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| author | Roger Frank <rfrank@pglaf.org> | 2025-10-15 02:48:12 -0700 |
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You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions +% % +% Author: Ernst Leonard Lindelöf % +% % +% Release Date: August 24, 2009 [EBook #29781] % +% % +% Language: French % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{29781} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% pxfonts: Palatino. Required; size, pagination differ from cmr. %% +%% geometry: Enhanced page layout package. Required. %% +%% %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% babel: French hyphenation rules. 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Both %% +%% enlarge the superscript for readability; the latter handles %% +%% exponents containing fractions, which are raised and kerned. %% +%% %% +%% * Major sectional units can be found by searching for a string %% +%% of three consecutive asterisks (***). PPer comments and typo %% +%% markers can be found by searching for two asterisks. %% +%% %% +%% * The publisher's mark (gauthier_villars), illustrations (016, %% +%% 072, 103, 105), thought breaks (tb, tb2), and the residue sum %% +%% symbol (residue_sum_glyph)---are provided as pdf files. %% +%% %% +%% Compile History: %% +%% %% +%% April, 2008: adhere (Andrew D. Hwang) %% +%% texlive2007, GNU/Linux %% +%% %% +%% Command block: %% +%% %% +%% pdflatex x3 (Run pdflatex three times) %% +%% %% +%% %% +%% August 2009: pglatex. %% +%% Compile this project with: %% +%% pdflatex 29781-t.tex ..... THREE times %% +%% %% +%% pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) %% +%% %% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\listfiles +% N.B. global french, letterpaper options +\documentclass[leqno,12pt,french,letterpaper]{book}[2005/09/16] + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding +\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27] +\usepackage[french]{babel}[2005/11/23] + +\usepackage{ifthen}[2001/05/26] %% Logical conditionals + +\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Required for displayed equations +\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols + +\usepackage{alltt}[1997/06/16] %% boilerplate, credits, license + +\usepackage{pxfonts}[2005/01/03] %% Palatino + +\usepackage[multiple]{footmisc}[2005/03/17] %% \dagger flags changes in text +\usepackage[para]{manyfoot}[2005/09/11] +\usepackage{perpage}[2006/07/15] %% footnote numbering restarts on each page + +% for residuesum, thoughtbreaks, publisher's mark, and figures +\usepackage{graphicx}[1999/02/16] + +% for advertisements, tables of contents +\usepackage{tabularx}[1999/01/07] + +% for titlepage +\IfFileExists{soul.sty}{% load soul package for letterspaced headings + \usepackage{soul}[2003/11/17] + }{% else make \so a no-op + \providecommand\so[1]{##1} +} + +% for running heads, +\usepackage{fancyhdr} + +% but we'll handle the hrule at page top when we need it +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% Interlude: Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% ForPrinting=true (default) false +% Asymmetric margins Symmetric margins +% Black hyperlinks Blue hyperlinks +% Start Preface, ToC, etc. recto No blank verso pages +% +% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned +% book. This behavior has been retained. +\newboolean{ForPrinting} + +%% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %% +\setboolean{ForPrinting}{true} + +%% Initialize values to ForPrinting=false +\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1} % Symmetric margins +\newcommand{\HLinkColor}{blue} % Hyperlink color +\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage} +\newcommand{\TransNote}{Note sur la transcription} +\newcommand{\TransNoteCommon}{% + Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell + University Library: Historical Mathematics Monographs collection. + \bigskip + + Des modifications mineures ont été apportées à la présentation, + l'orthographe, la ponctuation, et aux notations mathématiques.} + +\newcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + \bigskip + + Ce fichier est optimisée pour être lu sur un écran, mais peut être + aisément reformater pour être imprimer. Veuillez consulter le + préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.} + +%% Re-set if ForPrinting=true +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins + \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color + \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} + \renewcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + \bigskip + + Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément + reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le + préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions. + } +}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} +} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% The printed book's text block is well-approximated by hscale=0.57, +% but the geometry package default value hscale=0.7 is painstakingly +% chosen to minimize the number and size of bad line breaks in +% Palatino, and is not uncomfortable to read, ~65 chars per line. +% +% The vscale value is the package default, specified explicitly to guard +% against changes to geometry.sty. +% +% Add the option "centering" for symmetric margins (tested, no problems). +% N.B. global letterpaper option above +\usepackage[body={5.95in,7.7in},\Margins]{geometry}[2002/07/08] + +\providecommand{\ebook}{00000} % Overridden during white-washing +\usepackage[pdftex, + hyperfootnotes=false, + pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions}, + pdfauthor={Ernst Leonard Lindelöf}, + pdfkeywords={Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University Historical Mathematical Monographs collection}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +% Re-crop screen-formatted version +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {} + {\hypersetup{pdfpagescrop= 65 90 547 752}} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% Cross-referencing: labels and refs +\newcommand{\Pagelabel}[1]{% + \phantomsection + \label{#1} +} + +% ``equation tag'', labels equation with Roman section and equation number +\newcommand{\EqnTag}[3]{% + \tag{#3}% + % e.g. \label{eqn:IV.III.12} = equation 12 in Chapter IV, Section III + \Pagelabel{eqn:#1.#2.#3} +} + +% Errata (four) +\newcommand{\Erratum}[1]{\Pagelabel{err#1}} +\newcommand{\ErrNote}[1] + {\hyperref[err#1]{Page~\oldstylenums{\pageref{err#1}}}} +\newcommand{\Change}{\quad\longrightarrow\quad} + + +% ``equation reference'', e.g., \Eref{IV}{III}{12} -> \EqnTag{IV}{III}{12} +\newcommand{\Eref}[3]{\hyperref[eqn:#1.#2.#3]{\upshape(#3)}} + +% ``section reference'' +\newcommand{\Sref}[1]{{\upshape\ref{paragraph:#1}}} + +% page~n, making the preceding word part of the hyperlink: +% \Pgref{page}{page142} or \Pgref{p.}{17} +\newcommand{\Pgref}[2]{% + \hyperref[#2]{#1~{\protect\upshape\oldstylenums{\pageref{#2}}}}% +} + +%% Sectioning: Chapter, Section, Paragraph divisions +\newcounter{Chapter} +\renewcommand{\theChapter}{\Roman{Chapter}} + +% \Chapter{Roman Num}{Title} +% Must be preceded by an explicit \cleardoublepage if needed; chapter I is +% preceded by a half-title heading on the same page. +\newcommand{\Chapter}[2]{% + \refstepcounter{Chapter} + + % drop anchors + \Pagelabel{chapter:#1} + \phantomsection + \pdfbookmark[0]{Chapitre #1}{chapter:#1} + + % set up running heads + \thispagestyle{empty} + \fancyhead[CO]{\small{\textsc{\MakeLowercase{#2}}}} + \fancyhead[CE]{\small{\textsc{chapitre~\MakeLowercase{\theChapter.}}}} + + % page formatting + \begin{center} + \rule{\textwidth}{0.5pt} \\[12ex] + \textbf{\Large CHAPITRE~#1.} \\[2ex] + + \textbf{\small #2} \\[3ex] + + \rule[1ex]{0.2\textwidth}{0.5pt} + \end{center} +} + +% Chapter-like, but has no counter, sets up running heads differently +\newcommand{\Preface}{% + % set up running head, cf. \Chapter + \thispagestyle{empty} + \fancyhead[C]{\small\textsc{\MakeLowercase{PRÉFACE.}}} + + % anchor + \phantomsection + \pdfbookmark[0]{Préface}{Preface} + + % page formatting + \begin{center} + \rule{\textwidth}{0.5pt} \\[12ex] + \textbf{\LARGE PRÉFACE.} + + \rule{0.2\textwidth}{0.5pt} \\[6ex] + \end{center} + \Pagelabel{Preface} +} + +% \Section +\newcommand{\Section}[3]{% + \subsection*{\centering\normalfont\upshape\normalsize #2. --- \itshape #3} + \phantomsection + \pdfbookmark[1]{Section #1.#2}{section:#1.#2} + \Pagelabel{section:#1.#2} +} + +% \Paragraph: numbered units +\newcounter{Parno} +\newcommand{\Paragraph}[1]{% + \refstepcounter{Parno}% + % [** PP: Post-tag skip smaller than \paragraph spacing] + \indent\textbf{#1}\hspace{0.25em} + \Pagelabel{paragraph:\theParno} +} + + +% Miscellaneous referrable units: \Figure, \Theorem + +% Non-floating figure ``environment'' +\newcommand{\Figure}[2]{% + \begin{center} + \begin{minipage}{3in} + \begin{center} + Fig.~#1. \\[1ex] + \includegraphics{./images/#2} + \Pagelabel{figure:#1} + \end{center} + \end{minipage} + \end{center} +} + + +% Set paragraph in italics after small skip, make label; does not +% print ``Theorem'' or otherwise mark the italicized passage. +\newcommand{\Theorem}[2]{% + \smallskip + + \Pagelabel{theorem:#1} + \textit{#2} +} + + +% Surround footnote markers with upright parentheses +\makeatletter +\renewcommand\@makefnmark% + {\mbox{\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} + +\renewcommand\@makefntext[1]% + {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1} +\makeatother + + +% Top-level footnote numbers restart on each page +\MakePerPage{footnote} + +% for Change notes +\DeclareNewFootnote[para]{Ch}[roman] +\newcommand{\Changenotemark}{\FootnotemarkCh{\dag}} + +\newcommand{\Changenotetext}[1] + {\FootnotetextCh{\dag}{\ \textit{Voir \hyperref[Notes]{Note~#1}.}}} + +% Space between Section number and title in ToC; otherwise retaining +% F-rounds' manual formatting. +\newlength{\Tocskip} +\setlength{\Tocskip}{1.5em} +\newcommand{\TocBox}[1]{\makebox[\Tocskip][r]{#1}} + + +% Glyphs 'n things: +% \residuesum (scripty Sigma), +% \dint (medium-sized integral sign for paragraph mode), +% \smfrac, \fnfrac (medium-sized \dfracs for paragraph mode, footnotes), +% \Tbreak, bigTreak (fancy thoughtbreak symbols) + +% A good copy of the glyph was cut from a scanned page (043.png), +% converted to a bmp with ImageMagick, to esp with potrace, and +% finally to pdf with epstopdf. +\newsavebox{\resglyph} +\savebox{\resglyph}[12pt]{% + \raisebox{-1ex}{% + \hbox{\includegraphics[width=12pt]{./images/residue_sum_glyph}} + \kern -6pt% May require adjustment for non-Palatino font + } +} +\newcommand{\residuesum}{\usebox{\resglyph}} + +% Displaystyle sums, integrals, and fractions appear repeatedly in +% paragraph mode and in footnotes, causing rather poor line spacing. +% To ameliorate the effect, we define a medium-sized integral sign +% (\dint) and medium-sized dfracs (\smfrac, \fnfrac) for paragraph +% mode and footnotes, respectively. \smfrac is also used in displayed +% math when the rest of the line is of normal text height, or when an +% ordinary displaystyle fraction would be too large. + +\newsavebox{\displayint} +\savebox{\displayint}[8pt]{\scalebox{0.75}{$\displaystyle\int$}} +\newcommand{\dint}{\usebox{\displayint}} + +\newcommand{\smfrac}[2]{\mbox{\footnotesize$\dfrac{#1}{#2}$}} +\newcommand{\fnfrac}[2]{\mbox{\scriptsize$\dfrac{#1}{#2}$}} + +% Thoughtbreaks are implemented as graphics +\newcommand{\Tbreak}{% + \begin{center} + \includegraphics{./images/tb} + \end{center} +} + +\newcommand{\bigTbreak}{% + \begin{center} + \vspace{0pt plus 0.5fil} + \includegraphics{./images/tb2} + \vfil + \end{center} +} + + +% Miscellaneous math conveniences + +\DeclareMathOperator{\arc}{arc} +\DeclareMathOperator{\cosec}{cos\acute{e}c} %The accented coséc +\DeclareMathOperator{\fsec}{s\acute{e}c} %The accented séc +\DeclareMathOperator{\tang}{tang} + +% ToC dotfill +\newcommand\Dotfill{\null\nobreak\dotfill\kern.7em} + +% Common abbrev. +\newcommand{\eps}{\varepsilon} + +\newcommand{\nos}{n\up{os}\,} + +% \Segment{a}{b}: Book's a---b notation +\newcommand{\Segment}[2]{#1\;\rule[0.5ex]{18pt}{0.5pt}\;#2} + +% Absolute value (crudely) sensitive to argument's height +\newcommand{\Labs}{\left\lvert} +\newcommand{\Rabs}{\right\rvert} +\newcommand{\Abs}[1]{\Labs#1\Rabs} + +\renewcommand{\tabularxcolumn}[1]{>{\hangindent1em\hangafter=1}b{#1}} + +% {#1}^{#2} with enlarged #2, for use with fraction-containing exponents +\newcommand{\Powfr}[2]{{#1}^{\kern -2pt\raisebox{1ex}{\mbox{\scriptsize\ensuremath{\smash[b]{#2}}}}}} + +\newcommand{\Pow}[2]{{#1}^{\mbox{\scriptsize\ensuremath{\smash[b]{#2}}}}} + + +% Title page appears twice, so centralize it in a command +\newcommand{\mytitlepage}{% +\thispagestyle{empty} +\begin{center} +COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS + +\textsc{\footnotesize publiée sous la direction de M.~Émile Borel.} + +\rule{2in}{0.5pt} +\vspace*{4ex} + +\normalsize LE \\[4ex] +\textbf{\Huge CALCUL DES RÉSIDUS} \\[4ex] +\textbf{ET SES APPLICATIONS} \\[4ex] +\textbf{\Large À LA THÉORIE DES FONCTIONS} \\[4ex] +{\small PAR} \\[4ex] +{\scshape\textbf{Ernst LINDELÖF}}, + +\textsc{\scriptsize PROFESSEUR À L'UNIVERSITÉ DE HELSINGFORS}. +\vspace*{4ex} + +\includegraphics{./images/gauthier_villars} +\vspace*{5ex} + +\textbf{\Large PARIS}, +\medskip + +\textbf{\large GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE} + +\so{\textbf{\scriptsize DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE}}, + +\so{\footnotesize Quai des Grands-Augustins, 55.} + +\rule{0.025\textwidth}{0.5pt} + +\textbf{\normalsize 1905} +\end{center} +} + +% ``half'' title page, for 005.png and start of Chapter I +\newcommand{\myhalftitlepage}{% +\begin{center} +\normalsize LE \\[4ex] +\textbf{\Huge CALCUL DES RÉSIDUS} \\[4ex] +\textbf{ET SES APPLICATIONS} \\[4ex] +\textbf{\Large À LA THÉORIE DES FONCTIONS.} \\[4ex] +\end{center} +} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{document} + +\pagestyle{empty} + +\pagenumbering{Roman} + +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\Pagelabel{PGBoilerplate} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Project Gutenberg Boilerplate} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{alltt} +The Project Gutenberg EBook of Le calcul des résidus et ses applications à +la théorie des fonctions, by Ernst Leonard Lindelöf + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions + +Author: Ernst Leonard Lindelöf + +Release Date: August 24, 2009 [EBook #29781] + +Language: French + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS *** +\end{alltt} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill +\clearpage + +%%%% CREDITS %%%% +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{alltt} +Produced by Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang, and the +Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net +(This file was produced from images generously made +available by Cornell University Digital Collections) +\end{alltt} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\begin{minipage}{0.8\textwidth} +\small +\subsection*{\centering \TransNote} + +\raggedright +\TransNoteText +\end{minipage} +\vfil + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\frontmatter + +\allowhyphens +\pagenumbering{roman} +\pagestyle{empty} +\selectlanguage{french} + +\normalsize + +%% -----File: 002.png--- +%[Blank Page] +%% -----File: 003.png--- + +% [*** Titlepage] +\enlargethispage{36pt} + +\mytitlepage +\clearpage + +%% -----File: 004.png--- +% [Blank Page] +%% -----File: 005.png--- + +% [*** Half titlepage] +\null\vfill +\myhalftitlepage +\vfill +\clearpage + +%% -----File: 006.png--- + +% [*** Advertisement page] +\enlargethispage{24pt} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{center} +\textbf{\large LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS}. + +\vspace{2ex} +\rule{.2\textwidth}{.5pt} +\vspace{3ex} + +\small COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS. +\medskip + +\scriptsize PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION DE M.~ÉMILE BOREL. + +\vspace{2ex} +\rule{.2\textwidth}{.5pt} +\vspace{2ex} +\end{center} + +{\small +\noindent\begin{tabularx}{\textwidth}{Xr} +\textbf{Leçons sur la théorie des fonctions} (\textit{Éléments de la théorie des +ensembles et applications}), par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1898\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les fonctions entières}, par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1900\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les séries divergentes}, par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1901\dotfill.& 4~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les séries à termes positifs}, professées au Collège de +France par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel} et rédigées par M.~\textit{Robert d'Adhémar}, +1902\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les fonctions méromorphes}, professées au Collège de +France par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel} et rédigées par M.~\textit{Ludovic Zoretti}, 1903\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives}, +professées au Collège de France par M.~\textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}, 1904\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les fonctions discontinues}, professées au Collège de +France par M.~\textsc{René} \bsc{Baire} et rédigées par M.~\textit{A.~Denjoy}, 1905\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements +en séries de polynomes}, professées à l'École Normale, +par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, rédigées par \textit{Maurice Fréchet} avec des Notes de +M.~P.~\textsc{Painlevé} et de M.~H.~\textsc{Lebesgue}, 1905\dotfill.& 4~fr.\ 50 +\end{tabularx} + +\vspace{2ex} +\begin{center} +\scriptsize EN PRÉPARATION: +\end{center} + +\noindent\begin{tabularx}{\textwidth}{X} +%[**F1: Gives the same hanging indent as in the previous list] +\textbf{Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plusieurs +variables complexes}, par M.~\textsc{Pierre} \bsc{Cousin}. \\ +\textbf{Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe}, par +M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}. \\ +\textbf{Leçons sur les correspondances entre variables réelles}, par M.~\textsc{Jules} +\bsc{Drach}. \\ +\textbf{Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini}, par +M.~\textsc{Otto} \bsc{Blumenthal}. \\ +\textbf{Leçons sur les séries trigonométriques}, par M.~\textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}. \\ +\textbf{Leçons sur la fonction $\zeta(s)$ de Riemann et son application à la théorie +des nombres premiers}, par M.~\textsc{Helge} \bsc{von Koch}. +\end{tabularx} +} % [** PP: End of \small] + +% [Illustration] +\Tbreak +\end{minipage} + +\cleardoublepage + +%% -----File: 007.png--- + +% [*** Titlepage with ``all rights reserved''] +\enlargethispage{24pt} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\mytitlepage + +\noindent\null{\hfill\scriptsize(\textbf{Tous droits réservés}.)\hfill} +\end{minipage} + +%% -----File: 008.png--- +% [Blank Page] +%% -----File: 009.png---Folio V------- + + +% [*** Preface] + +\cleardoublepage +% global initialization +\pagestyle{fancy} +\fancyfoot{} +\fancyhead{} +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {\fancyhead[RO,LE]{\textsc{\thepage}}} + {\fancyhead[R]{\textsc{\thepage}}} + +\setlength{\headheight}{14.5pt} + +\Preface + +Les progrès réalisés depuis quelques années dans la théorie des +fonctions analytiques ont fait ressortir combien sont toujours fécondes +et efficaces les méthodes ingénieuses créées par Cauchy, +parmi lesquelles il convient de citer en premier lieu le Calcul des +résidus. Il n'est donc pas sans intérêt de revenir maintenant sur ce +Calcul classique et d'étudier systématiquement le rôle qu'il joue +dans la théorie des fonctions proprement dite. C'est ce que nous +avons tâché de faire dans ce petit Livre, en vue de faciliter dans +une certaine mesure l'accès des parties modernes de l'Analyse. + +Dans le premier Chapitre, nous passons rapidement en revue +les principes et thé\-o\-rèmes généraux dont nous aurons à faire usage, +en cherchant d'ailleurs à varier un peu ce sujet tant de fois exposé. +Ayant fait une étude détaillée des travaux de Cauchy, y compris +quelques Mémoires peu répandus que M.~Mittag-Leffler a généreusement +mis à notre disposition, nous avons tenu à relever les +dates et à faire ressortir la portée de ses découvertes, ce qui nous +a paru d'autant plus nécessaire qu'on rencontre souvent, dans la +littérature, des indications assez peu exactes à ce sujet. + +Le deuxième Chapitre contient diverses applications du Calcul +des résidus, dues pour la plupart à Cauchy. Cependant les limites +restreintes imposées à cet Ouvrage ne nous ont permis de donner +qu'une idée très imparfaite du parti que Cauchy avait tiré lui-même +de son Calcul. Parmi les applications faites par lui qui n'ont pu +%% -----File: 010.png---Folio VI------- +trouver place dans ce Chapitre, nous devons signaler surtout la +méthode qu'il a employée pour obtenir des séries analogues à celle +de Fourier, méthode dont on trouve une très belle exposition au +Tome~II du \textit{Traité d'Analyse} de M.~Picard. + +Le troisième Chapitre est consacré aux formules sommatoires. +Le Calcul des résidus, appliqué systématiquement, permet de rattacher +toutes ces formules, avec leurs conséquences multiples, à +un même principe simple et naturel, et contribue ainsi à mettre +plus d'ordre et d'unité dans cette partie si intéressante de l'Analyse. + +Comme application de ces formules, nous en déduisons, au +quatrième Chapitre, une grande partie des expressions et des +développements trouvés, à différentes époques et par différentes +méthodes, pour la fonction~$gamma$ et pour la fonction de +Riemann. Ce Chapitre contient aussi quelques résultats nouveaux +relatifs à la série de Stirling. + +Enfin, au dernier Chapitre, nous donnons un aperçu de quelques +résultats modernes relatifs au prolongement analytique et à l'étude +asymptotique des fonctions définies par un développement de +Taylor, en insistant surtout sur certains théorèmes généraux riches +en applications et qui semblent présenter un caractère définitif. +Ici encore nous avons dû être assez bref et laisser de côté bien des +questions intéressantes, mais nous espérons néanmoins que notre +exposition ne sera pas sans utilité pour ceux qui désirent approfondir +le sujet. + +Nous tenons à exprimer ici nos vifs remercîments à M.~Émile +Borel, qui nous a invité à écrire ce Livre et qui, ensuite, en revoyant +les épreuves, a bien voulu nous assister de ses précieux +conseils. + +\begin{quote}\small +Helsingfors, le 13~novembre 1904. +\end{quote} + +\bigTbreak +\cleardoublepage + +%% -----File: 011.png---Folio VII------- + +% [*** Index -- abbreviated table of contents] + +\pagestyle{empty} +\null\vfil +\begin{center} +\Pagelabel{Index} +\textbf{\LARGE INDEX.} +\vspace*{2ex} + +\rule{0.1\textwidth}{0.5pt} +\vspace*{2ex} + +{\small +\newlength{\tablelength} +\setlength{\tablelength}{\linewidth} +\newlength{\lastcol} +\settowidth{\lastcol}{Pages. } +\addtolength{\tablelength}{-\lastcol} + +\begin{tabular}{@{} r@{\:}c@{}l@{}r @{}} +%\multicolumn{4}{@{}c@{}}{\large TABLES DES MATIÈRES.} +\multicolumn{4}{@{}r@{}}{Pages.}\\ +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:I]{\textsc{Chapitre~\TocBox{I.}}\ ---\ Principes et théorèmes fondamentaux}\dotfill}&{\pageref{chapter:I}}\\[2ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:II]{\textsc{Chapitre~\TocBox{II.}}\ ---\ Applications diverses du calcul des résidus}\dotfill}&{\pageref{chapter:II}}\\[2ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:III]{\textsc{Chapitre~\TocBox{III.}}\ ---\ Formules sommatoires tirées du calcul des résidus}\dotfill}&{\pageref{chapter:III}}\\[2ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:IV]{\textsc{Chapitre~\TocBox{IV.}}\ ---\ Les fonctions $\Gamma(x)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,w)$}\dotfill}&{\pageref{chapter:IV}}\\[2ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hangindent=10em\hyperref[chapter:V]{\textsc{Chapitre~\TocBox{V.}}\ ---\ Applications au prolongement analytique et à l'étude asymptotique des fonctions définies par un développement de Taylor}\dotfill}&\raisebox{-3ex}{\pageref{chapter:V}}\\[8ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[ToC]{\textsc{Table des matières}}\dotfill}&{\pageref{ToC}} +\end{tabular} +} % [** PP: End of \small] + +\vspace*{9ex} +\bigTbreak +\end{center} + +\vfil + +%% -----File: 012.png---Folio VIII------- +%[Blank Page] + + +%% -----File: 013.png---Folio 1------- + +% [*** Main matter] + +\mainmatter + +\pagestyle{fancy} + +\pagenumbering{arabic} +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {\fancyhead[RO,LE]{\oldstylenums{\thepage}}} + {\fancyhead[R]{\oldstylenums{\thepage}}} + +\myhalftitlepage + + +% [*** Chapter I] +% half-title above, no clearpage +\Chapter{I}{PRINCIPES ET THÉORÈMES FONDAMENTAUX.} + +\Paragraph{1.} Soient deux fonctions réelles des variables réelles $x$, $y$, +$u(x,y)$ et $v(x, y)$, continues et uniformes dans un domaine connexe +$T$, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, et vérifiant les +relations +\[ +\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad +\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}, +\EqnTag{I}{I}{1} +\] +pour tout point de ce domaine. On dit que l'expression +\[ +f(z) \equiv u(x,y) + i\,v(x, y) +\EqnTag{I}{I}{2} +\] +représente une \textit{fonction analytique de la variable complexe} +$z \equiv x+iy$ qui est \textit{holomorphe} dans le domaine~$T$. + +Désignons par $\Delta u$, $\Delta v$ les accroissements que prennent $u(x,y)$, +$v(x,y)$ lorsqu'on passe d'un point $x,y$ de $T$ à un point voisin +$x + \Delta x$, $y + \Delta y$, et posons $h = \sqrt{\Delta \Pow{x}{2}+\Delta\Pow{y}{2}}$; on obtient aisément, +en se servant des relations~\Eref{I}{I}{1}, +\[ +\Delta u + i\,\Delta v = +\left(\frac{\partial u}{\partial x} +i\frac{\partial v}{\partial x}\right) +(\Delta x + i\Delta y) + h\,(h), +\] +%% -----File: 014.png---Folio 2------- +ou bien, en posant $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$, d'où $\Abs{\Delta z} = h$, +\[ +f(z + \Delta z) - f(z) + = \left (\frac{\partial u}{\partial x} + + i\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta z + + \Delta z\, (\Delta z), +\] +($h$), ($\Delta z$) tendant vers zéro avec $h$, $\Delta z$. La dernière égalité nous +apprend que \textit{la fonction~$f(z)$ admet, pour chaque point du +domaine~$T$, une dérivée} \textsc{unique} +\[ +f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + + i\frac{\partial v}{\partial x}, +\] +\textit{qui reste continue dans}~$T$. + +Inversement, étant donnée une fonction quelconque de~$z$, continue +et uniforme dans~$T$ et admettant, en chaque point de ce domaine, +une dérivée unique qui y reste continue, on constate immédiatement +qu'elle peut se mettre sous la forme~\Eref{I}{I}{2}, $u(x, y)$~et +$v(x,y)$ jouissant des propriétés énoncées au début: c'est donc +une fonction analytique de $z$, holomorphe dans le domaine~$T$. + +Cette seconde définition met en évidence que, si $f(z)$~et~$\varphi(z)$ +sont des fonctions analytiques, holomorphes dans un domaine +donné, il en est de même de leurs somme, différence et produit, +ainsi que de leur quotient, si le dénominateur ne s'annule pas +dans le domaine. + +\Paragraph{2.} Il nous semble commode de rattacher les propriétés fondamentales +des fonctions analytiques au théorème suivant: + +\Theorem{I.I.1}{Toute fonction analytique~$f(z)$, uniforme et holomorphe +dans un domaine~$T$ à connexion simple, est la dérivée d'une +autre fonction~$F(z)$ jouissant des mêmes propriétés. Cette fonction +intégrale~$F(z)$ est déterminée à une constante additive +près.} + +En posant $F(z) = U(x, y) + i\,V(x,y)$, la condition donnée: +$F'(z)=f(z)$, ou bien $dF(z)=f(z)\,dz$, entraîne les deux suivantes: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +dU &= u\, dx - v\, dy,\\ +dV &= v\, dx + u\, dy. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{I}{I}{3} +\] + +On est donc ramené à démontrer l'existence, dans le domaine~$T$, +d'une fonction intégrale continue et uniforme d'une \textit{différentielle +%% -----File: 015.png---Folio 3------- +totale} +\[ +M(x,y)\, dx + N(x,y)\, dy, +\EqnTag{I}{I}{4} +\] +les expressions $M(x,y)$ et~$N(x,y)$ étant elles-mêmes continues +et uniformes dans~$T$, ainsi que leurs dérivées premières, et vérifiant +en chaque point de ce domaine la \textit{condition d'intégrabilité} +\[ +\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = +\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}. +\] + +On voit d'abord que, s'il existe deux fonctions intégrales jouissant +des propriétés indiquées, leur différence se réduira nécessairement +à une constante. En effet, les dérivées de cette différence +étant nulles en chaque point de~$T$, elle gardera une valeur constante +sur tout segment de droite intérieur à~$T$ et parallèle à l'un +ou l'autre des axes de coordonnées. Or deux points pris arbitrairement +dans~$T$ peuvent toujours être reliés par une ligne composée +de semblables segments. + +Ayant fixé à l'intérieur de~$T$ un point $x_0, y_0$, imaginons que, +pour atteindre un autre point $x, y$ du même domaine, on chemine +de $x_0,y_0$ parallèlement à l'axe des~$x$ jusqu'au point $x,y_0$, puis +parallèlement à l'axe des~$y$ jusqu'au point considéré $x,y$. Cette +ligne brisée sera comprise tout entière dans~$T$ si l'on suppose le +point $x,y$ intérieur à une certaine portion de ce domaine que +nous désignerons par~$T_0$. + +Cela posé, en admettant qu'il existe une fonction continue et +uniforme dont la différentielle totale soit égale à~\Eref{I}{I}{4} et qui, au +point $x_0,y_0$, se réduise à une constante donnée~$A$, la valeur de +cette fonction en un point quelconque $x,y$ du domaine~$T_0$ sera +évidemment représentée par l'expression +\[ +F_0(x,y)\equiv A + \int_{x_0}^x M(x,y_0)\, dx + + \int_{y_0}^y N(x,y)\, dy, +\] +obtenue en ajoutant à la valeur initiale~$A$ les accroissements que +prendra la fonction intégrale sur chacun des deux segments rectilignes +qui relient les points $x_0,y_0$ et $x,y$. + +Inversement, ayant formé l'expression ci-dessus, on constate +immédiatement qu'elle définit, dans le domaine~$T_0$, une fonction +intégrale continue et uniforme de la différentielle~\Eref{I}{I}{4}. En effet, la +%% -----File: 016.png---Folio 4------- +chose est évidente pour ce qui concerne l'uniformité et la continuité +et, en différentiant, on trouve de suite +\[ +\frac{\partial F_0(x,y)}{\partial y} = N(x,y), +\] +puis, en utilisant la condition d'intégrabilité, +\[ +\frac{\partial F_0(x,y)}{\partial x} + = M(x, y_0) + \int^{y}_{y_0} \frac{\partial N}{\partial x}\, dy + = M(x, y_0) + \int^{y}_{y_0} \frac{\partial M}{\partial y}\, dy + = M(x,y). +\] + +Le domaine~$T_0$, où est définie l'expression $F_0(x,y)$, s'obtient +en menant dans~$T$ certaines coupures parallèles à l'axe des~$y$ (dans +la figure ci-dessous, où $P_0$~désigne le point $x_0,y_0$ et où $T_0$~est l'aire +couverte de hachures, ce sont les coupures $AA'$, $BB'$ et~$CC'$). +Le domaine~$T$ étant, par hypothèse, à connexion simple, chacune de +ces coupures en séparera une portion où, jusqu'à présent, la fonction +intégrale n'est pas définie. + +%[Illustration: Fig. 1.] +\Figure{1}{016} + +À l'intérieur de~$T_0$, choisissons maintenant un point $x_1, y_1$ distinct +de $x_0, y_0$ (dans la figure c'est le point~$P_1$), et formons l'expression +\[ +F_1(x,y)\equiv F_0(x_1,y_1) + \int^{x}_{x_1} M(x,y_1)\, dx + + \int^{y}_{y_1} N(x,y)\, dy, +\] +analogue à $F_0(x, y)$ et prenant la même valeur que cette expression +au point $x_1, y_1$. En raisonnant comme ci-dessus, on démontre +que $F_1(x, y)$ représente une fonction intégrale continue et uniforme +de la différentielle~\Eref{I}{I}{4} dans une certaine portion~$T_1$ du domaine~$T$, +qui aura en commun avec~$T_0$ une aire~$T_{0,1}$, comprenant +le point $x_1, y_1$. + +Je dis qu'on a $F_1 (x, y) = F_0 (x, y)$ pour tout point de l'aire~$T_{0,1}$. +%% -----File: 017.png---Folio 5------- +En effet, d'après ce que nous avons dit plus haut, la différence des +expressions $F_1$ et~$F_0$ gardera dans cette aire une valeur constante, +et, comme elles prennent la même valeur au point $x_1, y_1$, cette +valeur constante est $0$. + +Or, si l'on a choisi convenablement le point $x_1, y_1$, le domaine~$T_1$ +renfermera aussi certaines aires extérieures à~$T_0$ et qui en sont +séparées par l'une des coupures (dans la figure, c'est l'aire comprise +entre $CC'$ et~$DD'$). L'expression $F_1(x, y)$ sert alors à \textit{prolonger} +la fonction intégrale au delà des limites du domaine $T_0$, +où elle était définie primitivement. + +En continuant ce procédé, on pourra étendre de proche en proche +le domaine d'existence de la fonction intégrale et, par un choix +convenable des points $x_0, y_0$; $x_1, y_1$;~$\dotsc$, on arrivera même, en +général, à représenter cette fonction, dans tout le domaine~$T$, par +un nombre fini d'expressions $F_0(x,y)$, $F_1(x,y)$,~$\dotsc$. Il n'en est +plus ainsi dans les cas où le contour de~$T$ présente des singularités +d'un certain genre, mais cela a peu d'importance, car, dans la suite, +nous resterons essentiellement dans l'intérieur de ce domaine. + +En retournant maintenant aux conditions~\Eref{I}{I}{3}, nous pouvons +affirmer qu'elles définissent dans le domaine~$T$ des fonctions continues +et uniformes $U(x,y)$, $V(x,y)$, déterminées à des constantes +additives près, et, par suite, l'expression +\[ +F(z)\equiv U(x,y) + i\,V(x,y) +\] +nous donne bien une fonction intégrale de~$f(z)$, uniforme et +holomorphe dans le domaine donné et renfermant une constante +arbitraire. + +\Paragraph{3.} Prenons à l'intérieur du domaine~$T$ deux points quelconques, +$z_0\equiv x_0 + iy_0$ et $z\equiv x + iy$, et joignons-les par un chemin continu~$S$, +n'ayant aucun point commun avec le contour de~$T$; puis +choisissons sur ce chemin une suite de points, $z_1,~z_2, \dotsc,~z_n$, se +succédant dans la direction de~$z_0$ à~$z$. On appelle \textit{intégrale définie +de la fonction~$f(z)$, prise le long du chemin~$S$ de~$z_0$ à~$z$}, et +l'on dénote par +\[ +\int^{z}_{z_0(S)} f(z)\, dz +\] +%% -----File: 018.png---Folio 6------- +la limite vers laquelle tend la somme +\[ +\sum^{n}_0 f(z_\nu)(z_{\nu+1} - z_\nu),\qquad (z_{n+1}=z), +\] +lorsque~$n$ croît indéfiniment, en même temps que la distance entre +deux points consécutifs~$z_\nu$ quelconques tend vers zéro. + +Or, en posant +$z_\nu = x_\nu + iy_\nu$, +$u_\nu = u(x_\nu, y_\nu)$, +$v_\nu = v(x_\nu, y_\nu)$, +la somme en question s'écrit +\[ + \sum^{n}_{0}\bigl[u_\nu (x_{\nu+1} - x_\nu) + - v_\nu (y_{\nu+1} - y_\nu)\bigr] +% ++ i \sum^{n}_{0}\bigl[v_\nu (x_{\nu+1} - x_\nu) + + u_\nu (y_{\nu+1} - y_\nu)\bigr] +\] +et, lorsque~$n$ augmente indéfiniment, cette expression tend vers la limite +\[ + \int^{x,y}_{x_0,y_0(S)} (u\,dx - v\,dy) ++i \int^{x,y}_{x_0,y_0(S)} (v\,dx + u\,dy), +\] +laquelle, en vertu des égalités~\Eref{I}{I}{3}, se réduit à son tour à +\[ +U(x,y) - U(x_0,y_0) + i\, \bigl[V(x,y) - V(x_0,y_0)\bigr], +\] +c'est-à-dire à $F(z)-F(z_0)$. Toutes ces conclusions découlent +immédiatement de la notion d'intégrale curviligne, si l'on admet +que le chemin~$S$ se compose d'un nombre fini d'arcs de courbes +continues à tangente continue, hypothèse qui suffit complètement +aux besoins de la théorie des fonctions. + +Nous avons donc trouvé +\[ +\int^{z}_{z_0(S)}f(z)\,dz = F(z) - F(z_0), +\EqnTag{I}{I}{5} +\] +et cette égalité renferme deux résultats d'une importance capitale: +comme le second membre ne dépend que des limites $z_0$ et~$z$ de +l'intégrale, il en résulte d'abord que: + +\Theorem{I.I.2}{L'intégrale $\dint f(z)\,dz$, prise entre des limites fixes, ne +change pas de valeur, de quelque manière qu'on fasse varier +le chemin d'intégration, à condition que ce chemin reste +constamment intérieur à un domaine où la fonction~$f(z)$ est +holomorphe.} +%% -----File: 019.png---Folio 7------- + +D'autre part, si les extrémités $z_0$ et~$z$ du chemin~$S$ se rapprochent +jusqu'à se confondre, le second membre de l'égalité~\Eref{I}{I}{5} +tendra vers zéro, d'où celle nouvelle conclusion: + +\Theorem{I.I.3}{L'intégrale $\dint f(z)\,dz$ s'évanouit toutes les fois qu'on prend +pour chemin d'intégration un contour fermé, compris dans +un domaine simplement connexe où la fonction~$f(z)$ est holomorphe\footnotemark.} +\footnotetext{On rattache généralement ce théorème à la formule +\[ +\iint_T \left(\frac{\partial N}{\partial x} + - \frac{\partial M}{\partial y}\right)\, dx\,dy + = \int_C (M\,dx + N\,dy), +\] +les fonctions $M(x,y)$ et~$N(x,y)$, ainsi que leurs dérivées premières, étant +continues et uniformes dans le domaine~$T$ et sur son contour~$C$. + +Dans son \textit{Mémoire sur les intégrales définies} de l'année~1814 (\textit{{\OE}uvres complètes}, +série~I, t.~1), Cauchy s'est servi de cette formule dans le cas où le domaine +est un rectangle ou s'y ramène par une transformation bi-uniforme des coordonnées. +C'est la même méthode qu'a adoptée Kronecker dans une Note insérée +dans les \textit{Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin},~1880, +p.~688, et qu'on trouve développée dans le Chapitre~III de ses Leçons sur les +intégrales définies, publiées par M.~Netto. + +D'autre part, on trouve dans le \textit{Mémoire sur les rapports qui existent entre +le calcul des résidus et le calcul des limites}, que Cauchy avait présenté à +l'Académie de Turin le~27 novembre~1831 et dont un extrait assez étendu a été +publié dans le \textit{Bulletin de Férussac}, t.~XVI,~1831, p.~116--128, une démonstration +du théorème ci-dessus, fondée sur les mêmes principes et \textit{parfaitement générale}. + +Enfin, dans une Note du~3 août~1846, intitulée \textit{Sur les intégrales qui s'étendent +à tous les points d'une courbe fermée} (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~X, p.~70), Cauchy +a généralisé notablement les résultats qu'il avait obtenus antérieurement.} +% [** End of footnote] + +Supposons maintenant la fonction~$f(z)$ uniforme et holomorphe +dans un domaine~$T$ à connexion multiple, et soient $C$, $C'$ des contours +fermés, intérieurs à~$T$ et pouvant se réduire l'un à l'autre +par une déformation continue, sans sortir jamais de ce domaine. +Je dis qu'on aura +\[ +\int_C f(z)\,dz = \int_{C'} f(z)\,dz. +\] + +En effet, si $C$~et~$C'$ se coupent, les parties de ces contours comprises +entre deux points d'intersection consécutifs correspondent +à la même valeur de l'intégrale $\dint f(z)\, dz$, en vertu du théorème +%% -----File: 020.png---Folio 8------- +de la \Pgref{page}{theorem:I.I.2}, d'où résulte l'égalité ci-dessus. Si les courbes $C$ et~$C'$ +sont intérieures l'une à l'autre et si on les joint par une coupure, +les deux bords de celle-ci formeront avec lesdites courbes le contour +complet d'un domaine simplement connexe où~$f(z)$ est holomorphe. +L'intégrale $\dint f(z)\,dz$ étendue à ce contour est donc égale +à \textit{zéro} et, comme les parties de l'intégrale relatives aux deux bords +de la coupure se détruisent, on en déduit bien l'égalité voulue. +Donc: + +\Theorem{I.I.4}{Si la fonction~$f(z)$ est uniforme et holomorphe dans un +domaine donné~$T$ à connexion quelconque, l'intégrale +$\dint f(z)\,dz$, étendue à un contour fermé situé dans~$T$, garde +une valeur invariable lorsque ce contour se déforme d'une +manière continue, en restant constamment intérieur à~$T$.} + +\Paragraph{4.} Soient~$f(z)$ une fonction analytique, holomorphe dans un +domaine~$T$ à connexion simple, $C$~une courbe fermée située +dans~$T$ et ne se coupant pas elle-même, $x$~un point intérieur à~$C$ +et~$c$ un cercle de centre~$x$ et intérieur à~$C$. Le théorème ci-dessus +nous donne +\[ +\int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz = \int_c \frac{f(z)}{z-x}\, dz, +\] +les contours $C$ et~$c$ étant parcourus tous deux dans le sens direct. +Or, si l'on pose $z-x = r\,\Pow{e}{i\varphi}$, $r$~étant le rayon du cercle~$c$, cette +dernière intégrale prendra la forme +\[ +i\int_0^{2\pi} f(x + r\,\Pow{e}{i\varphi})\, d\varphi, +\] +d'où l'on conclut qu'elle tend vers $2\pi i\,f(x)$ lorsque~$r$ s'annule. +Comme elle est, d'autre part, indépendante de~$r$, toujours en +vertu du même théorème, sa valeur sera précisément $2\pi i\,f(x)$. Par +suite, l'égalité ci-dessus nous donne la formule fondamentale +\[ +f(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz, +\EqnTag{I}{I}{6} +\] +qui aura lieu pour tout point~$x$ intérieur à~$C$. + +%% -----File: 021.png---Folio 9------- + +On en conclut d'abord, par la définition même de la dérivée, +que la fonction~$f(x)$ admet dans son domaine d'holomorphie des +dérivées de tous les ordres et que l'on a, à l'intérieur de~$C$, +\Erratum{1} +\[ +\Pow{f}{(\nu)}(x) + = \frac{\nu!}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)\, dz}{\Pow{(z-x)}{\nu+1}}. +\EqnTag{I}{I}{7} +\] + +Prenons maintenant un point quelconque,~$a$, intérieur à~$C$ et +distinct de~$x$, et posons +\[ +\frac{1}{z-x} \equiv \frac{1}{z-a - (x-a)} + = \sum_{0}^{n-1} + \frac{\Pow{(x-a)}{\nu}}{\Pow{(z-a)}{\nu+1}} + + \Pow{\left(\frac{x-a}{z-a}\right)}{n} \frac{1}{z-x}. +\] + +La formule~\Eref{I}{I}{6} deviendra, en tenant compte de l'égalité~\Eref{I}{I}{7}, +\[ +f(x) = \sum_{0}^{n-1} + \frac{\Pow{f}{(\nu)}(a)}{\nu!} \Pow{(x-a)}{\nu} + + \frac{1}{2\pi i} \int_C + \Pow{\left(\frac{x-a}{z-a}\right)}{n} \frac{f(z)}{z-x}\,dz. +\EqnTag{I}{I}{8} +\] + +Soient $M$ le maximum de~$\Abs{f(z)}$ sur~$C$, $S$~la longueur totale de ce +contour, $R$~la plus courte distance du point~$a$ à~$C$, $R'$~un nombre +positif inférieur à~$R$, et supposons $\Abs{x-a}\leqq R'$. Le dernier terme +de l'égalité ci-dessus aura son module inférieur à +\[ +\frac{MS}{2\pi(R - R')} \Pow{\left(\frac{R'}{R}\right)}{n}, +\] +et comme cette quantité s'annule lorsque~$n$ croît indéfiniment, on +arrive à cette conclusion que, pour $\Abs{x-a}\leqq R'$, la fonction~$f(x)$ +est représentée par son \emph{développement de Taylor} +\[ +% [** PP: \nu in superscript changed to (\nu)] +f(x) = \sum_{0}^{\infty} \frac{\Pow{f}{(\nu)}(a)}{\nu!} + \Pow{(x-a)}{\nu}.\quad\Changenotemark +\] +\Changenotetext{1} + +Comme $R'$ était un nombre quelconque inférieur à~$R$ et~$C$ un +contour quelconque compris dans~$T$, cette égalité subsiste dans le +cercle de centre~$a$ et tangent intérieurement au contour de~$T$\footnotemark. +\footnotetext{Cauchy a établi pour la première fois ce théorème dans son \textit{Mémoire sur +la Mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé Calcul des limites}, qu'il +présenta à l'Académie de Turin le 11~octobre 1831, et dont un résumé fut inséré +la même année dans le \textit{Bulletin de Férussac}, t.~XV, p.~260--269. La partie la plus +importante de ce travail, qui marque un des plus grands progrès qui aient jamais +été réalisés dans l'Analyse, se trouve reproduite dans le Tome~II des \textit{Exercices +d'Analyse} (1841). + +Quant aux formules \Eref{I}{I}{6} et~\Eref{I}{I}{7}, il y avait longtemps que Cauchy les avait +tirées du calcul des résidus, dans le cas particulier où le contour~$C$ se réduit à un +cercle de rayon \emph{un}. \emph{Voir}, par exemple, \textit{Bulletin de la Société Philomathique}, +1822; \textit{Annales de Gergonne}, t.~XVII, p.~114, et un article de la première +année (1826) des \textit{Exercices de Mathématiques} (\textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~VI, +p.~270--271). + +D'ailleurs, ces formules avaient déjà été remarquées par d'autres auteurs, +notamment par Frullani et Poisson, qui y étaient arrivés \emph{en partant de la série +de Taylor}. Mais, dans cet ordre d'idées, on doit surtout citer Parseval, auteur +peu connu de notre temps, mais dont les travaux vraiment remarquables: +\emph{Méthode générale pour sommer, par le moyen des intégrales définies, la +suite donnée par Lagrange, et Mémoire sur les séries et sur l'intégration +complète d'une équation aux différences partielles linéaires du second ordre, +à coefficients constants} (\textit{Mémoires présentés par divers savants}, série~I, +t.~I, 1806) ont exercé une grande influence sur les analystes du commencement +du siècle dernier, et tout particulièrement sur Cauchy (\emph{voir}, par exemple, +\textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~VI, p.~275). + +Les remarques qui précèdent pourront servir à compléter ou à corriger, sur +différents points, les intéressants articles que vient de publier M.~Stäckel sur +l'histoire de la Théorie des fonctions (\textit{Bibliotheca Mathematica}, série~III, t.~I, +p.109--128 et t.~II, p.~111--121).} +%[** End of footnote] + +%% -----File: 022.png---Folio 10------- + +\Paragraph{5.} Passons au \emph{théorème de Laurent}. Nous supposons la +fonction~$f(z)$ uniforme et holomorphe à l'intérieur et sur le contour +de la couronne comprise entre deux cercles concentriques, $C$ et~$c$, +de centre~$a$. Prenons dans cette couronne un point arbitraire,~$x$, +et joignons $C$~et~$c$ par une coupure ne passant pas par ce point. +On aura un domaine simplement connexe où $f(z)$~est holomorphe, +contour compris, et l'on pourra donc appliquer la formule~\Eref{I}{I}{6} en +y étendant l'intégrale au contour complet de ce domaine. Or, +comme~$f(z)$ est uniforme dans la couronne envisagée, les intégrales +relatives aux deux bords de la coupure se détruisent, de +sorte que nous trouvons +\[ +f(x)= +\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz - +\frac{1}{2\pi i}\int_c \frac{f(z)}{z-x}\, dz, +\] +les contours $C$ et~$c$ étant tous deux parcourus dans le sens direct. + +En raisonnant comme ci-dessus, on trouve d'abord \emph{pour tout +point~$x$ intérieur au cercle~$C$}, +\[ +\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-x}\,dz + = \sum^{\infty}_0 A_\nu \Pow{(x-a)}{\nu}, +\] +%% -----File: 023.png---Folio 11------- +avec +\[ +A_\nu = \frac{1}{2\pi i}\int_L \frac{f(z)\, dz}{\Pow{(z-a)}{\nu+1}}. +\] + +En vertu du théorème de la \Pgref{page}{theorem:I.I.4}, il est permis de prendre +pour contour d'intégration dans cette dernière intégrale, soit l'une +des circonférences $C$ et~$c$, soit une courbe fermée quelconque,~$L$, +intérieure à~$C$ et enveloppant~$c$, et ne se coupant pas elle-même. + +D'autre part, en écrivant +\[ +-\frac{1}{z-x} \equiv \frac{1}{x-a-(z-a)} + = \sum^n_1 \frac{\Pow{(z-a)}{\nu-1}}{\Pow{(x-a)}{\nu}} + + \Pow{\left( \frac{z-a}{x-a} \right)}{n} \frac{1}{x-z}, +\] +et en observant que, si $\Abs{x-a}$ est supérieur au rayon du cercle~$c$, +l'intégrale +\[ +\frac{1}{2\pi i}\int_c + \Pow{\left( \frac{z-a}{x-a} \right)}{n} \frac{f(z)\, dz}{x-z} +\] +s'évanouit pour $n = \infty$, on trouve le développement +\[ +-\frac{1}{2\pi i}\int_c\frac{f(z)}{z-x}\, dz + = \sum^{\infty}_1 \frac{B_\nu}{\Pow{(x-a)}{\nu}}, +\] +où +\[ +B_\nu = \frac{1}{2\pi i}\int_L f(z)\Pow{(z-a)}{\nu-1}\,dz, +\EqnTag{I}{I}{9} +\] +et qui reste valable \emph{pour tout point~$x$ extérieur au cercle~$c$}. + +On aura, dès lors, dans la couronne comprise entre $C$ et~$c$, +\[ +f(x) = \sum^{\infty}_0 A_\nu \Pow{(x-a)}{\nu} + + \sum^{\infty}_1 \frac{B_\nu}{\Pow{(x-a)}{\nu}}, +\EqnTag{I}{I}{10} +\] +égalité qui constitue précisément le théorème de Laurent. + +\Paragraph{6.} Admettons, en particulier, que la fonction~$f(z)$ est uniforme +et holomorphe pour tout point du cercle~$C$, excepté le centre~$a$. Le +raisonnement qui précède restera vrai quelque petit qu'on prenne le +rayon du cercle~$c$, et les valeurs des coefficients $A_\nu$, $B_\nu$ seront +toujours les mêmes. Donc, la fonction~$f(x)$ sera représentée par +le développement~\Eref{I}{I}{10} pour tout point~$x$ intérieur à~$C$ et distinct +du point~$a$. + +%% -----File: 024.png---Folio 12------- + +Quant au caractère que présente la fonction~$f(x)$ dans le voisinage +du point~$a$, deux cas sont \textit{a priori} possibles: ou il existe un +entier~$n$ tel que, dans le cercle~$C$, le module du produit $\Pow{(x-a)}{n}f(x)$ +reste inférieur à un nombre fini,~$M$, ou bien un tel entier n'existe +pas. + +Considérons d'abord le premier cas, et admettons que~$n$ est précisément +le plus petit entier satisfaisant à la condition indiquée. En +faisant $\nu = n + k$ et en prenant pour contour d'intégration un +cercle de centre $a$ et de rayon $r$, on déduit de l'égalité~\Eref{I}{I}{9} +\[ +\Abs{B_{n+k}} < M\, \Pow{r}{k}, +\] +et, comme $M\,\Pow{r}{k}$ s'annule avec~$r$, pour $k\geqq 1$, tandis que les valeurs +des coefficients~$B$ ne dépendent pas de~$r$, il en résulte que +$B_{n+1} = B_{n+2} = \dotsb = 0$. Donc, le développement~\Eref{I}{I}{10} ne comprend +qu'\textit{un nombre fini de termes à puissances négatives}\footnotemark: +\footnotetext{Cf.~\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~I, t.~XI, 1851, p.~384.} +\[ +f(x) = \frac{B_n}{\Pow{(x-a)}{n}\vphantom{\Pow{(x-a)}{n-1}}} + + \frac{B_{n-1}}{\Pow{(x-a)}{n-1}}+ \dotsb + + \frac{B_1}{x-a} + + \sum^{\infty}_0 A_{\nu}\Pow{(x-a)}{\nu}. +\] +On aura d'ailleurs $B_n\neq 0$, sans quoi le produit $\Pow{(x-a)}{n-1}f(x)$ +resterait fini dans le voisinage du point~$a$, contrairement à l'hypothèse.---On +dit, dans ce cas, que le point~$a$ est \textit{un pôle d'ordre}~$n$ +pour la fonction~$f(x)$. + +Inversement, si~$a$ est un pôle de~$f(x)$, il existe évidemment un +entier~$n$ jouissant de la propriété indiquée plus haut. Donc, dans +le cas où un tel entier n'existe pas, la partie fractionnaire du +développement~\Eref{I}{I}{10} comprendra une infinité de termes, et réciproquement. +Alors, le point~$a$ est dit \textit{point singulier essentiel} +pour la fonction donnée. + +Le coefficient~$B_1$ de la première puissance négative dans le développement~\Eref{I}{I}{10} +s'appelle \textit{le résidu de la fonction~$f(x)$ relatif +au point singulier $x = a$}\footnotemark. +\footnotetext{Ce terme a été employé par Cauchy pour la première fois, à ce qu'il semble, +dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences le 28~décembre 1825 (voir +p.~XIII de l'analyse des travaux de l'Académie pendant l'année 1825, par Fourier), +puis dans les \textit{Exercices de Mathématiques}. Mais la notion de résidu est au fond +identique à celle d'\textit{intégrale singulière} que Cauchy avait introduite dans son +Mémoire de 1814, et qui se trouve exposée avec beaucoup de précision dans ses +\textit{Leçons sur le Calcul infinitésimal} de l'année 1823 (\textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~IV +34\ieme{}~leçon). + +Cauchy est bien des fois revenu sur les notions fondamentales du Calcul des +résidus, cherchant à les préciser et à les simplifier autant que possible. \textit{Voir}, en +particulier, \textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~XI, 1851, p.~306--314; t.~XII, 1855, p.~300--301 +et 1857, p.~433--444.} % [** End of footnote] +D'après~\Eref{I}{I}{9}, on a +\[ +B_1 =\frac{1}{2\pi i} \int_L f(z)\, dz, +\] +%% -----File: 025.png---Folio 13------- +$L$ étant un contour fermé simple intérieur à~$C$ et enveloppant le +point~$a$. Si $a$~est un pôle simple, on aura aussi cette autre définition: +\Pagelabel{page13} +\[ +B_1 = \lim_{x=a}(x-a)f(x). +\] + +Remarquons encore que le résidu~$B_1$ s'évanouit si~$f(z)$ est la +dérivée d'une fonction qui reste uniforme dans le voisinage du +point~$a$, ce qui résulte immédiatement de l'égalité~\Eref{I}{I}{5}, \Pgref{page}{eqn:I.I.5}. + +\Paragraph{7.} Supposons maintenant la fonction~$f(x)$ holomorphe et uniforme +dans la région du plan qui est extérieure à un certain cercle~$c$ +ayant l'origine comme centre. On aura \textit{pour tout point de cette +région} +\[ +f(x) = \sum^{\infty}_0 A_\nu \Pow{x}{\nu} + + \sum^{\infty}_1 \frac{B_\nu}{\Pow{x}{\nu}} +\EqnTag{I}{I}{11} +\] +avec +\[ +A_{\nu} = \frac{1}{2\pi i}\int_L \frac{f(z)}{\Pow{z}{\nu+1}}\, dz, \qquad +B_{\nu} = \frac{1}{2\pi i}\int_L f(z) \Pow{z}{\nu-1}\, dz, +\] +$L$ étant un contour fermé simple enveloppant le cercle~$c$. En effet, +en vertu du théorème de Laurent, cette égalité a lieu dans la couronne +comprise entre~$c$ et un cercle concentrique~$C$, enveloppant +le contour~$L$ et d'ailleurs aussi grand qu'on voudra. + +Nous avons ici encore à distinguer deux cas: + +Admettons d'abord qu'il existe un entier~$n$ tel que le module +$\Abs{\Pow{z}{-n}f(z)}$ reste inférieur à une limite finie, quelque grand +que soit~$\Abs{z}$, et soit d'ailleurs $n$ le plus petit entier satisfaisant à +cette condition. On en conclut, par un raisonnement analogue à +celui du \no\Sref{6}, $A_{n+1}=A_{n+2}=\dotsb =0$, $A_{n}\neq 0$, de sorte que~$\Pow{x}{n}$ est +%% -----File: 026.png---Folio 14------- +la puissance la plus élevée de~$x$ qui figure dans le +développement~\Eref{I}{I}{11}. On convient de dire, dans ce cas, que \textit{le point à l'infini +est pour~$f(x)$ un pôle d'ordre~$n$}. Si, en particulier, $\Abs{f(z)}$ reste +au-dessous d'une limite finie, à partir d'une certaine valeur de~$\Abs{z}$, +le développement~\Eref{I}{I}{11} ne comprendra aucune puissance positive +de~$x$; alors \textit{la fonction~$f(x)$ est holomorphe à l'infini}. + +Dans le cas où il n'existe pas d'entier~$n$ vérifiant la condition +indiquée, le développement~\Eref{I}{I}{11} comprendra au contraire une +infinité de termes à puissances positives, et le point à l'infini est +dit \textit{point singulier essentiel} pour~$f(x)$. + +On convient d'appeler \textit{résidu de la fonction~$f(x)$ relatif au +point~$\infty$} l'expression +\Pagelabel{page14} +\[ +-B_1 = \frac{1}{2\pi i}\int_L f(z)\, dz, +\] +l'intégrale étant prise le long du contour~$L$ dans le sens \textit{indirect} +par rapport à l'origine ou, ce qui revient au même, dans le sens +direct par rapport au point~$\infty$. Remarquons que \textit{ce résidu est nul +dans le cas où le produit $z\,f(z)$ tend uniformément vers zéro +avec~$\smfrac{1}{z}$}, c'est-à-dire où l'inégalité $\Abs{z\,f(z)} < \eps$, quelque petit qu'on +se donne~$\eps$, est vérifiée dès que~$\Abs{z}$ dépassera une certaine limite +finie. En effet, en prenant pour contour~$L$ un cercle ayant l'origine +comme centre et dont le rayon est supérieur à cette même limite, +on trouvera $\Abs{B_1} < \eps$, d'où il suit $B_1 = 0$. + +\Paragraph{8.} Soit une fonction analytique~$f(z)$ qui, dans un domaine +donné à connexion simple, est uniforme et ne présente qu'un +nombre fini de points singuliers, $a_1$,~$a_2$, $\dots,~a_n$, en étant d'ailleurs +holomorphe sur le contour~$C$ de ce domaine. Entourons les points~$a$ +de petites courbes fermées, $c_1, c_2, \dots, c_n$, extérieures les unes aux +autres mais intérieures à~$C$, et joignons chacune de ces courbes +avec~$C$ par une coupure. Un raisonnement analogue à celui du +\no\Sref{5} nous donnera +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\, dz + = \sum_1^n \frac{1}{2\pi i} \int_{c_\nu} f(z)\, dz, +\] +tous les contours étant parcourus dans le sens direct. Or le second +%% -----File: 027.png---Folio 15------- +membre est égal à la somme des résidus de la fonction~$f(z)$ relatifs +à ses points singuliers intérieurs au contour~$C$, et, en désignant +avec Cauchy cette somme par $\residuesum_C\bigl(f(z)\bigr)$, %*Crazy integral +on pourra donc écrire +l'égalité précédente sous la forme +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\, dz = \residuesum_C \bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{I}{I}{12} +\] +C'est la formule sur laquelle repose tout le calcul des résidus\footnotemark. +\footnotetext{Sous cette forme générale, la formule~\Eref{I}{I}{12} a été établie par Cauchy dans +le Mémoire du 27~novembre 1831 et publiée la même année dans le \textit{Bulletin de +Férussac} (Cf.~la note p.~7).} + +Dans le cas où la fonction~$f(z)$ est uniforme et holomorphe +dans la région extérieure au contour~$C$, le premier membre de~\Eref{I}{I}{12} +est égal au résidu de cette fonction au point~$\infty$ pris avec le signe +\textit{moins}, d'où cette proposition: + +\Theorem{I.I.5}{La somme de tous les résidus d'une fonction analytique, +uniforme dans tout le plan et n'ayant qu'un nombre fini de +points singuliers, est égale à zéro.} + +Soit, en particulier, une fonction~$f(z)$, holomorphe dans tout le +plan et dont le module reste inférieur à une certaine quantité finie, +quel que soit~$z$, et considérons l'expression +\[ +F(z) \equiv \frac{f(z)}{(z-x)(z-y)}\ \raisebox{0.3ex}{,} +\] +$x$ et~$y$ étant deux points distincts pris au hasard. Comme $z\,F(z)$ +tend uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{z}$, le résidu de~$F(z)$ à l'infini +est égal à zéro, d'après la remarque faite \Pgref{page}{page14}. En vertu de la +proposition ci-dessus, il en est donc de même de la somme des +résidus de~$F(z)$ relatifs aux points $x$ et~$y$ et, comme cette somme +s'écrit +$\smfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$, il en résulte $f(x)=f(y)$. Donc \textit{la +fonction~$f(z)$ se réduit à une constante}\footnotemark. +\footnotetext{Cf.~\bsc{Cauchy}, \textit{{\OE}uvres complètes}, série~I, t.~VIII.\ 1844, p.~366--375. Dans +cette Note, Cauchy démontre également qu'une fonction~$f(z)$, holomorphe dans +tout le plan et telle qu'on ait $\Abs{\fnfrac{f(z)}{\Pow{z}{n}}} < M$ à partir d'une certaine valeur de~$\Abs{z}$, +se réduit à un polynôme d'un degré~$\leqq n$. Plus tard (\textit{Ibid}.,\ t.~XI, 1851, p.~376--380), +il a tiré de la formule~\Eref{I}{I}{13} du texte l'expression générale d'une fonction uniforme +n'ayant qu'un nombre fini de points singuliers, et montré, en particulier, que +toute fonction n'ayant d'autres singularités que des pôles se réduit à une fraction +rationnelle.} % [** End of footnote] + +%% -----File: 028.png---Folio 16------- + +En reprenant les hypothèses et les notations adoptées au début +de ce numéro, appliquons maintenant la formule~\Eref{I}{I}{12} à la fonction +\[ +\frac{f(z)}{z-x}\ \raisebox{0.3ex}{,} +\] +$x$ étant un point quelconque intérieur au contour~$C$ et distinct des +points $a_1$,~$a_2$, $\dotsc,~a_n$. Le résidu de cette fonction au point~$x$ est +égal à~$f(x)$. Pour trouver le résidu relatif à~$a_\nu$, écrivons +\[ +f(z) = G_\nu \left(\frac{1}{z - a_\nu}\right) + H_\nu(z - a_\nu), +\] +$G_\nu$ désignant la partie fractionnaire et~$H_\nu$ la partie entière du développement +de~$f(z)$ suivant les puissances de~$z-a_\nu$. Comme~$H_\nu$ +est holomorphe au point~$a_\nu$, on voit d'abord que $\smfrac{f(z)}{z-x}$ aura en ce +point le même résidu que l'expression +\[ +\Phi (z) \equiv \frac{1}{z-x} G_\nu \left(\frac{1}{z - a_\nu}\right). +\] +Or celle-ci n'a d'autres points singuliers que $z = x$ et~$z = a_\nu$, +et, comme $z\,\Phi(z)$ tend uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{z}$, son +résidu à l'infini est nul. En vertu de la proposition démontrée +\Pgref{page}{theorem:I.I.5}, le résidu cherché est donc égal au résidu de~$\Phi(z)$ au +point~$x$ pris avec le signe \textit{moins}, c'est-à-dire à +$-G_\nu \left(\smfrac{1}{x - a_\nu}\right)$, +et par suite la formule~\Eref{I}{I}{12} nous donnera +\[ +f(x) = \sum^n_1 G_\nu \left( \frac{1}{x - a_\nu} \right) + + \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz, +\EqnTag{I}{I}{13} +\] +autre formule fondamentale du Calcul des résidus dont Cauchy a +fait un usage continuel dans ses recherches. + +\Paragraph{9.} Nous devons rappeler le principe fondamental du +%% -----File: 029.png---Folio 17------- +prolongement analytique, dont nous aurons constamment à faire usage +dans cet Ouvrage. + +\Theorem{I.I.6}{Si les fonctions $f_1(x)$ et~$f_2(x)$ sont holomorphes dans une +aire connexe~$T$, et si l'égalité $f_1(x)=f_2(x)$ est vérifiée sur un +segment de courbe arbitrairement petit~$\gamma$ intérieur à~$T$, elle +subsistera pour tout point de cette aire\footnotemark.} +\footnotetext{Dans une Note de Cauchy du 17~février 1845 (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~IX, p.~39) +on trouve le principe en question énoncé en ces termes: + +\Theorem{I.I.7}{Supposons que deux fonctions de~$x$ soient toujours égales entre elles pour +des valeurs de~$x$ très voisines d'une valeur donnée. Si l'on vient à faire +varier~$x$ par degrés insensibles, ces deux fonctions seront encore égales tant +qu'elles resteront l'une et l'autre fonctions continues de~$x$ \emph{(c'est-à-dire \emph{holomorphes}, +d'après la terminologie actuelle)}.} + +Cauchy avait été conduit à ce résultat, qu'il énonce d'ailleurs aussi pour les +fonctions de plusieurs variables, en généralisant une proposition établie par Cellérier, +dans une \textit{Note relative à la théorie des imaginaires}, qui semble n'avoir +jamais été publiée (Cf.~le Rapport de Cauchy, \textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~VIII, 1844, +p.~160--162). + +Cependant Cauchy n'a pas tiré d'applications de son principe, et c'est à Riemann +et à Weierstrass que revient l'honneur d'avoir les premiers mis en évidence +l'importance et la fertilité de la notion de prolongement analytique.} +% [** End of footnote] + +D'un point~$a$ du segment~$\gamma$ comme centre, décrivons un cercle~$C$ +ayant pour rayon la plus courte distance de ce point au contour +de l'aire~$T$. À l'intérieur de ce cercle, les fonctions $f_1(x)$ et~$f_2(x)$ +sont représentées par leurs développements de Taylor: +\[ +f_1(x) = \sum \Pow{A}{(1)}_\nu \Pow{(x-a)}{\nu}, \quad +f_2(x) = \sum \Pow{A}{(2)}_\nu \Pow{(x-a)}{\nu}. +\] +Je dis que ces développements sont identiques, c'est-à-dire que +l'on a $\Pow{A}{(1)}_\nu = \Pow{A}{(2)}_\nu$ pour chaque indice~$\nu$. + +Supposons, en effet, qu'il n'en soit pas ainsi, et soit~$n$ le plus +petit entier pour lequel l'égalité précédente n'ait pas lieu. On +aurait, en posant pour abréger $\Pow{A}{(1)}_\nu - \Pow{A}{(2)}_\nu = A_\nu$, +\[ +f_1(x) - f_2(x) + = \Pow{(x-a)}{n} \bigl[A_n + A_{n+1}(x-a) + \dots\bigr] \quad (A_n \neq 0), +\] +et l'on pourrait donc trouver un nombre positif~$r$ assez petit pour +que cette différence ne s'annule pour aucun point du domaine +$0<\Abs{x-a}<r$. Or ceci est impossible, puisque le domaine dont +il s'agit renferme une partie du segment~$\gamma$. +%% -----File: 030.png---Folio 18------- + +On a donc $f_1(x) = f_2(x)$ pour tout point du cercle~$C$. En prenant +maintenant un point quelconque~$b$ intérieur à~$C$, on démontre +par le même raisonnement que cette égalité subsiste dans le cercle +ayant~$b$ pour centre et tangent intérieurement au contour de~$T$ et, +en continuant ce procédé, on arrivera évidemment à l'établir pour +un point quelconque de l'aire~$T$. + +\Paragraph{10.} En terminant ce Chapitre, nous démontrerons un théorème +général dû à Weierstrass\footnote{% +\textit{Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin}, 1880.} +et qui joue un rôle très important +dans la théorie des fonctions: + +\Theorem{I.I.8}{Soit une suite indéfinie de fonctions analytiques, +$u_1(x),~u_2(x),~\dotsc$, holomorphes dans une aire connexe~$T$ et sur son +contour~$C$, et supposons que la série +\[ +F(x) = u_1(x) + u_2(x) + \dotsb + u_{\nu}(x) + \dotsb +\EqnTag{I}{I}{14} +\] +converge uniformément sur~$C$\footnote{% +Cette condition implique que, ayant fixé un nombre positif arbitrairement +petit~$\eps$, on pourra trouver un entier~$n$ tel qu'on ait +\[ +\Abs{\sum^{n+p}_n u_{\nu}(x)} < \eps +\] +pour tout point du contour~$C$, et quel que soit l'entier positif~$p$. Or on sait, par +une propriété bien connue des fonctions analytiques, que la plus grande valeur +que prend le premier membre de cette inégalité sur le contour~$C$ est supérieure +à sa valeur en un point quelconque intérieur à ce contour. Il en résulte que, si +la série~\Eref{I}{I}{14} est uniformément convergente sur le contour~$C$, elle l'est aussi dans +tout le domaine~$T$, contour compris.}% [** End of footnote] +; la somme~$F(x)$ de cette +série représentera une fonction analytique holomorphe dans +le domaine~$T$, et la dérivée d'un ordre quelconque de cette +fonction s'obtiendra en faisant la somme des dérivées du même +ordre de chaque terme de la série.} + +La formule~\Eref{I}{I}{6} nous donne, pour tout point~$x$ intérieur à~$C$ et +pour chaque indice~$\nu$, +\[ +u_{\nu}(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{u_{\nu}(z)}{z-x}\, dz, +\] +et, comme l'intégrale d'une série uniformément convergente est +%% -----File: 031.png---Folio 19------- +égale à la somme des intégrales de chacun de ses termes, on en +déduit immédiatement que la série~\Eref{I}{I}{14} converge au point~$x$ et que +sa somme est donnée par l'égalité +\[ +F(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{F(z)}{z-x}\, dz, +\EqnTag{I}{I}{15} +\] +dont le second membre représente bien une fonction analytique de +la variable~$x$ qui est holomorphe dans le domaine~$T$. + +La seconde partie du théorème se démontre de même en partant +de la formule~\Eref{I}{I}{7} qui nous donne, pour tout point~$x$ intérieur à~$C$, +\[ +\Pow{u}{(n)}_{\nu}(x) + = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{u_{\nu}(z)\, dz}{\Pow{(z-x)}{n+1}}. +\] +En effet, on en déduit l'égalité +\[ +\sum^{\infty}_{\nu=1} \Pow{u}{(n)}_{\nu}(x) + = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{F(z)\,dz}{\Pow{(z-x)}{n+1}}, +\] +dont le second membre, d'après~\Eref{I}{I}{15}, est bien égal à~$\Pow{F}{(n)}(x)$. + +On se convainc d'ailleurs aisément que la série figurant au premier +membre de cette dernière égalité est uniformément convergente +dans toute aire intérieure au domaine~$T$ et n'ayant aucun +point commun avec son contour. + +\bigTbreak + +%% -----File: 032.png---Folio 20------- + + +\cleardoublepage +% [*** Chapter II] +\Chapter{II}{APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RÉSIDUS.} + +\Section{II}{I}{Fonctions symétriques des racines d'une équation. \\ + Développement des fonctions implicites.} + +\Paragraph{11.} Soit une fonction analytique,~$f(x)$, uniforme et n'ayant +d'autres singularités que des pôles dans un domaine donné~$T$, +holomorphe et différente de zéro sur le contour~$C$ de ce domaine. + +Le nombre des pôles intérieurs à~$T$ est nécessairement fini, car, +dans le cas contraire, ils admettraient au moins un point limite +faisant partie de~$T$, et qui serait pour~$f(x)$ un point singulier d'un +caractère autre que les pôles. Nous désignerons les pôles en question +par $b_1,~b_2, \dotsc,~b_\nu$, et leurs ordres par $\beta_1,~\beta_2, \dotsc,~\beta_\nu$. + +On voit de même que la fonction~$f(x)$, à moins qu'elle ne soit +identiquement nulle, ne saurait avoir dans~$T$ qu'un nombre fini de +zéros, $a_1,~a_2, \dotsc,~a_\mu$; soient $\alpha_1,~\alpha_2, \dotsc,~\alpha_\mu$ leurs ordres. + +Considérons le quotient~$\smfrac{f'(x)}{f(x)}$. C'est évidemment une fonction +holomorphe en tout point de~$T$ distinct des points $a$ et~$b$. Dans le +voisinage du point~$a_k$, on aura\footnote{% +Nous désignons par~$\mathfrak{p}(t)$ une série entière qui converge dans un certain +voisinage de la valeur $t=0$, et qui d'ailleurs n'est pas la même dans les diverses +égalités ci-dessus.} +\[ +f(x) = A\Pow{(x-a_k)}{\alpha_k}\, \bigl[1 + (x-a_k)\mathfrak{p}(x-a_k)\bigr], +\] +$A$~étant une constante non nulle; il en résulte +\[ +\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\alpha_k}{x-a_k} + \mathfrak{p}(x-a_k). +\] +%% -----File: 033.png---Folio 21------- +Un calcul analogue nous donne, dans le voisinage du point~$b_k$, +\[ +\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{\beta_k}{x-b_k} + \mathfrak{p}(x-b_k). +\] + +Cela posé, soit~$F(x)$ une fonction quelconque, holomorphe +dans~$T$ et sur~$C$. D'après les égalités ci-dessus, les résidus de l'expression +$F(x)\smfrac{f'(x)}{f(x)}$ relatifs aux points $a_k$ et~$b_k$ seront respectivement +égaux à $\alpha_k F(a_k)$ et à $-\beta_k F(b_k)$, et la formule~\Eref{I}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:I.I.12}, +nous permet donc d'écrire ce résultat: +\[ + \sum_1^{\mu} \alpha_k F(a_k) +- \sum_1^{\nu} \beta_k F(b_k) += \frac{1}{2\pi i} \int_C F(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx. +\EqnTag{II}{I}{1} +\] + +Si, en particulier, la fonction $f(x)$ est holomorphe dans le +domaine~$T$ et n'y admet que des zéros simples, $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$, on +aura +\[ +F(x_1) + F(x_2) + \dotsb + F(x_m) += \frac{1}{2\pi i} \int_C F(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx. +\EqnTag{II}{I}{2} +\] +Cette formule restera d'ailleurs valable dans le cas où~$f(x)$ présente +des zéros multiples, si, comme nous le ferons dès à présent, +on convient d'écrire, dans la suite $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$, chaque zéro +autant de fois que l'indique son ordre.\footnote{% +La formule~\Eref{II}{I}{2} a été donnée par Cauchy, pour le cas où le contour~$C$ est +un rectangle ou s'y ramène par une transformation bi-uniforme des coordonnées, +dans le \textit{Journal de l'École Polytechnique}, Cahier~XIX, 1823, p.~580. \textit{Voir} aussi +\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VI, 1826, p.~401--421. Mais les idées de Cauchy +sur ce sujet remontent, à ce qu'il semble, à un Mémoire \textit{Sur la résolution des +équations par le moyen des intégrales définies}, qu'il avait présenté à l'Académie +le 22~novembre 1819, mais qui n'a pas été publié.} + +\Paragraph{12.} Pour $F(x) = 1$, la formule~\Eref{II}{I}{1} s'écrit +\[ +\sum_1^\mu \alpha_k - \sum_1^{\nu} \beta_k + = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx. +\] +Soient $R$ et~$\Phi$ le module et l'argument de la fonction~$f(x)$, de sorte +%% -----File: 034.png---Folio 22------- +que $f(x) = R\,\Pow{e}{i \Phi}$; on aura +\[ +\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \frac{df(x)}{f(x)} + = \frac{dR}{R} + i\, d\Phi + = d\log R + i\, d\Phi, +\] +et, par suite, +\[ + \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx += \frac{1}{2\pi i} \int_C d\log R + \frac{1}{2\pi} \int_C d\Phi. +\] +Or le premier terme de cette somme est nul, puisque la fonction~$\log R$ +est uniforme sur~$C$, et le second terme est égal à $\smfrac{\Delta\Phi}{2\pi}$, en désignant +par $\Delta\Phi$ l'accroissement total que reçoit l'argument~$\Phi$ lorsque +le point~$x$ décrit le contour~$C$ dans le sens direct. Nous arrivons +donc au théorème suivant, qui joue un rôle important en Analyse, +et qu'on peut d'ailleurs établir d'une manière élémentaire: + +\Theorem{II.I.1}{Si une fonction~$f(x)$ est uniforme et ne présente d'autres +singularités que des pôles dans un domaine donné~$T$, en étant +d'ailleurs holomorphe et différente de zéro sur son contour~$C$, +l'accroissement que reçoit l'argument de cette fonction lorsque +le point~$x$ décrit le contour~$C$ dans le sens direct est égal au +produit de~$2\pi$ par la différence entre le nombre de ses zéros et +le nombre de ses pôles compris dans~$T$, chaque zéro et pôle +étant compté autant de fois que l'indique son ordre.} + +On en déduit cet autre théorème, qui rend également de grands +services dans diverses questions d'Analyse: + +\Theorem{II.I.2}{Soient deux fonctions, $f(x)$ et~$\varphi(x)$, uniformes et holomorphes +dans un domaine~$T$ et sur son contour~$C$, et admettons +d'ailleurs que~$f(x)$ ne s'annule pas sur~$C$; si l'inégalité +\[ +\Abs{\frac{\varphi(x)}{f(x)}} < 1 +\] +est vérifiée pour tout point du contour~$C$, les fonctions $f(x)$~et +$f(x) + \varphi(x)$ ont le même nombre de zéros dans le domaine~$T$.} + +Écrivons, en effet, +\[ +f(x) + \varphi(x) = f(x)\psi(x), +\] +%% -----File: 035.png---Folio 23------- +d'où +\[ +\psi(x) = 1 + \frac{\varphi(x)}{f(x)}. +\] +Lorsque le point~$x$ parcourt le contour~$C$, le point dont l'affixe est +égal à~$\psi(x)$ décrit une courbe fermée qui, en vertu de l'inégalité +ci-dessus, est intérieure au cercle passant par l'origine et ayant +pour centre le point $x = 1$. Quand le point~$x$ sera revenu au point +de départ, l'argument de~$\psi(x)$ reprendra donc sa valeur initiale et, +par conséquent, l'accroissement total de l'argument de $f(x) + \varphi(x)$ +sera le même que pour la fonction~$f(x)$, d'où résulte la proposition +énoncée. + +\Paragraph{13.} Démontrons maintenant ce théorème: + +\Theorem{II.I.3}{Les zéros d'une fonction analytique de la variable~$x$, $f(x,t)$, +qui dépend d'un para\-mètre~$t$, et qui est continue par rapport +aux deux variables $x$ et~$t$, sont eux-mêmes des fonctions continues +du paramètre~$t$.} + +Soient $t_0$ une valeur particulière du paramètre~$t$, $x_0$~un zéro de +$f(x, t_0)$ et $m$~l'ordre de ce zéro [on suppose $f(x, t_0)$ holomorphe +dans le voisinage du point~$x_0$]. Il s'agit de démontrer que, pour +les valeurs~$t$ peu différentes de~$t_0$, la fonction $f(x, t)$ admet précisément +$m$~zéros tendant vers~$x_0$ lorsque~$t$ tend vers~$t_0$. + +Du point~$x_0$ comme centre, décrivons un cercle d'un rayon~$\eps$ +assez petit pour que la fonction $f(x, t_0)$ soit holomorphe et différente +de zéro pour $0 < \Abs{x-x_0} \leqq \eps$. Sur la circonférence de ce +cercle, le module $\Abs{f(x, t_0)}$ aura un minimum positif que nous +désignerons par~$\eta$. Choisissons encore un nombre positif~$\delta$ tel que, +pour $\Abs{x-x_0} = \eps$, $\Abs{t-t_0} < \delta$, on ait +\[ +\Abs{f(x,t) - f(x,t_0)} < \eta +\] +et, par suite, +\[ +\Abs{\frac{f(x,t) -f(x,t_0)}{f(x, t_0)}} < 1, +\] +ce qui est possible en vertu de la continuité de $f(x,t)$. + +Cela posé, il résulte de la proposition établie à la fin du \no\Sref{12} +que, pour $\Abs{t - t_0} < \delta$, la fonction $f(x, t)$ admet, dans le cercle +$\Abs{x - x_0} < \eps$, autant de zéros que la fonction $f(x, t_0)$, c'est-à-dire +%% -----File: 036.png---Folio 24------- +précisément $m$~zéros, et comme ce résultat subsiste quelque petit +que soit~$\eps$, à condition qu'on prenne en même temps le nombre~$\delta$ +suffisamment petit, on voit bien que ces $m$~zéros tendent vers~$x_0$ +lorsque~$t$ tend vers~$t_0$, comme nous l'avions avancé. + +\Paragraph{14.} On peut préciser notablement ce résultat dans le cas où la +fonction $f(x,t)$ est analytique par rapport aux deux variables $x$~et +$t$. En simplifiant un peu les notations précédentes, admettons +que cette fonction est holomorphe tant que les variables restent +comprises dans les cercles +$\Abs{x} < r$, $\Abs{t} < \rho$\footnotemark, et que l'origine est +un zéro d'ordre $m$ pour $f(x,0)$. +\footnotetext{% +Cela signifie, d'après Cauchy, que la fonction $f(x,t)$ reste continue et +admet, par rapport à chacune des variables, une dérivée \emph{unique} également continue, +pour toutes les valeurs $x$, $t$ comprises dans les cercles indiqués. Pour une +valeur donnée~$t$ de module inférieur à~$\rho$, $f(x, t)$ est donc une fonction analytique +de~$x$, holomorphe pour $\Abs{x} <r$, et \emph{vice versa}. Si $G$~et~$\Gamma$ sont des contours fermés +pris dans l'intérieur des cercles $\Abs{x} =r$, $\Abs{t} =\rho$, on trouve, en appliquant deux +fois de suite la formule~\Eref{I}{I}{6}, \Pgref{page}{eqn:I.I.6}, +\[ +f(x,t) = \frac{1}{\Pow{(2\pi i)}{2}} \int_G \int_{\Gamma} + \frac{f(\xi,\tau)\, d\xi\, d\tau}{(\xi- x)(\tau- t)}, +\] +$x$ et~$t$ étant respectivement intérieurs aux contours $G$ et~$\Gamma$. De cette égalité on +conclut que, dans son domaine d'holomorphie, la fonction $f(x,t)$ possède des +dérivées de tous les ordres et peut se développer en série de Taylor.} +% [** End of footnoote] + +En raisonnant comme ci-dessus, on voit d'abord qu'on peut +trouver deux nombres positifs, $r'(< r)$ et $\rho'(<\rho)$, tels qu'on ait +\[ +\Abs{f(x,0)} \geqq \eta\quad (>0) \quad \text{pour} +\quad \Abs{x} =r' +\] +et, d'autre part, +\[ +\Abs{\frac{f(x,t) - f(x,0)}{f(x,0)}} < 1 \quad\text{pour}\quad +\Abs{x} = r',\quad \Abs{t} \leqq \rho'. +\EqnTag{II}{I}{3} +\] + +On en conclut que, pour $\Abs{t} \leqq \rho'$, la fonction $f(x,t)$ est différente +de zéro sur le cercle $\Abs{x} = r'$ et admet à l'intérieur de ce +cercle $m$~zéros, $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$, qui sont des fonctions continues +de~$t$ et s'annulent en même temps que~$t$. + +Soit maintenant $F(x, t)$ une fonction analytique quelconque des +variables $x$, $t$, qui reste holomorphe pour $\Abs{x} \leqq r'$, $\Abs{t} \leqq \rho'$. Nous +%% -----File: 037.png---Folio 25------- +allons démontrer que \textit{la somme} +\[ +F(t) \equiv F(x_1, t) + F(x_2, t) + \dotsb + F(x_m, t) +\] +\textit{est une fonction holomorphe de~$t$ dans le cercle} $\Abs{t} <\rho'$. + +Pour une valeur donnée~$t$ de module $\leqq \rho'$, $f(x,t)$ et $F(x,t)$ +représentent des fonctions analytiques de~$x$ qui sont holomorphes +pour $\Abs{x} \leqq r'$ et, de plus, $f(x,t)$ ne s'annule pas sur le cercle +$\Abs{x} = r'$. D'après la formule~\Eref{II}{I}{2}, on aura donc l'égalité +\[ +F(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_G + \Phi(x,t)\, dx \quad\text{pour}\quad \Abs{t} \leqq \rho', +\EqnTag{II}{I}{4} +\] +où $G$ désigne la circonférence $\Abs{x} = r'$ et $\Phi(x,t)$ l'expression +\[ +\Phi(x,t) = F(x,t) \frac{f'_x(x,t)}{f(x,t)}. +\] + +D'autre part, si~$x$ est l'affixe d'un point quelconque de~$G$, cette +dernière expression définit une fonction analytique de~$t$ qui est +holomorphe pour $\Abs{t} \leqq \rho'$, puisque, dans ces conditions, le dénominateur +$f(x,t)$ est différent de zéro. Par la formule~\Eref{I}{I}{8}, \Pgref{page}{eqn:I.I.8}, on +aura donc, pour $\Abs{t} < \rho'$, $\Gamma$~désignant la circonférence $\Abs{\tau} = \rho'$, +\[ +\Phi(x,t) = \sum^{n-1}_0 \Pow{D}{(\nu)}_t \Phi(x,0) \frac{\Pow{t}{\nu}}{\nu!} + + \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma} + \Pow{\left(\frac{t}{\tau}\right)}{n} \frac{\Phi(x,\tau)}{\tau-t}\, d\tau. +\EqnTag{II}{I}{5} +\] + +Comme les zéros $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$ de $f(x,t)$ se confondent avec +l'origine pour $t = 0$, les dérivées $\Pow{D}{(\nu)}_t\Phi(x,0)$ sont des fonctions +holomorphes de~$x$ pour $0 < \Abs{x} \leqq r'$. + +En substituant l'expression~\Eref{II}{I}{5} dans l'égalité~\Eref{II}{I}{4}, on trouve\footnote{% +On remarquera que la fonction $\Phi(x,t)$ est, en vertu de nos hypothèses, +continue pour $\Abs{x} = r'$, $\Abs{t} = \rho'$, de sorte que les intégrations à effectuer dans +le dernier terme de la formule~\Eref{II}{I}{6} n'impliquent aucune difficulté.} +\[ +F(t) = \sum^{n-1}_0 A_\nu \Pow{t}{\nu} + + \frac{1}{\Pow{(2\pi i)}{2}} \int_G \int_{\Gamma} + \Pow{\left(\frac{t}{\tau}\right)}{n} \frac{\Phi(x,\tau)}{\tau-t}\,dx\, d\tau, +\EqnTag{II}{I}{6} +\] +où $A_{\nu}$ désigne \textit{le résidu de $\smfrac{1}{\nu!}\Pow{D}{(\nu)}_t \Phi(x,0)$ relatif à l'origine}: +\[ +A_{\nu} = \frac{1}{2\pi i}\int_G \frac{1}{\nu!} \Pow{D}{(\nu)}_t \Phi(x,0)\, dx. +\] +%% -----File: 038.png---Folio 26------- +Or le dernier terme de~\Eref{II}{I}{6} a son module inférieur à la quantité +\[ +\frac{r'\rho'M}{\rho'- \Abs{t}}\, \Pow{\Abs{\frac{t}{\rho'}}}{n}, +\EqnTag{II}{I}{7} +\] +$M$ étant le maximum de $\Abs{\Phi(x,\tau)}$ pour $\Abs{x} = r'$, $\Abs{\tau} = \rho'$, et comme +cette quantité s'annule pour $n = \infty$, puisqu'on suppose $\Abs{t} < \rho'$, +on voit que \textit{l'expression $F(t)$ est représentée dans tout le +cercle $\Abs{t} <\rho'$ par le développement} +\[ +F(t) = \sum^{\infty}_0 A_{\nu}\Pow{t}{\nu}. +\EqnTag{II}{I}{8} +\] +Nous avons donc démontré la proposition que nous avions en vue +et trouvé en même temps une limite supérieure~\Eref{II}{I}{7} de l'erreur +qu'on commet en arrêtant le développement~\Eref{II}{I}{8} après un terme +déterminé. + +En faisant $F(x, t)\equiv \Pow{x}{k}$, $k$~étant un entier positif, on conclut de +la proposition ci-dessus que les sommes +\[ +S_k \equiv \Pow{x}{k}_1 + \Pow{x}{k}_2 + \dotsb + \Pow{x}{k}_m +\] +sont des fonctions analytiques de~$t$, holomorphes pour $\Abs{t} <\rho'$ et +s'annulant pour $t = 0$. Il en sera donc de même des coefficients +des diverses puissances de~$x$ dans le développement du produit +\[ +(x-x_1) (x-x_2)\dotsm (x-x_m), +\] +puisque ces coefficients sont des polynômes en $S_1,~S_2, \dotsc,~S_m$, et +nous arrivons ainsi à ce théorème fondamental: + +\Theorem{II.I.4}{Étant donnée une fonction analytique, $f(x,t)$, des deux +variables $x$, $t$, qui est holomorphe tant que les modules de ces +variables restent au-dessous de certaines limites; si l'origine +est un zéro d'ordre~$m$ pour $f(x, 0)$, l'équation +\[ +f(x, t) = 0 +\] +admet précisément $m$~racines qui tendent vers zéro avec~$t$. Ces +racines vérifient une équation de degré~$m$, +\[ +\Pow{x}{m} + f_1(t)\Pow{x}{m-1} + f_2(t)\Pow{x}{m-2} + \dotsb + f_m(t) = 0, +\] +%% -----File: 039.png---Folio 27------- +dont les coefficients sont des fonctions analytiques de~$t$, holomorphes +dans le voisinage de l'origine et nulles pour $t=0$\footnotemark.} +% [** End of Theorem] +\footnotetext{Les principaux résultats des \nos\Sref{12}--\Sref{15} ont été établis par Cauchy dans les +Mémoires de l'année~1831 (Cf.~\textit{Bulletin de Férussac}, 1831, et \textit{Exercices d'Analyse}, +t.~II). + +Vers 1860, le théorème ci-dessus, d'ailleurs sous une forme plus générale et +avec des développements ultérieurs, a été retrouvé par Weierstrass qui, cependant, +n'a publié ses résultats qu'en~1886, dans les \textit{Abhandlungen aus der Functionenlehre}. +D'autre part, M.~Poincaré est, de son côté, arrivé au même théorème +dans sa thèse: \textit{Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux +différences partielles}, 1879. \textit{Voir} aussi É.~\bsc{Picard}, \textit{Traité d'Analyse}, t.~II, p.~243. + +Cauchy est d'ailleurs à plusieurs reprises revenu sur la théorie des fonctions +implicites, dans le but d'en simplifier les principes. \textit{Voir}, par exemple, \textit{{\OE}uvres}, +série~I, t.~IV, 1837, p.~48--60, et t.~V, 1840, p.~180--198. Dans la seconde de ces Notes +se trouve (p.~193--198) une démonstration qui présente certaines analogies avec +celle de Weierstrass.} % [** End of footnote] + +\Paragraph{15.} Appliquons les résultats précédents au cas où l'on a +\[ +f(x,t) = x - t\varpi(x), \quad F(x,t) = F(x), +\] +les fonctions $\varpi(x)$ et~$F(x)$ étant holomorphes pour $\Abs{x}<r$. La +condition~\Eref{II}{I}{3} s'écrit +\[ +\Abs{\frac{t\varpi(x)}{x}} < 1\quad \text{pour}\quad + \Abs{x} = r'(<r), \qquad \Abs{t} \leqq \rho'. +\] +Les nombres $r'$ et~$\rho'$ satisfaisant à ces conditions, comme l'on a +actuellement $m = 1$, on peut conclure des résultats du \no\Sref{14} que, +pour $\Abs{t}\leqq\rho'$, l'équation +\[ +x - t\varpi(x) = 0 +\] +admet à l'intérieur du cercle $\Abs{x}=r'$ une seule racine,~$\overline{x}$, qui est +fonction holomorphe de~$t$, pour $\Abs{t} < \rho'$, et s'annule pour $t = 0$. + +D'autre part, en développant l'expression +\[ +\Phi(x,t) \equiv F(x) \frac{1 - t\varpi'(x)}{x - t\varpi(x)} +\] +suivant les puissances de~$t$, on trouve que le coefficient de~$\Pow{t}{\nu}$ s'écrit +\[ +F(x) \left\{ \frac{\Pow{[\varpi(x)]}{\nu}}{\Pow{x}{\nu+1}} + -\frac{\Pow{[\varpi(x)]}{\nu-1}\varpi'(x)}{\Pow{x}{\nu}}\right\} + \equiv -\frac{1}{\nu} F(x) D_x + \left\{ \Pow{\left[ \frac{\varpi(x)}{x} \right]}{\nu} \right\}, +\] +ou encore +\[ +-\frac{1}{\nu} D_x + \left\{ F(x) \Pow{\left[ \frac{\varpi(x)}{x} \right]}{\nu} \right\} + + \frac{1}{\nu} F'(x) \Pow{\left[ \frac{\varpi(x)}{x} \right]}{\nu}. +\] +%% -----File: 040.png---Folio 28------- +Nous savons que le coefficient de~$\Pow{t}{\nu}$ dans le développement de la +fonction~$F(\overline{x})$ est égal au résidu de cette expression à l'origine. +Or, le résidu du premier terme est nul, puisque ce terme est la +dérivée d'une fonction uniforme (\textit{voir} \Pgref{p.}{page13}); et, d'après +l'égalité~\Eref{I}{I}{7} \Pgref{page}{eqn:I.I.7}, le résidu du second terme est égal à la dérivée +\[ +\frac{1}{\nu!} \Pow{D}{(\nu-1)}_x + \Bigl\{F'(x) \Pow{[\varpi(x)]}{\nu} \Bigr\}, +\] +prise pour $x=0$. En somme on aura donc, pour $\Abs{t}<\rho'$, +\[ +F(\overline{x}) + = F(0) + \sum^{\infty}_1 \Pow{D}{(\nu-1)}_x + \Bigl\{F'(x) \Pow{[\varpi(x)]}{\nu}\Bigr\}_{x=0}\, + \frac{\Pow{t}{\nu}}{\nu!}, +\] +et en particulier, pour $F(x)=x$, +\[ +\overline{x} + = \sum^{\infty}_1 \Pow{D}{(\nu-1)}_x + \Bigl\{\Pow{[\varpi(x)]}{\nu}\Bigr\}_{x=0}\, + \frac{\Pow{t}{\nu}}{\nu!}. +\] +Ce sont les célèbres développements établis par Lagrange. + +\Paragraph{16.} En terminant cette section, nous allons déduire de la formule~\Eref{II}{I}{1} +un résultat intéressant, en y faisant $F(x) = \log x$. + +Prenons un cercle~$C$ ayant l'origine comme centre et de rayon~$r$, +et désignons par $a_1,~a_2, \dotsc,~a_m$ les zéros et par $b_1,~b_2, \dotsc,~b_n$ +les pôles de la fonction~$f(x)$ compris dans ce cercle, chaque zéro +ou pôle figurant dans ces suites autant de fois que l'indique son +ordre. Pour simplifier, supposons d'ailleurs $f(0)= 1$. + +L'origine étant un point critique pour~$\log x$, nous l'exclurons de +notre domaine par un petit cercle,~$c$, laissant à l'extérieur les points +$a$ et~$b$; puis, en évitant toujours ces mêmes points, nous mènerons +une coupure,~$L$, allant d'un point de~$c$ au point $x = r$ de~$C$. Nous +obtenons ainsi un domaine simplement connexe,~$T$, dont le contour,~$S$, +se compose des cercles $C$ et~$c$ et des deux bords de la +coupure~$L$, et où la fonction~$\log x$ est uniforme et holomorphe. +Pour tout fixer, convenons d'ailleurs de choisir, parmi les différentes +branches de~$\log x$, celle qui prend la valeur réelle~$\log r$ au +point $x = r$ du bord \textit{supérieur} de la coupure. + +Cela posé, en faisant $F(x) = \log x$ et en prenant~$S$ pour contour +%% -----File: 041.png---Folio 29------- +d'intégration, la formule~\Eref{II}{I}{1} nous donne +\[ +\log\frac{a_1 a_2 \dotsm a_m}{b_1 b_2 \dotsm b_n} + = \frac{1}{2\pi i} \int_S \log x\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx. +\EqnTag{II}{I}{9} +\] +Intégrons par parties, en partant du point $x = r$ (du bord supérieur +de la coupure~$L$); on aura +\[ +\int^x_r \log x \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx + = \log x\log f(x) - \log r\log f(r) - \int^x_r \frac{\log f(x)}{x}\, dx. +\] +Lorsque le point~$x$, décrivant le contour~$S$ dans le sens direct, +revient au point $x = r$, $\log x$~reprend sa valeur initiale~$\log r$. +Quant à la fonction $\log f(x)$, laquelle peut se mettre sous la +forme $\log R + i\Phi$, $R$ et~$\Phi$ étant respectivement le module et l'argument +de~$f(x)$, il résulte du théorème de la \Pgref{page}{theorem:II.I.3} qu'elle prendra +dans les mêmes circonstances la valeur $\log f(r) + 2\pi i(m-n)$, +et l'égalité précédente deviendra donc, en divisant par~$2\pi i$, +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int_S \log x \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx + = (m-n) \log r - \frac{1}{2\pi i} \int_S \frac{\log f(x)}{x}\, dx. +\] + +Si l'on convient de choisir pour $\log f(x)$ la détermination qui +s'annule à l'origine, la fonction $\smfrac{\log f(x)}{x}$ sera holomorphe dans le +cercle~$c$ et prendra la même valeur en des points correspondants +situés respectivement sur les deux bords de la coupure~$L$. Il en +résulte +\[ + \int_S\frac{\log f(x)}{x}\, dx += \int_C\frac{\log f(x)}{x}\, dx +\equiv i\int^{2\pi}_0 \log f(r\,\Pow{e}{i\varphi})\, d\varphi, +\] +car l'intégrale prise sur~$c$ est nulle et les intégrales relatives aux +deux bords de $L$ se détruisent; l'égalité~\Eref{II}{I}{9} devient donc +\[ +\log\frac{a_1 a_2 \dotsm a_m}{b_1 b_2 \dotsm b_n} + = (m-n)\log r - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log f(r\,\Pow{e}{i\varphi})\, d\varphi, +\] +ou encore, en égalant les parties réelles des deux côtés, +\[ +\log\Abs{\frac{a_1 a_2 \dotsm a_m}{b_1 b_2 \dotsm b_n}} + = (m-n)\log r - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} + \log \Abs{f(r\,\Pow{e}{i\varphi})} d\varphi. +% [** PP: No \, before previous d\varphi] +\] +Ce résultat constitue l'important théorème découvert par +%% -----File: 042.png---Folio 30------- +M.~Jensen\footnote{\textit{Acta mathematica}, t.~XXII\@. C'est M.~Goursat qui a le premier rattaché ce +théorème au calcul des résidus (\textit{Bulletin des Sciences mathématiques}, octobre +1902). \textit{Voir} aussi une Note récente de M.~Mittag-Leffler (\textit{Bulletin de la Société +mathématique de France}, t.~XXXII).} % [** End of footnote] +et qui joue, en particulier, un rôle fondamental dans la +théorie des fonctions entières. + + +\Section{II}{II}{Quelques applications aux fonctions méromorphes.} + +\Paragraph{17.} Soit une fonction \textit{méromorphe},~$f(z)$, c'est-à-dire une fonction +analytique uniforme dans tout le plan et n'ayant à distance +finie d'autres singularités que des pôles, et construisons de l'origine +comme centre une suite illimitée de cercles +\[ +c_1,\quad c_2, \quad \dotsc,\quad c_{\nu}, \quad \dotsc, +\] +qui ne passent par aucun pôle de~$f(z)$, et dont les rayons +\[ +r_1,\quad r_2, \quad \dotsc,\quad r_{\nu}, \quad \dotsc, +\] +aillent en croissant indéfiniment. On aura pour chaque indice~$\nu$, en +posant pour abréger $z_\nu = r_\nu \Pow{e}{i\psi}$, +\[ +\residuesum_{c_\nu} \bigl(f(z)\bigr) + = \frac{1}{2\pi i} \int_{c_\nu} f(z)\, dz + = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_{0} z_\nu f(z_\nu)\, d\psi. +\EqnTag{II}{II}{1} +\] + +Il peut arriver que cette expression tende vers une limite finie +et déterminée lorsque~$\nu$ croît indéfiniment. S'il en est ainsi, cette +limite sera appelée \textit{le résidu intégral de la fonction}~$f(z)$ (relatif +à la suite $c_1,~c_2,~\dotsc$)\footnotemark et désignée par $\residuesum\bigl(f(z)\bigr)$. On aura donc, +par définition, +\[ +\residuesum\bigl(f(z)\bigr) = \residuesum_{c_1} + + \left(\residuesum_{c_2} - \residuesum_{c_1}\right) + + \left(\residuesum_{c_3} - \residuesum_{c_2}\right) + \dotsb +\EqnTag{II}{II}{2} +\] +\footnotetext{\textit{Cf.~{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VII, 1827, p.~291--323. Dans cet article, +qui est d'une remarquable précision, Cauchy donne d'ailleurs une définition plus +générale du \textit{résidu intégral}, en considérant (p.~294), au lieu des cercles~$c_\nu$, un +contour fermé quelconque dont la forme varie sans cesse et de manière que ses +différents points s'éloignent indéfiniment de l'origine. Il utilise ainsi, dans toute +sa généralité, la représentation géométrique des nombres complexes, ce qu'il n'est +pas sans intérêt de noter, vu la date de cette publication.}% +% [** End of footnote] + +%% -----File: 043.png---Folio 31------- + +Cela posé, on tire facilement de l'égalité~\Eref{II}{II}{1} cette proposition: + +\Theorem{II.II.1}{Si la condition +\[ +\lim_{\nu=\infty} z_\nu f(z_\nu) = A +\EqnTag{II}{II}{3} +\] +est vérifiée uniformément pour $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$, le résidu intégral de +la fonction~$f(z)$ est égal à~$A$.} + +En effet, l'égalité~\Eref{II}{II}{1} nous donne +\[ +\residuesum_{c_\nu} \bigl(f(z)\bigr) - A + = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \bigl[z_\nu f(z_\nu) - A\bigr]\, d\psi, +\EqnTag{II}{II}{4} +\] +et, en vertu de l'hypothèse admise, on aura d'autre part, quelque +petit que soit~$\eps$, $\Abs{z_\nu f(z_\nu) - A} < \eps$, dès que~$\nu$ dépassera une certaine +limite. A partir de cette même limite, on aura donc aussi +\[ +\Abs{\,\residuesum_{c_\nu} \bigl(f(z_\nu)\bigr) - A} < \eps, +\] +d'où résulte la proposition énoncée. Cette proposition subsiste +dans le cas plus général où sont vérifiées les conditions suivantes: +\smallskip + +\primo~\textit{$\Abs{z_\nu f(z_\nu)} < M$ pour tout indice~$\nu$, $M$~étant une constante.} + +\secundo~\textit{La condition~\Eref{II}{II}{3} est vérifiée uniformément dans toute +portion de l'intervalle $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$ qui ne comprend pas certaines +valeurs particulières $\psi_1,~\psi_2, \dotsc,~\psi_n$.} +\smallskip + +En effet, si $\eps$ et~$\eta$ désignent deux nombres positifs arbitrairement +petits, et si, de l'intervalle $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$, on exclut les segments +\[ +\psi_k - \eta < \psi < \psi_k + \eta \qquad (k = 1, 2, \dotsc, n), +\] +dont la longueur totale est au plus égale à~$2n\eta$, on a dans le reste +de cet intervalle $\Abs{z_\nu f(z_\nu) - A} < \eps$ dès que~$\nu$ dépasse une certaine +valeur~$\nu_0$. Le second membre de l'égalité~\Eref{II}{II}{4} est donc inférieur en +valeur absolue à la quantité +\[ +\eps + 2n\eta\, \frac{M + \Abs{A}}{2\pi} +\] +dès que $\nu > \nu_0$, et tend, par suite, vers zéro lorsque~$\nu$ croît indéfiniment. + +%% -----File: 044.png---Folio 32------- + +Par un raisonnement analogue, on démontre cette autre proposition +dont nous aurons également à faire usage: + +\Theorem{II.II.2}{Si le module du produit $z_\nu f(z_\nu)$ reste inférieur à une quantité +fixe quel que soit~$\nu$, et si les conditions +\[ +% Must use \mathrm (not \text) below b/c we're currently in italics +\begin{aligned} + \lim_{\nu=\infty} z_\nu f(z_\nu) &= A\qquad \mathrm{pour} \\ + \lim_{\nu=\infty} z_\nu f(z_\nu) &= B\qquad \mathrm{pour} +\end{aligned} +\qquad +\begin{aligned} + \psi_0 + \eps &< \psi < \psi_0 + \pi - \eps, \\[1ex] + \psi_0 + \pi + \eps &< \psi < \psi_0 + 2\pi - \eps +\end{aligned} +\] +sont vérifiées uniformément dans les intervalles indiqués, +quelque petit que soit~$\eps$, le résidu intégral de la fonction~$f(z)$ +est égal à $\smfrac{1}{2}(A+B)$.} % [** End of Theorem] + +\Paragraph{18.} Comme première application, cherchons à évaluer les +\textit{nombres de Bernoulli}, c'est-à-dire les nombres $B_1,~B_2,~\dotsc$ qui +figurent dans le développement +\[ +\frac{1}{\Pow{e}{z}-1} = \frac{1}{z} - \frac{1}{2} + + \sum^{\infty}_1 \Pow{(-1)}{\nu-1} \frac{B_\nu}{(2\nu)!}\, \Pow{z}{2\nu-1}. +\EqnTag{II}{II}{5} +\] + +Le coefficient $\Pow{(-1)}{k-1}\smfrac{B_k}{(2k)!}$ représente le résidu de la fonction +\[ +f(z) \equiv \frac{1}{\Pow{z}{2k}}\, \frac{1}{\Pow{e}{z}-1} +\] +à l'origine. Les autres pôles de cette fonction méromorphe sont +$\pm 2\pi i\nu$ ($\nu=1,~2,~\dotsc$) et les résidus correspondants $\Pow{(-1)}{k}\Pow{(2\pi\nu)}{-2k}$. +Or, on constate facilement, en prenant $r_\nu = (2\nu-1)\pi$, que le +module de l'expression~\Eref{II}{II}{5} reste inférieur à une quantité finie sur +les cercles~$c_{\nu}$\footnotemark,\Pagelabel{page32} et il en résulte que le produit $z_\nu f(z_\nu)$ tend +%% -----File: 045.png---Folio 33------- +uniformément vers zéro pour $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$ lorsque $\nu$~croît indéfiniment. +D'après le \no\Sref{17}, le résidu intégral de la fonction~$f(z)$ se réduit +donc à zéro et, par suite, le coefficient considéré ci-dessus est égal +et de signe contraire à la somme des résidus de~$f(z)$ relatifs aux +pôles $\pm 2\pi i\nu$, d'où l'on déduit +\[ +B_k = \frac{2(2k)!}{\Pow{(2\pi)}{2k}} \sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{\nu}{2k}}. +\EqnTag{II}{II}{6} +\] +\footnotetext{De chacun des pôles de la fonction $\varphi(z)\equiv\fnfrac{1}{\Pow{e}{z}-1}$ comme centre, décrivons +un cercle de rayon arbitrairement petit mais fixe, et désignons par~$T$ la région +extérieure à ces cercles. Je dis que $\Abs{\varphi(z)}$ est inférieur à un nombre fini~$M$ +pour tout point de~$T$. Soit, en effet, $a$~un nombre positif et posons $z=\tau +it$; on +aura évidemment $\Abs{\varphi(z)} < \fnfrac{1}{\Pow{e}{a}-1}$ pour $\tau>a$, et $\Abs{\varphi(z)}<\fnfrac{1}{1-\Pow{e}{-a}}$ pour $\tau<-a$, +et d'autre part on trouve, en tenant compte de la périodicité de~$\varphi(z)$, que +$\Abs{\varphi(z)}$ aura un maximum fini dans la portion de~$T$ comprise dans la +bande $-a\leqq\tau\leqq a$. On prendra pour $M$ la plus grande de ces trois limites. + +Le nombre~$x$ étant assujetti à la condition $0 \leqq x \leqq 1$, on démontre de même +que le module de la fonction $\fnfrac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}$ reste au-dessous d'une limite finie~$M'$ dans le +domaine~$T$. Ce module est, en effet, inférieur à $\fnfrac{1}{1-\Pow{e}{-a}}$ pour $\tau< -a$, inférieur +à~$\Pow{e}{a}\,M$ dans la portion de~$T$ faisant partie de la bande $-a\leqq\tau\leqq a$, et, enfin, inférieur +à $\fnfrac{1}{1-\Pow{e}{-a}}$ pour $\tau > a$, ce qui résulte de l'identité +\[ +\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1} = \frac{\Pow{e}{-z(1-x)}}{1-\Pow{e}{-z}}. +\] +On pourra donc prendre $M'= \Pow{e}{a} M$. + +Des remarques analogues s'appliquent à chacune des fonctions +\[ +\fsec z,\quad \cosec z,\quad \tang z,\quad \cot z,\quad +\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}+1}\quad (0 \leqq x \leqq 1),\dotsc, +\] +dans les régions qu'on obtient en excluant leurs pôles par de petits +cercles.}% [** End of footnote] + +Par un raisonnement de tout point analogue on trouve pour les +\textit{nombres d'Euler}, qui figurent dans l'égalité +\[ +\fsec z = \sum^{\infty}_0 + \frac{E_\nu}{(2\nu)!}\, \Pow{z}{2\nu}\qquad (E_0 = 1), +\EqnTag{II}{II}{7} +\] +l'expression +\[ +E_k = 2(2k)!\, \Pow{\left(\frac{2}{\pi}\right)}{2k+1} + \sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\Pow{(-1)}{\nu}}{\Pow{(2\nu+1)}{2k+1}} + \quad (k = 0, 1, \dotsc). +\EqnTag{II}{II}{8} +\] + +Cherchons maintenant les coefficients $\varphi_\nu(x)$ du développement +\[ +\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1} + = \frac{1}{z} + \sum^{\infty}_1 \frac{\varphi_\nu(x)}{\nu!}\, \Pow{z}{\nu-1}. +\EqnTag{II}{II}{9} +\] +En multipliant~\Eref{II}{II}{5} par la série qui définit~$\Pow{e}{xz}$, on obtient +\[ +\varphi_\nu(x) + = \Pow{x}{\nu} - \frac{\nu}{2} \Pow{x}{\nu-1} + + \Pow{C_\nu}{(2)} B_1 \Pow{x}{\nu-2} + - \Pow{C_\nu}{(4)} B_2 \Pow{x}{\nu-4} + + \Pow{C_\nu}{(6)} B_3 \Pow{x}{\nu-6} - \dotsb, +\] +%% -----File: 046.png---Folio 34------- +les lettres~$C$ désignant les coefficients binomiaux. Mais nous allons +obtenir une autre expression de ces polynômes, en observant +que~$\smfrac{\varphi_n(x)}{n!}$ représente le résidu relatif à l'origine de la fonction +\[ +f(z) \equiv \frac{1}{\Pow{z}{n}}\, \frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}. +\EqnTag{II}{II}{10} +\] + +Soit d'abord $n > 1$, et supposons la variable~$x$ réelle et comprise +dans l'intervalle $0 \leqq x \leqq 1$. D'après la remarque faite ci-dessus, le +produit $z_\nu f(z_\nu)$ tendra uniformément vers zéro pour $0\leqq\psi\leqq 2\pi$ +lorsque $\nu$~croît indéfiniment, en prenant toujours $r_\nu = (2\nu -1)\pi$. +\Pagelabel{page34}% +Le résidu intégral de la fonction~$f(z)$ est donc égal à zéro, et l'on +en déduit après quelques réductions faciles, pour $k = 1,~2,~\dotsc$, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\varphi_{2k}(x) +&= \phantom{1+{}} % [** PP: Add'l hspace to pad line] + \Pow{(-1)}{k+1}\, 2(2k)!\, \sum^{\infty}_{\nu=1} + \dfrac{\cos2\nu\pi x}{\Pow{(2\nu\pi)}{2k}} + \equiv \overline{\varphi}_{2k}(x), \\ +% +\varphi_{2k+1}(x) +&= \Pow{(-1)}{k+1}\, 2(2k+1)!\, \sum^{\infty}_{\nu=1} + \dfrac{\sin2\nu\pi x}{\Pow{(2\nu\pi)}{2k+1}} + \equiv \overline{\varphi}_{2k+1}(x), +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{II}{II}{11} +\] +formules valables tant que $0\leqq x\leqq 1$. En vue d'applications ultérieures, +nous conviendrons de désigner par $\overline{\varphi}_{2k}(x)$, $\overline{\varphi}_{2k+1}(x)$ les +fonctions périodiques de période~$1$ qui figurent aux seconds +membres de ces formules. + +Lorsque $n=1$, le résidu intégral de la fonction~\Eref{II}{II}{10} est encore +égal à zéro, pourvu que~$x$ reste dans l'intervalle $0<x<1$, \textit{les +limites étant exclues}. C'est ce qu'on déduit des résultats de la +\Pgref{page}{theorem:II.II.1}, en remarquant, d'une part, que le module du produit +\[ +zf(z)\equiv\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1} +\EqnTag{II}{II}{12} +\] +reste au-dessous d'une limite finie sur les cercles~$c_\nu$, d'après la note +de la \Pgref{page}{page32}, et, d'autre part, que ce produit tend uniformément +vers zéro lorsque $z$~s'éloigne indéfiniment de l'origine en restant +intérieur à l'un des angles +\[ +-\frac{\pi}{2} + \eps < \psi < \frac{\pi}{2}-\eps,\quad + \frac{\pi}{2} + \eps < \psi < \frac{3\pi}{2}-\eps, +\] +$\eps$ étant un nombre positif aussi petit qu'on le voudra. + +%% -----File: 047.png---Folio 35------- + +On aura donc, pour $0<x<1$, +\[ +\varphi_1(x) \equiv x - \frac{1}{2} + = -\sum^{\infty}_1 \frac{\sin 2\nu\pi x}{\nu \pi}. +\EqnTag{II}{II}{13} +\] +Nous désignerons par~$\overline{\varphi}_1(x)$ la fonction périodique +\[ +\overline\varphi_1(x) = -\sum^{\infty}_1 \frac{\sin2\nu\pi x}{\nu \pi}, +\EqnTag{II}{II}{14} +\] +fonction qui se confond avec $x - \nu - \smfrac{1}{2}$ pour $\nu< x <\nu+1$. + +$m$~étant un entier positif quelconque, on aura, pour $0< x < 1$, +\[ +\sum^{\infty}_m \frac{\sin 2\nu\pi x}{\nu\pi} + = -\frac{1}{2\pi i} \int_{c_m} \frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}\, \frac{dz}{z}, +\EqnTag{II}{II}{15} +\] +et comme, d'après la note de la \Pgref{page}{page32}, le module de +l'expression~\Eref{II}{II}{12} reste inférieur à la quantité finie~$M'$ sur les cercles~$c_{\nu}$, +et comme, d'ailleurs, la somme~\Eref{II}{II}{15} admet la période~$1$ et s'annule +pour les valeurs entières de~$x$, on peut en conclure que \textit{la +somme~\Eref{II}{II}{15} reste inférieure en valeur absolue à la quantité~$M'$ +pour toutes les valeurs réelles de~$x$, quel que soit l'entier +positif~$m$}. D'autre part, on peut déduire de l'égalité~\Eref{II}{II}{15} ce fait +bien connu que \textit{la série~\Eref{II}{II}{14} converge uniformément dans +l'intervalle $\eps\leqq x\leqq 1-\eps$, quelque petit que soit le nombre positif~$\eps$}. +\Pagelabel{page35}% + +On appelle \textit{polynomes de Bernoulli} les polynomes~$P$ définis +par les égalités +\begin{align*} +P_{2k}(x) &= \varphi_{2k}(x) + \Pow{(-1)}{k}B_k, \\ +P_{2k+1}(x) &= \varphi_{2k+1}(x). +\end{align*} + +Conformément à la notation adoptée ci-dessus, nous conviendrons +de désigner par $\overline{P}_{2k}(x)$, $\overline{P}_{2k+1}(x)$ les fonctions périodiques +de période~$1$ qui coïncident respectivement avec ces polynomes +dans l'intervalle $0\leqq x\leqq 1$. + +Ayant à nous occuper souvent des polynomes $\varphi$ et~$P$ dans la +suite de cet ouvrage, nous en signalerons ici quelques propriétés +importantes qui se déduisent immédiatement de nos formules. + +%% -----File: 048.png---Folio 36------- + +En rapprochant l'égalité~\Eref{II}{II}{9} de celle qu'on obtient en la différentiant +par rapport à~$x$, on trouve les relations +\[ +\varphi'_{\nu+1}(x) = (\nu+1) \varphi_\nu(x)\quad (\nu=1, 2, \dotsc), +\EqnTag{II}{II}{16} +\] +qu'on pourrait aussi déduire des formules~\Eref{II}{II}{11}. De celles-ci on +conclut immédiatement +\[ +\varphi_{2k}(1-x) = \varphi_{2k}(x),\qquad +\varphi_{2k+1}(1-x) = -\varphi_{2k+1}(x), +\] +puis +\[ +\varphi_{2k+1}(0) = \varphi_{2k+1}\left(\smfrac{1}{2}\right) + = \varphi_{2k+1}(1) = 0, +\] +et, en tenant compte de l'égalité~\Eref{II}{II}{6}, +\[ +\varphi_{2k}(0) = \varphi_{2k}(1) = \Pow{(-1)}{k+1}B_k,\qquad +\varphi_{2k}\left(\smfrac{1}{2}\right) = \Pow{(-1)}{k} B'_k, +\EqnTag{II}{II}{17} +\] +où +\Pagelabel{page36} +\[ +B'_k = \frac{2(2k)!}{\Pow{(2\pi)}{2k}} + \sum^{\infty}_{\nu=1} \frac{\Pow{(-1)}{\nu+1}}{\Pow{\nu}{2k}} + = \left(1 - \frac{1}{\Pow{2}{2k-1}}\right)B_k. +\] + +La plus grande valeur numérique de $\overline\varphi_{2k}(x)$ étant égale à~$B_k$, +d'après~\Eref{II}{II}{11}, on voit que \textit{le polynome~$P_{2k}(x)$ s'annule pour $x = 0$ +et pour $x= 1$, en gardant dans l'intervalle compris entre ces +valeurs un signe invariable, à savoir celui de~$\Pow{(-1)}{k}$}. Signalons +aussi l'égalité +\[ +\int^1_0 P_{2k}(x)\, dx = \Pow{(-1)}{k} B_k, +\EqnTag{II}{II}{18} +\] +qu'on vérifie de suite en intégrant la première des formules~\Eref{II}{II}{11}. + +Considérons encore, avec Hermite\footnote{\textit{Journal de Crelle}, t.~116. p.~144.}, les polynomes~$\chi(x)$ qui +figurent dans le dé\-vel\-oppe\-ment +\[ +\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z} +1} + = \sum^{\infty}_0 \frac{\chi_\nu(x)}{\nu!}\, \Pow{z}{\nu} + \qquad \left[\chi_0(x) \equiv \smfrac{1}{2}\right]. +\EqnTag{II}{II}{19} +\] + +%% -----File: 049.png---Folio 37------- + +Un raisonnement analogue au précédent conduit aux égalités +\begin{flalign*} +\EqnTag{II}{II}{20} +&\left\{ +\begin{aligned} +\chi_{2k}(x) +&= \phantom{{}+1^{+1}} \Pow{(-1)}{k}\, 2(2k)!\, + \sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\sin(2\nu+1)\pi x}{\Pow{[(2\nu +1)\pi]}{2k+1}} + \equiv \overline\chi_{2k}(x) \\[1ex] +% +\chi_{2k+1} (x) +&= \Pow{(-1)}{k+1}\, 2(2k+1)!\, + \sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\cos(2\nu+1)\pi x}{\Pow{[(2\nu +1)\pi]}{2k+2}} + \equiv \overline\chi_{2k+1}(x) +\end{aligned} +\quad +\begin{aligned} + & (k=1, 2, \dotsc),\vphantom{\Bigg|} \\[1ex] + & (k=0, 1, \dotsc),\vphantom{\Bigg|} +\end{aligned} +\right. +\end{flalign*} +qui sont valables pour $0\leq x \leq 1$. Les expressions qui figurent aux +seconds membres, et que nous désignerons par $\overline\chi_{2k}(x)$, $\overline\chi_{2k+1}(x)$, +admettent la période~$2$ et changent de signe lorsqu'on ajoute à la +variable~$x$ une demi-période, c'est-à-dire l'unité. + +Nous désignerons de même par $\overline{\chi}_{0}(x)$ la fonction périodique +\Pagelabel{page37} +\[ +\overline{\chi}_{0} (x) + = 2\sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\sin(2\nu+1)\pi x}{(2\nu +1)\pi}, +\EqnTag{II}{II}{21} +\] +dont la valeur est égale à~$\smfrac{1}{2}$, pour $2\nu < x < 2\nu+1$, et à~$-\smfrac{1}{2}$ pour +$2\nu+1 < x < 2\nu+2$, $\nu$~étant un entier quelconque. Quant à la +convergence de la série qui figure au second membre de l'égalité~\Eref{II}{II}{21}, +on pourra répéter mot à mot ce qui a été dit au sujet de +la série~\Eref{II}{II}{14}. + +Des égalités \Eref{II}{II}{19} et~\Eref{II}{II}{20} on déduit les relations +\begin{gather*} +\chi'_{\nu+1}(x) = (\nu + 1) \chi_\nu(x)\qquad (\nu=0, 1, 2, \dotsc), \\ +\chi_{2k}(1-x) = \chi_{2k}(x),\qquad +\chi_{2k+1}(1-x) = -\chi_{2k+1}(x), \\ +\chi_{2k}(0) = \chi_{2k}(1) = 0,\qquad +\chi_{2k+1}\left(\smfrac{1}{2}\right) = 0, +\EqnTag{II}{II}{22} +\end{gather*} +et, enfin, en tenant compte de l'égalité~\Eref{II}{II}{8}, +\[ +\chi_{2k}\left(\smfrac{1}{2}\right) = \frac{\Pow{(-1)}{k}}{2} \frac{E_k}{\Pow{4}{k}}. +\EqnTag{II}{II}{23} +\] + +\Paragraph{19.} À l'aide des considérations du \no\Sref{17} on peut, dans certains +cas, décomposer une fonction méromorphe en fractions rationnelles\footnote{Cf.~\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VII, 1827, p.~324--344, et série~I, t.~VIII, +1844, p.~378--385.}. % [** End of footnote] + +Supposons, par exemple, qu'il soit possible de choisir les +%% -----File: 050.png---Folio 38------- +cercles~$c_\nu$ de telle sorte que, si l'on pose toujours $z_\nu = r_\nu \Pow{e}{i\psi}$, le +module $\Abs{f(z_\nu)}$ reste au-dessous d'une limite finie, quels que +soient $\psi$ et~$\nu$, et que, d'autre part, l'égalité +\[ +\lim_{\nu=\infty} f(z_\nu) = A +\] +soit vérifiée uniformément dans l'intervalle $0\leqq \psi\leqq 2\pi$ ou, plus généralement, +dans toute portion de cet intervalle qui ne comprend +pas certaines valeurs particulières, $\psi_1,~\psi_2, \dotsc,~\psi_n$. Il en sera alors +de même, quel que soit~$x$, de l'égalité +\[ +\lim_{\nu=\infty} z_\nu\, \frac{f(z_\nu)}{z_\nu - x} = A, +\] +et l'on en déduit, d'après le théorème de la \Pgref{page}{theorem:II.II.1}, +\[ +\residuesum \left(\frac{f(z)}{z-x}\right) = A. +\] + +Or le résidu de $\smfrac{f(z)}{z-x}$ au point $z = x$ est égal à~$f(x)$, et nous +pouvons donc écrire le résultat précédent sous la forme +\[ +f(x) = A + \residuesum \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{x-z} +\EqnTag{II}{II}{24} +\] +où la somme $\residuesum$ ne comprend, cette fois, que les résidus de~$\smfrac{f(z)}{x-z}$ +relatifs aux pôles de~$f(z)$\footnotemark. +\Pagelabel{page38}% +\footnotetext{À l'exemple de Cauchy, nous désignerons désormais par les notations +$\residuesum \varphi(z)\bigl(f(z)\bigr)$, et $\residuesum \smfrac{\varphi(z)}{\bigl(f(z)\bigr)}$ la somme des résidus des expressions $\varphi(z)f(z)$, +$\smfrac{\varphi(z)}{f(z)}$, relatifs respectivement aux points singuliers des fonctions $f(z)$ et~$\smash[t]{\smfrac{1}{f(z)}}$.} +% [** End of footnote] + +Si l'on suppose les conditions +\[ +\begin{alignedat}{3} + \lim_{\nu=\infty} f(z_\nu) &= A &&\text{pour} + &&\phantom{\pi+{}}\psi_0 + \eps < \psi < \psi_0 + \pi - \eps \\ +% + \lim_{\nu=\infty} f(z_\nu) &= B \qquad &&\text{pour}\qquad + && \psi_0 + \pi + \eps < \psi < \psi_0 + 2\pi - \eps +\end{alignedat} +\] +vérifiées uniformément dans les intervalles indiqués, quelque petit +que soit~$\eps$, et si $\Abs{f(z)}$ reste d'ailleurs au-dessous d'une limite +finie sur les cercles~$c_\nu$, on trouve, par le même raisonnement que +%% -----File: 051.png---Folio 39------- +ci-dessus, en utilisant le dernier théorème du \no\Sref{17}, +\[ +f(x) = \smfrac{1}{2}(A+B) + \residuesum \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{x-z}. +\EqnTag{II}{II}{25} +\] + +Considérons encore le cas où~$f(z)$ est une fonction \textit{impaire}, +telle que le quotient $\smfrac{f(z_\nu)}{z_\nu}$ tende uniformément vers zéro pour +$0\leqq \psi\leqq 2\pi$ lorsque $\nu$~croît indéfiniment. Je dis que le résidu intégral +de $\smfrac{f(z)}{z-x}$ se réduit à zéro, de sorte qu'on pourra appliquer la +formule~\Eref{II}{II}{24} en y faisant $A = 0$. En effet, on a +\[ +\residuesum\left(\frac{f(z)}{z-x}\right) + = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_0 \frac{z_\nu f(z_\nu)}{z_\nu - x}\, d\psi + = \frac{x}{\pi} \int^{\pi}_0 \frac{z_\nu f(z_\nu)} + {\Pow{z}{2}_\nu - \Pow{x}{2}}\, d\psi, +\] +et, sous la condition indiquée, cette dernière expression a évidemment +pour limite~$0$ lorsque $\nu$~tend vers l'infini. + +Dans le cas où~$f(z)$ n'admet que des pôles simples, $a_1,~a_2, \dotsc,~a_\nu,~\dotsc$, +on aura +\[ +\residuesum \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{x-z} + = \sum^{\infty}_1 \frac{A_\nu}{x - a_\nu}, +\] +$A_\nu$ étant le résidu de~$f(z)$ relatif au pôle~$a_\nu$. Mais il importe de +remarquer que, dans cette série, on doit réunir les termes en +groupes comme l'indique l'égalité~\Eref{II}{II}{2}, c'est-à-dire en comprenant +dans un même groupe les termes provenant des pôles compris +entre deux cercles consécutifs dans la suite $c_1,~c_2,~\dotsc$. + +\Paragraph{20.} Appliquons les considérations précédentes à la fonction +\[ +f(z) = \pi\cot\pi z \equiv \frac{D_z \sin \pi z}{\sin\pi z}. +\] + +La fonction $\sin\pi z$ admettant les points $z = 0$,~$\pm1, \pm 2,~\dotsc$ +comme zéros simples, ces mêmes points seront, d'après le \no\Sref{11}, +pour~$f(z)$ des pôles simples de résidu~$1$. La fonction~$f(z)$ est +d'ailleurs impaire et, d'après la note de la \Pgref{page}{page32}, son module +restera au-dessous d'une limite finie sur les cercles~$c_\nu$, si l'on prend +$r_\nu = \nu - \smfrac{1}{2}$. + +On peut donc appliquer la formule~\Eref{II}{II}{24} en y faisant $A = 0$, et +%% -----File: 052.png---Folio 40------- +l'on trouve ainsi la formule connue +\[ +\pi \cot \pi x + = \frac{1}{x} + \sum^{\infty}_{\nu = 1} + \left(\frac{1}{x - \nu} + \frac{1}{x + \nu}\right) + = \frac{1}{x} + 2x \sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{x}{2} - \Pow{\nu}{2}}. +\] + +Soit, en second lieu, +\[ +f(z) = \frac{\Pow{e}{az}}{\Pow{e}{z} -1}\qquad (0<a<1). +\] + +En prenant $r_\nu = (2\nu-1)\pi$, nous savons, d'après la \Pgref{page}{page34}, que le +module $\Abs{f(z_{\nu})}$ reste au-dessous d'une limite finie sur les cercles~$c_\nu$, +et que l'égalité $\lim\limits_{\nu=\infty} f(z_{\nu}) = 0$ est vérifiée uniformément pour +\begin{align*} +-\smfrac{\pi}{2} + \eps &< \psi < \smfrac{\pi}{2} - \eps \\ +\intertext{et pour} + \smfrac{\pi}{2} + \eps &< \psi < \smfrac{3\pi}{2} - \eps, +\end{align*} +quelque petit que soit~$\eps$. On aura donc l'égalité~\Eref{II}{II}{24} avec $A= 0$, +ce qui donne +\[ +\frac{\Pow{e}{ax}}{\Pow{e}{x} - 1} + = \lim_{n=\infty}\sum^{+n}_{-n} \frac{\Pow{e}{2\pi i\nu a}}{x - 2\pi i\nu} + \quad (0<a<1). +\] + +Si $a = 0$, on aura +\[ +\lim_{\nu=\infty} f(z_{\nu}) = -1\qquad \text{pour}\qquad +\smfrac{\pi}{2} + \eps < \psi < \smfrac{3\pi}{2} - \eps, +\] +les autres conditions étant les mêmes que ci-dessus. Dans ce cas, +on doit donc appliquer l'égalité~\Eref{II}{II}{25} en y faisant $A = 0$, $B =-1$, +et l'on trouve ainsi +\[ +\frac{1}{\Pow{e}{x} - 1} + = -\frac{1}{2} + \frac{1}{x} + + 2x\sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{x}{2} + 4\Pow{\pi}{2}\Pow{\nu}{2}}. +\] + +Comme dernière application, proposons-nous, en suivant toujours +Cauchy, de décomposer la fonction entière +\[ +F(z) = \sin z - az\cos z, +\] +où $a$~désigne une constante, en un produit de facteurs primaires. + +A cet effet, mettons~$F(z)$ sous la forme +\[ +F(z) = -az\cos z \left(1 - \frac{\tang z}{az}\right), +\] +%% -----File: 053.png---Folio 41------- +et décrivons, de l'origine comme centre, des cercles~$c_\nu$ de rayons +$\nu\pi$ ($\nu = 1,~2,~\dotsc$). Dès que $\nu$~dépassera une certaine valeur~$\nu_0$, on +aura (\textit{Cf}.~la note \Pgref{page}{page32}) +\[ +\Abs{\frac{\tang z}{az}} < 1\quad \text{sur}\quad c_\nu, +\] +et il en résulte, d'après le théorème de la \Pgref{page}{theorem:II.I.1}, que la +fonction~$F(z)$ a, dans le cercle~$c_\nu$, autant de zéros que la fonction $z\cos z$, +c'est-à-dire $2\nu + 1$ zéros. Donc $F(z)$ admet, en dehors de l'origine +qui en est un zéro simple si l'on suppose $a\neq 1$, une infinité +d'autres zéros, deux à deux égaux et de signes contraires, que nous +désignerons par $\pm\lambda_1,~\pm\lambda_2, \dotsc,~\pm\lambda_\nu,~\dotsc$. D'ailleurs, $\nu > \nu_0$, +les zéros~$\pm\lambda_{\nu}$ seront compris entre les cercles $c_{\nu-1}$ et~$c_{\nu}$. + +Cela posé, formons la dérivée logarithmique de~$F(z)$: +\[ +\frac{F'(z)}{F(z)} = \frac{(1-a)\cos z + az\sin z}{\sin z - az\cos z} + = \frac{\vphantom{\bigg|}\smfrac{1-a}{az} + \tang z} + {\vphantom{\bigg|}\smfrac{\tang z}{az} - 1}. +\] + +Cette dernière expression met en évidence que le module de +$\smfrac{F'(z)}{F(z)}$ reste inférieur à une quantité finie sur les cercles~$c_{\nu}$, au moins +pour $\nu>\nu_0$, et, comme c'est d'ailleurs une fonction impaire de~$z$, +les résultats établis au \no\Sref{19} nous permettent d'écrire +\[ +\frac{F'(z)}{F(z)} + = \frac{1}{x} + \sum^{\infty}_{1} + \left(\frac{1}{x - \lambda_\nu} + \frac{1}{x + \lambda_\nu}\right). +\] + +En intégrant cette égalité et en observant que $F'(0) = 1-a$, on +en déduit l'expression cherchée +\[ +\sin x - ax\cos x + = (1-a)x \prod^{\infty}_1 \left( + 1 - \frac{\Pow{x}{2}}{\Pow{\lambda}{2}_\nu} + \right). +\] + +\Paragraph{21.} Si les considérations qui précèdent ne s'appliquent pas à la +fonction donnée~$f(z)$, il sera parfois possible de trouver une fonction +rationnelle ou méromorphe~$\chi(z)$, se réduisant à l'unité pour +$z = 1$ et telle que les conditions énoncées au \no\Sref{19} soient vérifiées +%% -----File: 054.png---Folio 42------- +pour le produit $f(z)\chi\left(\smfrac{z}{x}\right)$, quel que soit~$x$\footnotemark. Le résidu intégral +de l'expression +\[ +\frac{f(z)\,\chi\!\left(\smfrac{z}{x}\right)}{z-x} +\EqnTag{II}{II}{26} +\] +aura alors une valeur finie qui dépendra en général de~$x$, $\varphi(x)$, et, +comme le résidu de cette expression au point $z=x$ est égal à~$f(x)$, +on en déduit +\[ +f(x) = \varphi(x) + \residuesum + \frac{\Bigl(f(z)\,\chi\bigl(\smfrac{z}{x}\bigr)\Bigr)}{x-z}. +\EqnTag{II}{II}{27} +\] +\footnotetext{Cauchy a fait cette remarque (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~VIII, p.~114, 381), sans +toutefois en tirer grand profit. Pour le sujet que nous traitons ici, \textit{voir} \bsc{Hermite}, +\textit{Cours d'Analyse}, 4\ieme{}~édition, 10\ieme{}~Leçon; \bsc{Picard}, \textit{Traité d'Analyse}, t.~II, +Chapitre~VI; \bsc{Borel}, \textit{Leçons sur les fonctions méromorphes}, Chapitre~IV.}% +% [** End of footnote] + +Supposons par exemple qu'il soit possible de choisir les cercles~$c_\nu$ +de telle sorte que l'égalité +\[ +\lim_{\nu=\infty} \frac{f(z_\nu)}{\Pow{z}{p}_\nu} = 0, +\] +où $p$ désigne un entier positif, ait lieu uniformément pour +\[ +0\leqq \psi\leqq 2\pi. +\] + +Dans ce cas, il suffit de prendre $\chi(z) = \Pow{z}{-p}$, car l'expression~\Eref{II}{II}{26} +devient alors +\[ +\frac{f(z)}{\Pow{z}{p}}\, \frac{\Pow{x}{p}}{z-x}, +\] +et, en vertu de l'hypothèse admise, elle aura donc zéro pour résidu +intégral, quel que soit~$x$. Par suite, l'égalité~\Eref{II}{II}{27} nous donne +\[ +f(x) = \residuesum \frac{\Pow{x}{p}}{x-z} \left(\frac{f(z)}{\Pow{z}{p}}\right). +\] + +Admettons en particulier que les pôles $a_1,~a_2,~\dotsc$ de~$f(z)$ soient +tous simples et distincts de l'origine, et soit~$A_\nu$ le résidu du pôle~$a_\nu$. +Dans ce cas, le résidu de l'expression +\[ +\frac{\Pow{x}{p}}{x-z}\, \frac{f(z)}{\Pow{z}{p}} + \equiv f(z) \left(\frac{1}{x-z} + \frac{1}{z} + \frac{x}{\Pow{z}{2}} + + \dotsb + \frac{\Pow{x}{p-1}}{\Pow{z}{p}}\right) +\] +%% -----File: 055.png---Folio 43------- +relatif au pôle~$a_\nu$ est égal à +\[ +\frac{A_\nu}{x - a_\nu} \Pow{\left(\frac{x}{a_\nu}\right)}{p} +\equiv A_\nu \left(\frac{1}{x - a_\nu} + \frac{1}{a_\nu} + + \frac{x}{\Pow{a}{2}_\nu} + \dotsb + + \frac{\Pow{x}{p-1}}{\Pow{a}{p}_\nu}\right), +\] +tandis que son résidu à l'origine est, d'après l'égalité~\Eref{I}{I}{7}, \Pgref{page}{eqn:I.I.7}, +\[ +f(0) + f'(0)x + \dotsb + \Pow{f}{(p-1)}(0)\frac{\Pow{x}{p-1}}{(p-1)!}, +\] +de sorte que la fonction~$f(x)$ sera représentée par l'expression +\[ +f(x) = f(0) + f'(0)x + \dotsb + \Pow{f}{(p-1)}(0)\frac{\Pow{x}{p-1}}{(p-1)!} + + \sum^{\infty}_1 \frac{A_\nu}{x - a_\nu} + \Pow{\left(\frac{x}{a_\nu}\right)}{p}. +\] + +Dans cette dernière somme, on doit d'ailleurs réunir les termes +en groupes comme nous l'avons expliqué plus haut. + + +\Section{II}{III}{Calcul de quelques intégrales définies.} + +\Paragraph{22.} Le calcul des résidus constitue la source naturelle des intégrales +définies, et Cauchy en a tiré des méthodes générales qui lui +ont fourni toutes les intégrales obtenues antérieurement et une +multitude d'intégrales nouvelles\footnotemark. Nous devons nous borner ici +à rappeler brièvement les plus importantes de ces méthodes, en les +illustrant par quelques exemples caractéristiques. +\footnotetext{En dehors du Mémoire déjà cité de l'année~1814, on consultera en particulier: +\textit{Journal de l'École Polytechnique}, Cahier~XIX, 1823, p.~571--592; \textit{{\OE}uvres +de Cauchy}, série~II, t.~VI, 1826, p.~256--285, et, avant tout, l'Ouvrage intitulé +\textit{Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires} +(1825), dont une traduction allemande vient d'être publiée par M.~Stäckel.} +% [** End of footnote] + +Nous commençons par tirer de la formule connue +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-\Pow{z}{2}}\, dz = \smfrac{\sqrt{\pi}}{2} +\EqnTag{II}{III}{1} +\] +quelques résultats dont nous aurons à faire usage plus loin. + +Posons $z = \rho\,\Pow{e}{i\psi}$, et considérons l'intégrale $\dint \Pow{e}{-\Pow{z}{2}}\,dz$ étendue +au contour du secteur formé par l'axe réel positif, le rayon +%% -----File: 056.png---Folio 44------- +d'argument $\psi=\smfrac{\pi}{4}$, et l'arc~$S$ du cercle $\Abs{z} = R$ compris entre ces deux +droites. La valeur de cette intégrale est égale à zéro, quelque grand +que soit~$R$, puisque la fonction~$\Pow{e}{-\Pow{z}{2}}$ est partout holomorphe. Or je +dis que \textit{l'intégrale prise sur l'arc~$S$ s'évanouit lorsque $R$~croît +indéfiniment}. En effet, le module de cette intégrale est inférieur à +\[ +\int^{\fnfrac{\pi}{4}}_0 \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos 2\psi}R\,d\psi + \equiv \frac{1}{2} \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\,d\psi, +\] +et, en désignant par~$a$ un nombre positif inférieur à~$\smfrac{\pi}{2}$, on a +\[ +\int^a_0 \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\,d\psi + < \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos a} \int^a_0 R\,d\psi + = aR\,\Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos a}, +\] +expression qui s'annule évidemment pour $R = \infty$, et, d'autre part, +\[ +\int^{\fnfrac{\pi}{2}}_a \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\, d\psi + < \frac{1}{\sin a} \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_a \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\sin\psi\,d\psi + = \frac{1}{R\sin a} (1 - \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos a}), +\] +d'où résulte la proposition énoncée. + +Par suite l'intégrale~\Eref{II}{III}{1}, prise le long de l'axe réel positif, aura la +même valeur que si l'on y prend pour chemin d'intégration le +rayon d'argument~$\smash[b]{\smfrac{\pi}{4}}$, et, en posant dans ce dernier cas +$z=\Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}}\rho$, +d'où $\Pow{z}{2} = i\Pow{\rho}{2}$, on aura donc +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-i\Pow{\rho}{2}}\, d\rho + = \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4}}\, \smfrac{\sqrt{\pi}}{2}, +\EqnTag{II}{III}{2} +\] +ou encore, en séparant les parties réelles et imaginaires, +\[ + \int^{\infty}_0 \cos(\Pow{\rho}{2})\,d\rho += \int^{\infty}_0 \sin(\Pow{\rho}{2})\,d\rho += \smfrac{1}{2} \sqrt{\smfrac{\pi}{2}}. +\] + +De l'égalité~\Eref{II}{III}{2} on déduit, en remplaçant~$\rho$ par $a\left(t + \smfrac{b}{\Pow{a}{2}}\right)$, +\[ +\int^{+\infty}_{-\infty} \Pow{e}{-i\Pow{a}{2} \Pow{t}{2} - 2ibt}\,dt + = \smfrac{\sqrt{\pi}}{a} +% [** PP: \Pow macro here and below would make expression too tall] +% \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4} + i\fnfrac{\Pow{b}{2}}{\Pow{a}{2}}}, + \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4} + i\fnfrac{b^2}{a^2}}, +\] +et, en ajoutant à cette égalité celle qui en résulte en changeant~$b$ +%% -----File: 057.png---Folio 45------- +en~$-b$, on obtient une formule qui nous sera utile: +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-i \Pow{a}{2} \Pow{t}{2}}\cos 2bt\,dt + = \smfrac{\sqrt{\pi}}{2a} \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4} +% + i\fnfrac{\Pow{b}{2}}{\Pow{a}{2}}}. + + i\fnfrac{b^2}{a^2}}. +\EqnTag{II}{III}{3} +\] + +\Paragraph{23.} Voici maintenant une méthode aussi simple que féconde, et +dont Cauchy a fait un usage continuel dès ses premières recherches +sur ce sujet. Supposons que la fonction~$f(z)$ soit uniforme et ne +présente qu'un nombre fini de points singuliers dans le demi-plan~$P_1$ +situé au-dessus de l'axe réel, en étant d'ailleurs holomorphe sur +cet axe, et soit~$R$ un nombre positif assez grand pour que les points +singuliers en question soient tous intérieurs au cercle décrit de +l'origine comme centre avec le rayon~$R$. En désignant par~$C_R$ l'arc +de ce cercle compris dans le demi-plan~$P_1$, on aura alors, par le +théorème fondamental du calcul des résidus, +\[ +\int^{+R}_{-R} f(z)\,dz + \int_{C_R} f(z)\,dz + = 2\pi i\, \residuesum_{P_1}\bigl(f(z)\bigr), +\] +et, dans les cas où est vérifiée la condition +\[ +\lim_{R=\infty}\int_{C_R} f(z)\,dz = 0, +\EqnTag{II}{III}{4} +\] +on en conclut, en faisant tendre~$R$ vers l'infini, +\[ +\int^{+\infty}_{-\infty} f(z)\,dz + = 2\pi i\, \residuesum_{P_1}\bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{II}{III}{5} +\] + +On trouverait de même, sous des conditions analogues, +\[ +\int^{+\infty}_{-\infty} f(z)\,dz += -2\pi i\, \residuesum_{P_2}\bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{II}{III}{\protect{$5'$}} +\] +$P_2$~désignant le demi-plan situé au-dessous de l'axe réel. + +La condition~\Eref{II}{III}{4} est certainement remplie si l'égalité +\[ +\lim_{R=\infty} R\, f(R\, \Pow{e}{i\psi}) = 0 +\EqnTag{II}{III}{6} +\] +a lieu uniformément pour $0\leqq \psi\leqq \pi$. Il en résulte, en particulier, +que la formule~\Eref{II}{III}{5} est applicable toutes les fois que~$f(z)$ est une +fonction rationnelle, holomorphe sur l'axe réel et admettant le point +%% -----File: 058.png---Folio 46------- +à l'infini comme zéro du second ordre (ou d'ordre supérieur), ou +bien le produit d'une telle fonction par une expression de la forme +\[ +[\Pow{(z-z_1)}{\alpha_1}\, \Pow{(z-z_2)}{\alpha_2}\, \dotsm]\, +\Bigl\{\Pow{[\log(z-z_1)]}{\beta_1}\, + \Pow{[\log(z-z_2)]}{\beta_2}\, \dotsm\Bigr\}, +\EqnTag{II}{III}{7} +\] +où $z_1,~z_2,~\dotsc$ sont les affixes de points situés au-dessous de l'axe +réel, et où la partie réelle de la somme $\alpha_1 + \alpha_2 + \dotsb$ est inférieure +à l'unité (ou même égale à l'unité, si la partie réelle de la somme +$\beta_1 + \beta_2 + \dotsb$ est négative). + +Mais l'hypothèse~\Eref{II}{III}{4} est encore vérifiée si l'on a +\[ +\lim_{R=\infty} \int^{\pi}_0 R\Abs{f(R\, \Pow{e}{i\psi})}\, d\psi = 0, +\EqnTag{II}{III}{8} +\] +condition qui est évidemment plus générale que~\Eref{II}{III}{6}. On en déduit, +en particulier, que la formule~\Eref{II}{III}{5} est applicable pour +\[ +f(z) = \Pow{e}{iaz}\,\varphi(z), +\] +si l'on suppose la constante~$a$ positive et l'égalité $\lim\limits_{R=\infty}\varphi(R\,\Pow{e}{i\psi})=0$ +vérifiée uniformément pour $0\leqq\psi\leqq\pi$, $\varphi(z)$~jouissant d'ailleurs, +dans le demi-plan~$P_1$ et sur l'axe réel, des propriétés indiquées au +début de ce numéro. + +En effet, en désignant par~$\eps(R)$ le maximum de $\Abs{\varphi(R\,\Pow{e}{i\psi})}$ +pour $0\leqq\psi\leqq\pi$, on aura +\[ +\int^{\pi}_0 R\Abs{f(R\, \Pow{e}{i\psi})}\, d\psi +< \eps(R) \int^{\pi}_0 R\, \Pow{e}{-aR\sin\psi}\,d\psi. +\] + +Or l'intégrale qui figure au second membre, et qui peut s'écrire +\[ +2\int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 R \Pow{e}{-aR\sin\psi}\, d\psi, +\] +reste au-dessous d'une limite finie quel que soit~$R$, car, en désignant +par~$b$ un nombre positif inférieur à~$\smfrac{\pi}{2}$, on a +\[ +\int^{\fnfrac{\pi}{2}}_b R\, \Pow{e}{-aR\sin\psi}\, d\psi +< \left(\smfrac{\pi}{2} - b\right) R\,\Pow{e}{-aR\sin b}, +\] +%% -----File: 059.png---Folio 47------- +expression qui s'annule pour $R = \infty$, et d'autre part +\[ +\int^b_0 R\, \Pow{e}{-aR\sin \psi}\, d\psi +< \frac{1}{\cos b} \int^b_0 \Pow{e}{-aR\sin\psi}\, R\cos\psi\, d\psi += \frac{1}{a\cos b} (1 - \Pow{e}{-aR\sin b}). +\] + +Comme d'ailleurs, par hypothèse, $\eps(R)$ s'évanouit pour $R = \infty$, +on voit bien que la condition~\Eref{II}{III}{8} est remplie et que, par suite, la +formule~\Eref{II}{III}{5} est applicable dans l'hypothèse considérée. + +On pourra, par exemple, choisir pour~$\varphi(z)$ une fonction rationnelle, +holomorphe sur l'axe réel et admettant le point à l'infini +comme zéro du premier ordre (ou d'ordre supérieur), ou bien le +produit d'une telle fonction par une expression de la forme~\Eref{II}{III}{7}, les +points $z_1,~z_2,~\dotsc$ étant situés dans le demi-plan~$P_2$, et la partie +réelle de $\alpha_1 + \alpha_2 + \dotsb$ étant inférieure à l'unité (ou même égale à +l'unité, si la partie réelle de la somme $\beta_1 + \beta_2 + \dotsb$ est négative). + +On trouve, par exemple, en désignant par~$r$ une constante dont +la partie réelle est positive, +\[ +\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{\Pow{e}{iaz}}{z - ir}\, dz + = 2\pi i\, \Pow{e}{-ar},\qquad% [** PP: Orig. 2\pi i\Pow{e}{-a^r}?] +\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{\Pow{e}{iaz}}{z+ir}\, dz = 0 +\] +et, en formant la somme et la différence de ces deux égalités, on +en déduit les formules de Laplace +\[ + \int^{\infty}_0 \frac{z\sin az}{\Pow{z}{2} + \Pow{r}{2}}\, dz += \int^{\infty}_0 \frac{z\cos az}{\Pow{z}{2} + \Pow{r}{2}}\, dz += \frac{\pi}{2}\Pow{e}{-ar}. +\] + +\Paragraph{24.} Voici une autre méthode générale dont Cauchy\footnote{% +\textit{Voir} en particulier \textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~I, 1825, p.~235--285.} +% [** End of footnote] +et Hermite\footnote{\textit{Cours d'Analyse}, 13\ieme{}~Leçon.} +% [** End of footnote] +ont fait un usage étendu, et sur laquelle nous aurons d'ailleurs +à revenir au Chapitre suivant. En posant $z = \tau + it$, admettons +que la fonction~$f(z)$ soit uniforme et ne présente qu'un nombre fini +de points singuliers dans le domaine~$B_1$, défini par les inégalités +$a < \tau < b$, $t>0$, en étant d'ailleurs holomorphe sur le contour +de ce domaine, et admettons en outre que la condition +\[ +\lim_{t=\infty} f(\tau + it) = H_1, \qquad (H_1 = \text{const}.), +\EqnTag{II}{III}{9} +\] +soit vérifiée uniformément pour $a\leqq\tau\leqq b$. + +%% -----File: 060.png---Folio 48------- + +Prenons un nombre positif~$\delta$ assez grand pour que les points +singuliers de~$f(z)$ compris dans~$B_1$ soient tous intérieurs au rectangle +retranché de ce domaine par la droite $t = \delta$. En intégrant la +fonction~$f(z)$ autour du périmètre de ce rectangle, on aura l'égalité +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\int^b_a f(\tau)\, d\tau +&= i\int^{\delta}_0 \bigl[f(a+it)-f(b +it)\bigr]\, dt \\ +&\quad +\int^b_a f(\tau + i\delta)\, d\tau + + 2\pi\, \residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr); +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{II}{III}{10} +\] +on en déduit, en tenant compte de l'hypothèse~\Eref{II}{III}{9}, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\int^b_a f(\tau)\, d\tau +&= i\int^{\infty}_0 \bigl[f(a+it)-f(b +it)\bigr]\, dt \\ +&\quad + (b-a)H_1 + 2\pi i\, \residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr). +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{II}{III}{11} +\] + +Dans le cas où la fonction~$f(z)$ admet la période $b-a$, le premier +terme disparaîtra du second membre de cette formule. + +En supposant des conditions analogues à celles qui précèdent +vérifiées dans le domaine~$B_2$, symétrique de~$B_1$ par rapport à l'axe +réel, on trouve une formule analogue à~\Eref{II}{III}{11} et que nous nous +dispenserons d'écrire ici. + +Appliquons cette méthode au cas où l'on a +\[ +f(z) = \frac{z}{u - \Pow{e}{-iz}},\qquad a = -\pi,\qquad b = \pi, +\] +$u$ étant une quantité réelle et positive. La fonction~$f(z)$ admet +pour pôles les points +\[ +z = i \log u + 2\pi\nu\qquad (\nu = 0, \pm 1, \pm 2,\dotsc). +\] +Donc, si $u>1$, le pôle $i \log u$ sera intérieur à~$B_1$, tandis que ce +domaine ne comprendra aucun pôle de~$f(z)$ lorsque~$u<1$. Il en +résulte que le dernier terme de l'expression~\Eref{II}{III}{11} est, dans le premier +cas, égal à $\smfrac{2\pi i\log u}{u}$ et, dans le second cas, à zéro. + +D'autre part, on trouve +\[ +f(a+it) - f(b+it) = - \smfrac{2\pi}{u + \Pow{e}{t}}, +\] +d'où il résulte, par un calcul élémentaire, que le premier terme de +%% -----File: 061.png---Folio 49------- +l'expression~\Eref{II}{III}{11} a pour valeur +\[ +-\smfrac{2\pi i}{u} \log(1+u). +\] +Comme, d'ailleurs, $H_1=0$, nous pouvons donc conclure de la formule~\Eref{II}{III}{11} +que l'intégrale +\[ +\int^{+\pi}_{-\pi} \frac{z\, dz}{u - \Pow{e}{-iz}} +\] +est égale à $\smfrac{2\pi i}{u} \log\Bigl(\smfrac{u}{1+u}\Bigr)$ ou à $\smfrac{2\pi i}{u} \log\Bigl(\smfrac{1}{1+u}\Bigr)$, suivant que l'on a +$u > 1$ ou $u < 1$, et, en séparant les parties réelle et imaginaire, on +en déduit pour l'intégrale +\[ +\int^{\pi}_0 \frac{z\sin z\,dz}{\Pow{u}{2} - 2u\cos z + 1} +\] +la valeur $\smfrac{\pi}{u}\log\smfrac{1+u}{u}$, si $u > 1$, et la valeur $\smfrac{\pi}{u}\log(1+u)$, si $u < 1$. + +Calculons encore, par la même méthode, la valeur de l'intégrale +\[ +\int^1_0 \log(\sin \pi z)\, dz, +\EqnTag{II}{III}{12} +\] +qui nous sera utile plus loin, et, dans ce but, appliquons la formule~\Eref{II}{III}{10} +en y faisant $a = 0$, $b= 1$, $f(z)=\log(\sin\pi z)$. On s'assure +en effet aisément que cette formule reste applicable lorsque +la fonction~$f(z)$ devient infinie aux points $a$ et~$b$, pourvu que son +ordre d'infinitude y soit inférieur à l'unité, comme dans le cas +présent. On trouve, par une discussion élémentaire, +\Pagelabel{page49} +\[ +f(a + it) -f(b+it) + \equiv \log\left[\frac{\sin\pi it}{\sin\pi(1+it)}\right] + = +\pi i, +\] +d'où il résulte +\[ +i\int^{\delta}_0 \bigl[f(a+it) - f(b+it)\bigr]\, dt = -\pi\delta, +\] +et, d'autre part, on déduit de l'égalité $\sin\pi z = \smfrac{1}{2i}(\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz})$ +\[ +\sin\pi(\tau + it) = \smfrac{i}{2} \Pow{e}{\pi t - \pi i\tau} + \bigl[1 + \eps(t)\bigr]\footnotemark,\Pagelabel{page49fn} +% [** Footnote gets put on following page] +\] +\footnotetext{Pour éviter des redites incessantes, nous conviendrons dès maintenant de +désigner indifféremment par~$\eps(t),~\eps(\delta),~\dotsc$, toute fonction tendant vers zéro lorsque $t,~\delta,~\dotsc$ tendent vers l'infini.}% +% [** End of footnote] +%% -----File: 062.png---Folio 50------- +d'où +\[ +f(\tau + i\delta) + = \smfrac{\pi i}{2} - \log 2 + \pi\delta - \pi i\tau + \eps(\delta) +\] +et, par suite, +\Pagelabel{page50} +\[ +\int^b_a f(\tau+i\delta)\, d\tau = \pi\delta - \log 2 + \eps(\delta). +\] + +Comme, d'ailleurs, dans l'hypothèse actuelle, le dernier terme +de la formule~\Eref{II}{III}{10} est nul, nous pouvons en conclure, en faisant +tendre~$\delta$ vers l'infini, que \textit{la valeur de l'intégrale~\Eref{II}{III}{12} est égale +à~$-\log2$}. + +\Paragraph{25.} Soit encore à calculer l'intégrale +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1}\varphi(z)\, dz, +\] +$a$ étant une constante dont la partie réelle est positive et inférieure +à \textit{un}, et~$\varphi(z)$ une fonction rationnelle, s'annulant à l'infini et +holomorphe à l'origine et sur l'axe réel positif. + +Traçons de l'origine comme centre un cercle~$c$ de rayon~$\eps$ et un +autre cercle~$C$ de rayon~$R$, de telle sorte qu'ils comprennent entre +eux tous les pôles de~$\varphi(z)$, et désignons par~$S$ le contour fermé +qui se compose de ces cercles et des deux bords d'une coupure +menée suivant l'axe réel positif. On aura +\[ +\int_S \Pow{z}{a-1} \varphi (z)\, dz + = 2\pi i\, \residuesum \Pow{z}{a-1}\bigl(\varphi(z)\bigr), +\] +la somme $\residuesum$ s'étendant à tous les pôles de~$\varphi(z)$. + +Faisons maintenant tendre~$\eps$ vers zéro et~$R$ vers l'infini. Les +parties de l'intégrale ci-dessus qui sont relatives aux cercles +$c$ et~$C$, tendront vers zéro, en vertu de nos hypothèses. Comme +d'ailleurs $\Pow{z}{a-1} = \Pow{e}{(a-1)\log z}$ et que $\log z$ augmente de $2\pi i$ lorsqu'on +passe d'un point du bord supérieur au point correspondant du bord +inférieur de la coupure, le premier membre de l'égalité précédente +deviendra +\[ +(1 - \Pow{e}{2\pi ia}) \int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1}\varphi(z)\, dz, +\] +%% -----File: 063.png---Folio 51------- +et, par suite, on trouve pour l'intégrale donnée l'expression +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1}\varphi(z)\, dz += \frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi ia}}\, \residuesum \Pow{z}{a-1}\bigl(\varphi(z)\bigr). +\EqnTag{II}{III}{13} +\] + +Pour $\varphi(z) = \smfrac{1}{1+z}$, on obtient la formule, due à Euler: +\[ +\int^{\infty}_0 \frac{\Pow{z}{a-1}}{1 + z}\, dz += \frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi ia}} \Pow{e}{\pi i(a-1)} += \frac{\pi}{\sin \pi a}. +\] + +En différentiant l'égalité~\Eref{II}{III}{13} $n$~fois par rapport à la constante~$a$, +on trouve la valeur de l'intégrale +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1} \Pow{(\log z)}{n} \varphi(z)\, dz. +\] + +D'autre part, si $\varphi(z)$ admet le point à l'infini comme zéro d'un +ordre $\geqq 2$, les résultats précédents seront valables pour $a = 1 + \eps$, +dès que $0 <\eps< 1$, et, en faisant tendre~$\eps$ vers zéro, on en déduit +les formules +\[ +\int^{\infty}_0 \varphi(z)\, dz += \lim_{\eps = 0} \left\{\frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi i\eps}}\, + \residuesum \Pow{z}{\eps} \bigl(\varphi(z)\bigr)\right\} +\] +et +\[ +\int^{\infty}_0 \varphi(z)\Pow{(\log z)}{n}\, dz += \lim_{\eps = 0} \Pow{D}{(n)}_{\eps} + \left\{\frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi i\eps}}\, + \residuesum \Pow{z}{\eps} \bigl(\varphi(z)\bigr)\right\}. +\] + +On trouverait, par exemple, +\[ +\int^{\infty}_0 \frac{\Pow{(\log z)}{2}}{1+\Pow{z}{2}}\, dz + = \lim_{\eps=0} \Pow{D}{(2)}_{\eps} + \Biggl(\frac{\pi}{2\cos\smfrac{\pi\eps}{2}}\Biggr) + =\frac{\Pow{\pi}{3}}{8}. +\] + +\bigTbreak + +%% -----File: 064.png---Folio 52------- + + +% [*** Chapter III] +\cleardoublepage +\Chapter{III}{FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCUL DES RÉSIDUS.} + +\Section{III}{I}{Recherches de Cauchy. Transformations diverses +des formules générales.} + +\Paragraph{26.} Le calcul des résidus permet d'exprimer par une intégrale +définie la somme des valeurs que prend une fonction analytique~$f(z)$ +pour des valeurs entières successives de la variable $z$. En +effet, on a vu (\Pgref{p.}{paragraph:20}) +que la fonction $\pi\cot \pi z$ admet tout nombre +entier~$\nu$ comme pôle simple de résidu \textit{un}, et il en résulte que la +valeur~$f(\nu)$ est égale au résidu de l'expression $\pi\cot \pi z\,f(z)$ relatif +au point $z=\nu$, pourvu que~$f(z)$ y soit holomorphe. Traçons donc +un contour fermé simple~$C$ enveloppant les points $m,~m+1, \dotsc,~n$, +mais laissant à l'extérieur tout autre point dont l'affixe est un +nombre entier, et supposons que, à l'intérieur de ce contour, la +fonction~$f(z)$ soit uniforme et ne présente qu'un nombre fini de +points singuliers, distincts des points $m,~m + 1, \dotsc,~n$, en étant +d'ailleurs holomorphe sur~$C$. Dans ces conditions, on conclut du +théorème général des résidus, en utilisant la notation qui a été +expliquée \Pgref{page}{page38}, +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int_C \pi \cot \pi z\, f(z)\,dz += \sum^n_m f(\nu) + \residuesum_C \pi \cot \pi z\bigl(f(z)\bigr), +\EqnTag{III}{I}{1} +\] +d'où +\[ +\sum^n_m f(\nu) + = \frac{1}{2\pi i} \int_C \pi \cot \pi z f(z)\,dz + - \residuesum_C \pi \cot \pi z\bigl(f(z)\bigr), +\EqnTag{III}{I}{2} +\] + +Si, en particulier, la fonction~$f(z)$ est holomorphe à l'intérieur +de~$C$, le dernier terme de cette égalité disparaîtra. + +%% -----File: 065.png---Folio 53------- + +En observant que le résidu de la fonction $\smfrac{\pi}{\sin\pi z}$ relatif au pôle +$z = \nu$ est égal à~$\Pow{(-1)}{\nu}$, on arrive de même à la formule +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) + = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{\pi}{\sin\pi z} f(z)\,dz + - \residuesum_C \frac{\pi}{\sin \pi z}\bigl(f(z)\bigr), +\EqnTag{III}{I}{3} +\] +les hypothèses restant les mêmes que ci-dessus. + +Les formules qu'on vient d'écrire conduisent facilement à la +sommation de certaines séries particulières, renfermant un nombre +infini de termes\footnotemark. +\footnotetext{% [** PP: Changed period to comma after série~II] +Cf.~\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VII, 1827, p.~345--362.} + +Soit, par exemple, $f(z)$ une fonction rationnelle ou méromorphe, +telle que le résidu intégral de l'expression $\pi \cot \pi z\,f(z)$ s'annule +(\textit{voir} le \no\Sref{17}). En prenant pour le contour~$C$ un cercle ayant l'origine +comme centre et en faisant croître indéfiniment le rayon de ce +cercle par des valeurs convenablement choisies, l'intégrale~\Eref{III}{I}{1} +tendra vers zéro, de sorte que l'égalité~\Eref{III}{I}{2} deviendra +\[ +\sum^{+\infty}_{-\infty} f(\nu) = -\residuesum\pi\cot \pi z\bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{III}{I}{4} +\] + +Si le résidu intégral de l'expression $\smfrac{\pi}{\sin \pi z} f(z)$ se réduit à zéro, +on déduit de même de l'égalité~\Eref{III}{I}{3} la formule +\[ +\sum^{+\infty}_{-\infty}\Pow{(-1)}{\nu}f(\nu) + = -\residuesum \frac{\pi}{\sin \pi z}\bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{III}{I}{5} +\] + +On suppose, bien entendu, que les séries qui figurent dans les +égalités \Eref{III}{I}{4} et~\Eref{III}{I}{5} soient convergentes et que leurs termes soient +réunis en groupes comme l'indique l'égalité~\Eref{II}{II}{2}, \Pgref{page}{eqn:II.II.2}. + +Comme les modules $ \Abs{\cot \pi z}$ et $\Abs{\smfrac{1}{\sin \pi z}}$ restent au-dessous d'une +limite finie sur les cercles $\Abs{z} = \nu - \tfrac{1}{2}$, $\nu = 1,~2,~\dotsc$ (\textit{voir} la note +de la \Pgref{page}{page32}), on peut conclure des résultats établis au \no\Sref{17} que +les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées toutes les fois +que~$f(z)$ est une fonction rationnelle admettant le point à l'infini +%% -----File: 066.png---Folio 54------- +comme zéro d'un ordre $\geqq 2$. Dans ce cas, les séries \Eref{III}{I}{4} et~\Eref{III}{I}{5} seront +d'ailleurs absolument convergentes. + +Si~$f(z)$ est une fonction rationnelle ayant $z =\infty$ comme zéro +simple, on pourra l'écrire sous la forme $f(z) = \smfrac{A}{z} + \varphi(z)$, $A$~étant +une constante et~$\varphi(z)$ une fonction rationnelle admettant $z =\infty$ +comme zéro d'un ordre $\geqq 2$. Comme les résidus intégraux des +expressions $\smfrac{\cot\pi z}{z}$ et~$\smfrac{1}{z\sin\pi z}$ se réduisent a zéro, puisque leurs +termes se détruisent deux à deux, il en sera de même, d'après ce +que nous venons de dire, des résidus intégraux des expressions +$\pi \cot\pi z f(z)$ et $\smfrac{\pi}{\sin\pi z} f(z)$ et, par suite, les formules \Eref{III}{I}{4} et~\Eref{III}{I}{5} +seront encore applicables, en réunissant toutefois, dans la série~\Eref{III}{I}{4}, +les termes correspondant à des valeurs égales et de signes contraires +de l'indice~$\nu$. + +L'égalité~\Eref{III}{I}{4} nous donne, en faisant par exemple $f(z)=\smfrac{1}{\Pow{(x+z)}{2}}$, +\[ +\sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\Pow{(x+\nu)}{2}} = \frac{\Pow{\pi}{2}}{\Pow{\sin}{2} \pi x}, +\] +et, pour $f(z)=\smfrac{1}{a + b\Pow{z}{2}}$, +\[ +\sum_{0}^{\infty} \frac{1}{a + b\Pow{\nu}{2}} + = - \frac{1}{2a} - \frac{1}{2}\, \residuesum \frac{\pi \cot\pi z}{(a+b\Pow{z}{2})} + = - \frac{1}{2a} + \frac{\pi}{2\sqrt{ab}} + \frac{\Powfr{e}{\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}} + \Powfr{e}{-\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}}} + {\Powfr{e}{\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}} - \Powfr{e}{-\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}}}. +\] + +La formule~\Eref{III}{I}{5} reste valable si l'on pose $f(z) = \varphi(z) \sin az$ ou +$f(z) = \varphi(z) \cos az$, $\varphi(z)$~étant une fonction rationnelle s'annulant +à l'infini et $a$~une constante réelle comprise entre $-\pi$ et~$\pi$. En +effet, en remplaçant les fonctions trigonométriques par des exponentielles, +on constate aisément (\textit{Cf}.~la note \Pgref{p.}{page32}), que les expressions +\[ +\Abs{\frac{\sin az}{\sin\pi z}}\quad \text{et}\quad +\Abs{\frac{\cos az}{\sin\pi z}\vphantom{\frac{\sin az}{\sin\pi z}}} +\] +restent au-dessous d'une limite finie sur les cercles +\[ +\Abs{z} = \nu - \smfrac{1}{2}\qquad (\nu = 1, 2, \dotsc) +\] +et, d'autre part, que ces mêmes expressions tendent uniformément +%% -----File: 067.png---Folio 55------- +vers zéro lorsque le point $z\equiv \rho\,\Pow{e}{i\psi}$ tend vers l'infini en restant +intérieur à l'un des angles $\eps < \psi < \pi-\eps$, $\pi+\eps < \psi < 2\pi-\eps$, +$\eps$~étant un nombre positif aussi petit que l'on voudra. Comme le +module $\Abs{z\varphi(z)}$, par hypothèse, reste inférieur à une quantité +finie à partir d'une certaine valeur de $\Abs{z}$, ces mêmes remarques +seront applicables au produit de l'une quelconque des expressions +\[ +\frac{\pi}{\sin\pi z}\, \varphi(z) \sin az +\quad \text{et} \quad +\frac{\pi}{\sin\pi z}\, \varphi(z) \cos az +\] +par le facteur~$z$, et, d'après le \no\Sref{17}, les résidus intégraux de ces +expressions se réduiront donc à zéro, ce qui justifie notre assertion. +On aura par suite, sous les conditions énoncées, +\begin{align*} + \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} + \bigl[\varphi(\nu) - \varphi(-\nu)\bigr] \sin\nu a + &= -\pi\, \residuesum \frac{\sin az}{\sin\pi z} \bigl(\varphi(z)\bigr), \\ +% + \varphi(0) + + \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} + \bigl[\varphi(\nu) + \varphi(-\nu)\bigr] \cos\nu a + &= -\pi\, \residuesum \frac{\cos az}{\sin\pi z} \bigl(\varphi(z)\bigr). +\end{align*} + +On trouve, par exemple, pour $\varphi(z) = \smfrac{1}{x-z}$, +\begin{align*} + \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} \frac{\nu \sin\nu a}{\Pow{x}{2} - \Pow{\nu}{2}} + &= \frac{\pi}{2} \frac{\sin ax}{\sin\pi x}, \\ +% + \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} \frac{\cos\nu a}{\Pow{x}{2} - \Pow{\nu}{2}} + &= -\frac{1}{2\Pow{x}{2}} + \frac{\pi}{2x} \frac{\cos ax}{\sin\pi x}. +\end{align*} + +Dans certains cas, les formules \Eref{III}{I}{4}~et \Eref{III}{I}{5} permettent de transformer +une série donnée en une autre dont la convergence est plus +rapide. Ainsi, en faisant dans~\Eref{III}{I}{5} $f(z) = \smfrac{z}{\Pow{e}{\pi az} - \Pow{e}{-\pi az}}$, $a$~étant une +constante réelle quelconque, Cauchy en déduit l'égalité +\[ +\sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} \frac{\nu}{\Pow{e}{\pi a\nu} - \Pow{e}{-\pi a\nu}} + = - \frac{1}{4\pi a} + - \frac{1}{\Pow{a}{2}} \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} + \frac{\nu}{\Powfr{e}{\fnfrac{\pi\nu}{a}} - \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi\nu}{a}}}. +\] + +Pour les petites valeurs numériques de~$a$, la convergence du +second membre est évidemment très rapide, tandis que le premier +membre converge lentement. + +\Paragraph{27.