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You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Theorie der Abel'schen Functionen % +% % +% Author: Karl Weierstrass % +% % +% Release Date: August 26, 2009 [EBook #29780] % +% Most recently updated: June 11, 2021 % +% % +% Language: German % +% % +% Character set encoding: UTF-8 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL'SCHEN FUNCTIONEN *** +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{29780} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% fontenc: Font encoding, for German hyphenation. Required. %% +%% babel: German hyphenation rules. Required. %% +%% %% +%% amsmath: AMS math environments, symbols, and fonts. 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Hwang, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, + linktocpage=true, + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +% Re-crop screen-formatted version +% [** PP: Needs adjustment? Eqn #s on p. 42 extend into left margin.] +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {} + {\hypersetup{pdfpagescrop= 60 85 552 757}} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%% +% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width +\newenvironment{PGtext}{% +\begin{alltt} +\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}% +{\end{alltt}} + + +%%%% Translation strings for PDF bookmarks %%%% +\newcommand{\FrontMatter}{Titelseite} +\newcommand{\Boilerplate}{PG Titelblatt} +\newcommand{\TransNote}{Anmerkung der Korrekturleser} +\newcommand{\TransNotes}{Anmerkungen der Korrekturleser} + +\newcommand{\BackMatter}{Anhänge} +\newcommand{\License}{PG Lizenz} + + +% large, but more or less matches the book +\setlength{\parindent}{3em} + +\newtheoremstyle{th}{12pt}{\topsep}{\itshape}{\parindent}{\upshape}% +{\ }{\newline}{\hfill\thmname{#1}\hfill} + +\theoremstyle{th} +\newtheorem*{theorem}{\so{Theorem}.} + +\newtheoremstyle{proof}{12pt}{\topsep}{}{\parindent}{\upshape}% +{\ }{\newline}{\hfill\thmname{#1}\hfill} + +\theoremstyle{proof} +\newtheorem*{beweis}{\so{Beweis}.} + + +% Subdivisions +\newcommand{\Chapter}[1]{% + \section*{\centering #1}% +% ToC entry or PDF bookmark + \ifthenelse{\boolean{ToC}}{% + \phantomsection% + \label{chapter:#1}% + \addcontentsline{toc}{chapter}{\protect{#1}}% + }% else create manual bookmark + {\pdfbookmark[0]{#1}{chapter:#1}}% +} + +\newcounter{Section} + +\newcommand{\Section}[1]{% + \refstepcounter{Section}% + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\subsection*{\centering #1}}% + \subsubsection*{\centering\S.~\theSection.}% + \label{section:\theSection}% +% ToC entry or PDF bookmark + \ifthenelse{\boolean{ToC}}{% + \phantomsection% + \addcontentsline{toc}{section}{Abschnitt~\theSection}% + }% else create manual bookmark + {\pdfbookmark[1]{Abschnitt \theSection.}{section:\theSection}}% +} + +\newcommand{\Subsection}[1]{% +\medskip\par\noindent\quad\textit{{\bfseries #1}.}} + + +%% Footnote formatting: Number per page, use symbols, format *) +\MakePerPage{footnote} + +\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} + +\makeatletter +\def\@makefnmark{\hbox{\upshape\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})\ }} +\makeatother + +% for Change notes +\DeclareNewFootnote[para]{Ch}[roman] +\newcommand{\Changenotemark}{({}^\ddag)} + +\newcommand{\Changenotetext}[1]{\FootnotetextCh{\ddag}{\ #1\ im Text.} +} + +% Put equation tag in left margin; must come just after \[ (or equiv.) +\newcommand{\Lmargintag}[1]{\makebox[0pt][r]{(#1)\quad}} + +\newcommand{\tsum}{\sum} + +% Accommodate unusual over/undersets and exponents +\newcommand{\Atop}[2]{\overset{\mbox{\tiny\ensuremath{#1}}}{#2}} +\newcommand{\Underset}[2] +{\underset{\mbox{\footnotesize\ensuremath{\rule{0pt}{2ex}#1}}}{#2}} + + +% globally adjust size of super- and sub-scripts +\makeatletter +\DeclareMathSizes{\@xiipt}{\@xiipt}{10}{8} +\makeatother + +% macros (and stubs) for exponents and fractions, obviated by previous +% command but laborious to remove from file +\newcommand{\Powfr}[2]{{#1}^{#2}} % for fractions in the exponent +\newcommand{\Pow}[2]{{#1}^{#2}} % for inline exponents + +\newcommand{\smfrac}[2]{\mbox{\footnotesize$\dfrac{#1}{#2}$}} +\newcommand{\fnfrac}[2]{\mbox{\scriptsize$\dfrac{#1}{#2}$}} + + +\newcommand{\Neg}{\phantom{-}} + +\newcommand{\Auth}[1]{{\normalfont\bfseries\itshape #1}} +\newcommand{\Defn}[1]{{\normalfont\bfseries\itshape #1}} + +% Math Font +\newcommand{\MF}[1]{\boldsymbol{#1}} + +% and miscellaneous consequent symbols +\newcommand{\fraka}{\mathfrak{a}} +\newcommand{\frakb}{\mathfrak{b}} +\newcommand{\frakc}{\mathfrak{c}} + +\newcommand{\frakJ}{\mathfrak{J}} + +\newcommand{\frakM}{\mathfrak{M}} +\newcommand{\frakm}{\mathfrak{m}} +\newcommand{\ofrakM}{\Atop{0}{\frakM}} + +\newcommand{\frakn}{\mathfrak{n}} +\newcommand{\frakN}{\mathfrak{N}} + +\newcommand{\frakp}{\mathfrak{p}} +%\newcommand{\pbar}{\overline{\vphantom{l}\MF{p}}} % ugly, but matches scan +\newcommand{\pbar}{\overline{\MF{p}}} + +\newcommand{\frakr}{\mathfrak{r}} + +\newcommand{\frakU}{\mathfrak{U}} + +% expression appears repeatedly; raise bottom of radical slightly +\newcommand{\sqrtRx}{\sqrt{\vphantom{\MF{R}(x_2)}\smash[b]{\MF{R}(x_\varrho)}}} + +\DeclareMathOperator{\Al}{\mathfrak{Al}} +\DeclareMathOperator{\Alrm}{Al} +\DeclareMathOperator{\al}{al} +\DeclareMathOperator{\am}{am} + +\DeclareMathOperator{\sn}{sn} +\DeclareMathOperator{\cn}{cn} +\DeclareMathOperator{\dn}{dn} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{document} + +\pagenumbering{Roman} +\pagestyle{empty} + +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{\FrontMatter.}{front} + +\pdfbookmark[1]{\Boilerplate.}{bplate} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{PGtext} +Project Gutenberg's Theorie der Abel'schen Functionen, by Karl Weierstrass + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Theorie der Abel'schen Functionen + +Author: Karl Weierstrass + +Release Date: August 26, 2009 [EBook #29780] +Most recently updated: June 11, 2021 + +Language: German + +Character set encoding: UTF-8 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL'SCHEN FUNCTIONEN *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} + +\clearpage + +\begin{PGtext} +Produced by K.F. Greiner, Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson +and the Online Distributed Proofreading Team at +\end{PGtext} + +\vfill + +\phantomsection +\pdfbookmark[1]{\TransNote.}{transnote} + +\begin{minipage}{0.8\textwidth} +\subsubsection*{\centering \TransNote} + +\small +\raggedright + +\TransNoteText +\end{minipage} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\frontmatter + +\pagenumbering{roman} +\pagestyle{empty} + +\allowhyphens + +% Table of contents not in original; put before title page +\ifthenelse{\boolean{ToC}}{% + \tableofcontents + \cleardoublepage +}{} % else do nothing + +%% {-----File: 001.png---(Title page)-------} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{center} +\LARGE \textbf{\so{Theorie}} \\[48pt] + +\Huge \textbf{der Abel'schen Functionen} \\[64pt] + +\footnotesize von \\[48pt] + +\Large \textbf{Karl Weierstraß.} \\[48pt] + +\rule{0.2\textwidth}{0.5pt} \\[48pt] + +\normalsize\so{Erstes Heft}. \\[24pt] + +\scriptsize +Abdruck aus dem "`Journal für die reine und angewandte Mathematik.'' \\[48pt] + +\includegraphics[width=4.5in]{images/tb} \\[12pt] +%% thoughtbreak symbol + +\normalsize\textbf{\so{Berlin}}. \\[12pt] + +\footnotesize Druck und Verlag von Georg Reiner. \\[12pt] + +\normalsize\textbf{1856}. +\end{center} +\end{minipage} +\vfill + +%% {-----File: 002.png---Folio xx-------} +%[Blank Page] +%% {-----File: 003.png---Folio 1-------} + + +\mainmatter + +\pagenumbering{arabic} + +\pagestyle{fancy} +\fancyhead{} +\fancyfoot{} +\setlength{\headheight}{14.5pt} +\fancyhead[C]{---\quad\thepage\quad---} +\thispagestyle{empty} + +\section*{\centering\so{Einleitung}} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Einleitung.}{chapter:0} + +\hspace*{\parindent}{\Huge\textbf{D}}as \Auth{Abel}'sche Theorem über die hyperelliptischen Integrale bildet die +Grundlage für die Theorie einer neuen Gattung analytischer Functionen, die +deswegen passend \Defn{Abel'sche Functionen} genannt, und folgendermaßen definirt +werden können. + +Es bedeute +\[ +\MF{R}(x) = \MF{A}_0(x-a_1)(x-a_2)\dotsm(x-a_{2\varrho+1}) +\] +eine ganze Function $(2\varrho+1)$ten Grades von~$x$, wobei angenommen werde, +daß unter den Größen +\[ +a_1,\quad a_2,\quad \dots,\quad a_{2\varrho+1} +\] +keine zwei gleiche sich finden, während sie im Ãœbrigen beliebige (reelle und +imaginäre) Werthe haben können. Ferner seien $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ $\varrho$~unbeschränkt +veränderliche Größen, und zwischen diesen und eben so vielen von +ihnen abhängigen $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_\varrho$ die nachstehenden Differential-Gleichungen, +in denen +\[ +\MF{P}(x) \quad\text{das Product}\quad (x-a_1)(x-a_2)\dotsm(x-a_\varrho) +\] +bedeutet, gegeben: +\begin{align*} +d\MF{u}_1 +&= \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_1)}{x_1 - a_1} \centerdot \frac{dx_1}{\sqrt{\MF{R}(x_1)}} + + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_2)}{x_2 - a_1} \centerdot \frac{dx_2}{\sqrt{\MF{R}(x_2)}} + + \dots + + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_\varrho)}{x_\varrho - a_1} + \centerdot \frac{dx_\varrho}{\sqrtRx}, \\ +d\MF{u}_2 +&= \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_1)}{x_1 - a_2} \centerdot \frac{dx_1}{\sqrt{\MF{R}(x_1)}} + + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_2)}{x_2 - a_2} \centerdot \frac{dx_2}{\sqrt{\MF{R}(x_2)}} + + \dots + + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_\varrho)}{x_\varrho - a_2} + \centerdot \frac{dx_\varrho}{\sqrtRx}, \\ +\multispan{2}{\dotfill} \\ +d\MF{u}_\varrho +&= \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_1)}{x_1 - a_\varrho} \centerdot \frac{dx_1}{\sqrt{\MF{R}(x_1)}} + + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_2)}{x_2 - a_\varrho} \centerdot \frac{dx_2}{\sqrt{\MF{R}(x_2)}} + +\dots + + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_\varrho)}{x_\rho - a_\varrho} + \centerdot\frac{dx_\varrho}{\sqrtRx};\footnotemark +% [** Final numerator subscript missing in scan] +\end{align*} +\footnotetext{Man kann diesen Differential-Gleichungen mancherlei verschiedene Formen geben; +die hier gewählte vereinfacht die Rechnung nicht unwesentlich, ohne daß, wie später +soll gezeigt werden, der Allgemeinheit Abbruch geschieht.}% +%% {-----File: 004.png---Folio 2-------} +mit der Bestimmung, daß $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ die Werthe $a_1$, $a_2$, $\dots,~a_{\varrho}$ annehmen +sollen, wenn $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_{\varrho}$ sämmtlich verschwinden. + +Alsdann sind $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ als die Wurzeln einer Gleichung von +der Form +\[ +x^\varrho + \MF{P}_1 x^{\varrho-1} + \MF{P}_2 x^{\varrho-2} + \dots + \MF{P}_{\varrho} = 0 +\] +zu betrachten, wo $\MF{P}_1$, $\MF{P}_2$, $\dots,~\MF{P}_{\varrho}$ eindeutige analytische Functionen von +$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_{\varrho}$ bedeuten; während eine zweite ganze Function von~$x$ des +$(\varrho-1)$ten Grades +\[ +\MF{Q}_1 x^{\varrho-1} + \MF{Q}_2 x^{\varrho-2} + \dots + \MF{Q}_{\varrho}\,, +\] +deren Coefficienten eben solche Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots~\MF{u}_{\varrho}$ sind, wenn +man $x=x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ setzt, die zugehörigen Werthe von +\[ +\sqrt{\MF{R}(x_1)},\quad \sqrt{\MF{R}(x_2)},\quad \dots,\quad \sqrtRx +\] +giebt.\footnote{Den ersten Theil dieses Satzes hat bereits \Auth{Jacobi} ausgesprochen, und dadurch +den wahren analytischen Charakter der Größen $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ klar gemacht.} + +Hiernach ist jeder rational und symmetrisch aus +\[ +x_1, x_2, \dots, x_\varrho \quad\text{und}\quad +\sqrt{\MF{R}(x_1)}, \sqrt{\MF{R}(x_2)}, \dots, \sqrtRx +\] +zusammengesetzte Ausdruck als eine eindeutige Function von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots~\MF{u}_{\varrho}$ +anzusehn. Insbesondere aber zeigt es sich, daß das Product +\[ +(a_\frakr - x_1) (a_\frakr - x_2) \dotsm (a_\frakr - x_{\varrho}), +\] +wo $\frakr$ eine der Zahlen $1$, $2$, $\dots~2\varrho + 1$ bedeutet, das \Defn{Quadrat} einer solchen +ist. Betrachtet man demgemäß, indem man +\[ +\varphi(x) = (x - x_1) (x - x_2) \dotsm (x - x_{\varrho}) +\] +setzt, und unter $h_1$, $h_2$, $\dots,~h_{2\varrho+1}$ Constanten versteht, die Größen +\[ +\sqrt{h_1 \varphi(a_1)},\quad +\sqrt{h_2 \varphi(a_2)},\quad +\dots,\quad +\sqrt{\vphantom{h_2\varphi}\smash[b]{h_{2\varrho+1} \varphi(a_{2\varrho+1})}} +\] +als Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_{\varrho}$, so kann man nicht nur aus denselben +die Coefficienten der Gleichung, deren Wurzeln $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ sind, leicht +zusammensetzen, sondern sie zeichnen sich auch gleich den \Defn{elliptischen} +$ \sin\am\MF{u}$, $\cos\am\MF{u}$, $\Delta\am\MF{u}$, auf welche sie sich für $\varrho = 1$ reduciren, und +denen sie überhaupt vollkommen analog sind, durch eine solche Menge merkwürdiger +und fruchtbarer Eigenschaften aus, daß man ihnen und einer Reihe +anderer, im Zusammenhange mit denselben stehenden, vorzugsweise den Namen +"`\Defn{Abel'sche Functionen}'' zu geben berechtigt ist, und sie zum Hauptgegenstande +der Betrachtung zu machen aufgefordert wird. + +%% {-----File: 005.png---Folio 3-------} + +Die nächste Aufgabe, welche sich nun darbietet, betrifft die wirkliche +Darstellung der im Vorstehenden definirten Größen, sowie die Entwicklung +ihrer hauptsächlichsten Eigenschaften. Sodann ist es auch erforderlich, das +Integral +\[ +\int\Biggl\{ + \frac{\MF{F}(x_1)\, dx_1}{\sqrt{\MF{R}(x_1)}} + + \frac{\MF{F}(x_2)\, dx_2}{\sqrt{\MF{R}(x_2)}} + + \dots + + \frac{\MF{F}(x_\varrho)\, dx_\varrho}{\sqrtRx} + \Biggr\}, +\] +wo $\MF{F}(x)$ eine beliebige rationale Function von $x$ bedeutet, als Function von +$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ auszudrücken. Beide Probleme finden in der gegenwärtigen +Schrift, deren Resultate ich zum Theil schon früher in zwei kleinern Abhandlungen\footnote{% +Programm des \textit{Braunsberger} Gymnasiums v.~J.~1849 und \textit{Crelle}'s Journal Bd.~47.} +bekannt gemacht habe, ihre vollständige Erledigung, und zwar auf +einem Wege, welcher von dem für die \Auth{Abel}'schen Functionen \textit{zweier} Argumente +von \Auth{Göpel} und \Auth{Rosenhain} betretenen gänzlich verschieden ist. Die +genannten Mathematiker gehen nämlich von unendlichen Reihen aus, die sie +aus denen, durch welche \Auth{Jacobi} die elliptischen Functionen auszudrücken +gelehrt hat, durch eine von tiefer analytischer Einsicht zeugende Verallgemeinerung +erhalten, und zeigen dann, wie sich aus denselben, die zwei veränderliche +Größen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$ enthalten, die Coefficienten einer quadratischen +Gleichung so zusammensetzen lassen, daß zwischen deren Wurzeln und $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$ +zwei Differential-Gleichungen von der oben aufgestellten Form bestehen. +Dagegen war mein Bestreben von Anfang an auf die Auffindung einer Methode +gerichtet, die geeignet sei, unmittelbar von den genannten Differential-Gleichungen +aus für jeden Werth von $\varrho$ auf einem einfachen, alle Willkührlichkeit +ausschließenden Wege zur Darstellung der Größen $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_\varrho$ als +Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ in einer für alle Werthe der letztern gültig +bleibenden Form zu führen. Durch weitere Ausbildung eines Verfahrens, +dessen ich mich bereits früher zur directen Entwicklung der elliptischen +Functionen, ohne Voraussetzung der Multiplications -- und Transformations-Formeln +mit gutem Erfolge bedient hatte, gelang es mir, das Ziel, welches +ich mir gesteckt, vollständig zu erreichen; wo sich denn als schließliches Resultat +meiner Untersuchungen ergab, daß sich sämmtliche \Auth{Abel}'sche Functionen +einer bestimmten Ordnung auf eine einzige, in einfacher Form darstellbare +Transcendente zurückführen lassen. Damit ist aber für sie dasselbe erreicht, +was für die elliptischen Functionen \Auth{Jacobi} gethan hat, und was \Auth{Lejeune +Dirichlet} in seiner Gedächtnißrede auf den großen Mathematiker mit Recht +als eine der bedeutendsten Leistungen desselben bezeichnet. + +%% {-----File: 006.png---Folio 4-------} + +Die vorliegende Arbeit ist unter mancherlei äußern Hemmungen entstanden, +die mir nur von Zeit zu Zeit, und oftmals nach langer Unterbrechung, +mit derselben mich zu beschäftigen gestatteten. Ohne Zweifel wird man Spuren +davon an nicht wenigen Stellen entdecken. Gleichwohl hoffe ich, daß ihr die +Sachkundigen auch in der Gestalt, wie ich sie jetzt ihrer Beurtheilung vorlege, +nicht ganz ihren Beifall versagen, und wenigstens \textit{ein} Ergebniß derselben mit +Befriedigung aufnehmen werden, die Thatsache nämlich, daß sich die elliptischen +und die \Auth{Abel}'schen Functionen nach einer für alle Ordnungen gleich +bleibenden und zugleich directen Methode behandeln lassen; und ich trage kein +Bedenken, zu gestehen, daß ich auf \textit{dieses} Resultat meiner Arbeit einigen +Werth lege, und es als ein für die Wissenschaft nicht unbedeutendes betrachte. + +\begin{center}{\rule{0.2\textwidth}{0.5pt}}\end{center}% + +\Chapter{Erstes Kapitel.} + +\Section{Erklärung der Abel'schen Functionen; Bestimmung der +analytischen Form derselben.} + +Ich beginne mit der Ermittelung der Form, unter welcher der Zusammenhang +zwischen den Größen $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_\varrho$ und $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ dargestellt +werden kann. Zuvörderst aber möge, zur Vermeidung von Wiederholungen, +hier ein für allemal in Betreff einiger Bezeichnungen, die ich im Verlaufe +der ganzen Abhandlung unverändert beibehalten werde, Folgendes festgestellt +werden. + +Die ersten Buchstaben des deutschen Alphabets, $\fraka$, $\frakb$, $\frakc~\dots$ sollen, +sobald nicht ausdrücklich etwas Anderes bestimmt wird, ausschließlich Zahlen +aus der Reihe +\[ +1,\quad 2,\quad \dots,\quad \varrho +\] +bedeuten, in der Art, daß jeder derselben, wo er in einer Formel vorkommt, +unabhängig von den übrigen etwa in ihr sich findenden, sämmtliche dieser +Reihe angehörigen Werthe durchlaufen kann. Ein Ausdruck, der einen oder +mehrere dieser Buchstaben enthält, repräsentirt demnach, je nachdem die Zahl +derselben~$1$, oder~$2$, oder~$3$ u.~s.~w.\ ist, $\varrho$, oder~$\varrho^2$, oder~$\varrho^3$ u.~s.~w.\ Werthe. +Die Summe aller dieser Werthe soll dann ferner durch ein dem Ausdrucke +%% {-----File: 007.png---Folio 5-------} +vorgesetztes $\sum$ bezeichnet werden, und zwar in der Regel ohne besondere +Andeutung der Buchstaben, auf welche es sich bezieht, was nur in dem Falle +nicht unterbleiben darf, wenn außer derselben noch andere deutsche Buchstaben +vorkommen. Hiernach ist z.~B. +\begin{align*} + \tsum \MF{F}(\fraka) + &= \tsum\limits_{\fraka=1}^{\fraka=\varrho} \MF{F}(\fraka) \\ +% + \tsum \MF{F}(\fraka, \frakb) + &= \tsum\limits_{\fraka=1}^{\fraka=\varrho} + \tsum\limits_{\frakb=1}^{\frakb=\varrho} \MF{F}(\fraka, \frakb). + \intertext{Dagegen soll} + \tsum\limits_{\fraka} \MF{F}(\fraka, \frakb) + &= \tsum\limits_{\fraka=1}^{\fraka=\varrho} \MF{F}(\fraka, \frakb) \\ +% + \tsum\limits_{\fraka, \frakb} \MF{F}(\fraka, \frakb, \frakc) + &= \tsum\limits_{\fraka=1}^{\fraka=\varrho} + \tsum\limits_{\frakb=1}^{\frakb=\varrho} \MF{F}(\fraka, \frakb, \frakc) +\end{align*} +sein; u.~s.~w. + +Kommt es in einem besondern Falle vor, daß bei einer solchen Summation +ein Buchstabe von den festgesetzten Werthen irgend einen bestimmten +nicht annehmen darf, so soll darauf durch ein dem $ \sum $ oben beigefügtes ($'$) +aufmerksam gemacht, und zugleich der auszuschließende Werth neben der +Summenformel angegeben werden; wonach z.~B. die Bedeutung der Formel +\[ + {\sum_\fraka}' \biggl(\frac{1}{a_\fraka - a_\frakb} \biggr)\;, + \quad (\fraka \gtrless \frakb) +\] +klar ist. + +Endlich bemerke ich noch, daß eine Gleichung, die einen, oder zwei +u.~s.~w.\ der in Rede stehenden deutschen Buchstaben enthält, ein System von +$\varrho$, oder $\varrho^2$ u.~s.~w.\ Gleichungen darstellt; so daß z.~B.\ die in der Einleitung +aufgestellten Differential-Gleichungen sämmtlich in der folgenden +\[ +\tag{1.} +d\MF{u}_\frakb = \sum_\fraka +\frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\frakb} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} +\] +enthalten sind. + +Dies vorausgeschickt soll nun zunächst gezeigt werden, daß sich +$x_1$, $x_2$, $\dots,~x_\varrho $ bei hinlänglich kleinen Werthen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ nach ganzen +positiven Potenzen dieser Größen in convergirende Reihen entwickeln lassen. + +Wenn die Differenz $x - a_\frakr$, wo $\frakr$ irgend eine der Zahlen $1$,~$2$, $\dots,~2\varrho+1$ bezeichnen soll, dem absoluten Betrage\footnote +{Unter dem absoluten Betrage oder Werthe einer complexen (imaginären) Größe +verstehe ich hier den analytischen Modul derselben, wie er sonst genannt wird. Der +Umstand, daß das Wort \textit{Modul} in so verschiedenem Sinne gebraucht wird, und namentlich +in der Theorie der elliptischen und \Auth{Abel}'schen Functionen bereits eine feststehende Bedeutung +hat, möge die Einführung der vorgeschlagenen Benennung entschuldigen.} nach kleiner ist als die +%% {-----File: 008.png---Folio 6-------} +Differenz zwischen $ a_\frakr$ und jeder andern der Größen $a_1$, $a_2$, $\dots,~a_{2\varrho+1}$ (was +durch den Ausdruck "`es befinde sich $x$ in der Nähe von $a_\frakr$'' bezeichnet werden +möge), so läßt sich +\begin{gather*} + \frac{1}{\sqrt{\MF{R}(x)}} + \quad \text{durch eine convergirende Reihe von der Form} \\ + \frac{1}{\sqrt{\MF{R}'(a_\frakr)(x - a_\frakr)}} + \centerdot \Bigl\{1 + (\frakr)_1\, (x - a_\frakr) + + (\frakr)_2\, (x - a_\frakr)^2 + \dotsb \Bigr\} +\end{gather*} +darstellen, wo $\MF{R}'(x) = \smfrac{\partial \MF{R}(x)}{\partial x}$, und $(\frakr)_1$, $(\frakr)_2$ u.~s.~w.\ rational aus $a_\frakr$ und den +Coefficienten von $\MF{R}(x)$ zusammengesetzte Ausdrücke sind. + +Wird daher angenommen, es befinde sich $x_1$ in der Nähe von $a_1$, $x_2$ +in der Nähe von $a_2$ u.~s.~w., und setzt man, +\[ +\frac{\MF{R}(x)}{\MF{P}(x)} + = \MF{A}_0(x - a_{\varrho+1}) \dotsm (x - a_{2\varrho+1}) + \quad\text{mit}\quad \MF{Q}(x),\qquad + \dfrac{\partial \MF{P}(x)}{\partial x} \quad\text{mit}\quad\MF{P}'(x) +\] +bezeichnend, +\[ +\tag{2.} +\sqrt{\biggl(\frac{\MF{P}'(a_\fraka)}{\MF{Q}(a_\fraka)} (x_\fraka - a_\fraka)\biggr)} += s_\fraka\,, +\] +so hat man +\[ +\frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - x_\frakb} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + = \Bigl((\fraka, \frakb)_0 + + (\fraka, \frakb)_1\, s_\fraka^2 + + (\fraka, \frakb)_2\, s_\fraka^4 + \dotsb \Bigr)\, ds_\fraka\,, +\] +wo $(\fraka, \frakb)_0$, $(\fraka, \frakb)_1$ u.~s.~w.\ rationale, aus $a_\fraka$, $a_\frakb$ und den Coefficienten von +$\MF{P}(x)$, $\MF{Q}(x)$ zusammengesetzte Ausdrücke bedeuten, und insbesondere +\[ +(\fraka, \fraka)_0 = 1, \quad +(\fraka, \frakb)_0 = 0, \quad\text{wenn $\fraka \gtrless \frakb$,} +\] +ist. Hiernach geben die Gleichungen (1.) durch Integration +\[ +\tag{3.} +\left\{ +\begin{aligned} +\MF{u}_1 &= s_1 + \Underset{\frakn = 1 \dotsc \infty} + {\mathbf{S}\, \Biggl\{ \sum \frac{(\fraka, 1)_\frakn}{2\frakn+1}\, + s_\fraka^{2\frakn+1} \Biggr\}}, \\[1ex] +% +\MF{u}_2 &= s_2 + \Underset{\frakn = 1 \dotsc \infty} + {\mathbf{S}\, \Biggl\{ \sum \frac{(\fraka, 2)_\frakn}{2\frakn+1}\, + s_\fraka^{2\frakn+1} \Biggr\}}, \\[1ex] +% +\multispan{2}{\dotfill} \\[1ex] +% +\MF{u}_\varrho +&= s_\varrho + \Underset{\frakn = 1 \dotsc \infty} + {\mathbf{S}\, \Biggl\{ \sum \frac{(\fraka, \varrho)_\frakn}{2\frakn+1}\, + s_\fraka^{2\frakn+1} \Biggr\}}. +\end{aligned} +\right. +\] +Aus diesen Reihen erhält man dann ferner durch Umkehrung die folgenden, +in denen $(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\frakn$ eine ganze homogene Function $\frakn$ten Grades von +$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ bezeichnen soll. +%% {-----File: 009.png---Folio 7-------} +\[ +\tag{4.} +\left\{ +\begin{aligned} + s_1 &= \sqrt{\biggl(\frac{{\MF{P}}'(a_1)}{\MF{Q}(a_1)} (x_1-a_1)\biggl)} + = \MF{u}_1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_3 + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_5 + \dotsb, \\[1ex] +% + s_2 &= \sqrt{\biggl(\frac{\MF{P}'(a_2)}{\MF{Q}(a_2)} (x_2-a_2)\biggl)} + = \MF{u}_2 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_3 + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_5 + \dotsb, \\[1ex] +% +\multispan{2}{\dotfill} \\[1ex] +% + s_\varrho + &= \sqrt{\biggl(\frac{\MF{P}'(a_\varrho)}{\MF{Q}(a_\varrho)} (x_\varrho-a_\varrho)\biggl)} + = \MF{u}_\varrho + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_3 + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_5 + \dotsb. +\end{aligned} +\right. +\] +Ferner, da sich +\begin{gather*} + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + \quad\text{in eine Reihe von der Form} \\ + s_\fraka + (\fraka)_1\, s_\fraka^3 + (\fraka)_2\, s_\fraka^5 + \cdots +\end{gather*} +entwickeln läßt, +\[ +\tag{5.} +\Underset{ (\fraka=1, 2, \dotsc, \varrho) } + { \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + = \frac{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}{\MF{Q}(x_\fraka)} + = \MF{u}_\fraka + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_3 + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_5 + \dotsb +}\;. % [** PP: Added period] +\] +Die vorstehenden Reihen können nicht für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ +convergiren, sondern nur für solche, die gewisse Bedingungen erfüllen. Es +ist aber für den gegenwärtigen Zweck nicht erforderlich, diese aufzusuchen; +es genügt vielmehr anzunehmen, daß die Reihen~(3 -- 5) für \textit{irgend welche} +Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, deren absolute Beträge durch $\MF{U}_1$, $\MF{U}_2$, $\dotsc,~\MF{U}_\varrho$ +bezeichnet werden mögen, sämmtlich convergent seien -- wozu man nach +einem allgemeinen Satze über die Reihenentwicklungen von Functionen, die +algebraischen Differential-Gleichungen genügen, berechtigt ist\footnote{% +Vergl.\ meine Abhandlung über die analytischen Facultäten in \textit{Crelle}'s Journal +Bd.~51.\ S.~43.% +}. +Dann sind +sie es auch unbedingt, sobald man für $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ nur solche Werthe +zuläßt, die dem absoluten Betrage nach kleiner als beziehlich $\MF{U}_1$, $\MF{U}_2$, $\dotsc,~\MF{U}_\varrho$ +sind, und geben unter dieser Voraussetzung +\[ + x_1,\ x_2,\ \dotsc,\ x_\varrho,\quad + \sqrt{\MF{R}(x_1)}, \sqrt{\MF{R}(x_2)}, \dotsc, \sqrtRx +\] +als völlig bestimmte, eindeutige Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$. Wenn man +aber die vorstehenden Größen für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ innerhalb +der bezeichneten Gränzen berechnen kann, so ist durch das \Auth{Abel'sche Theorem} +die Möglichkeit gegeben, dieses auch für \textit{beliebig große} Werthe der genannten +Veränderlichen auszuführen. + + +\Section{} % \S.~2. + +Um dieses nachzuweisen, nehme man statt $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho\,(2\mu)$ Reihen +von je $\varrho$ solchen veränderlichen Größen +%% {-----File: 010.png---Folio 8-------} +\[ +\tag{1.} +\left\{\begin{alignedat}{4} +&\MF{u}'_1, && \MF{u}'_2, && \dotsc, && \MF{u}'_\varrho, \\ +&\MF{u}''_1, && \MF{u}''_2, && \dotsc, && \MF{u}''_\varrho, \\ +\multispan{8}{\dotfill\quad}\\[1ex] +&\MF{u}^{(2\mu)}_1,\ && \MF{u}^{(2\mu)}_2,\ && \dotsc,\quad && \MF{u}^{(2\mu)}_\varrho +\end{alignedat}\right. +\] +an, die keiner andern Beschränkung unterworfen sein sollen, als daß +\[ +\MF{u}'_\fraka,\ \MF{u}''_\fraka,\ \dotsc,\ \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka +\] +sämmtlich dem absoluten Betrage nach kleiner als $\MF{U}_\fraka$ vorausgesetzt werden. +Ferner bezeichne man, wenn $\frakm$ eine der Zahlen $1$, $2$, $\dotsc,~2\mu$ bedeutet, mit +\iffalse % matches scan +\begin{alignat*}{4} +& s^{(\frakm)}_1, && s^{(\frakm)}_2, && \dotsc, && s^{(\frakm)}_\varrho, \\ +& x^{(\frakm)}_1, && x^{(\frakm)}_2, && \dotsc, && x^{(\frakm)}_\varrho, \\ + & \sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_1) },\ +&& \sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_2) },\ && \dotsc,\quad +&& \sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_\varrho) } +\end{alignat*} +\fi +% [** PP: centered entries] +\[ +\begin{array}{cccc} +s^{(\frakm)}_1, & s^{(\frakm)}_2, & \dotsc, & s^{(\frakm)}_\varrho, \\[1ex] +x^{(\frakm)}_1, & x^{(\frakm)}_2, & \dotsc, & x^{(\frakm)}_\varrho, \\[1ex] +\sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_1)},\ & +\sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_2)},\ & \dotsc, & +\sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_\varrho) } +\end{array} +\] +die Größen, welche man für +\iffalse % matches scan +\begin{alignat*}{4} +& s_1, && s_2, && \dotsc, && s_\varrho, \\ +& x_1, && x_2, && \dotsc, && x_\varrho, \\ +& \sqrt{ \MF{R}(x_1) },\ && \sqrt{ \MF{R}(x_2) },\ && \dotsc,\quad && \sqrt{ \MF{R}(x_\varrho) } +\end{alignat*} +\fi +% [** PP: centered entries] +\[ +\begin{array}{cccc} +s_1, & s_2, & \dotsc, & s_\varrho, \\[1ex] +x_1, & x_2, & \dotsc, & x_\varrho, \\[1ex] +\sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x_1)}, & +\sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x_2)}, & \dotsc, & +\vphantom{\big|}\sqrtRx % \varrho subscript causes radical to descend too far +\end{array} +\] +vermittelst der Reihen $(4, 5)$ des vorhergehenden \S.\ erhält, wenn man dort +$\MF{u}^{(\frakm)}_1$, $\MF{u}^{(\frakm)}_2$, $\dotsc,~\MF{u}^{(\frakm)}_\varrho$ an die Stelle von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ setzt. Sodann hat +man zwei ganze Functionen $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$ von der Form +\[ +\tag{2.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + \MF{M}(x) &= x^{\mu\varrho} +{} && \MF{M}_1 x^{\mu\varrho-1} && {}+ \dots +{} & \MF{M}_{\mu\varrho}, \\ + \MF{N}(x) &= && \MF{N}_1 x^{\mu\varrho-1} && {}+ \dots +{} & \MF{N}_{\mu\varrho}, \\ +\end{alignedat}\right. +\] +vermittelst der folgenden $(2\mu\varrho)$ Gleichungen +\[ +\tag{3.} +\left\{\Underset{ (\fraka = 1, 2, \dotsc, \varrho) }{% +\begin{alignedat}{4} + & \MF{M}(x'_\fraka) & \frac{\sqrt{\MF{R}(x'_\fraka) }}{\MF{Q}(x'_\fraka) } +{} & \MF{N}(x'_\fraka) && = 0, +\\[1ex] + & \MF{M}(x''_\fraka) & \frac{\sqrt{\MF{R}(x''_\fraka)}}{\MF{Q}(x''_\fraka)} +{} & \MF{N}(x''_\fraka) && = 0, +\\[1ex] +\multispan{6}{\dotfill} +\\[1ex] + & \MF{M}(x^{(2\mu)}_\fraka) +& \frac{\sqrt{ \MF{R}(x^{(2\mu)}_\fraka) }} + { \MF{Q}(x^{(2\mu)}_\fraka) } +{} & \MF{N}(x^{(2\mu)}_\fraka) && = 0, +\end{alignedat}}\right. +\] +zu bestimmen, worauf die ganze Function $(2\mu\varrho + \varrho)$ten Grades +\[ +\MF{P}(x)\, \MF{M}^2(x) - \MF{Q}(x)\, \MF{N}^2(x) +\] +für $x=x'_1$, $\dotsc,~x'_\varrho$, $x''_1$, $\dotsc,~x''_\varrho$, $\dotsc,~x^{(2\mu)}_1$, $\dotsc,~x^{(2\mu)}_\varrho$ Null wird, und daher +%% {-----File: 011.png---Folio 9-------} +durch das Product +\[ + (x-x'_1) \dotsm (x-x'_\varrho) + (x-x''_1) \dotsm (x-x''_\varrho) \dotsm + (x-x^{(2\mu)}_1) \dotsm (x-x^{(2\mu)}_\varrho), +\] +welches durch $\mathit{\Pi}(x)$ bezeichnet werden möge, theilbar ist, so daß man +\[ +\tag{4.} +\MF{P}(x)\, \MF{M}^2(x) - \MF{Q}(x)\, \MF{N}^2(x) = \mathit{\Pi}(x)\,\varphi(x) +\] +setzen kann, wo $\varphi(x)$ eine ganze Function von der Form +\[ +x^\varrho + \MF{P}_1 x^{\varrho-1} + \MF{P}_2 x^{\varrho-2} + \dotsb + \MF{P}_\varrho +\] +bedeutet, in der $\MF{P}_1$, $\MF{P}_2$, $\dotsc,~\MF{P}_\varrho$ rational aus +\[ +\tag{5.} +\left\{ +\begin{alignedat}{4} +\vphantom{\sqrt{\MF{R}(x'_\varrho)}} +& x'_1, && x'_2, && \dotsc, && x'_\varrho,\\ +\vphantom{\sqrt{\MF{R}(x''_\varrho)}} +& x''_1, && x''_2, && \dotsc, && x''_\varrho,\\ +\multispan{8}{\strut\dotfill\ }\\[.5ex] +\vphantom{\sqrt{\MF{R}(x^{(2\mu)}_\varrho)}} +& x^{(2\mu)}_1,\ && x^{(2\mu)}_2,\ && \dotsc,\ && x^{(2\mu)}_\varrho, +\end{alignedat}\right. +\quad\text{und}\quad +\begin{alignedat}{4} +& \sqrt{\MF{R}(x'_1)}, && \sqrt{\MF{R}(x'_2)}, &&\dotsc, && \sqrt{\MF{R}(x'_\varrho)},\\ +& \sqrt{\MF{R}(x''_1)}, && \sqrt{\MF{R}(x''_2)}, &&\dotsc, && \sqrt{\MF{R}(x''_\varrho)},\\ +\multispan{8}{\strut\dotfill\ }\\[.5ex] +&\sqrt{\MF{R}(x^{(2\mu)}_1)},\ && \sqrt{\MF{R}(x^{(2\mu)}_2)},\ &&\dotsc,\ && \sqrt{\MF{R}(x^{(2\mu)}_\varrho)}, +\end{alignedat} +\] +zusammengesetzt, und daher auch als eindeutige Functionen der Größen (1.) +zu betrachten sind. Bezeichnet man jetzt mit $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ die $\varrho$ Wurzeln +der Gleichung +\[ +\varphi(x) = 0, +\] +so gelten nach dem \Auth{Abel'schen Theorem} die $\varrho$ Gleichungen, die sich aus +der nachstehenden +\[ +\tag{6.} +\sum_\fraka \frac{1}{2} \Biggl\{ + \dfrac{\MF{P}(x'_\fraka)}{x'_\fraka - a_\frakb} \centerdot + \dfrac{dx'_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x'_\fraka)}} + + \dfrac{\MF{P}(x''_\fraka)}{x''_\fraka-a_\frakb} \centerdot + \dfrac{dx''_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x''_\fraka)}} + \dotsb \Biggr\} += \sum_\fraka \frac{1}{2}\, + \dfrac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\frakb} \centerdot + \dfrac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} +\] +ergeben, indem man $\frakb = 1$, 2, $\dotsc,~\varrho$ setzt, unter der Bedingung, daß man +der Wurzelgröße $\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}$ den durch die Gleichung +\[ + \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} += \frac{\MF{P}(x_\fraka)\, \MF{M}(x_\fraka)}{\MF{N}(x_\fraka)} += \frac{\MF{Q}(x_\fraka)\, \MF{N}(x_\fraka)}{\MF{M}(x_\fraka)} +\tag{7.} +\] +bestimmten Werth beilege\footnotemark. Nun ist aber +\footnotetext{In Betreff des Beweises dieses Satzes verweise ich auf \Auth{Abel's} Abhandlung: %** NB fixed obvious typo in Abe'ls +% [** PP: Italicizing Crelle] +Remarques sur quelques propriétés etc.\ in \textit{Crelle}'s Journal, B.~3, S.~313 und {\OE}uvres +complètes, tome~I, 288. Einen auf ganz andern Principien beruhenden Beweis des +Satzes werde ich später geben.} +\[ +{\sum\limits_\fraka} \frac{1}{2}\, + \frac{\MF{P}(x'_\fraka)}{x'_\fraka - a_\frakb} \centerdot + \frac{dx'_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x'_\fraka)}} += d\MF{u}'_\frakb, +\quad +{\sum\limits_\fraka} \frac{1}{2}\, + \frac{\MF{P}(x''_\fraka)}{x''_\fraka-a_\frakb} \centerdot + \frac{dx''_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x''_\fraka)}} += d\MF{u}''_\frakb,~\text{u.~s.~w.} +\] +%% {-----File: 012.png---Folio 10-------} +Daher +\[ +\tag{8.} +\Underset{(\frakb = 1, 2, \dotsc, \varrho)}{% + d\MF{u}'_\frakb + d\MF{u}''_\frakb + \dotsb + d\MF{u}^{(2\mu)}_\frakb += {\sum\limits_\fraka} \frac{1}{2}\, + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\frakb} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}. +} +\] +Bevor aber aus diesen Gleichungen weitere Folgerungen gezogen werden, +ist es nothwendig, die Zusammensetzungsweise der Coefficienten von $\MF{M}(x)$, +$\MF{N}(x)$, $\varphi(x)$ aus den Größen~(5.) oder (1.) einer nähern Betrachtung zu +unterwerfen. + +\Section{} % \S.~3. + +Es läßt sich, wenn $x$ in der Nähe von $a_{\fraka}$ angenommen und +\[ +\tag{1.} + \sqrt{ + \biggl(\frac{\MF{P}'(a_{\fraka})}{\MF{Q}(a_{\fraka})} + (x - a_{\fraka} )\biggr)} = s, \qquad + x = a_{\fraka} + \frac{\MF{Q}(a_{\fraka})}{\MF{P}'(a_{\fraka})}\, s^2 +\] +gesetzt wird, +\[ + \frac{ \sqrt{\MF{R}(x)}}{\MF{Q}(x)} \quad \text{oder}\quad + \frac{\MF{P}(x)}{\sqrt{\MF{R}(x)}} +\] +in eine convergirende Reihe +\[ +\tag{2.} + s + (\fraka)_1\, s^3 + (\fraka)_2\, s^5 + \cdots +\] +entwickeln, welche mit $\MF{R}_{\fraka}(s)$ bezeichnet werden möge, so wie auch die +Functionen von $s$, in welche $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$, $\MF{P}(x)$, $\MF{Q}(x)$ durch die Substitution +\[ + x = a_{\fraka} + + \frac{\MF{Q}(a_{ \fraka})}{\MF{P}' (a_{ \fraka})}\, s^2 +\] +übergehen, durch $\MF{M}_{\fraka}(s)$, $\MF{N}_{\fraka}(s)$, $\MF{P}_{\fraka}(s)$, $\MF{Q}_{\fraka}(s)$ angedeutet werden sollen. Ferner +setze man +\[ +\tag{3.} +\left\{\begin{aligned} +(s - s'_{\fraka}) (s - s''_{\fraka}) \dotsm (s - s^{(2 \mu)}_{\fraka}) +&= \pi_{\fraka}(s), \\ +\MF{M}_{\fraka}(s)\, \MF{R}_{\fraka}(s) + \MF{N}_{\fraka}(s) +&= f_{\fraka}(s), +\end{aligned}\right. +\] +so kann auch $f_{\fraka}(s)$ für jeden Werth von $s$, der so beschaffen ist, daß der +zugehörige Werth von $x$ in der Nähe von $a_{\fraka}$ liegt, in eine convergirende +Reihe entwickelt werden. Es ist klar, daß $s'_{\fraka}$, $s''_{\fraka}$, u.~s.~w.\ in Folge der +oben in Betreff der Größen (1, §.~2.) gemachten Annahme sämmtlich zu diesen +Werthen von $s$ gehören. + +Angenommen nun, es sei überhaupt $f(s)$ eine Function von $s$, die sich +für alle Werthe dieser Veränderlichen, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner +als ein bestimmter Gränzwerth $\mathrm{S}$ sind, durch eine convergirende Reihe von +der Form +\[ +\MF{A}_0 + \MF{A}_1 s + \MF{A}_2 s^2 + \cdots +\] +%% {-----File: 013.png---Folio 11-------} +%[** PP: Changing several ``n''s to \frakn +darstellen lasse, und $\pi(s)$ bedeute eine ganze Function $\frakn$ten Grades, wobei +zugleich angenommen werde, daß die Wurzeln der Gleichung $\pi(s)=0$ sämmtlich +dem absoluten Betrage nach kleiner als $\mathrm{S}$ seien. Alsdann läßt sich für +jeden Werth von $s$, der seinem absoluten Betrage nach größer als jede dieser +Wurzeln ist, +\[ +\frac{1}{\pi(s)} = \MF{C}_0 s^{-\frakn} + \MF{C}_1 s^{-\frakn-1} + \MF{C}_2 s^{-\frakn-2} + \cdots += \Underset{\frakm = 0 \dotsc \infty } + {\mathbf{S}\, \MF{C}_\fraka\, s^{-\frakn-\frakm} } +\] +setzen (wo $\frakm$, so wie überhaupt im Folgenden die Buchstaben $\frakm$, $\frakn$, $\frakp$, eine +ganze Zahl, die alle Werthe zwischen den Gränzen 0 und $\infty$ annehmen +kann, +bezeichnet), und man erhält daher, indem man diese Reihe mit der für $f(s)$ +multiplicirt, wenn der absolute Werth von $s$ zugleich kleiner als $\mathbf{S}$ ist, +\[ +\begin{split} + \frac{f(s)}{\pi(s)} + = \MF{D}_0 &+ \MF{D}_1 s + \MF{D}_2 s^2 + \dotsb \\ + &+ \MF{E}_0 s^{-1} + \MF{E}_1 s^{-2} + \dotsb, +\end{split} +\] +welche Reihen-Entwicklung von $\dfrac{f(s)}{\pi(s)}$ durch +\[ +\left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right] +\] +angedeutet werden möge, so wie durch +\[ +\left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]_{\Pow{s}{\pm\frakm}} +\] +der Coefficient von $s^{\pm\frakm}$ in derselben. Ist nun +\[ +\pi(s) = \MF{B}_0 + \MF{B}_1 s + \dotsb + \MF{B}_\frakn s^\frakn, +\] +so müssen, wenn man die Reihe $\left[\smfrac{f(s)}{\pi(s)}\right]$ mit $\pi(s)$ multiplicirt, aus dem Producte +alle Glieder mit negativen Potenzen von $s$ fortfallen, und daher +\[ + \MF{B}_0 \MF{E}_\frakm ++ \MF{B}_1 \MF{E}_{\frakm + 1} + \dotsb ++ \MF{B}_\frakn \MF{E}_{\frakm + \frakn} = 0 +\] +sein, indem der Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung der Coefficient +von $s^{-\frakm-1}$ in dem gedachten Producte ist. Diese Relation lehrt aber, +daß die Coefficienten $\MF{E}_0$, $\MF{E}_1$ u.~s.~w.\ \textit{sämmtlich} gleich Null sind, \textit{sobald +dies mit den $\frakn$ ersten der Fall ist}. Denn da $\MF{B}_\frakn$ nicht Null ist, so erhellt +unmittelbar, daß $\MF{E}_{\frakm+\frakn} = 0$ sein muß, wofern $\MF{E}_\frakm$, $\MF{E}_{\frakm+1}$, $\dotsc,~\MF{E}_{\frakm+\frakn-1}$ sämmtlich +verschwinden; woraus, indem man der Reihe nach $\frakm = 0, 1, 2$, u.~s.~w.\ +setzt, das Behauptete sofort sich ergiebt. Dann hat man +\[ +\frac{f(s)}{\pi(s)} = \MF{D}_0 + \MF{D}_1 s + \MF{D}_2 s^2 + \dotsb, +\] +%% {-----File: 014.png---Folio 12-------} +oder +\[ +f(s) = (\MF{B}_0 + \MF{B}_1 s + \dotsb)(\MF{D}_0 + \MF{D}_1 s + \dotsb) +\] +für alle Werthe von $s$ innerhalb der bezeichneten Gränzen. Die letztere Gleichung +kann aber nicht anders bestehen, als wenn in der Reihe, die aus der +Entwicklung des Products auf der rechten Seite hervorgeht, die Coefficienten +mit den gleichstelligen von $f(s)$ übereinstimmen. Dann aber gilt sie, und +mit ihr auch die vorhergehende überhaupt für alle Werthe von $s$, bei denen +die Reihen +\[ + \MF{A}_0 + \MF{A}_1 s + \dotsb, \quad \MF{D}_0 + \MF{D}_1 s + \dotsb +\] +beide convergiren. Für die letztere steht dies aber, ihrer Herleitung nach, +fest, wenn der absolute Betrag von $s$ zwischen zwei Gränzen, von denen +die obere $\mathrm{S}$ ist, enthalten ist; es muß daher für \textit{alle} Werthe von $s$, die dem +absoluten Betrage nach unter $\mathrm{S}$ liegen, der Fall sein. Hiermit ist folgender +Hülfssatz bewiesen, der bei mancherlei Untersuchungen mit Nutzen angewandt +werden kann: + +\textit{Wenn die oben näher charakterisirten Functionen $f(s)$, $\pi(s)$ so +beschaffen sind, daß man} +\[ +%[**F2: Added a little kerning.] + \left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad + \left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-2}} \mspace{-10mu} = 0, \quad\dotsc,\quad + \left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-\frakn}} \mspace{-10mu} = 0, +\] +\textit{oder auch} +\[ + \left[\frac{ f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad + \left[\frac{sf(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad + \dotsc,\quad + \left[\frac{s^{\frakn-1}f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-1}} + \mspace{-10mu} = 0, +\] +\textit{hat, so läßt sich der Quotient} +\[ +\frac{f(s)}{\pi(s)} +\] +\textit{für alle Werthe von $s$, bei denen die Reihe für $f(s)$ convergirt, ebenfalls +durch eine nur ganze positive Potenzen von $s$ enthaltende convergirende +Reihe darstellen. Umgekehrt ist dies nicht der Fall, sobald die vorstehenden +Bedingungsgleichungen nicht sämmtlich befriedigt werden.} + +Für die durch die Formeln (3.) definirten Functionen $f_\fraka(s)$, $\pi_\fraka(s)$ ist +nun, nach dem oben Bemerkten, die Bedingung erfüllt, daß die Wurzeln der +Gleichung $\pi_\fraka(s) = 0$ sämmtlich dem absoluten Betrage nach kleiner sind als der +Gränzwerth, unter dem $s$ bleiben muß, damit die Reihe für $f_\fraka(s)$ unbedingt +convergire. Wenn daher die Coefficienten von $\MF{M}(x)$ und $\MF{N}(x)$ so bestimmt +werden können, daß die folgenden $(2\mu\varrho)$ Gleichungen +%% {-----File: 015.png---Folio 13-------} +\[ +\tag{4.} %[**F2: Missing period added.] +\Underset{(\fraka = 1, 2, \dotsc, \varrho)} +{ + \left[ \frac{f_\fraka(s)}{\pi_\fraka(s)} \right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad + \left[ \frac{sf_\fraka(s)}{\pi_\fraka(s)} \right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad +\dotsc,\quad +\left[ \frac{s^{2\mu-1}f_\fraka(s)}{\pi_\fraka(s)} \right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, +} +\] +befriedigt werden; so hat man für alle Werthe von $s$, bei denen die Reihe +für $f_\fraka(s)$ convergirt +\[ +% [** PP: another equation (5.) follows] +\tag{5.} +f_\fraka(s) = \pi_\fraka(s)\overline{f_\fraka}(s), +\] +wo $\overline{f_\fraka}(s)$ eine als unendliche Reihe von derselben Form wie die für $f_\fraka(s)$ +darstellbare Function bedeutet. Nun darf man aber in dieser Gleichung $(-s)$ +für $s$ setzen, und erhält +\[ +f_\fraka(s)\, f_\fraka(-s) += \pi_\fraka(s)\, \pi_\fraka(-s)\; + \overline{f_\fraka}(s)\, \overline{f_\fraka}(-s), +\] +oder da +\[ +\MF{M}_\fraka(-s) = \MF{M}_\fraka(s), \quad +\MF{N}_\fraka(-s) = \MF{N}_\fraka(s), \quad +\MF{R}_\fraka(-s) =-\MF{R}_\fraka(s), +\] +ist, +\[ + \MF{N}_\fraka^2(s) - \MF{M}_\fraka^2(s)\, \MF{R}_\fraka^2(s) += \pi_\fraka (s) \pi_\fraka(-s)\; + \overline{f_\fraka}(s) \overline{f_\fraka}(-s), +\] +oder auch, indem +\[ + \MF{R}_\fraka^2(s) += \frac{\MF{P}_\fraka(s)}{\MF{Q}_\fraka(s)} +\] +ist, durch Multiplication dieser Gleichung mit $-\MF{Q}_\fraka(s)$ +\[ +\tag{5.} +%[**F2: The equation numbers in this section are messed up. +% This is the second #5; later he skips #17 and duplicates #18.] + \MF{P}_\fraka(s) \MF{M}_\fraka^2(s) +- \MF{Q}_\fraka(s) \MF{N}_\fraka^2(s) += \pi_\fraka(s) \pi_\fraka(-s)\, \chi_\fraka(s), +\] +wo +\[ + \chi_\fraka(s) += -\MF{Q}_\fraka(s)\; \overline{f_\fraka}(s) \overline{f_\fraka}(-s) +\] +gesetzt ist. Nun gehört jeder Werth von $s$, der $\pi_\fraka(s)=0$ oder $\pi_\fraka(-s)=0$ +macht, zu denen, für welche die Reihen-Entwicklungen von $f_\fraka(s)$, $f_\fraka(-s)$ +und somit auch die von $\overline{f_\fraka}(s)$, $\overline{f_\fraka}(-s)$, $\chi_\fraka(s)$ convergiren; es behält daher der +Quotient +\[ +\frac{\MF{P}_\fraka(s)\, \MF{M}_\fraka^2(s) + - \MF{Q}_\fraka(s)\, \MF{N}_\fraka^2(s)} + {\pi_\fraka(s)\, \pi_\fraka(-s)} +\] +auch dann noch einen endlichen Werth, wenn der Divisor verschwindet; und +da Dividendus und Divisor desselben beide ganze Functionen von $s^2$ sind, so +muß der erstere durch den letzteren theilbar, und somit $\chi_\fraka(s)$ ebenfalls eine +ganze Function von $s^2$ sein. Daraus folgt denn, daß die Gleichung~(5.) für +\textit{jeden} Werth von $s$ besteht. Setzt man nun in derselben +\[ +\frac{\MF{P}'(a_\fraka)}{\MF{Q}(a_\fraka)}(x-a_\fraka) \quad\text{für}\quad s^2, +\] +so geht der Ausdruck auf der linken Seite in +\[ +\MF{P}(x)\, \MF{M}^2(x) - \MF{Q}(x)\, \MF{N}^2(x), +\] +%% {-----File: 016.png---Folio 14-------} +und +\[ +\pi_\fraka(s)\, \pi_\fraka(-s) + = (s^2 - s'^2_\fraka)(s^2 - s''^2_\fraka) \dotsm, +\] +abgesehen von einem constanten Factor, in +\[ +(x - x'_\fraka)(x - x''_\fraka) \dotsm (x - x^{(2\mu)}_\fraka) +\] +über, während sich $\chi_\fraka(s)$ ebenfalls in eine ganze Function von $x$ verwandelt. +Demnach wird, wenn die Gleichungen~(4.) sämmtlich bestehen, der Ausdruck +\[ +\MF{P}(x)\, \MF{M}^2(x) - \MF{Q}(x)\, \MF{N}^2(x) + \quad\text{durch}\quad \mathit{\Pi}(x) +\] +theilbar, und es gilt die Gleichung~(4.) des §.~2. Die Anzahl dieser Gleichungen +ist aber $(2\mu\varrho)$, d.~h.\ gleich der Anzahl der Coefficienten von $\MF{M}(x)$, +$\MF{N}(x)$ und sie werden daher zur Bestimmung der letzteren hinreichen. + +Nun hat die Reihe +\begin{gather*} +\left [\frac{1}{\pi_{\fraka}(s)} \right ] \quad\text{die Form} +\\ +\tag{6.} + s^{-2\mu}(1 + \sigma_{\fraka, 1} s^{-1} + + \sigma_{\fraka, 2} s^{-2} + \cdots ) += \Underset{ \frakn= 0 \dotsc \infty } + { \mathbf{S}\left( \sigma_{\fraka, \frakn}\, + s^{-2\mu-\frakn} \right) }, +\end{gather*} +wo $\sigma_{\fraka, \frakn}$ eine ganze homogene und symmetrische Function $\frakn$ten Grades von +\[ +s'_\fraka, \quad s''_\fraka, \quad \dotsc, \quad s^{(2 \mu)}_\fraka +\] +bedeutet. Setzt man daher +\[ +\tag{7.} + f_{\fraka}(s) = \MF{F}_{\fraka, 0} + \MF{F}_{\fraka, 1}s + \MF{F}_{\fraka, 2} s^2 + \cdots += \Underset{ \frakm=0\dotsc \infty } + { \mathbf{S} \MF{F}_{\fraka, \frakm} s^{\frakm} }, +\] +wo die Ausdrücke $\MF{F}_{\fraka, 0}$, $\MF{F}_{\fraka, 1}$ u.~s.~w.\ lineare Functionen von +\[ +\begin{array}{cccc} +\MF{M}_1, & \MF{M}_2, & \dotsc, & \MF{M}_{\mu \varrho},\\[1ex] +\MF{N}_1, & \MF{N}_2, & \dotsc, & \MF{N}_{\mu \varrho} +\end{array} +\] +sind, mit Coefficienten, die rational aus $a_\fraka$ und den Coefficienten von $\MF{P}(x)$ +und $\MF{R}(x)$ zusammengesetzt werden, so wird +\begin{align*} +\tag{8.} +\left[\frac{s^{2\mu-\frakp-1}f_{\fraka}(s)}{ \pi_{\fraka}(s)} \right] +\phantom{{}_s^{-1}}\mspace{-10mu} +&= \Underset{\frakm = 0 \dotsc \infty,\ \frakn = 0 \dotsc \infty} +{\mathbf{S} \Bigl\{ + \sigma_{\fraka,\frakn}\, \MF{F}_{\fraka,\frakm}\, s^{\frakm-\frakn-\frakp-1} + \Bigr\},} +\\ +\tag{9.} +\left[\frac{s^{2\mu-\frakp-1}f_{\fraka}(s)}{\pi_{\fraka}(s)}\right]_{s^{-1}} +\mspace{-10mu} +&= \Underset{\frakn = 0 \dotsc \infty} +{\mathbf{S} \Bigl\{ + \sigma_{\fraka,\frakn}\, \MF{F}_{\fraka,\frakp+\frakn} +\Bigr\},} +\end{align*} +und man erhält demnach, indem man $\frakp=0,\ 1, \dotsc,\ 2\mu-1$ setzt, zur Bestimmung +der Coefficienten von $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$ die $(2\mu\varrho)$ Gleichungen, welche +%% {-----File: 017.png---Folio 15-------} +durch die folgende +\[ +\tag{10.} +\MF{F}_{\fraka, \frakp} ++ \Underset{\frakn = 1\dotsc\infty} + {\mathbf{S} \Bigl\{ + \sigma_{\fraka, \frakn}\, \MF{F}_{\fraka, \frakp+\frakn} + \Bigr\} + } = 0 \quad + \left( + \begin{aligned} + \fraka &= 1, 2, \dotsc, \varrho \\ + \frakp &= 0, 1, \dotsc, 2\mu-1 + \end{aligned} + \right) +\] +repräsentirt werden. Diese kann man durch Zusammenziehung der Glieder, +welche dieselbe Unbekannte enthalten, auf die Form +\begin{align*} +\tag{11.} +(\fraka, \frakp)_0 +&+ (\fraka, \frakp)_1 \MF{M}_1 + \dotsb + + (\fraka, \frakp)_{\mu\varrho}\, \MF{M}_{\mu\varrho} \\[1ex] +% +&+ (\fraka, \frakp)_{\mu\varrho+1} \MF{N}_1 + + \dotsb + (\fraka, \frakp)_{2\mu\varrho}\, \MF{N}_{\mu\varrho} = 0 +\end{align*} +bringen, wo die Ausdrücke $(\fraka, \frakp)_0$, $(\fraka, \frakp)_1$ u.~s.~w.\ sämmtlich Reihen von +der Form +\[ +g_0 + g_1 \sigma_{\fraka, 1} + g_2 \sigma_{\fraka, 2} + \dotsb +\] +sind. Bezeichnet man nun mit $\frakM_\frakm$ die Determinante des Systems, welches +aus dem folgenden +\[ +\tag{12.} +\left\{ \begin{array}{llll} + \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{$\overset{(0)}{(1, 0)_0\rule{0pt}{3ex}}$} +& \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{$\overset{(1)}{(1, 0)_1\rule{0pt}{3ex}}$} +& \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{$\overset{\mbox{\normalsize\dots}}{\dots\rule{0pt}{3ex}}$} +& \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{$ \overset{(2\mu\varrho)}{(1, 0)_{2\mu\varrho} \rule{0pt}{3ex}}$} +\\ \hdotsfor[2]{4} \\[.5ex] + (1, 2\mu-1)_0 & (1, 2\mu-1)_1 & \dotsc +& (1, 2\mu-1)_{2\mu\varrho} +\\ \hdotsfor[2]{4} \\ \hdotsfor[2]{4} \\ \hdotsfor[2]{4} \\[.5ex] + (\varrho, 0)_0 & (\varrho, 0)_1 & \dotsc +& (\varrho, 0)_{2\mu\varrho} +\\[.5ex] + (\varrho, 1)_0 & (\varrho, 1)_1 & \dotsc +& (\varrho, 1)_{2\mu\varrho} +\\ \hdotsfor[2]{4} \\[.5ex] + (\varrho, 2\mu-1)_0 & (\varrho, 2\mu-1)_1 & \dotsc +& (\varrho,2\,\mu-1)_{2\mu\varrho} +\end{array} \right\} +\] +dadurch sich ergiebt, daß man die mit $(\frakm)$ bezeichnete Vertikal-Reihe fortläßt, +und zugleich die darauf folgenden, ohne ihre Aufeinanderfolge zu ändern, vor +die mit $(0)$ überschriebenen setzt; so erhält man +\[ +\tag{13.} +\left\{ +\begin{alignedat}{4} + {\MF{M}_1} &= \dfrac{\frakM_1}{\frakM_0}, +& {\MF{M}_2} &= \dfrac{\frakM_2}{\frakM_0}, &\dotsc,\quad +& {\MF{M}_{\mu\varrho}} &= \dfrac{\frakM_{\mu\varrho}}{\frakM_0}\,, +\\[1ex] + {\MF{N}_1} &= \dfrac{\frakM_{\mu\varrho+1}}{\frakM_0},\quad +& {\MF{N}_2} &= \dfrac{\frakM_{\mu\varrho+2}}{\frakM_0},\quad &\dotsc,\quad +& {\MF{N}_{\mu\varrho}} &= \dfrac{\frakM_{2\mu\varrho}}{\frakM_0}\,, +\end{alignedat} +\right. +\] +wo $\frakM_0$, $\frakM_1$ u.~s.~w.\ als rationale und ganze aus $(\fraka, \frakp)_0$, $(\fraka, \frakp)_1$ u.~s.~w.\ +gebildete Ausdrücke gleich den letztern nach ganzen positiven Potenzen der +%% {-----File: 018.png---Folio 16-------} +Größen +\[ +\tag{14.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + & s'_1, && s'_2, && \dotsc, && s'_\varrho \\ + & s''_1, && s''_2, && \dotsc, && s''_\varrho \\ + \multispan{8}{\dotfill}\\ + & s^{(2\mu)}_1, \quad && s^{(2\mu)}_2, \quad && \dotsc, \quad && S^{(2\mu)}_\varrho +\end{alignedat}\right. +\] +in convergirende Reihen entwickelt werden können\footnote{% +Vergl.\ den Satz (5, B, §.~7) in der angeführten Abhandlung über die Facultäten.}. +Hier ist es nun von +besonderer Wichtigkeit, die Anfangsglieder dieser Reihen, d.~h.\ die Werthe, +welche sie annehmen, wenn die Größen~(14.) sämmtlich verschwinden, zu +ermitteln. Offenbar erhält man dieselben, die mit +\[ +\ofrakM_0, \quad \ofrakM_1, \quad \dotsc, \quad \ofrakM_{2\mu\varrho} +\] +bezeichnet werden mögen, wenn man bei der Bildung von $\frakM_0$, $\frakM_1$ u.~s.~w.\ +die Reihen für $(\fraka, \frakp)_0$, $(\fraka, \frakp)_1$ u.~s.~w.\ auf ihre Anfangsglieder reducirt, oder, +was dasselbe ist, wenn man die Gleichungen~(11.), die mit den unter (10.) +aufgestellten identisch sind, durch die folgenden ersetzt +\[ +\tag{15.} +\Underset{(\fraka=1,\ 2,\ \dotsc,\ \varrho)} +{\MF{F}_{\fraka, 0}=0, \quad \MF{F}_{\fraka, 1}=0, +\quad \dotsc, \quad \MF{F}_{\fraka, 2\mu-1}=0,} +\] +und dann aus den Coefficienten derselben $\ofrakM_0$, $\ofrakM_1$, u.~s.~w.\ so zusammensetzt, +wie $\frakM_0$, $\frakM_1$ u.~s.~w.\ aus den Coefficienten der Gleichungen~(11.). + +Nun sind aber $\MF{F}_{\fraka, 0}$, $\MF{F}_{\fraka, 1}$, u.~s.~w.\ die Coefficienten der Reihen-Entwicklung +von +\[ +f_{\fraka}(s)=\MF{M}_{\fraka}(s)\, \MF{R}_{\fraka}(s)+\MF{N}_{\fraka}(s), +\] +und die Gleichungen (15.) drücken also aus, daß die $(2\mu)$ ersten Glieder +derselben verschwinden sollen. Dies kann, da $\MF{N}_{\fraka}(s)$ und $\MF{M}_{\fraka}(s)$ gerade +Functionen von $s$ sind, $\MF{R}_{\fraka}(s)$ aber eine ungerade, in deren Entwicklung der +Coefficient von $s^1$ nicht Null ist, nur unter der Bedingung geschehen, daß in +den Entwicklungen von $\MF{M}_{\fraka}(s)$ und $\MF{N}_{\fraka}(s)$ nach Potenzen von $s$ alle Glieder +von einer niedrigern als der $(2\mu)$ten Ordnung verschwinden. Da aber $\MF{M}_{\fraka}(s)$ +und $\MF{N}_{\fraka}(s)$ aus $\MF{M}(x)$ und $\MF{N}(x)$ durch die Substitution +\[ +x=a_{\fraka} + \frac{\MF{P}'(a_{\fraka})}{\MF{Q}(a_{\fraka})}s^2 +\] +%% {-----File: 019.png---Folio 17-------} +hervorgehn, so muß man, damit die genannten Glieder Null werden, +\begin{alignat*}{4} + \MF{M}(a_\fraka) &= 0, \quad & \MF{M}'(a_\fraka) &= 0, & + \quad & \dotsc, \quad & \MF{M}^{(\mu-1)}(a_\fraka) &= 0, \\ + \MF{N}(a_\fraka) &= 0, \quad & \MF{N}'(a_\fraka) &= 0, & + \quad & \dotsc, \quad & \MF{N}^{(\mu-1)}(a_\fraka) &= 0 +\end{alignat*} +haben, d.~h.\ es müssen $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$ beide durch $(x-a_{\fraka})^{\mu}$ theilbar sein. Hiernach +sagen die Gleichungen (15.) aus, es sollen die Coefficienten von $\MF{M}(x)$ +und $\MF{N}(x)$ so bestimmt werden, daß beide durch +\[ +(x-a_1)^\mu(x-a_2)^\mu \dotsm (x-a_\varrho)^\mu = \MF{P}^\mu(x) +\] +theilbar werden. Dies kann aber, da $\MF{M}(x)$ vom $(\mu\varrho)$ten, $\MF{N}(x)$ vom $(\mu\varrho-1)$ten +Grade, und der Coefficient von $x^{\mu\varrho}$ in $\MF{M}(x)$ der Einheit gleich sein soll, nicht +anders geschehen, als wenn man +\[ +\MF{N}_1 = 0, \quad \MF{N}_2 = 0, \quad \dotsc, \quad \MF{N}_{\mu\varrho} = 0, +\] +und +\[ +\MF{M}(x)=\MF{P}^\mu(x) +\] +annimmt. Hiernach liefern die Gleichungen (15.) für $\MF{M}_1$, $\MF{N}_1$, $\MF{M}_2$, $\MF{N}_2$ u.~s.~w.\ +völlig bestimmte endliche Werthe. Daraus folgt zunächst, daß $\ofrakM_0$ oder das +Anfangsglied von $\frakm_0$ nicht Null sein kann, indem, wenn dieses der Fall wäre, +die Gleichungen (15.) entweder \textit{gar nicht}, oder auf \textit{mehr als eine} Weise +befriedigt werden könnten; und daher ergiebt sich +\[ +\tag{16.} +\left\{ +\begin{aligned} + & \ofrakM_0 x^{\mu\varrho} + \ofrakM_1 x^{\mu\varrho-1} + + \dotsb + \ofrakM_{\mu\varrho} = \ofrakM_0 \MF{P}^\mu(x), \\ + & \ofrakM_{\mu\varrho+1} = \ofrakM_{\mu\varrho+2} = \dots + = \ofrakM_{2\mu\varrho} = 0. +\end{aligned} +\right. +\] +Mithin kann man, wenn man +\[%[** missing \tag{17.}?] +\frac{\frakM_0}{\ofrakM} = \MF{M}_0 +\] +setzt, $\MF{M}(x)$ und $\MF{N}(x)$ auf die Form +\[ +\tag{18.} +\left\{ +\begin{aligned} + \MF{M}(x) &= \MF{P}^\mu(x) + \dfrac{\frakM(x)}{\MF{M}_0}, \\ + \MF{N}(x) &= \dfrac{\frakN(x)}{\MF{M}_0} +\end{aligned} +\right. +\] +bringen, wo jetzt $\frakM(x)$, $\frakN(x)$ ganze Functionen des $(2\mu\varrho-1)$ten Grades +von $x$ bedeuten, deren Coefficienten sich gleich wie $\MF{M}_0$ nach ganzen positiven +Potenzen der Größen (14.) in convergirende Reihen entwickeln lassen. Dabei +reducirt sich $\MF{M}_0$ auf die Einheit, wenn diese Größen sämmtlich den Werth +Null annehmen, während die Coefficienten von $\frakM(x)$ und $\frakN(x)$ dann ebenfalls +sämmtlich verschwinden. + +%% {-----File: 020.png---Folio 18-------} + +Hierzu bemerke ich noch Folgendes. Die Formel (7.) lehrt, indem +\[ +f_{\fraka}(s)=\MF{M}_{\fraka}(s)\, \MF{R}_{\fraka}(s)+\MF{N}_{\fraka}(s) +\] +und $\MF{N}_{\fraka}(s)$ eine gerade, $\MF{M}_{\fraka}(s)\,\MF{R}_{\fraka}(s)$ eine ungerade Function von $s$ ist, daß +für einen \textit{geraden} Werth von ${\frakm}$ +\[ +F_{\fraka, \frakm} \quad\text{die Form}\quad + f_1\MF{N}_1+f_2\MF{N}_2+ \dots + f_{\mu\varrho}\MF{N}_{\mu\varrho}, +\] +und für einen \textit{ungeraden} +\[ +F_{\fraka, \frakm} \quad\text{die Form}\quad + f_0 + f_1\MF{M}_1 + f_2\MF{M}_2 + \dotsb + f_{\mu\varrho}\MF{M}_{\mu\varrho}, +\] +hat. Ferner ist $\sigma_{\fraka, \frakn}$ eine gerade oder ungerade Function von $s'_\fraka$, $s''_\fraka$, $\dotsc,~s^{(2\mu)}_\fraka$, +jenachdem $\frakn$ eine gerade oder ungerade Zahl ist. Aus der Gleichung~(10.) +folgt daher, daß +\begin{alignat*}{4} +&(\fraka, \frakp)_0 && (\fraka, \frakp)_1 && \dots && (\fraka, \frakp)_{\mu\varrho} \quad \text{\textit{gerade},} +\intertext{und} +&(\fraka, \frakp)_{\mu\varrho+1} \quad && (\fraka, \frakp)_{\mu\varrho+2} \quad + && \dotsc \quad && (\fraka, \frakp)_{2\mu\varrho} \quad \text{\textit{ungerade}} +\end{alignat*} +Functionen der eben genannten Größen sind, wenn $\frakp$ eine \textit{ungerade} Zahl +ist; daß sich dies aber umgekehrt verhält, sobald $\frakp$ \textit{gerade} ist. Es ändert +sich also jeder Coefficient der Gleichungen~(11.) gar nicht, oder wechselt nur +sein Zeichen, wenn man $s'_\fraka$, $s''_\fraka$, $\dotsc,~s^{(2\mu)}_\fraka$ in +\[ +-s'_\fraka,\ -s''_\fraka,\ \dotsc,\ -s^{(2\mu)}_\fraka +\] +verwandelt; und zwar geht dadurch, wenn man mit +\[ +\overline{\frakm} \quad\text{die Zahl 0 oder 1} +\] +bezeichnet, je nachdem $\frakm \leqq \mu\varrho$ oder $\frakm > \mu\varrho$ ist, +\[ +(\fraka, \frakp)_\frakm \quad\text{in}\quad + \Pow{(-1)}{\frakp - 1 + \overline{\frakm}}(\fraka, \frakp)_\frakm +\] +über. Der Ausdruck $\frakM_\frakm$ ist nun ein Aggregat von Gliedern, deren jedes +die Form +\[ +\pm (\fraka_1, \frakp_1)_{\frakm_1}\, +%[** should be a_1 ?][F2: Typo corrected: a_\lambda to a_1 .] + (\fraka_2, \frakp_2)_{\frakm_2} + \dotsm + (\fraka_\lambda, \frakp_\lambda)_{\frakm_\lambda} +\] +hat, wo $\lambda=2\mu\varrho$ ist und die Reihe der Indices $\frakm_1$, $\frakm_2$, $\dotsc,~\frakm_\lambda$ sämmtliche +Zahlen der Reihe 0, 1, $\dotsc,~2\mu\varrho$ enthält, mit Ausnahme von $\frakm$, während für +\[ +\fraka_1, \frakp_1 \quad +\fraka_2, \frakp_2 \quad +\dotsc \quad +\fraka_\lambda, \frakp_\lambda +\] +die in der folgenden Zusammenstellung enthaltenen Verbindungen zu setzen sind: +\[ +\begin{array}{llll} +1,\ 0\quad & 1,\ 1 & \dotsc & 1,\ 2\mu-1, \\ +2,\ 0\quad & 2,\ 1 & \dotsc & 2,\ 2\mu-1, \\ +\hdotsfor[2]{4} \\ +\varrho,\ 0 & \varrho,\ 1 & \dotsc & \varrho,\ 2\mu-1. +\end{array} +\] +%% {-----File: 021.png---Folio 19-------} +Giebt man daher jeder der unter (14.) zusammengestellten Größen den entgegengesetzten +Werth, so erfährt das vorstehende Product dadurch dieselbe +Veränderung als wenn es mit +\[ +\Pow{(-1)}{\frakp_1 -1 + \frakp_2 -1 + \dotsb + \frakp_\lambda + - 1 + \overline{\frakm}_1 + \overline{\frakm}_2 + + \dots + \overline{\frakm}_\lambda} +\] +multiplicirt wird. Aber +\begin{gather*} + \frakp_1 + \frakp_2 + \dots + \frakp_\lambda = + \varrho\bigl(0 + 1 + 2 + \dots + (2\mu-1)\bigr) = \mu\varrho(2\mu-1), +\\ + \overline{\frakm}_1 + \overline{\frakm}_2 + \dots + + \overline{\frakm}_\lambda = \overline{0} + \overline{1} + +% [** PP: Widen overline to cover all three factors] + \dotsb + (\overline{2\mu\varrho}) - \overline{\frakm} = + \mu\varrho - \overline{\frakm}, +\end{gather*} +und daher +\[ +\Pow{(-1)}{\frakp_1 -1 + \dots + \frakp_\lambda - 1 + + \overline{\frakm}_1 + \dots + \overline{\frakm}_\lambda} += \Pow{(-1)}{2\mu\varrho(\mu-1)-\overline{\frakm}} += \Pow{(-1)}{\overline{\frakm}}. +\] +Man sieht also, daß die Glieder von $\frakM_\frakm$ nach der Zeichenänderung der +Größen (14.) sämmtlich unverändert bleiben, wenn $\frakm\raisebox{1ex}{\scalebox{1}[-1]{${}\leqq{}$}} \mu\varrho$, und nur ihr +Zeichen wechseln, wenn $\frakm > \mu\varrho$; d.~h.\ mit andern Worten, daß +\[ +\frakM_0, \quad \frakM_1, \quad \dotsc, \quad \frakM_{\mu\varrho} +\] +und somit auch $\MF{M}_0$ und die Coefficienten von $\frakM(x)$ \textit{gerade}, dagegen die +Coefficienten von $\frakN(x)$ \textit{ungerade} Functionen der genannten Größen sind. + +Hierdurch ist nun die Zusammensetzungsweise der Functionen $\MF{M}(x)$, +$\MF{N}(x)$ für den vorliegenden Zweck hinlänglich festgestellt. Aus denselben +kann man ferner die Function $\varphi(x)$ leicht erhalten. + +Da der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung (4, \S.~2) durch +$\mathit{\Pi}(x)$ theilbar ist, $\mathit{\Pi}(x)$ aber die Form +\[ +x^{\mu\varrho} + \mathfrak{P}_1 x^{\mu\varrho-1} + + \dotsb + \mathfrak{P}_{\mu\varrho} +\] +hat, wo $\mathfrak{P}_1$, $\mathfrak{P}_2$ u.~s.~w.\ ganze Functionen von $x'_1$, $x''_1$ u.~s.~w.\ und somit +auch der Quadrate von $s'_1$, $s''_2$ u.~s.~w.\ sind, von denen, nachdem man den +gedachten Ausdruck durch $\mathit{\Pi}(x)$ dividirt, in dem Quotienten nur ganze +positive Potenzen vorkommen; so sieht man, daß man +\[\tag{18.} +\varphi(x) = x^\varrho + \frac{\MF{P}^{(1)}}{\MF{M}_0^2}x^{\varrho-1} + + \frac{\MF{P}^{(2)}}{\MF{M}_0^2}x^{\varrho-2} + \dots + \frac{\MF{P}^{(\varrho)}}{\MF{M}_0^2} +\] +erhalten muß, wo $\MF{P}^{(1)}$, $\MF{P}^{(2)}$, $\dotsc,~\MF{P}^{(\varrho)}$ ganz dieselbe Gestalt haben wie die +Coefficienten von $\frakM(x)$. + +Man kann aber dieser Function noch eine andere, sehr bemerkenswerthe +Form geben. Setzt man nämlich in der Gleichung (4, \S.~2) +\[ +x = a_\fraka, \quad a_{\varrho+\fraka}, \quad a_{2\varrho+1}, +\] +%% {-----File: 022.png---Folio 20-------} +so erhält man +\[ +\tag{19.} +\left\{\begin{alignedat}{4} +\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)} + &= \frac{\MF{N}^2(a_\fraka)}{\mathit{\Pi}(a_\fraka)} + &&= \frac{\frakN^2(a_\fraka)}{\MF{M}_0^2\mathit{\Pi}(a_\fraka)}\;, +\\ +\frac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}{\MF{P}(a_{\varrho+\fraka})} + &= \frac{\MF{M}^2(a_{\varrho+\fraka})}{\mathit{\Pi}(a_{\varrho+\fraka})} + &&= \frac{\bigl(\MF{M}_0\,\MF{P}^\mu(a_{\varrho+\fraka})+\frakM(a_{\varrho+\fraka})\bigr)^2} + {\MF{M}_0^2\, \mathit{\Pi}(a_{\varrho+\fraka})}, +\\ +\frac{\varphi(a_{2\varrho+1})}{\MF{P}(a_{2\varrho+1})} + &= \frac{\MF{M}^2(a_{2\varrho+1})}{\mathit{\Pi}(a_{2\varrho+1})} + &&= \frac{\bigl(\MF{M}_0\,\MF{P}^\mu(a_{2\varrho+1})+\frakM(a_{2\varrho+1})\bigr)^2} + {\MF{M}_0^2\, \mathit{\Pi}(a_{2\varrho+1})}. +\end{alignedat}\right. +\] +Nun ist +\[ +\frac{1}{(a_\fraka-x'_\fraka) (a_\fraka-x''_\fraka) + \dotsm(a_\fraka-x^{(2\mu)}_\fraka)} = + \Biggl\{\biggl(\frac{\MF{P}'(a_\fraka)}{\MF{Q}(a_\fraka)}\biggr)^\mu + \centerdot \frac{1}{s'_\fraka s''_\fraka \dotsm s^{(2\mu)}_\fraka}\Biggr\}^2, +\] +und, wenn $\frakb$ von $\fraka$ verschieden, +\begin{gather*} + \frac{1}{(a_\fraka-x'_\frakb) + (a_\fraka-x''_\frakb) + \dotsm(a_\fraka-x^{(2\mu)}_\frakb)} + \\[1ex] + {}= \Biggl\{ \biggl( \frac{1}{a_\fraka-a_\frakb}\biggr)^\mu + \biggl(1 - \frac{x'_\frakb-a_\frakb} + { a_\fraka-a_\frakb} \biggr)^{-\frac{1}{2}} \dots + \biggl(1-\frac{x^{(2\mu)}_\frakb-a_\frakb} + { a_\fraka-a_\frakb} \biggr)^{-\frac{1}{2}}\Biggr\}^2. +\end{gather*} +Aber +\[ +\biggl(1-\frac{x'_\frakb-a_\frakb} + {a_\fraka-a_\frakb}\biggr)^{-\frac{1}{2}}, \qquad +\biggl(1-\frac{x''_\frakb-a_\frakb} + {a_\fraka-a_\frakb}\biggr)^{-\frac{1}{2}} \quad\text{u.~s.~w.} +\] +sind, weil $x'_\frakb$, $x''_\frakb$ u.~s.~w.\ sämmtlich in der Nähe von $a_\frakb$ sich befinden, nach +ganzen positiven Potenzen von $(x'_\frakb-a_\frakb)$, $(x''_\frakb-a_\frakb)$ u.~s.~w., und somit auch +von $s'^2_\frakb$, $s''^2_\frakb$ u.~s.~w.\ in convergirende Reihen entwickelbar. Folglich kann man +\[ +\frac{1}{\mathit{\Pi}(a_\fraka)} = + \frac{1}{\MF{Q}^{2\mu}(a_\fraka)} + \Biggl(\frac{\mathbf{S}_\fraka} + {s'_\fraka\,s''_\fraka\dots s^{(2\mu)}_\fraka}\Biggr)^2 +\] +setzen, wo $\mathbf{S}_\fraka$ eine convergirende, nur ganze positive und gerade Potenzen +der Größen~(14.) enthaltende Reihe bedeutet. In ähnlicher Weise findet man +\[ +\frac{1}{\mathit{\Pi}(a_{\varrho+\fraka})} = + \frac{\mathbf{S}^2_{\varrho+\fraka} } + { \MF{P}^{2\mu}(a_{\varrho+\fraka})}, \qquad +\frac{1}{\mathit{\Pi}(a_{2\varrho+1})} = + \frac{\mathbf{S}^2_{2\varrho+1}}{\MF{P}^{2\mu}(a_{2\varrho+1})}\;, +\] +wo $\mathbf{S}_{\varrho+\fraka}$, $\mathbf{S}_{2\varrho+1}$ Reihen von ähnlicher Gestalt wie $\mathbf{S}_\fraka$ bedeuten. + +Aus (19.) ergiebt sich nun +\[ +\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)} + = \Biggl( + \frac{\frakN(a_\fraka)\mathbf{S}_\fraka} + {\MF{Q}^\mu(a_\fraka)\, s'_\fraka\dotsm s^{(2\mu)}_\fraka \MF{M}_0} + \Biggr)^2, +\] +und aus (18.) +\[ +\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)} + = \frac{\varphi^{(\fraka)}}{\MF{M}_0^2}, +\] +wo $\varphi^{(\fraka)}$ eine nur ganze positive Potenzen von $s'_1$, $s''_1$, u.~s.~w.\ enthaltende +Reihe bezeichnet. Mithin muß +%% {-----File: 023.png---Folio 21-------} +\[ +\varphi^{(\fraka)} + = \Biggl( + \frac{\frakN(a_{\fraka}) \mathbf{S}_{\fraka}} + {\MF{Q}^\mu(a_\fraka)\, s'_\fraka\dotsm s^{(2\mu)}_\fraka} + \Biggr)^2, +\] +und daher $\frakN(a_{\fraka}) \mathbf{S}_{\fraka}$ durch + $s'_{\fraka} \dots s^{(2\mu)}_{\fraka}$ theilbar sein. Bemerkt man nun, daß +$\frakN(a_{\fraka})$ eine ungerade, $\mathbf{S}_\fraka$, + $(s'_{\fraka} \dots s^{(2\mu)}_{\fraka})$, $\MF{M}_0$, $\frakM(a_{\varrho+\fraka})$, + $\frakM(a_{2\varrho+1})$ aber gerade +Functionen der Größen (14.) sind, so erkennt man, daß man +\[ +\tag{20.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + & \frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)} &&= + \Biggl\{ \frac{\mathbf{S}^{(\fraka)}_1 + + \mathbf{S}^{(\fraka)}_3 + \dots + + \mathbf{S}^{(\fraka)}_{2\frakm-1} + \dotsb} + {1 + \mathbf{S}^{(0)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb} + \Biggr\}^2 = \varphi^2_\fraka\;, + \\[1ex] + & \frac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}{\MF{P}(a_{\varrho+\fraka})} &&= +%[** PP: Fixed index; see Changenotetext below] + \Biggl\{ \frac{ \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_0 + + \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_2 + \dots + + \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_{2\frakm} + \dotsb} + {1 + \mathbf{S}^{(0)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb} + \Biggr\}^2 = \varphi^2_{\varrho+\fraka}\;,\qquad\Changenotemark + \\[1ex] + & \frac{\varphi(a_{2\varrho+1})}{\MF{P}(a_{2\varrho+1})} &&= + \Biggl\{\frac{ \mathbf{S}^{(2\varrho+1)}_0 + + \mathbf{S}^{(2\varrho+1)}_2 + \dots + + \mathbf{S}^{(2\varrho+1)}_{2\frakm} + \dotsb} + {1 + \mathbf{S}^{(0)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb} + \Biggr\}^2 = \varphi^2_{2\varrho+1}\;. % [** PP: Added period] +\end{alignedat}\right. +\] +hat, wo $\mathbf{S}^{(\frakr)}_{\frakm}$ eine ganze homogene Function $\frakm$ten Grades der Größen +% [** PP: Note text prints on following page] +\Changenotetext{$\dfrac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}{\MF{P}(a_{\fraka})}=% +\Biggl\{ \dfrac{ \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_0 % ++ \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_{2\frakm} + \dotsb}% +{1 + \mathbf{S}^{(0)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb}% +\Biggr\}^2 = \varphi^2_{\varrho+\fraka}$}% +\[ +\tag{21.} +\left\{\begin{array}{llll} +s'_1, & s''_1, & \dotsc, & s^{(2\mu)}_1 \\[0.5ex] +s'_2, & s''_2, & \dotsc, & s^{(2\mu)}_2 \\ +\hdotsfor[2]{4} \\ +s'_\varrho, & s''_\varrho, & \dotsc, & s^{(2\mu)}_\varrho +\end{array}\right. +\] +bezeichnen soll. Es ist aber +\[ +\tag{22.} +\frac{\varphi(x)}{\MF{P}(x)} + = 1 + \sum \frac{\varphi(a_\fraka)}{(x-a_\fraka)\MF{P}'(a_\fraka)}; +\] +und so erhält man +\[ +\tag{23.} +\varphi(x) = \MF{P}(x) - \sum \left\{ + \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} \centerdot + \frac{\MF{P}(x)}{x-a_\fraka}\, \varphi^2_\fraka\right\}. % [** PP: Added period] +\] +Drückt man nun die Größen (21.) durch die folgenden +\[ +\tag{24.} +\left\{\begin{array}{llll} +\MF{u}'_1, & \MF{u}''_1, & \dotsc, & \MF{u}^{(2\mu)}_1 \\[0.5ex] +\MF{u}'_2, & \MF{u}''_2, & \dotsc, & \MF{u}^{(2\mu)}_2 \\ +\hdotsfor[2]{4} \\ +\MF{u}'_\varrho, & \MF{u}''_\varrho, & \dotsc, & \MF{u}^{(2\mu)}_\varrho \\ +\end{array}\right. +\] +aus (vermittelst der Formeln (4.) des §.~1), so erhält man +% [** Omitting redundant parentheses around radicands] +\[ +\tag{25.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + & \varphi_\fraka &&= + \sqrt{ \frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)} } &&= + \frac{\MF{U}^{(\fraka)}_1 + \MF{U}^{(\fraka)}_3 + \dots + + \MF{U}^{(\fraka)}_{2\frakm-1} + \dotsb} + {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb } + \\[1ex] + & \varphi_{\varrho+\fraka} &&= + \sqrt{ \frac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})} + {\MF{P}(a_{\varrho+\fraka})} } &&= + \frac{\MF{U}^{(\varrho+\fraka)}_0 + \MF{U}^{(\varrho + \fraka)}_2 + \dots + + \MF{U}^{(\varrho + \fraka)}_{2\frakm} + \dotsb} + {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb } + \\[1ex] + & \varphi_{2\varrho+1} &&= + \sqrt{ \frac{\varphi(a_{2\varrho+1})} + {\MF{P}(a_{2\varrho+1})} } &&= + \frac{\MF{U}^{(2\varrho+1)}_0 + \MF{U}^{(2\varrho + 1)}_2 + \dots + +%[**F2: Should first term be U.._0 ?][** PP: Yes, change made] + \MF{U}^{(2\varrho + 1)}_{2\frakm} + \dotsb} + {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb } +\end{alignedat}\right. +\] +%% {-----File: 024.png---Folio 22-------} +\[ +\tag{26.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + \MF{M}(x) &= {}& \MF{P}^\mu(x) + {}& + \frac{\MF{U}_2(x) + \dots + \MF{U}_{2\frakm}(x) + \dotsb} + {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb}, + \\[1ex] + \MF{N}(x) &= && \frac{\MF{U}_1(x) + \dots + \MF{U}_{2\frakm +1}(x) + \dotsb} + {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb}, +\end{alignedat}\right. +\] +wo jetzt %[** typo: jetzt?][** PP: Yes, fixed] +$\MF{U}^{(\frakr)}_\frakm$, $\MF{U}_\frakm(x)$ ganze homogene Functionen $\frakm$ten Grades der Größen~(24.) +sind, die zweite aber zugleich auch eine ganze Function $\bigl((\mu\varrho-1)$ten Grades$\bigr)$ +von $x$ ist, und sämmtliche in diesen Ausdrücken vorkommenden unendlichen +Reihen unbedingt convergiren, sobald die absoluten Werthe der genannten +Veränderlichen unterhalb der oben für sie festgesetzten Gränzen liegen.\footnote{% +Wenn $\MF{F}(s_1, s_2, \dotsc)$ eine Function mehrerer veränderlichen Größen $s_1$, $s_2$, $\dotsc$ +ist, die für alle Werthe derselben, die ihrem absoluten Betrage nach unter gewissen +Gränzwerthen $\mathbf{S}_1$, $\mathbf{S}_2$, $\dotsc$ liegen, durch eine convergirende Reihe von der Form +\[ +\underset{\mbox{\scriptsize$\frakn_1 = 0\dotsc\infty,\ \frakn_2 = 0\dotsc\infty, \dotsc$}} +{\mathbf{S}\left\{\MF{A}(\frakn_1, \frakn_2, \dotsc) + s^{\frakn_1}_1 s^{\frakn_2}_2\dotsm\right\}} +\] +dargestellt werden kann; und man substituirt für $s_1$, $s_2$, $\dotsc$ ebenso gebildete Potenz-Reihen +beliebig vieler anderer Veränderlichen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$, und ordnet nach Potenzen +dieser letztern; so convergirt die so sich ergebende Reihe, sobald man für die absoluten +Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$ solche Gränzen festsetzt, daß nicht nur die Reihen für $s_1$, $s_2$, $\dotsc$ % +sämmtlich convergent sind, sondern ihre Summen auch zu denjenigen Werthen von +$s_1$, $s_2$, $\dotsc$ gehören, für welche die angegebene Darstellung von $\MF{F}(s_1, s_2, \dotsc)$ gültig ist.} %endfootnote +Dabei +kann man bemerken, daß die Coefficienten von $\MF{U}^{(\frakr)}_\frakm$ und $\MF{U}_\frakm(x)$ aus +$a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$, und den Coefficienten von $\MF{Q}(x)$ rational zusammengesetzt +sind, wie man leicht sieht, wenn man die vorhergehenden Entwicklungen in +dieser Beziehung überblickt. + + +\Section{} % \S.~4. + +Nachdem nun ermittelt worden, welche Gestalt die Coefficienten von +$\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$, $\varphi(x)$, als Functionen von $\MF{u}'_1$, $\MF{u}''_1$ u.~s.~w.\ betrachtet, haben\footnote{% +Wenn man die in Rede stehenden Größen direct durch Auflösung der Gleichungen +(3, §.~2) bestimmen, und in den so sich ergebenden Formeln $x'_1$, $x''_1$, \dots +$\sqrt{\MF{R}(x'_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x''_1)}$, $\dotsc$ durch $\MF{u}'_1$, $\MF{u}''_1$, $\dotsc$ ausdrücken wollte, so würden sie die Gestalt +von Brüchen erhalten, bei denen Zähler und Nenner gleichzeitig verschwänden, sobald man +in zweien oder mehreren der unter (1, §.~2) aufgestellten Reihen die gleichstelligen Glieder +einander gleich setzte. Um diesen Uebelstand zu vermeiden, der sich schon bei Anwendung +des \Auth{Abel}'schen Theorems zur Herleitung der sog. Additions-Formeln für die +elliptischen Functionen zeigt, ist das im vorhergehenden §.~auseinandergesetzte, allerdings +etwas umständliche Verfahren gewählt worden. Wie man übrigens die Gleichungen (3, §.~2), +auch ohne $\sqrt{\MF{R}(x'_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x''_1)}$, $\dotsc$ in unendliche Reihen aufzulösen, so umformen kann, +daß derselbe Zweck erreicht wird, soll für den besonders wichtigen Fall, wo $\mu=1$ ist, +später gezeigt werden. +}, %endfootnote +kehre ich zu den Gleichungen (8.) des §.~2. zurück. + +%% {-----File: 025.png---Folio 23-------} + +Wenn die Größen (1.) des §.~2. sämmtlich verschwinden, so reduciren +sich, nach den Formeln (25, §.~3) $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\dotsc,~\varphi_\varrho$ ebenfalls sämmtlich auf +Null, und daher (nach (23.) desselben §.) $\varphi(x)$ auf $\MF{P}(x)$, so daß alsdann +$x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ die Werthe $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ erhalten. Man kann daher +$x_\fraka-a_\fraka$, $\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}$ -- die letztere Größe mit Hülfe der Formel (7, §.~2) -- bei +hinlänglich kleinen Werthen der genannten Veränderlichen nach ganzen +positiven Potenzen derselben in Reihen entwickeln, die gleichzeitig mit ihnen verschwinden, +und $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ als in der Nähe beziehlich von $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ +liegend betrachten. Dann aber führen die Gleichungen (8, §.~2) indem man +ganz denselben Weg verfolgt wie bei den Entwicklungen des §.~1., und wieder +\[ +\sqrt{\biggl( + \frac{\MF{P}'(a_\fraka)}{\MF{Q}(a_\fraka)}(x_\fraka-a_\fraka) +\biggr)} += s_\fraka +\] +setzt, zu den folgenden +\begin{gather*} + \MF{u}'_\frakb + \MF{u}''_\frakb + \dotsb \MF{u}^{(2\mu)}_\frakb + = s_\frakb + \Underset{\frakn = 1 \dots \infty} + {\mathbf{S}\Biggl\{ + \sum_\fraka \frac{(\fraka, \frakb)_\frakn}{2\frakn+1}s_\fraka^{2\frakn+1} + \Biggr\} + } + \quad (\frakb = 1, \dotsc, \varrho), +\\ + \frac{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}{\MF{Q}(x_\fraka)} = + s_\fraka + (\fraka)_1 s^3_\fraka + \dotsb, +\end{gather*} +und man sieht daher, daß man, unter der Voraussetzung, es seien nicht nur +$\MF{u}'_\fraka$, $\MF{u}''_\fraka$, $\dotsc,~\MF{u}^{(2\mu)}_\fraka$, sondern auch + $\MF{u}'_\fraka + \MF{u}''_\fraka + \dots + \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka$ dem absoluten Betrage +nach kleiner als $\MF{U}_\fraka$, durch Auflösung der Gleichung $\varphi(x)=0$ und Anwendung +der Formel (7, §.~2) zu denselben Werthen von $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, +$\sqrt{\MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x_2)}$, $\dotsc,~\sqrtRx$ gelangen muß, die man für diese Größen +vermittelst der Formeln (4, 5, §.~1) erhält, wenn man in diesen +\begin{alignat*}{10} + \MF{u}'_1 &+ \MF{u}''_1 &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_1 &\quad\text{an die Stelle von}\quad && \MF{u}_1 \\ + \MF{u}'_2 &+ \MF{u}''_2 &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_2 +&\text{\phantom{ }\rlap{\;--}\phantom{an d}\rlap{--}\phantom{ie St}\rlap{--}\phantom{elle }\rlap{\:--}\phantom{von }} +&& \MF{u}_2 \\ +\multispan{10}{\dotfill}\\ + \MF{u}'_\varrho &+ \MF{u}''_\varrho &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_\varrho +&\text{\phantom{ }\rlap{\;--}\phantom{an d}\rlap{--}\phantom{ie St}\rlap{--}\phantom{elle }\rlap{\:--}\phantom{von }} +&& \MF{u}_\varrho \\ +\end{alignat*} +setzt. Aus den so eben angeführten Formeln erhält man ferner +\[ +%[**F2: Changing surd to sqrt made the braces redundant, so I removed them; also the parens in the paragraph at the top of the page.] +\tag{1.} +\left\{\begin{gathered} +\sqrt{ +\frac{(a_\fraka-x_1) (a_\fraka-x_2)\dots (a_\fraka-x_\varrho)} + {-\MF{Q}(a_\fraka)} +} +\\ += \MF{u}_\fraka + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\fraka)}_3 + \dots + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\fraka)}_{2\frakm-1} + \dotsb, +\\[2ex] +\sqrt{ +\frac{(a_{\varrho+\fraka}-x_1) (a_{\varrho+\fraka}-x_2) \dots (a_{\varrho+\fraka}-x_\varrho)} + {\MF{P}(a_{\varrho + \fraka})} +} +\\ += 1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\varrho + \fraka)}_2 + \dots + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\varrho + \fraka)}_{2\frakm} + \dotsb, +\\[2ex] +\sqrt{ +\frac{(a_{2\varrho+1}-x_1) (a_{2\varrho+1}-x_2) \dots (a_{2\varrho+1}-x_\varrho)} + {\MF{P}(a_{2\varrho+1})} +} +\\ += 1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(2\varrho+1)}_2 + \dots + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(2\varrho+1)}_{2\frakm} + \dotsb, +\end{gathered}\right. +\] +%% {-----File: 026.png---Folio 24-------} +wo wieder $(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\frakr)}_\frakm$ eine homogene ganze Function $\frakm$ten Grades von +$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ bedeutet, deren Coefficienten aus denen von $\MF{Q}(x)$, und aus +$a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ rational zusammengesetzt sind. Macht man nun in diesen +Ausdrücken die angegebene Substitution, so ersieht man aus der Vergleichung +der so hervorgehenden Formeln mit den unter (25.) des vorhergehenden §. +aufgestellten, wenn man die letztern nach Potenzen von $\MF{u}'_1$, $\MF{u}''_1$, u.~s.~w.\ sich +entwickelt denkt, daß +\[ +\MF{U}_1^{(\fraka)} = \pm(\MF{u}'_\fraka + \MF{u}''_\fraka + \dots + \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka), +\quad \MF{U}^{(\varrho+\fraka)}_0 = \pm 1, +\quad \MF{U}^{(2\varrho+1)}_0 = \pm 1 +\] +sein muß. Setzt man nun fest, es solle jeder der Wurzelgrößen +\[ +% [** PP: Omitting redundant parentheses around radicands] +\sqrt{\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)}}, \quad +\sqrt{\frac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}{\MF{P}(a_{\varrho+\fraka})}},\quad +\sqrt{\frac{\varphi(a_{2\varrho+1})}{\MF{P}(a_{2\varrho+1})}} +\] +von den beiden Werthen, die sie haben kann, derjenige beigelegt werden, +bei dem in den vorstehenden Formeln die obern Zeichen gelten, so sind dieselben +jetzt als völlig bestimmte eindeutige Functionen von $\MF{u}'_1$, $\MF{u}''_1$ u.~s.~w.\ zu +betrachten, welche bei hinlänglich kleinen Werthen dieser Veränderlichen mit +den unter (1.) aufgestellten übereinstimmen, wofern man in den letztern +\begin{alignat*}{8} + \MF{u}_1 &= \MF{u}'_1 &&+ \MF{u}''_1 &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_1 \\[0.5ex] + \MF{u}_2 &= \MF{u}'_2 &&+ \MF{u}''_2 &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_2 \\ + \multispan{8}{\dotfill} \\ + \MF{u}_\varphi &= \MF{u}'_\varphi &&+ \MF{u}''_\varphi &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_\varphi +\end{alignat*} +setzt. + +Angenommen nun, man habe für die absoluten Werthe der veränderlichen +Größen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ irgend welche Gränzen $\MF{T}_1$, $\MF{T}_2$, $\dotsc,~\MF{T}_\varrho$, die +sie nicht überschreiten sollen, festgestellt, so kann man die Zahl $\mu$ so groß +annehmen, daß +\[ +\MF{T}_1 < 2\mu \MF{U}_1, \quad \MF{T}_2 < 2\mu \MF{U}_2, \quad \dotsc, \quad \MF{T}_\varrho < 2\mu \MF{U}_\varrho. +\] +Dann darf man +\begin{alignat*}{10} + \MF{u}'_1 &= \MF{u}''_1 &&= \dotsb &&= \MF{u}^{(2\mu)}_1 + &&= \frac{\MF{u}_1}{2\mu}\;, \\[1ex] + \MF{u}'_2 &= \MF{u}''_2 &&= \dotsb &&= \MF{u}^{(2\mu)}_2 + &&= \frac{\MF{u}_2}{2\mu}\;, \\ + \multispan{10}{\dotfill} \\ + \MF{u}'_\varrho &= \MF{u}''_\varrho &&= \dotsb &&= \MF{u}^{(2\mu)}_\varrho + &&= \frac{\MF{u}_\varrho}{2\mu} +\end{alignat*} +setzen, und es werden, wenn man die Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, in +%% {-----File: 027.png---Folio 25-------} +welche dadurch die Ausdrücke auf der rechten Seite der Gleichungen~(25.) +des vorhergehenden §. sich verwandeln, mit +\[ +\varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_1 \quad +\varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2 \quad +\dots \quad +\varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho+1}, +\] +oder auch kürzer mit +\[ +\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_1 \quad +\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_2 \quad +\dots \quad +\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_{2\varrho+1}, +\] +bezeichnet, dieselben die Gestalt +\[ +\tag{2.