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+% The Project Gutenberg EBook of La géométrie, by René Descartes          %
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+% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
+% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
+% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
+% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
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+%% No overfull or underfull boxes                                        %%
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+%% are included as .png files in the images directory.                   %%
+%%                                                                       %%
+%% Compile sequence:                                                     %%
+%%         pdflatex x2                                                   %%
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+%% Aug 08: Laverock. Compiled with pdflatex:                             %%
+%%         [pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.6-2.2 (MiKTeX 2.5)]           %%
+%%                                                                       %%
+%%                                                                       %%
+%% August 2008: pglatex.                                                 %%
+%%   Compile this project with:                                          %%
+%%   pdflatex 26400-t.tex ..... TWO times                                %%
+%%                                                                       %%
+%%   pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5)                  %%
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+\documentclass[oneside]{book}
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+\usepackage{verbatim}[2003/08/22]		% preformated text
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+\newcommand{\superscript}[1]{\ensuremath{^\textrm{#1}}}
+\newcommand{\mymarginpar}[1]{\marginpar{\centering\footnotesize{#1}}}
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+\begin{document}
+\begin{verbatim}
+The Project Gutenberg EBook of La géométrie, by René Descartes
+
+This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
+almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
+re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
+with this eBook or online at www.gutenberg.org
+
+
+Title: La géométrie
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+Author: René Descartes
+
+Editor: A Hermann
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+Release Date: August 23, 2008 [EBook #26400]
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+Language: French
+
+Character set encoding: ISO-8859-1
+
+*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA GÉOMÉTRIE ***
+
+
+Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson, Keith Edkins
+and the Online Distributed Proofreading Team at
+http://www.pgdp.net (This file was produced from images
+generously made available by Cornell University Digital
+Collections)
+\end{verbatim}
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+\pagestyle{empty}
+\frontmatter
+\pagestyle {empty}
+
+% [File: 003.png]
+
+% [File: 005.png]
+
+
+% [File: 007.png]
+\begin{center}
+{\Large LA}
+
+\vspace{0.4in}
+
+{\Huge G\gsp{}É\gsp{}O\gsp{}M\gsp{}É\gsp{}T\gsp{}R\gsp{}I\gsp{}E}
+
+\vspace{0.4in}
+
+DE
+
+\vspace{0.4in}
+
+{\Large RENÉ DESCARTES}
+
+\vspace{0.6in}
+
+\rule{1.0in}{.2pt}
+
+\vspace{0.25in}
+
+{\large NOUVELLE ÉDITION}
+
+\vspace{0.2in}
+
+\rule{1.0in}{.2pt}
+
+\vspace{1.25in}
+
+{\Large PARIS}
+
+\vspace{0.2in}
+
+{\large A. HERMANN, LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE}
+
+\vspace{0.2in}
+
+8--rue de la Sorbonne--8
+
+\rule{0.25in}{.2pt}
+
+\vspace{0.2in}
+
+MDCCCLXXXVI
+\end{center}
+
+% [File: 009.png]
+
+\newpage
+\begin{center}
+{\Large AVERTISSEMENT}
+\end{center}
+
+Peu de livres ont autant contribué que la Géométrie de
+Descartes au progrès des sciences Mathématiques. Aussi croyons-nous
+rendre service à la science en en publiant une nouvelle
+édition. Nous avons d'ailleurs été encouragé dans cette voie par
+plusieurs savants, et particulièrement par l'un de nos philosophes
+les plus distingués, M. de Blignières, gendre de l'illustre Liouville,
+qui a bien voulu contribuer pour une part importante aux frais
+d'impression.
+
+\rightline{A.~H.\hspace{0.8in}}
+
+\newpage
+\mainmatter
+\pagestyle{plain}
+
+% [File: 011.png Page: 1]
+\begin{center}
+{\Huge LA GÉOMÉTRIE}\raisebox{1.5em}{\footnotemark}\footnotetext
+{Pour en faciliter la lecture, nous avons substitué à quelques signes employés par Descartes
+d'autres signes universellement adoptés, toutes les fois que ces changements n'en apportoient pas
+dans le \emph{principe} de la notation. Le lecteur en sera prévenu.}
+
+\vspace{0.25in}
+
+\rule{0.4in}{.2pt}
+
+\vspace{0.5in}
+
+{\LARGE LIVRE PREMIER}
+
+\vspace{0.25in}
+
+DES PROBLÈMES QU'ON PEUT CONSTRUIRE SANS Y EMPLOYER
+QUE DES CERCLES ET DES LIGNES DROITES.
+
+\vspace{0.2in}
+\end{center}
+
+Tous les problèmes de géométrie se peuvent facilement réduire à tels
+termes, qu'il n'est besoin par après que de connoître la longueur de quelques
+lignes droites pour les construire.
+
+Et\label{cont1}\mymarginpar{Comment le
+calcul d'arithmétique
+se
+rapporte aux
+opérations de
+géométrie.}
+comme toute l'arithmétique n'est composée que de quatre ou cinq
+opér\-a\-tions, qui sont, l'addition, la soustraction, la multiplication, la division,
+et l'extraction des racines, qu'on peut prendre pour une espèce de division,
+ainsi n'a-t-on autre chose à faire en géométrie touchant les lignes qu'on
+cherche pour les préparer à être connues, que leur en ajouter d'autres, ou
+en ôter; ou bien en ayant une, que je nommerai l'unité pour la rapporter
+d'autant mieux aux nombres, et qui peut ordinairement être prise à
+discrétion, puis en ayant encore deux autres, en trouver une quatrième qui
+soit à l'une de ces deux comme l'autre est à l'unité, ce qui est le même que
+la multiplication; ou bien en trouver une quatrième qui soit à l'une de ces
+deux comme l'unité est à l'autre, ce qui est le même que la division; ou
+enfin trouver une ou deux, ou plusieurs moyennes proportionnelles entre
+l'unité et quelque autre ligne, ce qui est le même que tirer la racine carrée
+% [File: 012.png Page: 2]
+ou cubique, etc. Et je ne craindrai pas d'introduire ces termes d'arithmétique
+en la géométrie, afin de me rendre plus intelligible.
+
+Soit,\label{cont2}\mymarginpar{La multiplication.}
+par exemple, $A\:B$ \textit{(fig.~1)} l'unité, et qu'il faille multiplier $B\:D$ par $B\:C$,
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 1.}} \\ \includegraphics*[width=1.6in]{images/f001.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+je n'ai qu'à joindre les points $A$ et $C$, puis tirer $D\:E$ parallèle à $C\:A$, et $B\:E$ est
+le produit de cette multiplication.
+
+Ou bien,\mymarginpar{La division.}
+s'il faut diviser $B\:E$ par $B\:D$, ayant joint les points $E$ et $D$, je
+tire $A\:C$ parallèle à $D\:E$, et $B\:C$ est le produit de cette division.
+
+Ou\mymarginpar{L'extraction
+de la racine
+carrée.}
+s'il faut tirer la racine carrée de $G\:H$ \textit{(fig. 2)}, je lui ajoute en ligne
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 2.}} \\ \includegraphics*[width=1.6in]{images/f002.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+droite $F\:G$, qui est l'unité, et divisant $F\:H$ en deux parties égales au point $K$,
+du centre $K$ je tire le cercle $F\:I\:H$, puis élevant du point $G$ une ligne droite
+jusques à $I$ à angles droits sur $F\:H$, c'est $G\:I$ la racine cherchée. Je ne dis
+rien ici de la racine cubique, ni des autres, à cause que j'en parlerai plus
+commodément ci-après.
+
+
+Mais\label{cont3}\mymarginpar{Comment on
+peut user de
+chiffres en
+géométrie.}
+souvent on n'a pas besoin de tracer ainsi ces lignes sur le papier, et
+il suffit de les désigner par quelques lettres, chacune par une seule. Comme
+pour ajouter la ligne $B\:D$ à $G\:H$, je nomme l'une $a$ et l'autre $b$, et écris $a+b$;
+et $a-b$ pour soustraire $b$ de $a$; et $ab$ pour les multiplier l'une par l'autre;
+et $\dfrac{a}{b}$ pour diviser $a$ par $b$; et $aa$ ou $a^2$ pour multiplier $a$ par soi-même\footnote{%
+  Cependant Descartes répète presque toujours les facteurs égaux lorsqu'ils ne sont qu'au nombre
+  de deux. Nous avons ici constamment adopté la notation $a^2$.};
+et $a^3$ pour le multiplier encore une fois par $a$, et ainsi à l'infini; et $\sqrt{a^2+b^2}$,
+% [File: 013.png Page: 3]
+pour tirer la racine carrée de $a^2+b^2$; et $\sqrt{C\centerdot a^3-b^3+ab^2}$, pour tirer
+la racine cubique de $a^3-b^3+ab^2$, et ainsi des autres.
+
+Où il est à remarquer que par $a^2$, ou $b^3$, ou semblables, je ne conçois
+ordinairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des
+noms usités en l'algèbre je les nomme des carrés ou des cubes, etc.
+
+Il est aussi à remarquer que toutes les parties d'une même ligne se doivent
+ordinairement exprimer par autant de dimensions l'une que l'autre, lorsque
+l'unité n'est point déterminée en la question, comme ici $a^3$ en contient autant
+que $ab^2$ or $b^3$ dont se compose la ligne que j'ai nommée
+\[
+\sqrt{C\centerdot a^3-b^3+ab^2};
+\]
+mais que ce n'est pas de même lorsque l'unité est déterminée, à cause qu'elle
+peut être sous-entendue partout où il y a trop ou trop peu de dimensions:
+comme s'il faut tirer la racine cubique de $a^2b^2-b$, il faut penser que la
+quantité $a^2b^2$ est divisée une fois par l'unité, et que l'autre quantité $b$ est
+multipliée deux fois par la même.
+
+Au reste, afin de ne pas manquer à se souvenir des noms de ces lignes,
+il en faut toujours faire un registre séparé à mesure qu'on les pose ou qu'on
+les change, écrivant par exemple\footnote{%
+Nous substituons partout le signe = au signe $\infty$ dont se servoit Descartes.}:
+
+$A\:B = 1$, c'est-à-dire $A\:B$ égal à 1.
+
+$G\:H = a$.
+
+$B\:D = b$, etc.
+
+Ainsi,\label{cont4}\mymarginpar{Comment il
+faut venir aux
+équations qui
+servent à
+résoudre les
+problèmes.}
+voulant résoudre quelque problème, on doit d'abord le con\-sid\-ér\-er
+comme déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent
+nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu'aux
+autres. Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et
+inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l'ordre qui montre le plus
+naturellement de tous en quelle sorte elles dépendent mutuellement les
+unes des autres, jusques à ce qu'on ait trouvé moyen d'exprimer une même
+quantité en deux façons, ce qui se nomme une équation; car les termes de
+l'une de ces deux façons sont égaux à ceux de l'autre. Et on doit trouver
+autant de telles équations qu'on a supposé de lignes qui étoient inconnues.
+% [File: 014.png Page: 4]
+Ou bien, s'il ne s'en trouve pas tant, et que nonobstant on n'omette rien de
+ce qui est désiré en la question, cela témoigne qu'elle n'est pas entièrement
+déterminée. Et lors on peut prendre à discrétion des lignes connues pour
+toutes les inconnues auxquelles ne correspond aucune équation. Après cela,
+s'il en reste encore plusieurs, il se faut servir par ordre de chacune des
+équations qui restent aussi, soit en la considérant toute seule, soit en la
+comparant avec les autres, pour expliquer chacune de ces lignes inconnues,
+et faire ainsi, en les démêlant, qu'il n'en demeure qu'une seule égale à
+quelque autre qui soit connue, ou bien dont le carré, ou le cube, ou le carré
+de carré, ou le sursolide, ou le carré de cube, etc., soit égal à ce qui se
+produit par l'addition ou soustraction de deux ou plusieurs autres quantités,
+dont l'une soit connue, et les autres soient composées de quelques moyennes
+proportionnelles entre l'unité et ce carré, ou cube, ou carré de carré, etc.,
+multipliées par d'autres connues. Ce que j'écris en cette sorte:
+\begin{align*}
+z &= b, \\
+\text{ou}\  z^2 &= -az   + b^2, \\
+\text{ou}\  z^3 &= +az^2 + b^2 z - c^3, \\
+\text{ou}\  z^4 &=  az^3 - c^3 z + d^4,\ \text{etc.;}
+\end{align*}
+c'est-à-dire $z$, que je prends pour la quantité inconnue, est égale à $b$; ou le
+carré de $z$ est égal au carré de $b$ moins $a$ multiplié par $z$; ou le cube de $z$ est
+égal à $a$ multiplié par le carré de $z$ plus le carré de $b$ multiplié par $z$ moins
+le cube de $c$; et ainsi des autres.
+
+Et on peut toujours réduire ainsi toutes les quantités inconnues à une
+seule, lorsque le problème se peut construire par des cercles et des lignes
+droites, ou aussi par des sections coniques, ou même par quelque autre
+ligne qui ne soit que d'un ou deux degrés plus composée. Mais je ne m'arrête
+point à expliquer ceci plus en détail, à cause que je vous ôterois le plaisir
+de l'apprendre de vous-même, et l'utilité de cultiver votre esprit en vous y
+exerçant, qui est à mon avis la principale qu'on puisse tirer de cette science.
+Aussi que je n'y remarque rien de si difficile que ceux qui seront un peu
+versés en la géométrie commune et en l'algèbre, et qui prendront garde à
+tout ce qui est en ce traité, ne puissent trouver.
+% [File: 015.png Page: 5]
+
+C'est pourquoi je me contenterai ici de vous avertir que, pourvu qu'en
+démêlant ces équations, on ne manque point à se servir de toutes les divisions
+qui seront possibles, on aura infailliblement les plus simples termes auxquels
+la question puisse être réduite.
+
+Et\label{cont5}\mymarginpar{Quels sont les problèmes plans.}
+que si elle peut être résolue par la géométrie ordinaire, c'est-à-dire en
+ne se servant que de lignes droites et circulaires tracées sur une superficie
+plate, lorsque la dernière équation aura été entièrement démêlée, il n'y
+restera tout au plus qu'un carré inconnu, égal à ce qui se produit de
+l'addition ou soustraction de sa racine multipliée par quelque quantité
+connue, et de quelque autre quantité aussi connue.
+
+Et\mymarginpar{Comment ils se résolvent.}
+lors cette racine, ou ligne inconnue, se trouve aisément; car si j'ai par
+exemple
+\[
+  z^2 = az + b^2,
+\]
+je fais le triangle rectangle $N\:L\:M$ \textit{(fig.~3)}, dont le côté $L\:M$ est égal à $b$,
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 3.}} \\ \includegraphics*[width=1.44in]{images/f003.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+racine carrée de la quantité connue $b^2$, et l'autre $L\:N$ est $\dfrac{1}{2}a$, la moitié de
+l'autre quantité connue qui étoit multipliée par $z$, que je suppose être la
+ligne inconnue; puis prolongeant $M\:N$, la base de ce triangle, jusques à $O$,
+en sorte que $N\:O$ soit égale à $N\:L$, la toute $O\:M$ est $z$, la ligne cherchée; et
+elle s'exprime en cette sorte:
+\[
+  z = \frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4} a^2 + b^2 }.
+\]
+
+Que si j'ai $y^2=-ay+b^2$, et que $y$ soit la quantité qu'il faut trouver,
+je fais le même triangle rectangle $N\:L\:M$, et de sa base $M\:N$ j'ôte $N\:P$ égale
+% [File: 016.png Page: 6]
+à $N\:L$, et le reste $P\:M$ est $y$, la racine cherchée. De façon que j'ai
+\[
+y=-\frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4}a^2+b^2}.
+\]
+
+Et tout de même si j'avois
+\[
+x^4=-ax^2+b^2,
+\]
+$P\:M$ seroit $x^2$, et j'aurois
+\[
+x=\sqrt{-\frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4} a^2 +b^2}};
+\]
+et ainsi des autres.
+
+Enfin, si j'ai
+\[
+z^2=az-b^2,
+\]
+je fais $N\:M$ \textit{(fig.~4)} égale à $\frac{1}{2}a$, et $L\:M$ égale à $b$, comme devant; puis, au
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 4.}} \\ \includegraphics*[width=0.8in]{images/f004.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+lieu de joindre les points $L\:N$, je tire $L\:Q\:R$ parallèle à $M\:N$, et du centre $N$,
+par $L$, ayant décrit un cercle qui la coupe aux points $Q$ et $R$, la ligne
+cherchée $z$ est $L\:Q$, ou bien $L\:R$; car en ce cas elle s'exprime en deux
+façons, à savoir
+\[
+z=\frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4}a^2 - b^2},
+\]
+et
+\[
+z=\frac{1}{2} a - \sqrt{\frac{1}{4}a^2 - b^2}.
+\]
+
+Et si le cercle, qui ayant son centre au point $N$ passe par le point $M$, ne
+% [File: 017.png Page: 7]
+coupe ni ne touche la ligne droite $L\:Q\:R$, il n'y a aucune racine en l'équation,
+de façon qu'on peut assurer que la construction du problème proposé est
+impossible.
+
+Au reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité d'autres
+moyens, et j'ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin
+de faire voir qu'on peut construire tous les problèmes de la géométrie
+ordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre
+figures que j'ai expliquées. Ce que je ne crois pas que les anciens aient
+remarqué; car autrement ils n'eussent pas pris la peine d'en écrire tant de
+gros livres où le seul ordre de leurs propositions nous fait connoître qu'ils
+n'ont point eu la vraie méthode pour les trouver toutes, mais qu'ils ont
+seulement ramassé celles qu'ils ont rencontrées.
+
+Et\label{cont6}\mymarginpar{Exemple tiré de Pappus.}
+on peut le voir aussi fort clairement de ce que Pappus a mis au
+commencement de son septième livre, où après s'être arrêté quelque temps
+à dénombrer tout ce qui avoit été écrit en géométrie par ceux qui l'avoient
+précédé, il parle enfin d'une question qu'il dit que ni Euclide, ni Apollonius,
+ni aucun autre, n'avoient su entièrement résoudre; et voici ses
+mots~\footnote{Je cite plutôt la version latine que le texte grec, afin que chacun
+  l'entende plus aisément.}:
+
+\textit{Quem autem dicit (Apollonius) in tertio libro locum ad tres et quatuor
+lineas ab Euclide perfectum non esse, neque ipse perficere poterat,
+neque aliquis alius; sed neque paululum quid addere iis, quæ Euclides
+scripsit, per ea tantum conica, quæ usque ad Euclidis tempora præmonstrata
+sunt, etc.}
+
+Et un peu après il explique ainsi quelle est cette question:
+
+\textit{At locus ad tres et quatuor lineas, in quo (Apollonius) magnifice se
+jactat, et ostentat, nulla habita gratia ei, qui prius scripserat, est
+hujusmodi. Si positione datis tribus rectis lineis ab uno et eodem
+puncto, ad tres lineas in datis angulis rectæ lineæ ducantur, et data
+sit proportio rectanguli contenti duabus ductis ad quadratum reliquæ:
+punctum contingit positione datum solidum locum, hoc est unam ex
+tribus conicis sectionibus. Et si ad quatuor rectas lineas positione datas
+in datis angulis lineæ ducantur; et rectanguli duabus ductis contenti
+% [File: 018.png Page: 8]
+ad contentum duabus reliquis proportio data sit: similiter punctum
+datam coni sectionem positione continget. Si quidem igitur ad duas
+tantum locus planus ostensus est. Quod si ad plures quam quatuor,
+punctum continget locos non adhuc cognitos, sed lineas tantum dictas;
+quales autem sint, vel quam habeant proprietatem, non constat: earum
+unam, neque primam, et quæ manifestissima videtur, composuerunt
+ostendentes utilem esse. Propositiones autem ipsarum hæ sunt.}
+
+\textit{Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas quinque ducantur
+rectæ lineæ in datis angulis, et data sit proportio solidi parallelepipedi
+rectanguli, quod tribus ductis lineis continetur ad solidum parallelepipedum
+rectangulum, quod continetur reliquis duabus, et data quapiam
+linea, punctum positione datam lineam continget. Si autem ad sex, et
+data sit proportio solidi tribus lineis contenti ad solidum, quod tribus
+reliquis continetur; rursus punctum continget positione datam lineam.