} Nous allons maintenant transformer les formules générales +%% -----File: 068.png---Folio 56------- +établies au début de ce Chapitre, en commençant par la formule~\Eref{III}{I}{2}. +Pour simplifier, nous supposerons d'abord la fonction~$f(z)$ holomorphe +à l'intérieur du contour~$C$, de sorte que le second membre +de cette formule se réduit à son premier terme. + +Soient $\alpha$ et~$\beta$ les points où~$C$ est coupé par l'axe réel +\Pagelabel{page56} +\[ +m - 1 < \alpha < m,\quad n < \beta < n + 1, +\EqnTag{III}{I}{6} +\] +et désignons par~$\alpha\gamma'\beta$ la partie supérieure et par~$\alpha\gamma''\beta$ la partie inférieure +de ce contour. Nous laissant guider par cette observation +que $\smfrac{1}{i} \cot\pi z$ tend vers~$-1$ dans la direction de l'axe imaginaire +positif et vers~$+ 1$ dans la direction opposée, nous substituerons, +dans le second membre de la formule~\Eref{III}{I}{2}, +% [** PP: align* environment makes too much vertical space] +\[ +\frac{1}{i} \cot\pi z = -1 - \frac{2}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}\qquad + \text{sur l'arc $\alpha\gamma' \beta$}\phantom{'.} +\] +et +\[ +\frac{1}{i} \cot\pi z = \phantom{-} 1 + \frac{2}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\phantom{{}^-}\qquad + \text{sur l'arc $\alpha\gamma''\beta$}. +\] + +Par ces substitutions, l'expression en question devient +\[ + \frac{1}{2} \int_{\alpha\gamma''\beta} f(z)\, dz + - \frac{1}{2} \int_{\beta\gamma'\alpha} f(z)\, dz + + \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1} + - \int_{\beta\gamma'\alpha} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}. +\] + +Or on a, en posant $z = \tau + it$, +\[ + \int_{\alpha\gamma''\beta} f(z)\, dz + = - \int_{\beta\gamma'\alpha} f(z)\, dz + = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tau)\, d\tau, +\EqnTag{III}{I}{7} +\] +puisqu'on suppose la fonction~$f(z)$ holomorphe à l'intérieur de~$C$; +la formule~\Eref{III}{I}{2} prendra donc la forme suivante: +\[ + \sum_{m}^{n} f(\nu) = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tau)\, d\tau + + \int_{\alpha\gamma'\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + + \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}. +\EqnTag{III}{I}{8} +\] + +Prenons, en particulier, pour le contour~$C$ un rectangle symétrique +par rapport à l'axe réel et dont les côtés verticaux passent +respectivement par les points $z = \alpha$ et~$z = \beta$. En désignant par~$2\delta$ +la hauteur de ce rectangle, la formule~\Eref{III}{I}{8} deviendra +\[ + \sum_{m}^{n} f(\nu) = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tau)\, d\tau + + I(\alpha, \delta) - I(\beta, \delta) + R(\delta), +\EqnTag{III}{I}{9} +\] +%% -----File: 069.png---Folio 57------- +en posant, pour abréger, +\begin{align*} +I(\tau,\delta) +&= \int^{\tau + i\delta}_{\tau} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + + \int^{\tau - i\delta}_{\tau} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, \\[1ex] +% +R(\delta) +&= \int^{\beta}_{\alpha} + \frac{f(\tau + i\delta)\, d\tau}{\Pow{e}{-2\pi i\tau + 2\pi\delta} - 1} + + \int^{\beta}_{\alpha} + \frac{f(\tau - i\delta)\, d\tau}{\Pow{e}{ 2\pi i\tau + 2\pi\delta} - 1}. +\end{align*} + +La formule~\Eref{III}{I}{9} se simplifie dans le cas où sont vérifiées les conditions +suivantes: +\smallskip + +\primo~\textit{La fonction~$f(z)$ est holomorphe pour $\alpha \leqq \tau \leqq \beta$, quel que +soit~$t$}; +\Pagelabel{page57a}% + +\secundo~\textit{L'égalité} +\[ +\lim_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}f(\tau +it) = 0 +\EqnTag{III}{I}{A} +\] +\textit{a lieu uniformément pour} $\alpha \leqq \tau \leqq \beta$. +\smallskip + +En effet, dans ces conditions, la formule~\Eref{III}{I}{9} reste valable quelque +grand que soit~$\delta$ et, lorsque $\delta$~croît indéfiniment, $R(\delta)$~tendra vers +zéro, de sorte qu'on obtient +\[ +\sum^n_m f(\nu) += \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau ++ \lim_{\delta=\infty} \bigl[I(\alpha,\delta) - I(\beta,\delta)\bigr]. +\EqnTag{III}{I}{I} +\] + +Resserrons davantage les hypothèses en supposant que: +\smallskip + +\primo~\textit{La fonction~$f(z)$ est holomorphe pour $\tau \geqq \alpha$, quelque soit}~$t$; +\Pagelabel{page57b}% + +\secundo~\textit{La condition~\Eref{III}{I}{A} est vérifiée uniformément pour $\alpha \leqq \tau \leqq \beta$, +quelque grand que soit}~$\beta$; + +\tertio~\textit{La fonction~$f(z)$ est assujettie à la condition} +\[ +\lim_{\tau=\infty} \int^{+\infty}_{-\infty} + \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}\, \Abs{f(\tau +it)} = 0. +\EqnTag{III}{I}{B} +\] + +La formule~\Eref{III}{I}{I} subsistera quelque grand que soit~$n$, et comme +l'on a, en posant $\beta = n + \smfrac{1}{2}$, $z = \beta + it$, +\[ +\Abs{I(\beta,\delta)} +< \int^{+\delta}_{-\delta} + \frac{\Abs{f(\beta + it)}}{\Pow{e}{2\pi\Abs{t}} + 1}\, dt +< \int^{+\delta}_{-\delta} + \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}\, \Abs{f(\beta + it)}\, dt, +\] +%% -----File: 070.png---Folio 58------- +on voit que l'intégrale $I(\beta,\infty)$ a un sens et qu'elle tend vers zéro +lorsque~$n$ ou~$\beta$ augmente indéfiniment, de sorte que la formule +en question deviendra +\[ + \sum_{m}^{\infty} f(\nu) + = \int_{\alpha}^{\infty} f(\tau)\, d\tau + + \int_{\alpha}^{\alpha + i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + + \int_{\alpha}^{\alpha - i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, +\EqnTag{III}{I}{II} +\] +si la série qui figure au premier membre est convergente, et, si +cette série diverge, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\lim_{n=\infty} &\biggl[\, \sum_{m}^{n} f(\nu) + - \int_{\alpha}^{n + \frac{1}{2}} f(\tau)\, d\tau\biggr] \\ +&\quad= \int_{\alpha}^{\alpha + i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} ++ \int_{\alpha}^{\alpha - i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}. +\end{aligned} +\right. +\tag*{(II)$_a$} +\Pagelabel{eqn:III.I.IIa} +\] + +\Paragraph{28.} Nous introduirons dès maintenant certaines notations dont +nous aurons à faire un usage continuel dans la suite de cet ouvrage. +En écrivant toujours $z = \tau +it$, nous poserons +\[ +\frac{1}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} = \Psi(\tau, t) + iX(\tau, t), +\EqnTag{III}{I}{10} +\] +d'où +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \Psi(\tau,t) + &= \frac{\cos 2\pi\tau - \Pow{e}{-2\pi t}} + {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, \\[1ex] +% + X(\tau,t) + &= \frac{\sin 2\pi\tau} + {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{11} +\] +et, d'autre part, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + p(\tau,t) &= \smfrac{1}{2}\, \bigl[f(\tau+it) + f(\tau-it)\bigr], \\[1ex] + q(\tau,t) &= \smfrac{1}{2i} \bigl[f(\tau+it) - f(\tau-it)\bigr], +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{12} +\] +de sorte que $p(\tau, t)$ et~$iq(\tau, t)$ représentent respectivement les +parties réelle et imaginaire de la fonction~$f(\tau+it)$, dans le cas +où celle-ci est réelle pour $t = 0$. + +Avec ces notations, le premier terme de l'expression~$I(\tau, \delta)$ +s'écrit +\[ +i\int_{0}^{\delta} \bigl[p(\tau, t) + iq(\tau, t)\bigr] + \bigl[ \Psi(\tau, t) + iX(\tau, t) \bigr]\, dt, +\] +%% -----File: 071.png---Folio 59------- +et comme le second terme se déduit du premier en changeant $i$ +en~$-i$, il en résulte +\[ +I(\tau,\delta) = -2\int^{\delta}_0 Q(\tau,t)\, dt, +\] +où +\[ +Q(\tau,t) = p(\tau,t)\, X(\tau,t) + q(\tau,t)\, \Psi(\tau,t). +\EqnTag{III}{I}{13} +\] + +On pourra donc écrire les égalités \Eref{III}{I}{I} et~\Eref{III}{I}{II} sous la forme +\begin{align*} +\sum^n_m f(\nu) +&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 \bigl[Q(\alpha,t) - Q(\beta,t)\bigr]\, dt, +\tag{I${}'$} +\Pagelabel{eqn:III.I.Ipr} \\[1ex] +% +\sum^{\infty}_m f(\nu) +&= \int^{\infty}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 Q(\alpha,t)\, dt, +\tag{II${}'$} +\Pagelabel{eqn:III.I.IIpr} +\end{align*} + +Dans le cas où l'on a +\[ +\alpha = m-\smfrac{1}{2}\qquad \text{ou}\qquad \beta = n+\smfrac{1}{2}, +\] +ces formules se simplifient, en vertu de l'égalité +\[ +Q\left(\nu + \smfrac{1}{2}, t\right) + = -\frac{q(\nu + \frac{1}{2}, t)}{\Pow{e}{2\pi t} + 1}, +\EqnTag{III}{I}{14} +\] +qui a lieu pour tout nombre entier~$\nu$. + +\Paragraph{29.} Les formules qu'on vient d'établir supposent essentiellement +les nombres $\alpha$ et~$\beta$ compris entre les limites~\Eref{III}{I}{6}, et doivent être +modifiées si l'une de ces limites est atteinte. + +Faisons d'abord tendre~$\alpha$ vers~$m-1$, et cherchons la modification +qui en résultera pour la formule~\Eref{III}{I}{9}. Pour simplifier le calcul, +nous allons reprendre un moment l'égalité~\Eref{III}{I}{8}, en choisissant le +contour d'intégration comme l'indique la figure ci-dessous, où les +arcs $c'$ et~$c''$ font partie d'un cercle décrit du point~$m-1$ comme +centre avec le rayon~$\eps$, et où l'on a +\begin{gather*} +\alpha = m-1+\eps,\qquad a' = m-1+i\eps,\qquad b' = m-1+i\delta, \\ +% +a'' = m-1-i\eps,\qquad b'' = m-1-i\delta. +\end{gather*} + +Le contour~$C$ étant ainsi choisi, on doit d'abord substituer~$m-1$ +à~$\alpha$ dans le terme~$R(\delta)$ de l'égalité~\Eref{III}{I}{9}, et, d'autre part, les deux +%% -----File: 072.png---Folio 60------- +intégrales qui figurent dans l'expression $I(\alpha, \delta)$ doivent être prises +respectivement le long du chemin~$\alpha a'b'$ (composé de l'arc $c'$~et du +segment rectiligne~$a'b'$) et le long du chemin symétrique~$\alpha a''b''$. + +%[Illustration: Fig.~2.] +\Figure{2}{072} + +La somme des intégrales relatives aux segments $a'b'$ et~$a''b''$ +s'écrit, en posant $z = m-1+it$, et en utilisant la notation~\Eref{III}{I}{12}, +\[ +i\int^{\delta}_{\eps} \frac{f(m-1+it) - f(m-1-it)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt + = -2\int^{\delta}_{\eps} \frac{q(m-1,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\] + +Sur l'arc~$c'$ on a +\[ +\frac{f(z)}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + = -\frac{1}{2\pi i} \frac{f(z)}{z-(m-1)} + \varphi(z), +\] +le module de~$\varphi(z)$ restant au-dessous d'une limite finie lorsque~$\eps$ +décroît vers zéro. Il en résulte que l'intégrale prise le long de cet +arc et qui s'écrit, en posant $z-(m-1) = \eps\,\Pow{e}{i\psi}$, +\[ +-\frac{1}{2\pi} \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 f(m - 1 + \eps\,\Pow{e}{i\psi})\, d\psi ++ i\eps \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 \varphi(z)\, \Pow{e}{i\psi}\, d\psi, +\] +tend vers~$-\smfrac{1}{4} f(m-1)$ lorsque~$\eps$ s'annule, et un raisonnement +identique montre qu'il en est de même de l'intégrale prise sur +l'arc~$c''$. Donc la somme de ces deux intégrales aura pour +limite~$-\smfrac{1}{2} f(m-1)$\footnotemark. +\Pagelabel{page60}% +\footnotetext{Il importe d'observer, en vue d'applications ultérieures, que ce résultat +repose sur la seule hypothèse que la fonction~$f(z)$ prend une valeur finie et déterminée +au point $z = m-1$ (qu'elle y soit holomorphe ou non), de telle sorte que la +différence $f(z) - f(m-1)$ tende uniformément vers zéro avec~$\eps$ pour $-\smfrac{\pi}{2}\leqq\psi\leqq\smfrac{\pi}{2}$.} +% [** End of footnote] + +On voit, en somme, en choisissant le contour d'intégration +comme il a été dit et en faisant ensuite tendre~$\eps$ vers zéro, que +%% -----File: 073.png---Folio 61------- +l'égalité~\Eref{III}{I}{9} subsiste encore pour $\alpha = m-1$, à condition de poser +\[ +I(m-1,\delta) = -\frac{1}{2}f(m-1) + - 2\int^{\delta}_0 \frac{q(m-1, t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\] +En modifiant le contour comme l'indique la ligne marquée dans la +figure en pointillé, et en faisant ensuite s'évanouir le rayon du +demi-cercle, on conclut de même que l'égalité en question subsiste +aussi pour $\alpha = m$, si l'on pose +\[ +I(m,\delta) = \frac{1}{2}f(m) + - 2\int^{\delta}_0 \frac{q(m, t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\] + +Des remarques analogues s'appliquent à l'expression $I(\beta,\delta)$, +lorsque le nombre~$\beta$ tend vers l'une ou l'autre des deux limites +entre lesquelles il est compris. + +Les résultats qui précèdent permettent de modifier de différentes +manières les formules établies aux \nos\Sref{27} et~\Sref{28}. + +Ainsi, en faisant dans l'égalité~\Eref{III}{I}{9} $\alpha = m$, $\beta = n$, $\delta = \infty$, on en +déduit la formule +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) &= \frac{1}{2}\bigl[f(m) + f(n)\bigr] \\ +&\quad + + \int^n_m f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 \frac{q(m,t) - q(n,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{III} +\] +qui subsiste lorsque les deux premières conditions de la \Pgref{page}{page57a} +sont vérifiées pour $\alpha= m$, $\beta = n$. + +Si les trois dernières conditions de la \Pgref{page}{page57b} sont remplies pour +$\alpha = m$, on pourra faire croître indéfiniment le nombre~$n$ dans la +formule précédente, et l'on trouve alors +\[ +\sum^{\infty}_m f(\nu) = \frac{1}{2} f(m) + \int^{\infty}_m f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 \frac{q(m, t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\EqnTag{III}{I}{IV} +\] + +Dans le cas où lesdites conditions se trouvent vérifiées pour +$\alpha = m-1$, on aura aussi +\[ +\sum^{\infty}_m f(\nu) + = -\frac{1}{2} f(m-1) + \int^{\infty}_{m-1} f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 \frac{q(m-1,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt, +\EqnTag{III}{I}{V} +\] +%% -----File: 074.png---Folio 62------- +formule qui reste encore valable dans le cas où $f(z)$~présente au +point $z = m-1$ le caractère indiqué dans la note de la \Pgref{page}{page60}. + +Si la série qui figure au premier membre des deux dernières formules +était divergente, on devrait les remplacer par d'autres analogues +à~\ref{eqn:III.I.IIa}. + +\Paragraph{30.} Appliquons à la fonction~$f(x+z)$ la formule~\Eref{III}{I}{9} en posant +$m = n = 0$, et faisons tendre~$\alpha$ vers~$0$, $\beta$ vers~$1$ et~$\delta$ vers~$\infty$, ce qui +est permis si l'on suppose les deux premières conditions de la +\Pgref{page}{page57a} vérifiées pour $x_1\leqq\tau\leqq x_1 + 1$, $x_1$~désignant la partie réelle +de~$x$. En tenant compte des résultats établis au \no\Sref{29}, on trouvera +\begin{align*} +f(x) = -\frac{1}{2} \bigl[f(x+1) - f(x)\bigr] +&+ \int_0^1 f(x + \tau)\, d\tau \\ +&+ 2\int_0^\infty \frac{q(x+1,t) - q(x,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\end{align*} + +Comme d'ailleurs $\dint_0^1 f(x+\tau)\,d\tau = \int_x^{x+1} f(x)\,dx$, il en résulte +que la fonction +\[ +\Phi(x) = -\frac{1}{2}f(x) + \int^x f(x)\, dx + + 2\int_0^\infty \frac{q(x,t)\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} +\EqnTag{III}{I}{VI} +\] +(en supposant, bien entendu, que la dernière intégrale ait un sens, +% [** PP: Not wholly sure whether Lindelöf means 57a or 57b.] +ce qui ne résulte pas nécessairement des conditions de la \Pgref{page}{page57b}, +et en fixant convenablement la limite inférieure de la première +intégrale) jouit de la propriété +\[ +\Phi(x+1) - \Phi(x) = f(x). +\] + +En d'autres termes, $\Phi(x)$~est ce qu'on appelait autrefois \textit{l'intégrale +finie de la fonction}~$f(x)$, et qu'on désignait par~$\sum f(x)$. + +\Paragraph{31.} Voici une autre transformation de la formule (8) qui nous +sera utile plus loin. En y substituant +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{5} +\frac{1}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} &= \Pow{e}{ 2\pi iz} &&+ \Pow{e}{ 4\pi iz} &&+ \dotsb +&&+ \Pow{e}{ 2\mu\pi iz} &&+ \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}, \\[1ex] +% +\frac{1}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1} &= \Pow{e}{-2\pi iz} &&+ \Pow{e}{-4\pi iz} &&+ \dotsb +&&+ \Pow{e}{-2\mu\pi iz} &&+ \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, +\end{alignedat} +\right. +\EqnTag{III}{I}{15} +\] +%% -----File: 075.png---Folio 63------- +et en remarquant qu'on a, pour chaque indice~$\nu$, +\[ + \int_{\alpha\gamma'\beta} \Pow{e}{ 2\nu\pi iz}\, f(z)\, dz ++ \int_{\alpha\gamma''\beta} \Pow{e}{-2\nu\pi iz}\, f(z)\, dz += 2\int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\cos 2\nu\pi\tau\, d\tau, +\] +puisque la fonction~$f(z)$ est, par hypothèse, holomorphe à l'intérieur +du contour $C$, on trouve d'abord +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) +& = \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + + 2\sum^{\mu}_1 \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\cos 2\nu\pi\tau\, d\tau \\ +% +&\quad + \int_{\alpha\gamma''\beta} + \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}\, f(z)}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}\, dz + + \int_{\alpha\gamma''\beta} + \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}\, f(z)}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}\, dz. +\end{aligned} +\right. + \EqnTag{III}{I}{16} +\] + +Supposons maintenant la condition +\[ +\lim_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-2(\mu+1)\pi\Abs{t}}\, f(\tau + it) = 0 +\] +vérifiée uniformément pour $\alpha\leqq\tau\leqq\beta$ et la fonction~$f(z)$ holomorphe +dans la bande correspondante. + +En choisissant pour le contour~$C$ le même rectangle que \Pgref{page}{page56}, +et en faisant croître~$\delta$ indéfiniment, on trouve alors que les parties +des deux dernières intégrales ci-dessus qui sont relatives aux côtés +horizontaux de ce rectangle tendent vers zéro, de sorte que la +formule~\Eref{III}{I}{16} se simplifie. + +Admettons, en particulier, que les conditions énoncées tout à +l'heure soient remplies pour $0 \leqq \tau \leqq n$; remplaçons dans l'égalité~\Eref{III}{I}{16} +$n$~par~$n-1$ et~$m$ par l'unité, faisons tendre~$\alpha$ vers~$0$, $\beta$ vers~$n$ et~$\delta$ +vers~$\infty$, et ajoutons aux deux membres le terme~$f(0)$. En suivant +fidèlement la méthode exposée au \no\Sref{29}, nous trouvons ainsi la +formule dont nous aurons bientôt à faire usage: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^{n-1}_0 f(\nu) +&= \frac{1}{2}\bigl[f(0) - f(n)\bigr] + \int^n_0 f(\tau)\, d\tau \\ +&\quad + + 2\sum^{\mu}_1 \int^n_0 f(\tau)\, \cos 2\nu\pi\tau\, d\tau \\ +&\quad + + 2\int^{\infty}_0\bigl[q(n,t) - q(0,t)\bigr]\, + \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi t}}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{VII} +\] + +\Paragraph{32.} Nous avons établi les formules des \nos\Sref{27}--\Sref{31} en supposant +%% -----File: 076.png---Folio 64------- +la fonction~$f(z)$ holomorphe en tout point de la région limitée +par le contour d'intégration. Mais il est facile de voir comment se +modifient ces formules dans le cas où~$f(z)$, tout en restant uniforme +dans cette région, y possède un nombre fini de points singuliers. + +Pour fixer les idées, supposons que la fonction~$f(z)$ présente +ce caractère dans la bande~$B$, définie par les inégalités $\alpha < \tau < \beta$, +et cherchons comment se modifie la formule~\Eref{III}{I}{I}. Pour arriver à un +résultat simple et précis, nous admettrons qu'aucun des points +singuliers de~$f(z)$ compris dans~$B$ n'est situé sur l'axe réel. + +Reprenons alors la formule~\Eref{III}{I}{2}, en choisissant le contour~$C$ +comme à la \Pgref{page}{page56}, mais en prenant~$\delta$ assez grand pour que les +points singuliers dont il s'agit soient tous intérieurs à ce contour. + +Dans l'hypothèse actuelle, on doit d'abord tenir compte du +dernier terme de la formule~\Eref{III}{I}{2}, qui s'écrit $-\residuesum_B \pi\cot\pi z\bigl(f(z)\bigr)$, +ce qui constitue une première modification du raisonnement donné +au \no\Sref{27}; d'autre part, les égalités~\Eref{III}{I}{7} devront maintenant être +remplacées par les suivantes: +\begin{align*} +\int_{\alpha \gamma' \beta} f(z)\, dz +&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + - 2\pi i\, \residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr), \\[1ex] +\int_{\alpha \gamma'' \beta} f(z)\, dz +% +&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + + 2\pi i\, \residuesum_{B_2}\bigl(f(z)\bigr), +\end{align*} +$B_1$ et~$B_2$ désignant respectivement les moitiés supérieure et inférieure +de la bande~$B$. Le reste de notre raisonnement ne subit +aucune modification, et nous arrivons donc à cette conclusion que, +\textit{dans l'hypothèse admise ci-dessus, on doit retrancher du +second membre de la formule~\Eref{III}{I}{I} l'expression} +\[ +\residuesum_B \pi\cot\pi z\bigl(f(z)\bigr) ++ \pi i\, \biggl\{\residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr) + - \residuesum_{B_2}\bigl(f(z)\bigr)\biggr\}, +\] +laquelle, à l'aide des substitutions indiquées au début du \no\Sref{27}, +peut encore être mise sous la forme +\[ +2\pi i\, \biggl\{ + \residuesum_{B_2} \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1} + - \residuesum_{B_1} \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + \biggr\}. +\] + +Les autres formules subiront des modifications analogues. + +%% -----File: 077.png---Folio 65------- + +\Paragraph{33.} Voici une dernière transformation de la formule~\Eref{III}{I}{2} qui +s'opère immédiatement, et dont nous aurons à tirer parti plus loin. +Supposons de nouveau la fonction~$f(z)$ holomorphe sur~$C$ et à +l'intérieur de ce contour. Il en sera alors de même de sa fonction +intégrale~$F(z)$, et, en intégrant par parties, on pourra donc écrire +la formule dont il s'agit sous la forme +\[ +\sum^n_m f(\nu) = \frac{1}{2\pi i} \int_C + \Pow{\left(\frac{\pi}{\sin \pi z}\right)}{2} F(z)\, dz. +\] + +Admettons, en particulier, que les trois dernières conditions de +la \Pgref{page}{page57b} soient vérifiées pour la fonction~$F(z)$, et choisissons le +contour~$C$ comme au \no\Sref{27}. En observant que le module de~$\sin\pi z$ +se comporte asymptotiquement comme l'expression~$\smfrac{1}{2}\Pow{e}{\pi \Abs{t}}$ sur toute +droite parallèle à l'axe imaginaire, on s'assure qu'il est permis de +faire tendre successivement~$\delta$ et~$n$ vers l'infini, dans l'égalité ci-dessus, +et l'on obtient ainsi la formule +\[ +\sum^{\infty}_m f(\nu) += -\frac{1}{2\pi i} \int^{\alpha + i\infty}_{\alpha - i\infty} + \Pow{\left(\frac{\pi}{\sin \pi z}\right)}{2} F(z)\, dz, +\EqnTag{III}{I}{VIII} +\] +$\alpha$~étant un nombre quelconque compris entre $m-1$~et~$m$. + +\Paragraph{34.} Passons à la formule~\Eref{III}{I}{3} et indiquons-en rapidement quelques +transformations, analogues à celles que nous avons fait subir plus +haut à la formule~\Eref{III}{I}{2}. + +Admettons que \textit{la fonction~$f(z)$ est holomorphe dans la +bande $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$} et que \textit{l'égalité} +\[ +\lim_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-\pi\Abs{t}}\, f(\tau + it) = 0 +\tag{A${}_1$} +\Pagelabel{eqn:III.I.A1} +\] +\textit{a lieu uniformément pour $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$}. + +En choisissant le contour~$C$ comme au \no\Sref{27}, la formule~\Eref{III}{I}{3} +est alors applicable quel que soit~$\delta$, et devient pour $\delta =\infty$: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +&\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) \\ +&\quad + = \frac{1}{2\pi i}\, \lim_{\delta=\infty} \left[\, + \int^{\beta + i\delta}_{\beta - i\delta} \frac{\pi}{\sin\pi z}\, f(z)\, dz + - \int^{\alpha + i\delta}_{\alpha - i\delta}\frac{\pi}{\sin\pi z}\, f(z)\, dz + \right]. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{IX} +\] + +%% -----File: 078.png---Folio 66------- + +Si l'on pose +\[ +\frac{1}{2i\, \sin\pi z} \equiv \frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} + = - \bigl[\Psi_1(\tau,t) + iX_1(\tau,t)\bigr], +\] +d'où +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\Psi_1(\tau,t) +&= \frac{\cos\pi\tau(\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t})} + {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, \\[1ex] +X_1(\tau,t) +&= \frac{\sin\pi\tau(\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t})} + {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{17} +\] +et d'autre part, en se servant toujours de la notation~\Eref{III}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:III.I.12}, +\[ +Q_1(\tau,t) = p(\tau,t)\, X_1(\tau,t) + q(\tau,t)\, \Psi_1(\tau,t), +\EqnTag{III}{I}{18} +\] +on pourra écrire~\Eref{III}{I}{IX} sous la forme +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) + = 2\int^{\infty}_0 \bigl[Q_1(\beta,t) - Q_1(\alpha,t)\bigr]\, dt. +\tag{IX${}'$} +\Pagelabel{eqn:III.I.IXpr} +\] + +Resserrons les hypothèses, en supposant que \textit{les conditions +énoncées ci-dessus sont vérifiées quelque grand que soit~$\beta$}, et +que \textit{la fonction~$f(z)$ est assujettie à la condition} +\[ +\lim_{\tau = \infty} \int^{+\infty}_{-\infty} + \Pow{e}{-\pi\Abs{t}}\, \Abs{f(\tau +it)}\, dt = 0. +\tag{B${}_1$} +\Pagelabel{eqn:III.I.B1} +\] +On pourra alors faire croître indéfiniment le nombre~$n$ dans les +formules ci-dessus, et l'on trouve ainsi +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) + = -\int^{\alpha + i\infty}_{\alpha - i\infty} + \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} + = -2\int^{\infty}_0 Q_1(\alpha,t)\, dt. +\EqnTag{III}{I}{X} +\] + +Lorsque~$\alpha = m-\smfrac{1}{2}$ ou~$\beta = n + \smfrac{1}{2}$, les formules précédentes +prennent un aspect plus simple, à cause de la relation +\[ +Q_1\left(\nu + \smfrac{1}{2}\right) + = \Pow{(-1)}{\nu}\, \frac{p\left(\nu + \smfrac{1}{2},t\right)} + {\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}. +\EqnTag{III}{I}{19} +\] +D'autres modifications de ces formules s'obtiennent en faisant +coïncider $\alpha$ ou~$\beta$ avec l'une des limites~\Eref{III}{I}{6}. Ainsi la formule~\Eref{III}{I}{IX} +%% -----File: 079.png---Folio 67------- +devient, pour $\alpha = m$, $\beta = n$, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) +&= \Pow{(-1)}{m} \frac{f(m)}{2} + \Pow{(-1)}{n} \frac{f(n)}{2} \\ +&\quad -2 \int^{\infty}_0 + \frac{\Pow{(-1)}{m} q(m,t) - \Pow{(-1)}{n} q(n, t)}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}\, dt, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{XI} +\] +et la formule~\Eref{III}{I}{X}, pour $m = 1$, $\alpha = 0$, +\[ +\sum^{\infty}_1 \Pow{(-1)}{\nu+1} f(\nu) += \smfrac{1}{2}f(0) + + 2\int^{\infty}_0 \frac{q(0,t)\, dt}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}. +\EqnTag{III}{I}{XII} +\] + +En adoptant les notations du \no\Sref{27}, on pourra écrire la formule~\Eref{III}{I}{3} +sous la forme suivante: +\[ +\sum^{n}_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) += \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} +- \int_{\alpha\gamma' \beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}, +\] +la fonction~$f(z)$ étant toujours supposée holomorphe à l'intérieur +du contour~$C$. Substituons respectivement dans les deux intégrales +\begin{align*} +\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} +&= \phantom{-} + \sum^{\mu-1}_0 \Pow{e}{-(2\nu+1)\pi iz} + + \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}, \\ +\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} +&= -\sum^{\mu-1}_0 \Pow{e}{ (2\nu+1)\pi iz} + + \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}; +\end{align*} +nous obtenons une formule qui nous sera utile plus loin: +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) = 2\sum^{\mu-1}_0 \int^{\beta}_{\alpha} + f(\tau)\, \cos(2\nu+1)\pi\tau\, d\tau + R_\mu, +\EqnTag{III}{I}{20} +\] +avec +\[ +R_\mu += \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}\, f(z)} + {\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}\, dz +- \int_{\alpha\gamma' \beta} \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}\, f(z)} + {\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}\, dz. +\] + +Dans le cas où la fonction~$f(z)$, tout en étant uniforme et en +vérifiant les autres conditions indiquées ci-dessus, présente dans +la bande~$B$, définie par l'inégalité $\alpha<\tau<\beta$, un nombre fini de +points singuliers, distincts des points $m,~m + 1, \dotsc,~n$, on doit +%% -----File: 080.png---Folio 68------- +dans les formules précédentes retrancher du second membre le +terme $\residuesum_B\smfrac{\pi}{\sin\pi z}\bigl(f(z)\bigr)$, comme le montre l'égalité~\Eref{III}{I}{3}. +\bigskip + +% The following section is presented in a different font style and size +\Paragraph{35.} {\small\textit{Notes historiques.}---L'histoire des formules sommatoires que nous +venons d'établir est des plus intéressantes, et montre clairement avec quelle +difficulté les idées générales se sont fait jour dans l'Analyse. Nous publierons +ici les données que nous avons pu recueillir sur ce sujet, sans +avoir d'ailleurs la prétention d'être complet. + +C'est la formule~\Eref{III}{I}{VI}, \Pgref{page}{eqn:III.I.VI}, qui a attiré d'abord l'attention des géomètres. +Elle a été donnée en~1820 par \bsc{Plana}, dans un Mémoire intitulé: +\textit{Sur une nouvelle expression analytique des nombres bernoulliens, +propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation +des suites} (\textit{Memorie della Accademia di Torino}, t.~XXV, +p.~403--418). Comme l'indique le titre de son Mémoire, Plana avait établi +cette formule, \textit{aussi remarquable par sa simplicité que par sa généralité}, +en partant de la formule sommatoire d'Euler, donc par un calcul +purement formel. + +Trois ans plus tard, \bsc{Abel} est de son côté arrivé à cette formule \textit{très +remarquable}, en suivant identiquement la même voie que Plana. \textit{Voir} la +Note: \textit{Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies} +(\textit{{\OE}uvres complètes d'Abel}, édition Sylow-Lie, t.~I, p.~11--27), où se trouve +aussi (p.~27) la formule~\Eref{III}{I}{XII} du \no\Sref{34}. Dans une deuxième Note de +l'année~1825: \textit{L'intégrale finie $\sum\limits^n \varphi(x)$ exprimée par une intégrale +définie simple} (\textit{ibid}.,\ p.~34--39), Abel a donné diverses généralisations et +une nouvelle démonstration de la formule~\Eref{III}{I}{VI}, mais cette démonstration +n'est pas plus rigoureuse que la première. + +Seule la théorie des fonctions d'une variable complexe pouvait servir de +fondement aux formules qui nous occupent, et, en effet, c'est \bsc{Cauchy} qui, +sans connaître les travaux de Plana et d'Abel, a donné le premier une +démonstration parfaitement exacte des formules \Eref{III}{I}{I} et~\Eref{III}{I}{III}, dans son +\textit{Mémoire sur les développements des fonctions en séries périodiques}, lu +à l'Académie le 27~février 1826 (\textit{Mémoires de l'Institut}, t.~VI, p.~603--612), +Mémoire dont nous aurons à nous occuper ultérieurement. La démonstration +de Cauchy, fondée sur la théorie des intégrales singulières, et qui est, +à un certain point de vue, la plus simple qu'on puisse donner, fournit +immédiatement ces formules sous leur forme générale; mais cependant +Cauchy les a établies uniquement pour le cas où la somme figurant au +premier membre se réduit à un seul terme. + +Il restait donc encore une lacune à combler, et c'est ce qu'a fait \bsc{Schaar} +dans un travail intitulé: \textit{Mémoires sur les intégrales eulériennes et sur +la convergence d'une certaine classe de séries} (\textit{Mémoires couronnés et +Mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie de Belgique}, +t.~XXII, 1848, p.~3--25), travail qui aurait bien mérité de ne pas tomber +dans l'oubli. + +%% -----File: 081.png---Folio 69------- + +% [** PP: Corrected five typos found by DP:stegel] +Il en est de même du Mémoire de \bsc{Genocchi}: \textit{Sulla formula sommatoria +% Eulero et sulla -> Eulero e sulla; dei residui -> de' residui +di Eulero e sulla teorica de' residui quadratici} (\textit{Annali di +% et fisiche -> e fisiche +Scienze matematiche e fisiche}, t.~III, 1852, p.~406--436), qui renferme +des applications importantes dont nous parlerons plus loin, ainsi que +d'un second Mémoire du même auteur: \textit{Intorno ad alcune formule +sommatorie} (\textit{ibid}.,\ t.~VI, 1855, p.~70--114), où sont précisées les conditions +dans lesquelles sont applicables les formules de Cauchy et Schaar. + +Citons aussi deux Mémoires de moindre importance, mais ayant rapport +% integrali à -> integrali a +au même sujet, par \bsc{Tortolini}: \textit{Sopra gli integrali a differenze finite +% mat.\ et fis -> mat.\ e fis +espressi per integrali definiti} (\textit{Annali di Scienze mat.\ e fis}.,\ t.~IV, +1853), et par \bsc{Mainardi}: \textit{Intorno ad una equazione di Poisson} (\textit{ibid}.). + +A partir de cette époque, il semble que les formules en question soient +restées à peu près inaperçues des géomètres, jusqu'en~1889, date à laquelle +\bsc{Kronecker} est revenu sur le sujet dans son Mémoire: \textit{Bemerkungen über +die Darstellung von Reihen durch Integrale} (\textit{Journal de Crelle}, t.~105, +p.~345--354), en prenant pour point de départ les Mémoires d'Abel, et sans +connaître ni celui de Cauchy, ni ceux de Schaar et de Genocchi. + +De son côté, M.~\bsc{Petersen} a donné une démonstration et diverses applications +de la formule d'Abel, dans ses \textit{Vorlesungen über Funktionstheorie} +(Copenhague,~1898). D'autres applications des formules sommatoires ont +été données par \bsc{Hermite} et par MM.~\bsc{Mellin}, \bsc{Jensen} et~H.~\bsc{Weber}, dans +des Mémoires que nous citerons ultérieurement. + +Ayant de notre côté retrouvé les formules données ci-dessus, nous en +avons développé de nombreuses conséquences dans un Mémoire intitulé: +\textit{Quelques applications d'une formule sommatoire générale} (\textit{Acta +Societatis Scientiarum Fennicæ}, t.~XXXI, \no3, 1902), dont un extrait +a été publié dans le Tome~XXVII des \textit{Acta Mathematica}, et auquel nous +avons beaucoup emprunté dans cet ouvrage.} +% [** End of small] + + +\Section{III}{II}{Quelques applications des formules précédentes.} + +\Paragraph{36.} Comme première application, faisons dans la formule~\Eref{III}{I}{III} +$f(z)=\log z$, d'où il résulte, d'après la seconde des égalités~\Eref{III}{I}{12}, +\[ +q(\tau,t) = \arc\tang \frac{t}{\tau}. +\] +En prenant $m = 1$, nous trouvons ainsi +\begin{align*} +\log(1\cdot2\dotsm\dotsm n) += \left(n+\smfrac{1}{2}\right)\log n -n +1 +&- 2\int^{\infty}_0 \arc\tang t\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t } - 1} \\ +&+ 2\int^{\infty}_0 \arc\tang \frac{t}{n}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t } - 1}. +\end{align*} + +%% -----File: 082.png---Folio 70------- + +On a d'autre part, par la formule de Stirling, +\[ +\log(1\cdot2\dotsm\dotsm n) += \left(n+\smfrac{1}{2}\right)\log n - n + \log\sqrt{2\pi} + \eps(n), +\EqnTag{III}{II}{1} +\] +$\eps(n)$~tendant vers zéro lorsque~$n$ croît indéfiniment, et, comme le +dernier terme de l'égalité précédente jouit de la même propriété, +on en déduit +\[ +1 - 2\int^{\infty}_0 \arc\tang t\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} + = \log\sqrt{2\pi}. +\EqnTag{III}{II}{2} +\] + +Soit, en second lieu, $f(z)=\smfrac{1}{z}$, d'où $q(\tau,t)=-\smfrac{t}{\Pow{\tau}{2}+\Pow{t}{2}}$, et +appliquons encore la formule~\Eref{III}{I}{III}. On aura, en faisant tendre~$n$ +vers l'infini, +\[ +\lim_{n=\infty} \biggl(\sum^n_m \frac{1}{\nu} - \log n\biggr) + = \smfrac{1}{2m} - \log m + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{m}{2} +\Pow{t}{2}}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\] + +Pour $m = 1$, le premier membre est, par définition, égal à \textit{la +constante d'Euler}; en la désignant par~$C$, on aura donc +\[ +C = \smfrac{1}{2} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{1 + \Pow{t}{2}}\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\EqnTag{III}{II}{3} +\] +expression due à Poisson\footnotemark. D'autre part, en ajoutant aux deux +membres de l'égalité ci-dessus la somme $1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb +\smfrac{1}{m-1}$, +on en déduit la formule, avantageuse pour le calcul de~$C$: +\[ +C = 1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb + \smfrac{1}{m-1} + \smfrac{1}{2m} - \log m + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{m}{2} + \Pow{t}{2}}\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\] +\footnotetext{\textit{Mémoires de l'Institut de France}, Année~1811, seconde Partie, p.~223.}% + +Les applications qui précèdent avaient été données déjà par +Plana et Abel, dans les Mémoires cités page~68. + +\Paragraph{37.} Faisons maintenant dans nos formules $f(z) = \Pow{e}{-xz}$, d'où +\[ +p(\tau,t)= \Pow{e}{-x\tau}\, \cos xt, \quad +q(\tau,t)=-\Pow{e}{-x\tau}\, \sin xt, +\] +Ceci est permis si l'on suppose~$x$ \textit{réel et positif}, car les conditions +de la \Pgref{page}{page57a} sont alors vérifiées quels que soient $\alpha$ et~$\beta$. + +%% -----File: 083.png---Folio 71------- + +Appliquons d'abord la formule~\Eref{III}{I}{V}, \Pgref{page}{eqn:III.I.V}, avec $m = 1$; il vient +\[ +\frac{1}{\Pow{e}{x}-1} = - \smfrac{1}{2} + \smfrac{1}{x} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{\sin xt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt, +\EqnTag{III}{II}{4} +\] +égalité due à Legendre. En développant le dernier terme suivant +les puissances de~$x$, et en comparant le résultat avec l'égalité~\Eref{II}{II}{5}, +\Pgref{page}{eqn:II.II.5}, on en déduit pour les nombres de Bernoulli l'expression +\[ +B_k = 4k \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k-1}\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} += \frac{2k(2k-1)}{\pi} \int^{\infty}_0 + \Pow{t}{2k-2}\, \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right)\, dt, +\EqnTag{III}{II}{5} +\] +qui, sous une forme différente, avait été donnée déjà par Euler. +C'est précisément en partant de cette expression que Plana et Abel +avaient établi leur formule sommatoire. + +% [** equation III.I.II' -> eqn:III.I.IIpr] +La formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, nous donne, en faisant $m = 1$, +$0 <\alpha < 1$, et en multipliant les deux membres par~$\Pow{e}{\alpha x}$, +\[ +\frac{\Pow{e}{\alpha x}}{\Pow{e}{x} - 1} = \smfrac{1}{x} + + 2\int^{\infty}_0 \Psi(\alpha,t)\, \sin xt\, dt + - 2\int^{\infty}_0 X(\alpha,t)\, \cos xt\, dt. +\] + +En remplaçant dans cette égalité $\alpha$ et~$x$ respectivement par~$x$ +et~$z$, et en développant ensuite le second membre suivant les puissances +ascendantes de~$z$, on en déduit, par comparaison avec l'égalité~\Eref{II}{II}{9}, +\Pgref{page}{eqn:II.II.9}, pour les polynomes~$\varphi_\nu(x)$ les expressions\footnotemark +\[ +\EqnTag{III}{II}{6} +\left\{ +\begin{aligned} +\varphi_{2k}(x) +&= \Pow{(-1)}{k+1} 4k \int^{\infty}_0 \Pow{t}{2k-1}\, \Psi(x,t)\, dt \\ +% +\varphi_{2k+1}(x) +&= \Pow{(-1)}{k+1} (4k+2) \int^{\infty}_0 \Pow{t}{2k}\, X(x,t)\, dt +\end{aligned} +% +\qquad +\begin{aligned} +&(k=1, 2, \dotsc), \vphantom{\Bigg|} \\ +&(k=0, 1, 2, \dotsc).\vphantom{\Bigg|} +\end{aligned} +\right. +\] +\footnotetext{Lorsqu'on substitue, dans les formules~\Eref{III}{II}{6}, aux expressions~$\Psi(x, t)$ et~$X(x, t)$ +leurs développements +\[ +\Psi(x,t) = \sum^{\infty}_1 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \cos 2\nu\pi x,\qquad + X(x,t) = \sum^{\infty}_1 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \sin 2\nu\pi x, +\] +qui se déduisent immédiatement de l'égalité~\Eref{III}{I}{10}, \Pgref{page}{eqn:III.I.10}, on retrouve les formules +\Eref{II}{II}{11} et~\Eref{II}{II}{13} du \no\Sref{18}.}% +% [** End of footnote] + +Il est facile de voir que ces expressions représentent des fonctions +analytiques holomorphes de~$x$ dans la bande comprise entre +l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point $x = 1$. +Comme nous avons démontré les égalités~\Eref{III}{II}{6} pour $0<x<1$, il +%% -----File: 084.png---Folio 72------- +en résulte, d'après le principe fondamental du prolongement analytique, +qu'elles sont vérifiées pour tout point de cette bande. + +Comme les seconds membres des égalités~\Eref{III}{II}{6} sont des fonctions +périodiques de~$x$ de période~$1$, nous pouvons affirmer d'autre +part qu'ils se confondent, pour les valeurs réelles de~$x$, avec les +fonctions désignées plus haut par $\overline{\varphi}_{2k}(x)$, $\overline{\varphi}_{2k+1}(x)$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{eqn:II.II.11}). + +Passons aux formules du \no\Sref{34}. En faisant dans la formule~\Eref{III}{I}{X} +$m = 1$, $\alpha =\smfrac{1}{2}$, multipliant les deux membres par~$\Powfr{e}{\fnfrac{x}{2}}$, et remplaçant~$x$ +par~$2iz$, on en déduit +\[ +\fsec z = 2 \int_0^\infty + \frac{\Pow{e}{2zt} + \Pow{e}{-2zt}}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}\, dt. +\] +Développons le second membre suivant les puissances de~$z$ et +comparons le résultat à l'égalité~\Eref{II}{II}{7}, \Pgref{page}{eqn:II.II.7}; il viendra\footnotemark +\[ +E_k = \Pow{4}{k+1} \int_0^\infty \frac{\Pow{t}{2k}\, dt}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}. +\EqnTag{III}{II}{7} +\] +\footnotetext{Cette expression est due à \bsc{Catalan} (\textit{Mémoires de la Société des Sciences +de Liége}, série~II, t.~XII, p.~110).}% +% [** End of footnote] + +Pour une valeur quelconque de~$\alpha$ comprise entre $0$ et~$1$, la même +formule~\Eref{III}{I}{X} nous donne, en multipliant par~$\Pow{e}{\alpha x}$, +\[ +\frac{\Pow{e}{\alpha x}}{\Pow{e}{x} + 1} + = 2 \int_0^\infty X_{1}(\alpha,t)\, \cos xt\, dt + - 2 \int_0^\infty \Psi_{1}(\alpha,t)\, \sin xt\, dt, +\] +et la comparaison de cette égalité avec l'égalité~\Eref{II}{II}{19}, \Pgref{page}{eqn:II.II.19}, conduit +aux expressions suivantes des polynomes~$\chi_\nu(x)$: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \chi_{2k}(x) &= \Pow{(-1)}{k} 2 \int_0^\infty \Pow{t}{2k}\, X_1(x,t)\, dt \\ + \chi_{2k+1}(x) &= \Pow{(-1)}{k+1} 2 \int_0^\infty \Pow{t}{2k+1}\, \Psi_1(x,t)\, dt + \end{aligned} + \right. + \qquad (k=0, 1, 2, \dotsc). +\EqnTag{III}{II}{8} +\] + +Les égalités~\Eref{III}{II}{8} sont valables dans la même bande que les égalités~\Eref{III}{II}{6} +et, pour les valeurs réelles de~$x$, leurs seconds membres +se confondent avec les fonctions périodiques $\overline{\chi}_{2k}(x)$, $\overline{\chi}_{2k+1}(x)$, +définies \Pgref{page}{eqn:II.II.20}. Elles mettent d'ailleurs en évidence que, dans +%% -----File: 085.png---Folio 73------- +l'intervalle $0<x<1$, le polynome~$\chi_{2k}(x)$ garde un signe invariable, +à savoir celui de~$\Pow{(-1)}{k}$, et que~$\chi_{2k+1}(x)$ n'y admet pas +d'autre zéro que $x =\smfrac{1}{2}$\footnotemark. +\footnotetext{On attribue généralement les formules~\Eref{III}{II}{6} à Raabe et les formules~\Eref{III}{II}{8} à +Hermite. Mais en fait ces formules se trouvent dans le Mémoire de Cauchy de +l'année~1814 (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~I, p.~458--460) et, au dire de Cauchy, elles se +déduisent de divers résultats trouvés par Euler.\Pagelabel{page68}} +% [** End of footnote] + +\Paragraph{38.} En terminant ces applications, qu'il serait d'ailleurs facile +de multiplier, nous ferons voir comment se déduisent de nos formules +générales les propriétés des sommes +\[ +\sum_{\nu=0}^{n-1} \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{\nu}{2}} +\EqnTag{III}{II}{9} +\] +que Gauss a le premier introduites dans l'Analyse. Les nombres $n$ +et~$p$ sont des entiers positifs sans diviseur commun dont l'un est +pair et l'autre impair\footnote{% +Si $n$ et~$p$ sont tous deux impairs, la somme~\Eref{III}{II}{9} est évidemment égale à~$1$.}. +% [** End of footnote] + +A cet effet, reportons-nous aux résultats établis au \no\Sref{31}; en +faisant $f(z) = \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{z}{2}}\!\!$, on aura les deux égalités: +\begin{gather*} + q(\tau,t) = \smfrac{i}{2}\, + \Powfr{e}{ \fnfrac{ p\pi i}{n}(\Pow{\tau}{2} - \Pow{t}{2}) } + \biggl(\Powfr{e}{ \fnfrac{2p\pi}{n}\tau t} + - \Powfr{e}{-\fnfrac{2p\pi}{n}\tau t}\biggr)\,, \\ +% + \Abs{f(\tau + it)} = \Powfr{e}{-\fnfrac{2p\pi}{n}\tau t}. +\end{gather*} +Cette dernière égalité montre que l'expression +\[ +\Pow{e}{-2p\pi \Abs{t}}\, f(\tau + it) +\] +tend uniformément vers zéro pour $0\leqq\tau\leqq n-\eps$, quelque petit que +soit~$\eps$, lorsque~$t$ tend vers~$\pm\infty$, et que, d'autre part, le module de +cette expression reste inférieur ou égal à l'unité pour $0\leqq\tau\leqq n$, +quel que soit~$t$. Il en résulte que, si l'on fait dans l'égalité~\Eref{III}{I}{16}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.16}, $\mu = p-1$, $\alpha = 0$, $\beta = n$, les intégrales prises le long des +côtés horizontaux du contour~$C$ s'annuleront lorsque $\delta$~croît indéfiniment, +de sorte qu'on pourra appliquer la formule~\Eref{III}{I}{VII} en posant +%% -----File: 086.png---Folio 74------- +$\mu=p-1$. Comme on a d'ailleurs $q(0, t) = 0$ et~$f(0)-f(n)=0$, +on trouve ainsi pour la somme~\Eref{III}{II}{9} l'expression +\[ +\int_0^n F_0(\tau)\, d\tau + + 2 \sum_1^{p-1} \int_0^n F_\nu(\tau)\, d\tau + + i \int_0^\infty \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n} \Pow{t}{2}} + \left(\frac{\Pow{e}{2\pi t} - \Pow{e}{-(4p-2)\pi t}}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\right)\, dt, +\EqnTag{III}{II}{10} +\] +où $F_\nu(z) = \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\, \Pow{z}{2}}\, \cos 2\nu\pi z$. Écrivons +\[ +\int_0^n F_\nu(\tau)\, d\tau + = \int_0^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau + - \int_n^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau. +\] +D'après l'égalité~\Eref{II}{III}{3}, \Pgref{page}{eqn:II.III.3}, on aura, pour $\nu=0,~1, \dotsc,~p-1$, +\[ +\int_0^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau + = \smfrac{1}{2}\sqrt{\smfrac{n}{p}}\, + \Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4} - \fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}}, +\] +et, d'autre part, on conclut facilement de l'inégalité +\[ +\Abs{F_\nu(\tau + it)} < \Powfr{e}{-\fnfrac{2\pi t}{n}(p\tau - \nu n)} + \qquad (t>0), +\EqnTag{III}{II}{11} +\] +qui se vérifie immédiatement, qu'on pourra écrire +\[ +\int_n^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau = i\int_0^\infty F_\nu(n+it)\, dt + \equiv \frac{i}{2} \int_0^\infty \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n} \Pow{t}{2} - 2p\pi t} + (\Pow{e}{2\nu\pi t} + \Pow{e}{-2\nu\pi t})\, dt. +\] +En effet, le théorème fondamental de Cauchy nous donne, en désignant +par~$n'$ et~$\delta$ des nombres positifs dont~$n'>n$, +\[ +\int_n^{n'} F_\nu(\tau)\, d\tau + = i\int_0^\delta F_\nu(n+it)\, dt + + \int_n^{n'} F_\nu(\tau+i\delta)\, d\tau + - i\int_0^\delta F_\nu(n'+it)\, dt, +\] +et comme l'on a $p\tau - \nu n>0$ pour $\tau \geqq n$, $\nu$~ayant l'une quelconque +des valeurs $0,~1, \dotsc,~p-1$, il résulte de l'inégalité~\Eref{III}{II}{11} que, lorsqu'on +fait tendre d'abord~$\delta$ et ensuite~$n'$ vers l'infini, les deux derniers +termes du second membre s'évanouiront successivement, de +sorte qu'on obtiendra bien l'égalité voulue. + +Par conséquent la somme des deux premiers termes de l'expression~\Eref{III}{II}{10} +peut se mettre sous la forme +\[ +\Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\frac{n}{p}}\, \Biggl( + \smfrac{1}{2} + \sum_{\nu=1}^{p-1} \Powfr{e}{-\fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}} + \Biggr) + + i\int_0^\infty \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{t}{2}} \biggl( + \frac{\Pow{e}{-(4p-2)\pi t} - 1}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\biggr)\, dt, +\] +%% -----File: 087.png---Folio 75------- +de sorte que l'expression elle-même devient +\[ +\Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\smfrac{n}{p}}\, \Biggl( + \smfrac{1}{2} + \sum^{p-1}_{\nu=1} \Powfr{e}{-\fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}} + \Biggr) + + i\int^{\infty}_0 \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{t}{2}}\, dt. +\] +Or on a, d'après l'égalité~\Eref{II}{III}{2}, \Pgref{page}{eqn:II.III.2}, +\[ +i\int^{\infty}_0 \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n} \Pow{t}{2}}\, dt + = \smfrac{i}{2}\, \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\smfrac{n}{p}} + = \smfrac{1}{2}\, \Powfr{e}{ \fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\smfrac{n}{p}}, +\] +et nous arrivons donc finalement à cette relation remarquable +\[ +\sum^{n-1}_{\nu=0} \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{\nu}{2}} + = \Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}}\sqrt{\smfrac{n}{p}}\, + \sum^{p-1}_{\nu=0} \Powfr{e}{-\fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}}, +\] +qui est due à Schaar\footnote{% +\textit{Mém.\ cour.\ et autres Mém.\ publiés par l'Académie de Belgique}, t.~XXIV +et~XXV\@. Dans le premier des Mémoires cités page~69, Genocchi avait déduit des +formules sommatoires la relation de Schaar et d'autres relations plus générales du +même genre, mais son raisonnement n'est pas rigoureux. \textit{Voir} aussi un Mémoire +de M.~\bsc{Landsberg}: \textit{Zur Theorie der Gauss'schen Summen und der linearen +Transformationen der Thetafunctionen} (\textit{Journal de Crelle}, t.~111, 1893).}, % [** End of footnote] +et d'où l'on déduit immédiatement, pour +$p = 2$, le résultat de Gauss: +\[ +\sum^{n-1}_{\nu=0} \Powfr{e}{\fnfrac{2\pi i}{n}\Pow{\nu}{2}} + = \frac{1 - \Pow{i}{n}}{1-i}\sqrt{n}, +\] +$n$~étant un entier positif impair\footnotemark. +\footnotetext{C'est Kronecker qui le premier a établi rigoureusement cette formule à +l'aide du calcul des résidus (\textit{Journal de Crelle}, t.~105, p.~267). \textit{Voir} aussi un +Mémoire de M.~H.~\bsc{Weber}: \textit{Ueber Abel's Summation endlicher Differenzenreihen +(Acta Mathematica}, t.~XXVII).} +% [** End of footnote 2] + + +\Section{III}{III}{La formule sommatoire d'Euler et autres formules analogues.} + +\Paragraph{39.} Les applications qui précèdent ont déjà montré l'utilité des +formules sommatoires établies plus haut, et les Chapitres suivants +en feront encore ressortir l'importance pour le prolongement et +pour l'étude asymptotique des fonctions. S'il s'agit de calculs +%% -----File: 088.png---Folio 76------- +numériques, il est cependant préférable de transformer ces formules, en +développant en séries les intégrales définies qu'elles renferment. +Il est vrai que les séries que l'on obtient ainsi sont pour la plupart +divergentes, de sorte qu'elles ne sauraient fournir une approximation +indéfinie. Mais, en revanche, elles jouissent souvent de +cette propriété intéressante, et qui pour le calcul est précisément la +plus importante, à savoir que leurs termes successifs, ainsi que +leur reste, commencent par décroître rapidement, d'où il résulte +qu'on pourra souvent atteindre une grande précision en ne calculant +qu'un petit nombre de termes. + +Les séries en question s'obtiennent en développant dans les formules +générales les expressions $p(\tau,t)$ et~$q(\tau,t)$ suivant les puissances +ascendantes de~$t$. On a généralement par le théorème de +Taylor, en supposant la fonction~$F(t)$ (réelle ou imaginaire) continue +ainsi que ses $\mu$~premières dérivées, +\[ +F(t) = F(0) + F'(0)\frac{t}{1!} + + \dotsb + \Pow{F}{\mu-1}(0) \frac{\Pow{t}{\mu-1}}{(\mu-1)!} + R_\mu, +\] +avec +\[ +R_\mu = \frac{\Pow{t}{\mu}}{(\mu-1)!} + \int^1_0 \Pow{(1-u)}{\mu-1} \Pow{F}{(\mu)}(ut)\, du. +\] +Or on conclut des égalités~\Eref{III}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:III.I.12}, lorsque $\nu$~est \textit{pair}, +\[ +\Pow{D}{(\nu)}_t p(\tau,0) = \Powfr{(-1)}{\fnfrac{\nu}{2}}\, \Pow{f}{(\nu)}(\tau),\qquad +\Pow{D}{(\nu)}_t q(\tau,0) = 0, +\] +et, pour $\nu$~\textit{impair}, +\[ +\Pow{D}{(\nu)}_t p(\tau,0) = 0,\qquad +\Pow{D}{(\nu)}_t q(\tau,0) = \Powfr{(-1)}{\fnfrac{\nu-1}{2}}\, \Pow{f}{(\nu)}(\tau), +\] +et, par suite, en appliquant aux expressions $p(\tau, t)$, $q(\tau, t)$ l'égalité +ci-dessus, avec $\mu= 2k$ ou~$\mu= 2k+1$, on trouve: +\begin{align*} +p(\tau,t) +&= f(\tau) - f'(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2}}{2!} + \dotsb + + \Pow{(-1)}{k-1}\,\Pow{f}{(2k-2)}(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2k-2}}{(2k-2)!} + + p_{2k}(\tau,t), \\ +% +q(\tau,t) +&= f'(\tau)t - f''(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2}}{3!} + \dotsb + + \Pow{(-1)}{k-1}\, \Pow{f}{(2k-1)}(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2k-1}}{(2k-1)!} + + q_{2k+1}(\tau,t), +\end{align*} +$p_{2k}(\tau,t)$ et~$q_{2k+1}(\tau,t)$ désignant respectivement les expressions +\[ +\frac{\Pow{(-1)}{k}}{2}\, \frac{\Pow{t}{2k}}{(2k-1)!} + \int^1_0 \Pow{(1-u)}{2k-1}\bigl[\Pow{f}{(2k)}(\tau+iut) + + \Pow{f}{(2k)}(\tau-iut)\bigr]\, du, +\] +%% -----File: 089.png---Folio 77------- +et +\[ +\frac{\Pow{(-1)}{k}}{2}\, \frac{\Pow{t}{2k+1}}{(2k)!} + \int^1_0 \Pow{(1-u)}{2k} \bigl[\Pow{f}{(2k+1)}(\tau+iut) + + \Pow{f}{(2k+1)}(\tau-iut)\bigr]\, du. +\] + +En substituant maintenant à $p(\tau, t)$ et~$q(\tau, t)$ les développements +qu'on vient d'écrire, on trouve successivement, d'après +l'égalité~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, +\begin{align*} +2\int^{\infty}_0 \frac{q(\tau,t)\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} +&= \frac{B_1}{2}\, f'(\tau) - \frac{B_2}{4}\, \frac{f'''(\tau)}{3!} + \dotsb \\ +% +&\quad + \Pow{(-1)}{k-1} \frac{B_k}{2k}\, \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{q_{2k+1}(\tau,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt; +\end{align*} +d'après l'égalité~\Eref{III}{I}{13}, \Pgref{page}{eqn:III.I.13}, et les égalités~\Eref{III}{II}{6}, \Pgref{page}{eqn:III.II.6}, +\begin{align*} +2\int^{\infty}_0 Q(\tau, t)\, dt +&= -\overline{\varphi}_1(\tau)\, f(\tau) + + \frac{\overline{\varphi}_2(\tau)}{2}\, \frac{f'(\tau)}{1!} + - \dotsb + + \frac{\overline{\varphi}_{2k}(\tau)}{2k}\, + \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} \\ +&\quad + 2\int^{\infty}_0 \bigl[ + p_{2k}(\tau,t)\, X(\tau,t) + q_{2k+1}(\tau,t)\, \Psi(\tau,t)\bigr]\, dt, +\end{align*} +formule qui, pour $\tau = \nu+\smfrac{1}{2}$, en vertu des égalités~\Eref{III}{I}{14}, \Pgref{page}{eqn:III.I.14}, +et~\Eref{II}{II}{17}, \Pgref{page}{eqn:II.II.17}, se réduit à la suivante: +\begin{align*} +\int^{\infty}_0 \frac{q(\tau,t)\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} + 1} +&= \frac{B'_1}{2}\, f'(\tau) + - \frac{B'_2}{4}\, \frac{f'''(\tau)}{3!} + \dotsb \\ +&\quad + + \Pow{(-1)}{k-1} \frac{B'_k}{2k}\, \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{q_{2k+1}(\tau,t)}{\Pow{e}{2\pi t} + 1}\, dt; +\end{align*} +d'après les égalités~\Eref{III}{I}{18}, \Pgref{page}{eqn:III.I.18}, et~\Eref{III}{II}{8}, \Pgref{page}{eqn:III.II.8}, +\begin{align*} +2\int^{\infty}_0 Q_1(\tau,t)\, dt +&= \overline{\chi}_0(\tau)\, f(\tau) + -\overline{\chi}_1(\tau)\, \frac{f'(\tau)}{1!} + + \dotsb + -\overline{\chi}_{2k-1}(\tau)\, \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} \\ +&\quad + 2\int^{\infty}_0 \bigl[ + p_{2k}(\tau, t)\, X_1(\tau,t) + q_{2k+1}(\tau,t)\, \Psi_1(\tau,t)\bigr]\, dt, +\end{align*} +et enfin, d'après l'égalité~\Eref{III}{II}{7}, \Pgref{page}{eqn:III.II.7}, +\begin{align*} +2\int^{\infty}_0 \frac{p(\tau, t)\, dt}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}} +&= \frac{1}{2} \left[ + E_0\,f(\tau) - \frac{E_1}{4}\, \frac{f''(\tau)}{2!} + \dotsb \right. \\ +&\qquad\ + \left. + \Pow{(-1)}{k-1}\, \frac{E_{k-1}}{\Pow{4}{k-1}}\, + \frac{\Pow{f}{(2k-2)}(\tau)}{(2k-2)!} \right] + + 2\int^{\infty}_0 \frac{p_{2k}(\tau,t)}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}\, dt. +\end{align*} + +\Paragraph{40.} En substituant les développements ci-dessus dans les formules +établies dans la première section de ce Chapitre, on en déduit +%% -----File: 090.png---Folio 78------- +diverses formules sommatoires connues. Ainsi les formules~\Eref{III}{I}{III}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.III}, et~\hyperref[eqn:III.I.Ipr]{(I${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.Ipr}, donnent respectivement: +% [** PP: Align next few (individually-aligned!) displays] +\begin{flalign*} +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) +&= \smfrac{1}{2} \bigl[f(m)+f(n)\bigr] + \int^n_m f(\tau)\, d\tau \\ +&\quad + + \sum^k_{\nu=1} \Pow{(-1)}{\nu-1} \frac{B_\nu}{2\nu}\, + \dfrac{\Pow{f}{(2\nu-1)}(n) - \Pow{f}{(2\nu-1)}(m)}{(2\nu-1)!} + R; +\qquad % [** quasi-align left braces of this and next display] +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{1} +\end{flalign*} +\begin{flalign*} +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) +&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau \\ +&\quad + + \sum^{2k}_1 \frac{\Pow{(-1)}{\nu}}{\nu}\ + \frac{\overline{\varphi}_\nu(\beta)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\beta) + -\overline{\varphi}_\nu(\alpha)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\alpha)}{(\nu-1)!} + + R, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{2} +\end{flalign*} +et, en faisant $\alpha=m-\smfrac{1}{2}$, $\beta=n+\smfrac{1}{2}$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{page36}), +\begin{flalign*} +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) +&= \int^{n+\frac{1}{2}}_{m-\frac{1}{2}} f(\tau)\, d\tau \\ +&\quad + + \sum^k_1 \Pow{(-1)}{\nu}\, \frac{B'_\nu}{2\nu}\, + \frac{\Pow{f}{(2\nu-1)}(n + \fnfrac{1}{2}) + - \Pow{f}{(2\nu-1)}(m - \fnfrac{1}{2})}{(2\nu-1)!} + R. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{3} +\end{flalign*} +La formule~\hyperref[eqn:III.I.IXpr]{(IX${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IXpr}, nous donne: +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) += \sum^{2k-1}_0 \Pow{(-1)}{\nu}\, + \frac{\overline{\chi}_\nu(\beta)\, \Pow{f}{(\nu)}(\beta) + -\overline{\chi}_\nu(\alpha)\, \Pow{f}{(\nu)}(\alpha)}{\nu!} + R, +\EqnTag{III}{III}{4} +\] +% +et en particulier, pour $\alpha=m-\smfrac{1}{2}$, $\beta=n+\smfrac{1}{2}$, +% +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +&\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) \\ +&\quad + = \frac{1}{2} \sum^{k-1}_0 \Pow{(-1)}{\nu}\, \frac{E_\nu}{\Pow{4}{\nu}}\, + \frac{\Pow{(-1)}{n}\, \Pow{f}{(2\nu)}(n + \frac{1}{2}) + + \Pow{(-1)}{m}\, \Pow{f}{(2\nu)}(m - \frac{1}{2})}{(2\nu)!} + R. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{5} +\] +Enfin, en faisant tendre~$\alpha$ vers~$m$ et~$\beta$ vers~$n$ dans~\Eref{III}{III}{4}, ou bien +en utilisant la formule~\Eref{III}{I}{XI}, \Pgref{page}{eqn:III.I.XI}, on trouve +\[ +\EqnTag{III}{III}{6} +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m &\Pow{(-1)}{\nu} +f(\nu) = \smfrac{1}{2} \bigl[\Pow{(-1)}{m} f(m) + \Pow{(-1)}{n} f(n)\bigr] \\ +& + \sum^k_1 \Pow{(-1)}{\nu-1}\, \frac{(\Pow{2}{2\nu} - 1)\,B_\nu}{2\nu}\, + \frac{\Pow{(-1)}{n}\, \Pow{f}{(2\nu-1)}(n) - \Pow{(-1)}{m}\, \Pow{f}{(2\nu-1)}(m)} + {(2\nu - 1)!} + + R. +\end{aligned} +\right. +\] + +%% -----File: 091.png---Folio 79------- + +D'autres formules encore pourraient se déduire de l'égalité~\Eref{III}{I}{20}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.20}, et des égalités \Eref{III}{I}{16} et~\Eref{III}{I}{VII}, \Pgref{page}{eqn:III.I.VII}\footnotemark. +% [** PP: Change of page size may put previous refs on different pages!] +\footnotetext{La formule qui se déduit de~\Eref{III}{I}{VII} en y développant le dernier terme en +série, a été remarquée par Kronecker (\textit{Sitzungsberichte der Akademie zu Berlin}, +1885, p.~862).} +% [** End of footnote] + +L'égalité~\Eref{III}{III}{1} constitue la célèbre formule sommatoire découverte +par Euler et Mac-Laurin\footnotemark; +\footnotetext{Des applications de la formule~\Eref{III}{I}{III} à la formule d'Euler ont été indiquées +successivement par Schaar, Genocchi et~Petersen dans leurs travaux cités au \no\Sref{35}. +Voir aussi p.~17--23 de notre Mémoire.} % [** End of footnote] +% +la formule~\Eref{III}{III}{6} a été donnée par +Boole, la formule~\Eref{III}{III}{2} par Sonin et Hermite\footnotemark, +\footnotetext{\textit{Journal de Crelle}, t.~116, p.~133--136.} +% +la formule~\Eref{III}{III}{4} par +Hermite\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Ibid}.,\ p.~145.} + +Les résultats du \no\Sref{39} fournissent immédiatement l'expression +exacte du reste~$R$ dans les formules précédentes, et permettent +facilement d'en calculer une limite supérieure. + +Supposons, par exemple, qu'on ait, pour toute valeur réelle +de~$t$, +\[ +\Abs{\Pow{f}{(\mu)}(\tau+it)} < M_\mu(\tau), +\] +$M_{\mu}(\tau)$ étant une quantité positive qui dépendra, en général, de~$\tau$ +et de~$\mu$; il en résulte +\begin{align*} +\Abs{p_{2k}(\tau,t)} &< M_{2k}(\tau)\, \frac{\Pow{\tau}{2k}}{(2k)!}, \\ +\Abs{q_{2k+1}(\tau,t)} &< M_{2k+1}(\tau)\, \frac{\Pow{\tau}{2k+1}}{(2k+1)!}. +\end{align*} +En se servant des égalités~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, et~\Eref{III}{II}{7}, \Pgref{page}{eqn:III.II.7}, on en +déduit pour le reste de la formule d'Euler~\Eref{III}{III}{1} l'inégalité +\[ +\Abs{R} < \frac{B_{k+1}}{(2k+2)!}\, + \bigl[M_{2k+1}(m) + M_{2k+1}(n)\bigr], +\] +et, pour le reste de la formule~\Eref{III}{III}{5}, +\[ +\Abs{R} < \frac{1}{2(2k)!}\;\frac{E_k}{\Pow{4}{k}}\, + \Bigl[M_{2k}\bigl(m - \smfrac{1}{2}\bigr) + + M_{2k}\bigl(n + \smfrac{1}{2}\bigr)\Bigr]. +\] + +Dans le cas où la fonction~$f(z)$ admet des points singuliers à +l'intérieur de la bande $\alpha <\tau < \beta$, les formules ci-dessus doivent +être modifiées comme il a été dit aux \nos\Sref{32} et~\Sref{34}. + +%% -----File: 092.png---Folio 80------- + +\Paragraph{41.} Les expressions trouvées ci-dessus pour le reste de la formule +d'Euler et des formules analogues sont différentes de celles +qu'on rencontre dans les théories élémentaires de ces formules. +Mais nous allons voir que ces dernières expressions se rattachent +encore tout naturellement à nos résultats généraux. + +Reprenons, à cet effet, la formule~\Eref{III}{I}{16}, \Pgref{page}{eqn:III.I.16}, en y faisant +croître indéfi\-ni\-ment le nombre~$\mu$. Les deux derniers termes tendront +évidemment vers \textit{zéro}, de sorte qu'on obtient +\[ +\sum^n_m f(\nu) = \int^{\beta}_{\alpha}f(\tau)\, d\tau + + 2\sum^{\infty}_1 \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, \cos 2\nu\pi\tau\, d\tau. +\EqnTag{III}{III}{7} +\] + +On a, d'ailleurs, en intégrant par parties, +\begin{align*} +&2\int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, \cos 2\nu\pi\tau\, d\tau \\ +& \quad + = f(\beta)\, \frac{\sin 2\nu\pi\beta}{\nu\pi} + - f(\alpha)\, \frac{\sin 2\nu\pi\alpha}{\nu\pi} + - \int^{\beta}_{\alpha} f'(\tau)\, \frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}\, d\tau, +\end{align*} +et, en se servant de l'égalité~\Eref{II}{II}{14}, \Pgref{page}{eqn:II.II.14}, on pourra donc écrire +l'équation~\Eref{III}{III}{7} sous la forme +\[ +\EqnTag{III}{III}{8} +\sum^n_m f(\nu) = \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau ++ \overline{\varphi}_1(\alpha)\, f(\alpha) +- \overline{\varphi}_1(\beta)\, f(\beta) +- \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau + \] + +Cependant cette dernière conclusion demande quelque précaution, +car nous y avons supposé tacitement que l'expression +\[ + \int^{\beta}_{\alpha}f'(\tau)\, \overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau ++ \int^{\beta}_{\alpha}f'(\tau) \sum^k_1\frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}\, d\tau +\EqnTag{III}{III}{9} +\] +s'annule pour $k = \infty$, ce qui n'est nullement évident, puisque la +série qui définit~$\overline{\varphi}_1(\tau)$ ne converge pas uniformément entre les +limites d'intégration. Notre conclusion n'en est pas moins exacte, +car il résulte des remarques faites \Pgref{page}{page35} que le module de la +somme +\[ +\overline{\varphi}_1(\tau) + \sum^k_1\frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi} +\] +reste inférieur à une quantité finie~$M$ pour toute valeur de~$k$ et +%% -----File: 093.png---Folio 81------- +pour tout point~$\tau$ de l'intervalle $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$, et d'autre part que, ayant +exclu de cet intervalle, de part et d'autre de chacun des points +$m,~m + 1, \dotsc,~n$, un segment de longueur~$\eps$ aussi petite qu'on +voudra, on pourra choisir l'entier~$k$ assez grand pour que, dans le +reste de l'intervalle, la somme en question soit numériquement +inférieure à tout nombre~$\eta$ fixé d'avance. Dans ces conditions, la +valeur absolue de l'expression~\Eref{III}{III}{9} sera donc inférieure au produit +de $\eta(\beta -\alpha) + 2\eps M(n-m+1)$ par le maximum de $\Abs{f'(\tau)}$ +dans l'intervalle $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$, d'où l'on conclut que cette expression +s'annule effectivement pour $k = \infty$. + +À l'aide des relations [voir l'égalité~\Eref{II}{II}{16} \Pgref{page}{eqn:II.II.16}] +\[ +\overline{\varphi}'_{\nu+1}(\tau) + = (\nu+1)\overline{\varphi}_\nu(\tau)\qquad (\nu=1, 2,\dotsc), +\] +on trouve successivement, en intégrant par parties, +\begin{align*} +\int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau +&= \smfrac{1}{2!} \bigl[\overline{\varphi}_2(\beta) f'(\beta) + -\overline{\varphi}_2(\alpha) f'(\alpha)\bigr] + - \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_2(\tau)\, + \frac{f''(\tau)}{2!}\, d\tau, \\[1ex] +\int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_2(\tau)\, \frac{f''(\tau)}{2!}\, d\tau +&= \smfrac{1}{3!} \bigl[\overline{\varphi}_3(\beta)\, f''(\beta) + -\overline{\varphi}_3(\alpha)\, f''(\alpha)\bigr] + - \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_3(\tau)\, + \frac{f'''(\tau)}{3!}\, d\tau, +\end{align*} +et ainsi de suite; de l'égalité~\Eref{III}{III}{8} on peut donc tirer la suivante: +\[ +\EqnTag{III}{III}{10} +\sum^n_m f(\nu) = \int^{\beta}_{\alpha}\, f(\tau)\, d\tau + + \sum^{2k}_1 \frac{\Pow{(-1)}{\nu}}{\nu}\ + \frac{\overline{\varphi}_\nu(\beta)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\beta) + -\overline{\varphi}_\nu(\alpha)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\alpha)}{(\nu-1)!} + + R, +\] +où +\[ +R = -\frac{1}{(2k)!} \int^{\beta}_{\alpha} + \overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, \Pow{f}{(2k)}(\tau)\, d\tau. +\] +C'est la formule~\Eref{III}{III}{2}, avec une nouvelle expression du reste. + +Faisons maintenant tendre~$\alpha$ vers~$m$ et~$\beta$ vers~$n$. Les expressions +$\overline{\varphi}_1(\alpha)$ et~$\overline{\varphi}_1(\beta)$ tendront respectivement vers~$\smfrac{1}{2}$ et vers~$-\smfrac{1}{2}$, +de sorte que l'égalité~\Eref{III}{III}{8} devient +\[ +\sum^n_m f(\nu) + = \int^n_m f(\tau)\, d\tau + + \smfrac{1}{2} \bigl[f(m) + f(n)\bigr] + + \int^n_m \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau, +\EqnTag{III}{III}{11} +\] +et d'autre part, en vertu des propriétés des fonctions~$\overline{\varphi}_\nu(\tau)$ démontrées +\Pgref{page}{page36}, l'égalité~\Eref{III}{III}{10} se réduira à la formule d'Euler avec +%% -----File: 094.png---Folio 82------- +cette nouvelle expression du reste, due à Poisson: +\[ +R = -\frac{1}{(2k)!} \int^n_m + \overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, \Pow{f}{(2k)}(\tau)\, d\tau, +\] +En intégrant par parties, on obtient d'abord +\[ +R = \frac{1}{(2k+1)!}\int^n_m + \overline{\varphi}_{2k+1}(\tau)\, \Pow{f}{(2k+1)}(\tau)\, d\tau, +\] +puis, en observant que $\overline{\varphi}_{2k+1}(\tau)=\smfrac{\overline{P}'_{2k+2}(\tau)}{2k+2}$ +\[ +R = -\frac{1}{(2k+2)!} \int^n_m + \overline{P}_{2k+2}(\tau)\, \Pow{f}{(2k+2)}(\tau)\, d\tau, +\EqnTag{III}{III}{12} +\] +expression due à Jacobi. + +Pour $\alpha=m-\smfrac{1}{2}$, $\beta=n+\smfrac{1}{2}$, l'égalité~\Eref{III}{III}{10} nous donne la +formule~\Eref{III}{III}{3} avec le reste +\[ +R = \frac{1}{(2k+1)!} \int^{n + \frac{1}{2}}_{m - \frac{1}{2}} + \overline{\varphi}_{2k+1}(\tau)\, \Pow{f}{(2k+1)}(\tau)\, d\tau, +\] + +Ces transformations s'appliquent également à la formule~\Eref{III}{I}{20}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.20}. Ainsi l'on en déduit, en faisant croître~$\mu$ vers l'infini, +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu}\, f(\nu) + = 2\sum^n_0 \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, \cos(2\nu + 1)\pi\tau\, d\tau, +\EqnTag{III}{III}{13} +\] +puis, en intégrant par parties et utilisant l'égalité~\Eref{II}{II}{21}, \Pgref{page}{eqn:II.II.21}, +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu}\, f(\nu) + = \overline{\chi}_0(\beta)f(\beta) - \overline{\chi}_0(\alpha)f(\alpha) + - \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\chi}_0(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau. +\EqnTag{III}{III}{14} +\] +En transformant le dernier terme de cette égalité à l'aide des +relations~\Eref{II}{II}{22}, \Pgref{page}{eqn:II.II.22}, on retrouve la formule~\Eref{III}{III}{4} avec +\[ +R = \frac{1}{(2k-1)!} \int^{\beta}_{\alpha} + \overline{\chi}_{2k-1}(\tau)\, \Pow{f}{(2k)}(\tau)\, d\tau, +\] +expression due à Hermite. En faisant tendre~$\alpha$ vers~$m$, $\beta$ vers~$n$ +%% -----File: 095.png---Folio 83------- +(\textit{voir} \Pgref{p.}{page37}), on en déduit la formule~\Eref{III}{III}{6} de Boole avec le reste +\[ +R = -\frac{1}{(2k)!} \int^n_m + \overline{\chi}_{2k}(\tau)\,\Pow{f}{(2k+1)}(\tau)\, d\tau, +\] +donné par M.~Darboux\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable +(Journal de Mathématiques}, \tertio~série, t.~II, 1876).} +D'autre part, en faisant $\alpha = m-\smfrac{1}{2}$, +$\beta = n+\smfrac{1}{2}$ on retrouve la formule~\Eref{III}{III}{5} avec une nouvelle expression +du reste. + +Le raisonnement qui nous a fourni les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14} suppose +essentiellement que la fonction~$f(z)$ est holomorphe sur le +segment $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$ de l'axe réel. Cette condition est d'ailleurs suffisante, +car, en la supposant vérifiée, on pourra prendre la hauteur +du rectangle~$C$, qui nous a servi de contour d'intégration, assez +petite pour que~$f(z)$ soit holomorphe à l'intérieur et sur le contour +de ce rectangle, d'où il résulte que les égalités~\Eref{III}{I}{16}, \Pgref{page}{eqn:III.I.16}, +et~\Eref{III}{I}{20}, \Pgref{page}{eqn:III.I.20}, et par conséquent aussi les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14}, +seront valables. + +Mais, une fois établies les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14}, on constate +immédiatement qu'elles subsistent dès que~$f(\tau)$ et~$f'(\tau)$ sont +finis et continus pour $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$\footnotemark. +\footnotetext{Il en résulte, d'après le raisonnement de la \Pgref{page}{eqn:III.III.7}, que les formules \Eref{III}{III}{7} +et~\Eref{III}{III}{13} subsistent également sous la condition indiquée.} +% [** End of footnote] +En effet, on trouve en intégrant +($voir$ \Pgref{page}{page35}): +\[ +\int^{\nu+1}_{\nu} \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau )\, d\tau + = \smfrac{1}{2} \bigl[f(\nu) + f(\nu + 1)\bigr] + - \int^{\nu+1}_{\nu} f(\tau)\, d\tau. +\] +Faisons ici successivement $\nu = m,~m + 1, \dotsc,~n-1$ et ajoutons +les résultats: nous aurons l'égalité~\Eref{III}{III}{11}, et les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14} se +vérifient de la même manière. + +\Pagelabel{page83}% +Or nous venons de voir que les formules sommatoires \Eref{III}{III}{1} à~\Eref{III}{III}{6}, +avec les expressions du reste~$R$ données ci-dessus, se déduisent +des égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14} par de simples intégrations. Nous pouvons +donc affirmer que chacune des formules en question est valable +dès que la fonction~$f(\tau)$ et ses dérivées, jusqu'à l'ordre le plus +élevé qui y figure, sont finies et continues pour $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$. +%% -----File: 096.png---Folio 84------- + +\Paragraph{42.} En faisant dans la formule~\Eref{III}{III}{7} $m = n = 0$, $\alpha = -x$, +$\beta = 1-x$, $f(z)=F(z+x)$, et en supposant d'ailleurs $0<x<1$, +on en déduit +\[ +F(x) = \int^1_0 F(\tau)\, d\tau + + 2\sum^{\infty}_1 \int^1_0 F(\tau)\, \cos 2\nu\pi(\tau-x)\, d\tau. +\EqnTag{III}{III}{15} +\] +C'est \textit{le développement de Fourier} qui, d'après la remarque +% [** PP: Changed reference to page location] +% Orig: faite en bas de la page~83, se trouve ainsi établi en supposant $F(x)$ +ci-dessus, se trouve ainsi établi en supposant $F(x)$ +et~$F'(x)$ finis et continus pour $0\leqq x\leqq 1$\footnotemark. +\footnotetext{Lorsque~$F(x)$ +présente une discontinuité au point~$x$, le premier membre +de l'égalité~\Eref{III}{III}{15} sera remplacé par $\lim\limits_{\eps=0}\fnfrac{1}{2}\bigl[F(x-\eps) + F(x+\eps)\bigr]$, ce qu'on +conclut encore facilement du calcul indiqué à la fin du \no\Sref{41}. + +L'égalité~\Eref{III}{III}{13} conduit à une autre forme du développement de Fourier.} +% [** End of footnote] + +Indiquons encore la méthode par laquelle Cauchy a établi ce +développement dans son Mémoire de~1826\footnotemark, cité \Pgref{page}{page68}, et qui, +dans bien des cas, permet d'en calculer les coefficients avec une +grande facilité. Nous admettrons les hypothèses suivantes: +\footnotetext{Le raisonnement de Cauchy dans ce Mémoire très condensé est assez +embrouillé en ce qui concerne la convergence du développement de Fourier, et +les critiques que lui a adressées Dirichlet dans son célèbre Mémoire: \textit{Sur la +convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction +arbitraire entre des limites données} (\textit{Journal de Crelle}, t.~4, 1829) sont, sans +contredit, parfaitement justes. Cependant le Mémoire de Cauchy renferme tous +les éléments d'une démonstration exacte, telle que nous la présentons ici, et il +est curieux que Dirichlet ne s'en soit pas aperçu.} +% [** End of footnote] + +\primo~\textit{$F(z)$ est une fonction analytique de la variable $z \equiv \tau +it$ +qui est holomorphe dans la bande $0\leqq\tau\leqq 1$}; + +\secundo~\textit{L'égalité $\lim\limits_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}\,F(\tau+it)=0$ a lieu uniformément +pour $0\leqq\tau\leqq 1$}. + +Ceci posé, reprenons la formule~\Eref{III}{I}{8}, \Pgref{page}{eqn:III.I.8}, en choisissant le +contour~$C$ comme il a été dit, et en faisant les mêmes substitutions +que ci-dessus dans la formule~\Eref{III}{III}{7}, et, en outre, les substitutions~\Eref{III}{I}{10} +de la \Pgref{page}{eqn:III.I.10}. Lorsqu'on fait tendre~$\delta$ vers l'infini, les +intégrales prises suivant les côtés horizontaux du contour~$C$ s'évanouiront, +en vertu de la condition~\secundo. D'autre part, les termes $\Pow{e}{2\nu\pi iz}$ +et~$\Pow{e}{-2\nu\pi iz}$ qui figurent dans les expressions~\Eref{III}{III}{15} donneront naissance +à quatre intégrales, dont la somme se réduit à la partie +%% -----File: 097.png---Folio 85------- +réelle de l'expression +\[ +2i\int_0^\infty \Pow{e}{-2\nu\pi i\,(x-it)}\, \bigl[F(it) - F(1+it)\bigr]\, dt, +\] +ou bien, en posant $F(\tau\pm i t) = p(\tau,t)\pm i q(\tau,t)$, et +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +A_\nu +&= \phantom{-}2\int_0^\infty \Pow{e}{-2\nu\pi t} \bigl[q(1,t)-q(0,t)\bigr]\, dt, \\[1ex] +B_\nu +&= -2\int_0^\infty \Pow{e}{-2\nu\pi t} \bigl[p(1,t)-p(0,t)\bigr]\, dt, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{16} +\] +à +\[ +A_\nu\, \cos 2\nu\pi x + B_\nu\, \sin 2\nu\pi x. +\] +En somme, on trouvera donc +\[ +F(x) = A_0 + \sum_1^\mu (A_\nu\, \cos 2\nu\pi x + + B_\nu\, \sin 2\nu\pi x) + R_\mu, +\] +où $A_0 = \dint_0^1 F(\tau)\, d\tau$, et où le terme-reste~$R_\mu$ est égal à la partie +réelle de l'expression +\[ +2i\int_0^\infty \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi t - 2\mu\pi ix}} + {\Pow{e}{2\pi t + 2\pi ix} - 1}\, + \bigl[F(it) - F(1+it)\bigr]\, dt. +\] +Or $R_\mu$ s'annule évidemment pour $\mu=\infty$, de sorte qu'on obtient\footnotemark +\[ +F(x) = A_0 + \sum_1^\infty (A_\nu\, \cos 2\nu\pi x + + B_\nu\, \sin 2\nu\pi x)\qquad (0<x<1). +\EqnTag{III}{III}{17} +\] +\footnotetext{Ces résultats restent encore valables si la fonction~$F(z)$, tout en vérifiant +les autres conditions énoncées ci-dessus, devient infinie pour~$z=0$ ou pour~$z=1$ +d'un ordre inférieur à \textit{un}, ce qu'on démontre facilement par un raisonnement +analogue à celui du \no\Sref{29}.}% + +Soit comme premier exemple $F(z) = \log(\sin\pi z)$. En tenant +compte de la note ci-dessous, on s'assure immédiatement que les +résultats précédents sont applicables. Or on a dans l'hypothèse +actuelle $F(1 + it) - F(it) = -\pi i$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{page49}), et par suite +\[ +p(1,t) - p(0,t) = 0,\qquad q(1,t) - q(0,t) = -\pi. +\] +Il en résulte, d'après~\Eref{III}{III}{16}, $A_\nu = -\smfrac{1}{\nu}$, $B_\nu = 0$, et comme l'on a +%% -----File: 098.png---Folio 86------- +d'ailleurs, d'après la \Pgref{page}{page50}, $A_0 = -\log 2$, l'égalité~\Eref{III}{III}{17} devient +\[ +\log(\sin \pi x) = -\log 2 - \sum^{\infty}_1 \frac{\cos 2\nu\pi x}{\nu}. +\EqnTag{III}{III}{18} +\] + +Faisons en second lieu $F(z) = \log\Gamma(z)$, hypothèse dans laquelle +les résultats précédents seront encore applicables, ainsi qu'il résulte +des propriétés de~$\Gamma(z)$ démontrées au Chapitre~\ref{chapter:IV}. + +L'égalité $\Gamma(1+z) = z\Gamma (z)$ nous donne +\[ +F(1+it) - F(it) = \log it = \log t + \smfrac{\pi i}{2}, +\] +d'où +\[ +p(1,t) - p(0,t) = \log t,\qquad q(1,t) - q(0,t) = \smfrac{\pi}{2}, +\] +et, par suite, +\[ +A_\nu = \pi\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, dt = \smfrac{1}{2\nu},\qquad +B_\nu = -2\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \log t\, dt. +\] + +La valeur de~$B_\nu$ s'obtient en différentiant l'égalité +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \Pow{t}{2}\, dt + = \Gamma(1+\eps) \Pow{(2\nu\pi)}{-(1+\eps)}. +\] +par rapport à~$\eps$, ce qui donne +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \Pow{t}{\eps}\,\log t\, dt + = \Gamma'(1+\eps) \Pow{(2\nu\pi)}{-(1+\eps)} + - \Gamma (1+\eps) \Pow{(2\nu\pi)}{-(1+\eps)}\, \log(2\nu\pi), +\] +et en faisant ensuite tendre~$\eps$ vers zéro. Comme on a~$\Gamma(1)=1$, +$\Gamma'(1) = -C$, on trouve ainsi +\Pagelabel{page86} +\[ +B_\nu = \frac{C + \log(2\nu\pi)}{\nu\pi}. +\] +Nous montrerons d'ailleurs plus loin (\Pgref{p.}{page90}) que $A_0=\log \sqrt{2\pi}$, +et, en tenant compte du résultat~\Eref{III}{III}{18} ci-dessus et de l'égalité~\Eref{II}{II}{13}, +\Pgref{page}{eqn:II.II.13}, nous aurons finalement le développement dû à Kummer: +\begin{align*} +\log\Gamma(x) +&= \log\sqrt{2\pi} - (C+\log 2\pi) \left(x-\smfrac{1}{2}\right) \\ +&\quad + - \smfrac{1}{2}\log(2\sin\pi x) + + \smfrac{1}{\pi} \sum^{\infty}_1 \frac{\log\nu}{\nu}\, \sin 2\nu\pi x. +\end{align*} + +\bigTbreak + +%% -----File: 099.png---Folio 87------- + + +% [*** Chapter IV] +\cleardoublepage +\Chapter{IV}{LES FONCTIONS $\Gamma(x)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,w)$.} + +\Section{IV}{I}{Expressions diverses de~$\log\Gamma(x)$ et de ses dérivées \\ + sous forme d'intégrales définies.} + +\Paragraph{43.} Pour déduire ces expressions des formules générales établies +au Chapitre précédent, nous allons nous servir de l'égalité +\[ +\Pow{D}{(2)}_x\log\Gamma(x) = \sum^{\infty}_0 \frac{1}{\Pow{(x+\nu)}{2}}. +\EqnTag{IV}{I}{1} +\] + +Nous devons donc substituer dans nos formules +\[ +f(z) = \frac{1}{\Pow{(x+z)}{2}}, +\EqnTag{IV}{I}{2} +\] +d'où il résulte, d'après les égalités~\Eref{III}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:III.I.12}, +\[ +p(\tau,t) = \frac{\Pow{(x+\tau)}{2} - \Pow{t}{2}} + {\Pow{[\Pow{(x+\tau)}{2}+\Pow{t}{2}]}{2}}, +\qquad +q(\tau,t) = -\frac{2(x+\tau)t} + {\Pow{[\Pow{(x+\tau)}{2} + \Pow{t}{2}]}{2}}. +\] + +Admettons que \textit{la partie réelle de la variable $x$ est positive}. +Les trois dernières conditions énoncées à la \Pgref{page}{page57b} seront alors +vérifiées dans le demi-plan~$\tau\geqq 0$, de sorte qu'on pourra appliquer +la formule~\Eref{III}{I}{IV}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IV}, en y faisant~$m=0$. On trouve ainsi +\[ +\Pow{D}{(2)}_x\log\Gamma(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2\Pow{x}{2}} + + 4x \int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +puis, en intégrant et en désignant par~$K$ la constante d'intégration, +\Pagelabel{page87} +\[ +D_x\log\Gamma(x) + = K + \log x - \smfrac{1}{2x} + - 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +%% -----File: 100.png---Folio 88------- +et, par une deuxième intégration, +\[ +\log\Gamma(x) = K' + Kx + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x), +\EqnTag{IV}{I}{3} +\] +$K'$~désignant une nouvelle constante et~$J(x)$ l'expression +\[ +J(x) = 2\int^{\infty}_0 \arc\tang\frac{t}{x}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\EqnTag{IV}{I}{4} +\] +qu'on peut écrire encore, en intégrant par parties, +\[ +J(x) = \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_0 \frac{x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, + \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right)\, dt. +\tag{4${}'$} +\Pagelabel{eqn:IV.I.4pr} +\] + +Les valeurs des constantes $K$ et~$K'$ s'obtiennent immédiatement +en rapprochant~\Eref{IV}{I}{3} de l'égalité~\Eref{III}{II}{1} de la \Pgref{page}{eqn:III.II.1}. Mais, si l'on ne +veut pas se servir de cette dernière égalité, on arrivera encore facilement +à déterminer $K$ et~$K'$ en s'appuyant sur les propriétés bien +connues de la fonction~$\Gamma(x)$ qui s'expriment par les équations +\[ +\Gamma(x+1) = x\Gamma(x),\qquad \Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin\pi x}. +\EqnTag{IV}{I}{5} +\] + +En effet, si l'on retranche l'égalité~\Eref{IV}{I}{3} de celle qu'on en déduit +en changeant $x$ en~$x+1$, on trouve, en vertu de la première propriété, +\[ +(K-1) + \left(x + \smfrac{1}{2}\right)\log\left(1 + \smfrac{1}{x}\right) + + J(x+1) - J(x) = 0. +\] +Or, lorsque $x$~croît indéfiniment, les deux derniers termes s'évanouiront, +tandis que le second terme tendra vers~$1$. Donc~$K=0$. + +D'après la seconde propriété, on aura, pour $x = \smfrac{1}{2} + iu$, +\[ +\Gamma\left(\smfrac{1}{2} + iu\right) +\Gamma\left(\smfrac{1}{2} - iu\right) + = \frac{2\pi \Pow{e}{-\pi u}}{1 + \Pow{e}{-2\pi u}}, +\] +d'où résulte l'égalité +\Pagelabel{page88} +\[ +\text{Partie réelle de } +\log\Gamma\left(\smfrac{1}{2} + iu\right) + = \log\sqrt{2\pi} - \smfrac{\pi u}{2} + \eps(u)\ \footnotemark, +\] +\footnotetext{Pour la notation~$\eps(u)$, \textit{voir} la note de la \Pgref{page}{page49fn}.}% [** End of footnote] +dont s'est déjà servi Stieltjes pour une question analogue\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Sur le développement de~$\log\Gamma(a)$} (\textit{Journal de Liouville}, t.~V, 1889).} +% [** End of footnote] + +%% -----File: 101.png---Folio 89------- + +Faisons d'autre part $x =\smfrac{1}{2}+iu$ dans l'égalité~\Eref{IV}{I}{3}. Un calcul +élémentaire donne +\[ +\text{Partie réelle de }\left(x-\smfrac{1}{2}\right) \log x + = -u\arc\tang 2u + = -\smfrac{\pi u}{2} + \smfrac{1}{2} + \eps(u), +\] +et comme d'ailleurs, d'après l'égalité~\hyperref[eqn:IV.I.4pr]{($4'$)}, $J\left(\smfrac{1}{2}+iu\right)$~s'annule +pour~$u =\infty$\ \footnotemark, on aura +\[ +\text{Partie réelle de }\log \Gamma \left(\smfrac{1}{2} + iu\right) + = K' - \smfrac{\pi u}{2}+\eps(u). +\] +\footnotetext{En effet, on a +\[ +\Abs{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}} \geqq \Abs{u} +\] +pour toute valeur~$t$ et, d'autre part, +\[ +\Abs{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}} > \fnfrac{\Pow{u}{2}}{2}\qquad\text{pour}\qquad +\Pow{t}{2} < \fnfrac{\Pow{u}{2}}{2}, +\] +d'où l'on déduit aisément la proposition énoncée.}% +% [** End of footnote] + +La comparaison de cette expression avec la précédente donne +\[ +K' = \log\sqrt{2\pi}, +\] +et, par suite, on aura en définitive\footnote{% +La formule~\Eref{IV}{I}{7} est due à \bsc{Poisson} (\textit{Mémoires de l'Institut}, Année~1811, +seconde Partie, p.~221).---\textit{Voir} aussi \bsc{Legendre}, \textit{Exercices de Calcul intégral}, +5\ieme{}~Partie, p.~190. C'est \bsc{Schaar} qui a le premier appliqué la formule~\Eref{III}{I}{IV} à +l'étude de la fonction~$\Gamma(x)$, dans le Mémoire cité à la \Pgref{page}{page68}.}% [** End of footnote] +\begin{gather*} +\log\Gamma(x) = \log\sqrt{2\pi} + + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x), +\EqnTag{IV}{I}{6} \\ +D_x \log\Gamma(x) = \log x - \smfrac{1}{2x} + J'(x). +\EqnTag{IV}{I}{7} +\end{gather*} + +On peut écrire~\Eref{IV}{I}{6} sous la forme asymptotique +\[ +\log\Gamma(x) = \log\sqrt{2\pi} + + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x +\eps(x), +\EqnTag{IV}{I}{8} +\] +et, en remplaçant~$x$ par~$x+\xi$, on en déduit aisément +\[ +\log\Gamma(x + \xi) + = \log\sqrt{2\pi} + \left(x + \xi - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + \eps(x). +\EqnTag{IV}{I}{9} +\] + +%% -----File: 102.png---Folio 90------- + +À l'aide de~\Eref{IV}{I}{8} nous allons calculer \textit{l'intégrale de Raabe} +\[ +R(\nu) \equiv \int^{\nu+1}_{\nu} \log\Gamma(x)\, dx. +\] +En intégrant le second membre de cette égalité~\Eref{IV}{I}{8}, il vient +\[ +R(\nu) = \log\sqrt{2\pi} + \nu\log\nu - \nu + \eps(\nu). +\] +Mais, d'autre part, on a +\[ +R'(\nu) = \log\Gamma(\nu+1) - \log\Gamma(\nu) = \log\nu, +\] +d'où il résulte, en intégrant et désignant par~$K$ une constante, +\[ +R(\nu) = K + \nu\log\nu - \nu. +\] +La comparaison de ces expressions donne $K=\log\sqrt{2\pi}$, $\eps(\nu)\equiv 0$, +et, par suite, +\[ +\int^{\nu+1}_{\nu}\log\Gamma(x)\, dx = \log\sqrt{2\pi} + \nu\log\nu - \nu. +\] + +Pour $\nu = 0$, cette expression se réduit à~$\log\sqrt{2\pi}$ (\textit{cf}.~\Pgref{p.}{page86}). +\Pagelabel{page90} + +\Paragraph{44.} Pour établir l'égalité~\Eref{IV}{I}{6}, nous avons dû supposer la partie +réelle de la variable~$x$ positive, et, en effet, il est aisé de voir que +l'axe imaginaire constitue une \textit{coupure} pour l'intégrale~$J(x)$, de +sorte que celle-ci représente des fonctions analytiques distinctes à +droite et à gauche de cet axe\footnotemark. Pour mieux fixer, nous conviendrons +de désigner ces fonctions respectivement par~$J_{+}(x)$ +et~$J_{-}(x)$. +\footnotetext{\textit{Cf}.~deux Mémoires de Hermite insérés dans les Tomes 91 et~92 du \textit{Journal +de Crelle}. La notion de coupure était d'ailleurs familière à Cauchy, qui en avait +rencontré des exemples dès ses premières recherches sur les intégrales définies. +\textit{Voir}, par exemple, \textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~VI, 1826, p.~271, où Cauchy démontre que +l'intégrale +\[ +\int^{\pi}_{-\pi}\frac{f(\Pow{e}{ip})\, dp}{1 - s\,\Pow{e}{-ip}} +\] +est égale à~$2\pi\,f(s)$ ou à~$0$, suivant que $\Abs{s}<1$ ou~$\Abs{s}>1$. On trouve des +réflexions générales relatives à ce sujet dans le \textit{Mémoire sur les fonctions +continues} (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~VIII, 1844, p.~145--160) et dans le \textit{Mémoire sur +diverses propriétés remarquables et très générales des fonctions continues} +(\textit{Ibid}.,\ t.~IX, 1845, p.~32--53).} +% [** End of footnote] + +%% -----File: 103.png---Folio 91------- + +Cherchons la différence des valeurs que prennent ces deux fonctions +en un point~$x'$ situé sur l'axe imaginaire positif. L'expression +\[ +\varphi(t,x) \equiv \frac{1}{\pi}\, \frac{x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}} + \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right), +\] +sur laquelle porte l'intégrale~$J(x)$, admet les points~$t=\pm ix$ +comme pôles du premier ordre. Lorsque la différence~$x-x'$ tend +vers \textit{zéro}, sa partie réelle restant positive, le pôle~$t=-ix$ viendra, +du côté inférieur de l'axe réel, se confondre avec le point~$-ix'$ de +cet axe, de sorte que l'intégrale~$J(x)$ n'aura plus de sens. Mais, +pour remédier à cet inconvénient, il suffit de déformer le chemin +d'intégration dans~$J(x)$ de manière à éviter le point singulier en +question; par exemple, en remplaçant un petit segment~$ac$ de l'axe +réel, renfermant le point~$-ix'$, par un demi-cercle~$ab_1c$ tournant +la convexité vers le haut, comme l'indique la figure ci-dessous. La +% [** PP: Moved Figure 3 to end of paragraph] +valeur que prend la fonction~$J_{+}(x)$ au point~$x'$ sera alors représentée +par l'intégrale $\dint \varphi(t,x')\,dt$ prise suivant le chemin~$0\,ab_1\,c\,\infty$ +et, par un raisonnement analogue, on montre que la valeur~$J_{-}(x')$ +est égale à cette même intégrale étendue au chemin symétrique~$0\,ab_2\,c\infty$. +Donc la différence $J_{+}(x') - J_{-}(x')$ s'exprime par +l'intégrale $\dint\varphi(t,x')\,dt$ prise le long du contour fermé~$ab_1\,cb_2\,a$, +intégrale qui est égale au produit de~$-2\pi i$ par le résidu de~$\varphi(t,x')$ +relatif au pôle~$t=-ix'$, c'est-à-dire à $-\log(1 - \Pow{e}{2\pi ix'})$. + +%[Illustration: Fig. 3.] +\Figure{3}{103} + +On aura donc, pour tout point de l'axe imaginaire positif, +\[ +J_{+}(x) = J_{-}(x) - \log(1 - \Pow{e}{2\pi ix}), +\] +et il en résulte, d'après le principe établi au \no\Sref{9}, que l'expression +$J(x) - \log(1 - \Pow{e}{2\pi ix})$ fournit le prolongement analytique de la +fonction~$J_{+}(x)$ au delà de cette droite. On démontre de même que +le prolongement de~$ J_{+}(x)$ au delà de la partie négative de l'axe +%% -----File: 104.png---Folio 92------- +imaginaire est donné par l'expression~$J(x) - \log(1 - \Pow{e}{-2\pi ix})$ et, en +fin de compte, nous arrivons donc à cette conclusion que, \textit{dans le +cas où la partie réelle de la variable~$x$ est négative, la formule~\Eref{IV}{I}{6} +doit être remplacée par la suivante:} +\[ +\log\Gamma(x) = \log\sqrt{2\pi} + + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x) + - \log(1 - \Pow{e}{\pm 2\pi ix}), +\EqnTag{IV}{I}{10} +\] +\textit{où l'on doit choisir, dans le dernier terme, le signe $+$~ou le +signe~$-$, suivant que le point~$x$ se trouve au-dessus ou au-dessous +de l'axe réel}\footnote{% +On suppose l'argument de la variable~$x$ compris entre les limites $-\pi$ et~$\pi$.}. +% [** End of footnote] + +Mais il existe une autre méthode beaucoup plus directe pour +effectuer le prolongement de la fonction~$ J_{+}(x)$. En effet, il suffit +d'appliquer à l'intégrale~$J(x)$ le procédé bien connu qui consiste +à faire tourner d'un angle convenable la droite qui sert de chemin +d'intégration\footnotemark, procédé dont nous aurons encore à faire un +usage étendu au dernier Chapitre de cet ouvrage. +\footnotetext{Il semble que M.~Mellin soit le premier qui ait appliqué cette idée à l'intégrale~$J(x)$ +(\textit{Acta Societatis Scientiarum Fennicæ}, t.~XXXI, \no2, 1902, p.~45).} +% [** End of footnote] + +Désignons par~$J_{\psi}(x)$ l'intégrale $\dint\varphi(t,x)\,dt$, prise de~$0$ à~$\infty$ le +long du rayon~$D_\psi$ qui forme l'angle~$\psi$ avec l'axe réel positif, et +supposons d'ailleurs $-\smfrac{\pi}{2} < \psi<\smfrac{\pi}{2}$. Lorsque le point~$t$ décrit le +rayon~$D_\psi$ les deux seuls points singuliers~$\pm it$ de l'expression~$\varphi(t,x)$, +considérée comme fonction de~$x$, resteront sur la droite +perpendiculaire à~$D_\psi$ et passant par l'origine. Dans chacun des +demi-plans situés de part et d'autre de cette droite, $J_\psi(x)$~représentera +évidemment une fonction continue de~$x$ admettant une +dérivée continue, donc une fonction analytique holomorphe. Nous +% [** PP: Removed en-dash (?) in désormais-par] +entendrons désormais par $J_\psi(x)$ celle de ces fonctions qui est +définie dans le demi-plan renfermant l'axe réel positif, de sorte +que, si l'on pose $x=r\,\Pow{e}{i\theta}$, l'angle~$\theta$ restera compris entre les limites +\[ +\psi - \smfrac{\pi}{2} < \theta < \psi + \smfrac{\pi}{2}. +\EqnTag{IV}{I}{11} +\] + +Cela posé, je dis que~$J_\psi(x)$ \textit{donne le prolongement analytique +de~$J_{+}(x)$ dans le domaine~\Eref{IV}{I}{11}}. Il suffit de faire voir que les +%% -----File: 105.png---Folio 93------- +deux fonctions prennent les mêmes valeurs sur l'axe réel positif. +$A$~cet effet, je trace de l'origine comme centre deux arcs de cercles, +l'un~$ab$ de rayon~$\eps$, l'autre~$AB$ de rayon~$R$, et tous les deux compris +entre l'axe réel positif et le rayon~$D_\psi$ comme l'indique la figure~4. + +La variable~$x$ ayant une valeur positive quelconque, l'intégrale +$\dint\varphi(t,x)\,dt$, étendue au contour du quadrilatère mixtiligne~$aABba$, +se réduira évidemment à \textit{zéro} puisque $\varphi(t,x)$ est +holomorphe dans tout ce domaine, quels que soient d'ailleurs $\eps$ et~$R$. + +%[Illustration: Fig. 4.] +\Figure{4}{105} +\Pagelabel{page93} + +Je fais maintenant tendre~$\eps$ vers \textit{zéro} et~$R$ vers l'infini. Le produit~$t\varphi(t,x)$ +tendant uniformément vers \textit{zéro} sur chacun des +arcs $ab$ et~$AB$, les intégrales relatives à ces arcs s'évanouiront à la +limite. Donc l'intégrale $\dint\varphi(t,x)\,dt$, prise le long de l'axe réel +positif, aura la même valeur que si l'on prend pour chemin d'intégration +le rayon~$D_\psi$, c'est-à-dire qu'on aura $J_{+}(x) = J_\psi(x)$ pour +toute valeur positive de~$x$. \hfill\textbf{\scshape\scriptsize C.~Q.~F.~D.\qquad} + +\Paragraph{45.} Après cette digression, qui nous a fourni l'occasion de rappeler +deux méthodes générales d'un fréquent usage dans la théorie +des fonctions, nous reviendrons à l'expression~\Eref{IV}{I}{1} et nous lui +appliquerons la formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)} de la \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, en y faisant~$m = 0$, +$\alpha = -\xi$ ($0 < \xi < 1$). Nous trouvons ainsi, en remplaçant encore~$x$ +par~$x + \xi$, et en supposant la partie réelle de la variable~$x$ positive, +\[ +\Pow{D}{(2)}_x \log\Gamma(x+\xi) + = \frac{1}{x} + + \int^{\infty}_0 \frac{2(\Pow{x}{2} + - \Pow{t}{2})}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, X(\xi,t)\, dt + + \int^{\infty}_0 \frac{4xt}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, + \Psi(\xi,t)\, dt. +\] + +En intégrant, on en déduit +\[ +D_x \log\Gamma(x+\xi) + = \log x - \int^{\infty}_0 \frac{2x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, X(\xi,t)\, dt + - \int^{\infty}_0 \frac{2xt}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, \Psi(\xi,t)\, dt. +\] +En effet, la constante d'intégration est nulle, car le second +%% -----File: 106.png---Folio 94------- +membre peut s'écrire $\log x + \eps(x)$, et l'expression asymptotique +du premier membre, d'après~\Eref{IV}{I}{7}, est précisément de cette forme. + +Avant d'effectuer la seconde intégration, nous allons transformer +les intégrales en nous servant des relations\footnotemark. +\footnotetext{On obtient immédiatement ces relations en observant que le quotient~\Eref{III}{I}{10} +de la \Pgref{page}{eqn:III.I.10} est la dérivée de l'expression $-\smfrac{1}{2\pi i}\log(\Pow{e}{2\pi iz} - 1)$, laquelle, en faisant +$z = \tau + it$, peut se mettre sous la forme $i[\,\overline{\Psi}(\tau,t) + i\overline{X}(\tau,t)]$} +% [** End of footnote] +\[ +\Psi(\tau,t) = D_t \overline{\Psi}(\tau,t),\qquad +X(\tau,t) = D_t \overline{X}(\tau,t), +\EqnTag{IV}{I}{12} +\] +où +\begin{align*} + \overline{\Psi}(\tau,t) + &= \smfrac{1}{4\pi} \log(1 - 2\Pow{e}{-2\pi t}\, \cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-4\pi t}), \\ + \overline{X}(\tau,t) + &= -\smfrac{1}{2\pi} \arc\tang\left( + \frac{\sin 2\pi\tau}{\Pow{e}{2\pi t} - \cos 2\pi\tau} + \right). +\end{align*} +En intégrant par parties et en observant que +\[ +\overline{\Psi}(\tau,\infty) = 0,\qquad +\overline{X}(\tau,\infty) = 0,\qquad +\overline{X}(\tau,0) = \smfrac{1}{2}\left(\tau - \smfrac{1}{2}\right), +\] +on trouve que~$D_x\log\Gamma(x+\xi)$ peut se mettre sous la forme +\[ +\log x + \frac{\xi-\smfrac{1}{2}}{x} + - \int^{\infty}_0 \frac{4xt}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, \overline{X}(\xi,t)\, dt + + \int^{\infty}_0 \frac{2(\Pow{x}{2} - \Pow{t}{2})} + {\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, + \overline{\Psi}(\xi,t)\, dt. +\] + +Effectuant une nouvelle intégration, on aura maintenant +\[ +\log\Gamma(x+\xi) = \log\sqrt{2\pi} + + \left(x + \xi - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x,\xi), +\EqnTag{IV}{I}{13} +\] +avec +\[ +J(x,\xi) = \int^{\infty}_0 \frac{2t}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, + \overline{X}(\xi,t)\, dt + - \int^{\infty}_0 \frac{2x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, + \overline{\Psi}(\xi,t)\, dt. +\EqnTag{IV}{I}{14} +\] + +La valeur~$\log\sqrt{2\pi}$ de la constante d'intégration s'obtient par +comparaison avec la formule asymptotique~\Eref{IV}{I}{9}, en observant +que~$J(x, \xi)$ s'annule pour $x = \infty$. L'expression~\Eref{IV}{I}{13} est due à +M.~Landsberg, qui l'a trouvée par une autre voie\footnotemark. +\Pagelabel{page94}% +\footnotetext{\textit{Sur un nouveau développement de la fonction gamma (Mém.\ cour.\ et +autres Mém.\ publiés par l'Académie de Belgique}, t.~LV, 1897).} +% [** End of footnote] + +%% -----File: 107.png---Folio 95------- + +\Paragraph{46.} Appliquons maintenant la formule~\Eref{III}{III}{8}, \Pgref{page}{eqn:III.III.8}, avec $m = 0$, +$\alpha=-\xi$ ($0<\xi<1$), remplaçons $x$ par~$x + \xi$ et faisons tendre~$n$ +vers l'infini. En observant que $\overline{\varphi}_1(-\xi)=\smfrac{1}{2}-\xi$, on trouve +\[ +\Pow{D}{(2)}_x \log\Gamma(x+\xi) + = \smfrac{1}{x} - \frac{\xi - \fnfrac{1}{2}}{\Pow{x}{2}} + - 2 \int^{\infty}_{-\xi} + \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}{\Pow{(x + \xi + \tau)}{3}}, +\EqnTag{IV}{I}{15} +\] +puis, en intégrant et déterminant la constante comme plus haut, +\[ +D_x\log\Gamma(x+\xi) + = \log x + \frac{\xi - \fnfrac{1}{2}}{\Pow{x}{2}} + + \int^{\infty}_{-\xi} + \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}{\Pow{(x + \xi + \tau)}{2}} +\EqnTag{IV}{I}{16} +\] + +Je dis que le dernier terme est la dérivée de l'expression +\[ +-\int^{\infty}_{-\xi} \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau} + {x + \xi + \tau}. +\EqnTag{IV}{I}{17} +\] +On le vérifie immédiatement, en admettant que cette expression +ait un sens. Or il en est bien ainsi, car l'égalité $\varphi(\tau) = \tau - \nu - \smfrac{1}{2}$, +qui a lieu pour $\nu < \tau < \nu + 1$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{page35}), nous donne +\[ +-\int^{\nu+1}_{\nu} \frac{\overline{\varphi}_1 (\tau)}{x + \tau}\, d\tau + = \left(x + \nu + \smfrac{1}{2}\right) + \log\left(1 + \smfrac{1}{x + \nu}\right) - 1, +\EqnTag{IV}{I}{18} +\] +et le développement du second membre suivant les puissances +descendantes de~$x + \nu$ commence par un terme en~$\Pow{(x + \nu)}{-2}$. On +en conclut encore que l'expression~\Eref{IV}{I}{17} s'annule pour~$x = \infty$. + +On trouve dès lors, en intégrant l'égalité~\Eref{IV}{I}{16} et en tenant compte +de la formule asymptotique~\Eref{IV}{I}{9}, +\[ +\log\Gamma(x+\xi) + = \log\sqrt{2\pi} + \left(x+\xi-\smfrac{1}{2}\right)\log x - x + - \int^{\infty}_{-\xi} \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}{x+\xi+\tau}, +\EqnTag{IV}{I}{19} +\] +et, en se reportant à l'égalité~\Eref{IV}{I}{13} ci-dessus, on en conclut que +l'intégrale~\Eref{IV}{I}{17} fournit une nouvelle expression de~$J(x,\xi)$. + +Il résulte des remarques faites \Pgref{page}{page83} que l'égalité~\Eref{IV}{I}{15} a lieu +pour toute valeur~$x$ telle que la fonction~\Eref{IV}{I}{2} et sa dérivée première, +après qu'on y aura remplacé~$x$ par~$x + \xi$, soient finies et +continues pour les valeurs réelles de~$z$ supérieures ou égales à~$-\xi$. +Donc cette égalité est vérifiée dans tout le plan, excepté l'axe réel +%% -----File: 108.png---Folio 96------- +négatif, et, d'après le raisonnement qui précède, il en sera de même +des égalités \Eref{IV}{I}{16} et~\Eref{IV}{I}{19}\footnotemark. +\footnotetext{L'expression~$J(x,\xi)$ est susceptible d'autres formes, que nous indiquerons +en quelques mots. En remplaçant, dans~\Eref{IV}{I}{17}, $\overline{\varphi}_1(\tau)$~par la série~\Eref{II}{II}{14} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.14}) +% [** PP: Removed spurious period after parenthesis] +on en déduit, par un raisonnement qui demande d'ailleurs quelque précaution, +\[ +J(x,\xi) = \sum^{\infty}_1 \int^{\infty}_{-\xi} + \frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}\, \frac{d\tau}{x+\xi+\tau}, +\] +développement qui converge uniformément dans toute aire finie n'ayant aucun +point commun avec l'axe réel négatif. + +En remplaçant dans ce développement $\sin 2\nu\pi\tau$~par des exponentielles et en +utilisant la notation +\[ +\text{Ei}(z) = \int^{z}_{\infty} \frac{\Pow{e}{-z}}{z}\, dz, +\] +on arrive, après des réductions faciles, à cette nouvelle expression +\[ +J(x,\xi) = \lim_{n=\infty} \sum^{+n}_{-n} + \Pow{e}{2\nu\pi i(x+\xi)}\, \frac{\text{Ei}(2\nu\pi ix)}{2\nu\pi i}\qquad + (\nu \neq 0), +\] +qui a été donnée par M.~Landsberg dans le Mémoire cité \Pgref{page}{page94}.} +% [** End of footnote] + +Pour $\xi = 0$, l'égalité~\Eref{IV}{I}{19} nous rend la formule~\Eref{IV}{I}{6} avec cette +nouvelle expression de~$J(x)$: +\[ +J(x) = -\int^{\infty}_0 \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)}{x+\tau}\, d\tau, +\EqnTag{IV}{I}{20} +\] +dont s'est servi Stieltjes dans ses recherches sur la formule de Stirling +(\textit{voir} le Mémoire cité \Pgref{page}{page88}). + +L'égalité~\Eref{IV}{I}{18} nous permet encore d'écrire +\[ +J(x) = \sum^{\infty}_0 \left[\left(x + \nu + \smfrac{1}{2}\right)\, + \log\frac{x + \nu + 1}{x - \nu} - 1\right], +\] +expression due à Gudermann et qui donne le prolongement analytique +dans tout le plan de la fonction~$J_{+}(x)$. + + +\Section{IV}{II}{Développements asymptotiques de~$\log\Gamma(x)$.} + +\Paragraph{47.} Le célèbre développement asymptotique qui sert à +calculer~$\log\Gamma(x)$ pour les grandes valeurs de~$x$, et qu'on appelle +%% -----File: 109.png---Folio 97------- +généralement, par extension, \textit{série de Stirling}, se déduit de la formule~\Eref{IV}{I}{6} +en y développant l'intégrale~$J(x)$ suivant les puissances descendantes +de~$x$. + +En se servant de l'expression~\hyperref[eqn:IV.I.4pr]{($4'$)} et de l'égalité~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, on +trouve +\[ +J(x) = \frac{B_1}{1\cdot 2}\, \frac{1}{x} + - \frac{B_2}{3\cdot 4}\, \frac{1}{\Pow{x}{3}} + \dotsb + + \Pow{(-1)}{k-1}\frac{B_k}{(2k-1)2k}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k-1}} + J_k(x), +\EqnTag{IV}{II}{1} +\] +avec +\[ +J_k(x) = \frac{\Pow{(-1)}{k}}{\Pow{x}{2k+1}}\, \frac{1}{\pi} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k}}{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}}\, + \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right)\, dt. +\EqnTag{IV}{II}{2} +\] + +On arrive au même développement en intégrant par parties +l'expression~\Eref{IV}{I}{20}, par des calculs parfaitement analogues à ceux +de la \Pgref{page}{eqn:III.III.10}, % [** ``page 81''] +mais le reste~$J_k(x)$ se présente alors sous la forme +\[ +J_k(x) = -\frac{1}{(2k+2)} + \int^{\infty}_0 \frac{\overline{P}_{2k+2}(\tau)}{\Pow{(x+\tau)}{2k+2}}\, d\tau. +\EqnTag{IV}{II}{3} +\] + +Développons maintenant le reste~$J(x,\xi)$ de la formule~\Eref{IV}{I}{13} suivant +les puissances descendantes de~$x$, et, à cet effet, utilisons +d'abord l'expression~\Eref{IV}{I}{14}. En observant que les égalités~\Eref{III}{II}{6} (\Pgref{p.}{eqn:III.II.6}), +en vertu des relations~\Eref{IV}{I}{12} (\Pgref{p.}{eqn:IV.I.12}), peuvent s'écrire +\begin{align*} + \varphi_{2k}(x) + &= \Pow{(-1)}{k}\, (2k-1)2k \int^{\infty}_0 2\Pow{t}{2k-2}\, \overline{\Psi}(x,t)\, dt, \\[1ex] + \varphi_{2k+1}(x) + &= \Pow{(-1)}{k}\, 2k(2k+1) \int^{\infty}_0 2\Pow{t}{2k-1}\, \overline{X}(x,t)\, dt, +\end{align*} +on trouve immédiatement +\[ +J(x,\xi) + = \frac{\varphi_2(\xi)}{1\cdot 2}\, \frac{1}{x} + - \frac{\varphi_3(\xi)}{2\cdot 3}\, \frac{1}{\Pow{x}{2}} + \dotsb + + \frac{\varphi_{2k}(\xi)}{(2k-1)2k}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k-1}} + J_k(x,\xi) +\EqnTag{IV}{II}{4} +\] +avec +\[ +J_k(x,\xi) + = \frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\Pow{x}{2k-1}} \int^{\infty}_0 + \frac{2\Pow{t}{2k}}{\Pow{x}{2} + + \Pow{t}{2}}\, \overline{\Psi}(\xi,t)\, dt + + \frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\Pow{x}{2k-2}} \int^{\infty}_0 + \frac{2\Pow{t}{2k-1}}{\Pow{x}{2} + + \Pow{t}{2}}\, \overline{X}(\xi,t)\, dt. +\] + +En intégrant par parties l'expression~\Eref{IV}{I}{17} (\textit{voir} le \no\Sref{41}) on +retrouve le développement~\Eref{IV}{II}{4} avec cette nouvelle expression du +reste: +\[ +J_k(x,\xi) = - \frac{1}{2k} \int^{\infty}_{-\xi} + \frac{\overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, d\tau}{\Pow{(x + \xi + \tau)}{2k}}. +\] + +%% -----File: 110.png---Folio 98------- + +Le développement de~$J(x,\xi)$ a été donné par Hermite et Sonin\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Journal de Crelle}, Tomes 115 et~116.} + +Pour $\xi =\frac{1}{2}$, on déduit de la formule~\Eref{IV}{I}{13}, en y remplaçant +$J(x,\xi)$~par le développement~\Eref{IV}{II}{4} et en tenant compte des +égalités~\Eref{II}{II}{17} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.17}), +\[ +\log\Gamma\left(x + \smfrac{1}{2}\right) + = \log\sqrt{2\pi} + x\log x - x + + \sum^k_1 \Pow{(-1)}{\nu} \frac{B'_\nu}{(2\nu-1)2\nu}\, + \frac{1}{\Pow{x}{2\nu-1}} + R_k, +\] +avec +\[ +R_k = \frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\pi}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k-1}} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k}}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, \log(1 + \Pow{e}{-2\pi t})\, dt, +\] +ou encore +\[ +R_k = -\frac{1}{2k}\int^{\infty}_{-\fnfrac{1}{2}}\; + \frac{\overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, d\tau} + {\Pow{\Bigl(x + \smfrac{1}{2} + \tau\Bigr)}{2k}}. +\] +Ce développement est dû à Gauss, à l'expression du reste près. + + +\Paragraph{48.} Proposons-nous maintenant d'évaluer une limite supérieure +du reste $J_k(x)$ de la série de Stirling et, à cet effet, partons d'abord +de l'expression~\Eref{IV}{II}{3}. Pour abréger, nous désignerons par~$T_\nu$ le terme +général de la série en question: +\[ +T_\nu = \Pow{(-1)}{\nu-1}\, \frac{B_\nu}{(2\nu-1)2\nu}\, \frac{1}{\Pow{x}{2\nu-1}}, +\] +de sorte que le terme qui précède immédiatement~$J_k(x)$ s'écrit~$T_k$. + +Supposons d'abord~$x$ \textit{réel et positif}. Comme l'expression~$\overline{P}_{2k+2}(\tau)$ +a le signe de $\Pow{(-1)}{k+1}$ (\textit{cf}.~\Pgref{p.}{page36}), on voit que~$J_k(x)$ \textit{est +de même signe que le terme}~$T_{k+1}$, et comme d'ailleurs +\[ +J_k (x) = T_{k+1} + J_{k+1}(x), +\] +et que $J_{k+1}(x)$ et~$T_{k+1}$ sont de signes contraires, on en conclut +que~$J_k(x)$ \textit{est numériquement inférieur à}~$T_{k+1}$. + +Soit maintenant~$x = r\,\Pow{e}{i\theta}$, l'argument~$\theta$ étant compris entre $-\pi$ +%% -----File: 111.png---Folio 99------- +et~$\pi$. On aura +\[ +\Pow{\Abs{x+\tau}}{2} = \Pow{r}{2} + 2r\tau\,\cos\theta + \Pow{\tau}{2} + = \Pow{(r + \tau)}{2} - 4r\tau\, \Pow{\sin}{2}\smfrac{\theta}{2}, +\] +et, par suite, pour~$\tau>0$, en remarquant que $4r\tau\leqq\Pow{(r+\tau)}{2}$, +\[ +\Pow{\Abs{x+\tau}}{2}\geqq \Pow{(r+\tau)}{2}\, \Pow{\cos}{2}\smfrac{\theta}{2}. +\] + +Il en résulte, d'après~\Eref{IV}{II}{3}, que le module de~$J_k(x)$ est inférieur à +\[ +\frac{\Pow{\left( \fsec\smfrac{\theta}{2} \right)}{2k+2}}{2k+2} + \int^{\infty}_0 \frac{\Abs{\overline{P}_{2k+2}(\tau)}} + {\Pow{(r+\tau)}{2k+2}}\, d\tau + \equiv \Pow{\left(\fsec\smfrac{\theta}{2}\right)}{2k+2}\, \Abs{J_k(r)}, +\] +et, en tenant compte du résultat démontré ci-dessus, on trouve +donc finalement l'inégalité due à Stieltjes: +\[ +\Abs{J_k(r\, \Pow{e}{i\theta})} + < \Pow{\left(\fsec\smfrac{\theta}{2}\right)}{2k+2}\, \Abs{T_{k+1}}\qquad + (-\pi < \theta < \pi). +\EqnTag{IV}{II}{5} +\] + +On peut atteindre des résultats plus précis en partant de l'expression~\Eref{IV}{II}{2}, +ce que nous ferons voir aussi brièvement que possible. + +Lorsque $t$~croît de~$0$ à~$\infty$, le point dont l'affixe est~$1+\smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}$, partant +du point~$1$, décrit une droite formant l'angle~$-2\theta$ avec l'axe +réel positif. On en conclut +% [** PP: Re-aligned first part of next display] +\[ +\begin{aligned} + \Abs{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}} &\geqq 1\phantom{\sin2\theta}\qquad\text{pour} \\[1ex] + \Abs{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}} &\geqq \Abs{\sin 2\theta}\qquad\text{pour} +\end{aligned} +\qquad +\begin{aligned} + \Abs{\theta} &\leqq \smfrac{\pi}{4},\vphantom{\bigg|} \\[1ex] + \smfrac{\pi}{4} \leqq \Abs{\theta} &< \smfrac{\pi}{2},\vphantom{\bigg|} +\end{aligned} +\] +et par suite, en utilisant l'égalité~\Eref{III}{II}{5} (\Pgref{p.}{eqn:III.II.5}), +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + &\Abs{J_k(r\,\Pow{e}{i\theta})} < \Abs{T_{k+1}}\; + \qquad\text{pour} \\[1ex] + &\Abs{J_k(r\,\Pow{e}{i\theta})} < \Abs{\smfrac{T_{k+1}}{\sin 2\theta}} + \qquad\text{pour} +\end{aligned} +\qquad +\begin{aligned} + \Abs{\theta} &\leqq \smfrac{\pi}{4}, \\[1ex] + \smfrac{\pi}{4} \leqq \Abs{\theta} &< \smfrac{\pi}{2}. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{IV}{II}{6} +\] + +Pour trouver une limite de~$J_k(x)$ dans le cas où $\Abs{\theta} \geqq \smfrac{\pi}{2}$, nous allons +nous servir de l'égalité +\[ +J'_k(x) = 2\frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\Pow{x}{2k+2}} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k+1}}{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}}\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\EqnTag{IV}{II}{7} +\] +%% -----File: 112.png---Folio 100------- +qu'on vérifie immédiatement en développant suivant les puissances +descendantes de~$x$ l'expression de la dérivée~$J'(x)$ qui figure dans +la dernière formule de la \Pgref{page}{page87}. En prenant pour chemin d'intégration, +dans l'intégrale ci-dessus, le rayon formant avec l'axe +réel positif un angle~$\psi$ compris entre $-\smfrac{\pi}{2}$ et~$\smfrac{\pi}{2}$, cette égalité sera +valable dans le demi-plan $\psi - \smfrac{\pi}{2} < \theta < \psi + \smfrac{\pi}{2}$, ce qu'on démontre +en raisonnant comme à la \Pgref{page}{page93}. + +Or, en faisant~$t = u\,\Pow{e}{i\psi}$, $x=r\,\Pow{e}{i\theta}$, on aura, pour~$u >0$, +\begin{align*} + \Abs{\Pow{e}{2\pi t} - 1} + &\geqq \Pow{e}{2\pi u\, \cos\psi} - 1, \\ + \Abs{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}} + &\geqq \Abs{\sin 2(\theta-\psi)}. +\end{align*} +d'où il résulte, d'après~\Eref{IV}{II}{7}, +\[ +\Abs{J'_k(x)} < \Abs{\frac{2}{\sin2(\theta-\psi)}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k+2}}} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{u}{2k+1}\, du}{\Pow{e}{2\pi u\, \cos\psi} - 1}. +\] + +En substituant $u\cos\psi =\nu$, on en déduit, d'après l'égalité~\Eref{III}{II}{5} +(\Pgref{p.}{eqn:III.II.5}), +\[ +\Abs{J'_k(x)} < K\, \frac{B_{k+1}}{2k+2}\,\Abs{\frac{1}{\Pow{x}{2k+2}}}, +\] +avec +\[ +K = \Abs{\frac{1}{\sin 2(\theta -\psi)\, \Pow{(\cos\psi)}{2k+2}}}, +\] +et, par suite, en intégrant~$J'_k(x)$ depuis l'infini jusqu'au point~$x$, le +long du rayon vecteur passant par ce point, +\[ +\Abs{J_k(r\,\Pow{e}{i\theta})} < K\, \Abs{T_{k+1}}, +\EqnTag{IV}{II}{8} +\] +résultat qui subsiste dès que les conditions $\Abs{\psi} < \smfrac{\pi}{2}$ et~$\Abs{\theta -\psi} < \smfrac{\pi}{2}$ +sont vérifiées simultanément. + +Si l'on fait, par exemple, $\psi = \theta \mp\smfrac{\pi}{4}$ suivant que~$\theta \gtrless 0$, on aura +\[ +K = \Pow{\Bigl[\fsec \bigl(\Abs{\theta} - \smfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr]}{2k+2}, +\] +et l'inégalité~\Eref{IV}{II}{8} sera valable pour $\Abs{\theta} < \smfrac{3}{4}\pi$. Jointe à la première +des inégalités~\Eref{IV}{II}{6}, elle nous donnera donc, pour~$\Abs{J_k}$, une limite +%% -----File: 113.png---Folio 101------- +qui est plus précise que celle de Stieltjes tant que $\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$, et qui +se confond avec cette dernière pour~$\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$. + +Mais afin d'obtenir le résultat le plus avantageux, pour un argument +donné~$\theta$, on devra évidemment choisir l'angle~$\psi$ de manière +à rendre minimum la constante $K$, ce qui donne la condition +\[ +\tang\psi\, \tang 2(\theta - \psi) = -\smfrac{1}{k+1}. +\] + +Soit, par exemple, $\Abs{\theta} = \smfrac{\pi}{2}$; on trouve +\[ +\Abs{\tang\psi} = \smfrac{1}{\sqrt{2k+3}}, +\] +d'où il résulte +\[ +K = \sqrt{\smfrac{k+2}{2}} + \Powfr{\left(1 + \smfrac{1}{2k+3}\right)}{\fnfrac{2k+3}{2}}, +\] +et, comme le second facteur de cette expression est inférieur à~$\sqrt{e}$, +on aura, pour~$\theta = \pm\smfrac{\pi}{2}$, +\[ +\Abs{J_k(x)} < \sqrt{\smfrac{(k+2)e}{2}}\, \Abs{T_{k+1}}, +\] +limite bien plus précise que celle de Stieltjes, qui s'écrit~$\Pow{2}{k+1}\Abs{T_{k+1}}$. + +La limite que fournit notre méthode pour~$\Abs{J_k}$ devient moins +précise que celle de Stieltjes lorsque~$\Abs{\theta}$ dépasse une certaine +valeur, supérieure à~$\smfrac{\pi}{2}$. Mais il faut remarquer que, dès que +$\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$, l'égalité~\Eref{IV}{I}{10} (\Pgref{p.}{eqn:IV.I.10}) conduira, en général, à des résultats +plus précis que l'une quelconque de ces méthodes. En effet, l'intégrale~$J(x)$ +sera toujours représentée par le développement~\Eref{IV}{II}{1}, et, +comme~$J_k(x) \equiv -J_k(-x)$ et que l'argument de~$-x$ est compris +entre $-\smfrac{\pi}{2}$ et~$\smfrac{\pi}{2}$, on pourra appliquer à~$J_k(x)$ les résultats obtenus +ci-dessus dans le cas où $\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$. Quant au dernier terme de +l'égalité~\Eref{IV}{I}{10}, son module est inférieur à +\[ +\Abs{\log(1 - \Pow{e}{-2\pi r\, \Abs{\sin\theta}})}, +\] +quantité qui sera en général très petite par rapport à la limite +%% -----File: 114.png---Folio 102------- +qu'on trouve pour~$\Abs{J_k}$. Il n'en serait plus ainsi si le point~$x$ était +très près de l'axe réel négatif, mais alors on prendrait évidemment +le parti de calculer la valeur exacte du terme en question. + + +\Section{IV}{III}{Les fonctions $\zeta(s)$ et~$\zeta(s, w)$.} + +\Paragraph{49.} La fonction~$\zeta(s)$ est représentée par la série +\[ +\zeta(s) = 1 + \frac{1}{\Pow{2}{s}} + + \frac{1}{\Pow{3}{s}} + \dotsb + + \frac{1}{\Pow{n}{s}} + \dotsb, +\EqnTag{IV}{III}{1} +\] +tant que la partie réelle de la variable complexe +\[ +s \equiv \xi + i\eta +\] +est supérieure à l'unité. Sous la même condition, on aura encore +\[ +\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{s-1}\, dx}{\Pow{e}{x} - 1}, +\EqnTag{IV}{III}{2} +\] +ce qu'on démontre facilement en se servant de l'égalité +\[ +\frac{1}{\Pow{\nu}{s}} + = \frac{1}{\Gamma(s)} \int^{\infty}_0 \Pow{e}{-\nu x}\, \Pow{x}{s-1}\, dx +\] + +C'est en partant de l'expression~\Eref{IV}{III}{2} que Riemann\footnotemark\ est arrivé, +par une application ingénieuse du calcul des résidus, à prolonger~$\zeta(s)$ +dans tout le plan et à découvrir les propriétés si intéressantes +de cette fonction. Nous allons déduire ces mêmes propriétés des +formules sommatoires du Chapitre précédent. +\footnotetext{\textit{Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze},~1859.} +% [** End of footnote] + +A cet effet, posons $f(z) = \Pow{z}{-s}$, d'où +\begin{align*} + p(\tau,t) &= \phantom{-}\Powfr{(\Pow{\tau}{2} + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \cos\left(s \arc\tang \smfrac{t}{\tau}\right), \\[1ex] + q(\tau,t) &= -\Powfr{(\Pow{\tau}{2} + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin\left(s \arc\tang \smfrac{t}{\tau}\right). +\end{align*} + +Les trois dernières conditions de la \Pgref{page}{page57b} sont vérifiées dans +le demi-plan~$\tau> 0$; en supposant $\xi > 1$, de sorte que la série~\Eref{IV}{III}{1} +%% -----File: 115.png---Folio 103------- +converge, et en faisant~$m = 1$, on trouvera donc, d'après la +formule~\Eref{III}{I}{IV}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IV}, +\[ +\zeta(s) = \frac{1}{2} + \frac{1}{s-1} + + 2\int^{\infty}_0 \Powfr{(1 + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin(s \arc\tang t)\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\EqnTag{IV}{III}{3} +\] +et, d'après la formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, pour~$\alpha = \smfrac{1}{2}$, +\[ +\zeta(s) = \frac{\Pow{2}{s-1}}{s-1} + - 2\int^{\infty}_0 \Powfr{\Bigl(\smfrac{1}{4} + \Pow{t}{2}\Bigr)} + {-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin(s \arc\tang 2t)\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} + 1}. +\EqnTag{IV}{III}{4} +\] + +Une autre expression de~$\zeta(s)$ se déduit de la formule~\Eref{III}{I}{VIII}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.VIII}. En faisant $\alpha = \smfrac{1}{2}$, $z=\smfrac{1}{2} + it$, on trouve +\[ +\zeta(s) = \frac{4\pi}{s-1} + \int^{\infty}_0 \Powfr{\Bigl(\smfrac{1}{4} + \Pow{t}{2}\Bigr)} + {\fnfrac{1-s}{2}}\, + \frac{\cos\bigl[(s-1) \arc\tang 2t\bigr]} + {\Pow{(\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t})}{2}}\, dt. +\EqnTag{IV}{III}{5} +\] + +Les trois expressions ci-dessus ont été données pour la première +fois par M.~Jensen\footnotemark. +\footnotetext{\textit{L'Intermédiaire des Mathématiciens}, 1895, p.~346.} + +En partant de la relation +\[ +\left(1 - \smfrac{1}{\Pow{2}{s-1}}\right)\, \zeta(s) + = 1 - \frac{1}{\Pow{2}{s}} + + \frac{1}{\Pow{3}{s}} + - \frac{1}{\Pow{4}{s}} + \dotsb +\] +et en appliquant la formule~\Eref{III}{I}{X}, \Pgref{page}{eqn:III.I.X}, avec~$m = 1$, $\alpha = \smfrac{1}{2}$, on +trouverait encore +\[ +\zeta(s) = \frac{\Pow{2}{s}}{\Pow{2}{s-1} - 1} + \int^{\infty}_0 \Powfr{\Bigl(\smfrac{1}{4} + \Pow{t}{2}\Bigr)} + {-\fnfrac{s}{2}}\, + \frac{\cos(s \arc\tang 2t)}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}\, dt. +\EqnTag{IV}{III}{6} +\] + +Il est facile de voir que les intégrales définies figurant dans les +expressions précédentes représentent des fonctions analytiques, +holomorphes pour toute valeur finie de~$s$; d'après le principe +établi au \no\Sref{9}, on peut en conclure que l'une quelconque de ces +expressions donne le prolongement analytique de~$\zeta(s)$ dans tout +le plan. Il en résulte que~$\zeta(s)$ est une fonction uniforme dont le +seul point singulier à distance finie est le pôle simple $s = 1$ de +résidu~$1$. + +%% -----File: 116.png---Folio 104------- + +D'autre part, on déduit de l'égalité~\Eref{IV}{III}{3}, pour $s = 0$, +\[ +\zeta(0) = -\smfrac{1}{2}, +\] +puis, en retranchant des deux membres~$\smfrac{1}{s-1}$, faisant ensuite +tendre~$s$ vers l'unité, et tenant compte de l'égalité~\Eref{III}{II}{3}, \Pgref{page}{eqn:III.II.3}, +\[ +\lim_{s=1} \left[\zeta(s) - \frac{1}{s-1}\right] = \smfrac{1}{2} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{1 + \Pow{t}{2}}\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} = C, +\] +et enfin, en différentiant par rapport à~$s$, faisant~$s = 0$ et utilisant +l'égalité~\Eref{III}{II}{2}, \Pgref{page}{eqn:III.II.2}, +\[ +\zeta'(0) = 2\int^{\infty}_0 \arc\tang t\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t}-1} - 1 + = -\log\sqrt{2\pi}. +\] + +\Pagelabel{page104}% +\Paragraph{50.} En appliquant maintenant la formule~\Eref{III}{I}{II}, \Pgref{page}{eqn:III.I.II}, avec~$m = 1$, +$0<\alpha <1$, on obtient +\[ +\zeta(s) = \frac{\Pow{\alpha}{1-s}}{s-1} + + \int^{\alpha + i\infty}_{\alpha} \frac{\Pow{z}{-s}\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + + \int^{\alpha - i\infty}_{\alpha} \frac{\Pow{z}{-s}\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, +\EqnTag{IV}{III}{7} +\] +expression qui représente encore~$\zeta(s)$ dans tout le plan. + +Faisons tendre~$\alpha$ vers \textit{zéro} et, pour éviter toute difficulté, +supposons $\xi <-1$, de sorte que les expressions sous les signes +intégraux restent finies à l'origine. Le premier terme de l'expression +ci-dessus s'annulera et, dans les deux autres termes, on aura +simplement à remplacer $\alpha$ par~$0$. En substituant respectivement +dans ces derniers termes $z = \Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{2}}t$ et~$z=\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{2}}t$, l'égalité~\Eref{IV}{III}{7} devient, +après une réduction facile, +\[ +\zeta(s) = 2\sin\smfrac{\pi s}{2} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{-s}\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\EqnTag{IV}{III}{8} +\] + +Comme le second membre de cette égalité représente une fonction +holomorphe pour $\xi < 0$, l'égalité subsistera dans toute cette +portion du plan, malgré l'hypothèse plus restreinte, $\xi < -1$, +admise dans le cours de la démonstration. + +L'égalité~\Eref{IV}{III}{8} nous montre que~$\zeta(s)$ admet les points $s=-2,~-4, \dotsc$, $-2n,~\dotsc$ +comme zéros du premier ordre, et, d'après +%% -----File: 117.png---Folio 105------- +l'égalité~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, on en déduit d'autre part +\[ +\zeta[-(2n-1)] = \Pow{(-1)}{n}\, \frac{B_n}{2n}; +\EqnTag{IV}{III}{9} +\] +enfin, en substituant~$2\pi t = x$, l'égalité~\Eref{IV}{III}{8} devient +\[ +\zeta(s) = 2\Pow{(2\pi)}{s-1}\, \sin\frac{\pi s}{2} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{-s}\, dx}{\Pow{e}{x} - 1}, +\EqnTag{IV}{III}{10} +\] +d'où il résulte, par comparaison avec l'égalité~\Eref{IV}{III}{2}, +\[ +\zeta(s) = 2\Pow{(2\pi)}{s-1}\, \sin\frac{\pi s}{2}\, \Gamma(1-s)\,\zeta(1-s). +\EqnTag{IV}{III}{11} +\] +C'est l'équation fonctionnelle établie par Riemann, qui joue un +rôle fondamental dans la théorie de la fonction~$\zeta(s)$. + +La formule sommatoire d'Euler et les autres formules établies +aux \nos\Sref{39}--\Sref{41} conduisent également à des résultats importants +relatifs à l'étude asymptotique de la fonction~$\zeta(s)$ et au calcul +numérique de ses zéros, mais nous ne pouvons nous étendre ici +sur cette intéressante question\footnotemark. +\footnotetext{\text{Voir} pour cette question: \bsc{Mellin}, \textit{Eine Formel für den Logarithmus +transcendenter Funktionen von endlichem Geschlecht} (\textit{Acta Soc.\ Sc.\ Fenn.,}\ +t.~XXIX, \no4, p.~48--49); \bsc{Gramm}, \textit{Note sur les zéros de la fonction~$\zeta(s)$ de Riemann} +(\textit{Acta Mathematica}, t.~XXVII); \bsc{Wirtinger}, \textit{Einige Anwendungen der +Euler-Maclaurin'schen Summenformel} (\textit{ibid}.,\ t.~XXVI), et notre Mémoire +cité au \no\Sref{35}.} +% [** End of footnote] + +\Paragraph{51.} Considérons maintenant la fonction +\[ +\zeta(s,w) = \frac{1}{\Pow{w}{s}} + + \frac{1}{\Pow{(w+1)}{s}} + + \frac{1}{\Pow{(w+2)}{s}} + \dotsb, +\] +qui se réduit à~$\zeta(s)$ pour~$w = 1$. Nous devons substituer dans nos +formules générales +\[ +f(z) = \Pow{(z+w)}{-s}, +\] +d'où +\begin{align*} + p(\tau,t) + &= \phantom{-} + \Powfr{\bigl[\Pow{(\tau + w)}{2} + \Pow{t}{2}\bigr]}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \cos\left(s \arc\tang\smfrac{t}{\tau + w}\right), +\\[1ex] + q(\tau,t) + &= -\Powfr{\bigl[\Pow{(\tau + w)}{2} + \Pow{t}{2}\bigr]}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin\left(s \arc\tang\smfrac{t}{\tau + w}\right). +\end{align*} + +Si l'on suppose la partie réelle de $w$ positive, la formule~\Eref{III}{I}{IV}, +%% -----File: 118.png---Folio 106------- +\Pgref{page}{eqn:III.I.IV}, sera applicable et nous donnera\footnotemark +\footnotetext{Cette application de la formule~\Eref{III}{I}{IV} a été indiquée par Hermite (\textit{Annali +di Matematica pura ed applicata}, 3\ieme{}~série, t.~V, 1900).} +\[ +\zeta(s,w) = \frac{\Pow{w}{1-s}}{s-1} + \frac{\Pow{w}{-s}}{2} + + 2\int^{\infty}_0 \Powfr{(\Pow{w}{2} + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin\left(s \arc\tang\smfrac{t}{w}\right)\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +expression valable dans tout le plan et qui montre que~$\zeta(s,w)$ est +une fonction uniforme admettant pour seule singularité à distance +finie le pôle~$s= 1$ de résidu~$1$. On en conclut, d'autre part, +pour~$s=0$, +\[ +\zeta(0,w) = \smfrac{1}{2} - w, +\] +puis, en retranchant~$\smfrac{1}{s-1}$ et en faisant tendre~$s$ vers l'unité, +\[ +\lim_{s=1} \left[\zeta(s,w) - \smfrac{1}{s-1}\right] + = -\log w + \smfrac{1}{2w} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{w}{2} + \Pow{t}{2}}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +et enfin, en différentiant par rapport à~$s$ et faisant ensuite~$s = 0$, +\[ +\zeta'_s(0,w) = \left(w - \smfrac{1}{2}\right) \log w - w + + 2\int^{\infty}_0 \arc\tang\frac{t}{w}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\] + +En vertu des égalités \Eref{IV}{I}{7} et~\Eref{IV}{I}{6}, \Pgref{page}{eqn:IV.I.6}, ces deux dernières +expressions se réduisent respectivement à +\[ +-\frac{\Gamma'(w)}{\Gamma(w)}\qquad\text{et à}\qquad +\log\Gamma(w) - \log\sqrt{2\pi}. +\] + +Ces propriétés de~$\zeta(s, w)$ ont été établies par M.~Lerch en suivant +une autre voie. Pour~$w = 1$, elles se réduisent aux propriétés +de la fonction~$\zeta(s)$ signalées au \no\Sref{49}. + +Appliquons maintenant la formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, avec~$m = 0$, +$-1 < \alpha < 0$, et supposons la partie réelle de~$w$ supérieure à~$-\alpha$, +de sorte que la fonction~$f(z)$ soit holomorphe pour~$\tau\geqq\alpha$. On aura +\[ +\zeta(s,w) = \frac{\Pow{(w + \alpha)}{1-s}}{s-1} + - 2 \int^{\infty}_0 \bigl[p(\alpha,t)\, X(\alpha,t) + + q(\alpha,t)\, \Psi(\alpha,t)\bigr]\, dt, +\] +expression valable pour toutes les valeurs de~$s$. Lorsque la quantité~$w$ +est réelle et comprise entre $0$ et~$1$, on en déduit, en faisant +%% -----File: 119.png---Folio 107------- +tendre~$\alpha$ vers~$-w$, et en supposant d'ailleurs la partie réelle +de $s$~négative, de sorte que l'expression sous le signe intégral reste +finie pour~$t = 0$, +\[ +\zeta(s,w) = 2\sin\smfrac{\pi s}{2} + \int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\,\Psi(w,t)\, dt + + 2\cos\smfrac{\pi s}{2} \int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\, X(w,t)\, dt. +\] + +On constate aisément que le second membre de cette égalité +définit une fonction holomorphe de~$s$ tant que la partie réelle de +cette variable est inférieure à~$1$, et que, pour une valeur donnée~$s$ +vérifiant cette condition, la même expression définit une fonction +analytique de~$w$ qui est holomorphe dans la bande comprise entre +l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point~$w=1$. +Donc, d'après le principe établi au \no\Sref{9}, l'égalité en question a +lieu tant que $s$ et~$w$ restent dans les domaines indiqués. + +En égalant~$s$ à un entier négatif,~$-\nu$, on déduit de la formule +précédente, à l'aide des égalités~\Eref{III}{I}{6}, \Pgref{page}{eqn:III.I.6}, +\[ +\zeta(-\nu,w) = -\frac{\varphi_{\nu+1}(w)}{\nu+1}. +\] + +D'autre part, en supposant $0 < w < 1$ et en substituant aux +expressions $\Psi(w, t)$, $X(w, t)$ les développements indiqués dans +la note de la \Pgref{page}{eqn:III.I.6}, on conclut +\[ +\zeta(s,w) = 2\Gamma(1-s) \left[ + \sin\smfrac{\pi s}{2} + \sum^{\infty}_1 \frac{\cos 2\nu\pi w}{\Pow{(2\nu\pi)}{1-s}} ++ \cos\smfrac{\pi s}{2} + \sum^{\infty}_1 \frac{\sin 2\nu\pi w}{\Pow{(2\nu\pi)}{1-s}} +\right], +\] +résultat dû à M.~Hurwitz\footnotemark. En faisant~$w = 1$, on retombe sur la formule~\Eref{IV}{III}{11}. +\footnotetext{\textit{Zeitschrift für Mathematik und Physik}, t.~XXVII, 1882.} + +\bigTbreak + +%% -----File: 120.png---Folio 108------- + + +% [*** Chapter V] +% [** PP: ``A L'ÉTUDE'' -> ``À L'ÉTUDE''] +\cleardoublepage +\Chapter{V}{APPLICATIONS AU PROLONGEMENT ANALYTIQUE \\ +ET À L'ÉTUDE ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS DÉFINIES \\ +PAR UN DÉVELOPPEMENT DE TAYLOR.} +\fancyhead[CO]{\small{\textsc{\MakeLowercase{PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAYLOR.}}}} + +\Section{V}{I}{Deux théorèmes généraux.} + +\Paragraph{52.} Étant donnée une série de Taylor de la forme +\[ +F(x) = \varphi(0) +\varphi(1)x + \dotsb +\varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + \dotsb, +\EqnTag{V}{I}{1} +\] +où~$\varphi$ est une fonction analytique de son argument, on peut se proposer +d'\textit{étudier les propriétés de la fonction~$F(x)$, connaissant +celles de la fonction~$\varphi$}. + +Nous donnerons dans ce Chapitre un exposé succinct de certains +résultats généraux et riches en conséquences relatifs à cette +question, en y ajoutant d'ailleurs quelques applications nouvelles. +Le peu d'espace dont nous disposons nous obligera cependant à +laisser de côté bien des recherches intéressantes, pour lesquelles +nous renverrons aux Mémoires originaux. + +Pour la bibliographie, on consultera le beau petit livre de +M.~\bsc{Hadamard}, \textit{La série de Taylor et son prolongement analytique} +(\textit{Scientia}). Nous nous bornerons à citer ici, comme ayant +un rapport direct au problème qui nous occupe, les remarquables +travaux de M.~\bsc{Mellin}\footnotemark, +\footnotetext{Voici les titres des Mémoires de M.~Mellin ayant rapport au sujet qui nous +occupe: + +\textit{Ueber die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma- und der hypergeometrischen Functionen (Acta Societatis +Scientiarum Fennicæ}, t.~XX, \no12, 1895); + +\textit{Zur Theorie zweier allgemeinen Klassen bestimmter Integrale} (\textit{ibid}.,\ t.~XXII, +\no2, 1896); + +\textit{Ueber eine Verallgemeinerung der Riemann'schen Funktion~$\zeta(s)$} (\textit{ibid}.,\ +t.~XXIV, \no10, 1899); + +\textit{Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen von endlichem +Geschlecht} (\textit{ibid}.,\ t.~XXIX, \no4, 1900). + +\textit{Die Dirichlet'schen Reihen, die Zahlentheoretischen Funktionen und die +unendlichen Produkte von endlichem Geschlecht} (\textit{ibid}.,\ t.~XXXI, \no2, 1902). + +\textit{Voir} aussi \textit{Acta Mathematica}, Tomes XXV et~XXVIII.} +% [** End of footnote, still mid-sentence] +% +le grand Mémoire de M.~\bsc{Le~Roy}, \textit{Sur +les séries divergentes et les fonctions définies par un +%% -----File: 121.png---Folio 109------- +développement de Taylor}\footnotemark, +\footnotetext{\textit{Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse}, 2\ieme{}~série, t.~II, 1900.} +% [** End of footnote] +notre Mémoire cité au \no\Sref{35}, et une +Note récente de M.~\bsc{Walter--B\@. Ford}\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Journal de Mathématiques}, 1903.} + +\Paragraph{53.} Nous commençons par démontrer le théorème suivant, +établi par M. Le~Roy, sous une forme moins générale, mais ayant +une connexion étroite avec les résultats obtenus antérieurement +par M. Mellin: + +\textit{Soit une fonction analytique~$\varphi(z)$ de la variable $z \equiv \tau + it$ +qui vérifie les deux conditions suivantes:} +\smallskip + +\Pagelabel{page109}% +\primo~\textit{$\varphi(z)$~est holomorphe dans un certain demi-plan $\tau\geqq \alpha$}; + +\secundo~\textit{Il existe un nombre~$\vartheta$ inférieur à~$\pi$ et tel que, $\eps$~désignant +un nombre positif aussi petit qu'on voudra, on ait +\[ +\Abs{\varphi(\alpha + \rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{(\vartheta+\eps)\rho} + \qquad\text{pour}\qquad -\smfrac{\pi}{2} \leqq\psi\leqq \smfrac{\pi}{2}, +\] +dès que~$\rho$ dépassera une certaine limite finie\footnotemark}. +\footnotetext{Il résulte de cette hypothèse que le rayon de convergence de la série~\Eref{V}{I}{1} +est au moins égal à~$\Pow{e}{-\vartheta}$.} +% [** End of footnote] + +\textit{Dans ces conditions, on peut affirmer que la fonction~$F(x)$ +de la variable~$x \equiv r\,\Pow{e}{i\theta}$ qui est définie par la série~\Eref{V}{I}{1}, est holomorphe +pour tout point~$x$ intérieur à l'angle} +\[ +\vartheta < 0 < 2\pi - \vartheta. +\EqnTag{V}{I}{2} +\] + +\textit{En particulier, si la condition~\emph{\secundo} est remplie pour~$\vartheta=0$, la +fonction~$F(x)$ sera holomorphe dans tout le plan, sauf peut-être +sur le segment $\Segment{1}{+\infty}$ de l'axe réel}. +\smallskip + +Pour démontrer ce théorème, nous pourrions nous servir des +%% -----File: 122.png---Folio 110------- +formules établies au Chapitre~\ref{chapter:III}, mais nous préférons reprendre +la question dès le début par une méthode légèrement modifiée. + +Observons d'abord que, si les conditions ci-dessus sont vérifiées +pour une valeur donnée de~$\alpha$, elles le seront également pour toute +valeur~$\alpha$ supérieure à la première. On peut donc supposer que~$\alpha$ +n'est pas entier et écrire $m-1 < \alpha < m$, $m$~étant un entier. + +Cela posé, le théorème général des résidus nous donne +\[ +\sum^n_m \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} = \int_S \Phi(x,z)\, dz, +\EqnTag{V}{I}{3} +\] +en désignant par~$S$ le contour qui se compose de la moitié~$C_R$ du +cercle $\Abs{z-\alpha} = R \equiv n + \smfrac{1}{2} - \alpha$ comprise dans le demi-plan $\tau >\alpha$ +et du diamètre de~$C_R$, et en posant +\[ +\Phi(x,z) = \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{2}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}. +\] + +Nous allons voir que, pour les valeurs~$x$ situées sur un certain +segment $\Segment{-r_0}{0}$ de l'axe réel négatif, l'intégrale relative au +demi-cercle~$C_R$ s'annule lorsqu'on fait tendre~$n$ et, par suite,~$R$ vers +l'infini. En effet, en posant +\[ +z = \alpha + R\,\Pow{e}{i\psi},\qquad x = r\,\Pow{e}{i\pi} \equiv -r, +\] +on aura +\[ +\Phi(x,z) = \frac{\varphi(\alpha + R\,\Pow{e}{i\psi})} + {\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}\, \Pow{r}{z}. +\] +Or la condition~\secundo donne, à partir d'une certaine valeur de~$R$, +\[ +\Abs{\varphi(\alpha + R\,\Pow{e}{i\psi})\, \Pow{r}{z}} + < \Pow{r}{\alpha} \Powfr{e}{-R\left(\log\fnfrac{1}{r}\cos\psi-\vartheta-\eps\right)}, +\] +et, d'autre part, on aura sur~$C_R$ (\textit{voir} la note de la \Pgref{page}{page32}) +\[ +\Abs{\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}} < k'\qquad\text{pour}\qquad + \Abs{\psi} \leqq \smfrac{\pi}{2}, +\] +et, en désignant par~$\psi_0$ un angle compris entre $0$ et~$\smfrac{\pi}{2}$, +\[ +\Abs{\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}} + < k''\, \Pow{e}{-\pi\, \Abs{\sin\psi} R}\qquad\text{pour}\qquad + \psi_0 \leqq \Abs{\psi} \leqq \smfrac{\pi}{2}, +\] +$k'$ et~$k''$ étant des quantités indépendantes de~$R$. + +%% -----File: 123.png---Folio 111------- + +En somme, lorsque~$r<1$, on aura sur~$C_R$ les inégalités suivantes: +\begin{align*} +&&&& \Abs{\Phi(x,z)} + &< k'\, \Pow{r}{\alpha}\, + \Powfr{e}{-R\left(\log\fnfrac{1}{r}\,\cos\psi_0 - \vartheta - \eps\right)} + && \quad \text{pour} & \Abs{\psi} &\leqq\psi_{0}, &&&& \\[1ex] +&&&& \Abs{\Phi(x,z)} + &< k''\, \Pow{r}{\alpha}\, + \Pow{e}{-R\left(\pi\sin\psi_0 - \vartheta - \eps\right)} + && \quad \text{pour} & \psi_0 \leqq \Abs{\psi} &\leqq \smfrac{\pi}{2}. &&&& +\end{align*} + +Fixons maintenant l'angle~$\psi_0$ par la condition $\pi\sin\psi_0 = \vartheta'$, où +$\vartheta<\vartheta'<\pi$, puis déterminons~$r_0$ de sorte que $\log\smfrac{1}{r_0}\,\cos\psi_0 = \vartheta'$. +Tant que $r\leqq r_0$, on aura pour tout point de~$C_R$ +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} < k\,\Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{-(\vartheta' - \vartheta - \eps)R}, +\] +$k$~désignant la plus grande des quantités $k'$ et~$k''$; par suite, en +faisant tendre~$R$ vers l'infini et en supposant $-r_0<x<0$, l'intégrale +$\dint\Phi(x,z)\,dz$ prise le long de~$C_R$ tendra effectivement vers +zéro, comme nous l'avions dit, de sorte que l'égalité~\Eref{V}{I}{3} deviendra +\[ +\sum_{m}^{\infty} \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + = -\int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty} \Phi(x,z)\, dz + \equiv -\int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty} + \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz. +\EqnTag{V}{I}{4} +\] + +\Paragraph{54.} Nous allons maintenant démontrer que le second membre de +cette formule définit une fonction holomorphe de~$x$ dans l'angle~\Eref{V}{I}{2}. + +A cet effet, posons +\[ +z = \alpha+it\qquad \text{et}\qquad x = r\,\Pow{e}{i(\pi+\theta_1)}, +\] +de sorte que $\theta_1 \equiv \theta-\pi$ représente l'argument du point $x$ compté +à partir de l'axe réel \emph{négatif}; on aura +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} = \Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{-\theta_1 t} + \Abs{\frac{\varphi(\alpha+it)} + {\Pow{e}{\pi i\alpha - \pi t} - \Pow{e}{-\pi i\alpha + \pi t}}}, +\EqnTag{V}{I}{5} +\] +d'où il résulte, en vertu de l'hypothèse~\secundo (\textit{voir} la note \Pgref{page}{page49fn}), +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} + < \Pow{r}{\alpha}\,\Pow{e}{-[\pi - \vartheta \pm \theta_1 + \eps(t)]\, \Abs{t}}. +\] +Dans le second membre de cette inégalité, on doit lire $+\theta_1$ ou~$-\theta_1$, +suivant que~$t$ est positif ou négatif. + +Supposons maintenant le point~$x$ intérieur au domaine +\[ +r>0,\quad \vartheta + \sigma < \theta < 2\pi - \vartheta - \sigma + \quad (\text{d'où}\quad \Abs{\theta_1} < \pi - \vartheta - \sigma), +\EqnTag{V}{I}{6} +\] +$\sigma$~étant une quantité positive aussi petite qu'on voudra, et +%% -----File: 124.png---Folio 112------- +désignons par~$\eta$ un nombre positif inférieur à~$\sigma$. On aura, dès que~$\Abs{t}$ +dépassera une certaine valeur~$T$, $\pi-\vartheta\pm\theta_1+\eps(t)>\eta$, d'où +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} < \Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{-\eta\Abs{t}}\qquad\text{pour}\qquad + \Abs{t} >T. +\EqnTag{V}{I}{7} +\] + +On peut conclure de cette inégalité que le second membre de~\Eref{V}{I}{4} +définit une fonction holomorphe de~$x$ dans le domaine~\Eref{V}{I}{6}. Pour le +faire nettement voir, écrivons +\[ +-\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} \Phi(x,z)\, dz + = -\sum^{+\infty}_{-\infty} + \int^{\alpha+i(\nu+1)}_{\alpha+i\nu}\Phi(x,z)\, dz. +\] + +\Pagelabel{page112}% +En développant, dans l'expression~$\Phi(x,z)$, $\Pow{x}{z} \equiv \Pow{e}{z\log x}$ en série, +on voit d'abord que chaque terme du second membre est une +fonction entière de~$\log x$ et qu'il est, par suite, holomorphe dans +le domaine~\Eref{V}{I}{6}. D'autre part, il résulte de l'inégalité~\Eref{V}{I}{7} que la +série ci-dessus est uniformément convergente dans toute portion +finie du domaine en question. Pour arriver à la conclusion voulue, +nous n'avons dès lors qu'à recourir au théorème établi au \no\Sref{10}, +qui nous montre en même temps que les dérivées de la fonction +considérée sont représentées, dans le domaine~\Eref{V}{I}{6}, par les expressions +qu'on obtient en différentiant sous le signe intégral\footnotemark. +\footnotetext{Cette méthode de démonstration, qui permet d'éviter des calculs parfois +épineux et presque toujours peu élégants, avait déjà été mise en usage par d'autres +auteurs, notamment par M.~Mellin.} +% [** End of footnote] + +Le résultat qui précède restant vrai quelque petit que soit~$\sigma$, il +est donc démontré que le second membre de l'égalité~\Eref{V}{I}{4} définit +une fonction holomorphe à l'intérieur de l'angle~\Eref{V}{I}{2}, et comme +l'égalité en question a lieu sur le segment $-r_0<x<0$ qui est +intérieur à l'angle~\Eref{V}{I}{2}, cette fonction donnera le prolongement +analytique de la série~\Eref{V}{I}{4}, en vertu du principe établi au \no\Sref{9}. + +Or on a d'après l'égalité~\Eref{V}{I}{4}, si $m$~est positif, +\[ +F(x) = \sum^{m-1}_0 \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + - \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} + \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz + \qquad(m-1 < \alpha < m), +\EqnTag{V}{I}{8} +\] +et, pour $m$~négatif, en posant~$m=-k$, +\[ +F(x) = -\sum^k_1 \frac{\varphi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} + -\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} + \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz + \qquad\bigl[-(k+1) < \alpha < -k\bigr], +\EqnTag{V}{I}{9} +\] +%% -----File: 125.png---Folio 113------- +tandis que, lorsque~$m=0$, la série~\Eref{V}{I}{4} se confond avec~$F(x)$. +Donc, dans tous les cas, la fonction~$F(x)$ sera holomorphe à l'intérieur +de l'angle~\Eref{V}{I}{2}, et notre théorème se trouve ainsi démontré\footnotemark. +\footnotetext{Si $m$~est positif, on suppose que $\varphi(z)$~prend des valeurs finies pour $z = 0,~1, \dotsc,~m-1$.} + +\Paragraph{55.} Les considérations qui précèdent conduisent encore à des +conséquences intéressantes relatives aux propriétés asymptotiques +de~$F(x)$. On en déduit, en effet, ce théorème important: + +\Theorem{V.I.1}{Sous les conditions énoncées \Pgref{page}{page109}, la fonction définie +par la série~\Eref{V}{I}{1} et qui, d'après le théorème du \no\Sref{53}, est holomorphe +dans le domaine~\Eref{V}{I}{2}, peut se mettre sous l'une ou +l'autre des formes suivantes: +\begin{gather*} + F(x) = \Pow{x}{\alpha}\, \eps(x)\qquad\text{si}\qquad \alpha > -1, + \EqnTag{V}{I}{10} \\ +% + F(x) = -\sum^k_1 \frac{\varphi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} + + \Pow{x}{\alpha}\, \eps(x) + \qquad\text{si}\qquad - (k+1) < \alpha \leqq -k, + \EqnTag{V}{I}{11} +\end{gather*} +$\eps(x)$~désignant une fonction qui tend uniformément vers zéro +lorsque~$x$ tend vers l'infini dans l'angle +\[ +\vartheta + \sigma \leqq \theta \leqq 2\pi - \vartheta - \sigma, +\EqnTag{V}{I}{12} +\] +et cela quelque petite que soit la quantité positive~$\sigma$.} + +Il résulte immédiatement des relations \Eref{V}{I}{5} et~\Eref{V}{I}{7} que le module +du produit +\[ +\Pow{x}{-\alpha}\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} \Phi(x,z)\, dz +\EqnTag{V}{I}{13} +\] +reste au-dessous d'une limite finie dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}, et l'on +en conclut, d'après les égalités \Eref{V}{I}{8} et~\Eref{V}{I}{9}, que la fonction~$F(x)$, +lorsque~$\alpha$ n'est pas un entier, pourra se mettre sous l'une ou l'autre +des formes \Eref{V}{I}{10} et~\Eref{V}{I}{11}, où \textit{le module de~$\eps(x)$ reste inférieur à +une quantité finie dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}}, si l'on exclut le voisinage +de l'origine. + +Cette forme moins précise du théorème suffit dans bien des +recherches; on en trouve des applications importantes dans les +Mémoires de M.