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + & \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka + &&= \frac{\MF{u}_\fraka + \frakU_3^{(\fraka)} + \dots + + \frakU_{2\frakm-1}^{(\fraka)} + \dotsb} + {1 + \frakU_2^{(0)} + \dots + \frakU_{2\frakm}^{(0)} + \dotsb} + \\[1ex] + & \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\varrho + \fraka} + &&= \frac{1 + \frakU_2^{(\varrho + \fraka)} + \dots + + \frakU_{2\frakm}^{(\varrho + \fraka)} + \dotsb} + {1 + \frakU_2^{(0)} + \dots + \frakU_{2\frakm}^{(0)} + \dotsb} + \\[1ex] + & \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho + 1} + &&= \frac{1 + \frakU_2^{(2\varrho + 1)} + \dots + + \frakU_{2\frakm}^{(2\varrho + 1)} + \dotsb} + {1 + \frakU_2^{(0)} + \dots + \frakU_{2\frakm}^{(0)} + \dotsb} +\end{alignedat}\right. +\] +haben, in welchen Formeln $\frakU_\frakm^{(\frakr)}$ eine ganze homogene Function $\frakm$ten Grades +von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ bedeutet, und die unendlichen Reihen, welche den Nenner +und die Zähler bilden, für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, die ihrem absoluten +Betrage nach die Gränzen $\MF{T}_1$, $\MF{T}_2$, $\dotsc,~\MF{T}_\varrho$ nicht überschreiten, unbedingt +convergent sind. Für hinlänglich kleine Werthe der genannten Veränderlichen +lassen sich $\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_1$, $\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_2,$ u.~s.~w.\ nach ganzen positiven +Potenzen derselben in convergirende Reihen entwickeln, welche mit den entsprechenden +unter (1.) aufgestellten übereinstimmen. + +Durch Auflösung der Gleichung +\[ +\varphi(x) = 0, +\] +wo +\[ +\tag{3.} +\varphi(x) = \MF{P}(x) - {\sum} \left\{ + \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} \centerdot + \frac{\MF{P}(x)}{x-a_\fraka} \varphi^2 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka \right\} +\] +ist, und man +\[ +\tag{4.} +% [** PP: Omitting redundant parentheses around radicands] +\left\{\begin{aligned} + \sqrt{ + \frac{\varphi(a_\fraka)}{\ -\MF{Q}(a_\fraka)\ } } + &= \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka + \\ + \sqrt{ + \frac{\varphi(a_{\varrho + \fraka})}{\,\MF{P}(a_{\varrho + \fraka})\ } } + &= \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\varrho + \fraka} + \\ + \sqrt{ + \frac{\varphi(a_{2\varrho + 1})}{\MF{P}(a_{2\varrho + 1})} } + &= \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho + 1} +\end{aligned}\right. +\] +hat, ergeben sich sodann $\varrho$ Größen $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, welche den Differential-Gleichungen +%% {-----File: 028.png---Folio 26-------} +\[ +\tag{5.} +\left\{\begin{aligned} + d\MF{u}_1 &= {\sum \frac{1}{2}}\, + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a_1} \centerdot + \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} } + \\[1ex] + d\MF{u}_2 &= {\sum \frac{1}{2}}\, + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a_2} \centerdot + \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} } + \\[1ex] + \multispan{2}{\dotfill} + \\[1ex] + d\MF{u}_\varrho &= {\sum \frac{1}{2}}\, + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a_\varrho} \centerdot + \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} } +\end{aligned}\right. +\] +genügen, und zugleich die Werthe $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ annehmen, wenn $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, +$\dotsc$, $\MF{u}_\varrho$ sämmtlich verschwinden. Die Werthe, welche die Wurzelgrößen in +diesen Gleichungen haben müssen, erhält man ohne Zweideutigkeit, indem +man mit +\[ +\MF{M}(x, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho), \quad \MF{N}(x, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) +\] +die Functionen bezeichnet, in welche die Ausdrücke (26, §.~3) durch die angegebene +Substitution übergehen, durch die Formel +\[ +\tag{6.} +\frac{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} }{\MF{Q}(x_\fraka)} = + \frac{\MF{N}(x_\fraka, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)} + {\MF{M}(x_\fraka, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)} + \quad (\fraka = 1, 2, \dotsc, \varrho). +\] + +Hierzu ist jetzt noch eine wesentliche Bemerkung zu machen. Der +Nenner und die Zähler in den Ausdrücken von +\[ +\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_1 \quad \varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_2 \quad \text{u.~s.~w.} +\] +hängen, außer von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, \dots{} noch von der Zahl $\mu$ ab. Gleichwohl läßt +sich nachweisen, daß die Werthe dieser Functionen selbst stäts dieselben +bleiben, welchen Werth man auch dieser Zahl geben möge, wenn derselbe +nur groß genug genommen wird, um die in den in Rede stehenden Ausdrücken +vorkommenden Reihen convergent zu machen. + +Wenn nämlich $\MF{F}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)$, $\MF{G}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)$, $\MF{F}'(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)$, $\MF{G}'(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)$ +eindeutige Functionen mehrerer Veränderlichen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$ sind, die sich nach +ganzen positiven Potenzen derselben in Reihen entwickeln lassen, und es gilt +die Gleichung +\[ +\frac{\MF{F}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)}{\MF{G}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)} = +\frac{\MF{F}'(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)}{\MF{G}'(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)} +\] +für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner +als gewisse Größen sind; so muß sie überhaupt für alle Werthe der genannten +Veränderlichen bestehen, bei denen die Reihen für $\MF{F}$, $\MF{G}$, $\MF{F}'$, $\MF{G}'$ sämmtlich +convergiren. Denn es folgt aus ihr +\[ +\MF{F}\MF{G}' = \MF{G}\MF{F}', +\] +%% {-----File: 029.png---Folio 27-------} +und wenn diese Gleichung für beliebige unendlich kleine Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, \dots{} +richtig sein soll, so müssen die Reihen, in welche $\MF{F}\MF{G}'$ und $\MF{G}\MF{F}'$ nach ganzen +positiven Potenzen dieser Größen entwickelbar sind, in den gleichstelligen +Coefficienten übereinstimmen, woraus denn folgt, daß sie, und mit ihr auch +die ursprüngliche +\[ +\frac{\MF{F}}{\MF{G}} = \frac{\MF{F}'}{\MF{G}'} +\] +gilt, sobald nur $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, \dots{} solche Werthe haben, daß die Entwicklungen von +$\MF{F}$, $\MF{G}$, $\MF{F}'$, $\MF{G}'$ sämmtlich convergent sind. + +Bezeichnet man nun die Reihen, welche in dem Ausdrucke irgend +einer der Functionen $\varphi(\MF{u}_1,\dotsc)_1$, $\varphi(\MF{u}_1,\dotsc)_2$ u.~s.~w., bei einem bestimmten +Werthe von $\mu$, den Zähler und den Nenner bilden, mit $\MF{F}$, $\MF{G}$, sowie mit $\MF{F}'$, +$\MF{G}'$ dieselben Reihen für irgend einen andern Werth von $\mu$, so stimmen, nach +dem oben Bemerkten, die Reihen, in welche die Brüche +\[ +\frac{\MF{F}}{\MF{G}}\;, \quad \frac{\MF{F}'}{\MF{G}'} +\] +bei hinlänglich kleinen Werthen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ entwickelt werden können, +vollständig überein, und es besteht daher die Gleichung +\[ +\frac{\MF{F}}{\MF{G}} = \frac{\MF{F}'}{\MF{G}'} +\] +jedenfalls für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, deren absoluten Beträge kleiner +als gewisse Größen sind, und somit, nach dem so eben Bewiesenen, überhaupt +für diejenigen Werthe dieser Veränderlichen, bei denen die Reihen $\MF{F}$, $\MF{G}$, +$\MF{F}'$, $\MF{G}'$ alle vier convergiren -- wodurch die Richtigkeit des Behaupteten +dargethan ist. + +In ähnlicher Weise läßt sich ferner zeigen, daß man nach Bestimmung +von $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ auch für die Wurzelgrößen $\sqrt{\MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x_2)}$, +$\dotsc,~\sqrtRx$ vermittelst der Formel (6.) stäts dieselben Werthe erhalte, welche +Zahl $\mu$ man auch bei Bildung der Functionen $\MF{M}$, $\MF{N}$ anwenden möge. Es +ist aber bemerkenswerth, daß man aus der Function $\varphi(x)$ eine andere vom +$(\varrho-1)$ten Grade und mit Coefficienten von demselben analytischen Charakter +wie die von $\varphi(x)$ selbst ableiten kann, welche jene Wurzelgrößen liefert, +wenn man $x=x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ setzt. + +Es werde $\dfrac{\partial\varphi(x)}{\partial x} = \varphi'(x)$ gesetzt, und nachdem man die Gleichung +\[ +d\MF{u}_\frakb = {\sum\limits_\frakc\frac{1}{2}}\, + \frac{\MF{P}(x_\frakc)}{x_\frakc-a_\frakb} \centerdot + \frac{dx_\frakc}{\sqrt{\MF{R}(x_\frakc)}} +\] +%% {-----File: 030.png---Folio 28-------} +mit +\[ +\frac{\varphi(a_\frakb)}{(x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb)}. +\] +multiplicirt, auf beiden Seiten in Beziehung auf $\frakb$ summirt. Dies giebt +\[ + {\sum\limits_\frakb} + \frac{ \varphi(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_{\frakb}) } \centerdot + \frac{ d\MF{u}_\frakb }{ x_\fraka - a_\frakb } += {\sum\limits_{\frakb,\frakc} \frac{1}{2}}\, + \frac{ \varphi(a_\frakb) \MF{P}(x_\frakc) } + { (x_\fraka - a_\frakb) + (x_\frakc - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) } + \centerdot \frac{ dx_\frakc }{ \sqrt{\MF{R}(x_\frakc)} }. +%/** F2 that sqrt is a standalone surd, but sqrt{R(x)} conveys the meaning **/ +\] +Nun ist aber +\[ + \frac{\varphi(x)}{ (x_\fraka - x) \MF{P}(x) } += {\sum\limits_\frakb} + \frac{ \varphi(a_\frakb) } + { (x_\fraka - a_\frakb) + (x - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb)}\;, +\] +und daher, wenn man $x = x_\frakc$ setzt, +\begin{align*} + {\sum\limits_\frakb} + \frac{ \varphi(a_\frakb) } + { (x_\frakc - a_\frakb) + (x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) } &= 0, +\quad\text{wofern } \frakc \gtrless \fraka +\\ +\text{und } + {\sum\limits_\frakb} + \frac{ \varphi(a_\frakb) } + { (x_\fraka - a_\frakb) + (x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) } +&= -\frac{ \varphi'(x_\fraka) }{ \MF{P}(x_\fraka) }. +\end{align*} +Hiernach reducirt sich die rechte Seite der vorhergehenden Differential"=Gleichung +auf +\[ +-\frac{1}{2}\, \frac{\varphi'(x_\fraka)\, dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}, +\] +und man erhält +\[ + \varphi'(x_\fraka)\, dx_\fraka += -2 {\sum\limits_\frakb} + \frac{\varphi(a_\fraka) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + {(x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb)}\, d\MF{u}_\frakb. % [** PP: Added period] +\] +Hieraus folgt +\begin{align*} + \varphi'(x_\fraka) + \frac{ \partial x_\fraka }{ \partial \MF{u}_\frakb } +&= -\frac{ 2\varphi(a_\frakb) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} } + { (x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) }\;, +\\[1ex] +-\sum_\frakb \varphi'(x_\fraka)\frac{\partial x_\fraka }{\partial\MF{u}_\frakb} +&= 2\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} \centerdot + \sum_\frakb \frac{\varphi(a_\frakb)} + {(x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb)}. %[** PP: Added period] +\end{align*} +Aber +\[ +\frac{\varphi(x)}{\MF{P}(x)} + = 1 + \sum_\frakb \frac{\varphi(a_\frakb)}{(x-a_\frakb)\MF{P}'(a_\frakb)}\;, +\] +und daher für $x = x_\fraka$ +\[ +\sum_\frakb\frac{\varphi(a_\frakb)}{(x_\fraka - a_\frakb)\MF{P}'(a_\frakb)} + = -1. %[** PP: Added period] +\] +Folglich +\[ +\sum_\frakb\varphi'(x_\fraka)\frac{\partial x_\fraka}{\partial\MF{u}_\frakb} + = 2\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}. %[** PP: Added period] +\] +Nun ist, nach dem Vorhergehenden, $\varphi(x)$ eine eindeutige Function von $x$ +und $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, und man hat, weil $\varphi(x_\fraka)=0$ ist, +\[ + \varphi'(x_\fraka) + \frac{\partial x_\fraka}{\partial \MF{u}_\frakb} += -\biggl( \frac{\partial \varphi(x)} + {\partial \MF{u}_\frakb} \biggr)_{x=x_\fraka}. %[** PP: Added period] +\] +%% {-----File: 031.png---Folio 29-------} +Somit giebt die vorhergehende Gleichung, wenn man +\[ +\tag{7.} +\frac{1}{2}\, \biggl( + \frac{\partial\varphi(x)}{\partial\MF{u}_1} + + \frac{\partial\varphi(x)}{\partial\MF{u}_2} + \cdots + + \frac{\partial\varphi(x)}{\partial\MF{u}_{\varrho}} + \biggr) = \psi (x) +\] +setzt, wo dann $\psi(x)$ eine ganze Function $(\varrho-1)$ten Grades von $x$ ist, deren +Coefficienten gleich denen von $\varphi(x)$ eindeutige Functionen der Größen $\MF{u}_1$, +$\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ sind, +\[ +\tag{8.} +\sqrt{\MF{R}(x_{\fraka})} + = -\psi(x_\fraka)\quad (\fraka = 1, 2, \dotsc, \varrho). +\] +Da nun die Werthe der Coefficienten von $\varphi(x)$, die aus den Functionen +$\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_1$, $\dotsc,~\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_\varrho$ zusammengesetzt werden, von $\mu$ unabhängig sind, +so gilt dasselbe auch hinsichtlich der Coefficienten von $\varphi(x)$. Und so ist erwiesen, +daß die Werthe der Größen +\[ +x_1, x_2, \dotsc, x_{\varrho},\ +\sqrt{\MF{R}(x_1)}, \sqrt{\MF{R}(x_2)}, \dotsc, \sqrtRx, +\] +wenn man dieselben vermittelst der im Vorhergehenden entwickelten Formeln +berechnet, nur von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, in keinerlei Weise aber von der dabei +gebrauchten Zahl $\mu$ abhängen. %[** PP: umlaut added] + +Die Functionen $\varphi (\MF{u}_1, \dotsc)_1$, $\varphi (\MF{u}_1, \dotsc)_2$, u.~s.~w., auf welche, der vorstehenden +Darstellung nach, das \Auth{Abel}'sche Theorem fast mit Nothwendigkeit +führt, können durch die Formeln~(2.) für \textit{alle} Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ +als vollständig definirt betrachtet werden, indem man, wie auch die letztern +angenommen werden mögen, stäts $\mu$ so groß wählen kann, daß die in den +Ausdrücken jener Functionen vorkommenden unendlichen Reihen convergiren. +Für $\varrho = 1$ gehen sie, wenn +\[ +\sqrt{(a_3 - a_1)\MF{A}_0}\centerdot \MF{u}_1 = \MF{u} +\] +gesetzt wird, in die \textit{elliptischen} +\[ + \sin\am\MF{u} \qquad \cos\am\MF{u} \qquad \varDelta\am\MF{u} +\] +% [** PP: Manually hyphenating Abel'sche] +über. Aus diesem Grunde mögen sie vorzugsweise "`\Defn{hyperelliptische oder +Abel'\-sche Functionen der Argumente} $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$'' genannt werden. +Ferner sollen, der letztern Benennung entsprechend, für dieselben von nun an +die Bezeichnungen +\[ + \al(\MF{u}_1, \,\MF{u}_2, \dotsc, \,\MF{u}_{\varrho})_1 \quad + \al(\MF{u}_1, \,\MF{u}_2, \dotsc, \,\MF{u}_{\varrho})_2 \quad \dotsm \quad + \al(\MF{u}_1, \,\MF{u}_2, \dotsc, \,\MF{u}_{\varrho})_{2\varrho + 1}, +\] +oder auch kürzer +\[ +\al(\MF{u}_1, \dotsc)_1 \quad \al (\MF{u}_1, \dotsc)_2 \quad \dotsm \quad \al (\MF{u}_1, \dotsc)_{2\varrho + 1} +\] +gebraucht werden.\footnote{ + Die Form, welche ich in der vorliegenden Abhandlung den \Auth{Abel}'schen Functionen + gegeben habe, stimmt nicht ganz mit derjenigen überein, in welcher sie der frühern, +im 47sten Bande des \textit{Crelle}'schen Journals abgedruckten, aufgestellt sind. Die letztere +dürfte, an sich betrachtet, einige Vorzüge haben; ich habe sie aber geändert, um den +nicht unwesentlichen Vortheil zu erreichen, daß jede \Auth{Abel}'sche Function für $\varrho = 1$ geradezu +in eine der elliptischen von der gebräuchlichen Form übergehe -- was bei den dortigen +$\al(\MF{u}_1, \dotsc)_0$, $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_1$, u.~s.~w.\ nicht der Fall ist, indem diese vielmehr für $\varrho=1$ +mit den von \Auth{Abel} in dessen erster Abhandlung über die elliptischen Transcendenten +gebrauchten Formen überein kommen -- und auf diese Weise die Vergleichung jedes +gefundenen Resultats mit einem aus der Theorie der elliptischen Functionen bekannten +erleichtert werde.} + +%% {-----File: 032.png---Folio 30-------} + +Durch die bisherigen Entwicklungen ist jetzt das in der Einleitung ausgesprochene, +die Form des Abhängigkeitsverhältnisses, welches zwischen den +Größen $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ und $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ durch die daselbst aufgestellten +Differential-Gleichungen begründet ist, betreffende Theorem strenge erwiesen. +Dasselbe möge, in noch bestimmterer Weise gefaßt, hier wiederholt und mit +einer übersichtlichen Zusammenstellung der wichtigsten Formeln verbunden +werden. + +\textit{Es sei} +\[ +\tag{I.} +\left\{\begin{aligned} +\MF{R}(x) + &= \MF{A}_0 (x - a_1)(x - a_2) \dotsm (x - a_{2\varrho + 1}), \\[0.5ex] +\MF{P}(x) + &= (x - a_1)(x - a_2) \dotsm (x - a_{\varrho}), + \quad \frac{\partial \MF{P}(x)}{\partial x} = \MF{P}'(x), \\[0.5ex] +\MF{Q}(x) + &= \MF{A}_0 (x - a_{\varrho + 1})(x - a_{\varrho + 2}) + \dotsm (x - a_{2\varrho + 1}), +\end{aligned}\right. +\] +\textit{so lassen sich die Größen $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, welche die Differential-Gleichungen} +\[ +\tag{II.} +\left\{\begin{aligned} +d\MF{u}_1 + &= \sum \frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_{\fraka})}{x_{\fraka} - a_1} + \centerdot \frac{dx_{\fraka}}{\sqrt{ \MF{R} (x_{\fraka})}} \\[1ex] +d\MF{u}_2 + &= \sum \frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_{\fraka})}{x_{\fraka} - a_2} + \centerdot \frac{dx_{\fraka}}{\sqrt{ \MF{R} (x_{\fraka})}} \\[1ex] +\multispan{2}{\dotfill} \\[1ex] +d\MF{u}_{\varrho} + &= \sum \frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_{\fraka})}{x_{\fraka} - a_{\varrho}} + \centerdot \frac{dx_{\fraka}}{\sqrt{ \MF{R} (x_{\fraka})}} +\end{aligned}\right. +\] +\textit{befriedigen, und zugleich die Werthe $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ annehmen, wenn +$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ sämmtlich verschwinden, als die Wurzeln einer Gleichung +$\varrho$ten Grades betrachten, welcher man die Form} +\[ +\tag{III.} +\sum \Biggl\{ \frac{\MF{Q}(a_{\fraka})}{\MF{P}'(a_{\fraka})} + \centerdot \frac{\al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka} + {x - a_\fraka} \Biggr\} = 1 +\] +\textit{geben kann. In dieser bedeuten} +\[ +\al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_1 \quad +\al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_2 \quad \dots \quad +\al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{\varrho} +\] +%% {-----File: 033.png---Folio 31-------} +\textit{eindeutige Functionen der unbeschränkt veränderlichen Argumente $\MF{u}_1$, +$\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, welche für alle innerhalb irgend eines endlichen Bereichs +liegenden Werthe dieser Größen in der Form} +\[ +\Lmargintag{IV.} +\left\{\begin{aligned} +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_1 + &= \frac{\MF{u}_1 + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_3 ^{(1)} + + \dotsb + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{2\frakm-1}^{(1)} + + \dotsb {}}% End of numerator + {1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_2 ^{(0)} + + \dotsb + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{2\frakm}^{(0)} + + \dotsb {}}, \\[1ex] +\multispan{2}{\dotfill}\\[1ex] +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{\varrho} + &= \frac{\MF{u}_\varrho + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_3 ^{(\varrho)} + + \dotsb + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{2\frakm-1}^{(\varrho)} + + \dotsb {}}% End of numerator + {1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_2 ^{(0)} + + \dotsb + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{2\frakm}^{(0)} + + \dotsb {}}, +\end{aligned}\right. +\] +\textit{wo durch $(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\frakm}^{(\frakr)}$ +eine homogene ganze Function $\frakm$ten Grades +bezeichnet wird, dargestellt werden können}. + +\textit{Setzt man ferner} +\[ +\tag{V.} +(x-x_1)(x-x_2) \dotsm (x-x_{\varrho}) = \varphi(x), +\] +\textit{wo denn} +\[ +\tag{VI.} +\varphi(x) = \MF{P}(x) - \sum \Biggl\{ + \frac{\MF{Q} (a_{\fraka})} + {\MF{P}'(a_{\fraka})} + \centerdot \frac{\MF{P}(x)} + {x - a_\fraka} + \al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka + \Biggr\} +\] +\textit{und} +\[ +\Lmargintag{VII.} +% [** PP: Omitting redundant parentheses/braces around radicands] +\sqrt{\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)}} +% [** PP: Change x to a in last numerator factor, see Changenotetext] + = \sqrt{\frac{(a_\fraka - x_1)(a_\fraka - x_2) \dotsm (a_\fraka - x_\varrho)} + {-\MF{A}_0(a_\fraka - a_{\varrho+1}) \dotsm (a_\fraka - a_{2\varrho+1})}} + = \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka\qquad\Changenotemark +\] +\Changenotetext{$\sqrt{\dfrac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)}} += \sqrt{\dfrac{(a_\fraka - x_1)(a_\fraka - x_2) \dotsm (x_\fraka - x_\varrho)} + {-\MF{A}_0(a_\fraka - a_{\varrho+1}) \dotsm (a_\fraka - a_{2\varrho+1})}} = \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka$}% +\textit{ist, und} +\[ +\tag{VIII.} +\sum \frac{1}{2}\, \frac{\partial\varphi(x)}{\partial\MF{u}_\fraka} = \psi(x), +\] +\textit{oder, indem man} +\[ +\tag{IX.} + \frac{\partial\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka} + {\partial\MF{u}_1} + \dotsb ++ \frac{\partial\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka} + {\partial\MF{u}_\varrho} + \quad\text{\textit{mit}}\quad + \overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka +\] +\textit{bezeichnet,} +\[ +\tag{X.} +\psi (x) = \sum \Biggl\{ + \frac{-\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \centerdot \frac{\MF{P}(x)}{x - a_\fraka} + \al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka\, +\overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka +\Biggr\}, +\] +\textit{so giebt die Formel} +\[ +\tag{XI.} \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} = -\psi(x_\fraka) +\] +\textit{nach Bestimmung von $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ diejenigen Werthe der Wurzelgrößen +$\sqrt{\MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x_2)}$, $\dotsc$, $\sqrtRx$, welche diesen in den obigen Differential-Gleichungen +{\upshape(II.)} beigelegt werden müssen. Weiter hat man} +%% {-----File: 034.png---Folio 32-------} +\[ +\tag{XII.} +\left\{ +\begin{aligned} +\sqrt{\frac{\varphi(a_{\varrho + \fraka})}{\MF{P}(a_{\varrho + \fraka})}} +&= \sqrt{\frac{(a_{\varrho + \fraka} - x_1) + (a_{\varrho + \fraka} - x_2) \dotsm + (a_{\varrho + \fraka} - x_\varrho)} + {(a_{\varrho + \fraka} - a_1) + (a_{\varrho + \fraka} - a_2) \dotsm + (a_{\varrho + \fraka} - a_\varrho)}} \\ +&\quad + = \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\varrho + \fraka}, \\[1ex] +\sqrt{\frac{\varphi(a_{2\varrho + 1})}{\MF{P}(a_{2\varrho + 1})}} +&= \sqrt{\frac{(a_{2\varrho + 1} - x_1) + (a_{2\varrho + 1} - x_2) \dotsm + (a_{2\varrho + 1} - x_\varrho)} + {(a_{2\varrho + 1} - a_1) + (a_{2\varrho + 1} - a_2) \dotsm + (a_{2\varrho + 1} - a_\varrho)}} \\ +&\quad + = \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho + 1}, +\end{aligned} +\right. +\] +\textit{wo $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\varrho + 1}$, $\dotsc,~\al(\MF{u}_1, \dotsc)_{2\varrho +1}$ Functionen derselben Art wie $\al(\MF{u}_1,\dotsc)_1$ +u.~s.~w.\ sind, die sich in der Form} +\[ +\tag{XIII.} +\left\{ +\begin{gathered} +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\varrho + 1} \\ +{} = \frac{1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2^{(\varrho + 1)} + + \dotsb + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\frakm}^{(\varrho + 1)} + + \dotsb} + {1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2^{(0)} + + \dotsb + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\frakm}^{(0)} + + \dotsb}, \\[1ex] +\dotfill \\ +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho + 1} \\ +{} = \frac{1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2^{(2\varrho + 1)} + + \dotsb + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\frakm}^{(2\varrho + 1)} + + \dotsb} + {1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2^{(0)} + + \dotsb + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\frakm}^{(0)} + + \dotsb} +\end{gathered} +\right. +\] +\textit{darstellen lassen, wo der Nenner derselbe ist wie in den Ausdrücken~\textup{(IV.)}.} +Diesen Formeln füge ich noch die folgenden hinzu. + +Bezeichnet man mit $\alpha$ irgend eine der Zahlen $1, 2, \dotsc, 2\varrho+1$, +und setzt +\[ +\tag{XIV.} +-\MF{Q}(a_\fraka) = l_\fraka, \quad + \MF{P}(a_{\varrho + \fraka}) = l_{\varrho + \fraka}, \quad + \MF{P}(a_{2\varrho + 1}) = l_{2\varrho +1}, +\] +\[ +\tag{XV.} +\frac{\partial\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha} + {\partial\MF{u}_1} + + \dotsb + + \frac{\partial\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha} + {\partial\MF{u}_\varrho} + = \overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha, +\] +so ist +\[ +\tag{XVI.} +\left\{ +\begin{aligned} +\varphi (a_\alpha) +&= l_\alpha \al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha, \\ +\psi (a_\alpha) +&= l_\alpha \al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha \, + \overline{\al} (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha, +\end{aligned} +\right. +\] +so daß man auch, wenn $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\dotsc,~\alpha_\varrho$ \ $\varrho$ verschiedene Werthe von $\alpha$ +sind, und +\[ +\tag{XVII.} +(x - a_{\alpha_1}) \dotsm (x - a_{\alpha_{\varrho}}) = \MF{R}_1(x) +\] +gesetzt wird, +\[ +\tag{XVIII.} +\left\{ +\begin{aligned} +\varphi(x) +&= \MF{R}_1(x) + \sum \Biggl\{ + \Underset{\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_\varrho} + {\frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)} + \centerdot \frac{\MF{R}_1(x)}{x - a_\alpha} + \al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha} + \Biggr\}, \\[1ex] +\psi(x) +&= \sum \Biggl\{ + \Underset{\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_\varrho} + {\frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1 (a_\alpha)} + \centerdot \frac{\MF{R}_1(x)} + {x - a_\alpha} + \al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha\, + \overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha} + \Biggr\}, +\end{aligned} +\right. +\] +hat. + +%% {-----File: 035.png---Folio 33-------} + +Ferner ist, indem +\[ + \frac{\psi(x)}{\varphi(x)} += \sum \frac{\psi(x_\fraka)}{(x - x_\fraka)\, \varphi'(x_\fraka)}\;, + \quad\text{wo}\quad + \varphi'(x) = \frac{\partial\varphi(x)}{\partial x}, +\] +in Folge (X, XVI.) +\begin{gather*} +\tag{XIX.} + \frac{\psi(x)}{\varphi(x)} += \sum \frac{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}{(x_\fraka - x)\,\varphi'(x_\fraka)}\;, +\\[1ex] +\tag{XX.} + \frac{\overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha} + { \al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha} += \sum \frac{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + {(x_\fraka - a_\alpha)\,\varphi'(x_\fraka)}. +\end{gather*} +Nun ist oben bei Herleitung der Gleichung (8.) gefunden worden +\[ + \biggl(\frac{ \partial\varphi(x) } + { \partial \MF{u}_\frakb} \biggr)_{x=x_\fraka} += -\varphi'(x_\fraka) + \frac{ \partial x_\fraka }{ \partial \MF{u}_\frakb } +% += \frac{2\varphi(a_\frakb) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} } + { (x_\fraka - a_\frakb) {\MF{P}'}(a_\frakb) } +% += -\frac{2\varphi(a_\frakb) \psi(x_\fraka) } + { (x_\fraka - a_\frakb) {\MF{P}'}(a_\frakb) }. +\] +woraus man schließt, daß für jeden Werth von $x$ +\[ +\tag{XXI.} + \frac{1}{2}\, \frac{ \partial\varphi(x) }{ \partial \MF{u}_\frakb } += \frac{ \psi(a_\frakb)\, \varphi(x) - \varphi(a_\frakb)\, \psi(x) } + { (x - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) } +\] +ist, indem die beiden einander gleichgesetzten Ausdrücke ganze Functionen +$(\varrho - 1)$ten Grades von $x$ sind, welche für $\varrho$ Werthe dieser Größe, $x_1$, $x_2$, +$\dotsc$, $x_\varrho$, der vorstehenden Formel gemäß übereinstimmen, also identisch sein +müssen. Aus dieser Gleichung folgt, wenn man die durch (XIX.) gegebenen +Ausdrücke von $\psi(a_\frakb)$ und $\psi(x)$ substituirt +\[ +\tag{XXII.} +\frac{1}{2}\, \frac{\partial \varphi(x)}{\partial \MF{u}_\frakb} += -\frac{ \varphi(a_\frakb)\, \varphi(x) }{ \MF{P}'(a_\frakb) } + \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{ \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} } + { (x_\fraka - x) (x_\fraka - a_\frakb)\, \varphi'(x_\fraka) } + \Biggr\}. +\] +Ferner, wenn man $x = a_\alpha$ setzt, +\iffalse +\[ +\Lmargintag{XXIII.} +\frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha } + { \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha \partial \MF{u}_\frakb } +% += \frac{ -{\MF{Q}}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) } + \centerdot \frac{ \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha + \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb + - \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb + \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha }{ a_\alpha - a_\frakb }, +\] +\fi +\begin{multline} +\tag{XXIII.} +\frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha } + { \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha \partial \MF{u}_\frakb } \\ +% += \frac{ -{\MF{Q}}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) } + \centerdot \frac{ \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha + \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb + - \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb + \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha }{ a_\alpha - a_\frakb }, +\end{multline} +vorausgesetzt, daß $\alpha$ von $\frakb$ verschieden sei; oder wenn man, unter der Annahme, +daß $\beta \gtrless \alpha$, +\iffalse +\[ +\Lmargintag{XXIV.} +\frac{ \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha\, \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta + - \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta \, \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha } + { a_\alpha - a_\beta } \quad\text{durch}\quad +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\alpha\beta} +\] +\fi +\begin{multline} +\tag{XXIV.} +\frac{ \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha\, \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta + - \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta \, \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha } + { a_\alpha - a_\beta } \\ +\text{durch } +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\alpha\beta} +\end{multline} +bezeichnet, wo denn, zufolge (XX.) +\[ +\tag{XXV.} +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\alpha\beta} += -\sum \Biggl\{ + \frac{ \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha\, \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta + \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + { (x_\fraka - a_\alpha)(x_\fraka - a_\beta)\, \varphi'(x_\fraka) } + \Biggr\} +\] +ist, und man +\[ +\tag{XXVI.} + \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\alpha\beta} += \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\beta\alpha} +\] +hat: +%% {-----File: 036.png---Folio 34-------} +\[ +\tag{XXXVII.} +\Underset{(\frakb \gtrless \alpha)}{ + \frac{\partial \al(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha} {\partial \MF{u}_\frakb} = +- \frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \al (\MF{u}_1,\dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1,\dotsc)_{\alpha\frakb}, } +\] +aus welcher Gleichung, wenn man $\alpha = \fraka$ setzt und auf beiden Seiten mit +$\smfrac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} \al(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka$ multiplicirt, noch +\[ +\tag{XXVIII.} + \frac{ \partial\biggl( \dfrac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka) } + \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka \biggr) } + { \partial \MF{u}_\frakb } += \frac{ \partial\biggl( \dfrac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb) } + \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\frakb\biggr)} + { \partial \MF{u}_\fraka } +\] +folgt. + +Die in dem Vorstehenden eingeführten Functionen +\[ + \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha, \quad + \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha, \quad + \al (\MF{u}_1, \dotsc)_{\alpha\beta} +\] +können (nach den Formeln XVI, XX, XXIV) sämmtlich algebraisch durch +$x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ ausgedrückt werden; es müssen daher unter ihnen so viele +algebraische Relationen bestehen, als Functionen vorhanden sind, weniger $\varrho$. +Diese sollen in dem folgenden §. entwickelt und zusammengestellt werden. + + +\Section{} % \S.~5. +\subsubsection*{\centering\normalfont Algebraische Relationen unter den \Auth{Abel}'schen % + Functionen und deren ersten Differential-Coefficienten.} + +\indent Es werde der Kürze wegen +\[ +\al(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha = \MF{p}_\alpha \quad +\overline{\al}(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha = \pbar_\alpha \quad +\al(\MF{u}_1,\dotsc)_{\alpha\beta} = \MF{p}_{\alpha\beta} +\] +gesetzt; dann gelten folgende Sätze. + + +\Subsection{I} +\textit{Durch je $\varrho$ von den Quadraten der Größen $\MF{p}_\alpha$ können die übrigen +linear ausgedrückt werden}. + +Aus der Formel (XVIII.) des vorhergehenden §. folgt nämlich, wenn +man $x = a_\beta$ setzt, und $\beta$ nicht unter den Zahlen $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\dotsc,~\alpha_\varrho$ begriffen +ist, mit Berücksichtigung von (XVI.) +\[ +\frac{l_\beta}{\MF{R}_1(a_\beta)} \centerdot \MF{p}^2_\beta += 1 - \sum\Biggl\{ + \Underset{\alpha =\alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_\varrho} + {\frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)} + \centerdot \frac{\MF{p}^2_\alpha}{a_\alpha - a_\beta}} + \Biggr\}. +\] + +\Subsection{II} +\textit{Eben so können durch je $\varrho$ von den Größen +\[ +\MF{p}^2_\gamma, \quad \MF{p}^2_{1\gamma}, \quad \MF{p}^2_{2\gamma}, \quad \dotsc, \quad \MF{p}^2_{(2\varrho+1)\gamma} +\] +(wo $\MF{p}_{\gamma\gamma}$ fortzulassen ist) die übrigen linear ausgedrückt werden, +vermittelst der Formeln} +%% {-----File: 037.png---Folio 35-------} +\begin{align*} + \MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma + &= \frac{\MF{R}'(a_\gamma)}{l_\gamma \MF{R}_1(a_\gamma)} + - \sum_\alpha \Biggl\{ + \frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)} \MF{p}^2_{\alpha\gamma} + \Biggr\}, % [** PP: Added comma] +\\[1ex] + \frac{(a_\gamma - a_\beta)\, l_\beta}{\MF{R}_1(a_\beta)} + \MF{p}^2_{\beta\gamma} + &= \MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma + \sum_\alpha \Biggl\{ + \frac{a_\gamma - a_\alpha}{a_\beta - a_\alpha} + \centerdot \frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)} + \MF{p}^2_{\alpha\gamma} + \Biggr\} +\\ + &= \frac{\MF{R}'(a_\gamma)}{l_\gamma \MF{R}_1(a_\gamma)} + + \sum_\alpha \Biggl\{ + \frac{a_\gamma - a_\beta}{a_\beta - a_\alpha} + \centerdot \frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)} + \MF{p}^2_{\alpha\gamma} + \Biggr\}, % [** PP: Added comma] +\end{align*} +\textit{in denen sich das Summenzeichen auf dieselben Werthe von $\alpha$ bezieht +wie in (I.), und $\gamma$ sowohl als $\beta$ nicht unter diesen begriffen +sein darf.} + +In Folge der Gleichung +\[ +\psi(x_\fraka) = -\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} \quad (\fraka=1, 2, \dotsc, \varrho) +\] +wird die Function $\MF{R}(x)-\psi^2(x)$ für $x=x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ gleich Null, und +ist daher durch $\varphi(x)$ theilbar. Setzt man nun +\[ +\psi_\gamma(x) + = \frac{\pbar_\gamma\, \varphi(x) + - \MF{p}_\gamma\, \psi(x)}{x - a_\gamma}, +\] +so wird der Zähler dieses Ausdruckes für $x=a_\gamma$ (zufolge der Formel XVI. +des vorhergehenden §.) gleich Null, und es ist somit $\psi_\gamma(x)$ eine ganze +Function $(\varrho-1)$ten Grades. Dann hat man +\begin{gather*} + \MF{p}^2_\gamma \MF{R}(x) - (x-a_\gamma)^2 \psi^2_\gamma(x) +\\ + {} = \MF{p}^2_\gamma \bigl(\MF{R}(x) - \psi^2(x)\bigr) + + \pbar_\gamma \varphi(x)\, + \bigl(2\MF{p}_\gamma \psi(x) - \pbar_\gamma \varphi(x) \bigr), +\end{gather*} +und es ist also der Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung ebenfalls +durch $\varphi(x)$ theilbar, wie auch durch $x-a_\gamma$, so daß man setzen kann +\[ +\MF{p}^2_\gamma\frac{\MF{R}(x)}{x-a_\gamma} - (x-a_\gamma)\, \psi^2_\gamma(x) + = \varphi(x)\, \varphi_\gamma(x), +\] +und dann $\varphi_\gamma(x)$ eine ganze Function $\varrho$ten Grades bedeutet. Nimmt man nun +$x=a_\alpha$, $\alpha\gtrless\gamma$ vorausgesetzt, so ergiebt sich (zufolge Formel XVI. d.~v.\ §.) +\[ +\varphi_\gamma(a_\alpha) + = (a_\gamma - a_\alpha)\, l_\alpha \MF{p}^2_{\alpha\gamma}, +\] +indem +\[ +\psi_\gamma(a_\alpha) = l_\alpha \MF{p}_\alpha \MF{p}_{\alpha\gamma} +\] +ist. Ferner erhält man für $x=a_\gamma$ +\[ +\varphi_\gamma(a_\gamma) = \frac{\MF{R}'(a_\gamma)}{l_\gamma}. +\] +Bemerkt man nun noch, daß der Coefficient des höchsten Gliedes von $\varphi_\gamma(x)$ +gleich $\MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma$ ist, und man daher +%% {-----File: 038.png---Folio 36-------} +\begin{align*} + \frac{\varphi_\gamma(x)}{\MF{R}_1(x)} +&= \MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma + + \sum_\alpha + \frac{\varphi_\gamma(a_\alpha)}{(x-a_\alpha)\,{\MF{R}'}_1(a_\alpha)} +\\ +&= \MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma + + \sum_\alpha + \frac{a_\gamma - a_\alpha}{(x - a_\alpha)} + \centerdot \frac{l_\alpha}{{\MF{R}'}_1(a_\alpha)} \MF{p}_{\alpha\gamma} +\end{align*} +hat, so ergeben sich die zu beweisenden Relationen, indem man $x = a_\gamma$ und +$x = a_\beta$ setzt. + + +\Subsection{III} +\textit{Aehnliche Relationen finden Statt unter den in der Reihe +\[ +\MF{p}_1\MF{p}_{1\gamma},\quad +\MF{p}_2\MF{p}_{2\gamma},\quad \dotsc,\quad +\MF{p}_{2\varrho+1}\MF{p}_{(2\varrho+1)\gamma} +\] +enthaltenen Producten.} + +Setzt man nämlich in der Gleichung +\[ + \frac{\psi_\gamma(x)}{\MF{R}_1(x)} += \sum_\alpha \frac{\psi_\gamma(a_\alpha)}{(x-a_\alpha)\MF{R}'_1(a_\alpha)} += \sum_\alpha \frac{ l_\alpha \MF{p}_\alpha \MF{p}_{\alpha\gamma} } + { (x - a_\alpha) \MF{R}'_1(a_\alpha) } +\] +$x = a_\beta$, so ergiebt sich +\[ +\frac{l_\gamma}{\MF{R}_1(a_\beta)} \MF{p}_\beta \MF{p}_{\beta\gamma} + = \sum_\alpha \frac{ l_\alpha \MF{p}_\alpha \MF{p}_{\alpha\gamma} } + { (a_\beta - a_\alpha) \MF{R}'_1(a_\alpha) }\;, +\] +wo hinsichtlich der Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ dasselbe gilt wie bei der vorhergehenden Nr. + + +\Subsection{IV} +\textit{Unter je sechs Functionen $\MF{p}_\alpha$, $\MF{p}_\beta$, +$\MF{p}_\gamma$, $\MF{p}_{\beta\gamma}$, $\MF{p}_{\gamma\alpha}$, +$\MF{p}_{\alpha\beta}$, wo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ +verschiedene Werthe haben müssen, findet die Relation +\[ + (a_\beta - a_\gamma)\MF{p}_\alpha \MF{p}_{\beta\gamma} ++ (a_\gamma - a_\alpha)\MF{p}_\beta \MF{p}_{\gamma\alpha} ++ (a_\alpha - a_\beta )\MF{p}_\gamma \MF{p}_{\alpha\beta} = 0, +\] +oder +\[ +\MF{p}_{\alpha\beta} + = \frac{ (a_\gamma - a_\beta) \MF{p}_\alpha \MF{p}_{\beta\gamma} + - (a_\gamma - a_\alpha)\MF{p}_\beta \MF{p}_{\alpha\gamma} } + { (a_\alpha - a_\beta) \MF{p}_\gamma } +\] +Statt}. + +Denn es ist (vermöge Formel XXIV. des v.~§.) +\begin{align*} + \frac{(a_\alpha - a_\beta) \MF{p}_{\alpha\beta}}{\MF{p}_\alpha\MF{p}_\beta} +&= \frac{ \pbar_\beta }{ \MF{p}_\beta } + - \frac{ \pbar_\alpha }{ \MF{p}_\alpha }\;, % [** PP: Added comma] +\\ + \frac{(a_\beta - a_\gamma)\MF{p}_{\beta\gamma}}{\MF{p}_\beta \MF{p}_\gamma} +&= \frac{ \pbar_\gamma }{ \MF{p}_\gamma } + - \frac{ \pbar_\beta }{ \MF{p}_\beta }\;, % [** PP: Added comma] +\\ + \frac{(a_\gamma - a_\alpha)\MF{p}_{\gamma\alpha}}{\MF{p}_\gamma\MF{p}_\alpha} +&= \frac{ \pbar_\alpha }{ \MF{p}_\alpha } + - \frac{ \pbar_\gamma }{ \MF{p}_\gamma } +\end{align*} +aus welchen Gleichungen, wenn man sie durch Addition verbindet, die aufgestellte +Relation sofort folgt. + + +\Subsection{V} +\textit{Endlich ergeben sich noch folgende Gleichungen, in denen +\[ +\fraka' \quad\text{irgend eine der Zahlen}\quad + \varrho+1, \varrho+2, \dotsc, 2\varrho+1 +\] +%% {-----File: 039.png---Folio 37-------} +bedeuten soll}, +\begin{align*} +\pbar_\fraka +&= \sum_\frakb \frac{ \partial\MF{p}_\fraka }{ \partial\MF{u}_\frakb } + = (a_{\fraka'} - a_\fraka) \MF{p}_{\fraka'} \MF{p}_{\fraka\fraka'} + + {\sum_\frakb}' \Biggl\{ + \Underset{(\frakb \gtrless \fraka)} + {\frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \centerdot \frac{a_\fraka - a_\frakb}{a_\frakb - a_{\fraka'}} + \MF{p}_\frakb \MF{p}_{\fraka\frakb} + } + \Biggr\}, % [** PP: Added comma] +\\[1ex] +% +\frac{\partial \MF{p}_\fraka}{\partial \MF{u}_\fraka} +&= (a_{\fraka'} - a_\fraka) \MF{p}_{\fraka'} \MF{p}_{\fraka\fraka'} + + {\sum_\frakb}' \Biggl\{ + \Underset{(\frakb \gtrless \fraka)} + {\frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \centerdot \frac{a_\fraka - a_{\fraka'}}{a_\frakb - a_{\fraka'}} + \MF{p}_\frakb \MF{p}_{\fraka\frakb} + } + \Biggr\}, % [** PP: Added comma] +\\[1ex] +% +\pbar_{\fraka'} +&= \sum_\frakb \frac{\partial\MF{p}_{\fraka'}}{\partial \MF{u}_\frakb} + = \sum_\frakb \Biggl\{ + \frac{-\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \MF{p}_\frakb \MF{p}_{\fraka'\frakb} + \Biggr\}. % [** PP: Added period] +\end{align*} + +Man hat nämlich (Formel~XXVII d.~v.~\S.) +\[ +\frac{\partial\MF{p}_{\fraka'}}{\partial\MF{u}_\frakb} + = -\frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \MF{p}_\frakb \MF{p}_{\fraka\frakb} + \qquad (\frakb \gtrless \fraka). % [** PP: Added period] +\] +Hieraus folgt, wenn man $\alpha = \fraka'$ setzt, sofort die dritte der vorstehenden Gleichungen. +Aus (VI.) aber folgt, wenn man $x = a_{\fraka'}$ nimmt und $\frakb$ statt $\fraka$ schreibt, +\[ +\MF{p}^2_{\fraka'} + = 1 - \sum_\frakb + \Biggl\{ + \frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \centerdot \frac{\MF{p}^2_\frakb}{a_{\fraka'} - a_\frakb} + \Biggr\}, % [** PP: Added comma] +\] +und hieraus, wenn man nach $\MF{u}_\fraka$ differentiirt, +\[ +\MF{p}_{\fraka'} \MF{p}_{\fraka\fraka'} + = \frac{\dfrac{\partial \MF{p}_\fraka}{\partial \MF{u}_\fraka}} + {a_{\fraka'} - a_\fraka} + - {\sum_\frakb{}}' \Biggl\{ + \frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \centerdot \frac{\MF{p}_\frakb\MF{p}_{\fraka\frakb}}{a_{\fraka'} - a_\frakb} + \Biggr\}, +\qquad (\frakb \gtrless \fraka), +\] +woraus sich die zweite Gleichung ergiebt, aus der dann weiter die erste folgt. + + +% [** PP: Italicizing for consistency] +\Subsection{VI} +\textit{Von den vorstehenden Relationen mögen nun die folgenden besonders +hervorgehoben werden, in denen der Kürze wegen} +\[ +2\varrho + 1 \quad\text{durch}\quad \fraka_0,\quad + \varrho + \fraka \quad\text{durch}\quad \fraka',\quad + \varrho + \frakb \quad\text{durch}\quad \frakb' +\] +\textit{bezeichnet ist}. +\[ +\tag{1.} +\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0} + = 1 - \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \centerdot \frac{ \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka}{a_{\fraka_0} - a_{\fraka} } + \Biggr\} +\] +\[ +\tag{2.} +\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka'} + = 1 - \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \centerdot \frac{\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka}{a_{\fraka'} - a_\fraka} + \Biggr\} +\] +\[ +\tag{3.} +\MF{A}_0 \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0} + = \frac{\MF{Q}'(a_{\fraka_0})}{\MF{P}(a_{\fraka_0})} + + \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0\fraka} + \Biggr\} +\] +\begin{align*} +\tag{4.} +(a_{\fraka_0} - a_{\fraka'}) &\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0 \fraka'} +\\ +&= + \MF{A}_0 \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0} - \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{a_{\fraka_0} - a_\fraka}{a_{\fraka'} - a_\fraka} + \centerdot \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0\fraka} + \Biggr\} +\\ +&=\frac{\MF{Q}'(a_{\fraka_0}) }{\MF{P}(a_{\fraka_0})} - + \sum_\fraka \Biggl\{\frac{a_{\fraka_0} - a_{\fraka'}}{a_{\fraka'} - a_\fraka} + \centerdot \frac{\MF{Q}(a_\fraka) }{\MF{P}'(a_\fraka)} + \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0\fraka} \Biggr\} +\end{align*} +%% {-----File: 040.png---Folio 38-------} +\[ +\tag{5.} +\al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka'} + = \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{ \MF{Q}(a_{\fraka}) }{ \MF{P}'(a_{\fraka}) } + \centerdot \frac{ \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\fraka + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka'}} + { a_\fraka - a_{\fraka'} } + \Biggr\} +\] +% +\begin{multline} +\tag{6.} + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka\frakb} \\ + = \frac{ ( a_{\fraka_0} - a_\frakb ) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\fraka \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0\frakb} + - ( a_{\fraka_0} - a_\fraka ) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0\fraka}} + { a_\fraka - a_\frakb } +\end{multline} +% +\begin{multline} +\tag{7.} + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'\frakb} \\ + = \frac{ ( a_{\fraka_0} - a_\frakb ) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \frakb} + - ( a_{\fraka_0} - a_{\fraka'} ) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka'}} + { a_{\fraka'} - a_\frakb} +\end{multline} +% +\begin{multline} +\tag{8.} + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka' \frakb'} \\ + = \frac{ ( a_{\fraka_0} - a_{\frakb'} ) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \frakb'} + - ( a_{\fraka_0} - a_{\fraka'} ) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\frakb'} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka'}} + { a_{\fraka'} - a_{\frakb'} } +\end{multline} +\[ +\tag{9.} +\left\{ \begin{aligned} + \frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\fraka }{ \partial \MF{u}_\frakb } + &= -\frac{ \MF{Q}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) } + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka \frakb} + \qquad (\frakb \gtrless \fraka) +\\[1ex] + \frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \dotsc )_{\fraka_0} } + { \partial \MF{u}_\frakb } + &= -\frac{ \MF{Q}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) } + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \frakb} +\\[1ex] + \frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'} } + { \partial \MF{u}_\frakb } +&= -\frac{ \MF{Q}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) } + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka' \frakb} +\\[1ex] + \frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\fraka } + { \partial \MF{u}_\fraka } +&= (a_{\fraka_0} - a_\fraka) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka } +% [** PP: Changed to a_0a] +\\ +&-{\sum_\frakb}' + \Underset{(\frakb \gtrless \fraka)} + { \Biggl\{ + \frac{ \MF{Q}(a_{\frakb}) }{ \MF{P}'(a_{\frakb}) } + \centerdot \frac{ a_\fraka - a_{\fraka_0} } + { a_{\fraka_0} - a_\frakb } + \al(\MF{u}_1, \dotsc )_\frakb + \al(\MF{u}_1, \dotsc )_{\fraka\frakb} \Biggr\} + }. % [** PP: Added period] +\end{aligned} \right. +\] +Von diesen Gleichungen gehen Nr.\ (1, 2, 3, 4, 5) aus (I, II, III) hervor, +wenn man in diesen $\MF{R}_1(x) = \MF{P}(x)$ setzt; Nr.\ (6, 7, 8) sind die Relationen +(IV.), wenn man $\gamma = \fraka_0$ nimmt, und die unter Nr.\ (9.) finden sich unter +(XXVII.) des v.~§.\ und (V.). Sie stellen, wie man sofort übersieht, so viel +Relationen unter den Functionen $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha$, $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\alpha\beta}$ und den ersten +Differential-Coefficienten von $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha$ dar, als nöthig sind, um alle diese +Größen algebraisch durch +\[ +\al(\MF{u}_1, \dots )_1 \qquad \al(\MF{u}_1, \dots )_2 \qquad \dots \qquad \al(\MF{u}_1, \dots )_{\varrho} +\] +(an deren Stelle je $\varrho$ andere der Functionen $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha$ treten könnten) auszudrücken, +ohne daß in den betreffenden Formeln die Argumente $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$, +$\MF{u}_\varrho$ selbst vorkommen; woraus unmittelbar weiter folgt, daß auch die höheren +Differential-Coefficienten der \Auth{Abel}'schen Functionen algebraisch durch je $\varrho$ +der letztern ausdrückbar sein werden. + +%% {-----File: 041.png---Folio 39-------} + +%§. 6. +\Section{} +\subsubsection*{\centering\normalfont Die \Auth{Abel}'schen Integral-Functionen.} + +Das Integral +\[ +\int \Biggl\{ + \frac{\MF{F}(x_1)\, dx_1}{\sqrt{ \MF{R}(x_1) }} + + \frac{\MF{F}(x_2)\, dx_2}{\sqrt{ \MF{R}(x_2) }} + + \dotsb + + \frac{\MF{F}(x_\varrho)\, dx_\varrho}{\sqrtRx} +\Biggr\}, +\] +wo $\MF{F}(x)$ eine beliebige rationale Function von $x$ bedeuten soll, geht, wenn +man $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, $\sqrt{ \MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{ \MF{R}(x_2)}$, $\dotsc,~\sqrtRx$ vermittelst der Formeln +des §.~4.\ durch $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ ausdrückt, in eine Function dieser Argumente +über, welche man eine "`\Defn{Abel'sche Integral-Function}'' derselben nennen +kann, und deren analytischer Charakter jetzt näher untersucht werden soll. + +Man kann, wie weiter unten wird nachgewiesen werden, jede in der +vorstehenden Formel enthaltene Function auf eine einzige zurückführen, die mit +\[ +\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) + \quad\text{oder kürzer}\quad \Al(\MF{u}_1, \dotsc) +\] +bezeichnet werden soll, und durch die folgende Gleichung +\[ +\tag{1.} +d\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) + = \sum \frac{1}{2}\, \frac{\sqrt{\MF{R}(a)}}{\MF{P}(a)} + \centerdot \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} +\] +definirt wird, mit der nähern Bestimmung, daß $\Al(\MF{u}_1, \dotsc)$ den Werth Null +erhalte, wenn $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ sämmtlich verschwinden. Die Constante $a$ +kann jeden beliebigen Werth haben, mit Ausnahme von $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_{2\varrho + 1}$, +und auch das Zeichen der Wurzelgröße $\sqrt{\MF{R}(a)}$ willkührlich bestimmt werden. +Ist es nöthig, $a$ in die Bezeichnung der erklärten Function mit aufzunehmen, +so soll dieselbe $Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho;\, a)$ geschrieben werden. + +Nimmt man zunächst die Größen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ so klein an, daß +nicht nur $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ in der Nähe von $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ sich befinden, +und dieselben daher, so wie $\sqrt{\MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x_2)}$, $\dotsc,~\sqrtRx$ durch die unendlichen +Reihen (4,~5) des §.~1.\ ausgedrückt werden können, sondern auch die +Differenzen $x_1 - a_1$, $x_2 - a_2$, $\dotsc,~x_\varrho - a_\varrho$ dem absoluten Betrage nach kleiner +als beziehlich $a - a_1$, $a - a_2$, $\dotsc,~a - a_\varrho$ sind; so erhält man, indem +\[ +\frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a} + = \frac{x_\fraka - a_\fraka}{x_\fraka - a} + \centerdot \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\fraka} +\] +und +\begin{align*} + \frac{x_\fraka - a_\fraka}{x_\fraka - a} +&= \frac{x_\fraka - a_\fraka}{a_\fraka - a} + \Biggl\{ 1 + + \biggl( \frac{x_\fraka - a_\fraka}{a_\fraka - a} \biggr) + + \biggl( \frac{x_\fraka - a_\fraka}{a_\fraka - a} \biggr)^2 + + \dotsb \Biggr\} +\\[1ex] +&= \frac{\MF{Q}(a_\fraka)\centerdot s^2_\fraka } + { (a_\fraka - a) \MF{P}'(a_\fraka) } + \Underset{\frakm = 1\dots\infty} + {\Biggl\{ 1 + \mathbf{S} + \biggl(\frac{ \MF{Q}(a_\fraka)} + {(a - a_\fraka) \MF{P}'(a_\fraka)} + \biggr) + \centerdot s^{2\frakm}_\fraka \Biggr\},} +\end{align*} +%% {-----File: 042.png---Folio 40-------} +\[ +\frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\fraka} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka) }} + = \bigl( 1 + (\fraka, \fraka)_1 s^2_\fraka + + (\fraka, \fraka)_2 s^4_\fraka + \dotsb\bigr)\, ds_\fraka + \quad (\S.~1.) +\] +ist: +\begin{align*} +\tag{2.} + \Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) + &= \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{ \MF{P}(a) } + \centerdot \bigl\{\mathbf{S}_3 + \mathbf{S}_5 + \dotsb + + \mathbf{S}_{2\frakm+1} + \dotsb \bigr\} +\\[1ex] +\notag + &= \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{ \MF{P}(a) } + \centerdot \bigl\{\frakU_3 + \frakU_5 + \dotsb + + \frakU_{2\frakm+1} + \dotsb \bigr\}, +\end{align*} +wo durch $\mathbf{S}_{2\frakm+1}$ eine homogene ganze Function $(2\frakm+1)$ten Grades von $s_1$, +$s_2$, $\dotsc,~s_\varrho$ und durch $\frakU_{2\frakm+1}$ eine eben solche von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ bezeichnet +wird. Die Coefficienten von $\mathbf{S}_{2\frakm+1}$, $\frakU_{2\frakm+1}$ werden rational aus $a$, $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ +und den Coefficienten von $\MF{Q}(x)$ zusammengesetzt; nach fallenden Potenzen +von $a$ entwickelt, fangen $\mathbf{S}_{2\frakm+1}$, $\frakU_{2\frakm+1}$ mit Gliedern an, die mit $a^{-\frakm}$ multiplicirt +sind. + +Nun aber findet, wenn man jetzt wieder unter +\iffalse % matches scan +\begin{alignat*}{4} + \MF{u}'_\fraka, && \MF{u}''_\fraka, && \dotsc, && \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka + \\ + x'_\fraka, && x''_\fraka, && \dotsc, && x^{(2\mu)}_\fraka + \\ + \sqrt{ \MF{R}(x'_\fraka)}, &&\ \sqrt{ \MF{R}(x''_\fraka)}, &&\ + \dotsc, &&\ \sqrt{ \MF{R}(x^{(2\mu)}_\fraka)} + \\[0.5ex] + \MF{M}(x), && \MF{N}(x), && \multispan{4}{$\qquad\varphi(x)$} + \\ + x_\fraka, && \sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} +\end{alignat*} +\fi +\[ % [** PP: Centered columns] +\begin{array}{cccc} + \MF{u}'_\fraka, & \MF{u}''_\fraka, & \dotsc, & \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka \\[1ex] + x'_\fraka, & x''_\fraka, & \dotsc, & x^{(2\mu)}_\fraka \\[1ex] + + \sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x'_\fraka)}, & + \sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x''_\fraka)}, & \dotsc, & + \sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x^{(2\mu)}_\fraka)} \\[0.5ex] + \MF{M}(x), & \MF{N}(x), & \multispan{2}{\qquad$\varphi(x)$} \\ + x_\fraka, & \sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x_\fraka)} & & +\end{array} +\] +dieselben Größen versteht wie in §.~2, nach dem \Auth{Abel}'schen Theoreme nicht +bloß die dort unter (6.) aufgestellte Gleichung Statt, sondern auch die folgende +\begin{multline} +\tag{3.} +\sum_\fraka \frac{1}{2}\, \Biggl\{ + \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{\MF{P}(a)} \centerdot + \frac{\MF{P}(x'_\fraka)}{x'_\fraka - a} \centerdot + \frac{dx'_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x'_\fraka) }} + + \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{\MF{P}(a)} \centerdot + \frac{\MF{P}(x''_\fraka)}{x''_\fraka - a} \centerdot + \frac{dx''_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x''_\fraka)}} + \dotsb \Biggr\} +\\[1ex] +{} = \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{1}{2}\, \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{\MF{P}(a)} \centerdot + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a} \centerdot + \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka) }} \Biggr\} + + \tfrac{1}{2}\, d \log \biggl( + \frac{\MF{M}(a)\, \MF{P}(a) + \MF{N}(a) \sqrt{ \MF{R}(a) }} + {\MF{M}(a)\, \MF{P}(a) - \MF{N}(a) \sqrt{ \MF{R}(a) }} + \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{multline} +Werden daher +\[ +\MF{u}^{(\frakp)}_1, \quad \MF{u}^{(\frakp)}_2, \quad +\dotsc, \quad \MF{u}^{(\frakp)}_\varrho, +\] +wo $\frakp$ irgend eine der Zahlen $1$, $2$, $\dotsc,~2\mu$ bezeichnet, so klein angenommen, +daß die Reihen auf der rechten Seite der Gleichung (2.), wenn man darin +diese Größen an die Stelle von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ setzt, convergiren, so hat man +\begin{multline} + \tag{4.} + \sum\Biggl\{\frac{1}{2}\, + \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{\MF{P}(a)} \centerdot + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a} \centerdot + \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka) }} \Biggr\} +\\ +{} = d\Al(\MF{u}'_1, \dotsc) + d\Al(\MF{u}''_1, \dotsc) + \dotsb + + \tfrac{1}{2} d\log \biggl( + \frac{\MF{M}(a)\, \MF{P}(a) - \MF{N}(a)\, \sqrt{ \MF{R}(a) }} + {\MF{M}(a)\, \MF{P}(a) + \MF{N}(a)\, \sqrt{ \MF{R}(a) }} + \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{multline} +Jetzt setze man, wie in §.~4, +\[ + \MF{u}'_\fraka += \MF{u}''_\fraka = \dots += \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka = \frac{\MF{u}_\fraka}{2\mu}\;, +\] +%% {-----File: 043.png---Folio 41-------} +und nehme $\mu$ so groß an, daß nicht nur die unendlichen Reihen, welche in +den dortigen Ausdrücken von $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_1$, $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_2$ u.~s.~w.\ und von $\MF{M}(x, \MF{u}_1, \dotsc)$, +$\MF{N}(x, \MF{u}_1, \dotsc)$ vorkommen, convergent werden, sondern auch die für $\Al\biggl(\dfrac{\MF{u}_1}{2\mu},\dotsc\biggr)$; +so verwandeln sich die Größen +\[ +x_1, \quad x_2, \quad \dotsc, \quad x_\varrho, \quad \sqrt{ \MF{R}(x_1)}, \quad +\sqrt{ \MF{R}(x_2)}, \quad \dotsc, \quad \sqrtRx +\] +der Gleichung (4.) in die durch die Gleichungen (III, XI) des genannten §. +bestimmten; und es ergiebt sich durch Integration +\begin{multline} +\tag{5.} +\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) += 2\mu\Al\biggl(\frac{\MF{u}_1}{2\mu}, \frac{\MF{u}_2}{2\mu}, \dotsc, + \frac{\MF{u}_\varrho}{2\mu}\biggr) +\\ +{} + \tfrac{1}{2} \log \biggl( + \frac{ \MF{M}(a, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)\, \MF{P}(a) + - \MF{N}(a, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) \sqrt{ \MF{R}(a) }} + { \MF{M}(a, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)\, \MF{P}(a) + + \MF{N}(a, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) \sqrt{ \MF{R}(a) }} +\biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{multline} +Eine Constante ist nach der Integration nicht hinzuzufügen, indem die Function, +deren Logarithmus in dieser Gleichung vorkommt, sich auf die Einheit reducirt, +wenn $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, \dots $\MF{u}_\varrho$, sämmtlich verschwinden, wie aus den unter (26, §.~2.) +gegebenen Ausdrücken von $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$ zu ersehen ist. + +Setzt man +\[ +\tag{6.} +\frac{ \MF{M}(a, \MF{u}_1, \dotsc)\, \MF{P}(a) + - \MF{N}(a, \MF{u}_1, \dotsc) \sqrt{ \MF{R}(a) }} + { \MF{M}(a, \MF{u}_1, \dotsc)\, \MF{P}(a) + + \MF{N}(a, \MF{u}_1, \dotsc) \sqrt{ \MF{R}(a) }} + \centerdot \Powfr{e}{4\mu\Al\Bigl(\fnfrac{\MF{u}_1}{2\mu}, \dotsc \Bigr)} += \overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho), +\] +so ist +\[ +\tag{7.} +\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) += \tfrac{1}{2}\log\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho), +\] +und es bezeichnet alsdann $\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)$ eine eindeutige Function von $\MF{u}_1$, +$\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, welche, wenn für die absoluten Werthe dieser Veränderlichen +irgend welche Gränzen festgesetzt werden, die sie nicht übersteigen sollen, in +der Form eines Bruches ausdrückbar ist, dessen Zähler und Nenner nach ganzen +positiven Potenzen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, in convergirende Reihen sich +entwickeln lassen. Für hinlänglich kleine Werthe der Argumente hat man +\[ +\tag{8.} +\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) = +\Pow{e}{2(\frakU_3 + \frakU_5 + \dotsb + \frakU_{2\frakm+1} + \dotsb) +\fnfrac{\sqrt{\MF{R}(a)}}{\MF{P}(a)}}, +\] +woraus sich leicht erweisen läßt, ganz in derselben Weise, wie dies in §.~4.\ +für die Functionen $\varphi(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha$ geschehen ist, daß der Werth von $\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)$, +obwohl in dem Ausdrucke dieser Function, wie er durch die Formel~(6.) gegeben +ist, die Zahl $\mu$ vorkommt, dennoch von derselben ganz unabhängig ist. +Man hat daher folgenden Satz: + +\textit{Es giebt eine eindeutige Function $\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)$ der un\-be\-schränkt +ver\-än\-der\-lichen Größen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, welche der Differential-Gleichung} +%% {-----File: 044.png---Folio 42-------} +\[ +\tfrac{1}{2} d\log\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) += \sum \Biggl\{ + \frac{1}{2}\, \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{ {\MF{P}'}(a)} + \centerdot \frac{ \MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka) }} + \Biggr\}, +\] +\textit{in der $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, $\sqrt{ \MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{ \MF{R}(x_2)}$, $\dotsc,~\sqrtRx$ die durch die Gleichungen +{\upshape(III, XI)} des §.~4.\ bestimmten Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ +sind, genügt und, wenn diese Veränderlichen sämmtlich verschwinden, +den Werth $1$ annimmt}. + +Wenn nun $\MF{F}(x)$ eine beliebige rationale Function von $x$ ist, so kann +man dieselbe stäts als ein Aggregat von Gliedern von der Form +\[ +\frac{\MF{A}}{(x-a)^m} \quad\text{und}\quad \MF{B}x^{m-1} +\] +darstellen, wo $m$ eine ganze positive Zahl, und $\MF{A}$, $\MF{B}$, $a$ Constanten bedeuten. +Mit Unterscheidung derjenigen Werthe von $a$, welche $\MF{R}(a) = 0$ machen, von +denen, bei welchen dies nicht der Fall ist, kann man daher als den allgemeinsten +Ausdruck von $\MF{F}(x)$ den folgenden annehmen +\begin{align*} +\tag{9.} + \MF{F}(x) &= \sum + \Underset{\frakm=1\dots m_1}{\Biggl\{ + \frac{ \Atop{1}{\MF{A}}_\frakm }{ (x-\Atop{1}{a})^\frakm } + \Biggr\}} + + \sum + \Underset{\frakm=1\dots m_2}{\Biggl\{ + \frac{ \Atop{2}{\MF{A}}_\frakm }{ (x-\Atop{2}{a})^\frakm } + \Biggr\}} + \dotsb +\\[1ex] +&= \sum + \Underset{\frakm=1\dots n_1}{\Biggl\{ + \frac{ \Atop{1}{\MF{B}}_\frakm }{ (x-a_1)^\frakm } + \Biggr\}} + + \sum + \Underset{\frakm=1\dots n_2}{\Biggl\{ + \frac{ \Atop{2}{\MF{B}}_\frakm }{ (x-a_2)^\frakm } + \Biggr\} } + \dotsb +\\[1ex] +&= \sum + \Underset{\frakm=1\dots n}{\Bigl\{ + \MF{C}_\frakm\, x^{\frakm - 1} + \Bigr\}}, +\end{align*} +wo $m_1$, $m_2$, $\dotsc,~n$, $n_1$, $n_2$, $\dots$ ganze positive Zahlen (Null ausgeschlossen) +und $\Atop{1}{\MF{A}}_\frakm$, $\Atop{2}{\MF{A}}_\frakm$, +$\dotsc,~\Atop{1}{\MF{B}}_\frakm$, $\Atop{2}{\MF{B}}_\frakm$, +$\dotsc,~\MF{C}_\frakm$, $\Atop{1}{a}$, $\Atop{2}{a}$, $\dotsc$ Constanten bedeuten, und +angenommen wird, daß $\Atop{1}{a}$, $\Atop{2}{a}$, $\dotsc$ nicht zu den Größen $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_{2\varrho+1}$, +den Wurzeln der Gleichung $\MF{R}(x)=0$, gehören. + +Nun ist +\begin{align*} +\tag{10.} + d\frac{ \sqrt{\MF{R}(x)} }{ (x-a)^{\frakm} } +&= \biggl( \frac{1}{2} \frac{ \MF{R}'(x) }{ (x-a)^\frakm } + - \frakm\frac{ \MF{R}(x) }{ (x+1)^{\frakm+1} } \biggr) + \frac{ dx }{ \sqrt{\MF{R}(x)} } +\\[1ex] +&= \sum + \Underset{\frakr=0\dots(2\varrho+1)}{ \Biggl\{ + \Bigl( \frac{\frakr}{2} - \frakm \Bigr)\, + \MF{R}^{(\frakr)}(a) (x-a)^{-\frakm+\frakr-1} + \Biggr\} } \frac{dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }}, +\end{align*} +wenn man +\[ +\MF{R}(x) = {\tsum} + \Underset{\frakr = 0 \dots 2\varrho+1}{ \MF{R}^{(\frakr)}(a) (x-a)^\frakr } +\] +setzt. Da nun $\MF{R}^{(0)}(a) = \MF{R}(a)$ ist, so übersieht man aus dieser Formel sofort, +%% {-----File: 045.png---Folio 43-------} +daß sich, wenn $\MF{R}(a)$ nicht Null ist, indem man $\frakm = 1,\ 2,\dotsc,\ m - 1$ +setzt, +% [** PP: Possible mismatches of m vs. \frakm in indices] +\[ +\tag{11.} + \frac{dx}{(x-a)^m \sqrt{\MF{R}(x)}} \quad\text{auf die Form}\quad + \biggl( \frac{\MF{G}_0}{x-a} + \MF{G}_1(x)\biggr) \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} ++ d\centerdot \frac{\MF{G}_2(x) \sqrt{\MF{R}(x)}}{(x-a)^{m-1}} +\] +wird bringen lassen, wo $\MF{G}_0$ eine Constante, $\MF{G}_1(x)$ und $\MF{G}_2(x)$ aber ganze +Functionen von $x$ bedeuten, die erste vom $(2\varrho - 1)$ten und die zweite vom +$(m - 2)$ten Grade, wobei man für $m = 1$, $\MF{G}_0 = 1$, $\MF{G}_1(x) = 0$, $\MF{G}_2(x) = 0$ hat. +%[**F2: Missing comma--------------------^?][** PP: Added] + +Setzt man aber $a = a_\alpha$, so ist $\MF{R}(a) = 0$, nicht aber $\bigl(\frac{1}{2}-\frakm\bigr) \MF{R}^{(1)}(a)$, +und es erhellt aus der Formel~(10.), wenn man jetzt $\frakm = 1, 2, \dotsc, m$ nimmt, +daß man +\[ +\tag{12.} + \frac{dx}{(x-a_\alpha)^m \sqrt{ \MF{R}(x) }} += \frac{\MF{G}_1(x)\, dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} ++ d \centerdot \frac{\MF{G}_2(x)\sqrt{\MF{R}(x)}}{(x-a_\alpha)^m} +\] +erhalten muß, wo $\MF{G}_1(x)$, $\MF{G}_2(x)$ wieder ganze Functionen sind, die erste vom +$(2\varrho - 1)$ten und die andere vom $(m - 1)$ten Grade. Namentlich hat man +\[ +\tag{13.} + \frac{1}{2}\, \frac{\MF{R}'(a_\alpha)\, dx}{(x-a_\alpha)\sqrt{ \MF{R}(x) }} += \biggl(\frac{1}{2}\, \frac{\MF{R}'(x)}{x-a_\alpha} + + \frac{1}{2}\, \frac{\MF{R}'(a_\alpha)}{x-a_\alpha} + - \frac{\MF{R} (x)}{(x-a_\alpha)^2} \biggr) + \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} - d\frac{\sqrt{\MF{R}(x)}}{x-a_\alpha}. % [** PP: Added period] +\] + +Ferner ist +\[ + d\left( x^{m-1} \sqrt{\MF{R}(x)}\, \right) += \frac{ (m-1) x^{m-2} \MF{R}(x) + \tfrac{1}{2} x^{m-1} \MF{R}'(x) }{\sqrt{\MF{R}(x)}}\, dx +\] +oder, wenn man +\[ +\MF{R}(x) = {\tsum} + \Underset{ \frakr=0 \dots 2\varrho+1} + { \MF{A}_{\frakr} x^{2\varrho+1-\frakr} } +\] +setzt, +\[ +\tag{14.} + d\left( x^{m-1} \sqrt{ \MF{R}(x) }\, \right) += \sum + \Underset{ \frakr=0 \dots 2\varrho+1 \rule{10pt}{0ex} }{ + \biggl( \Bigl( \varrho + m - \frac{\frakr+1}{2} \Bigr)\, + \MF{A}_\frakr x^{2\varrho + m - \frakr - 1} \biggr) } + \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}\;, +\] +und man hat daher +\[ +\tag{15.} + \frac{x^{2\varrho - 1 + m}\, dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }} += \frac{\MF{G}_1(x)\, dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }} ++ d\left( \MF{G}_2(x) \sqrt{ \MF{R}(x) }\, \right), +\] +wo gleichfalls $\MF{G}_1(x)$, $\MF{G}_2(x)$ ganze Functionen sind, die erste vom $(2\varrho - 1)$ten +und die andere vom $(m - 1)$ten Grade. + +Aus den Formeln (11, 12, 15) folgt nun sofort, daß sich +\begin{multline*} +\tag{16.} + \frac{\MF{F}(x)\, dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }} \quad\text{auf die Form}\quad + \Bigg( \frac{\Atop{1}{\MF{G}}_0}{x-\Atop{1}{a}} + + \frac{\Atop{2}{\MF{G}}_0}{x-\Atop{2}{a}} + \cdots \Bigg)\, + \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} +\\[1ex] ++ \frac{\Atop{2\varrho-1}{\MF{G}}\!(x)\, dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }} ++ d\left( \Bigl( \MF{G}_0(x) + \frac{\MF{G}(x)}{\MF{R}_0(x) H(x)} \Bigr) + \sqrt{\MF{R}(x)} \right) +\end{multline*} +%% {-----File: 046.png---Folio 44-------} +bringen läßt, wo $\Atop{1}{\MF{G}}_0$, $\Atop{2}{\MF{G}}_0$, $\dotsc$ Constanten, +\begin{alignat*}{4} + \MF{H}(x) &= (x-\Atop{1}{a})^{m_1-1}&&(x-\Atop{2}{a})^{m_2-1} &&\ \dotsc, + \\ + \MF{R}_0(x) &= (x-a_1)^{n_1} &&(x-a_2)^{n_2} &&\ \dotsc, +\end{alignat*} +und $\!\Atop{2\varrho-1}{\MF{G}}\!(x)$, $\MF{G}(x)$, $\MF{G}_0(x)$ ganze Functionen sind, von denen die erste von +nicht höherem als dem $(2\varrho - 1)$ten Grade, die zweite von einem niedrigern als +$\MF{R}_0(x)$\ $\MF{H}(x)$ ist, und die dritte sich auf Null reducirt, wenn $n \leqq 2\varrho$, während +sie vom $(n - 2\varrho - 1)$ten Grade ist, sobald $n > 2\varrho$. + +Da man ferner +\[ + \frac{dx}{(x-a)\sqrt{\MF{R}(x)}} = \frac{\MF{P}(x)}{\MF{P}(a)} \centerdot + \frac{dx}{(x-a)\sqrt{\MF{R}(x)}} - \frac{\MF{P}(x)-\MF{P}(a)}{(x-a)\MF{P}(a)} +\centerdot \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} +\] +hat, wo $\dfrac{\MF{P}(x)-\MF{P}(a)}{x-a}$ eine ganze Function $(\varrho - 1)$ten Grades ist, und man, wenn +$f(x)$ eine Function $(2\varrho - 1)$ Grades bedeutet, +\[ +f(x) = f_1(x)\, \MF{P}(x) + f_2(x) +\] +setzen kann, wo $f_1(x)$, $f_2(x)$ beide vom $(\varrho - 1)$ten Grade sind, und +\[ +f_2(x) = \sum\frac{f_2(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} +\centerdot \frac{\MF{P}(x)}{x-a_\frakb} +\] +ist; so erhellt, daß man dem Differential $\dfrac{\MF{F}(x)\, dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}$ auch die Form +\begin{align*} +\tag{17.} +\frac{\MF{F}(x)\, dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} +&= \MF{F}_1 \frac{\sqrt{\MF{R}(\Atop{1}{a})}}{2\MF{P}(\Atop{1}{a})} \centerdot + \frac{\MF{P}(x)}{x-\Atop{1}{a}} \centerdot + \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} + + \MF{F}_2 \frac{\sqrt{\MF{R}(\Atop{2}{a})}}{2\MF{P}(\Atop{2}{a})} \centerdot + \frac{\MF{P}(x)}{x-\Atop{2}{a}} \centerdot + \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} + \dotsb +\\[1ex] +&\quad + + \sum \Underset{\frakb = 1 \dots \varrho} + {\biggl( \frac{1}{2}\, \MF{G}_\frakb + \frac{x^{\frakb-1}\, \MF{P}(x)\, dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}\biggr)} + + \sum \Underset{\frakb = 1 \dots \varrho} + {\biggl( \frac{1}{2}\, \MF{H}_\frakb + \frac{\MF{P}(x)}{x-a_\frakb} \centerdot + \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} \biggr)} +\\[1ex] +&\ \ + d \left\{\biggl( + \MF{G}_0(x) + \frac{\MF{G}(x)}{\MF{R}_0(x)\, \MF{H}(x)}\biggr)\sqrt{\MF{R}(x)}\right\} +\end{align*} +geben kann, wo $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$, $\dotsc,~\MF{G}_\frakb$, $\MF{H}_\frakb$ Constanten bedeuten. + +Nun folgt aus der Gleichung (1.) +\[ +\tag{18.} +\sum_\fraka\Biggl\{\frac{1}{2}\, + \frac{x^{\frakb-1}_\fraka \MF{P}(x_\fraka)\, dx_\fraka} + {\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + \Biggr\} += d\, \biggl[ +\frac{-\MF{P}(a)}{\sqrt{\MF{R}(a)}} +\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) +\biggr]_{a^{-\frakb}}\;, +\] +wo $\biggl[\dfrac{-\MF{P}(a)}{\sqrt{\MF{R}(a)}} \Al(\MF{u}_1,\dotsc)\biggr]_{a^{-\frakb}}$ + den Coefficienten von $a^{-\frakb}$ in derjenigen Entwicklung +der eingeklammerten Größe, welche für sehr große Werthe von $a$ gilt, bezeichnet. +Aus den Formeln (2, 6) ersieht man, daß dieser Coefficient (indem +\[ +\frac{\MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc)}{\MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc)} \centerdot +\frac{\sqrt{\MF{R}(a)}}{\MF{P}(a)} = 0 +\quad\text{wird für}\quad a=\infty, \quad\text{und} +\] +%% {-----File: 047.png---Folio 45-------} +man daher für alle Werthe von $a$, die ihrem absoluten Betrage nach eine +gewisse Gränze übersteigen, +\[ +\begin{split} + \frac{\MF{P}(a)}{2\sqrt{\MF{R}(a)}} \log\biggl( + \frac{ \MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc)\, \MF{P}(a) + - \MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc) \sqrt{\MF{R}(a)} } + { \MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc)\, \MF{P}(a) + + \MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc) \sqrt{\MF{R}(a)} } \biggr) +\\[1ex] += -\mathbf{S} \Underset{\frakm=0\dots\infty}{\Biggl\{ + \frac{1}{2\frakm+1} + \biggl( \frac{ \MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc) }{ \MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc) } + \biggr)^{2\frakm+1} + \biggl( \frac{\MF{Q}(a)}{\MF{P}(a)} \biggr)^\frakm \Biggr\}} +\end{split} +\] +hat, so wie auch $\bigl($nach (2.)$\bigr)$ +\[ + \frac{2\mu\, \MF{P}(a)}{\sqrt{\MF{R}(a)}}\, + \Al\biggl( \frac{\MF{u}_1}{2\mu},\dotsc \biggr) += 2\mu\,\Underset{\frakm=0\dots\infty}{ + \mathbf{S}\biggl( \frakU + \Bigl( a, \frac{\MF{u}_1}{2\mu},\dotsc \Bigr)_{2\frakm+3} + \biggr)}\;, +\] +und die in Beziehung auf $a$ rationalen Functionen +\[ + \biggl( \frac{\MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc)}{\MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc)} + \biggr)^{2\frakm+1} + \biggl( \frac{\MF{Q}(a)}{\MF{P}(a)} \biggr)^\frakm, \qquad + \frakU\biggl( a, \frac{\MF{u}_1}{2\mu}, \cdots + \biggr)_{2\frakm+3}\;, +\] +wenn man sie nach fallenden Potenzen von $a$ entwickelt, beide mit einem +Gliede anfangen, welches mit $a^{-\frakm-1}$ multiplicirt ist) \textit{eine eindeutige ungerade +Function von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ ist, welche für alle Werthe dieser Größen, +die ihrem absoluten Betrage nach beliebig festgesetzte Gränzen nicht +überschreiten, als Quotient zweier, nach ganzen positiven Potenzen derselben +entwickelbare Reihen dargestellt werden kann.} + + +Berücksichtigt man ferner, daß +\[ + \tsum \left( f(x_\fraka) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}\, \right) += -\tsum f(x_\fraka) \psi(x_\fraka), +\] +wenn $f(x)$ eine beliebige rationale Function von $x$ ist, rational durch die +Coefficienten von $\varphi(x)$ und $\psi(x)$ dargestellt werden kann; so ergiebt sich, +wenn man +\[ +\tag{19.} + \biggl[ + \frac{-\MF{P}(a)}{\sqrt{\MF{R}(x)}} \Al(\MF{u}_1,\dotsc) + \biggr]_{a^{-\frakb}} += \Al^{(\frakb)} (\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) +\] +setzt, aus (17.) +\begin{align*} +\tag{20.} +\int \sum \frac{ \MF{F}(x_\fraka)\, dx_\fraka }{ \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} } +&= \MF{F}_1 \Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho;\, \Atop{1}{a}) + + \MF{F}_2 \Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho;\, \Atop{2}{a}) + \cdots \\[-1ex] +&+ {\tsum} + \left( \MF{G}_\frakb \mathfrak{Al^{(b)}}(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) + + H_\frakb \MF{u}_\frakb \right) +\\[1ex] +&+ \mathfrak{F} \left( \al(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka,\ \overline{\al}(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka \right), +\end{align*} +wo $\mathfrak{F}$ eine rationale Function von $\al(\MF{u}_1,\dotsc)_1$, $\overline{\al}(\MF{u}_1,\dotsc)_1$ u.~s.~w.\ bedeutet. +Man sieht also, daß in der That, wie oben bemerkt worden, \textit{eine jede Abel'sche +Integral-Function auf die mit $\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho)$ bezeichnete, zurückgeführt +werden kann.} + +%% {-----File: 048.png---Folio 46-------} + +Es ist in (§.~4.) bei Herleitung der dortigen Gleichung (8.) die Formel +\[ + \varphi'(x_\fraka)\, dx_\fraka += -2 \sum_\frakb + \frac{ \varphi(a_\frakb) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + {(x_\fraka-a_\frakb)\, \MF{P}'(a_\frakb)}\, d\MF{u}_\frakb, +\] +oder +\[ + \frac{1}{2}\, \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} += - \sum_\frakb \frac{\varphi(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \centerdot \frac{d\MF{u}_\frakb}{(x_\fraka-a_\frakb)\, \varphi'(x_\fraka)} +\] +gefunden worden. Diese Gleichung werde mit +$\smfrac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a}$ auf beiden Seiten multiplicirt, +so findet sich, wenn man dann in Beziehung auf $\fraka$ summirt, +\[ + \sum \frac{1}{2}\, + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a} \centerdot + \frac{ dx_\fraka }{ \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} } += - \sum_{\fraka,\frakb} + \frac{\varphi(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} \centerdot + \frac{ \MF{P}(x_\fraka)\, d\MF{u}_\frakb } + { (x_\fraka-a) (x_\fraka - a_\frakb)\, \varphi'(x_\fraka) }\;. +% [** PP: Added period] +\] +Nun ist aber +\[ + \frac{\MF{P}(x)}{(x-a)\, \varphi(x)} += \frac{\MF{P}(a)}{(x-a)\, \varphi(a)} ++ \sum \frac{\MF{P}(x_\fraka)} + { (x_\fraka-a) (x_\fraka-a_\fraka)\, \varphi'(x_\fraka)}\;, +\] +und daher für $x = a_{\frakb}$ +\[ +\sum_\fraka + \frac{\MF{P}(x_\fraka)} + { (x_\fraka-a) (x_\fraka-a_\frakb)\, \varphi'(x_\fraka)} += -\frac{\MF{P}(a)}{(a-a_\frakb)\, \varphi(a)}\;. +% [** PP: Added period] +\] +Mithin +\[ + \sum \frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} += \sum \frac{\MF{P}(a)}{\varphi(a)} + \centerdot \frac{\varphi(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \centerdot \frac{d\MF{u}_\frakb}{a-a_\frakb}\;, +\] +oder auch, wenn man jetzt auf der rechten Seite $\fraka$ statt $\frakb$ schreibt, +\begin{align*} +\tag{21.} + \sum \frac{1}{2}\, + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a} \centerdot + \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} +&= \sum + \frac{\MF{P}(a)}{\varphi(a)} \centerdot + \frac{\varphi(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} \centerdot + \frac{d\MF{u}_\fraka}{a - a_\fraka} +\\[1ex] +&= \frac{\displaystyle \sum\Biggl\{ + -\frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \centerdot \frac{ \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka\, d\MF{u}_\fraka } + { a-a_\fraka } + \Biggr\} }% end of numerator + { 1 - \displaystyle\sum \Biggl\{ + \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \centerdot \frac{ \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka }{ a-a_\fraka } + \Biggr\} }. % [** PP: Added period] +\end{align*} +Hieraus folgt +\[ +\tag{22.} + \frac{ \partial \Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) } + { \partial \MF{u}_\frakb } += \frac{\sqrt{\MF{R}(a)}}{(a-a_\frakb)\, \MF{P}(a)} \centerdot + \frac{ \dfrac{-\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}(a_\frakb)}\, + \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\frakb}% end of numerator + { 1 - \displaystyle\sum\Biggl\{ + \frac{\MF{Q} (a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \centerdot \frac{\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka}{a-a_\fraka} + \Biggr\} }. % [** PP: Added period] +\] +Ferner ersieht man aus der Gleichung (21.), daß die partiellen Differential-Coefficienten +von +$\Al^{(1)}(\MF{u}_1,\dotsc)$, +$\Al^{(2)}(\MF{u}_1,\dotsc)$ u.~s.~w.\ rationale und ganze Functionen +von $\al(\MF{u}_1,\dotsc)_1$, $\al(\MF{u}_1,\dotsc)_2$, $\dotsc,~al(\MF{u}_1,\dotsc)_\varrho$ sind. Namentlich hat man +\[ +\tag{23.} + \frac{ \partial \Al^{(1)}(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) } + { \partial \MF{u}_\fraka } += \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka\;, +\] +%% {-----File: 049.png---Folio 47-------} +so daß man die Gleichung~(III.) des \S.~4, deren Wurzeln die Größen $x_1$, +$x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ sind, auch folgendermaßen +\[ +\tag{24.} +\sum \Biggl\{ +\frac{\partial \Al^{(1)}(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varphi)} + {(x-a_\fraka)\, \partial\MF{u}_\fraka} \Biggr\} = 1 +\] +ausdrücken kann. Auf diese merkwürdige Form der in Rede stehenden Gleichung +werde ich später noch zurückkommen. + + +\Chapter{Zweites Kapitel.} + +% [** PP: Re-breaking title] +\Section{Einige allgemeine Betrachtungen über die Darstellung \\ +eindeutiger analytischer Functionen durch Reihen; \\ +Digression über die elliptischen Transcendenten.} % \S.~7. + +Die im vorhergehenden Kapitel durchgeführten Untersuchungen haben +hauptsächlich den Zweck, für die Functionen +\[ +\al(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha \quad +\al(\MF{u}_1,\dotsc)_{\alpha\beta} \quad +\Al(\MF{u}_1,\dots;\, a) \quad +\Al^{(\fraka)}(\MF{u}_1, \dotsc), +\] +durch welche sich, wie gezeigt worden ist, alle \Auth{Abel}'schen Transcendenten +ausdrücken lassen, zu einer völlig bestimmten, auf beliebige Werthe von $\MF{u}_1$, +$\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ anwendbare \textit{Erklärung} zu führen, und die analytische Form +derselben in so weit festzustellen, als hierfür und zum Behufe der weitern +Entwicklungen erforderlich ist. Die in §.~4.\ und §.~6.\ gegebenen Formeln +genügen für \textit{diesen} Zweck zwar vollständig, nicht aber, wenn verlangt wird, +die genannten Größen in einer ihrem wahren analytischen Charakter entsprechenden, +für alle Werthe der Argumente $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ unverändert dieselbe +bleibenden Form darzustellen. Diese bleibt vielmehr noch zu ermitteln. + +Der Umstand, daß die unendlichen Reihen, welche in den Formeln +(IV, XIII, §.~4) und (6, §.