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authorRoger Frank <rfrank@pglaf.org>2025-10-15 02:48:12 -0700
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+/Next 139 0 R
+>> endobj
+131 0 obj <<
+/Title 132 0 R
+/A 129 0 R
+/Parent 2231 0 R
+/Prev 107 0 R
+/Next 167 0 R
+/First 135 0 R
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+/Count 8
+>> endobj
+127 0 obj <<
+/Title 128 0 R
+/A 125 0 R
+/Parent 107 0 R
+/Prev 123 0 R
+>> endobj
+123 0 obj <<
+/Title 124 0 R
+/A 121 0 R
+/Parent 107 0 R
+/Prev 119 0 R
+/Next 127 0 R
+>> endobj
+119 0 obj <<
+/Title 120 0 R
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+/Parent 107 0 R
+/Prev 115 0 R
+/Next 123 0 R
+>> endobj
+115 0 obj <<
+/Title 116 0 R
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+/Parent 107 0 R
+/Prev 111 0 R
+/Next 119 0 R
+>> endobj
+111 0 obj <<
+/Title 112 0 R
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+/Parent 107 0 R
+/Next 115 0 R
+>> endobj
+107 0 obj <<
+/Title 108 0 R
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+/Count 5
+>> endobj
+103 0 obj <<
+/Title 104 0 R
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+>> endobj
+99 0 obj <<
+/Title 100 0 R
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+>> endobj
+95 0 obj <<
+/Title 96 0 R
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+>> endobj
+91 0 obj <<
+/Title 92 0 R
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+87 0 obj <<
+/Title 88 0 R
+/A 85 0 R
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+>> endobj
+83 0 obj <<
+/Title 84 0 R
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+>> endobj
+79 0 obj <<
+/Title 80 0 R
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+/Parent 2231 0 R
+/Prev 47 0 R
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+/Count 6
+>> endobj
+75 0 obj <<
+/Title 76 0 R
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+>> endobj
+71 0 obj <<
+/Title 72 0 R
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+/Title 64 0 R
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+55 0 obj <<
+/Title 56 0 R
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+51 0 obj <<
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+>> endobj
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+43 0 obj <<
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+>> endobj
+39 0 obj <<
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+>> endobj
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+>> endobj
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+>> endobj
+27 0 obj <<
+/Title 28 0 R
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+>> endobj
+23 0 obj <<
+/Title 24 0 R
+/A 21 0 R
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+>> endobj
+19 0 obj <<
+/Title 20 0 R
+/A 17 0 R
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+>> endobj
+15 0 obj <<
+/Title 16 0 R
+/A 13 0 R
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+>> endobj
+11 0 obj <<
+/Title 12 0 R
+/A 9 0 R
+/Parent 2231 0 R
+/Prev 7 0 R
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+/Count 8
+>> endobj
+7 0 obj <<
+/Title 8 0 R
+/A 5 0 R
+/Parent 2231 0 R
+/Next 11 0 R
+>> endobj
+2232 0 obj <<
+/Names [(AMS.100) 993 0 R (AMS.101) 994 0 R (AMS.102) 995 0 R (AMS.103) 996 0 R (AMS.104) 997 0 R (AMS.105) 998 0 R]
+/Limits [(AMS.100) (AMS.105)]
+>> endobj
+2233 0 obj <<
+/Names [(AMS.107) 1001 0 R (AMS.108) 1016 0 R (AMS.109) 1017 0 R (AMS.114) 1053 0 R (AMS.118) 1104 0 R (AMS.120) 1113 0 R]
+/Limits [(AMS.107) (AMS.120)]
+>> endobj
+2234 0 obj <<
+/Names [(AMS.121) 1114 0 R (AMS.123) 1117 0 R (AMS.129) 1188 0 R (AMS.130) 1189 0 R (AMS.133) 1230 0 R (AMS.135) 1238 0 R]
+/Limits [(AMS.121) (AMS.135)]
+>> endobj
+2235 0 obj <<
+/Names [(AMS.136) 1243 0 R (AMS.138) 1246 0 R (AMS.139) 1247 0 R (AMS.140) 1252 0 R (AMS.141) 1257 0 R (AMS.142) 1258 0 R]
+/Limits [(AMS.136) (AMS.142)]
+>> endobj
+2236 0 obj <<
+/Names [(AMS.143) 1259 0 R (AMS.144) 1260 0 R (AMS.151) 1279 0 R (AMS.152) 1280 0 R (AMS.153) 1286 0 R (AMS.154) 1287 0 R]
+/Limits [(AMS.143) (AMS.154)]
+>> endobj
+2237 0 obj <<
+/Names [(AMS.156) 1288 0 R (AMS.158) 1297 0 R (AMS.160) 1310 0 R (AMS.161) 1311 0 R (AMS.162) 1312 0 R (AMS.164) 1331 0 R]
+/Limits [(AMS.156) (AMS.164)]
+>> endobj
+2238 0 obj <<
+/Names [(AMS.167) 1405 0 R (AMS.171) 1415 0 R (AMS.173) 1433 0 R (AMS.174) 1447 0 R (AMS.176) 1450 0 R (AMS.182) 1568 0 R]
+/Limits [(AMS.167) (AMS.182)]
+>> endobj
+2239 0 obj <<
+/Names [(AMS.184) 1575 0 R (AMS.185) 1576 0 R (AMS.186) 1577 0 R (AMS.192) 1591 0 R (AMS.193) 1592 0 R (AMS.194) 1593 0 R]
+/Limits [(AMS.184) (AMS.194)]
+>> endobj
+2240 0 obj <<
+/Names [(AMS.20) 539 0 R (AMS.27) 600 0 R (AMS.49) 744 0 R (AMS.50) 745 0 R (AMS.52) 748 0 R (AMS.53) 749 0 R]
+/Limits [(AMS.20) (AMS.53)]
+>> endobj
+2241 0 obj <<
+/Names [(AMS.60) 802 0 R (AMS.61) 803 0 R (AMS.68) 896 0 R (AMS.69) 897 0 R (AMS.71) 898 0 R (AMS.73) 905 0 R]
+/Limits [(AMS.60) (AMS.73)]
+>> endobj
+2242 0 obj <<
+/Names [(AMS.74) 906 0 R (AMS.75) 907 0 R (AMS.76) 912 0 R (AMS.85) 949 0 R (AMS.87) 952 0 R (AMS.88) 953 0 R]
+/Limits [(AMS.74) (AMS.88)]
+>> endobj
+2243 0 obj <<
+/Names [(AMS.97) 980 0 R (Chapter.1) 453 0 R (Chapter.10) 1268 0 R (Chapter.11) 1406 0 R (Chapter.12) 1586 0 R (Chapter.2) 496 0 R]
+/Limits [(AMS.97) (Chapter.2)]
+>> endobj
+2244 0 obj <<
+/Names [(Chapter.3) 595 0 R (Chapter.4) 629 0 R (Chapter.5) 708 0 R (Chapter.6) 792 0 R (Chapter.7) 919 0 R (Chapter.8) 967 0 R]
+/Limits [(Chapter.3) (Chapter.8)]
+>> endobj
+2245 0 obj <<
+/Names [(Chapter.9) 1167 0 R (Doc-Start) 426 0 R (License.0) 418 0 R (Parno.1) 459 0 R (Parno.10) 507 0 R (Parno.11) 531 0 R]
+/Limits [(Chapter.9) (Parno.11)]
+>> endobj
+2246 0 obj <<
+/Names [(Parno.12) 533 0 R (Parno.13) 546 0 R (Parno.14) 563 0 R (Parno.15) 589 0 R (Parno.16) 598 0 R (Parno.17) 601 0 R]
+/Limits [(Parno.12) (Parno.17)]
+>> endobj
+2247 0 obj <<
+/Names [(Parno.18) 607 0 R (Parno.19) 613 0 R (Parno.2) 461 0 R (Parno.20) 615 0 R (Parno.21) 622 0 R (Parno.22) 632 0 R]
+/Limits [(Parno.18) (Parno.22)]
+>> endobj
+2248 0 obj <<
+/Names [(Parno.23) 639 0 R (Parno.24) 646 0 R (Parno.25) 675 0 R (Parno.26) 706 0 R (Parno.27) 711 0 R (Parno.28) 717 0 R]
+/Limits [(Parno.23) (Parno.28)]
+>> endobj
+2249 0 obj <<
+/Names [(Parno.29) 724 0 R (Parno.3) 464 0 R (Parno.30) 727 0 R (Parno.31) 746 0 R (Parno.32) 757 0 R (Parno.33) 788 0 R]
+/Limits [(Parno.29) (Parno.33)]
+>> endobj
+2250 0 obj <<
+/Names [(Parno.34) 790 0 R (Parno.35) 800 0 R (Parno.36) 823 0 R (Parno.37) 856 0 R (Parno.38) 865 0 R (Parno.39) 872 0 R]
+/Limits [(Parno.34) (Parno.39)]
+>> endobj
+2251 0 obj <<
+/Names [(Parno.4) 471 0 R (Parno.40) 879 0 R (Parno.41) 881 0 R (Parno.42) 903 0 R (Parno.43) 917 0 R (Parno.44) 922 0 R]
+/Limits [(Parno.4) (Parno.44)]
+>> endobj
+2252 0 obj <<
+/Names [(Parno.45) 928 0 R (Parno.46) 935 0 R (Parno.47) 941 0 R (Parno.48) 943 0 R (Parno.49) 950 0 R (Parno.5) 473 0 R]
+/Limits [(Parno.45) (Parno.5)]
+>> endobj
+2253 0 obj <<
+/Names [(Parno.50) 958 0 R (Parno.51) 965 0 R (Parno.52) 971 0 R (Parno.53) 978 0 R (Parno.54) 982 0 R (Parno.55) 999 0 R]
+/Limits [(Parno.50) (Parno.55)]
+>> endobj
+2254 0 obj <<
+/Names [(Parno.56) 1019 0 R (Parno.57) 1049 0 R (Parno.58) 1051 0 R (Parno.59) 1069 0 R (Parno.6) 479 0 R (Parno.60) 1071 0 R]
+/Limits [(Parno.56) (Parno.60)]
+>> endobj
+2255 0 obj <<
+/Names [(Parno.61) 1089 0 R (Parno.62) 1105 0 R (Parno.63) 1115 0 R (Parno.64) 1124 0 R (Parno.65) 1165 0 R (Parno.66) 1170 0 R]
+/Limits [(Parno.61) (Parno.66)]
+>> endobj
+2256 0 obj <<
+/Names [(Parno.67) 1226 0 R (Parno.68) 1228 0 R (Parno.69) 1236 0 R (Parno.7) 481 0 R (Parno.70) 1244 0 R (Parno.71) 1266 0 R]
+/Limits [(Parno.67) (Parno.71)]
+>> endobj
+2257 0 obj <<
+/Names [(Parno.72) 1275 0 R (Parno.73) 1277 0 R (Parno.74) 1295 0 R (Parno.75) 1308 0 R (Parno.76) 1358 0 R (Parno.77) 1389 0 R]
+/Limits [(Parno.72) (Parno.77)]
+>> endobj
+2258 0 obj <<
+/Names [(Parno.78) 1413 0 R (Parno.79) 1416 0 R (Parno.8) 488 0 R (Parno.80) 1448 0 R (Parno.81) 1462 0 R (Parno.82) 1529 0 R]
+/Limits [(Parno.78) (Parno.82)]
+>> endobj
+2259 0 obj <<
+/Names [(Parno.83) 1541 0 R (Parno.84) 1543 0 R (Parno.85) 1561 0 R (Parno.86) 1569 0 R (Parno.87) 1579 0 R (Parno.88) 1589 0 R]
+/Limits [(Parno.83) (Parno.88)]
+>> endobj
+2260 0 obj <<
+/Names [(Parno.89) 1600 0 R (Parno.9) 499 0 R (Project\040Gutenberg\040Boilerplate.0) 6 0 R (Table.0) 414 0 R (biblio:11.87.1) 398 0 R (biblio:4.26.1) 126 0 R]
+/Limits [(Parno.89) (biblio:4.26.1)]
+>> endobj
+2261 0 obj <<
+/Names [(biblio:7.51.1) 238 0 R (biblio:9.71.1) 326 0 R (chapter:1.0) 10 0 R (chapter:10.0) 330 0 R (chapter:11.0) 358 0 R (chapter:12.0) 402 0 R]
+/Limits [(biblio:7.51.1) (chapter:12.0)]
+>> endobj
+2262 0 obj <<
+/Names [(chapter:2.0) 46 0 R (chapter:3.0) 78 0 R (chapter:4.0) 106 0 R (chapter:5.0) 130 0 R (chapter:6.0) 166 0 R (chapter:7.0) 206 0 R]
+/Limits [(chapter:2.0) (chapter:7.0)]
+>> endobj
+2263 0 obj <<
+/Names [(chapter:8.0) 242 0 R (chapter:9.0) 302 0 R (page.1) 495 0 R (page.10) 612 0 R (page.11) 621 0 R (page.12) 628 0 R]
+/Limits [(chapter:8.0) (page.12)]
+>> endobj
+2264 0 obj <<
+/Names [(page.13) 638 0 R (page.14) 645 0 R (page.15) 664 0 R (page.16) 674 0 R (page.17) 691 0 R (page.18) 704 0 R]
+/Limits [(page.13) (page.18)]
+>> endobj
+2265 0 obj <<
+/Names [(page.19) 716 0 R (page.2) 530 0 R (page.20) 723 0 R (page.21) 743 0 R (page.22) 756 0 R (page.23) 782 0 R]
+/Limits [(page.19) (page.23)]
+>> endobj
+2266 0 obj <<
+/Names [(page.24) 787 0 R (page.25) 797 0 R (page.26) 822 0 R (page.27) 855 0 R (page.28) 864 0 R (page.29) 871 0 R]
+/Limits [(page.24) (page.29)]
+>> endobj
+2267 0 obj <<
+/Names [(page.3) 538 0 R (page.30) 878 0 R (page.31) 895 0 R (page.32) 902 0 R (page.33) 911 0 R (page.34) 916 0 R]
+/Limits [(page.3) (page.34)]
+>> endobj
+2268 0 obj <<
+/Names [(page.35) 927 0 R (page.36) 934 0 R (page.37) 940 0 R (page.38) 948 0 R (page.39) 957 0 R (page.4) 545 0 R]
+/Limits [(page.35) (page.4)]
+>> endobj
+2269 0 obj <<
+/Names [(page.40) 963 0 R (page.41) 977 0 R (page.42) 992 0 R (page.43) 1014 0 R (page.44) 1048 0 R (page.45) 1068 0 R]
+/Limits [(page.40) (page.45)]
+>> endobj
+2270 0 obj <<
+/Names [(page.46) 1088 0 R (page.47) 1103 0 R (page.48) 1112 0 R (page.49) 1123 0 R (page.5) 562 0 R (page.50) 1164 0 R]
+/Limits [(page.46) (page.50)]
+>> endobj
+2271 0 obj <<
+/Names [(page.51) 1187 0 R (page.52) 1212 0 R (page.53) 1225 0 R (page.54) 1235 0 R (page.55) 1242 0 R (page.56) 1251 0 R]
+/Limits [(page.51) (page.56)]
+>> endobj
+2272 0 obj <<
+/Names [(page.57) 1256 0 R (page.58) 1264 0 R (page.59) 1272 0 R (page.6) 580 0 R (page.60) 1285 0 R (page.61) 1294 0 R]
+/Limits [(page.57) (page.61)]
+>> endobj
+2273 0 obj <<
+/Names [(page.62) 1307 0 R (page.63) 1330 0 R (page.64) 1357 0 R (page.65) 1388 0 R (page.66) 1404 0 R (page.67) 1411 0 R]
+/Limits [(page.62) (page.67)]
+>> endobj
+2274 0 obj <<
+/Names [(page.68) 1432 0 R (page.69) 1446 0 R (page.7) 584 0 R (page.70) 1461 0 R (page.71) 1528 0 R (page.72) 1535 0 R]
+/Limits [(page.68) (page.72)]
+>> endobj
+2275 0 obj <<
+/Names [(page.73) 1540 0 R (page.74) 1560 0 R (page.75) 1567 0 R (page.76) 1574 0 R (page.77) 1585 0 R (page.78) 1599 0 R]
+/Limits [(page.73) (page.78)]
+>> endobj
+2276 0 obj <<
+/Names [(page.79) 1622 0 R (page.8) 594 0 R (page.80) 1629 0 R (page.81) 1669 0 R (page.82) 1675 0 R (page.83) 1679 0 R]
+/Limits [(page.79) (page.83)]
+>> endobj
+2277 0 obj <<
+/Names [(page.84) 1685 0 R (page.85) 1689 0 R (page.86) 1693 0 R (page.87) 1697 0 R (page.88) 1701 0 R (page.89) 1705 0 R]
+/Limits [(page.84) (page.89)]
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+2278 0 obj <<
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+>> endobj
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+>> endobj
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+>> endobj
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+>> endobj
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+% almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or %
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+% Title: Leçons sur l'intégration des Équations Différentielles aux Dérivées Partielles
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+ Département de Mathématiques, Université de Glasgow.
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+
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+\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Project Gutenberg Boilerplate}
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+\begin{center}
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\begin{PGtext}
+The Project Gutenberg EBook of Leçons sur l'intégration des Équations
+Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra
+
+This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
+almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or
+re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
+with this eBook or online at www.gutenberg.org
+
+
+Title: Leçons sur l'intégration des Équations Différentielles aux Dérivées Partielles
+ Professées a Stockholm sur l'Invitation de S. M. le Roi de Suéde
+
+Author: Vito Volterra
+
+Release Date: August 24, 2009 [EBook #29783]
+Most recently updated: June 11, 2021
+
+Language: French
+
+Character set encoding: UTF-8
+
+*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ***
+\end{PGtext}
+\end{minipage}
+\end{center}
+\vfill
+
+\clearpage
+
+%%%% CREDITS %%%%
+
+\begin{PGtext}
+Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online
+Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The
+original copy of this book was generously made available
+for scanning by the Department of Mathematics at the
+University of Glasgow.)
+\end{PGtext}
+
+\vfill
+
+\begin{minipage}{0.8\textwidth}
+\small
+\subsection*{\centering \TransNote}
+
+\raggedright
+\TransNoteText
+
+\end{minipage}
+\vfil
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\frontmatter
+
+\allowhyphens
+\pagenumbering{roman}
+\pagestyle{empty}
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+%% -----File: 001.png---Folio 1-------
+% Title page
+% [** PP: Omitting printer's mark Manuscrit]
+
+\noindent\begin{minipage}{\textwidth}
+\begin{center}
+\textbf{\Huge LEÇONS} \\[18pt]
+{\scriptsize SUR}\\[18pt]
+\textbf{\large L'INTÉGRATION}\\[18pt]
+{\scriptsize DES}\\[18pt]
+\textbf{\Huge ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES}\\[18pt]
+AUX\\[18pt]
+\textbf{\huge DÉRIVÉES PARTIELLES}\\[24pt]
+PROFESSÉES À STOCKHOLM\\ % [** PP: Typo A (assuming small caps)]
+{\scriptsize (FÉVRIER, MARS 1906)}\\[24pt]
+SUR L'INVITATION DE S. M. LE ROI DE SUÈDE\\[48pt]
+{\scriptsize PAR}\\[12pt]
+\textbf{\large M.~V.~VOLTERRA}\\
+{\scriptsize SÉNATEUR DU ROYAUME D'ITALIE}\\
+{\scriptsize PROFESSEUR DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE À L'UNIVERSITÉ DE ROME}\\[96pt]
+{\small UPSAL \oldstylenums{1906}}\\
+{\scriptsize IMPRIMERIE ALMQVIST \& WIKSELL}
+\end{center}
+\end{minipage}
+
+\cleardoublepage
+
+%% -----File: 002.png---Folio 2-------
+%% [Blank Page]
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+
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+
+\setlength{\headheight}{14.5pt}
+
+\Preface{\Ord{1}{ière} leçon.}
+
+\Paragraph{1.} Le cours que je ferai se rapportera à quelques points de la théorie des
+équations différentielles de la physique mathématique. On sait que la physique
+mathématique traverse une période de crise. On abandonne certaines idées pour
+en suivre de nouvelles. Tous ceux, par exemple, qui ont lu les éloquentes
+pages que M.~Poincaré a consacré à cette question et ceux, qui ont pris connaissance
+de l'état actuel de la science dans le bel ouvrage de M.~Picard, sont renseignés
+d'une manière fort claire là-dessus. Mais, même si certains concepts que
+nous avons maintenant sur la nature des phénomènes naturels et quelques principes
+fondamentaux devaient être ébranlés par de nouveaux faits et de nouvelles découvertes,
+une partie de la physique mathématique a bien des chances de se sauver
+du naufrage. Elle représente en effet, peut-être d'une manière grossière, mais
+certainement d'une manière très-simple, une grande partie des faits naturels connus,
+les relie ensemble et a une utilité pratique hors de toute discussion.
+
+L'histoire des sciences nous offre l'exemple de théories analytiques de certains
+phénomènes qui ont été créées sous l'influence de certains principes et
+qui ont résisté à la chute de ces principes. Pour n'en citer qu'un seul, parmi
+la foule de ceux qui se présentent, il suffit de rappeler la théorie des instruments
+optiques qui se conserve dans ses lignes générales, tandis que les principes de
+l'optique ont subi tant d'évolutions.
+
+\Paragraph{2.} Les théories de la propagation de la chaleur, de l'hydrodynamique, de
+l'élasticité, des forces newtoniennes et de l'électromagnétisme peuvent être aujourd'hui
+traitées sous un point de vue commun, de sorte qu'elles peuvent constituer
+un seul chapitre d'analyse. On peut systématiser les méthodes qu'on
+emploie et classifier tous les faits qui s'y rapportent par la classification des équations
+différentielles dont ils dépendent. Cela conduit à envisager trois \emph{types} d'équations
+différentielles qu'on a l'habitude d'appeler \emph{elliptique}, \emph{hyperbolique} et \emph{parabolique}
+et des \emph{types mixtes}.
+%% -----File: 004.png---Folio 4-------
+
+Lorsqu'on étudie les choses sous cet aspect une seule formule est capable de nous
+révéler sous une forme unique des propriétés qui se rapportent à des phénomènes
+en apparence divers entre eux. Quelquefois l'analogie est une simple analogie
+analytique, quelquefois elle va bien au delà.
+
+Supposons maintenant pour un instant que la base des faits physiques sur
+laquelle pose l'édifice analytique vienne manquer, ou qu'on la néglige. Cet édifice
+est tellement solide et utile par lui-même qu'il continuerait à subsister comme un
+des plus beaux chapitres de l'analyse.
+
+\Paragraph{3.} Le point de départ de toutes les considérations dont nous venons de parler
+est d'envisager un ensemble continu ou un \emph{domaine} à une, deux ou trois
+dimensions. A % [** PP: Typo À]
+chaque point du domaine correspond une quantité scalaire ou un
+vecteur ou plusieurs quantités scalaires et plusieurs vecteurs liés par les équations
+différentielles. Ces quantités sont quelquefois constantes par rapport au temps
+et quelquefois variables. Dans ce cas on a en général un grand avantage en
+considérant le temps comme une nouvelle coordonnée.
+
+Tout le monde sait que les idées des physiciens ont toujours oscillé entre le
+concept d'un milieu continu, siège de tous les phénomènes par lequel on tâche de
+supprimer toute action à distance, et le concept fondé sur l'hypothèse des molécules
+séparées et des actions à distance.
+
+Il ne faut pas croire que nos considérations soient liées forcément au premier
+concept. Elles correspondent aussi à l'autre. Il suffit pour cela de rappeler que
+Cauchy, Poisson, Fourier, Laplace, qui suivaient les idées, qu'on appelle maintenant
+de la mécanique physique, c'est à dire au fond le second système, ont été
+les premiers à découvrir les équations différentielles qui forment la base des théories
+analytiques. Il leur a fallu, pour y parvenir, faire un passage à la limite qui
+les a amené du discontinu au continu. Mais une fois cette limite franchie, les
+deux conceptions au point de vue analytique se mêlent dans la plupart des cas.
+
+\Paragraph{4.} Je n'aurai pas le temps de traiter d'une manière complète le chapitre d'analyse
+dont je viens de parler. Je toucherai seulement à quelques points, qui me
+semblent avoir un certain intérêt et que je crois nouveaux. Le rôle que certaines
+solutions polydromes jouent dans les différents cas, voilà un point que je tâcherai
+d'examiner avec quelque détail. Nous envisagerons ces solutions dans les différents
+types d'équations et pour nous familiariser avec elles nous étudierons d'abord les
+solutions polydromes dans le cas de l'équilibre élastique. Elles nous conduisent à
+des résultats pratiques et frappants qu'on peut montrer par des modèles matériels
+qui nous dévoilent leur vrai caractère et leur importance. Le cas d'équilibre des
+corps élastiques à connexion multiple, non assujettis % [** PP: Typo assujetis]
+à des forces externes, est en
+%% -----File: 005.png---Folio 5-------
+dépendance étroite avec les solutions polydromes, et nous offre de nouveaux problèmes
+de la théorie de l'élasticité.
+
+\Paragraph{5.} La théorie des fonctions est liée aux problèmes de physique mathématique
+qui dépendent de l'équation de Laplace à deux variables. Si l'on envisage, par
+exemple, un voile liquide incompressible infiniment mince qui est en mouvement,
+tout théorème de la théorie des fonctions peut être interprété comme un théorème
+relatif au mouvement. Réciproquement toute propriété du mouvement peut être
+interprétée comme un théorème de la théorie des fonctions. On obtient cette
+relation par les fonctions conjuguées qu'il faut regarder comme la partie réelle
+et le coefficient de l'imaginaire dans la théorie des fonctions et en hydrodynamique
+comme le potentiel de vitesse et la fonction qui définit les lignes des courants.
+
+Mais cela est borné au cas de deux dimensions. Comment généraliser la
+chose au cas d'un nombre quelconque de dimensions? Je montrerai que la théorie
+des fonctions conjuguées peut s'étendre au cas général par l'introduction d'un
+nouveau concept analytique sur lequel je reviendrai tout à l'heure. Cela nous
+amènera à exposer certaines vues nouvelles sur la théorie générale des fonctions.
+
+\Paragraph{6.} Par rapport aux équations du type hyperbolique j'exposerai d'abord, sans
+entrer dans les détails, quelques résultats %[** PP: Typo resultats]
+que j'ai trouvés et publiés il y a quelque
+temps et qui plus récemment ont été étendus et complétés par d'autres géomètres.
+
+Ensuite je tâcherai de montrer le rôle bien singulier que joue le principe
+des images. La mémorable méthode de Lord Kelvin peut être employée quelquefois
+même dans ce cas et amène à des résultats plus simples que dans celui des
+équations du type elliptique. L'influence de la réalité des caractéristiques se
+révèle par là d'une manière frappante.
+
+Il y a un mémoire très-profond de Weierstrass sur l'intégration des équations
+différentielles linéaires aux dérivées partielles où il expose une méthode par
+laquelle il intègre quelques équations du type hyperbolique. \Mme\ Kowalewski a
+appliqué dans un travail sur l'optique la méthode de Weierstrass, mais, sans s'en
+douter, elle avait à faire avec des fonctions polydromes, c'est pourquoi la méthode %[** PP: Typo methode]
+ne l'a pas amenée au résultat qu'elle cherchait. J'entrerai dans la discussion de
+cette question et du rôle de la solution polydrome. Je n'ai connu aucun géomètre,
+après \Mme\ Kowalewski, qui ait employé la méthode de Weierstrass et elle paraît % [** PP: Typo parait]
+comme une méthode %[** PP: Typo méthodé]
+à part qui n'est pas reliée aux autres. Je serai heureux de
+montrer qu'elle se rattache d'une manière très-simple à la méthode de Kirchhoff.
+Or, puisque les méthodes de Kirchhoff de Green et de Riemann ont des rapports
+étroits entre elles, toutes ces différentes méthodes restent reliées ensemble.
+
+\Paragraph{7.} Les dernières leçons seront consacrées aux équations différentielles du
+type parabolique. Leur étude n'est pas si avancée que celle des équations des
+%% -----File: 006.png---Folio 6-------
+autres types. Au premier abord il ne semble pas que la méthode des caractéristiques,
+qui a donné les résultats les plus généraux dans le cas hyperbolique, puisse
+conduire à embrasser tous les résultats connus lorsqu'on l'applique aux équations
+du type parabolique. Nous montrerons où est la difficulté. On a toujours conçu
+la méthode de Riemann comme bornée au domaine des variables réelles. Au contraire
+pour approfondir avec succès la question des équations du type parabolique,
+il faut commencer par étendre la méthode aux variables complexes et ensuite
+l'employer ainsi généralisée.
+
+Comme application des formules qu'on a dans les cas des équations du type
+parabolique j'exposerai la solution d'un problème qui se rapporte aux oscillations
+des fluides incompressibles. J'aurai ainsi l'occasion de dire quelques mots par rapport à
+cette question générale qui d'un côté est liée aux équations du type elliptique et d'un
+autre côté a bien des rapports avec les problèmes des ondes qu'on étudie par des
+équations du type hyperbolique. Je donnerai à ce propos une formule analogue à
+celle ordinaire de Green qui contient une fonction analogue à celle qu'on appelle
+fonction de Green.
+
+\Paragraph{8.} Voilà le programme du cours. Cependant je n'ai pas encore parlé d'une
+manière explicite d'une question dont j'aurai l'occasion de traiter avec quelque
+détail. Nous avons vu que dans nos considérations nous prenons comme fondement
+un continu à un certain nombre de dimensions, dans lequel on envisage des quantités
+scalaires ou des vecteurs. Supposons que nous ayons une quantité scalaire
+qui soit une fonction des points d'un domaine à trois dimensions, et pour fixer les
+idées supposons que ce soit la température des points d'une surface. Aura-t-on
+examiné d'une manière complète la question en envisageant cette quantité scalaire
+comme une fonction de trois variables, c'est à dire des coordonnées des différents
+points de la surface et du temps? Il est facile de se convaincre que, si nous
+pouvons changer arbitrairement la température au contour du corps, la température
+dépendra aussi de toutes les valeurs de la fonction qui exprime la température
+au contour. De même le potentiel d'un corps déformable dépendra de la forme du
+corps. On est par là amené d'une manière fort naturelle, et l'on peut même dire
+qu'on est forcé d'envisager non seulement les fonctions qui dépendent d'un certain
+nombre de variables, mais aussi celles qui dépendent de la forme de certaines
+lignes et de certaines surfaces et de toutes les valeurs de certaines fonctions.
+Nous aurons l'occasion de parler de ce concept et de développer quelques idées
+sur ces fonctions et sur leur inversion, lorsque nous entrerons dans le sujet dont
+nous avons touché au §~5. % [** Xref]
+
+\Tb
+%% -----File: 007.png---Folio 7-------
+
+\clearpage
+\pagenumbering{arabic}
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
+ {\fancyhead[RO,LE]{\thepage}}
+ {\fancyhead[R]{\thepage}}
+
+\Chapter{\Ord{2}{ième} leçon.}
+
+\Paragraph{1.} Envisageons dans un plan les axes coordonnés $x$, $y$ et la fonction
+$\THETA = \arctg \dfrac{y}{x}$.
+
+\begin{wrapfigure}[9]{r}{2in}% **** Explicit height
+%[Illustration]
+\raisebox{0.25in}[1.75in][0pt]{\Input{007a}{2in}}
+\end{wrapfigure}
+$\THETA$ est l'angle que le rayon vecteur fait
+avec l'axe~$x$. Partons d'un point~$M_0$ situé sur
+l'axe~$x$, et, après avoir parcouru un cycle $M_0NM'$
+autour de l'origine, revenons au point de
+départ~$M_1$.
+
+En prenant les valeurs de $\THETA$ qui se suivent
+avec continuité la valeur~$\THETA_1$ qu'on trouve
+en $M_1$ après avoir parcouru le cycle est égale à
+la valeur initiale augmentée de~$2\pi$. Voilà un
+exemple très-simple d'une fonction \emph{polydrome}.
+
+Les dérivées partielles $\pderiv{\THETA}{x} = -\dfrac{y}{x^2+y^2}$, $\pderiv{\THETA}{y} = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ ainsi que les dérivées
+successives sont finies continues et monodromes excepté à l'origine. C'est pourquoi
+dans un domaine~$S$ qui ne comprend pas l'origine
+les dérivées $\pderiv{\THETA}{x}$, $\pderiv{\THETA}{y}$ seront régulières ainsi que
+leurs dérivées successives.
+
+\begin{wrapfigure}{r}{2in}
+%[Illustration]
+\raisebox{0.125in}[1.875in][0pt]{\Input{007b}{2in}}
+\end{wrapfigure}
+\phantomsection\label{section:2.2}%
+\Paragraph{2.} Rappelons %[** PP: Typo Rappellons]
+un théorème de calcul intégral
+qu'on appelle théorème de Gauss.
+
+\begin{Theorem}
+Soit $S$ un domaine à trois dimensions $X$, $Y$, $Z$,
+trois fonctions monodromes finies et continues qui
+ont des dérivées monodromes finies et continues.
+On a
+%% -----File: 008.png---Folio 8-------
+\begin{multline*}
+\int_S \left(\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z}\right)\, dS \\
+ = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma
+\end{multline*}
+$\sigma$ étant le contour du domaine~$S$, $n$ la normale à $\sigma$ dirigée vers l'extérieur du domaine~$S$.
+\end{Theorem}
+
+Rappelons aussi le théorème de Stokes. %[** PP: Typo Rappellons]
+
+\begin{Theorem}
+$\sigma$ étant une surface ayant pour contour~$S$ %[** PP: Typo $s$]
+et $X$, $Y$, $Z$ étant des fonctions monodromes
+finies et continues dont les dérivées sont aussi monodromes finies et continues on a
+\begin{multline*}
+\int_\sigma \left\{\left(\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z}\right) \cos nx
+ + \left(\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x}\right) \cos ny
+ + \left(\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y}\right) \cos nz \right\} d\sigma \\
+ = ± \int_S (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz)
+\end{multline*}
+$n$ étant la normale à~$\sigma$. On peut faire l'intégration sur le contour~$s$ dans une direction
+telle que l'intégrale du second membre soit précédée du signe~$+$. %[** PP: Added period]
+\end{Theorem}
+
+\Paragraph{3.} Un domaine à trois dimensions est \emph{acyclique} ou à \emph{connexion simple} si toute
+ligne fermée que l'on peut tirer à l'intérieur peut se réduire infiniment petite par
+une déformation continue sans sortir du domaine.
+
+Si cette condition n'est pas vérifiée, le domaine est \emph{cyclique} ou à \emph{connexion
+multiple}. Supposons que par une coupure transversale un espace cyclique devienne
+acyclique, on dit alors que cette \emph{connexion est double}. Si l'espace cyclique devient
+acyclique lorsqu'on fait deux coupures, on dit que la \emph{connexion est triple}, et ainsi de
+suite. Dans tout domaine acyclique une ligne fermée peut être regardée comme
+le contour d'une surface située à l'intérieur du domaine.
+
+\Paragraph{4.} Dans la théorie de l'élasticité on peut envisager un milieu continu et l'on
+peut supposer qu'il existe un \emph{état naturel} où il n'y a aucune tension interne. Déplaçons
+infiniment peu les points du milieu, et soient $u$, $v$, $w$ les composantes des
+déplacements, alors la déformation du milieu est définie par les quantités que les
+Anglais appellent \emph{strains}
+\begin{gather*}
+\gamma_{11} = \pderiv{u}{x}\quad
+\gamma_{22} = \pderiv{v}{y}\quad
+\gamma_{33} = \pderiv{w}{z} \\
+\gamma_{32} = \gamma_{23} = \pderiv{v}{z} + \pderiv{w}{y},\
+\gamma_{13} = \gamma_{31} = \pderiv{w}{x} + \pderiv{u}{z},\
+\gamma_{21} = \gamma_{12} = \pderiv{u}{y} + \pderiv{v}{x}.
+\end{gather*}
+Il peut y avoir déplacement sans déformation lorsque ces quantités sont nulles.
+
+Le potentiel des forces élastiques relatif à chaque élément~$dS$ du milieu
+déformé s'exprime par
+\[
+F(\gamma_{11}, \gamma_{22}, \gamma_{33}, \gamma_{23}, \gamma_{31}, \gamma_{12} )\, dS
+\]
+%% -----File: 009.png---Folio 9-------
+où $F$ est un polynôme %[** PP: Typo polynome]
+homogène de \Ord{2}{d}~degré par rapport à
+$\gamma_{11}$, $\gamma_{22}$, $\gamma_{33}$, $\gamma_{23}$, $\gamma_{31}$, $\gamma_{12}$
+qui est toujours négatif et s'annule %[** PP: Typo s'annulle]
+seulement lorsque toutes les quantités~$\gamma_{rs}$
+sont nulles.
+
+La tension dans chaque point est caractérisée par les quantités
+\begin{gather*}
+t_{11} = \pderiv{F}{\gamma_{11}},\quad
+t_{22} = \pderiv{F}{\gamma_{22}},\quad
+t_{33} = \pderiv{F}{\gamma_{33}}, \\ % [** PP: Added comma]
+t_{32} = t_{23} = \pderiv{F}{\gamma_{32}},\
+t_{13} = t_{31} = \pderiv{F}{\gamma_{31}},\
+t_{21} = t_{12} = \pderiv{F}{\gamma_{12}},
+\end{gather*}
+que les Anglais appellent \emph{stress}.%[** PP: Typo streis]
+
+La \emph{tension unitaire} qui s'exerce sur chaque élément d'aire $d\sigma$ du milieu a
+pour composantes
+\begin{align*}
+T_{x} &= t_{11} \cos nx + t_{12} \cos ny + t_{13} \cos nz \\
+T_{y} &= t_{21} \cos nx + t_{22} \cos ny + t_{23} \cos nz \\
+T_{z} &= t_{31} \cos nx + t_{32} \cos ny + t_{33} \cos nz
+\end{align*}
+$n$ étant la normale de l'élément~$d\sigma$.
+
+Si $X$, $Y$, $Z$ sont les composantes des forces extérieures unitaires qui s'exercent
+sur chaque élément~$dS$ du corps élastique, et $T_x$, $T_y$, $T_z$ les composantes de la
+tension unitaire qui s'exerce sur chaque élément du contour, les équations de
+l'équilibre élastique sont
+\[
+(1)\quad\left\{
+\begin{aligned}
+ X &= \pderiv{t_{11}}{x} + \pderiv{t_{12}}{y} + \pderiv{t_{13}}{z} \\
+ Y &= \pderiv{t_{21}}{x} + \pderiv{t_{22}}{y} + \pderiv{t_{23}}{z} \\
+ Z &= \pderiv{t_{31}}{x} + \pderiv{t_{32}}{y} + \pderiv{t_{33}}{z}
+\end{aligned}
+\right.
+\qquad
+(2)\quad\left\{
+\begin{aligned}
+ T_{x} &= t_{11} \cos nx + t_{12} \cos ny + t_{13} \cos nz \\
+ T_{y} &= t_{21} \cos nx + t_{22} \cos ny + t_{23} \cos nz \\
+ T_{z} &= t_{31} \cos nx + t_{32} \cos ny + t_{33} \cos nz
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+où $n$ est la normale au contour dirigée vers l'intérieur du corps.
+
+Lorsque le corps est isotrope et homogène on a
+\[
+F = \tfrac{1}{2} L \THETA^2 + K \psi, % [** PP: Typo \Psi]
+\]
+en ayant posé
+\[
+\THETA = \gamma_{11} + \gamma_{22} %[** PP: Typo 21]
+ + \gamma_{33} ,\quad
+ \psi = \gamma_{11}^2 + \gamma_{22}^2 + \gamma_{33}^2
+ + \tfrac{1}{2}
+ (\gamma_{23}^2 + \gamma_{31}^2 + \gamma_{12}^2);
+\]
+c'est pourquoi
+\[
+\begin{aligned}
+t_{11} &= L \THETA + 2 K \gamma_{11} \\
+t_{22} &= L \THETA + 2 K \gamma_{22} \\
+t_{33} &= L \THETA + 2 K \gamma_{33} \\
+\end{aligned}
+\qquad\qquad
+\begin{aligned}
+t_{23} &= K \gamma_{23} \\
+t_{31} &= K \gamma_{31} \\
+t_{12} &= K \gamma_{12}.
+\end{aligned}
+\]
+$L$ et~$K$ sont des quantités constantes et négatives, $\THETA$ est la \emph{dilatation cubique}.
+%% -----File: 010.png---Folio 10-------
+
+Les équations~$(1)$ deviennent alors
+\[
+\tag{$1'$}
+\left\{
+\begin{aligned}
+ X &= K \Delta^{2} u + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{x} \\
+ Y &= K \Delta^{2} v + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{y} \\
+ Z &= K \Delta^{2} w + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{z}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+le symbole $\Delta^{2}$ représentant l'opération
+\[
+ \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}
++ \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}
++ \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}.
+\]
+
+\Paragraph{6.} Ayant rappelé ces notions fondamentales nous voulons montrer que la
+théorie de l'élasticité pour les corps ayant une forme cyclique se présente d'une
+manière différente que pour les corps acycliques, et cela tient au rôle que les solutions
+polydromes jouent dans la question.
+
+On % [** PP: Typo Or]
+énonce en général le théorème qu'\emph{un corps élastique qui n'est pas soumis
+à des actions externes est en équilibre}, et on tire de là que \emph{les forces externes étant
+données la déformation du corps est connue}. Or ces propositions ne sont exactes
+que si le corps a une connexion simple.
+
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}
+\Input{010a}{1.5in}
+\end{wrapfigure}
+Pour montrer qu'il y a des cas où elles ne
+se vérifient pas, envisageons un \emph{anneau}. Retranchons
+une tranche radiale $AA'$, $BB'$ très mince, et
+soudons les deux bouts $AA'$ et~$BB'$. Le corps
+après la soudure sera soumis à des tensions internes
+et cependant il ne supportera aucune action
+extérieure.
+
+On pourrait soupçonner que quelque discontinuité
+ou quelque singularité s'est produite dans
+la déformation à l'endroit où l'on a fait la soudure;
+mais on peut démontrer qu'il n'y a aucune singularité de cette sorte, de
+manière que si l'on voulait trouver l'endroit où l'on a fait la soudure par quelque
+particularité de la déformation il serait impossible de la retrouver.
+
+On peut se demander à quoi tient la contradiction entre les propositions précédentes
+et le résultat que nous venons d'examiner.
+
+Le n{\oe}ud de la question est dans l'application du théorème de Gauss. En
+effet pour démontrer les propositions que nous avons énoncées tout à l'heure on suppose
+que dans les équations $(1)$ et~$(2)$ $X = Y = Z = T_{x} = T_{y} = T_{z} = 0$, on multiplie
+%% -----File: 011.png---Folio 11-------
+les deux membres des équations~$(1)$ respectivement par $u$, $v$, $w$, qu'on somme, qu'on
+intègre et transforme par le théorème de Gauss. On tire de là que
+\[
+\int_S F\, dS = 0, % [** PP: Changed . to ,
+\]
+$S$ étant l'espace occupé par le corps élastique; d'où l'on déduit
+\[
+ \gamma_{11} = \gamma_{22} = \gamma_{33}
+= \gamma_{23} = \gamma_{31} = \gamma_{12} = 0
+\]
+c'est à dire que si les forces extérieures sont nulles il n'y a pas de déformation.
+Or nous avons remarqué que pour appliquer le théorème de Gauss il faut que
+toutes les fonctions qu'on emploie soient monodromes. Montrons que dans le cas
+de l'anneau les composantes des déplacements $u$, $v$, $w$ sont polydromes.
+%[Illustrations]
+\begin{center}
+\Input{010a}{1.5in}\hfil\Input{011b}{1.5in} % [sic 010a]
+\end{center}
+
+En effet examinons les déplacements après la soudure. Les points de~$AA'$ ne
+se seront pas déplacés tandis que les points de~$BB'$ se seront déplacés de la largeur
+de la fissure qu'on a faite. C'est pourquoi si nous partons d'un point~$M_{0}$ de~$AA'$,
+parcourons un cycle à l'intérieur de l'anneau et prenons les valeurs des déplacements
+qui se suivent avec continuité, nous revenons au point de départ de l'autre
+côté~$M_{1}$ % [** PP: Typo coté]
+de la coupure avec des valeurs des déplacements différents des valeurs
+qu'on avait au point de départ. C'est un cas de polydromie analogue à celui que
+nous avons envisagé dans le premier~§. % [** Xref]
+
+On tire de là deux conséquences:
+
+La première est que pour rendre exactes les deux propositions qu'on a énoncées
+il faut ajouter la condition que les déplacements soient monodromes.
+
+La seconde conséquence est qu'il faut reposer la question:
+
+Quand est-ce que les déplacements peuvent être polydromes?
+
+\Paragraph{7.} Dans les considérations que nous venons de faire nous nous sommes laissés
+conduire par l'intuition; mais il serait dangereux de continuer de la sorte. En
+effet par intuition on serait amené à penser que le même résultat qu'on a obtenu
+dans le cas de l'anneau on pourrait l'obtenir dans le cas d'un corps acyclique quelconque
+%% -----File: 012.png---Folio 12-------
+en y retranchant une tranche très-mince et en soudant les faces de la coupure.
+Or dans ce cas, par cette opération, la déformation du corps ne serait pas
+régulière, c'est pourquoi tout se présenterait d'une manière différente, que dans le
+cas de l'anneau.
+
+Nous allons démontrer que si l'on suppose que la déformation est régulière,
+c'est à dire que si $\gamma_{11}, \gamma_{22}, \gamma_{33}, \gamma_{23}, \gamma_{31}, \gamma_{12}$ sont des fonctions finies monodromes
+et continues et que leurs dérivées sont aussi finies continues et monodromes, la polydromie
+des déplacements ne peut se présenter que si le corps a une forme cyclique.
+
+Il suffit de trouver des formules par lesquelles on puisse calculer $u$, $v$, $w$ en
+connaissant les quantités~$\gamma_{rs}$.
+
+Soit $s$ une ligne, et désignons par $A_0$ et~$A_1$ ses points extrêmes. Soient~$\gamma_{rs}^{(0)}$
+et~$\gamma_{rs}^{(1)}$ les valeurs de~$\gamma_{rs}$ aux points $A_0$ et~$A_1$, $x_0\, y_0\, z_0$ les coordonnées de~$A_{0}$,
+$x_1\, y_1\, z_1$ les coordonnées de~$A_1$. Les valeurs de $u$, $v$, $w$ au point~$A_1$ seront données
+par les formules
+\begin{align*}
+%[** PP: References to these on 013--015.png are clearly (1) (1') (1'')]
+\Lmargintag{I}
+u_1 &= u_0
+ + \frac{1}{2} ( \gamma_{21}^{(0)} + r_0 ) (y_1 - y_0)
+ + \frac{1}{2} ( \gamma_{31}^{(0)} - q_0 ) (z_1 - z_0)
+\Trail{+} \\
+%
+ &+ \int_s \left\{ \left[\gamma_{11}
+ + (y_1 - y) \pderiv{\gamma_{11}}{y}
+ + (z_1 - z) \pderiv{\gamma_{11}}{z} \right] \deriv{x}{s} \right.
+\Trail{+} \\
+%
+ &\qquad+
+ \left[ (y_1 - y) \left(\pderiv{\gamma_{12}}{y}
+ - \pderiv{\gamma_{22}}{x}\right)
+ + \left(\frac{z_1 - z}{2}\right)
+ \left(\pderiv{\gamma_{21}}{z}
+ + \pderiv{\gamma_{31}}{y}
+ - \pderiv{\gamma_{23}}{x}\right)\right] \deriv{y}{s}
+\Trail{+} \\
+%
+ &\qquad+ \left.
+ \left[ \left(\frac{y_1 - y}{2}\right)
+ \left(\pderiv{\gamma_{21}}{z}
+ + \pderiv{\gamma_{31}}{y}
+ - \pderiv{\gamma_{23}}{x}\right)
+ + (z_1-z) \left(
+ \pderiv{\gamma_{13}}{z}
+ - \pderiv{\gamma_{33}}{x}\right) \right] \deriv{z}{s}
+ \right\} ds \\[1ex]
+%%
+\Lmargintag{I${}'$}
+v_1 &= v_0
+ + \frac{1}{2} ( \gamma_{32}^{(0)} + p_0 ) (z_1 - z_0)
+ + \frac{1}{2} ( \gamma_{12}^{(0)} - r_0 ) (x_1 - x_0)
+\Trail{+} \\
+%
+ &+ \int_s \left\{
+ \left[ \left( \frac{z_1 - z}{2} \right)
+ \left( \pderiv{\gamma_{32}}{x}
+ + \pderiv{\gamma_{12}}{z}
+ - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right)
+ + (x_1-x) \left( \pderiv{\gamma_{21}}{x}
+ - \pderiv{\gamma_{11}}{y} \right)
+ \right] \deriv{x}{s} \right.
+\Trail{+} \\
+%
+ &\qquad+
+ \left[ \gamma_{22}
+ + (z_1 - z) \pderiv{\gamma_{22}}{z}
+ + (x_1 - x) \pderiv{\gamma_{22}}{x}
+ \right] \deriv{y}{s}
+\Trail{+} \\
+%
+ &\qquad+ \left.
+ \left[ (z_1-z)
+ \left( \pderiv{\gamma_{23}}{z}
+ - \pderiv{\gamma_{33}}{y} \right)
+ + \left( \frac{x_1 - x}{2} \right)
+ \left( \pderiv{\gamma_{32}}{x}
+ + \pderiv{\gamma_{12}}{z}
+ - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right)
+ \right] \deriv{z}{s} \right\} ds \\[1ex]
+%%
+\Lmargintag{I${}''$}
+w_1 &= w_0
+ + \frac{1}{2} ( \gamma_{13}^{(0)} + q_0 ) (x_1 - x_0)
+ + \frac{1}{2} ( \gamma_{23}^{(0)} - p_0 ) (y_1 - y_0)
+\Trail{+} \\
+%
+ &+ \int_s \left\{
+ \left[ (x_1-x)
+ \left( \pderiv{\gamma_{31}}{x}
+ - \pderiv{\gamma_{11}}{z} \right)
+ + \left( \frac{y_1 - y}{2} \right)
+ \left( \pderiv{\gamma_{13}}{y}
+ + \pderiv{\gamma_{23}}{x}
+ - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right)
+ \right] \deriv{x}{s} \right.
+\Trail{+} \\
+%
+ &\qquad+
+ \left[ \left( \frac{x_1 - x}{2} \right)
+ \left( \pderiv{\gamma_{13}}{y}
+ + \pderiv{\gamma_{23}}{x}
+ - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right)
+ + (y_1-y) \left( \pderiv{\gamma_{32}}{y}
+ - \pderiv{\gamma_{22}}{z} \right)
+ \right] \deriv{y}{s}
+\Trail{+} \\
+%
+ &\qquad+ \left.
+ \left[ \gamma_{33}
+ + (x_1 - x) \pderiv{\gamma_{33}}{x}
+ + (y_1 - y) \pderiv{\gamma_{33}}{y}
+ \right] \deriv{z}{s} \right\} ds
+\end{align*}
+%% -----File: 013.png---Folio 13-------
+où $u_0$, $v_0$, $w_0$ sont les valeurs de $u$, $v$, $w$ au point~$A_0$ et $p_0$, $q_0$, $r_0$ sont égales aux
+valeurs des différences
+\[
+\pderiv{v}{z} - \pderiv{w}{y},\quad
+\pderiv{w}{x} - \pderiv{u}{z},\quad
+\pderiv{u}{y} - \pderiv{v}{x}
+\]
+au point~$A_0$.
+
+On le vérifie aisément en faisant les dérivées de $u_1$, $v_1$, $w_1$ par rapport à $x_1$, $y_1$, $z_1$.
+
+Il faut maintenant chercher les conditions pour la monodromie.
+
+Supposons que la ligne $s$ se réduise à un cycle fermé. Si le corps élastique
+occupe une région acyclique, on pourra regarder~$s$ comme le contour d'une surface~$\sigma$
+située à l'intérieur du corps; c'est pourquoi les intégrales qui paraissent dans les
+formules précédentes pourront se transformer par le théorème de Stokes et elles
+s'écriront \\
+% [** PP: Add missing d\sigma in 2nd, 3rd equations, remove period on 3rd.]
+% [** PP: Width-dependent formatting
+% - Shift display 2em into left margin and set \footnotesize
+% - Explicit \;s to fine-tune alignment]
+\hspace*{-2em}\begin{minipage}{\textwidth}%
+{\footnotesize
+\begin{align*}
+&\int_\sigma \left\{
+ \left[ \;\frac{y_1-y}{2} B\; - \frac{z_1-z}{2} C \right] \cos nx
+ + \left[ (z_1-z) F\; + \frac{y_1-y}{2} A \right] \cos ny
+ + \left[ (y_1-y) G + \frac{z_1-z}{2} A \right] \cos nz \right\} d\sigma \\
+%%
+&\int_\sigma \left\{
+ \left[ (z_1-z) E + \frac{x_1-x}{2} B \right] \cos nx
+ + \left[ \;\frac{z_1-z}{2} C\; - \frac{x_1-x}{2} A \right] \cos ny
+ + \left[ (x_1-x) G + \frac{z_1-z}{2} B \right] \cos nz \right\} d\sigma \\
+%%
+&\int_\sigma \left\{
+ \left[ (y_1-y) E + \frac{x_1-x}{2} C \right] \cos nx
+ + \left[ (x_1-x) F + \frac{y_1-y}{2} C \right] \cos ny
+ + \left[ \;\frac{x_1-x}{2} A\; - \frac{y_1-y}{2} B \right] \cos nz
+ \right\} d\sigma
+\end{align*}
+}% [** End footnotesize]
+\end{minipage}\\[1ex]% [** PP: Explicit vertical space]
+où % [** Typo: oú]
+$n$ est la normale à~$\sigma$ et
+\[
+\begin{aligned}
+A &= \pderiv{}{x} \left(
+ \pderiv{\gamma_{31}}{y}
+ + \pderiv{\gamma_{12}}{z}
+ - \pderiv{\gamma_{23}}{x} \right)
+ - 2 \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial z \partial y} \\
+%%
+B &= \pderiv{}{y} \left(
+ \pderiv{\gamma_{12}}{z}
+ + \pderiv{\gamma_{23}}{x}
+ - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right)
+ - 2 \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial x \partial z} \\
+%%
+C &= \pderiv{}{z} \left(
+ \pderiv{\gamma_{23}}{x}
+ + \pderiv{\gamma_{31}}{y}
+ - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right)
+ - 2 \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial y \partial x}
+\end{aligned}
+\qquad
+\begin{aligned}
+E &= \frac{\partial^2\gamma_{32}}{\partial y \partial z}
+ - \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial z^2}
+ - \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial y^2} \\
+%%
+F &= \frac{\partial^2\gamma_{31}}{\partial z \partial x}
+ - \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial x^2}
+ - \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial z^2} \\
+%%
+G &= \frac{\partial^2\gamma_{12}}{\partial x \partial y}
+ - \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial y^2}
+ - \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial x^2}
+\end{aligned}
+\]
+
+Mais par un théorème de De Saint Venant on a
+\[
+A = B = C = E = F = G = 0 %[** PP: Changed D = E = F to E = F = G]
+\]
+c'est pourquoi les intégrales des formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) s'annuleront, et on aura % [** Xref] %[** PP: Typos: formules (1)..., and s'annulleront]
+\[
+u_1=u_0\quad
+v_1=v_0\quad
+w_1=w_0 %[** PP: v_1-v_0 changed to v_1=v_0]
+\]
+ce qui prouve que si la forme du corps est acyclique et la déformation régulière,
+les déplacements sont monodromes. Mais si le corps est cyclique, le cycle fermé~$s$
+n'est pas en général le contour d'une surface~$\sigma$ appartenant à la région occupée
+%% -----File: 014.png---Folio 14-------
+par le corps, et par suite on ne peut pas en général appliquer le théorème de Stokes
+et enfin les déplacements peuvent être polydromes.
+
+\Paragraph{8.} On peut résumer les résultats qu'on vient d'obtenir en énonçant les
+propositions suivantes.
+\begin{Prop}
+Un corps élastique ayant une forme acyclique et une déformation
+régulière peut être amené à l'état naturel par des déplacements finis continus et
+monodromes.
+\end{Prop}
+
+\begin{Prop}
+Si le corps élastique a une forme cyclique, cela n'est pas toujours possible, et
+pour l'amener à l'état naturel il sera nécessaire quelquefois de faire des coupures et
+de retrancher des parties du corps.
+\end{Prop}
+
+\begin{Prop}
+Un corps élastique fini ayant une forme acyclique et n'étant pas sujet à des forces
+extérieures est à l'état naturel si la déformation ne peut cesser d'être régulière,
+mais si le corps est cyclique, le corps peut être à l'état de tension, même si n'existent
+pas des actions extérieures.
+\end{Prop}
+
+\begin{Prop}
+Les forces extérieures étant connues, la déformation régulière d'un corps acyclique
+est connue, mais celle d'un corps cyclique n'est pas connue. Elle est connue seulement
+dans le cas où l'on sait d'avance que le corps élastique peut être amené à l'état naturel
+par des déplacements monodromes.
+\end{Prop}
+
+
+\Chapter{\Ord{3}{ième} leçon.}
+
+%[** PP: Changed reference (1)(1')(1'') to (I)(I')(I'')]
+\Paragraph{9.} Lorsque le corps est cyclique, on peut le réduire acyclique en faisant des
+coupures. Les formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) donnent aisément la loi des discontinuités des % [** Xref]
+déplacements le long des coupures. Les valeurs des déplacements d'un côté d'une
+coupure étant $u_{\alpha}$, $v_{\alpha}$, $w_{\alpha}$ et celles de l'autre côté étant $u_{\beta}$, $v_{\beta}$, $w_{\beta}$ on a
+\[
+\tag{3}
+\left\{
+\begin{aligned}
+u_{\beta} - u_{\alpha} &= l + ry - qz \\
+v_{\beta} - v_{\alpha} &= m + pz - rx \\
+w_{\beta} - w_{\alpha} &= n + qx - py
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+$l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$, étant des quantités constantes pour chaque coupure.
+
+A chaque coupure correspondent donc 6~valeurs constantes qu'on peut appeler
+les constantes de la coupure, et l'on a le théorème:
+
+\begin{Theorem}
+Un corps élastique cyclique étant déformé régulièrement, %[** PP: Typo regulièrement]
+la déformation est déterminée
+par les forces extérieures et les constantes de chaque coupure.
+\end{Theorem}
+
+On voit par là que les problèmes de l'élasticité pour les corps cycliques se présentent
+d'une manière fort différente que pour les corps acycliques.
+%% -----File: 015.png---Folio 15-------
+
+%[** Xrefs]
+\Paragraph{10.} Les formules~(3) montrent très-facilement la signification mécanique des
+constantes de chaque coupure. En effet supposons que nous fassions effectivement
+les coupures dans le corps cyclique déformé de manière qu'il puisse reprendre l'état
+naturel; et s'il est nécessaire retranchons les parties surabondantes du corps.
+
+Alors les formules~(3) nous montrent que
+\begin{Prop}
+les molécules situées des deux côtés de
+chaque coupure et qui adhéraient auparavant, ont été séparées par un déplacement
+relatif qui résulte d'une translation et d'une rotation. Cette translation et cette rotation
+sont égales pour tous les couples de molécules qui adhéraient le long de la coupure.
+
+Si l'on prend pour centre de réduction l'origine, les constantes de la coupure
+sont les composantes de la translation et de la rotation par rapport aux axes
+coordonnés.
+\end{Prop}
+
+Réciproquement pour déformer le corps cyclique on pourra faire les coupures
+qui le rendent acyclique. Ensuite, l'on pourra déplacer les deux faces de chaque
+coupure de manière que le déplacement relatif de tous les couples de molécules
+qui se trouvent vis à vis soit résultant de la même rotation et de la même translation.
+Enfin on pourra souder entre elles les faces en retranchant ou en ajoutant
+la matière qui sera nécessaire.
+
+Nous appelons cette opération une \emph{distorsion} du corps et les 6~constantes
+de chaque coupure les \emph{caractéristiques} de chaque distorsion.
+
+%[** PP: Changed reference (1)(1')(1'') to (I)(I')(I'')]
+Les formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) conduisent aussi immédiatement à un autre résultat.
+
+Prenons deux coupures qui peuvent se réduire l'une à l'autre par une transformation
+continue, alors \emph{les caractéristiques des deux coupures sont égales entre elles}.
+
+On voit par là que les caractéristiques d'une distorsion ne dépendent pas des
+coupures que l'on a faites, mais de la déformation du corps et de sa nature géométrique.
+\begin{Prop}
+Le nombre des distorsions indépendantes d'un corps est égal à l'ordre
+de la connexion diminué d'une unité.
+\end{Prop}
+
+\Paragraph{11.} Une question qui se pose naturellement est la suivante: \emph{Peut-on choisir
+toutes les caractéristiques d'une manière arbitraire?}
+
+On démontre en général que les caractéristiques des distorsions étant données
+d'une manière arbitraire, le problème de la déformation du corps peut être ramené
+à un problème ordinaire de l'équilibre où le corps n'est assujetti à aucune distorsion
+mais seulement à des forces données.
+
+Nous laisserons de côté ce théorème, général, et nous envisagerons un cas
+particulier. Soit~$\sigma$ une aire finie du plan~$xz$ qui ne rencontre pas l'axe~$z$. Faisons
+tourner le plan autour de cet axe et en même temps déformons et déplaçons l'aire~$\sigma$
+dans le plan de manière qu'elle ne rencontre jamais l'axe~$z$ et qu'elle revienne
+à la forme et à la position initiale après avoir fait un tour.
+%% -----File: 016.png---Folio 16-------
+
+L'aire $\sigma$ décrit un volume à connexion double qu'on peut supposer rempli
+d'une substance élastique isotrope. $l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$, étant des constantes, posons
+\[
+\Lmargintag{4}
+\left\{
+\begin{aligned} %[** PP: Changed arco tg to arctg]
+u &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (l - qz + ry) \arctg \frac{y}{x}
+ + \frac{1}{2} \left(-m - pz - \frac{rK}{L + 2K} x\right)
+ \log (x^2 + y^2) \right\} \\
+%
+v &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (m - rx + pz) \arctg \frac{y}{x}
+ + \frac{1}{2} \left( l - qz - \frac{rK}{L + 2K} y\right)
+ \log (x^2 + y^2) \right\} \\
+%
+w &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (n - py + qx) \arctg \frac{y}{x}
+ + \frac{1}{2} (px + qy) \log (x^2 + y^2) \right\}.
+\end{aligned}
+\right.
+\] % [** Xrefs]
+On % [** PP: Typo on]
+vérifie aisément que ces fonctions satisfont les équations~($1'$) et en même temps
+à cause de la polydromie de la fonction $\arctg \frac{y}{x}$ (Voir §~1) qu'elles sont polydromes
+et correspondent à la distorsion la plus générale du corps, $l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$
+sont les caractéristiques de la distorsion. Il est facile de calculer les tensions qui
+agissent sur la surface libre du corps.
+
+% [** PP: Paragraph numbering restarts, later resumes at 12.]
+\Paragraph{1.} Le problème fondamental de la théorie des \emph{distorsions} des corps élastiques
+ayant une forme cyclique est de déterminer la déformation du corps lorsque les
+caractéristiques des distorsions sont données.
+
+Nous allons calculer l'énergie d'un corps élastique qui n'est assujetti à aucune
+action externe et dont les distorsions sont connues.
+
+L'énergie est donnée par
+\[
+E = -\int_S F\, dS
+ = - \frac{1}{2} \int_S
+ (t_{11} \gamma_{11} + t_{22} \gamma_{22} + t_{33} \gamma_{33}
+ + t_{23} \gamma_{23} + t_{31} \gamma_{31} + t_{12} \gamma_{12} )\, dS
+\]
+où $S$ est le volume du corps.
+
+On peut maintenant transformer cette intégrale en employant le théorème de
+Gauss, mais il faut prendre garde que $u$, $v$, $w$ sont des fonctions polydromes.
+C'est pourquoi l'application directe du théorème ne peut pas se faire comme nous
+avons déjà vu dans la leçon précédente.
+
+\Paragraph{2.} Pour pouvoir appliquer le théorème de Gauss il faut commencer par sectionner
+le volume~$S$ de sorte qu'il devienne acyclique, et il faut ensuite regarder les
+deux faces de chaque coupure comme faisant partie du contour du corps.
+
+On trouve alors, en désignant par $\sigma_1\, \sigma_2\, \dotsc\, \sigma_n$ les coupures, que la transformation
+de l'intégrale conduit à la formule suivante
+%% -----File: 017.png---Folio 17-------
+\begin{align*}
+E &= \frac{1}{2} \sum_1^n \int_{\sigma_i}
+ \{ X_i ( u_\alpha^{(i)} - u_\beta^{(i)} )
+ + Y_i ( v_\alpha^{(i)} - v_\beta^{(i)} )
+ + Z_i ( w_\alpha^{(i)} - w_\beta^{(i)} ) \}\, d\sigma_i
+\Trail{=} \\
+%
+ &= \frac{1}{2} \sum_1^n \left\{
+ l_i \int_{\sigma_i} X_i\, d\sigma_i
+ + m_i \int_{\sigma_i} Y_i\, d\sigma_i
+ + n_i \int_{\sigma_i} Z_i\, d\sigma_i \right.
+\Trail{+} \\ % [** PP: Re-breaking]
+ &\quad+ \left. %[** PP: Changed \int_{\tau_i} to \int_{\sigma_i}]
+ p_i \int_{\sigma_i} (Y_i z - Z_i y)\, d\sigma_i
+%
+ + q_i \int_{\sigma_i} (Z_i x - X_i z)\, d\sigma_i
+ + r_i \int_{\sigma_i} (X_i y - Y_i x)\, d\sigma_i \right\}
+\end{align*}
+où $u_{\alpha}^{(i)}$, $v_{\alpha}^{(i)}$, $w_{\alpha}^{(i)}$; $u_{\beta}^{(i)}$, $v_{\beta}^{(i)}$, $w_{\beta}^{(i)}$, sont les valeurs des composantes des déplacements
+des deux côtés de la coupure~$\sigma_i$: $l_i, m_i, n_i, p_i, q_i, r_i$ sont les caractéristiques de la
+distorsion relatives à la coupure~$\sigma_i$; et $X_i\, Y_i\, Z_i$ sont les composantes de la tension
+unitaire qui s'exerce sur chaque élément d'aire de la même coupure.
+
+Posons
+\begin{gather*}
+L_i = \int_{\sigma_i} X_i\, d\sigma_i\qquad
+M_i = \int_{\sigma_i} Y_i\, d\sigma_i\qquad
+N_i = \int_{\sigma_i} Z_i\, d\sigma_i \\
+P_i = \int_{\sigma_i} (Y_i z - Z_i y)\, d\sigma_i\quad
+Q_i = \int_{\sigma_i} (Z_i x - X_i z)\, d\sigma_i\quad
+R_i = \int_{\sigma_i} (X_i y - Y_i x)\, d\sigma_i
+\end{gather*}
+on aura
+\[ %[** PP: Modernized notation, added period]
+E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n
+ (L_i l_i + M_i m_i + N_i n_i + P_i p_i + Q_i q_i + R_i r_i ).
+\]
+
+Si l'on compose les tensions qui sont appliquées sur la coupure~$\sigma_i$, en prenant
+pour centre de réduction l'origine, on trouve que $L_i, M_i, N_i$ sont les composantes
+de la force résultante et $P_i, Q_i, R_i$ les composantes de la couple résultante.
+
+On peut écrire la formule précédente d'une manière plus simple en appelant
+$s_1\, s_2\, \dotsc\, s_{6n}$ les quantités $l_i, m_i, n_i$ et~$E_1, E_2 \dotsc E_{6n}$ les quantités correspondantes
+$L_i, M_i, N_i$; elle devient en effet
+\[
+E = \frac{1}{2} \sum_1^{6n} E_i s_i.
+\]
+
+Supposons que les quantités $s_1\, s_2\, \dotsc s_{6n}$ soient nulles excepté $s_h = 1$. Appelons
+$E_{ih}$ les valeurs correspondantes des coefficients~$E_i$. Lorsque $s_1\, s_2\, \dotsc s_{6n}$ sont quelconques
+on aura
+%% -----File: 018.png---Folio 18-------
+\[
+E_i = \sum_1^{6n} E_{ih} s_h
+\]
+c'est pourquoi
+ % [** PP: Added period]
+\[
+E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s_i s_h.
+\]
+
+\Paragraph{3.} Nous allons démontrer maintenant une propriété fondamentale des coefficients~$E_{ih}$,
+et nous nous permettons à ce propos de faire quelques remarques générales.
+
+Green a démontré par l'application du théorème de Gauss un théorème fondamental
+dans la théorie du potentiel. Mais le théorème de Green n'est pas borné au
+cas du potentiel, il peut s'étendre à un nombre considérable de cas. J'ai démontré
+qu'il peut s'étendre à tous les problèmes qui dépendent du calcul des variations.
+
+Même le problème de l'élasticité, comme tout problème de mécanique, se
+rattache à une question de calcul de variation, c'est pourquoi on a le théorème
+analogue à celui de Green pour l'élasticité. Il a été donné pour la première fois
+par Betti qui en a fait des applications remarquables pour l'intégration des problèmes
+de l'équilibre élastique. Cerruti, Boussinesq, Somigliania ont continué par
+le chemin qui avait été tracé par Betti.
+
+Or si les déplacements sont polydromes, puisque le théorème de Gauss ne
+peut plus s'appliquer, le théorème de Betti n'est plus applicable. %[** PP: Changed , to .]
+Nous allons voir
+cependant qu'on peut reprendre, même dans ce cas, l'idée fondamentale de Green,
+et l'on est amené par là à une loi de réciprocité fort intéressante.
+
+Supposons que nous appliquons successivement au corps élastique deux distorsions
+caractérisées par les valeurs $s'_1, s'_2, \dotsc s'_{6n}$ et $s''_1, s''_2 \dotsc s''_{6n}$ des caractéristiques.
+Soient $\gamma'_{rs}$ et~$\gamma''_{rs}$ les valeurs des~$\gamma_{rs}$ correspondant aux deux déformations, $F'$ et~$F''$
+les valeurs du potentiel élastique.
+
+On aura, par un théorème bien connu d'algèbre,
+\[
+ \int_S \sum \pderiv{F'}{\gamma'_{rs}} \gamma''_{rs}\, dS
+= \int_S \sum \pderiv{F''}{\gamma''_{rs}} \gamma'_{rs}\, dS
+\]
+et si nous transformons ces intégrales, après avoir réduit acyclique le volume~$S$
+par les coupures, en regardant toujours les faces des coupures comme faisant partie
+du contour du volume~$S$ on trouve
+\[
+\sum_1^{6n} E''_i s'_i = \sum_1^{6n} E'_i s''_i
+\]
+%% -----File: 019.png---Folio 19-------
+$E''_i$ et~$E'_i$ étant les valeurs des quantités~$E_i$ correspondant aux deux distorsions.
+On tire de là
+\[
+ \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s'_i s''_h
+= \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s''_i s'_h
+\]
+et puisque les quantités $s'_i$ et~$s''_i$ sont arbitraires, on doit avoir
+\[
+E_{ih} = E_{hi}.
+\]
+
+Cette propriété réciproque des coefficients~$E_{ih}$ peut s'interpréter de plusieurs
+manières et conduit à des théorèmes mécaniques qu'on énonce facilement.
+
+On peut appeler l'ensemble de la force ayant pour composantes $L_i, M_i, N_i$ et
+de la couple ayant pour composantes $P_i, Q_i, R_i$ \emph{l'effort total} appliqué à la coupure~$\sigma_i$
+et l'on peut appeler toutes les quantités $E_1, E_2 \dotsc E_{6n}$ les \emph{caractéristiques des
+efforts}.
+
+On a alors que%
+\begin{Prop}
+si deux systèmes de distorsions engendrent deux systèmes d'efforts,
+la somme des produits des caractéristiques des efforts du premier système multipliées
+par les caractéristiques des distorsions du second système est égale à la somme des
+produits des caractéristiques des efforts du second système multipliées par les caractéristiques
+des distorsions du premier système.
+\end{Prop}
+
+Lorsque les quantités $s_1, s_2 \dotsc, s_{6n}$ sont nulles excepté $s_h = 1$ la distorsion peut
+s'appeler une \emph{distorsion élémentaire d'ordre~$h$}. $E_{ih}$~est l'effort d'ordre~$i$ engendré
+par la distorsion élémentaire d'ordre~$h$. $E_{hh}$~est l'effort conjugué de la distorsion
+élémentaire. Le théorème précédent peut donc s'énoncer en disant que%
+\begin{Prop}
+l'effort
+d'ordre~$i$ engendré par la distorsion élémentaire d'ordre~$h$ est égal à l'effort d'ordre~$h$
+engendré par la distorsion élémentaire d'ordre~$i$.