~Mellin, cités plus haut. + +%% -----File: 126.png---Folio 114------- + +Si l'on veut démontrer que~$\eps(x)$ tend effectivement vers zéro +avec~$\smfrac{1}{x}$ dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}, des considérations plus délicates +deviennent nécessaires. Admettons d'abord que \textit{le nombre~$\alpha$ n'est +pas entier}. Il s'agit de démontrer que, $\eps$~étant fixé aussi petit qu'on +le voudra, on pourra trouver une quantité~$R$ telle que le module +de l'expression~\Eref{V}{I}{13} reste inférieur à~$\eps$ pour +\[ +\vartheta + \sigma \leqq \theta \leqq 2\pi - \vartheta - \sigma,\qquad r > R. +\EqnTag{V}{I}{14} +\] + +En vertu de l'inégalité~\Eref{V}{I}{7}, il est d'abord possible de déterminer +le nombre~$t'$ de telle sorte que l'on ait +\[ +\Pow{r}{-\alpha}\, \Abs{\,\int^{\alpha-it'}_{\alpha-i\infty} \Phi(x,z)\, dz + + \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha+it'} \Phi(x,z)\, dz} < \smfrac{\eps}{2} +\] +pour tout point du domaine~\Eref{V}{I}{12}. Il reste donc à montrer qu'on +peut choisir $R$ de manière que l'on ait, dans le domaine~\Eref{V}{I}{14}, +\[ +\Abs{\, \Pow{x}{-\alpha}\int^{\alpha+it'}_{\alpha-it'} \Phi(x,z)\, dz} + < \smfrac{\eps}{2}. +\EqnTag{V}{I}{15} +\] + +En posant $z = \alpha + it$, $x = r\,\Pow{e}{i\theta}$, on aura +\[ +\Pow{x}{-\alpha}\, \Phi(x,z) + = \Pow{e}{-\theta t} \bigl[A(t) + iB(t)\bigr]\, + \bigl[\cos(t\log r) + i\sin(t\log r)\bigr], +\EqnTag{V}{I}{16} +\] +$A$, $B$ étant des fonctions réelles de~$t$ qui sont holomorphes pour +toute valeur réelle de cette variable. + +Considérons, par exemple, l'intégrale +\[ +\int^{t'}_{-t'} \Pow{e}{-\theta t}\, A(t)\sin(t\log r)\, dt. +\EqnTag{V}{I}{17} +\] +Je dis d'abord que \textit{le nombre des intervalles alternatifs de croissance +et de décroissance que présente l'expression $\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)}$ +entre les limites $-t'$ et~$t'$ est inférieur à un nombre fixe~$N$ +quel que soit~$\theta$}. + +En effet, les extrémités des intervalles en question qui sont +comprises entre $-t'$ et~$t'$ correspondent, soit aux zéros de la fonction~$A(t)$, +soit à ceux de la dérivée de~$\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)$, c'est-à-dire aux +racines de l'équation +\[ +A'(t) - \theta A(t) = 0, +\] +%% -----File: 127.png---Folio 115------- +lesquelles, à leur tour, ou vérifient simultanément les conditions +$A(t) = 0$, $A'(t) = 0$, ou bien correspondent aux points d'intersection +de la courbe~$y = \smfrac{A'(t)}{A(t)}$ avec la droite~$y = \theta$. D'ailleurs, +entre deux de ces points d'intersection consécutifs sera compris, +soit un infini de la fonction~$\smfrac{A'(t)}{A(t)}$, c'est-à-dire un zéro de~$A(t)$, +soit un zéro de sa dérivée, c'est-à-dire une racine de l'équation +\[ +A(t)\, A''(t) - \Pow{\bigl[A'(t)\bigr]}{2} = 0. +\] + +Or la fonction~$A(t)$ est holomorphe pour tout point de l'intervalle +$-t' \leqq t \leqq t'$, et celui-ci ne saurait donc comprendre qu'un +nombre fini de racines de chacune des équations +\[ +A(t)=0,\qquad A'(t)=0,\qquad A(t)\, A''(t) - \Pow{\bigl[A'(t)\bigr]}{2}=0, +\] +d'où résulte l'exactitude de la proposition énoncée. + +Ce point établi, soit~$M$ le maximum de~$\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)}$ pour +$-t'\leqq t\leqq t'$, $\vartheta + \sigma\leqq \theta\leqq 2\pi - \vartheta - \sigma$. Je dis que \textit{la partie de +l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} relative à l'un quelconque des intervalles +où~$\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\,A(t)}$ varie constamment dans le même sens, est numériquement +inférieure à~$\smfrac{2M}{\log r}$}. + +Soit~$(a, b)$ l'un des intervalles en question et soient $t_1,~t_2, \dotsc,~t_\mu$ +les multiples successifs de la quantité~$\smfrac{\pi}{\log r}$ compris entre $a$ et~$b$. +Les parties de l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} correspondant aux sous-intervalles +\[ +(t_1,t_2),\quad (t_2,t_3), \quad \dotsc,\quad (t_{\mu-1},t_{\mu}),\quad (t_{\mu},b) +\] +sont alternativement de signes contraires, tandis que leurs valeurs +numériques vont constamment en décroissant [en admettant, pour +fixer les idées, que $\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)}$ décroît de~$a$ vers~$b$]. La somme de +toutes ces intégrales sera donc numériquement plus petite et de +même signe que la première d'entre elles. Comme d'ailleurs les +parties de l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} relatives aux intervalles $(a, t_1)$ et~$(t_1, t_2)$ +sont de signes contraires, et que chacune d'elles est numériquement +inférieure à la quantité +\[ +M\int^{\tfrac{\pi}{\log r}}_0 \sin (t\log r)\, dt = \frac{2M}{\log r}, +\] +on arrivera bien à la conclusion voulue. + +%% -----File: 128.png---Folio 116------- + +En somme, l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} sera numériquement inférieure +à~$\smfrac{2MN}{\log r}$, pour $\vartheta + \sigma\leqq \theta\leqq 2\pi - \vartheta - \sigma$, et tendra donc uniformément +vers zéro dans cet angle lorsque $r$~croît indéfiniment. Comme +la même conclusion s'applique à chacune des trois autres intégrales +qui proviennent de l'expression~\Eref{V}{I}{16}, il en résulte qu'on +pourra effectivement déterminer le nombre~$R$ de manière que +l'inégalité~\Eref{V}{I}{15} ait lieu dans les conditions indiquées, et notre démonstration +est ainsi achevée dans le cas où $\alpha$~n'est pas entier. + +\Paragraph{56.} Lorsque \textit{le nombre~$\alpha$ est un entier}, les expressions \Eref{V}{I}{8} +et~\Eref{V}{I}{9} ne sont plus valables, de sorte que la démonstration doit +être modifiée. Nous nous placerons dans le cas le plus intéressant, +à savoir celui où $\alpha = 0$ est la plus petite valeur pour laquelle soient +vérifiées les conditions énoncées à la \Pgref{page}{page109}. + +En appliquant alors la formule~\Eref{V}{I}{8}, avec $m = 1$, et en faisant +tendre~$\alpha$ vers zéro, on trouve, par un calcul analogue à celui +du \no\Sref{29}, +\[ +F(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + - \int^{i\infty}_{-i\infty} \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{2}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz, +\EqnTag{V}{I}{18} +\] +et cette formule sera valable pour tout point~$x$ intérieur à +l'angle~\Eref{V}{I}{12}, ce qu'on démontre en raisonnant comme aux \nos\Sref{53}--\Sref{54}. + +Pour plus de symétrie, posons $x = \Pow{e}{\pi i}x_1$, $(x_1 = r\,\Pow{e}{i\theta_1})$, et d'autre +part $z=it$, $\varphi(\pm it) = p(t)\pm iq(t)$. L'expression ci-dessus deviendra +\[ +F(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + + \int^{\infty}_0 P(t,x_1)\, dt + \int^{\infty}_0 Q(t,x_1)\, dt +\tag{18${}'$} +\Pagelabel{eqn:V.I.18pr} +\] +avec +\begin{align*} + P(t,x_1) &= -2p(t)\frac{\sin(t\log x_1)}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}, \\[1ex] + Q(t,x_1) &= -2q(t)\frac{\cos(t\log x_1)}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}. +\end{align*} + +Je dis que \textit{le dernier terme de l'expression~\hyperref[eqn:V.I.18pr]{\upshape($18'$)} tend uniformément +vers zéro lorsque~$x$ tend, soit vers l'infini, soit vers +zéro, en restant intérieur à l'angle~\Eref{V}{I}{12}}. En effet, comme +\[ +\cos(t\log x_1) + = \smfrac{1}{2}(\Pow{e}{\theta_1 t} + \Pow{e}{-\theta_1 t})\cos(t\log r) + - \smfrac{i}{2}(\Pow{e}{\theta_1 t} + \Pow{e}{-\theta_1 t})\sin(t\log r), +\] +%% -----File: 129.png---Folio 117------- +on voit d'abord qu'il est possible de choisir le nombre~$t_0$ assez +petit pour que l'on ait, par exemple, +\[ +\Abs{\int^{t_0}_0 Q(t, x_1)\, dt} < \smfrac{\eps}{3} +\EqnTag{V}{I}{19} +\] +pour tout point~$x$ du domaine~\Eref{V}{I}{12}\footnotemark. +\footnotetext{La fonction~$\varphi(z)$ étant, par hypothèse, holomorphe à l'origine, l'expression +\[ +q(t) \equiv \fnfrac{1}{2i} \bigl[\varphi(it) - \varphi(-it)\bigr] +\] +renferme~$t$ en facteur, d'où il résulte que~$Q(t, x_1)$ est holomorphe pour~$t = 0$.} +% [** End of footnote] +D'autre part, pour les +mêmes valeurs~$x$, on a $\Abs{\theta_1}\leqq \pi - \vartheta - \sigma$, et il s'ensuit que le module +de l'expression~$Q(t, x_1)$ décroît plus vite qu'une certaine +exponentielle~$\Pow{e}{-\eta t}$, où~$\eta >0$; par conséquent, on pourra choisir +un nombre~$T$ tel que +\[ +\Abs{\int^{\infty}_T Q(t, x_1)\, dt} < \smfrac{\eps}{3} +\] +pour tout point~$x$ du domaine~\Eref{V}{I}{12}. Enfin, en raisonnant comme +au \no\Sref{55}, on voit qu'il existe un nombre~$R$ tel que l'on ait +\[ +\Abs{\int^{T}_{t_0} Q(t, x_1)\, dt} < \smfrac{\eps}{3} +\] +pour $\vartheta + \sigma\leqq \theta\leqq 2\pi - \vartheta - \sigma$, $\Abs{\log r} > R$. Sous les mêmes conditions, +le module du dernier terme de l'expression~\hyperref[eqn:V.I.18pr]{($18'$)} sera donc +inférieur à~$\eps$, d'où résulte la proposition énoncée. + +Cela posé, dans l'égalité~\hyperref[eqn:V.I.18pr]{($18'$)}, faisons tendre~$x$ vers l'origine, +en restant dans l'angle~\Eref{V}{I}{12}. Comme $F(0) = \varphi(0)$, on conclut de +la proposition ci-dessus que l'intégrale +\[ +\int^{\infty}_0 P(t, x_1)\, dt +\] +tendra uniformément vers la limite~$\smfrac{1}{2}\varphi(0)$. Or, si l'on remplace~$x$ +par~$\smfrac{1}{x}$ ou, ce qui revient au même, $x_1$ par~$\smfrac{1}{x_1}$, l'intégrale en question +changera simplement de signe. Par suite, elle tendra uniformément +vers la limite~$-\smfrac{1}{2}\varphi(0)$, lorsque~$x$ tend vers l'infini dans +%% -----File: 130.png---Folio 118------- +l'angle~\Eref{V}{I}{12}, et, en utilisant encore une fois la proposition ci-dessus, +on voit donc que, \textit{dans le cas où les conditions énoncées à +la \Pgref{page}{page109} sont vérifiées pour~$\alpha = 0$, la fonction~$F(x)$ tend +uniformément vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini en restant +intérieur à l'angle}~\Eref{V}{I}{12}. + +Ce résultat subsiste d'ailleurs dans des conditions plus générales +que celles de la \Pgref{page}{page109}. Ainsi il n'est pas nécessaire que la +fonction~$\varphi(z)$ soit holomorphe à l'origine; il suffit, par exemple, +qu'elle y prenne une valeur finie et déterminée et que, en outre, +l'intégrale +\[ +\int^t_0 \frac{\Abs{q(t)}}{t}\, dt +\EqnTag{V}{I}{20} +\] +ait un sens. En effet, en vertu de la première de ces hypothèses, +la formule~\Eref{V}{I}{18} restera applicable (\textit{voir} la note de la \Pgref{page}{page60}) et, +en vertu de la seconde, il sera possible de satisfaire à l'inégalité~\Eref{V}{I}{19}, +qui est la seule où intervienne le caractère de~$\varphi(z)$ à +l'origine. + +De même, on démontre aisément que le résultat ci-dessus reste +valable dans le cas où $\varphi(z)$~présente sur l'axe imaginaire un nombre +fini de points singuliers distincts de l'origine, $z_1,~z_2,~\dotsc$, tels que +le produit~$(z - z_\nu)\,\varphi(z)$ tende uniformément vers zéro avec~$\Abs{z-z_\nu}$ +et que l'intégrale +\[ +\int^t_0 \Abs{\varphi(z_\nu + it)}\, dt +\] +ait une valeur finie pour les valeurs réelles de~$t$. + +Supposons maintenant que~$\varphi(z)$ possède sur l'axe imaginaire +un pôle~$z_0$, distinct de l'origine. La formule~\Eref{V}{I}{18} restera encore +valable si l'on y modifie le chemin d'intégration, par exemple +en remplaçant un petit segment passant par le point~$z_0$ par un +demi-cercle tournant la convexité vers la \textit{gauche}, pourvu que, en +même temps, on retranche du second membre le résidu de l'expression +\[ +2\pi i\, \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} +\] +relatif au pôle~$z_0$. On démontre facilement que, après cette modification, +l'intégrale qui figure dans la formule~\Eref{V}{I}{18} tendra toujours +%% -----File: 131.png---Folio 119------- +uniformément vers~$\smfrac{1}{2}\varphi(0)$, lorsque~$x$ tendra vers l'infini dans +l'angle~\Eref{V}{I}{12}. + +Or, si~$z_0$ est un pôle simple de~$\varphi(z)$, le résidu correspondant +de l'expression ci-dessus s'écrit~$A\Pow{x}{z_0}$, A étant une constante. Dans +ce cas, la fonction~$F(x)$ restera donc inférieure en valeur absolue +à une quantité finie dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}, en ne tendant d'ailleurs +vers aucune limite fixe lorsque le point~$x$ s'éloigne indéfiniment. +Si, au contraire, $z_0$~est un pôle d'ordre~$m > 1$, on conclut des remarques +précédentes que la fonction~$F(x)$ devient infiniment +grande de l'ordre de~$\Pow{(\log x)}{m-1}$ lorsque~$x$ tend vers l'infini en restant +dans l'angle~\Eref{V}{I}{12}. + +Les résultats que nous venons de démontrer dans ce numéro +pour~$\alpha = 0$ s'étendent immédiatement au cas où $\alpha$~est un entier +quelconque. + + +\Section{V}{II}{Applications diverses.} + +\Paragraph{57.} Des théorèmes qui précèdent, nous allons tirer d'abord +quelques conséquences intéressantes relatives aux fonctions entières. +Soit~$\varphi(z) = \Pow{z}{-\sigma z}$, $\sigma$~étant un nombre positif~$<2$; cette fonction +est holomorphe pour~$\tau\geqq 0$, sauf à l'origine, mais en ce point, +$\varphi(z)$~prend une valeur finie, à savoir~$1$, et la condition concernant +l'intégrale~\Eref{V}{I}{20} se trouve également vérifiée. D'autre part, en +posant $z = \rho\,\Pow{e}{i\psi}$, on aura +\[ +\Abs{\varphi(z)} = \Pow{e}{\sigma \rho(\psi\sin\psi - \log\rho\cos\psi)}, +\] +et par suite, dès que $\rho > 1$, +\[ +\Abs{\varphi(z)} + < \Powfr{e}{\fnfrac{\pi\sigma}{2}\rho}\qquad\text{pour}\qquad + -\smfrac{\pi}{2}\leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}. +\] + +On pourra donc appliquer le théorème du \no\Sref{55} en faisant $\alpha = 0$, +$\vartheta = \smfrac{\pi\sigma}{2}$, et l'on en conclut que la fonction entière +\[ +\sum^{\infty}_0 \Pow{\left(\frac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu} +\EqnTag{V}{II}{1} +\] +tend uniformément vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini, en +%% -----File: 132.png---Folio 120------- +restant dans l'angle +\[ +\smfrac{\pi\sigma}{2} + \eps\leqq \theta + \leqq 2\pi - \smfrac{\pi\sigma}{2} - \eps. +\EqnTag{V}{II}{2} +\] + +Ce résultat étant vrai quelque petits que soient les nombres +positifs $\sigma$ et~$\eps$, on voit qu'\textit{il existe des fonctions entières tendant +uniformément vers zéro, lorsque~$x$ augmente indéfiniment, +dans un angle qui est inférieur à~$2\pi$ d'aussi peu qu'on +le voudra}. + +Cette remarque est due à M.~Mittag-Leffler, qui y a été conduit +dans ses recherches sur la fonction\footnotemark +\footnotetext{\textit{Comptes rendus}, 2~mars 1903.} +\[ +\sum^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Gamma(1 + \nu\sigma)}\qquad (\sigma > 0), +\EqnTag{V}{II}{3} +\] +qu'on déduit de~$F(x)$ en faisant $\varphi(z) = \smfrac{1}{\Gamma(1+\sigma x)}$. Cette fonction~$\varphi(z)$ +est holomorphe dans tout le plan et, en se servant de la formule +de Stirling, on trouve facilement que l'inégalité +\[ +\Abs{\varphi(\alpha + \rho\,\Pow{e}{i\psi})} + < \Powfr{e}{\left(\fnfrac{\pi\sigma}{2} + \eps\right)\rho}, +\] +où $\alpha$~désigne une constante réelle quelconque et~$\eps$ un nombre +positif arbitrairement petit, est vérifiée pour $-\smfrac{\pi}{2}\leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}$ dès que~$\rho$ +est supérieur à une certaine limite finie. Le théorème du \no\Sref{55} +nous permet donc d'affirmer, non seulement que la fonction~\Eref{V}{II}{3} +tend uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{x}$ dans l'angle~\Eref{V}{II}{2}, mais encore +que l'on a, quelque grand que soit l'entier positif~$k$, la relation +\[ +\sum^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Gamma(1 + \nu\sigma)} + = -\sum^k_1 \frac{\Pow{x}{-\nu}}{\Gamma(1 - \nu\sigma)} + + \Pow{x}{-\alpha}\, \eps(x)\qquad (k < \alpha < k+1), +\] +où $\eps(x)$~jouit de la même propriété. Le second membre de cette +égalité nous donne donc le développement asymptotique de la +fonction~\Eref{V}{II}{3} dans l'angle $\smfrac{\pi\sigma}{2}<\theta <2\pi -\smfrac{\pi\sigma}{2}$. + +Soit maintenant $\varphi(z) = \Pow{\bigl[\log (z+\beta)\bigr]}{-z}$; cette fonction est +%% -----File: 133.png---Folio 121------- +holomorphe pour $\tau\geqq 0$, si l'on suppose~$\beta>1$; d'autre part, un calcul +élémentaire nous donne +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} + = \Powfr{e}{\rho\left(\fnfrac{\psi\sin\psi + \eps(\rho)}{\log\rho} + - \log\log\rho \centerdot \cos\psi\right)}, +\] +d'où il résulte qu'on a, quelque petit que soit le nombre positif~$\eps$, +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{\eps\rho}\qquad\text{pour}\qquad + -\smfrac{\pi}{2}\leqq \psi\leqq \smfrac{\pi}{2} +\] +dès que $\rho$~dépasse une certaine limite. Dans le cas présent, les +conditions énoncées \Pgref{page}{page109} sont donc vérifiées pour~$\alpha=0$, $\vartheta=0$, +et nous arrivons ainsi à cette conclusion intéressante que \textit{la fonction +entière +\[ +E_\beta(x) + \equiv \sum^{\infty}_0 \Pow{\biggl[\frac{x}{\log(\nu +\beta)}\biggr]}{\nu} + \qquad(\beta > 1) +\EqnTag{V}{II}{4} +\] +tend vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini suivant un rayon +quelconque autre que l'axe réel positif}\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Cf}.~une Note de l'auteur insérée dans le Tome~XXVII du \textit{Bulletin des +Sciences mathématiques} (août~1903). D'autres fonctions du même genre ont été +indiquées par MM.~Malmquist et~Mittag-Leffler (\textit{Comptes rendus}, 12~octobre 1903).} +% [** End of footnote] + +Lorsque~$\beta > 2$, les conditions de la \Pgref{page}{page109} sont vérifiées pour~$\vartheta=0$ +et pour une valeur de~$\alpha$ comprise entre $-2$ et~$-1$. On +aura donc +\[ +E_\beta(x) = -\frac{\log(\beta-1) + \eps(x)}{x}, +\] +$\eps(x)$~tendant uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{x}$ dans l'angle +\[ +\eps\leqq \theta\leqq 2\pi - \eps, +\] +quelque petit que soit~$\eps$, et l'on en conclut immédiatement que, +\textit{pour $\beta > 2$, les arguments des racines de l'équation $E_\beta(x) = 0$ +tendent vers zéro lorsqu'on s'éloigne indéfiniment de l'origine}. + +On peut rattacher à la fonction~\Eref{V}{II}{4} une remarque ingénieuse due +à M.~Mittag-Leffler\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Comptes rendus}, 12~octobre 1903. \textit{Voir} aussi un Mémoire de M.~Mittag-Leffler +qui vient de paraître dans le Tome~XXIX des \textit{Acta Mathematica}.} +D'après ce qui précède, l'expression +\[ +\Pow{e}{-E_\beta(x)} +\] +%% -----File: 134.png---Folio 122------- +définit une fonction entière tendant vers zéro suivant l'axe réel +positif, mais vers l'unité suivant tout autre rayon. En désignant +par~$\beta'$ un nombre réel supérieur à l'unité et distinct de~$\beta$, on arrive +donc à cette conclusion curieuse que \textit{la fonction entière +\[ +\Pow{e}{-E_\beta(x)} - \Pow{e}{-E_{\beta'}(x)} +\] +tend vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini suivant un rayon +quelconque}. + +Ce paradoxe apparent s'explique par cette remarque que la +fonction précédente, bien qu'elle converge vers zéro suivant un +rayon quelconque, ne converge \textit{uniformément} vers cette limite +dans aucun angle, si petit qu'il soit, qui renferme l'axe réel positif. +Il n'est guère possible d'imaginer un exemple plus propre à mettre +en évidence l'importance de la notion de \textit{convergence uniforme}. + +\Paragraph{58.} En appliquant à la fonction~\Eref{V}{II}{1} la formule~\Eref{V}{I}{8}, \Pgref{page}{eqn:V.I.8}, +avec $m = 1$, on trouve +\[ +\sum^{\infty}_0 \Pow{\left(\frac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu} + = 1 - \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} + \frac{\Pow{z}{-\sigma z}\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz\qquad (0 < \alpha < 1), +\] +égalité valable pour tout point~$x$ intérieur à l'angle +\[ +\smfrac{\pi\sigma}{2} < 0 < 2\pi - \smfrac{\pi\sigma}{2}. +\EqnTag{V}{II}{5} +\] +Ce résultat subsiste encore pour $\sigma=0$, puisque les conditions de +la \Pgref{page}{page109} sont vérifiées pour $\varphi (z)\equiv 1$, $\vartheta=0$, et l'on aura donc +\[ +\frac{1}{1-x} + = 1 - \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} \frac{\Pow{x}{z}\, dz}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} +\] +dans tout le plan, excepté sur l'axe réel positif. Cela posé, nous +allons démontrer la proposition suivante: + +\Theorem{V.II.1}{Lorsque le paramètre~$\sigma$ tend vers zéro par des valeurs positives, +la fonction entière~\Eref{V}{II}{1} tend uniformément vers~$\smfrac{1}{1-x}$ dans +tout domaine fini n'ayant aucun point commun avec le +segment $\Segment{1}{+\infty}$ de l'axe réel.} + +Ceci ayant évidemment lieu dans toute aire intérieure au cercle~$\Abs{x}=1$, +%% -----File: 135.png---Folio 123------- +il suffira de démontrer la proposition pour un domaine~$X$ +n'ayant aucun point commun avec la partie $\Segment{0}{+\infty}$ de l'axe réel. +A cet effet, fixons d'abord un nombre positif~$\sigma_0$ tel que le domaine~$X$ +soit intérieur à l'angle~\Eref{V}{II}{5} dès que~$\sigma\leqq\sigma_0$; on aura, pour tout +point~$x$ du domaine~$X$, et pour~$\sigma\leqq\sigma_0$, +\[ +\sum^{\infty}_0 + \Pow{\left(\frac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu} - \frac{1}{1-x} + = \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} + \frac{(1 - \Pow{z}{-\sigma z})\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz. +\EqnTag{V}{II}{6} +\] +Or, en posant $z = \alpha + it$, on peut conclure des calculs du \no\Sref{54} +que le module de l'expression sous le signe intégral, pour les +valeurs considérées de~$x$ et de~$\sigma$ et pour les valeurs~$t$ de module +suffisamment grand, reste inférieur à une certaine exponentielle +$\Pow{e}{-\eta\Abs{t}}$, où~$\eta > 0$. Il est donc possible de trouver un nombre positif~$t'$ +tel que les parties de l'intégrale ci-dessus qui correspondent aux +valeurs~$t$ supérieures à~$t'$ ou inférieures à~$-t'$, donnent une +somme numériquement inférieure, par exemple, à~$\eps$, et d'autre +part, comme~$1 - \Pow{z}{-\sigma z}$ tend vers zéro avec~$\sigma$, on pourra assigner un +nombre positif~$\sigma'_0\leqq \sigma_0$ tel que la partie restante de l'intégrale en +question, celle où~$t$ varie entre les limites $-t'$ et~$t'$, soit inférieure +en valeur absolue à~$\eps$ dès que $\sigma < \sigma'_0$. Le module de la différence~\Eref{V}{II}{6} sera donc inférieur à~$2\eps$ pour tout point du domaine~$X$ +dès que $\sigma < \sigma'_0$, et notre proposition se trouve ainsi démontrée. + +Soit maintenant une série de Taylor quelconque +\[ +\sum^{\infty}_0 a_\nu \Pow{x}{\nu} +\EqnTag{V}{II}{7} +\] +ayant un rayon de convergence fini et non nul, et soit~$A$ son +\textit{étoile principale de convergence}\footnotemark, suivant la terminologie de +\footnotetext{Le domaine~$A$ comprend, de chaque rayon vecteur, le segment compris +entre l'origine et le premier point singulier de la fonction~\Eref{V}{II}{7} qu'on rencontre en +cheminant suivant ce rayon.} +% [** End of footnote] +M.~Mittag-Leffler. En s'appuyant sur un théorème fondamental +établi par M.~Borel\footnotemark, on déduit immédiatement de la proposition +\footnotetext{\textit{Mémoire sur les séries divergentes}, p.~63--64 et~133--134 (\textit{Annales de l'École + Normale}, 1899) et \textit{Leçons sur les séries divergentes}.} +précédente l'intéressante conséquence que voici: + +\Theorem{V.II.2}{Lorsque~$\sigma$ tend vers zéro par des valeurs positives, la +%% -----File: 136.png---Folio 124------- +fonction entière $\sum\limits^{\infty}_0 a_\nu \Pow{\left(\smfrac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu}$ converge uniformément vers la fonction +définie par la série $\smash{\sum\limits^{\infty}_0 a_\nu \Pow{x}{\nu}}$ dans toute aire finie intérieure +à l'étoile~$A$.} +% [** End of Theorem] + +C'est là, nous semble-t-il, l'exemple le plus simple qu'on puisse +trouver de ces expressions limites, réalisant le prolongement d'une +série de Taylor en dehors de son cercle de convergence, dont +MM.~Borel, Mittag-Leffler, Painlevé et d'autres ont ces dernières +années enrichi l'Analyse. Du reste, cet exemple n'est qu'un cas +très particulier d'un théorème général que nous avons démontré +ailleurs\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Comptes rendus}, 29~décembre 1902, et \textit{Journal de Mathématiques}, +t.~IX, 1903.} +% [** End of footnote] + +\Paragraph{59.} Supposons maintenant vérifiées les hypothèses suivantes: + +\primo~\textit{La fonction~$\varphi(z)$ est uniforme et ne présente qu'un +nombre fini de points singuliers;} +\Pagelabel{page124}% + +\secundo~\textit{Ayant fixé un nombre positif arbitrairement petit~$\eps$, +on peut trouver un autre nombre positif~$R$ tel que} +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} + < \Pow{e}{\eps\rho}\qquad\textit{pour}\qquad \rho > R. +\] + +Le rayon de convergence de la série donnée sera égal à l'unité +et, d'après le théorème de la \Pgref{page}{page109}, la fonction~$F(x)$ que définit +cette série restera holomorphe tant qu'on évitera le segment $\Segment{1}{+\infty}$ +de l'axe réel. Cette branche de la fonction~$F(x)$ sera +appelée, dans la suite, \emph{la branche principale}, et sera désignée par~$\overline{F}(x)$. + +Mais nous allons voir que, dans le cas présent, on pourra étudier +la fonction~$F(x)$ pour toute valeur de~$x$. Soit, en effet, $-n$~un +entier négatif inférieur à la partie réelle de chacun des points +singuliers de~$\varphi(z)$. On pourra appliquer la formule~\Eref{V}{I}{9} (\Pgref{p.}{eqn:V.I.9}) +pour~$k = n$, à condition de retrancher de son second membre +l'expression +\[ +\Phi(x) \equiv 2\pi i\, \residuesum \frac{\bigl(\varphi(z)\bigr)\,\Pow{x}{z}} + {\Pow{e}{2\pi iz} - 1}, +\] +%% -----File: 137.png---Folio 125------- +la somme s'étendant à tous les points singuliers de~$\phi(z)$ situés \emph{à +distance finie}. Remarquons en passant que \emph{$\Phi(x)$~est une fonction +entière de~$\log x$}, ce qu'on voit immédiatement en exprimant les +résidus qui y figurent par des intégrales définies, et en développant +$\Pow{x}{z} \equiv \Pow{e}{z\log x}$ suivant les puissances ascendantes de~$\log x$. + +On trouve donc pour~$F(x)$ l'expression suivante: +\Pagelabel{page125} +\[ +F(z) = -\sum_1^n \frac{\phi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} - \Phi(x) + - \int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty} \Phi(x,z)\, dz, +\EqnTag{V}{II}{8} +\] +où~$-(n + 1) < \alpha < -n$, expression qui est valable dans tout le +plan, sauf sur la partie $\Segment{0}{+\infty}$ de l'axe réel. + +Je dis que \emph{le dernier terme de cette expression s'évanouit +lorsque $n$~croît indéfi\-ni\-ment, si le point~$x$ est situé sur le +segment $\Segment{-\infty}{-1}$ de l'axe réel}. En effet, en posant +\Erratum{2} +\[ +\alpha = -\left(n + \smfrac{1}{2}\right), \quad + z = \alpha + it, \quad + x = \Pow{e}{\pi i}\, r \qquad (r > 1), +\] +on aura [\emph{voir} l'égalité~\Eref{V}{I}{5}, \Pgref{page}{eqn:V.I.5}] +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} + = \Pow{r}\alpha\, \frac{\Abs{\phi(\alpha + it)}}{\Pow{e}{\pi i} + \Pow{e}{-\pi i}},\quad\Changenotemark +% [** PP: Added i to exponent; dropped out in scan?] +\] +\Changenotetext{2}% +et, par suite, en vertu de l'hypothèse~\secundo ci-dessus, +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} < \Pow{r}{\alpha}\, + \Pow{e}{-\pi\Abs{t} + \eps\sqrt{\Pow{\alpha}{2} + \Pow{t}{2}}}, +\] +$\eps$~tendant vers zéro lorsque~$\alpha$ tend vers~$-\infty$. Comme l'on a +\begin{align*} + \sqrt{\Pow{\alpha}{2} + \Pow{t}{2}} < \sqrt{2} \Abs{\alpha}\qquad&\text{pour}\qquad + \Abs{t} < \Abs{\alpha} \\ +\intertext{et} + \sqrt{\Pow{\alpha}{2} + \Pow{t}{2}} < \sqrt{2} \Abs{t}\qquad&\text{pour}\qquad + \Abs{t} > \Abs{\alpha} +\end{align*} +le module du dernier terme de l'expression~\Eref{V}{II}{8} sera inférieur à +la somme +\[ +2\Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{\eps\sqrt{2}\Abs{\alpha}} \int_0^{\Abs{\alpha}} \Pow{e}{-\pi t}\, dt + + 2 \Pow{r}{\alpha} \int_{\Abs{\alpha}}^\infty \Pow{e}{-\pi i + \eps\sqrt{2}t}\, dt, +\] +dont les deux termes s'évanouissent pour~$\alpha =-\infty$, dès que~$r>1$. + +Pour~$n=\infty$, l'égalité~\Eref{V}{II}{8} deviendra donc, +\[ +F(x) = -\sum_1^\infty \frac{\phi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} - \Phi(x), +\EqnTag{V}{II}{9} +\] +%% -----File: 138.png---Folio 126------- +en supposant d'abord la variable~$x$ réelle et inférieure à~$-1$. Mais, +comme l'expression figurant au second membre est holomorphe en +dehors du cercle~$\Abs{x}=1$, elle nous donnera le prolongement de +la fonction~$F(x)$ dans toute cette région, en vertu du principe établi +au \no\Sref{9}. Donc: + +\Theorem{V.II.3}{Sous les conditions énoncées à la \Pgref{page}{page124}, la fonction~$F(x)$ +est holomorphe en dehors du cercle~$\Abs{x}=1$ {\upshape(}sauf peut-être +à l'infini{\upshape)}.} + +Menons une coupure suivant l'axe réel de $1$ à~$+\infty$. Dans la +région extérieure au cercle~$\Abs{x}=1$, et limitée par les deux bords +de cette coupure, la branche~$\overline{F}(x)$ sera représentée par l'expression~\Eref{V}{II}{9}, où l'argument de~$x$ est compris entre $0$ et~$2\pi$, et la +différence entre la valeur que prend cette branche en un point~$x$ +situé sur le bord supérieur de la coupure, et sa valeur au point +correspondant du bord inférieur, sera égale à +\[ +-\Phi(x) + \Phi(\Pow{e}{2\pi i}\, x) + \equiv -2\pi i\, \Biggl[\, + \residuesum \frac{\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} + - \residuesum \frac{\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z} \Pow{e}{2\pi iz}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} +\Biggr]\,, +\] +expression qui se réduit à +\[ +2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z}, +\EqnTag{V}{II}{10} +\] +la somme~$\residuesum$ s'étendant aux points singuliers de~$\varphi(z)$ situés \textit{à +distance finie}. + +Les valeurs de l'expression +\Pagelabel{page126} +\[ +\overline{F}_1(x) \equiv \overline{F}(x) + + 2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z}, +\EqnTag{V}{II}{11} +\] +sur le bord inférieur de la coupure $\Segment{1}{+\infty}$ se confondent donc +avec celles que prend la branche principale~$\overline{F}(x)$ sur le bord +supérieur et, en invoquant toujours le principe établi au \no\Sref{9}, on +en conclut que~$\overline{F}_1(x)$ \textit{donne le prolongement de~$\overline{F}(x)$ au delà +de la coupure $\Segment{1}{+\infty}$, lorsqu'on la traverse de haut en bas}. +Si l'on traverse la même coupure de bas en haut, le prolongement +de~$\overline{F}(x)$ est fourni par l'expression +\[ +\overline{F}_2(x) + \equiv \overline{F}(x) + - 2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(z)\bigr)\,\Pow{x}{z}. +\EqnTag{V}{II}{12} +\] + +%% -----File: 139.png---Folio 127------- + +Or l'expression~\Eref{V}{II}{10}, étant une fonction entière de~$\log x$, admet +pour seuls points singuliers l'origine et le point à l'infini, et notre +discussion conduit donc au résultat suivant: + +\Theorem{V.II.4}{Sous les conditions énoncées à la \Pgref{page}{page124}, la fonction~$F(x)$ +n'admet pas d'autres singularités que les points $1$,~$\infty$ et~$0$, +l'origine étant en général point singulier pour toute branche +de la fonction autre que la branche principale. En dehors du +cercle~$\Abs{x}=1$, cette fonction est représentée par l'expression~\Eref{V}{II}{9} +qui, jointe aux égalités \Eref{V}{II}{11} et~\Eref{V}{II}{12}, permet d'en poursuivre +l'étude pour toutes les valeurs de~$x$\footnotemark.} +\footnotetext{On a supposé tacitement que~$\varphi(z)$ ne devient infini pour aucune valeur +entière de~$z$. Mais il est facile de voir comment doivent être modifiés les résultats +qui précèdent dans le cas où cette condition n'est pas remplie.} +% [** End of footnote] + +\Paragraph{60.} Appliquons d'abord ce résultat au cas où $\varphi(z)$~n'a pas +de points singuliers à distance finie. Alors, en vertu de l'hypothèse~\secundo, +$\varphi(z)$~\textit{est une fonction entière dont le module croît +moins vite que}~$\Pow{e}{\eps\Abs{z}}$, quelque petit que soit~$\eps$. + +Les égalités \Eref{V}{II}{11} et~\Eref{V}{II}{12} se réduisent à~$\overline{F}_1(x) = \overline{F}_2(x) = \overline{F}(x)$, +et la formule~\Eref{V}{II}{9} devient +\[ +F(x) = -\sum^{\infty}_1 \frac{\varphi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} + \qquad\text{pour}\qquad \Abs{x} > 1, +\EqnTag{V}{II}{13} +\] +d'où il résulte que la fonction~$F(x)$ est uniforme dans tout le plan, +admet~$x=1$ comme seul point singulier et s'annule à l'infini. +Donc, d'après le théorème de Laurent, $F(x)$~\textit{est une fonction +entière de~$\smfrac{1}{x-1}$, sans terme constant}\footnotemark. +\footnotetext{Ce résultat important a été établi à peu près simultanément par M.~Le~Roy +(\textit{voir} p.~348 du Mémoire cité plus haut) et par M.~Wigert (\textit{Öfversigt +af Svenska Vetenskapsakademiens Förhandlingar}, 1900). Voir aussi un Mémoire +de M.~Leau (\textit{Journal de Mathématiques}, 1899).} +% [** End of footnote] + +Si, en particulier, $\varphi(z)$~est une fonction \emph{paire}, l'équation~\Eref{V}{II}{13} +devient +\[ +F(x) = -F\left(\smfrac{1}{x}\right) + \varphi(0). +\] + +Pour $x = \Pow{e}{i\theta}$, cette égalité s'écrit $F(\Pow{e}{i\theta}) + F(\Pow{e}{-i\theta})=\varphi(0)$; donc +%% -----File: 140.png---Folio 128------- +\textit{la partie réelle de $F(x)$ se réduit à la valeur constante $\smfrac{1}{2}\,\varphi(0)$ +sur la circonférence} $\Abs{x} = 1$, si l'on suppose la fonction $\varphi(z)$ +\emph{réelle} pour les valeurs réelles de $z$. + +Si $\varphi(z)$~est \textit{impaire}, l'égalité~\Eref{V}{II}{13} prend la forme +\[ +F(x) = F\left(\smfrac{1}{x}\right), +\] +et l'on en conclut, en particulier, que \textit{la partie imaginaire de~$F(x)$ +s'annule sur la circonférence}~$\Abs{x} = 1$. + +\Paragraph{61.} Soit en second lieu~$\varphi(z)$ une \emph{fonction rationnelle}, cas où +les conditions de la \Pgref{page}{page124} sont toujours vérifiées, et soit~$a$ un +pôle de~$\varphi(z)$. Si c'est un pôle simple, la partie correspondante de +l'expression~$\Phi(x)$ s'écrit~$A\Pow{x}{a}$, $A$~étant une constante. Si~$a$ est un +pôle d'ordre~$m>1$, il surviendra des termes en $\Pow{x}{a}\,\log x,~\dotsc,~\Pow{x}{a}\Pow{(\log x)}{m-1}$. +D'après l'égalité~\Eref{V}{II}{9}, on en conclut que, si les pôles +de~$\varphi(z)$ ont tous leur partie réelle négative, toute branche de la +fonction~$F(x)$ tend vers \emph{zéro} lorsque~$x$ s'éloigne indéfiniment dans +une direction quelconque. + +Soit, en particulier, $\varphi(z) = \Pow{z}{-k}$, $k$~étant un entier positif, et +considérons la fonction +\[ +F(x) = \sum^{\infty}_{\nu=1} \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + = \sum^{\infty}_{\nu=1} \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{\nu}{k}}, +\EqnTag{V}{II}{14} +\] +qui a fait l'objet des recherches de Lambert,~Legendre, Abel, +Kummer et de bien d'autres. On aura encore l'égalité~\Eref{V}{II}{9}, en désignant +par~$\Phi(x)$ le résidu de l'expression +\[ +\frac{1}{\Pow{z}{k}}\, \frac{2\pi i\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} +\] +relatif à l'origine. Or, on trouve facilement, à l'aide de la formule~\Eref{II}{II}{9} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.9}), que ce résidu est égal à $\smfrac{\Pow{(2\pi i)}{k}}{k!}\,\varphi_k\left(\smfrac{\log x}{2\pi i}\right)$, de sorte +que l'égalité en question devient +\[ +F(x) = \Pow{(-1)}{k+1}\, \sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{\nu}{k}}\,\frac{1}{\Pow{x}{\nu}} + - \frac{\Pow{(2\pi i)}{k}}{k!}\, \varphi_k\left(\frac{\log x}{2\pi i}\right) + \qquad (\Abs{x} < 1), +\] +%% -----File: 141.png---Folio 129------- +résultat dû à M.~Jonquière\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Bihang till Svenska Vetenskapsakademiens Handlingar}, t.~XV, 1888.} +D'autre part, l'égalité~\Eref{V}{II}{11} s'écrit +\[ +\overline{F}_1(x) = \overline{F}(x) + 2\pi i\, \frac{\Pow{(\log x)}{k-1}}{(k-1)!}. +\] + +Ces relations permettent d'étudier~$F(x)$ dans tout le plan; +pour~$k = 1$, on retrouve les propriétés connues de~$\log(1-x)$. + +Les résultats du \no\Sref{59} restent encore applicables dans bien des +cas où $\varphi(z)$~est une fonction méromorphe, mais pour cette question +nous devons nous borner à renvoyer aux Mémoires de +M.~Mellin, qui en a donné de nombreux exemples. + + +\Section{V}{III}{Nouvelle méthode de prolongement analytique.} + +\Paragraph{62.} On arrive à d'autres résultats généraux et dignes d'intérêt +en se servant de la formule~\Eref{III}{I}{IV}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IV}\footnotemark. +\footnotetext{Pour cette Section, \textit{voir} pages 24--36 de notre Mémoire cité au~\no\Sref{35}.} +% [** End of footnote] + +Pour en faciliter +l'énoncé, nous admettrons d'abord les hypothèses suivantes: +\smallskip + +\primo~\textit{La fonction~$\phi(z)$ est holomorphe pour tout point $z\equiv \tau + it$ +faisant partie du demi-plan~$\tau\geqq 0$}; +\Pagelabel{page129}% + +\secundo~\textit{Quelque petit que soit le nombre positif~$\eps$, on aura +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{\eps\rho} + \qquad\textit{pour}\qquad -\smfrac{\pi}{2}\leqq\psi\leqq \smfrac{\pi}{2}, +\] +dès que $\rho$~dépassera une certaine limite finie}. +\smallskip + +En posant $f(z) = \phi(z)\,\Pow{x}{z}$, on conclut immédiatement de la +seconde hypothèse que la condition~\Eref{III}{I}{A} (\Pgref{p.}{eqn:III.I.A}), lorsque~$x$ est +réel et positif, est vérifiée uniformément pour $0\leqq\tau\leqq n$, quelque +grand que soit~$n$, et, par un calcul identique à celui de la \Pgref{page}{page125}, +on démontre que la condition~\Eref{III}{I}{B} est remplie si l'on suppose +$0<x<1$. Pour ces valeurs de~$x$, on pourra donc appliquer la +formule~\Eref{III}{I}{IV} avec $m = 0$, ce qui donne +\[ +F(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + H(x) + I(x), +\EqnTag{V}{III}{1} +\] +%% -----File: 142.png---Folio 130------- +où +\begin{align*} + H(x) &= i \int^{\infty}_0 + \frac{\varphi(it)\, \Pow{x}{it} - \varphi(-it)\, \Pow{x}{-it}}{\Pow{e}{2\pi i} - t}\, dt, +\EqnTag{V}{III}{2} \\[1ex] + I(x) &= \int^{\infty}_0 \varphi(\tau)\, \Pow{x}{\tau}\, d\tau, +\EqnTag{V}{III}{3} +\end{align*} + +L'étude de la fonction donnée~$F(x)$ est donc ramenée à celle +des fonctions $H(x)$ et~$I(x)$. + +En posant $x=r\,\Pow{e}{i\theta}$, on a +\[ +\Abs{\Pow{x}{it}} = \Pow{e}{-\theta t}, \qquad +\Abs{\Pow{x}{-it}} = \Pow{e}{ \theta t}; +\] +d'après l'hypothèse~\secundo, le module de l'expression qui dans~\Eref{V}{III}{2} +figure sous le signe intégral croîtra donc moins vite que~$\Pow{e}{-(2\pi - \Abs{\theta} - \eps)t}$, +quelque petit que soit~$\eps$, et, en raisonnant comme à la \Pgref{page}{page112}, +on en déduit ce premier résultat: + +\Theorem{V.III.1}{L'expression~$H(x)$ définit une fonction analytique de la +variable~$x \equiv r\,\Pow{e}{i\theta}$ qui est holomorphe pour tout point du domaine\[ +-2\pi < \theta < 2\pi,\qquad r > 0. +\] +} +% [** End of Theorem] + +Quant à l'expression~$I(x)$, nous nous bornerons pour le moment +à constater qu'elle définit une fonction holomorphe à l'intérieur +du cercle~$\Abs{x} = 1$, en exceptant l'origine. Ceci résulte immédiatement +de l'inégalité +\[ +\Abs{\varphi(\tau)\, \Pow{x}{\tau}} + < \Powfr{e}{-\tau\left(\log\fnfrac{1}{r} - \eps\right)}, +\] +qui, en vertu de l'hypothèse~\secundo, subsiste à partir d'une valeur finie +de~$\tau$, quelque petit qu'on se donne le nombre positif~$\eps$. + +La fonction~$F(x)$ est holomorphe pour~$\Abs{x}<1$, puisque, d'après +l'hypothèse~\secundo, le rayon de convergence de la série donnée est au +moins égal à \emph{un}. On peut donc conclure de l'égalité~\Eref{V}{III}{1} que~$H(x)$ +est également holomorphe pour~$\Abs{x}<1$, sauf à l'origine qui est +pour chacune des fonctions $H(x)$ et~$I(x)$ un \emph{point critique}, c'est-à-dire +un point singulier autour duquel différentes branches de la +fonction se permutent. +%[**F2: "f-" added to "-onction".] + +Désignons maintenant par~$\overline{H}(x)$ la branche de la fonction~$H(x)$ +qui est définie par l'intégrale~\Eref{V}{III}{2} dans le domaine $-\pi<\theta<\pi$, +et, de même, par~$\overline{I}(x)$ la branche de~$I(x)$ définie par l'intégrale~\Eref{V}{III}{3} +%% -----File: 143.png---Folio 131------- +dans le domaine $-\pi<\theta<\pi$, $r<1$, et soient d'autre part~$\overline{H}_1(x)$, +$\overline{I}_1(x)$ les nouvelles branches de ces mêmes fonctions qu'on obtient +en prolongeant~$\overline{H}_1(x)$, $\overline{I}_1(x)$ le long d'une courbe fermée faisant le +tour de l'origine dans le sens direct, et restant intérieure au cercle~$\Abs{x} = 1$. +Comme la somme $H(x) + I(x)$ est uniforme dans ce même +cercle, d'après l'égalité~\Eref{V}{III}{1}, on aura +\[ +\overline{H}_1(x) + \overline{I}_1(x) = \overline{H}(x) + \overline{I}(x), +\] +ou bien +\[ +\overline{H}_1(x) = \overline{H}(x) + \overline{I}(x) - \overline{I}_1(x), +\] +et il en résulte que, dans le domaine où était défini~$\overline{H}(x)$, la +branche~$\overline{H}_1(x)$ ne saurait présenter d'autres singularités que celles +de la fonction~$I(x)$. Cette conclusion s'étend successivement à +toutes les branches de~$H(x)$, et, après un moment de réflexion, on +arrive ainsi au résultat suivant, qui nous paraît intéressant: + +\smallskip +\textit{Sous les conditions énoncées \Pgref{page}{page129}, toute branche de la +fonction~$F(x)$ peut se mettre sous la forme $\smfrac{1}{2}\varphi(0)+\overline{H}(x)$ plus +ou moins certaines branches de la fonction~$I(x)$}. +\Pagelabel{page131}%% + +\textit{L'étude de la fonction~$F(x)$ revient donc essentiellement à +celle de la fonction~$I(x)$ et, en particulier, les singularités +de~$F(x)$ sont toutes comprises parmi celles des différentes +branches de~$I(x)$}. +\smallskip + +Cette proposition reste encore vraie si l'on remplace la condition~\secundo +par la suivante qui est plus générale: +\smallskip + +\textit{Quelque petit que soit~$\eps$, on aura +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{(\vartheta + \eps)\rho} +% [** PP: Changed "=" to "\leqq" in "-\smfrac{\pi}{2} = \psi"] + \qquad\textit{pour}\qquad -\smfrac{\pi}{2} \leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2},\quad\Changenotemark +\] +dès que $\rho$~dépassera une certaine limite, $\vartheta$~étant un nombre +positif inférieur à~$\pi$}. +\Changenotetext{3} +\Erratum{3} +\smallskip + +L'intégrale~\Eref{V}{III}{2} définit dans ce cas une fonction holomorphe dans +le domaine $\Abs{\theta} < 2\pi - \vartheta$, $r>0$. + +Remarquons encore que la seconde partie de la proposition ci-dessus +reste valable dans le cas où les conditions données sont +vérifiées, non pas pour~$\varphi(z)$, mais pour~$\varphi(n_0+z)$, $n_0$~étant un +entier positif quelconque, pourvu toutefois que~$\varphi(z)$ soit +%% -----File: 144.png---Folio 132------- +holomorphe aussi sur le segment $0\leqq \tau \leqq n_0$ de l'axe réel. On le vérifie +immédiatement, en appliquant les résultats précédents à la série +\[ +\sum^{\infty}_0 \varphi(n_0+\nu)\, \Pow{x}{\nu}. +\] + +\Paragraph{63.} La proposition précédente permet d'étudier complètement +la fonction $F(x)$ toutes les fois qu'on sait calculer l'intégrale~$I(x)$ +sous forme finie. Nous en donnerons plus loin des exemples; mais +d'abord nous indiquerons un cas assez général où l'on peut poursuivre +l'étude de la fonction~$I(x)$ et, par suite, celle de la fonction~$F(x)$, +pour toutes les valeurs de la variable~$x$. Admettons les +hypothèses suivantes: +\smallskip + +\primo~\textit{La fonction~$\phi(z)$ est holomorphe dans le demi-plan~$\tau\geqq 0$}. + +\secundo~\textit{L'angle~$\psi_0$ étant donné aussi grand qu'on le voudra, on +peut trouver un nombre positif~$R$ tel que, en posant $z=\rho\,\Pow{e}{i\psi}$, la +fonction~$\varphi(z)$ soit holomorphe pour $-\psi_0\leqq \psi\leqq \psi_0$, $\rho\geqq R$ {\upshape(}sauf +peut-être à l'infini{\upshape)}.} + +\tertio~\textit{Quelque grand que soit~$\psi_0$ et quelque petit que soit~$\eps$, on +aura, dès que $\rho$~dépassera une certaine limite}, +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{\eps\rho} \qquad\textit{pour}\qquad + -\psi_0\leqq \psi\leqq \psi_0. +\] + +Ces conditions portent sur \textit{la branche principale} de~$\varphi(z)$, c'est-à-dire +sur celle qui fournit les coefficients de la série donnée. + +Nous allons montrer que, \textit{sous les conditions énoncées ci-dessus, +la fonction~$I(x)$ ne saurait présenter, à distance finie, d'autres +points singuliers que l'origine et le point} ($r = 1$, $\theta = 0$). +\smallskip + +Désignons par~$I(x,\psi)$ l'intégrale $\dint\varphi(z)\, \Pow{x}{z}\, dz$ prise de $0$ à~$\infty$ +suivant le rayon formant avec l'axe réel positif l'angle~$\psi$, supposé +compris entre $-\smash{\smfrac{\pi}{2}}$ et~$\smash{\smfrac{\pi}{2}}$. En posant $x = r\,\Pow{e}{i\theta}$, $z = \rho\,\Pow{e}{i\psi}$, on aura +\[ +\Abs{\Pow{x}{z}} = \Pow{e}{\rho(\log r \cos\psi - \theta\sin\psi)}, +\] +et comme~$\Abs{\varphi(z)}$ croît moins vite que~$\Pow{e}{\eps\rho}$ sur le rayon envisagé, en +vertu de l'hypothèse~\tertio, on en conclut, en raisonnant comme à +la \Pgref{page}{page112}, que~$I(x, \psi)$ représente une fonction analytique holomorphe +dans le domaine $T(\psi)$, défini par les inégalités +\[ +\log r\cos\psi - \theta\sin\psi<0, \qquad r>0. +\EqnTag{V}{III}{4} +\] + +%% -----File: 145.png---Folio 133------- + +Je dis que cette fonction donne le prolongement de la fonction~$I(x)$, +définie par l'intégrale~\Eref{V}{III}{3}, à l'intérieur du cercle~$\Abs{x} = 1$. +Pour s'en assurer, on n'aura qu'à reprendre le raisonnement donné +\Pgref{page}{page93} et à observer que l'on a sur l'arc~$AB$, pour~$x$ réel et positif, +\[ +\Abs{\Pow{x}{z}\, \varphi(z)} < \Pow{e}{-R(\cos\psi\log\fnfrac{1}{x} - \eps)}, +\] +d'où il résulte que, si l'on suppose $0 < x < 1$, l'intégrale relative +à cet arc s'évanouit lorsque~$R$ croît indéfiniment. + +Le domaine~$T(\psi)$ comprend les points intérieurs à la spirale +\[ +r = \Pow{e}{\theta\tang\psi}. +\EqnTag{V}{III}{5} +\] +Pour $\psi=0$, celle-ci se confond avec la circonférence $r = 1$. A +mesure que~$\Abs{\psi}$ augmente, le domaine~$T(\psi)$ s'élargit et embrasse, +pour $\psi = \smfrac{\pi}{2}$, tout point ayant un argument~$\theta > 0$ et, pour~$\psi=-\smfrac{\pi}{2}$, +les points pour lesquels~$\theta<0$, d'où le résultat suivant: + +\Theorem{V.III.2}{La fonction~$I(x)$ reste holomorphe de quelque manière qu'on +fasse varier le point~$x$, à condition qu'il ne vienne se confondre +\Erratum{4}% +% [** PP: Added left endpoint; seems to be (0, oo) from context] +ni avec l'origine, ni avec un point situé sur le segment $\Segment{0}{\infty}$\Changenotemark\ +du rayon d'argument~$\theta=0$.} +\Changenotetext{4} + +\Pagelabel{page133}% +Lorsque $\Abs{\psi}$~croît au delà de~$\smfrac{\pi}{2}$ on doit dans l'expression~$I(x,\psi)$ +modifier le chemin d'intégration de manière à éviter les points singuliers +de la fonction~$\varphi(z)$. Pour fixer les idées, convenons de +choisir pour ce chemin le contour~$\Gamma$ qui se compose: \primo~du segment $\Segment{0}{R}$ +de l'axe réel; \secundo~de l'arc de la circonférence~$\Abs{z} = R$ +compris entre les points $z = R$ et~$z = R\,\Pow{e}{i\psi}$; \tertio~de la partie du +rayon d'argument~$\psi$ qui s'étend du point~$z = R\,\Pow{e}{i\psi}$ à l'infini. On +suppose $R$~choisi de telle sorte que $\varphi(z)$~soit holomorphe à l'intérieur +et sur le contour de la région comprise entre l'axe réel positif +et le rayon d'argument~$\psi$, et extérieure au cercle~$\Abs{z} = R$. + +Dans ces conditions, l'expression +\[ +I(x,\psi) \equiv \int_{\Gamma} \varphi(z)\, \Pow{x}{z}\, dz +\] +représentera, pour toute valeur donnée de~$\psi$, une fonction analytique +de~$x$ qui est holomorphe dans le domaine~$T(\psi)$, défini par~\Eref{V}{III}{4}, +%% -----File: 146.png---Folio 134------- +et cette fonction donnera constamment le prolongement de la fonction~$I(x)$. +En effet, si les valeurs $\psi'$ et~$\psi''$ sont suffisamment rapprochées, +les domaines $T(\psi')$ et~$T(\psi'')$ auront une portion commune, +et pour tout point~$x$ intérieur à cette portion les expressions +$I(x, \psi')$ et~$I(x, \psi'')$ prendront des valeurs égales, ce qu'on démontre +en raisonnant comme \Pgref{page}{page93}. En intercalant entre $0$ et~$\psi$ +une suite de valeurs suffisamment rapprochées et en comparant +entre elles deux à deux les expressions~$I(x, \psi)$ correspondant à +ces valeurs, on arrivera donc au résultat annoncé. + +Quant au domaine~$T(\psi)$, sa forme se modifie sans cesse lorsque~$\psi$ +varie. Ainsi, lorsque $\smfrac{\pi}{2}<\psi <\smfrac{3\pi}{2}$, de sorte que~$\cos\psi<0$, ce +domaine comprend la portion du plan qui est \textit{extérieure} à la +spirale~\Eref{V}{III}{5}, et, en particulier, pour~$\psi =\pi$, la portion extérieure à la +circonférence~$\Abs{x} = 1$. Pour $\smash[b]{\psi = \smfrac{3\pi}{2}}$, $T(\psi)$~se réduit au domaine +$\theta <0$; pour $\smfrac{3\pi}{2}<\psi<\smfrac{5\pi}{2}$, ce sera de nouveau la portion du plan +intérieure à la spirale~\Eref{V}{III}{5}, laquelle, pour~$\psi= 2\pi$, se confond avec +la circonférence~$\Abs{x} = 1$; et ainsi de suite. Pour les valeurs négatives +de~$\psi$, les choses se passent d'une manière analogue. +\Pagelabel{page134}% + +Cette discussion, qui deviendrait plus claire à l'inspection d'une +figure, conduit à la conclusion suivante: partant par exemple d'un +point situé sur le segment $\Segment{0}{1}$ du rayon d'argument~$\theta = 0$, faisons +décrire à la variable~$x$, d'un mouvement uniforme, une +courbe~$S$ qui ne passe ni par l'origine, ni par le point~$(r = 1,\theta = 0)$, +et qui aboutisse à un point quelconque~$x_1$ distinct de ces +deux points; on pourra prescrire à l'angle~$\psi$ une variation continue, +telle que le point~$x$, en décrivant la courbe~$S$, soit à chaque +instant intérieur au domaine~$T(\psi)$ et que, par suite, l'expression~$I(x, \psi)$ +soit holomorphe en ce point. Comme $I(x, \,\psi)$~donne le +prolongement de~$I(x)$, d'après ce qui a été dit plus haut, il en +résulte que la fonction~$I(x)$ est holomorphe en tout point de~$S$ et, +en particulier, au point~$x_1$, et comme celui-ci était un point quelconque +distinct des points $x = 0$ et~$(r = 1, \theta = 0)$, la proposition +énoncée au début de ce numéro se trouve donc démontrée. + +En se reportant maintenant à la proposition démontrée \Pgref{page}{page131}, +on arrive à l'intéressant résultat que voici: + +% [*** Page number face may need attention] +\Theorem{V.III.3}{Si les conditions énoncées \Pgref{page}{page129} sont vérifiées, la +%% -----File: 147.png---Folio 135------- +fonction~$F(x)$ ne saurait admettre d'autres points singuliers que +$1$,~$\infty$ et~$0$ {\upshape[}l'origine étant en général point singulier pour toute +branche de~$F(x)$ autre que la branche principale{\upshape]}.} + +Pour que ce résultat soit applicable, il suffit d'ailleurs que les +conditions dont il s'agit soient vérifiées pour~$\varphi(n_0 +z)$, $n_0$~étant un +entier positif quelconque. + +\Paragraph{64.} Nous indiquerons en quelques mots une généralisation du +résultat qui précède. En conservant les deux premières conditions +du \no\Sref{63}, convenons de remplacer la troisième par la suivante +qui est plus générale: + +\Theorem{V.III.4}{Quelque grand que soit~$\psi_0$ et quelque petit que soit~$\eps$, on +aura, à partir d'une certaine valeur de~$\rho$, +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{(\vartheta + \eps)\rho} + \qquad\textit{pour}\qquad -\psi_0\leqq \psi\leqq \psi_0, +\] +$\vartheta$~désignant un nombre positif inférieur à~$\pi$.} + +A chaque valeur donnée~$\psi$ on pourra évidemment faire correspondre +un nombre réel~$K(\psi)$, inférieur à~$\vartheta$ et tel que, $\rho$~tendant +vers l'infini, le produit +\[ +\Pow{e}{-[K(\psi) + \eps]\rho}\, \varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi}) +\] +tende vers zéro ou non, suivant que $\eps >0$ ou~$\eps <0$. En raisonnant +comme au numéro précédent, on en conclut que l'expression~$I(x,\psi)$ +représente une fonction holomorphe de~$x$ dans le domaine +\[ +\log r\cos\psi - \theta\sin\psi + K(\psi) < 0,\qquad r > 0, +\EqnTag{V}{III}{6} +\] +et que cette fonction donne le prolongement de~$I(x)$; le théorème +de la \Pgref{page}{page131} nous permet donc d'énoncer le résultat suivant, qui +révèle un rapport intéressant entre les points singuliers de~$F(x)$ et +les propriétés asymptotiques de~$\varphi(z)$: + +\Theorem{V.III.5}{Si les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées, les seuls +points singuliers que puisse présenter~$F(x)$ à distance finie, en +dehors de l'origine, sont les points $x \equiv r\,\Pow{e}{i\theta}$ qui restent extérieurs +au domaine~\Eref{V}{III}{6} quel que soit~$\psi$.} + +Comme~$K(\psi)<\vartheta$, les points en question vérifieront à plus forte +%% -----File: 148.png---Folio 136------- +raison la condition $\log r\cos\psi-\theta\sin\psi+\vartheta>0$, quel que soit $\psi$, +d'où cette autre conclusion: + +\Theorem{V.III.6}{Sous les conditions admises ci-dessus, les points singuliers +de la fonction~$F(x)$, autres que l'origine et le point à l'infini, +sont tous compris à l'intérieur de la courbe fermée +\[ +r = \Pow{e}{\pm\sqrt{\Pow{\vartheta}{2} - \Pow{\theta}{2}}} +\] +enveloppe des spirales $\log r\cos\psi - \theta\sin\psi + \vartheta = 0$ correspondant +aux différentes valeurs de l'angle~$\psi$.} +% [** End of Theorem] + +Pour $\vartheta=0$, la courbe en question se réduit au seul point~$x = 1$, +de sorte que l'on retrouve le théorème du \no\Sref{63}. + +\Paragraph{65.} Reprenons les hypothèses du \no\Sref{63} et les notations du \no\Sref{62}; +on aura à l'intérieur du cercle~$\Abs{x} =1$ +\[ +\overline{F}(x) + = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + \overline{H}(x) + + \int_0^{\infty} \Pow{x}{\tau}\, \varphi(\tau)\, d\tau, +\] +et d'autre part, en désignant, comme à la \Pgref{page}{page126}, par~$\overline{F}_1(x)$ la +branche de la fonction~$F(x)$ qu'on obtient en prolongeant~$\overline{F}(x)$ le +long d'un chemin faisant le tour du point~$x = 1$ dans le sens +\textit{rétrograde}, il résulte des considérations des pages~\pageref{page133}--\pageref{page134} qu'on +aura dans le même cercle +\[ +\overline{F}_1(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + \overline{H}(x) + + \int_{\Gamma'} \Pow{x}{z}\, \varphi(z)\, dz, +\] +le contour~$\Gamma'$ étant composé: \primo~du segment $\Segment{0}{R}$ de l'axe réel; +\secundo~de la circonférence~$C_R$ de centre~$0$ et de rayon~$R$ (parcourue +dans le sens direct); \tertio~du segment $\Segment{R}{\infty}$ de l'axe réel. Quant +au nombre~$R$, on doit le choisir assez grand pour que la branche +principale de~$\phi(z)$ soit holomorphe pour $0 \leqq \psi\leqq2\pi$, $\rho\geqq R$, ce qui +est possible en vertu des hypothèses du \no\Sref{63}. + +Les égalités précédentes mettent en évidence certains cas généraux +où l'on pourra trouver pour la différence~$\overline{F}_1(x)-\overline{F}(x)$ une +expression valable dans tout le plan. +\smallskip + +($\alpha$).~\textit{La branche principale de~$\varphi(z)$ est uniforme à l'infini}.~---~Le +nombre~$R$ étant déterminé comme il a été dit, $\varphi(z)$~sera +%% -----File: 149.png---Folio 137------- +uniforme et holomorphe en dehors de~$C_R$ et sur cette circonférence, +d'où l'on déduit +\[ +\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) = \int_{C_R}\Pow{x}{z}\, \varphi(z)\, dz. +\] + +Or, d'après le théorème de Laurent, la fonction~$\varphi(z)$ sera représentée +pour $\Abs{z} \geqq R$ par un développement de la forme +\[ +\varphi(z) = \sum^{+\infty}_{-\infty} A_\nu \Pow{z}{\nu}, +\] +qui reste uniformément convergent sur~$C_R$, et en le substituant +dans l'égalité précédente, on aura +\[ +\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) + = 2\pi i\sum^{\infty}_1 \frac{A_{-\nu}}{(\nu-1)!}\, \Pow{(\log x)}{\nu-1}. +\] + +Le second membre est une fonction entière de~$\log x$. On peut +ainsi étudier la fonction~$F(x)$ dans tout le plan. + +($\beta$).~\textit{La fonction~$\varphi(z)$ est uniforme dans tout le plan et ne +présente qu'un nombre fini de points singuliers.}~---~Dans ce +cas, on retrouve un résultat établi au \no\Sref{59}: +\[ +\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) + = 2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(x)\bigr)\, \Pow{x}{z}. +\] + +% [** PP: Added opening parenthesis] +($\gamma$).~$\varphi(z) = \log R(z)$, $R(z)$~\textit{étant une fonction rationnelle.}~---~Soient +$a_1$,~$a_2$, $\dotsc,~a_n$ les affixes des \emph{zéros} et des pôles de la fonction~$R(z)$, +situés à distance finie, et soient $\mu_1,~\mu_2, \dotsc,~\mu_n$ leurs +ordres respectifs [$\mu_\nu$~étant un entier positif ou négatif suivant que +le point~$a_{\nu}$ est pour~$R(z)$ un \emph{zéro} ou un pôle]. Par une déformation +continue, on pourra ramener le contour~$\Gamma$' défini plus haut à +une suite de lacets, partant de l'origine et renfermant chacun un +seul point~$a$, plus le segment $\Segment{0}{+\infty}$ de l'axe réel. On trouve +ainsi, par un calcul facile que nous devons laisser au lecteur, +\[ +\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) + = -\frac{2\pi i}{\log x}\sum^n \mu_\nu\, \Pow{x}{a_\nu}, +\] +%% -----File: 150.png---Folio 138------- +égalité qui met en évidence le caractère des différentes branches +de la fonction donnée. + +\Paragraph{66.} En terminant, appliquons les considérations qui précèdent +à un exemple assez important. Faisons~$\varphi(z) = \Pow{z}{-s}$ et supposons la +partie réelle de~$s$ \textit{négative}; $\varphi(z)$~s'annulera à l'origine, et la +fonction~$F(x)$ s'écrira +\[ +F(x,s) \equiv \sum^{\infty}_1 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{\nu}{s}}. +\] + +Les conditions du \no\Sref{63} sont vérifiées, sauf que la fonction~$\varphi(z)$ +n'est pas holomorphe à l'origine. Mais, comme elle y prend une +valeur finie et déterminée, les résultats précédents seront encore +valables, comme on le voit en appliquant la formule~\Eref{III}{I}{V} de la +\Pgref{page}{eqn:III.I.V} avec~$m = 1$, et en tenant compte de la note de la \Pgref{page}{page60}. + +Dans le cas présent, l'intégrale~$I(x)$ se calcule sous forme finie: +\[ +I(x) \equiv \int^{\infty}_0 \Pow{x}{\tau}\, \Pow{\tau}{-s}\, d\tau + = \Gamma(1-s) \Pow{\Bigl(\log\smfrac{1}{x}\Bigr)}{s-1}, +\] +et l'expression~$H(x)$ s'écrit: +\[ +H(x) = -2\int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\, \sin\left(t\log x - \smfrac{\pi s}{2}\right)\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +de sorte que l'égalité~\Eref{V}{III}{1} nous donne +\[ +F(x,s) = \Gamma(1-s) \Pow{\left(\log\smfrac{1}{x}\right)}{s-1} + - 2\int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\, \sin\left(t\log x - \smfrac{\pi s}{2}\right)\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\] + +On vérifie aisément sur cet exemple les résultats du \no\Sref{63}. En +particulier, les seuls points singuliers de~$I(x)$ sont l'origine, le +point à l'infini et le point ($r=1$, $\theta =0$). Donc aussi, d'après la +\Pgref{page}{page131}, $F(x,s)$~\textit{n'admet pas d'autres points singuliers que +$1$,~$\infty$ et~$0$.} D'ailleurs l'origine est effectivement point singulier pour +toute branche de~$F(x,s)$ autre que la branche principale. + +D'autre part, on constate aisément que \textit{toute branche de~$F(x,s)$ +tend vers zéro lorsqu'on s'éloigne indéfiniment de l'origine}, +dans une direction déterminée quelconque (\textit{cf.}~le \no\Sref{55}). + +La fonction~$H(x)$ étant holomorphe au point~$x = 1$, on peut la +développer en série convergente suivant les puissances ascendantes +%% -----File: 151.png---Folio 139------- +de~$\log x$. Les coefficients de ce développement, qui se présentent +d'abord sous forme d'intégrales définies, peuvent s'exprimer simplement +à l'aide de la fonction~$\zeta(s)$, en vertu de l'égalité~\Eref{V}{I}{8} de la +\Pgref{page}{eqn:V.I.8}. On trouve ainsi\footnotemark +\footnotetext{Ce résultat peut se déduire aussi d'une formule générale très remarquable + établie par M.~Mellin (\textit{Acta Soc.\ Scient.\ Fenn.},\ t.~XXIV, \no10, p.~39--42 +et~t.~XXIX, \no4, p.~42--44).} +% [** End of footnote] +\[ +F(x,s) = \Gamma(1-s) \Pow{\Bigl(\log\smfrac{1}{x}\Bigr)}{s-1} + + \sum^{\infty}_0 \zeta(s-\nu)\, \frac{\Pow{(\log x)}{\nu}}{\nu!}. +\EqnTag{V}{III}{7} +\] + +Quel est le domaine de convergence de ce développement? On +pourrait évidemment le déduire des propriétés de la fonction~$\zeta(s)$, +mais nous préférons nous servir de nos résultats généraux. Les +points singuliers de~$H(x)$ sont l'origine et le point à l'infini, ainsi +que le point~$x = 1$ lorsqu'on y arrive après avoir fait le tour de +l'origine, c'est-à-dire avec un argument~$\theta$ qui est un multiple +entier positif ou négatif de~$2\pi$. La plus petite valeur du +module~$\Abs{\log x}$ correspondant à un point singulier de~$H(x)$ ou +de~$\log x$, est donc précisément égale à~$2\pi$, et il en résulte que +le développement~\Eref{V}{III}{7} reste convergent tant que $\Abs{\log x} < 2\pi$, +condition qui est vérifiée dans le domaine limité par les deux +courbes $r=\Pow{e}{\sqrt{4\Pow{\pi}{2}-\Pow{\theta}{2}} }$ et~$r=\Pow{e}{-\sqrt{4\Pow{\pi}{2}-\Pow{\theta}{2}}}$. + +On aura un développement analogue de l'expression~$H(x)$, +avec le même domaine de convergence, toutes les fois que sont +vérifiées les conditions du \no\Sref{62}. + +Nous avons supposé jusqu'ici la partie réelle de~$s$ négative, mais +il est facile de lever cette restriction. En effet, en se servant d'un +artifice bien connu dû à Riemann, on arrive à cette nouvelle +expression de~$H(x)$: +\[ +H(x) = \frac{2}{1 - \Pow{e}{-2\pi is}} + \int_C \Pow{t}{-s}\, \sin\left(t\log x - \smfrac{\pi s}{2}\right)\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +le contour~$C$ se composant, par exemple, des parties suivantes: +\primo~le segment $\Segment{\infty}{k}$ de l'axe réel $(0 < k < 1)$; \secundo~la circonférence~$\Abs{t} = k$, +parcourue dans le sens direct; \tertio~le segment $\Segment{k}{\infty}$, +de l'axe réel. Cette expression est valable pour toutes les valeurs +de~$s$, sauf les valeurs entières, et l'on en conclut que, sous les +%% -----File: 152.png---Folio 140------- +mêmes conditions, la fonction~$H(x)$ est holomorphe dans le +domaine $-2\pi<\theta<2\pi$, $r>0$. Donc, dans tous les cas, $1$,~$\infty$ +et~$0$ seront les seuls points singuliers de~$F(x, s)$. D'autre part, +l'expression ci-dessus peut évidemment se développer en série +convergente suivant les puissances ascendantes de~$\log x$, et comme +les coefficients de cette série sont des fonctions analytiques de~$s$ et +qu'ils doivent coïncider avec les coefficients correspondants du +développement~\Eref{V}{III}{7} lorsque la partie réelle de $s$~est négative, il en +résulte que ce dernier développement reste valable pour toutes les +valeurs de~$s$, sauf les valeurs entières et positives. + +Substituons maintenant dans la formule~\Eref{V}{III}{7} $s = k + \eps$, $k$~étant +un entier positif supérieur à l'unité. On déduit facilement des propriétés +connues de~$\Gamma(x)$: +\[ +\Gamma(1-s) \equiv \Gamma(1-k-\eps) + = -\smfrac{R}{\eps} + A_0 + A_1\eps + \dotsb, +\] +avec +\[ +R = \frac{\Pow{(-1)}{k-1}}{(k-1)!},\qquad +A_0= \frac{\Pow{(-1)}{k-1}}{(k-1)!} + \left(1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb + \smfrac{1}{k-1} - C\right), +\] +$C$~étant la constante d'Euler, et d'autre part on a, d'après la +\Pgref{page}{page104}, +\[ +\zeta\bigl[s-(k-1)\bigr] \equiv \zeta(1+\eps) + = \smfrac{1}{\eps} + C + \dotsb. +\] + +En faisant tendre~$\eps$ vers zéro, on trouvera donc pour la +fonction~\Eref{V}{II}{14} (\Pgref{p.}{eqn:V.II.14}) ce nouveau développement\footnotemark +\footnotetext{Ce développement peut se déduire aussi des résultats obtenus par Kummer +(\textit{Journal de Crelle}, t.~21; \emph{voir} en particulier p.~340).} +% [** End of footnote] +\begin{align*} + \sum^{\infty}_{\nu=1} \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{\nu}{k}} + &= \frac{\Pow{(\log x)}{k-1}}{(k-1)!}\, + \left(1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb + \smfrac{1}{k-1} + - \log\log\smfrac{1}{x}\right) \\ +% + &\quad + \sideset{}{'}\sum^{\infty}_{\nu=0} + \zeta(k-\nu)\, \frac{\Pow{(\log x)}{\nu}}{\nu!}, +\end{align*} +où l'accent affectant la dernière somme signifie que la valeur +$\nu = k - 1$ est exclue. Les coefficients de ce développement, qui +converge pour $\Abs{\log x} < 2\pi$, se simplifient d'ailleurs, grâce aux +relations~\Eref{II}{II}{6} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.6}) et~\Eref{IV}{III}{9} (\Pgref{p.}{eqn:IV.III.9}). + +%% -----File: 153.png---Folio 141------- + +A la fonction~$F(x,s)$ se rattachent d'autres fonctions intéressantes, +par exemple +\[ +\sum^{\infty}_1 \sin(\log\nu)\, \Pow{x}{\nu}\quad\text{et}\quad +\sum^{\infty}_1 (\log\nu)\Pow{x}{\nu}, +\] +dont la première a été considérée par M.~Hadamard dans sa Thèse. +Notre méthode permettrait de même d'étudier complètement la +fonction plus générale +\[ +\sum^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{(w + \nu)}{s}}. +\] + +Mais nous devons laisser au lecteur à développer ces applications +et bien d'autres qui se déduisent facilement de nos considérations +générales. + +\vfil +\begin{center} + FIN. +\end{center} +\vfil + +%% -----File: 154.png---Folio 142------- +%[Blank Page] + +%% -----File: 155.png---Folio 143------- + +\setlength{\tablelength}{\linewidth} +\settowidth{\lastcol}{Pages. } +\addtolength{\tablelength}{-\lastcol} + +\pagestyle{empty} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\Pagelabel{ToC} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Table des Matières}{Table des Matières} +\noindent\rule{\linewidth}{0.5pt} \\[6ex] +\begin{center} +\textbf{\LARGE TABLE DES MATIÈRES.} +\vspace*{2ex} + +\bigTbreak + +%% [** PP: Lots of hard-coded dimensions, OK at current page size] +\begin{tabular}{@{} r@{\:}c@{}l@{}r @{}} +\multicolumn{4}{@{}r@{}}{Pages.}\\ +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[Preface]{\textsc{Préface}}\dotfill} +&\textsc{\pageref{Preface}}\\[0.5ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[Index]{\textsc{Index}}\dotfill}& \textsc{\pageref{Index}}\\[1ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:I]{\textsc{Chapitre \phantom{I}I.\, ---\;Principes et théorèmes fondamentaux}}\dotfill}&\pageref{chapter:I}\\[1ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:II]{\textsc{Chapitre II.\, ---\;Applications diverses du calcul des résidus}}\dotfill}& \pageref{chapter:II}\\[0.5ex] + I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\hangindent=1em \textit{Fonctions symétriques des racines d'une équation. ---\,Dével\-oppe\-ment des fonctions implicites} \dotfill}&\raisebox{-2.7ex}{\pageref{section:II.I}}\\ + II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Quelques applications aux fonctions méromorphes}\dotfill}& \pageref{section:II.II}\\ + III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Calcul de quelques intégrales définies}\dotfill}&\pageref{section:II.III}\\[1ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hangindent=10em \hyperref[chapter:III]{\textsc{Chapitre III.\, ---\;Formules sommatoires tirées du calcul des résidus}}\dotfill}& \pageref{chapter:III}\\[0.5ex] + I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.8 \tablelength}}{\hangindent=1em \textit{Recherches de Cauchy. --- Transformations diverses des formules générales}\dotfill}&\raisebox{-2.7ex}{\pageref{section:III.I}}\\ + & &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Notes historiques}\dotfill.}&\pageref{paragraph:35}\\ + II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Quelques applications des formules précédentes}\dotfill}&\pageref{section:III.II}\\ + III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{La formule sommatoire d'Euler et autres formules analogues}\dotfill}&\pageref{section:III.III}\\[1ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:IV]{\textsc{Chapitre IV.\, ---\;Les fonctions} $\Gamma(x)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,w)$}\dotfill.}&\pageref{chapter:IV}\\[0.5ex] + I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\hangindent=1em \textit{Expressions diverses de $\log \Gamma(x)$ et de ses dérivées sous forme d'intégrales définies}\dotfill}& \raisebox{-2.7ex}{\pageref{section:IV.I}}\\ + II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Développements asymptotiques de} $\log \Gamma(x)$\dotfill}& \pageref{section:IV.II}\\ + III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Les fonctions $\zeta(s)$ et $\zeta(s,w)$}\dotfill}&\phantom{a}\pageref{section:IV.III}\\[1ex]% +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hangindent=8em\hyperref[chapter:V]{\textsc{Chapitre V.\, ---\;Applications au prolongement analytique et à l'étude asymptotique des fonctions définies par un développement de Taylor}}\dotfill}&\raisebox{-5.3ex}{\pageref{chapter:V}}\\[2.8ex] %[** PP: changed ``a l'étude'' to ``à l'étude''] + + I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Deux théorèmes généraux}\dotfill}&\pageref{section:V.I}\\ + II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Applications diverses}\dotfill}&\pageref{section:V.II}\\ +\phantom{\textsc{Ch}} III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Nouvelle méthode de prolongement analytique}\dotfill}&\pageref{section:V.III}\\[2ex] +\multicolumn{4}{@{}c@{}}{FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.}\\ +\end{tabular} +\end{center} +\end{minipage} + + +\clearpage + +%% -----File: 156.png---Folio 144------- + +\null\vfil +\begin{center} + +\rule[1ex]{0.2\textwidth}{.5pt} +\bigskip + +\textsc{\small 35785 PARIS. --- IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS,} +\smallskip + +{\footnotesize Quai des Grands-Augustins, 55.} +\bigskip + +\rule[1ex]{0.2\textwidth}{.5pt} + +\end{center} +\vfil + +\cleardoublepage + +%% -----File: 157.png---Folio 145------- +%[Blank Page] + +%% -----File: 158.png---Folio 146------- +%[**F1: line breaks, font sizes, line spacing etc will need attention in PP once page dimensions are known] + +\enlargethispage{36pt} + +\vspace*{-1in} + +\begin{center} +\large LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS,\\ + +\small\textsc{quai des grands-augustins, 55, a paris} (6\ieme).\\[2ex] +\rule{8em}{.4pt}\\[4ex] +\end{center} + +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Catalogue}{Catalogue} + +\addtolength{\parskip}{1ex} % increase spacing between catalogue entries +\footnotesize + +\noindent\hangindent\parindent\hangafter1% +\textbf{BOREL (Émile)}, Maître de Conférences à l'École Normale supérieure. --- % [**F1: to avoid ugly overfull line using default pagewidth] +\textbf{Collection +de monographies sur la Théorie des fonctions}, publiée sous +la direction de \textsc{Émile} \bsc{Borel}. % [**'É' unclear in this whole page] + +\medskip +\textit{Leçons sur la théorie des fonctions} (\textit{Éléments de la théorie des ensembles +et applications}), par \textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1898\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les fonctions entières}, par \textsc{Émile} \bsc{Borel}; 1900\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les séries divergentes}, par \textsc{Émile} \bsc{Borel}; 1901\Dotfill 4~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les séries à termes positifs}, professées au Collège de France par +\textsc{Émile} \bsc{Borel}, recueillies et rédigées par \textit{Robert d'Adhémar}; 1902\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les fonctions méromorphes}, professées au Collège de France par +\textsc{Émile} \bsc{Borel}, recueillies et rédigées par \textit{Ludovic Zoretti}; 1903\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives}, professées +au Collège de France par \textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}, 1904\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en +séries de polynomes}, professées à l'Ecole Normale supérieure par \textsc{Émile +Borel} et rédigées par \textit{Maurice Fréchet}, avec des Notes par \textsc{Paul Painlevé} +et \textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}; 1905\Dotfill 4~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les fonctions discontinues}, professées au Collège de France, +par \textsc{René} \bsc{Baire}, rédigées par \textit{A.~Denjoy}; 1905\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions}, par +\textsc{Ernst} \bsc{Lindelöf}; 1905\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plusieurs +variables complexes}, par \textsc{Pierre} \bsc{Cousin}\Dotfill (\textit{En préparation.}) + +\textit{Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe}, par \textsc{Émile} +\bsc{Borel}\Dotfill (\textit{En préparation.}) + +\textit{Leçons sur les Correspondances entre variables réelles}, par \textsc{Jules} +\bsc{Drach}\Dotfill (\textit{En préparation.}) + +\textit{Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini}, par \textsc{Otto} +\bsc{Blumenthal}\Dotfill (\textit{En préparation}) + + +\textit{Leçons sur les séries trigonométriques}, par \textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}\Dotfill (\textit{En préparation.}) + +\medskip + +\noindent\hangindent\parindent\hangafter1% +\textbf{HALPHEN (G.-H.)}, Membre de l'Institut. --- \textbf{Traité des fonctions elliptiques +et de leurs applications}. 3 volumes grand in-8, se vendant +séparément: + +\addtolength{\leftskip}{3\parindent} +\parindent-1.5\parindent % [**F1: indent the lot and hang the first line to the left; there must be a proper LaTeX way to do this but I can't think of it at the moment] +\footnotesize +I\iere{} \textsc{Partie}: \textit{Théorie des fonctions elliptiques et de leurs développements +en série}; 1886\Dotfill 15~fr. + +II\ieme{} \textsc{Partie}: \textit{Applications à la Mécanique, à la Physique, à la Géodésie, +à la Géométrie et au Calcul intégral}; 1888\Dotfill 20~fr. + +III\ieme{} \textsc{Partie}: \textit{Fragments.} (\textit{Quelques applications à l'Algèbre et en +particulier à l'équation du 5\ieme degré. Quelques applications à la +théorie des nombres. Questions diverses.}) Publié par les soins de la +Section de Géométrie de l'Académie des Sciences; 1891\Dotfill 8~fr.\ 50~c. +\medskip +\hrule +\smallskip + +\noindent\small35785\hfill\tiny + Paris. --- Imp.\ GAUTHIER-VILLARS, quai des Grands-Augustins, 55\hfill\phantom{35785} + +\vfil + +\cleardoublepage + +%% Transcriber's notes +\normalsize +\begin{minipage}{5in} +\Pagelabel{Notes}% + +\begin{center} + \textsc{Notes sur la Transcription} + + \rule{0.2\textwidth}{0.5pt} \\[6ex] +\end{center} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Notes sur la Transcription}{Notes sur la Transcription} + +Quatre erreurs typographiques ont été corrigée, dénotée dans ce texte +par~$({}^\dagger)$. +\bigskip + +\begin{itemize} + +% Folio 9 in original +\item[Note~1.] (\ErrNote{1}) Ajouter des parenthèses autour de~$\nu$: + \[ + f(x) = \sum_0^\infty \frac{\Pow{f}{\nu}(a)}{\nu!}\Pow{(x-a)}{\nu} + \Change + f(x) = \sum_{0}^{\infty} \frac{\Pow{f}{(\nu)}(a)}{\nu!} \Pow{(x-a)}{\nu}. + \] + +% Folio 125 in original +\item[Note~2.] (\ErrNote{2}) Ajouter un~$i$ à l'exponent du + deuxième terme du dénominateur: + \[ + \Abs{\Phi(x,z)} = \Pow{r}{\alpha}\, + \dfrac{\Abs{\phi(\alpha + it)}}{\Pow{e}{\pi i} + \Pow{e}{-\pi}} + \Change + \Abs{\Phi(x,z)} + = \Pow{r}{\alpha}\, \frac{\Abs{\phi(\alpha + it)}} + {\Pow{e}{\pi i} + \Pow{e}{-\pi i}}. + \] + +% Folio 131 in original +\item[Note~3.] (\ErrNote{3}) Dans la condition, remplacer l'égalité + par~``$\leqq$'': + \[ + -\smfrac{\pi}{2} = \psi \leqq \smfrac{\pi}{2} + \Change + -\smfrac{\pi}{2} \leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}. + \] + +% Folio 133 in original +\item[Note~4.] (\ErrNote{4}) Le bout gauche a été fait~$0$ à la base + du contexte: + \begin{quote} + \dots ni avec un point situé sur le segment $\Segment{0}{\infty}$ + du rayon\dots + \end{quote} + Dans original: $\Segment{}{\infty}$ + +\end{itemize} + +\end{minipage} + +\cleardoublepage + +\fancyhead[C]{{\scshape\small Licensing.}} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG License}{Project Gutenberg License} + +{\small +\begin{alltt} +End of the Project Gutenberg EBook of Le calcul des résidus et ses +applications à la théorie des fonctions, by Ernst Leonard Lindelöf + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS *** + +***** This file should be named 29781-pdf.pdf or 29781-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29781/ + +Produced by Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang, and the +Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net +(This file was produced from images generously made +available by Cornell University Digital Collections) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you +do not charge anything for copies of this eBook, complying with the +rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose +such as creation of derivative works, reports, performances and +research. They may be modified and printed and given away--you may do +practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is +subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +*** START: FULL LICENSE *** + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE +PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK + +To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work +(or any other work associated in any way with the phrase "Project +Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project +Gutenberg-tm License (available with this file or online at +http://gutenberg.org/license). + + +Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement +and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic +works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" +or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an +individual work is in the public domain in the United States and you are +located in the United States, we do not claim a right to prevent you from +copying, distributing, performing, displaying or creating derivative +works based on the work as long as all references to Project Gutenberg +are removed. Of course, we hope that you will support the Project +Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by +freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of +this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with +the work. You can easily comply with the terms of this agreement by +keeping this work in the same format with its attached full Project +Gutenberg-tm License when you share it without charge with others. + +1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern +what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in +a constant state of change. If you are outside the United States, check +the laws of your country in addition to the terms of this agreement +before downloading, copying, displaying, performing, distributing or +creating derivative works based on this work or any other Project +Gutenberg-tm work. The Foundation makes no representations concerning +the copyright status of any work in any country outside the United +States. + +1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg: + +1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate +access to, the full Project Gutenberg-tm License must appear prominently +whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any work on which the +phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project +Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed, +copied or distributed: + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + +1.E.2. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived +from the public domain (does not contain a notice indicating that it is +posted with permission of the copyright holder), the work can be copied +and distributed to anyone in the United States without paying any fees +or charges. If you are redistributing or providing access to a work +with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the +work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 +through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the +Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or +1.E.9. + +1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted +with the permission of the copyright holder, your use and distribution +must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional +terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked +to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the +permission of the copyright holder found at the beginning of this work. + +1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm +License terms from this work, or any files containing a part of this +work or any other work associated with Project Gutenberg-tm. + +1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this +electronic work, or any part of this electronic work, without +prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with +active links or immediate access to the full terms of the Project +Gutenberg-tm License. + +1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary, +compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any +word processing or hypertext form. However, if you provide access to or +distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than +"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version +posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org), +you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a +copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon +request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other +form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm +License as specified in paragraph 1.E.1. + +1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, +performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works +unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + +1.E.8. 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You must require such a user to return or + destroy all copies of the works possessed in a physical medium + and discontinue all use of and all access to other copies of + Project Gutenberg-tm works. + +- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any + money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the + electronic work is discovered and reported to you within 90 days + of receipt of the work. + +- You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg-tm works. + +1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm +electronic work or group of works on different terms than are set +forth in this agreement, you must obtain permission in writing from +both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael +Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the +Foundation as set forth in Section 3 below. + +1.F. + +1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right +of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project +Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project +Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all +liability to you for damages, costs and expenses, including legal +fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT +LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE +PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE +TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE +LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR +INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH +DAMAGE. + +1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a +defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can +receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a +written explanation to the person you received the work from. If you +received the work on a physical medium, you must return the medium with +your written explanation. The person or entity that provided you with +the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a +refund. If you received the work electronically, the person or entity +providing it to you may choose to give you a second opportunity to +receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy +is also defective, you may demand a refund in writing without further +opportunities to fix the problem. + +1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth +in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + +1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied +warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. +If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the +law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be +interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by +the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any +provision of this agreement shall not void the remaining provisions. + +1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. Compliance requirements are not uniform and it takes a +considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up +with these requirements. We do not solicit donations in locations +where we have not received written confirmation of compliance. To +SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any +particular state visit http://pglaf.org + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we +have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition +against accepting unsolicited donations from donors in such states who +approach us with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make +any statements concerning tax treatment of donations received from +outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation +methods and addresses. Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{alltt} +} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Le calcul des résidus et ses % +% applications à la théorie des fonctions, by Ernst Leonard Lindelöf % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS *** % +% % +% ***** This file should be named 29781-t.tex or 29781-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29781/ % +% % +% 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`operators' in version `normal' +(Font) OT1/cmr/m/n --> OT1/pxr/m/n on input line 20. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold' +(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/pxr/m/n on input line 20. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold' +(Font) OT1/pxr/m/n --> OT1/pxr/bx/n on input line 21. +\symitalic=\mathgroup6 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `italic' in version `bold' +(Font) OT1/pxr/m/it --> OT1/pxr/bx/it on input line 25. +LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathbf on input line 28. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal' +(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/pxr/bx/n on input line 28. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold' +(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/pxr/bx/n on input line 28. +LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathit on input line 29. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal' +(Font) OT1/cmr/m/it --> OT1/pxr/m/it on input line 29. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold' +(Font) OT1/cmr/bx/it --> OT1/pxr/m/it on input line 29. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold' +(Font) OT1/pxr/m/it --> OT1/pxr/bx/it on input line 30. +LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathsf on input line 39. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal' +(Font) OT1/cmss/m/n --> OT1/pxss/m/n on input line 39. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold' +(Font) OT1/cmss/bx/n --> OT1/pxss/m/n on input line 39. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold' +(Font) OT1/pxss/m/n --> OT1/pxss/b/n on input line 40. +LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathtt on input line 49. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal' +(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/pxtt/m/n on input line 49. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold' +(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/pxtt/m/n on input line 49. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold' +(Font) OT1/pxtt/m/n --> OT1/pxtt/b/n on input line 50. +LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `letters' on input line 57. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `normal' +(Font) OML/cmm/m/it --> OML/pxmi/m/it on input line 57. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `bold' +(Font) OML/cmm/b/it --> OML/pxmi/m/it on input line 57. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `bold' +(Font) OML/pxmi/m/it --> OML/pxmi/bx/it on input line 58. +\symlettersA=\mathgroup7 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `lettersA' in version `bold' +(Font) U/pxmia/m/it --> U/pxmia/bx/it on input line 66. +LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathfrak on input line 69. +LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `symbols' on input line 76. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `normal' +(Font) OMS/cmsy/m/n --> OMS/pxsy/m/n on input line 76. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `bold' +(Font) OMS/cmsy/b/n --> OMS/pxsy/m/n on input line 76. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `bold' +(Font) OMS/pxsy/m/n --> OMS/pxsy/bx/n on input line 77. +LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `AMSa' on input line 92. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSa' in version `normal' +(Font) U/msa/m/n --> U/pxsya/m/n on input line 92. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSa' in version `bold' +(Font) U/msa/m/n --> U/pxsya/m/n on input line 92. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSa' in version `bold' +(Font) U/pxsya/m/n --> U/pxsya/bx/n on input line 93. +LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `AMSb' on input line 101. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSb' in version `normal' +(Font) U/msb/m/n --> U/pxsyb/m/n on input line 101. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSb' in version `bold' +(Font) U/msb/m/n --> U/pxsyb/m/n on input line 101. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSb' in version `bold' +(Font) U/pxsyb/m/n --> U/pxsyb/bx/n on input line 102. +\symsymbolsC=\mathgroup8 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbolsC' in version `bold' +(Font) U/pxsyc/m/n --> U/pxsyc/bx/n on input line 112. +LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `largesymbols' on input line 119. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal' +(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/pxex/m/n on input line 119. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold' +(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/pxex/m/n on input line 119. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold' +(Font) OMX/pxex/m/n --> OMX/pxex/bx/n on input line 120. +\symlargesymbolsA=\mathgroup9 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbolsA' in version `bold' +(Font) U/pxexa/m/n --> U/pxexa/bx/n on input line 128. +LaTeX Info: Redefining \not on input line 996. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty +Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +\FN@temptoken=\toks21 +\footnotemargin=\dimen114 +\c@pp@next@reset=\count103 +Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817. +Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818. +Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823. + +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840 +. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ncctools/manyfoot.sty +Package: manyfoot 2005/09/11 v1.10 Many Footnote Levels Package (NCC) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ncctools/nccfoots.sty +Package: nccfoots 2005/02/03 v1.2 NCC Footnotes Package (NCC) +) +\MFL@columnwidth=\dimen115 +\footglue=\skip46 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/bigfoot/perpage.sty +Package: perpage 2006/07/15 1.12 Reset/sort counters per page +\c@abspage=\count104 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty +Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks22 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty +Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty +Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg +File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +\Gread@gobject=\count105 +)) +\Gin@req@height=\dimen116 +\Gin@req@width=\dimen117 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/tabularx.sty +Package: tabularx 1999/01/07 v2.07 `tabularx' package (DPC) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty +Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi) +\col@sep=\dimen118 +\extrarowheight=\dimen119 +\NC@list=\toks23 +\extratabsurround=\skip47 +\backup@length=\skip48 +) +\TX@col@width=\dimen120 +\TX@old@table=\dimen121 +\TX@old@col=\dimen122 +\TX@target=\dimen123 +\TX@delta=\dimen124 +\TX@cols=\count106 +\TX@ftn=\toks24 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty +Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) +\SOUL@word=\toks25 +\SOUL@lasttoken=\toks26 +\SOUL@cmds=\toks27 +\SOUL@buffer=\toks28 +\SOUL@token=\toks29 +\SOUL@spaceskip=\skip49 +\SOUL@ttwidth=\dimen125 +\SOUL@uldp=\dimen126 +\SOUL@ulht=\dimen127 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty +\fancy@headwidth=\skip50 +\f@ncyO@elh=\skip51 +\f@ncyO@erh=\skip52 +\f@ncyO@olh=\skip53 +\f@ncyO@orh=\skip54 +\f@ncyO@elf=\skip55 +\f@ncyO@erf=\skip56 +\f@ncyO@olf=\skip57 +\f@ncyO@orf=\skip58 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty +Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry +\Gm@cnth=\count107 +\Gm@cntv=\count108 +\c@Gm@tempcnt=\count109 +\Gm@bindingoffset=\dimen128 +\Gm@wd@mp=\dimen129 +\Gm@odd@mp=\dimen130 +\Gm@even@mp=\dimen131 +\Gm@dimlist=\toks30 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX +\@linkdim=\dimen132 +\Hy@linkcounter=\count110 +\Hy@pagecounter=\count111 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg +File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty +Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options ( +HO) +) +Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223 +8. +Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308. +Implicit mode ON; LaTeX internals redefined +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty +\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. +\Fld@menulength=\count112 +\Field@Width=\dimen133 +\Fld@charsize=\dimen134 +\Choice@toks=\toks31 +\Field@toks=\toks32 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. +\Hy@abspage=\count113 +\c@Item=\count114 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count115 +) +\c@Chapter=\count116 +\c@Parno=\count117 +\c@pp@a@footnote=\count118 +\footinsCh=\insert233 +\c@footnoteCh=\count119 +\Tocskip=\skip59 +\resglyph=\box28 +<./images/residue_sum_glyph.pdf, id=5, 447.6725pt x 650.43pt> +File: ./images/residue_sum_glyph.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/residue_sum_glyph.pdf> +\displayint=\box29 +LaTeX Font Info: Try loading font information for OT1+pxr on input line 453. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/ot1pxr.fd +File: ot1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for OML+pxmi on input line 453 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omlpxmi.fd +File: omlpxmi.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+pxsy on input line 453 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omspxsy.fd +File: omspxsy.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMX+pxex on input line 453 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omxpxex.fd +File: omxpxex.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxsya on input line 453. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsya.fd +File: upxsya.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxsyb on input line 453. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsyb.fd +File: utxsyb.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxmia on input line 453. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxmia.fd +File: upxmia.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxsyc on input line 453. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsyc.fd +File: upxsyc.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxexa on input line 453. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxexa.fd +File: upxexa.fd 2000/12/14 v1.0 +) (./29781-t.aux) +\openout1 = `29781-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/pxmi/m/it on input line 558. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 558. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 558. +(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd +File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 558. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/pxsy/m/n on input line 558. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/pxex/m/n on input line 558. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/pxexa/m/n on input line 558. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 558. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+pxr on input line 558. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/t1pxr.fd +File: t1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 558. +-------------------- Geometry parameters +paper: letterpaper +landscape: -- +twocolumn: -- +twoside: true +asymmetric: -- +h-parts: 73.71548pt, 430.00627pt, 110.57324pt +v-parts: 95.39648pt, 556.47878pt, 143.09473pt +hmarginratio: 2:3 +vmarginratio: 2:3 +lines: -- +heightrounded: -- +bindingoffset: 0.0pt +truedimen: -- +includehead: -- +includefoot: -- +includemp: -- +driver: pdftex +-------------------- Page layout dimensions and switches +\paperwidth 614.295pt +\paperheight 794.96999pt +\textwidth 430.00627pt +\textheight 556.47878pt +\oddsidemargin 1.4455pt +\evensidemargin 38.30325pt +\topmargin -8.7473pt +\headheight 12.0pt +\headsep 19.8738pt +\footskip 30.0pt +\marginparwidth 98.0pt +\marginparsep 7.0pt +\columnsep 10.0pt +\skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt +\hoffset 0.0pt +\voffset 0.0pt +\mag 1000 +\@twosidetrue \@mparswitchtrue +(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt) +----------------------- +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty +Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) +(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg +File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive +) +Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. +) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 558. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count120 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 558. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 558. +(./29781-t.out) (./29781-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `29781-t.out'. + +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+pxtt on input line 572. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/t1pxtt.fd +File: t1pxtt.fd 2000/12/14 v1.0 +) +Overfull \hbox (1.14874pt too wide) in paragraph at lines 582--582 +[]\T1/pxtt/m/n/10.95 Title: Le calcul des résidus et ses applications à la théo +rie des fonctions[] + [] + +[1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] <./images/gauthier_villars.pdf, id=115, 112.42pt x 109.40875pt> +File: ./images/gauthier_villars.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/gauthier_villars.pdf> [1 + + <./images/gauthier_villars.pdf>] [2 + +] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 709--724 + + [] + +<./images/tb.pdf, id=129, 38.1425pt x 6.0225pt> +File: ./images/tb.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb.pdf> [3 + + <./images/tb.pdf>] [4 + +] +File: ./images/gauthier_villars.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/gauthier_villars.pdf> [5] [6 + +] +Overfull \hbox (0.23647pt too wide) in paragraph at lines 799--805 +[]\T1/pxr/m/n/12 Comme ap-pli-ca-tion de ces for-mules, nous en dé-duisons, au +qua-trième Chapitre, + [] + +[7] <./images/tb2.pdf, id=159, 96.36pt x 7.02625pt> +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [8 <./images/tb2.pdf>] +\tablelength=\skip60 +\lastcol=\skip61 +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [9 + +] [10 + +] [1] +LaTeX Font Info: Try loading font information for OML+pxr on input line 982. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omlpxr.fd +File: omlpxr.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Font shape `OML/pxr/m/it' in size <12> not available +(Font) Font shape `OML/pxmi/m/it' tried instead on input line 982. + +[2] [3] <./images/016.pdf, id=230, 182.6825pt x 127.47626pt> +File: ./images/016.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/016.pdf> [4 <./images/016.pdf>] [5] [6] [7] +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+pxr on input line 1280 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omspxr.fd +File: omspxr.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/pxr/m/n' in size <8> not available +(Font) Font shape `OMS/pxsy/m/n' tried instead on input line 1280. + +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/pxr/m/n' in size <7> not available +(Font) Font shape `OMS/pxsy/m/n' tried instead on input line 1282. + +[8] [9] [10] [11] [12] [13 <./images/residue_sum_glyph.pdf>] [14] [15] [16] +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [17] [18 + +] [19] [20] [21] +LaTeX Font Info: Font shape `OML/pxr/m/it' in size <10> not available +(Font) Font shape `OML/pxmi/m/it' tried instead on input line 1942 +. +[22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] +[38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] +Overfull \hbox (0.15321pt too wide) in paragraph at lines 3245--3249 +[]\T1/pxr/m/n/12 Comme, d'ailleurs, dans l'hy-pothèse actuelle, le dernier term +e de la for-mule [][](10)[][] + [] + +[46] [47] +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [48] [49 + +] [50] [51] [52] [53] [54] [55] <./images/072.pdf, id=923, 182.6825pt x 82.3075 +pt> +File: ./images/072.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/072.pdf> [56 <./images/072.pdf>] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [6 +3] +LaTeX Font Info: Font shape `OML/pxr/m/it' in size <10.95> not available +(Font) Font shape `OML/pxmi/m/it' tried instead on input line 4208 +. +[64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] +Overfull \hbox (4.76913pt too wide) in paragraph at lines 4920--4926 +\T1/pxr/m/n/12 s'annule pour $\OML/pxmi/m/it/12 k \OT1/pxr/m/n/12 = \OMS/pxsy/m +/n/12 1$\T1/pxr/m/n/12 , ce qui n'est nulle-ment év-i-dent, puisque la série qu +i définit $[][]\OT1/pxr/m/n/12 (\OML/pxmi/m/it/12 ^^\\OT1/pxr/m/n/12 )$ + [] + +[76] [77] [78] [79] [80] [81] +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [82] [83 + +] +Overfull \hbox (9.60541pt too wide) in paragraph at lines 5307--5312 +[]\T1/pxr/m/n/12 Les valeurs des con-stantes $\OML/pxmi/m/it/12 K$ \T1/pxr/m/n/ +12 et $\OML/pxmi/m/it/12 K[]$ \T1/pxr/m/n/12 s'ob-ti-en-nent im-mé-di-ate-ment +en rap-prochant [][](3)[][] + [] + +[84] [85] [86] <./images/103.pdf, id=1531, 182.6825pt x 73.27374pt> +File: ./images/103.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/103.pdf> [87 <./images/103.pdf>] <./images/105.pdf, id=1561, 182. +6825pt x 85.31876pt> +File: ./images/105.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/105.pdf> [88 <./images/105.pdf>] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [9 +5] [96] [97] +Overfull \hbox (3.32129pt too wide) in paragraph at lines 6121--6129 +\T1/pxr/m/n/12 précé-dentes représen-tent des fonc-tions an-a-ly-tiques, holo-m +or-phes pour toute valeur + [] + +[98] [99] [100] [101] +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [102] [103 + +] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] +[117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] +Overfull \hbox (2.03601pt too wide) in paragraph at lines 7860--7872 +[]\T1/pxr/m/n/12 Quel est le do-maine de con-ver-gence de ce développe-ment? On + pour-rait évidem- + [] + +[130] [131] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 7982--7983 + + [] + +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [132] +Overfull \vbox (12.28691pt too high) has occurred while \output is active [] + +[133] [134 + +] [135 + +] [136 + +] [137] [138 + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[139] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[140] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[141] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[142] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[143] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[144] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[145] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[146] [147] (./29781-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + frenchb.ldf + frenchb.cfg + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d +amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment + pxfonts.sty 2005/01/03 v1.1 +footmisc.sty 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +manyfoot.sty 2005/09/11 v1.10 Many Footnote Levels Package (NCC) 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2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. + hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +./images/residue_sum_glyph.pdf + ot1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 + omlpxmi.fd 2000/12/14 v1.0 + omspxsy.fd 2000/12/14 v1.0 + omxpxex.fd 2000/12/14 v1.0 + upxsya.fd 2000/12/14 v1.0 + upxsyb.fd + upxmia.fd 2000/12/14 v1.0 + upxsyc.fd 2000/12/14 v1.0 + upxexa.fd 2000/12/14 v1.0 + t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern + t1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 + color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) + color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) + 29781-t.out + 29781-t.out + t1pxtt.fd 2000/12/14 v1.0 +./images/gauthier_villars.pdf +./images/tb.pdf +./images/gauthier_villars.pdf +./images/tb2.pdf +./images/tb2.pdf + omlpxr.fd 2000/12/14 v1.0 +./images/016.pdf + omspxr.fd 2000/12/14 v1.0 +./images/tb2.pdf +./images/tb2.pdf +./images/072.pdf +./images/tb2.pdf +./images/103.pdf +./images/105.pdf +./images/tb2.pdf +./images/tb2.pdf + *********** + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 7289 strings out of 95086 + 91893 string characters out of 1183255 + 178717 words of memory out of 1500000 + 9397 multiletter control sequences out of 10000+50000 + 78066 words of font info for 171 fonts, out of 1200000 for 2000 + 28 hyphenation exceptions out of 8191 + 33i,23n,43p,358b,512s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s +{/usr/share/texmf-texlive/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}</usr/share/texmf-texli +ve/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blue +sky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.pfb></u +sr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texliv +e/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blues 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29781-t.pdf (159 pages, 1009513 bytes). +PDF statistics: + 2689 PDF objects out of 2984 (max. 8388607) + 876 named destinations out of 1000 (max. 131072) + 241 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/old/29781-t 2009-08-24.zip b/old/29781-t 2009-08-24.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..d19a82d --- /dev/null +++ b/old/29781-t 2009-08-24.zip diff --git a/old/29781-t 2021-06-11.tex b/old/29781-t 2021-06-11.tex new file mode 100644 index 0000000..6df4b81 --- /dev/null +++ b/old/29781-t 2021-06-11.tex @@ -0,0 +1,9414 @@ +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% The Project Gutenberg EBook of Le calcul des résidus et ses applications à +% la théorie des fonctions, by Ernst Leonard Lindelöf % +% % +% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with % +% almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions +% % +% Author: Ernst Leonard Lindelöf % +% % +% Release Date: August 24, 2009 [EBook #29781] % +% Most recently updated: June 11, 2021 % +% % +% Language: French % +% % +% Character set encoding: UTF-8 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{29781} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% pxfonts: Palatino. Required; size, pagination differ from cmr. %% +%% geometry: Enhanced page layout package. Required. %% +%% %% +%% inputenc: Standard DP encoding. 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Required. %% +%% %% +%% %% +%% Producer's Comments: A few pages require visual inspection. %% +%% %% +%% Things to Check: %% +%% %% +%% Advertisement on PDF page 5 is on one page: OK %% +%% Second titlepage on PDF page 7 is on one page: OK %% +%% Catalogue on PDF page 147 is on one page: OK %% +%% Table des Matières on PDF page 145 is recto: OK %% +%% %% +%% Spellcheck: .................................. OK %% +%% Smoothreading pool: ......................... Yes %% +%% %% +%% lacheck: ..................................... OK %% +%% False positives: %% +%% bad character in label %% +%% Do not use @ in LaTeX macro names (five instances) %% +%% punctuation mark "!" [in] math mode %% +%% possible unwanted space at "{" (22 instances) %% +%% %% +%% Lprep/gutcheck: .............................. OK %% +%% ToC page numbers: ............................ 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Both %% +%% enlarge the superscript for readability; the latter handles %% +%% exponents containing fractions, which are raised and kerned. %% +%% %% +%% * Major sectional units can be found by searching for a string %% +%% of three consecutive asterisks (***). PPer comments and typo %% +%% markers can be found by searching for two asterisks. %% +%% %% +%% * The publisher's mark (gauthier_villars), illustrations (016, %% +%% 072, 103, 105), thought breaks (tb, tb2), and the residue sum %% +%% symbol (residue_sum_glyph)---are provided as pdf files. %% +%% %% +%% Compile History: %% +%% %% +%% April, 2008: adhere (Andrew D. Hwang) %% +%% texlive2007, GNU/Linux %% +%% %% +%% Command block: %% +%% %% +%% pdflatex x3 (Run pdflatex three times) %% +%% %% +%% %% +%% August 2009: pglatex. %% +%% Compile this project with: %% +%% pdflatex 29781-t.tex ..... 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Veuillez consulter le + préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.} + +%% Re-set if ForPrinting=true +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins + \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color + \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} + \renewcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + \bigskip + + Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément + reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le + préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions. + } +}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} +} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% The printed book's text block is well-approximated by hscale=0.57, +% but the geometry package default value hscale=0.7 is painstakingly +% chosen to minimize the number and size of bad line breaks in +% Palatino, and is not uncomfortable to read, ~65 chars per line. +% +% The vscale value is the package default, specified explicitly to guard +% against changes to geometry.sty. +% +% Add the option "centering" for symmetric margins (tested, no problems). +% N.B. global letterpaper option above +\usepackage[body={5.95in,7.7in},\Margins]{geometry}[2002/07/08] + +\providecommand{\ebook}{00000} % Overridden during white-washing +\usepackage[pdftex, + hyperfootnotes=false, + pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions}, + pdfauthor={Ernst Leonard Lindelöf}, + pdfkeywords={Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University Historical Mathematical Monographs collection}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +% Re-crop screen-formatted version +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {} + {\hypersetup{pdfpagescrop= 65 90 547 752}} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% Cross-referencing: labels and refs +\newcommand{\Pagelabel}[1]{% + \phantomsection + \label{#1} +} + +% ``equation tag'', labels equation with Roman section and equation number +\newcommand{\EqnTag}[3]{% + \tag{#3}% + % e.g. \label{eqn:IV.III.12} = equation 12 in Chapter IV, Section III + \Pagelabel{eqn:#1.#2.#3} +} + +% Errata (four) +\newcommand{\Erratum}[1]{\Pagelabel{err#1}} +\newcommand{\ErrNote}[1] + {\hyperref[err#1]{Page~\oldstylenums{\pageref{err#1}}}} +\newcommand{\Change}{\quad\longrightarrow\quad} + + +% ``equation reference'', e.g., \Eref{IV}{III}{12} -> \EqnTag{IV}{III}{12} +\newcommand{\Eref}[3]{\hyperref[eqn:#1.#2.#3]{\upshape(#3)}} + +% ``section reference'' +\newcommand{\Sref}[1]{{\upshape\ref{paragraph:#1}}} + +% page~n, making the preceding word part of the hyperlink: +% \Pgref{page}{page142} or \Pgref{p.}{17} +\newcommand{\Pgref}[2]{% + \hyperref[#2]{#1~{\protect\upshape\oldstylenums{\pageref{#2}}}}% +} + +%% Sectioning: Chapter, Section, Paragraph divisions +\newcounter{Chapter} +\renewcommand{\theChapter}{\Roman{Chapter}} + +% \Chapter{Roman Num}{Title} +% Must be preceded by an explicit \cleardoublepage if needed; chapter I is +% preceded by a half-title heading on the same page. +\newcommand{\Chapter}[2]{% + \refstepcounter{Chapter} + + % drop anchors + \Pagelabel{chapter:#1} + \phantomsection + \pdfbookmark[0]{Chapitre #1}{chapter:#1} + + % set up running heads + \thispagestyle{empty} + \fancyhead[CO]{\small{\textsc{\MakeLowercase{#2}}}} + \fancyhead[CE]{\small{\textsc{chapitre~\MakeLowercase{\theChapter.}}}} + + % page formatting + \begin{center} + \rule{\textwidth}{0.5pt} \\[12ex] + \textbf{\Large CHAPITRE~#1.} \\[2ex] + + \textbf{\small #2} \\[3ex] + + \rule[1ex]{0.2\textwidth}{0.5pt} + \end{center} +} + +% Chapter-like, but has no counter, sets up running heads differently +\newcommand{\Preface}{% + % set up running head, cf. \Chapter + \thispagestyle{empty} + \fancyhead[C]{\small\textsc{\MakeLowercase{PRÉFACE.}}} + + % anchor + \phantomsection + \pdfbookmark[0]{Préface}{Preface} + + % page formatting + \begin{center} + \rule{\textwidth}{0.5pt} \\[12ex] + \textbf{\LARGE PRÉFACE.} + + \rule{0.2\textwidth}{0.5pt} \\[6ex] + \end{center} + \Pagelabel{Preface} +} + +% \Section +\newcommand{\Section}[3]{% + \subsection*{\centering\normalfont\upshape\normalsize #2. --- \itshape #3} + \phantomsection + \pdfbookmark[1]{Section #1.#2}{section:#1.#2} + \Pagelabel{section:#1.#2} +} + +% \Paragraph: numbered units +\newcounter{Parno} +\newcommand{\Paragraph}[1]{% + \refstepcounter{Parno}% + % [** PP: Post-tag skip smaller than \paragraph spacing] + \indent\textbf{#1}\hspace{0.25em} + \Pagelabel{paragraph:\theParno} +} + + +% Miscellaneous referrable units: \Figure, \Theorem + +% Non-floating figure ``environment'' +\newcommand{\Figure}[2]{% + \begin{center} + \begin{minipage}{3in} + \begin{center} + Fig.~#1. \\[1ex] + \includegraphics{./images/#2} + \Pagelabel{figure:#1} + \end{center} + \end{minipage} + \end{center} +} + + +% Set paragraph in italics after small skip, make label; does not +% print ``Theorem'' or otherwise mark the italicized passage. +\newcommand{\Theorem}[2]{% + \smallskip + + \Pagelabel{theorem:#1} + \textit{#2} +} + + +% Surround footnote markers with upright parentheses +\makeatletter +\renewcommand\@makefnmark% + {\mbox{\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} + +\renewcommand\@makefntext[1]% + {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1} +\makeatother + + +% Top-level footnote numbers restart on each page +\MakePerPage{footnote} + +% for Change notes +\DeclareNewFootnote[para]{Ch}[roman] +\newcommand{\Changenotemark}{\FootnotemarkCh{\dag}} + +\newcommand{\Changenotetext}[1] + {\FootnotetextCh{\dag}{\ \textit{Voir \hyperref[Notes]{Note~#1}.}}} + +% Space between Section number and title in ToC; otherwise retaining +% F-rounds' manual formatting. +\newlength{\Tocskip} +\setlength{\Tocskip}{1.5em} +\newcommand{\TocBox}[1]{\makebox[\Tocskip][r]{#1}} + + +% Glyphs 'n things: +% \residuesum (scripty Sigma), +% \dint (medium-sized integral sign for paragraph mode), +% \smfrac, \fnfrac (medium-sized \dfracs for paragraph mode, footnotes), +% \Tbreak, bigTreak (fancy thoughtbreak symbols) + +% A good copy of the glyph was cut from a scanned page (043.png), +% converted to a bmp with ImageMagick, to esp with potrace, and +% finally to pdf with epstopdf. +\newsavebox{\resglyph} +\savebox{\resglyph}[12pt]{% + \raisebox{-1ex}{% + \hbox{\includegraphics[width=12pt]{./images/residue_sum_glyph}} + \kern -6pt% May require adjustment for non-Palatino font + } +} +\newcommand{\residuesum}{\usebox{\resglyph}} + +% Displaystyle sums, integrals, and fractions appear repeatedly in +% paragraph mode and in footnotes, causing rather poor line spacing. +% To ameliorate the effect, we define a medium-sized integral sign +% (\dint) and medium-sized dfracs (\smfrac, \fnfrac) for paragraph +% mode and footnotes, respectively. \smfrac is also used in displayed +% math when the rest of the line is of normal text height, or when an +% ordinary displaystyle fraction would be too large. + +\newsavebox{\displayint} +\savebox{\displayint}[8pt]{\scalebox{0.75}{$\displaystyle\int$}} +\newcommand{\dint}{\usebox{\displayint}} + +\newcommand{\smfrac}[2]{\mbox{\footnotesize$\dfrac{#1}{#2}$}} +\newcommand{\fnfrac}[2]{\mbox{\scriptsize$\dfrac{#1}{#2}$}} + +% Thoughtbreaks are implemented as graphics +\newcommand{\Tbreak}{% + \begin{center} + \includegraphics{./images/tb} + \end{center} +} + +\newcommand{\bigTbreak}{% + \begin{center} + \vspace{0pt plus 0.5fil} + \includegraphics{./images/tb2} + \vfil + \end{center} +} + + +% Miscellaneous math conveniences + +\DeclareMathOperator{\arc}{arc} +\DeclareMathOperator{\cosec}{cos\acute{e}c} %The accented coséc +\DeclareMathOperator{\fsec}{s\acute{e}c} %The accented séc +\DeclareMathOperator{\tang}{tang} + +% ToC dotfill +\newcommand\Dotfill{\null\nobreak\dotfill\kern.7em} + +% Common abbrev. +\newcommand{\eps}{\varepsilon} + +\newcommand{\nos}{n\up{os}\,} + +% \Segment{a}{b}: Book's a---b notation +\newcommand{\Segment}[2]{#1\;\rule[0.5ex]{18pt}{0.5pt}\;#2} + +% Absolute value (crudely) sensitive to argument's height +\newcommand{\Labs}{\left\lvert} +\newcommand{\Rabs}{\right\rvert} +\newcommand{\Abs}[1]{\Labs#1\Rabs} + +\renewcommand{\tabularxcolumn}[1]{>{\hangindent1em\hangafter=1}b{#1}} + +% {#1}^{#2} with enlarged #2, for use with fraction-containing exponents +\newcommand{\Powfr}[2]{{#1}^{\kern -2pt\raisebox{1ex}{\mbox{\scriptsize\ensuremath{\smash[b]{#2}}}}}} + +\newcommand{\Pow}[2]{{#1}^{\mbox{\scriptsize\ensuremath{\smash[b]{#2}}}}} + + +% Title page appears twice, so centralize it in a command +\newcommand{\mytitlepage}{% +\thispagestyle{empty} +\begin{center} +COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS + +\textsc{\footnotesize publiée sous la direction de M.~Émile Borel.} + +\rule{2in}{0.5pt} +\vspace*{4ex} + +\normalsize LE \\[4ex] +\textbf{\Huge CALCUL DES RÉSIDUS} \\[4ex] +\textbf{ET SES APPLICATIONS} \\[4ex] +\textbf{\Large À LA THÉORIE DES FONCTIONS} \\[4ex] +{\small PAR} \\[4ex] +{\scshape\textbf{Ernst LINDELÖF}}, + +\textsc{\scriptsize PROFESSEUR À L'UNIVERSITÉ DE HELSINGFORS}. +\vspace*{4ex} + +\includegraphics{./images/gauthier_villars} +\vspace*{5ex} + +\textbf{\Large PARIS}, +\medskip + +\textbf{\large GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE} + +\so{\textbf{\scriptsize DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE}}, + +\so{\footnotesize Quai des Grands-Augustins, 55.} + +\rule{0.025\textwidth}{0.5pt} + +\textbf{\normalsize 1905} +\end{center} +} + +% ``half'' title page, for 005.png and start of Chapter I +\newcommand{\myhalftitlepage}{% +\begin{center} +\normalsize LE \\[4ex] +\textbf{\Huge CALCUL DES RÉSIDUS} \\[4ex] +\textbf{ET SES APPLICATIONS} \\[4ex] +\textbf{\Large À LA THÉORIE DES FONCTIONS.} \\[4ex] +\end{center} +} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{document} + +\pagestyle{empty} + +\pagenumbering{Roman} + +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\Pagelabel{PGBoilerplate} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Project Gutenberg Boilerplate} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{alltt} +The Project Gutenberg EBook of Le calcul des résidus et ses applications à +la théorie des fonctions, by Ernst Leonard Lindelöf + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions + +Author: Ernst Leonard Lindelöf + +Release Date: August 24, 2009 [EBook #29781] +Most recently updated: June 11, 2021 + +Language: French + +Character set encoding: UTF-8 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS *** +\end{alltt} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill +\clearpage + +%%%% CREDITS %%%% +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{alltt} +Produced by Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang, and the +Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net +(This file was produced from images generously made +available by Cornell University Digital Collections) +\end{alltt} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\begin{minipage}{0.8\textwidth} +\small +\subsection*{\centering \TransNote} + +\raggedright +\TransNoteText +\end{minipage} +\vfil + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\frontmatter + +\allowhyphens +\pagenumbering{roman} +\pagestyle{empty} +\selectlanguage{french} + +\normalsize + +%% -----File: 002.png--- +%[Blank Page] +%% -----File: 003.png--- + +% [*** Titlepage] +\enlargethispage{36pt} + +\mytitlepage +\clearpage + +%% -----File: 004.png--- +% [Blank Page] +%% -----File: 005.png--- + +% [*** Half titlepage] +\null\vfill +\myhalftitlepage +\vfill +\clearpage + +%% -----File: 006.png--- + +% [*** Advertisement page] +\enlargethispage{24pt} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{center} +\textbf{\large LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS}. + +\vspace{2ex} +\rule{.2\textwidth}{.5pt} +\vspace{3ex} + +\small COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS. +\medskip + +\scriptsize PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION DE M.~ÉMILE BOREL. + +\vspace{2ex} +\rule{.2\textwidth}{.5pt} +\vspace{2ex} +\end{center} + +{\small +\noindent\begin{tabularx}{\textwidth}{Xr} +\textbf{Leçons sur la théorie des fonctions} (\textit{Éléments de la théorie des +ensembles et applications}), par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1898\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les fonctions entières}, par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1900\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les séries divergentes}, par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1901\dotfill.& 4~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les séries à termes positifs}, professées au Collège de +France par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel} et rédigées par M.~\textit{Robert d'Adhémar}, +1902\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les fonctions méromorphes}, professées au Collège de +France par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel} et rédigées par M.~\textit{Ludovic Zoretti}, 1903\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives}, +professées au Collège de France par M.~\textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}, 1904\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les fonctions discontinues}, professées au Collège de +France par M.~\textsc{René} \bsc{Baire} et rédigées par M.~\textit{A.~Denjoy}, 1905\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements +en séries de polynomes}, professées à l'École Normale, +par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, rédigées par \textit{Maurice Fréchet} avec des Notes de +M.~P.~\textsc{Painlevé} et de M.~H.~\textsc{Lebesgue}, 1905\dotfill.& 4~fr.\ 50 +\end{tabularx} + +\vspace{2ex} +\begin{center} +\scriptsize EN PRÉPARATION: +\end{center} + +\noindent\begin{tabularx}{\textwidth}{X} +%[**F1: Gives the same hanging indent as in the previous list] +\textbf{Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plusieurs +variables complexes}, par M.~\textsc{Pierre} \bsc{Cousin}. \\ +\textbf{Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe}, par +M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}. \\ +\textbf{Leçons sur les correspondances entre variables réelles}, par M.~\textsc{Jules} +\bsc{Drach}. \\ +\textbf{Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini}, par +M.~\textsc{Otto} \bsc{Blumenthal}. \\ +\textbf{Leçons sur les séries trigonométriques}, par M.~\textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}. \\ +\textbf{Leçons sur la fonction $\zeta(s)$ de Riemann et son application à la théorie +des nombres premiers}, par M.~\textsc{Helge} \bsc{von Koch}. +\end{tabularx} +} % [** PP: End of \small] + +% [Illustration] +\Tbreak +\end{minipage} + +\cleardoublepage + +%% -----File: 007.png--- + +% [*** Titlepage with ``all rights reserved''] +\enlargethispage{24pt} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\mytitlepage + +\noindent\null{\hfill\scriptsize(\textbf{Tous droits réservés}.)\hfill} +\end{minipage} + +%% -----File: 008.png--- +% [Blank Page] +%% -----File: 009.png---Folio V------- + + +% [*** Preface] + +\cleardoublepage +% global initialization +\pagestyle{fancy} +\fancyfoot{} +\fancyhead{} +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {\fancyhead[RO,LE]{\textsc{\thepage}}} + {\fancyhead[R]{\textsc{\thepage}}} + +\setlength{\headheight}{14.5pt} + +\Preface + +Les progrès réalisés depuis quelques années dans la théorie des +fonctions analytiques ont fait ressortir combien sont toujours fécondes +et efficaces les méthodes ingénieuses créées par Cauchy, +parmi lesquelles il convient de citer en premier lieu le Calcul des +résidus. Il n'est donc pas sans intérêt de revenir maintenant sur ce +Calcul classique et d'étudier systématiquement le rôle qu'il joue +dans la théorie des fonctions proprement dite. C'est ce que nous +avons tâché de faire dans ce petit Livre, en vue de faciliter dans +une certaine mesure l'accès des parties modernes de l'Analyse. + +Dans le premier Chapitre, nous passons rapidement en revue +les principes et thé\-o\-rèmes généraux dont nous aurons à faire usage, +en cherchant d'ailleurs à varier un peu ce sujet tant de fois exposé. +Ayant fait une étude détaillée des travaux de Cauchy, y compris +quelques Mémoires peu répandus que M.~Mittag-Leffler a généreusement +mis à notre disposition, nous avons tenu à relever les +dates et à faire ressortir la portée de ses découvertes, ce qui nous +a paru d'autant plus nécessaire qu'on rencontre souvent, dans la +littérature, des indications assez peu exactes à ce sujet. + +Le deuxième Chapitre contient diverses applications du Calcul +des résidus, dues pour la plupart à Cauchy. Cependant les limites +restreintes imposées à cet Ouvrage ne nous ont permis de donner +qu'une idée très imparfaite du parti que Cauchy avait tiré lui-même +de son Calcul. Parmi les applications faites par lui qui n'ont pu +%% -----File: 010.png---Folio VI------- +trouver place dans ce Chapitre, nous devons signaler surtout la +méthode qu'il a employée pour obtenir des séries analogues à celle +de Fourier, méthode dont on trouve une très belle exposition au +Tome~II du \textit{Traité d'Analyse} de M.~Picard. + +Le troisième Chapitre est consacré aux formules sommatoires. +Le Calcul des résidus, appliqué systématiquement, permet de rattacher +toutes ces formules, avec leurs conséquences multiples, à +un même principe simple et naturel, et contribue ainsi à mettre +plus d'ordre et d'unité dans cette partie si intéressante de l'Analyse. + +Comme application de ces formules, nous en déduisons, au +quatrième Chapitre, une grande partie des expressions et des +développements trouvés, à différentes époques et par différentes +méthodes, pour la fonction~$gamma$ et pour la fonction de +Riemann. Ce Chapitre contient aussi quelques résultats nouveaux +relatifs à la série de Stirling. + +Enfin, au dernier Chapitre, nous donnons un aperçu de quelques +résultats modernes relatifs au prolongement analytique et à l'étude +asymptotique des fonctions définies par un développement de +Taylor, en insistant surtout sur certains théorèmes généraux riches +en applications et qui semblent présenter un caractère définitif. +Ici encore nous avons dû être assez bref et laisser de côté bien des +questions intéressantes, mais nous espérons néanmoins que notre +exposition ne sera pas sans utilité pour ceux qui désirent approfondir +le sujet. + +Nous tenons à exprimer ici nos vifs remercîments à M.~Émile +Borel, qui nous a invité à écrire ce Livre et qui, ensuite, en revoyant +les épreuves, a bien voulu nous assister de ses précieux +conseils. + +\begin{quote}\small +Helsingfors, le 13~novembre 1904. +\end{quote} + +\bigTbreak +\cleardoublepage + +%% -----File: 011.png---Folio VII------- + +% [*** Index -- abbreviated table of contents] + +\pagestyle{empty} +\null\vfil +\begin{center} +\Pagelabel{Index} +\textbf{\LARGE INDEX.} +\vspace*{2ex} + +\rule{0.1\textwidth}{0.5pt} +\vspace*{2ex} + +{\small +\newlength{\tablelength} +\setlength{\tablelength}{\linewidth} +\newlength{\lastcol} +\settowidth{\lastcol}{Pages. } +\addtolength{\tablelength}{-\lastcol} + +\begin{tabular}{@{} r@{\:}c@{}l@{}r @{}} +%\multicolumn{4}{@{}c@{}}{\large TABLES DES MATIÈRES.} +\multicolumn{4}{@{}r@{}}{Pages.}\\ +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:I]{\textsc{Chapitre~\TocBox{I.}}\ ---\ Principes et théorèmes fondamentaux}\dotfill}&{\pageref{chapter:I}}\\[2ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:II]{\textsc{Chapitre~\TocBox{II.}}\ ---\ Applications diverses du calcul des résidus}\dotfill}&{\pageref{chapter:II}}\\[2ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:III]{\textsc{Chapitre~\TocBox{III.}}\ ---\ Formules sommatoires tirées du calcul des résidus}\dotfill}&{\pageref{chapter:III}}\\[2ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:IV]{\textsc{Chapitre~\TocBox{IV.}}\ ---\ Les fonctions $\Gamma(x)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,w)$}\dotfill}&{\pageref{chapter:IV}}\\[2ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hangindent=10em\hyperref[chapter:V]{\textsc{Chapitre~\TocBox{V.}}\ ---\ Applications au prolongement analytique et à l'étude asymptotique des fonctions définies par un développement de Taylor}\dotfill}&\raisebox{-3ex}{\pageref{chapter:V}}\\[8ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[ToC]{\textsc{Table des matières}}\dotfill}&{\pageref{ToC}} +\end{tabular} +} % [** PP: End of \small] + +\vspace*{9ex} +\bigTbreak +\end{center} + +\vfil + +%% -----File: 012.png---Folio VIII------- +%[Blank Page] + + +%% -----File: 013.png---Folio 1------- + +% [*** Main matter] + +\mainmatter + +\pagestyle{fancy} + +\pagenumbering{arabic} +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {\fancyhead[RO,LE]{\oldstylenums{\thepage}}} + {\fancyhead[R]{\oldstylenums{\thepage}}} + +\myhalftitlepage + + +% [*** Chapter I] +% half-title above, no clearpage +\Chapter{I}{PRINCIPES ET THÉORÈMES FONDAMENTAUX.} + +\Paragraph{1.} Soient deux fonctions réelles des variables réelles $x$, $y$, +$u(x,y)$ et $v(x, y)$, continues et uniformes dans un domaine connexe +$T$, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, et vérifiant les +relations +\[ +\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad +\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}, +\EqnTag{I}{I}{1} +\] +pour tout point de ce domaine. On dit que l'expression +\[ +f(z) \equiv u(x,y) + i\,v(x, y) +\EqnTag{I}{I}{2} +\] +représente une \textit{fonction analytique de la variable complexe} +$z \equiv x+iy$ qui est \textit{holomorphe} dans le domaine~$T$. + +Désignons par $\Delta u$, $\Delta v$ les accroissements que prennent $u(x,y)$, +$v(x,y)$ lorsqu'on passe d'un point $x,y$ de $T$ à un point voisin +$x + \Delta x$, $y + \Delta y$, et posons $h = \sqrt{\Delta \Pow{x}{2}+\Delta\Pow{y}{2}}$; on obtient aisément, +en se servant des relations~\Eref{I}{I}{1}, +\[ +\Delta u + i\,\Delta v = +\left(\frac{\partial u}{\partial x} +i\frac{\partial v}{\partial x}\right) +(\Delta x + i\Delta y) + h\,(h), +\] +%% -----File: 014.png---Folio 2------- +ou bien, en posant $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$, d'où $\Abs{\Delta z} = h$, +\[ +f(z + \Delta z) - f(z) + = \left (\frac{\partial u}{\partial x} + + i\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta z + + \Delta z\, (\Delta z), +\] +($h$), ($\Delta z$) tendant vers zéro avec $h$, $\Delta z$. La dernière égalité nous +apprend que \textit{la fonction~$f(z)$ admet, pour chaque point du +domaine~$T$, une dérivée} \textsc{unique} +\[ +f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + + i\frac{\partial v}{\partial x}, +\] +\textit{qui reste continue dans}~$T$. + +Inversement, étant donnée une fonction quelconque de~$z$, continue +et uniforme dans~$T$ et admettant, en chaque point de ce domaine, +une dérivée unique qui y reste continue, on constate immédiatement +qu'elle peut se mettre sous la forme~\Eref{I}{I}{2}, $u(x, y)$~et +$v(x,y)$ jouissant des propriétés énoncées au début: c'est donc +une fonction analytique de $z$, holomorphe dans le domaine~$T$. + +Cette seconde définition met en évidence que, si $f(z)$~et~$\varphi(z)$ +sont des fonctions analytiques, holomorphes dans un domaine +donné, il en est de même de leurs somme, différence et produit, +ainsi que de leur quotient, si le dénominateur ne s'annule pas +dans le domaine. + +\Paragraph{2.} Il nous semble commode de rattacher les propriétés fondamentales +des fonctions analytiques au théorème suivant: + +\Theorem{I.I.1}{Toute fonction analytique~$f(z)$, uniforme et holomorphe +dans un domaine~$T$ à connexion simple, est la dérivée d'une +autre fonction~$F(z)$ jouissant des mêmes propriétés. Cette fonction +intégrale~$F(z)$ est déterminée à une constante additive +près.} + +En posant $F(z) = U(x, y) + i\,V(x,y)$, la condition donnée: +$F'(z)=f(z)$, ou bien $dF(z)=f(z)\,dz$, entraîne les deux suivantes: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +dU &= u\, dx - v\, dy,\\ +dV &= v\, dx + u\, dy. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{I}{I}{3} +\] + +On est donc ramené à démontrer l'existence, dans le domaine~$T$, +d'une fonction intégrale continue et uniforme d'une \textit{différentielle +%% -----File: 015.png---Folio 3------- +totale} +\[ +M(x,y)\, dx + N(x,y)\, dy, +\EqnTag{I}{I}{4} +\] +les expressions $M(x,y)$ et~$N(x,y)$ étant elles-mêmes continues +et uniformes dans~$T$, ainsi que leurs dérivées premières, et vérifiant +en chaque point de ce domaine la \textit{condition d'intégrabilité} +\[ +\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = +\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}. +\] + +On voit d'abord que, s'il existe deux fonctions intégrales jouissant +des propriétés indiquées, leur différence se réduira nécessairement +à une constante. En effet, les dérivées de cette différence +étant nulles en chaque point de~$T$, elle gardera une valeur constante +sur tout segment de droite intérieur à ~$T$ et parallèle à l'un +ou l'autre des axes de coordonnées. Or deux points pris arbitrairement +dans~$T$ peuvent toujours être reliés par une ligne composée +de semblables segments. + +Ayant fixé à l'intérieur de~$T$ un point $x_0, y_0$, imaginons que, +pour atteindre un autre point $x, y$ du même domaine, on chemine +de $x_0,y_0$ parallèlement à l'axe des~$x$ jusqu'au point $x,y_0$, puis +parallèlement à l'axe des~$y$ jusqu'au point considéré $x,y$. Cette +ligne brisée sera comprise tout entière dans~$T$ si l'on suppose le +point $x,y$ intérieur à une certaine portion de ce domaine que +nous désignerons par~$T_0$. + +Cela posé, en admettant qu'il existe une fonction continue et +uniforme dont la différentielle totale soit égale à ~\Eref{I}{I}{4} et qui, au +point $x_0,y_0$, se réduise à une constante donnée~$A$, la valeur de +cette fonction en un point quelconque $x,y$ du domaine~$T_0$ sera +évidemment représentée par l'expression +\[ +F_0(x,y)\equiv A + \int_{x_0}^x M(x,y_0)\, dx + + \int_{y_0}^y N(x,y)\, dy, +\] +obtenue en ajoutant à la valeur initiale~$A$ les accroissements que +prendra la fonction intégrale sur chacun des deux segments rectilignes +qui relient les points $x_0,y_0$ et $x,y$. + +Inversement, ayant formé l'expression ci-dessus, on constate +immédiatement qu'elle définit, dans le domaine~$T_0$, une fonction +intégrale continue et uniforme de la différentielle~\Eref{I}{I}{4}. En effet, la +%% -----File: 016.png---Folio 4------- +chose est évidente pour ce qui concerne l'uniformité et la continuité +et, en différentiant, on trouve de suite +\[ +\frac{\partial F_0(x,y)}{\partial y} = N(x,y), +\] +puis, en utilisant la condition d'intégrabilité, +\[ +\frac{\partial F_0(x,y)}{\partial x} + = M(x, y_0) + \int^{y}_{y_0} \frac{\partial N}{\partial x}\, dy + = M(x, y_0) + \int^{y}_{y_0} \frac{\partial M}{\partial y}\, dy + = M(x,y). +\] + +Le domaine~$T_0$, où est définie l'expression $F_0(x,y)$, s'obtient +en menant dans~$T$ certaines coupures parallèles à l'axe des~$y$ (dans +la figure ci-dessous, où $P_0$~désigne le point $x_0,y_0$ et où $T_0$~est l'aire +couverte de hachures, ce sont les coupures $AA'$, $BB'$ et~$CC'$). +Le domaine~$T$ étant, par hypothèse, à connexion simple, chacune de +ces coupures en séparera une portion où, jusqu'à présent, la fonction +intégrale n'est pas définie. + +%[Illustration: Fig. 1.] +\Figure{1}{016} + +À l'intérieur de~$T_0$, choisissons maintenant un point $x_1, y_1$ distinct +de $x_0, y_0$ (dans la figure c'est le point~$P_1$), et formons l'expression +\[ +F_1(x,y)\equiv F_0(x_1,y_1) + \int^{x}_{x_1} M(x,y_1)\, dx + + \int^{y}_{y_1} N(x,y)\, dy, +\] +analogue à $F_0(x, y)$ et prenant la même valeur que cette expression +au point $x_1, y_1$. En raisonnant comme ci-dessus, on démontre +que $F_1(x, y)$ représente une fonction intégrale continue et uniforme +de la différentielle~\Eref{I}{I}{4} dans une certaine portion~$T_1$ du domaine~$T$, +qui aura en commun avec~$T_0$ une aire~$T_{0,1}$, comprenant +le point $x_1, y_1$. + +Je dis qu'on a $F_1 (x, y) = F_0 (x, y)$ pour tout point de l'aire~$T_{0,1}$. +%% -----File: 017.png---Folio 5------- +En effet, d'après ce que nous avons dit plus haut, la différence des +expressions $F_1$ et~$F_0$ gardera dans cette aire une valeur constante, +et, comme elles prennent la même valeur au point $x_1, y_1$, cette +valeur constante est $0$. + +Or, si l'on a choisi convenablement le point $x_1, y_1$, le domaine~$T_1$ +renfermera aussi certaines aires extérieures à ~$T_0$ et qui en sont +séparées par l'une des coupures (dans la figure, c'est l'aire comprise +entre $CC'$ et~$DD'$). L'expression $F_1(x, y)$ sert alors à \textit{prolonger} +la fonction intégrale au delà des limites du domaine $T_0$, +où elle était définie primitivement. + +En continuant ce procédé, on pourra étendre de proche en proche +le domaine d'existence de la fonction intégrale et, par un choix +convenable des points $x_0, y_0$; $x_1, y_1$;~$\dotsc$, on arrivera même, en +général, à représenter cette fonction, dans tout le domaine~$T$, par +un nombre fini d'expressions $F_0(x,y)$, $F_1(x,y)$,~$\dotsc$. Il n'en est +plus ainsi dans les cas où le contour de~$T$ présente des singularités +d'un certain genre, mais cela a peu d'importance, car, dans la suite, +nous resterons essentiellement dans l'intérieur de ce domaine. + +En retournant maintenant aux conditions~\Eref{I}{I}{3}, nous pouvons +affirmer qu'elles définissent dans le domaine~$T$ des fonctions continues +et uniformes $U(x,y)$, $V(x,y)$, déterminées à des constantes +additives près, et, par suite, l'expression +\[ +F(z)\equiv U(x,y) + i\,V(x,y) +\] +nous donne bien une fonction intégrale de~$f(z)$, uniforme et +holomorphe dans le domaine donné et renfermant une constante +arbitraire. + +\Paragraph{3.} Prenons à l'intérieur du domaine~$T$ deux points quelconques, +$z_0\equiv x_0 + iy_0$ et $z\equiv x + iy$, et joignons-les par un chemin continu~$S$, +n'ayant aucun point commun avec le contour de~$T$; puis +choisissons sur ce chemin une suite de points, $z_1,~z_2, \dotsc,~z_n$, se +succédant dans la direction de~$z_0$ à ~$z$. On appelle \textit{intégrale définie +de la fonction~$f(z)$, prise le long du chemin~$S$ de~$z_0$ à ~$z$}, et +l'on dénote par +\[ +\int^{z}_{z_0(S)} f(z)\, dz +\] +%% -----File: 018.png---Folio 6------- +la limite vers laquelle tend la somme +\[ +\sum^{n}_0 f(z_\nu)(z_{\nu+1} - z_\nu),\qquad (z_{n+1}=z), +\] +lorsque~$n$ croît indéfiniment, en même temps que la distance entre +deux points consécutifs~$z_\nu$ quelconques tend vers zéro. + +Or, en posant +$z_\nu = x_\nu + iy_\nu$, +$u_\nu = u(x_\nu, y_\nu)$, +$v_\nu = v(x_\nu, y_\nu)$, +la somme en question s'écrit +\[ + \sum^{n}_{0}\bigl[u_\nu (x_{\nu+1} - x_\nu) + - v_\nu (y_{\nu+1} - y_\nu)\bigr] +% ++ i \sum^{n}_{0}\bigl[v_\nu (x_{\nu+1} - x_\nu) + + u_\nu (y_{\nu+1} - y_\nu)\bigr] +\] +et, lorsque~$n$ augmente indéfiniment, cette expression tend vers la limite +\[ + \int^{x,y}_{x_0,y_0(S)} (u\,dx - v\,dy) ++i \int^{x,y}_{x_0,y_0(S)} (v\,dx + u\,dy), +\] +laquelle, en vertu des égalités~\Eref{I}{I}{3}, se réduit à son tour à +\[ +U(x,y) - U(x_0,y_0) + i\, \bigl[V(x,y) - V(x_0,y_0)\bigr], +\] +c'est-à -dire à $F(z)-F(z_0)$. Toutes ces conclusions découlent +immédiatement de la notion d'intégrale curviligne, si l'on admet +que le chemin~$S$ se compose d'un nombre fini d'arcs de courbes +continues à tangente continue, hypothèse qui suffit complètement +aux besoins de la théorie des fonctions. + +Nous avons donc trouvé +\[ +\int^{z}_{z_0(S)}f(z)\,dz = F(z) - F(z_0), +\EqnTag{I}{I}{5} +\] +et cette égalité renferme deux résultats d'une importance capitale: +comme le second membre ne dépend que des limites $z_0$ et~$z$ de +l'intégrale, il en résulte d'abord que: + +\Theorem{I.I.2}{L'intégrale $\dint f(z)\,dz$, prise entre des limites fixes, ne +change pas de valeur, de quelque manière qu'on fasse varier +le chemin d'intégration, à condition que ce chemin reste +constamment intérieur à un domaine où la fonction~$f(z)$ est +holomorphe.} +%% -----File: 019.png---Folio 7------- + +D'autre part, si les extrémités $z_0$ et~$z$ du chemin~$S$ se rapprochent +jusqu'à se confondre, le second membre de l'égalité~\Eref{I}{I}{5} +tendra vers zéro, d'où celle nouvelle conclusion: + +\Theorem{I.I.3}{L'intégrale $\dint f(z)\,dz$ s'évanouit toutes les fois qu'on prend +pour chemin d'intégration un contour fermé, compris dans +un domaine simplement connexe où la fonction~$f(z)$ est holomorphe\footnotemark.} +\footnotetext{On rattache généralement ce théorème à la formule +\[ +\iint_T \left(\frac{\partial N}{\partial x} + - \frac{\partial M}{\partial y}\right)\, dx\,dy + = \int_C (M\,dx + N\,dy), +\] +les fonctions $M(x,y)$ et~$N(x,y)$, ainsi que leurs dérivées premières, étant +continues et uniformes dans le domaine~$T$ et sur son contour~$C$. + +Dans son \textit{Mémoire sur les intégrales définies} de l'année~1814 (\textit{{\OE}uvres complètes}, +série~I, t.~1), Cauchy s'est servi de cette formule dans le cas où le domaine +est un rectangle ou s'y ramène par une transformation bi-uniforme des coordonnées. +C'est la même méthode qu'a adoptée Kronecker dans une Note insérée +dans les \textit{Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin},~1880, +p.~688, et qu'on trouve développée dans le Chapitre~III de ses Leçons sur les +intégrales définies, publiées par M.~Netto. + +D'autre part, on trouve dans le \textit{Mémoire sur les rapports qui existent entre +le calcul des résidus et le calcul des limites}, que Cauchy avait présenté à +l'Académie de Turin le~27 novembre~1831 et dont un extrait assez étendu a été +publié dans le \textit{Bulletin de Férussac}, t.~XVI,~1831, p.~116--128, une démonstration +du théorème ci-dessus, fondée sur les mêmes principes et \textit{parfaitement générale}. + +Enfin, dans une Note du~3 août~1846, intitulée \textit{Sur les intégrales qui s'étendent +à tous les points d'une courbe fermée} (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~X, p.~70), Cauchy +a généralisé notablement les résultats qu'il avait obtenus antérieurement.} +% [** End of footnote] + +Supposons maintenant la fonction~$f(z)$ uniforme et holomorphe +dans un domaine~$T$ à connexion multiple, et soient $C$, $C'$ des contours +fermés, intérieurs à ~$T$ et pouvant se réduire l'un à l'autre +par une déformation continue, sans sortir jamais de ce domaine. +Je dis qu'on aura +\[ +\int_C f(z)\,dz = \int_{C'} f(z)\,dz. +\] + +En effet, si $C$~et~$C'$ se coupent, les parties de ces contours comprises +entre deux points d'intersection consécutifs correspondent +à la même valeur de l'intégrale $\dint f(z)\, dz$, en vertu du théorème +%% -----File: 020.png---Folio 8------- +de la \Pgref{page}{theorem:I.I.2}, d'où résulte l'égalité ci-dessus. Si les courbes $C$ et~$C'$ +sont intérieures l'une à l'autre et si on les joint par une coupure, +les deux bords de celle-ci formeront avec lesdites courbes le contour +complet d'un domaine simplement connexe où~$f(z)$ est holomorphe. +L'intégrale $\dint f(z)\,dz$ étendue à ce contour est donc égale +à \textit{zéro} et, comme les parties de l'intégrale relatives aux deux bords +de la coupure se détruisent, on en déduit bien l'égalité voulue. +Donc: + +\Theorem{I.I.4}{Si la fonction~$f(z)$ est uniforme et holomorphe dans un +domaine donné~$T$ à connexion quelconque, l'intégrale +$\dint f(z)\,dz$, étendue à un contour fermé situé dans~$T$, garde +une valeur invariable lorsque ce contour se déforme d'une +manière continue, en restant constamment intérieur à ~$T$.} + +\Paragraph{4.