+Quod si ad plures quam sex, non adhuc habent dicere, an data sit
+proportio cujuspiam contenti quatuor lineis ad id quod reliquis continetur,
+quoniam non est aliquid contentum pluribus quam tribus
+dimensionibus.}
+
+Où je vous prie de remarquer en passant que le scrupule que faisoient les
+anciens d'user des termes de l'arithmétique en la géométrie, qui ne pouvoit
+procéder que de ce qu'ils ne voyoient pas assez clairement leur rapport,
+causoit beaucoup d'obscurité et d'embarras en la façon dont ils s'expliquoient;
+car Pappus poursuit en cette sorte:
+
+\textit{Acquiescunt autem his, qui paulo ante talia interpretati sunt; neque
+unum aliquo pacto comprehensibile significantes quod his continetur.
+Licebit autem per conjunctas proportiones hæc, et dicere, et demonstrare
+universe in dictis proportionibus, atque his in hunc modum. Si ab
+aliquo puncto ad positione datas rectas lineas ducantur rectæ lineæ in
+datis angulis, et data sit proportio conjuncta ex ea, quam habet una
+ductarum ad unam, et altera ad alteram, et alia ad aliam, et reliqua
+ad datam lineam, si sint septem; si vero octo, et reliqua ad reliquam:
+punctum continget positione datas lineas. Et similiter quotcumque sint
+impares vel pares multitudine, cum hæc, ut dixi, loco ad quatuor lineas
+respondeant, nullum igitur posuerunt ita ut linea nota sit, etc.}
+% [File: 019.png Page: 9]
+
+La question donc qui avoit été commencée à résoudre par Euclide et
+poursuivie par Apollonius, sans avoir été achevée par personne, étoit telle:
+Ayant trois ou quatre, ou plus grand nombre de lignes droites données par
+position; premièrement on demande un point duquel on puisse tirer autant
+d'autres lignes droites, une sur chacune des données, qui fassent avec elles
+des angles donnés, et que le rectangle contenu en deux de celles qui seront
+ainsi tirées d'un même point, ait la proportion donnée avec le carré de la
+troisième, s'il n'y en a que trois; ou bien avec le rectangle des deux autres,
+s'il y en a quatre; ou bien, s'il y en a cinq, que le parallélipipède composé
+de trois ait la proportion donnée avec le parallélipipède composé des deux
+qui restent, et d'une autre ligne donnée; ou s'il y en a six, que le parallélipipède
+composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélipipède des
+trois autres; ou s'il y en a sept, que ce qui se produit lorsqu'on en multiplie
+quatre l'une par l'autre, ait la raison donnée avec ce qui se produit par la
+multiplication des trois autres, et encore d'une autre ligne donnée; ou s'il y
+en a huit, que le produit de la multiplication de quatre ait la proportion
+donnée avec le produit des quatre autres; et ainsi cette question se peut
+étendre à tout autre nombre de lignes. Puis à cause qu'il y a toujours une
+infinité de divers points qui peuvent satisfaire à ce qui est ici demandé, il
+est aussi requis de connoître et de tracer la ligne dans laquelle ils doivent
+tous se trouver. Et Pappus dit que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes
+droites données, c'est en une des trois sections coniques; mais il n'entreprend
+point de la déterminer ni de la décrire, non plus que d'expliquer
+celles où tous ces points se doivent trouver, lorsque la question est proposée
+en un plus grand nombre de lignes. Seulement il ajoute que les anciens en
+avoient imaginé une qu'ils montroient y être utile, mais qui sembloit la
+plus manifeste, et qui n'étoit pas toutefois la première. Ce qui m'a donné
+occasion d'essayer si, par la méthode dont je me sers, on peut aller aussi
+loin qu'ils ont été.
+
+Et\label{cont7}\mymarginpar{Réponse à la question de Pappus.}
+premièrement j'ai connu que cette question n'étant proposée qu'en
+trois, ou quatre, ou cinq lignes, on peut toujours trouver les points cherchés
+par la géométrie simple, c'est-à-dire en ne se servant que de la règle et du
+compas, ni ne faisant autre chose que ce qui a déjà été dit; excepté seulement
+lorsqu'il y a cinq lignes données, si elles sont toutes parallèles: auquel cas,
+% [File: 020.png Page: 10]
+comme aussi lorsque la question est proposée en 6, ou 7, ou 8, ou 9 lignes,
+on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie des solides,
+c'est-à-dire en y employant quelqu'une des trois sections coniques; excepté
+seulement lorsqu'il y a neuf lignes données, si elles sont toutes parallèles:
+auquel cas, derechef, et encore en 10, 11, 12 ou 13 lignes, on peut trouver
+les points cherchés par le moyen d'une ligne courbe qui soit d'un degré
+plus composée que les sections coniques; excepté en treize, si elles sont
+toutes parallèles: auquel cas, et en 14, 15, 16 et 17, il y faudra employer
+une ligne courbe encore d'un degré plus composée que la précédente, et
+ainsi à l'infini.
+
+Puis j'ai trouvé aussi que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes
+données, les points cherchés se rencontrent tous, non seulement en l'une
+des trois sections coniques, mais quelquefois aussi en la circonférence d'un
+cercle ou en une ligne droite; et que lorsqu'il y en a cinq, ou six, ou sept,
+ou huit, tous ces points se rencontrent en quelqu'une des lignes qui sont
+d'un degré plus composées que les sections coniques, et il est impossible
+d'en imaginer aucune qui ne soit utile à cette question; mais ils peuvent
+aussi derechef se rencontrer en une section conique, ou en un cercle, ou en
+une ligne droite. Et s'il y en a 9, ou 10, ou 11, ou 12, ces points se
+rencontrent en une ligne qui ne peut être que d'un degré plus composée
+que les précédentes; mais toutes celles qui sont d'un degré plus composées
+y peuvent servir, et ainsi à l'infini.
+
+Au reste, la première et la plus simple de toutes, après les sections
+coniques, est celle qu'on peut décrire par l'intersection d'une parabole et
+d'une ligne droite, en la façon qui sera tantôt expliquée. En sorte que je
+pense avoir entièrement satisfait à ce que Pappus nous dit avoir été cherché
+en ceci par les anciens; et je tâcherai d'en mettre la démonstration en peu
+de mots, car il m'ennuie déjà d'en tant écrire.
+
+Soient \textit{(fig.~5)} $A\:B$, $A\:D$, $E\:F$, $G\:H$, etc., plusieurs lignes données par
+position, et qu'il faille trouver un point, comme $C$, duquel ayant tiré d'autres
+lignes droites sur les données, comme $C\:B$, $C\:D$, $C\:F$ et $C\:H$, en sorte que
+les angles $C\:B\:A$, $C\:D\:A$, $C\:F\:E$, $C\:H\:G$, etc., soient donnés, et que ce qui
+est produit par la multiplication d'une partie de ces lignes soit égal à
+ce qui est produit par la multiplication des autres, ou bien qu'ils aient
+% [File: 021.png Page: 11]
+quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la question plus
+difficile.
+
+Premièrement,\label{cont8}\mymarginpar{Comment on
+doit poser les
+termes pour
+venir à l'équation
+de cet
+exemple.}
+je suppose la chose comme déjà faite, et pour me démêler
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 5.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f005.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+de la confusion de toutes ces lignes je considère l'une des données, et l'une
+de celles qu'il faut trouver, par exemple $A\:B$ et $C\:B$, comme les principales
+et auxquelles je tâche de rapporter ainsi toutes les autres. Que le segment
+de la ligne $A\:B$, qui est entre les points $A$ et $B$, soit nommé $x$; et que $B\:C$
+soit nommé $y$; et que toutes les autres lignes données soient prolongées
+jusques à ce qu'elles coupent ces deux aussi prolongées, s'il est besoin, et si
+elles ne leur sont point parallèles; comme vous voyez ici qu'elles coupent la
+ligne $A\:B$ aux points $A$, $E$, $G$, et $B\:C$ aux points $R$, $S$, $T$. Puis à cause que
+tous les angles du triangle $A\:R\:B$ sont donnés, la proportion qui est entre
+les côtés $A\:B$ et $B\:R$ est aussi donnée, et je la pose comme de $z$ à $b$, de façon
+que $A\:B$ \textit{(fig.~6)} étant $x$, $B\:R$ sera $\dfrac{bx}{z}$, et la toute $C\:R$ sera $y+\dfrac{bx}{z}$, à cause
+que le point $B$ tombe entre $C$ et $R$; car si $R$ tomboit entre $C$ et $B$, $C\:R$ seroit
+$y-\dfrac{bx}{z}$; et si $C$ tomboit entre $B$ et $R$, $C\:R$ seroit $-y+\dfrac{bx}{z}$. Tout de
+même les trois angles du triangle $D\:R\:C$ sont donnés, et par conséquent
+aussi la proportion qui est entre les côtés $C\:R$ et $C\:D$, que je pose comme
+de $z$ à $c$, de façon que $C\:R$ étant $y+\dfrac{bx}{z}$, $C\:D$ sera $\dfrac{cy}{z}+\dfrac{bcx}{z^2}$. Après cela,
+pourceque les lignes $A\:B$, $A\:D$ et $E\:F$ sont données par position, la distance
+qui est entre les points $A$ et $E$ est aussi donnée, et si on la nomme $k$, on
+aura $E\:B$ égal à $k+x$; mais ce seroit $k-x$ si le point $B$ tomboit entre $E$
+% [File: 022.png Page: 12]
+et $A$; et $-k + x$ si $E$ tomboit entre $A$ et $B$. Et pourceque les angles du
+triangle $E\:S\:B$ sont tous donnés, la proportion de $B\:E$ à $B\:S$ est aussi donnée,
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 6.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f006.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+et je la pose comme de $z$ à $d$, si bien que $B\:S$ est $\dfrac{dk+dx}{z}$, et la toute $C\:S$
+est $\dfrac{zy+dk+dx}{z}$; mais ce seroit $\dfrac{zy-dk-dx}{z}$, si le point $S$ tomboit
+entre $B$ et $C$; et ce seroit $\dfrac{-zy+dk+dx}{z}$, si $C$ tomboit entre $B$ et $S$. De
+plus les trois angles du triangle $F\:S\:C$ sont donnés, et ensuite la proportion
+de $C\:S$ à $C\:F$, qui soit comme de $z$ à $e$, et la toute $C\:F$ sera $\dfrac{ezy+dek+dex}{z^2}$.
+En même façon $A\:G$ que je nomme $l$ est donnée, et $B\:G$ est $l-x$, et à cause
+du triangle $B\:G\:T$, la proportion de $B\:G$ à $B\:T$ est aussi donnée, qui soit
+comme de $z$ à $f$, et $B\:T$ sera $\dfrac{fl-fx}{z}$, et $C\:T = \dfrac{zy+fl-fx}{z}$. Puis
+derechef la proportion de $C\:T$ à $C\:H$ est donnée à cause du triangle $T\:C\:H$, et
+la posant comme de $z$ à $g$, on aura $C\:H = \dfrac{gzy+fgl-fgx}{z^2}$.
+
+Et ainsi vous voyez qu'en tel nombre de lignes données par position qu'on
+puisse avoir, toutes les lignes tirées dessus du point $C$ à angles donnés,
+suivant la teneur de la question, se peuvent toujours exprimer chacune par
+trois termes, dont l'un est composé de la quantité inconnue $y$, multipliée ou
+divisée par quelque autre connue; et l'autre de la quantité inconnue $x$,
+aussi multipliée ou divisée par quelque autre connue; et le troisième d'une
+quantité toute connue; excepté seulement si elles sont parallèles, ou bien à
+% [File: 023.png Page: 13]
+la ligne $A\:B$, auquel cas le terme composé de la quantité $x$ sera nul; ou
+bien à la ligne $C\:B$, auquel cas celui qui est composé de la quantité $y$ sera
+nul, ainsi qu'il est trop manifeste pour que je m'arrête à l'expliquer. Et
+pour les signes $+$ et $-$ qui se joignent à ces termes, ils peuvent être
+changés en toutes les façons imaginables.
+
+Puis vous voyez aussi que, multipliant plusieurs de ces lignes l'une par
+l'autre, les quantités $x$ et $y$ qui se trouvent dans le produit n'y peuvent
+avoir que chacune autant de dimensions qu'il y a eu de lignes à l'explication
+desquelles elles servent, qui ont été ainsi multipliées; en sorte qu'elles
+n'auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera produit que par
+la multiplication de deux lignes; ni plus de trois, en ce qui ne sera produit
+que par la multiplication de trois, et ainsi à l'infini.
+
+
+De\label{cont9}\mymarginpar{Comment on
+trouve que
+ce problème
+est plan,
+lorsqu'il n'est
+point proposé
+en plus de
+cinq lignes.}
+plus, à cause que pour déterminer le point $C$, il n'y a qu'une seule
+condition qui soit requise, à savoir que ce qui est produit par la multiplication
+d'un certain nombre de ces lignes soit égal, ou, ce qui n'est de rien plus
+malaisé, ait la proportion donnée à ce qui est produit par la multiplication
+des autres; on peut prendre à discrétion l'une des deux quantités inconnues
+$x$ ou $y$, et chercher l'autre par cette équation, en laquelle il est évident que,
+lorsque la question n'est point posée en plus de cinq lignes, la quantité $x$,
+qui ne sert point à l'expression de la première, peut toujours n'y avoir que
+deux dimensions; de façon que, prenant une quantité connue pour $y$, il ne
+restera que $x^2 = +$ ou $-\:ax$ $+$ ou $-\:b^2$; et ainsi on pourra trouver la
+quantité $x$ avec la règle et le compas, en la façon tantôt expliquée. Même,
+prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne $y$, on en
+trouvera aussi infinies pour la ligne $x$, et ainsi on aura une infinité de
+divers points, tels que celui qui est marqué $C$, par le moyen desquels on
+décrira la ligne courbe demandée.
+
+Il se peut faire aussi, la question étant proposée en six ou plus grand
+nombre de lignes, s'il y en a entre les données qui soient parallèles à $A\:B$
+ou $B\:C$, que l'une des deux quantités $x$ ou $y$ n'ait que deux dimensions en
+l'équation, et ainsi qu'on puisse trouver le point $C$ avec la règle et le compas.
+Mais au contraire si elles sont toutes parallèles, encore que la question ne
+soit proposée qu'en cinq lignes, ce point $C$ ne pourra ainsi être trouvé, à
+cause que la quantité $x$ ne se trouvant point en toute l'équation, il ne sera
+% [File: 024.png Page: 14]
+plus permis de prendre une quantité connue pour celle qui est nommée $y$,
+mais ce sera celle qu'il faudra chercher. Et pourcequ'elle aura trois dimensions,
+on ne le pourra trouver qu'en tirant la racine d'une équation cubique,
+ce qui ne se peut généralement faire sans qu'on y emploie pour le moins
+une section conique. Et encore qu'il y ait jusques à neuf lignes données,
+pourvu qu'elles ne soient point toutes parallèles, on peut toujours faire que
+l'équation ne monte que jusques au carré de carré; au moyen de quoi on
+la peut aussi toujours résoudre par les sections coniques, en la façon que
+j'expliquerai ci-après. Et encore qu'il y en ait jusques à treize, on peut
+toujours faire qu'elle ne monte que jusques au carré de cube; ensuite de
+quoi on la peut résoudre par le moyen d'une ligne, qui n'est que d'un degré
+plus composée que les sections coniques, en la façon que j'expliquerai aussi
+ci-après. Et ceci est la première partie de ce que j'avois ici à démontrer;
+mais avant que je passe à la seconde, il est besoin que je dise quelque chose
+en général de la nature des lignes courbes.
+% [File: 025.png Page: 15]
+
+
+
+\newpage
+\begin{center}
+{\LARGE LIVRE SECOND}
+
+\vspace{0.25in}
+
+DE LA NATURE DES LIGNES COURBES.
+
+\vspace{0.2in}
+
+\end{center}
+
+
+Les\label{cont10}\mymarginpar{Quelles sont
+les lignes
+courbes qu'on
+peut recevoir
+en géo\-mé\-trie.}
+anciens ont fort bien remarqué qu'entre les problèmes de géo\-mé\-trie,
+les uns sont plans, les autres solides et les autres linéaires, c'est-à-dire que
+les uns peuvent être construits en ne traçant que des lignes droites et des
+cercles; au lieu que les autres ne le peuvent être, qu'on n'y emploie pour
+le moins quelque section conique; ni enfin les autres, qu'on n'y emploie
+quelque autre ligne plus composée. Mais je m'étonne de ce qu'ils n'ont point
+outre cela distingué divers degrés entre ces lignes plus composées, et je ne
+saurois comprendre pourquoi ils les ont nommées mécaniques plutôt que
+géométriques. Car de dire que c'ait été à cause qu'il est besoin de se servir
+de quelque machine pour les décrire, il faudroit rejeter par même raison les
+cercles et les lignes droites, vu qu'on ne les décrit sur le papier qu'avec un
+compas et une règle, qu'on peut aussi nommer des machines. Ce n'est pas
+non plus à cause que les instruments qui servent à les tracer, étant plus
+composés que la règle et le compas, ne peuvent être si justes; car il faudroit
+pour cette raison les rejeter des mécaniques, où la justesse des ouvrages qui
+sortent de la main est désirée, plutôt que de la géométrie, où c'est seulement
+la justesse du raisonnement qu'on recherche, et qui peut sans doute être
+aussi parfaite touchant ces lignes que touchant les autres. Je ne dirai pas
+aussi que ce soit à cause qu'ils n'ont pas voulu augmenter le nombre de
+leurs demandes, et qu'ils se sont contentés qu'on leur accordât qu'ils pussent
+joindre deux points donnés par une ligne droite, et décrire un cercle d'un
+centre donné qui passât par un point donné; car ils n'ont point fait de
+% [File: 026.png Page: 16]
+scrupule de supposer outre cela, pour traiter des sections coniques, qu'on
+pût couper tout cône donné par un plan donné. Et il n'est besoin de rien
+supposer pour tracer toutes les lignes courbes que je prétends ici d'introduire,
+sinon que deux ou plusieurs lignes puissent être mues l'une par
+l'autre, et que leurs intersections en marquent d'autres; ce qui ne me
+paroît en rien plus difficile. Il est vrai qu'ils n'ont pas aussi entièrement
+reçu les sections coniques en leur géométrie, et je ne veux pas entreprendre
+de changer les noms qui ont été approuvés par l'usage; mais il est, ce me
+semble, très clair que, prenant comme on fait pour géométrique ce qui est
+précis et exact, et pour mécanique ce qui ne l'est pas, et considérant la
+géométrie comme une science qui enseigne généralement à connoître les
+mesures de tous les corps, on n'en doit pas plutôt exclure les lignes les plus
+composées que les plus simples, pourvu qu'on les puisse imaginer être
+décrites par un mouvement continu, ou par plusieurs qui s'entre-suivent,
+et dont les derniers soient entièrement réglés par ceux qui les précèdent;
+car par ce moyen on peut toujours avoir une connoissance exacte de leur
+mesure. Mais peut-être que ce qui a empêché les anciens géomètres de
+recevoir celles qui étoient plus composées que les sections coniques, c'est
+que les premières qu'ils ont considérées, ayant par hasard été la spirale, la
+quadratrice et semblables, qui n'appartiennent véritablement qu'aux mécaniques,
+et ne sont point du nombre de celles que je pense devoir ici être
+reçues, à cause qu'on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et
+qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement; bien
+qu'ils aient après examiné la conchoïde, la cissoïde, et quelque peu d'autres
+qui en sont, toutefois à cause qu'ils n'ont peut-être pas assez remarqué leurs
+propriétés, ils n'en ont pas fait plus d'état que des premières; ou bien c'est
+que, voyant qu'ils ne connoissoient encore que peu de choses touchant les
+sections coniques, et qu'il leur en restait même beaucoup, touchant ce qui
+se peut faire avec la règle et le compas, qu'ils ignoroient, ils ont cru ne
+devoir point entamer de matière plus difficile. Mais pourceque j'espère que
+dorénavant ceux qui auront l'adresse de se servir du calcul géométrique ici
+proposé, ne trouveront pas assez de quoi s'arrêter touchant les problèmes
+plans ou solides, je crois qu'il est à propos que je les invite à d'autres
+recherches, où ils ne manqueront jamais d'exercice.