~6) vorkommen, für um so größere Werthe von +$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ convergent bleiben, je größer man die Zahl $\mu$ annimmt, begründet +die Vermuthung, es werde sich jede derselben, wenn $\mu=\infty$ gesetzt +wird, in eine für \textit{alle} Werthe der genannten Veränderlichen convergirende +Reihe verwandeln, und sich auf diese Weise eine Darstellung der in Rede +stehenden Functionen in der gesuchten Form ergeben. Es dürfte vielleicht +möglich sein, durch eine genauere Untersuchung jener Reihen die Richtigkeit +dieser Vermuthung strenge zu erweisen; ich gehe jedoch hierauf nicht ein, +%% {-----File: 050.png---Folio 48-------} +weil man, wenn es auch gelänge, dadurch noch nicht dahin kommen würde, +für jede \textit{einzelne} der beiden Functionen, als deren Quotient alsdann irgend +eine \Auth{Abel}'sche Function sich darstellen ließe, eine analytische Definition zu +gewinnen. Es tritt uns hier vielmehr eine Aufgabe entgegen, welche, so viel +ich weiß, noch nicht allgemein behandelt worden, und doch für die Theorie +der Functionen von besonderer Wichtigkeit ist. + +Die einfachsten transcendenten Functionen sind solche, welche sich +nach ganzen positiven Potenzen ihrer Argumente in \textit{beständig} convergirende +Reihen entwickeln lassen und somit im Wesentlichen den Charakter der \textit{ganzen} +rationalen Functionen besitzen. Nach ihnen kommen diejenigen, welche +aus mehreren dieser Art in rationaler Weise zusammengesetzt und daher +als Quotienten aus zweien dargestellt werden können. Man kann sie als +transcendente Größen vom Charakter der \textit{gebrochenen} rationalen Functionen +bezeichnen. + +Oftmals aber ist eine Function in der Art definirt -- und so verhält +es sich, der vorhergehenden Darstellung nach, mit den \Auth{Abel}'schen -- daß +zwar die Möglichkeit gegeben ist, sobald jedes ihrer Argumente auf einen +endlichen, übrigens beliebig groß anzunehmenden Bereich beschränkt wird, +dieselbe in der Gestalt eines Bruches, dessen Zähler und Nenner nach ganzen +positiven Potenzen der Argumente entwickelte Reihen sind, auszudrücken, während +eine \textit{stäts} gültig bleibende Darstellungsform noch unbekannt ist. Angenommen +nun, es sei eine derartige Function durch eine (algebraische) Differential-Gleichung +definirt, (oder auch im Vereine mit andern durch mehrere +solche), so kann man untersuchen, ob sie vielleicht zu den gebrochenen +rationalen, in dem eben erklärten Sinne, gehöre. Hierfür aber reichen die +gewöhnlichen Entwicklungs-Methoden nicht aus. Es handelt sich dann darum, +zu entscheiden, ob man, nachdem in die gegebene Differential-Gleichung statt +der gesuchten Function ein Bruch, dessen Zähler und Nenner noch zu bestimmende +Größen sind, eingeführt worden, dieselbe in zwei andere, aus +denen sie wieder folgt, so zerfällt werden könne, daß die genannten Größen +beide den Charakter einer ganzen Function erhalten. Dazu kann man in vielen +Fällen mit Hülfe eines allgemeinen Satzes gelangen, der verdient, bei dieser +Gelegenheit entwickelt zu werden. + +Wenn $f(\MF{u})$ eine Function von $\MF{u}$ ist, welche durch eine nur ganze +positive Potenzen dieser Veränderlichen enthaltende und beständig convergirende +Reihe dargestellt werden kann, so wird der Differential-Quotient +%% {-----File: 051.png---Folio 49-------} +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda}, +\] +wo $\lambda$ eine ganze positive Zahl bezeichnet, nur für solche Werthe von $\MF{u}$ unendlich +groß, bei denen $f(\MF{u})$ verschwindet. Es sei $a$ einer dieser Werthe, +so kann man setzen +\[ +f(a+k) = gk^m + g_1 k^{m+1} + \dotsb, +\] +wo $m$ eine ganze positive Zahl bedeutet und $g$ nicht Null ist, und hat also +\[ +\log f(a+k) = m\log k + \log g + \frac{g_1}{g}k + \dotsb, +\] +wo die nicht hingeschriebenen Glieder nur positive ganze Potenzen von $k$ enthalten; +woraus folgt +\[ +\biggl(\frac{\partial^\lambda \log f(\MF{u})} + {\partial \MF{u}^\lambda}\biggr)_{\MF{u}=a+k} += m\, \frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} ++ \begin{gathered} +\text{\{Glieder mit nur positiven} \\ +\text{\ ganzen Potenzen von $k$\},} +\end{gathered} +\] +welche Reihe convergirt, sobald der absolute Betrag von $k$ kleiner ist als +eine gewisse Größe, auf deren nähere Bestimmung es nicht ankommt. Dieselbe +Darstellung gilt aber auch für jeden andern Werth von $a$; nur ist +dann $m = 0$. + +Dieser Satz läßt sich nun in folgender Weise umkehren. + +\begin{theorem} +Wenn eine eindeutige Function $\MF{F}(\MF{u})$ der unbeschränkt veränderlichen +Größe $\MF{u}$ die Eigenschaft besitzt, daß +\[ +\MF{F}(a+k), +\] +wo $a$ irgend einen besondern Werth von $\MF{u}$, $k$ aber eine Veränderliche +bezeichnet, für hinlänglich kleine Werthe der letztern in eine convergirende +Reihe von der Form +\[ +m\, \frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} ++ \Underset{\frakm = 0\dots \infty}{\mathbf{S}\, h_\frakm k^\frakm}, +\] +wo $m$ entweder Null oder eine ganze positive Zahl bedeuten soll, entwickelbar +ist; so läßt sich eine \so{beständig} convergirende Reihe +\[ + f_0\, \MF{u}^\mu + + f_1\, \MF{u}^{\mu+1} + \dotsb + + f_\frakm\, \MF{u}^{\mu+\frakm} + \dotsb + = f(\MF{u}), +\] +in der $\mu$ den zu $a = 0$ gehörigen Werth von $m$ bezeichnet, dergestalt +%% {-----File: 052.png---Folio 50-------} +bestimmen, daß +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}(\MF{u}) +\] +ist. Und zwar erhält man den allgemeinsten Ausdruck von $f(\MF{u})$, indem +man, unter der Voraussetzung, daß für hinlänglich kleine Werthe von $\MF{u}$ +\[ +\MF{F}(\MF{u}) = \mu\, \frac{\partial^\lambda \log\MF{u}}{\partial \MF{u}^\lambda} + +\Underset{\frakm = 0 \dots \infty} +{\mathbf{S}\, \MF{F}_\frakm \MF{u}^\frakm} +\] +gefunden sei, die Formel +\[ +\MF{u}^\mu \Powfr{e}{\mathbf{S} +\Bigl\{ +\fnfrac{\MF{F}_\frakm\, \MF{u}^{\lambda+\frakm}} + {(\frakm + 1)\dots(\frakm + \lambda)} +\Bigr\} + + \MF{C}_0 + \MF{C}_1\MF{u} + \dotsb + + \MF{C}_{\lambda - 1}\MF{u}^{\lambda-1}}, +\] +in der $\MF{C}_0$, $\MF{C}_1$, $\dotsc,~\MF{C}_{\lambda-1}$ willkührliche Constanten bezeichnen, nach Potenzen +von $\MF{u}$ entwickelt, wenn auch die dabei gebrauchte Reihe +\[ +\mathbf{S}\, +\Biggl\{\frac{\MF{F}_\frakm \MF{u}^{\lambda+\frakm}} + {(\frakm+1)\dots(\frakm + \lambda)} +\Biggr\} +\] +nicht für alle Werthe von $u$ convergirt. +\end{theorem} + +\begin{beweis} +Es seien $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_{\sigma}$ unter den Werthen von $\MF{u}$, für welche $\MF{F}(\MF{u})$ +unendlich groß wird, diejenigen, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner +als eine beliebig angenommene Größe $\MF{U}$ sind, den Werth Null, wenn er +auch zu denselben gehört, ausgeschlossen. Es ist leicht zu erweisen, daß es +nur eine endliche Anzahl solcher Werthe geben kann. Denn sonst müßte +sich in dem angegebenen Bereiche von $\MF{u}$ wenigstens \textit{ein} Werth $a$ finden, in +dessen Nähe eine unbegränzte Menge derselben vorhanden wäre. Dann aber +ließe sich $\MF{F}(a + k)$, wie klein auch $k$ angenommen werde, nicht nach ganzen +Potenzen dieser Größe in eine convergirende Reihe entwickeln, die, wie doch +vorausgesetzt wird, nur eine endliche Zahl Glieder mit negativen Potenzen +von $k$ enthält. Bezeichnet man nun mit $m_1$, $m_2$, $\dotsc,~m_{\sigma}$ die zu $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_{\sigma}$ +gehörigen Werthe der Zahl $m$ in den Entwicklungen von +\[ +\MF{F}(a_1+k), \quad \MF{F}(a_2+k), \quad \dotsc, \quad \MF{F}(a_\sigma+k), +\] +und setzt +\[ +\MF{u}^\mu +\biggl(1-\frac{\MF{u}}{a_1}\biggr)^{m_1} +\biggl(1-\frac{\MF{u}}{a_2}\biggr)^{m_2} \dotsm +\biggl(1-\frac{\MF{u}}{a_\sigma}\biggr)^{m_\sigma} = \pi(\MF{u}), +\] +so hat man nach dem oben Bemerkten +\[ +\biggl( + \frac{\partial^\lambda \log\pi(\MF{u})}{\partial\MF{u}^\lambda} +\biggr)_{\MF{u}=a+k}\kern -1em += m\, \frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} ++ \text{\{Glieder mit ganzen positiven Potenzen von $k$\},} +\] +%% {-----File: 053.png---Folio 51-------} +wo $m = \mu$, $m_1$, $m_2$, $\dotsc,~m_\sigma$ ist für $a = 0$, $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\sigma$, und Null für +jeden andern Werth von $a$. Setzt man daher +\[ +\MF{F}(\MF{u}) - \frac{\partial^\lambda\log\pi(\MF{u})} + {\partial\MF{u}^\lambda} = \MF{F}_1(\MF{u}), +\] +so ist $\MF{F}_1(a+k)$ bei jedem Werthe von $a$, dessen absoluter Betrag kleiner +als $\MF{U}$ ist, in eine nur ganze positive Potenzen von $k$ enthaltende Reihe entwickelbar. +Daraus folgt, daß $\MF{F}_1(\MF{u})$, so lange der absolute Betrag von $\MF{u}$ +unterhalb der genannten Gränze bleibt, stäts einen endlichen Werth hat und +sich continuirlich mit $\MF{u}$ ändert. Dasselbe gilt von $\smfrac{\partial\MF{F}_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}}$ (so wie von den +höhern Differential-Coefficienten dieser Function). Nach einem \Auth{Cauchy}'schen +Satze läßt sich daher $\MF{F}_1(\MF{u})$ für alle jene Werthe von $\MF{u}$ durch eine convergirende +Reihe +\[ +\Underset{\frakm=0\dots\infty} + {\mathbf{S}\, \MF{G}_\fraka \MF{u}^\frakm} +\] +darstellen. Wird daher +\[ +f_1(\MF{u}) = \pi(\MF{u})\, \Powfr{e}{\mathbf{S}\, + \Bigl\{\fnfrac{\MF{G}_\frakm \MF{u}^{\lambda+\frakm}} + {(\frakm+1)\dotsm(\frakm+\lambda)}\Bigr\}} +\] +gesetzt, so ist $f_1(\MF{u})$ in eine, jedenfalls für dieselben Werthe von $\MF{u}$ convergirende +Reihe von der Form +\[ +f_1(\MF{u}) = \MF{u}^\mu + +\Underset{\frakm=0\dots\infty} + {\mathbf{S}\,\Atop{1}{f}_\frakm \MF{u}^{\lambda+\frakm}} +\] +entwickelbar,\footnote{% +S.~die Sätze des §.~7.\ der Abhandlung über die Facultäten.} und man hat +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = +\frac{\partial^\lambda \log \pi(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} + +\MF{F}_1(\MF{u}) = \MF{F}(\MF{u}). % [** PP: Added period] +\] +Nun kann man aber, wenn $\MF{u}$ dem absoluten Betrage nach kleiner als jede +der Größen $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\sigma$ ist, $\MF{F}(\MF{u})$ durch eine convergirende Reihe +\[ +\mu\frac{\partial^\lambda \log \MF{u}}{\partial \MF{u}^\lambda} + +\mathbf{S}\, \MF{F}_\frakm \MF{u}^\frakm +\] +ausdrücken, wo $\mu$ Null oder eine ganze positive Zahl ist. Nimmt man daher +für $f(\MF{u})$ die aus der Entwicklung des Ausdrucks +\[ +\MF{u}^\mu \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{ +\fnfrac{\MF{F}_\frakm \MF{u}^{\lambda+\frakm}} + {(\frakm+1)\dotsm(\frakm+\lambda)}\Bigr\} + + \MF{C}_0 + \MF{C}_1 \MF{u} + \dotsb + + \MF{C}_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1}} +\] +hervorgehende Reihe, so convergirt dieselbe sicher bei den eben genannten +%% {-----File: 054.png---Folio 52-------} +Werthen von $\MF{u}$, und man hat für dieselben +\[ +\frac{\partial^\lambda\log f(\MF{u})}{\partial\MF{u}^\lambda} + = \MF{F}(\MF{u}), +\] +und mithin auch +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = +\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda}, +\] +woraus durch Integration %[** PP: Corrected typo from Iutegration] +\begin{align*} + \log f(\MF{u}) + &= \log f_1(\MF{u}) + \MF{C}'_0 + \MF{C}'_1 \MF{u} + \dotsb + + \MF{C}'_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1}, \\ + f(\MF{u}) + &= f_1(\MF{u})\centerdot \Pow{e}{\MF{C}'_0 + \MF{C}'_1 \MF{u} + \dotsb + + \MF{C}'_{\lambda-1} \MF{u}^{\lambda-1}} +\end{align*} +folgt, wo $\MF{C}'_0$, $\MF{C}'_1$, $\dotsc,~\MF{C}'_{\lambda-1}$ gleich $\MF{C}_0$, $\MF{C}_1$, $\dotsc,~\MF{C}_{\lambda-1}$ Constanten sind, und +aus den für $f(\MF{u})$ und $f_1(\MF{u})$ aufgestellten Ausdrücken sofort erhellt, daß +man, wenn +\[ + \log \biggl( \frac{\pi(\MF{u})}{\MF{u}^\mu}\biggr) += c_1\, \MF{u} + c_2\, \MF{u}^2 + \dotsb +\] +ist, +\[ +\MF{C}'_0 + \MF{C}'_1 \MF{u} + \dotsb + + \MF{C}'_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1} += +\MF{C}_0 + \MF{C}_1 \MF{u} + \dotsb + + \MF{C}_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1} + - c_1 \MF{u} - \dotsb - c_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1} +\] +hat. Der Exponential-Factor in dem vorstehenden Ausdrucke von $f(\MF{u})$ läßt +sich aber nach Potenzen von $\MF{u}$ in eine beständig convergirende Reihe entwickeln; +folglich muß auch das Product aus derselben und der Reihe für +$f_1(\MF{u})$, das heißt die mit $f(\MF{u})$ bezeichnete Reihe convergiren, sobald der absolute +Werth von $\MF{u}$ kleiner als $\MF{U}$ ist. Aber $\MF{U}$ kann beliebig groß angenommen +werden, während die Coefficienten von $f(\MF{u})$ stäts dieselben bleiben, +welchen Werth auch $\MF{U}$ haben möge. Mithin muß die Reihe für $f(\MF{u})$ eine +\textit{beständig} convergirende sein, wenn auch die bei der Bildung ihrer Coefficienten +gebrauchte +\[ +\mathbf{S}\, \Biggl\{ +\frac{\MF{F}_\frakm \MF{u}^{\lambda + \frakm}} + {(\frakm + 1)\dots(\frakm + \lambda)}\Biggr\} +\] +es nicht ist. + +Zugleich sieht man aus der vorhergehenden Darstellung, daß die aufgestellte +Formel den allgemeinsten Ausdruck der Function $f(\MF{u})$ liefert. Denn +gesetzt, es sei $f_0(\MF{u})$ irgend eine andere, welche auch der Differential-Gleichung +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f_0(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} += \MF{F}(\MF{u}) +\] +genügt, so muß, wie gezeigt, +\[ +f_0(\MF{u}) = f(\MF{u})\, \Pow{e}{\chi(\MF{u})} +\] +sein, wo $\chi(\MF{u})$ eine ganze Function $(\lambda-1)$ten Grades bedeutet, wonach $f_0(\MF{u})$ +in dem für $f(\MF{u})$ gegebenen Ausdrucke mit einbegriffen ist. +\end{beweis} + +%% {-----File: 055.png---Folio 53-------} + +\so{Anmerkung}. Hätte die Function $\MF{F}(\MF{u})$ nicht für \textit{alle} Werthe von $\MF{u}$, +sondern nur für alle dem absoluten Betrage nach unterhalb einer gewissen +Gränze liegenden, die angegebenen Eigenschaften; so folgt aus dem vorstehenden +Beweise, daß die auf die angezeigte Weise gebildete Reihe $f(\MF{u})$ jedenfalls +für die bezeichneten Werthe von $\MF{u}$ convergent sein und der Differential-Gleichung +$\smfrac{\partial^\lambda f(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}(\MF{u})$ genügen würde. + +Der bewiesene Satz kann nun, wenn zwischen zwei veränderlichen +Größen $x$ und $\MF{u}$ eine algebraische Differential-Gleichung besteht, dazu gebraucht +werden, um zu entscheiden, ob sich wirklich $x$ als eine Function von +$\MF{u}$, die den Charakter einer ganzen oder gebrochenen rationalen hat, betrachten +lasse, und um, wenn das Letztere der Fall ist, zur Bestimmung des +Zählers und des Nenners \textit{zwei} Differential-Gleichungen zu ermitteln. Denn +immer wird sich aus der gegebenen Differential-Gleichung für irgend einen +$\lambda$ten Differential-Coefficienten von $\log x$ ein Ausdruck von der Form +\[ +\frac{\partial^\lambda \log x}{\partial \MF{u}^\lambda} = +\MF{F}\biggl(\MF{u},\ x,\ \frac{\partial x}{\partial \MF{u}},\ \dotsc,\ % +\frac{\partial^{\lambda-1}x}{\partial \MF{u}^{\lambda-1}}\biggr) +\] +herleiten lassen, wo $\MF{F}$ eine rationale Function von $x$, $\smfrac{\partial x}{\partial \MF{u}}$ u.~s.~w.\ bezeichnen +soll, deren Coefficienten Constanten oder eindeutige analytische Functionen +von $\MF{u}$ sind. Wenn nun $x$ in der Gestalt +\[ +\frac{f_1(\MF{u})}{f_2(\MF{u})}\;, +\] +wo unter $f_1(\MF{u})$, $f_2(\MF{u})$ zwei nach ganzen positiven Potenzen von $\MF{u}$ in beständig +convergirende Reihen entwickelbare Functionen zu verstehen sind, +darstellbar sein soll, so muß, indem dann +\[ +\frac{\partial^\lambda \log x}{\partial \MF{u}^\lambda} = +\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} - +\frac{\partial^\lambda \log f_2(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} +\] +ist, $\MF{F}$ sich auf die Form $\MF{F}_1 - \MF{F}_2$ in der Art bringen lassen, daß $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$ +Functionen von der in dem aufgestellten Satze beschriebenen Art sind. Gelingt +es nun, $\MF{F}$ in dieser Weise umzuformen, wo denn im Allgemeinen +$\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$ Functionen von $\MF{u}$, $x$, $\smfrac{\partial x}{\partial \MF{u}}$, $\dotsc$, + $\smfrac{\partial^{\lambda-1}x}{\partial \MF{u}^{\lambda-1}}$ sein werden, und der Nachweis, +daß sie die in Rede stehende Beschaffenheit haben, mit Hülfe dessen, +was hinsichtlich des zwischen $x$ und $\MF{u}$ bestehenden Abhängigkeits-Verhältnisses +aus der gegebenen Differential-Gleichung folgt, oder sonst bekannt ist, +%% {-----File: 056.png---Folio 54-------} +geliefert werden muß; so kann man +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}_1, \quad +\frac{\partial^\lambda \log f_2(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}_2 +\] +setzen, und dann, indem man für $x$ diejenige Entwicklung nach Potenzen von +$\MF{u}$ sucht, welche für hinlänglich kleine Werthe von $\MF{u}$ gilt, und hierauf die +entsprechenden Entwicklungen von $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$ ausführt, die Reihen für $f_1(\MF{u})$, +$f_2(\MF{u})$ in der beschriebenen Weise bilden -- oder man kann auch, in $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$ +$\smfrac{f_1(\MF{u})}{f_2(\MF{u})}$ statt $x$ einführend, aus den so sich ergebenden Gleichungen die Coefficienten +der gesuchten Reihen, deren Form und beständige Convergenz ja bereits +vor ihrer Entwicklung feststeht, nach irgend einer passenden Methode ableiten; +worauf man bei gehöriger Constanten-Bestimmung $x=\smfrac{f_1(\MF{u})}{f_2(\MF{u})}$ haben wird. + +Wenn man im Stande ist, von der Größe $x$ vor ihrer Entwicklung +nachzuweisen, daß sie eine eindeutige Function von $\MF{u}$ ist, welche sich für +alle in der Nähe eines beliebigen besondern Werthes $a$ liegenden Werthe +dieses Arguments durch eine convergirende Reihe von der Form +\[ + \MF{A}_0\, (\MF{u}-a)^\mu + \MF{A}_1\,(\MF{u}-a)^{\mu+1} ++ \MF{A}_2\, (\MF{u}-a)^{\mu+2} + \dotsb, +\] +wo $\mu$ eine ganze (positive oder negative) Zahl bedeutet, ausdrücken läßt; so +genügt es, $\MF{F}$ als die Differenz zweier andern ähnlich gebildeten Ausdrücke $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$ +darzustellen, von denen sich zeigen läßt, daß der erste nur für solche Werthe +von $x$ unendlich groß werde, bei denen $x = 0$, der andere nur für diejenigen, +bei denen $x = \infty$ wird -- und man kann überzeugt sein, \textit{daß die aus den +Gleichungen +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}_1 +\qquad +\frac{\partial^\lambda \log f_2(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}_2 +\] +auf die beschriebene Weise für $f_1(\MF{u})$, $f_2(\MF{u})$ sich ergebenden Reihen beständig +convergent sein werden.} + +Denn bei der angenommenen Beschaffenheit von $x$ hat man für jeden +Werth von $a$ +\begin{align*} +\biggl(\frac{\partial^\lambda \log x} + {\partial \MF{u}^\lambda}\biggr)_{\MF{u}=a+k} +&= \pm m\, \frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} + + + \begin{aligned} + &\text{\{Glieder mit nur ganzen} \\ + &\quad\text{positiven Potenzen von $k$\}} + \end{aligned} \\ +&= \MF{F}_1(a+k) - \MF{F}_2(a+k), +\end{align*} +% [** PP: Added comma after $\MF{u}=a$ below] +wo $m$ eine ganze positive Zahl ist, wenn für $\MF{u} = a$, $x = 0$ oder ${}= \infty$ wird, +und das obere Zeichen im ersten, das untere im andern Falle gilt, während +%% {-----File: 057.png---Folio 55-------} +man $m = 0$ für jeden andern Werth von $a$ hat. Ferner geben $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$, wenn +man in denselben $\MF{u} = a+k$ setzt und nach Potenzen von $k$ entwickelt, +Reihen mit nur ganzen Potenzen von $k$, wobei jedoch, da $\MF{F}_1$ und $\MF{F}_2$ für +keinen Werth von $\MF{u}$ beide unendlich groß werden, niemals in beiden zugleich +negative Potenzen von $k$ vorkommen können. Daher folgt aus der vorstehenden +Gleichung, wenn $\MF{F}_1(a) = \infty$ ist, (indem man mit $(k)$ eine Reihe von +der Form $h_0+h_1\, k+h_2\, k^2 + \dotsb$ andeutet) +\[ +\MF{F}_1(a+k) = m\frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} + (k), +\quad +\MF{F}_2(a+k) = (k); +\] +und wenn $\MF{F}_2(a) = \infty$, +\[ +\MF{F}_2(a+k) = m\frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} + (k), \quad +\MF{F}_1(k) = (k), +\] +während man für jeden andern Werth von $a$ +\[ +\MF{F}_1(a+k) = (k), \quad \MF{F}_2(a+k) = (k) +\] +hat. Es besitzen also $\MF{F}_1(\MF{u})$, $\MF{F}_2(\MF{u})$ die bei dem entwickelten Satze für die +Function $\MF{F}(\MF{u})$ vorausgesetzte Beschaffenheit. + +Wenn sich nur nachweisen ließe, daß man $x$ für alle Werthe von $\MF{u}$, +die dem absoluten Betrage nach unterhalb einer gewissen Gränze liegen, als +eine Function dieser Veränderlichen von der angegebenen Beschaffenheit anzusehen +habe; so würde man, in der beschriebenen Weise verfahrend, zu einer +jedenfalls für alle jene Werthe von $\MF{u}$ geltenden Darstellung von $x$ gelangen. + +Sind für mehrere Functionen $x_1$, $x_2$, $\dotsc$\ von $\MF{u}$ eben so viele algebraische +Differential-Gleichungen gegeben, so kann man bei deren Entwicklung +in ganz ähnlicher Weise verfahren. Auch ist es möglich, in dem Falle, wo +es sich um Functionen von mehr als einem Argumente handelt, die Untersuchung +auf den hier betrachteten zurückzuführen, wie dies an dem Beispiel der +\Auth{Abel}'schen Functionen wird gezeigt werden. Ich halte es jedoch für zweckmäßig, +zuvor die Fruchtbarkeit des im Vorhergehenden entwickelten Princips +für die Darstellung der eindeutigen Functionen in seiner Anwendung auf die +\textit{elliptischen} Transcendenten klar zu machen. + + +\Section{} %§. 8 +\subsubsection*{\centering\normalfont Zur Theorie der elliptischen Functionen.} + +Die in (§.~1 -- 4.) behandelten Differential-Gleichungen reduciren sich +für $\varrho = 1$ auf eine einzige, und zwar, wenn man in diesem Falle $\MF{u}$, $x$ statt +%% {-----File: 058.png---Folio 56-------} +$\MF{u}_1$, $x_1$ schreibt, und +\[ +\MF{A}_0 = \frac{1}{a_3 - a_1} +\] +nimmt, so daß man +\[ +\tag{1.} +\MF{R}(x) = \frac{(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)}{a_3-a_1},\ % +\MF{P}(x) = x-a_1,\ \MF{Q}(x) = \frac{(x-a_2)(x-a_3)}{a_3-a_1} +\] +hat, auf die folgende +\[ +\tag{2.} +d\MF{u} = \frac{1}{2}\, \frac{dx}{\sqrt{ \MF{R}(x)}}. % [** PP: Added period] +\] +Nach den Schlußformeln des §.~4. kann man, bei der Annahme, daß $x=a_1$ +werde für $\MF{u} = 0$, die erstere Größe in der Form +\[ +\tag{3.} +x = a_1 + (a_2 - a_1)\, \al^2 (\MF{u})_1 +\] +ausdrücken, wo $\al(\MF{u})_1$ eine eindeutige Function des unbeschränkt veränderlichen +Arguments $\MF{u}$ bezeichnet, wobei dann +\[ +\tag{4.} +\sqrt{ \MF{R}(x)} = (a_2-a_1)\al(\MF{u})_1 \frac{\partial \al(\MF{u})_1}{\partial \MF{u}} +\] +zu nehmen ist, und man ferner +\[ +\tag{5.} +\left\{\begin{aligned} + a_2 - x &= (a_2 - a_1)\, \al^2(\MF{u})_2, & + a_3 - x &= (a_3 - a_1)\, \al^2(\MF{u})_3, \\ + \al^2(\MF{u})_2 &= 1 - \al^2(\MF{u})_1, & + \al^2(\MF{u})_3 &= 1 - \frac{a_3-a_2}{a_3-a_1} \al^2(\MF{u})_1 +\end{aligned}\right. +\] +hat, wo $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ Functionen derselben Art wie $\al(\MF{u})_1$ sind. Für hinlänglich +kleine Werthe von $\MF{u}$ haben $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ die Form +\[ +\tag{6.} +\left\{\begin{alignedat}{10} + \al(\MF{u})_1 &= \MF{u} && {}+ f_1\, \MF{u}^3 && {}+ f_2\, \MF{u}^5 && {}+ \dotsb + + f_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm-1} + \dotsb + \\ + \al(\MF{u})_2 &= 1 && {}+ g_1\, \MF{u}^2 && {}+ g_2\, \MF{u}^4 && {}+ \dotsb + + g_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb + \\ + \al(\MF{u})_3 &= 1 && {}+ h_1\, \MF{u}^2 && {}+ h_2\, \MF{u}^4 && {}+ \dotsb + + h_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb, +\end{alignedat}\right. +\] +wo die Coefficienten der unendlichen Reihen rational aus $a_1$, $a_2$, $a_3$ (welche +Größen beliebige complexe Werthe haben können) zusammengesetzt werden. +Und wenn man für den absoluten Betrag von $\MF{u}$ irgend eine beliebig anzunehmende +Gränze, die er nicht überschreiten soll, festsetzt, so kann man +$\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ in der Form +\[ +\tag{7.} +\left\{\begin{aligned} + \al(\MF{u})_1 &= + \frac{\MF{u} + \MF{F}_1\, \MF{u}^3 + \dots + \MF{F}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm-1} + \dotsb} + {1 + \MF{E}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{E}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb} + \\[1ex] + \al(\MF{u})_2 &= + \frac{1 + \MF{G}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{G}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb} + {1 + \MF{E}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{E}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb} + \\[1ex] + \al(\MF{u})_3 &= + \frac{1 + \MF{H}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{H}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb} + {1 + \MF{E}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{E}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb} +\end{aligned}\right. +\] +%% {-----File: 059.png---Folio 57-------} +ausdrücken, wo die unendlichen Reihen +\[ +\MF{u} + \MF{F}_1\, \MF{u}^3 + \dotsb, \quad +1 + \MF{G}_1\, \MF{u}^2 + \dotsb, \quad +1 + \MF{H}_1\, \MF{u}^2 + \dotsb, \quad +1 + \MF{E}_1\, \MF{u}^2 + \dotsb, +\] +deren Coefficienten gleichfalls rational aus $a_1$, $a_2$, $a_3$ zusammengesetzt werden, +für alle Werthe von $\MF{u}$ innerhalb des auf die angegebene Weise begränzten +Bereiches convergiren. + +Dieses vorausgesetzt werde die Gleichung (2.) auf die Form +\[ +\tag{8.} +\biggl(\frac{dx}{d\MF{u}}\biggr)^2 = 4 \MF{R}(x) +\] +gebracht, so folgt +\begin{gather*} +\tag{9.} +\frac{d^2 x}{d \MF{u}^2} = 2 \MF{R}'(x), +\\[1ex] +\tag{10.} +\frac{(x-a_1)\, d^2 x - dx\,dx}{2(x-a_1)^2\, d\MF{u}^2} = +\frac{\MF{R}'(x)}{x-a_1} - \frac{2\MF{R}(x)}{(x-a_1)^2}. % [** PP: Added period] +\end{gather*} +Aber +\begin{align*} + \frac{\MF{R}'(x)}{x-a_1} + &= \frac{\MF{R}'(a_1)}{x-a_1} + \MF{R}''(a_1) + + \tfrac{1}{2}\MF{R}'''(a_1)(x-a_1) \\[1ex] + - \frac{2\MF{R}(x)}{(x-a_1)^2} &= + \frac{-2\MF{R}'(a_1)}{x-a_1} - \MF{R}''(a_1) + - \tfrac{1}{3}\MF{R}'''(a_1)(x-a_1), +\end{align*} +und daher, indem $\MF{R}'''(a_1)=\dfrac{6}{a_3-a_1}$ ist, +\[ +\tag{11.} +\frac{1}{2}\, \frac{d^2 \log(x-a_1)}{d\MF{u}^2} = +\frac{x-a_1}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_1)}{x-a_1}. % [** PP: Added period] +\] +Nimmt man $a_2$, $a_3$ statt $a_1$, so erhält man ebenso +\begin{alignat*}{4} + \tag{12.} + \frac{1}{2}\, \frac{d^2 \log(x-a_2)}{d\MF{u}^2} &= + \frac{x-a_2}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_2)}{x-a_2} &&= + \frac{x-a_1}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_2)}{x-a_2} - \frac{a_2-a_1}{a_3-a_1}\;, % [** PP: Added comma] + \\[1ex] + \tag{13.} + \frac{1}{2}\, \frac{d^2 \log(x-a_3)}{d\MF{u}^2} &= + \frac{x-a_3}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_3)}{x-a_3} &&= + \frac{x-a_1}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_3)}{x-a_3} - 1. % [** PP: Added period] +\end{alignat*} +Führt man nun in diese Gleichungen $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ ein, und setzt +\[ +\tag{14.} +\frac{a_2-a_1}{a_3-a_1} = k^2, \quad +\frac{a_3-a_2}{a_3-a_1} = 1 - k^2, +\] +so finden sich, indem +\begin{gather*} + \MF{R}'(a_1) = a_2-a_1, \quad + \MF{R}'(a_2) = \frac{(a_2-a_1)(a_2-a_3)}{a_3-a_1} = -(a_2-a_1)(1-k^2), + \\ + \MF{R}'(a_3) = (a_3-a_2) = (a_3-a_1)(1-k^2) +\end{gather*} +ist, die folgenden + +%% {-----File: 060.png---Folio 58-------} +\begin{alignat*}{4} + \tag{15.} + \frac{d^2\log\al(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} &= + k^2\al^2(\MF{u})_1 - \frac{1}{\al^2(\MF{u})_1} &&= + - \frac{1}{\mspace{10mu} \al^2(\MF{u})_1 \mspace{10mu}} + - \bigl( -k^2\al^2(\MF{u})_1 \bigr), % [** PP: Added comma] + \\[1ex] + \tag{16.} + \frac{d^2\log\al(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} &= + k^2\al^2(\MF{u})_1 - \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_2} - k^2 &&= + - \frac{\al^2(\MF{u})_3} %[**typo? (u)_3?][** PP: Changed] + {\mspace{10mu} \al^2(\MF{u})_2 \mspace{10mu}} + - \bigl( -k^2\al^2(\MF{u})_1 \bigr), % [** PP: Added comma] + \\[1ex] + \tag{17.} + \frac{d^2\log\al(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} &= + k^2\al^2(\MF{u})_1 + \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_3} - 1 &&= + - \frac{k^2\al^2(\MF{u})_2}{\al^2(\MF{u})_3} + - \bigl( -k^2\al^2(\MF{u})_1 \bigr). % [** PP: Added period] +\end{alignat*} +Indem nun +\begin{alignat*}{8} +- \frac{1}{\al^2(\MF{u})_1} &= \infty +\text{ wird nur für solche Werthe von}\ &&\MF{u}, \text{ die } \al^2(\MF{u})_1 &&= 0 &\text{ machen}, +\intertext{und} +- k^2\al^2(\MF{u})_1 &= \infty +\phantom{\ w}\rlap{--}\phantom{ird\ }\rlap{--}\phantom{nur\ }\rlap{--}\phantom{fur\ s}\rlap{--}\phantom{olche\ }\rlap{\ --}\phantom{Werth}\rlap{--} +&& \MF{u}, +\text{ die } \al^2(\MF{u})_1 &&= \infty & - \quad, +\end{alignat*} +so kann man, nach dem im vorhergehenden \S.\ bewiesenen Lehrsatze, +%[** PP: Lehrsätze seems correct, but scan and two SRers disagree] +zwei +Functionen $\Al(\MF{u})$, $\Al(\MF{u})_1$, \textit{die sich nach ganzen positiven Potenzen von $\MF{u}$ +in beständig convergirende Reihen entwickeln lassen}, bestimmen, welche +die Gleichungen +\begin{align*} + \tag{18.} + \frac{d^2\log\Al(\MF{u})}{d\MF{u}^2} = -k^2\al^2(\MF{u})_1 \\[1ex] + \tag{19.} + \frac{d^2\log\Al(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} = - \frac{1}{\al^2(\MF{u})_1} +\end{align*} +befriedigen. Ebenso giebt es, weil +\begin{gather*} +-k^2\al^2(\MF{u})_1 = k^2\bigl( \al^2(\MF{u})_2 - 1 \bigr) = \infty +\quad\text{wird nur für solche Werthe von $\MF{u}$,} +\\ +\text{für die $\al^2(\MF{u})_2 = \infty$ ist,} +\\ +- \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_2} - k^2 = \infty +\quad\text{wird nur für solche Werthe von $\MF{u}$,} +\\ +\text{für die $\al^2(\MF{u})_2 = 0$ ist,} +\intertext{und} +-k^2\al^2(\MF{u})_1 = \al^2(\MF{u})_3 - 1 = \infty +\quad\text{wird nur für solche Werthe von $\MF{u}$,} +\\ +\text{für die $\al^2(\MF{u})_3 = \infty$ ist,} +\\ +\frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_3} - 1 = \infty +\quad\text{wird nur für solche Werthe von $\MF{u}$,} +\\ +\text{für die $\al^2(\MF{u})_3 = 0$ ist,} +\end{gather*} +noch zwei Functionen $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$ von derselben Art wie $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, +welche den Gleichungen +\begin{alignat*}{6} + \tag{20.} + \frac{d^2\log\Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} ={} & {}- && + \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_2} - k^2 &&= + - \frac{\al^2(\MF{u})_3}{\al^2(\MF{u})_2} + \\[1ex] + \tag{21.} + \frac{d^2\log\Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} ={} & && + \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_3} - 1 &&= + - \frac{k^2\al^2(\MF{u})_2}{\al^2(\MF{u})_3} +\end{alignat*} +%% {-----File: 061.png---Folio 59-------} +genügen. Um dieselben darzustellen hat man die Functionen auf der rechten +Seite dieser 4 Differential-Gleichungen nach Potenzen von $\MF{u}$ in Reihen zu +entwickeln, die bei hinlänglich kleinen Werthen von $\MF{u}$ convergiren, wodurch +man, nach den Formeln~(6.), +\[ +\tag{22.} +\left\{\begin{aligned} + -k^2\al^2(\MF{u})_1 + &= \mathbf{S}\, \MF{P}_\frakm \MF{u}^{2\frakm + 2}, + &- \frac{1}{\al^2(\MF{u})_1} + &= -\frac{1}{\MF{u}^2} + \mathbf{S}\, \MF{P}'_\frakm \MF{u}^{2\frakm}, + \\[1ex] + - \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_2} - k^2 + &= \mathbf{S}\, + \Underset{\frakm=0\dots\infty\strut}{\MF{P}''_\frakm \MF{u}^{2\frakm},} + & \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_3} - 1 + &= \mathbf{S}\, \MF{P}'''_\frakm \MF{u}^{2\frakm} +\end{aligned}\right. +\] +erhält; und kann dann für $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, +$\Alrm(\MF{u})_3$ die aus der Entwicklung +der Ausdrücke +\[ +\tag{23.} +\left\{\begin{aligned} + \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{ + \fnfrac{\MF{P}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm+4}} + {(2\frakm+3)(2\frakm+4)}\Bigr\}}, && + \MF{u} \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{ + \fnfrac{\MF{P}'_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm+2}} + {(2\frakm+1)(2\frakm+2)}\Bigr\}} + \\[1ex] + \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{ + \fnfrac{\MF{P}''_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm+2}} + {(2\frakm+1)(2\frakm+2)}\Bigr\}}, && + \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{ + \fnfrac{\MF{P}'''_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm+2}} + {(2\frakm+1)(2\frakm+2)}\Bigr\}} +\end{aligned}\right. +\] +hervorgehenden Reihen nehmen. Dann ist +\[ +\tag{24.} +\left\{\begin{aligned} + \frac{d^2 \log \al(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} &= + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} - + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u}) }{d\MF{u}^2} + \\[1ex] + \frac{d^2 \log \al(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} &= + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} - + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u}) }{d\MF{u}^2} + \\[1ex] + \frac{d^2 \log \al(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} &= + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} - + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u}) }{d\MF{u}^2}, +\end{aligned}\right. +\] +aus welchen Gleichungen man, mit Berücksichtigung des Umstandes, daß in +den Entwicklungen von +\[ +\frac{\Alrm(\MF{u})_1}{\Alrm(\MF{u})}, \qquad +\frac{\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})}, \qquad +\frac{\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})} +\] +nach Potenzen von $\MF{u}$ die Coefficienten von $\MF{u}^0$ und $\MF{u}^1$ dieselben sein müssen +wie in den Reihen (6) für $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$, +\[ +\tag{25.} +\al(\MF{u})_1 = \frac{\Alrm(\MF{u})_1}{\Alrm(\MF{u})} \qquad +\al(\MF{u})_2 = \frac{\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})} \qquad +\al(\MF{u})_3 = \frac{\Alrm(\MF{u})_3}{\Alrm(\MF{u})} +\] +erhält. Man sieht also, \textit{daß man für $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$, sobald nur +feststeht, daß sie eindeutige analytische Functionen von $\MF{u}$, in dem oben +angegebenen Sinne, sind, unmittelbar aus den Differential-Gleichungen, +durch welche sie definirt werden, zu Darstellungen gelangen kann, die +für alle Werthe von $\MF{u}$ ihre Gültigkeit behalten}. + +%% {-----File: 062.png---Folio 60-------} + +Führt man die gefundenen Ausdrücke von $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ in die +Gleichungen (18 -- 21) ein, so verwandeln sich dieselben in die folgenden: +\[ +\tag{26.} +\left\{\begin{alignedat}{8} + &\Alrm(\MF{u}) &&\frac{d^2\Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}^2} && {}- + \frac{d\Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}} && \centerdot\frac{d\Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}} && {}+ + k^2 \Alrm^2(\MF{u})_1 = 0 + \\[1ex] + &\Alrm(\MF{u})_1 &&\frac{d^2\Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} && {}- + \frac{d\Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}} && \centerdot\frac{d\Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}} && {}+ + \Alrm^2(\MF{u}) = 0 + \\[1ex] + &\Alrm(\MF{u})_2 &&\frac{d^2\Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} && {}- + \frac{d\Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}} && \centerdot\frac{d\Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}} && {}+ + \Alrm^2(\MF{u})_3 = 0 + \\[1ex] + &\Alrm(\MF{u})_3 &&\frac{d^2\Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} && {}- + \frac{d\Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}} && \centerdot\frac{d\Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}} && {}+ + k^2 \Alrm^2(\MF{u})_2 = 0, +\end{alignedat}\right. +\] +wobei zu bemerken ist, daß in Folge der Relationen (5.) +\[ +\tag{27.} +\Alrm^2(\MF{u})_2 = \Alrm^2(\MF{u}) - \Alrm^2(\MF{u})_1, \quad +\Alrm^2(\MF{u})_3 = \Alrm^2(\MF{u}) - k^2 \Alrm^2(\MF{u})_1 +\] +ist. Berücksichtigt man nun, daß die Reihen für $\Alrm (\MF{u})$ u.~s.~w.\ nach den +Formeln~(23.) die Gestalt +\[ +\tag{28.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + &\Alrm(\MF{u}) &&= 1 &&{}+ \MF{A}_2 \MF{u}^4 &&{}+ \dots + \MF{A}_\frakm \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb + \\[1ex] + &\Alrm(\MF{u})_1 &&= \MF{u} &&{}+ \MF{B}_1 \MF{u}^3 &&{}+ \dots + \MF{B}_\frakm \MF{u}^{2\frakm + 1} + \dotsb + \\[1ex] + &\Alrm(\MF{u})_2 &&= 1 &&{}+ \MF{C}_1 \MF{u}^2 &&{}+ \dots + \MF{C}_\frakm \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb + \\[1ex] + &\Alrm(\MF{u})_3 &&= 1 &&{}+ \MF{D}_1 \MF{u}^2 &&{}+ \dots + \MF{D}_\frakm \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb +\end{alignedat}\right. +\] +haben, so ist ersichtlich, daß die Gleichungen (26.) zur Bestimmung der +Coefficienten dieser Reihen hinreichen, und daß dieselben ganze Functionen +von $k^{2}$ mit rationalen Zahl-Coefficienten sind. + +Aus den Gleichungen (1 -- 5) folgt noch, wenn man +% [** PP: Removing parentheses around radicands] +\[ +\al(\MF{u})_1 = \sqrt{ \frac{x-a_1}{a_2-a_1} } = \xi +\] +setzt, +% [** PP: Removing parentheses around radicands] +\[ +\tag{29.} +\al(\MF{u})_2 = \sqrt{1-\xi^2}, \quad \al(\MF{u})_3 = \sqrt{1-k^2\xi^2} +\] +und +\[ +\tag{30.} +\left\{\begin{aligned} + \frac{d \al (\MF{u})_1}{d\MF{u}} &= \al (\MF{u})_2 \al (\MF{u})_3 + \\[1ex] + \frac{d \al (\MF{u})_2}{d\MF{u}} &= -\al (\MF{u})_1 \al (\MF{u})_3 + \\[1ex] + \frac{d \al (\MF{u})_3}{d\MF{u}} &= - k^2 \al (\MF{u})_1 \al (\MF{u})_2 + \\[1ex] +% [** PP: Removing parentheses around radicands] + d\MF{u} &= \frac{d\xi}{ \sqrt{1-\xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2} }. % [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +Es sind also +\[ +\al(\MF{u})_1 \quad \al(\MF{u})_2 \quad \al(\MF{u})_3 +\] +%% {-----File: 063.png---Folio 61-------} +die von \Auth{Jacobi} mit +\[ +\sin\am\MF{u} \qquad \cos\am\MF{u} \qquad \varDelta\am\MF{u}, +\] +und von \Auth{Gudermann} mit +\[ +\sn\MF{u} \qquad \cn\MF{u} \qquad \dn\MF{u} +\] +bezeichneten \Defn{elliptischen Functionen}. Nach der vorstehenden Darstellung ist +man im Stande, nicht nur gleich im Eingange der Theorie von denselben +eine allgemeine, gleichmäßig auf alle reellen und imaginären Werthe des +Arguments wie des Moduls sich erstreckende Definition zu geben, sondern +sie auch sofort wirklich zu entwickeln, und zwar in einer stäts gültig bleibenden +und den wahren analytischen Charakter dieser Größen klar hervortreten +lassenden Form. Dadurch ist aber für die weitere Theorie derselben +eine sichere Grundlage gewonnen, und namentlich die Schwierigkeit beseitigt, +welche bei dem gewöhnlichen Verfahren, wenn man $\sin\am\MF{u}$ vermittelst der +Gleichung +\[ +\MF{u} = \int^{\sin \am \MF{u}}_0 \frac{d\xi}{\sqrt{ 1-\xi^2} \sqrt{ 1-k^2 \xi^2}} +%[**F2: Changing surd to sqrt made parens redundant.] +\] +definirt, aus der \textit{Vieldeutigkeit} eines Integrals von dieser Form entspringt. +Nachdem nämlich $\sin\am\MF{u}$ als eine eindeutige Function von $\MF{u}$ erkannt ist, hält +es nicht schwer, den richtigen Sinn, in welchem die vorstehende Gleichung +aufzufassen ist, festzustellen. Hierauf gehe ich aber hier nicht näher ein, indem +dieser Gegenstand weiter unten für die \Auth{Abel}'schen Functionen überhaupt +zur Sprache kommen muß. Dagegen möge schon jetzt erwähnt werden, daß +von den Functionen $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ aus ein directer Weg zu den \Auth{Jacobi}'schen +$\Theta$ Functionen führt, sowie überhaupt zu allen Darstellungen der elliptischen +Transcendenten, die auf deren periodischem Verhalten beruhen. + +Bei den Entwicklungen dieses §.\ habe ich, mit Rücksicht darauf, daß +sie vorbereitend für die folgenden sein sollen, die für die \Auth{Abel}'schen Functionen +überhaupt gewonnenen und aus dem \Auth{Abel}'schen Theoreme hervorgehenden Ergebnisse +der bisherigen Untersuchungen vorausgesetzt. Es beruht aber die +Anwendbarkeit des im vorhergehenden §.\ begründeten Entwicklungs-Verfahrens +auf die Differential-Gleichung +\[ +d\MF{u} = \frac{1}{2}\, \frac{dx}{\sqrt{ \MF{R}(x)}} +\] +wesentlich nur darauf, daß vorher \textit{Zweierlei} festgestellt sein muß. Zunächst +%% {-----File: 064.png---Folio 62-------} +ist zu zeigen, daß sich für hinlänglich kleine Werthe von $\MF{u}$ +\[ + \sqrt{ \frac{x-a_1}{a_2-a_1} }, \quad + \sqrt{ \frac{a_2-x}{a_2-a_1} }, \quad + \sqrt{ \frac{a_3-x}{a_3-a_1} } +\] +in Reihen von der unter (6.) aufgestellten Gestalt entwickeln lassen, und dann +muß die Möglichkeit nachgewiesen werden, Ausdrücke von der Form +\[ +\frac{p}{s}, \quad \frac{q}{s}, \quad \frac{r}{s} +\] +in denen $p$, $q$, $r$, $s$ ähnlich gestaltete, für alle Werthe von $\MF{u}$, die ihrem absoluten +Betrage nach eine willkührlich angenommene Gränze nicht übersteigen, +convergirende Reihen sein sollen, in der Art zu bestimmen, daß sie nach +Potenzen von $\MF{u}$ entwickelt in jene drei Reihen übergehen. Denn dies reicht +hin, um die Existenz eindeutiger analytischer Functionen $\al(\MF{u})_1$, + $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$, +durch welche $x$ und $\sqrt{ \MF{R}(x)}$ in der durch die Formeln (3, 4, 5) angegebenen +Weise ausgedrückt werden können, zu erweisen. \textit{Beides läßt sich nun in +der That durch bloße Betrachtung der aufgestellten Differential-Gleichung +in aller Strenge bewerkstelligen; und man kann daher, unmittelbar von +dieser Gleichung aus, ohne irgend eine andere Eigenschaft der elliptischen +Functionen als bekannt vorauszusetzen, und bloß mit Hülfe allgemeiner +Entwicklungs-Principien, zu der hier gegebenen Darstellung dieser Transcendenten +gelangen.} Ich kann jedoch dieses, wie es mir scheint, wichtige +Ergebniß hier nicht näher begründen, gedenke aber später darauf zurückzukommen, +wenn es mir, was bisher noch nicht vollständig der Fall war, gelingen +sollte, für die \Auth{Abel}'schen Functionen aller Ordnungen ein ähnliches +Resultat zu erhalten. Es möge aber, da man bei den elliptischen Functionen +so mancherlei Methoden versucht hat, erlaubt sein, bei dieser Gelegenheit noch +ein anderes Verfahren anzudeuten, welches ich in einer bereits im Jahre 1840 +verfaßten Prüfungsarbeit zur Entwicklung derselben angewandt habe, und das +mir so einfach und elementar zu sein scheint, als man nur wünschen kann. + + +\Section{} %§. 9. +\subsubsection*{\centering\normalfont Fortsetzung.} + +Ausgehend von den Differential-Gleichungen +\[ +\tag{1.} +\frac{d\xi}{d\MF{u}} = \eta \zeta, \quad +\frac{d\eta}{d\MF{u}} = - \xi \zeta, \quad +\frac{d\zeta}{d\MF{u}} = - k^2 \xi \eta, +\] +welche, wenn man noch hinzufügt, daß für $\MF{u}=0$, $\xi=0$, $\eta=1$, $\zeta=1$ +%% {-----File: 065.png---Folio 63-------} +sein sollen, zu den folgenden +\[ +\tag{2.} +d\MF{u} = \frac{d\xi}{\sqrt{1-\xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2}}\;, \qquad +\sqrt{1-\xi^2} = \eta, \quad \sqrt{1-k^2\xi^2} = \zeta +%[**F2: Changing surd to sqrt made parens redundant.] +\] +führen, kann man $\xi$, $\eta$, $\zeta$ zunächst in der Form gewöhnlicher Potenzreihen +\[ +\tag{3.} +\xi = \MF{u} + f_1 \MF{u}^3 + \dotsb, \ % +\eta = 1+g_1 \MF{u}^2 + \dotsb, \ % +\zeta = 1 + h_1 \MF{u}^2 + \dotsb \ % +\text{(S. Gl.\ 6 d.\ v.\ §.)} +\] +entwickeln, deren Coefficienten ganze Functionen von $k^2$ sind. Es ist leicht +nachzuweisen, daß dieselben für alle Werthe von $\MF{u}$, deren absoluter Betrag +unter einer gewissen Größe $\MF{U}$, deren genauere Kenntniß nicht erforderlich +ist, bleibt, unbedingt convergiren. Beschränkt man nun $\MF{u}$ zunächst auf diese +Werthe, so stellen die Reihen eindeutige Functionen von $\MF{u}$ dar, die jetzt +nach \Auth{Gudermann} mit +\[ +\sn\MF{u} \qquad \cn\MF{u} \qquad \dn\MF{u} +\] +bezeichnet werden mögen. + +Nun hat man die Formeln herzuleiten, vermittelst welcher, wenn +\[ +\MF{u} = \MF{v} + \MF{w} +\] +ist, +\[ +\sn\MF{u},\ \cn\MF{u},\ \dn\MF{u} \quad\text{durch}\quad +\sn\MF{v},\ \cn\MF{v},\ \dn\MF{v},\ \sn\MF{w},\ \cn\MF{w},\ \dn\MF{w} +\] +ausgedrückt werden können, nämlich +\[ +\tag{4.} +\left\{\begin{aligned} + \sn\MF{u} &= \frac{\sn\MF{v}\, \cn\MF{w}\, \dn\MF{w} + + \cn\MF{v}\, \dn\MF{v}\, \sn\MF{w}} + {1 - k^2 \sn^2\MF{v}\, \sn^2\MF{w}} +\\[1ex] + \cn\MF{u} &= \frac{\cn\MF{v}\, \cn\MF{w} + - \sn\MF{v}\, \dn\MF{v}\, \sn\MF{w}\, \dn\MF{w}} + {1 - k^2 \sn^2\MF{v}\, \sn^2\MF{w}} +\\[1ex] + \dn\MF{u} &= \frac{\dn\MF{v}\, \dn\MF{w} + - k^2 \sn\MF{v}\, \cn\MF{v}\, \sn\MF{w}\, \cn\MF{w}} + {1 - k^2 \sn^2\MF{v}\, \sn^2\MF{w}}, +\end{aligned}\right. +\] +wobei vorläufig $\MF{u}$, $\MF{v}$, $\MF{w}$ alle drei dem absoluten Betrage nach kleiner als $\MF{U}$ +vorauszusetzen sind. Aus denselben übersieht man sofort, auch ohne die +Rechnung auszuführen, daß man, wenn $m$ eine ganze positive Zahl bedeutet, +$\sn \MF{u}$, $\cn \MF{u}$, $\dn \MF{u}$ rational durch +$\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, +$\cn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, +$\dn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ ausdrücken kann, in +der Form +\[ +\tag{5.} +\sn \MF{u} = \frac{\MF{P}}{\mathbf{S}} \quad +\cn \MF{u} = \frac{\MF{Q}}{\mathbf{S}} \quad +\dn \MF{u} = \frac{\MF{R}}{\mathbf{S}}\;, +\] +wo $\MF{P}$, $\MF{Q}$, $\MF{R}$, $\mathbf{S}$ ganze Functionen von +$\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, +$\cn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ und +$\dn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ bedeuten. +Man kann ferner leicht nachweisen, daß $\mathbf{S}$ und auch $\MF{P}^2$, $\MF{Q}^2$, $\MF{R}^2$ ganze +Functionen von $\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ sind, und daß sie, als solche betrachtet, keinen +%% {-----File: 066.png---Folio 64-------} +gemeinschaftlichen Factor haben. (S.~\Auth{Abel}, Précis etc. §.~4, und \Auth{Gudermann}, +Theor.\ d, Modular-F. §.~149.) Aus den Gleichungen +\[ +\tag{6.} +\left\{\begin{aligned} + & \frac{d\sn\MF{u}}{d\MF{u}} = \cn\MF{u}\, \dn\MF{u}, && + \frac{d\cn\MF{u}}{d\MF{u}} = -\sn\MF{u}\, \dn\MF{u}, && + \frac{d\dn\MF{u}}{d\MF{u}} = -k^2\sn\MF{u}\, \cn\MF{u} +\\[1ex] + & \sn^2\MF{u} + \cn^2\MF{u} = 1, && + k^2 \sn^2\MF{u} + \dn^2\MF{u} = 1 +\end{aligned}\right. +\] +leitet man sodann die Ausdrücke für $\dfrac{d^2\log\sn\MF{u}}{d\MF{u}^2}$ u.~s.~w.\ ab (s.\ Gl.~15, 16, 17 +d.~v.\ §.), und führt in dieselben $\MF{P}$, $\MF{Q}$, $\MF{R}$, $\mathbf{S}$ ein, wodurch man +\[ +\tag{7.} +\frac{d^2 \log \MF{P}}{d\MF{u}^2} + \frac{\mathbf{S}^2}{\MF{P}^2} = +\frac{d^2 \log \MF{Q}}{d\MF{u}^2} + \frac{\MF{R}^2}{\MF{Q}^2} = +\frac{d^2 \log \MF{R}}{d\MF{u}^2} + \frac{k^2 \MF{Q}^2}{\MF{R}^2} = +\frac{d^2 \log \mathbf{S}}{d\MF{u}^2} + \frac{k^2 \MF{P}^2}{\mathbf{S}^2} +\] +erhält. Setzt man +\[ +\frac{d^2 \log \MF{P}}{d\MF{u}^2} = \frac{\MF{P}_1}{\MF{P}^2}\;, \quad +\frac{d^2 \log \MF{Q}}{d\MF{u}^2} = \frac{\MF{Q}_1}{\MF{Q}^2}\;, \quad +\frac{d^2 \log \MF{R}}{d\MF{u}^2} = \frac{\MF{R}_1}{\MF{R}^2}\;, \quad +\frac{d^2 \log \mathbf{S}}{d\MF{u}^2} = \frac{\mathbf{S}_1}{\mathbf{S}^2}\;, +\] +so ist zunächst $\mathbf{S}_1$ eine ganze Function von $\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, indem $\mathbf{S}$, +$\Biggl(\dfrac{d\sn^2 \Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)}{d\MF{u}^2}\Biggr)^2$, +$\vphantom{\Bigg|}\dfrac{d^2\sn^2 \Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)}{d\MF{u}^2}$, solche sind, und dann zeigen die + vorstehenden Gleichungen~(7.), +daß $\dfrac{d^2\log \MF{P}}{d\MF{u}^2}$, $\dfrac{d^2\log \MF{Q}}{d\MF{u}^2}$, $\dfrac{d^2\log \MF{R}}{d\MF{u}^2}$ + rationale, und daher $\MF{P}_1$, $\MF{Q}_1$, $\MF{R}_1$ ganze Functionen +von $\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ sind. Die Gleichungen +\[ +\frac{\MF{P}_1+\mathbf{S}^2}{\MF{P}^2} = +\frac{\MF{Q}_1+\MF{R}^2}{\MF{Q}^2} = \frac{\MF{R}_1 + k^2 \MF{Q}^2}{\MF{R}^2} = +\frac{\mathbf{S}_1 + k^2 \MF{P}^2}{\mathbf{S}^2} +\] +lehren dann, indem $\MF{P}^2$, $\MF{Q}^2$, $\MF{R}^2$, $\mathbf{S}^2$ keinen gemeinschaftlichen Factor haben, +daß in diesen Ausdrücken die Zähler durch die Nenner theilbar sind, und der +Quotient eine ganze Function von $\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ ist. Die Kenntniß des letztern ist +nicht unumgänglich erforderlich; man findet aber, wenn man den Grad von +$\MF{P}^2$ und von $\mathbf{S}^2$ bestimmt und dann von den Entwicklungen der Ausdrücke +$\dfrac{1}{2}\,\dfrac{d^2\log\MF{P}^2}{d\MF{u}^2} + \dfrac{\mathbf{S}^2}{\MF{P}^2}$, +$\dfrac{1}{2}\,\dfrac{d^2\log\mathbf{S}^2}{d\MF{u}^2} + \dfrac{k^2 \MF{P}^2}{\mathbf{S}^2}$ +nach steigenden und fallenden Potenzen von +$\vphantom{\bigg|}\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ bloß die Anfangsglieder mit einander vergleicht, daß derselbe +$k^2\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ +ist. Man hat daher +%% {-----File: 067.png---Folio 65-------} +\[ +\tag{8.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + \frac{d^2 \log \MF{P}}{d\MF{u}^2} +{} &\ \frac{1}{\sn^2 \MF{u}} +&& - k^2 \sn^2 \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) = 0 +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \MF{Q}}{d\MF{u}^2} +{} &\ \frac {\dn^2\MF{u}}{\cn^2 \MF{u}} +&& - k^2 \sn^2 \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) = 0 +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \MF{R}}{d\MF{u}^2} +{} & \frac {k^2 cn^2\MF{u}}{\cn^2 \MF{u}} +&& - k^2 \sn^2 \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) = 0 +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \MF{S}}{d\MF{u}^2} +{} & k^2 \sn^2 \MF{u} +&& - k^2 \sn^2 \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) = 0. % [** PP: Added period] +\end{alignedat}\right. +\] +Bildet man nun, ganz so wie im vorhergehenden \S., die 4 Functionen $\Alrm(\MF{u})$, +$\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, so daß man +\[ +\tag{9.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u}) }{d\MF{u}^2} + k^2 \sn^2 \MF{u} &= 0, \qquad +& \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} +{}&\ \frac{1}{\sn^2 \MF{u}}\ &&= 0, +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} +\ \frac{\dn^2 \MF{u}}{\cn^2\MF{u}}\ &= 0, +& \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} +{}& \frac{k^2 \cn^2 \MF{u}}{\dn^2 \MF{u}} &&= 0 +\end{alignedat}\right. +\] +hat, so geben die Gleichungen (8.) +\[ +\tag{10.} +\left\{ \begin{alignedat}{2} + \frac{d^2 \log \MF{P}}{d\MF{u}^2} + &= \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} + &&- m^2 \frac{d^2 \log \Alrm\Bigl( \smfrac{\MF{u}}{m} \Bigr)}{d\MF{u}^2} +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \MF{Q}}{d\MF{u}^2} + &= \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} + &&- m^2 \frac{d^2 \log \Alrm\Bigl( \smfrac{\MF{u}}{m} \Bigr)}{d\MF{u}^2} +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \MF{R}}{d\MF{u}^2} + &= \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} + &&- m^2 \frac{d^2 \log \Alrm\Bigl( \smfrac{\MF{u}}{m} \Bigr)}{d\MF{u}^2} +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \MF{S}}{d\MF{u}^2} + &= \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})\;{}}{d\MF{u}^2} + &&- m^2 \frac{d^2 \log \Alrm\Bigl( \smfrac{\MF{u}}{m} \Bigr)}{d\MF{u}^2}. % [** PP: Added period] +\end{alignedat}\right. +\] +Hieraus aber folgt, mit Rücksicht auf die ersten Glieder in den Reihen"=Entwicklungen +der vorkommenden Größen, +\[ +\tag{11.} +\left\{\begin{aligned} + \Alrm(\MF{u}_1) &= \Alrm^{mm} \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) \centerdot \MF{P} +\quad +& \Alrm(\MF{u}_2) &= \Alrm^{mm} \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) \centerdot \MF{Q} +\\[1ex] + \Alrm(\MF{u}_3) &= \Alrm^{mm} \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) \centerdot \MF{R} +& \Alrm(\MF{u} ) &= \Alrm^{mm} \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) \centerdot \MF{S} +\end{aligned}\right. +\] +und somit (gemäß 5) +\[ +\tag{12.} + \sn \MF{u} = \frac{\Alrm(\MF{u})_1}{\Alrm(\MF{u})} \qquad + \cn \MF{u} = \frac{\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})} \qquad + \dn \MF{u} = \frac{\Alrm(\MF{u})_3}{\Alrm(\MF{u})}. % [** PP: Added period] +\] +%% {-----File: 068.png---Folio 66-------} +\[ +\tag{13.} +\left\{ \begin{alignedat}{2} + d\, \biggl(\frac{\Alrm(\MF{u})_1 }{\Alrm(\MF{u})} \biggr) +&= && \frac{\Alrm(\MF{u})_2\,\Alrm(\MF{u})_3}{\Alrm(\MF{u})\, \Alrm(\MF{u})}\, d\MF{u} +\\[1ex] + d\, \biggl(\frac{\Alrm(\MF{u})_2 }{\Alrm(\MF{u})} \biggr) +&= -&& \frac{\Alrm(\MF{u})_1\,\Alrm(\MF{u})_3}{\Alrm(\MF{u})\, \Alrm(\MF{u})}\, d\MF{u} +\\[1ex] + d\, \biggl(\frac{\Alrm(\MF{u})_3 }{\Alrm(\MF{u})} \biggr) +&= -&& \frac{k^2 \Alrm(\MF{u})_1\,\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})\, \Alrm(\MF{u})}\, d\MF{u}. % [** PP: Added period] +\end{alignedat}\right. +\] + +Alle diese Gleichungen sind zunächst nur unter der Voraussetzung erwiesen, +daß $u$ dem absoluten Betrage nach kleiner als $\MF{U}$ sei, weil ja nur für +solche Werthe des Arguments die Functionen $\sn\MF{u}$, $\cn\MF{u}$, $\dn\MF{u}$ bis jetzt definirt +sind. Aber $\MF{P}$, $\MF{Q}$, $\MF{R}$, $\mathbf{S}$ sind ganze Functionen von $\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, $\cn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, $\dn\Bigr( \smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, +und können daher nach Potenzen von $\MF{u}$ in Reihen entwickelt werden, welche +convergiren, sobald der absolute Werth von $\MF{u}$ kleiner als $m\MF{U}$ ist. Für die +Werthe, die dem absoluten Betrage nach kleiner als $\MF{U}$ sind, convergirt ferner +auch die Reihe, welche aus der für $(-k^2 \sn^2 \MF{u})$ durch zweimalige Integration +hervorgeht, und die in dem Ausdrucke von $\Alrm(\MF{u})$, der im vorhergehenden \S.\ +unter Nr.~(23.) gegeben ist, den Exponenten von $e$ bildet. Da nun die Exponential-Reihe +eine \textit{beständig} convergirende ist, so muß die für $\Alrm(\MF{u})$ hervorgehende +Reihe jedenfalls für die genannten Werthe von $\MF{u}$ convergiren. +Die für $\Alrm\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, und somit auch die für $\Alrm^{mm}\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ muß es also, sobald der +absolute Betrag von $\MF{u}$ kleiner als $m\MF{U}$ ist, und die Gleichungen~(11.) lehren +sodann, daß die Reihen für $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, $\Alrm(\MF{u})$ ebenfalls für diese +Werthe von $\MF{u}$ noch convergent sind. Daraus folgt unmittelbar, daß diese +letzteren Reihen \textit{beständig} convergiren müssen, indem einerseits $m\MF{U}$ beliebig +groß gemacht werden kann, und anderseits die Coefficienten der genannten +Reihen in keinerlei Weise von $m$ abhängen. %[** PP: abhängen] +Nach der in \S.~4.\ in Betreff der +dort mit $\MF{F}(\MF{u}_1, \dotsc)$, $\MF{G}(\MF{u}_1, \dotsc)$, $\MF{F}'(\MF{u}_1,\dotsc)$, $\MF{G}'(\MF{u}_1,\dotsc)$ bezeichneten Functionen +gemachten Bemerkung gelten daher die Gleichungen~(13.) jetzt für \textit{alle} Werthe +von $\MF{u}$; und wenn man nunmehr $\sn \MF{u}$, $\cn \MF{u}$, $\dn \MF{u}$ allgemein durch die Gleichungen~(12.) +definirt, so genügen dieselben nicht nur den Differential-Gleichungen +\[ +\frac{d \sn\MF{u}}{d\MF{u}} = \cn\MF{u}\, \dn\MF{u}, \qquad +\frac{d \cn\MF{u}}{d\MF{u}} = -\sn\MF{u}\, \dn\MF{u}, \qquad +\frac{d \dn\MF{u}}{d\MF{u}} = -k^2 \sn\MF{u}\, \cn\MF{u}, +\] +sondern es haben für dieselben, die für hinlänglich kleine Werthe von $\MF{u}$ $\bigl($in +Folge der Gleichungen (11, 5)$\bigr)$ mit den ursprünglich so bezeichneten und +durch die Reihen~(3.) dargestellten übereinstimmen, auch alle übrigen im +%% {-----File: 069.png---Folio 67-------} +Vorhergehenden entwickelten Gleichungen (namentlich Nr.~4, 6, 9) unbedingte +Gültigkeit. + +Verfährt man auf die im Vorstehenden angegebene Weise, so braucht +man, um zur Entwicklung der elliptischen Functionen zu gelangen, nur einige +wenige, auf die Convergenz der gewöhnlichen Potenz-Reihen sich beziehenden +und sehr einfach zu erweisenden Sätze vorauszusetzen. (S.\ die mehrfach +angeführte Abhandlung über die Facultäten, \S.~7.) Dagegen sind die Formeln, +welche $\sn\MF{u}$, $\cn\MF{u}$, $\dn\MF{u}$ durch $\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, $\cn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, $\dn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, auszudrücken lehren, +etwas genauer zu untersuchen, als sich dies bei den analogen, für die \Auth{Abel}'schen +Functionen geltenden füglich ausführen läßt. Aus diesem Grunde suchte +ich die Ableitung der Functionen $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ aus den ursprünglichen-Differential-Gleichungen +von aller speciell auf den betrachteten Einzelfall sich +beziehenden Rechnung möglichst frei zu machen, und kam so auf die im vorhergehenden +\S.\ befolgte Methode, deren allgemeinere Anwendbarkeit sich +deutlich genug herausstellt. + + +\Section{} %\S. 10. +\subsubsection*{\centering\normalfont Fortsetzung.} + +Die Bestimmung der Coefficienten in den Reihen-Entwicklungen von +$\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ mit Hülfe der Gleichungen (\S.~7, 26 oder 22, 23) ist zwar +ausführbar, aber beschwerlich. Obgleich man nun wohl niemals zur \textit{numerischen +Berechnung} einer elliptischen Function sich dieser Reihen bedienen +wird, so ist es doch nicht ohne Interesse, daß es zur wirklichen Darstellung +derselben noch einen andern, die Rechnung ungemein erleichternden Weg +giebt. \Auth{Jacobi} hat nämlich zur Bestimmung der im vorhergehenden \S.\ mit $\MF{P}$, +$\MF{Q}$, $\MF{R}$, $\mathbf{S}$ bezeichneten Größen eine \textit{lineare} Differential-Gleichung gegeben, +in der dieselben außer nach $\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ oder $\MF{u}$, auch noch in Beziehung auf den +Modul $k$ differentiirt erscheinen. Da nun die angeführten Ausdrücke für $m=\infty$, +nach den Formeln~(11.) des v.~\S., in $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, $\Alrm(\MF{u})$ übergehen, +so muß es auch ähnliche partielle Differential-Gleichungen für diese +Functionen geben. Man kann dieselben in einfacher Weise aus den obigen +Gleichungen (18 -- 21.) herleiten, und sie dann selbst wieder benutzen, um +die erwähnten Gleichungen \Auth{Jacobi's} aus den unter Nr.~8.\ des v.~\S.\ aufgestellten +herzuleiten (so wie auch die analogen, welche zur Bestimmung der +Zähler und des Nenners in den Transformations-Formeln dienen und ebenfalls +%% {-----File: 070.png---Folio 68-------} +von \Auth{Jacobi} ohne Beweis mitgetheilt sind). Auch dieses habe ich in der erwähnten +Arbeit ausgeführt; ich begnüge mich aber hier, nur die Ableitung +der für $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ geltenden partiellen Differential-Gleichungen selbst zu +geben, und zwar aus dem Grunde, weil das Verfahren, \textit{gegebene Differential-Gleichungen +nach einer darin vorkommenden Constanten zu differentiiren, +und durch Combinationen der so erhaltenen mit den ursprünglichen andere +Gleichungen zu ermitteln, welche für die Reihen-Entwicklung der +zu bestimmenden Größen eine geeignetere Form haben,} einer weitern Anwendbarkeit +fähig sein dürfte. + +Es werde +\[ + \Alrm(\MF{u})_1 = p, \quad \Alrm(\MF{u})_2 = q, \quad + \Alrm(\MF{u})_3 = r, \quad \Alrm(\MF{u}) = s, \frac{Al(\MF{u})_1}{\Alrm(\MF{u})} = \xi +\] +gesetzt, so hat man (\S.~8, 30) +\[ +\tag{1.} + \biggl(\frac{\partial\xi}{\partial \MF{u}}\biggr) += (1-\xi^2) (1-k^2\xi^2) = 1 - (1+k^2)\, \xi^2 + k^2\xi^4,\ + \frac{\partial^2\xi}{\partial \MF{u}^2} = -(1+k^2)\, \xi + 2k^2\xi^3. % [** PP: Added period] +\] +Differentiirt man jetzt diese Gleichung, indem man $\xi$, sowie $p$, $q$, $r$, $s$ als +Functionen von $\MF{u}$ und $k$ betrachtet, in Beziehung auf $k$, so erhält man +\begin{gather*} + \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}} \centerdot + \frac{\partial^2 \xi}{\partial \MF{u}\,\partial k} += \bigl( -(1+k^2)\xi + 2k^2\xi^3 \bigr)\, \frac{\partial\xi}{\partial k} +- k\xi^2(1-\xi^2), % [** PP: Added comma] +\\[1ex] + \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}} \centerdot + \frac{\partial^2 \xi}{\partial \MF{u}\,\partial k} +- \frac{\partial \xi}{\partial k} \centerdot + \frac{\partial^2 \xi}{\partial \MF{u}^2} = -k\xi^2(1-\xi^2), % [** PP: Added comma] +\\[1ex] + \frac{ \partial\, \biggl( \dfrac{\partial \xi}{\partial k} + : \dfrac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}\biggr) } + { \partial \MF{u} } += -\frac{k\xi^2}{1-k^2\xi^2} += -\frac{1}{k} \biggl( \frac{1}{1-k^2\xi^2} - 1 \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{gather*} +Nach (\S.~8, 17) hat man aber, indem $\al^2(\MF{u})_3= 1-k^2\xi^2$ ist, +\[ + \frac{1}{2}\, \frac{\partial^2\log(1-k^2\xi^2)}{\partial \MF{u}^2} += k^2\xi^2 + \frac{1-k^2}{1-k^2\xi^2} - 1 +=-\frac{\partial^2\log s}{\partial \MF{u}^2} + \frac{1-k^2}{1-k^2\xi^2} -1, +\] +oder +\[ +\frac{1-k^2}{1-k^2\xi^2} += \frac{ \partial\, \biggl( + \dfrac{\partial\log s}{\partial \MF{u}} + + \frac{1}{2}\, \dfrac{\partial\log(1-k^2\xi^2)} + {\partial \MF{u}} + \MF{u}\biggr) }% end of numerator + { \partial \MF{u} }. % [** PP: Added period] +\] +Multiplicirt man daher die zweitvorhergehende Gleichung noch mit $k(1-k^{2})$, +und integrirt in Beziehung auf $\MF{u}$, so kommt +\[ + k(1-k^2) + \frac{\partial\xi}{\partial k} : \frac{\partial\xi}{\partial \MF{u}} += -\frac{\partial\log s}{\partial \MF{u}} +- \frac{1}{2}\, \frac{\partial\log(1-k^2\xi^2)}{\partial \MF{u}} - k^2\MF{u}, +\] +oder wenn man mit $\dfrac{\partial\xi}{\partial \MF{u}}$ multiplicirt, indem +%% {-----File: 071.png---Folio 69-------} +\[ +- \frac{1}{2}\, \frac{\partial \log(1-k^2\xi^2)}{\partial \MF{u}} \centerdot + \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}} += \frac{k^2\xi}{1-k^2 \xi^2} \biggl(\frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 += k^2 \xi (1 - \xi^2) +\] +ist, +\[ +\tag{2.} +k(1-k^2)\frac{\partial \xi}{\partial k} += k^2 \xi (1 - \xi^2) - \biggl( + k^2 \MF{u} + \frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} +\biggr) \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}. +\] +Diese Gleichung multiplicire man mit $4k^2\xi$, so folgt, weil (§.~8, 18) +\[ +\tag{3.} +\frac{\partial^2 \log s}{\partial \MF{u}^2} + k^2\xi^2 = 0, +\] +und daher +\[ +2k^2 \xi\, \frac{\partial \xi}{\partial k} = + - \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^2\, \partial k} - 2k\xi^2, \quad +2k^2 \xi \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}} = + - \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3} +\] +ist, +\[ +2k(1-k^2)\, \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^2\, \partial k} + +2k^2 \MF{u}\, \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3} + +2\frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} \centerdot +\frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3} + +4k^2 \xi^2 - 4k^4 \xi^4 = 0, +\] +oder da +\begin{align*} + 2k^2 \MF{u}\, \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3} + &= 2\frac{\partial^2 \biggl(k^2 \MF{u} + \dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)} + {\partial \MF{u}^2} + - 4k^2\, \frac{\partial^2 \log s}{\partial \MF{u}^2} +\\[1ex] + 2\frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} + \centerdot \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3} + &= \frac{\partial^2\centerdot + \biggl(\dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2} + {\partial \MF{u}^2} + - 2\biggl(\frac{\partial^2 \log s}{\partial \MF{u}^2}\biggr)^2 + \\ + &= \frac{\partial^2\centerdot\biggl(\dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2}{\partial \MF{u}^2} + - 2k^4 \xi^4 +\end{align*} +ist, +\[ +\frac{\partial^2 \left\{2k(1-k^2) \dfrac{\partial \log s}{\partial k} + + 2k^2 \MF{u} \dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} + + \biggl(\dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 \right\}}{\partial \MF{u}^2} + + 4k^2(1+k^2)\xi^2 - 6k^4\xi^4 = 0. % [** PP: Added period] +\] +Aber +\[ +\frac{\partial^4 \log s}{\partial \MF{u}^4} = -2k^2\xi \frac{\partial^2 \xi}{\partial \MF{u}^2} - +2k^2\biggl(\frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 + = -2k^2 + 4k^2(1+k^2)\, \xi^2 - 6k^4 \xi^4, +\] +und man kann daher die vorstehende Gleichung zweimal in Beziehung auf $\MF{u}$ +integriren, wodurch man +\[ +\frac{\partial^2 \log s}{\partial \MF{u}^2} + 2k(1-k^2)\frac{\partial \log s}{\partial k} + + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} + + \biggl(\frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 + k^2\MF{u}^2 = 0 +\] +erhält. Durch Betrachtung der ersten Glieder in der Reihen-Entwicklung von +$s$ überzeugt man sich, daß bei keiner dieser Integrationen eine Constante hinzuzufügen +ist. Multiplicirt man nun die vorstehende Gleichung noch mit $s$, +so ergiebt sich die folgende lineare partielle Differential-Gleichung für $s$ +%% {-----File: 072.png---Folio 70-------} +\[ +\tag{4.} + \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + 2k^2\MF{u}\frac{\partial s}{\partial \MF{u}} + +2k(1-k^2)\frac{\partial s}{\partial k} + k^2\MF{u}s = 0. % [** PP: Added period] +\] +Setzt man nun in (2.) $\xi = \dfrac{p}{s}$, so ergiebt sich +\[ + k(1-k^2) \frac{ s\dfrac{\partial p}{\partial k} + - p\dfrac{\partial s}{\partial k} }{ s^2 } ++ \biggl( k^2\MF{u} + \frac{1}{s}\centerdot \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} \biggr)\, + \frac{ s\dfrac{\partial p}{\partial \MF{u}} + - p\dfrac{\partial s}{\partial \MF{u}} }{ s^2 } +- k^2\frac{p}{s} + k^2\frac{\MF{p}^3}{s^3} = 0, +\] +oder wenn man mit $2ps^3$ multiplicirt, +\begin{gather*} + ps^2\biggl( 2k^2\MF{u} \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2)\frac{\partial p}{\partial k} \biggr) +- s\MF{p}^2\biggl( 2k^2\MF{u} \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2)\, \frac{\partial s}{\partial k} \biggr) +\\[1ex] + {}+ 2ps \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} +\centerdot \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} +- 2\MF{p}^2\biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 +- 2k^2\MF{p}^2s^2 + 2k^2\MF{p}^4 = 0. % [** PP: Added period] +\end{gather*} +Aus der Gleichung (1.) aber folgt +\[ + s^2\biggl(\frac{\partial p}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 ++ \MF{p}^2\biggl(\frac{\partial s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 +- 2ps \frac{\partial p}{\partial \MF{u}}\centerdot \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} += s^4 - (1 + k^2)\MF{p}^2s^2 + k^2\MF{p}^4, +\] +und man erhält daher, wenn man vermittelst dieser Gleichung aus der vorhergehenden +das Glied $\biggl( 2p \dfrac{\partial p}{\partial \MF{u}} \centerdot \dfrac{\partial s}{\partial \MF{u}}\biggr)$ eliminirt, +\begin{align*} + & ps^2\biggl( 2k^2\MF{u}\frac{\partial p}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2)\frac{\partial p}{\partial k} + (1-k^2)p \biggr) + + s^2\biggl( \frac{\partial p}{\partial\MF{u}} \biggr)^2 - s^4 +\\[1ex] +={}& s\MF{p}^2\biggl( 2k^2\MF{u}\frac{\partial s}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2)\frac{\partial p}{\partial k} \biggr) + + \MF{p}^2\biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 - k^2\MF{p}^4. +% [** PP: Added period] +\end{align*} +Aber (§.~8, 26) +$\biggl( \dfrac{\partial p}{\partial \MF{u} } \biggr)^2 + = p\dfrac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + s^2$, +$\biggl( \dfrac{\partial s}{\partial \MF{u} } \biggr)^2 + = s\dfrac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + k^2\MF{p}^2$; daher verwandelt +sich die vorstehende Gleichung in die folgende: +\begin{align*} + & s\, \biggl( \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2\MF{u}\frac{\partial p}{\partial \MF{u} } + 2k(1-k^2)p + \biggr) +\\[1ex] +&\quad= + p\, \biggl( \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2\MF{u}\frac{\partial s}{\partial \MF{u} } + + 2k(1-k^2) \frac{\partial s}{\partial \MF{u} } + \biggr), +\end{align*} +woraus wegen der 4ten +\[ +\tag{5.} + \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} ++ 2k^2\MF{u} \frac{\partial p}{\partial \MF{u} } ++ 2k(1-k^2) \frac{\partial p}{\partial k } + (1-k^2+k^2\MF{u}^2)p = 0 +\] +folgt. Ferner hat man (§.~8, 27) $s^2=\MF{p}^2+q^2$, woraus sich +\begin{align*} +& s\frac{\partial s}{\partial \MF{u}} += p\frac{\partial p}{\partial \MF{u}} ++ q\frac{\partial q}{\partial \MF{u}}, \quad + s\frac{\partial s}{\partial k} += p\frac{\partial p}{\partial k} ++ q\frac{\partial q}{\partial k}, +\\[1ex] +& s\frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} ++ \biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u} } \biggr)^2 += p\frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} ++ \biggl( \frac{\partial p}{\partial \MF{u} } \biggr)^2 ++ q\frac{\partial^2 q}{\partial \MF{u}^2} ++ \biggl( \frac{\partial q}{\partial \MF{u} } \biggr)^2 +\end{align*} +%% {-----File: 073.png---Folio 71-------} +findet, und da, wenn man in der dritten dieser Gleichungen +\begin{gather*} + \biggl( \frac{\partial p}{ \partial \MF{u} } \biggr)^2 += p \frac{\partial^2 p}{ \partial \MF{u}^2} + s^2, +\qquad + \biggl( \frac{\partial q}{ \partial \MF{u} } \biggr)^2 += q \frac{\partial^2 q}{ \partial \MF{u}^2} + r^2 += q \frac{\partial^2 q}{ \partial \MF{u}^2} + s^2 - k^2\MF{p}^2, +\\[1ex] + \biggl( \frac{\partial s}{ \partial \MF{u}} \biggr)^2 += s \frac{\partial^2 s}{ \partial \MF{u}^2} + k^2\MF{p}^2 +\end{gather*} +setzt, sich +\[ + s \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} += p \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + (1 - k^2)\MF{p}^2 ++ q \frac{\partial^2 q}{\partial \MF{u}^2} + q^2 +\] +ergiebt, +\begin{gather*} + s\,\biggl( \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2) \frac{\partial s}{\partial k} + k^2\MF{u}^2 s \biggr) +\\[1ex] += p\,\biggl( \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2) \frac{\partial p}{\partial k} + + (1-k^2 + k^2\MF{u}^2) p \biggr) +\\[1ex] ++ q\,\biggl( \frac{\partial^2 q}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial q}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2) \frac{\partial q}{\partial k} + + (1+ k^2\MF{u}^2) q \biggr); +\end{gather*} +woraus mit Rücksicht auf (4, 5) +\[ +\tag{6.} + \frac{\partial^2 q}{\partial \MF{u}^2} ++ 2k^2 \MF{u} \frac{\partial q}{\partial \MF{u}} ++ 2k(1-k^2) \frac{\partial q}{\partial k} + (1+ k^2\MF{u}^2)q = 0 +\] +folgt. + +Endlich ist +\begin{gather*} +s^2 = k^2\MF{p}^2 + r^2 +\\ + s \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} += k^2p \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} ++ r \frac{\partial r}{\partial \MF{u}}, +\qquad + s \frac{\partial s}{\partial k} += k^2p \frac{\partial p}{\partial k} ++ r \frac{\partial r}{\partial k} + k\MF{p}^2 +\\[1ex] + s \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} ++ \biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u} } \biggr)^2 += k^2p \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} ++ k^2 \biggl( \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 ++ r \frac{\partial^2 r}{\partial \MF{u}^2} ++ \biggl( \frac{\partial r}{\partial \MF{u} } \biggr)^2, +\end{gather*} +oder weil +\begin{gather*} + \biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 += s \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + k^2 \MF{p}^2, +\qquad + \biggl( \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 += p \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + s^2, +\qquad + \biggl(\frac{\partial r}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 += r \frac{\partial^2 r}{\partial \MF{u}^2} + k^2s^2 - k^2 \MF{p}^2, +\\[1ex] + s\, \biggl( \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2\MF{u} \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} + + 2k(1 - k^2) \frac{\partial s}{\partial k} + k^2\MF{u}^2s \biggr) +\\[1ex] += k^2p\, \biggl( \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2\MF{u} \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} + + 2k(1 - k^2) \frac{\partial p}{\partial k} + + (1 - k^2 + k^2\MF{u}^2) p \biggr) +\\[1ex] ++ r\, \biggl( \frac{\partial^2 r}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2\MF{u} \frac{\partial r}{\partial \MF{u}} + + 2k(1 - k^2) \frac{\partial r}{\partial k} + + (k^2 + k^2\MF{u}^2) r \biggr), +\end{gather*} +woraus +\[ +\tag{7.} + \frac{\partial^2 r}{\partial \MF{u}^2} ++ 2k^2 \MF{u} \frac{\partial r}{\partial \MF{u}} ++ 2k(1 - k^2) \frac{\partial r}{\partial k} + (k^2 + k^2 \MF{u}^2)r = 0 +\] +folgt. Mit Hülfe dieser Gleichungen (4 -- 7), die hier nun noch einmal +%% {-----File: 074.png---Folio 72-------} +zusammengestellt werden mögen: +\[ +\Lmargintag{8.} +\left\{\begin{alignedat}{10} +\frac{\partial^2 \Alrm(\MF{u})}{\partial \MF{u}^2} &+ + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial \Alrm(\MF{u})}{\partial \MF{u}} &&+ + 2k(1-k^2) \frac{\partial \Alrm(\MF{u})}{\partial k} &&+ + k^2 \MF{u}^2 \Alrm(\MF{u}) = 0 +\\[1ex] +\frac{\partial^2 \Alrm(\MF{u})_1}{\partial \MF{u}^2} &+ + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_1}{\partial \MF{u}} &&+ + 2k(1-k^2) \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_1}{\partial k} &&+ + (1 - k^2 + k^2 \MF{u}^2) \Alrm(\MF{u})_1 = 0 +\\[1ex] +\frac{\partial^2 \Alrm(\MF{u})_2}{\partial \MF{u}^2} &+ + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_2}{\partial \MF{u}} &&+ + 2k(1-k^2) \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_2}{\partial k} &&+ + (1 + k^2 \MF{u}^2) \Alrm(\MF{u})_2 = 0 +\\[1ex] +\frac{\partial^2 \Alrm(\MF{u})_3}{\partial \MF{u}^2} &+ + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_3}{\partial \MF{u}} &&+ + 2k(1-k^2) \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_3}{\partial k} &&+ + (k^2 + k^2 \MF{u}^2) \Alrm(\MF{u})_3 = 0 +\end{alignedat}\right. +\] +lassen sich nunmehr die Reihen für $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$ ohne Mühe +entwickeln, wobei man noch mit Vortheil die leicht zu erweisenden Relationen +\[ +\tag{9.} +\left\{\begin{aligned} +\Alrm \Bigl( k\MF{u}, \smfrac{1}{k} \Bigr)_1 &= k \Alrm(\MF{u}, k)_1 & +\Alrm \Bigl( k\MF{u}, \smfrac{1}{k} \Bigr)_2 &= \Alrm(\MF{u}, k)_3 +\\[1ex] +\Alrm \Bigl( k\MF{u}, \smfrac{1}{k} \Bigr)_3 &= \phantom{k}\Alrm(\MF{u}, k)_2 & +\Alrm \Bigl( k\MF{u}, \smfrac{1}{k} \Bigr)\phantom{_1} &= \Alrm(\MF{u}, k) +\end{aligned}\right. +\] +benutzen kann. Die Resultate der leicht auszuführenden Rechnung sind folgende. + +Es seien $\frakm$, $\frakn$ ganze Zahlen, die unabhängig von einander alle Werthe +von $0$ bis $+\infty$ zu durchlaufen haben, so ist +\[ +\tag{10.} +\left\{\begin{aligned} + \Alrm(\MF{u}) &= 1 - \mathbf{S} \left\{ \Pow{(-1)}{\frakm+\frakn} + a_{\frakm, \frakn} k^{2\frakm + 2} \centerdot + \frac{\MF{u}^{2\frakm + 2\frakn + 4}}{(2\frakm + 2\frakn + 4)!} \right\} + \\[1ex] + \Alrm(\MF{u})_1 &= \phantom{1 -{}}\mathbf{S} \left\{ \Pow{(-1)}{\frakm + \frakn} + b_{\frakm, \frakn} k^{2\frakm} \centerdot + \frac{\MF{u}^{2\frakm + 2\frakn + 1}}{(2\frakm + 2\frakn + 1)!} \right\} + \\[1ex] + \Alrm(\MF{u})_2 &= 1 - \mathbf{S} \left\{ \Pow{(-1)}{\frakm + \frakn} + c_{\frakm, \frakn} k^{2\frakm} \centerdot + \frac{\MF{u}^{2\frakm + 2\frakn + 2}}{(2\frakm + 2\frakn + 2)!} \right\} + \\[1ex] + \Alrm(\MF{u})_3 &= 1 - \mathbf{S} \left\{ \Pow{(-1)}{\frakm + \frakn} + c_{\frakm, \frakn} k^{2\frakn + 2} \centerdot + \frac{\MF{u}^{2\frakm + 2\frakn + 2}}{(2\frakm + 2\frakn + 2)!} \right\}. % [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +In diesen Formeln ist mit $\frakn!$ das Product $(1\centerdot 2\dotsm\frakn)$ bezeichnet, und +\[ +a_{\frakm, \frakn} \quad b_{\frakm, \frakn} \quad c_{\frakm, \frakn} +\] +sind ganze Zahlen, welche vermittelst der folgenden Recursions-Formeln zu +berechnen sind: +\[ +\Lmargintag{11.} +\left\{\begin{alignedat}{10} + a_{\frakm, \frakn} &= (4 \frakm + 4) a_{\frakm, \frakn-1} &&+ + (2\frakn + 4) a_{\frakm-1, \frakn} &&- + (2\frakm + 2\frakn + 1)(2\frakm + 2\frakn + 2) + a_{\frakm-1, \frakn-1} + \\ + b_{\frakm, \frakn} &= (4 \frakm + 1) b_{\frakm, \frakn-1} &&+ + (2\frakn + 1) b_{\frakm-1, \frakn} &&- + (2\frakm + 2\frakn - 2)(2\frakm + 2\frakn - 1) + b_{\frakm-1, \frakn-1} + \\ + c_{\frakm, \frakn} &= (4 \frakm + 1) c_{\frakm, \frakn-1} &&+ + (4\frakn + 4) c_{\frakm-1, \frakn} &&- + (2\frakm + 2\frakn - 1)(2\frakm + 2\frakn) + c_{\frakm-1, \frakn-1}. % [** PP: Added period] +\end{alignedat}\right. +\] +Beim Gebrauche dieser Formeln hat man +\[ +a_{0, 0} = 2, \quad b_{0, 0} = 1, \quad c_{0, 0} = 1, \quad +c_{1, 0} = 2, \quad c_{0, 1} = 1 +\] +%% {-----File: 075.png---Folio 73-------} +zu setzen, so wie jedem Coefficienten, bei dem einer der Indices negativ wird, +den Werth Null beizulegen. Ferner muß in der ersten $\frakm+\frakn>0$, eben so +in der zweiten, und in der dritten $\frakm+\frakn>1$ sein. Auch ist +\[ + a_{\frakm, \frakn} = a_{\frakn, \frakm} \qquad + b_{\frakm, \frakn} = b_{\frakn, \frakm}. % [** PP: Added period] +\] +Da es nützlich sein kann, die Reihen für $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ in einer Anzahl von +Gliedern wirklich dargestellt zu haben, so mögen hier noch für die 10 ersten +Coefficienten derselben die vollständig berechneten Ausdrücke Platz finden. + +%\newpage +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\[ +\Alrm(\MF{u}) + = 1 - \MF{A}_2 \frac{\MF{u}^4}{4!} + + \MF{A}_3 \frac{\MF{u}^6}{6!} - \dotsb + + \Pow{(-1)}{\frakm-1} \MF{A}_\frakm + \frac{\MF{u}^{2\frakm}}{(2\frakm)!} \dotsb +\] +\begin{flalign*} +&\multispan{1}{\rule{\textwidth}{0pt}}\\[-\baselineskip] +& \MF{A}_2\phantom{{}_1} = 2\,k^2 \\ +& \MF{A}_3\phantom{{}_1} = 8(k^2+k^4) \\ +& \MF{A}_4\phantom{{}_1} = 32(k^2+k^6) + 68\,k^4 \\ +& \MF{A}_5\phantom{{}_1} = 128 (k^2 + k^8) + 480(k^4 + k^6) \\ +& \MF{A}_6\phantom{{}_1} = 512 (k^2 + k^{10}) + 3008 (k^4 + k^8) + 5400\,k^6 \\ +%** obviously missing +----------------------^ +& \MF{A}_7\phantom{{}_1} = 2048(k^2+k^{12}) + 17408(k^4 + k^{10}) + + 49568(k^6 + k^8) \\ +& \MF{A}_8\phantom{{}_1} = 8192 (k^2+k^{14}) + 95232 (k^4 + k^{12}) + + 395520 (k^6 + k^{10}) + 603376\,k^8 \\ +% [** PP: Coefficient 395520 badly smudged in scan] +& \MF{A}_9\phantom{{}_1} = 32768 (k^2+k^{16})+ 499712(k^4+k^{14}) + + 2853888(k^6+k^{12})+5668096 (k^8 + k^{10}) \\ +& \MF{A}_{10} = 131072 (k^2+k^{18}) + 2539520 (k^4+k^{16}) + + 19097600 (k^6 + k^{14}) \\ +&\multispan{1}{$\hfill {}+ 38153728 (k^8 + k^{12}) + 42090784\,k^{10}$} +\end{flalign*} +u.~s.~w. +\end{minipage} +% +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\[ +\Alrm(\MF{u})_1 + = \MF{u} - \MF{B}_1 \frac{\MF{u}^3}{3!} + + \MF{B}_2 \frac{\MF{u}^5}{5!} - \dotsb + + \Pow{(-1)}{\frakm} \MF{B}_\frakm + \frac{\MF{u}^{2\frakm+1}}{(2\frakm+1)!} \dotsb +\] +\begin{flalign*} +&\multispan{1}{\rule{\textwidth}{0pt}}\\[-\baselineskip] +& \MF{B}_1\phantom{{}_1} = 1+k^2 \\ +& \MF{B}_2\phantom{{}_1} = 1+k^4 + 4\,k^2 \\ +& \MF{B}_3\phantom{{}_1} = 1+k^6+ 9 (k^2+k^4) \\ +& \MF{B}_4\phantom{{}_1} = 1+k^8 + 16 (k^2+k^6) - 6\,k^4 \\ +& \MF{B}_5\phantom{{}_1} = 1+k^{10} + 25 (k^2+k^8) - 494 (k^4+k^6) \\ +& \MF{B}_6\phantom{{}_1} = 1 +k^{12} + 36 (k^2+k^{10}) - 5781 (k^4+k^8) + - 12184\,k^6 \\ +& \MF{B}_7\phantom{{}_1} = 1+k^{14} + 49 (k^2+k^{12}) - 55173 (k^4+k^{10}) + - 179605 (k^6+k^8) \\ +& \MF{B}_8\phantom{{}_1} = 1 + k^{16} + 64 (k^2+k^{14}) + - 502892 (k^4+k^{12}) - 2279488 (k^6+k^{10})-3547930\,k^8 \\ +& \MF{B}_9\phantom{{}_1} = 1+k^{18}+81(k^2+k^{16}) - 4537500 (k^4+k^{14}) + - 27198588(k^6+k^{12}) \\ +&\multispan{1}{$\hfill {}- 59331498 (k^8+k^{10})$} \\ +& \MF{B}_{10} = 1 + k^{20}+ 100(k^2 + k^{18}) - 40856715 (k^4+ k^{16}) + - 313180080(k^6+k^{14}) \\ +&\multispan{1}{$\hfill {}- 909015270 (k^8 + k^{12}) - 1278530856\,k^{10}$} +\end{flalign*} +u.~s.~w.\ +%** obviously missing '-'^ [F2: obviously missing sign, dunno whether it's plus or minus.][** PP: Guessing minus on slight evidence] +\end{minipage} + +%% {-----File: 076.png---Folio 74-------} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\[ +\Alrm(\MF{u})_2 + = 1 - \MF{C}_1\frac{\MF{u}^2}{2!} + + \MF{C}_2\frac{\MF{u}^4}{4!} - \dotsb + + \Pow{(-1)}{\frakm} \MF{C}_\frakm + \frac{\MF{u}^{2\frakm}}{(2\frakm)!} \cdots +\] +\begin{flalign*} +&\multispan{1}{\rule{\textwidth}{0pt}} &&\\[-\baselineskip] +& \MF{C}_1\phantom{{}_1} = 1 \\ +& \MF{C}_2\phantom{{}_1} = 1+2\,k^2 \\ +& \MF{C}_3\phantom{{}_1} = 1+6\,k^2+8\,k^4 \\ +& \MF{C}_4\phantom{{}_1} = 1 + 12\,k^2 + 60\,k^4 + 32\,k^6 \\ +& \MF{C}_5\phantom{{}_1} = 1 + 20\,k^2 + 348\,k^4+ 448\,k^6 + 128\,k^8 \\ +& \MF{C}_6\phantom{{}_1} = 1 + 30\,k^2+ 2372\,k^4+ 4600\,k^6+ 2880\,k^8 + + 512 \,k^{10}\\ +& \MF{C}_7\phantom{{}_1} = 1 + 42\,k^2+19308\,k^4 + 51816\,k^6 + + 45024\,k^8 + 16896\,k^{10} + 2048\,k^{12}\\ +%& \MF{C}_8\phantom{{}_1} = 1 + 56\,k^2 + 169320\,k^4+ 628064\,k^6+ 757264\,k^8 +% + 370944\,k^{10}\\ +%&\multispan{1}{$\hfill {}+ 93184\,k^{12}+8192\,k^{14} $} &&\\ +& \MF{C}_8\phantom{{}_1} = 1 + 56\,k^2 + 169320\,k^4+ 628064\,k^6+ 757264\,k^8 + + 370944\,k^{10} + 93184\,k^{12}+8192\,k^{14} &&\\ +& \MF{C}_9\phantom{{}_1} = 1 + 72\,k^2+ 1515368\,k^4+7594592\,k^6 + + 12998928\,k^8 + 9100288\,k^{10}\\ +&\multispan{1}{$\hfill {}+ 2725888\,k^{12} + 491520\,k^{14} + + 32768\,k^{16} $} &&\\ +& \MF{C}_{10} = 1 + 90\,k^2 + 13623480\,k^4 + 89348080\,k^6 + 211064400\,k^8 + + 219361824\,k^{10}\\ +&\multispan{1}{$\hfill {}+ 100242944\,k^{12} + 18450432\,k^{14} + 2506752\,k^{16} + 131072\,k^{18} $} && +\end{flalign*} +u.~s.~w. +\[ +\Alrm(\MF{u})_3 + = 1 - \MF{D}_1\frac{\MF{u}^2}{2!} + + \MF{D}_2 \frac{\MF{u}^4}{4!} - \dotsb + + \Pow{(-1)}{\frakm} \MF{D}_\frakm + \frac{\MF{u}^{2\frakm}}{(2\frakm)!