} Soient~$f(z)$ une fonction analytique, holomorphe dans un +domaine~$T$ à connexion simple, $C$~une courbe fermée située +dans~$T$ et ne se coupant pas elle-même, $x$~un point intérieur à ~$C$ +et~$c$ un cercle de centre~$x$ et intérieur à ~$C$. Le théorème ci-dessus +nous donne +\[ +\int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz = \int_c \frac{f(z)}{z-x}\, dz, +\] +les contours $C$ et~$c$ étant parcourus tous deux dans le sens direct. +Or, si l'on pose $z-x = r\,\Pow{e}{i\varphi}$, $r$~étant le rayon du cercle~$c$, cette +dernière intégrale prendra la forme +\[ +i\int_0^{2\pi} f(x + r\,\Pow{e}{i\varphi})\, d\varphi, +\] +d'où l'on conclut qu'elle tend vers $2\pi i\,f(x)$ lorsque~$r$ s'annule. +Comme elle est, d'autre part, indépendante de~$r$, toujours en +vertu du même théorème, sa valeur sera précisément $2\pi i\,f(x)$. Par +suite, l'égalité ci-dessus nous donne la formule fondamentale +\[ +f(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz, +\EqnTag{I}{I}{6} +\] +qui aura lieu pour tout point~$x$ intérieur à ~$C$. + +%% -----File: 021.png---Folio 9------- + +On en conclut d'abord, par la définition même de la dérivée, +que la fonction~$f(x)$ admet dans son domaine d'holomorphie des +dérivées de tous les ordres et que l'on a, à l'intérieur de~$C$, +\Erratum{1} +\[ +\Pow{f}{(\nu)}(x) + = \frac{\nu!}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)\, dz}{\Pow{(z-x)}{\nu+1}}. +\EqnTag{I}{I}{7} +\] + +Prenons maintenant un point quelconque,~$a$, intérieur à ~$C$ et +distinct de~$x$, et posons +\[ +\frac{1}{z-x} \equiv \frac{1}{z-a - (x-a)} + = \sum_{0}^{n-1} + \frac{\Pow{(x-a)}{\nu}}{\Pow{(z-a)}{\nu+1}} + + \Pow{\left(\frac{x-a}{z-a}\right)}{n} \frac{1}{z-x}. +\] + +La formule~\Eref{I}{I}{6} deviendra, en tenant compte de l'égalité~\Eref{I}{I}{7}, +\[ +f(x) = \sum_{0}^{n-1} + \frac{\Pow{f}{(\nu)}(a)}{\nu!} \Pow{(x-a)}{\nu} + + \frac{1}{2\pi i} \int_C + \Pow{\left(\frac{x-a}{z-a}\right)}{n} \frac{f(z)}{z-x}\,dz. +\EqnTag{I}{I}{8} +\] + +Soient $M$ le maximum de~$\Abs{f(z)}$ sur~$C$, $S$~la longueur totale de ce +contour, $R$~la plus courte distance du point~$a$ à ~$C$, $R'$~un nombre +positif inférieur à ~$R$, et supposons $\Abs{x-a}\leqq R'$. Le dernier terme +de l'égalité ci-dessus aura son module inférieur à +\[ +\frac{MS}{2\pi(R - R')} \Pow{\left(\frac{R'}{R}\right)}{n}, +\] +et comme cette quantité s'annule lorsque~$n$ croît indéfiniment, on +arrive à cette conclusion que, pour $\Abs{x-a}\leqq R'$, la fonction~$f(x)$ +est représentée par son \emph{développement de Taylor} +\[ +% [** PP: \nu in superscript changed to (\nu)] +f(x) = \sum_{0}^{\infty} \frac{\Pow{f}{(\nu)}(a)}{\nu!} + \Pow{(x-a)}{\nu}.\quad\Changenotemark +\] +\Changenotetext{1} + +Comme $R'$ était un nombre quelconque inférieur à ~$R$ et~$C$ un +contour quelconque compris dans~$T$, cette égalité subsiste dans le +cercle de centre~$a$ et tangent intérieurement au contour de~$T$\footnotemark. +\footnotetext{Cauchy a établi pour la première fois ce théorème dans son \textit{Mémoire sur +la Mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé Calcul des limites}, qu'il +présenta à l'Académie de Turin le 11~octobre 1831, et dont un résumé fut inséré +la même année dans le \textit{Bulletin de Férussac}, t.~XV, p.~260--269. La partie la plus +importante de ce travail, qui marque un des plus grands progrès qui aient jamais +été réalisés dans l'Analyse, se trouve reproduite dans le Tome~II des \textit{Exercices +d'Analyse} (1841). + +Quant aux formules \Eref{I}{I}{6} et~\Eref{I}{I}{7}, il y avait longtemps que Cauchy les avait +tirées du calcul des résidus, dans le cas particulier où le contour~$C$ se réduit à un +cercle de rayon \emph{un}. \emph{Voir}, par exemple, \textit{Bulletin de la Société Philomathique}, +1822; \textit{Annales de Gergonne}, t.~XVII, p.~114, et un article de la première +année (1826) des \textit{Exercices de Mathématiques} (\textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~VI, +p.~270--271). + +D'ailleurs, ces formules avaient déjà été remarquées par d'autres auteurs, +notamment par Frullani et Poisson, qui y étaient arrivés \emph{en partant de la série +de Taylor}. Mais, dans cet ordre d'idées, on doit surtout citer Parseval, auteur +peu connu de notre temps, mais dont les travaux vraiment remarquables: +\emph{Méthode générale pour sommer, par le moyen des intégrales définies, la +suite donnée par Lagrange, et Mémoire sur les séries et sur l'intégration +complète d'une équation aux différences partielles linéaires du second ordre, +à coefficients constants} (\textit{Mémoires présentés par divers savants}, série~I, +t.~I, 1806) ont exercé une grande influence sur les analystes du commencement +du siècle dernier, et tout particulièrement sur Cauchy (\emph{voir}, par exemple, +\textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~VI, p.~275). + +Les remarques qui précèdent pourront servir à compléter ou à corriger, sur +différents points, les intéressants articles que vient de publier M.~Stäckel sur +l'histoire de la Théorie des fonctions (\textit{Bibliotheca Mathematica}, série~III, t.~I, +p.109--128 et t.~II, p.~111--121).} +%[** End of footnote] + +%% -----File: 022.png---Folio 10------- + +\Paragraph{5.} Passons au \emph{théorème de Laurent}. Nous supposons la +fonction~$f(z)$ uniforme et holomorphe à l'intérieur et sur le contour +de la couronne comprise entre deux cercles concentriques, $C$ et~$c$, +de centre~$a$. Prenons dans cette couronne un point arbitraire,~$x$, +et joignons $C$~et~$c$ par une coupure ne passant pas par ce point. +On aura un domaine simplement connexe où $f(z)$~est holomorphe, +contour compris, et l'on pourra donc appliquer la formule~\Eref{I}{I}{6} en +y étendant l'intégrale au contour complet de ce domaine. Or, +comme~$f(z)$ est uniforme dans la couronne envisagée, les intégrales +relatives aux deux bords de la coupure se détruisent, de +sorte que nous trouvons +\[ +f(x)= +\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz - +\frac{1}{2\pi i}\int_c \frac{f(z)}{z-x}\, dz, +\] +les contours $C$ et~$c$ étant tous deux parcourus dans le sens direct. + +En raisonnant comme ci-dessus, on trouve d'abord \emph{pour tout +point~$x$ intérieur au cercle~$C$}, +\[ +\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-x}\,dz + = \sum^{\infty}_0 A_\nu \Pow{(x-a)}{\nu}, +\] +%% -----File: 023.png---Folio 11------- +avec +\[ +A_\nu = \frac{1}{2\pi i}\int_L \frac{f(z)\, dz}{\Pow{(z-a)}{\nu+1}}. +\] + +En vertu du théorème de la \Pgref{page}{theorem:I.I.4}, il est permis de prendre +pour contour d'intégration dans cette dernière intégrale, soit l'une +des circonférences $C$ et~$c$, soit une courbe fermée quelconque,~$L$, +intérieure à ~$C$ et enveloppant~$c$, et ne se coupant pas elle-même. + +D'autre part, en écrivant +\[ +-\frac{1}{z-x} \equiv \frac{1}{x-a-(z-a)} + = \sum^n_1 \frac{\Pow{(z-a)}{\nu-1}}{\Pow{(x-a)}{\nu}} + + \Pow{\left( \frac{z-a}{x-a} \right)}{n} \frac{1}{x-z}, +\] +et en observant que, si $\Abs{x-a}$ est supérieur au rayon du cercle~$c$, +l'intégrale +\[ +\frac{1}{2\pi i}\int_c + \Pow{\left( \frac{z-a}{x-a} \right)}{n} \frac{f(z)\, dz}{x-z} +\] +s'évanouit pour $n = \infty$, on trouve le développement +\[ +-\frac{1}{2\pi i}\int_c\frac{f(z)}{z-x}\, dz + = \sum^{\infty}_1 \frac{B_\nu}{\Pow{(x-a)}{\nu}}, +\] +où +\[ +B_\nu = \frac{1}{2\pi i}\int_L f(z)\Pow{(z-a)}{\nu-1}\,dz, +\EqnTag{I}{I}{9} +\] +et qui reste valable \emph{pour tout point~$x$ extérieur au cercle~$c$}. + +On aura, dès lors, dans la couronne comprise entre $C$ et~$c$, +\[ +f(x) = \sum^{\infty}_0 A_\nu \Pow{(x-a)}{\nu} + + \sum^{\infty}_1 \frac{B_\nu}{\Pow{(x-a)}{\nu}}, +\EqnTag{I}{I}{10} +\] +égalité qui constitue précisément le théorème de Laurent. + +\Paragraph{6.} Admettons, en particulier, que la fonction~$f(z)$ est uniforme +et holomorphe pour tout point du cercle~$C$, excepté le centre~$a$. Le +raisonnement qui précède restera vrai quelque petit qu'on prenne le +rayon du cercle~$c$, et les valeurs des coefficients $A_\nu$, $B_\nu$ seront +toujours les mêmes. Donc, la fonction~$f(x)$ sera représentée par +le développement~\Eref{I}{I}{10} pour tout point~$x$ intérieur à ~$C$ et distinct +du point~$a$. + +%% -----File: 024.png---Folio 12------- + +Quant au caractère que présente la fonction~$f(x)$ dans le voisinage +du point~$a$, deux cas sont \textit{a priori} possibles: ou il existe un +entier~$n$ tel que, dans le cercle~$C$, le module du produit $\Pow{(x-a)}{n}f(x)$ +reste inférieur à un nombre fini,~$M$, ou bien un tel entier n'existe +pas. + +Considérons d'abord le premier cas, et admettons que~$n$ est précisément +le plus petit entier satisfaisant à la condition indiquée. En +faisant $\nu = n + k$ et en prenant pour contour d'intégration un +cercle de centre $a$ et de rayon $r$, on déduit de l'égalité~\Eref{I}{I}{9} +\[ +\Abs{B_{n+k}} < M\, \Pow{r}{k}, +\] +et, comme $M\,\Pow{r}{k}$ s'annule avec~$r$, pour $k\geqq 1$, tandis que les valeurs +des coefficients~$B$ ne dépendent pas de~$r$, il en résulte que +$B_{n+1} = B_{n+2} = \dotsb = 0$. Donc, le développement~\Eref{I}{I}{10} ne comprend +qu'\textit{un nombre fini de termes à puissances négatives}\footnotemark: +\footnotetext{Cf.~\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~I, t.~XI, 1851, p.~384.} +\[ +f(x) = \frac{B_n}{\Pow{(x-a)}{n}\vphantom{\Pow{(x-a)}{n-1}}} + + \frac{B_{n-1}}{\Pow{(x-a)}{n-1}}+ \dotsb + + \frac{B_1}{x-a} + + \sum^{\infty}_0 A_{\nu}\Pow{(x-a)}{\nu}. +\] +On aura d'ailleurs $B_n\neq 0$, sans quoi le produit $\Pow{(x-a)}{n-1}f(x)$ +resterait fini dans le voisinage du point~$a$, contrairement à l'hypothèse.---On +dit, dans ce cas, que le point~$a$ est \textit{un pôle d'ordre}~$n$ +pour la fonction~$f(x)$. + +Inversement, si~$a$ est un pôle de~$f(x)$, il existe évidemment un +entier~$n$ jouissant de la propriété indiquée plus haut. Donc, dans +le cas où un tel entier n'existe pas, la partie fractionnaire du +développement~\Eref{I}{I}{10} comprendra une infinité de termes, et réciproquement. +Alors, le point~$a$ est dit \textit{point singulier essentiel} +pour la fonction donnée. + +Le coefficient~$B_1$ de la première puissance négative dans le développement~\Eref{I}{I}{10} +s'appelle \textit{le résidu de la fonction~$f(x)$ relatif +au point singulier $x = a$}\footnotemark. +\footnotetext{Ce terme a été employé par Cauchy pour la première fois, à ce qu'il semble, +dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences le 28~décembre 1825 (voir +p.~XIII de l'analyse des travaux de l'Académie pendant l'année 1825, par Fourier), +puis dans les \textit{Exercices de Mathématiques}. Mais la notion de résidu est au fond +identique à celle d'\textit{intégrale singulière} que Cauchy avait introduite dans son +Mémoire de 1814, et qui se trouve exposée avec beaucoup de précision dans ses +\textit{Leçons sur le Calcul infinitésimal} de l'année 1823 (\textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~IV +34\ieme{}~leçon). + +Cauchy est bien des fois revenu sur les notions fondamentales du Calcul des +résidus, cherchant à les préciser et à les simplifier autant que possible. \textit{Voir}, en +particulier, \textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~XI, 1851, p.~306--314; t.~XII, 1855, p.~300--301 +et 1857, p.~433--444.} % [** End of footnote] +D'après~\Eref{I}{I}{9}, on a +\[ +B_1 =\frac{1}{2\pi i} \int_L f(z)\, dz, +\] +%% -----File: 025.png---Folio 13------- +$L$ étant un contour fermé simple intérieur à ~$C$ et enveloppant le +point~$a$. Si $a$~est un pôle simple, on aura aussi cette autre définition: +\Pagelabel{page13} +\[ +B_1 = \lim_{x=a}(x-a)f(x). +\] + +Remarquons encore que le résidu~$B_1$ s'évanouit si~$f(z)$ est la +dérivée d'une fonction qui reste uniforme dans le voisinage du +point~$a$, ce qui résulte immédiatement de l'égalité~\Eref{I}{I}{5}, \Pgref{page}{eqn:I.I.5}. + +\Paragraph{7.} Supposons maintenant la fonction~$f(x)$ holomorphe et uniforme +dans la région du plan qui est extérieure à un certain cercle~$c$ +ayant l'origine comme centre. On aura \textit{pour tout point de cette +région} +\[ +f(x) = \sum^{\infty}_0 A_\nu \Pow{x}{\nu} + + \sum^{\infty}_1 \frac{B_\nu}{\Pow{x}{\nu}} +\EqnTag{I}{I}{11} +\] +avec +\[ +A_{\nu} = \frac{1}{2\pi i}\int_L \frac{f(z)}{\Pow{z}{\nu+1}}\, dz, \qquad +B_{\nu} = \frac{1}{2\pi i}\int_L f(z) \Pow{z}{\nu-1}\, dz, +\] +$L$ étant un contour fermé simple enveloppant le cercle~$c$. En effet, +en vertu du théorème de Laurent, cette égalité a lieu dans la couronne +comprise entre~$c$ et un cercle concentrique~$C$, enveloppant +le contour~$L$ et d'ailleurs aussi grand qu'on voudra. + +Nous avons ici encore à distinguer deux cas: + +Admettons d'abord qu'il existe un entier~$n$ tel que le module +$\Abs{\Pow{z}{-n}f(z)}$ reste inférieur à une limite finie, quelque grand +que soit~$\Abs{z}$, et soit d'ailleurs $n$ le plus petit entier satisfaisant à +cette condition. On en conclut, par un raisonnement analogue à +celui du \no\Sref{6}, $A_{n+1}=A_{n+2}=\dotsb =0$, $A_{n}\neq 0$, de sorte que~$\Pow{x}{n}$ est +%% -----File: 026.png---Folio 14------- +la puissance la plus élevée de~$x$ qui figure dans le +développement~\Eref{I}{I}{11}. On convient de dire, dans ce cas, que \textit{le point à l'infini +est pour~$f(x)$ un pôle d'ordre~$n$}. Si, en particulier, $\Abs{f(z)}$ reste +au-dessous d'une limite finie, à partir d'une certaine valeur de~$\Abs{z}$, +le développement~\Eref{I}{I}{11} ne comprendra aucune puissance positive +de~$x$; alors \textit{la fonction~$f(x)$ est holomorphe à l'infini}. + +Dans le cas où il n'existe pas d'entier~$n$ vérifiant la condition +indiquée, le développement~\Eref{I}{I}{11} comprendra au contraire une +infinité de termes à puissances positives, et le point à l'infini est +dit \textit{point singulier essentiel} pour~$f(x)$. + +On convient d'appeler \textit{résidu de la fonction~$f(x)$ relatif au +point~$\infty$} l'expression +\Pagelabel{page14} +\[ +-B_1 = \frac{1}{2\pi i}\int_L f(z)\, dz, +\] +l'intégrale étant prise le long du contour~$L$ dans le sens \textit{indirect} +par rapport à l'origine ou, ce qui revient au même, dans le sens +direct par rapport au point~$\infty$. Remarquons que \textit{ce résidu est nul +dans le cas où le produit $z\,f(z)$ tend uniformément vers zéro +avec~$\smfrac{1}{z}$}, c'est-à -dire où l'inégalité $\Abs{z\,f(z)} < \eps$, quelque petit qu'on +se donne~$\eps$, est vérifiée dès que~$\Abs{z}$ dépassera une certaine limite +finie. En effet, en prenant pour contour~$L$ un cercle ayant l'origine +comme centre et dont le rayon est supérieur à cette même limite, +on trouvera $\Abs{B_1} < \eps$, d'où il suit $B_1 = 0$. + +\Paragraph{8.} Soit une fonction analytique~$f(z)$ qui, dans un domaine +donné à connexion simple, est uniforme et ne présente qu'un +nombre fini de points singuliers, $a_1$,~$a_2$, $\dots,~a_n$, en étant d'ailleurs +holomorphe sur le contour~$C$ de ce domaine. Entourons les points~$a$ +de petites courbes fermées, $c_1, c_2, \dots, c_n$, extérieures les unes aux +autres mais intérieures à ~$C$, et joignons chacune de ces courbes +avec~$C$ par une coupure. Un raisonnement analogue à celui du +\no\Sref{5} nous donnera +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\, dz + = \sum_1^n \frac{1}{2\pi i} \int_{c_\nu} f(z)\, dz, +\] +tous les contours étant parcourus dans le sens direct. Or le second +%% -----File: 027.png---Folio 15------- +membre est égal à la somme des résidus de la fonction~$f(z)$ relatifs +à ses points singuliers intérieurs au contour~$C$, et, en désignant +avec Cauchy cette somme par $\residuesum_C\bigl(f(z)\bigr)$, %*Crazy integral +on pourra donc écrire +l'égalité précédente sous la forme +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\, dz = \residuesum_C \bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{I}{I}{12} +\] +C'est la formule sur laquelle repose tout le calcul des résidus\footnotemark. +\footnotetext{Sous cette forme générale, la formule~\Eref{I}{I}{12} a été établie par Cauchy dans +le Mémoire du 27~novembre 1831 et publiée la même année dans le \textit{Bulletin de +Férussac} (Cf.~la note p.~7).} + +Dans le cas où la fonction~$f(z)$ est uniforme et holomorphe +dans la région extérieure au contour~$C$, le premier membre de~\Eref{I}{I}{12} +est égal au résidu de cette fonction au point~$\infty$ pris avec le signe +\textit{moins}, d'où cette proposition: + +\Theorem{I.I.5}{La somme de tous les résidus d'une fonction analytique, +uniforme dans tout le plan et n'ayant qu'un nombre fini de +points singuliers, est égale à zéro.} + +Soit, en particulier, une fonction~$f(z)$, holomorphe dans tout le +plan et dont le module reste inférieur à une certaine quantité finie, +quel que soit~$z$, et considérons l'expression +\[ +F(z) \equiv \frac{f(z)}{(z-x)(z-y)}\ \raisebox{0.3ex}{,} +\] +$x$ et~$y$ étant deux points distincts pris au hasard. Comme $z\,F(z)$ +tend uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{z}$, le résidu de~$F(z)$ à l'infini +est égal à zéro, d'après la remarque faite \Pgref{page}{page14}. En vertu de la +proposition ci-dessus, il en est donc de même de la somme des +résidus de~$F(z)$ relatifs aux points $x$ et~$y$ et, comme cette somme +s'écrit +$\smfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$, il en résulte $f(x)=f(y)$. Donc \textit{la +fonction~$f(z)$ se réduit à une constante}\footnotemark. +\footnotetext{Cf.~\bsc{Cauchy}, \textit{{\OE}uvres complètes}, série~I, t.~VIII.\ 1844, p.~366--375. Dans +cette Note, Cauchy démontre également qu'une fonction~$f(z)$, holomorphe dans +tout le plan et telle qu'on ait $\Abs{\fnfrac{f(z)}{\Pow{z}{n}}} < M$ à partir d'une certaine valeur de~$\Abs{z}$, +se réduit à un polynôme d'un degré~$\leqq n$. Plus tard (\textit{Ibid}.,\ t.~XI, 1851, p.~376--380), +il a tiré de la formule~\Eref{I}{I}{13} du texte l'expression générale d'une fonction uniforme +n'ayant qu'un nombre fini de points singuliers, et montré, en particulier, que +toute fonction n'ayant d'autres singularités que des pôles se réduit à une fraction +rationnelle.} % [** End of footnote] + +%% -----File: 028.png---Folio 16------- + +En reprenant les hypothèses et les notations adoptées au début +de ce numéro, appliquons maintenant la formule~\Eref{I}{I}{12} à la fonction +\[ +\frac{f(z)}{z-x}\ \raisebox{0.3ex}{,} +\] +$x$ étant un point quelconque intérieur au contour~$C$ et distinct des +points $a_1$,~$a_2$, $\dotsc,~a_n$. Le résidu de cette fonction au point~$x$ est +égal à ~$f(x)$. Pour trouver le résidu relatif à ~$a_\nu$, écrivons +\[ +f(z) = G_\nu \left(\frac{1}{z - a_\nu}\right) + H_\nu(z - a_\nu), +\] +$G_\nu$ désignant la partie fractionnaire et~$H_\nu$ la partie entière du développement +de~$f(z)$ suivant les puissances de~$z-a_\nu$. Comme~$H_\nu$ +est holomorphe au point~$a_\nu$, on voit d'abord que $\smfrac{f(z)}{z-x}$ aura en ce +point le même résidu que l'expression +\[ +\Phi (z) \equiv \frac{1}{z-x} G_\nu \left(\frac{1}{z - a_\nu}\right). +\] +Or celle-ci n'a d'autres points singuliers que $z = x$ et~$z = a_\nu$, +et, comme $z\,\Phi(z)$ tend uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{z}$, son +résidu à l'infini est nul. En vertu de la proposition démontrée +\Pgref{page}{theorem:I.I.5}, le résidu cherché est donc égal au résidu de~$\Phi(z)$ au +point~$x$ pris avec le signe \textit{moins}, c'est-à -dire à +$-G_\nu \left(\smfrac{1}{x - a_\nu}\right)$, +et par suite la formule~\Eref{I}{I}{12} nous donnera +\[ +f(x) = \sum^n_1 G_\nu \left( \frac{1}{x - a_\nu} \right) + + \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz, +\EqnTag{I}{I}{13} +\] +autre formule fondamentale du Calcul des résidus dont Cauchy a +fait un usage continuel dans ses recherches. + +\Paragraph{9.} Nous devons rappeler le principe fondamental du +%% -----File: 029.png---Folio 17------- +prolongement analytique, dont nous aurons constamment à faire usage +dans cet Ouvrage. + +\Theorem{I.I.6}{Si les fonctions $f_1(x)$ et~$f_2(x)$ sont holomorphes dans une +aire connexe~$T$, et si l'égalité $f_1(x)=f_2(x)$ est vérifiée sur un +segment de courbe arbitrairement petit~$\gamma$ intérieur à ~$T$, elle +subsistera pour tout point de cette aire\footnotemark.} +\footnotetext{Dans une Note de Cauchy du 17~février 1845 (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~IX, p.~39) +on trouve le principe en question énoncé en ces termes: + +\Theorem{I.I.7}{Supposons que deux fonctions de~$x$ soient toujours égales entre elles pour +des valeurs de~$x$ très voisines d'une valeur donnée. Si l'on vient à faire +varier~$x$ par degrés insensibles, ces deux fonctions seront encore égales tant +qu'elles resteront l'une et l'autre fonctions continues de~$x$ \emph{(c'est-à -dire \emph{holomorphes}, +d'après la terminologie actuelle)}.} + +Cauchy avait été conduit à ce résultat, qu'il énonce d'ailleurs aussi pour les +fonctions de plusieurs variables, en généralisant une proposition établie par Cellérier, +dans une \textit{Note relative à la théorie des imaginaires}, qui semble n'avoir +jamais été publiée (Cf.~le Rapport de Cauchy, \textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~VIII, 1844, +p.~160--162). + +Cependant Cauchy n'a pas tiré d'applications de son principe, et c'est à Riemann +et à Weierstrass que revient l'honneur d'avoir les premiers mis en évidence +l'importance et la fertilité de la notion de prolongement analytique.} +% [** End of footnote] + +D'un point~$a$ du segment~$\gamma$ comme centre, décrivons un cercle~$C$ +ayant pour rayon la plus courte distance de ce point au contour +de l'aire~$T$. À l'intérieur de ce cercle, les fonctions $f_1(x)$ et~$f_2(x)$ +sont représentées par leurs développements de Taylor: +\[ +f_1(x) = \sum \Pow{A}{(1)}_\nu \Pow{(x-a)}{\nu}, \quad +f_2(x) = \sum \Pow{A}{(2)}_\nu \Pow{(x-a)}{\nu}. +\] +Je dis que ces développements sont identiques, c'est-à -dire que +l'on a $\Pow{A}{(1)}_\nu = \Pow{A}{(2)}_\nu$ pour chaque indice~$\nu$. + +Supposons, en effet, qu'il n'en soit pas ainsi, et soit~$n$ le plus +petit entier pour lequel l'égalité précédente n'ait pas lieu. On +aurait, en posant pour abréger $\Pow{A}{(1)}_\nu - \Pow{A}{(2)}_\nu = A_\nu$, +\[ +f_1(x) - f_2(x) + = \Pow{(x-a)}{n} \bigl[A_n + A_{n+1}(x-a) + \dots\bigr] \quad (A_n \neq 0), +\] +et l'on pourrait donc trouver un nombre positif~$r$ assez petit pour +que cette différence ne s'annule pour aucun point du domaine +$0<\Abs{x-a}<r$. Or ceci est impossible, puisque le domaine dont +il s'agit renferme une partie du segment~$\gamma$. +%% -----File: 030.png---Folio 18------- + +On a donc $f_1(x) = f_2(x)$ pour tout point du cercle~$C$. En prenant +maintenant un point quelconque~$b$ intérieur à ~$C$, on démontre +par le même raisonnement que cette égalité subsiste dans le cercle +ayant~$b$ pour centre et tangent intérieurement au contour de~$T$ et, +en continuant ce procédé, on arrivera évidemment à l'établir pour +un point quelconque de l'aire~$T$. + +\Paragraph{10.} En terminant ce Chapitre, nous démontrerons un théorème +général dû à Weierstrass\footnote{% +\textit{Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin}, 1880.} +et qui joue un rôle très important +dans la théorie des fonctions: + +\Theorem{I.I.8}{Soit une suite indéfinie de fonctions analytiques, +$u_1(x),~u_2(x),~\dotsc$, holomorphes dans une aire connexe~$T$ et sur son +contour~$C$, et supposons que la série +\[ +F(x) = u_1(x) + u_2(x) + \dotsb + u_{\nu}(x) + \dotsb +\EqnTag{I}{I}{14} +\] +converge uniformément sur~$C$\footnote{% +Cette condition implique que, ayant fixé un nombre positif arbitrairement +petit~$\eps$, on pourra trouver un entier~$n$ tel qu'on ait +\[ +\Abs{\sum^{n+p}_n u_{\nu}(x)} < \eps +\] +pour tout point du contour~$C$, et quel que soit l'entier positif~$p$. Or on sait, par +une propriété bien connue des fonctions analytiques, que la plus grande valeur +que prend le premier membre de cette inégalité sur le contour~$C$ est supérieure +à sa valeur en un point quelconque intérieur à ce contour. Il en résulte que, si +la série~\Eref{I}{I}{14} est uniformément convergente sur le contour~$C$, elle l'est aussi dans +tout le domaine~$T$, contour compris.}% [** End of footnote] +; la somme~$F(x)$ de cette +série représentera une fonction analytique holomorphe dans +le domaine~$T$, et la dérivée d'un ordre quelconque de cette +fonction s'obtiendra en faisant la somme des dérivées du même +ordre de chaque terme de la série.} + +La formule~\Eref{I}{I}{6} nous donne, pour tout point~$x$ intérieur à ~$C$ et +pour chaque indice~$\nu$, +\[ +u_{\nu}(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{u_{\nu}(z)}{z-x}\, dz, +\] +et, comme l'intégrale d'une série uniformément convergente est +%% -----File: 031.png---Folio 19------- +égale à la somme des intégrales de chacun de ses termes, on en +déduit immédiatement que la série~\Eref{I}{I}{14} converge au point~$x$ et que +sa somme est donnée par l'égalité +\[ +F(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{F(z)}{z-x}\, dz, +\EqnTag{I}{I}{15} +\] +dont le second membre représente bien une fonction analytique de +la variable~$x$ qui est holomorphe dans le domaine~$T$. + +La seconde partie du théorème se démontre de même en partant +de la formule~\Eref{I}{I}{7} qui nous donne, pour tout point~$x$ intérieur à ~$C$, +\[ +\Pow{u}{(n)}_{\nu}(x) + = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{u_{\nu}(z)\, dz}{\Pow{(z-x)}{n+1}}. +\] +En effet, on en déduit l'égalité +\[ +\sum^{\infty}_{\nu=1} \Pow{u}{(n)}_{\nu}(x) + = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{F(z)\,dz}{\Pow{(z-x)}{n+1}}, +\] +dont le second membre, d'après~\Eref{I}{I}{15}, est bien égal à ~$\Pow{F}{(n)}(x)$. + +On se convainc d'ailleurs aisément que la série figurant au premier +membre de cette dernière égalité est uniformément convergente +dans toute aire intérieure au domaine~$T$ et n'ayant aucun +point commun avec son contour. + +\bigTbreak + +%% -----File: 032.png---Folio 20------- + + +\cleardoublepage +% [*** Chapter II] +\Chapter{II}{APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RÉSIDUS.} + +\Section{II}{I}{Fonctions symétriques des racines d'une équation. \\ + Développement des fonctions implicites.} + +\Paragraph{11.} Soit une fonction analytique,~$f(x)$, uniforme et n'ayant +d'autres singularités que des pôles dans un domaine donné~$T$, +holomorphe et différente de zéro sur le contour~$C$ de ce domaine. + +Le nombre des pôles intérieurs à ~$T$ est nécessairement fini, car, +dans le cas contraire, ils admettraient au moins un point limite +faisant partie de~$T$, et qui serait pour~$f(x)$ un point singulier d'un +caractère autre que les pôles. Nous désignerons les pôles en question +par $b_1,~b_2, \dotsc,~b_\nu$, et leurs ordres par $\beta_1,~\beta_2, \dotsc,~\beta_\nu$. + +On voit de même que la fonction~$f(x)$, à moins qu'elle ne soit +identiquement nulle, ne saurait avoir dans~$T$ qu'un nombre fini de +zéros, $a_1,~a_2, \dotsc,~a_\mu$; soient $\alpha_1,~\alpha_2, \dotsc,~\alpha_\mu$ leurs ordres. + +Considérons le quotient~$\smfrac{f'(x)}{f(x)}$. C'est évidemment une fonction +holomorphe en tout point de~$T$ distinct des points $a$ et~$b$. Dans le +voisinage du point~$a_k$, on aura\footnote{% +Nous désignons par~$\mathfrak{p}(t)$ une série entière qui converge dans un certain +voisinage de la valeur $t=0$, et qui d'ailleurs n'est pas la même dans les diverses +égalités ci-dessus.} +\[ +f(x) = A\Pow{(x-a_k)}{\alpha_k}\, \bigl[1 + (x-a_k)\mathfrak{p}(x-a_k)\bigr], +\] +$A$~étant une constante non nulle; il en résulte +\[ +\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\alpha_k}{x-a_k} + \mathfrak{p}(x-a_k). +\] +%% -----File: 033.png---Folio 21------- +Un calcul analogue nous donne, dans le voisinage du point~$b_k$, +\[ +\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{\beta_k}{x-b_k} + \mathfrak{p}(x-b_k). +\] + +Cela posé, soit~$F(x)$ une fonction quelconque, holomorphe +dans~$T$ et sur~$C$. D'après les égalités ci-dessus, les résidus de l'expression +$F(x)\smfrac{f'(x)}{f(x)}$ relatifs aux points $a_k$ et~$b_k$ seront respectivement +égaux à $\alpha_k F(a_k)$ et à $-\beta_k F(b_k)$, et la formule~\Eref{I}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:I.I.12}, +nous permet donc d'écrire ce résultat: +\[ + \sum_1^{\mu} \alpha_k F(a_k) +- \sum_1^{\nu} \beta_k F(b_k) += \frac{1}{2\pi i} \int_C F(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx. +\EqnTag{II}{I}{1} +\] + +Si, en particulier, la fonction $f(x)$ est holomorphe dans le +domaine~$T$ et n'y admet que des zéros simples, $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$, on +aura +\[ +F(x_1) + F(x_2) + \dotsb + F(x_m) += \frac{1}{2\pi i} \int_C F(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx. +\EqnTag{II}{I}{2} +\] +Cette formule restera d'ailleurs valable dans le cas où~$f(x)$ présente +des zéros multiples, si, comme nous le ferons dès à présent, +on convient d'écrire, dans la suite $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$, chaque zéro +autant de fois que l'indique son ordre.\footnote{% +La formule~\Eref{II}{I}{2} a été donnée par Cauchy, pour le cas où le contour~$C$ est +un rectangle ou s'y ramène par une transformation bi-uniforme des coordonnées, +dans le \textit{Journal de l'École Polytechnique}, Cahier~XIX, 1823, p.~580. \textit{Voir} aussi +\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VI, 1826, p.~401--421. Mais les idées de Cauchy +sur ce sujet remontent, à ce qu'il semble, à un Mémoire \textit{Sur la résolution des +équations par le moyen des intégrales définies}, qu'il avait présenté à l'Académie +le 22~novembre 1819, mais qui n'a pas été publié.} + +\Paragraph{12.} Pour $F(x) = 1$, la formule~\Eref{II}{I}{1} s'écrit +\[ +\sum_1^\mu \alpha_k - \sum_1^{\nu} \beta_k + = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx. +\] +Soient $R$ et~$\Phi$ le module et l'argument de la fonction~$f(x)$, de sorte +%% -----File: 034.png---Folio 22------- +que $f(x) = R\,\Pow{e}{i \Phi}$; on aura +\[ +\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \frac{df(x)}{f(x)} + = \frac{dR}{R} + i\, d\Phi + = d\log R + i\, d\Phi, +\] +et, par suite, +\[ + \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx += \frac{1}{2\pi i} \int_C d\log R + \frac{1}{2\pi} \int_C d\Phi. +\] +Or le premier terme de cette somme est nul, puisque la fonction~$\log R$ +est uniforme sur~$C$, et le second terme est égal à $\smfrac{\Delta\Phi}{2\pi}$, en désignant +par $\Delta\Phi$ l'accroissement total que reçoit l'argument~$\Phi$ lorsque +le point~$x$ décrit le contour~$C$ dans le sens direct. Nous arrivons +donc au théorème suivant, qui joue un rôle important en Analyse, +et qu'on peut d'ailleurs établir d'une manière élémentaire: + +\Theorem{II.I.1}{Si une fonction~$f(x)$ est uniforme et ne présente d'autres +singularités que des pôles dans un domaine donné~$T$, en étant +d'ailleurs holomorphe et différente de zéro sur son contour~$C$, +l'accroissement que reçoit l'argument de cette fonction lorsque +le point~$x$ décrit le contour~$C$ dans le sens direct est égal au +produit de~$2\pi$ par la différence entre le nombre de ses zéros et +le nombre de ses pôles compris dans~$T$, chaque zéro et pôle +étant compté autant de fois que l'indique son ordre.} + +On en déduit cet autre théorème, qui rend également de grands +services dans diverses questions d'Analyse: + +\Theorem{II.I.2}{Soient deux fonctions, $f(x)$ et~$\varphi(x)$, uniformes et holomorphes +dans un domaine~$T$ et sur son contour~$C$, et admettons +d'ailleurs que~$f(x)$ ne s'annule pas sur~$C$; si l'inégalité +\[ +\Abs{\frac{\varphi(x)}{f(x)}} < 1 +\] +est vérifiée pour tout point du contour~$C$, les fonctions $f(x)$~et +$f(x) + \varphi(x)$ ont le même nombre de zéros dans le domaine~$T$.} + +Écrivons, en effet, +\[ +f(x) + \varphi(x) = f(x)\psi(x), +\] +%% -----File: 035.png---Folio 23------- +d'où +\[ +\psi(x) = 1 + \frac{\varphi(x)}{f(x)}. +\] +Lorsque le point~$x$ parcourt le contour~$C$, le point dont l'affixe est +égal à ~$\psi(x)$ décrit une courbe fermée qui, en vertu de l'inégalité +ci-dessus, est intérieure au cercle passant par l'origine et ayant +pour centre le point $x = 1$. Quand le point~$x$ sera revenu au point +de départ, l'argument de~$\psi(x)$ reprendra donc sa valeur initiale et, +par conséquent, l'accroissement total de l'argument de $f(x) + \varphi(x)$ +sera le même que pour la fonction~$f(x)$, d'où résulte la proposition +énoncée. + +\Paragraph{13.} Démontrons maintenant ce théorème: + +\Theorem{II.I.3}{Les zéros d'une fonction analytique de la variable~$x$, $f(x,t)$, +qui dépend d'un para\-mètre~$t$, et qui est continue par rapport +aux deux variables $x$ et~$t$, sont eux-mêmes des fonctions continues +du paramètre~$t$.} + +Soient $t_0$ une valeur particulière du paramètre~$t$, $x_0$~un zéro de +$f(x, t_0)$ et $m$~l'ordre de ce zéro [on suppose $f(x, t_0)$ holomorphe +dans le voisinage du point~$x_0$]. Il s'agit de démontrer que, pour +les valeurs~$t$ peu différentes de~$t_0$, la fonction $f(x, t)$ admet précisément +$m$~zéros tendant vers~$x_0$ lorsque~$t$ tend vers~$t_0$. + +Du point~$x_0$ comme centre, décrivons un cercle d'un rayon~$\eps$ +assez petit pour que la fonction $f(x, t_0)$ soit holomorphe et différente +de zéro pour $0 < \Abs{x-x_0} \leqq \eps$. Sur la circonférence de ce +cercle, le module $\Abs{f(x, t_0)}$ aura un minimum positif que nous +désignerons par~$\eta$. Choisissons encore un nombre positif~$\delta$ tel que, +pour $\Abs{x-x_0} = \eps$, $\Abs{t-t_0} < \delta$, on ait +\[ +\Abs{f(x,t) - f(x,t_0)} < \eta +\] +et, par suite, +\[ +\Abs{\frac{f(x,t) -f(x,t_0)}{f(x, t_0)}} < 1, +\] +ce qui est possible en vertu de la continuité de $f(x,t)$. + +Cela posé, il résulte de la proposition établie à la fin du \no\Sref{12} +que, pour $\Abs{t - t_0} < \delta$, la fonction $f(x, t)$ admet, dans le cercle +$\Abs{x - x_0} < \eps$, autant de zéros que la fonction $f(x, t_0)$, c'est-à -dire +%% -----File: 036.png---Folio 24------- +précisément $m$~zéros, et comme ce résultat subsiste quelque petit +que soit~$\eps$, à condition qu'on prenne en même temps le nombre~$\delta$ +suffisamment petit, on voit bien que ces $m$~zéros tendent vers~$x_0$ +lorsque~$t$ tend vers~$t_0$, comme nous l'avions avancé. + +\Paragraph{14.} On peut préciser notablement ce résultat dans le cas où la +fonction $f(x,t)$ est analytique par rapport aux deux variables $x$~et +$t$. En simplifiant un peu les notations précédentes, admettons +que cette fonction est holomorphe tant que les variables restent +comprises dans les cercles +$\Abs{x} < r$, $\Abs{t} < \rho$\footnotemark, et que l'origine est +un zéro d'ordre $m$ pour $f(x,0)$. +\footnotetext{% +Cela signifie, d'après Cauchy, que la fonction $f(x,t)$ reste continue et +admet, par rapport à chacune des variables, une dérivée \emph{unique} également continue, +pour toutes les valeurs $x$, $t$ comprises dans les cercles indiqués. Pour une +valeur donnée~$t$ de module inférieur à ~$\rho$, $f(x, t)$ est donc une fonction analytique +de~$x$, holomorphe pour $\Abs{x} <r$, et \emph{vice versa}. Si $G$~et~$\Gamma$ sont des contours fermés +pris dans l'intérieur des cercles $\Abs{x} =r$, $\Abs{t} =\rho$, on trouve, en appliquant deux +fois de suite la formule~\Eref{I}{I}{6}, \Pgref{page}{eqn:I.I.6}, +\[ +f(x,t) = \frac{1}{\Pow{(2\pi i)}{2}} \int_G \int_{\Gamma} + \frac{f(\xi,\tau)\, d\xi\, d\tau}{(\xi- x)(\tau- t)}, +\] +$x$ et~$t$ étant respectivement intérieurs aux contours $G$ et~$\Gamma$. De cette égalité on +conclut que, dans son domaine d'holomorphie, la fonction $f(x,t)$ possède des +dérivées de tous les ordres et peut se développer en série de Taylor.} +% [** End of footnoote] + +En raisonnant comme ci-dessus, on voit d'abord qu'on peut +trouver deux nombres positifs, $r'(< r)$ et $\rho'(<\rho)$, tels qu'on ait +\[ +\Abs{f(x,0)} \geqq \eta\quad (>0) \quad \text{pour} +\quad \Abs{x} =r' +\] +et, d'autre part, +\[ +\Abs{\frac{f(x,t) - f(x,0)}{f(x,0)}} < 1 \quad\text{pour}\quad +\Abs{x} = r',\quad \Abs{t} \leqq \rho'. +\EqnTag{II}{I}{3} +\] + +On en conclut que, pour $\Abs{t} \leqq \rho'$, la fonction $f(x,t)$ est différente +de zéro sur le cercle $\Abs{x} = r'$ et admet à l'intérieur de ce +cercle $m$~zéros, $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$, qui sont des fonctions continues +de~$t$ et s'annulent en même temps que~$t$. + +Soit maintenant $F(x, t)$ une fonction analytique quelconque des +variables $x$, $t$, qui reste holomorphe pour $\Abs{x} \leqq r'$, $\Abs{t} \leqq \rho'$. Nous +%% -----File: 037.png---Folio 25------- +allons démontrer que \textit{la somme} +\[ +F(t) \equiv F(x_1, t) + F(x_2, t) + \dotsb + F(x_m, t) +\] +\textit{est une fonction holomorphe de~$t$ dans le cercle} $\Abs{t} <\rho'$. + +Pour une valeur donnée~$t$ de module $\leqq \rho'$, $f(x,t)$ et $F(x,t)$ +représentent des fonctions analytiques de~$x$ qui sont holomorphes +pour $\Abs{x} \leqq r'$ et, de plus, $f(x,t)$ ne s'annule pas sur le cercle +$\Abs{x} = r'$. D'après la formule~\Eref{II}{I}{2}, on aura donc l'égalité +\[ +F(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_G + \Phi(x,t)\, dx \quad\text{pour}\quad \Abs{t} \leqq \rho', +\EqnTag{II}{I}{4} +\] +où $G$ désigne la circonférence $\Abs{x} = r'$ et $\Phi(x,t)$ l'expression +\[ +\Phi(x,t) = F(x,t) \frac{f'_x(x,t)}{f(x,t)}. +\] + +D'autre part, si~$x$ est l'affixe d'un point quelconque de~$G$, cette +dernière expression définit une fonction analytique de~$t$ qui est +holomorphe pour $\Abs{t} \leqq \rho'$, puisque, dans ces conditions, le dénominateur +$f(x,t)$ est différent de zéro. Par la formule~\Eref{I}{I}{8}, \Pgref{page}{eqn:I.I.8}, on +aura donc, pour $\Abs{t} < \rho'$, $\Gamma$~désignant la circonférence $\Abs{\tau} = \rho'$, +\[ +\Phi(x,t) = \sum^{n-1}_0 \Pow{D}{(\nu)}_t \Phi(x,0) \frac{\Pow{t}{\nu}}{\nu!} + + \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma} + \Pow{\left(\frac{t}{\tau}\right)}{n} \frac{\Phi(x,\tau)}{\tau-t}\, d\tau. +\EqnTag{II}{I}{5} +\] + +Comme les zéros $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$ de $f(x,t)$ se confondent avec +l'origine pour $t = 0$, les dérivées $\Pow{D}{(\nu)}_t\Phi(x,0)$ sont des fonctions +holomorphes de~$x$ pour $0 < \Abs{x} \leqq r'$. + +En substituant l'expression~\Eref{II}{I}{5} dans l'égalité~\Eref{II}{I}{4}, on trouve\footnote{% +On remarquera que la fonction $\Phi(x,t)$ est, en vertu de nos hypothèses, +continue pour $\Abs{x} = r'$, $\Abs{t} = \rho'$, de sorte que les intégrations à effectuer dans +le dernier terme de la formule~\Eref{II}{I}{6} n'impliquent aucune difficulté.} +\[ +F(t) = \sum^{n-1}_0 A_\nu \Pow{t}{\nu} + + \frac{1}{\Pow{(2\pi i)}{2}} \int_G \int_{\Gamma} + \Pow{\left(\frac{t}{\tau}\right)}{n} \frac{\Phi(x,\tau)}{\tau-t}\,dx\, d\tau, +\EqnTag{II}{I}{6} +\] +où $A_{\nu}$ désigne \textit{le résidu de $\smfrac{1}{\nu!}\Pow{D}{(\nu)}_t \Phi(x,0)$ relatif à l'origine}: +\[ +A_{\nu} = \frac{1}{2\pi i}\int_G \frac{1}{\nu!} \Pow{D}{(\nu)}_t \Phi(x,0)\, dx. +\] +%% -----File: 038.png---Folio 26------- +Or le dernier terme de~\Eref{II}{I}{6} a son module inférieur à la quantité +\[ +\frac{r'\rho'M}{\rho'- \Abs{t}}\, \Pow{\Abs{\frac{t}{\rho'}}}{n}, +\EqnTag{II}{I}{7} +\] +$M$ étant le maximum de $\Abs{\Phi(x,\tau)}$ pour $\Abs{x} = r'$, $\Abs{\tau} = \rho'$, et comme +cette quantité s'annule pour $n = \infty$, puisqu'on suppose $\Abs{t} < \rho'$, +on voit que \textit{l'expression $F(t)$ est représentée dans tout le +cercle $\Abs{t} <\rho'$ par le développement} +\[ +F(t) = \sum^{\infty}_0 A_{\nu}\Pow{t}{\nu}. +\EqnTag{II}{I}{8} +\] +Nous avons donc démontré la proposition que nous avions en vue +et trouvé en même temps une limite supérieure~\Eref{II}{I}{7} de l'erreur +qu'on commet en arrêtant le développement~\Eref{II}{I}{8} après un terme +déterminé. + +En faisant $F(x, t)\equiv \Pow{x}{k}$, $k$~étant un entier positif, on conclut de +la proposition ci-dessus que les sommes +\[ +S_k \equiv \Pow{x}{k}_1 + \Pow{x}{k}_2 + \dotsb + \Pow{x}{k}_m +\] +sont des fonctions analytiques de~$t$, holomorphes pour $\Abs{t} <\rho'$ et +s'annulant pour $t = 0$. Il en sera donc de même des coefficients +des diverses puissances de~$x$ dans le développement du produit +\[ +(x-x_1) (x-x_2)\dotsm (x-x_m), +\] +puisque ces coefficients sont des polynômes en $S_1,~S_2, \dotsc,~S_m$, et +nous arrivons ainsi à ce théorème fondamental: + +\Theorem{II.I.4}{Étant donnée une fonction analytique, $f(x,t)$, des deux +variables $x$, $t$, qui est holomorphe tant que les modules de ces +variables restent au-dessous de certaines limites; si l'origine +est un zéro d'ordre~$m$ pour $f(x, 0)$, l'équation +\[ +f(x, t) = 0 +\] +admet précisément $m$~racines qui tendent vers zéro avec~$t$. Ces +racines vérifient une équation de degré~$m$, +\[ +\Pow{x}{m} + f_1(t)\Pow{x}{m-1} + f_2(t)\Pow{x}{m-2} + \dotsb + f_m(t) = 0, +\] +%% -----File: 039.png---Folio 27------- +dont les coefficients sont des fonctions analytiques de~$t$, holomorphes +dans le voisinage de l'origine et nulles pour $t=0$\footnotemark.} +% [** End of Theorem] +\footnotetext{Les principaux résultats des \nos\Sref{12}--\Sref{15} ont été établis par Cauchy dans les +Mémoires de l'année~1831 (Cf.~\textit{Bulletin de Férussac}, 1831, et \textit{Exercices d'Analyse}, +t.~II). + +Vers 1860, le théorème ci-dessus, d'ailleurs sous une forme plus générale et +avec des développements ultérieurs, a été retrouvé par Weierstrass qui, cependant, +n'a publié ses résultats qu'en~1886, dans les \textit{Abhandlungen aus der Functionenlehre}. +D'autre part, M.~Poincaré est, de son côté, arrivé au même théorème +dans sa thèse: \textit{Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux +différences partielles}, 1879. \textit{Voir} aussi É.~\bsc{Picard}, \textit{Traité d'Analyse}, t.~II, p.~243. + +Cauchy est d'ailleurs à plusieurs reprises revenu sur la théorie des fonctions +implicites, dans le but d'en simplifier les principes. \textit{Voir}, par exemple, \textit{{\OE}uvres}, +série~I, t.~IV, 1837, p.~48--60, et t.~V, 1840, p.~180--198. Dans la seconde de ces Notes +se trouve (p.~193--198) une démonstration qui présente certaines analogies avec +celle de Weierstrass.} % [** End of footnote] + +\Paragraph{15.} Appliquons les résultats précédents au cas où l'on a +\[ +f(x,t) = x - t\varpi(x), \quad F(x,t) = F(x), +\] +les fonctions $\varpi(x)$ et~$F(x)$ étant holomorphes pour $\Abs{x}<r$. La +condition~\Eref{II}{I}{3} s'écrit +\[ +\Abs{\frac{t\varpi(x)}{x}} < 1\quad \text{pour}\quad + \Abs{x} = r'(<r), \qquad \Abs{t} \leqq \rho'. +\] +Les nombres $r'$ et~$\rho'$ satisfaisant à ces conditions, comme l'on a +actuellement $m = 1$, on peut conclure des résultats du \no\Sref{14} que, +pour $\Abs{t}\leqq\rho'$, l'équation +\[ +x - t\varpi(x) = 0 +\] +admet à l'intérieur du cercle $\Abs{x}=r'$ une seule racine,~$\overline{x}$, qui est +fonction holomorphe de~$t$, pour $\Abs{t} < \rho'$, et s'annule pour $t = 0$. + +D'autre part, en développant l'expression +\[ +\Phi(x,t) \equiv F(x) \frac{1 - t\varpi'(x)}{x - t\varpi(x)} +\] +suivant les puissances de~$t$, on trouve que le coefficient de~$\Pow{t}{\nu}$ s'écrit +\[ +F(x) \left\{ \frac{\Pow{[\varpi(x)]}{\nu}}{\Pow{x}{\nu+1}} + -\frac{\Pow{[\varpi(x)]}{\nu-1}\varpi'(x)}{\Pow{x}{\nu}}\right\} + \equiv -\frac{1}{\nu} F(x) D_x + \left\{ \Pow{\left[ \frac{\varpi(x)}{x} \right]}{\nu} \right\}, +\] +ou encore +\[ +-\frac{1}{\nu} D_x + \left\{ F(x) \Pow{\left[ \frac{\varpi(x)}{x} \right]}{\nu} \right\} + + \frac{1}{\nu} F'(x) \Pow{\left[ \frac{\varpi(x)}{x} \right]}{\nu}. +\] +%% -----File: 040.png---Folio 28------- +Nous savons que le coefficient de~$\Pow{t}{\nu}$ dans le développement de la +fonction~$F(\overline{x})$ est égal au résidu de cette expression à l'origine. +Or, le résidu du premier terme est nul, puisque ce terme est la +dérivée d'une fonction uniforme (\textit{voir} \Pgref{p.}{page13}); et, d'après +l'égalité~\Eref{I}{I}{7} \Pgref{page}{eqn:I.I.7}, le résidu du second terme est égal à la dérivée +\[ +\frac{1}{\nu!} \Pow{D}{(\nu-1)}_x + \Bigl\{F'(x) \Pow{[\varpi(x)]}{\nu} \Bigr\}, +\] +prise pour $x=0$. En somme on aura donc, pour $\Abs{t}<\rho'$, +\[ +F(\overline{x}) + = F(0) + \sum^{\infty}_1 \Pow{D}{(\nu-1)}_x + \Bigl\{F'(x) \Pow{[\varpi(x)]}{\nu}\Bigr\}_{x=0}\, + \frac{\Pow{t}{\nu}}{\nu!}, +\] +et en particulier, pour $F(x)=x$, +\[ +\overline{x} + = \sum^{\infty}_1 \Pow{D}{(\nu-1)}_x + \Bigl\{\Pow{[\varpi(x)]}{\nu}\Bigr\}_{x=0}\, + \frac{\Pow{t}{\nu}}{\nu!}. +\] +Ce sont les célèbres développements établis par Lagrange. + +\Paragraph{16.} En terminant cette section, nous allons déduire de la formule~\Eref{II}{I}{1} +un résultat intéressant, en y faisant $F(x) = \log x$. + +Prenons un cercle~$C$ ayant l'origine comme centre et de rayon~$r$, +et désignons par $a_1,~a_2, \dotsc,~a_m$ les zéros et par $b_1,~b_2, \dotsc,~b_n$ +les pôles de la fonction~$f(x)$ compris dans ce cercle, chaque zéro +ou pôle figurant dans ces suites autant de fois que l'indique son +ordre. Pour simplifier, supposons d'ailleurs $f(0)= 1$. + +L'origine étant un point critique pour~$\log x$, nous l'exclurons de +notre domaine par un petit cercle,~$c$, laissant à l'extérieur les points +$a$ et~$b$; puis, en évitant toujours ces mêmes points, nous mènerons +une coupure,~$L$, allant d'un point de~$c$ au point $x = r$ de~$C$. Nous +obtenons ainsi un domaine simplement connexe,~$T$, dont le contour,~$S$, +se compose des cercles $C$ et~$c$ et des deux bords de la +coupure~$L$, et où la fonction~$\log x$ est uniforme et holomorphe. +Pour tout fixer, convenons d'ailleurs de choisir, parmi les différentes +branches de~$\log x$, celle qui prend la valeur réelle~$\log r$ au +point $x = r$ du bord \textit{supérieur} de la coupure. + +Cela posé, en faisant $F(x) = \log x$ et en prenant~$S$ pour contour +%% -----File: 041.png---Folio 29------- +d'intégration, la formule~\Eref{II}{I}{1} nous donne +\[ +\log\frac{a_1 a_2 \dotsm a_m}{b_1 b_2 \dotsm b_n} + = \frac{1}{2\pi i} \int_S \log x\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx. +\EqnTag{II}{I}{9} +\] +Intégrons par parties, en partant du point $x = r$ (du bord supérieur +de la coupure~$L$); on aura +\[ +\int^x_r \log x \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx + = \log x\log f(x) - \log r\log f(r) - \int^x_r \frac{\log f(x)}{x}\, dx. +\] +Lorsque le point~$x$, décrivant le contour~$S$ dans le sens direct, +revient au point $x = r$, $\log x$~reprend sa valeur initiale~$\log r$. +Quant à la fonction $\log f(x)$, laquelle peut se mettre sous la +forme $\log R + i\Phi$, $R$ et~$\Phi$ étant respectivement le module et l'argument +de~$f(x)$, il résulte du théorème de la \Pgref{page}{theorem:II.I.3} qu'elle prendra +dans les mêmes circonstances la valeur $\log f(r) + 2\pi i(m-n)$, +et l'égalité précédente deviendra donc, en divisant par~$2\pi i$, +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int_S \log x \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx + = (m-n) \log r - \frac{1}{2\pi i} \int_S \frac{\log f(x)}{x}\, dx. +\] + +Si l'on convient de choisir pour $\log f(x)$ la détermination qui +s'annule à l'origine, la fonction $\smfrac{\log f(x)}{x}$ sera holomorphe dans le +cercle~$c$ et prendra la même valeur en des points correspondants +situés respectivement sur les deux bords de la coupure~$L$. Il en +résulte +\[ + \int_S\frac{\log f(x)}{x}\, dx += \int_C\frac{\log f(x)}{x}\, dx +\equiv i\int^{2\pi}_0 \log f(r\,\Pow{e}{i\varphi})\, d\varphi, +\] +car l'intégrale prise sur~$c$ est nulle et les intégrales relatives aux +deux bords de $L$ se détruisent; l'égalité~\Eref{II}{I}{9} devient donc +\[ +\log\frac{a_1 a_2 \dotsm a_m}{b_1 b_2 \dotsm b_n} + = (m-n)\log r - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log f(r\,\Pow{e}{i\varphi})\, d\varphi, +\] +ou encore, en égalant les parties réelles des deux côtés, +\[ +\log\Abs{\frac{a_1 a_2 \dotsm a_m}{b_1 b_2 \dotsm b_n}} + = (m-n)\log r - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} + \log \Abs{f(r\,\Pow{e}{i\varphi})} d\varphi. +% [** PP: No \, before previous d\varphi] +\] +Ce résultat constitue l'important théorème découvert par +%% -----File: 042.png---Folio 30------- +M.~Jensen\footnote{\textit{Acta mathematica}, t.~XXII\@. C'est M.~Goursat qui a le premier rattaché ce +théorème au calcul des résidus (\textit{Bulletin des Sciences mathématiques}, octobre +1902). \textit{Voir} aussi une Note récente de M.~Mittag-Leffler (\textit{Bulletin de la Société +mathématique de France}, t.~XXXII).} % [** End of footnote] +et qui joue, en particulier, un rôle fondamental dans la +théorie des fonctions entières. + + +\Section{II}{II}{Quelques applications aux fonctions méromorphes.} + +\Paragraph{17.} Soit une fonction \textit{méromorphe},~$f(z)$, c'est-à -dire une fonction +analytique uniforme dans tout le plan et n'ayant à distance +finie d'autres singularités que des pôles, et construisons de l'origine +comme centre une suite illimitée de cercles +\[ +c_1,\quad c_2, \quad \dotsc,\quad c_{\nu}, \quad \dotsc, +\] +qui ne passent par aucun pôle de~$f(z)$, et dont les rayons +\[ +r_1,\quad r_2, \quad \dotsc,\quad r_{\nu}, \quad \dotsc, +\] +aillent en croissant indéfiniment. On aura pour chaque indice~$\nu$, en +posant pour abréger $z_\nu = r_\nu \Pow{e}{i\psi}$, +\[ +\residuesum_{c_\nu} \bigl(f(z)\bigr) + = \frac{1}{2\pi i} \int_{c_\nu} f(z)\, dz + = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_{0} z_\nu f(z_\nu)\, d\psi. +\EqnTag{II}{II}{1} +\] + +Il peut arriver que cette expression tende vers une limite finie +et déterminée lorsque~$\nu$ croît indéfiniment. S'il en est ainsi, cette +limite sera appelée \textit{le résidu intégral de la fonction}~$f(z)$ (relatif +à la suite $c_1,~c_2,~\dotsc$)\footnotemark et désignée par $\residuesum\bigl(f(z)\bigr)$. On aura donc, +par définition, +\[ +\residuesum\bigl(f(z)\bigr) = \residuesum_{c_1} + + \left(\residuesum_{c_2} - \residuesum_{c_1}\right) + + \left(\residuesum_{c_3} - \residuesum_{c_2}\right) + \dotsb +\EqnTag{II}{II}{2} +\] +\footnotetext{\textit{Cf.~{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VII, 1827, p.~291--323. Dans cet article, +qui est d'une remarquable précision, Cauchy donne d'ailleurs une définition plus +générale du \textit{résidu intégral}, en considérant (p.~294), au lieu des cercles~$c_\nu$, un +contour fermé quelconque dont la forme varie sans cesse et de manière que ses +différents points s'éloignent indéfiniment de l'origine. Il utilise ainsi, dans toute +sa généralité, la représentation géométrique des nombres complexes, ce qu'il n'est +pas sans intérêt de noter, vu la date de cette publication.}% +% [** End of footnote] + +%% -----File: 043.png---Folio 31------- + +Cela posé, on tire facilement de l'égalité~\Eref{II}{II}{1} cette proposition: + +\Theorem{II.II.1}{Si la condition +\[ +\lim_{\nu=\infty} z_\nu f(z_\nu) = A +\EqnTag{II}{II}{3} +\] +est vérifiée uniformément pour $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$, le résidu intégral de +la fonction~$f(z)$ est égal à ~$A$.} + +En effet, l'égalité~\Eref{II}{II}{1} nous donne +\[ +\residuesum_{c_\nu} \bigl(f(z)\bigr) - A + = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \bigl[z_\nu f(z_\nu) - A\bigr]\, d\psi, +\EqnTag{II}{II}{4} +\] +et, en vertu de l'hypothèse admise, on aura d'autre part, quelque +petit que soit~$\eps$, $\Abs{z_\nu f(z_\nu) - A} < \eps$, dès que~$\nu$ dépassera une certaine +limite. A partir de cette même limite, on aura donc aussi +\[ +\Abs{\,\residuesum_{c_\nu} \bigl(f(z_\nu)\bigr) - A} < \eps, +\] +d'où résulte la proposition énoncée. Cette proposition subsiste +dans le cas plus général où sont vérifiées les conditions suivantes: +\smallskip + +\primo~\textit{$\Abs{z_\nu f(z_\nu)} < M$ pour tout indice~$\nu$, $M$~étant une constante.} + +\secundo~\textit{La condition~\Eref{II}{II}{3} est vérifiée uniformément dans toute +portion de l'intervalle $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$ qui ne comprend pas certaines +valeurs particulières $\psi_1,~\psi_2, \dotsc,~\psi_n$.} +\smallskip + +En effet, si $\eps$ et~$\eta$ désignent deux nombres positifs arbitrairement +petits, et si, de l'intervalle $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$, on exclut les segments +\[ +\psi_k - \eta < \psi < \psi_k + \eta \qquad (k = 1, 2, \dotsc, n), +\] +dont la longueur totale est au plus égale à ~$2n\eta$, on a dans le reste +de cet intervalle $\Abs{z_\nu f(z_\nu) - A} < \eps$ dès que~$\nu$ dépasse une certaine +valeur~$\nu_0$. Le second membre de l'égalité~\Eref{II}{II}{4} est donc inférieur en +valeur absolue à la quantité +\[ +\eps + 2n\eta\, \frac{M + \Abs{A}}{2\pi} +\] +dès que $\nu > \nu_0$, et tend, par suite, vers zéro lorsque~$\nu$ croît indéfiniment. + +%% -----File: 044.png---Folio 32------- + +Par un raisonnement analogue, on démontre cette autre proposition +dont nous aurons également à faire usage: + +\Theorem{II.II.2}{Si le module du produit $z_\nu f(z_\nu)$ reste inférieur à une quantité +fixe quel que soit~$\nu$, et si les conditions +\[ +% Must use \mathrm (not \text) below b/c we're currently in italics +\begin{aligned} + \lim_{\nu=\infty} z_\nu f(z_\nu) &= A\qquad \mathrm{pour} \\ + \lim_{\nu=\infty} z_\nu f(z_\nu) &= B\qquad \mathrm{pour} +\end{aligned} +\qquad +\begin{aligned} + \psi_0 + \eps &< \psi < \psi_0 + \pi - \eps, \\[1ex] + \psi_0 + \pi + \eps &< \psi < \psi_0 + 2\pi - \eps +\end{aligned} +\] +sont vérifiées uniformément dans les intervalles indiqués, +quelque petit que soit~$\eps$, le résidu intégral de la fonction~$f(z)$ +est égal à $\smfrac{1}{2}(A+B)$.} % [** End of Theorem] + +\Paragraph{18.} Comme première application, cherchons à évaluer les +\textit{nombres de Bernoulli}, c'est-à -dire les nombres $B_1,~B_2,~\dotsc$ qui +figurent dans le développement +\[ +\frac{1}{\Pow{e}{z}-1} = \frac{1}{z} - \frac{1}{2} + + \sum^{\infty}_1 \Pow{(-1)}{\nu-1} \frac{B_\nu}{(2\nu)!}\, \Pow{z}{2\nu-1}. +\EqnTag{II}{II}{5} +\] + +Le coefficient $\Pow{(-1)}{k-1}\smfrac{B_k}{(2k)!}$ représente le résidu de la fonction +\[ +f(z) \equiv \frac{1}{\Pow{z}{2k}}\, \frac{1}{\Pow{e}{z}-1} +\] +à l'origine. Les autres pôles de cette fonction méromorphe sont +$\pm 2\pi i\nu$ ($\nu=1,~2,~\dotsc$) et les résidus correspondants $\Pow{(-1)}{k}\Pow{(2\pi\nu)}{-2k}$. +Or, on constate facilement, en prenant $r_\nu = (2\nu-1)\pi$, que le +module de l'expression~\Eref{II}{II}{5} reste inférieur à une quantité finie sur +les cercles~$c_{\nu}$\footnotemark,\Pagelabel{page32} et il en résulte que le produit $z_\nu f(z_\nu)$ tend +%% -----File: 045.png---Folio 33------- +uniformément vers zéro pour $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$ lorsque $\nu$~croît indéfiniment. +D'après le \no\Sref{17}, le résidu intégral de la fonction~$f(z)$ se réduit +donc à zéro et, par suite, le coefficient considéré ci-dessus est égal +et de signe contraire à la somme des résidus de~$f(z)$ relatifs aux +pôles $\pm 2\pi i\nu$, d'où l'on déduit +\[ +B_k = \frac{2(2k)!}{\Pow{(2\pi)}{2k}} \sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{\nu}{2k}}. +\EqnTag{II}{II}{6} +\] +\footnotetext{De chacun des pôles de la fonction $\varphi(z)\equiv\fnfrac{1}{\Pow{e}{z}-1}$ comme centre, décrivons +un cercle de rayon arbitrairement petit mais fixe, et désignons par~$T$ la région +extérieure à ces cercles. Je dis que $\Abs{\varphi(z)}$ est inférieur à un nombre fini~$M$ +pour tout point de~$T$. Soit, en effet, $a$~un nombre positif et posons $z=\tau +it$; on +aura évidemment $\Abs{\varphi(z)} < \fnfrac{1}{\Pow{e}{a}-1}$ pour $\tau>a$, et $\Abs{\varphi(z)}<\fnfrac{1}{1-\Pow{e}{-a}}$ pour $\tau<-a$, +et d'autre part on trouve, en tenant compte de la périodicité de~$\varphi(z)$, que +$\Abs{\varphi(z)}$ aura un maximum fini dans la portion de~$T$ comprise dans la +bande $-a\leqq\tau\leqq a$. On prendra pour $M$ la plus grande de ces trois limites. + +Le nombre~$x$ étant assujetti à la condition $0 \leqq x \leqq 1$, on démontre de même +que le module de la fonction $\fnfrac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}$ reste au-dessous d'une limite finie~$M'$ dans le +domaine~$T$. Ce module est, en effet, inférieur à $\fnfrac{1}{1-\Pow{e}{-a}}$ pour $\tau< -a$, inférieur +à ~$\Pow{e}{a}\,M$ dans la portion de~$T$ faisant partie de la bande $-a\leqq\tau\leqq a$, et, enfin, inférieur +à $\fnfrac{1}{1-\Pow{e}{-a}}$ pour $\tau > a$, ce qui résulte de l'identité +\[ +\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1} = \frac{\Pow{e}{-z(1-x)}}{1-\Pow{e}{-z}}. +\] +On pourra donc prendre $M'= \Pow{e}{a} M$. + +Des remarques analogues s'appliquent à chacune des fonctions +\[ +\fsec z,\quad \cosec z,\quad \tang z,\quad \cot z,\quad +\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}+1}\quad (0 \leqq x \leqq 1),\dotsc, +\] +dans les régions qu'on obtient en excluant leurs pôles par de petits +cercles.}% [** End of footnote] + +Par un raisonnement de tout point analogue on trouve pour les +\textit{nombres d'Euler}, qui figurent dans l'égalité +\[ +\fsec z = \sum^{\infty}_0 + \frac{E_\nu}{(2\nu)!}\, \Pow{z}{2\nu}\qquad (E_0 = 1), +\EqnTag{II}{II}{7} +\] +l'expression +\[ +E_k = 2(2k)!\, \Pow{\left(\frac{2}{\pi}\right)}{2k+1} + \sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\Pow{(-1)}{\nu}}{\Pow{(2\nu+1)}{2k+1}} + \quad (k = 0, 1, \dotsc). +\EqnTag{II}{II}{8} +\] + +Cherchons maintenant les coefficients $\varphi_\nu(x)$ du développement +\[ +\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1} + = \frac{1}{z} + \sum^{\infty}_1 \frac{\varphi_\nu(x)}{\nu!}\, \Pow{z}{\nu-1}. +\EqnTag{II}{II}{9} +\] +En multipliant~\Eref{II}{II}{5} par la série qui définit~$\Pow{e}{xz}$, on obtient +\[ +\varphi_\nu(x) + = \Pow{x}{\nu} - \frac{\nu}{2} \Pow{x}{\nu-1} + + \Pow{C_\nu}{(2)} B_1 \Pow{x}{\nu-2} + - \Pow{C_\nu}{(4)} B_2 \Pow{x}{\nu-4} + + \Pow{C_\nu}{(6)} B_3 \Pow{x}{\nu-6} - \dotsb, +\] +%% -----File: 046.png---Folio 34------- +les lettres~$C$ désignant les coefficients binomiaux. Mais nous allons +obtenir une autre expression de ces polynômes, en observant +que~$\smfrac{\varphi_n(x)}{n!}$ représente le résidu relatif à l'origine de la fonction +\[ +f(z) \equiv \frac{1}{\Pow{z}{n}}\, \frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}. +\EqnTag{II}{II}{10} +\] + +Soit d'abord $n > 1$, et supposons la variable~$x$ réelle et comprise +dans l'intervalle $0 \leqq x \leqq 1$. D'après la remarque faite ci-dessus, le +produit $z_\nu f(z_\nu)$ tendra uniformément vers zéro pour $0\leqq\psi\leqq 2\pi$ +lorsque $\nu$~croît indéfiniment, en prenant toujours $r_\nu = (2\nu -1)\pi$. +\Pagelabel{page34}% +Le résidu intégral de la fonction~$f(z)$ est donc égal à zéro, et l'on +en déduit après quelques réductions faciles, pour $k = 1,~2,~\dotsc$, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\varphi_{2k}(x) +&= \phantom{1+{}} % [** PP: Add'l hspace to pad line] + \Pow{(-1)}{k+1}\, 2(2k)!\, \sum^{\infty}_{\nu=1} + \dfrac{\cos2\nu\pi x}{\Pow{(2\nu\pi)}{2k}} + \equiv \overline{\varphi}_{2k}(x), \\ +% +\varphi_{2k+1}(x) +&= \Pow{(-1)}{k+1}\, 2(2k+1)!\, \sum^{\infty}_{\nu=1} + \dfrac{\sin2\nu\pi x}{\Pow{(2\nu\pi)}{2k+1}} + \equiv \overline{\varphi}_{2k+1}(x), +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{II}{II}{11} +\] +formules valables tant que $0\leqq x\leqq 1$. En vue d'applications ultérieures, +nous conviendrons de désigner par $\overline{\varphi}_{2k}(x)$, $\overline{\varphi}_{2k+1}(x)$ les +fonctions périodiques de période~$1$ qui figurent aux seconds +membres de ces formules. + +Lorsque $n=1$, le résidu intégral de la fonction~\Eref{II}{II}{10} est encore +égal à zéro, pourvu que~$x$ reste dans l'intervalle $0<x<1$, \textit{les +limites étant exclues}. C'est ce qu'on déduit des résultats de la +\Pgref{page}{theorem:II.II.1}, en remarquant, d'une part, que le module du produit +\[ +zf(z)\equiv\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1} +\EqnTag{II}{II}{12} +\] +reste au-dessous d'une limite finie sur les cercles~$c_\nu$, d'après la note +de la \Pgref{page}{page32}, et, d'autre part, que ce produit tend uniformément +vers zéro lorsque $z$~s'éloigne indéfiniment de l'origine en restant +intérieur à l'un des angles +\[ +-\frac{\pi}{2} + \eps < \psi < \frac{\pi}{2}-\eps,\quad + \frac{\pi}{2} + \eps < \psi < \frac{3\pi}{2}-\eps, +\] +$\eps$ étant un nombre positif aussi petit qu'on le voudra. + +%% -----File: 047.png---Folio 35------- + +On aura donc, pour $0<x<1$, +\[ +\varphi_1(x) \equiv x - \frac{1}{2} + = -\sum^{\infty}_1 \frac{\sin 2\nu\pi x}{\nu \pi}. +\EqnTag{II}{II}{13} +\] +Nous désignerons par~$\overline{\varphi}_1(x)$ la fonction périodique +\[ +\overline\varphi_1(x) = -\sum^{\infty}_1 \frac{\sin2\nu\pi x}{\nu \pi}, +\EqnTag{II}{II}{14} +\] +fonction qui se confond avec $x - \nu - \smfrac{1}{2}$ pour $\nu< x <\nu+1$. + +$m$~étant un entier positif quelconque, on aura, pour $0< x < 1$, +\[ +\sum^{\infty}_m \frac{\sin 2\nu\pi x}{\nu\pi} + = -\frac{1}{2\pi i} \int_{c_m} \frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}\, \frac{dz}{z}, +\EqnTag{II}{II}{15} +\] +et comme, d'après la note de la \Pgref{page}{page32}, le module de +l'expression~\Eref{II}{II}{12} reste inférieur à la quantité finie~$M'$ sur les cercles~$c_{\nu}$, +et comme, d'ailleurs, la somme~\Eref{II}{II}{15} admet la période~$1$ et s'annule +pour les valeurs entières de~$x$, on peut en conclure que \textit{la +somme~\Eref{II}{II}{15} reste inférieure en valeur absolue à la quantité~$M'$ +pour toutes les valeurs réelles de~$x$, quel que soit l'entier +positif~$m$}. D'autre part, on peut déduire de l'égalité~\Eref{II}{II}{15} ce fait +bien connu que \textit{la série~\Eref{II}{II}{14} converge uniformément dans +l'intervalle $\eps\leqq x\leqq 1-\eps$, quelque petit que soit le nombre positif~$\eps$}. +\Pagelabel{page35}% + +On appelle \textit{polynomes de Bernoulli} les polynomes~$P$ définis +par les égalités +\begin{align*} +P_{2k}(x) &= \varphi_{2k}(x) + \Pow{(-1)}{k}B_k, \\ +P_{2k+1}(x) &= \varphi_{2k+1}(x). +\end{align*} + +Conformément à la notation adoptée ci-dessus, nous conviendrons +de désigner par $\overline{P}_{2k}(x)$, $\overline{P}_{2k+1}(x)$ les fonctions périodiques +de période~$1$ qui coïncident respectivement avec ces polynomes +dans l'intervalle $0\leqq x\leqq 1$. + +Ayant à nous occuper souvent des polynomes $\varphi$ et~$P$ dans la +suite de cet ouvrage, nous en signalerons ici quelques propriétés +importantes qui se déduisent immédiatement de nos formules. + +%% -----File: 048.png---Folio 36------- + +En rapprochant l'égalité~\Eref{II}{II}{9} de celle qu'on obtient en la différentiant +par rapport à ~$x$, on trouve les relations +\[ +\varphi'_{\nu+1}(x) = (\nu+1) \varphi_\nu(x)\quad (\nu=1, 2, \dotsc), +\EqnTag{II}{II}{16} +\] +qu'on pourrait aussi déduire des formules~\Eref{II}{II}{11}. De celles-ci on +conclut immédiatement +\[ +\varphi_{2k}(1-x) = \varphi_{2k}(x),\qquad +\varphi_{2k+1}(1-x) = -\varphi_{2k+1}(x), +\] +puis +\[ +\varphi_{2k+1}(0) = \varphi_{2k+1}\left(\smfrac{1}{2}\right) + = \varphi_{2k+1}(1) = 0, +\] +et, en tenant compte de l'égalité~\Eref{II}{II}{6}, +\[ +\varphi_{2k}(0) = \varphi_{2k}(1) = \Pow{(-1)}{k+1}B_k,\qquad +\varphi_{2k}\left(\smfrac{1}{2}\right) = \Pow{(-1)}{k} B'_k, +\EqnTag{II}{II}{17} +\] +où +\Pagelabel{page36} +\[ +B'_k = \frac{2(2k)!}{\Pow{(2\pi)}{2k}} + \sum^{\infty}_{\nu=1} \frac{\Pow{(-1)}{\nu+1}}{\Pow{\nu}{2k}} + = \left(1 - \frac{1}{\Pow{2}{2k-1}}\right)B_k. +\] + +La plus grande valeur numérique de $\overline\varphi_{2k}(x)$ étant égale à ~$B_k$, +d'après~\Eref{II}{II}{11}, on voit que \textit{le polynome~$P_{2k}(x)$ s'annule pour $x = 0$ +et pour $x= 1$, en gardant dans l'intervalle compris entre ces +valeurs un signe invariable, à savoir celui de~$\Pow{(-1)}{k}$}. Signalons +aussi l'égalité +\[ +\int^1_0 P_{2k}(x)\, dx = \Pow{(-1)}{k} B_k, +\EqnTag{II}{II}{18} +\] +qu'on vérifie de suite en intégrant la première des formules~\Eref{II}{II}{11}. + +Considérons encore, avec Hermite\footnote{\textit{Journal de Crelle}, t.~116. p.~144.}, les polynomes~$\chi(x)$ qui +figurent dans le dé\-vel\-oppe\-ment +\[ +\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z} +1} + = \sum^{\infty}_0 \frac{\chi_\nu(x)}{\nu!}\, \Pow{z}{\nu} + \qquad \left[\chi_0(x) \equiv \smfrac{1}{2}\right]. +\EqnTag{II}{II}{19} +\] + +%% -----File: 049.png---Folio 37------- + +Un raisonnement analogue au précédent conduit aux égalités +\begin{flalign*} +\EqnTag{II}{II}{20} +&\left\{ +\begin{aligned} +\chi_{2k}(x) +&= \phantom{{}+1^{+1}} \Pow{(-1)}{k}\, 2(2k)!\, + \sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\sin(2\nu+1)\pi x}{\Pow{[(2\nu +1)\pi]}{2k+1}} + \equiv \overline\chi_{2k}(x) \\[1ex] +% +\chi_{2k+1} (x) +&= \Pow{(-1)}{k+1}\, 2(2k+1)!\, + \sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\cos(2\nu+1)\pi x}{\Pow{[(2\nu +1)\pi]}{2k+2}} + \equiv \overline\chi_{2k+1}(x) +\end{aligned} +\quad +\begin{aligned} + & (k=1, 2, \dotsc),\vphantom{\Bigg|} \\[1ex] + & (k=0, 1, \dotsc),\vphantom{\Bigg|} +\end{aligned} +\right. +\end{flalign*} +qui sont valables pour $0\leq x \leq 1$. Les expressions qui figurent aux +seconds membres, et que nous désignerons par $\overline\chi_{2k}(x)$, $\overline\chi_{2k+1}(x)$, +admettent la période~$2$ et changent de signe lorsqu'on ajoute à la +variable~$x$ une demi-période, c'est-à -dire l'unité. + +Nous désignerons de même par $\overline{\chi}_{0}(x)$ la fonction périodique +\Pagelabel{page37} +\[ +\overline{\chi}_{0} (x) + = 2\sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\sin(2\nu+1)\pi x}{(2\nu +1)\pi}, +\EqnTag{II}{II}{21} +\] +dont la valeur est égale à ~$\smfrac{1}{2}$, pour $2\nu < x < 2\nu+1$, et à ~$-\smfrac{1}{2}$ pour +$2\nu+1 < x < 2\nu+2$, $\nu$~étant un entier quelconque. Quant à la +convergence de la série qui figure au second membre de l'égalité~\Eref{II}{II}{21}, +on pourra répéter mot à mot ce qui a été dit au sujet de +la série~\Eref{II}{II}{14}. + +Des égalités \Eref{II}{II}{19} et~\Eref{II}{II}{20} on déduit les relations +\begin{gather*} +\chi'_{\nu+1}(x) = (\nu + 1) \chi_\nu(x)\qquad (\nu=0, 1, 2, \dotsc), \\ +\chi_{2k}(1-x) = \chi_{2k}(x),\qquad +\chi_{2k+1}(1-x) = -\chi_{2k+1}(x), \\ +\chi_{2k}(0) = \chi_{2k}(1) = 0,\qquad +\chi_{2k+1}\left(\smfrac{1}{2}\right) = 0, +\EqnTag{II}{II}{22} +\end{gather*} +et, enfin, en tenant compte de l'égalité~\Eref{II}{II}{8}, +\[ +\chi_{2k}\left(\smfrac{1}{2}\right) = \frac{\Pow{(-1)}{k}}{2} \frac{E_k}{\Pow{4}{k}}. +\EqnTag{II}{II}{23} +\] + +\Paragraph{19.} À l'aide des considérations du \no\Sref{17} on peut, dans certains +cas, décomposer une fonction méromorphe en fractions rationnelles\footnote{Cf.~\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VII, 1827, p.~324--344, et série~I, t.~VIII, +1844, p.~378--385.}. % [** End of footnote] + +Supposons, par exemple, qu'il soit possible de choisir les +%% -----File: 050.png---Folio 38------- +cercles~$c_\nu$ de telle sorte que, si l'on pose toujours $z_\nu = r_\nu \Pow{e}{i\psi}$, le +module $\Abs{f(z_\nu)}$ reste au-dessous d'une limite finie, quels que +soient $\psi$ et~$\nu$, et que, d'autre part, l'égalité +\[ +\lim_{\nu=\infty} f(z_\nu) = A +\] +soit vérifiée uniformément dans l'intervalle $0\leqq \psi\leqq 2\pi$ ou, plus généralement, +dans toute portion de cet intervalle qui ne comprend +pas certaines valeurs particulières, $\psi_1,~\psi_2, \dotsc,~\psi_n$. Il en sera alors +de même, quel que soit~$x$, de l'égalité +\[ +\lim_{\nu=\infty} z_\nu\, \frac{f(z_\nu)}{z_\nu - x} = A, +\] +et l'on en déduit, d'après le théorème de la \Pgref{page}{theorem:II.II.1}, +\[ +\residuesum \left(\frac{f(z)}{z-x}\right) = A. +\] + +Or le résidu de $\smfrac{f(z)}{z-x}$ au point $z = x$ est égal à ~$f(x)$, et nous +pouvons donc écrire le résultat précédent sous la forme +\[ +f(x) = A + \residuesum \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{x-z} +\EqnTag{II}{II}{24} +\] +où la somme $\residuesum$ ne comprend, cette fois, que les résidus de~$\smfrac{f(z)}{x-z}$ +relatifs aux pôles de~$f(z)$\footnotemark. +\Pagelabel{page38}% +\footnotetext{À l'exemple de Cauchy, nous désignerons désormais par les notations +$\residuesum \varphi(z)\bigl(f(z)\bigr)$, et $\residuesum \smfrac{\varphi(z)}{\bigl(f(z)\bigr)}$ la somme des résidus des expressions $\varphi(z)f(z)$, +$\smfrac{\varphi(z)}{f(z)}$, relatifs respectivement aux points singuliers des fonctions $f(z)$ et~$\smash[t]{\smfrac{1}{f(z)}}$.} +% [** End of footnote] + +Si l'on suppose les conditions +\[ +\begin{alignedat}{3} + \lim_{\nu=\infty} f(z_\nu) &= A &&\text{pour} + &&\phantom{\pi+{}}\psi_0 + \eps < \psi < \psi_0 + \pi - \eps \\ +% + \lim_{\nu=\infty} f(z_\nu) &= B \qquad &&\text{pour}\qquad + && \psi_0 + \pi + \eps < \psi < \psi_0 + 2\pi - \eps +\end{alignedat} +\] +vérifiées uniformément dans les intervalles indiqués, quelque petit +que soit~$\eps$, et si $\Abs{f(z)}$ reste d'ailleurs au-dessous d'une limite +finie sur les cercles~$c_\nu$, on trouve, par le même raisonnement que +%% -----File: 051.png---Folio 39------- +ci-dessus, en utilisant le dernier théorème du \no\Sref{17}, +\[ +f(x) = \smfrac{1}{2}(A+B) + \residuesum \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{x-z}. +\EqnTag{II}{II}{25} +\] + +Considérons encore le cas où~$f(z)$ est une fonction \textit{impaire}, +telle que le quotient $\smfrac{f(z_\nu)}{z_\nu}$ tende uniformément vers zéro pour +$0\leqq \psi\leqq 2\pi$ lorsque $\nu$~croît indéfiniment. Je dis que le résidu intégral +de $\smfrac{f(z)}{z-x}$ se réduit à zéro, de sorte qu'on pourra appliquer la +formule~\Eref{II}{II}{24} en y faisant $A = 0$. En effet, on a +\[ +\residuesum\left(\frac{f(z)}{z-x}\right) + = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_0 \frac{z_\nu f(z_\nu)}{z_\nu - x}\, d\psi + = \frac{x}{\pi} \int^{\pi}_0 \frac{z_\nu f(z_\nu)} + {\Pow{z}{2}_\nu - \Pow{x}{2}}\, d\psi, +\] +et, sous la condition indiquée, cette dernière expression a évidemment +pour limite~$0$ lorsque $\nu$~tend vers l'infini. + +Dans le cas où~$f(z)$ n'admet que des pôles simples, $a_1,~a_2, \dotsc,~a_\nu,~\dotsc$, +on aura +\[ +\residuesum \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{x-z} + = \sum^{\infty}_1 \frac{A_\nu}{x - a_\nu}, +\] +$A_\nu$ étant le résidu de~$f(z)$ relatif au pôle~$a_\nu$. Mais il importe de +remarquer que, dans cette série, on doit réunir les termes en +groupes comme l'indique l'égalité~\Eref{II}{II}{2}, c'est-à -dire en comprenant +dans un même groupe les termes provenant des pôles compris +entre deux cercles consécutifs dans la suite $c_1,~c_2,~\dotsc$. + +\Paragraph{20.} Appliquons les considérations précédentes à la fonction +\[ +f(z) = \pi\cot\pi z \equiv \frac{D_z \sin \pi z}{\sin\pi z}. +\] + +La fonction $\sin\pi z$ admettant les points $z = 0$,~$\pm1, \pm 2,~\dotsc$ +comme zéros simples, ces mêmes points seront, d'après le \no\Sref{11}, +pour~$f(z)$ des pôles simples de résidu~$1$. La fonction~$f(z)$ est +d'ailleurs impaire et, d'après la note de la \Pgref{page}{page32}, son module +restera au-dessous d'une limite finie sur les cercles~$c_\nu$, si l'on prend +$r_\nu = \nu - \smfrac{1}{2}$. + +On peut donc appliquer la formule~\Eref{II}{II}{24} en y faisant $A = 0$, et +%% -----File: 052.png---Folio 40------- +l'on trouve ainsi la formule connue +\[ +\pi \cot \pi x + = \frac{1}{x} + \sum^{\infty}_{\nu = 1} + \left(\frac{1}{x - \nu} + \frac{1}{x + \nu}\right) + = \frac{1}{x} + 2x \sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{x}{2} - \Pow{\nu}{2}}. +\] + +Soit, en second lieu, +\[ +f(z) = \frac{\Pow{e}{az}}{\Pow{e}{z} -1}\qquad (0<a<1). +\] + +En prenant $r_\nu = (2\nu-1)\pi$, nous savons, d'après la \Pgref{page}{page34}, que le +module $\Abs{f(z_{\nu})}$ reste au-dessous d'une limite finie sur les cercles~$c_\nu$, +et que l'égalité $\lim\limits_{\nu=\infty} f(z_{\nu}) = 0$ est vérifiée uniformément pour +\begin{align*} +-\smfrac{\pi}{2} + \eps &< \psi < \smfrac{\pi}{2} - \eps \\ +\intertext{et pour} + \smfrac{\pi}{2} + \eps &< \psi < \smfrac{3\pi}{2} - \eps, +\end{align*} +quelque petit que soit~$\eps$. On aura donc l'égalité~\Eref{II}{II}{24} avec $A= 0$, +ce qui donne +\[ +\frac{\Pow{e}{ax}}{\Pow{e}{x} - 1} + = \lim_{n=\infty}\sum^{+n}_{-n} \frac{\Pow{e}{2\pi i\nu a}}{x - 2\pi i\nu} + \quad (0<a<1). +\] + +Si $a = 0$, on aura +\[ +\lim_{\nu=\infty} f(z_{\nu}) = -1\qquad \text{pour}\qquad +\smfrac{\pi}{2} + \eps < \psi < \smfrac{3\pi}{2} - \eps, +\] +les autres conditions étant les mêmes que ci-dessus. Dans ce cas, +on doit donc appliquer l'égalité~\Eref{II}{II}{25} en y faisant $A = 0$, $B =-1$, +et l'on trouve ainsi +\[ +\frac{1}{\Pow{e}{x} - 1} + = -\frac{1}{2} + \frac{1}{x} + + 2x\sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{x}{2} + 4\Pow{\pi}{2}\Pow{\nu}{2}}. +\] + +Comme dernière application, proposons-nous, en suivant toujours +Cauchy, de décomposer la fonction entière +\[ +F(z) = \sin z - az\cos z, +\] +où $a$~désigne une constante, en un produit de facteurs primaires. + +A cet effet, mettons~$F(z)$ sous la forme +\[ +F(z) = -az\cos z \left(1 - \frac{\tang z}{az}\right), +\] +%% -----File: 053.png---Folio 41------- +et décrivons, de l'origine comme centre, des cercles~$c_\nu$ de rayons +$\nu\pi$ ($\nu = 1,~2,~\dotsc$). Dès que $\nu$~dépassera une certaine valeur~$\nu_0$, on +aura (\textit{Cf}.~la note \Pgref{page}{page32}) +\[ +\Abs{\frac{\tang z}{az}} < 1\quad \text{sur}\quad c_\nu, +\] +et il en résulte, d'après le théorème de la \Pgref{page}{theorem:II.I.1}, que la +fonction~$F(z)$ a, dans le cercle~$c_\nu$, autant de zéros que la fonction $z\cos z$, +c'est-à -dire $2\nu + 1$ zéros. Donc $F(z)$ admet, en dehors de l'origine +qui en est un zéro simple si l'on suppose $a\neq 1$, une infinité +d'autres zéros, deux à deux égaux et de signes contraires, que nous +désignerons par $\pm\lambda_1,~\pm\lambda_2, \dotsc,~\pm\lambda_\nu,~\dotsc$. D'ailleurs, $\nu > \nu_0$, +les zéros~$\pm\lambda_{\nu}$ seront compris entre les cercles $c_{\nu-1}$ et~$c_{\nu}$. + +Cela posé, formons la dérivée logarithmique de~$F(z)$: +\[ +\frac{F'(z)}{F(z)} = \frac{(1-a)\cos z + az\sin z}{\sin z - az\cos z} + = \frac{\vphantom{\bigg|}\smfrac{1-a}{az} + \tang z} + {\vphantom{\bigg|}\smfrac{\tang z}{az} - 1}. +\] + +Cette dernière expression met en évidence que le module de +$\smfrac{F'(z)}{F(z)}$ reste inférieur à une quantité finie sur les cercles~$c_{\nu}$, au moins +pour $\nu>\nu_0$, et, comme c'est d'ailleurs une fonction impaire de~$z$, +les résultats établis au \no\Sref{19} nous permettent d'écrire +\[ +\frac{F'(z)}{F(z)} + = \frac{1}{x} + \sum^{\infty}_{1} + \left(\frac{1}{x - \lambda_\nu} + \frac{1}{x + \lambda_\nu}\right). +\] + +En intégrant cette égalité et en observant que $F'(0) = 1-a$, on +en déduit l'expression cherchée +\[ +\sin x - ax\cos x + = (1-a)x \prod^{\infty}_1 \left( + 1 - \frac{\Pow{x}{2}}{\Pow{\lambda}{2}_\nu} + \right). +\] + +\Paragraph{21.} Si les considérations qui précèdent ne s'appliquent pas à la +fonction donnée~$f(z)$, il sera parfois possible de trouver une fonction +rationnelle ou méromorphe~$\chi(z)$, se réduisant à l'unité pour +$z = 1$ et telle que les conditions énoncées au \no\Sref{19} soient vérifiées +%% -----File: 054.png---Folio 42------- +pour le produit $f(z)\chi\left(\smfrac{z}{x}\right)$, quel que soit~$x$\footnotemark. Le résidu intégral +de l'expression +\[ +\frac{f(z)\,\chi\!\left(\smfrac{z}{x}\right)}{z-x} +\EqnTag{II}{II}{26} +\] +aura alors une valeur finie qui dépendra en général de~$x$, $\varphi(x)$, et, +comme le résidu de cette expression au point $z=x$ est égal à ~$f(x)$, +on en déduit +\[ +f(x) = \varphi(x) + \residuesum + \frac{\Bigl(f(z)\,\chi\bigl(\smfrac{z}{x}\bigr)\Bigr)}{x-z}. +\EqnTag{II}{II}{27} +\] +\footnotetext{Cauchy a fait cette remarque (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~VIII, p.~114, 381), sans +toutefois en tirer grand profit. Pour le sujet que nous traitons ici, \textit{voir} \bsc{Hermite}, +\textit{Cours d'Analyse}, 4\ieme{}~édition, 10\ieme{}~Leçon; \bsc{Picard}, \textit{Traité d'Analyse}, t.~II, +Chapitre~VI; \bsc{Borel}, \textit{Leçons sur les fonctions méromorphes}, Chapitre~IV.}% +% [** End of footnote] + +Supposons par exemple qu'il soit possible de choisir les cercles~$c_\nu$ +de telle sorte que l'égalité +\[ +\lim_{\nu=\infty} \frac{f(z_\nu)}{\Pow{z}{p}_\nu} = 0, +\] +où $p$ désigne un entier positif, ait lieu uniformément pour +\[ +0\leqq \psi\leqq 2\pi. +\] + +Dans ce cas, il suffit de prendre $\chi(z) = \Pow{z}{-p}$, car l'expression~\Eref{II}{II}{26} +devient alors +\[ +\frac{f(z)}{\Pow{z}{p}}\, \frac{\Pow{x}{p}}{z-x}, +\] +et, en vertu de l'hypothèse admise, elle aura donc zéro pour résidu +intégral, quel que soit~$x$. Par suite, l'égalité~\Eref{II}{II}{27} nous donne +\[ +f(x) = \residuesum \frac{\Pow{x}{p}}{x-z} \left(\frac{f(z)}{\Pow{z}{p}}\right). +\] + +Admettons en particulier que les pôles $a_1,~a_2,~\dotsc$ de~$f(z)$ soient +tous simples et distincts de l'origine, et soit~$A_\nu$ le résidu du pôle~$a_\nu$. +Dans ce cas, le résidu de l'expression +\[ +\frac{\Pow{x}{p}}{x-z}\, \frac{f(z)}{\Pow{z}{p}} + \equiv f(z) \left(\frac{1}{x-z} + \frac{1}{z} + \frac{x}{\Pow{z}{2}} + + \dotsb + \frac{\Pow{x}{p-1}}{\Pow{z}{p}}\right) +\] +%% -----File: 055.png---Folio 43------- +relatif au pôle~$a_\nu$ est égal à +\[ +\frac{A_\nu}{x - a_\nu} \Pow{\left(\frac{x}{a_\nu}\right)}{p} +\equiv A_\nu \left(\frac{1}{x - a_\nu} + \frac{1}{a_\nu} + + \frac{x}{\Pow{a}{2}_\nu} + \dotsb + + \frac{\Pow{x}{p-1}}{\Pow{a}{p}_\nu}\right), +\] +tandis que son résidu à l'origine est, d'après l'égalité~\Eref{I}{I}{7}, \Pgref{page}{eqn:I.I.7}, +\[ +f(0) + f'(0)x + \dotsb + \Pow{f}{(p-1)}(0)\frac{\Pow{x}{p-1}}{(p-1)!}, +\] +de sorte que la fonction~$f(x)$ sera représentée par l'expression +\[ +f(x) = f(0) + f'(0)x + \dotsb + \Pow{f}{(p-1)}(0)\frac{\Pow{x}{p-1}}{(p-1)!} + + \sum^{\infty}_1 \frac{A_\nu}{x - a_\nu} + \Pow{\left(\frac{x}{a_\nu}\right)}{p}. +\] + +Dans cette dernière somme, on doit d'ailleurs réunir les termes +en groupes comme nous l'avons expliqué plus haut. + + +\Section{II}{III}{Calcul de quelques intégrales définies.} + +\Paragraph{22.} Le calcul des résidus constitue la source naturelle des intégrales +définies, et Cauchy en a tiré des méthodes générales qui lui +ont fourni toutes les intégrales obtenues antérieurement et une +multitude d'intégrales nouvelles\footnotemark. Nous devons nous borner ici +à rappeler brièvement les plus importantes de ces méthodes, en les +illustrant par quelques exemples caractéristiques. +\footnotetext{En dehors du Mémoire déjà cité de l'année~1814, on consultera en particulier: +\textit{Journal de l'École Polytechnique}, Cahier~XIX, 1823, p.~571--592; \textit{{\OE}uvres +de Cauchy}, série~II, t.~VI, 1826, p.~256--285, et, avant tout, l'Ouvrage intitulé +\textit{Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires} +(1825), dont une traduction allemande vient d'être publiée par M.~Stäckel.} +% [** End of footnote] + +Nous commençons par tirer de la formule connue +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-\Pow{z}{2}}\, dz = \smfrac{\sqrt{\pi}}{2} +\EqnTag{II}{III}{1} +\] +quelques résultats dont nous aurons à faire usage plus loin. + +Posons $z = \rho\,\Pow{e}{i\psi}$, et considérons l'intégrale $\dint \Pow{e}{-\Pow{z}{2}}\,dz$ étendue +au contour du secteur formé par l'axe réel positif, le rayon +%% -----File: 056.png---Folio 44------- +d'argument $\psi=\smfrac{\pi}{4}$, et l'arc~$S$ du cercle $\Abs{z} = R$ compris entre ces deux +droites. La valeur de cette intégrale est égale à zéro, quelque grand +que soit~$R$, puisque la fonction~$\Pow{e}{-\Pow{z}{2}}$ est partout holomorphe. Or je +dis que \textit{l'intégrale prise sur l'arc~$S$ s'évanouit lorsque $R$~croît +indéfiniment}. En effet, le module de cette intégrale est inférieur à +\[ +\int^{\fnfrac{\pi}{4}}_0 \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos 2\psi}R\,d\psi + \equiv \frac{1}{2} \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\,d\psi, +\] +et, en désignant par~$a$ un nombre positif inférieur à ~$\smfrac{\pi}{2}$, on a +\[ +\int^a_0 \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\,d\psi + < \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos a} \int^a_0 R\,d\psi + = aR\,\Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos a}, +\] +expression qui s'annule évidemment pour $R = \infty$, et, d'autre part, +\[ +\int^{\fnfrac{\pi}{2}}_a \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\, d\psi + < \frac{1}{\sin a} \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_a \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\sin\psi\,d\psi + = \frac{1}{R\sin a} (1 - \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos a}), +\] +d'où résulte la proposition énoncée. + +Par suite l'intégrale~\Eref{II}{III}{1}, prise le long de l'axe réel positif, aura la +même valeur que si l'on y prend pour chemin d'intégration le +rayon d'argument~$\smash[b]{\smfrac{\pi}{4}}$, et, en posant dans ce dernier cas +$z=\Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}}\rho$, +d'où $\Pow{z}{2} = i\Pow{\rho}{2}$, on aura donc +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-i\Pow{\rho}{2}}\, d\rho + = \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4}}\, \smfrac{\sqrt{\pi}}{2}, +\EqnTag{II}{III}{2} +\] +ou encore, en séparant les parties réelles et imaginaires, +\[ + \int^{\infty}_0 \cos(\Pow{\rho}{2})\,d\rho += \int^{\infty}_0 \sin(\Pow{\rho}{2})\,d\rho += \smfrac{1}{2} \sqrt{\smfrac{\pi}{2}}. +\] + +De l'égalité~\Eref{II}{III}{2} on déduit, en remplaçant~$\rho$ par $a\left(t + \smfrac{b}{\Pow{a}{2}}\right)$, +\[ +\int^{+\infty}_{-\infty} \Pow{e}{-i\Pow{a}{2} \Pow{t}{2} - 2ibt}\,dt + = \smfrac{\sqrt{\pi}}{a} +% [** PP: \Pow macro here and below would make expression too tall] +% \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4} + i\fnfrac{\Pow{b}{2}}{\Pow{a}{2}}}, + \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4} + i\fnfrac{b^2}{a^2}}, +\] +et, en ajoutant à cette égalité celle qui en résulte en changeant~$b$ +%% -----File: 057.png---Folio 45------- +en~$-b$, on obtient une formule qui nous sera utile: +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-i \Pow{a}{2} \Pow{t}{2}}\cos 2bt\,dt + = \smfrac{\sqrt{\pi}}{2a} \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4} +% + i\fnfrac{\Pow{b}{2}}{\Pow{a}{2}}}. + + i\fnfrac{b^2}{a^2}}. +\EqnTag{II}{III}{3} +\] + +\Paragraph{23.} Voici maintenant une méthode aussi simple que féconde, et +dont Cauchy a fait un usage continuel dès ses premières recherches +sur ce sujet. Supposons que la fonction~$f(z)$ soit uniforme et ne +présente qu'un nombre fini de points singuliers dans le demi-plan~$P_1$ +situé au-dessus de l'axe réel, en étant d'ailleurs holomorphe sur +cet axe, et soit~$R$ un nombre positif assez grand pour que les points +singuliers en question soient tous intérieurs au cercle décrit de +l'origine comme centre avec le rayon~$R$. En désignant par~$C_R$ l'arc +de ce cercle compris dans le demi-plan~$P_1$, on aura alors, par le +théorème fondamental du calcul des résidus, +\[ +\int^{+R}_{-R} f(z)\,dz + \int_{C_R} f(z)\,dz + = 2\pi i\, \residuesum_{P_1}\bigl(f(z)\bigr), +\] +et, dans les cas où est vérifiée la condition +\[ +\lim_{R=\infty}\int_{C_R} f(z)\,dz = 0, +\EqnTag{II}{III}{4} +\] +on en conclut, en faisant tendre~$R$ vers l'infini, +\[ +\int^{+\infty}_{-\infty} f(z)\,dz + = 2\pi i\, \residuesum_{P_1}\bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{II}{III}{5} +\] + +On trouverait de même, sous des conditions analogues, +\[ +\int^{+\infty}_{-\infty} f(z)\,dz += -2\pi i\, \residuesum_{P_2}\bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{II}{III}{\protect{$5'$}} +\] +$P_2$~désignant le demi-plan situé au-dessous de l'axe réel. + +La condition~\Eref{II}{III}{4} est certainement remplie si l'égalité +\[ +\lim_{R=\infty} R\, f(R\, \Pow{e}{i\psi}) = 0 +\EqnTag{II}{III}{6} +\] +a lieu uniformément pour $0\leqq \psi\leqq \pi$. Il en résulte, en particulier, +que la formule~\Eref{II}{III}{5} est applicable toutes les fois que~$f(z)$ est une +fonction rationnelle, holomorphe sur l'axe réel et admettant le point +%% -----File: 058.png---Folio 46------- +à l'infini comme zéro du second ordre (ou d'ordre supérieur), ou +bien le produit d'une telle fonction par une expression de la forme +\[ +[\Pow{(z-z_1)}{\alpha_1}\, \Pow{(z-z_2)}{\alpha_2}\, \dotsm]\, +\Bigl\{\Pow{[\log(z-z_1)]}{\beta_1}\, + \Pow{[\log(z-z_2)]}{\beta_2}\, \dotsm\Bigr\}, +\EqnTag{II}{III}{7} +\] +où $z_1,~z_2,~\dotsc$ sont les affixes de points situés au-dessous de l'axe +réel, et où la partie réelle de la somme $\alpha_1 + \alpha_2 + \dotsb$ est inférieure +à l'unité (ou même égale à l'unité, si la partie réelle de la somme +$\beta_1 + \beta_2 + \dotsb$ est négative). + +Mais l'hypothèse~\Eref{II}{III}{4} est encore vérifiée si l'on a +\[ +\lim_{R=\infty} \int^{\pi}_0 R\Abs{f(R\, \Pow{e}{i\psi})}\, d\psi = 0, +\EqnTag{II}{III}{8} +\] +condition qui est évidemment plus générale que~\Eref{II}{III}{6}. On en déduit, +en particulier, que la formule~\Eref{II}{III}{5} est applicable pour +\[ +f(z) = \Pow{e}{iaz}\,\varphi(z), +\] +si l'on suppose la constante~$a$ positive et l'égalité $\lim\limits_{R=\infty}\varphi(R\,\Pow{e}{i\psi})=0$ +vérifiée uniformément pour $0\leqq\psi\leqq\pi$, $\varphi(z)$~jouissant d'ailleurs, +dans le demi-plan~$P_1$ et sur l'axe réel, des propriétés indiquées au +début de ce numéro. + +En effet, en désignant par~$\eps(R)$ le maximum de $\Abs{\varphi(R\,\Pow{e}{i\psi})}$ +pour $0\leqq\psi\leqq\pi$, on aura +\[ +\int^{\pi}_0 R\Abs{f(R\, \Pow{e}{i\psi})}\, d\psi +< \eps(R) \int^{\pi}_0 R\, \Pow{e}{-aR\sin\psi}\,d\psi. +\] + +Or l'intégrale qui figure au second membre, et qui peut s'écrire +\[ +2\int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 R \Pow{e}{-aR\sin\psi}\, d\psi, +\] +reste au-dessous d'une limite finie quel que soit~$R$, car, en désignant +par~$b$ un nombre positif inférieur à ~$\smfrac{\pi}{2}$, on a +\[ +\int^{\fnfrac{\pi}{2}}_b R\, \Pow{e}{-aR\sin\psi}\, d\psi +< \left(\smfrac{\pi}{2} - b\right) R\,\Pow{e}{-aR\sin b}, +\] +%% -----File: 059.png---Folio 47------- +expression qui s'annule pour $R = \infty$, et d'autre part +\[ +\int^b_0 R\, \Pow{e}{-aR\sin \psi}\, d\psi +< \frac{1}{\cos b} \int^b_0 \Pow{e}{-aR\sin\psi}\, R\cos\psi\, d\psi += \frac{1}{a\cos b} (1 - \Pow{e}{-aR\sin b}). +\] + +Comme d'ailleurs, par hypothèse, $\eps(R)$ s'évanouit pour $R = \infty$, +on voit bien que la condition~\Eref{II}{III}{8} est remplie et que, par suite, la +formule~\Eref{II}{III}{5} est applicable dans l'hypothèse considérée. + +On pourra, par exemple, choisir pour~$\varphi(z)$ une fonction rationnelle, +holomorphe sur l'axe réel et admettant le point à l'infini +comme zéro du premier ordre (ou d'ordre supérieur), ou bien le +produit d'une telle fonction par une expression de la forme~\Eref{II}{III}{7}, les +points $z_1,~z_2,~\dotsc$ étant situés dans le demi-plan~$P_2$, et la partie +réelle de $\alpha_1 + \alpha_2 + \dotsb$ étant inférieure à l'unité (ou même égale à +l'unité, si la partie réelle de la somme $\beta_1 + \beta_2 + \dotsb$ est négative). + +On trouve, par exemple, en désignant par~$r$ une constante dont +la partie réelle est positive, +\[ +\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{\Pow{e}{iaz}}{z - ir}\, dz + = 2\pi i\, \Pow{e}{-ar},\qquad% [** PP: Orig. 2\pi i\Pow{e}{-a^r}?] +\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{\Pow{e}{iaz}}{z+ir}\, dz = 0 +\] +et, en formant la somme et la différence de ces deux égalités, on +en déduit les formules de Laplace +\[ + \int^{\infty}_0 \frac{z\sin az}{\Pow{z}{2} + \Pow{r}{2}}\, dz += \int^{\infty}_0 \frac{z\cos az}{\Pow{z}{2} + \Pow{r}{2}}\, dz += \frac{\pi}{2}\Pow{e}{-ar}. +\] + +\Paragraph{24.} Voici une autre méthode générale dont Cauchy\footnote{% +\textit{Voir} en particulier \textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~I, 1825, p.~235--285.} +% [** End of footnote] +et Hermite\footnote{\textit{Cours d'Analyse}, 13\ieme{}~Leçon.} +% [** End of footnote] +ont fait un usage étendu, et sur laquelle nous aurons d'ailleurs +à revenir au Chapitre suivant. En posant $z = \tau + it$, admettons +que la fonction~$f(z)$ soit uniforme et ne présente qu'un nombre fini +de points singuliers dans le domaine~$B_1$, défini par les inégalités +$a < \tau < b$, $t>0$, en étant d'ailleurs holomorphe sur le contour +de ce domaine, et admettons en outre que la condition +\[ +\lim_{t=\infty} f(\tau + it) = H_1, \qquad (H_1 = \text{const}.), +\EqnTag{II}{III}{9} +\] +soit vérifiée uniformément pour $a\leqq\tau\leqq b$. + +%% -----File: 060.png---Folio 48------- + +Prenons un nombre positif~$\delta$ assez grand pour que les points +singuliers de~$f(z)$ compris dans~$B_1$ soient tous intérieurs au rectangle +retranché de ce domaine par la droite $t = \delta$. En intégrant la +fonction~$f(z)$ autour du périmètre de ce rectangle, on aura l'égalité +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\int^b_a f(\tau)\, d\tau +&= i\int^{\delta}_0 \bigl[f(a+it)-f(b +it)\bigr]\, dt \\ +&\quad +\int^b_a f(\tau + i\delta)\, d\tau + + 2\pi\, \residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr); +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{II}{III}{10} +\] +on en déduit, en tenant compte de l'hypothèse~\Eref{II}{III}{9}, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\int^b_a f(\tau)\, d\tau +&= i\int^{\infty}_0 \bigl[f(a+it)-f(b +it)\bigr]\, dt \\ +&\quad + (b-a)H_1 + 2\pi i\, \residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr). +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{II}{III}{11} +\] + +Dans le cas où la fonction~$f(z)$ admet la période $b-a$, le premier +terme disparaîtra du second membre de cette formule. + +En supposant des conditions analogues à celles qui précèdent +vérifiées dans le domaine~$B_2$, symétrique de~$B_1$ par rapport à l'axe +réel, on trouve une formule analogue à ~\Eref{II}{III}{11} et que nous nous +dispenserons d'écrire ici. + +Appliquons cette méthode au cas où l'on a +\[ +f(z) = \frac{z}{u - \Pow{e}{-iz}},\qquad a = -\pi,\qquad b = \pi, +\] +$u$ étant une quantité réelle et positive. La fonction~$f(z)$ admet +pour pôles les points +\[ +z = i \log u + 2\pi\nu\qquad (\nu = 0, \pm 1, \pm 2,\dotsc). +\] +Donc, si $u>1$, le pôle $i \log u$ sera intérieur à ~$B_1$, tandis que ce +domaine ne comprendra aucun pôle de~$f(z)$ lorsque~$u<1$. Il en +résulte que le dernier terme de l'expression~\Eref{II}{III}{11} est, dans le premier +cas, égal à $\smfrac{2\pi i\log u}{u}$ et, dans le second cas, à zéro. + +D'autre part, on trouve +\[ +f(a+it) - f(b+it) = - \smfrac{2\pi}{u + \Pow{e}{t}}, +\] +d'où il résulte, par un calcul élémentaire, que le premier terme de +%% -----File: 061.png---Folio 49------- +l'expression~\Eref{II}{III}{11} a pour valeur +\[ +-\smfrac{2\pi i}{u} \log(1+u). +\] +Comme, d'ailleurs, $H_1=0$, nous pouvons donc conclure de la formule~\Eref{II}{III}{11} +que l'intégrale +\[ +\int^{+\pi}_{-\pi} \frac{z\, dz}{u - \Pow{e}{-iz}} +\] +est égale à $\smfrac{2\pi i}{u} \log\Bigl(\smfrac{u}{1+u}\Bigr)$ ou à $\smfrac{2\pi i}{u} \log\Bigl(\smfrac{1}{1+u}\Bigr)$, suivant que l'on a +$u > 1$ ou $u < 1$, et, en séparant les parties réelle et imaginaire, on +en déduit pour l'intégrale +\[ +\int^{\pi}_0 \frac{z\sin z\,dz}{\Pow{u}{2} - 2u\cos z + 1} +\] +la valeur $\smfrac{\pi}{u}\log\smfrac{1+u}{u}$, si $u > 1$, et la valeur $\smfrac{\pi}{u}\log(1+u)$, si $u < 1$. + +Calculons encore, par la même méthode, la valeur de l'intégrale +\[ +\int^1_0 \log(\sin \pi z)\, dz, +\EqnTag{II}{III}{12} +\] +qui nous sera utile plus loin, et, dans ce but, appliquons la formule~\Eref{II}{III}{10} +en y faisant $a = 0$, $b= 1$, $f(z)=\log(\sin\pi z)$. On s'assure +en effet aisément que cette formule reste applicable lorsque +la fonction~$f(z)$ devient infinie aux points $a$ et~$b$, pourvu que son +ordre d'infinitude y soit inférieur à l'unité, comme dans le cas +présent. On trouve, par une discussion élémentaire, +\Pagelabel{page49} +\[ +f(a + it) -f(b+it) + \equiv \log\left[\frac{\sin\pi it}{\sin\pi(1+it)}\right] + = +\pi i, +\] +d'où il résulte +\[ +i\int^{\delta}_0 \bigl[f(a+it) - f(b+it)\bigr]\, dt = -\pi\delta, +\] +et, d'autre part, on déduit de l'égalité $\sin\pi z = \smfrac{1}{2i}(\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz})$ +\[ +\sin\pi(\tau + it) = \smfrac{i}{2} \Pow{e}{\pi t - \pi i\tau} + \bigl[1 + \eps(t)\bigr]\footnotemark,\Pagelabel{page49fn} +% [** Footnote gets put on following page] +\] +\footnotetext{Pour éviter des redites incessantes, nous conviendrons dès maintenant de +désigner indifféremment par~$\eps(t),~\eps(\delta),~\dotsc$, toute fonction tendant vers zéro lorsque $t,~\delta,~\dotsc$ tendent vers l'infini.}% +% [** End of footnote] +%% -----File: 062.png---Folio 50------- +d'où +\[ +f(\tau + i\delta) + = \smfrac{\pi i}{2} - \log 2 + \pi\delta - \pi i\tau + \eps(\delta) +\] +et, par suite, +\Pagelabel{page50} +\[ +\int^b_a f(\tau+i\delta)\, d\tau = \pi\delta - \log 2 + \eps(\delta). +\] + +Comme, d'ailleurs, dans l'hypothèse actuelle, le dernier terme +de la formule~\Eref{II}{III}{10} est nul, nous pouvons en conclure, en faisant +tendre~$\delta$ vers l'infini, que \textit{la valeur de l'intégrale~\Eref{II}{III}{12} est égale +à ~$-\log2$}. + +\Paragraph{25.} Soit encore à calculer l'intégrale +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1}\varphi(z)\, dz, +\] +$a$ étant une constante dont la partie réelle est positive et inférieure +à \textit{un}, et~$\varphi(z)$ une fonction rationnelle, s'annulant à l'infini et +holomorphe à l'origine et sur l'axe réel positif. + +Traçons de l'origine comme centre un cercle~$c$ de rayon~$\eps$ et un +autre cercle~$C$ de rayon~$R$, de telle sorte qu'ils comprennent entre +eux tous les pôles de~$\varphi(z)$, et désignons par~$S$ le contour fermé +qui se compose de ces cercles et des deux bords d'une coupure +menée suivant l'axe réel positif. On aura +\[ +\int_S \Pow{z}{a-1} \varphi (z)\, dz + = 2\pi i\, \residuesum \Pow{z}{a-1}\bigl(\varphi(z)\bigr), +\] +la somme $\residuesum$ s'étendant à tous les pôles de~$\varphi(z)$. + +Faisons maintenant tendre~$\eps$ vers zéro et~$R$ vers l'infini. Les +parties de l'intégrale ci-dessus qui sont relatives aux cercles +$c$ et~$C$, tendront vers zéro, en vertu de nos hypothèses. Comme +d'ailleurs $\Pow{z}{a-1} = \Pow{e}{(a-1)\log z}$ et que $\log z$ augmente de $2\pi i$ lorsqu'on +passe d'un point du bord supérieur au point correspondant du bord +inférieur de la coupure, le premier membre de l'égalité précédente +deviendra +\[ +(1 - \Pow{e}{2\pi ia}) \int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1}\varphi(z)\, dz, +\] +%% -----File: 063.png---Folio 51------- +et, par suite, on trouve pour l'intégrale donnée l'expression +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1}\varphi(z)\, dz += \frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi ia}}\, \residuesum \Pow{z}{a-1}\bigl(\varphi(z)\bigr). +\EqnTag{II}{III}{13} +\] + +Pour $\varphi(z) = \smfrac{1}{1+z}$, on obtient la formule, due à Euler: +\[ +\int^{\infty}_0 \frac{\Pow{z}{a-1}}{1 + z}\, dz += \frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi ia}} \Pow{e}{\pi i(a-1)} += \frac{\pi}{\sin \pi a}. +\] + +En différentiant l'égalité~\Eref{II}{III}{13} $n$~fois par rapport à la constante~$a$, +on trouve la valeur de l'intégrale +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1} \Pow{(\log z)}{n} \varphi(z)\, dz. +\] + +D'autre part, si $\varphi(z)$ admet le point à l'infini comme zéro d'un +ordre $\geqq 2$, les résultats précédents seront valables pour $a = 1 + \eps$, +dès que $0 <\eps< 1$, et, en faisant tendre~$\eps$ vers zéro, on en déduit +les formules +\[ +\int^{\infty}_0 \varphi(z)\, dz += \lim_{\eps = 0} \left\{\frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi i\eps}}\, + \residuesum \Pow{z}{\eps} \bigl(\varphi(z)\bigr)\right\} +\] +et +\[ +\int^{\infty}_0 \varphi(z)\Pow{(\log z)}{n}\, dz += \lim_{\eps = 0} \Pow{D}{(n)}_{\eps} + \left\{\frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi i\eps}}\, + \residuesum \Pow{z}{\eps} \bigl(\varphi(z)\bigr)\right\}. +\] + +On trouverait, par exemple, +\[ +\int^{\infty}_0 \frac{\Pow{(\log z)}{2}}{1+\Pow{z}{2}}\, dz + = \lim_{\eps=0} \Pow{D}{(2)}_{\eps} + \Biggl(\frac{\pi}{2\cos\smfrac{\pi\eps}{2}}\Biggr) + =\frac{\Pow{\pi}{3}}{8}. +\] + +\bigTbreak + +%% -----File: 064.png---Folio 52------- + + +% [*** Chapter III] +\cleardoublepage +\Chapter{III}{FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCUL DES RÉSIDUS.} + +\Section{III}{I}{Recherches de Cauchy. Transformations diverses +des formules générales.} + +\Paragraph{26.} Le calcul des résidus permet d'exprimer par une intégrale +définie la somme des valeurs que prend une fonction analytique~$f(z)$ +pour des valeurs entières successives de la variable $z$. En +effet, on a vu (\Pgref{p.}{paragraph:20}) +que la fonction $\pi\cot \pi z$ admet tout nombre +entier~$\nu$ comme pôle simple de résidu \textit{un}, et il en résulte que la +valeur~$f(\nu)$ est égale au résidu de l'expression $\pi\cot \pi z\,f(z)$ relatif +au point $z=\nu$, pourvu que~$f(z)$ y soit holomorphe. Traçons donc +un contour fermé simple~$C$ enveloppant les points $m,~m+1, \dotsc,~n$, +mais laissant à l'extérieur tout autre point dont l'affixe est un +nombre entier, et supposons que, à l'intérieur de ce contour, la +fonction~$f(z)$ soit uniforme et ne présente qu'un nombre fini de +points singuliers, distincts des points $m,~m + 1, \dotsc,~n$, en étant +d'ailleurs holomorphe sur~$C$. Dans ces conditions, on conclut du +théorème général des résidus, en utilisant la notation qui a été +expliquée \Pgref{page}{page38}, +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int_C \pi \cot \pi z\, f(z)\,dz += \sum^n_m f(\nu) + \residuesum_C \pi \cot \pi z\bigl(f(z)\bigr), +\EqnTag{III}{I}{1} +\] +d'où +\[ +\sum^n_m f(\nu) + = \frac{1}{2\pi i} \int_C \pi \cot \pi z f(z)\,dz + - \residuesum_C \pi \cot \pi z\bigl(f(z)\bigr), +\EqnTag{III}{I}{2} +\] + +Si, en particulier, la fonction~$f(z)$ est holomorphe à l'intérieur +de~$C$, le dernier terme de cette égalité disparaîtra. + +%% -----File: 065.png---Folio 53------- + +En observant que le résidu de la fonction $\smfrac{\pi}{\sin\pi z}$ relatif au pôle +$z = \nu$ est égal à ~$\Pow{(-1)}{\nu}$, on arrive de même à la formule +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) + = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{\pi}{\sin\pi z} f(z)\,dz + - \residuesum_C \frac{\pi}{\sin \pi z}\bigl(f(z)\bigr), +\EqnTag{III}{I}{3} +\] +les hypothèses restant les mêmes que ci-dessus. + +Les formules qu'on vient d'écrire conduisent facilement à la +sommation de certaines séries particulières, renfermant un nombre +infini de termes\footnotemark. +\footnotetext{% [** PP: Changed period to comma after série~II] +Cf.~\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VII, 1827, p.~345--362.} + +Soit, par exemple, $f(z)$ une fonction rationnelle ou méromorphe, +telle que le résidu intégral de l'expression $\pi \cot \pi z\,f(z)$ s'annule +(\textit{voir} le \no\Sref{17}). En prenant pour le contour~$C$ un cercle ayant l'origine +comme centre et en faisant croître indéfiniment le rayon de ce +cercle par des valeurs convenablement choisies, l'intégrale~\Eref{III}{I}{1} +tendra vers zéro, de sorte que l'égalité~\Eref{III}{I}{2} deviendra +\[ +\sum^{+\infty}_{-\infty} f(\nu) = -\residuesum\pi\cot \pi z\bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{III}{I}{4} +\] + +Si le résidu intégral de l'expression $\smfrac{\pi}{\sin \pi z} f(z)$ se réduit à zéro, +on déduit de même de l'égalité~\Eref{III}{I}{3} la formule +\[ +\sum^{+\infty}_{-\infty}\Pow{(-1)}{\nu}f(\nu) + = -\residuesum \frac{\pi}{\sin \pi z}\bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{III}{I}{5} +\] + +On suppose, bien entendu, que les séries qui figurent dans les +égalités \Eref{III}{I}{4} et~\Eref{III}{I}{5} soient convergentes et que leurs termes soient +réunis en groupes comme l'indique l'égalité~\Eref{II}{II}{2}, \Pgref{page}{eqn:II.II.2}. + +Comme les modules $ \Abs{\cot \pi z}$ et $\Abs{\smfrac{1}{\sin \pi z}}$ restent au-dessous d'une +limite finie sur les cercles $\Abs{z} = \nu - \tfrac{1}{2}$, $\nu = 1,~2,~\dotsc$ (\textit{voir} la note +de la \Pgref{page}{page32}), on peut conclure des résultats établis au \no\Sref{17} que +les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées toutes les fois +que~$f(z)$ est une fonction rationnelle admettant le point à l'infini +%% -----File: 066.png---Folio 54------- +comme zéro d'un ordre $\geqq 2$. Dans ce cas, les séries \Eref{III}{I}{4} et~\Eref{III}{I}{5} seront +d'ailleurs absolument convergentes. + +Si~$f(z)$ est une fonction rationnelle ayant $z =\infty$ comme zéro +simple, on pourra l'écrire sous la forme $f(z) = \smfrac{A}{z} + \varphi(z)$, $A$~étant +une constante et~$\varphi(z)$ une fonction rationnelle admettant $z =\infty$ +comme zéro d'un ordre $\geqq 2$. Comme les résidus intégraux des +expressions $\smfrac{\cot\pi z}{z}$ et~$\smfrac{1}{z\sin\pi z}$ se réduisent a zéro, puisque leurs +termes se détruisent deux à deux, il en sera de même, d'après ce +que nous venons de dire, des résidus intégraux des expressions +$\pi \cot\pi z f(z)$ et $\smfrac{\pi}{\sin\pi z} f(z)$ et, par suite, les formules \Eref{III}{I}{4} et~\Eref{III}{I}{5} +seront encore applicables, en réunissant toutefois, dans la série~\Eref{III}{I}{4}, +les termes correspondant à des valeurs égales et de signes contraires +de l'indice~$\nu$. + +L'égalité~\Eref{III}{I}{4} nous donne, en faisant par exemple $f(z)=\smfrac{1}{\Pow{(x+z)}{2}}$, +\[ +\sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\Pow{(x+\nu)}{2}} = \frac{\Pow{\pi}{2}}{\Pow{\sin}{2} \pi x}, +\] +et, pour $f(z)=\smfrac{1}{a + b\Pow{z}{2}}$, +\[ +\sum_{0}^{\infty} \frac{1}{a + b\Pow{\nu}{2}} + = - \frac{1}{2a} - \frac{1}{2}\, \residuesum \frac{\pi \cot\pi z}{(a+b\Pow{z}{2})} + = - \frac{1}{2a} + \frac{\pi}{2\sqrt{ab}} + \frac{\Powfr{e}{\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}} + \Powfr{e}{-\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}}} + {\Powfr{e}{\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}} - \Powfr{e}{-\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}}}. +\] + +La formule~\Eref{III}{I}{5} reste valable si l'on pose $f(z) = \varphi(z) \sin az$ ou +$f(z) = \varphi(z) \cos az$, $\varphi(z)$~étant une fonction rationnelle s'annulant +à l'infini et $a$~une constante réelle comprise entre $-\pi$ et~$\pi$. En +effet, en remplaçant les fonctions trigonométriques par des exponentielles, +on constate aisément (\textit{Cf}.~la note \Pgref{p.}{page32}), que les expressions +\[ +\Abs{\frac{\sin az}{\sin\pi z}}\quad \text{et}\quad +\Abs{\frac{\cos az}{\sin\pi z}\vphantom{\frac{\sin az}{\sin\pi z}}} +\] +restent au-dessous d'une limite finie sur les cercles +\[ +\Abs{z} = \nu - \smfrac{1}{2}\qquad (\nu = 1, 2, \dotsc) +\] +et, d'autre part, que ces mêmes expressions tendent uniformément +%% -----File: 067.png---Folio 55------- +vers zéro lorsque le point $z\equiv \rho\,\Pow{e}{i\psi}$ tend vers l'infini en restant +intérieur à l'un des angles $\eps < \psi < \pi-\eps$, $\pi+\eps < \psi < 2\pi-\eps$, +$\eps$~étant un nombre positif aussi petit que l'on voudra. Comme le +module $\Abs{z\varphi(z)}$, par hypothèse, reste inférieur à une quantité +finie à partir d'une certaine valeur de $\Abs{z}$, ces mêmes remarques +seront applicables au produit de l'une quelconque des expressions +\[ +\frac{\pi}{\sin\pi z}\, \varphi(z) \sin az +\quad \text{et} \quad +\frac{\pi}{\sin\pi z}\, \varphi(z) \cos az +\] +par le facteur~$z$, et, d'après le \no\Sref{17}, les résidus intégraux de ces +expressions se réduiront donc à zéro, ce qui justifie notre assertion. +On aura par suite, sous les conditions énoncées, +\begin{align*} + \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} + \bigl[\varphi(\nu) - \varphi(-\nu)\bigr] \sin\nu a + &= -\pi\, \residuesum \frac{\sin az}{\sin\pi z} \bigl(\varphi(z)\bigr), \\ +% + \varphi(0) + + \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} + \bigl[\varphi(\nu) + \varphi(-\nu)\bigr] \cos\nu a + &= -\pi\, \residuesum \frac{\cos az}{\sin\pi z} \bigl(\varphi(z)\bigr). +\end{align*} + +On trouve, par exemple, pour $\varphi(z) = \smfrac{1}{x-z}$, +\begin{align*} + \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} \frac{\nu \sin\nu a}{\Pow{x}{2} - \Pow{\nu}{2}} + &= \frac{\pi}{2} \frac{\sin ax}{\sin\pi x}, \\ +% + \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} \frac{\cos\nu a}{\Pow{x}{2} - \Pow{\nu}{2}} + &= -\frac{1}{2\Pow{x}{2}} + \frac{\pi}{2x} \frac{\cos ax}{\sin\pi x}. +\end{align*} + +Dans certains cas, les formules \Eref{III}{I}{4}~et \Eref{III}{I}{5} permettent de transformer +une série donnée en une autre dont la convergence est plus +rapide. Ainsi, en faisant dans~\Eref{III}{I}{5} $f(z) = \smfrac{z}{\Pow{e}{\pi az} - \Pow{e}{-\pi az}}$, $a$~étant une +constante réelle quelconque, Cauchy en déduit l'égalité +\[ +\sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} \frac{\nu}{\Pow{e}{\pi a\nu} - \Pow{e}{-\pi a\nu}} + = - \frac{1}{4\pi a} + - \frac{1}{\Pow{a}{2}} \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} + \frac{\nu}{\Powfr{e}{\fnfrac{\pi\nu}{a}} - \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi\nu}{a}}}. +\] + +Pour les petites valeurs numériques de~$a$, la convergence du +second membre est évidemment très rapide, tandis que le premier +membre converge lentement. + +\Paragraph{27.} Nous allons maintenant transformer les formules générales +%% -----File: 068.png---Folio 56------- +établies au début de ce Chapitre, en commençant par la formule~\Eref{III}{I}{2}. +Pour simplifier, nous supposerons d'abord la fonction~$f(z)$ holomorphe +à l'intérieur du contour~$C$, de sorte que le second membre +de cette formule se réduit à son premier terme. + +Soient $\alpha$ et~$\beta$ les points où~$C$ est coupé par l'axe réel +\Pagelabel{page56} +\[ +m - 1 < \alpha < m,\quad n < \beta < n + 1, +\EqnTag{III}{I}{6} +\] +et désignons par~$\alpha\gamma'\beta$ la partie supérieure et par~$\alpha\gamma''\beta$ la partie inférieure +de ce contour. Nous laissant guider par cette observation +que $\smfrac{1}{i} \cot\pi z$ tend vers~$-1$ dans la direction de l'axe imaginaire +positif et vers~$+ 1$ dans la direction opposée, nous substituerons, +dans le second membre de la formule~\Eref{III}{I}{2}, +% [** PP: align* environment makes too much vertical space] +\[ +\frac{1}{i} \cot\pi z = -1 - \frac{2}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}\qquad + \text{sur l'arc $\alpha\gamma' \beta$}\phantom{'.} +\] +et +\[ +\frac{1}{i} \cot\pi z = \phantom{-} 1 + \frac{2}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\phantom{{}^-}\qquad + \text{sur l'arc $\alpha\gamma''\beta$}. +\] + +Par ces substitutions, l'expression en question devient +\[ + \frac{1}{2} \int_{\alpha\gamma''\beta} f(z)\, dz + - \frac{1}{2} \int_{\beta\gamma'\alpha} f(z)\, dz + + \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1} + - \int_{\beta\gamma'\alpha} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}. +\] + +Or on a, en posant $z = \tau + it$, +\[ + \int_{\alpha\gamma''\beta} f(z)\, dz + = - \int_{\beta\gamma'\alpha} f(z)\, dz + = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tau)\, d\tau, +\EqnTag{III}{I}{7} +\] +puisqu'on suppose la fonction~$f(z)$ holomorphe à l'intérieur de~$C$; +la formule~\Eref{III}{I}{2} prendra donc la forme suivante: +\[ + \sum_{m}^{n} f(\nu) = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tau)\, d\tau + + \int_{\alpha\gamma'\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + + \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}. +\EqnTag{III}{I}{8} +\] + +Prenons, en particulier, pour le contour~$C$ un rectangle symétrique +par rapport à l'axe réel et dont les côtés verticaux passent +respectivement par les points $z = \alpha$ et~$z = \beta$. En désignant par~$2\delta$ +la hauteur de ce rectangle, la formule~\Eref{III}{I}{8} deviendra +\[ + \sum_{m}^{n} f(\nu) = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tau)\, d\tau + + I(\alpha, \delta) - I(\beta, \delta) + R(\delta), +\EqnTag{III}{I}{9} +\] +%% -----File: 069.png---Folio 57------- +en posant, pour abréger, +\begin{align*} +I(\tau,\delta) +&= \int^{\tau + i\delta}_{\tau} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + + \int^{\tau - i\delta}_{\tau} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, \\[1ex] +% +R(\delta) +&= \int^{\beta}_{\alpha} + \frac{f(\tau + i\delta)\, d\tau}{\Pow{e}{-2\pi i\tau + 2\pi\delta} - 1} + + \int^{\beta}_{\alpha} + \frac{f(\tau - i\delta)\, d\tau}{\Pow{e}{ 2\pi i\tau + 2\pi\delta} - 1}. +\end{align*} + +La formule~\Eref{III}{I}{9} se simplifie dans le cas où sont vérifiées les conditions +suivantes: +\smallskip + +\primo~\textit{La fonction~$f(z)$ est holomorphe pour $\alpha \leqq \tau \leqq \beta$, quel que +soit~$t$}; +\Pagelabel{page57a}% + +\secundo~\textit{L'égalité} +\[ +\lim_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}f(\tau +it) = 0 +\EqnTag{III}{I}{A} +\] +\textit{a lieu uniformément pour} $\alpha \leqq \tau \leqq \beta$. +\smallskip + +En effet, dans ces conditions, la formule~\Eref{III}{I}{9} reste valable quelque +grand que soit~$\delta$ et, lorsque $\delta$~croît indéfiniment, $R(\delta)$~tendra vers +zéro, de sorte qu'on obtient +\[ +\sum^n_m f(\nu) += \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau ++ \lim_{\delta=\infty} \bigl[I(\alpha,\delta) - I(\beta,\delta)\bigr]. +\EqnTag{III}{I}{I} +\] + +Resserrons davantage les hypothèses en supposant que: +\smallskip + +\primo~\textit{La fonction~$f(z)$ est holomorphe pour $\tau \geqq \alpha$, quelque soit}~$t$; +\Pagelabel{page57b}% + +\secundo~\textit{La condition~\Eref{III}{I}{A} est vérifiée uniformément pour $\alpha \leqq \tau \leqq \beta$, +quelque grand que soit}~$\beta$; + +\tertio~\textit{La fonction~$f(z)$ est assujettie à la condition} +\[ +\lim_{\tau=\infty} \int^{+\infty}_{-\infty} + \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}\, \Abs{f(\tau +it)} = 0. +\EqnTag{III}{I}{B} +\] + +La formule~\Eref{III}{I}{I} subsistera quelque grand que soit~$n$, et comme +l'on a, en posant $\beta = n + \smfrac{1}{2}$, $z = \beta + it$, +\[ +\Abs{I(\beta,\delta)} +< \int^{+\delta}_{-\delta} + \frac{\Abs{f(\beta + it)}}{\Pow{e}{2\pi\Abs{t}} + 1}\, dt +< \int^{+\delta}_{-\delta} + \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}\, \Abs{f(\beta + it)}\, dt, +\] +%% -----File: 070.png---Folio 58------- +on voit que l'intégrale $I(\beta,\infty)$ a un sens et qu'elle tend vers zéro +lorsque~$n$ ou~$\beta$ augmente indéfiniment, de sorte que la formule +en question deviendra +\[ + \sum_{m}^{\infty} f(\nu) + = \int_{\alpha}^{\infty} f(\tau)\, d\tau + + \int_{\alpha}^{\alpha + i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + + \int_{\alpha}^{\alpha - i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, +\EqnTag{III}{I}{II} +\] +si la série qui figure au premier membre est convergente, et, si +cette série diverge, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\lim_{n=\infty} &\biggl[\, \sum_{m}^{n} f(\nu) + - \int_{\alpha}^{n + \frac{1}{2}} f(\tau)\, d\tau\biggr] \\ +&\quad= \int_{\alpha}^{\alpha + i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} ++ \int_{\alpha}^{\alpha - i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}. +\end{aligned} +\right. +\tag*{(II)$_a$} +\Pagelabel{eqn:III.I.IIa} +\] + +\Paragraph{28.} Nous introduirons dès maintenant certaines notations dont +nous aurons à faire un usage continuel dans la suite de cet ouvrage. +En écrivant toujours $z = \tau +it$, nous poserons +\[ +\frac{1}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} = \Psi(\tau, t) + iX(\tau, t), +\EqnTag{III}{I}{10} +\] +d'où +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \Psi(\tau,t) + &= \frac{\cos 2\pi\tau - \Pow{e}{-2\pi t}} + {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, \\[1ex] +% + X(\tau,t) + &= \frac{\sin 2\pi\tau} + {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{11} +\] +et, d'autre part, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + p(\tau,t) &= \smfrac{1}{2}\, \bigl[f(\tau+it) + f(\tau-it)\bigr], \\[1ex] + q(\tau,t) &= \smfrac{1}{2i} \bigl[f(\tau+it) - f(\tau-it)\bigr], +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{12} +\] +de sorte que $p(\tau, t)$ et~$iq(\tau, t)$ représentent respectivement les +parties réelle et imaginaire de la fonction~$f(\tau+it)$, dans le cas +où celle-ci est réelle pour $t = 0$. + +Avec ces notations, le premier terme de l'expression~$I(\tau, \delta)$ +s'écrit +\[ +i\int_{0}^{\delta} \bigl[p(\tau, t) + iq(\tau, t)\bigr] + \bigl[ \Psi(\tau, t) + iX(\tau, t) \bigr]\, dt, +\] +%% -----File: 071.png---Folio 59------- +et comme le second terme se déduit du premier en changeant $i$ +en~$-i$, il en résulte +\[ +I(\tau,\delta) = -2\int^{\delta}_0 Q(\tau,t)\, dt, +\] +où +\[ +Q(\tau,t) = p(\tau,t)\, X(\tau,t) + q(\tau,t)\, \Psi(\tau,t). +\EqnTag{III}{I}{13} +\] + +On pourra donc écrire les égalités \Eref{III}{I}{I} et~\Eref{III}{I}{II} sous la forme +\begin{align*} +\sum^n_m f(\nu) +&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 \bigl[Q(\alpha,t) - Q(\beta,t)\bigr]\, dt, +\tag{I${}'$} +\Pagelabel{eqn:III.I.Ipr} \\[1ex] +% +\sum^{\infty}_m f(\nu) +&= \int^{\infty}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 Q(\alpha,t)\, dt, +\tag{II${}'$} +\Pagelabel{eqn:III.I.IIpr} +\end{align*} + +Dans le cas où l'on a +\[ +\alpha = m-\smfrac{1}{2}\qquad \text{ou}\qquad \beta = n+\smfrac{1}{2}, +\] +ces formules se simplifient, en vertu de l'égalité +\[ +Q\left(\nu + \smfrac{1}{2}, t\right) + = -\frac{q(\nu + \frac{1}{2}, t)}{\Pow{e}{2\pi t} + 1}, +\EqnTag{III}{I}{14} +\] +qui a lieu pour tout nombre entier~$\nu$. + +\Paragraph{29.} Les formules qu'on vient d'établir supposent essentiellement +les nombres $\alpha$ et~$\beta$ compris entre les limites~\Eref{III}{I}{6}, et doivent être +modifiées si l'une de ces limites est atteinte. + +Faisons d'abord tendre~$\alpha$ vers~$m-1$, et cherchons la modification +qui en résultera pour la formule~\Eref{III}{I}{9}. Pour simplifier le calcul, +nous allons reprendre un moment l'égalité~\Eref{III}{I}{8}, en choisissant le +contour d'intégration comme l'indique la figure ci-dessous, où les +arcs $c'$ et~$c''$ font partie d'un cercle décrit du point~$m-1$ comme +centre avec le rayon~$\eps$, et où l'on a +\begin{gather*} +\alpha = m-1+\eps,\qquad a' = m-1+i\eps,\qquad b' = m-1+i\delta, \\ +% +a'' = m-1-i\eps,\qquad b'' = m-1-i\delta. +\end{gather*} + +Le contour~$C$ étant ainsi choisi, on doit d'abord substituer~$m-1$ +à ~$\alpha$ dans le terme~$R(\delta)$ de l'égalité~\Eref{III}{I}{9}, et, d'autre part, les deux +%% -----File: 072.png---Folio 60------- +intégrales qui figurent dans l'expression $I(\alpha, \delta)$ doivent être prises +respectivement le long du chemin~$\alpha a'b'$ (composé de l'arc $c'$~et du +segment rectiligne~$a'b'$) et le long du chemin symétrique~$\alpha a''b''$. + +%[Illustration: Fig.~2.] +\Figure{2}{072} + +La somme des intégrales relatives aux segments $a'b'$ et~$a''b''$ +s'écrit, en posant $z = m-1+it$, et en utilisant la notation~\Eref{III}{I}{12}, +\[ +i\int^{\delta}_{\eps} \frac{f(m-1+it) - f(m-1-it)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt + = -2\int^{\delta}_{\eps} \frac{q(m-1,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\] + +Sur l'arc~$c'$ on a +\[ +\frac{f(z)}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + = -\frac{1}{2\pi i} \frac{f(z)}{z-(m-1)} + \varphi(z), +\] +le module de~$\varphi(z)$ restant au-dessous d'une limite finie lorsque~$\eps$ +décroît vers zéro. Il en résulte que l'intégrale prise le long de cet +arc et qui s'écrit, en posant $z-(m-1) = \eps\,\Pow{e}{i\psi}$, +\[ +-\frac{1}{2\pi} \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 f(m - 1 + \eps\,\Pow{e}{i\psi})\, d\psi ++ i\eps \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 \varphi(z)\, \Pow{e}{i\psi}\, d\psi, +\] +tend vers~$-\smfrac{1}{4} f(m-1)$ lorsque~$\eps$ s'annule, et un raisonnement +identique montre qu'il en est de même de l'intégrale prise sur +l'arc~$c''$. Donc la somme de ces deux intégrales aura pour +limite~$-\smfrac{1}{2} f(m-1)$\footnotemark. +\Pagelabel{page60}% +\footnotetext{Il importe d'observer, en vue d'applications ultérieures, que ce résultat +repose sur la seule hypothèse que la fonction~$f(z)$ prend une valeur finie et déterminée +au point $z = m-1$ (qu'elle y soit holomorphe ou non), de telle sorte que la +différence $f(z) - f(m-1)$ tende uniformément vers zéro avec~$\eps$ pour $-\smfrac{\pi}{2}\leqq\psi\leqq\smfrac{\pi}{2}$.} +% [** End of footnote] + +On voit, en somme, en choisissant le contour d'intégration +comme il a été dit et en faisant ensuite tendre~$\eps$ vers zéro, que +%% -----File: 073.png---Folio 61------- +l'égalité~\Eref{III}{I}{9} subsiste encore pour $\alpha = m-1$, à condition de poser +\[ +I(m-1,\delta) = -\frac{1}{2}f(m-1) + - 2\int^{\delta}_0 \frac{q(m-1, t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\] +En modifiant le contour comme l'indique la ligne marquée dans la +figure en pointillé, et en faisant ensuite s'évanouir le rayon du +demi-cercle, on conclut de même que l'égalité en question subsiste +aussi pour $\alpha = m$, si l'on pose +\[ +I(m,\delta) = \frac{1}{2}f(m) + - 2\int^{\delta}_0 \frac{q(m, t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\] + +Des remarques analogues s'appliquent à l'expression $I(\beta,\delta)$, +lorsque le nombre~$\beta$ tend vers l'une ou l'autre des deux limites +entre lesquelles il est compris. + +Les résultats qui précèdent permettent de modifier de différentes +manières les formules établies aux \nos\Sref{27} et~\Sref{28}. + +Ainsi, en faisant dans l'égalité~\Eref{III}{I}{9} $\alpha = m$, $\beta = n$, $\delta = \infty$, on en +déduit la formule +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) &= \frac{1}{2}\bigl[f(m) + f(n)\bigr] \\ +&\quad + + \int^n_m f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 \frac{q(m,t) - q(n,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{III} +\] +qui subsiste lorsque les deux premières conditions de la \Pgref{page}{page57a} +sont vérifiées pour $\alpha= m$, $\beta = n$. + +Si les trois dernières conditions de la \Pgref{page}{page57b} sont remplies pour +$\alpha = m$, on pourra faire croître indéfiniment le nombre~$n$ dans la +formule précédente, et l'on trouve alors +\[ +\sum^{\infty}_m f(\nu) = \frac{1}{2} f(m) + \int^{\infty}_m f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 \frac{q(m, t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\EqnTag{III}{I}{IV} +\] + +Dans le cas où lesdites conditions se trouvent vérifiées pour +$\alpha = m-1$, on aura aussi +\[ +\sum^{\infty}_m f(\nu) + = -\frac{1}{2} f(m-1) + \int^{\infty}_{m-1} f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 \frac{q(m-1,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt, +\EqnTag{III}{I}{V} +\] +%% -----File: 074.png---Folio 62------- +formule qui reste encore valable dans le cas où $f(z)$~présente au +point $z = m-1$ le caractère indiqué dans la note de la \Pgref{page}{page60}. + +Si la série qui figure au premier membre des deux dernières formules +était divergente, on devrait les remplacer par d'autres analogues +à ~\ref{eqn:III.I.IIa}. + +\Paragraph{30.} Appliquons à la fonction~$f(x+z)$ la formule~\Eref{III}{I}{9} en posant +$m = n = 0$, et faisons tendre~$\alpha$ vers~$0$, $\beta$ vers~$1$ et~$\delta$ vers~$\infty$, ce qui +est permis si l'on suppose les deux premières conditions de la +\Pgref{page}{page57a} vérifiées pour $x_1\leqq\tau\leqq x_1 + 1$, $x_1$~désignant la partie réelle +de~$x$. En tenant compte des résultats établis au \no\Sref{29}, on trouvera +\begin{align*} +f(x) = -\frac{1}{2} \bigl[f(x+1) - f(x)\bigr] +&+ \int_0^1 f(x + \tau)\, d\tau \\ +&+ 2\int_0^\infty \frac{q(x+1,t) - q(x,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\end{align*} + +Comme d'ailleurs $\dint_0^1 f(x+\tau)\,d\tau = \int_x^{x+1} f(x)\,dx$, il en résulte +que la fonction +\[ +\Phi(x) = -\frac{1}{2}f(x) + \int^x f(x)\, dx + + 2\int_0^\infty \frac{q(x,t)\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} +\EqnTag{III}{I}{VI} +\] +(en supposant, bien entendu, que la dernière intégrale ait un sens, +% [** PP: Not wholly sure whether Lindelöf means 57a or 57b.] +ce qui ne résulte pas nécessairement des conditions de la \Pgref{page}{page57b}, +et en fixant convenablement la limite inférieure de la première +intégrale) jouit de la propriété +\[ +\Phi(x+1) - \Phi(x) = f(x). +\] + +En d'autres termes, $\Phi(x)$~est ce qu'on appelait autrefois \textit{l'intégrale +finie de la fonction}~$f(x)$, et qu'on désignait par~$\sum f(x)$. + +\Paragraph{31.} Voici une autre transformation de la formule (8) qui nous +sera utile plus loin. En y substituant +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{5} +\frac{1}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} &= \Pow{e}{ 2\pi iz} &&+ \Pow{e}{ 4\pi iz} &&+ \dotsb +&&+ \Pow{e}{ 2\mu\pi iz} &&+ \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}, \\[1ex] +% +\frac{1}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1} &= \Pow{e}{-2\pi iz} &&+ \Pow{e}{-4\pi iz} &&+ \dotsb +&&+ \Pow{e}{-2\mu\pi iz} &&+ \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, +\end{alignedat} +\right. +\EqnTag{III}{I}{15} +\] +%% -----File: 075.png---Folio 63------- +et en remarquant qu'on a, pour chaque indice~$\nu$, +\[ + \int_{\alpha\gamma'\beta} \Pow{e}{ 2\nu\pi iz}\, f(z)\, dz ++ \int_{\alpha\gamma''\beta} \Pow{e}{-2\nu\pi iz}\, f(z)\, dz += 2\int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\cos 2\nu\pi\tau\, d\tau, +\] +puisque la fonction~$f(z)$ est, par hypothèse, holomorphe à l'intérieur +du contour $C$, on trouve d'abord +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) +& = \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + + 2\sum^{\mu}_1 \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\cos 2\nu\pi\tau\, d\tau \\ +% +&\quad + \int_{\alpha\gamma''\beta} + \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}\, f(z)}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}\, dz + + \int_{\alpha\gamma''\beta} + \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}\, f(z)}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}\, dz. +\end{aligned} +\right. + \EqnTag{III}{I}{16} +\] + +Supposons maintenant la condition +\[ +\lim_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-2(\mu+1)\pi\Abs{t}}\, f(\tau + it) = 0 +\] +vérifiée uniformément pour $\alpha\leqq\tau\leqq\beta$ et la fonction~$f(z)$ holomorphe +dans la bande correspondante. + +En choisissant pour le contour~$C$ le même rectangle que \Pgref{page}{page56}, +et en faisant croître~$\delta$ indéfiniment, on trouve alors que les parties +des deux dernières intégrales ci-dessus qui sont relatives aux côtés +horizontaux de ce rectangle tendent vers zéro, de sorte que la +formule~\Eref{III}{I}{16} se simplifie. + +Admettons, en particulier, que les conditions énoncées tout à +l'heure soient remplies pour $0 \leqq \tau \leqq n$; remplaçons dans l'égalité~\Eref{III}{I}{16} +$n$~par~$n-1$ et~$m$ par l'unité, faisons tendre~$\alpha$ vers~$0$, $\beta$ vers~$n$ et~$\delta$ +vers~$\infty$, et ajoutons aux deux membres le terme~$f(0)$. En suivant +fidèlement la méthode exposée au \no\Sref{29}, nous trouvons ainsi la +formule dont nous aurons bientôt à faire usage: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^{n-1}_0 f(\nu) +&= \frac{1}{2}\bigl[f(0) - f(n)\bigr] + \int^n_0 f(\tau)\, d\tau \\ +&\quad + + 2\sum^{\mu}_1 \int^n_0 f(\tau)\, \cos 2\nu\pi\tau\, d\tau \\ +&\quad + + 2\int^{\infty}_0\bigl[q(n,t) - q(0,t)\bigr]\, + \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi t}}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{VII} +\] + +\Paragraph{32.} Nous avons établi les formules des \nos\Sref{27}--\Sref{31} en supposant +%% -----File: 076.png---Folio 64------- +la fonction~$f(z)$ holomorphe en tout point de la région limitée +par le contour d'intégration. Mais il est facile de voir comment se +modifient ces formules dans le cas où~$f(z)$, tout en restant uniforme +dans cette région, y possède un nombre fini de points singuliers. + +Pour fixer les idées, supposons que la fonction~$f(z)$ présente +ce caractère dans la bande~$B$, définie par les inégalités $\alpha < \tau < \beta$, +et cherchons comment se modifie la formule~\Eref{III}{I}{I}. Pour arriver à un +résultat simple et précis, nous admettrons qu'aucun des points +singuliers de~$f(z)$ compris dans~$B$ n'est situé sur l'axe réel. + +Reprenons alors la formule~\Eref{III}{I}{2}, en choisissant le contour~$C$ +comme à la \Pgref{page}{page56}, mais en prenant~$\delta$ assez grand pour que les +points singuliers dont il s'agit soient tous intérieurs à ce contour. + +Dans l'hypothèse actuelle, on doit d'abord tenir compte du +dernier terme de la formule~\Eref{III}{I}{2}, qui s'écrit $-\residuesum_B \pi\cot\pi z\bigl(f(z)\bigr)$, +ce qui constitue une première modification du raisonnement donné +au \no\Sref{27}; d'autre part, les égalités~\Eref{III}{I}{7} devront maintenant être +remplacées par les suivantes: +\begin{align*} +\int_{\alpha \gamma' \beta} f(z)\, dz +&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + - 2\pi i\, \residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr), \\[1ex] +\int_{\alpha \gamma'' \beta} f(z)\, dz +% +&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + + 2\pi i\, \residuesum_{B_2}\bigl(f(z)\bigr), +\end{align*} +$B_1$ et~$B_2$ désignant respectivement les moitiés supérieure et inférieure +de la bande~$B$. Le reste de notre raisonnement ne subit +aucune modification, et nous arrivons donc à cette conclusion que, +\textit{dans l'hypothèse admise ci-dessus, on doit retrancher du +second membre de la formule~\Eref{III}{I}{I} l'expression} +\[ +\residuesum_B \pi\cot\pi z\bigl(f(z)\bigr) ++ \pi i\, \biggl\{\residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr) + - \residuesum_{B_2}\bigl(f(z)\bigr)\biggr\}, +\] +laquelle, à l'aide des substitutions indiquées au début du \no\Sref{27}, +peut encore être mise sous la forme +\[ +2\pi i\, \biggl\{ + \residuesum_{B_2} \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1} + - \residuesum_{B_1} \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + \biggr\}. +\] + +Les autres formules subiront des modifications analogues. + +%% -----File: 077.png---Folio 65------- + +\Paragraph{33.} Voici une dernière transformation de la formule~\Eref{III}{I}{2} qui +s'opère immédiatement, et dont nous aurons à tirer parti plus loin. +Supposons de nouveau la fonction~$f(z)$ holomorphe sur~$C$ et à +l'intérieur de ce contour. Il en sera alors de même de sa fonction +intégrale~$F(z)$, et, en intégrant par parties, on pourra donc écrire +la formule dont il s'agit sous la forme +\[ +\sum^n_m f(\nu) = \frac{1}{2\pi i} \int_C + \Pow{\left(\frac{\pi}{\sin \pi z}\right)}{2} F(z)\, dz. +\] + +Admettons, en particulier, que les trois dernières conditions de +la \Pgref{page}{page57b} soient vérifiées pour la fonction~$F(z)$, et choisissons le +contour~$C$ comme au \no\Sref{27}. En observant que le module de~$\sin\pi z$ +se comporte asymptotiquement comme l'expression~$\smfrac{1}{2}\Pow{e}{\pi \Abs{t}}$ sur toute +droite parallèle à l'axe imaginaire, on s'assure qu'il est permis de +faire tendre successivement~$\delta$ et~$n$ vers l'infini, dans l'égalité ci-dessus, +et l'on obtient ainsi la formule +\[ +\sum^{\infty}_m f(\nu) += -\frac{1}{2\pi i} \int^{\alpha + i\infty}_{\alpha - i\infty} + \Pow{\left(\frac{\pi}{\sin \pi z}\right)}{2} F(z)\, dz, +\EqnTag{III}{I}{VIII} +\] +$\alpha$~étant un nombre quelconque compris entre $m-1$~et~$m$. + +\Paragraph{34.} Passons à la formule~\Eref{III}{I}{3} et indiquons-en rapidement quelques +transformations, analogues à celles que nous avons fait subir plus +haut à la formule~\Eref{III}{I}{2}. + +Admettons que \textit{la fonction~$f(z)$ est holomorphe dans la +bande $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$} et que \textit{l'égalité} +\[ +\lim_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-\pi\Abs{t}}\, f(\tau + it) = 0 +\tag{A${}_1$} +\Pagelabel{eqn:III.I.A1} +\] +\textit{a lieu uniformément pour $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$}. + +En choisissant le contour~$C$ comme au \no\Sref{27}, la formule~\Eref{III}{I}{3} +est alors applicable quel que soit~$\delta$, et devient pour $\delta =\infty$: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +&\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) \\ +&\quad + = \frac{1}{2\pi i}\, \lim_{\delta=\infty} \left[\, + \int^{\beta + i\delta}_{\beta - i\delta} \frac{\pi}{\sin\pi z}\, f(z)\, dz + - \int^{\alpha + i\delta}_{\alpha - i\delta}\frac{\pi}{\sin\pi z}\, f(z)\, dz + \right]. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{IX} +\] + +%% -----File: 078.png---Folio 66------- + +Si l'on pose +\[ +\frac{1}{2i\, \sin\pi z} \equiv \frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} + = - \bigl[\Psi_1(\tau,t) + iX_1(\tau,t)\bigr], +\] +d'où +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\Psi_1(\tau,t) +&= \frac{\cos\pi\tau(\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t})} + {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, \\[1ex] +X_1(\tau,t) +&= \frac{\sin\pi\tau(\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t})} + {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{17} +\] +et d'autre part, en se servant toujours de la notation~\Eref{III}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:III.I.12}, +\[ +Q_1(\tau,t) = p(\tau,t)\, X_1(\tau,t) + q(\tau,t)\, \Psi_1(\tau,t), +\EqnTag{III}{I}{18} +\] +on pourra écrire~\Eref{III}{I}{IX} sous la forme +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) + = 2\int^{\infty}_0 \bigl[Q_1(\beta,t) - Q_1(\alpha,t)\bigr]\, dt. +\tag{IX${}'$} +\Pagelabel{eqn:III.I.IXpr} +\] + +Resserrons les hypothèses, en supposant que \textit{les conditions +énoncées ci-dessus sont vérifiées quelque grand que soit~$\beta$}, et +que \textit{la fonction~$f(z)$ est assujettie à la condition} +\[ +\lim_{\tau = \infty} \int^{+\infty}_{-\infty} + \Pow{e}{-\pi\Abs{t}}\, \Abs{f(\tau +it)}\, dt = 0. +\tag{B${}_1$} +\Pagelabel{eqn:III.I.B1} +\] +On pourra alors faire croître indéfiniment le nombre~$n$ dans les +formules ci-dessus, et l'on trouve ainsi +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) + = -\int^{\alpha + i\infty}_{\alpha - i\infty} + \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} + = -2\int^{\infty}_0 Q_1(\alpha,t)\, dt. +\EqnTag{III}{I}{X} +\] + +Lorsque~$\alpha = m-\smfrac{1}{2}$ ou~$\beta = n + \smfrac{1}{2}$, les formules précédentes +prennent un aspect plus simple, à cause de la relation +\[ +Q_1\left(\nu + \smfrac{1}{2}\right) + = \Pow{(-1)}{\nu}\, \frac{p\left(\nu + \smfrac{1}{2},t\right)} + {\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}. +\EqnTag{III}{I}{19} +\] +D'autres modifications de ces formules s'obtiennent en faisant +coïncider $\alpha$ ou~$\beta$ avec l'une des limites~\Eref{III}{I}{6}. Ainsi la formule~\Eref{III}{I}{IX} +%% -----File: 079.png---Folio 67------- +devient, pour $\alpha = m$, $\beta = n$, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) +&= \Pow{(-1)}{m} \frac{f(m)}{2} + \Pow{(-1)}{n} \frac{f(n)}{2} \\ +&\quad -2 \int^{\infty}_0 + \frac{\Pow{(-1)}{m} q(m,t) - \Pow{(-1)}{n} q(n, t)}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}\, dt, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{XI} +\] +et la formule~\Eref{III}{I}{X}, pour $m = 1$, $\alpha = 0$, +\[ +\sum^{\infty}_1 \Pow{(-1)}{\nu+1} f(\nu) += \smfrac{1}{2}f(0) + + 2\int^{\infty}_0 \frac{q(0,t)\, dt}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}. +\EqnTag{III}{I}{XII} +\] + +En adoptant les notations du \no\Sref{27}, on pourra écrire la formule~\Eref{III}{I}{3} +sous la forme suivante: +\[ +\sum^{n}_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) += \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} +- \int_{\alpha\gamma' \beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}, +\] +la fonction~$f(z)$ étant toujours supposée holomorphe à l'intérieur +du contour~$C$. Substituons respectivement dans les deux intégrales +\begin{align*} +\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} +&= \phantom{-} + \sum^{\mu-1}_0 \Pow{e}{-(2\nu+1)\pi iz} + + \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}, \\ +\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} +&= -\sum^{\mu-1}_0 \Pow{e}{ (2\nu+1)\pi iz} + + \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}; +\end{align*} +nous obtenons une formule qui nous sera utile plus loin: +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) = 2\sum^{\mu-1}_0 \int^{\beta}_{\alpha} + f(\tau)\, \cos(2\nu+1)\pi\tau\, d\tau + R_\mu, +\EqnTag{III}{I}{20} +\] +avec +\[ +R_\mu += \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}\, f(z)} + {\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}\, dz +- \int_{\alpha\gamma' \beta} \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}\, f(z)} + {\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}\, dz. +\] + +Dans le cas où la fonction~$f(z)$, tout en étant uniforme et en +vérifiant les autres conditions indiquées ci-dessus, présente dans +la bande~$B$, définie par l'inégalité $\alpha<\tau<\beta$, un nombre fini de +points singuliers, distincts des points $m,~m + 1, \dotsc,~n$, on doit +%% -----File: 080.png---Folio 68------- +dans les formules précédentes retrancher du second membre le +terme $\residuesum_B\smfrac{\pi}{\sin\pi z}\bigl(f(z)\bigr)$, comme le montre l'égalité~\Eref{III}{I}{3}. +\bigskip + +% The following section is presented in a different font style and size +\Paragraph{35.} {\small\textit{Notes historiques.}---L'histoire des formules sommatoires que nous +venons d'établir est des plus intéressantes, et montre clairement avec quelle +difficulté les idées générales se sont fait jour dans l'Analyse. Nous publierons +ici les données que nous avons pu recueillir sur ce sujet, sans +avoir d'ailleurs la prétention d'être complet. + +C'est la formule~\Eref{III}{I}{VI}, \Pgref{page}{eqn:III.I.VI}, qui a attiré d'abord l'attention des géomètres. +Elle a été donnée en~1820 par \bsc{Plana}, dans un Mémoire intitulé: +\textit{Sur une nouvelle expression analytique des nombres bernoulliens, +propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation +des suites} (\textit{Memorie della Accademia di Torino}, t.~XXV, +p.~403--418). Comme l'indique le titre de son Mémoire, Plana avait établi +cette formule, \textit{aussi remarquable par sa simplicité que par sa généralité}, +en partant de la formule sommatoire d'Euler, donc par un calcul +purement formel. + +Trois ans plus tard, \bsc{Abel} est de son côté arrivé à cette formule \textit{très +remarquable}, en suivant identiquement la même voie que Plana. \textit{Voir} la +Note: \textit{Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies} +(\textit{{\OE}uvres complètes d'Abel}, édition Sylow-Lie, t.~I, p.~11--27), où se trouve +aussi (p.~27) la formule~\Eref{III}{I}{XII} du \no\Sref{34}. Dans une deuxième Note de +l'année~1825: \textit{L'intégrale finie $\sum\limits^n \varphi(x)$ exprimée par une intégrale +définie simple} (\textit{ibid}.,\ p.~34--39), Abel a donné diverses généralisations et +une nouvelle démonstration de la formule~\Eref{III}{I}{VI}, mais cette démonstration +n'est pas plus rigoureuse que la première. + +Seule la théorie des fonctions d'une variable complexe pouvait servir de +fondement aux formules qui nous occupent, et, en effet, c'est \bsc{Cauchy} qui, +sans connaître les travaux de Plana et d'Abel, a donné le premier une +démonstration parfaitement exacte des formules \Eref{III}{I}{I} et~\Eref{III}{I}{III}, dans son +\textit{Mémoire sur les développements des fonctions en séries périodiques}, lu +à l'Académie le 27~février 1826 (\textit{Mémoires de l'Institut}, t.~VI, p.~603--612), +Mémoire dont nous aurons à nous occuper ultérieurement. La démonstration +de Cauchy, fondée sur la théorie des intégrales singulières, et qui est, +à un certain point de vue, la plus simple qu'on puisse donner, fournit +immédiatement ces formules sous leur forme générale; mais cependant +Cauchy les a établies uniquement pour le cas où la somme figurant au +premier membre se réduit à un seul terme. + +Il restait donc encore une lacune à combler, et c'est ce qu'a fait \bsc{Schaar} +dans un travail intitulé: \textit{Mémoires sur les intégrales eulériennes et sur +la convergence d'une certaine classe de séries} (\textit{Mémoires couronnés et +Mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie de Belgique}, +t.~XXII, 1848, p.~3--25), travail qui aurait bien mérité de ne pas tomber +dans l'oubli. + +%% -----File: 081.png---Folio 69------- + +% [** PP: Corrected five typos found by DP:stegel] +Il en est de même du Mémoire de \bsc{Genocchi}: \textit{Sulla formula sommatoria +% Eulero et sulla -> Eulero e sulla; dei residui -> de' residui +di Eulero e sulla teorica de' residui quadratici} (\textit{Annali di +% et fisiche -> e fisiche +Scienze matematiche e fisiche}, t.~III, 1852, p.~406--436), qui renferme +des applications importantes dont nous parlerons plus loin, ainsi que +d'un second Mémoire du même auteur: \textit{Intorno ad alcune formule +sommatorie} (\textit{ibid}.,\ t.~VI, 1855, p.~70--114), où sont précisées les conditions +dans lesquelles sont applicables les formules de Cauchy et Schaar. + +Citons aussi deux Mémoires de moindre importance, mais ayant rapport +% integrali à -> integrali a +au même sujet, par \bsc{Tortolini}: \textit{Sopra gli integrali a differenze finite +% mat.\ et fis -> mat.\ e fis +espressi per integrali definiti} (\textit{Annali di Scienze mat.\ e fis}.,\ t.~IV, +1853), et par \bsc{Mainardi}: \textit{Intorno ad una equazione di Poisson} (\textit{ibid}.). + +A partir de cette époque, il semble que les formules en question soient +restées à peu près inaperçues des géomètres, jusqu'en~1889, date à laquelle +\bsc{Kronecker} est revenu sur le sujet dans son Mémoire: \textit{Bemerkungen über +die Darstellung von Reihen durch Integrale} (\textit{Journal de Crelle}, t.~105, +p.~345--354), en prenant pour point de départ les Mémoires d'Abel, et sans +connaître ni celui de Cauchy, ni ceux de Schaar et de Genocchi. + +De son côté, M.~\bsc{Petersen} a donné une démonstration et diverses applications +de la formule d'Abel, dans ses \textit{Vorlesungen über Funktionstheorie} +(Copenhague,~1898). D'autres applications des formules sommatoires ont +été données par \bsc{Hermite} et par MM.~\bsc{Mellin}, \bsc{Jensen} et~H.~\bsc{Weber}, dans +des Mémoires que nous citerons ultérieurement. + +Ayant de notre côté retrouvé les formules données ci-dessus, nous en +avons développé de nombreuses conséquences dans un Mémoire intitulé: +\textit{Quelques applications d'une formule sommatoire générale} (\textit{Acta +Societatis Scientiarum Fennicæ}, t.~XXXI, \no3, 1902), dont un extrait +a été publié dans le Tome~XXVII des \textit{Acta Mathematica}, et auquel nous +avons beaucoup emprunté dans cet ouvrage.} +% [** End of small] + + +\Section{III}{II}{Quelques applications des formules précédentes.} + +\Paragraph{36.} Comme première application, faisons dans la formule~\Eref{III}{I}{III} +$f(z)=\log z$, d'où il résulte, d'après la seconde des égalités~\Eref{III}{I}{12}, +\[ +q(\tau,t) = \arc\tang \frac{t}{\tau}. +\] +En prenant $m = 1$, nous trouvons ainsi +\begin{align*} +\log(1\cdot2\dotsm\dotsm n) += \left(n+\smfrac{1}{2}\right)\log n -n +1 +&- 2\int^{\infty}_0 \arc\tang t\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t } - 1} \\ +&+ 2\int^{\infty}_0 \arc\tang \frac{t}{n}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t } - 1}. +\end{align*} + +%% -----File: 082.png---Folio 70------- + +On a d'autre part, par la formule de Stirling, +\[ +\log(1\cdot2\dotsm\dotsm n) += \left(n+\smfrac{1}{2}\right)\log n - n + \log\sqrt{2\pi} + \eps(n), +\EqnTag{III}{II}{1} +\] +$\eps(n)$~tendant vers zéro lorsque~$n$ croît indéfiniment, et, comme le +dernier terme de l'égalité précédente jouit de la même propriété, +on en déduit +\[ +1 - 2\int^{\infty}_0 \arc\tang t\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} + = \log\sqrt{2\pi}. +\EqnTag{III}{II}{2} +\] + +Soit, en second lieu, $f(z)=\smfrac{1}{z}$, d'où $q(\tau,t)=-\smfrac{t}{\Pow{\tau}{2}+\Pow{t}{2}}$, et +appliquons encore la formule~\Eref{III}{I}{III}. On aura, en faisant tendre~$n$ +vers l'infini, +\[ +\lim_{n=\infty} \biggl(\sum^n_m \frac{1}{\nu} - \log n\biggr) + = \smfrac{1}{2m} - \log m + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{m}{2} +\Pow{t}{2}}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\] + +Pour $m = 1$, le premier membre est, par définition, égal à \textit{la +constante d'Euler}; en la désignant par~$C$, on aura donc +\[ +C = \smfrac{1}{2} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{1 + \Pow{t}{2}}\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\EqnTag{III}{II}{3} +\] +expression due à Poisson\footnotemark. D'autre part, en ajoutant aux deux +membres de l'égalité ci-dessus la somme $1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb +\smfrac{1}{m-1}$, +on en déduit la formule, avantageuse pour le calcul de~$C$: +\[ +C = 1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb + \smfrac{1}{m-1} + \smfrac{1}{2m} - \log m + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{m}{2} + \Pow{t}{2}}\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\] +\footnotetext{\textit{Mémoires de l'Institut de France}, Année~1811, seconde Partie, p.~223.}% + +Les applications qui précèdent avaient été données déjà par +Plana et Abel, dans les Mémoires cités page~68. + +\Paragraph{37.} Faisons maintenant dans nos formules $f(z) = \Pow{e}{-xz}$, d'où +\[ +p(\tau,t)= \Pow{e}{-x\tau}\, \cos xt, \quad +q(\tau,t)=-\Pow{e}{-x\tau}\, \sin xt, +\] +Ceci est permis si l'on suppose~$x$ \textit{réel et positif}, car les conditions +de la \Pgref{page}{page57a} sont alors vérifiées quels que soient $\alpha$ et~$\beta$. + +%% -----File: 083.png---Folio 71------- + +Appliquons d'abord la formule~\Eref{III}{I}{V}, \Pgref{page}{eqn:III.I.V}, avec $m = 1$; il vient +\[ +\frac{1}{\Pow{e}{x}-1} = - \smfrac{1}{2} + \smfrac{1}{x} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{\sin xt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt, +\EqnTag{III}{II}{4} +\] +égalité due à Legendre. En développant le dernier terme suivant +les puissances de~$x$, et en comparant le résultat avec l'égalité~\Eref{II}{II}{5}, +\Pgref{page}{eqn:II.II.5}, on en déduit pour les nombres de Bernoulli l'expression +\[ +B_k = 4k \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k-1}\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} += \frac{2k(2k-1)}{\pi} \int^{\infty}_0 + \Pow{t}{2k-2}\, \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right)\, dt, +\EqnTag{III}{II}{5} +\] +qui, sous une forme différente, avait été donnée déjà par Euler. +C'est précisément en partant de cette expression que Plana et Abel +avaient établi leur formule sommatoire. + +% [** equation III.I.II' -> eqn:III.I.IIpr] +La formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, nous donne, en faisant $m = 1$, +$0 <\alpha < 1$, et en multipliant les deux membres par~$\Pow{e}{\alpha x}$, +\[ +\frac{\Pow{e}{\alpha x}}{\Pow{e}{x} - 1} = \smfrac{1}{x} + + 2\int^{\infty}_0 \Psi(\alpha,t)\, \sin xt\, dt + - 2\int^{\infty}_0 X(\alpha,t)\, \cos xt\, dt. +\] + +En remplaçant dans cette égalité $\alpha$ et~$x$ respectivement par~$x$ +et~$z$, et en développant ensuite le second membre suivant les puissances +ascendantes de~$z$, on en déduit, par comparaison avec l'égalité~\Eref{II}{II}{9}, +\Pgref{page}{eqn:II.II.9}, pour les polynomes~$\varphi_\nu(x)$ les expressions\footnotemark +\[ +\EqnTag{III}{II}{6} +\left\{ +\begin{aligned} +\varphi_{2k}(x) +&= \Pow{(-1)}{k+1} 4k \int^{\infty}_0 \Pow{t}{2k-1}\, \Psi(x,t)\, dt \\ +% +\varphi_{2k+1}(x) +&= \Pow{(-1)}{k+1} (4k+2) \int^{\infty}_0 \Pow{t}{2k}\, X(x,t)\, dt +\end{aligned} +% +\qquad +\begin{aligned} +&(k=1, 2, \dotsc), \vphantom{\Bigg|} \\ +&(k=0, 1, 2, \dotsc).\vphantom{\Bigg|} +\end{aligned} +\right. +\] +\footnotetext{Lorsqu'on substitue, dans les formules~\Eref{III}{II}{6}, aux expressions~$\Psi(x, t)$ et~$X(x, t)$ +leurs développements +\[ +\Psi(x,t) = \sum^{\infty}_1 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \cos 2\nu\pi x,\qquad + X(x,t) = \sum^{\infty}_1 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \sin 2\nu\pi x, +\] +qui se déduisent immédiatement de l'égalité~\Eref{III}{I}{10}, \Pgref{page}{eqn:III.I.10}, on retrouve les formules +\Eref{II}{II}{11} et~\Eref{II}{II}{13} du \no\Sref{18}.