+% [File: 027.png Page: 17]
+
+Voyez les lignes $A\:B$, $A\:D$, $A\:F$ et semblables \textit{(fig.~7)}, que je suppose avoir
+été décrites par l'aide de l'instrument $Y\:Z$, qui est composé de plusieurs
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 7.}} \\ \includegraphics*[width=2.5in]{images/f007.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+règles tellement jointes que celle qui est marquée $Y\:Z$ étant arrêtée sur la
+ligne $A\:N$, on peut ouvrir et fermer l'angle $X\:Y\:Z$, et que lorsqu'il est tout
+fermé, les points $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ sont tous assemblés au point $A$; mais
+qu'à mesure qu'on l'ouvre, la règle $B\:C$, qui est jointe à angles droits avec $X\:Y$
+au point $B$, pousse vers $Z$ la règle $C\:D$, qui coule sur $Y\:Z$ en faisant toujours
+des angles droits avec elle; et $C\:D$ pousse $D\:E$, qui coule tout de même sur $Y\:X$
+en demeurant parallèle à $B\:C$; $D\:E$ pousse $E\:F$, $E\:F$ pousse $F\:G$, celle-ci
+pousse $G\:H$, et on en peut concevoir une infinité d'autres qui se poussent
+consécutivement en même façon, et dont les unes fassent toujours les mêmes
+angles avec $Y\:X$ et les autres avec $Y\:Z$. Or, pendant qu'on ouvre ainsi
+l'angle $X\:Y\:Z$, le point $B$ décrit la ligne $A\:B$, qui est un cercle; et les autres
+points $D$, $F$, $H$, où se font les intersections des autres règles, décrivent
+d'autres lignes courbes $A\:D$, $A\:F$, $A\:H$, dont les dernières sont par ordre plus
+composées que la première, et celle-ci plus que le cercle; mais je ne vois pas
+ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive aussi nettement et aussi distinctement
+la description de cette première que du cercle, ou du moins que des
+sections coniques; ni ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive la seconde, et
+la troisième, et toutes les autres qu'on peut décrire, aussi bien que la
+première; ni par conséquent qu'on ne les reçoive toutes en même façon
+pour servir aux spéculations de géométrie.
+
+
+Je\label{cont11}\mymarginpar{La façon de distinguer toutes les
+lignes courbe
+en certains
+genres, et de
+connoître le
+rapport
+qu'ont tous
+leurs points à
+ceux des
+lignes droites.}
+pourrois mettre ici plusieurs autres moyens pour tracer et concevoir
+des lignes courbes qui seroient de plus en plus composées par degrés à
+l'infini; mais pour comprendre ensemble toutes celles qui sont en la nature,
+% [File: 028.png Page: 18]
+et les distinguer par ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur
+que de dire que tous les points de celles qu'on peut nommer géométriques,
+c'est-à-dire qui tombent sous quelque mesure précise et exacte, ont
+nécessairement quelque rapport à tous les points d'une ligne droite, qui
+peut être exprimée par quelque équation, en tous par une même; et que,
+lorsque cette équation ne monte que jusqu'au rectangle de deux quantités
+indéterminées, ou bien au carré d'une même, la ligne courbe est du
+premier et plus simple genre, dans lequel il n'y a que le cercle, la parabole,
+l'hyperbole et l'ellipse qui soient comprises; mais que lorsque l'équation
+monte jusqu'à la troisième ou quatrième dimension des deux, ou de l'une
+des deux quantités indéterminées (car il en faut deux pour expliquer ici le
+rapport d'un point à un autre), elle est du second; et que lorsque l'équation
+monte jusqu'à la cinquième ou sixième dimension, elle est du troisième;
+et ainsi des autres à l'infini.
+\label{fig8}Comme si je veux savoir de quel genre est la ligne $E\:C$ \textit{(fig.~8)}, que
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 8.}} \\ \includegraphics*[width=1.4in]{images/f008.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+j'imagine être décrite par l'intersection de la règle $G\:L$ et du plan rectiligne
+$C\:N\:K\:L$, dont le côté $K\:N$ est indéfiniment prolongé vers $C$, et qui, étant mu
+sur le plan de dessous en ligne droite, c'est-à-dire en telle sorte que son
+diamètre $K\:L$ se trouve toujours appliqué sur quelque endroit de la ligne $B\:A$
+prolongée de part et d'autre, fait mouvoir circulairement cette règle $G\:L$
+autour du point $G$, à cause qu'elle lui est tellement jointe qu'elle passe
+toujours par le point $L$. Je choisis une ligne droite comme $A\:B$, pour
+rapporter à ses divers points tous ceux de cette ligne courbe $E\:C$; et en cette
+ligne $A\:B$ je choisis un point comme $A$, pour commencer par lui ce
+% [File: 029.png Page: 19]
+calcul. Je dis que je choisis et l'un et l'autre, à cause qu'il est libre de
+les prendre tels qu'on veut; car encore qu'il y ait beaucoup de choix
+pour rendre l'équation plus courte et plus aisée, toutefois en quelle façon
+qu'on les prenne, on peut toujours faire que la ligne paroisse de même
+genre, ainsi qu'il est aisé à démontrer. Après cela prenant un point à
+discrétion dans la courbe, comme $C$, sur lequel je suppose que l'instrument
+qui sert à la décrire est appliqué, je tire de ce point $C$ la ligne $C\:B$
+parallèle à $G\:A$, et pourceque $C\:B$ et $B\:A$ sont deux quantités indéterminées
+et inconnues, je les nomme l'une $y$ et l'autre $x$; mais afin de
+trouver le rapport de l'une à l'autre, je considère aussi les quantités connues
+qui déterminent la description de cette ligne courbe, comme $G\:A$,
+que je nomme $a$, $K\:L$ que je nomme $b$, et $N\:L$, parallèle à $G\:A$, que je
+nomme $c$; puis je dis, comme $N\:L$ est à $L\:K$, ou $c$ à $b$, ainsi $C\:B$ ou $y$ est à $B\:K$,
+qui est par conséquent $\dfrac{b}{c}y$: et $B\:L$ est $\dfrac{b}{c}y-b$, et $A\:L$ est $x+\dfrac{b}{c}y-b$.
+De plus, comme $C\:B$ est à $L\:B$, ou $y$ à $\dfrac{b}{c}y-b$, ainsi $A\:G$ ou $a$ est à $L\:A$
+ou $x+\dfrac{b}{c}y-b$; de façon que, multipliant la seconde par la troisième,
+on produit $\dfrac{ab}{c}y-ab$ qui est égale à $xy+\dfrac{b}{c}y^2-by$, qui se produit
+en multipliant la première par la dernière: et ainsi l'équation qu'il falloit
+trouver est
+\[
+y^2 = cy- \frac{cx}{b} y + ay - ac,
+\]
+de laquelle on connoît que la ligne $E\:G$ est du premier genre, comme en
+effet elle n'est autre qu'une hyperbole.
+
+Que si, en l'instrument qui sert à la décrire, on fait qu'au lieu de la ligne
+droite $C\:N\:K$, ce soit cette hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du
+premier genre, qui termine le plan $C\:N\:K\:L$, l'intersection de cette ligne et
+de la règle $G\:L$ décrira, au lieu de l'hyperbole $E\:C$, une autre ligne courbe
+qui sera d'un second genre. Comme si $C\:N\:K$ est un cercle dont $L$ soit le
+centre, on décrira la première conchoïde des anciens; et si c'est une parabole
+dont le diamètre soit $K\:B$, on décrira la ligne courbe que j'ai tantôt dit être
+% [File: 030.png Page: 20]
+la première et la plus simple pour la question de Pappus, lorsqu'il n'y a
+que cinq lignes droites données par position; mais si au lieu d'une de ces
+lignes courbes du premier genre, c'en est une du second qui termine le
+plan $C\:N\:K\:L$, on en décrira, par son moyen, une du troisième, ou si c'en est
+une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l'infini, comme
+il est fort aisé à connoître par le calcul. Et en quelque autre façon qu'on
+imagine la description d'une ligne courbe, pourvu qu'elle soit du nombre
+de celles que je nomme géométriques, on pourra toujours trouver une
+équation pour déterminer tous ses points en cette sorte.
+
+Au reste, je mets les lignes courbes qui font monter cette équation
+jusqu'au carré, au même genre que celles qui ne la font monter que jusqu'au
+cube; et celles dont l'équation monte au carré de cube, au même genre
+que celles dont elle ne monte qu'au sursolide, et ainsi des autres: dont
+la raison est qu'il y a règle générale pour réduire au cube toutes les
+difficultés qui vont au carré de carré, et au sursolide toutes celles qui
+vont au carré de cube; de façon qu'on ne les doit point estimer plus
+composées.
+
+Mais il est à remarquer qu'entre les lignes de chaque genre, encore que
+la plupart soient également composées, en sorte qu'elles peuvent servir à
+déterminer les mêmes points et construire les mêmes problèmes, il y en a
+toutefois aussi quelques unes qui sont plus simples, et qui n'ont pas tant
+d'étendue en leur puissance; comme entre celles du premier genre, outre
+l'ellipse, l'hyperbole et la parabole, qui sont également composées, le cercle
+y est aussi compris, qui manifestement est plus simple; et entre celles du
+second genre, il y a la conchoïde vulgaire, qui a son origine du cercle; et il
+y en a encore quelques autres qui, bien qu'elles n'aient pas tant d'étendue
+que la plupart de celles du même genre, ne peuvent toutefois être mises
+dans le premier.
+
+Or,\label{cont12}\mymarginpar{Suite de l'explication
+de la
+question de
+Pappus, mise
+au livre
+précédent.}
+après avoir ainsi réduit toutes les lignes courbes à certains genres, il
+m'est aisé de poursuivre en la démonstration de la réponse que j'ai tantôt
+faite à la question de Pappus; car premièrement, ayant fait voir ci-dessus
+que, lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, l'équation
+qui sert à déterminer les points cherchés ne monte que jusqu'au carré, il
+est évident que la ligne courbe où se trouvent ces points est nécessairement
+% [File: 031.png Page: 21]
+quelqu'une de celles du premier genre, à cause que cette même équation
+explique le rapport qu'ont tous les points des lignes du premier genre à
+ceux d'une ligne droite; et que lorsqu'il n'y a point plus de huit lignes
+droites données, cette équation ne monte que jusqu'au carré de carré tout
+au plus, et que par conséquent la ligne cherchée ne peut être que du second
+genre, ou au-dessous; et que lorsqu'il n'y a point plus de douze lignes
+données, l'équation ne monte que jusqu'au carré de cube, et que par
+conséquent la ligne cherchée n'est que du troisième genre, ou au-dessous;
+et ainsi des autres. Et même à cause que la position des lignes droites
+données peut varier en toutes sortes, et par conséquent faire changer tant
+les quantités connues que les signes $+$ et $-$ de l'équation, en toutes les
+façons imaginables, il est évident qu'il n'y a aucune ligne courbe du premier
+genre qui ne soit utile à cette question, quand elle est proposée en quatre
+lignes droites; ni aucune du second qui n'y soit utile, quand elle est proposée
+en huit; ni du troisième, quand elle est proposée en douze; et ainsi des
+autres: en sorte qu'il n'y a pas une ligne courbe qui tombe sous le calcul
+et puisse être reçue en géométrie, qui n'y soit utile pour quelque nombre
+de lignes.
+
+Mais\label{cont13}\mymarginpar{Solution de
+cette question
+quand elle
+n'est proposée
+qu'en trois ou
+quatre lignes.}
+il faut ici plus particulièrement que je détermine et donne la façon
+de trouver la ligne cherchée qui sert en chaque cas, lorsqu'il n'y a que trois
+ou quatre lignes droites données; et on verra, par même moyen, que le
+premier genre des lignes courbes n'en contient aucunes autres que les trois
+sections coniques et le cercle.
+
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 9.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f009.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Reprenons les quatre lignes $A\:B$, $A\:D$, $E\:F$ et $G\:H$ \textit{(fig.~9)} données ci-dessus, %*
+% [File: 032.png Page: 22]
+et qu'il faille trouver une autre ligne en laquelle il se rencontre une infinité
+de points tels que $C$, duquel ayant tiré les quatre lignes $C\:B$, $C\:D$, $C\:F$ et $C\:H$,
+à angles donnés sur les données, $C\:B$ multipliée par $C\:F$ produit une somme
+égale à $C\:D$ multipliée par $C\:H$; c'est-à-dire, ayant fait
+\begin{gather*}
+C\:B = y, \quad C\:D = \frac{czy + bcx}{z^2},
+  \quad C\:F = \frac{ezy + dek + dex}{z^2},\\
+\text{et} \quad C\:H = \frac{gzy + fgl - fgx}{z^2},
+\end{gather*}
+l'équation est\footnote{%
+Les termes contenus entre deux parenthèses sont placés l'un sous l'autre dans les anciennes
+éditions, comme, par exemple, $\left.\begin{array}{l}-dekz^2\\+cfglz\\ \end{array}\right\}y$.}
+\[
+y^2 = \frac{(cfglz - dckz^2)y - (dez^2 + cfgz - bcgz)xy + bcfglx - bcfgx^2}{ez^3 - cgz^2}.
+\]
+au moins en supposant $ez$ plus grand que $cg$, car s'il étoit moindre il
+faudroit changer tous les signes $+$ et $-$. Et si la quantité $y$ se trouvoit
+nulle ou moindre que rien en cette équation, lorsqu'on a supposé le point $C$
+en l'angle $D\:A\:G$, il faudroit le supposer aussi en l'angle $D\:A\:E$, ou $E\:A\:R$,
+ou $R\:A\:G$, en changeant les signes $+$ et $-$ selon qu'il serait requis à cet
+effet. Et si en toutes ces quatre positions la valeur de $y$ se trouvoit nulle,
+la question seroit impossible au cas proposé. Mais supposons-la ici être
+possible, et pour en abréger les termes, au lieu des quantités $\dfrac{cfglz-dekz^2}{ez^3-cgz^2}$,
+écrivons $2m$; et au lieu de $\dfrac{dez^2+cfgz-bcgz}{ez^3-cgz^2}$, écrivons $\dfrac{2n}{z}$; et ainsi nous
+aurons
+\[
+y^2 = 2my - \frac{2n}{z}xy + \frac{bcfglx - bcfgx^2}{ez^3-cgz^2},
+\]
+dont la racine est
+\[
+y = m - \frac{nx}{z} + \sqrt{ m^2 - \frac{2mnx}{z} + \frac{n^2x^2}{z^2} +
+    \frac{bcfglx - bcfgx^2}{ez^3 - cgz^2}};
+\]
+et de rechef  pour abréger, au lieu de $-\dfrac{2mn}{z}+\dfrac{bcfgl}{ez^3-cgz^2}$, écrivons $o$;
+% [File: 033.png Page: 23]
+et au lieu de $\dfrac{n^2}{z^2}-\dfrac{bcfg}{ez^2 -cgz^2}$, écrivons $\dfrac{p}{m}$; car ces quantités étant toutes
+données, nous les pouvons nommer comme il nous plaît: et ainsi nous
+avons
+\[
+y=m-\frac{n}{z}x + \sqrt{m^2+ox + \frac{p}{m}x^2},
+\]
+qui doit être la longueur de la ligne $B\:C$, en laissant $A\:B$ ou $x$ indéterminée.
+Et il est évident que la question n'étant proposée qu'en trois ou quatre
+lignes, on peut toujours avoir de tels termes, excepté que quelques uns
+d'eux peuvent être nuls, et que les signes + et - peuvent diversement
+être changés.
+
+Après cela je fais $K\:I$ égale et parallèle à $B\:A$, en sorte qu'elle coupe de
+$B\:C$ la partie $B\:K$ égale à $m$, à cause qu'il y a ici $+m$; et je l'aurois ajoutée
+en tirant cette ligne $I\:K$ de l'autre côté, s'il y avoit eu $-m$; et je ne l'aurois
+point du tout tirée, si la quantité $m$ eût été nulle. Puis je tire aussi $I\:L$, en
+sorte que la ligne $I\:K$ est à $K\:L$ comme $z$ est à $n$; c'est-à-dire que $I\:K$ étant $x$,
+$K\:L$ est $\dfrac{n}{z}x$. Et par même moyen je connois aussi la proportion qui est
+entre $K\:L$ et $I\:L$, que je pose comme entre $n$ et $a$: si bien que $K\:L$
+étant $\dfrac{n}{z}x$, $I\:L$ est $\dfrac{a}{z}x$. Et je fais que le point $K$ soit entre $L$ et $C$, à cause
+qu'il y a ici $-\dfrac{n}{z}x$; au lieu que j'aurois mis $L$ entre $K$ et $C$, si j'eusse
+eu $+\dfrac{n}{z}x$; et je n'eusse point tiré cette ligne $I\:L$, si $\dfrac{n}{z}x$ eût été nulle.
+
+Or, cela fait, il ne me reste plus pour la ligne $L\:C$ que ces termes
+\[
+LC=\sqrt{m^2 + ox + \dfrac{p}{m}x^2},
+\]
+d'où je vois que s'ils étoient nuls, ce point $C$ se trouveroit en la ligne
+droite $I\:L$; et que s'ils étoient tels que la racine s'en pût tirer, c'est-à-dire
+que $m^2$ et $\dfrac{p}{m}x^2$ étant marqués d'un même signe $+$ ou $-$, $o^2$ fût égal à
+% [File: 034.png Page: 24]
+$4 pm$, ou bien que les termes $m^2$ et $ox$, ou $ox$ et $\dfrac{p}{m}x^2$ fussent nuls, ce
+point $C$ se trouveroit en une autre ligne droite qui ne seroit pas plus
+malaisée à trouver que $I\:L$. Mais lorsque cela n'est pas, ce point $C$ est
+toujours en l'une des trois sections ou en un cercle dont l'un des
+diamètres est en la ligne $I\:L$, et la ligne $L\:C$ est l'une de celles qui s'appliquent
+par ordre à ce diamètre; ou au contraire $L\:C$ est parallèle au diamètre
+auquel celle qui est en la ligne $I\:L$ est appliquée par ordre; à savoir si le
+terme $\dfrac{p}{m}x^2$ est nul, cette section conique est une parabole; et s'il est marqué
+du signe $+$, c'est une hyperbole; et enfin s'il est marqué du signe $-$,
+c'est une ellipse, excepté seulement si la quantité $a^2m$ est égale à $pz^2$, et
+que l'angle $I\:L\:C$ soit droit, auquel cas on a un cercle au lieu d'une ellipse.
+Que si cette section est une parabole, son côté droit est égal à $\dfrac{oz}{a}$, et son
+diamètre est toujours en la ligne $I\:L$; et pour trouver le point $N$, qui en est
+le sommet, il faut faire $I\:N$ égale à $\dfrac{am^2}{oz}$; et que le point $I$ soit entre $L$ et $N$,
+si les termes sont ${}+ m^2 + ox$; ou bien que le point $L$ soit entre $I$ et $N$,
+s'ils sont ${}+ m^2 - ox$; ou bien il faudroit que $N$ fût entre $I$ et $L$, s'il y
+avoit ${}- m^2 + ox$. Mais il ne peut jamais y avoir ${}- m^2$, en la façon que
+les termes ont ici été posés. Et enfin le point $N$ seroit le même que le
+point $I$ si la quantité $m^2$ étoit nulle; au moyen de quoi il est aisé de trouver
+cette parabole par le premier problème du premier livre d'Apollonius.