+\end{Prop}
+
+
+\Chapter{\Ord{4}{ième} leçon.}
+
+\Paragraph{4.} Nous avons démontré dans la leçon précédente que la même distorsion
+exécutée sur deux coupures qui peuvent se réduire l'une à l'autre par une déformation
+continue engendre la même déformation du corps.
+
+Les deux coupures peuvent s'appeler à cause de cela des \emph{coupures équivalentes}.
+Le théorème qu'on vient de rappeler peut être complété en démontrant que les efforts
+dans les coupures équivalentes sont égaux. Prenons en effet la partie du
+corps entre deux coupures équivalentes. Les tensions qui sollicitent les éléments
+%% -----File: 020.png---Folio 20-------
+des coupures doivent se faire équilibre. On tire de là tout de suite l'égalité des
+deux efforts.
+
+Donc les efforts dépendent, comme les distorsions, de la nature géométrique
+du corps et de la déformation.
+
+Le problème que l'on peut se proposer est d'étudier les propriétés des efforts
+et de les déterminer, les distorsions étant données.
+
+Nous allons voir que l'on peut obtenir des théorèmes généraux sans intégrer
+directement les équations de l'élasticité.
+
+\Paragraph{5.} Supposons que nous ayons un solide de révolution qui ait une connexion
+double; il peut être engendré par la révolution d'une aire plane simplement connexe
+autour d'un axe du plan qui ne la rencontre pas, ou il peut être engendré
+par la rotation d'une aire doublement connexe limitée par l'axe. Supposons que
+le solide soit rempli d'une substance électrique dont la constitution soit symétrique
+par rapport à l'axe.
+
+L'énergie du système est donnée par
+\[
+E = \tfrac{1}{2} \sum_1^6 \sum_1^6 E_{ih} s_i s_h
+\]
+où
+\[
+s_1=l,\quad s_2=m,\quad s_3=n,\quad s_4=p,\quad s_5=q,\quad s_6=r.
+\]
+Cette expression peut se comparer à la force vive d'un liquide indéfini sans tourbillons
+à l'intérieur duquel se trouve un corps solide symétrique, et l'on peut répéter dans
+ce cas des raisonnements tout à fait semblables à ceux que l'on fait dans cette
+question d'hydrodynamique. On trouve par là, en vertu de la symétrie, qu'on
+peut toujours choisir l'origine en un point de l'axe de symétrie de manière que
+l'expression de~$E$ devienne
+\[
+E = \tfrac{1}{2}
+ \{ E_{11} ( s^2_1 + s^2_2 ) + E_{33}\, s^2_3
+ + E_{44} ( s^2_4 + s^2_5 ) + E_{66}\, s^2_6 \}. % [** PP: Added period]
+\]
+L'origine s'appelle le \emph{point central de l'axe de symétrie}.
+
+Les quantités~$E_{ih}$ sont nulles lorsque $i$ et~$h$ ne sont pas égaux; c'est pourquoi
+on a le théorème:
+
+\begin{Theorem}
+Dans un corps symétrique qui a une connexion double chaque distorsion élémentaire
+engendre un seul effort qui est l'effort conjugué, le centre de réduction étant dans
+le point central de l'axe de symétrie.
+\end{Theorem}
+
+Donc si la distorsion est due à une translation relative des molécules des deux
+faces de la coupure, l'effort total engendré est une force qui passe par le point central,
+et si la distorsion est une rotation l'effort total est une couple.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{r}{1.75in}
+\Input{021a}{1.5in}
+\end{wrapfigure}
+Revenons à l'exemple primitif des distorsions. Prenons un anneau symétrique,
+%% -----File: 021.png---Folio 21-------
+retranchons une mince tranche radiale, et soudons
+les deux bouts. On serait facilement amené à croire
+que les faces de la soudure sont sollicitées par une
+traction, mais si nous réfléchissons que le déplacement
+relatif des molécules situées d'un côté de la coupure
+par rapport à celles situées de l'autre côté est dû
+à une rotation autour de l'axe de symétrie, on tire
+du théorème précédent que l'effort est une couple
+ayant pour axe l'axe de symétrie. Mais si la résultante des tensions qui s'exercent
+sur les faces de la soudure est une couple, il faut qu'une partie de la soudure
+soit comprimée et qu'une partie soit tendue, et même que%
+\begin{Prop}
+la somme des efforts de
+traction égalise la somme des efforts de compression.
+\end{Prop}
+
+On arrive par là à un résultat qui est inattendu.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{r}{1.75in}
+\Input{021b}{1.75in}
+\end{wrapfigure}
+Supposons maintenant que la même tranche
+retranchée ait une largeur uniforme. La distorsion
+consiste alors dans une translation, et l'effort est
+une force normale à l'axe de symétrie et qui le
+rencontre au point central. Même dans ce cas une
+partie de la soudure est comprimée et une partie
+supporte une traction, mais si nous envisageons l'énergie
+du système, on a aisément que dans le cas de
+la fissure radiale la partie comprimée est la partie
+interne de la soudure et la partie externe supporte
+la traction, tandis qu'on a le contraire si la fissure
+est de largeur uniforme.
+
+Appliquons maintenant le théorème des coupures équivalentes. On en tire que
+si la fissure est radiale toute section de l'anneau supporte, d'une manière symétrique,
+la compression et la traction, mais dans le cas de la fissure uniforme dans la
+région~$A'$ de l'anneau opposée à la soudure~$A$ les choses sont renversées, et une
+section en~$A'$ supporte dans la partie interne la compression et dans la partie
+externe la traction.
+
+Voilà que par la considération de l'énergie du système déformé on tire un
+grand nombre de propriétés sans intégrer les équations de l'équilibre élastique.
+
+\Paragraph{12.} Il est intéressant cependant d'approfondir le cas de l'anneau symétrique
+isotrope en étudiant en détail les déformations produites par les distorsions. Il faut
+pour cela intégrer effectivement les équations de l'équilibre et il est nécessaire
+de partir des formules~(6) que nous avons données dans la précédente leçon. % [** Xref]
+%% -----File: 022.png---Folio 22-------
+
+Nous envisageons un cylindre creux symétrique isotrope, nous prenons
+l'origine dans le centre de symétrie, et faisons coïncider l'axe~$z$ avec l'axe de
+symétrie. Les déplacements donnés par les formules~(4) de la leçon précédente % [** Xref]
+correspondent à la distorsion la plus générale ayant pour caractéristiques $l, m, n,
+p, q, r$; mais si nous calculons les tensions qui sollicitent le corps, nous voyons que
+pour obtenir ce cas d'équilibre il faut supposer que les surfaces latérales et les
+bases du cylindre soient sollicitées par des tensions. Or nous voulons envisager le
+cas où le cylindre est déformé par la distorsion et n'est pas assujetti %[** PP: Typo assujétti]
+à des actions
+externes. Il faut donc éliminer les tensions superficielles.
+
+Représentons par~$T$ l'ensemble de ces tensions. Supposons maintenant que le
+cylindre primitif n'ayant pas de distorsions soit soumis à l'action des tensions~$-T$,
+c'est à dire des tensions égales et contraires aux tensions~$T$. Soient $u'\, v'\, w'$ les
+déplacements qu'on trouve. En prenant les différences
+\[
+u-u'\quad v-v'\quad w-w'
+\]
+on aura des déplacements qui correspondent à la distorsion du corps, mais en même
+temps les tensions au contour auront été éliminées. On voit par là que l'élimination
+des tensions au contour est un problème ordinaire de l'équilibre élastique
+qu'on peut tâcher de résoudre par les méthodes ordinaires.
+
+Dans les formules~(4) nous avons 6~constantes arbitraires qui correspondent % [** Xref]
+aux six distorsions élémentaires. On peut simplifier beaucoup le problème en
+envisageant séparément chaque distorsion élémentaire. On voit par la symétrie
+que les distorsions d'ordre~$1$ et~$2$ se ramènent l'une à l'autre et de même celles
+d'ordre~$4$ et~$5$. Il suffit donc d'envisager les distorsions d'ordre
+\[
+2,\ 3,\ 5,\ 6.
+\]
+% [** PP: Removing paragraph break]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}[10]{l}{2in} % **** Explicit height, vertical adjustment
+\raisebox{0.25in}[2in][0pt]{\Input{022a}{1.75in}}
+\end{wrapfigure}
+Commençons par celles d'ordre~$6$ et~$2$. La distorsion d'ordre~$6$ correspond
+évidemment à la \emph{fissure radiale} et celle d'ordre~$2$ à la \emph{fissure de largeur uniforme}.
+
+Dans le cas de la distorsion d'ordre~$6$ on élimine
+très aisément, en vertu de la symétrie, les tensions
+latérales, et l'on trouve qu'après la distorsion le corps
+garde sa forme cylindrique régulière et les bases
+gardent leur distance initiale si on les comprime dans
+la région (interne) que nous avons laissée en blanc et
+si on exerce une traction dans la région (externe)
+que nous avons hachée. Appelons~$T$ l'ensemble de %[** PP: Typo Appellons]
+ces tensions. Il n'y a plus de difficulté alors à déterminer
+la forme du corps lorsqu'il est complètement
+libre et qu'aucune force ne s'exerce sur les bases.
+%% -----File: 023.png---Folio 23-------
+En effet il suffit d'envisager un cylindre à l'état naturel et de chercher la déformation
+lorsqu'on le sollicite par les tensions~$-T$. La forme que le corps prendra
+sera celle que nous cherchons. Prenons une tranche radiale du cylindre: la partie
+en blanc supportera une traction, la partie hachée une compression; c'est pourquoi
+cette tranche subira une flexion.
+%[Illustrations]
+\begin{center}
+\quad\Input{023a}{1in}\hfill
+\Input{023b}{1in}\hfill
+\raisebox{0.25in}{\Input{023c}{2in}}\quad
+\end{center}
+
+Chaque tranche du cylindre se déformant par une flexion pareille le cylindre
+prendra la forme indiquée par la figure voisine, c'est à dire que le bord interne se
+soulèvera, le bord externe s'abaissera tandis que la surface latérale externe deviendra
+concave, et la surface latérale interne convexe.
+
+J'ai voulu vérifier par l'expérience ce résultat, et j'ai pris un gros cylindre
+creux de caoutchouc, j'y ai fait une fissure radiale, et j'ai soudé les deux faces de
+la fissure. La forme prise par le corps a été celle que le calcul avait prévue, et l'on
+a pu même vérifier par des mesures que les résultats des calculs étaient exacts.
+On pouvait aussi remarquer que la partie interne de la soudure était comprimée et
+que la partie externe supportait un effort de traction. A cause de cet effort la
+soudure ne résistait pas, c'est pourquoi pour garder la forme j'en ai pris le modèle
+en plâtre que je vous montre. L'endroit de la coupure est parfaitement visible.
+
+Quelquefois il arrive que l'on veut rétrécir un tube, mais si l'on retranche
+une tranche radiale du tube et que l'on soude les deux faces, le tube prend sa forme
+cylindrique. Les forgerons et tous ceux qui ont essayé cette opération connaissent
+très-bien ce résultat que maintenant la théorie des solutions polydromes explique
+parfaitement.
+
+\Paragraph{13.} Quelle est maintenant la forme du cylindre lorsqu'on fait la fissure de
+largeur uniforme, c'est à dire lorsqu'on fait une distorsion d'ordre~$2$?
+
+On peut procéder tout à fait de la même manière que dans le cas précédent.
+On peut commencer par éliminer les tensions latérales et après les tensions sur les
+%% -----File: 024.png---Folio 24-------
+bases. La forme prise par le corps est même plus compliquée que dans le cas
+précédent. Elle est représentée par la figure ci-jointe, et voici un plâtre qui est le
+modèle d'un cylindre de caoutchouc qui
+a supporté une distorsion d'ordre~$2$. Même
+dans ce cas l'expérience a vérifié complètement
+les résultats du calcul.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{2.5in}
+\Input{024a}{2.25in}
+\end{wrapfigure}
+Je n'entre pas dans les détails sur les
+distorsions d'ordre~$5$ et d'ordre~$3$. La première
+peut se déduire de celle d'ordre~$2$ par
+des intégrations simples, et la dernière peut
+se calculer directement sans difficulté. Cette
+distorsion s'obtient en faisant glisser les
+deux faces de la coupure, l'une par rapport
+à l'autre, dans la direction de l'axe du
+cylindre et en les soudant ensuite.
+
+Nous avons dit (§~4) qu'on peut se % [** Xref]
+proposer le problème de déterminer les efforts lorsqu'on connaît %[** PP: Typo connait]
+les distorsions
+d'un corps cyclique. Avant de laisser ce sujet nous voulons indiquer en peu de mots
+comment on peut traiter cette question dans le cas général d'un corps cyclique
+formé par un nombre quelconque de verges droites ou courbes très-minces soudées
+à leurs bouts en plusieurs n{\oe}uds. % [** PP: Typo noeuds]
+
+%[Illustration]
+% [** PP: Bounding box of PDF file manually adjusted to [0 -2 112 124]]
+\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}
+\Input{024b}{1.5in}
+\end{wrapfigure}
+Soit $AB$ l'une des verges, les efforts dans toutes les
+sections de la verge seront égaux. Prenons l'origine
+comme centre de réduction, et désignons par
+\[
+X_1^{(ab)}\, X_2^{(ab)}\, X_3^{(ab)}\, X_4^{(ab)}\, X_5^{(ab)}\, X_6^{(ab)}
+\]
+les caractéristiques des efforts correspondantes aux sections
+de la verge.
+
+Soient $x_1^{(a)}\, x_2^{(a)}\, x_3^{(a)}\, x_4^{(a)}\, x_5^{(a)}\, x_6^{(a)}$ les composantes de la
+translation et de la rotation qui ont conduit la molécule~$A$
+de l'état naturel à % [** PP: Typo a]
+l'état actuel et $x_1^{(b)}\, x_2^{(b)}\, x_3^{(b)}\, x_4^{(b)}\, x_5^{(b)}\, x_6^{(b)}$ les quantités analogues
+relatives à la molécule~$B$.
+
+Soient $e_1^{(ab)}\, e_2^{(ab)}\, e_3^{(ab)}\, e_4^{(ab)}\, e_5^{(ab)}\, e_6^{(ab)}$ les caractéristiques de la distorsion qu'on a
+appliquée à une section de la verge~$AB$. On aura des relations linéaires
+\[
+x_r^{(a)} - x_r^{(b)} + e_r^{(ab)} %[** PP: Added operator +]
+ = \sum_1^6 H_{ri} X_i\qquad
+r = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6
+\]
+%% -----File: 025.png---Folio 25-------
+et les coefficients constants~$H_{ri}$ dépendront de la forme initiale et de la constitution
+de la verge.
+
+En même temps si nous prenons toutes les verges qui aboutissent au point~$A$
+et qui sont soudées ensemble dans ce point on doit avoir pour l'équilibre
+\[
+x_i^{(ab)} + x_i^{(ac)} + x_i^{(ad)} + \dotsb = 0\qquad
+i = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6.
+\]
+On a donc six équations pour chaque n{\oe}ud % [** PP: Type noeud]
+et six équations pour chaque verge.
+
+Ces équations sont tout à fait semblables aux équations de Kirchhoff pour les
+courants électriques dans les fils; seulement elles sont sextuplées. On peut développer
+une théorie du même type que celle de Kirchhoff où les caractéristiques
+des distorsions remplacent les forces électromotrices et les caractéristiques des
+efforts les intensités des courants.
+
+\begin{Bibliographie}
+
+\Bibitem{Riemann-Weber.}{Die Partiellen Diff.-gleich.\ der Math.\ Physik.\ 1.~Vol.}
+\Bibitem{Love.}{Math.\ Theory of elasticity.}
+\Bibitem{Weingarten.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. Vol.~X.}
+\Bibitem{Volterra.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. Vol.~XIV. \primo Sem.\
+fasc.\ 3, 4, 8, 12. \secundo Sem.\ fasc.~7.}
+\Bibitem{Maggi.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. %[** PP: Changed , to .]
+Vol.~XIV. \secundo Sem.}
+\Bibitem{Timpe.}{Inaugural-Dissertation. Göttingen. (Leipzig 1905).}
+\end{Bibliographie}
+
+
+\Chapter{\Ord{5}{ième} leçon.}
+
+\Paragraph{1.} Nous avons étudié dans les leçons précédentes les solutions des équations
+de l'élasticité qui appartiennent au type elliptique, et nous avons envisagé particulièrement
+les solutions polydromes et le rôle qu'elles jouent dans la théorie. Le
+cas de l'élasticité nous offre le meilleur exemple pour trouver leur interprétation
+et leur utilité pratique.
+
+Nous voulons pénétrer aujourd'hui plus profondément dans l'étude des solutions
+des équations du type elliptique, mais pour cela nous laisserons de côté le
+cas de l'élasticité, et nous envisagerons le cas le plus simple possible, celui de l'équation
+de Laplace qui correspond à la théorie du potentiel.
+
+On peut considérer l'équation de Laplace relative à un nombre quelconque
+de variables %[** PP: Removing period]
+%% -----File: 026.png---Folio 26-------
+\[
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0,\quad
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0,\quad
+ \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}
++ \frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_4^2} = 0,\ \text{etc.}
+\]
+
+Le cas devient de plus en plus compliqué, mais bien des théorèmes s'étendent
+sans aucune difficulté de proche en proche. Par exemple le théorème de Green,
+avec toutes ses conséquences et toutes ses applications. Il est utile, je puis dire
+même indispensable, pour cette étude d'introduire le langage emprunté à la théorie
+des espaces à plusieurs dimensions. C'est seulement un langage, mais il est un
+instrument très-puissant pour énoncer des théorèmes, et il amène par l'induction à
+trouver des propositions nouvelles. Je citerai dans cette direction les études de
+Ch.\ Bjerknes qui correspondent au mouvement d'une ellipsoïde % [** PP: Typo ellipsoide]
+à $n$~dimensions dans
+un fluide à $n$~dimensions.
+
+\Paragraph{2.} Cependant dès les premiers pas dans les recherches dont je viens de parler
+on a l'impression qu'il y a une lacune à combler, c'est à dire que quelque
+chose manque.
+
+Je vais citer un seul exemple. Les domaines à deux dimensions ont une
+seule sorte de connexion; les domaines à trois dimensions ont deux sortes de connexions.
+En effet nous avons déjà distingué les espaces cycliques et les espaces
+acycliques, et nous avons vu quel rôle joue la cyclicité dans le cas de l'élasticité.
+Mais prenons le volume compris entre deux sphères concentriques. Il est acyclique,
+c'est à dire que tout cycle formé par une ligne fermée peut se réduire aussi petit
+que l'on veut par une déformation continue, sans sortir de l'espace, mais la même
+propriété ne se vérifie pas pour toute surface fermée, car une surface menée entre
+les deux sphères ne peut pas être réduite aussi petite que l'on veut sans sortir
+de l'espace renfermé entre les deux sphères. Il y a donc deux sortes de connexions
+dans le cas de trois dimensions, on les appelle \emph{connexion linéaire} ou cyclicité et
+\emph{connexion superficielle}, mais on connaît % [** PP: Typo connait]
+une seule sorte de polydromie. Si le nombre
+des dimensions augmente, on a plusieurs sortes de connexions toujours plus compliquées,
+mais à cela ne correspondent pas plusieurs sortes de polydromies.
+
+Le cas de deux variables est étroitement lié à la théorie des fonctions. En
+effet par la séparation de la partie imaginaire dans une fonction d'une variable
+complexe on trouve deux fonctions de deux variables qui satisfont à l'équation de
+Laplace. Réciproquement toute fonction de deux variables qui satisfait à l'équation
+de Laplace possède une fonction conjuguée, et en ajoutant la première à la fonction
+conjuguée multipliée par $i = \sqrt{-1}$ on trouve une fonction d'une variable complexe.
+
+L'existence de la fonction conjuguée et la liaison avec la théorie des fonctions
+engendrent un ensemble de propriétés dans le cas de deux variables qui manquent
+dans le cas d'un nombre plus grand de variables et ce sont ces propriétés pourtant
+%% -----File: 027.png---Folio 27-------
+qui conduisent dans le cas de deux variables aux propositions les plus importantes
+et les plus cachées de la théorie.
+
+On est amené par là à soupçonner que la lacune dont j'ai parlé tout à l'heure
+pourrait être comblée en étendant au cas de plusieurs variables la théorie des fonctions
+conjuguées.
+
+Je consacrerai cette leçon et la suivante à donner un aperçu de quelques recherches
+qu'on a faites à ce sujet qui conduisent à deux branches différentes provenant
+cependant d'une même source.
+
+\Paragraph{3.} Rappelons les propriétés des fonctions conjuguées dans le cas de deux
+variables.
+
+Si la fonction~$u$ satisfait à l'équation de Laplace $\Delta^2 u = 0$ en posant
+\[
+\pderiv{u}{x} = X,\quad
+\pderiv{u}{y} = Y
+\]
+on trouve
+\iffalse %[** PP: Commented code duplicates original]
+\begin{align*}
+\pderiv{X}{y} &= \pderiv{Y}{x} \\
+\pderiv{X}{x} &+ \pderiv{Y}{y} = 0.
+\end{align*}
+\fi %[** End of commented code]
+\[ %[** PP: Setting on one line, adding comma]
+\pderiv{X}{y} = \pderiv{Y}{x},\qquad \pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} = 0.
+\]
+C'est pourquoi
+\[
+X\, dx + Y\, dy,\quad Y\, dx - X\, dy
+\]
+sont des différentielles exactes.
+
+Envisageons les fonctions dans une aire~$\sigma$ à connexion simple, où $X$, $Y$ sont
+finies, continues et monodromes. Calculons
+\[
+u = u_0 + \int_{A_0}^{A_1} (X\, dx + Y\, dy),\quad
+v = v_0 + \int_{A_0}^{A_1} (Y\, dx - X\, dy),
+\]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{r}{1.5in}
+\Input{027a}{1.5in}
+\end{wrapfigure}
+les intégrales étant étendues à une ligne~$s$ qui en
+partant du point~$A_0$ aboutit au point~$A_1$, où $u_0$ est
+la valeur de~$u$ dans le point~$A_0$ et~$v_0$ est une quantité
+constante. On a que les intégrales ne dépendent pas
+de la ligne~$s$ pourvu que $A_0$ et~$A_1$ ne changent pas
+et $u$ est la valeur de la fonction~$u$ dans le point~$A_1$
+et $v$ est la valeur de la fonction conjuguée dans
+le même point. L'aire étant à connexion simple si le
+point~$A_1$ coïncide avec~$A_0$ les intégrales sont nulles, c'est pourquoi $u$ et~$v$ sont
+des fonctions monodromes, mais si l'aire~$\sigma$ est à connexion multiple $u$ et~$v$ peuvent
+être polydromes.
+%% -----File: 028.png---Folio 28-------
+
+La dérivée de~$u$ dans une direction quelconque~$\xi$ est égale à la dérivée de~$v$
+dans la direction normale~$\eta$, si les directions $\xi$, $\eta$ sont orientées l'une par rapport
+à l'autre comme $x$ et~$y$.
+
+En calculant $u + iv = f$, on obtient une fonction de la variable complexe
+$x + iy$.
+
+\Paragraph{4.} Passons maintenant au cas de trois variables.
+
+Soit $u$ une fonction qui satisfait à l'équation de Laplace; posons
+\[
+\pderiv{u}{x} = X,\quad
+\pderiv{u}{y} = Y,\quad
+\pderiv{u}{z} = Z;
+\]
+on aura évidemment
+\begin{gather*}
+\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z} = 0,\quad
+\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x} = 0,\quad
+\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y} = 0;
+\tag{1} \\
+\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z} = 0.
+\tag{2}
+\end{gather*}
+
+La propriété caractérisée par les équations~(1) peut s'énoncer en disant que
+le \emph{curl} % [** PP: Typo curls]
+du vecteur ayant pour composantes $X$, $Y$, $Z$ est nul et la propriété caractérisée
+par l'équation~(2) en disant que la \emph{divergence} du vecteur est nulle.
+
+\Paragraph{5.} Cela posé, soit~$S$ un domaine ayant une connexion simple linéaire et aussi
+une connexion superficielle simple. Toute ligne fermée sera le contour d'une surface
+renfermée dans le domaine et toute surface fermée sera le contour d'un volume
+aussi renfermé dans le domaine. C'est pourquoi en employant le théorème de
+Stokes on trouvera
+\[
+\int_s (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) = 0
+\tag{3}
+\]
+l'intégrale étant étendue à une ligne fermée~$s$, et en appliquant le théorème de
+Gauss on aura
+\[
+\int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma = 0
+\tag{4}
+\]
+où cette intégrale est étendue à une surface fermée quelconque.
+
+On tire de l'équation~(3) que si l'on étend l'intégrale à une ligne~$s'$ qui en
+partant d'un point~$A_0$ aboutit à un point~$A_1$ la valeur de l'intégrale dépendra seulement
+des points $A_0$ et~$A_1$, et ne dépendra pas de la ligne comprise entre
+ces points.
+%% -----File: 029.png---Folio 29-------
+
+Si nous appelons $u_0$ la valeur de~$u$ au point~$A_0$ on aura
+\[
+u = u_0 + \int_{s'} (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz)
+\]
+$u$ étant la valeur de la fonction au point~$A_1$. Envisageons maintenant l'intégrale~(4),
+mais supposons qu'elle ne soit pas étendue à une surface fermée, mais à une
+surface ouverte. Pour déterminer la direction de la normale~$n$ à la surface nous
+convenons que, le bord de la surface ayant une direction déterminée personnifiée
+par une poupée qui regarde la surface, $n$~soit dirigée de droite à gauche de la
+poupée. Cela posé on tire % [** PP: Removed comma]
+tout de suite de l'équation~(4) que la valeur de l'intégrale
+étendue à la surface ouverte ne dépend pas de la surface où l'on a calculé
+l'intégrale, mais de son bord. C'est pourquoi l'intégrale étendue à une ligne conduit
+à une fonction des points de l'espace: c'est à dire à la fonction primitive, et de
+même l'intégrale étendue à une surface conduit à une fonction des lignes de l'espace.
+
+Il n'y a pas de difficulté à concevoir des fonctions de lignes comme on conçoit
+des fonctions ordinaires, c'est à dire les fonctions des points. En effet, si l'on
+regarde tous les points de l'espace, et si l'on suppose qu'à chaque point correspond
+la valeur d'une quantité, on a % [** PP: Typo à]
+une fonction des points de l'espace, c'est à dire une
+fonction ordinaire de trois variables. Mais toutes les lignes forment aussi des
+éléments géométriques de l'espace, et l'on peut évidemment concevoir une quantité
+qui a une valeur correspondant à chaque ligne. Voilà donc une fonction des lignes.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{r}{2.5in}
+\Input{029a}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+Celle que nous avons trouvée n'est
+qu'une fonction particulière. Elle correspond
+à des lignes fermées, elle est
+continue et elle a aussi une autre propriété
+intéressante. Soient $s$ et~$s'$ deux
+lignes fermées qui ont un arc commun~$AB$.
+Si on doit parcourir l'arc~$AB$ en
+directions contraires en supposant qu'il
+appartienne aux deux lignes, on pourra
+retrancher~$AB$ et obtenir une courbe~$s''$
+dont la direction même sera déterminée.
+On écrira
+\[
+s'' = s + s'.
+\]
+
+Soit $V$ la fonction des lignes que nous avons trouvée, et désignons par $V,
+V', V''$ les valeurs correspondant aux lignes $s, s', s''$ il est évident que
+\[
+V'' = V' + V.
+\]
+%% -----File: 030.png---Folio 30-------
+
+C'est pourquoi l'on peut appeler la fonction des lignes que nous avons trouvée
+une \emph{fonction de premier degré}.
+
+\Paragraph{6.} Elle a été obtenue par un procédé d'intégration; il est facile d'y appliquer
+un procédé inverse qu'on peut appeler un procédé de dérivation.
+
+%[Illustration]
+% [** PP: Moved up one paragraph to accommodate pagination]
+\begin{wrapfigure}[10]{l}{1.75in}% **** Explicit height
+\Input{030a}{1.75in}
+\end{wrapfigure}
+Revenons à une fonction ordinaire des points de l'espace. Pour la dériver
+il suffit de déplacer le point indice de la fonction dans une certaine direction, de
+calculer le rapport entre la variation de la fonction et le déplacement, et d'en déterminer
+la limite lorsque le déplacement devient infiniment petit.
+
+De même prenons la fonction des lignes que nous avons trouvée. Déplaçons
+en~$l'$ un arc~$l$ de la ligne, et cherchons la variation correspondante de la fonction.
+A % [** PP: Typo À]
+cause des propriétés que nous avons trouvées
+cette variation sera la valeur de la fonction correspondant
+à la ligne formée par les arcs $l'$ et~$l$
+en supposant que l'on invertisse la direction dans
+laquelle on doit parcourir l'arc~$l$. Elle pourra donc
+s'exprimer par
+\[
+W = \int_\Sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\Sigma,
+\]
+$\Sigma$ étant une surface ayant pour contour les lignes
+$l$ et~$l'$; $n$~sa normale prise dans la direction qu'on
+a établie précédemment.
+
+Supposons maintenant que la surface~$\Sigma$ en décroissant infiniment d'une manière
+régulière tende vers un point~$M$; on aura
+\[
+\lim \frac{W}{\Sigma} = X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz
+\]
+en prenant les valeurs de $X, Y, Z$ qui correspondent au point~$M$.
+
+On peut appeler $\lim \smash[b]{\dfrac{W}{\Sigma}}$ la dérivée de~$V$ par rapport à~$\Sigma$, et l'on peut la représenter
+par~$\dfrac{dV}{d\Sigma}$. Il est évident que le signe dont la dérivée est affectée n'est
+déterminé que lorsqu'on connaît % [** PP: Typo connait]
+la direction positive de la normale à la surface~$\Sigma$.
+Prenons la dérivée de~$V$ par rapport à une surface~$\Sigma$ normale à l'axe~$X$ en~$M$,
+on aura
+\[
+\frac{dV}{d\Sigma} = X.
+\]
+De même, si $\Sigma_1$ et~$\Sigma_2$ sont des surfaces normales aux axes $Y$ et~$Z$, on aura
+%% -----File: 031.png---Folio 31-------
+\[
+\deriv{V}{\Sigma_1} = Y,\quad \deriv{V}{\Sigma_2} = Z,
+\]
+c'est pourquoi l'on peut désigner $X, Y, Z$ par les symboles
+\[
+\deriv{V}{(yz)},\quad \deriv{V}{(zx)},\quad \deriv{V}{(xy)}.
+\]
+
+Revenons maintenant à la fonction primitive~$u$. Nous avons
+\[
+\pderiv{u}{x} = X\quad
+\pderiv{u}{y} = Y\quad
+\pderiv{u}{z} = Z;
+\]
+donc
+\[
+\pderiv{u}{x} = \pderiv{V}{(yz)},\quad
+\pderiv{u}{y} = \pderiv{V}{(zx)},\quad
+\pderiv{u}{z} = \pderiv{V}{(xy)}
+\]
+ou en général, $n$~étant la normale à la surface~$\Sigma$,
+\[
+\pderiv{u}{n} = \pderiv{V}{\Sigma}.
+\]
+
+On tire de là qu'en dérivant la fonction des lignes~$V$ par rapport à une certaine
+surface et en dérivant la fonction~$u$ par rapport à la normale à cette surface
+on trouve la même valeur. Donc la fonction~$u$ et la fonction~$V$ ont une relation
+réciproque tout à fait analogue à celle des deux fonctions conjuguées dans le cas
+de deux variables. C'est pourquoi dans le cas de trois variables, pour arriver à
+une fonction conjuguée de la fonction potentielle, il faut introduire les fonctions
+des lignes.
+
+\Paragraph{7.} On pourrait penser que ce nouveau concept est tout à fait abstrait, mais
+nous voulons montrer bien au contraire qu'il correspond à des concepts réels et à
+des vues pratiques.
+
+Il suffit pour cela d'envisager un champ électromagnétique constant. Supposons
+que nous ayons un pôle magnétique unitaire qui se déplace en prenant toutes
+les positions possibles dans un certain domaine externe à toute masse magnétique,
+électrique et à tout courant électrique. Le potentiel du champ par rapport au
+pôle sera une fonction qui vérifie l'équation de Laplace, c'est à dire une \emph{fonction
+harmonique}.
+
+Mais évidemment on pourra aussi penser avoir un courant électrique unitaire
+qui parcourt un circuit fermé et qui se déplace en prenant toutes les positions et les
+formes possibles dans le même domaine. Il est bien naturel que nous calculons le
+potentiel du champ par rapport au courant électrique. On aura par là une idée
+complète de la nature électromagnétique du champ, mais en même temps nous aurons
+%% -----File: 032.png---Folio 32-------
+envisagé une fonction des lignes fermées du domaine. Il est facile de démontrer
+par un calcul très simple que cette fonction des lignes, c'est à dire le potentiel du
+champ par rapport au courant, est justement la fonction conjuguée que nous avons
+introduite tout à l'heure.
+
+On a donc que le nouveau concept a une base réelle et se présente même
+comme un élément nécessaire à envisager dans les théories de la physique mathématique.
+
+\Paragraph{8.} Les fonctions conjuguées ordinaires qui se présentent dans le cas de deux
+variables peuvent s'obtenir en particularisant celles que nous venons de définir. Il
+suffit en effet d'envisager un champ électromagnétique à deux variables. Alors il
+faut remplacer le pôle magnétique par un pôle logarithmique %[** PP: Typo logaritmique]
+et le courant électrique
+par un point tourbillon et le passage est déjà fait.
+
+Il y a aussi un autre cas particulier qui présente beaucoup d'intérêt. C'est celui
+des potentiels symétriques. Dans ce cas il suffit de considérer les valeurs de la
+fonction conjuguée correspondant aux lignes circulaires normales à l'axe de symétrie
+et ayant le centre sur l'axe même. On arrive par là à des fonctions ordinaires
+qu'on appelle les fonctions associées que Kirchhoff avait introduites en partant de
+concepts tout à fait différents.
+
+
+\Chapter{\Ord{6}{ième} leçon.}
+
+\Paragraph{9.} Jusqu'à présent nous avons envisagé les fonctions des lignes qui s'obtiennent
+comme des fonctions conjuguées des fonctions qui satisfont à l'équation de Laplace;
+mais on peut généraliser la chose. Soient $X, Y, Z$ trois fonctions quelconques
+définies dans un espace~$S$ dont la connexion linéaire et la connexion superficielle
+sont simples, et supposons qu'elles soient finies, monodromes et continues, et que
+leurs dérivées aussi soient finies, continues et monodromes. Si l'on a
+\[
+\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z} = 0
+\]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{r}{1.75in}
+\Input{033a}{1.75in}
+\end{wrapfigure}
+on pourra toujours par le procédé que nous avons indiqué précédemment calculer
+une fonction des lignes de l'espace. C'est pourquoi la condition pour l'existence
+de la fonction des lignes est la condition~(2). Les conditions~(1) ne sont pas nécessaires % [** Xrefs]
+pour son existence. Elles sont nécessaires pour qu'elle soit la fonction conjuguée
+d'une fonction harmonique. Or, l'espace ayant les deux connexions simples,
+%% -----File: 033.png---Folio 33-------
+on peut calculer la valeur de la fonction des lignes pour chaque ligne fermée de
+l'espace dont la direction est connue, et pour chaque ligne on trouve une seule
+valeur. Envisageons maintenant un espace~$S$ dont
+la connexion superficielle ne soit pas simple, par
+exemple l'espace compris entre deux sphères concentriques
+$\sigma_1$ et~$\sigma_2$. Conduisons une surface~$\sigma_3$ comprise
+entre les deux, et traçons une ligne fermée~$s$
+qui partage~$\sigma_3$ en deux parties $\sigma'_3$ et~$\sigma''_3$.
+
+Ayant fixé la direction de la ligne~$s$ on pourra
+calculer la valeur de la fonction correspondante à
+la ligne~$s$ de deux manières en formant
+\[
+\int_{\sigma'_3} (X \cos n'x + Y \cos n'y + Z \cos n'z)\, d\sigma'_3
+\tag{4}
+\]
+et
+\[
+\int_{\sigma''_3} (X \cos n''x + Y \cos n''y + Z \cos n''z)\, d\sigma''_3,
+\tag{5}
+\]
+$n'$ étant la normale à~$\sigma'_3$ et $n''$ la normale à~$\sigma''_3$. Les deux normales ont évidemment
+la direction opposée, c'est à dire que si l'une est dirigée vers l'intérieur de~$\sigma_3$ l'autre
+est dirigée vers la partie externe. Faisons maintenant la différence des deux intégrales.
+On aura l'intégrale étendue à toute la surface~$\sigma_3$, et on devra prendre la
+normale dirigée constamment dans la même direction. Mais~$\sigma_3$ à elle seule ne
+limite pas un volume renfermé dans~$S$, c'est pourquoi la dernière intégrale pourra
+n'être pas nulle et par suite les intégrales (4) et~(5) pourront être différentes.
+
+On voit donc que dans ce cas la valeur de la fonction des lignes n'est pas
+déterminée pour chaque ligne.
+
+On peut se faire une idée de la polydromie d'une fonction des lignes aussi
+d'une autre manière.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}[3]{r}{1.5in}% **** Explicit height
+\raisebox{0.2in}[0.5in][0pt]{\Input{033b}{1.5in}}
+\end{wrapfigure}
+Pour avoir la différence des valeurs de la fonction correspondante
+à deux lignes $s$, $s'$, on peut déplacer la ligne~$s$
+d'une manière continue de sorte qu'elle vienne %[** PP: Typo viennne]
+coïncider en
+position et direction avec la ligne~$s'$. Soit~$\sigma$ la surface engendrée
+par ce déplacement, $V'$ la valeur de la fonction correspondante
+à la ligne~$s'$ et $V$ la valeur correspondante à la
+ligne~$s$. On aura
+%% -----File: 034.png---Folio 34-------
+\[
+V' - V = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma,
+\]
+%[Illustrations]
+%[** PP: Width-dependent formatting]
+\noindent\begin{minipage}[b]{1.5in}
+\Input{034a}{1.375in}\\[0.5in]
+\Input{034b}{1.375in}
+\end{minipage}%
+\begin{minipage}[b]{4.25in} % [**** Explicit width]
+$n$ étant la normale à la surface~$\sigma$ dirigée par rapport à la direction de~$s'$ de la
+manière que nous avons indiquée dans le §~5. Déplaçons maintenant $s'$ en lui % [** Xref]
+faisant engendrer un tube de manière que $s'$ se
+rapproche indéfiniment de~$s$ jusqu'à coïncider avec~$s'$.
+$\sigma$~deviendra une surface fermée. Si le domaine
+où nous envisageons les choses a la connexion
+superficielle simple, $\sigma$~sera le contour d'un espace
+interne au domaine et par suite en appliquant le
+théorème de Gauss on aura que l'intégrale étendue
+à~$\sigma$ sera nulle, d'où l'on tire que les deux valeurs
+$V'$ et~$V$ seront égales. Mais, si le domaine a une
+connexion superficielle multiple, $\sigma$~n'est pas toujours
+le contour d'un espace interne au domaine et par
+suite les deux valeurs peuvent résulter différentes.
+Dans ce cas donc, si une ligne fermée en décrivant
+un tube revient à sa position initiale, en prenant
+des valeurs de la fonction qui se suivent avec continuité,
+on peut retourner avec une valeur différente
+de celle du départ. Par conséquent la polydromie
+pour les fonctions des lignes ne tient pas à la cyclicité, c'est à dire à la connexion
+linéaire, mais à la connexion superficielle.
+\end{minipage}
+
+\Paragraph{10.} Nous avons vu que, pour rendre acyclique un espace cyclique, il faut
+faire une coupure ou plusieurs coupures. Qu'est-ce qu'il faut faire pour transformer
+un espace qui a une connexion superficielle multiple en un espace qui a une connexion
+simple?
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{1.75in}
+\Input{034c}{1.5in}
+\end{wrapfigure}
+Envisageons l'espace compris entre deux sphères
+concentriques. Imaginons un tube infiniment mince
+qui réunit la grande sphère à la sphère interne. Par
+ce tube la connexion superficielle devient simple.
+
+Il y a d'autres cas où il faut un plus grand
+nombre de tubes pour obtenir la réduction. L'ordre
+de la connexion superficielle est mesuré par le nombre
+des tubes plus~$1$. A chaque tube correspond une
+constante spéciale pour la fonction des lignes obtenue
+%% -----File: 035.png---Folio 35-------
+par intégration, comme à chaque coupure correspond une constante pour une fonction
+ordinaire obtenue par intégration dans un espace cyclique.
+
+Si l'on cherche la fonction conjuguée de la fonction harmonique $\frac{1}{2} \log (x^2 + y^2)$ % [** PP: Using \frac]
+dans le cas de deux variables on trouve la fonction polydrome $\arctg \dfrac{y}{x}$. De même
+si l'on cherche la fonction des lignes conjuguée de la fonction harmonique
+$\dfrac{1}{\sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)}}$ on trouve une fonction des lignes polydrome.
+
+\Paragraph{11.} On a calculé une fonction en regardant chaque ligne comme le contour
+d'une surface. Si l'espace est cyclique il y a des lignes qui ne forment le contour
+d'aucune surface. On peut trouver les différences des valeurs correspondantes
+à ces lignes, mais nous n'insisterons pas ci-dessus.
+
+Il y a aussi une autre manière pour calculer des fonctions des lignes de premier
+degré. Nous dirons en peu de mots en quoi elle consiste.
+
+L'équation~(2) étant satisfaite on peut trouver trois fonctions $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ de
+$x, y, z$ telles que
+\begin{align*}
+X &= \pderiv{Z_2}{z} - \pderiv{Z_3}{y}, \\
+Y &= \pderiv{Z_3}{x} - \pderiv{Z_1}{z}, \\
+Z &= \pderiv{Z_1}{y} - \pderiv{Z_2}{x}.
+\end{align*}
+
+Alors, si $s$ est une ligne qui forme le contour de la surface~$\sigma$ ayant pour
+normale~$n$, on a par le théorème de Stokes
+\[
+\int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, ds = \int_s (Z_1\, dx + Z_2\, dy + Z_3\, dz)
+\]
+en choisissant convenablement la direction de la ligne~$s$. On voit par là que la
+fonction d'une ligne peut se calculer par une intégrale étendue à la ligne même.
+
+Nous avons fait usage précédemment %[** PP: Typo précédemmnnt]
+du langage des champs vectoriels; on
+peut y revenir pour donner une image visible et frappante des concepts que nous
+avons introduits.
+
+Lorsqu'un champ scalaire est divisé en lames infiniment minces telles que
+chacune correspond au même accroissement de la quantité scalaire, la fonction
+%% -----File: 036.png---Folio 36-------
+scalaire dans un point quelconque sert à dénombrer les lames comprises entre ce
+point et un point fixe.
+
+Envisageons maintenant un champ solénoïdal % [** Typo solénoidal]
+divisé en tubes équivalents infiniment
+minces. Dans ce cas, pour connaître la nature du champ, il faut savoir
+dénombrer les tubes qui passent à l'intérieur de toute ligne fermée. Voilà le concept
+de fonction de ligne de premier degré qui surgit. Si le champ est en même
+temps solénoïdal % [** PP: Typo solénoidal]
+et scalaire, le nombre des lames comprises entre un point fixe et
+le point variable et le nombre des tubes compris dans une ligne variable forment
+des fonctions conjuguées.
+
+\Paragraph{12.} Nous nous sommes bornés jusqu'à présent au cas de trois variables;
+mais on peut généraliser les concepts que nous venons d'exposer au cas d'un nombre
+quelconque de variables.
+
+Dans un espace à $n$~dimensions on peut imaginer des points, des espaces à
+une dimension, des espaces à deux dimensions, des espaces à trois dimensions etc.\
+et des espaces à $n-1$ dimensions, c'est pourquoi l'on peut imaginer des fonctions
+des points, c'est à dire des fonctions ordinaires de $n$~variables, des fonctions des
+espaces à une dimension, des fonctions des espaces à deux dimensions etc.\ et enfin
+des fonctions des espaces à $n-1$ dimensions.
+
+Si ces espaces sont fermés et si nous définissons une direction des espaces, on peut
+concevoir les fonctions des espaces à $r$~dimensions \emph{de premier degré}, c'est à dire,
+si $S_r$ et~$S'_r$ sont deux espaces fermés à $r$~dimensions ayant une partie commune qui
+a deux directions différentes selon qu'on la regarde comme appartenant à~$S_r$ ou
+à~$S'_r$, retranchons cette partie et envisageons l'espace~$S''_r$ formé avec les parties
+résiduelles. La fonction qu'on envisage sera de premier degré si, les valeurs correspondantes
+à $S_r, S'_r, S''_r$ étant $V, V', V''$, on a
+\[
+V'' = V' + V.
+\]
+
+Les fonctions de premier degré des espaces à $r$~dimensions peuvent se calculer
+par des intégrations étendues à des espaces à $r + 1$ dimensions, et l'on peut
+former des dérivées de ces fonctions tout à fait analogues aux dérivées des fonctions
+des lignes que nous avons envisagées.
+
+De cette manière dans un espace à $n$~dimensions on peut obtenir des fonctions
+conjuguées de $\dfrac{n-1}{2}$ types différents, si $n$~est un nombre impair et de~$\dfrac{n}{2}$
+types, si $n$~est pair. En effet à une fonction des espaces à $r$~dimensions ($r < n-1$)
+on peut faire correspondre comme fonction conjuguée une fonction de $n-r-2$
+dimensions.
+%% -----File: 037.png---Folio 37-------
+
+Dans un espace à deux dimensions on a une seule sorte de fonctions conjuguées,
+c'est à dire que les fonctions conjuguées à des fonctions harmoniques des
+points sont aussi des fonctions des points.
+
+Dans un espace à $3$~dimensions les fonctions conjuguées à des fonctions harmoniques
+des points sont des fonctions des lignes, comme nous venons de voir.
+Dans un espace à $4$~dimensions les fonctions conjuguées à des fonctions harmoniques des
+points sont des fonctions des espaces à deux dimensions, mais l'on peut avoir
+aussi des fonctions conjuguées à des fonctions des espaces à une dimension qui
+sont aussi des fonctions de la même nature.
+
+Dans un espace à $5$~dimensions les fonctions harmoniques des points sont
+conjuguées à des fonctions des espaces à trois dimensions, et l'on peut avoir des
+fonctions des espaces à une dimension conjuguées à des fonctions des espaces à
+deux dimensions. Ainsi de suite avec la règle que nous avons exposée précédemment.
+
+On arrive par là à une théorie générale des fonctions conjuguées où les fonctions
+harmoniques ordinaires à $n$~variables se présentent comme un cas très-particulier.
+Il est bon de remarquer que dans les hyperespaces d'un nombre $n$ pair
+de dimensions il y a des fonctions conjuguées d'ordre $\smash[b]{\dfrac{n-1}{2}}$ qui correspondent
+aux mêmes hyperespaces.
+
+La connexion de plus en plus compliquée des espaces à $n$~dimensions joue
+un rôle très important et est étroitement liée aux différentes espèces des polydromies
+des fonctions, comme nous avons pu constater dans le cas de trois variables.
+Ces polydromies se présentent comme une extension de celles qu'on a dans
+les cas des intégrales Abéliennes. % [** PP: Typo Abeliennes]
+
+\Paragraph{13.} On peut envisager ces recherches comme une généralisation de l'étude
+des fonctions conjuguées, c'est à dire de la partie réelle et de la partie imaginaire
+d'une fonction d'une variable complexe considérées séparément.
+
+Mais si nous voulons parvenir à une vraie extension de la théorie des fonctions,
+c'est à dire de l'ensemble des deux fonctions conjuguées, l'une étant multipliée
+par~$\sqrt{-1}$, il faut changer le point de vue, mais les mêmes concepts que
+nous avons exposés en sont toujours la base, c'est pourquoi nous avons dit dans
+la leçon précédente, qu'il y avait deux branches d'études qui provenaient d'une
+même source. Comme j'ai annoncé dans la première leçon je n'abandonnerai pas
+ce sujet sans avoir donné aussi un aperçu de ces recherches qui sont liées à la
+théorie des fonctions d'un côté et aux équations qui paraissent dans la physique
+mathématique d'un autre côté.
+%% -----File: 038.png---Folio 38-------
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{1in}%
+\Input{038a}{1in}
+\end{wrapfigure}%
+\Paragraph{14.} Si nous envisageons un plan et deux quantités complexes $F$ et~$\Phi$ qui
+sont des fonctions des points du plan, la condition pour que $F$ soit une fonction
+de~$\Phi$ est qu'en déplaçant le point indice~$M$ dans une direction quelconque $MM'$
+et, en calculant le rapport $\dfrac{\Delta F}{\Delta\Phi}$ des variations des deux fonctions,
+la limite du rapport, lorsque $MM'$ devient infiniment petit, ne dépend
+pas de la direction du déplacement mais soit une nouvelle fonction
+du point indice. Cauchy employait dans ce cas le mot de \emph{fonction monogène}.
+
+Or une extension n'est pas possible dans l'espace, car si nous posons la même
+condition que nous venons d'indiquer dans le cas où le point indice au lieu de se
+déplacer dans un domaine à deux dimensions peut se déplacer dans un domaine
+à trois dimensions, on trouve qu'elle conduit à la même relation entre $F$ et~$\Phi$ et
+l'on trouve la même chose dans le cas d'un espace à plusieurs dimensions.
+
+Mais nous avons vu que dans les espaces à trois dimensions et à plusieurs
+dimensions le concept des fonctions ordinaires, c'est à dire des fonctions des points,
+n'est qu'un cas particulier du concept général de fonctions, car il y a les fonctions
+des lignes et en général les fonctions des hyperespaces. Si nous appliquons
+maintenant la condition que nous avons posée tout à l'heure pour $F$ et~$\Phi$, mais
+en supposant que les fonctions soient des fonctions du nouveau genre que nous
+avons introduites, toute difficulté disparaît, % [** PP: Typo disparait]
+et l'on peut étendre à un espace d'un
+nombre quelconque de dimensions la liaison de monogénéité de Cauchy, c'est à
+dire on peut étendre la théorie des fonctions au cas d'un domaine quelconque
+en trouvant quelque chose de nouveau. Faute du concept des fonctions des lignes
+et des hyperespaces la base où fonder la théorie manquait complètement. %[** PP: Typo complétement]
+D'autre
+part il fallait bien penser qu'il aurait été nécessaire de tomber là dessus, si l'on
+voulait étendre la théorie des fonctions, car si l'opération de l'intégration dans le
+cas des fonctions d'une variable ne fait pas sortir du domaine des fonctions de la
+même nature, l'intégration des fonctions de plusieurs variables, c'est à dire l'intégration
+multiple qui est étendue à des domaines à plusieurs dimensions dont les
+limites sont des lignes ou des surfaces etc., devait nous amener au nouveau concept
+que nous avons introduit.
+
+\Paragraph{15.} Envisageons donc dans un espace à trois dimensions deux fonctions
+complexes de premier degré des lignes, et soient $F$ et~$\Phi$ leurs valeurs correspondantes
+à une ligne~$L$. Déformons un arc $AB$ de~$L$, et désignons par $\Delta F$
+et~$\Delta \Phi$ les variations de~$F$ et de~$\Phi$. Si en diminuant indéfiniment la déformation
+et la distance entre $B$ et le point fixe~$A$, le rapport
+\[
+\frac{\Delta \Phi}{\Delta F}
+\]
+%% -----File: 039.png---Folio 39-------
+tend vers une limite qui dépend seulement du point~$A$, on pourra dire qu'entre
+les variables complexes $\Phi$ et~$F$ passe une liaison tout à fait analogue à celle
+de monogénéité de Cauchy.
+
+On peut exprimer cette condition d'une autre manière en faisant usage des
+notations que nous avons introduites. Calculons
+\[
+\deriv{\Phi}{\Sigma} : \deriv{F}{\Sigma} = f,
+\tag{6}
+\]
+$\Sigma$ étant une surface quelconque, $f$ doit avoir une valeur indépendante de la
+direction de la surface~$\Sigma$, c'est à dire doit être une fonction des points de
+l'espace.
+
+Décomposons maintenant $\Phi$ et~$F$ et leurs dérivées dans les parties réelles
+et imaginaires en posant
+\begin{gather*}
+F = F_1 + i F_2,\quad \Phi = \Phi_1 + i \Phi_2,\quad i = \sqrt{-1}; \\
+%
+\deriv{F}{(y,z)} = p_1 + ip_2,\quad
+\deriv{F}{(z,x)} = q_1 + iq_2,\quad
+\deriv{F}{(x,y)} = r_1 + ir_2; \\
+%
+\deriv{\Phi}{(y,z)} = \omega_1 + i\omega_2,\quad
+\deriv{\Phi}{(z,x)} = \chi_1 + i\chi_2,\quad
+\deriv{\Phi}{(x,y)} = \rho_1 + i\rho_2;
+\end{gather*}
+la condition~(6) pourra s'écrire
+\[
+ \frac{\omega_1 + i\omega_2}{p_1 + ip_2}
+= \frac{\chi_1 + i\chi_2}{q_1 + iq_2}
+= \frac{\rho_1 + i\rho_2}{r_1 + ir_2} = f
+\tag{7}
+\]
+et l'on tire de là que $\Phi_1$ et~$\Phi_2$ doivent vérifier les mêmes équations, c'est à dire
+% [** PP: Explicitly-sized parentheses]
+\begin{gather*}
+ D_1 \deriv{\Psi}{(y,z)}
++ D_2 \deriv{\Psi}{(z,x)}
++ D_3 \deriv{\Psi}{(x,y)} = 0 \\
+%
+\tag{8}
+0 = \pderiv{}{x}
+ \Biggl(\dfrac{\eps_{12} \deriv{\Psi}{(x,y)}
+ - \eps_{13} \deriv{\Psi}{(z,x)}}{D_1}\Biggr)
+ + \pderiv{}{y}
+ \Biggl(\dfrac{\eps_{23} \deriv{\Psi}{(y,z)}
+ - \eps_{21} \deriv{\Psi}{(x,y)}}{D_2}\Biggr)
+\Trail{+} \\
+%
+ + \pderiv{}{z}
+ \Biggl(\dfrac{\eps_{31} \deriv{\Psi}{(z,x)}
+ - \eps_{32} \deriv{\Psi}{(y,z)}}{D_3}\Biggr),
+\end{gather*}
+où $\Psi$ peut être remplacé par $\Phi_1$ et~$\Phi_2$ et l'on a
+\begin{gather*}
+\eps_{11} = p^2_1 + p^2_2, \quad
+\eps_{22} = q^2_1 + q^2_2, \quad
+\eps_{33} = r^2_1 + r^2_2, \\
+%
+\eps_{23} = \eps_{32} = q_1 r_1 + q_2 r_2, \quad
+\eps_{31} = \eps_{13} = r_1 p_1 + r_2 p_2, \quad
+\eps_{12} = \eps_{21} = p_1 q_1 + p_2 q_2, \\
+%
+D_1 = q_2 r_1 - r_2 q_1, \quad
+D_2 = r_2 p_1 - p_2 r_1, \quad
+D_3 = p_2 q_1 - q_2 p_1.
+\end{gather*}
+%% -----File: 040.png---Folio 40-------
+
+L'équation~(8) remplace dans ce cas l'équation de Laplace et a bien des propriétés
+communes avec elle.
+
+\Paragraph{16.} On peut écrire l'équation~(6) sous la forme
+\[
+\deriv{\Phi}{F} = f.
+\tag{9}
+\]
+Les fonctions $\Phi$ et~$F$ peuvent s'appeler \emph{isogènes}. Il est évident que deux fonctions
+des lignes qui sont isogènes avec une troisième sont isogènes entre elles. De
+même une fonction des points~$\phi$ peut s'appeler aussi isogène avec~$F$ si
+\[
+ \deriv{F}{(y,z)} · \pderiv{\phi}{x}
++ \deriv{F}{(z,x)} · \pderiv{\phi}{y}
++ \deriv{F}{(x,y)} · \pderiv{\phi}{z} = 0.
+\tag{10}
+\]
+Elle sera isogène avec toutes les fonctions des lignes isogènes avec~$F$. On démontre
+aussi facilement que $f$ est isogène avec~$F$, et réciproquement que si la
+fonction des points $f$ est isogène avec la fonction des lignes~$F$, on peut trouver
+une fonction~$\Phi$ telle que l'égalité~(9) soit vérifiée.
+
+Toutes les fonctions des points qui sont isogènes avec~$F$ peuvent s'appeler
+isogènes entre elles. Puisqu'elles doivent vérifier l'équation~(10) on en tire que
+deux d'entre elles sont indépendantes et les autres en sont des fonctions. Soient
+$\phi_1$ et~$\phi_2$ des fonctions indépendantes. A cause de l'équation~(10) on pourra toujours
+écrire
+% [** PP: Dropped commas between matrix entries]
+\[
+\tag{11}
+\left\{
+\begin{aligned}
+\deriv{F}{(y,z)} &= \phi_3 \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_1}{y} & \pderiv{\phi_1}{z} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{y} & \pderiv{\phi_2}{z}
+ \end{matrix} \right| = X, \\[2ex]
+%
+\deriv{F}{(z,x)} &= \phi_3 \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_1}{z} & \pderiv{\phi_1}{x} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{z} & \pderiv{\phi_2}{x}
+ \end{matrix} \right| = Y, \\[2ex]
+%
+% [** PP: Derivatives w.r.t. y, not x, in second column]
+\deriv{F}{(x,y)} &= \phi_3 \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_1}{x} & \pderiv{\phi_1}{y} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{x} & \pderiv{\phi_2}{y}
+ \end{matrix} \right| = Z,
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+où $\phi_3$ est une fonction des points isogène aux autres, c'est à dire $\phi_3 = \phi_3(\phi_1,\phi_2)$.
+
+Supposons que le domaine à trois dimensions que nous envisageons ait une
+connexion superficielle simple et que dans ce domaine les fonctions que nous considérons
+n'aient pas de singularités, alors pour avoir la valeur de la fonction~$F$
+correspondante à une certaine ligne il suffira de regarder cette ligne comme le
+contour d'une surface~$\sigma$ et de former
+%% -----File: 041.png---Folio 41-------
+\[
+F = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma.
+\]
+Soient $u$, $v$ des coordonnées curvilignes de la surface. On aura
+\begin{align*}
+d\sigma \cos nx &= \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{y}{u} & \pderiv{z}{u} \\[2ex]
+ \pderiv{y}{v} & \pderiv{z}{v}
+ \end{matrix} \right|\, du\, dv; \\[2ex]
+%
+d\sigma \cos ny &= \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{z}{u} & \pderiv{x}{u} \\[2ex]
+ \pderiv{z}{v} & \pderiv{x}{v}
+ \end{matrix} \right|\, du\, dv; \\[2ex]
+%
+d\sigma \cos nz &= \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{x}{u} & \pderiv{y}{u} \\[2ex]
+ \pderiv{x}{v} & \pderiv{y}{v}
+ \end{matrix} \right|\, du\, dv.
+\end{align*}
+
+C'est pourquoi l'intégrale précédente pourra s'écrire
+\[
+F = \int_\sigma \phi_3 \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_1}{u} & \pderiv{\phi_1}{v} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{u} & \pderiv{\phi_2}{v}
+ \end{matrix} \right|\, du\, dv
+ = \int_\sigma \phi_3\, d\phi_1\, d\phi_2.
+\tag{12}
+\]
+
+On voit par là que tout ensemble de fonctions isogènes des lignes et des points
+dans un espace à trois dimensions ressort des fonctions de deux variables complexes
+et de leurs intégrales, comme tout ensemble de fonctions monogènes dans un
+espace à deux dimensions ressort des fonctions d'une variable complexe et de leurs
+intégrales.
+
+Si la surface~$\sigma$ dans l'intégrale~(12) est une surface fermée, l'intégrale devient
+nulle. Cette propriété n'est autre chose que la théorie de Cauchy pour les fonctions
+de deux variables telle que M.~Poincaré l'a donnée.
+
+Si l'espace n'a pas une connexion superficielle simple, ou si les fonctions qui
+paraissent dans les formules ont des singularités, l'intégrale peut n'être pas nulle.
+Il faut alors remplacer la surface~$\sigma$ par un ensemble de surfaces qui forment le
+contour complet d'un domaine à trois dimensions où les fonctions n'ont pas de
+singularités.
+%% -----File: 042.png---Folio 42-------
+
+\Paragraph{17.} $\phi_4$ étant une fonction de $\phi_1$ et~$\phi_2$ telle que
+\[
+\pderiv{\phi_4}{\phi_1} = \phi_3(\phi_1\, \phi_2),
+\]
+les équations~(11) s'écrivent
+\begin{align*}
+\deriv{F}{(y,z)} &= \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_4}{y} & \pderiv{\phi_4}{z} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{y} & \pderiv{\phi_2}{z}
+ \end{matrix} \right|, \\[2ex]
+%
+\deriv{F}{(z,x)} &= \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_4}{z} & \pderiv{\phi_4}{x} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{z} & \pderiv{\phi_2}{x}
+ \end{matrix} \right|, \\[2ex]
+%
+\deriv{F}{(x,y)} &= \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_4}{x} & \pderiv{\phi_4}{y} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{x} & \pderiv{\phi_2}{y}
+ \end{matrix} \right|
+\end{align*}
+et l'équation~(12) deviendra
+\[
+F = \int_\sigma d\phi_4\, d\phi_2 ,
+\]
+d'où l'on tire que $F$ peut s'obtenir par $\phi_4$ et~$\phi_2$ ou qu'elle est composée par ces
+deux fonctions qu'on peut appeler des diviseurs de~$F$. On peut écrire
+\[
+F = (\phi_4\, \phi_2). % [** PP: product?]
+\]
+
+La décomposition de~$F$ en ses diviseurs peut se faire d'une infinité de manières.
+Les diviseurs sont isogènes avec~$F$ et deux fonctions isogènes des lignes
+ont toujours un diviseur commun. Les diviseurs étant des fonctions des points,
+on peut les appeler élémentaires.
+
+
+\Chapter{\Ord{7}{ième} leçon.}
+
+\Paragraph{18.} La théorie qu'on vient d'exposer se rapporte au cas des fonctions de deux
+variables, et elle a l'avantage qu'on peut l'exposer sans recourir aux espaces à plus
+de trois dimensions. Mais si l'on se borne à ces espaces, on n'a pas évidemment
+%% -----File: 043.png---Folio 43-------
+une théorie complète; et l'on voit la nécessité d'étendre tous les concepts à l'espace
+à $n$~dimensions. Il n'est pas difficile de le faire. Mais par là la théorie se développe
+d'une manière inattendue. C'est à dire qu'on ne trouve pas seulement la théorie
+des fonctions de plusieurs variables complexes et de leurs intégrales, mais quelque
+chose aussi de beaucoup plus général. En effet toute fonction complexe de premier degré
+d'une ligne peut être attachée par la liaison d'isogénéité à un ensemble d'autres
+fonctions des lignes et à des fonctions de deux variables complexes indépendantes,
+et peut se décomposer en facteurs élémentaires. La même chose ne se présente pas,
+lorsqu'on envisage une fonction des hyperespaces de $r<n$ dimensions dans un hyperespace
+de $n>3$ dimensions. Pour ces fonctions aussi il y a, comme dans le cas des
+fonctions des lignes dans l'espace à trois dimensions, une décomposition en fonctions
+d'un ordre plus simple qui présente des caractères arithmétiques analogues à la
+décomposition d'un nombre en facteurs premiers. Mais dans le cas des hyperespaces
+cette décomposition ne peut pas être poussée toujours jusqu'à arriver aux
+fonctions des points, c'est à dire que tous les diviseurs premiers de la fonction peuvent
+être aussi des fonctions des hyperespaces. Or, pour qu'une fonction soit liable à
+une autre par la liaison d'isogénéité il est nécessaire et suffisant qu'elle ait un diviseur
+élémentaire, c'est à dire un diviseur qui soit une fonction des points. Il faut
+donc poser des conditions spéciales avant de pouvoir établir la liaison d'isogénéité,
+et même après avoir établi cette liaison on a une théorie bien plus générale que celle
+qui ressort des fonctions de plusieurs variables et de leurs intégrales. Ce cas se
+rapporte seulement à l'ensemble des fonctions des hyperespaces dont tous les diviseurs
+sont des diviseurs élémentaires.
+
+Lorsqu'on envisage des espaces ayant un nombre de dimensions toujours
+croissant, les différentes sortes de connexions possibles augmentent toujours. Listing,
+Bei, Poincaré les ont étudiées. Elles jouent un rôle fondamental dans les théories
+précédentes, car elles déterminent les différentes sortes de polydromies des
+fonctions des hyperespaces. Dans le cas des fonctions d'une seule variable complexe
+on n'a qu'une seule sorte de polydromie qui ressort de la cyclicité, mais dans
+les cas précédents leur nombre est toujours plus élevé. La théorie des intégrales
+Abéliennes ne présente que le premier cas de cette théorie générale.
+
+\Paragraph{19.} Les fonctions des lignes et des hyperespaces nous conduisent naturellement
+à dire quelques mots sur d'autres études très voisines qui ont bien des rapports
+avec des questions de la physique mathématique.
+
+Soient $x, y, z$ les coordonnées des points de l'espace. Une ligne est déterminée
+par deux équations $y=f(x)$, $z=\phi(x)$. Donc une quantité qui dépend d'une
+ligne peut être envisagée comme une quantité qui dépend des fonctions $f(x)$ et~$\phi(x)$.
+%% -----File: 044.png---Folio 44-------
+
+Il est donc tout naturel d'envisager les quantités qui dépendent de toutes
+les valeurs qu'une fonction ou plusieurs fonctions prennent dans certains domaines.
+C'est un concept qui se présente dans un grand nombre de cas. Le plus simple
+est celui d'une intégrale définie. La valeur de l'intégrale définie entre certaines
+limites dépend de toutes les valeurs de la fonction entre ces limites. La physique
+mathématique nous offre les exemples les plus frappants. Par exemple la température
+en un point d'une lame qui est chauffée au bord dépend de toutes les
+valeurs de la température au bord de la lame. Les fonctions des lignes et des
+hyperespaces rentrent évidemment dans ce concept.
+
+Il est bien clair que lorsqu'on parle d'une quantité qui dépend de toutes les
+valeurs d'une ou de plusieurs variables on entend quelque chose de bien différent
+d'une fonction de fonction.
+
+\Paragraph{20.} La définition que nous venons de donner est analogue à la définition de
+fonction ordinaire due à Dirichlet, d'après laquelle on dit qu'une variable est fonction
+d'une autre variable si à chaque valeur de cette quantité, entre des limites
+données, correspond une valeur de la première quantité. Nous n'entrerons pas
+dans les discussions très-importantes, qui se rapportent à cette définition. Il est
+bien évident qu'on a été amené à la donner par le concept fondamental de loi physique.
+M.~Boutroux tout récemment a approfondi la question d'une manière fort
+intéressante. Mais en posant certaines conditions on peut passer du concept de
+fonction tel que l'a posé Dirichlet à celui de fonction analytique. Il est inutile
+de rappeler ces conditions qui sont bien connues et qui se rapportent à la continuité,
+à l'existence des dérivées etc.
+
+On peut procéder de la même manière dans le cas des fonctions qui dépendent
+de toutes les valeurs d'une fonction ou de plusieurs fonctions.
+
+Envisageons le cas le plus simple, celui d'une quantité~$F$ qui dépend de toutes
+les valeurs d'une fonction continue~$f(x)$ définie pour toutes les valeurs de~$x$ comprises
+entre $a$ et~$b$. Il n'y a pas de difficulté à étendre le concept de continuité
+à la quantité~$F$. Supposons maintenant qu'on part d'une fonction initiale~$f(x)$, et
+qu'on la change en la remplaçant par $f(x) + \eps\phi(x)$ où $\eps$ est une quantité infiniment
+petite. On peut tâcher de calculer la variation de~$F$. Sous certaines conditions
+la partie du premier ordre de cette variation peut s'exprimer par une intégrale
+définie
+\[
+\eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1)\, d\xi_1.
+\]
+
+La fonction $F'(\xi_1)$ joue le rôle de première dérivée. Elle est indépendante
+de~$\phi(x)$, mais elle dépend en général de toutes les valeurs de~$f(x)$, c'est pourquoi
+%% -----File: 045.png---Folio 45-------
+on peut tâcher de trouver la variation de~$F'(\xi_1)$, lorsqu'on remplace $f(x)$ par $f(x) + \eps\phi(x)$.
+Si l'on néglige les parties qui sont infiniment petites d'ordre supérieur à~$\eps$,
+sous certaines conditions, on trouve que cette variation est donnée par
+\[
+\eps \int_a^b \phi(\xi_2) F''(\xi_1,\xi_2)\, d\xi_2.
+\]
+$F''(\xi_1,\xi_2)$ joue le rôle de première dérivée de $F'(\xi)$ et de seconde dérivée de~$F$.
+Elle est indépendante de~$\phi(x)$, mais dépend de toutes les valeurs de~$f(x)$. Elle
+est une fonction symétrique de $\xi_1$ et~$\xi_2$.
+
+On peut aussi procéder au calcul de la troisième dérivée qui s'exprime par une
+fonction $F'''(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ symétrique et ainsi de suite.
+
+Cela posé, on peut se proposer de développer la valeur de~$F$ qui correspond
+à $f(x)+\eps\phi(x)$ dans une série de puissances de~$\eps$. Sous certaines conditions qui
+sont tout à fait semblables à celles qu'on a pour la série ordinaire de Taylor
+on trouve
+\[
+\Lmargintag{13}
+\left\{
+\begin{aligned}
+F &= F_0 + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1)\, d\xi_1
+ + \frac{1}{2} \eps^2 \int_a^b \int_a^b
+ F''(\xi_1,\xi_2) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2)\, d\xi_1\, d\xi_2
+\Trail{+} \\
+ &\quad+ \frac{1}{3!} \eps^3 \int_a^b \int_a^b \int_a^b
+ F''' (\xi_1,\xi_2,\xi_3) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2) \phi(\xi_3)\,
+ d\xi_1\, d\xi_2\, d\xi_3 + \dotsb %[** PP: Re-breaking]
+\Trail{+} \\
+ &\quad+ \frac{1}{n!} \eps^n \int_a^b \dotsi \int_a^b
+ F^{(n)}(\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n)
+ \phi(\xi_1) \phi(\xi_2) \dotsm \phi(\xi_n)\,
+ d\xi_1\, d\xi_2 \dotsm d\xi_n + \dotsb,
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+où $F^{(n)} (\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n)$ %[** PP: Changed opening ) to (]
+est une fonction symétrique des $n$~variables, $\xi_1, \xi_2 \dotsc \xi_n$, indépendante
+de~$\phi(x)$.
+
+En prenant $\eps=1$ on passe facilement à une série analogue à celle de Mac\-Laurin.
+
+\Paragraph{21.} On pourrait prendre comme définition d'une quantité~$F$ qui dépend de
+la fonction $\phi(x)$ définie pour les valeurs~$x$ comprises entre $a$ et~$b$ l'expression
+précédente où l'on fait $\eps=1$, en supposant que la série soit convergente. Ce
+serait une définition analytique d'une fonction qui dépend d'une autre fonction, et
+l'on pourrait en étudier le domaine de convergence. Les différents termes représenteraient
+des fonctions de différents degrés.
+%% -----File: 046.png---Folio 46-------
+
+Cependant de cette manière on n'envisagerait pas le cas le plus général.
+
+\setboolean{UseVartheta}{true}%
+
+\Paragraph{22.} Lorsque $F$ dépend de toutes les valeurs d'une fonction ou de plusieurs
+fonctions, que celles-ci sont inconnues, et qu'il faut les déterminer, étant données certaines
+propriétés de~$F$, alors on tombe sur les problèmes les plus intéressants de
+la théorie. Le calcul des variations n'est que le premier exemple d'une recherche
+de ce genre.
+
+Mais prenons le cas qui correspond à la formule~(13), et supposons que nous
+écrivions
+{\small %[** PP: Resized display for horizontal fit]
+\[
+\Lmargintag{14}
+\left\{
+\begin{aligned}
+\THETA\Psi(x)
+ &= \eps\phi(x)\alpha
+ + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1,x)\, d\xi_1
+ + \frac{1}{2} \eps^2 \int_a^b \int_a^b
+ F''(\xi_1,\xi_2,x) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2)\, d\xi_1\, d\xi_2
+\Trail{+} \\
+ &+ \dotsb
+ + \frac{1}{n!} \eps^n \int_a^b \dotsi \int_a^b F^{(n)} (\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n,x) \phi(\xi_1) \dotsm \phi(\xi_n)\, d\xi_1 \dotsm d\xi_n,
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+}% [** End of \small]
+
+$\alpha$ étant une quantité donnée et~$\Psi(x)$ étant définie pour les valeurs de~$x$ comprises
+entre $a$ et~$b$.
