\, \partial z^{h_3}\, \partial t^{h_4}} + = F_{h_1 h_2 h_3 h_4} +\] +où $n = h_1 + h_2 + h_3 + h_4$, on aura +%% -----File: 066.png---Folio 66------- +{\small +\begin{gather*} +F_{h_1 h_2 h_3 h_4} + = D_t^{n+1} \int P_n f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega + + D_t^n \int P_{n-1} f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega +\Trail{+\dotsb} \\ ++ \dotsb + D_t^{h_4 + 1} \int P_{h_4} f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega. \\ +\psi_{h_1 h_2 h_3 h_4} = (-1)^{n - h_4} + \{ P_n \Phi^{(n)} (t - \THETA) + + P_{n-1} \Phi^{(n-1)} (t - \THETA) + \dotsb + + P_{h_4} \Phi^{(h_4)} (t - \THETA)\} +\end{gather*} +}% End of \small +et par suite si l'équation différentielle à coefficients constants +\[ +\tag{25} +\sum A_{h_1 h_2 h_3 h_4} + \frac{\partial^n V} + {\partial x^{h_1}\, \partial y^{h_2}\, \partial z^{h_3}\, \partial t^{h_4}} + = 0 +\] +possède une intégrale +\[ +\tag{26} +F(x\, y\, z\, t) %[** PP: no commas] + = D_t \int \phi (u, v, w)\, f(x + u, y + v, z+ w)\, d\omega +\] +$f$ étant une fonction arbitraire, l'équation +\[ +\tag{$25'$} +\sum (-1)^{n - h_4} A_{h_1 h_2 h_3 h_4}\, + \frac{\partial^n V} + {\partial u^{h_1}\, \partial v^{h_2}\, \partial w^{h_3}\, + \partial t^{h_4}} % [** PP: Changed dt to \partial t] + = 0 +\] +aura l'intégrale +\[ +\tag{$26'$} +\psi(u\, v\, w\, t) = \phi(u\, v\, w)\, \Phi (t - \THETA) %[** PP: no commas] +\] +où $\Phi$ est une fonction arbitraire. %[** PP: Typo arbitaire] +Réciproquement si l'équation~$(25')$ possède l'intégrale~$(26')$, +$\Phi$~étant une fonction arbitraire, l'équation~(25) aura l'intégrale~(26). + +L'intégrale~$(26')$ a la forme de l'intégrale~(20), c'est pourquoi en comptant sur +les singularités de~$\phi$ pour $u = v = w = 0$, on peut passer de la méthode de Weierstrass +à celle de Kirchhoff, c'est à dire des intégrales générales du type Poisson +à des formules qui les comprennent. + +Le même résultat peut s'établir pour les systèmes d'équations différentielles. + +Je possédais en 1892 ce théorème lorsque j'étudiais le mémoire de \Mme\ Kowalewski +sur la propagation de la lumière dans les cristaux. Puisqu'elle avait cru +obtenir par la méthode de Weierstrass les intégrales générales des équations de +l'optique, je croyais posséder la méthode pour parvenir aux formules analogues +à celles de Kirchhoff et pour pouvoir établir le principe de Huyghens pour les milieux +biréfringents. Mais l'emploi de la méthode conduisait à des résultats paradoxaux. +D'où provenaient-ils? En voici la raison. Les fonctions qui dans ce cas +remplacent $\phi$ dans les formules sont des fonctions polydromes du même genre +que la fonction polydrome que nous avons trouvée dans le §~18. Il n'était pas % [** Xref] +facile de s'en apercevoir, car ces fonctions sont très compliquées, et elles avaient +été étudiées depuis Lamé sans que cette propriété ressortît. C'est pourquoi ni +la méthode de Weierstrass ni celle de Kirchhoff n'étaient applicables et les +formules de \Mme\ Kowalewski ne donnaient pas les intégrales de l'optique. Voilà +encore une fois que le rôle des fonctions polydromes ressort dans cette question +d'analyse et de physique mathématique. +%% -----File: 067.png---Folio 67------- + +\begin{Bibliographie} + +\Bibitem{Kirchhoff.}{Zur Theorie der Lichtstrahlen (Sitzb.\ d.\ %[**P2:space inserted] +Ak.\ d.\ Wiss.,\ Berlin 1882).} + +\Bibitem{Kowalewski.}{Ueber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln. Acta +Math.\ 1885.} + +\Bibitem{Weierstrass.}{Werke. Bd.~I.} % [** PP: Changed Bd to Bd.] + +\Bibitem{Volterra.}{Sul principio di Huyghens. Nuovo Cimento 1893.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle onde cilindriche dei mezzi isotropi. Rend.\ Acc.\ Lincei 1892.} + +%[** PP: Changed luminare to luminose] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni luminose nei mezzi isotropi. Ibid.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni dei corpi elastici. Ibid.\ 1893.} + +%[** PP: Changed integrazione to integrazioni, equzioni to equazioni] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle integrazioni delle equazioni differenziali del moto di un corpo elastico +isotropo. Ibid.\ 1893.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les vibrations dans les milieux biréfringents. Acta Math.\ 1892.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les vibrations des corps élastiques isotropes. Ibid.\ 1894.} + +% [** PP: Changed II to II^e] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les équations aux dérivées partielles. \Ord{II}{e} congrès des mathématiciens +1900.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Note on the application of the method of images to problems of vibrations. +London Math.\ Soc.\ 1904.} + +%[** PP: Changed +% Sulle dimostr.\ delle formula che rappresenta analiticamento il principio di Huyghens to +% Sulla dimostr.\ della formola che rappresenta analiticamente il principio di Huyghens] +\Bibitem{Tedone.}{Sulla dimostr.\ della formola che rappresenta analiticamente il principio +di Huyghens. Rend.\ Acc.\ Lincei 1896.} + +\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni dei corpi elastici. Ibid.} + +% [** PP: Removed space after apostrophe] +\Bibitem{\sameauthor.}{Sull' int.\ dell'equazione +$\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x^2} - \sum_1^m \frac{\partial \phi}{\partial x_i^2} = 0$. Annali di Mat.\ 1898.} + +%[** PP: Changed sisteme to sistema] +\Bibitem{\sameauthor.}{Su di un sistema generale di equazioni che si può integrare col metodo delle +caratteristiche. Ibid.} + +\Bibitem{Coulon.}{Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre +par la méthode des caractéristiques. Thèse 1902.} + +\Bibitem{d'Adhémar.}{Sur une classe d'équations aux dérivées partielles du second ordre, +du type hyperbolique à 3 ou 4~variables indépendantes. Thèse 1904.} + +%[** PP: Changed hydrodinamique to hydrodynamique]. +\Bibitem{Hadamard.}{Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique. +Paris 1903.} + +%[** PP: Changed Ecole to École] +\Bibitem{\sameauthor.}{Recherches sur les solutions fondamentales et l'intégration des équations +linéaires aux dérivées partielles. Ann.\ de l'École normale de Paris 1903--1905.} + +\end{Bibliographie} +%% -----File: 068.png---Folio 68------- + + +\Chapter{\Ord{10}{ième} leçon.} + +\Paragraph{1.} Nous avons jusqu'à présent examiné quelques équations du type elliptique +et du type hyperbolique. Nous parvenons maintenant aux équations du type +parabolique. + +L'équation de la propagation de la chaleur appartient à ce type. Fourier, +Poisson, Laplace, pour ne citer que les plus anciens, ont consacré de profondes +études à cette équation. Tout le monde sait que les méthodes introduites par +Fourier sont devenues classiques et ont formé le point de départ, la base et le +modèle de bien des recherches de l'analyse et de la physique mathématique. + +Plus récemment on a introduit dans la théorie de la propagation de la chaleur +des méthodes qui se rattachent à celles de Green. Betti a consacré un très beau +mémoire à cette étude, sans cependant recourir à la notion des caractéristiques. +Appell et Boussinesq ont profondément examiné par des concepts plus modernes +encore, bien des questions qui s'y rapportent. + +Mais à mon avis pour les équations du type parabolique on n'est pas si avancé +que pour les équations des autres types que nous avons examinées dans les leçons +précédentes. + +\Paragraph{2.} Nous allons envisager l'équation la plus simple possible +\[ +\tag{1} +\pderiv{u}{t} = \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}. +\] + +Le rôle des deux variables $t$ et~$z$ est très-différent, ce qu'on comprend dès +le premier abord, car l'équation différentielle est de premier ordre par rapport à~$t$ +et de deuxième ordre par rapport à~$z$. + +Poisson a bien mis en lumière ce fait par un résultat sur lequel il a insisté +beaucoup en y revenant plusieurs fois dans ses différents ouvrages. + +Nous allons l'exposer en empruntant à peu près les termes de son livre sur +la théorie mathématique de la chaleur. + +Si nous essayons de développer $u$ dans une série de puissances de~$t-h$, $h$ +étant une quantité constante, nous trouvons, en calculant de proche en proche les +coefficients, +\[ +\tag{2} +u = \phi(z) + (t-h) \frac{d^2 \phi}{dz^2} + + \frac{1}{2} (t-h)^2 \frac{d^4 \phi}{dz^4} + \dotsb + + \frac{1}{n!} (t-h)^n \frac{d^{2n} \phi}{dz^{2n}} + \dotsb +\] +%% -----File: 069.png---Folio 69------- +où $\phi$ représente une fonction arbitraire. Si l'on fait $t = h$, on a +\[ +u = \phi(z). +\] +$\phi(z)$ est donc la fonction à laquelle se réduit~$u$ pour $t = h$. Au contraire si nous +développons $u$ par les puissances de~$z-k$, on trouvera par la même méthode +\[ +\tag{3} +\left\{ +\begin{aligned} +u &= \psi(t) + \frac{(z-k)^2}{2!} \frac{d \psi}{dt} + + \frac{(z-k)^4}{4!} \frac{d^2 \psi}{dt^2} + \dotsb + % [** PP: Added + before next term, changed 2n! to (2n)!] + + \frac{(z-k)^{2n}}{(2n)!} \frac{d^n \psi}{dt^n} + \dotsb \\ +%% + &\quad+ (z-k) \Psi(t) + \frac{(z-k)^3}{3!} \frac{d \Psi}{dt} + \dotsb + + \frac{(z-k)^{2n+1}}{(2n+1)!} \frac{d^n \Psi}{dt^n} + \dotsb +\end{aligned} +\right. +\] +où $\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ sont des fonctions arbitraires. + +En faisant $z = k$ on trouve +\[ +u = \psi(t),\quad \pderiv{u}{t} = \Psi(t); +\] +donc $\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ représentent les valeurs de~$u$ et $\pderiv{u}{t}$ pour $z = k$. + +Or il est facile de prouver que la même intégrale peut se mettre sous la +forme~(2) ou la forme~(3). Il suffit pour cela de développer~$\phi(z)$ dans une série +de puissances de~$z-k$ et~$\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ en des séries de puissances de~$t-h$. + +En posant +\begin{align*} +\phi(z) &= a_0 + a_1 (z-k) + \frac{a_2}{1\cdot2} (z-k)^2 + + \dotsb + \frac{a_n}{n!