+
+Que si la ligne demandée est un cercle, ou une ellipse, ou une hyperbole,
+il faut premièrement chercher le point $M$ qui en est le centre, et qui est
+toujours en la ligne droite $I\:L$; ou on le trouve en prenant $\dfrac{aom}{2pz}$ pour $I\:M$,
+en sorte que si la quantité $o$ est nulle, ce centre est justement au point $I$.
+Et si la ligne cherchée est un cercle ou une ellipse, on doit prendre le
+point $M$ du même côté que le point $L$, au respect du point $I$, lorsqu'on
+a ${}+ ox$; et lorsqu'on a ${}- ox$, on le doit prendre de l'autre. Mais tout au
+contraire, en l'hyperbole, si on a ${}- ox$, ce centre $M$ doit être vers $L$; et si
+on a ${}+ ox$, il doit être de l'autre côté. Après cela le côté droit de la figure
+% [File: 035.png Page: 25]
+doit être
+\[
+\sqrt{ \frac{o^2z^2}{a^2} + \frac{4mpz^2}{a^2}},
+\]
+lorsqu'on a ${}+ m^2$, et que la ligne cherchée est un cercle ou une ellipse; ou
+bien lorsqu'on a ${}-m^2$, et que c'est une hyperbole; et il doit être
+\[
+\sqrt{ \frac{o^2z^2}{a^2} - \frac{4mpz^2}{a^2}},
+\]
+si la ligne cherchée, étant un cercle ou une ellipse, on a ${}-m^2$; ou bien si
+étant une hyperbole, et la quantité $o^2$ étant plus grande que $4mp$, on a ${}+m^2$.
+Que si la quantité $m^2$ est nulle, ce côté droit est $\dfrac{oz}{a}$; et si $ox$ est nulle, il est
+\[
+\sqrt{ \frac{4mpz^2}{a^2} }.
+\]
+Puis, pour le côté traversant, il faut trouver une ligne qui soit à ce côté droit
+comme $a^2m$ est à $pz^2$; à savoir si ce côté droit est
+\[
+\sqrt{ \frac{o^2z^2}{a^2} + \frac{4mpz^2}{a^2}},
+\]
+le traversant est
+\[
+\sqrt{ \frac{a^2o^2m^2}{p^2z^2} + \frac{4a^2m^3}{pz^2}}.
+\]
+Et en tous ces cas le diamètre de la section est en la ligne $I\:M$, et $L\:C$ est
+l'une de celles qui lui est appliquée par ordre. Si bien que, faisant $M\:N$ égale
+à la moitié du côté traversant, et le prenant du même côté du point $M$ qu'est
+le point $L$, on a le point $N$ pour le sommet de ce diamètre; ensuite de quoi
+il est aisé de trouver la section par les second et troisième problèmes du
+premier livre d'Apollonius.
+
+Mais quand cette section étant une hyperbole, on a ${}+m^2$, et que la
+quantité $o^2$ est nulle ou plus petite que $4pm$, on doit tirer du centre $M$ la
+% [File: 036.png Page: 26]
+ligne $M\:O\:P$ parallèle à $L\:C$, et $C\:P$ parallèle à $L\:M$, et faire $M\:O$ égale à
+\[
+\sqrt{m^2 - \frac{o^2m}{4p}},
+\]
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 10.}} \\ \includegraphics*[width=2.5in]{images/f010.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+ou bien la faire égale à $m$ si la quantité $ox$ est nulle; puis considérer le
+point $O$ comme le sommet de cette hyperbole, dont le diamètre est $O\:P$,
+et $C\:P$ la ligne qui lui est appliquée par ordre, et son côté droit est
+\[
+\sqrt{\frac{4a^4m^4}{p^2z^4} - \frac{a^4o^2m^3}{p^3z^4}},
+\]
+et son côté traversant est
+\[
+\sqrt{4m^2 - \frac{o^2m}{p}};
+\]
+excepté quand $ox$ est nulle, car alors le côté droit est $\dfrac{2a^2m^2}{pz^2}$, et le traversant
+est $2m$; et ainsi il est aisé de la trouver par le troisième problème du
+premier livre d'Apollonius.
+
+Et\label{cont14}\mymarginpar{Démonstration
+de tout ce qui
+vient d'être
+expliqué.}
+les démonstrations de tout ceci sont évidentes; car composant un
+espace des quantités que j'ai assignées pour le côté droit, et le traversant,
+et pour le segment du diamètre $N\:L$ ou $O\:P$, suivant la teneur du 11\ieme,
+du 12\ieme et du 13\ieme théorème du premier livre d'Apollonius, on trouvera tous les
+mêmes termes dont est composé le carré de la ligne $C\:P$, ou $C\:L$, qui est
+appliquée par ordre à ce diamètre. Comme en cet exemple, ôtant $I\:M$ qui
+% [File: 037.png Page: 27]
+est $\dfrac{aom}{2pz}$, de $N\:M$ qui est
+\[
+  \frac{am}{2pz} \sqrt{o^2 + 4mp},
+\]
+j'ai $I\:N$, à laquelle ajoutant $I\:L$ qui est $\dfrac{a}{z}x$, j'ai $N\:L$ qui est
+\[
+  \frac{a}{z}x - \frac{aom}{2pz} + \frac{am}{2pz} \sqrt{ o^2+4mp };
+\]
+et ceci étant multiplié par $\dfrac{z}{a}\sqrt{o^2+4mp}$, qui est le côté droit de la figure,
+il vient
+\[
+  x\sqrt{ o^2+4mp } - \frac{om}{2p} \sqrt{ o^2+4mp } + \frac{mo^2}{2p} + 2m^2,
+\]
+pour le rectangle, duquel il faut ôter un espace qui soit au carré de $N\:L$
+comme le côté droit est au traversant, et ce carré de $N\:L$ est
+\begin{gather*}
+  \frac{a^2}{z^2} x^2 - \frac{a^2 om}{pz^2} x + \frac{a^2 m}{pz^2} x \sqrt{o^2+4mp }
+    + \frac{a^2 o^2 m^2}{2p^2 z^2} + \frac{a^2 m^3}{pz^2} \\
+  {}- \frac{a^2 om^2}{2p^2 z^2} \sqrt{o^2+4mp },
+\end{gather*}
+qu'il faut diviser par $a^2 m$ et multiplier par $pz^2$, à cause que ces termes
+expliquent la proportion qui est entre le côté traversant et le droit, et il
+vient
+\[
+  \frac{p}{m} x^2 - ox + x\sqrt{ o^2+4mp } + \frac{o^2 m}{2p} - \frac{om}{2p} \sqrt{ o^2+4mp } + m^2,
+\]
+ce qu'il faut ôter du rectangle précédent, et on trouve
+\[
+  m^2 + ox - \frac{p}{m} x^2
+\]
+pour le carré de $C\:L$, qui par conséquent est une ligne appliquée par ordre
+dans une ellipse, ou dans un cercle, au segment du diamètre $N\:L$.
+% [File: 038.png Page: 28]
+
+Et si on veut expliquer toutes les quantités données par nombres, en
+faisant par exemple $E\:A = 3$, $A\:G = 5$, $A\:B = B\:R$, $B\:S = \dfrac{1}{2} B\:E$, $G\:B
+= B\:T$, $C\:D =\dfrac{3}{2} C\:R$, $C\:F = 2C\:S$, $C\:H = \dfrac{2}{3} C\:T$, et que l'angle $A\:B\:R$ soit
+de 60~degrés, et enfin que le rectangle des deux $C\:B$ et $C\:F$ soit égal au
+rectangle des deux autres $C\:D$ et $C\:H$; car il faut avoir toutes ces choses afin
+que la question soit entièrement déterminée; et avec cela, supposant
+$A\:B = x$, et $C\:B = y$, on trouve par la façon ci-dessus expliquée.
+\begin{gather*}
+  y^2 = 2y - xy + 5x - x^2,\\
+  y   = 1 - \frac{1}{2} x + \sqrt{1+4x-\frac{3}{4}x^2},
+\end{gather*}
+si bien que $B\:K$ doit être 1, $K\:L$ doit être la moitié de $K\:I$; et pourceque
+l'angle $I\:K\:L$ ou $A\:B\:R$ est de 60~degrés, et $K\:I\:L$ qui est la moitié de $K\:I\:B$ ou
+$I\:K\:L$, de 30, $I\:L\:K$ est droit. Et pourceque $I\:K$ ou $A\:B$ est nommée $x$, $K\:L$
+est $\dfrac{1}{2} x$, et $I\:L$ est $x \sqrt{\dfrac{3}{4}}$, et la quantité qui étoit tantôt nommée $z$ est 1,
+celle qui étoit $a$ est $\sqrt{\dfrac{3}{4}}$, celle qui étoit $m$ est 1, celle qui étoit $o$ est 4, et
+celle qui étoit $p$ est $\dfrac{3}{4}$, de façon qu'on a $\sqrt{\dfrac{16}{3}}$ pour $I\:M$, et $\sqrt{\dfrac{19}{3}}$ pour $N\:M$;
+et pourceque $a^2m$, qui est $\dfrac{3}{4}$, est ici égal à $pz^2$, et que l'angle $I\:L\:C$ est droit,
+on trouve que la ligne courbe $N\:C$ est un cercle. Et on peut facilement
+examiner tous les autres cas en même sorte.
+
+Au\label{cont15}\mymarginpar{Quels sont les
+lieux plans et
+solides, et la
+façon de les
+trouver.}
+reste, à cause que les équations qui ne montent que jusqu'au carré
+sont toutes comprises en ce que je viens d'expliquer, non seulement le
+problème des anciens en trois et quatre lignes est ici entièrement achevé,
+mais aussi tout ce qui appartient à ce qu'ils nommoient la composition des
+lieux solides, et par conséquent aussi à celle des lieux plans, à cause qu'ils
+sont compris dans les solides: car ces lieux ne sont autre chose, sinon que,
+lorsqu'il est question de trouver quelque point auquel il manque une
+% [File: 039.png Page: 29]
+condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu'il arrive en cet exemple,
+tous les points d'une même ligne peuvent être pris pour celui qui est
+demandé: et si cette ligne est droite ou circulaire, on la nomme un lieu plan;
+mais si c'est une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme
+un lieu solide: et toutefois et quantes que cela est, on peut venir à une
+équation qui contient deux quantités inconnues, et est pareille à quelqu'une
+de celles que je viens de résoudre. Que si la ligne qui détermine ainsi le
+point cherché est d'un degré plus composée que les sections coniques, on la
+peut nommer, en même façon, un lieu sursolide, et ainsi des autres. Et s'il
+manque deux conditions à la détermination de ce point, le lieu où il se
+trouve est une superficie, laquelle peut être tout de même ou plate, ou
+sphérique, ou plus composée. Mais le plus haut but qu'aient eu les anciens
+en cette matière a été de parvenir à la composition des lieux solides; et il
+semble que tout ce qu'Apollonius a écrit des sections coniques n'a été qu'à
+dessein de la chercher.
+
+De plus, on voit ici que ce que j'ai pris pour le premier genre des lignes
+courbes n'en peut comprendre aucunes autres que le cercle, la parabole,
+l'hyperbole et l'ellipse, qui est tout ce que j'avois entrepris de prouver.
+
+Que\label{cont16}\mymarginpar{Quelle est la
+première et la
+plus simple
+de toutes les
+lignes courbes
+en la question
+des anciens
+quand elle est
+proposée en
+cinq lignes.}
+si la question des anciens est proposée en cinq lignes qui soient
+toutes parallèles, il est évident que le point cherché sera toujours en une
+ligne droite; mais si elle est proposée en cinq lignes, dont il y en ait quatre
+qui soient parallèles, et que la cinquième les coupe à angles droits, et même
+que toutes les lignes tirées du point cherché les rencontrent aussi à angles
+droits, et enfin que le parallélipipède composé de trois des lignes ainsi tirées
+sur trois de celles qui sont parallèles soit égal au parallélipipède composé
+des deux lignes tirées, l'une sur la quatrième de celles qui sont parallèles,
+et l'autre sur celle qui les coupe à angles droits, et d'une troisième ligne
+donnée, ce qui est, ce semble, le plus simple cas qu'on puisse imaginer
+après le précédent, le point cherché sera en la ligne courbe qui est décrite
+par le mouvement d'une parabole, en la façon ci-dessus expliquée.
+
+Soient par exemple les lignes données $A\:B$, $I\:H$, $E\:D$, $G\:F$, et $G\:A$ \textit{(fig.~11)},
+et qu'on demande le point $C$, en sorte que tirant $C\:B$, $C\:F$, $C\:D$, $C\:H$ et $C\:M$ à
+angles droits sur les données, le parallélipipède des trois $C\:F$, $C\:D$, $C\:H$ soit
+égal à celui des deux autres $C\:B$ et $C\:M$, et d'une troisième qui soit $A\:I$. Je
+% [File: 040.png Page: 30]
+pose $C\:B = y$, $C\:M = x$, $A\:I$ ou $A\:E$ ou $G\:E = a$; de façon que le point $C$
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 11.}} \\ \includegraphics*[width=1.9in]{images/f011.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+étant entre les lignes $A\:B$ et $D\:E$, j'ai $C\:F = 2a-y$, $C\:D = a-y$,
+et $C\:H = y + a$; et multipliant ces trois l'une par l'autre, j'ai $y^3-2ay^2
+-a^2 y + 2a^3$ égal au produit des trois autres, qui est $axy$. Après cela je
+considère la ligne courbe $C\:E\:G$, que j'imagine être décrite par l'intersection
+de la parabole $C\:K\:N$, qu'on fait mouvoir en telle sorte que son diamètre $K\:L$
+est toujours sur la ligne droite $A\:B$, et de la règle $G\:L$ qui tourne cependant
+autour du point $G$ en telle sorte qu'elle passe toujours dans le plan de cette
+parabole par le point $L$. Et je fais $K\:L = a$, et le côté droit principal, c'est-à-dire
+celui qui se rapporte à l'essieu de cette parabole, aussi égal à $a$,
+et $G\:A = 2a$, et $C\:B$ ou $M\:A = y$, et $C\:M$ ou $A\:B = x$. Puis à cause des
+triangles semblables $G\:M\:C$ et $C\:B\:L$, $G\:M$ qui est $2a-y$, est à $M\:C$ qui est $x$,
+comme $C\:B$ qui est $y$, est à $B\:L$ qui est par conséquent $\dfrac{xy}{2a-y}$. Et pourceque
+$K\:L$ est $a$, $B\:K$ est $a-\dfrac{xy}{2a-y}$, ou bien $\dfrac{2a^2-ay-xy}{2a-y}$. Et enfin
+pourceque ce même $B\:K$, étant un segment du diamètre de la parabole, est
+à $B\:C$ qui lui est appliquée par ordre, comme celle-ci est au côté droit qui
+est $a$, le calcul montre que $y^3 - 2ay^2 - a^2y + 2a^3$ est égal à $axy$; et
+par conséquent que le point $C$ est celui qui étoit demandé. Et il peut être
+pris en tel endroit de la ligne $C\:E\:G$ qu'on veuille choisir, ou aussi en son
+adjointe $c\:E\:G\:c$, qui se décrit en même façon, excepté que le sommet de la
+parabole est tourné vers l'autre côté, ou enfin en leurs contreposées $N\:I\:o$,
+% [File: 041.png Page: 31]
+$n\:I\:O$, qui sont décrites par l'intersection que fait la ligne $G\:L$ en l'autre côté
+de la parabole $K\:N$.
+
+Or encore que les parallèles données $A\:B$, $I\:H$, $E\:D$, et $G\:F$, ne fussent
+point également distantes, et que $G\:A$ ne les coupât point à angles droits, ni
+aussi les lignes tirées du point $C$ vers elles, ce point $C$ ne laisseroit pas de
+se trouver toujours en une ligne courbe qui seroit de même nature: et il s'y
+peut aussi trouver quelquefois, encore qu'aucune des lignes données ne soient
+parallèles. Mais si lorsqu'il y en a quatre ainsi parallèles, et une cinquième
+qui les traverse, et que le parallélipipède de trois des lignes tirées du point
+cherché, l'une sur cette cinquième, et les deux autres sur deux de celles qui
+sont parallèles, soit égal à celui des deux tirées sur les deux autres parallèles,
+et d'une autre ligne donnée: ce point cherché est en une ligne courbe d'une
+autre nature, à savoir en une qui est telle, que toutes les lignes droites
+appliquées par ordre à son diamètre étant égales à celles d'une section
+conique, les segments de ce diamètre qui sont entre le sommet et ces lignes
+ont même proportion à une certaine ligne donnée, que cette ligne donnée a
+aux segments du diamètre de la section conique, auxquels les pareilles lignes
+sont appliquées par ordre. Et je ne saurois véritablement dire que cette
+ligne soit moins simple que la précédente, laquelle j'ai cru toutefois devoir
+prendre pour la première, à cause que la description et le calcul en sont en
+quelque façon plus faciles.
+
+Pour les lignes qui servent aux autres cas, je ne m'arrêterai point à les
+distinguer par espèces, car je n'ai pas entrepris de dire tout; et, ayant
+expliqué la façon de trouver une infinité de points par où elles passent, je
+pense avoir assez donné le moyen de les décrire.
+
+Même\label{cont17}\mymarginpar{Quelles sont
+les lignes
+courbes qu'on
+décrit en trouvant
+plusieurs
+de leurs
+points, qui
+peuvent être
+reçues en
+géométrie.}
+il est à propos de remarquer qu'il y a grande différence entre cette
+façon de trouver plusieurs points pour tracer une ligne courbe, et celle dont
+on se sert pour la spirale et ses semblables; car par cette dernière on ne
+trouve pas indifféremment tous les points de la ligne qu'on cherche, mais
+seulement ceux qui peuvent être déterminés par quelque mesure plus simple
+que celle qui est requise pour la composer; et ainsi, à proprement parler,
+on ne trouve pas un de ses points, c'est-à-dire pas un de ceux qui lui sont
+tellement propres qu'ils ne puissent être trouvés que par elle; au lieu qu'il
+n'y a aucun point dans les lignes qui servent à la question proposée, qui ne
+% [File: 042.png Page: 32]
+se puisse rencontrer entre ceux qui se déterminent par la façon tantôt
+expliquée. Et pourceque cette façon de tracer une ligne courbe, en trouvant
+indifféremment plusieurs de ses points, ne s'étend qu'à celles qui peuvent
+aussi être décrites par un mouvement régulier et continu, on ne la doit pas
+entièrement rejeter de la géométrie.
+
+
+Et\label{cont18}\mymarginpar{Quelles sont
+aussi celles
+qu'on décrit
+avec une
+corde, qui
+peuvent y
+être reçues.}
+on n'en doit pas rejeter non plus celle où on se sert d'un fil ou d'une
+corde repliée pour déterminer l'égalité ou la différence de deux ou plusieurs
+lignes droites qui peuvent être tirées de chaque point de la courbe qu'on
+cherche, à certains autres points, ou sur certaines autres lignes à certains
+angles, ainsi que nous avons fait en la Dioptrique pour expliquer l'ellipse
+et l'hyperbole; car encore qu'on n'y puisse recevoir aucunes lignes qui
+semblent à des cordes, c'est-à-dire qui deviennent tantôt droites et tantôt
+courbes, à cause que la proportion qui est entre les droites et les courbes
+n'étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes,
+on ne pourroit rien conclure de là qui fût exact et assuré. Toutefois à cause
+qu'on ne se sert de cordes en ces constructions que pour déterminer des
+lignes droites dont on connoît parfaitement la longueur, cela ne doit point
+faire qu'on les rejette.