+
+Le cas le plus simple est celui où $F'', F''', \dotsc F^{(n)} \dotsc$ sont nulles, c'est à
+dire où l'on a
+% [** PP: Changed F^{('')} to F']
+\[
+\tag{15}
+\THETA\Psi(x) = \eps \phi(x)\alpha
+ + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1,x)\, d\xi_1;
+\]
+c'est le cas de l'inversion des fonctions de premier degré qui est le cas envisagé
+par M.~Fredholm et par moi même lorsque la limite supérieure est égale à~$x$.
+
+Le problème d'invertir une fonction générale de la forme~(14) par rapport à
+l'inversion de la formule~(15) n'est que le problème général de l'inversion d'une
+fonction transcendante par rapport à l'inversion d'une fonction de premier degré.
+Nous voulons montrer que le cas général peut être résolu.
+
+\Paragraph{23.} En effet pour obtenir $\phi(x)$ exprimée par~$\Psi(x)$, c'est à dire pour invertir
+la formule~(14), il suffit de tâcher de développer $\eps\phi(x)$ dans une série de puissances de~$\THETA$.
+
+C'est pourquoi calculons
+{\small
+\[
+\left(\deriv{(\eps\phi)}{\THETA}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\!
+ = \left(\deriv{(\eps\phi)}{\THETA}\right)_0,\quad
+\left(\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\!
+ = \left(\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right)_0,\quad
+\left(\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\!
+ = \left(\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right)_0 \dotsc.
+\]
+}% [** End \small]
+On trouve
+\[
+\Psi(x) = \left(\deriv{[\eps\phi(x)]}{\THETA}\right)_0 \alpha
+ + \int_a^b \left(\deriv{[\eps\phi(\xi_1)]}{\THETA}\right)_0 F'(\xi_1,x)\, d\xi_1.
+\]
+%% -----File: 047.png---Folio 47-------
+% [**** Math needs checking]
+
+Si nous pouvons invertir cette formule, % [** PP: Added comma]
+ce qui arrive par exemple lorsque le
+déterminant n'est pas nul, on trouve
+\[
+\tag{16}
+\left\{\deriv{\eps[\phi(x)]}{\THETA}\right\}_0 \phi(x)
+ = \Psi(x)\beta + \int_a^b \Psi(\eta_1) \Phi'(\eta_1, x)\, d\eta_1.
+\]
+
+En dérivant une fois encore on a
+\begin{multline*}
+0 = \left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0 \alpha
+ + \int_a^b \left\{
+ \frac{d^2[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA^2}
+ \right\}_0 F'(\xi_1, x)\, d\xi_1
+%[** PP: Re-breaking; added trailing operator for consistency]
+\Trail{+} \\
+ + \int_a^b \int_a^b F''(\xi_1, \xi_2, x)
+ \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0
+ \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0\, d\xi_1\, d\xi_2
+\end{multline*}
+c'est à dire
+\[
+\tag{17}
+\left\{
+\begin{aligned}
+ &\left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0 \alpha
+ + \int_a^b \left\{
+ \frac{d^2[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA^2}\right\}_0
+ F'(\xi_1, x)\, d\xi_1
+\Trail{=} \\
+%
+ &\qquad= - \int_a^b \int_a^b F''(\xi_1, \xi_2, x)
+ \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0
+ \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0\, d\xi_1\, d\xi_2
+\Trail{=} \\
+%[** PP: Re-breaking; added trailing operator for consistency]
+&\qquad= \phantom{-}\int_a^b \int_a^b
+ \Phi_1(\eta_1, \eta_2, x) \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+en remplaçant
+$\left\{\dfrac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0$,
+$\left\{\dfrac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0$ par les valeurs données par la formule~(16).
+Si l'on invertit la dernière formule en employant une formule analogue à la formule~(16) on trouve
+\[
+ \left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0
+= \int_a^b \int_a^b \Phi''(\eta_1, \eta_2, x)
+ \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2.
+\]
+
+De même on trouve
+\[
+ \left\{\frac{d^3[\eps\phi(x)]}{d\THETA^3}\right\}_0
+= \int_a^b \int_a^b \int_a^b
+ \Phi'''(\eta_1, \eta_2, \eta_3, x)
+ \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2) \Psi(\eta_3)\, d\eta_1\, d\eta_2\, d\eta_3.
+\]
+et ainsi de suite, de sorte qu'on aura
+%[** PP: Added missing trailing operators]
+\begin{multline*}
+\left[\frac{d(\eps\phi)}{d\THETA}\right]_0 \THETA
++ \frac{1}{2} \left[\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right]_0 \THETA^2
++ \frac{1}{3!} \left[\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right]_0 \THETA^3
++ \dotsb
+= \eps \phi(x) = \THETA \Psi(x) \beta
+\Trail{+} \\
+%[** PP: Using \frac, not \tfrac]
++ \THETA \int_a^b \Psi(\eta_1) \Phi'(\eta_1,x)\, d\eta_1
++ \frac{1}{2} \THETA^2 \int_a^b \int_a^b \Phi''(\eta_1, \eta_2, x)
+ \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2
+\Trail{+} \\
+%
++ \dotsb
++ \frac{1}{n!} \THETA^n \int_a^b \dotsi \int_a^b
+ \Phi^{(n)}(\eta_1 \dotsc \eta_n, x)
+ \Psi(\eta_1) \dotsm \Psi(\eta_n)\, d\eta_1 \dotsm d\eta_n + \dotsb.
+\end{multline*}
+%% -----File: 048.png---Folio 48-------
+
+Il faudra établir les conditions de convergence de la série précédente et son
+domaine de validité.---On peut regarder~$\Phi^{(n)}$ comme une fonction symétrique
+de $\eta_1, \eta_2 \dotsc \eta_n$. Nous n'entrerons pas dans les détails par rapport à la vérification
+de la formule que nos avons donnée ni sur la question de l'unicité de la
+solution.
+
+\Paragraph{24.} Je ne puis terminer cet argument sans toucher à la question des
+méthodes qu'on appelle de Jacobi-Hamilton. Les mémoires de Hamilton publiés
+en 1834 et~1835 ont été le point de départ d'un grand nombre de travaux qui
+sont parmi les plus beaux de la mécanique analytique. Jacobi est le premier
+qui en ait fait ressortir tout l'intérêt. Le principe d'abord limité aux questions mécaniques
+a %[** PP: Typo à]
+été étendu aux problèmes des isopérimètres et enfin à tous les problèmes
+du calcul des variations relatifs aux intégrales simples. On peut regarder la
+plupart des problèmes de la physique mathématique comme ressortant des questions
+du calcul des variations relatives aux intégrales multiples, et il est par suite intéressant
+d'étendre les mêmes méthodes à ces cas. Pour atteindre le but il suffit de
+remarquer que la méthode Jacobi-Hamilton est fondée sur le concept d'envisager
+l'intégrale simple dont on veut annuler la variation comme une fonction des limites
+de l'intégrale et des valeurs arbitraires des fonctions inconnues aux limites.
+Donc pour étendre la même méthode au cas des intégrales multiples il faut les
+regarder comme dépendantes des lignes ou des surfaces ou des hyperespaces qui
+limitent les intégrales données et de toutes les valeurs des fonctions inconnues au
+contour. C'est pourquoi les concepts que nous avons introduits sont nécessaires
+pour étendre les méthodes Jacobi-Hamilton aux problèmes de la physique mathématique.
+
+
+\begin{Bibliographie}
+
+\Bibitem{Picard.}{Traité d'analyse.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques. Journ.\ des Math.\ pures
+et appliquées. 1889.}
+
+% [** PP: Retaining variant résidues]
+\Bibitem{Poincaré.}{Sur les résidues des intégrales doubles. Acta Math. T.~9.}
+
+% [** PP: Changed census to Census, complexe to Complexe]
+\Bibitem{Listing.}{Der Census räumlicher Complexe. Abh.\ K. Gesellsch.\ d.\ Wiss.\ zu Göttingen.
+1862.}
+
+% [** PP: Changed Sugli to Sopra gli, quelconque to qualunque]
+\Bibitem{Betti.}{Sopra gli spazii di un numero qualunque di dimensioni. Annali di Mat.\ T.~IV.}
+
+\Bibitem{Poincaré.}{Analysis situs. Journ.\ de l'École Polyt. 1895.}
+
+% [** PP: Changed dependenti da altro to dipendenti da altre]
+\Bibitem{Volterra.}{Sulle funzioni dipendenti da altre funzioni. Rend.\ Acc.\ Lincei 1887.}
+
+% [** PP: Changed dependenti de linie to dipendenti da linee]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni dipendenti da linee. Ibid.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Delle variabili complessi negli iperspazii. Ibid.\ 1880.}
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni coniugate. Ibid.}
+
+%[** PP: Changed iperspaizi to iperspazii, loco to loro]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni di iperspazii e sui loro parametri diff. Ibid.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle equazioni differenziali che provengono da questioni di calcolo delle
+variazioni. Ibid.\ 1890.}
+
+%% -----File: 049.png---Folio 49-------
+
+% [** PP: Changed variazoni to variazioni]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sopra una estensione della % [** PP: Type delle]
+teoria Jacobi-Hamilton del calcolo delle
+variazioni. Ibid.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle variabili complesse negli iperspazii. Ibid.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sur une généralisation de la théorie des variables imaginaires. Acta Mathematica
+1889.}
+
+% [** PP: Changed Sulle inversione degli integrali definit to
+% Sulla inversione degli integrali definiti; Acti to Atti]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali definiti. Note~I, II, III, IV\@. Atti della R.
+Accademia di Torino 1896.}
+
+%[** PP: Changed Sulli to Sulla]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali definiti. Rend.\ Acc.\ Lincei 1896.}
+
+%[** PP: Changed Sulle to Sulla]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali multipli. Ibid.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti. Annali di Mat.\ 1897.}
+
+\end{Bibliographie}
+
+
+\Chapter{\Ord{8}{ième} leçon.}
+
+\phantomsection\label{section:8.1}%
+\Paragraph{1.} Il est bien souvent nécessaire de revenir sur la signification des mots dont
+on fait un usage continuel dans la science. C'est leur sort d'évoluer et par suite
+de se transformer et de se plier à tant d'exigences différentes que non seulement le
+sens primitif est quelquefois presque complètement évanoui, mais que la signification
+actuelle est très-difficile à découvrir lorsqu'on pense à la chercher. C'est ce qui
+arrive par rapport à la \emph{théorie générale des ondes}. Tout le monde en parle et tous
+parlent de son influence, en l'opposant à d'autres systèmes. Mais les limites
+en sont elles-marquées, et peut-on établir sous quelles conditions une classe de
+phénomènes s'explique par le système des ondes? Nous n'entrerons pas dans la discussion
+de ces questions qui mériteraient une étude approfondie; nous dirons seulement
+qu'une grande classe de phénomènes peuvent se grouper au point de vue analytique
+sous une même catégorie bien définie, car leurs équations différentielles du type
+hyperbolique ont des propriétés communes qui ressortent principalement de l'existence
+de caractéristiques réelles.
+
+On envisage par là une grande partie des phénomènes qu'on a l'habitude de
+regarder comme dépendant du système des ondes, mais on ne peut pas dire que
+sous cette classe d'équations différentielles on ait groupé tous les phénomènes qui
+se relient à la théorie des ondes. On peut citer, par exemple, les ondes des liquides
+incompressibles et pesants qui dépendent d'équations d'une autre nature. (Voir \hyperref[pgchapter:11]{\Ord{11}{ème}~leçon}). %[** Xref]
+Toujours est-il que l'étude des équations différentielles dont nous venons de
+parler forme une théorie que l'on peut envisager à part et approfondir par des
+méthodes générales qu'on est en train de perfectionner peu à peu. Par rapport à
+ces équations il faut dire qu'elles ont marqué le plus grand triomphe de la physique
+mathématique, car c'est l'analogie entre les équations des vibrations des corps
+%% -----File: 050.png---Folio 50-------
+élastiques et celles des champs électrodynamiques qui ont conduit à %[** PP: Typo a]
+la théorie
+électromagnétique de la lumière et aux expériences de Hertz.
+
+\Paragraph{2.} Nous envisageons dans cette leçon quelques équations qui rentrent dans
+cette catégorie, et nous examinons les plus simples. Elles peuvent servir à
+nous montrer d'une manière claire, sans entrer dans les détails, les propriétés
+principales et la portée des méthodes qu'on a tâché d'employer pour leur étude.
+Considérons les équations
+\[
+\tag{1}
+\frac{\partial^2v}{\partial x^2} - \frac{\partial^2v}{\partial y^2} = 0,\quad
+%
+\frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} - \frac{\partial^2v}{\partial z^2} = 0,\quad
+%
+\frac{\partial^2v}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2v}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2v}{\partial x_3^2} - \frac{\partial^2v}{\partial x_4^2} = 0\ldots.
+%[** PP: Added period]
+\]
+
+La première est celle qu'on appelle des cordes vibrantes, la seconde est celle
+des membranes vibrantes, la troisième des corps vibrants etc.\ et l'on peut les
+comparer avec les équations de Laplace à deux, trois, quatre variables indépendantes
+que nous avons déjà envisagées dans les leçons précédentes. On peut passer
+des unes aux autres par des transformations très-simples. C'est ainsi qu'en remplaçant
+dans la seconde par exemple $z$ par~$iz$, elle devient l'équation de Laplace à
+trois variables. Bien des propriétés peuvent se déduire par cette simple transformation.
+
+\phantomsection\label{section:8.3}%
+\Paragraph{3.} Nous voulons d'abord comparer deux formules qui nous montreront tout
+de suite le caractère des équations~(1) et celui de l'équation de Laplace. Le cas le
+plus frappant et en même temps le plus simple est relatif à trois variables, et l'on
+peut même considérer le cas plus général où le second membre n'est pas nul.
+Soit~$u$ %[** PP: Changed v to u]
+une fonction qui vérifie l'équation
+\[
+\tag{I}
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = f(x, y, z)
+\]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}[8]{l}{1.75in}%
+\raisebox{0.125in}[1.5in][0pt]{\Input{050a}{1.625in}}
+\end{wrapfigure}%
+et supposons qu'elle soit finie, continue et monodrome
+dans un domaine~$S$ limité par un contour~$\sigma$. Supposons
+que la fonction~$f$ soit aussi finie, continue et monodrome.
+La formule de Green donne la valeur de~$u$, dans un point~$M_i$
+de coordonnées $x_1, y_1, z_1$ interne au domaine, exprimée
+par les valeurs de~$u$ et de la dérivée de~$u$ par rapport
+à la normale au contour. Voici la formule
+\[
+\tag{2}
+u(x_1, y_1, z_1)
+ = -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma
+ \biggl( u \pderiv{\smfrac{1}{r}}{n}
+ - \pderiv{u}{n} \cdot \frac{1}{r} \biggr)\, d\sigma
+ - \frac{1}{4\pi} \int_S f \frac{1}{r}\, dS
+\]
+où $r = \sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 + (z_1 - z)^2}$, $x, y, z$ étant les coordonnées du point
+indice des intégrations. On suppose que la normale~$n$ soit dirigée vers la partie
+%% -----File: 051.png---Folio 51-------
+externe du domaine~$S$. %[** PP: S and handwritten marks?]
+Si le point de coordonnées $x_1, y_1, z_1$ au lieu d'être un point
+interne~$M_i$ est un point externe~$M_e$, la formule précédente devient
+\[
+\tag{3}
+0 = -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma
+ \biggl(u \pderiv{\smfrac{1}{r}}{n}
+ - \pderiv{u}{n} \frac{1}{r}\biggr)\, d\sigma
+ - \frac{1}{4\pi} \int_S f \frac{1}{r}\, dS.
+\]
+On peut par une simple transformation écrire la formule~(2) d'une autre manière.
+Intégrons et dérivons successivement le second membre par rapport à~$z_1$. On aura
+\[
+\tag{$2'$}
+u (x_1, y_1, z_1) = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma
+ \left(u \pderiv{\phi}{n} - \pderiv{u}{n} \phi\right) d\sigma
+ -\frac{1}{4\pi} \int_S f \phi\, dS \right\}
+\]
+où l'on a posé
+\[
+\tag{4}
+\phi = \log \left( \frac{z_1 - z}{\sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}}
+ + \sqrt{\frac{(z_1 - z)^2}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2} + 1} \right);
+\]
+de même la formule~(3) pourra s'écrire
+\[
+\tag{$3'$}
+0 = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma
+ \left( u \pderiv{\phi}{n} - \pderiv{u}{n} \phi\right) d\sigma
+ -\frac{1}{4\pi} \int_S f \phi\, dS \right\}. % [** PP: Added period]
+\]
+
+\Paragraph{4.} Indiquons maintenant la formule analogue à la formule~($2'$) pour l'équation
+\[
+\tag{II}
+ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
++ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
+- \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = f(x,y,z).
+\]
+
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/051ab.png.
+% In the original, the normal vectors are not orthogonal
+% to the surface.]
+\begin{wrapfigure}{r}{3.5in}%
+\Input{051a}{1.75in}\Input{051b}{1.75in}
+\end{wrapfigure}%
+Menons un cône de révolution
+à~$45°$ ayant pour axe une droite parallèle
+à l'axe~$z$ et pour sommet le
+point~$M_i$ dont les coordonnées sont
+$x_1\, y_1\, z_1$, et appelons~$\sigma'$ une surface
+simplement connexe découpée par
+le cône et ayant pour contour la
+ligne d'intersection avec le cône. Soit~$S'$
+l'espace compris entre le cône et
+la surface, $n$~étant la normale à la
+surface dirigée vers l'intérieur de
+l'espace~$S'$, soient $\cos nx, \cos ny, \cos nz$ les cosinus des angles qu'elle forme avec
+les axes coordonnés.
+%% -----File: 052.png---Folio 52-------
+
+Nous appelons (avec M.~d'Adhémar) \emph{conormale} la direction~$n'$ telle que
+\[
+\cos n'x = -\cos nx,\quad
+\cos n'y = -\cos ny,\quad
+\cos n'z = \cos nz.
+\]
+On aura alors
+\[
+\tag{5}
+v(x_1\, y_1\, z_1) = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
+ \left(v \pderiv{\phi'}{n'} - \pderiv{v}{n'} \phi' \right) d\sigma'
+ - \frac{1}{2\pi} \int_{S'} \phi' f\, dS' \right\}
+\]
+où
+\[
+\tag{6}
+\phi' = \log \left(\frac{z_1 - z}{\sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}}
+ + \sqrt{\frac{(z_1 - z)^2}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2} - 1}\;\right)
+\]
+en supposant $v$ et~$f$ finies, continues et monodromes, et $x, y, z$ étant les coordonnées
+du point indice des intégrations.
+
+\phantomsection\label{section:8.5}%
+\Paragraph{5.} Les deux formules $(2')$ et~(5) sont tout à fait correspondantes l'une à
+l'autre. C'est en les comparant et en remarquant leurs différences qu'on pourra se
+faire une idée des analogies et en même temps des propriétés différentes des équations
+(I) et~(II). D'abord on remarquera que dans la formule~$(2')$ la surface~$\sigma$ et
+l'espace~$S$ renferment le point où l'on détermine la fonction~$u$, tandis que dans la
+formule~(5) paraissent seulement les valeurs de~$v$ et de la dérivée conormale le
+long de la surface~$\sigma'$ découpée par le cône et les valeurs de~$f$ à l'intérieur de~$S'$.
+Dans la formule~$(2')$ les espaces où l'on calcule les intégrales sont toujours les
+mêmes quel que soit~$M_i$. Dans la formule~(5) ils changent en déplaçant~$M_i$. Les
+cônes de révolution à~$45°$ ayant l'axe parallèle à~$z$ jouent donc dans ce cas un
+rôle considérable. Ils sont en effet les cônes caractéristiques.
+
+En général lorsqu'on envisage une équation linéaire à coefficients constants
+de \Ord{2}{ième}~ordre % [** PP: Typo 2^{ème}]
+\[
+\sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^n a_{rs} \frac{\partial^2 u}{\partial x_r \partial x_s}
+ + \sum_{i=1}^n b_i \pderiv{u}{x_i} + ku = 0,
+\]
+les surfaces ayant pour équations dans l'hyperespace $x_1, x_2 \dotsc x_n$
+\[
+\textstyle{\sum_r \sum_s} a_{rs} (x_r - x^0_r) (x_s - x^0_s) = 0,
+\]
+où $x^0_1 \dotsc x^0_s$ sont des quantités constantes, s'appellent les cônes caractéristiques.
+
+Or par rapport à l'équation~(I) les cônes ont pour équation
+\[
+(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = 0,
+\]
+c'est pourquoi ils sont imaginaires, tandis que pour l'équation~(II) les cônes sont
+représentés par
+\[
+(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 - (z - z_0)^2 = 0.
+\]
+%% -----File: 053.png---Folio 53-------
+
+Ils sont réels et sont justement les cônes de révolution à~$45°$ que nous
+avons envisagés.
+
+\Paragraph{6.} Une autre particularité qu'il faut mettre en évidence est que dans la
+formule~$(2')$ les valeurs $u$ et~$\pderiv{u}{n}$ au contour ne sont pas indépendantes entre elles. %[** PP: Added period]
+Si les valeurs de $u$ sont données, les valeurs de $\smash[t]{\pderiv{u}{n}}$ sont déterminées aussi.
+
+La chose est bien différente dans le cas de la formule~(5). Pour certaines
+surfaces~$\sigma$ les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{n}$ sont indépendantes, tandis que pour d'autres
+surfaces ou certaines parties d'une surface elles sont indépendantes et pour d'autres
+ne le sont pas. Nous aurons l'occasion de revenir sur ce point.
+
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/053ab.png.
+% In the original, the normal vectors are not orthogonal to
+% the surface, the cone axis is not parallel to the z-axis,
+% and the cone is not a 45° cone.]
+\begin{wrapfigure}[8]{r}{2.5in}% [**** Explicit height]
+\raisebox{0.125in}[1.625in][0pt]{\Input{053a}{2.5in}}
+\end{wrapfigure}
+\Paragraph{7.} On peut chercher une formule qui corresponde
+à la formule~$(3')$ et il est bien facile
+de la trouver.
+
+Soit $\sigma'$ une surface interne au cône, et soit
+$S'$ un domaine compris entre $\sigma'$ et la surface
+du cône, mais supposons que le sommet~$M_e$
+du cône soit un point externe au domaine~$S'$.
+
+On aura alors
+\[
+\tag{7}
+0 = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
+ \left(u \pderiv{\phi'}{n'} - \pderiv{u}{n'} \phi'\right) d\sigma
+%[** PP: Not breaking, so no trailing operator -]
+ - \frac{1}{2\pi} \int_{S'} \phi' f\, dS' \right\}
+\]
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/053ab.png.
+% In the original, the normal vectors are not orthogonal to
+% the surface, the cone axis is not parallel to the z-axis,
+% and the cone is not a 45° cone.]
+\begin{wrapfigure}[10]{r}{2.5in}% [**** Explicit height]
+\raisebox{2ex}[1.75in][0pt]{\Input{053b}{2.5in}}
+\end{wrapfigure}
+où $n'$~représente toujours la conormale de la surface~$\sigma'$.
+
+\Paragraph{8.} En calculant la dérivée par rapport
+à $z_1$ qui paraît dans le second membre de
+l'équation~$(2')$ on revient à la formule originaire~(2).
+
+Le calcul analogue dans la formule~(5) n'est pas aussi simple, parce qu'une
+variation des coordonnées $x_1, y_1, z_1$ du point~$M_i$ change la surface~$\sigma'$ découpée par
+le cône caractéristique. C'est pourquoi il est évident que la dérivation ne peut
+pas être faite directement sous les intégrales. La dérivée peut cependant se calculer
+très facilement dans le second et dans le troisième terme du second membre
+et par là la formule~(5) peut s'écrire de la manière suivante
+%% -----File: 054.png---Folio 54-------
+{\small
+\[
+\Lmargintag{$5'$}
+\left\{
+\begin{aligned}
+v(x_1, y_1, z_1) &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}}
+\Trail{\cdot} \\ % [** PP: Added missing trailing operator]
+%
+&\quad\left(\cos nz - \frac{z_1 - z}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}
+ \bigl[(x - x_1) \cos nx + (y - y_1) \cos ny \bigr] \right) v\, d\sigma'
+\Trail{+} \\
+%
+ &+ \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}}
+ \pderiv{v}{n'}\, d\sigma'
+\Trail{-} \\
+%
+ &- \frac{1}{2\pi} \int_{S'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}} f\, dS'.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+}% [** End of \small]
+
+La formule~(7) peut se transformer de même. Dans ce cas le premier membre
+est nul.
+
+\Paragraph{9.} Revenons maintenant à la formule~(2). Le second membre peut se décomposer
+en deux termes. La première intégrale étendue à la surface~$\sigma$ exprime
+évidemment une fonction harmonique, c'est à dire qui vérifie l'équation de Laplace
+à l'intérieur de~$S$, c'est pourquoi si l'on prend
+\[
+W(x_1\, y_1\, z_1) = \int \frac{f\, dS}{z}%[** PP: Preserved lack of commas]
+\]
+on a
+\[
+ \frac{\partial^2 W}{\partial x_1^2}
++ \frac{\partial^2 W}{\partial y_1^2}
++ \frac{\partial^2 W}{\partial z_1^2}
+= -4 \pi f(x_1\, y_1\, z_1),%[** PP: Preserved lack of commas]
+\]
+formule qui correspond à un théorème célèbre de Poisson. De même prenons la
+formule~$(5')$ et considérons la dernière partie du second membre, c'est à dire
+\[
+W'(x_1\, y_1\, z_1) = \int_S \frac{f\, dS}{\sqrt{(x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2 - (z_1 - z)^2}}.
+\]
+
+Puisque, comme on le vérifie facilement, la première partie du second membre
+satisfait à l'équation~(II) où l'on suppose nul le second membre, on voit tout de
+suite que
+\[
+ \frac{\partial^2 W'}{\partial x_1^2}
++ \frac{\partial^2 W'}{\partial y_1^2}
+- \frac{\partial^2 W'}{\partial z_1^2}
+= -2\pi f(x_1\, y_1\, z_1).
+\]
+
+On a par là un théorème qui a bien des rapports avec celui de Poisson.
+Dans le cas de Poisson l'intégrale doit être étendue toujours au même espace~$S$,
+dans le théorème que nous venons d'énoncer l'intégrale est étendue à la partie
+%% -----File: 055.png---Folio 55-------
+d'un espace qui est intérieur au cône caractéristique ayant pour sommet le point
+$x_1\, y_1\, z_1$.
+
+Par la formule~(2) on peut facilement déduire les discontinuités relatives aux
+dérivées des potentiels des surfaces et les discontinuités des potentiels des doubles
+couches. On obtient des formules semblables en employant la formule~$(5')$ d'une
+manière analogue.
+
+\Paragraph{10.} Nous avons jusqu'à présent envisagé l'espace interne au cône, mais pour
+l'espace externe au cône on peut établir de nouvelles formules qui n'ont pas de
+correspondantes dans le cas de l'équation de Laplace.
+
+Menons le cône caractéristique ayant pour sommet le point~$M$ de coordonnées
+$x_1\, y_1\, z_1$.
+
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/055a.png.
+% In the original, the cone is not a 45° cone.]
+\begin{wrapfigure}[9]{l}{2.5in}% [**** Explicit height]
+\Input{055a}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+Soit $\sigma''$ une surface externe au cône et
+découpée par le cône, et supposons que $S''$ soit
+un domaine externe au cône limité par~$\sigma''$ et
+par la surface du cône. $n$~étant la normale à
+la surface~$\sigma''$ dirigée vers l'intérieur de~$S''$, appelons
+$n''$ la conormale. Posons pour simplifier
+\begin{gather*}
+\rho = \sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2} \\
+\cos n\rho = \frac{x-x_1}{\rho} \cos nx + \frac{y-y_1}{\rho} \cos ny.
+\end{gather*}
+
+Enfin supposons que dans le domaine~$S''$, $v$ et~$f$ soient finies, continues et
+monodromes. Alors on aura
+\iffalse%%%%%%%%%%%%% DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% [** PP: See preamble for definition of \Lorentz]
+{\small
+\[
+\Lmargintag{8}
+\left\{
+\begin{split}
+&v(x_1\, y_1\, z_1) = - \frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''}
+ \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\Lorentz}} v\, d\sigma'' \\ % [** -]
+%
+&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''}
+ \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \\ % [** .]
+%
+&\quad \cdot \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma''
+ -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \\ % [** .]
+%
+&\quad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''
+ + \frac{1}{2\pi^2} \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \\ % [** .]
+%
+&\quad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)f\, dS''.
+\end{split}
+\right.
+\]
+}% **** End \small
+\fi %%%%%%%%%%%%%%%%%END DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%
+%[** PP: Re-breaking, added trailing operators]
+\[
+\tag{8}
+\left\{
+\begin{aligned}
+v(x_1\, y_1\, z_1)
+ &= - \frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''}
+ \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\Lorentz}} v\, d\sigma''
+\Trail{-} \\[2ex]
+%
+&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1}
+ \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
+\Trail{\cdot} \\
+%%
+&\quad\qquad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)
+\Trail{\cdot} \\
+%
+&\quad\qquad
+ \cdot \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma''
+\Trail{-} \\[2ex]
+%%
+&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
+\Trail{\cdot} \\
+%
+&\quad\qquad
+ \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''
+\Trail{+} \\[2ex]
+%%
+&\quad +\frac{1}{2\pi^2} \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
+\Trail{\cdot} \\
+%
+&\quad\qquad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)f\, dS'',
+% [** PP: Changed period to comma]
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+%% -----File: 056.png---Folio 56-------
+où $x, y, z$ sont les coordonnées du point indice des intégrations. Si nous écrivons
+dans le cas de l'espace externe une expression tout à fait analogue à celle qui
+paraît dans le second membre de l'équation (5) ou~$(5')$, on ne trouve pas la valeur
+de~$v$ au sommet du cône, mais une valeur nulle. On a donc:
+\iffalse%%%%%%%%%%%%% DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
+{\small
+\[
+\Lmargintag{9}
+\left\{
+\begin{aligned}
+0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
+ \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2}
+ \bigl[(x-x_1) \cos nx + (y-y_1) \cos ny\bigr]\right) v\, d\sigma'' \\ % [** +]
+%
+&\quad
+ \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''
+- \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} f\, dS''.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+}% end \small
+\fi%%%%%%%%%%%%% END OF DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\[ %[** PP: Re-breaking, added trailing operators]
+\Lmargintag{9}
+\left\{
+\begin{aligned}
+0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
+\Trail{\cdot} \\
+ &\quad\qquad\Trail{\cdot}
+ \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2}
+ \bigl[(x-x_1) \cos nx + (y-y_1) \cos ny\bigr]\right) v\, d\sigma''
+\Trail{+} \\
+%
+&\quad + \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''
+\Trail{-} \\
+&\quad - \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} f\, dS''.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+\Paragraph{11.} Particularisons maintenant les formules générales. On peut commencer
+par supposer $f = 0$. Il est évident alors que dans les formules précédentes tous
+les termes où paraît cette quantité s'évanouissent. Elles se rapportent alors aux
+intégrales de l'équation
+\[
+\tag{III}
+ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
++ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
+- \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = 0.
+\]
+C'est pourquoi les formules $(5')\, (9)\, (8)$ deviennent des formules correspondantes,
+mais d'une nature complètement différente, aux formules bien connues des fonctions
+harmoniques, c'est à dire des intégrales de l'équation de Laplace. Elles s'écriront
+alors
+\[
+\Lmargintag{10}
+\left\{
+\begin{aligned}
+v(x_1\, y_1\, z_1) &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}
+ \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right)v \,d\sigma'
+\Trail{+} \\
+&\quad + \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} \pderiv{v}{n'}\, d\sigma'.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+%%
+\[ % [** PP: Re-breaking]
+\tag{11}
+\left\{
+\begin{aligned}
+0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}
+ \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) d\sigma''
+\Trail{+} \\
+&\quad + \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma''}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+%%
+{\small
+\[
+\Lmargintag{12}
+\left\{
+\begin{aligned}
+&v(x_1\, y_1\, z_1) = -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''}
+ \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}} v\, d\sigma''
+\Trail{-} \\
+%
+&\qquad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''}
+ \frac{1}{\sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}} \log \frac{\rho^2 - (z-z_1)^2}{\rho}
+ \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma''
+\Trail{-} \\
+%
+&\qquad -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}}
+ \log\left(\frac{\rho^2 - (z-z_1)^2}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+}% [** End of \small]
+%% -----File: 057.png---Folio 57-------
+
+\Paragraph{12.} On peut ensuite particulariser la forme des surfaces $\sigma'$ et~$\sigma''$. Supposons
+d'abord que la surface~$\sigma'$ soit le plan coordonné~$xy$, et supposons $z_1 > z = 0$.
+
+Alors la formule~(10) devient
+\[
+\tag{13}
+\left\{
+\begin{aligned}
+v(x_1\, y_1\, z_1)
+ &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - (x_1-x)^2 - (y_1-y)^2}} v\, d\sigma'
+\Trail{+} \\
+ &+ \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - (x_1-x)^2 - (y_1-y)^2}}\,
+ \pderiv{v}{z}\, d\sigma',
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+car la normale~$n$ et la conormale~$n'$ coïncident avec~$z$.
+
+%[Illustrations]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/057a.png.
+% In the original, the cone is not a 45° cone.]
+\begin{wrapfigure}{r}{1.75in}
+\Input{057a}{1.75in}
+\end{wrapfigure}
+Dans ce cas, $v$ et~$\pderiv{v}{z}$ sont indépendants entre
+eux (Voir §~6). Cette formule nous donne l'intégrale % [** Xref]
+générale de l'équation~(III) sous une forme bien
+connue qu'on appelle de Poisson-Parseval.
+
+On trouve une formule tout à fait
+analogue si l'on suppose que le point~$M_i$ soit
+au-dessous du plan~$xy$. % [** PP: Typo $xz$]
+
+Supposons maintenant que la surface~$\sigma'$
+devienne un cylindre indéfini~$\gamma$ ayant
+les génératrices parallèles à l'axe~$z$ et
+aussi que la coordonnée~$z_1$ du point~$M_i$
+soit supérieure aux coordonnées~$z$ des
+points de~$\gamma$. Enfin supposons que $v$ soit
+nulle pour toutes les valeurs de~$z$ inférieures
+à une certaine limite~$-Z$.
+
+Dans ce cas la formule~(10) deviendra
+{\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{\small}{\footnotesize}
+\[
+\Lmargintag{14}
+v(x_1\, y_1\, z_1) = \frac{1}{2\pi} \int_s ds
+ \left\{ \frac{\delta}{\delta n}
+ \int_\rho^\infty v(x, y, z_1-\xi)\, \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2-\rho^2}}
+ - \pderiv{}{n}
+ \int_\rho^\infty v(x, y, z_1-\xi)\, \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2-\rho^2}}
+\right\},
+\]
+}% [** End of \small]
+\begin{wrapfigure}{r}{2.75in}
+\Input{057b}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+où l'on suppose que
+\[
+\rho = \sqrt{x^2 + y^2},
+\]
+$s$ étant l'intersection du cylindre~$\gamma$ avec un plan parallèle au plan~$xy$, et $x, y$ étant
+les coordonnées des points de la ligne~$s$.
+%% -----File: 058.png---Folio 58-------
+
+Par rapport aux dérivées normales représentées par les symboles $\pderiv{}{n}$ et $\dfrac{\delta}{\delta n}$ nous
+convenons que si~$f$ est une fonction de $x, y, \rho$ et que si l'on regarde ces quantités
+comme des variables indépendantes
+\begin{align*}
+\frac{\delta f}{\delta n}
+%[** PP: Changed \pderiv{f}{z} to \pderiv{f}{x}]
+ &= \pderiv{f}{x} \pderiv{x}{n}
+ + \pderiv{f}{y} \pderiv{y}{n} \\
+\frac{\delta f}{\delta n} &= \pderiv{f}{\rho} \pderiv{\rho}{n}. % [** PP: Added period]
+\end{align*}
+
+%[Illustrations]
+\begin{wrapfigure}[6]{l}{2.75in}% [**** Explicit height]
+\raisebox{0.5in}[1.5in][0pt]{\Input{058a}{2.5in}}
+\end{wrapfigure}
+Dans ce cas les valeurs de~$v$ et de la dérivée normale de~$v$ sur le cylindre ne
+sont pas indépendantes entre elles.
+
+\Paragraph{13.} On peut enfin imaginer un cas
+mixte des deux précédents où la surface~$\sigma'$
+est constituée en partie par un cylindre~$\gamma$
+et en partie par un plan parallèle au
+plan~$xy$. Alors le second membre de la
+formule~(10) est constitué de deux parties
+dont l'une a la forme du second membre
+de l'équation~(14) et l'autre celle du second
+membre de l'équation~(13). Sur $\gamma$ les valeurs
+de~$v$ et de la dérivée normale ne
+sont pas indépendantes, tandis qu'elles
+sont indépendantes sur le plan~$\omega$.
+
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/058b.png.
+% In the original, the cone is not a 45° cone.]
+\begin{wrapfigure}[9]{l}[0.25in]{2.75in} % [**** Explicit height]
+\raisebox{0.125in}[1.875in][0pt]{\Input{058b}{2.625in}}
+\end{wrapfigure}
+\Paragraph{14.} Les formules (8) et~(9) peuvent
+aussi se particulariser en supposant que
+$\sigma''$ se réduise à une surface cylindrique
+ayant les génératrices parallèles à l'axe~$z$,
+et alors elles deviennent respectivement
+{\small
+\[
+\Lmargintag{15}
+\left\{
+\begin{aligned}
+0 &= \int_s ds \left\{ \pderiv{}{n}
+ \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)\,
+ \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right.
+\Trail{-} \\
+%
+ &\quad \left. -\frac{\delta}{\delta n}
+ \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)\,
+ \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right\}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+}% [** End of \small]
+%% -----File: 059.png---Folio 59-------
+\[
+\Lmargintag{16}
+\left\{
+\begin{aligned}
+v(x_1, y_1, z_1) &= \frac{1}{2\pi^2} \int_s ds
+ \left\{ \pderiv{}{n} \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)
+ \log \left(\frac{\rho^2 - \xi^2}{\rho}\right)\,
+ \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right.
+\Trail{-} \\
+%
+ &\quad
+ -\left.\frac{\delta}{\delta n} \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)
+ \log \left(\frac{\rho^2 - \xi^2}{\rho}\right)\,
+ \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right\}.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+Dans ce cas $v$ et~$\pderiv{v}{n}$ ne sont pas indépendants.
+
+
+\Chapter{\Ord{9}{ième} leçon.}
+
+\Paragraph{15.} Dans le §~13 nous avons envisagé le cas mixte où sur~$\omega$ les valeurs de~$v$ et
+de~$\pderiv{v}{n}$ sont indépendantes entre elles, tandis qu'elles ne sont pas indépendantes sur
+la surface cylindrique~$\gamma$. Sur cette surface il suffit de donner les valeurs de~$v$ ou de
+$\pderiv{n}{n}$ pour déterminer $v(x_1\, y_1\, z_1)$. Il faut donc tâcher d'éliminer les valeurs de~$\pderiv{v}{n}$
+ou de~$v$ sur~$\gamma$. On peut atteindre le but dans certains cas très-aisément, et nous
+allons les approfondir pour montrer que la célèbre méthode des images découverte
+par Lord Kelvin pour l'intégration de l'équation de Laplace peut être aussi employée
+quelquefois pour les équations analogues ayant les cônes caractéristiques réels.
+On trouve par là un résultat complètement inattendu, c'est à dire que lorsqu'on % [** PP: Typo l'orsqu' on]
+envisage les équations à caractéristiques réelles, même dans le cas où l'on a un
+nombre infini d'images, la solution peut ne pas être donnée par des séries infinies,
+mais par un nombre fini de termes. Ce résultat semble au premier abord paradoxal,
+mais il tient à ce que dans chaque cas le nombre des images dont on a
+besoin est fini en vertu de la réalité des cônes caractéristiques.
+
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/059a.png.
+% In the original, the cone is not a 45° cone.]
+\begin{wrapfigure}[8]{r}{3in}% [**** Explicit height]
+\qquad\raisebox{0.0625in}[1.25in][0pt]{\Input{059a}{2.5in}}
+\end{wrapfigure}
+Supposons que la surface
+cylindrique~$\gamma$ se réduise au plan~$yz$
+($z>0$) et~$\omega$ au plan~$xy$ ($x>0$),
+c'est à dire que $\omega$ soit un segment
+d'un cercle et $\gamma$ un segment
+d'hyperbole.
+
+Dans ce cas la formule~($5'$) s'écrit
+\smallskip
+%% -----File: 060.png---Folio 60-------
+% [** PP: Re-breaking, added trailing operators]
+\[
+\tag{17}
+\left\{
+\begin{aligned}
+v(x_1\, y_1\, z_1)
+&= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}} v\, d\omega
+ + \frac{1}{2\pi}
+ \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{z}\, d\omega
+\Trail{-} \\
+%%
+&\quad -\frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\,
+ \frac{z_1 - z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma
+\Trail{-} \\
+%
+&\quad -\frac{1}{2\pi}
+ \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\,
+ \pderiv{v}{x}\, d\gamma.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+Or pour éliminer les valeurs de~$v$ ou de $\smash[b]{\pderiv{v}{x}}$ sur $\gamma$ on peut se servir de la
+méthode des images.
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/060a.png.
+% In the original, the cone is not a 45° cone.]
+\begin{center}
+\Input{060a}{}
+\end{center}
+
+Soit $M'_i$ l'image optique du point~$M_i$ réfléchi par le plan~$yz$. Menons le cône
+caractéristique qui a pour sommet~$M'_i$. Il découpera sur le plan~$yz$ le segment
+d'hyperbole~$\gamma$ et sur la partie du plan~$xy$ ($x>0$) un segment de cercle~$\omega'$. Si
+nous appliquons la formule~(7), transformée convenablement, à l'ensemble des surfaces
+$\omega'$ et~$\gamma$ on trouvera
+%[** PP: Changed total derivative to partial derivative three times (##)]
+\[
+\tag{18}
+\left\{
+\begin{aligned}
+0 &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_{\omega'} \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - {\rho'}^2}} v\, d\omega'
+ + \frac{1}{2\pi}
+ \int_{\omega'} \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - {\rho'}^2}}\,
+ \pderiv{v}{z}\, d\omega' %##
+\Trail{+} \\
+%
+ &\quad
+ + \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - {\rho'}^2}}\,
+ \frac{z_1 - z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma
+\Trail{-} \\
+%
+ &\quad
+ - \frac{1}{2\pi} \int_\gamma
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\,
+ \pderiv{v}{x}\, d\gamma %##
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+où
+\[
+{\rho'}^2 = (x_1 + x)^2 + (y_1 - y)^2.
+\]
+
+En ajoutant les deux formules (17) et~(18) on élimine $v$ dans l'intégrale étendue % [** PP: Typo étendre]
+à~$\gamma$, et par soustraction on élimine~$\pderiv{v}{x}$. La méthode des images conduit donc %##
+%% -----File: 061.png---Folio 61-------
+bien aisément au résultat qu'on cherchait. Passons maintenant au cas des images
+successives. Admettons que la surface~$\gamma$ soit constituée par les segments d'hyperboles
+$\gamma'$ et~$\gamma''$ découpés par la nappe inférieure du cône ayant pour sommet~$M_i$ sur les demi-plans
+$x=0$, $x=a$ ($a>0$) qui sont au-dessus %[** PP: Typo audessus]
+du plan~$xy$. Soit $\omega$ la partie de la
+bande du plan~$xy$ comprise entre les plans $x = 0$, $x = a$ et renfermée à l'intérieur
+du cône.
+
+Dans ce cas la formule~$(2')$ s'écrit % [** PP: Typo (2^1)]
+{\small
+\begin{align*} % [** PP: Omitted left brace]
+&v(x_1\, y_1\, z_1)
+ = \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}} v\, d\omega
+ + \frac{1}{2\pi} \int_\omega
+ \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{z}\, d\omega
+\Trail{-} \\
+%
+&\quad
+ - \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_{\gamma'} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\,
+ \frac{z_1-z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma'
+ - \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{x}\, d\gamma'
+\Trail{-} \\
+%
+&\quad
+ - \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_{\gamma''} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\,
+ \frac{z_1-z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma''
+ + \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma''}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{x}\, d\gamma''.
+\end{align*}
+}% End of \small
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/061a.png.
+% In the original, the cone is not a 45° cone.]
+\begin{center}
+\Input{061a}{3.5in}
+\end{center}
+
+Dans cette formule les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{x}$ sur $\gamma'$ et~$\gamma''$ ne sont pas indépendantes,
+c'est pourquoi l'on peut tâcher d'employer la méthode des images pour
+éliminer les unes ou les autres.
+
+A cet effet prenons les images de~$M_i$ par rapport aux plans $\gamma'$ et~$\gamma''$ et ensuite
+les images de ces images par rapport aux mêmes plans, et ainsi de suite indéfiniment.
+Le nombre des images qu'on obtient est évidemment infini, mais il est intéressant
+de remarquer qu'il n'est pas nécessaire de les employer toutes, car un
+nombre fini d'entre elles suffit pour la solution du problème. Menons les cônes caractéristiques
+dont les sommets sont les images que nous avons construites, et envisageons
+les nappes inférieures de ces cônes, c'est à dire celles qui sont dirigées du côté
+négatif de l'axe~$z$. Tous les cônes dont les sommets ont une distance des plans $\gamma'$
+et~$\gamma''$ supérieure à~$z$, ne rencontrent ces plans qu'au-dessous du plan~$\omega$, c'est
+pourquoi il n'est pas nécessaire de les envisager. Il est clair donc qu'on pourra
+%% -----File: 062.png---Folio 62-------
+éliminer les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{x}$ sur $\gamma'$ et~$\gamma''$ en faisant usage seulement des
+images qui sont à une distance de ces plans inférieure à~$z_1$. En employant donc
+dans ce cas la méthode des images, on ne trouvera pas des séries infinies, mais la
+solution du problème sera donnée par un nombre fini de termes.
+
+Au lieu des trois plans $\omega$, $\gamma'$, $\gamma''$ on peut en avoir cinq, dont quatre sont perpendiculaires
+au plan $xy$, et le rencontrent en formant les côtés d'un rectangle.
+La solution s'obtient toujours de la même manière par un nombre fini de termes.
+Si~$v$ s'annule %[** PP: Typo annulle]
+sur les quatre plans perpendiculaires à~$xy$, on obtient une solution
+du problème bien connu des vibrations d'une membrane plane, fixée dans un cadre
+rectangulaire sans avoir besoin de recourir à des séries, mais par des intégrales
+définies.
+
+\Paragraph{16.} On peut chercher à étendre les résultats que nous avons indiqués au
+cas des équations~(1) à quatre, cinq etc.\ variables. Il suffit pour cela d'envisager
+des hyperespaces à $4, 5, \dotsc$ dimensions. Les cônes caractéristiques ont $3, 4 \dotsc$
+dimensions. Au lieu des surfaces $\sigma'$, $\sigma''$ il faut envisager des espaces à $3, 4 \dotsc$
+dimensions. Tout cela se conçoit très-bien. Mais si l'on passe de trois à quatre
+variables on arrive à un résultat inattendu, c'est à dire que les choses au lieu de se
+compliquer deviennent à un certain point de vue plus simples. En effet, on %[** PP: Typo ou]
+trouve
+des formules où la valeur de l'intégrale au sommet du cône dépend seulement des
+valeurs de la même fonction et de ses dérivées dans les intersections des cônes
+caractéristiques avec les espaces analogues aux surfaces $\sigma'$ et~$\sigma''$. Il n'y a pas
+deux formules des types (2) et~(8), mais une seule formule.
+
+En général, le cas de deux variables excepté, les choses se présentent d'une
+manière différente si l'on a un nombre pair ou si l'on a un nombre impair de
+variables, et le cas le plus simple est celui d'un nombre pair. Tout cela lorsque
+les équations ont une forme aussi simple que les équations~(1). Si les équations
+avaient, par exemple, des termes de premier ordre la chose changerait.
+
+\Paragraph{17.} Nous n'entrerons pas dans les détails sur ce sujet qui sont très-compliqués.
+Nous renvoyons pour cela aux travaux de M.~Tedone, de M.~Coulon, de M.~d'Adhémar
+et de M.~Hadamard. Je rapporterai seulement les formules qu'on a
+dans le cas de quatre variables et qui ont été données pour la première fois par
+Kirchhoff, qui en a déduit avec rigueur le principe de Huyghens.
+
+Écrivons l'équation à quatre variables sous la forme
+\[
+\tag{19}
+\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}
+ = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
+ + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
+ + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}
+\]
+%% -----File: 063.png---Folio 63-------
+et envisageons $x, y, z$ comme les coordonnées des points de l'espace à 3~dimensions.
+$t$~peut être envisagée comme une quatrième variable, qui dans les questions
+de la physique mathématique est le temps.
+
+$\sigma$~étant le contour de l'espace~$S$ à l'intérieur duquel se trouve un point~$M_1$
+de coordonnées $x_1, y_1, z_1$ on a
+\[
+v(x_1, y_1, z_1, t)
+ = \frac{1}{4\pi} \int_\sigma \left\{
+ \pderiv{}{n} \left(\frac{v(x, y, z, t-r)}{r}\right)
+ - \frac{\delta}{\delta n} \left(\frac{v(x_1, y_1, z_1, t-r)}{r}\right)
+\right\} d\sigma
+\]
+où $r = \sqrt{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2 + (z_1-z)^2}$, $n$~est la normale interne à la surface~$\sigma$ et
+les symboles $\pderiv{f}{n}$ et~$\dfrac{\delta f}{\delta n}$ représentent par rapport à une fonction $f(x, y, z, r)$
+\[
+\pderiv{f}{n} = \pderiv{f}{r} \pderiv{r}{n},\quad
+\frac{\delta f}{\delta n}
+ = \pderiv{f}{x} \pderiv{x}{n}
+ + \pderiv{f}{y} \pderiv{y}{n}
+ + \pderiv{f}{z} \pderiv{z}{n}
+\]
+en regardant $x, y, z, r$ comme des variables indépendantes. Si la surface~$\sigma$ se
+réduit à une sphère ayant pour centre le point~$M_1$, la formule précédente se
+particularise et devient l'intégrale générale de l'équation~(19) donnée par Poisson.
+
+\Paragraph{18.} Le succès de la méthode de Kirchhoff est dû à l'emploi des méthodes de
+Green et à l'existence de l'intégrale % [** PP: Remove period]
+\[
+\tag{20}
+\frac{f(r ± t)}{r}
+\]
+de l'équation~(19), où $f$ est une fonction arbitraire. Pour toutes les équations pour
+lesquelles existent des intégrales de la même nature, qui n'ont d'autres points
+singuliers que $r = 0$, on peut procéder par des méthodes analogues à celles de
+Kirchhoff.
+
+Voyons si l'équation à trois variables qu'on peut écrire
+\[
+\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}
+ = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
+ + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
+\]
+possède une intégrale de la forme précédente, c'est à dire de la forme $\THETA f(\rho ± t)$
+où $\THETA$ est une quantité indépendante de~$t$,
+\[
+\rho = \sqrt{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2}
+\]
+et $f$ est une fonction arbitraire. En posant
+\[
+x_1 - x = \rho \cos \alpha,\quad
+y_1 - y = \rho \sin \alpha
+\]
+on trouve l'intégrale
+%% -----File: 064.png---Folio 64-------
+\[
+\tag{21}
+\frac{A \sin \frac{1}{2} \alpha + B \cos \frac{1}{2} \alpha}{\sqrt{r}}\, f(\rho ± t).
+\]
+
+Il paraît donc tout naturel que, même dans ce cas, on puisse employer cette
+intégrale en suivant les méthodes de Kirchhoff. Mais il est facile de se persuader
+que l'intégrale précédente est polydrome. Or les méthodes de Kirchhoff étant
+fondées sur celles de Green, c'est à dire sur le théorème de Gauss, dont nous avons
+parlé dans la deuxième leçon, on ne peut pas les employer dans ce cas.
+
+Il faut donc recourir à d'autres méthodes ou à d'autres intégrales dans le
+cas de l'équation à trois variables, et cela explique pourquoi les résultats étaient
+plus simples et aussi plus faciles à trouver dans le cas de quatre variables que
+dans celui de trois variables. C'est pourquoi le cas de 4~variables a été le premier
+à être résolu après celui tout à fait élémentaire de deux variables. Nous voyons
+quel rôle joue la polydromie des intégrales dans le cas des équations à caractéristiques
+réelles par l'exemple très simple que nous avons envisagé.
+
+\Paragraph{19.} Weierstrass a découvert une méthode pour donner l'intégrale générale
+des équations et des systèmes d'équations aux dérivées partielles à coefficients
+constants. Cette méthode a paru maintenant dans les {\oe}uvres de Weierstrass;
+mais dès l'année 1881 il l'avait communiquée à \Mme\ Kowalewski qui chercha à
+l'employer pour intégrer les équations des vibrations de la lumière dans les
+milieux biréfringents.
+
+Supposons que
+\[
+\tag{22}
+\THETA (u, v, w) = t
+\]
+soit l'équation d'une surface fermée telle que toute droite qui part de l'origine ne
+la rencontre que dans un seul point, et supposons qu'on ait
+\[
+\THETA (Kx, Ky, Kz) = K \THETA (x, y, z).
+\]
+
+Par
+\[
+\int f(u, v, w)\, d\omega
+\]
+représentons une intégrale étendue à l'espace renfermé entre deux surfaces~(22)
+correspondantes aux valeurs $t_0$ et~$t$ de~$t$, dont la première est constante.
+
+Les formules fondamentales découvertes par Weierstrass sont les suivantes.
+
+Si
+\[
+\tag{23}
+F(x, y, z, t) = D_t \int \phi (u, v, w) f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega
+\]
+on a
+%% -----File: 065.png---Folio 65-------
+\[
+\Lmargintag{24}
+\left\{
+\begin{aligned}
+D_x F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{u} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{u} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\
+D_y F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{v} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{v} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\
+D_z F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{w} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{w} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\
+D_t F &= D^2_t \int \phi f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+où $D_\alpha$ est le symbole de dérivation par rapport à~$\alpha$. On calcule de même les
+dérivées successives de~$F$, et l'on tâche de prendre $\THETA$ et~$\phi$ de manière que les
+dérivées d'un certain ordre vérifient une relation linéaire à coefficients constants.
+On trouve alors une intégrale de l'équation ayant la forme~(23) avec la fonction
+arbitraire~$f$. De là on passe à l'intégrale générale. La méthode est analogue
+dans le cas des systèmes d'équations différentielles.
+
+Or envisageons la fonction
+\[
+\psi(u,v,w,t) = \phi(u,v,w) \Phi(t - \THETA)
+\]
+où $\Phi$ est une fonction arbitraire. On aura les formules suivantes
+\[
+\tag{$24'$}
+\left\{
+\begin{aligned}
+\pderiv{\psi}{u} &= -\phi \pderiv{\THETA}{u}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{u}\, \Phi(t-\THETA) \\
+\pderiv{\psi}{v} &= -\phi \pderiv{\THETA}{v}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{v}\, \Phi(t-\THETA) \\
+\pderiv{\psi}{w} &= -\phi \pderiv{\THETA}{w}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{w}\, \Phi(t-\THETA) \\
+\pderiv{\psi}{t} &= \phantom{-}\phi \Phi'(t-\THETA).
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+Comparons les trois premières équations~(24) et les trois premières équations~$(24')$.
+Les coefficients de $f$ sous les intégrales des égalités~(24) sont égaux et de
+signe contraire aux coefficients de $\Phi$ et~$\Phi'$ dans les égalités~$(24')$. On ne trouve
+pas de changement de signe en comparant la dernière des équations~(24) avec la
+dernière des équations~$(24')$.
+
+On en déduit bien aisément la propriété suivante. Posons
+\[
+\frac{\partial^n \psi}{\partial u^{h_1}\, \partial v^{h_2}\, \partial w^{h_3}\, \partial t^{h_4}}
+ = \psi_{h_1 h_2 h_3 h_4},\quad
+\frac{\partial^n F}{\partial x^{h_1}\, \partial y^{h_2}\, \partial z^{h_3}\, \partial t^{h_4}}
+ = F_{h_1 h_2 h_3 h_4}
+\]
+où $n = h_1 + h_2 + h_3 + h_4$, on aura
+%% -----File: 066.png---Folio 66-------
+{\small
+\begin{gather*}
+F_{h_1 h_2 h_3 h_4}
+ = D_t^{n+1} \int P_n f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega
+ + D_t^n \int P_{n-1} f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega
+\Trail{+\dotsb} \\
++ \dotsb + D_t^{h_4 + 1} \int P_{h_4} f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega. \\
+\psi_{h_1 h_2 h_3 h_4} = (-1)^{n - h_4}
+ \{ P_n \Phi^{(n)} (t - \THETA)
+ + P_{n-1} \Phi^{(n-1)} (t - \THETA) + \dotsb
+ + P_{h_4} \Phi^{(h_4)} (t - \THETA)\}
+\end{gather*}
+}% End of \small
+et par suite si l'équation différentielle à coefficients constants
+\[
+\tag{25}
+\sum A_{h_1 h_2 h_3 h_4}
+ \frac{\partial^n V}
+ {\partial x^{h_1}\, \partial y^{h_2}\, \partial z^{h_3}\, \partial t^{h_4}}
+ = 0
+\]
+possède une intégrale
+\[
+\tag{26}
+F(x\, y\, z\, t) %[** PP: no commas]
+ = D_t \int \phi (u, v, w)\, f(x + u, y + v, z+ w)\, d\omega
+\]
+$f$ étant une fonction arbitraire, l'équation
+\[
+\tag{$25'$}
+\sum (-1)^{n - h_4} A_{h_1 h_2 h_3 h_4}\,
+ \frac{\partial^n V}
+ {\partial u^{h_1}\, \partial v^{h_2}\, \partial w^{h_3}\,
+ \partial t^{h_4}} % [** PP: Changed dt to \partial t]
+ = 0
+\]
+aura l'intégrale
+\[
+\tag{$26'$}
+\psi(u\, v\, w\, t) = \phi(u\, v\, w)\, \Phi (t - \THETA) %[** PP: no commas]
+\]
+où $\Phi$ est une fonction arbitraire. %[** PP: Typo arbitaire]
+Réciproquement si l'équation~$(25')$ possède l'intégrale~$(26')$,
+$\Phi$~étant une fonction arbitraire, l'équation~(25) aura l'intégrale~(26).
+
+L'intégrale~$(26')$ a la forme de l'intégrale~(20), c'est pourquoi en comptant sur
+les singularités de~$\phi$ pour $u = v = w = 0$, on peut passer de la méthode de Weierstrass
+à celle de Kirchhoff, c'est à dire des intégrales générales du type Poisson
+à des formules qui les comprennent.
+
+Le même résultat peut s'établir pour les systèmes d'équations différentielles.
+
+Je possédais en 1892 ce théorème lorsque j'étudiais le mémoire de \Mme\ Kowalewski
+sur la propagation de la lumière dans les cristaux. Puisqu'elle avait cru
+obtenir par la méthode de Weierstrass les intégrales générales des équations de
+l'optique, je croyais posséder la méthode pour parvenir aux formules analogues
+à celles de Kirchhoff et pour pouvoir établir le principe de Huyghens pour les milieux
+biréfringents. Mais l'emploi de la méthode conduisait à des résultats paradoxaux.
+D'où provenaient-ils? En voici la raison. Les fonctions qui dans ce cas
+remplacent $\phi$ dans les formules sont des fonctions polydromes du même genre
+que la fonction polydrome que nous avons trouvée dans le §~18. Il n'était pas % [** Xref]
+facile de s'en apercevoir, car ces fonctions sont très compliquées, et elles avaient
+été étudiées depuis Lamé sans que cette propriété ressortît. C'est pourquoi ni
+la méthode de Weierstrass ni celle de Kirchhoff n'étaient applicables et les
+formules de \Mme\ Kowalewski ne donnaient pas les intégrales de l'optique. Voilà
+encore une fois que le rôle des fonctions polydromes ressort dans cette question
+d'analyse et de physique mathématique.
+%% -----File: 067.png---Folio 67-------
+
+\begin{Bibliographie}
+
+\Bibitem{Kirchhoff.}{Zur Theorie der Lichtstrahlen (Sitzb.\ d.\ %[**P2:space inserted]
+Ak.\ d.\ Wiss.,\ Berlin 1882).}
+
+\Bibitem{Kowalewski.}{Ueber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln. Acta
+Math.\ 1885.}
+
+\Bibitem{Weierstrass.}{Werke. Bd.~I.} % [** PP: Changed Bd to Bd.]
+
+\Bibitem{Volterra.}{Sul principio di Huyghens. Nuovo Cimento 1893.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle onde cilindriche dei mezzi isotropi. Rend.\ Acc.\ Lincei 1892.}
+
+%[** PP: Changed luminare to luminose]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni luminose nei mezzi isotropi. Ibid.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni dei corpi elastici. Ibid.\ 1893.}
+
+%[** PP: Changed integrazione to integrazioni, equzioni to equazioni]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle integrazioni delle equazioni differenziali del moto di un corpo elastico
+isotropo. Ibid.\ 1893.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les vibrations dans les milieux biréfringents. Acta Math.\ 1892.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les vibrations des corps élastiques isotropes. Ibid.\ 1894.}
+
+% [** PP: Changed II to II^e]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les équations aux dérivées partielles. \Ord{II}{e} congrès des mathématiciens
+1900.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Note on the application of the method of images to problems of vibrations.
+London Math.\ Soc.\ 1904.}
+
+%[** PP: Changed
+% Sulle dimostr.\ delle formula che rappresenta analiticamento il principio di Huyghens to
+% Sulla dimostr.\ della formola che rappresenta analiticamente il principio di Huyghens]
+\Bibitem{Tedone.}{Sulla dimostr.\ della formola che rappresenta analiticamente il principio
+di Huyghens. Rend.\ Acc.\ Lincei 1896.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni dei corpi elastici. Ibid.}
+
+% [** PP: Removed space after apostrophe]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sull' int.\ dell'equazione
+$\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x^2} - \sum_1^m \frac{\partial \phi}{\partial x_i^2} = 0$. Annali di Mat.\ 1898.}
+
+%[** PP: Changed sisteme to sistema]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Su di un sistema generale di equazioni che si può integrare col metodo delle
+caratteristiche. Ibid.}
+
+\Bibitem{Coulon.}{Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre
+par la méthode des caractéristiques. Thèse 1902.}
+
+\Bibitem{d'Adhémar.}{Sur une classe d'équations aux dérivées partielles du second ordre,
+du type hyperbolique à 3 ou 4~variables indépendantes. Thèse 1904.}
+
+%[** PP: Changed hydrodinamique to hydrodynamique].
+\Bibitem{Hadamard.}{Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique.
+Paris 1903.}
+
+%[** PP: Changed Ecole to École]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Recherches sur les solutions fondamentales et l'intégration des équations
+linéaires aux dérivées partielles. Ann.\ de l'École normale de Paris 1903--1905.}
+
+\end{Bibliographie}
+%% -----File: 068.png---Folio 68-------
+
+
+\Chapter{\Ord{10}{ième} leçon.}
+
+\Paragraph{1.} Nous avons jusqu'à présent examiné quelques équations du type elliptique
+et du type hyperbolique. Nous parvenons maintenant aux équations du type
+parabolique.
+
+L'équation de la propagation de la chaleur appartient à ce type. Fourier,
+Poisson, Laplace, pour ne citer que les plus anciens, ont consacré de profondes
+études à cette équation. Tout le monde sait que les méthodes introduites par
+Fourier sont devenues classiques et ont formé le point de départ, la base et le
+modèle de bien des recherches de l'analyse et de la physique mathématique.
+
+Plus récemment on a introduit dans la théorie de la propagation de la chaleur
+des méthodes qui se rattachent à celles de Green. Betti a consacré un très beau
+mémoire à cette étude, sans cependant recourir à la notion des caractéristiques.
+Appell et Boussinesq ont profondément examiné par des concepts plus modernes
+encore, bien des questions qui s'y rapportent.
+
+Mais à mon avis pour les équations du type parabolique on n'est pas si avancé
+que pour les équations des autres types que nous avons examinées dans les leçons
+précédentes.
+
+\Paragraph{2.} Nous allons envisager l'équation la plus simple possible
+\[
+\tag{1}
+\pderiv{u}{t} = \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}.
+\]
+
+Le rôle des deux variables $t$ et~$z$ est très-différent, ce qu'on comprend dès
+le premier abord, car l'équation différentielle est de premier ordre par rapport à~$t$
+et de deuxième ordre par rapport à~$z$.
+
+Poisson a bien mis en lumière ce fait par un résultat sur lequel il a insisté
+beaucoup en y revenant plusieurs fois dans ses différents ouvrages.
+
+Nous allons l'exposer en empruntant à peu près les termes de son livre sur
+la théorie mathématique de la chaleur.
+
+Si nous essayons de développer $u$ dans une série de puissances de~$t-h$, $h$
+étant une quantité constante, nous trouvons, en calculant de proche en proche les
+coefficients,
+\[
+\tag{2}
+u = \phi(z) + (t-h) \frac{d^2 \phi}{dz^2}
+ + \frac{1}{2} (t-h)^2 \frac{d^4 \phi}{dz^4} + \dotsb
+ + \frac{1}{n!} (t-h)^n \frac{d^{2n} \phi}{dz^{2n}} + \dotsb
+\]
+%% -----File: 069.png---Folio 69-------
+où $\phi$ représente une fonction arbitraire. Si l'on fait $t = h$, on a
+\[
+u = \phi(z).
+\]
+$\phi(z)$ est donc la fonction à laquelle se réduit~$u$ pour $t = h$. Au contraire si nous
+développons $u$ par les puissances de~$z-k$, on trouvera par la même méthode
+\[
+\tag{3}
+\left\{
+\begin{aligned}
+u &= \psi(t) + \frac{(z-k)^2}{2!} \frac{d \psi}{dt}
+ + \frac{(z-k)^4}{4!} \frac{d^2 \psi}{dt^2} + \dotsb
+ % [** PP: Added + before next term, changed 2n! to (2n)!]
+ + \frac{(z-k)^{2n}}{(2n)!} \frac{d^n \psi}{dt^n} + \dotsb \\
+%%
+ &\quad+ (z-k) \Psi(t) + \frac{(z-k)^3}{3!} \frac{d \Psi}{dt} + \dotsb
+ + \frac{(z-k)^{2n+1}}{(2n+1)!} \frac{d^n \Psi}{dt^n} + \dotsb
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+où $\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ sont des fonctions arbitraires.
+
+En faisant $z = k$ on trouve
+\[
+u = \psi(t),\quad \pderiv{u}{t} = \Psi(t);
+\]
+donc $\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ représentent les valeurs de~$u$ et $\pderiv{u}{t}$ pour $z = k$.
+
+Or il est facile de prouver que la même intégrale peut se mettre sous la
+forme~(2) ou la forme~(3). Il suffit pour cela de développer~$\phi(z)$ dans une série
+de puissances de~$z-k$ et~$\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ en des séries de puissances de~$t-h$.
+
+En posant
+\begin{align*}
+\phi(z) &= a_0 + a_1 (z-k) + \frac{a_2}{1\cdot2} (z-k)^2
+ + \dotsb + \frac{a_n}{n!} (z-k)^n + \dotsb \\
+\intertext{on trouvera en comparant les coefficients dans les formules (2) et~(3)}
+\psi(t) &= a_0 + a_2 (t-h) + \frac{a_4}{2!} (t-h)^2
+ + \dotsb + \frac{a_{2n}}{n!} (t-h)^n + \dotsb \\
+\Psi(t) &= a_1 + a_3 (t-h) + \frac{a_5}{2!} (t-h)^2
+ + \dotsb + \frac{a_{2n+1}}{n!} (t-h)^n + \dotsb. % [** PP: Added period]
+\end{align*}
+
+On voit donc que la même intégrale peut s'écrire avec une ou avec deux
+fonctions arbitraires de deux manières complètement équivalentes.
+
+Poisson a ensuite transformé les deux intégrales en les exprimant par des
+intégrales définies. Il écrit l'intégrale~(2) sous la forme
+%% -----File: 070.png---Folio 70-------
+\[
+\tag{$2'$}
+u(z,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int \phi(\xi)\,
+ \frac{e^{-\smfrac{(\xi - z)^2}{4(t - h)}}}{\sqrt{t - h}}\, d\xi
+\]
+et l'intégrale~(3) sous la forme
+\begin{align*}
+u(z,t) &= \gamma \int_{-\infty}^\infty
+ \psi \left( t + \frac{(z - k)^2}{4(c + i\xi)} \right)\,
+ \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{c + i\xi}}
+\tag{$3'$}
+\Trail{+} \\
+%
+ &\quad+ \frac{1}{2} \gamma(z - k) \int_{-\infty}^\infty
+ \Psi \left( t + \frac{(z - k)^2}{4(c + i\xi)} \right)\,
+ \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{(c + i\xi)^3}}\;,
+\end{align*}
+où
+\[
+\frac{1}{\gamma}
+ = \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{c + i\xi}}\;,
+\]
+$c$ étant une constante réelle qui n'est pas nulle.
+
+Après Poisson, Schlaefli est revenu là dessus en exprimant les mêmes intégrales
+sous des formes différentes dans un très beau mémoire inséré dans le T.~72
+du Journal de Crelle.
+
+\Paragraph{3.} Cela posé voyons ce qu'on peut tirer des méthodes qui ont été les
+plus puissantes dans le cas des équations que nous avons envisagées dans les
+leçons précédentes. Il est évident que ces méthodes sont celles de Green, mais
+où l'on introduit la notion des caractéristiques par les méthodes de Riemann. %[** PP: Added period]
+
+Il n'y a pas de difficultés à procéder par une voie tout à fait analogue
+dans notre cas.
+
+On peut évidemment commencer par envisager une équation plus générale
+que l'équation~(1), c'est à dire
+\[
+\tag{$1'$}
+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - \pderiv{u}{t} = f(z,t). %[** PP: Added period]
+\]
+
+Les caractéristiques de l'équation~$(1')$ sont des lignes parallèles à l'axe~$z$
+(voir la \hyperref[section:8.5]{leçon~\Ord{8}{ième} §~5}). % [** Xref]
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{2in}
+\Input{070a}{2in}
+\end{wrapfigure}
+Prenons la direction de l'axe~$t$ de la gauche
+à la droite. Alors chaque caractéristique partage
+le plan en deux domaines qu'on peut appeler le
+domaine de gauche et celui de droite.
+
+Il est facile de démontrer le théorème:
+
+\textit{% [**** Not \begin{Theorem}; must accommodate illustration]
+Soit $s$ une courbe ouverte dont les deux bouts $A, B$
+se trouvent sur une caractéristique, et qui renferme avec
+cette caractéristique une aire~$\sigma$ située à gauche de celle-ci.
+Si nous connaissons $u$ sur~$s$ et~$f(z, t)$ à l'intérieur
+de l'aire~$\sigma$, $u$~sera déterminée dans tous les points de~$\sigma$.
+}%\end{Theorem}
+%% -----File: 071.png---Folio 71-------
+
+La démonstration est très-simple et du même type des démonstrations des
+théorèmes analogues qu'on a dans les autres théories. En effet, si $u_1$ et~$u_2$ sont
+des fonctions qui vérifient l'équation~$(1')$ et qui prennent les mêmes valeurs sur~$s$, %[** PP: Changed . to ,]
+on calcule leur différence $u_3 = u_1 - u_2$ qui vérifiera l'équation~$(1)$ et qui sera
+nulle sur~$s$.
+
+Par les transformations bien connues des intégrales on tire de là que
+\[
+0 = \int_\sigma u_3
+ \left(\frac{\partial^2 u_3}{\partial z^2}
+ - \pderiv{u_3}{t}\right) d\sigma
+ = - \frac{1}{2} \int_l u_3^2\, dl
+ - \int_\sigma \left(\pderiv{u_3}{z}\right)^2 d\sigma
+\]
+où $l$ est la partie de la caractéristique comprise entre les points $A, B$.
+
+C'est pourquoi $u_3$ sera nulle dans l'aire~$\sigma$ et par suite $u_1 = u_2$. Donc il n'y a %[** PP: Added a]
+pas deux fonctions différentes qui satisfont aux conditions que nous avons posées,
+et on a par là la démonstration du théorème que nous avons énoncé.
+
+Il faut maintenant remarquer que les raisonnements que nous venons de faire
+ne pourraient pas être répétés si l'on supposait que la courbe~$s$ était à droite de la
+ligne caractéristique, et par suite il n'y a pas une symétrie des propriétés des
+intégrales de l'équation différentielle des deux côtés de chaque caractéristique,
+comme d'autre part il était facile de prévoir.