}% +% [** End of footnote] + +Il est facile de voir que ces expressions représentent des fonctions +analytiques holomorphes de~$x$ dans la bande comprise entre +l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point $x = 1$. +Comme nous avons démontré les égalités~\Eref{III}{II}{6} pour $0<x<1$, il +%% -----File: 084.png---Folio 72------- +en résulte, d'après le principe fondamental du prolongement analytique, +qu'elles sont vérifiées pour tout point de cette bande. + +Comme les seconds membres des égalités~\Eref{III}{II}{6} sont des fonctions +périodiques de~$x$ de période~$1$, nous pouvons affirmer d'autre +part qu'ils se confondent, pour les valeurs réelles de~$x$, avec les +fonctions désignées plus haut par $\overline{\varphi}_{2k}(x)$, $\overline{\varphi}_{2k+1}(x)$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{eqn:II.II.11}). + +Passons aux formules du \no\Sref{34}. En faisant dans la formule~\Eref{III}{I}{X} +$m = 1$, $\alpha =\smfrac{1}{2}$, multipliant les deux membres par~$\Powfr{e}{\fnfrac{x}{2}}$, et remplaçant~$x$ +par~$2iz$, on en déduit +\[ +\fsec z = 2 \int_0^\infty + \frac{\Pow{e}{2zt} + \Pow{e}{-2zt}}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}\, dt. +\] +Développons le second membre suivant les puissances de~$z$ et +comparons le résultat à l'égalité~\Eref{II}{II}{7}, \Pgref{page}{eqn:II.II.7}; il viendra\footnotemark +\[ +E_k = \Pow{4}{k+1} \int_0^\infty \frac{\Pow{t}{2k}\, dt}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}. +\EqnTag{III}{II}{7} +\] +\footnotetext{Cette expression est due à \bsc{Catalan} (\textit{Mémoires de la Société des Sciences +de Liége}, série~II, t.~XII, p.~110).}% +% [** End of footnote] + +Pour une valeur quelconque de~$\alpha$ comprise entre $0$ et~$1$, la même +formule~\Eref{III}{I}{X} nous donne, en multipliant par~$\Pow{e}{\alpha x}$, +\[ +\frac{\Pow{e}{\alpha x}}{\Pow{e}{x} + 1} + = 2 \int_0^\infty X_{1}(\alpha,t)\, \cos xt\, dt + - 2 \int_0^\infty \Psi_{1}(\alpha,t)\, \sin xt\, dt, +\] +et la comparaison de cette égalité avec l'égalité~\Eref{II}{II}{19}, \Pgref{page}{eqn:II.II.19}, conduit +aux expressions suivantes des polynomes~$\chi_\nu(x)$: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \chi_{2k}(x) &= \Pow{(-1)}{k} 2 \int_0^\infty \Pow{t}{2k}\, X_1(x,t)\, dt \\ + \chi_{2k+1}(x) &= \Pow{(-1)}{k+1} 2 \int_0^\infty \Pow{t}{2k+1}\, \Psi_1(x,t)\, dt + \end{aligned} + \right. + \qquad (k=0, 1, 2, \dotsc). +\EqnTag{III}{II}{8} +\] + +Les égalités~\Eref{III}{II}{8} sont valables dans la même bande que les égalités~\Eref{III}{II}{6} +et, pour les valeurs réelles de~$x$, leurs seconds membres +se confondent avec les fonctions périodiques $\overline{\chi}_{2k}(x)$, $\overline{\chi}_{2k+1}(x)$, +définies \Pgref{page}{eqn:II.II.20}. Elles mettent d'ailleurs en évidence que, dans +%% -----File: 085.png---Folio 73------- +l'intervalle $0<x<1$, le polynome~$\chi_{2k}(x)$ garde un signe invariable, +à savoir celui de~$\Pow{(-1)}{k}$, et que~$\chi_{2k+1}(x)$ n'y admet pas +d'autre zéro que $x =\smfrac{1}{2}$\footnotemark. +\footnotetext{On attribue généralement les formules~\Eref{III}{II}{6} à Raabe et les formules~\Eref{III}{II}{8} à +Hermite. Mais en fait ces formules se trouvent dans le Mémoire de Cauchy de +l'année~1814 (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~I, p.~458--460) et, au dire de Cauchy, elles se +déduisent de divers résultats trouvés par Euler.\Pagelabel{page68}} +% [** End of footnote] + +\Paragraph{38.} En terminant ces applications, qu'il serait d'ailleurs facile +de multiplier, nous ferons voir comment se déduisent de nos formules +générales les propriétés des sommes +\[ +\sum_{\nu=0}^{n-1} \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{\nu}{2}} +\EqnTag{III}{II}{9} +\] +que Gauss a le premier introduites dans l'Analyse. Les nombres $n$ +et~$p$ sont des entiers positifs sans diviseur commun dont l'un est +pair et l'autre impair\footnote{% +Si $n$ et~$p$ sont tous deux impairs, la somme~\Eref{III}{II}{9} est évidemment égale à ~$1$.}. +% [** End of footnote] + +A cet effet, reportons-nous aux résultats établis au \no\Sref{31}; en +faisant $f(z) = \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{z}{2}}\!\!$, on aura les deux égalités: +\begin{gather*} + q(\tau,t) = \smfrac{i}{2}\, + \Powfr{e}{ \fnfrac{ p\pi i}{n}(\Pow{\tau}{2} - \Pow{t}{2}) } + \biggl(\Powfr{e}{ \fnfrac{2p\pi}{n}\tau t} + - \Powfr{e}{-\fnfrac{2p\pi}{n}\tau t}\biggr)\,, \\ +% + \Abs{f(\tau + it)} = \Powfr{e}{-\fnfrac{2p\pi}{n}\tau t}. +\end{gather*} +Cette dernière égalité montre que l'expression +\[ +\Pow{e}{-2p\pi \Abs{t}}\, f(\tau + it) +\] +tend uniformément vers zéro pour $0\leqq\tau\leqq n-\eps$, quelque petit que +soit~$\eps$, lorsque~$t$ tend vers~$\pm\infty$, et que, d'autre part, le module de +cette expression reste inférieur ou égal à l'unité pour $0\leqq\tau\leqq n$, +quel que soit~$t$. Il en résulte que, si l'on fait dans l'égalité~\Eref{III}{I}{16}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.16}, $\mu = p-1$, $\alpha = 0$, $\beta = n$, les intégrales prises le long des +côtés horizontaux du contour~$C$ s'annuleront lorsque $\delta$~croît indéfiniment, +de sorte qu'on pourra appliquer la formule~\Eref{III}{I}{VII} en posant +%% -----File: 086.png---Folio 74------- +$\mu=p-1$. Comme on a d'ailleurs $q(0, t) = 0$ et~$f(0)-f(n)=0$, +on trouve ainsi pour la somme~\Eref{III}{II}{9} l'expression +\[ +\int_0^n F_0(\tau)\, d\tau + + 2 \sum_1^{p-1} \int_0^n F_\nu(\tau)\, d\tau + + i \int_0^\infty \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n} \Pow{t}{2}} + \left(\frac{\Pow{e}{2\pi t} - \Pow{e}{-(4p-2)\pi t}}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\right)\, dt, +\EqnTag{III}{II}{10} +\] +où $F_\nu(z) = \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\, \Pow{z}{2}}\, \cos 2\nu\pi z$. Écrivons +\[ +\int_0^n F_\nu(\tau)\, d\tau + = \int_0^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau + - \int_n^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau. +\] +D'après l'égalité~\Eref{II}{III}{3}, \Pgref{page}{eqn:II.III.3}, on aura, pour $\nu=0,~1, \dotsc,~p-1$, +\[ +\int_0^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau + = \smfrac{1}{2}\sqrt{\smfrac{n}{p}}\, + \Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4} - \fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}}, +\] +et, d'autre part, on conclut facilement de l'inégalité +\[ +\Abs{F_\nu(\tau + it)} < \Powfr{e}{-\fnfrac{2\pi t}{n}(p\tau - \nu n)} + \qquad (t>0), +\EqnTag{III}{II}{11} +\] +qui se vérifie immédiatement, qu'on pourra écrire +\[ +\int_n^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau = i\int_0^\infty F_\nu(n+it)\, dt + \equiv \frac{i}{2} \int_0^\infty \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n} \Pow{t}{2} - 2p\pi t} + (\Pow{e}{2\nu\pi t} + \Pow{e}{-2\nu\pi t})\, dt. +\] +En effet, le théorème fondamental de Cauchy nous donne, en désignant +par~$n'$ et~$\delta$ des nombres positifs dont~$n'>n$, +\[ +\int_n^{n'} F_\nu(\tau)\, d\tau + = i\int_0^\delta F_\nu(n+it)\, dt + + \int_n^{n'} F_\nu(\tau+i\delta)\, d\tau + - i\int_0^\delta F_\nu(n'+it)\, dt, +\] +et comme l'on a $p\tau - \nu n>0$ pour $\tau \geqq n$, $\nu$~ayant l'une quelconque +des valeurs $0,~1, \dotsc,~p-1$, il résulte de l'inégalité~\Eref{III}{II}{11} que, lorsqu'on +fait tendre d'abord~$\delta$ et ensuite~$n'$ vers l'infini, les deux derniers +termes du second membre s'évanouiront successivement, de +sorte qu'on obtiendra bien l'égalité voulue. + +Par conséquent la somme des deux premiers termes de l'expression~\Eref{III}{II}{10} +peut se mettre sous la forme +\[ +\Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\frac{n}{p}}\, \Biggl( + \smfrac{1}{2} + \sum_{\nu=1}^{p-1} \Powfr{e}{-\fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}} + \Biggr) + + i\int_0^\infty \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{t}{2}} \biggl( + \frac{\Pow{e}{-(4p-2)\pi t} - 1}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\biggr)\, dt, +\] +%% -----File: 087.png---Folio 75------- +de sorte que l'expression elle-même devient +\[ +\Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\smfrac{n}{p}}\, \Biggl( + \smfrac{1}{2} + \sum^{p-1}_{\nu=1} \Powfr{e}{-\fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}} + \Biggr) + + i\int^{\infty}_0 \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{t}{2}}\, dt. +\] +Or on a, d'après l'égalité~\Eref{II}{III}{2}, \Pgref{page}{eqn:II.III.2}, +\[ +i\int^{\infty}_0 \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n} \Pow{t}{2}}\, dt + = \smfrac{i}{2}\, \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\smfrac{n}{p}} + = \smfrac{1}{2}\, \Powfr{e}{ \fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\smfrac{n}{p}}, +\] +et nous arrivons donc finalement à cette relation remarquable +\[ +\sum^{n-1}_{\nu=0} \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{\nu}{2}} + = \Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}}\sqrt{\smfrac{n}{p}}\, + \sum^{p-1}_{\nu=0} \Powfr{e}{-\fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}}, +\] +qui est due à Schaar\footnote{% +\textit{Mém.\ cour.\ et autres Mém.\ publiés par l'Académie de Belgique}, t.~XXIV +et~XXV\@. Dans le premier des Mémoires cités page~69, Genocchi avait déduit des +formules sommatoires la relation de Schaar et d'autres relations plus générales du +même genre, mais son raisonnement n'est pas rigoureux. \textit{Voir} aussi un Mémoire +de M.~\bsc{Landsberg}: \textit{Zur Theorie der Gauss'schen Summen und der linearen +Transformationen der Thetafunctionen} (\textit{Journal de Crelle}, t.~111, 1893).}, % [** End of footnote] +et d'où l'on déduit immédiatement, pour +$p = 2$, le résultat de Gauss: +\[ +\sum^{n-1}_{\nu=0} \Powfr{e}{\fnfrac{2\pi i}{n}\Pow{\nu}{2}} + = \frac{1 - \Pow{i}{n}}{1-i}\sqrt{n}, +\] +$n$~étant un entier positif impair\footnotemark. +\footnotetext{C'est Kronecker qui le premier a établi rigoureusement cette formule à +l'aide du calcul des résidus (\textit{Journal de Crelle}, t.~105, p.~267). \textit{Voir} aussi un +Mémoire de M.~H.~\bsc{Weber}: \textit{Ueber Abel's Summation endlicher Differenzenreihen +(Acta Mathematica}, t.~XXVII).} +% [** End of footnote 2] + + +\Section{III}{III}{La formule sommatoire d'Euler et autres formules analogues.} + +\Paragraph{39.} Les applications qui précèdent ont déjà montré l'utilité des +formules sommatoires établies plus haut, et les Chapitres suivants +en feront encore ressortir l'importance pour le prolongement et +pour l'étude asymptotique des fonctions. S'il s'agit de calculs +%% -----File: 088.png---Folio 76------- +numériques, il est cependant préférable de transformer ces formules, en +développant en séries les intégrales définies qu'elles renferment. +Il est vrai que les séries que l'on obtient ainsi sont pour la plupart +divergentes, de sorte qu'elles ne sauraient fournir une approximation +indéfinie. Mais, en revanche, elles jouissent souvent de +cette propriété intéressante, et qui pour le calcul est précisément la +plus importante, à savoir que leurs termes successifs, ainsi que +leur reste, commencent par décroître rapidement, d'où il résulte +qu'on pourra souvent atteindre une grande précision en ne calculant +qu'un petit nombre de termes. + +Les séries en question s'obtiennent en développant dans les formules +générales les expressions $p(\tau,t)$ et~$q(\tau,t)$ suivant les puissances +ascendantes de~$t$. On a généralement par le théorème de +Taylor, en supposant la fonction~$F(t)$ (réelle ou imaginaire) continue +ainsi que ses $\mu$~premières dérivées, +\[ +F(t) = F(0) + F'(0)\frac{t}{1!} + + \dotsb + \Pow{F}{\mu-1}(0) \frac{\Pow{t}{\mu-1}}{(\mu-1)!} + R_\mu, +\] +avec +\[ +R_\mu = \frac{\Pow{t}{\mu}}{(\mu-1)!} + \int^1_0 \Pow{(1-u)}{\mu-1} \Pow{F}{(\mu)}(ut)\, du. +\] +Or on conclut des égalités~\Eref{III}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:III.I.12}, lorsque $\nu$~est \textit{pair}, +\[ +\Pow{D}{(\nu)}_t p(\tau,0) = \Powfr{(-1)}{\fnfrac{\nu}{2}}\, \Pow{f}{(\nu)}(\tau),\qquad +\Pow{D}{(\nu)}_t q(\tau,0) = 0, +\] +et, pour $\nu$~\textit{impair}, +\[ +\Pow{D}{(\nu)}_t p(\tau,0) = 0,\qquad +\Pow{D}{(\nu)}_t q(\tau,0) = \Powfr{(-1)}{\fnfrac{\nu-1}{2}}\, \Pow{f}{(\nu)}(\tau), +\] +et, par suite, en appliquant aux expressions $p(\tau, t)$, $q(\tau, t)$ l'égalité +ci-dessus, avec $\mu= 2k$ ou~$\mu= 2k+1$, on trouve: +\begin{align*} +p(\tau,t) +&= f(\tau) - f'(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2}}{2!} + \dotsb + + \Pow{(-1)}{k-1}\,\Pow{f}{(2k-2)}(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2k-2}}{(2k-2)!} + + p_{2k}(\tau,t), \\ +% +q(\tau,t) +&= f'(\tau)t - f''(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2}}{3!} + \dotsb + + \Pow{(-1)}{k-1}\, \Pow{f}{(2k-1)}(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2k-1}}{(2k-1)!} + + q_{2k+1}(\tau,t), +\end{align*} +$p_{2k}(\tau,t)$ et~$q_{2k+1}(\tau,t)$ désignant respectivement les expressions +\[ +\frac{\Pow{(-1)}{k}}{2}\, \frac{\Pow{t}{2k}}{(2k-1)!} + \int^1_0 \Pow{(1-u)}{2k-1}\bigl[\Pow{f}{(2k)}(\tau+iut) + + \Pow{f}{(2k)}(\tau-iut)\bigr]\, du, +\] +%% -----File: 089.png---Folio 77------- +et +\[ +\frac{\Pow{(-1)}{k}}{2}\, \frac{\Pow{t}{2k+1}}{(2k)!} + \int^1_0 \Pow{(1-u)}{2k} \bigl[\Pow{f}{(2k+1)}(\tau+iut) + + \Pow{f}{(2k+1)}(\tau-iut)\bigr]\, du. +\] + +En substituant maintenant à $p(\tau, t)$ et~$q(\tau, t)$ les développements +qu'on vient d'écrire, on trouve successivement, d'après +l'égalité~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, +\begin{align*} +2\int^{\infty}_0 \frac{q(\tau,t)\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} +&= \frac{B_1}{2}\, f'(\tau) - \frac{B_2}{4}\, \frac{f'''(\tau)}{3!} + \dotsb \\ +% +&\quad + \Pow{(-1)}{k-1} \frac{B_k}{2k}\, \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{q_{2k+1}(\tau,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt; +\end{align*} +d'après l'égalité~\Eref{III}{I}{13}, \Pgref{page}{eqn:III.I.13}, et les égalités~\Eref{III}{II}{6}, \Pgref{page}{eqn:III.II.6}, +\begin{align*} +2\int^{\infty}_0 Q(\tau, t)\, dt +&= -\overline{\varphi}_1(\tau)\, f(\tau) + + \frac{\overline{\varphi}_2(\tau)}{2}\, \frac{f'(\tau)}{1!} + - \dotsb + + \frac{\overline{\varphi}_{2k}(\tau)}{2k}\, + \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} \\ +&\quad + 2\int^{\infty}_0 \bigl[ + p_{2k}(\tau,t)\, X(\tau,t) + q_{2k+1}(\tau,t)\, \Psi(\tau,t)\bigr]\, dt, +\end{align*} +formule qui, pour $\tau = \nu+\smfrac{1}{2}$, en vertu des égalités~\Eref{III}{I}{14}, \Pgref{page}{eqn:III.I.14}, +et~\Eref{II}{II}{17}, \Pgref{page}{eqn:II.II.17}, se réduit à la suivante: +\begin{align*} +\int^{\infty}_0 \frac{q(\tau,t)\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} + 1} +&= \frac{B'_1}{2}\, f'(\tau) + - \frac{B'_2}{4}\, \frac{f'''(\tau)}{3!} + \dotsb \\ +&\quad + + \Pow{(-1)}{k-1} \frac{B'_k}{2k}\, \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{q_{2k+1}(\tau,t)}{\Pow{e}{2\pi t} + 1}\, dt; +\end{align*} +d'après les égalités~\Eref{III}{I}{18}, \Pgref{page}{eqn:III.I.18}, et~\Eref{III}{II}{8}, \Pgref{page}{eqn:III.II.8}, +\begin{align*} +2\int^{\infty}_0 Q_1(\tau,t)\, dt +&= \overline{\chi}_0(\tau)\, f(\tau) + -\overline{\chi}_1(\tau)\, \frac{f'(\tau)}{1!} + + \dotsb + -\overline{\chi}_{2k-1}(\tau)\, \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} \\ +&\quad + 2\int^{\infty}_0 \bigl[ + p_{2k}(\tau, t)\, X_1(\tau,t) + q_{2k+1}(\tau,t)\, \Psi_1(\tau,t)\bigr]\, dt, +\end{align*} +et enfin, d'après l'égalité~\Eref{III}{II}{7}, \Pgref{page}{eqn:III.II.7}, +\begin{align*} +2\int^{\infty}_0 \frac{p(\tau, t)\, dt}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}} +&= \frac{1}{2} \left[ + E_0\,f(\tau) - \frac{E_1}{4}\, \frac{f''(\tau)}{2!} + \dotsb \right. \\ +&\qquad\ + \left. + \Pow{(-1)}{k-1}\, \frac{E_{k-1}}{\Pow{4}{k-1}}\, + \frac{\Pow{f}{(2k-2)}(\tau)}{(2k-2)!} \right] + + 2\int^{\infty}_0 \frac{p_{2k}(\tau,t)}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}\, dt. +\end{align*} + +\Paragraph{40.} En substituant les développements ci-dessus dans les formules +établies dans la première section de ce Chapitre, on en déduit +%% -----File: 090.png---Folio 78------- +diverses formules sommatoires connues. Ainsi les formules~\Eref{III}{I}{III}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.III}, et~\hyperref[eqn:III.I.Ipr]{(I${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.Ipr}, donnent respectivement: +% [** PP: Align next few (individually-aligned!) displays] +\begin{flalign*} +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) +&= \smfrac{1}{2} \bigl[f(m)+f(n)\bigr] + \int^n_m f(\tau)\, d\tau \\ +&\quad + + \sum^k_{\nu=1} \Pow{(-1)}{\nu-1} \frac{B_\nu}{2\nu}\, + \dfrac{\Pow{f}{(2\nu-1)}(n) - \Pow{f}{(2\nu-1)}(m)}{(2\nu-1)!} + R; +\qquad % [** quasi-align left braces of this and next display] +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{1} +\end{flalign*} +\begin{flalign*} +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) +&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau \\ +&\quad + + \sum^{2k}_1 \frac{\Pow{(-1)}{\nu}}{\nu}\ + \frac{\overline{\varphi}_\nu(\beta)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\beta) + -\overline{\varphi}_\nu(\alpha)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\alpha)}{(\nu-1)!} + + R, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{2} +\end{flalign*} +et, en faisant $\alpha=m-\smfrac{1}{2}$, $\beta=n+\smfrac{1}{2}$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{page36}), +\begin{flalign*} +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) +&= \int^{n+\frac{1}{2}}_{m-\frac{1}{2}} f(\tau)\, d\tau \\ +&\quad + + \sum^k_1 \Pow{(-1)}{\nu}\, \frac{B'_\nu}{2\nu}\, + \frac{\Pow{f}{(2\nu-1)}(n + \fnfrac{1}{2}) + - \Pow{f}{(2\nu-1)}(m - \fnfrac{1}{2})}{(2\nu-1)!} + R. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{3} +\end{flalign*} +La formule~\hyperref[eqn:III.I.IXpr]{(IX${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IXpr}, nous donne: +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) += \sum^{2k-1}_0 \Pow{(-1)}{\nu}\, + \frac{\overline{\chi}_\nu(\beta)\, \Pow{f}{(\nu)}(\beta) + -\overline{\chi}_\nu(\alpha)\, \Pow{f}{(\nu)}(\alpha)}{\nu!} + R, +\EqnTag{III}{III}{4} +\] +% +et en particulier, pour $\alpha=m-\smfrac{1}{2}$, $\beta=n+\smfrac{1}{2}$, +% +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +&\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) \\ +&\quad + = \frac{1}{2} \sum^{k-1}_0 \Pow{(-1)}{\nu}\, \frac{E_\nu}{\Pow{4}{\nu}}\, + \frac{\Pow{(-1)}{n}\, \Pow{f}{(2\nu)}(n + \frac{1}{2}) + + \Pow{(-1)}{m}\, \Pow{f}{(2\nu)}(m - \frac{1}{2})}{(2\nu)!} + R. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{5} +\] +Enfin, en faisant tendre~$\alpha$ vers~$m$ et~$\beta$ vers~$n$ dans~\Eref{III}{III}{4}, ou bien +en utilisant la formule~\Eref{III}{I}{XI}, \Pgref{page}{eqn:III.I.XI}, on trouve +\[ +\EqnTag{III}{III}{6} +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m &\Pow{(-1)}{\nu} +f(\nu) = \smfrac{1}{2} \bigl[\Pow{(-1)}{m} f(m) + \Pow{(-1)}{n} f(n)\bigr] \\ +& + \sum^k_1 \Pow{(-1)}{\nu-1}\, \frac{(\Pow{2}{2\nu} - 1)\,B_\nu}{2\nu}\, + \frac{\Pow{(-1)}{n}\, \Pow{f}{(2\nu-1)}(n) - \Pow{(-1)}{m}\, \Pow{f}{(2\nu-1)}(m)} + {(2\nu - 1)!} + + R. +\end{aligned} +\right. +\] + +%% -----File: 091.png---Folio 79------- + +D'autres formules encore pourraient se déduire de l'égalité~\Eref{III}{I}{20}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.20}, et des égalités \Eref{III}{I}{16} et~\Eref{III}{I}{VII}, \Pgref{page}{eqn:III.I.VII}\footnotemark. +% [** PP: Change of page size may put previous refs on different pages!] +\footnotetext{La formule qui se déduit de~\Eref{III}{I}{VII} en y développant le dernier terme en +série, a été remarquée par Kronecker (\textit{Sitzungsberichte der Akademie zu Berlin}, +1885, p.~862).} +% [** End of footnote] + +L'égalité~\Eref{III}{III}{1} constitue la célèbre formule sommatoire découverte +par Euler et Mac-Laurin\footnotemark; +\footnotetext{Des applications de la formule~\Eref{III}{I}{III} à la formule d'Euler ont été indiquées +successivement par Schaar, Genocchi et~Petersen dans leurs travaux cités au \no\Sref{35}. +Voir aussi p.~17--23 de notre Mémoire.} % [** End of footnote] +% +la formule~\Eref{III}{III}{6} a été donnée par +Boole, la formule~\Eref{III}{III}{2} par Sonin et Hermite\footnotemark, +\footnotetext{\textit{Journal de Crelle}, t.~116, p.~133--136.} +% +la formule~\Eref{III}{III}{4} par +Hermite\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Ibid}.,\ p.~145.} + +Les résultats du \no\Sref{39} fournissent immédiatement l'expression +exacte du reste~$R$ dans les formules précédentes, et permettent +facilement d'en calculer une limite supérieure. + +Supposons, par exemple, qu'on ait, pour toute valeur réelle +de~$t$, +\[ +\Abs{\Pow{f}{(\mu)}(\tau+it)} < M_\mu(\tau), +\] +$M_{\mu}(\tau)$ étant une quantité positive qui dépendra, en général, de~$\tau$ +et de~$\mu$; il en résulte +\begin{align*} +\Abs{p_{2k}(\tau,t)} &< M_{2k}(\tau)\, \frac{\Pow{\tau}{2k}}{(2k)!}, \\ +\Abs{q_{2k+1}(\tau,t)} &< M_{2k+1}(\tau)\, \frac{\Pow{\tau}{2k+1}}{(2k+1)!}. +\end{align*} +En se servant des égalités~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, et~\Eref{III}{II}{7}, \Pgref{page}{eqn:III.II.7}, on en +déduit pour le reste de la formule d'Euler~\Eref{III}{III}{1} l'inégalité +\[ +\Abs{R} < \frac{B_{k+1}}{(2k+2)!}\, + \bigl[M_{2k+1}(m) + M_{2k+1}(n)\bigr], +\] +et, pour le reste de la formule~\Eref{III}{III}{5}, +\[ +\Abs{R} < \frac{1}{2(2k)!}\;\frac{E_k}{\Pow{4}{k}}\, + \Bigl[M_{2k}\bigl(m - \smfrac{1}{2}\bigr) + + M_{2k}\bigl(n + \smfrac{1}{2}\bigr)\Bigr]. +\] + +Dans le cas où la fonction~$f(z)$ admet des points singuliers à +l'intérieur de la bande $\alpha <\tau < \beta$, les formules ci-dessus doivent +être modifiées comme il a été dit aux \nos\Sref{32} et~\Sref{34}. + +%% -----File: 092.png---Folio 80------- + +\Paragraph{41.} Les expressions trouvées ci-dessus pour le reste de la formule +d'Euler et des formules analogues sont différentes de celles +qu'on rencontre dans les théories élémentaires de ces formules. +Mais nous allons voir que ces dernières expressions se rattachent +encore tout naturellement à nos résultats généraux. + +Reprenons, à cet effet, la formule~\Eref{III}{I}{16}, \Pgref{page}{eqn:III.I.16}, en y faisant +croître indéfi\-ni\-ment le nombre~$\mu$. Les deux derniers termes tendront +évidemment vers \textit{zéro}, de sorte qu'on obtient +\[ +\sum^n_m f(\nu) = \int^{\beta}_{\alpha}f(\tau)\, d\tau + + 2\sum^{\infty}_1 \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, \cos 2\nu\pi\tau\, d\tau. +\EqnTag{III}{III}{7} +\] + +On a, d'ailleurs, en intégrant par parties, +\begin{align*} +&2\int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, \cos 2\nu\pi\tau\, d\tau \\ +& \quad + = f(\beta)\, \frac{\sin 2\nu\pi\beta}{\nu\pi} + - f(\alpha)\, \frac{\sin 2\nu\pi\alpha}{\nu\pi} + - \int^{\beta}_{\alpha} f'(\tau)\, \frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}\, d\tau, +\end{align*} +et, en se servant de l'égalité~\Eref{II}{II}{14}, \Pgref{page}{eqn:II.II.14}, on pourra donc écrire +l'équation~\Eref{III}{III}{7} sous la forme +\[ +\EqnTag{III}{III}{8} +\sum^n_m f(\nu) = \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau ++ \overline{\varphi}_1(\alpha)\, f(\alpha) +- \overline{\varphi}_1(\beta)\, f(\beta) +- \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau + \] + +Cependant cette dernière conclusion demande quelque précaution, +car nous y avons supposé tacitement que l'expression +\[ + \int^{\beta}_{\alpha}f'(\tau)\, \overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau ++ \int^{\beta}_{\alpha}f'(\tau) \sum^k_1\frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}\, d\tau +\EqnTag{III}{III}{9} +\] +s'annule pour $k = \infty$, ce qui n'est nullement évident, puisque la +série qui définit~$\overline{\varphi}_1(\tau)$ ne converge pas uniformément entre les +limites d'intégration. Notre conclusion n'en est pas moins exacte, +car il résulte des remarques faites \Pgref{page}{page35} que le module de la +somme +\[ +\overline{\varphi}_1(\tau) + \sum^k_1\frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi} +\] +reste inférieur à une quantité finie~$M$ pour toute valeur de~$k$ et +%% -----File: 093.png---Folio 81------- +pour tout point~$\tau$ de l'intervalle $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$, et d'autre part que, ayant +exclu de cet intervalle, de part et d'autre de chacun des points +$m,~m + 1, \dotsc,~n$, un segment de longueur~$\eps$ aussi petite qu'on +voudra, on pourra choisir l'entier~$k$ assez grand pour que, dans le +reste de l'intervalle, la somme en question soit numériquement +inférieure à tout nombre~$\eta$ fixé d'avance. Dans ces conditions, la +valeur absolue de l'expression~\Eref{III}{III}{9} sera donc inférieure au produit +de $\eta(\beta -\alpha) + 2\eps M(n-m+1)$ par le maximum de $\Abs{f'(\tau)}$ +dans l'intervalle $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$, d'où l'on conclut que cette expression +s'annule effectivement pour $k = \infty$. + +À l'aide des relations [voir l'égalité~\Eref{II}{II}{16} \Pgref{page}{eqn:II.II.16}] +\[ +\overline{\varphi}'_{\nu+1}(\tau) + = (\nu+1)\overline{\varphi}_\nu(\tau)\qquad (\nu=1, 2,\dotsc), +\] +on trouve successivement, en intégrant par parties, +\begin{align*} +\int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau +&= \smfrac{1}{2!} \bigl[\overline{\varphi}_2(\beta) f'(\beta) + -\overline{\varphi}_2(\alpha) f'(\alpha)\bigr] + - \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_2(\tau)\, + \frac{f''(\tau)}{2!}\, d\tau, \\[1ex] +\int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_2(\tau)\, \frac{f''(\tau)}{2!}\, d\tau +&= \smfrac{1}{3!} \bigl[\overline{\varphi}_3(\beta)\, f''(\beta) + -\overline{\varphi}_3(\alpha)\, f''(\alpha)\bigr] + - \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_3(\tau)\, + \frac{f'''(\tau)}{3!}\, d\tau, +\end{align*} +et ainsi de suite; de l'égalité~\Eref{III}{III}{8} on peut donc tirer la suivante: +\[ +\EqnTag{III}{III}{10} +\sum^n_m f(\nu) = \int^{\beta}_{\alpha}\, f(\tau)\, d\tau + + \sum^{2k}_1 \frac{\Pow{(-1)}{\nu}}{\nu}\ + \frac{\overline{\varphi}_\nu(\beta)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\beta) + -\overline{\varphi}_\nu(\alpha)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\alpha)}{(\nu-1)!} + + R, +\] +où +\[ +R = -\frac{1}{(2k)!} \int^{\beta}_{\alpha} + \overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, \Pow{f}{(2k)}(\tau)\, d\tau. +\] +C'est la formule~\Eref{III}{III}{2}, avec une nouvelle expression du reste. + +Faisons maintenant tendre~$\alpha$ vers~$m$ et~$\beta$ vers~$n$. Les expressions +$\overline{\varphi}_1(\alpha)$ et~$\overline{\varphi}_1(\beta)$ tendront respectivement vers~$\smfrac{1}{2}$ et vers~$-\smfrac{1}{2}$, +de sorte que l'égalité~\Eref{III}{III}{8} devient +\[ +\sum^n_m f(\nu) + = \int^n_m f(\tau)\, d\tau + + \smfrac{1}{2} \bigl[f(m) + f(n)\bigr] + + \int^n_m \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau, +\EqnTag{III}{III}{11} +\] +et d'autre part, en vertu des propriétés des fonctions~$\overline{\varphi}_\nu(\tau)$ démontrées +\Pgref{page}{page36}, l'égalité~\Eref{III}{III}{10} se réduira à la formule d'Euler avec +%% -----File: 094.png---Folio 82------- +cette nouvelle expression du reste, due à Poisson: +\[ +R = -\frac{1}{(2k)!} \int^n_m + \overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, \Pow{f}{(2k)}(\tau)\, d\tau, +\] +En intégrant par parties, on obtient d'abord +\[ +R = \frac{1}{(2k+1)!}\int^n_m + \overline{\varphi}_{2k+1}(\tau)\, \Pow{f}{(2k+1)}(\tau)\, d\tau, +\] +puis, en observant que $\overline{\varphi}_{2k+1}(\tau)=\smfrac{\overline{P}'_{2k+2}(\tau)}{2k+2}$ +\[ +R = -\frac{1}{(2k+2)!} \int^n_m + \overline{P}_{2k+2}(\tau)\, \Pow{f}{(2k+2)}(\tau)\, d\tau, +\EqnTag{III}{III}{12} +\] +expression due à Jacobi. + +Pour $\alpha=m-\smfrac{1}{2}$, $\beta=n+\smfrac{1}{2}$, l'égalité~\Eref{III}{III}{10} nous donne la +formule~\Eref{III}{III}{3} avec le reste +\[ +R = \frac{1}{(2k+1)!} \int^{n + \frac{1}{2}}_{m - \frac{1}{2}} + \overline{\varphi}_{2k+1}(\tau)\, \Pow{f}{(2k+1)}(\tau)\, d\tau, +\] + +Ces transformations s'appliquent également à la formule~\Eref{III}{I}{20}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.20}. Ainsi l'on en déduit, en faisant croître~$\mu$ vers l'infini, +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu}\, f(\nu) + = 2\sum^n_0 \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, \cos(2\nu + 1)\pi\tau\, d\tau, +\EqnTag{III}{III}{13} +\] +puis, en intégrant par parties et utilisant l'égalité~\Eref{II}{II}{21}, \Pgref{page}{eqn:II.II.21}, +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu}\, f(\nu) + = \overline{\chi}_0(\beta)f(\beta) - \overline{\chi}_0(\alpha)f(\alpha) + - \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\chi}_0(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau. +\EqnTag{III}{III}{14} +\] +En transformant le dernier terme de cette égalité à l'aide des +relations~\Eref{II}{II}{22}, \Pgref{page}{eqn:II.II.22}, on retrouve la formule~\Eref{III}{III}{4} avec +\[ +R = \frac{1}{(2k-1)!} \int^{\beta}_{\alpha} + \overline{\chi}_{2k-1}(\tau)\, \Pow{f}{(2k)}(\tau)\, d\tau, +\] +expression due à Hermite. En faisant tendre~$\alpha$ vers~$m$, $\beta$ vers~$n$ +%% -----File: 095.png---Folio 83------- +(\textit{voir} \Pgref{p.}{page37}), on en déduit la formule~\Eref{III}{III}{6} de Boole avec le reste +\[ +R = -\frac{1}{(2k)!} \int^n_m + \overline{\chi}_{2k}(\tau)\,\Pow{f}{(2k+1)}(\tau)\, d\tau, +\] +donné par M.~Darboux\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable +(Journal de Mathématiques}, \tertio~série, t.~II, 1876).} +D'autre part, en faisant $\alpha = m-\smfrac{1}{2}$, +$\beta = n+\smfrac{1}{2}$ on retrouve la formule~\Eref{III}{III}{5} avec une nouvelle expression +du reste. + +Le raisonnement qui nous a fourni les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14} suppose +essentiellement que la fonction~$f(z)$ est holomorphe sur le +segment $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$ de l'axe réel. Cette condition est d'ailleurs suffisante, +car, en la supposant vérifiée, on pourra prendre la hauteur +du rectangle~$C$, qui nous a servi de contour d'intégration, assez +petite pour que~$f(z)$ soit holomorphe à l'intérieur et sur le contour +de ce rectangle, d'où il résulte que les égalités~\Eref{III}{I}{16}, \Pgref{page}{eqn:III.I.16}, +et~\Eref{III}{I}{20}, \Pgref{page}{eqn:III.I.20}, et par conséquent aussi les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14}, +seront valables. + +Mais, une fois établies les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14}, on constate +immédiatement qu'elles subsistent dès que~$f(\tau)$ et~$f'(\tau)$ sont +finis et continus pour $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$\footnotemark. +\footnotetext{Il en résulte, d'après le raisonnement de la \Pgref{page}{eqn:III.III.7}, que les formules \Eref{III}{III}{7} +et~\Eref{III}{III}{13} subsistent également sous la condition indiquée.} +% [** End of footnote] +En effet, on trouve en intégrant +($voir$ \Pgref{page}{page35}): +\[ +\int^{\nu+1}_{\nu} \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau )\, d\tau + = \smfrac{1}{2} \bigl[f(\nu) + f(\nu + 1)\bigr] + - \int^{\nu+1}_{\nu} f(\tau)\, d\tau. +\] +Faisons ici successivement $\nu = m,~m + 1, \dotsc,~n-1$ et ajoutons +les résultats: nous aurons l'égalité~\Eref{III}{III}{11}, et les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14} se +vérifient de la même manière. + +\Pagelabel{page83}% +Or nous venons de voir que les formules sommatoires \Eref{III}{III}{1} à ~\Eref{III}{III}{6}, +avec les expressions du reste~$R$ données ci-dessus, se déduisent +des égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14} par de simples intégrations. Nous pouvons +donc affirmer que chacune des formules en question est valable +dès que la fonction~$f(\tau)$ et ses dérivées, jusqu'à l'ordre le plus +élevé qui y figure, sont finies et continues pour $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$. +%% -----File: 096.png---Folio 84------- + +\Paragraph{42.} En faisant dans la formule~\Eref{III}{III}{7} $m = n = 0$, $\alpha = -x$, +$\beta = 1-x$, $f(z)=F(z+x)$, et en supposant d'ailleurs $0<x<1$, +on en déduit +\[ +F(x) = \int^1_0 F(\tau)\, d\tau + + 2\sum^{\infty}_1 \int^1_0 F(\tau)\, \cos 2\nu\pi(\tau-x)\, d\tau. +\EqnTag{III}{III}{15} +\] +C'est \textit{le développement de Fourier} qui, d'après la remarque +% [** PP: Changed reference to page location] +% Orig: faite en bas de la page~83, se trouve ainsi établi en supposant $F(x)$ +ci-dessus, se trouve ainsi établi en supposant $F(x)$ +et~$F'(x)$ finis et continus pour $0\leqq x\leqq 1$\footnotemark. +\footnotetext{Lorsque~$F(x)$ +présente une discontinuité au point~$x$, le premier membre +de l'égalité~\Eref{III}{III}{15} sera remplacé par $\lim\limits_{\eps=0}\fnfrac{1}{2}\bigl[F(x-\eps) + F(x+\eps)\bigr]$, ce qu'on +conclut encore facilement du calcul indiqué à la fin du \no\Sref{41}. + +L'égalité~\Eref{III}{III}{13} conduit à une autre forme du développement de Fourier.} +% [** End of footnote] + +Indiquons encore la méthode par laquelle Cauchy a établi ce +développement dans son Mémoire de~1826\footnotemark, cité \Pgref{page}{page68}, et qui, +dans bien des cas, permet d'en calculer les coefficients avec une +grande facilité. Nous admettrons les hypothèses suivantes: +\footnotetext{Le raisonnement de Cauchy dans ce Mémoire très condensé est assez +embrouillé en ce qui concerne la convergence du développement de Fourier, et +les critiques que lui a adressées Dirichlet dans son célèbre Mémoire: \textit{Sur la +convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction +arbitraire entre des limites données} (\textit{Journal de Crelle}, t.~4, 1829) sont, sans +contredit, parfaitement justes. Cependant le Mémoire de Cauchy renferme tous +les éléments d'une démonstration exacte, telle que nous la présentons ici, et il +est curieux que Dirichlet ne s'en soit pas aperçu.} +% [** End of footnote] + +\primo~\textit{$F(z)$ est une fonction analytique de la variable $z \equiv \tau +it$ +qui est holomorphe dans la bande $0\leqq\tau\leqq 1$}; + +\secundo~\textit{L'égalité $\lim\limits_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}\,F(\tau+it)=0$ a lieu uniformément +pour $0\leqq\tau\leqq 1$}. + +Ceci posé, reprenons la formule~\Eref{III}{I}{8}, \Pgref{page}{eqn:III.I.8}, en choisissant le +contour~$C$ comme il a été dit, et en faisant les mêmes substitutions +que ci-dessus dans la formule~\Eref{III}{III}{7}, et, en outre, les substitutions~\Eref{III}{I}{10} +de la \Pgref{page}{eqn:III.I.10}. Lorsqu'on fait tendre~$\delta$ vers l'infini, les +intégrales prises suivant les côtés horizontaux du contour~$C$ s'évanouiront, +en vertu de la condition~\secundo. D'autre part, les termes $\Pow{e}{2\nu\pi iz}$ +et~$\Pow{e}{-2\nu\pi iz}$ qui figurent dans les expressions~\Eref{III}{III}{15} donneront naissance +à quatre intégrales, dont la somme se réduit à la partie +%% -----File: 097.png---Folio 85------- +réelle de l'expression +\[ +2i\int_0^\infty \Pow{e}{-2\nu\pi i\,(x-it)}\, \bigl[F(it) - F(1+it)\bigr]\, dt, +\] +ou bien, en posant $F(\tau\pm i t) = p(\tau,t)\pm i q(\tau,t)$, et +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +A_\nu +&= \phantom{-}2\int_0^\infty \Pow{e}{-2\nu\pi t} \bigl[q(1,t)-q(0,t)\bigr]\, dt, \\[1ex] +B_\nu +&= -2\int_0^\infty \Pow{e}{-2\nu\pi t} \bigl[p(1,t)-p(0,t)\bigr]\, dt, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{16} +\] +à +\[ +A_\nu\, \cos 2\nu\pi x + B_\nu\, \sin 2\nu\pi x. +\] +En somme, on trouvera donc +\[ +F(x) = A_0 + \sum_1^\mu (A_\nu\, \cos 2\nu\pi x + + B_\nu\, \sin 2\nu\pi x) + R_\mu, +\] +où $A_0 = \dint_0^1 F(\tau)\, d\tau$, et où le terme-reste~$R_\mu$ est égal à la partie +réelle de l'expression +\[ +2i\int_0^\infty \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi t - 2\mu\pi ix}} + {\Pow{e}{2\pi t + 2\pi ix} - 1}\, + \bigl[F(it) - F(1+it)\bigr]\, dt. +\] +Or $R_\mu$ s'annule évidemment pour $\mu=\infty$, de sorte qu'on obtient\footnotemark +\[ +F(x) = A_0 + \sum_1^\infty (A_\nu\, \cos 2\nu\pi x + + B_\nu\, \sin 2\nu\pi x)\qquad (0<x<1). +\EqnTag{III}{III}{17} +\] +\footnotetext{Ces résultats restent encore valables si la fonction~$F(z)$, tout en vérifiant +les autres conditions énoncées ci-dessus, devient infinie pour~$z=0$ ou pour~$z=1$ +d'un ordre inférieur à \textit{un}, ce qu'on démontre facilement par un raisonnement +analogue à celui du \no\Sref{29}.}% + +Soit comme premier exemple $F(z) = \log(\sin\pi z)$. En tenant +compte de la note ci-dessous, on s'assure immédiatement que les +résultats précédents sont applicables. Or on a dans l'hypothèse +actuelle $F(1 + it) - F(it) = -\pi i$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{page49}), et par suite +\[ +p(1,t) - p(0,t) = 0,\qquad q(1,t) - q(0,t) = -\pi. +\] +Il en résulte, d'après~\Eref{III}{III}{16}, $A_\nu = -\smfrac{1}{\nu}$, $B_\nu = 0$, et comme l'on a +%% -----File: 098.png---Folio 86------- +d'ailleurs, d'après la \Pgref{page}{page50}, $A_0 = -\log 2$, l'égalité~\Eref{III}{III}{17} devient +\[ +\log(\sin \pi x) = -\log 2 - \sum^{\infty}_1 \frac{\cos 2\nu\pi x}{\nu}. +\EqnTag{III}{III}{18} +\] + +Faisons en second lieu $F(z) = \log\Gamma(z)$, hypothèse dans laquelle +les résultats précédents seront encore applicables, ainsi qu'il résulte +des propriétés de~$\Gamma(z)$ démontrées au Chapitre~\ref{chapter:IV}. + +L'égalité $\Gamma(1+z) = z\Gamma (z)$ nous donne +\[ +F(1+it) - F(it) = \log it = \log t + \smfrac{\pi i}{2}, +\] +d'où +\[ +p(1,t) - p(0,t) = \log t,\qquad q(1,t) - q(0,t) = \smfrac{\pi}{2}, +\] +et, par suite, +\[ +A_\nu = \pi\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, dt = \smfrac{1}{2\nu},\qquad +B_\nu = -2\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \log t\, dt. +\] + +La valeur de~$B_\nu$ s'obtient en différentiant l'égalité +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \Pow{t}{2}\, dt + = \Gamma(1+\eps) \Pow{(2\nu\pi)}{-(1+\eps)}. +\] +par rapport à ~$\eps$, ce qui donne +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \Pow{t}{\eps}\,\log t\, dt + = \Gamma'(1+\eps) \Pow{(2\nu\pi)}{-(1+\eps)} + - \Gamma (1+\eps) \Pow{(2\nu\pi)}{-(1+\eps)}\, \log(2\nu\pi), +\] +et en faisant ensuite tendre~$\eps$ vers zéro. Comme on a~$\Gamma(1)=1$, +$\Gamma'(1) = -C$, on trouve ainsi +\Pagelabel{page86} +\[ +B_\nu = \frac{C + \log(2\nu\pi)}{\nu\pi}. +\] +Nous montrerons d'ailleurs plus loin (\Pgref{p.}{page90}) que $A_0=\log \sqrt{2\pi}$, +et, en tenant compte du résultat~\Eref{III}{III}{18} ci-dessus et de l'égalité~\Eref{II}{II}{13}, +\Pgref{page}{eqn:II.II.13}, nous aurons finalement le développement dû à Kummer: +\begin{align*} +\log\Gamma(x) +&= \log\sqrt{2\pi} - (C+\log 2\pi) \left(x-\smfrac{1}{2}\right) \\ +&\quad + - \smfrac{1}{2}\log(2\sin\pi x) + + \smfrac{1}{\pi} \sum^{\infty}_1 \frac{\log\nu}{\nu}\, \sin 2\nu\pi x. +\end{align*} + +\bigTbreak + +%% -----File: 099.png---Folio 87------- + + +% [*** Chapter IV] +\cleardoublepage +\Chapter{IV}{LES FONCTIONS $\Gamma(x)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,w)$.} + +\Section{IV}{I}{Expressions diverses de~$\log\Gamma(x)$ et de ses dérivées \\ + sous forme d'intégrales définies.} + +\Paragraph{43.} Pour déduire ces expressions des formules générales établies +au Chapitre précédent, nous allons nous servir de l'égalité +\[ +\Pow{D}{(2)}_x\log\Gamma(x) = \sum^{\infty}_0 \frac{1}{\Pow{(x+\nu)}{2}}. +\EqnTag{IV}{I}{1} +\] + +Nous devons donc substituer dans nos formules +\[ +f(z) = \frac{1}{\Pow{(x+z)}{2}}, +\EqnTag{IV}{I}{2} +\] +d'où il résulte, d'après les égalités~\Eref{III}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:III.I.12}, +\[ +p(\tau,t) = \frac{\Pow{(x+\tau)}{2} - \Pow{t}{2}} + {\Pow{[\Pow{(x+\tau)}{2}+\Pow{t}{2}]}{2}}, +\qquad +q(\tau,t) = -\frac{2(x+\tau)t} + {\Pow{[\Pow{(x+\tau)}{2} + \Pow{t}{2}]}{2}}. +\] + +Admettons que \textit{la partie réelle de la variable $x$ est positive}. +Les trois dernières conditions énoncées à la \Pgref{page}{page57b} seront alors +vérifiées dans le demi-plan~$\tau\geqq 0$, de sorte qu'on pourra appliquer +la formule~\Eref{III}{I}{IV}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IV}, en y faisant~$m=0$. On trouve ainsi +\[ +\Pow{D}{(2)}_x\log\Gamma(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2\Pow{x}{2}} + + 4x \int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +puis, en intégrant et en désignant par~$K$ la constante d'intégration, +\Pagelabel{page87} +\[ +D_x\log\Gamma(x) + = K + \log x - \smfrac{1}{2x} + - 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +%% -----File: 100.png---Folio 88------- +et, par une deuxième intégration, +\[ +\log\Gamma(x) = K' + Kx + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x), +\EqnTag{IV}{I}{3} +\] +$K'$~désignant une nouvelle constante et~$J(x)$ l'expression +\[ +J(x) = 2\int^{\infty}_0 \arc\tang\frac{t}{x}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\EqnTag{IV}{I}{4} +\] +qu'on peut écrire encore, en intégrant par parties, +\[ +J(x) = \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_0 \frac{x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, + \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right)\, dt. +\tag{4${}'$} +\Pagelabel{eqn:IV.I.4pr} +\] + +Les valeurs des constantes $K$ et~$K'$ s'obtiennent immédiatement +en rapprochant~\Eref{IV}{I}{3} de l'égalité~\Eref{III}{II}{1} de la \Pgref{page}{eqn:III.II.1}. Mais, si l'on ne +veut pas se servir de cette dernière égalité, on arrivera encore facilement +à déterminer $K$ et~$K'$ en s'appuyant sur les propriétés bien +connues de la fonction~$\Gamma(x)$ qui s'expriment par les équations +\[ +\Gamma(x+1) = x\Gamma(x),\qquad \Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin\pi x}. +\EqnTag{IV}{I}{5} +\] + +En effet, si l'on retranche l'égalité~\Eref{IV}{I}{3} de celle qu'on en déduit +en changeant $x$ en~$x+1$, on trouve, en vertu de la première propriété, +\[ +(K-1) + \left(x + \smfrac{1}{2}\right)\log\left(1 + \smfrac{1}{x}\right) + + J(x+1) - J(x) = 0. +\] +Or, lorsque $x$~croît indéfiniment, les deux derniers termes s'évanouiront, +tandis que le second terme tendra vers~$1$. Donc~$K=0$. + +D'après la seconde propriété, on aura, pour $x = \smfrac{1}{2} + iu$, +\[ +\Gamma\left(\smfrac{1}{2} + iu\right) +\Gamma\left(\smfrac{1}{2} - iu\right) + = \frac{2\pi \Pow{e}{-\pi u}}{1 + \Pow{e}{-2\pi u}}, +\] +d'où résulte l'égalité +\Pagelabel{page88} +\[ +\text{Partie réelle de } +\log\Gamma\left(\smfrac{1}{2} + iu\right) + = \log\sqrt{2\pi} - \smfrac{\pi u}{2} + \eps(u)\ \footnotemark, +\] +\footnotetext{Pour la notation~$\eps(u)$, \textit{voir} la note de la \Pgref{page}{page49fn}.}% [** End of footnote] +dont s'est déjà servi Stieltjes pour une question analogue\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Sur le développement de~$\log\Gamma(a)$} (\textit{Journal de Liouville}, t.~V, 1889).} +% [** End of footnote] + +%% -----File: 101.png---Folio 89------- + +Faisons d'autre part $x =\smfrac{1}{2}+iu$ dans l'égalité~\Eref{IV}{I}{3}. Un calcul +élémentaire donne +\[ +\text{Partie réelle de }\left(x-\smfrac{1}{2}\right) \log x + = -u\arc\tang 2u + = -\smfrac{\pi u}{2} + \smfrac{1}{2} + \eps(u), +\] +et comme d'ailleurs, d'après l'égalité~\hyperref[eqn:IV.I.4pr]{($4'$)}, $J\left(\smfrac{1}{2}+iu\right)$~s'annule +pour~$u =\infty$\ \footnotemark, on aura +\[ +\text{Partie réelle de }\log \Gamma \left(\smfrac{1}{2} + iu\right) + = K' - \smfrac{\pi u}{2}+\eps(u). +\] +\footnotetext{En effet, on a +\[ +\Abs{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}} \geqq \Abs{u} +\] +pour toute valeur~$t$ et, d'autre part, +\[ +\Abs{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}} > \fnfrac{\Pow{u}{2}}{2}\qquad\text{pour}\qquad +\Pow{t}{2} < \fnfrac{\Pow{u}{2}}{2}, +\] +d'où l'on déduit aisément la proposition énoncée.}% +% [** End of footnote] + +La comparaison de cette expression avec la précédente donne +\[ +K' = \log\sqrt{2\pi}, +\] +et, par suite, on aura en définitive\footnote{% +La formule~\Eref{IV}{I}{7} est due à \bsc{Poisson} (\textit{Mémoires de l'Institut}, Année~1811, +seconde Partie, p.~221).---\textit{Voir} aussi \bsc{Legendre}, \textit{Exercices de Calcul intégral}, +5\ieme{}~Partie, p.~190. C'est \bsc{Schaar} qui a le premier appliqué la formule~\Eref{III}{I}{IV} à +l'étude de la fonction~$\Gamma(x)$, dans le Mémoire cité à la \Pgref{page}{page68}.}% [** End of footnote] +\begin{gather*} +\log\Gamma(x) = \log\sqrt{2\pi} + + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x), +\EqnTag{IV}{I}{6} \\ +D_x \log\Gamma(x) = \log x - \smfrac{1}{2x} + J'(x). +\EqnTag{IV}{I}{7} +\end{gather*} + +On peut écrire~\Eref{IV}{I}{6} sous la forme asymptotique +\[ +\log\Gamma(x) = \log\sqrt{2\pi} + + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x +\eps(x), +\EqnTag{IV}{I}{8} +\] +et, en remplaçant~$x$ par~$x+\xi$, on en déduit aisément +\[ +\log\Gamma(x + \xi) + = \log\sqrt{2\pi} + \left(x + \xi - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + \eps(x). +\EqnTag{IV}{I}{9} +\] + +%% -----File: 102.png---Folio 90------- + +À l'aide de~\Eref{IV}{I}{8} nous allons calculer \textit{l'intégrale de Raabe} +\[ +R(\nu) \equiv \int^{\nu+1}_{\nu} \log\Gamma(x)\, dx. +\] +En intégrant le second membre de cette égalité~\Eref{IV}{I}{8}, il vient +\[ +R(\nu) = \log\sqrt{2\pi} + \nu\log\nu - \nu + \eps(\nu). +\] +Mais, d'autre part, on a +\[ +R'(\nu) = \log\Gamma(\nu+1) - \log\Gamma(\nu) = \log\nu, +\] +d'où il résulte, en intégrant et désignant par~$K$ une constante, +\[ +R(\nu) = K + \nu\log\nu - \nu. +\] +La comparaison de ces expressions donne $K=\log\sqrt{2\pi}$, $\eps(\nu)\equiv 0$, +et, par suite, +\[ +\int^{\nu+1}_{\nu}\log\Gamma(x)\, dx = \log\sqrt{2\pi} + \nu\log\nu - \nu. +\] + +Pour $\nu = 0$, cette expression se réduit à ~$\log\sqrt{2\pi}$ (\textit{cf}.~\Pgref{p.}{page86}). +\Pagelabel{page90} + +\Paragraph{44.} Pour établir l'égalité~\Eref{IV}{I}{6}, nous avons dû supposer la partie +réelle de la variable~$x$ positive, et, en effet, il est aisé de voir que +l'axe imaginaire constitue une \textit{coupure} pour l'intégrale~$J(x)$, de +sorte que celle-ci représente des fonctions analytiques distinctes à +droite et à gauche de cet axe\footnotemark. Pour mieux fixer, nous conviendrons +de désigner ces fonctions respectivement par~$J_{+}(x)$ +et~$J_{-}(x)$. +\footnotetext{\textit{Cf}.~deux Mémoires de Hermite insérés dans les Tomes 91 et~92 du \textit{Journal +de Crelle}. La notion de coupure était d'ailleurs familière à Cauchy, qui en avait +rencontré des exemples dès ses premières recherches sur les intégrales définies. +\textit{Voir}, par exemple, \textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~VI, 1826, p.~271, où Cauchy démontre que +l'intégrale +\[ +\int^{\pi}_{-\pi}\frac{f(\Pow{e}{ip})\, dp}{1 - s\,\Pow{e}{-ip}} +\] +est égale à ~$2\pi\,f(s)$ ou à ~$0$, suivant que $\Abs{s}<1$ ou~$\Abs{s}>1$. On trouve des +réflexions générales relatives à ce sujet dans le \textit{Mémoire sur les fonctions +continues} (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~VIII, 1844, p.~145--160) et dans le \textit{Mémoire sur +diverses propriétés remarquables et très générales des fonctions continues} +(\textit{Ibid}.,\ t.~IX, 1845, p.~32--53).} +% [** End of footnote] + +%% -----File: 103.png---Folio 91------- + +Cherchons la différence des valeurs que prennent ces deux fonctions +en un point~$x'$ situé sur l'axe imaginaire positif. L'expression +\[ +\varphi(t,x) \equiv \frac{1}{\pi}\, \frac{x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}} + \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right), +\] +sur laquelle porte l'intégrale~$J(x)$, admet les points~$t=\pm ix$ +comme pôles du premier ordre. Lorsque la différence~$x-x'$ tend +vers \textit{zéro}, sa partie réelle restant positive, le pôle~$t=-ix$ viendra, +du côté inférieur de l'axe réel, se confondre avec le point~$-ix'$ de +cet axe, de sorte que l'intégrale~$J(x)$ n'aura plus de sens. Mais, +pour remédier à cet inconvénient, il suffit de déformer le chemin +d'intégration dans~$J(x)$ de manière à éviter le point singulier en +question; par exemple, en remplaçant un petit segment~$ac$ de l'axe +réel, renfermant le point~$-ix'$, par un demi-cercle~$ab_1c$ tournant +la convexité vers le haut, comme l'indique la figure ci-dessous. La +% [** PP: Moved Figure 3 to end of paragraph] +valeur que prend la fonction~$J_{+}(x)$ au point~$x'$ sera alors représentée +par l'intégrale $\dint \varphi(t,x')\,dt$ prise suivant le chemin~$0\,ab_1\,c\,\infty$ +et, par un raisonnement analogue, on montre que la valeur~$J_{-}(x')$ +est égale à cette même intégrale étendue au chemin symétrique~$0\,ab_2\,c\infty$. +Donc la différence $J_{+}(x') - J_{-}(x')$ s'exprime par +l'intégrale $\dint\varphi(t,x')\,dt$ prise le long du contour fermé~$ab_1\,cb_2\,a$, +intégrale qui est égale au produit de~$-2\pi i$ par le résidu de~$\varphi(t,x')$ +relatif au pôle~$t=-ix'$, c'est-à -dire à $-\log(1 - \Pow{e}{2\pi ix'})$. + +%[Illustration: Fig. 3.] +\Figure{3}{103} + +On aura donc, pour tout point de l'axe imaginaire positif, +\[ +J_{+}(x) = J_{-}(x) - \log(1 - \Pow{e}{2\pi ix}), +\] +et il en résulte, d'après le principe établi au \no\Sref{9}, que l'expression +$J(x) - \log(1 - \Pow{e}{2\pi ix})$ fournit le prolongement analytique de la +fonction~$J_{+}(x)$ au delà de cette droite. On démontre de même que +le prolongement de~$ J_{+}(x)$ au delà de la partie négative de l'axe +%% -----File: 104.png---Folio 92------- +imaginaire est donné par l'expression~$J(x) - \log(1 - \Pow{e}{-2\pi ix})$ et, en +fin de compte, nous arrivons donc à cette conclusion que, \textit{dans le +cas où la partie réelle de la variable~$x$ est négative, la formule~\Eref{IV}{I}{6} +doit être remplacée par la suivante:} +\[ +\log\Gamma(x) = \log\sqrt{2\pi} + + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x) + - \log(1 - \Pow{e}{\pm 2\pi ix}), +\EqnTag{IV}{I}{10} +\] +\textit{où l'on doit choisir, dans le dernier terme, le signe $+$~ou le +signe~$-$, suivant que le point~$x$ se trouve au-dessus ou au-dessous +de l'axe réel}\footnote{% +On suppose l'argument de la variable~$x$ compris entre les limites $-\pi$ et~$\pi$.}. +% [** End of footnote] + +Mais il existe une autre méthode beaucoup plus directe pour +effectuer le prolongement de la fonction~$ J_{+}(x)$. En effet, il suffit +d'appliquer à l'intégrale~$J(x)$ le procédé bien connu qui consiste +à faire tourner d'un angle convenable la droite qui sert de chemin +d'intégration\footnotemark, procédé dont nous aurons encore à faire un +usage étendu au dernier Chapitre de cet ouvrage. +\footnotetext{Il semble que M.~Mellin soit le premier qui ait appliqué cette idée à l'intégrale~$J(x)$ +(\textit{Acta Societatis Scientiarum Fennicæ}, t.~XXXI, \no2, 1902, p.~45).} +% [** End of footnote] + +Désignons par~$J_{\psi}(x)$ l'intégrale $\dint\varphi(t,x)\,dt$, prise de~$0$ à ~$\infty$ le +long du rayon~$D_\psi$ qui forme l'angle~$\psi$ avec l'axe réel positif, et +supposons d'ailleurs $-\smfrac{\pi}{2} < \psi<\smfrac{\pi}{2}$. Lorsque le point~$t$ décrit le +rayon~$D_\psi$ les deux seuls points singuliers~$\pm it$ de l'expression~$\varphi(t,x)$, +considérée comme fonction de~$x$, resteront sur la droite +perpendiculaire à ~$D_\psi$ et passant par l'origine. Dans chacun des +demi-plans situés de part et d'autre de cette droite, $J_\psi(x)$~représentera +évidemment une fonction continue de~$x$ admettant une +dérivée continue, donc une fonction analytique holomorphe. Nous +% [** PP: Removed en-dash (?) in désormais-par] +entendrons désormais par $J_\psi(x)$ celle de ces fonctions qui est +définie dans le demi-plan renfermant l'axe réel positif, de sorte +que, si l'on pose $x=r\,\Pow{e}{i\theta}$, l'angle~$\theta$ restera compris entre les limites +\[ +\psi - \smfrac{\pi}{2} < \theta < \psi + \smfrac{\pi}{2}. +\EqnTag{IV}{I}{11} +\] + +Cela posé, je dis que~$J_\psi(x)$ \textit{donne le prolongement analytique +de~$J_{+}(x)$ dans le domaine~\Eref{IV}{I}{11}}. Il suffit de faire voir que les +%% -----File: 105.png---Folio 93------- +deux fonctions prennent les mêmes valeurs sur l'axe réel positif. +$A$~cet effet, je trace de l'origine comme centre deux arcs de cercles, +l'un~$ab$ de rayon~$\eps$, l'autre~$AB$ de rayon~$R$, et tous les deux compris +entre l'axe réel positif et le rayon~$D_\psi$ comme l'indique la figure~4. + +La variable~$x$ ayant une valeur positive quelconque, l'intégrale +$\dint\varphi(t,x)\,dt$, étendue au contour du quadrilatère mixtiligne~$aABba$, +se réduira évidemment à \textit{zéro} puisque $\varphi(t,x)$ est +holomorphe dans tout ce domaine, quels que soient d'ailleurs $\eps$ et~$R$. + +%[Illustration: Fig. 4.] +\Figure{4}{105} +\Pagelabel{page93} + +Je fais maintenant tendre~$\eps$ vers \textit{zéro} et~$R$ vers l'infini. Le produit~$t\varphi(t,x)$ +tendant uniformément vers \textit{zéro} sur chacun des +arcs $ab$ et~$AB$, les intégrales relatives à ces arcs s'évanouiront à la +limite. Donc l'intégrale $\dint\varphi(t,x)\,dt$, prise le long de l'axe réel +positif, aura la même valeur que si l'on prend pour chemin d'intégration +le rayon~$D_\psi$, c'est-à -dire qu'on aura $J_{+}(x) = J_\psi(x)$ pour +toute valeur positive de~$x$. \hfill\textbf{\scshape\scriptsize C.~Q.~F.~D.\qquad} + +\Paragraph{45.} Après cette digression, qui nous a fourni l'occasion de rappeler +deux méthodes générales d'un fréquent usage dans la théorie +des fonctions, nous reviendrons à l'expression~\Eref{IV}{I}{1} et nous lui +appliquerons la formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)} de la \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, en y faisant~$m = 0$, +$\alpha = -\xi$ ($0 < \xi < 1$). Nous trouvons ainsi, en remplaçant encore~$x$ +par~$x + \xi$, et en supposant la partie réelle de la variable~$x$ positive, +\[ +\Pow{D}{(2)}_x \log\Gamma(x+\xi) + = \frac{1}{x} + + \int^{\infty}_0 \frac{2(\Pow{x}{2} + - \Pow{t}{2})}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, X(\xi,t)\, dt + + \int^{\infty}_0 \frac{4xt}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, + \Psi(\xi,t)\, dt. +\] + +En intégrant, on en déduit +\[ +D_x \log\Gamma(x+\xi) + = \log x - \int^{\infty}_0 \frac{2x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, X(\xi,t)\, dt + - \int^{\infty}_0 \frac{2xt}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, \Psi(\xi,t)\, dt. +\] +En effet, la constante d'intégration est nulle, car le second +%% -----File: 106.png---Folio 94------- +membre peut s'écrire $\log x + \eps(x)$, et l'expression asymptotique +du premier membre, d'après~\Eref{IV}{I}{7}, est précisément de cette forme. + +Avant d'effectuer la seconde intégration, nous allons transformer +les intégrales en nous servant des relations\footnotemark. +\footnotetext{On obtient immédiatement ces relations en observant que le quotient~\Eref{III}{I}{10} +de la \Pgref{page}{eqn:III.I.10} est la dérivée de l'expression $-\smfrac{1}{2\pi i}\log(\Pow{e}{2\pi iz} - 1)$, laquelle, en faisant +$z = \tau + it$, peut se mettre sous la forme $i[\,\overline{\Psi}(\tau,t) + i\overline{X}(\tau,t)]$} +% [** End of footnote] +\[ +\Psi(\tau,t) = D_t \overline{\Psi}(\tau,t),\qquad +X(\tau,t) = D_t \overline{X}(\tau,t), +\EqnTag{IV}{I}{12} +\] +où +\begin{align*} + \overline{\Psi}(\tau,t) + &= \smfrac{1}{4\pi} \log(1 - 2\Pow{e}{-2\pi t}\, \cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-4\pi t}), \\ + \overline{X}(\tau,t) + &= -\smfrac{1}{2\pi} \arc\tang\left( + \frac{\sin 2\pi\tau}{\Pow{e}{2\pi t} - \cos 2\pi\tau} + \right). +\end{align*} +En intégrant par parties et en observant que +\[ +\overline{\Psi}(\tau,\infty) = 0,\qquad +\overline{X}(\tau,\infty) = 0,\qquad +\overline{X}(\tau,0) = \smfrac{1}{2}\left(\tau - \smfrac{1}{2}\right), +\] +on trouve que~$D_x\log\Gamma(x+\xi)$ peut se mettre sous la forme +\[ +\log x + \frac{\xi-\smfrac{1}{2}}{x} + - \int^{\infty}_0 \frac{4xt}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, \overline{X}(\xi,t)\, dt + + \int^{\infty}_0 \frac{2(\Pow{x}{2} - \Pow{t}{2})} + {\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, + \overline{\Psi}(\xi,t)\, dt. +\] + +Effectuant une nouvelle intégration, on aura maintenant +\[ +\log\Gamma(x+\xi) = \log\sqrt{2\pi} + + \left(x + \xi - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x,\xi), +\EqnTag{IV}{I}{13} +\] +avec +\[ +J(x,\xi) = \int^{\infty}_0 \frac{2t}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, + \overline{X}(\xi,t)\, dt + - \int^{\infty}_0 \frac{2x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, + \overline{\Psi}(\xi,t)\, dt. +\EqnTag{IV}{I}{14} +\] + +La valeur~$\log\sqrt{2\pi}$ de la constante d'intégration s'obtient par +comparaison avec la formule asymptotique~\Eref{IV}{I}{9}, en observant +que~$J(x, \xi)$ s'annule pour $x = \infty$. L'expression~\Eref{IV}{I}{13} est due à +M.~Landsberg, qui l'a trouvée par une autre voie\footnotemark. +\Pagelabel{page94}% +\footnotetext{\textit{Sur un nouveau développement de la fonction gamma (Mém.\ cour.\ et +autres Mém.\ publiés par l'Académie de Belgique}, t.~LV, 1897).} +% [** End of footnote] + +%% -----File: 107.png---Folio 95------- + +\Paragraph{46.} Appliquons maintenant la formule~\Eref{III}{III}{8}, \Pgref{page}{eqn:III.III.8}, avec $m = 0$, +$\alpha=-\xi$ ($0<\xi<1$), remplaçons $x$ par~$x + \xi$ et faisons tendre~$n$ +vers l'infini. En observant que $\overline{\varphi}_1(-\xi)=\smfrac{1}{2}-\xi$, on trouve +\[ +\Pow{D}{(2)}_x \log\Gamma(x+\xi) + = \smfrac{1}{x} - \frac{\xi - \fnfrac{1}{2}}{\Pow{x}{2}} + - 2 \int^{\infty}_{-\xi} + \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}{\Pow{(x + \xi + \tau)}{3}}, +\EqnTag{IV}{I}{15} +\] +puis, en intégrant et déterminant la constante comme plus haut, +\[ +D_x\log\Gamma(x+\xi) + = \log x + \frac{\xi - \fnfrac{1}{2}}{\Pow{x}{2}} + + \int^{\infty}_{-\xi} + \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}{\Pow{(x + \xi + \tau)}{2}} +\EqnTag{IV}{I}{16} +\] + +Je dis que le dernier terme est la dérivée de l'expression +\[ +-\int^{\infty}_{-\xi} \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau} + {x + \xi + \tau}. +\EqnTag{IV}{I}{17} +\] +On le vérifie immédiatement, en admettant que cette expression +ait un sens. Or il en est bien ainsi, car l'égalité $\varphi(\tau) = \tau - \nu - \smfrac{1}{2}$, +qui a lieu pour $\nu < \tau < \nu + 1$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{page35}), nous donne +\[ +-\int^{\nu+1}_{\nu} \frac{\overline{\varphi}_1 (\tau)}{x + \tau}\, d\tau + = \left(x + \nu + \smfrac{1}{2}\right) + \log\left(1 + \smfrac{1}{x + \nu}\right) - 1, +\EqnTag{IV}{I}{18} +\] +et le développement du second membre suivant les puissances +descendantes de~$x + \nu$ commence par un terme en~$\Pow{(x + \nu)}{-2}$. On +en conclut encore que l'expression~\Eref{IV}{I}{17} s'annule pour~$x = \infty$. + +On trouve dès lors, en intégrant l'égalité~\Eref{IV}{I}{16} et en tenant compte +de la formule asymptotique~\Eref{IV}{I}{9}, +\[ +\log\Gamma(x+\xi) + = \log\sqrt{2\pi} + \left(x+\xi-\smfrac{1}{2}\right)\log x - x + - \int^{\infty}_{-\xi} \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}{x+\xi+\tau}, +\EqnTag{IV}{I}{19} +\] +et, en se reportant à l'égalité~\Eref{IV}{I}{13} ci-dessus, on en conclut que +l'intégrale~\Eref{IV}{I}{17} fournit une nouvelle expression de~$J(x,\xi)$. + +Il résulte des remarques faites \Pgref{page}{page83} que l'égalité~\Eref{IV}{I}{15} a lieu +pour toute valeur~$x$ telle que la fonction~\Eref{IV}{I}{2} et sa dérivée première, +après qu'on y aura remplacé~$x$ par~$x + \xi$, soient finies et +continues pour les valeurs réelles de~$z$ supérieures ou égales à ~$-\xi$. +Donc cette égalité est vérifiée dans tout le plan, excepté l'axe réel +%% -----File: 108.png---Folio 96------- +négatif, et, d'après le raisonnement qui précède, il en sera de même +des égalités \Eref{IV}{I}{16} et~\Eref{IV}{I}{19}\footnotemark. +\footnotetext{L'expression~$J(x,\xi)$ est susceptible d'autres formes, que nous indiquerons +en quelques mots. En remplaçant, dans~\Eref{IV}{I}{17}, $\overline{\varphi}_1(\tau)$~par la série~\Eref{II}{II}{14} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.14}) +% [** PP: Removed spurious period after parenthesis] +on en déduit, par un raisonnement qui demande d'ailleurs quelque précaution, +\[ +J(x,\xi) = \sum^{\infty}_1 \int^{\infty}_{-\xi} + \frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}\, \frac{d\tau}{x+\xi+\tau}, +\] +développement qui converge uniformément dans toute aire finie n'ayant aucun +point commun avec l'axe réel négatif. + +En remplaçant dans ce développement $\sin 2\nu\pi\tau$~par des exponentielles et en +utilisant la notation +\[ +\text{Ei}(z) = \int^{z}_{\infty} \frac{\Pow{e}{-z}}{z}\, dz, +\] +on arrive, après des réductions faciles, à cette nouvelle expression +\[ +J(x,\xi) = \lim_{n=\infty} \sum^{+n}_{-n} + \Pow{e}{2\nu\pi i(x+\xi)}\, \frac{\text{Ei}(2\nu\pi ix)}{2\nu\pi i}\qquad + (\nu \neq 0), +\] +qui a été donnée par M.~Landsberg dans le Mémoire cité \Pgref{page}{page94}.} +% [** End of footnote] + +Pour $\xi = 0$, l'égalité~\Eref{IV}{I}{19} nous rend la formule~\Eref{IV}{I}{6} avec cette +nouvelle expression de~$J(x)$: +\[ +J(x) = -\int^{\infty}_0 \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)}{x+\tau}\, d\tau, +\EqnTag{IV}{I}{20} +\] +dont s'est servi Stieltjes dans ses recherches sur la formule de Stirling +(\textit{voir} le Mémoire cité \Pgref{page}{page88}). + +L'égalité~\Eref{IV}{I}{18} nous permet encore d'écrire +\[ +J(x) = \sum^{\infty}_0 \left[\left(x + \nu + \smfrac{1}{2}\right)\, + \log\frac{x + \nu + 1}{x - \nu} - 1\right], +\] +expression due à Gudermann et qui donne le prolongement analytique +dans tout le plan de la fonction~$J_{+}(x)$. + + +\Section{IV}{II}{Développements asymptotiques de~$\log\Gamma(x)$.} + +\Paragraph{47.} Le célèbre développement asymptotique qui sert à +calculer~$\log\Gamma(x)$ pour les grandes valeurs de~$x$, et qu'on appelle +%% -----File: 109.png---Folio 97------- +généralement, par extension, \textit{série de Stirling}, se déduit de la formule~\Eref{IV}{I}{6} +en y développant l'intégrale~$J(x)$ suivant les puissances descendantes +de~$x$. + +En se servant de l'expression~\hyperref[eqn:IV.I.4pr]{($4'$)} et de l'égalité~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, on +trouve +\[ +J(x) = \frac{B_1}{1\cdot 2}\, \frac{1}{x} + - \frac{B_2}{3\cdot 4}\, \frac{1}{\Pow{x}{3}} + \dotsb + + \Pow{(-1)}{k-1}\frac{B_k}{(2k-1)2k}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k-1}} + J_k(x), +\EqnTag{IV}{II}{1} +\] +avec +\[ +J_k(x) = \frac{\Pow{(-1)}{k}}{\Pow{x}{2k+1}}\, \frac{1}{\pi} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k}}{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}}\, + \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right)\, dt. +\EqnTag{IV}{II}{2} +\] + +On arrive au même développement en intégrant par parties +l'expression~\Eref{IV}{I}{20}, par des calculs parfaitement analogues à ceux +de la \Pgref{page}{eqn:III.III.10}, % [** ``page 81''] +mais le reste~$J_k(x)$ se présente alors sous la forme +\[ +J_k(x) = -\frac{1}{(2k+2)} + \int^{\infty}_0 \frac{\overline{P}_{2k+2}(\tau)}{\Pow{(x+\tau)}{2k+2}}\, d\tau. +\EqnTag{IV}{II}{3} +\] + +Développons maintenant le reste~$J(x,\xi)$ de la formule~\Eref{IV}{I}{13} suivant +les puissances descendantes de~$x$, et, à cet effet, utilisons +d'abord l'expression~\Eref{IV}{I}{14}. En observant que les égalités~\Eref{III}{II}{6} (\Pgref{p.}{eqn:III.II.6}), +en vertu des relations~\Eref{IV}{I}{12} (\Pgref{p.}{eqn:IV.I.12}), peuvent s'écrire +\begin{align*} + \varphi_{2k}(x) + &= \Pow{(-1)}{k}\, (2k-1)2k \int^{\infty}_0 2\Pow{t}{2k-2}\, \overline{\Psi}(x,t)\, dt, \\[1ex] + \varphi_{2k+1}(x) + &= \Pow{(-1)}{k}\, 2k(2k+1) \int^{\infty}_0 2\Pow{t}{2k-1}\, \overline{X}(x,t)\, dt, +\end{align*} +on trouve immédiatement +\[ +J(x,\xi) + = \frac{\varphi_2(\xi)}{1\cdot 2}\, \frac{1}{x} + - \frac{\varphi_3(\xi)}{2\cdot 3}\, \frac{1}{\Pow{x}{2}} + \dotsb + + \frac{\varphi_{2k}(\xi)}{(2k-1)2k}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k-1}} + J_k(x,\xi) +\EqnTag{IV}{II}{4} +\] +avec +\[ +J_k(x,\xi) + = \frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\Pow{x}{2k-1}} \int^{\infty}_0 + \frac{2\Pow{t}{2k}}{\Pow{x}{2} + + \Pow{t}{2}}\, \overline{\Psi}(\xi,t)\, dt + + \frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\Pow{x}{2k-2}} \int^{\infty}_0 + \frac{2\Pow{t}{2k-1}}{\Pow{x}{2} + + \Pow{t}{2}}\, \overline{X}(\xi,t)\, dt. +\] + +En intégrant par parties l'expression~\Eref{IV}{I}{17} (\textit{voir} le \no\Sref{41}) on +retrouve le développement~\Eref{IV}{II}{4} avec cette nouvelle expression du +reste: +\[ +J_k(x,\xi) = - \frac{1}{2k} \int^{\infty}_{-\xi} + \frac{\overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, d\tau}{\Pow{(x + \xi + \tau)}{2k}}. +\] + +%% -----File: 110.png---Folio 98------- + +Le développement de~$J(x,\xi)$ a été donné par Hermite et Sonin\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Journal de Crelle}, Tomes 115 et~116.} + +Pour $\xi =\frac{1}{2}$, on déduit de la formule~\Eref{IV}{I}{13}, en y remplaçant +$J(x,\xi)$~par le développement~\Eref{IV}{II}{4} et en tenant compte des +égalités~\Eref{II}{II}{17} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.17}), +\[ +\log\Gamma\left(x + \smfrac{1}{2}\right) + = \log\sqrt{2\pi} + x\log x - x + + \sum^k_1 \Pow{(-1)}{\nu} \frac{B'_\nu}{(2\nu-1)2\nu}\, + \frac{1}{\Pow{x}{2\nu-1}} + R_k, +\] +avec +\[ +R_k = \frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\pi}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k-1}} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k}}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, \log(1 + \Pow{e}{-2\pi t})\, dt, +\] +ou encore +\[ +R_k = -\frac{1}{2k}\int^{\infty}_{-\fnfrac{1}{2}}\; + \frac{\overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, d\tau} + {\Pow{\Bigl(x + \smfrac{1}{2} + \tau\Bigr)}{2k}}. +\] +Ce développement est dû à Gauss, à l'expression du reste près. + + +\Paragraph{48.} Proposons-nous maintenant d'évaluer une limite supérieure +du reste $J_k(x)$ de la série de Stirling et, à cet effet, partons d'abord +de l'expression~\Eref{IV}{II}{3}. Pour abréger, nous désignerons par~$T_\nu$ le terme +général de la série en question: +\[ +T_\nu = \Pow{(-1)}{\nu-1}\, \frac{B_\nu}{(2\nu-1)2\nu}\, \frac{1}{\Pow{x}{2\nu-1}}, +\] +de sorte que le terme qui précède immédiatement~$J_k(x)$ s'écrit~$T_k$. + +Supposons d'abord~$x$ \textit{réel et positif}. Comme l'expression~$\overline{P}_{2k+2}(\tau)$ +a le signe de $\Pow{(-1)}{k+1}$ (\textit{cf}.~\Pgref{p.}{page36}), on voit que~$J_k(x)$ \textit{est +de même signe que le terme}~$T_{k+1}$, et comme d'ailleurs +\[ +J_k (x) = T_{k+1} + J_{k+1}(x), +\] +et que $J_{k+1}(x)$ et~$T_{k+1}$ sont de signes contraires, on en conclut +que~$J_k(x)$ \textit{est numériquement inférieur à }~$T_{k+1}$. + +Soit maintenant~$x = r\,\Pow{e}{i\theta}$, l'argument~$\theta$ étant compris entre $-\pi$ +%% -----File: 111.png---Folio 99------- +et~$\pi$. On aura +\[ +\Pow{\Abs{x+\tau}}{2} = \Pow{r}{2} + 2r\tau\,\cos\theta + \Pow{\tau}{2} + = \Pow{(r + \tau)}{2} - 4r\tau\, \Pow{\sin}{2}\smfrac{\theta}{2}, +\] +et, par suite, pour~$\tau>0$, en remarquant que $4r\tau\leqq\Pow{(r+\tau)}{2}$, +\[ +\Pow{\Abs{x+\tau}}{2}\geqq \Pow{(r+\tau)}{2}\, \Pow{\cos}{2}\smfrac{\theta}{2}. +\] + +Il en résulte, d'après~\Eref{IV}{II}{3}, que le module de~$J_k(x)$ est inférieur à +\[ +\frac{\Pow{\left( \fsec\smfrac{\theta}{2} \right)}{2k+2}}{2k+2} + \int^{\infty}_0 \frac{\Abs{\overline{P}_{2k+2}(\tau)}} + {\Pow{(r+\tau)}{2k+2}}\, d\tau + \equiv \Pow{\left(\fsec\smfrac{\theta}{2}\right)}{2k+2}\, \Abs{J_k(r)}, +\] +et, en tenant compte du résultat démontré ci-dessus, on trouve +donc finalement l'inégalité due à Stieltjes: +\[ +\Abs{J_k(r\, \Pow{e}{i\theta})} + < \Pow{\left(\fsec\smfrac{\theta}{2}\right)}{2k+2}\, \Abs{T_{k+1}}\qquad + (-\pi < \theta < \pi). +\EqnTag{IV}{II}{5} +\] + +On peut atteindre des résultats plus précis en partant de l'expression~\Eref{IV}{II}{2}, +ce que nous ferons voir aussi brièvement que possible. + +Lorsque $t$~croît de~$0$ à ~$\infty$, le point dont l'affixe est~$1+\smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}$, partant +du point~$1$, décrit une droite formant l'angle~$-2\theta$ avec l'axe +réel positif. On en conclut +% [** PP: Re-aligned first part of next display] +\[ +\begin{aligned} + \Abs{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}} &\geqq 1\phantom{\sin2\theta}\qquad\text{pour} \\[1ex] + \Abs{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}} &\geqq \Abs{\sin 2\theta}\qquad\text{pour} +\end{aligned} +\qquad +\begin{aligned} + \Abs{\theta} &\leqq \smfrac{\pi}{4},\vphantom{\bigg|} \\[1ex] + \smfrac{\pi}{4} \leqq \Abs{\theta} &< \smfrac{\pi}{2},\vphantom{\bigg|} +\end{aligned} +\] +et par suite, en utilisant l'égalité~\Eref{III}{II}{5} (\Pgref{p.}{eqn:III.II.5}), +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + &\Abs{J_k(r\,\Pow{e}{i\theta})} < \Abs{T_{k+1}}\; + \qquad\text{pour} \\[1ex] + &\Abs{J_k(r\,\Pow{e}{i\theta})} < \Abs{\smfrac{T_{k+1}}{\sin 2\theta}} + \qquad\text{pour} +\end{aligned} +\qquad +\begin{aligned} + \Abs{\theta} &\leqq \smfrac{\pi}{4}, \\[1ex] + \smfrac{\pi}{4} \leqq \Abs{\theta} &< \smfrac{\pi}{2}. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{IV}{II}{6} +\] + +Pour trouver une limite de~$J_k(x)$ dans le cas où $\Abs{\theta} \geqq \smfrac{\pi}{2}$, nous allons +nous servir de l'égalité +\[ +J'_k(x) = 2\frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\Pow{x}{2k+2}} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k+1}}{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}}\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\EqnTag{IV}{II}{7} +\] +%% -----File: 112.png---Folio 100------- +qu'on vérifie immédiatement en développant suivant les puissances +descendantes de~$x$ l'expression de la dérivée~$J'(x)$ qui figure dans +la dernière formule de la \Pgref{page}{page87}. En prenant pour chemin d'intégration, +dans l'intégrale ci-dessus, le rayon formant avec l'axe +réel positif un angle~$\psi$ compris entre $-\smfrac{\pi}{2}$ et~$\smfrac{\pi}{2}$, cette égalité sera +valable dans le demi-plan $\psi - \smfrac{\pi}{2} < \theta < \psi + \smfrac{\pi}{2}$, ce qu'on démontre +en raisonnant comme à la \Pgref{page}{page93}. + +Or, en faisant~$t = u\,\Pow{e}{i\psi}$, $x=r\,\Pow{e}{i\theta}$, on aura, pour~$u >0$, +\begin{align*} + \Abs{\Pow{e}{2\pi t} - 1} + &\geqq \Pow{e}{2\pi u\, \cos\psi} - 1, \\ + \Abs{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}} + &\geqq \Abs{\sin 2(\theta-\psi)}. +\end{align*} +d'où il résulte, d'après~\Eref{IV}{II}{7}, +\[ +\Abs{J'_k(x)} < \Abs{\frac{2}{\sin2(\theta-\psi)}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k+2}}} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{u}{2k+1}\, du}{\Pow{e}{2\pi u\, \cos\psi} - 1}. +\] + +En substituant $u\cos\psi =\nu$, on en déduit, d'après l'égalité~\Eref{III}{II}{5} +(\Pgref{p.}{eqn:III.II.5}), +\[ +\Abs{J'_k(x)} < K\, \frac{B_{k+1}}{2k+2}\,\Abs{\frac{1}{\Pow{x}{2k+2}}}, +\] +avec +\[ +K = \Abs{\frac{1}{\sin 2(\theta -\psi)\, \Pow{(\cos\psi)}{2k+2}}}, +\] +et, par suite, en intégrant~$J'_k(x)$ depuis l'infini jusqu'au point~$x$, le +long du rayon vecteur passant par ce point, +\[ +\Abs{J_k(r\,\Pow{e}{i\theta})} < K\, \Abs{T_{k+1}}, +\EqnTag{IV}{II}{8} +\] +résultat qui subsiste dès que les conditions $\Abs{\psi} < \smfrac{\pi}{2}$ et~$\Abs{\theta -\psi} < \smfrac{\pi}{2}$ +sont vérifiées simultanément. + +Si l'on fait, par exemple, $\psi = \theta \mp\smfrac{\pi}{4}$ suivant que~$\theta \gtrless 0$, on aura +\[ +K = \Pow{\Bigl[\fsec \bigl(\Abs{\theta} - \smfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr]}{2k+2}, +\] +et l'inégalité~\Eref{IV}{II}{8} sera valable pour $\Abs{\theta} < \smfrac{3}{4}\pi$. Jointe à la première +des inégalités~\Eref{IV}{II}{6}, elle nous donnera donc, pour~$\Abs{J_k}$, une limite +%% -----File: 113.png---Folio 101------- +qui est plus précise que celle de Stieltjes tant que $\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$, et qui +se confond avec cette dernière pour~$\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$. + +Mais afin d'obtenir le résultat le plus avantageux, pour un argument +donné~$\theta$, on devra évidemment choisir l'angle~$\psi$ de manière +à rendre minimum la constante $K$, ce qui donne la condition +\[ +\tang\psi\, \tang 2(\theta - \psi) = -\smfrac{1}{k+1}. +\] + +Soit, par exemple, $\Abs{\theta} = \smfrac{\pi}{2}$; on trouve +\[ +\Abs{\tang\psi} = \smfrac{1}{\sqrt{2k+3}}, +\] +d'où il résulte +\[ +K = \sqrt{\smfrac{k+2}{2}} + \Powfr{\left(1 + \smfrac{1}{2k+3}\right)}{\fnfrac{2k+3}{2}}, +\] +et, comme le second facteur de cette expression est inférieur à ~$\sqrt{e}$, +on aura, pour~$\theta = \pm\smfrac{\pi}{2}$, +\[ +\Abs{J_k(x)} < \sqrt{\smfrac{(k+2)e}{2}}\, \Abs{T_{k+1}}, +\] +limite bien plus précise que celle de Stieltjes, qui s'écrit~$\Pow{2}{k+1}\Abs{T_{k+1}}$. + +La limite que fournit notre méthode pour~$\Abs{J_k}$ devient moins +précise que celle de Stieltjes lorsque~$\Abs{\theta}$ dépasse une certaine +valeur, supérieure à ~$\smfrac{\pi}{2}$. Mais il faut remarquer que, dès que +$\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$, l'égalité~\Eref{IV}{I}{10} (\Pgref{p.}{eqn:IV.I.10}) conduira, en général, à des résultats +plus précis que l'une quelconque de ces méthodes. En effet, l'intégrale~$J(x)$ +sera toujours représentée par le développement~\Eref{IV}{II}{1}, et, +comme~$J_k(x) \equiv -J_k(-x)$ et que l'argument de~$-x$ est compris +entre $-\smfrac{\pi}{2}$ et~$\smfrac{\pi}{2}$, on pourra appliquer à ~$J_k(x)$ les résultats obtenus +ci-dessus dans le cas où $\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$. Quant au dernier terme de +l'égalité~\Eref{IV}{I}{10}, son module est inférieur à +\[ +\Abs{\log(1 - \Pow{e}{-2\pi r\, \Abs{\sin\theta}})}, +\] +quantité qui sera en général très petite par rapport à la limite +%% -----File: 114.png---Folio 102------- +qu'on trouve pour~$\Abs{J_k}$. Il n'en serait plus ainsi si le point~$x$ était +très près de l'axe réel négatif, mais alors on prendrait évidemment +le parti de calculer la valeur exacte du terme en question. + + +\Section{IV}{III}{Les fonctions $\zeta(s)$ et~$\zeta(s, w)$.} + +\Paragraph{49.} La fonction~$\zeta(s)$ est représentée par la série +\[ +\zeta(s) = 1 + \frac{1}{\Pow{2}{s}} + + \frac{1}{\Pow{3}{s}} + \dotsb + + \frac{1}{\Pow{n}{s}} + \dotsb, +\EqnTag{IV}{III}{1} +\] +tant que la partie réelle de la variable complexe +\[ +s \equiv \xi + i\eta +\] +est supérieure à l'unité. Sous la même condition, on aura encore +\[ +\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{s-1}\, dx}{\Pow{e}{x} - 1}, +\EqnTag{IV}{III}{2} +\] +ce qu'on démontre facilement en se servant de l'égalité +\[ +\frac{1}{\Pow{\nu}{s}} + = \frac{1}{\Gamma(s)} \int^{\infty}_0 \Pow{e}{-\nu x}\, \Pow{x}{s-1}\, dx +\] + +C'est en partant de l'expression~\Eref{IV}{III}{2} que Riemann\footnotemark\ est arrivé, +par une application ingénieuse du calcul des résidus, à prolonger~$\zeta(s)$ +dans tout le plan et à découvrir les propriétés si intéressantes +de cette fonction. Nous allons déduire ces mêmes propriétés des +formules sommatoires du Chapitre précédent. +\footnotetext{\textit{Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze},~1859.} +% [** End of footnote] + +A cet effet, posons $f(z) = \Pow{z}{-s}$, d'où +\begin{align*} + p(\tau,t) &= \phantom{-}\Powfr{(\Pow{\tau}{2} + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \cos\left(s \arc\tang \smfrac{t}{\tau}\right), \\[1ex] + q(\tau,t) &= -\Powfr{(\Pow{\tau}{2} + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin\left(s \arc\tang \smfrac{t}{\tau}\right). +\end{align*} + +Les trois dernières conditions de la \Pgref{page}{page57b} sont vérifiées dans +le demi-plan~$\tau> 0$; en supposant $\xi > 1$, de sorte que la série~\Eref{IV}{III}{1} +%% -----File: 115.png---Folio 103------- +converge, et en faisant~$m = 1$, on trouvera donc, d'après la +formule~\Eref{III}{I}{IV}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IV}, +\[ +\zeta(s) = \frac{1}{2} + \frac{1}{s-1} + + 2\int^{\infty}_0 \Powfr{(1 + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin(s \arc\tang t)\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\EqnTag{IV}{III}{3} +\] +et, d'après la formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, pour~$\alpha = \smfrac{1}{2}$, +\[ +\zeta(s) = \frac{\Pow{2}{s-1}}{s-1} + - 2\int^{\infty}_0 \Powfr{\Bigl(\smfrac{1}{4} + \Pow{t}{2}\Bigr)} + {-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin(s \arc\tang 2t)\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} + 1}. +\EqnTag{IV}{III}{4} +\] + +Une autre expression de~$\zeta(s)$ se déduit de la formule~\Eref{III}{I}{VIII}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.VIII}. En faisant $\alpha = \smfrac{1}{2}$, $z=\smfrac{1}{2} + it$, on trouve +\[ +\zeta(s) = \frac{4\pi}{s-1} + \int^{\infty}_0 \Powfr{\Bigl(\smfrac{1}{4} + \Pow{t}{2}\Bigr)} + {\fnfrac{1-s}{2}}\, + \frac{\cos\bigl[(s-1) \arc\tang 2t\bigr]} + {\Pow{(\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t})}{2}}\, dt. +\EqnTag{IV}{III}{5} +\] + +Les trois expressions ci-dessus ont été données pour la première +fois par M.~Jensen\footnotemark. +\footnotetext{\textit{L'Intermédiaire des Mathématiciens}, 1895, p.~346.} + +En partant de la relation +\[ +\left(1 - \smfrac{1}{\Pow{2}{s-1}}\right)\, \zeta(s) + = 1 - \frac{1}{\Pow{2}{s}} + + \frac{1}{\Pow{3}{s}} + - \frac{1}{\Pow{4}{s}} + \dotsb +\] +et en appliquant la formule~\Eref{III}{I}{X}, \Pgref{page}{eqn:III.I.X}, avec~$m = 1$, $\alpha = \smfrac{1}{2}$, on +trouverait encore +\[ +\zeta(s) = \frac{\Pow{2}{s}}{\Pow{2}{s-1} - 1} + \int^{\infty}_0 \Powfr{\Bigl(\smfrac{1}{4} + \Pow{t}{2}\Bigr)} + {-\fnfrac{s}{2}}\, + \frac{\cos(s \arc\tang 2t)}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}\, dt. +\EqnTag{IV}{III}{6} +\] + +Il est facile de voir que les intégrales définies figurant dans les +expressions précédentes représentent des fonctions analytiques, +holomorphes pour toute valeur finie de~$s$; d'après le principe +établi au \no\Sref{9}, on peut en conclure que l'une quelconque de ces +expressions donne le prolongement analytique de~$\zeta(s)$ dans tout +le plan. Il en résulte que~$\zeta(s)$ est une fonction uniforme dont le +seul point singulier à distance finie est le pôle simple $s = 1$ de +résidu~$1$. + +%% -----File: 116.png---Folio 104------- + +D'autre part, on déduit de l'égalité~\Eref{IV}{III}{3}, pour $s = 0$, +\[ +\zeta(0) = -\smfrac{1}{2}, +\] +puis, en retranchant des deux membres~$\smfrac{1}{s-1}$, faisant ensuite +tendre~$s$ vers l'unité, et tenant compte de l'égalité~\Eref{III}{II}{3}, \Pgref{page}{eqn:III.II.3}, +\[ +\lim_{s=1} \left[\zeta(s) - \frac{1}{s-1}\right] = \smfrac{1}{2} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{1 + \Pow{t}{2}}\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} = C, +\] +et enfin, en différentiant par rapport à ~$s$, faisant~$s = 0$ et utilisant +l'égalité~\Eref{III}{II}{2}, \Pgref{page}{eqn:III.II.2}, +\[ +\zeta'(0) = 2\int^{\infty}_0 \arc\tang t\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t}-1} - 1 + = -\log\sqrt{2\pi}. +\] + +\Pagelabel{page104}% +\Paragraph{50.} En appliquant maintenant la formule~\Eref{III}{I}{II}, \Pgref{page}{eqn:III.I.II}, avec~$m = 1$, +$0<\alpha <1$, on obtient +\[ +\zeta(s) = \frac{\Pow{\alpha}{1-s}}{s-1} + + \int^{\alpha + i\infty}_{\alpha} \frac{\Pow{z}{-s}\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + + \int^{\alpha - i\infty}_{\alpha} \frac{\Pow{z}{-s}\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, +\EqnTag{IV}{III}{7} +\] +expression qui représente encore~$\zeta(s)$ dans tout le plan. + +Faisons tendre~$\alpha$ vers \textit{zéro} et, pour éviter toute difficulté, +supposons $\xi <-1$, de sorte que les expressions sous les signes +intégraux restent finies à l'origine. Le premier terme de l'expression +ci-dessus s'annulera et, dans les deux autres termes, on aura +simplement à remplacer $\alpha$ par~$0$. En substituant respectivement +dans ces derniers termes $z = \Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{2}}t$ et~$z=\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{2}}t$, l'égalité~\Eref{IV}{III}{7} devient, +après une réduction facile, +\[ +\zeta(s) = 2\sin\smfrac{\pi s}{2} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{-s}\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\EqnTag{IV}{III}{8} +\] + +Comme le second membre de cette égalité représente une fonction +holomorphe pour $\xi < 0$, l'égalité subsistera dans toute cette +portion du plan, malgré l'hypothèse plus restreinte, $\xi < -1$, +admise dans le cours de la démonstration. + +L'égalité~\Eref{IV}{III}{8} nous montre que~$\zeta(s)$ admet les points $s=-2,~-4, \dotsc$, $-2n,~\dotsc$ +comme zéros du premier ordre, et, d'après +%% -----File: 117.png---Folio 105------- +l'égalité~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, on en déduit d'autre part +\[ +\zeta[-(2n-1)] = \Pow{(-1)}{n}\, \frac{B_n}{2n}; +\EqnTag{IV}{III}{9} +\] +enfin, en substituant~$2\pi t = x$, l'égalité~\Eref{IV}{III}{8} devient +\[ +\zeta(s) = 2\Pow{(2\pi)}{s-1}\, \sin\frac{\pi s}{2} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{-s}\, dx}{\Pow{e}{x} - 1}, +\EqnTag{IV}{III}{10} +\] +d'où il résulte, par comparaison avec l'égalité~\Eref{IV}{III}{2}, +\[ +\zeta(s) = 2\Pow{(2\pi)}{s-1}\, \sin\frac{\pi s}{2}\, \Gamma(1-s)\,\zeta(1-s). +\EqnTag{IV}{III}{11} +\] +C'est l'équation fonctionnelle établie par Riemann, qui joue un +rôle fondamental dans la théorie de la fonction~$\zeta(s)$. + +La formule sommatoire d'Euler et les autres formules établies +aux \nos\Sref{39}--\Sref{41} conduisent également à des résultats importants +relatifs à l'étude asymptotique de la fonction~$\zeta(s)$ et au calcul +numérique de ses zéros, mais nous ne pouvons nous étendre ici +sur cette intéressante question\footnotemark. +\footnotetext{\text{Voir} pour cette question: \bsc{Mellin}, \textit{Eine Formel für den Logarithmus +transcendenter Funktionen von endlichem Geschlecht} (\textit{Acta Soc.\ Sc.\ Fenn.,}\ +t.~XXIX, \no4, p.~48--49); \bsc{Gramm}, \textit{Note sur les zéros de la fonction~$\zeta(s)$ de Riemann} +(\textit{Acta Mathematica}, t.~XXVII); \bsc{Wirtinger}, \textit{Einige Anwendungen der +Euler-Maclaurin'schen Summenformel} (\textit{ibid}.,\ t.~XXVI), et notre Mémoire +cité au \no\Sref{35}.} +% [** End of footnote] + +\Paragraph{51.} Considérons maintenant la fonction +\[ +\zeta(s,w) = \frac{1}{\Pow{w}{s}} + + \frac{1}{\Pow{(w+1)}{s}} + + \frac{1}{\Pow{(w+2)}{s}} + \dotsb, +\] +qui se réduit à ~$\zeta(s)$ pour~$w = 1$. Nous devons substituer dans nos +formules générales +\[ +f(z) = \Pow{(z+w)}{-s}, +\] +d'où +\begin{align*} + p(\tau,t) + &= \phantom{-} + \Powfr{\bigl[\Pow{(\tau + w)}{2} + \Pow{t}{2}\bigr]}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \cos\left(s \arc\tang\smfrac{t}{\tau + w}\right), +\\[1ex] + q(\tau,t) + &= -\Powfr{\bigl[\Pow{(\tau + w)}{2} + \Pow{t}{2}\bigr]}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin\left(s \arc\tang\smfrac{t}{\tau + w}\right). +\end{align*} + +Si l'on suppose la partie réelle de $w$ positive, la formule~\Eref{III}{I}{IV}, +%% -----File: 118.png---Folio 106------- +\Pgref{page}{eqn:III.I.IV}, sera applicable et nous donnera\footnotemark +\footnotetext{Cette application de la formule~\Eref{III}{I}{IV} a été indiquée par Hermite (\textit{Annali +di Matematica pura ed applicata}, 3\ieme{}~série, t.~V, 1900).} +\[ +\zeta(s,w) = \frac{\Pow{w}{1-s}}{s-1} + \frac{\Pow{w}{-s}}{2} + + 2\int^{\infty}_0 \Powfr{(\Pow{w}{2} + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin\left(s \arc\tang\smfrac{t}{w}\right)\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +expression valable dans tout le plan et qui montre que~$\zeta(s,w)$ est +une fonction uniforme admettant pour seule singularité à distance +finie le pôle~$s= 1$ de résidu~$1$. On en conclut, d'autre part, +pour~$s=0$, +\[ +\zeta(0,w) = \smfrac{1}{2} - w, +\] +puis, en retranchant~$\smfrac{1}{s-1}$ et en faisant tendre~$s$ vers l'unité, +\[ +\lim_{s=1} \left[\zeta(s,w) - \smfrac{1}{s-1}\right] + = -\log w + \smfrac{1}{2w} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{w}{2} + \Pow{t}{2}}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +et enfin, en différentiant par rapport à ~$s$ et faisant ensuite~$s = 0$, +\[ +\zeta'_s(0,w) = \left(w - \smfrac{1}{2}\right) \log w - w + + 2\int^{\infty}_0 \arc\tang\frac{t}{w}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\] + +En vertu des égalités \Eref{IV}{I}{7} et~\Eref{IV}{I}{6}, \Pgref{page}{eqn:IV.I.6}, ces deux dernières +expressions se réduisent respectivement à +\[ +-\frac{\Gamma'(w)}{\Gamma(w)}\qquad\text{et à }\qquad +\log\Gamma(w) - \log\sqrt{2\pi}. +\] + +Ces propriétés de~$\zeta(s, w)$ ont été établies par M.~Lerch en suivant +une autre voie. Pour~$w = 1$, elles se réduisent aux propriétés +de la fonction~$\zeta(s)$ signalées au \no\Sref{49}. + +Appliquons maintenant la formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, avec~$m = 0$, +$-1 < \alpha < 0$, et supposons la partie réelle de~$w$ supérieure à ~$-\alpha$, +de sorte que la fonction~$f(z)$ soit holomorphe pour~$\tau\geqq\alpha$. On aura +\[ +\zeta(s,w) = \frac{\Pow{(w + \alpha)}{1-s}}{s-1} + - 2 \int^{\infty}_0 \bigl[p(\alpha,t)\, X(\alpha,t) + + q(\alpha,t)\, \Psi(\alpha,t)\bigr]\, dt, +\] +expression valable pour toutes les valeurs de~$s$. Lorsque la quantité~$w$ +est réelle et comprise entre $0$ et~$1$, on en déduit, en faisant +%% -----File: 119.png---Folio 107------- +tendre~$\alpha$ vers~$-w$, et en supposant d'ailleurs la partie réelle +de $s$~négative, de sorte que l'expression sous le signe intégral reste +finie pour~$t = 0$, +\[ +\zeta(s,w) = 2\sin\smfrac{\pi s}{2} + \int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\,\Psi(w,t)\, dt + + 2\cos\smfrac{\pi s}{2} \int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\, X(w,t)\, dt. +\] + +On constate aisément que le second membre de cette égalité +définit une fonction holomorphe de~$s$ tant que la partie réelle de +cette variable est inférieure à ~$1$, et que, pour une valeur donnée~$s$ +vérifiant cette condition, la même expression définit une fonction +analytique de~$w$ qui est holomorphe dans la bande comprise entre +l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point~$w=1$. +Donc, d'après le principe établi au \no\Sref{9}, l'égalité en question a +lieu tant que $s$ et~$w$ restent dans les domaines indiqués. + +En égalant~$s$ à un entier négatif,~$-\nu$, on déduit de la formule +précédente, à l'aide des égalités~\Eref{III}{I}{6}, \Pgref{page}{eqn:III.I.6}, +\[ +\zeta(-\nu,w) = -\frac{\varphi_{\nu+1}(w)}{\nu+1}. +\] + +D'autre part, en supposant $0 < w < 1$ et en substituant aux +expressions $\Psi(w, t)$, $X(w, t)$ les développements indiqués dans +la note de la \Pgref{page}{eqn:III.I.6}, on conclut +\[ +\zeta(s,w) = 2\Gamma(1-s) \left[ + \sin\smfrac{\pi s}{2} + \sum^{\infty}_1 \frac{\cos 2\nu\pi w}{\Pow{(2\nu\pi)}{1-s}} ++ \cos\smfrac{\pi s}{2} + \sum^{\infty}_1 \frac{\sin 2\nu\pi w}{\Pow{(2\nu\pi)}{1-s}} +\right], +\] +résultat dû à M.~Hurwitz\footnotemark. En faisant~$w = 1$, on retombe sur la formule~\Eref{IV}{III}{11}. +\footnotetext{\textit{Zeitschrift für Mathematik und Physik}, t.~XXVII, 1882.} + +\bigTbreak + +%% -----File: 120.png---Folio 108------- + + +% [*** Chapter V] +% [** PP: ``A L'ÉTUDE'' -> ``À L'ÉTUDE''] +\cleardoublepage +\Chapter{V}{APPLICATIONS AU PROLONGEMENT ANALYTIQUE \\ +ET À L'ÉTUDE ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS DÉFINIES \\ +PAR UN DÉVELOPPEMENT DE TAYLOR.} +\fancyhead[CO]{\small{\textsc{\MakeLowercase{PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAYLOR.}}}} + +\Section{V}{I}{Deux théorèmes généraux.} + +\Paragraph{52.} Étant donnée une série de Taylor de la forme +\[ +F(x) = \varphi(0) +\varphi(1)x + \dotsb +\varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + \dotsb, +\EqnTag{V}{I}{1} +\] +où~$\varphi$ est une fonction analytique de son argument, on peut se proposer +d'\textit{étudier les propriétés de la fonction~$F(x)$, connaissant +celles de la fonction~$\varphi$}. + +Nous donnerons dans ce Chapitre un exposé succinct de certains +résultats généraux et riches en conséquences relatifs à cette +question, en y ajoutant d'ailleurs quelques applications nouvelles. +Le peu d'espace dont nous disposons nous obligera cependant à +laisser de côté bien des recherches intéressantes, pour lesquelles +nous renverrons aux Mémoires originaux. + +Pour la bibliographie, on consultera le beau petit livre de +M.~\bsc{Hadamard}, \textit{La série de Taylor et son prolongement analytique} +(\textit{Scientia}). Nous nous bornerons à citer ici, comme ayant +un rapport direct au problème qui nous occupe, les remarquables +travaux de M.~\bsc{Mellin}\footnotemark, +\footnotetext{Voici les titres des Mémoires de M.~Mellin ayant rapport au sujet qui nous +occupe: + +\textit{Ueber die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma- und der hypergeometrischen Functionen (Acta Societatis +Scientiarum Fennicæ}, t.~XX, \no12, 1895); + +\textit{Zur Theorie zweier allgemeinen Klassen bestimmter Integrale} (\textit{ibid}.,\ t.~XXII, +\no2, 1896); + +\textit{Ueber eine Verallgemeinerung der Riemann'schen Funktion~$\zeta(s)$} (\textit{ibid}.,\ +t.~XXIV, \no10, 1899); + +\textit{Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen von endlichem +Geschlecht} (\textit{ibid}.,\ t.~XXIX, \no4, 1900). + +\textit{Die Dirichlet'schen Reihen, die Zahlentheoretischen Funktionen und die +unendlichen Produkte von endlichem Geschlecht} (\textit{ibid}.,\ t.~XXXI, \no2, 1902). + +\textit{Voir} aussi \textit{Acta Mathematica}, Tomes XXV et~XXVIII.} +% [** End of footnote, still mid-sentence] +% +le grand Mémoire de M.~\bsc{Le~Roy}, \textit{Sur +les séries divergentes et les fonctions définies par un +%% -----File: 121.png---Folio 109------- +développement de Taylor}\footnotemark, +\footnotetext{\textit{Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse}, 2\ieme{}~série, t.~II, 1900.} +% [** End of footnote] +notre Mémoire cité au \no\Sref{35}, et une +Note récente de M.~\bsc{Walter--B\@. Ford}\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Journal de Mathématiques}, 1903.} + +\Paragraph{53.} Nous commençons par démontrer le théorème suivant, +établi par M. Le~Roy, sous une forme moins générale, mais ayant +une connexion étroite avec les résultats obtenus antérieurement +par M. Mellin: + +\textit{Soit une fonction analytique~$\varphi(z)$ de la variable $z \equiv \tau + it$ +qui vérifie les deux conditions suivantes:} +\smallskip + +\Pagelabel{page109}% +\primo~\textit{$\varphi(z)$~est holomorphe dans un certain demi-plan $\tau\geqq \alpha$}; + +\secundo~\textit{Il existe un nombre~$\vartheta$ inférieur à ~$\pi$ et tel que, $\eps$~désignant +un nombre positif aussi petit qu'on voudra, on ait +\[ +\Abs{\varphi(\alpha + \rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{(\vartheta+\eps)\rho} + \qquad\text{pour}\qquad -\smfrac{\pi}{2} \leqq\psi\leqq \smfrac{\pi}{2}, +\] +dès que~$\rho$ dépassera une certaine limite finie\footnotemark}. +\footnotetext{Il résulte de cette hypothèse que le rayon de convergence de la série~\Eref{V}{I}{1} +est au moins égal à ~$\Pow{e}{-\vartheta}$.} +% [** End of footnote] + +\textit{Dans ces conditions, on peut affirmer que la fonction~$F(x)$ +de la variable~$x \equiv r\,\Pow{e}{i\theta}$ qui est définie par la série~\Eref{V}{I}{1}, est holomorphe +pour tout point~$x$ intérieur à l'angle} +\[ +\vartheta < 0 < 2\pi - \vartheta. +\EqnTag{V}{I}{2} +\] + +\textit{En particulier, si la condition~\emph{\secundo} est remplie pour~$\vartheta=0$, la +fonction~$F(x)$ sera holomorphe dans tout le plan, sauf peut-être +sur le segment $\Segment{1}{+\infty}$ de l'axe réel}. +\smallskip + +Pour démontrer ce théorème, nous pourrions nous servir des +%% -----File: 122.png---Folio 110------- +formules établies au Chapitre~\ref{chapter:III}, mais nous préférons reprendre +la question dès le début par une méthode légèrement modifiée. + +Observons d'abord que, si les conditions ci-dessus sont vérifiées +pour une valeur donnée de~$\alpha$, elles le seront également pour toute +valeur~$\alpha$ supérieure à la première. On peut donc supposer que~$\alpha$ +n'est pas entier et écrire $m-1 < \alpha < m$, $m$~étant un entier. + +Cela posé, le théorème général des résidus nous donne +\[ +\sum^n_m \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} = \int_S \Phi(x,z)\, dz, +\EqnTag{V}{I}{3} +\] +en désignant par~$S$ le contour qui se compose de la moitié~$C_R$ du +cercle $\Abs{z-\alpha} = R \equiv n + \smfrac{1}{2} - \alpha$ comprise dans le demi-plan $\tau >\alpha$ +et du diamètre de~$C_R$, et en posant +\[ +\Phi(x,z) = \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{2}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}. +\] + +Nous allons voir que, pour les valeurs~$x$ situées sur un certain +segment $\Segment{-r_0}{0}$ de l'axe réel négatif, l'intégrale relative au +demi-cercle~$C_R$ s'annule lorsqu'on fait tendre~$n$ et, par suite,~$R$ vers +l'infini. En effet, en posant +\[ +z = \alpha + R\,\Pow{e}{i\psi},\qquad x = r\,\Pow{e}{i\pi} \equiv -r, +\] +on aura +\[ +\Phi(x,z) = \frac{\varphi(\alpha + R\,\Pow{e}{i\psi})} + {\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}\, \Pow{r}{z}. +\] +Or la condition~\secundo donne, à partir d'une certaine valeur de~$R$, +\[ +\Abs{\varphi(\alpha + R\,\Pow{e}{i\psi})\, \Pow{r}{z}} + < \Pow{r}{\alpha} \Powfr{e}{-R\left(\log\fnfrac{1}{r}\cos\psi-\vartheta-\eps\right)}, +\] +et, d'autre part, on aura sur~$C_R$ (\textit{voir} la note de la \Pgref{page}{page32}) +\[ +\Abs{\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}} < k'\qquad\text{pour}\qquad + \Abs{\psi} \leqq \smfrac{\pi}{2}, +\] +et, en désignant par~$\psi_0$ un angle compris entre $0$ et~$\smfrac{\pi}{2}$, +\[ +\Abs{\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}} + < k''\, \Pow{e}{-\pi\, \Abs{\sin\psi} R}\qquad\text{pour}\qquad + \psi_0 \leqq \Abs{\psi} \leqq \smfrac{\pi}{2}, +\] +$k'$ et~$k''$ étant des quantités indépendantes de~$R$. + +%% -----File: 123.png---Folio 111------- + +En somme, lorsque~$r<1$, on aura sur~$C_R$ les inégalités suivantes: +\begin{align*} +&&&& \Abs{\Phi(x,z)} + &< k'\, \Pow{r}{\alpha}\, + \Powfr{e}{-R\left(\log\fnfrac{1}{r}\,\cos\psi_0 - \vartheta - \eps\right)} + && \quad \text{pour} & \Abs{\psi} &\leqq\psi_{0}, &&&& \\[1ex] +&&&& \Abs{\Phi(x,z)} + &< k''\, \Pow{r}{\alpha}\, + \Pow{e}{-R\left(\pi\sin\psi_0 - \vartheta - \eps\right)} + && \quad \text{pour} & \psi_0 \leqq \Abs{\psi} &\leqq \smfrac{\pi}{2}. &&&& +\end{align*} + +Fixons maintenant l'angle~$\psi_0$ par la condition $\pi\sin\psi_0 = \vartheta'$, où +$\vartheta<\vartheta'<\pi$, puis déterminons~$r_0$ de sorte que $\log\smfrac{1}{r_0}\,\cos\psi_0 = \vartheta'$. +Tant que $r\leqq r_0$, on aura pour tout point de~$C_R$ +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} < k\,\Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{-(\vartheta' - \vartheta - \eps)R}, +\] +$k$~désignant la plus grande des quantités $k'$ et~$k''$; par suite, en +faisant tendre~$R$ vers l'infini et en supposant $-r_0<x<0$, l'intégrale +$\dint\Phi(x,z)\,dz$ prise le long de~$C_R$ tendra effectivement vers +zéro, comme nous l'avions dit, de sorte que l'égalité~\Eref{V}{I}{3} deviendra +\[ +\sum_{m}^{\infty} \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + = -\int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty} \Phi(x,z)\, dz + \equiv -\int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty} + \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz. +\EqnTag{V}{I}{4} +\] + +\Paragraph{54.} Nous allons maintenant démontrer que le second membre de +cette formule définit une fonction holomorphe de~$x$ dans l'angle~\Eref{V}{I}{2}. + +A cet effet, posons +\[ +z = \alpha+it\qquad \text{et}\qquad x = r\,\Pow{e}{i(\pi+\theta_1)}, +\] +de sorte que $\theta_1 \equiv \theta-\pi$ représente l'argument du point $x$ compté +à partir de l'axe réel \emph{négatif}; on aura +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} = \Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{-\theta_1 t} + \Abs{\frac{\varphi(\alpha+it)} + {\Pow{e}{\pi i\alpha - \pi t} - \Pow{e}{-\pi i\alpha + \pi t}}}, +\EqnTag{V}{I}{5} +\] +d'où il résulte, en vertu de l'hypothèse~\secundo (\textit{voir} la note \Pgref{page}{page49fn}), +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} + < \Pow{r}{\alpha}\,\Pow{e}{-[\pi - \vartheta \pm \theta_1 + \eps(t)]\, \Abs{t}}. +\] +Dans le second membre de cette inégalité, on doit lire $+\theta_1$ ou~$-\theta_1$, +suivant que~$t$ est positif ou négatif. + +Supposons maintenant le point~$x$ intérieur au domaine +\[ +r>0,\quad \vartheta + \sigma < \theta < 2\pi - \vartheta - \sigma + \quad (\text{d'où}\quad \Abs{\theta_1} < \pi - \vartheta - \sigma), +\EqnTag{V}{I}{6} +\] +$\sigma$~étant une quantité positive aussi petite qu'on voudra, et +%% -----File: 124.png---Folio 112------- +désignons par~$\eta$ un nombre positif inférieur à ~$\sigma$. On aura, dès que~$\Abs{t}$ +dépassera une certaine valeur~$T$, $\pi-\vartheta\pm\theta_1+\eps(t)>\eta$, d'où +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} < \Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{-\eta\Abs{t}}\qquad\text{pour}\qquad + \Abs{t} >T. +\EqnTag{V}{I}{7} +\] + +On peut conclure de cette inégalité que le second membre de~\Eref{V}{I}{4} +définit une fonction holomorphe de~$x$ dans le domaine~\Eref{V}{I}{6}. Pour le +faire nettement voir, écrivons +\[ +-\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} \Phi(x,z)\, dz + = -\sum^{+\infty}_{-\infty} + \int^{\alpha+i(\nu+1)}_{\alpha+i\nu}\Phi(x,z)\, dz. +\] + +\Pagelabel{page112}% +En développant, dans l'expression~$\Phi(x,z)$, $\Pow{x}{z} \equiv \Pow{e}{z\log x}$ en série, +on voit d'abord que chaque terme du second membre est une +fonction entière de~$\log x$ et qu'il est, par suite, holomorphe dans +le domaine~\Eref{V}{I}{6}. D'autre part, il résulte de l'inégalité~\Eref{V}{I}{7} que la +série ci-dessus est uniformément convergente dans toute portion +finie du domaine en question. Pour arriver à la conclusion voulue, +nous n'avons dès lors qu'à recourir au théorème établi au \no\Sref{10}, +qui nous montre en même temps que les dérivées de la fonction +considérée sont représentées, dans le domaine~\Eref{V}{I}{6}, par les expressions +qu'on obtient en différentiant sous le signe intégral\footnotemark. +\footnotetext{Cette méthode de démonstration, qui permet d'éviter des calculs parfois +épineux et presque toujours peu élégants, avait déjà été mise en usage par d'autres +auteurs, notamment par M.~Mellin.} +% [** End of footnote] + +Le résultat qui précède restant vrai quelque petit que soit~$\sigma$, il +est donc démontré que le second membre de l'égalité~\Eref{V}{I}{4} définit +une fonction holomorphe à l'intérieur de l'angle~\Eref{V}{I}{2}, et comme +l'égalité en question a lieu sur le segment $-r_0<x<0$ qui est +intérieur à l'angle~\Eref{V}{I}{2}, cette fonction donnera le prolongement +analytique de la série~\Eref{V}{I}{4}, en vertu du principe établi au \no\Sref{9}. + +Or on a d'après l'égalité~\Eref{V}{I}{4}, si $m$~est positif, +\[ +F(x) = \sum^{m-1}_0 \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + - \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} + \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz + \qquad(m-1 < \alpha < m), +\EqnTag{V}{I}{8} +\] +et, pour $m$~négatif, en posant~$m=-k$, +\[ +F(x) = -\sum^k_1 \frac{\varphi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} + -\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} + \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz + \qquad\bigl[-(k+1) < \alpha < -k\bigr], +\EqnTag{V}{I}{9} +\] +%% -----File: 125.png---Folio 113------- +tandis que, lorsque~$m=0$, la série~\Eref{V}{I}{4} se confond avec~$F(x)$. +Donc, dans tous les cas, la fonction~$F(x)$ sera holomorphe à l'intérieur +de l'angle~\Eref{V}{I}{2}, et notre théorème se trouve ainsi démontré\footnotemark. +\footnotetext{Si $m$~est positif, on suppose que $\varphi(z)$~prend des valeurs finies pour $z = 0,~1, \dotsc,~m-1$.} + +\Paragraph{55.} Les considérations qui précèdent conduisent encore à des +conséquences intéressantes relatives aux propriétés asymptotiques +de~$F(x)$. On en déduit, en effet, ce théorème important: + +\Theorem{V.I.1}{Sous les conditions énoncées \Pgref{page}{page109}, la fonction définie +par la série~\Eref{V}{I}{1} et qui, d'après le théorème du \no\Sref{53}, est holomorphe +dans le domaine~\Eref{V}{I}{2}, peut se mettre sous l'une ou +l'autre des formes suivantes: +\begin{gather*} + F(x) = \Pow{x}{\alpha}\, \eps(x)\qquad\text{si}\qquad \alpha > -1, + \EqnTag{V}{I}{10} \\ +% + F(x) = -\sum^k_1 \frac{\varphi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} + + \Pow{x}{\alpha}\, \eps(x) + \qquad\text{si}\qquad - (k+1) < \alpha \leqq -k, + \EqnTag{V}{I}{11} +\end{gather*} +$\eps(x)$~désignant une fonction qui tend uniformément vers zéro +lorsque~$x$ tend vers l'infini dans l'angle +\[ +\vartheta + \sigma \leqq \theta \leqq 2\pi - \vartheta - \sigma, +\EqnTag{V}{I}{12} +\] +et cela quelque petite que soit la quantité positive~$\sigma$.} + +Il résulte immédiatement des relations \Eref{V}{I}{5} et~\Eref{V}{I}{7} que le module +du produit +\[ +\Pow{x}{-\alpha}\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} \Phi(x,z)\, dz +\EqnTag{V}{I}{13} +\] +reste au-dessous d'une limite finie dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}, et l'on +en conclut, d'après les égalités \Eref{V}{I}{8} et~\Eref{V}{I}{9}, que la fonction~$F(x)$, +lorsque~$\alpha$ n'est pas un entier, pourra se mettre sous l'une ou l'autre +des formes \Eref{V}{I}{10} et~\Eref{V}{I}{11}, où \textit{le module de~$\eps(x)$ reste inférieur à +une quantité finie dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}}, si l'on exclut le voisinage +de l'origine. + +Cette forme moins précise du théorème suffit dans bien des +recherches; on en trouve des applications importantes dans les +Mémoires de M.~Mellin, cités plus haut. + +%% -----File: 126.png---Folio 114------- + +Si l'on veut démontrer que~$\eps(x)$ tend effectivement vers zéro +avec~$\smfrac{1}{x}$ dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}, des considérations plus délicates +deviennent nécessaires. Admettons d'abord que \textit{le nombre~$\alpha$ n'est +pas entier}. Il s'agit de démontrer que, $\eps$~étant fixé aussi petit qu'on +le voudra, on pourra trouver une quantité~$R$ telle que le module +de l'expression~\Eref{V}{I}{13} reste inférieur à ~$\eps$ pour +\[ +\vartheta + \sigma \leqq \theta \leqq 2\pi - \vartheta - \sigma,\qquad r > R. +\EqnTag{V}{I}{14} +\] + +En vertu de l'inégalité~\Eref{V}{I}{7}, il est d'abord possible de déterminer +le nombre~$t'$ de telle sorte que l'on ait +\[ +\Pow{r}{-\alpha}\, \Abs{\,\int^{\alpha-it'}_{\alpha-i\infty} \Phi(x,z)\, dz + + \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha+it'} \Phi(x,z)\, dz} < \smfrac{\eps}{2} +\] +pour tout point du domaine~\Eref{V}{I}{12}. Il reste donc à montrer qu'on +peut choisir $R$ de manière que l'on ait, dans le domaine~\Eref{V}{I}{14}, +\[ +\Abs{\, \Pow{x}{-\alpha}\int^{\alpha+it'}_{\alpha-it'} \Phi(x,z)\, dz} + < \smfrac{\eps}{2}. +\EqnTag{V}{I}{15} +\] + +En posant $z = \alpha + it$, $x = r\,\Pow{e}{i\theta}$, on aura +\[ +\Pow{x}{-\alpha}\, \Phi(x,z) + = \Pow{e}{-\theta t} \bigl[A(t) + iB(t)\bigr]\, + \bigl[\cos(t\log r) + i\sin(t\log r)\bigr], +\EqnTag{V}{I}{16} +\] +$A$, $B$ étant des fonctions réelles de~$t$ qui sont holomorphes pour +toute valeur réelle de cette variable. + +Considérons, par exemple, l'intégrale +\[ +\int^{t'}_{-t'} \Pow{e}{-\theta t}\, A(t)\sin(t\log r)\, dt. +\EqnTag{V}{I}{17} +\] +Je dis d'abord que \textit{le nombre des intervalles alternatifs de croissance +et de décroissance que présente l'expression $\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)}$ +entre les limites $-t'$ et~$t'$ est inférieur à un nombre fixe~$N$ +quel que soit~$\theta$}. + +En effet, les extrémités des intervalles en question qui sont +comprises entre $-t'$ et~$t'$ correspondent, soit aux zéros de la fonction~$A(t)$, +soit à ceux de la dérivée de~$\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)$, c'est-à -dire aux +racines de l'équation +\[ +A'(t) - \theta A(t) = 0, +\] +%% -----File: 127.png---Folio 115------- +lesquelles, à leur tour, ou vérifient simultanément les conditions +$A(t) = 0$, $A'(t) = 0$, ou bien correspondent aux points d'intersection +de la courbe~$y = \smfrac{A'(t)}{A(t)}$ avec la droite~$y = \theta$. D'ailleurs, +entre deux de ces points d'intersection consécutifs sera compris, +soit un infini de la fonction~$\smfrac{A'(t)}{A(t)}$, c'est-à -dire un zéro de~$A(t)$, +soit un zéro de sa dérivée, c'est-à -dire une racine de l'équation +\[ +A(t)\, A''(t) - \Pow{\bigl[A'(t)\bigr]}{2} = 0. +\] + +Or la fonction~$A(t)$ est holomorphe pour tout point de l'intervalle +$-t' \leqq t \leqq t'$, et celui-ci ne saurait donc comprendre qu'un +nombre fini de racines de chacune des équations +\[ +A(t)=0,\qquad A'(t)=0,\qquad A(t)\, A''(t) - \Pow{\bigl[A'(t)\bigr]}{2}=0, +\] +d'où résulte l'exactitude de la proposition énoncée. + +Ce point établi, soit~$M$ le maximum de~$\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)}$ pour +$-t'\leqq t\leqq t'$, $\vartheta + \sigma\leqq \theta\leqq 2\pi - \vartheta - \sigma$. Je dis que \textit{la partie de +l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} relative à l'un quelconque des intervalles +où~$\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\,A(t)}$ varie constamment dans le même sens, est numériquement +inférieure à ~$\smfrac{2M}{\log r}$}. + +Soit~$(a, b)$ l'un des intervalles en question et soient $t_1,~t_2, \dotsc,~t_\mu$ +les multiples successifs de la quantité~$\smfrac{\pi}{\log r}$ compris entre $a$ et~$b$. +Les parties de l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} correspondant aux sous-intervalles +\[ +(t_1,t_2),\quad (t_2,t_3), \quad \dotsc,\quad (t_{\mu-1},t_{\mu}),\quad (t_{\mu},b) +\] +sont alternativement de signes contraires, tandis que leurs valeurs +numériques vont constamment en décroissant [en admettant, pour +fixer les idées, que $\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)}$ décroît de~$a$ vers~$b$]. La somme de +toutes ces intégrales sera donc numériquement plus petite et de +même signe que la première d'entre elles. Comme d'ailleurs les +parties de l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} relatives aux intervalles $(a, t_1)$ et~$(t_1, t_2)$ +sont de signes contraires, et que chacune d'elles est numériquement +inférieure à la quantité +\[ +M\int^{\tfrac{\pi}{\log r}}_0 \sin (t\log r)\, dt = \frac{2M}{\log r}, +\] +on arrivera bien à la conclusion voulue. + +%% -----File: 128.png---Folio 116------- + +En somme, l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} sera numériquement inférieure +à ~$\smfrac{2MN}{\log r}$, pour $\vartheta + \sigma\leqq \theta\leqq 2\pi - \vartheta - \sigma$, et tendra donc uniformément +vers zéro dans cet angle lorsque $r$~croît indéfiniment. Comme +la même conclusion s'applique à chacune des trois autres intégrales +qui proviennent de l'expression~\Eref{V}{I}{16}, il en résulte qu'on +pourra effectivement déterminer le nombre~$R$ de manière que +l'inégalité~\Eref{V}{I}{15} ait lieu dans les conditions indiquées, et notre démonstration +est ainsi achevée dans le cas où $\alpha$~n'est pas entier. + +\Paragraph{56.} Lorsque \textit{le nombre~$\alpha$ est un entier}, les expressions \Eref{V}{I}{8} +et~\Eref{V}{I}{9} ne sont plus valables, de sorte que la démonstration doit +être modifiée. Nous nous placerons dans le cas le plus intéressant, +à savoir celui où $\alpha = 0$ est la plus petite valeur pour laquelle soient +vérifiées les conditions énoncées à la \Pgref{page}{page109}. + +En appliquant alors la formule~\Eref{V}{I}{8}, avec $m = 1$, et en faisant +tendre~$\alpha$ vers zéro, on trouve, par un calcul analogue à celui +du \no\Sref{29}, +\[ +F(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + - \int^{i\infty}_{-i\infty} \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{2}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz, +\EqnTag{V}{I}{18} +\] +et cette formule sera valable pour tout point~$x$ intérieur à +l'angle~\Eref{V}{I}{12}, ce qu'on démontre en raisonnant comme aux \nos\Sref{53}--\Sref{54}. + +Pour plus de symétrie, posons $x = \Pow{e}{\pi i}x_1$, $(x_1 = r\,\Pow{e}{i\theta_1})$, et d'autre +part $z=it$, $\varphi(\pm it) = p(t)\pm iq(t)$. L'expression ci-dessus deviendra +\[ +F(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + + \int^{\infty}_0 P(t,x_1)\, dt + \int^{\infty}_0 Q(t,x_1)\, dt +\tag{18${}'$} +\Pagelabel{eqn:V.I.18pr} +\] +avec +\begin{align*} + P(t,x_1) &= -2p(t)\frac{\sin(t\log x_1)}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}, \\[1ex] + Q(t,x_1) &= -2q(t)\frac{\cos(t\log x_1)}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}. +\end{align*} + +Je dis que \textit{le dernier terme de l'expression~\hyperref[eqn:V.I.18pr]{\upshape($18'$)} tend uniformément +vers zéro lorsque~$x$ tend, soit vers l'infini, soit vers +zéro, en restant intérieur à l'angle~\Eref{V}{I}{12}}. En effet, comme +\[ +\cos(t\log x_1) + = \smfrac{1}{2}(\Pow{e}{\theta_1 t} + \Pow{e}{-\theta_1 t})\cos(t\log r) + - \smfrac{i}{2}(\Pow{e}{\theta_1 t} + \Pow{e}{-\theta_1 t})\sin(t\log r), +\] +%% -----File: 129.png---Folio 117------- +on voit d'abord qu'il est possible de choisir le nombre~$t_0$ assez +petit pour que l'on ait, par exemple, +\[ +\Abs{\int^{t_0}_0 Q(t, x_1)\, dt} < \smfrac{\eps}{3} +\EqnTag{V}{I}{19} +\] +pour tout point~$x$ du domaine~\Eref{V}{I}{12}\footnotemark. +\footnotetext{La fonction~$\varphi(z)$ étant, par hypothèse, holomorphe à l'origine, l'expression +\[ +q(t) \equiv \fnfrac{1}{2i} \bigl[\varphi(it) - \varphi(-it)\bigr] +\] +renferme~$t$ en facteur, d'où il résulte que~$Q(t, x_1)$ est holomorphe pour~$t = 0$.} +% [** End of footnote] +D'autre part, pour les +mêmes valeurs~$x$, on a $\Abs{\theta_1}\leqq \pi - \vartheta - \sigma$, et il s'ensuit que le module +de l'expression~$Q(t, x_1)$ décroît plus vite qu'une certaine +exponentielle~$\Pow{e}{-\eta t}$, où~$\eta >0$; par conséquent, on pourra choisir +un nombre~$T$ tel que +\[ +\Abs{\int^{\infty}_T Q(t, x_1)\, dt} < \smfrac{\eps}{3} +\] +pour tout point~$x$ du domaine~\Eref{V}{I}{12}. Enfin, en raisonnant comme +au \no\Sref{55}, on voit qu'il existe un nombre~$R$ tel que l'on ait +\[ +\Abs{\int^{T}_{t_0} Q(t, x_1)\, dt} < \smfrac{\eps}{3} +\] +pour $\vartheta + \sigma\leqq \theta\leqq 2\pi - \vartheta - \sigma$, $\Abs{\log r} > R$. Sous les mêmes conditions, +le module du dernier terme de l'expression~\hyperref[eqn:V.I.18pr]{($18'$)} sera donc +inférieur à ~$\eps$, d'où résulte la proposition énoncée. + +Cela posé, dans l'égalité~\hyperref[eqn:V.I.18pr]{($18'$)}, faisons tendre~$x$ vers l'origine, +en restant dans l'angle~\Eref{V}{I}{12}. Comme $F(0) = \varphi(0)$, on conclut de +la proposition ci-dessus que l'intégrale +\[ +\int^{\infty}_0 P(t, x_1)\, dt +\] +tendra uniformément vers la limite~$\smfrac{1}{2}\varphi(0)$. Or, si l'on remplace~$x$ +par~$\smfrac{1}{x}$ ou, ce qui revient au même, $x_1$ par~$\smfrac{1}{x_1}$, l'intégrale en question +changera simplement de signe. Par suite, elle tendra uniformément +vers la limite~$-\smfrac{1}{2}\varphi(0)$, lorsque~$x$ tend vers l'infini dans +%% -----File: 130.png---Folio 118------- +l'angle~\Eref{V}{I}{12}, et, en utilisant encore une fois la proposition ci-dessus, +on voit donc que, \textit{dans le cas où les conditions énoncées à +la \Pgref{page}{page109} sont vérifiées pour~$\alpha = 0$, la fonction~$F(x)$ tend +uniformément vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini en restant +intérieur à l'angle}~\Eref{V}{I}{12}. + +Ce résultat subsiste d'ailleurs dans des conditions plus générales +que celles de la \Pgref{page}{page109}. Ainsi il n'est pas nécessaire que la +fonction~$\varphi(z)$ soit holomorphe à l'origine; il suffit, par exemple, +qu'elle y prenne une valeur finie et déterminée et que, en outre, +l'intégrale +\[ +\int^t_0 \frac{\Abs{q(t)}}{t}\, dt +\EqnTag{V}{I}{20} +\] +ait un sens. En effet, en vertu de la première de ces hypothèses, +la formule~\Eref{V}{I}{18} restera applicable (\textit{voir} la note de la \Pgref{page}{page60}) et, +en vertu de la seconde, il sera possible de satisfaire à l'inégalité~\Eref{V}{I}{19}, +qui est la seule où intervienne le caractère de~$\varphi(z)$ à +l'origine. + +De même, on démontre aisément que le résultat ci-dessus reste +valable dans le cas où $\varphi(z)$~présente sur l'axe imaginaire un nombre +fini de points singuliers distincts de l'origine, $z_1,~z_2,~\dotsc$, tels que +le produit~$(z - z_\nu)\,\varphi(z)$ tende uniformément vers zéro avec~$\Abs{z-z_\nu}$ +et que l'intégrale +\[ +\int^t_0 \Abs{\varphi(z_\nu + it)}\, dt +\] +ait une valeur finie pour les valeurs réelles de~$t$. + +Supposons maintenant que~$\varphi(z)$ possède sur l'axe imaginaire +un pôle~$z_0$, distinct de l'origine. La formule~\Eref{V}{I}{18} restera encore +valable si l'on y modifie le chemin d'intégration, par exemple +en remplaçant un petit segment passant par le point~$z_0$ par un +demi-cercle tournant la convexité vers la \textit{gauche}, pourvu que, en +même temps, on retranche du second membre le résidu de l'expression +\[ +2\pi i\, \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} +\] +relatif au pôle~$z_0$. On démontre facilement que, après cette modification, +l'intégrale qui figure dans la formule~\Eref{V}{I}{18} tendra toujours +%% -----File: 131.png---Folio 119------- +uniformément vers~$\smfrac{1}{2}\varphi(0)$, lorsque~$x$ tendra vers l'infini dans +l'angle~\Eref{V}{I}{12}. + +Or, si~$z_0$ est un pôle simple de~$\varphi(z)$, le résidu correspondant +de l'expression ci-dessus s'écrit~$A\Pow{x}{z_0}$, A étant une constante. Dans +ce cas, la fonction~$F(x)$ restera donc inférieure en valeur absolue +à une quantité finie dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}, en ne tendant d'ailleurs +vers aucune limite fixe lorsque le point~$x$ s'éloigne indéfiniment. +Si, au contraire, $z_0$~est un pôle d'ordre~$m > 1$, on conclut des remarques +précédentes que la fonction~$F(x)$ devient infiniment +grande de l'ordre de~$\Pow{(\log x)}{m-1}$ lorsque~$x$ tend vers l'infini en restant +dans l'angle~\Eref{V}{I}{12}. + +Les résultats que nous venons de démontrer dans ce numéro +pour~$\alpha = 0$ s'étendent immédiatement au cas où $\alpha$~est un entier +quelconque. + + +\Section{V}{II}{Applications diverses.} + +\Paragraph{57.} Des théorèmes qui précèdent, nous allons tirer d'abord +quelques conséquences intéressantes relatives aux fonctions entières. +Soit~$\varphi(z) = \Pow{z}{-\sigma z}$, $\sigma$~étant un nombre positif~$<2$; cette fonction +est holomorphe pour~$\tau\geqq 0$, sauf à l'origine, mais en ce point, +$\varphi(z)$~prend une valeur finie, à savoir~$1$, et la condition concernant +l'intégrale~\Eref{V}{I}{20} se trouve également vérifiée. D'autre part, en +posant $z = \rho\,\Pow{e}{i\psi}$, on aura +\[ +\Abs{\varphi(z)} = \Pow{e}{\sigma \rho(\psi\sin\psi - \log\rho\cos\psi)}, +\] +et par suite, dès que $\rho > 1$, +\[ +\Abs{\varphi(z)} + < \Powfr{e}{\fnfrac{\pi\sigma}{2}\rho}\qquad\text{pour}\qquad + -\smfrac{\pi}{2}\leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}. +\] + +On pourra donc appliquer le théorème du \no\Sref{55} en faisant $\alpha = 0$, +$\vartheta = \smfrac{\pi\sigma}{2}$, et l'on en conclut que la fonction entière +\[ +\sum^{\infty}_0 \Pow{\left(\frac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu} +\EqnTag{V}{II}{1} +\] +tend uniformément vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini, en +%% -----File: 132.png---Folio 120------- +restant dans l'angle +\[ +\smfrac{\pi\sigma}{2} + \eps\leqq \theta + \leqq 2\pi - \smfrac{\pi\sigma}{2} - \eps. +\EqnTag{V}{II}{2} +\] + +Ce résultat étant vrai quelque petits que soient les nombres +positifs $\sigma$ et~$\eps$, on voit qu'\textit{il existe des fonctions entières tendant +uniformément vers zéro, lorsque~$x$ augmente indéfiniment, +dans un angle qui est inférieur à ~$2\pi$ d'aussi peu qu'on +le voudra}. + +Cette remarque est due à M.~Mittag-Leffler, qui y a été conduit +dans ses recherches sur la fonction\footnotemark +\footnotetext{\textit{Comptes rendus}, 2~mars 1903.} +\[ +\sum^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Gamma(1 + \nu\sigma)}\qquad (\sigma > 0), +\EqnTag{V}{II}{3} +\] +qu'on déduit de~$F(x)$ en faisant $\varphi(z) = \smfrac{1}{\Gamma(1+\sigma x)}$. Cette fonction~$\varphi(z)$ +est holomorphe dans tout le plan et, en se servant de la formule +de Stirling, on trouve facilement que l'inégalité +\[ +\Abs{\varphi(\alpha + \rho\,\Pow{e}{i\psi})} + < \Powfr{e}{\left(\fnfrac{\pi\sigma}{2} + \eps\right)\rho}, +\] +où $\alpha$~désigne une constante réelle quelconque et~$\eps$ un nombre +positif arbitrairement petit, est vérifiée pour $-\smfrac{\pi}{2}\leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}$ dès que~$\rho$ +est supérieur à une certaine limite finie. Le théorème du \no\Sref{55} +nous permet donc d'affirmer, non seulement que la fonction~\Eref{V}{II}{3} +tend uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{x}$ dans l'angle~\Eref{V}{II}{2}, mais encore +que l'on a, quelque grand que soit l'entier positif~$k$, la relation +\[ +\sum^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Gamma(1 + \nu\sigma)} + = -\sum^k_1 \frac{\Pow{x}{-\nu}}{\Gamma(1 - \nu\sigma)} + + \Pow{x}{-\alpha}\, \eps(x)\qquad (k < \alpha < k+1), +\] +où $\eps(x)$~jouit de la même propriété. Le second membre de cette +égalité nous donne donc le développement asymptotique de la +fonction~\Eref{V}{II}{3} dans l'angle $\smfrac{\pi\sigma}{2}<\theta <2\pi -\smfrac{\pi\sigma}{2}$. + +Soit maintenant $\varphi(z) = \Pow{\bigl[\log (z+\beta)\bigr]}{-z}$; cette fonction est +%% -----File: 133.png---Folio 121------- +holomorphe pour $\tau\geqq 0$, si l'on suppose~$\beta>1$; d'autre part, un calcul +élémentaire nous donne +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} + = \Powfr{e}{\rho\left(\fnfrac{\psi\sin\psi + \eps(\rho)}{\log\rho} + - \log\log\rho \centerdot \cos\psi\right)}, +\] +d'où il résulte qu'on a, quelque petit que soit le nombre positif~$\eps$, +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{\eps\rho}\qquad\text{pour}\qquad + -\smfrac{\pi}{2}\leqq \psi\leqq \smfrac{\pi}{2} +\] +dès que $\rho$~dépasse une certaine limite. Dans le cas présent, les +conditions énoncées \Pgref{page}{page109} sont donc vérifiées pour~$\alpha=0$, $\vartheta=0$, +et nous arrivons ainsi à cette conclusion intéressante que \textit{la fonction +entière +\[ +E_\beta(x) + \equiv \sum^{\infty}_0 \Pow{\biggl[\frac{x}{\log(\nu +\beta)}\biggr]}{\nu} + \qquad(\beta > 1) +\EqnTag{V}{II}{4} +\] +tend vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini suivant un rayon +quelconque autre que l'axe réel positif}\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Cf}.~une Note de l'auteur insérée dans le Tome~XXVII du \textit{Bulletin des +Sciences mathématiques} (août~1903). D'autres fonctions du même genre ont été +indiquées par MM.~Malmquist et~Mittag-Leffler (\textit{Comptes rendus}, 12~octobre 1903).} +% [** End of footnote] + +Lorsque~$\beta > 2$, les conditions de la \Pgref{page}{page109} sont vérifiées pour~$\vartheta=0$ +et pour une valeur de~$\alpha$ comprise entre $-2$ et~$-1$. On +aura donc +\[ +E_\beta(x) = -\frac{\log(\beta-1) + \eps(x)}{x}, +\] +$\eps(x)$~tendant uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{x}$ dans l'angle +\[ +\eps\leqq \theta\leqq 2\pi - \eps, +\] +quelque petit que soit~$\eps$, et l'on en conclut immédiatement que, +\textit{pour $\beta > 2$, les arguments des racines de l'équation $E_\beta(x) = 0$ +tendent vers zéro lorsqu'on s'éloigne indéfiniment de l'origine}. + +On peut rattacher à la fonction~\Eref{V}{II}{4} une remarque ingénieuse due +à M.~Mittag-Leffler\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Comptes rendus}, 12~octobre 1903. \textit{Voir} aussi un Mémoire de M.~Mittag-Leffler +qui vient de paraître dans le Tome~XXIX des \textit{Acta Mathematica}.} +D'après ce qui précède, l'expression +\[ +\Pow{e}{-E_\beta(x)} +\] +%% -----File: 134.png---Folio 122------- +définit une fonction entière tendant vers zéro suivant l'axe réel +positif, mais vers l'unité suivant tout autre rayon. En désignant +par~$\beta'$ un nombre réel supérieur à l'unité et distinct de~$\beta$, on arrive +donc à cette conclusion curieuse que \textit{la fonction entière +\[ +\Pow{e}{-E_\beta(x)} - \Pow{e}{-E_{\beta'}(x)} +\] +tend vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini suivant un rayon +quelconque}. + +Ce paradoxe apparent s'explique par cette remarque que la +fonction précédente, bien qu'elle converge vers zéro suivant un +rayon quelconque, ne converge \textit{uniformément} vers cette limite +dans aucun angle, si petit qu'il soit, qui renferme l'axe réel positif. +Il n'est guère possible d'imaginer un exemple plus propre à mettre +en évidence l'importance de la notion de \textit{convergence uniforme}. + +\Paragraph{58.} En appliquant à la fonction~\Eref{V}{II}{1} la formule~\Eref{V}{I}{8}, \Pgref{page}{eqn:V.I.8}, +avec $m = 1$, on trouve +\[ +\sum^{\infty}_0 \Pow{\left(\frac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu} + = 1 - \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} + \frac{\Pow{z}{-\sigma z}\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz\qquad (0 < \alpha < 1), +\] +égalité valable pour tout point~$x$ intérieur à l'angle +\[ +\smfrac{\pi\sigma}{2} < 0 < 2\pi - \smfrac{\pi\sigma}{2}. +\EqnTag{V}{II}{5} +\] +Ce résultat subsiste encore pour $\sigma=0$, puisque les conditions de +la \Pgref{page}{page109} sont vérifiées pour $\varphi (z)\equiv 1$, $\vartheta=0$, et l'on aura donc +\[ +\frac{1}{1-x} + = 1 - \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} \frac{\Pow{x}{z}\, dz}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} +\] +dans tout le plan, excepté sur l'axe réel positif. Cela posé, nous +allons démontrer la proposition suivante: + +\Theorem{V.II.1}{Lorsque le paramètre~$\sigma$ tend vers zéro par des valeurs positives, +la fonction entière~\Eref{V}{II}{1} tend uniformément vers~$\smfrac{1}{1-x}$ dans +tout domaine fini n'ayant aucun point commun avec le +segment $\Segment{1}{+\infty}$ de l'axe réel.} + +Ceci ayant évidemment lieu dans toute aire intérieure au cercle~$\Abs{x}=1$, +%% -----File: 135.png---Folio 123------- +il suffira de démontrer la proposition pour un domaine~$X$ +n'ayant aucun point commun avec la partie $\Segment{0}{+\infty}$ de l'axe réel. +A cet effet, fixons d'abord un nombre positif~$\sigma_0$ tel que le domaine~$X$ +soit intérieur à l'angle~\Eref{V}{II}{5} dès que~$\sigma\leqq\sigma_0$; on aura, pour tout +point~$x$ du domaine~$X$, et pour~$\sigma\leqq\sigma_0$, +\[ +\sum^{\infty}_0 + \Pow{\left(\frac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu} - \frac{1}{1-x} + = \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} + \frac{(1 - \Pow{z}{-\sigma z})\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz. +\EqnTag{V}{II}{6} +\] +Or, en posant $z = \alpha + it$, on peut conclure des calculs du \no\Sref{54} +que le module de l'expression sous le signe intégral, pour les +valeurs considérées de~$x$ et de~$\sigma$ et pour les valeurs~$t$ de module +suffisamment grand, reste inférieur à une certaine exponentielle +$\Pow{e}{-\eta\Abs{t}}$, où~$\eta > 0$. Il est donc possible de trouver un nombre positif~$t'$ +tel que les parties de l'intégrale ci-dessus qui correspondent aux +valeurs~$t$ supérieures à ~$t'$ ou inférieures à ~$-t'$, donnent une +somme numériquement inférieure, par exemple, à ~$\eps$, et d'autre +part, comme~$1 - \Pow{z}{-\sigma z}$ tend vers zéro avec~$\sigma$, on pourra assigner un +nombre positif~$\sigma'_0\leqq \sigma_0$ tel que la partie restante de l'intégrale en +question, celle où~$t$ varie entre les limites $-t'$ et~$t'$, soit inférieure +en valeur absolue à ~$\eps$ dès que $\sigma < \sigma'_0$. Le module de la différence~\Eref{V}{II}{6} sera donc inférieur à ~$2\eps$ pour tout point du domaine~$X$ +dès que $\sigma < \sigma'_0$, et notre proposition se trouve ainsi démontrée. + +Soit maintenant une série de Taylor quelconque +\[ +\sum^{\infty}_0 a_\nu \Pow{x}{\nu} +\EqnTag{V}{II}{7} +\] +ayant un rayon de convergence fini et non nul, et soit~$A$ son +\textit{étoile principale de convergence}\footnotemark, suivant la terminologie de +\footnotetext{Le domaine~$A$ comprend, de chaque rayon vecteur, le segment compris +entre l'origine et le premier point singulier de la fonction~\Eref{V}{II}{7} qu'on rencontre en +cheminant suivant ce rayon.} +% [** End of footnote] +M.~Mittag-Leffler. En s'appuyant sur un théorème fondamental +établi par M.~Borel\footnotemark, on déduit immédiatement de la proposition +\footnotetext{\textit{Mémoire sur les séries divergentes}, p.~63--64 et~133--134 (\textit{Annales de l'École + Normale}, 1899) et \textit{Leçons sur les séries divergentes}.} +précédente l'intéressante conséquence que voici: + +\Theorem{V.II.2}{Lorsque~$\sigma$ tend vers zéro par des valeurs positives, la +%% -----File: 136.png---Folio 124------- +fonction entière $\sum\limits^{\infty}_0 a_\nu \Pow{\left(\smfrac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu}$ converge uniformément vers la fonction +définie par la série $\smash{\sum\limits^{\infty}_0 a_\nu \Pow{x}{\nu}}$ dans toute aire finie intérieure +à l'étoile~$A$.} +% [** End of Theorem] + +C'est là , nous semble-t-il, l'exemple le plus simple qu'on puisse +trouver de ces expressions limites, réalisant le prolongement d'une +série de Taylor en dehors de son cercle de convergence, dont +MM.~Borel, Mittag-Leffler, Painlevé et d'autres ont ces dernières +années enrichi l'Analyse. Du reste, cet exemple n'est qu'un cas +très particulier d'un théorème général que nous avons démontré +ailleurs\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Comptes rendus}, 29~décembre 1902, et \textit{Journal de Mathématiques}, +t.~IX, 1903.} +% [** End of footnote] + +\Paragraph{59.} Supposons maintenant vérifiées les hypothèses suivantes: + +\primo~\textit{La fonction~$\varphi(z)$ est uniforme et ne présente qu'un +nombre fini de points singuliers;} +\Pagelabel{page124}% + +\secundo~\textit{Ayant fixé un nombre positif arbitrairement petit~$\eps$, +on peut trouver un autre nombre positif~$R$ tel que} +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} + < \Pow{e}{\eps\rho}\qquad\textit{pour}\qquad \rho > R. +\] + +Le rayon de convergence de la série donnée sera égal à l'unité +et, d'après le théorème de la \Pgref{page}{page109}, la fonction~$F(x)$ que définit +cette série restera holomorphe tant qu'on évitera le segment $\Segment{1}{+\infty}$ +de l'axe réel. Cette branche de la fonction~$F(x)$ sera +appelée, dans la suite, \emph{la branche principale}, et sera désignée par~$\overline{F}(x)$. + +Mais nous allons voir que, dans le cas présent, on pourra étudier +la fonction~$F(x)$ pour toute valeur de~$x$. Soit, en effet, $-n$~un +entier négatif inférieur à la partie réelle de chacun des points +singuliers de~$\varphi(z)$. On pourra appliquer la formule~\Eref{V}{I}{9} (\Pgref{p.}{eqn:V.I.9}) +pour~$k = n$, à condition de retrancher de son second membre +l'expression +\[ +\Phi(x) \equiv 2\pi i\, \residuesum \frac{\bigl(\varphi(z)\bigr)\,\Pow{x}{z}} + {\Pow{e}{2\pi iz} - 1}, +\] +%% -----File: 137.png---Folio 125------- +la somme s'étendant à tous les points singuliers de~$\phi(z)$ situés \emph{à +distance finie}. Remarquons en passant que \emph{$\Phi(x)$~est une fonction +entière de~$\log x$}, ce qu'on voit immédiatement en exprimant les +résidus qui y figurent par des intégrales définies, et en développant +$\Pow{x}{z} \equiv \Pow{e}{z\log x}$ suivant les puissances ascendantes de~$\log x$. + +On trouve donc pour~$F(x)$ l'expression suivante: +\Pagelabel{page125} +\[ +F(z) = -\sum_1^n \frac{\phi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} - \Phi(x) + - \int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty} \Phi(x,z)\, dz, +\EqnTag{V}{II}{8} +\] +où~$-(n + 1) < \alpha < -n$, expression qui est valable dans tout le +plan, sauf sur la partie $\Segment{0}{+\infty}$ de l'axe réel. + +Je dis que \emph{le dernier terme de cette expression s'évanouit +lorsque $n$~croît indéfi\-ni\-ment, si le point~$x$ est situé sur le +segment $\Segment{-\infty}{-1}$ de l'axe réel}. En effet, en posant +\Erratum{2} +\[ +\alpha = -\left(n + \smfrac{1}{2}\right), \quad + z = \alpha + it, \quad + x = \Pow{e}{\pi i}\, r \qquad (r > 1), +\] +on aura [\emph{voir} l'égalité~\Eref{V}{I}{5}, \Pgref{page}{eqn:V.I.5}] +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} + = \Pow{r}\alpha\, \frac{\Abs{\phi(\alpha + it)}}{\Pow{e}{\pi i} + \Pow{e}{-\pi i}},\quad\Changenotemark +% [** PP: Added i to exponent; dropped out in scan?] +\] +\Changenotetext{2}% +et, par suite, en vertu de l'hypothèse~\secundo ci-dessus, +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} < \Pow{r}{\alpha}\, + \Pow{e}{-\pi\Abs{t} + \eps\sqrt{\Pow{\alpha}{2} + \Pow{t}{2}}}, +\] +$\eps$~tendant vers zéro lorsque~$\alpha$ tend vers~$-\infty$. Comme l'on a +\begin{align*} + \sqrt{\Pow{\alpha}{2} + \Pow{t}{2}} < \sqrt{2} \Abs{\alpha}\qquad&\text{pour}\qquad + \Abs{t} < \Abs{\alpha} \\ +\intertext{et} + \sqrt{\Pow{\alpha}{2} + \Pow{t}{2}} < \sqrt{2} \Abs{t}\qquad&\text{pour}\qquad + \Abs{t} > \Abs{\alpha} +\end{align*} +le module du dernier terme de l'expression~\Eref{V}{II}{8} sera inférieur à +la somme +\[ +2\Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{\eps\sqrt{2}\Abs{\alpha}} \int_0^{\Abs{\alpha}} \Pow{e}{-\pi t}\, dt + + 2 \Pow{r}{\alpha} \int_{\Abs{\alpha}}^\infty \Pow{e}{-\pi i + \eps\sqrt{2}t}\, dt, +\] +dont les deux termes s'évanouissent pour~$\alpha =-\infty$, dès que~$r>1$. + +Pour~$n=\infty$, l'égalité~\Eref{V}{II}{8} deviendra donc, +\[ +F(x) = -\sum_1^\infty \frac{\phi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} - \Phi(x), +\EqnTag{V}{II}{9} +\] +%% -----File: 138.png---Folio 126------- +en supposant d'abord la variable~$x$ réelle et inférieure à ~$-1$. Mais, +comme l'expression figurant au second membre est holomorphe en +dehors du cercle~$\Abs{x}=1$, elle nous donnera le prolongement de +la fonction~$F(x)$ dans toute cette région, en vertu du principe établi +au \no\Sref{9}. Donc: + +\Theorem{V.II.3}{Sous les conditions énoncées à la \Pgref{page}{page124}, la fonction~$F(x)$ +est holomorphe en dehors du cercle~$\Abs{x}=1$ {\upshape(}sauf peut-être +à l'infini{\upshape)}.} + +Menons une coupure suivant l'axe réel de $1$ à ~$+\infty$. Dans la +région extérieure au cercle~$\Abs{x}=1$, et limitée par les deux bords +de cette coupure, la branche~$\overline{F}(x)$ sera représentée par l'expression~\Eref{V}{II}{9}, où l'argument de~$x$ est compris entre $0$ et~$2\pi$, et la +différence entre la valeur que prend cette branche en un point~$x$ +situé sur le bord supérieur de la coupure, et sa valeur au point +correspondant du bord inférieur, sera égale à +\[ +-\Phi(x) + \Phi(\Pow{e}{2\pi i}\, x) + \equiv -2\pi i\, \Biggl[\, + \residuesum \frac{\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} + - \residuesum \frac{\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z} \Pow{e}{2\pi iz}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} +\Biggr]\,, +\] +expression qui se réduit à +\[ +2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z}, +\EqnTag{V}{II}{10} +\] +la somme~$\residuesum$ s'étendant aux points singuliers de~$\varphi(z)$ situés \textit{à +distance finie}. + +Les valeurs de l'expression +\Pagelabel{page126} +\[ +\overline{F}_1(x) \equiv \overline{F}(x) + + 2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z}, +\EqnTag{V}{II}{11} +\] +sur le bord inférieur de la coupure $\Segment{1}{+\infty}$ se confondent donc +avec celles que prend la branche principale~$\overline{F}(x)$ sur le bord +supérieur et, en invoquant toujours le principe établi au \no\Sref{9}, on +en conclut que~$\overline{F}_1(x)$ \textit{donne le prolongement de~$\overline{F}(x)$ au delà +de la coupure $\Segment{1}{+\infty}$, lorsqu'on la traverse de haut en bas}. +Si l'on traverse la même coupure de bas en haut, le prolongement +de~$\overline{F}(x)$ est fourni par l'expression +\[ +\overline{F}_2(x) + \equiv \overline{F}(x) + - 2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(z)\bigr)\,\Pow{x}{z}. +\EqnTag{V}{II}{12} +\] + +%% -----File: 139.png---Folio 127------- + +Or l'expression~\Eref{V}{II}{10}, étant une fonction entière de~$\log x$, admet +pour seuls points singuliers l'origine et le point à l'infini, et notre +discussion conduit donc au résultat suivant: + +\Theorem{V.II.4}{Sous les conditions énoncées à la \Pgref{page}{page124}, la fonction~$F(x)$ +n'admet pas d'autres singularités que les points $1$,~$\infty$ et~$0$, +l'origine étant en général point singulier pour toute branche +de la fonction autre que la branche principale. En dehors du +cercle~$\Abs{x}=1$, cette fonction est représentée par l'expression~\Eref{V}{II}{9} +qui, jointe aux égalités \Eref{V}{II}{11} et~\Eref{V}{II}{12}, permet d'en poursuivre +l'étude pour toutes les valeurs de~$x$\footnotemark.} +\footnotetext{On a supposé tacitement que~$\varphi(z)$ ne devient infini pour aucune valeur +entière de~$z$. Mais il est facile de voir comment doivent être modifiés les résultats +qui précèdent dans le cas où cette condition n'est pas remplie.} +% [** End of footnote] + +\Paragraph{60.} Appliquons d'abord ce résultat au cas où $\varphi(z)$~n'a pas +de points singuliers à distance finie. Alors, en vertu de l'hypothèse~\secundo, +$\varphi(z)$~\textit{est une fonction entière dont le module croît +moins vite que}~$\Pow{e}{\eps\Abs{z}}$, quelque petit que soit~$\eps$. + +Les égalités \Eref{V}{II}{11} et~\Eref{V}{II}{12} se réduisent à ~$\overline{F}_1(x) = \overline{F}_2(x) = \overline{F}(x)$, +et la formule~\Eref{V}{II}{9} devient +\[ +F(x) = -\sum^{\infty}_1 \frac{\varphi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} + \qquad\text{pour}\qquad \Abs{x} > 1, +\EqnTag{V}{II}{13} +\] +d'où il résulte que la fonction~$F(x)$ est uniforme dans tout le plan, +admet~$x=1$ comme seul point singulier et s'annule à l'infini. +Donc, d'après le théorème de Laurent, $F(x)$~\textit{est une fonction +entière de~$\smfrac{1}{x-1}$, sans terme constant}\footnotemark. +\footnotetext{Ce résultat important a été établi à peu près simultanément par M.~Le~Roy +(\textit{voir} p.~348 du Mémoire cité plus haut) et par M.~Wigert (\textit{Öfversigt +af Svenska Vetenskapsakademiens Förhandlingar}, 1900). Voir aussi un Mémoire +de M.~Leau (\textit{Journal de Mathématiques}, 1899).} +% [** End of footnote] + +Si, en particulier, $\varphi(z)$~est une fonction \emph{paire}, l'équation~\Eref{V}{II}{13} +devient +\[ +F(x) = -F\left(\smfrac{1}{x}\right) + \varphi(0). +\] + +Pour $x = \Pow{e}{i\theta}$, cette égalité s'écrit $F(\Pow{e}{i\theta}) + F(\Pow{e}{-i\theta})=\varphi(0)$; donc +%% -----File: 140.png---Folio 128------- +\textit{la partie réelle de $F(x)$ se réduit à la valeur constante $\smfrac{1}{2}\,\varphi(0)$ +sur la circonférence} $\Abs{x} = 1$, si l'on suppose la fonction $\varphi(z)$ +\emph{réelle} pour les valeurs réelles de $z$. + +Si $\varphi(z)$~est \textit{impaire}, l'égalité~\Eref{V}{II}{13} prend la forme +\[ +F(x) = F\left(\smfrac{1}{x}\right), +\] +et l'on en conclut, en particulier, que \textit{la partie imaginaire de~$F(x)$ +s'annule sur la circonférence}~$\Abs{x} = 1$. + +\Paragraph{61.} Soit en second lieu~$\varphi(z)$ une \emph{fonction rationnelle}, cas où +les conditions de la \Pgref{page}{page124} sont toujours vérifiées, et soit~$a$ un +pôle de~$\varphi(z)$. Si c'est un pôle simple, la partie correspondante de +l'expression~$\Phi(x)$ s'écrit~$A\Pow{x}{a}$, $A$~étant une constante. Si~$a$ est un +pôle d'ordre~$m>1$, il surviendra des termes en $\Pow{x}{a}\,\log x,~\dotsc,~\Pow{x}{a}\Pow{(\log x)}{m-1}$. +D'après l'égalité~\Eref{V}{II}{9}, on en conclut que, si les pôles +de~$\varphi(z)$ ont tous leur partie réelle négative, toute branche de la +fonction~$F(x)$ tend vers \emph{zéro} lorsque~$x$ s'éloigne indéfiniment dans +une direction quelconque. + +Soit, en particulier, $\varphi(z) = \Pow{z}{-k}$, $k$~étant un entier positif, et +considérons la fonction +\[ +F(x) = \sum^{\infty}_{\nu=1} \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + = \sum^{\infty}_{\nu=1} \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{\nu}{k}}, +\EqnTag{V}{II}{14} +\] +qui a fait l'objet des recherches de Lambert,~Legendre, Abel, +Kummer et de bien d'autres. On aura encore l'égalité~\Eref{V}{II}{9}, en désignant +par~$\Phi(x)$ le résidu de l'expression +\[ +\frac{1}{\Pow{z}{k}}\, \frac{2\pi i\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} +\] +relatif à l'origine. Or, on trouve facilement, à l'aide de la formule~\Eref{II}{II}{9} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.9}), que ce résidu est égal à $\smfrac{\Pow{(2\pi i)}{k}}{k!}\,\varphi_k\left(\smfrac{\log x}{2\pi i}\right)$, de sorte +que l'égalité en question devient +\[ +F(x) = \Pow{(-1)}{k+1}\, \sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{\nu}{k}}\,\frac{1}{\Pow{x}{\nu}} + - \frac{\Pow{(2\pi i)}{k}}{k!}\, \varphi_k\left(\frac{\log x}{2\pi i}\right) + \qquad (\Abs{x} < 1), +\] +%% -----File: 141.png---Folio 129------- +résultat dû à M.~Jonquière\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Bihang till Svenska Vetenskapsakademiens Handlingar}, t.~XV, 1888.} +D'autre part, l'égalité~\Eref{V}{II}{11} s'écrit +\[ +\overline{F}_1(x) = \overline{F}(x) + 2\pi i\, \frac{\Pow{(\log x)}{k-1}}{(k-1)!}. +\] + +Ces relations permettent d'étudier~$F(x)$ dans tout le plan; +pour~$k = 1$, on retrouve les propriétés connues de~$\log(1-x)$. + +Les résultats du \no\Sref{59} restent encore applicables dans bien des +cas où $\varphi(z)$~est une fonction méromorphe, mais pour cette question +nous devons nous borner à renvoyer aux Mémoires de +M.~Mellin, qui en a donné de nombreux exemples. + + +\Section{V}{III}{Nouvelle méthode de prolongement analytique.} + +\Paragraph{62.} On arrive à d'autres résultats généraux et dignes d'intérêt +en se servant de la formule~\Eref{III}{I}{IV}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IV}\footnotemark. +\footnotetext{Pour cette Section, \textit{voir} pages 24--36 de notre Mémoire cité au~\no\Sref{35}.} +% [** End of footnote] + +Pour en faciliter +l'énoncé, nous admettrons d'abord les hypothèses suivantes: +\smallskip + +\primo~\textit{La fonction~$\phi(z)$ est holomorphe pour tout point $z\equiv \tau + it$ +faisant partie du demi-plan~$\tau\geqq 0$}; +\Pagelabel{page129}% + +\secundo~\textit{Quelque petit que soit le nombre positif~$\eps$, on aura +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{\eps\rho} + \qquad\textit{pour}\qquad -\smfrac{\pi}{2}\leqq\psi\leqq \smfrac{\pi}{2}, +\] +dès que $\rho$~dépassera une certaine limite finie}. +\smallskip + +En posant $f(z) = \phi(z)\,\Pow{x}{z}$, on conclut immédiatement de la +seconde hypothèse que la condition~\Eref{III}{I}{A} (\Pgref{p.}{eqn:III.I.A}), lorsque~$x$ est +réel et positif, est vérifiée uniformément pour $0\leqq\tau\leqq n$, quelque +grand que soit~$n$, et, par un calcul identique à celui de la \Pgref{page}{page125}, +on démontre que la condition~\Eref{III}{I}{B} est remplie si l'on suppose +$0<x<1$. Pour ces valeurs de~$x$, on pourra donc appliquer la +formule~\Eref{III}{I}{IV} avec $m = 0$, ce qui donne +\[ +F(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + H(x) + I(x), +\EqnTag{V}{III}{1} +\] +%% -----File: 142.png---Folio 130------- +où +\begin{align*} + H(x) &= i \int^{\infty}_0 + \frac{\varphi(it)\, \Pow{x}{it} - \varphi(-it)\, \Pow{x}{-it}}{\Pow{e}{2\pi i} - t}\, dt, +\EqnTag{V}{III}{2} \\[1ex] + I(x) &= \int^{\infty}_0 \varphi(\tau)\, \Pow{x}{\tau}\, d\tau, +\EqnTag{V}{III}{3} +\end{align*} + +L'étude de la fonction donnée~$F(x)$ est donc ramenée à celle +des fonctions $H(x)$ et~$I(x)$. + +En posant $x=r\,\Pow{e}{i\theta}$, on a +\[ +\Abs{\Pow{x}{it}} = \Pow{e}{-\theta t}, \qquad +\Abs{\Pow{x}{-it}} = \Pow{e}{ \theta t}; +\] +d'après l'hypothèse~\secundo, le module de l'expression qui dans~\Eref{V}{III}{2} +figure sous le signe intégral croîtra donc moins vite que~$\Pow{e}{-(2\pi - \Abs{\theta} - \eps)t}$, +quelque petit que soit~$\eps$, et, en raisonnant comme à la \Pgref{page}{page112}, +on en déduit ce premier résultat: + +\Theorem{V.III.1}{L'expression~$H(x)$ définit une fonction analytique de la +variable~$x \equiv r\,\Pow{e}{i\theta}$ qui est holomorphe pour tout point du domaine\[ +-2\pi < \theta < 2\pi,\qquad r > 0. +\] +} +% [** End of Theorem] + +Quant à l'expression~$I(x)$, nous nous bornerons pour le moment +à constater qu'elle définit une fonction holomorphe à l'intérieur +du cercle~$\Abs{x} = 1$, en exceptant l'origine. Ceci résulte immédiatement +de l'inégalité +\[ +\Abs{\varphi(\tau)\, \Pow{x}{\tau}} + < \Powfr{e}{-\tau\left(\log\fnfrac{1}{r} - \eps\right)}, +\] +qui, en vertu de l'hypothèse~\secundo, subsiste à partir d'une valeur finie +de~$\tau$, quelque petit qu'on se donne le nombre positif~$\eps$. + +La fonction~$F(x)$ est holomorphe pour~$\Abs{x}<1$, puisque, d'après +l'hypothèse~\secundo, le rayon de convergence de la série donnée est au +moins égal à \emph{un}. On peut donc conclure de l'égalité~\Eref{V}{III}{1} que~$H(x)$ +est également holomorphe pour~$\Abs{x}<1$, sauf à l'origine qui est +pour chacune des fonctions $H(x)$ et~$I(x)$ un \emph{point critique}, c'est-à -dire +un point singulier autour duquel différentes branches de la +fonction se permutent. +%[**F2: "f-" added to "-onction".] + +Désignons maintenant par~$\overline{H}(x)$ la branche de la fonction~$H(x)$ +qui est définie par l'intégrale~\Eref{V}{III}{2} dans le domaine $-\pi<\theta<\pi$, +et, de même, par~$\overline{I}(x)$ la branche de~$I(x)$ définie par l'intégrale~\Eref{V}{III}{3} +%% -----File: 143.png---Folio 131------- +dans le domaine $-\pi<\theta<\pi$, $r<1$, et soient d'autre part~$\overline{H}_1(x)$, +$\overline{I}_1(x)$ les nouvelles branches de ces mêmes fonctions qu'on obtient +en prolongeant~$\overline{H}_1(x)$, $\overline{I}_1(x)$ le long d'une courbe fermée faisant le +tour de l'origine dans le sens direct, et restant intérieure au cercle~$\Abs{x} = 1$. +Comme la somme $H(x) + I(x)$ est uniforme dans ce même +cercle, d'après l'égalité~\Eref{V}{III}{1}, on aura +\[ +\overline{H}_1(x) + \overline{I}_1(x) = \overline{H}(x) + \overline{I}(x), +\] +ou bien +\[ +\overline{H}_1(x) = \overline{H}(x) + \overline{I}(x) - \overline{I}_1(x), +\] +et il en résulte que, dans le domaine où était défini~$\overline{H}(x)$, la +branche~$\overline{H}_1(x)$ ne saurait présenter d'autres singularités que celles +de la fonction~$I(x)$. Cette conclusion s'étend successivement à +toutes les branches de~$H(x)$, et, après un moment de réflexion, on +arrive ainsi au résultat suivant, qui nous paraît intéressant: + +\smallskip +\textit{Sous les conditions énoncées \Pgref{page}{page129}, toute branche de la +fonction~$F(x)$ peut se mettre sous la forme $\smfrac{1}{2}\varphi(0)+\overline{H}(x)$ plus +ou moins certaines branches de la fonction~$I(x)$}. +\Pagelabel{page131}%% + +\textit{L'étude de la fonction~$F(x)$ revient donc essentiellement à +celle de la fonction~$I(x)$ et, en particulier, les singularités +de~$F(x)$ sont toutes comprises parmi celles des différentes +branches de~$I(x)$}. +\smallskip + +Cette proposition reste encore vraie si l'on remplace la condition~\secundo +par la suivante qui est plus générale: +\smallskip + +\textit{Quelque petit que soit~$\eps$, on aura +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{(\vartheta + \eps)\rho} +% [** PP: Changed "=" to "\leqq" in "-\smfrac{\pi}{2} = \psi"] + \qquad\textit{pour}\qquad -\smfrac{\pi}{2} \leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2},\quad\Changenotemark +\] +dès que $\rho$~dépassera une certaine limite, $\vartheta$~étant un nombre +positif inférieur à ~$\pi$}. +\Changenotetext{3} +\Erratum{3} +\smallskip + +L'intégrale~\Eref{V}{III}{2} définit dans ce cas une fonction holomorphe dans +le domaine $\Abs{\theta} < 2\pi - \vartheta$, $r>0$. + +Remarquons encore que la seconde partie de la proposition ci-dessus +reste valable dans le cas où les conditions données sont +vérifiées, non pas pour~$\varphi(z)$, mais pour~$\varphi(n_0+z)$, $n_0$~étant un +entier positif quelconque, pourvu toutefois que~$\varphi(z)$ soit +%% -----File: 144.png---Folio 132------- +holomorphe aussi sur le segment $0\leqq \tau \leqq n_0$ de l'axe réel. On le vérifie +immédiatement, en appliquant les résultats précédents à la série +\[ +\sum^{\infty}_0 \varphi(n_0+\nu)\, \Pow{x}{\nu}. +\] + +\Paragraph{63.