+
+Or\label{cont19}\mymarginpar{Que pour
+trouver toutes
+les propriétés
+des lignes
+courbes il suffit
+de savoir le
+rapport qu'ont
+tous leurs
+points à ceux
+des lignes
+droites, et la
+façon de tirer
+d'autres lignes
+qui les coupent
+en tous ces
+points à
+angles droits.}
+de cela seul qu'on sait le rapport qu'ont tous les points d'une ligne
+courbe à tous ceux d'une ligne droite, en la façon que j'ai expliquée, il est
+aisé de trouver aussi le rapport qu'ils ont à tous les autres points et lignes
+données; et ensuite de connoître les diamètres, les essieux, les centres et
+autres lignes ou points à qui chaque ligne courbe aura quelque rapport plus
+particulier ou plus simple qu'aux autres; et ainsi d'imaginer divers moyens
+pour les décrire, et d'en choisir les plus faciles; et même on peut aussi, par
+cela seul, trouver quasi tout ce qui peut être déterminé touchant la grandeur
+de l'espace qu'elles comprennent, sans qu'il soit besoin que j'en donne
+plus d'ouverture. Et enfin pour ce qui est de toutes les autres propriétés
+qu'on peut attribuer aux lignes courbes, elles ne dépendent que de la
+grandeur des angles qu'elles font avec quelques autres lignes. Mais lorsqu'on
+peut tirer des lignes droites qui les coupent à angles droits, aux points où
+elles sont rencontrées par celles avec qui elles font les angles qu'on veut
+mesurer, ou, ce que je prends ici pour le même, qui coupent leurs contingentes,
+la grandeur de ces angles n'est pas plus malaisée à trouver que s'ils
+% [File: 043.png Page: 33]
+étoient compris entre deux lignes droites. C'est pourquoi je croirai avoir
+mis ici tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes, lorsque
+j'aurai généralement donné la façon de tirer des lignes droites qui tombent
+à angles droits sur tels de leurs points qu'on voudra choisir. Et j'ose
+dire que c'est ceci le problème le plus utile et le plus général, non
+seulement que je sache, mais même que j'aie jamais désiré de savoir en
+géométrie.
+
+Soit\label{cont20}\mymarginpar{Façon générale
+pour
+trouver des
+lignes droites,
+qui coupent
+les courbes
+données ou
+leurs contingentes,
+à
+angles droits.}
+$C\:E$ \textit{(fig.~12)} la ligne courbe, et qu'il faille tirer une ligne droite par
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 12.}} \\ \includegraphics*[width=2.3in]{images/f012.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+le point $C$, qui fasse avec elle des angles droits. Je suppose la chose déjà
+faite, et que la ligne cherchée est $C\:P$, laquelle je prolonge jusqu'au point $P$,
+où elle rencontre la ligne droite $G\:A$, que je suppose être celle aux points de
+laquelle on rapporte tous ceux de la ligne $C\:E$; en sorte que faisant $M\:A$ on
+$C\:B = y$, et $C\:M$ ou $B\:A = x$, j'ai quelque équation qui explique le rapport
+qui est entre $x$ et $y$; puis je fais $P\:C = s$, et $P\:A = v$, ou $P\:M = v-y$;
+et à cause du triangle rectangle $P\:M\:C$, j'ai $s^2$, qui est le carré de la base,
+égal à $x^2+v^2-2vy+y^2$, qui sont les carrés des deux côtés; c'est-à-dire
+j'ai
+\[
+x=\sqrt{s^2-v^2+2vy-y^2},
+\]
+ou bien
+\[
+y=v+\sqrt{s^2-x^2};
+\]
+et par le moyen de cette équation, j'ôte de l'autre équation, qui m'explique
+le rapport qu'ont tous les points de la courbe $C\:E$ à ceux de la droite $G\:A$,
+l'une des deux quantités indéterminées $x$ ou $y$; ce qui est aisé à faire en
+mettant partout
+\[
+\sqrt{s^2-v^2+2vy-y^2}
+\]
+au lieu de $x$, et le carré de cette somme au lieu de $x^2$, et son cube au lieu
+% [File: 044.png Page: 34]
+de $x^3$, et ainsi des autres, si c'est $x$ que je veuille ôter; ou bien si c'est $y$,
+en mettant en son lieu
+\[
+v+\sqrt{s^2-x^2},
+\]
+et le carré ou le cube, etc., de cette somme au lieu de $y^2$ ou $y^3$, etc. De
+façon qu'il reste toujours après cela une équation en laquelle il n'y a plus
+qu'une seule quantité indéterminée $x$ ou $y$.
+\label{cont21}Comme si $C\:E$ est une ellipse, et que $M\:A$ soit le segment de son diamètre,
+auquel $C\:M$ soit appliquée par ordre, et qui ait $r$ pour son côté droit et $q$
+pour le traversant, on a, par le treizième théorème du premier livre
+d'Apollonius, $x^2=ry-\dfrac{r}{q} y^2$, d'où ôtant $x^2$, il reste
+\[
+s^2-v^2+2vy-y^2=ry-\dfrac{r}{q}y^2,
+\]
+ou bien
+\[
+y^2+\dfrac{qry-2qvy+qv^2-qs^2}{q-r}=0;
+\]
+car il est mieux en cet endroit de considérer ainsi ensemble toute la somme
+que d'en faire une partie égale à l'autre.
+
+Tout de même si $C\:E$ \textit{(fig.~13)} est la ligne courbe décrite par le mouvement
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 13.}} \\ \includegraphics*[width=1.4in]{images/f013.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+d'une parabole en la façon ci-dessus expliquée (page~\pageref{fig8}),
+et qu'on ait
+posé $b$ pour $G\:A$, $c$ pour $K\:L$, et $d$ pour le côté droit du diamètre $K\:L$ en la
+parabole, l'équation qui explique le rapport qui est entre $x$ et $y$ est
+\[
+y^3-by^2-cdy + bcd + dxy = 0,
+\]
+% [File: 045.png Page: 35]
+d'où ôtant $x$ on a
+\[
+y^3-by^2-cdy+bcd+dy\sqrt{s^2-v^2+2vy-y^2}=0;
+\]
+et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication, il vient
+\begin{multline*}
+y^6-2by^5 + (b^2-2cd+d^2)y^4 + (4bcd-2d^2v)y^3\\
++ (c^2d^2-d^2s^2 +d^2v^2 - 2b^2cd)y^2 - 2bc^2d^2y + b^2c^2d^2= 0,
+\end{multline*}
+et ainsi des autres.
+\label{cont22}Même, encore que les points de la ligne courbe ne se rapportassent pas
+en la façon que j'ai dit à ceux d'une ligne droite, mais en toute autre qu'on
+sauroit imaginer, on ne laisse pas de pouvoir toujours avoir une telle
+équation. Comme si $C\:E$ \textit{(fig.~14)} est une ligne qui ait tel rapport aux trois
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 14.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f014.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+points $F$, $G$ et $A$, que les lignes droites tirées de chacun de ses points
+comme $C$ jusques au point $F$, surpassent la ligne $F\:A$ d'une quantité qui ait
+certaine proportion donnée à une autre quantité dont $G\:A$ surpasse les lignes
+tirées des mêmes points jusques à $G$. Faisons $G\:A = b$, $A\:F = c$, et prenant
+à discrétion le point $C$ dans la courbe, que la quantité dont $C\:F$ surpasse $F\:A$,
+soit à celle dont $G\:A$ surpasse $G\:C$, comme $d$ à $e$; en sorte que si cette quantité
+qui est indéterminée se nomme $z$, $C\:F$ est $c + z$, et $G\:C$ est $b-\dfrac{e}{d}z$.
+Puis posant $M\:A = y$, $G\:M$ est $b-y$, et $F\:M$ est $c + y$, et à cause du
+triangle rectangle $C\:M\:G$, ôtant le carré de $G\:M$ du carré de $G\:C$, on a le
+carré de $C\:M$, qui est
+\[
+\frac{e^2}{d^2}z^2- \frac{2be}{d}z + 2by -y^2;
+\]
+puis ôtant le carré de $F\:M$ du carré de $C\:F$, on a encore le carré de $C\:M$ en
+d'autres termes, à savoir $z^2 +2cz -2cy - y^2$; et ces termes étant égaux
+% [File: 046.png Page: 36]
+aux précédents, ils font connoître $y$ ou $M\:A$, qui est
+\[
+\frac{d^2z^2 + 2cd^2 z- e^2z^2 + 2bdez}{2bd^2 + 2cd^2},
+\]
+et substituant cette somme au lieu de $y$ dans le carré de $C\:M$, on trouve qu'il
+s'exprime en ces termes:
+\[
+\frac{bd^2z^2 + ce^2z^2 + 2 bcd^2z - 2bcdez}{bd^2 + cd^2} - y^2.
+\]
+
+Puis supposant que la ligne droite $P\:C$ rencontre la courbe à angles droits
+au point $C$, et faisant $P\:C = s$ et $P\:A = v$ comme devant, PM est $v-y$;
+et à cause du triangle rectangle $P\:C\:M$, on a  $s^2 - v^2 + 2vy - y^2$ pour le
+carré de $C\:M$, ou derechef, ayant au lieu de $y$ substitué la somme qui lui est
+égale, il vient
+\[
+z^2+ \frac{
+2bcd^2z- 2bcdez- 2cd^2vz- 2bdevz- bd^2s^2+ bd^2v^2- cd^2s^2+ cd^2v^2
+}{
+bd^2+ ce^2 + e^2v - d^2v
+} = 0
+\]
+pour l'équation que nous cherchions.
+
+Or après qu'on a trouvé une telle équation, au lieu de s'en servir pour
+connoître les quantités $x$, ou $y$, ou $z$, qui sont déjà données, puisque le
+point $C$ est donné, on la doit employer à trouver $v$ ou $s$, qui déterminent le
+point $P$ qui est demandé. Et à cet effet il faut considérer que si ce point $P$
+est tel qu'on le désire, le cercle dont il sera le centre, et qui passera par le
+point $C$, y touchera la ligne courbe $C\:E$ sans la couper; mais que si ce
+point $P$ est tant soit peu plus proche ou plus éloigné du point $A$ qu'il ne
+doit, ce cercle coupera la courbe, non seulement au point $C$, mais aussi
+nécessairement en quelque autre. Puis il faut aussi considérer que lorsque
+ce cercle coupe la ligne courbe $C\:E$, l'équation par laquelle on cherche la
+quantité $x$ ou $y$, ou quelque autre semblable, en supposant $P\:A$ et $P\:C$ être
+connues, contient nécessairement deux racines qui sont inégales. Car par
+exemple, si ce cercle coupe la courbe aux points $C$ et $E$ \textit{(fig.~15)}, ayant
+tiré $E\:Q$ parallèle à $C\:M$, les noms des quantités indéterminées $x$ et $y$ conviendront
+aussi bien aux lignes $E\:Q$ et $Q\:A$ qu'à $C\:M$ et $M\:A$; puis $P\:E$ est égale
+% [File: 047.png Page: 37]
+à $P\:C$ à cause du cercle, si bien que cherchant les lignes $E\:Q$ et $Q\:A$, par $P\:E$
+et $P\:A$ qu'on suppose comme données, on aura la même équation que si on
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 15.}} \\ \includegraphics*[width=1.9in]{images/f015.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+cherchoit $C\:M$ et $M\:A$ par $P\:C$, $P\:A$; d'où il suit évidemment que la valeur
+de $x$ ou de $y$, ou de telle autre quantité qu'on aura supposée, sera double
+en cette équation, c'est-à-dire qu'il y aura deux racines inégales entre elles,
+et dont l'une sera $C\:M$, l'autre $E\:Q$, si c'est $x$ qu'on cherche, ou bien l'une
+sera $M\:A$ et l'autre $Q\:A$, si c'est $y$; et ainsi des autres. Il est vrai que si le
+point $E$ ne se trouve pas du même côté de la courbe que le point $C$, il n'y
+aura que l'une de ces deux racines qui soit vraie, et l'autre sera renversée
+ou moindre que rien: mais plus ces deux points $C$ et $E$ sont proches l'un
+de l'autre, moins il y a de différence entre ces deux racines; et enfin elles
+sont entièrement égales, s'ils sont tous deux joints en un, c'est-à-dire si le
+cercle qui passe par $C$ y touche la courbe $C\:E$ sans la couper.
+
+De plus il faut considérer que lorsqu'il y a deux racines égales en une
+équation, elle a nécessairement la même forme que si on multiplie par soi-même
+la quantité qu'on y suppose être inconnue, moins la quantité connue
+qui lui est égale, et qu'après cela, si cette dernière somme n'a pas tant de
+dimensions que la précédente, on la multiplie par une autre somme qui en
+ait autant qu'il lui en manque, afin qu'il puisse y avoir séparément équation
+entre chacun des termes de l'une et chacun des termes de l'autre.
+
+Comme par exemple, je dis que la première équation trouvée ci-dessus,
+à savoir
+\[
+y^2 + \frac{qry - 2qvy + qv^2 - qs^2}{q - r},
+\]
+doit avoir la même forme que celle qui se produit en faisant $e$ égal à $y$, et
+% [File: 048.png Page: 38]
+multipliant $y-e$ par soi-même, d'où il vient $y^2-2ey + e^2$, en sorte
+qu'on peut comparer séparément chacun de leurs termes, et dire que puisque
+le premier qui est $y^2$, est tout le même en l'une qu'en l'autre, le second qui
+est en l'une $\dfrac{qry-2qvy}{q-r}$, est égal au second de l'autre qui est $-2ey$;
+d'où cherchant la quantité $v$ qui est la ligne $P\:A$, on a $v = e - \dfrac{r}{q}e + \dfrac{1}{2}r$,
+ou bien à cause que nous avons supposé $e$ égal à $y$, on a $v = y-\dfrac{r}{q}y+\dfrac{1}{2}r$.
+Et ainsi on pourroit trouver $s$ par le troisième terme $e^2=\dfrac{qv^2-qs^2}{q-r}$; mais
+pourceque la quantité $v$ détermine assez le point $P$, qui est le seul que nous
+cherchions, on n'a pas besoin de passer outre.
+
+Tout de même la seconde équation trouvée ci-dessus, à savoir
+\begin{multline*}
+y^6 - 2by^5 + (b^2 - 2cd + d^2)y^4 + (4bcd -2d^2v)y^3
+\\
+ + (c^2d^2 - 2b^2cd + d^2v^2 - d^2s^2)y^2 - 2bc^2d^2y + b^2c^2d^2,
+\end{multline*}
+doit avoir même forme que la somme qui se produit lorsqu'on multiplie
+\[
+y^2 - 2ey + e^2 \quad\text{par}\quad y^4 + fy^3 + g^2y^2 + h^3y + k^4
+\]
+qui est
+\begin{multline*}
+y^6 + (f - 2e)y^5 + (g^2 - 2ef + e^2)y^4 + (h^3 - 2eg^2 + e^2f)y^3
+\\
+ + (k^4 - 2eh^3 + e^2g^2)y^2 + (e^2h^3 - 2ek^4)y + e^2k^4;
+\end{multline*}
+de façon que de ces deux équations j'en tire six autres qui servent à connoître
+les six quantités $f$, $g$, $h$, $k$, $v$ et $s$. D'où il est fort aisé à entendre
+que, de quelque genre que puisse être la ligne courbe proposée, il vient
+toujours par cette façon de procéder autant d'équations qu'on est obligé de
+supposer de quantités qui sont inconnues. Mais pour démêler par ordre
+ces équations, et trouver enfin la quantité $v$, qui est la seule dont on a
+besoin, et à l'occasion de laquelle on cherche les autres, il faut premièrement
+par le second terme chercher $f$, la première des quantités inconnues
+de la dernière somme, et on trouve
+\[
+f = 2e - 2b.
+\]
+% [File: 049.png Page: 30]
+Puis par le dernier, il faut chercher $k$, la dernière des quantités inconnues
+de la même somme, et on trouve
+\[
+k^4= \frac{b^2c^2d^2}{e^2}.
+\]
+Puis par le troisième terme, il faut chercher $g$, la seconde quantité, et
+on a
+\[
+g^2= 3e^2 - 4be - 2cd + b^2 + d^2.
+\]
+Puis par la pénultième, il faut chercher $h$, la pénultième quantité, qui est
+\[
+h^3=\frac{2b^2c^2d^2}{e^3}-\frac{2bc^2d^2}{e^2}.
+\]
+Et ainsi il faudroit continuer suivant ce même ordre jusques à la dernière,
+s'il y en avoit d'avantage en cette somme; car c'est chose qu'on peut
+toujours faire en même façon.
+
+Puis, par le terme qui suit en ce même ordre, qui est ici le quatrième, il
+faut chercher la quantité $v$, et on a
+\[
+v=\frac{2e^3}{d^2} - \frac{3be^2}{d^2} + \frac{b^2e}{d^2} - \frac{2ce}{d} +
+   e + \frac{2bc}{d} + \frac{bc^2}{e^2} - \frac{b^2c^2}{e^3};
+\]
+ou mettant $y$ au lieu de $e$ qui lui est égal, on a
+\[
+v=\frac{2y^3}{d^2} - \frac{3by^2}{d^2} + \frac{b^2y}{d^2} - \frac{2cy}{d} + y +
+  \frac{2bc}{d} + \frac{bc^2}{y^2} - \frac{b^2c^2}{y^3}
+\]
+pour la ligne $A\:P$.
+
+Et ainsi la troisième équation, qui est
+\[
+z^2 + \frac{2bcd^2z - 2bcdez - 2cd^2vz - 2bdevz - bd^2s^2 + bd^2v^2 - cd^2s^2 + cd^2v^2}
+           {bd^2 + ce^2 + e^2v - d^2v}
+\]
+a la même forme que
+\[
+z^2 - 2fz + f^2,
+\]
+en supposant $f$ égal à $z$, si bien qu'il y a derechef équation entre $-2f$ ou
+% [File: 050.png Page: 40]
+$-2z$, et
+\[
+\frac{2bcd^2 - 2bcde - 2cd^2v - 2bdev}
+     {bd^2 + ce^2 + e^2v - d^2v},
+\]
+d'où on connoît que la quantité $v$ est\label{p40}
+\[
+\frac{bcd^2 - bcde + bd^2z + ce^2z}
+     {cd^2 + bde - e^2z + d^2z}.
+\]
+
+C'est pourquoi, composant la ligne $A\:P$ \textit{(fig.~16)} de cette somme égale à $v$,
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 16.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f016.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+dont toutes les quantités sont connues, et tirant du point $P$ ainsi trouvé,
+une ligne droite vers $C$, elle y coupe la courbe $C\:E$ à angles droits; qui est
+ce qu'il falloit faire. Et je ne vois rien qui empêche qu'on n'étende ce
+problème en même façon à toutes les lignes courbes qui tombent sous
+quelque calcul géométrique.
+
+Même il est à remarquer, touchant la dernière somme, qu'on prend
+à dis\-cré\-tion pour remplir le nombre des dimensions de l'autre somme
+lorsqu'il y en manque, comme nous avons pris tantôt $y^4 + fy^3 + g^2y^2
++ h^3y + k^4$, que les signes $+$ et $-$ y peuvent être supposés tels qu'on
+veut, sans que la ligne $v$ ou $A\:P$ se trouve diverse pour cela, comme vous
+pourrez aisément voir par expérience; car s'il falloit que je m'arrêtasse à
+démontrer tous les théorèmes dont je fais quelque mention, je serois
+contraint d'écrire un volume beaucoup plus gros que je ne désire. Mais je
+veux bien en passant vous avertir que l'invention de supposer deux équations
+de même forme, pour comparer séparément tous les termes de l'une à
+ceux de l'autre, et ainsi en faire naître plusieurs d'une seule, dont vous
+avez vu ici un exemple, peut servir à une infinité d'autres problèmes, et
+n'est pas l'une des moindres de la méthode dont je me sers.
+
+Je n'ajoute point les constructions par lesquelles on peut décrire les
+% [File: 051.png Page: 41]
+contingentes ou les perpendiculaires cherchées, ensuite du calcul que je
+viens d'expliquer, à cause qu'il est toujours aisé de les trouver, bien que
+souvent on ait besoin d'un peu d'adresse pour les rendre courtes et simples.