} (z-k)^n + \dotsb \\ +\intertext{on trouvera en comparant les coefficients dans les formules (2) et~(3)} +\psi(t) &= a_0 + a_2 (t-h) + \frac{a_4}{2!} (t-h)^2 + + \dotsb + \frac{a_{2n}}{n!} (t-h)^n + \dotsb \\ +\Psi(t) &= a_1 + a_3 (t-h) + \frac{a_5}{2!} (t-h)^2 + + \dotsb + \frac{a_{2n+1}}{n!} (t-h)^n + \dotsb. % [** PP: Added period] +\end{align*} + +On voit donc que la même intégrale peut s'écrire avec une ou avec deux +fonctions arbitraires de deux manières complètement équivalentes. + +Poisson a ensuite transformé les deux intégrales en les exprimant par des +intégrales définies. Il écrit l'intégrale~(2) sous la forme +%% -----File: 070.png---Folio 70------- +\[ +\tag{$2'$} +u(z,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int \phi(\xi)\, + \frac{e^{-\smfrac{(\xi - z)^2}{4(t - h)}}}{\sqrt{t - h}}\, d\xi +\] +et l'intégrale~(3) sous la forme +\begin{align*} +u(z,t) &= \gamma \int_{-\infty}^\infty + \psi \left( t + \frac{(z - k)^2}{4(c + i\xi)} \right)\, + \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{c + i\xi}} +\tag{$3'$} +\Trail{+} \\ +% + &\quad+ \frac{1}{2} \gamma(z - k) \int_{-\infty}^\infty + \Psi \left( t + \frac{(z - k)^2}{4(c + i\xi)} \right)\, + \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{(c + i\xi)^3}}\;, +\end{align*} +où +\[ +\frac{1}{\gamma} + = \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{c + i\xi}}\;, +\] +$c$ étant une constante réelle qui n'est pas nulle. + +Après Poisson, Schlaefli est revenu là dessus en exprimant les mêmes intégrales +sous des formes différentes dans un très beau mémoire inséré dans le T.~72 +du Journal de Crelle. + +\Paragraph{3.} Cela posé voyons ce qu'on peut tirer des méthodes qui ont été les +plus puissantes dans le cas des équations que nous avons envisagées dans les +leçons précédentes. Il est évident que ces méthodes sont celles de Green, mais +où l'on introduit la notion des caractéristiques par les méthodes de Riemann. %[** PP: Added period] + +Il n'y a pas de difficultés à procéder par une voie tout à fait analogue +dans notre cas. + +On peut évidemment commencer par envisager une équation plus générale +que l'équation~(1), c'est à dire +\[ +\tag{$1'$} +\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - \pderiv{u}{t} = f(z,t). %[** PP: Added period] +\] + +Les caractéristiques de l'équation~$(1')$ sont des lignes parallèles à l'axe~$z$ +(voir la \hyperref[section:8.5]{leçon~\Ord{8}{ième} §~5}). % [** Xref] + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2in} +\Input{070a}{2in} +\end{wrapfigure} +Prenons la direction de l'axe~$t$ de la gauche +à la droite. Alors chaque caractéristique partage +le plan en deux domaines qu'on peut appeler le +domaine de gauche et celui de droite. + +Il est facile de démontrer le théorème: + +\textit{% [**** Not \begin{Theorem}; must accommodate illustration] +Soit $s$ une courbe ouverte dont les deux bouts $A, B$ +se trouvent sur une caractéristique, et qui renferme avec +cette caractéristique une aire~$\sigma$ située à gauche de celle-ci. +Si nous connaissons $u$ sur~$s$ et~$f(z, t)$ à l'intérieur +de l'aire~$\sigma$, $u$~sera déterminée dans tous les points de~$\sigma$. +}%\end{Theorem} +%% -----File: 071.png---Folio 71------- + +La démonstration est très-simple et du même type des démonstrations des +théorèmes analogues qu'on a dans les autres théories. En effet, si $u_1$ et~$u_2$ sont +des fonctions qui vérifient l'équation~$(1')$ et qui prennent les mêmes valeurs sur~$s$, %[** PP: Changed . to ,] +on calcule leur différence $u_3 = u_1 - u_2$ qui vérifiera l'équation~$(1)$ et qui sera +nulle sur~$s$. + +Par les transformations bien connues des intégrales on tire de là que +\[ +0 = \int_\sigma u_3 + \left(\frac{\partial^2 u_3}{\partial z^2} + - \pderiv{u_3}{t}\right) d\sigma + = - \frac{1}{2} \int_l u_3^2\, dl + - \int_\sigma \left(\pderiv{u_3}{z}\right)^2 d\sigma +\] +où $l$ est la partie de la caractéristique comprise entre les points $A, B$. + +C'est pourquoi $u_3$ sera nulle dans l'aire~$\sigma$ et par suite $u_1 = u_2$. Donc il n'y a %[** PP: Added a] +pas deux fonctions différentes qui satisfont aux conditions que nous avons posées, +et on a par là la démonstration du théorème que nous avons énoncé. + +Il faut maintenant remarquer que les raisonnements que nous venons de faire +ne pourraient pas être répétés si l'on supposait que la courbe~$s$ était à droite de la +ligne caractéristique, et par suite il n'y a pas une symétrie des propriétés des +intégrales de l'équation différentielle des deux côtés de chaque caractéristique, +comme d'autre part il était facile de prévoir. + +\Paragraph{4.} On peut donner une formule tout à fait analogue à la formule de Green +en envisageant avec l'équation~$(1')$ son adjointe +\[ +\tag{4} +\frac{\partial^2 v}{\partial z^2} + \pderiv{v}{t} = g(z, t). +\] + +Alors on trouve +\[ +\tag{5} +- \int_\sigma (vf - ug)\, d\sigma + = \int_s \left[\left(v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z}\right) \cos nz - uv \cos nt\right] ds + + \int_l uv\, dl, +\] +$n$ étant la normale à la ligne~$s$ dirigée vers l'intérieur +de~$\sigma$. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}[10]{r}{2in} +\raisebox{0.125in}[1.75in][0pt]{\Input{071a}{2in}}% [**** Explicit height] +\end{wrapfigure} +Or la fonction qui joue le rôle principal dans +cette théorie est, comme il est bien connu, l'intégrale +suivante de l'équation~(4) où l'on suppose $g = 0$ +\[ +v = \frac{1}{2 \sqrt{\pi} \sqrt{t_1 - t}} e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(t_1-t)}}, +\] +$t_1 > t$ et~$z_1$ étant des valeurs constantes. Le radical +est supposé positif. Prenons le point~$M_1$ de coordonnées +%% -----File: 072.png---Folio 72------- +$t_1\, z_1$ à droite de la caractéristique~$l$. Remplaçons cette valeur de~$v$ dans +l'équation où l'on suppose $g = 0$, puis faisons approcher~$M_1$ de la ligne caractéristique. + +A ce point il faut rappeler un théorème bien connu d'analyse. $F(z)$ étant +une fonction continue et finie et $z'' > z'$ on a +\[ +\tag{I} +\lim_{t_1=t} \int_{z'}^{z''} + \frac{1}{\sqrt{t_1 - t}} e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(t_1-t)}} F(z)\, dz + = \begin{cases} + F(z_1) 2\sqrt{\pi} \\ + 0 + \end{cases}\!\!\!\!\!\!. % [** PP: Explicit horizontal space] +\] + +Il faut prendre le second membre égal à $2\sqrt{\pi} F(z_1)$ si~$z_1$ est comprise entre +$z'$ et~$z''$, et il faut le prendre égal~$0$ si $z_1$ n'est pas comprise entre les valeurs $z'$ et~$z''$. + +On suppose que le radical qui paraît sous l'intégrale soit positif. S'il était +négatif le second membre changerait de signe. + +Deux cas pourront donc se présenter. Si le point~$M_1$ s'approche d'un point~$M'$ +compris entre $A$ et~$B$ on aura +\[ +\lim \int_l uv\, dl +\] +égale à la valeur de la fonction~$u$ dans le point~$M'$. Si au contraire il s'approche +d'un point~$M''$ qui n'est pas compris entre $A$ et~$B$ la même limite est nulle. + +On tire de là les deux formules suivantes +\begin{align*} +& -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} + \int_s \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}} + \left\{\left[\pderiv{u}{z} - u \frac{z_1-z}{2(t_1-t)}\right] + \cos nz - u \cos nt\right\}ds +\Trail{-} \\ +% +& -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} + \int_\sigma \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}} + {\sqrt{t_1-t}} f\, d\sigma + = \left\{\begin{matrix} + u(z_1\, t_1) \\[2ex] %[** PP: Height must match \tag* below] + 0 + \end{matrix}\right\} +\tag*{$\begin{matrix}(6) \\[2ex] (6')\end{matrix}$} +\end{align*} +où $t = t_1$ est l'équation de la caractéristique~$l$. Le +premier cas se présente lorsque le point $z_1\, t_1$ est +compris entre $A$ et~$B$ et le second cas lorsqu'il est +externe. + +Dans cette formule, comme dans toutes les formules +analogues que l'on trouve par les procédés de +Green (Cf.\ le \hyperref[section:8.3]{§~3 de la \Ord{8}{ième}~leçon}), la valeur de l'intégrale % [** Xref] +au point $z_1\, t_1$ est donnée par les valeurs de l'intégrale +même et de ses dérivées sur la ligne~$s$. Or, +comme nous avons vu (§~3), il est nécessaire de connaître +%% -----File: 073.png---Folio 73------- +les seules valeurs de~$u$ sur~$l$ pour la déterminer +dans~$\sigma$, c'est pourquoi il y a dans la formule précédente +la quantité $\pderiv{u}{z}$ qu'il faut éliminer. Elle s'élimine +d'elle-même sur toute partie $CD$ de la ligne~$s$ +qui est un segment de droite parallèle à l'axe~$z$, +car sur $CD$ on a $\cos nz = 0$. Ainsi, si les points +$A, B$ s'éloignent indéfiniment dans la direction positive +et négative de~$z$ de manière que la ligne~$s$ +devienne la parallèle $t = h$ à l'axe~$z$, la quantité +$\pderiv{u}{z}$ est complètement éliminée. +\begin{center} +\Input{072a}{1.75in}\hfil\Input{073a}{1.75in} +\end{center} + +Alors si nous posons dans la formule~(6) $f = 0$ elle devient la formule~$(2')$ de +Poisson. En effet elle exprime la valeur de~$u$ par les valeurs de cette intégrale +pour $t = h$. + +%[Illustrations] +\begin{center} +\Input{073b}{2in}\hfil\Input{073c}{2.75in} +\end{center} + +\Paragraph{5.