} La proposition précédente permet d'étudier complètement +la fonction $F(x)$ toutes les fois qu'on sait calculer l'intégrale~$I(x)$ +sous forme finie. Nous en donnerons plus loin des exemples; mais +d'abord nous indiquerons un cas assez général où l'on peut poursuivre +l'étude de la fonction~$I(x)$ et, par suite, celle de la fonction~$F(x)$, +pour toutes les valeurs de la variable~$x$. Admettons les +hypothèses suivantes: +\smallskip + +\primo~\textit{La fonction~$\phi(z)$ est holomorphe dans le demi-plan~$\tau\geqq 0$}. + +\secundo~\textit{L'angle~$\psi_0$ étant donné aussi grand qu'on le voudra, on +peut trouver un nombre positif~$R$ tel que, en posant $z=\rho\,\Pow{e}{i\psi}$, la +fonction~$\varphi(z)$ soit holomorphe pour $-\psi_0\leqq \psi\leqq \psi_0$, $\rho\geqq R$ {\upshape(}sauf +peut-être à l'infini{\upshape)}.} + +\tertio~\textit{Quelque grand que soit~$\psi_0$ et quelque petit que soit~$\eps$, on +aura, dès que $\rho$~dépassera une certaine limite}, +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{\eps\rho} \qquad\textit{pour}\qquad + -\psi_0\leqq \psi\leqq \psi_0. +\] + +Ces conditions portent sur \textit{la branche principale} de~$\varphi(z)$, c'est-à -dire +sur celle qui fournit les coefficients de la série donnée. + +Nous allons montrer que, \textit{sous les conditions énoncées ci-dessus, +la fonction~$I(x)$ ne saurait présenter, à distance finie, d'autres +points singuliers que l'origine et le point} ($r = 1$, $\theta = 0$). +\smallskip + +Désignons par~$I(x,\psi)$ l'intégrale $\dint\varphi(z)\, \Pow{x}{z}\, dz$ prise de $0$ à ~$\infty$ +suivant le rayon formant avec l'axe réel positif l'angle~$\psi$, supposé +compris entre $-\smash{\smfrac{\pi}{2}}$ et~$\smash{\smfrac{\pi}{2}}$. En posant $x = r\,\Pow{e}{i\theta}$, $z = \rho\,\Pow{e}{i\psi}$, on aura +\[ +\Abs{\Pow{x}{z}} = \Pow{e}{\rho(\log r \cos\psi - \theta\sin\psi)}, +\] +et comme~$\Abs{\varphi(z)}$ croît moins vite que~$\Pow{e}{\eps\rho}$ sur le rayon envisagé, en +vertu de l'hypothèse~\tertio, on en conclut, en raisonnant comme à +la \Pgref{page}{page112}, que~$I(x, \psi)$ représente une fonction analytique holomorphe +dans le domaine $T(\psi)$, défini par les inégalités +\[ +\log r\cos\psi - \theta\sin\psi<0, \qquad r>0. +\EqnTag{V}{III}{4} +\] + +%% -----File: 145.png---Folio 133------- + +Je dis que cette fonction donne le prolongement de la fonction~$I(x)$, +définie par l'intégrale~\Eref{V}{III}{3}, à l'intérieur du cercle~$\Abs{x} = 1$. +Pour s'en assurer, on n'aura qu'à reprendre le raisonnement donné +\Pgref{page}{page93} et à observer que l'on a sur l'arc~$AB$, pour~$x$ réel et positif, +\[ +\Abs{\Pow{x}{z}\, \varphi(z)} < \Pow{e}{-R(\cos\psi\log\fnfrac{1}{x} - \eps)}, +\] +d'où il résulte que, si l'on suppose $0 < x < 1$, l'intégrale relative +à cet arc s'évanouit lorsque~$R$ croît indéfiniment. + +Le domaine~$T(\psi)$ comprend les points intérieurs à la spirale +\[ +r = \Pow{e}{\theta\tang\psi}. +\EqnTag{V}{III}{5} +\] +Pour $\psi=0$, celle-ci se confond avec la circonférence $r = 1$. A +mesure que~$\Abs{\psi}$ augmente, le domaine~$T(\psi)$ s'élargit et embrasse, +pour $\psi = \smfrac{\pi}{2}$, tout point ayant un argument~$\theta > 0$ et, pour~$\psi=-\smfrac{\pi}{2}$, +les points pour lesquels~$\theta<0$, d'où le résultat suivant: + +\Theorem{V.III.2}{La fonction~$I(x)$ reste holomorphe de quelque manière qu'on +fasse varier le point~$x$, à condition qu'il ne vienne se confondre +\Erratum{4}% +% [** PP: Added left endpoint; seems to be (0, oo) from context] +ni avec l'origine, ni avec un point situé sur le segment $\Segment{0}{\infty}$\Changenotemark\ +du rayon d'argument~$\theta=0$.} +\Changenotetext{4} + +\Pagelabel{page133}% +Lorsque $\Abs{\psi}$~croît au delà de~$\smfrac{\pi}{2}$ on doit dans l'expression~$I(x,\psi)$ +modifier le chemin d'intégration de manière à éviter les points singuliers +de la fonction~$\varphi(z)$. Pour fixer les idées, convenons de +choisir pour ce chemin le contour~$\Gamma$ qui se compose: \primo~du segment $\Segment{0}{R}$ +de l'axe réel; \secundo~de l'arc de la circonférence~$\Abs{z} = R$ +compris entre les points $z = R$ et~$z = R\,\Pow{e}{i\psi}$; \tertio~de la partie du +rayon d'argument~$\psi$ qui s'étend du point~$z = R\,\Pow{e}{i\psi}$ à l'infini. On +suppose $R$~choisi de telle sorte que $\varphi(z)$~soit holomorphe à l'intérieur +et sur le contour de la région comprise entre l'axe réel positif +et le rayon d'argument~$\psi$, et extérieure au cercle~$\Abs{z} = R$. + +Dans ces conditions, l'expression +\[ +I(x,\psi) \equiv \int_{\Gamma} \varphi(z)\, \Pow{x}{z}\, dz +\] +représentera, pour toute valeur donnée de~$\psi$, une fonction analytique +de~$x$ qui est holomorphe dans le domaine~$T(\psi)$, défini par~\Eref{V}{III}{4}, +%% -----File: 146.png---Folio 134------- +et cette fonction donnera constamment le prolongement de la fonction~$I(x)$. +En effet, si les valeurs $\psi'$ et~$\psi''$ sont suffisamment rapprochées, +les domaines $T(\psi')$ et~$T(\psi'')$ auront une portion commune, +et pour tout point~$x$ intérieur à cette portion les expressions +$I(x, \psi')$ et~$I(x, \psi'')$ prendront des valeurs égales, ce qu'on démontre +en raisonnant comme \Pgref{page}{page93}. En intercalant entre $0$ et~$\psi$ +une suite de valeurs suffisamment rapprochées et en comparant +entre elles deux à deux les expressions~$I(x, \psi)$ correspondant à +ces valeurs, on arrivera donc au résultat annoncé. + +Quant au domaine~$T(\psi)$, sa forme se modifie sans cesse lorsque~$\psi$ +varie. Ainsi, lorsque $\smfrac{\pi}{2}<\psi <\smfrac{3\pi}{2}$, de sorte que~$\cos\psi<0$, ce +domaine comprend la portion du plan qui est \textit{extérieure} à la +spirale~\Eref{V}{III}{5}, et, en particulier, pour~$\psi =\pi$, la portion extérieure à la +circonférence~$\Abs{x} = 1$. Pour $\smash[b]{\psi = \smfrac{3\pi}{2}}$, $T(\psi)$~se réduit au domaine +$\theta <0$; pour $\smfrac{3\pi}{2}<\psi<\smfrac{5\pi}{2}$, ce sera de nouveau la portion du plan +intérieure à la spirale~\Eref{V}{III}{5}, laquelle, pour~$\psi= 2\pi$, se confond avec +la circonférence~$\Abs{x} = 1$; et ainsi de suite. Pour les valeurs négatives +de~$\psi$, les choses se passent d'une manière analogue. +\Pagelabel{page134}% + +Cette discussion, qui deviendrait plus claire à l'inspection d'une +figure, conduit à la conclusion suivante: partant par exemple d'un +point situé sur le segment $\Segment{0}{1}$ du rayon d'argument~$\theta = 0$, faisons +décrire à la variable~$x$, d'un mouvement uniforme, une +courbe~$S$ qui ne passe ni par l'origine, ni par le point~$(r = 1,\theta = 0)$, +et qui aboutisse à un point quelconque~$x_1$ distinct de ces +deux points; on pourra prescrire à l'angle~$\psi$ une variation continue, +telle que le point~$x$, en décrivant la courbe~$S$, soit à chaque +instant intérieur au domaine~$T(\psi)$ et que, par suite, l'expression~$I(x, \psi)$ +soit holomorphe en ce point. Comme $I(x, \,\psi)$~donne le +prolongement de~$I(x)$, d'après ce qui a été dit plus haut, il en +résulte que la fonction~$I(x)$ est holomorphe en tout point de~$S$ et, +en particulier, au point~$x_1$, et comme celui-ci était un point quelconque +distinct des points $x = 0$ et~$(r = 1, \theta = 0)$, la proposition +énoncée au début de ce numéro se trouve donc démontrée. + +En se reportant maintenant à la proposition démontrée \Pgref{page}{page131}, +on arrive à l'intéressant résultat que voici: + +% [*** Page number face may need attention] +\Theorem{V.III.3}{Si les conditions énoncées \Pgref{page}{page129} sont vérifiées, la +%% -----File: 147.png---Folio 135------- +fonction~$F(x)$ ne saurait admettre d'autres points singuliers que +$1$,~$\infty$ et~$0$ {\upshape[}l'origine étant en général point singulier pour toute +branche de~$F(x)$ autre que la branche principale{\upshape]}.} + +Pour que ce résultat soit applicable, il suffit d'ailleurs que les +conditions dont il s'agit soient vérifiées pour~$\varphi(n_0 +z)$, $n_0$~étant un +entier positif quelconque. + +\Paragraph{64.} Nous indiquerons en quelques mots une généralisation du +résultat qui précède. En conservant les deux premières conditions +du \no\Sref{63}, convenons de remplacer la troisième par la suivante +qui est plus générale: + +\Theorem{V.III.4}{Quelque grand que soit~$\psi_0$ et quelque petit que soit~$\eps$, on +aura, à partir d'une certaine valeur de~$\rho$, +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{(\vartheta + \eps)\rho} + \qquad\textit{pour}\qquad -\psi_0\leqq \psi\leqq \psi_0, +\] +$\vartheta$~désignant un nombre positif inférieur à ~$\pi$.} + +A chaque valeur donnée~$\psi$ on pourra évidemment faire correspondre +un nombre réel~$K(\psi)$, inférieur à ~$\vartheta$ et tel que, $\rho$~tendant +vers l'infini, le produit +\[ +\Pow{e}{-[K(\psi) + \eps]\rho}\, \varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi}) +\] +tende vers zéro ou non, suivant que $\eps >0$ ou~$\eps <0$. En raisonnant +comme au numéro précédent, on en conclut que l'expression~$I(x,\psi)$ +représente une fonction holomorphe de~$x$ dans le domaine +\[ +\log r\cos\psi - \theta\sin\psi + K(\psi) < 0,\qquad r > 0, +\EqnTag{V}{III}{6} +\] +et que cette fonction donne le prolongement de~$I(x)$; le théorème +de la \Pgref{page}{page131} nous permet donc d'énoncer le résultat suivant, qui +révèle un rapport intéressant entre les points singuliers de~$F(x)$ et +les propriétés asymptotiques de~$\varphi(z)$: + +\Theorem{V.III.5}{Si les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées, les seuls +points singuliers que puisse présenter~$F(x)$ à distance finie, en +dehors de l'origine, sont les points $x \equiv r\,\Pow{e}{i\theta}$ qui restent extérieurs +au domaine~\Eref{V}{III}{6} quel que soit~$\psi$.} + +Comme~$K(\psi)<\vartheta$, les points en question vérifieront à plus forte +%% -----File: 148.png---Folio 136------- +raison la condition $\log r\cos\psi-\theta\sin\psi+\vartheta>0$, quel que soit $\psi$, +d'où cette autre conclusion: + +\Theorem{V.III.6}{Sous les conditions admises ci-dessus, les points singuliers +de la fonction~$F(x)$, autres que l'origine et le point à l'infini, +sont tous compris à l'intérieur de la courbe fermée +\[ +r = \Pow{e}{\pm\sqrt{\Pow{\vartheta}{2} - \Pow{\theta}{2}}} +\] +enveloppe des spirales $\log r\cos\psi - \theta\sin\psi + \vartheta = 0$ correspondant +aux différentes valeurs de l'angle~$\psi$.} +% [** End of Theorem] + +Pour $\vartheta=0$, la courbe en question se réduit au seul point~$x = 1$, +de sorte que l'on retrouve le théorème du \no\Sref{63}. + +\Paragraph{65.} Reprenons les hypothèses du \no\Sref{63} et les notations du \no\Sref{62}; +on aura à l'intérieur du cercle~$\Abs{x} =1$ +\[ +\overline{F}(x) + = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + \overline{H}(x) + + \int_0^{\infty} \Pow{x}{\tau}\, \varphi(\tau)\, d\tau, +\] +et d'autre part, en désignant, comme à la \Pgref{page}{page126}, par~$\overline{F}_1(x)$ la +branche de la fonction~$F(x)$ qu'on obtient en prolongeant~$\overline{F}(x)$ le +long d'un chemin faisant le tour du point~$x = 1$ dans le sens +\textit{rétrograde}, il résulte des considérations des pages~\pageref{page133}--\pageref{page134} qu'on +aura dans le même cercle +\[ +\overline{F}_1(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + \overline{H}(x) + + \int_{\Gamma'} \Pow{x}{z}\, \varphi(z)\, dz, +\] +le contour~$\Gamma'$ étant composé: \primo~du segment $\Segment{0}{R}$ de l'axe réel; +\secundo~de la circonférence~$C_R$ de centre~$0$ et de rayon~$R$ (parcourue +dans le sens direct); \tertio~du segment $\Segment{R}{\infty}$ de l'axe réel. Quant +au nombre~$R$, on doit le choisir assez grand pour que la branche +principale de~$\phi(z)$ soit holomorphe pour $0 \leqq \psi\leqq2\pi$, $\rho\geqq R$, ce qui +est possible en vertu des hypothèses du \no\Sref{63}. + +Les égalités précédentes mettent en évidence certains cas généraux +où l'on pourra trouver pour la différence~$\overline{F}_1(x)-\overline{F}(x)$ une +expression valable dans tout le plan. +\smallskip + +($\alpha$).~\textit{La branche principale de~$\varphi(z)$ est uniforme à l'infini}.~---~Le +nombre~$R$ étant déterminé comme il a été dit, $\varphi(z)$~sera +%% -----File: 149.png---Folio 137------- +uniforme et holomorphe en dehors de~$C_R$ et sur cette circonférence, +d'où l'on déduit +\[ +\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) = \int_{C_R}\Pow{x}{z}\, \varphi(z)\, dz. +\] + +Or, d'après le théorème de Laurent, la fonction~$\varphi(z)$ sera représentée +pour $\Abs{z} \geqq R$ par un développement de la forme +\[ +\varphi(z) = \sum^{+\infty}_{-\infty} A_\nu \Pow{z}{\nu}, +\] +qui reste uniformément convergent sur~$C_R$, et en le substituant +dans l'égalité précédente, on aura +\[ +\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) + = 2\pi i\sum^{\infty}_1 \frac{A_{-\nu}}{(\nu-1)!}\, \Pow{(\log x)}{\nu-1}. +\] + +Le second membre est une fonction entière de~$\log x$. On peut +ainsi étudier la fonction~$F(x)$ dans tout le plan. + +($\beta$).~\textit{La fonction~$\varphi(z)$ est uniforme dans tout le plan et ne +présente qu'un nombre fini de points singuliers.}~---~Dans ce +cas, on retrouve un résultat établi au \no\Sref{59}: +\[ +\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) + = 2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(x)\bigr)\, \Pow{x}{z}. +\] + +% [** PP: Added opening parenthesis] +($\gamma$).~$\varphi(z) = \log R(z)$, $R(z)$~\textit{étant une fonction rationnelle.}~---~Soient +$a_1$,~$a_2$, $\dotsc,~a_n$ les affixes des \emph{zéros} et des pôles de la fonction~$R(z)$, +situés à distance finie, et soient $\mu_1,~\mu_2, \dotsc,~\mu_n$ leurs +ordres respectifs [$\mu_\nu$~étant un entier positif ou négatif suivant que +le point~$a_{\nu}$ est pour~$R(z)$ un \emph{zéro} ou un pôle]. Par une déformation +continue, on pourra ramener le contour~$\Gamma$' défini plus haut à +une suite de lacets, partant de l'origine et renfermant chacun un +seul point~$a$, plus le segment $\Segment{0}{+\infty}$ de l'axe réel. On trouve +ainsi, par un calcul facile que nous devons laisser au lecteur, +\[ +\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) + = -\frac{2\pi i}{\log x}\sum^n \mu_\nu\, \Pow{x}{a_\nu}, +\] +%% -----File: 150.png---Folio 138------- +égalité qui met en évidence le caractère des différentes branches +de la fonction donnée. + +\Paragraph{66.} En terminant, appliquons les considérations qui précèdent +à un exemple assez important. Faisons~$\varphi(z) = \Pow{z}{-s}$ et supposons la +partie réelle de~$s$ \textit{négative}; $\varphi(z)$~s'annulera à l'origine, et la +fonction~$F(x)$ s'écrira +\[ +F(x,s) \equiv \sum^{\infty}_1 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{\nu}{s}}. +\] + +Les conditions du \no\Sref{63} sont vérifiées, sauf que la fonction~$\varphi(z)$ +n'est pas holomorphe à l'origine. Mais, comme elle y prend une +valeur finie et déterminée, les résultats précédents seront encore +valables, comme on le voit en appliquant la formule~\Eref{III}{I}{V} de la +\Pgref{page}{eqn:III.I.V} avec~$m = 1$, et en tenant compte de la note de la \Pgref{page}{page60}. + +Dans le cas présent, l'intégrale~$I(x)$ se calcule sous forme finie: +\[ +I(x) \equiv \int^{\infty}_0 \Pow{x}{\tau}\, \Pow{\tau}{-s}\, d\tau + = \Gamma(1-s) \Pow{\Bigl(\log\smfrac{1}{x}\Bigr)}{s-1}, +\] +et l'expression~$H(x)$ s'écrit: +\[ +H(x) = -2\int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\, \sin\left(t\log x - \smfrac{\pi s}{2}\right)\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +de sorte que l'égalité~\Eref{V}{III}{1} nous donne +\[ +F(x,s) = \Gamma(1-s) \Pow{\left(\log\smfrac{1}{x}\right)}{s-1} + - 2\int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\, \sin\left(t\log x - \smfrac{\pi s}{2}\right)\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\] + +On vérifie aisément sur cet exemple les résultats du \no\Sref{63}. En +particulier, les seuls points singuliers de~$I(x)$ sont l'origine, le +point à l'infini et le point ($r=1$, $\theta =0$). Donc aussi, d'après la +\Pgref{page}{page131}, $F(x,s)$~\textit{n'admet pas d'autres points singuliers que +$1$,~$\infty$ et~$0$.} D'ailleurs l'origine est effectivement point singulier pour +toute branche de~$F(x,s)$ autre que la branche principale. + +D'autre part, on constate aisément que \textit{toute branche de~$F(x,s)$ +tend vers zéro lorsqu'on s'éloigne indéfiniment de l'origine}, +dans une direction déterminée quelconque (\textit{cf.}~le \no\Sref{55}). + +La fonction~$H(x)$ étant holomorphe au point~$x = 1$, on peut la +développer en série convergente suivant les puissances ascendantes +%% -----File: 151.png---Folio 139------- +de~$\log x$. Les coefficients de ce développement, qui se présentent +d'abord sous forme d'intégrales définies, peuvent s'exprimer simplement +à l'aide de la fonction~$\zeta(s)$, en vertu de l'égalité~\Eref{V}{I}{8} de la +\Pgref{page}{eqn:V.I.8}. On trouve ainsi\footnotemark +\footnotetext{Ce résultat peut se déduire aussi d'une formule générale très remarquable + établie par M.~Mellin (\textit{Acta Soc.\ Scient.\ Fenn.},\ t.~XXIV, \no10, p.~39--42 +et~t.~XXIX, \no4, p.~42--44).} +% [** End of footnote] +\[ +F(x,s) = \Gamma(1-s) \Pow{\Bigl(\log\smfrac{1}{x}\Bigr)}{s-1} + + \sum^{\infty}_0 \zeta(s-\nu)\, \frac{\Pow{(\log x)}{\nu}}{\nu!}. +\EqnTag{V}{III}{7} +\] + +Quel est le domaine de convergence de ce développement? On +pourrait évidemment le déduire des propriétés de la fonction~$\zeta(s)$, +mais nous préférons nous servir de nos résultats généraux. Les +points singuliers de~$H(x)$ sont l'origine et le point à l'infini, ainsi +que le point~$x = 1$ lorsqu'on y arrive après avoir fait le tour de +l'origine, c'est-à -dire avec un argument~$\theta$ qui est un multiple +entier positif ou négatif de~$2\pi$. La plus petite valeur du +module~$\Abs{\log x}$ correspondant à un point singulier de~$H(x)$ ou +de~$\log x$, est donc précisément égale à ~$2\pi$, et il en résulte que +le développement~\Eref{V}{III}{7} reste convergent tant que $\Abs{\log x} < 2\pi$, +condition qui est vérifiée dans le domaine limité par les deux +courbes $r=\Pow{e}{\sqrt{4\Pow{\pi}{2}-\Pow{\theta}{2}} }$ et~$r=\Pow{e}{-\sqrt{4\Pow{\pi}{2}-\Pow{\theta}{2}}}$. + +On aura un développement analogue de l'expression~$H(x)$, +avec le même domaine de convergence, toutes les fois que sont +vérifiées les conditions du \no\Sref{62}. + +Nous avons supposé jusqu'ici la partie réelle de~$s$ négative, mais +il est facile de lever cette restriction. En effet, en se servant d'un +artifice bien connu dû à Riemann, on arrive à cette nouvelle +expression de~$H(x)$: +\[ +H(x) = \frac{2}{1 - \Pow{e}{-2\pi is}} + \int_C \Pow{t}{-s}\, \sin\left(t\log x - \smfrac{\pi s}{2}\right)\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +le contour~$C$ se composant, par exemple, des parties suivantes: +\primo~le segment $\Segment{\infty}{k}$ de l'axe réel $(0 < k < 1)$; \secundo~la circonférence~$\Abs{t} = k$, +parcourue dans le sens direct; \tertio~le segment $\Segment{k}{\infty}$, +de l'axe réel. Cette expression est valable pour toutes les valeurs +de~$s$, sauf les valeurs entières, et l'on en conclut que, sous les +%% -----File: 152.png---Folio 140------- +mêmes conditions, la fonction~$H(x)$ est holomorphe dans le +domaine $-2\pi<\theta<2\pi$, $r>0$. Donc, dans tous les cas, $1$,~$\infty$ +et~$0$ seront les seuls points singuliers de~$F(x, s)$. D'autre part, +l'expression ci-dessus peut évidemment se développer en série +convergente suivant les puissances ascendantes de~$\log x$, et comme +les coefficients de cette série sont des fonctions analytiques de~$s$ et +qu'ils doivent coïncider avec les coefficients correspondants du +développement~\Eref{V}{III}{7} lorsque la partie réelle de $s$~est négative, il en +résulte que ce dernier développement reste valable pour toutes les +valeurs de~$s$, sauf les valeurs entières et positives. + +Substituons maintenant dans la formule~\Eref{V}{III}{7} $s = k + \eps$, $k$~étant +un entier positif supérieur à l'unité. On déduit facilement des propriétés +connues de~$\Gamma(x)$: +\[ +\Gamma(1-s) \equiv \Gamma(1-k-\eps) + = -\smfrac{R}{\eps} + A_0 + A_1\eps + \dotsb, +\] +avec +\[ +R = \frac{\Pow{(-1)}{k-1}}{(k-1)!},\qquad +A_0= \frac{\Pow{(-1)}{k-1}}{(k-1)!} + \left(1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb + \smfrac{1}{k-1} - C\right), +\] +$C$~étant la constante d'Euler, et d'autre part on a, d'après la +\Pgref{page}{page104}, +\[ +\zeta\bigl[s-(k-1)\bigr] \equiv \zeta(1+\eps) + = \smfrac{1}{\eps} + C + \dotsb. +\] + +En faisant tendre~$\eps$ vers zéro, on trouvera donc pour la +fonction~\Eref{V}{II}{14} (\Pgref{p.}{eqn:V.II.14}) ce nouveau développement\footnotemark +\footnotetext{Ce développement peut se déduire aussi des résultats obtenus par Kummer +(\textit{Journal de Crelle}, t.~21; \emph{voir} en particulier p.~340).} +% [** End of footnote] +\begin{align*} + \sum^{\infty}_{\nu=1} \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{\nu}{k}} + &= \frac{\Pow{(\log x)}{k-1}}{(k-1)!}\, + \left(1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb + \smfrac{1}{k-1} + - \log\log\smfrac{1}{x}\right) \\ +% + &\quad + \sideset{}{'}\sum^{\infty}_{\nu=0} + \zeta(k-\nu)\, \frac{\Pow{(\log x)}{\nu}}{\nu!}, +\end{align*} +où l'accent affectant la dernière somme signifie que la valeur +$\nu = k - 1$ est exclue. Les coefficients de ce développement, qui +converge pour $\Abs{\log x} < 2\pi$, se simplifient d'ailleurs, grâce aux +relations~\Eref{II}{II}{6} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.6}) et~\Eref{IV}{III}{9} (\Pgref{p.}{eqn:IV.III.9}). + +%% -----File: 153.png---Folio 141------- + +A la fonction~$F(x,s)$ se rattachent d'autres fonctions intéressantes, +par exemple +\[ +\sum^{\infty}_1 \sin(\log\nu)\, \Pow{x}{\nu}\quad\text{et}\quad +\sum^{\infty}_1 (\log\nu)\Pow{x}{\nu}, +\] +dont la première a été considérée par M.~Hadamard dans sa Thèse. +Notre méthode permettrait de même d'étudier complètement la +fonction plus générale +\[ +\sum^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{(w + \nu)}{s}}. +\] + +Mais nous devons laisser au lecteur à développer ces applications +et bien d'autres qui se déduisent facilement de nos considérations +générales. + +\vfil +\begin{center} + FIN. +\end{center} +\vfil + +%% -----File: 154.png---Folio 142------- +%[Blank Page] + +%% -----File: 155.png---Folio 143------- + +\setlength{\tablelength}{\linewidth} +\settowidth{\lastcol}{Pages. } +\addtolength{\tablelength}{-\lastcol} + +\pagestyle{empty} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\Pagelabel{ToC} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Table des Matières}{Table des Matières} +\noindent\rule{\linewidth}{0.5pt} \\[6ex] +\begin{center} +\textbf{\LARGE TABLE DES MATIÈRES.} +\vspace*{2ex} + +\bigTbreak + +%% [** PP: Lots of hard-coded dimensions, OK at current page size] +\begin{tabular}{@{} r@{\:}c@{}l@{}r @{}} +\multicolumn{4}{@{}r@{}}{Pages.}\\ +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[Preface]{\textsc{Préface}}\dotfill} +&\textsc{\pageref{Preface}}\\[0.5ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[Index]{\textsc{Index}}\dotfill}& \textsc{\pageref{Index}}\\[1ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:I]{\textsc{Chapitre \phantom{I}I.\, ---\;Principes et théorèmes fondamentaux}}\dotfill}&\pageref{chapter:I}\\[1ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:II]{\textsc{Chapitre II.\, ---\;Applications diverses du calcul des résidus}}\dotfill}& \pageref{chapter:II}\\[0.5ex] + I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\hangindent=1em \textit{Fonctions symétriques des racines d'une équation. ---\,Dével\-oppe\-ment des fonctions implicites} \dotfill}&\raisebox{-2.7ex}{\pageref{section:II.I}}\\ + II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Quelques applications aux fonctions méromorphes}\dotfill}& \pageref{section:II.II}\\ + III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Calcul de quelques intégrales définies}\dotfill}&\pageref{section:II.III}\\[1ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hangindent=10em \hyperref[chapter:III]{\textsc{Chapitre III.\, ---\;Formules sommatoires tirées du calcul des résidus}}\dotfill}& \pageref{chapter:III}\\[0.5ex] + I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.8 \tablelength}}{\hangindent=1em \textit{Recherches de Cauchy. --- Transformations diverses des formules générales}\dotfill}&\raisebox{-2.7ex}{\pageref{section:III.I}}\\ + & &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Notes historiques}\dotfill.}&\pageref{paragraph:35}\\ + II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Quelques applications des formules précédentes}\dotfill}&\pageref{section:III.II}\\ + III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{La formule sommatoire d'Euler et autres formules analogues}\dotfill}&\pageref{section:III.III}\\[1ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:IV]{\textsc{Chapitre IV.\, ---\;Les fonctions} $\Gamma(x)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,w)$}\dotfill.}&\pageref{chapter:IV}\\[0.5ex] + I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\hangindent=1em \textit{Expressions diverses de $\log \Gamma(x)$ et de ses dérivées sous forme d'intégrales définies}\dotfill}& \raisebox{-2.7ex}{\pageref{section:IV.I}}\\ + II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Développements asymptotiques de} $\log \Gamma(x)$\dotfill}& \pageref{section:IV.II}\\ + III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Les fonctions $\zeta(s)$ et $\zeta(s,w)$}\dotfill}&\phantom{a}\pageref{section:IV.III}\\[1ex]% +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hangindent=8em\hyperref[chapter:V]{\textsc{Chapitre V.\, ---\;Applications au prolongement analytique et à l'étude asymptotique des fonctions définies par un développement de Taylor}}\dotfill}&\raisebox{-5.3ex}{\pageref{chapter:V}}\\[2.8ex] %[** PP: changed ``a l'étude'' to ``à l'étude''] + + I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Deux théorèmes généraux}\dotfill}&\pageref{section:V.I}\\ + II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Applications diverses}\dotfill}&\pageref{section:V.II}\\ +\phantom{\textsc{Ch}} III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Nouvelle méthode de prolongement analytique}\dotfill}&\pageref{section:V.III}\\[2ex] +\multicolumn{4}{@{}c@{}}{FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.}\\ +\end{tabular} +\end{center} +\end{minipage} + + +\clearpage + +%% -----File: 156.png---Folio 144------- + +\null\vfil +\begin{center} + +\rule[1ex]{0.2\textwidth}{.5pt} +\bigskip + +\textsc{\small 35785 PARIS. --- IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS,} +\smallskip + +{\footnotesize Quai des Grands-Augustins, 55.} +\bigskip + +\rule[1ex]{0.2\textwidth}{.5pt} + +\end{center} +\vfil + +\cleardoublepage + +%% -----File: 157.png---Folio 145------- +%[Blank Page] + +%% -----File: 158.png---Folio 146------- +%[**F1: line breaks, font sizes, line spacing etc will need attention in PP once page dimensions are known] + +\enlargethispage{36pt} + +\vspace*{-1in} + +\begin{center} +\large LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS,\\ + +\small\textsc{quai des grands-augustins, 55, a paris} (6\ieme).\\[2ex] +\rule{8em}{.4pt}\\[4ex] +\end{center} + +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Catalogue}{Catalogue} + +\addtolength{\parskip}{1ex} % increase spacing between catalogue entries +\footnotesize + +\noindent\hangindent\parindent\hangafter1% +\textbf{BOREL (Émile)}, Maître de Conférences à l'École Normale supérieure. --- % [**F1: to avoid ugly overfull line using default pagewidth] +\textbf{Collection +de monographies sur la Théorie des fonctions}, publiée sous +la direction de \textsc{Émile} \bsc{Borel}. % [**'É' unclear in this whole page] + +\medskip +\textit{Leçons sur la théorie des fonctions} (\textit{Éléments de la théorie des ensembles +et applications}), par \textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1898\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les fonctions entières}, par \textsc{Émile} \bsc{Borel}; 1900\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les séries divergentes}, par \textsc{Émile} \bsc{Borel}; 1901\Dotfill 4~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les séries à termes positifs}, professées au Collège de France par +\textsc{Émile} \bsc{Borel}, recueillies et rédigées par \textit{Robert d'Adhémar}; 1902\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les fonctions méromorphes}, professées au Collège de France par +\textsc{Émile} \bsc{Borel}, recueillies et rédigées par \textit{Ludovic Zoretti}; 1903\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives}, professées +au Collège de France par \textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}, 1904\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en +séries de polynomes}, professées à l'Ecole Normale supérieure par \textsc{Émile +Borel} et rédigées par \textit{Maurice Fréchet}, avec des Notes par \textsc{Paul Painlevé} +et \textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}; 1905\Dotfill 4~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les fonctions discontinues}, professées au Collège de France, +par \textsc{René} \bsc{Baire}, rédigées par \textit{A.~Denjoy}; 1905\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions}, par +\textsc{Ernst} \bsc{Lindelöf}; 1905\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plusieurs +variables complexes}, par \textsc{Pierre} \bsc{Cousin}\Dotfill (\textit{En préparation.}) + +\textit{Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe}, par \textsc{Émile} +\bsc{Borel}\Dotfill (\textit{En préparation.}) + +\textit{Leçons sur les Correspondances entre variables réelles}, par \textsc{Jules} +\bsc{Drach}\Dotfill (\textit{En préparation.}) + +\textit{Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini}, par \textsc{Otto} +\bsc{Blumenthal}\Dotfill (\textit{En préparation}) + + +\textit{Leçons sur les séries trigonométriques}, par \textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}\Dotfill (\textit{En préparation.}) + +\medskip + +\noindent\hangindent\parindent\hangafter1% +\textbf{HALPHEN (G.-H.)}, Membre de l'Institut. --- \textbf{Traité des fonctions elliptiques +et de leurs applications}. 3 volumes grand in-8, se vendant +séparément: + +\addtolength{\leftskip}{3\parindent} +\parindent-1.5\parindent % [**F1: indent the lot and hang the first line to the left; there must be a proper LaTeX way to do this but I can't think of it at the moment] +\footnotesize +I\iere{} \textsc{Partie}: \textit{Théorie des fonctions elliptiques et de leurs développements +en série}; 1886\Dotfill 15~fr. + +II\ieme{} \textsc{Partie}: \textit{Applications à la Mécanique, à la Physique, à la Géodésie, +à la Géométrie et au Calcul intégral}; 1888\Dotfill 20~fr. + +III\ieme{} \textsc{Partie}: \textit{Fragments.} (\textit{Quelques applications à l'Algèbre et en +particulier à l'équation du 5\ieme degré. Quelques applications à la +théorie des nombres. Questions diverses.}) Publié par les soins de la +Section de Géométrie de l'Académie des Sciences; 1891\Dotfill 8~fr.\ 50~c. +\medskip +\hrule +\smallskip + +\noindent\small35785\hfill\tiny + Paris. --- Imp.\ GAUTHIER-VILLARS, quai des Grands-Augustins, 55\hfill\phantom{35785} + +\vfil + +\cleardoublepage + +%% Transcriber's notes +\normalsize +\begin{minipage}{5in} +\Pagelabel{Notes}% + +\begin{center} + \textsc{Notes sur la Transcription} + + \rule{0.2\textwidth}{0.5pt} \\[6ex] +\end{center} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Notes sur la Transcription}{Notes sur la Transcription} + +Quatre erreurs typographiques ont été corrigée, dénotée dans ce texte +par~$({}^\dagger)$. +\bigskip + +\begin{itemize} + +% Folio 9 in original +\item[Note~1.] (\ErrNote{1}) Ajouter des parenthèses autour de~$\nu$: + \[ + f(x) = \sum_0^\infty \frac{\Pow{f}{\nu}(a)}{\nu!}\Pow{(x-a)}{\nu} + \Change + f(x) = \sum_{0}^{\infty} \frac{\Pow{f}{(\nu)}(a)}{\nu!} \Pow{(x-a)}{\nu}. + \] + +% Folio 125 in original +\item[Note~2.] (\ErrNote{2}) Ajouter un~$i$ à l'exponent du + deuxième terme du dénominateur: + \[ + \Abs{\Phi(x,z)} = \Pow{r}{\alpha}\, + \dfrac{\Abs{\phi(\alpha + it)}}{\Pow{e}{\pi i} + \Pow{e}{-\pi}} + \Change + \Abs{\Phi(x,z)} + = \Pow{r}{\alpha}\, \frac{\Abs{\phi(\alpha + it)}} + {\Pow{e}{\pi i} + \Pow{e}{-\pi i}}. + \] + +% Folio 131 in original +\item[Note~3.] (\ErrNote{3}) Dans la condition, remplacer l'égalité + par~``$\leqq$'': + \[ + -\smfrac{\pi}{2} = \psi \leqq \smfrac{\pi}{2} + \Change + -\smfrac{\pi}{2} \leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}. + \] + +% Folio 133 in original +\item[Note~4.] (\ErrNote{4}) Le bout gauche a été fait~$0$ à la base + du contexte: + \begin{quote} + \dots ni avec un point situé sur le segment $\Segment{0}{\infty}$ + du rayon\dots + \end{quote} + Dans original: $\Segment{}{\infty}$ + +\end{itemize} + +\end{minipage} + +\cleardoublepage + +\fancyhead[C]{{\scshape\small Licensing.}} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG License}{Project Gutenberg License} + +{\small +\begin{alltt} +End of the Project Gutenberg EBook of Le calcul des résidus et ses +applications à la théorie des fonctions, by Ernst Leonard Lindelöf + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS *** + +***** This file should be named 29781-pdf.pdf or 29781-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29781/ + +Produced by Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang, and the +Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net +(This file was produced from images generously made +available by Cornell University Digital Collections) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you +do not charge anything for copies of this eBook, complying with the +rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose +such as creation of derivative works, reports, performances and +research. They may be modified and printed and given away--you may do +practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is +subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +*** START: FULL LICENSE *** + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE +PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK + +To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work +(or any other work associated in any way with the phrase "Project +Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project +Gutenberg-tm License (available with this file or online at +http://gutenberg.org/license). + + +Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement +and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic +works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" +or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an +individual work is in the public domain in the United States and you are +located in the United States, we do not claim a right to prevent you from +copying, distributing, performing, displaying or creating derivative +works based on the work as long as all references to Project Gutenberg +are removed. Of course, we hope that you will support the Project +Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by +freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of +this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with +the work. You can easily comply with the terms of this agreement by +keeping this work in the same format with its attached full Project +Gutenberg-tm License when you share it without charge with others. + +1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern +what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in +a constant state of change. If you are outside the United States, check +the laws of your country in addition to the terms of this agreement +before downloading, copying, displaying, performing, distributing or +creating derivative works based on this work or any other Project +Gutenberg-tm work. The Foundation makes no representations concerning +the copyright status of any work in any country outside the United +States. + +1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg: + +1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate +access to, the full Project Gutenberg-tm License must appear prominently +whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any work on which the +phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project +Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed, +copied or distributed: + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + +1.E.2. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived +from the public domain (does not contain a notice indicating that it is +posted with permission of the copyright holder), the work can be copied +and distributed to anyone in the United States without paying any fees +or charges. If you are redistributing or providing access to a work +with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the +work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 +through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the +Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or +1.E.9. + +1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted +with the permission of the copyright holder, your use and distribution +must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional +terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked +to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the +permission of the copyright holder found at the beginning of this work. + +1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm +License terms from this work, or any files containing a part of this +work or any other work associated with Project Gutenberg-tm. + +1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this +electronic work, or any part of this electronic work, without +prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with +active links or immediate access to the full terms of the Project +Gutenberg-tm License. + +1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary, +compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any +word processing or hypertext form. However, if you provide access to or +distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than +"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version +posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org), +you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a +copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon +request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other +form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm +License as specified in paragraph 1.E.1. + +1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, +performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works +unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + +1.E.8. 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You must require such a user to return or + destroy all copies of the works possessed in a physical medium + and discontinue all use of and all access to other copies of + Project Gutenberg-tm works. + +- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any + money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the + electronic work is discovered and reported to you within 90 days + of receipt of the work. + +- You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg-tm works. + +1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm +electronic work or group of works on different terms than are set +forth in this agreement, you must obtain permission in writing from +both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael +Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the +Foundation as set forth in Section 3 below. + +1.F. + +1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right +of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project +Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project +Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all +liability to you for damages, costs and expenses, including legal +fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT +LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE +PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE +TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE +LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR +INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH +DAMAGE. + +1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a +defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can +receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a +written explanation to the person you received the work from. If you +received the work on a physical medium, you must return the medium with +your written explanation. The person or entity that provided you with +the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a +refund. If you received the work electronically, the person or entity +providing it to you may choose to give you a second opportunity to +receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy +is also defective, you may demand a refund in writing without further +opportunities to fix the problem. + +1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth +in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + +1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied +warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. +If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the +law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be +interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by +the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any +provision of this agreement shall not void the remaining provisions. + +1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. Compliance requirements are not uniform and it takes a +considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up +with these requirements. We do not solicit donations in locations +where we have not received written confirmation of compliance. To +SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any +particular state visit http://pglaf.org + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we +have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition +against accepting unsolicited donations from donors in such states who +approach us with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make +any statements concerning tax treatment of donations received from +outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation +methods and addresses. Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{alltt} +} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Le calcul des résidus et ses % +% applications à la théorie des fonctions, by Ernst Leonard Lindelöf % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS *** % +% % +% ***** This file should be named 29781-t.tex or 29781-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29781/ % +% % +% 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`operators' in version `normal' +(Font) OT1/cmr/m/n --> OT1/pxr/m/n on input line 20. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold' +(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/pxr/m/n on input line 20. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold' +(Font) OT1/pxr/m/n --> OT1/pxr/bx/n on input line 21. +\symitalic=\mathgroup6 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `italic' in version `bold' +(Font) OT1/pxr/m/it --> OT1/pxr/bx/it on input line 25. +LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathbf on input line 28. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal' +(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/pxr/bx/n on input line 28. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold' +(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/pxr/bx/n on input line 28. +LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathit on input line 29. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal' +(Font) OT1/cmr/m/it --> OT1/pxr/m/it on input line 29. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold' +(Font) OT1/cmr/bx/it --> OT1/pxr/m/it on input line 29. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold' +(Font) OT1/pxr/m/it --> OT1/pxr/bx/it on input line 30. +LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathsf on input line 39. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal' +(Font) OT1/cmss/m/n --> OT1/pxss/m/n on input line 39. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold' +(Font) OT1/cmss/bx/n --> OT1/pxss/m/n on input line 39. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold' +(Font) OT1/pxss/m/n --> OT1/pxss/b/n on input line 40. +LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathtt on input line 49. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal' +(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/pxtt/m/n on input line 49. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold' +(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/pxtt/m/n on input line 49. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold' +(Font) OT1/pxtt/m/n --> OT1/pxtt/b/n on input line 50. +LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `letters' on input line 57. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `normal' +(Font) OML/cmm/m/it --> OML/pxmi/m/it on input line 57. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `bold' +(Font) OML/cmm/b/it --> OML/pxmi/m/it on input line 57. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `bold' +(Font) OML/pxmi/m/it --> OML/pxmi/bx/it on input line 58. +\symlettersA=\mathgroup7 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `lettersA' in version `bold' +(Font) U/pxmia/m/it --> U/pxmia/bx/it on input line 66. +LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathfrak on input line 69. +LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `symbols' on input line 76. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `normal' +(Font) OMS/cmsy/m/n --> OMS/pxsy/m/n on input line 76. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `bold' +(Font) OMS/cmsy/b/n --> OMS/pxsy/m/n on input line 76. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `bold' +(Font) OMS/pxsy/m/n --> OMS/pxsy/bx/n on input line 77. +LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `AMSa' on input line 92. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSa' in version `normal' +(Font) U/msa/m/n --> U/pxsya/m/n on input line 92. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSa' in version `bold' +(Font) U/msa/m/n --> U/pxsya/m/n on input line 92. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSa' in version `bold' +(Font) U/pxsya/m/n --> U/pxsya/bx/n on input line 93. +LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `AMSb' on input line 101. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSb' in version `normal' +(Font) U/msb/m/n --> U/pxsyb/m/n on input line 101. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSb' in version `bold' +(Font) U/msb/m/n --> U/pxsyb/m/n on input line 101. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSb' in version `bold' +(Font) U/pxsyb/m/n --> U/pxsyb/bx/n on input line 102. +\symsymbolsC=\mathgroup8 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbolsC' in version `bold' +(Font) U/pxsyc/m/n --> U/pxsyc/bx/n on input line 112. +LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `largesymbols' on input line 119. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal' +(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/pxex/m/n on input line 119. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold' +(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/pxex/m/n on input line 119. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold' +(Font) OMX/pxex/m/n --> OMX/pxex/bx/n on input line 120. +\symlargesymbolsA=\mathgroup9 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbolsA' in version `bold' +(Font) U/pxexa/m/n --> U/pxexa/bx/n on input line 128. +LaTeX Info: Redefining \not on input line 996. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty +Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +\FN@temptoken=\toks21 +\footnotemargin=\dimen114 +\c@pp@next@reset=\count103 +Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817. +Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818. +Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823. + +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840 +. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ncctools/manyfoot.sty +Package: manyfoot 2005/09/11 v1.10 Many Footnote Levels Package (NCC) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ncctools/nccfoots.sty +Package: nccfoots 2005/02/03 v1.2 NCC Footnotes Package (NCC) +) +\MFL@columnwidth=\dimen115 +\footglue=\skip46 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/bigfoot/perpage.sty +Package: perpage 2006/07/15 1.12 Reset/sort counters per page +\c@abspage=\count104 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty +Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks22 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty +Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty +Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg +File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +\Gread@gobject=\count105 +)) +\Gin@req@height=\dimen116 +\Gin@req@width=\dimen117 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/tabularx.sty +Package: tabularx 1999/01/07 v2.07 `tabularx' package (DPC) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty +Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi) +\col@sep=\dimen118 +\extrarowheight=\dimen119 +\NC@list=\toks23 +\extratabsurround=\skip47 +\backup@length=\skip48 +) +\TX@col@width=\dimen120 +\TX@old@table=\dimen121 +\TX@old@col=\dimen122 +\TX@target=\dimen123 +\TX@delta=\dimen124 +\TX@cols=\count106 +\TX@ftn=\toks24 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty +Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) +\SOUL@word=\toks25 +\SOUL@lasttoken=\toks26 +\SOUL@cmds=\toks27 +\SOUL@buffer=\toks28 +\SOUL@token=\toks29 +\SOUL@spaceskip=\skip49 +\SOUL@ttwidth=\dimen125 +\SOUL@uldp=\dimen126 +\SOUL@ulht=\dimen127 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty +\fancy@headwidth=\skip50 +\f@ncyO@elh=\skip51 +\f@ncyO@erh=\skip52 +\f@ncyO@olh=\skip53 +\f@ncyO@orh=\skip54 +\f@ncyO@elf=\skip55 +\f@ncyO@erf=\skip56 +\f@ncyO@olf=\skip57 +\f@ncyO@orf=\skip58 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty +Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry +\Gm@cnth=\count107 +\Gm@cntv=\count108 +\c@Gm@tempcnt=\count109 +\Gm@bindingoffset=\dimen128 +\Gm@wd@mp=\dimen129 +\Gm@odd@mp=\dimen130 +\Gm@even@mp=\dimen131 +\Gm@dimlist=\toks30 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX +\@linkdim=\dimen132 +\Hy@linkcounter=\count110 +\Hy@pagecounter=\count111 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg +File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty +Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options ( +HO) +) +Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223 +8. +Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308. +Implicit mode ON; LaTeX internals redefined +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty +\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. +\Fld@menulength=\count112 +\Field@Width=\dimen133 +\Fld@charsize=\dimen134 +\Choice@toks=\toks31 +\Field@toks=\toks32 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. +\Hy@abspage=\count113 +\c@Item=\count114 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count115 +) +\c@Chapter=\count116 +\c@Parno=\count117 +\c@pp@a@footnote=\count118 +\footinsCh=\insert233 +\c@footnoteCh=\count119 +\Tocskip=\skip59 +\resglyph=\box28 +<./images/residue_sum_glyph.pdf, id=5, 447.6725pt x 650.43pt> +File: ./images/residue_sum_glyph.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/residue_sum_glyph.pdf> +\displayint=\box29 +LaTeX Font Info: Try loading font information for OT1+pxr on input line 453. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/ot1pxr.fd +File: ot1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for OML+pxmi on input line 453 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omlpxmi.fd +File: omlpxmi.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+pxsy on input line 453 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omspxsy.fd +File: omspxsy.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMX+pxex on input line 453 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omxpxex.fd +File: omxpxex.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxsya on input line 453. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsya.fd +File: upxsya.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxsyb on input line 453. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsyb.fd +File: utxsyb.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxmia on input line 453. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxmia.fd +File: upxmia.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxsyc on input line 453. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsyc.fd +File: upxsyc.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxexa on input line 453. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxexa.fd +File: upxexa.fd 2000/12/14 v1.0 +) (./29781-t.aux) +\openout1 = `29781-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/pxmi/m/it on input line 558. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 558. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 558. +(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd +File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 558. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/pxsy/m/n on input line 558. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/pxex/m/n on input line 558. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/pxexa/m/n on input line 558. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 558. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 558. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+pxr on input line 558. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/t1pxr.fd +File: t1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 558. +-------------------- Geometry parameters +paper: letterpaper +landscape: -- +twocolumn: -- +twoside: true +asymmetric: -- +h-parts: 73.71548pt, 430.00627pt, 110.57324pt +v-parts: 95.39648pt, 556.47878pt, 143.09473pt +hmarginratio: 2:3 +vmarginratio: 2:3 +lines: -- +heightrounded: -- +bindingoffset: 0.0pt +truedimen: -- +includehead: -- +includefoot: -- +includemp: -- +driver: pdftex +-------------------- Page layout dimensions and switches +\paperwidth 614.295pt +\paperheight 794.96999pt +\textwidth 430.00627pt +\textheight 556.47878pt +\oddsidemargin 1.4455pt +\evensidemargin 38.30325pt +\topmargin -8.7473pt +\headheight 12.0pt +\headsep 19.8738pt +\footskip 30.0pt +\marginparwidth 98.0pt +\marginparsep 7.0pt +\columnsep 10.0pt +\skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt +\hoffset 0.0pt +\voffset 0.0pt +\mag 1000 +\@twosidetrue \@mparswitchtrue +(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt) +----------------------- +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty +Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) +(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg +File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive +) +Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. +) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 558. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count120 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 558. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 558. +(./29781-t.out) (./29781-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `29781-t.out'. + +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+pxtt on input line 572. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/t1pxtt.fd +File: t1pxtt.fd 2000/12/14 v1.0 +) +Overfull \hbox (1.14874pt too wide) in paragraph at lines 582--582 +[]\T1/pxtt/m/n/10.95 Title: Le calcul des résidus et ses applications à la théo +rie des fonctions[] + [] + +[1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] <./images/gauthier_villars.pdf, id=115, 112.42pt x 109.40875pt> +File: ./images/gauthier_villars.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/gauthier_villars.pdf> [1 + + <./images/gauthier_villars.pdf>] [2 + +] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 709--724 + + [] + +<./images/tb.pdf, id=129, 38.1425pt x 6.0225pt> +File: ./images/tb.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb.pdf> [3 + + <./images/tb.pdf>] [4 + +] +File: ./images/gauthier_villars.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/gauthier_villars.pdf> [5] [6 + +] +Overfull \hbox (0.23647pt too wide) in paragraph at lines 799--805 +[]\T1/pxr/m/n/12 Comme ap-pli-ca-tion de ces for-mules, nous en dé-duisons, au +qua-trième Chapitre, + [] + +[7] <./images/tb2.pdf, id=159, 96.36pt x 7.02625pt> +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [8 <./images/tb2.pdf>] +\tablelength=\skip60 +\lastcol=\skip61 +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [9 + +] [10 + +] [1] +LaTeX Font Info: Try loading font information for OML+pxr on input line 982. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omlpxr.fd +File: omlpxr.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Font shape `OML/pxr/m/it' in size <12> not available +(Font) Font shape `OML/pxmi/m/it' tried instead on input line 982. + +[2] [3] <./images/016.pdf, id=230, 182.6825pt x 127.47626pt> +File: ./images/016.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/016.pdf> [4 <./images/016.pdf>] [5] [6] [7] +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+pxr on input line 1280 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omspxr.fd +File: omspxr.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/pxr/m/n' in size <8> not available +(Font) Font shape `OMS/pxsy/m/n' tried instead on input line 1280. + +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/pxr/m/n' in size <7> not available +(Font) Font shape `OMS/pxsy/m/n' tried instead on input line 1282. + +[8] [9] [10] [11] [12] [13 <./images/residue_sum_glyph.pdf>] [14] [15] [16] +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [17] [18 + +] [19] [20] [21] +LaTeX Font Info: Font shape `OML/pxr/m/it' in size <10> not available +(Font) Font shape `OML/pxmi/m/it' tried instead on input line 1942 +. +[22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] +[38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] +Overfull \hbox (0.15321pt too wide) in paragraph at lines 3245--3249 +[]\T1/pxr/m/n/12 Comme, d'ailleurs, dans l'hy-pothèse actuelle, le dernier term +e de la for-mule [][](10)[][] + [] + +[46] [47] +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [48] [49 + +] [50] [51] [52] [53] [54] [55] <./images/072.pdf, id=923, 182.6825pt x 82.3075 +pt> +File: ./images/072.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/072.pdf> [56 <./images/072.pdf>] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [6 +3] +LaTeX Font Info: Font shape `OML/pxr/m/it' in size <10.95> not available +(Font) Font shape `OML/pxmi/m/it' tried instead on input line 4208 +. +[64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] +Overfull \hbox (4.76913pt too wide) in paragraph at lines 4920--4926 +\T1/pxr/m/n/12 s'annule pour $\OML/pxmi/m/it/12 k \OT1/pxr/m/n/12 = \OMS/pxsy/m +/n/12 1$\T1/pxr/m/n/12 , ce qui n'est nulle-ment év-i-dent, puisque la série qu +i définit $[][]\OT1/pxr/m/n/12 (\OML/pxmi/m/it/12 ^^\\OT1/pxr/m/n/12 )$ + [] + +[76] [77] [78] [79] [80] [81] +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [82] [83 + +] +Overfull \hbox (9.60541pt too wide) in paragraph at lines 5307--5312 +[]\T1/pxr/m/n/12 Les valeurs des con-stantes $\OML/pxmi/m/it/12 K$ \T1/pxr/m/n/ +12 et $\OML/pxmi/m/it/12 K[]$ \T1/pxr/m/n/12 s'ob-ti-en-nent im-mé-di-ate-ment +en rap-prochant [][](3)[][] + [] + +[84] [85] [86] <./images/103.pdf, id=1531, 182.6825pt x 73.27374pt> +File: ./images/103.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/103.pdf> [87 <./images/103.pdf>] <./images/105.pdf, id=1561, 182. +6825pt x 85.31876pt> +File: ./images/105.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/105.pdf> [88 <./images/105.pdf>] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [9 +5] [96] [97] +Overfull \hbox (3.32129pt too wide) in paragraph at lines 6121--6129 +\T1/pxr/m/n/12 précé-dentes représen-tent des fonc-tions an-a-ly-tiques, holo-m +or-phes pour toute valeur + [] + +[98] [99] [100] [101] +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [102] [103 + +] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] +[117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] +Overfull \hbox (2.03601pt too wide) in paragraph at lines 7860--7872 +[]\T1/pxr/m/n/12 Quel est le do-maine de con-ver-gence de ce développe-ment? On + pour-rait évidem- + [] + +[130] [131] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 7982--7983 + + [] + +File: ./images/tb2.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/tb2.pdf> [132] +Overfull \vbox (12.28691pt too high) has occurred while \output is active [] + +[133] [134 + +] [135 + +] [136 + +] [137] [138 + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[139] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[140] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[141] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[142] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[143] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[144] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[145] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[146] [147] (./29781-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + frenchb.ldf + frenchb.cfg + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d +amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment + pxfonts.sty 2005/01/03 v1.1 +footmisc.sty 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +manyfoot.sty 2005/09/11 v1.10 Many Footnote Levels Package (NCC) 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2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. + hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +./images/residue_sum_glyph.pdf + ot1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 + omlpxmi.fd 2000/12/14 v1.0 + omspxsy.fd 2000/12/14 v1.0 + omxpxex.fd 2000/12/14 v1.0 + upxsya.fd 2000/12/14 v1.0 + upxsyb.fd + upxmia.fd 2000/12/14 v1.0 + upxsyc.fd 2000/12/14 v1.0 + upxexa.fd 2000/12/14 v1.0 + t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern + t1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 + color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) + color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) + 29781-t.out + 29781-t.out + t1pxtt.fd 2000/12/14 v1.0 +./images/gauthier_villars.pdf +./images/tb.pdf +./images/gauthier_villars.pdf +./images/tb2.pdf +./images/tb2.pdf + omlpxr.fd 2000/12/14 v1.0 +./images/016.pdf + omspxr.fd 2000/12/14 v1.0 +./images/tb2.pdf +./images/tb2.pdf +./images/072.pdf +./images/tb2.pdf +./images/103.pdf +./images/105.pdf +./images/tb2.pdf +./images/tb2.pdf + *********** + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 7289 strings out of 95086 + 91893 string characters out of 1183255 + 178717 words of memory out of 1500000 + 9397 multiletter control sequences out of 10000+50000 + 78066 words of font info for 171 fonts, out of 1200000 for 2000 + 28 hyphenation exceptions out of 8191 + 33i,23n,43p,358b,512s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s +{/usr/share/texmf-texlive/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}</usr/share/texmf-texli +ve/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blue +sky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.pfb></u +sr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texliv +e/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blues 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29781-t.pdf (159 pages, 1009513 bytes). +PDF statistics: + 2689 PDF objects out of 2984 (max. 8388607) + 876 named destinations out of 1000 (max. 131072) + 241 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/old/29781-t 2021-12-19.tex b/old/29781-t 2021-12-19.tex new file mode 100644 index 0000000..70e9a25 --- /dev/null +++ b/old/29781-t 2021-12-19.tex @@ -0,0 +1,8580 @@ +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% The Project Gutenberg EBook of Le calcul des résidus et ses applications à +% la théorie des fonctions, by Ernst Leonard Lindelöf % +% % +% This eBook is for the use of anyone anywhere in the United States and % +% most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions% +% whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms % +% of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at % +% www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you % +% will have to check the laws of the country where you are located before % +% using this eBook. % +% % +% % +% Title: Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions +% % +% Author: Ernst Leonard Lindelöf % +% % +% Release Date: August 24, 2009 [eBook #29781] % +% Most recently updated: December 19, 2021 % +% % +% Language: French % +% % +% Character set encoding: UTF-8 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{29781} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% pxfonts: Palatino. 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Both %% +%% enlarge the superscript for readability; the latter handles %% +%% exponents containing fractions, which are raised and kerned. %% +%% %% +%% * Major sectional units can be found by searching for a string %% +%% of three consecutive asterisks (***). PPer comments and typo %% +%% markers can be found by searching for two asterisks. %% +%% %% +%% * The publisher's mark (gauthier_villars), illustrations (016, %% +%% 072, 103, 105), thought breaks (tb, tb2), and the residue sum %% +%% symbol (residue_sum_glyph)---are provided as pdf files. %% +%% %% +%% Compile History: %% +%% %% +%% April, 2008: adhere (Andrew D. Hwang) %% +%% texlive2007, GNU/Linux %% +%% %% +%% Command block: %% +%% %% +%% pdflatex x3 (Run pdflatex three times) %% +%% %% +%% %% +%% August 2009: pglatex. %% +%% Compile this project with: %% +%% pdflatex 29781-t.tex ..... 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Veuillez consulter le + préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.} + +%% Re-set if ForPrinting=true +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins + \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color + \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} + \renewcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + \bigskip + + Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément + reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le + préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions. + } +}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} +} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% The printed book's text block is well-approximated by hscale=0.57, +% but the geometry package default value hscale=0.7 is painstakingly +% chosen to minimize the number and size of bad line breaks in +% Palatino, and is not uncomfortable to read, ~65 chars per line. +% +% The vscale value is the package default, specified explicitly to guard +% against changes to geometry.sty. +% +% Add the option "centering" for symmetric margins (tested, no problems). +% N.B. global letterpaper option above +\usepackage[body={5.95in,7.7in},\Margins]{geometry}[2002/07/08] + +\providecommand{\ebook}{00000} % Overridden during white-washing +\usepackage[pdftex, + hyperfootnotes=false, + pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions}, + pdfauthor={Ernst Leonard Lindelöf}, + pdfkeywords={Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University Historical Mathematical Monographs collection}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +% Re-crop screen-formatted version +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {} + {\hypersetup{pdfpagescrop= 65 90 547 752}} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% Cross-referencing: labels and refs +\newcommand{\Pagelabel}[1]{% + \phantomsection + \label{#1} +} + +% ``equation tag'', labels equation with Roman section and equation number +\newcommand{\EqnTag}[3]{% + \tag{#3}% + % e.g. \label{eqn:IV.III.12} = equation 12 in Chapter IV, Section III + \Pagelabel{eqn:#1.#2.#3} +} + +% Errata (four) +\newcommand{\Erratum}[1]{\Pagelabel{err#1}} +\newcommand{\ErrNote}[1] + {\hyperref[err#1]{Page~\oldstylenums{\pageref{err#1}}}} +\newcommand{\Change}{\quad\longrightarrow\quad} + + +% ``equation reference'', e.g., \Eref{IV}{III}{12} -> \EqnTag{IV}{III}{12} +\newcommand{\Eref}[3]{\hyperref[eqn:#1.#2.#3]{\upshape(#3)}} + +% ``section reference'' +\newcommand{\Sref}[1]{{\upshape\ref{paragraph:#1}}} + +% page~n, making the preceding word part of the hyperlink: +% \Pgref{page}{page142} or \Pgref{p.}{17} +\newcommand{\Pgref}[2]{% + \hyperref[#2]{#1~{\protect\upshape\oldstylenums{\pageref{#2}}}}% +} + +%% Sectioning: Chapter, Section, Paragraph divisions +\newcounter{Chapter} +\renewcommand{\theChapter}{\Roman{Chapter}} + +% \Chapter{Roman Num}{Title} +% Must be preceded by an explicit \cleardoublepage if needed; chapter I is +% preceded by a half-title heading on the same page. +\newcommand{\Chapter}[2]{% + \refstepcounter{Chapter} + + % drop anchors + \Pagelabel{chapter:#1} + \phantomsection + \pdfbookmark[0]{Chapitre #1}{chapter:#1} + + % set up running heads + \thispagestyle{empty} + \fancyhead[CO]{\small{\textsc{\MakeLowercase{#2}}}} + \fancyhead[CE]{\small{\textsc{chapitre~\MakeLowercase{\theChapter.}}}} + + % page formatting + \begin{center} + \rule{\textwidth}{0.5pt} \\[12ex] + \textbf{\Large CHAPITRE~#1.} \\[2ex] + + \textbf{\small #2} \\[3ex] + + \rule[1ex]{0.2\textwidth}{0.5pt} + \end{center} +} + +% Chapter-like, but has no counter, sets up running heads differently +\newcommand{\Preface}{% + % set up running head, cf. \Chapter + \thispagestyle{empty} + \fancyhead[C]{\small\textsc{\MakeLowercase{PRÉFACE.}}} + + % anchor + \phantomsection + \pdfbookmark[0]{Préface}{Preface} + + % page formatting + \begin{center} + \rule{\textwidth}{0.5pt} \\[12ex] + \textbf{\LARGE PRÉFACE.} + + \rule{0.2\textwidth}{0.5pt} \\[6ex] + \end{center} + \Pagelabel{Preface} +} + +% \Section +\newcommand{\Section}[3]{% + \subsection*{\centering\normalfont\upshape\normalsize #2. --- \itshape #3} + \phantomsection + \pdfbookmark[1]{Section #1.#2}{section:#1.#2} + \Pagelabel{section:#1.#2} +} + +% \Paragraph: numbered units +\newcounter{Parno} +\newcommand{\Paragraph}[1]{% + \refstepcounter{Parno}% + % [** PP: Post-tag skip smaller than \paragraph spacing] + \indent\textbf{#1}\hspace{0.25em} + \Pagelabel{paragraph:\theParno} +} + + +% Miscellaneous referrable units: \Figure, \Theorem + +% Non-floating figure ``environment'' +\newcommand{\Figure}[2]{% + \begin{center} + \begin{minipage}{3in} + \begin{center} + Fig.~#1. \\[1ex] + \includegraphics{./images/#2} + \Pagelabel{figure:#1} + \end{center} + \end{minipage} + \end{center} +} + + +% Set paragraph in italics after small skip, make label; does not +% print ``Theorem'' or otherwise mark the italicized passage. +\newcommand{\Theorem}[2]{% + \smallskip + + \Pagelabel{theorem:#1} + \textit{#2} +} + + +% Surround footnote markers with upright parentheses +\makeatletter +\renewcommand\@makefnmark% + {\mbox{\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} + +\renewcommand\@makefntext[1]% + {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1} +\makeatother + + +% Top-level footnote numbers restart on each page +\MakePerPage{footnote} + +% for Change notes +\DeclareNewFootnote[para]{Ch}[roman] +\newcommand{\Changenotemark}{\FootnotemarkCh{\dag}} + +\newcommand{\Changenotetext}[1] + {\FootnotetextCh{\dag}{\ \textit{Voir \hyperref[Notes]{Note~#1}.}}} + +% Space between Section number and title in ToC; otherwise retaining +% F-rounds' manual formatting. +\newlength{\Tocskip} +\setlength{\Tocskip}{1.5em} +\newcommand{\TocBox}[1]{\makebox[\Tocskip][r]{#1}} + + +% Glyphs 'n things: +% \residuesum (scripty Sigma), +% \dint (medium-sized integral sign for paragraph mode), +% \smfrac, \fnfrac (medium-sized \dfracs for paragraph mode, footnotes), +% \Tbreak, bigTreak (fancy thoughtbreak symbols) + +% A good copy of the glyph was cut from a scanned page (043.png), +% converted to a bmp with ImageMagick, to esp with potrace, and +% finally to pdf with epstopdf. +\newsavebox{\resglyph} +\savebox{\resglyph}[12pt]{% + \raisebox{-1ex}{% + \hbox{\includegraphics[width=12pt]{./images/residue_sum_glyph}} + \kern -6pt% May require adjustment for non-Palatino font + } +} +\newcommand{\residuesum}{\usebox{\resglyph}} + +% Displaystyle sums, integrals, and fractions appear repeatedly in +% paragraph mode and in footnotes, causing rather poor line spacing. +% To ameliorate the effect, we define a medium-sized integral sign +% (\dint) and medium-sized dfracs (\smfrac, \fnfrac) for paragraph +% mode and footnotes, respectively. \smfrac is also used in displayed +% math when the rest of the line is of normal text height, or when an +% ordinary displaystyle fraction would be too large. + +\newsavebox{\displayint} +\savebox{\displayint}[8pt]{\scalebox{0.75}{$\displaystyle\int$}} +\newcommand{\dint}{\usebox{\displayint}} + +\newcommand{\smfrac}[2]{\mbox{\footnotesize$\dfrac{#1}{#2}$}} +\newcommand{\fnfrac}[2]{\mbox{\scriptsize$\dfrac{#1}{#2}$}} + +% Thoughtbreaks are implemented as graphics +\newcommand{\Tbreak}{% + \begin{center} + \includegraphics{./images/tb} + \end{center} +} + +\newcommand{\bigTbreak}{% + \begin{center} + \vspace{0pt plus 0.5fil} + \includegraphics{./images/tb2} + \vfil + \end{center} +} + + +% Miscellaneous math conveniences + +\DeclareMathOperator{\arc}{arc} +\DeclareMathOperator{\cosec}{cos\acute{e}c} %The accented coséc +\DeclareMathOperator{\fsec}{s\acute{e}c} %The accented séc +\DeclareMathOperator{\tang}{tang} + +% ToC dotfill +\newcommand\Dotfill{\null\nobreak\dotfill\kern.7em} + +% Common abbrev. +\newcommand{\eps}{\varepsilon} + +% \newcommand{\nos}{n\up{os}\,} + +% \Segment{a}{b}: Book's a---b notation +\newcommand{\Segment}[2]{#1\;\rule[0.5ex]{18pt}{0.5pt}\;#2} + +% Absolute value (crudely) sensitive to argument's height +\newcommand{\Labs}{\left\lvert} +\newcommand{\Rabs}{\right\rvert} +\newcommand{\Abs}[1]{\Labs#1\Rabs} + +\renewcommand{\tabularxcolumn}[1]{>{\hangindent1em\hangafter=1}b{#1}} + +% {#1}^{#2} with enlarged #2, for use with fraction-containing exponents +\newcommand{\Powfr}[2]{{#1}^{\kern -2pt\raisebox{1ex}{\mbox{\scriptsize\ensuremath{\smash[b]{#2}}}}}} + +\newcommand{\Pow}[2]{{#1}^{\mbox{\scriptsize\ensuremath{\smash[b]{#2}}}}} + + +% Title page appears twice, so centralize it in a command +\newcommand{\mytitlepage}{% +\thispagestyle{empty} +\begin{center} +COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS + +\textsc{\footnotesize publiée sous la direction de M.~Émile Borel.} + +\rule{2in}{0.5pt} +\vspace*{4ex} + +\normalsize LE \\[4ex] +\textbf{\Huge CALCUL DES RÉSIDUS} \\[4ex] +\textbf{ET SES APPLICATIONS} \\[4ex] +\textbf{\Large À LA THÉORIE DES FONCTIONS} \\[4ex] +{\small PAR} \\[4ex] +{\scshape\textbf{Ernst LINDELÖF}}, + +\textsc{\scriptsize PROFESSEUR À L'UNIVERSITÉ DE HELSINGFORS}. +\vspace*{4ex} + +\includegraphics{./images/gauthier_villars} +\vspace*{5ex} + +\textbf{\Large PARIS}, +\medskip + +\textbf{\large GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE} + +\so{\textbf{\scriptsize DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE}}, + +\so{\footnotesize Quai des Grands-Augustins, 55.} + +\rule{0.025\textwidth}{0.5pt} + +\textbf{\normalsize 1905} +\end{center} +} + +% ``half'' title page, for 005.png and start of Chapter I +\newcommand{\myhalftitlepage}{% +\begin{center} +\normalsize LE \\[4ex] +\textbf{\Huge CALCUL DES RÉSIDUS} \\[4ex] +\textbf{ET SES APPLICATIONS} \\[4ex] +\textbf{\Large À LA THÉORIE DES FONCTIONS.} \\[4ex] +\end{center} +} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{document} + +\pagestyle{empty} + +\pagenumbering{Roman} + +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\Pagelabel{PGBoilerplate} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Project Gutenberg Boilerplate} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{alltt} +The Project Gutenberg EBook of Le calcul des résidus et ses applications à +la théorie des fonctions, by Ernst Leonard Lindelöf + +This eBook is for the use of anyone anywhere in the United States and +most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions +whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms +of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at +www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you +will have to check the laws of the country where you are located before +using this eBook. + + +Title: Le calcul des résidus et ses applications à +la théorie des fonctions + +Author: Ernst Leonard Lindelöf + +Release Date: August 24, 2009 [eBook #29781] +Most recently updated: December 19, 2021 + +Language: French + +Character set encoding: UTF-8 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS *** +\end{alltt} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill +\clearpage + +%%%% CREDITS %%%% +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{alltt} +Produced by Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang, and the +Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net +(This file was produced from images generously made +available by Cornell University Digital Collections) +\end{alltt} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\begin{minipage}{0.8\textwidth} +\small +\subsection*{\centering \TransNote} + +\raggedright +\TransNoteText +\end{minipage} +\vfil + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\frontmatter + +\allowhyphens +\pagenumbering{roman} +\pagestyle{empty} +\selectlanguage{french} + +\normalsize + +%% -----File: 002.png--- +%[Blank Page] +%% -----File: 003.png--- + +% [*** Titlepage] +\enlargethispage{36pt} + +\mytitlepage +\clearpage + +%% -----File: 004.png--- +% [Blank Page] +%% -----File: 005.png--- + +% [*** Half titlepage] +\null\vfill +\myhalftitlepage +\vfill +\clearpage + +%% -----File: 006.png--- + +% [*** Advertisement page] +\enlargethispage{24pt} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{center} +\textbf{\large LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS}. + +\vspace{2ex} +\rule{.2\textwidth}{.5pt} +\vspace{3ex} + +\small COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS. +\medskip + +\scriptsize PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION DE M.~ÉMILE BOREL. + +\vspace{2ex} +\rule{.2\textwidth}{.5pt} +\vspace{2ex} +\end{center} + +{\small +\noindent\begin{tabularx}{\textwidth}{Xr} +\textbf{Leçons sur la théorie des fonctions} (\textit{Éléments de la théorie des +ensembles et applications}), par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1898\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les fonctions entières}, par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1900\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les séries divergentes}, par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1901\dotfill.& 4~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les séries à termes positifs}, professées au Collège de +France par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel} et rédigées par M.~\textit{Robert d'Adhémar}, +1902\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les fonctions méromorphes}, professées au Collège de +France par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel} et rédigées par M.~\textit{Ludovic Zoretti}, 1903\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives}, +professées au Collège de France par M.~\textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}, 1904\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les fonctions discontinues}, professées au Collège de +France par M.~\textsc{René} \bsc{Baire} et rédigées par M.~\textit{A.~Denjoy}, 1905\dotfill.& 3~fr.\ 50 +\\ +\textbf{Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements +en séries de polynomes}, professées à l'École Normale, +par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, rédigées par \textit{Maurice Fréchet} avec des Notes de +M.~P.~\textsc{Painlevé} et de M.~H.~\textsc{Lebesgue}, 1905\dotfill.& 4~fr.\ 50 +\end{tabularx} + +\vspace{2ex} +\begin{center} +\scriptsize EN PRÉPARATION: +\end{center} + +\noindent\begin{tabularx}{\textwidth}{X} +%[**F1: Gives the same hanging indent as in the previous list] +\textbf{Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plusieurs +variables complexes}, par M.~\textsc{Pierre} \bsc{Cousin}. \\ +\textbf{Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe}, par +M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}. \\ +\textbf{Leçons sur les correspondances entre variables réelles}, par M.~\textsc{Jules} +\bsc{Drach}. \\ +\textbf{Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini}, par +M.~\textsc{Otto} \bsc{Blumenthal}. \\ +\textbf{Leçons sur les séries trigonométriques}, par M.~\textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}. \\ +\textbf{Leçons sur la fonction $\zeta(s)$ de Riemann et son application à la théorie +des nombres premiers}, par M.~\textsc{Helge} \bsc{von Koch}. +\end{tabularx} +} % [** PP: End of \small] + +% [Illustration] +\Tbreak +\end{minipage} + +\cleardoublepage + +%% -----File: 007.png--- + +% [*** Titlepage with ``all rights reserved''] +\enlargethispage{24pt} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\mytitlepage + +\noindent\null{\hfill\scriptsize(\textbf{Tous droits réservés}.)\hfill} +\end{minipage} + +%% -----File: 008.png--- +% [Blank Page] +%% -----File: 009.png---Folio V------- + + +% [*** Preface] + +\cleardoublepage +% global initialization +\pagestyle{fancy} +\fancyfoot{} +\fancyhead{} +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {\fancyhead[RO,LE]{\textsc{\thepage}}} + {\fancyhead[R]{\textsc{\thepage}}} + +\setlength{\headheight}{14.5pt} + +\Preface + +Les progrès réalisés depuis quelques années dans la théorie des +fonctions analytiques ont fait ressortir combien sont toujours fécondes +et efficaces les méthodes ingénieuses créées par Cauchy, +parmi lesquelles il convient de citer en premier lieu le Calcul des +résidus. Il n'est donc pas sans intérêt de revenir maintenant sur ce +Calcul classique et d'étudier systématiquement le rôle qu'il joue +dans la théorie des fonctions proprement dite. C'est ce que nous +avons tâché de faire dans ce petit Livre, en vue de faciliter dans +une certaine mesure l'accès des parties modernes de l'Analyse. + +Dans le premier Chapitre, nous passons rapidement en revue +les principes et thé\-o\-rèmes généraux dont nous aurons à faire usage, +en cherchant d'ailleurs à varier un peu ce sujet tant de fois exposé. +Ayant fait une étude détaillée des travaux de Cauchy, y compris +quelques Mémoires peu répandus que M.~Mittag-Leffler a généreusement +mis à notre disposition, nous avons tenu à relever les +dates et à faire ressortir la portée de ses découvertes, ce qui nous +a paru d'autant plus nécessaire qu'on rencontre souvent, dans la +littérature, des indications assez peu exactes à ce sujet. + +Le deuxième Chapitre contient diverses applications du Calcul +des résidus, dues pour la plupart à Cauchy. Cependant les limites +restreintes imposées à cet Ouvrage ne nous ont permis de donner +qu'une idée très imparfaite du parti que Cauchy avait tiré lui-même +de son Calcul. Parmi les applications faites par lui qui n'ont pu +%% -----File: 010.png---Folio VI------- +trouver place dans ce Chapitre, nous devons signaler surtout la +méthode qu'il a employée pour obtenir des séries analogues à celle +de Fourier, méthode dont on trouve une très belle exposition au +Tome~II du \textit{Traité d'Analyse} de M.~Picard. + +Le troisième Chapitre est consacré aux formules sommatoires. +Le Calcul des résidus, appliqué systématiquement, permet de rattacher +toutes ces formules, avec leurs conséquences multiples, à +un même principe simple et naturel, et contribue ainsi à mettre +plus d'ordre et d'unité dans cette partie si intéressante de l'Analyse. + +Comme application de ces formules, nous en déduisons, au +quatrième Chapitre, une grande partie des expressions et des +développements trouvés, à différentes époques et par différentes +méthodes, pour la fonction~$gamma$ et pour la fonction de +Riemann. Ce Chapitre contient aussi quelques résultats nouveaux +relatifs à la série de Stirling. + +Enfin, au dernier Chapitre, nous donnons un aperçu de quelques +résultats modernes relatifs au prolongement analytique et à l'étude +asymptotique des fonctions définies par un développement de +Taylor, en insistant surtout sur certains théorèmes généraux riches +en applications et qui semblent présenter un caractère définitif. +Ici encore nous avons dû être assez bref et laisser de côté bien des +questions intéressantes, mais nous espérons néanmoins que notre +exposition ne sera pas sans utilité pour ceux qui désirent approfondir +le sujet. + +Nous tenons à exprimer ici nos vifs remercîments à M.~Émile +Borel, qui nous a invité à écrire ce Livre et qui, ensuite, en revoyant +les épreuves, a bien voulu nous assister de ses précieux +conseils. + +\begin{quote}\small +Helsingfors, le 13~novembre 1904. +\end{quote} + +\bigTbreak +\cleardoublepage + +%% -----File: 011.png---Folio VII------- + +% [*** Index -- abbreviated table of contents] + +\pagestyle{empty} +\null\vfil +\begin{center} +\Pagelabel{Index} +\textbf{\LARGE INDEX.} +\vspace*{2ex} + +\rule{0.1\textwidth}{0.5pt} +\vspace*{2ex} + +{\small +\newlength{\tablelength} +\setlength{\tablelength}{\linewidth} +\newlength{\lastcol} +\settowidth{\lastcol}{Pages. } +\addtolength{\tablelength}{-\lastcol} + +\begin{tabular}{@{} r@{\:}c@{}l@{}r @{}} +%\multicolumn{4}{@{}c@{}}{\large TABLES DES MATIÈRES.} +\multicolumn{4}{@{}r@{}}{Pages.}\\ +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:I]{\textsc{Chapitre~\TocBox{I.}}\ ---\ Principes et théorèmes fondamentaux}\dotfill}&{\pageref{chapter:I}}\\[2ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:II]{\textsc{Chapitre~\TocBox{II.}}\ ---\ Applications diverses du calcul des résidus}\dotfill}&{\pageref{chapter:II}}\\[2ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:III]{\textsc{Chapitre~\TocBox{III.}}\ ---\ Formules sommatoires tirées du calcul des résidus}\dotfill}&{\pageref{chapter:III}}\\[2ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:IV]{\textsc{Chapitre~\TocBox{IV.}}\ ---\ Les fonctions $\Gamma(x)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,w)$}\dotfill}&{\pageref{chapter:IV}}\\[2ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hangindent=10em\hyperref[chapter:V]{\textsc{Chapitre~\TocBox{V.}}\ ---\ Applications au prolongement analytique et à l'étude asymptotique des fonctions définies par un développement de Taylor}\dotfill}&\raisebox{-3ex}{\pageref{chapter:V}}\\[8ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[ToC]{\textsc{Table des matières}}\dotfill}&{\pageref{ToC}} +\end{tabular} +} % [** PP: End of \small] + +\vspace*{9ex} +\bigTbreak +\end{center} + +\vfil + +%% -----File: 012.png---Folio VIII------- +%[Blank Page] + + +%% -----File: 013.png---Folio 1------- + +% [*** Main matter] + +\mainmatter + +\pagestyle{fancy} + +\pagenumbering{arabic} +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {\fancyhead[RO,LE]{\oldstylenums{\thepage}}} + {\fancyhead[R]{\oldstylenums{\thepage}}} + +\myhalftitlepage + + +% [*** Chapter I] +% half-title above, no clearpage +\Chapter{I}{PRINCIPES ET THÉORÈMES FONDAMENTAUX.} + +\Paragraph{1.} Soient deux fonctions réelles des variables réelles $x$, $y$, +$u(x,y)$ et $v(x, y)$, continues et uniformes dans un domaine connexe +$T$, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, et vérifiant les +relations +\[ +\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad +\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}, +\EqnTag{I}{I}{1} +\] +pour tout point de ce domaine. On dit que l'expression +\[ +f(z) \equiv u(x,y) + i\,v(x, y) +\EqnTag{I}{I}{2} +\] +représente une \textit{fonction analytique de la variable complexe} +$z \equiv x+iy$ qui est \textit{holomorphe} dans le domaine~$T$. + +Désignons par $\Delta u$, $\Delta v$ les accroissements que prennent $u(x,y)$, +$v(x,y)$ lorsqu'on passe d'un point $x,y$ de $T$ à un point voisin +$x + \Delta x$, $y + \Delta y$, et posons $h = \sqrt{\Delta \Pow{x}{2}+\Delta\Pow{y}{2}}$; on obtient aisément, +en se servant des relations~\Eref{I}{I}{1}, +\[ +\Delta u + i\,\Delta v = +\left(\frac{\partial u}{\partial x} +i\frac{\partial v}{\partial x}\right) +(\Delta x + i\Delta y) + h\,(h), +\] +%% -----File: 014.png---Folio 2------- +ou bien, en posant $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$, d'où $\Abs{\Delta z} = h$, +\[ +f(z + \Delta z) - f(z) + = \left (\frac{\partial u}{\partial x} + + i\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta z + + \Delta z\, (\Delta z), +\] +($h$), ($\Delta z$) tendant vers zéro avec $h$, $\Delta z$. La dernière égalité nous +apprend que \textit{la fonction~$f(z)$ admet, pour chaque point du +domaine~$T$, une dérivée} \textsc{unique} +\[ +f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + + i\frac{\partial v}{\partial x}, +\] +\textit{qui reste continue dans}~$T$. + +Inversement, étant donnée une fonction quelconque de~$z$, continue +et uniforme dans~$T$ et admettant, en chaque point de ce domaine, +une dérivée unique qui y reste continue, on constate immédiatement +qu'elle peut se mettre sous la forme~\Eref{I}{I}{2}, $u(x, y)$~et +$v(x,y)$ jouissant des propriétés énoncées au début: c'est donc +une fonction analytique de $z$, holomorphe dans le domaine~$T$. + +Cette seconde définition met en évidence que, si $f(z)$~et~$\varphi(z)$ +sont des fonctions analytiques, holomorphes dans un domaine +donné, il en est de même de leurs somme, différence et produit, +ainsi que de leur quotient, si le dénominateur ne s'annule pas +dans le domaine. + +\Paragraph{2.} Il nous semble commode de rattacher les propriétés fondamentales +des fonctions analytiques au théorème suivant: + +\Theorem{I.I.1}{Toute fonction analytique~$f(z)$, uniforme et holomorphe +dans un domaine~$T$ à connexion simple, est la dérivée d'une +autre fonction~$F(z)$ jouissant des mêmes propriétés. Cette fonction +intégrale~$F(z)$ est déterminée à une constante additive +près.} + +En posant $F(z) = U(x, y) + i\,V(x,y)$, la condition donnée: +$F'(z)=f(z)$, ou bien $dF(z)=f(z)\,dz$, entraîne les deux suivantes: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +dU &= u\, dx - v\, dy,\\ +dV &= v\, dx + u\, dy. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{I}{I}{3} +\] + +On est donc ramené à démontrer l'existence, dans le domaine~$T$, +d'une fonction intégrale continue et uniforme d'une \textit{différentielle +%% -----File: 015.png---Folio 3------- +totale} +\[ +M(x,y)\, dx + N(x,y)\, dy, +\EqnTag{I}{I}{4} +\] +les expressions $M(x,y)$ et~$N(x,y)$ étant elles-mêmes continues +et uniformes dans~$T$, ainsi que leurs dérivées premières, et vérifiant +en chaque point de ce domaine la \textit{condition d'intégrabilité} +\[ +\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = +\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}. +\] + +On voit d'abord que, s'il existe deux fonctions intégrales jouissant +des propriétés indiquées, leur différence se réduira nécessairement +à une constante. En effet, les dérivées de cette différence +étant nulles en chaque point de~$T$, elle gardera une valeur constante +sur tout segment de droite intérieur à ~$T$ et parallèle à l'un +ou l'autre des axes de coordonnées. Or deux points pris arbitrairement +dans~$T$ peuvent toujours être reliés par une ligne composée +de semblables segments. + +Ayant fixé à l'intérieur de~$T$ un point $x_0, y_0$, imaginons que, +pour atteindre un autre point $x, y$ du même domaine, on chemine +de $x_0,y_0$ parallèlement à l'axe des~$x$ jusqu'au point $x,y_0$, puis +parallèlement à l'axe des~$y$ jusqu'au point considéré $x,y$. Cette +ligne brisée sera comprise tout entière dans~$T$ si l'on suppose le +point $x,y$ intérieur à une certaine portion de ce domaine que +nous désignerons par~$T_0$. + +Cela posé, en admettant qu'il existe une fonction continue et +uniforme dont la différentielle totale soit égale à ~\Eref{I}{I}{4} et qui, au +point $x_0,y_0$, se réduise à une constante donnée~$A$, la valeur de +cette fonction en un point quelconque $x,y$ du domaine~$T_0$ sera +évidemment représentée par l'expression +\[ +F_0(x,y)\equiv A + \int_{x_0}^x M(x,y_0)\, dx + + \int_{y_0}^y N(x,y)\, dy, +\] +obtenue en ajoutant à la valeur initiale~$A$ les accroissements que +prendra la fonction intégrale sur chacun des deux segments rectilignes +qui relient les points $x_0,y_0$ et $x,y$. + +Inversement, ayant formé l'expression ci-dessus, on constate +immédiatement qu'elle définit, dans le domaine~$T_0$, une fonction +intégrale continue et uniforme de la différentielle~\Eref{I}{I}{4}. En effet, la +%% -----File: 016.png---Folio 4------- +chose est évidente pour ce qui concerne l'uniformité et la continuité +et, en différentiant, on trouve de suite +\[ +\frac{\partial F_0(x,y)}{\partial y} = N(x,y), +\] +puis, en utilisant la condition d'intégrabilité, +\[ +\frac{\partial F_0(x,y)}{\partial x} + = M(x, y_0) + \int^{y}_{y_0} \frac{\partial N}{\partial x}\, dy + = M(x, y_0) + \int^{y}_{y_0} \frac{\partial M}{\partial y}\, dy + = M(x,y). +\] + +Le domaine~$T_0$, où est définie l'expression $F_0(x,y)$, s'obtient +en menant dans~$T$ certaines coupures parallèles à l'axe des~$y$ (dans +la figure ci-dessous, où $P_0$~désigne le point $x_0,y_0$ et où $T_0$~est l'aire +couverte de hachures, ce sont les coupures $AA'$, $BB'$ et~$CC'$). +Le domaine~$T$ étant, par hypothèse, à connexion simple, chacune de +ces coupures en séparera une portion où, jusqu'à présent, la fonction +intégrale n'est pas définie. + +%[Illustration: Fig. 1.] +\Figure{1}{016} + +À l'intérieur de~$T_0$, choisissons maintenant un point $x_1, y_1$ distinct +de $x_0, y_0$ (dans la figure c'est le point~$P_1$), et formons l'expression +\[ +F_1(x,y)\equiv F_0(x_1,y_1) + \int^{x}_{x_1} M(x,y_1)\, dx + + \int^{y}_{y_1} N(x,y)\, dy, +\] +analogue à $F_0(x, y)$ et prenant la même valeur que cette expression +au point $x_1, y_1$. En raisonnant comme ci-dessus, on démontre +que $F_1(x, y)$ représente une fonction intégrale continue et uniforme +de la différentielle~\Eref{I}{I}{4} dans une certaine portion~$T_1$ du domaine~$T$, +qui aura en commun avec~$T_0$ une aire~$T_{0,1}$, comprenant +le point $x_1, y_1$. + +Je dis qu'on a $F_1 (x, y) = F_0 (x, y)$ pour tout point de l'aire~$T_{0,1}$. +%% -----File: 017.png---Folio 5------- +En effet, d'après ce que nous avons dit plus haut, la différence des +expressions $F_1$ et~$F_0$ gardera dans cette aire une valeur constante, +et, comme elles prennent la même valeur au point $x_1, y_1$, cette +valeur constante est $0$. + +Or, si l'on a choisi convenablement le point $x_1, y_1$, le domaine~$T_1$ +renfermera aussi certaines aires extérieures à ~$T_0$ et qui en sont +séparées par l'une des coupures (dans la figure, c'est l'aire comprise +entre $CC'$ et~$DD'$). L'expression $F_1(x, y)$ sert alors à \textit{prolonger} +la fonction intégrale au delà des limites du domaine $T_0$, +où elle était définie primitivement. + +En continuant ce procédé, on pourra étendre de proche en proche +le domaine d'existence de la fonction intégrale et, par un choix +convenable des points $x_0, y_0$; $x_1, y_1$;~$\dotsc$, on arrivera même, en +général, à représenter cette fonction, dans tout le domaine~$T$, par +un nombre fini d'expressions $F_0(x,y)$, $F_1(x,y)$,~$\dotsc$. Il n'en est +plus ainsi dans les cas où le contour de~$T$ présente des singularités +d'un certain genre, mais cela a peu d'importance, car, dans la suite, +nous resterons essentiellement dans l'intérieur de ce domaine. + +En retournant maintenant aux conditions~\Eref{I}{I}{3}, nous pouvons +affirmer qu'elles définissent dans le domaine~$T$ des fonctions continues +et uniformes $U(x,y)$, $V(x,y)$, déterminées à des constantes +additives près, et, par suite, l'expression +\[ +F(z)\equiv U(x,y) + i\,V(x,y) +\] +nous donne bien une fonction intégrale de~$f(z)$, uniforme et +holomorphe dans le domaine donné et renfermant une constante +arbitraire. + +\Paragraph{3.} Prenons à l'intérieur du domaine~$T$ deux points quelconques, +$z_0\equiv x_0 + iy_0$ et $z\equiv x + iy$, et joignons-les par un chemin continu~$S$, +n'ayant aucun point commun avec le contour de~$T$; puis +choisissons sur ce chemin une suite de points, $z_1,~z_2, \dotsc,~z_n$, se +succédant dans la direction de~$z_0$ à ~$z$. On appelle \textit{intégrale définie +de la fonction~$f(z)$, prise le long du chemin~$S$ de~$z_0$ à ~$z$}, et +l'on dénote par +\[ +\int^{z}_{z_0(S)} f(z)\, dz +\] +%% -----File: 018.png---Folio 6------- +la limite vers laquelle tend la somme +\[ +\sum^{n}_0 f(z_\nu)(z_{\nu+1} - z_\nu),\qquad (z_{n+1}=z), +\] +lorsque~$n$ croît indéfiniment, en même temps que la distance entre +deux points consécutifs~$z_\nu$ quelconques tend vers zéro. + +Or, en posant +$z_\nu = x_\nu + iy_\nu$, +$u_\nu = u(x_\nu, y_\nu)$, +$v_\nu = v(x_\nu, y_\nu)$, +la somme en question s'écrit +\[ + \sum^{n}_{0}\bigl[u_\nu (x_{\nu+1} - x_\nu) + - v_\nu (y_{\nu+1} - y_\nu)\bigr] +% ++ i \sum^{n}_{0}\bigl[v_\nu (x_{\nu+1} - x_\nu) + + u_\nu (y_{\nu+1} - y_\nu)\bigr] +\] +et, lorsque~$n$ augmente indéfiniment, cette expression tend vers la limite +\[ + \int^{x,y}_{x_0,y_0(S)} (u\,dx - v\,dy) ++i \int^{x,y}_{x_0,y_0(S)} (v\,dx + u\,dy), +\] +laquelle, en vertu des égalités~\Eref{I}{I}{3}, se réduit à son tour à +\[ +U(x,y) - U(x_0,y_0) + i\, \bigl[V(x,y) - V(x_0,y_0)\bigr], +\] +c'est-à -dire à $F(z)-F(z_0)$. Toutes ces conclusions découlent +immédiatement de la notion d'intégrale curviligne, si l'on admet +que le chemin~$S$ se compose d'un nombre fini d'arcs de courbes +continues à tangente continue, hypothèse qui suffit complètement +aux besoins de la théorie des fonctions. + +Nous avons donc trouvé +\[ +\int^{z}_{z_0(S)}f(z)\,dz = F(z) - F(z_0), +\EqnTag{I}{I}{5} +\] +et cette égalité renferme deux résultats d'une importance capitale: +comme le second membre ne dépend que des limites $z_0$ et~$z$ de +l'intégrale, il en résulte d'abord que: + +\Theorem{I.I.2}{L'intégrale $\dint f(z)\,dz$, prise entre des limites fixes, ne +change pas de valeur, de quelque manière qu'on fasse varier +le chemin d'intégration, à condition que ce chemin reste +constamment intérieur à un domaine où la fonction~$f(z)$ est +holomorphe.} +%% -----File: 019.png---Folio 7------- + +D'autre part, si les extrémités $z_0$ et~$z$ du chemin~$S$ se rapprochent +jusqu'à se confondre, le second membre de l'égalité~\Eref{I}{I}{5} +tendra vers zéro, d'où celle nouvelle conclusion: + +\Theorem{I.I.3}{L'intégrale $\dint f(z)\,dz$ s'évanouit toutes les fois qu'on prend +pour chemin d'intégration un contour fermé, compris dans +un domaine simplement connexe où la fonction~$f(z)$ est holomorphe\footnotemark.} +\footnotetext{On rattache généralement ce théorème à la formule +\[ +\iint_T \left(\frac{\partial N}{\partial x} + - \frac{\partial M}{\partial y}\right)\, dx\,dy + = \int_C (M\,dx + N\,dy), +\] +les fonctions $M(x,y)$ et~$N(x,y)$, ainsi que leurs dérivées premières, étant +continues et uniformes dans le domaine~$T$ et sur son contour~$C$. + +Dans son \textit{Mémoire sur les intégrales définies} de l'année~1814 (\textit{{\OE}uvres complètes}, +série~I, t.~1), Cauchy s'est servi de cette formule dans le cas où le domaine +est un rectangle ou s'y ramène par une transformation bi-uniforme des coordonnées. +C'est la même méthode qu'a adoptée Kronecker dans une Note insérée +dans les \textit{Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin},~1880, +p.~688, et qu'on trouve développée dans le Chapitre~III de ses Leçons sur les +intégrales définies, publiées par M.~Netto. + +D'autre part, on trouve dans le \textit{Mémoire sur les rapports qui existent entre +le calcul des résidus et le calcul des limites}, que Cauchy avait présenté à +l'Académie de Turin le~27 novembre~1831 et dont un extrait assez étendu a été +publié dans le \textit{Bulletin de Férussac}, t.~XVI,~1831, p.~116--128, une démonstration +du théorème ci-dessus, fondée sur les mêmes principes et \textit{parfaitement générale}. + +Enfin, dans une Note du~3 août~1846, intitulée \textit{Sur les intégrales qui s'étendent +à tous les points d'une courbe fermée} (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~X, p.~70), Cauchy +a généralisé notablement les résultats qu'il avait obtenus antérieurement.} +% [** End of footnote] + +Supposons maintenant la fonction~$f(z)$ uniforme et holomorphe +dans un domaine~$T$ à connexion multiple, et soient $C$, $C'$ des contours +fermés, intérieurs à ~$T$ et pouvant se réduire l'un à l'autre +par une déformation continue, sans sortir jamais de ce domaine. +Je dis qu'on aura +\[ +\int_C f(z)\,dz = \int_{C'} f(z)\,dz. +\] + +En effet, si $C$~et~$C'$ se coupent, les parties de ces contours comprises +entre deux points d'intersection consécutifs correspondent +à la même valeur de l'intégrale $\dint f(z)\, dz$, en vertu du théorème +%% -----File: 020.png---Folio 8------- +de la \Pgref{page}{theorem:I.I.2}, d'où résulte l'égalité ci-dessus. Si les courbes $C$ et~$C'$ +sont intérieures l'une à l'autre et si on les joint par une coupure, +les deux bords de celle-ci formeront avec lesdites courbes le contour +complet d'un domaine simplement connexe où~$f(z)$ est holomorphe. +L'intégrale $\dint f(z)\,dz$ étendue à ce contour est donc égale +à \textit{zéro} et, comme les parties de l'intégrale relatives aux deux bords +de la coupure se détruisent, on en déduit bien l'égalité voulue. +Donc: + +\Theorem{I.I.4}{Si la fonction~$f(z)$ est uniforme et holomorphe dans un +domaine donné~$T$ à connexion quelconque, l'intégrale +$\dint f(z)\,dz$, étendue à un contour fermé situé dans~$T$, garde +une valeur invariable lorsque ce contour se déforme d'une +manière continue, en restant constamment intérieur à ~$T$.} + +\Paragraph{4.} Soient~$f(z)$ une fonction analytique, holomorphe dans un +domaine~$T$ à connexion simple, $C$~une courbe fermée située +dans~$T$ et ne se coupant pas elle-même, $x$~un point intérieur à ~$C$ +et~$c$ un cercle de centre~$x$ et intérieur à ~$C$. Le théorème ci-dessus +nous donne +\[ +\int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz = \int_c \frac{f(z)}{z-x}\, dz, +\] +les contours $C$ et~$c$ étant parcourus tous deux dans le sens direct. +Or, si l'on pose $z-x = r\,\Pow{e}{i\varphi}$, $r$~étant le rayon du cercle~$c$, cette +dernière intégrale prendra la forme +\[ +i\int_0^{2\pi} f(x + r\,\Pow{e}{i\varphi})\, d\varphi, +\] +d'où l'on conclut qu'elle tend vers $2\pi i\,f(x)$ lorsque~$r$ s'annule. +Comme elle est, d'autre part, indépendante de~$r$, toujours en +vertu du même théorème, sa valeur sera précisément $2\pi i\,f(x)$. Par +suite, l'égalité ci-dessus nous donne la formule fondamentale +\[ +f(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz, +\EqnTag{I}{I}{6} +\] +qui aura lieu pour tout point~$x$ intérieur à ~$C$. + +%% -----File: 021.png---Folio 9------- + +On en conclut d'abord, par la définition même de la dérivée, +que la fonction~$f(x)$ admet dans son domaine d'holomorphie des +dérivées de tous les ordres et que l'on a, à l'intérieur de~$C$, +\Erratum{1} +\[ +\Pow{f}{(\nu)}(x) + = \frac{\nu!}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)\, dz}{\Pow{(z-x)}{\nu+1}}. +\EqnTag{I}{I}{7} +\] + +Prenons maintenant un point quelconque,~$a$, intérieur à ~$C$ et +distinct de~$x$, et posons +\[ +\frac{1}{z-x} \equiv \frac{1}{z-a - (x-a)} + = \sum_{0}^{n-1} + \frac{\Pow{(x-a)}{\nu}}{\Pow{(z-a)}{\nu+1}} + + \Pow{\left(\frac{x-a}{z-a}\right)}{n} \frac{1}{z-x}. +\] + +La formule~\Eref{I}{I}{6} deviendra, en tenant compte de l'égalité~\Eref{I}{I}{7}, +\[ +f(x) = \sum_{0}^{n-1} + \frac{\Pow{f}{(\nu)}(a)}{\nu!} \Pow{(x-a)}{\nu} + + \frac{1}{2\pi i} \int_C + \Pow{\left(\frac{x-a}{z-a}\right)}{n} \frac{f(z)}{z-x}\,dz. +\EqnTag{I}{I}{8} +\] + +Soient $M$ le maximum de~$\Abs{f(z)}$ sur~$C$, $S$~la longueur totale de ce +contour, $R$~la plus courte distance du point~$a$ à ~$C$, $R'$~un nombre +positif inférieur à ~$R$, et supposons $\Abs{x-a}\leqq R'$. Le dernier terme +de l'égalité ci-dessus aura son module inférieur à +\[ +\frac{MS}{2\pi(R - R')} \Pow{\left(\frac{R'}{R}\right)}{n}, +\] +et comme cette quantité s'annule lorsque~$n$ croît indéfiniment, on +arrive à cette conclusion que, pour $\Abs{x-a}\leqq R'$, la fonction~$f(x)$ +est représentée par son \emph{développement de Taylor} +\[ +% [** PP: \nu in superscript changed to (\nu)] +f(x) = \sum_{0}^{\infty} \frac{\Pow{f}{(\nu)}(a)}{\nu!} + \Pow{(x-a)}{\nu}.\quad\Changenotemark +\] +\Changenotetext{1} + +Comme $R'$ était un nombre quelconque inférieur à ~$R$ et~$C$ un +contour quelconque compris dans~$T$, cette égalité subsiste dans le +cercle de centre~$a$ et tangent intérieurement au contour de~$T$\footnotemark. +\footnotetext{Cauchy a établi pour la première fois ce théorème dans son \textit{Mémoire sur +la Mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé Calcul des limites}, qu'il +présenta à l'Académie de Turin le 11~octobre 1831, et dont un résumé fut inséré +la même année dans le \textit{Bulletin de Férussac}, t.~XV, p.~260--269. La partie la plus +importante de ce travail, qui marque un des plus grands progrès qui aient jamais +été réalisés dans l'Analyse, se trouve reproduite dans le Tome~II des \textit{Exercices +d'Analyse} (1841). + +Quant aux formules \Eref{I}{I}{6} et~\Eref{I}{I}{7}, il y avait longtemps que Cauchy les avait +tirées du calcul des résidus, dans le cas particulier où le contour~$C$ se réduit à un +cercle de rayon \emph{un}. \emph{Voir}, par exemple, \textit{Bulletin de la Société Philomathique}, +1822; \textit{Annales de Gergonne}, t.~XVII, p.~114, et un article de la première +année (1826) des \textit{Exercices de Mathématiques} (\textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~VI, +p.~270--271). + +D'ailleurs, ces formules avaient déjà été remarquées par d'autres auteurs, +notamment par Frullani et Poisson, qui y étaient arrivés \emph{en partant de la série +de Taylor}. Mais, dans cet ordre d'idées, on doit surtout citer Parseval, auteur +peu connu de notre temps, mais dont les travaux vraiment remarquables: +\emph{Méthode générale pour sommer, par le moyen des intégrales définies, la +suite donnée par Lagrange, et Mémoire sur les séries et sur l'intégration +complète d'une équation aux différences partielles linéaires du second ordre, +à coefficients constants} (\textit{Mémoires présentés par divers savants}, série~I, +t.~I, 1806) ont exercé une grande influence sur les analystes du commencement +du siècle dernier, et tout particulièrement sur Cauchy (\emph{voir}, par exemple, +\textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~VI, p.~275). + +Les remarques qui précèdent pourront servir à compléter ou à corriger, sur +différents points, les intéressants articles que vient de publier M.~Stäckel sur +l'histoire de la Théorie des fonctions (\textit{Bibliotheca Mathematica}, série~III, t.~I, +p.109--128 et t.~II, p.~111--121).} +%[** End of footnote] + +%% -----File: 022.png---Folio 10------- + +\Paragraph{5.} Passons au \emph{théorème de Laurent}. Nous supposons la +fonction~$f(z)$ uniforme et holomorphe à l'intérieur et sur le contour +de la couronne comprise entre deux cercles concentriques, $C$ et~$c$, +de centre~$a$. Prenons dans cette couronne un point arbitraire,~$x$, +et joignons $C$~et~$c$ par une coupure ne passant pas par ce point. +On aura un domaine simplement connexe où $f(z)$~est holomorphe, +contour compris, et l'on pourra donc appliquer la formule~\Eref{I}{I}{6} en +y étendant l'intégrale au contour complet de ce domaine. Or, +comme~$f(z)$ est uniforme dans la couronne envisagée, les intégrales +relatives aux deux bords de la coupure se détruisent, de +sorte que nous trouvons +\[ +f(x)= +\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz - +\frac{1}{2\pi i}\int_c \frac{f(z)}{z-x}\, dz, +\] +les contours $C$ et~$c$ étant tous deux parcourus dans le sens direct. + +En raisonnant comme ci-dessus, on trouve d'abord \emph{pour tout +point~$x$ intérieur au cercle~$C$}, +\[ +\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-x}\,dz + = \sum^{\infty}_0 A_\nu \Pow{(x-a)}{\nu}, +\] +%% -----File: 023.png---Folio 11------- +avec +\[ +A_\nu = \frac{1}{2\pi i}\int_L \frac{f(z)\, dz}{\Pow{(z-a)}{\nu+1}}. +\] + +En vertu du théorème de la \Pgref{page}{theorem:I.I.4}, il est permis de prendre +pour contour d'intégration dans cette dernière intégrale, soit l'une +des circonférences $C$ et~$c$, soit une courbe fermée quelconque,~$L$, +intérieure à ~$C$ et enveloppant~$c$, et ne se coupant pas elle-même. + +D'autre part, en écrivant +\[ +-\frac{1}{z-x} \equiv \frac{1}{x-a-(z-a)} + = \sum^n_1 \frac{\Pow{(z-a)}{\nu-1}}{\Pow{(x-a)}{\nu}} + + \Pow{\left( \frac{z-a}{x-a} \right)}{n} \frac{1}{x-z}, +\] +et en observant que, si $\Abs{x-a}$ est supérieur au rayon du cercle~$c$, +l'intégrale +\[ +\frac{1}{2\pi i}\int_c + \Pow{\left( \frac{z-a}{x-a} \right)}{n} \frac{f(z)\, dz}{x-z} +\] +s'évanouit pour $n = \infty$, on trouve le développement +\[ +-\frac{1}{2\pi i}\int_c\frac{f(z)}{z-x}\, dz + = \sum^{\infty}_1 \frac{B_\nu}{\Pow{(x-a)}{\nu}}, +\] +où +\[ +B_\nu = \frac{1}{2\pi i}\int_L f(z)\Pow{(z-a)}{\nu-1}\,dz, +\EqnTag{I}{I}{9} +\] +et qui reste valable \emph{pour tout point~$x$ extérieur au cercle~$c$}. + +On aura, dès lors, dans la couronne comprise entre $C$ et~$c$, +\[ +f(x) = \sum^{\infty}_0 A_\nu \Pow{(x-a)}{\nu} + + \sum^{\infty}_1 \frac{B_\nu}{\Pow{(x-a)}{\nu}}, +\EqnTag{I}{I}{10} +\] +égalité qui constitue précisément le théorème de Laurent. + +\Paragraph{6.} Admettons, en particulier, que la fonction~$f(z)$ est uniforme +et holomorphe pour tout point du cercle~$C$, excepté le centre~$a$. Le +raisonnement qui précède restera vrai quelque petit qu'on prenne le +rayon du cercle~$c$, et les valeurs des coefficients $A_\nu$, $B_\nu$ seront +toujours les mêmes. Donc, la fonction~$f(x)$ sera représentée par +le développement~\Eref{I}{I}{10} pour tout point~$x$ intérieur à ~$C$ et distinct +du point~$a$. + +%% -----File: 024.png---Folio 12------- + +Quant au caractère que présente la fonction~$f(x)$ dans le voisinage +du point~$a$, deux cas sont \textit{a priori} possibles: ou il existe un +entier~$n$ tel que, dans le cercle~$C$, le module du produit $\Pow{(x-a)}{n}f(x)$ +reste inférieur à un nombre fini,~$M$, ou bien un tel entier n'existe +pas. + +Considérons d'abord le premier cas, et admettons que~$n$ est précisément +le plus petit entier satisfaisant à la condition indiquée. En +faisant $\nu = n + k$ et en prenant pour contour d'intégration un +cercle de centre $a$ et de rayon $r$, on déduit de l'égalité~\Eref{I}{I}{9} +\[ +\Abs{B_{n+k}} < M\, \Pow{r}{k}, +\] +et, comme $M\,\Pow{r}{k}$ s'annule avec~$r$, pour $k\geqq 1$, tandis que les valeurs +des coefficients~$B$ ne dépendent pas de~$r$, il en résulte que +$B_{n+1} = B_{n+2} = \dotsb = 0$. Donc, le développement~\Eref{I}{I}{10} ne comprend +qu'\textit{un nombre fini de termes à puissances négatives}\footnotemark: +\footnotetext{Cf.~\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~I, t.~XI, 1851, p.~384.} +\[ +f(x) = \frac{B_n}{\Pow{(x-a)}{n}\vphantom{\Pow{(x-a)}{n-1}}} + + \frac{B_{n-1}}{\Pow{(x-a)}{n-1}}+ \dotsb + + \frac{B_1}{x-a} + + \sum^{\infty}_0 A_{\nu}\Pow{(x-a)}{\nu}. +\] +On aura d'ailleurs $B_n\neq 0$, sans quoi le produit $\Pow{(x-a)}{n-1}f(x)$ +resterait fini dans le voisinage du point~$a$, contrairement à l'hypothèse.---On +dit, dans ce cas, que le point~$a$ est \textit{un pôle d'ordre}~$n$ +pour la fonction~$f(x)$. + +Inversement, si~$a$ est un pôle de~$f(x)$, il existe évidemment un +entier~$n$ jouissant de la propriété indiquée plus haut. Donc, dans +le cas où un tel entier n'existe pas, la partie fractionnaire du +développement~\Eref{I}{I}{10} comprendra une infinité de termes, et réciproquement. +Alors, le point~$a$ est dit \textit{point singulier essentiel} +pour la fonction donnée. + +Le coefficient~$B_1$ de la première puissance négative dans le développement~\Eref{I}{I}{10} +s'appelle \textit{le résidu de la fonction~$f(x)$ relatif +au point singulier $x = a$}\footnotemark. +\footnotetext{Ce terme a été employé par Cauchy pour la première fois, à ce qu'il semble, +dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences le 28~décembre 1825 (voir +p.~XIII de l'analyse des travaux de l'Académie pendant l'année 1825, par Fourier), +puis dans les \textit{Exercices de Mathématiques}. Mais la notion de résidu est au fond +identique à celle d'\textit{intégrale singulière} que Cauchy avait introduite dans son +Mémoire de 1814, et qui se trouve exposée avec beaucoup de précision dans ses +\textit{Leçons sur le Calcul infinitésimal} de l'année 1823 (\textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~IV +34\ieme{}~leçon). + +Cauchy est bien des fois revenu sur les notions fondamentales du Calcul des +résidus, cherchant à les préciser et à les simplifier autant que possible. \textit{Voir}, en +particulier, \textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~XI, 1851, p.~306--314; t.~XII, 1855, p.~300--301 +et 1857, p.~433--444.} % [** End of footnote] +D'après~\Eref{I}{I}{9}, on a +\[ +B_1 =\frac{1}{2\pi i} \int_L f(z)\, dz, +\] +%% -----File: 025.png---Folio 13------- +$L$ étant un contour fermé simple intérieur à ~$C$ et enveloppant le +point~$a$. Si $a$~est un pôle simple, on aura aussi cette autre définition: +\Pagelabel{page13} +\[ +B_1 = \lim_{x=a}(x-a)f(x). +\] + +Remarquons encore que le résidu~$B_1$ s'évanouit si~$f(z)$ est la +dérivée d'une fonction qui reste uniforme dans le voisinage du +point~$a$, ce qui résulte immédiatement de l'égalité~\Eref{I}{I}{5}, \Pgref{page}{eqn:I.I.5}. + +\Paragraph{7.} Supposons maintenant la fonction~$f(x)$ holomorphe et uniforme +dans la région du plan qui est extérieure à un certain cercle~$c$ +ayant l'origine comme centre. On aura \textit{pour tout point de cette +région} +\[ +f(x) = \sum^{\infty}_0 A_\nu \Pow{x}{\nu} + + \sum^{\infty}_1 \frac{B_\nu}{\Pow{x}{\nu}} +\EqnTag{I}{I}{11} +\] +avec +\[ +A_{\nu} = \frac{1}{2\pi i}\int_L \frac{f(z)}{\Pow{z}{\nu+1}}\, dz, \qquad +B_{\nu} = \frac{1}{2\pi i}\int_L f(z) \Pow{z}{\nu-1}\, dz, +\] +$L$ étant un contour fermé simple enveloppant le cercle~$c$. En effet, +en vertu du théorème de Laurent, cette égalité a lieu dans la couronne +comprise entre~$c$ et un cercle concentrique~$C$, enveloppant +le contour~$L$ et d'ailleurs aussi grand qu'on voudra. + +Nous avons ici encore à distinguer deux cas: + +Admettons d'abord qu'il existe un entier~$n$ tel que le module +$\Abs{\Pow{z}{-n}f(z)}$ reste inférieur à une limite finie, quelque grand +que soit~$\Abs{z}$, et soit d'ailleurs $n$ le plus petit entier satisfaisant à +cette condition. On en conclut, par un raisonnement analogue à +celui du \no\Sref{6}, $A_{n+1}=A_{n+2}=\dotsb =0$, $A_{n}\neq 0$, de sorte que~$\Pow{x}{n}$ est +%% -----File: 026.png---Folio 14------- +la puissance la plus élevée de~$x$ qui figure dans le +développement~\Eref{I}{I}{11}. On convient de dire, dans ce cas, que \textit{le point à l'infini +est pour~$f(x)$ un pôle d'ordre~$n$}. Si, en particulier, $\Abs{f(z)}$ reste +au-dessous d'une limite finie, à partir d'une certaine valeur de~$\Abs{z}$, +le développement~\Eref{I}{I}{11} ne comprendra aucune puissance positive +de~$x$; alors \textit{la fonction~$f(x)$ est holomorphe à l'infini}. + +Dans le cas où il n'existe pas d'entier~$n$ vérifiant la condition +indiquée, le développement~\Eref{I}{I}{11} comprendra au contraire une +infinité de termes à puissances positives, et le point à l'infini est +dit \textit{point singulier essentiel} pour~$f(x)$. + +On convient d'appeler \textit{résidu de la fonction~$f(x)$ relatif au +point~$\infty$} l'expression +\Pagelabel{page14} +\[ +-B_1 = \frac{1}{2\pi i}\int_L f(z)\, dz, +\] +l'intégrale étant prise le long du contour~$L$ dans le sens \textit{indirect} +par rapport à l'origine ou, ce qui revient au même, dans le sens +direct par rapport au point~$\infty$. Remarquons que \textit{ce résidu est nul +dans le cas où le produit $z\,f(z)$ tend uniformément vers zéro +avec~$\smfrac{1}{z}$}, c'est-à -dire où l'inégalité $\Abs{z\,f(z)} < \eps$, quelque petit qu'on +se donne~$\eps$, est vérifiée dès que~$\Abs{z}$ dépassera une certaine limite +finie. En effet, en prenant pour contour~$L$ un cercle ayant l'origine +comme centre et dont le rayon est supérieur à cette même limite, +on trouvera $\Abs{B_1} < \eps$, d'où il suit $B_1 = 0$. + +\Paragraph{8.} Soit une fonction analytique~$f(z)$ qui, dans un domaine +donné à connexion simple, est uniforme et ne présente qu'un +nombre fini de points singuliers, $a_1$,~$a_2$, $\dots,~a_n$, en étant d'ailleurs +holomorphe sur le contour~$C$ de ce domaine. Entourons les points~$a$ +de petites courbes fermées, $c_1, c_2, \dots, c_n$, extérieures les unes aux +autres mais intérieures à ~$C$, et joignons chacune de ces courbes +avec~$C$ par une coupure. Un raisonnement analogue à celui du +\no\Sref{5} nous donnera +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\, dz + = \sum_1^n \frac{1}{2\pi i} \int_{c_\nu} f(z)\, dz, +\] +tous les contours étant parcourus dans le sens direct. Or le second +%% -----File: 027.png---Folio 15------- +membre est égal à la somme des résidus de la fonction~$f(z)$ relatifs +à ses points singuliers intérieurs au contour~$C$, et, en désignant +avec Cauchy cette somme par $\residuesum_C\bigl(f(z)\bigr)$, %*Crazy integral +on pourra donc écrire +l'égalité précédente sous la forme +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\, dz = \residuesum_C \bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{I}{I}{12} +\] +C'est la formule sur laquelle repose tout le calcul des résidus\footnotemark. +\footnotetext{Sous cette forme générale, la formule~\Eref{I}{I}{12} a été établie par Cauchy dans +le Mémoire du 27~novembre 1831 et publiée la même année dans le \textit{Bulletin de +Férussac} (Cf.~la note p.~7).} + +Dans le cas où la fonction~$f(z)$ est uniforme et holomorphe +dans la région extérieure au contour~$C$, le premier membre de~\Eref{I}{I}{12} +est égal au résidu de cette fonction au point~$\infty$ pris avec le signe +\textit{moins}, d'où cette proposition: + +\Theorem{I.I.5}{La somme de tous les résidus d'une fonction analytique, +uniforme dans tout le plan et n'ayant qu'un nombre fini de +points singuliers, est égale à zéro.} + +Soit, en particulier, une fonction~$f(z)$, holomorphe dans tout le +plan et dont le module reste inférieur à une certaine quantité finie, +quel que soit~$z$, et considérons l'expression +\[ +F(z) \equiv \frac{f(z)}{(z-x)(z-y)}\ \raisebox{0.3ex}{,} +\] +$x$ et~$y$ étant deux points distincts pris au hasard. Comme $z\,F(z)$ +tend uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{z}$, le résidu de~$F(z)$ à l'infini +est égal à zéro, d'après la remarque faite \Pgref{page}{page14}. En vertu de la +proposition ci-dessus, il en est donc de même de la somme des +résidus de~$F(z)$ relatifs aux points $x$ et~$y$ et, comme cette somme +s'écrit +$\smfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$, il en résulte $f(x)=f(y)$. Donc \textit{la +fonction~$f(z)$ se réduit à une constante}\footnotemark. +\footnotetext{Cf.~\bsc{Cauchy}, \textit{{\OE}uvres complètes}, série~I, t.~VIII.\ 1844, p.~366--375. Dans +cette Note, Cauchy démontre également qu'une fonction~$f(z)$, holomorphe dans +tout le plan et telle qu'on ait $\Abs{\fnfrac{f(z)}{\Pow{z}{n}}} < M$ à partir d'une certaine valeur de~$\Abs{z}$, +se réduit à un polynôme d'un degré~$\leqq n$. Plus tard (\textit{Ibid}.,\ t.~XI, 1851, p.~376--380), +il a tiré de la formule~\Eref{I}{I}{13} du texte l'expression générale d'une fonction uniforme +n'ayant qu'un nombre fini de points singuliers, et montré, en particulier, que +toute fonction n'ayant d'autres singularités que des pôles se réduit à une fraction +rationnelle.} % [** End of footnote] + +%% -----File: 028.png---Folio 16------- + +En reprenant les hypothèses et les notations adoptées au début +de ce numéro, appliquons maintenant la formule~\Eref{I}{I}{12} à la fonction +\[ +\frac{f(z)}{z-x}\ \raisebox{0.3ex}{,} +\] +$x$ étant un point quelconque intérieur au contour~$C$ et distinct des +points $a_1$,~$a_2$, $\dotsc,~a_n$. Le résidu de cette fonction au point~$x$ est +égal à ~$f(x)$. Pour trouver le résidu relatif à ~$a_\nu$, écrivons +\[ +f(z) = G_\nu \left(\frac{1}{z - a_\nu}\right) + H_\nu(z - a_\nu), +\] +$G_\nu$ désignant la partie fractionnaire et~$H_\nu$ la partie entière du développement +de~$f(z)$ suivant les puissances de~$z-a_\nu$. Comme~$H_\nu$ +est holomorphe au point~$a_\nu$, on voit d'abord que $\smfrac{f(z)}{z-x}$ aura en ce +point le même résidu que l'expression +\[ +\Phi (z) \equiv \frac{1}{z-x} G_\nu \left(\frac{1}{z - a_\nu}\right). +\] +Or celle-ci n'a d'autres points singuliers que $z = x$ et~$z = a_\nu$, +et, comme $z\,\Phi(z)$ tend uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{z}$, son +résidu à l'infini est nul. En vertu de la proposition démontrée +\Pgref{page}{theorem:I.I.5}, le résidu cherché est donc égal au résidu de~$\Phi(z)$ au +point~$x$ pris avec le signe \textit{moins}, c'est-à -dire à +$-G_\nu \left(\smfrac{1}{x - a_\nu}\right)$, +et par suite la formule~\Eref{I}{I}{12} nous donnera +\[ +f(x) = \sum^n_1 G_\nu \left( \frac{1}{x - a_\nu} \right) + + \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz, +\EqnTag{I}{I}{13} +\] +autre formule fondamentale du Calcul des résidus dont Cauchy a +fait un usage continuel dans ses recherches. + +\Paragraph{9.} Nous devons rappeler le principe fondamental du +%% -----File: 029.png---Folio 17------- +prolongement analytique, dont nous aurons constamment à faire usage +dans cet Ouvrage. + +\Theorem{I.I.6}{Si les fonctions $f_1(x)$ et~$f_2(x)$ sont holomorphes dans une +aire connexe~$T$, et si l'égalité $f_1(x)=f_2(x)$ est vérifiée sur un +segment de courbe arbitrairement petit~$\gamma$ intérieur à ~$T$, elle +subsistera pour tout point de cette aire\footnotemark.} +\footnotetext{Dans une Note de Cauchy du 17~février 1845 (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~IX, p.~39) +on trouve le principe en question énoncé en ces termes: + +\Theorem{I.I.7}{Supposons que deux fonctions de~$x$ soient toujours égales entre elles pour +des valeurs de~$x$ très voisines d'une valeur donnée. Si l'on vient à faire +varier~$x$ par degrés insensibles, ces deux fonctions seront encore égales tant +qu'elles resteront l'une et l'autre fonctions continues de~$x$ \emph{(c'est-à -dire \emph{holomorphes}, +d'après la terminologie actuelle)}.} + +Cauchy avait été conduit à ce résultat, qu'il énonce d'ailleurs aussi pour les +fonctions de plusieurs variables, en généralisant une proposition établie par Cellérier, +dans une \textit{Note relative à la théorie des imaginaires}, qui semble n'avoir +jamais été publiée (Cf.~le Rapport de Cauchy, \textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~VIII, 1844, +p.~160--162). + +Cependant Cauchy n'a pas tiré d'applications de son principe, et c'est à Riemann +et à Weierstrass que revient l'honneur d'avoir les premiers mis en évidence +l'importance et la fertilité de la notion de prolongement analytique.} +% [** End of footnote] + +D'un point~$a$ du segment~$\gamma$ comme centre, décrivons un cercle~$C$ +ayant pour rayon la plus courte distance de ce point au contour +de l'aire~$T$. À l'intérieur de ce cercle, les fonctions $f_1(x)$ et~$f_2(x)$ +sont représentées par leurs développements de Taylor: +\[ +f_1(x) = \sum \Pow{A}{(1)}_\nu \Pow{(x-a)}{\nu}, \quad +f_2(x) = \sum \Pow{A}{(2)}_\nu \Pow{(x-a)}{\nu}. +\] +Je dis que ces développements sont identiques, c'est-à -dire que +l'on a $\Pow{A}{(1)}_\nu = \Pow{A}{(2)}_\nu$ pour chaque indice~$\nu$. + +Supposons, en effet, qu'il n'en soit pas ainsi, et soit~$n$ le plus +petit entier pour lequel l'égalité précédente n'ait pas lieu. On +aurait, en posant pour abréger $\Pow{A}{(1)}_\nu - \Pow{A}{(2)}_\nu = A_\nu$, +\[ +f_1(x) - f_2(x) + = \Pow{(x-a)}{n} \bigl[A_n + A_{n+1}(x-a) + \dots\bigr] \quad (A_n \neq 0), +\] +et l'on pourrait donc trouver un nombre positif~$r$ assez petit pour +que cette différence ne s'annule pour aucun point du domaine +$0<\Abs{x-a}<r$. Or ceci est impossible, puisque le domaine dont +il s'agit renferme une partie du segment~$\gamma$. +%% -----File: 030.png---Folio 18------- + +On a donc $f_1(x) = f_2(x)$ pour tout point du cercle~$C$. En prenant +maintenant un point quelconque~$b$ intérieur à ~$C$, on démontre +par le même raisonnement que cette égalité subsiste dans le cercle +ayant~$b$ pour centre et tangent intérieurement au contour de~$T$ et, +en continuant ce procédé, on arrivera évidemment à l'établir pour +un point quelconque de l'aire~$T$. + +\Paragraph{10.} En terminant ce Chapitre, nous démontrerons un théorème +général dû à Weierstrass\footnote{% +\textit{Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin}, 1880.} +et qui joue un rôle très important +dans la théorie des fonctions: + +\Theorem{I.I.8}{Soit une suite indéfinie de fonctions analytiques, +$u_1(x),~u_2(x),~\dotsc$, holomorphes dans une aire connexe~$T$ et sur son +contour~$C$, et supposons que la série +\[ +F(x) = u_1(x) + u_2(x) + \dotsb + u_{\nu}(x) + \dotsb +\EqnTag{I}{I}{14} +\] +converge uniformément sur~$C$\footnote{% +Cette condition implique que, ayant fixé un nombre positif arbitrairement +petit~$\eps$, on pourra trouver un entier~$n$ tel qu'on ait +\[ +\Abs{\sum^{n+p}_n u_{\nu}(x)} < \eps +\] +pour tout point du contour~$C$, et quel que soit l'entier positif~$p$. Or on sait, par +une propriété bien connue des fonctions analytiques, que la plus grande valeur +que prend le premier membre de cette inégalité sur le contour~$C$ est supérieure +à sa valeur en un point quelconque intérieur à ce contour. Il en résulte que, si +la série~\Eref{I}{I}{14} est uniformément convergente sur le contour~$C$, elle l'est aussi dans +tout le domaine~$T$, contour compris.}% [** End of footnote] +; la somme~$F(x)$ de cette +série représentera une fonction analytique holomorphe dans +le domaine~$T$, et la dérivée d'un ordre quelconque de cette +fonction s'obtiendra en faisant la somme des dérivées du même +ordre de chaque terme de la série.} + +La formule~\Eref{I}{I}{6} nous donne, pour tout point~$x$ intérieur à ~$C$ et +pour chaque indice~$\nu$, +\[ +u_{\nu}(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{u_{\nu}(z)}{z-x}\, dz, +\] +et, comme l'intégrale d'une série uniformément convergente est +%% -----File: 031.png---Folio 19------- +égale à la somme des intégrales de chacun de ses termes, on en +déduit immédiatement que la série~\Eref{I}{I}{14} converge au point~$x$ et que +sa somme est donnée par l'égalité +\[ +F(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{F(z)}{z-x}\, dz, +\EqnTag{I}{I}{15} +\] +dont le second membre représente bien une fonction analytique de +la variable~$x$ qui est holomorphe dans le domaine~$T$. + +La seconde partie du théorème se démontre de même en partant +de la formule~\Eref{I}{I}{7} qui nous donne, pour tout point~$x$ intérieur à ~$C$, +\[ +\Pow{u}{(n)}_{\nu}(x) + = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{u_{\nu}(z)\, dz}{\Pow{(z-x)}{n+1}}. +\] +En effet, on en déduit l'égalité +\[ +\sum^{\infty}_{\nu=1} \Pow{u}{(n)}_{\nu}(x) + = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{F(z)\,dz}{\Pow{(z-x)}{n+1}}, +\] +dont le second membre, d'après~\Eref{I}{I}{15}, est bien égal à ~$\Pow{F}{(n)}(x)$. + +On se convainc d'ailleurs aisément que la série figurant au premier +membre de cette dernière égalité est uniformément convergente +dans toute aire intérieure au domaine~$T$ et n'ayant aucun +point commun avec son contour. + +\bigTbreak + +%% -----File: 032.png---Folio 20------- + + +\cleardoublepage +% [*** Chapter II] +\Chapter{II}{APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RÉSIDUS.} + +\Section{II}{I}{Fonctions symétriques des racines d'une équation. \\ + Développement des fonctions implicites.} + +\Paragraph{11.} Soit une fonction analytique,~$f(x)$, uniforme et n'ayant +d'autres singularités que des pôles dans un domaine donné~$T$, +holomorphe et différente de zéro sur le contour~$C$ de ce domaine. + +Le nombre des pôles intérieurs à ~$T$ est nécessairement fini, car, +dans le cas contraire, ils admettraient au moins un point limite +faisant partie de~$T$, et qui serait pour~$f(x)$ un point singulier d'un +caractère autre que les pôles. Nous désignerons les pôles en question +par $b_1,~b_2, \dotsc,~b_\nu$, et leurs ordres par $\beta_1,~\beta_2, \dotsc,~\beta_\nu$. + +On voit de même que la fonction~$f(x)$, à moins qu'elle ne soit +identiquement nulle, ne saurait avoir dans~$T$ qu'un nombre fini de +zéros, $a_1,~a_2, \dotsc,~a_\mu$; soient $\alpha_1,~\alpha_2, \dotsc,~\alpha_\mu$ leurs ordres. + +Considérons le quotient~$\smfrac{f'(x)}{f(x)}$. C'est évidemment une fonction +holomorphe en tout point de~$T$ distinct des points $a$ et~$b$. Dans le +voisinage du point~$a_k$, on aura\footnote{% +Nous désignons par~$\mathfrak{p}(t)$ une série entière qui converge dans un certain +voisinage de la valeur $t=0$, et qui d'ailleurs n'est pas la même dans les diverses +égalités ci-dessus.} +\[ +f(x) = A\Pow{(x-a_k)}{\alpha_k}\, \bigl[1 + (x-a_k)\mathfrak{p}(x-a_k)\bigr], +\] +$A$~étant une constante non nulle; il en résulte +\[ +\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\alpha_k}{x-a_k} + \mathfrak{p}(x-a_k). +\] +%% -----File: 033.png---Folio 21------- +Un calcul analogue nous donne, dans le voisinage du point~$b_k$, +\[ +\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{\beta_k}{x-b_k} + \mathfrak{p}(x-b_k). +\] + +Cela posé, soit~$F(x)$ une fonction quelconque, holomorphe +dans~$T$ et sur~$C$. D'après les égalités ci-dessus, les résidus de l'expression +$F(x)\smfrac{f'(x)}{f(x)}$ relatifs aux points $a_k$ et~$b_k$ seront respectivement +égaux à $\alpha_k F(a_k)$ et à $-\beta_k F(b_k)$, et la formule~\Eref{I}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:I.I.12}, +nous permet donc d'écrire ce résultat: +\[ + \sum_1^{\mu} \alpha_k F(a_k) +- \sum_1^{\nu} \beta_k F(b_k) += \frac{1}{2\pi i} \int_C F(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx. +\EqnTag{II}{I}{1} +\] + +Si, en particulier, la fonction $f(x)$ est holomorphe dans le +domaine~$T$ et n'y admet que des zéros simples, $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$, on +aura +\[ +F(x_1) + F(x_2) + \dotsb + F(x_m) += \frac{1}{2\pi i} \int_C F(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx. +\EqnTag{II}{I}{2} +\] +Cette formule restera d'ailleurs valable dans le cas où~$f(x)$ présente +des zéros multiples, si, comme nous le ferons dès à présent, +on convient d'écrire, dans la suite $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$, chaque zéro +autant de fois que l'indique son ordre.\footnote{% +La formule~\Eref{II}{I}{2} a été donnée par Cauchy, pour le cas où le contour~$C$ est +un rectangle ou s'y ramène par une transformation bi-uniforme des coordonnées, +dans le \textit{Journal de l'École Polytechnique}, Cahier~XIX, 1823, p.~580. \textit{Voir} aussi +\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VI, 1826, p.~401--421. Mais les idées de Cauchy +sur ce sujet remontent, à ce qu'il semble, à un Mémoire \textit{Sur la résolution des +équations par le moyen des intégrales définies}, qu'il avait présenté à l'Académie +le 22~novembre 1819, mais qui n'a pas été publié.} + +\Paragraph{12.} Pour $F(x) = 1$, la formule~\Eref{II}{I}{1} s'écrit +\[ +\sum_1^\mu \alpha_k - \sum_1^{\nu} \beta_k + = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx. +\] +Soient $R$ et~$\Phi$ le module et l'argument de la fonction~$f(x)$, de sorte +%% -----File: 034.png---Folio 22------- +que $f(x) = R\,\Pow{e}{i \Phi}$; on aura +\[ +\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \frac{df(x)}{f(x)} + = \frac{dR}{R} + i\, d\Phi + = d\log R + i\, d\Phi, +\] +et, par suite, +\[ + \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx += \frac{1}{2\pi i} \int_C d\log R + \frac{1}{2\pi} \int_C d\Phi. +\] +Or le premier terme de cette somme est nul, puisque la fonction~$\log R$ +est uniforme sur~$C$, et le second terme est égal à $\smfrac{\Delta\Phi}{2\pi}$, en désignant +par $\Delta\Phi$ l'accroissement total que reçoit l'argument~$\Phi$ lorsque +le point~$x$ décrit le contour~$C$ dans le sens direct. Nous arrivons +donc au théorème suivant, qui joue un rôle important en Analyse, +et qu'on peut d'ailleurs établir d'une manière élémentaire: + +\Theorem{II.I.1}{Si une fonction~$f(x)$ est uniforme et ne présente d'autres +singularités que des pôles dans un domaine donné~$T$, en étant +d'ailleurs holomorphe et différente de zéro sur son contour~$C$, +l'accroissement que reçoit l'argument de cette fonction lorsque +le point~$x$ décrit le contour~$C$ dans le sens direct est égal au +produit de~$2\pi$ par la différence entre le nombre de ses zéros et +le nombre de ses pôles compris dans~$T$, chaque zéro et pôle +étant compté autant de fois que l'indique son ordre.} + +On en déduit cet autre théorème, qui rend également de grands +services dans diverses questions d'Analyse: + +\Theorem{II.I.2}{Soient deux fonctions, $f(x)$ et~$\varphi(x)$, uniformes et holomorphes +dans un domaine~$T$ et sur son contour~$C$, et admettons +d'ailleurs que~$f(x)$ ne s'annule pas sur~$C$; si l'inégalité +\[ +\Abs{\frac{\varphi(x)}{f(x)}} < 1 +\] +est vérifiée pour tout point du contour~$C$, les fonctions $f(x)$~et +$f(x) + \varphi(x)$ ont le même nombre de zéros dans le domaine~$T$.} + +Écrivons, en effet, +\[ +f(x) + \varphi(x) = f(x)\psi(x), +\] +%% -----File: 035.png---Folio 23------- +d'où +\[ +\psi(x) = 1 + \frac{\varphi(x)}{f(x)}. +\] +Lorsque le point~$x$ parcourt le contour~$C$, le point dont l'affixe est +égal à ~$\psi(x)$ décrit une courbe fermée qui, en vertu de l'inégalité +ci-dessus, est intérieure au cercle passant par l'origine et ayant +pour centre le point $x = 1$. Quand le point~$x$ sera revenu au point +de départ, l'argument de~$\psi(x)$ reprendra donc sa valeur initiale et, +par conséquent, l'accroissement total de l'argument de $f(x) + \varphi(x)$ +sera le même que pour la fonction~$f(x)$, d'où résulte la proposition +énoncée. + +\Paragraph{13.} Démontrons maintenant ce théorème: + +\Theorem{II.I.3}{Les zéros d'une fonction analytique de la variable~$x$, $f(x,t)$, +qui dépend d'un para\-mètre~$t$, et qui est continue par rapport +aux deux variables $x$ et~$t$, sont eux-mêmes des fonctions continues +du paramètre~$t$.} + +Soient $t_0$ une valeur particulière du paramètre~$t$, $x_0$~un zéro de +$f(x, t_0)$ et $m$~l'ordre de ce zéro [on suppose $f(x, t_0)$ holomorphe +dans le voisinage du point~$x_0$]. Il s'agit de démontrer que, pour +les valeurs~$t$ peu différentes de~$t_0$, la fonction $f(x, t)$ admet précisément +$m$~zéros tendant vers~$x_0$ lorsque~$t$ tend vers~$t_0$. + +Du point~$x_0$ comme centre, décrivons un cercle d'un rayon~$\eps$ +assez petit pour que la fonction $f(x, t_0)$ soit holomorphe et différente +de zéro pour $0 < \Abs{x-x_0} \leqq \eps$. Sur la circonférence de ce +cercle, le module $\Abs{f(x, t_0)}$ aura un minimum positif que nous +désignerons par~$\eta$. Choisissons encore un nombre positif~$\delta$ tel que, +pour $\Abs{x-x_0} = \eps$, $\Abs{t-t_0} < \delta$, on ait +\[ +\Abs{f(x,t) - f(x,t_0)} < \eta +\] +et, par suite, +\[ +\Abs{\frac{f(x,t) -f(x,t_0)}{f(x, t_0)}} < 1, +\] +ce qui est possible en vertu de la continuité de $f(x,t)$. + +Cela posé, il résulte de la proposition établie à la fin du \no\Sref{12} +que, pour $\Abs{t - t_0} < \delta$, la fonction $f(x, t)$ admet, dans le cercle +$\Abs{x - x_0} < \eps$, autant de zéros que la fonction $f(x, t_0)$, c'est-à -dire +%% -----File: 036.png---Folio 24------- +précisément $m$~zéros, et comme ce résultat subsiste quelque petit +que soit~$\eps$, à condition qu'on prenne en même temps le nombre~$\delta$ +suffisamment petit, on voit bien que ces $m$~zéros tendent vers~$x_0$ +lorsque~$t$ tend vers~$t_0$, comme nous l'avions avancé. + +\Paragraph{14.} On peut préciser notablement ce résultat dans le cas où la +fonction $f(x,t)$ est analytique par rapport aux deux variables $x$~et +$t$. En simplifiant un peu les notations précédentes, admettons +que cette fonction est holomorphe tant que les variables restent +comprises dans les cercles +$\Abs{x} < r$, $\Abs{t} < \rho$\footnotemark, et que l'origine est +un zéro d'ordre $m$ pour $f(x,0)$. +\footnotetext{% +Cela signifie, d'après Cauchy, que la fonction $f(x,t)$ reste continue et +admet, par rapport à chacune des variables, une dérivée \emph{unique} également continue, +pour toutes les valeurs $x$, $t$ comprises dans les cercles indiqués. Pour une +valeur donnée~$t$ de module inférieur à ~$\rho$, $f(x, t)$ est donc une fonction analytique +de~$x$, holomorphe pour $\Abs{x} <r$, et \emph{vice versa}. Si $G$~et~$\Gamma$ sont des contours fermés +pris dans l'intérieur des cercles $\Abs{x} =r$, $\Abs{t} =\rho$, on trouve, en appliquant deux +fois de suite la formule~\Eref{I}{I}{6}, \Pgref{page}{eqn:I.I.6}, +\[ +f(x,t) = \frac{1}{\Pow{(2\pi i)}{2}} \int_G \int_{\Gamma} + \frac{f(\xi,\tau)\, d\xi\, d\tau}{(\xi- x)(\tau- t)}, +\] +$x$ et~$t$ étant respectivement intérieurs aux contours $G$ et~$\Gamma$. De cette égalité on +conclut que, dans son domaine d'holomorphie, la fonction $f(x,t)$ possède des +dérivées de tous les ordres et peut se développer en série de Taylor.} +% [** End of footnoote] + +En raisonnant comme ci-dessus, on voit d'abord qu'on peut +trouver deux nombres positifs, $r'(< r)$ et $\rho'(<\rho)$, tels qu'on ait +\[ +\Abs{f(x,0)} \geqq \eta\quad (>0) \quad \text{pour} +\quad \Abs{x} =r' +\] +et, d'autre part, +\[ +\Abs{\frac{f(x,t) - f(x,0)}{f(x,0)}} < 1 \quad\text{pour}\quad +\Abs{x} = r',\quad \Abs{t} \leqq \rho'. +\EqnTag{II}{I}{3} +\] + +On en conclut que, pour $\Abs{t} \leqq \rho'$, la fonction $f(x,t)$ est différente +de zéro sur le cercle $\Abs{x} = r'$ et admet à l'intérieur de ce +cercle $m$~zéros, $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$, qui sont des fonctions continues +de~$t$ et s'annulent en même temps que~$t$. + +Soit maintenant $F(x, t)$ une fonction analytique quelconque des +variables $x$, $t$, qui reste holomorphe pour $\Abs{x} \leqq r'$, $\Abs{t} \leqq \rho'$. Nous +%% -----File: 037.png---Folio 25------- +allons démontrer que \textit{la somme} +\[ +F(t) \equiv F(x_1, t) + F(x_2, t) + \dotsb + F(x_m, t) +\] +\textit{est une fonction holomorphe de~$t$ dans le cercle} $\Abs{t} <\rho'$. + +Pour une valeur donnée~$t$ de module $\leqq \rho'$, $f(x,t)$ et $F(x,t)$ +représentent des fonctions analytiques de~$x$ qui sont holomorphes +pour $\Abs{x} \leqq r'$ et, de plus, $f(x,t)$ ne s'annule pas sur le cercle +$\Abs{x} = r'$. D'après la formule~\Eref{II}{I}{2}, on aura donc l'égalité +\[ +F(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_G + \Phi(x,t)\, dx \quad\text{pour}\quad \Abs{t} \leqq \rho', +\EqnTag{II}{I}{4} +\] +où $G$ désigne la circonférence $\Abs{x} = r'$ et $\Phi(x,t)$ l'expression +\[ +\Phi(x,t) = F(x,t) \frac{f'_x(x,t)}{f(x,t)}. +\] + +D'autre part, si~$x$ est l'affixe d'un point quelconque de~$G$, cette +dernière expression définit une fonction analytique de~$t$ qui est +holomorphe pour $\Abs{t} \leqq \rho'$, puisque, dans ces conditions, le dénominateur +$f(x,t)$ est différent de zéro. Par la formule~\Eref{I}{I}{8}, \Pgref{page}{eqn:I.I.8}, on +aura donc, pour $\Abs{t} < \rho'$, $\Gamma$~désignant la circonférence $\Abs{\tau} = \rho'$, +\[ +\Phi(x,t) = \sum^{n-1}_0 \Pow{D}{(\nu)}_t \Phi(x,0) \frac{\Pow{t}{\nu}}{\nu!} + + \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma} + \Pow{\left(\frac{t}{\tau}\right)}{n} \frac{\Phi(x,\tau)}{\tau-t}\, d\tau. +\EqnTag{II}{I}{5} +\] + +Comme les zéros $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$ de $f(x,t)$ se confondent avec +l'origine pour $t = 0$, les dérivées $\Pow{D}{(\nu)}_t\Phi(x,0)$ sont des fonctions +holomorphes de~$x$ pour $0 < \Abs{x} \leqq r'$. + +En substituant l'expression~\Eref{II}{I}{5} dans l'égalité~\Eref{II}{I}{4}, on trouve\footnote{% +On remarquera que la fonction $\Phi(x,t)$ est, en vertu de nos hypothèses, +continue pour $\Abs{x} = r'$, $\Abs{t} = \rho'$, de sorte que les intégrations à effectuer dans +le dernier terme de la formule~\Eref{II}{I}{6} n'impliquent aucune difficulté.} +\[ +F(t) = \sum^{n-1}_0 A_\nu \Pow{t}{\nu} + + \frac{1}{\Pow{(2\pi i)}{2}} \int_G \int_{\Gamma} + \Pow{\left(\frac{t}{\tau}\right)}{n} \frac{\Phi(x,\tau)}{\tau-t}\,dx\, d\tau, +\EqnTag{II}{I}{6} +\] +où $A_{\nu}$ désigne \textit{le résidu de $\smfrac{1}{\nu!}\Pow{D}{(\nu)}_t \Phi(x,0)$ relatif à l'origine}: +\[ +A_{\nu} = \frac{1}{2\pi i}\int_G \frac{1}{\nu!} \Pow{D}{(\nu)}_t \Phi(x,0)\, dx. +\] +%% -----File: 038.png---Folio 26------- +Or le dernier terme de~\Eref{II}{I}{6} a son module inférieur à la quantité +\[ +\frac{r'\rho'M}{\rho'- \Abs{t}}\, \Pow{\Abs{\frac{t}{\rho'}}}{n}, +\EqnTag{II}{I}{7} +\] +$M$ étant le maximum de $\Abs{\Phi(x,\tau)}$ pour $\Abs{x} = r'$, $\Abs{\tau} = \rho'$, et comme +cette quantité s'annule pour $n = \infty$, puisqu'on suppose $\Abs{t} < \rho'$, +on voit que \textit{l'expression $F(t)$ est représentée dans tout le +cercle $\Abs{t} <\rho'$ par le développement} +\[ +F(t) = \sum^{\infty}_0 A_{\nu}\Pow{t}{\nu}. +\EqnTag{II}{I}{8} +\] +Nous avons donc démontré la proposition que nous avions en vue +et trouvé en même temps une limite supérieure~\Eref{II}{I}{7} de l'erreur +qu'on commet en arrêtant le développement~\Eref{II}{I}{8} après un terme +déterminé. + +En faisant $F(x, t)\equiv \Pow{x}{k}$, $k$~étant un entier positif, on conclut de +la proposition ci-dessus que les sommes +\[ +S_k \equiv \Pow{x}{k}_1 + \Pow{x}{k}_2 + \dotsb + \Pow{x}{k}_m +\] +sont des fonctions analytiques de~$t$, holomorphes pour $\Abs{t} <\rho'$ et +s'annulant pour $t = 0$. Il en sera donc de même des coefficients +des diverses puissances de~$x$ dans le développement du produit +\[ +(x-x_1) (x-x_2)\dotsm (x-x_m), +\] +puisque ces coefficients sont des polynômes en $S_1,~S_2, \dotsc,~S_m$, et +nous arrivons ainsi à ce théorème fondamental: + +\Theorem{II.I.4}{Étant donnée une fonction analytique, $f(x,t)$, des deux +variables $x$, $t$, qui est holomorphe tant que les modules de ces +variables restent au-dessous de certaines limites; si l'origine +est un zéro d'ordre~$m$ pour $f(x, 0)$, l'équation +\[ +f(x, t) = 0 +\] +admet précisément $m$~racines qui tendent vers zéro avec~$t$. Ces +racines vérifient une équation de degré~$m$, +\[ +\Pow{x}{m} + f_1(t)\Pow{x}{m-1} + f_2(t)\Pow{x}{m-2} + \dotsb + f_m(t) = 0, +\] +%% -----File: 039.png---Folio 27------- +dont les coefficients sont des fonctions analytiques de~$t$, holomorphes +dans le voisinage de l'origine et nulles pour $t=0$\footnotemark.