+
+Comme\label{cont23}\mymarginpar{Exemple de
+la construction
+de ce problème
+en la
+conchoïde.}
+par exemple, si $D\:C$ \textit{(fig.~17)} est la première conchoïde des
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 17.}} \\ \includegraphics*[width=1.8in]{images/f017.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+anciens, dont $A$ soit le pôle et $B\:H$ la règle, en sorte que toutes les lignes
+droites qui regardent vers $A$, et sont comprises entre la courbe $C\:D$ et la
+droite $B\:H$, comme $D\:B$ et $C\:E$, soient égales, et qu'on veuille trouver la
+ligne $C\:G$ qui la coupe au point $C$ à angles droits, on pourroit, en cherchant
+dans la ligne $B\:H$ le point par où cette ligne $C\:G$ doit passer, selon la
+méthode ici expliquée, s'engager dans un calcul autant ou plus long
+qu'aucun des précédents: et toutefois la construction qui devroit après en
+être déduite est fort simple; car il ne faut que prendre $C\:F$ en la ligne
+droite $C\:A$, et la faire égale à $C\:H$ qui est perpendiculaire sur $H\:B$; puis du
+point $F$ tirer $F\:G$ parallèle à $B\:A$ et égale à $E\:A$; au moyen de quoi on a le
+point $G$, par lequel doit passer $C\:G$ la ligne cherchée.
+
+Au\label{cont24}\mymarginpar{Explication
+de quatre
+nouveaux
+genres d'ovales
+qui servent à
+l'optique.}
+reste, afin que vous sachiez que la considération des lignes courbes
+ici proposée n'est pas sans usage, et qu'elles ont diverses propriétés qui ne
+cèdent en rien à celles des sections coniques, je veux encore ajouter ici
+l'explication de certaines ovales que vous verrez être très utiles pour la théorie
+de la catoptrique et de la dioptrique. Voici la façon dont je les décris:
+
+Premièrement, ayant tiré les lignes droites $F\:A$ et $A\:R$ \textit{(fig.~18)}, qui
+s'entre-coupent au point $A$, sans qu'il importe à quels angles, je prends en
+l'une le point $F$ à discrétion, c'est-à-dire plus ou moins éloigné du point $A$,
+selon que je veux faire ces ovales plus ou moins grandes, et de ce point $F$,
+comme centre, je décris un cercle qui passe quelque peu au-delà du point $A$,
+% [File: 052.png Page: 42]
+comme par le point $5$; puis de ce point $5$ je tire la ligne droite $5\:6$, qui
+coupe l'autre au point $6$, en sorte que $A\:6$ soit moindre que $A\:5$ selon telle
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 18.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f018.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+proportion donnée qu'on veut, à savoir selon celle qui mesure les réfractions
+si on s'en veut servir pour la dioptrique. Après cela je prends aussi le
+point $G$ en la ligne $F\:A$ du côté où est le point $5$, à discrétion, c'est-à-dire
+en faisant que les lignes $A\:F$ et $G\:A$ ont entre elles telle proportion donnée
+qu'on veut. Puis je fais $R\:A$ égale à $G\:A$ en la ligne $A\:6$, et du centre $G$ décrivant
+un cercle dont le rayon soit égal à $R\:6$, il coupe l'autre cercle de part
+et d'autre au point $1$, qui est l'un de ceux par où doit passer la première
+des ovales cherchées. Puis derechef du centre $F$ je décris un cercle qui passe
+un peu au-deçà ou au-delà du point $5$, comme par le point $7$, et ayant tiré
+la ligne droite $7\:8$ parallèle à $5\:6$, du centre $G$ je décris un autre cercle dont
+le rayon est égal à la ligne $R\:8$, et ce cercle coupe celui qui passe par le
+point $7$ au point $1$, qui est encore l'un de ceux de la même ovale; et ainsi
+on en peut trouver autant d'autres qu'on voudra, en tirant derechef d'autres
+lignes parallèles à $7\:8$, et d'autres cercles des centres $F$ et $G$.
+
+Pour la seconde ovale il n'y a point de différence, sinon qu'au lieu de $A\:R$
+\textit{(fig.~19)} il faut de l'autre côté du point $A$ prendre $A\:S$ égal à $A\:G$, et que le
+rayon du cercle décrit du centre $G$, pour couper celui qui est décrit du
+centre $F$ et qui passe par le point $5$, soit égal à la ligne $S\:6$, ou qu'il soit égal
+à $S\:8$, si c'est pour couper celui qui passe par le point $7$, et ainsi des autres;
+au moyen de quoi ces cercles s'entre-coupent aux points marqués $2$, $2$, qui
+sont ceux de cette seconde ovale $A\:2\:X$.
+% [File: 053.png Page: 43]
+
+Pour la troisième et la quatrième, au lieu de la ligne $A\:G$ il faut prendre
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 19.}} \\ \includegraphics*[width=2.2in]{images/f019.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+$A\:H$ \emph{(fig.~21 et 22)} de l'autre côté du point $A$, à savoir du même qu'est le
+point $F$; et il y a ici de plus à observer que cette ligne $A\:H$ doit être plus
+grande que $A\:F$, laquelle peut même être nulle, en sorte que le point $F$ se
+rencontre où est le point $A$ en la description de toutes ces ovales. Après cela
+les lignes $A\:R$ et $A\:S$ étant égales à $A\:H$, pour décrire la troisième ovale $A\:3\:Y$,
+je fais un cercle du centre $H$, dont le rayon est égal à $S\:6$, qui coupe au
+point $3$ celui du centre $F$, qui passe par le point $5$; et un autre dont le rayon
+est égal à $S\:8$, qui coupe celui qui passe par le point $7$ au point aussi marqué $3$,
+et ainsi des autres. Enfin, pour la dernière ovale, je fais des cercles du
+centre $H$, dont les rayons sont égaux aux lignes $R\:6$, $R\:8$, et semblables, qui
+coupent les autres cercles aux points marqués $4$.
+
+On pourroit encore trouver une infinité d'autres moyens pour décrire ces
+mêmes ovales; comme par exemple, on peut tracer la première $A\:V$ \textit{(fig.~20)},
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 20.}} \\ \includegraphics*[width=3.2in]{images/f020.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+lorsqu'on suppose les lignes $F\:A$ et $A\:G$ être égales, si on divise la toute $F\:G$
+au point $L$, en sorte que $F\:L$ soit à $L\:G$ comme $A\:5$ à $A\:6$, c'est-à-dire qu'elles
+% [File: 054.png Page: 44]
+aient la proportion qui mesure les réfractions. Puis ayant divisé $A\:L$ en deux
+parties égales au point $K$, qu'on fasse tourner une règle comme $E\:F$ autour
+du point $F$, en pressant du doigt $C$ la corde $E\:C$, qui étant attachée au bout
+de cette règle vers $E$, se replie de $C$ vers $K$, puis de $K$ derechef vers $C$, et
+de $C$ vers $G$, où son autre bout soit attaché, en sorte que la longueur de
+cette corde soit composée de celle des lignes $G\:A$, plus $A\:L$, plus $F\:E$,
+moins $A\:F$; et ce sera le mouvement du point $C$ qui décrira cette ovale, à
+l'imitation de ce qui a été dit en la dioptrique de l'ellipse et de l'hyperbole;
+mais je ne veux point m'arrêter plus long-temps sur ce sujet.
+
+Or, encore que toutes ces ovales semblent être quasi de même nature,
+elles sont néanmoins de quatre divers genres, chacun desquels contient
+sous soi une infinité d'autres genres, qui derechef contiennent chacun
+autant de diverses espèces que fait le genre des ellipses ou celui des hyperboles;
+car selon que la proportion qui est entre les lignes $A\:5$, $A\:6$, ou
+semblables, est différente, le genre subalterne de ces ovales est différent;
+puis selon que la proportion qui est entre les lignes $A\:F$ et $A\:G$ ou $A\:H$ est
+changée, les ovales de chaque genre subalterne changent d'espèce; et selon
+que $A\:G$ ou $A\:H$ est plus ou moins grande, elles sont diverses en grandeur;
+et si les lignes $A\:5$ et $A\:6$ sont égales, au lieu des ovales du premier genre
+ou du troisième, on ne décrit que des lignes droites; mais au lieu de celles
+du second on a toutes les hyperboles possibles, et au lieu de celles du dernier
+toutes les ellipses.
+
+
+Outre\label{cont25}\mymarginpar{Les propriétés
+de ces ovales
+touchant les
+réflexions
+et les
+réfractions.}
+cela, en chacune de ces ovales il faut considérer deux parties qui
+ont diverses propriétés: à savoir en la première, la partie qui est vers $A$
+\emph{(fig.~18)}, fait que les rayons qui étant dans l'air viennent du point $F$, se
+retournent tous vers le point $G$, lorsqu'ils rencontrent la superficie convexe
+d'un verre dont la superficie est $1\:A\:1$, et dans lequel les réfractions se font
+telles que, suivant ce qui a été dit en la Dioptrique, elles peuvent toutes
+être mesurées par la proportion qui est entre les lignes $A\:5$ et $A\:6$ ou semblables,
+par l'aide desquelles on a décrit cette ovale.
+
+Mais la partie qui est vers $V$ fait que les rayons qui viennent du point $G$
+se réfléchiroient tous vers $F$, s'ils y rencontroient la superficie concave d'un
+miroir dont la figure fût $1\:V\:1$, et qui fût de telle matière qu'il diminuât la
+force de ces rayons selon la proportion qui est entre les lignes $A\:5$ et $A\:6$;
+% [File: 055.png Page: 45]
+car de ce qui a été démontré en la Dioptrique, il est évident que, cela posé,
+les angles de la réflexion seroient inégaux, aussi bien que sont ceux de la
+réfraction, et pourroient être mesurés en même sorte.
+
+En la seconde ovale la partie $2\:A\:2$ \emph{(fig.~19)} sert encore pour les réflexions
+dont on suppose les angles être inégaux; car étant en la superficie d'un
+miroir composé de même matière que le précédent, elle feroit tellement
+réfléchir tous les rayons qui viendroient du point $G$, qu'ils sembleroient
+après être réfléchis venir du point $F$. Et il est à remarquer qu'ayant fait la
+ligne $A\:G$ beaucoup plus grande que $A\:F$, ce miroir seroit convexe au milieu
+vers $A$, et concave aux extrémités; car telle est la figure de cette ligne, qui
+en cela représente plutôt un c\oe ur qu'une ovale.
+
+Mais son autre partie $X\:2$ sert pour les réfractions, et fait que les rayons
+qui étant dans l'air tendent vers $F$, se détournent vers $G$ en traversant la
+superficie d'un verre qui en ait la figure.
+
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 21.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f021.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+La troisième ovale sert toute aux réfractions, et fait que les rayons qui
+étant dans l'air tendent vers $F$ \textit{(fig.~21)}, se vont rendre vers $H$ dans le
+verre, après qu'ils ont traversé sa superficie dont la figure est $A\:3\:Y\:3$, qui est
+convexe partout, excepté vers $A$ où elle est un peu concave, en sorte qu'elle
+a la figure d'un c\oe ur aussi bien que la précédente; et la différence qui est
+entre les deux parties de cette ovale consiste en ce que le point $F$ est plus
+proche de l'une que n'est le point $H$, et qu'il est plus éloigné de l'autre que
+ce même point $H$.
+
+En même façon la dernière ovale sert toute aux réflexions, et fait que si
+% [File: 056.png Page: 46]
+les rayons qui viennent du point $H$ \textit{(fig.~22)} rencontroient la superficie
+concave d'un miroir de même matière que les précédents, et dont la figure
+fût $A\:4\:Z\:4$, ils se réfléchiroient tous vers $F$.
+
+De façon qu'on peut nommer les points $F$ et $G$ ou $H$ les points brûlants
+de ces ovales, à l'exemple de ceux des ellipses et des hyperboles, qui ont été
+ainsi nommés en la Dioptrique.
+
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 22.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f022.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+J'omets\label{cont26}\mymarginpar{Démonstration
+des propriétés
+de ces ovales
+touchant les
+réflexions
+et réfractions.}
+quantité d'autres réfractions et réflexions qui sont réglées par ces
+mêmes ovales, car n'étant que les converses ou les contraires de celles-ci,
+elles en peuvent facilement être déduites. Mais il ne faut pas que j'omette
+la dé\-mon\-stra\-tion de ce que j'ai dit; et à cet effet prenons, par exemple, le
+point $C$ \textit{(fig.~16)} à discrétion en la première partie de la première de
+ces ovales; puis tirons la ligne droite $C\:P$ qui coupe la courbe au point $C$ à
+angles droits, ce qui est facile par le problème précédent; car prenant $b$
+pour $A\:G$, $c$ pour $A\:F$, $c + z$ pour $C\:F$, et supposant que la proportion qui est
+entre $d$ et $e$, que je prendrai ici toujours pour celle qui mesure les
+réfractions du verre proposé, désigne aussi celle qui est entre les lignes $A\:5$
+et $A\:6$ ou semblables, qui ont servi pour décrire cette ovale, ce qui donne
+$b-\dfrac{e}{d}z$ pour $C\:G$, on trouve que la ligne $A\:P$ est
+\[
+\frac{bcd^2 - bcde + bd^2z + ce^2z}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z},
+\]
+ainsi qu'il a été montré ci-dessus (p.~\pageref{p40}). De plus, du point $P$ ayant tiré $P\:Q$
+à angles droits sur la droite $C\:F$, et $P\:N$ aussi à angles droits sur $C\:G$, considérons
+% [File: 057.png Page: 47]
+que si $P\:Q$ est à $P\:N$ comme $d$ est à $e$, c'est-à-dire comme les lignes qui
+mesurent les réfractions du verre convexe $A\:C$, le rayon qui vient du point $F$
+au point $C$, doit tellement s'y courber en entrant dans ce verre, qu'il s'aille
+rendre après vers $G$, ainsi qu'il est très évident de ce qui a été dit en la Dioptrique.
+Puis enfin voyons par le calcul s'il est vrai que $P\:Q$ soit à $P\:N$ comme $d$
+est à $e$. Les triangles rectangles $P\:Q\:F$ et $C\:M\:F$ sont semblables; d'où il suit que
+$C\:F$ est à $C\:M$ comme $F\:P$ est à $P\:Q$, et par conséquent que $P\:F$ étant multipliée
+par $C\:M$ et divisée par $C\:F$ est égale à $P\:Q$. Tout de même les triangles
+rectangles $P\:N\:G$ et $C\:M\:G$ sont semblables; d'où il suit que $G\:P$ multipliée
+par $C\:M$ et divisée par $C\:G$ est égale à $P\:N$. Puis à cause que les multiplications
+ou divisions qui se font de deux quantités par une même ne changent
+point la proportion qui est entre elles, si $P\:F$ multipliée par $C\:M$ et divisée
+par $C\:F$, est à $G\:P$ multipliée aussi par $C\:M$ et divisée par $C\:G$, comme $d$ est
+à $e$, en divisant l'une et l'autre de ces deux sommes par $C\:M$, puis les
+multipliant toutes deux par $C\:F$ et derechef par $C\:G$, il reste $E\:P$ multipliée
+par $C\:G$ qui doit être à $G\:P$ multipliée par $C\:F$, comme $d$ est à $e$. Or par la
+construction $F\:P$ est
+\[
+c + \frac{bcd^2 - bcde + bd^2z + ce^2z}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z},
+\]
+ou bien
+\[
+F\:P = \frac{bcd^2 + c^2d^2 + bd^2z + cd^2z}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z},
+\]
+et $C\:G$ est $b - \dfrac{e}{d}z$; si bien que, multipliant $F\:P$ par $C\:G$, il vient
+\[
+\frac{b^2cd^2 + bc^2d^2 + b^2d^2z + bcd^2z - bcdez - c^2dez - bdez^2 - cdez^2}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z},
+\]
+puis $G\:P$ est
+\[
+b - \frac{bcd^2 - bcde + bd^2z + ce^2z}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z},
+\]
+ou bien
+\[
+G\:P = \frac{b^2de + bcde - be^2z - ce^2z}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z},
+\]
+
+% [File: 058.png Page: 48]
+et $C\:F$ est $c + z$; si bien qu'en multipliant $G\:P$ par $C\:F$ il vient
+\[
+\frac{b^2cde + bc^2de + b^2dez + bcdez - bce^2z - c^2e^2z - be^2z^2 - ce^2z^2}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z}.
+\]
+
+Et pourceque la première de ces sommes divisée par $d$ est la même que la
+seconde divisée par $e$, il est manifeste que $F\:P$ multipliée par $C\:G$, est à $G\:P$
+multipliée par $C\:F$, c'est-à-dire que $P\:Q$ est à $P\:N$ comme $d$ est à $e$, qui est
+tout ce qu'il falloit démontrer.
+
+Et sachez que cette même démonstration s'étend à tout ce qui a été dit des
+autres réfractions ou réflexions qui se font dans les ovales proposées, sans
+qu'il y faille changer aucune chose que les signes $+$ et $-$ du calcul; c'est
+pourquoi chacun les peut aisément examiner de soi-même, sans qu'il soit
+besoin que je m'y arrête.
+
+Mais il faut maintenant que je satisfasse à ce que j'ai omis en la Dioptrique,
+lorsqu'après avoir remarqué qu'il peut y avoir des verres de plusieurs diverses
+figures qui fassent aussi bien l'un que l'autre que les rayons venant d'un
+même point de l'objet s'assemblent tous en un autre point après les avoir
+traversés; et qu'entre ces verres, ceux qui sont fort convexes d'un côté et
+concaves de l'autre ont plus de force pour brûler que ceux qui sont également
+convexes des deux côtés; au lieu que tout au contraire ces derniers sont les
+meilleurs pour les lunettes. Je me suis contenté d'expliquer ceux que j'ai
+cru être les meilleurs pour la pratique, en supposant la difficulté que les
+artisans peuvent avoir à les tailler. C'est pourquoi, afin qu'il ne reste rien à
+souhaiter touchant la théorie de cette science, je dois expliquer encore ici la
+figure des verres qui, ayant l'une de leurs superficies autant convexe ou
+concave qu'on voudra, ne laissent pas de faire que tous les rayons qui
+viennent vers eux d'un même point, ou parallèles, s'assemblent après en
+un même point; et celles des verres qui font le semblable, étant également
+convexes des deux côtés, ou bien la convexité de l'une de leurs superficies
+ayant la proportion donnée à celle de l'autre.