} \dotsb +\] +\begin{flalign*} +&\multispan{1}{\rule{\textwidth}{0pt}} &&\\[-\baselineskip] +& \MF{D}_1\phantom{{}_1} = k^2 \\ +& \MF{D}_2\phantom{{}_1} = 2\,k^2 + k^4 \\ +& \MF{D}_3\phantom{{}_1} = 8\,k^2 + 6\,k^4 + k^6 \\ +& \MF{D}_4\phantom{{}_1} = 32\,k^2+ 60\,k^4+ 12\,k^6+ k^8 \\ +& \MF{D}_5\phantom{{}_1} = 128\,k^2 + 448\,k^4 + 348\,k^6+ 20\,k^8+ k^{10} \\ +& \MF{D}_6\phantom{{}_1} = 512\,k^2+ 2880\,k^4+ 4600\,k^6+ 2372\,k^8 + + 30\,k^{10}+k^{12} \\ +& \MF{D}_7\phantom{{}_1} = 2048\,k^2+ 16896\,k^4+ 45024\,k^6+ 51816\,k^8 + + 19308\,k^{10}+ 42\,k^{12} + k^{14} \\ +%& \MF{D}_8\phantom{{}_1} = 8192\,k^2+ 93184\,k^4+ 370944\,k^6 + 757264\,k^8 +% + 628064\,k^{10} \\ +%&\multispan{1}{$\hfill {}+ 169320\,k^{12} + 56\,k^{14} + k^{16} $} &&\\ +& \MF{D}_8\phantom{{}_1} = 8192\,k^2+ 93184\,k^4+ 370944\,k^6 + 757264\,k^8 + + 628064\,k^{10} + 169320\,k^{12} + 56\,k^{14} + k^{16} &&\\ +& \MF{D}_9\phantom{{}_1} = 32768\,k^2 + 491520\,k^4+ 2725888\,k^6+ 9100288\,k^8 + + 12998928\,k^{10} \\ +&\multispan{1}{$\hfill {}+ 7594592\,k^{12} + 1515368\,k^{14}+ 72\,k^{16} + + k^{18} $} &&\\ +& \MF{D}_{10} = 131072\,k^2 + 2506752\,k^4+ 18450432\,k^6 + + 100242944\,k^8+219361824\,k^{10} \\ +&\multispan{1}{$\hfill {}+ 211064400\,k^{12} + 89348080\,k^{14} + + 13623480\,k^{16} + 90\,k^{18} + k^{20} $} && +\end{flalign*} +u.~s.~w. +\end{minipage} + +Ordnet man diese Ausdrücke von $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ nach Potenzen von +$k$, so erscheinen die Coefficienten als unendliche Reihen, die sich aber summiren +lassen. + +%% {-----File: 077.png---Folio 75-------} + +\Section{} %§.~11. +\subsubsection*{\centering\normalfont Uebergang zu den \Auth{Jacobi}'schen Reihen.} + +Nunmehr möge gezeigt werden, wie man von den Functionen $\Alrm(\MF{u})$, +$\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$ aus zu den unendlichen Reihen gelangen kann, durch +welche \Auth{Jacobi} die elliptischen Functionen auszudrücken gelehrt hat. Dabei +nehme ich jedoch an, daß der absolute Betrag des Moduls $k$ kleiner als Eins +sei, was erlaubt ist, weil man vermittelst der Formeln +\begin{align*} + \Alrm\left(k\MF{u}, \smfrac{1}{k}\right)_{\phantom{1}} &= \Alrm(\MF{u}, k) & + \Alrm\left(k\MF{u}, \smfrac{1}{k}\right)_2 &= \Alrm(\MF{u}, k)_3 \\ + \Alrm\left(k\MF{u}, \smfrac{1}{k}\right)_1 &= k \Alrm(\MF{u}, k)_1 & + \Alrm\left(k\MF{u}, \smfrac{1}{k}\right)_3 &= \Alrm(\MF{u}, k)_2 \\ +\end{align*} +jede der 4 genannten Functionen, wenn der absolute Betrag des Moduls die +Einheit übersteigt, auf eine andere zurückführen kann, bei welcher derselbe +kleiner als 1 ist. + +Es werde nun, unter dieser Voraussetzung, +\[ +\tag{1.} +% [** Removed parentheses around radicands] + \int_0^1 \frac{d\xi}{\sqrt{1 - \xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2}} = \MF{K}, \quad + \int_1^{\fnfrac{1}{k}} + \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2 - 1} \sqrt{1-k^2\xi^2}} = \MF{K}' +\] +gesetzt, wobei, um diesen Integralen eine ganz bestimmte Bedeutung zu geben, +festgestellt werden möge, es solle bei beiden Integrationen für $\sqrt{1-k^2\xi^2}$ +der durch die Reihe +\[ +1 - \frac{1}{2}k^2\, \xi^2 - \frac{1}{2\centerdot 4}k^4\, \xi^4 - +\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}k^6\, \xi^6 - \dotsb +\] +gegebene Werth dieser Wurzelgröße, und bei der ersten +\[ +\sqrt{1-\xi^2} = 1 - \frac{1}{2}\xi^2 - \frac{1}{2\centerdot 4}\xi^4 - +\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}\xi^6 - \dotsb, +\] +so wie bei der zweiten +\[ +\sqrt{\xi^2-1} = \xi - \frac{1}{2}\xi^3 - \frac{1}{2\centerdot 4}\xi^5 - +\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}\xi^7 - \dotsb +\] +genommen werden. Dann erhält man, wenn man die Reihe +\[ +1 + \biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2 k^2 + +\biggl(\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4}\biggr)^2 k^4 + \dots + +\biggl(\frac{1\centerdot 3 \dotsm (2n-1)}{2\centerdot 4 \dotsm\hfill 2n\hfill}\biggr)^2 k^{2n} + \dotsb +\quad\text{mit}\quad \mathfrak{K}, +\] +und die Summe ihrer $(n + 1)$ ersten Glieder +\[ +1 + \biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2 k^2 + +\biggl(\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4}\biggr)^2 k^4 + \dots + +\biggl(\frac{1\centerdot 3 \dotsm (2n-1)}{2\centerdot 4 \dotsm\hfill 2n\hfill} + \biggr)^2 k^{2n} +%[**F2: ^^----Missing ^2 ?][** PP: Yes] +\quad\text{mit}\quad \mathfrak{K}_n +\] +bezeichnet, +%% {-----File: 078.png---Folio 76-------} +\[ +\tag{2.} +\left\{\begin{aligned} + \MF{K}\phantom{'} &= \frac{\pi}{2} \mathfrak{K} \\ + \MF{K}' &= \mathfrak{K} \log \biggl(\frac{4}{k}\biggr) - (\mathfrak{K} - 1) - + \frac{2}{3\centerdot 4}(\mathfrak{K} - \mathfrak{K}_1) - + \frac{2}{5\centerdot 6}(\mathfrak{K} - \mathfrak{K}_2) - \dotsb, +\end{aligned}\right. +\] +und es ergeben sich die folgenden Gleichungen +\[ +\tag{3.} +\left\{\begin{aligned} + & \sn(\MF{K}) = 1 + && \cn(\MF{K}) = 0 + && \dn(\MF{K}) = k' + \\ + & \sn(\MF{K}-i\MF{K}') = \smfrac{1}{k} + && \cn(\MF{K}-i\MF{K}') = \smfrac{k'i}{k} + && \dn(\MF{K}-i\MF{K}') = 0, +\end{aligned}\right. +\] +in denen +\[ +\tag{4.} +k' = \sqrt{1-k^2} = 1 - \frac{1}{2}k^2 - \frac{1}{2\centerdot 4}k^4 - \dotsb +\] +ist. + +Die Herleitung derselben, so wie auch die Entwicklung der Reihen für +$\MF{K}$ und $\MF{K}'$, muß bei dem hier eingeschlagenen Wege, die Theorie der elliptischen +Functionen zu begründen, in einer etwas andern als der gewöhnlichen +Weise geschehen. Doch gehe ich hierauf nicht näher ein, sondern verweise +auf das folgende Kapitel, wo man alles, was hier zu bemerken wäre, in +den daselbst anzustellenden allgemeinern Untersuchungen gehörig erörtert finden +wird. + +Die Formeln für $\sn(\MF{u}\pm \MF{v})$, $\cn(\MF{u}\pm \MF{v})$, $\dn(\MF{u}\pm \MF{v})$ führen sodann, wenn +man $\MF{v}=\MF{K}$, und $\MF{v}=\MF{K}-i\MF{K}'$ setzt, zu den Relationen +\begin{gather*} + \tag{5.} + \left\{\begin{aligned} +\multispan{2}{\rule{13em}{0pt}}& +\multispan{2}{\rule{13em}{0pt}} +\\[-\baselineskip] + \sn(\MF{u}+\MF{K}) &= \frac{\cn \MF{u}}{\dn \MF{u}} & + \sn(\MF{u}-\MF{K}) &= - \frac{\cn \MF{u}}{\dn \MF{u}} \\[1ex] + \cn(\MF{u}+\MF{K}) &= \frac{-k' \sn \MF{u}}{\dn \MF{u}} & + \cn(\MF{u}-\MF{K}) &= \frac{k' \sn \MF{u}}{\dn \MF{u}} \\[1ex] + \dn(\MF{u}+\MF{K}) &= \frac{k'}{\dn \MF{u}} & + \dn(\MF{u}-\MF{K}) &= \frac{k'}{\dn \MF{u}} + \end{aligned}\right. \\[1.5ex] + \tag{6.} + \left\{\begin{aligned} +\multispan{2}{\rule{13em}{0pt}}& +\multispan{2}{\rule{13em}{0pt}} +\\[-\baselineskip] + \sn(\MF{u}+\MF{K}-i\MF{K}') &= \frac{\dn \MF{u}}{k \cn \MF{u}} & + \sn(\MF{u}-\MF{K}+i\MF{K}') &= - \frac{\dn \MF{u}}{k \cn \MF{u}} \\[1ex] + \cn(\MF{u}+\MF{K}-i\MF{K}') &= \frac{k'i}{k \cn \MF{u}} & + \cn(\MF{u}-\MF{K}+i\MF{K}') &= \frac{k'i}{k \cn \MF{u}} \\[1ex] + \dn(\MF{u}+\MF{K}-i\MF{K}') &= - \frac{ik' \sn \MF{u}}{\cn \MF{u}} & + \dn(\MF{u}-\MF{K}+i\MF{K}') &= \frac{ik' \sn \MF{u}}{\cn \MF{u}}. % [** PP: Added period] + \end{aligned}\right. +\end{gather*} +Und wenn man in diesen letztern Formeln $\MF{u}-\MF{K}$, sowie auch $\MF{u}+\MF{K}$ für $\MF{u}$ +setzt, so erhält man +%% {-----File: 079.png---Folio 77-------} +\[ +\tag{7.} +\left\{ \begin{alignedat}{4} +& \sn(\MF{u} + i\MF{K}') &= \Neg \frac{1}{k \sn\MF{u}} \qquad +& \sn(\MF{u} - i\MF{K}') &= \frac{1}{k \sn\MF{u}} +\\[1ex] +& \cn(\MF{u} + i\MF{K}') &= \frac{-i\dn\MF{u}}{\sn\MF{u}} \qquad +& \cn(\MF{u} - i\MF{K}') &= \frac{ i\dn\MF{u}}{\sn\MF{u}} +\\[1ex] +& \dn(\MF{u} + i\MF{K}') &= \frac{-i\cn\MF{u}}{\sn\MF{u}} \qquad +& \dn(\MF{u} - i\MF{K}') &= \frac{ i\cn\MF{u}}{\sn\MF{u}}. % [** PP: Added period] +\end{alignedat}\right. +\] +Aus (5, 7) folgt nun +\[ +\tag{8.} +\left\{ \begin{aligned} + \sn(\MF{u} + \MF{K}) &= -\sn(\MF{u}- \MF{K}) &\qquad + \sn(\MF{u} + i\MF{K}') &= \Neg\sn(\MF{u}-i\MF{K}') +\\[1ex] + \cn(\MF{u} + \MF{K}) &= -\cn(\MF{u}- \MF{K}) &\qquad + \cn(\MF{u} + i\MF{K}') &= -\cn(\MF{u}-i\MF{K}') +\\[1ex] + \dn(\MF{u} + \MF{K}) &= \Neg\dn(\MF{u}- \MF{K}) &\qquad + \dn(\MF{u} + i\MF{K}') &= -\dn(\MF{u}-i\MF{K}') +\end{aligned}\right. +\] +und hieraus, indem man $\MF{u}+\MF{K}$ und $\MF{u}+i\MF{K}'$ für $\MF{u}$ setzt, +\[ +\tag{9.} +\left\{ + \begin{aligned} + \sn(\MF{u} + 2\MF{K}) &= -\sn \MF{u} &\qquad + \sn(\MF{u} + 2i\MF{K}') &= \Neg\sn \MF{u} +\\[1ex] + \cn(\MF{u} + 2\MF{K}) &= -\cn \MF{u} &\qquad + \cn(\MF{u} + 2i\MF{K}') &= -\cn \MF{u} +\\[1ex] + \dn(\MF{u} + 2\MF{K}) &= \Neg\dn \MF{u} &\qquad + \dn(\MF{u} + 2i\MF{K}') &= -\dn \MF{u}. % [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +Diese Gleichungen führen endlich zu den folgenden allgemeinern, in denen +$\frakm$, $\frakn$ beliebige ganze Zahlen bedeuten: +\[ +\tag{10.} +\left\{ +\begin{aligned} + \sn(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}') +&= \Pow{(-1)}{\frakm}\sn \MF{u} \\ + \cn(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}') +&= \Pow{(-1)}{\frakm + \frakn}\cn \MF{u} \\ + \dn(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}') +&= \Pow{(-1)}{\frakn}\dn \MF{u}. % [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +Man hat ferner, wenn man +\begin{gather*} + \frac{d\, \Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}} \quad\text{mit $\Alrm'(\MF{u})$ bezeichnet}, +\\[1ex] +\tag{11.} + d\, \frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} = -k^2 \sn^2 \MF{u}\, d\MF{u}, +\end{gather*} +oder wenn +\begin{gather*} + \xi = \sn \MF{u}, \\[1ex] +\tag{12.} + d\, \frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} += \frac{k^2 \xi^2\, d\xi}{\sqrt{1-\xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2}}. % [** PP: Added period] +\end{gather*} +Wird daher +\[ +\tag{13.} +\int_0^1 \frac{k^2 \xi^2\, d\xi}{\sqrt{1-\xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2}} = \MF{J}, +\quad +\int_0^{\fnfrac{1}{k}} + \frac{k^2 \xi^2\, d\xi}{\sqrt{\xi^2-1} \sqrt{1-k^2\xi^2}} = \MF{J}', +\] +gesetzt, mit der Bestimmung, daß bei jeder dieser Integrationen $\xi$ und die +%% {-----File: 080.png---Folio 78-------} +Wurzelgrößen dieselben Werthe durchlaufen sollen, wie bei der entsprechenden, +durch welche man bezieht. $\MF{K}$ oder $\MF{K}'$ findet; so ergiebt sich +\[ +\tag{14.} +\frac{\Alrm'(\MF{K})}{\Alrm(\MF{K})} = -\MF{J} \quad +\frac{\Alrm'(\MF{K}-i\MF{K}')}{\Alrm(\MF{K}-i\MF{K}')} = -\MF{J}+i\MF{J}'. % [** PP: Added period] +\] +Aus den Gleichungen (11, 8) aber folgt +\[ +d \frac{\Alrm'(\MF{u}+\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}+\MF{K})} = +d \frac{\Alrm'(\MF{u}-\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}-\MF{K})}, +\] +und daher +\[ +\frac{\Alrm'(\MF{u}+\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}+\MF{K})} = +\frac{\Alrm'(\MF{u}-\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}-\MF{K})} + \MF{C}, +\] +wo $\MF{C}$ eine von $\MF{u}$ unabhängige Größe bedeutet. Indem man $\MF{u} = 0$ nimmt, +und bemerkt, daß $\Alrm(\MF{u})$ eine gerade, $\Alrm'(\MF{u})$ aber eine ungerade Function +von $\MF{u}$ ist, findet sich +\[ +\MF{C} = \frac{\Alrm'(\MF{K})}{\Alrm(\MF{K})} - +\frac{\Alrm'(-\MF{K})}{\Alrm(-\MF{K})} = +2\frac{\Alrm'(\MF{K})}{\Alrm(\MF{K})} = -2\MF{J}. +\] +Setzt man nun in der vorhergehenden Gleichung $\MF{u}+\MF{K}$ für $\MF{u}$, so ergiebt sich +\[ +\tag{15.} +\frac{\Alrm'(\MF{u}+2\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}+2\MF{K})} = +\frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} - 2\MF{J}. % [** PP: Added period] +\] +In ganz ähnlicher Weise findet sich +\[ +\tag{16.} +\frac{\Alrm'(\MF{u}+2\MF{K}-2i\MF{K}')}{\Alrm(\MF{u}+2\MF{K}-2i\MF{K}')} = +\frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} - 2\MF{J} + 2i\MF{J}'. % [** PP: Added period] +\] +Und wenn man in dieser Gleichung $\MF{u}+2i\MF{K}'$ an die Stelle von $\MF{u}$ setzt, so +kommt +\[ +\tag{17.} +\frac{\Alrm'(\MF{u}+2i\MF{K}')}{\Alrm(\MF{u}+2i\MF{K}')} = +\frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} - 2i\MF{J}', +\] +worauf man dann aus (15, 17) die allgemeinere Relation +\[ +\tag{18.} +\frac{\Alrm'(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}')} + {\Alrm(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}')} = +\frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} - 2\frakm \MF{J} + 2\frakn i\MF{J}' +\] +herleiten kann. + +Jetzt werde zur Abkürzung +\[ +\tag{19.} +\left\{\begin{alignedat}{2} + \frakm \MF{K} &+ \frakn i\MF{K}' &&= \omega \\ + \frakm \MF{J} &+ \frakn i\MF{J}' &&= \eta +\end{alignedat}\right. +\] +gesetzt. Dann folgt aus der vorstehenden Gleichung +\[ +\Alrm(\MF{u} + 2\omega) = \MF{C} \centerdot \Pow{e}{-2\eta \MF{u}}\Alrm(\MF{u}), +\] +wo $\MF{C}$ eine Constante bedeutet. Zur Bestimmung derselben setze man $\MF{u}=-\omega$, +%% {-----File: 081.png---Folio 79-------} +so findet sich +\[ +\Alrm(\omega) = \MF{C}\Pow{e}{2\eta\omega}\Alrm(-\omega) + = \MF{C}\Pow{e}{2\eta\omega}\Alrm(\omega), +\] +und daher, wofern nicht $\Alrm(\omega) = 0$ ist, $\MF{C} = \Pow{e}{-2\eta\omega}$. Es wird aber, wie aus +der Gleichung +\[ +\frac{d^2\log\Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}^2} = -k^2\sn^2 \MF{u} +\] +folgt, $\Alrm(\omega)$ nur dann ${}=0$, wenn $\sn\omega=\infty$ ist; was, wie die Formeln +(7, 10) lehren, nur der Fall ist, wenn für $\frakm$ eine gerade und für $\frakn$ eine +ungerade Zahl angenommen wird. Dann aber ist, wie die Gleichung +\[ +\frac{d^2\log\Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} = - \frac{1}{\sn^2 \MF{u}} +\] +zeigt, $\Alrm(\omega)_1$ nicht ${}=0$; und da man, nach (10.), jetzt $\sn(\MF{u}+2\omega) = \sn \MF{u}$ +hat, und somit aus der vorstehenden Gleichung für $\Alrm(\MF{u}+2\omega)$ +\[ +\Alrm(\MF{u}+2\omega)_1 = \MF{C}\Pow{e}{-2\eta\MF{u}}\Alrm(\MF{u})_1 +\] +folgt, so findet sich jetzt, wenn man wieder $\MF{u}=-\omega$ setzt, $\MF{C}=-\Pow{e}{-2\eta\omega}$. +Demgemäß hat man +\[ +\Alrm(\MF{u}+2\omega) = \pm \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)}\Alrm(\MF{u}), +\] +in welcher Gleichung das untere Zeichen gilt, wenn $\frakm$ gerade und gleichzeitig +$\frakn$ ungerade, oder wenn das Product $(\frakm+1)\frakn$ ungerade ist. Daher +\[ +\Alrm(\MF{u}+2\omega) = \Pow{(-1)}{(\frakm+1)\frakn} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u}). % [** PP: Added period] +\] +Verbindet man nun mit dieser Gleichung die unter (10.) aufgestellten, so +ergeben sich für die Functionen $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, + $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$ folgende Relationen: +\[ +\tag{20.} +\left\{ +\begin{aligned} + \Alrm(\MF{u}+2\omega)_{\phantom{1}} &= + \Pow{(-1)}{\frakm \frakn + \frakn} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u}) \\ + \Alrm(\MF{u}+2\omega)_1 &= + \Pow{(-1)}{\frakm \frakn + \frakm + \frakn} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u})_1 \\ + \Alrm(\MF{u}+2\omega)_2 &= + \Pow{(-1)}{\frakm \frakn + \frakm} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u})_2 \\ + \Alrm(\MF{u}+2\omega)_3 &= + \Pow{(-1)}{\frakm \frakn} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u})_3\;. % [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +Diese Gleichungen sprechen charakteristische Eigenschaften der Functionen +$\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ aus, und führen in einfacher Weise zur Darstellung derselben +durch die \Auth{Jacobi}'schen Reihen. Dabei ist die bekannte unter den Größen +$\MF{K}$, $\MF{K}'$, $\MF{J}$, $\MF{J}'$ statt findende Relation von wesentlicher Bedeutung, die man +aus den vorhergehenden Formeln folgendermaßen erhält. + +%% {-----File: 082.png---Folio 80-------} + +Aus (20.) folgt +\begin{align*} + \Alrm(\MF{u} + 2 \MF{K} )_3 &= \Pow{e}{-2 \MF{J} (\MF{u}+ \MF{K} )} \Alrm(\MF{u})_3 \\ + \Alrm(\MF{u} + 2i\MF{K}')_3 &= \Pow{e}{-2i\MF{J}'(\MF{u}+i\MF{K}')} \Alrm(\MF{u})_3. +\intertext{Setzt man in der ersten dieser Gleichungen $\MF{u}+2i\MF{K}'$, und in der andern +$\MF{u}+2\MF{K}$ für $\MF{u}$, so kommt } +\Alrm(\MF{u} + 2\MF{K} + 2i\MF{K}')_3 &= \Pow{e}{-2 \MF{J} (\MF{u}+2i\MF{K}'+ \MF{K} )} \Alrm(\MF{u}+2i\MF{K}')_3 \\ + &= \Pow{e}{-2 \MF{J} (\MF{u}+2i\MF{K}'+ \MF{K} )-2i\MF{J}'(\MF{u}+i\MF{K}')} \Alrm(\MF{u})_3, \\[1ex] +\Alrm(\MF{u} + 2\MF{K} + 2i\MF{K}')_3 &= \Pow{e}{-2i\MF{J} (\MF{u}+2\MF{K} +i\MF{K}')} \Alrm(\MF{u}+2\MF{K})_3 \\ + &= \Pow{e}{-2i\MF{J}'(\MF{u}+2\MF{K} +i\MF{K}')-2\MF{J}(\MF{u}+\MF{K})} \Alrm(\MF{u})_3. % [** PP: Added period] +\intertext{Folglich muß } + \Pow{e}{-4 \MF{J}\MF{K}'i} &= \Pow{e}{-4\MF{K}\MF{J}'i} \\ + \Pow{e}{ 4(\MF{K}\MF{J}'-\MF{J}\MF{K}')i} &= 1, +\intertext{d.~h.\ es muß } + \MF{K}\MF{J}' - \MF{J}\MF{K}' &= \mu\, \frac{\pi}{2} +\end{align*} +sein, wo $\mu$ eine ganze Zahl bedeutet. Nun aber erhält man, wenn man die +Größen $\MF{J}$, $\MF{J}'$ in ähnlicher Weise wie $\MF{K}$, $\MF{K}'$ in Reihen entwickelt +\[ +\tag{21.} +\left\{\begin{aligned} + \MF{J} &= \frac{\pi}{2}\, \frakJ \\ + \MF{J}' &= \frakJ\log \frac{4}{k} + 1 - (\frakJ - \frakJ_1) + - \frac{2}{3\centerdot 4} (\frakJ - \frakJ_2) + - \frac{2}{5\centerdot 6} (\frakJ - \frakJ_3)- \cdots +\end{aligned}\right. +\] +wo +\begin{align*} +\multispan{2}{\rule{.9\textwidth}{0pt}} \\[-1.5\baselineskip] + \frakJ_{\phantom{1}} &= \tfrac{1}{2}k^2 + + \tfrac{3}{4}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\! k^4 + + \tfrac{5}{6}\biggl(\frac{1\centerdot3}{2\centerdot4}\biggr)^2\! k^6 + + \tfrac{7}{8}\biggl(\frac{1\centerdot3\centerdot5} + {2\centerdot4\centerdot6}\biggr)^2\! k^8 +\cdots +\\ + \frakJ_1 &= \tfrac{1}{2} \centerdot \tfrac{1}{2}k^2, \qquad + \frakJ_2 = \tfrac{1}{2}k^2 + + \tfrac{1}{2}\centerdot \tfrac{3}{4} + \biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\! k^4 \quad\text{etc.} +\\ + \frakJ_n &= \tfrac{1}{2} k^2 + + \tfrac{3}{4}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\! k^4 + \dotsb + + \frac{2n-3}{2n-2}\biggl( + \frac{1\centerdot3\dotsm(2n-5)} + {2\centerdot4\dotsm(2n-4)} \biggr)^2\! k^{2n-2} +%[** PP: Added parentheses around 2n-5, 2n-4 factors] +\\ +\multispan{2}{\hfill${} + + \tfrac{1}{2}\dfrac{2n-1}{2n} + \biggl( \dfrac{1\centerdot3\dotsm(2n-3)} + {2\centerdot4\dotsm(2n-2)} \biggr)^2\! k^{2n} $} +\end{align*} +ist; und man hat daher +\[ +\left.\begin{aligned} +\MF{K}' &= \frac{2\MF{K}}{\pi}\log\biggl(\frac{4}{k}\biggr) + {} \\[1ex] +\MF{J}' &= 1 + \frac{2\MF{J}}{\pi}\log\biggl(\frac{4}{k}\biggr) + {}\ +\end{aligned}\right\} +\quad\text{Glieder, welche für $k = 0$ verschwinden.} +\] +Substituirt man diese Ausdrücke %[** probable typo Ansdrücke corrected] +in die vorstehende Gleichung, so findet sich, +%% {-----File: 083.png---Folio 81-------} +daß $\mu = 1$ ist. Mithin hat man +\[ +\tag{22.} +\MF{K}\MF{J}'-\MF{J}\MF{K}' = \frac{\pi}{2}, +\] +aus welcher Gleichung sich, wenn man +\begin{align*} +\omega &= \frakm \MF{K} + \frakn i\MF{K}' & +\eta &= \frakm \MF{J} + \frakn i\MF{J}' \\ +\omega' &= \frakm'\MF{K} + \frakn'i\MF{K}' & +\eta' &= \frakm'\MF{J} + \frakn'i\MF{J}' +\end{align*} +setzt, und nun unter $\frakm$, $\frakn$, $\frakm'$, $\frakn'$ + ganz willkührliche Größen versteht, die +allgemeinere +\[ +\tag{23.} +\omega\,\eta' - \eta\,\omega' = (\frakm\,\frakn' - \frakn\,\frakm')\,\frac{\pi}{2}i +\] +ergiebt. + + +\Section{} %§. 12. +\subsubsection*{\centering\normalfont Fortsetzung.} + +Man bezeichne jetzt mit $\MF{F}(\MF{u})$ irgend eine der Functionen $\Alrm(\MF{u})$, +$\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, so hat man nach dem Vorhergehenden, + wenn $\frakm$, $\frakn$ +zwei beliebige ganze Zahlen bedeuten, und +\[ +\frakm \MF{K} + \frakn i\MF{K}' = \omega \qquad +\frakm \MF{J} + \frakn i\MF{J}' = \eta +\] +gesetzt wird, +\[ +\MF{F}(\MF{u} + 2\omega) = \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)+m\pi i} \MF{F}(\MF{u}), +\] +wo $m$ für jede Function durch die Formeln (20.) bestimmt ist. Diese Gleichung +läßt sich folgendermaßen darstellen: +\[ + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta}{2\omega}(\MF{u}+2\omega)^2 + - \fnfrac{m\pi i}{2\omega}(\MF{u}+2\omega)} \MF{F}(\MF{u}+2\omega) += \Powfr{e}{\fnfrac{\eta\MF{u}^2}{2\omega} + - \fnfrac{m\pi i}{2\omega}\MF{u}} \MF{F}(\MF{u}), +\] +und zeigt dann, daß +\[ +\Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega} + - \fnfrac{m\pi i}{2\omega}\MF{u}} \MF{F}(\MF{u}) +\] +eine \textit{periodische} Function von $\MF{u}$ ist. Nun gilt aber folgender allgemeiner Satz: +\begin{quote} +\textit{Eine eindeutige periodische Function einer unbeschränkt veränderlichen +Größe $\MF{u}$ läßt sich, mag nun die Periode, die durch $a$ bezeichnet +werde, reell oder imaginär sein, wenn sie zugleich den +Charakter einer ganzen rationalen Function -- in dem oben erklärten +Sinne des Worts -- besitzt, stäts, und zwar nur auf eine +einzige Weise, durch eine für jeden Werth von $\MF{u}$ convergirende +Reihe von der Form +\[ +{\tsum\limits_\nu} +\Biggl\{\MF{A}_\nu\, \Powfr{e}{\fnfrac{2\nu\pi}{a}\MF{u}i}\Biggr\} +\] +%% {-----File: 084.png---Folio 82-------} +darstellen, wo der Zeiger $\nu$, auf den sich das Summenzeichen bezieht, +die Reihe der ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ durchlaufen +hat, und die Coefficienten $\MF{A}_\nu$ von $\MF{u}$ unabhängig sind}. +\end{quote} + +Zum Beweise werde die Function, in welche die in Rede stehende +durch die Substitution +\[ +\MF{u}=\frac{a}{2\pi}\MF{v} +\] +übergeht, mit $f(\MF{v})$ bezeichnet, so hat man +\[ +f(\MF{v} + 2\pi) = f(\MF{v}). % [** PP: Added period] +\] +Setzt man nun +\[ +\MF{v} = t+ si, +\] +und versteht unter $t$, $s$ reelle Größen, so hat man nach dem \Auth{Fourier}'schen +Satze, indem $f(t+si)$ eine continuirliche Function von $t$, $s$ ist, welche in +Beziehung auf $t$ die Periode $2\pi$ besitzt, +\[ +2\pi i\centerdot f(t+si) = \tsum \MF{B}_\nu\, \Pow{e}{\nu ti}, +\] +wo +\[ +\MF{B}_\nu \int_0^{2\pi} f(t+si)\, \Pow{e}{-\nu ti}\,dt +\] +ist. Zugleich weiß man, daß sich $f(t+si)$ auf keine andere Weise in dieser +Form darstellen läßt. Nun ist aber nicht nur $f(t+si)$ eine continuirliche +Function von $t$, $s$, sondern auch, nach dem, was hinsichtlich des analytischen +Charakters von $f(\MF{v})$ angenommen worden ist, +\[ +\frac{\partial f(t+si)}{\partial t} \quad\text{und}\quad +\frac{\partial f(t+si)}{\partial s} = +i\,\frac{\partial f(t+si)}{\partial t}. % [** PP: Added period] +\] +Mithin müssen auch $\MF{B}_\nu$ und $\dfrac{\partial \MF{B}_\nu}{\partial s}$ continuirliche Functionen von $s$ sein, und +man hat daher +\begin{align*} + \frac{\partial\centerdot \MF{B}_\nu\, \Pow{e}{\nu s}}{\partial s} +&= \frac{\partial \int_0^{2\pi} f(t+si)\,\Pow{e}{-\nu(t+si)i}\,dt}{\partial s} \\ +&= \int_0^{2\pi}\biggl(\frac{\partial f(t+si)}{\partial s} + + \nu f(t+si)\biggr)\, \Pow{e}{-\nu(t+si)i}\, dt. % [** PP: Added period] +\end{align*} +Aber +\begin{align*} +\int_0^{2\pi} \frac{\partial f(t+si)}{\partial s}\, \Pow{e}{-\nu(t+si)i}\, dt +&= i\int_0^{2\pi} \frac{\partial f(t+si)}{\partial t}\, \Pow{e}{-\nu(t+si)i}\, dt \\ +&= -\nu \int_0^{2\pi} f(t+si)\, \Pow{e}{-\nu(t+si)i}\, dt, +\end{align*} +%% {-----File: 085.png---Folio 83-------} +indem $f(t+si)\,\Pow{e}{-\nu (t+si)i}$ für $t=0$ und $t=2\pi$ denselben Werth hat. Daher ist +\[ +\frac{\partial \centerdot \MF{B}_{\nu}\, \Pow{e}{\nu s}}{\partial s} = 0, +\] +d.~h.\ der Werth von $\MF{B}_{\nu}\, \Pow{e}{\nu s}$ ist unabhängig von $s$, und bleibt, weil $\MF{B}_\nu$ eine +continuirliche Function dieser Größe ist, für jeden Werth von $s$ derselbe. +Bezeichnet man ihn durch $2\pi i \MF{A}_\nu$, wo man dann, indem $s=0$ genommen wird, +\begin{align*} + 2\pi i \MF{A}_{\nu} &= \int_0^{2 \pi} f(t)\, \Pow{e}{-\nu ti}\, dt +\intertext{erhält, so ist } + \MF{B}_{\nu} &= 2\pi i\MF{A}_{\nu}\, \Pow{e}{-\nu s}, +\intertext{und es ergiebt sich } + f(t+si) &= \tsum\limits_{\nu} \MF{A}_{\nu}\, \Pow{e}{\nu(t+si)i} +\intertext{für alle Werthe von $t$, $s$, oder } +f(\MF{v}) &= \tsum\limits_{\nu} \MF{A}_{\nu}\, \Pow{e}{\nu \MF{v}i} +\end{align*} +für jeden complexen Werth von $\MF{v}$, woraus, wenn man $\smfrac{2\pi\MF{u}}{a}$ für $\MF{v}$ setzt, die +angegebene Reihe für die ursprüngliche Function sich unmittelbar ergiebt\footnotemark. +\footnotetext{Setzt man $\Powfr{e}{\fnfrac{2\pi \MF{u}i}{a}}\!\! = x$, so gehören zu jedem Werthe von $x$ zwar unendlich +viele von $\MF{u}$, für die aber, da sie sich nur um ein Vielfaches von $a$ unterscheiden, die +betrachtete Function denselben Werth hat. Man kann daher die letztere als eine eindeutige +Function von $x$ ansehn, die durch $\varphi(x)$ bezeichnet werden möge. Dann ist +leicht zu zeigen, daß nicht nur $\varphi(x)$, sondern auch $\smfrac{\partial \varphi (x)}{\partial x}$ sich continuirlich mit $x$ ändert, +ohne jemals unendlich groß zu werden, sobald man nur für den absoluten Betrag von $x$ +irgend eine, wenn auch noch so kleine Gränze festsetzt, oberhalb welcher er bleiben soll. +Dies reicht aber, nach einem von \Auth{Cauchy} gegebenen Theorem hin, um nachzuweisen, +daß sich $\varphi(x)$ durch eine für jeden Werth von $x$, der nicht Null ist, convergirende +Reihe +\[ +\tsum \Underset{\nu = -\infty \dots + \infty}{ \{\quad \MF{A}_\nu\, x^\nu \quad\} } +\] +darstellen läßt; woraus der aufgestellte Satz unmittelbar folgt. Ich habe es aber hier +vorgezogen, denselben aus dem \Auth{Fourier}'schen abzuleiten.} + +Uebrigens ist leicht zu zeigen, daß sich eine Reihe von der betrachteten +Form, wenn sie für \textit{jeden} Werth von $\MF{u}$ convergirt, immer in eine andere +von der Gestalt +\[ +\tsum \Underset{\nu = 0 \dots \infty} + { \Bigl\{\: \MF{A}'_\nu\, \MF{u}^\nu \:\Bigr\} }, +\] +\textit{die ebenfalls beständig convergent ist,} umwandeln %[**Typo? umwandeln] +läßt; woraus erhellt, +daß der bewiesene Satz eben nur dann gilt, wenn die Function, um die es +sich handelt, den Charakter einer ganzen rationalen hat. + +%% {-----File: 086.png---Folio 84-------} + +Hiernach läßt sich +\[ +\Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega} + -\fnfrac{m\pi i}{2\omega}\MF{u}} \MF{F}(\MF{u}) +\] +in eine beständig convergirende Reihe +\[ +{\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ + \MF{A}_\nu\, \Powfr{e}{\fnfrac{\nu\pi \MF{u}i}{\omega}} +\Bigr\} +\] +entwickeln, und es handelt sich jetzt um die Bestimmung der Coefficienten +derselben. Dazu gelangt man auf folgende Weise. Man darf unbeschadet der +Allgemeinheit annehmen, daß $\frakm$, $\frakn$ keinen gemeinschaftlichen Factor haben. +Dann kann man zwei andere ganze Zahlen $\frakm'$, $\frakn'$ dergestalt bestimmen, daß +\[ +\frakm\, \frakn' - \frakn\, \frakm' = 1 +\] +ist, und es gelten, wenn man mit $\omega'$, $\eta$', $m'$ die Größen bezeichnet, in welche +$\omega$, $\eta$, $m$ übergehn, indem $\frakm'$, $\frakn'$ an die Stelle von + $\frakm$, $\frakn$ treten, für $\MF{F}(\MF{u})$ die +beiden Gleichungen +\[ +\tag{1.} +\left\{ +\begin{aligned} + \MF{F}(\MF{u}+2\omega) + &= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega )+m \pi i}\MF{F}(\MF{u}) +\\ + \MF{F}(\MF{u}+2\omega') + &= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega')+m'\pi i}\MF{F}(\MF{u}), +\end{aligned}\right. +\] +während zugleich die Größen $\omega$, $\eta$, $\omega'$, $\eta'$ der Formel (23.) des v.~§.\ gemäß +durch die Relation +\[ +\tag{2.} +\omega\,\eta' - \eta\,\omega' = \frac{\pi}{2}i +\] +mit einander verbunden sind. Man kann dabei bemerken, daß diese Gleichungen +bestehen bleiben, wenn +\begin{alignat*}{8} +&&\omega'\!,&&\ -\omega,&&\ \eta'\!,&&\ -\eta,&&\ m'\!,&&\ -m \\ +\text{an die Stelle von} \quad && \omega,&&\quad \omega'\!,&&\quad \eta,&&\quad \eta'\!,&&\quad m,&&\quad m' +\end{alignat*} +treten, wie man sofort sieht, sobald man nur in der ersten $\MF{u}-2\omega$ für $\MF{u}$ setzt, +und $\Pow{e}{-2\eta(\MF{u}-\omega)+m\pi i}$ auf die andere Seite bringt. Man wird daher aus jeder +Gleichung, welche eine Folge der vorstehenden (1, 2) ist, sofort eine neue +ableiten können, indem man in ihr die angegebenen Substitutionen macht. + +Es werde jetzt +\[ +\tag{3.} +\frac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'} - \frac{\eta \MF{u}^2}{2\omega} = +\frac{\pi i\MF{u}^2}{4\omega\omega'} \quad\text{mit}\quad \chi(\MF{u}) +\] +bezeichnet, und +%% {-----File: 087.png---Folio 85-------} +\begin{align*} +\tag{4.} +\Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega } + \chi(\MF{u}-m'\omega)}\MF{F}(\MF{u}) +&= f(\MF{u}) +\\[1ex] +\tag{5.} +\Powfr{e}{\fnfrac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'} - \chi(\MF{u}-m \omega')}\MF{F}(\MF{u}) +&= f'(\MF{u}) +\end{align*} +gesetzt. Dann hat man für beliebige Werthe von $p$, $q$ +\[ +\tag{6.} +\left\{ \begin{alignedat}{4} +& \chi(\MF{u} + p\omega) &&- \chi (\MF{u}) +&&= \frac{p \pi i}{2 \omega'} \biggl( \MF{u} + \frac{p\omega}{2} \biggr) +\\[1ex] +& \chi(\MF{u} + p\omega') &&- \chi (\MF{u}) +&&= \frac{q \pi i}{2 \omega} \biggl( \MF{u} + \frac{q\omega'}{2} \biggr), +\end{alignedat}\right. +\] +woraus weiter +\[ +\tag{7.} +\left\{ \begin{alignedat}{4} +& \chi(\MF{u} + p\omega + q\omega') &&- \chi(\MF{u} + q\omega') +&&= \chi(\MF{u} + p\omega) &&- \chi(\MF{u}) + \frac{pq}{2} \pi i, +\quad\text{oder} +\\[1ex] +& \chi(\MF{u} + p\omega + q\omega') &&- \chi(\MF{u} + p\omega) +&&= \chi(\MF{u} + q\omega') &&- \chi(\MF{u}) + \frac{pq}{2} \pi i +\end{alignedat}\right. +\] +folgt. + +Die Gleichung (4.) läßt sich nun auch so schreiben: +\[ +f(\MF{u}) + = \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'} + + \chi(\MF{u}-m' \omega) - \chi (\MF{u})} \MF{F}(\MF{u}), +\] +und man hat daher, indem +\[ + \frac{\eta' (\MF{u} + 2 \omega')^2}{2\omega'} += \frac{\eta' \MF{u}^2}{2 \omega'} + 2\eta' (\MF{u}+ \omega'), +\] +und nach (7.), wenn $p =-m'$, $q=2$ genommen wird +\[ + \chi(\MF{u} - m' \omega + 2 \omega') - \chi (\MF{u} + 2 \omega') += \chi(\MF{u} - m' \omega ) - \chi (\MF{u}) -m' \pi i +\] +ist, in Folge von (1.) +\[ +\tag{8.} f(\MF{u} + 2 \omega' ) = f(\MF{u}). % [** PP: Added period] +\] +Ebenso, oder wenn man die vorhin angegebenen Substitutionen macht, wodurch +sich $\chi(\MF{u})$ in $-\chi(\MF{u})$, $f(\MF{u})$ in $f'(\MF{u})$ und $f'(\MF{u})$ in $f(\MF{u})$ verwandelt, erhält man +\[ +\tag{9.} + f'(\MF{u} - 2 \omega) = f'(\MF{u}) \text{, oder auch } + f'(\MF{u} + 2 \omega) = f'(\MF{u}). % [** PP: Added period] +\] +Ferner folgt aus (4.), wenn man bemerkt, daß nach (7.) +\[ + \chi( \MF{u} - m' \omega + m \omega') += \chi (\MF{u} + m \omega') + \chi( \MF{u} - m \omega' ) +- \chi (\MF{u}) - \frac{mm'}{2} \pi i +\] +ist, und +\[ +\tag{10.} m \omega' - m' \omega = \Atop{0}{ \omega} +\] +setzt, +%% {-----File: 088.png---Folio 86-------} +\[ +\tag{11.} +\left\{ \begin{aligned} + f(\MF{u}) +&= \Powfr{e}{ \fnfrac{mm'}{2} \pi i + \chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega})} f'(\MF{u}), % [** PP: Added comma] +\\ + f'(\MF{u}) +&= \Powfr{e}{-\fnfrac{mm'}{2} \pi i - \chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega})} f(\MF{u}). % [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +Der Gleichung (9.) gemäß kann man nun $f'(\MF{u})$ durch eine Reihe +\[ + \tsum\limits_\nu + \left\{ \MF{A}_\nu\, \Powfr{e}{\fnfrac{\nu \pi}{\omega}ui} \right\} +\] +darstellen. Man hat aber nach (6.) +\[ +\tag{12.} + \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2 \nu \omega') +- \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega}) += \frac{\nu \pi i}{\omega} (\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + \nu \omega'). % [** PP: Added period] +\] +Folglich, wenn man +\[ +\MF{A}_{\nu} = \MF{C}_\nu\, + \Powfr{e}{\fnfrac{\nu \pi i}{\omega} (\Atop{0}{\omega} + \nu \omega') } +\] +setzt, +\[ +\tag{13.} + f'(\MF{u}) += {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ + \MF{C}_\nu\, \Pow{e}{ \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2 \nu \omega') + - \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega}) } + \Bigr\}, +\] +und daher (nach 11.) +\[ +\tag{14.} + f(\MF{u}) += \Powfr{e}{\fnfrac{mm'}{2} \pi i} {\tsum} \Bigl\{ + \MF{C}_\nu\, \Pow{e}{\chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2 \nu \omega')} + \Bigr\}. % [** PP: Added period] +\] +In dieser Gleichung werde jetzt $\MF{u}+2\omega'$ für $\MF{u}$ gesetzt, und zugleich $\nu-1$ +für $\nu$, was erlaubt ist, weil $\nu-1$ so gut als $\nu$ jede ganze Zahl repräsentirt, +so kommt mit Berücksichtigung von (8.) +\[ + f(\MF{u}) += \Powfr{e}{\fnfrac{mm'}{2} \pi i} {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ + \MF{C}_{\nu-1}\, \Pow{e}{\chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2\nu \omega')} + \Bigr\}. % [** PP: Added period] +\] +In dieser Reihe muß aber jeder Coefficient mit dem gleichstelligen der vorhergehenden +übereinstimmen, weil sich, wenn dies nicht der Fall wäre, aus +ihr durch Multiplication mit $\Pow{e}{-\chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega})}$ für $f'(\MF{u})$ eine zweite Reihe von der Form +\[ + \tsum\limits_{\nu} + \Bigl\{ \MF{A}'_\nu\, \Powfr{e}{\fnfrac{\nu \pi \MF{u}i}{\omega}} \Bigr\} +\] +ergeben würde, welche es nicht giebt. Daher muß $\MF{C}_\nu = \MF{C}_{\nu-1}$ sein, woraus +folgt, daß sämmtliche Coefficienten $\MF{C}_\nu$ denselben Werth haben, der durch +\[ +g\Powfr{e}{-\fnfrac{mm'}{2} \pi i} +\] +bezeichnet werden möge. Somit erhält man, wenn zugleich statt $f(\MF{u})$ wieder +$\MF{F}(\MF{u})$ eingeführt wird, +%% {-----File: 089.png---Folio 87-------} +\[ +\tag{15.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}+\chi(\MF{u}-m'\omega)} \MF{F}(\MF{u}) += g\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle \Bigl\{ + \Pow{e}{\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}+2\nu\omega')} + \Bigr\}, +\] +oder, da +\[ +\tag{16.} + \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + \nu\omega') - \chi(\MF{u}-m'\omega) += \frac{2\nu+m}{2}\centerdot\frac{\pi i}{\omega} + \biggl( \MF{u} - m'\omega + \frac{2\nu+m}{2}\omega' \biggr) +\] +ist, +\[ +\tag{17.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \MF{F}(\MF{u}) += g\centerdot {\tsum\limits_\nu}\left\{ + \Powfr{e}{\fnfrac{2\nu+m}{2}\centerdot\fnfrac{\pi i}{\omega} + \left( \MF{u} - m'\omega + \fnfrac{2\nu+m}{2}\omega' \right)} + \right\}. %[** PP: Added period] +\] + +Da $m$ eine ganze Zahl ist, so darf man in dieser Reihe $(-\nu-m)$ +statt $\nu$ setzen; verbindet man dann die so sich ergebende Gleichung mit der +vorstehenden, so kommt +\[ +\tag{18.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \MF{F}(\MF{u}) += g\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle \left\{ + \Powfr{e}{-\left( \nu+\fnfrac{m}{2} \right)^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i}}\, + \cos(2\nu+m)\,\biggl( \frac{\MF{u}}{2\omega} - \frac{m'}{2} \biggr)\,\pi + \right\}. % [** PP: Added period] +\] +Aus diesen Gleichungen (15, 16, 17) erhält man nun sofort drei neue, indem +man die oben angegebene Substitution $\omega'$ für $\omega$ u.~s.~w.\ macht, wobei +zugleich ($-\nu$) für $\nu$ geschrieben, und der Werth, den die Constante $g$ alsdann +annehmen muß, mit $g'$ bezeichnet werde. +\begin{gather*} +\tag{19.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'} - \chi(\MF{u}+m\omega')} \MF{F}(\MF{u}) += g'\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle + \Bigl\{ \Pow{e}{-\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}+2\nu\omega)} \Bigr\} +\\ +\tag{20.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'}} \MF{F}(\MF{u}) += g'\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle \Bigl\{ + \Powfr{e}{-\fnfrac{2\nu-m'}{2}\centerdot\fnfrac{\pi i}{\omega'} + \left( \MF{u}+m\omega'+\fnfrac{2\nu-m'}{2}\omega \right)} \Bigr\} +\\ +\tag{21.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'}} \MF{F}(\MF{u}) += g'\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle \Bigl\{ + \Powfr{e}{-\left(\nu-\fnfrac{m'}{2}\right)^2 \fnfrac{\omega i\pi}{\omega'}} + \cos(2\nu-m') \biggl( \frac{\MF{u}}{2\omega'} + \frac{m}{2} \biggr)\,\pi + \Bigr\} +\end{gather*} +Man sieht also, daß die Function $\MF{F}(\MF{u})$, bei dem vorausgesetzten analytischen +Charakter derselben, durch die Gleichungen (1, 2) völlig bestimmt ist, bis auf +eine Constante ($g$ oder $g'$), welche ebenfalls vermittelst der vorstehenden +Formeln gefunden wird, sobald man für irgend einen besondern Werth von +$\MF{u}$ den von $\MF{F}(\MF{u})$ kennt, vorausgesetzt, daß der letztere nicht Null ist. Man +kann dabei bemerken, daß die Gleichungen (15, 17, 19, 20) auch dann noch +eine strenge Folgerung aus den eben genannten bleiben, wenn auch unter $m$, +$m'$ nicht mehr ganze Zahlen verstanden werden. + +%% {-----File: 090.png---Folio 88-------} + +Da die erhaltenen Reihen für jeden Werth von $\MF{u}$ convergiren, so +kann man schließen, daß $\smfrac{\omega'}{\omega i}$, wie auch der Modul $k$ beschaffen sein möge, +entweder eine reelle positive Größe sein muß, oder eine imaginäre, deren +reeller Theil positiv ist. Umgekehrt sind die Reihen stäts wirklich convergent, +sobald man für $\omega$, $\omega'$ beliebige Größen annimmt, welche diese Bedingung erfüllen, +abgesehen davon, ob sie in der oben angegebenen Form durch $\MF{K}$ und +$\MF{K}'$ ausgedrückt werden können oder nicht. Stellt man sich nun vor, man +bestimme, indem man mit $h$ irgend eine (complexe) Größe, deren reeller +Theil positiv ist, bezeichnet, bei willkührlicher Annahme von $\omega$, $\eta$ (wobei jedoch +für $\omega$ der Werth Null auszuschließen ist) $\omega'$, $\eta'$ durch die Gleichungen +\[ +\tag{22.} + \frac{\omega'}{\omega i}=h, \quad + \frac{\eta'}{\omega'} - \frac{\eta}{\omega} += \frac{\pi i}{ 2\omega \omega'}, \quad + \eta' = h \eta + \frac{\pi i}{2 \omega}\;, +\] +und definire dann, $m$, $m'$, $g$ ebenfalls beliebig annehmend (also auch die Voraussetzung, +daß $m$, $m'$ ganze Zahlen seien, fallen lassend) eine Function $\MF{F}(\MF{u})$ +durch die Gleichung~(15.) oder (17.); so besitzt dieselbe den Charakter einer +ganzen rationalen Function, und es läßt sich zeigen, daß sie stäts auch die +Gleichungen~(1.) befriedigt, und daß daher für sie auch die Gleichungen +(19, 20.) gelten. + +Denn die Gleichung (17.) -- und es ist ganz einerlei, ob man von +dieser oder von Nr.~(15.) ausgeht, indem jede von ihnen eine unmittelbare +Folge der andern ist -- zeigt, daß man +\[ + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta(\MF{u} + 2 \omega)^2}{2 \omega}} \MF{F}(\MF{u} + 2 \omega) += \Powfr{e}{\fnfrac{ \eta \MF{u}^2}{2 \omega} + m \pi i} \MF{F}(\MF{u}) +\] +hat, was die erste der genannten Gleichungen ist, indem jedes Glied der Reihe +auf der Rechten, wenn man $\MF{u} + 2\omega$ für $\MF{u}$ setzt, dieselbe Veränderung erfährt, +als wenn es mit $\Pow{e}{(2\nu + m)\pi i}\! = \Pow{e}{m \pi i}$ multiplicirt wird. In der Reihe auf +der Rechten der Gleichung~(15.) aber darf man $\nu - 1$ für $\nu$ setzen, und +wenn man dann $\MF{u} + 2\omega'$ an die Stelle von $\MF{u}$ treten läßt, so sieht man, daß +\[ + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta(\MF{u} + 2\omega')^2}{2\omega} + + \chi(\MF{u} - m'\omega + 2\omega') } \MF{F}(\MF{u} + 2\omega') += \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega} + \chi (\MF{u} -m'\omega)} \MF{F}(\MF{u}) +\] +ist, woraus, da man +\begin{gather*} + \chi(\MF{u} - m'\omega + 2\omega') - \chi (\MF{u} - m'\omega) += \chi(\MF{u} + 2\omega') -\chi (\MF{u}) - m' \pi i +\\[1ex] + \frac{\eta \MF{u}^2}{2 \omega} + \chi (\MF{u}) += \frac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}, \qquad + \frac{\eta (\MF{u} + 2 \omega')^2}{2 \omega} + \chi (\MF{u} + 2 \omega') += \frac{\eta'(\MF{u} + 2 \omega')^2}{2 \omega'} +\end{gather*} +hat, +%% {-----File: 091.png---Folio 89-------} +\[ + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta'(\MF{u}+2\omega')^2}{2\omega'}} \MF{F}(\MF{u} + 2\omega') += \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'} + m'\pi i} \MF{F}(\MF{u}) +\] +folgt, was die zweite der Gleichungen (1) ist. Von denselben sind aber die +unter (18 -- 21) angegebenen eine Folge. + +Hätte man bei willkührlicher Annahme von $\omega'$, $\eta'$, $m$, $m'$, $g'$ die Größen +$\eta$, $\omega$ vermittelst der Formeln~(22) bestimmt, und dann $\MF{F}(\MF{u})$ durch die +Gleichung~(19) oder (20) definirt; so würde sich eben so ergeben, daß +für $\MF{F}(\MF{u})$ die Gleichungen~(1) gelten, und somit auch (15, 17, 18). + +Betrachten wir jetzt insbesondere die Function, welche durch die Gleichung~(17) +bei der Annahme +\[ + 2\omega = 1,\quad \eta = 0,\quad 2\omega' = hi,\quad \eta' = \pi i,\quad + m = 0,\quad m' = 0,\quad g = 1 +\] +definirt wird, welche die einfachste von allen ist, und nach dem Vorschlage +\Auth{Lejeune Dirichlet's}, weil sie von \Auth{Jacobi} in die Analysis eingeführt worden +ist, die \Auth{Jacobi'sche Function} genannt, und dieser Benennung entsprechend +durch +\[ +\MF{J}c (\MF{u}, h) +\] +bezeichnet werden möge; wo man dann +\[ +\tag{23.} + \MF{J}c (\MF{u}, h) = \tsum\limits_{\nu} + \Bigl\{ \Pow{e}{(- \nu^2 h + 2\nu \MF{u}i) \pi} \Bigr\} += \tsum\limits_{\nu} + \Bigl\{ \Pow{e}{- \nu^2 h \pi} \cos 2 \nu \MF{u} \pi \Bigr\} +\] +hat, und wenn die Größe $h$, die, wie bemerkt, stäts eine positive reelle, oder +eine imaginäre, deren reeller Theil positiv ist, sein muß, im Verlaufe einer +Untersuchung denselben Werth beibehält, kürzer auch bloß $\MF{J}c(\MF{u})$ schreiben +kann. Die Gleichungen~(1) gestalten sich dann folgendermaßen +\[ +\tag{24.} +\left\{ \begin{alignedat}{2} +& \MF{J}c(\MF{u} + 1, \, h) &&= \MF{J}c(\MF{u}, \, h) \\ +& \MF{J}c(\MF{u} + hi, h) &&= \Pow{e}{-(2\MF{u} + hi) \pi i} \MF{J}c(\MF{u}, \, h). % [** PP: Added period] +\end{alignedat} \right. +\] +Ferner ist jetzt nach (19), indem $\chi (\MF{u}) = \dfrac{\pi}{h}\MF{u}^2$, $\dfrac{\eta'}{2 \omega'} = \dfrac{\pi}{h}$\;, +\[ + \MF{J}c(\MF{u}, h) = g'\centerdot \tsum\limits_\nu + \Bigl\{ \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}(\MF{u} + \nu)^2} \Bigr\}, +\] +wo die Constante $g'$, nach \Auth{Jacobi}, auf folgende Weise ermittelt wird. Es +ist, wenn man sich jetzt unter $\MF{u}$ eine reelle Größe denkt, +\[ +\int_0^1 \MF{J}c(\MF{u}, \, h)\, d\MF{u} + = \sum_\nu \int_0^1 \Pow{e}{- \nu^2 h \pi} \cos 2\nu \MF{u} \pi\centerdot d\MF{u} + = 1. % [** PP: Added period] +\] +Daher muß +%% {-----File: 092.png---Folio 90-------} +\begin{gather*} + \frac{1}{g'} = \int_0^1 \sum_\nu \left\{ + \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}(\MF{u}+ \nu )^2} \right\}\, d\MF{u} += \sum_\nu \int_0^1 \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}(\MF{u}+\nu)^2}\, d\MF{u} +\\[1ex] += \sum_\nu + \int_{\nu}^{\nu + 1} \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h} \MF{u}^2}\, d\MF{u} += \int_{-\infty}^{+\infty} \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h} \MF{u}^2}\, d\MF{u} +\end{gather*} +sein. Aber +\[ + \int_{-\infty}^{+\infty} \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h} \MF{u}^2}\, d\MF{u} = \sqrt{h}, +\] +wo, wenn $h$ reell ist, der positive Werth der Wurzel, und, wenn $h$ imaginär, +derjenige, dessen reeller Theil positiv ist, genommen werden muß. Folglich +hat man +\[ +\tag{25.} +\sqrt{ h}\centerdot \MF{J}c(\MF{u}, h) + = {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h} (\MF{u} + \nu)^2} \Bigr\}. % [** PP: Added period] +\] +Nach der Formel (15.) aber ist +\[ +\tag{26.} +\Powfr{e}{\fnfrac{\pi}{h} \MF{u}^2} \MF{J}c(\MF{u}, h) + = \tsum\limits_\nu \Bigl\{ \Powfr{e}{\fnfrac{\pi}{h} (\MF{u} + \nu hi)^2} \Bigr\} + = \tsum\limits_\nu \Bigl\{ + \Powfr{e}{-h\pi \Bigl( \fnfrac{\MF{u}}{hi} + \nu \Bigr)^2} + \Bigr\}. % [** PP: Added period] +\] +Aber +\[ + {\tsum\limits_\nu} + \Bigl\{ \Powfr{e}{-h\pi \Bigl(\fnfrac{\MF{u}}{hi} + \nu \Bigr)^2 } \Bigr\} += \frac{1}{\sqrt h} \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}}{hi}, \frac{1}{h} \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\] +Daher +\begin{gather*} +\tag{27.} + \MF{J}c(\MF{u}, h) += \frac{\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}\MF{u}^2}}{\sqrt h}\centerdot + \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}}{hi}, \frac{1}{h} \biggr) += \frac{\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}\MF{u}^2}}{\sqrt h}\centerdot + \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}i}{h}, \frac{1}{h} \biggr) +\\[1ex] +\tag{28.} + \MF{J}c(\MF{u}i, h) += \frac{\Powfr{e}{\fnfrac{\pi}{h}\MF{u}^2}}{\sqrt h}\centerdot + \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}}{h}, \frac{1}{h} \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{gather*} +In der Reihe (23) bleibt ferner das allgemeine Glied ungeändert, wenn man +$\MF{u}+\smfrac{\tau}{2}$ für $\MF{u}$, und zugleich $h+\tau i$ für $h$ setzt, $\tau$ aber eine ganze Zahl bedeutet. +Denn dadurch wird dasselbe nur mit $\Pow{e}{-\nu(\nu+1)\tau\pi i}=1$ multiplicirt. Folglich +hat man +\[ +\tag{29.} + \MF{J}c(\MF{u}, \,h) = \MF{J}c \biggl( \MF{u}+\frac{\tau}{2}, h+\tau i \biggr), +\] +%% {-----File: 093.png---Folio 91-------} +und erhält aus (27.) +\begin{align*} +\tag{30.} +\MF{J}c(\MF{u}, h) &= \frac{\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}\MF{u}^2}}{\sqrt h} \centerdot + \MF{J}c \biggl( \frac{\MF{u}}{hi} + \frac{\tau}{2}, h_1 \biggr), \\ +\text{wenn} \quad h_1 &= \frac{1}{h} + \tau i \quad\text{ist.} +\end{align*} +In den vorstehenden Formeln (23 -- 30) sind die wichtigsten Eigenschaften +der \Auth{Jacobi}'schen Function ausgesprochen. Durch dieselbe lassen sich nun die +obigen Reihen (15, 17, 19, 20) leicht ausdrücken. Man hat nämlich +\begin{align*} + \chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2\nu\omega') &= + - \frac{\omega'\pi}{\omega i} + \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}\omega}{2\omega'} + \nu \biggr)^2 + \\ + - \chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2\nu\omega) &= + - \frac{\omega i\pi}{\omega'} + \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}\omega}{2\omega } + \nu \biggr)^2, +\end{align*} +und daher +\begin{align*} +\tag{31.} +{\tsum\limits_\nu} + \Bigl\{\Pow{e}{-\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}+2\nu\omega)} \Bigr\} + &= + \sqrt{\frac{\omega'}{\omega i}} \centerdot \MF{J}c + \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i}\biggr) +\\[1ex] +\tag{32.} +{\tsum\limits_\nu} + \Bigl\{\Pow{e}{\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}+2\nu\omega')} \Bigr\} + &= + \sqrt{\frac{\omega i}{\omega'}} \centerdot \MF{J}c + \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega'}, \frac{\omega i}{\omega'} \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{align*} +Nach (27) aber ist +\[ +\tag{33.} +\sqrt{\frac{\omega'}{\omega i}} \centerdot +\MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i} \biggr) = +\Powfr{e}{-\chi(\MF{u})} \MF{J}c \Bigl(\frac{\MF{u}}{2\omega'}, \frac{\omega i}{\omega'} \Bigr), +\] +und daher +\begin{gather*} + \tag{34.} + {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ + \Powfr{e}{ \fnfrac{2\nu + m}{2} \centerdot \fnfrac{\pi i}{\omega} + \Bigl(\MF{u} - m' \omega + \fnfrac{2\nu + m}{2} \omega' \Bigr)} + \Bigr\} += \Pow{e}{\chi (\MF{u}+\Atop{0}{\omega}) - \chi(\MF{u} - m' \omega)} \MF{J}c + \biggl( + \frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i} + \biggr) +\\[1ex] + \tag{35.} + {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ + \Powfr{e}{-\fnfrac{2\nu - m'}{2} \centerdot \fnfrac{\pi i}{\omega'} \Bigl( + \MF{u} + m \omega' + \fnfrac{2\nu - m'}{2} \omega \Bigr)} + \Bigr\} += \Pow{e}{\chi (\MF{u}+m\omega') - \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega})} \MF{J}c + \biggl( + \frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega'}, \frac{\omega i}{\omega'} + \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{gather*} +Hiernach geben die Gleichungen (15, 17, 19, 20) +\begin{align*} + \tag{36.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \MF{F}(\MF{u}) &= + g\Pow{e}{\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}) - \chi(\MF{u}-m'\omega)} + \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i} \biggr) + \\[1ex] + &= g \sqrt{\frac{\omega i}{\omega'}} %[** PP: Fixed inverted omega] + \centerdot \Powfr{e}{-\chi(\MF{u}-m'\omega)} + \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega'}, + \frac{\omega i}{\omega'} \biggr) +\end{align*} +%% {-----File: 094.png---Folio 92-------} +\begin{align*} + \tag{37.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \MF{F}(\MF{u}) &= + g' \Pow{e}{-\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}) + \chi(\MF{u}+m\omega')} + \MF{J}c\biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega'}, \frac{\omega i}{\omega'}\biggr) + \\[1ex] + &= g' \sqrt{\frac{\omega'}{\omega i}} + \centerdot \Pow{e}{\chi(\MF{u}+m\omega')} + \MF{J}c\biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i} \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{align*} +Aus der Vergleichung dieser Ausdrücke ergiebt sich noch, indem +\[ +\chi (\MF{u}+\Atop{0}{\omega}) - \chi (\MF{u}-m'\omega) - \chi(\MF{u}+m\omega') = +-\chi(\MF{u}) - \frac{mm'}{2}\pi i +\] +ist, +\[ +\tag{38.} +g' = \Powfr{e}{-\fnfrac{mm'}{2}\pi i} \sqrt{\frac{\omega i}{\omega'}} \centerdot g. % [** PP: Added period] +\] +Das Ergebniß der vorstehenden Untersuchung ist also, daß sich jede Function, +welche die im Anfange dieses §.\ angegebenen Eigenschaften besitzt, welche +Werthe auch die Größen $\omega$, $\omega'$, $\eta$, $\eta'$, $m$, $m'$ haben + mögen, auf die \Auth{Jacobi}'sche +zurückführen läßt. + + +\Section{} %§.~13. +\subsubsection*{\centering\normalfont Schluß der die elliptischen Functionen betreffenden Entwicklungen.} + +Die specielle Anwendung der entwickelten Formeln auf die Functionen +$\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ will ich hier nur kurz andeuten. Zuerst bemerke ich, daß +$(\frakm + 1)\frakn + \frakm$ und $(\frakm' +1)\frakn' + \frakm'$ aus dem Grunde, weil + weder $\frakm$, $\frakn$ noch +$\frakm'$, $\frakn'$ einen gemeinschaftlichen Theiler haben, beide ungerade Zahlen sind, +und man daher +\[ +\tag{1.} +\left\{ \begin{aligned} + \frakm\frakn + \frakn \equiv \frakm + 1 &\qquad \frakm'\frakn' + \frakn' \equiv \frakm + 1 \\ + \frakm\frakn + \frakm + \frakn \equiv 1 &\qquad \frakm'\frakn' + \frakm' + \frakn' \equiv 1 \\ + \frakm\frakn + \frakm \equiv \frakn + 1 &\qquad \frakm'\frakn' + \frakm' \equiv \frakn' + 1 \\ +% [** PP: Adding primes in the second equation] + \frakm\frakn \equiv \frakm + \frakn + 1 &\qquad \frakm'\frakn' \equiv \frakm' + \frakn' + 1 +\end{aligned} \right. \qquad \text{(mod.~2)} +\] +hat. Nimmt man daher +\[ +\tag{2.} +\left\{\begin{aligned} +m &\equiv \frakm + 1 & m' &\equiv \frakm' + 1 & l &= 1 - m - n \\ +n &\equiv \frakn + 1 & n' &\equiv \frakn' + 1 & l' &= 1 - m' - n', +\end{aligned}\right. +\] +wobei man jeder der Zahlen $m$, $n$, $m'$, $n'$ einen der Werthe 0, 1 beilegen +kann, und dann auch $l$ sowohl als $l'$ entweder $= 0$, oder $= 1$ erhält; so +geben die Gleichungen~(20) d.\ §.~11. + +%% {-----File: 095.png---Folio 93-------} +\[ +\Lmargintag{3.} +\left\{ \begin{alignedat}{4} +& \Alrm(\MF{u}+2\omega ) &&= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega ) + m \pi i}\Alrm(\MF{u}) +\quad +&&\Alrm(\MF{u}+2\omega') &&= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega') + m'\pi i}\Alrm(\MF{u}) +\\ +& \Alrm(\MF{u}+2\omega )_1 &&= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega ) + \pi i}\Alrm(\MF{u})_1 +\quad +&&\Alrm(\MF{u}+2\omega')_1 &&= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega') + \pi i}\Alrm(\MF{u})_1 +\\ +& \Alrm(\MF{u}+2\omega )_2 &&= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega ) +n \pi i}\Alrm(\MF{u})_2 +\quad +&&\Alrm(\MF{u}+2\omega')_2 &&= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega') +n'\pi i}\Alrm(\MF{u})_2 +\\ +& \Alrm(\MF{u}+2\omega )_3 &&= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega ) +l \pi i} \Alrm(\MF{u})_3 +\quad +&&\Alrm(\MF{u}+2\omega')_3 &&= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega') +l'\pi i} \Alrm(\MF{u})_3. % [** PP: Added period] +\end{alignedat} \right. +\] +Es ist leicht nachzuweisen, daß die Combinationen +\begin{align*} +&& m,&\ \ m' & n,&\ \ n' & l,&\ \ l' && +\intertext{mit den folgenden } +&& 0,&\ \ 1 & 1,&\ \ 0 & 0,&\ \ 0 && +\end{align*} +übereinstimmen müssen, abgesehen von der Aufeinanderfolge. Hiernach geben +die Formeln (15, 17, 18, 19, 20, 21, 36, 37) d.~v.~§.\ unmittelbar die Ausdrücke +von $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, sobald die Constanten $g$, $g'$ für +jede einzelne dieser Functionen bestimmt sind. Dies kann aber unter Andern +für die 1ste, 3te und 4te dadurch geschehen, daß man $\MF{u} = 0$ setzt, indem +die letztern dann den Werth 1 erhalten. + +Zur Abkürzung werde +\begin{align*} +\tag{4.} + \Pow{e}{\chi(\MF{u}+p\omega'-q\omega) - \chi(\MF{u}-q\omega)} + \MF{J}c\biggl( \frac{\MF{u}+p\omega'-q\omega}{2\omega}, + \frac{\omega'}{\omega i} \biggr) &= \Theta(\MF{u})_{p, q} +\\[1ex] +\tag{5.} + \Pow{e}{-\chi(\MF{u}+p\omega'-q\omega) + \chi(\MF{u}+q\omega')} + \MF{J}c \biggl( \frac{\MF{u}+p\omega'-q\omega}{2\omega}, + \frac{\omega i}{\omega'} \biggr) &= \Theta'(\MF{u})_{q, p} +\end{align*} +gesetzt, wo $p$, $q$ beliebige Zahlen bedeuten, und man in Folge von (33.) +und (7.) d.~v.~§. % [** PP: Added periods to eqn numbers] +\[ +\tag{6.} +\Theta(\MF{u})_{p, q} = \sqrt{\frac{\omega i}{\omega'}} \centerdot + \Powfr{e}{-\chi(\MF{u}) - \fnfrac{pq}{2}\pi i}\, \Theta'(\MF{u})_{q, p} +\] +hat. Dann erhält man aus den Gleichungen (36, 37) nach dem eben Bemerkten +\begin{align*} +\tag{6.} % [** PP: N.B. Second equation (6.)] + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega }} \Alrm(\MF{u})_{\phantom{1}} +&= \frac{\Theta(\MF{u})_{m, m'}}{\Theta(0)_{m, m'}} &\qquad + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \Alrm(\MF{u})_{\phantom{1}} +&= \frac{\Theta'(\MF{u})_{m', m}}{\Theta'(0)_{m', m}} +\\[1ex] +\tag{7.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \Alrm(\MF{u})_2 +&= \frac{\Theta(\MF{u})_{n, n'}}{\Theta(0)_{n, n'}} &\qquad + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \Alrm(\MF{u})_2 +&= \frac{\Theta'(\MF{u})_{n', n}}{\Theta'(0)_{n', n}} +\\[1ex] +\tag{8.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \Alrm(\MF{u})_3 +&= \frac{\Theta(\MF{u})_{l, l'}}{\Theta(0)_{l, l'}} &\qquad + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \Alrm(\MF{u})_3 +&= \frac{\Theta'(\MF{u})_{l', l}}{\Theta'(0)_{l', l}}. % [** PP: Added period] +\end{align*} +Ferner hat man +\[ +\Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \Alrm(\MF{u})_1 = g\Theta(\MF{u})_{1, 1} +\] +%% {-----File: 096.png---Folio 94-------} +und daher +\[ + \sn \MF{u} = g \Theta(0)_{m, m'} \centerdot \frac{\Theta(\MF{u})_{1, 1}}{\Theta(\MF{u})_{m, m'}}. % [** PP: Added period] +\] +In dieser Gleichung setze man +\[ + \MF{u} = (n-1) \omega' - (n'-1) \omega, +\] +so erhält man aus (42, 43) nach einigen Reductionen +\[ + \sn\bigl( (n-1)\omega' - (n'-1)\omega \bigr) = + i^{(n-1)(1-m')} \frac{g\Theta(0)_{m, m'}\, \Theta(0)_{n, n'}}{\Theta(0)_{l, l'}}. % [** PP: Added period] +\] +Aber +\[ + (n-1)\omega' - (n'-1)\omega = + \bigl( (n-1)\frakm' - (n'-1)\frakm \bigr)\,\MF{K} + + \bigl( (n-1)\frakn' - (n'-1)\frakn \bigr)\,\MF{K}'i, +\] +oder mit Berücksichtigung der Gleichung $\frakm\,\frakn' - \frakn\,\frakm' = 1$, +\[ + (n-1)\omega' - (n'-1)\omega = (2\frakr - 1)\,\MF{K} + 2\frakr' \MF{K}'i, +\] +wo +\[ +\tag{9.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + &2\frakr &&= (\frakn' + 1 - n')\,\frakm && - (\frakn + 1 - n)\,\frakm' \\ + &2\frakr' &&= (\frakn' + 1 - n')\,\frakn && - (\frakn + 1 - n)\,\frakn' +\end{alignedat}\right. +\] +ist, und aus (40) sich ergiebt, daß $\frakr$, $\frakr'$ ganze Zahlen sind. Daher hat man +\[ + \sn\bigl( (n-1)\omega' - (n'-1)\omega \bigr) = + \sn(-\MF{K} + 2\frakr \MF{K} + 2\frakr' \MF{K}' i) = \Pow{(-1)}{\frakr-1}. +% [** PP: Added period] +\] +Damit ist der Werth von $g$ bestimmt, und man erhält +\[ + \tag{10.} + \left\{\begin{aligned} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \Alrm(\MF{u})_1 &= + \frac{\Pow{(-1)}{\frakr-1}}{i^{(n-1)(1-m')}} \centerdot + \frac{\Theta(0)_{l, l'}}{\Theta(0)_{m, m'}} \centerdot + \frac{\Theta(\MF{u})_{1, 1}}{\Theta(0)_{n, n'}} + \\[1ex] + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \Alrm(\MF{u})_1 &= + \frac{\Pow{(-1)}{\frakr-1}}{i^{(n-1)(1-m')+1}} \centerdot + \frac{\Theta'(0)_{l', l}}{\Theta'(0)_{m', m}} \centerdot + \frac{\Theta'(\MF{u})_{1, 1}}{\Theta'(0)_{n', n}}. % [** PP: Added period] + \end{aligned}\right. +\] +Die zweite dieser Gleichungen ergiebt sich aus der ersten vermittelst der Relation +(6), wobei zu bemerken ist, daß nach dem Obigen $mm' = 0$, $nn' = 0$, +$ll' = 0$ ist. + +Wenn $p$, $q$ ganze Zahlen sind, so erhält man nach dem, was im vorhergehenden +§.\ in Betreff der Ableitung der Formeln (18, 21) aus den unter +(17, 20) aufgestellten bemerkt ist +\[ +\tag{11.} +\left\{\begin{aligned} + \Theta(\MF{u})_{p, q} &= {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Powfr{e}{-\Bigl(\nu + \fnfrac{p}{2}\Bigr)^2\fnfrac{\omega' \pi}{\omega i}} + \cos(2\nu + p)\left(\frac{\MF{u}}{2\omega } - \frac{q}{2}\right)\pi \Biggr\} +\\[1ex] + \Theta'(\MF{u})_{p, q} &= {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Powfr{e}{-\Bigl(\nu - \fnfrac{q}{2}\Bigr)^2\fnfrac{\omega i \pi}{\omega'}} + \cos(2\nu - q)\left(\frac{\MF{u}}{2\omega'} + \frac{p}{2}\right)\pi \Biggr\}. +% [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +%% {-----File: 097.png---Folio 95-------} +Und hieraus +\begin{align*} +\tag{12.} +&\left\{ \begin{aligned} +& \Theta(\MF{u})_{0, 0} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Powfr{e}{ -\nu^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i} } + \cos2\nu \frac{\MF{u}\pi}{2\omega} \Biggr\} +\\[1ex] +& \Theta(\MF{u})_{0, 1} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Pow{(-1)}{\nu} \Powfr{e}{ -\nu^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i} } + \cos2\nu \frac{\MF{u}\pi}{2\omega} \Biggr\} +\\[1ex] +& \Theta(\MF{u})_{1, 0} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Powfr{e}{ -\Bigl(\nu+\fnfrac{1}{2}\Bigr)^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i} } + \cos(2\nu+1) \frac{\MF{u}\pi}{2\omega} \Biggr\} +\\[1ex] +& \Theta(\MF{u})_{1,1} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ \Pow{(-1)}{\nu} + \Powfr{e}{ -\Bigl( \nu+\fnfrac{1}{2} \Bigr)^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i}} + \sin(2\nu+1) \frac{\MF{u}\pi}{2\omega} \Biggr\}, % [** PP: Added comma] +\end{aligned} \right. +\\[1.5ex] +\tag{13.} +&\left\{ \begin{aligned} +& \Theta'(\MF{u})_{0, 0} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Powfr{e}{ -\nu^2\fnfrac{\omega i\pi}{\omega'} } + \cos2\nu \frac{\MF{u}\pi}{\omega'} \Biggr\} +\\[1ex] +& \Theta'(\MF{u})_{0, 1} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Pow{(-1)}{\nu} \Powfr{e}{ -\nu^2 \fnfrac{\omega i\pi}{\omega'} } + \cos2\nu \frac{\MF{u}\pi}{\omega'} \Biggr\} +\\[1ex] +& \Theta'(\MF{u})_{1, 0} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Powfr{e}{ -\Bigl( \nu-\fnfrac{1}{2} \Bigr)^2 \fnfrac{\omega i\pi}{\omega'} } + \cos(2\nu-1) \frac{\MF{u}\pi}{\omega'} \Biggr\} +\\[1ex] +& \Theta'(\MF{u})_{1, 1} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ \Pow{(-1)}{\nu} + \Powfr{e}{ -\Bigl( \nu-\fnfrac{1}{2} \Bigr)^2 \fnfrac{\omega i\pi}{\omega'} } + \sin(2\nu-1) \frac{\MF{u}\pi}{\omega'} \Biggr\}. % [** PP: Added period] +\end{aligned} \right. +\end{align*} +Nimmt man $\omega = \MF{K}$, $\omega' = i\MF{K}'$, so erhält man die von \Auth{Jacobi} in den Fundamentis +zur Darstellung von $\sn\MF{u}$, $\cn\MF{u}$, $\dn\MF{u}$ gegebenen Reihen. + +Die in den Formeln (6, 7, 8, 10) vorkommenden Größen $\Theta(0)_{0, 0}$ +u.~s.~w.\ lassen sich bekanntlich durch $k$, $k'$, $\MF{K}$, $\MF{K}'$ ausdrücken; was aber +für beliebige Werthe von $\frakm$, $\frakn$, $\frakm'$, $\frakn'$ einige Erörterungen nöthig macht, in +die ich hier nicht eingehn kann. + +Hiermit breche ich die auf die elliptischen Functionen sich beziehenden +Entwicklungen ab, die, obwohl die Resultate bekannt sind, hier einen Platz +gefunden haben, weil die dabei befolgte Methode im Wesentlichen dieselbe +ist, welche im Folgenden auch bei den \Auth{Abel}'schen Functionen zur Anwendung +kommen wird. +%% {-----File: 098.png---Folio 96-------} + +Ehe ich mich nun aber wieder zu diesen wende, darf ich nicht unerwähnt +lassen, daß ursprünglich eine Bemerkung \Auth{Abel's}\footnote{% +S. die Einleitung zu dessen Précis d'une théorie des fonctions elliptiques, {\OE}uvr.\ +compl.\ Tom.~I, pag.~234, sowie auch Lettre à Mr.~Legendre, ib.\ Tom.~II, pag.~259.% +}% +, in der er auf die +in (§.\ 8 -- 10) hergeleitete Darstellungsform der elliptischen Transcendenten +hinweist, es gewesen ist, die mich zu einer neuen Behandlung dieser Functionen +in der vorgetragenen Weise veranlaßte, und so auf den Weg führte, +der mir auch in die Theorie der hyperelliptischen den Eingang eröffnete. + +\cleardoublepage + +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{\BackMatter.}{backmatter} + +\subsubsection*{\centering Anmerkungen der Korrekturleser} + +% ToC entry and bookmark +\ifthenelse{\boolean{ToC}}{% + \phantomsection% + \label{transnotes}% + \addcontentsline{toc}{chapter}{Anmerkungen der Korrekturleser}% + }% else create manual bookmark + {\pdfbookmark[1]{\TransNotes.}{transnotes}} + +Im Buch-Original befindet sich kein Inhaltsverzeichnis. Im +LaTeX-Quelltext ist ein einfaches Inhaltsverzeichnis enthalten, aber +dieser Code ist standardmäßig ausgeschaltet. Bitte ziehen sie den +Anfang der Quelldatei zu Rate, wenn Sie das PDF neu erzeugen wollen. + +Inkonsiste Numerierung der Gleichungen (fehlende oder doppelte +Nummern) wurden unverändert übernommen. Surd-Zeichen wurden durch +Wurzeln ersetzt und in den meisten Fällen wurden Klammern um den +Radikanden entfernt. + +\iffalse +%% Grateful acknowledgement to Ralf Stephan for the German translation +The original book has no table of contents. The LaTeX source file +contains code for a simple table of contents, but this code is +deactivated by default. Please consult the preamble of the source file +for instructions on recompiling. + +Inconsistencies in equation numbering (missing or duplicated numbers) +have been retained. Equation punctuation has been added. Surd signs +have been replaced by square roots, and in most cases parentheses +around the radicands have been removed. +\fi + +\cleardoublepage + + +%% Bookmark is in German, running head in English +\fancyhead[C]{\scshape PG License} + +\phantomsection +\pdfbookmark[1]{\License.}{license} + +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Theorie der Abel'schen Functionen, by +Karl Weierstrass + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL'SCHEN FUNCTIONEN *** + +***** This file should be named 29780-pdf.pdf or 29780-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29780/ + +Produced by K.F. Greiner, Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson +and the Online Distributed Proofreading Team at + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you +do not charge anything for copies of this eBook, complying with the +rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose +such as creation of derivative works, reports, performances and +research. They may be modified and printed and given away--you may do +practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is +subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +*** START: FULL LICENSE *** + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE +PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK + +To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work +(or any other work associated in any way with the phrase "Project +Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project +Gutenberg-tm License (available with this file or online at +http://gutenberg.org/license). + + +Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement +and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic +works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" +or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an +individual work is in the public domain in the United States and you are +located in the United States, we do not claim a right to prevent you from +copying, distributing, performing, displaying or creating derivative +works based on the work as long as all references to Project Gutenberg +are removed. Of course, we hope that you will support the Project +Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by +freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of +this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with +the work. You can easily comply with the terms of this agreement by +keeping this work in the same format with its attached full Project +Gutenberg-tm License when you share it without charge with others. + +1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern +what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in +a constant state of change. If you are outside the United States, check +the laws of your country in addition to the terms of this agreement +before downloading, copying, displaying, performing, distributing or +creating derivative works based on this work or any other Project +Gutenberg-tm work. 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Additional terms will be linked +to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the +permission of the copyright holder found at the beginning of this work. + +1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm +License terms from this work, or any files containing a part of this +work or any other work associated with Project Gutenberg-tm. + +1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this +electronic work, or any part of this electronic work, without +prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with +active links or immediate access to the full terms of the Project +Gutenberg-tm License. + +1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary, +compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any +word processing or hypertext form. However, if you provide access to or +distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than +"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version +posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org), +you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a +copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon +request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other +form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm +License as specified in paragraph 1.E.1. + +1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, +performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works +unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + +1.E.8. You may charge a reasonable fee for copies of or providing +access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided +that + +- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from + the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method + you already use to calculate your applicable taxes. The fee is + owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he + has agreed to donate royalties under this paragraph to the + Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments + must be paid within 60 days following each date on which you + prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax + returns. Royalty payments should be clearly marked as such and + sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the + address specified in Section 4, "Information about donations to + the Project Gutenberg Literary Archive Foundation." + +- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies + you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he + does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm + License. You must require such a user to return or + destroy all copies of the works possessed in a physical medium + and discontinue all use of and all access to other copies of + Project Gutenberg-tm works. + +- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any + money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the + electronic work is discovered and reported to you within 90 days + of receipt of the work. + +- You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg-tm works. + +1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm +electronic work or group of works on different terms than are set +forth in this agreement, you must obtain permission in writing from +both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael +Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the +Foundation as set forth in Section 3 below. + +1.F. + +1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. 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It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. 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Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Theorie der Abel'schen Functionen, by +% Karl Weierstrass % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL'SCHEN FUNCTIONEN *** +% % +% ***** This file should be named 29780-t.tex or 29780-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29780/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} + +### lprep configuration +@MathEnvironments = ( + ['\\begin{theorem}', '\\end{theorem}', '<THEOREM>'], + ['\\begin{proof}', '\\end{proof}', '<PROOF>'], + ['\\begin{beweis}', '\\end{beweis}', '<BEWEIS>'] + ); +@ControlwordReplace = ( + ['\\TransNote',""], + ['\\TransNotes',""], + ['\\TransNoteText',""], + ['\\FrontMatter',""], + ['\\BackMatter',""], + ['\\Boilerplate',""], + ['\\License',""], + ['\Tbreak',""], + ['\bigTbreak',""] + ); +@ControlwordArguments = ( + ['\\Auth',1,0,'',''], + ['\\Defn',1,0,'',''], + ['\\Theorem',1,0,'',''], + ['\\Chapter',1,1,'\n\n ','\n'], + ['\\Section',1,1,'\n\n ','\n'], + ['\\Changenotemark',1,0,'',''], + ['\\Changenotetext',1,0,'',''] + ); + +### +This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.8.25) 26 AUG 2009 05:37 +entering extended mode + %&-line parsing enabled. +**29780-t.tex +(./29780-t.tex +LaTeX2e <2005/12/01> +Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh +yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov +ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon +ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i +nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp +eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia +n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls +Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo +File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo +File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count79 +\c@chapter=\count80 +\c@section=\count81 +\c@subsection=\count82 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+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def +File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions +\babel@savecnt=\count88 +\U@D=\dimen103 +) +\l@austrian = a dialect from \language\l@german +Package babel Info: Making " an active character on input line 91. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features +\@mathmargin=\skip43 +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2000/06/29 v2.01 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 +\@emptytoks=\toks16 +\ex@=\dimen104 +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d +\pmbraise@=\dimen105 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names +) +\inf@bad=\count89 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. +\uproot@=\count90 +\leftroot@=\count91 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. +\classnum@=\count92 +\DOTSCASE@=\count93 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. +\Mathstrutbox@=\box26 +\strutbox@=\box27 +\big@size=\dimen106 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. +\macc@depth=\count94 +\c@MaxMatrixCols=\count95 +\dotsspace@=\muskip10 +\c@parentequation=\count96 +\dspbrk@lvl=\count97 +\tag@help=\toks17 +\row@=\count98 +\column@=\count99 +\maxfields@=\count100 +\andhelp@=\toks18 +\eqnshift@=\dimen107 +\alignsep@=\dimen108 +\tagshift@=\dimen109 +\tagwidth@=\dimen110 +\totwidth@=\dimen111 +\lineht@=\dimen112 +\@envbody=\toks19 +\multlinegap=\skip44 +\multlinetaggap=\skip45 +\mathdisplay@stack=\toks20 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. +) 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v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive +) +Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. +) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 410. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count121 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 410. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 410. +(./29780-t.out) (./29780-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `29780-t.out'. + +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+pxtt on input line 422. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/t1pxtt.fd +File: t1pxtt.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for OT1+pxr on input line 443. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/ot1pxr.fd +File: ot1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxmia on input line 443. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxmia.fd +File: upxmia.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxsya on input line 443. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsya.fd +File: upxsya.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxsyb on input line 443. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsyb.fd +File: utxsyb.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxsyc on input line 443. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsyc.fd +File: upxsyc.fd 2000/12/14 v1.0 +) [1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] <images/tb.pdf, id=110, 240.9pt x 7.02625pt> +File: images/tb.pdf Graphic file (type pdf) +<use images/tb.pdf> [1 + + <./images/tb.pdf>] [1 + +] [2] [3] +Underfull \vbox (badness 1460) has occurred while \output is active [] + +[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] +Underfull \vbox (badness 3635) has occurred while \output is active [] + +[16] [17] +Overfull \hbox (0.145pt too wide) in paragraph at lines 1503--1505 +[]\T1/pxr/m/n/12 Nun sind aber $[][]$, $[][]$, u. s. w. die Co-ef-fi-cien-ten d +er Reihen-Entwicklung + [] + +[18] [19] [20] [21] [22] +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+pxr on input line 1836 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omspxr.fd +File: omspxr.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/pxr/m/n' in size <7> not available +(Font) Font shape `OMS/pxsy/m/n' tried instead on input line 1836. + +[23] [24] [25] [26] +Underfull \vbox (badness 2922) has occurred while \output is active [] + +[27] +Underfull \vbox (badness 2837) has occurred while \output is active [] + +[28] [29] [30] [31] [32] +Overfull \hbox (3.08228pt too wide) in paragraph at lines 2371--2376 +\T1/pxr/m/n/12 Da nun die Wert-he der Co-ef-fi-cien-ten von $\OML/pxmi/m/it/12 +'\OT1/pxr/m/n/12 (\OML/pxmi/m/it/12 x\OT1/pxr/m/n/12 )$\T1/pxr/m/n/12 , die aus + den Func-tio-nen $\OML/pxmi/m/it/12 '\OT1/pxr/m/n/12 ([][]\OML/pxmi/m/it/12 ; +[] \OT1/pxr/m/n/12 )[]$\T1/pxr/m/n/12 , + [] + +[33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] +[49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] +[65] [66] [67] +Underfull \vbox (badness 1845) has occurred while \output is active [] + +[68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] +Underfull \vbox (badness 1132) has occurred while \output is active [] + +[79] [80] [81] +Underfull \vbox (badness 1655) has occurred while \output is active [] + +[82] [83] [84] +Overfull \hbox (12.73749pt too wide) in paragraph at lines 5623--5623 +[] + [] + + +Overfull \hbox (12.73749pt too wide) in paragraph at lines 5656--5656 +[] + [] + + +Overfull \hbox (22.73749pt too wide) in paragraph at lines 5591--5659 +$[]$ + [] + + +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[85] [86] [87] +Underfull \vbox (badness 2790) has occurred while \output is active [] + +[88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [ +103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111 + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[112 + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[113] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[114] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[115] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[116] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[117] [118] (./29780-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + germanb.ldf 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amsthm.sty 2004/08/06 v2.20 + pxfonts.sty 2005/01/03 v1.1 + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment + soul.sty 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) +footmisc.sty 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +manyfoot.sty 2005/09/11 v1.10 Many Footnote Levels Package (NCC) +nccfoots.sty 2005/02/03 v1.2 NCC Footnotes Package (NCC) + perpage.sty 2006/07/15 1.12 Reset/sort counters per page +graphicx.sty 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics 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v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) + 29780-t.out + 29780-t.out + t1pxtt.fd 2000/12/14 v1.0 + ot1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 + upxmia.fd 2000/12/14 v1.0 + upxsya.fd 2000/12/14 v1.0 + upxsyb.fd + upxsyc.fd 2000/12/14 v1.0 +images/tb.pdf + omspxr.fd 2000/12/14 v1.0 + *********** + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 6450 strings out of 94074 + 80930 string characters out of 1165153 + 153373 words of memory out of 1500000 + 9144 multiletter control sequences out of 10000+50000 + 92470 words of font info for 235 fonts, out of 1200000 for 2000 + 645 hyphenation exceptions out of 8191 + 28i,24n,43p,235b,491s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s +{/usr/share/texmf-texlive/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}</usr/share/texmf-texli +ve/fonts/type1/public/pxfonts/pxex.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/pu +blic/pxfonts/pxmia.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/pxfonts/pxs +y.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/pxfonts/pxsya.pfb></usr/shar +e/texmf-texlive/fonts/type1/public/pxfonts/rpxi.pfb></usr/share/texmf-texlive/f +onts/type1/public/pxfonts/rpxmi.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/publi +c/pxfonts/rpxr.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/pxfonts/rpxsc.p +fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/txfonts/t1xtt.pfb></usr/share/t +exmf-texlive/fonts/type1/urw/palatino/uplb8a.pfb></usr/share/texmf-texlive/font +s/type1/urw/palatino/uplbi8a.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/urw/pala +tino/uplr8a.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/urw/palatino/uplri8a.pfb> +Output written on 29780-t.pdf (121 pages, 555423 bytes). +PDF statistics: + 1019 PDF objects out of 1200 (max. 8388607) + 414 named destinations out of 1000 (max. 131072) + 198 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/29780-t/images/tb.pdf b/29780-t/images/tb.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..21c21ea --- /dev/null +++ b/29780-t/images/tb.pdf diff --git a/29780-t/old/29780-t.tex b/29780-t/old/29780-t.tex new file mode 100644 index 0000000..5f4ea69 --- /dev/null +++ b/29780-t/old/29780-t.tex @@ -0,0 +1,8131 @@ +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% Project Gutenberg's Theorie der Abel'schen Functionen, by Karl Weierstrass +% % +% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with % +% almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Theorie der Abel'schen Functionen % +% % +% Author: Karl Weierstrass % +% % +% Release Date: August 26, 2009 [EBook #29780] % +% % +% Language: German % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL'SCHEN FUNCTIONEN *** +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{29780} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% fontenc: Font encoding, for German hyphenation. Required. %% +%% babel: German hyphenation rules. Required. %% +%% %% +%% amsmath: AMS math environments, symbols, and fonts. Required. %% +%% amsthm: AMS theorem-defining macros. Required. %% +%% %% +%% pxfonts: Palatino fonts. Required. %% +%% %% +%% alltt: Fixed-width font environment. Required. %% +%% %% +%% soul: Spaced out and underlined text. Optional. %% +%% %% +%% ifthen: Logical conditionals. Required. %% +%% %% +%% footmisc: Enhanced footnotes. Required. %% +%% manyfoot: Multiple footnote series. Required. %% +%% perpage: Restart footnote numbering on each page. Required. %% +%% %% +%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Required. %% +%% %% +%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required. %% +%% %% +%% geometry: Enhanced page layout package. Required. %% +%% %% +%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required. %% +%% %% +%% %% +%% Producer's Comments: A few pages require visual inspection. %% +%% %% +%% %% +%% Things to Check: %% +%% %% +%% Tables on pp. 85-86 are on pages in pairs OK %% +%% %% +%% Spellcheck: .................... Archaic Variants %% +%% Smoothreading pool: ......................... Yes %% +%% %% +%% lacheck: ..................................... OK %% +%% False positives: %% +%% Do not use @ in LaTeX macro names (2 instances) %% +%% punctuation mark "!" [in] math mode (1 instance) %% +%% possible unwanted space at "{" (~130 instances) %% +%% %% +%% Lprep/gutcheck: .............................. OK %% +%% ToC page numbers: ............................ OK %% +%% %% +%% PDF pages: 121 (ForPrinting = false) %% +%% PDF page size: US Letter %% +%% PDF bookmarks: Created %% +%% PDF document info: filled in %% +%% Images: 1 PDF (title page decoration) %% +%% %% +%% Summary of log file: %% +%% * Nine underfull vboxes. %% +%% * Five overfull hboxes. %% +%% The three largest overfull hboxes come from the tables on %% +%% pp. 85-86. The other two are small enough not to be visible. %% +%% %% +%% %% +%% Formatting notes: %% +%% %% +%% * The file is set up to use Palatino (pxfonts). In many cases, %% +%% delimiters have been explicitly sized for pxfonts, the default %% +%% being too large. %% +%% %% +%% * Sub- and super-scripts are set in larger than default size. %% +%% See \DeclareMathSizes line below. Exponentiation macros are %% +%% coded in (\Pow, \Powfr), but remain unused. %% +%% %% +%% * Special display fraction macros are used (\smfrac, \fnfrac) %% +%% to fine-tune sizes, particularly in exponents. %% +%% %% +%% * There is effectively no internal hyperlinking: The book has %% +%% no table of contents, many sectional units are unnamed, and %% +%% equations are sometimes numbered inconsistently (duplicated %% +%% or missing numbers). Code for a simple table of contents is %% +%% provided but switched off. Re-define ToC=true to activate. %% +%% %% +%% Compile History: %% +%% %% +%% April, 2008: adhere (Andrew D. Hwang) %% +%% texlive2007, GNU/Linux %% +%% %% +%% Command block: %% +%% %% +%% pdflatex x2 (Run pdflatex twice) %% +%% %% +%% %% +%% August 2009: pglatex. %% +%% Compile this project with: %% +%% pdflatex 29780-t.tex ..... TWO times %% +%% %% +%% pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) %% +%% %% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\listfiles + +% N.B. global german, letterpaper options +\documentclass[leqno,12pt,germanb,letterpaper]{book}[2005/09/16] + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] +\usepackage[T1]{fontenc} + +\usepackage{babel}[2005/11/23] + +\usepackage{amsmath}[2000/07/18] +\usepackage{amsthm}[2004/08/06] + +\usepackage{pxfonts}[2005/01/03] + +\usepackage{alltt}[1997/06/16] + +\IfFileExists{soul.sty}{% load soul package for letterspaced headings + \usepackage{soul}[2003/11/17] + }{% fallback for missing soul package + \providecommand{\so}[1]{\textbf{##1}} +} + +% for \Section +\usepackage{ifthen}[2001/05/26] + +% for footnotes +\usepackage[multiple]{footmisc}[2005/03/17] %% Use \dagger for changes to text +\usepackage[para]{manyfoot}[2005/09/11] +\usepackage{perpage}[2006/07/15] + +% for thoughtbreak +\usepackage{graphicx}[1999/02/16] + +% for running heads, +\usepackage{fancyhdr} + +% but we'll handle the hrule at page top when we need it +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% Interlude: Set up user-configurable options %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +%% Compile a table of contents? +\newboolean{ToC} + +%% UNCOMMENT the \setboolean{ToC} line for a simple table of contents %% +%% Entfernen Sie die nächste Zeile, um ein einfaches +%% Inhaltsverzeichnis zu erhalten. +%\setboolean{ToC}{true} + +\ifthenelse{\boolean{ToC}}{% + % No number on first page of Table of Contents + \AtBeginDocument{\addtocontents{toc}{\protect\thispagestyle{empty}}}% +}{}% Else no ToC, nothing to do + + +%%%% PRINTING or SCREEN VIEWING (default) %%%% +% ForPrinting=true false (default) +% Asymmetric margins Symmetric margins +% Black hyperlinks Blue hyperlinks (ToC only) +% Start Preface, ToC, etc. recto No blank verso pages +% +\newboolean{ForPrinting} + +%% UNCOMMENT the \setboolean line below for a PRINT-OPTIMIZED VERSION %% +%% Entfernen Sie die nächste Zeile, um eine Druckversion zu erhalten. %% +%\setboolean{ForPrinting}{true} + +%% Initialize values to ForPrinting=false +\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1} % Symmetric margins +\newcommand{\HLinkColor}{blue} % Hyperlink color +\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage} +\newcommand{\TransNoteText}{% + Diese PDF-Datei wurde für den Bildschirm optimiert, kann bei Bedarf + aber leicht für den Drucker angepasst werden. Bitte finden Sie + weitergehende Informationen am Anfang des LaTeX-Quelltexts.} + +%% Re-set if ForPrinting=true +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins + \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color + \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} + \renewcommand{\TransNoteText}{% + Diese PDF-Datei wurde für den Drucker optimiert, kann bei Bedarf + aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Bitte finden Sie + weitergehende Informationen am Anfang des LaTeX-Quelltexts.} +}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} +} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% text block size carefully chosen for good breaks at pp. 85-86. +\usepackage[hscale=0.675,vscale=0.72,\Margins]{geometry}[2002/07/08] + +\providecommand{\ebook}{00000} % Overridden during white-washing +\usepackage[pdftex, + hyperfootnotes=false, + pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Theorie der Abel'schen Functionen}, + pdfauthor={Karl Weierstrass}, + pdfkeywords={K. F. Greiner, Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, + linktocpage=true, + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +% Re-crop screen-formatted version +% [** PP: Needs adjustment? 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You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Theorie der Abel'schen Functionen + +Author: Karl Weierstrass + +Release Date: August 26, 2009 [EBook #29780] + +Language: German + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL'SCHEN FUNCTIONEN *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} + +\clearpage + +\begin{PGtext} +Produced by K.F. Greiner, Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson +and the Online Distributed Proofreading Team at +\end{PGtext} + +\vfill + +\phantomsection +\pdfbookmark[1]{\TransNote.}{transnote} + +\begin{minipage}{0.8\textwidth} +\subsubsection*{\centering \TransNote} + +\small +\raggedright + +\TransNoteText +\end{minipage} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\frontmatter + +\pagenumbering{roman} +\pagestyle{empty} + +\allowhyphens + +% Table of contents not in original; put before title page +\ifthenelse{\boolean{ToC}}{% + \tableofcontents + \cleardoublepage +}{} % else do nothing + +%% {-----File: 001.png---(Title page)-------} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{center} +\LARGE \textbf{\so{Theorie}} \\[48pt] + +\Huge \textbf{der Abel'schen Functionen} \\[64pt] + +\footnotesize von \\[48pt] + +\Large \textbf{Karl Weierstraß.} \\[48pt] + +\rule{0.2\textwidth}{0.5pt} \\[48pt] + +\normalsize\so{Erstes Heft}. \\[24pt] + +\scriptsize +Abdruck aus dem "`Journal für die reine und angewandte Mathematik.'' \\[48pt] + +\includegraphics[width=4.5in]{images/tb} \\[12pt] +%% thoughtbreak symbol + +\normalsize\textbf{\so{Berlin}}. \\[12pt] + +\footnotesize Druck und Verlag von Georg Reiner. \\[12pt] + +\normalsize\textbf{1856}. +\end{center} +\end{minipage} +\vfill + +%% {-----File: 002.png---Folio xx-------} +%[Blank Page] +%% {-----File: 003.png---Folio 1-------} + + +\mainmatter + +\pagenumbering{arabic} + +\pagestyle{fancy} +\fancyhead{} +\fancyfoot{} +\setlength{\headheight}{14.5pt} +\fancyhead[C]{---\quad\thepage\quad---} +\thispagestyle{empty} + +\section*{\centering\so{Einleitung}} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Einleitung.}{chapter:0} + +\hspace*{\parindent}{\Huge\textbf{D}}as \Auth{Abel}'sche Theorem über die hyperelliptischen Integrale bildet die +Grundlage für die Theorie einer neuen Gattung analytischer Functionen, die +deswegen passend \Defn{Abel'sche Functionen} genannt, und folgendermaßen definirt +werden können. + +Es bedeute +\[ +\MF{R}(x) = \MF{A}_0(x-a_1)(x-a_2)\dotsm(x-a_{2\varrho+1}) +\] +eine ganze Function $(2\varrho+1)$ten Grades von~$x$, wobei angenommen werde, +daß unter den Größen +\[ +a_1,\quad a_2,\quad \dots,\quad a_{2\varrho+1} +\] +keine zwei gleiche sich finden, während sie im Übrigen beliebige (reelle und +imaginäre) Werthe haben können. Ferner seien $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ $\varrho$~unbeschränkt +veränderliche Größen, und zwischen diesen und eben so vielen von +ihnen abhängigen $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_\varrho$ die nachstehenden Differential-Gleichungen, +in denen +\[ +\MF{P}(x) \quad\text{das Product}\quad (x-a_1)(x-a_2)\dotsm(x-a_\varrho) +\] +bedeutet, gegeben: +\begin{align*} +d\MF{u}_1 +&= \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_1)}{x_1 - a_1} \centerdot \frac{dx_1}{\sqrt{\MF{R}(x_1)}} + + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_2)}{x_2 - a_1} \centerdot \frac{dx_2}{\sqrt{\MF{R}(x_2)}} + + \dots + + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_\varrho)}{x_\varrho - a_1} + \centerdot \frac{dx_\varrho}{\sqrtRx}, \\ +d\MF{u}_2 +&= \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_1)}{x_1 - a_2} \centerdot \frac{dx_1}{\sqrt{\MF{R}(x_1)}} + + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_2)}{x_2 - a_2} \centerdot \frac{dx_2}{\sqrt{\MF{R}(x_2)}} + + \dots + + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_\varrho)}{x_\varrho - a_2} + \centerdot \frac{dx_\varrho}{\sqrtRx}, \\ +\multispan{2}{\dotfill} \\ +d\MF{u}_\varrho +&= \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_1)}{x_1 - a_\varrho} \centerdot \frac{dx_1}{\sqrt{\MF{R}(x_1)}} + + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_2)}{x_2 - a_\varrho} \centerdot \frac{dx_2}{\sqrt{\MF{R}(x_2)}} + +\dots + + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_\varrho)}{x_\rho - a_\varrho} + \centerdot\frac{dx_\varrho}{\sqrtRx};\footnotemark +% [** Final numerator subscript missing in scan] +\end{align*} +\footnotetext{Man kann diesen Differential-Gleichungen mancherlei verschiedene Formen geben; +die hier gewählte vereinfacht die Rechnung nicht unwesentlich, ohne daß, wie später +soll gezeigt werden, der Allgemeinheit Abbruch geschieht.}% +%% {-----File: 004.png---Folio 2-------} +mit der Bestimmung, daß $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ die Werthe $a_1$, $a_2$, $\dots,~a_{\varrho}$ annehmen +sollen, wenn $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_{\varrho}$ sämmtlich verschwinden. + +Alsdann sind $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ als die Wurzeln einer Gleichung von +der Form +\[ +x^\varrho + \MF{P}_1 x^{\varrho-1} + \MF{P}_2 x^{\varrho-2} + \dots + \MF{P}_{\varrho} = 0 +\] +zu betrachten, wo $\MF{P}_1$, $\MF{P}_2$, $\dots,~\MF{P}_{\varrho}$ eindeutige analytische Functionen von +$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_{\varrho}$ bedeuten; während eine zweite ganze Function von~$x$ des +$(\varrho-1)$ten Grades +\[ +\MF{Q}_1 x^{\varrho-1} + \MF{Q}_2 x^{\varrho-2} + \dots + \MF{Q}_{\varrho}\,, +\] +deren Coefficienten eben solche Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots~\MF{u}_{\varrho}$ sind, wenn +man $x=x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ setzt, die zugehörigen Werthe von +\[ +\sqrt{\MF{R}(x_1)},\quad \sqrt{\MF{R}(x_2)},\quad \dots,\quad \sqrtRx +\] +giebt.\footnote{Den ersten Theil dieses Satzes hat bereits \Auth{Jacobi} ausgesprochen, und dadurch +den wahren analytischen Charakter der Größen $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ klar gemacht.} + +Hiernach ist jeder rational und symmetrisch aus +\[ +x_1, x_2, \dots, x_\varrho \quad\text{und}\quad +\sqrt{\MF{R}(x_1)}, \sqrt{\MF{R}(x_2)}, \dots, \sqrtRx +\] +zusammengesetzte Ausdruck als eine eindeutige Function von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots~\MF{u}_{\varrho}$ +anzusehn. Insbesondere aber zeigt es sich, daß das Product +\[ +(a_\frakr - x_1) (a_\frakr - x_2) \dotsm (a_\frakr - x_{\varrho}), +\] +wo $\frakr$ eine der Zahlen $1$, $2$, $\dots~2\varrho + 1$ bedeutet, das \Defn{Quadrat} einer solchen +ist. Betrachtet man demgemäß, indem man +\[ +\varphi(x) = (x - x_1) (x - x_2) \dotsm (x - x_{\varrho}) +\] +setzt, und unter $h_1$, $h_2$, $\dots,~h_{2\varrho+1}$ Constanten versteht, die Größen +\[ +\sqrt{h_1 \varphi(a_1)},\quad +\sqrt{h_2 \varphi(a_2)},\quad +\dots,\quad +\sqrt{\vphantom{h_2\varphi}\smash[b]{h_{2\varrho+1} \varphi(a_{2\varrho+1})}} +\] +als Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_{\varrho}$, so kann man nicht nur aus denselben +die Coefficienten der Gleichung, deren Wurzeln $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ sind, leicht +zusammensetzen, sondern sie zeichnen sich auch gleich den \Defn{elliptischen} +$ \sin\am\MF{u}$, $\cos\am\MF{u}$, $\Delta\am\MF{u}$, auf welche sie sich für $\varrho = 1$ reduciren, und +denen sie überhaupt vollkommen analog sind, durch eine solche Menge merkwürdiger +und fruchtbarer Eigenschaften aus, daß man ihnen und einer Reihe +anderer, im Zusammenhange mit denselben stehenden, vorzugsweise den Namen +"`\Defn{Abel'sche Functionen}'' zu geben berechtigt ist, und sie zum Hauptgegenstande +der Betrachtung zu machen aufgefordert wird. + +%% {-----File: 005.png---Folio 3-------} + +Die nächste Aufgabe, welche sich nun darbietet, betrifft die wirkliche +Darstellung der im Vorstehenden definirten Größen, sowie die Entwicklung +ihrer hauptsächlichsten Eigenschaften. Sodann ist es auch erforderlich, das +Integral +\[ +\int\Biggl\{ + \frac{\MF{F}(x_1)\, dx_1}{\sqrt{\MF{R}(x_1)}} + + \frac{\MF{F}(x_2)\, dx_2}{\sqrt{\MF{R}(x_2)}} + + \dots + + \frac{\MF{F}(x_\varrho)\, dx_\varrho}{\sqrtRx} + \Biggr\}, +\] +wo $\MF{F}(x)$ eine beliebige rationale Function von $x$ bedeutet, als Function von +$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ auszudrücken. Beide Probleme finden in der gegenwärtigen +Schrift, deren Resultate ich zum Theil schon früher in zwei kleinern Abhandlungen\footnote{% +Programm des \textit{Braunsberger} Gymnasiums v.~J.~1849 und \textit{Crelle}'s Journal Bd.~47.} +bekannt gemacht habe, ihre vollständige Erledigung, und zwar auf +einem Wege, welcher von dem für die \Auth{Abel}'schen Functionen \textit{zweier} Argumente +von \Auth{Göpel} und \Auth{Rosenhain} betretenen gänzlich verschieden ist. Die +genannten Mathematiker gehen nämlich von unendlichen Reihen aus, die sie +aus denen, durch welche \Auth{Jacobi} die elliptischen Functionen auszudrücken +gelehrt hat, durch eine von tiefer analytischer Einsicht zeugende Verallgemeinerung +erhalten, und zeigen dann, wie sich aus denselben, die zwei veränderliche +Größen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$ enthalten, die Coefficienten einer quadratischen +Gleichung so zusammensetzen lassen, daß zwischen deren Wurzeln und $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$ +zwei Differential-Gleichungen von der oben aufgestellten Form bestehen. +Dagegen war mein Bestreben von Anfang an auf die Auffindung einer Methode +gerichtet, die geeignet sei, unmittelbar von den genannten Differential-Gleichungen +aus für jeden Werth von $\varrho$ auf einem einfachen, alle Willkührlichkeit +ausschließenden Wege zur Darstellung der Größen $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_\varrho$ als +Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ in einer für alle Werthe der letztern gültig +bleibenden Form zu führen. Durch weitere Ausbildung eines Verfahrens, +dessen ich mich bereits früher zur directen Entwicklung der elliptischen +Functionen, ohne Voraussetzung der Multiplications -- und Transformations-Formeln +mit gutem Erfolge bedient hatte, gelang es mir, das Ziel, welches +ich mir gesteckt, vollständig zu erreichen; wo sich denn als schließliches Resultat +meiner Untersuchungen ergab, daß sich sämmtliche \Auth{Abel}'sche Functionen +einer bestimmten Ordnung auf eine einzige, in einfacher Form darstellbare +Transcendente zurückführen lassen. Damit ist aber für sie dasselbe erreicht, +was für die elliptischen Functionen \Auth{Jacobi} gethan hat, und was \Auth{Lejeune +Dirichlet} in seiner Gedächtnißrede auf den großen Mathematiker mit Recht +als eine der bedeutendsten Leistungen desselben bezeichnet. + +%% {-----File: 006.png---Folio 4-------} + +Die vorliegende Arbeit ist unter mancherlei äußern Hemmungen entstanden, +die mir nur von Zeit zu Zeit, und oftmals nach langer Unterbrechung, +mit derselben mich zu beschäftigen gestatteten. Ohne Zweifel wird man Spuren +davon an nicht wenigen Stellen entdecken. Gleichwohl hoffe ich, daß ihr die +Sachkundigen auch in der Gestalt, wie ich sie jetzt ihrer Beurtheilung vorlege, +nicht ganz ihren Beifall versagen, und wenigstens \textit{ein} Ergebniß derselben mit +Befriedigung aufnehmen werden, die Thatsache nämlich, daß sich die elliptischen +und die \Auth{Abel}'schen Functionen nach einer für alle Ordnungen gleich +bleibenden und zugleich directen Methode behandeln lassen; und ich trage kein +Bedenken, zu gestehen, daß ich auf \textit{dieses} Resultat meiner Arbeit einigen +Werth lege, und es als ein für die Wissenschaft nicht unbedeutendes betrachte. + +\begin{center}{\rule{0.2\textwidth}{0.5pt}}\end{center}% + +\Chapter{Erstes Kapitel.} + +\Section{Erklärung der Abel'schen Functionen; Bestimmung der +analytischen Form derselben.} + +Ich beginne mit der Ermittelung der Form, unter welcher der Zusammenhang +zwischen den Größen $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_\varrho$ und $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ dargestellt +werden kann. Zuvörderst aber möge, zur Vermeidung von Wiederholungen, +hier ein für allemal in Betreff einiger Bezeichnungen, die ich im Verlaufe +der ganzen Abhandlung unverändert beibehalten werde, Folgendes festgestellt +werden. + +Die ersten Buchstaben des deutschen Alphabets, $\fraka$, $\frakb$, $\frakc~\dots$ sollen, +sobald nicht ausdrücklich etwas Anderes bestimmt wird, ausschließlich Zahlen +aus der Reihe +\[ +1,\quad 2,\quad \dots,\quad \varrho +\] +bedeuten, in der Art, daß jeder derselben, wo er in einer Formel vorkommt, +unabhängig von den übrigen etwa in ihr sich findenden, sämmtliche dieser +Reihe angehörigen Werthe durchlaufen kann. Ein Ausdruck, der einen oder +mehrere dieser Buchstaben enthält, repräsentirt demnach, je nachdem die Zahl +derselben~$1$, oder~$2$, oder~$3$ u.~s.~w.\ ist, $\varrho$, oder~$\varrho^2$, oder~$\varrho^3$ u.~s.~w.\ Werthe. +Die Summe aller dieser Werthe soll dann ferner durch ein dem Ausdrucke +%% {-----File: 007.png---Folio 5-------} +vorgesetztes $\sum$ bezeichnet werden, und zwar in der Regel ohne besondere +Andeutung der Buchstaben, auf welche es sich bezieht, was nur in dem Falle +nicht unterbleiben darf, wenn außer derselben noch andere deutsche Buchstaben +vorkommen. Hiernach ist z.~B. +\begin{align*} + \tsum \MF{F}(\fraka) + &= \tsum\limits_{\fraka=1}^{\fraka=\varrho} \MF{F}(\fraka) \\ +% + \tsum \MF{F}(\fraka, \frakb) + &= \tsum\limits_{\fraka=1}^{\fraka=\varrho} + \tsum\limits_{\frakb=1}^{\frakb=\varrho} \MF{F}(\fraka, \frakb). + \intertext{Dagegen soll} + \tsum\limits_{\fraka} \MF{F}(\fraka, \frakb) + &= \tsum\limits_{\fraka=1}^{\fraka=\varrho} \MF{F}(\fraka, \frakb) \\ +% + \tsum\limits_{\fraka, \frakb} \MF{F}(\fraka, \frakb, \frakc) + &= \tsum\limits_{\fraka=1}^{\fraka=\varrho} + \tsum\limits_{\frakb=1}^{\frakb=\varrho} \MF{F}(\fraka, \frakb, \frakc) +\end{align*} +sein; u.~s.~w. + +Kommt es in einem besondern Falle vor, daß bei einer solchen Summation +ein Buchstabe von den festgesetzten Werthen irgend einen bestimmten +nicht annehmen darf, so soll darauf durch ein dem $ \sum $ oben beigefügtes ($'$) +aufmerksam gemacht, und zugleich der auszuschließende Werth neben der +Summenformel angegeben werden; wonach z.~B. die Bedeutung der Formel +\[ + {\sum_\fraka}' \biggl(\frac{1}{a_\fraka - a_\frakb} \biggr)\;, + \quad (\fraka \gtrless \frakb) +\] +klar ist. + +Endlich bemerke ich noch, daß eine Gleichung, die einen, oder zwei +u.~s.~w.\ der in Rede stehenden deutschen Buchstaben enthält, ein System von +$\varrho$, oder $\varrho^2$ u.~s.~w.\ Gleichungen darstellt; so daß z.~B.\ die in der Einleitung +aufgestellten Differential-Gleichungen sämmtlich in der folgenden +\[ +\tag{1.} +d\MF{u}_\frakb = \sum_\fraka +\frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\frakb} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} +\] +enthalten sind. + +Dies vorausgeschickt soll nun zunächst gezeigt werden, daß sich +$x_1$, $x_2$, $\dots,~x_\varrho $ bei hinlänglich kleinen Werthen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ nach ganzen +positiven Potenzen dieser Größen in convergirende Reihen entwickeln lassen. + +Wenn die Differenz $x - a_\frakr$, wo $\frakr$ irgend eine der Zahlen $1$,~$2$, $\dots,~2\varrho+1$ bezeichnen soll, dem absoluten Betrage\footnote +{Unter dem absoluten Betrage oder Werthe einer complexen (imaginären) Größe +verstehe ich hier den analytischen Modul derselben, wie er sonst genannt wird. Der +Umstand, daß das Wort \textit{Modul} in so verschiedenem Sinne gebraucht wird, und namentlich +in der Theorie der elliptischen und \Auth{Abel}'schen Functionen bereits eine feststehende Bedeutung +hat, möge die Einführung der vorgeschlagenen Benennung entschuldigen.} nach kleiner ist als die +%% {-----File: 008.png---Folio 6-------} +Differenz zwischen $ a_\frakr$ und jeder andern der Größen $a_1$, $a_2$, $\dots,~a_{2\varrho+1}$ (was +durch den Ausdruck "`es befinde sich $x$ in der Nähe von $a_\frakr$'' bezeichnet werden +möge), so läßt sich +\begin{gather*} + \frac{1}{\sqrt{\MF{R}(x)}} + \quad \text{durch eine convergirende Reihe von der Form} \\ + \frac{1}{\sqrt{\MF{R}'(a_\frakr)(x - a_\frakr)}} + \centerdot \Bigl\{1 + (\frakr)_1\, (x - a_\frakr) + + (\frakr)_2\, (x - a_\frakr)^2 + \dotsb \Bigr\} +\end{gather*} +darstellen, wo $\MF{R}'(x) = \smfrac{\partial \MF{R}(x)}{\partial x}$, und $(\frakr)_1$, $(\frakr)_2$ u.~s.~w.\ rational aus $a_\frakr$ und den +Coefficienten von $\MF{R}(x)$ zusammengesetzte Ausdrücke sind. + +Wird daher angenommen, es befinde sich $x_1$ in der Nähe von $a_1$, $x_2$ +in der Nähe von $a_2$ u.~s.~w., und setzt man, +\[ +\frac{\MF{R}(x)}{\MF{P}(x)} + = \MF{A}_0(x - a_{\varrho+1}) \dotsm (x - a_{2\varrho+1}) + \quad\text{mit}\quad \MF{Q}(x),\qquad + \dfrac{\partial \MF{P}(x)}{\partial x} \quad\text{mit}\quad\MF{P}'(x) +\] +bezeichnend, +\[ +\tag{2.} +\sqrt{\biggl(\frac{\MF{P}'(a_\fraka)}{\MF{Q}(a_\fraka)} (x_\fraka - a_\fraka)\biggr)} += s_\fraka\,, +\] +so hat man +\[ +\frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - x_\frakb} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + = \Bigl((\fraka, \frakb)_0 + + (\fraka, \frakb)_1\, s_\fraka^2 + + (\fraka, \frakb)_2\, s_\fraka^4 + \dotsb \Bigr)\, ds_\fraka\,, +\] +wo $(\fraka, \frakb)_0$, $(\fraka, \frakb)_1$ u.~s.~w.\ rationale, aus $a_\fraka$, $a_\frakb$ und den Coefficienten von +$\MF{P}(x)$, $\MF{Q}(x)$ zusammengesetzte Ausdrücke bedeuten, und insbesondere +\[ +(\fraka, \fraka)_0 = 1, \quad +(\fraka, \frakb)_0 = 0, \quad\text{wenn $\fraka \gtrless \frakb$,} +\] +ist. Hiernach geben die Gleichungen (1.) durch Integration +\[ +\tag{3.} +\left\{ +\begin{aligned} +\MF{u}_1 &= s_1 + \Underset{\frakn = 1 \dotsc \infty} + {\mathbf{S}\, \Biggl\{ \sum \frac{(\fraka, 1)_\frakn}{2\frakn+1}\, + s_\fraka^{2\frakn+1} \Biggr\}}, \\[1ex] +% +\MF{u}_2 &= s_2 + \Underset{\frakn = 1 \dotsc \infty} + {\mathbf{S}\, \Biggl\{ \sum \frac{(\fraka, 2)_\frakn}{2\frakn+1}\, + s_\fraka^{2\frakn+1} \Biggr\}}, \\[1ex] +% +\multispan{2}{\dotfill} \\[1ex] +% +\MF{u}_\varrho +&= s_\varrho + \Underset{\frakn = 1 \dotsc \infty} + {\mathbf{S}\, \Biggl\{ \sum \frac{(\fraka, \varrho)_\frakn}{2\frakn+1}\, + s_\fraka^{2\frakn+1} \Biggr\}}. +\end{aligned} +\right. +\] +Aus diesen Reihen erhält man dann ferner durch Umkehrung die folgenden, +in denen $(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\frakn$ eine ganze homogene Function $\frakn$ten Grades von +$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ bezeichnen soll. +%% {-----File: 009.png---Folio 7-------} +\[ +\tag{4.} +\left\{ +\begin{aligned} + s_1 &= \sqrt{\biggl(\frac{{\MF{P}}'(a_1)}{\MF{Q}(a_1)} (x_1-a_1)\biggl)} + = \MF{u}_1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_3 + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_5 + \dotsb, \\[1ex] +% + s_2 &= \sqrt{\biggl(\frac{\MF{P}'(a_2)}{\MF{Q}(a_2)} (x_2-a_2)\biggl)} + = \MF{u}_2 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_3 + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_5 + \dotsb, \\[1ex] +% +\multispan{2}{\dotfill} \\[1ex] +% + s_\varrho + &= \sqrt{\biggl(\frac{\MF{P}'(a_\varrho)}{\MF{Q}(a_\varrho)} (x_\varrho-a_\varrho)\biggl)} + = \MF{u}_\varrho + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_3 + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_5 + \dotsb. +\end{aligned} +\right. +\] +Ferner, da sich +\begin{gather*} + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + \quad\text{in eine Reihe von der Form} \\ + s_\fraka + (\fraka)_1\, s_\fraka^3 + (\fraka)_2\, s_\fraka^5 + \cdots +\end{gather*} +entwickeln läßt, +\[ +\tag{5.} +\Underset{ (\fraka=1, 2, \dotsc, \varrho) } + { \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + = \frac{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}{\MF{Q}(x_\fraka)} + = \MF{u}_\fraka + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_3 + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_5 + \dotsb +}\;. % [** PP: Added period] +\] +Die vorstehenden Reihen können nicht für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ +convergiren, sondern nur für solche, die gewisse Bedingungen erfüllen. Es +ist aber für den gegenwärtigen Zweck nicht erforderlich, diese aufzusuchen; +es genügt vielmehr anzunehmen, daß die Reihen~(3 -- 5) für \textit{irgend welche} +Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, deren absolute Beträge durch $\MF{U}_1$, $\MF{U}_2$, $\dotsc,~\MF{U}_\varrho$ +bezeichnet werden mögen, sämmtlich convergent seien -- wozu man nach +einem allgemeinen Satze über die Reihenentwicklungen von Functionen, die +algebraischen Differential-Gleichungen genügen, berechtigt ist\footnote{% +Vergl.\ meine Abhandlung über die analytischen Facultäten in \textit{Crelle}'s Journal +Bd.~51.\ S.~43.% +}. +Dann sind +sie es auch unbedingt, sobald man für $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ nur solche Werthe +zuläßt, die dem absoluten Betrage nach kleiner als beziehlich $\MF{U}_1$, $\MF{U}_2$, $\dotsc,~\MF{U}_\varrho$ +sind, und geben unter dieser Voraussetzung +\[ + x_1,\ x_2,\ \dotsc,\ x_\varrho,\quad + \sqrt{\MF{R}(x_1)}, \sqrt{\MF{R}(x_2)}, \dotsc, \sqrtRx +\] +als völlig bestimmte, eindeutige Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$. Wenn man +aber die vorstehenden Größen für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ innerhalb +der bezeichneten Gränzen berechnen kann, so ist durch das \Auth{Abel'sche Theorem} +die Möglichkeit gegeben, dieses auch für \textit{beliebig große} Werthe der genannten +Veränderlichen auszuführen. + + +\Section{} % \S.~2. + +Um dieses nachzuweisen, nehme man statt $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho\,(2\mu)$ Reihen +von je $\varrho$ solchen veränderlichen Größen +%% {-----File: 010.png---Folio 8-------} +\[ +\tag{1.} +\left\{\begin{alignedat}{4} +&\MF{u}'_1, && \MF{u}'_2, && \dotsc, && \MF{u}'_\varrho, \\ +&\MF{u}''_1, && \MF{u}''_2, && \dotsc, && \MF{u}''_\varrho, \\ +\multispan{8}{\dotfill\quad}\\[1ex] +&\MF{u}^{(2\mu)}_1,\ && \MF{u}^{(2\mu)}_2,\ && \dotsc,\quad && \MF{u}^{(2\mu)}_\varrho +\end{alignedat}\right. +\] +an, die keiner andern Beschränkung unterworfen sein sollen, als daß +\[ +\MF{u}'_\fraka,\ \MF{u}''_\fraka,\ \dotsc,\ \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka +\] +sämmtlich dem absoluten Betrage nach kleiner als $\MF{U}_\fraka$ vorausgesetzt werden. +Ferner bezeichne man, wenn $\frakm$ eine der Zahlen $1$, $2$, $\dotsc,~2\mu$ bedeutet, mit +\iffalse % matches scan +\begin{alignat*}{4} +& s^{(\frakm)}_1, && s^{(\frakm)}_2, && \dotsc, && s^{(\frakm)}_\varrho, \\ +& x^{(\frakm)}_1, && x^{(\frakm)}_2, && \dotsc, && x^{(\frakm)}_\varrho, \\ + & \sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_1) },\ +&& \sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_2) },\ && \dotsc,\quad +&& \sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_\varrho) } +\end{alignat*} +\fi +% [** PP: centered entries] +\[ +\begin{array}{cccc} +s^{(\frakm)}_1, & s^{(\frakm)}_2, & \dotsc, & s^{(\frakm)}_\varrho, \\[1ex] +x^{(\frakm)}_1, & x^{(\frakm)}_2, & \dotsc, & x^{(\frakm)}_\varrho, \\[1ex] +\sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_1)},\ & +\sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_2)},\ & \dotsc, & +\sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_\varrho) } +\end{array} +\] +die Größen, welche man für +\iffalse % matches scan +\begin{alignat*}{4} +& s_1, && s_2, && \dotsc, && s_\varrho, \\ +& x_1, && x_2, && \dotsc, && x_\varrho, \\ +& \sqrt{ \MF{R}(x_1) },\ && \sqrt{ \MF{R}(x_2) },\ && \dotsc,\quad && \sqrt{ \MF{R}(x_\varrho) } +\end{alignat*} +\fi +% [** PP: centered entries] +\[ +\begin{array}{cccc} +s_1, & s_2, & \dotsc, & s_\varrho, \\[1ex] +x_1, & x_2, & \dotsc, & x_\varrho, \\[1ex] +\sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x_1)}, & +\sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x_2)}, & \dotsc, & +\vphantom{\big|}\sqrtRx % \varrho subscript causes radical to descend too far +\end{array} +\] +vermittelst der Reihen $(4, 5)$ des vorhergehenden \S.\ erhält, wenn man dort +$\MF{u}^{(\frakm)}_1$, $\MF{u}^{(\frakm)}_2$, $\dotsc,~\MF{u}^{(\frakm)}_\varrho$ an die Stelle von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ setzt. Sodann hat +man zwei ganze Functionen $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$ von der Form +\[ +\tag{2.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + \MF{M}(x) &= x^{\mu\varrho} +{} && \MF{M}_1 x^{\mu\varrho-1} && {}+ \dots +{} & \MF{M}_{\mu\varrho}, \\ + \MF{N}(x) &= && \MF{N}_1 x^{\mu\varrho-1} && {}+ \dots +{} & \MF{N}_{\mu\varrho}, \\ +\end{alignedat}\right. +\] +vermittelst der folgenden $(2\mu\varrho)$ Gleichungen +\[ +\tag{3.} +\left\{\Underset{ (\fraka = 1, 2, \dotsc, \varrho) }{% +\begin{alignedat}{4} + & \MF{M}(x'_\fraka) & \frac{\sqrt{\MF{R}(x'_\fraka) }}{\MF{Q}(x'_\fraka) } +{} & \MF{N}(x'_\fraka) && = 0, +\\[1ex] + & \MF{M}(x''_\fraka) & \frac{\sqrt{\MF{R}(x''_\fraka)}}{\MF{Q}(x''_\fraka)} +{} & \MF{N}(x''_\fraka) && = 0, +\\[1ex] +\multispan{6}{\dotfill} +\\[1ex] + & \MF{M}(x^{(2\mu)}_\fraka) +& \frac{\sqrt{ \MF{R}(x^{(2\mu)}_\fraka) }} + { \MF{Q}(x^{(2\mu)}_\fraka) } +{} & \MF{N}(x^{(2\mu)}_\fraka) && = 0, +\end{alignedat}}\right. +\] +zu bestimmen, worauf die ganze Function $(2\mu\varrho + \varrho)$ten Grades +\[ +\MF{P}(x)\, \MF{M}^2(x) - \MF{Q}(x)\, \MF{N}^2(x) +\] +für $x=x'_1$, $\dotsc,~x'_\varrho$, $x''_1$, $\dotsc,~x''_\varrho$, $\dotsc,~x^{(2\mu)}_1$, $\dotsc,~x^{(2\mu)}_\varrho$ Null wird, und daher +%% {-----File: 011.png---Folio 9-------} +durch das Product +\[ + (x-x'_1) \dotsm (x-x'_\varrho) + (x-x''_1) \dotsm (x-x''_\varrho) \dotsm + (x-x^{(2\mu)}_1) \dotsm (x-x^{(2\mu)}_\varrho), +\] +welches durch $\mathit{\Pi}(x)$ bezeichnet werden möge, theilbar ist, so daß man +\[ +\tag{4.} +\MF{P}(x)\, \MF{M}^2(x) - \MF{Q}(x)\, \MF{N}^2(x) = \mathit{\Pi}(x)\,\varphi(x) +\] +setzen kann, wo $\varphi(x)$ eine ganze Function von der Form +\[ +x^\varrho + \MF{P}_1 x^{\varrho-1} + \MF{P}_2 x^{\varrho-2} + \dotsb + \MF{P}_\varrho +\] +bedeutet, in der $\MF{P}_1$, $\MF{P}_2$, $\dotsc,~\MF{P}_\varrho$ rational aus +\[ +\tag{5.} +\left\{ +\begin{alignedat}{4} +\vphantom{\sqrt{\MF{R}(x'_\varrho)}} +& x'_1, && x'_2, && \dotsc, && x'_\varrho,\\ +\vphantom{\sqrt{\MF{R}(x''_\varrho)}} +& x''_1, && x''_2, && \dotsc, && x''_\varrho,\\ +\multispan{8}{\strut\dotfill\ }\\[.5ex] +\vphantom{\sqrt{\MF{R}(x^{(2\mu)}_\varrho)}} +& x^{(2\mu)}_1,\ && x^{(2\mu)}_2,\ && \dotsc,\ && x^{(2\mu)}_\varrho, +\end{alignedat}\right. +\quad\text{und}\quad +\begin{alignedat}{4} +& \sqrt{\MF{R}(x'_1)}, && \sqrt{\MF{R}(x'_2)}, &&\dotsc, && \sqrt{\MF{R}(x'_\varrho)},\\ +& \sqrt{\MF{R}(x''_1)}, && \sqrt{\MF{R}(x''_2)}, &&\dotsc, && \sqrt{\MF{R}(x''_\varrho)},\\ +\multispan{8}{\strut\dotfill\ }\\[.5ex] +&\sqrt{\MF{R}(x^{(2\mu)}_1)},\ && \sqrt{\MF{R}(x^{(2\mu)}_2)},\ &&\dotsc,\ && \sqrt{\MF{R}(x^{(2\mu)}_\varrho)}, +\end{alignedat} +\] +zusammengesetzt, und daher auch als eindeutige Functionen der Größen (1.) +zu betrachten sind. Bezeichnet man jetzt mit $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ die $\varrho$ Wurzeln +der Gleichung +\[ +\varphi(x) = 0, +\] +so gelten nach dem \Auth{Abel'schen Theorem} die $\varrho$ Gleichungen, die sich aus +der nachstehenden +\[ +\tag{6.} +\sum_\fraka \frac{1}{2} \Biggl\{ + \dfrac{\MF{P}(x'_\fraka)}{x'_\fraka - a_\frakb} \centerdot + \dfrac{dx'_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x'_\fraka)}} + + \dfrac{\MF{P}(x''_\fraka)}{x''_\fraka-a_\frakb} \centerdot + \dfrac{dx''_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x''_\fraka)}} + \dotsb \Biggr\} += \sum_\fraka \frac{1}{2}\, + \dfrac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\frakb} \centerdot + \dfrac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} +\] +ergeben, indem man $\frakb = 1$, 2, $\dotsc,~\varrho$ setzt, unter der Bedingung, daß man +der Wurzelgröße $\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}$ den durch die Gleichung +\[ + \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} += \frac{\MF{P}(x_\fraka)\, \MF{M}(x_\fraka)}{\MF{N}(x_\fraka)} += \frac{\MF{Q}(x_\fraka)\, \MF{N}(x_\fraka)}{\MF{M}(x_\fraka)} +\tag{7.} +\] +bestimmten Werth beilege\footnotemark. Nun ist aber +\footnotetext{In Betreff des Beweises dieses Satzes verweise ich auf \Auth{Abel's} Abhandlung: %** NB fixed obvious typo in Abe'ls +% [** PP: Italicizing Crelle] +Remarques sur quelques propriétés etc.\ in \textit{Crelle}'s Journal, B.~3, S.~313 und {\OE}uvres +complètes, tome~I, 288. Einen auf ganz andern Principien beruhenden Beweis des +Satzes werde ich später geben.} +\[ +{\sum\limits_\fraka} \frac{1}{2}\, + \frac{\MF{P}(x'_\fraka)}{x'_\fraka - a_\frakb} \centerdot + \frac{dx'_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x'_\fraka)}} += d\MF{u}'_\frakb, +\quad +{\sum\limits_\fraka} \frac{1}{2}\, + \frac{\MF{P}(x''_\fraka)}{x''_\fraka-a_\frakb} \centerdot + \frac{dx''_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x''_\fraka)}} += d\MF{u}''_\frakb,~\text{u.~s.~w.} +\] +%% {-----File: 012.png---Folio 10-------} +Daher +\[ +\tag{8.} +\Underset{(\frakb = 1, 2, \dotsc, \varrho)}{% + d\MF{u}'_\frakb + d\MF{u}''_\frakb + \dotsb + d\MF{u}^{(2\mu)}_\frakb += {\sum\limits_\fraka} \frac{1}{2}\, + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\frakb} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}. +} +\] +Bevor aber aus diesen Gleichungen weitere Folgerungen gezogen werden, +ist es nothwendig, die Zusammensetzungsweise der Coefficienten von $\MF{M}(x)$, +$\MF{N}(x)$, $\varphi(x)$ aus den Größen~(5.) oder (1.) einer nähern Betrachtung zu +unterwerfen. + +\Section{} % \S.~3. + +Es läßt sich, wenn $x$ in der Nähe von $a_{\fraka}$ angenommen und +\[ +\tag{1.} + \sqrt{ + \biggl(\frac{\MF{P}'(a_{\fraka})}{\MF{Q}(a_{\fraka})} + (x - a_{\fraka} )\biggr)} = s, \qquad + x = a_{\fraka} + \frac{\MF{Q}(a_{\fraka})}{\MF{P}'(a_{\fraka})}\, s^2 +\] +gesetzt wird, +\[ + \frac{ \sqrt{\MF{R}(x)}}{\MF{Q}(x)} \quad \text{oder}\quad + \frac{\MF{P}(x)}{\sqrt{\MF{R}(x)}} +\] +in eine convergirende Reihe +\[ +\tag{2.} + s + (\fraka)_1\, s^3 + (\fraka)_2\, s^5 + \cdots +\] +entwickeln, welche mit $\MF{R}_{\fraka}(s)$ bezeichnet werden möge, so wie auch die +Functionen von $s$, in welche $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$, $\MF{P}(x)$, $\MF{Q}(x)$ durch die Substitution +\[ + x = a_{\fraka} + + \frac{\MF{Q}(a_{ \fraka})}{\MF{P}' (a_{ \fraka})}\, s^2 +\] +übergehen, durch $\MF{M}_{\fraka}(s)$, $\MF{N}_{\fraka}(s)$, $\MF{P}_{\fraka}(s)$, $\MF{Q}_{\fraka}(s)$ angedeutet werden sollen. Ferner +setze man +\[ +\tag{3.} +\left\{\begin{aligned} +(s - s'_{\fraka}) (s - s''_{\fraka}) \dotsm (s - s^{(2 \mu)}_{\fraka}) +&= \pi_{\fraka}(s), \\ +\MF{M}_{\fraka}(s)\, \MF{R}_{\fraka}(s) + \MF{N}_{\fraka}(s) +&= f_{\fraka}(s), +\end{aligned}\right. +\] +so kann auch $f_{\fraka}(s)$ für jeden Werth von $s$, der so beschaffen ist, daß der +zugehörige Werth von $x$ in der Nähe von $a_{\fraka}$ liegt, in eine convergirende +Reihe entwickelt werden. Es ist klar, daß $s'_{\fraka}$, $s''_{\fraka}$, u.~s.~w.\ in Folge der +oben in Betreff der Größen (1, §.~2.) gemachten Annahme sämmtlich zu diesen +Werthen von $s$ gehören. + +Angenommen nun, es sei überhaupt $f(s)$ eine Function von $s$, die sich +für alle Werthe dieser Veränderlichen, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner +als ein bestimmter Gränzwerth $\mathrm{S}$ sind, durch eine convergirende Reihe von +der Form +\[ +\MF{A}_0 + \MF{A}_1 s + \MF{A}_2 s^2 + \cdots +\] +%% {-----File: 013.png---Folio 11-------} +%[** PP: Changing several ``n''s to \frakn +darstellen lasse, und $\pi(s)$ bedeute eine ganze Function $\frakn$ten Grades, wobei +zugleich angenommen werde, daß die Wurzeln der Gleichung $\pi(s)=0$ sämmtlich +dem absoluten Betrage nach kleiner als $\mathrm{S}$ seien. Alsdann läßt sich für +jeden Werth von $s$, der seinem absoluten Betrage nach größer als jede dieser +Wurzeln ist, +\[ +\frac{1}{\pi(s)} = \MF{C}_0 s^{-\frakn} + \MF{C}_1 s^{-\frakn-1} + \MF{C}_2 s^{-\frakn-2} + \cdots += \Underset{\frakm = 0 \dotsc \infty } + {\mathbf{S}\, \MF{C}_\fraka\, s^{-\frakn-\frakm} } +\] +setzen (wo $\frakm$, so wie überhaupt im Folgenden die Buchstaben $\frakm$, $\frakn$, $\frakp$, eine +ganze Zahl, die alle Werthe zwischen den Gränzen 0 und $\infty$ annehmen +kann, +bezeichnet), und man erhält daher, indem man diese Reihe mit der für $f(s)$ +multiplicirt, wenn der absolute Werth von $s$ zugleich kleiner als $\mathbf{S}$ ist, +\[ +\begin{split} + \frac{f(s)}{\pi(s)} + = \MF{D}_0 &+ \MF{D}_1 s + \MF{D}_2 s^2 + \dotsb \\ + &+ \MF{E}_0 s^{-1} + \MF{E}_1 s^{-2} + \dotsb, +\end{split} +\] +welche Reihen-Entwicklung von $\dfrac{f(s)}{\pi(s)}$ durch +\[ +\left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right] +\] +angedeutet werden möge, so wie durch +\[ +\left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]_{\Pow{s}{\pm\frakm}} +\] +der Coefficient von $s^{\pm\frakm}$ in derselben. Ist nun +\[ +\pi(s) = \MF{B}_0 + \MF{B}_1 s + \dotsb + \MF{B}_\frakn s^\frakn, +\] +so müssen, wenn man die Reihe $\left[\smfrac{f(s)}{\pi(s)}\right]$ mit $\pi(s)$ multiplicirt, aus dem Producte +alle Glieder mit negativen Potenzen von $s$ fortfallen, und daher +\[ + \MF{B}_0 \MF{E}_\frakm ++ \MF{B}_1 \MF{E}_{\frakm + 1} + \dotsb ++ \MF{B}_\frakn \MF{E}_{\frakm + \frakn} = 0 +\] +sein, indem der Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung der Coefficient +von $s^{-\frakm-1}$ in dem gedachten Producte ist. Diese Relation lehrt aber, +daß die Coefficienten $\MF{E}_0$, $\MF{E}_1$ u.~s.~w.\ \textit{sämmtlich} gleich Null sind, \textit{sobald +dies mit den $\frakn$ ersten der Fall ist}. Denn da $\MF{B}_\frakn$ nicht Null ist, so erhellt +unmittelbar, daß $\MF{E}_{\frakm+\frakn} = 0$ sein muß, wofern $\MF{E}_\frakm$, $\MF{E}_{\frakm+1}$, $\dotsc,~\MF{E}_{\frakm+\frakn-1}$ sämmtlich +verschwinden; woraus, indem man der Reihe nach $\frakm = 0, 1, 2$, u.~s.~w.\ +setzt, das Behauptete sofort sich ergiebt. Dann hat man +\[ +\frac{f(s)}{\pi(s)} = \MF{D}_0 + \MF{D}_1 s + \MF{D}_2 s^2 + \dotsb, +\] +%% {-----File: 014.png---Folio 12-------} +oder +\[ +f(s) = (\MF{B}_0 + \MF{B}_1 s + \dotsb)(\MF{D}_0 + \MF{D}_1 s + \dotsb) +\] +für alle Werthe von $s$ innerhalb der bezeichneten Gränzen. Die letztere Gleichung +kann aber nicht anders bestehen, als wenn in der Reihe, die aus der +Entwicklung des Products auf der rechten Seite hervorgeht, die Coefficienten +mit den gleichstelligen von $f(s)$ übereinstimmen. Dann aber gilt sie, und +mit ihr auch die vorhergehende überhaupt für alle Werthe von $s$, bei denen +die Reihen +\[ + \MF{A}_0 + \MF{A}_1 s + \dotsb, \quad \MF{D}_0 + \MF{D}_1 s + \dotsb +\] +beide convergiren. Für die letztere steht dies aber, ihrer Herleitung nach, +fest, wenn der absolute Betrag von $s$ zwischen zwei Gränzen, von denen +die obere $\mathrm{S}$ ist, enthalten ist; es muß daher für \textit{alle} Werthe von $s$, die dem +absoluten Betrage nach unter $\mathrm{S}$ liegen, der Fall sein. Hiermit ist folgender +Hülfssatz bewiesen, der bei mancherlei Untersuchungen mit Nutzen angewandt +werden kann: + +\textit{Wenn die oben näher charakterisirten Functionen $f(s)$, $\pi(s)$ so +beschaffen sind, daß man} +\[ +%[**F2: Added a little kerning.] + \left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad + \left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-2}} \mspace{-10mu} = 0, \quad\dotsc,\quad + \left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-\frakn}} \mspace{-10mu} = 0, +\] +\textit{oder auch} +\[ + \left[\frac{ f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad + \left[\frac{sf(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad + \dotsc,\quad + \left[\frac{s^{\frakn-1}f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-1}} + \mspace{-10mu} = 0, +\] +\textit{hat, so läßt sich der Quotient} +\[ +\frac{f(s)}{\pi(s)} +\] +\textit{für alle Werthe von $s$, bei denen die Reihe für $f(s)$ convergirt, ebenfalls +durch eine nur ganze positive Potenzen von $s$ enthaltende convergirende +Reihe darstellen. Umgekehrt ist dies nicht der Fall, sobald die vorstehenden +Bedingungsgleichungen nicht sämmtlich befriedigt werden.} + +Für die durch die Formeln (3.) definirten Functionen $f_\fraka(s)$, $\pi_\fraka(s)$ ist +nun, nach dem oben Bemerkten, die Bedingung erfüllt, daß die Wurzeln der +Gleichung $\pi_\fraka(s) = 0$ sämmtlich dem absoluten Betrage nach kleiner sind als der +Gränzwerth, unter dem $s$ bleiben muß, damit die Reihe für $f_\fraka(s)$ unbedingt +convergire. Wenn daher die Coefficienten von $\MF{M}(x)$ und $\MF{N}(x)$ so bestimmt +werden können, daß die folgenden $(2\mu\varrho)$ Gleichungen +%% {-----File: 015.png---Folio 13-------} +\[ +\tag{4.} %[**F2: Missing period added.] +\Underset{(\fraka = 1, 2, \dotsc, \varrho)} +{ + \left[ \frac{f_\fraka(s)}{\pi_\fraka(s)} \right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad + \left[ \frac{sf_\fraka(s)}{\pi_\fraka(s)} \right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad +\dotsc,\quad +\left[ \frac{s^{2\mu-1}f_\fraka(s)}{\pi_\fraka(s)} \right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, +} +\] +befriedigt werden; so hat man für alle Werthe von $s$, bei denen die Reihe +für $f_\fraka(s)$ convergirt +\[ +% [** PP: another equation (5.) follows] +\tag{5.} +f_\fraka(s) = \pi_\fraka(s)\overline{f_\fraka}(s), +\] +wo $\overline{f_\fraka}(s)$ eine als unendliche Reihe von derselben Form wie die für $f_\fraka(s)$ +darstellbare Function bedeutet. Nun darf man aber in dieser Gleichung $(-s)$ +für $s$ setzen, und erhält +\[ +f_\fraka(s)\, f_\fraka(-s) += \pi_\fraka(s)\, \pi_\fraka(-s)\; + \overline{f_\fraka}(s)\, \overline{f_\fraka}(-s), +\] +oder da +\[ +\MF{M}_\fraka(-s) = \MF{M}_\fraka(s), \quad +\MF{N}_\fraka(-s) = \MF{N}_\fraka(s), \quad +\MF{R}_\fraka(-s) =-\MF{R}_\fraka(s), +\] +ist, +\[ + \MF{N}_\fraka^2(s) - \MF{M}_\fraka^2(s)\, \MF{R}_\fraka^2(s) += \pi_\fraka (s) \pi_\fraka(-s)\; + \overline{f_\fraka}(s) \overline{f_\fraka}(-s), +\] +oder auch, indem +\[ + \MF{R}_\fraka^2(s) += \frac{\MF{P}_\fraka(s)}{\MF{Q}_\fraka(s)} +\] +ist, durch Multiplication dieser Gleichung mit $-\MF{Q}_\fraka(s)$ +\[ +\tag{5.} +%[**F2: The equation numbers in this section are messed up. +% This is the second #5; later he skips #17 and duplicates #18.] + \MF{P}_\fraka(s) \MF{M}_\fraka^2(s) +- \MF{Q}_\fraka(s) \MF{N}_\fraka^2(s) += \pi_\fraka(s) \pi_\fraka(-s)\, \chi_\fraka(s), +\] +wo +\[ + \chi_\fraka(s) += -\MF{Q}_\fraka(s)\; \overline{f_\fraka}(s) \overline{f_\fraka}(-s) +\] +gesetzt ist. Nun gehört jeder Werth von $s$, der $\pi_\fraka(s)=0$ oder $\pi_\fraka(-s)=0$ +macht, zu denen, für welche die Reihen-Entwicklungen von $f_\fraka(s)$, $f_\fraka(-s)$ +und somit auch die von $\overline{f_\fraka}(s)$, $\overline{f_\fraka}(-s)$, $\chi_\fraka(s)$ convergiren; es behält daher der +Quotient +\[ +\frac{\MF{P}_\fraka(s)\, \MF{M}_\fraka^2(s) + - \MF{Q}_\fraka(s)\, \MF{N}_\fraka^2(s)} + {\pi_\fraka(s)\, \pi_\fraka(-s)} +\] +auch dann noch einen endlichen Werth, wenn der Divisor verschwindet; und +da Dividendus und Divisor desselben beide ganze Functionen von $s^2$ sind, so +muß der erstere durch den letzteren theilbar, und somit $\chi_\fraka(s)$ ebenfalls eine +ganze Function von $s^2$ sein. Daraus folgt denn, daß die Gleichung~(5.) für +\textit{jeden} Werth von $s$ besteht. Setzt man nun in derselben +\[ +\frac{\MF{P}'(a_\fraka)}{\MF{Q}(a_\fraka)}(x-a_\fraka) \quad\text{für}\quad s^2, +\] +so geht der Ausdruck auf der linken Seite in +\[ +\MF{P}(x)\, \MF{M}^2(x) - \MF{Q}(x)\, \MF{N}^2(x), +\] +%% {-----File: 016.png---Folio 14-------} +und +\[ +\pi_\fraka(s)\, \pi_\fraka(-s) + = (s^2 - s'^2_\fraka)(s^2 - s''^2_\fraka) \dotsm, +\] +abgesehen von einem constanten Factor, in +\[ +(x - x'_\fraka)(x - x''_\fraka) \dotsm (x - x^{(2\mu)}_\fraka) +\] +über, während sich $\chi_\fraka(s)$ ebenfalls in eine ganze Function von $x$ verwandelt. +Demnach wird, wenn die Gleichungen~(4.) sämmtlich bestehen, der Ausdruck +\[ +\MF{P}(x)\, \MF{M}^2(x) - \MF{Q}(x)\, \MF{N}^2(x) + \quad\text{durch}\quad \mathit{\Pi}(x) +\] +theilbar, und es gilt die Gleichung~(4.) des §.~2. Die Anzahl dieser Gleichungen +ist aber $(2\mu\varrho)$, d.~h.\ gleich der Anzahl der Coefficienten von $\MF{M}(x)$, +$\MF{N}(x)$ und sie werden daher zur Bestimmung der letzteren hinreichen. + +Nun hat die Reihe +\begin{gather*} +\left [\frac{1}{\pi_{\fraka}(s)} \right ] \quad\text{die Form} +\\ +\tag{6.} + s^{-2\mu}(1 + \sigma_{\fraka, 1} s^{-1} + + \sigma_{\fraka, 2} s^{-2} + \cdots ) += \Underset{ \frakn= 0 \dotsc \infty } + { \mathbf{S}\left( \sigma_{\fraka, \frakn}\, + s^{-2\mu-\frakn} \right) }, +\end{gather*} +wo $\sigma_{\fraka, \frakn}$ eine ganze homogene und symmetrische Function $\frakn$ten Grades von +\[ +s'_\fraka, \quad s''_\fraka, \quad \dotsc, \quad s^{(2 \mu)}_\fraka +\] +bedeutet. Setzt man daher +\[ +\tag{7.} + f_{\fraka}(s) = \MF{F}_{\fraka, 0} + \MF{F}_{\fraka, 1}s + \MF{F}_{\fraka, 2} s^2 + \cdots += \Underset{ \frakm=0\dotsc \infty } + { \mathbf{S} \MF{F}_{\fraka, \frakm} s^{\frakm} }, +\] +wo die Ausdrücke $\MF{F}_{\fraka, 0}$, $\MF{F}_{\fraka, 1}$ u.~s.~w.\ lineare Functionen von +\[ +\begin{array}{cccc} +\MF{M}_1, & \MF{M}_2, & \dotsc, & \MF{M}_{\mu \varrho},\\[1ex] +\MF{N}_1, & \MF{N}_2, & \dotsc, & \MF{N}_{\mu \varrho} +\end{array} +\] +sind, mit Coefficienten, die rational aus $a_\fraka$ und den Coefficienten von $\MF{P}(x)$ +und $\MF{R}(x)$ zusammengesetzt werden, so wird +\begin{align*} +\tag{8.} +\left[\frac{s^{2\mu-\frakp-1}f_{\fraka}(s)}{ \pi_{\fraka}(s)} \right] +\phantom{{}_s^{-1}}\mspace{-10mu} +&= \Underset{\frakm = 0 \dotsc \infty,\ \frakn = 0 \dotsc \infty} +{\mathbf{S} \Bigl\{ + \sigma_{\fraka,\frakn}\, \MF{F}_{\fraka,\frakm}\, s^{\frakm-\frakn-\frakp-1} + \Bigr\},} +\\ +\tag{9.} +\left[\frac{s^{2\mu-\frakp-1}f_{\fraka}(s)}{\pi_{\fraka}(s)}\right]_{s^{-1}} +\mspace{-10mu} +&= \Underset{\frakn = 0 \dotsc \infty} +{\mathbf{S} \Bigl\{ + \sigma_{\fraka,\frakn}\, \MF{F}_{\fraka,\frakp+\frakn} +\Bigr\},} +\end{align*} +und man erhält demnach, indem man $\frakp=0,\ 1, \dotsc,\ 2\mu-1$ setzt, zur Bestimmung +der Coefficienten von $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$ die $(2\mu\varrho)$ Gleichungen, welche +%% {-----File: 017.png---Folio 15-------} +durch die folgende +\[ +\tag{10.} +\MF{F}_{\fraka, \frakp} ++ \Underset{\frakn = 1\dotsc\infty} + {\mathbf{S} \Bigl\{ + \sigma_{\fraka, \frakn}\, \MF{F}_{\fraka, \frakp+\frakn} + \Bigr\} + } = 0 \quad + \left( + \begin{aligned} + \fraka &= 1, 2, \dotsc, \varrho \\ + \frakp &= 0, 1, \dotsc, 2\mu-1 + \end{aligned} + \right) +\] +repräsentirt werden. Diese kann man durch Zusammenziehung der Glieder, +welche dieselbe Unbekannte enthalten, auf die Form +\begin{align*} +\tag{11.} +(\fraka, \frakp)_0 +&+ (\fraka, \frakp)_1 \MF{M}_1 + \dotsb + + (\fraka, \frakp)_{\mu\varrho}\, \MF{M}_{\mu\varrho} \\[1ex] +% +&+ (\fraka, \frakp)_{\mu\varrho+1} \MF{N}_1 + + \dotsb + (\fraka, \frakp)_{2\mu\varrho}\, \MF{N}_{\mu\varrho} = 0 +\end{align*} +bringen, wo die Ausdrücke $(\fraka, \frakp)_0$, $(\fraka, \frakp)_1$ u.~s.~w.\ sämmtlich Reihen von +der Form +\[ +g_0 + g_1 \sigma_{\fraka, 1} + g_2 \sigma_{\fraka, 2} + \dotsb +\] +sind. Bezeichnet man nun mit $\frakM_\frakm$ die Determinante des Systems, welches +aus dem folgenden +\[ +\tag{12.} +\left\{ \begin{array}{llll} + \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{$\overset{(0)}{(1, 0)_0\rule{0pt}{3ex}}$} +& \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{$\overset{(1)}{(1, 0)_1\rule{0pt}{3ex}}$} +& \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{$\overset{\mbox{\normalsize\dots}}{\dots\rule{0pt}{3ex}}$} +& \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{$ \overset{(2\mu\varrho)}{(1, 0)_{2\mu\varrho} \rule{0pt}{3ex}}$} +\\ \hdotsfor[2]{4} \\[.5ex] + (1, 2\mu-1)_0 & (1, 2\mu-1)_1 & \dotsc +& (1, 2\mu-1)_{2\mu\varrho} +\\ \hdotsfor[2]{4} \\ \hdotsfor[2]{4} \\ \hdotsfor[2]{4} \\[.5ex] + (\varrho, 0)_0 & (\varrho, 0)_1 & \dotsc +& (\varrho, 0)_{2\mu\varrho} +\\[.5ex] + (\varrho, 1)_0 & (\varrho, 1)_1 & \dotsc +& (\varrho, 1)_{2\mu\varrho} +\\ \hdotsfor[2]{4} \\[.5ex] + (\varrho, 2\mu-1)_0 & (\varrho, 2\mu-1)_1 & \dotsc +& (\varrho,2\,\mu-1)_{2\mu\varrho} +\end{array} \right\} +\] +dadurch sich ergiebt, daß man die mit $(\frakm)$ bezeichnete Vertikal-Reihe fortläßt, +und zugleich die darauf folgenden, ohne ihre Aufeinanderfolge zu ändern, vor +die mit $(0)$ überschriebenen setzt; so erhält man +\[ +\tag{13.} +\left\{ +\begin{alignedat}{4} + {\MF{M}_1} &= \dfrac{\frakM_1}{\frakM_0}, +& {\MF{M}_2} &= \dfrac{\frakM_2}{\frakM_0}, &\dotsc,\quad +& {\MF{M}_{\mu\varrho}} &= \dfrac{\frakM_{\mu\varrho}}{\frakM_0}\,, +\\[1ex] + {\MF{N}_1} &= \dfrac{\frakM_{\mu\varrho+1}}{\frakM_0},\quad +& {\MF{N}_2} &= \dfrac{\frakM_{\mu\varrho+2}}{\frakM_0},\quad &\dotsc,\quad +& {\MF{N}_{\mu\varrho}} &= \dfrac{\frakM_{2\mu\varrho}}{\frakM_0}\,, +\end{alignedat} +\right. +\] +wo $\frakM_0$, $\frakM_1$ u.~s.~w.\ als rationale und ganze aus $(\fraka, \frakp)_0$, $(\fraka, \frakp)_1$ u.~s.~w.\ +gebildete Ausdrücke gleich den letztern nach ganzen positiven Potenzen der +%% {-----File: 018.png---Folio 16-------} +Größen +\[ +\tag{14.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + & s'_1, && s'_2, && \dotsc, && s'_\varrho \\ + & s''_1, && s''_2, && \dotsc, && s''_\varrho \\ + \multispan{8}{\dotfill}\\ + & s^{(2\mu)}_1, \quad && s^{(2\mu)}_2, \quad && \dotsc, \quad && S^{(2\mu)}_\varrho +\end{alignedat}\right. +\] +in convergirende Reihen entwickelt werden können\footnote{% +Vergl.\ den Satz (5, B, §.~7) in der angeführten Abhandlung über die Facultäten.}. +Hier ist es nun von +besonderer Wichtigkeit, die Anfangsglieder dieser Reihen, d.~h.\ die Werthe, +welche sie annehmen, wenn die Größen~(14.) sämmtlich verschwinden, zu +ermitteln. Offenbar erhält man dieselben, die mit +\[ +\ofrakM_0, \quad \ofrakM_1, \quad \dotsc, \quad \ofrakM_{2\mu\varrho} +\] +bezeichnet werden mögen, wenn man bei der Bildung von $\frakM_0$, $\frakM_1$ u.~s.~w.\ +die Reihen für $(\fraka, \frakp)_0$, $(\fraka, \frakp)_1$ u.~s.~w.\ auf ihre Anfangsglieder reducirt, oder, +was dasselbe ist, wenn man die Gleichungen~(11.), die mit den unter (10.) +aufgestellten identisch sind, durch die folgenden ersetzt +\[ +\tag{15.} +\Underset{(\fraka=1,\ 2,\ \dotsc,\ \varrho)} +{\MF{F}_{\fraka, 0}=0, \quad \MF{F}_{\fraka, 1}=0, +\quad \dotsc, \quad \MF{F}_{\fraka, 2\mu-1}=0,} +\] +und dann aus den Coefficienten derselben $\ofrakM_0$, $\ofrakM_1$, u.~s.~w.\ so zusammensetzt, +wie $\frakM_0$, $\frakM_1$ u.~s.~w.\ aus den Coefficienten der Gleichungen~(11.). + +Nun sind aber $\MF{F}_{\fraka, 0}$, $\MF{F}_{\fraka, 1}$, u.~s.~w.\ die Coefficienten der Reihen-Entwicklung +von +\[ +f_{\fraka}(s)=\MF{M}_{\fraka}(s)\, \MF{R}_{\fraka}(s)+\MF{N}_{\fraka}(s), +\] +und die Gleichungen (15.) drücken also aus, daß die $(2\mu)$ ersten Glieder +derselben verschwinden sollen. Dies kann, da $\MF{N}_{\fraka}(s)$ und $\MF{M}_{\fraka}(s)$ gerade +Functionen von $s$ sind, $\MF{R}_{\fraka}(s)$ aber eine ungerade, in deren Entwicklung der +Coefficient von $s^1$ nicht Null ist, nur unter der Bedingung geschehen, daß in +den Entwicklungen von $\MF{M}_{\fraka}(s)$ und $\MF{N}_{\fraka}(s)$ nach Potenzen von $s$ alle Glieder +von einer niedrigern als der $(2\mu)$ten Ordnung verschwinden. Da aber $\MF{M}_{\fraka}(s)$ +und $\MF{N}_{\fraka}(s)$ aus $\MF{M}(x)$ und $\MF{N}(x)$ durch die Substitution +\[ +x=a_{\fraka} + \frac{\MF{P}'(a_{\fraka})}{\MF{Q}(a_{\fraka})}s^2 +\] +%% {-----File: 019.png---Folio 17-------} +hervorgehn, so muß man, damit die genannten Glieder Null werden, +\begin{alignat*}{4} + \MF{M}(a_\fraka) &= 0, \quad & \MF{M}'(a_\fraka) &= 0, & + \quad & \dotsc, \quad & \MF{M}^{(\mu-1)}(a_\fraka) &= 0, \\ + \MF{N}(a_\fraka) &= 0, \quad & \MF{N}'(a_\fraka) &= 0, & + \quad & \dotsc, \quad & \MF{N}^{(\mu-1)}(a_\fraka) &= 0 +\end{alignat*} +haben, d.~h.\ es müssen $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$ beide durch $(x-a_{\fraka})^{\mu}$ theilbar sein. Hiernach +sagen die Gleichungen (15.) aus, es sollen die Coefficienten von $\MF{M}(x)$ +und $\MF{N}(x)$ so bestimmt werden, daß beide durch +\[ +(x-a_1)^\mu(x-a_2)^\mu \dotsm (x-a_\varrho)^\mu = \MF{P}^\mu(x) +\] +theilbar werden. Dies kann aber, da $\MF{M}(x)$ vom $(\mu\varrho)$ten, $\MF{N}(x)$ vom $(\mu\varrho-1)$ten +Grade, und der Coefficient von $x^{\mu\varrho}$ in $\MF{M}(x)$ der Einheit gleich sein soll, nicht +anders geschehen, als wenn man +\[ +\MF{N}_1 = 0, \quad \MF{N}_2 = 0, \quad \dotsc, \quad \MF{N}_{\mu\varrho} = 0, +\] +und +\[ +\MF{M}(x)=\MF{P}^\mu(x) +\] +annimmt. Hiernach liefern die Gleichungen (15.) für $\MF{M}_1$, $\MF{N}_1$, $\MF{M}_2$, $\MF{N}_2$ u.~s.~w.\ +völlig bestimmte endliche Werthe. Daraus folgt zunächst, daß $\ofrakM_0$ oder das +Anfangsglied von $\frakm_0$ nicht Null sein kann, indem, wenn dieses der Fall wäre, +die Gleichungen (15.) entweder \textit{gar nicht}, oder auf \textit{mehr als eine} Weise +befriedigt werden könnten; und daher ergiebt sich +\[ +\tag{16.} +\left\{ +\begin{aligned} + & \ofrakM_0 x^{\mu\varrho} + \ofrakM_1 x^{\mu\varrho-1} + + \dotsb + \ofrakM_{\mu\varrho} = \ofrakM_0 \MF{P}^\mu(x), \\ + & \ofrakM_{\mu\varrho+1} = \ofrakM_{\mu\varrho+2} = \dots + = \ofrakM_{2\mu\varrho} = 0. +\end{aligned} +\right. +\] +Mithin kann man, wenn man +\[%[** missing \tag{17.}?] +\frac{\frakM_0}{\ofrakM} = \MF{M}_0 +\] +setzt, $\MF{M}(x)$ und $\MF{N}(x)$ auf die Form +\[ +\tag{18.} +\left\{ +\begin{aligned} + \MF{M}(x) &= \MF{P}^\mu(x) + \dfrac{\frakM(x)}{\MF{M}_0}, \\ + \MF{N}(x) &= \dfrac{\frakN(x)}{\MF{M}_0} +\end{aligned} +\right. +\] +bringen, wo jetzt $\frakM(x)$, $\frakN(x)$ ganze Functionen des $(2\mu\varrho-1)$ten Grades +von $x$ bedeuten, deren Coefficienten sich gleich wie $\MF{M}_0$ nach ganzen positiven +Potenzen der Größen (14.) in convergirende Reihen entwickeln lassen. Dabei +reducirt sich $\MF{M}_0$ auf die Einheit, wenn diese Größen sämmtlich den Werth +Null annehmen, während die Coefficienten von $\frakM(x)$ und $\frakN(x)$ dann ebenfalls +sämmtlich verschwinden. + +%% {-----File: 020.png---Folio 18-------} + +Hierzu bemerke ich noch Folgendes. Die Formel (7.) lehrt, indem +\[ +f_{\fraka}(s)=\MF{M}_{\fraka}(s)\, \MF{R}_{\fraka}(s)+\MF{N}_{\fraka}(s) +\] +und $\MF{N}_{\fraka}(s)$ eine gerade, $\MF{M}_{\fraka}(s)\,\MF{R}_{\fraka}(s)$ eine ungerade Function von $s$ ist, daß +für einen \textit{geraden} Werth von ${\frakm}$ +\[ +F_{\fraka, \frakm} \quad\text{die Form}\quad + f_1\MF{N}_1+f_2\MF{N}_2+ \dots + f_{\mu\varrho}\MF{N}_{\mu\varrho}, +\] +und für einen \textit{ungeraden} +\[ +F_{\fraka, \frakm} \quad\text{die Form}\quad + f_0 + f_1\MF{M}_1 + f_2\MF{M}_2 + \dotsb + f_{\mu\varrho}\MF{M}_{\mu\varrho}, +\] +hat. Ferner ist $\sigma_{\fraka, \frakn}$ eine gerade oder ungerade Function von $s'_\fraka$, $s''_\fraka$, $\dotsc,~s^{(2\mu)}_\fraka$, +jenachdem $\frakn$ eine gerade oder ungerade Zahl ist. Aus der Gleichung~(10.) +folgt daher, daß +\begin{alignat*}{4} +&(\fraka, \frakp)_0 && (\fraka, \frakp)_1 && \dots && (\fraka, \frakp)_{\mu\varrho} \quad \text{\textit{gerade},} +\intertext{und} +&(\fraka, \frakp)_{\mu\varrho+1} \quad && (\fraka, \frakp)_{\mu\varrho+2} \quad + && \dotsc \quad && (\fraka, \frakp)_{2\mu\varrho} \quad \text{\textit{ungerade}} +\end{alignat*} +Functionen der eben genannten Größen sind, wenn $\frakp$ eine \textit{ungerade} Zahl +ist; daß sich dies aber umgekehrt verhält, sobald $\frakp$ \textit{gerade} ist. Es ändert +sich also jeder Coefficient der Gleichungen~(11.) gar nicht, oder wechselt nur +sein Zeichen, wenn man $s'_\fraka$, $s''_\fraka$, $\dotsc,~s^{(2\mu)}_\fraka$ in +\[ +-s'_\fraka,\ -s''_\fraka,\ \dotsc,\ -s^{(2\mu)}_\fraka +\] +verwandelt; und zwar geht dadurch, wenn man mit +\[ +\overline{\frakm} \quad\text{die Zahl 0 oder 1} +\] +bezeichnet, je nachdem $\frakm \leqq \mu\varrho$ oder $\frakm > \mu\varrho$ ist, +\[ +(\fraka, \frakp)_\frakm \quad\text{in}\quad + \Pow{(-1)}{\frakp - 1 + \overline{\frakm}}(\fraka, \frakp)_\frakm +\] +über. Der Ausdruck $\frakM_\frakm$ ist nun ein Aggregat von Gliedern, deren jedes +die Form +\[ +\pm (\fraka_1, \frakp_1)_{\frakm_1}\, +%[** should be a_1 ?][F2: Typo corrected: a_\lambda to a_1 .] + (\fraka_2, \frakp_2)_{\frakm_2} + \dotsm + (\fraka_\lambda, \frakp_\lambda)_{\frakm_\lambda} +\] +hat, wo $\lambda=2\mu\varrho$ ist und die Reihe der Indices $\frakm_1$, $\frakm_2$, $\dotsc,~\frakm_\lambda$ sämmtliche +Zahlen der Reihe 0, 1, $\dotsc,~2\mu\varrho$ enthält, mit Ausnahme von $\frakm$, während für +\[ +\fraka_1, \frakp_1 \quad +\fraka_2, \frakp_2 \quad +\dotsc \quad +\fraka_\lambda, \frakp_\lambda +\] +die in der folgenden Zusammenstellung enthaltenen Verbindungen zu setzen sind: +\[ +\begin{array}{llll} +1,\ 0\quad & 1,\ 1 & \dotsc & 1,\ 2\mu-1, \\ +2,\ 0\quad & 2,\ 1 & \dotsc & 2,\ 2\mu-1, \\ +\hdotsfor[2]{4} \\ +\varrho,\ 0 & \varrho,\ 1 & \dotsc & \varrho,\ 2\mu-1. +\end{array} +\] +%% {-----File: 021.png---Folio 19-------} +Giebt man daher jeder der unter (14.) zusammengestellten Größen den entgegengesetzten +Werth, so erfährt das vorstehende Product dadurch dieselbe +Veränderung als wenn es mit +\[ +\Pow{(-1)}{\frakp_1 -1 + \frakp_2 -1 + \dotsb + \frakp_\lambda + - 1 + \overline{\frakm}_1 + \overline{\frakm}_2 + + \dots + \overline{\frakm}_\lambda} +\] +multiplicirt wird. Aber +\begin{gather*} + \frakp_1 + \frakp_2 + \dots + \frakp_\lambda = + \varrho\bigl(0 + 1 + 2 + \dots + (2\mu-1)\bigr) = \mu\varrho(2\mu-1), +\\ + \overline{\frakm}_1 + \overline{\frakm}_2 + \dots + + \overline{\frakm}_\lambda = \overline{0} + \overline{1} + +% [** PP: Widen overline to cover all three factors] + \dotsb + (\overline{2\mu\varrho}) - \overline{\frakm} = + \mu\varrho - \overline{\frakm}, +\end{gather*} +und daher +\[ +\Pow{(-1)}{\frakp_1 -1 + \dots + \frakp_\lambda - 1 + + \overline{\frakm}_1 + \dots + \overline{\frakm}_\lambda} += \Pow{(-1)}{2\mu\varrho(\mu-1)-\overline{\frakm}} += \Pow{(-1)}{\overline{\frakm}}. +\] +Man sieht also, daß die Glieder von $\frakM_\frakm$ nach der Zeichenänderung der +Größen (14.) sämmtlich unverändert bleiben, wenn $\frakm\raisebox{1ex}{\scalebox{1}[-1]{${}\leqq{}$}} \mu\varrho$, und nur ihr +Zeichen wechseln, wenn $\frakm > \mu\varrho$; d.~h.\ mit andern Worten, daß +\[ +\frakM_0, \quad \frakM_1, \quad \dotsc, \quad \frakM_{\mu\varrho} +\] +und somit auch $\MF{M}_0$ und die Coefficienten von $\frakM(x)$ \textit{gerade}, dagegen die +Coefficienten von $\frakN(x)$ \textit{ungerade} Functionen der genannten Größen sind. + +Hierdurch ist nun die Zusammensetzungsweise der Functionen $\MF{M}(x)$, +$\MF{N}(x)$ für den vorliegenden Zweck hinlänglich festgestellt. Aus denselben +kann man ferner die Function $\varphi(x)$ leicht erhalten. + +Da der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung (4, \S.~2) durch +$\mathit{\Pi}(x)$ theilbar ist, $\mathit{\Pi}(x)$ aber die Form +\[ +x^{\mu\varrho} + \mathfrak{P}_1 x^{\mu\varrho-1} + + \dotsb + \mathfrak{P}_{\mu\varrho} +\] +hat, wo $\mathfrak{P}_1$, $\mathfrak{P}_2$ u.~s.~w.\ ganze Functionen von $x'_1$, $x''_1$ u.~s.~w.\ und somit +auch der Quadrate von $s'_1$, $s''_2$ u.~s.~w.\ sind, von denen, nachdem man den +gedachten Ausdruck durch $\mathit{\Pi}(x)$ dividirt, in dem Quotienten nur ganze +positive Potenzen vorkommen; so sieht man, daß man +\[\tag{18.} +\varphi(x) = x^\varrho + \frac{\MF{P}^{(1)}}{\MF{M}_0^2}x^{\varrho-1} + + \frac{\MF{P}^{(2)}}{\MF{M}_0^2}x^{\varrho-2} + \dots + \frac{\MF{P}^{(\varrho)}}{\MF{M}_0^2} +\] +erhalten muß, wo $\MF{P}^{(1)}$, $\MF{P}^{(2)}$, $\dotsc,~\MF{P}^{(\varrho)}$ ganz dieselbe Gestalt haben wie die +Coefficienten von $\frakM(x)$. + +Man kann aber dieser Function noch eine andere, sehr bemerkenswerthe +Form geben. Setzt man nämlich in der Gleichung (4, \S.~2) +\[ +x = a_\fraka, \quad a_{\varrho+\fraka}, \quad a_{2\varrho+1}, +\] +%% {-----File: 022.png---Folio 20-------} +so erhält man +\[ +\tag{19.} +\left\{\begin{alignedat}{4} +\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)} + &= \frac{\MF{N}^2(a_\fraka)}{\mathit{\Pi}(a_\fraka)} + &&= \frac{\frakN^2(a_\fraka)}{\MF{M}_0^2\mathit{\Pi}(a_\fraka)}\;, +\\ +\frac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}{\MF{P}(a_{\varrho+\fraka})} + &= \frac{\MF{M}^2(a_{\varrho+\fraka})}{\mathit{\Pi}(a_{\varrho+\fraka})} + &&= \frac{\bigl(\MF{M}_0\,\MF{P}^\mu(a_{\varrho+\fraka})+\frakM(a_{\varrho+\fraka})\bigr)^2} + {\MF{M}_0^2\, \mathit{\Pi}(a_{\varrho+\fraka})}, +\\ +\frac{\varphi(a_{2\varrho+1})}{\MF{P}(a_{2\varrho+1})} + &= \frac{\MF{M}^2(a_{2\varrho+1})}{\mathit{\Pi}(a_{2\varrho+1})} + &&= \frac{\bigl(\MF{M}_0\,\MF{P}^\mu(a_{2\varrho+1})+\frakM(a_{2\varrho+1})\bigr)^2} + {\MF{M}_0^2\, \mathit{\Pi}(a_{2\varrho+1})}. +\end{alignedat}\right. +\] +Nun ist +\[ +\frac{1}{(a_\fraka-x'_\fraka) (a_\fraka-x''_\fraka) + \dotsm(a_\fraka-x^{(2\mu)}_\fraka)} = + \Biggl\{\biggl(\frac{\MF{P}'(a_\fraka)}{\MF{Q}(a_\fraka)}\biggr)^\mu + \centerdot \frac{1}{s'_\fraka s''_\fraka \dotsm s^{(2\mu)}_\fraka}\Biggr\}^2, +\] +und, wenn $\frakb$ von $\fraka$ verschieden, +\begin{gather*} + \frac{1}{(a_\fraka-x'_\frakb) + (a_\fraka-x''_\frakb) + \dotsm(a_\fraka-x^{(2\mu)}_\frakb)} + \\[1ex] + {}= \Biggl\{ \biggl( \frac{1}{a_\fraka-a_\frakb}\biggr)^\mu + \biggl(1 - \frac{x'_\frakb-a_\frakb} + { a_\fraka-a_\frakb} \biggr)^{-\frac{1}{2}} \dots + \biggl(1-\frac{x^{(2\mu)}_\frakb-a_\frakb} + { a_\fraka-a_\frakb} \biggr)^{-\frac{1}{2}}\Biggr\}^2. +\end{gather*} +Aber +\[ +\biggl(1-\frac{x'_\frakb-a_\frakb} + {a_\fraka-a_\frakb}\biggr)^{-\frac{1}{2}}, \qquad +\biggl(1-\frac{x''_\frakb-a_\frakb} + {a_\fraka-a_\frakb}\biggr)^{-\frac{1}{2}} \quad\text{u.~s.~w.} +\] +sind, weil $x'_\frakb$, $x''_\frakb$ u.~s.~w.\ sämmtlich in der Nähe von $a_\frakb$ sich befinden, nach +ganzen positiven Potenzen von $(x'_\frakb-a_\frakb)$, $(x''_\frakb-a_\frakb)$ u.~s.~w., und somit auch +von $s'^2_\frakb$, $s''^2_\frakb$ u.~s.~w.\ in convergirende Reihen entwickelbar. Folglich kann man +\[ +\frac{1}{\mathit{\Pi}(a_\fraka)} = + \frac{1}{\MF{Q}^{2\mu}(a_\fraka)} + \Biggl(\frac{\mathbf{S}_\fraka} + {s'_\fraka\,s''_\fraka\dots s^{(2\mu)}_\fraka}\Biggr)^2 +\] +setzen, wo $\mathbf{S}_\fraka$ eine convergirende, nur ganze positive und gerade Potenzen +der Größen~(14.) enthaltende Reihe bedeutet. In ähnlicher Weise findet man +\[ +\frac{1}{\mathit{\Pi}(a_{\varrho+\fraka})} = + \frac{\mathbf{S}^2_{\varrho+\fraka} } + { \MF{P}^{2\mu}(a_{\varrho+\fraka})}, \qquad +\frac{1}{\mathit{\Pi}(a_{2\varrho+1})} = + \frac{\mathbf{S}^2_{2\varrho+1}}{\MF{P}^{2\mu}(a_{2\varrho+1})}\;, +\] +wo $\mathbf{S}_{\varrho+\fraka}$, $\mathbf{S}_{2\varrho+1}$ Reihen von ähnlicher Gestalt wie $\mathbf{S}_\fraka$ bedeuten. + +Aus (19.) ergiebt sich nun +\[ +\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)} + = \Biggl( + \frac{\frakN(a_\fraka)\mathbf{S}_\fraka} + {\MF{Q}^\mu(a_\fraka)\, s'_\fraka\dotsm s^{(2\mu)}_\fraka \MF{M}_0} + \Biggr)^2, +\] +und aus (18.) +\[ +\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)} + = \frac{\varphi^{(\fraka)}}{\MF{M}_0^2}, +\] +wo $\varphi^{(\fraka)}$ eine nur ganze positive Potenzen von $s'_1$, $s''_1$, u.~s.~w.\ enthaltende +Reihe bezeichnet. Mithin muß +%% {-----File: 023.png---Folio 21-------} +\[ +\varphi^{(\fraka)} + = \Biggl( + \frac{\frakN(a_{\fraka}) \mathbf{S}_{\fraka}} + {\MF{Q}^\mu(a_\fraka)\, s'_\fraka\dotsm s^{(2\mu)}_\fraka} + \Biggr)^2, +\] +und daher $\frakN(a_{\fraka}) \mathbf{S}_{\fraka}$ durch + $s'_{\fraka} \dots s^{(2\mu)}_{\fraka}$ theilbar sein. Bemerkt man nun, daß +$\frakN(a_{\fraka})$ eine ungerade, $\mathbf{S}_\fraka$, + $(s'_{\fraka} \dots s^{(2\mu)}_{\fraka})$, $\MF{M}_0$, $\frakM(a_{\varrho+\fraka})$, + $\frakM(a_{2\varrho+1})$ aber gerade +Functionen der Größen (14.) sind, so erkennt man, daß man +\[ +\tag{20.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + & \frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)} &&= + \Biggl\{ \frac{\mathbf{S}^{(\fraka)}_1 + + \mathbf{S}^{(\fraka)}_3 + \dots + + \mathbf{S}^{(\fraka)}_{2\frakm-1} + \dotsb} + {1 + \mathbf{S}^{(0)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb} + \Biggr\}^2 = \varphi^2_\fraka\;, + \\[1ex] + & \frac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}{\MF{P}(a_{\varrho+\fraka})} &&= +%[** PP: Fixed index; see Changenotetext below] + \Biggl\{ \frac{ \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_0 + + \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_2 + \dots + + \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_{2\frakm} + \dotsb} + {1 + \mathbf{S}^{(0)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb} + \Biggr\}^2 = \varphi^2_{\varrho+\fraka}\;,\qquad\Changenotemark + \\[1ex] + & \frac{\varphi(a_{2\varrho+1})}{\MF{P}(a_{2\varrho+1})} &&= + \Biggl\{\frac{ \mathbf{S}^{(2\varrho+1)}_0 + + \mathbf{S}^{(2\varrho+1)}_2 + \dots + + \mathbf{S}^{(2\varrho+1)}_{2\frakm} + \dotsb} + {1 + \mathbf{S}^{(0)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb} + \Biggr\}^2 = \varphi^2_{2\varrho+1}\;. % [** PP: Added period] +\end{alignedat}\right. +\] +hat, wo $\mathbf{S}^{(\frakr)}_{\frakm}$ eine ganze homogene Function $\frakm$ten Grades der Größen +% [** PP: Note text prints on following page] +\Changenotetext{$\dfrac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}{\MF{P}(a_{\fraka})}=% +\Biggl\{ \dfrac{ \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_0 % ++ \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_{2\frakm} + \dotsb}% +{1 + \mathbf{S}^{(0)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb}% +\Biggr\}^2 = \varphi^2_{\varrho+\fraka}$}% +\[ +\tag{21.} +\left\{\begin{array}{llll} +s'_1, & s''_1, & \dotsc, & s^{(2\mu)}_1 \\[0.5ex] +s'_2, & s''_2, & \dotsc, & s^{(2\mu)}_2 \\ +\hdotsfor[2]{4} \\ +s'_\varrho, & s''_\varrho, & \dotsc, & s^{(2\mu)}_\varrho +\end{array}\right. +\] +bezeichnen soll. Es ist aber +\[ +\tag{22.} +\frac{\varphi(x)}{\MF{P}(x)} + = 1 + \sum \frac{\varphi(a_\fraka)}{(x-a_\fraka)\MF{P}'(a_\fraka)}; +\] +und so erhält man +\[ +\tag{23.} +\varphi(x) = \MF{P}(x) - \sum \left\{ + \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} \centerdot + \frac{\MF{P}(x)}{x-a_\fraka}\, \varphi^2_\fraka\right\}. % [** PP: Added period] +\] +Drückt man nun die Größen (21.) durch die folgenden +\[ +\tag{24.} +\left\{\begin{array}{llll} +\MF{u}'_1, & \MF{u}''_1, & \dotsc, & \MF{u}^{(2\mu)}_1 \\[0.5ex] +\MF{u}'_2, & \MF{u}''_2, & \dotsc, & \MF{u}^{(2\mu)}_2 \\ +\hdotsfor[2]{4} \\ +\MF{u}'_\varrho, & \MF{u}''_\varrho, & \dotsc, & \MF{u}^{(2\mu)}_\varrho \\ +\end{array}\right. +\] +aus (vermittelst der Formeln (4.) des §.~1), so erhält man +% [** Omitting redundant parentheses around radicands] +\[ +\tag{25.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + & \varphi_\fraka &&= + \sqrt{ \frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)} } &&= + \frac{\MF{U}^{(\fraka)}_1 + \MF{U}^{(\fraka)}_3 + \dots + + \MF{U}^{(\fraka)}_{2\frakm-1} + \dotsb} + {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb } + \\[1ex] + & \varphi_{\varrho+\fraka} &&= + \sqrt{ \frac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})} + {\MF{P}(a_{\varrho+\fraka})} } &&= + \frac{\MF{U}^{(\varrho+\fraka)}_0 + \MF{U}^{(\varrho + \fraka)}_2 + \dots + + \MF{U}^{(\varrho + \fraka)}_{2\frakm} + \dotsb} + {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb } + \\[1ex] + & \varphi_{2\varrho+1} &&= + \sqrt{ \frac{\varphi(a_{2\varrho+1})} + {\MF{P}(a_{2\varrho+1})} } &&= + \frac{\MF{U}^{(2\varrho+1)}_0 + \MF{U}^{(2\varrho + 1)}_2 + \dots + +%[**F2: Should first term be U.._0 ?][** PP: Yes, change made] + \MF{U}^{(2\varrho + 1)}_{2\frakm} + \dotsb} + {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb } +\end{alignedat}\right. +\] +%% {-----File: 024.png---Folio 22-------} +\[ +\tag{26.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + \MF{M}(x) &= {}& \MF{P}^\mu(x) + {}& + \frac{\MF{U}_2(x) + \dots + \MF{U}_{2\frakm}(x) + \dotsb} + {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb}, + \\[1ex] + \MF{N}(x) &= && \frac{\MF{U}_1(x) + \dots + \MF{U}_{2\frakm +1}(x) + \dotsb} + {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb}, +\end{alignedat}\right. +\] +wo jetzt %[** typo: jetzt?][** PP: Yes, fixed] +$\MF{U}^{(\frakr)}_\frakm$, $\MF{U}_\frakm(x)$ ganze homogene Functionen $\frakm$ten Grades der Größen~(24.) +sind, die zweite aber zugleich auch eine ganze Function $\bigl((\mu\varrho-1)$ten Grades$\bigr)$ +von $x$ ist, und sämmtliche in diesen Ausdrücken vorkommenden unendlichen +Reihen unbedingt convergiren, sobald die absoluten Werthe der genannten +Veränderlichen unterhalb der oben für sie festgesetzten Gränzen liegen.\footnote{% +Wenn $\MF{F}(s_1, s_2, \dotsc)$ eine Function mehrerer veränderlichen Größen $s_1$, $s_2$, $\dotsc$ +ist, die für alle Werthe derselben, die ihrem absoluten Betrage nach unter gewissen +Gränzwerthen $\mathbf{S}_1$, $\mathbf{S}_2$, $\dotsc$ liegen, durch eine convergirende Reihe von der Form +\[ +\underset{\mbox{\scriptsize$\frakn_1 = 0\dotsc\infty,\ \frakn_2 = 0\dotsc\infty, \dotsc$}} +{\mathbf{S}\left\{\MF{A}(\frakn_1, \frakn_2, \dotsc) + s^{\frakn_1}_1 s^{\frakn_2}_2\dotsm\right\}} +\] +dargestellt werden kann; und man substituirt für $s_1$, $s_2$, $\dotsc$ ebenso gebildete Potenz-Reihen +beliebig vieler anderer Veränderlichen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$, und ordnet nach Potenzen +dieser letztern; so convergirt die so sich ergebende Reihe, sobald man für die absoluten +Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$ solche Gränzen festsetzt, daß nicht nur die Reihen für $s_1$, $s_2$, $\dotsc$ % +sämmtlich convergent sind, sondern ihre Summen auch zu denjenigen Werthen von +$s_1$, $s_2$, $\dotsc$ gehören, für welche die angegebene Darstellung von $\MF{F}(s_1, s_2, \dotsc)$ gültig ist.} %endfootnote +Dabei +kann man bemerken, daß die Coefficienten von $\MF{U}^{(\frakr)}_\frakm$ und $\MF{U}_\frakm(x)$ aus +$a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$, und den Coefficienten von $\MF{Q}(x)$ rational zusammengesetzt +sind, wie man leicht sieht, wenn man die vorhergehenden Entwicklungen in +dieser Beziehung überblickt. + + +\Section{} % \S.~4. + +Nachdem nun ermittelt worden, welche Gestalt die Coefficienten von +$\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$, $\varphi(x)$, als Functionen von $\MF{u}'_1$, $\MF{u}''_1$ u.~s.~w.\ betrachtet, haben\footnote{% +Wenn man die in Rede stehenden Größen direct durch Auflösung der Gleichungen +(3, §.~2) bestimmen, und in den so sich ergebenden Formeln $x'_1$, $x''_1$, \dots +$\sqrt{\MF{R}(x'_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x''_1)}$, $\dotsc$ durch $\MF{u}'_1$, $\MF{u}''_1$, $\dotsc$ ausdrücken wollte, so würden sie die Gestalt +von Brüchen erhalten, bei denen Zähler und Nenner gleichzeitig verschwänden, sobald man +in zweien oder mehreren der unter (1, §.~2) aufgestellten Reihen die gleichstelligen Glieder +einander gleich setzte. Um diesen Uebelstand zu vermeiden, der sich schon bei Anwendung +des \Auth{Abel}'schen Theorems zur Herleitung der sog. Additions-Formeln für die +elliptischen Functionen zeigt, ist das im vorhergehenden §.~auseinandergesetzte, allerdings +etwas umständliche Verfahren gewählt worden. Wie man übrigens die Gleichungen (3, §.~2), +auch ohne $\sqrt{\MF{R}(x'_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x''_1)}$, $\dotsc$ in unendliche Reihen aufzulösen, so umformen kann, +daß derselbe Zweck erreicht wird, soll für den besonders wichtigen Fall, wo $\mu=1$ ist, +später gezeigt werden. +}, %endfootnote +kehre ich zu den Gleichungen (8.) des §.~2. zurück. + +%% {-----File: 025.png---Folio 23-------} + +Wenn die Größen (1.) des §.~2. sämmtlich verschwinden, so reduciren +sich, nach den Formeln (25, §.~3) $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\dotsc,~\varphi_\varrho$ ebenfalls sämmtlich auf +Null, und daher (nach (23.) desselben §.) $\varphi(x)$ auf $\MF{P}(x)$, so daß alsdann +$x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ die Werthe $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ erhalten. Man kann daher +$x_\fraka-a_\fraka$, $\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}$ -- die letztere Größe mit Hülfe der Formel (7, §.~2) -- bei +hinlänglich kleinen Werthen der genannten Veränderlichen nach ganzen +positiven Potenzen derselben in Reihen entwickeln, die gleichzeitig mit ihnen verschwinden, +und $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ als in der Nähe beziehlich von $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ +liegend betrachten. Dann aber führen die Gleichungen (8, §.~2) indem man +ganz denselben Weg verfolgt wie bei den Entwicklungen des §.~1., und wieder +\[ +\sqrt{\biggl( + \frac{\MF{P}'(a_\fraka)}{\MF{Q}(a_\fraka)}(x_\fraka-a_\fraka) +\biggr)} += s_\fraka +\] +setzt, zu den folgenden +\begin{gather*} + \MF{u}'_\frakb + \MF{u}''_\frakb + \dotsb \MF{u}^{(2\mu)}_\frakb + = s_\frakb + \Underset{\frakn = 1 \dots \infty} + {\mathbf{S}\Biggl\{ + \sum_\fraka \frac{(\fraka, \frakb)_\frakn}{2\frakn+1}s_\fraka^{2\frakn+1} + \Biggr\} + } + \quad (\frakb = 1, \dotsc, \varrho), +\\ + \frac{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}{\MF{Q}(x_\fraka)} = + s_\fraka + (\fraka)_1 s^3_\fraka + \dotsb, +\end{gather*} +und man sieht daher, daß man, unter der Voraussetzung, es seien nicht nur +$\MF{u}'_\fraka$, $\MF{u}''_\fraka$, $\dotsc,~\MF{u}^{(2\mu)}_\fraka$, sondern auch + $\MF{u}'_\fraka + \MF{u}''_\fraka + \dots + \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka$ dem absoluten Betrage +nach kleiner als $\MF{U}_\fraka$, durch Auflösung der Gleichung $\varphi(x)=0$ und Anwendung +der Formel (7, §.~2) zu denselben Werthen von $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, +$\sqrt{\MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x_2)}$, $\dotsc,~\sqrtRx$ gelangen muß, die man für diese Größen +vermittelst der Formeln (4, 5, §.~1) erhält, wenn man in diesen +\begin{alignat*}{10} + \MF{u}'_1 &+ \MF{u}''_1 &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_1 &\quad\text{an die Stelle von}\quad && \MF{u}_1 \\ + \MF{u}'_2 &+ \MF{u}''_2 &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_2 +&\text{\phantom{ }\rlap{\;--}\phantom{an d}\rlap{--}\phantom{ie St}\rlap{--}\phantom{elle }\rlap{\:--}\phantom{von }} +&& \MF{u}_2 \\ +\multispan{10}{\dotfill}\\ + \MF{u}'_\varrho &+ \MF{u}''_\varrho &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_\varrho +&\text{\phantom{ }\rlap{\;--}\phantom{an d}\rlap{--}\phantom{ie St}\rlap{--}\phantom{elle }\rlap{\:--}\phantom{von }} +&& \MF{u}_\varrho \\ +\end{alignat*} +setzt. Aus den so eben angeführten Formeln erhält man ferner +\[ +%[**F2: Changing surd to sqrt made the braces redundant, so I removed them; also the parens in the paragraph at the top of the page.] +\tag{1.} +\left\{\begin{gathered} +\sqrt{ +\frac{(a_\fraka-x_1) (a_\fraka-x_2)\dots (a_\fraka-x_\varrho)} + {-\MF{Q}(a_\fraka)} +} +\\ += \MF{u}_\fraka + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\fraka)}_3 + \dots + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\fraka)}_{2\frakm-1} + \dotsb, +\\[2ex] +\sqrt{ +\frac{(a_{\varrho+\fraka}-x_1) (a_{\varrho+\fraka}-x_2) \dots (a_{\varrho+\fraka}-x_\varrho)} + {\MF{P}(a_{\varrho + \fraka})} +} +\\ += 1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\varrho + \fraka)}_2 + \dots + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\varrho + \fraka)}_{2\frakm} + \dotsb, +\\[2ex] +\sqrt{ +\frac{(a_{2\varrho+1}-x_1) (a_{2\varrho+1}-x_2) \dots (a_{2\varrho+1}-x_\varrho)} + {\MF{P}(a_{2\varrho+1})} +} +\\ += 1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(2\varrho+1)}_2 + \dots + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(2\varrho+1)}_{2\frakm} + \dotsb, +\end{gathered}\right. +\] +%% {-----File: 026.png---Folio 24-------} +wo wieder $(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\frakr)}_\frakm$ eine homogene ganze Function $\frakm$ten Grades von +$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ bedeutet, deren Coefficienten aus denen von $\MF{Q}(x)$, und aus +$a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ rational zusammengesetzt sind. Macht man nun in diesen +Ausdrücken die angegebene Substitution, so ersieht man aus der Vergleichung +der so hervorgehenden Formeln mit den unter (25.) des vorhergehenden §. +aufgestellten, wenn man die letztern nach Potenzen von $\MF{u}'_1$, $\MF{u}''_1$, u.~s.~w.\ sich +entwickelt denkt, daß +\[ +\MF{U}_1^{(\fraka)} = \pm(\MF{u}'_\fraka + \MF{u}''_\fraka + \dots + \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka), +\quad \MF{U}^{(\varrho+\fraka)}_0 = \pm 1, +\quad \MF{U}^{(2\varrho+1)}_0 = \pm 1 +\] +sein muß. Setzt man nun fest, es solle jeder der Wurzelgrößen +\[ +% [** PP: Omitting redundant parentheses around radicands] +\sqrt{\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)}}, \quad +\sqrt{\frac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}{\MF{P}(a_{\varrho+\fraka})}},\quad +\sqrt{\frac{\varphi(a_{2\varrho+1})}{\MF{P}(a_{2\varrho+1})}} +\] +von den beiden Werthen, die sie haben kann, derjenige beigelegt werden, +bei dem in den vorstehenden Formeln die obern Zeichen gelten, so sind dieselben +jetzt als völlig bestimmte eindeutige Functionen von $\MF{u}'_1$, $\MF{u}''_1$ u.~s.~w.\ zu +betrachten, welche bei hinlänglich kleinen Werthen dieser Veränderlichen mit +den unter (1.) aufgestellten übereinstimmen, wofern man in den letztern +\begin{alignat*}{8} + \MF{u}_1 &= \MF{u}'_1 &&+ \MF{u}''_1 &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_1 \\[0.5ex] + \MF{u}_2 &= \MF{u}'_2 &&+ \MF{u}''_2 &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_2 \\ + \multispan{8}{\dotfill} \\ + \MF{u}_\varphi &= \MF{u}'_\varphi &&+ \MF{u}''_\varphi &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_\varphi +\end{alignat*} +setzt. + +Angenommen nun, man habe für die absoluten Werthe der veränderlichen +Größen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ irgend welche Gränzen $\MF{T}_1$, $\MF{T}_2$, $\dotsc,~\MF{T}_\varrho$, die +sie nicht überschreiten sollen, festgestellt, so kann man die Zahl $\mu$ so groß +annehmen, daß +\[ +\MF{T}_1 < 2\mu \MF{U}_1, \quad \MF{T}_2 < 2\mu \MF{U}_2, \quad \dotsc, \quad \MF{T}_\varrho < 2\mu \MF{U}_\varrho. +\] +Dann darf man +\begin{alignat*}{10} + \MF{u}'_1 &= \MF{u}''_1 &&= \dotsb &&= \MF{u}^{(2\mu)}_1 + &&= \frac{\MF{u}_1}{2\mu}\;, \\[1ex] + \MF{u}'_2 &= \MF{u}''_2 &&= \dotsb &&= \MF{u}^{(2\mu)}_2 + &&= \frac{\MF{u}_2}{2\mu}\;, \\ + \multispan{10}{\dotfill} \\ + \MF{u}'_\varrho &= \MF{u}''_\varrho &&= \dotsb &&= \MF{u}^{(2\mu)}_\varrho + &&= \frac{\MF{u}_\varrho}{2\mu} +\end{alignat*} +setzen, und es werden, wenn man die Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, in +%% {-----File: 027.png---Folio 25-------} +welche dadurch die Ausdrücke auf der rechten Seite der Gleichungen~(25.) +des vorhergehenden §. sich verwandeln, mit +\[ +\varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_1 \quad +\varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2 \quad +\dots \quad +\varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho+1}, +\] +oder auch kürzer mit +\[ +\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_1 \quad +\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_2 \quad +\dots \quad +\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_{2\varrho+1}, +\] +bezeichnet, dieselben die Gestalt +\[ +\tag{2.