} +% [** End of Theorem] +\footnotetext{Les principaux résultats des \nos\Sref{12}--\Sref{15} ont été établis par Cauchy dans les +Mémoires de l'année~1831 (Cf.~\textit{Bulletin de Férussac}, 1831, et \textit{Exercices d'Analyse}, +t.~II). + +Vers 1860, le théorème ci-dessus, d'ailleurs sous une forme plus générale et +avec des développements ultérieurs, a été retrouvé par Weierstrass qui, cependant, +n'a publié ses résultats qu'en~1886, dans les \textit{Abhandlungen aus der Functionenlehre}. +D'autre part, M.~Poincaré est, de son côté, arrivé au même théorème +dans sa thèse: \textit{Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux +différences partielles}, 1879. \textit{Voir} aussi É.~\bsc{Picard}, \textit{Traité d'Analyse}, t.~II, p.~243. + +Cauchy est d'ailleurs à plusieurs reprises revenu sur la théorie des fonctions +implicites, dans le but d'en simplifier les principes. \textit{Voir}, par exemple, \textit{{\OE}uvres}, +série~I, t.~IV, 1837, p.~48--60, et t.~V, 1840, p.~180--198. Dans la seconde de ces Notes +se trouve (p.~193--198) une démonstration qui présente certaines analogies avec +celle de Weierstrass.} % [** End of footnote] + +\Paragraph{15.} Appliquons les résultats précédents au cas où l'on a +\[ +f(x,t) = x - t\varpi(x), \quad F(x,t) = F(x), +\] +les fonctions $\varpi(x)$ et~$F(x)$ étant holomorphes pour $\Abs{x}<r$. La +condition~\Eref{II}{I}{3} s'écrit +\[ +\Abs{\frac{t\varpi(x)}{x}} < 1\quad \text{pour}\quad + \Abs{x} = r'(<r), \qquad \Abs{t} \leqq \rho'. +\] +Les nombres $r'$ et~$\rho'$ satisfaisant à ces conditions, comme l'on a +actuellement $m = 1$, on peut conclure des résultats du \no\Sref{14} que, +pour $\Abs{t}\leqq\rho'$, l'équation +\[ +x - t\varpi(x) = 0 +\] +admet à l'intérieur du cercle $\Abs{x}=r'$ une seule racine,~$\overline{x}$, qui est +fonction holomorphe de~$t$, pour $\Abs{t} < \rho'$, et s'annule pour $t = 0$. + +D'autre part, en développant l'expression +\[ +\Phi(x,t) \equiv F(x) \frac{1 - t\varpi'(x)}{x - t\varpi(x)} +\] +suivant les puissances de~$t$, on trouve que le coefficient de~$\Pow{t}{\nu}$ s'écrit +\[ +F(x) \left\{ \frac{\Pow{[\varpi(x)]}{\nu}}{\Pow{x}{\nu+1}} + -\frac{\Pow{[\varpi(x)]}{\nu-1}\varpi'(x)}{\Pow{x}{\nu}}\right\} + \equiv -\frac{1}{\nu} F(x) D_x + \left\{ \Pow{\left[ \frac{\varpi(x)}{x} \right]}{\nu} \right\}, +\] +ou encore +\[ +-\frac{1}{\nu} D_x + \left\{ F(x) \Pow{\left[ \frac{\varpi(x)}{x} \right]}{\nu} \right\} + + \frac{1}{\nu} F'(x) \Pow{\left[ \frac{\varpi(x)}{x} \right]}{\nu}. +\] +%% -----File: 040.png---Folio 28------- +Nous savons que le coefficient de~$\Pow{t}{\nu}$ dans le développement de la +fonction~$F(\overline{x})$ est égal au résidu de cette expression à l'origine. +Or, le résidu du premier terme est nul, puisque ce terme est la +dérivée d'une fonction uniforme (\textit{voir} \Pgref{p.}{page13}); et, d'après +l'égalité~\Eref{I}{I}{7} \Pgref{page}{eqn:I.I.7}, le résidu du second terme est égal à la dérivée +\[ +\frac{1}{\nu!} \Pow{D}{(\nu-1)}_x + \Bigl\{F'(x) \Pow{[\varpi(x)]}{\nu} \Bigr\}, +\] +prise pour $x=0$. En somme on aura donc, pour $\Abs{t}<\rho'$, +\[ +F(\overline{x}) + = F(0) + \sum^{\infty}_1 \Pow{D}{(\nu-1)}_x + \Bigl\{F'(x) \Pow{[\varpi(x)]}{\nu}\Bigr\}_{x=0}\, + \frac{\Pow{t}{\nu}}{\nu!}, +\] +et en particulier, pour $F(x)=x$, +\[ +\overline{x} + = \sum^{\infty}_1 \Pow{D}{(\nu-1)}_x + \Bigl\{\Pow{[\varpi(x)]}{\nu}\Bigr\}_{x=0}\, + \frac{\Pow{t}{\nu}}{\nu!}. +\] +Ce sont les célèbres développements établis par Lagrange. + +\Paragraph{16.} En terminant cette section, nous allons déduire de la formule~\Eref{II}{I}{1} +un résultat intéressant, en y faisant $F(x) = \log x$. + +Prenons un cercle~$C$ ayant l'origine comme centre et de rayon~$r$, +et désignons par $a_1,~a_2, \dotsc,~a_m$ les zéros et par $b_1,~b_2, \dotsc,~b_n$ +les pôles de la fonction~$f(x)$ compris dans ce cercle, chaque zéro +ou pôle figurant dans ces suites autant de fois que l'indique son +ordre. Pour simplifier, supposons d'ailleurs $f(0)= 1$. + +L'origine étant un point critique pour~$\log x$, nous l'exclurons de +notre domaine par un petit cercle,~$c$, laissant à l'extérieur les points +$a$ et~$b$; puis, en évitant toujours ces mêmes points, nous mènerons +une coupure,~$L$, allant d'un point de~$c$ au point $x = r$ de~$C$. Nous +obtenons ainsi un domaine simplement connexe,~$T$, dont le contour,~$S$, +se compose des cercles $C$ et~$c$ et des deux bords de la +coupure~$L$, et où la fonction~$\log x$ est uniforme et holomorphe. +Pour tout fixer, convenons d'ailleurs de choisir, parmi les différentes +branches de~$\log x$, celle qui prend la valeur réelle~$\log r$ au +point $x = r$ du bord \textit{supérieur} de la coupure. + +Cela posé, en faisant $F(x) = \log x$ et en prenant~$S$ pour contour +%% -----File: 041.png---Folio 29------- +d'intégration, la formule~\Eref{II}{I}{1} nous donne +\[ +\log\frac{a_1 a_2 \dotsm a_m}{b_1 b_2 \dotsm b_n} + = \frac{1}{2\pi i} \int_S \log x\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx. +\EqnTag{II}{I}{9} +\] +Intégrons par parties, en partant du point $x = r$ (du bord supérieur +de la coupure~$L$); on aura +\[ +\int^x_r \log x \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx + = \log x\log f(x) - \log r\log f(r) - \int^x_r \frac{\log f(x)}{x}\, dx. +\] +Lorsque le point~$x$, décrivant le contour~$S$ dans le sens direct, +revient au point $x = r$, $\log x$~reprend sa valeur initiale~$\log r$. +Quant à la fonction $\log f(x)$, laquelle peut se mettre sous la +forme $\log R + i\Phi$, $R$ et~$\Phi$ étant respectivement le module et l'argument +de~$f(x)$, il résulte du théorème de la \Pgref{page}{theorem:II.I.3} qu'elle prendra +dans les mêmes circonstances la valeur $\log f(r) + 2\pi i(m-n)$, +et l'égalité précédente deviendra donc, en divisant par~$2\pi i$, +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int_S \log x \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx + = (m-n) \log r - \frac{1}{2\pi i} \int_S \frac{\log f(x)}{x}\, dx. +\] + +Si l'on convient de choisir pour $\log f(x)$ la détermination qui +s'annule à l'origine, la fonction $\smfrac{\log f(x)}{x}$ sera holomorphe dans le +cercle~$c$ et prendra la même valeur en des points correspondants +situés respectivement sur les deux bords de la coupure~$L$. Il en +résulte +\[ + \int_S\frac{\log f(x)}{x}\, dx += \int_C\frac{\log f(x)}{x}\, dx +\equiv i\int^{2\pi}_0 \log f(r\,\Pow{e}{i\varphi})\, d\varphi, +\] +car l'intégrale prise sur~$c$ est nulle et les intégrales relatives aux +deux bords de $L$ se détruisent; l'égalité~\Eref{II}{I}{9} devient donc +\[ +\log\frac{a_1 a_2 \dotsm a_m}{b_1 b_2 \dotsm b_n} + = (m-n)\log r - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log f(r\,\Pow{e}{i\varphi})\, d\varphi, +\] +ou encore, en égalant les parties réelles des deux côtés, +\[ +\log\Abs{\frac{a_1 a_2 \dotsm a_m}{b_1 b_2 \dotsm b_n}} + = (m-n)\log r - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} + \log \Abs{f(r\,\Pow{e}{i\varphi})} d\varphi. +% [** PP: No \, before previous d\varphi] +\] +Ce résultat constitue l'important théorème découvert par +%% -----File: 042.png---Folio 30------- +M.~Jensen\footnote{\textit{Acta mathematica}, t.~XXII\@. C'est M.~Goursat qui a le premier rattaché ce +théorème au calcul des résidus (\textit{Bulletin des Sciences mathématiques}, octobre +1902). \textit{Voir} aussi une Note récente de M.~Mittag-Leffler (\textit{Bulletin de la Société +mathématique de France}, t.~XXXII).} % [** End of footnote] +et qui joue, en particulier, un rôle fondamental dans la +théorie des fonctions entières. + + +\Section{II}{II}{Quelques applications aux fonctions méromorphes.} + +\Paragraph{17.} Soit une fonction \textit{méromorphe},~$f(z)$, c'est-à -dire une fonction +analytique uniforme dans tout le plan et n'ayant à distance +finie d'autres singularités que des pôles, et construisons de l'origine +comme centre une suite illimitée de cercles +\[ +c_1,\quad c_2, \quad \dotsc,\quad c_{\nu}, \quad \dotsc, +\] +qui ne passent par aucun pôle de~$f(z)$, et dont les rayons +\[ +r_1,\quad r_2, \quad \dotsc,\quad r_{\nu}, \quad \dotsc, +\] +aillent en croissant indéfiniment. On aura pour chaque indice~$\nu$, en +posant pour abréger $z_\nu = r_\nu \Pow{e}{i\psi}$, +\[ +\residuesum_{c_\nu} \bigl(f(z)\bigr) + = \frac{1}{2\pi i} \int_{c_\nu} f(z)\, dz + = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_{0} z_\nu f(z_\nu)\, d\psi. +\EqnTag{II}{II}{1} +\] + +Il peut arriver que cette expression tende vers une limite finie +et déterminée lorsque~$\nu$ croît indéfiniment. S'il en est ainsi, cette +limite sera appelée \textit{le résidu intégral de la fonction}~$f(z)$ (relatif +à la suite $c_1,~c_2,~\dotsc$)\footnotemark et désignée par $\residuesum\bigl(f(z)\bigr)$. On aura donc, +par définition, +\[ +\residuesum\bigl(f(z)\bigr) = \residuesum_{c_1} + + \left(\residuesum_{c_2} - \residuesum_{c_1}\right) + + \left(\residuesum_{c_3} - \residuesum_{c_2}\right) + \dotsb +\EqnTag{II}{II}{2} +\] +\footnotetext{\textit{Cf.~{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VII, 1827, p.~291--323. Dans cet article, +qui est d'une remarquable précision, Cauchy donne d'ailleurs une définition plus +générale du \textit{résidu intégral}, en considérant (p.~294), au lieu des cercles~$c_\nu$, un +contour fermé quelconque dont la forme varie sans cesse et de manière que ses +différents points s'éloignent indéfiniment de l'origine. Il utilise ainsi, dans toute +sa généralité, la représentation géométrique des nombres complexes, ce qu'il n'est +pas sans intérêt de noter, vu la date de cette publication.}% +% [** End of footnote] + +%% -----File: 043.png---Folio 31------- + +Cela posé, on tire facilement de l'égalité~\Eref{II}{II}{1} cette proposition: + +\Theorem{II.II.1}{Si la condition +\[ +\lim_{\nu=\infty} z_\nu f(z_\nu) = A +\EqnTag{II}{II}{3} +\] +est vérifiée uniformément pour $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$, le résidu intégral de +la fonction~$f(z)$ est égal à ~$A$.} + +En effet, l'égalité~\Eref{II}{II}{1} nous donne +\[ +\residuesum_{c_\nu} \bigl(f(z)\bigr) - A + = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \bigl[z_\nu f(z_\nu) - A\bigr]\, d\psi, +\EqnTag{II}{II}{4} +\] +et, en vertu de l'hypothèse admise, on aura d'autre part, quelque +petit que soit~$\eps$, $\Abs{z_\nu f(z_\nu) - A} < \eps$, dès que~$\nu$ dépassera une certaine +limite. A partir de cette même limite, on aura donc aussi +\[ +\Abs{\,\residuesum_{c_\nu} \bigl(f(z_\nu)\bigr) - A} < \eps, +\] +d'où résulte la proposition énoncée. Cette proposition subsiste +dans le cas plus général où sont vérifiées les conditions suivantes: +\smallskip + +\primo~\textit{$\Abs{z_\nu f(z_\nu)} < M$ pour tout indice~$\nu$, $M$~étant une constante.} + +\secundo~\textit{La condition~\Eref{II}{II}{3} est vérifiée uniformément dans toute +portion de l'intervalle $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$ qui ne comprend pas certaines +valeurs particulières $\psi_1,~\psi_2, \dotsc,~\psi_n$.} +\smallskip + +En effet, si $\eps$ et~$\eta$ désignent deux nombres positifs arbitrairement +petits, et si, de l'intervalle $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$, on exclut les segments +\[ +\psi_k - \eta < \psi < \psi_k + \eta \qquad (k = 1, 2, \dotsc, n), +\] +dont la longueur totale est au plus égale à ~$2n\eta$, on a dans le reste +de cet intervalle $\Abs{z_\nu f(z_\nu) - A} < \eps$ dès que~$\nu$ dépasse une certaine +valeur~$\nu_0$. Le second membre de l'égalité~\Eref{II}{II}{4} est donc inférieur en +valeur absolue à la quantité +\[ +\eps + 2n\eta\, \frac{M + \Abs{A}}{2\pi} +\] +dès que $\nu > \nu_0$, et tend, par suite, vers zéro lorsque~$\nu$ croît indéfiniment. + +%% -----File: 044.png---Folio 32------- + +Par un raisonnement analogue, on démontre cette autre proposition +dont nous aurons également à faire usage: + +\Theorem{II.II.2}{Si le module du produit $z_\nu f(z_\nu)$ reste inférieur à une quantité +fixe quel que soit~$\nu$, et si les conditions +\[ +% Must use \mathrm (not \text) below b/c we're currently in italics +\begin{aligned} + \lim_{\nu=\infty} z_\nu f(z_\nu) &= A\qquad \mathrm{pour} \\ + \lim_{\nu=\infty} z_\nu f(z_\nu) &= B\qquad \mathrm{pour} +\end{aligned} +\qquad +\begin{aligned} + \psi_0 + \eps &< \psi < \psi_0 + \pi - \eps, \\[1ex] + \psi_0 + \pi + \eps &< \psi < \psi_0 + 2\pi - \eps +\end{aligned} +\] +sont vérifiées uniformément dans les intervalles indiqués, +quelque petit que soit~$\eps$, le résidu intégral de la fonction~$f(z)$ +est égal à $\smfrac{1}{2}(A+B)$.} % [** End of Theorem] + +\Paragraph{18.} Comme première application, cherchons à évaluer les +\textit{nombres de Bernoulli}, c'est-à -dire les nombres $B_1,~B_2,~\dotsc$ qui +figurent dans le développement +\[ +\frac{1}{\Pow{e}{z}-1} = \frac{1}{z} - \frac{1}{2} + + \sum^{\infty}_1 \Pow{(-1)}{\nu-1} \frac{B_\nu}{(2\nu)!}\, \Pow{z}{2\nu-1}. +\EqnTag{II}{II}{5} +\] + +Le coefficient $\Pow{(-1)}{k-1}\smfrac{B_k}{(2k)!}$ représente le résidu de la fonction +\[ +f(z) \equiv \frac{1}{\Pow{z}{2k}}\, \frac{1}{\Pow{e}{z}-1} +\] +à l'origine. Les autres pôles de cette fonction méromorphe sont +$\pm 2\pi i\nu$ ($\nu=1,~2,~\dotsc$) et les résidus correspondants $\Pow{(-1)}{k}\Pow{(2\pi\nu)}{-2k}$. +Or, on constate facilement, en prenant $r_\nu = (2\nu-1)\pi$, que le +module de l'expression~\Eref{II}{II}{5} reste inférieur à une quantité finie sur +les cercles~$c_{\nu}$\footnotemark,\Pagelabel{page32} et il en résulte que le produit $z_\nu f(z_\nu)$ tend +%% -----File: 045.png---Folio 33------- +uniformément vers zéro pour $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$ lorsque $\nu$~croît indéfiniment. +D'après le \no\Sref{17}, le résidu intégral de la fonction~$f(z)$ se réduit +donc à zéro et, par suite, le coefficient considéré ci-dessus est égal +et de signe contraire à la somme des résidus de~$f(z)$ relatifs aux +pôles $\pm 2\pi i\nu$, d'où l'on déduit +\[ +B_k = \frac{2(2k)!}{\Pow{(2\pi)}{2k}} \sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{\nu}{2k}}. +\EqnTag{II}{II}{6} +\] +\footnotetext{De chacun des pôles de la fonction $\varphi(z)\equiv\fnfrac{1}{\Pow{e}{z}-1}$ comme centre, décrivons +un cercle de rayon arbitrairement petit mais fixe, et désignons par~$T$ la région +extérieure à ces cercles. Je dis que $\Abs{\varphi(z)}$ est inférieur à un nombre fini~$M$ +pour tout point de~$T$. Soit, en effet, $a$~un nombre positif et posons $z=\tau +it$; on +aura évidemment $\Abs{\varphi(z)} < \fnfrac{1}{\Pow{e}{a}-1}$ pour $\tau>a$, et $\Abs{\varphi(z)}<\fnfrac{1}{1-\Pow{e}{-a}}$ pour $\tau<-a$, +et d'autre part on trouve, en tenant compte de la périodicité de~$\varphi(z)$, que +$\Abs{\varphi(z)}$ aura un maximum fini dans la portion de~$T$ comprise dans la +bande $-a\leqq\tau\leqq a$. On prendra pour $M$ la plus grande de ces trois limites. + +Le nombre~$x$ étant assujetti à la condition $0 \leqq x \leqq 1$, on démontre de même +que le module de la fonction $\fnfrac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}$ reste au-dessous d'une limite finie~$M'$ dans le +domaine~$T$. Ce module est, en effet, inférieur à $\fnfrac{1}{1-\Pow{e}{-a}}$ pour $\tau< -a$, inférieur +à ~$\Pow{e}{a}\,M$ dans la portion de~$T$ faisant partie de la bande $-a\leqq\tau\leqq a$, et, enfin, inférieur +à $\fnfrac{1}{1-\Pow{e}{-a}}$ pour $\tau > a$, ce qui résulte de l'identité +\[ +\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1} = \frac{\Pow{e}{-z(1-x)}}{1-\Pow{e}{-z}}. +\] +On pourra donc prendre $M'= \Pow{e}{a} M$. + +Des remarques analogues s'appliquent à chacune des fonctions +\[ +\fsec z,\quad \cosec z,\quad \tang z,\quad \cot z,\quad +\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}+1}\quad (0 \leqq x \leqq 1),\dotsc, +\] +dans les régions qu'on obtient en excluant leurs pôles par de petits +cercles.}% [** End of footnote] + +Par un raisonnement de tout point analogue on trouve pour les +\textit{nombres d'Euler}, qui figurent dans l'égalité +\[ +\fsec z = \sum^{\infty}_0 + \frac{E_\nu}{(2\nu)!}\, \Pow{z}{2\nu}\qquad (E_0 = 1), +\EqnTag{II}{II}{7} +\] +l'expression +\[ +E_k = 2(2k)!\, \Pow{\left(\frac{2}{\pi}\right)}{2k+1} + \sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\Pow{(-1)}{\nu}}{\Pow{(2\nu+1)}{2k+1}} + \quad (k = 0, 1, \dotsc). +\EqnTag{II}{II}{8} +\] + +Cherchons maintenant les coefficients $\varphi_\nu(x)$ du développement +\[ +\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1} + = \frac{1}{z} + \sum^{\infty}_1 \frac{\varphi_\nu(x)}{\nu!}\, \Pow{z}{\nu-1}. +\EqnTag{II}{II}{9} +\] +En multipliant~\Eref{II}{II}{5} par la série qui définit~$\Pow{e}{xz}$, on obtient +\[ +\varphi_\nu(x) + = \Pow{x}{\nu} - \frac{\nu}{2} \Pow{x}{\nu-1} + + \Pow{C_\nu}{(2)} B_1 \Pow{x}{\nu-2} + - \Pow{C_\nu}{(4)} B_2 \Pow{x}{\nu-4} + + \Pow{C_\nu}{(6)} B_3 \Pow{x}{\nu-6} - \dotsb, +\] +%% -----File: 046.png---Folio 34------- +les lettres~$C$ désignant les coefficients binomiaux. Mais nous allons +obtenir une autre expression de ces polynômes, en observant +que~$\smfrac{\varphi_n(x)}{n!}$ représente le résidu relatif à l'origine de la fonction +\[ +f(z) \equiv \frac{1}{\Pow{z}{n}}\, \frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}. +\EqnTag{II}{II}{10} +\] + +Soit d'abord $n > 1$, et supposons la variable~$x$ réelle et comprise +dans l'intervalle $0 \leqq x \leqq 1$. D'après la remarque faite ci-dessus, le +produit $z_\nu f(z_\nu)$ tendra uniformément vers zéro pour $0\leqq\psi\leqq 2\pi$ +lorsque $\nu$~croît indéfiniment, en prenant toujours $r_\nu = (2\nu -1)\pi$. +\Pagelabel{page34}% +Le résidu intégral de la fonction~$f(z)$ est donc égal à zéro, et l'on +en déduit après quelques réductions faciles, pour $k = 1,~2,~\dotsc$, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\varphi_{2k}(x) +&= \phantom{1+{}} % [** PP: Add'l hspace to pad line] + \Pow{(-1)}{k+1}\, 2(2k)!\, \sum^{\infty}_{\nu=1} + \dfrac{\cos2\nu\pi x}{\Pow{(2\nu\pi)}{2k}} + \equiv \overline{\varphi}_{2k}(x), \\ +% +\varphi_{2k+1}(x) +&= \Pow{(-1)}{k+1}\, 2(2k+1)!\, \sum^{\infty}_{\nu=1} + \dfrac{\sin2\nu\pi x}{\Pow{(2\nu\pi)}{2k+1}} + \equiv \overline{\varphi}_{2k+1}(x), +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{II}{II}{11} +\] +formules valables tant que $0\leqq x\leqq 1$. En vue d'applications ultérieures, +nous conviendrons de désigner par $\overline{\varphi}_{2k}(x)$, $\overline{\varphi}_{2k+1}(x)$ les +fonctions périodiques de période~$1$ qui figurent aux seconds +membres de ces formules. + +Lorsque $n=1$, le résidu intégral de la fonction~\Eref{II}{II}{10} est encore +égal à zéro, pourvu que~$x$ reste dans l'intervalle $0<x<1$, \textit{les +limites étant exclues}. C'est ce qu'on déduit des résultats de la +\Pgref{page}{theorem:II.II.1}, en remarquant, d'une part, que le module du produit +\[ +zf(z)\equiv\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1} +\EqnTag{II}{II}{12} +\] +reste au-dessous d'une limite finie sur les cercles~$c_\nu$, d'après la note +de la \Pgref{page}{page32}, et, d'autre part, que ce produit tend uniformément +vers zéro lorsque $z$~s'éloigne indéfiniment de l'origine en restant +intérieur à l'un des angles +\[ +-\frac{\pi}{2} + \eps < \psi < \frac{\pi}{2}-\eps,\quad + \frac{\pi}{2} + \eps < \psi < \frac{3\pi}{2}-\eps, +\] +$\eps$ étant un nombre positif aussi petit qu'on le voudra. + +%% -----File: 047.png---Folio 35------- + +On aura donc, pour $0<x<1$, +\[ +\varphi_1(x) \equiv x - \frac{1}{2} + = -\sum^{\infty}_1 \frac{\sin 2\nu\pi x}{\nu \pi}. +\EqnTag{II}{II}{13} +\] +Nous désignerons par~$\overline{\varphi}_1(x)$ la fonction périodique +\[ +\overline\varphi_1(x) = -\sum^{\infty}_1 \frac{\sin2\nu\pi x}{\nu \pi}, +\EqnTag{II}{II}{14} +\] +fonction qui se confond avec $x - \nu - \smfrac{1}{2}$ pour $\nu< x <\nu+1$. + +$m$~étant un entier positif quelconque, on aura, pour $0< x < 1$, +\[ +\sum^{\infty}_m \frac{\sin 2\nu\pi x}{\nu\pi} + = -\frac{1}{2\pi i} \int_{c_m} \frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}\, \frac{dz}{z}, +\EqnTag{II}{II}{15} +\] +et comme, d'après la note de la \Pgref{page}{page32}, le module de +l'expression~\Eref{II}{II}{12} reste inférieur à la quantité finie~$M'$ sur les cercles~$c_{\nu}$, +et comme, d'ailleurs, la somme~\Eref{II}{II}{15} admet la période~$1$ et s'annule +pour les valeurs entières de~$x$, on peut en conclure que \textit{la +somme~\Eref{II}{II}{15} reste inférieure en valeur absolue à la quantité~$M'$ +pour toutes les valeurs réelles de~$x$, quel que soit l'entier +positif~$m$}. D'autre part, on peut déduire de l'égalité~\Eref{II}{II}{15} ce fait +bien connu que \textit{la série~\Eref{II}{II}{14} converge uniformément dans +l'intervalle $\eps\leqq x\leqq 1-\eps$, quelque petit que soit le nombre positif~$\eps$}. +\Pagelabel{page35}% + +On appelle \textit{polynomes de Bernoulli} les polynomes~$P$ définis +par les égalités +\begin{align*} +P_{2k}(x) &= \varphi_{2k}(x) + \Pow{(-1)}{k}B_k, \\ +P_{2k+1}(x) &= \varphi_{2k+1}(x). +\end{align*} + +Conformément à la notation adoptée ci-dessus, nous conviendrons +de désigner par $\overline{P}_{2k}(x)$, $\overline{P}_{2k+1}(x)$ les fonctions périodiques +de période~$1$ qui coïncident respectivement avec ces polynomes +dans l'intervalle $0\leqq x\leqq 1$. + +Ayant à nous occuper souvent des polynomes $\varphi$ et~$P$ dans la +suite de cet ouvrage, nous en signalerons ici quelques propriétés +importantes qui se déduisent immédiatement de nos formules. + +%% -----File: 048.png---Folio 36------- + +En rapprochant l'égalité~\Eref{II}{II}{9} de celle qu'on obtient en la différentiant +par rapport à ~$x$, on trouve les relations +\[ +\varphi'_{\nu+1}(x) = (\nu+1) \varphi_\nu(x)\quad (\nu=1, 2, \dotsc), +\EqnTag{II}{II}{16} +\] +qu'on pourrait aussi déduire des formules~\Eref{II}{II}{11}. De celles-ci on +conclut immédiatement +\[ +\varphi_{2k}(1-x) = \varphi_{2k}(x),\qquad +\varphi_{2k+1}(1-x) = -\varphi_{2k+1}(x), +\] +puis +\[ +\varphi_{2k+1}(0) = \varphi_{2k+1}\left(\smfrac{1}{2}\right) + = \varphi_{2k+1}(1) = 0, +\] +et, en tenant compte de l'égalité~\Eref{II}{II}{6}, +\[ +\varphi_{2k}(0) = \varphi_{2k}(1) = \Pow{(-1)}{k+1}B_k,\qquad +\varphi_{2k}\left(\smfrac{1}{2}\right) = \Pow{(-1)}{k} B'_k, +\EqnTag{II}{II}{17} +\] +où +\Pagelabel{page36} +\[ +B'_k = \frac{2(2k)!}{\Pow{(2\pi)}{2k}} + \sum^{\infty}_{\nu=1} \frac{\Pow{(-1)}{\nu+1}}{\Pow{\nu}{2k}} + = \left(1 - \frac{1}{\Pow{2}{2k-1}}\right)B_k. +\] + +La plus grande valeur numérique de $\overline\varphi_{2k}(x)$ étant égale à ~$B_k$, +d'après~\Eref{II}{II}{11}, on voit que \textit{le polynome~$P_{2k}(x)$ s'annule pour $x = 0$ +et pour $x= 1$, en gardant dans l'intervalle compris entre ces +valeurs un signe invariable, à savoir celui de~$\Pow{(-1)}{k}$}. Signalons +aussi l'égalité +\[ +\int^1_0 P_{2k}(x)\, dx = \Pow{(-1)}{k} B_k, +\EqnTag{II}{II}{18} +\] +qu'on vérifie de suite en intégrant la première des formules~\Eref{II}{II}{11}. + +Considérons encore, avec Hermite\footnote{\textit{Journal de Crelle}, t.~116. p.~144.}, les polynomes~$\chi(x)$ qui +figurent dans le dé\-vel\-oppe\-ment +\[ +\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z} +1} + = \sum^{\infty}_0 \frac{\chi_\nu(x)}{\nu!}\, \Pow{z}{\nu} + \qquad \left[\chi_0(x) \equiv \smfrac{1}{2}\right]. +\EqnTag{II}{II}{19} +\] + +%% -----File: 049.png---Folio 37------- + +Un raisonnement analogue au précédent conduit aux égalités +\begin{flalign*} +\EqnTag{II}{II}{20} +&\left\{ +\begin{aligned} +\chi_{2k}(x) +&= \phantom{{}+1^{+1}} \Pow{(-1)}{k}\, 2(2k)!\, + \sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\sin(2\nu+1)\pi x}{\Pow{[(2\nu +1)\pi]}{2k+1}} + \equiv \overline\chi_{2k}(x) \\[1ex] +% +\chi_{2k+1} (x) +&= \Pow{(-1)}{k+1}\, 2(2k+1)!\, + \sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\cos(2\nu+1)\pi x}{\Pow{[(2\nu +1)\pi]}{2k+2}} + \equiv \overline\chi_{2k+1}(x) +\end{aligned} +\quad +\begin{aligned} + & (k=1, 2, \dotsc),\vphantom{\Bigg|} \\[1ex] + & (k=0, 1, \dotsc),\vphantom{\Bigg|} +\end{aligned} +\right. +\end{flalign*} +qui sont valables pour $0\leq x \leq 1$. Les expressions qui figurent aux +seconds membres, et que nous désignerons par $\overline\chi_{2k}(x)$, $\overline\chi_{2k+1}(x)$, +admettent la période~$2$ et changent de signe lorsqu'on ajoute à la +variable~$x$ une demi-période, c'est-à -dire l'unité. + +Nous désignerons de même par $\overline{\chi}_{0}(x)$ la fonction périodique +\Pagelabel{page37} +\[ +\overline{\chi}_{0} (x) + = 2\sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\sin(2\nu+1)\pi x}{(2\nu +1)\pi}, +\EqnTag{II}{II}{21} +\] +dont la valeur est égale à ~$\smfrac{1}{2}$, pour $2\nu < x < 2\nu+1$, et à ~$-\smfrac{1}{2}$ pour +$2\nu+1 < x < 2\nu+2$, $\nu$~étant un entier quelconque. Quant à la +convergence de la série qui figure au second membre de l'égalité~\Eref{II}{II}{21}, +on pourra répéter mot à mot ce qui a été dit au sujet de +la série~\Eref{II}{II}{14}. + +Des égalités \Eref{II}{II}{19} et~\Eref{II}{II}{20} on déduit les relations +\begin{gather*} +\chi'_{\nu+1}(x) = (\nu + 1) \chi_\nu(x)\qquad (\nu=0, 1, 2, \dotsc), \\ +\chi_{2k}(1-x) = \chi_{2k}(x),\qquad +\chi_{2k+1}(1-x) = -\chi_{2k+1}(x), \\ +\chi_{2k}(0) = \chi_{2k}(1) = 0,\qquad +\chi_{2k+1}\left(\smfrac{1}{2}\right) = 0, +\EqnTag{II}{II}{22} +\end{gather*} +et, enfin, en tenant compte de l'égalité~\Eref{II}{II}{8}, +\[ +\chi_{2k}\left(\smfrac{1}{2}\right) = \frac{\Pow{(-1)}{k}}{2} \frac{E_k}{\Pow{4}{k}}. +\EqnTag{II}{II}{23} +\] + +\Paragraph{19.} À l'aide des considérations du \no\Sref{17} on peut, dans certains +cas, décomposer une fonction méromorphe en fractions rationnelles\footnote{Cf.~\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VII, 1827, p.~324--344, et série~I, t.~VIII, +1844, p.~378--385.}. % [** End of footnote] + +Supposons, par exemple, qu'il soit possible de choisir les +%% -----File: 050.png---Folio 38------- +cercles~$c_\nu$ de telle sorte que, si l'on pose toujours $z_\nu = r_\nu \Pow{e}{i\psi}$, le +module $\Abs{f(z_\nu)}$ reste au-dessous d'une limite finie, quels que +soient $\psi$ et~$\nu$, et que, d'autre part, l'égalité +\[ +\lim_{\nu=\infty} f(z_\nu) = A +\] +soit vérifiée uniformément dans l'intervalle $0\leqq \psi\leqq 2\pi$ ou, plus généralement, +dans toute portion de cet intervalle qui ne comprend +pas certaines valeurs particulières, $\psi_1,~\psi_2, \dotsc,~\psi_n$. Il en sera alors +de même, quel que soit~$x$, de l'égalité +\[ +\lim_{\nu=\infty} z_\nu\, \frac{f(z_\nu)}{z_\nu - x} = A, +\] +et l'on en déduit, d'après le théorème de la \Pgref{page}{theorem:II.II.1}, +\[ +\residuesum \left(\frac{f(z)}{z-x}\right) = A. +\] + +Or le résidu de $\smfrac{f(z)}{z-x}$ au point $z = x$ est égal à ~$f(x)$, et nous +pouvons donc écrire le résultat précédent sous la forme +\[ +f(x) = A + \residuesum \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{x-z} +\EqnTag{II}{II}{24} +\] +où la somme $\residuesum$ ne comprend, cette fois, que les résidus de~$\smfrac{f(z)}{x-z}$ +relatifs aux pôles de~$f(z)$\footnotemark. +\Pagelabel{page38}% +\footnotetext{À l'exemple de Cauchy, nous désignerons désormais par les notations +$\residuesum \varphi(z)\bigl(f(z)\bigr)$, et $\residuesum \smfrac{\varphi(z)}{\bigl(f(z)\bigr)}$ la somme des résidus des expressions $\varphi(z)f(z)$, +$\smfrac{\varphi(z)}{f(z)}$, relatifs respectivement aux points singuliers des fonctions $f(z)$ et~$\smash[t]{\smfrac{1}{f(z)}}$.} +% [** End of footnote] + +Si l'on suppose les conditions +\[ +\begin{alignedat}{3} + \lim_{\nu=\infty} f(z_\nu) &= A &&\text{pour} + &&\phantom{\pi+{}}\psi_0 + \eps < \psi < \psi_0 + \pi - \eps \\ +% + \lim_{\nu=\infty} f(z_\nu) &= B \qquad &&\text{pour}\qquad + && \psi_0 + \pi + \eps < \psi < \psi_0 + 2\pi - \eps +\end{alignedat} +\] +vérifiées uniformément dans les intervalles indiqués, quelque petit +que soit~$\eps$, et si $\Abs{f(z)}$ reste d'ailleurs au-dessous d'une limite +finie sur les cercles~$c_\nu$, on trouve, par le même raisonnement que +%% -----File: 051.png---Folio 39------- +ci-dessus, en utilisant le dernier théorème du \no\Sref{17}, +\[ +f(x) = \smfrac{1}{2}(A+B) + \residuesum \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{x-z}. +\EqnTag{II}{II}{25} +\] + +Considérons encore le cas où~$f(z)$ est une fonction \textit{impaire}, +telle que le quotient $\smfrac{f(z_\nu)}{z_\nu}$ tende uniformément vers zéro pour +$0\leqq \psi\leqq 2\pi$ lorsque $\nu$~croît indéfiniment. Je dis que le résidu intégral +de $\smfrac{f(z)}{z-x}$ se réduit à zéro, de sorte qu'on pourra appliquer la +formule~\Eref{II}{II}{24} en y faisant $A = 0$. En effet, on a +\[ +\residuesum\left(\frac{f(z)}{z-x}\right) + = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_0 \frac{z_\nu f(z_\nu)}{z_\nu - x}\, d\psi + = \frac{x}{\pi} \int^{\pi}_0 \frac{z_\nu f(z_\nu)} + {\Pow{z}{2}_\nu - \Pow{x}{2}}\, d\psi, +\] +et, sous la condition indiquée, cette dernière expression a évidemment +pour limite~$0$ lorsque $\nu$~tend vers l'infini. + +Dans le cas où~$f(z)$ n'admet que des pôles simples, $a_1,~a_2, \dotsc,~a_\nu,~\dotsc$, +on aura +\[ +\residuesum \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{x-z} + = \sum^{\infty}_1 \frac{A_\nu}{x - a_\nu}, +\] +$A_\nu$ étant le résidu de~$f(z)$ relatif au pôle~$a_\nu$. Mais il importe de +remarquer que, dans cette série, on doit réunir les termes en +groupes comme l'indique l'égalité~\Eref{II}{II}{2}, c'est-à -dire en comprenant +dans un même groupe les termes provenant des pôles compris +entre deux cercles consécutifs dans la suite $c_1,~c_2,~\dotsc$. + +\Paragraph{20.} Appliquons les considérations précédentes à la fonction +\[ +f(z) = \pi\cot\pi z \equiv \frac{D_z \sin \pi z}{\sin\pi z}. +\] + +La fonction $\sin\pi z$ admettant les points $z = 0$,~$\pm1, \pm 2,~\dotsc$ +comme zéros simples, ces mêmes points seront, d'après le \no\Sref{11}, +pour~$f(z)$ des pôles simples de résidu~$1$. La fonction~$f(z)$ est +d'ailleurs impaire et, d'après la note de la \Pgref{page}{page32}, son module +restera au-dessous d'une limite finie sur les cercles~$c_\nu$, si l'on prend +$r_\nu = \nu - \smfrac{1}{2}$. + +On peut donc appliquer la formule~\Eref{II}{II}{24} en y faisant $A = 0$, et +%% -----File: 052.png---Folio 40------- +l'on trouve ainsi la formule connue +\[ +\pi \cot \pi x + = \frac{1}{x} + \sum^{\infty}_{\nu = 1} + \left(\frac{1}{x - \nu} + \frac{1}{x + \nu}\right) + = \frac{1}{x} + 2x \sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{x}{2} - \Pow{\nu}{2}}. +\] + +Soit, en second lieu, +\[ +f(z) = \frac{\Pow{e}{az}}{\Pow{e}{z} -1}\qquad (0<a<1). +\] + +En prenant $r_\nu = (2\nu-1)\pi$, nous savons, d'après la \Pgref{page}{page34}, que le +module $\Abs{f(z_{\nu})}$ reste au-dessous d'une limite finie sur les cercles~$c_\nu$, +et que l'égalité $\lim\limits_{\nu=\infty} f(z_{\nu}) = 0$ est vérifiée uniformément pour +\begin{align*} +-\smfrac{\pi}{2} + \eps &< \psi < \smfrac{\pi}{2} - \eps \\ +\intertext{et pour} + \smfrac{\pi}{2} + \eps &< \psi < \smfrac{3\pi}{2} - \eps, +\end{align*} +quelque petit que soit~$\eps$. On aura donc l'égalité~\Eref{II}{II}{24} avec $A= 0$, +ce qui donne +\[ +\frac{\Pow{e}{ax}}{\Pow{e}{x} - 1} + = \lim_{n=\infty}\sum^{+n}_{-n} \frac{\Pow{e}{2\pi i\nu a}}{x - 2\pi i\nu} + \quad (0<a<1). +\] + +Si $a = 0$, on aura +\[ +\lim_{\nu=\infty} f(z_{\nu}) = -1\qquad \text{pour}\qquad +\smfrac{\pi}{2} + \eps < \psi < \smfrac{3\pi}{2} - \eps, +\] +les autres conditions étant les mêmes que ci-dessus. Dans ce cas, +on doit donc appliquer l'égalité~\Eref{II}{II}{25} en y faisant $A = 0$, $B =-1$, +et l'on trouve ainsi +\[ +\frac{1}{\Pow{e}{x} - 1} + = -\frac{1}{2} + \frac{1}{x} + + 2x\sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{x}{2} + 4\Pow{\pi}{2}\Pow{\nu}{2}}. +\] + +Comme dernière application, proposons-nous, en suivant toujours +Cauchy, de décomposer la fonction entière +\[ +F(z) = \sin z - az\cos z, +\] +où $a$~désigne une constante, en un produit de facteurs primaires. + +A cet effet, mettons~$F(z)$ sous la forme +\[ +F(z) = -az\cos z \left(1 - \frac{\tang z}{az}\right), +\] +%% -----File: 053.png---Folio 41------- +et décrivons, de l'origine comme centre, des cercles~$c_\nu$ de rayons +$\nu\pi$ ($\nu = 1,~2,~\dotsc$). Dès que $\nu$~dépassera une certaine valeur~$\nu_0$, on +aura (\textit{Cf}.~la note \Pgref{page}{page32}) +\[ +\Abs{\frac{\tang z}{az}} < 1\quad \text{sur}\quad c_\nu, +\] +et il en résulte, d'après le théorème de la \Pgref{page}{theorem:II.I.1}, que la +fonction~$F(z)$ a, dans le cercle~$c_\nu$, autant de zéros que la fonction $z\cos z$, +c'est-à -dire $2\nu + 1$ zéros. Donc $F(z)$ admet, en dehors de l'origine +qui en est un zéro simple si l'on suppose $a\neq 1$, une infinité +d'autres zéros, deux à deux égaux et de signes contraires, que nous +désignerons par $\pm\lambda_1,~\pm\lambda_2, \dotsc,~\pm\lambda_\nu,~\dotsc$. D'ailleurs, $\nu > \nu_0$, +les zéros~$\pm\lambda_{\nu}$ seront compris entre les cercles $c_{\nu-1}$ et~$c_{\nu}$. + +Cela posé, formons la dérivée logarithmique de~$F(z)$: +\[ +\frac{F'(z)}{F(z)} = \frac{(1-a)\cos z + az\sin z}{\sin z - az\cos z} + = \frac{\vphantom{\bigg|}\smfrac{1-a}{az} + \tang z} + {\vphantom{\bigg|}\smfrac{\tang z}{az} - 1}. +\] + +Cette dernière expression met en évidence que le module de +$\smfrac{F'(z)}{F(z)}$ reste inférieur à une quantité finie sur les cercles~$c_{\nu}$, au moins +pour $\nu>\nu_0$, et, comme c'est d'ailleurs une fonction impaire de~$z$, +les résultats établis au \no\Sref{19} nous permettent d'écrire +\[ +\frac{F'(z)}{F(z)} + = \frac{1}{x} + \sum^{\infty}_{1} + \left(\frac{1}{x - \lambda_\nu} + \frac{1}{x + \lambda_\nu}\right). +\] + +En intégrant cette égalité et en observant que $F'(0) = 1-a$, on +en déduit l'expression cherchée +\[ +\sin x - ax\cos x + = (1-a)x \prod^{\infty}_1 \left( + 1 - \frac{\Pow{x}{2}}{\Pow{\lambda}{2}_\nu} + \right). +\] + +\Paragraph{21.} Si les considérations qui précèdent ne s'appliquent pas à la +fonction donnée~$f(z)$, il sera parfois possible de trouver une fonction +rationnelle ou méromorphe~$\chi(z)$, se réduisant à l'unité pour +$z = 1$ et telle que les conditions énoncées au \no\Sref{19} soient vérifiées +%% -----File: 054.png---Folio 42------- +pour le produit $f(z)\chi\left(\smfrac{z}{x}\right)$, quel que soit~$x$\footnotemark. Le résidu intégral +de l'expression +\[ +\frac{f(z)\,\chi\!\left(\smfrac{z}{x}\right)}{z-x} +\EqnTag{II}{II}{26} +\] +aura alors une valeur finie qui dépendra en général de~$x$, $\varphi(x)$, et, +comme le résidu de cette expression au point $z=x$ est égal à ~$f(x)$, +on en déduit +\[ +f(x) = \varphi(x) + \residuesum + \frac{\Bigl(f(z)\,\chi\bigl(\smfrac{z}{x}\bigr)\Bigr)}{x-z}. +\EqnTag{II}{II}{27} +\] +\footnotetext{Cauchy a fait cette remarque (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~VIII, p.~114, 381), sans +toutefois en tirer grand profit. Pour le sujet que nous traitons ici, \textit{voir} \bsc{Hermite}, +\textit{Cours d'Analyse}, 4\ieme{}~édition, 10\ieme{}~Leçon; \bsc{Picard}, \textit{Traité d'Analyse}, t.~II, +Chapitre~VI; \bsc{Borel}, \textit{Leçons sur les fonctions méromorphes}, Chapitre~IV.}% +% [** End of footnote] + +Supposons par exemple qu'il soit possible de choisir les cercles~$c_\nu$ +de telle sorte que l'égalité +\[ +\lim_{\nu=\infty} \frac{f(z_\nu)}{\Pow{z}{p}_\nu} = 0, +\] +où $p$ désigne un entier positif, ait lieu uniformément pour +\[ +0\leqq \psi\leqq 2\pi. +\] + +Dans ce cas, il suffit de prendre $\chi(z) = \Pow{z}{-p}$, car l'expression~\Eref{II}{II}{26} +devient alors +\[ +\frac{f(z)}{\Pow{z}{p}}\, \frac{\Pow{x}{p}}{z-x}, +\] +et, en vertu de l'hypothèse admise, elle aura donc zéro pour résidu +intégral, quel que soit~$x$. Par suite, l'égalité~\Eref{II}{II}{27} nous donne +\[ +f(x) = \residuesum \frac{\Pow{x}{p}}{x-z} \left(\frac{f(z)}{\Pow{z}{p}}\right). +\] + +Admettons en particulier que les pôles $a_1,~a_2,~\dotsc$ de~$f(z)$ soient +tous simples et distincts de l'origine, et soit~$A_\nu$ le résidu du pôle~$a_\nu$. +Dans ce cas, le résidu de l'expression +\[ +\frac{\Pow{x}{p}}{x-z}\, \frac{f(z)}{\Pow{z}{p}} + \equiv f(z) \left(\frac{1}{x-z} + \frac{1}{z} + \frac{x}{\Pow{z}{2}} + + \dotsb + \frac{\Pow{x}{p-1}}{\Pow{z}{p}}\right) +\] +%% -----File: 055.png---Folio 43------- +relatif au pôle~$a_\nu$ est égal à +\[ +\frac{A_\nu}{x - a_\nu} \Pow{\left(\frac{x}{a_\nu}\right)}{p} +\equiv A_\nu \left(\frac{1}{x - a_\nu} + \frac{1}{a_\nu} + + \frac{x}{\Pow{a}{2}_\nu} + \dotsb + + \frac{\Pow{x}{p-1}}{\Pow{a}{p}_\nu}\right), +\] +tandis que son résidu à l'origine est, d'après l'égalité~\Eref{I}{I}{7}, \Pgref{page}{eqn:I.I.7}, +\[ +f(0) + f'(0)x + \dotsb + \Pow{f}{(p-1)}(0)\frac{\Pow{x}{p-1}}{(p-1)!}, +\] +de sorte que la fonction~$f(x)$ sera représentée par l'expression +\[ +f(x) = f(0) + f'(0)x + \dotsb + \Pow{f}{(p-1)}(0)\frac{\Pow{x}{p-1}}{(p-1)!} + + \sum^{\infty}_1 \frac{A_\nu}{x - a_\nu} + \Pow{\left(\frac{x}{a_\nu}\right)}{p}. +\] + +Dans cette dernière somme, on doit d'ailleurs réunir les termes +en groupes comme nous l'avons expliqué plus haut. + + +\Section{II}{III}{Calcul de quelques intégrales définies.} + +\Paragraph{22.} Le calcul des résidus constitue la source naturelle des intégrales +définies, et Cauchy en a tiré des méthodes générales qui lui +ont fourni toutes les intégrales obtenues antérieurement et une +multitude d'intégrales nouvelles\footnotemark. Nous devons nous borner ici +à rappeler brièvement les plus importantes de ces méthodes, en les +illustrant par quelques exemples caractéristiques. +\footnotetext{En dehors du Mémoire déjà cité de l'année~1814, on consultera en particulier: +\textit{Journal de l'École Polytechnique}, Cahier~XIX, 1823, p.~571--592; \textit{{\OE}uvres +de Cauchy}, série~II, t.~VI, 1826, p.~256--285, et, avant tout, l'Ouvrage intitulé +\textit{Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires} +(1825), dont une traduction allemande vient d'être publiée par M.~Stäckel.} +% [** End of footnote] + +Nous commençons par tirer de la formule connue +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-\Pow{z}{2}}\, dz = \smfrac{\sqrt{\pi}}{2} +\EqnTag{II}{III}{1} +\] +quelques résultats dont nous aurons à faire usage plus loin. + +Posons $z = \rho\,\Pow{e}{i\psi}$, et considérons l'intégrale $\dint \Pow{e}{-\Pow{z}{2}}\,dz$ étendue +au contour du secteur formé par l'axe réel positif, le rayon +%% -----File: 056.png---Folio 44------- +d'argument $\psi=\smfrac{\pi}{4}$, et l'arc~$S$ du cercle $\Abs{z} = R$ compris entre ces deux +droites. La valeur de cette intégrale est égale à zéro, quelque grand +que soit~$R$, puisque la fonction~$\Pow{e}{-\Pow{z}{2}}$ est partout holomorphe. Or je +dis que \textit{l'intégrale prise sur l'arc~$S$ s'évanouit lorsque $R$~croît +indéfiniment}. En effet, le module de cette intégrale est inférieur à +\[ +\int^{\fnfrac{\pi}{4}}_0 \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos 2\psi}R\,d\psi + \equiv \frac{1}{2} \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\,d\psi, +\] +et, en désignant par~$a$ un nombre positif inférieur à ~$\smfrac{\pi}{2}$, on a +\[ +\int^a_0 \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\,d\psi + < \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos a} \int^a_0 R\,d\psi + = aR\,\Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos a}, +\] +expression qui s'annule évidemment pour $R = \infty$, et, d'autre part, +\[ +\int^{\fnfrac{\pi}{2}}_a \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\, d\psi + < \frac{1}{\sin a} \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_a \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\sin\psi\,d\psi + = \frac{1}{R\sin a} (1 - \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos a}), +\] +d'où résulte la proposition énoncée. + +Par suite l'intégrale~\Eref{II}{III}{1}, prise le long de l'axe réel positif, aura la +même valeur que si l'on y prend pour chemin d'intégration le +rayon d'argument~$\smash[b]{\smfrac{\pi}{4}}$, et, en posant dans ce dernier cas +$z=\Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}}\rho$, +d'où $\Pow{z}{2} = i\Pow{\rho}{2}$, on aura donc +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-i\Pow{\rho}{2}}\, d\rho + = \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4}}\, \smfrac{\sqrt{\pi}}{2}, +\EqnTag{II}{III}{2} +\] +ou encore, en séparant les parties réelles et imaginaires, +\[ + \int^{\infty}_0 \cos(\Pow{\rho}{2})\,d\rho += \int^{\infty}_0 \sin(\Pow{\rho}{2})\,d\rho += \smfrac{1}{2} \sqrt{\smfrac{\pi}{2}}. +\] + +De l'égalité~\Eref{II}{III}{2} on déduit, en remplaçant~$\rho$ par $a\left(t + \smfrac{b}{\Pow{a}{2}}\right)$, +\[ +\int^{+\infty}_{-\infty} \Pow{e}{-i\Pow{a}{2} \Pow{t}{2} - 2ibt}\,dt + = \smfrac{\sqrt{\pi}}{a} +% [** PP: \Pow macro here and below would make expression too tall] +% \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4} + i\fnfrac{\Pow{b}{2}}{\Pow{a}{2}}}, + \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4} + i\fnfrac{b^2}{a^2}}, +\] +et, en ajoutant à cette égalité celle qui en résulte en changeant~$b$ +%% -----File: 057.png---Folio 45------- +en~$-b$, on obtient une formule qui nous sera utile: +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-i \Pow{a}{2} \Pow{t}{2}}\cos 2bt\,dt + = \smfrac{\sqrt{\pi}}{2a} \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4} +% + i\fnfrac{\Pow{b}{2}}{\Pow{a}{2}}}. + + i\fnfrac{b^2}{a^2}}. +\EqnTag{II}{III}{3} +\] + +\Paragraph{23.} Voici maintenant une méthode aussi simple que féconde, et +dont Cauchy a fait un usage continuel dès ses premières recherches +sur ce sujet. Supposons que la fonction~$f(z)$ soit uniforme et ne +présente qu'un nombre fini de points singuliers dans le demi-plan~$P_1$ +situé au-dessus de l'axe réel, en étant d'ailleurs holomorphe sur +cet axe, et soit~$R$ un nombre positif assez grand pour que les points +singuliers en question soient tous intérieurs au cercle décrit de +l'origine comme centre avec le rayon~$R$. En désignant par~$C_R$ l'arc +de ce cercle compris dans le demi-plan~$P_1$, on aura alors, par le +théorème fondamental du calcul des résidus, +\[ +\int^{+R}_{-R} f(z)\,dz + \int_{C_R} f(z)\,dz + = 2\pi i\, \residuesum_{P_1}\bigl(f(z)\bigr), +\] +et, dans les cas où est vérifiée la condition +\[ +\lim_{R=\infty}\int_{C_R} f(z)\,dz = 0, +\EqnTag{II}{III}{4} +\] +on en conclut, en faisant tendre~$R$ vers l'infini, +\[ +\int^{+\infty}_{-\infty} f(z)\,dz + = 2\pi i\, \residuesum_{P_1}\bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{II}{III}{5} +\] + +On trouverait de même, sous des conditions analogues, +\[ +\int^{+\infty}_{-\infty} f(z)\,dz += -2\pi i\, \residuesum_{P_2}\bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{II}{III}{\protect{$5'$}} +\] +$P_2$~désignant le demi-plan situé au-dessous de l'axe réel. + +La condition~\Eref{II}{III}{4} est certainement remplie si l'égalité +\[ +\lim_{R=\infty} R\, f(R\, \Pow{e}{i\psi}) = 0 +\EqnTag{II}{III}{6} +\] +a lieu uniformément pour $0\leqq \psi\leqq \pi$. Il en résulte, en particulier, +que la formule~\Eref{II}{III}{5} est applicable toutes les fois que~$f(z)$ est une +fonction rationnelle, holomorphe sur l'axe réel et admettant le point +%% -----File: 058.png---Folio 46------- +à l'infini comme zéro du second ordre (ou d'ordre supérieur), ou +bien le produit d'une telle fonction par une expression de la forme +\[ +[\Pow{(z-z_1)}{\alpha_1}\, \Pow{(z-z_2)}{\alpha_2}\, \dotsm]\, +\Bigl\{\Pow{[\log(z-z_1)]}{\beta_1}\, + \Pow{[\log(z-z_2)]}{\beta_2}\, \dotsm\Bigr\}, +\EqnTag{II}{III}{7} +\] +où $z_1,~z_2,~\dotsc$ sont les affixes de points situés au-dessous de l'axe +réel, et où la partie réelle de la somme $\alpha_1 + \alpha_2 + \dotsb$ est inférieure +à l'unité (ou même égale à l'unité, si la partie réelle de la somme +$\beta_1 + \beta_2 + \dotsb$ est négative). + +Mais l'hypothèse~\Eref{II}{III}{4} est encore vérifiée si l'on a +\[ +\lim_{R=\infty} \int^{\pi}_0 R\Abs{f(R\, \Pow{e}{i\psi})}\, d\psi = 0, +\EqnTag{II}{III}{8} +\] +condition qui est évidemment plus générale que~\Eref{II}{III}{6}. On en déduit, +en particulier, que la formule~\Eref{II}{III}{5} est applicable pour +\[ +f(z) = \Pow{e}{iaz}\,\varphi(z), +\] +si l'on suppose la constante~$a$ positive et l'égalité $\lim\limits_{R=\infty}\varphi(R\,\Pow{e}{i\psi})=0$ +vérifiée uniformément pour $0\leqq\psi\leqq\pi$, $\varphi(z)$~jouissant d'ailleurs, +dans le demi-plan~$P_1$ et sur l'axe réel, des propriétés indiquées au +début de ce numéro. + +En effet, en désignant par~$\eps(R)$ le maximum de $\Abs{\varphi(R\,\Pow{e}{i\psi})}$ +pour $0\leqq\psi\leqq\pi$, on aura +\[ +\int^{\pi}_0 R\Abs{f(R\, \Pow{e}{i\psi})}\, d\psi +< \eps(R) \int^{\pi}_0 R\, \Pow{e}{-aR\sin\psi}\,d\psi. +\] + +Or l'intégrale qui figure au second membre, et qui peut s'écrire +\[ +2\int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 R \Pow{e}{-aR\sin\psi}\, d\psi, +\] +reste au-dessous d'une limite finie quel que soit~$R$, car, en désignant +par~$b$ un nombre positif inférieur à ~$\smfrac{\pi}{2}$, on a +\[ +\int^{\fnfrac{\pi}{2}}_b R\, \Pow{e}{-aR\sin\psi}\, d\psi +< \left(\smfrac{\pi}{2} - b\right) R\,\Pow{e}{-aR\sin b}, +\] +%% -----File: 059.png---Folio 47------- +expression qui s'annule pour $R = \infty$, et d'autre part +\[ +\int^b_0 R\, \Pow{e}{-aR\sin \psi}\, d\psi +< \frac{1}{\cos b} \int^b_0 \Pow{e}{-aR\sin\psi}\, R\cos\psi\, d\psi += \frac{1}{a\cos b} (1 - \Pow{e}{-aR\sin b}). +\] + +Comme d'ailleurs, par hypothèse, $\eps(R)$ s'évanouit pour $R = \infty$, +on voit bien que la condition~\Eref{II}{III}{8} est remplie et que, par suite, la +formule~\Eref{II}{III}{5} est applicable dans l'hypothèse considérée. + +On pourra, par exemple, choisir pour~$\varphi(z)$ une fonction rationnelle, +holomorphe sur l'axe réel et admettant le point à l'infini +comme zéro du premier ordre (ou d'ordre supérieur), ou bien le +produit d'une telle fonction par une expression de la forme~\Eref{II}{III}{7}, les +points $z_1,~z_2,~\dotsc$ étant situés dans le demi-plan~$P_2$, et la partie +réelle de $\alpha_1 + \alpha_2 + \dotsb$ étant inférieure à l'unité (ou même égale à +l'unité, si la partie réelle de la somme $\beta_1 + \beta_2 + \dotsb$ est négative). + +On trouve, par exemple, en désignant par~$r$ une constante dont +la partie réelle est positive, +\[ +\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{\Pow{e}{iaz}}{z - ir}\, dz + = 2\pi i\, \Pow{e}{-ar},\qquad% [** PP: Orig. 2\pi i\Pow{e}{-a^r}?] +\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{\Pow{e}{iaz}}{z+ir}\, dz = 0 +\] +et, en formant la somme et la différence de ces deux égalités, on +en déduit les formules de Laplace +\[ + \int^{\infty}_0 \frac{z\sin az}{\Pow{z}{2} + \Pow{r}{2}}\, dz += \int^{\infty}_0 \frac{z\cos az}{\Pow{z}{2} + \Pow{r}{2}}\, dz += \frac{\pi}{2}\Pow{e}{-ar}. +\] + +\Paragraph{24.} Voici une autre méthode générale dont Cauchy\footnote{% +\textit{Voir} en particulier \textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~I, 1825, p.~235--285.} +% [** End of footnote] +et Hermite\footnote{\textit{Cours d'Analyse}, 13\ieme{}~Leçon.} +% [** End of footnote] +ont fait un usage étendu, et sur laquelle nous aurons d'ailleurs +à revenir au Chapitre suivant. En posant $z = \tau + it$, admettons +que la fonction~$f(z)$ soit uniforme et ne présente qu'un nombre fini +de points singuliers dans le domaine~$B_1$, défini par les inégalités +$a < \tau < b$, $t>0$, en étant d'ailleurs holomorphe sur le contour +de ce domaine, et admettons en outre que la condition +\[ +\lim_{t=\infty} f(\tau + it) = H_1, \qquad (H_1 = \text{const}.), +\EqnTag{II}{III}{9} +\] +soit vérifiée uniformément pour $a\leqq\tau\leqq b$. + +%% -----File: 060.png---Folio 48------- + +Prenons un nombre positif~$\delta$ assez grand pour que les points +singuliers de~$f(z)$ compris dans~$B_1$ soient tous intérieurs au rectangle +retranché de ce domaine par la droite $t = \delta$. En intégrant la +fonction~$f(z)$ autour du périmètre de ce rectangle, on aura l'égalité +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\int^b_a f(\tau)\, d\tau +&= i\int^{\delta}_0 \bigl[f(a+it)-f(b +it)\bigr]\, dt \\ +&\quad +\int^b_a f(\tau + i\delta)\, d\tau + + 2\pi\, \residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr); +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{II}{III}{10} +\] +on en déduit, en tenant compte de l'hypothèse~\Eref{II}{III}{9}, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\int^b_a f(\tau)\, d\tau +&= i\int^{\infty}_0 \bigl[f(a+it)-f(b +it)\bigr]\, dt \\ +&\quad + (b-a)H_1 + 2\pi i\, \residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr). +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{II}{III}{11} +\] + +Dans le cas où la fonction~$f(z)$ admet la période $b-a$, le premier +terme disparaîtra du second membre de cette formule. + +En supposant des conditions analogues à celles qui précèdent +vérifiées dans le domaine~$B_2$, symétrique de~$B_1$ par rapport à l'axe +réel, on trouve une formule analogue à ~\Eref{II}{III}{11} et que nous nous +dispenserons d'écrire ici. + +Appliquons cette méthode au cas où l'on a +\[ +f(z) = \frac{z}{u - \Pow{e}{-iz}},\qquad a = -\pi,\qquad b = \pi, +\] +$u$ étant une quantité réelle et positive. La fonction~$f(z)$ admet +pour pôles les points +\[ +z = i \log u + 2\pi\nu\qquad (\nu = 0, \pm 1, \pm 2,\dotsc). +\] +Donc, si $u>1$, le pôle $i \log u$ sera intérieur à ~$B_1$, tandis que ce +domaine ne comprendra aucun pôle de~$f(z)$ lorsque~$u<1$. Il en +résulte que le dernier terme de l'expression~\Eref{II}{III}{11} est, dans le premier +cas, égal à $\smfrac{2\pi i\log u}{u}$ et, dans le second cas, à zéro. + +D'autre part, on trouve +\[ +f(a+it) - f(b+it) = - \smfrac{2\pi}{u + \Pow{e}{t}}, +\] +d'où il résulte, par un calcul élémentaire, que le premier terme de +%% -----File: 061.png---Folio 49------- +l'expression~\Eref{II}{III}{11} a pour valeur +\[ +-\smfrac{2\pi i}{u} \log(1+u). +\] +Comme, d'ailleurs, $H_1=0$, nous pouvons donc conclure de la formule~\Eref{II}{III}{11} +que l'intégrale +\[ +\int^{+\pi}_{-\pi} \frac{z\, dz}{u - \Pow{e}{-iz}} +\] +est égale à $\smfrac{2\pi i}{u} \log\Bigl(\smfrac{u}{1+u}\Bigr)$ ou à $\smfrac{2\pi i}{u} \log\Bigl(\smfrac{1}{1+u}\Bigr)$, suivant que l'on a +$u > 1$ ou $u < 1$, et, en séparant les parties réelle et imaginaire, on +en déduit pour l'intégrale +\[ +\int^{\pi}_0 \frac{z\sin z\,dz}{\Pow{u}{2} - 2u\cos z + 1} +\] +la valeur $\smfrac{\pi}{u}\log\smfrac{1+u}{u}$, si $u > 1$, et la valeur $\smfrac{\pi}{u}\log(1+u)$, si $u < 1$. + +Calculons encore, par la même méthode, la valeur de l'intégrale +\[ +\int^1_0 \log(\sin \pi z)\, dz, +\EqnTag{II}{III}{12} +\] +qui nous sera utile plus loin, et, dans ce but, appliquons la formule~\Eref{II}{III}{10} +en y faisant $a = 0$, $b= 1$, $f(z)=\log(\sin\pi z)$. On s'assure +en effet aisément que cette formule reste applicable lorsque +la fonction~$f(z)$ devient infinie aux points $a$ et~$b$, pourvu que son +ordre d'infinitude y soit inférieur à l'unité, comme dans le cas +présent. On trouve, par une discussion élémentaire, +\Pagelabel{page49} +\[ +f(a + it) -f(b+it) + \equiv \log\left[\frac{\sin\pi it}{\sin\pi(1+it)}\right] + = +\pi i, +\] +d'où il résulte +\[ +i\int^{\delta}_0 \bigl[f(a+it) - f(b+it)\bigr]\, dt = -\pi\delta, +\] +et, d'autre part, on déduit de l'égalité $\sin\pi z = \smfrac{1}{2i}(\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz})$ +\[ +\sin\pi(\tau + it) = \smfrac{i}{2} \Pow{e}{\pi t - \pi i\tau} + \bigl[1 + \eps(t)\bigr]\footnotemark,\Pagelabel{page49fn} +% [** Footnote gets put on following page] +\] +\footnotetext{Pour éviter des redites incessantes, nous conviendrons dès maintenant de +désigner indifféremment par~$\eps(t),~\eps(\delta),~\dotsc$, toute fonction tendant vers zéro lorsque $t,~\delta,~\dotsc$ tendent vers l'infini.}% +% [** End of footnote] +%% -----File: 062.png---Folio 50------- +d'où +\[ +f(\tau + i\delta) + = \smfrac{\pi i}{2} - \log 2 + \pi\delta - \pi i\tau + \eps(\delta) +\] +et, par suite, +\Pagelabel{page50} +\[ +\int^b_a f(\tau+i\delta)\, d\tau = \pi\delta - \log 2 + \eps(\delta). +\] + +Comme, d'ailleurs, dans l'hypothèse actuelle, le dernier terme +de la formule~\Eref{II}{III}{10} est nul, nous pouvons en conclure, en faisant +tendre~$\delta$ vers l'infini, que \textit{la valeur de l'intégrale~\Eref{II}{III}{12} est égale +à ~$-\log2$}. + +\Paragraph{25.} Soit encore à calculer l'intégrale +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1}\varphi(z)\, dz, +\] +$a$ étant une constante dont la partie réelle est positive et inférieure +à \textit{un}, et~$\varphi(z)$ une fonction rationnelle, s'annulant à l'infini et +holomorphe à l'origine et sur l'axe réel positif. + +Traçons de l'origine comme centre un cercle~$c$ de rayon~$\eps$ et un +autre cercle~$C$ de rayon~$R$, de telle sorte qu'ils comprennent entre +eux tous les pôles de~$\varphi(z)$, et désignons par~$S$ le contour fermé +qui se compose de ces cercles et des deux bords d'une coupure +menée suivant l'axe réel positif. On aura +\[ +\int_S \Pow{z}{a-1} \varphi (z)\, dz + = 2\pi i\, \residuesum \Pow{z}{a-1}\bigl(\varphi(z)\bigr), +\] +la somme $\residuesum$ s'étendant à tous les pôles de~$\varphi(z)$. + +Faisons maintenant tendre~$\eps$ vers zéro et~$R$ vers l'infini. Les +parties de l'intégrale ci-dessus qui sont relatives aux cercles +$c$ et~$C$, tendront vers zéro, en vertu de nos hypothèses. Comme +d'ailleurs $\Pow{z}{a-1} = \Pow{e}{(a-1)\log z}$ et que $\log z$ augmente de $2\pi i$ lorsqu'on +passe d'un point du bord supérieur au point correspondant du bord +inférieur de la coupure, le premier membre de l'égalité précédente +deviendra +\[ +(1 - \Pow{e}{2\pi ia}) \int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1}\varphi(z)\, dz, +\] +%% -----File: 063.png---Folio 51------- +et, par suite, on trouve pour l'intégrale donnée l'expression +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1}\varphi(z)\, dz += \frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi ia}}\, \residuesum \Pow{z}{a-1}\bigl(\varphi(z)\bigr). +\EqnTag{II}{III}{13} +\] + +Pour $\varphi(z) = \smfrac{1}{1+z}$, on obtient la formule, due à Euler: +\[ +\int^{\infty}_0 \frac{\Pow{z}{a-1}}{1 + z}\, dz += \frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi ia}} \Pow{e}{\pi i(a-1)} += \frac{\pi}{\sin \pi a}. +\] + +En différentiant l'égalité~\Eref{II}{III}{13} $n$~fois par rapport à la constante~$a$, +on trouve la valeur de l'intégrale +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1} \Pow{(\log z)}{n} \varphi(z)\, dz. +\] + +D'autre part, si $\varphi(z)$ admet le point à l'infini comme zéro d'un +ordre $\geqq 2$, les résultats précédents seront valables pour $a = 1 + \eps$, +dès que $0 <\eps< 1$, et, en faisant tendre~$\eps$ vers zéro, on en déduit +les formules +\[ +\int^{\infty}_0 \varphi(z)\, dz += \lim_{\eps = 0} \left\{\frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi i\eps}}\, + \residuesum \Pow{z}{\eps} \bigl(\varphi(z)\bigr)\right\} +\] +et +\[ +\int^{\infty}_0 \varphi(z)\Pow{(\log z)}{n}\, dz += \lim_{\eps = 0} \Pow{D}{(n)}_{\eps} + \left\{\frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi i\eps}}\, + \residuesum \Pow{z}{\eps} \bigl(\varphi(z)\bigr)\right\}. +\] + +On trouverait, par exemple, +\[ +\int^{\infty}_0 \frac{\Pow{(\log z)}{2}}{1+\Pow{z}{2}}\, dz + = \lim_{\eps=0} \Pow{D}{(2)}_{\eps} + \Biggl(\frac{\pi}{2\cos\smfrac{\pi\eps}{2}}\Biggr) + =\frac{\Pow{\pi}{3}}{8}. +\] + +\bigTbreak + +%% -----File: 064.png---Folio 52------- + + +% [*** Chapter III] +\cleardoublepage +\Chapter{III}{FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCUL DES RÉSIDUS.} + +\Section{III}{I}{Recherches de Cauchy. Transformations diverses +des formules générales.} + +\Paragraph{26.} Le calcul des résidus permet d'exprimer par une intégrale +définie la somme des valeurs que prend une fonction analytique~$f(z)$ +pour des valeurs entières successives de la variable $z$. En +effet, on a vu (\Pgref{p.}{paragraph:20}) +que la fonction $\pi\cot \pi z$ admet tout nombre +entier~$\nu$ comme pôle simple de résidu \textit{un}, et il en résulte que la +valeur~$f(\nu)$ est égale au résidu de l'expression $\pi\cot \pi z\,f(z)$ relatif +au point $z=\nu$, pourvu que~$f(z)$ y soit holomorphe. Traçons donc +un contour fermé simple~$C$ enveloppant les points $m,~m+1, \dotsc,~n$, +mais laissant à l'extérieur tout autre point dont l'affixe est un +nombre entier, et supposons que, à l'intérieur de ce contour, la +fonction~$f(z)$ soit uniforme et ne présente qu'un nombre fini de +points singuliers, distincts des points $m,~m + 1, \dotsc,~n$, en étant +d'ailleurs holomorphe sur~$C$. Dans ces conditions, on conclut du +théorème général des résidus, en utilisant la notation qui a été +expliquée \Pgref{page}{page38}, +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int_C \pi \cot \pi z\, f(z)\,dz += \sum^n_m f(\nu) + \residuesum_C \pi \cot \pi z\bigl(f(z)\bigr), +\EqnTag{III}{I}{1} +\] +d'où +\[ +\sum^n_m f(\nu) + = \frac{1}{2\pi i} \int_C \pi \cot \pi z f(z)\,dz + - \residuesum_C \pi \cot \pi z\bigl(f(z)\bigr), +\EqnTag{III}{I}{2} +\] + +Si, en particulier, la fonction~$f(z)$ est holomorphe à l'intérieur +de~$C$, le dernier terme de cette égalité disparaîtra. + +%% -----File: 065.png---Folio 53------- + +En observant que le résidu de la fonction $\smfrac{\pi}{\sin\pi z}$ relatif au pôle +$z = \nu$ est égal à ~$\Pow{(-1)}{\nu}$, on arrive de même à la formule +\[ +\sum^{\infty}_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) + = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{\pi}{\sin\pi z} f(z)\,dz + - \residuesum_C \frac{\pi}{\sin \pi z}\bigl(f(z)\bigr), +\EqnTag{III}{I}{3} +\] +les hypothèses restant les mêmes que ci-dessus. + +Les formules qu'on vient d'écrire conduisent facilement à la +sommation de certaines séries particulières, renfermant un nombre +infini de termes\footnotemark. +\footnotetext{% [** PP: Changed period to comma after série~II] +Cf.~\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VII, 1827, p.~345--362.} + +Soit, par exemple, $f(z)$ une fonction rationnelle ou méromorphe, +telle que le résidu intégral de l'expression $\pi \cot \pi z\,f(z)$ s'annule +(\textit{voir} le \no\Sref{17}). En prenant pour le contour~$C$ un cercle ayant l'origine +comme centre et en faisant croître indéfiniment le rayon de ce +cercle par des valeurs convenablement choisies, l'intégrale~\Eref{III}{I}{1} +tendra vers zéro, de sorte que l'égalité~\Eref{III}{I}{2} deviendra +\[ +\sum^{+\infty}_{-\infty} f(\nu) = -\residuesum\pi\cot \pi z\bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{III}{I}{4} +\] + +Si le résidu intégral de l'expression $\smfrac{\pi}{\sin \pi z} f(z)$ se réduit à zéro, +on déduit de même de l'égalité~\Eref{III}{I}{3} la formule +\[ +\sum^{+\infty}_{-\infty}\Pow{(-1)}{\nu}f(\nu) + = -\residuesum \frac{\pi}{\sin \pi z}\bigl(f(z)\bigr). +\EqnTag{III}{I}{5} +\] + +On suppose, bien entendu, que les séries qui figurent dans les +égalités \Eref{III}{I}{4} et~\Eref{III}{I}{5} soient convergentes et que leurs termes soient +réunis en groupes comme l'indique l'égalité~\Eref{II}{II}{2}, \Pgref{page}{eqn:II.II.2}. + +Comme les modules $ \Abs{\cot \pi z}$ et $\Abs{\smfrac{1}{\sin \pi z}}$ restent au-dessous d'une +limite finie sur les cercles $\Abs{z} = \nu - \tfrac{1}{2}$, $\nu = 1,~2,~\dotsc$ (\textit{voir} la note +de la \Pgref{page}{page32}), on peut conclure des résultats établis au \no\Sref{17} que +les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées toutes les fois +que~$f(z)$ est une fonction rationnelle admettant le point à l'infini +%% -----File: 066.png---Folio 54------- +comme zéro d'un ordre $\geqq 2$. Dans ce cas, les séries \Eref{III}{I}{4} et~\Eref{III}{I}{5} seront +d'ailleurs absolument convergentes. + +Si~$f(z)$ est une fonction rationnelle ayant $z =\infty$ comme zéro +simple, on pourra l'écrire sous la forme $f(z) = \smfrac{A}{z} + \varphi(z)$, $A$~étant +une constante et~$\varphi(z)$ une fonction rationnelle admettant $z =\infty$ +comme zéro d'un ordre $\geqq 2$. Comme les résidus intégraux des +expressions $\smfrac{\cot\pi z}{z}$ et~$\smfrac{1}{z\sin\pi z}$ se réduisent a zéro, puisque leurs +termes se détruisent deux à deux, il en sera de même, d'après ce +que nous venons de dire, des résidus intégraux des expressions +$\pi \cot\pi z f(z)$ et $\smfrac{\pi}{\sin\pi z} f(z)$ et, par suite, les formules \Eref{III}{I}{4} et~\Eref{III}{I}{5} +seront encore applicables, en réunissant toutefois, dans la série~\Eref{III}{I}{4}, +les termes correspondant à des valeurs égales et de signes contraires +de l'indice~$\nu$. + +L'égalité~\Eref{III}{I}{4} nous donne, en faisant par exemple $f(z)=\smfrac{1}{\Pow{(x+z)}{2}}$, +\[ +\sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\Pow{(x+\nu)}{2}} = \frac{\Pow{\pi}{2}}{\Pow{\sin}{2} \pi x}, +\] +et, pour $f(z)=\smfrac{1}{a + b\Pow{z}{2}}$, +\[ +\sum_{0}^{\infty} \frac{1}{a + b\Pow{\nu}{2}} + = - \frac{1}{2a} - \frac{1}{2}\, \residuesum \frac{\pi \cot\pi z}{(a+b\Pow{z}{2})} + = - \frac{1}{2a} + \frac{\pi}{2\sqrt{ab}} + \frac{\Powfr{e}{\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}} + \Powfr{e}{-\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}}} + {\Powfr{e}{\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}} - \Powfr{e}{-\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}}}. +\] + +La formule~\Eref{III}{I}{5} reste valable si l'on pose $f(z) = \varphi(z) \sin az$ ou +$f(z) = \varphi(z) \cos az$, $\varphi(z)$~étant une fonction rationnelle s'annulant +à l'infini et $a$~une constante réelle comprise entre $-\pi$ et~$\pi$. En +effet, en remplaçant les fonctions trigonométriques par des exponentielles, +on constate aisément (\textit{Cf}.~la note \Pgref{p.}{page32}), que les expressions +\[ +\Abs{\frac{\sin az}{\sin\pi z}}\quad \text{et}\quad +\Abs{\frac{\cos az}{\sin\pi z}\vphantom{\frac{\sin az}{\sin\pi z}}} +\] +restent au-dessous d'une limite finie sur les cercles +\[ +\Abs{z} = \nu - \smfrac{1}{2}\qquad (\nu = 1, 2, \dotsc) +\] +et, d'autre part, que ces mêmes expressions tendent uniformément +%% -----File: 067.png---Folio 55------- +vers zéro lorsque le point $z\equiv \rho\,\Pow{e}{i\psi}$ tend vers l'infini en restant +intérieur à l'un des angles $\eps < \psi < \pi-\eps$, $\pi+\eps < \psi < 2\pi-\eps$, +$\eps$~étant un nombre positif aussi petit que l'on voudra. Comme le +module $\Abs{z\varphi(z)}$, par hypothèse, reste inférieur à une quantité +finie à partir d'une certaine valeur de $\Abs{z}$, ces mêmes remarques +seront applicables au produit de l'une quelconque des expressions +\[ +\frac{\pi}{\sin\pi z}\, \varphi(z) \sin az +\quad \text{et} \quad +\frac{\pi}{\sin\pi z}\, \varphi(z) \cos az +\] +par le facteur~$z$, et, d'après le \no\Sref{17}, les résidus intégraux de ces +expressions se réduiront donc à zéro, ce qui justifie notre assertion. +On aura par suite, sous les conditions énoncées, +\begin{align*} + \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} + \bigl[\varphi(\nu) - \varphi(-\nu)\bigr] \sin\nu a + &= -\pi\, \residuesum \frac{\sin az}{\sin\pi z} \bigl(\varphi(z)\bigr), \\ +% + \varphi(0) + + \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} + \bigl[\varphi(\nu) + \varphi(-\nu)\bigr] \cos\nu a + &= -\pi\, \residuesum \frac{\cos az}{\sin\pi z} \bigl(\varphi(z)\bigr). +\end{align*} + +On trouve, par exemple, pour $\varphi(z) = \smfrac{1}{x-z}$, +\begin{align*} + \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} \frac{\nu \sin\nu a}{\Pow{x}{2} - \Pow{\nu}{2}} + &= \frac{\pi}{2} \frac{\sin ax}{\sin\pi x}, \\ +% + \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} \frac{\cos\nu a}{\Pow{x}{2} - \Pow{\nu}{2}} + &= -\frac{1}{2\Pow{x}{2}} + \frac{\pi}{2x} \frac{\cos ax}{\sin\pi x}. +\end{align*} + +Dans certains cas, les formules \Eref{III}{I}{4}~et \Eref{III}{I}{5} permettent de transformer +une série donnée en une autre dont la convergence est plus +rapide. Ainsi, en faisant dans~\Eref{III}{I}{5} $f(z) = \smfrac{z}{\Pow{e}{\pi az} - \Pow{e}{-\pi az}}$, $a$~étant une +constante réelle quelconque, Cauchy en déduit l'égalité +\[ +\sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} \frac{\nu}{\Pow{e}{\pi a\nu} - \Pow{e}{-\pi a\nu}} + = - \frac{1}{4\pi a} + - \frac{1}{\Pow{a}{2}} \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} + \frac{\nu}{\Powfr{e}{\fnfrac{\pi\nu}{a}} - \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi\nu}{a}}}. +\] + +Pour les petites valeurs numériques de~$a$, la convergence du +second membre est évidemment très rapide, tandis que le premier +membre converge lentement. + +\Paragraph{27.} Nous allons maintenant transformer les formules générales +%% -----File: 068.png---Folio 56------- +établies au début de ce Chapitre, en commençant par la formule~\Eref{III}{I}{2}. +Pour simplifier, nous supposerons d'abord la fonction~$f(z)$ holomorphe +à l'intérieur du contour~$C$, de sorte que le second membre +de cette formule se réduit à son premier terme. + +Soient $\alpha$ et~$\beta$ les points où~$C$ est coupé par l'axe réel +\Pagelabel{page56} +\[ +m - 1 < \alpha < m,\quad n < \beta < n + 1, +\EqnTag{III}{I}{6} +\] +et désignons par~$\alpha\gamma'\beta$ la partie supérieure et par~$\alpha\gamma''\beta$ la partie inférieure +de ce contour. Nous laissant guider par cette observation +que $\smfrac{1}{i} \cot\pi z$ tend vers~$-1$ dans la direction de l'axe imaginaire +positif et vers~$+ 1$ dans la direction opposée, nous substituerons, +dans le second membre de la formule~\Eref{III}{I}{2}, +% [** PP: align* environment makes too much vertical space] +\[ +\frac{1}{i} \cot\pi z = -1 - \frac{2}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}\qquad + \text{sur l'arc $\alpha\gamma' \beta$}\phantom{'.} +\] +et +\[ +\frac{1}{i} \cot\pi z = \phantom{-} 1 + \frac{2}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\phantom{{}^-}\qquad + \text{sur l'arc $\alpha\gamma''\beta$}. +\] + +Par ces substitutions, l'expression en question devient +\[ + \frac{1}{2} \int_{\alpha\gamma''\beta} f(z)\, dz + - \frac{1}{2} \int_{\beta\gamma'\alpha} f(z)\, dz + + \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1} + - \int_{\beta\gamma'\alpha} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}. +\] + +Or on a, en posant $z = \tau + it$, +\[ + \int_{\alpha\gamma''\beta} f(z)\, dz + = - \int_{\beta\gamma'\alpha} f(z)\, dz + = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tau)\, d\tau, +\EqnTag{III}{I}{7} +\] +puisqu'on suppose la fonction~$f(z)$ holomorphe à l'intérieur de~$C$; +la formule~\Eref{III}{I}{2} prendra donc la forme suivante: +\[ + \sum_{m}^{n} f(\nu) = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tau)\, d\tau + + \int_{\alpha\gamma'\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + + \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}. +\EqnTag{III}{I}{8} +\] + +Prenons, en particulier, pour le contour~$C$ un rectangle symétrique +par rapport à l'axe réel et dont les côtés verticaux passent +respectivement par les points $z = \alpha$ et~$z = \beta$. En désignant par~$2\delta$ +la hauteur de ce rectangle, la formule~\Eref{III}{I}{8} deviendra +\[ + \sum_{m}^{n} f(\nu) = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tau)\, d\tau + + I(\alpha, \delta) - I(\beta, \delta) + R(\delta), +\EqnTag{III}{I}{9} +\] +%% -----File: 069.png---Folio 57------- +en posant, pour abréger, +\begin{align*} +I(\tau,\delta) +&= \int^{\tau + i\delta}_{\tau} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + + \int^{\tau - i\delta}_{\tau} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, \\[1ex] +% +R(\delta) +&= \int^{\beta}_{\alpha} + \frac{f(\tau + i\delta)\, d\tau}{\Pow{e}{-2\pi i\tau + 2\pi\delta} - 1} + + \int^{\beta}_{\alpha} + \frac{f(\tau - i\delta)\, d\tau}{\Pow{e}{ 2\pi i\tau + 2\pi\delta} - 1}. +\end{align*} + +La formule~\Eref{III}{I}{9} se simplifie dans le cas où sont vérifiées les conditions +suivantes: +\smallskip + +\primo~\textit{La fonction~$f(z)$ est holomorphe pour $\alpha \leqq \tau \leqq \beta$, quel que +soit~$t$}; +\Pagelabel{page57a}% + +\secundo~\textit{L'égalité} +\[ +\lim_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}f(\tau +it) = 0 +\EqnTag{III}{I}{A} +\] +\textit{a lieu uniformément pour} $\alpha \leqq \tau \leqq \beta$. +\smallskip + +En effet, dans ces conditions, la formule~\Eref{III}{I}{9} reste valable quelque +grand que soit~$\delta$ et, lorsque $\delta$~croît indéfiniment, $R(\delta)$~tendra vers +zéro, de sorte qu'on obtient +\[ +\sum^n_m f(\nu) += \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau ++ \lim_{\delta=\infty} \bigl[I(\alpha,\delta) - I(\beta,\delta)\bigr]. +\EqnTag{III}{I}{I} +\] + +Resserrons davantage les hypothèses en supposant que: +\smallskip + +\primo~\textit{La fonction~$f(z)$ est holomorphe pour $\tau \geqq \alpha$, quelque soit}~$t$; +\Pagelabel{page57b}% + +\secundo~\textit{La condition~\Eref{III}{I}{A} est vérifiée uniformément pour $\alpha \leqq \tau \leqq \beta$, +quelque grand que soit}~$\beta$; + +\tertio~\textit{La fonction~$f(z)$ est assujettie à la condition} +\[ +\lim_{\tau=\infty} \int^{+\infty}_{-\infty} + \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}\, \Abs{f(\tau +it)} = 0. +\EqnTag{III}{I}{B} +\] + +La formule~\Eref{III}{I}{I} subsistera quelque grand que soit~$n$, et comme +l'on a, en posant $\beta = n + \smfrac{1}{2}$, $z = \beta + it$, +\[ +\Abs{I(\beta,\delta)} +< \int^{+\delta}_{-\delta} + \frac{\Abs{f(\beta + it)}}{\Pow{e}{2\pi\Abs{t}} + 1}\, dt +< \int^{+\delta}_{-\delta} + \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}\, \Abs{f(\beta + it)}\, dt, +\] +%% -----File: 070.png---Folio 58------- +on voit que l'intégrale $I(\beta,\infty)$ a un sens et qu'elle tend vers zéro +lorsque~$n$ ou~$\beta$ augmente indéfiniment, de sorte que la formule +en question deviendra +\[ + \sum_{m}^{\infty} f(\nu) + = \int_{\alpha}^{\infty} f(\tau)\, d\tau + + \int_{\alpha}^{\alpha + i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + + \int_{\alpha}^{\alpha - i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, +\EqnTag{III}{I}{II} +\] +si la série qui figure au premier membre est convergente, et, si +cette série diverge, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\lim_{n=\infty} &\biggl[\, \sum_{m}^{n} f(\nu) + - \int_{\alpha}^{n + \frac{1}{2}} f(\tau)\, d\tau\biggr] \\ +&\quad= \int_{\alpha}^{\alpha + i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} ++ \int_{\alpha}^{\alpha - i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}. +\end{aligned} +\right. +\tag*{(II)$_a$} +\Pagelabel{eqn:III.I.IIa} +\] + +\Paragraph{28.} Nous introduirons dès maintenant certaines notations dont +nous aurons à faire un usage continuel dans la suite de cet ouvrage. +En écrivant toujours $z = \tau +it$, nous poserons +\[ +\frac{1}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} = \Psi(\tau, t) + iX(\tau, t), +\EqnTag{III}{I}{10} +\] +d'où +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \Psi(\tau,t) + &= \frac{\cos 2\pi\tau - \Pow{e}{-2\pi t}} + {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, \\[1ex] +% + X(\tau,t) + &= \frac{\sin 2\pi\tau} + {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{11} +\] +et, d'autre part, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + p(\tau,t) &= \smfrac{1}{2}\, \bigl[f(\tau+it) + f(\tau-it)\bigr], \\[1ex] + q(\tau,t) &= \smfrac{1}{2i} \bigl[f(\tau+it) - f(\tau-it)\bigr], +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{12} +\] +de sorte que $p(\tau, t)$ et~$iq(\tau, t)$ représentent respectivement les +parties réelle et imaginaire de la fonction~$f(\tau+it)$, dans le cas +où celle-ci est réelle pour $t = 0$. + +Avec ces notations, le premier terme de l'expression~$I(\tau, \delta)$ +s'écrit +\[ +i\int_{0}^{\delta} \bigl[p(\tau, t) + iq(\tau, t)\bigr] + \bigl[ \Psi(\tau, t) + iX(\tau, t) \bigr]\, dt, +\] +%% -----File: 071.png---Folio 59------- +et comme le second terme se déduit du premier en changeant $i$ +en~$-i$, il en résulte +\[ +I(\tau,\delta) = -2\int^{\delta}_0 Q(\tau,t)\, dt, +\] +où +\[ +Q(\tau,t) = p(\tau,t)\, X(\tau,t) + q(\tau,t)\, \Psi(\tau,t). +\EqnTag{III}{I}{13} +\] + +On pourra donc écrire les égalités \Eref{III}{I}{I} et~\Eref{III}{I}{II} sous la forme +\begin{align*} +\sum^n_m f(\nu) +&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 \bigl[Q(\alpha,t) - Q(\beta,t)\bigr]\, dt, +\tag{I${}'$} +\Pagelabel{eqn:III.I.Ipr} \\[1ex] +% +\sum^{\infty}_m f(\nu) +&= \int^{\infty}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 Q(\alpha,t)\, dt, +\tag{II${}'$} +\Pagelabel{eqn:III.I.IIpr} +\end{align*} + +Dans le cas où l'on a +\[ +\alpha = m-\smfrac{1}{2}\qquad \text{ou}\qquad \beta = n+\smfrac{1}{2}, +\] +ces formules se simplifient, en vertu de l'égalité +\[ +Q\left(\nu + \smfrac{1}{2}, t\right) + = -\frac{q(\nu + \frac{1}{2}, t)}{\Pow{e}{2\pi t} + 1}, +\EqnTag{III}{I}{14} +\] +qui a lieu pour tout nombre entier~$\nu$. + +\Paragraph{29.} Les formules qu'on vient d'établir supposent essentiellement +les nombres $\alpha$ et~$\beta$ compris entre les limites~\Eref{III}{I}{6}, et doivent être +modifiées si l'une de ces limites est atteinte. + +Faisons d'abord tendre~$\alpha$ vers~$m-1$, et cherchons la modification +qui en résultera pour la formule~\Eref{III}{I}{9}. Pour simplifier le calcul, +nous allons reprendre un moment l'égalité~\Eref{III}{I}{8}, en choisissant le +contour d'intégration comme l'indique la figure ci-dessous, où les +arcs $c'$ et~$c''$ font partie d'un cercle décrit du point~$m-1$ comme +centre avec le rayon~$\eps$, et où l'on a +\begin{gather*} +\alpha = m-1+\eps,\qquad a' = m-1+i\eps,\qquad b' = m-1+i\delta, \\ +% +a'' = m-1-i\eps,\qquad b'' = m-1-i\delta. +\end{gather*} + +Le contour~$C$ étant ainsi choisi, on doit d'abord substituer~$m-1$ +à ~$\alpha$ dans le terme~$R(\delta)$ de l'égalité~\Eref{III}{I}{9}, et, d'autre part, les deux +%% -----File: 072.png---Folio 60------- +intégrales qui figurent dans l'expression $I(\alpha, \delta)$ doivent être prises +respectivement le long du chemin~$\alpha a'b'$ (composé de l'arc $c'$~et du +segment rectiligne~$a'b'$) et le long du chemin symétrique~$\alpha a''b''$. + +%[Illustration: Fig.~2.] +\Figure{2}{072} + +La somme des intégrales relatives aux segments $a'b'$ et~$a''b''$ +s'écrit, en posant $z = m-1+it$, et en utilisant la notation~\Eref{III}{I}{12}, +\[ +i\int^{\delta}_{\eps} \frac{f(m-1+it) - f(m-1-it)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt + = -2\int^{\delta}_{\eps} \frac{q(m-1,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\] + +Sur l'arc~$c'$ on a +\[ +\frac{f(z)}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + = -\frac{1}{2\pi i} \frac{f(z)}{z-(m-1)} + \varphi(z), +\] +le module de~$\varphi(z)$ restant au-dessous d'une limite finie lorsque~$\eps$ +décroît vers zéro. Il en résulte que l'intégrale prise le long de cet +arc et qui s'écrit, en posant $z-(m-1) = \eps\,\Pow{e}{i\psi}$, +\[ +-\frac{1}{2\pi} \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 f(m - 1 + \eps\,\Pow{e}{i\psi})\, d\psi ++ i\eps \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 \varphi(z)\, \Pow{e}{i\psi}\, d\psi, +\] +tend vers~$-\smfrac{1}{4} f(m-1)$ lorsque~$\eps$ s'annule, et un raisonnement +identique montre qu'il en est de même de l'intégrale prise sur +l'arc~$c''$. Donc la somme de ces deux intégrales aura pour +limite~$-\smfrac{1}{2} f(m-1)$\footnotemark. +\Pagelabel{page60}% +\footnotetext{Il importe d'observer, en vue d'applications ultérieures, que ce résultat +repose sur la seule hypothèse que la fonction~$f(z)$ prend une valeur finie et déterminée +au point $z = m-1$ (qu'elle y soit holomorphe ou non), de telle sorte que la +différence $f(z) - f(m-1)$ tende uniformément vers zéro avec~$\eps$ pour $-\smfrac{\pi}{2}\leqq\psi\leqq\smfrac{\pi}{2}$.} +% [** End of footnote] + +On voit, en somme, en choisissant le contour d'intégration +comme il a été dit et en faisant ensuite tendre~$\eps$ vers zéro, que +%% -----File: 073.png---Folio 61------- +l'égalité~\Eref{III}{I}{9} subsiste encore pour $\alpha = m-1$, à condition de poser +\[ +I(m-1,\delta) = -\frac{1}{2}f(m-1) + - 2\int^{\delta}_0 \frac{q(m-1, t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\] +En modifiant le contour comme l'indique la ligne marquée dans la +figure en pointillé, et en faisant ensuite s'évanouir le rayon du +demi-cercle, on conclut de même que l'égalité en question subsiste +aussi pour $\alpha = m$, si l'on pose +\[ +I(m,\delta) = \frac{1}{2}f(m) + - 2\int^{\delta}_0 \frac{q(m, t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\] + +Des remarques analogues s'appliquent à l'expression $I(\beta,\delta)$, +lorsque le nombre~$\beta$ tend vers l'une ou l'autre des deux limites +entre lesquelles il est compris. + +Les résultats qui précèdent permettent de modifier de différentes +manières les formules établies aux \nos\Sref{27} et~\Sref{28}. + +Ainsi, en faisant dans l'égalité~\Eref{III}{I}{9} $\alpha = m$, $\beta = n$, $\delta = \infty$, on en +déduit la formule +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) &= \frac{1}{2}\bigl[f(m) + f(n)\bigr] \\ +&\quad + + \int^n_m f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 \frac{q(m,t) - q(n,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{III} +\] +qui subsiste lorsque les deux premières conditions de la \Pgref{page}{page57a} +sont vérifiées pour $\alpha= m$, $\beta = n$. + +Si les trois dernières conditions de la \Pgref{page}{page57b} sont remplies pour +$\alpha = m$, on pourra faire croître indéfiniment le nombre~$n$ dans la +formule précédente, et l'on trouve alors +\[ +\sum^{\infty}_m f(\nu) = \frac{1}{2} f(m) + \int^{\infty}_m f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 \frac{q(m, t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\EqnTag{III}{I}{IV} +\] + +Dans le cas où lesdites conditions se trouvent vérifiées pour +$\alpha = m-1$, on aura aussi +\[ +\sum^{\infty}_m f(\nu) + = -\frac{1}{2} f(m-1) + \int^{\infty}_{m-1} f(\tau)\, d\tau + - 2\int^{\infty}_0 \frac{q(m-1,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt, +\EqnTag{III}{I}{V} +\] +%% -----File: 074.png---Folio 62------- +formule qui reste encore valable dans le cas où $f(z)$~présente au +point $z = m-1$ le caractère indiqué dans la note de la \Pgref{page}{page60}. + +Si la série qui figure au premier membre des deux dernières formules +était divergente, on devrait les remplacer par d'autres analogues +à ~\ref{eqn:III.I.IIa}. + +\Paragraph{30.} Appliquons à la fonction~$f(x+z)$ la formule~\Eref{III}{I}{9} en posant +$m = n = 0$, et faisons tendre~$\alpha$ vers~$0$, $\beta$ vers~$1$ et~$\delta$ vers~$\infty$, ce qui +est permis si l'on suppose les deux premières conditions de la +\Pgref{page}{page57a} vérifiées pour $x_1\leqq\tau\leqq x_1 + 1$, $x_1$~désignant la partie réelle +de~$x$. En tenant compte des résultats établis au \no\Sref{29}, on trouvera +\begin{align*} +f(x) = -\frac{1}{2} \bigl[f(x+1) - f(x)\bigr] +&+ \int_0^1 f(x + \tau)\, d\tau \\ +&+ 2\int_0^\infty \frac{q(x+1,t) - q(x,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\end{align*} + +Comme d'ailleurs $\dint_0^1 f(x+\tau)\,d\tau = \int_x^{x+1} f(x)\,dx$, il en résulte +que la fonction +\[ +\Phi(x) = -\frac{1}{2}f(x) + \int^x f(x)\, dx + + 2\int_0^\infty \frac{q(x,t)\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} +\EqnTag{III}{I}{VI} +\] +(en supposant, bien entendu, que la dernière intégrale ait un sens, +% [** PP: Not wholly sure whether Lindelöf means 57a or 57b.] +ce qui ne résulte pas nécessairement des conditions de la \Pgref{page}{page57b}, +et en fixant convenablement la limite inférieure de la première +intégrale) jouit de la propriété +\[ +\Phi(x+1) - \Phi(x) = f(x). +\] + +En d'autres termes, $\Phi(x)$~est ce qu'on appelait autrefois \textit{l'intégrale +finie de la fonction}~$f(x)$, et qu'on désignait par~$\sum f(x)$. + +\Paragraph{31.} Voici une autre transformation de la formule (8) qui nous +sera utile plus loin. En y substituant +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{5} +\frac{1}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} &= \Pow{e}{ 2\pi iz} &&+ \Pow{e}{ 4\pi iz} &&+ \dotsb +&&+ \Pow{e}{ 2\mu\pi iz} &&+ \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}, \\[1ex] +% +\frac{1}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1} &= \Pow{e}{-2\pi iz} &&+ \Pow{e}{-4\pi iz} &&+ \dotsb +&&+ \Pow{e}{-2\mu\pi iz} &&+ \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, +\end{alignedat} +\right. +\EqnTag{III}{I}{15} +\] +%% -----File: 075.png---Folio 63------- +et en remarquant qu'on a, pour chaque indice~$\nu$, +\[ + \int_{\alpha\gamma'\beta} \Pow{e}{ 2\nu\pi iz}\, f(z)\, dz ++ \int_{\alpha\gamma''\beta} \Pow{e}{-2\nu\pi iz}\, f(z)\, dz += 2\int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\cos 2\nu\pi\tau\, d\tau, +\] +puisque la fonction~$f(z)$ est, par hypothèse, holomorphe à l'intérieur +du contour $C$, on trouve d'abord +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) +& = \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + + 2\sum^{\mu}_1 \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\cos 2\nu\pi\tau\, d\tau \\ +% +&\quad + \int_{\alpha\gamma''\beta} + \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}\, f(z)}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}\, dz + + \int_{\alpha\gamma''\beta} + \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}\, f(z)}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}\, dz. +\end{aligned} +\right. + \EqnTag{III}{I}{16} +\] + +Supposons maintenant la condition +\[ +\lim_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-2(\mu+1)\pi\Abs{t}}\, f(\tau + it) = 0 +\] +vérifiée uniformément pour $\alpha\leqq\tau\leqq\beta$ et la fonction~$f(z)$ holomorphe +dans la bande correspondante. + +En choisissant pour le contour~$C$ le même rectangle que \Pgref{page}{page56}, +et en faisant croître~$\delta$ indéfiniment, on trouve alors que les parties +des deux dernières intégrales ci-dessus qui sont relatives aux côtés +horizontaux de ce rectangle tendent vers zéro, de sorte que la +formule~\Eref{III}{I}{16} se simplifie. + +Admettons, en particulier, que les conditions énoncées tout à +l'heure soient remplies pour $0 \leqq \tau \leqq n$; remplaçons dans l'égalité~\Eref{III}{I}{16} +$n$~par~$n-1$ et~$m$ par l'unité, faisons tendre~$\alpha$ vers~$0$, $\beta$ vers~$n$ et~$\delta$ +vers~$\infty$, et ajoutons aux deux membres le terme~$f(0)$. En suivant +fidèlement la méthode exposée au \no\Sref{29}, nous trouvons ainsi la +formule dont nous aurons bientôt à faire usage: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^{n-1}_0 f(\nu) +&= \frac{1}{2}\bigl[f(0) - f(n)\bigr] + \int^n_0 f(\tau)\, d\tau \\ +&\quad + + 2\sum^{\mu}_1 \int^n_0 f(\tau)\, \cos 2\nu\pi\tau\, d\tau \\ +&\quad + + 2\int^{\infty}_0\bigl[q(n,t) - q(0,t)\bigr]\, + \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi t}}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{VII} +\] + +\Paragraph{32.} Nous avons établi les formules des \nos\Sref{27}--\Sref{31} en supposant +%% -----File: 076.png---Folio 64------- +la fonction~$f(z)$ holomorphe en tout point de la région limitée +par le contour d'intégration. Mais il est facile de voir comment se +modifient ces formules dans le cas où~$f(z)$, tout en restant uniforme +dans cette région, y possède un nombre fini de points singuliers. + +Pour fixer les idées, supposons que la fonction~$f(z)$ présente +ce caractère dans la bande~$B$, définie par les inégalités $\alpha < \tau < \beta$, +et cherchons comment se modifie la formule~\Eref{III}{I}{I}. Pour arriver à un +résultat simple et précis, nous admettrons qu'aucun des points +singuliers de~$f(z)$ compris dans~$B$ n'est situé sur l'axe réel. + +Reprenons alors la formule~\Eref{III}{I}{2}, en choisissant le contour~$C$ +comme à la \Pgref{page}{page56}, mais en prenant~$\delta$ assez grand pour que les +points singuliers dont il s'agit soient tous intérieurs à ce contour. + +Dans l'hypothèse actuelle, on doit d'abord tenir compte du +dernier terme de la formule~\Eref{III}{I}{2}, qui s'écrit $-\residuesum_B \pi\cot\pi z\bigl(f(z)\bigr)$, +ce qui constitue une première modification du raisonnement donné +au \no\Sref{27}; d'autre part, les égalités~\Eref{III}{I}{7} devront maintenant être +remplacées par les suivantes: +\begin{align*} +\int_{\alpha \gamma' \beta} f(z)\, dz +&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + - 2\pi i\, \residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr), \\[1ex] +\int_{\alpha \gamma'' \beta} f(z)\, dz +% +&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau + + 2\pi i\, \residuesum_{B_2}\bigl(f(z)\bigr), +\end{align*} +$B_1$ et~$B_2$ désignant respectivement les moitiés supérieure et inférieure +de la bande~$B$. Le reste de notre raisonnement ne subit +aucune modification, et nous arrivons donc à cette conclusion que, +\textit{dans l'hypothèse admise ci-dessus, on doit retrancher du +second membre de la formule~\Eref{III}{I}{I} l'expression} +\[ +\residuesum_B \pi\cot\pi z\bigl(f(z)\bigr) ++ \pi i\, \biggl\{\residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr) + - \residuesum_{B_2}\bigl(f(z)\bigr)\biggr\}, +\] +laquelle, à l'aide des substitutions indiquées au début du \no\Sref{27}, +peut encore être mise sous la forme +\[ +2\pi i\, \biggl\{ + \residuesum_{B_2} \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1} + - \residuesum_{B_1} \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + \biggr\}. +\] + +Les autres formules subiront des modifications analogues. + +%% -----File: 077.png---Folio 65------- + +\Paragraph{33.} Voici une dernière transformation de la formule~\Eref{III}{I}{2} qui +s'opère immédiatement, et dont nous aurons à tirer parti plus loin. +Supposons de nouveau la fonction~$f(z)$ holomorphe sur~$C$ et à +l'intérieur de ce contour. Il en sera alors de même de sa fonction +intégrale~$F(z)$, et, en intégrant par parties, on pourra donc écrire +la formule dont il s'agit sous la forme +\[ +\sum^n_m f(\nu) = \frac{1}{2\pi i} \int_C + \Pow{\left(\frac{\pi}{\sin \pi z}\right)}{2} F(z)\, dz. +\] + +Admettons, en particulier, que les trois dernières conditions de +la \Pgref{page}{page57b} soient vérifiées pour la fonction~$F(z)$, et choisissons le +contour~$C$ comme au \no\Sref{27}. En observant que le module de~$\sin\pi z$ +se comporte asymptotiquement comme l'expression~$\smfrac{1}{2}\Pow{e}{\pi \Abs{t}}$ sur toute +droite parallèle à l'axe imaginaire, on s'assure qu'il est permis de +faire tendre successivement~$\delta$ et~$n$ vers l'infini, dans l'égalité ci-dessus, +et l'on obtient ainsi la formule +\[ +\sum^{\infty}_m f(\nu) += -\frac{1}{2\pi i} \int^{\alpha + i\infty}_{\alpha - i\infty} + \Pow{\left(\frac{\pi}{\sin \pi z}\right)}{2} F(z)\, dz, +\EqnTag{III}{I}{VIII} +\] +$\alpha$~étant un nombre quelconque compris entre $m-1$~et~$m$. + +\Paragraph{34.} Passons à la formule~\Eref{III}{I}{3} et indiquons-en rapidement quelques +transformations, analogues à celles que nous avons fait subir plus +haut à la formule~\Eref{III}{I}{2}. + +Admettons que \textit{la fonction~$f(z)$ est holomorphe dans la +bande $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$} et que \textit{l'égalité} +\[ +\lim_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-\pi\Abs{t}}\, f(\tau + it) = 0 +\tag{A${}_1$} +\Pagelabel{eqn:III.I.A1} +\] +\textit{a lieu uniformément pour $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$}. + +En choisissant le contour~$C$ comme au \no\Sref{27}, la formule~\Eref{III}{I}{3} +est alors applicable quel que soit~$\delta$, et devient pour $\delta =\infty$: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +&\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) \\ +&\quad + = \frac{1}{2\pi i}\, \lim_{\delta=\infty} \left[\, + \int^{\beta + i\delta}_{\beta - i\delta} \frac{\pi}{\sin\pi z}\, f(z)\, dz + - \int^{\alpha + i\delta}_{\alpha - i\delta}\frac{\pi}{\sin\pi z}\, f(z)\, dz + \right]. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{IX} +\] + +%% -----File: 078.png---Folio 66------- + +Si l'on pose +\[ +\frac{1}{2i\, \sin\pi z} \equiv \frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} + = - \bigl[\Psi_1(\tau,t) + iX_1(\tau,t)\bigr], +\] +d'où +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\Psi_1(\tau,t) +&= \frac{\cos\pi\tau(\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t})} + {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, \\[1ex] +X_1(\tau,t) +&= \frac{\sin\pi\tau(\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t})} + {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{17} +\] +et d'autre part, en se servant toujours de la notation~\Eref{III}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:III.I.12}, +\[ +Q_1(\tau,t) = p(\tau,t)\, X_1(\tau,t) + q(\tau,t)\, \Psi_1(\tau,t), +\EqnTag{III}{I}{18} +\] +on pourra écrire~\Eref{III}{I}{IX} sous la forme +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) + = 2\int^{\infty}_0 \bigl[Q_1(\beta,t) - Q_1(\alpha,t)\bigr]\, dt. +\tag{IX${}'$} +\Pagelabel{eqn:III.I.IXpr} +\] + +Resserrons les hypothèses, en supposant que \textit{les conditions +énoncées ci-dessus sont vérifiées quelque grand que soit~$\beta$}, et +que \textit{la fonction~$f(z)$ est assujettie à la condition} +\[ +\lim_{\tau = \infty} \int^{+\infty}_{-\infty} + \Pow{e}{-\pi\Abs{t}}\, \Abs{f(\tau +it)}\, dt = 0. +\tag{B${}_1$} +\Pagelabel{eqn:III.I.B1} +\] +On pourra alors faire croître indéfiniment le nombre~$n$ dans les +formules ci-dessus, et l'on trouve ainsi +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) + = -\int^{\alpha + i\infty}_{\alpha - i\infty} + \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} + = -2\int^{\infty}_0 Q_1(\alpha,t)\, dt. +\EqnTag{III}{I}{X} +\] + +Lorsque~$\alpha = m-\smfrac{1}{2}$ ou~$\beta = n + \smfrac{1}{2}$, les formules précédentes +prennent un aspect plus simple, à cause de la relation +\[ +Q_1\left(\nu + \smfrac{1}{2}\right) + = \Pow{(-1)}{\nu}\, \frac{p\left(\nu + \smfrac{1}{2},t\right)} + {\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}. +\EqnTag{III}{I}{19} +\] +D'autres modifications de ces formules s'obtiennent en faisant +coïncider $\alpha$ ou~$\beta$ avec l'une des limites~\Eref{III}{I}{6}. Ainsi la formule~\Eref{III}{I}{IX} +%% -----File: 079.png---Folio 67------- +devient, pour $\alpha = m$, $\beta = n$, +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) +&= \Pow{(-1)}{m} \frac{f(m)}{2} + \Pow{(-1)}{n} \frac{f(n)}{2} \\ +&\quad -2 \int^{\infty}_0 + \frac{\Pow{(-1)}{m} q(m,t) - \Pow{(-1)}{n} q(n, t)}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}\, dt, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{I}{XI} +\] +et la formule~\Eref{III}{I}{X}, pour $m = 1$, $\alpha = 0$, +\[ +\sum^{\infty}_1 \Pow{(-1)}{\nu+1} f(\nu) += \smfrac{1}{2}f(0) + + 2\int^{\infty}_0 \frac{q(0,t)\, dt}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}. +\EqnTag{III}{I}{XII} +\] + +En adoptant les notations du \no\Sref{27}, on pourra écrire la formule~\Eref{III}{I}{3} +sous la forme suivante: +\[ +\sum^{n}_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) += \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} +- \int_{\alpha\gamma' \beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}, +\] +la fonction~$f(z)$ étant toujours supposée holomorphe à l'intérieur +du contour~$C$. Substituons respectivement dans les deux intégrales +\begin{align*} +\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} +&= \phantom{-} + \sum^{\mu-1}_0 \Pow{e}{-(2\nu+1)\pi iz} + + \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}, \\ +\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}} +&= -\sum^{\mu-1}_0 \Pow{e}{ (2\nu+1)\pi iz} + + \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}; +\end{align*} +nous obtenons une formule qui nous sera utile plus loin: +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) = 2\sum^{\mu-1}_0 \int^{\beta}_{\alpha} + f(\tau)\, \cos(2\nu+1)\pi\tau\, d\tau + R_\mu, +\EqnTag{III}{I}{20} +\] +avec +\[ +R_\mu += \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}\, f(z)} + {\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}\, dz +- \int_{\alpha\gamma' \beta} \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}\, f(z)} + {\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}\, dz. +\] + +Dans le cas où la fonction~$f(z)$, tout en étant uniforme et en +vérifiant les autres conditions indiquées ci-dessus, présente dans +la bande~$B$, définie par l'inégalité $\alpha<\tau<\beta$, un nombre fini de +points singuliers, distincts des points $m,~m + 1, \dotsc,~n$, on doit +%% -----File: 080.png---Folio 68------- +dans les formules précédentes retrancher du second membre le +terme $\residuesum_B\smfrac{\pi}{\sin\pi z}\bigl(f(z)\bigr)$, comme le montre l'égalité~\Eref{III}{I}{3}. +\bigskip + +% The following section is presented in a different font style and size +\Paragraph{35.} {\small\textit{Notes historiques.}---L'histoire des formules sommatoires que nous +venons d'établir est des plus intéressantes, et montre clairement avec quelle +difficulté les idées générales se sont fait jour dans l'Analyse. Nous publierons +ici les données que nous avons pu recueillir sur ce sujet, sans +avoir d'ailleurs la prétention d'être complet. + +C'est la formule~\Eref{III}{I}{VI}, \Pgref{page}{eqn:III.I.VI}, qui a attiré d'abord l'attention des géomètres. +Elle a été donnée en~1820 par \bsc{Plana}, dans un Mémoire intitulé: +\textit{Sur une nouvelle expression analytique des nombres bernoulliens, +propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation +des suites} (\textit{Memorie della Accademia di Torino}, t.~XXV, +p.~403--418). Comme l'indique le titre de son Mémoire, Plana avait établi +cette formule, \textit{aussi remarquable par sa simplicité que par sa généralité}, +en partant de la formule sommatoire d'Euler, donc par un calcul +purement formel. + +Trois ans plus tard, \bsc{Abel} est de son côté arrivé à cette formule \textit{très +remarquable}, en suivant identiquement la même voie que Plana. \textit{Voir} la +Note: \textit{Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies} +(\textit{{\OE}uvres complètes d'Abel}, édition Sylow-Lie, t.~I, p.~11--27), où se trouve +aussi (p.~27) la formule~\Eref{III}{I}{XII} du \no\Sref{34}. Dans une deuxième Note de +l'année~1825: \textit{L'intégrale finie $\sum\limits^n \varphi(x)$ exprimée par une intégrale +définie simple} (\textit{ibid}.,\ p.~34--39), Abel a donné diverses généralisations et +une nouvelle démonstration de la formule~\Eref{III}{I}{VI}, mais cette démonstration +n'est pas plus rigoureuse que la première. + +Seule la théorie des fonctions d'une variable complexe pouvait servir de +fondement aux formules qui nous occupent, et, en effet, c'est \bsc{Cauchy} qui, +sans connaître les travaux de Plana et d'Abel, a donné le premier une +démonstration parfaitement exacte des formules \Eref{III}{I}{I} et~\Eref{III}{I}{III}, dans son +\textit{Mémoire sur les développements des fonctions en séries périodiques}, lu +à l'Académie le 27~février 1826 (\textit{Mémoires de l'Institut}, t.~VI, p.~603--612), +Mémoire dont nous aurons à nous occuper ultérieurement. La démonstration +de Cauchy, fondée sur la théorie des intégrales singulières, et qui est, +à un certain point de vue, la plus simple qu'on puisse donner, fournit +immédiatement ces formules sous leur forme générale; mais cependant +Cauchy les a établies uniquement pour le cas où la somme figurant au +premier membre se réduit à un seul terme. + +Il restait donc encore une lacune à combler, et c'est ce qu'a fait \bsc{Schaar} +dans un travail intitulé: \textit{Mémoires sur les intégrales eulériennes et sur +la convergence d'une certaine classe de séries} (\textit{Mémoires couronnés et +Mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie de Belgique}, +t.~XXII, 1848, p.~3--25), travail qui aurait bien mérité de ne pas tomber +dans l'oubli. + +%% -----File: 081.png---Folio 69------- + +% [** PP: Corrected five typos found by DP:stegel] +Il en est de même du Mémoire de \bsc{Genocchi}: \textit{Sulla formula sommatoria +% Eulero et sulla -> Eulero e sulla; dei residui -> de' residui +di Eulero e sulla teorica de' residui quadratici} (\textit{Annali di +% et fisiche -> e fisiche +Scienze matematiche e fisiche}, t.~III, 1852, p.~406--436), qui renferme +des applications importantes dont nous parlerons plus loin, ainsi que +d'un second Mémoire du même auteur: \textit{Intorno ad alcune formule +sommatorie} (\textit{ibid}.,\ t.~VI, 1855, p.~70--114), où sont précisées les conditions +dans lesquelles sont applicables les formules de Cauchy et Schaar. + +Citons aussi deux Mémoires de moindre importance, mais ayant rapport +% integrali à -> integrali a +au même sujet, par \bsc{Tortolini}: \textit{Sopra gli integrali a differenze finite +% mat.\ et fis -> mat.\ e fis +espressi per integrali definiti} (\textit{Annali di Scienze mat.\ e fis}.,\ t.~IV, +1853), et par \bsc{Mainardi}: \textit{Intorno ad una equazione di Poisson} (\textit{ibid}.). + +A partir de cette époque, il semble que les formules en question soient +restées à peu près inaperçues des géomètres, jusqu'en~1889, date à laquelle +\bsc{Kronecker} est revenu sur le sujet dans son Mémoire: \textit{Bemerkungen über +die Darstellung von Reihen durch Integrale} (\textit{Journal de Crelle}, t.~105, +p.~345--354), en prenant pour point de départ les Mémoires d'Abel, et sans +connaître ni celui de Cauchy, ni ceux de Schaar et de Genocchi. + +De son côté, M.~\bsc{Petersen} a donné une démonstration et diverses applications +de la formule d'Abel, dans ses \textit{Vorlesungen über Funktionstheorie} +(Copenhague,~1898). D'autres applications des formules sommatoires ont +été données par \bsc{Hermite} et par MM.~\bsc{Mellin}, \bsc{Jensen} et~H.~\bsc{Weber}, dans +des Mémoires que nous citerons ultérieurement. + +Ayant de notre côté retrouvé les formules données ci-dessus, nous en +avons développé de nombreuses conséquences dans un Mémoire intitulé: +\textit{Quelques applications d'une formule sommatoire générale} (\textit{Acta +Societatis Scientiarum Fennicæ}, t.~XXXI, \no3, 1902), dont un extrait +a été publié dans le Tome~XXVII des \textit{Acta Mathematica}, et auquel nous +avons beaucoup emprunté dans cet ouvrage.} +% [** End of small] + + +\Section{III}{II}{Quelques applications des formules précédentes.} + +\Paragraph{36.} Comme première application, faisons dans la formule~\Eref{III}{I}{III} +$f(z)=\log z$, d'où il résulte, d'après la seconde des égalités~\Eref{III}{I}{12}, +\[ +q(\tau,t) = \arc\tang \frac{t}{\tau}. +\] +En prenant $m = 1$, nous trouvons ainsi +\begin{align*} +\log(1\cdot2\dotsm\dotsm n) += \left(n+\smfrac{1}{2}\right)\log n -n +1 +&- 2\int^{\infty}_0 \arc\tang t\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t } - 1} \\ +&+ 2\int^{\infty}_0 \arc\tang \frac{t}{n}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t } - 1}. +\end{align*} + +%% -----File: 082.png---Folio 70------- + +On a d'autre part, par la formule de Stirling, +\[ +\log(1\cdot2\dotsm\dotsm n) += \left(n+\smfrac{1}{2}\right)\log n - n + \log\sqrt{2\pi} + \eps(n), +\EqnTag{III}{II}{1} +\] +$\eps(n)$~tendant vers zéro lorsque~$n$ croît indéfiniment, et, comme le +dernier terme de l'égalité précédente jouit de la même propriété, +on en déduit +\[ +1 - 2\int^{\infty}_0 \arc\tang t\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} + = \log\sqrt{2\pi}. +\EqnTag{III}{II}{2} +\] + +Soit, en second lieu, $f(z)=\smfrac{1}{z}$, d'où $q(\tau,t)=-\smfrac{t}{\Pow{\tau}{2}+\Pow{t}{2}}$, et +appliquons encore la formule~\Eref{III}{I}{III}. On aura, en faisant tendre~$n$ +vers l'infini, +\[ +\lim_{n=\infty} \biggl(\sum^n_m \frac{1}{\nu} - \log n\biggr) + = \smfrac{1}{2m} - \log m + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{m}{2} +\Pow{t}{2}}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\] + +Pour $m = 1$, le premier membre est, par définition, égal à \textit{la +constante d'Euler}; en la désignant par~$C$, on aura donc +\[ +C = \smfrac{1}{2} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{1 + \Pow{t}{2}}\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\EqnTag{III}{II}{3} +\] +expression due à Poisson\footnotemark. D'autre part, en ajoutant aux deux +membres de l'égalité ci-dessus la somme $1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb +\smfrac{1}{m-1}$, +on en déduit la formule, avantageuse pour le calcul de~$C$: +\[ +C = 1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb + \smfrac{1}{m-1} + \smfrac{1}{2m} - \log m + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{m}{2} + \Pow{t}{2}}\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\] +\footnotetext{\textit{Mémoires de l'Institut de France}, Année~1811, seconde Partie, p.~223.}% + +Les applications qui précèdent avaient été données déjà par +Plana et Abel, dans les Mémoires cités page~68. + +\Paragraph{37.} Faisons maintenant dans nos formules $f(z) = \Pow{e}{-xz}$, d'où +\[ +p(\tau,t)= \Pow{e}{-x\tau}\, \cos xt, \quad +q(\tau,t)=-\Pow{e}{-x\tau}\, \sin xt, +\] +Ceci est permis si l'on suppose~$x$ \textit{réel et positif}, car les conditions +de la \Pgref{page}{page57a} sont alors vérifiées quels que soient $\alpha$ et~$\beta$. + +%% -----File: 083.png---Folio 71------- + +Appliquons d'abord la formule~\Eref{III}{I}{V}, \Pgref{page}{eqn:III.I.V}, avec $m = 1$; il vient +\[ +\frac{1}{\Pow{e}{x}-1} = - \smfrac{1}{2} + \smfrac{1}{x} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{\sin xt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt, +\EqnTag{III}{II}{4} +\] +égalité due à Legendre. En développant le dernier terme suivant +les puissances de~$x$, et en comparant le résultat avec l'égalité~\Eref{II}{II}{5}, +\Pgref{page}{eqn:II.II.5}, on en déduit pour les nombres de Bernoulli l'expression +\[ +B_k = 4k \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k-1}\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} += \frac{2k(2k-1)}{\pi} \int^{\infty}_0 + \Pow{t}{2k-2}\, \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right)\, dt, +\EqnTag{III}{II}{5} +\] +qui, sous une forme différente, avait été donnée déjà par Euler. +C'est précisément en partant de cette expression que Plana et Abel +avaient établi leur formule sommatoire. + +% [** equation III.I.II' -> eqn:III.I.IIpr] +La formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, nous donne, en faisant $m = 1$, +$0 <\alpha < 1$, et en multipliant les deux membres par~$\Pow{e}{\alpha x}$, +\[ +\frac{\Pow{e}{\alpha x}}{\Pow{e}{x} - 1} = \smfrac{1}{x} + + 2\int^{\infty}_0 \Psi(\alpha,t)\, \sin xt\, dt + - 2\int^{\infty}_0 X(\alpha,t)\, \cos xt\, dt. +\] + +En remplaçant dans cette égalité $\alpha$ et~$x$ respectivement par~$x$ +et~$z$, et en développant ensuite le second membre suivant les puissances +ascendantes de~$z$, on en déduit, par comparaison avec l'égalité~\Eref{II}{II}{9}, +\Pgref{page}{eqn:II.II.9}, pour les polynomes~$\varphi_\nu(x)$ les expressions\footnotemark +\[ +\EqnTag{III}{II}{6} +\left\{ +\begin{aligned} +\varphi_{2k}(x) +&= \Pow{(-1)}{k+1} 4k \int^{\infty}_0 \Pow{t}{2k-1}\, \Psi(x,t)\, dt \\ +% +\varphi_{2k+1}(x) +&= \Pow{(-1)}{k+1} (4k+2) \int^{\infty}_0 \Pow{t}{2k}\, X(x,t)\, dt +\end{aligned} +% +\qquad +\begin{aligned} +&(k=1, 2, \dotsc), \vphantom{\Bigg|} \\ +&(k=0, 1, 2, \dotsc).\vphantom{\Bigg|} +\end{aligned} +\right. +\] +\footnotetext{Lorsqu'on substitue, dans les formules~\Eref{III}{II}{6}, aux expressions~$\Psi(x, t)$ et~$X(x, t)$ +leurs développements +\[ +\Psi(x,t) = \sum^{\infty}_1 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \cos 2\nu\pi x,\qquad + X(x,t) = \sum^{\infty}_1 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \sin 2\nu\pi x, +\] +qui se déduisent immédiatement de l'égalité~\Eref{III}{I}{10}, \Pgref{page}{eqn:III.I.10}, on retrouve les formules +\Eref{II}{II}{11} et~\Eref{II}{II}{13} du \no\Sref{18}.}% +% [** End of footnote] + +Il est facile de voir que ces expressions représentent des fonctions +analytiques holomorphes de~$x$ dans la bande comprise entre +l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point $x = 1$. +Comme nous avons démontré les égalités~\Eref{III}{II}{6} pour $0<x<1$, il +%% -----File: 084.png---Folio 72------- +en résulte, d'après le principe fondamental du prolongement analytique, +qu'elles sont vérifiées pour tout point de cette bande. + +Comme les seconds membres des égalités~\Eref{III}{II}{6} sont des fonctions +périodiques de~$x$ de période~$1$, nous pouvons affirmer d'autre +part qu'ils se confondent, pour les valeurs réelles de~$x$, avec les +fonctions désignées plus haut par $\overline{\varphi}_{2k}(x)$, $\overline{\varphi}_{2k+1}(x)$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{eqn:II.II.11}). + +Passons aux formules du \no\Sref{34}. En faisant dans la formule~\Eref{III}{I}{X} +$m = 1$, $\alpha =\smfrac{1}{2}$, multipliant les deux membres par~$\Powfr{e}{\fnfrac{x}{2}}$, et remplaçant~$x$ +par~$2iz$, on en déduit +\[ +\fsec z = 2 \int_0^\infty + \frac{\Pow{e}{2zt} + \Pow{e}{-2zt}}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}\, dt. +\] +Développons le second membre suivant les puissances de~$z$ et +comparons le résultat à l'égalité~\Eref{II}{II}{7}, \Pgref{page}{eqn:II.II.7}; il viendra\footnotemark +\[ +E_k = \Pow{4}{k+1} \int_0^\infty \frac{\Pow{t}{2k}\, dt}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}. +\EqnTag{III}{II}{7} +\] +\footnotetext{Cette expression est due à \bsc{Catalan} (\textit{Mémoires de la Société des Sciences +de Liége}, série~II, t.~XII, p.~110).}% +% [** End of footnote] + +Pour une valeur quelconque de~$\alpha$ comprise entre $0$ et~$1$, la même +formule~\Eref{III}{I}{X} nous donne, en multipliant par~$\Pow{e}{\alpha x}$, +\[ +\frac{\Pow{e}{\alpha x}}{\Pow{e}{x} + 1} + = 2 \int_0^\infty X_{1}(\alpha,t)\, \cos xt\, dt + - 2 \int_0^\infty \Psi_{1}(\alpha,t)\, \sin xt\, dt, +\] +et la comparaison de cette égalité avec l'égalité~\Eref{II}{II}{19}, \Pgref{page}{eqn:II.II.19}, conduit +aux expressions suivantes des polynomes~$\chi_\nu(x)$: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \chi_{2k}(x) &= \Pow{(-1)}{k} 2 \int_0^\infty \Pow{t}{2k}\, X_1(x,t)\, dt \\ + \chi_{2k+1}(x) &= \Pow{(-1)}{k+1} 2 \int_0^\infty \Pow{t}{2k+1}\, \Psi_1(x,t)\, dt + \end{aligned} + \right. + \qquad (k=0, 1, 2, \dotsc). +\EqnTag{III}{II}{8} +\] + +Les égalités~\Eref{III}{II}{8} sont valables dans la même bande que les égalités~\Eref{III}{II}{6} +et, pour les valeurs réelles de~$x$, leurs seconds membres +se confondent avec les fonctions périodiques $\overline{\chi}_{2k}(x)$, $\overline{\chi}_{2k+1}(x)$, +définies \Pgref{page}{eqn:II.II.20}. Elles mettent d'ailleurs en évidence que, dans +%% -----File: 085.png---Folio 73------- +l'intervalle $0<x<1$, le polynome~$\chi_{2k}(x)$ garde un signe invariable, +à savoir celui de~$\Pow{(-1)}{k}$, et que~$\chi_{2k+1}(x)$ n'y admet pas +d'autre zéro que $x =\smfrac{1}{2}$\footnotemark. +\footnotetext{On attribue généralement les formules~\Eref{III}{II}{6} à Raabe et les formules~\Eref{III}{II}{8} à +Hermite. Mais en fait ces formules se trouvent dans le Mémoire de Cauchy de +l'année~1814 (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~I, p.~458--460) et, au dire de Cauchy, elles se +déduisent de divers résultats trouvés par Euler.\Pagelabel{page68}} +% [** End of footnote] + +\Paragraph{38.} En terminant ces applications, qu'il serait d'ailleurs facile +de multiplier, nous ferons voir comment se déduisent de nos formules +générales les propriétés des sommes +\[ +\sum_{\nu=0}^{n-1} \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{\nu}{2}} +\EqnTag{III}{II}{9} +\] +que Gauss a le premier introduites dans l'Analyse. Les nombres $n$ +et~$p$ sont des entiers positifs sans diviseur commun dont l'un est +pair et l'autre impair\footnote{% +Si $n$ et~$p$ sont tous deux impairs, la somme~\Eref{III}{II}{9} est évidemment égale à ~$1$.}. +% [** End of footnote] + +A cet effet, reportons-nous aux résultats établis au \no\Sref{31}; en +faisant $f(z) = \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{z}{2}}\!\!$, on aura les deux égalités: +\begin{gather*} + q(\tau,t) = \smfrac{i}{2}\, + \Powfr{e}{ \fnfrac{ p\pi i}{n}(\Pow{\tau}{2} - \Pow{t}{2}) } + \biggl(\Powfr{e}{ \fnfrac{2p\pi}{n}\tau t} + - \Powfr{e}{-\fnfrac{2p\pi}{n}\tau t}\biggr)\,, \\ +% + \Abs{f(\tau + it)} = \Powfr{e}{-\fnfrac{2p\pi}{n}\tau t}. +\end{gather*} +Cette dernière égalité montre que l'expression +\[ +\Pow{e}{-2p\pi \Abs{t}}\, f(\tau + it) +\] +tend uniformément vers zéro pour $0\leqq\tau\leqq n-\eps$, quelque petit que +soit~$\eps$, lorsque~$t$ tend vers~$\pm\infty$, et que, d'autre part, le module de +cette expression reste inférieur ou égal à l'unité pour $0\leqq\tau\leqq n$, +quel que soit~$t$. Il en résulte que, si l'on fait dans l'égalité~\Eref{III}{I}{16}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.16}, $\mu = p-1$, $\alpha = 0$, $\beta = n$, les intégrales prises le long des +côtés horizontaux du contour~$C$ s'annuleront lorsque $\delta$~croît indéfiniment, +de sorte qu'on pourra appliquer la formule~\Eref{III}{I}{VII} en posant +%% -----File: 086.png---Folio 74------- +$\mu=p-1$. Comme on a d'ailleurs $q(0, t) = 0$ et~$f(0)-f(n)=0$, +on trouve ainsi pour la somme~\Eref{III}{II}{9} l'expression +\[ +\int_0^n F_0(\tau)\, d\tau + + 2 \sum_1^{p-1} \int_0^n F_\nu(\tau)\, d\tau + + i \int_0^\infty \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n} \Pow{t}{2}} + \left(\frac{\Pow{e}{2\pi t} - \Pow{e}{-(4p-2)\pi t}}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\right)\, dt, +\EqnTag{III}{II}{10} +\] +où $F_\nu(z) = \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\, \Pow{z}{2}}\, \cos 2\nu\pi z$. Écrivons +\[ +\int_0^n F_\nu(\tau)\, d\tau + = \int_0^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau + - \int_n^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau. +\] +D'après l'égalité~\Eref{II}{III}{3}, \Pgref{page}{eqn:II.III.3}, on aura, pour $\nu=0,~1, \dotsc,~p-1$, +\[ +\int_0^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau + = \smfrac{1}{2}\sqrt{\smfrac{n}{p}}\, + \Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4} - \fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}}, +\] +et, d'autre part, on conclut facilement de l'inégalité +\[ +\Abs{F_\nu(\tau + it)} < \Powfr{e}{-\fnfrac{2\pi t}{n}(p\tau - \nu n)} + \qquad (t>0), +\EqnTag{III}{II}{11} +\] +qui se vérifie immédiatement, qu'on pourra écrire +\[ +\int_n^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau = i\int_0^\infty F_\nu(n+it)\, dt + \equiv \frac{i}{2} \int_0^\infty \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n} \Pow{t}{2} - 2p\pi t} + (\Pow{e}{2\nu\pi t} + \Pow{e}{-2\nu\pi t})\, dt. +\] +En effet, le théorème fondamental de Cauchy nous donne, en désignant +par~$n'$ et~$\delta$ des nombres positifs dont~$n'>n$, +\[ +\int_n^{n'} F_\nu(\tau)\, d\tau + = i\int_0^\delta F_\nu(n+it)\, dt + + \int_n^{n'} F_\nu(\tau+i\delta)\, d\tau + - i\int_0^\delta F_\nu(n'+it)\, dt, +\] +et comme l'on a $p\tau - \nu n>0$ pour $\tau \geqq n$, $\nu$~ayant l'une quelconque +des valeurs $0,~1, \dotsc,~p-1$, il résulte de l'inégalité~\Eref{III}{II}{11} que, lorsqu'on +fait tendre d'abord~$\delta$ et ensuite~$n'$ vers l'infini, les deux derniers +termes du second membre s'évanouiront successivement, de +sorte qu'on obtiendra bien l'égalité voulue. + +Par conséquent la somme des deux premiers termes de l'expression~\Eref{III}{II}{10} +peut se mettre sous la forme +\[ +\Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\frac{n}{p}}\, \Biggl( + \smfrac{1}{2} + \sum_{\nu=1}^{p-1} \Powfr{e}{-\fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}} + \Biggr) + + i\int_0^\infty \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{t}{2}} \biggl( + \frac{\Pow{e}{-(4p-2)\pi t} - 1}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\biggr)\, dt, +\] +%% -----File: 087.png---Folio 75------- +de sorte que l'expression elle-même devient +\[ +\Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\smfrac{n}{p}}\, \Biggl( + \smfrac{1}{2} + \sum^{p-1}_{\nu=1} \Powfr{e}{-\fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}} + \Biggr) + + i\int^{\infty}_0 \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{t}{2}}\, dt. +\] +Or on a, d'après l'égalité~\Eref{II}{III}{2}, \Pgref{page}{eqn:II.III.2}, +\[ +i\int^{\infty}_0 \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n} \Pow{t}{2}}\, dt + = \smfrac{i}{2}\, \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\smfrac{n}{p}} + = \smfrac{1}{2}\, \Powfr{e}{ \fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\smfrac{n}{p}}, +\] +et nous arrivons donc finalement à cette relation remarquable +\[ +\sum^{n-1}_{\nu=0} \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{\nu}{2}} + = \Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}}\sqrt{\smfrac{n}{p}}\, + \sum^{p-1}_{\nu=0} \Powfr{e}{-\fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}}, +\] +qui est due à Schaar\footnote{% +\textit{Mém.\ cour.\ et autres Mém.\ publiés par l'Académie de Belgique}, t.~XXIV +et~XXV\@. Dans le premier des Mémoires cités page~69, Genocchi avait déduit des +formules sommatoires la relation de Schaar et d'autres relations plus générales du +même genre, mais son raisonnement n'est pas rigoureux. \textit{Voir} aussi un Mémoire +de M.~\bsc{Landsberg}: \textit{Zur Theorie der Gauss'schen Summen und der linearen +Transformationen der Thetafunctionen} (\textit{Journal de Crelle}, t.~111, 1893).}, % [** End of footnote] +et d'où l'on déduit immédiatement, pour +$p = 2$, le résultat de Gauss: +\[ +\sum^{n-1}_{\nu=0} \Powfr{e}{\fnfrac{2\pi i}{n}\Pow{\nu}{2}} + = \frac{1 - \Pow{i}{n}}{1-i}\sqrt{n}, +\] +$n$~étant un entier positif impair\footnotemark. +\footnotetext{C'est Kronecker qui le premier a établi rigoureusement cette formule à +l'aide du calcul des résidus (\textit{Journal de Crelle}, t.~105, p.~267). \textit{Voir} aussi un +Mémoire de M.~H.~\bsc{Weber}: \textit{Ueber Abel's Summation endlicher Differenzenreihen +(Acta Mathematica}, t.~XXVII).} +% [** End of footnote 2] + + +\Section{III}{III}{La formule sommatoire d'Euler et autres formules analogues.} + +\Paragraph{39.} Les applications qui précèdent ont déjà montré l'utilité des +formules sommatoires établies plus haut, et les Chapitres suivants +en feront encore ressortir l'importance pour le prolongement et +pour l'étude asymptotique des fonctions. S'il s'agit de calculs +%% -----File: 088.png---Folio 76------- +numériques, il est cependant préférable de transformer ces formules, en +développant en séries les intégrales définies qu'elles renferment. +Il est vrai que les séries que l'on obtient ainsi sont pour la plupart +divergentes, de sorte qu'elles ne sauraient fournir une approximation +indéfinie. Mais, en revanche, elles jouissent souvent de +cette propriété intéressante, et qui pour le calcul est précisément la +plus importante, à savoir que leurs termes successifs, ainsi que +leur reste, commencent par décroître rapidement, d'où il résulte +qu'on pourra souvent atteindre une grande précision en ne calculant +qu'un petit nombre de termes. + +Les séries en question s'obtiennent en développant dans les formules +générales les expressions $p(\tau,t)$ et~$q(\tau,t)$ suivant les puissances +ascendantes de~$t$. On a généralement par le théorème de +Taylor, en supposant la fonction~$F(t)$ (réelle ou imaginaire) continue +ainsi que ses $\mu$~premières dérivées, +\[ +F(t) = F(0) + F'(0)\frac{t}{1!} + + \dotsb + \Pow{F}{\mu-1}(0) \frac{\Pow{t}{\mu-1}}{(\mu-1)!} + R_\mu, +\] +avec +\[ +R_\mu = \frac{\Pow{t}{\mu}}{(\mu-1)!} + \int^1_0 \Pow{(1-u)}{\mu-1} \Pow{F}{(\mu)}(ut)\, du. +\] +Or on conclut des égalités~\Eref{III}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:III.I.12}, lorsque $\nu$~est \textit{pair}, +\[ +\Pow{D}{(\nu)}_t p(\tau,0) = \Powfr{(-1)}{\fnfrac{\nu}{2}}\, \Pow{f}{(\nu)}(\tau),\qquad +\Pow{D}{(\nu)}_t q(\tau,0) = 0, +\] +et, pour $\nu$~\textit{impair}, +\[ +\Pow{D}{(\nu)}_t p(\tau,0) = 0,\qquad +\Pow{D}{(\nu)}_t q(\tau,0) = \Powfr{(-1)}{\fnfrac{\nu-1}{2}}\, \Pow{f}{(\nu)}(\tau), +\] +et, par suite, en appliquant aux expressions $p(\tau, t)$, $q(\tau, t)$ l'égalité +ci-dessus, avec $\mu= 2k$ ou~$\mu= 2k+1$, on trouve: +\begin{align*} +p(\tau,t) +&= f(\tau) - f'(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2}}{2!} + \dotsb + + \Pow{(-1)}{k-1}\,\Pow{f}{(2k-2)}(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2k-2}}{(2k-2)!} + + p_{2k}(\tau,t), \\ +% +q(\tau,t) +&= f'(\tau)t - f''(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2}}{3!} + \dotsb + + \Pow{(-1)}{k-1}\, \Pow{f}{(2k-1)}(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2k-1}}{(2k-1)!} + + q_{2k+1}(\tau,t), +\end{align*} +$p_{2k}(\tau,t)$ et~$q_{2k+1}(\tau,t)$ désignant respectivement les expressions +\[ +\frac{\Pow{(-1)}{k}}{2}\, \frac{\Pow{t}{2k}}{(2k-1)!} + \int^1_0 \Pow{(1-u)}{2k-1}\bigl[\Pow{f}{(2k)}(\tau+iut) + + \Pow{f}{(2k)}(\tau-iut)\bigr]\, du, +\] +%% -----File: 089.png---Folio 77------- +et +\[ +\frac{\Pow{(-1)}{k}}{2}\, \frac{\Pow{t}{2k+1}}{(2k)!} + \int^1_0 \Pow{(1-u)}{2k} \bigl[\Pow{f}{(2k+1)}(\tau+iut) + + \Pow{f}{(2k+1)}(\tau-iut)\bigr]\, du. +\] + +En substituant maintenant à $p(\tau, t)$ et~$q(\tau, t)$ les développements +qu'on vient d'écrire, on trouve successivement, d'après +l'égalité~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, +\begin{align*} +2\int^{\infty}_0 \frac{q(\tau,t)\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} +&= \frac{B_1}{2}\, f'(\tau) - \frac{B_2}{4}\, \frac{f'''(\tau)}{3!} + \dotsb \\ +% +&\quad + \Pow{(-1)}{k-1} \frac{B_k}{2k}\, \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{q_{2k+1}(\tau,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt; +\end{align*} +d'après l'égalité~\Eref{III}{I}{13}, \Pgref{page}{eqn:III.I.13}, et les égalités~\Eref{III}{II}{6}, \Pgref{page}{eqn:III.II.6}, +\begin{align*} +2\int^{\infty}_0 Q(\tau, t)\, dt +&= -\overline{\varphi}_1(\tau)\, f(\tau) + + \frac{\overline{\varphi}_2(\tau)}{2}\, \frac{f'(\tau)}{1!} + - \dotsb + + \frac{\overline{\varphi}_{2k}(\tau)}{2k}\, + \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} \\ +&\quad + 2\int^{\infty}_0 \bigl[ + p_{2k}(\tau,t)\, X(\tau,t) + q_{2k+1}(\tau,t)\, \Psi(\tau,t)\bigr]\, dt, +\end{align*} +formule qui, pour $\tau = \nu+\smfrac{1}{2}$, en vertu des égalités~\Eref{III}{I}{14}, \Pgref{page}{eqn:III.I.14}, +et~\Eref{II}{II}{17}, \Pgref{page}{eqn:II.II.17}, se réduit à la suivante: +\begin{align*} +\int^{\infty}_0 \frac{q(\tau,t)\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} + 1} +&= \frac{B'_1}{2}\, f'(\tau) + - \frac{B'_2}{4}\, \frac{f'''(\tau)}{3!} + \dotsb \\ +&\quad + + \Pow{(-1)}{k-1} \frac{B'_k}{2k}\, \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{q_{2k+1}(\tau,t)}{\Pow{e}{2\pi t} + 1}\, dt; +\end{align*} +d'après les égalités~\Eref{III}{I}{18}, \Pgref{page}{eqn:III.I.18}, et~\Eref{III}{II}{8}, \Pgref{page}{eqn:III.II.8}, +\begin{align*} +2\int^{\infty}_0 Q_1(\tau,t)\, dt +&= \overline{\chi}_0(\tau)\, f(\tau) + -\overline{\chi}_1(\tau)\, \frac{f'(\tau)}{1!} + + \dotsb + -\overline{\chi}_{2k-1}(\tau)\, \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} \\ +&\quad + 2\int^{\infty}_0 \bigl[ + p_{2k}(\tau, t)\, X_1(\tau,t) + q_{2k+1}(\tau,t)\, \Psi_1(\tau,t)\bigr]\, dt, +\end{align*} +et enfin, d'après l'égalité~\Eref{III}{II}{7}, \Pgref{page}{eqn:III.II.7}, +\begin{align*} +2\int^{\infty}_0 \frac{p(\tau, t)\, dt}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}} +&= \frac{1}{2} \left[ + E_0\,f(\tau) - \frac{E_1}{4}\, \frac{f''(\tau)}{2!} + \dotsb \right. \\ +&\qquad\ + \left. + \Pow{(-1)}{k-1}\, \frac{E_{k-1}}{\Pow{4}{k-1}}\, + \frac{\Pow{f}{(2k-2)}(\tau)}{(2k-2)!} \right] + + 2\int^{\infty}_0 \frac{p_{2k}(\tau,t)}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}\, dt. +\end{align*} + +\Paragraph{40.} En substituant les développements ci-dessus dans les formules +établies dans la première section de ce Chapitre, on en déduit +%% -----File: 090.png---Folio 78------- +diverses formules sommatoires connues. Ainsi les formules~\Eref{III}{I}{III}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.III}, et~\hyperref[eqn:III.I.Ipr]{(I${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.Ipr}, donnent respectivement: +% [** PP: Align next few (individually-aligned!) displays] +\begin{flalign*} +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) +&= \smfrac{1}{2} \bigl[f(m)+f(n)\bigr] + \int^n_m f(\tau)\, d\tau \\ +&\quad + + \sum^k_{\nu=1} \Pow{(-1)}{\nu-1} \frac{B_\nu}{2\nu}\, + \dfrac{\Pow{f}{(2\nu-1)}(n) - \Pow{f}{(2\nu-1)}(m)}{(2\nu-1)!} + R; +\qquad % [** quasi-align left braces of this and next display] +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{1} +\end{flalign*} +\begin{flalign*} +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) +&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau \\ +&\quad + + \sum^{2k}_1 \frac{\Pow{(-1)}{\nu}}{\nu}\ + \frac{\overline{\varphi}_\nu(\beta)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\beta) + -\overline{\varphi}_\nu(\alpha)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\alpha)}{(\nu-1)!} + + R, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{2} +\end{flalign*} +et, en faisant $\alpha=m-\smfrac{1}{2}$, $\beta=n+\smfrac{1}{2}$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{page36}), +\begin{flalign*} +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m f(\nu) +&= \int^{n+\frac{1}{2}}_{m-\frac{1}{2}} f(\tau)\, d\tau \\ +&\quad + + \sum^k_1 \Pow{(-1)}{\nu}\, \frac{B'_\nu}{2\nu}\, + \frac{\Pow{f}{(2\nu-1)}(n + \fnfrac{1}{2}) + - \Pow{f}{(2\nu-1)}(m - \fnfrac{1}{2})}{(2\nu-1)!} + R. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{3} +\end{flalign*} +La formule~\hyperref[eqn:III.I.IXpr]{(IX${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IXpr}, nous donne: +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) += \sum^{2k-1}_0 \Pow{(-1)}{\nu}\, + \frac{\overline{\chi}_\nu(\beta)\, \Pow{f}{(\nu)}(\beta) + -\overline{\chi}_\nu(\alpha)\, \Pow{f}{(\nu)}(\alpha)}{\nu!} + R, +\EqnTag{III}{III}{4} +\] +% +et en particulier, pour $\alpha=m-\smfrac{1}{2}$, $\beta=n+\smfrac{1}{2}$, +% +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +&\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) \\ +&\quad + = \frac{1}{2} \sum^{k-1}_0 \Pow{(-1)}{\nu}\, \frac{E_\nu}{\Pow{4}{\nu}}\, + \frac{\Pow{(-1)}{n}\, \Pow{f}{(2\nu)}(n + \frac{1}{2}) + + \Pow{(-1)}{m}\, \Pow{f}{(2\nu)}(m - \frac{1}{2})}{(2\nu)!} + R. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{5} +\] +Enfin, en faisant tendre~$\alpha$ vers~$m$ et~$\beta$ vers~$n$ dans~\Eref{III}{III}{4}, ou bien +en utilisant la formule~\Eref{III}{I}{XI}, \Pgref{page}{eqn:III.I.XI}, on trouve +\[ +\EqnTag{III}{III}{6} +\left\{ +\begin{aligned} +\sum^n_m &\Pow{(-1)}{\nu} +f(\nu) = \smfrac{1}{2} \bigl[\Pow{(-1)}{m} f(m) + \Pow{(-1)}{n} f(n)\bigr] \\ +& + \sum^k_1 \Pow{(-1)}{\nu-1}\, \frac{(\Pow{2}{2\nu} - 1)\,B_\nu}{2\nu}\, + \frac{\Pow{(-1)}{n}\, \Pow{f}{(2\nu-1)}(n) - \Pow{(-1)}{m}\, \Pow{f}{(2\nu-1)}(m)} + {(2\nu - 1)!} + + R. +\end{aligned} +\right. +\] + +%% -----File: 091.png---Folio 79------- + +D'autres formules encore pourraient se déduire de l'égalité~\Eref{III}{I}{20}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.20}, et des égalités \Eref{III}{I}{16} et~\Eref{III}{I}{VII}, \Pgref{page}{eqn:III.I.VII}\footnotemark. +% [** PP: Change of page size may put previous refs on different pages!] +\footnotetext{La formule qui se déduit de~\Eref{III}{I}{VII} en y développant le dernier terme en +série, a été remarquée par Kronecker (\textit{Sitzungsberichte der Akademie zu Berlin}, +1885, p.~862).} +% [** End of footnote] + +L'égalité~\Eref{III}{III}{1} constitue la célèbre formule sommatoire découverte +par Euler et Mac-Laurin\footnotemark; +\footnotetext{Des applications de la formule~\Eref{III}{I}{III} à la formule d'Euler ont été indiquées +successivement par Schaar, Genocchi et~Petersen dans leurs travaux cités au \no\Sref{35}. +Voir aussi p.~17--23 de notre Mémoire.} % [** End of footnote] +% +la formule~\Eref{III}{III}{6} a été donnée par +Boole, la formule~\Eref{III}{III}{2} par Sonin et Hermite\footnotemark, +\footnotetext{\textit{Journal de Crelle}, t.~116, p.~133--136.} +% +la formule~\Eref{III}{III}{4} par +Hermite\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Ibid}.,\ p.~145.} + +Les résultats du \no\Sref{39} fournissent immédiatement l'expression +exacte du reste~$R$ dans les formules précédentes, et permettent +facilement d'en calculer une limite supérieure. + +Supposons, par exemple, qu'on ait, pour toute valeur réelle +de~$t$, +\[ +\Abs{\Pow{f}{(\mu)}(\tau+it)} < M_\mu(\tau), +\] +$M_{\mu}(\tau)$ étant une quantité positive qui dépendra, en général, de~$\tau$ +et de~$\mu$; il en résulte +\begin{align*} +\Abs{p_{2k}(\tau,t)} &< M_{2k}(\tau)\, \frac{\Pow{\tau}{2k}}{(2k)!}, \\ +\Abs{q_{2k+1}(\tau,t)} &< M_{2k+1}(\tau)\, \frac{\Pow{\tau}{2k+1}}{(2k+1)!}. +\end{align*} +En se servant des égalités~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, et~\Eref{III}{II}{7}, \Pgref{page}{eqn:III.II.7}, on en +déduit pour le reste de la formule d'Euler~\Eref{III}{III}{1} l'inégalité +\[ +\Abs{R} < \frac{B_{k+1}}{(2k+2)!}\, + \bigl[M_{2k+1}(m) + M_{2k+1}(n)\bigr], +\] +et, pour le reste de la formule~\Eref{III}{III}{5}, +\[ +\Abs{R} < \frac{1}{2(2k)!}\;\frac{E_k}{\Pow{4}{k}}\, + \Bigl[M_{2k}\bigl(m - \smfrac{1}{2}\bigr) + + M_{2k}\bigl(n + \smfrac{1}{2}\bigr)\Bigr]. +\] + +Dans le cas où la fonction~$f(z)$ admet des points singuliers à +l'intérieur de la bande $\alpha <\tau < \beta$, les formules ci-dessus doivent +être modifiées comme il a été dit aux \nos\Sref{32} et~\Sref{34}. + +%% -----File: 092.png---Folio 80------- + +\Paragraph{41.} Les expressions trouvées ci-dessus pour le reste de la formule +d'Euler et des formules analogues sont différentes de celles +qu'on rencontre dans les théories élémentaires de ces formules. +Mais nous allons voir que ces dernières expressions se rattachent +encore tout naturellement à nos résultats généraux. + +Reprenons, à cet effet, la formule~\Eref{III}{I}{16}, \Pgref{page}{eqn:III.I.16}, en y faisant +croître indéfi\-ni\-ment le nombre~$\mu$. Les deux derniers termes tendront +évidemment vers \textit{zéro}, de sorte qu'on obtient +\[ +\sum^n_m f(\nu) = \int^{\beta}_{\alpha}f(\tau)\, d\tau + + 2\sum^{\infty}_1 \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, \cos 2\nu\pi\tau\, d\tau. +\EqnTag{III}{III}{7} +\] + +On a, d'ailleurs, en intégrant par parties, +\begin{align*} +&2\int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, \cos 2\nu\pi\tau\, d\tau \\ +& \quad + = f(\beta)\, \frac{\sin 2\nu\pi\beta}{\nu\pi} + - f(\alpha)\, \frac{\sin 2\nu\pi\alpha}{\nu\pi} + - \int^{\beta}_{\alpha} f'(\tau)\, \frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}\, d\tau, +\end{align*} +et, en se servant de l'égalité~\Eref{II}{II}{14}, \Pgref{page}{eqn:II.II.14}, on pourra donc écrire +l'équation~\Eref{III}{III}{7} sous la forme +\[ +\EqnTag{III}{III}{8} +\sum^n_m f(\nu) = \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau ++ \overline{\varphi}_1(\alpha)\, f(\alpha) +- \overline{\varphi}_1(\beta)\, f(\beta) +- \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau + \] + +Cependant cette dernière conclusion demande quelque précaution, +car nous y avons supposé tacitement que l'expression +\[ + \int^{\beta}_{\alpha}f'(\tau)\, \overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau ++ \int^{\beta}_{\alpha}f'(\tau) \sum^k_1\frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}\, d\tau +\EqnTag{III}{III}{9} +\] +s'annule pour $k = \infty$, ce qui n'est nullement évident, puisque la +série qui définit~$\overline{\varphi}_1(\tau)$ ne converge pas uniformément entre les +limites d'intégration. Notre conclusion n'en est pas moins exacte, +car il résulte des remarques faites \Pgref{page}{page35} que le module de la +somme +\[ +\overline{\varphi}_1(\tau) + \sum^k_1\frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi} +\] +reste inférieur à une quantité finie~$M$ pour toute valeur de~$k$ et +%% -----File: 093.png---Folio 81------- +pour tout point~$\tau$ de l'intervalle $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$, et d'autre part que, ayant +exclu de cet intervalle, de part et d'autre de chacun des points +$m,~m + 1, \dotsc,~n$, un segment de longueur~$\eps$ aussi petite qu'on +voudra, on pourra choisir l'entier~$k$ assez grand pour que, dans le +reste de l'intervalle, la somme en question soit numériquement +inférieure à tout nombre~$\eta$ fixé d'avance. Dans ces conditions, la +valeur absolue de l'expression~\Eref{III}{III}{9} sera donc inférieure au produit +de $\eta(\beta -\alpha) + 2\eps M(n-m+1)$ par le maximum de $\Abs{f'(\tau)}$ +dans l'intervalle $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$, d'où l'on conclut que cette expression +s'annule effectivement pour $k = \infty$. + +À l'aide des relations [voir l'égalité~\Eref{II}{II}{16} \Pgref{page}{eqn:II.II.16}] +\[ +\overline{\varphi}'_{\nu+1}(\tau) + = (\nu+1)\overline{\varphi}_\nu(\tau)\qquad (\nu=1, 2,\dotsc), +\] +on trouve successivement, en intégrant par parties, +\begin{align*} +\int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau +&= \smfrac{1}{2!} \bigl[\overline{\varphi}_2(\beta) f'(\beta) + -\overline{\varphi}_2(\alpha) f'(\alpha)\bigr] + - \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_2(\tau)\, + \frac{f''(\tau)}{2!}\, d\tau, \\[1ex] +\int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_2(\tau)\, \frac{f''(\tau)}{2!}\, d\tau +&= \smfrac{1}{3!} \bigl[\overline{\varphi}_3(\beta)\, f''(\beta) + -\overline{\varphi}_3(\alpha)\, f''(\alpha)\bigr] + - \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_3(\tau)\, + \frac{f'''(\tau)}{3!}\, d\tau, +\end{align*} +et ainsi de suite; de l'égalité~\Eref{III}{III}{8} on peut donc tirer la suivante: +\[ +\EqnTag{III}{III}{10} +\sum^n_m f(\nu) = \int^{\beta}_{\alpha}\, f(\tau)\, d\tau + + \sum^{2k}_1 \frac{\Pow{(-1)}{\nu}}{\nu}\ + \frac{\overline{\varphi}_\nu(\beta)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\beta) + -\overline{\varphi}_\nu(\alpha)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\alpha)}{(\nu-1)!} + + R, +\] +où +\[ +R = -\frac{1}{(2k)!} \int^{\beta}_{\alpha} + \overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, \Pow{f}{(2k)}(\tau)\, d\tau. +\] +C'est la formule~\Eref{III}{III}{2}, avec une nouvelle expression du reste. + +Faisons maintenant tendre~$\alpha$ vers~$m$ et~$\beta$ vers~$n$. Les expressions +$\overline{\varphi}_1(\alpha)$ et~$\overline{\varphi}_1(\beta)$ tendront respectivement vers~$\smfrac{1}{2}$ et vers~$-\smfrac{1}{2}$, +de sorte que l'égalité~\Eref{III}{III}{8} devient +\[ +\sum^n_m f(\nu) + = \int^n_m f(\tau)\, d\tau + + \smfrac{1}{2} \bigl[f(m) + f(n)\bigr] + + \int^n_m \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau, +\EqnTag{III}{III}{11} +\] +et d'autre part, en vertu des propriétés des fonctions~$\overline{\varphi}_\nu(\tau)$ démontrées +\Pgref{page}{page36}, l'égalité~\Eref{III}{III}{10} se réduira à la formule d'Euler avec +%% -----File: 094.png---Folio 82------- +cette nouvelle expression du reste, due à Poisson: +\[ +R = -\frac{1}{(2k)!} \int^n_m + \overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, \Pow{f}{(2k)}(\tau)\, d\tau, +\] +En intégrant par parties, on obtient d'abord +\[ +R = \frac{1}{(2k+1)!}\int^n_m + \overline{\varphi}_{2k+1}(\tau)\, \Pow{f}{(2k+1)}(\tau)\, d\tau, +\] +puis, en observant que $\overline{\varphi}_{2k+1}(\tau)=\smfrac{\overline{P}'_{2k+2}(\tau)}{2k+2}$ +\[ +R = -\frac{1}{(2k+2)!} \int^n_m + \overline{P}_{2k+2}(\tau)\, \Pow{f}{(2k+2)}(\tau)\, d\tau, +\EqnTag{III}{III}{12} +\] +expression due à Jacobi. + +Pour $\alpha=m-\smfrac{1}{2}$, $\beta=n+\smfrac{1}{2}$, l'égalité~\Eref{III}{III}{10} nous donne la +formule~\Eref{III}{III}{3} avec le reste +\[ +R = \frac{1}{(2k+1)!} \int^{n + \frac{1}{2}}_{m - \frac{1}{2}} + \overline{\varphi}_{2k+1}(\tau)\, \Pow{f}{(2k+1)}(\tau)\, d\tau, +\] + +Ces transformations s'appliquent également à la formule~\Eref{III}{I}{20}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.20}. Ainsi l'on en déduit, en faisant croître~$\mu$ vers l'infini, +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu}\, f(\nu) + = 2\sum^n_0 \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, \cos(2\nu + 1)\pi\tau\, d\tau, +\EqnTag{III}{III}{13} +\] +puis, en intégrant par parties et utilisant l'égalité~\Eref{II}{II}{21}, \Pgref{page}{eqn:II.II.21}, +\[ +\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu}\, f(\nu) + = \overline{\chi}_0(\beta)f(\beta) - \overline{\chi}_0(\alpha)f(\alpha) + - \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\chi}_0(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau. +\EqnTag{III}{III}{14} +\] +En transformant le dernier terme de cette égalité à l'aide des +relations~\Eref{II}{II}{22}, \Pgref{page}{eqn:II.II.22}, on retrouve la formule~\Eref{III}{III}{4} avec +\[ +R = \frac{1}{(2k-1)!} \int^{\beta}_{\alpha} + \overline{\chi}_{2k-1}(\tau)\, \Pow{f}{(2k)}(\tau)\, d\tau, +\] +expression due à Hermite. En faisant tendre~$\alpha$ vers~$m$, $\beta$ vers~$n$ +%% -----File: 095.png---Folio 83------- +(\textit{voir} \Pgref{p.}{page37}), on en déduit la formule~\Eref{III}{III}{6} de Boole avec le reste +\[ +R = -\frac{1}{(2k)!} \int^n_m + \overline{\chi}_{2k}(\tau)\,\Pow{f}{(2k+1)}(\tau)\, d\tau, +\] +donné par M.~Darboux\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable +(Journal de Mathématiques}, \tertio~série, t.~II, 1876).} +D'autre part, en faisant $\alpha = m-\smfrac{1}{2}$, +$\beta = n+\smfrac{1}{2}$ on retrouve la formule~\Eref{III}{III}{5} avec une nouvelle expression +du reste. + +Le raisonnement qui nous a fourni les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14} suppose +essentiellement que la fonction~$f(z)$ est holomorphe sur le +segment $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$ de l'axe réel. Cette condition est d'ailleurs suffisante, +car, en la supposant vérifiée, on pourra prendre la hauteur +du rectangle~$C$, qui nous a servi de contour d'intégration, assez +petite pour que~$f(z)$ soit holomorphe à l'intérieur et sur le contour +de ce rectangle, d'où il résulte que les égalités~\Eref{III}{I}{16}, \Pgref{page}{eqn:III.I.16}, +et~\Eref{III}{I}{20}, \Pgref{page}{eqn:III.I.20}, et par conséquent aussi les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14}, +seront valables. + +Mais, une fois établies les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14}, on constate +immédiatement qu'elles subsistent dès que~$f(\tau)$ et~$f'(\tau)$ sont +finis et continus pour $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$\footnotemark. +\footnotetext{Il en résulte, d'après le raisonnement de la \Pgref{page}{eqn:III.III.7}, que les formules \Eref{III}{III}{7} +et~\Eref{III}{III}{13} subsistent également sous la condition indiquée.} +% [** End of footnote] +En effet, on trouve en intégrant +($voir$ \Pgref{page}{page35}): +\[ +\int^{\nu+1}_{\nu} \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau )\, d\tau + = \smfrac{1}{2} \bigl[f(\nu) + f(\nu + 1)\bigr] + - \int^{\nu+1}_{\nu} f(\tau)\, d\tau. +\] +Faisons ici successivement $\nu = m,~m + 1, \dotsc,~n-1$ et ajoutons +les résultats: nous aurons l'égalité~\Eref{III}{III}{11}, et les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14} se +vérifient de la même manière. + +\Pagelabel{page83}% +Or nous venons de voir que les formules sommatoires \Eref{III}{III}{1} à ~\Eref{III}{III}{6}, +avec les expressions du reste~$R$ données ci-dessus, se déduisent +des égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14} par de simples intégrations. Nous pouvons +donc affirmer que chacune des formules en question est valable +dès que la fonction~$f(\tau)$ et ses dérivées, jusqu'à l'ordre le plus +élevé qui y figure, sont finies et continues pour $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$. +%% -----File: 096.png---Folio 84------- + +\Paragraph{42.} En faisant dans la formule~\Eref{III}{III}{7} $m = n = 0$, $\alpha = -x$, +$\beta = 1-x$, $f(z)=F(z+x)$, et en supposant d'ailleurs $0<x<1$, +on en déduit +\[ +F(x) = \int^1_0 F(\tau)\, d\tau + + 2\sum^{\infty}_1 \int^1_0 F(\tau)\, \cos 2\nu\pi(\tau-x)\, d\tau. +\EqnTag{III}{III}{15} +\] +C'est \textit{le développement de Fourier} qui, d'après la remarque +% [** PP: Changed reference to page location] +% Orig: faite en bas de la page~83, se trouve ainsi établi en supposant $F(x)$ +ci-dessus, se trouve ainsi établi en supposant $F(x)$ +et~$F'(x)$ finis et continus pour $0\leqq x\leqq 1$\footnotemark. +\footnotetext{Lorsque~$F(x)$ +présente une discontinuité au point~$x$, le premier membre +de l'égalité~\Eref{III}{III}{15} sera remplacé par $\lim\limits_{\eps=0}\fnfrac{1}{2}\bigl[F(x-\eps) + F(x+\eps)\bigr]$, ce qu'on +conclut encore facilement du calcul indiqué à la fin du \no\Sref{41}. + +L'égalité~\Eref{III}{III}{13} conduit à une autre forme du développement de Fourier.} +% [** End of footnote] + +Indiquons encore la méthode par laquelle Cauchy a établi ce +développement dans son Mémoire de~1826\footnotemark, cité \Pgref{page}{page68}, et qui, +dans bien des cas, permet d'en calculer les coefficients avec une +grande facilité. Nous admettrons les hypothèses suivantes: +\footnotetext{Le raisonnement de Cauchy dans ce Mémoire très condensé est assez +embrouillé en ce qui concerne la convergence du développement de Fourier, et +les critiques que lui a adressées Dirichlet dans son célèbre Mémoire: \textit{Sur la +convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction +arbitraire entre des limites données} (\textit{Journal de Crelle}, t.~4, 1829) sont, sans +contredit, parfaitement justes. Cependant le Mémoire de Cauchy renferme tous +les éléments d'une démonstration exacte, telle que nous la présentons ici, et il +est curieux que Dirichlet ne s'en soit pas aperçu.} +% [** End of footnote] + +\primo~\textit{$F(z)$ est une fonction analytique de la variable $z \equiv \tau +it$ +qui est holomorphe dans la bande $0\leqq\tau\leqq 1$}; + +\secundo~\textit{L'égalité $\lim\limits_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}\,F(\tau+it)=0$ a lieu uniformément +pour $0\leqq\tau\leqq 1$}. + +Ceci posé, reprenons la formule~\Eref{III}{I}{8}, \Pgref{page}{eqn:III.I.8}, en choisissant le +contour~$C$ comme il a été dit, et en faisant les mêmes substitutions +que ci-dessus dans la formule~\Eref{III}{III}{7}, et, en outre, les substitutions~\Eref{III}{I}{10} +de la \Pgref{page}{eqn:III.I.10}. Lorsqu'on fait tendre~$\delta$ vers l'infini, les +intégrales prises suivant les côtés horizontaux du contour~$C$ s'évanouiront, +en vertu de la condition~\secundo. D'autre part, les termes $\Pow{e}{2\nu\pi iz}$ +et~$\Pow{e}{-2\nu\pi iz}$ qui figurent dans les expressions~\Eref{III}{III}{15} donneront naissance +à quatre intégrales, dont la somme se réduit à la partie +%% -----File: 097.png---Folio 85------- +réelle de l'expression +\[ +2i\int_0^\infty \Pow{e}{-2\nu\pi i\,(x-it)}\, \bigl[F(it) - F(1+it)\bigr]\, dt, +\] +ou bien, en posant $F(\tau\pm i t) = p(\tau,t)\pm i q(\tau,t)$, et +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +A_\nu +&= \phantom{-}2\int_0^\infty \Pow{e}{-2\nu\pi t} \bigl[q(1,t)-q(0,t)\bigr]\, dt, \\[1ex] +B_\nu +&= -2\int_0^\infty \Pow{e}{-2\nu\pi t} \bigl[p(1,t)-p(0,t)\bigr]\, dt, +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{III}{III}{16} +\] +à +\[ +A_\nu\, \cos 2\nu\pi x + B_\nu\, \sin 2\nu\pi x. +\] +En somme, on trouvera donc +\[ +F(x) = A_0 + \sum_1^\mu (A_\nu\, \cos 2\nu\pi x + + B_\nu\, \sin 2\nu\pi x) + R_\mu, +\] +où $A_0 = \dint_0^1 F(\tau)\, d\tau$, et où le terme-reste~$R_\mu$ est égal à la partie +réelle de l'expression +\[ +2i\int_0^\infty \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi t - 2\mu\pi ix}} + {\Pow{e}{2\pi t + 2\pi ix} - 1}\, + \bigl[F(it) - F(1+it)\bigr]\, dt. +\] +Or $R_\mu$ s'annule évidemment pour $\mu=\infty$, de sorte qu'on obtient\footnotemark +\[ +F(x) = A_0 + \sum_1^\infty (A_\nu\, \cos 2\nu\pi x + + B_\nu\, \sin 2\nu\pi x)\qquad (0<x<1). +\EqnTag{III}{III}{17} +\] +\footnotetext{Ces résultats restent encore valables si la fonction~$F(z)$, tout en vérifiant +les autres conditions énoncées ci-dessus, devient infinie pour~$z=0$ ou pour~$z=1$ +d'un ordre inférieur à \textit{un}, ce qu'on démontre facilement par un raisonnement +analogue à celui du \no\Sref{29}.}% + +Soit comme premier exemple $F(z) = \log(\sin\pi z)$. En tenant +compte de la note ci-dessous, on s'assure immédiatement que les +résultats précédents sont applicables. Or on a dans l'hypothèse +actuelle $F(1 + it) - F(it) = -\pi i$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{page49}), et par suite +\[ +p(1,t) - p(0,t) = 0,\qquad q(1,t) - q(0,t) = -\pi. +\] +Il en résulte, d'après~\Eref{III}{III}{16}, $A_\nu = -\smfrac{1}{\nu}$, $B_\nu = 0$, et comme l'on a +%% -----File: 098.png---Folio 86------- +d'ailleurs, d'après la \Pgref{page}{page50}, $A_0 = -\log 2$, l'égalité~\Eref{III}{III}{17} devient +\[ +\log(\sin \pi x) = -\log 2 - \sum^{\infty}_1 \frac{\cos 2\nu\pi x}{\nu}. +\EqnTag{III}{III}{18} +\] + +Faisons en second lieu $F(z) = \log\Gamma(z)$, hypothèse dans laquelle +les résultats précédents seront encore applicables, ainsi qu'il résulte +des propriétés de~$\Gamma(z)$ démontrées au Chapitre~\ref{chapter:IV}. + +L'égalité $\Gamma(1+z) = z\Gamma (z)$ nous donne +\[ +F(1+it) - F(it) = \log it = \log t + \smfrac{\pi i}{2}, +\] +d'où +\[ +p(1,t) - p(0,t) = \log t,\qquad q(1,t) - q(0,t) = \smfrac{\pi}{2}, +\] +et, par suite, +\[ +A_\nu = \pi\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, dt = \smfrac{1}{2\nu},\qquad +B_\nu = -2\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \log t\, dt. +\] + +La valeur de~$B_\nu$ s'obtient en différentiant l'égalité +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \Pow{t}{2}\, dt + = \Gamma(1+\eps) \Pow{(2\nu\pi)}{-(1+\eps)}. +\] +par rapport à ~$\eps$, ce qui donne +\[ +\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \Pow{t}{\eps}\,\log t\, dt + = \Gamma'(1+\eps) \Pow{(2\nu\pi)}{-(1+\eps)} + - \Gamma (1+\eps) \Pow{(2\nu\pi)}{-(1+\eps)}\, \log(2\nu\pi), +\] +et en faisant ensuite tendre~$\eps$ vers zéro. Comme on a~$\Gamma(1)=1$, +$\Gamma'(1) = -C$, on trouve ainsi +\Pagelabel{page86} +\[ +B_\nu = \frac{C + \log(2\nu\pi)}{\nu\pi}. +\] +Nous montrerons d'ailleurs plus loin (\Pgref{p.}{page90}) que $A_0=\log \sqrt{2\pi}$, +et, en tenant compte du résultat~\Eref{III}{III}{18} ci-dessus et de l'égalité~\Eref{II}{II}{13}, +\Pgref{page}{eqn:II.II.13}, nous aurons finalement le développement dû à Kummer: +\begin{align*} +\log\Gamma(x) +&= \log\sqrt{2\pi} - (C+\log 2\pi) \left(x-\smfrac{1}{2}\right) \\ +&\quad + - \smfrac{1}{2}\log(2\sin\pi x) + + \smfrac{1}{\pi} \sum^{\infty}_1 \frac{\log\nu}{\nu}\, \sin 2\nu\pi x. +\end{align*} + +\bigTbreak + +%% -----File: 099.png---Folio 87------- + + +% [*** Chapter IV] +\cleardoublepage +\Chapter{IV}{LES FONCTIONS $\Gamma(x)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,w)$.} + +\Section{IV}{I}{Expressions diverses de~$\log\Gamma(x)$ et de ses dérivées \\ + sous forme d'intégrales définies.} + +\Paragraph{43.