} Les valeurs de $\pderiv{u}{z}$ sur~$s$ peuvent s'éliminer aussi en d'autres cas. Nous +allons démontrer qu'elles peuvent s'éliminer sur toute partie $CD$ de~$s$ qui est un +segment de ligne droite telle que toute l'aire~$\sigma$ est située d'un côté %[** PP: Typo coté] +de cette droite. +Prenons en effet le point~$M''$ symétrique du point~$M'$ par rapport au point~$E$. +$M'$~étant interne au segment $AB$, $M''$~sera externe. C'est pourquoi, si $z_1\, t_1$ sont +les coordonnées de~$M'$ et $z_2\, t_1$ celles de~$M''$, en remplaçant dans la formule~(6) $z_1$ +par $z_2$ on passe à la formule~$(6')$. + +Le premier membre peut se décomposer en deux parties, l'intégrale qui est +étendue à $CD$ et toute la partie résiduelle. En appelant~$I$ cette dernière, on aura % [** PP: Put "I" in math mode] +%% -----File: 074.png---Folio 74------- +\begin{align*} +I' - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{CD} + \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}} + \left\{ \left[ \pderiv{u}{z} - u \frac{z_1-z}{2(t_1-t)} \right] \cos nz - u \cos nt \right\} ds &= u(z_1\, t_1) \\ +% +I'' - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{CD} + \frac{e^{-\smfrac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}} + \left\{ \left[ \pderiv{u}{z} - u \frac{z_2-z}{2(t_1-t)} \right] \cos nz - u \cos nt \right\} ds &= 0 +\end{align*} +où $I'$ et~$I''$ sont les valeurs de $I$ si l'on se rapporte respectivement aux points $M'$ +et~$M''$. Ajoutons la première équation à la seconde après avoir multiplié celle-ci +par une quantité constante~$-e^c$. Le second membre sera $u(z_1\, t_1)$ et dans le premier +membre le coefficient de $\pderiv{u}{z}$ sous l'intégrale deviendra +\[ +\biggl( e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}} + - e^{-\smfrac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)} + c} \biggr) \frac{\cos nz}{\sqrt{t_1-t}}\, ds. +\] + +Pour éliminer $\pderiv{u}{z}$ le long de l'intégrale étendue à $CD$ il suffit d'annuler ce +coefficient. Posons donc +\[ + \frac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)} += \frac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)} - c. +\] +On tire de là en appelant~$z_e$ la coordonnée du point $E$ et~$h$ la longueur~$M'M''$ +\[ +\frac{z_e - z}{t_1 - t} = \frac{2c}{h}. +\] +Mais la droite $CD$ passe par le point~$E$; c'est pourquoi son équation est +\[ +\frac{z_e - z}{t_1 - t} = \alpha, +\] +$\alpha$ étant une quantité constante. + +Il suffit donc de prendre +\[ +c = \frac{h\alpha}{2} +\] +pour faire l'élimination de $\pderiv{u}{z}$. + +%%[Illustration] +% [**** Explicit height; illus on next page in original] +\begin{wrapfigure}[10]{r}{2.5in} +\raisebox{0.25in}[2in][0pt]{\Input{075a}{2.25in}} +\end{wrapfigure} +La méthode qu'on a suivie est bien une méthode des images, car on peut appeler +le point~$M''$ l'image du point~$M'$ par rapport au point~$E$. + +Si la ligne~$s$ est formée de plusieurs droites on peut appliquer dans certains +cas le principe des images successives pour éliminer $\pderiv{u}{z}$ sur toute la ligne~$s$. +%% -----File: 075.png---Folio 75------- + +%[Illustration] +Soit $s$ formée par trois droites $AC$, +$CD$, $DB$ dont $CD$ est parallèle à~$z$, alors +la méthode peut servir pour tout point $M'$ +d'une manière très simple. L'on trouve dans +ce cas un nombre infini d'images. + +\Paragraph{6.} Ce que nous avons exposé jusqu'ici +nous prouve qu'une méthode tout à fait analogue +à celle qu'on emploie dans le cas des +équations du type hyperbolique peut être +aussi employée dans celui des équations du +type parabolique, en tenant compte des lignes +caractéristiques. + +Cependant nous pouvons bien facilement +nous convaincre que par cette méthode on n'épuise pas les propriétés les plus importantes +de l'équation~$(1')$, et que la méthode même est impuissante à nous en +dévoiler les plus cachées. + +En effet nous avons montré dès le \Ord{2}{ième}~§ le résultat obtenu par Poisson, +c'est à dire que l'intégrale générale de l'équation~(1) peut s'exprimer par une fonction +arbitraire ou par deux fonctions arbitraires. Or la formule~(6) peut nous +conduire à l'intégrale~(2), comme nous avons déjà vu, mais elle ne nous amène pas +à l'intégrale~(3). Même en tâchant de faire coïncider la ligne~$s$ avec l'axe des~$z$ +on n'arrive pas à cette formule. + +On serait conduit à cette conclusion, que les équations du type parabolique +n'offrent pas de prise aux méthodes modernes d'une manière complète, et que +par exemple les anciennes méthodes de Poisson nous disent davantage. Il +semble donc que les méthodes modernes peuvent nous donner l'explication d'un +grand nombre de faits, mais tous les faits connus semblent ne pas ressortir d'elles. + +Malgré cela nous allons voir que cette impuissance n'est qu'apparente et que +nous pouvons réunir dans un ensemble unique tous les faits et par une seule formule +embrasser toutes les formules connues. Pour rejoindre le but il n'y a qu'à +aborder les nouvelles méthodes avec une conception nouvelle, c'est à dire en les +étendant aux variables complexes, ce qu'on n'avait pas fait jusqu'à présent. L'équation~$(1')$ +se prête avec beaucoup de facilité à cette généralisation, car elle n'a que +deux variables $z$ et~$t$, et si nous posons $t = x + iy$ en regardant $x, y, z$ comme les +coordonnées des points de l'espace, on pourra se servir des images géométriques +dans un domaine à trois dimensions. + +Envisageons une fois encore la fonction qui joue le rôle principal dans ces +recherches, c'est à dire +%% -----File: 076.png---Folio 76------- +\[ +\tag{7} +\frac{e^{-\smfrac{(z_1 - z)^2}{4(t_1 - t)}}}{\sqrt{t_1 - t}}. +\] +Nous verrons dans la leçon suivante que c'est la polydromie de cette fonction +qui a l'importance la plus grande dans tous les résultats que nous allons obtenir. +Cette fonction est en effet polydrome par rapport à la variable~$t$. Or cette polydromie +ne peut pas ressortir si on n'envisage pas $t$ comme une variable complexe. +C'est pourquoi toute la théorie que nous avons développée qui était bâtie en dehors +de cette propriété était justement incomplète. + + +\Chapter{\Ord{11}{ième} leçon.} + +\Paragraph{7.} La première question qui se pose est de voir si l'on peut étendre dans +les intégrales de l'équation~$(1')$ la variabilité de~$t$, c'est à dire si l'on peut la regarder +comme un nombre complexe. A cet effet considérons les intégrales de +l'équation~(1) qui est plus simple que l'autre. Il est facile de démontrer, et d'autre +part la chose est connue, qu'elles ne sont pas en général des fonctions analytiques +de~$t$. + +Pour s'en persuader d'une manière tout à fait élémentaire prenons la fonction +\[ +u(z, t) = z \int_0^t \phi(\xi) e^{-\smfrac{z^2}{4(t - \xi)}}\, (t - \xi)^{-\frac{3}{2}}\, d\xi +\] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2.75in} +\Input{076a}{2.5in} +\end{wrapfigure} +où $\phi(\xi)$ est une fonction finie et intégrable. +Si $\phi(\xi)$ est définie dans le domaine $(0\, a)$ on % [** PP: Typo (o a)] +voit aisément que $u(z, t)$ est définie pour toutes +les valeurs positives de~$z$ à l'intérieur de la +bande $\Sigma_1$ limitée par l'axe~$t$, l'axe~$z$ et la +droite $t = a$. + +On vérifie qu'à l'intérieur de ce domaine +$u(z, t)$ est une fonction continue, que les dérivées +$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}$ et $\pderiv{u}{t}$ sont déterminées et que l'on a +\[ +\tag{1} +\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \pderiv{u}{t}. +\] +%% -----File: 077.png---Folio 77------- + +Cela posé, si nous prolongeons $\phi(\xi)$ entre $a$ et~$2a$, alors $u(z, t)$ pourra se +prolonger à l'intérieur de la bande $\Sigma_2$ comprise entre l'axe~$t$ et les droites $t = a$, +$t = 2a$. + +Dans le domaine formé par l'ensemble des points internes aux bandes $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ +$u(z,t)$ sera continue et vérifiera l'équation~(1). Mais puisque le prolongement de +$\phi(\xi)$ peut se faire avec la seule condition qu'elle soit finie et intégrable et que +d'autre part elle est tout à fait arbitraire, il s'en suit que les valeurs de $u$ en $\Sigma_2$ +pourront être changées, celles en $\Sigma_1$ restant toujours les mêmes. + +Si par exemple nous prenons d'abord $\phi(\xi) = 0$ dans l'intervalle $(a, 2a)$ et +après $\phi(\xi) = 1$, les valeurs de $u(z, t)$ en $\Sigma_2$ seront changées. Cela prouve que +$u(z, t)$ n'est pas en général une fonction analytique de~$t$. + +\Paragraph{8.} Il faudra donc poser comme une condition nouvelle que l'intégrale de +l'équation~(1) soit une fonction analytique de~$t$, et de même si nous envisageons +l'équation~$(1')$, il faudra poser deux conditions, c'est à dire que $f$ et $u$ soient des +fonctions analytiques de $t = x + iy$. + +Supposons aussi, en ayant égard à l'équation adjointe~(4), que $g$ et $v$ soient +des fonctions analytiques de $t = x + iy$. + +Nous écrirons alors +\begin{align*} +u(z, t) &= u(x, y, z) & f(z, t) &= f(x, y, z) \\ +v(z, t) &= v(x, y, z) & g(z, t) &= g(x, y, z) +\end{align*} +et l'on regardera $x, y, z$ comme les coordonnées +des points de l'espace. Il est évident +que $u, v, f, g$ seront en général des quantités +complexes et on aura +\[ +\tag{8} +\pderiv{u}{t} = \pderiv{u}{x} = -i \pderiv{u}{y},\quad +\pderiv{v}{t} = \pderiv{v}{x} = -i \pderiv{v}{y}. +\] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{r}{2.25in} +\Input{077a}{2in} +\end{wrapfigure} + +Posons +\[ +X = v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z},\quad +Y = i\left(v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z}\right),\quad +Z = uv +\] +et, en prenant une surface $\sigma$ ayant deux +faces distinctes et pour contour la ligne~$s$, +appliquons le théorème de Stokes (\hyperref[section:2.2]{\Ord{2}{ième}~leçon §~2}) en supposant que toutes les % [** Xref] +quantités précédentes soient finies, continues et monodromes sur la surface~$\sigma$. + +On aura +%% -----File: 078.png---Folio 78------- +\[ +\Lmargintag{9} +\left\{ +\begin{gathered} +\int_\sigma \left\{ + \left(\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z}\right) \cos nx + + \left(\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x}\right) \cos ny + + \left(\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y}\right) \cos nz \right\} d\sigma \\ += \int_s ( X\, dx + Y\, dy + Z\, dz ). +\end{gathered} +\right. +\] + +Or on a bien aisément en vertu des relations~(8) et des équations $(1')$ et~(4) +\begin{align*} +%[** PP: Changed d to \partial in denominator of first term] +\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z} &= - ivf + iug \\ +\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x} &= \phantom{-}vf - ug \\ +\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y} &= 0; +\end{align*} +par suite l'égalité~(9) deviendra +\[ +\frac{1}{i} \int_\sigma (vf - ug) (\cos nx + i \cos ny)\, d\sigma + = \int_s \left[ \left( v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z} \right) (dx + i dy) + uv\, dz \right], +\] +c'est à dire +\[ +\tag{10} +\frac{1}{i} \int_\sigma (vf - ug) \pderiv{t}{n}\, d\sigma + = \int_s \left[ + \left( v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z} \right) dt + uv\, dz + \right]. %[** PP: Added period] +\] + +\Paragraph{9.