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + & \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka + &&= \frac{\MF{u}_\fraka + \frakU_3^{(\fraka)} + \dots + + \frakU_{2\frakm-1}^{(\fraka)} + \dotsb} + {1 + \frakU_2^{(0)} + \dots + \frakU_{2\frakm}^{(0)} + \dotsb} + \\[1ex] + & \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\varrho + \fraka} + &&= \frac{1 + \frakU_2^{(\varrho + \fraka)} + \dots + + \frakU_{2\frakm}^{(\varrho + \fraka)} + \dotsb} + {1 + \frakU_2^{(0)} + \dots + \frakU_{2\frakm}^{(0)} + \dotsb} + \\[1ex] + & \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho + 1} + &&= \frac{1 + \frakU_2^{(2\varrho + 1)} + \dots + + \frakU_{2\frakm}^{(2\varrho + 1)} + \dotsb} + {1 + \frakU_2^{(0)} + \dots + \frakU_{2\frakm}^{(0)} + \dotsb} +\end{alignedat}\right. +\] +haben, in welchen Formeln $\frakU_\frakm^{(\frakr)}$ eine ganze homogene Function $\frakm$ten Grades +von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ bedeutet, und die unendlichen Reihen, welche den Nenner +und die Zähler bilden, für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, die ihrem absoluten +Betrage nach die Gränzen $\MF{T}_1$, $\MF{T}_2$, $\dotsc,~\MF{T}_\varrho$ nicht überschreiten, unbedingt +convergent sind. Für hinlänglich kleine Werthe der genannten Veränderlichen +lassen sich $\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_1$, $\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_2,$ u.~s.~w.\ nach ganzen positiven +Potenzen derselben in convergirende Reihen entwickeln, welche mit den entsprechenden +unter (1.) aufgestellten übereinstimmen. + +Durch Auflösung der Gleichung +\[ +\varphi(x) = 0, +\] +wo +\[ +\tag{3.} +\varphi(x) = \MF{P}(x) - {\sum} \left\{ + \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} \centerdot + \frac{\MF{P}(x)}{x-a_\fraka} \varphi^2 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka \right\} +\] +ist, und man +\[ +\tag{4.} +% [** PP: Omitting redundant parentheses around radicands] +\left\{\begin{aligned} + \sqrt{ + \frac{\varphi(a_\fraka)}{\ -\MF{Q}(a_\fraka)\ } } + &= \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka + \\ + \sqrt{ + \frac{\varphi(a_{\varrho + \fraka})}{\,\MF{P}(a_{\varrho + \fraka})\ } } + &= \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\varrho + \fraka} + \\ + \sqrt{ + \frac{\varphi(a_{2\varrho + 1})}{\MF{P}(a_{2\varrho + 1})} } + &= \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho + 1} +\end{aligned}\right. +\] +hat, ergeben sich sodann $\varrho$ Größen $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, welche den Differential-Gleichungen +%% {-----File: 028.png---Folio 26-------} +\[ +\tag{5.} +\left\{\begin{aligned} + d\MF{u}_1 &= {\sum \frac{1}{2}}\, + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a_1} \centerdot + \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} } + \\[1ex] + d\MF{u}_2 &= {\sum \frac{1}{2}}\, + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a_2} \centerdot + \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} } + \\[1ex] + \multispan{2}{\dotfill} + \\[1ex] + d\MF{u}_\varrho &= {\sum \frac{1}{2}}\, + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a_\varrho} \centerdot + \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} } +\end{aligned}\right. +\] +genügen, und zugleich die Werthe $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ annehmen, wenn $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, +$\dotsc$, $\MF{u}_\varrho$ sämmtlich verschwinden. Die Werthe, welche die Wurzelgrößen in +diesen Gleichungen haben müssen, erhält man ohne Zweideutigkeit, indem +man mit +\[ +\MF{M}(x, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho), \quad \MF{N}(x, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) +\] +die Functionen bezeichnet, in welche die Ausdrücke (26, §.~3) durch die angegebene +Substitution übergehen, durch die Formel +\[ +\tag{6.} +\frac{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} }{\MF{Q}(x_\fraka)} = + \frac{\MF{N}(x_\fraka, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)} + {\MF{M}(x_\fraka, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)} + \quad (\fraka = 1, 2, \dotsc, \varrho). +\] + +Hierzu ist jetzt noch eine wesentliche Bemerkung zu machen. Der +Nenner und die Zähler in den Ausdrücken von +\[ +\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_1 \quad \varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_2 \quad \text{u.~s.~w.} +\] +hängen, außer von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, \dots{} noch von der Zahl $\mu$ ab. Gleichwohl läßt +sich nachweisen, daß die Werthe dieser Functionen selbst stäts dieselben +bleiben, welchen Werth man auch dieser Zahl geben möge, wenn derselbe +nur groß genug genommen wird, um die in den in Rede stehenden Ausdrücken +vorkommenden Reihen convergent zu machen. + +Wenn nämlich $\MF{F}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)$, $\MF{G}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)$, $\MF{F}'(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)$, $\MF{G}'(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)$ +eindeutige Functionen mehrerer Veränderlichen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$ sind, die sich nach +ganzen positiven Potenzen derselben in Reihen entwickeln lassen, und es gilt +die Gleichung +\[ +\frac{\MF{F}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)}{\MF{G}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)} = +\frac{\MF{F}'(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)}{\MF{G}'(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)} +\] +für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner +als gewisse Größen sind; so muß sie überhaupt für alle Werthe der genannten +Veränderlichen bestehen, bei denen die Reihen für $\MF{F}$, $\MF{G}$, $\MF{F}'$, $\MF{G}'$ sämmtlich +convergiren. Denn es folgt aus ihr +\[ +\MF{F}\MF{G}' = \MF{G}\MF{F}', +\] +%% {-----File: 029.png---Folio 27-------} +und wenn diese Gleichung für beliebige unendlich kleine Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, \dots{} +richtig sein soll, so müssen die Reihen, in welche $\MF{F}\MF{G}'$ und $\MF{G}\MF{F}'$ nach ganzen +positiven Potenzen dieser Größen entwickelbar sind, in den gleichstelligen +Coefficienten übereinstimmen, woraus denn folgt, daß sie, und mit ihr auch +die ursprüngliche +\[ +\frac{\MF{F}}{\MF{G}} = \frac{\MF{F}'}{\MF{G}'} +\] +gilt, sobald nur $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, \dots{} solche Werthe haben, daß die Entwicklungen von +$\MF{F}$, $\MF{G}$, $\MF{F}'$, $\MF{G}'$ sämmtlich convergent sind. + +Bezeichnet man nun die Reihen, welche in dem Ausdrucke irgend +einer der Functionen $\varphi(\MF{u}_1,\dotsc)_1$, $\varphi(\MF{u}_1,\dotsc)_2$ u.~s.~w., bei einem bestimmten +Werthe von $\mu$, den Zähler und den Nenner bilden, mit $\MF{F}$, $\MF{G}$, sowie mit $\MF{F}'$, +$\MF{G}'$ dieselben Reihen für irgend einen andern Werth von $\mu$, so stimmen, nach +dem oben Bemerkten, die Reihen, in welche die Brüche +\[ +\frac{\MF{F}}{\MF{G}}\;, \quad \frac{\MF{F}'}{\MF{G}'} +\] +bei hinlänglich kleinen Werthen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ entwickelt werden können, +vollständig überein, und es besteht daher die Gleichung +\[ +\frac{\MF{F}}{\MF{G}} = \frac{\MF{F}'}{\MF{G}'} +\] +jedenfalls für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, deren absoluten Beträge kleiner +als gewisse Größen sind, und somit, nach dem so eben Bewiesenen, überhaupt +für diejenigen Werthe dieser Veränderlichen, bei denen die Reihen $\MF{F}$, $\MF{G}$, +$\MF{F}'$, $\MF{G}'$ alle vier convergiren -- wodurch die Richtigkeit des Behaupteten +dargethan ist. + +In ähnlicher Weise läßt sich ferner zeigen, daß man nach Bestimmung +von $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ auch für die Wurzelgrößen $\sqrt{\MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x_2)}$, +$\dotsc,~\sqrtRx$ vermittelst der Formel (6.) stäts dieselben Werthe erhalte, welche +Zahl $\mu$ man auch bei Bildung der Functionen $\MF{M}$, $\MF{N}$ anwenden möge. Es +ist aber bemerkenswerth, daß man aus der Function $\varphi(x)$ eine andere vom +$(\varrho-1)$ten Grade und mit Coefficienten von demselben analytischen Charakter +wie die von $\varphi(x)$ selbst ableiten kann, welche jene Wurzelgrößen liefert, +wenn man $x=x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ setzt. + +Es werde $\dfrac{\partial\varphi(x)}{\partial x} = \varphi'(x)$ gesetzt, und nachdem man die Gleichung +\[ +d\MF{u}_\frakb = {\sum\limits_\frakc\frac{1}{2}}\, + \frac{\MF{P}(x_\frakc)}{x_\frakc-a_\frakb} \centerdot + \frac{dx_\frakc}{\sqrt{\MF{R}(x_\frakc)}} +\] +%% {-----File: 030.png---Folio 28-------} +mit +\[ +\frac{\varphi(a_\frakb)}{(x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb)}. +\] +multiplicirt, auf beiden Seiten in Beziehung auf $\frakb$ summirt. Dies giebt +\[ + {\sum\limits_\frakb} + \frac{ \varphi(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_{\frakb}) } \centerdot + \frac{ d\MF{u}_\frakb }{ x_\fraka - a_\frakb } += {\sum\limits_{\frakb,\frakc} \frac{1}{2}}\, + \frac{ \varphi(a_\frakb) \MF{P}(x_\frakc) } + { (x_\fraka - a_\frakb) + (x_\frakc - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) } + \centerdot \frac{ dx_\frakc }{ \sqrt{\MF{R}(x_\frakc)} }. +%/** F2 that sqrt is a standalone surd, but sqrt{R(x)} conveys the meaning **/ +\] +Nun ist aber +\[ + \frac{\varphi(x)}{ (x_\fraka - x) \MF{P}(x) } += {\sum\limits_\frakb} + \frac{ \varphi(a_\frakb) } + { (x_\fraka - a_\frakb) + (x - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb)}\;, +\] +und daher, wenn man $x = x_\frakc$ setzt, +\begin{align*} + {\sum\limits_\frakb} + \frac{ \varphi(a_\frakb) } + { (x_\frakc - a_\frakb) + (x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) } &= 0, +\quad\text{wofern } \frakc \gtrless \fraka +\\ +\text{und } + {\sum\limits_\frakb} + \frac{ \varphi(a_\frakb) } + { (x_\fraka - a_\frakb) + (x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) } +&= -\frac{ \varphi'(x_\fraka) }{ \MF{P}(x_\fraka) }. +\end{align*} +Hiernach reducirt sich die rechte Seite der vorhergehenden Differential"=Gleichung +auf +\[ +-\frac{1}{2}\, \frac{\varphi'(x_\fraka)\, dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}, +\] +und man erhält +\[ + \varphi'(x_\fraka)\, dx_\fraka += -2 {\sum\limits_\frakb} + \frac{\varphi(a_\fraka) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + {(x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb)}\, d\MF{u}_\frakb. % [** PP: Added period] +\] +Hieraus folgt +\begin{align*} + \varphi'(x_\fraka) + \frac{ \partial x_\fraka }{ \partial \MF{u}_\frakb } +&= -\frac{ 2\varphi(a_\frakb) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} } + { (x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) }\;, +\\[1ex] +-\sum_\frakb \varphi'(x_\fraka)\frac{\partial x_\fraka }{\partial\MF{u}_\frakb} +&= 2\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} \centerdot + \sum_\frakb \frac{\varphi(a_\frakb)} + {(x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb)}. %[** PP: Added period] +\end{align*} +Aber +\[ +\frac{\varphi(x)}{\MF{P}(x)} + = 1 + \sum_\frakb \frac{\varphi(a_\frakb)}{(x-a_\frakb)\MF{P}'(a_\frakb)}\;, +\] +und daher für $x = x_\fraka$ +\[ +\sum_\frakb\frac{\varphi(a_\frakb)}{(x_\fraka - a_\frakb)\MF{P}'(a_\frakb)} + = -1. %[** PP: Added period] +\] +Folglich +\[ +\sum_\frakb\varphi'(x_\fraka)\frac{\partial x_\fraka}{\partial\MF{u}_\frakb} + = 2\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}. %[** PP: Added period] +\] +Nun ist, nach dem Vorhergehenden, $\varphi(x)$ eine eindeutige Function von $x$ +und $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, und man hat, weil $\varphi(x_\fraka)=0$ ist, +\[ + \varphi'(x_\fraka) + \frac{\partial x_\fraka}{\partial \MF{u}_\frakb} += -\biggl( \frac{\partial \varphi(x)} + {\partial \MF{u}_\frakb} \biggr)_{x=x_\fraka}. %[** PP: Added period] +\] +%% {-----File: 031.png---Folio 29-------} +Somit giebt die vorhergehende Gleichung, wenn man +\[ +\tag{7.} +\frac{1}{2}\, \biggl( + \frac{\partial\varphi(x)}{\partial\MF{u}_1} + + \frac{\partial\varphi(x)}{\partial\MF{u}_2} + \cdots + + \frac{\partial\varphi(x)}{\partial\MF{u}_{\varrho}} + \biggr) = \psi (x) +\] +setzt, wo dann $\psi(x)$ eine ganze Function $(\varrho-1)$ten Grades von $x$ ist, deren +Coefficienten gleich denen von $\varphi(x)$ eindeutige Functionen der Größen $\MF{u}_1$, +$\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ sind, +\[ +\tag{8.} +\sqrt{\MF{R}(x_{\fraka})} + = -\psi(x_\fraka)\quad (\fraka = 1, 2, \dotsc, \varrho). +\] +Da nun die Werthe der Coefficienten von $\varphi(x)$, die aus den Functionen +$\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_1$, $\dotsc,~\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_\varrho$ zusammengesetzt werden, von $\mu$ unabhängig sind, +so gilt dasselbe auch hinsichtlich der Coefficienten von $\varphi(x)$. Und so ist erwiesen, +daß die Werthe der Größen +\[ +x_1, x_2, \dotsc, x_{\varrho},\ +\sqrt{\MF{R}(x_1)}, \sqrt{\MF{R}(x_2)}, \dotsc, \sqrtRx, +\] +wenn man dieselben vermittelst der im Vorhergehenden entwickelten Formeln +berechnet, nur von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, in keinerlei Weise aber von der dabei +gebrauchten Zahl $\mu$ abhängen. %[** PP: umlaut added] + +Die Functionen $\varphi (\MF{u}_1, \dotsc)_1$, $\varphi (\MF{u}_1, \dotsc)_2$, u.~s.~w., auf welche, der vorstehenden +Darstellung nach, das \Auth{Abel}'sche Theorem fast mit Nothwendigkeit +führt, können durch die Formeln~(2.) für \textit{alle} Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ +als vollständig definirt betrachtet werden, indem man, wie auch die letztern +angenommen werden mögen, stäts $\mu$ so groß wählen kann, daß die in den +Ausdrücken jener Functionen vorkommenden unendlichen Reihen convergiren. +Für $\varrho = 1$ gehen sie, wenn +\[ +\sqrt{(a_3 - a_1)\MF{A}_0}\centerdot \MF{u}_1 = \MF{u} +\] +gesetzt wird, in die \textit{elliptischen} +\[ + \sin\am\MF{u} \qquad \cos\am\MF{u} \qquad \varDelta\am\MF{u} +\] +% [** PP: Manually hyphenating Abel'sche] +über. Aus diesem Grunde mögen sie vorzugsweise "`\Defn{hyperelliptische oder +Abel'\-sche Functionen der Argumente} $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$'' genannt werden. +Ferner sollen, der letztern Benennung entsprechend, für dieselben von nun an +die Bezeichnungen +\[ + \al(\MF{u}_1, \,\MF{u}_2, \dotsc, \,\MF{u}_{\varrho})_1 \quad + \al(\MF{u}_1, \,\MF{u}_2, \dotsc, \,\MF{u}_{\varrho})_2 \quad \dotsm \quad + \al(\MF{u}_1, \,\MF{u}_2, \dotsc, \,\MF{u}_{\varrho})_{2\varrho + 1}, +\] +oder auch kürzer +\[ +\al(\MF{u}_1, \dotsc)_1 \quad \al (\MF{u}_1, \dotsc)_2 \quad \dotsm \quad \al (\MF{u}_1, \dotsc)_{2\varrho + 1} +\] +gebraucht werden.\footnote{ + Die Form, welche ich in der vorliegenden Abhandlung den \Auth{Abel}'schen Functionen + gegeben habe, stimmt nicht ganz mit derjenigen überein, in welcher sie der frühern, +im 47sten Bande des \textit{Crelle}'schen Journals abgedruckten, aufgestellt sind. Die letztere +dürfte, an sich betrachtet, einige Vorzüge haben; ich habe sie aber geändert, um den +nicht unwesentlichen Vortheil zu erreichen, daß jede \Auth{Abel}'sche Function für $\varrho = 1$ geradezu +in eine der elliptischen von der gebräuchlichen Form übergehe -- was bei den dortigen +$\al(\MF{u}_1, \dotsc)_0$, $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_1$, u.~s.~w.\ nicht der Fall ist, indem diese vielmehr für $\varrho=1$ +mit den von \Auth{Abel} in dessen erster Abhandlung über die elliptischen Transcendenten +gebrauchten Formen überein kommen -- und auf diese Weise die Vergleichung jedes +gefundenen Resultats mit einem aus der Theorie der elliptischen Functionen bekannten +erleichtert werde.} + +%% {-----File: 032.png---Folio 30-------} + +Durch die bisherigen Entwicklungen ist jetzt das in der Einleitung ausgesprochene, +die Form des Abhängigkeitsverhältnisses, welches zwischen den +Größen $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ und $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ durch die daselbst aufgestellten +Differential-Gleichungen begründet ist, betreffende Theorem strenge erwiesen. +Dasselbe möge, in noch bestimmterer Weise gefaßt, hier wiederholt und mit +einer übersichtlichen Zusammenstellung der wichtigsten Formeln verbunden +werden. + +\textit{Es sei} +\[ +\tag{I.} +\left\{\begin{aligned} +\MF{R}(x) + &= \MF{A}_0 (x - a_1)(x - a_2) \dotsm (x - a_{2\varrho + 1}), \\[0.5ex] +\MF{P}(x) + &= (x - a_1)(x - a_2) \dotsm (x - a_{\varrho}), + \quad \frac{\partial \MF{P}(x)}{\partial x} = \MF{P}'(x), \\[0.5ex] +\MF{Q}(x) + &= \MF{A}_0 (x - a_{\varrho + 1})(x - a_{\varrho + 2}) + \dotsm (x - a_{2\varrho + 1}), +\end{aligned}\right. +\] +\textit{so lassen sich die Größen $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, welche die Differential-Gleichungen} +\[ +\tag{II.} +\left\{\begin{aligned} +d\MF{u}_1 + &= \sum \frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_{\fraka})}{x_{\fraka} - a_1} + \centerdot \frac{dx_{\fraka}}{\sqrt{ \MF{R} (x_{\fraka})}} \\[1ex] +d\MF{u}_2 + &= \sum \frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_{\fraka})}{x_{\fraka} - a_2} + \centerdot \frac{dx_{\fraka}}{\sqrt{ \MF{R} (x_{\fraka})}} \\[1ex] +\multispan{2}{\dotfill} \\[1ex] +d\MF{u}_{\varrho} + &= \sum \frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_{\fraka})}{x_{\fraka} - a_{\varrho}} + \centerdot \frac{dx_{\fraka}}{\sqrt{ \MF{R} (x_{\fraka})}} +\end{aligned}\right. +\] +\textit{befriedigen, und zugleich die Werthe $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ annehmen, wenn +$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ sämmtlich verschwinden, als die Wurzeln einer Gleichung +$\varrho$ten Grades betrachten, welcher man die Form} +\[ +\tag{III.} +\sum \Biggl\{ \frac{\MF{Q}(a_{\fraka})}{\MF{P}'(a_{\fraka})} + \centerdot \frac{\al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka} + {x - a_\fraka} \Biggr\} = 1 +\] +\textit{geben kann. In dieser bedeuten} +\[ +\al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_1 \quad +\al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_2 \quad \dots \quad +\al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{\varrho} +\] +%% {-----File: 033.png---Folio 31-------} +\textit{eindeutige Functionen der unbeschränkt veränderlichen Argumente $\MF{u}_1$, +$\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, welche für alle innerhalb irgend eines endlichen Bereichs +liegenden Werthe dieser Größen in der Form} +\[ +\Lmargintag{IV.} +\left\{\begin{aligned} +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_1 + &= \frac{\MF{u}_1 + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_3 ^{(1)} + + \dotsb + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{2\frakm-1}^{(1)} + + \dotsb {}}% End of numerator + {1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_2 ^{(0)} + + \dotsb + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{2\frakm}^{(0)} + + \dotsb {}}, \\[1ex] +\multispan{2}{\dotfill}\\[1ex] +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{\varrho} + &= \frac{\MF{u}_\varrho + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_3 ^{(\varrho)} + + \dotsb + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{2\frakm-1}^{(\varrho)} + + \dotsb {}}% End of numerator + {1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_2 ^{(0)} + + \dotsb + + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{2\frakm}^{(0)} + + \dotsb {}}, +\end{aligned}\right. +\] +\textit{wo durch $(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\frakm}^{(\frakr)}$ +eine homogene ganze Function $\frakm$ten Grades +bezeichnet wird, dargestellt werden können}. + +\textit{Setzt man ferner} +\[ +\tag{V.} +(x-x_1)(x-x_2) \dotsm (x-x_{\varrho}) = \varphi(x), +\] +\textit{wo denn} +\[ +\tag{VI.} +\varphi(x) = \MF{P}(x) - \sum \Biggl\{ + \frac{\MF{Q} (a_{\fraka})} + {\MF{P}'(a_{\fraka})} + \centerdot \frac{\MF{P}(x)} + {x - a_\fraka} + \al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka + \Biggr\} +\] +\textit{und} +\[ +\Lmargintag{VII.} +% [** PP: Omitting redundant parentheses/braces around radicands] +\sqrt{\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)}} +% [** PP: Change x to a in last numerator factor, see Changenotetext] + = \sqrt{\frac{(a_\fraka - x_1)(a_\fraka - x_2) \dotsm (a_\fraka - x_\varrho)} + {-\MF{A}_0(a_\fraka - a_{\varrho+1}) \dotsm (a_\fraka - a_{2\varrho+1})}} + = \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka\qquad\Changenotemark +\] +\Changenotetext{$\sqrt{\dfrac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)}} += \sqrt{\dfrac{(a_\fraka - x_1)(a_\fraka - x_2) \dotsm (x_\fraka - x_\varrho)} + {-\MF{A}_0(a_\fraka - a_{\varrho+1}) \dotsm (a_\fraka - a_{2\varrho+1})}} = \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka$}% +\textit{ist, und} +\[ +\tag{VIII.} +\sum \frac{1}{2}\, \frac{\partial\varphi(x)}{\partial\MF{u}_\fraka} = \psi(x), +\] +\textit{oder, indem man} +\[ +\tag{IX.} + \frac{\partial\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka} + {\partial\MF{u}_1} + \dotsb ++ \frac{\partial\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka} + {\partial\MF{u}_\varrho} + \quad\text{\textit{mit}}\quad + \overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka +\] +\textit{bezeichnet,} +\[ +\tag{X.} +\psi (x) = \sum \Biggl\{ + \frac{-\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \centerdot \frac{\MF{P}(x)}{x - a_\fraka} + \al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka\, +\overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka +\Biggr\}, +\] +\textit{so giebt die Formel} +\[ +\tag{XI.} \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} = -\psi(x_\fraka) +\] +\textit{nach Bestimmung von $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ diejenigen Werthe der Wurzelgrößen +$\sqrt{\MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x_2)}$, $\dotsc$, $\sqrtRx$, welche diesen in den obigen Differential-Gleichungen +{\upshape(II.)} beigelegt werden müssen. Weiter hat man} +%% {-----File: 034.png---Folio 32-------} +\[ +\tag{XII.} +\left\{ +\begin{aligned} +\sqrt{\frac{\varphi(a_{\varrho + \fraka})}{\MF{P}(a_{\varrho + \fraka})}} +&= \sqrt{\frac{(a_{\varrho + \fraka} - x_1) + (a_{\varrho + \fraka} - x_2) \dotsm + (a_{\varrho + \fraka} - x_\varrho)} + {(a_{\varrho + \fraka} - a_1) + (a_{\varrho + \fraka} - a_2) \dotsm + (a_{\varrho + \fraka} - a_\varrho)}} \\ +&\quad + = \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\varrho + \fraka}, \\[1ex] +\sqrt{\frac{\varphi(a_{2\varrho + 1})}{\MF{P}(a_{2\varrho + 1})}} +&= \sqrt{\frac{(a_{2\varrho + 1} - x_1) + (a_{2\varrho + 1} - x_2) \dotsm + (a_{2\varrho + 1} - x_\varrho)} + {(a_{2\varrho + 1} - a_1) + (a_{2\varrho + 1} - a_2) \dotsm + (a_{2\varrho + 1} - a_\varrho)}} \\ +&\quad + = \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho + 1}, +\end{aligned} +\right. +\] +\textit{wo $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\varrho + 1}$, $\dotsc,~\al(\MF{u}_1, \dotsc)_{2\varrho +1}$ Functionen derselben Art wie $\al(\MF{u}_1,\dotsc)_1$ +u.~s.~w.\ sind, die sich in der Form} +\[ +\tag{XIII.} +\left\{ +\begin{gathered} +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\varrho + 1} \\ +{} = \frac{1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2^{(\varrho + 1)} + + \dotsb + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\frakm}^{(\varrho + 1)} + + \dotsb} + {1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2^{(0)} + + \dotsb + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\frakm}^{(0)} + + \dotsb}, \\[1ex] +\dotfill \\ +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho + 1} \\ +{} = \frac{1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2^{(2\varrho + 1)} + + \dotsb + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\frakm}^{(2\varrho + 1)} + + \dotsb} + {1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2^{(0)} + + \dotsb + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\frakm}^{(0)} + + \dotsb} +\end{gathered} +\right. +\] +\textit{darstellen lassen, wo der Nenner derselbe ist wie in den Ausdrücken~\textup{(IV.)}.} +Diesen Formeln füge ich noch die folgenden hinzu. + +Bezeichnet man mit $\alpha$ irgend eine der Zahlen $1, 2, \dotsc, 2\varrho+1$, +und setzt +\[ +\tag{XIV.} +-\MF{Q}(a_\fraka) = l_\fraka, \quad + \MF{P}(a_{\varrho + \fraka}) = l_{\varrho + \fraka}, \quad + \MF{P}(a_{2\varrho + 1}) = l_{2\varrho +1}, +\] +\[ +\tag{XV.} +\frac{\partial\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha} + {\partial\MF{u}_1} + + \dotsb + + \frac{\partial\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha} + {\partial\MF{u}_\varrho} + = \overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha, +\] +so ist +\[ +\tag{XVI.} +\left\{ +\begin{aligned} +\varphi (a_\alpha) +&= l_\alpha \al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha, \\ +\psi (a_\alpha) +&= l_\alpha \al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha \, + \overline{\al} (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha, +\end{aligned} +\right. +\] +so daß man auch, wenn $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\dotsc,~\alpha_\varrho$ \ $\varrho$ verschiedene Werthe von $\alpha$ +sind, und +\[ +\tag{XVII.} +(x - a_{\alpha_1}) \dotsm (x - a_{\alpha_{\varrho}}) = \MF{R}_1(x) +\] +gesetzt wird, +\[ +\tag{XVIII.} +\left\{ +\begin{aligned} +\varphi(x) +&= \MF{R}_1(x) + \sum \Biggl\{ + \Underset{\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_\varrho} + {\frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)} + \centerdot \frac{\MF{R}_1(x)}{x - a_\alpha} + \al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha} + \Biggr\}, \\[1ex] +\psi(x) +&= \sum \Biggl\{ + \Underset{\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_\varrho} + {\frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1 (a_\alpha)} + \centerdot \frac{\MF{R}_1(x)} + {x - a_\alpha} + \al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha\, + \overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha} + \Biggr\}, +\end{aligned} +\right. +\] +hat. + +%% {-----File: 035.png---Folio 33-------} + +Ferner ist, indem +\[ + \frac{\psi(x)}{\varphi(x)} += \sum \frac{\psi(x_\fraka)}{(x - x_\fraka)\, \varphi'(x_\fraka)}\;, + \quad\text{wo}\quad + \varphi'(x) = \frac{\partial\varphi(x)}{\partial x}, +\] +in Folge (X, XVI.) +\begin{gather*} +\tag{XIX.} + \frac{\psi(x)}{\varphi(x)} += \sum \frac{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}{(x_\fraka - x)\,\varphi'(x_\fraka)}\;, +\\[1ex] +\tag{XX.} + \frac{\overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha} + { \al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha} += \sum \frac{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + {(x_\fraka - a_\alpha)\,\varphi'(x_\fraka)}. +\end{gather*} +Nun ist oben bei Herleitung der Gleichung (8.) gefunden worden +\[ + \biggl(\frac{ \partial\varphi(x) } + { \partial \MF{u}_\frakb} \biggr)_{x=x_\fraka} += -\varphi'(x_\fraka) + \frac{ \partial x_\fraka }{ \partial \MF{u}_\frakb } +% += \frac{2\varphi(a_\frakb) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} } + { (x_\fraka - a_\frakb) {\MF{P}'}(a_\frakb) } +% += -\frac{2\varphi(a_\frakb) \psi(x_\fraka) } + { (x_\fraka - a_\frakb) {\MF{P}'}(a_\frakb) }. +\] +woraus man schließt, daß für jeden Werth von $x$ +\[ +\tag{XXI.} + \frac{1}{2}\, \frac{ \partial\varphi(x) }{ \partial \MF{u}_\frakb } += \frac{ \psi(a_\frakb)\, \varphi(x) - \varphi(a_\frakb)\, \psi(x) } + { (x - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) } +\] +ist, indem die beiden einander gleichgesetzten Ausdrücke ganze Functionen +$(\varrho - 1)$ten Grades von $x$ sind, welche für $\varrho$ Werthe dieser Größe, $x_1$, $x_2$, +$\dotsc$, $x_\varrho$, der vorstehenden Formel gemäß übereinstimmen, also identisch sein +müssen. Aus dieser Gleichung folgt, wenn man die durch (XIX.) gegebenen +Ausdrücke von $\psi(a_\frakb)$ und $\psi(x)$ substituirt +\[ +\tag{XXII.} +\frac{1}{2}\, \frac{\partial \varphi(x)}{\partial \MF{u}_\frakb} += -\frac{ \varphi(a_\frakb)\, \varphi(x) }{ \MF{P}'(a_\frakb) } + \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{ \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} } + { (x_\fraka - x) (x_\fraka - a_\frakb)\, \varphi'(x_\fraka) } + \Biggr\}. +\] +Ferner, wenn man $x = a_\alpha$ setzt, +\iffalse +\[ +\Lmargintag{XXIII.} +\frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha } + { \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha \partial \MF{u}_\frakb } +% += \frac{ -{\MF{Q}}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) } + \centerdot \frac{ \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha + \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb + - \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb + \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha }{ a_\alpha - a_\frakb }, +\] +\fi +\begin{multline} +\tag{XXIII.} +\frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha } + { \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha \partial \MF{u}_\frakb } \\ +% += \frac{ -{\MF{Q}}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) } + \centerdot \frac{ \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha + \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb + - \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb + \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha }{ a_\alpha - a_\frakb }, +\end{multline} +vorausgesetzt, daß $\alpha$ von $\frakb$ verschieden sei; oder wenn man, unter der Annahme, +daß $\beta \gtrless \alpha$, +\iffalse +\[ +\Lmargintag{XXIV.} +\frac{ \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha\, \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta + - \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta \, \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha } + { a_\alpha - a_\beta } \quad\text{durch}\quad +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\alpha\beta} +\] +\fi +\begin{multline} +\tag{XXIV.} +\frac{ \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha\, \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta + - \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta \, \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha } + { a_\alpha - a_\beta } \\ +\text{durch } +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\alpha\beta} +\end{multline} +bezeichnet, wo denn, zufolge (XX.) +\[ +\tag{XXV.} +\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\alpha\beta} += -\sum \Biggl\{ + \frac{ \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha\, \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta + \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + { (x_\fraka - a_\alpha)(x_\fraka - a_\beta)\, \varphi'(x_\fraka) } + \Biggr\} +\] +ist, und man +\[ +\tag{XXVI.} + \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\alpha\beta} += \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\beta\alpha} +\] +hat: +%% {-----File: 036.png---Folio 34-------} +\[ +\tag{XXXVII.} +\Underset{(\frakb \gtrless \alpha)}{ + \frac{\partial \al(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha} {\partial \MF{u}_\frakb} = +- \frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \al (\MF{u}_1,\dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1,\dotsc)_{\alpha\frakb}, } +\] +aus welcher Gleichung, wenn man $\alpha = \fraka$ setzt und auf beiden Seiten mit +$\smfrac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} \al(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka$ multiplicirt, noch +\[ +\tag{XXVIII.} + \frac{ \partial\biggl( \dfrac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka) } + \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka \biggr) } + { \partial \MF{u}_\frakb } += \frac{ \partial\biggl( \dfrac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb) } + \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\frakb\biggr)} + { \partial \MF{u}_\fraka } +\] +folgt. + +Die in dem Vorstehenden eingeführten Functionen +\[ + \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha, \quad + \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha, \quad + \al (\MF{u}_1, \dotsc)_{\alpha\beta} +\] +können (nach den Formeln XVI, XX, XXIV) sämmtlich algebraisch durch +$x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ ausgedrückt werden; es müssen daher unter ihnen so viele +algebraische Relationen bestehen, als Functionen vorhanden sind, weniger $\varrho$. +Diese sollen in dem folgenden §. entwickelt und zusammengestellt werden. + + +\Section{} % \S.~5. +\subsubsection*{\centering\normalfont Algebraische Relationen unter den \Auth{Abel}'schen % + Functionen und deren ersten Differential-Coefficienten.} + +\indent Es werde der Kürze wegen +\[ +\al(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha = \MF{p}_\alpha \quad +\overline{\al}(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha = \pbar_\alpha \quad +\al(\MF{u}_1,\dotsc)_{\alpha\beta} = \MF{p}_{\alpha\beta} +\] +gesetzt; dann gelten folgende Sätze. + + +\Subsection{I} +\textit{Durch je $\varrho$ von den Quadraten der Größen $\MF{p}_\alpha$ können die übrigen +linear ausgedrückt werden}. + +Aus der Formel (XVIII.) des vorhergehenden §. folgt nämlich, wenn +man $x = a_\beta$ setzt, und $\beta$ nicht unter den Zahlen $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\dotsc,~\alpha_\varrho$ begriffen +ist, mit Berücksichtigung von (XVI.) +\[ +\frac{l_\beta}{\MF{R}_1(a_\beta)} \centerdot \MF{p}^2_\beta += 1 - \sum\Biggl\{ + \Underset{\alpha =\alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_\varrho} + {\frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)} + \centerdot \frac{\MF{p}^2_\alpha}{a_\alpha - a_\beta}} + \Biggr\}. +\] + +\Subsection{II} +\textit{Eben so können durch je $\varrho$ von den Größen +\[ +\MF{p}^2_\gamma, \quad \MF{p}^2_{1\gamma}, \quad \MF{p}^2_{2\gamma}, \quad \dotsc, \quad \MF{p}^2_{(2\varrho+1)\gamma} +\] +(wo $\MF{p}_{\gamma\gamma}$ fortzulassen ist) die übrigen linear ausgedrückt werden, +vermittelst der Formeln} +%% {-----File: 037.png---Folio 35-------} +\begin{align*} + \MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma + &= \frac{\MF{R}'(a_\gamma)}{l_\gamma \MF{R}_1(a_\gamma)} + - \sum_\alpha \Biggl\{ + \frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)} \MF{p}^2_{\alpha\gamma} + \Biggr\}, % [** PP: Added comma] +\\[1ex] + \frac{(a_\gamma - a_\beta)\, l_\beta}{\MF{R}_1(a_\beta)} + \MF{p}^2_{\beta\gamma} + &= \MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma + \sum_\alpha \Biggl\{ + \frac{a_\gamma - a_\alpha}{a_\beta - a_\alpha} + \centerdot \frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)} + \MF{p}^2_{\alpha\gamma} + \Biggr\} +\\ + &= \frac{\MF{R}'(a_\gamma)}{l_\gamma \MF{R}_1(a_\gamma)} + + \sum_\alpha \Biggl\{ + \frac{a_\gamma - a_\beta}{a_\beta - a_\alpha} + \centerdot \frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)} + \MF{p}^2_{\alpha\gamma} + \Biggr\}, % [** PP: Added comma] +\end{align*} +\textit{in denen sich das Summenzeichen auf dieselben Werthe von $\alpha$ bezieht +wie in (I.), und $\gamma$ sowohl als $\beta$ nicht unter diesen begriffen +sein darf.} + +In Folge der Gleichung +\[ +\psi(x_\fraka) = -\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} \quad (\fraka=1, 2, \dotsc, \varrho) +\] +wird die Function $\MF{R}(x)-\psi^2(x)$ für $x=x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ gleich Null, und +ist daher durch $\varphi(x)$ theilbar. Setzt man nun +\[ +\psi_\gamma(x) + = \frac{\pbar_\gamma\, \varphi(x) + - \MF{p}_\gamma\, \psi(x)}{x - a_\gamma}, +\] +so wird der Zähler dieses Ausdruckes für $x=a_\gamma$ (zufolge der Formel XVI. +des vorhergehenden §.) gleich Null, und es ist somit $\psi_\gamma(x)$ eine ganze +Function $(\varrho-1)$ten Grades. Dann hat man +\begin{gather*} + \MF{p}^2_\gamma \MF{R}(x) - (x-a_\gamma)^2 \psi^2_\gamma(x) +\\ + {} = \MF{p}^2_\gamma \bigl(\MF{R}(x) - \psi^2(x)\bigr) + + \pbar_\gamma \varphi(x)\, + \bigl(2\MF{p}_\gamma \psi(x) - \pbar_\gamma \varphi(x) \bigr), +\end{gather*} +und es ist also der Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung ebenfalls +durch $\varphi(x)$ theilbar, wie auch durch $x-a_\gamma$, so daß man setzen kann +\[ +\MF{p}^2_\gamma\frac{\MF{R}(x)}{x-a_\gamma} - (x-a_\gamma)\, \psi^2_\gamma(x) + = \varphi(x)\, \varphi_\gamma(x), +\] +und dann $\varphi_\gamma(x)$ eine ganze Function $\varrho$ten Grades bedeutet. Nimmt man nun +$x=a_\alpha$, $\alpha\gtrless\gamma$ vorausgesetzt, so ergiebt sich (zufolge Formel XVI. d.~v.\ §.) +\[ +\varphi_\gamma(a_\alpha) + = (a_\gamma - a_\alpha)\, l_\alpha \MF{p}^2_{\alpha\gamma}, +\] +indem +\[ +\psi_\gamma(a_\alpha) = l_\alpha \MF{p}_\alpha \MF{p}_{\alpha\gamma} +\] +ist. Ferner erhält man für $x=a_\gamma$ +\[ +\varphi_\gamma(a_\gamma) = \frac{\MF{R}'(a_\gamma)}{l_\gamma}. +\] +Bemerkt man nun noch, daß der Coefficient des höchsten Gliedes von $\varphi_\gamma(x)$ +gleich $\MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma$ ist, und man daher +%% {-----File: 038.png---Folio 36-------} +\begin{align*} + \frac{\varphi_\gamma(x)}{\MF{R}_1(x)} +&= \MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma + + \sum_\alpha + \frac{\varphi_\gamma(a_\alpha)}{(x-a_\alpha)\,{\MF{R}'}_1(a_\alpha)} +\\ +&= \MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma + + \sum_\alpha + \frac{a_\gamma - a_\alpha}{(x - a_\alpha)} + \centerdot \frac{l_\alpha}{{\MF{R}'}_1(a_\alpha)} \MF{p}_{\alpha\gamma} +\end{align*} +hat, so ergeben sich die zu beweisenden Relationen, indem man $x = a_\gamma$ und +$x = a_\beta$ setzt. + + +\Subsection{III} +\textit{Aehnliche Relationen finden Statt unter den in der Reihe +\[ +\MF{p}_1\MF{p}_{1\gamma},\quad +\MF{p}_2\MF{p}_{2\gamma},\quad \dotsc,\quad +\MF{p}_{2\varrho+1}\MF{p}_{(2\varrho+1)\gamma} +\] +enthaltenen Producten.} + +Setzt man nämlich in der Gleichung +\[ + \frac{\psi_\gamma(x)}{\MF{R}_1(x)} += \sum_\alpha \frac{\psi_\gamma(a_\alpha)}{(x-a_\alpha)\MF{R}'_1(a_\alpha)} += \sum_\alpha \frac{ l_\alpha \MF{p}_\alpha \MF{p}_{\alpha\gamma} } + { (x - a_\alpha) \MF{R}'_1(a_\alpha) } +\] +$x = a_\beta$, so ergiebt sich +\[ +\frac{l_\gamma}{\MF{R}_1(a_\beta)} \MF{p}_\beta \MF{p}_{\beta\gamma} + = \sum_\alpha \frac{ l_\alpha \MF{p}_\alpha \MF{p}_{\alpha\gamma} } + { (a_\beta - a_\alpha) \MF{R}'_1(a_\alpha) }\;, +\] +wo hinsichtlich der Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ dasselbe gilt wie bei der vorhergehenden Nr. + + +\Subsection{IV} +\textit{Unter je sechs Functionen $\MF{p}_\alpha$, $\MF{p}_\beta$, +$\MF{p}_\gamma$, $\MF{p}_{\beta\gamma}$, $\MF{p}_{\gamma\alpha}$, +$\MF{p}_{\alpha\beta}$, wo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ +verschiedene Werthe haben müssen, findet die Relation +\[ + (a_\beta - a_\gamma)\MF{p}_\alpha \MF{p}_{\beta\gamma} ++ (a_\gamma - a_\alpha)\MF{p}_\beta \MF{p}_{\gamma\alpha} ++ (a_\alpha - a_\beta )\MF{p}_\gamma \MF{p}_{\alpha\beta} = 0, +\] +oder +\[ +\MF{p}_{\alpha\beta} + = \frac{ (a_\gamma - a_\beta) \MF{p}_\alpha \MF{p}_{\beta\gamma} + - (a_\gamma - a_\alpha)\MF{p}_\beta \MF{p}_{\alpha\gamma} } + { (a_\alpha - a_\beta) \MF{p}_\gamma } +\] +Statt}. + +Denn es ist (vermöge Formel XXIV. des v.~§.) +\begin{align*} + \frac{(a_\alpha - a_\beta) \MF{p}_{\alpha\beta}}{\MF{p}_\alpha\MF{p}_\beta} +&= \frac{ \pbar_\beta }{ \MF{p}_\beta } + - \frac{ \pbar_\alpha }{ \MF{p}_\alpha }\;, % [** PP: Added comma] +\\ + \frac{(a_\beta - a_\gamma)\MF{p}_{\beta\gamma}}{\MF{p}_\beta \MF{p}_\gamma} +&= \frac{ \pbar_\gamma }{ \MF{p}_\gamma } + - \frac{ \pbar_\beta }{ \MF{p}_\beta }\;, % [** PP: Added comma] +\\ + \frac{(a_\gamma - a_\alpha)\MF{p}_{\gamma\alpha}}{\MF{p}_\gamma\MF{p}_\alpha} +&= \frac{ \pbar_\alpha }{ \MF{p}_\alpha } + - \frac{ \pbar_\gamma }{ \MF{p}_\gamma } +\end{align*} +aus welchen Gleichungen, wenn man sie durch Addition verbindet, die aufgestellte +Relation sofort folgt. + + +\Subsection{V} +\textit{Endlich ergeben sich noch folgende Gleichungen, in denen +\[ +\fraka' \quad\text{irgend eine der Zahlen}\quad + \varrho+1, \varrho+2, \dotsc, 2\varrho+1 +\] +%% {-----File: 039.png---Folio 37-------} +bedeuten soll}, +\begin{align*} +\pbar_\fraka +&= \sum_\frakb \frac{ \partial\MF{p}_\fraka }{ \partial\MF{u}_\frakb } + = (a_{\fraka'} - a_\fraka) \MF{p}_{\fraka'} \MF{p}_{\fraka\fraka'} + + {\sum_\frakb}' \Biggl\{ + \Underset{(\frakb \gtrless \fraka)} + {\frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \centerdot \frac{a_\fraka - a_\frakb}{a_\frakb - a_{\fraka'}} + \MF{p}_\frakb \MF{p}_{\fraka\frakb} + } + \Biggr\}, % [** PP: Added comma] +\\[1ex] +% +\frac{\partial \MF{p}_\fraka}{\partial \MF{u}_\fraka} +&= (a_{\fraka'} - a_\fraka) \MF{p}_{\fraka'} \MF{p}_{\fraka\fraka'} + + {\sum_\frakb}' \Biggl\{ + \Underset{(\frakb \gtrless \fraka)} + {\frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \centerdot \frac{a_\fraka - a_{\fraka'}}{a_\frakb - a_{\fraka'}} + \MF{p}_\frakb \MF{p}_{\fraka\frakb} + } + \Biggr\}, % [** PP: Added comma] +\\[1ex] +% +\pbar_{\fraka'} +&= \sum_\frakb \frac{\partial\MF{p}_{\fraka'}}{\partial \MF{u}_\frakb} + = \sum_\frakb \Biggl\{ + \frac{-\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \MF{p}_\frakb \MF{p}_{\fraka'\frakb} + \Biggr\}. % [** PP: Added period] +\end{align*} + +Man hat nämlich (Formel~XXVII d.~v.~\S.) +\[ +\frac{\partial\MF{p}_{\fraka'}}{\partial\MF{u}_\frakb} + = -\frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \MF{p}_\frakb \MF{p}_{\fraka\frakb} + \qquad (\frakb \gtrless \fraka). % [** PP: Added period] +\] +Hieraus folgt, wenn man $\alpha = \fraka'$ setzt, sofort die dritte der vorstehenden Gleichungen. +Aus (VI.) aber folgt, wenn man $x = a_{\fraka'}$ nimmt und $\frakb$ statt $\fraka$ schreibt, +\[ +\MF{p}^2_{\fraka'} + = 1 - \sum_\frakb + \Biggl\{ + \frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \centerdot \frac{\MF{p}^2_\frakb}{a_{\fraka'} - a_\frakb} + \Biggr\}, % [** PP: Added comma] +\] +und hieraus, wenn man nach $\MF{u}_\fraka$ differentiirt, +\[ +\MF{p}_{\fraka'} \MF{p}_{\fraka\fraka'} + = \frac{\dfrac{\partial \MF{p}_\fraka}{\partial \MF{u}_\fraka}} + {a_{\fraka'} - a_\fraka} + - {\sum_\frakb{}}' \Biggl\{ + \frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \centerdot \frac{\MF{p}_\frakb\MF{p}_{\fraka\frakb}}{a_{\fraka'} - a_\frakb} + \Biggr\}, +\qquad (\frakb \gtrless \fraka), +\] +woraus sich die zweite Gleichung ergiebt, aus der dann weiter die erste folgt. + + +% [** PP: Italicizing for consistency] +\Subsection{VI} +\textit{Von den vorstehenden Relationen mögen nun die folgenden besonders +hervorgehoben werden, in denen der Kürze wegen} +\[ +2\varrho + 1 \quad\text{durch}\quad \fraka_0,\quad + \varrho + \fraka \quad\text{durch}\quad \fraka',\quad + \varrho + \frakb \quad\text{durch}\quad \frakb' +\] +\textit{bezeichnet ist}. +\[ +\tag{1.} +\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0} + = 1 - \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \centerdot \frac{ \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka}{a_{\fraka_0} - a_{\fraka} } + \Biggr\} +\] +\[ +\tag{2.} +\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka'} + = 1 - \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \centerdot \frac{\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka}{a_{\fraka'} - a_\fraka} + \Biggr\} +\] +\[ +\tag{3.} +\MF{A}_0 \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0} + = \frac{\MF{Q}'(a_{\fraka_0})}{\MF{P}(a_{\fraka_0})} + + \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0\fraka} + \Biggr\} +\] +\begin{align*} +\tag{4.} +(a_{\fraka_0} - a_{\fraka'}) &\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0 \fraka'} +\\ +&= + \MF{A}_0 \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0} - \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{a_{\fraka_0} - a_\fraka}{a_{\fraka'} - a_\fraka} + \centerdot \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0\fraka} + \Biggr\} +\\ +&=\frac{\MF{Q}'(a_{\fraka_0}) }{\MF{P}(a_{\fraka_0})} - + \sum_\fraka \Biggl\{\frac{a_{\fraka_0} - a_{\fraka'}}{a_{\fraka'} - a_\fraka} + \centerdot \frac{\MF{Q}(a_\fraka) }{\MF{P}'(a_\fraka)} + \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0\fraka} \Biggr\} +\end{align*} +%% {-----File: 040.png---Folio 38-------} +\[ +\tag{5.} +\al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka'} + = \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{ \MF{Q}(a_{\fraka}) }{ \MF{P}'(a_{\fraka}) } + \centerdot \frac{ \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\fraka + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka'}} + { a_\fraka - a_{\fraka'} } + \Biggr\} +\] +% +\begin{multline} +\tag{6.} + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka\frakb} \\ + = \frac{ ( a_{\fraka_0} - a_\frakb ) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\fraka \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0\frakb} + - ( a_{\fraka_0} - a_\fraka ) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0\fraka}} + { a_\fraka - a_\frakb } +\end{multline} +% +\begin{multline} +\tag{7.} + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'\frakb} \\ + = \frac{ ( a_{\fraka_0} - a_\frakb ) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \frakb} + - ( a_{\fraka_0} - a_{\fraka'} ) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka'}} + { a_{\fraka'} - a_\frakb} +\end{multline} +% +\begin{multline} +\tag{8.} + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka' \frakb'} \\ + = \frac{ ( a_{\fraka_0} - a_{\frakb'} ) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \frakb'} + - ( a_{\fraka_0} - a_{\fraka'} ) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\frakb'} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka'}} + { a_{\fraka'} - a_{\frakb'} } +\end{multline} +\[ +\tag{9.} +\left\{ \begin{aligned} + \frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\fraka }{ \partial \MF{u}_\frakb } + &= -\frac{ \MF{Q}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) } + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka \frakb} + \qquad (\frakb \gtrless \fraka) +\\[1ex] + \frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \dotsc )_{\fraka_0} } + { \partial \MF{u}_\frakb } + &= -\frac{ \MF{Q}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) } + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \frakb} +\\[1ex] + \frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'} } + { \partial \MF{u}_\frakb } +&= -\frac{ \MF{Q}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) } + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka' \frakb} +\\[1ex] + \frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\fraka } + { \partial \MF{u}_\fraka } +&= (a_{\fraka_0} - a_\fraka) + \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka } +% [** PP: Changed to a_0a] +\\ +&-{\sum_\frakb}' + \Underset{(\frakb \gtrless \fraka)} + { \Biggl\{ + \frac{ \MF{Q}(a_{\frakb}) }{ \MF{P}'(a_{\frakb}) } + \centerdot \frac{ a_\fraka - a_{\fraka_0} } + { a_{\fraka_0} - a_\frakb } + \al(\MF{u}_1, \dotsc )_\frakb + \al(\MF{u}_1, \dotsc )_{\fraka\frakb} \Biggr\} + }. % [** PP: Added period] +\end{aligned} \right. +\] +Von diesen Gleichungen gehen Nr.\ (1, 2, 3, 4, 5) aus (I, II, III) hervor, +wenn man in diesen $\MF{R}_1(x) = \MF{P}(x)$ setzt; Nr.\ (6, 7, 8) sind die Relationen +(IV.), wenn man $\gamma = \fraka_0$ nimmt, und die unter Nr.\ (9.) finden sich unter +(XXVII.) des v.~§.\ und (V.). Sie stellen, wie man sofort übersieht, so viel +Relationen unter den Functionen $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha$, $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\alpha\beta}$ und den ersten +Differential-Coefficienten von $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha$ dar, als nöthig sind, um alle diese +Größen algebraisch durch +\[ +\al(\MF{u}_1, \dots )_1 \qquad \al(\MF{u}_1, \dots )_2 \qquad \dots \qquad \al(\MF{u}_1, \dots )_{\varrho} +\] +(an deren Stelle je $\varrho$ andere der Functionen $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha$ treten könnten) auszudrücken, +ohne daß in den betreffenden Formeln die Argumente $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$, +$\MF{u}_\varrho$ selbst vorkommen; woraus unmittelbar weiter folgt, daß auch die höheren +Differential-Coefficienten der \Auth{Abel}'schen Functionen algebraisch durch je $\varrho$ +der letztern ausdrückbar sein werden. + +%% {-----File: 041.png---Folio 39-------} + +%§. 6. +\Section{} +\subsubsection*{\centering\normalfont Die \Auth{Abel}'schen Integral-Functionen.} + +Das Integral +\[ +\int \Biggl\{ + \frac{\MF{F}(x_1)\, dx_1}{\sqrt{ \MF{R}(x_1) }} + + \frac{\MF{F}(x_2)\, dx_2}{\sqrt{ \MF{R}(x_2) }} + + \dotsb + + \frac{\MF{F}(x_\varrho)\, dx_\varrho}{\sqrtRx} +\Biggr\}, +\] +wo $\MF{F}(x)$ eine beliebige rationale Function von $x$ bedeuten soll, geht, wenn +man $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, $\sqrt{ \MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{ \MF{R}(x_2)}$, $\dotsc,~\sqrtRx$ vermittelst der Formeln +des §.~4.\ durch $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ ausdrückt, in eine Function dieser Argumente +über, welche man eine "`\Defn{Abel'sche Integral-Function}'' derselben nennen +kann, und deren analytischer Charakter jetzt näher untersucht werden soll. + +Man kann, wie weiter unten wird nachgewiesen werden, jede in der +vorstehenden Formel enthaltene Function auf eine einzige zurückführen, die mit +\[ +\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) + \quad\text{oder kürzer}\quad \Al(\MF{u}_1, \dotsc) +\] +bezeichnet werden soll, und durch die folgende Gleichung +\[ +\tag{1.} +d\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) + = \sum \frac{1}{2}\, \frac{\sqrt{\MF{R}(a)}}{\MF{P}(a)} + \centerdot \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} +\] +definirt wird, mit der nähern Bestimmung, daß $\Al(\MF{u}_1, \dotsc)$ den Werth Null +erhalte, wenn $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ sämmtlich verschwinden. Die Constante $a$ +kann jeden beliebigen Werth haben, mit Ausnahme von $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_{2\varrho + 1}$, +und auch das Zeichen der Wurzelgröße $\sqrt{\MF{R}(a)}$ willkührlich bestimmt werden. +Ist es nöthig, $a$ in die Bezeichnung der erklärten Function mit aufzunehmen, +so soll dieselbe $Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho;\, a)$ geschrieben werden. + +Nimmt man zunächst die Größen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ so klein an, daß +nicht nur $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ in der Nähe von $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ sich befinden, +und dieselben daher, so wie $\sqrt{\MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x_2)}$, $\dotsc,~\sqrtRx$ durch die unendlichen +Reihen (4,~5) des §.~1.\ ausgedrückt werden können, sondern auch die +Differenzen $x_1 - a_1$, $x_2 - a_2$, $\dotsc,~x_\varrho - a_\varrho$ dem absoluten Betrage nach kleiner +als beziehlich $a - a_1$, $a - a_2$, $\dotsc,~a - a_\varrho$ sind; so erhält man, indem +\[ +\frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a} + = \frac{x_\fraka - a_\fraka}{x_\fraka - a} + \centerdot \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\fraka} +\] +und +\begin{align*} + \frac{x_\fraka - a_\fraka}{x_\fraka - a} +&= \frac{x_\fraka - a_\fraka}{a_\fraka - a} + \Biggl\{ 1 + + \biggl( \frac{x_\fraka - a_\fraka}{a_\fraka - a} \biggr) + + \biggl( \frac{x_\fraka - a_\fraka}{a_\fraka - a} \biggr)^2 + + \dotsb \Biggr\} +\\[1ex] +&= \frac{\MF{Q}(a_\fraka)\centerdot s^2_\fraka } + { (a_\fraka - a) \MF{P}'(a_\fraka) } + \Underset{\frakm = 1\dots\infty} + {\Biggl\{ 1 + \mathbf{S} + \biggl(\frac{ \MF{Q}(a_\fraka)} + {(a - a_\fraka) \MF{P}'(a_\fraka)} + \biggr) + \centerdot s^{2\frakm}_\fraka \Biggr\},} +\end{align*} +%% {-----File: 042.png---Folio 40-------} +\[ +\frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\fraka} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka) }} + = \bigl( 1 + (\fraka, \fraka)_1 s^2_\fraka + + (\fraka, \fraka)_2 s^4_\fraka + \dotsb\bigr)\, ds_\fraka + \quad (\S.~1.) +\] +ist: +\begin{align*} +\tag{2.} + \Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) + &= \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{ \MF{P}(a) } + \centerdot \bigl\{\mathbf{S}_3 + \mathbf{S}_5 + \dotsb + + \mathbf{S}_{2\frakm+1} + \dotsb \bigr\} +\\[1ex] +\notag + &= \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{ \MF{P}(a) } + \centerdot \bigl\{\frakU_3 + \frakU_5 + \dotsb + + \frakU_{2\frakm+1} + \dotsb \bigr\}, +\end{align*} +wo durch $\mathbf{S}_{2\frakm+1}$ eine homogene ganze Function $(2\frakm+1)$ten Grades von $s_1$, +$s_2$, $\dotsc,~s_\varrho$ und durch $\frakU_{2\frakm+1}$ eine eben solche von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ bezeichnet +wird. Die Coefficienten von $\mathbf{S}_{2\frakm+1}$, $\frakU_{2\frakm+1}$ werden rational aus $a$, $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ +und den Coefficienten von $\MF{Q}(x)$ zusammengesetzt; nach fallenden Potenzen +von $a$ entwickelt, fangen $\mathbf{S}_{2\frakm+1}$, $\frakU_{2\frakm+1}$ mit Gliedern an, die mit $a^{-\frakm}$ multiplicirt +sind. + +Nun aber findet, wenn man jetzt wieder unter +\iffalse % matches scan +\begin{alignat*}{4} + \MF{u}'_\fraka, && \MF{u}''_\fraka, && \dotsc, && \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka + \\ + x'_\fraka, && x''_\fraka, && \dotsc, && x^{(2\mu)}_\fraka + \\ + \sqrt{ \MF{R}(x'_\fraka)}, &&\ \sqrt{ \MF{R}(x''_\fraka)}, &&\ + \dotsc, &&\ \sqrt{ \MF{R}(x^{(2\mu)}_\fraka)} + \\[0.5ex] + \MF{M}(x), && \MF{N}(x), && \multispan{4}{$\qquad\varphi(x)$} + \\ + x_\fraka, && \sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} +\end{alignat*} +\fi +\[ % [** PP: Centered columns] +\begin{array}{cccc} + \MF{u}'_\fraka, & \MF{u}''_\fraka, & \dotsc, & \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka \\[1ex] + x'_\fraka, & x''_\fraka, & \dotsc, & x^{(2\mu)}_\fraka \\[1ex] + + \sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x'_\fraka)}, & + \sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x''_\fraka)}, & \dotsc, & + \sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x^{(2\mu)}_\fraka)} \\[0.5ex] + \MF{M}(x), & \MF{N}(x), & \multispan{2}{\qquad$\varphi(x)$} \\ + x_\fraka, & \sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x_\fraka)} & & +\end{array} +\] +dieselben Größen versteht wie in §.~2, nach dem \Auth{Abel}'schen Theoreme nicht +bloß die dort unter (6.) aufgestellte Gleichung Statt, sondern auch die folgende +\begin{multline} +\tag{3.} +\sum_\fraka \frac{1}{2}\, \Biggl\{ + \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{\MF{P}(a)} \centerdot + \frac{\MF{P}(x'_\fraka)}{x'_\fraka - a} \centerdot + \frac{dx'_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x'_\fraka) }} + + \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{\MF{P}(a)} \centerdot + \frac{\MF{P}(x''_\fraka)}{x''_\fraka - a} \centerdot + \frac{dx''_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x''_\fraka)}} + \dotsb \Biggr\} +\\[1ex] +{} = \sum_\fraka \Biggl\{ + \frac{1}{2}\, \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{\MF{P}(a)} \centerdot + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a} \centerdot + \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka) }} \Biggr\} + + \tfrac{1}{2}\, d \log \biggl( + \frac{\MF{M}(a)\, \MF{P}(a) + \MF{N}(a) \sqrt{ \MF{R}(a) }} + {\MF{M}(a)\, \MF{P}(a) - \MF{N}(a) \sqrt{ \MF{R}(a) }} + \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{multline} +Werden daher +\[ +\MF{u}^{(\frakp)}_1, \quad \MF{u}^{(\frakp)}_2, \quad +\dotsc, \quad \MF{u}^{(\frakp)}_\varrho, +\] +wo $\frakp$ irgend eine der Zahlen $1$, $2$, $\dotsc,~2\mu$ bezeichnet, so klein angenommen, +daß die Reihen auf der rechten Seite der Gleichung (2.), wenn man darin +diese Größen an die Stelle von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ setzt, convergiren, so hat man +\begin{multline} + \tag{4.} + \sum\Biggl\{\frac{1}{2}\, + \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{\MF{P}(a)} \centerdot + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a} \centerdot + \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka) }} \Biggr\} +\\ +{} = d\Al(\MF{u}'_1, \dotsc) + d\Al(\MF{u}''_1, \dotsc) + \dotsb + + \tfrac{1}{2} d\log \biggl( + \frac{\MF{M}(a)\, \MF{P}(a) - \MF{N}(a)\, \sqrt{ \MF{R}(a) }} + {\MF{M}(a)\, \MF{P}(a) + \MF{N}(a)\, \sqrt{ \MF{R}(a) }} + \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{multline} +Jetzt setze man, wie in §.~4, +\[ + \MF{u}'_\fraka += \MF{u}''_\fraka = \dots += \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka = \frac{\MF{u}_\fraka}{2\mu}\;, +\] +%% {-----File: 043.png---Folio 41-------} +und nehme $\mu$ so groß an, daß nicht nur die unendlichen Reihen, welche in +den dortigen Ausdrücken von $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_1$, $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_2$ u.~s.~w.\ und von $\MF{M}(x, \MF{u}_1, \dotsc)$, +$\MF{N}(x, \MF{u}_1, \dotsc)$ vorkommen, convergent werden, sondern auch die für $\Al\biggl(\dfrac{\MF{u}_1}{2\mu},\dotsc\biggr)$; +so verwandeln sich die Größen +\[ +x_1, \quad x_2, \quad \dotsc, \quad x_\varrho, \quad \sqrt{ \MF{R}(x_1)}, \quad +\sqrt{ \MF{R}(x_2)}, \quad \dotsc, \quad \sqrtRx +\] +der Gleichung (4.) in die durch die Gleichungen (III, XI) des genannten §. +bestimmten; und es ergiebt sich durch Integration +\begin{multline} +\tag{5.} +\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) += 2\mu\Al\biggl(\frac{\MF{u}_1}{2\mu}, \frac{\MF{u}_2}{2\mu}, \dotsc, + \frac{\MF{u}_\varrho}{2\mu}\biggr) +\\ +{} + \tfrac{1}{2} \log \biggl( + \frac{ \MF{M}(a, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)\, \MF{P}(a) + - \MF{N}(a, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) \sqrt{ \MF{R}(a) }} + { \MF{M}(a, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)\, \MF{P}(a) + + \MF{N}(a, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) \sqrt{ \MF{R}(a) }} +\biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{multline} +Eine Constante ist nach der Integration nicht hinzuzufügen, indem die Function, +deren Logarithmus in dieser Gleichung vorkommt, sich auf die Einheit reducirt, +wenn $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, \dots $\MF{u}_\varrho$, sämmtlich verschwinden, wie aus den unter (26, §.~2.) +gegebenen Ausdrücken von $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$ zu ersehen ist. + +Setzt man +\[ +\tag{6.} +\frac{ \MF{M}(a, \MF{u}_1, \dotsc)\, \MF{P}(a) + - \MF{N}(a, \MF{u}_1, \dotsc) \sqrt{ \MF{R}(a) }} + { \MF{M}(a, \MF{u}_1, \dotsc)\, \MF{P}(a) + + \MF{N}(a, \MF{u}_1, \dotsc) \sqrt{ \MF{R}(a) }} + \centerdot \Powfr{e}{4\mu\Al\Bigl(\fnfrac{\MF{u}_1}{2\mu}, \dotsc \Bigr)} += \overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho), +\] +so ist +\[ +\tag{7.} +\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) += \tfrac{1}{2}\log\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho), +\] +und es bezeichnet alsdann $\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)$ eine eindeutige Function von $\MF{u}_1$, +$\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, welche, wenn für die absoluten Werthe dieser Veränderlichen +irgend welche Gränzen festgesetzt werden, die sie nicht übersteigen sollen, in +der Form eines Bruches ausdrückbar ist, dessen Zähler und Nenner nach ganzen +positiven Potenzen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, in convergirende Reihen sich +entwickeln lassen. Für hinlänglich kleine Werthe der Argumente hat man +\[ +\tag{8.} +\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) = +\Pow{e}{2(\frakU_3 + \frakU_5 + \dotsb + \frakU_{2\frakm+1} + \dotsb) +\fnfrac{\sqrt{\MF{R}(a)}}{\MF{P}(a)}}, +\] +woraus sich leicht erweisen läßt, ganz in derselben Weise, wie dies in §.~4.\ +für die Functionen $\varphi(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha$ geschehen ist, daß der Werth von $\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)$, +obwohl in dem Ausdrucke dieser Function, wie er durch die Formel~(6.) gegeben +ist, die Zahl $\mu$ vorkommt, dennoch von derselben ganz unabhängig ist. +Man hat daher folgenden Satz: + +\textit{Es giebt eine eindeutige Function $\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)$ der un\-be\-schränkt +ver\-än\-der\-lichen Größen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, welche der Differential-Gleichung} +%% {-----File: 044.png---Folio 42-------} +\[ +\tfrac{1}{2} d\log\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) += \sum \Biggl\{ + \frac{1}{2}\, \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{ {\MF{P}'}(a)} + \centerdot \frac{ \MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka) }} + \Biggr\}, +\] +\textit{in der $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, $\sqrt{ \MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{ \MF{R}(x_2)}$, $\dotsc,~\sqrtRx$ die durch die Gleichungen +{\upshape(III, XI)} des §.~4.\ bestimmten Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ +sind, genügt und, wenn diese Veränderlichen sämmtlich verschwinden, +den Werth $1$ annimmt}. + +Wenn nun $\MF{F}(x)$ eine beliebige rationale Function von $x$ ist, so kann +man dieselbe stäts als ein Aggregat von Gliedern von der Form +\[ +\frac{\MF{A}}{(x-a)^m} \quad\text{und}\quad \MF{B}x^{m-1} +\] +darstellen, wo $m$ eine ganze positive Zahl, und $\MF{A}$, $\MF{B}$, $a$ Constanten bedeuten. +Mit Unterscheidung derjenigen Werthe von $a$, welche $\MF{R}(a) = 0$ machen, von +denen, bei welchen dies nicht der Fall ist, kann man daher als den allgemeinsten +Ausdruck von $\MF{F}(x)$ den folgenden annehmen +\begin{align*} +\tag{9.} + \MF{F}(x) &= \sum + \Underset{\frakm=1\dots m_1}{\Biggl\{ + \frac{ \Atop{1}{\MF{A}}_\frakm }{ (x-\Atop{1}{a})^\frakm } + \Biggr\}} + + \sum + \Underset{\frakm=1\dots m_2}{\Biggl\{ + \frac{ \Atop{2}{\MF{A}}_\frakm }{ (x-\Atop{2}{a})^\frakm } + \Biggr\}} + \dotsb +\\[1ex] +&= \sum + \Underset{\frakm=1\dots n_1}{\Biggl\{ + \frac{ \Atop{1}{\MF{B}}_\frakm }{ (x-a_1)^\frakm } + \Biggr\}} + + \sum + \Underset{\frakm=1\dots n_2}{\Biggl\{ + \frac{ \Atop{2}{\MF{B}}_\frakm }{ (x-a_2)^\frakm } + \Biggr\} } + \dotsb +\\[1ex] +&= \sum + \Underset{\frakm=1\dots n}{\Bigl\{ + \MF{C}_\frakm\, x^{\frakm - 1} + \Bigr\}}, +\end{align*} +wo $m_1$, $m_2$, $\dotsc,~n$, $n_1$, $n_2$, $\dots$ ganze positive Zahlen (Null ausgeschlossen) +und $\Atop{1}{\MF{A}}_\frakm$, $\Atop{2}{\MF{A}}_\frakm$, +$\dotsc,~\Atop{1}{\MF{B}}_\frakm$, $\Atop{2}{\MF{B}}_\frakm$, +$\dotsc,~\MF{C}_\frakm$, $\Atop{1}{a}$, $\Atop{2}{a}$, $\dotsc$ Constanten bedeuten, und +angenommen wird, daß $\Atop{1}{a}$, $\Atop{2}{a}$, $\dotsc$ nicht zu den Größen $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_{2\varrho+1}$, +den Wurzeln der Gleichung $\MF{R}(x)=0$, gehören. + +Nun ist +\begin{align*} +\tag{10.} + d\frac{ \sqrt{\MF{R}(x)} }{ (x-a)^{\frakm} } +&= \biggl( \frac{1}{2} \frac{ \MF{R}'(x) }{ (x-a)^\frakm } + - \frakm\frac{ \MF{R}(x) }{ (x+1)^{\frakm+1} } \biggr) + \frac{ dx }{ \sqrt{\MF{R}(x)} } +\\[1ex] +&= \sum + \Underset{\frakr=0\dots(2\varrho+1)}{ \Biggl\{ + \Bigl( \frac{\frakr}{2} - \frakm \Bigr)\, + \MF{R}^{(\frakr)}(a) (x-a)^{-\frakm+\frakr-1} + \Biggr\} } \frac{dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }}, +\end{align*} +wenn man +\[ +\MF{R}(x) = {\tsum} + \Underset{\frakr = 0 \dots 2\varrho+1}{ \MF{R}^{(\frakr)}(a) (x-a)^\frakr } +\] +setzt. Da nun $\MF{R}^{(0)}(a) = \MF{R}(a)$ ist, so übersieht man aus dieser Formel sofort, +%% {-----File: 045.png---Folio 43-------} +daß sich, wenn $\MF{R}(a)$ nicht Null ist, indem man $\frakm = 1,\ 2,\dotsc,\ m - 1$ +setzt, +% [** PP: Possible mismatches of m vs. \frakm in indices] +\[ +\tag{11.} + \frac{dx}{(x-a)^m \sqrt{\MF{R}(x)}} \quad\text{auf die Form}\quad + \biggl( \frac{\MF{G}_0}{x-a} + \MF{G}_1(x)\biggr) \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} ++ d\centerdot \frac{\MF{G}_2(x) \sqrt{\MF{R}(x)}}{(x-a)^{m-1}} +\] +wird bringen lassen, wo $\MF{G}_0$ eine Constante, $\MF{G}_1(x)$ und $\MF{G}_2(x)$ aber ganze +Functionen von $x$ bedeuten, die erste vom $(2\varrho - 1)$ten und die zweite vom +$(m - 2)$ten Grade, wobei man für $m = 1$, $\MF{G}_0 = 1$, $\MF{G}_1(x) = 0$, $\MF{G}_2(x) = 0$ hat. +%[**F2: Missing comma--------------------^?][** PP: Added] + +Setzt man aber $a = a_\alpha$, so ist $\MF{R}(a) = 0$, nicht aber $\bigl(\frac{1}{2}-\frakm\bigr) \MF{R}^{(1)}(a)$, +und es erhellt aus der Formel~(10.), wenn man jetzt $\frakm = 1, 2, \dotsc, m$ nimmt, +daß man +\[ +\tag{12.} + \frac{dx}{(x-a_\alpha)^m \sqrt{ \MF{R}(x) }} += \frac{\MF{G}_1(x)\, dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} ++ d \centerdot \frac{\MF{G}_2(x)\sqrt{\MF{R}(x)}}{(x-a_\alpha)^m} +\] +erhalten muß, wo $\MF{G}_1(x)$, $\MF{G}_2(x)$ wieder ganze Functionen sind, die erste vom +$(2\varrho - 1)$ten und die andere vom $(m - 1)$ten Grade. Namentlich hat man +\[ +\tag{13.} + \frac{1}{2}\, \frac{\MF{R}'(a_\alpha)\, dx}{(x-a_\alpha)\sqrt{ \MF{R}(x) }} += \biggl(\frac{1}{2}\, \frac{\MF{R}'(x)}{x-a_\alpha} + + \frac{1}{2}\, \frac{\MF{R}'(a_\alpha)}{x-a_\alpha} + - \frac{\MF{R} (x)}{(x-a_\alpha)^2} \biggr) + \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} - d\frac{\sqrt{\MF{R}(x)}}{x-a_\alpha}. % [** PP: Added period] +\] + +Ferner ist +\[ + d\left( x^{m-1} \sqrt{\MF{R}(x)}\, \right) += \frac{ (m-1) x^{m-2} \MF{R}(x) + \tfrac{1}{2} x^{m-1} \MF{R}'(x) }{\sqrt{\MF{R}(x)}}\, dx +\] +oder, wenn man +\[ +\MF{R}(x) = {\tsum} + \Underset{ \frakr=0 \dots 2\varrho+1} + { \MF{A}_{\frakr} x^{2\varrho+1-\frakr} } +\] +setzt, +\[ +\tag{14.} + d\left( x^{m-1} \sqrt{ \MF{R}(x) }\, \right) += \sum + \Underset{ \frakr=0 \dots 2\varrho+1 \rule{10pt}{0ex} }{ + \biggl( \Bigl( \varrho + m - \frac{\frakr+1}{2} \Bigr)\, + \MF{A}_\frakr x^{2\varrho + m - \frakr - 1} \biggr) } + \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}\;, +\] +und man hat daher +\[ +\tag{15.} + \frac{x^{2\varrho - 1 + m}\, dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }} += \frac{\MF{G}_1(x)\, dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }} ++ d\left( \MF{G}_2(x) \sqrt{ \MF{R}(x) }\, \right), +\] +wo gleichfalls $\MF{G}_1(x)$, $\MF{G}_2(x)$ ganze Functionen sind, die erste vom $(2\varrho - 1)$ten +und die andere vom $(m - 1)$ten Grade. + +Aus den Formeln (11, 12, 15) folgt nun sofort, daß sich +\begin{multline*} +\tag{16.} + \frac{\MF{F}(x)\, dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }} \quad\text{auf die Form}\quad + \Bigg( \frac{\Atop{1}{\MF{G}}_0}{x-\Atop{1}{a}} + + \frac{\Atop{2}{\MF{G}}_0}{x-\Atop{2}{a}} + \cdots \Bigg)\, + \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} +\\[1ex] ++ \frac{\Atop{2\varrho-1}{\MF{G}}\!(x)\, dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }} ++ d\left( \Bigl( \MF{G}_0(x) + \frac{\MF{G}(x)}{\MF{R}_0(x) H(x)} \Bigr) + \sqrt{\MF{R}(x)} \right) +\end{multline*} +%% {-----File: 046.png---Folio 44-------} +bringen läßt, wo $\Atop{1}{\MF{G}}_0$, $\Atop{2}{\MF{G}}_0$, $\dotsc$ Constanten, +\begin{alignat*}{4} + \MF{H}(x) &= (x-\Atop{1}{a})^{m_1-1}&&(x-\Atop{2}{a})^{m_2-1} &&\ \dotsc, + \\ + \MF{R}_0(x) &= (x-a_1)^{n_1} &&(x-a_2)^{n_2} &&\ \dotsc, +\end{alignat*} +und $\!\Atop{2\varrho-1}{\MF{G}}\!(x)$, $\MF{G}(x)$, $\MF{G}_0(x)$ ganze Functionen sind, von denen die erste von +nicht höherem als dem $(2\varrho - 1)$ten Grade, die zweite von einem niedrigern als +$\MF{R}_0(x)$\ $\MF{H}(x)$ ist, und die dritte sich auf Null reducirt, wenn $n \leqq 2\varrho$, während +sie vom $(n - 2\varrho - 1)$ten Grade ist, sobald $n > 2\varrho$. + +Da man ferner +\[ + \frac{dx}{(x-a)\sqrt{\MF{R}(x)}} = \frac{\MF{P}(x)}{\MF{P}(a)} \centerdot + \frac{dx}{(x-a)\sqrt{\MF{R}(x)}} - \frac{\MF{P}(x)-\MF{P}(a)}{(x-a)\MF{P}(a)} +\centerdot \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} +\] +hat, wo $\dfrac{\MF{P}(x)-\MF{P}(a)}{x-a}$ eine ganze Function $(\varrho - 1)$ten Grades ist, und man, wenn +$f(x)$ eine Function $(2\varrho - 1)$ Grades bedeutet, +\[ +f(x) = f_1(x)\, \MF{P}(x) + f_2(x) +\] +setzen kann, wo $f_1(x)$, $f_2(x)$ beide vom $(\varrho - 1)$ten Grade sind, und +\[ +f_2(x) = \sum\frac{f_2(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} +\centerdot \frac{\MF{P}(x)}{x-a_\frakb} +\] +ist; so erhellt, daß man dem Differential $\dfrac{\MF{F}(x)\, dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}$ auch die Form +\begin{align*} +\tag{17.} +\frac{\MF{F}(x)\, dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} +&= \MF{F}_1 \frac{\sqrt{\MF{R}(\Atop{1}{a})}}{2\MF{P}(\Atop{1}{a})} \centerdot + \frac{\MF{P}(x)}{x-\Atop{1}{a}} \centerdot + \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} + + \MF{F}_2 \frac{\sqrt{\MF{R}(\Atop{2}{a})}}{2\MF{P}(\Atop{2}{a})} \centerdot + \frac{\MF{P}(x)}{x-\Atop{2}{a}} \centerdot + \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} + \dotsb +\\[1ex] +&\quad + + \sum \Underset{\frakb = 1 \dots \varrho} + {\biggl( \frac{1}{2}\, \MF{G}_\frakb + \frac{x^{\frakb-1}\, \MF{P}(x)\, dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}\biggr)} + + \sum \Underset{\frakb = 1 \dots \varrho} + {\biggl( \frac{1}{2}\, \MF{H}_\frakb + \frac{\MF{P}(x)}{x-a_\frakb} \centerdot + \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} \biggr)} +\\[1ex] +&\ \ + d \left\{\biggl( + \MF{G}_0(x) + \frac{\MF{G}(x)}{\MF{R}_0(x)\, \MF{H}(x)}\biggr)\sqrt{\MF{R}(x)}\right\} +\end{align*} +geben kann, wo $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$, $\dotsc,~\MF{G}_\frakb$, $\MF{H}_\frakb$ Constanten bedeuten. + +Nun folgt aus der Gleichung (1.) +\[ +\tag{18.} +\sum_\fraka\Biggl\{\frac{1}{2}\, + \frac{x^{\frakb-1}_\fraka \MF{P}(x_\fraka)\, dx_\fraka} + {\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + \Biggr\} += d\, \biggl[ +\frac{-\MF{P}(a)}{\sqrt{\MF{R}(a)}} +\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) +\biggr]_{a^{-\frakb}}\;, +\] +wo $\biggl[\dfrac{-\MF{P}(a)}{\sqrt{\MF{R}(a)}} \Al(\MF{u}_1,\dotsc)\biggr]_{a^{-\frakb}}$ + den Coefficienten von $a^{-\frakb}$ in derjenigen Entwicklung +der eingeklammerten Größe, welche für sehr große Werthe von $a$ gilt, bezeichnet. +Aus den Formeln (2, 6) ersieht man, daß dieser Coefficient (indem +\[ +\frac{\MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc)}{\MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc)} \centerdot +\frac{\sqrt{\MF{R}(a)}}{\MF{P}(a)} = 0 +\quad\text{wird für}\quad a=\infty, \quad\text{und} +\] +%% {-----File: 047.png---Folio 45-------} +man daher für alle Werthe von $a$, die ihrem absoluten Betrage nach eine +gewisse Gränze übersteigen, +\[ +\begin{split} + \frac{\MF{P}(a)}{2\sqrt{\MF{R}(a)}} \log\biggl( + \frac{ \MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc)\, \MF{P}(a) + - \MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc) \sqrt{\MF{R}(a)} } + { \MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc)\, \MF{P}(a) + + \MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc) \sqrt{\MF{R}(a)} } \biggr) +\\[1ex] += -\mathbf{S} \Underset{\frakm=0\dots\infty}{\Biggl\{ + \frac{1}{2\frakm+1} + \biggl( \frac{ \MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc) }{ \MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc) } + \biggr)^{2\frakm+1} + \biggl( \frac{\MF{Q}(a)}{\MF{P}(a)} \biggr)^\frakm \Biggr\}} +\end{split} +\] +hat, so wie auch $\bigl($nach (2.)$\bigr)$ +\[ + \frac{2\mu\, \MF{P}(a)}{\sqrt{\MF{R}(a)}}\, + \Al\biggl( \frac{\MF{u}_1}{2\mu},\dotsc \biggr) += 2\mu\,\Underset{\frakm=0\dots\infty}{ + \mathbf{S}\biggl( \frakU + \Bigl( a, \frac{\MF{u}_1}{2\mu},\dotsc \Bigr)_{2\frakm+3} + \biggr)}\;, +\] +und die in Beziehung auf $a$ rationalen Functionen +\[ + \biggl( \frac{\MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc)}{\MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc)} + \biggr)^{2\frakm+1} + \biggl( \frac{\MF{Q}(a)}{\MF{P}(a)} \biggr)^\frakm, \qquad + \frakU\biggl( a, \frac{\MF{u}_1}{2\mu}, \cdots + \biggr)_{2\frakm+3}\;, +\] +wenn man sie nach fallenden Potenzen von $a$ entwickelt, beide mit einem +Gliede anfangen, welches mit $a^{-\frakm-1}$ multiplicirt ist) \textit{eine eindeutige ungerade +Function von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ ist, welche für alle Werthe dieser Größen, +die ihrem absoluten Betrage nach beliebig festgesetzte Gränzen nicht +überschreiten, als Quotient zweier, nach ganzen positiven Potenzen derselben +entwickelbare Reihen dargestellt werden kann.} + + +Berücksichtigt man ferner, daß +\[ + \tsum \left( f(x_\fraka) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}\, \right) += -\tsum f(x_\fraka) \psi(x_\fraka), +\] +wenn $f(x)$ eine beliebige rationale Function von $x$ ist, rational durch die +Coefficienten von $\varphi(x)$ und $\psi(x)$ dargestellt werden kann; so ergiebt sich, +wenn man +\[ +\tag{19.} + \biggl[ + \frac{-\MF{P}(a)}{\sqrt{\MF{R}(x)}} \Al(\MF{u}_1,\dotsc) + \biggr]_{a^{-\frakb}} += \Al^{(\frakb)} (\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) +\] +setzt, aus (17.) +\begin{align*} +\tag{20.} +\int \sum \frac{ \MF{F}(x_\fraka)\, dx_\fraka }{ \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} } +&= \MF{F}_1 \Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho;\, \Atop{1}{a}) + + \MF{F}_2 \Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho;\, \Atop{2}{a}) + \cdots \\[-1ex] +&+ {\tsum} + \left( \MF{G}_\frakb \mathfrak{Al^{(b)}}(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) + + H_\frakb \MF{u}_\frakb \right) +\\[1ex] +&+ \mathfrak{F} \left( \al(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka,\ \overline{\al}(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka \right), +\end{align*} +wo $\mathfrak{F}$ eine rationale Function von $\al(\MF{u}_1,\dotsc)_1$, $\overline{\al}(\MF{u}_1,\dotsc)_1$ u.~s.~w.\ bedeutet. +Man sieht also, daß in der That, wie oben bemerkt worden, \textit{eine jede Abel'sche +Integral-Function auf die mit $\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho)$ bezeichnete, zurückgeführt +werden kann.} + +%% {-----File: 048.png---Folio 46-------} + +Es ist in (§.~4.) bei Herleitung der dortigen Gleichung (8.) die Formel +\[ + \varphi'(x_\fraka)\, dx_\fraka += -2 \sum_\frakb + \frac{ \varphi(a_\frakb) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} + {(x_\fraka-a_\frakb)\, \MF{P}'(a_\frakb)}\, d\MF{u}_\frakb, +\] +oder +\[ + \frac{1}{2}\, \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} += - \sum_\frakb \frac{\varphi(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \centerdot \frac{d\MF{u}_\frakb}{(x_\fraka-a_\frakb)\, \varphi'(x_\fraka)} +\] +gefunden worden. Diese Gleichung werde mit +$\smfrac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a}$ auf beiden Seiten multiplicirt, +so findet sich, wenn man dann in Beziehung auf $\fraka$ summirt, +\[ + \sum \frac{1}{2}\, + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a} \centerdot + \frac{ dx_\fraka }{ \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} } += - \sum_{\fraka,\frakb} + \frac{\varphi(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} \centerdot + \frac{ \MF{P}(x_\fraka)\, d\MF{u}_\frakb } + { (x_\fraka-a) (x_\fraka - a_\frakb)\, \varphi'(x_\fraka) }\;. +% [** PP: Added period] +\] +Nun ist aber +\[ + \frac{\MF{P}(x)}{(x-a)\, \varphi(x)} += \frac{\MF{P}(a)}{(x-a)\, \varphi(a)} ++ \sum \frac{\MF{P}(x_\fraka)} + { (x_\fraka-a) (x_\fraka-a_\fraka)\, \varphi'(x_\fraka)}\;, +\] +und daher für $x = a_{\frakb}$ +\[ +\sum_\fraka + \frac{\MF{P}(x_\fraka)} + { (x_\fraka-a) (x_\fraka-a_\frakb)\, \varphi'(x_\fraka)} += -\frac{\MF{P}(a)}{(a-a_\frakb)\, \varphi(a)}\;. +% [** PP: Added period] +\] +Mithin +\[ + \sum \frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a} + \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} += \sum \frac{\MF{P}(a)}{\varphi(a)} + \centerdot \frac{\varphi(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} + \centerdot \frac{d\MF{u}_\frakb}{a-a_\frakb}\;, +\] +oder auch, wenn man jetzt auf der rechten Seite $\fraka$ statt $\frakb$ schreibt, +\begin{align*} +\tag{21.} + \sum \frac{1}{2}\, + \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a} \centerdot + \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}} +&= \sum + \frac{\MF{P}(a)}{\varphi(a)} \centerdot + \frac{\varphi(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} \centerdot + \frac{d\MF{u}_\fraka}{a - a_\fraka} +\\[1ex] +&= \frac{\displaystyle \sum\Biggl\{ + -\frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \centerdot \frac{ \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka\, d\MF{u}_\fraka } + { a-a_\fraka } + \Biggr\} }% end of numerator + { 1 - \displaystyle\sum \Biggl\{ + \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \centerdot \frac{ \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka }{ a-a_\fraka } + \Biggr\} }. % [** PP: Added period] +\end{align*} +Hieraus folgt +\[ +\tag{22.} + \frac{ \partial \Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) } + { \partial \MF{u}_\frakb } += \frac{\sqrt{\MF{R}(a)}}{(a-a_\frakb)\, \MF{P}(a)} \centerdot + \frac{ \dfrac{-\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}(a_\frakb)}\, + \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\frakb}% end of numerator + { 1 - \displaystyle\sum\Biggl\{ + \frac{\MF{Q} (a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \centerdot \frac{\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka}{a-a_\fraka} + \Biggr\} }. % [** PP: Added period] +\] +Ferner ersieht man aus der Gleichung (21.), daß die partiellen Differential-Coefficienten +von +$\Al^{(1)}(\MF{u}_1,\dotsc)$, +$\Al^{(2)}(\MF{u}_1,\dotsc)$ u.~s.~w.\ rationale und ganze Functionen +von $\al(\MF{u}_1,\dotsc)_1$, $\al(\MF{u}_1,\dotsc)_2$, $\dotsc,~al(\MF{u}_1,\dotsc)_\varrho$ sind. Namentlich hat man +\[ +\tag{23.} + \frac{ \partial \Al^{(1)}(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) } + { \partial \MF{u}_\fraka } += \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} + \al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka\;, +\] +%% {-----File: 049.png---Folio 47-------} +so daß man die Gleichung~(III.) des \S.~4, deren Wurzeln die Größen $x_1$, +$x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ sind, auch folgendermaßen +\[ +\tag{24.} +\sum \Biggl\{ +\frac{\partial \Al^{(1)}(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varphi)} + {(x-a_\fraka)\, \partial\MF{u}_\fraka} \Biggr\} = 1 +\] +ausdrücken kann. Auf diese merkwürdige Form der in Rede stehenden Gleichung +werde ich später noch zurückkommen. + + +\Chapter{Zweites Kapitel.} + +% [** PP: Re-breaking title] +\Section{Einige allgemeine Betrachtungen über die Darstellung \\ +eindeutiger analytischer Functionen durch Reihen; \\ +Digression über die elliptischen Transcendenten.} % \S.~7. + +Die im vorhergehenden Kapitel durchgeführten Untersuchungen haben +hauptsächlich den Zweck, für die Functionen +\[ +\al(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha \quad +\al(\MF{u}_1,\dotsc)_{\alpha\beta} \quad +\Al(\MF{u}_1,\dots;\, a) \quad +\Al^{(\fraka)}(\MF{u}_1, \dotsc), +\] +durch welche sich, wie gezeigt worden ist, alle \Auth{Abel}'schen Transcendenten +ausdrücken lassen, zu einer völlig bestimmten, auf beliebige Werthe von $\MF{u}_1$, +$\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ anwendbare \textit{Erklärung} zu führen, und die analytische Form +derselben in so weit festzustellen, als hierfür und zum Behufe der weitern +Entwicklungen erforderlich ist. Die in §.~4.\ und §.~6.\ gegebenen Formeln +genügen für \textit{diesen} Zweck zwar vollständig, nicht aber, wenn verlangt wird, +die genannten Größen in einer ihrem wahren analytischen Charakter entsprechenden, +für alle Werthe der Argumente $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ unverändert dieselbe +bleibenden Form darzustellen. Diese bleibt vielmehr noch zu ermitteln. + +Der Umstand, daß die unendlichen Reihen, welche in den Formeln +(IV, XIII, §.~4) und (6, §.