+
+\Paragraph{4.} On peut donner une formule tout à fait analogue à la formule de Green
+en envisageant avec l'équation~$(1')$ son adjointe
+\[
+\tag{4}
+\frac{\partial^2 v}{\partial z^2} + \pderiv{v}{t} = g(z, t).
+\]
+
+Alors on trouve
+\[
+\tag{5}
+- \int_\sigma (vf - ug)\, d\sigma
+ = \int_s \left[\left(v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z}\right) \cos nz - uv \cos nt\right] ds
+ + \int_l uv\, dl,
+\]
+$n$ étant la normale à la ligne~$s$ dirigée vers l'intérieur
+de~$\sigma$.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}[10]{r}{2in}
+\raisebox{0.125in}[1.75in][0pt]{\Input{071a}{2in}}% [**** Explicit height]
+\end{wrapfigure}
+Or la fonction qui joue le rôle principal dans
+cette théorie est, comme il est bien connu, l'intégrale
+suivante de l'équation~(4) où l'on suppose $g = 0$
+\[
+v = \frac{1}{2 \sqrt{\pi} \sqrt{t_1 - t}} e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(t_1-t)}},
+\]
+$t_1 > t$ et~$z_1$ étant des valeurs constantes. Le radical
+est supposé positif. Prenons le point~$M_1$ de coordonnées
+%% -----File: 072.png---Folio 72-------
+$t_1\, z_1$ à droite de la caractéristique~$l$. Remplaçons cette valeur de~$v$ dans
+l'équation où l'on suppose $g = 0$, puis faisons approcher~$M_1$ de la ligne caractéristique.
+
+A ce point il faut rappeler un théorème bien connu d'analyse. $F(z)$ étant
+une fonction continue et finie et $z'' > z'$ on a
+\[
+\tag{I}
+\lim_{t_1=t} \int_{z'}^{z''}
+ \frac{1}{\sqrt{t_1 - t}} e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(t_1-t)}} F(z)\, dz
+ = \begin{cases}
+ F(z_1) 2\sqrt{\pi} \\
+ 0
+ \end{cases}\!\!\!\!\!\!. % [** PP: Explicit horizontal space]
+\]
+
+Il faut prendre le second membre égal à $2\sqrt{\pi} F(z_1)$ si~$z_1$ est comprise entre
+$z'$ et~$z''$, et il faut le prendre égal~$0$ si $z_1$ n'est pas comprise entre les valeurs $z'$ et~$z''$.
+
+On suppose que le radical qui paraît sous l'intégrale soit positif. S'il était
+négatif le second membre changerait de signe.
+
+Deux cas pourront donc se présenter. Si le point~$M_1$ s'approche d'un point~$M'$
+compris entre $A$ et~$B$ on aura
+\[
+\lim \int_l uv\, dl
+\]
+égale à la valeur de la fonction~$u$ dans le point~$M'$. Si au contraire il s'approche
+d'un point~$M''$ qui n'est pas compris entre $A$ et~$B$ la même limite est nulle.
+
+On tire de là les deux formules suivantes
+\begin{align*}
+& -\frac{1}{2\sqrt{\pi}}
+ \int_s \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}}
+ \left\{\left[\pderiv{u}{z} - u \frac{z_1-z}{2(t_1-t)}\right]
+ \cos nz - u \cos nt\right\}ds
+\Trail{-} \\
+%
+& -\frac{1}{2\sqrt{\pi}}
+ \int_\sigma \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}
+ {\sqrt{t_1-t}} f\, d\sigma
+ = \left\{\begin{matrix}
+ u(z_1\, t_1) \\[2ex] %[** PP: Height must match \tag* below]
+ 0
+ \end{matrix}\right\}
+\tag*{$\begin{matrix}(6) \\[2ex] (6')\end{matrix}$}
+\end{align*}
+où $t = t_1$ est l'équation de la caractéristique~$l$. Le
+premier cas se présente lorsque le point $z_1\, t_1$ est
+compris entre $A$ et~$B$ et le second cas lorsqu'il est
+externe.
+
+Dans cette formule, comme dans toutes les formules
+analogues que l'on trouve par les procédés de
+Green (Cf.\ le \hyperref[section:8.3]{§~3 de la \Ord{8}{ième}~leçon}), la valeur de l'intégrale % [** Xref]
+au point $z_1\, t_1$ est donnée par les valeurs de l'intégrale
+même et de ses dérivées sur la ligne~$s$. Or,
+comme nous avons vu (§~3), il est nécessaire de connaître
+%% -----File: 073.png---Folio 73-------
+les seules valeurs de~$u$ sur~$l$ pour la déterminer
+dans~$\sigma$, c'est pourquoi il y a dans la formule précédente
+la quantité $\pderiv{u}{z}$ qu'il faut éliminer. Elle s'élimine
+d'elle-même sur toute partie $CD$ de la ligne~$s$
+qui est un segment de droite parallèle à l'axe~$z$,
+car sur $CD$ on a $\cos nz = 0$. Ainsi, si les points
+$A, B$ s'éloignent indéfiniment dans la direction positive
+et négative de~$z$ de manière que la ligne~$s$
+devienne la parallèle $t = h$ à l'axe~$z$, la quantité
+$\pderiv{u}{z}$ est complètement éliminée.
+\begin{center}
+\Input{072a}{1.75in}\hfil\Input{073a}{1.75in}
+\end{center}
+
+Alors si nous posons dans la formule~(6) $f = 0$ elle devient la formule~$(2')$ de
+Poisson. En effet elle exprime la valeur de~$u$ par les valeurs de cette intégrale
+pour $t = h$.
+
+%[Illustrations]
+\begin{center}
+\Input{073b}{2in}\hfil\Input{073c}{2.75in}
+\end{center}
+
+\Paragraph{5.} Les valeurs de $\pderiv{u}{z}$ sur~$s$ peuvent s'éliminer aussi en d'autres cas. Nous
+allons démontrer qu'elles peuvent s'éliminer sur toute partie $CD$ de~$s$ qui est un
+segment de ligne droite telle que toute l'aire~$\sigma$ est située d'un côté %[** PP: Typo coté]
+de cette droite.
+Prenons en effet le point~$M''$ symétrique du point~$M'$ par rapport au point~$E$.
+$M'$~étant interne au segment $AB$, $M''$~sera externe. C'est pourquoi, si $z_1\, t_1$ sont
+les coordonnées de~$M'$ et $z_2\, t_1$ celles de~$M''$, en remplaçant dans la formule~(6) $z_1$
+par $z_2$ on passe à la formule~$(6')$.
+
+Le premier membre peut se décomposer en deux parties, l'intégrale qui est
+étendue à $CD$ et toute la partie résiduelle. En appelant~$I$ cette dernière, on aura % [** PP: Put "I" in math mode]
+%% -----File: 074.png---Folio 74-------
+\begin{align*}
+I' - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{CD}
+ \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}}
+ \left\{ \left[ \pderiv{u}{z} - u \frac{z_1-z}{2(t_1-t)} \right] \cos nz - u \cos nt \right\} ds &= u(z_1\, t_1) \\
+%
+I'' - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{CD}
+ \frac{e^{-\smfrac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}}
+ \left\{ \left[ \pderiv{u}{z} - u \frac{z_2-z}{2(t_1-t)} \right] \cos nz - u \cos nt \right\} ds &= 0
+\end{align*}
+où $I'$ et~$I''$ sont les valeurs de $I$ si l'on se rapporte respectivement aux points $M'$
+et~$M''$. Ajoutons la première équation à la seconde après avoir multiplié celle-ci
+par une quantité constante~$-e^c$. Le second membre sera $u(z_1\, t_1)$ et dans le premier
+membre le coefficient de $\pderiv{u}{z}$ sous l'intégrale deviendra
+\[
+\biggl( e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}
+ - e^{-\smfrac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)} + c} \biggr) \frac{\cos nz}{\sqrt{t_1-t}}\, ds.
+\]
+
+Pour éliminer $\pderiv{u}{z}$ le long de l'intégrale étendue à $CD$ il suffit d'annuler ce
+coefficient. Posons donc
+\[
+ \frac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}
+= \frac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)} - c.
+\]
+On tire de là en appelant~$z_e$ la coordonnée du point $E$ et~$h$ la longueur~$M'M''$
+\[
+\frac{z_e - z}{t_1 - t} = \frac{2c}{h}.
+\]
+Mais la droite $CD$ passe par le point~$E$; c'est pourquoi son équation est
+\[
+\frac{z_e - z}{t_1 - t} = \alpha,
+\]
+$\alpha$ étant une quantité constante.
+
+Il suffit donc de prendre
+\[
+c = \frac{h\alpha}{2}
+\]
+pour faire l'élimination de $\pderiv{u}{z}$.
+
+%%[Illustration]
+% [**** Explicit height; illus on next page in original]
+\begin{wrapfigure}[10]{r}{2.5in}
+\raisebox{0.25in}[2in][0pt]{\Input{075a}{2.25in}}
+\end{wrapfigure}
+La méthode qu'on a suivie est bien une méthode des images, car on peut appeler
+le point~$M''$ l'image du point~$M'$ par rapport au point~$E$.
+
+Si la ligne~$s$ est formée de plusieurs droites on peut appliquer dans certains
+cas le principe des images successives pour éliminer $\pderiv{u}{z}$ sur toute la ligne~$s$.
+%% -----File: 075.png---Folio 75-------
+
+%[Illustration]
+Soit $s$ formée par trois droites $AC$,
+$CD$, $DB$ dont $CD$ est parallèle à~$z$, alors
+la méthode peut servir pour tout point $M'$
+d'une manière très simple. L'on trouve dans
+ce cas un nombre infini d'images.
+
+\Paragraph{6.} Ce que nous avons exposé jusqu'ici
+nous prouve qu'une méthode tout à fait analogue
+à celle qu'on emploie dans le cas des
+équations du type hyperbolique peut être
+aussi employée dans celui des équations du
+type parabolique, en tenant compte des lignes
+caractéristiques.
+
+Cependant nous pouvons bien facilement
+nous convaincre que par cette méthode on n'épuise pas les propriétés les plus importantes
+de l'équation~$(1')$, et que la méthode même est impuissante à nous en
+dévoiler les plus cachées.
+
+En effet nous avons montré dès le \Ord{2}{ième}~§ le résultat obtenu par Poisson,
+c'est à dire que l'intégrale générale de l'équation~(1) peut s'exprimer par une fonction
+arbitraire ou par deux fonctions arbitraires. Or la formule~(6) peut nous
+conduire à l'intégrale~(2), comme nous avons déjà vu, mais elle ne nous amène pas
+à l'intégrale~(3). Même en tâchant de faire coïncider la ligne~$s$ avec l'axe des~$z$
+on n'arrive pas à cette formule.
+
+On serait conduit à cette conclusion, que les équations du type parabolique
+n'offrent pas de prise aux méthodes modernes d'une manière complète, et que
+par exemple les anciennes méthodes de Poisson nous disent davantage. Il
+semble donc que les méthodes modernes peuvent nous donner l'explication d'un
+grand nombre de faits, mais tous les faits connus semblent ne pas ressortir d'elles.
+
+Malgré cela nous allons voir que cette impuissance n'est qu'apparente et que
+nous pouvons réunir dans un ensemble unique tous les faits et par une seule formule
+embrasser toutes les formules connues. Pour rejoindre le but il n'y a qu'à
+aborder les nouvelles méthodes avec une conception nouvelle, c'est à dire en les
+étendant aux variables complexes, ce qu'on n'avait pas fait jusqu'à présent. L'équation~$(1')$
+se prête avec beaucoup de facilité à cette généralisation, car elle n'a que
+deux variables $z$ et~$t$, et si nous posons $t = x + iy$ en regardant $x, y, z$ comme les
+coordonnées des points de l'espace, on pourra se servir des images géométriques
+dans un domaine à trois dimensions.
+
+Envisageons une fois encore la fonction qui joue le rôle principal dans ces
+recherches, c'est à dire
+%% -----File: 076.png---Folio 76-------
+\[
+\tag{7}
+\frac{e^{-\smfrac{(z_1 - z)^2}{4(t_1 - t)}}}{\sqrt{t_1 - t}}.
+\]
+Nous verrons dans la leçon suivante que c'est la polydromie de cette fonction
+qui a l'importance la plus grande dans tous les résultats que nous allons obtenir.
+Cette fonction est en effet polydrome par rapport à la variable~$t$. Or cette polydromie
+ne peut pas ressortir si on n'envisage pas $t$ comme une variable complexe.
+C'est pourquoi toute la théorie que nous avons développée qui était bâtie en dehors
+de cette propriété était justement incomplète.
+
+
+\Chapter{\Ord{11}{ième} leçon.}
+
+\Paragraph{7.} La première question qui se pose est de voir si l'on peut étendre dans
+les intégrales de l'équation~$(1')$ la variabilité de~$t$, c'est à dire si l'on peut la regarder
+comme un nombre complexe. A cet effet considérons les intégrales de
+l'équation~(1) qui est plus simple que l'autre. Il est facile de démontrer, et d'autre
+part la chose est connue, qu'elles ne sont pas en général des fonctions analytiques
+de~$t$.
+
+Pour s'en persuader d'une manière tout à fait élémentaire prenons la fonction
+\[
+u(z, t) = z \int_0^t \phi(\xi) e^{-\smfrac{z^2}{4(t - \xi)}}\, (t - \xi)^{-\frac{3}{2}}\, d\xi
+\]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{2.75in}
+\Input{076a}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+où $\phi(\xi)$ est une fonction finie et intégrable.
+Si $\phi(\xi)$ est définie dans le domaine $(0\, a)$ on % [** PP: Typo (o a)]
+voit aisément que $u(z, t)$ est définie pour toutes
+les valeurs positives de~$z$ à l'intérieur de la
+bande $\Sigma_1$ limitée par l'axe~$t$, l'axe~$z$ et la
+droite $t = a$.
+
+On vérifie qu'à l'intérieur de ce domaine
+$u(z, t)$ est une fonction continue, que les dérivées
+$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}$ et $\pderiv{u}{t}$ sont déterminées et que l'on a
+\[
+\tag{1}
+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \pderiv{u}{t}.
+\]
+%% -----File: 077.png---Folio 77-------
+
+Cela posé, si nous prolongeons $\phi(\xi)$ entre $a$ et~$2a$, alors $u(z, t)$ pourra se
+prolonger à l'intérieur de la bande $\Sigma_2$ comprise entre l'axe~$t$ et les droites $t = a$,
+$t = 2a$.
+
+Dans le domaine formé par l'ensemble des points internes aux bandes $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$
+$u(z,t)$ sera continue et vérifiera l'équation~(1). Mais puisque le prolongement de
+$\phi(\xi)$ peut se faire avec la seule condition qu'elle soit finie et intégrable et que
+d'autre part elle est tout à fait arbitraire, il s'en suit que les valeurs de $u$ en $\Sigma_2$
+pourront être changées, celles en $\Sigma_1$ restant toujours les mêmes.
+
+Si par exemple nous prenons d'abord $\phi(\xi) = 0$ dans l'intervalle $(a, 2a)$ et
+après $\phi(\xi) = 1$, les valeurs de $u(z, t)$ en $\Sigma_2$ seront changées. Cela prouve que
+$u(z, t)$ n'est pas en général une fonction analytique de~$t$.
+
+\Paragraph{8.} Il faudra donc poser comme une condition nouvelle que l'intégrale de
+l'équation~(1) soit une fonction analytique de~$t$, et de même si nous envisageons
+l'équation~$(1')$, il faudra poser deux conditions, c'est à dire que $f$ et $u$ soient des
+fonctions analytiques de $t = x + iy$.
+
+Supposons aussi, en ayant égard à l'équation adjointe~(4), que $g$ et $v$ soient
+des fonctions analytiques de $t = x + iy$.
+
+Nous écrirons alors
+\begin{align*}
+u(z, t) &= u(x, y, z) & f(z, t) &= f(x, y, z) \\
+v(z, t) &= v(x, y, z) & g(z, t) &= g(x, y, z)
+\end{align*}
+et l'on regardera $x, y, z$ comme les coordonnées
+des points de l'espace. Il est évident
+que $u, v, f, g$ seront en général des quantités
+complexes et on aura
+\[
+\tag{8}
+\pderiv{u}{t} = \pderiv{u}{x} = -i \pderiv{u}{y},\quad
+\pderiv{v}{t} = \pderiv{v}{x} = -i \pderiv{v}{y}.
+\]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{r}{2.25in}
+\Input{077a}{2in}
+\end{wrapfigure}
+
+Posons
+\[
+X = v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z},\quad
+Y = i\left(v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z}\right),\quad
+Z = uv
+\]
+et, en prenant une surface $\sigma$ ayant deux
+faces distinctes et pour contour la ligne~$s$,
+appliquons le théorème de Stokes (\hyperref[section:2.2]{\Ord{2}{ième}~leçon §~2}) en supposant que toutes les % [** Xref]
+quantités précédentes soient finies, continues et monodromes sur la surface~$\sigma$.
+
+On aura
+%% -----File: 078.png---Folio 78-------
+\[
+\Lmargintag{9}
+\left\{
+\begin{gathered}
+\int_\sigma \left\{
+ \left(\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z}\right) \cos nx
+ + \left(\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x}\right) \cos ny
+ + \left(\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y}\right) \cos nz \right\} d\sigma \\
+= \int_s ( X\, dx + Y\, dy + Z\, dz ).
+\end{gathered}
+\right.
+\]
+
+Or on a bien aisément en vertu des relations~(8) et des équations $(1')$ et~(4)
+\begin{align*}
+%[** PP: Changed d to \partial in denominator of first term]
+\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z} &= - ivf + iug \\
+\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x} &= \phantom{-}vf - ug \\
+\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y} &= 0;
+\end{align*}
+par suite l'égalité~(9) deviendra
+\[
+\frac{1}{i} \int_\sigma (vf - ug) (\cos nx + i \cos ny)\, d\sigma
+ = \int_s \left[ \left( v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z} \right) (dx + i dy) + uv\, dz \right],
+\]
+c'est à dire
+\[
+\tag{10}
+\frac{1}{i} \int_\sigma (vf - ug) \pderiv{t}{n}\, d\sigma
+ = \int_s \left[
+ \left( v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z} \right) dt + uv\, dz
+ \right]. %[** PP: Added period]
+\]
+
+\Paragraph{9.} Cela posé supposons que dans tout le domaine à trois dimensions que
+nous envisageons $u$, $f$ soient finies, continues et monodromes. Prenons
+\[
+\tag{11}
+v = \frac{e^{-\smfrac{(z - z_1)^2}{4(t_0 - t)}}}{\sqrt{t_0 - t}},\quad g = 0
+% [** PP: comma?]
+\]
+étant $t_0 = x_0 + iy_0$.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}[13]{l}{3in} % [**** Explicit height]
+\raisebox{0.25in}[2.5in][0pt]{\Input{078a}{2.75in}}
+\end{wrapfigure}
+Si la droite $x = x_0$, $y = y_0$ rencontre
+la surface $\sigma$, la formule~(10) n'est pas
+applicable, car pour $x = x_0$, $y = y_0$ la fonction
+$v$ a une singularité. Mais elle n'est
+pas applicable en d'autres cas où la même
+droite ne rencontre pas la surface. En
+effet supposons que la surface soit limitée
+par deux lignes, et qu'en conséquence le contour
+$s$ soit formé de deux parties, et supposons
+aussi que la droite $x = x_0$, $y = y_0$ passe
+au milieu du bord interne de la surface, et que par suite on puisse parcourir sur la
+%% -----File: 079.png---Folio 79-------
+surface un cycle fermé $c$ autour de
+la droite. Même dans ce cas la formule
+ne sera pas applicable, car $v$ sera
+polydrome sur la surface à cause du
+radical qui paraît dans le dénominateur.
+En parcourant le cycle $c$ et en
+prenant les valeurs de $v$ qui se suivent
+avec continuité on reviendra au
+point de départ avec la valeur initiale
+changée de signe.
+
+%[Illustrations]
+Donc la formule~(10) n'est applicable,
+en prenant $v$ donné par
+la formule~(11), que si aucun cycle
+fermé sur la surface %[** PP: Typo surtace]
+n'entoure la
+droite $x = x_0$, $y = y_0$ et si en même
+temps cette droite ne rencontre pas
+la surface.
+
+Le contour étant formé par une
+seule ligne continue et fermée, il suffit
+évidemment de la seconde condition,
+pour que la première soit aussi
+satisfaite.
+
+% [** PP: Changed x=t_1 in figure labels to x=x_1]
+\begin{wrapfigure}[36]{r}{2.5in}
+\Input{079a}{2.5in}\\[0.125in]
+\Input{079b}{2.5in}\\[0.125in]
+\Input{079c}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+\Paragraph{10.} Prenons maintenant (fig.~$a$)
+un contour~$s$ formé par une seule ligne
+continue, constituée par la courbe
+$MNP$ et par la courbe $M'N'P'$ reliées
+entre elles par les droites $PP'$
+et $MM'$ parallèles à l'axe~$z$.
+
+La ligne $MNPP'N'M'M$ sera
+une ligne continue. Les flèches indiquent
+comment il faut la parcourir.
+Supposons que nous menions une surface
+$\sigma$ ayant pour contour cette ligne, et
+ensuite faisons approcher les deux
+bords $MM'$ et $PP'$ d'une même droite
+$HH'$ du plan $xz$ parallèle à l'axe $z$
+de manière qu'ils se disposent le long
+de cette droite. Mais en même temps
+%% -----File: 080.png---Folio 80-------
+supposons que si certaines parties des deux bords se superposent, comme il arrive
+dans la fig.~$b$, les deux bords restent toujours distingués comme les bords d'une
+coupure, et qu'on doive les parcourir en sens opposé. La même chose est indiquée
+dans la fig.~$b'$ où les dispositions sont changées. Les flèches désignent toujours la
+manière de parcourir le contour. On peut donc regarder toujours la surface $\sigma$
+comme limitée par un contour formé par la ligne continue et fermée $M N P P' N' M' M$.
+
+\iffalse
+\begin{center}
+\Input{079b}{0.5\textwidth}\hfil
+\Input{079c}{0.5\textwidth}
+\end{center}
+\fi
+
+La ligne $H H'$ ayant pour équation
+\[
+x=x_1,\quad y=0,
+\]
+menons une droite parallèle $KK'$ dans le plan $xz$ ayant pour équation
+\[
+x = x_0 > x_1,\quad y = y_0 = 0
+\]
+qui ne rencontre pas la surface $\sigma$. Alors on pourra appliquer la formule~(10), et
+l'on trouvera en remarquant que $g = 0$
+%[** PP: Added trailing operators]
+\begin{align*}
+& \int_{MNP} \left[
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
+ + uv_{A_0}\, dz \right]
+\Trail{+} \\
+%
+&\qquad+ \int_{P'N'M'} \left[
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
+ + uv_{A_0}\, dz \right]
+\Trail{+} \\
+%
+&\qquad+ \int_{PP'} uv_{A_0}\, dz + \int_{M'M} uv_{A_0}\, dz
+= \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma,
+\end{align*}
+où l'on a désigné par $v_{A_0}$ la fonction
+$\dfrac{e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(x_0-t)}}}{\sqrt{x_0-t}}$, $A_0$ étant le point de coordonnées
+$x_0, 0, z_1$.
+
+\Paragraph{11.} On peut maintenant distinguer deux cas. Projetons la surface $\sigma$ sur
+le plan~$xy$. Dans les figures nous avons désigné la projection par l'aire hachée.
+Le point $x_0, 0$ du plan $xy$ peut se trouver entouré par la projection (fig.~$b$) ou
+peut ne pas être entouré par elle (fig.~$b'$).
+
+Puisque la fonction $v$ est polydrome et qu'elle change de signe en parcourant
+un cycle autour de la droite $x = x_0$, $y = 0$, les choses seront différentes dans les
+deux cas. Les valeurs de $v$ dans les points de la droite $H H'$ sont réelles. Prenons
+ces valeurs positives sur $P' P$, alors
+
+dans \emph{le premier cas} les valeurs de $v$ seront négatives %** PP: Typo nègatives]
+sur $MM'$
+
+dans \emph{le second cas} les valeurs de $v$ seront positives sur $MM'$.
+
+Or déplaçons le point $A_0$ sur $A_0 A_1$ parallèle à l'axe $x$ en l'approchant indéfiniment
+du point $A_1$ sur la droite $H H'$, et supposons que la droite $K K'$ se déplace
+avec $A_0$ en restant parallèle à l'axe $z$, et supposons aussi qu'en se déplaçant elle
+ne rencontre jamais la surface~$\sigma$.
+%% -----File: 081.png---Folio 81-------
+
+Cherchons les limites de
+\[
+\int_{PP'} u v_{A_0}\, dz,\quad
+\int_{M'M} u v_{A_0}\, dz.
+\]
+
+Il suffit pour cela de faire usage de la formule~(I) qu'on a déjà employée
+dans le §~4. Puisque $v_{A_0}$ est positif sur $PP'$ on aura % [** Xref]
+\[
+%[** PP: No comma between arguments in several expressions]
+\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = \phantom{-}2 \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1),
+\]
+si le point $A_1$ est compris entre les points $P, P'$ et si le segment $PP'$ a la direction
+positive de l'axe~$z$. On aura au contraire
+\[
+\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = -2 \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1),%[** No comma]
+\]
+si le point $A_1$ est compris entre les points $P, P'$ et si le segment $PP'$ a la direction
+négative de l'axe~$z$. Enfin on aura
+\[
+\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = 0,
+\]
+si le point $A_1$ est externe au segment~$PP'$. (C'est le dernier cas qui se présente
+dans les figures $b$ et~$b'$, mais on imagine tout de suite comment il faudrait dessiner
+les figures pour que les autres cas se présentent.)
+
+Les trois formules précédentes peuvent se réunir en une seule en représentant
+par le symbole $(p)$ le numéro $±1$ selon que le segment $A_1P$ a la direction
+positive ou négative de~$z$. On aura alors
+\[
+\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz
+= \bigl[(p') - (p)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma]
+\]
+
+Si nous étendons la signification du symbole $(p)$, et si nous supposons qu'il représente
+$0$, si $A_1$ coïncide avec $P$, alors la formule précédente nous donne la limite
+de l'intégrale même dans le cas où $A_1$ coïncide avec l'un des points $P$ ou~$P'$.
+
+Passons maintenant à
+\[
+\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz,
+\]
+si le point $x_0, 0$ est entouré par la projection (\Ord{1}{er}~cas); on a que $v_{A_0}$ est négatif
+sur $MM'$, c'est pourquoi
+%% -----File: 082.png---Folio 82-------
+\[
+\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz
+ = - \bigl[(m) - (m')\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma]
+\]
+
+Si le point $x_0, 0$ n'est pas entouré par la projection (\Ord{2}{ième}~cas) $v_{A_0}$ est positif
+sur~$MM'$ et par suite
+\[
+\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz = \phantom{-} \bigl[(m) - (m')\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma]
+\]
+
+Les deux formules peuvent se réunir en une seule en indiquant par le
+symbole $(e)$ le numéro $±1$ selon que la projection entoure ou n'entoure pas le
+point $x_0, 0$ et l'on aura
+\[
+\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz
+ = -(e) \bigl[(m) - (m')\bigr]\sqrt{\pi} u(t_1\, z_1).
+% [** PP: Added \sqrt{\pi}u, w/o comma]
+\]
+
+Donc
+\[
+\lim \left[ \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz
+ + \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz \right]
+ = \left\{\bigl[(p') - (p)\bigr] + (e) \bigl[(m') - (m)\bigr]\right\}
+ \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1)
+\]
+d'où l'on tire en posant
+
+\[
+\bigl[(p') - (p)\bigr] + (e) \bigl[(m') - (m)\bigr] \sqrt{\pi} = h
+\]
+%%
+\[
+\Lmargintag{II}
+\left\{
+\begin{aligned}
+h\, u(t_1\, z_1) = \lim \left(
+ \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right.
+ &- \int_{MNP}
+ \left[ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z}\right) dt
+ + u v_{A_0}\, dz \right]
+\Trail{-} \\ %[** PP: Added trailing operator]
+%[** PP: Explicit horizontal space]
+ &\makebox[0pt][r]{$-$}\;\int_{P'N'M'} \left.
+ \left[ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
+ + u v_{A_0}\, dz \right] \right).
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{2.5in}
+\Input{082a}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+Cette formule est la plus générale
+possible et comprend toutes les autres.
+Il n'y a qu'à la particulariser pour déduire
+toutes les formules de la théorie.
+
+\Paragraph{12.} Supposons d'abord que le second
+cas se présente. Alors on peut très bien
+imaginer que les lignes $MNP$ et $M'N'P'$
+appartiennent au plan $xz$ de manière que
+$\sigma$ soit une partie du plan, et l'on peut
+supposer que la ligne $M'N'P'$ se rétrécisse
+indéfiniment de sorte qu'elle % [** PP: Typo quelle]
+se réduise à
+un point. Alors dans la formule~(II) l'intégrale
+étendue à $M'N'P'$ s'annule, et elle %[** PP: Typo annulle]
+%% -----File: 083.png---Folio 83-------
+conduit aux formules (6) et~$(6')$ dont la première nous amène à la formule~$(2')$
+de Poisson.
+
+\Paragraph{13.} Soit $M'\, N'\, P'$ une courbe appartenant au plan parallèle à $xy$ mené
+par $A_0$, alors on %[** PP: Typo en]
+démontre facilement que la limite de l'intégrale étendue à la
+ligne $M'\, N'\, P'$ dans la formule~(II) est nulle. En même temps on a $(m') = (p') = 0$
+par suite la formule~(II) devient
+\begin{align*}
+&\bigl[(p)+(e)(m)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) \\
+&\qquad = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + uv_{A_0}\, dz \right]
+ - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}.
+\intertext{\indent Si $M$ et $P$ coïncident on a $(m) = (p)$, donc}
+&(m) \bigl[1+(e)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) \\
+&\qquad = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + uv_{A_0}\, dz \right]
+ - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}.
+\end{align*}
+
+Dans le second cas où $(e) = -1$ le premier membre est toujours nul.
+
+Envisageons le second cas où $(e) = 1$. Alors
+{\small
+\[
+2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1)
+ = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
+ + uv_{A_0}\, dz \right]
+ - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}.
+\]
+}% End of \small
+
+Supposons maintenant que la courbe $MNP$ appartienne à un plan parallèle
+à $xy$, alors $dz = 0$ sur la courbe, et l'on a
+\[
+2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1)
+ = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
+ \right]
+ - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}.
+\]
+
+Si $f = 0$ la formule se réduit encore et devient
+\[
+2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1)
+ = \lim \left\{ \int_{MNP}
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt \right\}.
+\]
+
+Enfin si nous prenons pour $MNP$ un cercle ayant le centre sur l'axe $x$ la
+formule précédente devient la formule~$(3')$ de Poisson.
+%% -----File: 084.png---Folio 84-------
+
+De même les formules de Schlaefli peuvent se déduire comme cas particuliers
+de celles que nous avons données.
+
+Il faut remarquer que toutes ces formules se rattachent au premier cas, c'est
+à dire à celui où la projection de la surface $\sigma$ entoure le point $x_0, 0$. Or cela ne
+peut arriver que si l'on suppose que la courbe $MNM'$ n'appartient pas au plan
+$xz$. Il fallait donc sortir des valeurs réelles de $t$ pour trouver ces formules,
+et c'est justement ce que nous avons fait. Ce n'est qu'en sortant du domaine réel
+et en pénétrant dans le domaine complexe que la polydromie de la fonction~(7) a
+pu jouer son rôle, car la polydromie ne ressort qu'en parcourant des cycles
+autour de la droite $KK'$. Nous avons mis en lumière qu'à cette polydromie se
+rattache tout le succès de la méthode nouvelle qu'on a employée.
+
+\Paragraph{14.} Nous finirons en donnant une application de la formule de Poisson, ce
+qui nous amènera à revenir sur un point auquel nous avons touché dans la
+\hyperref[section:8.1]{\Ord{8}{ième} leçon (§~1)}. % [** Xref]
+Nous avons dit qu'il y avait des problèmes de la théorie des ondes
+qui ne ressortent pas des équations du type hyperbolique. Ce sont les problèmes
+des ondes des liquides incompressibles. Si l'on envisage le cas le plus général
+des petites vibrations des liquides assujettis à des forces quelconques ayant un
+potentiel, on trouve que le problème se réduit à trouver une fonction $V$ harmonique
+dans le domaine $S$ occupé par le liquide qui le long de la surface libre $\omega$ du liquide
+vérifie l'équation $-\alpha \pderiv{V}{n}
+= \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$ et sur les parois rigides $\sigma$ qui renferment le liquide
+vérifie l'équation $\pderiv{V}{n} = 0$, $n$ étant la normale au contour dirigée vers l'intérieur de
+l'espace $S$, $\alpha$ une quantité positive, $t$ le temps.
+
+Le problème dépend de l'équation différentielle de Laplace
+\[
+\Delta^2 V = 0,
+\]
+car $V$ doit être harmonique. Il est donc rattaché à une équation du type elliptique.
+Ce sont les conditions le long de la partie $\omega$ du contour qui déterminent
+le %[** PP: Typo la]
+caractère ondulatoire du mouvement.
+
+Or on démontre que $V$ est déterminée si l'on connaît % [** PP: Typo connait]
+les valeurs $V_0$ et
+$\left(\pderiv{V}{t}\right)_0 = V'_0$ de $V$ et de $\pderiv{V}{t}$ sur $\omega$ pour $t=0$. On peut aussi donner une méthode
+générale pour résoudre le problème. Soit $U_A(x, y, z, t)$ une fonction harmonique
+régulière de $x, y, z$ dans le domaine~$S$, excepté dans le point $A$ de coordonnées
+$x_1, y_1, z_1$ où l'on a
+\[
+U_A(x,y,z,t) = \frac{1}{r_A} + W_A(x,y,z,t),\quad
+r_A = \sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 + (z_1 - z)^2},
+\]
+%% -----File: 085.png---Folio 85-------
+$W_A(x, y, z, t)$ étant une fonction régulière. Si nous supposons que sur $\omega$ soit
+vérifiée l'égalité
+\[
+- \alpha \pderiv{U_A}{n} = \dfrac{\partial^2 U_A}{\partial t^2}
+\]
+et sur $\sigma$
+\[
+\pderiv{U_A}{n} = 0
+\]
+et pour $t = t_1$ sur $\omega$\quad $U_A$ et $\pderiv{U_A}{t}$ soient nulles, alors on aura
+\[
+\tag{12}
+V(x_1\, y_1\, z_1\, t_1) % [** PP: No commas]
+ = - \frac{1}{4\pi} \deriv{}{t_1} \int_\omega
+ \left[ (U_A)_0 \left(\pderiv{V}{t}\right)_0
+ - V_0 \left(\pderiv{U_A}{t}\right)_0 \right] \frac{1}{\alpha}\, d\omega,
+\]
+$(U_A)_0$ et $\left(\pderiv{U_A}{t}\right)_0$ désignant les valeurs de $U_A$ et $\pderiv{U_A}{t}$ pour $t = 0$. Cette formule
+sert pour reconduire le problème de déterminer $V$ à celui de trouver $U_A$, c'est
+à dire à déterminer une fonction qui à certains points de vue est analogue à la
+fonction de Green.
+
+\Paragraph{15.} Mais laissons de côté la théorie générale qui nous conduirait trop loin,
+et envisageons le cas où le liquide occupe un domaine sphérique et où $\omega$ est toute
+la surface de la sphère. Supposons aussi que $\alpha$ soit constante de sorte que l'on
+puisse prendre $\alpha = 1$. Alors sur la surface de la sphère on aura $\pderiv{V}{r} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$, $r$ étant
+le rayon vecteur conduit par le centre de la sphère. Posons $\log r = \rho$, et supposons
+que le rayon de la sphère soit égal~1. Alors l'équation précédente pourra
+s'écrire
+\[
+\tag{13}
+\pderiv{V}{\rho} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}.
+\]
+
+Cela posé, $r, \THETA, \phi$ étant les coordonnées polaires soient $V_0(r, \THETA, \phi)$ et
+$V'_0(r, \THETA, \phi)$ les fonctions harmoniques à l'intérieur %[** PP:Typo l'interieure]
+de la sphère qui sur la surface
+de la sphère deviennent égales aux valeurs $V_0$ et $V'_0$ données de $V$ et de $\pderiv{V}{t}$
+pour $t = 0$ sur la surface même. On pourra aussi les considérer comme des fonctions
+de $\rho, \THETA, \phi$, et l'on écrira $V_0(\rho, \THETA, \phi)$, $V'_0(\rho, \THETA, \phi)$. Regardons $\THETA$ et $\phi$ comme
+des quantités constantes, et déterminons par la formule de Poisson l'intégrale
+de l'équation~(13) qui pour $t = 0$ se réduit à $V_0(\rho, \THETA, \phi)$ et dont la dérivée par
+rapport à $t$ pour $t = 0$ se réduit à $V'_0(\rho, \THETA, \phi)$. Appelons cette intégrale $V(\rho, \THETA, \phi, t)$.
+On voit facilement qu'elle est la fonction qu'on veut déterminer.
+%% -----File: 086.png---Folio 86-------
+
+En effet on aura
+\[
+\tag{14}
+\Delta^2 \pderiv{V}{\rho} = \frac{\partial^2 \Delta^2 V}{\partial t^2}.
+\]
+
+% [**** Putative mathematical corrections]
+Mais
+\[
+%% In original:
+%% \Delta^2 \pderiv{V}{\rho}
+%% = \frac{1}{r^2}\, \frac{\partial^2 (r^2 \Delta^2 V)}{\partial \rho}
+\Delta^2 \pderiv{V}{\rho}
+ = \frac{1}{r^2}\, \pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho}
+\]
+par suite l'équation~(14) s'écrit
+\[
+\tag{15}
+%% In original:
+%% \pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho}
+%% = \frac{\partial^2 (r^2 \Delta^2 V)}{\partial t^2}.
+\pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho}
+ = \frac{r^2 \partial^2 (\Delta^2 V)}{\partial t^2}.
+\]
+Or $r^2 \Delta^2 V$ pour $t = 0$ devient $r^2 \Delta^2 V_0 = 0$ et $\pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{t}$ pour $t = 0$ devient $r^2 \Delta^2 V'_0 = 0$:
+par suite $r^2 \Delta^2 V = 0$. Donc $V$ est harmonique, vérifie l'équation $-\pderiv{V}{n} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$
+à la surface de la sphère et en même temps $V$ et $\pderiv{V}{t}$ pour $t = 0$ prennent à la
+surface de la sphère les valeurs données, comme il fallait démontrer. Il est facile
+de vérifier que $V$ est régulière au centre de la sphère. Le problème est donc
+résolu.
+
+On pourrait aussi se servir de cette méthode pour calculer la fonction $U_A$
+analogue à la fonction de Green et calculer ensuite $V$ par la formule~(12).
+
+\begin{Bibliographie}
+
+\Bibitem{Poisson.}{Théorie mathématique de la chaleur, Chapitre VI.\ Paris 1835.}
+
+% [** PP: Probably should be Partielle]
+\Bibitem{Schlaefli.}{Über die partielle Differentialgl.\ $\pderiv{u}{t} - \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2} = 0$. Journ.\ de Crelle T.~72.}
+
+\Bibitem{Betti.}{Sopra la determinazione delle temperature nei corpi solidi omogenei.
+Memorie delle Soc.\ Italiana della Scienza (detta % [** PP: Typo delta]
+dei~XL). S.~III, T.~I. \Ord{P}{o}~II.}
+
+\Bibitem{Appell.}{Sur l'équation $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} - \pderiv{z}{y} = 0$. Journ.\ de Math.\ T.~VIII, s.~4.}
+
+\Bibitem{Volterra.}{Sur les équations différentielles du type parabolique. Comptes rendus
+des Séances de l'Ac.\ des Sciences. 5~Déc.\ 1904.}
+\end{Bibliographie}
+
+\Tb
+
+%% -----File: 087.png---Folio 87-------
+
+\Chapter{Note additionnelle à la \Ord{5}{ième} leçon.}
+
+\begin{center}
+Communication faite le soir du 2~Mars.
+\end{center}
+
+\Paragraph{1.} Rappelons la formule bien connue de trigonométrie
+\[
+\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha,
+\]
+on peut en tirer que si
+\[
+\tag{1}
+\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha = \text{const}.
+\]
+on doit avoir
+\[
+\alpha + \beta = \text{const}.
+\]
+
+Posons maintenant
+\[
+\alpha = \int_0^x \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\qquad
+\beta = \int_0^y \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}
+\]
+l'équation~(1) s'écrira
+\[
+\tag{2}
+x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2} = \text{const}.
+\]
+
+Donc si cette égalité est vérifiée on doit avoir
+\[
+\tag{3}
+\int_0^x \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} + \int_0^y \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = \text{const}.
+\]
+
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/087a.png.
+% The original differs qualitatively from its equation in the text.]
+\begin{wrapfigure}[6]{l}{1.25in}
+\raisebox{0.125in}[1.125in][0pt]{\Input{087a}{1.25in}}
+\end{wrapfigure}
+Rapportons-nous à deux axes coordonnés $x, y,$ et soit
+$s$ un arc de la courbe ayant pour équation~(2), $M$ un point
+de la courbe, $M_1$ et $M_2$ ses projections sur les axes; alors
+$OM_1$ et $OM_2$ seront les amplitudes des deux intégrales qui
+paraissent dans la formule~(3).
+
+Le théorème de trigonométrie %[** Typo trigométrie]
+peut s'énoncer en disant:%
+\begin{Prop}
+si on déplace le point $M$ sur la courbe $s$ la somme des intégrales
+\[
+\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\qquad \int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}
+\]
+étendues respectivement à $OM_1$ et $OM_2$ est constante.
+\end{Prop}
+
+\Paragraph{2.} Passons à une extension de ce théorème au cas de trois variables.
+
+\begin{Theorem}
+Envisageons les trois intégrales
+\[
+\Lmargintag{4} % [** PP: Typo (2)]
+\iint_{\sigma_1} \frac{dy\, dz}{\sqrt{\dfrac{b_2}{\lambda} z^2 - \dfrac{b_3}{\lambda} y^2 + \beta_1}},\quad
+\iint_{\sigma_2} \frac{dz\, dx}{\sqrt{\dfrac{b_3}{\mu} x^2 - \dfrac{b_1}{\mu} z^2 + \beta_2}},\quad
+\iint_{\sigma_3} \frac{dx\, dy}{\sqrt{\dfrac{b_1}{\nu} y^2 - \dfrac{b_2}{\nu} x^2 + \beta_3}}
+\]
+% [** PP: Changed \sigma_2 to \sigma_3 in third integral]
+%% -----File: 088.png---Folio 88-------
+où $b_1, b_2, b_3$; $\beta_1, \beta_2, \beta_3$; $\lambda, \mu, \nu$ sont des quantités constantes et $\lambda + \mu + \nu = 0$. Prenons
+la surface algébrique ayant pour équation par rapport aux axes coordonnés $x, y, z$
+\end{Theorem}
+\[
+\Lmargintag{5}
+\lambda x \sqrt{\dfrac{b_2}{\lambda} z^2 - \dfrac{b_3}{\lambda} y^2 + \beta_1}
+ + \mu y \sqrt{\dfrac{b_3}{\mu} x^2 - \dfrac{b_1}{\mu} z^2 + \beta_2}
+ + \nu z \sqrt{\dfrac{b_1}{\nu} y^2 - \dfrac{b_2}{\nu} x^2 + \beta_3}
+ = \text{\upshape const}.
+\]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{2.75in}
+\Input{088a}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+\textit{et menons une ligne quelconque %[** PP: Typo quelqonque]
+$s$ fermée
+sur cette surface. Soient $s_1, s_2, s_3$
+les projections de cette ligne sur les plans
+coordonnés, et supposons que nous étendions
+les trois intégrales~{\upshape(4)} aux aires $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$
+renfermées dans ces projections. Alors la
+somme des trois intégrales~{\upshape(4)} ne changera
+pas en déplaçant et en déformant
+la ligne $s$ sur la surface~{\upshape(5)}.}
+
+
+La démonstration de ce théorème
+ne présente pas de difficultés. Il donne
+évidemment une extension du théorème
+élémentaire de trigonométrie par l'emploi
+des fonctions de lignes. La remarque
+la plus intéressante à faire est que la
+surface algébrique constitue une liaison
+algébrique entre les trois lignes dont dépendent les trois intégrales. Ce théorème
+peut bien se généraliser.
+
+\Tb
+
+Voir Volterra: Un teorema sugli integrali multipli. Att.\ della R. Accad.\
+di Torino, 1897.
+\vspace*{1in}
+\begin{center}
+\includegraphics[height=12pt]{./images/decoration.pdf}
+\end{center}
+%% -----File: 089.png---Folio 89-------
+
+%% Contents
+\cleardoublepage
+
+\phantomsection
+\pdfbookmark[0]{Table des Matières}{Table}
+
+\begin{center}
+\textbf{\Large Table.}
+\end{center}
+
+\null\hfill{\footnotesize{Page}}
+
+\ToCline{Première leçon}{pgchapter:1}
+\ToCline{Deuxième leçon}{pgchapter:2}
+\ToCline{Troisième leçon}{pgchapter:3}
+\ToCline{Quatrième leçon}{pgchapter:4}
+\ToCline{Cinquième leçon}{pgchapter:5}
+\ToCline{Sixième leçon}{pgchapter:6}
+\ToCline{Septième leçon}{pgchapter:7}
+\ToCline{Huitième leçon}{pgchapter:8}
+\ToCline{Neuvième leçon}{pgchapter:9}
+\ToCline{Dixième leçon}{pgchapter:10}
+\ToCline{Onzième leçon}{pgchapter:11}
+\ToCline{Note}{pgchapter:12}
+
+%% License
+\cleardoublepage
+
+\phantomsection
+\label{License}
+\pdfbookmark[0]{PG License.}{License}
+
+\begin{PGtext}
+End of the Project Gutenberg EBook of Leçons sur l'intégration des Équations
+Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra
+
+*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ***
+
+***** This file should be named 29783-pdf.pdf or 29783-pdf.zip *****
+This and all associated files of various formats will be found in:
+ http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29783/
+
+Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online
+Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The
+original copy of this book was generously made available
+for scanning by the Department of Mathematics at the
+University of Glasgow.)
+
+
+Updated editions will replace the previous one--the old editions
+will be renamed.
+
+Creating the works from public domain print editions means that no
+one owns a United States copyright in these works, so the Foundation
+(and you!) can copy and distribute it in the United States without
+permission and without paying copyright royalties. Special rules,
+set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to
+copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to
+protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project
+Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you
+charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you
+do not charge anything for copies of this eBook, complying with the
+rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose
+such as creation of derivative works, reports, performances and
+research. They may be modified and printed and given away--you may do
+practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is
+subject to the trademark license, especially commercial
+redistribution.
+
+
+
+*** START: FULL LICENSE ***
+
+THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE
+PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK
+
+To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free
+distribution of electronic works, by using or distributing this work
+(or any other work associated in any way with the phrase "Project
+Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project
+Gutenberg-tm License (available with this file or online at
+http://gutenberg.org/license).
+
+
+Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm
+electronic works
+
+1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm
+electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to
+and accept all the terms of this license and intellectual property
+(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all
+the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy
+all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession.
+If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project
+Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the
+terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or
+entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8.
+
+1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be
+used on or associated in any way with an electronic work by people who
+agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few
+things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works
+even without complying with the full terms of this agreement. See
+paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project
+Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement
+and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic
+works. See paragraph 1.E below.
+
+1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation"
+or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project
+Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the
+collection are in the public domain in the United States. If an
+individual work is in the public domain in the United States and you are
+located in the United States, we do not claim a right to prevent you from
+copying, distributing, performing, displaying or creating derivative
+works based on the work as long as all references to Project Gutenberg
+are removed. Of course, we hope that you will support the Project
+Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by
+freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of
+this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with
+the work. You can easily comply with the terms of this agreement by
+keeping this work in the same format with its attached full Project
+Gutenberg-tm License when you share it without charge with others.
+
+1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern
+what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in
+a constant state of change. If you are outside the United States, check
+the laws of your country in addition to the terms of this agreement
+before downloading, copying, displaying, performing, distributing or
+creating derivative works based on this work or any other Project
+Gutenberg-tm work. The Foundation makes no representations concerning
+the copyright status of any work in any country outside the United
+States.
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+phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project
+Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed,
+copied or distributed:
+
+This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
+almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or
+re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
+with this eBook or online at www.gutenberg.org
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+from the public domain (does not contain a notice indicating that it is
+posted with permission of the copyright holder), the work can be copied
+and distributed to anyone in the United States without paying any fees
+or charges. If you are redistributing or providing access to a work
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+work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1
+through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the
+Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or
+1.E.9.
+
+1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted
+with the permission of the copyright holder, your use and distribution
+must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional
+terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked
+to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the
+permission of the copyright holder found at the beginning of this work.
+
+1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm
+License terms from this work, or any files containing a part of this
+work or any other work associated with Project Gutenberg-tm.
+
+1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this
+electronic work, or any part of this electronic work, without
+prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with
+active links or immediate access to the full terms of the Project
+Gutenberg-tm License.
+
+1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary,
+compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any
+word processing or hypertext form. However, if you provide access to or
+distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than
+"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version
+posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org),
+you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a
+copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon
+request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other
+form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm
+License as specified in paragraph 1.E.1.
+
+1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying,
+performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works
+unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9.
+
+1.E.8. You may charge a reasonable fee for copies of or providing
+access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided
+that
+
+- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from
+ the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method
+ you already use to calculate your applicable taxes. The fee is
+ owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he
+ has agreed to donate royalties under this paragraph to the
+ Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments
+ must be paid within 60 days following each date on which you
+ prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax
+ returns. Royalty payments should be clearly marked as such and
+ sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the
+ address specified in Section 4, "Information about donations to
+ the Project Gutenberg Literary Archive Foundation."
+
+- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies
+ you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he
+ does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm
+ License. You must require such a user to return or
+ destroy all copies of the works possessed in a physical medium
+ and discontinue all use of and all access to other copies of
+ Project Gutenberg-tm works.
+
+- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
+ money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
+ electronic work is discovered and reported to you within 90 days
+ of receipt of the work.
+
+- You comply with all other terms of this agreement for free
+ distribution of Project Gutenberg-tm works.
+
+1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
+electronic work or group of works on different terms than are set
+forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
+both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
+Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the
+Foundation as set forth in Section 3 below.
+
+1.F.
+
+1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable
+effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
+public domain works in creating the Project Gutenberg-tm
+collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic
+works, and the medium on which they may be stored, may contain
+"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or
+corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual
+property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a
+computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by
+your equipment.
+
+1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right
+of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project
+Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project
+Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project
+Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all
+liability to you for damages, costs and expenses, including legal
+fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT
+LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE
+PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE
+TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE
+LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
+INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH
+DAMAGE.
+
+1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a
+defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can
+receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a
+written explanation to the person you received the work from. If you
+received the work on a physical medium, you must return the medium with
+your written explanation. The person or entity that provided you with
+the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a
+refund. If you received the work electronically, the person or entity
+providing it to you may choose to give you a second opportunity to
+receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy
+is also defective, you may demand a refund in writing without further
+opportunities to fix the problem.
+
+1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth
+in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
+WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
+WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.
+
+1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied
+warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages.
+If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the
+law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be
+interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
+the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any
+provision of this agreement shall not void the remaining provisions.
+
+1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the
+trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
+providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
+with this agreement, and any volunteers associated with the production,
+promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
+harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
+that arise directly or indirectly from any of the following which you do
+or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
+work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
+Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.
+
+
+Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm
+
+Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
+electronic works in formats readable by the widest variety of computers
+including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists
+because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
+people in all walks of life.
+
+Volunteers and financial support to provide volunteers with the
+assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
+goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
+remain freely available for generations to come. In 2001, the Project
+Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
+and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
+To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
+and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
+and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.
+
+
+Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive
+Foundation
+
+The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
+501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
+state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
+Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification
+number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at
+http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
+permitted by U.S. federal laws and your state's laws.
+
+The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
+Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
+throughout numerous locations. Its business office is located at
+809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
+business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact
+information can be found at the Foundation's web site and official
+page at http://pglaf.org
+
+For additional contact information:
+ Dr. Gregory B. Newby
+ Chief Executive and Director
+ gbnewby@pglaf.org
+
+
+Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation
+
+Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
+spread public support and donations to carry out its mission of
+increasing the number of public domain and licensed works that can be
+freely distributed in machine readable form accessible by the widest
+array of equipment including outdated equipment. Many small donations
+($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
+status with the IRS.
+
+The Foundation is committed to complying with the laws regulating
+charities and charitable donations in all 50 states of the United
+States. Compliance requirements are not uniform and it takes a
+considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
+with these requirements. We do not solicit donations in locations
+where we have not received written confirmation of compliance. To
+SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
+particular state visit http://pglaf.org
+
+While we cannot and do not solicit contributions from states where we
+have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
+against accepting unsolicited donations from donors in such states who
+approach us with offers to donate.
+
+International donations are gratefully accepted, but we cannot make
+any statements concerning tax treatment of donations received from
+outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff.
+
+Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
+methods and addresses. Donations are accepted in a number of other
+ways including checks, online payments and credit card donations.
+To donate, please visit: http://pglaf.org/donate
+
+
+Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic
+works.
+
+Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
+concept of a library of electronic works that could be freely shared
+with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project
+Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.
+
+
+Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
+editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
+unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily
+keep eBooks in compliance with any particular paper edition.
+
+
+Most people start at our Web site which has the main PG search facility:
+
+ http://www.gutenberg.org
+
+This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
+including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
+Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
+subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
+\end{PGtext}
+
+\vfill
+
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+% %
+% End of the Project Gutenberg EBook of Leçons sur l'intégration des Équations
+% Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra %
+% %
+% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES *** %
+% %
+% ***** This file should be named 29783-t.tex or 29783-t.zip ***** %
+% This and all associated files of various formats will be found in: %
+% http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29783/ %
+% %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+\end{document}
+
+### lprep configuration
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+
+###
+This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.6.29) 24 AUG 2009 12:43
+entering extended mode
+ %&-line parsing enabled.
+**29783-t.tex
+(./29783-t.tex
+LaTeX2e <2005/12/01>
+Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
+yphenation, loaded.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
+Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
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+File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
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+Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+\inpenc@prehook=\toks14
+\inpenc@posthook=\toks15
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
+File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
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+Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
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+File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
+Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count88
+\U@D=\dimen103
+)
+
+Package babel Warning: No hyphenation patterns were loaded for
+(babel) the language `French'
+(babel) I will use the patterns loaded for \language=0 instead.
+
+\l@french = a dialect from \language0
+Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
+Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
+Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
+Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
+\parindentFFN=\dimen104
+\std@mcc=\count89
+\dec@mcc=\count90
+*************************************
+* Local config file frenchb.cfg used
+*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
+xlive/tex/latex/base/textcomp.sty
+Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+Package textcomp Info: Sub-encoding information:
+(textcomp) 5 = only ISO-Adobe without \textcurrency
+(textcomp) 4 = 5 + \texteuro
+(textcomp) 3 = 4 + \textohm
+(textcomp) 2 = 3 + \textestimated + \textcurrency
+(textcomp) 1 = TS1 - \textcircled - \t
+(textcomp) 0 = TS1 (full)
+(textcomp) Font families with sub-encoding setting implement
+(textcomp) only a restricted character set as indicated.
+(textcomp) Family '?' is the default used for unknown fonts.
+(textcomp) See the documentation for details.
+Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def
+File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
+)
+LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266.
+Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281.
+Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282.
+Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283.
+Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284.
+Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285.
+Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286.
+Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287.
+Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288.
+Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289.
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+Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292.
+Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293.
+Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294.
+Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295.
+Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296.
+Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297.
+Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298.
+Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299.
+Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300.
+Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301.
+Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302.
+Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303.
+Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304.
+
+Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305.
+Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306.
+Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307.
+Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308.
+Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309.
+Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310.
+Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 311.
+Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 312.
+Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313.
+Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314.
+Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315.
+Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316.
+Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317.
+Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318.
+Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319.
+Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320.
+Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321.
+Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322.
+Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323.
+Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324.
+Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325.
+Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
+Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
+\@emptytoks=\toks16
+\ex@=\dimen105
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
+\pmbraise@=\dimen106
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
+)
+\inf@bad=\count91
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
+\uproot@=\count92
+\leftroot@=\count93
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
+\classnum@=\count94
+\DOTSCASE@=\count95
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
+\Mathstrutbox@=\box26
+\strutbox@=\box27
+\big@size=\dimen107
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567.
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
+\macc@depth=\count96
+\c@MaxMatrixCols=\count97
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count98
+\dspbrk@lvl=\count99
+\tag@help=\toks17
+\row@=\count100
+\column@=\count101
+\maxfields@=\count102
+\andhelp@=\toks18
+\eqnshift@=\dimen108
+\alignsep@=\dimen109
+\tagshift@=\dimen110
+\tagwidth@=\dimen111
+\totwidth@=\dimen112
+\lineht@=\dimen113
+\@envbody=\toks19
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks20
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
+Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks21
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
+File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
+\Gread@gobject=\count103
+))
+\Gin@req@height=\dimen114
+\Gin@req@width=\dimen115
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+\wrapoverhang=\dimen116
+\WF@size=\dimen117
+\c@WF@wrappedlines=\count104
+\WF@box=\box28
+\WF@everypar=\toks22
+Package: wrapfig 2003/01/31 v 3.6
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
+\fancy@headwidth=\skip46
+\f@ncyO@elh=\skip47
+\f@ncyO@erh=\skip48
+\f@ncyO@olh=\skip49
+\f@ncyO@orh=\skip50
+\f@ncyO@elf=\skip51
+\f@ncyO@erf=\skip52
+\f@ncyO@olf=\skip53
+\f@ncyO@orf=\skip54
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
+Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
+\Gm@cnth=\count105
+\Gm@cntv=\count106
+\c@Gm@tempcnt=\count107
+\Gm@bindingoffset=\dimen118
+\Gm@wd@mp=\dimen119
+\Gm@odd@mp=\dimen120
+\Gm@even@mp=\dimen121
+\Gm@dimlist=\toks23
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
+\@linkdim=\dimen122
+\Hy@linkcounter=\count108
+\Hy@pagecounter=\count109
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
+File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
+Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
+HO)
+)
+Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
+8.
+Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
+Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
+Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip11
+Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc.
+)
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
+\Fld@menulength=\count110
+\Field@Width=\dimen123
+\Fld@charsize=\dimen124
+\Choice@toks=\toks24
+\Field@toks=\toks25
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
+\Hy@abspage=\count111
+\c@Item=\count112
+)
+*hyperref using driver hpdftex*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
+\Fld@listcount=\count113
+)
+\c@Parno=\count114
+\c@Chapter=\count115
+(./29783-t.aux)
+\openout1 = `29783-t.aux'.
+
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 408.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 408.
+(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
+File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: Try loading font information for TS1+cmr on input line 408.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd
+File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+)
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 408.
+-------------------- Geometry parameters
+paper: class default
+landscape: --
+twocolumn: --
+twoside: true
+asymmetric: --
+h-parts: 79.49698pt, 415.55249pt, 119.24553pt
+v-parts: 86.724pt, 578.15999pt, 130.086pt
+hmarginratio: 2:3
+vmarginratio: 2:3
+lines: --
+heightrounded: --
+bindingoffset: 0.0pt
+truedimen: --
+includehead: --
+includefoot: --
+includemp: --
+driver: pdftex
+-------------------- Page layout dimensions and switches
+\paperwidth 614.295pt
+\paperheight 794.96999pt
+\textwidth 415.55249pt
+\textheight 578.15999pt
+\oddsidemargin 7.22699pt
+\evensidemargin 46.97554pt
+\topmargin -17.41978pt
+\headheight 12.0pt
+\headsep 19.8738pt
+\footskip 30.0pt
+\marginparwidth 98.0pt
+\marginparsep 7.0pt
+\columnsep 10.0pt
+\skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
+\hoffset 0.0pt
+\voffset 0.0pt
+\mag 1000
+\@twosidetrue \@mparswitchtrue
+(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
+-----------------------
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
+Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
+File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
+)
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 408.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
+Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
+Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
+)
+\c@section@level=\count116
+)
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 408.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 408.
+(./29783-t.out) (./29783-t.out)
+\@outlinefile=\write3
+\openout3 = `29783-t.out'.
+
+LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmtt on input line 421.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
+File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+)
+LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 444.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+)
+LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 444.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+) [1
+
+{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2
+
+] [1
+
+] [2
+
+] [1] [2] [3] [4] <./images/007a.pdf, id=490, 146.5475pt x 145.54375pt>
+File: ./images/007a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/007a.pdf> <./images/007b.pdf, id=491, 146.5475pt x 145.54375pt>
+File: ./images/007b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/007b.pdf> [1
+
+ <./images/007a.pdf> <./images/007b.pdf>] [2]
+Overfull \hbox (13.85364pt too wide) detected at line 841
+\OT1/cmr/m/n/12 (1) [] (2) []
+ []
+
+[3] <./images/010a.pdf, id=540, 160.6pt x 145.54375pt>
+File: ./images/010a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/010a.pdf>
+File: ./images/010a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/010a.pdf> <./images/011b.pdf, id=541, 160.6pt x 146.5475pt>
+File: ./images/011b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/011b.pdf> [4 <./images/010a.pdf>] [5 <./images/011b.pdf>]
+Overfull \hbox (0.77466pt too wide) in paragraph at lines 1086--1086
+[]
+ []
+
+
+Overfull \hbox (46.51907pt too wide) in paragraph at lines 1128--1128
+[]
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.02481pt too wide) in paragraph at lines 1101--1133
+| $[]$
+ []
+
+[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] <./images/021a.pdf, id=634, 110.4125pt x 110.412
+5pt>
+File: ./images/021a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/021a.pdf> [13]
+Underfull \hbox (badness 2529) in paragraph at lines 1565--1582
+\T1/cmr/m/n/12 tranche ra-di-ale, et soudons les deux bouts. On
+ []
+
+<./images/021b.pdf, id=641, 154.5775pt x 128.48pt>
+File: ./images/021b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/021b.pdf> [14 <./images/021a.pdf> <./images/021b.pdf>] <./images/
+022a.pdf, id=660, 114.4275pt x 152.57pt>
+File: ./images/022a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/022a.pdf> [15 <./images/022a.pdf>] <./images/023a.pdf, id=668, 82
+.3075pt x 199.74625pt>
+File: ./images/023a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/023a.pdf> <./images/023b.pdf, id=669, 89.33376pt x 191.71625pt>
+File: ./images/023b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/023b.pdf> <./images/023c.pdf, id=670, 160.6pt x 123.46124pt>
+File: ./images/023c.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/023c.pdf> [16 <./images/023a.pdf> <./images/023b.pdf> <./images/0
+23c.pdf>] <./images/024a.pdf, id=686, 189.70876pt x 201.75375pt>
+File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/024a.pdf> <./images/024b.pdf, id=687, 112.42pt x 126.4725pt>
+File: ./images/024b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/024b.pdf> [17 <./images/024a.pdf> <./images/024b.pdf>] [18] [19]
+<./images/027a.pdf, id=719, 110.4125pt x 110.4125pt>
+File: ./images/027a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/027a.pdf> [20 <./images/027a.pdf>] [21] <./images/029a.pdf, id=75
+1, 173.64874pt x 95.35625pt>
+File: ./images/029a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/029a.pdf>
+Underfull \hbox (badness 1533) in paragraph at lines 2000--2012
+[][]\T1/cmr/m/n/12 Celle que nous avons trou-vée n'est
+ []
+
+<./images/030a.pdf, id=752, 141.52875pt x 147.55125pt>
+File: ./images/030a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/030a.pdf> [22 <./images/029a.pdf> <./images/030a.pdf>]
+Overfull \hbox (6.04103pt too wide) in paragraph at lines 2055--2057
+[]\T1/cmr/m/n/12 Supposons main-tenant que la sur-face $\OT1/cmr/m/n/12 ^^F$ \T
+1/cmr/m/n/12 en décrois-sant in-fin-i-ment d'une manière
+ []
+
+[23]
+Underfull \vbox (badness 1609) has occurred while \output is active []
+
+[24] <./images/033a.pdf, id=793, 143.53625pt x 128.48pt>
+File: ./images/033a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/033a.pdf> [25 <./images/033a.pdf>] <./images/033b.pdf, id=815, 13
+0.4875pt x 56.21pt>
+File: ./images/033b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/033b.pdf> <./images/034a.pdf, id=816, 102.3825pt x 110.4125pt>
+File: ./images/034a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/034a.pdf> <./images/034b.pdf, id=817, 102.3825pt x 110.4125pt>
+File: ./images/034b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/034b.pdf> <./images/034c.pdf, id=818, 110.4125pt x 110.4125pt>
+File: ./images/034c.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/034c.pdf> [26 <./images/033b.pdf> <./images/034a.pdf> <./images/0
+34b.pdf>] [27 <./images/034c.pdf>] [28] <./images/038a.pdf, id=867, 103.38625pt
+ x 44.165pt>
+File: ./images/038a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/038a.pdf>
+Underfull \vbox (badness 4531) has occurred while \output is active []
+
+[29] [30 <./images/038a.pdf>] [31] [32] [33]
+Overfull \hbox (0.23227pt too wide) in paragraph at lines 2663--2667
+[]\T1/cmr/m/n/12 La dé-com-po-si-tion de $\OML/cmm/m/it/12 F$ \T1/cmr/m/n/12 en
+ ses di-viseurs peut se faire d'une in-finité de manières.
+ []
+
+[34] [35] [36]
+Overfull \hbox (1.79791pt too wide) detected at line 2796
+[] []
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.14494pt too wide) detected at line 2838
+[] []
+ []
+
+[37]
+Overfull \hbox (15.3391pt too wide) detected at line 2872
+[][] \OT1/cmr/m/n/10.95 = [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ; [][] \OT1/cmr/m/n
+/10.95 = [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ; [][] \OT1/cmr/m/n/10.95 = [][] [] \OM
+L/cmm/m/it/10.95 :
+ []
+
+[38] [39] [40] [41] <./images/050a.pdf, id=986, 128.48pt x 128.48pt>
+File: ./images/050a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/050a.pdf> <./images/051a.pdf, id=987, 144.54pt x 152.57pt>
+File: ./images/051a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/051a.pdf> <./images/051b.pdf, id=988, 144.54pt x 156.585pt>
+File: ./images/051b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/051b.pdf> [42 <./images/050a.pdf>]
+Underfull \hbox (badness 1331) in paragraph at lines 3188--3202
+\T1/cmr/m/n/12 et ap-pelons $\OML/cmm/m/it/12 ^^[[]$ \T1/cmr/m/n/12 une sur-fac
+e
+ []
+
+
+Underfull \hbox (badness 1303) in paragraph at lines 3188--3202
+\T1/cmr/m/n/12 par le cône et ayant pour
+ []
+
+[43 <./images/051a.pdf> <./images/051b.pdf>] <./images/053a.pdf, id=1043, 185.6
+9376pt x 120.45pt>
+File: ./images/053a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/053a.pdf> <./images/053b.pdf, id=1044, 185.69376pt x 120.45pt>
+File: ./images/053b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/053b.pdf> [44 <./images/053a.pdf>]
+Overfull \hbox (12.7762pt too wide) detected at line 3341
+[] []
+ []
+
+[45 <./images/053b.pdf>] <./images/055a.pdf, id=1084, 201.75375pt x 122.4575pt>
+File: ./images/055a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/055a.pdf>
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[46 <./images/055a.pdf>]
+Overfull \hbox (16.81837pt too wide) detected at line 3515
+[] []
+ []
+
+[47]
+Overfull \hbox (6.16205pt too wide) detected at line 3576
+[] []
+ []
+
+<./images/057a.pdf, id=1108, 146.5475pt x 109.40875pt>
+File: ./images/057a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/057a.pdf> [48]
+Overfull \hbox (28.96294pt too wide) detected at line 3634
+[]\OML/cmm/m/it/10.95 v\OT1/cmr/m/n/10.95 (\OML/cmm/m/it/10.95 x[] y[] z[]\OT1/
+cmr/m/n/10.95 ) = [] [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ds [] ;
+ []
+
+<./images/057b.pdf, id=1118, 218.8175pt x 162.6075pt>
+File: ./images/057b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/057b.pdf> <./images/058a.pdf, id=1119, 218.8175pt x 160.6pt>
+File: ./images/058a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/058a.pdf> [49 <./images/057a.pdf> <./images/057b.pdf> <./images/0
+58a.pdf>] <./images/058b.pdf, id=1159, 248.93pt x 182.6825pt>
+File: ./images/058b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/058b.pdf>
+Overfull \hbox (4.00078pt too wide) detected at line 3704
+[] []
+ []
+
+<./images/059a.pdf, id=1160, 192.72pt x 104.39pt>
+File: ./images/059a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/059a.pdf> [50 <./images/058b.pdf>] <./images/060a.pdf, id=1183, 3
+54.32375pt x 127.47626pt>
+File: ./images/060a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/060a.pdf> [51 <./images/059a.pdf> <./images/060a.pdf>]
+Overfull \hbox (1.88567pt too wide) in paragraph at lines 3863--3863
+[]
+ []
+
+<./images/061a.pdf, id=1208, 256.96pt x 140.525pt>
+File: ./images/061a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/061a.pdf> [52 <./images/061a.pdf>] [53] [54]
+Overfull \hbox (11.59103pt too wide) detected at line 4053
+[] []
+ []
+
+[55] [56]
+Overfull \hbox (19.2471pt too wide) in paragraph at lines 4145--4161
+[]\T1/cmr/m/n/12 Je pos-sé-dais en 1892 ce théorème lorsque j'é-tu-di-ais le mé
+-moire de M$[]$ Kowalewski
+ []
+
+[57] [58] [59] [60] <./images/070a.pdf, id=1290, 161.60374pt x 151.56625pt>
+File: ./images/070a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/070a.pdf> [61 <./images/070a.pdf>] <./images/071a.pdf, id=1303, 1
+61.60374pt x 151.56625pt>
+File: ./images/071a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/071a.pdf> [62 <./images/071a.pdf>] <./images/072a.pdf, id=1325, 1
+43.53625pt x 133.49875pt>
+File: ./images/072a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/072a.pdf> <./images/073a.pdf, id=1326, 136.51pt x 130.4875pt>
+File: ./images/073a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/073a.pdf> [63 <./images/072a.pdf> <./images/073a.pdf>] <./images/
+073b.pdf, id=1352, 161.60374pt x 218.8175pt>
+File: ./images/073b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/073b.pdf> <./images/073c.pdf, id=1353, 215.80624pt x 208.78pt>
+File: ./images/073c.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/073c.pdf> [64 <./images/073b.pdf> <./images/073c.pdf>] <./images/
+075a.pdf, id=1384, 179.67125pt x 167.62625pt>
+File: ./images/075a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/075a.pdf> [65 <./images/075a.pdf>]
+Underfull \vbox (badness 3281) has occurred while \output is active []
+
+[66] <./images/076a.pdf, id=1407, 204.765pt x 195.73125pt>
+File: ./images/076a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/076a.pdf> [67 <./images/076a.pdf>] <./images/077a.pdf, id=1427, 1
+18.4425pt x 98.3675pt>
+File: ./images/077a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/077a.pdf>
+Overfull \hbox (18.20973pt too wide) detected at line 4731
+\OML/cmm/m/it/12 X \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 v[] \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@
+\OML/cmm/m/it/12 u[]; Y \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 i [] ; Z \OT1/cmr/
+m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 uv
+ []
+
+[68 <./images/077a.pdf>] <./images/078a.pdf, id=1439, 199.74625pt x 175.65625pt
+>
+File: ./images/078a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/078a.pdf> <./images/079a.pdf, id=1440, 204.765pt x 187.70125pt>
+File: ./images/079a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/079a.pdf> <./images/079b.pdf, id=1441, 201.75375pt x 219.82124pt>
+File: ./images/079b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/079b.pdf> <./images/079c.pdf, id=1442, 216.81pt x 225.84375pt>
+File: ./images/079c.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/079c.pdf> [69 <./images/078a.pdf>]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[70 <./images/079a.pdf> <./images/079b.pdf> <./images/079c.pdf>] [71]
+Overfull \hbox (0.63164pt too wide) detected at line 4984
+[] [] \OT1/cmr/m/n/12 = [] [] \OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/
+12 t[] z[]\OT1/cmr/m/n/12 )
+ []
+
+
+Overfull \hbox (7.81781pt too wide) detected at line 5007
+[] []
+ []
+
+[72] <./images/082a.pdf, id=1536, 184.69pt x 163.61125pt>
+File: ./images/082a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/082a.pdf>
+Overfull \hbox (0.716pt too wide) detected at line 5059
+\OT1/cmr/m/n/10.95 2(\OML/cmm/m/it/10.95 m\OT1/cmr/m/n/10.95 )[] \OML/cmm/m/it/
+10.95 u\OT1/cmr/m/n/10.95 (\OML/cmm/m/it/10.95 t[] z[]\OT1/cmr/m/n/10.95 ) = []
+ [] \OML/cmm/m/it/10.95 :
+ []
+
+[73 <./images/082a.pdf>] [74]
+Overfull \hbox (4.93651pt too wide) in paragraph at lines 5119--5125
+[]\T1/cmr/m/n/12 Or on dé-mon-tre que $\OML/cmm/m/it/12 V$ \T1/cmr/m/n/12 est d
+éter-minée si l'on con-naît les valeurs $\OML/cmm/m/it/12 V[]$ \T1/cmr/m/n/12 e
+t $[][] \OT1/cmr/m/n/12 =
+ []
+
+[75] [76] <./images/087a.pdf, id=1581, 118.4425pt x 113.42375pt>
+File: ./images/087a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/087a.pdf> [77]
+Overfull \hbox (3.34244pt too wide) detected at line 5299
+[] [] [][] []\OML/cmm/m/it/12 ; [] [][] []; [] [][] []
+ []
+
+<./images/088a.pdf, id=1595, 173.64874pt x 164.615pt>
+File: ./images/088a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/088a.pdf> [78 <./images/087a.pdf> <./images/088a.pdf>] <./images/
+decoration.pdf, id=1618, 469.755pt x 40.15pt>
+File: ./images/decoration.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/decoration.pdf> [79 <./images/decoration.pdf>] [80
+
+]
+Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5360--5372
+
+ []
+
+[81] [82
+
+]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[83]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[84]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[85]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[86]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[87]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[88] [89] (./29783-t.aux)
+
+ *File List*
+ book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
+ leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
+ bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
+inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+ latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+ fontenc.sty
+ t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
+ babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package
+ frenchb.ldf
+ frenchb.cfg
+textcomp.sty 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+ ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
+ ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+ amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features
+ amstext.sty 2000/06/29 v2.01
+ amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
+ amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d
+ amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names
+ amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d
+amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f
+ alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
+graphicx.sty 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+ keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+graphics.sty 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+ trig.sty 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+ pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
+ wrapfig.sty 2003/01/31 v 3.6
+fancyhdr.sty
+geometry.sty 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
+hyperref.sty 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
+ pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+kvoptions.sty 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
+)
+ url.sty 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc.
+ hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
+ t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
+ ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+ color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+ color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+ nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
+refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
+ 29783-t.out
+ 29783-t.out
+ t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+ umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+ umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+./images/007a.pdf
+./images/007b.pdf
+./images/010a.pdf
+./images/010a.pdf
+./images/011b.pdf
+./images/021a.pdf
+./images/021b.pdf
+./images/022a.pdf
+./images/023a.pdf
+./images/023b.pdf
+./images/023c.pdf
+./images/024a.pdf
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+./images/029a.pdf
+./images/030a.pdf
+./images/033a.pdf
+./images/033b.pdf
+./images/034a.pdf
+./images/034b.pdf
+./images/034c.pdf
+./images/038a.pdf
+./images/050a.pdf
+./images/051a.pdf
+./images/051b.pdf
+./images/053a.pdf
+./images/053b.pdf
+./images/055a.pdf
+./images/057a.pdf
+./images/057b.pdf
+./images/058a.pdf
+./images/058b.pdf
+./images/059a.pdf
+./images/060a.pdf
+./images/061a.pdf
+./images/070a.pdf
+./images/071a.pdf
+./images/072a.pdf
+./images/073a.pdf
+./images/073b.pdf
+./images/073c.pdf
+./images/075a.pdf
+./images/076a.pdf
+./images/077a.pdf
+./images/078a.pdf
+./images/079a.pdf
+./images/079b.pdf
+./images/079c.pdf
+./images/082a.pdf
+./images/087a.pdf
+./images/088a.pdf
+./images/decoration.pdf
+ ***********
+
+ )
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 6206 strings out of 95086
+ 81941 string characters out of 1183255
+ 143218 words of memory out of 1500000
+ 8733 multiletter control sequences out of 10000+50000
+ 24994 words of font info for 70 fonts, out of 1200000 for 2000
+ 28 hyphenation exceptions out of 8191
+ 27i,15n,43p,258b,488s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
+ </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1000.600pk> </home/
+widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/tcrm1200.600pk> </home/widger/.te
+xmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/eccc1200.600pk> </home/widger/.texmf-var/fo
+nts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecti1200.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljf
+our/jknappen/ec/ecbx1095.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknapp
+en/ec/ecbx1200.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecbx
+1728.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/tcrm1095.600pk
+> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1200.600pk> </home/w
+idger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecbx2488.600pk> </home/widger/.tex
+mf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm0800.600pk> </home/widger/.texmf-var/fon
+ts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1095.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfo
+ur/jknappen/ec/ecbx1440.600pk> </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappe
+n/ec/ectt0900.600pk></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb
+></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-
+texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
+/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pf
+b></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-
+texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
+bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb>
+</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-tex
+live/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blue
+sky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></
+usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texl
+ive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb>
+Output written on 29783-t.pdf (97 pages, 1079383 bytes).
+PDF statistics:
+ 2335 PDF objects out of 2487 (max. 8388607)
+ 495 named destinations out of 1000 (max. 131072)
+ 1104 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
+
diff --git a/29783-t/images/007a.pdf b/29783-t/images/007a.pdf
new file mode 100644
index 0000000..15e9050
--- /dev/null
+++ b/29783-t/images/007a.pdf
Binary files differ
diff --git a/29783-t/images/007b.pdf b/29783-t/images/007b.pdf
new file mode 100644
index 0000000..41afbd7
--- /dev/null
+++ b/29783-t/images/007b.pdf
Binary files differ
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+% Title: Leons sur l'intgration des quations Diffrentielles aux Drives Partielles
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+% ForPrinting=true (default) false
+% Letterpaper Cropped pages
+% Asymmetric margins Symmetric margins
+% Black hyperlinks Blue hyperlinks
+\newboolean{ForPrinting}
+
+%% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %%
+\setboolean{ForPrinting}{true}
+
+%% Initialize values to ForPrinting=false
+\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1} % Symmetric margins
+\newcommand{\HLinkColor}{blue} % Hyperlink color
+\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
+\newcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription}
+\newcommand{\TransNoteCommon}{%
+ Ce livre a t prpar l'aide d'images fournies par la
+ Dpartement de Mathmatiques, Universit de Glasgow.
+ \bigskip
+
+ Des modifications mineures ont t apportes la prsentation,
+ l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathmatiques. Les
+ illustrations ont t recres.
+}
+
+\newcommand{\TransNoteText}{%
+ \TransNoteCommon
+ \bigskip
+
+ Ce fichier est optimis pour tre lu sur un cran, mais peut tre
+ aisment reformat pour tre imprimer. Veuillez consulter le
+ prambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
+}
+
+%% Re-set if ForPrinting=true
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
+ \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
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+ \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
+ \renewcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription}
+ \renewcommand{\TransNoteText}{%
+ \TransNoteCommon
+ \bigskip
+
+ Ce fichier est optimis pour imprimer, mais peut tre aisment
+ reformat pour tre lu sur un cran. Veuillez consulter le
+ prambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
+ }
+}{}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%% End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages %%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+% The text block is painstakingly adjusted to ensure good page
+% breaks while wrapping text around illustrations.
+\usepackage[body={5.75in,8in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
+
+\providecommand{\ebook}{00000} % Overridden during white-washing
+\usepackage[pdftex,
+ hyperfootnotes=false,
+ pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Leons sur
+ l'intgration des quations Diffrentielles aux Drives
+ Partielles},
+ pdfauthor={Vito Volterra},
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+ Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%% Conditional compilation switches %%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\newboolean{KeepOps}
+% The book uses trailing operators to signify continuation of a long
+% expression. These are omitted by default, but can be incorporated
+% by uncommenting the next line.
+%\setboolean{KeepOps}{True}
+
+% For trailing operators on broken long expressions
+\newcommand{\Trail}[1]{%
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+ % If ForPrinting=false, don't skip to recto
+ \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
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+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
+% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width
+\newenvironment{PGtext}{%
+\begin{alltt}
+\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
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+
+% Cross-referencing: labels and refs
+\newcommand{\Pagelabel}[1]{%
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+}
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+\newcommand{\Lmargintag}[1]{\makebox[0pt][r]{\normalsize\upshape(#1)\quad}}
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+
+%% Sectioning: Chapter, Paragraph divisions
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+% \Paragraph: numbered units
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+% \Chapter{Title}
+\newcommand{\Chapter}[1]{%
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+\newcommand{\Preface}[1]{%
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+ % page formatting
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+ \textbf{\small Introduction.}}
+
+ % drop anchors
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+% Four section:n.k tags manually added for 2.2, 8.1, 8.3, and 8.5
+\newcommand{\Paragraph}[1]{%
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+ \refstepcounter{Parno}%
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+
+\newenvironment{Theorem}{\par\normalfont\itshape}{}
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+\newenvironment{Bibliographie}%
+{%
+ \subsubsection*{\centering\normalfont\upshape\textbf{Bibliographie.}}%
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+% Set the table of contents manually
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+% graphics inclusion that centralizes path and extensions
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+\newcommand{\Mme}{M\textsuperscript{me}}
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+\newcommand{\smfrac}[2]{\mbox{\footnotesize$\dfrac{#1}{#2}$}}
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+\DeclareMathOperator{\arctg}{arc~tg}
+
+% Recurring expression on 055.png and 056.png
+\newcommand{\Lorentz}{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 - (z-z_1)^2}
+
+\DeclareInputMath{176}{\mbox{\textdegree}}
+\DeclareInputMath{183}{\cdot}
+
+\newcommand{\eps}{\varepsilon}
+\renewcommand{\phi}{\varphi}
+
+% \theta changes to \vartheta starting on 046.png
+\newboolean{UseVartheta}
+\newcommand{\THETA}{%
+ \ifthenelse{\boolean{UseVartheta}}{\vartheta}{\theta}%
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+\newcommand{\sameauthor}{\rule[2pt]{0.375in}{0.5pt}}% ---------}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\begin{document}
+
+\pagestyle{empty}
+\pagenumbering{Alph}
+
+%%%% PG BOILERPLATE %%%%
+\phantomsection
+\label{PGBoilerplate}
+%\Pagelabel{PGBoilerplate}
+\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Project Gutenberg Boilerplate}
+
+\begin{center}
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\begin{PGtext}
+The Project Gutenberg EBook of Leons sur l'intgration des quations
+Diffrentielles aux Drives Partielles, by Vito Volterra
+
+This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
+almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or
+re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
+with this eBook or online at www.gutenberg.org
+
+
+Title: Leons sur l'intgration des quations Diffrentielles aux Drives Partielles
+ Professes a Stockholm sur l'Invitation de S. M. le Roi de Sude
+
+Author: Vito Volterra
+
+Release Date: August 24, 2009 [EBook #29783]
+
+Language: French
+
+Character set encoding: ISO-8859-1
+
+*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK QUATIONS DIFFRENTIELLES ***
+\end{PGtext}
+\end{minipage}
+\end{center}
+\vfill
+
+\clearpage
+
+%%%% CREDITS %%%%
+
+\begin{PGtext}
+Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online
+Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The
+original copy of this book was generously made available
+for scanning by the Department of Mathematics at the
+University of Glasgow.)
+\end{PGtext}
+
+\vfill
+
+\begin{minipage}{0.8\textwidth}
+\small
+\subsection*{\centering \TransNote}
+
+\raggedright
+\TransNoteText
+
+\end{minipage}
+\vfil
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\frontmatter
+
+\allowhyphens
+\pagenumbering{roman}
+\pagestyle{empty}
+\selectlanguage{french}
+
+\normalsize
+
+%% -----File: 001.png---Folio 1-------
+% Title page
+% [** PP: Omitting printer's mark Manuscrit]
+
+\noindent\begin{minipage}{\textwidth}
+\begin{center}
+\textbf{\Huge LEONS} \\[18pt]
+{\scriptsize SUR}\\[18pt]
+\textbf{\large L'INTGRATION}\\[18pt]
+{\scriptsize DES}\\[18pt]
+\textbf{\Huge QUATIONS DIFFRENTIELLES}\\[18pt]
+AUX\\[18pt]
+\textbf{\huge DRIVES PARTIELLES}\\[24pt]
+PROFESSES STOCKHOLM\\ % [** PP: Typo A (assuming small caps)]
+{\scriptsize (FVRIER, MARS 1906)}\\[24pt]
+SUR L'INVITATION DE S. M. LE ROI DE SUDE\\[48pt]
+{\scriptsize PAR}\\[12pt]
+\textbf{\large M.~V.~VOLTERRA}\\
+{\scriptsize SNATEUR DU ROYAUME D'ITALIE}\\
+{\scriptsize PROFESSEUR DE PHYSIQUE MATHMATIQUE L'UNIVERSIT DE ROME}\\[96pt]
+{\small UPSAL \oldstylenums{1906}}\\
+{\scriptsize IMPRIMERIE ALMQVIST \& WIKSELL}
+\end{center}
+\end{minipage}
+
+\cleardoublepage
+
+%% -----File: 002.png---Folio 2-------
+%% [Blank Page]
+%% -----File: 003.png---Folio 3-------
+
+% global initialization
+\pagestyle{fancy}
+\fancyfoot{}
+\fancyhead{}
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
+ {\fancyhead[RO,LE]{\textsc{\MakeLowercase{\thepage}}}}
+ {\fancyhead[R]{\textsc{\MakeLowercase{\thepage}}}}
+
+\setlength{\headheight}{14.5pt}
+
+\Preface{\Ord{1}{ire} leon.}
+
+\Paragraph{1.} Le cours que je ferai se rapportera quelques points de la thorie des
+quations diffrentielles de la physique mathmatique. On sait que la physique
+mathmatique traverse une priode de crise. On abandonne certaines ides pour
+en suivre de nouvelles. Tous ceux, par exemple, qui ont lu les loquentes
+pages que M.~Poincar a consacr cette question et ceux, qui ont pris connaissance
+de l'tat actuel de la science dans le bel ouvrage de M.~Picard, sont renseigns
+d'une manire fort claire l-dessus. Mais, mme si certains concepts que
+nous avons maintenant sur la nature des phnomnes naturels et quelques principes
+fondamentaux devaient tre branls par de nouveaux faits et de nouvelles dcouvertes,
+une partie de la physique mathmatique a bien des chances de se sauver
+du naufrage. Elle reprsente en effet, peut-tre d'une manire grossire, mais
+certainement d'une manire trs-simple, une grande partie des faits naturels connus,
+les relie ensemble et a une utilit pratique hors de toute discussion.
+
+L'histoire des sciences nous offre l'exemple de thories analytiques de certains
+phnomnes qui ont t cres sous l'influence de certains principes et
+qui ont rsist la chute de ces principes. Pour n'en citer qu'un seul, parmi
+la foule de ceux qui se prsentent, il suffit de rappeler la thorie des instruments
+optiques qui se conserve dans ses lignes gnrales, tandis que les principes de
+l'optique ont subi tant d'volutions.
+
+\Paragraph{2.} Les thories de la propagation de la chaleur, de l'hydrodynamique, de
+l'lasticit, des forces newtoniennes et de l'lectromagntisme peuvent tre aujourd'hui
+traites sous un point de vue commun, de sorte qu'elles peuvent constituer
+un seul chapitre d'analyse. On peut systmatiser les mthodes qu'on
+emploie et classifier tous les faits qui s'y rapportent par la classification des quations
+diffrentielles dont ils dpendent. Cela conduit envisager trois \emph{types} d'quations
+diffrentielles qu'on a l'habitude d'appeler \emph{elliptique}, \emph{hyperbolique} et \emph{parabolique}
+et des \emph{types mixtes}.
+%% -----File: 004.png---Folio 4-------
+
+Lorsqu'on tudie les choses sous cet aspect une seule formule est capable de nous
+rvler sous une forme unique des proprits qui se rapportent des phnomnes
+en apparence divers entre eux. Quelquefois l'analogie est une simple analogie
+analytique, quelquefois elle va bien au del.
+
+Supposons maintenant pour un instant que la base des faits physiques sur
+laquelle pose l'difice analytique vienne manquer, ou qu'on la nglige. Cet difice
+est tellement solide et utile par lui-mme qu'il continuerait subsister comme un
+des plus beaux chapitres de l'analyse.
+
+\Paragraph{3.} Le point de dpart de toutes les considrations dont nous venons de parler
+est d'envisager un ensemble continu ou un \emph{domaine} une, deux ou trois
+dimensions. A % [** PP: Typo ]
+chaque point du domaine correspond une quantit scalaire ou un
+vecteur ou plusieurs quantits scalaires et plusieurs vecteurs lis par les quations
+diffrentielles. Ces quantits sont quelquefois constantes par rapport au temps
+et quelquefois variables. Dans ce cas on a en gnral un grand avantage en
+considrant le temps comme une nouvelle coordonne.
+
+Tout le monde sait que les ides des physiciens ont toujours oscill entre le
+concept d'un milieu continu, sige de tous les phnomnes par lequel on tche de
+supprimer toute action distance, et le concept fond sur l'hypothse des molcules
+spares et des actions distance.
+
+Il ne faut pas croire que nos considrations soient lies forcment au premier
+concept. Elles correspondent aussi l'autre. Il suffit pour cela de rappeler que
+Cauchy, Poisson, Fourier, Laplace, qui suivaient les ides, qu'on appelle maintenant
+de la mcanique physique, c'est dire au fond le second systme, ont t
+les premiers dcouvrir les quations diffrentielles qui forment la base des thories
+analytiques. Il leur a fallu, pour y parvenir, faire un passage la limite qui
+les a amen du discontinu au continu. Mais une fois cette limite franchie, les
+deux conceptions au point de vue analytique se mlent dans la plupart des cas.
+
+\Paragraph{4.} Je n'aurai pas le temps de traiter d'une manire complte le chapitre d'analyse
+dont je viens de parler. Je toucherai seulement quelques points, qui me
+semblent avoir un certain intrt et que je crois nouveaux. Le rle que certaines
+solutions polydromes jouent dans les diffrents cas, voil un point que je tcherai
+d'examiner avec quelque dtail. Nous envisagerons ces solutions dans les diffrents
+types d'quations et pour nous familiariser avec elles nous tudierons d'abord les
+solutions polydromes dans le cas de l'quilibre lastique. Elles nous conduisent
+des rsultats pratiques et frappants qu'on peut montrer par des modles matriels
+qui nous dvoilent leur vrai caractre et leur importance. Le cas d'quilibre des
+corps lastiques connexion multiple, non assujettis % [** PP: Typo assujetis]
+ des forces externes, est en
+%% -----File: 005.png---Folio 5-------
+dpendance troite avec les solutions polydromes, et nous offre de nouveaux problmes
+de la thorie de l'lasticit.
+
+\Paragraph{5.} La thorie des fonctions est lie aux problmes de physique mathmatique
+qui dpendent de l'quation de Laplace deux variables. Si l'on envisage, par
+exemple, un voile liquide incompressible infiniment mince qui est en mouvement,
+tout thorme de la thorie des fonctions peut tre interprt comme un thorme
+relatif au mouvement. Rciproquement toute proprit du mouvement peut tre
+interprte comme un thorme de la thorie des fonctions. On obtient cette
+relation par les fonctions conjugues qu'il faut regarder comme la partie relle
+et le coefficient de l'imaginaire dans la thorie des fonctions et en hydrodynamique
+comme le potentiel de vitesse et la fonction qui dfinit les lignes des courants.
+
+Mais cela est born au cas de deux dimensions. Comment gnraliser la
+chose au cas d'un nombre quelconque de dimensions? Je montrerai que la thorie
+des fonctions conjugues peut s'tendre au cas gnral par l'introduction d'un
+nouveau concept analytique sur lequel je reviendrai tout l'heure. Cela nous
+amnera exposer certaines vues nouvelles sur la thorie gnrale des fonctions.
+
+\Paragraph{6.} Par rapport aux quations du type hyperbolique j'exposerai d'abord, sans
+entrer dans les dtails, quelques rsultats %[** PP: Typo resultats]
+que j'ai trouvs et publis il y a quelque
+temps et qui plus rcemment ont t tendus et complts par d'autres gomtres.
+
+Ensuite je tcherai de montrer le rle bien singulier que joue le principe
+des images. La mmorable mthode de Lord Kelvin peut tre employe quelquefois
+mme dans ce cas et amne des rsultats plus simples que dans celui des
+quations du type elliptique. L'influence de la ralit des caractristiques se
+rvle par l d'une manire frappante.
+
+Il y a un mmoire trs-profond de Weierstrass sur l'intgration des quations
+diffrentielles linaires aux drives partielles o il expose une mthode par
+laquelle il intgre quelques quations du type hyperbolique. \Mme\ Kowalewski a
+appliqu dans un travail sur l'optique la mthode de Weierstrass, mais, sans s'en
+douter, elle avait faire avec des fonctions polydromes, c'est pourquoi la mthode %[** PP: Typo methode]
+ne l'a pas amene au rsultat qu'elle cherchait. J'entrerai dans la discussion de
+cette question et du rle de la solution polydrome. Je n'ai connu aucun gomtre,
+aprs \Mme\ Kowalewski, qui ait employ la mthode de Weierstrass et elle parat % [** PP: Typo parait]
+comme une mthode %[** PP: Typo mthod]
+ part qui n'est pas relie aux autres. Je serai heureux de
+montrer qu'elle se rattache d'une manire trs-simple la mthode de Kirchhoff.
+Or, puisque les mthodes de Kirchhoff de Green et de Riemann ont des rapports
+troits entre elles, toutes ces diffrentes mthodes restent relies ensemble.
+
+\Paragraph{7.} Les dernires leons seront consacres aux quations diffrentielles du
+type parabolique. Leur tude n'est pas si avance que celle des quations des
+%% -----File: 006.png---Folio 6-------
+autres types. Au premier abord il ne semble pas que la mthode des caractristiques,
+qui a donn les rsultats les plus gnraux dans le cas hyperbolique, puisse
+conduire embrasser tous les rsultats connus lorsqu'on l'applique aux quations
+du type parabolique. Nous montrerons o est la difficult. On a toujours conu
+la mthode de Riemann comme borne au domaine des variables relles. Au contraire
+pour approfondir avec succs la question des quations du type parabolique,
+il faut commencer par tendre la mthode aux variables complexes et ensuite
+l'employer ainsi gnralise.
+
+Comme application des formules qu'on a dans les cas des quations du type
+parabolique j'exposerai la solution d'un problme qui se rapporte aux oscillations
+des fluides incompressibles. J'aurai ainsi l'occasion de dire quelques mots par rapport
+cette question gnrale qui d'un ct est lie aux quations du type elliptique et d'un
+autre ct a bien des rapports avec les problmes des ondes qu'on tudie par des
+quations du type hyperbolique. Je donnerai ce propos une formule analogue
+celle ordinaire de Green qui contient une fonction analogue celle qu'on appelle
+fonction de Green.
+
+\Paragraph{8.} Voil le programme du cours. Cependant je n'ai pas encore parl d'une
+manire explicite d'une question dont j'aurai l'occasion de traiter avec quelque
+dtail. Nous avons vu que dans nos considrations nous prenons comme fondement
+un continu un certain nombre de dimensions, dans lequel on envisage des quantits
+scalaires ou des vecteurs. Supposons que nous ayons une quantit scalaire
+qui soit une fonction des points d'un domaine trois dimensions, et pour fixer les
+ides supposons que ce soit la temprature des points d'une surface. Aura-t-on
+examin d'une manire complte la question en envisageant cette quantit scalaire
+comme une fonction de trois variables, c'est dire des coordonnes des diffrents
+points de la surface et du temps? Il est facile de se convaincre que, si nous
+pouvons changer arbitrairement la temprature au contour du corps, la temprature
+dpendra aussi de toutes les valeurs de la fonction qui exprime la temprature
+au contour. De mme le potentiel d'un corps dformable dpendra de la forme du
+corps. On est par l amen d'une manire fort naturelle, et l'on peut mme dire
+qu'on est forc d'envisager non seulement les fonctions qui dpendent d'un certain
+nombre de variables, mais aussi celles qui dpendent de la forme de certaines
+lignes et de certaines surfaces et de toutes les valeurs de certaines fonctions.
+Nous aurons l'occasion de parler de ce concept et de dvelopper quelques ides
+sur ces fonctions et sur leur inversion, lorsque nous entrerons dans le sujet dont
+nous avons touch au ~5. % [** Xref]
+
+\Tb
+%% -----File: 007.png---Folio 7-------
+
+\clearpage
+\pagenumbering{arabic}
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
+ {\fancyhead[RO,LE]{\thepage}}
+ {\fancyhead[R]{\thepage}}
+
+\Chapter{\Ord{2}{ime} leon.}
+
+\Paragraph{1.} Envisageons dans un plan les axes coordonns $x$, $y$ et la fonction
+$\THETA = \arctg \dfrac{y}{x}$.
+
+\begin{wrapfigure}[9]{r}{2in}% **** Explicit height
+%[Illustration]
+\raisebox{0.25in}[1.75in][0pt]{\Input{007a}{2in}}
+\end{wrapfigure}
+$\THETA$ est l'angle que le rayon vecteur fait
+avec l'axe~$x$. Partons d'un point~$M_0$ situ sur
+l'axe~$x$, et, aprs avoir parcouru un cycle $M_0NM'$
+autour de l'origine, revenons au point de
+dpart~$M_1$.
+
+En prenant les valeurs de $\THETA$ qui se suivent
+avec continuit la valeur~$\THETA_1$ qu'on trouve
+en $M_1$ aprs avoir parcouru le cycle est gale
+la valeur initiale augmente de~$2\pi$. Voil un
+exemple trs-simple d'une fonction \emph{polydrome}.
+
+Les drives partielles $\pderiv{\THETA}{x} = -\dfrac{y}{x^2+y^2}$, $\pderiv{\THETA}{y} = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ ainsi que les drives
+successives sont finies continues et monodromes except l'origine. C'est pourquoi
+dans un domaine~$S$ qui ne comprend pas l'origine
+les drives $\pderiv{\THETA}{x}$, $\pderiv{\THETA}{y}$ seront rgulires ainsi que
+leurs drives successives.
+
+\begin{wrapfigure}{r}{2in}
+%[Illustration]
+\raisebox{0.125in}[1.875in][0pt]{\Input{007b}{2in}}
+\end{wrapfigure}
+\phantomsection\label{section:2.2}%
+\Paragraph{2.} Rappelons %[** PP: Typo Rappellons]
+un thorme de calcul intgral
+qu'on appelle thorme de Gauss.
+
+\begin{Theorem}
+Soit $S$ un domaine trois dimensions $X$, $Y$, $Z$,
+trois fonctions monodromes finies et continues qui
+ont des drives monodromes finies et continues.
+On a
+%% -----File: 008.png---Folio 8-------
+\begin{multline*}
+\int_S \left(\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z}\right)\, dS \\
+ = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma
+\end{multline*}
+$\sigma$ tant le contour du domaine~$S$, $n$ la normale $\sigma$ dirige vers l'extrieur du domaine~$S$.
+\end{Theorem}
+
+Rappelons aussi le thorme de Stokes. %[** PP: Typo Rappellons]
+
+\begin{Theorem}
+$\sigma$ tant une surface ayant pour contour~$S$ %[** PP: Typo $s$]
+et $X$, $Y$, $Z$ tant des fonctions monodromes
+finies et continues dont les drives sont aussi monodromes finies et continues on a
+\begin{multline*}
+\int_\sigma \left\{\left(\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z}\right) \cos nx
+ + \left(\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x}\right) \cos ny
+ + \left(\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y}\right) \cos nz \right\} d\sigma \\
+ = \int_S (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz)
+\end{multline*}
+$n$ tant la normale ~$\sigma$. On peut faire l'intgration sur le contour~$s$ dans une direction
+telle que l'intgrale du second membre soit prcde du signe~$+$. %[** PP: Added period]
+\end{Theorem}
+
+\Paragraph{3.} Un domaine trois dimensions est \emph{acyclique} ou \emph{connexion simple} si toute
+ligne ferme que l'on peut tirer l'intrieur peut se rduire infiniment petite par
+une dformation continue sans sortir du domaine.
+
+Si cette condition n'est pas vrifie, le domaine est \emph{cyclique} ou \emph{connexion
+multiple}. Supposons que par une coupure transversale un espace cyclique devienne
+acyclique, on dit alors que cette \emph{connexion est double}. Si l'espace cyclique devient
+acyclique lorsqu'on fait deux coupures, on dit que la \emph{connexion est triple}, et ainsi de
+suite. Dans tout domaine acyclique une ligne ferme peut tre regarde comme
+le contour d'une surface situe l'intrieur du domaine.
+
+\Paragraph{4.} Dans la thorie de l'lasticit on peut envisager un milieu continu et l'on
+peut supposer qu'il existe un \emph{tat naturel} o il n'y a aucune tension interne. Dplaons
+infiniment peu les points du milieu, et soient $u$, $v$, $w$ les composantes des
+dplacements, alors la dformation du milieu est dfinie par les quantits que les
+Anglais appellent \emph{strains}
+\begin{gather*}
+\gamma_{11} = \pderiv{u}{x}\quad
+\gamma_{22} = \pderiv{v}{y}\quad
+\gamma_{33} = \pderiv{w}{z} \\
+\gamma_{32} = \gamma_{23} = \pderiv{v}{z} + \pderiv{w}{y},\
+\gamma_{13} = \gamma_{31} = \pderiv{w}{x} + \pderiv{u}{z},\
+\gamma_{21} = \gamma_{12} = \pderiv{u}{y} + \pderiv{v}{x}.
+\end{gather*}
+Il peut y avoir dplacement sans dformation lorsque ces quantits sont nulles.
+
+Le potentiel des forces lastiques relatif chaque lment~$dS$ du milieu
+dform s'exprime par
+\[
+F(\gamma_{11}, \gamma_{22}, \gamma_{33}, \gamma_{23}, \gamma_{31}, \gamma_{12} )\, dS
+\]
+%% -----File: 009.png---Folio 9-------
+o $F$ est un polynme %[** PP: Typo polynome]
+homogne de \Ord{2}{d}~degr par rapport
+$\gamma_{11}$, $\gamma_{22}$, $\gamma_{33}$, $\gamma_{23}$, $\gamma_{31}$, $\gamma_{12}$
+qui est toujours ngatif et s'annule %[** PP: Typo s'annulle]
+seulement lorsque toutes les quantits~$\gamma_{rs}$
+sont nulles.
+
+La tension dans chaque point est caractrise par les quantits
+\begin{gather*}
+t_{11} = \pderiv{F}{\gamma_{11}},\quad
+t_{22} = \pderiv{F}{\gamma_{22}},\quad
+t_{33} = \pderiv{F}{\gamma_{33}}, \\ % [** PP: Added comma]
+t_{32} = t_{23} = \pderiv{F}{\gamma_{32}},\
+t_{13} = t_{31} = \pderiv{F}{\gamma_{31}},\
+t_{21} = t_{12} = \pderiv{F}{\gamma_{12}},
+\end{gather*}
+que les Anglais appellent \emph{stress}.%[** PP: Typo streis]
+
+La \emph{tension unitaire} qui s'exerce sur chaque lment d'aire $d\sigma$ du milieu a
+pour composantes
+\begin{align*}
+T_{x} &= t_{11} \cos nx + t_{12} \cos ny + t_{13} \cos nz \\
+T_{y} &= t_{21} \cos nx + t_{22} \cos ny + t_{23} \cos nz \\
+T_{z} &= t_{31} \cos nx + t_{32} \cos ny + t_{33} \cos nz
+\end{align*}
+$n$ tant la normale de l'lment~$d\sigma$.
+
+Si $X$, $Y$, $Z$ sont les composantes des forces extrieures unitaires qui s'exercent
+sur chaque lment~$dS$ du corps lastique, et $T_x$, $T_y$, $T_z$ les composantes de la
+tension unitaire qui s'exerce sur chaque lment du contour, les quations de
+l'quilibre lastique sont
+\[
+(1)\quad\left\{
+\begin{aligned}
+ X &= \pderiv{t_{11}}{x} + \pderiv{t_{12}}{y} + \pderiv{t_{13}}{z} \\
+ Y &= \pderiv{t_{21}}{x} + \pderiv{t_{22}}{y} + \pderiv{t_{23}}{z} \\
+ Z &= \pderiv{t_{31}}{x} + \pderiv{t_{32}}{y} + \pderiv{t_{33}}{z}
+\end{aligned}
+\right.
+\qquad
+(2)\quad\left\{
+\begin{aligned}
+ T_{x} &= t_{11} \cos nx + t_{12} \cos ny + t_{13} \cos nz \\
+ T_{y} &= t_{21} \cos nx + t_{22} \cos ny + t_{23} \cos nz \\
+ T_{z} &= t_{31} \cos nx + t_{32} \cos ny + t_{33} \cos nz
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+o $n$ est la normale au contour dirige vers l'intrieur du corps.
+
+Lorsque le corps est isotrope et homogne on a
+\[
+F = \tfrac{1}{2} L \THETA^2 + K \psi, % [** PP: Typo \Psi]
+\]
+en ayant pos
+\[
+\THETA = \gamma_{11} + \gamma_{22} %[** PP: Typo 21]
+ + \gamma_{33} ,\quad
+ \psi = \gamma_{11}^2 + \gamma_{22}^2 + \gamma_{33}^2
+ + \tfrac{1}{2}
+ (\gamma_{23}^2 + \gamma_{31}^2 + \gamma_{12}^2);
+\]
+c'est pourquoi
+\[
+\begin{aligned}
+t_{11} &= L \THETA + 2 K \gamma_{11} \\
+t_{22} &= L \THETA + 2 K \gamma_{22} \\
+t_{33} &= L \THETA + 2 K \gamma_{33} \\
+\end{aligned}
+\qquad\qquad
+\begin{aligned}
+t_{23} &= K \gamma_{23} \\
+t_{31} &= K \gamma_{31} \\
+t_{12} &= K \gamma_{12}.
+\end{aligned}
+\]
+$L$ et~$K$ sont des quantits constantes et ngatives, $\THETA$ est la \emph{dilatation cubique}.
+%% -----File: 010.png---Folio 10-------
+
+Les quations~$(1)$ deviennent alors
+\[
+\tag{$1'$}
+\left\{
+\begin{aligned}
+ X &= K \Delta^{2} u + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{x} \\
+ Y &= K \Delta^{2} v + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{y} \\
+ Z &= K \Delta^{2} w + ( L + K ) \pderiv{\THETA}{z}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+le symbole $\Delta^{2}$ reprsentant l'opration
+\[
+ \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}
++ \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}
++ \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}.
+\]
+
+\Paragraph{6.} Ayant rappel ces notions fondamentales nous voulons montrer que la
+thorie de l'lasticit pour les corps ayant une forme cyclique se prsente d'une
+manire diffrente que pour les corps acycliques, et cela tient au rle que les solutions
+polydromes jouent dans la question.
+
+On % [** PP: Typo Or]
+nonce en gnral le thorme qu'\emph{un corps lastique qui n'est pas soumis
+ des actions externes est en quilibre}, et on tire de l que \emph{les forces externes tant
+donnes la dformation du corps est connue}. Or ces propositions ne sont exactes
+que si le corps a une connexion simple.
+
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}
+\Input{010a}{1.5in}
+\end{wrapfigure}
+Pour montrer qu'il y a des cas o elles ne
+se vrifient pas, envisageons un \emph{anneau}. Retranchons
+une tranche radiale $AA'$, $BB'$ trs mince, et
+soudons les deux bouts $AA'$ et~$BB'$. Le corps
+aprs la soudure sera soumis des tensions internes
+et cependant il ne supportera aucune action
+extrieure.
+
+On pourrait souponner que quelque discontinuit
+ou quelque singularit s'est produite dans
+la dformation l'endroit o l'on a fait la soudure;
+mais on peut dmontrer qu'il n'y a aucune singularit de cette sorte, de
+manire que si l'on voulait trouver l'endroit o l'on a fait la soudure par quelque
+particularit de la dformation il serait impossible de la retrouver.
+
+On peut se demander quoi tient la contradiction entre les propositions prcdentes
+et le rsultat que nous venons d'examiner.
+
+Le n{\oe}ud de la question est dans l'application du thorme de Gauss. En
+effet pour dmontrer les propositions que nous avons nonces tout l'heure on suppose
+que dans les quations $(1)$ et~$(2)$ $X = Y = Z = T_{x} = T_{y} = T_{z} = 0$, on multiplie
+%% -----File: 011.png---Folio 11-------
+les deux membres des quations~$(1)$ respectivement par $u$, $v$, $w$, qu'on somme, qu'on
+intgre et transforme par le thorme de Gauss. On tire de l que
+\[
+\int_S F\, dS = 0, % [** PP: Changed . to ,
+\]
+$S$ tant l'espace occup par le corps lastique; d'o l'on dduit
+\[
+ \gamma_{11} = \gamma_{22} = \gamma_{33}
+= \gamma_{23} = \gamma_{31} = \gamma_{12} = 0
+\]
+c'est dire que si les forces extrieures sont nulles il n'y a pas de dformation.
+Or nous avons remarqu que pour appliquer le thorme de Gauss il faut que
+toutes les fonctions qu'on emploie soient monodromes. Montrons que dans le cas
+de l'anneau les composantes des dplacements $u$, $v$, $w$ sont polydromes.
+%[Illustrations]
+\begin{center}
+\Input{010a}{1.5in}\hfil\Input{011b}{1.5in} % [sic 010a]
+\end{center}
+
+En effet examinons les dplacements aprs la soudure. Les points de~$AA'$ ne
+se seront pas dplacs tandis que les points de~$BB'$ se seront dplacs de la largeur
+de la fissure qu'on a faite. C'est pourquoi si nous partons d'un point~$M_{0}$ de~$AA'$,
+parcourons un cycle l'intrieur de l'anneau et prenons les valeurs des dplacements
+qui se suivent avec continuit, nous revenons au point de dpart de l'autre
+ct~$M_{1}$ % [** PP: Typo cot]
+de la coupure avec des valeurs des dplacements diffrents des valeurs
+qu'on avait au point de dpart. C'est un cas de polydromie analogue celui que
+nous avons envisag dans le premier~. % [** Xref]
+
+On tire de l deux consquences:
+
+La premire est que pour rendre exactes les deux propositions qu'on a nonces
+il faut ajouter la condition que les dplacements soient monodromes.
+
+La seconde consquence est qu'il faut reposer la question:
+
+Quand est-ce que les dplacements peuvent tre polydromes?
+
+\Paragraph{7.} Dans les considrations que nous venons de faire nous nous sommes laisss
+conduire par l'intuition; mais il serait dangereux de continuer de la sorte. En
+effet par intuition on serait amen penser que le mme rsultat qu'on a obtenu
+dans le cas de l'anneau on pourrait l'obtenir dans le cas d'un corps acyclique quelconque
+%% -----File: 012.png---Folio 12-------
+en y retranchant une tranche trs-mince et en soudant les faces de la coupure.
+Or dans ce cas, par cette opration, la dformation du corps ne serait pas
+rgulire, c'est pourquoi tout se prsenterait d'une manire diffrente, que dans le
+cas de l'anneau.
+
+Nous allons dmontrer que si l'on suppose que la dformation est rgulire,
+c'est dire que si $\gamma_{11}, \gamma_{22}, \gamma_{33}, \gamma_{23}, \gamma_{31}, \gamma_{12}$ sont des fonctions finies monodromes
+et continues et que leurs drives sont aussi finies continues et monodromes, la polydromie
+des dplacements ne peut se prsenter que si le corps a une forme cyclique.
+
+Il suffit de trouver des formules par lesquelles on puisse calculer $u$, $v$, $w$ en
+connaissant les quantits~$\gamma_{rs}$.
+
+Soit $s$ une ligne, et dsignons par $A_0$ et~$A_1$ ses points extrmes. Soient~$\gamma_{rs}^{(0)}$
+et~$\gamma_{rs}^{(1)}$ les valeurs de~$\gamma_{rs}$ aux points $A_0$ et~$A_1$, $x_0\, y_0\, z_0$ les coordonnes de~$A_{0}$,
+$x_1\, y_1\, z_1$ les coordonnes de~$A_1$. Les valeurs de $u$, $v$, $w$ au point~$A_1$ seront donnes
+par les formules
+\begin{align*}
+%[** PP: References to these on 013--015.png are clearly (1) (1') (1'')]
+\Lmargintag{I}
+u_1 &= u_0
+ + \frac{1}{2} ( \gamma_{21}^{(0)} + r_0 ) (y_1 - y_0)
+ + \frac{1}{2} ( \gamma_{31}^{(0)} - q_0 ) (z_1 - z_0)
+\Trail{+} \\
+%
+ &+ \int_s \left\{ \left[\gamma_{11}
+ + (y_1 - y) \pderiv{\gamma_{11}}{y}
+ + (z_1 - z) \pderiv{\gamma_{11}}{z} \right] \deriv{x}{s} \right.
+\Trail{+} \\
+%
+ &\qquad+
+ \left[ (y_1 - y) \left(\pderiv{\gamma_{12}}{y}
+ - \pderiv{\gamma_{22}}{x}\right)
+ + \left(\frac{z_1 - z}{2}\right)
+ \left(\pderiv{\gamma_{21}}{z}
+ + \pderiv{\gamma_{31}}{y}
+ - \pderiv{\gamma_{23}}{x}\right)\right] \deriv{y}{s}
+\Trail{+} \\
+%
+ &\qquad+ \left.
+ \left[ \left(\frac{y_1 - y}{2}\right)
+ \left(\pderiv{\gamma_{21}}{z}
+ + \pderiv{\gamma_{31}}{y}
+ - \pderiv{\gamma_{23}}{x}\right)
+ + (z_1-z) \left(
+ \pderiv{\gamma_{13}}{z}
+ - \pderiv{\gamma_{33}}{x}\right) \right] \deriv{z}{s}
+ \right\} ds \\[1ex]
+%%
+\Lmargintag{I${}'$}
+v_1 &= v_0
+ + \frac{1}{2} ( \gamma_{32}^{(0)} + p_0 ) (z_1 - z_0)
+ + \frac{1}{2} ( \gamma_{12}^{(0)} - r_0 ) (x_1 - x_0)
+\Trail{+} \\
+%
+ &+ \int_s \left\{
+ \left[ \left( \frac{z_1 - z}{2} \right)
+ \left( \pderiv{\gamma_{32}}{x}
+ + \pderiv{\gamma_{12}}{z}
+ - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right)
+ + (x_1-x) \left( \pderiv{\gamma_{21}}{x}
+ - \pderiv{\gamma_{11}}{y} \right)
+ \right] \deriv{x}{s} \right.
+\Trail{+} \\
+%
+ &\qquad+
+ \left[ \gamma_{22}
+ + (z_1 - z) \pderiv{\gamma_{22}}{z}
+ + (x_1 - x) \pderiv{\gamma_{22}}{x}
+ \right] \deriv{y}{s}
+\Trail{+} \\
+%
+ &\qquad+ \left.
+ \left[ (z_1-z)
+ \left( \pderiv{\gamma_{23}}{z}
+ - \pderiv{\gamma_{33}}{y} \right)
+ + \left( \frac{x_1 - x}{2} \right)
+ \left( \pderiv{\gamma_{32}}{x}
+ + \pderiv{\gamma_{12}}{z}
+ - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right)
+ \right] \deriv{z}{s} \right\} ds \\[1ex]
+%%
+\Lmargintag{I${}''$}
+w_1 &= w_0
+ + \frac{1}{2} ( \gamma_{13}^{(0)} + q_0 ) (x_1 - x_0)
+ + \frac{1}{2} ( \gamma_{23}^{(0)} - p_0 ) (y_1 - y_0)
+\Trail{+} \\
+%
+ &+ \int_s \left\{
+ \left[ (x_1-x)
+ \left( \pderiv{\gamma_{31}}{x}
+ - \pderiv{\gamma_{11}}{z} \right)
+ + \left( \frac{y_1 - y}{2} \right)
+ \left( \pderiv{\gamma_{13}}{y}
+ + \pderiv{\gamma_{23}}{x}
+ - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right)
+ \right] \deriv{x}{s} \right.
+\Trail{+} \\
+%
+ &\qquad+
+ \left[ \left( \frac{x_1 - x}{2} \right)
+ \left( \pderiv{\gamma_{13}}{y}
+ + \pderiv{\gamma_{23}}{x}
+ - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right)
+ + (y_1-y) \left( \pderiv{\gamma_{32}}{y}
+ - \pderiv{\gamma_{22}}{z} \right)
+ \right] \deriv{y}{s}
+\Trail{+} \\
+%
+ &\qquad+ \left.
+ \left[ \gamma_{33}
+ + (x_1 - x) \pderiv{\gamma_{33}}{x}
+ + (y_1 - y) \pderiv{\gamma_{33}}{y}
+ \right] \deriv{z}{s} \right\} ds
+\end{align*}
+%% -----File: 013.png---Folio 13-------
+o $u_0$, $v_0$, $w_0$ sont les valeurs de $u$, $v$, $w$ au point~$A_0$ et $p_0$, $q_0$, $r_0$ sont gales aux
+valeurs des diffrences
+\[
+\pderiv{v}{z} - \pderiv{w}{y},\quad
+\pderiv{w}{x} - \pderiv{u}{z},\quad
+\pderiv{u}{y} - \pderiv{v}{x}
+\]
+au point~$A_0$.
+
+On le vrifie aisment en faisant les drives de $u_1$, $v_1$, $w_1$ par rapport $x_1$, $y_1$, $z_1$.
+
+Il faut maintenant chercher les conditions pour la monodromie.
+
+Supposons que la ligne $s$ se rduise un cycle ferm. Si le corps lastique
+occupe une rgion acyclique, on pourra regarder~$s$ comme le contour d'une surface~$\sigma$
+situe l'intrieur du corps; c'est pourquoi les intgrales qui paraissent dans les
+formules prcdentes pourront se transformer par le thorme de Stokes et elles
+s'criront \\
+% [** PP: Add missing d\sigma in 2nd, 3rd equations, remove period on 3rd.]
+% [** PP: Width-dependent formatting
+% - Shift display 2em into left margin and set \footnotesize
+% - Explicit \;s to fine-tune alignment]
+\hspace*{-2em}\begin{minipage}{\textwidth}%
+{\footnotesize
+\begin{align*}
+&\int_\sigma \left\{
+ \left[ \;\frac{y_1-y}{2} B\; - \frac{z_1-z}{2} C \right] \cos nx
+ + \left[ (z_1-z) F\; + \frac{y_1-y}{2} A \right] \cos ny
+ + \left[ (y_1-y) G + \frac{z_1-z}{2} A \right] \cos nz \right\} d\sigma \\
+%%
+&\int_\sigma \left\{
+ \left[ (z_1-z) E + \frac{x_1-x}{2} B \right] \cos nx
+ + \left[ \;\frac{z_1-z}{2} C\; - \frac{x_1-x}{2} A \right] \cos ny
+ + \left[ (x_1-x) G + \frac{z_1-z}{2} B \right] \cos nz \right\} d\sigma \\
+%%
+&\int_\sigma \left\{
+ \left[ (y_1-y) E + \frac{x_1-x}{2} C \right] \cos nx
+ + \left[ (x_1-x) F + \frac{y_1-y}{2} C \right] \cos ny
+ + \left[ \;\frac{x_1-x}{2} A\; - \frac{y_1-y}{2} B \right] \cos nz
+ \right\} d\sigma
+\end{align*}
+}% [** End footnotesize]
+\end{minipage}\\[1ex]% [** PP: Explicit vertical space]
+o % [** Typo: o]
+$n$ est la normale ~$\sigma$ et
+\[
+\begin{aligned}
+A &= \pderiv{}{x} \left(
+ \pderiv{\gamma_{31}}{y}
+ + \pderiv{\gamma_{12}}{z}
+ - \pderiv{\gamma_{23}}{x} \right)
+ - 2 \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial z \partial y} \\
+%%
+B &= \pderiv{}{y} \left(
+ \pderiv{\gamma_{12}}{z}
+ + \pderiv{\gamma_{23}}{x}
+ - \pderiv{\gamma_{31}}{y} \right)
+ - 2 \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial x \partial z} \\
+%%
+C &= \pderiv{}{z} \left(
+ \pderiv{\gamma_{23}}{x}
+ + \pderiv{\gamma_{31}}{y}
+ - \pderiv{\gamma_{12}}{z} \right)
+ - 2 \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial y \partial x}
+\end{aligned}
+\qquad
+\begin{aligned}
+E &= \frac{\partial^2\gamma_{32}}{\partial y \partial z}
+ - \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial z^2}
+ - \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial y^2} \\
+%%
+F &= \frac{\partial^2\gamma_{31}}{\partial z \partial x}
+ - \frac{\partial^2\gamma_{33}}{\partial x^2}
+ - \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial z^2} \\
+%%
+G &= \frac{\partial^2\gamma_{12}}{\partial x \partial y}
+ - \frac{\partial^2\gamma_{11}}{\partial y^2}
+ - \frac{\partial^2\gamma_{22}}{\partial x^2}
+\end{aligned}
+\]
+
+Mais par un thorme de De Saint Venant on a
+\[
+A = B = C = E = F = G = 0 %[** PP: Changed D = E = F to E = F = G]
+\]
+c'est pourquoi les intgrales des formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) s'annuleront, et on aura % [** Xref] %[** PP: Typos: formules (1)..., and s'annulleront]
+\[
+u_1=u_0\quad
+v_1=v_0\quad
+w_1=w_0 %[** PP: v_1-v_0 changed to v_1=v_0]
+\]
+ce qui prouve que si la forme du corps est acyclique et la dformation rgulire,
+les dplacements sont monodromes. Mais si le corps est cyclique, le cycle ferm~$s$
+n'est pas en gnral le contour d'une surface~$\sigma$ appartenant la rgion occupe
+%% -----File: 014.png---Folio 14-------
+par le corps, et par suite on ne peut pas en gnral appliquer le thorme de Stokes
+et enfin les dplacements peuvent tre polydromes.
+
+\Paragraph{8.} On peut rsumer les rsultats qu'on vient d'obtenir en nonant les
+propositions suivantes.
+\begin{Prop}
+Un corps lastique ayant une forme acyclique et une dformation
+rgulire peut tre amen l'tat naturel par des dplacements finis continus et
+monodromes.
+\end{Prop}
+
+\begin{Prop}
+Si le corps lastique a une forme cyclique, cela n'est pas toujours possible, et
+pour l'amener l'tat naturel il sera ncessaire quelquefois de faire des coupures et
+de retrancher des parties du corps.
+\end{Prop}
+
+\begin{Prop}
+Un corps lastique fini ayant une forme acyclique et n'tant pas sujet des forces
+extrieures est l'tat naturel si la dformation ne peut cesser d'tre rgulire,
+mais si le corps est cyclique, le corps peut tre l'tat de tension, mme si n'existent
+pas des actions extrieures.
+\end{Prop}
+
+\begin{Prop}
+Les forces extrieures tant connues, la dformation rgulire d'un corps acyclique
+est connue, mais celle d'un corps cyclique n'est pas connue. Elle est connue seulement
+dans le cas o l'on sait d'avance que le corps lastique peut tre amen l'tat naturel
+par des dplacements monodromes.
+\end{Prop}
+
+
+\Chapter{\Ord{3}{ime} leon.}
+
+%[** PP: Changed reference (1)(1')(1'') to (I)(I')(I'')]
+\Paragraph{9.} Lorsque le corps est cyclique, on peut le rduire acyclique en faisant des
+coupures. Les formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) donnent aisment la loi des discontinuits des % [** Xref]
+dplacements le long des coupures. Les valeurs des dplacements d'un ct d'une
+coupure tant $u_{\alpha}$, $v_{\alpha}$, $w_{\alpha}$ et celles de l'autre ct tant $u_{\beta}$, $v_{\beta}$, $w_{\beta}$ on a
+\[
+\tag{3}
+\left\{
+\begin{aligned}
+u_{\beta} - u_{\alpha} &= l + ry - qz \\
+v_{\beta} - v_{\alpha} &= m + pz - rx \\
+w_{\beta} - w_{\alpha} &= n + qx - py
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+$l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$, tant des quantits constantes pour chaque coupure.
+
+A chaque coupure correspondent donc 6~valeurs constantes qu'on peut appeler
+les constantes de la coupure, et l'on a le thorme:
+
+\begin{Theorem}
+Un corps lastique cyclique tant dform rgulirement, %[** PP: Typo regulirement]
+la dformation est dtermine
+par les forces extrieures et les constantes de chaque coupure.
+\end{Theorem}
+
+On voit par l que les problmes de l'lasticit pour les corps cycliques se prsentent
+d'une manire fort diffrente que pour les corps acycliques.
+%% -----File: 015.png---Folio 15-------
+
+%[** Xrefs]
+\Paragraph{10.} Les formules~(3) montrent trs-facilement la signification mcanique des
+constantes de chaque coupure. En effet supposons que nous fassions effectivement
+les coupures dans le corps cyclique dform de manire qu'il puisse reprendre l'tat
+naturel; et s'il est ncessaire retranchons les parties surabondantes du corps.
+
+Alors les formules~(3) nous montrent que
+\begin{Prop}
+les molcules situes des deux cts de
+chaque coupure et qui adhraient auparavant, ont t spares par un dplacement
+relatif qui rsulte d'une translation et d'une rotation. Cette translation et cette rotation
+sont gales pour tous les couples de molcules qui adhraient le long de la coupure.
+
+Si l'on prend pour centre de rduction l'origine, les constantes de la coupure
+sont les composantes de la translation et de la rotation par rapport aux axes
+coordonns.
+\end{Prop}
+
+Rciproquement pour dformer le corps cyclique on pourra faire les coupures
+qui le rendent acyclique. Ensuite, l'on pourra dplacer les deux faces de chaque
+coupure de manire que le dplacement relatif de tous les couples de molcules
+qui se trouvent vis vis soit rsultant de la mme rotation et de la mme translation.
+Enfin on pourra souder entre elles les faces en retranchant ou en ajoutant
+la matire qui sera ncessaire.
+
+Nous appelons cette opration une \emph{distorsion} du corps et les 6~constantes
+de chaque coupure les \emph{caractristiques} de chaque distorsion.
+
+%[** PP: Changed reference (1)(1')(1'') to (I)(I')(I'')]
+Les formules~(I)(I${}'$)(I${}''$) conduisent aussi immdiatement un autre rsultat.
+
+Prenons deux coupures qui peuvent se rduire l'une l'autre par une transformation
+continue, alors \emph{les caractristiques des deux coupures sont gales entre elles}.
+
+On voit par l que les caractristiques d'une distorsion ne dpendent pas des
+coupures que l'on a faites, mais de la dformation du corps et de sa nature gomtrique.
+\begin{Prop}
+Le nombre des distorsions indpendantes d'un corps est gal l'ordre
+de la connexion diminu d'une unit.
+\end{Prop}
+
+\Paragraph{11.} Une question qui se pose naturellement est la suivante: \emph{Peut-on choisir
+toutes les caractristiques d'une manire arbitraire?}
+
+On dmontre en gnral que les caractristiques des distorsions tant donnes
+d'une manire arbitraire, le problme de la dformation du corps peut tre ramen
+ un problme ordinaire de l'quilibre o le corps n'est assujetti aucune distorsion
+mais seulement des forces donnes.
+
+Nous laisserons de ct ce thorme, gnral, et nous envisagerons un cas
+particulier. Soit~$\sigma$ une aire finie du plan~$xz$ qui ne rencontre pas l'axe~$z$. Faisons
+tourner le plan autour de cet axe et en mme temps dformons et dplaons l'aire~$\sigma$
+dans le plan de manire qu'elle ne rencontre jamais l'axe~$z$ et qu'elle revienne
+ la forme et la position initiale aprs avoir fait un tour.
+%% -----File: 016.png---Folio 16-------
+
+L'aire $\sigma$ dcrit un volume connexion double qu'on peut supposer rempli
+d'une substance lastique isotrope. $l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$, tant des constantes, posons
+\[
+\Lmargintag{4}
+\left\{
+\begin{aligned} %[** PP: Changed arco tg to arctg]
+u &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (l - qz + ry) \arctg \frac{y}{x}
+ + \frac{1}{2} \left(-m - pz - \frac{rK}{L + 2K} x\right)
+ \log (x^2 + y^2) \right\} \\
+%
+v &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (m - rx + pz) \arctg \frac{y}{x}
+ + \frac{1}{2} \left( l - qz - \frac{rK}{L + 2K} y\right)
+ \log (x^2 + y^2) \right\} \\
+%
+w &= \frac{1}{2\pi} \left\{ (n - py + qx) \arctg \frac{y}{x}
+ + \frac{1}{2} (px + qy) \log (x^2 + y^2) \right\}.
+\end{aligned}
+\right.
+\] % [** Xrefs]
+On % [** PP: Typo on]
+vrifie aisment que ces fonctions satisfont les quations~($1'$) et en mme temps
+ cause de la polydromie de la fonction $\arctg \frac{y}{x}$ (Voir ~1) qu'elles sont polydromes
+et correspondent la distorsion la plus gnrale du corps, $l$, $m$, $n$, $p$, $q$, $r$
+sont les caractristiques de la distorsion. Il est facile de calculer les tensions qui
+agissent sur la surface libre du corps.
+
+% [** PP: Paragraph numbering restarts, later resumes at 12.]
+\Paragraph{1.} Le problme fondamental de la thorie des \emph{distorsions} des corps lastiques
+ayant une forme cyclique est de dterminer la dformation du corps lorsque les
+caractristiques des distorsions sont donnes.
+
+Nous allons calculer l'nergie d'un corps lastique qui n'est assujetti aucune
+action externe et dont les distorsions sont connues.
+
+L'nergie est donne par
+\[
+E = -\int_S F\, dS
+ = - \frac{1}{2} \int_S
+ (t_{11} \gamma_{11} + t_{22} \gamma_{22} + t_{33} \gamma_{33}
+ + t_{23} \gamma_{23} + t_{31} \gamma_{31} + t_{12} \gamma_{12} )\, dS
+\]
+o $S$ est le volume du corps.
+
+On peut maintenant transformer cette intgrale en employant le thorme de
+Gauss, mais il faut prendre garde que $u$, $v$, $w$ sont des fonctions polydromes.
+C'est pourquoi l'application directe du thorme ne peut pas se faire comme nous
+avons dj vu dans la leon prcdente.
+
+\Paragraph{2.} Pour pouvoir appliquer le thorme de Gauss il faut commencer par sectionner
+le volume~$S$ de sorte qu'il devienne acyclique, et il faut ensuite regarder les
+deux faces de chaque coupure comme faisant partie du contour du corps.
+
+On trouve alors, en dsignant par $\sigma_1\, \sigma_2\, \dotsc\, \sigma_n$ les coupures, que la transformation
+de l'intgrale conduit la formule suivante
+%% -----File: 017.png---Folio 17-------
+\begin{align*}
+E &= \frac{1}{2} \sum_1^n \int_{\sigma_i}
+ \{ X_i ( u_\alpha^{(i)} - u_\beta^{(i)} )
+ + Y_i ( v_\alpha^{(i)} - v_\beta^{(i)} )
+ + Z_i ( w_\alpha^{(i)} - w_\beta^{(i)} ) \}\, d\sigma_i
+\Trail{=} \\
+%
+ &= \frac{1}{2} \sum_1^n \left\{
+ l_i \int_{\sigma_i} X_i\, d\sigma_i
+ + m_i \int_{\sigma_i} Y_i\, d\sigma_i
+ + n_i \int_{\sigma_i} Z_i\, d\sigma_i \right.
+\Trail{+} \\ % [** PP: Re-breaking]
+ &\quad+ \left. %[** PP: Changed \int_{\tau_i} to \int_{\sigma_i}]
+ p_i \int_{\sigma_i} (Y_i z - Z_i y)\, d\sigma_i
+%
+ + q_i \int_{\sigma_i} (Z_i x - X_i z)\, d\sigma_i
+ + r_i \int_{\sigma_i} (X_i y - Y_i x)\, d\sigma_i \right\}
+\end{align*}
+o $u_{\alpha}^{(i)}$, $v_{\alpha}^{(i)}$, $w_{\alpha}^{(i)}$; $u_{\beta}^{(i)}$, $v_{\beta}^{(i)}$, $w_{\beta}^{(i)}$, sont les valeurs des composantes des dplacements
+des deux cts de la coupure~$\sigma_i$: $l_i, m_i, n_i, p_i, q_i, r_i$ sont les caractristiques de la
+distorsion relatives la coupure~$\sigma_i$; et $X_i\, Y_i\, Z_i$ sont les composantes de la tension
+unitaire qui s'exerce sur chaque lment d'aire de la mme coupure.
+
+Posons
+\begin{gather*}
+L_i = \int_{\sigma_i} X_i\, d\sigma_i\qquad
+M_i = \int_{\sigma_i} Y_i\, d\sigma_i\qquad
+N_i = \int_{\sigma_i} Z_i\, d\sigma_i \\
+P_i = \int_{\sigma_i} (Y_i z - Z_i y)\, d\sigma_i\quad
+Q_i = \int_{\sigma_i} (Z_i x - X_i z)\, d\sigma_i\quad
+R_i = \int_{\sigma_i} (X_i y - Y_i x)\, d\sigma_i
+\end{gather*}
+on aura
+\[ %[** PP: Modernized notation, added period]
+E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n
+ (L_i l_i + M_i m_i + N_i n_i + P_i p_i + Q_i q_i + R_i r_i ).
+\]
+
+Si l'on compose les tensions qui sont appliques sur la coupure~$\sigma_i$, en prenant
+pour centre de rduction l'origine, on trouve que $L_i, M_i, N_i$ sont les composantes
+de la force rsultante et $P_i, Q_i, R_i$ les composantes de la couple rsultante.
+
+On peut crire la formule prcdente d'une manire plus simple en appelant
+$s_1\, s_2\, \dotsc\, s_{6n}$ les quantits $l_i, m_i, n_i$ et~$E_1, E_2 \dotsc E_{6n}$ les quantits correspondantes
+$L_i, M_i, N_i$; elle devient en effet
+\[
+E = \frac{1}{2} \sum_1^{6n} E_i s_i.
+\]
+
+Supposons que les quantits $s_1\, s_2\, \dotsc s_{6n}$ soient nulles except $s_h = 1$. Appelons
+$E_{ih}$ les valeurs correspondantes des coefficients~$E_i$. Lorsque $s_1\, s_2\, \dotsc s_{6n}$ sont quelconques
+on aura
+%% -----File: 018.png---Folio 18-------
+\[
+E_i = \sum_1^{6n} E_{ih} s_h
+\]
+c'est pourquoi
+ % [** PP: Added period]
+\[
+E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s_i s_h.
+\]
+
+\Paragraph{3.} Nous allons dmontrer maintenant une proprit fondamentale des coefficients~$E_{ih}$,
+et nous nous permettons ce propos de faire quelques remarques gnrales.
+
+Green a dmontr par l'application du thorme de Gauss un thorme fondamental
+dans la thorie du potentiel. Mais le thorme de Green n'est pas born au
+cas du potentiel, il peut s'tendre un nombre considrable de cas. J'ai dmontr
+qu'il peut s'tendre tous les problmes qui dpendent du calcul des variations.
+
+Mme le problme de l'lasticit, comme tout problme de mcanique, se
+rattache une question de calcul de variation, c'est pourquoi on a le thorme
+analogue celui de Green pour l'lasticit. Il a t donn pour la premire fois
+par Betti qui en a fait des applications remarquables pour l'intgration des problmes
+de l'quilibre lastique. Cerruti, Boussinesq, Somigliania ont continu par
+le chemin qui avait t trac par Betti.
+
+Or si les dplacements sont polydromes, puisque le thorme de Gauss ne
+peut plus s'appliquer, le thorme de Betti n'est plus applicable. %[** PP: Changed , to .]
+Nous allons voir
+cependant qu'on peut reprendre, mme dans ce cas, l'ide fondamentale de Green,
+et l'on est amen par l une loi de rciprocit fort intressante.
+
+Supposons que nous appliquons successivement au corps lastique deux distorsions
+caractrises par les valeurs $s'_1, s'_2, \dotsc s'_{6n}$ et $s''_1, s''_2 \dotsc s''_{6n}$ des caractristiques.
+Soient $\gamma'_{rs}$ et~$\gamma''_{rs}$ les valeurs des~$\gamma_{rs}$ correspondant aux deux dformations, $F'$ et~$F''$
+les valeurs du potentiel lastique.
+
+On aura, par un thorme bien connu d'algbre,
+\[
+ \int_S \sum \pderiv{F'}{\gamma'_{rs}} \gamma''_{rs}\, dS
+= \int_S \sum \pderiv{F''}{\gamma''_{rs}} \gamma'_{rs}\, dS
+\]
+et si nous transformons ces intgrales, aprs avoir rduit acyclique le volume~$S$
+par les coupures, en regardant toujours les faces des coupures comme faisant partie
+du contour du volume~$S$ on trouve
+\[
+\sum_1^{6n} E''_i s'_i = \sum_1^{6n} E'_i s''_i
+\]
+%% -----File: 019.png---Folio 19-------
+$E''_i$ et~$E'_i$ tant les valeurs des quantits~$E_i$ correspondant aux deux distorsions.
+On tire de l
+\[
+ \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s'_i s''_h
+= \sum_{i=1}^{6n} \sum_{h=1}^{6n} E_{ih} s''_i s'_h
+\]
+et puisque les quantits $s'_i$ et~$s''_i$ sont arbitraires, on doit avoir
+\[
+E_{ih} = E_{hi}.
+\]
+
+Cette proprit rciproque des coefficients~$E_{ih}$ peut s'interprter de plusieurs
+manires et conduit des thormes mcaniques qu'on nonce facilement.
+
+On peut appeler l'ensemble de la force ayant pour composantes $L_i, M_i, N_i$ et
+de la couple ayant pour composantes $P_i, Q_i, R_i$ \emph{l'effort total} appliqu la coupure~$\sigma_i$
+et l'on peut appeler toutes les quantits $E_1, E_2 \dotsc E_{6n}$ les \emph{caractristiques des
+efforts}.
+
+On a alors que%
+\begin{Prop}
+si deux systmes de distorsions engendrent deux systmes d'efforts,
+la somme des produits des caractristiques des efforts du premier systme multiplies
+par les caractristiques des distorsions du second systme est gale la somme des
+produits des caractristiques des efforts du second systme multiplies par les caractristiques
+des distorsions du premier systme.
+\end{Prop}
+
+Lorsque les quantits $s_1, s_2 \dotsc, s_{6n}$ sont nulles except $s_h = 1$ la distorsion peut
+s'appeler une \emph{distorsion lmentaire d'ordre~$h$}. $E_{ih}$~est l'effort d'ordre~$i$ engendr
+par la distorsion lmentaire d'ordre~$h$. $E_{hh}$~est l'effort conjugu de la distorsion
+lmentaire. Le thorme prcdent peut donc s'noncer en disant que%
+\begin{Prop}
+l'effort
+d'ordre~$i$ engendr par la distorsion lmentaire d'ordre~$h$ est gal l'effort d'ordre~$h$
+engendr par la distorsion lmentaire d'ordre~$i$.
+\end{Prop}
+
+
+\Chapter{\Ord{4}{ime} leon.}
+
+\Paragraph{4.} Nous avons dmontr dans la leon prcdente que la mme distorsion
+excute sur deux coupures qui peuvent se rduire l'une l'autre par une dformation
+continue engendre la mme dformation du corps.
+
+Les deux coupures peuvent s'appeler cause de cela des \emph{coupures quivalentes}.
+Le thorme qu'on vient de rappeler peut tre complt en dmontrant que les efforts
+dans les coupures quivalentes sont gaux. Prenons en effet la partie du
+corps entre deux coupures quivalentes. Les tensions qui sollicitent les lments
+%% -----File: 020.png---Folio 20-------
+des coupures doivent se faire quilibre. On tire de l tout de suite l'galit des
+deux efforts.
+
+Donc les efforts dpendent, comme les distorsions, de la nature gomtrique
+du corps et de la dformation.
+
+Le problme que l'on peut se proposer est d'tudier les proprits des efforts
+et de les dterminer, les distorsions tant donnes.
+
+Nous allons voir que l'on peut obtenir des thormes gnraux sans intgrer
+directement les quations de l'lasticit.
+
+\Paragraph{5.} Supposons que nous ayons un solide de rvolution qui ait une connexion
+double; il peut tre engendr par la rvolution d'une aire plane simplement connexe
+autour d'un axe du plan qui ne la rencontre pas, ou il peut tre engendr
+par la rotation d'une aire doublement connexe limite par l'axe. Supposons que
+le solide soit rempli d'une substance lectrique dont la constitution soit symtrique
+par rapport l'axe.
+
+L'nergie du systme est donne par
+\[
+E = \tfrac{1}{2} \sum_1^6 \sum_1^6 E_{ih} s_i s_h
+\]
+o
+\[
+s_1=l,\quad s_2=m,\quad s_3=n,\quad s_4=p,\quad s_5=q,\quad s_6=r.
+\]
+Cette expression peut se comparer la force vive d'un liquide indfini sans tourbillons
+ l'intrieur duquel se trouve un corps solide symtrique, et l'on peut rpter dans
+ce cas des raisonnements tout fait semblables ceux que l'on fait dans cette
+question d'hydrodynamique. On trouve par l, en vertu de la symtrie, qu'on
+peut toujours choisir l'origine en un point de l'axe de symtrie de manire que
+l'expression de~$E$ devienne
+\[
+E = \tfrac{1}{2}
+ \{ E_{11} ( s^2_1 + s^2_2 ) + E_{33}\, s^2_3
+ + E_{44} ( s^2_4 + s^2_5 ) + E_{66}\, s^2_6 \}. % [** PP: Added period]
+\]
+L'origine s'appelle le \emph{point central de l'axe de symtrie}.
+
+Les quantits~$E_{ih}$ sont nulles lorsque $i$ et~$h$ ne sont pas gaux; c'est pourquoi
+on a le thorme:
+
+\begin{Theorem}
+Dans un corps symtrique qui a une connexion double chaque distorsion lmentaire
+engendre un seul effort qui est l'effort conjugu, le centre de rduction tant dans
+le point central de l'axe de symtrie.
+\end{Theorem}
+
+Donc si la distorsion est due une translation relative des molcules des deux
+faces de la coupure, l'effort total engendr est une force qui passe par le point central,
+et si la distorsion est une rotation l'effort total est une couple.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{r}{1.75in}
+\Input{021a}{1.5in}
+\end{wrapfigure}
+Revenons l'exemple primitif des distorsions. Prenons un anneau symtrique,
+%% -----File: 021.png---Folio 21-------
+retranchons une mince tranche radiale, et soudons
+les deux bouts. On serait facilement amen croire
+que les faces de la soudure sont sollicites par une
+traction, mais si nous rflchissons que le dplacement
+relatif des molcules situes d'un ct de la coupure
+par rapport celles situes de l'autre ct est d
+ une rotation autour de l'axe de symtrie, on tire
+du thorme prcdent que l'effort est une couple
+ayant pour axe l'axe de symtrie. Mais si la rsultante des tensions qui s'exercent
+sur les faces de la soudure est une couple, il faut qu'une partie de la soudure
+soit comprime et qu'une partie soit tendue, et mme que%
+\begin{Prop}
+la somme des efforts de
+traction galise la somme des efforts de compression.
+\end{Prop}
+
+On arrive par l un rsultat qui est inattendu.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{r}{1.75in}
+\Input{021b}{1.75in}
+\end{wrapfigure}
+Supposons maintenant que la mme tranche
+retranche ait une largeur uniforme. La distorsion
+consiste alors dans une translation, et l'effort est
+une force normale l'axe de symtrie et qui le
+rencontre au point central. Mme dans ce cas une
+partie de la soudure est comprime et une partie
+supporte une traction, mais si nous envisageons l'nergie
+du systme, on a aisment que dans le cas de
+la fissure radiale la partie comprime est la partie
+interne de la soudure et la partie externe supporte
+la traction, tandis qu'on a le contraire si la fissure
+est de largeur uniforme.
+
+Appliquons maintenant le thorme des coupures quivalentes. On en tire que
+si la fissure est radiale toute section de l'anneau supporte, d'une manire symtrique,
+la compression et la traction, mais dans le cas de la fissure uniforme dans la
+rgion~$A'$ de l'anneau oppose la soudure~$A$ les choses sont renverses, et une
+section en~$A'$ supporte dans la partie interne la compression et dans la partie
+externe la traction.
+
+Voil que par la considration de l'nergie du systme dform on tire un
+grand nombre de proprits sans intgrer les quations de l'quilibre lastique.