} Cela posé supposons que dans tout le domaine à trois dimensions que +nous envisageons $u$, $f$ soient finies, continues et monodromes. Prenons +\[ +\tag{11} +v = \frac{e^{-\smfrac{(z - z_1)^2}{4(t_0 - t)}}}{\sqrt{t_0 - t}},\quad g = 0 +% [** PP: comma?] +\] +étant $t_0 = x_0 + iy_0$. + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}[13]{l}{3in} % [**** Explicit height] +\raisebox{0.25in}[2.5in][0pt]{\Input{078a}{2.75in}} +\end{wrapfigure} +Si la droite $x = x_0$, $y = y_0$ rencontre +la surface $\sigma$, la formule~(10) n'est pas +applicable, car pour $x = x_0$, $y = y_0$ la fonction +$v$ a une singularité. Mais elle n'est +pas applicable en d'autres cas où la même +droite ne rencontre pas la surface. En +effet supposons que la surface soit limitée +par deux lignes, et qu'en conséquence le contour +$s$ soit formé de deux parties, et supposons +aussi que la droite $x = x_0$, $y = y_0$ passe +au milieu du bord interne de la surface, et que par suite on puisse parcourir sur la +%% -----File: 079.png---Folio 79------- +surface un cycle fermé $c$ autour de +la droite. Même dans ce cas la formule +ne sera pas applicable, car $v$ sera +polydrome sur la surface à cause du +radical qui paraît dans le dénominateur. +En parcourant le cycle $c$ et en +prenant les valeurs de $v$ qui se suivent +avec continuité on reviendra au +point de départ avec la valeur initiale +changée de signe. + +%[Illustrations] +Donc la formule~(10) n'est applicable, +en prenant $v$ donné par +la formule~(11), que si aucun cycle +fermé sur la surface %[** PP: Typo surtace] +n'entoure la +droite $x = x_0$, $y = y_0$ et si en même +temps cette droite ne rencontre pas +la surface. + +Le contour étant formé par une +seule ligne continue et fermée, il suffit +évidemment de la seconde condition, +pour que la première soit aussi +satisfaite. + +% [** PP: Changed x=t_1 in figure labels to x=x_1] +\begin{wrapfigure}[36]{r}{2.5in} +\Input{079a}{2.5in}\\[0.125in] +\Input{079b}{2.5in}\\[0.125in] +\Input{079c}{2.5in} +\end{wrapfigure} +\Paragraph{10.} Prenons maintenant (fig.~$a$) +un contour~$s$ formé par une seule ligne +continue, constituée par la courbe +$MNP$ et par la courbe $M'N'P'$ reliées +entre elles par les droites $PP'$ +et $MM'$ parallèles à l'axe~$z$. + +La ligne $MNPP'N'M'M$ sera +une ligne continue. Les flèches indiquent +comment il faut la parcourir. +Supposons que nous menions une surface +$\sigma$ ayant pour contour cette ligne, et +ensuite faisons approcher les deux +bords $MM'$ et $PP'$ d'une même droite +$HH'$ du plan $xz$ parallèle à l'axe $z$ +de manière qu'ils se disposent le long +de cette droite. Mais en même temps +%% -----File: 080.png---Folio 80------- +supposons que si certaines parties des deux bords se superposent, comme il arrive +dans la fig.~$b$, les deux bords restent toujours distingués comme les bords d'une +coupure, et qu'on doive les parcourir en sens opposé. La même chose est indiquée +dans la fig.~$b'$ où les dispositions sont changées. Les flèches désignent toujours la +manière de parcourir le contour. On peut donc regarder toujours la surface $\sigma$ +comme limitée par un contour formé par la ligne continue et fermée $M N P P' N' M' M$. + +\iffalse +\begin{center} +\Input{079b}{0.5\textwidth}\hfil +\Input{079c}{0.5\textwidth} +\end{center} +\fi + +La ligne $H H'$ ayant pour équation +\[ +x=x_1,\quad y=0, +\] +menons une droite parallèle $KK'$ dans le plan $xz$ ayant pour équation +\[ +x = x_0 > x_1,\quad y = y_0 = 0 +\] +qui ne rencontre pas la surface $\sigma$. Alors on pourra appliquer la formule~(10), et +l'on trouvera en remarquant que $g = 0$ +%[** PP: Added trailing operators] +\begin{align*} +& \int_{MNP} \left[ + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + + uv_{A_0}\, dz \right] +\Trail{+} \\ +% +&\qquad+ \int_{P'N'M'} \left[ + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + + uv_{A_0}\, dz \right] +\Trail{+} \\ +% +&\qquad+ \int_{PP'} uv_{A_0}\, dz + \int_{M'M} uv_{A_0}\, dz += \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma, +\end{align*} +où l'on a désigné par $v_{A_0}$ la fonction +$\dfrac{e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(x_0-t)}}}{\sqrt{x_0-t}}$, $A_0$ étant le point de coordonnées +$x_0, 0, z_1$. + +\Paragraph{11.} On peut maintenant distinguer deux cas. Projetons la surface $\sigma$ sur +le plan~$xy$. Dans les figures nous avons désigné la projection par l'aire hachée. +Le point $x_0, 0$ du plan $xy$ peut se trouver entouré par la projection (fig.~$b$) ou +peut ne pas être entouré par elle (fig.~$b'$). + +Puisque la fonction $v$ est polydrome et qu'elle change de signe en parcourant +un cycle autour de la droite $x = x_0$, $y = 0$, les choses seront différentes dans les +deux cas. Les valeurs de $v$ dans les points de la droite $H H'$ sont réelles. Prenons +ces valeurs positives sur $P' P$, alors + +dans \emph{le premier cas} les valeurs de $v$ seront négatives %** PP: Typo nègatives] +sur $MM'$ + +dans \emph{le second cas} les valeurs de $v$ seront positives sur $MM'$. + +Or déplaçons le point $A_0$ sur $A_0 A_1$ parallèle à l'axe $x$ en l'approchant indéfiniment +du point $A_1$ sur la droite $H H'$, et supposons que la droite $K K'$ se déplace +avec $A_0$ en restant parallèle à l'axe $z$, et supposons aussi qu'en se déplaçant elle +ne rencontre jamais la surface~$\sigma$. +%% -----File: 081.png---Folio 81------- + +Cherchons les limites de +\[ +\int_{PP'} u v_{A_0}\, dz,\quad +\int_{M'M} u v_{A_0}\, dz. +\] + +Il suffit pour cela de faire usage de la formule~(I) qu'on a déjà employée +dans le §~4. Puisque $v_{A_0}$ est positif sur $PP'$ on aura % [** Xref] +\[ +%[** PP: No comma between arguments in several expressions] +\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = \phantom{-}2 \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1), +\] +si le point $A_1$ est compris entre les points $P, P'$ et si le segment $PP'$ a la direction +positive de l'axe~$z$. On aura au contraire +\[ +\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = -2 \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1),%[** No comma] +\] +si le point $A_1$ est compris entre les points $P, P'$ et si le segment $PP'$ a la direction +négative de l'axe~$z$. Enfin on aura +\[ +\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = 0, +\] +si le point $A_1$ est externe au segment~$PP'$. (C'est le dernier cas qui se présente +dans les figures $b$ et~$b'$, mais on imagine tout de suite comment il faudrait dessiner +les figures pour que les autres cas se présentent.) + +Les trois formules précédentes peuvent se réunir en une seule en représentant +par le symbole $(p)$ le numéro $±1$ selon que le segment $A_1P$ a la direction +positive ou négative de~$z$. On aura alors +\[ +\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz += \bigl[(p') - (p)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma] +\] + +Si nous étendons la signification du symbole $(p)$, et si nous supposons qu'il représente +$0$, si $A_1$ coïncide avec $P$, alors la formule précédente nous donne la limite +de l'intégrale même dans le cas où $A_1$ coïncide avec l'un des points $P$ ou~$P'$. + +Passons maintenant à +\[ +\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz, +\] +si le point $x_0, 0$ est entouré par la projection (\Ord{1}{er}~cas); on a que $v_{A_0}$ est négatif +sur $MM'$, c'est pourquoi +%% -----File: 082.png---Folio 82------- +\[ +\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz + = - \bigl[(m) - (m')\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma] +\] + +Si le point $x_0, 0$ n'est pas entouré par la projection (\Ord{2}{ième}~cas) $v_{A_0}$ est positif +sur~$MM'$ et par suite +\[ +\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz = \phantom{-} \bigl[(m) - (m')\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma] +\] + +Les deux formules peuvent se réunir en une seule en indiquant par le +symbole $(e)$ le numéro $±1$ selon que la projection entoure ou n'entoure pas le +point $x_0, 0$ et l'on aura +\[ +\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz + = -(e) \bigl[(m) - (m')\bigr]\sqrt{\pi} u(t_1\, z_1). +% [** PP: Added \sqrt{\pi}u, w/o comma] +\] + +Donc +\[ +\lim \left[ \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz + + \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz \right] + = \left\{\bigl[(p') - (p)\bigr] + (e) \bigl[(m') - (m)\bigr]\right\} + \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) +\] +d'où l'on tire en posant + +\[ +\bigl[(p') - (p)\bigr] + (e) \bigl[(m') - (m)\bigr] \sqrt{\pi} = h +\] +%% +\[ +\Lmargintag{II} +\left\{ +\begin{aligned} +h\, u(t_1\, z_1) = \lim \left( + \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right. + &- \int_{MNP} + \left[ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z}\right) dt + + u v_{A_0}\, dz \right] +\Trail{-} \\ %[** PP: Added trailing operator] +%[** PP: Explicit horizontal space] + &\makebox[0pt][r]{$-$}\;\int_{P'N'M'} \left. + \left[ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + + u v_{A_0}\, dz \right] \right). +\end{aligned} +\right. +\] + +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2.5in} +\Input{082a}{2.5in} +\end{wrapfigure} +Cette formule est la plus générale +possible et comprend toutes les autres. +Il n'y a qu'à la particulariser pour déduire +toutes les formules de la théorie. + +\Paragraph{12.