} Pour déduire ces expressions des formules générales établies +au Chapitre précédent, nous allons nous servir de l'égalité +\[ +\Pow{D}{(2)}_x\log\Gamma(x) = \sum^{\infty}_0 \frac{1}{\Pow{(x+\nu)}{2}}. +\EqnTag{IV}{I}{1} +\] + +Nous devons donc substituer dans nos formules +\[ +f(z) = \frac{1}{\Pow{(x+z)}{2}}, +\EqnTag{IV}{I}{2} +\] +d'où il résulte, d'après les égalités~\Eref{III}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:III.I.12}, +\[ +p(\tau,t) = \frac{\Pow{(x+\tau)}{2} - \Pow{t}{2}} + {\Pow{[\Pow{(x+\tau)}{2}+\Pow{t}{2}]}{2}}, +\qquad +q(\tau,t) = -\frac{2(x+\tau)t} + {\Pow{[\Pow{(x+\tau)}{2} + \Pow{t}{2}]}{2}}. +\] + +Admettons que \textit{la partie réelle de la variable $x$ est positive}. +Les trois dernières conditions énoncées à la \Pgref{page}{page57b} seront alors +vérifiées dans le demi-plan~$\tau\geqq 0$, de sorte qu'on pourra appliquer +la formule~\Eref{III}{I}{IV}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IV}, en y faisant~$m=0$. On trouve ainsi +\[ +\Pow{D}{(2)}_x\log\Gamma(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2\Pow{x}{2}} + + 4x \int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +puis, en intégrant et en désignant par~$K$ la constante d'intégration, +\Pagelabel{page87} +\[ +D_x\log\Gamma(x) + = K + \log x - \smfrac{1}{2x} + - 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +%% -----File: 100.png---Folio 88------- +et, par une deuxième intégration, +\[ +\log\Gamma(x) = K' + Kx + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x), +\EqnTag{IV}{I}{3} +\] +$K'$~désignant une nouvelle constante et~$J(x)$ l'expression +\[ +J(x) = 2\int^{\infty}_0 \arc\tang\frac{t}{x}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\EqnTag{IV}{I}{4} +\] +qu'on peut écrire encore, en intégrant par parties, +\[ +J(x) = \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_0 \frac{x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, + \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right)\, dt. +\tag{4${}'$} +\Pagelabel{eqn:IV.I.4pr} +\] + +Les valeurs des constantes $K$ et~$K'$ s'obtiennent immédiatement +en rapprochant~\Eref{IV}{I}{3} de l'égalité~\Eref{III}{II}{1} de la \Pgref{page}{eqn:III.II.1}. Mais, si l'on ne +veut pas se servir de cette dernière égalité, on arrivera encore facilement +à déterminer $K$ et~$K'$ en s'appuyant sur les propriétés bien +connues de la fonction~$\Gamma(x)$ qui s'expriment par les équations +\[ +\Gamma(x+1) = x\Gamma(x),\qquad \Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin\pi x}. +\EqnTag{IV}{I}{5} +\] + +En effet, si l'on retranche l'égalité~\Eref{IV}{I}{3} de celle qu'on en déduit +en changeant $x$ en~$x+1$, on trouve, en vertu de la première propriété, +\[ +(K-1) + \left(x + \smfrac{1}{2}\right)\log\left(1 + \smfrac{1}{x}\right) + + J(x+1) - J(x) = 0. +\] +Or, lorsque $x$~croît indéfiniment, les deux derniers termes s'évanouiront, +tandis que le second terme tendra vers~$1$. Donc~$K=0$. + +D'après la seconde propriété, on aura, pour $x = \smfrac{1}{2} + iu$, +\[ +\Gamma\left(\smfrac{1}{2} + iu\right) +\Gamma\left(\smfrac{1}{2} - iu\right) + = \frac{2\pi \Pow{e}{-\pi u}}{1 + \Pow{e}{-2\pi u}}, +\] +d'où résulte l'égalité +\Pagelabel{page88} +\[ +\text{Partie réelle de } +\log\Gamma\left(\smfrac{1}{2} + iu\right) + = \log\sqrt{2\pi} - \smfrac{\pi u}{2} + \eps(u)\ \footnotemark, +\] +\footnotetext{Pour la notation~$\eps(u)$, \textit{voir} la note de la \Pgref{page}{page49fn}.}% [** End of footnote] +dont s'est déjà servi Stieltjes pour une question analogue\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Sur le développement de~$\log\Gamma(a)$} (\textit{Journal de Liouville}, t.~V, 1889).} +% [** End of footnote] + +%% -----File: 101.png---Folio 89------- + +Faisons d'autre part $x =\smfrac{1}{2}+iu$ dans l'égalité~\Eref{IV}{I}{3}. Un calcul +élémentaire donne +\[ +\text{Partie réelle de }\left(x-\smfrac{1}{2}\right) \log x + = -u\arc\tang 2u + = -\smfrac{\pi u}{2} + \smfrac{1}{2} + \eps(u), +\] +et comme d'ailleurs, d'après l'égalité~\hyperref[eqn:IV.I.4pr]{($4'$)}, $J\left(\smfrac{1}{2}+iu\right)$~s'annule +pour~$u =\infty$\ \footnotemark, on aura +\[ +\text{Partie réelle de }\log \Gamma \left(\smfrac{1}{2} + iu\right) + = K' - \smfrac{\pi u}{2}+\eps(u). +\] +\footnotetext{En effet, on a +\[ +\Abs{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}} \geqq \Abs{u} +\] +pour toute valeur~$t$ et, d'autre part, +\[ +\Abs{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}} > \fnfrac{\Pow{u}{2}}{2}\qquad\text{pour}\qquad +\Pow{t}{2} < \fnfrac{\Pow{u}{2}}{2}, +\] +d'où l'on déduit aisément la proposition énoncée.}% +% [** End of footnote] + +La comparaison de cette expression avec la précédente donne +\[ +K' = \log\sqrt{2\pi}, +\] +et, par suite, on aura en définitive\footnote{% +La formule~\Eref{IV}{I}{7} est due à \bsc{Poisson} (\textit{Mémoires de l'Institut}, Année~1811, +seconde Partie, p.~221).---\textit{Voir} aussi \bsc{Legendre}, \textit{Exercices de Calcul intégral}, +5\ieme{}~Partie, p.~190. C'est \bsc{Schaar} qui a le premier appliqué la formule~\Eref{III}{I}{IV} à +l'étude de la fonction~$\Gamma(x)$, dans le Mémoire cité à la \Pgref{page}{page68}.}% [** End of footnote] +\begin{gather*} +\log\Gamma(x) = \log\sqrt{2\pi} + + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x), +\EqnTag{IV}{I}{6} \\ +D_x \log\Gamma(x) = \log x - \smfrac{1}{2x} + J'(x). +\EqnTag{IV}{I}{7} +\end{gather*} + +On peut écrire~\Eref{IV}{I}{6} sous la forme asymptotique +\[ +\log\Gamma(x) = \log\sqrt{2\pi} + + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x +\eps(x), +\EqnTag{IV}{I}{8} +\] +et, en remplaçant~$x$ par~$x+\xi$, on en déduit aisément +\[ +\log\Gamma(x + \xi) + = \log\sqrt{2\pi} + \left(x + \xi - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + \eps(x). +\EqnTag{IV}{I}{9} +\] + +%% -----File: 102.png---Folio 90------- + +À l'aide de~\Eref{IV}{I}{8} nous allons calculer \textit{l'intégrale de Raabe} +\[ +R(\nu) \equiv \int^{\nu+1}_{\nu} \log\Gamma(x)\, dx. +\] +En intégrant le second membre de cette égalité~\Eref{IV}{I}{8}, il vient +\[ +R(\nu) = \log\sqrt{2\pi} + \nu\log\nu - \nu + \eps(\nu). +\] +Mais, d'autre part, on a +\[ +R'(\nu) = \log\Gamma(\nu+1) - \log\Gamma(\nu) = \log\nu, +\] +d'où il résulte, en intégrant et désignant par~$K$ une constante, +\[ +R(\nu) = K + \nu\log\nu - \nu. +\] +La comparaison de ces expressions donne $K=\log\sqrt{2\pi}$, $\eps(\nu)\equiv 0$, +et, par suite, +\[ +\int^{\nu+1}_{\nu}\log\Gamma(x)\, dx = \log\sqrt{2\pi} + \nu\log\nu - \nu. +\] + +Pour $\nu = 0$, cette expression se réduit à ~$\log\sqrt{2\pi}$ (\textit{cf}.~\Pgref{p.}{page86}). +\Pagelabel{page90} + +\Paragraph{44.} Pour établir l'égalité~\Eref{IV}{I}{6}, nous avons dû supposer la partie +réelle de la variable~$x$ positive, et, en effet, il est aisé de voir que +l'axe imaginaire constitue une \textit{coupure} pour l'intégrale~$J(x)$, de +sorte que celle-ci représente des fonctions analytiques distinctes à +droite et à gauche de cet axe\footnotemark. Pour mieux fixer, nous conviendrons +de désigner ces fonctions respectivement par~$J_{+}(x)$ +et~$J_{-}(x)$. +\footnotetext{\textit{Cf}.~deux Mémoires de Hermite insérés dans les Tomes 91 et~92 du \textit{Journal +de Crelle}. La notion de coupure était d'ailleurs familière à Cauchy, qui en avait +rencontré des exemples dès ses premières recherches sur les intégrales définies. +\textit{Voir}, par exemple, \textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~VI, 1826, p.~271, où Cauchy démontre que +l'intégrale +\[ +\int^{\pi}_{-\pi}\frac{f(\Pow{e}{ip})\, dp}{1 - s\,\Pow{e}{-ip}} +\] +est égale à ~$2\pi\,f(s)$ ou à ~$0$, suivant que $\Abs{s}<1$ ou~$\Abs{s}>1$. On trouve des +réflexions générales relatives à ce sujet dans le \textit{Mémoire sur les fonctions +continues} (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~VIII, 1844, p.~145--160) et dans le \textit{Mémoire sur +diverses propriétés remarquables et très générales des fonctions continues} +(\textit{Ibid}.,\ t.~IX, 1845, p.~32--53).} +% [** End of footnote] + +%% -----File: 103.png---Folio 91------- + +Cherchons la différence des valeurs que prennent ces deux fonctions +en un point~$x'$ situé sur l'axe imaginaire positif. L'expression +\[ +\varphi(t,x) \equiv \frac{1}{\pi}\, \frac{x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}} + \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right), +\] +sur laquelle porte l'intégrale~$J(x)$, admet les points~$t=\pm ix$ +comme pôles du premier ordre. Lorsque la différence~$x-x'$ tend +vers \textit{zéro}, sa partie réelle restant positive, le pôle~$t=-ix$ viendra, +du côté inférieur de l'axe réel, se confondre avec le point~$-ix'$ de +cet axe, de sorte que l'intégrale~$J(x)$ n'aura plus de sens. Mais, +pour remédier à cet inconvénient, il suffit de déformer le chemin +d'intégration dans~$J(x)$ de manière à éviter le point singulier en +question; par exemple, en remplaçant un petit segment~$ac$ de l'axe +réel, renfermant le point~$-ix'$, par un demi-cercle~$ab_1c$ tournant +la convexité vers le haut, comme l'indique la figure ci-dessous. La +% [** PP: Moved Figure 3 to end of paragraph] +valeur que prend la fonction~$J_{+}(x)$ au point~$x'$ sera alors représentée +par l'intégrale $\dint \varphi(t,x')\,dt$ prise suivant le chemin~$0\,ab_1\,c\,\infty$ +et, par un raisonnement analogue, on montre que la valeur~$J_{-}(x')$ +est égale à cette même intégrale étendue au chemin symétrique~$0\,ab_2\,c\infty$. +Donc la différence $J_{+}(x') - J_{-}(x')$ s'exprime par +l'intégrale $\dint\varphi(t,x')\,dt$ prise le long du contour fermé~$ab_1\,cb_2\,a$, +intégrale qui est égale au produit de~$-2\pi i$ par le résidu de~$\varphi(t,x')$ +relatif au pôle~$t=-ix'$, c'est-à -dire à $-\log(1 - \Pow{e}{2\pi ix'})$. + +%[Illustration: Fig. 3.] +\Figure{3}{103} + +On aura donc, pour tout point de l'axe imaginaire positif, +\[ +J_{+}(x) = J_{-}(x) - \log(1 - \Pow{e}{2\pi ix}), +\] +et il en résulte, d'après le principe établi au \no\Sref{9}, que l'expression +$J(x) - \log(1 - \Pow{e}{2\pi ix})$ fournit le prolongement analytique de la +fonction~$J_{+}(x)$ au delà de cette droite. On démontre de même que +le prolongement de~$ J_{+}(x)$ au delà de la partie négative de l'axe +%% -----File: 104.png---Folio 92------- +imaginaire est donné par l'expression~$J(x) - \log(1 - \Pow{e}{-2\pi ix})$ et, en +fin de compte, nous arrivons donc à cette conclusion que, \textit{dans le +cas où la partie réelle de la variable~$x$ est négative, la formule~\Eref{IV}{I}{6} +doit être remplacée par la suivante:} +\[ +\log\Gamma(x) = \log\sqrt{2\pi} + + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x) + - \log(1 - \Pow{e}{\pm 2\pi ix}), +\EqnTag{IV}{I}{10} +\] +\textit{où l'on doit choisir, dans le dernier terme, le signe $+$~ou le +signe~$-$, suivant que le point~$x$ se trouve au-dessus ou au-dessous +de l'axe réel}\footnote{% +On suppose l'argument de la variable~$x$ compris entre les limites $-\pi$ et~$\pi$.}. +% [** End of footnote] + +Mais il existe une autre méthode beaucoup plus directe pour +effectuer le prolongement de la fonction~$ J_{+}(x)$. En effet, il suffit +d'appliquer à l'intégrale~$J(x)$ le procédé bien connu qui consiste +à faire tourner d'un angle convenable la droite qui sert de chemin +d'intégration\footnotemark, procédé dont nous aurons encore à faire un +usage étendu au dernier Chapitre de cet ouvrage. +\footnotetext{Il semble que M.~Mellin soit le premier qui ait appliqué cette idée à l'intégrale~$J(x)$ +(\textit{Acta Societatis Scientiarum Fennicæ}, t.~XXXI, \no2, 1902, p.~45).} +% [** End of footnote] + +Désignons par~$J_{\psi}(x)$ l'intégrale $\dint\varphi(t,x)\,dt$, prise de~$0$ à ~$\infty$ le +long du rayon~$D_\psi$ qui forme l'angle~$\psi$ avec l'axe réel positif, et +supposons d'ailleurs $-\smfrac{\pi}{2} < \psi<\smfrac{\pi}{2}$. Lorsque le point~$t$ décrit le +rayon~$D_\psi$ les deux seuls points singuliers~$\pm it$ de l'expression~$\varphi(t,x)$, +considérée comme fonction de~$x$, resteront sur la droite +perpendiculaire à ~$D_\psi$ et passant par l'origine. Dans chacun des +demi-plans situés de part et d'autre de cette droite, $J_\psi(x)$~représentera +évidemment une fonction continue de~$x$ admettant une +dérivée continue, donc une fonction analytique holomorphe. Nous +% [** PP: Removed en-dash (?) in désormais-par] +entendrons désormais par $J_\psi(x)$ celle de ces fonctions qui est +définie dans le demi-plan renfermant l'axe réel positif, de sorte +que, si l'on pose $x=r\,\Pow{e}{i\theta}$, l'angle~$\theta$ restera compris entre les limites +\[ +\psi - \smfrac{\pi}{2} < \theta < \psi + \smfrac{\pi}{2}. +\EqnTag{IV}{I}{11} +\] + +Cela posé, je dis que~$J_\psi(x)$ \textit{donne le prolongement analytique +de~$J_{+}(x)$ dans le domaine~\Eref{IV}{I}{11}}. Il suffit de faire voir que les +%% -----File: 105.png---Folio 93------- +deux fonctions prennent les mêmes valeurs sur l'axe réel positif. +$A$~cet effet, je trace de l'origine comme centre deux arcs de cercles, +l'un~$ab$ de rayon~$\eps$, l'autre~$AB$ de rayon~$R$, et tous les deux compris +entre l'axe réel positif et le rayon~$D_\psi$ comme l'indique la figure~4. + +La variable~$x$ ayant une valeur positive quelconque, l'intégrale +$\dint\varphi(t,x)\,dt$, étendue au contour du quadrilatère mixtiligne~$aABba$, +se réduira évidemment à \textit{zéro} puisque $\varphi(t,x)$ est +holomorphe dans tout ce domaine, quels que soient d'ailleurs $\eps$ et~$R$. + +%[Illustration: Fig. 4.] +\Figure{4}{105} +\Pagelabel{page93} + +Je fais maintenant tendre~$\eps$ vers \textit{zéro} et~$R$ vers l'infini. Le produit~$t\varphi(t,x)$ +tendant uniformément vers \textit{zéro} sur chacun des +arcs $ab$ et~$AB$, les intégrales relatives à ces arcs s'évanouiront à la +limite. Donc l'intégrale $\dint\varphi(t,x)\,dt$, prise le long de l'axe réel +positif, aura la même valeur que si l'on prend pour chemin d'intégration +le rayon~$D_\psi$, c'est-à -dire qu'on aura $J_{+}(x) = J_\psi(x)$ pour +toute valeur positive de~$x$. \hfill\textbf{\scshape\scriptsize C.~Q.~F.~D.\qquad} + +\Paragraph{45.} Après cette digression, qui nous a fourni l'occasion de rappeler +deux méthodes générales d'un fréquent usage dans la théorie +des fonctions, nous reviendrons à l'expression~\Eref{IV}{I}{1} et nous lui +appliquerons la formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)} de la \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, en y faisant~$m = 0$, +$\alpha = -\xi$ ($0 < \xi < 1$). Nous trouvons ainsi, en remplaçant encore~$x$ +par~$x + \xi$, et en supposant la partie réelle de la variable~$x$ positive, +\[ +\Pow{D}{(2)}_x \log\Gamma(x+\xi) + = \frac{1}{x} + + \int^{\infty}_0 \frac{2(\Pow{x}{2} + - \Pow{t}{2})}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, X(\xi,t)\, dt + + \int^{\infty}_0 \frac{4xt}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, + \Psi(\xi,t)\, dt. +\] + +En intégrant, on en déduit +\[ +D_x \log\Gamma(x+\xi) + = \log x - \int^{\infty}_0 \frac{2x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, X(\xi,t)\, dt + - \int^{\infty}_0 \frac{2xt}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, \Psi(\xi,t)\, dt. +\] +En effet, la constante d'intégration est nulle, car le second +%% -----File: 106.png---Folio 94------- +membre peut s'écrire $\log x + \eps(x)$, et l'expression asymptotique +du premier membre, d'après~\Eref{IV}{I}{7}, est précisément de cette forme. + +Avant d'effectuer la seconde intégration, nous allons transformer +les intégrales en nous servant des relations\footnotemark. +\footnotetext{On obtient immédiatement ces relations en observant que le quotient~\Eref{III}{I}{10} +de la \Pgref{page}{eqn:III.I.10} est la dérivée de l'expression $-\smfrac{1}{2\pi i}\log(\Pow{e}{2\pi iz} - 1)$, laquelle, en faisant +$z = \tau + it$, peut se mettre sous la forme $i[\,\overline{\Psi}(\tau,t) + i\overline{X}(\tau,t)]$} +% [** End of footnote] +\[ +\Psi(\tau,t) = D_t \overline{\Psi}(\tau,t),\qquad +X(\tau,t) = D_t \overline{X}(\tau,t), +\EqnTag{IV}{I}{12} +\] +où +\begin{align*} + \overline{\Psi}(\tau,t) + &= \smfrac{1}{4\pi} \log(1 - 2\Pow{e}{-2\pi t}\, \cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-4\pi t}), \\ + \overline{X}(\tau,t) + &= -\smfrac{1}{2\pi} \arc\tang\left( + \frac{\sin 2\pi\tau}{\Pow{e}{2\pi t} - \cos 2\pi\tau} + \right). +\end{align*} +En intégrant par parties et en observant que +\[ +\overline{\Psi}(\tau,\infty) = 0,\qquad +\overline{X}(\tau,\infty) = 0,\qquad +\overline{X}(\tau,0) = \smfrac{1}{2}\left(\tau - \smfrac{1}{2}\right), +\] +on trouve que~$D_x\log\Gamma(x+\xi)$ peut se mettre sous la forme +\[ +\log x + \frac{\xi-\smfrac{1}{2}}{x} + - \int^{\infty}_0 \frac{4xt}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, \overline{X}(\xi,t)\, dt + + \int^{\infty}_0 \frac{2(\Pow{x}{2} - \Pow{t}{2})} + {\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, + \overline{\Psi}(\xi,t)\, dt. +\] + +Effectuant une nouvelle intégration, on aura maintenant +\[ +\log\Gamma(x+\xi) = \log\sqrt{2\pi} + + \left(x + \xi - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x,\xi), +\EqnTag{IV}{I}{13} +\] +avec +\[ +J(x,\xi) = \int^{\infty}_0 \frac{2t}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, + \overline{X}(\xi,t)\, dt + - \int^{\infty}_0 \frac{2x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, + \overline{\Psi}(\xi,t)\, dt. +\EqnTag{IV}{I}{14} +\] + +La valeur~$\log\sqrt{2\pi}$ de la constante d'intégration s'obtient par +comparaison avec la formule asymptotique~\Eref{IV}{I}{9}, en observant +que~$J(x, \xi)$ s'annule pour $x = \infty$. L'expression~\Eref{IV}{I}{13} est due à +M.~Landsberg, qui l'a trouvée par une autre voie\footnotemark. +\Pagelabel{page94}% +\footnotetext{\textit{Sur un nouveau développement de la fonction gamma (Mém.\ cour.\ et +autres Mém.\ publiés par l'Académie de Belgique}, t.~LV, 1897).} +% [** End of footnote] + +%% -----File: 107.png---Folio 95------- + +\Paragraph{46.} Appliquons maintenant la formule~\Eref{III}{III}{8}, \Pgref{page}{eqn:III.III.8}, avec $m = 0$, +$\alpha=-\xi$ ($0<\xi<1$), remplaçons $x$ par~$x + \xi$ et faisons tendre~$n$ +vers l'infini. En observant que $\overline{\varphi}_1(-\xi)=\smfrac{1}{2}-\xi$, on trouve +\[ +\Pow{D}{(2)}_x \log\Gamma(x+\xi) + = \smfrac{1}{x} - \frac{\xi - \fnfrac{1}{2}}{\Pow{x}{2}} + - 2 \int^{\infty}_{-\xi} + \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}{\Pow{(x + \xi + \tau)}{3}}, +\EqnTag{IV}{I}{15} +\] +puis, en intégrant et déterminant la constante comme plus haut, +\[ +D_x\log\Gamma(x+\xi) + = \log x + \frac{\xi - \fnfrac{1}{2}}{\Pow{x}{2}} + + \int^{\infty}_{-\xi} + \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}{\Pow{(x + \xi + \tau)}{2}} +\EqnTag{IV}{I}{16} +\] + +Je dis que le dernier terme est la dérivée de l'expression +\[ +-\int^{\infty}_{-\xi} \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau} + {x + \xi + \tau}. +\EqnTag{IV}{I}{17} +\] +On le vérifie immédiatement, en admettant que cette expression +ait un sens. Or il en est bien ainsi, car l'égalité $\varphi(\tau) = \tau - \nu - \smfrac{1}{2}$, +qui a lieu pour $\nu < \tau < \nu + 1$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{page35}), nous donne +\[ +-\int^{\nu+1}_{\nu} \frac{\overline{\varphi}_1 (\tau)}{x + \tau}\, d\tau + = \left(x + \nu + \smfrac{1}{2}\right) + \log\left(1 + \smfrac{1}{x + \nu}\right) - 1, +\EqnTag{IV}{I}{18} +\] +et le développement du second membre suivant les puissances +descendantes de~$x + \nu$ commence par un terme en~$\Pow{(x + \nu)}{-2}$. On +en conclut encore que l'expression~\Eref{IV}{I}{17} s'annule pour~$x = \infty$. + +On trouve dès lors, en intégrant l'égalité~\Eref{IV}{I}{16} et en tenant compte +de la formule asymptotique~\Eref{IV}{I}{9}, +\[ +\log\Gamma(x+\xi) + = \log\sqrt{2\pi} + \left(x+\xi-\smfrac{1}{2}\right)\log x - x + - \int^{\infty}_{-\xi} \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}{x+\xi+\tau}, +\EqnTag{IV}{I}{19} +\] +et, en se reportant à l'égalité~\Eref{IV}{I}{13} ci-dessus, on en conclut que +l'intégrale~\Eref{IV}{I}{17} fournit une nouvelle expression de~$J(x,\xi)$. + +Il résulte des remarques faites \Pgref{page}{page83} que l'égalité~\Eref{IV}{I}{15} a lieu +pour toute valeur~$x$ telle que la fonction~\Eref{IV}{I}{2} et sa dérivée première, +après qu'on y aura remplacé~$x$ par~$x + \xi$, soient finies et +continues pour les valeurs réelles de~$z$ supérieures ou égales à ~$-\xi$. +Donc cette égalité est vérifiée dans tout le plan, excepté l'axe réel +%% -----File: 108.png---Folio 96------- +négatif, et, d'après le raisonnement qui précède, il en sera de même +des égalités \Eref{IV}{I}{16} et~\Eref{IV}{I}{19}\footnotemark. +\footnotetext{L'expression~$J(x,\xi)$ est susceptible d'autres formes, que nous indiquerons +en quelques mots. En remplaçant, dans~\Eref{IV}{I}{17}, $\overline{\varphi}_1(\tau)$~par la série~\Eref{II}{II}{14} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.14}) +% [** PP: Removed spurious period after parenthesis] +on en déduit, par un raisonnement qui demande d'ailleurs quelque précaution, +\[ +J(x,\xi) = \sum^{\infty}_1 \int^{\infty}_{-\xi} + \frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}\, \frac{d\tau}{x+\xi+\tau}, +\] +développement qui converge uniformément dans toute aire finie n'ayant aucun +point commun avec l'axe réel négatif. + +En remplaçant dans ce développement $\sin 2\nu\pi\tau$~par des exponentielles et en +utilisant la notation +\[ +\text{Ei}(z) = \int^{z}_{\infty} \frac{\Pow{e}{-z}}{z}\, dz, +\] +on arrive, après des réductions faciles, à cette nouvelle expression +\[ +J(x,\xi) = \lim_{n=\infty} \sum^{+n}_{-n} + \Pow{e}{2\nu\pi i(x+\xi)}\, \frac{\text{Ei}(2\nu\pi ix)}{2\nu\pi i}\qquad + (\nu \neq 0), +\] +qui a été donnée par M.~Landsberg dans le Mémoire cité \Pgref{page}{page94}.} +% [** End of footnote] + +Pour $\xi = 0$, l'égalité~\Eref{IV}{I}{19} nous rend la formule~\Eref{IV}{I}{6} avec cette +nouvelle expression de~$J(x)$: +\[ +J(x) = -\int^{\infty}_0 \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)}{x+\tau}\, d\tau, +\EqnTag{IV}{I}{20} +\] +dont s'est servi Stieltjes dans ses recherches sur la formule de Stirling +(\textit{voir} le Mémoire cité \Pgref{page}{page88}). + +L'égalité~\Eref{IV}{I}{18} nous permet encore d'écrire +\[ +J(x) = \sum^{\infty}_0 \left[\left(x + \nu + \smfrac{1}{2}\right)\, + \log\frac{x + \nu + 1}{x - \nu} - 1\right], +\] +expression due à Gudermann et qui donne le prolongement analytique +dans tout le plan de la fonction~$J_{+}(x)$. + + +\Section{IV}{II}{Développements asymptotiques de~$\log\Gamma(x)$.} + +\Paragraph{47.} Le célèbre développement asymptotique qui sert à +calculer~$\log\Gamma(x)$ pour les grandes valeurs de~$x$, et qu'on appelle +%% -----File: 109.png---Folio 97------- +généralement, par extension, \textit{série de Stirling}, se déduit de la formule~\Eref{IV}{I}{6} +en y développant l'intégrale~$J(x)$ suivant les puissances descendantes +de~$x$. + +En se servant de l'expression~\hyperref[eqn:IV.I.4pr]{($4'$)} et de l'égalité~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, on +trouve +\[ +J(x) = \frac{B_1}{1\cdot 2}\, \frac{1}{x} + - \frac{B_2}{3\cdot 4}\, \frac{1}{\Pow{x}{3}} + \dotsb + + \Pow{(-1)}{k-1}\frac{B_k}{(2k-1)2k}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k-1}} + J_k(x), +\EqnTag{IV}{II}{1} +\] +avec +\[ +J_k(x) = \frac{\Pow{(-1)}{k}}{\Pow{x}{2k+1}}\, \frac{1}{\pi} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k}}{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}}\, + \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right)\, dt. +\EqnTag{IV}{II}{2} +\] + +On arrive au même développement en intégrant par parties +l'expression~\Eref{IV}{I}{20}, par des calculs parfaitement analogues à ceux +de la \Pgref{page}{eqn:III.III.10}, % [** ``page 81''] +mais le reste~$J_k(x)$ se présente alors sous la forme +\[ +J_k(x) = -\frac{1}{(2k+2)} + \int^{\infty}_0 \frac{\overline{P}_{2k+2}(\tau)}{\Pow{(x+\tau)}{2k+2}}\, d\tau. +\EqnTag{IV}{II}{3} +\] + +Développons maintenant le reste~$J(x,\xi)$ de la formule~\Eref{IV}{I}{13} suivant +les puissances descendantes de~$x$, et, à cet effet, utilisons +d'abord l'expression~\Eref{IV}{I}{14}. En observant que les égalités~\Eref{III}{II}{6} (\Pgref{p.}{eqn:III.II.6}), +en vertu des relations~\Eref{IV}{I}{12} (\Pgref{p.}{eqn:IV.I.12}), peuvent s'écrire +\begin{align*} + \varphi_{2k}(x) + &= \Pow{(-1)}{k}\, (2k-1)2k \int^{\infty}_0 2\Pow{t}{2k-2}\, \overline{\Psi}(x,t)\, dt, \\[1ex] + \varphi_{2k+1}(x) + &= \Pow{(-1)}{k}\, 2k(2k+1) \int^{\infty}_0 2\Pow{t}{2k-1}\, \overline{X}(x,t)\, dt, +\end{align*} +on trouve immédiatement +\[ +J(x,\xi) + = \frac{\varphi_2(\xi)}{1\cdot 2}\, \frac{1}{x} + - \frac{\varphi_3(\xi)}{2\cdot 3}\, \frac{1}{\Pow{x}{2}} + \dotsb + + \frac{\varphi_{2k}(\xi)}{(2k-1)2k}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k-1}} + J_k(x,\xi) +\EqnTag{IV}{II}{4} +\] +avec +\[ +J_k(x,\xi) + = \frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\Pow{x}{2k-1}} \int^{\infty}_0 + \frac{2\Pow{t}{2k}}{\Pow{x}{2} + + \Pow{t}{2}}\, \overline{\Psi}(\xi,t)\, dt + + \frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\Pow{x}{2k-2}} \int^{\infty}_0 + \frac{2\Pow{t}{2k-1}}{\Pow{x}{2} + + \Pow{t}{2}}\, \overline{X}(\xi,t)\, dt. +\] + +En intégrant par parties l'expression~\Eref{IV}{I}{17} (\textit{voir} le \no\Sref{41}) on +retrouve le développement~\Eref{IV}{II}{4} avec cette nouvelle expression du +reste: +\[ +J_k(x,\xi) = - \frac{1}{2k} \int^{\infty}_{-\xi} + \frac{\overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, d\tau}{\Pow{(x + \xi + \tau)}{2k}}. +\] + +%% -----File: 110.png---Folio 98------- + +Le développement de~$J(x,\xi)$ a été donné par Hermite et Sonin\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Journal de Crelle}, Tomes 115 et~116.} + +Pour $\xi =\frac{1}{2}$, on déduit de la formule~\Eref{IV}{I}{13}, en y remplaçant +$J(x,\xi)$~par le développement~\Eref{IV}{II}{4} et en tenant compte des +égalités~\Eref{II}{II}{17} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.17}), +\[ +\log\Gamma\left(x + \smfrac{1}{2}\right) + = \log\sqrt{2\pi} + x\log x - x + + \sum^k_1 \Pow{(-1)}{\nu} \frac{B'_\nu}{(2\nu-1)2\nu}\, + \frac{1}{\Pow{x}{2\nu-1}} + R_k, +\] +avec +\[ +R_k = \frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\pi}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k-1}} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k}}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, \log(1 + \Pow{e}{-2\pi t})\, dt, +\] +ou encore +\[ +R_k = -\frac{1}{2k}\int^{\infty}_{-\fnfrac{1}{2}}\; + \frac{\overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, d\tau} + {\Pow{\Bigl(x + \smfrac{1}{2} + \tau\Bigr)}{2k}}. +\] +Ce développement est dû à Gauss, à l'expression du reste près. + + +\Paragraph{48.} Proposons-nous maintenant d'évaluer une limite supérieure +du reste $J_k(x)$ de la série de Stirling et, à cet effet, partons d'abord +de l'expression~\Eref{IV}{II}{3}. Pour abréger, nous désignerons par~$T_\nu$ le terme +général de la série en question: +\[ +T_\nu = \Pow{(-1)}{\nu-1}\, \frac{B_\nu}{(2\nu-1)2\nu}\, \frac{1}{\Pow{x}{2\nu-1}}, +\] +de sorte que le terme qui précède immédiatement~$J_k(x)$ s'écrit~$T_k$. + +Supposons d'abord~$x$ \textit{réel et positif}. Comme l'expression~$\overline{P}_{2k+2}(\tau)$ +a le signe de $\Pow{(-1)}{k+1}$ (\textit{cf}.~\Pgref{p.}{page36}), on voit que~$J_k(x)$ \textit{est +de même signe que le terme}~$T_{k+1}$, et comme d'ailleurs +\[ +J_k (x) = T_{k+1} + J_{k+1}(x), +\] +et que $J_{k+1}(x)$ et~$T_{k+1}$ sont de signes contraires, on en conclut +que~$J_k(x)$ \textit{est numériquement inférieur à }~$T_{k+1}$. + +Soit maintenant~$x = r\,\Pow{e}{i\theta}$, l'argument~$\theta$ étant compris entre $-\pi$ +%% -----File: 111.png---Folio 99------- +et~$\pi$. On aura +\[ +\Pow{\Abs{x+\tau}}{2} = \Pow{r}{2} + 2r\tau\,\cos\theta + \Pow{\tau}{2} + = \Pow{(r + \tau)}{2} - 4r\tau\, \Pow{\sin}{2}\smfrac{\theta}{2}, +\] +et, par suite, pour~$\tau>0$, en remarquant que $4r\tau\leqq\Pow{(r+\tau)}{2}$, +\[ +\Pow{\Abs{x+\tau}}{2}\geqq \Pow{(r+\tau)}{2}\, \Pow{\cos}{2}\smfrac{\theta}{2}. +\] + +Il en résulte, d'après~\Eref{IV}{II}{3}, que le module de~$J_k(x)$ est inférieur à +\[ +\frac{\Pow{\left( \fsec\smfrac{\theta}{2} \right)}{2k+2}}{2k+2} + \int^{\infty}_0 \frac{\Abs{\overline{P}_{2k+2}(\tau)}} + {\Pow{(r+\tau)}{2k+2}}\, d\tau + \equiv \Pow{\left(\fsec\smfrac{\theta}{2}\right)}{2k+2}\, \Abs{J_k(r)}, +\] +et, en tenant compte du résultat démontré ci-dessus, on trouve +donc finalement l'inégalité due à Stieltjes: +\[ +\Abs{J_k(r\, \Pow{e}{i\theta})} + < \Pow{\left(\fsec\smfrac{\theta}{2}\right)}{2k+2}\, \Abs{T_{k+1}}\qquad + (-\pi < \theta < \pi). +\EqnTag{IV}{II}{5} +\] + +On peut atteindre des résultats plus précis en partant de l'expression~\Eref{IV}{II}{2}, +ce que nous ferons voir aussi brièvement que possible. + +Lorsque $t$~croît de~$0$ à ~$\infty$, le point dont l'affixe est~$1+\smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}$, partant +du point~$1$, décrit une droite formant l'angle~$-2\theta$ avec l'axe +réel positif. On en conclut +% [** PP: Re-aligned first part of next display] +\[ +\begin{aligned} + \Abs{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}} &\geqq 1\phantom{\sin2\theta}\qquad\text{pour} \\[1ex] + \Abs{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}} &\geqq \Abs{\sin 2\theta}\qquad\text{pour} +\end{aligned} +\qquad +\begin{aligned} + \Abs{\theta} &\leqq \smfrac{\pi}{4},\vphantom{\bigg|} \\[1ex] + \smfrac{\pi}{4} \leqq \Abs{\theta} &< \smfrac{\pi}{2},\vphantom{\bigg|} +\end{aligned} +\] +et par suite, en utilisant l'égalité~\Eref{III}{II}{5} (\Pgref{p.}{eqn:III.II.5}), +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + &\Abs{J_k(r\,\Pow{e}{i\theta})} < \Abs{T_{k+1}}\; + \qquad\text{pour} \\[1ex] + &\Abs{J_k(r\,\Pow{e}{i\theta})} < \Abs{\smfrac{T_{k+1}}{\sin 2\theta}} + \qquad\text{pour} +\end{aligned} +\qquad +\begin{aligned} + \Abs{\theta} &\leqq \smfrac{\pi}{4}, \\[1ex] + \smfrac{\pi}{4} \leqq \Abs{\theta} &< \smfrac{\pi}{2}. +\end{aligned} +\right. +\EqnTag{IV}{II}{6} +\] + +Pour trouver une limite de~$J_k(x)$ dans le cas où $\Abs{\theta} \geqq \smfrac{\pi}{2}$, nous allons +nous servir de l'égalité +\[ +J'_k(x) = 2\frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\Pow{x}{2k+2}} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k+1}}{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}}\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\EqnTag{IV}{II}{7} +\] +%% -----File: 112.png---Folio 100------- +qu'on vérifie immédiatement en développant suivant les puissances +descendantes de~$x$ l'expression de la dérivée~$J'(x)$ qui figure dans +la dernière formule de la \Pgref{page}{page87}. En prenant pour chemin d'intégration, +dans l'intégrale ci-dessus, le rayon formant avec l'axe +réel positif un angle~$\psi$ compris entre $-\smfrac{\pi}{2}$ et~$\smfrac{\pi}{2}$, cette égalité sera +valable dans le demi-plan $\psi - \smfrac{\pi}{2} < \theta < \psi + \smfrac{\pi}{2}$, ce qu'on démontre +en raisonnant comme à la \Pgref{page}{page93}. + +Or, en faisant~$t = u\,\Pow{e}{i\psi}$, $x=r\,\Pow{e}{i\theta}$, on aura, pour~$u >0$, +\begin{align*} + \Abs{\Pow{e}{2\pi t} - 1} + &\geqq \Pow{e}{2\pi u\, \cos\psi} - 1, \\ + \Abs{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}} + &\geqq \Abs{\sin 2(\theta-\psi)}. +\end{align*} +d'où il résulte, d'après~\Eref{IV}{II}{7}, +\[ +\Abs{J'_k(x)} < \Abs{\frac{2}{\sin2(\theta-\psi)}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k+2}}} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{u}{2k+1}\, du}{\Pow{e}{2\pi u\, \cos\psi} - 1}. +\] + +En substituant $u\cos\psi =\nu$, on en déduit, d'après l'égalité~\Eref{III}{II}{5} +(\Pgref{p.}{eqn:III.II.5}), +\[ +\Abs{J'_k(x)} < K\, \frac{B_{k+1}}{2k+2}\,\Abs{\frac{1}{\Pow{x}{2k+2}}}, +\] +avec +\[ +K = \Abs{\frac{1}{\sin 2(\theta -\psi)\, \Pow{(\cos\psi)}{2k+2}}}, +\] +et, par suite, en intégrant~$J'_k(x)$ depuis l'infini jusqu'au point~$x$, le +long du rayon vecteur passant par ce point, +\[ +\Abs{J_k(r\,\Pow{e}{i\theta})} < K\, \Abs{T_{k+1}}, +\EqnTag{IV}{II}{8} +\] +résultat qui subsiste dès que les conditions $\Abs{\psi} < \smfrac{\pi}{2}$ et~$\Abs{\theta -\psi} < \smfrac{\pi}{2}$ +sont vérifiées simultanément. + +Si l'on fait, par exemple, $\psi = \theta \mp\smfrac{\pi}{4}$ suivant que~$\theta \gtrless 0$, on aura +\[ +K = \Pow{\Bigl[\fsec \bigl(\Abs{\theta} - \smfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr]}{2k+2}, +\] +et l'inégalité~\Eref{IV}{II}{8} sera valable pour $\Abs{\theta} < \smfrac{3}{4}\pi$. Jointe à la première +des inégalités~\Eref{IV}{II}{6}, elle nous donnera donc, pour~$\Abs{J_k}$, une limite +%% -----File: 113.png---Folio 101------- +qui est plus précise que celle de Stieltjes tant que $\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$, et qui +se confond avec cette dernière pour~$\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$. + +Mais afin d'obtenir le résultat le plus avantageux, pour un argument +donné~$\theta$, on devra évidemment choisir l'angle~$\psi$ de manière +à rendre minimum la constante $K$, ce qui donne la condition +\[ +\tang\psi\, \tang 2(\theta - \psi) = -\smfrac{1}{k+1}. +\] + +Soit, par exemple, $\Abs{\theta} = \smfrac{\pi}{2}$; on trouve +\[ +\Abs{\tang\psi} = \smfrac{1}{\sqrt{2k+3}}, +\] +d'où il résulte +\[ +K = \sqrt{\smfrac{k+2}{2}} + \Powfr{\left(1 + \smfrac{1}{2k+3}\right)}{\fnfrac{2k+3}{2}}, +\] +et, comme le second facteur de cette expression est inférieur à ~$\sqrt{e}$, +on aura, pour~$\theta = \pm\smfrac{\pi}{2}$, +\[ +\Abs{J_k(x)} < \sqrt{\smfrac{(k+2)e}{2}}\, \Abs{T_{k+1}}, +\] +limite bien plus précise que celle de Stieltjes, qui s'écrit~$\Pow{2}{k+1}\Abs{T_{k+1}}$. + +La limite que fournit notre méthode pour~$\Abs{J_k}$ devient moins +précise que celle de Stieltjes lorsque~$\Abs{\theta}$ dépasse une certaine +valeur, supérieure à ~$\smfrac{\pi}{2}$. Mais il faut remarquer que, dès que +$\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$, l'égalité~\Eref{IV}{I}{10} (\Pgref{p.}{eqn:IV.I.10}) conduira, en général, à des résultats +plus précis que l'une quelconque de ces méthodes. En effet, l'intégrale~$J(x)$ +sera toujours représentée par le développement~\Eref{IV}{II}{1}, et, +comme~$J_k(x) \equiv -J_k(-x)$ et que l'argument de~$-x$ est compris +entre $-\smfrac{\pi}{2}$ et~$\smfrac{\pi}{2}$, on pourra appliquer à ~$J_k(x)$ les résultats obtenus +ci-dessus dans le cas où $\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$. Quant au dernier terme de +l'égalité~\Eref{IV}{I}{10}, son module est inférieur à +\[ +\Abs{\log(1 - \Pow{e}{-2\pi r\, \Abs{\sin\theta}})}, +\] +quantité qui sera en général très petite par rapport à la limite +%% -----File: 114.png---Folio 102------- +qu'on trouve pour~$\Abs{J_k}$. Il n'en serait plus ainsi si le point~$x$ était +très près de l'axe réel négatif, mais alors on prendrait évidemment +le parti de calculer la valeur exacte du terme en question. + + +\Section{IV}{III}{Les fonctions $\zeta(s)$ et~$\zeta(s, w)$.} + +\Paragraph{49.} La fonction~$\zeta(s)$ est représentée par la série +\[ +\zeta(s) = 1 + \frac{1}{\Pow{2}{s}} + + \frac{1}{\Pow{3}{s}} + \dotsb + + \frac{1}{\Pow{n}{s}} + \dotsb, +\EqnTag{IV}{III}{1} +\] +tant que la partie réelle de la variable complexe +\[ +s \equiv \xi + i\eta +\] +est supérieure à l'unité. Sous la même condition, on aura encore +\[ +\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{s-1}\, dx}{\Pow{e}{x} - 1}, +\EqnTag{IV}{III}{2} +\] +ce qu'on démontre facilement en se servant de l'égalité +\[ +\frac{1}{\Pow{\nu}{s}} + = \frac{1}{\Gamma(s)} \int^{\infty}_0 \Pow{e}{-\nu x}\, \Pow{x}{s-1}\, dx +\] + +C'est en partant de l'expression~\Eref{IV}{III}{2} que Riemann\footnotemark\ est arrivé, +par une application ingénieuse du calcul des résidus, à prolonger~$\zeta(s)$ +dans tout le plan et à découvrir les propriétés si intéressantes +de cette fonction. Nous allons déduire ces mêmes propriétés des +formules sommatoires du Chapitre précédent. +\footnotetext{\textit{Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze},~1859.} +% [** End of footnote] + +A cet effet, posons $f(z) = \Pow{z}{-s}$, d'où +\begin{align*} + p(\tau,t) &= \phantom{-}\Powfr{(\Pow{\tau}{2} + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \cos\left(s \arc\tang \smfrac{t}{\tau}\right), \\[1ex] + q(\tau,t) &= -\Powfr{(\Pow{\tau}{2} + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin\left(s \arc\tang \smfrac{t}{\tau}\right). +\end{align*} + +Les trois dernières conditions de la \Pgref{page}{page57b} sont vérifiées dans +le demi-plan~$\tau> 0$; en supposant $\xi > 1$, de sorte que la série~\Eref{IV}{III}{1} +%% -----File: 115.png---Folio 103------- +converge, et en faisant~$m = 1$, on trouvera donc, d'après la +formule~\Eref{III}{I}{IV}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IV}, +\[ +\zeta(s) = \frac{1}{2} + \frac{1}{s-1} + + 2\int^{\infty}_0 \Powfr{(1 + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin(s \arc\tang t)\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\EqnTag{IV}{III}{3} +\] +et, d'après la formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, pour~$\alpha = \smfrac{1}{2}$, +\[ +\zeta(s) = \frac{\Pow{2}{s-1}}{s-1} + - 2\int^{\infty}_0 \Powfr{\Bigl(\smfrac{1}{4} + \Pow{t}{2}\Bigr)} + {-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin(s \arc\tang 2t)\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} + 1}. +\EqnTag{IV}{III}{4} +\] + +Une autre expression de~$\zeta(s)$ se déduit de la formule~\Eref{III}{I}{VIII}, +\Pgref{page}{eqn:III.I.VIII}. En faisant $\alpha = \smfrac{1}{2}$, $z=\smfrac{1}{2} + it$, on trouve +\[ +\zeta(s) = \frac{4\pi}{s-1} + \int^{\infty}_0 \Powfr{\Bigl(\smfrac{1}{4} + \Pow{t}{2}\Bigr)} + {\fnfrac{1-s}{2}}\, + \frac{\cos\bigl[(s-1) \arc\tang 2t\bigr]} + {\Pow{(\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t})}{2}}\, dt. +\EqnTag{IV}{III}{5} +\] + +Les trois expressions ci-dessus ont été données pour la première +fois par M.~Jensen\footnotemark. +\footnotetext{\textit{L'Intermédiaire des Mathématiciens}, 1895, p.~346.} + +En partant de la relation +\[ +\left(1 - \smfrac{1}{\Pow{2}{s-1}}\right)\, \zeta(s) + = 1 - \frac{1}{\Pow{2}{s}} + + \frac{1}{\Pow{3}{s}} + - \frac{1}{\Pow{4}{s}} + \dotsb +\] +et en appliquant la formule~\Eref{III}{I}{X}, \Pgref{page}{eqn:III.I.X}, avec~$m = 1$, $\alpha = \smfrac{1}{2}$, on +trouverait encore +\[ +\zeta(s) = \frac{\Pow{2}{s}}{\Pow{2}{s-1} - 1} + \int^{\infty}_0 \Powfr{\Bigl(\smfrac{1}{4} + \Pow{t}{2}\Bigr)} + {-\fnfrac{s}{2}}\, + \frac{\cos(s \arc\tang 2t)}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}\, dt. +\EqnTag{IV}{III}{6} +\] + +Il est facile de voir que les intégrales définies figurant dans les +expressions précédentes représentent des fonctions analytiques, +holomorphes pour toute valeur finie de~$s$; d'après le principe +établi au \no\Sref{9}, on peut en conclure que l'une quelconque de ces +expressions donne le prolongement analytique de~$\zeta(s)$ dans tout +le plan. Il en résulte que~$\zeta(s)$ est une fonction uniforme dont le +seul point singulier à distance finie est le pôle simple $s = 1$ de +résidu~$1$. + +%% -----File: 116.png---Folio 104------- + +D'autre part, on déduit de l'égalité~\Eref{IV}{III}{3}, pour $s = 0$, +\[ +\zeta(0) = -\smfrac{1}{2}, +\] +puis, en retranchant des deux membres~$\smfrac{1}{s-1}$, faisant ensuite +tendre~$s$ vers l'unité, et tenant compte de l'égalité~\Eref{III}{II}{3}, \Pgref{page}{eqn:III.II.3}, +\[ +\lim_{s=1} \left[\zeta(s) - \frac{1}{s-1}\right] = \smfrac{1}{2} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{1 + \Pow{t}{2}}\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} = C, +\] +et enfin, en différentiant par rapport à ~$s$, faisant~$s = 0$ et utilisant +l'égalité~\Eref{III}{II}{2}, \Pgref{page}{eqn:III.II.2}, +\[ +\zeta'(0) = 2\int^{\infty}_0 \arc\tang t\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t}-1} - 1 + = -\log\sqrt{2\pi}. +\] + +\Pagelabel{page104}% +\Paragraph{50.} En appliquant maintenant la formule~\Eref{III}{I}{II}, \Pgref{page}{eqn:III.I.II}, avec~$m = 1$, +$0<\alpha <1$, on obtient +\[ +\zeta(s) = \frac{\Pow{\alpha}{1-s}}{s-1} + + \int^{\alpha + i\infty}_{\alpha} \frac{\Pow{z}{-s}\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} + + \int^{\alpha - i\infty}_{\alpha} \frac{\Pow{z}{-s}\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, +\EqnTag{IV}{III}{7} +\] +expression qui représente encore~$\zeta(s)$ dans tout le plan. + +Faisons tendre~$\alpha$ vers \textit{zéro} et, pour éviter toute difficulté, +supposons $\xi <-1$, de sorte que les expressions sous les signes +intégraux restent finies à l'origine. Le premier terme de l'expression +ci-dessus s'annulera et, dans les deux autres termes, on aura +simplement à remplacer $\alpha$ par~$0$. En substituant respectivement +dans ces derniers termes $z = \Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{2}}t$ et~$z=\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{2}}t$, l'égalité~\Eref{IV}{III}{7} devient, +après une réduction facile, +\[ +\zeta(s) = 2\sin\smfrac{\pi s}{2} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{-s}\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\EqnTag{IV}{III}{8} +\] + +Comme le second membre de cette égalité représente une fonction +holomorphe pour $\xi < 0$, l'égalité subsistera dans toute cette +portion du plan, malgré l'hypothèse plus restreinte, $\xi < -1$, +admise dans le cours de la démonstration. + +L'égalité~\Eref{IV}{III}{8} nous montre que~$\zeta(s)$ admet les points $s=-2,~-4, \dotsc$, $-2n,~\dotsc$ +comme zéros du premier ordre, et, d'après +%% -----File: 117.png---Folio 105------- +l'égalité~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, on en déduit d'autre part +\[ +\zeta[-(2n-1)] = \Pow{(-1)}{n}\, \frac{B_n}{2n}; +\EqnTag{IV}{III}{9} +\] +enfin, en substituant~$2\pi t = x$, l'égalité~\Eref{IV}{III}{8} devient +\[ +\zeta(s) = 2\Pow{(2\pi)}{s-1}\, \sin\frac{\pi s}{2} + \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{-s}\, dx}{\Pow{e}{x} - 1}, +\EqnTag{IV}{III}{10} +\] +d'où il résulte, par comparaison avec l'égalité~\Eref{IV}{III}{2}, +\[ +\zeta(s) = 2\Pow{(2\pi)}{s-1}\, \sin\frac{\pi s}{2}\, \Gamma(1-s)\,\zeta(1-s). +\EqnTag{IV}{III}{11} +\] +C'est l'équation fonctionnelle établie par Riemann, qui joue un +rôle fondamental dans la théorie de la fonction~$\zeta(s)$. + +La formule sommatoire d'Euler et les autres formules établies +aux \nos\Sref{39}--\Sref{41} conduisent également à des résultats importants +relatifs à l'étude asymptotique de la fonction~$\zeta(s)$ et au calcul +numérique de ses zéros, mais nous ne pouvons nous étendre ici +sur cette intéressante question\footnotemark. +\footnotetext{\text{Voir} pour cette question: \bsc{Mellin}, \textit{Eine Formel für den Logarithmus +transcendenter Funktionen von endlichem Geschlecht} (\textit{Acta Soc.\ Sc.\ Fenn.,}\ +t.~XXIX, \no4, p.~48--49); \bsc{Gramm}, \textit{Note sur les zéros de la fonction~$\zeta(s)$ de Riemann} +(\textit{Acta Mathematica}, t.~XXVII); \bsc{Wirtinger}, \textit{Einige Anwendungen der +Euler-Maclaurin'schen Summenformel} (\textit{ibid}.,\ t.~XXVI), et notre Mémoire +cité au \no\Sref{35}.} +% [** End of footnote] + +\Paragraph{51.} Considérons maintenant la fonction +\[ +\zeta(s,w) = \frac{1}{\Pow{w}{s}} + + \frac{1}{\Pow{(w+1)}{s}} + + \frac{1}{\Pow{(w+2)}{s}} + \dotsb, +\] +qui se réduit à ~$\zeta(s)$ pour~$w = 1$. Nous devons substituer dans nos +formules générales +\[ +f(z) = \Pow{(z+w)}{-s}, +\] +d'où +\begin{align*} + p(\tau,t) + &= \phantom{-} + \Powfr{\bigl[\Pow{(\tau + w)}{2} + \Pow{t}{2}\bigr]}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \cos\left(s \arc\tang\smfrac{t}{\tau + w}\right), +\\[1ex] + q(\tau,t) + &= -\Powfr{\bigl[\Pow{(\tau + w)}{2} + \Pow{t}{2}\bigr]}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin\left(s \arc\tang\smfrac{t}{\tau + w}\right). +\end{align*} + +Si l'on suppose la partie réelle de $w$ positive, la formule~\Eref{III}{I}{IV}, +%% -----File: 118.png---Folio 106------- +\Pgref{page}{eqn:III.I.IV}, sera applicable et nous donnera\footnotemark +\footnotetext{Cette application de la formule~\Eref{III}{I}{IV} a été indiquée par Hermite (\textit{Annali +di Matematica pura ed applicata}, 3\ieme{}~série, t.~V, 1900).} +\[ +\zeta(s,w) = \frac{\Pow{w}{1-s}}{s-1} + \frac{\Pow{w}{-s}}{2} + + 2\int^{\infty}_0 \Powfr{(\Pow{w}{2} + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\, + \sin\left(s \arc\tang\smfrac{t}{w}\right)\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +expression valable dans tout le plan et qui montre que~$\zeta(s,w)$ est +une fonction uniforme admettant pour seule singularité à distance +finie le pôle~$s= 1$ de résidu~$1$. On en conclut, d'autre part, +pour~$s=0$, +\[ +\zeta(0,w) = \smfrac{1}{2} - w, +\] +puis, en retranchant~$\smfrac{1}{s-1}$ et en faisant tendre~$s$ vers l'unité, +\[ +\lim_{s=1} \left[\zeta(s,w) - \smfrac{1}{s-1}\right] + = -\log w + \smfrac{1}{2w} + + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{w}{2} + \Pow{t}{2}}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +et enfin, en différentiant par rapport à ~$s$ et faisant ensuite~$s = 0$, +\[ +\zeta'_s(0,w) = \left(w - \smfrac{1}{2}\right) \log w - w + + 2\int^{\infty}_0 \arc\tang\frac{t}{w}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\] + +En vertu des égalités \Eref{IV}{I}{7} et~\Eref{IV}{I}{6}, \Pgref{page}{eqn:IV.I.6}, ces deux dernières +expressions se réduisent respectivement à +\[ +-\frac{\Gamma'(w)}{\Gamma(w)}\qquad\text{et à }\qquad +\log\Gamma(w) - \log\sqrt{2\pi}. +\] + +Ces propriétés de~$\zeta(s, w)$ ont été établies par M.~Lerch en suivant +une autre voie. Pour~$w = 1$, elles se réduisent aux propriétés +de la fonction~$\zeta(s)$ signalées au \no\Sref{49}. + +Appliquons maintenant la formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, avec~$m = 0$, +$-1 < \alpha < 0$, et supposons la partie réelle de~$w$ supérieure à ~$-\alpha$, +de sorte que la fonction~$f(z)$ soit holomorphe pour~$\tau\geqq\alpha$. On aura +\[ +\zeta(s,w) = \frac{\Pow{(w + \alpha)}{1-s}}{s-1} + - 2 \int^{\infty}_0 \bigl[p(\alpha,t)\, X(\alpha,t) + + q(\alpha,t)\, \Psi(\alpha,t)\bigr]\, dt, +\] +expression valable pour toutes les valeurs de~$s$. Lorsque la quantité~$w$ +est réelle et comprise entre $0$ et~$1$, on en déduit, en faisant +%% -----File: 119.png---Folio 107------- +tendre~$\alpha$ vers~$-w$, et en supposant d'ailleurs la partie réelle +de $s$~négative, de sorte que l'expression sous le signe intégral reste +finie pour~$t = 0$, +\[ +\zeta(s,w) = 2\sin\smfrac{\pi s}{2} + \int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\,\Psi(w,t)\, dt + + 2\cos\smfrac{\pi s}{2} \int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\, X(w,t)\, dt. +\] + +On constate aisément que le second membre de cette égalité +définit une fonction holomorphe de~$s$ tant que la partie réelle de +cette variable est inférieure à ~$1$, et que, pour une valeur donnée~$s$ +vérifiant cette condition, la même expression définit une fonction +analytique de~$w$ qui est holomorphe dans la bande comprise entre +l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point~$w=1$. +Donc, d'après le principe établi au \no\Sref{9}, l'égalité en question a +lieu tant que $s$ et~$w$ restent dans les domaines indiqués. + +En égalant~$s$ à un entier négatif,~$-\nu$, on déduit de la formule +précédente, à l'aide des égalités~\Eref{III}{I}{6}, \Pgref{page}{eqn:III.I.6}, +\[ +\zeta(-\nu,w) = -\frac{\varphi_{\nu+1}(w)}{\nu+1}. +\] + +D'autre part, en supposant $0 < w < 1$ et en substituant aux +expressions $\Psi(w, t)$, $X(w, t)$ les développements indiqués dans +la note de la \Pgref{page}{eqn:III.I.6}, on conclut +\[ +\zeta(s,w) = 2\Gamma(1-s) \left[ + \sin\smfrac{\pi s}{2} + \sum^{\infty}_1 \frac{\cos 2\nu\pi w}{\Pow{(2\nu\pi)}{1-s}} ++ \cos\smfrac{\pi s}{2} + \sum^{\infty}_1 \frac{\sin 2\nu\pi w}{\Pow{(2\nu\pi)}{1-s}} +\right], +\] +résultat dû à M.~Hurwitz\footnotemark. En faisant~$w = 1$, on retombe sur la formule~\Eref{IV}{III}{11}. +\footnotetext{\textit{Zeitschrift für Mathematik und Physik}, t.~XXVII, 1882.} + +\bigTbreak + +%% -----File: 120.png---Folio 108------- + + +% [*** Chapter V] +% [** PP: ``A L'ÉTUDE'' -> ``À L'ÉTUDE''] +\cleardoublepage +\Chapter{V}{APPLICATIONS AU PROLONGEMENT ANALYTIQUE \\ +ET À L'ÉTUDE ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS DÉFINIES \\ +PAR UN DÉVELOPPEMENT DE TAYLOR.} +\fancyhead[CO]{\small{\textsc{\MakeLowercase{PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAYLOR.}}}} + +\Section{V}{I}{Deux théorèmes généraux.} + +\Paragraph{52.} Étant donnée une série de Taylor de la forme +\[ +F(x) = \varphi(0) +\varphi(1)x + \dotsb +\varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + \dotsb, +\EqnTag{V}{I}{1} +\] +où~$\varphi$ est une fonction analytique de son argument, on peut se proposer +d'\textit{étudier les propriétés de la fonction~$F(x)$, connaissant +celles de la fonction~$\varphi$}. + +Nous donnerons dans ce Chapitre un exposé succinct de certains +résultats généraux et riches en conséquences relatifs à cette +question, en y ajoutant d'ailleurs quelques applications nouvelles. +Le peu d'espace dont nous disposons nous obligera cependant à +laisser de côté bien des recherches intéressantes, pour lesquelles +nous renverrons aux Mémoires originaux. + +Pour la bibliographie, on consultera le beau petit livre de +M.~\bsc{Hadamard}, \textit{La série de Taylor et son prolongement analytique} +(\textit{Scientia}). Nous nous bornerons à citer ici, comme ayant +un rapport direct au problème qui nous occupe, les remarquables +travaux de M.~\bsc{Mellin}\footnotemark, +\footnotetext{Voici les titres des Mémoires de M.~Mellin ayant rapport au sujet qui nous +occupe: + +\textit{Ueber die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma- und der hypergeometrischen Functionen (Acta Societatis +Scientiarum Fennicæ}, t.~XX, \no12, 1895); + +\textit{Zur Theorie zweier allgemeinen Klassen bestimmter Integrale} (\textit{ibid}.,\ t.~XXII, +\no2, 1896); + +\textit{Ueber eine Verallgemeinerung der Riemann'schen Funktion~$\zeta(s)$} (\textit{ibid}.,\ +t.~XXIV, \no10, 1899); + +\textit{Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen von endlichem +Geschlecht} (\textit{ibid}.,\ t.~XXIX, \no4, 1900). + +\textit{Die Dirichlet'schen Reihen, die Zahlentheoretischen Funktionen und die +unendlichen Produkte von endlichem Geschlecht} (\textit{ibid}.,\ t.~XXXI, \no2, 1902). + +\textit{Voir} aussi \textit{Acta Mathematica}, Tomes XXV et~XXVIII.} +% [** End of footnote, still mid-sentence] +% +le grand Mémoire de M.~\bsc{Le~Roy}, \textit{Sur +les séries divergentes et les fonctions définies par un +%% -----File: 121.png---Folio 109------- +développement de Taylor}\footnotemark, +\footnotetext{\textit{Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse}, 2\ieme{}~série, t.~II, 1900.} +% [** End of footnote] +notre Mémoire cité au \no\Sref{35}, et une +Note récente de M.~\bsc{Walter--B\@. Ford}\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Journal de Mathématiques}, 1903.} + +\Paragraph{53.} Nous commençons par démontrer le théorème suivant, +établi par M. Le~Roy, sous une forme moins générale, mais ayant +une connexion étroite avec les résultats obtenus antérieurement +par M. Mellin: + +\textit{Soit une fonction analytique~$\varphi(z)$ de la variable $z \equiv \tau + it$ +qui vérifie les deux conditions suivantes:} +\smallskip + +\Pagelabel{page109}% +\primo~\textit{$\varphi(z)$~est holomorphe dans un certain demi-plan $\tau\geqq \alpha$}; + +\secundo~\textit{Il existe un nombre~$\vartheta$ inférieur à ~$\pi$ et tel que, $\eps$~désignant +un nombre positif aussi petit qu'on voudra, on ait +\[ +\Abs{\varphi(\alpha + \rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{(\vartheta+\eps)\rho} + \qquad\text{pour}\qquad -\smfrac{\pi}{2} \leqq\psi\leqq \smfrac{\pi}{2}, +\] +dès que~$\rho$ dépassera une certaine limite finie\footnotemark}. +\footnotetext{Il résulte de cette hypothèse que le rayon de convergence de la série~\Eref{V}{I}{1} +est au moins égal à ~$\Pow{e}{-\vartheta}$.} +% [** End of footnote] + +\textit{Dans ces conditions, on peut affirmer que la fonction~$F(x)$ +de la variable~$x \equiv r\,\Pow{e}{i\theta}$ qui est définie par la série~\Eref{V}{I}{1}, est holomorphe +pour tout point~$x$ intérieur à l'angle} +\[ +\vartheta < 0 < 2\pi - \vartheta. +\EqnTag{V}{I}{2} +\] + +\textit{En particulier, si la condition~\emph{\secundo} est remplie pour~$\vartheta=0$, la +fonction~$F(x)$ sera holomorphe dans tout le plan, sauf peut-être +sur le segment $\Segment{1}{+\infty}$ de l'axe réel}. +\smallskip + +Pour démontrer ce théorème, nous pourrions nous servir des +%% -----File: 122.png---Folio 110------- +formules établies au Chapitre~\ref{chapter:III}, mais nous préférons reprendre +la question dès le début par une méthode légèrement modifiée. + +Observons d'abord que, si les conditions ci-dessus sont vérifiées +pour une valeur donnée de~$\alpha$, elles le seront également pour toute +valeur~$\alpha$ supérieure à la première. On peut donc supposer que~$\alpha$ +n'est pas entier et écrire $m-1 < \alpha < m$, $m$~étant un entier. + +Cela posé, le théorème général des résidus nous donne +\[ +\sum^n_m \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} = \int_S \Phi(x,z)\, dz, +\EqnTag{V}{I}{3} +\] +en désignant par~$S$ le contour qui se compose de la moitié~$C_R$ du +cercle $\Abs{z-\alpha} = R \equiv n + \smfrac{1}{2} - \alpha$ comprise dans le demi-plan $\tau >\alpha$ +et du diamètre de~$C_R$, et en posant +\[ +\Phi(x,z) = \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{2}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}. +\] + +Nous allons voir que, pour les valeurs~$x$ situées sur un certain +segment $\Segment{-r_0}{0}$ de l'axe réel négatif, l'intégrale relative au +demi-cercle~$C_R$ s'annule lorsqu'on fait tendre~$n$ et, par suite,~$R$ vers +l'infini. En effet, en posant +\[ +z = \alpha + R\,\Pow{e}{i\psi},\qquad x = r\,\Pow{e}{i\pi} \equiv -r, +\] +on aura +\[ +\Phi(x,z) = \frac{\varphi(\alpha + R\,\Pow{e}{i\psi})} + {\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}\, \Pow{r}{z}. +\] +Or la condition~\secundo donne, à partir d'une certaine valeur de~$R$, +\[ +\Abs{\varphi(\alpha + R\,\Pow{e}{i\psi})\, \Pow{r}{z}} + < \Pow{r}{\alpha} \Powfr{e}{-R\left(\log\fnfrac{1}{r}\cos\psi-\vartheta-\eps\right)}, +\] +et, d'autre part, on aura sur~$C_R$ (\textit{voir} la note de la \Pgref{page}{page32}) +\[ +\Abs{\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}} < k'\qquad\text{pour}\qquad + \Abs{\psi} \leqq \smfrac{\pi}{2}, +\] +et, en désignant par~$\psi_0$ un angle compris entre $0$ et~$\smfrac{\pi}{2}$, +\[ +\Abs{\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}} + < k''\, \Pow{e}{-\pi\, \Abs{\sin\psi} R}\qquad\text{pour}\qquad + \psi_0 \leqq \Abs{\psi} \leqq \smfrac{\pi}{2}, +\] +$k'$ et~$k''$ étant des quantités indépendantes de~$R$. + +%% -----File: 123.png---Folio 111------- + +En somme, lorsque~$r<1$, on aura sur~$C_R$ les inégalités suivantes: +\begin{align*} +&&&& \Abs{\Phi(x,z)} + &< k'\, \Pow{r}{\alpha}\, + \Powfr{e}{-R\left(\log\fnfrac{1}{r}\,\cos\psi_0 - \vartheta - \eps\right)} + && \quad \text{pour} & \Abs{\psi} &\leqq\psi_{0}, &&&& \\[1ex] +&&&& \Abs{\Phi(x,z)} + &< k''\, \Pow{r}{\alpha}\, + \Pow{e}{-R\left(\pi\sin\psi_0 - \vartheta - \eps\right)} + && \quad \text{pour} & \psi_0 \leqq \Abs{\psi} &\leqq \smfrac{\pi}{2}. &&&& +\end{align*} + +Fixons maintenant l'angle~$\psi_0$ par la condition $\pi\sin\psi_0 = \vartheta'$, où +$\vartheta<\vartheta'<\pi$, puis déterminons~$r_0$ de sorte que $\log\smfrac{1}{r_0}\,\cos\psi_0 = \vartheta'$. +Tant que $r\leqq r_0$, on aura pour tout point de~$C_R$ +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} < k\,\Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{-(\vartheta' - \vartheta - \eps)R}, +\] +$k$~désignant la plus grande des quantités $k'$ et~$k''$; par suite, en +faisant tendre~$R$ vers l'infini et en supposant $-r_0<x<0$, l'intégrale +$\dint\Phi(x,z)\,dz$ prise le long de~$C_R$ tendra effectivement vers +zéro, comme nous l'avions dit, de sorte que l'égalité~\Eref{V}{I}{3} deviendra +\[ +\sum_{m}^{\infty} \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + = -\int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty} \Phi(x,z)\, dz + \equiv -\int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty} + \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz. +\EqnTag{V}{I}{4} +\] + +\Paragraph{54.} Nous allons maintenant démontrer que le second membre de +cette formule définit une fonction holomorphe de~$x$ dans l'angle~\Eref{V}{I}{2}. + +A cet effet, posons +\[ +z = \alpha+it\qquad \text{et}\qquad x = r\,\Pow{e}{i(\pi+\theta_1)}, +\] +de sorte que $\theta_1 \equiv \theta-\pi$ représente l'argument du point $x$ compté +à partir de l'axe réel \emph{négatif}; on aura +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} = \Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{-\theta_1 t} + \Abs{\frac{\varphi(\alpha+it)} + {\Pow{e}{\pi i\alpha - \pi t} - \Pow{e}{-\pi i\alpha + \pi t}}}, +\EqnTag{V}{I}{5} +\] +d'où il résulte, en vertu de l'hypothèse~\secundo (\textit{voir} la note \Pgref{page}{page49fn}), +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} + < \Pow{r}{\alpha}\,\Pow{e}{-[\pi - \vartheta \pm \theta_1 + \eps(t)]\, \Abs{t}}. +\] +Dans le second membre de cette inégalité, on doit lire $+\theta_1$ ou~$-\theta_1$, +suivant que~$t$ est positif ou négatif. + +Supposons maintenant le point~$x$ intérieur au domaine +\[ +r>0,\quad \vartheta + \sigma < \theta < 2\pi - \vartheta - \sigma + \quad (\text{d'où}\quad \Abs{\theta_1} < \pi - \vartheta - \sigma), +\EqnTag{V}{I}{6} +\] +$\sigma$~étant une quantité positive aussi petite qu'on voudra, et +%% -----File: 124.png---Folio 112------- +désignons par~$\eta$ un nombre positif inférieur à ~$\sigma$. On aura, dès que~$\Abs{t}$ +dépassera une certaine valeur~$T$, $\pi-\vartheta\pm\theta_1+\eps(t)>\eta$, d'où +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} < \Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{-\eta\Abs{t}}\qquad\text{pour}\qquad + \Abs{t} >T. +\EqnTag{V}{I}{7} +\] + +On peut conclure de cette inégalité que le second membre de~\Eref{V}{I}{4} +définit une fonction holomorphe de~$x$ dans le domaine~\Eref{V}{I}{6}. Pour le +faire nettement voir, écrivons +\[ +-\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} \Phi(x,z)\, dz + = -\sum^{+\infty}_{-\infty} + \int^{\alpha+i(\nu+1)}_{\alpha+i\nu}\Phi(x,z)\, dz. +\] + +\Pagelabel{page112}% +En développant, dans l'expression~$\Phi(x,z)$, $\Pow{x}{z} \equiv \Pow{e}{z\log x}$ en série, +on voit d'abord que chaque terme du second membre est une +fonction entière de~$\log x$ et qu'il est, par suite, holomorphe dans +le domaine~\Eref{V}{I}{6}. D'autre part, il résulte de l'inégalité~\Eref{V}{I}{7} que la +série ci-dessus est uniformément convergente dans toute portion +finie du domaine en question. Pour arriver à la conclusion voulue, +nous n'avons dès lors qu'à recourir au théorème établi au \no\Sref{10}, +qui nous montre en même temps que les dérivées de la fonction +considérée sont représentées, dans le domaine~\Eref{V}{I}{6}, par les expressions +qu'on obtient en différentiant sous le signe intégral\footnotemark. +\footnotetext{Cette méthode de démonstration, qui permet d'éviter des calculs parfois +épineux et presque toujours peu élégants, avait déjà été mise en usage par d'autres +auteurs, notamment par M.~Mellin.} +% [** End of footnote] + +Le résultat qui précède restant vrai quelque petit que soit~$\sigma$, il +est donc démontré que le second membre de l'égalité~\Eref{V}{I}{4} définit +une fonction holomorphe à l'intérieur de l'angle~\Eref{V}{I}{2}, et comme +l'égalité en question a lieu sur le segment $-r_0<x<0$ qui est +intérieur à l'angle~\Eref{V}{I}{2}, cette fonction donnera le prolongement +analytique de la série~\Eref{V}{I}{4}, en vertu du principe établi au \no\Sref{9}. + +Or on a d'après l'égalité~\Eref{V}{I}{4}, si $m$~est positif, +\[ +F(x) = \sum^{m-1}_0 \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + - \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} + \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz + \qquad(m-1 < \alpha < m), +\EqnTag{V}{I}{8} +\] +et, pour $m$~négatif, en posant~$m=-k$, +\[ +F(x) = -\sum^k_1 \frac{\varphi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} + -\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} + \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz + \qquad\bigl[-(k+1) < \alpha < -k\bigr], +\EqnTag{V}{I}{9} +\] +%% -----File: 125.png---Folio 113------- +tandis que, lorsque~$m=0$, la série~\Eref{V}{I}{4} se confond avec~$F(x)$. +Donc, dans tous les cas, la fonction~$F(x)$ sera holomorphe à l'intérieur +de l'angle~\Eref{V}{I}{2}, et notre théorème se trouve ainsi démontré\footnotemark. +\footnotetext{Si $m$~est positif, on suppose que $\varphi(z)$~prend des valeurs finies pour $z = 0,~1, \dotsc,~m-1$.} + +\Paragraph{55.} Les considérations qui précèdent conduisent encore à des +conséquences intéressantes relatives aux propriétés asymptotiques +de~$F(x)$. On en déduit, en effet, ce théorème important: + +\Theorem{V.I.1}{Sous les conditions énoncées \Pgref{page}{page109}, la fonction définie +par la série~\Eref{V}{I}{1} et qui, d'après le théorème du \no\Sref{53}, est holomorphe +dans le domaine~\Eref{V}{I}{2}, peut se mettre sous l'une ou +l'autre des formes suivantes: +\begin{gather*} + F(x) = \Pow{x}{\alpha}\, \eps(x)\qquad\text{si}\qquad \alpha > -1, + \EqnTag{V}{I}{10} \\ +% + F(x) = -\sum^k_1 \frac{\varphi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} + + \Pow{x}{\alpha}\, \eps(x) + \qquad\text{si}\qquad - (k+1) < \alpha \leqq -k, + \EqnTag{V}{I}{11} +\end{gather*} +$\eps(x)$~désignant une fonction qui tend uniformément vers zéro +lorsque~$x$ tend vers l'infini dans l'angle +\[ +\vartheta + \sigma \leqq \theta \leqq 2\pi - \vartheta - \sigma, +\EqnTag{V}{I}{12} +\] +et cela quelque petite que soit la quantité positive~$\sigma$.} + +Il résulte immédiatement des relations \Eref{V}{I}{5} et~\Eref{V}{I}{7} que le module +du produit +\[ +\Pow{x}{-\alpha}\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} \Phi(x,z)\, dz +\EqnTag{V}{I}{13} +\] +reste au-dessous d'une limite finie dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}, et l'on +en conclut, d'après les égalités \Eref{V}{I}{8} et~\Eref{V}{I}{9}, que la fonction~$F(x)$, +lorsque~$\alpha$ n'est pas un entier, pourra se mettre sous l'une ou l'autre +des formes \Eref{V}{I}{10} et~\Eref{V}{I}{11}, où \textit{le module de~$\eps(x)$ reste inférieur à +une quantité finie dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}}, si l'on exclut le voisinage +de l'origine. + +Cette forme moins précise du théorème suffit dans bien des +recherches; on en trouve des applications importantes dans les +Mémoires de M.~Mellin, cités plus haut. + +%% -----File: 126.png---Folio 114------- + +Si l'on veut démontrer que~$\eps(x)$ tend effectivement vers zéro +avec~$\smfrac{1}{x}$ dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}, des considérations plus délicates +deviennent nécessaires. Admettons d'abord que \textit{le nombre~$\alpha$ n'est +pas entier}. Il s'agit de démontrer que, $\eps$~étant fixé aussi petit qu'on +le voudra, on pourra trouver une quantité~$R$ telle que le module +de l'expression~\Eref{V}{I}{13} reste inférieur à ~$\eps$ pour +\[ +\vartheta + \sigma \leqq \theta \leqq 2\pi - \vartheta - \sigma,\qquad r > R. +\EqnTag{V}{I}{14} +\] + +En vertu de l'inégalité~\Eref{V}{I}{7}, il est d'abord possible de déterminer +le nombre~$t'$ de telle sorte que l'on ait +\[ +\Pow{r}{-\alpha}\, \Abs{\,\int^{\alpha-it'}_{\alpha-i\infty} \Phi(x,z)\, dz + + \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha+it'} \Phi(x,z)\, dz} < \smfrac{\eps}{2} +\] +pour tout point du domaine~\Eref{V}{I}{12}. Il reste donc à montrer qu'on +peut choisir $R$ de manière que l'on ait, dans le domaine~\Eref{V}{I}{14}, +\[ +\Abs{\, \Pow{x}{-\alpha}\int^{\alpha+it'}_{\alpha-it'} \Phi(x,z)\, dz} + < \smfrac{\eps}{2}. +\EqnTag{V}{I}{15} +\] + +En posant $z = \alpha + it$, $x = r\,\Pow{e}{i\theta}$, on aura +\[ +\Pow{x}{-\alpha}\, \Phi(x,z) + = \Pow{e}{-\theta t} \bigl[A(t) + iB(t)\bigr]\, + \bigl[\cos(t\log r) + i\sin(t\log r)\bigr], +\EqnTag{V}{I}{16} +\] +$A$, $B$ étant des fonctions réelles de~$t$ qui sont holomorphes pour +toute valeur réelle de cette variable. + +Considérons, par exemple, l'intégrale +\[ +\int^{t'}_{-t'} \Pow{e}{-\theta t}\, A(t)\sin(t\log r)\, dt. +\EqnTag{V}{I}{17} +\] +Je dis d'abord que \textit{le nombre des intervalles alternatifs de croissance +et de décroissance que présente l'expression $\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)}$ +entre les limites $-t'$ et~$t'$ est inférieur à un nombre fixe~$N$ +quel que soit~$\theta$}. + +En effet, les extrémités des intervalles en question qui sont +comprises entre $-t'$ et~$t'$ correspondent, soit aux zéros de la fonction~$A(t)$, +soit à ceux de la dérivée de~$\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)$, c'est-à -dire aux +racines de l'équation +\[ +A'(t) - \theta A(t) = 0, +\] +%% -----File: 127.png---Folio 115------- +lesquelles, à leur tour, ou vérifient simultanément les conditions +$A(t) = 0$, $A'(t) = 0$, ou bien correspondent aux points d'intersection +de la courbe~$y = \smfrac{A'(t)}{A(t)}$ avec la droite~$y = \theta$. D'ailleurs, +entre deux de ces points d'intersection consécutifs sera compris, +soit un infini de la fonction~$\smfrac{A'(t)}{A(t)}$, c'est-à -dire un zéro de~$A(t)$, +soit un zéro de sa dérivée, c'est-à -dire une racine de l'équation +\[ +A(t)\, A''(t) - \Pow{\bigl[A'(t)\bigr]}{2} = 0. +\] + +Or la fonction~$A(t)$ est holomorphe pour tout point de l'intervalle +$-t' \leqq t \leqq t'$, et celui-ci ne saurait donc comprendre qu'un +nombre fini de racines de chacune des équations +\[ +A(t)=0,\qquad A'(t)=0,\qquad A(t)\, A''(t) - \Pow{\bigl[A'(t)\bigr]}{2}=0, +\] +d'où résulte l'exactitude de la proposition énoncée. + +Ce point établi, soit~$M$ le maximum de~$\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)}$ pour +$-t'\leqq t\leqq t'$, $\vartheta + \sigma\leqq \theta\leqq 2\pi - \vartheta - \sigma$. Je dis que \textit{la partie de +l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} relative à l'un quelconque des intervalles +où~$\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\,A(t)}$ varie constamment dans le même sens, est numériquement +inférieure à ~$\smfrac{2M}{\log r}$}. + +Soit~$(a, b)$ l'un des intervalles en question et soient $t_1,~t_2, \dotsc,~t_\mu$ +les multiples successifs de la quantité~$\smfrac{\pi}{\log r}$ compris entre $a$ et~$b$. +Les parties de l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} correspondant aux sous-intervalles +\[ +(t_1,t_2),\quad (t_2,t_3), \quad \dotsc,\quad (t_{\mu-1},t_{\mu}),\quad (t_{\mu},b) +\] +sont alternativement de signes contraires, tandis que leurs valeurs +numériques vont constamment en décroissant [en admettant, pour +fixer les idées, que $\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)}$ décroît de~$a$ vers~$b$]. La somme de +toutes ces intégrales sera donc numériquement plus petite et de +même signe que la première d'entre elles. Comme d'ailleurs les +parties de l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} relatives aux intervalles $(a, t_1)$ et~$(t_1, t_2)$ +sont de signes contraires, et que chacune d'elles est numériquement +inférieure à la quantité +\[ +M\int^{\tfrac{\pi}{\log r}}_0 \sin (t\log r)\, dt = \frac{2M}{\log r}, +\] +on arrivera bien à la conclusion voulue. + +%% -----File: 128.png---Folio 116------- + +En somme, l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} sera numériquement inférieure +à ~$\smfrac{2MN}{\log r}$, pour $\vartheta + \sigma\leqq \theta\leqq 2\pi - \vartheta - \sigma$, et tendra donc uniformément +vers zéro dans cet angle lorsque $r$~croît indéfiniment. Comme +la même conclusion s'applique à chacune des trois autres intégrales +qui proviennent de l'expression~\Eref{V}{I}{16}, il en résulte qu'on +pourra effectivement déterminer le nombre~$R$ de manière que +l'inégalité~\Eref{V}{I}{15} ait lieu dans les conditions indiquées, et notre démonstration +est ainsi achevée dans le cas où $\alpha$~n'est pas entier. + +\Paragraph{56.} Lorsque \textit{le nombre~$\alpha$ est un entier}, les expressions \Eref{V}{I}{8} +et~\Eref{V}{I}{9} ne sont plus valables, de sorte que la démonstration doit +être modifiée. Nous nous placerons dans le cas le plus intéressant, +à savoir celui où $\alpha = 0$ est la plus petite valeur pour laquelle soient +vérifiées les conditions énoncées à la \Pgref{page}{page109}. + +En appliquant alors la formule~\Eref{V}{I}{8}, avec $m = 1$, et en faisant +tendre~$\alpha$ vers zéro, on trouve, par un calcul analogue à celui +du \no\Sref{29}, +\[ +F(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + - \int^{i\infty}_{-i\infty} \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{2}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz, +\EqnTag{V}{I}{18} +\] +et cette formule sera valable pour tout point~$x$ intérieur à +l'angle~\Eref{V}{I}{12}, ce qu'on démontre en raisonnant comme aux \nos\Sref{53}--\Sref{54}. + +Pour plus de symétrie, posons $x = \Pow{e}{\pi i}x_1$, $(x_1 = r\,\Pow{e}{i\theta_1})$, et d'autre +part $z=it$, $\varphi(\pm it) = p(t)\pm iq(t)$. L'expression ci-dessus deviendra +\[ +F(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + + \int^{\infty}_0 P(t,x_1)\, dt + \int^{\infty}_0 Q(t,x_1)\, dt +\tag{18${}'$} +\Pagelabel{eqn:V.I.18pr} +\] +avec +\begin{align*} + P(t,x_1) &= -2p(t)\frac{\sin(t\log x_1)}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}, \\[1ex] + Q(t,x_1) &= -2q(t)\frac{\cos(t\log x_1)}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}. +\end{align*} + +Je dis que \textit{le dernier terme de l'expression~\hyperref[eqn:V.I.18pr]{\upshape($18'$)} tend uniformément +vers zéro lorsque~$x$ tend, soit vers l'infini, soit vers +zéro, en restant intérieur à l'angle~\Eref{V}{I}{12}}. En effet, comme +\[ +\cos(t\log x_1) + = \smfrac{1}{2}(\Pow{e}{\theta_1 t} + \Pow{e}{-\theta_1 t})\cos(t\log r) + - \smfrac{i}{2}(\Pow{e}{\theta_1 t} + \Pow{e}{-\theta_1 t})\sin(t\log r), +\] +%% -----File: 129.png---Folio 117------- +on voit d'abord qu'il est possible de choisir le nombre~$t_0$ assez +petit pour que l'on ait, par exemple, +\[ +\Abs{\int^{t_0}_0 Q(t, x_1)\, dt} < \smfrac{\eps}{3} +\EqnTag{V}{I}{19} +\] +pour tout point~$x$ du domaine~\Eref{V}{I}{12}\footnotemark. +\footnotetext{La fonction~$\varphi(z)$ étant, par hypothèse, holomorphe à l'origine, l'expression +\[ +q(t) \equiv \fnfrac{1}{2i} \bigl[\varphi(it) - \varphi(-it)\bigr] +\] +renferme~$t$ en facteur, d'où il résulte que~$Q(t, x_1)$ est holomorphe pour~$t = 0$.} +% [** End of footnote] +D'autre part, pour les +mêmes valeurs~$x$, on a $\Abs{\theta_1}\leqq \pi - \vartheta - \sigma$, et il s'ensuit que le module +de l'expression~$Q(t, x_1)$ décroît plus vite qu'une certaine +exponentielle~$\Pow{e}{-\eta t}$, où~$\eta >0$; par conséquent, on pourra choisir +un nombre~$T$ tel que +\[ +\Abs{\int^{\infty}_T Q(t, x_1)\, dt} < \smfrac{\eps}{3} +\] +pour tout point~$x$ du domaine~\Eref{V}{I}{12}. Enfin, en raisonnant comme +au \no\Sref{55}, on voit qu'il existe un nombre~$R$ tel que l'on ait +\[ +\Abs{\int^{T}_{t_0} Q(t, x_1)\, dt} < \smfrac{\eps}{3} +\] +pour $\vartheta + \sigma\leqq \theta\leqq 2\pi - \vartheta - \sigma$, $\Abs{\log r} > R$. Sous les mêmes conditions, +le module du dernier terme de l'expression~\hyperref[eqn:V.I.18pr]{($18'$)} sera donc +inférieur à ~$\eps$, d'où résulte la proposition énoncée. + +Cela posé, dans l'égalité~\hyperref[eqn:V.I.18pr]{($18'$)}, faisons tendre~$x$ vers l'origine, +en restant dans l'angle~\Eref{V}{I}{12}. Comme $F(0) = \varphi(0)$, on conclut de +la proposition ci-dessus que l'intégrale +\[ +\int^{\infty}_0 P(t, x_1)\, dt +\] +tendra uniformément vers la limite~$\smfrac{1}{2}\varphi(0)$. Or, si l'on remplace~$x$ +par~$\smfrac{1}{x}$ ou, ce qui revient au même, $x_1$ par~$\smfrac{1}{x_1}$, l'intégrale en question +changera simplement de signe. Par suite, elle tendra uniformément +vers la limite~$-\smfrac{1}{2}\varphi(0)$, lorsque~$x$ tend vers l'infini dans +%% -----File: 130.png---Folio 118------- +l'angle~\Eref{V}{I}{12}, et, en utilisant encore une fois la proposition ci-dessus, +on voit donc que, \textit{dans le cas où les conditions énoncées à +la \Pgref{page}{page109} sont vérifiées pour~$\alpha = 0$, la fonction~$F(x)$ tend +uniformément vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini en restant +intérieur à l'angle}~\Eref{V}{I}{12}. + +Ce résultat subsiste d'ailleurs dans des conditions plus générales +que celles de la \Pgref{page}{page109}. Ainsi il n'est pas nécessaire que la +fonction~$\varphi(z)$ soit holomorphe à l'origine; il suffit, par exemple, +qu'elle y prenne une valeur finie et déterminée et que, en outre, +l'intégrale +\[ +\int^t_0 \frac{\Abs{q(t)}}{t}\, dt +\EqnTag{V}{I}{20} +\] +ait un sens. En effet, en vertu de la première de ces hypothèses, +la formule~\Eref{V}{I}{18} restera applicable (\textit{voir} la note de la \Pgref{page}{page60}) et, +en vertu de la seconde, il sera possible de satisfaire à l'inégalité~\Eref{V}{I}{19}, +qui est la seule où intervienne le caractère de~$\varphi(z)$ à +l'origine. + +De même, on démontre aisément que le résultat ci-dessus reste +valable dans le cas où $\varphi(z)$~présente sur l'axe imaginaire un nombre +fini de points singuliers distincts de l'origine, $z_1,~z_2,~\dotsc$, tels que +le produit~$(z - z_\nu)\,\varphi(z)$ tende uniformément vers zéro avec~$\Abs{z-z_\nu}$ +et que l'intégrale +\[ +\int^t_0 \Abs{\varphi(z_\nu + it)}\, dt +\] +ait une valeur finie pour les valeurs réelles de~$t$. + +Supposons maintenant que~$\varphi(z)$ possède sur l'axe imaginaire +un pôle~$z_0$, distinct de l'origine. La formule~\Eref{V}{I}{18} restera encore +valable si l'on y modifie le chemin d'intégration, par exemple +en remplaçant un petit segment passant par le point~$z_0$ par un +demi-cercle tournant la convexité vers la \textit{gauche}, pourvu que, en +même temps, on retranche du second membre le résidu de l'expression +\[ +2\pi i\, \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} +\] +relatif au pôle~$z_0$. On démontre facilement que, après cette modification, +l'intégrale qui figure dans la formule~\Eref{V}{I}{18} tendra toujours +%% -----File: 131.png---Folio 119------- +uniformément vers~$\smfrac{1}{2}\varphi(0)$, lorsque~$x$ tendra vers l'infini dans +l'angle~\Eref{V}{I}{12}. + +Or, si~$z_0$ est un pôle simple de~$\varphi(z)$, le résidu correspondant +de l'expression ci-dessus s'écrit~$A\Pow{x}{z_0}$, A étant une constante. Dans +ce cas, la fonction~$F(x)$ restera donc inférieure en valeur absolue +à une quantité finie dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}, en ne tendant d'ailleurs +vers aucune limite fixe lorsque le point~$x$ s'éloigne indéfiniment. +Si, au contraire, $z_0$~est un pôle d'ordre~$m > 1$, on conclut des remarques +précédentes que la fonction~$F(x)$ devient infiniment +grande de l'ordre de~$\Pow{(\log x)}{m-1}$ lorsque~$x$ tend vers l'infini en restant +dans l'angle~\Eref{V}{I}{12}. + +Les résultats que nous venons de démontrer dans ce numéro +pour~$\alpha = 0$ s'étendent immédiatement au cas où $\alpha$~est un entier +quelconque. + + +\Section{V}{II}{Applications diverses.} + +\Paragraph{57.} Des théorèmes qui précèdent, nous allons tirer d'abord +quelques conséquences intéressantes relatives aux fonctions entières. +Soit~$\varphi(z) = \Pow{z}{-\sigma z}$, $\sigma$~étant un nombre positif~$<2$; cette fonction +est holomorphe pour~$\tau\geqq 0$, sauf à l'origine, mais en ce point, +$\varphi(z)$~prend une valeur finie, à savoir~$1$, et la condition concernant +l'intégrale~\Eref{V}{I}{20} se trouve également vérifiée. D'autre part, en +posant $z = \rho\,\Pow{e}{i\psi}$, on aura +\[ +\Abs{\varphi(z)} = \Pow{e}{\sigma \rho(\psi\sin\psi - \log\rho\cos\psi)}, +\] +et par suite, dès que $\rho > 1$, +\[ +\Abs{\varphi(z)} + < \Powfr{e}{\fnfrac{\pi\sigma}{2}\rho}\qquad\text{pour}\qquad + -\smfrac{\pi}{2}\leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}. +\] + +On pourra donc appliquer le théorème du \no\Sref{55} en faisant $\alpha = 0$, +$\vartheta = \smfrac{\pi\sigma}{2}$, et l'on en conclut que la fonction entière +\[ +\sum^{\infty}_0 \Pow{\left(\frac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu} +\EqnTag{V}{II}{1} +\] +tend uniformément vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini, en +%% -----File: 132.png---Folio 120------- +restant dans l'angle +\[ +\smfrac{\pi\sigma}{2} + \eps\leqq \theta + \leqq 2\pi - \smfrac{\pi\sigma}{2} - \eps. +\EqnTag{V}{II}{2} +\] + +Ce résultat étant vrai quelque petits que soient les nombres +positifs $\sigma$ et~$\eps$, on voit qu'\textit{il existe des fonctions entières tendant +uniformément vers zéro, lorsque~$x$ augmente indéfiniment, +dans un angle qui est inférieur à ~$2\pi$ d'aussi peu qu'on +le voudra}. + +Cette remarque est due à M.~Mittag-Leffler, qui y a été conduit +dans ses recherches sur la fonction\footnotemark +\footnotetext{\textit{Comptes rendus}, 2~mars 1903.} +\[ +\sum^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Gamma(1 + \nu\sigma)}\qquad (\sigma > 0), +\EqnTag{V}{II}{3} +\] +qu'on déduit de~$F(x)$ en faisant $\varphi(z) = \smfrac{1}{\Gamma(1+\sigma x)}$. Cette fonction~$\varphi(z)$ +est holomorphe dans tout le plan et, en se servant de la formule +de Stirling, on trouve facilement que l'inégalité +\[ +\Abs{\varphi(\alpha + \rho\,\Pow{e}{i\psi})} + < \Powfr{e}{\left(\fnfrac{\pi\sigma}{2} + \eps\right)\rho}, +\] +où $\alpha$~désigne une constante réelle quelconque et~$\eps$ un nombre +positif arbitrairement petit, est vérifiée pour $-\smfrac{\pi}{2}\leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}$ dès que~$\rho$ +est supérieur à une certaine limite finie. Le théorème du \no\Sref{55} +nous permet donc d'affirmer, non seulement que la fonction~\Eref{V}{II}{3} +tend uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{x}$ dans l'angle~\Eref{V}{II}{2}, mais encore +que l'on a, quelque grand que soit l'entier positif~$k$, la relation +\[ +\sum^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Gamma(1 + \nu\sigma)} + = -\sum^k_1 \frac{\Pow{x}{-\nu}}{\Gamma(1 - \nu\sigma)} + + \Pow{x}{-\alpha}\, \eps(x)\qquad (k < \alpha < k+1), +\] +où $\eps(x)$~jouit de la même propriété. Le second membre de cette +égalité nous donne donc le développement asymptotique de la +fonction~\Eref{V}{II}{3} dans l'angle $\smfrac{\pi\sigma}{2}<\theta <2\pi -\smfrac{\pi\sigma}{2}$. + +Soit maintenant $\varphi(z) = \Pow{\bigl[\log (z+\beta)\bigr]}{-z}$; cette fonction est +%% -----File: 133.png---Folio 121------- +holomorphe pour $\tau\geqq 0$, si l'on suppose~$\beta>1$; d'autre part, un calcul +élémentaire nous donne +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} + = \Powfr{e}{\rho\left(\fnfrac{\psi\sin\psi + \eps(\rho)}{\log\rho} + - \log\log\rho \centerdot \cos\psi\right)}, +\] +d'où il résulte qu'on a, quelque petit que soit le nombre positif~$\eps$, +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{\eps\rho}\qquad\text{pour}\qquad + -\smfrac{\pi}{2}\leqq \psi\leqq \smfrac{\pi}{2} +\] +dès que $\rho$~dépasse une certaine limite. Dans le cas présent, les +conditions énoncées \Pgref{page}{page109} sont donc vérifiées pour~$\alpha=0$, $\vartheta=0$, +et nous arrivons ainsi à cette conclusion intéressante que \textit{la fonction +entière +\[ +E_\beta(x) + \equiv \sum^{\infty}_0 \Pow{\biggl[\frac{x}{\log(\nu +\beta)}\biggr]}{\nu} + \qquad(\beta > 1) +\EqnTag{V}{II}{4} +\] +tend vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini suivant un rayon +quelconque autre que l'axe réel positif}\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Cf}.~une Note de l'auteur insérée dans le Tome~XXVII du \textit{Bulletin des +Sciences mathématiques} (août~1903). D'autres fonctions du même genre ont été +indiquées par MM.~Malmquist et~Mittag-Leffler (\textit{Comptes rendus}, 12~octobre 1903).} +% [** End of footnote] + +Lorsque~$\beta > 2$, les conditions de la \Pgref{page}{page109} sont vérifiées pour~$\vartheta=0$ +et pour une valeur de~$\alpha$ comprise entre $-2$ et~$-1$. On +aura donc +\[ +E_\beta(x) = -\frac{\log(\beta-1) + \eps(x)}{x}, +\] +$\eps(x)$~tendant uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{x}$ dans l'angle +\[ +\eps\leqq \theta\leqq 2\pi - \eps, +\] +quelque petit que soit~$\eps$, et l'on en conclut immédiatement que, +\textit{pour $\beta > 2$, les arguments des racines de l'équation $E_\beta(x) = 0$ +tendent vers zéro lorsqu'on s'éloigne indéfiniment de l'origine}. + +On peut rattacher à la fonction~\Eref{V}{II}{4} une remarque ingénieuse due +à M.~Mittag-Leffler\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Comptes rendus}, 12~octobre 1903. \textit{Voir} aussi un Mémoire de M.~Mittag-Leffler +qui vient de paraître dans le Tome~XXIX des \textit{Acta Mathematica}.} +D'après ce qui précède, l'expression +\[ +\Pow{e}{-E_\beta(x)} +\] +%% -----File: 134.png---Folio 122------- +définit une fonction entière tendant vers zéro suivant l'axe réel +positif, mais vers l'unité suivant tout autre rayon. En désignant +par~$\beta'$ un nombre réel supérieur à l'unité et distinct de~$\beta$, on arrive +donc à cette conclusion curieuse que \textit{la fonction entière +\[ +\Pow{e}{-E_\beta(x)} - \Pow{e}{-E_{\beta'}(x)} +\] +tend vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini suivant un rayon +quelconque}. + +Ce paradoxe apparent s'explique par cette remarque que la +fonction précédente, bien qu'elle converge vers zéro suivant un +rayon quelconque, ne converge \textit{uniformément} vers cette limite +dans aucun angle, si petit qu'il soit, qui renferme l'axe réel positif. +Il n'est guère possible d'imaginer un exemple plus propre à mettre +en évidence l'importance de la notion de \textit{convergence uniforme}. + +\Paragraph{58.} En appliquant à la fonction~\Eref{V}{II}{1} la formule~\Eref{V}{I}{8}, \Pgref{page}{eqn:V.I.8}, +avec $m = 1$, on trouve +\[ +\sum^{\infty}_0 \Pow{\left(\frac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu} + = 1 - \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} + \frac{\Pow{z}{-\sigma z}\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz\qquad (0 < \alpha < 1), +\] +égalité valable pour tout point~$x$ intérieur à l'angle +\[ +\smfrac{\pi\sigma}{2} < 0 < 2\pi - \smfrac{\pi\sigma}{2}. +\EqnTag{V}{II}{5} +\] +Ce résultat subsiste encore pour $\sigma=0$, puisque les conditions de +la \Pgref{page}{page109} sont vérifiées pour $\varphi (z)\equiv 1$, $\vartheta=0$, et l'on aura donc +\[ +\frac{1}{1-x} + = 1 - \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} \frac{\Pow{x}{z}\, dz}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} +\] +dans tout le plan, excepté sur l'axe réel positif. Cela posé, nous +allons démontrer la proposition suivante: + +\Theorem{V.II.1}{Lorsque le paramètre~$\sigma$ tend vers zéro par des valeurs positives, +la fonction entière~\Eref{V}{II}{1} tend uniformément vers~$\smfrac{1}{1-x}$ dans +tout domaine fini n'ayant aucun point commun avec le +segment $\Segment{1}{+\infty}$ de l'axe réel.} + +Ceci ayant évidemment lieu dans toute aire intérieure au cercle~$\Abs{x}=1$, +%% -----File: 135.png---Folio 123------- +il suffira de démontrer la proposition pour un domaine~$X$ +n'ayant aucun point commun avec la partie $\Segment{0}{+\infty}$ de l'axe réel. +A cet effet, fixons d'abord un nombre positif~$\sigma_0$ tel que le domaine~$X$ +soit intérieur à l'angle~\Eref{V}{II}{5} dès que~$\sigma\leqq\sigma_0$; on aura, pour tout +point~$x$ du domaine~$X$, et pour~$\sigma\leqq\sigma_0$, +\[ +\sum^{\infty}_0 + \Pow{\left(\frac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu} - \frac{1}{1-x} + = \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} + \frac{(1 - \Pow{z}{-\sigma z})\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz. +\EqnTag{V}{II}{6} +\] +Or, en posant $z = \alpha + it$, on peut conclure des calculs du \no\Sref{54} +que le module de l'expression sous le signe intégral, pour les +valeurs considérées de~$x$ et de~$\sigma$ et pour les valeurs~$t$ de module +suffisamment grand, reste inférieur à une certaine exponentielle +$\Pow{e}{-\eta\Abs{t}}$, où~$\eta > 0$. Il est donc possible de trouver un nombre positif~$t'$ +tel que les parties de l'intégrale ci-dessus qui correspondent aux +valeurs~$t$ supérieures à ~$t'$ ou inférieures à ~$-t'$, donnent une +somme numériquement inférieure, par exemple, à ~$\eps$, et d'autre +part, comme~$1 - \Pow{z}{-\sigma z}$ tend vers zéro avec~$\sigma$, on pourra assigner un +nombre positif~$\sigma'_0\leqq \sigma_0$ tel que la partie restante de l'intégrale en +question, celle où~$t$ varie entre les limites $-t'$ et~$t'$, soit inférieure +en valeur absolue à ~$\eps$ dès que $\sigma < \sigma'_0$. Le module de la différence~\Eref{V}{II}{6} sera donc inférieur à ~$2\eps$ pour tout point du domaine~$X$ +dès que $\sigma < \sigma'_0$, et notre proposition se trouve ainsi démontrée. + +Soit maintenant une série de Taylor quelconque +\[ +\sum^{\infty}_0 a_\nu \Pow{x}{\nu} +\EqnTag{V}{II}{7} +\] +ayant un rayon de convergence fini et non nul, et soit~$A$ son +\textit{étoile principale de convergence}\footnotemark, suivant la terminologie de +\footnotetext{Le domaine~$A$ comprend, de chaque rayon vecteur, le segment compris +entre l'origine et le premier point singulier de la fonction~\Eref{V}{II}{7} qu'on rencontre en +cheminant suivant ce rayon.} +% [** End of footnote] +M.~Mittag-Leffler. En s'appuyant sur un théorème fondamental +établi par M.~Borel\footnotemark, on déduit immédiatement de la proposition +\footnotetext{\textit{Mémoire sur les séries divergentes}, p.~63--64 et~133--134 (\textit{Annales de l'École + Normale}, 1899) et \textit{Leçons sur les séries divergentes}.} +précédente l'intéressante conséquence que voici: + +\Theorem{V.II.2}{Lorsque~$\sigma$ tend vers zéro par des valeurs positives, la +%% -----File: 136.png---Folio 124------- +fonction entière $\sum\limits^{\infty}_0 a_\nu \Pow{\left(\smfrac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu}$ converge uniformément vers la fonction +définie par la série $\smash{\sum\limits^{\infty}_0 a_\nu \Pow{x}{\nu}}$ dans toute aire finie intérieure +à l'étoile~$A$.} +% [** End of Theorem] + +C'est là , nous semble-t-il, l'exemple le plus simple qu'on puisse +trouver de ces expressions limites, réalisant le prolongement d'une +série de Taylor en dehors de son cercle de convergence, dont +MM.~Borel, Mittag-Leffler, Painlevé et d'autres ont ces dernières +années enrichi l'Analyse. Du reste, cet exemple n'est qu'un cas +très particulier d'un théorème général que nous avons démontré +ailleurs\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Comptes rendus}, 29~décembre 1902, et \textit{Journal de Mathématiques}, +t.~IX, 1903.} +% [** End of footnote] + +\Paragraph{59.} Supposons maintenant vérifiées les hypothèses suivantes: + +\primo~\textit{La fonction~$\varphi(z)$ est uniforme et ne présente qu'un +nombre fini de points singuliers;} +\Pagelabel{page124}% + +\secundo~\textit{Ayant fixé un nombre positif arbitrairement petit~$\eps$, +on peut trouver un autre nombre positif~$R$ tel que} +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} + < \Pow{e}{\eps\rho}\qquad\textit{pour}\qquad \rho > R. +\] + +Le rayon de convergence de la série donnée sera égal à l'unité +et, d'après le théorème de la \Pgref{page}{page109}, la fonction~$F(x)$ que définit +cette série restera holomorphe tant qu'on évitera le segment $\Segment{1}{+\infty}$ +de l'axe réel. Cette branche de la fonction~$F(x)$ sera +appelée, dans la suite, \emph{la branche principale}, et sera désignée par~$\overline{F}(x)$. + +Mais nous allons voir que, dans le cas présent, on pourra étudier +la fonction~$F(x)$ pour toute valeur de~$x$. Soit, en effet, $-n$~un +entier négatif inférieur à la partie réelle de chacun des points +singuliers de~$\varphi(z)$. On pourra appliquer la formule~\Eref{V}{I}{9} (\Pgref{p.}{eqn:V.I.9}) +pour~$k = n$, à condition de retrancher de son second membre +l'expression +\[ +\Phi(x) \equiv 2\pi i\, \residuesum \frac{\bigl(\varphi(z)\bigr)\,\Pow{x}{z}} + {\Pow{e}{2\pi iz} - 1}, +\] +%% -----File: 137.png---Folio 125------- +la somme s'étendant à tous les points singuliers de~$\phi(z)$ situés \emph{à +distance finie}. Remarquons en passant que \emph{$\Phi(x)$~est une fonction +entière de~$\log x$}, ce qu'on voit immédiatement en exprimant les +résidus qui y figurent par des intégrales définies, et en développant +$\Pow{x}{z} \equiv \Pow{e}{z\log x}$ suivant les puissances ascendantes de~$\log x$. + +On trouve donc pour~$F(x)$ l'expression suivante: +\Pagelabel{page125} +\[ +F(z) = -\sum_1^n \frac{\phi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} - \Phi(x) + - \int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty} \Phi(x,z)\, dz, +\EqnTag{V}{II}{8} +\] +où~$-(n + 1) < \alpha < -n$, expression qui est valable dans tout le +plan, sauf sur la partie $\Segment{0}{+\infty}$ de l'axe réel. + +Je dis que \emph{le dernier terme de cette expression s'évanouit +lorsque $n$~croît indéfi\-ni\-ment, si le point~$x$ est situé sur le +segment $\Segment{-\infty}{-1}$ de l'axe réel}. En effet, en posant +\Erratum{2} +\[ +\alpha = -\left(n + \smfrac{1}{2}\right), \quad + z = \alpha + it, \quad + x = \Pow{e}{\pi i}\, r \qquad (r > 1), +\] +on aura [\emph{voir} l'égalité~\Eref{V}{I}{5}, \Pgref{page}{eqn:V.I.5}] +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} + = \Pow{r}\alpha\, \frac{\Abs{\phi(\alpha + it)}}{\Pow{e}{\pi i} + \Pow{e}{-\pi i}},\quad\Changenotemark +% [** PP: Added i to exponent; dropped out in scan?] +\] +\Changenotetext{2}% +et, par suite, en vertu de l'hypothèse~\secundo ci-dessus, +\[ +\Abs{\Phi(x,z)} < \Pow{r}{\alpha}\, + \Pow{e}{-\pi\Abs{t} + \eps\sqrt{\Pow{\alpha}{2} + \Pow{t}{2}}}, +\] +$\eps$~tendant vers zéro lorsque~$\alpha$ tend vers~$-\infty$. Comme l'on a +\begin{align*} + \sqrt{\Pow{\alpha}{2} + \Pow{t}{2}} < \sqrt{2} \Abs{\alpha}\qquad&\text{pour}\qquad + \Abs{t} < \Abs{\alpha} \\ +\intertext{et} + \sqrt{\Pow{\alpha}{2} + \Pow{t}{2}} < \sqrt{2} \Abs{t}\qquad&\text{pour}\qquad + \Abs{t} > \Abs{\alpha} +\end{align*} +le module du dernier terme de l'expression~\Eref{V}{II}{8} sera inférieur à +la somme +\[ +2\Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{\eps\sqrt{2}\Abs{\alpha}} \int_0^{\Abs{\alpha}} \Pow{e}{-\pi t}\, dt + + 2 \Pow{r}{\alpha} \int_{\Abs{\alpha}}^\infty \Pow{e}{-\pi i + \eps\sqrt{2}t}\, dt, +\] +dont les deux termes s'évanouissent pour~$\alpha =-\infty$, dès que~$r>1$. + +Pour~$n=\infty$, l'égalité~\Eref{V}{II}{8} deviendra donc, +\[ +F(x) = -\sum_1^\infty \frac{\phi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} - \Phi(x), +\EqnTag{V}{II}{9} +\] +%% -----File: 138.png---Folio 126------- +en supposant d'abord la variable~$x$ réelle et inférieure à ~$-1$. Mais, +comme l'expression figurant au second membre est holomorphe en +dehors du cercle~$\Abs{x}=1$, elle nous donnera le prolongement de +la fonction~$F(x)$ dans toute cette région, en vertu du principe établi +au \no\Sref{9}. Donc: + +\Theorem{V.II.3}{Sous les conditions énoncées à la \Pgref{page}{page124}, la fonction~$F(x)$ +est holomorphe en dehors du cercle~$\Abs{x}=1$ {\upshape(}sauf peut-être +à l'infini{\upshape)}.} + +Menons une coupure suivant l'axe réel de $1$ à ~$+\infty$. Dans la +région extérieure au cercle~$\Abs{x}=1$, et limitée par les deux bords +de cette coupure, la branche~$\overline{F}(x)$ sera représentée par l'expression~\Eref{V}{II}{9}, où l'argument de~$x$ est compris entre $0$ et~$2\pi$, et la +différence entre la valeur que prend cette branche en un point~$x$ +situé sur le bord supérieur de la coupure, et sa valeur au point +correspondant du bord inférieur, sera égale à +\[ +-\Phi(x) + \Phi(\Pow{e}{2\pi i}\, x) + \equiv -2\pi i\, \Biggl[\, + \residuesum \frac{\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} + - \residuesum \frac{\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z} \Pow{e}{2\pi iz}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} +\Biggr]\,, +\] +expression qui se réduit à +\[ +2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z}, +\EqnTag{V}{II}{10} +\] +la somme~$\residuesum$ s'étendant aux points singuliers de~$\varphi(z)$ situés \textit{à +distance finie}. + +Les valeurs de l'expression +\Pagelabel{page126} +\[ +\overline{F}_1(x) \equiv \overline{F}(x) + + 2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z}, +\EqnTag{V}{II}{11} +\] +sur le bord inférieur de la coupure $\Segment{1}{+\infty}$ se confondent donc +avec celles que prend la branche principale~$\overline{F}(x)$ sur le bord +supérieur et, en invoquant toujours le principe établi au \no\Sref{9}, on +en conclut que~$\overline{F}_1(x)$ \textit{donne le prolongement de~$\overline{F}(x)$ au delà +de la coupure $\Segment{1}{+\infty}$, lorsqu'on la traverse de haut en bas}. +Si l'on traverse la même coupure de bas en haut, le prolongement +de~$\overline{F}(x)$ est fourni par l'expression +\[ +\overline{F}_2(x) + \equiv \overline{F}(x) + - 2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(z)\bigr)\,\Pow{x}{z}. +\EqnTag{V}{II}{12} +\] + +%% -----File: 139.png---Folio 127------- + +Or l'expression~\Eref{V}{II}{10}, étant une fonction entière de~$\log x$, admet +pour seuls points singuliers l'origine et le point à l'infini, et notre +discussion conduit donc au résultat suivant: + +\Theorem{V.II.4}{Sous les conditions énoncées à la \Pgref{page}{page124}, la fonction~$F(x)$ +n'admet pas d'autres singularités que les points $1$,~$\infty$ et~$0$, +l'origine étant en général point singulier pour toute branche +de la fonction autre que la branche principale. En dehors du +cercle~$\Abs{x}=1$, cette fonction est représentée par l'expression~\Eref{V}{II}{9} +qui, jointe aux égalités \Eref{V}{II}{11} et~\Eref{V}{II}{12}, permet d'en poursuivre +l'étude pour toutes les valeurs de~$x$\footnotemark.} +\footnotetext{On a supposé tacitement que~$\varphi(z)$ ne devient infini pour aucune valeur +entière de~$z$. Mais il est facile de voir comment doivent être modifiés les résultats +qui précèdent dans le cas où cette condition n'est pas remplie.} +% [** End of footnote] + +\Paragraph{60.} Appliquons d'abord ce résultat au cas où $\varphi(z)$~n'a pas +de points singuliers à distance finie. Alors, en vertu de l'hypothèse~\secundo, +$\varphi(z)$~\textit{est une fonction entière dont le module croît +moins vite que}~$\Pow{e}{\eps\Abs{z}}$, quelque petit que soit~$\eps$. + +Les égalités \Eref{V}{II}{11} et~\Eref{V}{II}{12} se réduisent à ~$\overline{F}_1(x) = \overline{F}_2(x) = \overline{F}(x)$, +et la formule~\Eref{V}{II}{9} devient +\[ +F(x) = -\sum^{\infty}_1 \frac{\varphi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} + \qquad\text{pour}\qquad \Abs{x} > 1, +\EqnTag{V}{II}{13} +\] +d'où il résulte que la fonction~$F(x)$ est uniforme dans tout le plan, +admet~$x=1$ comme seul point singulier et s'annule à l'infini. +Donc, d'après le théorème de Laurent, $F(x)$~\textit{est une fonction +entière de~$\smfrac{1}{x-1}$, sans terme constant}\footnotemark. +\footnotetext{Ce résultat important a été établi à peu près simultanément par M.~Le~Roy +(\textit{voir} p.~348 du Mémoire cité plus haut) et par M.~Wigert (\textit{Öfversigt +af Svenska Vetenskapsakademiens Förhandlingar}, 1900). Voir aussi un Mémoire +de M.~Leau (\textit{Journal de Mathématiques}, 1899).} +% [** End of footnote] + +Si, en particulier, $\varphi(z)$~est une fonction \emph{paire}, l'équation~\Eref{V}{II}{13} +devient +\[ +F(x) = -F\left(\smfrac{1}{x}\right) + \varphi(0). +\] + +Pour $x = \Pow{e}{i\theta}$, cette égalité s'écrit $F(\Pow{e}{i\theta}) + F(\Pow{e}{-i\theta})=\varphi(0)$; donc +%% -----File: 140.png---Folio 128------- +\textit{la partie réelle de $F(x)$ se réduit à la valeur constante $\smfrac{1}{2}\,\varphi(0)$ +sur la circonférence} $\Abs{x} = 1$, si l'on suppose la fonction $\varphi(z)$ +\emph{réelle} pour les valeurs réelles de $z$. + +Si $\varphi(z)$~est \textit{impaire}, l'égalité~\Eref{V}{II}{13} prend la forme +\[ +F(x) = F\left(\smfrac{1}{x}\right), +\] +et l'on en conclut, en particulier, que \textit{la partie imaginaire de~$F(x)$ +s'annule sur la circonférence}~$\Abs{x} = 1$. + +\Paragraph{61.} Soit en second lieu~$\varphi(z)$ une \emph{fonction rationnelle}, cas où +les conditions de la \Pgref{page}{page124} sont toujours vérifiées, et soit~$a$ un +pôle de~$\varphi(z)$. Si c'est un pôle simple, la partie correspondante de +l'expression~$\Phi(x)$ s'écrit~$A\Pow{x}{a}$, $A$~étant une constante. Si~$a$ est un +pôle d'ordre~$m>1$, il surviendra des termes en $\Pow{x}{a}\,\log x,~\dotsc,~\Pow{x}{a}\Pow{(\log x)}{m-1}$. +D'après l'égalité~\Eref{V}{II}{9}, on en conclut que, si les pôles +de~$\varphi(z)$ ont tous leur partie réelle négative, toute branche de la +fonction~$F(x)$ tend vers \emph{zéro} lorsque~$x$ s'éloigne indéfiniment dans +une direction quelconque. + +Soit, en particulier, $\varphi(z) = \Pow{z}{-k}$, $k$~étant un entier positif, et +considérons la fonction +\[ +F(x) = \sum^{\infty}_{\nu=1} \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + = \sum^{\infty}_{\nu=1} \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{\nu}{k}}, +\EqnTag{V}{II}{14} +\] +qui a fait l'objet des recherches de Lambert,~Legendre, Abel, +Kummer et de bien d'autres. On aura encore l'égalité~\Eref{V}{II}{9}, en désignant +par~$\Phi(x)$ le résidu de l'expression +\[ +\frac{1}{\Pow{z}{k}}\, \frac{2\pi i\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1} +\] +relatif à l'origine. Or, on trouve facilement, à l'aide de la formule~\Eref{II}{II}{9} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.9}), que ce résidu est égal à $\smfrac{\Pow{(2\pi i)}{k}}{k!}\,\varphi_k\left(\smfrac{\log x}{2\pi i}\right)$, de sorte +que l'égalité en question devient +\[ +F(x) = \Pow{(-1)}{k+1}\, \sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{\nu}{k}}\,\frac{1}{\Pow{x}{\nu}} + - \frac{\Pow{(2\pi i)}{k}}{k!}\, \varphi_k\left(\frac{\log x}{2\pi i}\right) + \qquad (\Abs{x} < 1), +\] +%% -----File: 141.png---Folio 129------- +résultat dû à M.~Jonquière\footnotemark. +\footnotetext{\textit{Bihang till Svenska Vetenskapsakademiens Handlingar}, t.~XV, 1888.} +D'autre part, l'égalité~\Eref{V}{II}{11} s'écrit +\[ +\overline{F}_1(x) = \overline{F}(x) + 2\pi i\, \frac{\Pow{(\log x)}{k-1}}{(k-1)!}. +\] + +Ces relations permettent d'étudier~$F(x)$ dans tout le plan; +pour~$k = 1$, on retrouve les propriétés connues de~$\log(1-x)$. + +Les résultats du \no\Sref{59} restent encore applicables dans bien des +cas où $\varphi(z)$~est une fonction méromorphe, mais pour cette question +nous devons nous borner à renvoyer aux Mémoires de +M.~Mellin, qui en a donné de nombreux exemples. + + +\Section{V}{III}{Nouvelle méthode de prolongement analytique.} + +\Paragraph{62.} On arrive à d'autres résultats généraux et dignes d'intérêt +en se servant de la formule~\Eref{III}{I}{IV}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IV}\footnotemark. +\footnotetext{Pour cette Section, \textit{voir} pages 24--36 de notre Mémoire cité au~\no\Sref{35}.} +% [** End of footnote] + +Pour en faciliter +l'énoncé, nous admettrons d'abord les hypothèses suivantes: +\smallskip + +\primo~\textit{La fonction~$\phi(z)$ est holomorphe pour tout point $z\equiv \tau + it$ +faisant partie du demi-plan~$\tau\geqq 0$}; +\Pagelabel{page129}% + +\secundo~\textit{Quelque petit que soit le nombre positif~$\eps$, on aura +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{\eps\rho} + \qquad\textit{pour}\qquad -\smfrac{\pi}{2}\leqq\psi\leqq \smfrac{\pi}{2}, +\] +dès que $\rho$~dépassera une certaine limite finie}. +\smallskip + +En posant $f(z) = \phi(z)\,\Pow{x}{z}$, on conclut immédiatement de la +seconde hypothèse que la condition~\Eref{III}{I}{A} (\Pgref{p.}{eqn:III.I.A}), lorsque~$x$ est +réel et positif, est vérifiée uniformément pour $0\leqq\tau\leqq n$, quelque +grand que soit~$n$, et, par un calcul identique à celui de la \Pgref{page}{page125}, +on démontre que la condition~\Eref{III}{I}{B} est remplie si l'on suppose +$0<x<1$. Pour ces valeurs de~$x$, on pourra donc appliquer la +formule~\Eref{III}{I}{IV} avec $m = 0$, ce qui donne +\[ +F(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + H(x) + I(x), +\EqnTag{V}{III}{1} +\] +%% -----File: 142.png---Folio 130------- +où +\begin{align*} + H(x) &= i \int^{\infty}_0 + \frac{\varphi(it)\, \Pow{x}{it} - \varphi(-it)\, \Pow{x}{-it}}{\Pow{e}{2\pi i} - t}\, dt, +\EqnTag{V}{III}{2} \\[1ex] + I(x) &= \int^{\infty}_0 \varphi(\tau)\, \Pow{x}{\tau}\, d\tau, +\EqnTag{V}{III}{3} +\end{align*} + +L'étude de la fonction donnée~$F(x)$ est donc ramenée à celle +des fonctions $H(x)$ et~$I(x)$. + +En posant $x=r\,\Pow{e}{i\theta}$, on a +\[ +\Abs{\Pow{x}{it}} = \Pow{e}{-\theta t}, \qquad +\Abs{\Pow{x}{-it}} = \Pow{e}{ \theta t}; +\] +d'après l'hypothèse~\secundo, le module de l'expression qui dans~\Eref{V}{III}{2} +figure sous le signe intégral croîtra donc moins vite que~$\Pow{e}{-(2\pi - \Abs{\theta} - \eps)t}$, +quelque petit que soit~$\eps$, et, en raisonnant comme à la \Pgref{page}{page112}, +on en déduit ce premier résultat: + +\Theorem{V.III.1}{L'expression~$H(x)$ définit une fonction analytique de la +variable~$x \equiv r\,\Pow{e}{i\theta}$ qui est holomorphe pour tout point du domaine\[ +-2\pi < \theta < 2\pi,\qquad r > 0. +\] +} +% [** End of Theorem] + +Quant à l'expression~$I(x)$, nous nous bornerons pour le moment +à constater qu'elle définit une fonction holomorphe à l'intérieur +du cercle~$\Abs{x} = 1$, en exceptant l'origine. Ceci résulte immédiatement +de l'inégalité +\[ +\Abs{\varphi(\tau)\, \Pow{x}{\tau}} + < \Powfr{e}{-\tau\left(\log\fnfrac{1}{r} - \eps\right)}, +\] +qui, en vertu de l'hypothèse~\secundo, subsiste à partir d'une valeur finie +de~$\tau$, quelque petit qu'on se donne le nombre positif~$\eps$. + +La fonction~$F(x)$ est holomorphe pour~$\Abs{x}<1$, puisque, d'après +l'hypothèse~\secundo, le rayon de convergence de la série donnée est au +moins égal à \emph{un}. On peut donc conclure de l'égalité~\Eref{V}{III}{1} que~$H(x)$ +est également holomorphe pour~$\Abs{x}<1$, sauf à l'origine qui est +pour chacune des fonctions $H(x)$ et~$I(x)$ un \emph{point critique}, c'est-à -dire +un point singulier autour duquel différentes branches de la +fonction se permutent. +%[**F2: "f-" added to "-onction".] + +Désignons maintenant par~$\overline{H}(x)$ la branche de la fonction~$H(x)$ +qui est définie par l'intégrale~\Eref{V}{III}{2} dans le domaine $-\pi<\theta<\pi$, +et, de même, par~$\overline{I}(x)$ la branche de~$I(x)$ définie par l'intégrale~\Eref{V}{III}{3} +%% -----File: 143.png---Folio 131------- +dans le domaine $-\pi<\theta<\pi$, $r<1$, et soient d'autre part~$\overline{H}_1(x)$, +$\overline{I}_1(x)$ les nouvelles branches de ces mêmes fonctions qu'on obtient +en prolongeant~$\overline{H}_1(x)$, $\overline{I}_1(x)$ le long d'une courbe fermée faisant le +tour de l'origine dans le sens direct, et restant intérieure au cercle~$\Abs{x} = 1$. +Comme la somme $H(x) + I(x)$ est uniforme dans ce même +cercle, d'après l'égalité~\Eref{V}{III}{1}, on aura +\[ +\overline{H}_1(x) + \overline{I}_1(x) = \overline{H}(x) + \overline{I}(x), +\] +ou bien +\[ +\overline{H}_1(x) = \overline{H}(x) + \overline{I}(x) - \overline{I}_1(x), +\] +et il en résulte que, dans le domaine où était défini~$\overline{H}(x)$, la +branche~$\overline{H}_1(x)$ ne saurait présenter d'autres singularités que celles +de la fonction~$I(x)$. Cette conclusion s'étend successivement à +toutes les branches de~$H(x)$, et, après un moment de réflexion, on +arrive ainsi au résultat suivant, qui nous paraît intéressant: + +\smallskip +\textit{Sous les conditions énoncées \Pgref{page}{page129}, toute branche de la +fonction~$F(x)$ peut se mettre sous la forme $\smfrac{1}{2}\varphi(0)+\overline{H}(x)$ plus +ou moins certaines branches de la fonction~$I(x)$}. +\Pagelabel{page131}%% + +\textit{L'étude de la fonction~$F(x)$ revient donc essentiellement à +celle de la fonction~$I(x)$ et, en particulier, les singularités +de~$F(x)$ sont toutes comprises parmi celles des différentes +branches de~$I(x)$}. +\smallskip + +Cette proposition reste encore vraie si l'on remplace la condition~\secundo +par la suivante qui est plus générale: +\smallskip + +\textit{Quelque petit que soit~$\eps$, on aura +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{(\vartheta + \eps)\rho} +% [** PP: Changed "=" to "\leqq" in "-\smfrac{\pi}{2} = \psi"] + \qquad\textit{pour}\qquad -\smfrac{\pi}{2} \leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2},\quad\Changenotemark +\] +dès que $\rho$~dépassera une certaine limite, $\vartheta$~étant un nombre +positif inférieur à ~$\pi$}. +\Changenotetext{3} +\Erratum{3} +\smallskip + +L'intégrale~\Eref{V}{III}{2} définit dans ce cas une fonction holomorphe dans +le domaine $\Abs{\theta} < 2\pi - \vartheta$, $r>0$. + +Remarquons encore que la seconde partie de la proposition ci-dessus +reste valable dans le cas où les conditions données sont +vérifiées, non pas pour~$\varphi(z)$, mais pour~$\varphi(n_0+z)$, $n_0$~étant un +entier positif quelconque, pourvu toutefois que~$\varphi(z)$ soit +%% -----File: 144.png---Folio 132------- +holomorphe aussi sur le segment $0\leqq \tau \leqq n_0$ de l'axe réel. On le vérifie +immédiatement, en appliquant les résultats précédents à la série +\[ +\sum^{\infty}_0 \varphi(n_0+\nu)\, \Pow{x}{\nu}. +\] + +\Paragraph{63.} La proposition précédente permet d'étudier complètement +la fonction $F(x)$ toutes les fois qu'on sait calculer l'intégrale~$I(x)$ +sous forme finie. Nous en donnerons plus loin des exemples; mais +d'abord nous indiquerons un cas assez général où l'on peut poursuivre +l'étude de la fonction~$I(x)$ et, par suite, celle de la fonction~$F(x)$, +pour toutes les valeurs de la variable~$x$. Admettons les +hypothèses suivantes: +\smallskip + +\primo~\textit{La fonction~$\phi(z)$ est holomorphe dans le demi-plan~$\tau\geqq 0$}. + +\secundo~\textit{L'angle~$\psi_0$ étant donné aussi grand qu'on le voudra, on +peut trouver un nombre positif~$R$ tel que, en posant $z=\rho\,\Pow{e}{i\psi}$, la +fonction~$\varphi(z)$ soit holomorphe pour $-\psi_0\leqq \psi\leqq \psi_0$, $\rho\geqq R$ {\upshape(}sauf +peut-être à l'infini{\upshape)}.} + +\tertio~\textit{Quelque grand que soit~$\psi_0$ et quelque petit que soit~$\eps$, on +aura, dès que $\rho$~dépassera une certaine limite}, +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{\eps\rho} \qquad\textit{pour}\qquad + -\psi_0\leqq \psi\leqq \psi_0. +\] + +Ces conditions portent sur \textit{la branche principale} de~$\varphi(z)$, c'est-à -dire +sur celle qui fournit les coefficients de la série donnée. + +Nous allons montrer que, \textit{sous les conditions énoncées ci-dessus, +la fonction~$I(x)$ ne saurait présenter, à distance finie, d'autres +points singuliers que l'origine et le point} ($r = 1$, $\theta = 0$). +\smallskip + +Désignons par~$I(x,\psi)$ l'intégrale $\dint\varphi(z)\, \Pow{x}{z}\, dz$ prise de $0$ à ~$\infty$ +suivant le rayon formant avec l'axe réel positif l'angle~$\psi$, supposé +compris entre $-\smash{\smfrac{\pi}{2}}$ et~$\smash{\smfrac{\pi}{2}}$. En posant $x = r\,\Pow{e}{i\theta}$, $z = \rho\,\Pow{e}{i\psi}$, on aura +\[ +\Abs{\Pow{x}{z}} = \Pow{e}{\rho(\log r \cos\psi - \theta\sin\psi)}, +\] +et comme~$\Abs{\varphi(z)}$ croît moins vite que~$\Pow{e}{\eps\rho}$ sur le rayon envisagé, en +vertu de l'hypothèse~\tertio, on en conclut, en raisonnant comme à +la \Pgref{page}{page112}, que~$I(x, \psi)$ représente une fonction analytique holomorphe +dans le domaine $T(\psi)$, défini par les inégalités +\[ +\log r\cos\psi - \theta\sin\psi<0, \qquad r>0. +\EqnTag{V}{III}{4} +\] + +%% -----File: 145.png---Folio 133------- + +Je dis que cette fonction donne le prolongement de la fonction~$I(x)$, +définie par l'intégrale~\Eref{V}{III}{3}, à l'intérieur du cercle~$\Abs{x} = 1$. +Pour s'en assurer, on n'aura qu'à reprendre le raisonnement donné +\Pgref{page}{page93} et à observer que l'on a sur l'arc~$AB$, pour~$x$ réel et positif, +\[ +\Abs{\Pow{x}{z}\, \varphi(z)} < \Pow{e}{-R(\cos\psi\log\fnfrac{1}{x} - \eps)}, +\] +d'où il résulte que, si l'on suppose $0 < x < 1$, l'intégrale relative +à cet arc s'évanouit lorsque~$R$ croît indéfiniment. + +Le domaine~$T(\psi)$ comprend les points intérieurs à la spirale +\[ +r = \Pow{e}{\theta\tang\psi}. +\EqnTag{V}{III}{5} +\] +Pour $\psi=0$, celle-ci se confond avec la circonférence $r = 1$. A +mesure que~$\Abs{\psi}$ augmente, le domaine~$T(\psi)$ s'élargit et embrasse, +pour $\psi = \smfrac{\pi}{2}$, tout point ayant un argument~$\theta > 0$ et, pour~$\psi=-\smfrac{\pi}{2}$, +les points pour lesquels~$\theta<0$, d'où le résultat suivant: + +\Theorem{V.III.2}{La fonction~$I(x)$ reste holomorphe de quelque manière qu'on +fasse varier le point~$x$, à condition qu'il ne vienne se confondre +\Erratum{4}% +% [** PP: Added left endpoint; seems to be (0, oo) from context] +ni avec l'origine, ni avec un point situé sur le segment $\Segment{0}{\infty}$\Changenotemark\ +du rayon d'argument~$\theta=0$.} +\Changenotetext{4} + +\Pagelabel{page133}% +Lorsque $\Abs{\psi}$~croît au delà de~$\smfrac{\pi}{2}$ on doit dans l'expression~$I(x,\psi)$ +modifier le chemin d'intégration de manière à éviter les points singuliers +de la fonction~$\varphi(z)$. Pour fixer les idées, convenons de +choisir pour ce chemin le contour~$\Gamma$ qui se compose: \primo~du segment $\Segment{0}{R}$ +de l'axe réel; \secundo~de l'arc de la circonférence~$\Abs{z} = R$ +compris entre les points $z = R$ et~$z = R\,\Pow{e}{i\psi}$; \tertio~de la partie du +rayon d'argument~$\psi$ qui s'étend du point~$z = R\,\Pow{e}{i\psi}$ à l'infini. On +suppose $R$~choisi de telle sorte que $\varphi(z)$~soit holomorphe à l'intérieur +et sur le contour de la région comprise entre l'axe réel positif +et le rayon d'argument~$\psi$, et extérieure au cercle~$\Abs{z} = R$. + +Dans ces conditions, l'expression +\[ +I(x,\psi) \equiv \int_{\Gamma} \varphi(z)\, \Pow{x}{z}\, dz +\] +représentera, pour toute valeur donnée de~$\psi$, une fonction analytique +de~$x$ qui est holomorphe dans le domaine~$T(\psi)$, défini par~\Eref{V}{III}{4}, +%% -----File: 146.png---Folio 134------- +et cette fonction donnera constamment le prolongement de la fonction~$I(x)$. +En effet, si les valeurs $\psi'$ et~$\psi''$ sont suffisamment rapprochées, +les domaines $T(\psi')$ et~$T(\psi'')$ auront une portion commune, +et pour tout point~$x$ intérieur à cette portion les expressions +$I(x, \psi')$ et~$I(x, \psi'')$ prendront des valeurs égales, ce qu'on démontre +en raisonnant comme \Pgref{page}{page93}. En intercalant entre $0$ et~$\psi$ +une suite de valeurs suffisamment rapprochées et en comparant +entre elles deux à deux les expressions~$I(x, \psi)$ correspondant à +ces valeurs, on arrivera donc au résultat annoncé. + +Quant au domaine~$T(\psi)$, sa forme se modifie sans cesse lorsque~$\psi$ +varie. Ainsi, lorsque $\smfrac{\pi}{2}<\psi <\smfrac{3\pi}{2}$, de sorte que~$\cos\psi<0$, ce +domaine comprend la portion du plan qui est \textit{extérieure} à la +spirale~\Eref{V}{III}{5}, et, en particulier, pour~$\psi =\pi$, la portion extérieure à la +circonférence~$\Abs{x} = 1$. Pour $\smash[b]{\psi = \smfrac{3\pi}{2}}$, $T(\psi)$~se réduit au domaine +$\theta <0$; pour $\smfrac{3\pi}{2}<\psi<\smfrac{5\pi}{2}$, ce sera de nouveau la portion du plan +intérieure à la spirale~\Eref{V}{III}{5}, laquelle, pour~$\psi= 2\pi$, se confond avec +la circonférence~$\Abs{x} = 1$; et ainsi de suite. Pour les valeurs négatives +de~$\psi$, les choses se passent d'une manière analogue. +\Pagelabel{page134}% + +Cette discussion, qui deviendrait plus claire à l'inspection d'une +figure, conduit à la conclusion suivante: partant par exemple d'un +point situé sur le segment $\Segment{0}{1}$ du rayon d'argument~$\theta = 0$, faisons +décrire à la variable~$x$, d'un mouvement uniforme, une +courbe~$S$ qui ne passe ni par l'origine, ni par le point~$(r = 1,\theta = 0)$, +et qui aboutisse à un point quelconque~$x_1$ distinct de ces +deux points; on pourra prescrire à l'angle~$\psi$ une variation continue, +telle que le point~$x$, en décrivant la courbe~$S$, soit à chaque +instant intérieur au domaine~$T(\psi)$ et que, par suite, l'expression~$I(x, \psi)$ +soit holomorphe en ce point. Comme $I(x, \,\psi)$~donne le +prolongement de~$I(x)$, d'après ce qui a été dit plus haut, il en +résulte que la fonction~$I(x)$ est holomorphe en tout point de~$S$ et, +en particulier, au point~$x_1$, et comme celui-ci était un point quelconque +distinct des points $x = 0$ et~$(r = 1, \theta = 0)$, la proposition +énoncée au début de ce numéro se trouve donc démontrée. + +En se reportant maintenant à la proposition démontrée \Pgref{page}{page131}, +on arrive à l'intéressant résultat que voici: + +% [*** Page number face may need attention] +\Theorem{V.III.3}{Si les conditions énoncées \Pgref{page}{page129} sont vérifiées, la +%% -----File: 147.png---Folio 135------- +fonction~$F(x)$ ne saurait admettre d'autres points singuliers que +$1$,~$\infty$ et~$0$ {\upshape[}l'origine étant en général point singulier pour toute +branche de~$F(x)$ autre que la branche principale{\upshape]}.} + +Pour que ce résultat soit applicable, il suffit d'ailleurs que les +conditions dont il s'agit soient vérifiées pour~$\varphi(n_0 +z)$, $n_0$~étant un +entier positif quelconque. + +\Paragraph{64.} Nous indiquerons en quelques mots une généralisation du +résultat qui précède. En conservant les deux premières conditions +du \no\Sref{63}, convenons de remplacer la troisième par la suivante +qui est plus générale: + +\Theorem{V.III.4}{Quelque grand que soit~$\psi_0$ et quelque petit que soit~$\eps$, on +aura, à partir d'une certaine valeur de~$\rho$, +\[ +\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{(\vartheta + \eps)\rho} + \qquad\textit{pour}\qquad -\psi_0\leqq \psi\leqq \psi_0, +\] +$\vartheta$~désignant un nombre positif inférieur à ~$\pi$.} + +A chaque valeur donnée~$\psi$ on pourra évidemment faire correspondre +un nombre réel~$K(\psi)$, inférieur à ~$\vartheta$ et tel que, $\rho$~tendant +vers l'infini, le produit +\[ +\Pow{e}{-[K(\psi) + \eps]\rho}\, \varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi}) +\] +tende vers zéro ou non, suivant que $\eps >0$ ou~$\eps <0$. En raisonnant +comme au numéro précédent, on en conclut que l'expression~$I(x,\psi)$ +représente une fonction holomorphe de~$x$ dans le domaine +\[ +\log r\cos\psi - \theta\sin\psi + K(\psi) < 0,\qquad r > 0, +\EqnTag{V}{III}{6} +\] +et que cette fonction donne le prolongement de~$I(x)$; le théorème +de la \Pgref{page}{page131} nous permet donc d'énoncer le résultat suivant, qui +révèle un rapport intéressant entre les points singuliers de~$F(x)$ et +les propriétés asymptotiques de~$\varphi(z)$: + +\Theorem{V.III.5}{Si les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées, les seuls +points singuliers que puisse présenter~$F(x)$ à distance finie, en +dehors de l'origine, sont les points $x \equiv r\,\Pow{e}{i\theta}$ qui restent extérieurs +au domaine~\Eref{V}{III}{6} quel que soit~$\psi$.} + +Comme~$K(\psi)<\vartheta$, les points en question vérifieront à plus forte +%% -----File: 148.png---Folio 136------- +raison la condition $\log r\cos\psi-\theta\sin\psi+\vartheta>0$, quel que soit $\psi$, +d'où cette autre conclusion: + +\Theorem{V.III.6}{Sous les conditions admises ci-dessus, les points singuliers +de la fonction~$F(x)$, autres que l'origine et le point à l'infini, +sont tous compris à l'intérieur de la courbe fermée +\[ +r = \Pow{e}{\pm\sqrt{\Pow{\vartheta}{2} - \Pow{\theta}{2}}} +\] +enveloppe des spirales $\log r\cos\psi - \theta\sin\psi + \vartheta = 0$ correspondant +aux différentes valeurs de l'angle~$\psi$.} +% [** End of Theorem] + +Pour $\vartheta=0$, la courbe en question se réduit au seul point~$x = 1$, +de sorte que l'on retrouve le théorème du \no\Sref{63}. + +\Paragraph{65.} Reprenons les hypothèses du \no\Sref{63} et les notations du \no\Sref{62}; +on aura à l'intérieur du cercle~$\Abs{x} =1$ +\[ +\overline{F}(x) + = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + \overline{H}(x) + + \int_0^{\infty} \Pow{x}{\tau}\, \varphi(\tau)\, d\tau, +\] +et d'autre part, en désignant, comme à la \Pgref{page}{page126}, par~$\overline{F}_1(x)$ la +branche de la fonction~$F(x)$ qu'on obtient en prolongeant~$\overline{F}(x)$ le +long d'un chemin faisant le tour du point~$x = 1$ dans le sens +\textit{rétrograde}, il résulte des considérations des pages~\pageref{page133}--\pageref{page134} qu'on +aura dans le même cercle +\[ +\overline{F}_1(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + \overline{H}(x) + + \int_{\Gamma'} \Pow{x}{z}\, \varphi(z)\, dz, +\] +le contour~$\Gamma'$ étant composé: \primo~du segment $\Segment{0}{R}$ de l'axe réel; +\secundo~de la circonférence~$C_R$ de centre~$0$ et de rayon~$R$ (parcourue +dans le sens direct); \tertio~du segment $\Segment{R}{\infty}$ de l'axe réel. Quant +au nombre~$R$, on doit le choisir assez grand pour que la branche +principale de~$\phi(z)$ soit holomorphe pour $0 \leqq \psi\leqq2\pi$, $\rho\geqq R$, ce qui +est possible en vertu des hypothèses du \no\Sref{63}. + +Les égalités précédentes mettent en évidence certains cas généraux +où l'on pourra trouver pour la différence~$\overline{F}_1(x)-\overline{F}(x)$ une +expression valable dans tout le plan. +\smallskip + +($\alpha$).~\textit{La branche principale de~$\varphi(z)$ est uniforme à l'infini}.~---~Le +nombre~$R$ étant déterminé comme il a été dit, $\varphi(z)$~sera +%% -----File: 149.png---Folio 137------- +uniforme et holomorphe en dehors de~$C_R$ et sur cette circonférence, +d'où l'on déduit +\[ +\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) = \int_{C_R}\Pow{x}{z}\, \varphi(z)\, dz. +\] + +Or, d'après le théorème de Laurent, la fonction~$\varphi(z)$ sera représentée +pour $\Abs{z} \geqq R$ par un développement de la forme +\[ +\varphi(z) = \sum^{+\infty}_{-\infty} A_\nu \Pow{z}{\nu}, +\] +qui reste uniformément convergent sur~$C_R$, et en le substituant +dans l'égalité précédente, on aura +\[ +\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) + = 2\pi i\sum^{\infty}_1 \frac{A_{-\nu}}{(\nu-1)!}\, \Pow{(\log x)}{\nu-1}. +\] + +Le second membre est une fonction entière de~$\log x$. On peut +ainsi étudier la fonction~$F(x)$ dans tout le plan. + +($\beta$).~\textit{La fonction~$\varphi(z)$ est uniforme dans tout le plan et ne +présente qu'un nombre fini de points singuliers.}~---~Dans ce +cas, on retrouve un résultat établi au \no\Sref{59}: +\[ +\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) + = 2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(x)\bigr)\, \Pow{x}{z}. +\] + +% [** PP: Added opening parenthesis] +($\gamma$).~$\varphi(z) = \log R(z)$, $R(z)$~\textit{étant une fonction rationnelle.}~---~Soient +$a_1$,~$a_2$, $\dotsc,~a_n$ les affixes des \emph{zéros} et des pôles de la fonction~$R(z)$, +situés à distance finie, et soient $\mu_1,~\mu_2, \dotsc,~\mu_n$ leurs +ordres respectifs [$\mu_\nu$~étant un entier positif ou négatif suivant que +le point~$a_{\nu}$ est pour~$R(z)$ un \emph{zéro} ou un pôle]. Par une déformation +continue, on pourra ramener le contour~$\Gamma$' défini plus haut à +une suite de lacets, partant de l'origine et renfermant chacun un +seul point~$a$, plus le segment $\Segment{0}{+\infty}$ de l'axe réel. On trouve +ainsi, par un calcul facile que nous devons laisser au lecteur, +\[ +\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) + = -\frac{2\pi i}{\log x}\sum^n \mu_\nu\, \Pow{x}{a_\nu}, +\] +%% -----File: 150.png---Folio 138------- +égalité qui met en évidence le caractère des différentes branches +de la fonction donnée. + +\Paragraph{66.} En terminant, appliquons les considérations qui précèdent +à un exemple assez important. Faisons~$\varphi(z) = \Pow{z}{-s}$ et supposons la +partie réelle de~$s$ \textit{négative}; $\varphi(z)$~s'annulera à l'origine, et la +fonction~$F(x)$ s'écrira +\[ +F(x,s) \equiv \sum^{\infty}_1 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{\nu}{s}}. +\] + +Les conditions du \no\Sref{63} sont vérifiées, sauf que la fonction~$\varphi(z)$ +n'est pas holomorphe à l'origine. Mais, comme elle y prend une +valeur finie et déterminée, les résultats précédents seront encore +valables, comme on le voit en appliquant la formule~\Eref{III}{I}{V} de la +\Pgref{page}{eqn:III.I.V} avec~$m = 1$, et en tenant compte de la note de la \Pgref{page}{page60}. + +Dans le cas présent, l'intégrale~$I(x)$ se calcule sous forme finie: +\[ +I(x) \equiv \int^{\infty}_0 \Pow{x}{\tau}\, \Pow{\tau}{-s}\, d\tau + = \Gamma(1-s) \Pow{\Bigl(\log\smfrac{1}{x}\Bigr)}{s-1}, +\] +et l'expression~$H(x)$ s'écrit: +\[ +H(x) = -2\int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\, \sin\left(t\log x - \smfrac{\pi s}{2}\right)\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +de sorte que l'égalité~\Eref{V}{III}{1} nous donne +\[ +F(x,s) = \Gamma(1-s) \Pow{\left(\log\smfrac{1}{x}\right)}{s-1} + - 2\int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\, \sin\left(t\log x - \smfrac{\pi s}{2}\right)\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}. +\] + +On vérifie aisément sur cet exemple les résultats du \no\Sref{63}. En +particulier, les seuls points singuliers de~$I(x)$ sont l'origine, le +point à l'infini et le point ($r=1$, $\theta =0$). Donc aussi, d'après la +\Pgref{page}{page131}, $F(x,s)$~\textit{n'admet pas d'autres points singuliers que +$1$,~$\infty$ et~$0$.} D'ailleurs l'origine est effectivement point singulier pour +toute branche de~$F(x,s)$ autre que la branche principale. + +D'autre part, on constate aisément que \textit{toute branche de~$F(x,s)$ +tend vers zéro lorsqu'on s'éloigne indéfiniment de l'origine}, +dans une direction déterminée quelconque (\textit{cf.}~le \no\Sref{55}). + +La fonction~$H(x)$ étant holomorphe au point~$x = 1$, on peut la +développer en série convergente suivant les puissances ascendantes +%% -----File: 151.png---Folio 139------- +de~$\log x$. Les coefficients de ce développement, qui se présentent +d'abord sous forme d'intégrales définies, peuvent s'exprimer simplement +à l'aide de la fonction~$\zeta(s)$, en vertu de l'égalité~\Eref{V}{I}{8} de la +\Pgref{page}{eqn:V.I.8}. On trouve ainsi\footnotemark +\footnotetext{Ce résultat peut se déduire aussi d'une formule générale très remarquable + établie par M.~Mellin (\textit{Acta Soc.\ Scient.\ Fenn.},\ t.~XXIV, \no10, p.~39--42 +et~t.~XXIX, \no4, p.~42--44).} +% [** End of footnote] +\[ +F(x,s) = \Gamma(1-s) \Pow{\Bigl(\log\smfrac{1}{x}\Bigr)}{s-1} + + \sum^{\infty}_0 \zeta(s-\nu)\, \frac{\Pow{(\log x)}{\nu}}{\nu!}. +\EqnTag{V}{III}{7} +\] + +Quel est le domaine de convergence de ce développement? On +pourrait évidemment le déduire des propriétés de la fonction~$\zeta(s)$, +mais nous préférons nous servir de nos résultats généraux. Les +points singuliers de~$H(x)$ sont l'origine et le point à l'infini, ainsi +que le point~$x = 1$ lorsqu'on y arrive après avoir fait le tour de +l'origine, c'est-à -dire avec un argument~$\theta$ qui est un multiple +entier positif ou négatif de~$2\pi$. La plus petite valeur du +module~$\Abs{\log x}$ correspondant à un point singulier de~$H(x)$ ou +de~$\log x$, est donc précisément égale à ~$2\pi$, et il en résulte que +le développement~\Eref{V}{III}{7} reste convergent tant que $\Abs{\log x} < 2\pi$, +condition qui est vérifiée dans le domaine limité par les deux +courbes $r=\Pow{e}{\sqrt{4\Pow{\pi}{2}-\Pow{\theta}{2}} }$ et~$r=\Pow{e}{-\sqrt{4\Pow{\pi}{2}-\Pow{\theta}{2}}}$. + +On aura un développement analogue de l'expression~$H(x)$, +avec le même domaine de convergence, toutes les fois que sont +vérifiées les conditions du \no\Sref{62}. + +Nous avons supposé jusqu'ici la partie réelle de~$s$ négative, mais +il est facile de lever cette restriction. En effet, en se servant d'un +artifice bien connu dû à Riemann, on arrive à cette nouvelle +expression de~$H(x)$: +\[ +H(x) = \frac{2}{1 - \Pow{e}{-2\pi is}} + \int_C \Pow{t}{-s}\, \sin\left(t\log x - \smfrac{\pi s}{2}\right)\, + \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}, +\] +le contour~$C$ se composant, par exemple, des parties suivantes: +\primo~le segment $\Segment{\infty}{k}$ de l'axe réel $(0 < k < 1)$; \secundo~la circonférence~$\Abs{t} = k$, +parcourue dans le sens direct; \tertio~le segment $\Segment{k}{\infty}$, +de l'axe réel. Cette expression est valable pour toutes les valeurs +de~$s$, sauf les valeurs entières, et l'on en conclut que, sous les +%% -----File: 152.png---Folio 140------- +mêmes conditions, la fonction~$H(x)$ est holomorphe dans le +domaine $-2\pi<\theta<2\pi$, $r>0$. Donc, dans tous les cas, $1$,~$\infty$ +et~$0$ seront les seuls points singuliers de~$F(x, s)$. D'autre part, +l'expression ci-dessus peut évidemment se développer en série +convergente suivant les puissances ascendantes de~$\log x$, et comme +les coefficients de cette série sont des fonctions analytiques de~$s$ et +qu'ils doivent coïncider avec les coefficients correspondants du +développement~\Eref{V}{III}{7} lorsque la partie réelle de $s$~est négative, il en +résulte que ce dernier développement reste valable pour toutes les +valeurs de~$s$, sauf les valeurs entières et positives. + +Substituons maintenant dans la formule~\Eref{V}{III}{7} $s = k + \eps$, $k$~étant +un entier positif supérieur à l'unité. On déduit facilement des propriétés +connues de~$\Gamma(x)$: +\[ +\Gamma(1-s) \equiv \Gamma(1-k-\eps) + = -\smfrac{R}{\eps} + A_0 + A_1\eps + \dotsb, +\] +avec +\[ +R = \frac{\Pow{(-1)}{k-1}}{(k-1)!},\qquad +A_0= \frac{\Pow{(-1)}{k-1}}{(k-1)!} + \left(1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb + \smfrac{1}{k-1} - C\right), +\] +$C$~étant la constante d'Euler, et d'autre part on a, d'après la +\Pgref{page}{page104}, +\[ +\zeta\bigl[s-(k-1)\bigr] \equiv \zeta(1+\eps) + = \smfrac{1}{\eps} + C + \dotsb. +\] + +En faisant tendre~$\eps$ vers zéro, on trouvera donc pour la +fonction~\Eref{V}{II}{14} (\Pgref{p.}{eqn:V.II.14}) ce nouveau développement\footnotemark +\footnotetext{Ce développement peut se déduire aussi des résultats obtenus par Kummer +(\textit{Journal de Crelle}, t.~21; \emph{voir} en particulier p.~340).} +% [** End of footnote] +\begin{align*} + \sum^{\infty}_{\nu=1} \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{\nu}{k}} + &= \frac{\Pow{(\log x)}{k-1}}{(k-1)!}\, + \left(1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb + \smfrac{1}{k-1} + - \log\log\smfrac{1}{x}\right) \\ +% + &\quad + \sideset{}{'}\sum^{\infty}_{\nu=0} + \zeta(k-\nu)\, \frac{\Pow{(\log x)}{\nu}}{\nu!}, +\end{align*} +où l'accent affectant la dernière somme signifie que la valeur +$\nu = k - 1$ est exclue. Les coefficients de ce développement, qui +converge pour $\Abs{\log x} < 2\pi$, se simplifient d'ailleurs, grâce aux +relations~\Eref{II}{II}{6} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.6}) et~\Eref{IV}{III}{9} (\Pgref{p.}{eqn:IV.III.9}). + +%% -----File: 153.png---Folio 141------- + +A la fonction~$F(x,s)$ se rattachent d'autres fonctions intéressantes, +par exemple +\[ +\sum^{\infty}_1 \sin(\log\nu)\, \Pow{x}{\nu}\quad\text{et}\quad +\sum^{\infty}_1 (\log\nu)\Pow{x}{\nu}, +\] +dont la première a été considérée par M.~Hadamard dans sa Thèse. +Notre méthode permettrait de même d'étudier complètement la +fonction plus générale +\[ +\sum^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{(w + \nu)}{s}}. +\] + +Mais nous devons laisser au lecteur à développer ces applications +et bien d'autres qui se déduisent facilement de nos considérations +générales. + +\vfil +\begin{center} + FIN. +\end{center} +\vfil + +%% -----File: 154.png---Folio 142------- +%[Blank Page] + +%% -----File: 155.png---Folio 143------- + +\setlength{\tablelength}{\linewidth} +\settowidth{\lastcol}{Pages. } +\addtolength{\tablelength}{-\lastcol} + +\pagestyle{empty} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\Pagelabel{ToC} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Table des Matières}{Table des Matières} +\noindent\rule{\linewidth}{0.5pt} \\[6ex] +\begin{center} +\textbf{\LARGE TABLE DES MATIÈRES.} +\vspace*{2ex} + +\bigTbreak + +%% [** PP: Lots of hard-coded dimensions, OK at current page size] +\begin{tabular}{@{} r@{\:}c@{}l@{}r @{}} +\multicolumn{4}{@{}r@{}}{Pages.}\\ +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[Preface]{\textsc{Préface}}\dotfill} +&\textsc{\pageref{Preface}}\\[0.5ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[Index]{\textsc{Index}}\dotfill}& \textsc{\pageref{Index}}\\[1ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:I]{\textsc{Chapitre \phantom{I}I.\, ---\;Principes et théorèmes fondamentaux}}\dotfill}&\pageref{chapter:I}\\[1ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:II]{\textsc{Chapitre II.\, ---\;Applications diverses du calcul des résidus}}\dotfill}& \pageref{chapter:II}\\[0.5ex] + I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\hangindent=1em \textit{Fonctions symétriques des racines d'une équation. ---\,Dével\-oppe\-ment des fonctions implicites} \dotfill}&\raisebox{-2.7ex}{\pageref{section:II.I}}\\ + II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Quelques applications aux fonctions méromorphes}\dotfill}& \pageref{section:II.II}\\ + III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Calcul de quelques intégrales définies}\dotfill}&\pageref{section:II.III}\\[1ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hangindent=10em \hyperref[chapter:III]{\textsc{Chapitre III.\, ---\;Formules sommatoires tirées du calcul des résidus}}\dotfill}& \pageref{chapter:III}\\[0.5ex] + I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.8 \tablelength}}{\hangindent=1em \textit{Recherches de Cauchy. --- Transformations diverses des formules générales}\dotfill}&\raisebox{-2.7ex}{\pageref{section:III.I}}\\ + & &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Notes historiques}\dotfill.}&\pageref{paragraph:35}\\ + II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Quelques applications des formules précédentes}\dotfill}&\pageref{section:III.II}\\ + III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{La formule sommatoire d'Euler et autres formules analogues}\dotfill}&\pageref{section:III.III}\\[1ex] +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:IV]{\textsc{Chapitre IV.\, ---\;Les fonctions} $\Gamma(x)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,w)$}\dotfill.}&\pageref{chapter:IV}\\[0.5ex] + I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\hangindent=1em \textit{Expressions diverses de $\log \Gamma(x)$ et de ses dérivées sous forme d'intégrales définies}\dotfill}& \raisebox{-2.7ex}{\pageref{section:IV.I}}\\ + II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Développements asymptotiques de} $\log \Gamma(x)$\dotfill}& \pageref{section:IV.II}\\ + III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Les fonctions $\zeta(s)$ et $\zeta(s,w)$}\dotfill}&\phantom{a}\pageref{section:IV.III}\\[1ex]% +\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hangindent=8em\hyperref[chapter:V]{\textsc{Chapitre V.\, ---\;Applications au prolongement analytique et à l'étude asymptotique des fonctions définies par un développement de Taylor}}\dotfill}&\raisebox{-5.3ex}{\pageref{chapter:V}}\\[2.8ex] %[** PP: changed ``a l'étude'' to ``à l'étude''] + + I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Deux théorèmes généraux}\dotfill}&\pageref{section:V.I}\\ + II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Applications diverses}\dotfill}&\pageref{section:V.II}\\ +\phantom{\textsc{Ch}} III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Nouvelle méthode de prolongement analytique}\dotfill}&\pageref{section:V.III}\\[2ex] +\multicolumn{4}{@{}c@{}}{FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.}\\ +\end{tabular} +\end{center} +\end{minipage} + + +\clearpage + +%% -----File: 156.png---Folio 144------- + +\null\vfil +\begin{center} + +\rule[1ex]{0.2\textwidth}{.5pt} +\bigskip + +\textsc{\small 35785 PARIS. --- IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS,} +\smallskip + +{\footnotesize Quai des Grands-Augustins, 55.} +\bigskip + +\rule[1ex]{0.2\textwidth}{.5pt} + +\end{center} +\vfil + +\cleardoublepage + +%% -----File: 157.png---Folio 145------- +%[Blank Page] + +%% -----File: 158.png---Folio 146------- +%[**F1: line breaks, font sizes, line spacing etc will need attention in PP once page dimensions are known] + +\enlargethispage{36pt} + +\vspace*{-1in} + +\begin{center} +\large LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS,\\ + +\small\textsc{quai des grands-augustins, 55, a paris} (6\ieme).\\[2ex] +\rule{8em}{.4pt}\\[4ex] +\end{center} + +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Catalogue}{Catalogue} + +\addtolength{\parskip}{1ex} % increase spacing between catalogue entries +\footnotesize + +\noindent\hangindent\parindent\hangafter1% +\textbf{BOREL (Émile)}, Maître de Conférences à l'École Normale supérieure. --- % [**F1: to avoid ugly overfull line using default pagewidth] +\textbf{Collection +de monographies sur la Théorie des fonctions}, publiée sous +la direction de \textsc{Émile} \bsc{Borel}. % [**'É' unclear in this whole page] + +\medskip +\textit{Leçons sur la théorie des fonctions} (\textit{Éléments de la théorie des ensembles +et applications}), par \textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1898\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les fonctions entières}, par \textsc{Émile} \bsc{Borel}; 1900\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les séries divergentes}, par \textsc{Émile} \bsc{Borel}; 1901\Dotfill 4~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les séries à termes positifs}, professées au Collège de France par +\textsc{Émile} \bsc{Borel}, recueillies et rédigées par \textit{Robert d'Adhémar}; 1902\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les fonctions méromorphes}, professées au Collège de France par +\textsc{Émile} \bsc{Borel}, recueillies et rédigées par \textit{Ludovic Zoretti}; 1903\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives}, professées +au Collège de France par \textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}, 1904\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en +séries de polynomes}, professées à l'Ecole Normale supérieure par \textsc{Émile +Borel} et rédigées par \textit{Maurice Fréchet}, avec des Notes par \textsc{Paul Painlevé} +et \textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}; 1905\Dotfill 4~fr.\ 50~c. + +\textit{Leçons sur les fonctions discontinues}, professées au Collège de France, +par \textsc{René} \bsc{Baire}, rédigées par \textit{A.~Denjoy}; 1905\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions}, par +\textsc{Ernst} \bsc{Lindelöf}; 1905\Dotfill 3~fr.\ 50~c. + +\textit{Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plusieurs +variables complexes}, par \textsc{Pierre} \bsc{Cousin}\Dotfill (\textit{En préparation.}) + +\textit{Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe}, par \textsc{Émile} +\bsc{Borel}\Dotfill (\textit{En préparation.}) + +\textit{Leçons sur les Correspondances entre variables réelles}, par \textsc{Jules} +\bsc{Drach}\Dotfill (\textit{En préparation.}) + +\textit{Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini}, par \textsc{Otto} +\bsc{Blumenthal}\Dotfill (\textit{En préparation}) + + +\textit{Leçons sur les séries trigonométriques}, par \textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}\Dotfill (\textit{En préparation.}) + +\medskip + +\noindent\hangindent\parindent\hangafter1% +\textbf{HALPHEN (G.-H.)}, Membre de l'Institut. --- \textbf{Traité des fonctions elliptiques +et de leurs applications}. 3 volumes grand in-8, se vendant +séparément: + +\addtolength{\leftskip}{3\parindent} +\parindent-1.5\parindent % [**F1: indent the lot and hang the first line to the left; there must be a proper LaTeX way to do this but I can't think of it at the moment] +\footnotesize +I\iere{} \textsc{Partie}: \textit{Théorie des fonctions elliptiques et de leurs développements +en série}; 1886\Dotfill 15~fr. + +II\ieme{} \textsc{Partie}: \textit{Applications à la Mécanique, à la Physique, à la Géodésie, +à la Géométrie et au Calcul intégral}; 1888\Dotfill 20~fr. + +III\ieme{} \textsc{Partie}: \textit{Fragments.} (\textit{Quelques applications à l'Algèbre et en +particulier à l'équation du 5\ieme degré. Quelques applications à la +théorie des nombres. Questions diverses.}) Publié par les soins de la +Section de Géométrie de l'Académie des Sciences; 1891\Dotfill 8~fr.\ 50~c. +\medskip +\hrule +\smallskip + +\noindent\small35785\hfill\tiny + Paris. --- Imp.\ GAUTHIER-VILLARS, quai des Grands-Augustins, 55\hfill\phantom{35785} + +\vfil + +\cleardoublepage + +%% Transcriber's notes +\normalsize +\begin{minipage}{5in} +\Pagelabel{Notes}% + +\begin{center} + \textsc{Notes sur la Transcription} + + \rule{0.2\textwidth}{0.5pt} \\[6ex] +\end{center} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Notes sur la Transcription}{Notes sur la Transcription} + +Quatre erreurs typographiques ont été corrigée, dénotée dans ce texte +par~$({}^\dagger)$. +\bigskip + +\begin{itemize} + +% Folio 9 in original +\item[Note~1.] (\ErrNote{1}) Ajouter des parenthèses autour de~$\nu$: + \[ + f(x) = \sum_0^\infty \frac{\Pow{f}{\nu}(a)}{\nu!}\Pow{(x-a)}{\nu} + \Change + f(x) = \sum_{0}^{\infty} \frac{\Pow{f}{(\nu)}(a)}{\nu!} \Pow{(x-a)}{\nu}. + \] + +% Folio 125 in original +\item[Note~2.] (\ErrNote{2}) Ajouter un~$i$ à l'exponent du + deuxième terme du dénominateur: + \[ + \Abs{\Phi(x,z)} = \Pow{r}{\alpha}\, + \dfrac{\Abs{\phi(\alpha + it)}}{\Pow{e}{\pi i} + \Pow{e}{-\pi}} + \Change + \Abs{\Phi(x,z)} + = \Pow{r}{\alpha}\, \frac{\Abs{\phi(\alpha + it)}} + {\Pow{e}{\pi i} + \Pow{e}{-\pi i}}. + \] + +% Folio 131 in original +\item[Note~3.] (\ErrNote{3}) Dans la condition, remplacer l'égalité + par~``$\leqq$'': + \[ + -\smfrac{\pi}{2} = \psi \leqq \smfrac{\pi}{2} + \Change + -\smfrac{\pi}{2} \leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}. + \] + +% Folio 133 in original +\item[Note~4.] (\ErrNote{4}) Le bout gauche a été fait~$0$ à la base + du contexte: + \begin{quote} + \dots ni avec un point situé sur le segment $\Segment{0}{\infty}$ + du rayon\dots + \end{quote} + Dans original: $\Segment{}{\infty}$ + +\end{itemize} + +\end{minipage} + +\cleardoublepage + +\fancyhead[C]{{\scshape\small Licensing.}} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG License}{Project Gutenberg License} + +{\small +\begin{alltt} +*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS *** + +***** This file should be named 29781-pdf.pdf or 29781-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + https://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29781/ + +Updated editions will replace the previous one--the old editions will +be renamed. + +Creating the works from print editions not protected by U.S. copyright +law means that no one owns a United States copyright in these works, +so the Foundation (and you!) can copy and distribute it in the +United States without permission and without paying copyright +royalties. 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Redistribution is subject to the trademark +license, especially commercial redistribution. + +START: FULL LICENSE + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE +PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK + +To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work +(or any other work associated in any way with the phrase `Project +Gutenberg'), you agree to comply with all the terms of the Full +Project Gutenberg-tm License available with this file or online at +www.gutenberg.org/license. + +Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project +Gutenberg-tm electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or +destroy all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your +possession. If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a +Project Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound +by the terms of this agreement, you may obtain a refund from the +person or entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph +1.E.8. + +1.B. `Project Gutenberg' is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this +agreement and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm +electronic works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (`the +Foundation' or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection +of Project Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual +works in the collection are in the public domain in the United +States. If an individual work is unprotected by copyright law in the +United States and you are located in the United States, we do not +claim a right to prevent you from copying, distributing, performing, +displaying or creating derivative works based on the work as long as +all references to Project Gutenberg are removed. 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You may convert to and distribute this work in any binary, +compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including +any word processing or hypertext form. However, if you provide access +to or distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format +other than `Plain Vanilla ASCII' or other format used in the official +version posted on the official Project Gutenberg-tm website +(www.gutenberg.org), you must, at no additional cost, fee or expense +to the user, provide a copy, a means of exporting a copy, or a means +of obtaining a copy upon request, of the work in its original `Plain +Vanilla ASCII' or other form. Any alternate format must include the +full Project Gutenberg-tm License as specified in paragraph 1.E.1. + +1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, +performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works +unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + +1.E.8. 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INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in +accordance with this agreement, and any volunteers associated with the +production, promotion and distribution of Project Gutenberg-tm +electronic works, harmless from all liability, costs and expenses, +including legal fees, that arise directly or indirectly from any of +the following which you do or cause to occur: (a) distribution of this +or any Project Gutenberg-tm work, (b) alteration, modification, or +additions or deletions to any Project Gutenberg-tm work, and (c) any +Defect you cause. + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of +computers including obsolete, old, middle-aged and new computers. It +exists because of the efforts of hundreds of volunteers and donations +from people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future +generations. To learn more about the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation and how your efforts and donations can help, see +Sections 3 and 4 and the Foundation information page at +www.gutenberg.org + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non-profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Contributions to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by +U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's business office is located at 809 North 1500 West, +Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887. Email contact links and up +to date contact information can be found at the Foundation's website +and official page at www.gutenberg.org/contact + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without +widespread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine-readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. Compliance requirements are not uniform and it takes a +considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up +with these requirements. We do not solicit donations in locations +where we have not received written confirmation of compliance. 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Hart was the originator of the Project +Gutenberg-tm concept of a library of electronic works that could be +freely shared with anyone. For forty years, he produced and +distributed Project Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of +volunteer support. + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as not protected by copyright in +the U.S. unless a copyright notice is included. Thus, we do not +necessarily keep eBooks in compliance with any particular paper +edition. + +Most people start at our website which has the main PG search +facility: www.gutenberg.org + +This website includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{alltt} +\end{document} diff --git a/old/29781-t 2021-12-19.zip b/old/29781-t 2021-12-19.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..8fef7cf --- /dev/null +++ b/old/29781-t 2021-12-19.zip |