+
+\Paragraph{12.} Il est intressant cependant d'approfondir le cas de l'anneau symtrique
+isotrope en tudiant en dtail les dformations produites par les distorsions. Il faut
+pour cela intgrer effectivement les quations de l'quilibre et il est ncessaire
+de partir des formules~(6) que nous avons donnes dans la prcdente leon. % [** Xref]
+%% -----File: 022.png---Folio 22-------
+
+Nous envisageons un cylindre creux symtrique isotrope, nous prenons
+l'origine dans le centre de symtrie, et faisons concider l'axe~$z$ avec l'axe de
+symtrie. Les dplacements donns par les formules~(4) de la leon prcdente % [** Xref]
+correspondent la distorsion la plus gnrale ayant pour caractristiques $l, m, n,
+p, q, r$; mais si nous calculons les tensions qui sollicitent le corps, nous voyons que
+pour obtenir ce cas d'quilibre il faut supposer que les surfaces latrales et les
+bases du cylindre soient sollicites par des tensions. Or nous voulons envisager le
+cas o le cylindre est dform par la distorsion et n'est pas assujetti %[** PP: Typo assujtti]
+ des actions
+externes. Il faut donc liminer les tensions superficielles.
+
+Reprsentons par~$T$ l'ensemble de ces tensions. Supposons maintenant que le
+cylindre primitif n'ayant pas de distorsions soit soumis l'action des tensions~$-T$,
+c'est dire des tensions gales et contraires aux tensions~$T$. Soient $u'\, v'\, w'$ les
+dplacements qu'on trouve. En prenant les diffrences
+\[
+u-u'\quad v-v'\quad w-w'
+\]
+on aura des dplacements qui correspondent la distorsion du corps, mais en mme
+temps les tensions au contour auront t limines. On voit par l que l'limination
+des tensions au contour est un problme ordinaire de l'quilibre lastique
+qu'on peut tcher de rsoudre par les mthodes ordinaires.
+
+Dans les formules~(4) nous avons 6~constantes arbitraires qui correspondent % [** Xref]
+aux six distorsions lmentaires. On peut simplifier beaucoup le problme en
+envisageant sparment chaque distorsion lmentaire. On voit par la symtrie
+que les distorsions d'ordre~$1$ et~$2$ se ramnent l'une l'autre et de mme celles
+d'ordre~$4$ et~$5$. Il suffit donc d'envisager les distorsions d'ordre
+\[
+2,\ 3,\ 5,\ 6.
+\]
+% [** PP: Removing paragraph break]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}[10]{l}{2in} % **** Explicit height, vertical adjustment
+\raisebox{0.25in}[2in][0pt]{\Input{022a}{1.75in}}
+\end{wrapfigure}
+Commenons par celles d'ordre~$6$ et~$2$. La distorsion d'ordre~$6$ correspond
+videmment la \emph{fissure radiale} et celle d'ordre~$2$ la \emph{fissure de largeur uniforme}.
+
+Dans le cas de la distorsion d'ordre~$6$ on limine
+trs aisment, en vertu de la symtrie, les tensions
+latrales, et l'on trouve qu'aprs la distorsion le corps
+garde sa forme cylindrique rgulire et les bases
+gardent leur distance initiale si on les comprime dans
+la rgion (interne) que nous avons laisse en blanc et
+si on exerce une traction dans la rgion (externe)
+que nous avons hache. Appelons~$T$ l'ensemble de %[** PP: Typo Appellons]
+ces tensions. Il n'y a plus de difficult alors dterminer
+la forme du corps lorsqu'il est compltement
+libre et qu'aucune force ne s'exerce sur les bases.
+%% -----File: 023.png---Folio 23-------
+En effet il suffit d'envisager un cylindre l'tat naturel et de chercher la dformation
+lorsqu'on le sollicite par les tensions~$-T$. La forme que le corps prendra
+sera celle que nous cherchons. Prenons une tranche radiale du cylindre: la partie
+en blanc supportera une traction, la partie hache une compression; c'est pourquoi
+cette tranche subira une flexion.
+%[Illustrations]
+\begin{center}
+\quad\Input{023a}{1in}\hfill
+\Input{023b}{1in}\hfill
+\raisebox{0.25in}{\Input{023c}{2in}}\quad
+\end{center}
+
+Chaque tranche du cylindre se dformant par une flexion pareille le cylindre
+prendra la forme indique par la figure voisine, c'est dire que le bord interne se
+soulvera, le bord externe s'abaissera tandis que la surface latrale externe deviendra
+concave, et la surface latrale interne convexe.
+
+J'ai voulu vrifier par l'exprience ce rsultat, et j'ai pris un gros cylindre
+creux de caoutchouc, j'y ai fait une fissure radiale, et j'ai soud les deux faces de
+la fissure. La forme prise par le corps a t celle que le calcul avait prvue, et l'on
+a pu mme vrifier par des mesures que les rsultats des calculs taient exacts.
+On pouvait aussi remarquer que la partie interne de la soudure tait comprime et
+que la partie externe supportait un effort de traction. A cause de cet effort la
+soudure ne rsistait pas, c'est pourquoi pour garder la forme j'en ai pris le modle
+en pltre que je vous montre. L'endroit de la coupure est parfaitement visible.
+
+Quelquefois il arrive que l'on veut rtrcir un tube, mais si l'on retranche
+une tranche radiale du tube et que l'on soude les deux faces, le tube prend sa forme
+cylindrique. Les forgerons et tous ceux qui ont essay cette opration connaissent
+trs-bien ce rsultat que maintenant la thorie des solutions polydromes explique
+parfaitement.
+
+\Paragraph{13.} Quelle est maintenant la forme du cylindre lorsqu'on fait la fissure de
+largeur uniforme, c'est dire lorsqu'on fait une distorsion d'ordre~$2$?
+
+On peut procder tout fait de la mme manire que dans le cas prcdent.
+On peut commencer par liminer les tensions latrales et aprs les tensions sur les
+%% -----File: 024.png---Folio 24-------
+bases. La forme prise par le corps est mme plus complique que dans le cas
+prcdent. Elle est reprsente par la figure ci-jointe, et voici un pltre qui est le
+modle d'un cylindre de caoutchouc qui
+a support une distorsion d'ordre~$2$. Mme
+dans ce cas l'exprience a vrifi compltement
+les rsultats du calcul.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{2.5in}
+\Input{024a}{2.25in}
+\end{wrapfigure}
+Je n'entre pas dans les dtails sur les
+distorsions d'ordre~$5$ et d'ordre~$3$. La premire
+peut se dduire de celle d'ordre~$2$ par
+des intgrations simples, et la dernire peut
+se calculer directement sans difficult. Cette
+distorsion s'obtient en faisant glisser les
+deux faces de la coupure, l'une par rapport
+ l'autre, dans la direction de l'axe du
+cylindre et en les soudant ensuite.
+
+Nous avons dit (~4) qu'on peut se % [** Xref]
+proposer le problme de dterminer les efforts lorsqu'on connat %[** PP: Typo connait]
+les distorsions
+d'un corps cyclique. Avant de laisser ce sujet nous voulons indiquer en peu de mots
+comment on peut traiter cette question dans le cas gnral d'un corps cyclique
+form par un nombre quelconque de verges droites ou courbes trs-minces soudes
+ leurs bouts en plusieurs n{\oe}uds. % [** PP: Typo noeuds]
+
+%[Illustration]
+% [** PP: Bounding box of PDF file manually adjusted to [0 -2 112 124]]
+\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}
+\Input{024b}{1.5in}
+\end{wrapfigure}
+Soit $AB$ l'une des verges, les efforts dans toutes les
+sections de la verge seront gaux. Prenons l'origine
+comme centre de rduction, et dsignons par
+\[
+X_1^{(ab)}\, X_2^{(ab)}\, X_3^{(ab)}\, X_4^{(ab)}\, X_5^{(ab)}\, X_6^{(ab)}
+\]
+les caractristiques des efforts correspondantes aux sections
+de la verge.
+
+Soient $x_1^{(a)}\, x_2^{(a)}\, x_3^{(a)}\, x_4^{(a)}\, x_5^{(a)}\, x_6^{(a)}$ les composantes de la
+translation et de la rotation qui ont conduit la molcule~$A$
+de l'tat naturel % [** PP: Typo a]
+l'tat actuel et $x_1^{(b)}\, x_2^{(b)}\, x_3^{(b)}\, x_4^{(b)}\, x_5^{(b)}\, x_6^{(b)}$ les quantits analogues
+relatives la molcule~$B$.
+
+Soient $e_1^{(ab)}\, e_2^{(ab)}\, e_3^{(ab)}\, e_4^{(ab)}\, e_5^{(ab)}\, e_6^{(ab)}$ les caractristiques de la distorsion qu'on a
+applique une section de la verge~$AB$. On aura des relations linaires
+\[
+x_r^{(a)} - x_r^{(b)} + e_r^{(ab)} %[** PP: Added operator +]
+ = \sum_1^6 H_{ri} X_i\qquad
+r = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6
+\]
+%% -----File: 025.png---Folio 25-------
+et les coefficients constants~$H_{ri}$ dpendront de la forme initiale et de la constitution
+de la verge.
+
+En mme temps si nous prenons toutes les verges qui aboutissent au point~$A$
+et qui sont soudes ensemble dans ce point on doit avoir pour l'quilibre
+\[
+x_i^{(ab)} + x_i^{(ac)} + x_i^{(ad)} + \dotsb = 0\qquad
+i = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6.
+\]
+On a donc six quations pour chaque n{\oe}ud % [** PP: Type noeud]
+et six quations pour chaque verge.
+
+Ces quations sont tout fait semblables aux quations de Kirchhoff pour les
+courants lectriques dans les fils; seulement elles sont sextuples. On peut dvelopper
+une thorie du mme type que celle de Kirchhoff o les caractristiques
+des distorsions remplacent les forces lectromotrices et les caractristiques des
+efforts les intensits des courants.
+
+\begin{Bibliographie}
+
+\Bibitem{Riemann-Weber.}{Die Partiellen Diff.-gleich.\ der Math.\ Physik.\ 1.~Vol.}
+\Bibitem{Love.}{Math.\ Theory of elasticity.}
+\Bibitem{Weingarten.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. Vol.~X.}
+\Bibitem{Volterra.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. Vol.~XIV. \primo Sem.\
+fasc.\ 3, 4, 8, 12. \secundo Sem.\ fasc.~7.}
+\Bibitem{Maggi.}{Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. S.~V. %[** PP: Changed , to .]
+Vol.~XIV. \secundo Sem.}
+\Bibitem{Timpe.}{Inaugural-Dissertation. Gttingen. (Leipzig 1905).}
+\end{Bibliographie}
+
+
+\Chapter{\Ord{5}{ime} leon.}
+
+\Paragraph{1.} Nous avons tudi dans les leons prcdentes les solutions des quations
+de l'lasticit qui appartiennent au type elliptique, et nous avons envisag particulirement
+les solutions polydromes et le rle qu'elles jouent dans la thorie. Le
+cas de l'lasticit nous offre le meilleur exemple pour trouver leur interprtation
+et leur utilit pratique.
+
+Nous voulons pntrer aujourd'hui plus profondment dans l'tude des solutions
+des quations du type elliptique, mais pour cela nous laisserons de ct le
+cas de l'lasticit, et nous envisagerons le cas le plus simple possible, celui de l'quation
+de Laplace qui correspond la thorie du potentiel.
+
+On peut considrer l'quation de Laplace relative un nombre quelconque
+de variables %[** PP: Removing period]
+%% -----File: 026.png---Folio 26-------
+\[
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0,\quad
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0,\quad
+ \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}
++ \frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_4^2} = 0,\ \text{etc.}
+\]
+
+Le cas devient de plus en plus compliqu, mais bien des thormes s'tendent
+sans aucune difficult de proche en proche. Par exemple le thorme de Green,
+avec toutes ses consquences et toutes ses applications. Il est utile, je puis dire
+mme indispensable, pour cette tude d'introduire le langage emprunt la thorie
+des espaces plusieurs dimensions. C'est seulement un langage, mais il est un
+instrument trs-puissant pour noncer des thormes, et il amne par l'induction
+trouver des propositions nouvelles. Je citerai dans cette direction les tudes de
+Ch.\ Bjerknes qui correspondent au mouvement d'une ellipsode % [** PP: Typo ellipsoide]
+ $n$~dimensions dans
+un fluide $n$~dimensions.
+
+\Paragraph{2.} Cependant ds les premiers pas dans les recherches dont je viens de parler
+on a l'impression qu'il y a une lacune combler, c'est dire que quelque
+chose manque.
+
+Je vais citer un seul exemple. Les domaines deux dimensions ont une
+seule sorte de connexion; les domaines trois dimensions ont deux sortes de connexions.
+En effet nous avons dj distingu les espaces cycliques et les espaces
+acycliques, et nous avons vu quel rle joue la cyclicit dans le cas de l'lasticit.
+Mais prenons le volume compris entre deux sphres concentriques. Il est acyclique,
+c'est dire que tout cycle form par une ligne ferme peut se rduire aussi petit
+que l'on veut par une dformation continue, sans sortir de l'espace, mais la mme
+proprit ne se vrifie pas pour toute surface ferme, car une surface mene entre
+les deux sphres ne peut pas tre rduite aussi petite que l'on veut sans sortir
+de l'espace renferm entre les deux sphres. Il y a donc deux sortes de connexions
+dans le cas de trois dimensions, on les appelle \emph{connexion linaire} ou cyclicit et
+\emph{connexion superficielle}, mais on connat % [** PP: Typo connait]
+une seule sorte de polydromie. Si le nombre
+des dimensions augmente, on a plusieurs sortes de connexions toujours plus compliques,
+mais cela ne correspondent pas plusieurs sortes de polydromies.
+
+Le cas de deux variables est troitement li la thorie des fonctions. En
+effet par la sparation de la partie imaginaire dans une fonction d'une variable
+complexe on trouve deux fonctions de deux variables qui satisfont l'quation de
+Laplace. Rciproquement toute fonction de deux variables qui satisfait l'quation
+de Laplace possde une fonction conjugue, et en ajoutant la premire la fonction
+conjugue multiplie par $i = \sqrt{-1}$ on trouve une fonction d'une variable complexe.
+
+L'existence de la fonction conjugue et la liaison avec la thorie des fonctions
+engendrent un ensemble de proprits dans le cas de deux variables qui manquent
+dans le cas d'un nombre plus grand de variables et ce sont ces proprits pourtant
+%% -----File: 027.png---Folio 27-------
+qui conduisent dans le cas de deux variables aux propositions les plus importantes
+et les plus caches de la thorie.
+
+On est amen par l souponner que la lacune dont j'ai parl tout l'heure
+pourrait tre comble en tendant au cas de plusieurs variables la thorie des fonctions
+conjugues.
+
+Je consacrerai cette leon et la suivante donner un aperu de quelques recherches
+qu'on a faites ce sujet qui conduisent deux branches diffrentes provenant
+cependant d'une mme source.
+
+\Paragraph{3.} Rappelons les proprits des fonctions conjugues dans le cas de deux
+variables.
+
+Si la fonction~$u$ satisfait l'quation de Laplace $\Delta^2 u = 0$ en posant
+\[
+\pderiv{u}{x} = X,\quad
+\pderiv{u}{y} = Y
+\]
+on trouve
+\iffalse %[** PP: Commented code duplicates original]
+\begin{align*}
+\pderiv{X}{y} &= \pderiv{Y}{x} \\
+\pderiv{X}{x} &+ \pderiv{Y}{y} = 0.
+\end{align*}
+\fi %[** End of commented code]
+\[ %[** PP: Setting on one line, adding comma]
+\pderiv{X}{y} = \pderiv{Y}{x},\qquad \pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} = 0.
+\]
+C'est pourquoi
+\[
+X\, dx + Y\, dy,\quad Y\, dx - X\, dy
+\]
+sont des diffrentielles exactes.
+
+Envisageons les fonctions dans une aire~$\sigma$ connexion simple, o $X$, $Y$ sont
+finies, continues et monodromes. Calculons
+\[
+u = u_0 + \int_{A_0}^{A_1} (X\, dx + Y\, dy),\quad
+v = v_0 + \int_{A_0}^{A_1} (Y\, dx - X\, dy),
+\]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{r}{1.5in}
+\Input{027a}{1.5in}
+\end{wrapfigure}
+les intgrales tant tendues une ligne~$s$ qui en
+partant du point~$A_0$ aboutit au point~$A_1$, o $u_0$ est
+la valeur de~$u$ dans le point~$A_0$ et~$v_0$ est une quantit
+constante. On a que les intgrales ne dpendent pas
+de la ligne~$s$ pourvu que $A_0$ et~$A_1$ ne changent pas
+et $u$ est la valeur de la fonction~$u$ dans le point~$A_1$
+et $v$ est la valeur de la fonction conjugue dans
+le mme point. L'aire tant connexion simple si le
+point~$A_1$ concide avec~$A_0$ les intgrales sont nulles, c'est pourquoi $u$ et~$v$ sont
+des fonctions monodromes, mais si l'aire~$\sigma$ est connexion multiple $u$ et~$v$ peuvent
+tre polydromes.
+%% -----File: 028.png---Folio 28-------
+
+La drive de~$u$ dans une direction quelconque~$\xi$ est gale la drive de~$v$
+dans la direction normale~$\eta$, si les directions $\xi$, $\eta$ sont orientes l'une par rapport
+ l'autre comme $x$ et~$y$.
+
+En calculant $u + iv = f$, on obtient une fonction de la variable complexe
+$x + iy$.
+
+\Paragraph{4.} Passons maintenant au cas de trois variables.
+
+Soit $u$ une fonction qui satisfait l'quation de Laplace; posons
+\[
+\pderiv{u}{x} = X,\quad
+\pderiv{u}{y} = Y,\quad
+\pderiv{u}{z} = Z;
+\]
+on aura videmment
+\begin{gather*}
+\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z} = 0,\quad
+\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x} = 0,\quad
+\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y} = 0;
+\tag{1} \\
+\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z} = 0.
+\tag{2}
+\end{gather*}
+
+La proprit caractrise par les quations~(1) peut s'noncer en disant que
+le \emph{curl} % [** PP: Typo curls]
+du vecteur ayant pour composantes $X$, $Y$, $Z$ est nul et la proprit caractrise
+par l'quation~(2) en disant que la \emph{divergence} du vecteur est nulle.
+
+\Paragraph{5.} Cela pos, soit~$S$ un domaine ayant une connexion simple linaire et aussi
+une connexion superficielle simple. Toute ligne ferme sera le contour d'une surface
+renferme dans le domaine et toute surface ferme sera le contour d'un volume
+aussi renferm dans le domaine. C'est pourquoi en employant le thorme de
+Stokes on trouvera
+\[
+\int_s (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) = 0
+\tag{3}
+\]
+l'intgrale tant tendue une ligne ferme~$s$, et en appliquant le thorme de
+Gauss on aura
+\[
+\int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma = 0
+\tag{4}
+\]
+o cette intgrale est tendue une surface ferme quelconque.
+
+On tire de l'quation~(3) que si l'on tend l'intgrale une ligne~$s'$ qui en
+partant d'un point~$A_0$ aboutit un point~$A_1$ la valeur de l'intgrale dpendra seulement
+des points $A_0$ et~$A_1$, et ne dpendra pas de la ligne comprise entre
+ces points.
+%% -----File: 029.png---Folio 29-------
+
+Si nous appelons $u_0$ la valeur de~$u$ au point~$A_0$ on aura
+\[
+u = u_0 + \int_{s'} (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz)
+\]
+$u$ tant la valeur de la fonction au point~$A_1$. Envisageons maintenant l'intgrale~(4),
+mais supposons qu'elle ne soit pas tendue une surface ferme, mais une
+surface ouverte. Pour dterminer la direction de la normale~$n$ la surface nous
+convenons que, le bord de la surface ayant une direction dtermine personnifie
+par une poupe qui regarde la surface, $n$~soit dirige de droite gauche de la
+poupe. Cela pos on tire % [** PP: Removed comma]
+tout de suite de l'quation~(4) que la valeur de l'intgrale
+tendue la surface ouverte ne dpend pas de la surface o l'on a calcul
+l'intgrale, mais de son bord. C'est pourquoi l'intgrale tendue une ligne conduit
+ une fonction des points de l'espace: c'est dire la fonction primitive, et de
+mme l'intgrale tendue une surface conduit une fonction des lignes de l'espace.
+
+Il n'y a pas de difficult concevoir des fonctions de lignes comme on conoit
+des fonctions ordinaires, c'est dire les fonctions des points. En effet, si l'on
+regarde tous les points de l'espace, et si l'on suppose qu' chaque point correspond
+la valeur d'une quantit, on a % [** PP: Typo ]
+une fonction des points de l'espace, c'est dire une
+fonction ordinaire de trois variables. Mais toutes les lignes forment aussi des
+lments gomtriques de l'espace, et l'on peut videmment concevoir une quantit
+qui a une valeur correspondant chaque ligne. Voil donc une fonction des lignes.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{r}{2.5in}
+\Input{029a}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+Celle que nous avons trouve n'est
+qu'une fonction particulire. Elle correspond
+ des lignes fermes, elle est
+continue et elle a aussi une autre proprit
+intressante. Soient $s$ et~$s'$ deux
+lignes fermes qui ont un arc commun~$AB$.
+Si on doit parcourir l'arc~$AB$ en
+directions contraires en supposant qu'il
+appartienne aux deux lignes, on pourra
+retrancher~$AB$ et obtenir une courbe~$s''$
+dont la direction mme sera dtermine.
+On crira
+\[
+s'' = s + s'.
+\]
+
+Soit $V$ la fonction des lignes que nous avons trouve, et dsignons par $V,
+V', V''$ les valeurs correspondant aux lignes $s, s', s''$ il est vident que
+\[
+V'' = V' + V.
+\]
+%% -----File: 030.png---Folio 30-------
+
+C'est pourquoi l'on peut appeler la fonction des lignes que nous avons trouve
+une \emph{fonction de premier degr}.
+
+\Paragraph{6.} Elle a t obtenue par un procd d'intgration; il est facile d'y appliquer
+un procd inverse qu'on peut appeler un procd de drivation.
+
+%[Illustration]
+% [** PP: Moved up one paragraph to accommodate pagination]
+\begin{wrapfigure}[10]{l}{1.75in}% **** Explicit height
+\Input{030a}{1.75in}
+\end{wrapfigure}
+Revenons une fonction ordinaire des points de l'espace. Pour la driver
+il suffit de dplacer le point indice de la fonction dans une certaine direction, de
+calculer le rapport entre la variation de la fonction et le dplacement, et d'en dterminer
+la limite lorsque le dplacement devient infiniment petit.
+
+De mme prenons la fonction des lignes que nous avons trouve. Dplaons
+en~$l'$ un arc~$l$ de la ligne, et cherchons la variation correspondante de la fonction.
+A % [** PP: Typo ]
+cause des proprits que nous avons trouves
+cette variation sera la valeur de la fonction correspondant
+ la ligne forme par les arcs $l'$ et~$l$
+en supposant que l'on invertisse la direction dans
+laquelle on doit parcourir l'arc~$l$. Elle pourra donc
+s'exprimer par
+\[
+W = \int_\Sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\Sigma,
+\]
+$\Sigma$ tant une surface ayant pour contour les lignes
+$l$ et~$l'$; $n$~sa normale prise dans la direction qu'on
+a tablie prcdemment.
+
+Supposons maintenant que la surface~$\Sigma$ en dcroissant infiniment d'une manire
+rgulire tende vers un point~$M$; on aura
+\[
+\lim \frac{W}{\Sigma} = X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz
+\]
+en prenant les valeurs de $X, Y, Z$ qui correspondent au point~$M$.
+
+On peut appeler $\lim \smash[b]{\dfrac{W}{\Sigma}}$ la drive de~$V$ par rapport ~$\Sigma$, et l'on peut la reprsenter
+par~$\dfrac{dV}{d\Sigma}$. Il est vident que le signe dont la drive est affecte n'est
+dtermin que lorsqu'on connat % [** PP: Typo connait]
+la direction positive de la normale la surface~$\Sigma$.
+Prenons la drive de~$V$ par rapport une surface~$\Sigma$ normale l'axe~$X$ en~$M$,
+on aura
+\[
+\frac{dV}{d\Sigma} = X.
+\]
+De mme, si $\Sigma_1$ et~$\Sigma_2$ sont des surfaces normales aux axes $Y$ et~$Z$, on aura
+%% -----File: 031.png---Folio 31-------
+\[
+\deriv{V}{\Sigma_1} = Y,\quad \deriv{V}{\Sigma_2} = Z,
+\]
+c'est pourquoi l'on peut dsigner $X, Y, Z$ par les symboles
+\[
+\deriv{V}{(yz)},\quad \deriv{V}{(zx)},\quad \deriv{V}{(xy)}.
+\]
+
+Revenons maintenant la fonction primitive~$u$. Nous avons
+\[
+\pderiv{u}{x} = X\quad
+\pderiv{u}{y} = Y\quad
+\pderiv{u}{z} = Z;
+\]
+donc
+\[
+\pderiv{u}{x} = \pderiv{V}{(yz)},\quad
+\pderiv{u}{y} = \pderiv{V}{(zx)},\quad
+\pderiv{u}{z} = \pderiv{V}{(xy)}
+\]
+ou en gnral, $n$~tant la normale la surface~$\Sigma$,
+\[
+\pderiv{u}{n} = \pderiv{V}{\Sigma}.
+\]
+
+On tire de l qu'en drivant la fonction des lignes~$V$ par rapport une certaine
+surface et en drivant la fonction~$u$ par rapport la normale cette surface
+on trouve la mme valeur. Donc la fonction~$u$ et la fonction~$V$ ont une relation
+rciproque tout fait analogue celle des deux fonctions conjugues dans le cas
+de deux variables. C'est pourquoi dans le cas de trois variables, pour arriver
+une fonction conjugue de la fonction potentielle, il faut introduire les fonctions
+des lignes.
+
+\Paragraph{7.} On pourrait penser que ce nouveau concept est tout fait abstrait, mais
+nous voulons montrer bien au contraire qu'il correspond des concepts rels et
+des vues pratiques.
+
+Il suffit pour cela d'envisager un champ lectromagntique constant. Supposons
+que nous ayons un ple magntique unitaire qui se dplace en prenant toutes
+les positions possibles dans un certain domaine externe toute masse magntique,
+lectrique et tout courant lectrique. Le potentiel du champ par rapport au
+ple sera une fonction qui vrifie l'quation de Laplace, c'est dire une \emph{fonction
+harmonique}.
+
+Mais videmment on pourra aussi penser avoir un courant lectrique unitaire
+qui parcourt un circuit ferm et qui se dplace en prenant toutes les positions et les
+formes possibles dans le mme domaine. Il est bien naturel que nous calculons le
+potentiel du champ par rapport au courant lectrique. On aura par l une ide
+complte de la nature lectromagntique du champ, mais en mme temps nous aurons
+%% -----File: 032.png---Folio 32-------
+envisag une fonction des lignes fermes du domaine. Il est facile de dmontrer
+par un calcul trs simple que cette fonction des lignes, c'est dire le potentiel du
+champ par rapport au courant, est justement la fonction conjugue que nous avons
+introduite tout l'heure.
+
+On a donc que le nouveau concept a une base relle et se prsente mme
+comme un lment ncessaire envisager dans les thories de la physique mathmatique.
+
+\Paragraph{8.} Les fonctions conjugues ordinaires qui se prsentent dans le cas de deux
+variables peuvent s'obtenir en particularisant celles que nous venons de dfinir. Il
+suffit en effet d'envisager un champ lectromagntique deux variables. Alors il
+faut remplacer le ple magntique par un ple logarithmique %[** PP: Typo logaritmique]
+et le courant lectrique
+par un point tourbillon et le passage est dj fait.
+
+Il y a aussi un autre cas particulier qui prsente beaucoup d'intrt. C'est celui
+des potentiels symtriques. Dans ce cas il suffit de considrer les valeurs de la
+fonction conjugue correspondant aux lignes circulaires normales l'axe de symtrie
+et ayant le centre sur l'axe mme. On arrive par l des fonctions ordinaires
+qu'on appelle les fonctions associes que Kirchhoff avait introduites en partant de
+concepts tout fait diffrents.
+
+
+\Chapter{\Ord{6}{ime} leon.}
+
+\Paragraph{9.} Jusqu' prsent nous avons envisag les fonctions des lignes qui s'obtiennent
+comme des fonctions conjugues des fonctions qui satisfont l'quation de Laplace;
+mais on peut gnraliser la chose. Soient $X, Y, Z$ trois fonctions quelconques
+dfinies dans un espace~$S$ dont la connexion linaire et la connexion superficielle
+sont simples, et supposons qu'elles soient finies, monodromes et continues, et que
+leurs drives aussi soient finies, continues et monodromes. Si l'on a
+\[
+\pderiv{X}{x} + \pderiv{Y}{y} + \pderiv{Z}{z} = 0
+\]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{r}{1.75in}
+\Input{033a}{1.75in}
+\end{wrapfigure}
+on pourra toujours par le procd que nous avons indiqu prcdemment calculer
+une fonction des lignes de l'espace. C'est pourquoi la condition pour l'existence
+de la fonction des lignes est la condition~(2). Les conditions~(1) ne sont pas ncessaires % [** Xrefs]
+pour son existence. Elles sont ncessaires pour qu'elle soit la fonction conjugue
+d'une fonction harmonique. Or, l'espace ayant les deux connexions simples,
+%% -----File: 033.png---Folio 33-------
+on peut calculer la valeur de la fonction des lignes pour chaque ligne ferme de
+l'espace dont la direction est connue, et pour chaque ligne on trouve une seule
+valeur. Envisageons maintenant un espace~$S$ dont
+la connexion superficielle ne soit pas simple, par
+exemple l'espace compris entre deux sphres concentriques
+$\sigma_1$ et~$\sigma_2$. Conduisons une surface~$\sigma_3$ comprise
+entre les deux, et traons une ligne ferme~$s$
+qui partage~$\sigma_3$ en deux parties $\sigma'_3$ et~$\sigma''_3$.
+
+Ayant fix la direction de la ligne~$s$ on pourra
+calculer la valeur de la fonction correspondante
+la ligne~$s$ de deux manires en formant
+\[
+\int_{\sigma'_3} (X \cos n'x + Y \cos n'y + Z \cos n'z)\, d\sigma'_3
+\tag{4}
+\]
+et
+\[
+\int_{\sigma''_3} (X \cos n''x + Y \cos n''y + Z \cos n''z)\, d\sigma''_3,
+\tag{5}
+\]
+$n'$ tant la normale ~$\sigma'_3$ et $n''$ la normale ~$\sigma''_3$. Les deux normales ont videmment
+la direction oppose, c'est dire que si l'une est dirige vers l'intrieur de~$\sigma_3$ l'autre
+est dirige vers la partie externe. Faisons maintenant la diffrence des deux intgrales.
+On aura l'intgrale tendue toute la surface~$\sigma_3$, et on devra prendre la
+normale dirige constamment dans la mme direction. Mais~$\sigma_3$ elle seule ne
+limite pas un volume renferm dans~$S$, c'est pourquoi la dernire intgrale pourra
+n'tre pas nulle et par suite les intgrales (4) et~(5) pourront tre diffrentes.
+
+On voit donc que dans ce cas la valeur de la fonction des lignes n'est pas
+dtermine pour chaque ligne.
+
+On peut se faire une ide de la polydromie d'une fonction des lignes aussi
+d'une autre manire.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}[3]{r}{1.5in}% **** Explicit height
+\raisebox{0.2in}[0.5in][0pt]{\Input{033b}{1.5in}}
+\end{wrapfigure}
+Pour avoir la diffrence des valeurs de la fonction correspondante
+ deux lignes $s$, $s'$, on peut dplacer la ligne~$s$
+d'une manire continue de sorte qu'elle vienne %[** PP: Typo viennne]
+concider en
+position et direction avec la ligne~$s'$. Soit~$\sigma$ la surface engendre
+par ce dplacement, $V'$ la valeur de la fonction correspondante
+ la ligne~$s'$ et $V$ la valeur correspondante la
+ligne~$s$. On aura
+%% -----File: 034.png---Folio 34-------
+\[
+V' - V = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma,
+\]
+%[Illustrations]
+%[** PP: Width-dependent formatting]
+\noindent\begin{minipage}[b]{1.5in}
+\Input{034a}{1.375in}\\[0.5in]
+\Input{034b}{1.375in}
+\end{minipage}%
+\begin{minipage}[b]{4.25in} % [**** Explicit width]
+$n$ tant la normale la surface~$\sigma$ dirige par rapport la direction de~$s'$ de la
+manire que nous avons indique dans le ~5. Dplaons maintenant $s'$ en lui % [** Xref]
+faisant engendrer un tube de manire que $s'$ se
+rapproche indfiniment de~$s$ jusqu' concider avec~$s'$.
+$\sigma$~deviendra une surface ferme. Si le domaine
+o nous envisageons les choses a la connexion
+superficielle simple, $\sigma$~sera le contour d'un espace
+interne au domaine et par suite en appliquant le
+thorme de Gauss on aura que l'intgrale tendue
+~$\sigma$ sera nulle, d'o l'on tire que les deux valeurs
+$V'$ et~$V$ seront gales. Mais, si le domaine a une
+connexion superficielle multiple, $\sigma$~n'est pas toujours
+le contour d'un espace interne au domaine et par
+suite les deux valeurs peuvent rsulter diffrentes.
+Dans ce cas donc, si une ligne ferme en dcrivant
+un tube revient sa position initiale, en prenant
+des valeurs de la fonction qui se suivent avec continuit,
+on peut retourner avec une valeur diffrente
+de celle du dpart. Par consquent la polydromie
+pour les fonctions des lignes ne tient pas la cyclicit, c'est dire la connexion
+linaire, mais la connexion superficielle.
+\end{minipage}
+
+\Paragraph{10.} Nous avons vu que, pour rendre acyclique un espace cyclique, il faut
+faire une coupure ou plusieurs coupures. Qu'est-ce qu'il faut faire pour transformer
+un espace qui a une connexion superficielle multiple en un espace qui a une connexion
+simple?
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{1.75in}
+\Input{034c}{1.5in}
+\end{wrapfigure}
+Envisageons l'espace compris entre deux sphres
+concentriques. Imaginons un tube infiniment mince
+qui runit la grande sphre la sphre interne. Par
+ce tube la connexion superficielle devient simple.
+
+Il y a d'autres cas o il faut un plus grand
+nombre de tubes pour obtenir la rduction. L'ordre
+de la connexion superficielle est mesur par le nombre
+des tubes plus~$1$. A chaque tube correspond une
+constante spciale pour la fonction des lignes obtenue
+%% -----File: 035.png---Folio 35-------
+par intgration, comme chaque coupure correspond une constante pour une fonction
+ordinaire obtenue par intgration dans un espace cyclique.
+
+Si l'on cherche la fonction conjugue de la fonction harmonique $\frac{1}{2} \log (x^2 + y^2)$ % [** PP: Using \frac]
+dans le cas de deux variables on trouve la fonction polydrome $\arctg \dfrac{y}{x}$. De mme
+si l'on cherche la fonction des lignes conjugue de la fonction harmonique
+$\dfrac{1}{\sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)}}$ on trouve une fonction des lignes polydrome.
+
+\Paragraph{11.} On a calcul une fonction en regardant chaque ligne comme le contour
+d'une surface. Si l'espace est cyclique il y a des lignes qui ne forment le contour
+d'aucune surface. On peut trouver les diffrences des valeurs correspondantes
+ ces lignes, mais nous n'insisterons pas ci-dessus.
+
+Il y a aussi une autre manire pour calculer des fonctions des lignes de premier
+degr. Nous dirons en peu de mots en quoi elle consiste.
+
+L'quation~(2) tant satisfaite on peut trouver trois fonctions $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ de
+$x, y, z$ telles que
+\begin{align*}
+X &= \pderiv{Z_2}{z} - \pderiv{Z_3}{y}, \\
+Y &= \pderiv{Z_3}{x} - \pderiv{Z_1}{z}, \\
+Z &= \pderiv{Z_1}{y} - \pderiv{Z_2}{x}.
+\end{align*}
+
+Alors, si $s$ est une ligne qui forme le contour de la surface~$\sigma$ ayant pour
+normale~$n$, on a par le thorme de Stokes
+\[
+\int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, ds = \int_s (Z_1\, dx + Z_2\, dy + Z_3\, dz)
+\]
+en choisissant convenablement la direction de la ligne~$s$. On voit par l que la
+fonction d'une ligne peut se calculer par une intgrale tendue la ligne mme.
+
+Nous avons fait usage prcdemment %[** PP: Typo prcdemmnnt]
+du langage des champs vectoriels; on
+peut y revenir pour donner une image visible et frappante des concepts que nous
+avons introduits.
+
+Lorsqu'un champ scalaire est divis en lames infiniment minces telles que
+chacune correspond au mme accroissement de la quantit scalaire, la fonction
+%% -----File: 036.png---Folio 36-------
+scalaire dans un point quelconque sert dnombrer les lames comprises entre ce
+point et un point fixe.
+
+Envisageons maintenant un champ solnodal % [** Typo solnoidal]
+divis en tubes quivalents infiniment
+minces. Dans ce cas, pour connatre la nature du champ, il faut savoir
+dnombrer les tubes qui passent l'intrieur de toute ligne ferme. Voil le concept
+de fonction de ligne de premier degr qui surgit. Si le champ est en mme
+temps solnodal % [** PP: Typo solnoidal]
+et scalaire, le nombre des lames comprises entre un point fixe et
+le point variable et le nombre des tubes compris dans une ligne variable forment
+des fonctions conjugues.
+
+\Paragraph{12.} Nous nous sommes borns jusqu' prsent au cas de trois variables;
+mais on peut gnraliser les concepts que nous venons d'exposer au cas d'un nombre
+quelconque de variables.
+
+Dans un espace $n$~dimensions on peut imaginer des points, des espaces
+une dimension, des espaces deux dimensions, des espaces trois dimensions etc.\
+et des espaces $n-1$ dimensions, c'est pourquoi l'on peut imaginer des fonctions
+des points, c'est dire des fonctions ordinaires de $n$~variables, des fonctions des
+espaces une dimension, des fonctions des espaces deux dimensions etc.\ et enfin
+des fonctions des espaces $n-1$ dimensions.
+
+Si ces espaces sont ferms et si nous dfinissons une direction des espaces, on peut
+concevoir les fonctions des espaces $r$~dimensions \emph{de premier degr}, c'est dire,
+si $S_r$ et~$S'_r$ sont deux espaces ferms $r$~dimensions ayant une partie commune qui
+a deux directions diffrentes selon qu'on la regarde comme appartenant ~$S_r$ ou
+~$S'_r$, retranchons cette partie et envisageons l'espace~$S''_r$ form avec les parties
+rsiduelles. La fonction qu'on envisage sera de premier degr si, les valeurs correspondantes
+ $S_r, S'_r, S''_r$ tant $V, V', V''$, on a
+\[
+V'' = V' + V.
+\]
+
+Les fonctions de premier degr des espaces $r$~dimensions peuvent se calculer
+par des intgrations tendues des espaces $r + 1$ dimensions, et l'on peut
+former des drives de ces fonctions tout fait analogues aux drives des fonctions
+des lignes que nous avons envisages.
+
+De cette manire dans un espace $n$~dimensions on peut obtenir des fonctions
+conjugues de $\dfrac{n-1}{2}$ types diffrents, si $n$~est un nombre impair et de~$\dfrac{n}{2}$
+types, si $n$~est pair. En effet une fonction des espaces $r$~dimensions ($r < n-1$)
+on peut faire correspondre comme fonction conjugue une fonction de $n-r-2$
+dimensions.
+%% -----File: 037.png---Folio 37-------
+
+Dans un espace deux dimensions on a une seule sorte de fonctions conjugues,
+c'est dire que les fonctions conjugues des fonctions harmoniques des
+points sont aussi des fonctions des points.
+
+Dans un espace $3$~dimensions les fonctions conjugues des fonctions harmoniques
+des points sont des fonctions des lignes, comme nous venons de voir.
+Dans un espace $4$~dimensions les fonctions conjugues des fonctions harmoniques des
+points sont des fonctions des espaces deux dimensions, mais l'on peut avoir
+aussi des fonctions conjugues des fonctions des espaces une dimension qui
+sont aussi des fonctions de la mme nature.
+
+Dans un espace $5$~dimensions les fonctions harmoniques des points sont
+conjugues des fonctions des espaces trois dimensions, et l'on peut avoir des
+fonctions des espaces une dimension conjugues des fonctions des espaces
+deux dimensions. Ainsi de suite avec la rgle que nous avons expose prcdemment.
+
+On arrive par l une thorie gnrale des fonctions conjugues o les fonctions
+harmoniques ordinaires $n$~variables se prsentent comme un cas trs-particulier.
+Il est bon de remarquer que dans les hyperespaces d'un nombre $n$ pair
+de dimensions il y a des fonctions conjugues d'ordre $\smash[b]{\dfrac{n-1}{2}}$ qui correspondent
+aux mmes hyperespaces.
+
+La connexion de plus en plus complique des espaces $n$~dimensions joue
+un rle trs important et est troitement lie aux diffrentes espces des polydromies
+des fonctions, comme nous avons pu constater dans le cas de trois variables.
+Ces polydromies se prsentent comme une extension de celles qu'on a dans
+les cas des intgrales Abliennes. % [** PP: Typo Abeliennes]
+
+\Paragraph{13.} On peut envisager ces recherches comme une gnralisation de l'tude
+des fonctions conjugues, c'est dire de la partie relle et de la partie imaginaire
+d'une fonction d'une variable complexe considres sparment.
+
+Mais si nous voulons parvenir une vraie extension de la thorie des fonctions,
+c'est dire de l'ensemble des deux fonctions conjugues, l'une tant multiplie
+par~$\sqrt{-1}$, il faut changer le point de vue, mais les mmes concepts que
+nous avons exposs en sont toujours la base, c'est pourquoi nous avons dit dans
+la leon prcdente, qu'il y avait deux branches d'tudes qui provenaient d'une
+mme source. Comme j'ai annonc dans la premire leon je n'abandonnerai pas
+ce sujet sans avoir donn aussi un aperu de ces recherches qui sont lies la
+thorie des fonctions d'un ct et aux quations qui paraissent dans la physique
+mathmatique d'un autre ct.
+%% -----File: 038.png---Folio 38-------
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{1in}%
+\Input{038a}{1in}
+\end{wrapfigure}%
+\Paragraph{14.} Si nous envisageons un plan et deux quantits complexes $F$ et~$\Phi$ qui
+sont des fonctions des points du plan, la condition pour que $F$ soit une fonction
+de~$\Phi$ est qu'en dplaant le point indice~$M$ dans une direction quelconque $MM'$
+et, en calculant le rapport $\dfrac{\Delta F}{\Delta\Phi}$ des variations des deux fonctions,
+la limite du rapport, lorsque $MM'$ devient infiniment petit, ne dpend
+pas de la direction du dplacement mais soit une nouvelle fonction
+du point indice. Cauchy employait dans ce cas le mot de \emph{fonction monogne}.
+
+Or une extension n'est pas possible dans l'espace, car si nous posons la mme
+condition que nous venons d'indiquer dans le cas o le point indice au lieu de se
+dplacer dans un domaine deux dimensions peut se dplacer dans un domaine
+ trois dimensions, on trouve qu'elle conduit la mme relation entre $F$ et~$\Phi$ et
+l'on trouve la mme chose dans le cas d'un espace plusieurs dimensions.
+
+Mais nous avons vu que dans les espaces trois dimensions et plusieurs
+dimensions le concept des fonctions ordinaires, c'est dire des fonctions des points,
+n'est qu'un cas particulier du concept gnral de fonctions, car il y a les fonctions
+des lignes et en gnral les fonctions des hyperespaces. Si nous appliquons
+maintenant la condition que nous avons pose tout l'heure pour $F$ et~$\Phi$, mais
+en supposant que les fonctions soient des fonctions du nouveau genre que nous
+avons introduites, toute difficult disparat, % [** PP: Typo disparait]
+et l'on peut tendre un espace d'un
+nombre quelconque de dimensions la liaison de monognit de Cauchy, c'est
+dire on peut tendre la thorie des fonctions au cas d'un domaine quelconque
+en trouvant quelque chose de nouveau. Faute du concept des fonctions des lignes
+et des hyperespaces la base o fonder la thorie manquait compltement. %[** PP: Typo compltement]
+D'autre
+part il fallait bien penser qu'il aurait t ncessaire de tomber l dessus, si l'on
+voulait tendre la thorie des fonctions, car si l'opration de l'intgration dans le
+cas des fonctions d'une variable ne fait pas sortir du domaine des fonctions de la
+mme nature, l'intgration des fonctions de plusieurs variables, c'est dire l'intgration
+multiple qui est tendue des domaines plusieurs dimensions dont les
+limites sont des lignes ou des surfaces etc., devait nous amener au nouveau concept
+que nous avons introduit.
+
+\Paragraph{15.} Envisageons donc dans un espace trois dimensions deux fonctions
+complexes de premier degr des lignes, et soient $F$ et~$\Phi$ leurs valeurs correspondantes
+ une ligne~$L$. Dformons un arc $AB$ de~$L$, et dsignons par $\Delta F$
+et~$\Delta \Phi$ les variations de~$F$ et de~$\Phi$. Si en diminuant indfiniment la dformation
+et la distance entre $B$ et le point fixe~$A$, le rapport
+\[
+\frac{\Delta \Phi}{\Delta F}
+\]
+%% -----File: 039.png---Folio 39-------
+tend vers une limite qui dpend seulement du point~$A$, on pourra dire qu'entre
+les variables complexes $\Phi$ et~$F$ passe une liaison tout fait analogue celle
+de monognit de Cauchy.
+
+On peut exprimer cette condition d'une autre manire en faisant usage des
+notations que nous avons introduites. Calculons
+\[
+\deriv{\Phi}{\Sigma} : \deriv{F}{\Sigma} = f,
+\tag{6}
+\]
+$\Sigma$ tant une surface quelconque, $f$ doit avoir une valeur indpendante de la
+direction de la surface~$\Sigma$, c'est dire doit tre une fonction des points de
+l'espace.
+
+Dcomposons maintenant $\Phi$ et~$F$ et leurs drives dans les parties relles
+et imaginaires en posant
+\begin{gather*}
+F = F_1 + i F_2,\quad \Phi = \Phi_1 + i \Phi_2,\quad i = \sqrt{-1}; \\
+%
+\deriv{F}{(y,z)} = p_1 + ip_2,\quad
+\deriv{F}{(z,x)} = q_1 + iq_2,\quad
+\deriv{F}{(x,y)} = r_1 + ir_2; \\
+%
+\deriv{\Phi}{(y,z)} = \omega_1 + i\omega_2,\quad
+\deriv{\Phi}{(z,x)} = \chi_1 + i\chi_2,\quad
+\deriv{\Phi}{(x,y)} = \rho_1 + i\rho_2;
+\end{gather*}
+la condition~(6) pourra s'crire
+\[
+ \frac{\omega_1 + i\omega_2}{p_1 + ip_2}
+= \frac{\chi_1 + i\chi_2}{q_1 + iq_2}
+= \frac{\rho_1 + i\rho_2}{r_1 + ir_2} = f
+\tag{7}
+\]
+et l'on tire de l que $\Phi_1$ et~$\Phi_2$ doivent vrifier les mmes quations, c'est dire
+% [** PP: Explicitly-sized parentheses]
+\begin{gather*}
+ D_1 \deriv{\Psi}{(y,z)}
++ D_2 \deriv{\Psi}{(z,x)}
++ D_3 \deriv{\Psi}{(x,y)} = 0 \\
+%
+\tag{8}
+0 = \pderiv{}{x}
+ \Biggl(\dfrac{\eps_{12} \deriv{\Psi}{(x,y)}
+ - \eps_{13} \deriv{\Psi}{(z,x)}}{D_1}\Biggr)
+ + \pderiv{}{y}
+ \Biggl(\dfrac{\eps_{23} \deriv{\Psi}{(y,z)}
+ - \eps_{21} \deriv{\Psi}{(x,y)}}{D_2}\Biggr)
+\Trail{+} \\
+%
+ + \pderiv{}{z}
+ \Biggl(\dfrac{\eps_{31} \deriv{\Psi}{(z,x)}
+ - \eps_{32} \deriv{\Psi}{(y,z)}}{D_3}\Biggr),
+\end{gather*}
+o $\Psi$ peut tre remplac par $\Phi_1$ et~$\Phi_2$ et l'on a
+\begin{gather*}
+\eps_{11} = p^2_1 + p^2_2, \quad
+\eps_{22} = q^2_1 + q^2_2, \quad
+\eps_{33} = r^2_1 + r^2_2, \\
+%
+\eps_{23} = \eps_{32} = q_1 r_1 + q_2 r_2, \quad
+\eps_{31} = \eps_{13} = r_1 p_1 + r_2 p_2, \quad
+\eps_{12} = \eps_{21} = p_1 q_1 + p_2 q_2, \\
+%
+D_1 = q_2 r_1 - r_2 q_1, \quad
+D_2 = r_2 p_1 - p_2 r_1, \quad
+D_3 = p_2 q_1 - q_2 p_1.
+\end{gather*}
+%% -----File: 040.png---Folio 40-------
+
+L'quation~(8) remplace dans ce cas l'quation de Laplace et a bien des proprits
+communes avec elle.
+
+\Paragraph{16.} On peut crire l'quation~(6) sous la forme
+\[
+\deriv{\Phi}{F} = f.
+\tag{9}
+\]
+Les fonctions $\Phi$ et~$F$ peuvent s'appeler \emph{isognes}. Il est vident que deux fonctions
+des lignes qui sont isognes avec une troisime sont isognes entre elles. De
+mme une fonction des points~$\phi$ peut s'appeler aussi isogne avec~$F$ si
+\[
+ \deriv{F}{(y,z)} \pderiv{\phi}{x}
++ \deriv{F}{(z,x)} \pderiv{\phi}{y}
++ \deriv{F}{(x,y)} \pderiv{\phi}{z} = 0.
+\tag{10}
+\]
+Elle sera isogne avec toutes les fonctions des lignes isognes avec~$F$. On dmontre
+aussi facilement que $f$ est isogne avec~$F$, et rciproquement que si la
+fonction des points $f$ est isogne avec la fonction des lignes~$F$, on peut trouver
+une fonction~$\Phi$ telle que l'galit~(9) soit vrifie.
+
+Toutes les fonctions des points qui sont isognes avec~$F$ peuvent s'appeler
+isognes entre elles. Puisqu'elles doivent vrifier l'quation~(10) on en tire que
+deux d'entre elles sont indpendantes et les autres en sont des fonctions. Soient
+$\phi_1$ et~$\phi_2$ des fonctions indpendantes. A cause de l'quation~(10) on pourra toujours
+crire
+% [** PP: Dropped commas between matrix entries]
+\[
+\tag{11}
+\left\{
+\begin{aligned}
+\deriv{F}{(y,z)} &= \phi_3 \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_1}{y} & \pderiv{\phi_1}{z} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{y} & \pderiv{\phi_2}{z}
+ \end{matrix} \right| = X, \\[2ex]
+%
+\deriv{F}{(z,x)} &= \phi_3 \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_1}{z} & \pderiv{\phi_1}{x} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{z} & \pderiv{\phi_2}{x}
+ \end{matrix} \right| = Y, \\[2ex]
+%
+% [** PP: Derivatives w.r.t. y, not x, in second column]
+\deriv{F}{(x,y)} &= \phi_3 \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_1}{x} & \pderiv{\phi_1}{y} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{x} & \pderiv{\phi_2}{y}
+ \end{matrix} \right| = Z,
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+o $\phi_3$ est une fonction des points isogne aux autres, c'est dire $\phi_3 = \phi_3(\phi_1,\phi_2)$.
+
+Supposons que le domaine trois dimensions que nous envisageons ait une
+connexion superficielle simple et que dans ce domaine les fonctions que nous considrons
+n'aient pas de singularits, alors pour avoir la valeur de la fonction~$F$
+correspondante une certaine ligne il suffira de regarder cette ligne comme le
+contour d'une surface~$\sigma$ et de former
+%% -----File: 041.png---Folio 41-------
+\[
+F = \int_\sigma (X \cos nx + Y \cos ny + Z \cos nz)\, d\sigma.
+\]
+Soient $u$, $v$ des coordonnes curvilignes de la surface. On aura
+\begin{align*}
+d\sigma \cos nx &= \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{y}{u} & \pderiv{z}{u} \\[2ex]
+ \pderiv{y}{v} & \pderiv{z}{v}
+ \end{matrix} \right|\, du\, dv; \\[2ex]
+%
+d\sigma \cos ny &= \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{z}{u} & \pderiv{x}{u} \\[2ex]
+ \pderiv{z}{v} & \pderiv{x}{v}
+ \end{matrix} \right|\, du\, dv; \\[2ex]
+%
+d\sigma \cos nz &= \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{x}{u} & \pderiv{y}{u} \\[2ex]
+ \pderiv{x}{v} & \pderiv{y}{v}
+ \end{matrix} \right|\, du\, dv.
+\end{align*}
+
+C'est pourquoi l'intgrale prcdente pourra s'crire
+\[
+F = \int_\sigma \phi_3 \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_1}{u} & \pderiv{\phi_1}{v} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{u} & \pderiv{\phi_2}{v}
+ \end{matrix} \right|\, du\, dv
+ = \int_\sigma \phi_3\, d\phi_1\, d\phi_2.
+\tag{12}
+\]
+
+On voit par l que tout ensemble de fonctions isognes des lignes et des points
+dans un espace trois dimensions ressort des fonctions de deux variables complexes
+et de leurs intgrales, comme tout ensemble de fonctions monognes dans un
+espace deux dimensions ressort des fonctions d'une variable complexe et de leurs
+intgrales.
+
+Si la surface~$\sigma$ dans l'intgrale~(12) est une surface ferme, l'intgrale devient
+nulle. Cette proprit n'est autre chose que la thorie de Cauchy pour les fonctions
+de deux variables telle que M.~Poincar l'a donne.
+
+Si l'espace n'a pas une connexion superficielle simple, ou si les fonctions qui
+paraissent dans les formules ont des singularits, l'intgrale peut n'tre pas nulle.
+Il faut alors remplacer la surface~$\sigma$ par un ensemble de surfaces qui forment le
+contour complet d'un domaine trois dimensions o les fonctions n'ont pas de
+singularits.
+%% -----File: 042.png---Folio 42-------
+
+\Paragraph{17.} $\phi_4$ tant une fonction de $\phi_1$ et~$\phi_2$ telle que
+\[
+\pderiv{\phi_4}{\phi_1} = \phi_3(\phi_1\, \phi_2),
+\]
+les quations~(11) s'crivent
+\begin{align*}
+\deriv{F}{(y,z)} &= \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_4}{y} & \pderiv{\phi_4}{z} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{y} & \pderiv{\phi_2}{z}
+ \end{matrix} \right|, \\[2ex]
+%
+\deriv{F}{(z,x)} &= \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_4}{z} & \pderiv{\phi_4}{x} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{z} & \pderiv{\phi_2}{x}
+ \end{matrix} \right|, \\[2ex]
+%
+\deriv{F}{(x,y)} &= \left|
+ \begin{matrix}
+ \pderiv{\phi_4}{x} & \pderiv{\phi_4}{y} \\[2ex]
+ \pderiv{\phi_2}{x} & \pderiv{\phi_2}{y}
+ \end{matrix} \right|
+\end{align*}
+et l'quation~(12) deviendra
+\[
+F = \int_\sigma d\phi_4\, d\phi_2 ,
+\]
+d'o l'on tire que $F$ peut s'obtenir par $\phi_4$ et~$\phi_2$ ou qu'elle est compose par ces
+deux fonctions qu'on peut appeler des diviseurs de~$F$. On peut crire
+\[
+F = (\phi_4\, \phi_2). % [** PP: product?]
+\]
+
+La dcomposition de~$F$ en ses diviseurs peut se faire d'une infinit de manires.
+Les diviseurs sont isognes avec~$F$ et deux fonctions isognes des lignes
+ont toujours un diviseur commun. Les diviseurs tant des fonctions des points,
+on peut les appeler lmentaires.
+
+
+\Chapter{\Ord{7}{ime} leon.}
+
+\Paragraph{18.} La thorie qu'on vient d'exposer se rapporte au cas des fonctions de deux
+variables, et elle a l'avantage qu'on peut l'exposer sans recourir aux espaces plus
+de trois dimensions. Mais si l'on se borne ces espaces, on n'a pas videmment
+%% -----File: 043.png---Folio 43-------
+une thorie complte; et l'on voit la ncessit d'tendre tous les concepts l'espace
+ $n$~dimensions. Il n'est pas difficile de le faire. Mais par l la thorie se dveloppe
+d'une manire inattendue. C'est dire qu'on ne trouve pas seulement la thorie
+des fonctions de plusieurs variables complexes et de leurs intgrales, mais quelque
+chose aussi de beaucoup plus gnral. En effet toute fonction complexe de premier degr
+d'une ligne peut tre attache par la liaison d'isognit un ensemble d'autres
+fonctions des lignes et des fonctions de deux variables complexes indpendantes,
+et peut se dcomposer en facteurs lmentaires. La mme chose ne se prsente pas,
+lorsqu'on envisage une fonction des hyperespaces de $r<n$ dimensions dans un hyperespace
+de $n>3$ dimensions. Pour ces fonctions aussi il y a, comme dans le cas des
+fonctions des lignes dans l'espace trois dimensions, une dcomposition en fonctions
+d'un ordre plus simple qui prsente des caractres arithmtiques analogues la
+dcomposition d'un nombre en facteurs premiers. Mais dans le cas des hyperespaces
+cette dcomposition ne peut pas tre pousse toujours jusqu' arriver aux
+fonctions des points, c'est dire que tous les diviseurs premiers de la fonction peuvent
+tre aussi des fonctions des hyperespaces. Or, pour qu'une fonction soit liable
+une autre par la liaison d'isognit il est ncessaire et suffisant qu'elle ait un diviseur
+lmentaire, c'est dire un diviseur qui soit une fonction des points. Il faut
+donc poser des conditions spciales avant de pouvoir tablir la liaison d'isognit,
+et mme aprs avoir tabli cette liaison on a une thorie bien plus gnrale que celle
+qui ressort des fonctions de plusieurs variables et de leurs intgrales. Ce cas se
+rapporte seulement l'ensemble des fonctions des hyperespaces dont tous les diviseurs
+sont des diviseurs lmentaires.
+
+Lorsqu'on envisage des espaces ayant un nombre de dimensions toujours
+croissant, les diffrentes sortes de connexions possibles augmentent toujours. Listing,
+Bei, Poincar les ont tudies. Elles jouent un rle fondamental dans les thories
+prcdentes, car elles dterminent les diffrentes sortes de polydromies des
+fonctions des hyperespaces. Dans le cas des fonctions d'une seule variable complexe
+on n'a qu'une seule sorte de polydromie qui ressort de la cyclicit, mais dans
+les cas prcdents leur nombre est toujours plus lev. La thorie des intgrales
+Abliennes ne prsente que le premier cas de cette thorie gnrale.
+
+\Paragraph{19.} Les fonctions des lignes et des hyperespaces nous conduisent naturellement
+ dire quelques mots sur d'autres tudes trs voisines qui ont bien des rapports
+avec des questions de la physique mathmatique.
+
+Soient $x, y, z$ les coordonnes des points de l'espace. Une ligne est dtermine
+par deux quations $y=f(x)$, $z=\phi(x)$. Donc une quantit qui dpend d'une
+ligne peut tre envisage comme une quantit qui dpend des fonctions $f(x)$ et~$\phi(x)$.
+%% -----File: 044.png---Folio 44-------
+
+Il est donc tout naturel d'envisager les quantits qui dpendent de toutes
+les valeurs qu'une fonction ou plusieurs fonctions prennent dans certains domaines.
+C'est un concept qui se prsente dans un grand nombre de cas. Le plus simple
+est celui d'une intgrale dfinie. La valeur de l'intgrale dfinie entre certaines
+limites dpend de toutes les valeurs de la fonction entre ces limites. La physique
+mathmatique nous offre les exemples les plus frappants. Par exemple la temprature
+en un point d'une lame qui est chauffe au bord dpend de toutes les
+valeurs de la temprature au bord de la lame. Les fonctions des lignes et des
+hyperespaces rentrent videmment dans ce concept.
+
+Il est bien clair que lorsqu'on parle d'une quantit qui dpend de toutes les
+valeurs d'une ou de plusieurs variables on entend quelque chose de bien diffrent
+d'une fonction de fonction.
+
+\Paragraph{20.} La dfinition que nous venons de donner est analogue la dfinition de
+fonction ordinaire due Dirichlet, d'aprs laquelle on dit qu'une variable est fonction
+d'une autre variable si chaque valeur de cette quantit, entre des limites
+donnes, correspond une valeur de la premire quantit. Nous n'entrerons pas
+dans les discussions trs-importantes, qui se rapportent cette dfinition. Il est
+bien vident qu'on a t amen la donner par le concept fondamental de loi physique.
+M.~Boutroux tout rcemment a approfondi la question d'une manire fort
+intressante. Mais en posant certaines conditions on peut passer du concept de
+fonction tel que l'a pos Dirichlet celui de fonction analytique. Il est inutile
+de rappeler ces conditions qui sont bien connues et qui se rapportent la continuit,
+ l'existence des drives etc.
+
+On peut procder de la mme manire dans le cas des fonctions qui dpendent
+de toutes les valeurs d'une fonction ou de plusieurs fonctions.
+
+Envisageons le cas le plus simple, celui d'une quantit~$F$ qui dpend de toutes
+les valeurs d'une fonction continue~$f(x)$ dfinie pour toutes les valeurs de~$x$ comprises
+entre $a$ et~$b$. Il n'y a pas de difficult tendre le concept de continuit
+ la quantit~$F$. Supposons maintenant qu'on part d'une fonction initiale~$f(x)$, et
+qu'on la change en la remplaant par $f(x) + \eps\phi(x)$ o $\eps$ est une quantit infiniment
+petite. On peut tcher de calculer la variation de~$F$. Sous certaines conditions
+la partie du premier ordre de cette variation peut s'exprimer par une intgrale
+dfinie
+\[
+\eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1)\, d\xi_1.
+\]
+
+La fonction $F'(\xi_1)$ joue le rle de premire drive. Elle est indpendante
+de~$\phi(x)$, mais elle dpend en gnral de toutes les valeurs de~$f(x)$, c'est pourquoi
+%% -----File: 045.png---Folio 45-------
+on peut tcher de trouver la variation de~$F'(\xi_1)$, lorsqu'on remplace $f(x)$ par $f(x) + \eps\phi(x)$.
+Si l'on nglige les parties qui sont infiniment petites d'ordre suprieur ~$\eps$,
+sous certaines conditions, on trouve que cette variation est donne par
+\[
+\eps \int_a^b \phi(\xi_2) F''(\xi_1,\xi_2)\, d\xi_2.
+\]
+$F''(\xi_1,\xi_2)$ joue le rle de premire drive de $F'(\xi)$ et de seconde drive de~$F$.
+Elle est indpendante de~$\phi(x)$, mais dpend de toutes les valeurs de~$f(x)$. Elle
+est une fonction symtrique de $\xi_1$ et~$\xi_2$.
+
+On peut aussi procder au calcul de la troisime drive qui s'exprime par une
+fonction $F'''(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ symtrique et ainsi de suite.
+
+Cela pos, on peut se proposer de dvelopper la valeur de~$F$ qui correspond
+ $f(x)+\eps\phi(x)$ dans une srie de puissances de~$\eps$. Sous certaines conditions qui
+sont tout fait semblables celles qu'on a pour la srie ordinaire de Taylor
+on trouve
+\[
+\Lmargintag{13}
+\left\{
+\begin{aligned}
+F &= F_0 + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1)\, d\xi_1
+ + \frac{1}{2} \eps^2 \int_a^b \int_a^b
+ F''(\xi_1,\xi_2) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2)\, d\xi_1\, d\xi_2
+\Trail{+} \\
+ &\quad+ \frac{1}{3!} \eps^3 \int_a^b \int_a^b \int_a^b
+ F''' (\xi_1,\xi_2,\xi_3) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2) \phi(\xi_3)\,
+ d\xi_1\, d\xi_2\, d\xi_3 + \dotsb %[** PP: Re-breaking]
+\Trail{+} \\
+ &\quad+ \frac{1}{n!} \eps^n \int_a^b \dotsi \int_a^b
+ F^{(n)}(\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n)
+ \phi(\xi_1) \phi(\xi_2) \dotsm \phi(\xi_n)\,
+ d\xi_1\, d\xi_2 \dotsm d\xi_n + \dotsb,
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+o $F^{(n)} (\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n)$ %[** PP: Changed opening ) to (]
+est une fonction symtrique des $n$~variables, $\xi_1, \xi_2 \dotsc \xi_n$, indpendante
+de~$\phi(x)$.
+
+En prenant $\eps=1$ on passe facilement une srie analogue celle de Mac\-Laurin.
+
+\Paragraph{21.} On pourrait prendre comme dfinition d'une quantit~$F$ qui dpend de
+la fonction $\phi(x)$ dfinie pour les valeurs~$x$ comprises entre $a$ et~$b$ l'expression
+prcdente o l'on fait $\eps=1$, en supposant que la srie soit convergente. Ce
+serait une dfinition analytique d'une fonction qui dpend d'une autre fonction, et
+l'on pourrait en tudier le domaine de convergence. Les diffrents termes reprsenteraient
+des fonctions de diffrents degrs.
+%% -----File: 046.png---Folio 46-------
+
+Cependant de cette manire on n'envisagerait pas le cas le plus gnral.
+
+\setboolean{UseVartheta}{true}%
+
+\Paragraph{22.} Lorsque $F$ dpend de toutes les valeurs d'une fonction ou de plusieurs
+fonctions, que celles-ci sont inconnues, et qu'il faut les dterminer, tant donnes certaines
+proprits de~$F$, alors on tombe sur les problmes les plus intressants de
+la thorie. Le calcul des variations n'est que le premier exemple d'une recherche
+de ce genre.
+
+Mais prenons le cas qui correspond la formule~(13), et supposons que nous
+crivions
+{\small %[** PP: Resized display for horizontal fit]
+\[
+\Lmargintag{14}
+\left\{
+\begin{aligned}
+\THETA\Psi(x)
+ &= \eps\phi(x)\alpha
+ + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1,x)\, d\xi_1
+ + \frac{1}{2} \eps^2 \int_a^b \int_a^b
+ F''(\xi_1,\xi_2,x) \phi(\xi_1) \phi(\xi_2)\, d\xi_1\, d\xi_2
+\Trail{+} \\
+ &+ \dotsb
+ + \frac{1}{n!} \eps^n \int_a^b \dotsi \int_a^b F^{(n)} (\xi_1,\xi_2 \dotsc \xi_n,x) \phi(\xi_1) \dotsm \phi(\xi_n)\, d\xi_1 \dotsm d\xi_n,
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+}% [** End of \small]
+
+$\alpha$ tant une quantit donne et~$\Psi(x)$ tant dfinie pour les valeurs de~$x$ comprises
+entre $a$ et~$b$.
+
+Le cas le plus simple est celui o $F'', F''', \dotsc F^{(n)} \dotsc$ sont nulles, c'est
+dire o l'on a
+% [** PP: Changed F^{('')} to F']
+\[
+\tag{15}
+\THETA\Psi(x) = \eps \phi(x)\alpha
+ + \eps \int_a^b \phi(\xi_1) F'(\xi_1,x)\, d\xi_1;
+\]
+c'est le cas de l'inversion des fonctions de premier degr qui est le cas envisag
+par M.~Fredholm et par moi mme lorsque la limite suprieure est gale ~$x$.
+
+Le problme d'invertir une fonction gnrale de la forme~(14) par rapport
+l'inversion de la formule~(15) n'est que le problme gnral de l'inversion d'une
+fonction transcendante par rapport l'inversion d'une fonction de premier degr.
+Nous voulons montrer que le cas gnral peut tre rsolu.
+
+\Paragraph{23.} En effet pour obtenir $\phi(x)$ exprime par~$\Psi(x)$, c'est dire pour invertir
+la formule~(14), il suffit de tcher de dvelopper $\eps\phi(x)$ dans une srie de puissances de~$\THETA$.
+
+C'est pourquoi calculons
+{\small
+\[
+\left(\deriv{(\eps\phi)}{\THETA}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\!
+ = \left(\deriv{(\eps\phi)}{\THETA}\right)_0,\quad
+\left(\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\!
+ = \left(\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right)_0,\quad
+\left(\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right)_{\THETA=0}\!\!\!\!
+ = \left(\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right)_0 \dotsc.
+\]
+}% [** End \small]
+On trouve
+\[
+\Psi(x) = \left(\deriv{[\eps\phi(x)]}{\THETA}\right)_0 \alpha
+ + \int_a^b \left(\deriv{[\eps\phi(\xi_1)]}{\THETA}\right)_0 F'(\xi_1,x)\, d\xi_1.
+\]
+%% -----File: 047.png---Folio 47-------
+% [**** Math needs checking]
+
+Si nous pouvons invertir cette formule, % [** PP: Added comma]
+ce qui arrive par exemple lorsque le
+dterminant n'est pas nul, on trouve
+\[
+\tag{16}
+\left\{\deriv{\eps[\phi(x)]}{\THETA}\right\}_0 \phi(x)
+ = \Psi(x)\beta + \int_a^b \Psi(\eta_1) \Phi'(\eta_1, x)\, d\eta_1.
+\]
+
+En drivant une fois encore on a
+\begin{multline*}
+0 = \left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0 \alpha
+ + \int_a^b \left\{
+ \frac{d^2[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA^2}
+ \right\}_0 F'(\xi_1, x)\, d\xi_1
+%[** PP: Re-breaking; added trailing operator for consistency]
+\Trail{+} \\
+ + \int_a^b \int_a^b F''(\xi_1, \xi_2, x)
+ \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0
+ \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0\, d\xi_1\, d\xi_2
+\end{multline*}
+c'est dire
+\[
+\tag{17}
+\left\{
+\begin{aligned}
+ &\left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0 \alpha
+ + \int_a^b \left\{
+ \frac{d^2[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA^2}\right\}_0
+ F'(\xi_1, x)\, d\xi_1
+\Trail{=} \\
+%
+ &\qquad= - \int_a^b \int_a^b F''(\xi_1, \xi_2, x)
+ \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0
+ \left\{\frac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0\, d\xi_1\, d\xi_2
+\Trail{=} \\
+%[** PP: Re-breaking; added trailing operator for consistency]
+&\qquad= \phantom{-}\int_a^b \int_a^b
+ \Phi_1(\eta_1, \eta_2, x) \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+en remplaant
+$\left\{\dfrac{d[\eps\phi(\xi_1)]}{d\THETA}\right\}_0$,
+$\left\{\dfrac{d[\eps\phi(\xi_2)]}{d\THETA}\right\}_0$ par les valeurs donnes par la formule~(16).
+Si l'on invertit la dernire formule en employant une formule analogue la formule~(16) on trouve
+\[
+ \left\{\frac{d^2[\eps\phi(x)]}{d\THETA^2}\right\}_0
+= \int_a^b \int_a^b \Phi''(\eta_1, \eta_2, x)
+ \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2.
+\]
+
+De mme on trouve
+\[
+ \left\{\frac{d^3[\eps\phi(x)]}{d\THETA^3}\right\}_0
+= \int_a^b \int_a^b \int_a^b
+ \Phi'''(\eta_1, \eta_2, \eta_3, x)
+ \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2) \Psi(\eta_3)\, d\eta_1\, d\eta_2\, d\eta_3.
+\]
+et ainsi de suite, de sorte qu'on aura
+%[** PP: Added missing trailing operators]
+\begin{multline*}
+\left[\frac{d(\eps\phi)}{d\THETA}\right]_0 \THETA
++ \frac{1}{2} \left[\frac{d^2(\eps\phi)}{d\THETA^2}\right]_0 \THETA^2
++ \frac{1}{3!} \left[\frac{d^3(\eps\phi)}{d\THETA^3}\right]_0 \THETA^3
++ \dotsb
+= \eps \phi(x) = \THETA \Psi(x) \beta
+\Trail{+} \\
+%[** PP: Using \frac, not \tfrac]
++ \THETA \int_a^b \Psi(\eta_1) \Phi'(\eta_1,x)\, d\eta_1
++ \frac{1}{2} \THETA^2 \int_a^b \int_a^b \Phi''(\eta_1, \eta_2, x)
+ \Psi(\eta_1) \Psi(\eta_2)\, d\eta_1\, d\eta_2
+\Trail{+} \\
+%
++ \dotsb
++ \frac{1}{n!} \THETA^n \int_a^b \dotsi \int_a^b
+ \Phi^{(n)}(\eta_1 \dotsc \eta_n, x)
+ \Psi(\eta_1) \dotsm \Psi(\eta_n)\, d\eta_1 \dotsm d\eta_n + \dotsb.