+
+
+Posons\label{cont27}\mymarginpar{Comment on
+peut faire un
+verre autant
+convexe ou
+concave, en
+l'une de ses
+superficies,
+qu'on voudra
+qui rassemble
+à un point
+donné tous les
+rayons qui
+viennent d'un
+autre point
+donné.}
+pour le premier cas, que les points $G$, $Y$, $C$ et $F$ \textit{(fig.~23 et 24)}
+étant donnés, les rayons qui viennent du point $G$ ou bien qui sont parallèles
+à $G\:A$ se doivent assembler au point $F$, après avoir traversé un verre si
+concave, que $Y$ étant le milieu de sa superficie intérieure; l'extrémité en
+% [File: 059.png Page: 49]
+soit au point $C$, en sorte que la corde $C\:M\:C$ et la flèche $Y\:M$ de l'arc $C\:Y\:C$
+sont données. La question va là, que premièrement il faut considérer de
+\begin{figure}[htb]
+  \centerline{\hbox{\hspace{0.0in}
+    \textit{\textbf{Fig. 23.}}
+    \hspace{2in}
+    \textit{\textbf{Fig. 24.}}
+    }
+  }
+  \centerline{\hbox{\hspace{0.0in}
+    \includegraphics*[width=2.3in]{images/f023.png}
+    \hspace{0.2in}
+    \includegraphics*[width=2.2in]{images/f024.png}
+    }
+  }
+\end{figure}
+laquelle des ovales expliquées la superficie du verre $Y\:C$ doit avoir la figure,
+pour faire que tous les rayons qui étant dedans tendent vers un même
+point, comme vers $H$, qui n'est pas encore connu, s'aillent rendre vers un
+autre, à savoir vers $F$, après en être sortis. Car il n'y a aucun effet touchant
+le rapport des rayons, changé par réflexion ou réfraction d'un point à un
+autre, qui ne puisse être causé par quelqu'une de ces ovales; et on voit
+aisément que celui-ci le peut être par la partie de la troisième ovale qui a
+tantôt été marquée $3\:A\:3$ \textit{(fig.~21)}, ou par celle de la même qui a été
+marquée $3\:Y\:3$, ou enfin par la partie de la seconde qui a été marquée $2\:X\:2$
+\textit{(fig.~19)}. Et pourceque ces trois tombent ici sous même calcul, on doit, tant
+pour l'une que pour l'autre, prendre $Y$ \textit{(fig.~23 et 24)} pour leur sommet,
+$C$ pour l'un des points de leur circonférence, et $F$ pour l'un de leurs points
+brûlants; après quoi il ne reste plus à chercher que le point $H$ qui doit être
+l'autre point brûlant. Et on le trouve en considérant que la différence qui
+est entre les lignes $F\:Y$ et $F\:C$ doit être à celle qui est entre les lignes $H\:Y$
+et $H\:C$ comme $d$ est à $e$, c'est-à-dire comme la plus grande des lignes qui
+mesurent les réfractions du verre proposé est à la moindre, ainsi qu'on peut
+voir manifestement de la description de ces ovales. Et pourceque les lignes
+$F\:Y$ et $F\:C$ sont données, leur différence l'est aussi, et ensuite celle qui est
+entre $H\:Y$ et $H\:C$, pourceque la proportion qui est entre ces deux différences
+est donnée. Et de plus, à cause que $Y\:M$ est donnée, la différence qui est
+entre $M\:H$ et $H\:C$ l'est aussi; et enfin pourceque $C\:M$ est donnée, il ne reste
+plus qu'à trouver $M\:H$ le côté du triangle rectangle $C\:M\:H$ dont on a l'autre
+côté $C\:M$, et on a aussi la différence qui est entre $C\:H$ la base et $M\:H$ le côté
+% [File: 060.png Page: 50]
+demandé; d'où il est aisé de le trouver: car si on prend $k$ pour l'excès de $C\:H$
+sur $M\:H$, et $n$ pour la longueur de la ligne $C\:M$, on aura $\dfrac{n^2}{2k} - \dfrac{1}{2}k$ pour $M\:H$.
+Et après avoir ainsi le point $H$, s'il se trouve plus loin du point $Y$ \textit{(fig.~24)}
+que n'en est le point $F$, la ligne $C\:Y$ doit être la première partie de l'ovale
+du troisième genre, qui a tantôt été nommée $3\:A\:3$ \textit{(fig.~21)}. Mais si $H\:Y$
+\textit{(fig.~23)} est moindre que $F\:Y$: ou bien elle surpasse $H\:F$ de tant, que leur
+différence est plus grande à raison de la toute $F\:Y$ que n'est $e$ la moindre
+des lignes qui mesurent les réfractions comparée avec $d$ la plus grande,
+c'est-à-dire que faisant $H\:F = c$, et $H\:Y = c + h$, $dh$ est plus grande
+que $2ce + eh$, et lors $C\:Y$ doit être la seconde partie de la même ovale du
+troisième genre, qui a tantôt été nommée $3\:Y\:3$ \textit{(fig.~21):} ou bien $dh$ est
+égale ou moindre que $2ce + eh$, et lors $C\:Y$ \textit{(fig.~23)} doit être la seconde
+partie de l'ovale du second genre, qui a ci-dessus été nommée $2\:X\:2$ \textit{(fig.~19)}:
+et enfin si le point $H$ \textit{(fig.~23)} est le même que le point $F$, ce qui n'arrive
+que lorsque $F\:Y$ et $F\:C$ sont égales, cette ligne $Y\:C$ est un cercle.
+
+Après cela il faut chercher $C\:A\:C$ l'autre superficie de ce verre, qui doit
+être une ellipse dont $H$ soit le point brûlant, si on suppose que les rayons
+qui tombent dessus soient parallèles; et lors il est aisé de la trouver. Mais si
+on suppose qu'ils viennent du point $G$, ce doit être la première partie d'une
+ovale du premier genre dont les deux points brûlants soient $G$ et $H$, et qui
+passe par le point $C$; d'où on trouve le point $A$ pour le sommet de cette ovale,
+en considérant que $G\:C$ doit être plus grande que $G\:A$ d'une quantité qui
+soit à celle dont $H\:A$ surpasse $H\:C$, comme $d$ à $e$; car ayant pris $k$ pour la
+différence qui est entre $C\:H$ et $H\:M$, si on suppose $x$ pour $A\:M$, on aura $x - k$
+pour la différence qui est entre $A\:H$ et $C\:H$; puis si on prend $g$ pour celle
+qui est entre $G\:C$ et $G\:M$ qui sont données, on aura $g + x$ pour celle qui est
+entre $G\:C$ et $G\:A$; et pourceque cette dernière $g + x$ est à l'autre $x - k$
+comme $d$ est à $e$, on a
+\[
+ge + ex = dx - dk,
+\]
+ou bien $\dfrac{ge + dk}{d - e}$ pour la ligne $x$ ou $A\:M$, par laquelle on détermine le
+point $A$ qui étoit cherché.
+% [File: 061.png Page: 51]
+
+Posons
+% [** marginpar that was here moved down to avoid page break]
+maintenant pour l'autre cas, qu'on ne donne que les points $G$, $C$
+et $F$ \textit{(fig.~24)}, avec la proportion qui est entre les lignes $A\:M$ et $Y\:M$, et qu'il
+faille trouver\label{cont28}\mymarginpar{Comment on
+peut faire un
+verre qui ait le
+même effet
+que le précédent,
+et que la
+convexité de
+l'une de ses
+superficies ait
+la proportion
+donnée avec
+celle de l'autre.}
+la figure du verre $A\:C\:Y$ qui fasse que tous les rayons qui
+viennent du point $G$ s'assemblent au point $F$.
+
+On peut derechef ici se servir de deux ovales dont l'une $A\:C$ ait $G$ et $H$
+pour ses points brûlants, et l'autre $C\:Y$ ait $F$ et $H$ pour les siens. Et pour les
+trouver, premièrement, supposant le point $H$, qui est commun à toutes deux,
+être connu, je cherche $A\:M$ par les trois points $G$, $C$, $H$, en la façon tout
+maintenant expliquée, à savoir, prenant $k$ pour la différence qui est entre $C\:H$
+et $H\:M$, et $g$ pour celle qui est entre $G\:C$ et $G\:M$, et $A\:C$ étant la première
+partie de l'ovale du premier genre, j'ai $\dfrac{ge + dk}{d - e}$ pour $A\:M$; puis je cherche
+aussi $M\:Y$ par les trois points $F$, $C$, $H$, en sorte que $C\:Y$ soit la première
+partie d'une ovale du troisième genre; et prenant y pour $M\:Y$, et $f$ pour la
+différence qui est entre $C\:F$ et $F\:M$, j'ai $f + y$ pour celle qui est entre $C\:F$
+et $F\:Y$; puis ayant déjà $k$ pour celle qui est entre $C\:H$ et $H\:M$, j'ai $k + y$ pour
+celle qui est entre $C\:H$ et $H\:Y$, que je sais devoir être à $f + y$ comme $e$ est
+à $d$, à cause de l'ovale du troisième genre, d'où je trouve que $y$ ou $M\:Y$
+est $\dfrac{fe - dk}{d - e}$; puis joignant ensemble les deux quantités trouvées pour $A\:M$
+et $M\:Y$, je trouve $\dfrac{ge + fe}{d - e}$ pour la toute $A\:Y$: d'où il suit que, de quelque
+côté que soit supposé le point $H$, cette ligne $A\:Y$ est toujours composée d'une
+quantité qui est à celle dont les deux ensemble $GC$ et $C\:F$ surpassent la
+toute $G\:F$, comme $e$, la moindre des deux lignes qui servent à mesurer les
+réfractions du verre proposé, est à $d - e$ la différence qui est entre ces
+deux lignes, ce qui est un assez beau théorème. Or, ayant ainsi la toute $A\:Y$,
+il la faut couper selon la proportion que doivent avoir ses parties $A\:M$ et $M\:Y$;
+au moyen de quoi, pourcequ'on a déjà le point $M$, on trouve aussi les points $A$
+et $Y$, et ensuite le point $H$ par le problème précédent. Mais auparavant il
+faut regarder si la ligne $A\:M$ ainsi trouvée est plus grande que $\dfrac{ge}{d - e}$, ou
+plus petite, ou égale. Car si elle est plus grande, on apprend de là que la
+courbe $A\:C$ doit être la première partie d'une ovale du premier genre, et $C\:Y$
+% [File: 062.png Page: 52]
+la première d'une du troisième, ainsi qu'elles ont été ici supposées; au lieu
+que si elle est plus petite, cela montre que c'est $C\:Y$ qui doit être la première
+partie d'une ovale du premier genre, et que $A\:C$ doit être la première d'une
+du troisième; enfin si $A\:M$ est égale à $\dfrac{ge}{d - e}$, les deux courbes $A\:C$ et $C\:Y$
+doivent être deux hyperboles.
+
+On pourroit étendre ces deux problèmes à une infinité d'autres cas que
+je ne m'arrête pas à déduire, à cause qu'ils n'ont eu aucun usage en la
+dioptrique.
+
+On pourroit aussi passer outre et dire (lorsque l'une des superficies du
+verre est donnée, pourvu qu'elle ne soit que toute plate, ou composée de
+sections coniques ou de cercles) comment on doit faire son autre superficie,
+afin qu'il transmette tous les rayons d'un point donné à un autre point aussi
+donné; car ce n'est rien de plus difficile que ce que je viens d'expliquer, ou
+plutôt c'est chose beaucoup plus facile à cause que le chemin en est ouvert.
+Mais j'aime mieux que d'autres le cherchent, afin que s'ils ont encore un
+peu de peine à le trouver, cela leur fasse d'autant plus estimer l'invention
+des choses qui sont ici démontrées.
+
+Au\label{cont29}\mymarginpar{Comment on
+peut appliquer
+ce qui a été dit
+ici des lignes
+courbes,
+décrites sur
+une superficie
+plate, à celles
+qui se décrivent
+dans un
+espace qui a
+trois
+dimensions.}
+reste je n'ai parlé en tout ceci que des lignes courbes qu'on peut
+décrire sur une superficie plate; mais il est aisé de rapporter ce que j'en ai
+dit à toutes celles qu'on sauroit imaginer être formées par le mouvement
+régulier des points de quelque corps dans un espace qui a trois dimensions:
+à savoir, en tirant deux perpendiculaires de chacun des points de la ligne
+courbe qu'on veut considérer, sur deux plans qui s'entre-coupent à angles
+droits, l'une sur l'un et l'autre sur l'autre; car les extrémités de ces
+perpendiculaires décrivent deux autres lignes courbes, une sur chacun de
+ces plans, desquelles on peut en la façon ci-dessus expliquée déterminer
+tous les points et les rapporter à ceux de la ligne droite qui est commune à
+ces deux plans, au moyen de quoi ceux de la courbe qui a trois dimensions
+sont entièrement déterminés. Même si on veut tirer une ligne droite qui
+coupe cette courbe au point donné à angles droits, il faut seulement tirer
+deux autres lignes droites dans les deux plans, une en chacun, qui coupent
+à angles droits les deux lignes courbes qui y sont aux deux points où tombent
+les perpendiculaires qui viennent de ce point donné; car ayant élevé deux
+% [File: 063.png Page: 53]
+autres plans, un sur chacune de ces lignes droites, qui coupe à angles droits
+le plan où elle est, on aura l'intersection de ces deux plans pour la ligne
+droite cherchée. Et ainsi je pense n'avoir rien omis des éléments qui sont
+nécessaires pour la connoissance des lignes courbes.
+% [File: 064.png Page: 54]
+
+\newpage
+\begin{center}
+{\LARGE LIVRE TROISIÈME}
+
+\vspace{0.25in}
+
+DE LA CONSTRUCTION DES PROBLÈMES QUI SONT SOLIDES
+OU PLUS QUE SOLIDES.
+
+\vspace{0.2in}
+
+\end{center}
+
+Encore\label{cont30}\mymarginpar{De quelles
+lignes courbes
+on peut se
+servir en la
+construction
+de chaque
+problème.}
+que toutes les lignes courbes qui peuvent être décrites par
+quelque mouvement régulier doivent être reçues en la géométrie, ce n'est
+pas à dire qu'il soit permis de se servir indifféremment de la première qui
+se rencontre pour la construction de chaque problème, mais il faut avoir
+soin de choisir toujours la plus simple par laquelle il soit possible de le
+résoudre. Et même il est à remarquer que par les plus simples on ne doit
+pas seulement entendre celles qui peuvent le plus aisément être décrites, ni
+celles qui rendent la construction ou la démonstration du problème proposé
+plus facile, mais principalement celles qui sont du plus simple genre qui
+puisse servir à déterminer la quantité qui est cherchée.
+
+Comme,\label{cont31}\mymarginpar{Exemple
+touchant
+l'invention de
+plusieurs
+moyennes
+proportionnelles.}
+par exemple, je ne crois pas qu'il y ait aucune façon plus facile
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 25.}} \\ \includegraphics*[width=2.5in]{images/f025.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+pour trouver autant de moyennes proportionnelles qu'on veut, ni dont la
+% [File: 065.png Page: 55]
+démonstration soit plus évidente, que d'y employer les lignes courbes qui
+se décrivent par l'instrument $X\:Y\:Z$ \textit{(fig.~25)} ci-dessus expliqué. Car, voulant
+trouver deux moyennes proportionnelles entre $Y\:A$ et $Y\:E$, il ne faut que
+décrire un cercle dont le diamètre soit $Y\:E$, et pourceque ce cercle coupe la
+courbe $A\:D$ au point $D$, $Y\:D$ est l'une des moyennes proportionnelles cherchées,
+dont la démonstration se voit à l'{\oe}il par la seule application de cet
+instrument sur la ligne $Y\:D$; car, comme $Y\:A$ ou $Y\:B$, qui lui est égale, est
+à $Y\:C$, ainsi $Y\:C$ est à $Y\:D$, et $Y\:D$ à $Y\:E$.
+
+Tout de même pour trouver quatre moyennes proportionnelles entre $Y\:A$
+et $Y\:G$, ou pour en trouver six entre $Y\:A$ et $Y\:N$, il ne faut que tracer le
+cercle $Y\:F\:G$ qui, coupant $A\:F$ au point $F$, détermine la ligne droite $Y\:F$ qui
+est l'une de ces quatre proportionnelles; ou $Y\:H\:N$ qui, coupant $A\:H$ au
+point $H$, détermine $Y\:H$ l'une des six; et ainsi des autres.
+
+Mais pourceque la ligne courbe $A\:D$ est du second genre, et qu'on peut
+trouver deux moyennes proportionnelles par les sections coniques qui sont
+du premier; et aussi pourcequ'on peut trouver quatre ou six moyennes
+proportionnelles par des lignes qui ne sont pas de genres si composés que
+sont $A\:F$ et $A\:H$, ce seroit une faute en géométrie que de les y employer. Et
+c'est une faute aussi, d'autre côté, de se travailler inutilement à vouloir
+construire quelque problème par un genre de lignes plus simple que sa
+nature ne permet.
+
+Or,\label{cont32}\mymarginpar{De la nature
+des équations.}
+afin que je puisse ici donner quelques règles pour éviter l'une et l'autre
+de ces deux fautes, il faut que je die quelque chose en général de la nature
+des équations, c'est-à-dire des sommes composées de plusieurs termes partie
+connus et partie inconnus dont les uns sont égaux aux autres, ou plutôt
+qui, considérés tous ensemble, sont égaux à rien: car ce sera souvent le
+meilleur de les considérer en cette sorte.
+
+Sachez\label{cont33}\mymarginpar{Combien il
+peut y avoir de
+racines en
+chaque
+équation.}
+donc qu'en chaque équation, autant que la quantité inconnue a
+de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c'est-à-dire de
+valeurs de cette quantité; car, par exemple, si on suppose $x$ égale à $2$, ou
+bien $x-2$ égal à rien; et derechef $x = 3$, ou bien $x - 3 = 0$; en
+multipliant ces deux équations
+\[
+x - 2 = 0, \quad\text{et}\quad  x - 3 = 0,
+\]
+% [File: 066.png Page: 56]
+l'une par l'autre, on aura
+\[
+x^2-5x + 6 = 0,
+\]
+ou bien
+\[
+x^2=5x-6,
+\]
+qui est une équation en laquelle la quantité $x$ vaut $2$ et tout ensemble
+vaut $3$. Que si derechef on fait
+\[
+x-4 = 0,
+\]
+et qu'on multiplie cette somme par
+\[
+x^2-5x + 6 = 0,
+\]
+on aura
+\[
+x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = 0,
+\]
+qui est une autre équation en laquelle $x$, ayant trois dimensions, a aussi
+trois valeurs, qui sont $2$, $3$ et $4$.
+
+Mais\label{cont34}\mymarginpar{Quelles sont
+les fausses
+racines.}
+souvent il arrive que quelques unes de ces racines sont fausses ou
+moindres que rien; comme si on suppose que $x$ désigne aussi le défaut d'une
+quantité qui soit $5$, on a
+\[
+x + 5 = 0,
+\]
+qui, étant multiplié par
+\[
+x^3-9x^2+26x-24=0
+\]
+fait
+\[
+  x^4 - 4x^3 - 19x^2 + 106x - 120 = 0
+\]
+pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir trois vraies qui
+sont $2$, $3$, $4$, et une fausse qui est $5$.
+
+% [combine 2 marginpars to stop them overlapping]
+Et\label{cont35}\mymarginpar{Comment on
+peut diminuer
+le nombre des
+dimensions
+d'une équation
+lorsqu'on
+connoît quelqu'une
+de ses
+racines. \\
+\vspace{0.1in}
+Comment on peut
+examiner
+si quelque
+quantité
+donnée est la
+valeur d'une
+racine.}
+on voit évidemment de ceci que la somme d'une équation qui contient
+plusieurs racines peut toujours être divisée par un binôme composé de la
+quantité inconnue moins la valeur de l'une des vraies racines, laquelle que
+ce soit, ou plus la valeur de l'une des fausses; au moyen de quoi on diminue
+d'autant ses dimensions.
+
+% [second marginpar belongs here]
+Et\label{cont36}
+réciproquement que si la somme d'une équation ne peut être divisée
+par un binôme composé de la quantité inconnue $+$ ou $-$ quelque autre
+% [File: 067.png Page: 57]
+quantité, cela témoigne que cette autre quantité n'est la valeur d'aucune de
+ses racines. Comme cette dernière
+\[
+x^4 - 4x^3 - 19x^2 + 106x - 120 = 0
+\]\label{x5}peut bien être divisée par $x - 2$, et par $x - 3$, et par $x - 4$, et par $x + 5$,
+%[ the last shown as x - 5 in the text]
+mais non point par $x$ $+$ ou $-$ aucune autre quantité; ce qui montre qu'elle
+ne peut avoir que les quatre racines $2$, $3$, $4$ et $5$.
+
+On\label{cont37}\mymarginpar{Combien il
+peut y avoir de
+vraies racines
+en chaque
+équation.}
+connoît aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines et
+combien de fausses en chaque équation: à savoir il y en peut avoir autant
+de vraies que les signes $+$ et $-$ s'y trouvent de fois être changés, et autant
+de fausses qu'il s'y trouve de fois deux signes $+$ ou deux signes $-$ qui
+s'entre-suivent. Comme en la dernière, à cause qu'après ${}+ x^4$ il y a ${}- 4x^3$,
+qui est un changement du signe $+$ en $-$, et après ${}- 19x^2$ il y a ${}+ 106x$,
+et après ${}+ 106x$ il y a ${}- 120$, qui sont encore deux autres changements,
+on connoît qu'il y a trois vraies racines; et une fausse, à cause que les deux
+signes $-$ de $4 x^3$ et $19 x^2$ s'entre-suivent.