} Supposons d'abord que le second +cas se présente. Alors on peut très bien +imaginer que les lignes $MNP$ et $M'N'P'$ +appartiennent au plan $xz$ de manière que +$\sigma$ soit une partie du plan, et l'on peut +supposer que la ligne $M'N'P'$ se rétrécisse +indéfiniment de sorte qu'elle % [** PP: Typo quelle] +se réduise à +un point. Alors dans la formule~(II) l'intégrale +étendue à $M'N'P'$ s'annule, et elle %[** PP: Typo annulle] +%% -----File: 083.png---Folio 83------- +conduit aux formules (6) et~$(6')$ dont la première nous amène à la formule~$(2')$ +de Poisson. + +\Paragraph{13.} Soit $M'\, N'\, P'$ une courbe appartenant au plan parallèle à $xy$ mené +par $A_0$, alors on %[** PP: Typo en] +démontre facilement que la limite de l'intégrale étendue à la +ligne $M'\, N'\, P'$ dans la formule~(II) est nulle. En même temps on a $(m') = (p') = 0$ +par suite la formule~(II) devient +\begin{align*} +&\bigl[(p)+(e)(m)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) \\ +&\qquad = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[ + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + uv_{A_0}\, dz \right] + - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}. +\intertext{\indent Si $M$ et $P$ coïncident on a $(m) = (p)$, donc} +&(m) \bigl[1+(e)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) \\ +&\qquad = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[ + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + uv_{A_0}\, dz \right] + - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}. +\end{align*} + +Dans le second cas où $(e) = -1$ le premier membre est toujours nul. + +Envisageons le second cas où $(e) = 1$. Alors +{\small +\[ +2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) + = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[ + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + + uv_{A_0}\, dz \right] + - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}. +\] +}% End of \small + +Supposons maintenant que la courbe $MNP$ appartienne à un plan parallèle +à $xy$, alors $dz = 0$ sur la courbe, et l'on a +\[ +2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) + = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[ + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + \right] + - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}. +\] + +Si $f = 0$ la formule se réduit encore et devient +\[ +2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) + = \lim \left\{ \int_{MNP} + \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt \right\}. +\] + +Enfin si nous prenons pour $MNP$ un cercle ayant le centre sur l'axe $x$ la +formule précédente devient la formule~$(3')$ de Poisson. +%% -----File: 084.png---Folio 84------- + +De même les formules de Schlaefli peuvent se déduire comme cas particuliers +de celles que nous avons données. + +Il faut remarquer que toutes ces formules se rattachent au premier cas, c'est +à dire à celui où la projection de la surface $\sigma$ entoure le point $x_0, 0$. Or cela ne +peut arriver que si l'on suppose que la courbe $MNM'$ n'appartient pas au plan +$xz$. Il fallait donc sortir des valeurs réelles de $t$ pour trouver ces formules, +et c'est justement ce que nous avons fait. Ce n'est qu'en sortant du domaine réel +et en pénétrant dans le domaine complexe que la polydromie de la fonction~(7) a +pu jouer son rôle, car la polydromie ne ressort qu'en parcourant des cycles +autour de la droite $KK'$. Nous avons mis en lumière qu'à cette polydromie se +rattache tout le succès de la méthode nouvelle qu'on a employée. + +\Paragraph{14.} Nous finirons en donnant une application de la formule de Poisson, ce +qui nous amènera à revenir sur un point auquel nous avons touché dans la +\hyperref[section:8.1]{\Ord{8}{ième} leçon (§~1)}. % [** Xref] +Nous avons dit qu'il y avait des problèmes de la théorie des ondes +qui ne ressortent pas des équations du type hyperbolique. Ce sont les problèmes +des ondes des liquides incompressibles. Si l'on envisage le cas le plus général +des petites vibrations des liquides assujettis à des forces quelconques ayant un +potentiel, on trouve que le problème se réduit à trouver une fonction $V$ harmonique +dans le domaine $S$ occupé par le liquide qui le long de la surface libre $\omega$ du liquide +vérifie l'équation $-\alpha \pderiv{V}{n} += \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$ et sur les parois rigides $\sigma$ qui renferment le liquide +vérifie l'équation $\pderiv{V}{n} = 0$, $n$ étant la normale au contour dirigée vers l'intérieur de +l'espace $S$, $\alpha$ une quantité positive, $t$ le temps. + +Le problème dépend de l'équation différentielle de Laplace +\[ +\Delta^2 V = 0, +\] +car $V$ doit être harmonique. Il est donc rattaché à une équation du type elliptique. +Ce sont les conditions le long de la partie $\omega$ du contour qui déterminent +le %[** PP: Typo la] +caractère ondulatoire du mouvement. + +Or on démontre que $V$ est déterminée si l'on connaît % [** PP: Typo connait] +les valeurs $V_0$ et +$\left(\pderiv{V}{t}\right)_0 = V'_0$ de $V$ et de $\pderiv{V}{t}$ sur $\omega$ pour $t=0$. On peut aussi donner une méthode +générale pour résoudre le problème. Soit $U_A(x, y, z, t)$ une fonction harmonique +régulière de $x, y, z$ dans le domaine~$S$, excepté dans le point $A$ de coordonnées +$x_1, y_1, z_1$ où l'on a +\[ +U_A(x,y,z,t) = \frac{1}{r_A} + W_A(x,y,z,t),\quad +r_A = \sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 + (z_1 - z)^2}, +\] +%% -----File: 085.png---Folio 85------- +$W_A(x, y, z, t)$ étant une fonction régulière. Si nous supposons que sur $\omega$ soit +vérifiée l'égalité +\[ +- \alpha \pderiv{U_A}{n} = \dfrac{\partial^2 U_A}{\partial t^2} +\] +et sur $\sigma$ +\[ +\pderiv{U_A}{n} = 0 +\] +et pour $t = t_1$ sur $\omega$\quad $U_A$ et $\pderiv{U_A}{t}$ soient nulles, alors on aura +\[ +\tag{12} +V(x_1\, y_1\, z_1\, t_1) % [** PP: No commas] + = - \frac{1}{4\pi} \deriv{}{t_1} \int_\omega + \left[ (U_A)_0 \left(\pderiv{V}{t}\right)_0 + - V_0 \left(\pderiv{U_A}{t}\right)_0 \right] \frac{1}{\alpha}\, d\omega, +\] +$(U_A)_0$ et $\left(\pderiv{U_A}{t}\right)_0$ désignant les valeurs de $U_A$ et $\pderiv{U_A}{t}$ pour $t = 0$. Cette formule +sert pour reconduire le problème de déterminer $V$ à celui de trouver $U_A$, c'est +à dire à déterminer une fonction qui à certains points de vue est analogue à la +fonction de Green. + +\Paragraph{15.} Mais laissons de côté la théorie générale qui nous conduirait trop loin, +et envisageons le cas où le liquide occupe un domaine sphérique et où $\omega$ est toute +la surface de la sphère. Supposons aussi que $\alpha$ soit constante de sorte que l'on +puisse prendre $\alpha = 1$. Alors sur la surface de la sphère on aura $\pderiv{V}{r} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$, $r$ étant +le rayon vecteur conduit par le centre de la sphère. Posons $\log r = \rho$, et supposons +que le rayon de la sphère soit égal~1. Alors l'équation précédente pourra +s'écrire +\[ +\tag{13} +\pderiv{V}{\rho} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}. +\] + +Cela posé, $r, \THETA, \phi$ étant les coordonnées polaires soient $V_0(r, \THETA, \phi)$ et +$V'_0(r, \THETA, \phi)$ les fonctions harmoniques à l'intérieur %[** PP:Typo l'interieure] +de la sphère qui sur la surface +de la sphère deviennent égales aux valeurs $V_0$ et $V'_0$ données de $V$ et de $\pderiv{V}{t}$ +pour $t = 0$ sur la surface même. On pourra aussi les considérer comme des fonctions +de $\rho, \THETA, \phi$, et l'on écrira $V_0(\rho, \THETA, \phi)$, $V'_0(\rho, \THETA, \phi)$. Regardons $\THETA$ et $\phi$ comme +des quantités constantes, et déterminons par la formule de Poisson l'intégrale +de l'équation~(13) qui pour $t = 0$ se réduit à $V_0(\rho, \THETA, \phi)$ et dont la dérivée par +rapport à $t$ pour $t = 0$ se réduit à $V'_0(\rho, \THETA, \phi)$. Appelons cette intégrale $V(\rho, \THETA, \phi, t)$. +On voit facilement qu'elle est la fonction qu'on veut déterminer. +%% -----File: 086.png---Folio 86------- + +En effet on aura +\[ +\tag{14} +\Delta^2 \pderiv{V}{\rho} = \frac{\partial^2 \Delta^2 V}{\partial t^2}. +\] + +% [**** Putative mathematical corrections] +Mais +\[ +%% In original: +%% \Delta^2 \pderiv{V}{\rho} +%% = \frac{1}{r^2}\, \frac{\partial^2 (r^2 \Delta^2 V)}{\partial \rho} +\Delta^2 \pderiv{V}{\rho} + = \frac{1}{r^2}\, \pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho} +\] +par suite l'équation~(14) s'écrit +\[ +\tag{15} +%% In original: +%% \pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho} +%% = \frac{\partial^2 (r^2 \Delta^2 V)}{\partial t^2}. +\pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho} + = \frac{r^2 \partial^2 (\Delta^2 V)}{\partial t^2}. +\] +Or $r^2 \Delta^2 V$ pour $t = 0$ devient $r^2 \Delta^2 V_0 = 0$ et $\pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{t}$ pour $t = 0$ devient $r^2 \Delta^2 V'_0 = 0$: +par suite $r^2 \Delta^2 V = 0$. Donc $V$ est harmonique, vérifie l'équation $-\pderiv{V}{n} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$ +à la surface de la sphère et en même temps $V$ et $\pderiv{V}{t}$ pour $t = 0$ prennent à la +surface de la sphère les valeurs données, comme il fallait démontrer. Il est facile +de vérifier que $V$ est régulière au centre de la sphère. Le problème est donc +résolu. + +On pourrait aussi se servir de cette méthode pour calculer la fonction $U_A$ +analogue à la fonction de Green et calculer ensuite $V$ par la formule~(12). + +\begin{Bibliographie} + +\Bibitem{Poisson.