+\end{multline*}
+%% -----File: 048.png---Folio 48-------
+
+Il faudra tablir les conditions de convergence de la srie prcdente et son
+domaine de validit.---On peut regarder~$\Phi^{(n)}$ comme une fonction symtrique
+de $\eta_1, \eta_2 \dotsc \eta_n$. Nous n'entrerons pas dans les dtails par rapport la vrification
+de la formule que nos avons donne ni sur la question de l'unicit de la
+solution.
+
+\Paragraph{24.} Je ne puis terminer cet argument sans toucher la question des
+mthodes qu'on appelle de Jacobi-Hamilton. Les mmoires de Hamilton publis
+en 1834 et~1835 ont t le point de dpart d'un grand nombre de travaux qui
+sont parmi les plus beaux de la mcanique analytique. Jacobi est le premier
+qui en ait fait ressortir tout l'intrt. Le principe d'abord limit aux questions mcaniques
+a %[** PP: Typo ]
+t tendu aux problmes des isoprimtres et enfin tous les problmes
+du calcul des variations relatifs aux intgrales simples. On peut regarder la
+plupart des problmes de la physique mathmatique comme ressortant des questions
+du calcul des variations relatives aux intgrales multiples, et il est par suite intressant
+d'tendre les mmes mthodes ces cas. Pour atteindre le but il suffit de
+remarquer que la mthode Jacobi-Hamilton est fonde sur le concept d'envisager
+l'intgrale simple dont on veut annuler la variation comme une fonction des limites
+de l'intgrale et des valeurs arbitraires des fonctions inconnues aux limites.
+Donc pour tendre la mme mthode au cas des intgrales multiples il faut les
+regarder comme dpendantes des lignes ou des surfaces ou des hyperespaces qui
+limitent les intgrales donnes et de toutes les valeurs des fonctions inconnues au
+contour. C'est pourquoi les concepts que nous avons introduits sont ncessaires
+pour tendre les mthodes Jacobi-Hamilton aux problmes de la physique mathmatique.
+
+
+\begin{Bibliographie}
+
+\Bibitem{Picard.}{Trait d'analyse.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Mmoire sur la thorie des fonctions algbriques. Journ.\ des Math.\ pures
+et appliques. 1889.}
+
+% [** PP: Retaining variant rsidues]
+\Bibitem{Poincar.}{Sur les rsidues des intgrales doubles. Acta Math. T.~9.}
+
+% [** PP: Changed census to Census, complexe to Complexe]
+\Bibitem{Listing.}{Der Census rumlicher Complexe. Abh.\ K. Gesellsch.\ d.\ Wiss.\ zu Gttingen.
+1862.}
+
+% [** PP: Changed Sugli to Sopra gli, quelconque to qualunque]
+\Bibitem{Betti.}{Sopra gli spazii di un numero qualunque di dimensioni. Annali di Mat.\ T.~IV.}
+
+\Bibitem{Poincar.}{Analysis situs. Journ.\ de l'cole Polyt. 1895.}
+
+% [** PP: Changed dependenti da altro to dipendenti da altre]
+\Bibitem{Volterra.}{Sulle funzioni dipendenti da altre funzioni. Rend.\ Acc.\ Lincei 1887.}
+
+% [** PP: Changed dependenti de linie to dipendenti da linee]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni dipendenti da linee. Ibid.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Delle variabili complessi negli iperspazii. Ibid.\ 1880.}
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni coniugate. Ibid.}
+
+%[** PP: Changed iperspaizi to iperspazii, loco to loro]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle funzioni di iperspazii e sui loro parametri diff. Ibid.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle equazioni differenziali che provengono da questioni di calcolo delle
+variazioni. Ibid.\ 1890.}
+
+%% -----File: 049.png---Folio 49-------
+
+% [** PP: Changed variazoni to variazioni]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sopra una estensione della % [** PP: Type delle]
+teoria Jacobi-Hamilton del calcolo delle
+variazioni. Ibid.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle variabili complesse negli iperspazii. Ibid.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sur une gnralisation de la thorie des variables imaginaires. Acta Mathematica
+1889.}
+
+% [** PP: Changed Sulle inversione degli integrali definit to
+% Sulla inversione degli integrali definiti; Acti to Atti]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali definiti. Note~I, II, III, IV\@. Atti della R.
+Accademia di Torino 1896.}
+
+%[** PP: Changed Sulli to Sulla]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali definiti. Rend.\ Acc.\ Lincei 1896.}
+
+%[** PP: Changed Sulle to Sulla]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulla inversione degli integrali multipli. Ibid.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti. Annali di Mat.\ 1897.}
+
+\end{Bibliographie}
+
+
+\Chapter{\Ord{8}{ime} leon.}
+
+\phantomsection\label{section:8.1}%
+\Paragraph{1.} Il est bien souvent ncessaire de revenir sur la signification des mots dont
+on fait un usage continuel dans la science. C'est leur sort d'voluer et par suite
+de se transformer et de se plier tant d'exigences diffrentes que non seulement le
+sens primitif est quelquefois presque compltement vanoui, mais que la signification
+actuelle est trs-difficile dcouvrir lorsqu'on pense la chercher. C'est ce qui
+arrive par rapport la \emph{thorie gnrale des ondes}. Tout le monde en parle et tous
+parlent de son influence, en l'opposant d'autres systmes. Mais les limites
+en sont elles-marques, et peut-on tablir sous quelles conditions une classe de
+phnomnes s'explique par le systme des ondes? Nous n'entrerons pas dans la discussion
+de ces questions qui mriteraient une tude approfondie; nous dirons seulement
+qu'une grande classe de phnomnes peuvent se grouper au point de vue analytique
+sous une mme catgorie bien dfinie, car leurs quations diffrentielles du type
+hyperbolique ont des proprits communes qui ressortent principalement de l'existence
+de caractristiques relles.
+
+On envisage par l une grande partie des phnomnes qu'on a l'habitude de
+regarder comme dpendant du systme des ondes, mais on ne peut pas dire que
+sous cette classe d'quations diffrentielles on ait group tous les phnomnes qui
+se relient la thorie des ondes. On peut citer, par exemple, les ondes des liquides
+incompressibles et pesants qui dpendent d'quations d'une autre nature. (Voir \hyperref[pgchapter:11]{\Ord{11}{me}~leon}). %[** Xref]
+Toujours est-il que l'tude des quations diffrentielles dont nous venons de
+parler forme une thorie que l'on peut envisager part et approfondir par des
+mthodes gnrales qu'on est en train de perfectionner peu peu. Par rapport
+ces quations il faut dire qu'elles ont marqu le plus grand triomphe de la physique
+mathmatique, car c'est l'analogie entre les quations des vibrations des corps
+%% -----File: 050.png---Folio 50-------
+lastiques et celles des champs lectrodynamiques qui ont conduit %[** PP: Typo a]
+la thorie
+lectromagntique de la lumire et aux expriences de Hertz.
+
+\Paragraph{2.} Nous envisageons dans cette leon quelques quations qui rentrent dans
+cette catgorie, et nous examinons les plus simples. Elles peuvent servir
+nous montrer d'une manire claire, sans entrer dans les dtails, les proprits
+principales et la porte des mthodes qu'on a tch d'employer pour leur tude.
+Considrons les quations
+\[
+\tag{1}
+\frac{\partial^2v}{\partial x^2} - \frac{\partial^2v}{\partial y^2} = 0,\quad
+%
+\frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} - \frac{\partial^2v}{\partial z^2} = 0,\quad
+%
+\frac{\partial^2v}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2v}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2v}{\partial x_3^2} - \frac{\partial^2v}{\partial x_4^2} = 0\ldots.
+%[** PP: Added period]
+\]
+
+La premire est celle qu'on appelle des cordes vibrantes, la seconde est celle
+des membranes vibrantes, la troisime des corps vibrants etc.\ et l'on peut les
+comparer avec les quations de Laplace deux, trois, quatre variables indpendantes
+que nous avons dj envisages dans les leons prcdentes. On peut passer
+des unes aux autres par des transformations trs-simples. C'est ainsi qu'en remplaant
+dans la seconde par exemple $z$ par~$iz$, elle devient l'quation de Laplace
+trois variables. Bien des proprits peuvent se dduire par cette simple transformation.
+
+\phantomsection\label{section:8.3}%
+\Paragraph{3.} Nous voulons d'abord comparer deux formules qui nous montreront tout
+de suite le caractre des quations~(1) et celui de l'quation de Laplace. Le cas le
+plus frappant et en mme temps le plus simple est relatif trois variables, et l'on
+peut mme considrer le cas plus gnral o le second membre n'est pas nul.
+Soit~$u$ %[** PP: Changed v to u]
+une fonction qui vrifie l'quation
+\[
+\tag{I}
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = f(x, y, z)
+\]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}[8]{l}{1.75in}%
+\raisebox{0.125in}[1.5in][0pt]{\Input{050a}{1.625in}}
+\end{wrapfigure}%
+et supposons qu'elle soit finie, continue et monodrome
+dans un domaine~$S$ limit par un contour~$\sigma$. Supposons
+que la fonction~$f$ soit aussi finie, continue et monodrome.
+La formule de Green donne la valeur de~$u$, dans un point~$M_i$
+de coordonnes $x_1, y_1, z_1$ interne au domaine, exprime
+par les valeurs de~$u$ et de la drive de~$u$ par rapport
+ la normale au contour. Voici la formule
+\[
+\tag{2}
+u(x_1, y_1, z_1)
+ = -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma
+ \biggl( u \pderiv{\smfrac{1}{r}}{n}
+ - \pderiv{u}{n} \cdot \frac{1}{r} \biggr)\, d\sigma
+ - \frac{1}{4\pi} \int_S f \frac{1}{r}\, dS
+\]
+o $r = \sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 + (z_1 - z)^2}$, $x, y, z$ tant les coordonnes du point
+indice des intgrations. On suppose que la normale~$n$ soit dirige vers la partie
+%% -----File: 051.png---Folio 51-------
+externe du domaine~$S$. %[** PP: S and handwritten marks?]
+Si le point de coordonnes $x_1, y_1, z_1$ au lieu d'tre un point
+interne~$M_i$ est un point externe~$M_e$, la formule prcdente devient
+\[
+\tag{3}
+0 = -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma
+ \biggl(u \pderiv{\smfrac{1}{r}}{n}
+ - \pderiv{u}{n} \frac{1}{r}\biggr)\, d\sigma
+ - \frac{1}{4\pi} \int_S f \frac{1}{r}\, dS.
+\]
+On peut par une simple transformation crire la formule~(2) d'une autre manire.
+Intgrons et drivons successivement le second membre par rapport ~$z_1$. On aura
+\[
+\tag{$2'$}
+u (x_1, y_1, z_1) = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma
+ \left(u \pderiv{\phi}{n} - \pderiv{u}{n} \phi\right) d\sigma
+ -\frac{1}{4\pi} \int_S f \phi\, dS \right\}
+\]
+o l'on a pos
+\[
+\tag{4}
+\phi = \log \left( \frac{z_1 - z}{\sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}}
+ + \sqrt{\frac{(z_1 - z)^2}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2} + 1} \right);
+\]
+de mme la formule~(3) pourra s'crire
+\[
+\tag{$3'$}
+0 = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{4\pi} \int_\sigma
+ \left( u \pderiv{\phi}{n} - \pderiv{u}{n} \phi\right) d\sigma
+ -\frac{1}{4\pi} \int_S f \phi\, dS \right\}. % [** PP: Added period]
+\]
+
+\Paragraph{4.} Indiquons maintenant la formule analogue la formule~($2'$) pour l'quation
+\[
+\tag{II}
+ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
++ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
+- \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = f(x,y,z).
+\]
+
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/051ab.png.
+% In the original, the normal vectors are not orthogonal
+% to the surface.]
+\begin{wrapfigure}{r}{3.5in}%
+\Input{051a}{1.75in}\Input{051b}{1.75in}
+\end{wrapfigure}%
+Menons un cne de rvolution
+~$45$ ayant pour axe une droite parallle
+ l'axe~$z$ et pour sommet le
+point~$M_i$ dont les coordonnes sont
+$x_1\, y_1\, z_1$, et appelons~$\sigma'$ une surface
+simplement connexe dcoupe par
+le cne et ayant pour contour la
+ligne d'intersection avec le cne. Soit~$S'$
+l'espace compris entre le cne et
+la surface, $n$~tant la normale la
+surface dirige vers l'intrieur de
+l'espace~$S'$, soient $\cos nx, \cos ny, \cos nz$ les cosinus des angles qu'elle forme avec
+les axes coordonns.
+%% -----File: 052.png---Folio 52-------
+
+Nous appelons (avec M.~d'Adhmar) \emph{conormale} la direction~$n'$ telle que
+\[
+\cos n'x = -\cos nx,\quad
+\cos n'y = -\cos ny,\quad
+\cos n'z = \cos nz.
+\]
+On aura alors
+\[
+\tag{5}
+v(x_1\, y_1\, z_1) = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
+ \left(v \pderiv{\phi'}{n'} - \pderiv{v}{n'} \phi' \right) d\sigma'
+ - \frac{1}{2\pi} \int_{S'} \phi' f\, dS' \right\}
+\]
+o
+\[
+\tag{6}
+\phi' = \log \left(\frac{z_1 - z}{\sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}}
+ + \sqrt{\frac{(z_1 - z)^2}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2} - 1}\;\right)
+\]
+en supposant $v$ et~$f$ finies, continues et monodromes, et $x, y, z$ tant les coordonnes
+du point indice des intgrations.
+
+\phantomsection\label{section:8.5}%
+\Paragraph{5.} Les deux formules $(2')$ et~(5) sont tout fait correspondantes l'une
+l'autre. C'est en les comparant et en remarquant leurs diffrences qu'on pourra se
+faire une ide des analogies et en mme temps des proprits diffrentes des quations
+(I) et~(II). D'abord on remarquera que dans la formule~$(2')$ la surface~$\sigma$ et
+l'espace~$S$ renferment le point o l'on dtermine la fonction~$u$, tandis que dans la
+formule~(5) paraissent seulement les valeurs de~$v$ et de la drive conormale le
+long de la surface~$\sigma'$ dcoupe par le cne et les valeurs de~$f$ l'intrieur de~$S'$.
+Dans la formule~$(2')$ les espaces o l'on calcule les intgrales sont toujours les
+mmes quel que soit~$M_i$. Dans la formule~(5) ils changent en dplaant~$M_i$. Les
+cnes de rvolution ~$45$ ayant l'axe parallle ~$z$ jouent donc dans ce cas un
+rle considrable. Ils sont en effet les cnes caractristiques.
+
+En gnral lorsqu'on envisage une quation linaire coefficients constants
+de \Ord{2}{ime}~ordre % [** PP: Typo 2^{me}]
+\[
+\sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^n a_{rs} \frac{\partial^2 u}{\partial x_r \partial x_s}
+ + \sum_{i=1}^n b_i \pderiv{u}{x_i} + ku = 0,
+\]
+les surfaces ayant pour quations dans l'hyperespace $x_1, x_2 \dotsc x_n$
+\[
+\textstyle{\sum_r \sum_s} a_{rs} (x_r - x^0_r) (x_s - x^0_s) = 0,
+\]
+o $x^0_1 \dotsc x^0_s$ sont des quantits constantes, s'appellent les cnes caractristiques.
+
+Or par rapport l'quation~(I) les cnes ont pour quation
+\[
+(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = 0,
+\]
+c'est pourquoi ils sont imaginaires, tandis que pour l'quation~(II) les cnes sont
+reprsents par
+\[
+(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 - (z - z_0)^2 = 0.
+\]
+%% -----File: 053.png---Folio 53-------
+
+Ils sont rels et sont justement les cnes de rvolution ~$45$ que nous
+avons envisags.
+
+\Paragraph{6.} Une autre particularit qu'il faut mettre en vidence est que dans la
+formule~$(2')$ les valeurs $u$ et~$\pderiv{u}{n}$ au contour ne sont pas indpendantes entre elles. %[** PP: Added period]
+Si les valeurs de $u$ sont donnes, les valeurs de $\smash[t]{\pderiv{u}{n}}$ sont dtermines aussi.
+
+La chose est bien diffrente dans le cas de la formule~(5). Pour certaines
+surfaces~$\sigma$ les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{n}$ sont indpendantes, tandis que pour d'autres
+surfaces ou certaines parties d'une surface elles sont indpendantes et pour d'autres
+ne le sont pas. Nous aurons l'occasion de revenir sur ce point.
+
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/053ab.png.
+% In the original, the normal vectors are not orthogonal to
+% the surface, the cone axis is not parallel to the z-axis,
+% and the cone is not a 45 cone.]
+\begin{wrapfigure}[8]{r}{2.5in}% [**** Explicit height]
+\raisebox{0.125in}[1.625in][0pt]{\Input{053a}{2.5in}}
+\end{wrapfigure}
+\Paragraph{7.} On peut chercher une formule qui corresponde
+ la formule~$(3')$ et il est bien facile
+de la trouver.
+
+Soit $\sigma'$ une surface interne au cne, et soit
+$S'$ un domaine compris entre $\sigma'$ et la surface
+du cne, mais supposons que le sommet~$M_e$
+du cne soit un point externe au domaine~$S'$.
+
+On aura alors
+\[
+\tag{7}
+0 = \pderiv{}{z_1} \left\{ -\frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
+ \left(u \pderiv{\phi'}{n'} - \pderiv{u}{n'} \phi'\right) d\sigma
+%[** PP: Not breaking, so no trailing operator -]
+ - \frac{1}{2\pi} \int_{S'} \phi' f\, dS' \right\}
+\]
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/053ab.png.
+% In the original, the normal vectors are not orthogonal to
+% the surface, the cone axis is not parallel to the z-axis,
+% and the cone is not a 45 cone.]
+\begin{wrapfigure}[10]{r}{2.5in}% [**** Explicit height]
+\raisebox{2ex}[1.75in][0pt]{\Input{053b}{2.5in}}
+\end{wrapfigure}
+o $n'$~reprsente toujours la conormale de la surface~$\sigma'$.
+
+\Paragraph{8.} En calculant la drive par rapport
+ $z_1$ qui parat dans le second membre de
+l'quation~$(2')$ on revient la formule originaire~(2).
+
+Le calcul analogue dans la formule~(5) n'est pas aussi simple, parce qu'une
+variation des coordonnes $x_1, y_1, z_1$ du point~$M_i$ change la surface~$\sigma'$ dcoupe par
+le cne caractristique. C'est pourquoi il est vident que la drivation ne peut
+pas tre faite directement sous les intgrales. La drive peut cependant se calculer
+trs facilement dans le second et dans le troisime terme du second membre
+et par l la formule~(5) peut s'crire de la manire suivante
+%% -----File: 054.png---Folio 54-------
+{\small
+\[
+\Lmargintag{$5'$}
+\left\{
+\begin{aligned}
+v(x_1, y_1, z_1) &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}}
+\Trail{\cdot} \\ % [** PP: Added missing trailing operator]
+%
+&\quad\left(\cos nz - \frac{z_1 - z}{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2}
+ \bigl[(x - x_1) \cos nx + (y - y_1) \cos ny \bigr] \right) v\, d\sigma'
+\Trail{+} \\
+%
+ &+ \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}}
+ \pderiv{v}{n'}\, d\sigma'
+\Trail{-} \\
+%
+ &- \frac{1}{2\pi} \int_{S'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - (x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2}} f\, dS'.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+}% [** End of \small]
+
+La formule~(7) peut se transformer de mme. Dans ce cas le premier membre
+est nul.
+
+\Paragraph{9.} Revenons maintenant la formule~(2). Le second membre peut se dcomposer
+en deux termes. La premire intgrale tendue la surface~$\sigma$ exprime
+videmment une fonction harmonique, c'est dire qui vrifie l'quation de Laplace
+ l'intrieur de~$S$, c'est pourquoi si l'on prend
+\[
+W(x_1\, y_1\, z_1) = \int \frac{f\, dS}{z}%[** PP: Preserved lack of commas]
+\]
+on a
+\[
+ \frac{\partial^2 W}{\partial x_1^2}
++ \frac{\partial^2 W}{\partial y_1^2}
++ \frac{\partial^2 W}{\partial z_1^2}
+= -4 \pi f(x_1\, y_1\, z_1),%[** PP: Preserved lack of commas]
+\]
+formule qui correspond un thorme clbre de Poisson. De mme prenons la
+formule~$(5')$ et considrons la dernire partie du second membre, c'est dire
+\[
+W'(x_1\, y_1\, z_1) = \int_S \frac{f\, dS}{\sqrt{(x_1 - x)^2 - (y_1 - y)^2 - (z_1 - z)^2}}.
+\]
+
+Puisque, comme on le vrifie facilement, la premire partie du second membre
+satisfait l'quation~(II) o l'on suppose nul le second membre, on voit tout de
+suite que
+\[
+ \frac{\partial^2 W'}{\partial x_1^2}
++ \frac{\partial^2 W'}{\partial y_1^2}
+- \frac{\partial^2 W'}{\partial z_1^2}
+= -2\pi f(x_1\, y_1\, z_1).
+\]
+
+On a par l un thorme qui a bien des rapports avec celui de Poisson.
+Dans le cas de Poisson l'intgrale doit tre tendue toujours au mme espace~$S$,
+dans le thorme que nous venons d'noncer l'intgrale est tendue la partie
+%% -----File: 055.png---Folio 55-------
+d'un espace qui est intrieur au cne caractristique ayant pour sommet le point
+$x_1\, y_1\, z_1$.
+
+Par la formule~(2) on peut facilement dduire les discontinuits relatives aux
+drives des potentiels des surfaces et les discontinuits des potentiels des doubles
+couches. On obtient des formules semblables en employant la formule~$(5')$ d'une
+manire analogue.
+
+\Paragraph{10.} Nous avons jusqu' prsent envisag l'espace interne au cne, mais pour
+l'espace externe au cne on peut tablir de nouvelles formules qui n'ont pas de
+correspondantes dans le cas de l'quation de Laplace.
+
+Menons le cne caractristique ayant pour sommet le point~$M$ de coordonnes
+$x_1\, y_1\, z_1$.
+
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/055a.png.
+% In the original, the cone is not a 45 cone.]
+\begin{wrapfigure}[9]{l}{2.5in}% [**** Explicit height]
+\Input{055a}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+Soit $\sigma''$ une surface externe au cne et
+dcoupe par le cne, et supposons que $S''$ soit
+un domaine externe au cne limit par~$\sigma''$ et
+par la surface du cne. $n$~tant la normale
+la surface~$\sigma''$ dirige vers l'intrieur de~$S''$, appelons
+$n''$ la conormale. Posons pour simplifier
+\begin{gather*}
+\rho = \sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2} \\
+\cos n\rho = \frac{x-x_1}{\rho} \cos nx + \frac{y-y_1}{\rho} \cos ny.
+\end{gather*}
+
+Enfin supposons que dans le domaine~$S''$, $v$ et~$f$ soient finies, continues et
+monodromes. Alors on aura
+\iffalse%%%%%%%%%%%%% DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% [** PP: See preamble for definition of \Lorentz]
+{\small
+\[
+\Lmargintag{8}
+\left\{
+\begin{split}
+&v(x_1\, y_1\, z_1) = - \frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''}
+ \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\Lorentz}} v\, d\sigma'' \\ % [** -]
+%
+&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''}
+ \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \\ % [** .]
+%
+&\quad \cdot \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma''
+ -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \\ % [** .]
+%
+&\quad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''
+ + \frac{1}{2\pi^2} \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \\ % [** .]
+%
+&\quad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)f\, dS''.
+\end{split}
+\right.
+\]
+}% **** End \small
+\fi %%%%%%%%%%%%%%%%%END DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%
+%[** PP: Re-breaking, added trailing operators]
+\[
+\tag{8}
+\left\{
+\begin{aligned}
+v(x_1\, y_1\, z_1)
+ &= - \frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''}
+ \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\Lorentz}} v\, d\sigma''
+\Trail{-} \\[2ex]
+%
+&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1}
+ \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
+\Trail{\cdot} \\
+%%
+&\quad\qquad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)
+\Trail{\cdot} \\
+%
+&\quad\qquad
+ \cdot \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma''
+\Trail{-} \\[2ex]
+%%
+&\quad -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
+\Trail{\cdot} \\
+%
+&\quad\qquad
+ \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''
+\Trail{+} \\[2ex]
+%%
+&\quad +\frac{1}{2\pi^2} \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
+\Trail{\cdot} \\
+%
+&\quad\qquad \cdot \log \left(\frac{\Lorentz}{\rho}\right)f\, dS'',
+% [** PP: Changed period to comma]
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+%% -----File: 056.png---Folio 56-------
+o $x, y, z$ sont les coordonnes du point indice des intgrations. Si nous crivons
+dans le cas de l'espace externe une expression tout fait analogue celle qui
+parat dans le second membre de l'quation (5) ou~$(5')$, on ne trouve pas la valeur
+de~$v$ au sommet du cne, mais une valeur nulle. On a donc:
+\iffalse%%%%%%%%%%%%% DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
+{\small
+\[
+\Lmargintag{9}
+\left\{
+\begin{aligned}
+0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
+ \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2}
+ \bigl[(x-x_1) \cos nx + (y-y_1) \cos ny\bigr]\right) v\, d\sigma'' \\ % [** +]
+%
+&\quad
+ \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''
+- \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} f\, dS''.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+}% end \small
+\fi%%%%%%%%%%%%% END OF DEAD CODE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\[ %[** PP: Re-breaking, added trailing operators]
+\Lmargintag{9}
+\left\{
+\begin{aligned}
+0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}}
+\Trail{\cdot} \\
+ &\quad\qquad\Trail{\cdot}
+ \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2}
+ \bigl[(x-x_1) \cos nx + (y-y_1) \cos ny\bigr]\right) v\, d\sigma''
+\Trail{+} \\
+%
+&\quad + \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''
+\Trail{-} \\
+&\quad - \int_{S''} \frac{1}{\sqrt{\Lorentz}} f\, dS''.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+\Paragraph{11.} Particularisons maintenant les formules gnrales. On peut commencer
+par supposer $f = 0$. Il est vident alors que dans les formules prcdentes tous
+les termes o parat cette quantit s'vanouissent. Elles se rapportent alors aux
+intgrales de l'quation
+\[
+\tag{III}
+ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
++ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
+- \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = 0.
+\]
+C'est pourquoi les formules $(5')\, (9)\, (8)$ deviennent des formules correspondantes,
+mais d'une nature compltement diffrente, aux formules bien connues des fonctions
+harmoniques, c'est dire des intgrales de l'quation de Laplace. Elles s'criront
+alors
+\[
+\Lmargintag{10}
+\left\{
+\begin{aligned}
+v(x_1\, y_1\, z_1) &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}
+ \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right)v \,d\sigma'
+\Trail{+} \\
+&\quad + \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} \pderiv{v}{n'}\, d\sigma'.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+%%
+\[ % [** PP: Re-breaking]
+\tag{11}
+\left\{
+\begin{aligned}
+0 &= \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}
+ \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) d\sigma''
+\Trail{+} \\
+&\quad + \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma''}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}} \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+%%
+{\small
+\[
+\Lmargintag{12}
+\left\{
+\begin{aligned}
+&v(x_1\, y_1\, z_1) = -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''}
+ \frac{\cos n\rho}{\rho \sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}} v\, d\sigma''
+\Trail{-} \\
+%
+&\qquad -\frac{1}{2\pi^2} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma''}
+ \frac{1}{\sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}} \log \frac{\rho^2 - (z-z_1)^2}{\rho}
+ \left(\cos nz - \frac{z_1-z}{\rho} \cos n\rho\right) v\, d\sigma''
+\Trail{-} \\
+%
+&\qquad -\frac{1}{2\pi^2} \int_{\sigma''} \frac{1}{\sqrt{\rho^2 - (z-z_1)^2}}
+ \log\left(\frac{\rho^2 - (z-z_1)^2}{\rho}\right) \pderiv{v}{n''}\, d\sigma''.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+}% [** End of \small]
+%% -----File: 057.png---Folio 57-------
+
+\Paragraph{12.} On peut ensuite particulariser la forme des surfaces $\sigma'$ et~$\sigma''$. Supposons
+d'abord que la surface~$\sigma'$ soit le plan coordonn~$xy$, et supposons $z_1 > z = 0$.
+
+Alors la formule~(10) devient
+\[
+\tag{13}
+\left\{
+\begin{aligned}
+v(x_1\, y_1\, z_1)
+ &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1} \int_{\sigma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - (x_1-x)^2 - (y_1-y)^2}} v\, d\sigma'
+\Trail{+} \\
+ &+ \frac{1}{2\pi} \int_{\sigma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - (x_1-x)^2 - (y_1-y)^2}}\,
+ \pderiv{v}{z}\, d\sigma',
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+car la normale~$n$ et la conormale~$n'$ concident avec~$z$.
+
+%[Illustrations]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/057a.png.
+% In the original, the cone is not a 45 cone.]
+\begin{wrapfigure}{r}{1.75in}
+\Input{057a}{1.75in}
+\end{wrapfigure}
+Dans ce cas, $v$ et~$\pderiv{v}{z}$ sont indpendants entre
+eux (Voir ~6). Cette formule nous donne l'intgrale % [** Xref]
+gnrale de l'quation~(III) sous une forme bien
+connue qu'on appelle de Poisson-Parseval.
+
+On trouve une formule tout fait
+analogue si l'on suppose que le point~$M_i$ soit
+au-dessous du plan~$xy$. % [** PP: Typo $xz$]
+
+Supposons maintenant que la surface~$\sigma'$
+devienne un cylindre indfini~$\gamma$ ayant
+les gnratrices parallles l'axe~$z$ et
+aussi que la coordonne~$z_1$ du point~$M_i$
+soit suprieure aux coordonnes~$z$ des
+points de~$\gamma$. Enfin supposons que $v$ soit
+nulle pour toutes les valeurs de~$z$ infrieures
+ une certaine limite~$-Z$.
+
+Dans ce cas la formule~(10) deviendra
+{\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{\small}{\footnotesize}
+\[
+\Lmargintag{14}
+v(x_1\, y_1\, z_1) = \frac{1}{2\pi} \int_s ds
+ \left\{ \frac{\delta}{\delta n}
+ \int_\rho^\infty v(x, y, z_1-\xi)\, \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2-\rho^2}}
+ - \pderiv{}{n}
+ \int_\rho^\infty v(x, y, z_1-\xi)\, \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2-\rho^2}}
+\right\},
+\]
+}% [** End of \small]
+\begin{wrapfigure}{r}{2.75in}
+\Input{057b}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+o l'on suppose que
+\[
+\rho = \sqrt{x^2 + y^2},
+\]
+$s$ tant l'intersection du cylindre~$\gamma$ avec un plan parallle au plan~$xy$, et $x, y$ tant
+les coordonnes des points de la ligne~$s$.
+%% -----File: 058.png---Folio 58-------
+
+Par rapport aux drives normales reprsentes par les symboles $\pderiv{}{n}$ et $\dfrac{\delta}{\delta n}$ nous
+convenons que si~$f$ est une fonction de $x, y, \rho$ et que si l'on regarde ces quantits
+comme des variables indpendantes
+\begin{align*}
+\frac{\delta f}{\delta n}
+%[** PP: Changed \pderiv{f}{z} to \pderiv{f}{x}]
+ &= \pderiv{f}{x} \pderiv{x}{n}
+ + \pderiv{f}{y} \pderiv{y}{n} \\
+\frac{\delta f}{\delta n} &= \pderiv{f}{\rho} \pderiv{\rho}{n}. % [** PP: Added period]
+\end{align*}
+
+%[Illustrations]
+\begin{wrapfigure}[6]{l}{2.75in}% [**** Explicit height]
+\raisebox{0.5in}[1.5in][0pt]{\Input{058a}{2.5in}}
+\end{wrapfigure}
+Dans ce cas les valeurs de~$v$ et de la drive normale de~$v$ sur le cylindre ne
+sont pas indpendantes entre elles.
+
+\Paragraph{13.} On peut enfin imaginer un cas
+mixte des deux prcdents o la surface~$\sigma'$
+est constitue en partie par un cylindre~$\gamma$
+et en partie par un plan parallle au
+plan~$xy$. Alors le second membre de la
+formule~(10) est constitu de deux parties
+dont l'une a la forme du second membre
+de l'quation~(14) et l'autre celle du second
+membre de l'quation~(13). Sur $\gamma$ les valeurs
+de~$v$ et de la drive normale ne
+sont pas indpendantes, tandis qu'elles
+sont indpendantes sur le plan~$\omega$.
+
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/058b.png.
+% In the original, the cone is not a 45 cone.]
+\begin{wrapfigure}[9]{l}[0.25in]{2.75in} % [**** Explicit height]
+\raisebox{0.125in}[1.875in][0pt]{\Input{058b}{2.625in}}
+\end{wrapfigure}
+\Paragraph{14.} Les formules (8) et~(9) peuvent
+aussi se particulariser en supposant que
+$\sigma''$ se rduise une surface cylindrique
+ayant les gnratrices parallles l'axe~$z$,
+et alors elles deviennent respectivement
+{\small
+\[
+\Lmargintag{15}
+\left\{
+\begin{aligned}
+0 &= \int_s ds \left\{ \pderiv{}{n}
+ \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)\,
+ \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right.
+\Trail{-} \\
+%
+ &\quad \left. -\frac{\delta}{\delta n}
+ \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)\,
+ \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right\}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+}% [** End of \small]
+%% -----File: 059.png---Folio 59-------
+\[
+\Lmargintag{16}
+\left\{
+\begin{aligned}
+v(x_1, y_1, z_1) &= \frac{1}{2\pi^2} \int_s ds
+ \left\{ \pderiv{}{n} \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)
+ \log \left(\frac{\rho^2 - \xi^2}{\rho}\right)\,
+ \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right.
+\Trail{-} \\
+%
+ &\quad
+ -\left.\frac{\delta}{\delta n} \int_{-\rho}^\rho v(x_1, y_1, z_1 - \xi)
+ \log \left(\frac{\rho^2 - \xi^2}{\rho}\right)\,
+ \frac{d\xi}{\sqrt{\rho^2 - \xi^2}} \right\}.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+Dans ce cas $v$ et~$\pderiv{v}{n}$ ne sont pas indpendants.
+
+
+\Chapter{\Ord{9}{ime} leon.}
+
+\Paragraph{15.} Dans le ~13 nous avons envisag le cas mixte o sur~$\omega$ les valeurs de~$v$ et
+de~$\pderiv{v}{n}$ sont indpendantes entre elles, tandis qu'elles ne sont pas indpendantes sur
+la surface cylindrique~$\gamma$. Sur cette surface il suffit de donner les valeurs de~$v$ ou de
+$\pderiv{n}{n}$ pour dterminer $v(x_1\, y_1\, z_1)$. Il faut donc tcher d'liminer les valeurs de~$\pderiv{v}{n}$
+ou de~$v$ sur~$\gamma$. On peut atteindre le but dans certains cas trs-aisment, et nous
+allons les approfondir pour montrer que la clbre mthode des images dcouverte
+par Lord Kelvin pour l'intgration de l'quation de Laplace peut tre aussi employe
+quelquefois pour les quations analogues ayant les cnes caractristiques rels.
+On trouve par l un rsultat compltement inattendu, c'est dire que lorsqu'on % [** PP: Typo l'orsqu' on]
+envisage les quations caractristiques relles, mme dans le cas o l'on a un
+nombre infini d'images, la solution peut ne pas tre donne par des sries infinies,
+mais par un nombre fini de termes. Ce rsultat semble au premier abord paradoxal,
+mais il tient ce que dans chaque cas le nombre des images dont on a
+besoin est fini en vertu de la ralit des cnes caractristiques.
+
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/059a.png.
+% In the original, the cone is not a 45 cone.]
+\begin{wrapfigure}[8]{r}{3in}% [**** Explicit height]
+\qquad\raisebox{0.0625in}[1.25in][0pt]{\Input{059a}{2.5in}}
+\end{wrapfigure}
+Supposons que la surface
+cylindrique~$\gamma$ se rduise au plan~$yz$
+($z>0$) et~$\omega$ au plan~$xy$ ($x>0$),
+c'est dire que $\omega$ soit un segment
+d'un cercle et $\gamma$ un segment
+d'hyperbole.
+
+Dans ce cas la formule~($5'$) s'crit
+\smallskip
+%% -----File: 060.png---Folio 60-------
+% [** PP: Re-breaking, added trailing operators]
+\[
+\tag{17}
+\left\{
+\begin{aligned}
+v(x_1\, y_1\, z_1)
+&= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}} v\, d\omega
+ + \frac{1}{2\pi}
+ \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{z}\, d\omega
+\Trail{-} \\
+%%
+&\quad -\frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\,
+ \frac{z_1 - z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma
+\Trail{-} \\
+%
+&\quad -\frac{1}{2\pi}
+ \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\,
+ \pderiv{v}{x}\, d\gamma.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+Or pour liminer les valeurs de~$v$ ou de $\smash[b]{\pderiv{v}{x}}$ sur $\gamma$ on peut se servir de la
+mthode des images.
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/060a.png.
+% In the original, the cone is not a 45 cone.]
+\begin{center}
+\Input{060a}{}
+\end{center}
+
+Soit $M'_i$ l'image optique du point~$M_i$ rflchi par le plan~$yz$. Menons le cne
+caractristique qui a pour sommet~$M'_i$. Il dcoupera sur le plan~$yz$ le segment
+d'hyperbole~$\gamma$ et sur la partie du plan~$xy$ ($x>0$) un segment de cercle~$\omega'$. Si
+nous appliquons la formule~(7), transforme convenablement, l'ensemble des surfaces
+$\omega'$ et~$\gamma$ on trouvera
+%[** PP: Changed total derivative to partial derivative three times (##)]
+\[
+\tag{18}
+\left\{
+\begin{aligned}
+0 &= \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_{\omega'} \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - {\rho'}^2}} v\, d\omega'
+ + \frac{1}{2\pi}
+ \int_{\omega'} \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - {\rho'}^2}}\,
+ \pderiv{v}{z}\, d\omega' %##
+\Trail{+} \\
+%
+ &\quad
+ + \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_\gamma \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - {\rho'}^2}}\,
+ \frac{z_1 - z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma
+\Trail{-} \\
+%
+ &\quad
+ - \frac{1}{2\pi} \int_\gamma
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1 - z)^2 - \rho^2}}\,
+ \pderiv{v}{x}\, d\gamma %##
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+o
+\[
+{\rho'}^2 = (x_1 + x)^2 + (y_1 - y)^2.
+\]
+
+En ajoutant les deux formules (17) et~(18) on limine $v$ dans l'intgrale tendue % [** PP: Typo tendre]
+~$\gamma$, et par soustraction on limine~$\pderiv{v}{x}$. La mthode des images conduit donc %##
+%% -----File: 061.png---Folio 61-------
+bien aisment au rsultat qu'on cherchait. Passons maintenant au cas des images
+successives. Admettons que la surface~$\gamma$ soit constitue par les segments d'hyperboles
+$\gamma'$ et~$\gamma''$ dcoups par la nappe infrieure du cne ayant pour sommet~$M_i$ sur les demi-plans
+$x=0$, $x=a$ ($a>0$) qui sont au-dessus %[** PP: Typo audessus]
+du plan~$xy$. Soit $\omega$ la partie de la
+bande du plan~$xy$ comprise entre les plans $x = 0$, $x = a$ et renferme l'intrieur
+du cne.
+
+Dans ce cas la formule~$(2')$ s'crit % [** PP: Typo (2^1)]
+{\small
+\begin{align*} % [** PP: Omitted left brace]
+&v(x_1\, y_1\, z_1)
+ = \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_\omega \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}} v\, d\omega
+ + \frac{1}{2\pi} \int_\omega
+ \frac{1}{\sqrt{z_1^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{z}\, d\omega
+\Trail{-} \\
+%
+&\quad
+ - \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_{\gamma'} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\,
+ \frac{z_1-z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma'
+ - \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma'}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{x}\, d\gamma'
+\Trail{-} \\
+%
+&\quad
+ - \frac{1}{2\pi} \pderiv{}{z_1}
+ \int_{\gamma''} \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\,
+ \frac{z_1-z}{\rho} \cos(n \rho) v\, d\gamma''
+ + \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma''}
+ \frac{1}{\sqrt{(z_1-z)^2 - \rho^2}}\, \pderiv{v}{x}\, d\gamma''.
+\end{align*}
+}% End of \small
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/061a.png.
+% In the original, the cone is not a 45 cone.]
+\begin{center}
+\Input{061a}{3.5in}
+\end{center}
+
+Dans cette formule les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{x}$ sur $\gamma'$ et~$\gamma''$ ne sont pas indpendantes,
+c'est pourquoi l'on peut tcher d'employer la mthode des images pour
+liminer les unes ou les autres.
+
+A cet effet prenons les images de~$M_i$ par rapport aux plans $\gamma'$ et~$\gamma''$ et ensuite
+les images de ces images par rapport aux mmes plans, et ainsi de suite indfiniment.
+Le nombre des images qu'on obtient est videmment infini, mais il est intressant
+de remarquer qu'il n'est pas ncessaire de les employer toutes, car un
+nombre fini d'entre elles suffit pour la solution du problme. Menons les cnes caractristiques
+dont les sommets sont les images que nous avons construites, et envisageons
+les nappes infrieures de ces cnes, c'est dire celles qui sont diriges du ct
+ngatif de l'axe~$z$. Tous les cnes dont les sommets ont une distance des plans $\gamma'$
+et~$\gamma''$ suprieure ~$z$, ne rencontrent ces plans qu'au-dessous du plan~$\omega$, c'est
+pourquoi il n'est pas ncessaire de les envisager. Il est clair donc qu'on pourra
+%% -----File: 062.png---Folio 62-------
+liminer les valeurs de~$v$ et de~$\pderiv{v}{x}$ sur $\gamma'$ et~$\gamma''$ en faisant usage seulement des
+images qui sont une distance de ces plans infrieure ~$z_1$. En employant donc
+dans ce cas la mthode des images, on ne trouvera pas des sries infinies, mais la
+solution du problme sera donne par un nombre fini de termes.
+
+Au lieu des trois plans $\omega$, $\gamma'$, $\gamma''$ on peut en avoir cinq, dont quatre sont perpendiculaires
+au plan $xy$, et le rencontrent en formant les cts d'un rectangle.
+La solution s'obtient toujours de la mme manire par un nombre fini de termes.
+Si~$v$ s'annule %[** PP: Typo annulle]
+sur les quatre plans perpendiculaires ~$xy$, on obtient une solution
+du problme bien connu des vibrations d'une membrane plane, fixe dans un cadre
+rectangulaire sans avoir besoin de recourir des sries, mais par des intgrales
+dfinies.
+
+\Paragraph{16.} On peut chercher tendre les rsultats que nous avons indiqus au
+cas des quations~(1) quatre, cinq etc.\ variables. Il suffit pour cela d'envisager
+des hyperespaces $4, 5, \dotsc$ dimensions. Les cnes caractristiques ont $3, 4 \dotsc$
+dimensions. Au lieu des surfaces $\sigma'$, $\sigma''$ il faut envisager des espaces $3, 4 \dotsc$
+dimensions. Tout cela se conoit trs-bien. Mais si l'on passe de trois quatre
+variables on arrive un rsultat inattendu, c'est dire que les choses au lieu de se
+compliquer deviennent un certain point de vue plus simples. En effet, on %[** PP: Typo ou]
+trouve
+des formules o la valeur de l'intgrale au sommet du cne dpend seulement des
+valeurs de la mme fonction et de ses drives dans les intersections des cnes
+caractristiques avec les espaces analogues aux surfaces $\sigma'$ et~$\sigma''$. Il n'y a pas
+deux formules des types (2) et~(8), mais une seule formule.
+
+En gnral, le cas de deux variables except, les choses se prsentent d'une
+manire diffrente si l'on a un nombre pair ou si l'on a un nombre impair de
+variables, et le cas le plus simple est celui d'un nombre pair. Tout cela lorsque
+les quations ont une forme aussi simple que les quations~(1). Si les quations
+avaient, par exemple, des termes de premier ordre la chose changerait.
+
+\Paragraph{17.} Nous n'entrerons pas dans les dtails sur ce sujet qui sont trs-compliqus.
+Nous renvoyons pour cela aux travaux de M.~Tedone, de M.~Coulon, de M.~d'Adhmar
+et de M.~Hadamard. Je rapporterai seulement les formules qu'on a
+dans le cas de quatre variables et qui ont t donnes pour la premire fois par
+Kirchhoff, qui en a dduit avec rigueur le principe de Huyghens.
+
+crivons l'quation quatre variables sous la forme
+\[
+\tag{19}
+\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}
+ = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
+ + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
+ + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}
+\]
+%% -----File: 063.png---Folio 63-------
+et envisageons $x, y, z$ comme les coordonnes des points de l'espace 3~dimensions.
+$t$~peut tre envisage comme une quatrime variable, qui dans les questions
+de la physique mathmatique est le temps.
+
+$\sigma$~tant le contour de l'espace~$S$ l'intrieur duquel se trouve un point~$M_1$
+de coordonnes $x_1, y_1, z_1$ on a
+\[
+v(x_1, y_1, z_1, t)
+ = \frac{1}{4\pi} \int_\sigma \left\{
+ \pderiv{}{n} \left(\frac{v(x, y, z, t-r)}{r}\right)
+ - \frac{\delta}{\delta n} \left(\frac{v(x_1, y_1, z_1, t-r)}{r}\right)
+\right\} d\sigma
+\]
+o $r = \sqrt{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2 + (z_1-z)^2}$, $n$~est la normale interne la surface~$\sigma$ et
+les symboles $\pderiv{f}{n}$ et~$\dfrac{\delta f}{\delta n}$ reprsentent par rapport une fonction $f(x, y, z, r)$
+\[
+\pderiv{f}{n} = \pderiv{f}{r} \pderiv{r}{n},\quad
+\frac{\delta f}{\delta n}
+ = \pderiv{f}{x} \pderiv{x}{n}
+ + \pderiv{f}{y} \pderiv{y}{n}
+ + \pderiv{f}{z} \pderiv{z}{n}
+\]
+en regardant $x, y, z, r$ comme des variables indpendantes. Si la surface~$\sigma$ se
+rduit une sphre ayant pour centre le point~$M_1$, la formule prcdente se
+particularise et devient l'intgrale gnrale de l'quation~(19) donne par Poisson.
+
+\Paragraph{18.} Le succs de la mthode de Kirchhoff est d l'emploi des mthodes de
+Green et l'existence de l'intgrale % [** PP: Remove period]
+\[
+\tag{20}
+\frac{f(r t)}{r}
+\]
+de l'quation~(19), o $f$ est une fonction arbitraire. Pour toutes les quations pour
+lesquelles existent des intgrales de la mme nature, qui n'ont d'autres points
+singuliers que $r = 0$, on peut procder par des mthodes analogues celles de
+Kirchhoff.
+
+Voyons si l'quation trois variables qu'on peut crire
+\[
+\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}
+ = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
+ + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
+\]
+possde une intgrale de la forme prcdente, c'est dire de la forme $\THETA f(\rho t)$
+o $\THETA$ est une quantit indpendante de~$t$,
+\[
+\rho = \sqrt{(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2}
+\]
+et $f$ est une fonction arbitraire. En posant
+\[
+x_1 - x = \rho \cos \alpha,\quad
+y_1 - y = \rho \sin \alpha
+\]
+on trouve l'intgrale
+%% -----File: 064.png---Folio 64-------
+\[
+\tag{21}
+\frac{A \sin \frac{1}{2} \alpha + B \cos \frac{1}{2} \alpha}{\sqrt{r}}\, f(\rho t).
+\]
+
+Il parat donc tout naturel que, mme dans ce cas, on puisse employer cette
+intgrale en suivant les mthodes de Kirchhoff. Mais il est facile de se persuader
+que l'intgrale prcdente est polydrome. Or les mthodes de Kirchhoff tant
+fondes sur celles de Green, c'est dire sur le thorme de Gauss, dont nous avons
+parl dans la deuxime leon, on ne peut pas les employer dans ce cas.
+
+Il faut donc recourir d'autres mthodes ou d'autres intgrales dans le
+cas de l'quation trois variables, et cela explique pourquoi les rsultats taient
+plus simples et aussi plus faciles trouver dans le cas de quatre variables que
+dans celui de trois variables. C'est pourquoi le cas de 4~variables a t le premier
+ tre rsolu aprs celui tout fait lmentaire de deux variables. Nous voyons
+quel rle joue la polydromie des intgrales dans le cas des quations caractristiques
+relles par l'exemple trs simple que nous avons envisag.
+
+\Paragraph{19.} Weierstrass a dcouvert une mthode pour donner l'intgrale gnrale
+des quations et des systmes d'quations aux drives partielles coefficients
+constants. Cette mthode a paru maintenant dans les {\oe}uvres de Weierstrass;
+mais ds l'anne 1881 il l'avait communique \Mme\ Kowalewski qui chercha
+l'employer pour intgrer les quations des vibrations de la lumire dans les
+milieux birfringents.
+
+Supposons que
+\[
+\tag{22}
+\THETA (u, v, w) = t
+\]
+soit l'quation d'une surface ferme telle que toute droite qui part de l'origine ne
+la rencontre que dans un seul point, et supposons qu'on ait
+\[
+\THETA (Kx, Ky, Kz) = K \THETA (x, y, z).
+\]
+
+Par
+\[
+\int f(u, v, w)\, d\omega
+\]
+reprsentons une intgrale tendue l'espace renferm entre deux surfaces~(22)
+correspondantes aux valeurs $t_0$ et~$t$ de~$t$, dont la premire est constante.
+
+Les formules fondamentales dcouvertes par Weierstrass sont les suivantes.
+
+Si
+\[
+\tag{23}
+F(x, y, z, t) = D_t \int \phi (u, v, w) f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega
+\]
+on a
+%% -----File: 065.png---Folio 65-------
+\[
+\Lmargintag{24}
+\left\{
+\begin{aligned}
+D_x F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{u} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{u} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\
+D_y F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{v} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{v} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\
+D_z F &= D^2_t \int \phi \pderiv{\THETA}{w} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega - D_t \int \pderiv{\phi}{w} f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega \\
+D_t F &= D^2_t \int \phi f(x+u,y+v,z+w)\, d\omega
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+o $D_\alpha$ est le symbole de drivation par rapport ~$\alpha$. On calcule de mme les
+drives successives de~$F$, et l'on tche de prendre $\THETA$ et~$\phi$ de manire que les
+drives d'un certain ordre vrifient une relation linaire coefficients constants.
+On trouve alors une intgrale de l'quation ayant la forme~(23) avec la fonction
+arbitraire~$f$. De l on passe l'intgrale gnrale. La mthode est analogue
+dans le cas des systmes d'quations diffrentielles.
+
+Or envisageons la fonction
+\[
+\psi(u,v,w,t) = \phi(u,v,w) \Phi(t - \THETA)
+\]
+o $\Phi$ est une fonction arbitraire. On aura les formules suivantes
+\[
+\tag{$24'$}
+\left\{
+\begin{aligned}
+\pderiv{\psi}{u} &= -\phi \pderiv{\THETA}{u}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{u}\, \Phi(t-\THETA) \\
+\pderiv{\psi}{v} &= -\phi \pderiv{\THETA}{v}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{v}\, \Phi(t-\THETA) \\
+\pderiv{\psi}{w} &= -\phi \pderiv{\THETA}{w}\, \Phi'(t-\THETA) + \pderiv{\phi}{w}\, \Phi(t-\THETA) \\
+\pderiv{\psi}{t} &= \phantom{-}\phi \Phi'(t-\THETA).
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+Comparons les trois premires quations~(24) et les trois premires quations~$(24')$.
+Les coefficients de $f$ sous les intgrales des galits~(24) sont gaux et de
+signe contraire aux coefficients de $\Phi$ et~$\Phi'$ dans les galits~$(24')$. On ne trouve
+pas de changement de signe en comparant la dernire des quations~(24) avec la
+dernire des quations~$(24')$.
+
+On en dduit bien aisment la proprit suivante. Posons
+\[
+\frac{\partial^n \psi}{\partial u^{h_1}\, \partial v^{h_2}\, \partial w^{h_3}\, \partial t^{h_4}}
+ = \psi_{h_1 h_2 h_3 h_4},\quad
+\frac{\partial^n F}{\partial x^{h_1}\, \partial y^{h_2}\, \partial z^{h_3}\, \partial t^{h_4}}
+ = F_{h_1 h_2 h_3 h_4}
+\]
+o $n = h_1 + h_2 + h_3 + h_4$, on aura
+%% -----File: 066.png---Folio 66-------
+{\small
+\begin{gather*}
+F_{h_1 h_2 h_3 h_4}
+ = D_t^{n+1} \int P_n f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega
+ + D_t^n \int P_{n-1} f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega
+\Trail{+\dotsb} \\
++ \dotsb + D_t^{h_4 + 1} \int P_{h_4} f(x + u, y + v, z + w)\, d\omega. \\
+\psi_{h_1 h_2 h_3 h_4} = (-1)^{n - h_4}
+ \{ P_n \Phi^{(n)} (t - \THETA)
+ + P_{n-1} \Phi^{(n-1)} (t - \THETA) + \dotsb
+ + P_{h_4} \Phi^{(h_4)} (t - \THETA)\}
+\end{gather*}
+}% End of \small
+et par suite si l'quation diffrentielle coefficients constants
+\[
+\tag{25}
+\sum A_{h_1 h_2 h_3 h_4}
+ \frac{\partial^n V}
+ {\partial x^{h_1}\, \partial y^{h_2}\, \partial z^{h_3}\, \partial t^{h_4}}
+ = 0
+\]
+possde une intgrale
+\[
+\tag{26}
+F(x\, y\, z\, t) %[** PP: no commas]
+ = D_t \int \phi (u, v, w)\, f(x + u, y + v, z+ w)\, d\omega
+\]
+$f$ tant une fonction arbitraire, l'quation
+\[
+\tag{$25'$}
+\sum (-1)^{n - h_4} A_{h_1 h_2 h_3 h_4}\,
+ \frac{\partial^n V}
+ {\partial u^{h_1}\, \partial v^{h_2}\, \partial w^{h_3}\,
+ \partial t^{h_4}} % [** PP: Changed dt to \partial t]
+ = 0
+\]
+aura l'intgrale
+\[
+\tag{$26'$}
+\psi(u\, v\, w\, t) = \phi(u\, v\, w)\, \Phi (t - \THETA) %[** PP: no commas]
+\]
+o $\Phi$ est une fonction arbitraire. %[** PP: Typo arbitaire]
+Rciproquement si l'quation~$(25')$ possde l'intgrale~$(26')$,
+$\Phi$~tant une fonction arbitraire, l'quation~(25) aura l'intgrale~(26).
+
+L'intgrale~$(26')$ a la forme de l'intgrale~(20), c'est pourquoi en comptant sur
+les singularits de~$\phi$ pour $u = v = w = 0$, on peut passer de la mthode de Weierstrass
+ celle de Kirchhoff, c'est dire des intgrales gnrales du type Poisson
+ des formules qui les comprennent.
+
+Le mme rsultat peut s'tablir pour les systmes d'quations diffrentielles.
+
+Je possdais en 1892 ce thorme lorsque j'tudiais le mmoire de \Mme\ Kowalewski
+sur la propagation de la lumire dans les cristaux. Puisqu'elle avait cru
+obtenir par la mthode de Weierstrass les intgrales gnrales des quations de
+l'optique, je croyais possder la mthode pour parvenir aux formules analogues
+ celles de Kirchhoff et pour pouvoir tablir le principe de Huyghens pour les milieux
+birfringents. Mais l'emploi de la mthode conduisait des rsultats paradoxaux.
+D'o provenaient-ils? En voici la raison. Les fonctions qui dans ce cas
+remplacent $\phi$ dans les formules sont des fonctions polydromes du mme genre
+que la fonction polydrome que nous avons trouve dans le ~18. Il n'tait pas % [** Xref]
+facile de s'en apercevoir, car ces fonctions sont trs compliques, et elles avaient
+t tudies depuis Lam sans que cette proprit ressortt. C'est pourquoi ni
+la mthode de Weierstrass ni celle de Kirchhoff n'taient applicables et les
+formules de \Mme\ Kowalewski ne donnaient pas les intgrales de l'optique. Voil
+encore une fois que le rle des fonctions polydromes ressort dans cette question
+d'analyse et de physique mathmatique.
+%% -----File: 067.png---Folio 67-------
+
+\begin{Bibliographie}
+
+\Bibitem{Kirchhoff.}{Zur Theorie der Lichtstrahlen (Sitzb.\ d.\ %[**P2:space inserted]
+Ak.\ d.\ Wiss.,\ Berlin 1882).}
+
+\Bibitem{Kowalewski.}{Ueber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln. Acta
+Math.\ 1885.}
+
+\Bibitem{Weierstrass.}{Werke. Bd.~I.} % [** PP: Changed Bd to Bd.]
+
+\Bibitem{Volterra.}{Sul principio di Huyghens. Nuovo Cimento 1893.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle onde cilindriche dei mezzi isotropi. Rend.\ Acc.\ Lincei 1892.}
+
+%[** PP: Changed luminare to luminose]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni luminose nei mezzi isotropi. Ibid.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni dei corpi elastici. Ibid.\ 1893.}
+
+%[** PP: Changed integrazione to integrazioni, equzioni to equazioni]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle integrazioni delle equazioni differenziali del moto di un corpo elastico
+isotropo. Ibid.\ 1893.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les vibrations dans les milieux birfringents. Acta Math.\ 1892.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les vibrations des corps lastiques isotropes. Ibid.\ 1894.}
+
+% [** PP: Changed II to II^e]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sur les quations aux drives partielles. \Ord{II}{e} congrs des mathmaticiens
+1900.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Note on the application of the method of images to problems of vibrations.
+London Math.\ Soc.\ 1904.}
+
+%[** PP: Changed
+% Sulle dimostr.\ delle formula che rappresenta analiticamento il principio di Huyghens to
+% Sulla dimostr.\ della formola che rappresenta analiticamente il principio di Huyghens]
+\Bibitem{Tedone.}{Sulla dimostr.\ della formola che rappresenta analiticamente il principio
+di Huyghens. Rend.\ Acc.\ Lincei 1896.}
+
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sulle vibrazioni dei corpi elastici. Ibid.}
+
+% [** PP: Removed space after apostrophe]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Sull' int.\ dell'equazione
+$\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x^2} - \sum_1^m \frac{\partial \phi}{\partial x_i^2} = 0$. Annali di Mat.\ 1898.}
+
+%[** PP: Changed sisteme to sistema]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Su di un sistema generale di equazioni che si pu integrare col metodo delle
+caratteristiche. Ibid.}
+
+\Bibitem{Coulon.}{Sur l'intgration des quations aux drives partielles du second ordre
+par la mthode des caractristiques. Thse 1902.}
+
+\Bibitem{d'Adhmar.}{Sur une classe d'quations aux drives partielles du second ordre,
+du type hyperbolique 3 ou 4~variables indpendantes. Thse 1904.}
+
+%[** PP: Changed hydrodinamique to hydrodynamique].
+\Bibitem{Hadamard.}{Leons sur la propagation des ondes et les quations de l'hydrodynamique.
+Paris 1903.}
+
+%[** PP: Changed Ecole to cole]
+\Bibitem{\sameauthor.}{Recherches sur les solutions fondamentales et l'intgration des quations
+linaires aux drives partielles. Ann.\ de l'cole normale de Paris 1903--1905.}
+
+\end{Bibliographie}
+%% -----File: 068.png---Folio 68-------
+
+
+\Chapter{\Ord{10}{ime} leon.}
+
+\Paragraph{1.} Nous avons jusqu' prsent examin quelques quations du type elliptique
+et du type hyperbolique. Nous parvenons maintenant aux quations du type
+parabolique.
+
+L'quation de la propagation de la chaleur appartient ce type. Fourier,
+Poisson, Laplace, pour ne citer que les plus anciens, ont consacr de profondes
+tudes cette quation. Tout le monde sait que les mthodes introduites par
+Fourier sont devenues classiques et ont form le point de dpart, la base et le
+modle de bien des recherches de l'analyse et de la physique mathmatique.
+
+Plus rcemment on a introduit dans la thorie de la propagation de la chaleur
+des mthodes qui se rattachent celles de Green. Betti a consacr un trs beau
+mmoire cette tude, sans cependant recourir la notion des caractristiques.
+Appell et Boussinesq ont profondment examin par des concepts plus modernes
+encore, bien des questions qui s'y rapportent.
+
+Mais mon avis pour les quations du type parabolique on n'est pas si avanc
+que pour les quations des autres types que nous avons examines dans les leons
+prcdentes.
+
+\Paragraph{2.} Nous allons envisager l'quation la plus simple possible
+\[
+\tag{1}
+\pderiv{u}{t} = \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}.
+\]
+
+Le rle des deux variables $t$ et~$z$ est trs-diffrent, ce qu'on comprend ds
+le premier abord, car l'quation diffrentielle est de premier ordre par rapport ~$t$
+et de deuxime ordre par rapport ~$z$.
+
+Poisson a bien mis en lumire ce fait par un rsultat sur lequel il a insist
+beaucoup en y revenant plusieurs fois dans ses diffrents ouvrages.
+
+Nous allons l'exposer en empruntant peu prs les termes de son livre sur
+la thorie mathmatique de la chaleur.
+
+Si nous essayons de dvelopper $u$ dans une srie de puissances de~$t-h$, $h$
+tant une quantit constante, nous trouvons, en calculant de proche en proche les
+coefficients,
+\[
+\tag{2}
+u = \phi(z) + (t-h) \frac{d^2 \phi}{dz^2}
+ + \frac{1}{2} (t-h)^2 \frac{d^4 \phi}{dz^4} + \dotsb
+ + \frac{1}{n!} (t-h)^n \frac{d^{2n} \phi}{dz^{2n}} + \dotsb
+\]
+%% -----File: 069.png---Folio 69-------
+o $\phi$ reprsente une fonction arbitraire. Si l'on fait $t = h$, on a
+\[
+u = \phi(z).
+\]
+$\phi(z)$ est donc la fonction laquelle se rduit~$u$ pour $t = h$. Au contraire si nous
+dveloppons $u$ par les puissances de~$z-k$, on trouvera par la mme mthode
+\[
+\tag{3}
+\left\{
+\begin{aligned}
+u &= \psi(t) + \frac{(z-k)^2}{2!} \frac{d \psi}{dt}
+ + \frac{(z-k)^4}{4!} \frac{d^2 \psi}{dt^2} + \dotsb
+ % [** PP: Added + before next term, changed 2n! to (2n)!]
+ + \frac{(z-k)^{2n}}{(2n)!} \frac{d^n \psi}{dt^n} + \dotsb \\
+%%
+ &\quad+ (z-k) \Psi(t) + \frac{(z-k)^3}{3!} \frac{d \Psi}{dt} + \dotsb
+ + \frac{(z-k)^{2n+1}}{(2n+1)!} \frac{d^n \Psi}{dt^n} + \dotsb
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+o $\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ sont des fonctions arbitraires.
+
+En faisant $z = k$ on trouve
+\[
+u = \psi(t),\quad \pderiv{u}{t} = \Psi(t);
+\]
+donc $\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ reprsentent les valeurs de~$u$ et $\pderiv{u}{t}$ pour $z = k$.
+
+Or il est facile de prouver que la mme intgrale peut se mettre sous la
+forme~(2) ou la forme~(3). Il suffit pour cela de dvelopper~$\phi(z)$ dans une srie
+de puissances de~$z-k$ et~$\psi(t)$ et~$\Psi(t)$ en des sries de puissances de~$t-h$.
+
+En posant
+\begin{align*}
+\phi(z) &= a_0 + a_1 (z-k) + \frac{a_2}{1\cdot2} (z-k)^2
+ + \dotsb + \frac{a_n}{n!} (z-k)^n + \dotsb \\
+\intertext{on trouvera en comparant les coefficients dans les formules (2) et~(3)}
+\psi(t) &= a_0 + a_2 (t-h) + \frac{a_4}{2!} (t-h)^2
+ + \dotsb + \frac{a_{2n}}{n!} (t-h)^n + \dotsb \\
+\Psi(t) &= a_1 + a_3 (t-h) + \frac{a_5}{2!} (t-h)^2
+ + \dotsb + \frac{a_{2n+1}}{n!} (t-h)^n + \dotsb. % [** PP: Added period]
+\end{align*}
+
+On voit donc que la mme intgrale peut s'crire avec une ou avec deux
+fonctions arbitraires de deux manires compltement quivalentes.
+
+Poisson a ensuite transform les deux intgrales en les exprimant par des
+intgrales dfinies. Il crit l'intgrale~(2) sous la forme
+%% -----File: 070.png---Folio 70-------
+\[
+\tag{$2'$}
+u(z,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int \phi(\xi)\,
+ \frac{e^{-\smfrac{(\xi - z)^2}{4(t - h)}}}{\sqrt{t - h}}\, d\xi
+\]
+et l'intgrale~(3) sous la forme
+\begin{align*}
+u(z,t) &= \gamma \int_{-\infty}^\infty
+ \psi \left( t + \frac{(z - k)^2}{4(c + i\xi)} \right)\,
+ \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{c + i\xi}}
+\tag{$3'$}
+\Trail{+} \\
+%
+ &\quad+ \frac{1}{2} \gamma(z - k) \int_{-\infty}^\infty
+ \Psi \left( t + \frac{(z - k)^2}{4(c + i\xi)} \right)\,
+ \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{(c + i\xi)^3}}\;,
+\end{align*}
+o
+\[
+\frac{1}{\gamma}
+ = \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i\xi}\, d\xi}{\sqrt{c + i\xi}}\;,
+\]
+$c$ tant une constante relle qui n'est pas nulle.
+
+Aprs Poisson, Schlaefli est revenu l dessus en exprimant les mmes intgrales
+sous des formes diffrentes dans un trs beau mmoire insr dans le T.~72
+du Journal de Crelle.
+
+\Paragraph{3.} Cela pos voyons ce qu'on peut tirer des mthodes qui ont t les
+plus puissantes dans le cas des quations que nous avons envisages dans les
+leons prcdentes. Il est vident que ces mthodes sont celles de Green, mais
+o l'on introduit la notion des caractristiques par les mthodes de Riemann. %[** PP: Added period]
+
+Il n'y a pas de difficults procder par une voie tout fait analogue
+dans notre cas.
+
+On peut videmment commencer par envisager une quation plus gnrale
+que l'quation~(1), c'est dire
+\[
+\tag{$1'$}
+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - \pderiv{u}{t} = f(z,t). %[** PP: Added period]
+\]
+
+Les caractristiques de l'quation~$(1')$ sont des lignes parallles l'axe~$z$
+(voir la \hyperref[section:8.5]{leon~\Ord{8}{ime} ~5}). % [** Xref]
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{2in}
+\Input{070a}{2in}
+\end{wrapfigure}
+Prenons la direction de l'axe~$t$ de la gauche
+ la droite. Alors chaque caractristique partage
+le plan en deux domaines qu'on peut appeler le
+domaine de gauche et celui de droite.
+
+Il est facile de dmontrer le thorme:
+
+\textit{% [**** Not \begin{Theorem}; must accommodate illustration]
+Soit $s$ une courbe ouverte dont les deux bouts $A, B$
+se trouvent sur une caractristique, et qui renferme avec
+cette caractristique une aire~$\sigma$ situe gauche de celle-ci.
+Si nous connaissons $u$ sur~$s$ et~$f(z, t)$ l'intrieur
+de l'aire~$\sigma$, $u$~sera dtermine dans tous les points de~$\sigma$.
+}%\end{Theorem}
+%% -----File: 071.png---Folio 71-------
+
+La dmonstration est trs-simple et du mme type des dmonstrations des
+thormes analogues qu'on a dans les autres thories. En effet, si $u_1$ et~$u_2$ sont
+des fonctions qui vrifient l'quation~$(1')$ et qui prennent les mmes valeurs sur~$s$, %[** PP: Changed . to ,]
+on calcule leur diffrence $u_3 = u_1 - u_2$ qui vrifiera l'quation~$(1)$ et qui sera
+nulle sur~$s$.
+
+Par les transformations bien connues des intgrales on tire de l que
+\[
+0 = \int_\sigma u_3
+ \left(\frac{\partial^2 u_3}{\partial z^2}
+ - \pderiv{u_3}{t}\right) d\sigma
+ = - \frac{1}{2} \int_l u_3^2\, dl
+ - \int_\sigma \left(\pderiv{u_3}{z}\right)^2 d\sigma
+\]
+o $l$ est la partie de la caractristique comprise entre les points $A, B$.
+
+C'est pourquoi $u_3$ sera nulle dans l'aire~$\sigma$ et par suite $u_1 = u_2$. Donc il n'y a %[** PP: Added a]
+pas deux fonctions diffrentes qui satisfont aux conditions que nous avons poses,
+et on a par l la dmonstration du thorme que nous avons nonc.
+
+Il faut maintenant remarquer que les raisonnements que nous venons de faire
+ne pourraient pas tre rpts si l'on supposait que la courbe~$s$ tait droite de la
+ligne caractristique, et par suite il n'y a pas une symtrie des proprits des
+intgrales de l'quation diffrentielle des deux cts de chaque caractristique,
+comme d'autre part il tait facile de prvoir.
+
+\Paragraph{4.} On peut donner une formule tout fait analogue la formule de Green
+en envisageant avec l'quation~$(1')$ son adjointe
+\[
+\tag{4}
+\frac{\partial^2 v}{\partial z^2} + \pderiv{v}{t} = g(z, t).
+\]
+
+Alors on trouve
+\[
+\tag{5}
+- \int_\sigma (vf - ug)\, d\sigma
+ = \int_s \left[\left(v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z}\right) \cos nz - uv \cos nt\right] ds
+ + \int_l uv\, dl,
+\]
+$n$ tant la normale la ligne~$s$ dirige vers l'intrieur
+de~$\sigma$.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}[10]{r}{2in}
+\raisebox{0.125in}[1.75in][0pt]{\Input{071a}{2in}}% [**** Explicit height]
+\end{wrapfigure}
+Or la fonction qui joue le rle principal dans
+cette thorie est, comme il est bien connu, l'intgrale
+suivante de l'quation~(4) o l'on suppose $g = 0$
+\[
+v = \frac{1}{2 \sqrt{\pi} \sqrt{t_1 - t}} e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(t_1-t)}},
+\]
+$t_1 > t$ et~$z_1$ tant des valeurs constantes. Le radical
+est suppos positif. Prenons le point~$M_1$ de coordonnes
+%% -----File: 072.png---Folio 72-------
+$t_1\, z_1$ droite de la caractristique~$l$. Remplaons cette valeur de~$v$ dans
+l'quation o l'on suppose $g = 0$, puis faisons approcher~$M_1$ de la ligne caractristique.
+
+A ce point il faut rappeler un thorme bien connu d'analyse. $F(z)$ tant
+une fonction continue et finie et $z'' > z'$ on a
+\[
+\tag{I}
+\lim_{t_1=t} \int_{z'}^{z''}
+ \frac{1}{\sqrt{t_1 - t}} e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(t_1-t)}} F(z)\, dz
+ = \begin{cases}
+ F(z_1) 2\sqrt{\pi} \\
+ 0
+ \end{cases}\!\!\!\!\!\!. % [** PP: Explicit horizontal space]
+\]
+
+Il faut prendre le second membre gal $2\sqrt{\pi} F(z_1)$ si~$z_1$ est comprise entre
+$z'$ et~$z''$, et il faut le prendre gal~$0$ si $z_1$ n'est pas comprise entre les valeurs $z'$ et~$z''$.
+
+On suppose que le radical qui parat sous l'intgrale soit positif. S'il tait
+ngatif le second membre changerait de signe.
+
+Deux cas pourront donc se prsenter. Si le point~$M_1$ s'approche d'un point~$M'$
+compris entre $A$ et~$B$ on aura
+\[
+\lim \int_l uv\, dl
+\]
+gale la valeur de la fonction~$u$ dans le point~$M'$. Si au contraire il s'approche
+d'un point~$M''$ qui n'est pas compris entre $A$ et~$B$ la mme limite est nulle.
+
+On tire de l les deux formules suivantes
+\begin{align*}
+& -\frac{1}{2\sqrt{\pi}}
+ \int_s \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}}
+ \left\{\left[\pderiv{u}{z} - u \frac{z_1-z}{2(t_1-t)}\right]
+ \cos nz - u \cos nt\right\}ds
+\Trail{-} \\
+%
+& -\frac{1}{2\sqrt{\pi}}
+ \int_\sigma \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}
+ {\sqrt{t_1-t}} f\, d\sigma
+ = \left\{\begin{matrix}
+ u(z_1\, t_1) \\[2ex] %[** PP: Height must match \tag* below]
+ 0
+ \end{matrix}\right\}
+\tag*{$\begin{matrix}(6) \\[2ex] (6')\end{matrix}$}
+\end{align*}
+o $t = t_1$ est l'quation de la caractristique~$l$. Le
+premier cas se prsente lorsque le point $z_1\, t_1$ est
+compris entre $A$ et~$B$ et le second cas lorsqu'il est
+externe.