~6) vorkommen, für um so größere Werthe von +$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ convergent bleiben, je größer man die Zahl $\mu$ annimmt, begründet +die Vermuthung, es werde sich jede derselben, wenn $\mu=\infty$ gesetzt +wird, in eine für \textit{alle} Werthe der genannten Veränderlichen convergirende +Reihe verwandeln, und sich auf diese Weise eine Darstellung der in Rede +stehenden Functionen in der gesuchten Form ergeben. Es dürfte vielleicht +möglich sein, durch eine genauere Untersuchung jener Reihen die Richtigkeit +dieser Vermuthung strenge zu erweisen; ich gehe jedoch hierauf nicht ein, +%% {-----File: 050.png---Folio 48-------} +weil man, wenn es auch gelänge, dadurch noch nicht dahin kommen würde, +für jede \textit{einzelne} der beiden Functionen, als deren Quotient alsdann irgend +eine \Auth{Abel}'sche Function sich darstellen ließe, eine analytische Definition zu +gewinnen. Es tritt uns hier vielmehr eine Aufgabe entgegen, welche, so viel +ich weiß, noch nicht allgemein behandelt worden, und doch für die Theorie +der Functionen von besonderer Wichtigkeit ist. + +Die einfachsten transcendenten Functionen sind solche, welche sich +nach ganzen positiven Potenzen ihrer Argumente in \textit{beständig} convergirende +Reihen entwickeln lassen und somit im Wesentlichen den Charakter der \textit{ganzen} +rationalen Functionen besitzen. Nach ihnen kommen diejenigen, welche +aus mehreren dieser Art in rationaler Weise zusammengesetzt und daher +als Quotienten aus zweien dargestellt werden können. Man kann sie als +transcendente Größen vom Charakter der \textit{gebrochenen} rationalen Functionen +bezeichnen. + +Oftmals aber ist eine Function in der Art definirt -- und so verhält +es sich, der vorhergehenden Darstellung nach, mit den \Auth{Abel}'schen -- daß +zwar die Möglichkeit gegeben ist, sobald jedes ihrer Argumente auf einen +endlichen, übrigens beliebig groß anzunehmenden Bereich beschränkt wird, +dieselbe in der Gestalt eines Bruches, dessen Zähler und Nenner nach ganzen +positiven Potenzen der Argumente entwickelte Reihen sind, auszudrücken, während +eine \textit{stäts} gültig bleibende Darstellungsform noch unbekannt ist. Angenommen +nun, es sei eine derartige Function durch eine (algebraische) Differential-Gleichung +definirt, (oder auch im Vereine mit andern durch mehrere +solche), so kann man untersuchen, ob sie vielleicht zu den gebrochenen +rationalen, in dem eben erklärten Sinne, gehöre. Hierfür aber reichen die +gewöhnlichen Entwicklungs-Methoden nicht aus. Es handelt sich dann darum, +zu entscheiden, ob man, nachdem in die gegebene Differential-Gleichung statt +der gesuchten Function ein Bruch, dessen Zähler und Nenner noch zu bestimmende +Größen sind, eingeführt worden, dieselbe in zwei andere, aus +denen sie wieder folgt, so zerfällt werden könne, daß die genannten Größen +beide den Charakter einer ganzen Function erhalten. Dazu kann man in vielen +Fällen mit Hülfe eines allgemeinen Satzes gelangen, der verdient, bei dieser +Gelegenheit entwickelt zu werden. + +Wenn $f(\MF{u})$ eine Function von $\MF{u}$ ist, welche durch eine nur ganze +positive Potenzen dieser Veränderlichen enthaltende und beständig convergirende +Reihe dargestellt werden kann, so wird der Differential-Quotient +%% {-----File: 051.png---Folio 49-------} +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda}, +\] +wo $\lambda$ eine ganze positive Zahl bezeichnet, nur für solche Werthe von $\MF{u}$ unendlich +groß, bei denen $f(\MF{u})$ verschwindet. Es sei $a$ einer dieser Werthe, +so kann man setzen +\[ +f(a+k) = gk^m + g_1 k^{m+1} + \dotsb, +\] +wo $m$ eine ganze positive Zahl bedeutet und $g$ nicht Null ist, und hat also +\[ +\log f(a+k) = m\log k + \log g + \frac{g_1}{g}k + \dotsb, +\] +wo die nicht hingeschriebenen Glieder nur positive ganze Potenzen von $k$ enthalten; +woraus folgt +\[ +\biggl(\frac{\partial^\lambda \log f(\MF{u})} + {\partial \MF{u}^\lambda}\biggr)_{\MF{u}=a+k} += m\, \frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} ++ \begin{gathered} +\text{\{Glieder mit nur positiven} \\ +\text{\ ganzen Potenzen von $k$\},} +\end{gathered} +\] +welche Reihe convergirt, sobald der absolute Betrag von $k$ kleiner ist als +eine gewisse Größe, auf deren nähere Bestimmung es nicht ankommt. Dieselbe +Darstellung gilt aber auch für jeden andern Werth von $a$; nur ist +dann $m = 0$. + +Dieser Satz läßt sich nun in folgender Weise umkehren. + +\begin{theorem} +Wenn eine eindeutige Function $\MF{F}(\MF{u})$ der unbeschränkt veränderlichen +Größe $\MF{u}$ die Eigenschaft besitzt, daß +\[ +\MF{F}(a+k), +\] +wo $a$ irgend einen besondern Werth von $\MF{u}$, $k$ aber eine Veränderliche +bezeichnet, für hinlänglich kleine Werthe der letztern in eine convergirende +Reihe von der Form +\[ +m\, \frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} ++ \Underset{\frakm = 0\dots \infty}{\mathbf{S}\, h_\frakm k^\frakm}, +\] +wo $m$ entweder Null oder eine ganze positive Zahl bedeuten soll, entwickelbar +ist; so läßt sich eine \so{beständig} convergirende Reihe +\[ + f_0\, \MF{u}^\mu + + f_1\, \MF{u}^{\mu+1} + \dotsb + + f_\frakm\, \MF{u}^{\mu+\frakm} + \dotsb + = f(\MF{u}), +\] +in der $\mu$ den zu $a = 0$ gehörigen Werth von $m$ bezeichnet, dergestalt +%% {-----File: 052.png---Folio 50-------} +bestimmen, daß +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}(\MF{u}) +\] +ist. Und zwar erhält man den allgemeinsten Ausdruck von $f(\MF{u})$, indem +man, unter der Voraussetzung, daß für hinlänglich kleine Werthe von $\MF{u}$ +\[ +\MF{F}(\MF{u}) = \mu\, \frac{\partial^\lambda \log\MF{u}}{\partial \MF{u}^\lambda} + +\Underset{\frakm = 0 \dots \infty} +{\mathbf{S}\, \MF{F}_\frakm \MF{u}^\frakm} +\] +gefunden sei, die Formel +\[ +\MF{u}^\mu \Powfr{e}{\mathbf{S} +\Bigl\{ +\fnfrac{\MF{F}_\frakm\, \MF{u}^{\lambda+\frakm}} + {(\frakm + 1)\dots(\frakm + \lambda)} +\Bigr\} + + \MF{C}_0 + \MF{C}_1\MF{u} + \dotsb + + \MF{C}_{\lambda - 1}\MF{u}^{\lambda-1}}, +\] +in der $\MF{C}_0$, $\MF{C}_1$, $\dotsc,~\MF{C}_{\lambda-1}$ willkührliche Constanten bezeichnen, nach Potenzen +von $\MF{u}$ entwickelt, wenn auch die dabei gebrauchte Reihe +\[ +\mathbf{S}\, +\Biggl\{\frac{\MF{F}_\frakm \MF{u}^{\lambda+\frakm}} + {(\frakm+1)\dots(\frakm + \lambda)} +\Biggr\} +\] +nicht für alle Werthe von $u$ convergirt. +\end{theorem} + +\begin{beweis} +Es seien $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_{\sigma}$ unter den Werthen von $\MF{u}$, für welche $\MF{F}(\MF{u})$ +unendlich groß wird, diejenigen, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner +als eine beliebig angenommene Größe $\MF{U}$ sind, den Werth Null, wenn er +auch zu denselben gehört, ausgeschlossen. Es ist leicht zu erweisen, daß es +nur eine endliche Anzahl solcher Werthe geben kann. Denn sonst müßte +sich in dem angegebenen Bereiche von $\MF{u}$ wenigstens \textit{ein} Werth $a$ finden, in +dessen Nähe eine unbegränzte Menge derselben vorhanden wäre. Dann aber +ließe sich $\MF{F}(a + k)$, wie klein auch $k$ angenommen werde, nicht nach ganzen +Potenzen dieser Größe in eine convergirende Reihe entwickeln, die, wie doch +vorausgesetzt wird, nur eine endliche Zahl Glieder mit negativen Potenzen +von $k$ enthält. Bezeichnet man nun mit $m_1$, $m_2$, $\dotsc,~m_{\sigma}$ die zu $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_{\sigma}$ +gehörigen Werthe der Zahl $m$ in den Entwicklungen von +\[ +\MF{F}(a_1+k), \quad \MF{F}(a_2+k), \quad \dotsc, \quad \MF{F}(a_\sigma+k), +\] +und setzt +\[ +\MF{u}^\mu +\biggl(1-\frac{\MF{u}}{a_1}\biggr)^{m_1} +\biggl(1-\frac{\MF{u}}{a_2}\biggr)^{m_2} \dotsm +\biggl(1-\frac{\MF{u}}{a_\sigma}\biggr)^{m_\sigma} = \pi(\MF{u}), +\] +so hat man nach dem oben Bemerkten +\[ +\biggl( + \frac{\partial^\lambda \log\pi(\MF{u})}{\partial\MF{u}^\lambda} +\biggr)_{\MF{u}=a+k}\kern -1em += m\, \frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} ++ \text{\{Glieder mit ganzen positiven Potenzen von $k$\},} +\] +%% {-----File: 053.png---Folio 51-------} +wo $m = \mu$, $m_1$, $m_2$, $\dotsc,~m_\sigma$ ist für $a = 0$, $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\sigma$, und Null für +jeden andern Werth von $a$. Setzt man daher +\[ +\MF{F}(\MF{u}) - \frac{\partial^\lambda\log\pi(\MF{u})} + {\partial\MF{u}^\lambda} = \MF{F}_1(\MF{u}), +\] +so ist $\MF{F}_1(a+k)$ bei jedem Werthe von $a$, dessen absoluter Betrag kleiner +als $\MF{U}$ ist, in eine nur ganze positive Potenzen von $k$ enthaltende Reihe entwickelbar. +Daraus folgt, daß $\MF{F}_1(\MF{u})$, so lange der absolute Betrag von $\MF{u}$ +unterhalb der genannten Gränze bleibt, stäts einen endlichen Werth hat und +sich continuirlich mit $\MF{u}$ ändert. Dasselbe gilt von $\smfrac{\partial\MF{F}_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}}$ (so wie von den +höhern Differential-Coefficienten dieser Function). Nach einem \Auth{Cauchy}'schen +Satze läßt sich daher $\MF{F}_1(\MF{u})$ für alle jene Werthe von $\MF{u}$ durch eine convergirende +Reihe +\[ +\Underset{\frakm=0\dots\infty} + {\mathbf{S}\, \MF{G}_\fraka \MF{u}^\frakm} +\] +darstellen. Wird daher +\[ +f_1(\MF{u}) = \pi(\MF{u})\, \Powfr{e}{\mathbf{S}\, + \Bigl\{\fnfrac{\MF{G}_\frakm \MF{u}^{\lambda+\frakm}} + {(\frakm+1)\dotsm(\frakm+\lambda)}\Bigr\}} +\] +gesetzt, so ist $f_1(\MF{u})$ in eine, jedenfalls für dieselben Werthe von $\MF{u}$ convergirende +Reihe von der Form +\[ +f_1(\MF{u}) = \MF{u}^\mu + +\Underset{\frakm=0\dots\infty} + {\mathbf{S}\,\Atop{1}{f}_\frakm \MF{u}^{\lambda+\frakm}} +\] +entwickelbar,\footnote{% +S.~die Sätze des §.~7.\ der Abhandlung über die Facultäten.} und man hat +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = +\frac{\partial^\lambda \log \pi(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} + +\MF{F}_1(\MF{u}) = \MF{F}(\MF{u}). % [** PP: Added period] +\] +Nun kann man aber, wenn $\MF{u}$ dem absoluten Betrage nach kleiner als jede +der Größen $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\sigma$ ist, $\MF{F}(\MF{u})$ durch eine convergirende Reihe +\[ +\mu\frac{\partial^\lambda \log \MF{u}}{\partial \MF{u}^\lambda} + +\mathbf{S}\, \MF{F}_\frakm \MF{u}^\frakm +\] +ausdrücken, wo $\mu$ Null oder eine ganze positive Zahl ist. Nimmt man daher +für $f(\MF{u})$ die aus der Entwicklung des Ausdrucks +\[ +\MF{u}^\mu \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{ +\fnfrac{\MF{F}_\frakm \MF{u}^{\lambda+\frakm}} + {(\frakm+1)\dotsm(\frakm+\lambda)}\Bigr\} + + \MF{C}_0 + \MF{C}_1 \MF{u} + \dotsb + + \MF{C}_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1}} +\] +hervorgehende Reihe, so convergirt dieselbe sicher bei den eben genannten +%% {-----File: 054.png---Folio 52-------} +Werthen von $\MF{u}$, und man hat für dieselben +\[ +\frac{\partial^\lambda\log f(\MF{u})}{\partial\MF{u}^\lambda} + = \MF{F}(\MF{u}), +\] +und mithin auch +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = +\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda}, +\] +woraus durch Integration %[** PP: Corrected typo from Iutegration] +\begin{align*} + \log f(\MF{u}) + &= \log f_1(\MF{u}) + \MF{C}'_0 + \MF{C}'_1 \MF{u} + \dotsb + + \MF{C}'_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1}, \\ + f(\MF{u}) + &= f_1(\MF{u})\centerdot \Pow{e}{\MF{C}'_0 + \MF{C}'_1 \MF{u} + \dotsb + + \MF{C}'_{\lambda-1} \MF{u}^{\lambda-1}} +\end{align*} +folgt, wo $\MF{C}'_0$, $\MF{C}'_1$, $\dotsc,~\MF{C}'_{\lambda-1}$ gleich $\MF{C}_0$, $\MF{C}_1$, $\dotsc,~\MF{C}_{\lambda-1}$ Constanten sind, und +aus den für $f(\MF{u})$ und $f_1(\MF{u})$ aufgestellten Ausdrücken sofort erhellt, daß +man, wenn +\[ + \log \biggl( \frac{\pi(\MF{u})}{\MF{u}^\mu}\biggr) += c_1\, \MF{u} + c_2\, \MF{u}^2 + \dotsb +\] +ist, +\[ +\MF{C}'_0 + \MF{C}'_1 \MF{u} + \dotsb + + \MF{C}'_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1} += +\MF{C}_0 + \MF{C}_1 \MF{u} + \dotsb + + \MF{C}_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1} + - c_1 \MF{u} - \dotsb - c_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1} +\] +hat. Der Exponential-Factor in dem vorstehenden Ausdrucke von $f(\MF{u})$ läßt +sich aber nach Potenzen von $\MF{u}$ in eine beständig convergirende Reihe entwickeln; +folglich muß auch das Product aus derselben und der Reihe für +$f_1(\MF{u})$, das heißt die mit $f(\MF{u})$ bezeichnete Reihe convergiren, sobald der absolute +Werth von $\MF{u}$ kleiner als $\MF{U}$ ist. Aber $\MF{U}$ kann beliebig groß angenommen +werden, während die Coefficienten von $f(\MF{u})$ stäts dieselben bleiben, +welchen Werth auch $\MF{U}$ haben möge. Mithin muß die Reihe für $f(\MF{u})$ eine +\textit{beständig} convergirende sein, wenn auch die bei der Bildung ihrer Coefficienten +gebrauchte +\[ +\mathbf{S}\, \Biggl\{ +\frac{\MF{F}_\frakm \MF{u}^{\lambda + \frakm}} + {(\frakm + 1)\dots(\frakm + \lambda)}\Biggr\} +\] +es nicht ist. + +Zugleich sieht man aus der vorhergehenden Darstellung, daß die aufgestellte +Formel den allgemeinsten Ausdruck der Function $f(\MF{u})$ liefert. Denn +gesetzt, es sei $f_0(\MF{u})$ irgend eine andere, welche auch der Differential-Gleichung +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f_0(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} += \MF{F}(\MF{u}) +\] +genügt, so muß, wie gezeigt, +\[ +f_0(\MF{u}) = f(\MF{u})\, \Pow{e}{\chi(\MF{u})} +\] +sein, wo $\chi(\MF{u})$ eine ganze Function $(\lambda-1)$ten Grades bedeutet, wonach $f_0(\MF{u})$ +in dem für $f(\MF{u})$ gegebenen Ausdrucke mit einbegriffen ist. +\end{beweis} + +%% {-----File: 055.png---Folio 53-------} + +\so{Anmerkung}. Hätte die Function $\MF{F}(\MF{u})$ nicht für \textit{alle} Werthe von $\MF{u}$, +sondern nur für alle dem absoluten Betrage nach unterhalb einer gewissen +Gränze liegenden, die angegebenen Eigenschaften; so folgt aus dem vorstehenden +Beweise, daß die auf die angezeigte Weise gebildete Reihe $f(\MF{u})$ jedenfalls +für die bezeichneten Werthe von $\MF{u}$ convergent sein und der Differential-Gleichung +$\smfrac{\partial^\lambda f(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}(\MF{u})$ genügen würde. + +Der bewiesene Satz kann nun, wenn zwischen zwei veränderlichen +Größen $x$ und $\MF{u}$ eine algebraische Differential-Gleichung besteht, dazu gebraucht +werden, um zu entscheiden, ob sich wirklich $x$ als eine Function von +$\MF{u}$, die den Charakter einer ganzen oder gebrochenen rationalen hat, betrachten +lasse, und um, wenn das Letztere der Fall ist, zur Bestimmung des +Zählers und des Nenners \textit{zwei} Differential-Gleichungen zu ermitteln. Denn +immer wird sich aus der gegebenen Differential-Gleichung für irgend einen +$\lambda$ten Differential-Coefficienten von $\log x$ ein Ausdruck von der Form +\[ +\frac{\partial^\lambda \log x}{\partial \MF{u}^\lambda} = +\MF{F}\biggl(\MF{u},\ x,\ \frac{\partial x}{\partial \MF{u}},\ \dotsc,\ % +\frac{\partial^{\lambda-1}x}{\partial \MF{u}^{\lambda-1}}\biggr) +\] +herleiten lassen, wo $\MF{F}$ eine rationale Function von $x$, $\smfrac{\partial x}{\partial \MF{u}}$ u.~s.~w.\ bezeichnen +soll, deren Coefficienten Constanten oder eindeutige analytische Functionen +von $\MF{u}$ sind. Wenn nun $x$ in der Gestalt +\[ +\frac{f_1(\MF{u})}{f_2(\MF{u})}\;, +\] +wo unter $f_1(\MF{u})$, $f_2(\MF{u})$ zwei nach ganzen positiven Potenzen von $\MF{u}$ in beständig +convergirende Reihen entwickelbare Functionen zu verstehen sind, +darstellbar sein soll, so muß, indem dann +\[ +\frac{\partial^\lambda \log x}{\partial \MF{u}^\lambda} = +\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} - +\frac{\partial^\lambda \log f_2(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} +\] +ist, $\MF{F}$ sich auf die Form $\MF{F}_1 - \MF{F}_2$ in der Art bringen lassen, daß $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$ +Functionen von der in dem aufgestellten Satze beschriebenen Art sind. Gelingt +es nun, $\MF{F}$ in dieser Weise umzuformen, wo denn im Allgemeinen +$\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$ Functionen von $\MF{u}$, $x$, $\smfrac{\partial x}{\partial \MF{u}}$, $\dotsc$, + $\smfrac{\partial^{\lambda-1}x}{\partial \MF{u}^{\lambda-1}}$ sein werden, und der Nachweis, +daß sie die in Rede stehende Beschaffenheit haben, mit Hülfe dessen, +was hinsichtlich des zwischen $x$ und $\MF{u}$ bestehenden Abhängigkeits-Verhältnisses +aus der gegebenen Differential-Gleichung folgt, oder sonst bekannt ist, +%% {-----File: 056.png---Folio 54-------} +geliefert werden muß; so kann man +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}_1, \quad +\frac{\partial^\lambda \log f_2(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}_2 +\] +setzen, und dann, indem man für $x$ diejenige Entwicklung nach Potenzen von +$\MF{u}$ sucht, welche für hinlänglich kleine Werthe von $\MF{u}$ gilt, und hierauf die +entsprechenden Entwicklungen von $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$ ausführt, die Reihen für $f_1(\MF{u})$, +$f_2(\MF{u})$ in der beschriebenen Weise bilden -- oder man kann auch, in $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$ +$\smfrac{f_1(\MF{u})}{f_2(\MF{u})}$ statt $x$ einführend, aus den so sich ergebenden Gleichungen die Coefficienten +der gesuchten Reihen, deren Form und beständige Convergenz ja bereits +vor ihrer Entwicklung feststeht, nach irgend einer passenden Methode ableiten; +worauf man bei gehöriger Constanten-Bestimmung $x=\smfrac{f_1(\MF{u})}{f_2(\MF{u})}$ haben wird. + +Wenn man im Stande ist, von der Größe $x$ vor ihrer Entwicklung +nachzuweisen, daß sie eine eindeutige Function von $\MF{u}$ ist, welche sich für +alle in der Nähe eines beliebigen besondern Werthes $a$ liegenden Werthe +dieses Arguments durch eine convergirende Reihe von der Form +\[ + \MF{A}_0\, (\MF{u}-a)^\mu + \MF{A}_1\,(\MF{u}-a)^{\mu+1} ++ \MF{A}_2\, (\MF{u}-a)^{\mu+2} + \dotsb, +\] +wo $\mu$ eine ganze (positive oder negative) Zahl bedeutet, ausdrücken läßt; so +genügt es, $\MF{F}$ als die Differenz zweier andern ähnlich gebildeten Ausdrücke $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$ +darzustellen, von denen sich zeigen läßt, daß der erste nur für solche Werthe +von $x$ unendlich groß werde, bei denen $x = 0$, der andere nur für diejenigen, +bei denen $x = \infty$ wird -- und man kann überzeugt sein, \textit{daß die aus den +Gleichungen +\[ +\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}_1 +\qquad +\frac{\partial^\lambda \log f_2(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}_2 +\] +auf die beschriebene Weise für $f_1(\MF{u})$, $f_2(\MF{u})$ sich ergebenden Reihen beständig +convergent sein werden.} + +Denn bei der angenommenen Beschaffenheit von $x$ hat man für jeden +Werth von $a$ +\begin{align*} +\biggl(\frac{\partial^\lambda \log x} + {\partial \MF{u}^\lambda}\biggr)_{\MF{u}=a+k} +&= \pm m\, \frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} + + + \begin{aligned} + &\text{\{Glieder mit nur ganzen} \\ + &\quad\text{positiven Potenzen von $k$\}} + \end{aligned} \\ +&= \MF{F}_1(a+k) - \MF{F}_2(a+k), +\end{align*} +% [** PP: Added comma after $\MF{u}=a$ below] +wo $m$ eine ganze positive Zahl ist, wenn für $\MF{u} = a$, $x = 0$ oder ${}= \infty$ wird, +und das obere Zeichen im ersten, das untere im andern Falle gilt, während +%% {-----File: 057.png---Folio 55-------} +man $m = 0$ für jeden andern Werth von $a$ hat. Ferner geben $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$, wenn +man in denselben $\MF{u} = a+k$ setzt und nach Potenzen von $k$ entwickelt, +Reihen mit nur ganzen Potenzen von $k$, wobei jedoch, da $\MF{F}_1$ und $\MF{F}_2$ für +keinen Werth von $\MF{u}$ beide unendlich groß werden, niemals in beiden zugleich +negative Potenzen von $k$ vorkommen können. Daher folgt aus der vorstehenden +Gleichung, wenn $\MF{F}_1(a) = \infty$ ist, (indem man mit $(k)$ eine Reihe von +der Form $h_0+h_1\, k+h_2\, k^2 + \dotsb$ andeutet) +\[ +\MF{F}_1(a+k) = m\frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} + (k), +\quad +\MF{F}_2(a+k) = (k); +\] +und wenn $\MF{F}_2(a) = \infty$, +\[ +\MF{F}_2(a+k) = m\frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} + (k), \quad +\MF{F}_1(k) = (k), +\] +während man für jeden andern Werth von $a$ +\[ +\MF{F}_1(a+k) = (k), \quad \MF{F}_2(a+k) = (k) +\] +hat. Es besitzen also $\MF{F}_1(\MF{u})$, $\MF{F}_2(\MF{u})$ die bei dem entwickelten Satze für die +Function $\MF{F}(\MF{u})$ vorausgesetzte Beschaffenheit. + +Wenn sich nur nachweisen ließe, daß man $x$ für alle Werthe von $\MF{u}$, +die dem absoluten Betrage nach unterhalb einer gewissen Gränze liegen, als +eine Function dieser Veränderlichen von der angegebenen Beschaffenheit anzusehen +habe; so würde man, in der beschriebenen Weise verfahrend, zu einer +jedenfalls für alle jene Werthe von $\MF{u}$ geltenden Darstellung von $x$ gelangen. + +Sind für mehrere Functionen $x_1$, $x_2$, $\dotsc$\ von $\MF{u}$ eben so viele algebraische +Differential-Gleichungen gegeben, so kann man bei deren Entwicklung +in ganz ähnlicher Weise verfahren. Auch ist es möglich, in dem Falle, wo +es sich um Functionen von mehr als einem Argumente handelt, die Untersuchung +auf den hier betrachteten zurückzuführen, wie dies an dem Beispiel der +\Auth{Abel}'schen Functionen wird gezeigt werden. Ich halte es jedoch für zweckmäßig, +zuvor die Fruchtbarkeit des im Vorhergehenden entwickelten Princips +für die Darstellung der eindeutigen Functionen in seiner Anwendung auf die +\textit{elliptischen} Transcendenten klar zu machen. + + +\Section{} %§. 8 +\subsubsection*{\centering\normalfont Zur Theorie der elliptischen Functionen.} + +Die in (§.~1 -- 4.) behandelten Differential-Gleichungen reduciren sich +für $\varrho = 1$ auf eine einzige, und zwar, wenn man in diesem Falle $\MF{u}$, $x$ statt +%% {-----File: 058.png---Folio 56-------} +$\MF{u}_1$, $x_1$ schreibt, und +\[ +\MF{A}_0 = \frac{1}{a_3 - a_1} +\] +nimmt, so daß man +\[ +\tag{1.} +\MF{R}(x) = \frac{(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)}{a_3-a_1},\ % +\MF{P}(x) = x-a_1,\ \MF{Q}(x) = \frac{(x-a_2)(x-a_3)}{a_3-a_1} +\] +hat, auf die folgende +\[ +\tag{2.} +d\MF{u} = \frac{1}{2}\, \frac{dx}{\sqrt{ \MF{R}(x)}}. % [** PP: Added period] +\] +Nach den Schlußformeln des §.~4. kann man, bei der Annahme, daß $x=a_1$ +werde für $\MF{u} = 0$, die erstere Größe in der Form +\[ +\tag{3.} +x = a_1 + (a_2 - a_1)\, \al^2 (\MF{u})_1 +\] +ausdrücken, wo $\al(\MF{u})_1$ eine eindeutige Function des unbeschränkt veränderlichen +Arguments $\MF{u}$ bezeichnet, wobei dann +\[ +\tag{4.} +\sqrt{ \MF{R}(x)} = (a_2-a_1)\al(\MF{u})_1 \frac{\partial \al(\MF{u})_1}{\partial \MF{u}} +\] +zu nehmen ist, und man ferner +\[ +\tag{5.} +\left\{\begin{aligned} + a_2 - x &= (a_2 - a_1)\, \al^2(\MF{u})_2, & + a_3 - x &= (a_3 - a_1)\, \al^2(\MF{u})_3, \\ + \al^2(\MF{u})_2 &= 1 - \al^2(\MF{u})_1, & + \al^2(\MF{u})_3 &= 1 - \frac{a_3-a_2}{a_3-a_1} \al^2(\MF{u})_1 +\end{aligned}\right. +\] +hat, wo $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ Functionen derselben Art wie $\al(\MF{u})_1$ sind. Für hinlänglich +kleine Werthe von $\MF{u}$ haben $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ die Form +\[ +\tag{6.} +\left\{\begin{alignedat}{10} + \al(\MF{u})_1 &= \MF{u} && {}+ f_1\, \MF{u}^3 && {}+ f_2\, \MF{u}^5 && {}+ \dotsb + + f_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm-1} + \dotsb + \\ + \al(\MF{u})_2 &= 1 && {}+ g_1\, \MF{u}^2 && {}+ g_2\, \MF{u}^4 && {}+ \dotsb + + g_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb + \\ + \al(\MF{u})_3 &= 1 && {}+ h_1\, \MF{u}^2 && {}+ h_2\, \MF{u}^4 && {}+ \dotsb + + h_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb, +\end{alignedat}\right. +\] +wo die Coefficienten der unendlichen Reihen rational aus $a_1$, $a_2$, $a_3$ (welche +Größen beliebige complexe Werthe haben können) zusammengesetzt werden. +Und wenn man für den absoluten Betrag von $\MF{u}$ irgend eine beliebig anzunehmende +Gränze, die er nicht überschreiten soll, festsetzt, so kann man +$\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ in der Form +\[ +\tag{7.} +\left\{\begin{aligned} + \al(\MF{u})_1 &= + \frac{\MF{u} + \MF{F}_1\, \MF{u}^3 + \dots + \MF{F}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm-1} + \dotsb} + {1 + \MF{E}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{E}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb} + \\[1ex] + \al(\MF{u})_2 &= + \frac{1 + \MF{G}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{G}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb} + {1 + \MF{E}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{E}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb} + \\[1ex] + \al(\MF{u})_3 &= + \frac{1 + \MF{H}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{H}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb} + {1 + \MF{E}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{E}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb} +\end{aligned}\right. +\] +%% {-----File: 059.png---Folio 57-------} +ausdrücken, wo die unendlichen Reihen +\[ +\MF{u} + \MF{F}_1\, \MF{u}^3 + \dotsb, \quad +1 + \MF{G}_1\, \MF{u}^2 + \dotsb, \quad +1 + \MF{H}_1\, \MF{u}^2 + \dotsb, \quad +1 + \MF{E}_1\, \MF{u}^2 + \dotsb, +\] +deren Coefficienten gleichfalls rational aus $a_1$, $a_2$, $a_3$ zusammengesetzt werden, +für alle Werthe von $\MF{u}$ innerhalb des auf die angegebene Weise begränzten +Bereiches convergiren. + +Dieses vorausgesetzt werde die Gleichung (2.) auf die Form +\[ +\tag{8.} +\biggl(\frac{dx}{d\MF{u}}\biggr)^2 = 4 \MF{R}(x) +\] +gebracht, so folgt +\begin{gather*} +\tag{9.} +\frac{d^2 x}{d \MF{u}^2} = 2 \MF{R}'(x), +\\[1ex] +\tag{10.} +\frac{(x-a_1)\, d^2 x - dx\,dx}{2(x-a_1)^2\, d\MF{u}^2} = +\frac{\MF{R}'(x)}{x-a_1} - \frac{2\MF{R}(x)}{(x-a_1)^2}. % [** PP: Added period] +\end{gather*} +Aber +\begin{align*} + \frac{\MF{R}'(x)}{x-a_1} + &= \frac{\MF{R}'(a_1)}{x-a_1} + \MF{R}''(a_1) + + \tfrac{1}{2}\MF{R}'''(a_1)(x-a_1) \\[1ex] + - \frac{2\MF{R}(x)}{(x-a_1)^2} &= + \frac{-2\MF{R}'(a_1)}{x-a_1} - \MF{R}''(a_1) + - \tfrac{1}{3}\MF{R}'''(a_1)(x-a_1), +\end{align*} +und daher, indem $\MF{R}'''(a_1)=\dfrac{6}{a_3-a_1}$ ist, +\[ +\tag{11.} +\frac{1}{2}\, \frac{d^2 \log(x-a_1)}{d\MF{u}^2} = +\frac{x-a_1}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_1)}{x-a_1}. % [** PP: Added period] +\] +Nimmt man $a_2$, $a_3$ statt $a_1$, so erhält man ebenso +\begin{alignat*}{4} + \tag{12.} + \frac{1}{2}\, \frac{d^2 \log(x-a_2)}{d\MF{u}^2} &= + \frac{x-a_2}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_2)}{x-a_2} &&= + \frac{x-a_1}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_2)}{x-a_2} - \frac{a_2-a_1}{a_3-a_1}\;, % [** PP: Added comma] + \\[1ex] + \tag{13.} + \frac{1}{2}\, \frac{d^2 \log(x-a_3)}{d\MF{u}^2} &= + \frac{x-a_3}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_3)}{x-a_3} &&= + \frac{x-a_1}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_3)}{x-a_3} - 1. % [** PP: Added period] +\end{alignat*} +Führt man nun in diese Gleichungen $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ ein, und setzt +\[ +\tag{14.} +\frac{a_2-a_1}{a_3-a_1} = k^2, \quad +\frac{a_3-a_2}{a_3-a_1} = 1 - k^2, +\] +so finden sich, indem +\begin{gather*} + \MF{R}'(a_1) = a_2-a_1, \quad + \MF{R}'(a_2) = \frac{(a_2-a_1)(a_2-a_3)}{a_3-a_1} = -(a_2-a_1)(1-k^2), + \\ + \MF{R}'(a_3) = (a_3-a_2) = (a_3-a_1)(1-k^2) +\end{gather*} +ist, die folgenden + +%% {-----File: 060.png---Folio 58-------} +\begin{alignat*}{4} + \tag{15.} + \frac{d^2\log\al(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} &= + k^2\al^2(\MF{u})_1 - \frac{1}{\al^2(\MF{u})_1} &&= + - \frac{1}{\mspace{10mu} \al^2(\MF{u})_1 \mspace{10mu}} + - \bigl( -k^2\al^2(\MF{u})_1 \bigr), % [** PP: Added comma] + \\[1ex] + \tag{16.} + \frac{d^2\log\al(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} &= + k^2\al^2(\MF{u})_1 - \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_2} - k^2 &&= + - \frac{\al^2(\MF{u})_3} %[**typo? (u)_3?][** PP: Changed] + {\mspace{10mu} \al^2(\MF{u})_2 \mspace{10mu}} + - \bigl( -k^2\al^2(\MF{u})_1 \bigr), % [** PP: Added comma] + \\[1ex] + \tag{17.} + \frac{d^2\log\al(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} &= + k^2\al^2(\MF{u})_1 + \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_3} - 1 &&= + - \frac{k^2\al^2(\MF{u})_2}{\al^2(\MF{u})_3} + - \bigl( -k^2\al^2(\MF{u})_1 \bigr). % [** PP: Added period] +\end{alignat*} +Indem nun +\begin{alignat*}{8} +- \frac{1}{\al^2(\MF{u})_1} &= \infty +\text{ wird nur für solche Werthe von}\ &&\MF{u}, \text{ die } \al^2(\MF{u})_1 &&= 0 &\text{ machen}, +\intertext{und} +- k^2\al^2(\MF{u})_1 &= \infty +\phantom{\ w}\rlap{--}\phantom{ird\ }\rlap{--}\phantom{nur\ }\rlap{--}\phantom{fur\ s}\rlap{--}\phantom{olche\ }\rlap{\ --}\phantom{Werth}\rlap{--} +&& \MF{u}, +\text{ die } \al^2(\MF{u})_1 &&= \infty & - \quad, +\end{alignat*} +so kann man, nach dem im vorhergehenden \S.\ bewiesenen Lehrsatze, +%[** PP: Lehrsätze seems correct, but scan and two SRers disagree] +zwei +Functionen $\Al(\MF{u})$, $\Al(\MF{u})_1$, \textit{die sich nach ganzen positiven Potenzen von $\MF{u}$ +in beständig convergirende Reihen entwickeln lassen}, bestimmen, welche +die Gleichungen +\begin{align*} + \tag{18.} + \frac{d^2\log\Al(\MF{u})}{d\MF{u}^2} = -k^2\al^2(\MF{u})_1 \\[1ex] + \tag{19.} + \frac{d^2\log\Al(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} = - \frac{1}{\al^2(\MF{u})_1} +\end{align*} +befriedigen. Ebenso giebt es, weil +\begin{gather*} +-k^2\al^2(\MF{u})_1 = k^2\bigl( \al^2(\MF{u})_2 - 1 \bigr) = \infty +\quad\text{wird nur für solche Werthe von $\MF{u}$,} +\\ +\text{für die $\al^2(\MF{u})_2 = \infty$ ist,} +\\ +- \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_2} - k^2 = \infty +\quad\text{wird nur für solche Werthe von $\MF{u}$,} +\\ +\text{für die $\al^2(\MF{u})_2 = 0$ ist,} +\intertext{und} +-k^2\al^2(\MF{u})_1 = \al^2(\MF{u})_3 - 1 = \infty +\quad\text{wird nur für solche Werthe von $\MF{u}$,} +\\ +\text{für die $\al^2(\MF{u})_3 = \infty$ ist,} +\\ +\frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_3} - 1 = \infty +\quad\text{wird nur für solche Werthe von $\MF{u}$,} +\\ +\text{für die $\al^2(\MF{u})_3 = 0$ ist,} +\end{gather*} +noch zwei Functionen $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$ von derselben Art wie $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, +welche den Gleichungen +\begin{alignat*}{6} + \tag{20.} + \frac{d^2\log\Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} ={} & {}- && + \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_2} - k^2 &&= + - \frac{\al^2(\MF{u})_3}{\al^2(\MF{u})_2} + \\[1ex] + \tag{21.} + \frac{d^2\log\Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} ={} & && + \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_3} - 1 &&= + - \frac{k^2\al^2(\MF{u})_2}{\al^2(\MF{u})_3} +\end{alignat*} +%% {-----File: 061.png---Folio 59-------} +genügen. Um dieselben darzustellen hat man die Functionen auf der rechten +Seite dieser 4 Differential-Gleichungen nach Potenzen von $\MF{u}$ in Reihen zu +entwickeln, die bei hinlänglich kleinen Werthen von $\MF{u}$ convergiren, wodurch +man, nach den Formeln~(6.), +\[ +\tag{22.} +\left\{\begin{aligned} + -k^2\al^2(\MF{u})_1 + &= \mathbf{S}\, \MF{P}_\frakm \MF{u}^{2\frakm + 2}, + &- \frac{1}{\al^2(\MF{u})_1} + &= -\frac{1}{\MF{u}^2} + \mathbf{S}\, \MF{P}'_\frakm \MF{u}^{2\frakm}, + \\[1ex] + - \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_2} - k^2 + &= \mathbf{S}\, + \Underset{\frakm=0\dots\infty\strut}{\MF{P}''_\frakm \MF{u}^{2\frakm},} + & \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_3} - 1 + &= \mathbf{S}\, \MF{P}'''_\frakm \MF{u}^{2\frakm} +\end{aligned}\right. +\] +erhält; und kann dann für $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, +$\Alrm(\MF{u})_3$ die aus der Entwicklung +der Ausdrücke +\[ +\tag{23.} +\left\{\begin{aligned} + \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{ + \fnfrac{\MF{P}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm+4}} + {(2\frakm+3)(2\frakm+4)}\Bigr\}}, && + \MF{u} \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{ + \fnfrac{\MF{P}'_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm+2}} + {(2\frakm+1)(2\frakm+2)}\Bigr\}} + \\[1ex] + \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{ + \fnfrac{\MF{P}''_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm+2}} + {(2\frakm+1)(2\frakm+2)}\Bigr\}}, && + \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{ + \fnfrac{\MF{P}'''_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm+2}} + {(2\frakm+1)(2\frakm+2)}\Bigr\}} +\end{aligned}\right. +\] +hervorgehenden Reihen nehmen. Dann ist +\[ +\tag{24.} +\left\{\begin{aligned} + \frac{d^2 \log \al(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} &= + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} - + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u}) }{d\MF{u}^2} + \\[1ex] + \frac{d^2 \log \al(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} &= + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} - + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u}) }{d\MF{u}^2} + \\[1ex] + \frac{d^2 \log \al(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} &= + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} - + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u}) }{d\MF{u}^2}, +\end{aligned}\right. +\] +aus welchen Gleichungen man, mit Berücksichtigung des Umstandes, daß in +den Entwicklungen von +\[ +\frac{\Alrm(\MF{u})_1}{\Alrm(\MF{u})}, \qquad +\frac{\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})}, \qquad +\frac{\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})} +\] +nach Potenzen von $\MF{u}$ die Coefficienten von $\MF{u}^0$ und $\MF{u}^1$ dieselben sein müssen +wie in den Reihen (6) für $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$, +\[ +\tag{25.} +\al(\MF{u})_1 = \frac{\Alrm(\MF{u})_1}{\Alrm(\MF{u})} \qquad +\al(\MF{u})_2 = \frac{\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})} \qquad +\al(\MF{u})_3 = \frac{\Alrm(\MF{u})_3}{\Alrm(\MF{u})} +\] +erhält. Man sieht also, \textit{daß man für $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$, sobald nur +feststeht, daß sie eindeutige analytische Functionen von $\MF{u}$, in dem oben +angegebenen Sinne, sind, unmittelbar aus den Differential-Gleichungen, +durch welche sie definirt werden, zu Darstellungen gelangen kann, die +für alle Werthe von $\MF{u}$ ihre Gültigkeit behalten}. + +%% {-----File: 062.png---Folio 60-------} + +Führt man die gefundenen Ausdrücke von $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ in die +Gleichungen (18 -- 21) ein, so verwandeln sich dieselben in die folgenden: +\[ +\tag{26.} +\left\{\begin{alignedat}{8} + &\Alrm(\MF{u}) &&\frac{d^2\Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}^2} && {}- + \frac{d\Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}} && \centerdot\frac{d\Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}} && {}+ + k^2 \Alrm^2(\MF{u})_1 = 0 + \\[1ex] + &\Alrm(\MF{u})_1 &&\frac{d^2\Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} && {}- + \frac{d\Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}} && \centerdot\frac{d\Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}} && {}+ + \Alrm^2(\MF{u}) = 0 + \\[1ex] + &\Alrm(\MF{u})_2 &&\frac{d^2\Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} && {}- + \frac{d\Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}} && \centerdot\frac{d\Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}} && {}+ + \Alrm^2(\MF{u})_3 = 0 + \\[1ex] + &\Alrm(\MF{u})_3 &&\frac{d^2\Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} && {}- + \frac{d\Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}} && \centerdot\frac{d\Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}} && {}+ + k^2 \Alrm^2(\MF{u})_2 = 0, +\end{alignedat}\right. +\] +wobei zu bemerken ist, daß in Folge der Relationen (5.) +\[ +\tag{27.} +\Alrm^2(\MF{u})_2 = \Alrm^2(\MF{u}) - \Alrm^2(\MF{u})_1, \quad +\Alrm^2(\MF{u})_3 = \Alrm^2(\MF{u}) - k^2 \Alrm^2(\MF{u})_1 +\] +ist. Berücksichtigt man nun, daß die Reihen für $\Alrm (\MF{u})$ u.~s.~w.\ nach den +Formeln~(23.) die Gestalt +\[ +\tag{28.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + &\Alrm(\MF{u}) &&= 1 &&{}+ \MF{A}_2 \MF{u}^4 &&{}+ \dots + \MF{A}_\frakm \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb + \\[1ex] + &\Alrm(\MF{u})_1 &&= \MF{u} &&{}+ \MF{B}_1 \MF{u}^3 &&{}+ \dots + \MF{B}_\frakm \MF{u}^{2\frakm + 1} + \dotsb + \\[1ex] + &\Alrm(\MF{u})_2 &&= 1 &&{}+ \MF{C}_1 \MF{u}^2 &&{}+ \dots + \MF{C}_\frakm \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb + \\[1ex] + &\Alrm(\MF{u})_3 &&= 1 &&{}+ \MF{D}_1 \MF{u}^2 &&{}+ \dots + \MF{D}_\frakm \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb +\end{alignedat}\right. +\] +haben, so ist ersichtlich, daß die Gleichungen (26.) zur Bestimmung der +Coefficienten dieser Reihen hinreichen, und daß dieselben ganze Functionen +von $k^{2}$ mit rationalen Zahl-Coefficienten sind. + +Aus den Gleichungen (1 -- 5) folgt noch, wenn man +% [** PP: Removing parentheses around radicands] +\[ +\al(\MF{u})_1 = \sqrt{ \frac{x-a_1}{a_2-a_1} } = \xi +\] +setzt, +% [** PP: Removing parentheses around radicands] +\[ +\tag{29.} +\al(\MF{u})_2 = \sqrt{1-\xi^2}, \quad \al(\MF{u})_3 = \sqrt{1-k^2\xi^2} +\] +und +\[ +\tag{30.} +\left\{\begin{aligned} + \frac{d \al (\MF{u})_1}{d\MF{u}} &= \al (\MF{u})_2 \al (\MF{u})_3 + \\[1ex] + \frac{d \al (\MF{u})_2}{d\MF{u}} &= -\al (\MF{u})_1 \al (\MF{u})_3 + \\[1ex] + \frac{d \al (\MF{u})_3}{d\MF{u}} &= - k^2 \al (\MF{u})_1 \al (\MF{u})_2 + \\[1ex] +% [** PP: Removing parentheses around radicands] + d\MF{u} &= \frac{d\xi}{ \sqrt{1-\xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2} }. % [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +Es sind also +\[ +\al(\MF{u})_1 \quad \al(\MF{u})_2 \quad \al(\MF{u})_3 +\] +%% {-----File: 063.png---Folio 61-------} +die von \Auth{Jacobi} mit +\[ +\sin\am\MF{u} \qquad \cos\am\MF{u} \qquad \varDelta\am\MF{u}, +\] +und von \Auth{Gudermann} mit +\[ +\sn\MF{u} \qquad \cn\MF{u} \qquad \dn\MF{u} +\] +bezeichneten \Defn{elliptischen Functionen}. Nach der vorstehenden Darstellung ist +man im Stande, nicht nur gleich im Eingange der Theorie von denselben +eine allgemeine, gleichmäßig auf alle reellen und imaginären Werthe des +Arguments wie des Moduls sich erstreckende Definition zu geben, sondern +sie auch sofort wirklich zu entwickeln, und zwar in einer stäts gültig bleibenden +und den wahren analytischen Charakter dieser Größen klar hervortreten +lassenden Form. Dadurch ist aber für die weitere Theorie derselben +eine sichere Grundlage gewonnen, und namentlich die Schwierigkeit beseitigt, +welche bei dem gewöhnlichen Verfahren, wenn man $\sin\am\MF{u}$ vermittelst der +Gleichung +\[ +\MF{u} = \int^{\sin \am \MF{u}}_0 \frac{d\xi}{\sqrt{ 1-\xi^2} \sqrt{ 1-k^2 \xi^2}} +%[**F2: Changing surd to sqrt made parens redundant.] +\] +definirt, aus der \textit{Vieldeutigkeit} eines Integrals von dieser Form entspringt. +Nachdem nämlich $\sin\am\MF{u}$ als eine eindeutige Function von $\MF{u}$ erkannt ist, hält +es nicht schwer, den richtigen Sinn, in welchem die vorstehende Gleichung +aufzufassen ist, festzustellen. Hierauf gehe ich aber hier nicht näher ein, indem +dieser Gegenstand weiter unten für die \Auth{Abel}'schen Functionen überhaupt +zur Sprache kommen muß. Dagegen möge schon jetzt erwähnt werden, daß +von den Functionen $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ aus ein directer Weg zu den \Auth{Jacobi}'schen +$\Theta$ Functionen führt, sowie überhaupt zu allen Darstellungen der elliptischen +Transcendenten, die auf deren periodischem Verhalten beruhen. + +Bei den Entwicklungen dieses §.\ habe ich, mit Rücksicht darauf, daß +sie vorbereitend für die folgenden sein sollen, die für die \Auth{Abel}'schen Functionen +überhaupt gewonnenen und aus dem \Auth{Abel}'schen Theoreme hervorgehenden Ergebnisse +der bisherigen Untersuchungen vorausgesetzt. Es beruht aber die +Anwendbarkeit des im vorhergehenden §.\ begründeten Entwicklungs-Verfahrens +auf die Differential-Gleichung +\[ +d\MF{u} = \frac{1}{2}\, \frac{dx}{\sqrt{ \MF{R}(x)}} +\] +wesentlich nur darauf, daß vorher \textit{Zweierlei} festgestellt sein muß. Zunächst +%% {-----File: 064.png---Folio 62-------} +ist zu zeigen, daß sich für hinlänglich kleine Werthe von $\MF{u}$ +\[ + \sqrt{ \frac{x-a_1}{a_2-a_1} }, \quad + \sqrt{ \frac{a_2-x}{a_2-a_1} }, \quad + \sqrt{ \frac{a_3-x}{a_3-a_1} } +\] +in Reihen von der unter (6.) aufgestellten Gestalt entwickeln lassen, und dann +muß die Möglichkeit nachgewiesen werden, Ausdrücke von der Form +\[ +\frac{p}{s}, \quad \frac{q}{s}, \quad \frac{r}{s} +\] +in denen $p$, $q$, $r$, $s$ ähnlich gestaltete, für alle Werthe von $\MF{u}$, die ihrem absoluten +Betrage nach eine willkührlich angenommene Gränze nicht übersteigen, +convergirende Reihen sein sollen, in der Art zu bestimmen, daß sie nach +Potenzen von $\MF{u}$ entwickelt in jene drei Reihen übergehen. Denn dies reicht +hin, um die Existenz eindeutiger analytischer Functionen $\al(\MF{u})_1$, + $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$, +durch welche $x$ und $\sqrt{ \MF{R}(x)}$ in der durch die Formeln (3, 4, 5) angegebenen +Weise ausgedrückt werden können, zu erweisen. \textit{Beides läßt sich nun in +der That durch bloße Betrachtung der aufgestellten Differential-Gleichung +in aller Strenge bewerkstelligen; und man kann daher, unmittelbar von +dieser Gleichung aus, ohne irgend eine andere Eigenschaft der elliptischen +Functionen als bekannt vorauszusetzen, und bloß mit Hülfe allgemeiner +Entwicklungs-Principien, zu der hier gegebenen Darstellung dieser Transcendenten +gelangen.} Ich kann jedoch dieses, wie es mir scheint, wichtige +Ergebniß hier nicht näher begründen, gedenke aber später darauf zurückzukommen, +wenn es mir, was bisher noch nicht vollständig der Fall war, gelingen +sollte, für die \Auth{Abel}'schen Functionen aller Ordnungen ein ähnliches +Resultat zu erhalten. Es möge aber, da man bei den elliptischen Functionen +so mancherlei Methoden versucht hat, erlaubt sein, bei dieser Gelegenheit noch +ein anderes Verfahren anzudeuten, welches ich in einer bereits im Jahre 1840 +verfaßten Prüfungsarbeit zur Entwicklung derselben angewandt habe, und das +mir so einfach und elementar zu sein scheint, als man nur wünschen kann. + + +\Section{} %§. 9. +\subsubsection*{\centering\normalfont Fortsetzung.} + +Ausgehend von den Differential-Gleichungen +\[ +\tag{1.} +\frac{d\xi}{d\MF{u}} = \eta \zeta, \quad +\frac{d\eta}{d\MF{u}} = - \xi \zeta, \quad +\frac{d\zeta}{d\MF{u}} = - k^2 \xi \eta, +\] +welche, wenn man noch hinzufügt, daß für $\MF{u}=0$, $\xi=0$, $\eta=1$, $\zeta=1$ +%% {-----File: 065.png---Folio 63-------} +sein sollen, zu den folgenden +\[ +\tag{2.} +d\MF{u} = \frac{d\xi}{\sqrt{1-\xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2}}\;, \qquad +\sqrt{1-\xi^2} = \eta, \quad \sqrt{1-k^2\xi^2} = \zeta +%[**F2: Changing surd to sqrt made parens redundant.] +\] +führen, kann man $\xi$, $\eta$, $\zeta$ zunächst in der Form gewöhnlicher Potenzreihen +\[ +\tag{3.} +\xi = \MF{u} + f_1 \MF{u}^3 + \dotsb, \ % +\eta = 1+g_1 \MF{u}^2 + \dotsb, \ % +\zeta = 1 + h_1 \MF{u}^2 + \dotsb \ % +\text{(S. Gl.\ 6 d.\ v.\ §.)} +\] +entwickeln, deren Coefficienten ganze Functionen von $k^2$ sind. Es ist leicht +nachzuweisen, daß dieselben für alle Werthe von $\MF{u}$, deren absoluter Betrag +unter einer gewissen Größe $\MF{U}$, deren genauere Kenntniß nicht erforderlich +ist, bleibt, unbedingt convergiren. Beschränkt man nun $\MF{u}$ zunächst auf diese +Werthe, so stellen die Reihen eindeutige Functionen von $\MF{u}$ dar, die jetzt +nach \Auth{Gudermann} mit +\[ +\sn\MF{u} \qquad \cn\MF{u} \qquad \dn\MF{u} +\] +bezeichnet werden mögen. + +Nun hat man die Formeln herzuleiten, vermittelst welcher, wenn +\[ +\MF{u} = \MF{v} + \MF{w} +\] +ist, +\[ +\sn\MF{u},\ \cn\MF{u},\ \dn\MF{u} \quad\text{durch}\quad +\sn\MF{v},\ \cn\MF{v},\ \dn\MF{v},\ \sn\MF{w},\ \cn\MF{w},\ \dn\MF{w} +\] +ausgedrückt werden können, nämlich +\[ +\tag{4.} +\left\{\begin{aligned} + \sn\MF{u} &= \frac{\sn\MF{v}\, \cn\MF{w}\, \dn\MF{w} + + \cn\MF{v}\, \dn\MF{v}\, \sn\MF{w}} + {1 - k^2 \sn^2\MF{v}\, \sn^2\MF{w}} +\\[1ex] + \cn\MF{u} &= \frac{\cn\MF{v}\, \cn\MF{w} + - \sn\MF{v}\, \dn\MF{v}\, \sn\MF{w}\, \dn\MF{w}} + {1 - k^2 \sn^2\MF{v}\, \sn^2\MF{w}} +\\[1ex] + \dn\MF{u} &= \frac{\dn\MF{v}\, \dn\MF{w} + - k^2 \sn\MF{v}\, \cn\MF{v}\, \sn\MF{w}\, \cn\MF{w}} + {1 - k^2 \sn^2\MF{v}\, \sn^2\MF{w}}, +\end{aligned}\right. +\] +wobei vorläufig $\MF{u}$, $\MF{v}$, $\MF{w}$ alle drei dem absoluten Betrage nach kleiner als $\MF{U}$ +vorauszusetzen sind. Aus denselben übersieht man sofort, auch ohne die +Rechnung auszuführen, daß man, wenn $m$ eine ganze positive Zahl bedeutet, +$\sn \MF{u}$, $\cn \MF{u}$, $\dn \MF{u}$ rational durch +$\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, +$\cn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, +$\dn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ ausdrücken kann, in +der Form +\[ +\tag{5.} +\sn \MF{u} = \frac{\MF{P}}{\mathbf{S}} \quad +\cn \MF{u} = \frac{\MF{Q}}{\mathbf{S}} \quad +\dn \MF{u} = \frac{\MF{R}}{\mathbf{S}}\;, +\] +wo $\MF{P}$, $\MF{Q}$, $\MF{R}$, $\mathbf{S}$ ganze Functionen von +$\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, +$\cn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ und +$\dn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ bedeuten. +Man kann ferner leicht nachweisen, daß $\mathbf{S}$ und auch $\MF{P}^2$, $\MF{Q}^2$, $\MF{R}^2$ ganze +Functionen von $\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ sind, und daß sie, als solche betrachtet, keinen +%% {-----File: 066.png---Folio 64-------} +gemeinschaftlichen Factor haben. (S.~\Auth{Abel}, Précis etc. §.~4, und \Auth{Gudermann}, +Theor.\ d, Modular-F. §.~149.) Aus den Gleichungen +\[ +\tag{6.} +\left\{\begin{aligned} + & \frac{d\sn\MF{u}}{d\MF{u}} = \cn\MF{u}\, \dn\MF{u}, && + \frac{d\cn\MF{u}}{d\MF{u}} = -\sn\MF{u}\, \dn\MF{u}, && + \frac{d\dn\MF{u}}{d\MF{u}} = -k^2\sn\MF{u}\, \cn\MF{u} +\\[1ex] + & \sn^2\MF{u} + \cn^2\MF{u} = 1, && + k^2 \sn^2\MF{u} + \dn^2\MF{u} = 1 +\end{aligned}\right. +\] +leitet man sodann die Ausdrücke für $\dfrac{d^2\log\sn\MF{u}}{d\MF{u}^2}$ u.~s.~w.\ ab (s.\ Gl.~15, 16, 17 +d.~v.\ §.), und führt in dieselben $\MF{P}$, $\MF{Q}$, $\MF{R}$, $\mathbf{S}$ ein, wodurch man +\[ +\tag{7.} +\frac{d^2 \log \MF{P}}{d\MF{u}^2} + \frac{\mathbf{S}^2}{\MF{P}^2} = +\frac{d^2 \log \MF{Q}}{d\MF{u}^2} + \frac{\MF{R}^2}{\MF{Q}^2} = +\frac{d^2 \log \MF{R}}{d\MF{u}^2} + \frac{k^2 \MF{Q}^2}{\MF{R}^2} = +\frac{d^2 \log \mathbf{S}}{d\MF{u}^2} + \frac{k^2 \MF{P}^2}{\mathbf{S}^2} +\] +erhält. Setzt man +\[ +\frac{d^2 \log \MF{P}}{d\MF{u}^2} = \frac{\MF{P}_1}{\MF{P}^2}\;, \quad +\frac{d^2 \log \MF{Q}}{d\MF{u}^2} = \frac{\MF{Q}_1}{\MF{Q}^2}\;, \quad +\frac{d^2 \log \MF{R}}{d\MF{u}^2} = \frac{\MF{R}_1}{\MF{R}^2}\;, \quad +\frac{d^2 \log \mathbf{S}}{d\MF{u}^2} = \frac{\mathbf{S}_1}{\mathbf{S}^2}\;, +\] +so ist zunächst $\mathbf{S}_1$ eine ganze Function von $\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, indem $\mathbf{S}$, +$\Biggl(\dfrac{d\sn^2 \Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)}{d\MF{u}^2}\Biggr)^2$, +$\vphantom{\Bigg|}\dfrac{d^2\sn^2 \Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)}{d\MF{u}^2}$, solche sind, und dann zeigen die + vorstehenden Gleichungen~(7.), +daß $\dfrac{d^2\log \MF{P}}{d\MF{u}^2}$, $\dfrac{d^2\log \MF{Q}}{d\MF{u}^2}$, $\dfrac{d^2\log \MF{R}}{d\MF{u}^2}$ + rationale, und daher $\MF{P}_1$, $\MF{Q}_1$, $\MF{R}_1$ ganze Functionen +von $\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ sind. Die Gleichungen +\[ +\frac{\MF{P}_1+\mathbf{S}^2}{\MF{P}^2} = +\frac{\MF{Q}_1+\MF{R}^2}{\MF{Q}^2} = \frac{\MF{R}_1 + k^2 \MF{Q}^2}{\MF{R}^2} = +\frac{\mathbf{S}_1 + k^2 \MF{P}^2}{\mathbf{S}^2} +\] +lehren dann, indem $\MF{P}^2$, $\MF{Q}^2$, $\MF{R}^2$, $\mathbf{S}^2$ keinen gemeinschaftlichen Factor haben, +daß in diesen Ausdrücken die Zähler durch die Nenner theilbar sind, und der +Quotient eine ganze Function von $\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ ist. Die Kenntniß des letztern ist +nicht unumgänglich erforderlich; man findet aber, wenn man den Grad von +$\MF{P}^2$ und von $\mathbf{S}^2$ bestimmt und dann von den Entwicklungen der Ausdrücke +$\dfrac{1}{2}\,\dfrac{d^2\log\MF{P}^2}{d\MF{u}^2} + \dfrac{\mathbf{S}^2}{\MF{P}^2}$, +$\dfrac{1}{2}\,\dfrac{d^2\log\mathbf{S}^2}{d\MF{u}^2} + \dfrac{k^2 \MF{P}^2}{\mathbf{S}^2}$ +nach steigenden und fallenden Potenzen von +$\vphantom{\bigg|}\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ bloß die Anfangsglieder mit einander vergleicht, daß derselbe +$k^2\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ +ist. Man hat daher +%% {-----File: 067.png---Folio 65-------} +\[ +\tag{8.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + \frac{d^2 \log \MF{P}}{d\MF{u}^2} +{} &\ \frac{1}{\sn^2 \MF{u}} +&& - k^2 \sn^2 \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) = 0 +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \MF{Q}}{d\MF{u}^2} +{} &\ \frac {\dn^2\MF{u}}{\cn^2 \MF{u}} +&& - k^2 \sn^2 \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) = 0 +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \MF{R}}{d\MF{u}^2} +{} & \frac {k^2 cn^2\MF{u}}{\cn^2 \MF{u}} +&& - k^2 \sn^2 \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) = 0 +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \MF{S}}{d\MF{u}^2} +{} & k^2 \sn^2 \MF{u} +&& - k^2 \sn^2 \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) = 0. % [** PP: Added period] +\end{alignedat}\right. +\] +Bildet man nun, ganz so wie im vorhergehenden \S., die 4 Functionen $\Alrm(\MF{u})$, +$\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, so daß man +\[ +\tag{9.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u}) }{d\MF{u}^2} + k^2 \sn^2 \MF{u} &= 0, \qquad +& \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} +{}&\ \frac{1}{\sn^2 \MF{u}}\ &&= 0, +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} +\ \frac{\dn^2 \MF{u}}{\cn^2\MF{u}}\ &= 0, +& \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} +{}& \frac{k^2 \cn^2 \MF{u}}{\dn^2 \MF{u}} &&= 0 +\end{alignedat}\right. +\] +hat, so geben die Gleichungen (8.) +\[ +\tag{10.} +\left\{ \begin{alignedat}{2} + \frac{d^2 \log \MF{P}}{d\MF{u}^2} + &= \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} + &&- m^2 \frac{d^2 \log \Alrm\Bigl( \smfrac{\MF{u}}{m} \Bigr)}{d\MF{u}^2} +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \MF{Q}}{d\MF{u}^2} + &= \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} + &&- m^2 \frac{d^2 \log \Alrm\Bigl( \smfrac{\MF{u}}{m} \Bigr)}{d\MF{u}^2} +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \MF{R}}{d\MF{u}^2} + &= \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} + &&- m^2 \frac{d^2 \log \Alrm\Bigl( \smfrac{\MF{u}}{m} \Bigr)}{d\MF{u}^2} +\\[1ex] + \frac{d^2 \log \MF{S}}{d\MF{u}^2} + &= \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})\;{}}{d\MF{u}^2} + &&- m^2 \frac{d^2 \log \Alrm\Bigl( \smfrac{\MF{u}}{m} \Bigr)}{d\MF{u}^2}. % [** PP: Added period] +\end{alignedat}\right. +\] +Hieraus aber folgt, mit Rücksicht auf die ersten Glieder in den Reihen"=Entwicklungen +der vorkommenden Größen, +\[ +\tag{11.} +\left\{\begin{aligned} + \Alrm(\MF{u}_1) &= \Alrm^{mm} \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) \centerdot \MF{P} +\quad +& \Alrm(\MF{u}_2) &= \Alrm^{mm} \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) \centerdot \MF{Q} +\\[1ex] + \Alrm(\MF{u}_3) &= \Alrm^{mm} \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) \centerdot \MF{R} +& \Alrm(\MF{u} ) &= \Alrm^{mm} \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) \centerdot \MF{S} +\end{aligned}\right. +\] +und somit (gemäß 5) +\[ +\tag{12.} + \sn \MF{u} = \frac{\Alrm(\MF{u})_1}{\Alrm(\MF{u})} \qquad + \cn \MF{u} = \frac{\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})} \qquad + \dn \MF{u} = \frac{\Alrm(\MF{u})_3}{\Alrm(\MF{u})}. % [** PP: Added period] +\] +%% {-----File: 068.png---Folio 66-------} +\[ +\tag{13.} +\left\{ \begin{alignedat}{2} + d\, \biggl(\frac{\Alrm(\MF{u})_1 }{\Alrm(\MF{u})} \biggr) +&= && \frac{\Alrm(\MF{u})_2\,\Alrm(\MF{u})_3}{\Alrm(\MF{u})\, \Alrm(\MF{u})}\, d\MF{u} +\\[1ex] + d\, \biggl(\frac{\Alrm(\MF{u})_2 }{\Alrm(\MF{u})} \biggr) +&= -&& \frac{\Alrm(\MF{u})_1\,\Alrm(\MF{u})_3}{\Alrm(\MF{u})\, \Alrm(\MF{u})}\, d\MF{u} +\\[1ex] + d\, \biggl(\frac{\Alrm(\MF{u})_3 }{\Alrm(\MF{u})} \biggr) +&= -&& \frac{k^2 \Alrm(\MF{u})_1\,\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})\, \Alrm(\MF{u})}\, d\MF{u}. % [** PP: Added period] +\end{alignedat}\right. +\] + +Alle diese Gleichungen sind zunächst nur unter der Voraussetzung erwiesen, +daß $u$ dem absoluten Betrage nach kleiner als $\MF{U}$ sei, weil ja nur für +solche Werthe des Arguments die Functionen $\sn\MF{u}$, $\cn\MF{u}$, $\dn\MF{u}$ bis jetzt definirt +sind. Aber $\MF{P}$, $\MF{Q}$, $\MF{R}$, $\mathbf{S}$ sind ganze Functionen von $\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, $\cn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, $\dn\Bigr( \smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, +und können daher nach Potenzen von $\MF{u}$ in Reihen entwickelt werden, welche +convergiren, sobald der absolute Werth von $\MF{u}$ kleiner als $m\MF{U}$ ist. Für die +Werthe, die dem absoluten Betrage nach kleiner als $\MF{U}$ sind, convergirt ferner +auch die Reihe, welche aus der für $(-k^2 \sn^2 \MF{u})$ durch zweimalige Integration +hervorgeht, und die in dem Ausdrucke von $\Alrm(\MF{u})$, der im vorhergehenden \S.\ +unter Nr.~(23.) gegeben ist, den Exponenten von $e$ bildet. Da nun die Exponential-Reihe +eine \textit{beständig} convergirende ist, so muß die für $\Alrm(\MF{u})$ hervorgehende +Reihe jedenfalls für die genannten Werthe von $\MF{u}$ convergiren. +Die für $\Alrm\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, und somit auch die für $\Alrm^{mm}\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ muß es also, sobald der +absolute Betrag von $\MF{u}$ kleiner als $m\MF{U}$ ist, und die Gleichungen~(11.) lehren +sodann, daß die Reihen für $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, $\Alrm(\MF{u})$ ebenfalls für diese +Werthe von $\MF{u}$ noch convergent sind. Daraus folgt unmittelbar, daß diese +letzteren Reihen \textit{beständig} convergiren müssen, indem einerseits $m\MF{U}$ beliebig +groß gemacht werden kann, und anderseits die Coefficienten der genannten +Reihen in keinerlei Weise von $m$ abhängen. %[** PP: abhängen] +Nach der in \S.~4.\ in Betreff der +dort mit $\MF{F}(\MF{u}_1, \dotsc)$, $\MF{G}(\MF{u}_1, \dotsc)$, $\MF{F}'(\MF{u}_1,\dotsc)$, $\MF{G}'(\MF{u}_1,\dotsc)$ bezeichneten Functionen +gemachten Bemerkung gelten daher die Gleichungen~(13.) jetzt für \textit{alle} Werthe +von $\MF{u}$; und wenn man nunmehr $\sn \MF{u}$, $\cn \MF{u}$, $\dn \MF{u}$ allgemein durch die Gleichungen~(12.) +definirt, so genügen dieselben nicht nur den Differential-Gleichungen +\[ +\frac{d \sn\MF{u}}{d\MF{u}} = \cn\MF{u}\, \dn\MF{u}, \qquad +\frac{d \cn\MF{u}}{d\MF{u}} = -\sn\MF{u}\, \dn\MF{u}, \qquad +\frac{d \dn\MF{u}}{d\MF{u}} = -k^2 \sn\MF{u}\, \cn\MF{u}, +\] +sondern es haben für dieselben, die für hinlänglich kleine Werthe von $\MF{u}$ $\bigl($in +Folge der Gleichungen (11, 5)$\bigr)$ mit den ursprünglich so bezeichneten und +durch die Reihen~(3.) dargestellten übereinstimmen, auch alle übrigen im +%% {-----File: 069.png---Folio 67-------} +Vorhergehenden entwickelten Gleichungen (namentlich Nr.~4, 6, 9) unbedingte +Gültigkeit. + +Verfährt man auf die im Vorstehenden angegebene Weise, so braucht +man, um zur Entwicklung der elliptischen Functionen zu gelangen, nur einige +wenige, auf die Convergenz der gewöhnlichen Potenz-Reihen sich beziehenden +und sehr einfach zu erweisenden Sätze vorauszusetzen. (S.\ die mehrfach +angeführte Abhandlung über die Facultäten, \S.~7.) Dagegen sind die Formeln, +welche $\sn\MF{u}$, $\cn\MF{u}$, $\dn\MF{u}$ durch $\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, $\cn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, $\dn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, auszudrücken lehren, +etwas genauer zu untersuchen, als sich dies bei den analogen, für die \Auth{Abel}'schen +Functionen geltenden füglich ausführen läßt. Aus diesem Grunde suchte +ich die Ableitung der Functionen $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ aus den ursprünglichen-Differential-Gleichungen +von aller speciell auf den betrachteten Einzelfall sich +beziehenden Rechnung möglichst frei zu machen, und kam so auf die im vorhergehenden +\S.\ befolgte Methode, deren allgemeinere Anwendbarkeit sich +deutlich genug herausstellt. + + +\Section{} %\S. 10. +\subsubsection*{\centering\normalfont Fortsetzung.} + +Die Bestimmung der Coefficienten in den Reihen-Entwicklungen von +$\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ mit Hülfe der Gleichungen (\S.~7, 26 oder 22, 23) ist zwar +ausführbar, aber beschwerlich. Obgleich man nun wohl niemals zur \textit{numerischen +Berechnung} einer elliptischen Function sich dieser Reihen bedienen +wird, so ist es doch nicht ohne Interesse, daß es zur wirklichen Darstellung +derselben noch einen andern, die Rechnung ungemein erleichternden Weg +giebt. \Auth{Jacobi} hat nämlich zur Bestimmung der im vorhergehenden \S.\ mit $\MF{P}$, +$\MF{Q}$, $\MF{R}$, $\mathbf{S}$ bezeichneten Größen eine \textit{lineare} Differential-Gleichung gegeben, +in der dieselben außer nach $\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ oder $\MF{u}$, auch noch in Beziehung auf den +Modul $k$ differentiirt erscheinen. Da nun die angeführten Ausdrücke für $m=\infty$, +nach den Formeln~(11.) des v.~\S., in $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, $\Alrm(\MF{u})$ übergehen, +so muß es auch ähnliche partielle Differential-Gleichungen für diese +Functionen geben. Man kann dieselben in einfacher Weise aus den obigen +Gleichungen (18 -- 21.) herleiten, und sie dann selbst wieder benutzen, um +die erwähnten Gleichungen \Auth{Jacobi's} aus den unter Nr.~8.\ des v.~\S.\ aufgestellten +herzuleiten (so wie auch die analogen, welche zur Bestimmung der +Zähler und des Nenners in den Transformations-Formeln dienen und ebenfalls +%% {-----File: 070.png---Folio 68-------} +von \Auth{Jacobi} ohne Beweis mitgetheilt sind). Auch dieses habe ich in der erwähnten +Arbeit ausgeführt; ich begnüge mich aber hier, nur die Ableitung +der für $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ geltenden partiellen Differential-Gleichungen selbst zu +geben, und zwar aus dem Grunde, weil das Verfahren, \textit{gegebene Differential-Gleichungen +nach einer darin vorkommenden Constanten zu differentiiren, +und durch Combinationen der so erhaltenen mit den ursprünglichen andere +Gleichungen zu ermitteln, welche für die Reihen-Entwicklung der +zu bestimmenden Größen eine geeignetere Form haben,} einer weitern Anwendbarkeit +fähig sein dürfte. + +Es werde +\[ + \Alrm(\MF{u})_1 = p, \quad \Alrm(\MF{u})_2 = q, \quad + \Alrm(\MF{u})_3 = r, \quad \Alrm(\MF{u}) = s, \frac{Al(\MF{u})_1}{\Alrm(\MF{u})} = \xi +\] +gesetzt, so hat man (\S.~8, 30) +\[ +\tag{1.} + \biggl(\frac{\partial\xi}{\partial \MF{u}}\biggr) += (1-\xi^2) (1-k^2\xi^2) = 1 - (1+k^2)\, \xi^2 + k^2\xi^4,\ + \frac{\partial^2\xi}{\partial \MF{u}^2} = -(1+k^2)\, \xi + 2k^2\xi^3. % [** PP: Added period] +\] +Differentiirt man jetzt diese Gleichung, indem man $\xi$, sowie $p$, $q$, $r$, $s$ als +Functionen von $\MF{u}$ und $k$ betrachtet, in Beziehung auf $k$, so erhält man +\begin{gather*} + \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}} \centerdot + \frac{\partial^2 \xi}{\partial \MF{u}\,\partial k} += \bigl( -(1+k^2)\xi + 2k^2\xi^3 \bigr)\, \frac{\partial\xi}{\partial k} +- k\xi^2(1-\xi^2), % [** PP: Added comma] +\\[1ex] + \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}} \centerdot + \frac{\partial^2 \xi}{\partial \MF{u}\,\partial k} +- \frac{\partial \xi}{\partial k} \centerdot + \frac{\partial^2 \xi}{\partial \MF{u}^2} = -k\xi^2(1-\xi^2), % [** PP: Added comma] +\\[1ex] + \frac{ \partial\, \biggl( \dfrac{\partial \xi}{\partial k} + : \dfrac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}\biggr) } + { \partial \MF{u} } += -\frac{k\xi^2}{1-k^2\xi^2} += -\frac{1}{k} \biggl( \frac{1}{1-k^2\xi^2} - 1 \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{gather*} +Nach (\S.~8, 17) hat man aber, indem $\al^2(\MF{u})_3= 1-k^2\xi^2$ ist, +\[ + \frac{1}{2}\, \frac{\partial^2\log(1-k^2\xi^2)}{\partial \MF{u}^2} += k^2\xi^2 + \frac{1-k^2}{1-k^2\xi^2} - 1 +=-\frac{\partial^2\log s}{\partial \MF{u}^2} + \frac{1-k^2}{1-k^2\xi^2} -1, +\] +oder +\[ +\frac{1-k^2}{1-k^2\xi^2} += \frac{ \partial\, \biggl( + \dfrac{\partial\log s}{\partial \MF{u}} + + \frac{1}{2}\, \dfrac{\partial\log(1-k^2\xi^2)} + {\partial \MF{u}} + \MF{u}\biggr) }% end of numerator + { \partial \MF{u} }. % [** PP: Added period] +\] +Multiplicirt man daher die zweitvorhergehende Gleichung noch mit $k(1-k^{2})$, +und integrirt in Beziehung auf $\MF{u}$, so kommt +\[ + k(1-k^2) + \frac{\partial\xi}{\partial k} : \frac{\partial\xi}{\partial \MF{u}} += -\frac{\partial\log s}{\partial \MF{u}} +- \frac{1}{2}\, \frac{\partial\log(1-k^2\xi^2)}{\partial \MF{u}} - k^2\MF{u}, +\] +oder wenn man mit $\dfrac{\partial\xi}{\partial \MF{u}}$ multiplicirt, indem +%% {-----File: 071.png---Folio 69-------} +\[ +- \frac{1}{2}\, \frac{\partial \log(1-k^2\xi^2)}{\partial \MF{u}} \centerdot + \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}} += \frac{k^2\xi}{1-k^2 \xi^2} \biggl(\frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 += k^2 \xi (1 - \xi^2) +\] +ist, +\[ +\tag{2.} +k(1-k^2)\frac{\partial \xi}{\partial k} += k^2 \xi (1 - \xi^2) - \biggl( + k^2 \MF{u} + \frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} +\biggr) \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}. +\] +Diese Gleichung multiplicire man mit $4k^2\xi$, so folgt, weil (§.~8, 18) +\[ +\tag{3.} +\frac{\partial^2 \log s}{\partial \MF{u}^2} + k^2\xi^2 = 0, +\] +und daher +\[ +2k^2 \xi\, \frac{\partial \xi}{\partial k} = + - \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^2\, \partial k} - 2k\xi^2, \quad +2k^2 \xi \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}} = + - \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3} +\] +ist, +\[ +2k(1-k^2)\, \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^2\, \partial k} + +2k^2 \MF{u}\, \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3} + +2\frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} \centerdot +\frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3} + +4k^2 \xi^2 - 4k^4 \xi^4 = 0, +\] +oder da +\begin{align*} + 2k^2 \MF{u}\, \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3} + &= 2\frac{\partial^2 \biggl(k^2 \MF{u} + \dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)} + {\partial \MF{u}^2} + - 4k^2\, \frac{\partial^2 \log s}{\partial \MF{u}^2} +\\[1ex] + 2\frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} + \centerdot \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3} + &= \frac{\partial^2\centerdot + \biggl(\dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2} + {\partial \MF{u}^2} + - 2\biggl(\frac{\partial^2 \log s}{\partial \MF{u}^2}\biggr)^2 + \\ + &= \frac{\partial^2\centerdot\biggl(\dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2}{\partial \MF{u}^2} + - 2k^4 \xi^4 +\end{align*} +ist, +\[ +\frac{\partial^2 \left\{2k(1-k^2) \dfrac{\partial \log s}{\partial k} + + 2k^2 \MF{u} \dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} + + \biggl(\dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 \right\}}{\partial \MF{u}^2} + + 4k^2(1+k^2)\xi^2 - 6k^4\xi^4 = 0. % [** PP: Added period] +\] +Aber +\[ +\frac{\partial^4 \log s}{\partial \MF{u}^4} = -2k^2\xi \frac{\partial^2 \xi}{\partial \MF{u}^2} - +2k^2\biggl(\frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 + = -2k^2 + 4k^2(1+k^2)\, \xi^2 - 6k^4 \xi^4, +\] +und man kann daher die vorstehende Gleichung zweimal in Beziehung auf $\MF{u}$ +integriren, wodurch man +\[ +\frac{\partial^2 \log s}{\partial \MF{u}^2} + 2k(1-k^2)\frac{\partial \log s}{\partial k} + + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} + + \biggl(\frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 + k^2\MF{u}^2 = 0 +\] +erhält. Durch Betrachtung der ersten Glieder in der Reihen-Entwicklung von +$s$ überzeugt man sich, daß bei keiner dieser Integrationen eine Constante hinzuzufügen +ist. Multiplicirt man nun die vorstehende Gleichung noch mit $s$, +so ergiebt sich die folgende lineare partielle Differential-Gleichung für $s$ +%% {-----File: 072.png---Folio 70-------} +\[ +\tag{4.} + \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + 2k^2\MF{u}\frac{\partial s}{\partial \MF{u}} + +2k(1-k^2)\frac{\partial s}{\partial k} + k^2\MF{u}s = 0. % [** PP: Added period] +\] +Setzt man nun in (2.) $\xi = \dfrac{p}{s}$, so ergiebt sich +\[ + k(1-k^2) \frac{ s\dfrac{\partial p}{\partial k} + - p\dfrac{\partial s}{\partial k} }{ s^2 } ++ \biggl( k^2\MF{u} + \frac{1}{s}\centerdot \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} \biggr)\, + \frac{ s\dfrac{\partial p}{\partial \MF{u}} + - p\dfrac{\partial s}{\partial \MF{u}} }{ s^2 } +- k^2\frac{p}{s} + k^2\frac{\MF{p}^3}{s^3} = 0, +\] +oder wenn man mit $2ps^3$ multiplicirt, +\begin{gather*} + ps^2\biggl( 2k^2\MF{u} \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2)\frac{\partial p}{\partial k} \biggr) +- s\MF{p}^2\biggl( 2k^2\MF{u} \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2)\, \frac{\partial s}{\partial k} \biggr) +\\[1ex] + {}+ 2ps \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} +\centerdot \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} +- 2\MF{p}^2\biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 +- 2k^2\MF{p}^2s^2 + 2k^2\MF{p}^4 = 0. % [** PP: Added period] +\end{gather*} +Aus der Gleichung (1.) aber folgt +\[ + s^2\biggl(\frac{\partial p}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 ++ \MF{p}^2\biggl(\frac{\partial s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 +- 2ps \frac{\partial p}{\partial \MF{u}}\centerdot \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} += s^4 - (1 + k^2)\MF{p}^2s^2 + k^2\MF{p}^4, +\] +und man erhält daher, wenn man vermittelst dieser Gleichung aus der vorhergehenden +das Glied $\biggl( 2p \dfrac{\partial p}{\partial \MF{u}} \centerdot \dfrac{\partial s}{\partial \MF{u}}\biggr)$ eliminirt, +\begin{align*} + & ps^2\biggl( 2k^2\MF{u}\frac{\partial p}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2)\frac{\partial p}{\partial k} + (1-k^2)p \biggr) + + s^2\biggl( \frac{\partial p}{\partial\MF{u}} \biggr)^2 - s^4 +\\[1ex] +={}& s\MF{p}^2\biggl( 2k^2\MF{u}\frac{\partial s}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2)\frac{\partial p}{\partial k} \biggr) + + \MF{p}^2\biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 - k^2\MF{p}^4. +% [** PP: Added period] +\end{align*} +Aber (§.~8, 26) +$\biggl( \dfrac{\partial p}{\partial \MF{u} } \biggr)^2 + = p\dfrac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + s^2$, +$\biggl( \dfrac{\partial s}{\partial \MF{u} } \biggr)^2 + = s\dfrac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + k^2\MF{p}^2$; daher verwandelt +sich die vorstehende Gleichung in die folgende: +\begin{align*} + & s\, \biggl( \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2\MF{u}\frac{\partial p}{\partial \MF{u} } + 2k(1-k^2)p + \biggr) +\\[1ex] +&\quad= + p\, \biggl( \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2\MF{u}\frac{\partial s}{\partial \MF{u} } + + 2k(1-k^2) \frac{\partial s}{\partial \MF{u} } + \biggr), +\end{align*} +woraus wegen der 4ten +\[ +\tag{5.} + \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} ++ 2k^2\MF{u} \frac{\partial p}{\partial \MF{u} } ++ 2k(1-k^2) \frac{\partial p}{\partial k } + (1-k^2+k^2\MF{u}^2)p = 0 +\] +folgt. Ferner hat man (§.~8, 27) $s^2=\MF{p}^2+q^2$, woraus sich +\begin{align*} +& s\frac{\partial s}{\partial \MF{u}} += p\frac{\partial p}{\partial \MF{u}} ++ q\frac{\partial q}{\partial \MF{u}}, \quad + s\frac{\partial s}{\partial k} += p\frac{\partial p}{\partial k} ++ q\frac{\partial q}{\partial k}, +\\[1ex] +& s\frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} ++ \biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u} } \biggr)^2 += p\frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} ++ \biggl( \frac{\partial p}{\partial \MF{u} } \biggr)^2 ++ q\frac{\partial^2 q}{\partial \MF{u}^2} ++ \biggl( \frac{\partial q}{\partial \MF{u} } \biggr)^2 +\end{align*} +%% {-----File: 073.png---Folio 71-------} +findet, und da, wenn man in der dritten dieser Gleichungen +\begin{gather*} + \biggl( \frac{\partial p}{ \partial \MF{u} } \biggr)^2 += p \frac{\partial^2 p}{ \partial \MF{u}^2} + s^2, +\qquad + \biggl( \frac{\partial q}{ \partial \MF{u} } \biggr)^2 += q \frac{\partial^2 q}{ \partial \MF{u}^2} + r^2 += q \frac{\partial^2 q}{ \partial \MF{u}^2} + s^2 - k^2\MF{p}^2, +\\[1ex] + \biggl( \frac{\partial s}{ \partial \MF{u}} \biggr)^2 += s \frac{\partial^2 s}{ \partial \MF{u}^2} + k^2\MF{p}^2 +\end{gather*} +setzt, sich +\[ + s \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} += p \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + (1 - k^2)\MF{p}^2 ++ q \frac{\partial^2 q}{\partial \MF{u}^2} + q^2 +\] +ergiebt, +\begin{gather*} + s\,\biggl( \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2) \frac{\partial s}{\partial k} + k^2\MF{u}^2 s \biggr) +\\[1ex] += p\,\biggl( \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2) \frac{\partial p}{\partial k} + + (1-k^2 + k^2\MF{u}^2) p \biggr) +\\[1ex] ++ q\,\biggl( \frac{\partial^2 q}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial q}{\partial \MF{u}} + + 2k(1-k^2) \frac{\partial q}{\partial k} + + (1+ k^2\MF{u}^2) q \biggr); +\end{gather*} +woraus mit Rücksicht auf (4, 5) +\[ +\tag{6.} + \frac{\partial^2 q}{\partial \MF{u}^2} ++ 2k^2 \MF{u} \frac{\partial q}{\partial \MF{u}} ++ 2k(1-k^2) \frac{\partial q}{\partial k} + (1+ k^2\MF{u}^2)q = 0 +\] +folgt. + +Endlich ist +\begin{gather*} +s^2 = k^2\MF{p}^2 + r^2 +\\ + s \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} += k^2p \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} ++ r \frac{\partial r}{\partial \MF{u}}, +\qquad + s \frac{\partial s}{\partial k} += k^2p \frac{\partial p}{\partial k} ++ r \frac{\partial r}{\partial k} + k\MF{p}^2 +\\[1ex] + s \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} ++ \biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u} } \biggr)^2 += k^2p \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} ++ k^2 \biggl( \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 ++ r \frac{\partial^2 r}{\partial \MF{u}^2} ++ \biggl( \frac{\partial r}{\partial \MF{u} } \biggr)^2, +\end{gather*} +oder weil +\begin{gather*} + \biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 += s \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + k^2 \MF{p}^2, +\qquad + \biggl( \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 += p \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + s^2, +\qquad + \biggl(\frac{\partial r}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 += r \frac{\partial^2 r}{\partial \MF{u}^2} + k^2s^2 - k^2 \MF{p}^2, +\\[1ex] + s\, \biggl( \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2\MF{u} \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} + + 2k(1 - k^2) \frac{\partial s}{\partial k} + k^2\MF{u}^2s \biggr) +\\[1ex] += k^2p\, \biggl( \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2\MF{u} \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} + + 2k(1 - k^2) \frac{\partial p}{\partial k} + + (1 - k^2 + k^2\MF{u}^2) p \biggr) +\\[1ex] ++ r\, \biggl( \frac{\partial^2 r}{\partial \MF{u}^2} + + 2k^2\MF{u} \frac{\partial r}{\partial \MF{u}} + + 2k(1 - k^2) \frac{\partial r}{\partial k} + + (k^2 + k^2\MF{u}^2) r \biggr), +\end{gather*} +woraus +\[ +\tag{7.} + \frac{\partial^2 r}{\partial \MF{u}^2} ++ 2k^2 \MF{u} \frac{\partial r}{\partial \MF{u}} ++ 2k(1 - k^2) \frac{\partial r}{\partial k} + (k^2 + k^2 \MF{u}^2)r = 0 +\] +folgt. Mit Hülfe dieser Gleichungen (4 -- 7), die hier nun noch einmal +%% {-----File: 074.png---Folio 72-------} +zusammengestellt werden mögen: +\[ +\Lmargintag{8.} +\left\{\begin{alignedat}{10} +\frac{\partial^2 \Alrm(\MF{u})}{\partial \MF{u}^2} &+ + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial \Alrm(\MF{u})}{\partial \MF{u}} &&+ + 2k(1-k^2) \frac{\partial \Alrm(\MF{u})}{\partial k} &&+ + k^2 \MF{u}^2 \Alrm(\MF{u}) = 0 +\\[1ex] +\frac{\partial^2 \Alrm(\MF{u})_1}{\partial \MF{u}^2} &+ + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_1}{\partial \MF{u}} &&+ + 2k(1-k^2) \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_1}{\partial k} &&+ + (1 - k^2 + k^2 \MF{u}^2) \Alrm(\MF{u})_1 = 0 +\\[1ex] +\frac{\partial^2 \Alrm(\MF{u})_2}{\partial \MF{u}^2} &+ + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_2}{\partial \MF{u}} &&+ + 2k(1-k^2) \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_2}{\partial k} &&+ + (1 + k^2 \MF{u}^2) \Alrm(\MF{u})_2 = 0 +\\[1ex] +\frac{\partial^2 \Alrm(\MF{u})_3}{\partial \MF{u}^2} &+ + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_3}{\partial \MF{u}} &&+ + 2k(1-k^2) \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_3}{\partial k} &&+ + (k^2 + k^2 \MF{u}^2) \Alrm(\MF{u})_3 = 0 +\end{alignedat}\right. +\] +lassen sich nunmehr die Reihen für $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$ ohne Mühe +entwickeln, wobei man noch mit Vortheil die leicht zu erweisenden Relationen +\[ +\tag{9.} +\left\{\begin{aligned} +\Alrm \Bigl( k\MF{u}, \smfrac{1}{k} \Bigr)_1 &= k \Alrm(\MF{u}, k)_1 & +\Alrm \Bigl( k\MF{u}, \smfrac{1}{k} \Bigr)_2 &= \Alrm(\MF{u}, k)_3 +\\[1ex] +\Alrm \Bigl( k\MF{u}, \smfrac{1}{k} \Bigr)_3 &= \phantom{k}\Alrm(\MF{u}, k)_2 & +\Alrm \Bigl( k\MF{u}, \smfrac{1}{k} \Bigr)\phantom{_1} &= \Alrm(\MF{u}, k) +\end{aligned}\right. +\] +benutzen kann. Die Resultate der leicht auszuführenden Rechnung sind folgende. + +Es seien $\frakm$, $\frakn$ ganze Zahlen, die unabhängig von einander alle Werthe +von $0$ bis $+\infty$ zu durchlaufen haben, so ist +\[ +\tag{10.} +\left\{\begin{aligned} + \Alrm(\MF{u}) &= 1 - \mathbf{S} \left\{ \Pow{(-1)}{\frakm+\frakn} + a_{\frakm, \frakn} k^{2\frakm + 2} \centerdot + \frac{\MF{u}^{2\frakm + 2\frakn + 4}}{(2\frakm + 2\frakn + 4)!} \right\} + \\[1ex] + \Alrm(\MF{u})_1 &= \phantom{1 -{}}\mathbf{S} \left\{ \Pow{(-1)}{\frakm + \frakn} + b_{\frakm, \frakn} k^{2\frakm} \centerdot + \frac{\MF{u}^{2\frakm + 2\frakn + 1}}{(2\frakm + 2\frakn + 1)!} \right\} + \\[1ex] + \Alrm(\MF{u})_2 &= 1 - \mathbf{S} \left\{ \Pow{(-1)}{\frakm + \frakn} + c_{\frakm, \frakn} k^{2\frakm} \centerdot + \frac{\MF{u}^{2\frakm + 2\frakn + 2}}{(2\frakm + 2\frakn + 2)!} \right\} + \\[1ex] + \Alrm(\MF{u})_3 &= 1 - \mathbf{S} \left\{ \Pow{(-1)}{\frakm + \frakn} + c_{\frakm, \frakn} k^{2\frakn + 2} \centerdot + \frac{\MF{u}^{2\frakm + 2\frakn + 2}}{(2\frakm + 2\frakn + 2)!} \right\}. % [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +In diesen Formeln ist mit $\frakn!$ das Product $(1\centerdot 2\dotsm\frakn)$ bezeichnet, und +\[ +a_{\frakm, \frakn} \quad b_{\frakm, \frakn} \quad c_{\frakm, \frakn} +\] +sind ganze Zahlen, welche vermittelst der folgenden Recursions-Formeln zu +berechnen sind: +\[ +\Lmargintag{11.} +\left\{\begin{alignedat}{10} + a_{\frakm, \frakn} &= (4 \frakm + 4) a_{\frakm, \frakn-1} &&+ + (2\frakn + 4) a_{\frakm-1, \frakn} &&- + (2\frakm + 2\frakn + 1)(2\frakm + 2\frakn + 2) + a_{\frakm-1, \frakn-1} + \\ + b_{\frakm, \frakn} &= (4 \frakm + 1) b_{\frakm, \frakn-1} &&+ + (2\frakn + 1) b_{\frakm-1, \frakn} &&- + (2\frakm + 2\frakn - 2)(2\frakm + 2\frakn - 1) + b_{\frakm-1, \frakn-1} + \\ + c_{\frakm, \frakn} &= (4 \frakm + 1) c_{\frakm, \frakn-1} &&+ + (4\frakn + 4) c_{\frakm-1, \frakn} &&- + (2\frakm + 2\frakn - 1)(2\frakm + 2\frakn) + c_{\frakm-1, \frakn-1}. % [** PP: Added period] +\end{alignedat}\right. +\] +Beim Gebrauche dieser Formeln hat man +\[ +a_{0, 0} = 2, \quad b_{0, 0} = 1, \quad c_{0, 0} = 1, \quad +c_{1, 0} = 2, \quad c_{0, 1} = 1 +\] +%% {-----File: 075.png---Folio 73-------} +zu setzen, so wie jedem Coefficienten, bei dem einer der Indices negativ wird, +den Werth Null beizulegen. Ferner muß in der ersten $\frakm+\frakn>0$, eben so +in der zweiten, und in der dritten $\frakm+\frakn>1$ sein. Auch ist +\[ + a_{\frakm, \frakn} = a_{\frakn, \frakm} \qquad + b_{\frakm, \frakn} = b_{\frakn, \frakm}. % [** PP: Added period] +\] +Da es nützlich sein kann, die Reihen für $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ in einer Anzahl von +Gliedern wirklich dargestellt zu haben, so mögen hier noch für die 10 ersten +Coefficienten derselben die vollständig berechneten Ausdrücke Platz finden. + +%\newpage +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\[ +\Alrm(\MF{u}) + = 1 - \MF{A}_2 \frac{\MF{u}^4}{4!} + + \MF{A}_3 \frac{\MF{u}^6}{6!} - \dotsb + + \Pow{(-1)}{\frakm-1} \MF{A}_\frakm + \frac{\MF{u}^{2\frakm}}{(2\frakm)!} \dotsb +\] +\begin{flalign*} +&\multispan{1}{\rule{\textwidth}{0pt}}\\[-\baselineskip] +& \MF{A}_2\phantom{{}_1} = 2\,k^2 \\ +& \MF{A}_3\phantom{{}_1} = 8(k^2+k^4) \\ +& \MF{A}_4\phantom{{}_1} = 32(k^2+k^6) + 68\,k^4 \\ +& \MF{A}_5\phantom{{}_1} = 128 (k^2 + k^8) + 480(k^4 + k^6) \\ +& \MF{A}_6\phantom{{}_1} = 512 (k^2 + k^{10}) + 3008 (k^4 + k^8) + 5400\,k^6 \\ +%** obviously missing +----------------------^ +& \MF{A}_7\phantom{{}_1} = 2048(k^2+k^{12}) + 17408(k^4 + k^{10}) + + 49568(k^6 + k^8) \\ +& \MF{A}_8\phantom{{}_1} = 8192 (k^2+k^{14}) + 95232 (k^4 + k^{12}) + + 395520 (k^6 + k^{10}) + 603376\,k^8 \\ +% [** PP: Coefficient 395520 badly smudged in scan] +& \MF{A}_9\phantom{{}_1} = 32768 (k^2+k^{16})+ 499712(k^4+k^{14}) + + 2853888(k^6+k^{12})+5668096 (k^8 + k^{10}) \\ +& \MF{A}_{10} = 131072 (k^2+k^{18}) + 2539520 (k^4+k^{16}) + + 19097600 (k^6 + k^{14}) \\ +&\multispan{1}{$\hfill {}+ 38153728 (k^8 + k^{12}) + 42090784\,k^{10}$} +\end{flalign*} +u.~s.~w. +\end{minipage} +% +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\[ +\Alrm(\MF{u})_1 + = \MF{u} - \MF{B}_1 \frac{\MF{u}^3}{3!} + + \MF{B}_2 \frac{\MF{u}^5}{5!} - \dotsb + + \Pow{(-1)}{\frakm} \MF{B}_\frakm + \frac{\MF{u}^{2\frakm+1}}{(2\frakm+1)!} \dotsb +\] +\begin{flalign*} +&\multispan{1}{\rule{\textwidth}{0pt}}\\[-\baselineskip] +& \MF{B}_1\phantom{{}_1} = 1+k^2 \\ +& \MF{B}_2\phantom{{}_1} = 1+k^4 + 4\,k^2 \\ +& \MF{B}_3\phantom{{}_1} = 1+k^6+ 9 (k^2+k^4) \\ +& \MF{B}_4\phantom{{}_1} = 1+k^8 + 16 (k^2+k^6) - 6\,k^4 \\ +& \MF{B}_5\phantom{{}_1} = 1+k^{10} + 25 (k^2+k^8) - 494 (k^4+k^6) \\ +& \MF{B}_6\phantom{{}_1} = 1 +k^{12} + 36 (k^2+k^{10}) - 5781 (k^4+k^8) + - 12184\,k^6 \\ +& \MF{B}_7\phantom{{}_1} = 1+k^{14} + 49 (k^2+k^{12}) - 55173 (k^4+k^{10}) + - 179605 (k^6+k^8) \\ +& \MF{B}_8\phantom{{}_1} = 1 + k^{16} + 64 (k^2+k^{14}) + - 502892 (k^4+k^{12}) - 2279488 (k^6+k^{10})-3547930\,k^8 \\ +& \MF{B}_9\phantom{{}_1} = 1+k^{18}+81(k^2+k^{16}) - 4537500 (k^4+k^{14}) + - 27198588(k^6+k^{12}) \\ +&\multispan{1}{$\hfill {}- 59331498 (k^8+k^{10})$} \\ +& \MF{B}_{10} = 1 + k^{20}+ 100(k^2 + k^{18}) - 40856715 (k^4+ k^{16}) + - 313180080(k^6+k^{14}) \\ +&\multispan{1}{$\hfill {}- 909015270 (k^8 + k^{12}) - 1278530856\,k^{10}$} +\end{flalign*} +u.~s.~w.\ +%** obviously missing '-'^ [F2: obviously missing sign, dunno whether it's plus or minus.][** PP: Guessing minus on slight evidence] +\end{minipage} + +%% {-----File: 076.png---Folio 74-------} + +\noindent\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\[ +\Alrm(\MF{u})_2 + = 1 - \MF{C}_1\frac{\MF{u}^2}{2!} + + \MF{C}_2\frac{\MF{u}^4}{4!} - \dotsb + + \Pow{(-1)}{\frakm} \MF{C}_\frakm + \frac{\MF{u}^{2\frakm}}{(2\frakm)!} \cdots +\] +\begin{flalign*} +&\multispan{1}{\rule{\textwidth}{0pt}} &&\\[-\baselineskip] +& \MF{C}_1\phantom{{}_1} = 1 \\ +& \MF{C}_2\phantom{{}_1} = 1+2\,k^2 \\ +& \MF{C}_3\phantom{{}_1} = 1+6\,k^2+8\,k^4 \\ +& \MF{C}_4\phantom{{}_1} = 1 + 12\,k^2 + 60\,k^4 + 32\,k^6 \\ +& \MF{C}_5\phantom{{}_1} = 1 + 20\,k^2 + 348\,k^4+ 448\,k^6 + 128\,k^8 \\ +& \MF{C}_6\phantom{{}_1} = 1 + 30\,k^2+ 2372\,k^4+ 4600\,k^6+ 2880\,k^8 + + 512 \,k^{10}\\ +& \MF{C}_7\phantom{{}_1} = 1 + 42\,k^2+19308\,k^4 + 51816\,k^6 + + 45024\,k^8 + 16896\,k^{10} + 2048\,k^{12}\\ +%& \MF{C}_8\phantom{{}_1} = 1 + 56\,k^2 + 169320\,k^4+ 628064\,k^6+ 757264\,k^8 +% + 370944\,k^{10}\\ +%&\multispan{1}{$\hfill {}+ 93184\,k^{12}+8192\,k^{14} $} &&\\ +& \MF{C}_8\phantom{{}_1} = 1 + 56\,k^2 + 169320\,k^4+ 628064\,k^6+ 757264\,k^8 + + 370944\,k^{10} + 93184\,k^{12}+8192\,k^{14} &&\\ +& \MF{C}_9\phantom{{}_1} = 1 + 72\,k^2+ 1515368\,k^4+7594592\,k^6 + + 12998928\,k^8 + 9100288\,k^{10}\\ +&\multispan{1}{$\hfill {}+ 2725888\,k^{12} + 491520\,k^{14} + + 32768\,k^{16} $} &&\\ +& \MF{C}_{10} = 1 + 90\,k^2 + 13623480\,k^4 + 89348080\,k^6 + 211064400\,k^8 + + 219361824\,k^{10}\\ +&\multispan{1}{$\hfill {}+ 100242944\,k^{12} + 18450432\,k^{14} + 2506752\,k^{16} + 131072\,k^{18} $} && +\end{flalign*} +u.