}{Théorie mathématique de la chaleur, Chapitre VI.\ Paris 1835.} + +% [** PP: Probably should be Partielle] +\Bibitem{Schlaefli.}{Über die partielle Differentialgl.\ $\pderiv{u}{t} - \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2} = 0$. Journ.\ de Crelle T.~72.} + +\Bibitem{Betti.}{Sopra la determinazione delle temperature nei corpi solidi omogenei. +Memorie delle Soc.\ Italiana della Scienza (detta % [** PP: Typo delta] +dei~XL). S.~III, T.~I. \Ord{P}{o}~II.} + +\Bibitem{Appell.}{Sur l'équation $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} - \pderiv{z}{y} = 0$. Journ.\ de Math.\ T.~VIII, s.~4.} + +\Bibitem{Volterra.}{Sur les équations différentielles du type parabolique. Comptes rendus +des Séances de l'Ac.\ des Sciences. 5~Déc.\ 1904.} +\end{Bibliographie} + +\Tb + +%% -----File: 087.png---Folio 87------- + +\Chapter{Note additionnelle à la \Ord{5}{ième} leçon.} + +\begin{center} +Communication faite le soir du 2~Mars. +\end{center} + +\Paragraph{1.} Rappelons la formule bien connue de trigonométrie +\[ +\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha, +\] +on peut en tirer que si +\[ +\tag{1} +\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha = \text{const}. +\] +on doit avoir +\[ +\alpha + \beta = \text{const}. +\] + +Posons maintenant +\[ +\alpha = \int_0^x \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\qquad +\beta = \int_0^y \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} +\] +l'équation~(1) s'écrira +\[ +\tag{2} +x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2} = \text{const}. +\] + +Donc si cette égalité est vérifiée on doit avoir +\[ +\tag{3} +\int_0^x \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} + \int_0^y \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = \text{const}. +\] + +%[Illustration] +%[** PP: The original image is in ./images/sources/087a.png. +% The original differs qualitatively from its equation in the text.] +\begin{wrapfigure}[6]{l}{1.25in} +\raisebox{0.125in}[1.125in][0pt]{\Input{087a}{1.25in}} +\end{wrapfigure} +Rapportons-nous à deux axes coordonnés $x, y,$ et soit +$s$ un arc de la courbe ayant pour équation~(2), $M$ un point +de la courbe, $M_1$ et $M_2$ ses projections sur les axes; alors +$OM_1$ et $OM_2$ seront les amplitudes des deux intégrales qui +paraissent dans la formule~(3). + +Le théorème de trigonométrie %[** Typo trigométrie] +peut s'énoncer en disant:% +\begin{Prop} +si on déplace le point $M$ sur la courbe $s$ la somme des intégrales +\[ +\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\qquad \int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} +\] +étendues respectivement à $OM_1$ et $OM_2$ est constante. +\end{Prop} + +\Paragraph{2.} Passons à une extension de ce théorème au cas de trois variables. + +\begin{Theorem} +Envisageons les trois intégrales +\[ +\Lmargintag{4} % [** PP: Typo (2)] +\iint_{\sigma_1} \frac{dy\, dz}{\sqrt{\dfrac{b_2}{\lambda} z^2 - \dfrac{b_3}{\lambda} y^2 + \beta_1}},\quad +\iint_{\sigma_2} \frac{dz\, dx}{\sqrt{\dfrac{b_3}{\mu} x^2 - \dfrac{b_1}{\mu} z^2 + \beta_2}},\quad +\iint_{\sigma_3} \frac{dx\, dy}{\sqrt{\dfrac{b_1}{\nu} y^2 - \dfrac{b_2}{\nu} x^2 + \beta_3}} +\] +% [** PP: Changed \sigma_2 to \sigma_3 in third integral] +%% -----File: 088.png---Folio 88------- +où $b_1, b_2, b_3$; $\beta_1, \beta_2, \beta_3$; $\lambda, \mu, \nu$ sont des quantités constantes et $\lambda + \mu + \nu = 0$. Prenons +la surface algébrique ayant pour équation par rapport aux axes coordonnés $x, y, z$ +\end{Theorem} +\[ +\Lmargintag{5} +\lambda x \sqrt{\dfrac{b_2}{\lambda} z^2 - \dfrac{b_3}{\lambda} y^2 + \beta_1} + + \mu y \sqrt{\dfrac{b_3}{\mu} x^2 - \dfrac{b_1}{\mu} z^2 + \beta_2} + + \nu z \sqrt{\dfrac{b_1}{\nu} y^2 - \dfrac{b_2}{\nu} x^2 + \beta_3} + = \text{\upshape const}. +\] +%[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2.75in} +\Input{088a}{2.5in} +\end{wrapfigure} +\textit{et menons une ligne quelconque %[** PP: Typo quelqonque] +$s$ fermée +sur cette surface. Soient $s_1, s_2, s_3$ +les projections de cette ligne sur les plans +coordonnés, et supposons que nous étendions +les trois intégrales~{\upshape(4)} aux aires $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ +renfermées dans ces projections. Alors la +somme des trois intégrales~{\upshape(4)} ne changera +pas en déplaçant et en déformant +la ligne $s$ sur la surface~{\upshape(5)}.} + + +La démonstration de ce théorème +ne présente pas de difficultés. Il donne +évidemment une extension du théorème +élémentaire de trigonométrie par l'emploi +des fonctions de lignes. La remarque +la plus intéressante à faire est que la +surface algébrique constitue une liaison +algébrique entre les trois lignes dont dépendent les trois intégrales. Ce théorème +peut bien se généraliser. + +\Tb + +Voir Volterra: Un teorema sugli integrali multipli. Att.\ della R. Accad.\ +di Torino, 1897. +\vspace*{1in} +\begin{center} +\includegraphics[height=12pt]{./images/decoration.pdf} +\end{center} +%% -----File: 089.png---Folio 89------- + +%% Contents +\cleardoublepage + +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Table des Matières}{Table} + +\begin{center} +\textbf{\Large Table.} +\end{center} + +\null\hfill{\footnotesize{Page}} + +\ToCline{Première leçon}{pgchapter:1} +\ToCline{Deuxième leçon}{pgchapter:2} +\ToCline{Troisième leçon}{pgchapter:3} +\ToCline{Quatrième leçon}{pgchapter:4} +\ToCline{Cinquième leçon}{pgchapter:5} +\ToCline{Sixième leçon}{pgchapter:6} +\ToCline{Septième leçon}{pgchapter:7} +\ToCline{Huitième leçon}{pgchapter:8} +\ToCline{Neuvième leçon}{pgchapter:9} +\ToCline{Dixième leçon}{pgchapter:10} +\ToCline{Onzième leçon}{pgchapter:11} +\ToCline{Note}{pgchapter:12} + +%% License +\cleardoublepage + +\phantomsection +\label{License} +\pdfbookmark[0]{PG License.}{License} + +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Leçons sur l'intégration des Équations +Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES *** + +***** This file should be named 29783-pdf.pdf or 29783-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29783/ + +Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The +original copy of this book was generously made available +for scanning by the Department of Mathematics at the +University of Glasgow.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. 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Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. 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LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a +defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can +receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a +written explanation to the person you received the work from. If you +received the work on a physical medium, you must return the medium with +your written explanation. The person or entity that provided you with +the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a +refund. If you received the work electronically, the person or entity +providing it to you may choose to give you a second opportunity to +receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy +is also defective, you may demand a refund in writing without further +opportunities to fix the problem. + +1.F.4. 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INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. Compliance requirements are not uniform and it takes a +considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up +with these requirements. We do not solicit donations in locations +where we have not received written confirmation of compliance. To +SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any +particular state visit http://pglaf.org + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we +have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition +against accepting unsolicited donations from donors in such states who +approach us with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make +any statements concerning tax treatment of donations received from +outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation +methods and addresses. Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +\vfill + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Leçons sur l'intégration des Équations +% Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES *** % +% % +% ***** This file should be named 29783-t.tex or 29783-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29783/ % +% % +% 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`true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308. +Implicit mode ON; LaTeX internals redefined +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty +\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. +\Fld@menulength=\count110 +\Field@Width=\dimen123 +\Fld@charsize=\dimen124 +\Choice@toks=\toks24 +\Field@toks=\toks25 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. +\Hy@abspage=\count111 +\c@Item=\count112 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count113 +) +\c@Parno=\count114 +\c@Chapter=\count115 +(./29783-t.aux) +\openout1 = `29783-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 408. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 408. +(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd +File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: Try loading font information for TS1+cmr on input line 408. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd +File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 408. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 408. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 408. +-------------------- Geometry parameters +paper: class default +landscape: -- +twocolumn: -- +twoside: true +asymmetric: -- +h-parts: 79.49698pt, 415.55249pt, 119.24553pt +v-parts: 86.724pt, 578.15999pt, 130.086pt +hmarginratio: 2:3 +vmarginratio: 2:3 +lines: -- +heightrounded: -- +bindingoffset: 0.0pt +truedimen: -- +includehead: -- +includefoot: -- +includemp: -- +driver: pdftex +-------------------- Page layout dimensions and switches +\paperwidth 614.295pt +\paperheight 794.96999pt +\textwidth 415.55249pt +\textheight 578.15999pt +\oddsidemargin 7.22699pt +\evensidemargin 46.97554pt +\topmargin -17.41978pt +\headheight 12.0pt +\headsep 19.8738pt +\footskip 30.0pt +\marginparwidth 98.0pt +\marginparsep 7.0pt +\columnsep 10.0pt +\skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt +\hoffset 0.0pt +\voffset 0.0pt +\mag 1000 +\@twosidetrue \@mparswitchtrue +(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt) +----------------------- +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty +Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) +(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg +File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive +) +Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. +) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 408. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count116 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 408. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 408. +(./29783-t.out) (./29783-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `29783-t.out'. + +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmtt on input line 421. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd +File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) [1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] [1 + +] [2 + +] [1] [2] [3] [4] <./images/007a.pdf, id=490, 146.5475pt x 145.54375pt> +File: ./images/007a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/007a.pdf> <./images/007b.pdf, id=491, 146.5475pt x 145.54375pt> +File: ./images/007b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/007b.pdf> [1 + + <./images/007a.pdf> <./images/007b.pdf>] [2] +Overfull \hbox (13.85364pt too wide) detected at line 841 +\OT1/cmr/m/n/12 (1) [] (2) [] + [] + +[3] <./images/010a.pdf, id=540, 160.6pt x 145.54375pt> +File: ./images/010a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/010a.pdf> +File: ./images/010a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/010a.pdf> <./images/011b.pdf, id=541, 160.6pt x 146.5475pt> +File: ./images/011b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/011b.pdf> [4 <./images/010a.pdf>] [5 <./images/011b.pdf>] +Overfull \hbox (0.77466pt too wide) in paragraph at lines 1086--1086 +[] + [] + + +Overfull \hbox (46.51907pt too wide) in paragraph at lines 1128--1128 +[] + [] + + +Overfull \hbox (23.02481pt too wide) in paragraph at lines 1101--1133 +| $[]$ + [] + +[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] <./images/021a.pdf, id=634, 110.4125pt x 110.412 +5pt> +File: ./images/021a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/021a.pdf> [13] +Underfull \hbox (badness 2529) in paragraph at lines 1565--1582 +\T1/cmr/m/n/12 tranche ra-di-ale, et soudons les deux bouts. On + [] + +<./images/021b.pdf, id=641, 154.5775pt x 128.48pt> +File: ./images/021b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/021b.pdf> [14 <./images/021a.pdf> <./images/021b.pdf>] <./images/ +022a.pdf, id=660, 114.4275pt x 152.57pt> +File: ./images/022a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/022a.pdf> [15 <./images/022a.pdf>] <./images/023a.pdf, id=668, 82 +.3075pt x 199.74625pt> +File: ./images/023a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/023a.pdf> <./images/023b.pdf, id=669, 89.33376pt x 191.71625pt> +File: ./images/023b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/023b.pdf> <./images/023c.pdf, id=670, 160.6pt x 123.46124pt> +File: ./images/023c.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/023c.pdf> [16 <./images/023a.pdf> <./images/023b.pdf> <./images/0 +23c.pdf>] <./images/024a.pdf, id=686, 189.70876pt x 201.75375pt> +File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/024a.pdf> <./images/024b.pdf, id=687, 112.42pt x 126.4725pt> +File: ./images/024b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/024b.pdf> [17 <./images/024a.pdf> <./images/024b.pdf>] [18] [19] +<./images/027a.pdf, id=719, 110.4125pt x 110.4125pt> +File: ./images/027a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/027a.pdf> [20 <./images/027a.pdf>] [21] <./images/029a.pdf, id=75 +1, 173.64874pt x 95.35625pt> +File: ./images/029a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/029a.pdf> +Underfull \hbox (badness 1533) in paragraph at lines 2000--2012 +[][]\T1/cmr/m/n/12 Celle que nous avons trou-vée n'est + [] + +<./images/030a.pdf, id=752, 141.52875pt x 147.55125pt> +File: ./images/030a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/030a.pdf> [22 <./images/029a.pdf> <./images/030a.pdf>] +Overfull \hbox (6.04103pt too wide) in paragraph at lines 2055--2057 +[]\T1/cmr/m/n/12 Supposons main-tenant que la sur-face $\OT1/cmr/m/n/12 ^^F$ \T +1/cmr/m/n/12 en décrois-sant in-fin-i-ment d'une manière + [] + +[23] +Underfull \vbox (badness 1609) has occurred while \output is active [] + +[24] <./images/033a.pdf, id=793, 143.53625pt x 128.48pt> +File: ./images/033a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/033a.pdf> [25 <./images/033a.pdf>] <./images/033b.pdf, id=815, 13 +0.4875pt x 56.21pt> +File: ./images/033b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/033b.pdf> <./images/034a.pdf, id=816, 102.3825pt x 110.4125pt> +File: ./images/034a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/034a.pdf> <./images/034b.pdf, id=817, 102.3825pt x 110.4125pt> +File: ./images/034b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/034b.pdf> <./images/034c.pdf, id=818, 110.4125pt x 110.4125pt> +File: ./images/034c.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/034c.pdf> [26 <./images/033b.pdf> <./images/034a.pdf> <./images/0 +34b.pdf>] [27 <./images/034c.pdf>] [28] <./images/038a.pdf, id=867, 103.38625pt + x 44.165pt> +File: ./images/038a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/038a.pdf> +Underfull \vbox (badness 4531) has occurred while \output is active [] + +[29] [30 <./images/038a.pdf>] [31] [32] [33] +Overfull \hbox (0.23227pt too wide) in paragraph at lines 2663--2667 +[]\T1/cmr/m/n/12 La dé-com-po-si-tion de $\OML/cmm/m/it/12 F$ \T1/cmr/m/n/12 en + ses di-viseurs peut se faire d'une in-finité de manières. + [] + +[34] [35] [36] +Overfull \hbox (1.79791pt too wide) detected at line 2796 +[] [] + [] + + +Overfull \hbox (6.14494pt too wide) detected at line 2838 +[] [] + [] + +[37] +Overfull \hbox (15.3391pt too wide) detected at line 2872 +[][] \OT1/cmr/m/n/10.95 = [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ; [][] \OT1/cmr/m/n +/10.95 = [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ; [][] \OT1/cmr/m/n/10.95 = [][] [] \OM +L/cmm/m/it/10.95 : + [] + +[38] [39] [40] [41] <./images/050a.pdf, id=986, 128.48pt x 128.48pt> +File: ./images/050a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/050a.pdf> <./images/051a.pdf, id=987, 144.54pt x 152.57pt> +File: ./images/051a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/051a.pdf> <./images/051b.pdf, id=988, 144.54pt x 156.585pt> +File: ./images/051b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/051b.pdf> [42 <./images/050a.pdf>] +Underfull \hbox (badness 1331) in paragraph at lines 3188--3202 +\T1/cmr/m/n/12 et ap-pelons $\OML/cmm/m/it/12 ^^[[]$ \T1/cmr/m/n/12 une sur-fac +e + [] + + +Underfull \hbox (badness 1303) in paragraph at lines 3188--3202 +\T1/cmr/m/n/12 par le cône et ayant pour + [] + +[43 <./images/051a.pdf> <./images/051b.pdf>] <./images/053a.pdf, id=1043, 185.6 +9376pt x 120.45pt> +File: ./images/053a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/053a.pdf> <./images/053b.pdf, id=1044, 185.69376pt x 120.45pt> +File: ./images/053b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/053b.pdf> [44 <./images/053a.pdf>] +Overfull \hbox (12.7762pt too wide) detected at line 3341 +[] [] + [] + +[45 <./images/053b.pdf>] <./images/055a.pdf, id=1084, 201.75375pt x 122.4575pt> +File: ./images/055a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/055a.pdf> +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[46 <./images/055a.pdf>] +Overfull \hbox (16.81837pt too wide) detected at line 3515 +[] [] + [] + +[47] +Overfull \hbox (6.16205pt too wide) detected at line 3576 +[] [] + [] + +<./images/057a.pdf, id=1108, 146.5475pt x 109.40875pt> +File: ./images/057a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/057a.pdf> [48] +Overfull \hbox (28.96294pt too wide) detected at line 3634 +[]\OML/cmm/m/it/10.95 v\OT1/cmr/m/n/10.95 (\OML/cmm/m/it/10.95 x[] y[] z[]\OT1/ +cmr/m/n/10.95 ) = [] [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ds [] ; + [] + +<./images/057b.pdf, id=1118, 218.8175pt x 162.6075pt> +File: ./images/057b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/057b.pdf> <./images/058a.pdf, id=1119, 218.8175pt x 160.6pt> +File: ./images/058a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/058a.pdf> [49 <./images/057a.pdf> <./images/057b.pdf> <./images/0 +58a.pdf>] <./images/058b.pdf, id=1159, 248.93pt x 182.6825pt> +File: ./images/058b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/058b.pdf> +Overfull \hbox (4.00078pt too wide) detected at line 3704 +[] [] + [] + +<./images/059a.pdf, id=1160, 192.72pt x 104.39pt> +File: ./images/059a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/059a.pdf> [50 <./images/058b.pdf>] <./images/060a.pdf, id=1183, 3 +54.32375pt x 127.47626pt> +File: ./images/060a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/060a.pdf> [51 <./images/059a.pdf> <./images/060a.pdf>] +Overfull \hbox (1.88567pt too wide) in paragraph at lines 3863--3863 +[] + [] + +<./images/061a.pdf, id=1208, 256.96pt x 140.525pt> +File: ./images/061a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/061a.pdf> [52 <./images/061a.pdf>] [53] [54] +Overfull \hbox (11.59103pt too wide) detected at line 4053 +[] [] + [] + +[55] [56] +Overfull \hbox (19.2471pt too wide) in paragraph at lines 4145--4161 +[]\T1/cmr/m/n/12 Je pos-sé-dais en 1892 ce théorème lorsque j'é-tu-di-ais le mé +-moire de M$[]$ Kowalewski + [] + +[57] [58] [59] [60] <./images/070a.pdf, id=1290, 161.60374pt x 151.56625pt> +File: ./images/070a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/070a.pdf> [61 <./images/070a.pdf>] <./images/071a.pdf, id=1303, 1 +61.60374pt x 151.56625pt> +File: ./images/071a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/071a.pdf> [62 <./images/071a.pdf>] <./images/072a.pdf, id=1325, 1 +43.53625pt x 133.49875pt> +File: ./images/072a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/072a.pdf> <./images/073a.pdf, id=1326, 136.51pt x 130.4875pt> +File: ./images/073a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/073a.pdf> [63 <./images/072a.pdf> <./images/073a.pdf>] <./images/ +073b.pdf, id=1352, 161.60374pt x 218.8175pt> +File: ./images/073b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/073b.pdf> <./images/073c.pdf, id=1353, 215.80624pt x 208.78pt> +File: ./images/073c.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/073c.pdf> [64 <./images/073b.pdf> <./images/073c.pdf>] <./images/ +075a.pdf, id=1384, 179.67125pt x 167.62625pt> +File: ./images/075a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/075a.pdf> [65 <./images/075a.pdf>] +Underfull \vbox (badness 3281) has occurred while \output is active [] + +[66] <./images/076a.pdf, id=1407, 204.765pt x 195.73125pt> +File: ./images/076a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/076a.pdf> [67 <./images/076a.pdf>] <./images/077a.pdf, id=1427, 1 +18.4425pt x 98.3675pt> +File: ./images/077a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/077a.pdf> +Overfull \hbox (18.20973pt too wide) detected at line 4731 +\OML/cmm/m/it/12 X \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 v[] \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ +\OML/cmm/m/it/12 u[]; Y \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 i [] ; Z \OT1/cmr/ +m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 uv + [] + +[68 <./images/077a.pdf>] <./images/078a.pdf, id=1439, 199.74625pt x 175.65625pt +> +File: ./images/078a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/078a.pdf> <./images/079a.pdf, id=1440, 204.765pt x 187.70125pt> +File: ./images/079a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/079a.pdf> <./images/079b.pdf, id=1441, 201.75375pt x 219.82124pt> +File: ./images/079b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/079b.pdf> <./images/079c.pdf, id=1442, 216.81pt x 225.84375pt> +File: ./images/079c.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/079c.pdf> [69 <./images/078a.pdf>] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[70 <./images/079a.pdf> <./images/079b.pdf> <./images/079c.pdf>] [71] +Overfull \hbox (0.63164pt too wide) detected at line 4984 +[] [] \OT1/cmr/m/n/12 = [] [] \OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/ +12 t[] z[]\OT1/cmr/m/n/12 ) + [] + + +Overfull \hbox (7.81781pt too wide) detected at line 5007 +[] [] + [] + +[72] <./images/082a.pdf, id=1536, 184.69pt x 163.61125pt> +File: ./images/082a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/082a.pdf> +Overfull \hbox (0.716pt too wide) detected at line 5059 +\OT1/cmr/m/n/10.95 2(\OML/cmm/m/it/10.95 m\OT1/cmr/m/n/10.95 )[] \OML/cmm/m/it/ +10.95 u\OT1/cmr/m/n/10.95 (\OML/cmm/m/it/10.95 t[] z[]\OT1/cmr/m/n/10.95 ) = [] + [] \OML/cmm/m/it/10.95 : + [] + +[73 <./images/082a.pdf>] [74] +Overfull \hbox (4.93651pt too wide) in paragraph at lines 5119--5125 +[]\T1/cmr/m/n/12 Or on dé-mon-tre que $\OML/cmm/m/it/12 V$ \T1/cmr/m/n/12 est d +éter-minée si l'on con-naît les valeurs $\OML/cmm/m/it/12 V[]$ \T1/cmr/m/n/12 e +t $[][] \OT1/cmr/m/n/12 = + [] + +[75] [76] <./images/087a.pdf, id=1581, 118.4425pt x 113.42375pt> +File: ./images/087a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/087a.pdf> [77] +Overfull \hbox (3.34244pt too wide) detected at line 5299 +[] [] [][] []\OML/cmm/m/it/12 ; [] [][] []; [] [][] [] + [] + +<./images/088a.pdf, id=1595, 173.64874pt x 164.615pt> +File: ./images/088a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/088a.pdf> [78 <./images/087a.pdf> <./images/088a.pdf>] <./images/ +decoration.pdf, id=1618, 469.755pt x 40.15pt> +File: ./images/decoration.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/decoration.pdf> [79 <./images/decoration.pdf>] [80 + +] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5360--5372 + + [] + +[81] [82 + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[83] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[84] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[85] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[86] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[87] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[88] [89] (./29783-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + frenchb.ldf + frenchb.cfg +textcomp.sty 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package + ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d +amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment +graphicx.sty 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +graphics.sty 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + trig.sty 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) +graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive + pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX + wrapfig.sty 2003/01/31 v 3.6 +fancyhdr.sty +geometry.sty 2002/07/08 v3.2 Page Geometry +hyperref.sty 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX + pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +kvoptions.sty 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO +) + url.sty 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. + hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX + t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern + ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions + color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) + color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) + 29783-t.out + 29783-t.out + t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions + umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +./images/007a.pdf +./images/007b.pdf +./images/010a.pdf +./images/010a.pdf +./images/011b.pdf +./images/021a.pdf +./images/021b.pdf +./images/022a.pdf +./images/023a.pdf +./images/023b.pdf +./images/023c.pdf 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of 10000+50000 + 24994 words of font info for 70 fonts, out of 1200000 for 2000 + 28 hyphenation exceptions out of 8191 + 27i,15n,43p,258b,488s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s + </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1000.600pk> </home/ +widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/tcrm1200.600pk> </home/widger/.te +xmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/eccc1200.600pk> </home/widger/.texmf-var/fo +nts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecti1200.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljf +our/jknappen/ec/ecbx1095.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknapp +en/ec/ecbx1200.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecbx +1728.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/tcrm1095.600pk +> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1200.600pk> </home/w +idger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecbx2488.600pk> </home/widger/.tex +mf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm0800.600pk> </home/widger/.texmf-var/fon +ts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1095.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfo +ur/jknappen/ec/ecbx1440.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappe +n/ec/ectt0900.600pk></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb +></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf- +texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1 +/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pf +b></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf- +texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/ +bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb> +</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-tex +live/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blue +sky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></ +usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texl +ive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb> +Output written on 29783-t.pdf (97 pages, 1079383 bytes). +PDF statistics: + 2335 PDF objects out of 2487 (max. 8388607) + 495 named destinations out of 1000 (max. 131072) + 1104 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/29783-t/old/29783-t.zip b/29783-t/old/29783-t.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e7586c3 --- /dev/null +++ b/29783-t/old/29783-t.zip |