+
+Dans cette formule, comme dans toutes les formules
+analogues que l'on trouve par les procds de
+Green (Cf.\ le \hyperref[section:8.3]{~3 de la \Ord{8}{ime}~leon}), la valeur de l'intgrale % [** Xref]
+au point $z_1\, t_1$ est donne par les valeurs de l'intgrale
+mme et de ses drives sur la ligne~$s$. Or,
+comme nous avons vu (~3), il est ncessaire de connatre
+%% -----File: 073.png---Folio 73-------
+les seules valeurs de~$u$ sur~$l$ pour la dterminer
+dans~$\sigma$, c'est pourquoi il y a dans la formule prcdente
+la quantit $\pderiv{u}{z}$ qu'il faut liminer. Elle s'limine
+d'elle-mme sur toute partie $CD$ de la ligne~$s$
+qui est un segment de droite parallle l'axe~$z$,
+car sur $CD$ on a $\cos nz = 0$. Ainsi, si les points
+$A, B$ s'loignent indfiniment dans la direction positive
+et ngative de~$z$ de manire que la ligne~$s$
+devienne la parallle $t = h$ l'axe~$z$, la quantit
+$\pderiv{u}{z}$ est compltement limine.
+\begin{center}
+\Input{072a}{1.75in}\hfil\Input{073a}{1.75in}
+\end{center}
+
+Alors si nous posons dans la formule~(6) $f = 0$ elle devient la formule~$(2')$ de
+Poisson. En effet elle exprime la valeur de~$u$ par les valeurs de cette intgrale
+pour $t = h$.
+
+%[Illustrations]
+\begin{center}
+\Input{073b}{2in}\hfil\Input{073c}{2.75in}
+\end{center}
+
+\Paragraph{5.} Les valeurs de $\pderiv{u}{z}$ sur~$s$ peuvent s'liminer aussi en d'autres cas. Nous
+allons dmontrer qu'elles peuvent s'liminer sur toute partie $CD$ de~$s$ qui est un
+segment de ligne droite telle que toute l'aire~$\sigma$ est situe d'un ct %[** PP: Typo cot]
+de cette droite.
+Prenons en effet le point~$M''$ symtrique du point~$M'$ par rapport au point~$E$.
+$M'$~tant interne au segment $AB$, $M''$~sera externe. C'est pourquoi, si $z_1\, t_1$ sont
+les coordonnes de~$M'$ et $z_2\, t_1$ celles de~$M''$, en remplaant dans la formule~(6) $z_1$
+par $z_2$ on passe la formule~$(6')$.
+
+Le premier membre peut se dcomposer en deux parties, l'intgrale qui est
+tendue $CD$ et toute la partie rsiduelle. En appelant~$I$ cette dernire, on aura % [** PP: Put "I" in math mode]
+%% -----File: 074.png---Folio 74-------
+\begin{align*}
+I' - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{CD}
+ \frac{e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}}
+ \left\{ \left[ \pderiv{u}{z} - u \frac{z_1-z}{2(t_1-t)} \right] \cos nz - u \cos nt \right\} ds &= u(z_1\, t_1) \\
+%
+I'' - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{CD}
+ \frac{e^{-\smfrac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)}}}{\sqrt{t_1-t}}
+ \left\{ \left[ \pderiv{u}{z} - u \frac{z_2-z}{2(t_1-t)} \right] \cos nz - u \cos nt \right\} ds &= 0
+\end{align*}
+o $I'$ et~$I''$ sont les valeurs de $I$ si l'on se rapporte respectivement aux points $M'$
+et~$M''$. Ajoutons la premire quation la seconde aprs avoir multipli celle-ci
+par une quantit constante~$-e^c$. Le second membre sera $u(z_1\, t_1)$ et dans le premier
+membre le coefficient de $\pderiv{u}{z}$ sous l'intgrale deviendra
+\[
+\biggl( e^{-\smfrac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}}
+ - e^{-\smfrac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)} + c} \biggr) \frac{\cos nz}{\sqrt{t_1-t}}\, ds.
+\]
+
+Pour liminer $\pderiv{u}{z}$ le long de l'intgrale tendue $CD$ il suffit d'annuler ce
+coefficient. Posons donc
+\[
+ \frac{(z_1-z)^2}{4(t_1-t)}
+= \frac{(z_2-z)^2}{4(t_1-t)} - c.
+\]
+On tire de l en appelant~$z_e$ la coordonne du point $E$ et~$h$ la longueur~$M'M''$
+\[
+\frac{z_e - z}{t_1 - t} = \frac{2c}{h}.
+\]
+Mais la droite $CD$ passe par le point~$E$; c'est pourquoi son quation est
+\[
+\frac{z_e - z}{t_1 - t} = \alpha,
+\]
+$\alpha$ tant une quantit constante.
+
+Il suffit donc de prendre
+\[
+c = \frac{h\alpha}{2}
+\]
+pour faire l'limination de $\pderiv{u}{z}$.
+
+%%[Illustration]
+% [**** Explicit height; illus on next page in original]
+\begin{wrapfigure}[10]{r}{2.5in}
+\raisebox{0.25in}[2in][0pt]{\Input{075a}{2.25in}}
+\end{wrapfigure}
+La mthode qu'on a suivie est bien une mthode des images, car on peut appeler
+le point~$M''$ l'image du point~$M'$ par rapport au point~$E$.
+
+Si la ligne~$s$ est forme de plusieurs droites on peut appliquer dans certains
+cas le principe des images successives pour liminer $\pderiv{u}{z}$ sur toute la ligne~$s$.
+%% -----File: 075.png---Folio 75-------
+
+%[Illustration]
+Soit $s$ forme par trois droites $AC$,
+$CD$, $DB$ dont $CD$ est parallle ~$z$, alors
+la mthode peut servir pour tout point $M'$
+d'une manire trs simple. L'on trouve dans
+ce cas un nombre infini d'images.
+
+\Paragraph{6.} Ce que nous avons expos jusqu'ici
+nous prouve qu'une mthode tout fait analogue
+ celle qu'on emploie dans le cas des
+quations du type hyperbolique peut tre
+aussi employe dans celui des quations du
+type parabolique, en tenant compte des lignes
+caractristiques.
+
+Cependant nous pouvons bien facilement
+nous convaincre que par cette mthode on n'puise pas les proprits les plus importantes
+de l'quation~$(1')$, et que la mthode mme est impuissante nous en
+dvoiler les plus caches.
+
+En effet nous avons montr ds le \Ord{2}{ime}~ le rsultat obtenu par Poisson,
+c'est dire que l'intgrale gnrale de l'quation~(1) peut s'exprimer par une fonction
+arbitraire ou par deux fonctions arbitraires. Or la formule~(6) peut nous
+conduire l'intgrale~(2), comme nous avons dj vu, mais elle ne nous amne pas
+ l'intgrale~(3). Mme en tchant de faire concider la ligne~$s$ avec l'axe des~$z$
+on n'arrive pas cette formule.
+
+On serait conduit cette conclusion, que les quations du type parabolique
+n'offrent pas de prise aux mthodes modernes d'une manire complte, et que
+par exemple les anciennes mthodes de Poisson nous disent davantage. Il
+semble donc que les mthodes modernes peuvent nous donner l'explication d'un
+grand nombre de faits, mais tous les faits connus semblent ne pas ressortir d'elles.
+
+Malgr cela nous allons voir que cette impuissance n'est qu'apparente et que
+nous pouvons runir dans un ensemble unique tous les faits et par une seule formule
+embrasser toutes les formules connues. Pour rejoindre le but il n'y a qu'
+aborder les nouvelles mthodes avec une conception nouvelle, c'est dire en les
+tendant aux variables complexes, ce qu'on n'avait pas fait jusqu' prsent. L'quation~$(1')$
+se prte avec beaucoup de facilit cette gnralisation, car elle n'a que
+deux variables $z$ et~$t$, et si nous posons $t = x + iy$ en regardant $x, y, z$ comme les
+coordonnes des points de l'espace, on pourra se servir des images gomtriques
+dans un domaine trois dimensions.
+
+Envisageons une fois encore la fonction qui joue le rle principal dans ces
+recherches, c'est dire
+%% -----File: 076.png---Folio 76-------
+\[
+\tag{7}
+\frac{e^{-\smfrac{(z_1 - z)^2}{4(t_1 - t)}}}{\sqrt{t_1 - t}}.
+\]
+Nous verrons dans la leon suivante que c'est la polydromie de cette fonction
+qui a l'importance la plus grande dans tous les rsultats que nous allons obtenir.
+Cette fonction est en effet polydrome par rapport la variable~$t$. Or cette polydromie
+ne peut pas ressortir si on n'envisage pas $t$ comme une variable complexe.
+C'est pourquoi toute la thorie que nous avons dveloppe qui tait btie en dehors
+de cette proprit tait justement incomplte.
+
+
+\Chapter{\Ord{11}{ime} leon.}
+
+\Paragraph{7.} La premire question qui se pose est de voir si l'on peut tendre dans
+les intgrales de l'quation~$(1')$ la variabilit de~$t$, c'est dire si l'on peut la regarder
+comme un nombre complexe. A cet effet considrons les intgrales de
+l'quation~(1) qui est plus simple que l'autre. Il est facile de dmontrer, et d'autre
+part la chose est connue, qu'elles ne sont pas en gnral des fonctions analytiques
+de~$t$.
+
+Pour s'en persuader d'une manire tout fait lmentaire prenons la fonction
+\[
+u(z, t) = z \int_0^t \phi(\xi) e^{-\smfrac{z^2}{4(t - \xi)}}\, (t - \xi)^{-\frac{3}{2}}\, d\xi
+\]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{2.75in}
+\Input{076a}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+o $\phi(\xi)$ est une fonction finie et intgrable.
+Si $\phi(\xi)$ est dfinie dans le domaine $(0\, a)$ on % [** PP: Typo (o a)]
+voit aisment que $u(z, t)$ est dfinie pour toutes
+les valeurs positives de~$z$ l'intrieur de la
+bande $\Sigma_1$ limite par l'axe~$t$, l'axe~$z$ et la
+droite $t = a$.
+
+On vrifie qu' l'intrieur de ce domaine
+$u(z, t)$ est une fonction continue, que les drives
+$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}$ et $\pderiv{u}{t}$ sont dtermines et que l'on a
+\[
+\tag{1}
+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \pderiv{u}{t}.
+\]
+%% -----File: 077.png---Folio 77-------
+
+Cela pos, si nous prolongeons $\phi(\xi)$ entre $a$ et~$2a$, alors $u(z, t)$ pourra se
+prolonger l'intrieur de la bande $\Sigma_2$ comprise entre l'axe~$t$ et les droites $t = a$,
+$t = 2a$.
+
+Dans le domaine form par l'ensemble des points internes aux bandes $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$
+$u(z,t)$ sera continue et vrifiera l'quation~(1). Mais puisque le prolongement de
+$\phi(\xi)$ peut se faire avec la seule condition qu'elle soit finie et intgrable et que
+d'autre part elle est tout fait arbitraire, il s'en suit que les valeurs de $u$ en $\Sigma_2$
+pourront tre changes, celles en $\Sigma_1$ restant toujours les mmes.
+
+Si par exemple nous prenons d'abord $\phi(\xi) = 0$ dans l'intervalle $(a, 2a)$ et
+aprs $\phi(\xi) = 1$, les valeurs de $u(z, t)$ en $\Sigma_2$ seront changes. Cela prouve que
+$u(z, t)$ n'est pas en gnral une fonction analytique de~$t$.
+
+\Paragraph{8.} Il faudra donc poser comme une condition nouvelle que l'intgrale de
+l'quation~(1) soit une fonction analytique de~$t$, et de mme si nous envisageons
+l'quation~$(1')$, il faudra poser deux conditions, c'est dire que $f$ et $u$ soient des
+fonctions analytiques de $t = x + iy$.
+
+Supposons aussi, en ayant gard l'quation adjointe~(4), que $g$ et $v$ soient
+des fonctions analytiques de $t = x + iy$.
+
+Nous crirons alors
+\begin{align*}
+u(z, t) &= u(x, y, z) & f(z, t) &= f(x, y, z) \\
+v(z, t) &= v(x, y, z) & g(z, t) &= g(x, y, z)
+\end{align*}
+et l'on regardera $x, y, z$ comme les coordonnes
+des points de l'espace. Il est vident
+que $u, v, f, g$ seront en gnral des quantits
+complexes et on aura
+\[
+\tag{8}
+\pderiv{u}{t} = \pderiv{u}{x} = -i \pderiv{u}{y},\quad
+\pderiv{v}{t} = \pderiv{v}{x} = -i \pderiv{v}{y}.
+\]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{r}{2.25in}
+\Input{077a}{2in}
+\end{wrapfigure}
+
+Posons
+\[
+X = v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z},\quad
+Y = i\left(v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z}\right),\quad
+Z = uv
+\]
+et, en prenant une surface $\sigma$ ayant deux
+faces distinctes et pour contour la ligne~$s$,
+appliquons le thorme de Stokes (\hyperref[section:2.2]{\Ord{2}{ime}~leon ~2}) en supposant que toutes les % [** Xref]
+quantits prcdentes soient finies, continues et monodromes sur la surface~$\sigma$.
+
+On aura
+%% -----File: 078.png---Folio 78-------
+\[
+\Lmargintag{9}
+\left\{
+\begin{gathered}
+\int_\sigma \left\{
+ \left(\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z}\right) \cos nx
+ + \left(\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x}\right) \cos ny
+ + \left(\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y}\right) \cos nz \right\} d\sigma \\
+= \int_s ( X\, dx + Y\, dy + Z\, dz ).
+\end{gathered}
+\right.
+\]
+
+Or on a bien aisment en vertu des relations~(8) et des quations $(1')$ et~(4)
+\begin{align*}
+%[** PP: Changed d to \partial in denominator of first term]
+\pderiv{Z}{y} - \pderiv{Y}{z} &= - ivf + iug \\
+\pderiv{X}{z} - \pderiv{Z}{x} &= \phantom{-}vf - ug \\
+\pderiv{Y}{x} - \pderiv{X}{y} &= 0;
+\end{align*}
+par suite l'galit~(9) deviendra
+\[
+\frac{1}{i} \int_\sigma (vf - ug) (\cos nx + i \cos ny)\, d\sigma
+ = \int_s \left[ \left( v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z} \right) (dx + i dy) + uv\, dz \right],
+\]
+c'est dire
+\[
+\tag{10}
+\frac{1}{i} \int_\sigma (vf - ug) \pderiv{t}{n}\, d\sigma
+ = \int_s \left[
+ \left( v \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v}{z} \right) dt + uv\, dz
+ \right]. %[** PP: Added period]
+\]
+
+\Paragraph{9.} Cela pos supposons que dans tout le domaine trois dimensions que
+nous envisageons $u$, $f$ soient finies, continues et monodromes. Prenons
+\[
+\tag{11}
+v = \frac{e^{-\smfrac{(z - z_1)^2}{4(t_0 - t)}}}{\sqrt{t_0 - t}},\quad g = 0
+% [** PP: comma?]
+\]
+tant $t_0 = x_0 + iy_0$.
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}[13]{l}{3in} % [**** Explicit height]
+\raisebox{0.25in}[2.5in][0pt]{\Input{078a}{2.75in}}
+\end{wrapfigure}
+Si la droite $x = x_0$, $y = y_0$ rencontre
+la surface $\sigma$, la formule~(10) n'est pas
+applicable, car pour $x = x_0$, $y = y_0$ la fonction
+$v$ a une singularit. Mais elle n'est
+pas applicable en d'autres cas o la mme
+droite ne rencontre pas la surface. En
+effet supposons que la surface soit limite
+par deux lignes, et qu'en consquence le contour
+$s$ soit form de deux parties, et supposons
+aussi que la droite $x = x_0$, $y = y_0$ passe
+au milieu du bord interne de la surface, et que par suite on puisse parcourir sur la
+%% -----File: 079.png---Folio 79-------
+surface un cycle ferm $c$ autour de
+la droite. Mme dans ce cas la formule
+ne sera pas applicable, car $v$ sera
+polydrome sur la surface cause du
+radical qui parat dans le dnominateur.
+En parcourant le cycle $c$ et en
+prenant les valeurs de $v$ qui se suivent
+avec continuit on reviendra au
+point de dpart avec la valeur initiale
+change de signe.
+
+%[Illustrations]
+Donc la formule~(10) n'est applicable,
+en prenant $v$ donn par
+la formule~(11), que si aucun cycle
+ferm sur la surface %[** PP: Typo surtace]
+n'entoure la
+droite $x = x_0$, $y = y_0$ et si en mme
+temps cette droite ne rencontre pas
+la surface.
+
+Le contour tant form par une
+seule ligne continue et ferme, il suffit
+videmment de la seconde condition,
+pour que la premire soit aussi
+satisfaite.
+
+% [** PP: Changed x=t_1 in figure labels to x=x_1]
+\begin{wrapfigure}[36]{r}{2.5in}
+\Input{079a}{2.5in}\\[0.125in]
+\Input{079b}{2.5in}\\[0.125in]
+\Input{079c}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+\Paragraph{10.} Prenons maintenant (fig.~$a$)
+un contour~$s$ form par une seule ligne
+continue, constitue par la courbe
+$MNP$ et par la courbe $M'N'P'$ relies
+entre elles par les droites $PP'$
+et $MM'$ parallles l'axe~$z$.
+
+La ligne $MNPP'N'M'M$ sera
+une ligne continue. Les flches indiquent
+comment il faut la parcourir.
+Supposons que nous menions une surface
+$\sigma$ ayant pour contour cette ligne, et
+ensuite faisons approcher les deux
+bords $MM'$ et $PP'$ d'une mme droite
+$HH'$ du plan $xz$ parallle l'axe $z$
+de manire qu'ils se disposent le long
+de cette droite. Mais en mme temps
+%% -----File: 080.png---Folio 80-------
+supposons que si certaines parties des deux bords se superposent, comme il arrive
+dans la fig.~$b$, les deux bords restent toujours distingus comme les bords d'une
+coupure, et qu'on doive les parcourir en sens oppos. La mme chose est indique
+dans la fig.~$b'$ o les dispositions sont changes. Les flches dsignent toujours la
+manire de parcourir le contour. On peut donc regarder toujours la surface $\sigma$
+comme limite par un contour form par la ligne continue et ferme $M N P P' N' M' M$.
+
+\iffalse
+\begin{center}
+\Input{079b}{0.5\textwidth}\hfil
+\Input{079c}{0.5\textwidth}
+\end{center}
+\fi
+
+La ligne $H H'$ ayant pour quation
+\[
+x=x_1,\quad y=0,
+\]
+menons une droite parallle $KK'$ dans le plan $xz$ ayant pour quation
+\[
+x = x_0 > x_1,\quad y = y_0 = 0
+\]
+qui ne rencontre pas la surface $\sigma$. Alors on pourra appliquer la formule~(10), et
+l'on trouvera en remarquant que $g = 0$
+%[** PP: Added trailing operators]
+\begin{align*}
+& \int_{MNP} \left[
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
+ + uv_{A_0}\, dz \right]
+\Trail{+} \\
+%
+&\qquad+ \int_{P'N'M'} \left[
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
+ + uv_{A_0}\, dz \right]
+\Trail{+} \\
+%
+&\qquad+ \int_{PP'} uv_{A_0}\, dz + \int_{M'M} uv_{A_0}\, dz
+= \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma,
+\end{align*}
+o l'on a dsign par $v_{A_0}$ la fonction
+$\dfrac{e^{-\smfrac{(z-z_1)^2}{4(x_0-t)}}}{\sqrt{x_0-t}}$, $A_0$ tant le point de coordonnes
+$x_0, 0, z_1$.
+
+\Paragraph{11.} On peut maintenant distinguer deux cas. Projetons la surface $\sigma$ sur
+le plan~$xy$. Dans les figures nous avons dsign la projection par l'aire hache.
+Le point $x_0, 0$ du plan $xy$ peut se trouver entour par la projection (fig.~$b$) ou
+peut ne pas tre entour par elle (fig.~$b'$).
+
+Puisque la fonction $v$ est polydrome et qu'elle change de signe en parcourant
+un cycle autour de la droite $x = x_0$, $y = 0$, les choses seront diffrentes dans les
+deux cas. Les valeurs de $v$ dans les points de la droite $H H'$ sont relles. Prenons
+ces valeurs positives sur $P' P$, alors
+
+dans \emph{le premier cas} les valeurs de $v$ seront ngatives %** PP: Typo ngatives]
+sur $MM'$
+
+dans \emph{le second cas} les valeurs de $v$ seront positives sur $MM'$.
+
+Or dplaons le point $A_0$ sur $A_0 A_1$ parallle l'axe $x$ en l'approchant indfiniment
+du point $A_1$ sur la droite $H H'$, et supposons que la droite $K K'$ se dplace
+avec $A_0$ en restant parallle l'axe $z$, et supposons aussi qu'en se dplaant elle
+ne rencontre jamais la surface~$\sigma$.
+%% -----File: 081.png---Folio 81-------
+
+Cherchons les limites de
+\[
+\int_{PP'} u v_{A_0}\, dz,\quad
+\int_{M'M} u v_{A_0}\, dz.
+\]
+
+Il suffit pour cela de faire usage de la formule~(I) qu'on a dj employe
+dans le ~4. Puisque $v_{A_0}$ est positif sur $PP'$ on aura % [** Xref]
+\[
+%[** PP: No comma between arguments in several expressions]
+\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = \phantom{-}2 \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1),
+\]
+si le point $A_1$ est compris entre les points $P, P'$ et si le segment $PP'$ a la direction
+positive de l'axe~$z$. On aura au contraire
+\[
+\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = -2 \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1),%[** No comma]
+\]
+si le point $A_1$ est compris entre les points $P, P'$ et si le segment $PP'$ a la direction
+ngative de l'axe~$z$. Enfin on aura
+\[
+\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz = 0,
+\]
+si le point $A_1$ est externe au segment~$PP'$. (C'est le dernier cas qui se prsente
+dans les figures $b$ et~$b'$, mais on imagine tout de suite comment il faudrait dessiner
+les figures pour que les autres cas se prsentent.)
+
+Les trois formules prcdentes peuvent se runir en une seule en reprsentant
+par le symbole $(p)$ le numro $1$ selon que le segment $A_1P$ a la direction
+positive ou ngative de~$z$. On aura alors
+\[
+\lim \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz
+= \bigl[(p') - (p)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma]
+\]
+
+Si nous tendons la signification du symbole $(p)$, et si nous supposons qu'il reprsente
+$0$, si $A_1$ concide avec $P$, alors la formule prcdente nous donne la limite
+de l'intgrale mme dans le cas o $A_1$ concide avec l'un des points $P$ ou~$P'$.
+
+Passons maintenant
+\[
+\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz,
+\]
+si le point $x_0, 0$ est entour par la projection (\Ord{1}{er}~cas); on a que $v_{A_0}$ est ngatif
+sur $MM'$, c'est pourquoi
+%% -----File: 082.png---Folio 82-------
+\[
+\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz
+ = - \bigl[(m) - (m')\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma]
+\]
+
+Si le point $x_0, 0$ n'est pas entour par la projection (\Ord{2}{ime}~cas) $v_{A_0}$ est positif
+sur~$MM'$ et par suite
+\[
+\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz = \phantom{-} \bigl[(m) - (m')\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1). %[** No comma]
+\]
+
+Les deux formules peuvent se runir en une seule en indiquant par le
+symbole $(e)$ le numro $1$ selon que la projection entoure ou n'entoure pas le
+point $x_0, 0$ et l'on aura
+\[
+\lim \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz
+ = -(e) \bigl[(m) - (m')\bigr]\sqrt{\pi} u(t_1\, z_1).
+% [** PP: Added \sqrt{\pi}u, w/o comma]
+\]
+
+Donc
+\[
+\lim \left[ \int_{PP'} u v_{A_0}\, dz
+ + \int_{M'M} u v_{A_0}\, dz \right]
+ = \left\{\bigl[(p') - (p)\bigr] + (e) \bigl[(m') - (m)\bigr]\right\}
+ \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1)
+\]
+d'o l'on tire en posant
+
+\[
+\bigl[(p') - (p)\bigr] + (e) \bigl[(m') - (m)\bigr] \sqrt{\pi} = h
+\]
+%%
+\[
+\Lmargintag{II}
+\left\{
+\begin{aligned}
+h\, u(t_1\, z_1) = \lim \left(
+ \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right.
+ &- \int_{MNP}
+ \left[ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z}\right) dt
+ + u v_{A_0}\, dz \right]
+\Trail{-} \\ %[** PP: Added trailing operator]
+%[** PP: Explicit horizontal space]
+ &\makebox[0pt][r]{$-$}\;\int_{P'N'M'} \left.
+ \left[ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
+ + u v_{A_0}\, dz \right] \right).
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{2.5in}
+\Input{082a}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+Cette formule est la plus gnrale
+possible et comprend toutes les autres.
+Il n'y a qu' la particulariser pour dduire
+toutes les formules de la thorie.
+
+\Paragraph{12.} Supposons d'abord que le second
+cas se prsente. Alors on peut trs bien
+imaginer que les lignes $MNP$ et $M'N'P'$
+appartiennent au plan $xz$ de manire que
+$\sigma$ soit une partie du plan, et l'on peut
+supposer que la ligne $M'N'P'$ se rtrcisse
+indfiniment de sorte qu'elle % [** PP: Typo quelle]
+se rduise
+un point. Alors dans la formule~(II) l'intgrale
+tendue $M'N'P'$ s'annule, et elle %[** PP: Typo annulle]
+%% -----File: 083.png---Folio 83-------
+conduit aux formules (6) et~$(6')$ dont la premire nous amne la formule~$(2')$
+de Poisson.
+
+\Paragraph{13.} Soit $M'\, N'\, P'$ une courbe appartenant au plan parallle $xy$ men
+par $A_0$, alors on %[** PP: Typo en]
+dmontre facilement que la limite de l'intgrale tendue la
+ligne $M'\, N'\, P'$ dans la formule~(II) est nulle. En mme temps on a $(m') = (p') = 0$
+par suite la formule~(II) devient
+\begin{align*}
+&\bigl[(p)+(e)(m)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) \\
+&\qquad = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + uv_{A_0}\, dz \right]
+ - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}.
+\intertext{\indent Si $M$ et $P$ concident on a $(m) = (p)$, donc}
+&(m) \bigl[1+(e)\bigr] \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1) \\
+&\qquad = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt + uv_{A_0}\, dz \right]
+ - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}.
+\end{align*}
+
+Dans le second cas o $(e) = -1$ le premier membre est toujours nul.
+
+Envisageons le second cas o $(e) = 1$. Alors
+{\small
+\[
+2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1)
+ = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
+ + uv_{A_0}\, dz \right]
+ - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}.
+\]
+}% End of \small
+
+Supposons maintenant que la courbe $MNP$ appartienne un plan parallle
+ $xy$, alors $dz = 0$ sur la courbe, et l'on a
+\[
+2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1)
+ = \lim \left\{ \int_{MNP} \left[
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt
+ \right]
+ - \frac{1}{i} \int_\sigma v_{A_0} f\, \pderiv{t}{n}\, d\sigma \right\}.
+\]
+
+Si $f = 0$ la formule se rduit encore et devient
+\[
+2(m) \sqrt{\pi}\, u(t_1\, z_1)
+ = \lim \left\{ \int_{MNP}
+ \left( v_{A_0} \pderiv{u}{z} - u \pderiv{v_{A_0}}{z} \right) dt \right\}.
+\]
+
+Enfin si nous prenons pour $MNP$ un cercle ayant le centre sur l'axe $x$ la
+formule prcdente devient la formule~$(3')$ de Poisson.
+%% -----File: 084.png---Folio 84-------
+
+De mme les formules de Schlaefli peuvent se dduire comme cas particuliers
+de celles que nous avons donnes.
+
+Il faut remarquer que toutes ces formules se rattachent au premier cas, c'est
+ dire celui o la projection de la surface $\sigma$ entoure le point $x_0, 0$. Or cela ne
+peut arriver que si l'on suppose que la courbe $MNM'$ n'appartient pas au plan
+$xz$. Il fallait donc sortir des valeurs relles de $t$ pour trouver ces formules,
+et c'est justement ce que nous avons fait. Ce n'est qu'en sortant du domaine rel
+et en pntrant dans le domaine complexe que la polydromie de la fonction~(7) a
+pu jouer son rle, car la polydromie ne ressort qu'en parcourant des cycles
+autour de la droite $KK'$. Nous avons mis en lumire qu' cette polydromie se
+rattache tout le succs de la mthode nouvelle qu'on a employe.
+
+\Paragraph{14.} Nous finirons en donnant une application de la formule de Poisson, ce
+qui nous amnera revenir sur un point auquel nous avons touch dans la
+\hyperref[section:8.1]{\Ord{8}{ime} leon (~1)}. % [** Xref]
+Nous avons dit qu'il y avait des problmes de la thorie des ondes
+qui ne ressortent pas des quations du type hyperbolique. Ce sont les problmes
+des ondes des liquides incompressibles. Si l'on envisage le cas le plus gnral
+des petites vibrations des liquides assujettis des forces quelconques ayant un
+potentiel, on trouve que le problme se rduit trouver une fonction $V$ harmonique
+dans le domaine $S$ occup par le liquide qui le long de la surface libre $\omega$ du liquide
+vrifie l'quation $-\alpha \pderiv{V}{n}
+= \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$ et sur les parois rigides $\sigma$ qui renferment le liquide
+vrifie l'quation $\pderiv{V}{n} = 0$, $n$ tant la normale au contour dirige vers l'intrieur de
+l'espace $S$, $\alpha$ une quantit positive, $t$ le temps.
+
+Le problme dpend de l'quation diffrentielle de Laplace
+\[
+\Delta^2 V = 0,
+\]
+car $V$ doit tre harmonique. Il est donc rattach une quation du type elliptique.
+Ce sont les conditions le long de la partie $\omega$ du contour qui dterminent
+le %[** PP: Typo la]
+caractre ondulatoire du mouvement.
+
+Or on dmontre que $V$ est dtermine si l'on connat % [** PP: Typo connait]
+les valeurs $V_0$ et
+$\left(\pderiv{V}{t}\right)_0 = V'_0$ de $V$ et de $\pderiv{V}{t}$ sur $\omega$ pour $t=0$. On peut aussi donner une mthode
+gnrale pour rsoudre le problme. Soit $U_A(x, y, z, t)$ une fonction harmonique
+rgulire de $x, y, z$ dans le domaine~$S$, except dans le point $A$ de coordonnes
+$x_1, y_1, z_1$ o l'on a
+\[
+U_A(x,y,z,t) = \frac{1}{r_A} + W_A(x,y,z,t),\quad
+r_A = \sqrt{(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 + (z_1 - z)^2},
+\]
+%% -----File: 085.png---Folio 85-------
+$W_A(x, y, z, t)$ tant une fonction rgulire. Si nous supposons que sur $\omega$ soit
+vrifie l'galit
+\[
+- \alpha \pderiv{U_A}{n} = \dfrac{\partial^2 U_A}{\partial t^2}
+\]
+et sur $\sigma$
+\[
+\pderiv{U_A}{n} = 0
+\]
+et pour $t = t_1$ sur $\omega$\quad $U_A$ et $\pderiv{U_A}{t}$ soient nulles, alors on aura
+\[
+\tag{12}
+V(x_1\, y_1\, z_1\, t_1) % [** PP: No commas]
+ = - \frac{1}{4\pi} \deriv{}{t_1} \int_\omega
+ \left[ (U_A)_0 \left(\pderiv{V}{t}\right)_0
+ - V_0 \left(\pderiv{U_A}{t}\right)_0 \right] \frac{1}{\alpha}\, d\omega,
+\]
+$(U_A)_0$ et $\left(\pderiv{U_A}{t}\right)_0$ dsignant les valeurs de $U_A$ et $\pderiv{U_A}{t}$ pour $t = 0$. Cette formule
+sert pour reconduire le problme de dterminer $V$ celui de trouver $U_A$, c'est
+ dire dterminer une fonction qui certains points de vue est analogue la
+fonction de Green.
+
+\Paragraph{15.} Mais laissons de ct la thorie gnrale qui nous conduirait trop loin,
+et envisageons le cas o le liquide occupe un domaine sphrique et o $\omega$ est toute
+la surface de la sphre. Supposons aussi que $\alpha$ soit constante de sorte que l'on
+puisse prendre $\alpha = 1$. Alors sur la surface de la sphre on aura $\pderiv{V}{r} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$, $r$ tant
+le rayon vecteur conduit par le centre de la sphre. Posons $\log r = \rho$, et supposons
+que le rayon de la sphre soit gal~1. Alors l'quation prcdente pourra
+s'crire
+\[
+\tag{13}
+\pderiv{V}{\rho} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}.
+\]
+
+Cela pos, $r, \THETA, \phi$ tant les coordonnes polaires soient $V_0(r, \THETA, \phi)$ et
+$V'_0(r, \THETA, \phi)$ les fonctions harmoniques l'intrieur %[** PP:Typo l'interieure]
+de la sphre qui sur la surface
+de la sphre deviennent gales aux valeurs $V_0$ et $V'_0$ donnes de $V$ et de $\pderiv{V}{t}$
+pour $t = 0$ sur la surface mme. On pourra aussi les considrer comme des fonctions
+de $\rho, \THETA, \phi$, et l'on crira $V_0(\rho, \THETA, \phi)$, $V'_0(\rho, \THETA, \phi)$. Regardons $\THETA$ et $\phi$ comme
+des quantits constantes, et dterminons par la formule de Poisson l'intgrale
+de l'quation~(13) qui pour $t = 0$ se rduit $V_0(\rho, \THETA, \phi)$ et dont la drive par
+rapport $t$ pour $t = 0$ se rduit $V'_0(\rho, \THETA, \phi)$. Appelons cette intgrale $V(\rho, \THETA, \phi, t)$.
+On voit facilement qu'elle est la fonction qu'on veut dterminer.
+%% -----File: 086.png---Folio 86-------
+
+En effet on aura
+\[
+\tag{14}
+\Delta^2 \pderiv{V}{\rho} = \frac{\partial^2 \Delta^2 V}{\partial t^2}.
+\]
+
+% [**** Putative mathematical corrections]
+Mais
+\[
+%% In original:
+%% \Delta^2 \pderiv{V}{\rho}
+%% = \frac{1}{r^2}\, \frac{\partial^2 (r^2 \Delta^2 V)}{\partial \rho}
+\Delta^2 \pderiv{V}{\rho}
+ = \frac{1}{r^2}\, \pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho}
+\]
+par suite l'quation~(14) s'crit
+\[
+\tag{15}
+%% In original:
+%% \pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho}
+%% = \frac{\partial^2 (r^2 \Delta^2 V)}{\partial t^2}.
+\pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{\rho}
+ = \frac{r^2 \partial^2 (\Delta^2 V)}{\partial t^2}.
+\]
+Or $r^2 \Delta^2 V$ pour $t = 0$ devient $r^2 \Delta^2 V_0 = 0$ et $\pderiv{(r^2 \Delta^2 V)}{t}$ pour $t = 0$ devient $r^2 \Delta^2 V'_0 = 0$:
+par suite $r^2 \Delta^2 V = 0$. Donc $V$ est harmonique, vrifie l'quation $-\pderiv{V}{n} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$
+ la surface de la sphre et en mme temps $V$ et $\pderiv{V}{t}$ pour $t = 0$ prennent la
+surface de la sphre les valeurs donnes, comme il fallait dmontrer. Il est facile
+de vrifier que $V$ est rgulire au centre de la sphre. Le problme est donc
+rsolu.
+
+On pourrait aussi se servir de cette mthode pour calculer la fonction $U_A$
+analogue la fonction de Green et calculer ensuite $V$ par la formule~(12).
+
+\begin{Bibliographie}
+
+\Bibitem{Poisson.}{Thorie mathmatique de la chaleur, Chapitre VI.\ Paris 1835.}
+
+% [** PP: Probably should be Partielle]
+\Bibitem{Schlaefli.}{ber die partielle Differentialgl.\ $\pderiv{u}{t} - \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2} = 0$. Journ.\ de Crelle T.~72.}
+
+\Bibitem{Betti.}{Sopra la determinazione delle temperature nei corpi solidi omogenei.
+Memorie delle Soc.\ Italiana della Scienza (detta % [** PP: Typo delta]
+dei~XL). S.~III, T.~I. \Ord{P}{o}~II.}
+
+\Bibitem{Appell.}{Sur l'quation $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} - \pderiv{z}{y} = 0$. Journ.\ de Math.\ T.~VIII, s.~4.}
+
+\Bibitem{Volterra.}{Sur les quations diffrentielles du type parabolique. Comptes rendus
+des Sances de l'Ac.\ des Sciences. 5~Dc.\ 1904.}
+\end{Bibliographie}
+
+\Tb
+
+%% -----File: 087.png---Folio 87-------
+
+\Chapter{Note additionnelle la \Ord{5}{ime} leon.}
+
+\begin{center}
+Communication faite le soir du 2~Mars.
+\end{center}
+
+\Paragraph{1.} Rappelons la formule bien connue de trigonomtrie
+\[
+\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha,
+\]
+on peut en tirer que si
+\[
+\tag{1}
+\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha = \text{const}.
+\]
+on doit avoir
+\[
+\alpha + \beta = \text{const}.
+\]
+
+Posons maintenant
+\[
+\alpha = \int_0^x \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\qquad
+\beta = \int_0^y \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}
+\]
+l'quation~(1) s'crira
+\[
+\tag{2}
+x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2} = \text{const}.
+\]
+
+Donc si cette galit est vrifie on doit avoir
+\[
+\tag{3}
+\int_0^x \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} + \int_0^y \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = \text{const}.
+\]
+
+%[Illustration]
+%[** PP: The original image is in ./images/sources/087a.png.
+% The original differs qualitatively from its equation in the text.]
+\begin{wrapfigure}[6]{l}{1.25in}
+\raisebox{0.125in}[1.125in][0pt]{\Input{087a}{1.25in}}
+\end{wrapfigure}
+Rapportons-nous deux axes coordonns $x, y,$ et soit
+$s$ un arc de la courbe ayant pour quation~(2), $M$ un point
+de la courbe, $M_1$ et $M_2$ ses projections sur les axes; alors
+$OM_1$ et $OM_2$ seront les amplitudes des deux intgrales qui
+paraissent dans la formule~(3).
+
+Le thorme de trigonomtrie %[** Typo trigomtrie]
+peut s'noncer en disant:%
+\begin{Prop}
+si on dplace le point $M$ sur la courbe $s$ la somme des intgrales
+\[
+\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\qquad \int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}
+\]
+tendues respectivement $OM_1$ et $OM_2$ est constante.
+\end{Prop}
+
+\Paragraph{2.} Passons une extension de ce thorme au cas de trois variables.
+
+\begin{Theorem}
+Envisageons les trois intgrales
+\[
+\Lmargintag{4} % [** PP: Typo (2)]
+\iint_{\sigma_1} \frac{dy\, dz}{\sqrt{\dfrac{b_2}{\lambda} z^2 - \dfrac{b_3}{\lambda} y^2 + \beta_1}},\quad
+\iint_{\sigma_2} \frac{dz\, dx}{\sqrt{\dfrac{b_3}{\mu} x^2 - \dfrac{b_1}{\mu} z^2 + \beta_2}},\quad
+\iint_{\sigma_3} \frac{dx\, dy}{\sqrt{\dfrac{b_1}{\nu} y^2 - \dfrac{b_2}{\nu} x^2 + \beta_3}}
+\]
+% [** PP: Changed \sigma_2 to \sigma_3 in third integral]
+%% -----File: 088.png---Folio 88-------
+o $b_1, b_2, b_3$; $\beta_1, \beta_2, \beta_3$; $\lambda, \mu, \nu$ sont des quantits constantes et $\lambda + \mu + \nu = 0$. Prenons
+la surface algbrique ayant pour quation par rapport aux axes coordonns $x, y, z$
+\end{Theorem}
+\[
+\Lmargintag{5}
+\lambda x \sqrt{\dfrac{b_2}{\lambda} z^2 - \dfrac{b_3}{\lambda} y^2 + \beta_1}
+ + \mu y \sqrt{\dfrac{b_3}{\mu} x^2 - \dfrac{b_1}{\mu} z^2 + \beta_2}
+ + \nu z \sqrt{\dfrac{b_1}{\nu} y^2 - \dfrac{b_2}{\nu} x^2 + \beta_3}
+ = \text{\upshape const}.
+\]
+%[Illustration]
+\begin{wrapfigure}{l}{2.75in}
+\Input{088a}{2.5in}
+\end{wrapfigure}
+\textit{et menons une ligne quelconque %[** PP: Typo quelqonque]
+$s$ ferme
+sur cette surface. Soient $s_1, s_2, s_3$
+les projections de cette ligne sur les plans
+coordonns, et supposons que nous tendions
+les trois intgrales~{\upshape(4)} aux aires $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$
+renfermes dans ces projections. Alors la
+somme des trois intgrales~{\upshape(4)} ne changera
+pas en dplaant et en dformant
+la ligne $s$ sur la surface~{\upshape(5)}.}
+
+
+La dmonstration de ce thorme
+ne prsente pas de difficults. Il donne
+videmment une extension du thorme
+lmentaire de trigonomtrie par l'emploi
+des fonctions de lignes. La remarque
+la plus intressante faire est que la
+surface algbrique constitue une liaison
+algbrique entre les trois lignes dont dpendent les trois intgrales. Ce thorme
+peut bien se gnraliser.
+
+\Tb
+
+Voir Volterra: Un teorema sugli integrali multipli. Att.\ della R. Accad.\
+di Torino, 1897.
+\vspace*{1in}
+\begin{center}
+\includegraphics[height=12pt]{./images/decoration.pdf}
+\end{center}
+%% -----File: 089.png---Folio 89-------
+
+%% Contents
+\cleardoublepage
+
+\phantomsection
+\pdfbookmark[0]{Table des Matires}{Table}
+
+\begin{center}
+\textbf{\Large Table.}
+\end{center}
+
+\null\hfill{\footnotesize{Page}}
+
+\ToCline{Premire leon}{pgchapter:1}
+\ToCline{Deuxime leon}{pgchapter:2}
+\ToCline{Troisime leon}{pgchapter:3}
+\ToCline{Quatrime leon}{pgchapter:4}
+\ToCline{Cinquime leon}{pgchapter:5}
+\ToCline{Sixime leon}{pgchapter:6}
+\ToCline{Septime leon}{pgchapter:7}
+\ToCline{Huitime leon}{pgchapter:8}
+\ToCline{Neuvime leon}{pgchapter:9}
+\ToCline{Dixime leon}{pgchapter:10}
+\ToCline{Onzime leon}{pgchapter:11}
+\ToCline{Note}{pgchapter:12}
+
+%% License
+\cleardoublepage
+
+\phantomsection
+\label{License}
+\pdfbookmark[0]{PG License.}{License}
+
+\begin{PGtext}
+End of the Project Gutenberg EBook of Leons sur l'intgration des quations
+Diffrentielles aux Drives Partielles, by Vito Volterra
+
+*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK QUATIONS DIFFRENTIELLES ***
+
+***** This file should be named 29783-pdf.pdf or 29783-pdf.zip *****
+This and all associated files of various formats will be found in:
+ http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29783/
+
+Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online
+Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The
+original copy of this book was generously made available
+for scanning by the Department of Mathematics at the
+University of Glasgow.)
+
+
+Updated editions will replace the previous one--the old editions
+will be renamed.
+
+Creating the works from public domain print editions means that no
+one owns a United States copyright in these works, so the Foundation
+(and you!) can copy and distribute it in the United States without
+permission and without paying copyright royalties. Special rules,
+set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to
+copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to
+protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project
+Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you
+charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you
+do not charge anything for copies of this eBook, complying with the
+rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose
+such as creation of derivative works, reports, performances and
+research. They may be modified and printed and given away--you may do
+practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is
+subject to the trademark license, especially commercial
+redistribution.
+
+
+
+*** START: FULL LICENSE ***
+
+THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE
+PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK
+
+To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free
+distribution of electronic works, by using or distributing this work
+(or any other work associated in any way with the phrase "Project
+Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project
+Gutenberg-tm License (available with this file or online at
+http://gutenberg.org/license).
+
+
+Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm
+electronic works
+
+1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm
+electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to
+and accept all the terms of this license and intellectual property
+(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all
+the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy
+all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession.
+If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project
+Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the
+terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or
+entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8.
+
+1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be
+used on or associated in any way with an electronic work by people who
+agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few
+things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works
+even without complying with the full terms of this agreement. See
+paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project
+Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement
+and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic
+works. See paragraph 1.E below.
+
+1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation"
+or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project
+Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the
+collection are in the public domain in the United States. If an
+individual work is in the public domain in the United States and you are
+located in the United States, we do not claim a right to prevent you from
+copying, distributing, performing, displaying or creating derivative
+works based on the work as long as all references to Project Gutenberg
+are removed. Of course, we hope that you will support the Project
+Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by
+freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of
+this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with
+the work. You can easily comply with the terms of this agreement by
+keeping this work in the same format with its attached full Project
+Gutenberg-tm License when you share it without charge with others.
+
+1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern
+what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in
+a constant state of change. If you are outside the United States, check
+the laws of your country in addition to the terms of this agreement
+before downloading, copying, displaying, performing, distributing or
+creating derivative works based on this work or any other Project
+Gutenberg-tm work. The Foundation makes no representations concerning
+the copyright status of any work in any country outside the United
+States.
+
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+Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed,
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+
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+almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or
+re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
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+from the public domain (does not contain a notice indicating that it is
+posted with permission of the copyright holder), the work can be copied
+and distributed to anyone in the United States without paying any fees
+or charges. If you are redistributing or providing access to a work
+with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the
+work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1
+through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the
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+1.E.9.
+
+1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted
+with the permission of the copyright holder, your use and distribution
+must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional
+terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked
+to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the
+permission of the copyright holder found at the beginning of this work.
+
+1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm
+License terms from this work, or any files containing a part of this
+work or any other work associated with Project Gutenberg-tm.
+
+1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this
+electronic work, or any part of this electronic work, without
+prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with
+active links or immediate access to the full terms of the Project
+Gutenberg-tm License.
+
+1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary,
+compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any
+word processing or hypertext form. However, if you provide access to or
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+"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version
+posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org),
+you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a
+copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon
+request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other
+form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm
+License as specified in paragraph 1.E.1.
+
+1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying,
+performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works
+unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9.
+
+1.E.8. You may charge a reasonable fee for copies of or providing
+access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided
+that
+
+- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from
+ the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method
+ you already use to calculate your applicable taxes. The fee is
+ owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he
+ has agreed to donate royalties under this paragraph to the
+ Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments
+ must be paid within 60 days following each date on which you
+ prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax
+ returns. Royalty payments should be clearly marked as such and
+ sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the
+ address specified in Section 4, "Information about donations to
+ the Project Gutenberg Literary Archive Foundation."
+
+- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies
+ you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he
+ does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm
+ License. You must require such a user to return or
+ destroy all copies of the works possessed in a physical medium
+ and discontinue all use of and all access to other copies of
+ Project Gutenberg-tm works.
+
+- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
+ money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
+ electronic work is discovered and reported to you within 90 days
+ of receipt of the work.
+
+- You comply with all other terms of this agreement for free
+ distribution of Project Gutenberg-tm works.
+
+1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
+electronic work or group of works on different terms than are set
+forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
+both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
+Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the
+Foundation as set forth in Section 3 below.
+
+1.F.
+
+1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable
+effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
+public domain works in creating the Project Gutenberg-tm
+collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic
+works, and the medium on which they may be stored, may contain
+"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or
+corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual
+property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a
+computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by
+your equipment.
+
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+of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project
+Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project
+Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project
+Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all
+liability to you for damages, costs and expenses, including legal
+fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT
+LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE
+PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE
+TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE
+LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
+INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH
+DAMAGE.
+
+1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a
+defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can
+receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a
+written explanation to the person you received the work from. If you
+received the work on a physical medium, you must return the medium with
+your written explanation. The person or entity that provided you with
+the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a
+refund. If you received the work electronically, the person or entity
+providing it to you may choose to give you a second opportunity to
+receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy
+is also defective, you may demand a refund in writing without further
+opportunities to fix the problem.
+
+1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth
+in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
+WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
+WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.
+
+1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied
+warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages.
+If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the
+law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be
+interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
+the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any
+provision of this agreement shall not void the remaining provisions.
+
+1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the
+trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
+providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
+with this agreement, and any volunteers associated with the production,
+promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
+harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
+that arise directly or indirectly from any of the following which you do
+or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
+work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
+Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.
+
+
+Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm
+
+Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
+electronic works in formats readable by the widest variety of computers
+including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists
+because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
+people in all walks of life.
+
+Volunteers and financial support to provide volunteers with the
+assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
+goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
+remain freely available for generations to come. In 2001, the Project
+Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
+and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
+To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
+and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
+and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.
+
+
+Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive
+Foundation
+
+The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
+501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
+state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
+Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification
+number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at
+http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
+permitted by U.S. federal laws and your state's laws.
+
+The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
+Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
+throughout numerous locations. Its business office is located at
+809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
+business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact
+information can be found at the Foundation's web site and official
+page at http://pglaf.org
+
+For additional contact information:
+ Dr. Gregory B. Newby
+ Chief Executive and Director
+ gbnewby@pglaf.org
+
+
+Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation
+
+Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
+spread public support and donations to carry out its mission of
+increasing the number of public domain and licensed works that can be
+freely distributed in machine readable form accessible by the widest
+array of equipment including outdated equipment. Many small donations
+($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
+status with the IRS.
+
+The Foundation is committed to complying with the laws regulating
+charities and charitable donations in all 50 states of the United
+States. Compliance requirements are not uniform and it takes a
+considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
+with these requirements. We do not solicit donations in locations
+where we have not received written confirmation of compliance. To
+SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
+particular state visit http://pglaf.org
+
+While we cannot and do not solicit contributions from states where we
+have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
+against accepting unsolicited donations from donors in such states who
+approach us with offers to donate.
+
+International donations are gratefully accepted, but we cannot make
+any statements concerning tax treatment of donations received from
+outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff.
+
+Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
+methods and addresses. Donations are accepted in a number of other
+ways including checks, online payments and credit card donations.
+To donate, please visit: http://pglaf.org/donate
+
+
+Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic
+works.
+
+Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
+concept of a library of electronic works that could be freely shared
+with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project
+Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.
+
+
+Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
+editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
+unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily
+keep eBooks in compliance with any particular paper edition.
+
+
+Most people start at our Web site which has the main PG search facility:
+
+ http://www.gutenberg.org
+
+This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
+including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
+Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
+subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
+\end{PGtext}
+
+\vfill
+
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+% %
+% End of the Project Gutenberg EBook of Leons sur l'intgration des quations
+% Diffrentielles aux Drives Partielles, by Vito Volterra %
+% %
+% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK QUATIONS DIFFRENTIELLES *** %
+% %
+% ***** This file should be named 29783-t.tex or 29783-t.zip ***** %
+% This and all associated files of various formats will be found in: %
+% http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29783/ %
+% %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+\end{document}
+
+### lprep configuration
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+(./29783-t.tex
+LaTeX2e <2005/12/01>
+Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
+yphenation, loaded.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
+Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
+File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
+File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count79
+\c@chapter=\count80
+\c@section=\count81
+\c@subsection=\count82
+\c@subsubsection=\count83
+\c@paragraph=\count84
+\c@subparagraph=\count85
+\c@figure=\count86
+\c@table=\count87
+\abovecaptionskip=\skip41
+\belowcaptionskip=\skip42
+\bibindent=\dimen102
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+\inpenc@prehook=\toks14
+\inpenc@posthook=\toks15
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
+File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
+Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
+File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
+Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count88
+\U@D=\dimen103
+)
+
+Package babel Warning: No hyphenation patterns were loaded for
+(babel) the language `French'
+(babel) I will use the patterns loaded for \language=0 instead.
+
+\l@french = a dialect from \language0
+Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
+Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
+Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
+Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
+\parindentFFN=\dimen104
+\std@mcc=\count89
+\dec@mcc=\count90
+*************************************
+* Local config file frenchb.cfg used
+*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
+xlive/tex/latex/base/textcomp.sty
+Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+Package textcomp Info: Sub-encoding information:
+(textcomp) 5 = only ISO-Adobe without \textcurrency
+(textcomp) 4 = 5 + \texteuro
+(textcomp) 3 = 4 + \textohm
+(textcomp) 2 = 3 + \textestimated + \textcurrency
+(textcomp) 1 = TS1 - \textcircled - \t
+(textcomp) 0 = TS1 (full)
+(textcomp) Font families with sub-encoding setting implement
+(textcomp) only a restricted character set as indicated.
+(textcomp) Family '?' is the default used for unknown fonts.
+(textcomp) See the documentation for details.
+Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def
+File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
+)
+LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266.
+Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281.
+Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282.
+Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283.
+Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284.
+Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285.
+Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286.
+Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287.
+Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288.
+Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289.
+Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290.
+Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291.
+Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292.
+Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293.
+Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294.
+Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295.
+Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296.
+Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297.
+Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298.
+Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299.
+Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300.
+Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301.
+Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302.
+Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303.
+Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304.
+
+Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305.
+Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306.
+Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307.
+Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308.
+Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309.
+Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310.
+Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 311.
+Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 312.
+Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313.
+Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314.
+Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315.
+Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316.
+Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317.
+Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318.
+Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319.
+Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320.
+Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321.
+Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322.
+Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323.
+Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324.
+Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325.
+Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
+Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
+\@emptytoks=\toks16
+\ex@=\dimen105
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
+\pmbraise@=\dimen106
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
+)
+\inf@bad=\count91
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
+\uproot@=\count92
+\leftroot@=\count93
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
+\classnum@=\count94
+\DOTSCASE@=\count95
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
+\Mathstrutbox@=\box26
+\strutbox@=\box27
+\big@size=\dimen107
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567.
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
+\macc@depth=\count96
+\c@MaxMatrixCols=\count97
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count98
+\dspbrk@lvl=\count99
+\tag@help=\toks17
+\row@=\count100
+\column@=\count101
+\maxfields@=\count102
+\andhelp@=\toks18
+\eqnshift@=\dimen108
+\alignsep@=\dimen109
+\tagshift@=\dimen110
+\tagwidth@=\dimen111
+\totwidth@=\dimen112
+\lineht@=\dimen113
+\@envbody=\toks19
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks20
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
+Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks21
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
+File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
+\Gread@gobject=\count103
+))
+\Gin@req@height=\dimen114
+\Gin@req@width=\dimen115
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+\wrapoverhang=\dimen116
+\WF@size=\dimen117
+\c@WF@wrappedlines=\count104
+\WF@box=\box28
+\WF@everypar=\toks22
+Package: wrapfig 2003/01/31 v 3.6
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
+\fancy@headwidth=\skip46
+\f@ncyO@elh=\skip47
+\f@ncyO@erh=\skip48
+\f@ncyO@olh=\skip49
+\f@ncyO@orh=\skip50
+\f@ncyO@elf=\skip51
+\f@ncyO@erf=\skip52
+\f@ncyO@olf=\skip53
+\f@ncyO@orf=\skip54
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
+Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
+\Gm@cnth=\count105
+\Gm@cntv=\count106
+\c@Gm@tempcnt=\count107
+\Gm@bindingoffset=\dimen118
+\Gm@wd@mp=\dimen119
+\Gm@odd@mp=\dimen120
+\Gm@even@mp=\dimen121
+\Gm@dimlist=\toks23
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
+\@linkdim=\dimen122
+\Hy@linkcounter=\count108
+\Hy@pagecounter=\count109
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
+File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
+Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
+HO)
+)
+Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
+8.
+Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
+Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
+Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip11
+Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc.
+)
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
+\Fld@menulength=\count110
+\Field@Width=\dimen123
+\Fld@charsize=\dimen124
+\Choice@toks=\toks24
+\Field@toks=\toks25
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
+\Hy@abspage=\count111
+\c@Item=\count112
+)
+*hyperref using driver hpdftex*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
+\Fld@listcount=\count113
+)
+\c@Parno=\count114
+\c@Chapter=\count115
+(./29783-t.aux)
+\openout1 = `29783-t.aux'.
+
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 408.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 408.
+(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
+File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: Try loading font information for TS1+cmr on input line 408.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd
+File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+)
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 408.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 408.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 408.
+-------------------- Geometry parameters
+paper: class default
+landscape: --
+twocolumn: --
+twoside: true
+asymmetric: --
+h-parts: 79.49698pt, 415.55249pt, 119.24553pt
+v-parts: 86.724pt, 578.15999pt, 130.086pt
+hmarginratio: 2:3
+vmarginratio: 2:3
+lines: --
+heightrounded: --
+bindingoffset: 0.0pt
+truedimen: --
+includehead: --
+includefoot: --
+includemp: --
+driver: pdftex
+-------------------- Page layout dimensions and switches
+\paperwidth 614.295pt
+\paperheight 794.96999pt
+\textwidth 415.55249pt
+\textheight 578.15999pt
+\oddsidemargin 7.22699pt
+\evensidemargin 46.97554pt
+\topmargin -17.41978pt
+\headheight 12.0pt
+\headsep 19.8738pt
+\footskip 30.0pt
+\marginparwidth 98.0pt
+\marginparsep 7.0pt
+\columnsep 10.0pt
+\skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
+\hoffset 0.0pt
+\voffset 0.0pt
+\mag 1000
+\@twosidetrue \@mparswitchtrue
+(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
+-----------------------
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
+Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
+File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
+)
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 408.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
+Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
+Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
+)
+\c@section@level=\count116
+)
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 408.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 408.
+(./29783-t.out) (./29783-t.out)
+\@outlinefile=\write3
+\openout3 = `29783-t.out'.
+
+LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmtt on input line 421.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
+File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+)
+LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 444.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+)
+LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 444.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+) [1
+
+{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2
+
+] [1
+
+] [2
+
+] [1] [2] [3] [4] <./images/007a.pdf, id=490, 146.5475pt x 145.54375pt>
+File: ./images/007a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/007a.pdf> <./images/007b.pdf, id=491, 146.5475pt x 145.54375pt>
+File: ./images/007b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/007b.pdf> [1
+
+ <./images/007a.pdf> <./images/007b.pdf>] [2]
+Overfull \hbox (13.85364pt too wide) detected at line 841
+\OT1/cmr/m/n/12 (1) [] (2) []
+ []
+
+[3] <./images/010a.pdf, id=540, 160.6pt x 145.54375pt>
+File: ./images/010a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/010a.pdf>
+File: ./images/010a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/010a.pdf> <./images/011b.pdf, id=541, 160.6pt x 146.5475pt>
+File: ./images/011b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/011b.pdf> [4 <./images/010a.pdf>] [5 <./images/011b.pdf>]
+Overfull \hbox (0.77466pt too wide) in paragraph at lines 1086--1086
+[]
+ []
+
+
+Overfull \hbox (46.51907pt too wide) in paragraph at lines 1128--1128
+[]
+ []
+
+
+Overfull \hbox (23.02481pt too wide) in paragraph at lines 1101--1133
+| $[]$
+ []
+
+[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] <./images/021a.pdf, id=634, 110.4125pt x 110.412
+5pt>
+File: ./images/021a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/021a.pdf> [13]
+Underfull \hbox (badness 2529) in paragraph at lines 1565--1582
+\T1/cmr/m/n/12 tranche ra-di-ale, et soudons les deux bouts. On
+ []
+
+<./images/021b.pdf, id=641, 154.5775pt x 128.48pt>
+File: ./images/021b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/021b.pdf> [14 <./images/021a.pdf> <./images/021b.pdf>] <./images/
+022a.pdf, id=660, 114.4275pt x 152.57pt>
+File: ./images/022a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/022a.pdf> [15 <./images/022a.pdf>] <./images/023a.pdf, id=668, 82
+.3075pt x 199.74625pt>
+File: ./images/023a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/023a.pdf> <./images/023b.pdf, id=669, 89.33376pt x 191.71625pt>
+File: ./images/023b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/023b.pdf> <./images/023c.pdf, id=670, 160.6pt x 123.46124pt>
+File: ./images/023c.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/023c.pdf> [16 <./images/023a.pdf> <./images/023b.pdf> <./images/0
+23c.pdf>] <./images/024a.pdf, id=686, 189.70876pt x 201.75375pt>
+File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/024a.pdf> <./images/024b.pdf, id=687, 112.42pt x 126.4725pt>
+File: ./images/024b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/024b.pdf> [17 <./images/024a.pdf> <./images/024b.pdf>] [18] [19]
+<./images/027a.pdf, id=719, 110.4125pt x 110.4125pt>
+File: ./images/027a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/027a.pdf> [20 <./images/027a.pdf>] [21] <./images/029a.pdf, id=75
+1, 173.64874pt x 95.35625pt>
+File: ./images/029a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/029a.pdf>
+Underfull \hbox (badness 1533) in paragraph at lines 2000--2012
+[][]\T1/cmr/m/n/12 Celle que nous avons trou-ve n'est
+ []
+
+<./images/030a.pdf, id=752, 141.52875pt x 147.55125pt>
+File: ./images/030a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/030a.pdf> [22 <./images/029a.pdf> <./images/030a.pdf>]
+Overfull \hbox (6.04103pt too wide) in paragraph at lines 2055--2057
+[]\T1/cmr/m/n/12 Supposons main-tenant que la sur-face $\OT1/cmr/m/n/12 ^^F$ \T
+1/cmr/m/n/12 en dcrois-sant in-fin-i-ment d'une manire
+ []
+
+[23]
+Underfull \vbox (badness 1609) has occurred while \output is active []
+
+[24] <./images/033a.pdf, id=793, 143.53625pt x 128.48pt>
+File: ./images/033a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/033a.pdf> [25 <./images/033a.pdf>] <./images/033b.pdf, id=815, 13
+0.4875pt x 56.21pt>
+File: ./images/033b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/033b.pdf> <./images/034a.pdf, id=816, 102.3825pt x 110.4125pt>
+File: ./images/034a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/034a.pdf> <./images/034b.pdf, id=817, 102.3825pt x 110.4125pt>
+File: ./images/034b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/034b.pdf> <./images/034c.pdf, id=818, 110.4125pt x 110.4125pt>
+File: ./images/034c.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/034c.pdf> [26 <./images/033b.pdf> <./images/034a.pdf> <./images/0
+34b.pdf>] [27 <./images/034c.pdf>] [28] <./images/038a.pdf, id=867, 103.38625pt
+ x 44.165pt>
+File: ./images/038a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/038a.pdf>
+Underfull \vbox (badness 4531) has occurred while \output is active []
+
+[29] [30 <./images/038a.pdf>] [31] [32] [33]
+Overfull \hbox (0.23227pt too wide) in paragraph at lines 2663--2667
+[]\T1/cmr/m/n/12 La d-com-po-si-tion de $\OML/cmm/m/it/12 F$ \T1/cmr/m/n/12 en
+ ses di-viseurs peut se faire d'une in-finit de manires.
+ []
+
+[34] [35] [36]
+Overfull \hbox (1.79791pt too wide) detected at line 2796
+[] []
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.14494pt too wide) detected at line 2838
+[] []
+ []
+
+[37]
+Overfull \hbox (15.3391pt too wide) detected at line 2872
+[][] \OT1/cmr/m/n/10.95 = [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ; [][] \OT1/cmr/m/n
+/10.95 = [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ; [][] \OT1/cmr/m/n/10.95 = [][] [] \OM
+L/cmm/m/it/10.95 :
+ []
+
+[38] [39] [40] [41] <./images/050a.pdf, id=986, 128.48pt x 128.48pt>
+File: ./images/050a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/050a.pdf> <./images/051a.pdf, id=987, 144.54pt x 152.57pt>
+File: ./images/051a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/051a.pdf> <./images/051b.pdf, id=988, 144.54pt x 156.585pt>
+File: ./images/051b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/051b.pdf> [42 <./images/050a.pdf>]
+Underfull \hbox (badness 1331) in paragraph at lines 3188--3202
+\T1/cmr/m/n/12 et ap-pelons $\OML/cmm/m/it/12 ^^[[]$ \T1/cmr/m/n/12 une sur-fac
+e
+ []
+
+
+Underfull \hbox (badness 1303) in paragraph at lines 3188--3202
+\T1/cmr/m/n/12 par le cne et ayant pour
+ []
+
+[43 <./images/051a.pdf> <./images/051b.pdf>] <./images/053a.pdf, id=1043, 185.6
+9376pt x 120.45pt>
+File: ./images/053a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/053a.pdf> <./images/053b.pdf, id=1044, 185.69376pt x 120.45pt>
+File: ./images/053b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/053b.pdf> [44 <./images/053a.pdf>]
+Overfull \hbox (12.7762pt too wide) detected at line 3341
+[] []
+ []
+
+[45 <./images/053b.pdf>] <./images/055a.pdf, id=1084, 201.75375pt x 122.4575pt>
+File: ./images/055a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/055a.pdf>
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[46 <./images/055a.pdf>]
+Overfull \hbox (16.81837pt too wide) detected at line 3515
+[] []
+ []
+
+[47]
+Overfull \hbox (6.16205pt too wide) detected at line 3576
+[] []
+ []
+
+<./images/057a.pdf, id=1108, 146.5475pt x 109.40875pt>
+File: ./images/057a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/057a.pdf> [48]
+Overfull \hbox (28.96294pt too wide) detected at line 3634
+[]\OML/cmm/m/it/10.95 v\OT1/cmr/m/n/10.95 (\OML/cmm/m/it/10.95 x[] y[] z[]\OT1/
+cmr/m/n/10.95 ) = [] [][] \OML/cmm/m/it/10.95 ds [] ;
+ []
+
+<./images/057b.pdf, id=1118, 218.8175pt x 162.6075pt>
+File: ./images/057b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/057b.pdf> <./images/058a.pdf, id=1119, 218.8175pt x 160.6pt>
+File: ./images/058a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/058a.pdf> [49 <./images/057a.pdf> <./images/057b.pdf> <./images/0
+58a.pdf>] <./images/058b.pdf, id=1159, 248.93pt x 182.6825pt>
+File: ./images/058b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/058b.pdf>
+Overfull \hbox (4.00078pt too wide) detected at line 3704
+[] []
+ []
+
+<./images/059a.pdf, id=1160, 192.72pt x 104.39pt>
+File: ./images/059a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/059a.pdf> [50 <./images/058b.pdf>] <./images/060a.pdf, id=1183, 3
+54.32375pt x 127.47626pt>
+File: ./images/060a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/060a.pdf> [51 <./images/059a.pdf> <./images/060a.pdf>]
+Overfull \hbox (1.88567pt too wide) in paragraph at lines 3863--3863
+[]
+ []
+
+<./images/061a.pdf, id=1208, 256.96pt x 140.525pt>
+File: ./images/061a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/061a.pdf> [52 <./images/061a.pdf>] [53] [54]
+Overfull \hbox (11.59103pt too wide) detected at line 4053
+[] []
+ []
+
+[55] [56]
+Overfull \hbox (19.2471pt too wide) in paragraph at lines 4145--4161
+[]\T1/cmr/m/n/12 Je pos-s-dais en 1892 ce thorme lorsque j'-tu-di-ais le m
+-moire de M$[]$ Kowalewski
+ []
+
+[57] [58] [59] [60] <./images/070a.pdf, id=1290, 161.60374pt x 151.56625pt>
+File: ./images/070a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/070a.pdf> [61 <./images/070a.pdf>] <./images/071a.pdf, id=1303, 1
+61.60374pt x 151.56625pt>
+File: ./images/071a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/071a.pdf> [62 <./images/071a.pdf>] <./images/072a.pdf, id=1325, 1
+43.53625pt x 133.49875pt>
+File: ./images/072a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/072a.pdf> <./images/073a.pdf, id=1326, 136.51pt x 130.4875pt>
+File: ./images/073a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/073a.pdf> [63 <./images/072a.pdf> <./images/073a.pdf>] <./images/
+073b.pdf, id=1352, 161.60374pt x 218.8175pt>
+File: ./images/073b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/073b.pdf> <./images/073c.pdf, id=1353, 215.80624pt x 208.78pt>
+File: ./images/073c.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/073c.pdf> [64 <./images/073b.pdf> <./images/073c.pdf>] <./images/
+075a.pdf, id=1384, 179.67125pt x 167.62625pt>
+File: ./images/075a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/075a.pdf> [65 <./images/075a.pdf>]
+Underfull \vbox (badness 3281) has occurred while \output is active []
+
+[66] <./images/076a.pdf, id=1407, 204.765pt x 195.73125pt>
+File: ./images/076a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/076a.pdf> [67 <./images/076a.pdf>] <./images/077a.pdf, id=1427, 1
+18.4425pt x 98.3675pt>
+File: ./images/077a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/077a.pdf>
+Overfull \hbox (18.20973pt too wide) detected at line 4731
+\OML/cmm/m/it/12 X \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 v[] \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@
+\OML/cmm/m/it/12 u[]; Y \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 i [] ; Z \OT1/cmr/
+m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 uv
+ []
+
+[68 <./images/077a.pdf>] <./images/078a.pdf, id=1439, 199.74625pt x 175.65625pt
+>
+File: ./images/078a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/078a.pdf> <./images/079a.pdf, id=1440, 204.765pt x 187.70125pt>
+File: ./images/079a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/079a.pdf> <./images/079b.pdf, id=1441, 201.75375pt x 219.82124pt>
+File: ./images/079b.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/079b.pdf> <./images/079c.pdf, id=1442, 216.81pt x 225.84375pt>
+File: ./images/079c.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/079c.pdf> [69 <./images/078a.pdf>]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[70 <./images/079a.pdf> <./images/079b.pdf> <./images/079c.pdf>] [71]
+Overfull \hbox (0.63164pt too wide) detected at line 4984
+[] [] \OT1/cmr/m/n/12 = [] [] \OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/
+12 t[] z[]\OT1/cmr/m/n/12 )
+ []
+
+
+Overfull \hbox (7.81781pt too wide) detected at line 5007
+[] []
+ []
+
+[72] <./images/082a.pdf, id=1536, 184.69pt x 163.61125pt>
+File: ./images/082a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/082a.pdf>
+Overfull \hbox (0.716pt too wide) detected at line 5059
+\OT1/cmr/m/n/10.95 2(\OML/cmm/m/it/10.95 m\OT1/cmr/m/n/10.95 )[] \OML/cmm/m/it/
+10.95 u\OT1/cmr/m/n/10.95 (\OML/cmm/m/it/10.95 t[] z[]\OT1/cmr/m/n/10.95 ) = []
+ [] \OML/cmm/m/it/10.95 :
+ []
+
+[73 <./images/082a.pdf>] [74]
+Overfull \hbox (4.93651pt too wide) in paragraph at lines 5119--5125
+[]\T1/cmr/m/n/12 Or on d-mon-tre que $\OML/cmm/m/it/12 V$ \T1/cmr/m/n/12 est d
+ter-mine si l'on con-nat les valeurs $\OML/cmm/m/it/12 V[]$ \T1/cmr/m/n/12 e
+t $[][] \OT1/cmr/m/n/12 =
+ []
+
+[75] [76] <./images/087a.pdf, id=1581, 118.4425pt x 113.42375pt>
+File: ./images/087a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/087a.pdf> [77]
+Overfull \hbox (3.34244pt too wide) detected at line 5299
+[] [] [][] []\OML/cmm/m/it/12 ; [] [][] []; [] [][] []
+ []
+
+<./images/088a.pdf, id=1595, 173.64874pt x 164.615pt>
+File: ./images/088a.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/088a.pdf> [78 <./images/087a.pdf> <./images/088a.pdf>] <./images/
+decoration.pdf, id=1618, 469.755pt x 40.15pt>
+File: ./images/decoration.pdf Graphic file (type pdf)
+<use ./images/decoration.pdf> [79 <./images/decoration.pdf>] [80
+
+]
+Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5360--5372
+
+ []
+
+[81] [82
+
+]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[83]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[84]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[85]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[86]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[87]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+[88] [89] (./29783-t.aux)
+
+ *File List*
+ book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
+ leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
+ bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
+inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+ latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+ fontenc.sty
+ t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
+ babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package
+ frenchb.ldf
+ frenchb.cfg
+textcomp.sty 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
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+ amstext.sty 2000/06/29 v2.01
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+ amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d
+amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f
+ alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
+graphicx.sty 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
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+graphics.sty 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
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+fancyhdr.sty
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+ pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+kvoptions.sty 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
+)
+ url.sty 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc.
+ hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
+ t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
+ ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+ color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+ color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+ nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
+refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
+ 29783-t.out
+ 29783-t.out
+ t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+ umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+ umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+./images/007a.pdf
+./images/007b.pdf
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+./images/010a.pdf
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+./images/021a.pdf
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+./images/057b.pdf
+./images/058a.pdf
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