~s.~w. +\[ +\Alrm(\MF{u})_3 + = 1 - \MF{D}_1\frac{\MF{u}^2}{2!} + + \MF{D}_2 \frac{\MF{u}^4}{4!} - \dotsb + + \Pow{(-1)}{\frakm} \MF{D}_\frakm + \frac{\MF{u}^{2\frakm}}{(2\frakm)!} \dotsb +\] +\begin{flalign*} +&\multispan{1}{\rule{\textwidth}{0pt}} &&\\[-\baselineskip] +& \MF{D}_1\phantom{{}_1} = k^2 \\ +& \MF{D}_2\phantom{{}_1} = 2\,k^2 + k^4 \\ +& \MF{D}_3\phantom{{}_1} = 8\,k^2 + 6\,k^4 + k^6 \\ +& \MF{D}_4\phantom{{}_1} = 32\,k^2+ 60\,k^4+ 12\,k^6+ k^8 \\ +& \MF{D}_5\phantom{{}_1} = 128\,k^2 + 448\,k^4 + 348\,k^6+ 20\,k^8+ k^{10} \\ +& \MF{D}_6\phantom{{}_1} = 512\,k^2+ 2880\,k^4+ 4600\,k^6+ 2372\,k^8 + + 30\,k^{10}+k^{12} \\ +& \MF{D}_7\phantom{{}_1} = 2048\,k^2+ 16896\,k^4+ 45024\,k^6+ 51816\,k^8 + + 19308\,k^{10}+ 42\,k^{12} + k^{14} \\ +%& \MF{D}_8\phantom{{}_1} = 8192\,k^2+ 93184\,k^4+ 370944\,k^6 + 757264\,k^8 +% + 628064\,k^{10} \\ +%&\multispan{1}{$\hfill {}+ 169320\,k^{12} + 56\,k^{14} + k^{16} $} &&\\ +& \MF{D}_8\phantom{{}_1} = 8192\,k^2+ 93184\,k^4+ 370944\,k^6 + 757264\,k^8 + + 628064\,k^{10} + 169320\,k^{12} + 56\,k^{14} + k^{16} &&\\ +& \MF{D}_9\phantom{{}_1} = 32768\,k^2 + 491520\,k^4+ 2725888\,k^6+ 9100288\,k^8 + + 12998928\,k^{10} \\ +&\multispan{1}{$\hfill {}+ 7594592\,k^{12} + 1515368\,k^{14}+ 72\,k^{16} + + k^{18} $} &&\\ +& \MF{D}_{10} = 131072\,k^2 + 2506752\,k^4+ 18450432\,k^6 + + 100242944\,k^8+219361824\,k^{10} \\ +&\multispan{1}{$\hfill {}+ 211064400\,k^{12} + 89348080\,k^{14} + + 13623480\,k^{16} + 90\,k^{18} + k^{20} $} && +\end{flalign*} +u.~s.~w. +\end{minipage} + +Ordnet man diese Ausdrücke von $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ nach Potenzen von +$k$, so erscheinen die Coefficienten als unendliche Reihen, die sich aber summiren +lassen. + +%% {-----File: 077.png---Folio 75-------} + +\Section{} %§.~11. +\subsubsection*{\centering\normalfont Uebergang zu den \Auth{Jacobi}'schen Reihen.} + +Nunmehr möge gezeigt werden, wie man von den Functionen $\Alrm(\MF{u})$, +$\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$ aus zu den unendlichen Reihen gelangen kann, durch +welche \Auth{Jacobi} die elliptischen Functionen auszudrücken gelehrt hat. Dabei +nehme ich jedoch an, daß der absolute Betrag des Moduls $k$ kleiner als Eins +sei, was erlaubt ist, weil man vermittelst der Formeln +\begin{align*} + \Alrm\left(k\MF{u}, \smfrac{1}{k}\right)_{\phantom{1}} &= \Alrm(\MF{u}, k) & + \Alrm\left(k\MF{u}, \smfrac{1}{k}\right)_2 &= \Alrm(\MF{u}, k)_3 \\ + \Alrm\left(k\MF{u}, \smfrac{1}{k}\right)_1 &= k \Alrm(\MF{u}, k)_1 & + \Alrm\left(k\MF{u}, \smfrac{1}{k}\right)_3 &= \Alrm(\MF{u}, k)_2 \\ +\end{align*} +jede der 4 genannten Functionen, wenn der absolute Betrag des Moduls die +Einheit übersteigt, auf eine andere zurückführen kann, bei welcher derselbe +kleiner als 1 ist. + +Es werde nun, unter dieser Voraussetzung, +\[ +\tag{1.} +% [** Removed parentheses around radicands] + \int_0^1 \frac{d\xi}{\sqrt{1 - \xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2}} = \MF{K}, \quad + \int_1^{\fnfrac{1}{k}} + \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2 - 1} \sqrt{1-k^2\xi^2}} = \MF{K}' +\] +gesetzt, wobei, um diesen Integralen eine ganz bestimmte Bedeutung zu geben, +festgestellt werden möge, es solle bei beiden Integrationen für $\sqrt{1-k^2\xi^2}$ +der durch die Reihe +\[ +1 - \frac{1}{2}k^2\, \xi^2 - \frac{1}{2\centerdot 4}k^4\, \xi^4 - +\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}k^6\, \xi^6 - \dotsb +\] +gegebene Werth dieser Wurzelgröße, und bei der ersten +\[ +\sqrt{1-\xi^2} = 1 - \frac{1}{2}\xi^2 - \frac{1}{2\centerdot 4}\xi^4 - +\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}\xi^6 - \dotsb, +\] +so wie bei der zweiten +\[ +\sqrt{\xi^2-1} = \xi - \frac{1}{2}\xi^3 - \frac{1}{2\centerdot 4}\xi^5 - +\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}\xi^7 - \dotsb +\] +genommen werden. Dann erhält man, wenn man die Reihe +\[ +1 + \biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2 k^2 + +\biggl(\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4}\biggr)^2 k^4 + \dots + +\biggl(\frac{1\centerdot 3 \dotsm (2n-1)}{2\centerdot 4 \dotsm\hfill 2n\hfill}\biggr)^2 k^{2n} + \dotsb +\quad\text{mit}\quad \mathfrak{K}, +\] +und die Summe ihrer $(n + 1)$ ersten Glieder +\[ +1 + \biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2 k^2 + +\biggl(\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4}\biggr)^2 k^4 + \dots + +\biggl(\frac{1\centerdot 3 \dotsm (2n-1)}{2\centerdot 4 \dotsm\hfill 2n\hfill} + \biggr)^2 k^{2n} +%[**F2: ^^----Missing ^2 ?][** PP: Yes] +\quad\text{mit}\quad \mathfrak{K}_n +\] +bezeichnet, +%% {-----File: 078.png---Folio 76-------} +\[ +\tag{2.} +\left\{\begin{aligned} + \MF{K}\phantom{'} &= \frac{\pi}{2} \mathfrak{K} \\ + \MF{K}' &= \mathfrak{K} \log \biggl(\frac{4}{k}\biggr) - (\mathfrak{K} - 1) - + \frac{2}{3\centerdot 4}(\mathfrak{K} - \mathfrak{K}_1) - + \frac{2}{5\centerdot 6}(\mathfrak{K} - \mathfrak{K}_2) - \dotsb, +\end{aligned}\right. +\] +und es ergeben sich die folgenden Gleichungen +\[ +\tag{3.} +\left\{\begin{aligned} + & \sn(\MF{K}) = 1 + && \cn(\MF{K}) = 0 + && \dn(\MF{K}) = k' + \\ + & \sn(\MF{K}-i\MF{K}') = \smfrac{1}{k} + && \cn(\MF{K}-i\MF{K}') = \smfrac{k'i}{k} + && \dn(\MF{K}-i\MF{K}') = 0, +\end{aligned}\right. +\] +in denen +\[ +\tag{4.} +k' = \sqrt{1-k^2} = 1 - \frac{1}{2}k^2 - \frac{1}{2\centerdot 4}k^4 - \dotsb +\] +ist. + +Die Herleitung derselben, so wie auch die Entwicklung der Reihen für +$\MF{K}$ und $\MF{K}'$, muß bei dem hier eingeschlagenen Wege, die Theorie der elliptischen +Functionen zu begründen, in einer etwas andern als der gewöhnlichen +Weise geschehen. Doch gehe ich hierauf nicht näher ein, sondern verweise +auf das folgende Kapitel, wo man alles, was hier zu bemerken wäre, in +den daselbst anzustellenden allgemeinern Untersuchungen gehörig erörtert finden +wird. + +Die Formeln für $\sn(\MF{u}\pm \MF{v})$, $\cn(\MF{u}\pm \MF{v})$, $\dn(\MF{u}\pm \MF{v})$ führen sodann, wenn +man $\MF{v}=\MF{K}$, und $\MF{v}=\MF{K}-i\MF{K}'$ setzt, zu den Relationen +\begin{gather*} + \tag{5.} + \left\{\begin{aligned} +\multispan{2}{\rule{13em}{0pt}}& +\multispan{2}{\rule{13em}{0pt}} +\\[-\baselineskip] + \sn(\MF{u}+\MF{K}) &= \frac{\cn \MF{u}}{\dn \MF{u}} & + \sn(\MF{u}-\MF{K}) &= - \frac{\cn \MF{u}}{\dn \MF{u}} \\[1ex] + \cn(\MF{u}+\MF{K}) &= \frac{-k' \sn \MF{u}}{\dn \MF{u}} & + \cn(\MF{u}-\MF{K}) &= \frac{k' \sn \MF{u}}{\dn \MF{u}} \\[1ex] + \dn(\MF{u}+\MF{K}) &= \frac{k'}{\dn \MF{u}} & + \dn(\MF{u}-\MF{K}) &= \frac{k'}{\dn \MF{u}} + \end{aligned}\right. \\[1.5ex] + \tag{6.} + \left\{\begin{aligned} +\multispan{2}{\rule{13em}{0pt}}& +\multispan{2}{\rule{13em}{0pt}} +\\[-\baselineskip] + \sn(\MF{u}+\MF{K}-i\MF{K}') &= \frac{\dn \MF{u}}{k \cn \MF{u}} & + \sn(\MF{u}-\MF{K}+i\MF{K}') &= - \frac{\dn \MF{u}}{k \cn \MF{u}} \\[1ex] + \cn(\MF{u}+\MF{K}-i\MF{K}') &= \frac{k'i}{k \cn \MF{u}} & + \cn(\MF{u}-\MF{K}+i\MF{K}') &= \frac{k'i}{k \cn \MF{u}} \\[1ex] + \dn(\MF{u}+\MF{K}-i\MF{K}') &= - \frac{ik' \sn \MF{u}}{\cn \MF{u}} & + \dn(\MF{u}-\MF{K}+i\MF{K}') &= \frac{ik' \sn \MF{u}}{\cn \MF{u}}. % [** PP: Added period] + \end{aligned}\right. +\end{gather*} +Und wenn man in diesen letztern Formeln $\MF{u}-\MF{K}$, sowie auch $\MF{u}+\MF{K}$ für $\MF{u}$ +setzt, so erhält man +%% {-----File: 079.png---Folio 77-------} +\[ +\tag{7.} +\left\{ \begin{alignedat}{4} +& \sn(\MF{u} + i\MF{K}') &= \Neg \frac{1}{k \sn\MF{u}} \qquad +& \sn(\MF{u} - i\MF{K}') &= \frac{1}{k \sn\MF{u}} +\\[1ex] +& \cn(\MF{u} + i\MF{K}') &= \frac{-i\dn\MF{u}}{\sn\MF{u}} \qquad +& \cn(\MF{u} - i\MF{K}') &= \frac{ i\dn\MF{u}}{\sn\MF{u}} +\\[1ex] +& \dn(\MF{u} + i\MF{K}') &= \frac{-i\cn\MF{u}}{\sn\MF{u}} \qquad +& \dn(\MF{u} - i\MF{K}') &= \frac{ i\cn\MF{u}}{\sn\MF{u}}. % [** PP: Added period] +\end{alignedat}\right. +\] +Aus (5, 7) folgt nun +\[ +\tag{8.} +\left\{ \begin{aligned} + \sn(\MF{u} + \MF{K}) &= -\sn(\MF{u}- \MF{K}) &\qquad + \sn(\MF{u} + i\MF{K}') &= \Neg\sn(\MF{u}-i\MF{K}') +\\[1ex] + \cn(\MF{u} + \MF{K}) &= -\cn(\MF{u}- \MF{K}) &\qquad + \cn(\MF{u} + i\MF{K}') &= -\cn(\MF{u}-i\MF{K}') +\\[1ex] + \dn(\MF{u} + \MF{K}) &= \Neg\dn(\MF{u}- \MF{K}) &\qquad + \dn(\MF{u} + i\MF{K}') &= -\dn(\MF{u}-i\MF{K}') +\end{aligned}\right. +\] +und hieraus, indem man $\MF{u}+\MF{K}$ und $\MF{u}+i\MF{K}'$ für $\MF{u}$ setzt, +\[ +\tag{9.} +\left\{ + \begin{aligned} + \sn(\MF{u} + 2\MF{K}) &= -\sn \MF{u} &\qquad + \sn(\MF{u} + 2i\MF{K}') &= \Neg\sn \MF{u} +\\[1ex] + \cn(\MF{u} + 2\MF{K}) &= -\cn \MF{u} &\qquad + \cn(\MF{u} + 2i\MF{K}') &= -\cn \MF{u} +\\[1ex] + \dn(\MF{u} + 2\MF{K}) &= \Neg\dn \MF{u} &\qquad + \dn(\MF{u} + 2i\MF{K}') &= -\dn \MF{u}. % [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +Diese Gleichungen führen endlich zu den folgenden allgemeinern, in denen +$\frakm$, $\frakn$ beliebige ganze Zahlen bedeuten: +\[ +\tag{10.} +\left\{ +\begin{aligned} + \sn(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}') +&= \Pow{(-1)}{\frakm}\sn \MF{u} \\ + \cn(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}') +&= \Pow{(-1)}{\frakm + \frakn}\cn \MF{u} \\ + \dn(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}') +&= \Pow{(-1)}{\frakn}\dn \MF{u}. % [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +Man hat ferner, wenn man +\begin{gather*} + \frac{d\, \Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}} \quad\text{mit $\Alrm'(\MF{u})$ bezeichnet}, +\\[1ex] +\tag{11.} + d\, \frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} = -k^2 \sn^2 \MF{u}\, d\MF{u}, +\end{gather*} +oder wenn +\begin{gather*} + \xi = \sn \MF{u}, \\[1ex] +\tag{12.} + d\, \frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} += \frac{k^2 \xi^2\, d\xi}{\sqrt{1-\xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2}}. % [** PP: Added period] +\end{gather*} +Wird daher +\[ +\tag{13.} +\int_0^1 \frac{k^2 \xi^2\, d\xi}{\sqrt{1-\xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2}} = \MF{J}, +\quad +\int_0^{\fnfrac{1}{k}} + \frac{k^2 \xi^2\, d\xi}{\sqrt{\xi^2-1} \sqrt{1-k^2\xi^2}} = \MF{J}', +\] +gesetzt, mit der Bestimmung, daß bei jeder dieser Integrationen $\xi$ und die +%% {-----File: 080.png---Folio 78-------} +Wurzelgrößen dieselben Werthe durchlaufen sollen, wie bei der entsprechenden, +durch welche man bezieht. $\MF{K}$ oder $\MF{K}'$ findet; so ergiebt sich +\[ +\tag{14.} +\frac{\Alrm'(\MF{K})}{\Alrm(\MF{K})} = -\MF{J} \quad +\frac{\Alrm'(\MF{K}-i\MF{K}')}{\Alrm(\MF{K}-i\MF{K}')} = -\MF{J}+i\MF{J}'. % [** PP: Added period] +\] +Aus den Gleichungen (11, 8) aber folgt +\[ +d \frac{\Alrm'(\MF{u}+\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}+\MF{K})} = +d \frac{\Alrm'(\MF{u}-\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}-\MF{K})}, +\] +und daher +\[ +\frac{\Alrm'(\MF{u}+\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}+\MF{K})} = +\frac{\Alrm'(\MF{u}-\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}-\MF{K})} + \MF{C}, +\] +wo $\MF{C}$ eine von $\MF{u}$ unabhängige Größe bedeutet. Indem man $\MF{u} = 0$ nimmt, +und bemerkt, daß $\Alrm(\MF{u})$ eine gerade, $\Alrm'(\MF{u})$ aber eine ungerade Function +von $\MF{u}$ ist, findet sich +\[ +\MF{C} = \frac{\Alrm'(\MF{K})}{\Alrm(\MF{K})} - +\frac{\Alrm'(-\MF{K})}{\Alrm(-\MF{K})} = +2\frac{\Alrm'(\MF{K})}{\Alrm(\MF{K})} = -2\MF{J}. +\] +Setzt man nun in der vorhergehenden Gleichung $\MF{u}+\MF{K}$ für $\MF{u}$, so ergiebt sich +\[ +\tag{15.} +\frac{\Alrm'(\MF{u}+2\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}+2\MF{K})} = +\frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} - 2\MF{J}. % [** PP: Added period] +\] +In ganz ähnlicher Weise findet sich +\[ +\tag{16.} +\frac{\Alrm'(\MF{u}+2\MF{K}-2i\MF{K}')}{\Alrm(\MF{u}+2\MF{K}-2i\MF{K}')} = +\frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} - 2\MF{J} + 2i\MF{J}'. % [** PP: Added period] +\] +Und wenn man in dieser Gleichung $\MF{u}+2i\MF{K}'$ an die Stelle von $\MF{u}$ setzt, so +kommt +\[ +\tag{17.} +\frac{\Alrm'(\MF{u}+2i\MF{K}')}{\Alrm(\MF{u}+2i\MF{K}')} = +\frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} - 2i\MF{J}', +\] +worauf man dann aus (15, 17) die allgemeinere Relation +\[ +\tag{18.} +\frac{\Alrm'(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}')} + {\Alrm(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}')} = +\frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} - 2\frakm \MF{J} + 2\frakn i\MF{J}' +\] +herleiten kann. + +Jetzt werde zur Abkürzung +\[ +\tag{19.} +\left\{\begin{alignedat}{2} + \frakm \MF{K} &+ \frakn i\MF{K}' &&= \omega \\ + \frakm \MF{J} &+ \frakn i\MF{J}' &&= \eta +\end{alignedat}\right. +\] +gesetzt. Dann folgt aus der vorstehenden Gleichung +\[ +\Alrm(\MF{u} + 2\omega) = \MF{C} \centerdot \Pow{e}{-2\eta \MF{u}}\Alrm(\MF{u}), +\] +wo $\MF{C}$ eine Constante bedeutet. Zur Bestimmung derselben setze man $\MF{u}=-\omega$, +%% {-----File: 081.png---Folio 79-------} +so findet sich +\[ +\Alrm(\omega) = \MF{C}\Pow{e}{2\eta\omega}\Alrm(-\omega) + = \MF{C}\Pow{e}{2\eta\omega}\Alrm(\omega), +\] +und daher, wofern nicht $\Alrm(\omega) = 0$ ist, $\MF{C} = \Pow{e}{-2\eta\omega}$. Es wird aber, wie aus +der Gleichung +\[ +\frac{d^2\log\Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}^2} = -k^2\sn^2 \MF{u} +\] +folgt, $\Alrm(\omega)$ nur dann ${}=0$, wenn $\sn\omega=\infty$ ist; was, wie die Formeln +(7, 10) lehren, nur der Fall ist, wenn für $\frakm$ eine gerade und für $\frakn$ eine +ungerade Zahl angenommen wird. Dann aber ist, wie die Gleichung +\[ +\frac{d^2\log\Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} = - \frac{1}{\sn^2 \MF{u}} +\] +zeigt, $\Alrm(\omega)_1$ nicht ${}=0$; und da man, nach (10.), jetzt $\sn(\MF{u}+2\omega) = \sn \MF{u}$ +hat, und somit aus der vorstehenden Gleichung für $\Alrm(\MF{u}+2\omega)$ +\[ +\Alrm(\MF{u}+2\omega)_1 = \MF{C}\Pow{e}{-2\eta\MF{u}}\Alrm(\MF{u})_1 +\] +folgt, so findet sich jetzt, wenn man wieder $\MF{u}=-\omega$ setzt, $\MF{C}=-\Pow{e}{-2\eta\omega}$. +Demgemäß hat man +\[ +\Alrm(\MF{u}+2\omega) = \pm \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)}\Alrm(\MF{u}), +\] +in welcher Gleichung das untere Zeichen gilt, wenn $\frakm$ gerade und gleichzeitig +$\frakn$ ungerade, oder wenn das Product $(\frakm+1)\frakn$ ungerade ist. Daher +\[ +\Alrm(\MF{u}+2\omega) = \Pow{(-1)}{(\frakm+1)\frakn} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u}). % [** PP: Added period] +\] +Verbindet man nun mit dieser Gleichung die unter (10.) aufgestellten, so +ergeben sich für die Functionen $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, + $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$ folgende Relationen: +\[ +\tag{20.} +\left\{ +\begin{aligned} + \Alrm(\MF{u}+2\omega)_{\phantom{1}} &= + \Pow{(-1)}{\frakm \frakn + \frakn} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u}) \\ + \Alrm(\MF{u}+2\omega)_1 &= + \Pow{(-1)}{\frakm \frakn + \frakm + \frakn} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u})_1 \\ + \Alrm(\MF{u}+2\omega)_2 &= + \Pow{(-1)}{\frakm \frakn + \frakm} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u})_2 \\ + \Alrm(\MF{u}+2\omega)_3 &= + \Pow{(-1)}{\frakm \frakn} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u})_3\;. % [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +Diese Gleichungen sprechen charakteristische Eigenschaften der Functionen +$\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ aus, und führen in einfacher Weise zur Darstellung derselben +durch die \Auth{Jacobi}'schen Reihen. Dabei ist die bekannte unter den Größen +$\MF{K}$, $\MF{K}'$, $\MF{J}$, $\MF{J}'$ statt findende Relation von wesentlicher Bedeutung, die man +aus den vorhergehenden Formeln folgendermaßen erhält. + +%% {-----File: 082.png---Folio 80-------} + +Aus (20.) folgt +\begin{align*} + \Alrm(\MF{u} + 2 \MF{K} )_3 &= \Pow{e}{-2 \MF{J} (\MF{u}+ \MF{K} )} \Alrm(\MF{u})_3 \\ + \Alrm(\MF{u} + 2i\MF{K}')_3 &= \Pow{e}{-2i\MF{J}'(\MF{u}+i\MF{K}')} \Alrm(\MF{u})_3. +\intertext{Setzt man in der ersten dieser Gleichungen $\MF{u}+2i\MF{K}'$, und in der andern +$\MF{u}+2\MF{K}$ für $\MF{u}$, so kommt } +\Alrm(\MF{u} + 2\MF{K} + 2i\MF{K}')_3 &= \Pow{e}{-2 \MF{J} (\MF{u}+2i\MF{K}'+ \MF{K} )} \Alrm(\MF{u}+2i\MF{K}')_3 \\ + &= \Pow{e}{-2 \MF{J} (\MF{u}+2i\MF{K}'+ \MF{K} )-2i\MF{J}'(\MF{u}+i\MF{K}')} \Alrm(\MF{u})_3, \\[1ex] +\Alrm(\MF{u} + 2\MF{K} + 2i\MF{K}')_3 &= \Pow{e}{-2i\MF{J} (\MF{u}+2\MF{K} +i\MF{K}')} \Alrm(\MF{u}+2\MF{K})_3 \\ + &= \Pow{e}{-2i\MF{J}'(\MF{u}+2\MF{K} +i\MF{K}')-2\MF{J}(\MF{u}+\MF{K})} \Alrm(\MF{u})_3. % [** PP: Added period] +\intertext{Folglich muß } + \Pow{e}{-4 \MF{J}\MF{K}'i} &= \Pow{e}{-4\MF{K}\MF{J}'i} \\ + \Pow{e}{ 4(\MF{K}\MF{J}'-\MF{J}\MF{K}')i} &= 1, +\intertext{d.~h.\ es muß } + \MF{K}\MF{J}' - \MF{J}\MF{K}' &= \mu\, \frac{\pi}{2} +\end{align*} +sein, wo $\mu$ eine ganze Zahl bedeutet. Nun aber erhält man, wenn man die +Größen $\MF{J}$, $\MF{J}'$ in ähnlicher Weise wie $\MF{K}$, $\MF{K}'$ in Reihen entwickelt +\[ +\tag{21.} +\left\{\begin{aligned} + \MF{J} &= \frac{\pi}{2}\, \frakJ \\ + \MF{J}' &= \frakJ\log \frac{4}{k} + 1 - (\frakJ - \frakJ_1) + - \frac{2}{3\centerdot 4} (\frakJ - \frakJ_2) + - \frac{2}{5\centerdot 6} (\frakJ - \frakJ_3)- \cdots +\end{aligned}\right. +\] +wo +\begin{align*} +\multispan{2}{\rule{.9\textwidth}{0pt}} \\[-1.5\baselineskip] + \frakJ_{\phantom{1}} &= \tfrac{1}{2}k^2 + + \tfrac{3}{4}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\! k^4 + + \tfrac{5}{6}\biggl(\frac{1\centerdot3}{2\centerdot4}\biggr)^2\! k^6 + + \tfrac{7}{8}\biggl(\frac{1\centerdot3\centerdot5} + {2\centerdot4\centerdot6}\biggr)^2\! k^8 +\cdots +\\ + \frakJ_1 &= \tfrac{1}{2} \centerdot \tfrac{1}{2}k^2, \qquad + \frakJ_2 = \tfrac{1}{2}k^2 + + \tfrac{1}{2}\centerdot \tfrac{3}{4} + \biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\! k^4 \quad\text{etc.} +\\ + \frakJ_n &= \tfrac{1}{2} k^2 + + \tfrac{3}{4}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\! k^4 + \dotsb + + \frac{2n-3}{2n-2}\biggl( + \frac{1\centerdot3\dotsm(2n-5)} + {2\centerdot4\dotsm(2n-4)} \biggr)^2\! k^{2n-2} +%[** PP: Added parentheses around 2n-5, 2n-4 factors] +\\ +\multispan{2}{\hfill${} + + \tfrac{1}{2}\dfrac{2n-1}{2n} + \biggl( \dfrac{1\centerdot3\dotsm(2n-3)} + {2\centerdot4\dotsm(2n-2)} \biggr)^2\! k^{2n} $} +\end{align*} +ist; und man hat daher +\[ +\left.\begin{aligned} +\MF{K}' &= \frac{2\MF{K}}{\pi}\log\biggl(\frac{4}{k}\biggr) + {} \\[1ex] +\MF{J}' &= 1 + \frac{2\MF{J}}{\pi}\log\biggl(\frac{4}{k}\biggr) + {}\ +\end{aligned}\right\} +\quad\text{Glieder, welche für $k = 0$ verschwinden.} +\] +Substituirt man diese Ausdrücke %[** probable typo Ansdrücke corrected] +in die vorstehende Gleichung, so findet sich, +%% {-----File: 083.png---Folio 81-------} +daß $\mu = 1$ ist. Mithin hat man +\[ +\tag{22.} +\MF{K}\MF{J}'-\MF{J}\MF{K}' = \frac{\pi}{2}, +\] +aus welcher Gleichung sich, wenn man +\begin{align*} +\omega &= \frakm \MF{K} + \frakn i\MF{K}' & +\eta &= \frakm \MF{J} + \frakn i\MF{J}' \\ +\omega' &= \frakm'\MF{K} + \frakn'i\MF{K}' & +\eta' &= \frakm'\MF{J} + \frakn'i\MF{J}' +\end{align*} +setzt, und nun unter $\frakm$, $\frakn$, $\frakm'$, $\frakn'$ + ganz willkührliche Größen versteht, die +allgemeinere +\[ +\tag{23.} +\omega\,\eta' - \eta\,\omega' = (\frakm\,\frakn' - \frakn\,\frakm')\,\frac{\pi}{2}i +\] +ergiebt. + + +\Section{} %§. 12. +\subsubsection*{\centering\normalfont Fortsetzung.} + +Man bezeichne jetzt mit $\MF{F}(\MF{u})$ irgend eine der Functionen $\Alrm(\MF{u})$, +$\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, so hat man nach dem Vorhergehenden, + wenn $\frakm$, $\frakn$ +zwei beliebige ganze Zahlen bedeuten, und +\[ +\frakm \MF{K} + \frakn i\MF{K}' = \omega \qquad +\frakm \MF{J} + \frakn i\MF{J}' = \eta +\] +gesetzt wird, +\[ +\MF{F}(\MF{u} + 2\omega) = \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)+m\pi i} \MF{F}(\MF{u}), +\] +wo $m$ für jede Function durch die Formeln (20.) bestimmt ist. Diese Gleichung +läßt sich folgendermaßen darstellen: +\[ + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta}{2\omega}(\MF{u}+2\omega)^2 + - \fnfrac{m\pi i}{2\omega}(\MF{u}+2\omega)} \MF{F}(\MF{u}+2\omega) += \Powfr{e}{\fnfrac{\eta\MF{u}^2}{2\omega} + - \fnfrac{m\pi i}{2\omega}\MF{u}} \MF{F}(\MF{u}), +\] +und zeigt dann, daß +\[ +\Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega} + - \fnfrac{m\pi i}{2\omega}\MF{u}} \MF{F}(\MF{u}) +\] +eine \textit{periodische} Function von $\MF{u}$ ist. Nun gilt aber folgender allgemeiner Satz: +\begin{quote} +\textit{Eine eindeutige periodische Function einer unbeschränkt veränderlichen +Größe $\MF{u}$ läßt sich, mag nun die Periode, die durch $a$ bezeichnet +werde, reell oder imaginär sein, wenn sie zugleich den +Charakter einer ganzen rationalen Function -- in dem oben erklärten +Sinne des Worts -- besitzt, stäts, und zwar nur auf eine +einzige Weise, durch eine für jeden Werth von $\MF{u}$ convergirende +Reihe von der Form +\[ +{\tsum\limits_\nu} +\Biggl\{\MF{A}_\nu\, \Powfr{e}{\fnfrac{2\nu\pi}{a}\MF{u}i}\Biggr\} +\] +%% {-----File: 084.png---Folio 82-------} +darstellen, wo der Zeiger $\nu$, auf den sich das Summenzeichen bezieht, +die Reihe der ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ durchlaufen +hat, und die Coefficienten $\MF{A}_\nu$ von $\MF{u}$ unabhängig sind}. +\end{quote} + +Zum Beweise werde die Function, in welche die in Rede stehende +durch die Substitution +\[ +\MF{u}=\frac{a}{2\pi}\MF{v} +\] +übergeht, mit $f(\MF{v})$ bezeichnet, so hat man +\[ +f(\MF{v} + 2\pi) = f(\MF{v}). % [** PP: Added period] +\] +Setzt man nun +\[ +\MF{v} = t+ si, +\] +und versteht unter $t$, $s$ reelle Größen, so hat man nach dem \Auth{Fourier}'schen +Satze, indem $f(t+si)$ eine continuirliche Function von $t$, $s$ ist, welche in +Beziehung auf $t$ die Periode $2\pi$ besitzt, +\[ +2\pi i\centerdot f(t+si) = \tsum \MF{B}_\nu\, \Pow{e}{\nu ti}, +\] +wo +\[ +\MF{B}_\nu \int_0^{2\pi} f(t+si)\, \Pow{e}{-\nu ti}\,dt +\] +ist. Zugleich weiß man, daß sich $f(t+si)$ auf keine andere Weise in dieser +Form darstellen läßt. Nun ist aber nicht nur $f(t+si)$ eine continuirliche +Function von $t$, $s$, sondern auch, nach dem, was hinsichtlich des analytischen +Charakters von $f(\MF{v})$ angenommen worden ist, +\[ +\frac{\partial f(t+si)}{\partial t} \quad\text{und}\quad +\frac{\partial f(t+si)}{\partial s} = +i\,\frac{\partial f(t+si)}{\partial t}. % [** PP: Added period] +\] +Mithin müssen auch $\MF{B}_\nu$ und $\dfrac{\partial \MF{B}_\nu}{\partial s}$ continuirliche Functionen von $s$ sein, und +man hat daher +\begin{align*} + \frac{\partial\centerdot \MF{B}_\nu\, \Pow{e}{\nu s}}{\partial s} +&= \frac{\partial \int_0^{2\pi} f(t+si)\,\Pow{e}{-\nu(t+si)i}\,dt}{\partial s} \\ +&= \int_0^{2\pi}\biggl(\frac{\partial f(t+si)}{\partial s} + + \nu f(t+si)\biggr)\, \Pow{e}{-\nu(t+si)i}\, dt. % [** PP: Added period] +\end{align*} +Aber +\begin{align*} +\int_0^{2\pi} \frac{\partial f(t+si)}{\partial s}\, \Pow{e}{-\nu(t+si)i}\, dt +&= i\int_0^{2\pi} \frac{\partial f(t+si)}{\partial t}\, \Pow{e}{-\nu(t+si)i}\, dt \\ +&= -\nu \int_0^{2\pi} f(t+si)\, \Pow{e}{-\nu(t+si)i}\, dt, +\end{align*} +%% {-----File: 085.png---Folio 83-------} +indem $f(t+si)\,\Pow{e}{-\nu (t+si)i}$ für $t=0$ und $t=2\pi$ denselben Werth hat. Daher ist +\[ +\frac{\partial \centerdot \MF{B}_{\nu}\, \Pow{e}{\nu s}}{\partial s} = 0, +\] +d.~h.\ der Werth von $\MF{B}_{\nu}\, \Pow{e}{\nu s}$ ist unabhängig von $s$, und bleibt, weil $\MF{B}_\nu$ eine +continuirliche Function dieser Größe ist, für jeden Werth von $s$ derselbe. +Bezeichnet man ihn durch $2\pi i \MF{A}_\nu$, wo man dann, indem $s=0$ genommen wird, +\begin{align*} + 2\pi i \MF{A}_{\nu} &= \int_0^{2 \pi} f(t)\, \Pow{e}{-\nu ti}\, dt +\intertext{erhält, so ist } + \MF{B}_{\nu} &= 2\pi i\MF{A}_{\nu}\, \Pow{e}{-\nu s}, +\intertext{und es ergiebt sich } + f(t+si) &= \tsum\limits_{\nu} \MF{A}_{\nu}\, \Pow{e}{\nu(t+si)i} +\intertext{für alle Werthe von $t$, $s$, oder } +f(\MF{v}) &= \tsum\limits_{\nu} \MF{A}_{\nu}\, \Pow{e}{\nu \MF{v}i} +\end{align*} +für jeden complexen Werth von $\MF{v}$, woraus, wenn man $\smfrac{2\pi\MF{u}}{a}$ für $\MF{v}$ setzt, die +angegebene Reihe für die ursprüngliche Function sich unmittelbar ergiebt\footnotemark. +\footnotetext{Setzt man $\Powfr{e}{\fnfrac{2\pi \MF{u}i}{a}}\!\! = x$, so gehören zu jedem Werthe von $x$ zwar unendlich +viele von $\MF{u}$, für die aber, da sie sich nur um ein Vielfaches von $a$ unterscheiden, die +betrachtete Function denselben Werth hat. Man kann daher die letztere als eine eindeutige +Function von $x$ ansehn, die durch $\varphi(x)$ bezeichnet werden möge. Dann ist +leicht zu zeigen, daß nicht nur $\varphi(x)$, sondern auch $\smfrac{\partial \varphi (x)}{\partial x}$ sich continuirlich mit $x$ ändert, +ohne jemals unendlich groß zu werden, sobald man nur für den absoluten Betrag von $x$ +irgend eine, wenn auch noch so kleine Gränze festsetzt, oberhalb welcher er bleiben soll. +Dies reicht aber, nach einem von \Auth{Cauchy} gegebenen Theorem hin, um nachzuweisen, +daß sich $\varphi(x)$ durch eine für jeden Werth von $x$, der nicht Null ist, convergirende +Reihe +\[ +\tsum \Underset{\nu = -\infty \dots + \infty}{ \{\quad \MF{A}_\nu\, x^\nu \quad\} } +\] +darstellen läßt; woraus der aufgestellte Satz unmittelbar folgt. Ich habe es aber hier +vorgezogen, denselben aus dem \Auth{Fourier}'schen abzuleiten.} + +Uebrigens ist leicht zu zeigen, daß sich eine Reihe von der betrachteten +Form, wenn sie für \textit{jeden} Werth von $\MF{u}$ convergirt, immer in eine andere +von der Gestalt +\[ +\tsum \Underset{\nu = 0 \dots \infty} + { \Bigl\{\: \MF{A}'_\nu\, \MF{u}^\nu \:\Bigr\} }, +\] +\textit{die ebenfalls beständig convergent ist,} umwandeln %[**Typo? umwandeln] +läßt; woraus erhellt, +daß der bewiesene Satz eben nur dann gilt, wenn die Function, um die es +sich handelt, den Charakter einer ganzen rationalen hat. + +%% {-----File: 086.png---Folio 84-------} + +Hiernach läßt sich +\[ +\Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega} + -\fnfrac{m\pi i}{2\omega}\MF{u}} \MF{F}(\MF{u}) +\] +in eine beständig convergirende Reihe +\[ +{\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ + \MF{A}_\nu\, \Powfr{e}{\fnfrac{\nu\pi \MF{u}i}{\omega}} +\Bigr\} +\] +entwickeln, und es handelt sich jetzt um die Bestimmung der Coefficienten +derselben. Dazu gelangt man auf folgende Weise. Man darf unbeschadet der +Allgemeinheit annehmen, daß $\frakm$, $\frakn$ keinen gemeinschaftlichen Factor haben. +Dann kann man zwei andere ganze Zahlen $\frakm'$, $\frakn'$ dergestalt bestimmen, daß +\[ +\frakm\, \frakn' - \frakn\, \frakm' = 1 +\] +ist, und es gelten, wenn man mit $\omega'$, $\eta$', $m'$ die Größen bezeichnet, in welche +$\omega$, $\eta$, $m$ übergehn, indem $\frakm'$, $\frakn'$ an die Stelle von + $\frakm$, $\frakn$ treten, für $\MF{F}(\MF{u})$ die +beiden Gleichungen +\[ +\tag{1.} +\left\{ +\begin{aligned} + \MF{F}(\MF{u}+2\omega) + &= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega )+m \pi i}\MF{F}(\MF{u}) +\\ + \MF{F}(\MF{u}+2\omega') + &= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega')+m'\pi i}\MF{F}(\MF{u}), +\end{aligned}\right. +\] +während zugleich die Größen $\omega$, $\eta$, $\omega'$, $\eta'$ der Formel (23.) des v.~§.\ gemäß +durch die Relation +\[ +\tag{2.} +\omega\,\eta' - \eta\,\omega' = \frac{\pi}{2}i +\] +mit einander verbunden sind. Man kann dabei bemerken, daß diese Gleichungen +bestehen bleiben, wenn +\begin{alignat*}{8} +&&\omega'\!,&&\ -\omega,&&\ \eta'\!,&&\ -\eta,&&\ m'\!,&&\ -m \\ +\text{an die Stelle von} \quad && \omega,&&\quad \omega'\!,&&\quad \eta,&&\quad \eta'\!,&&\quad m,&&\quad m' +\end{alignat*} +treten, wie man sofort sieht, sobald man nur in der ersten $\MF{u}-2\omega$ für $\MF{u}$ setzt, +und $\Pow{e}{-2\eta(\MF{u}-\omega)+m\pi i}$ auf die andere Seite bringt. Man wird daher aus jeder +Gleichung, welche eine Folge der vorstehenden (1, 2) ist, sofort eine neue +ableiten können, indem man in ihr die angegebenen Substitutionen macht. + +Es werde jetzt +\[ +\tag{3.} +\frac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'} - \frac{\eta \MF{u}^2}{2\omega} = +\frac{\pi i\MF{u}^2}{4\omega\omega'} \quad\text{mit}\quad \chi(\MF{u}) +\] +bezeichnet, und +%% {-----File: 087.png---Folio 85-------} +\begin{align*} +\tag{4.} +\Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega } + \chi(\MF{u}-m'\omega)}\MF{F}(\MF{u}) +&= f(\MF{u}) +\\[1ex] +\tag{5.} +\Powfr{e}{\fnfrac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'} - \chi(\MF{u}-m \omega')}\MF{F}(\MF{u}) +&= f'(\MF{u}) +\end{align*} +gesetzt. Dann hat man für beliebige Werthe von $p$, $q$ +\[ +\tag{6.} +\left\{ \begin{alignedat}{4} +& \chi(\MF{u} + p\omega) &&- \chi (\MF{u}) +&&= \frac{p \pi i}{2 \omega'} \biggl( \MF{u} + \frac{p\omega}{2} \biggr) +\\[1ex] +& \chi(\MF{u} + p\omega') &&- \chi (\MF{u}) +&&= \frac{q \pi i}{2 \omega} \biggl( \MF{u} + \frac{q\omega'}{2} \biggr), +\end{alignedat}\right. +\] +woraus weiter +\[ +\tag{7.} +\left\{ \begin{alignedat}{4} +& \chi(\MF{u} + p\omega + q\omega') &&- \chi(\MF{u} + q\omega') +&&= \chi(\MF{u} + p\omega) &&- \chi(\MF{u}) + \frac{pq}{2} \pi i, +\quad\text{oder} +\\[1ex] +& \chi(\MF{u} + p\omega + q\omega') &&- \chi(\MF{u} + p\omega) +&&= \chi(\MF{u} + q\omega') &&- \chi(\MF{u}) + \frac{pq}{2} \pi i +\end{alignedat}\right. +\] +folgt. + +Die Gleichung (4.) läßt sich nun auch so schreiben: +\[ +f(\MF{u}) + = \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'} + + \chi(\MF{u}-m' \omega) - \chi (\MF{u})} \MF{F}(\MF{u}), +\] +und man hat daher, indem +\[ + \frac{\eta' (\MF{u} + 2 \omega')^2}{2\omega'} += \frac{\eta' \MF{u}^2}{2 \omega'} + 2\eta' (\MF{u}+ \omega'), +\] +und nach (7.), wenn $p =-m'$, $q=2$ genommen wird +\[ + \chi(\MF{u} - m' \omega + 2 \omega') - \chi (\MF{u} + 2 \omega') += \chi(\MF{u} - m' \omega ) - \chi (\MF{u}) -m' \pi i +\] +ist, in Folge von (1.) +\[ +\tag{8.} f(\MF{u} + 2 \omega' ) = f(\MF{u}). % [** PP: Added period] +\] +Ebenso, oder wenn man die vorhin angegebenen Substitutionen macht, wodurch +sich $\chi(\MF{u})$ in $-\chi(\MF{u})$, $f(\MF{u})$ in $f'(\MF{u})$ und $f'(\MF{u})$ in $f(\MF{u})$ verwandelt, erhält man +\[ +\tag{9.} + f'(\MF{u} - 2 \omega) = f'(\MF{u}) \text{, oder auch } + f'(\MF{u} + 2 \omega) = f'(\MF{u}). % [** PP: Added period] +\] +Ferner folgt aus (4.), wenn man bemerkt, daß nach (7.) +\[ + \chi( \MF{u} - m' \omega + m \omega') += \chi (\MF{u} + m \omega') + \chi( \MF{u} - m \omega' ) +- \chi (\MF{u}) - \frac{mm'}{2} \pi i +\] +ist, und +\[ +\tag{10.} m \omega' - m' \omega = \Atop{0}{ \omega} +\] +setzt, +%% {-----File: 088.png---Folio 86-------} +\[ +\tag{11.} +\left\{ \begin{aligned} + f(\MF{u}) +&= \Powfr{e}{ \fnfrac{mm'}{2} \pi i + \chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega})} f'(\MF{u}), % [** PP: Added comma] +\\ + f'(\MF{u}) +&= \Powfr{e}{-\fnfrac{mm'}{2} \pi i - \chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega})} f(\MF{u}). % [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +Der Gleichung (9.) gemäß kann man nun $f'(\MF{u})$ durch eine Reihe +\[ + \tsum\limits_\nu + \left\{ \MF{A}_\nu\, \Powfr{e}{\fnfrac{\nu \pi}{\omega}ui} \right\} +\] +darstellen. Man hat aber nach (6.) +\[ +\tag{12.} + \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2 \nu \omega') +- \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega}) += \frac{\nu \pi i}{\omega} (\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + \nu \omega'). % [** PP: Added period] +\] +Folglich, wenn man +\[ +\MF{A}_{\nu} = \MF{C}_\nu\, + \Powfr{e}{\fnfrac{\nu \pi i}{\omega} (\Atop{0}{\omega} + \nu \omega') } +\] +setzt, +\[ +\tag{13.} + f'(\MF{u}) += {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ + \MF{C}_\nu\, \Pow{e}{ \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2 \nu \omega') + - \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega}) } + \Bigr\}, +\] +und daher (nach 11.) +\[ +\tag{14.} + f(\MF{u}) += \Powfr{e}{\fnfrac{mm'}{2} \pi i} {\tsum} \Bigl\{ + \MF{C}_\nu\, \Pow{e}{\chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2 \nu \omega')} + \Bigr\}. % [** PP: Added period] +\] +In dieser Gleichung werde jetzt $\MF{u}+2\omega'$ für $\MF{u}$ gesetzt, und zugleich $\nu-1$ +für $\nu$, was erlaubt ist, weil $\nu-1$ so gut als $\nu$ jede ganze Zahl repräsentirt, +so kommt mit Berücksichtigung von (8.) +\[ + f(\MF{u}) += \Powfr{e}{\fnfrac{mm'}{2} \pi i} {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ + \MF{C}_{\nu-1}\, \Pow{e}{\chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2\nu \omega')} + \Bigr\}. % [** PP: Added period] +\] +In dieser Reihe muß aber jeder Coefficient mit dem gleichstelligen der vorhergehenden +übereinstimmen, weil sich, wenn dies nicht der Fall wäre, aus +ihr durch Multiplication mit $\Pow{e}{-\chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega})}$ für $f'(\MF{u})$ eine zweite Reihe von der Form +\[ + \tsum\limits_{\nu} + \Bigl\{ \MF{A}'_\nu\, \Powfr{e}{\fnfrac{\nu \pi \MF{u}i}{\omega}} \Bigr\} +\] +ergeben würde, welche es nicht giebt. Daher muß $\MF{C}_\nu = \MF{C}_{\nu-1}$ sein, woraus +folgt, daß sämmtliche Coefficienten $\MF{C}_\nu$ denselben Werth haben, der durch +\[ +g\Powfr{e}{-\fnfrac{mm'}{2} \pi i} +\] +bezeichnet werden möge. Somit erhält man, wenn zugleich statt $f(\MF{u})$ wieder +$\MF{F}(\MF{u})$ eingeführt wird, +%% {-----File: 089.png---Folio 87-------} +\[ +\tag{15.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}+\chi(\MF{u}-m'\omega)} \MF{F}(\MF{u}) += g\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle \Bigl\{ + \Pow{e}{\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}+2\nu\omega')} + \Bigr\}, +\] +oder, da +\[ +\tag{16.} + \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + \nu\omega') - \chi(\MF{u}-m'\omega) += \frac{2\nu+m}{2}\centerdot\frac{\pi i}{\omega} + \biggl( \MF{u} - m'\omega + \frac{2\nu+m}{2}\omega' \biggr) +\] +ist, +\[ +\tag{17.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \MF{F}(\MF{u}) += g\centerdot {\tsum\limits_\nu}\left\{ + \Powfr{e}{\fnfrac{2\nu+m}{2}\centerdot\fnfrac{\pi i}{\omega} + \left( \MF{u} - m'\omega + \fnfrac{2\nu+m}{2}\omega' \right)} + \right\}. %[** PP: Added period] +\] + +Da $m$ eine ganze Zahl ist, so darf man in dieser Reihe $(-\nu-m)$ +statt $\nu$ setzen; verbindet man dann die so sich ergebende Gleichung mit der +vorstehenden, so kommt +\[ +\tag{18.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \MF{F}(\MF{u}) += g\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle \left\{ + \Powfr{e}{-\left( \nu+\fnfrac{m}{2} \right)^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i}}\, + \cos(2\nu+m)\,\biggl( \frac{\MF{u}}{2\omega} - \frac{m'}{2} \biggr)\,\pi + \right\}. % [** PP: Added period] +\] +Aus diesen Gleichungen (15, 16, 17) erhält man nun sofort drei neue, indem +man die oben angegebene Substitution $\omega'$ für $\omega$ u.~s.~w.\ macht, wobei +zugleich ($-\nu$) für $\nu$ geschrieben, und der Werth, den die Constante $g$ alsdann +annehmen muß, mit $g'$ bezeichnet werde. +\begin{gather*} +\tag{19.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'} - \chi(\MF{u}+m\omega')} \MF{F}(\MF{u}) += g'\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle + \Bigl\{ \Pow{e}{-\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}+2\nu\omega)} \Bigr\} +\\ +\tag{20.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'}} \MF{F}(\MF{u}) += g'\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle \Bigl\{ + \Powfr{e}{-\fnfrac{2\nu-m'}{2}\centerdot\fnfrac{\pi i}{\omega'} + \left( \MF{u}+m\omega'+\fnfrac{2\nu-m'}{2}\omega \right)} \Bigr\} +\\ +\tag{21.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'}} \MF{F}(\MF{u}) += g'\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle \Bigl\{ + \Powfr{e}{-\left(\nu-\fnfrac{m'}{2}\right)^2 \fnfrac{\omega i\pi}{\omega'}} + \cos(2\nu-m') \biggl( \frac{\MF{u}}{2\omega'} + \frac{m}{2} \biggr)\,\pi + \Bigr\} +\end{gather*} +Man sieht also, daß die Function $\MF{F}(\MF{u})$, bei dem vorausgesetzten analytischen +Charakter derselben, durch die Gleichungen (1, 2) völlig bestimmt ist, bis auf +eine Constante ($g$ oder $g'$), welche ebenfalls vermittelst der vorstehenden +Formeln gefunden wird, sobald man für irgend einen besondern Werth von +$\MF{u}$ den von $\MF{F}(\MF{u})$ kennt, vorausgesetzt, daß der letztere nicht Null ist. Man +kann dabei bemerken, daß die Gleichungen (15, 17, 19, 20) auch dann noch +eine strenge Folgerung aus den eben genannten bleiben, wenn auch unter $m$, +$m'$ nicht mehr ganze Zahlen verstanden werden. + +%% {-----File: 090.png---Folio 88-------} + +Da die erhaltenen Reihen für jeden Werth von $\MF{u}$ convergiren, so +kann man schließen, daß $\smfrac{\omega'}{\omega i}$, wie auch der Modul $k$ beschaffen sein möge, +entweder eine reelle positive Größe sein muß, oder eine imaginäre, deren +reeller Theil positiv ist. Umgekehrt sind die Reihen stäts wirklich convergent, +sobald man für $\omega$, $\omega'$ beliebige Größen annimmt, welche diese Bedingung erfüllen, +abgesehen davon, ob sie in der oben angegebenen Form durch $\MF{K}$ und +$\MF{K}'$ ausgedrückt werden können oder nicht. Stellt man sich nun vor, man +bestimme, indem man mit $h$ irgend eine (complexe) Größe, deren reeller +Theil positiv ist, bezeichnet, bei willkührlicher Annahme von $\omega$, $\eta$ (wobei jedoch +für $\omega$ der Werth Null auszuschließen ist) $\omega'$, $\eta'$ durch die Gleichungen +\[ +\tag{22.} + \frac{\omega'}{\omega i}=h, \quad + \frac{\eta'}{\omega'} - \frac{\eta}{\omega} += \frac{\pi i}{ 2\omega \omega'}, \quad + \eta' = h \eta + \frac{\pi i}{2 \omega}\;, +\] +und definire dann, $m$, $m'$, $g$ ebenfalls beliebig annehmend (also auch die Voraussetzung, +daß $m$, $m'$ ganze Zahlen seien, fallen lassend) eine Function $\MF{F}(\MF{u})$ +durch die Gleichung~(15.) oder (17.); so besitzt dieselbe den Charakter einer +ganzen rationalen Function, und es läßt sich zeigen, daß sie stäts auch die +Gleichungen~(1.) befriedigt, und daß daher für sie auch die Gleichungen +(19, 20.) gelten. + +Denn die Gleichung (17.) -- und es ist ganz einerlei, ob man von +dieser oder von Nr.~(15.) ausgeht, indem jede von ihnen eine unmittelbare +Folge der andern ist -- zeigt, daß man +\[ + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta(\MF{u} + 2 \omega)^2}{2 \omega}} \MF{F}(\MF{u} + 2 \omega) += \Powfr{e}{\fnfrac{ \eta \MF{u}^2}{2 \omega} + m \pi i} \MF{F}(\MF{u}) +\] +hat, was die erste der genannten Gleichungen ist, indem jedes Glied der Reihe +auf der Rechten, wenn man $\MF{u} + 2\omega$ für $\MF{u}$ setzt, dieselbe Veränderung erfährt, +als wenn es mit $\Pow{e}{(2\nu + m)\pi i}\! = \Pow{e}{m \pi i}$ multiplicirt wird. In der Reihe auf +der Rechten der Gleichung~(15.) aber darf man $\nu - 1$ für $\nu$ setzen, und +wenn man dann $\MF{u} + 2\omega'$ an die Stelle von $\MF{u}$ treten läßt, so sieht man, daß +\[ + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta(\MF{u} + 2\omega')^2}{2\omega} + + \chi(\MF{u} - m'\omega + 2\omega') } \MF{F}(\MF{u} + 2\omega') += \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega} + \chi (\MF{u} -m'\omega)} \MF{F}(\MF{u}) +\] +ist, woraus, da man +\begin{gather*} + \chi(\MF{u} - m'\omega + 2\omega') - \chi (\MF{u} - m'\omega) += \chi(\MF{u} + 2\omega') -\chi (\MF{u}) - m' \pi i +\\[1ex] + \frac{\eta \MF{u}^2}{2 \omega} + \chi (\MF{u}) += \frac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}, \qquad + \frac{\eta (\MF{u} + 2 \omega')^2}{2 \omega} + \chi (\MF{u} + 2 \omega') += \frac{\eta'(\MF{u} + 2 \omega')^2}{2 \omega'} +\end{gather*} +hat, +%% {-----File: 091.png---Folio 89-------} +\[ + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta'(\MF{u}+2\omega')^2}{2\omega'}} \MF{F}(\MF{u} + 2\omega') += \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'} + m'\pi i} \MF{F}(\MF{u}) +\] +folgt, was die zweite der Gleichungen (1) ist. Von denselben sind aber die +unter (18 -- 21) angegebenen eine Folge. + +Hätte man bei willkührlicher Annahme von $\omega'$, $\eta'$, $m$, $m'$, $g'$ die Größen +$\eta$, $\omega$ vermittelst der Formeln~(22) bestimmt, und dann $\MF{F}(\MF{u})$ durch die +Gleichung~(19) oder (20) definirt; so würde sich eben so ergeben, daß +für $\MF{F}(\MF{u})$ die Gleichungen~(1) gelten, und somit auch (15, 17, 18). + +Betrachten wir jetzt insbesondere die Function, welche durch die Gleichung~(17) +bei der Annahme +\[ + 2\omega = 1,\quad \eta = 0,\quad 2\omega' = hi,\quad \eta' = \pi i,\quad + m = 0,\quad m' = 0,\quad g = 1 +\] +definirt wird, welche die einfachste von allen ist, und nach dem Vorschlage +\Auth{Lejeune Dirichlet's}, weil sie von \Auth{Jacobi} in die Analysis eingeführt worden +ist, die \Auth{Jacobi'sche Function} genannt, und dieser Benennung entsprechend +durch +\[ +\MF{J}c (\MF{u}, h) +\] +bezeichnet werden möge; wo man dann +\[ +\tag{23.} + \MF{J}c (\MF{u}, h) = \tsum\limits_{\nu} + \Bigl\{ \Pow{e}{(- \nu^2 h + 2\nu \MF{u}i) \pi} \Bigr\} += \tsum\limits_{\nu} + \Bigl\{ \Pow{e}{- \nu^2 h \pi} \cos 2 \nu \MF{u} \pi \Bigr\} +\] +hat, und wenn die Größe $h$, die, wie bemerkt, stäts eine positive reelle, oder +eine imaginäre, deren reeller Theil positiv ist, sein muß, im Verlaufe einer +Untersuchung denselben Werth beibehält, kürzer auch bloß $\MF{J}c(\MF{u})$ schreiben +kann. Die Gleichungen~(1) gestalten sich dann folgendermaßen +\[ +\tag{24.} +\left\{ \begin{alignedat}{2} +& \MF{J}c(\MF{u} + 1, \, h) &&= \MF{J}c(\MF{u}, \, h) \\ +& \MF{J}c(\MF{u} + hi, h) &&= \Pow{e}{-(2\MF{u} + hi) \pi i} \MF{J}c(\MF{u}, \, h). % [** PP: Added period] +\end{alignedat} \right. +\] +Ferner ist jetzt nach (19), indem $\chi (\MF{u}) = \dfrac{\pi}{h}\MF{u}^2$, $\dfrac{\eta'}{2 \omega'} = \dfrac{\pi}{h}$\;, +\[ + \MF{J}c(\MF{u}, h) = g'\centerdot \tsum\limits_\nu + \Bigl\{ \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}(\MF{u} + \nu)^2} \Bigr\}, +\] +wo die Constante $g'$, nach \Auth{Jacobi}, auf folgende Weise ermittelt wird. Es +ist, wenn man sich jetzt unter $\MF{u}$ eine reelle Größe denkt, +\[ +\int_0^1 \MF{J}c(\MF{u}, \, h)\, d\MF{u} + = \sum_\nu \int_0^1 \Pow{e}{- \nu^2 h \pi} \cos 2\nu \MF{u} \pi\centerdot d\MF{u} + = 1. % [** PP: Added period] +\] +Daher muß +%% {-----File: 092.png---Folio 90-------} +\begin{gather*} + \frac{1}{g'} = \int_0^1 \sum_\nu \left\{ + \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}(\MF{u}+ \nu )^2} \right\}\, d\MF{u} += \sum_\nu \int_0^1 \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}(\MF{u}+\nu)^2}\, d\MF{u} +\\[1ex] += \sum_\nu + \int_{\nu}^{\nu + 1} \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h} \MF{u}^2}\, d\MF{u} += \int_{-\infty}^{+\infty} \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h} \MF{u}^2}\, d\MF{u} +\end{gather*} +sein. Aber +\[ + \int_{-\infty}^{+\infty} \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h} \MF{u}^2}\, d\MF{u} = \sqrt{h}, +\] +wo, wenn $h$ reell ist, der positive Werth der Wurzel, und, wenn $h$ imaginär, +derjenige, dessen reeller Theil positiv ist, genommen werden muß. Folglich +hat man +\[ +\tag{25.} +\sqrt{ h}\centerdot \MF{J}c(\MF{u}, h) + = {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h} (\MF{u} + \nu)^2} \Bigr\}. % [** PP: Added period] +\] +Nach der Formel (15.) aber ist +\[ +\tag{26.} +\Powfr{e}{\fnfrac{\pi}{h} \MF{u}^2} \MF{J}c(\MF{u}, h) + = \tsum\limits_\nu \Bigl\{ \Powfr{e}{\fnfrac{\pi}{h} (\MF{u} + \nu hi)^2} \Bigr\} + = \tsum\limits_\nu \Bigl\{ + \Powfr{e}{-h\pi \Bigl( \fnfrac{\MF{u}}{hi} + \nu \Bigr)^2} + \Bigr\}. % [** PP: Added period] +\] +Aber +\[ + {\tsum\limits_\nu} + \Bigl\{ \Powfr{e}{-h\pi \Bigl(\fnfrac{\MF{u}}{hi} + \nu \Bigr)^2 } \Bigr\} += \frac{1}{\sqrt h} \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}}{hi}, \frac{1}{h} \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\] +Daher +\begin{gather*} +\tag{27.} + \MF{J}c(\MF{u}, h) += \frac{\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}\MF{u}^2}}{\sqrt h}\centerdot + \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}}{hi}, \frac{1}{h} \biggr) += \frac{\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}\MF{u}^2}}{\sqrt h}\centerdot + \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}i}{h}, \frac{1}{h} \biggr) +\\[1ex] +\tag{28.} + \MF{J}c(\MF{u}i, h) += \frac{\Powfr{e}{\fnfrac{\pi}{h}\MF{u}^2}}{\sqrt h}\centerdot + \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}}{h}, \frac{1}{h} \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{gather*} +In der Reihe (23) bleibt ferner das allgemeine Glied ungeändert, wenn man +$\MF{u}+\smfrac{\tau}{2}$ für $\MF{u}$, und zugleich $h+\tau i$ für $h$ setzt, $\tau$ aber eine ganze Zahl bedeutet. +Denn dadurch wird dasselbe nur mit $\Pow{e}{-\nu(\nu+1)\tau\pi i}=1$ multiplicirt. Folglich +hat man +\[ +\tag{29.} + \MF{J}c(\MF{u}, \,h) = \MF{J}c \biggl( \MF{u}+\frac{\tau}{2}, h+\tau i \biggr), +\] +%% {-----File: 093.png---Folio 91-------} +und erhält aus (27.) +\begin{align*} +\tag{30.} +\MF{J}c(\MF{u}, h) &= \frac{\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}\MF{u}^2}}{\sqrt h} \centerdot + \MF{J}c \biggl( \frac{\MF{u}}{hi} + \frac{\tau}{2}, h_1 \biggr), \\ +\text{wenn} \quad h_1 &= \frac{1}{h} + \tau i \quad\text{ist.} +\end{align*} +In den vorstehenden Formeln (23 -- 30) sind die wichtigsten Eigenschaften +der \Auth{Jacobi}'schen Function ausgesprochen. Durch dieselbe lassen sich nun die +obigen Reihen (15, 17, 19, 20) leicht ausdrücken. Man hat nämlich +\begin{align*} + \chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2\nu\omega') &= + - \frac{\omega'\pi}{\omega i} + \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}\omega}{2\omega'} + \nu \biggr)^2 + \\ + - \chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2\nu\omega) &= + - \frac{\omega i\pi}{\omega'} + \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}\omega}{2\omega } + \nu \biggr)^2, +\end{align*} +und daher +\begin{align*} +\tag{31.} +{\tsum\limits_\nu} + \Bigl\{\Pow{e}{-\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}+2\nu\omega)} \Bigr\} + &= + \sqrt{\frac{\omega'}{\omega i}} \centerdot \MF{J}c + \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i}\biggr) +\\[1ex] +\tag{32.} +{\tsum\limits_\nu} + \Bigl\{\Pow{e}{\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}+2\nu\omega')} \Bigr\} + &= + \sqrt{\frac{\omega i}{\omega'}} \centerdot \MF{J}c + \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega'}, \frac{\omega i}{\omega'} \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{align*} +Nach (27) aber ist +\[ +\tag{33.} +\sqrt{\frac{\omega'}{\omega i}} \centerdot +\MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i} \biggr) = +\Powfr{e}{-\chi(\MF{u})} \MF{J}c \Bigl(\frac{\MF{u}}{2\omega'}, \frac{\omega i}{\omega'} \Bigr), +\] +und daher +\begin{gather*} + \tag{34.} + {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ + \Powfr{e}{ \fnfrac{2\nu + m}{2} \centerdot \fnfrac{\pi i}{\omega} + \Bigl(\MF{u} - m' \omega + \fnfrac{2\nu + m}{2} \omega' \Bigr)} + \Bigr\} += \Pow{e}{\chi (\MF{u}+\Atop{0}{\omega}) - \chi(\MF{u} - m' \omega)} \MF{J}c + \biggl( + \frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i} + \biggr) +\\[1ex] + \tag{35.} + {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ + \Powfr{e}{-\fnfrac{2\nu - m'}{2} \centerdot \fnfrac{\pi i}{\omega'} \Bigl( + \MF{u} + m \omega' + \fnfrac{2\nu - m'}{2} \omega \Bigr)} + \Bigr\} += \Pow{e}{\chi (\MF{u}+m\omega') - \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega})} \MF{J}c + \biggl( + \frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega'}, \frac{\omega i}{\omega'} + \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{gather*} +Hiernach geben die Gleichungen (15, 17, 19, 20) +\begin{align*} + \tag{36.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \MF{F}(\MF{u}) &= + g\Pow{e}{\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}) - \chi(\MF{u}-m'\omega)} + \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i} \biggr) + \\[1ex] + &= g \sqrt{\frac{\omega i}{\omega'}} %[** PP: Fixed inverted omega] + \centerdot \Powfr{e}{-\chi(\MF{u}-m'\omega)} + \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega'}, + \frac{\omega i}{\omega'} \biggr) +\end{align*} +%% {-----File: 094.png---Folio 92-------} +\begin{align*} + \tag{37.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \MF{F}(\MF{u}) &= + g' \Pow{e}{-\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}) + \chi(\MF{u}+m\omega')} + \MF{J}c\biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega'}, \frac{\omega i}{\omega'}\biggr) + \\[1ex] + &= g' \sqrt{\frac{\omega'}{\omega i}} + \centerdot \Pow{e}{\chi(\MF{u}+m\omega')} + \MF{J}c\biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i} \biggr)\;. % [** PP: Added period] +\end{align*} +Aus der Vergleichung dieser Ausdrücke ergiebt sich noch, indem +\[ +\chi (\MF{u}+\Atop{0}{\omega}) - \chi (\MF{u}-m'\omega) - \chi(\MF{u}+m\omega') = +-\chi(\MF{u}) - \frac{mm'}{2}\pi i +\] +ist, +\[ +\tag{38.} +g' = \Powfr{e}{-\fnfrac{mm'}{2}\pi i} \sqrt{\frac{\omega i}{\omega'}} \centerdot g. % [** PP: Added period] +\] +Das Ergebniß der vorstehenden Untersuchung ist also, daß sich jede Function, +welche die im Anfange dieses §.\ angegebenen Eigenschaften besitzt, welche +Werthe auch die Größen $\omega$, $\omega'$, $\eta$, $\eta'$, $m$, $m'$ haben + mögen, auf die \Auth{Jacobi}'sche +zurückführen läßt. + + +\Section{} %§.~13. +\subsubsection*{\centering\normalfont Schluß der die elliptischen Functionen betreffenden Entwicklungen.} + +Die specielle Anwendung der entwickelten Formeln auf die Functionen +$\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ will ich hier nur kurz andeuten. Zuerst bemerke ich, daß +$(\frakm + 1)\frakn + \frakm$ und $(\frakm' +1)\frakn' + \frakm'$ aus dem Grunde, weil + weder $\frakm$, $\frakn$ noch +$\frakm'$, $\frakn'$ einen gemeinschaftlichen Theiler haben, beide ungerade Zahlen sind, +und man daher +\[ +\tag{1.} +\left\{ \begin{aligned} + \frakm\frakn + \frakn \equiv \frakm + 1 &\qquad \frakm'\frakn' + \frakn' \equiv \frakm + 1 \\ + \frakm\frakn + \frakm + \frakn \equiv 1 &\qquad \frakm'\frakn' + \frakm' + \frakn' \equiv 1 \\ + \frakm\frakn + \frakm \equiv \frakn + 1 &\qquad \frakm'\frakn' + \frakm' \equiv \frakn' + 1 \\ +% [** PP: Adding primes in the second equation] + \frakm\frakn \equiv \frakm + \frakn + 1 &\qquad \frakm'\frakn' \equiv \frakm' + \frakn' + 1 +\end{aligned} \right. \qquad \text{(mod.~2)} +\] +hat. Nimmt man daher +\[ +\tag{2.} +\left\{\begin{aligned} +m &\equiv \frakm + 1 & m' &\equiv \frakm' + 1 & l &= 1 - m - n \\ +n &\equiv \frakn + 1 & n' &\equiv \frakn' + 1 & l' &= 1 - m' - n', +\end{aligned}\right. +\] +wobei man jeder der Zahlen $m$, $n$, $m'$, $n'$ einen der Werthe 0, 1 beilegen +kann, und dann auch $l$ sowohl als $l'$ entweder $= 0$, oder $= 1$ erhält; so +geben die Gleichungen~(20) d.\ §.~11. + +%% {-----File: 095.png---Folio 93-------} +\[ +\Lmargintag{3.} +\left\{ \begin{alignedat}{4} +& \Alrm(\MF{u}+2\omega ) &&= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega ) + m \pi i}\Alrm(\MF{u}) +\quad +&&\Alrm(\MF{u}+2\omega') &&= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega') + m'\pi i}\Alrm(\MF{u}) +\\ +& \Alrm(\MF{u}+2\omega )_1 &&= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega ) + \pi i}\Alrm(\MF{u})_1 +\quad +&&\Alrm(\MF{u}+2\omega')_1 &&= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega') + \pi i}\Alrm(\MF{u})_1 +\\ +& \Alrm(\MF{u}+2\omega )_2 &&= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega ) +n \pi i}\Alrm(\MF{u})_2 +\quad +&&\Alrm(\MF{u}+2\omega')_2 &&= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega') +n'\pi i}\Alrm(\MF{u})_2 +\\ +& \Alrm(\MF{u}+2\omega )_3 &&= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega ) +l \pi i} \Alrm(\MF{u})_3 +\quad +&&\Alrm(\MF{u}+2\omega')_3 &&= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega') +l'\pi i} \Alrm(\MF{u})_3. % [** PP: Added period] +\end{alignedat} \right. +\] +Es ist leicht nachzuweisen, daß die Combinationen +\begin{align*} +&& m,&\ \ m' & n,&\ \ n' & l,&\ \ l' && +\intertext{mit den folgenden } +&& 0,&\ \ 1 & 1,&\ \ 0 & 0,&\ \ 0 && +\end{align*} +übereinstimmen müssen, abgesehen von der Aufeinanderfolge. Hiernach geben +die Formeln (15, 17, 18, 19, 20, 21, 36, 37) d.~v.~§.\ unmittelbar die Ausdrücke +von $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, sobald die Constanten $g$, $g'$ für +jede einzelne dieser Functionen bestimmt sind. Dies kann aber unter Andern +für die 1ste, 3te und 4te dadurch geschehen, daß man $\MF{u} = 0$ setzt, indem +die letztern dann den Werth 1 erhalten. + +Zur Abkürzung werde +\begin{align*} +\tag{4.} + \Pow{e}{\chi(\MF{u}+p\omega'-q\omega) - \chi(\MF{u}-q\omega)} + \MF{J}c\biggl( \frac{\MF{u}+p\omega'-q\omega}{2\omega}, + \frac{\omega'}{\omega i} \biggr) &= \Theta(\MF{u})_{p, q} +\\[1ex] +\tag{5.} + \Pow{e}{-\chi(\MF{u}+p\omega'-q\omega) + \chi(\MF{u}+q\omega')} + \MF{J}c \biggl( \frac{\MF{u}+p\omega'-q\omega}{2\omega}, + \frac{\omega i}{\omega'} \biggr) &= \Theta'(\MF{u})_{q, p} +\end{align*} +gesetzt, wo $p$, $q$ beliebige Zahlen bedeuten, und man in Folge von (33.) +und (7.) d.~v.~§. % [** PP: Added periods to eqn numbers] +\[ +\tag{6.} +\Theta(\MF{u})_{p, q} = \sqrt{\frac{\omega i}{\omega'}} \centerdot + \Powfr{e}{-\chi(\MF{u}) - \fnfrac{pq}{2}\pi i}\, \Theta'(\MF{u})_{q, p} +\] +hat. Dann erhält man aus den Gleichungen (36, 37) nach dem eben Bemerkten +\begin{align*} +\tag{6.} % [** PP: N.B. Second equation (6.)] + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega }} \Alrm(\MF{u})_{\phantom{1}} +&= \frac{\Theta(\MF{u})_{m, m'}}{\Theta(0)_{m, m'}} &\qquad + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \Alrm(\MF{u})_{\phantom{1}} +&= \frac{\Theta'(\MF{u})_{m', m}}{\Theta'(0)_{m', m}} +\\[1ex] +\tag{7.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \Alrm(\MF{u})_2 +&= \frac{\Theta(\MF{u})_{n, n'}}{\Theta(0)_{n, n'}} &\qquad + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \Alrm(\MF{u})_2 +&= \frac{\Theta'(\MF{u})_{n', n}}{\Theta'(0)_{n', n}} +\\[1ex] +\tag{8.} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \Alrm(\MF{u})_3 +&= \frac{\Theta(\MF{u})_{l, l'}}{\Theta(0)_{l, l'}} &\qquad + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \Alrm(\MF{u})_3 +&= \frac{\Theta'(\MF{u})_{l', l}}{\Theta'(0)_{l', l}}. % [** PP: Added period] +\end{align*} +Ferner hat man +\[ +\Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \Alrm(\MF{u})_1 = g\Theta(\MF{u})_{1, 1} +\] +%% {-----File: 096.png---Folio 94-------} +und daher +\[ + \sn \MF{u} = g \Theta(0)_{m, m'} \centerdot \frac{\Theta(\MF{u})_{1, 1}}{\Theta(\MF{u})_{m, m'}}. % [** PP: Added period] +\] +In dieser Gleichung setze man +\[ + \MF{u} = (n-1) \omega' - (n'-1) \omega, +\] +so erhält man aus (42, 43) nach einigen Reductionen +\[ + \sn\bigl( (n-1)\omega' - (n'-1)\omega \bigr) = + i^{(n-1)(1-m')} \frac{g\Theta(0)_{m, m'}\, \Theta(0)_{n, n'}}{\Theta(0)_{l, l'}}. % [** PP: Added period] +\] +Aber +\[ + (n-1)\omega' - (n'-1)\omega = + \bigl( (n-1)\frakm' - (n'-1)\frakm \bigr)\,\MF{K} + + \bigl( (n-1)\frakn' - (n'-1)\frakn \bigr)\,\MF{K}'i, +\] +oder mit Berücksichtigung der Gleichung $\frakm\,\frakn' - \frakn\,\frakm' = 1$, +\[ + (n-1)\omega' - (n'-1)\omega = (2\frakr - 1)\,\MF{K} + 2\frakr' \MF{K}'i, +\] +wo +\[ +\tag{9.} +\left\{\begin{alignedat}{4} + &2\frakr &&= (\frakn' + 1 - n')\,\frakm && - (\frakn + 1 - n)\,\frakm' \\ + &2\frakr' &&= (\frakn' + 1 - n')\,\frakn && - (\frakn + 1 - n)\,\frakn' +\end{alignedat}\right. +\] +ist, und aus (40) sich ergiebt, daß $\frakr$, $\frakr'$ ganze Zahlen sind. Daher hat man +\[ + \sn\bigl( (n-1)\omega' - (n'-1)\omega \bigr) = + \sn(-\MF{K} + 2\frakr \MF{K} + 2\frakr' \MF{K}' i) = \Pow{(-1)}{\frakr-1}. +% [** PP: Added period] +\] +Damit ist der Werth von $g$ bestimmt, und man erhält +\[ + \tag{10.} + \left\{\begin{aligned} + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \Alrm(\MF{u})_1 &= + \frac{\Pow{(-1)}{\frakr-1}}{i^{(n-1)(1-m')}} \centerdot + \frac{\Theta(0)_{l, l'}}{\Theta(0)_{m, m'}} \centerdot + \frac{\Theta(\MF{u})_{1, 1}}{\Theta(0)_{n, n'}} + \\[1ex] + \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \Alrm(\MF{u})_1 &= + \frac{\Pow{(-1)}{\frakr-1}}{i^{(n-1)(1-m')+1}} \centerdot + \frac{\Theta'(0)_{l', l}}{\Theta'(0)_{m', m}} \centerdot + \frac{\Theta'(\MF{u})_{1, 1}}{\Theta'(0)_{n', n}}. % [** PP: Added period] + \end{aligned}\right. +\] +Die zweite dieser Gleichungen ergiebt sich aus der ersten vermittelst der Relation +(6), wobei zu bemerken ist, daß nach dem Obigen $mm' = 0$, $nn' = 0$, +$ll' = 0$ ist. + +Wenn $p$, $q$ ganze Zahlen sind, so erhält man nach dem, was im vorhergehenden +§.\ in Betreff der Ableitung der Formeln (18, 21) aus den unter +(17, 20) aufgestellten bemerkt ist +\[ +\tag{11.} +\left\{\begin{aligned} + \Theta(\MF{u})_{p, q} &= {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Powfr{e}{-\Bigl(\nu + \fnfrac{p}{2}\Bigr)^2\fnfrac{\omega' \pi}{\omega i}} + \cos(2\nu + p)\left(\frac{\MF{u}}{2\omega } - \frac{q}{2}\right)\pi \Biggr\} +\\[1ex] + \Theta'(\MF{u})_{p, q} &= {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Powfr{e}{-\Bigl(\nu - \fnfrac{q}{2}\Bigr)^2\fnfrac{\omega i \pi}{\omega'}} + \cos(2\nu - q)\left(\frac{\MF{u}}{2\omega'} + \frac{p}{2}\right)\pi \Biggr\}. +% [** PP: Added period] +\end{aligned}\right. +\] +%% {-----File: 097.png---Folio 95-------} +Und hieraus +\begin{align*} +\tag{12.} +&\left\{ \begin{aligned} +& \Theta(\MF{u})_{0, 0} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Powfr{e}{ -\nu^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i} } + \cos2\nu \frac{\MF{u}\pi}{2\omega} \Biggr\} +\\[1ex] +& \Theta(\MF{u})_{0, 1} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Pow{(-1)}{\nu} \Powfr{e}{ -\nu^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i} } + \cos2\nu \frac{\MF{u}\pi}{2\omega} \Biggr\} +\\[1ex] +& \Theta(\MF{u})_{1, 0} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Powfr{e}{ -\Bigl(\nu+\fnfrac{1}{2}\Bigr)^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i} } + \cos(2\nu+1) \frac{\MF{u}\pi}{2\omega} \Biggr\} +\\[1ex] +& \Theta(\MF{u})_{1,1} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ \Pow{(-1)}{\nu} + \Powfr{e}{ -\Bigl( \nu+\fnfrac{1}{2} \Bigr)^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i}} + \sin(2\nu+1) \frac{\MF{u}\pi}{2\omega} \Biggr\}, % [** PP: Added comma] +\end{aligned} \right. +\\[1.5ex] +\tag{13.} +&\left\{ \begin{aligned} +& \Theta'(\MF{u})_{0, 0} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Powfr{e}{ -\nu^2\fnfrac{\omega i\pi}{\omega'} } + \cos2\nu \frac{\MF{u}\pi}{\omega'} \Biggr\} +\\[1ex] +& \Theta'(\MF{u})_{0, 1} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Pow{(-1)}{\nu} \Powfr{e}{ -\nu^2 \fnfrac{\omega i\pi}{\omega'} } + \cos2\nu \frac{\MF{u}\pi}{\omega'} \Biggr\} +\\[1ex] +& \Theta'(\MF{u})_{1, 0} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ + \Powfr{e}{ -\Bigl( \nu-\fnfrac{1}{2} \Bigr)^2 \fnfrac{\omega i\pi}{\omega'} } + \cos(2\nu-1) \frac{\MF{u}\pi}{\omega'} \Biggr\} +\\[1ex] +& \Theta'(\MF{u})_{1, 1} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ \Pow{(-1)}{\nu} + \Powfr{e}{ -\Bigl( \nu-\fnfrac{1}{2} \Bigr)^2 \fnfrac{\omega i\pi}{\omega'} } + \sin(2\nu-1) \frac{\MF{u}\pi}{\omega'} \Biggr\}. % [** PP: Added period] +\end{aligned} \right. +\end{align*} +Nimmt man $\omega = \MF{K}$, $\omega' = i\MF{K}'$, so erhält man die von \Auth{Jacobi} in den Fundamentis +zur Darstellung von $\sn\MF{u}$, $\cn\MF{u}$, $\dn\MF{u}$ gegebenen Reihen. + +Die in den Formeln (6, 7, 8, 10) vorkommenden Größen $\Theta(0)_{0, 0}$ +u.~s.~w.\ lassen sich bekanntlich durch $k$, $k'$, $\MF{K}$, $\MF{K}'$ ausdrücken; was aber +für beliebige Werthe von $\frakm$, $\frakn$, $\frakm'$, $\frakn'$ einige Erörterungen nöthig macht, in +die ich hier nicht eingehn kann. + +Hiermit breche ich die auf die elliptischen Functionen sich beziehenden +Entwicklungen ab, die, obwohl die Resultate bekannt sind, hier einen Platz +gefunden haben, weil die dabei befolgte Methode im Wesentlichen dieselbe +ist, welche im Folgenden auch bei den \Auth{Abel}'schen Functionen zur Anwendung +kommen wird. +%% {-----File: 098.png---Folio 96-------} + +Ehe ich mich nun aber wieder zu diesen wende, darf ich nicht unerwähnt +lassen, daß ursprünglich eine Bemerkung \Auth{Abel's}\footnote{% +S. die Einleitung zu dessen Précis d'une théorie des fonctions elliptiques, {\OE}uvr.\ +compl.\ Tom.~I, pag.~234, sowie auch Lettre à Mr.~Legendre, ib.\ Tom.~II, pag.~259.% +}% +, in der er auf die +in (§.\ 8 -- 10) hergeleitete Darstellungsform der elliptischen Transcendenten +hinweist, es gewesen ist, die mich zu einer neuen Behandlung dieser Functionen +in der vorgetragenen Weise veranlaßte, und so auf den Weg führte, +der mir auch in die Theorie der hyperelliptischen den Eingang eröffnete. + +\cleardoublepage + +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{\BackMatter.}{backmatter} + +\subsubsection*{\centering Anmerkungen der Korrekturleser} + +% ToC entry and bookmark +\ifthenelse{\boolean{ToC}}{% + \phantomsection% + \label{transnotes}% + \addcontentsline{toc}{chapter}{Anmerkungen der Korrekturleser}% + }% else create manual bookmark + {\pdfbookmark[1]{\TransNotes.}{transnotes}} + +Im Buch-Original befindet sich kein Inhaltsverzeichnis. Im +LaTeX-Quelltext ist ein einfaches Inhaltsverzeichnis enthalten, aber +dieser Code ist standardmäßig ausgeschaltet. Bitte ziehen sie den +Anfang der Quelldatei zu Rate, wenn Sie das PDF neu erzeugen wollen. + +Inkonsiste Numerierung der Gleichungen (fehlende oder doppelte +Nummern) wurden unverändert übernommen. Surd-Zeichen wurden durch +Wurzeln ersetzt und in den meisten Fällen wurden Klammern um den +Radikanden entfernt. + +\iffalse +%% Grateful acknowledgement to Ralf Stephan for the German translation +The original book has no table of contents. The LaTeX source file +contains code for a simple table of contents, but this code is +deactivated by default. Please consult the preamble of the source file +for instructions on recompiling. + +Inconsistencies in equation numbering (missing or duplicated numbers) +have been retained. Equation punctuation has been added. Surd signs +have been replaced by square roots, and in most cases parentheses +around the radicands have been removed. +\fi + +\cleardoublepage + + +%% Bookmark is in German, running head in English +\fancyhead[C]{\scshape PG License} + +\phantomsection +\pdfbookmark[1]{\License.}{license} + +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Theorie der Abel'schen Functionen, by +Karl Weierstrass + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL'SCHEN FUNCTIONEN *** + +***** This file should be named 29780-pdf.pdf or 29780-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29780/ + +Produced by K.F. Greiner, Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson +and the Online Distributed Proofreading Team at + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you +do not charge anything for copies of this eBook, complying with the +rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose +such as creation of derivative works, reports, performances and +research. They may be modified and printed and given away--you may do +practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is +subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +*** START: FULL LICENSE *** + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE +PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK + +To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work +(or any other work associated in any way with the phrase "Project +Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project +Gutenberg-tm License (available with this file or online at +http://gutenberg.org/license). + + +Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement +and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic +works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" +or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an +individual work is in the public domain in the United States and you are +located in the United States, we do not claim a right to prevent you from +copying, distributing, performing, displaying or creating derivative +works based on the work as long as all references to Project Gutenberg +are removed. Of course, we hope that you will support the Project +Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by +freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of +this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with +the work. You can easily comply with the terms of this agreement by +keeping this work in the same format with its attached full Project +Gutenberg-tm License when you share it without charge with others. + +1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern +what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in +a constant state of change. If you are outside the United States, check +the laws of your country in addition to the terms of this agreement +before downloading, copying, displaying, performing, distributing or +creating derivative works based on this work or any other Project +Gutenberg-tm work. 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Additional terms will be linked +to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the +permission of the copyright holder found at the beginning of this work. + +1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm +License terms from this work, or any files containing a part of this +work or any other work associated with Project Gutenberg-tm. + +1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this +electronic work, or any part of this electronic work, without +prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with +active links or immediate access to the full terms of the Project +Gutenberg-tm License. + +1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary, +compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any +word processing or hypertext form. However, if you provide access to or +distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than +"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version +posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org), +you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a +copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon +request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other +form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm +License as specified in paragraph 1.E.1. + +1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, +performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works +unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + +1.E.8. You may charge a reasonable fee for copies of or providing +access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided +that + +- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from + the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method + you already use to calculate your applicable taxes. The fee is + owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he + has agreed to donate royalties under this paragraph to the + Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments + must be paid within 60 days following each date on which you + prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax + returns. Royalty payments should be clearly marked as such and + sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the + address specified in Section 4, "Information about donations to + the Project Gutenberg Literary Archive Foundation." + +- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies + you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he + does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm + License. You must require such a user to return or + destroy all copies of the works possessed in a physical medium + and discontinue all use of and all access to other copies of + Project Gutenberg-tm works. + +- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any + money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the + electronic work is discovered and reported to you within 90 days + of receipt of the work. + +- You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg-tm works. + +1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm +electronic work or group of works on different terms than are set +forth in this agreement, you must obtain permission in writing from +both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael +Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the +Foundation as set forth in Section 3 below. + +1.F. + +1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. 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It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. 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Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Theorie der Abel'schen Functionen, by +% Karl Weierstrass % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL'SCHEN FUNCTIONEN *** +% % +% ***** This file should be named 29780-t.tex or 29780-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29780/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} + +### lprep configuration +@MathEnvironments = ( + ['\\begin{theorem}', '\\end{theorem}', '<THEOREM>'], + ['\\begin{proof}', '\\end{proof}', '<PROOF>'], + ['\\begin{beweis}', '\\end{beweis}', '<BEWEIS>'] + ); +@ControlwordReplace = ( + ['\\TransNote',""], + ['\\TransNotes',""], + ['\\TransNoteText',""], + ['\\FrontMatter',""], + ['\\BackMatter',""], + ['\\Boilerplate',""], + ['\\License',""], + ['\Tbreak',""], + ['\bigTbreak',""] + ); +@ControlwordArguments = ( + ['\\Auth',1,0,'',''], + ['\\Defn',1,0,'',''], + ['\\Theorem',1,0,'',''], + ['\\Chapter',1,1,'\n\n ','\n'], + ['\\Section',1,1,'\n\n ','\n'], + ['\\Changenotemark',1,0,'',''], + ['\\Changenotetext',1,0,'',''] + ); + +### +This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.8.25) 26 AUG 2009 05:37 +entering extended mode + %&-line parsing enabled. +**29780-t.tex +(./29780-t.tex +LaTeX2e <2005/12/01> +Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh +yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov +ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon +ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i +nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp +eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia +n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls +Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo +File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo +File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count79 +\c@chapter=\count80 +\c@section=\count81 +\c@subsection=\count82 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+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def +File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions +\babel@savecnt=\count88 +\U@D=\dimen103 +) +\l@austrian = a dialect from \language\l@german +Package babel Info: Making " an active character on input line 91. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features +\@mathmargin=\skip43 +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2000/06/29 v2.01 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 +\@emptytoks=\toks16 +\ex@=\dimen104 +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d +\pmbraise@=\dimen105 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names +) +\inf@bad=\count89 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. +\uproot@=\count90 +\leftroot@=\count91 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. +\classnum@=\count92 +\DOTSCASE@=\count93 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. +\Mathstrutbox@=\box26 +\strutbox@=\box27 +\big@size=\dimen106 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. +\macc@depth=\count94 +\c@MaxMatrixCols=\count95 +\dotsspace@=\muskip10 +\c@parentequation=\count96 +\dspbrk@lvl=\count97 +\tag@help=\toks17 +\row@=\count98 +\column@=\count99 +\maxfields@=\count100 +\andhelp@=\toks18 +\eqnshift@=\dimen107 +\alignsep@=\dimen108 +\tagshift@=\dimen109 +\tagwidth@=\dimen110 +\totwidth@=\dimen111 +\lineht@=\dimen112 +\@envbody=\toks19 +\multlinegap=\skip44 +\multlinetaggap=\skip45 +\mathdisplay@stack=\toks20 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. +) 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v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive +) +Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. +) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 410. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count121 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 410. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 410. +(./29780-t.out) (./29780-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `29780-t.out'. + +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+pxtt on input line 422. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/t1pxtt.fd +File: t1pxtt.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for OT1+pxr on input line 443. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/ot1pxr.fd +File: ot1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxmia on input line 443. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxmia.fd +File: upxmia.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxsya on input line 443. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsya.fd +File: upxsya.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxsyb on input line 443. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsyb.fd +File: utxsyb.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+pxsyc on input line 443. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsyc.fd +File: upxsyc.fd 2000/12/14 v1.0 +) [1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] <images/tb.pdf, id=110, 240.9pt x 7.02625pt> +File: images/tb.pdf Graphic file (type pdf) +<use images/tb.pdf> [1 + + <./images/tb.pdf>] [1 + +] [2] [3] +Underfull \vbox (badness 1460) has occurred while \output is active [] + +[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] +Underfull \vbox (badness 3635) has occurred while \output is active [] + +[16] [17] +Overfull \hbox (0.145pt too wide) in paragraph at lines 1503--1505 +[]\T1/pxr/m/n/12 Nun sind aber $[][]$, $[][]$, u. s. w. die Co-ef-fi-cien-ten d +er Reihen-Entwicklung + [] + +[18] [19] [20] [21] [22] +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+pxr on input line 1836 +. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omspxr.fd +File: omspxr.fd 2000/12/14 v1.0 +) +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/pxr/m/n' in size <7> not available +(Font) Font shape `OMS/pxsy/m/n' tried instead on input line 1836. + +[23] [24] [25] [26] +Underfull \vbox (badness 2922) has occurred while \output is active [] + +[27] +Underfull \vbox (badness 2837) has occurred while \output is active [] + +[28] [29] [30] [31] [32] +Overfull \hbox (3.08228pt too wide) in paragraph at lines 2371--2376 +\T1/pxr/m/n/12 Da nun die Wert-he der Co-ef-fi-cien-ten von $\OML/pxmi/m/it/12 +'\OT1/pxr/m/n/12 (\OML/pxmi/m/it/12 x\OT1/pxr/m/n/12 )$\T1/pxr/m/n/12 , die aus + den Func-tio-nen $\OML/pxmi/m/it/12 '\OT1/pxr/m/n/12 ([][]\OML/pxmi/m/it/12 ; +[] \OT1/pxr/m/n/12 )[]$\T1/pxr/m/n/12 , + [] + +[33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] +[49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] +[65] [66] [67] +Underfull \vbox (badness 1845) has occurred while \output is active [] + +[68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] +Underfull \vbox (badness 1132) has occurred while \output is active [] + +[79] [80] [81] +Underfull \vbox (badness 1655) has occurred while \output is active [] + +[82] [83] [84] +Overfull \hbox (12.73749pt too wide) in paragraph at lines 5623--5623 +[] + [] + + +Overfull \hbox (12.73749pt too wide) in paragraph at lines 5656--5656 +[] + [] + + +Overfull \hbox (22.73749pt too wide) in paragraph at lines 5591--5659 +$[]$ + [] + + +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[85] [86] [87] +Underfull \vbox (badness 2790) has occurred while \output is active [] + +[88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [ +103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111 + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[112 + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[113] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[114] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[115] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[116] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[117] [118] (./29780-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + germanb.ldf 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amsthm.sty 2004/08/06 v2.20 + pxfonts.sty 2005/01/03 v1.1 + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment + soul.sty 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) +footmisc.sty 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +manyfoot.sty 2005/09/11 v1.10 Many Footnote Levels Package (NCC) +nccfoots.sty 2005/02/03 v1.2 NCC Footnotes Package (NCC) + perpage.sty 2006/07/15 1.12 Reset/sort counters per page +graphicx.sty 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +graphics.sty 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + trig.sty 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) +graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive + pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +fancyhdr.sty +geometry.sty 2002/07/08 v3.2 Page Geometry +geometry.cfg +hyperref.sty 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX + pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +kvoptions.sty 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO +) + url.sty 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. + hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX + omlpxmi.fd 2000/12/14 v1.0 + omspxsy.fd 2000/12/14 v1.0 + omxpxex.fd 2000/12/14 v1.0 + upxexa.fd 2000/12/14 v1.0 + t1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 +supp-pdf.tex + color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) + color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) + 29780-t.out + 29780-t.out + t1pxtt.fd 2000/12/14 v1.0 + ot1pxr.fd 2000/12/14 v1.0 + upxmia.fd 2000/12/14 v1.0 + upxsya.fd 2000/12/14 v1.0 + upxsyb.fd + upxsyc.fd 2000/12/14 v1.0 +images/tb.pdf + omspxr.fd 2000/12/14 v1.0 + *********** + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 6450 strings out of 94074 + 80930 string characters out of 1165153 + 153373 words of memory out of 1500000 + 9144 multiletter control sequences out of 10000+50000 + 92470 words of font info for 235 fonts, out of 1200000 for 2000 + 645 hyphenation exceptions out of 8191 + 28i,24n,43p,235b,491s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s +{/usr/share/texmf-texlive/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}</usr/share/texmf-texli +ve/fonts/type1/public/pxfonts/pxex.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/pu +blic/pxfonts/pxmia.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/pxfonts/pxs +y.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/pxfonts/pxsya.pfb></usr/shar +e/texmf-texlive/fonts/type1/public/pxfonts/rpxi.pfb></usr/share/texmf-texlive/f +onts/type1/public/pxfonts/rpxmi.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/publi +c/pxfonts/rpxr.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/pxfonts/rpxsc.p +fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/txfonts/t1xtt.pfb></usr/share/t +exmf-texlive/fonts/type1/urw/palatino/uplb8a.pfb></usr/share/texmf-texlive/font +s/type1/urw/palatino/uplbi8a.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/urw/pala +tino/uplr8a.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/urw/palatino/uplri8a.pfb> +Output written on 29780-t.pdf (121 pages, 555423 bytes). +PDF statistics: + 1019 PDF objects out of 1200 (max. 8388607) + 414 named destinations out of 1000 (max. 131072) + 198 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/29780-t/old/29780-t.zip b/29780-t/old/29780-t.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..ff9fc8c --- /dev/null +++ b/29780-t/old/29780-t.zip diff --git a/LICENSE.txt b/LICENSE.txt new file mode 100644 index 0000000..6312041 --- /dev/null +++ b/LICENSE.txt @@ -0,0 +1,11 @@ +This eBook, including all associated images, markup, improvements, +metadata, and any other content or labor, has been confirmed to be +in the PUBLIC DOMAIN IN THE UNITED STATES. + +Procedures for determining public domain status are described in +the "Copyright How-To" at https://www.gutenberg.org. + +No investigation has been made concerning possible copyrights in +jurisdictions other than the United States. 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