+
+
+De\label{cont38}\mymarginpar{Comment on
+fait que les
+fausses racines
+d'une équation
+deviennent
+vraies, et les
+vraies fausses.}
+plus, il est aisé de faire en une même équation que toutes les racines
+qui étoient fausses deviennent vraies, et par même moyen que toutes celles
+qui étoient vraies deviennent fausses, à savoir en changeant tous les signes
+$+$ ou $-$ qui sont en la seconde, en la quatrième, en la sixième, ou autres
+places qui se désignent par les nombres pairs, sans changer ceux de la
+première, de la troisième, de la cinquième, et semblables qui se désignent
+par les nombres impairs. Comme si, au lieu de
+\[
+{}+x^4-4x^3-19x^2+106x-120=0,
+\]
+on écrit
+\[
+{}+x^4+4x^3-19x^2-106x-120=0,
+\]
+on a une équation en laquelle il n'y a qu'une vraie racine qui est $5$, et trois
+fausses qui sont $2$, $3$ et $4$.
+
+Que\label{cont39}\mymarginpar{Comment on
+peut
+augmenter ou
+diminuer les
+racines d'une
+équation sans
+les connoître.}
+si, sans connoître la valeur des racines d'une équation, on la veut
+augmenter ou diminuer de quelque quantité connue, il ne faut qu'au lieu du
+terme inconnu en supposer un autre qui soit plus ou moins grand de cette
+même quantité, et le substituer partout en la place du premier.
+
+% [File: 068.png Page: 58]
+
+Comme si on veut augmenter de $3$ la racine de cette équation
+\[
+x^4 + 4x^3 - 19x^2 - 106x - 120 = 0,
+\]
+il faut prendre $y$ au lieu de $x$, et penser que cette quantité $y$ est plus grande
+que $x$ de $3$, en sorte que $y-3$ est égal à $x$; et au lieu de $x^2$ il faut mettre
+le carré de $y-3$, qui est $y^2 - 6y + 9$; et au lieu de $x^3$ il faut mettre son
+cube qui est $y^3 - 9y^2 + 27y - 27$; et enfin au lieu de $x^4$ il faut mettre
+son carré de carré qui est $y^4 - 12y^3 + 54y^2 - 108y + 81$. Et ainsi,
+décrivant la somme précédente en substituant partout $y$ au lieu de $x$, on a
+\[
+\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
+\begin{array}{@{}r@{\ } *{4}{c@{\ }r@{\ }} l@{}}
+  y^4 &-& 12y^3 &+& 54y^2 &-& 108y &+&  81 &  \\
+      &+&  4y^3 &-& 36y^2 &+& 108y &-& 108 &  \\
+      & &       &-& 19y^2 &+& 114y &-& 171 &  \\
+      & &       & &       &-& 106y &+& 318 &  \\
+      & &       & &       & &      &-& 120 &  \\
+\hline
+  y^4 &-& 8y^3 &-&    y^2 &+
+&\multicolumn{4}{@{}l@{}}{\phantom{10}8y*\footnotemark\quad =0,}
+\end{array}
+\renewcommand{\arraystretch}{1}
+\]
+\footnotetext{Descartes indique l'absence d'un terme par le signe * mis à la place de ce terme; nous l'ôterons
+  comme inutile, de même que le facteur $1$ qu'il laisse quelquefois.}
+ou bien
+\[
+y^3-8y^2-y + 8 = 0,
+\]
+où la vraie racine qui étoit $5$ est maintenant $8$, à cause du nombre $3$ qui lui
+est ajouté.
+
+Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de cette même
+équation, il faut faire $y + 3 = x$, et $y^2 + 6y + 9 = x^2$ et ainsi des
+autres, de façon qu'au lieu de
+\[
+  x^4 + 4x^3 - 19x^2 - 106x - 120 = 0,
+\]
+on met
+\[
+\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
+\begin{array}{@{}r@{\ } *{4}{c@{\ }r@{\ }} l@{}}
+  y^4 &+& 12y^3 &+& 54y^2 &+& 108y &+&  81 &  \\
+      &+&  4y^3 &+& 36y^2 &+& 108y &+& 108 &  \\
+      & &       &-& 19y^2 &-& 114y &-& 171 &  \\
+      & &       & &       &-& 106y &-& 318 &  \\
+      & &       & &       & &      &-& 120 &  \\
+\hline
+  y^4 &+& 16y^3 &+& 71y^2 &-&   4y &-& 420 & =0.
+\end{array}
+\renewcommand{\arraystretch}{1}
+\]
+
+% [File: 069.png Page: 59]
+
+Et\label{cont40}\mymarginpar{Qu'en augmentant
+les vraies
+racines
+on diminue les
+fausses, et au
+contraire.}
+il est à remarquer qu'en augmentant les vraies racines d'une équation
+on diminue les fausses de la même quantité, ou au contraire en diminuant
+les vraies on augmente les fausses; et que si on diminue, soit les unes, soit
+les autres, d'une quantité qui leur soit égale, elles deviennent nulles; et que
+si c'est d'une quantité qui les surpasse, de vraies elles deviennent fausses, ou
+de fausses vraies. Comme ici, en augmentant de $3$ la vraie racine qui étoit $5$,
+on a diminué de $3$ chacune des fausses, en sorte que celle qui étoit $4$ n'est
+plus que $1$, et celle qui étoit $3$ est nulle, et celle qui étoit $2$ est devenue vraie
+et est $1$, à cause que ${}- 2 + 3$ fait ${}+ 1$: c'est pourquoi en cette équation
+\[
+y^3 - 8y^2 - y + 8 = 0
+\]
+il n'y a plus que trois racines, entre lesquelles il y en a deux qui sont vraies,
+$1$ et $8$, et une fausse qui est aussi $1$; et en cette autre
+\[
+y^4 + 16y^3 + 71y^2 - 4y - 420 = 0,
+\]
+il n'y en a qu'une vraie qui est 2, à cause que ${}+ 5 - 3$ fait ${}+ 2$, et trois
+fausses qui sont 5, 6 et 7.
+
+Or\label{cont41}\mymarginpar{Comment on
+peut ôter le
+second terme
+d'une équation.}
+par cette façon de changer la valeur des racines sans les connoître on
+peut faire deux choses qui auront ci-après quelque usage. La première est
+qu'on peut toujours ôter le second terme de l'équation qu'on examine, à
+savoir en diminuant les vraies racines de la quantité connue de ce second
+terme divisée par le nombre des dimensions du premier, si l'un de ces deux
+termes étant marqué du signe $+$, l'autre est marqué du signe $-$; ou bien en
+l'augmentant de la même quantité, s'ils out tous deux le signe $+$ ou tous deux
+le signe $-$. Comme pour ôter le second terme de la dernière équation qui est
+\[
+y^4 + 16y^3 + 71y^2 - 4y - 420 = 0,
+\]
+ayant divisé $16$ par $4$, à cause des quatre dimensions du terme $y^4$, il vient
+derechef $4$; c'est pourquoi je fais $z - 4 = y$, et j'écris
+%[**F2 This is a different construction than on the previous page. The PPer will probably want to pick one, though the result looks about the same.]
+\begin{alignat*}{10}
+z^4&& {}- 16z^3 +{}&&   96z^2 -{}&& 256z +{}&&  256 \\
+   && {}+ 16z^3 -{}&&  192z^2 +{}&& 768z -{}&& 1024 \\
+   &&         {}+{}&&   71z^2 -{}&& 568z +{}&& 1136 \\
+   &&              &&       {}-{}&&   4z +{}&&   16 \\
+   &&              &&            &&    {}-{}&&  420 \\[-2ex]
+\multispan{10}{\hrulefill}\\[-1ex]
+z^4&&         {}-{}&&   25z^2 -{}&&  60z -{}&&   36 &= 0
+\end{alignat*}
+% [File: 070.png Page: 60]
+où la vraie racine qui étoit $2$ est $6$, à cause qu'elle est augmentée de $4$; et
+les fausses, qui étoient $5$, $6$ et $7$, ne sont plus que $1$, $2$ et $3$, à cause qu'elles
+sont diminuées chacune de $4$.
+
+Tout de même si on veut ôter le second terme de
+\[
+x^4 - 2ax^3 + (2a^2 - c^2)x^2 - 2a^3x + a^4 = 0,
+\]
+pourceque divisant $2a$ par $4$ il vient $\dfrac{1}{2}a$, il faut faire $z+\dfrac{1}{2}a = x$, et écrire
+\begin{alignat*}{10}
+\qquad\qquad\qquad
+z^4 + 2az^3 +{} && \frac{3}{2}a^2z^2 +{} && \frac{1}{2}a^3z +{} && \frac{1}{16} & a^4  \\
+  {}- 2az^3 -{} && 3a^2z^2           -{} && \frac{3}{2}a^3z -{} && \frac{1}{4}  & a^4  \\
+          {}+{} && 2a^2z^2           +{} && 2a^3z           +{} && \frac{1}{2}  & a^4  \\
+          {}-{} && c^2z^2            -{} && ac^2z           -{} && \frac{1}{4}  & a^2c^2 \\
+                &&                 {}-{} && 2a^3z           -{} &&              & a^4  \\
+                &&                       &&               {}+{} &&              & a^4  \\[-2ex]
+\multispan{10}{\hrulefill}\\[-1ex]
+\multispan{8}{$z^4 + \left(\dfrac{1}{2}a^2 - c^2\right)z^2 - (a^3 + ac^2)z +
+               \dfrac{5}{16}a^4 - \dfrac{1}{4}a^2c^2 = 0$}
+\end{alignat*}
+et si on trouve après la valeur de $z$, en lui ajoutant $\dfrac{1}{2}a$ on aura celle de $x$.
+
+La\label{cont42}\mymarginpar{Comment on
+peut faire que
+toutes les
+fausses racines
+d'une équation
+deviennent
+vraies sans que
+les vraies
+deviennent
+fausses.}
+seconde chose qui aura ci-après quelque usage est qu'on peut toujours,
+en augmentant la valeur des vraies racines d'une quantité qui soit plus
+grande que n'est celle d'aucune des fausses, faire qu'elles deviennent toutes
+vraies, en sorte qu'il n'y ait point deux signes $+$ ou deux signes $-$ qui
+s'entre-suivent, et outre cela que la quantité connue du troisième terme soit
+plus grande que le carré de la moitié de celle du second. Car encore que
+cela se fasse lorsque ces fausses racines sont inconnues, il est aisé néanmoins
+de juger à peu près de leur grandeur et de prendre une quantité qui les
+surpasse d'autant ou de plus qu'il n'est requis à cet effet. Comme si on a
+\[
+x^6 + nx^5 - 6n^2x^4 + 36n^3x^3 - 216n^4x^2 + 1296n^5x - 7776n^6 = 0,
+\]
+% [File: 071.png Page: 61]
+en faisant $y - 6n = x$ on trouvera
+\begin{small}
+\[
+\begin{array}{*{6}{r@{}r@{}l@{} }}
+    y^6 -{} &    36n & \multirow{2}{*}{$\left.\rule{0pt}{3ex}\right\}$} &
+    y^5 +{} &   540n^2 & \multirow{3}{*}{$\left.\rule{0pt}{4.5ex}\right\}$} &
+    y^4 -{} &  4320n^3 & \multirow{4}{*}{$\left.\rule{0pt}{6ex}\right\}$} &
+    y^3 +{} & 19440n^4 & \multirow{5}{*}{$\left.\rule{0pt}{7.5ex}\right\}$} &
+    y^2 -{} & 46656n^5 & \multirow{6}{*}{$\left.\rule{0pt}{9ex}\right\}$} &
+    y   +{} & 46656n^6&
+\\
+      {}+{} &     n   && {}-{} &   30n^2 && {}+{} &  360n^3 &&
+      {}-{} & 2160n^4 && {}+{} & 6480n^5 && {}-{} & 7776n^6
+\\
+            &         && {}-{} &    6n^2 && {}+{} &  144n^3 &&
+      {}-{} & 1296n^4 && {}+{} & 5184n^5 && {}-{} & 7776n^6
+\\
+            &         &&       &         && {}+{} &   36n^3 &&
+      {}-{} &  648n^4 && {}+{} & 3888n^5 && {}-{} & 7776n^6
+\\
+            &         &&       &         &&       &         &&
+      {}-{} &  216n^4 && {}+{} & 2592n^5 && {}-{} & 7776n^6
+\\
+            &         &&       &         &&       &         &&
+            &         && {}+{} & 1296n^5 && {}-{} & 7776n^6
+\\
+            &         &&       &         &&       &         &&
+            &         &&       &         && {}-{} & 7776n^6
+\\
+\hline \rule{0pt}{3ex}
+  y^6 {}-{} & 35n &y^5      & {}+{} & 504n^2 &y^4 & {}-{} & 3780n^3 &y^3 &
+      {}+{} & 15120n^4 &y^2 & {}-{} & 27216n^5 &y & {}={} &\ 0.\hfill{}
+\end{array}
+\]
+\end{small}
+
+Où il est manifeste que $504 n^2$, qui est la quantité connue du troisième
+terme, est plus grande que le carré de $\dfrac{35}{2}n$, qui est la moitié de celle du
+second. Et il n'y a point de cas pour lequel la quantité dont on augmente
+les vraies racines ait besoin à cet effet d'être plus grande, à proportion de
+celles qui sont données, que pour celui-ci.
+
+%% [** marginpar that was here moved down to avoid page break]
+Mais
+à cause que le dernier terme s'y trouve nul, si on ne désire pas que
+cela soit il faut encore augmenter tant soit peu la valeur des racines, et ce\label{cont43}\mymarginpar{Comment on
+fait que toutes
+les places
+d'une équation
+soient
+remplies.}
+ne sauroit être de si peu que ce ne soit assez pour cet effet; non plus que
+lorsqu'on veut accroître le nombre des dimensions de quelque équation, et
+faire que toutes les places de ces termes soient remplies, comme si, au lieu
+de $x^5 - b = 0$, on veut avoir une équation en laquelle la quantité inconnue
+ait six dimensions et dont aucun des termes ne soit nul, il faut premièrement
+pour
+\[
+x^5 - b = 0
+\]
+écrire
+\[
+x^6 - bx = 0;
+\]
+puis, ayant fait $y-a=x$, on aura
+\begin{align*}
+\left.\begin{alignedat}{2}
+  y^6 - 6ay^5 + 15a^2y^4 - 20a^3y^3 + 15a^4y^2 &- 6a^5 \\
+  &- b
+\end{alignedat}\right\}
+\begin{alignedat}{2}
+  y &+ a^6 \\
+    &+ ab
+\end{alignedat}
+= 0,
+\end{align*}
+où il est manifeste que, tant petite que la quantité $a$ soit supposée, toutes
+les places de l'équation ne laissent pas d'être remplies.
+
+De\label{cont44}\mymarginpar{Comment on
+peut
+multiplier ou
+diviser les
+racines sans
+les connoître.}
+plus on peut, sans connoître la valeur des vraies racines d'une
+équation, les multiplier ou diviser toutes par telle quantité connue qu'on
+% [File: 072.png Page: 62]
+veut; ce qui se fait en supposant que la quantité inconnue étant multipliée
+ou divisée par celle qui doit multiplier ou diviser les racines est égale à
+quelque autre; puis multipliant ou divisant la quantité connue du second
+terme par cette même qui doit multiplier ou diviser les racines, et par son
+carré celle du troisième, et par son cube celle du quatrième, et ainsi jusques
+au dernier.\label{cont45}\mymarginpar{Comment on
+réduit les
+nombres
+rompus d'une
+équation à des
+entiers.}
+Ce qui peut servir pour réduire à des nombres entiers et
+rationnaux les fractions, ou souvent aussi les nombres sourds qui se trouvent
+dans les termes des équations. Comme si on a
+\[
+x^3 - \sqrt{3}x^2 + \frac{26}{27}x - \frac{8}{27\sqrt{3}} = 0,
+\]
+et qu'on veuille en avoir une autre en sa place, dont tous les termes
+s'expriment par des nombres rationnaux, il faut supposer $y = x\sqrt{3}$, et
+multiplier par $\sqrt{3}$ la quantité connue du second terme qui est aussi $\sqrt{3}$, et
+par son carré qui est 3 celle du troisième qui est $\dfrac{26}{27}$, et par son cube qui
+est $3\sqrt{3}$ celle du dernier qui est $\dfrac{8}{27\sqrt{3}}$, ce qui fait
+\[
+y^3 - 3y^2 + \frac{26}{9}y - \frac{8}{9} = 0.
+\]
+Puis si on en veut avoir encore une autre en la place de celle-ci, dont les
+quantités connues ne s'expriment que par des nombres entiers, il faut
+supposer $z = 3 y$, et multipliant 3 par 3, $\dfrac{26}{9}$ par 9 et $\dfrac{8}{9}$ par 27, on trouve
+\[
+z^3 - 9z^2 + 26z - 24 = 0,
+\]
+où les racines étant 2, 3 et 4, on connoît de là que celles de l'autre d'auparavant
+étoient $\dfrac{2}{3}$, 1 et $\dfrac{4}{3}$, et que celles de la première étoient
+\[
+\frac{2}{9}\sqrt{3}, \quad \frac{1}{3}\sqrt{3}, \quad\text{et}\quad \frac{4}{9}\sqrt{3}.
+\]
+
+
+Cette\label{cont46}\mymarginpar{Comment on
+rend la
+quantité
+connue de l'un
+des termes
+d'une équation
+égale à telle
+autre qu'on
+veut.}
+opération peut aussi servir pour rendre la quantité connue de
+% [File: 073.png Page: 63]
+quelqu'un des termes de l'équation égale à quelque autre donnée, comme
+si ayant
+\[
+x^3-b^2x+c^3=0,
+\]
+on veut avoir en sa place une autre équation en laquelle la quantité connue
+du terme qui occupe la troisième place, à savoir celle qui est ici $b^2$ soit $3a^2$,
+il faut supposer $y=x \sqrt{\dfrac{3a^2}{b^2}}$, puis écrire
+\[
+  y^3 - 3a^2y + \frac{3a^3c^3}{b^3}\sqrt{3} = 0.
+\]
+
+Au\label{cont47}\mymarginpar{Que les
+racines tant
+vraies que
+fausses
+peuvent être
+réelles ou
+imaginaires.}
+reste, tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours
+réelles, mais quelquefois seulement imaginaires, c'est-à-dire qu'on peut bien
+toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y
+a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celles qu'on imagine;
+comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle-ci,
+\[
+x^3-6x^2+13x-10=0,
+\]
+il n'y en a toutefois qu'une réelle qui est 2, et pour les deux autres, quoiqu'on
+les augmente ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer,
+on ne saurait les rendre autres qu'imaginaires.
+
+Or\label{cont48}\mymarginpar{La réduction
+des équations
+cubiques,
+lorsque le
+problème est
+plan.}
+quand, pour trouver la construction de quelque problème, on vient à
+une équation en laquelle la quantité inconnue a trois dimensions, premièrement,
+si les quantités connues qui y sont contiennent quelques nombres
+rompus, il les faut réduire à d'autres entiers par la multiplication tantôt
+expliquée; et s'ils en contiennent de sourds, il faut aussi les réduire à
+d'autres rationnaux autant qu'il sera possible, tant par cette même multiplication
+que par divers autres moyens qui sont assez faciles à trouver. Puis
+examinant par ordre toutes les quantités qui peuvent diviser sans fraction le
+dernier terme, il faut voir si quelqu'une d'elles, jointe avec la quantité
+inconnue par le signe $+$ ou $-$, peut composer un binôme qui divise toute
+la somme; et si cela est, le problème est plan, c'est-à-dire il peut être
+construit avec la règle et le compas; car, ou bien la quantité connue de ce
+binôme est la racine cherchée, ou bien l'équation étant divisée par lui se
+% [File: 074.png Page: 64]
+réduit à deux dimensions, en sorte qu'on en peut trouver après la racine par
+ce qui a été dit au premier livre.
+
+Par exemple, si on a
+\[
+  y^6 - 8y^4 - 124y^2 - 64 = 0,
+\]
+le dernier terme qui est 64 peut être divisé sans fraction par 1, 2, 4, 8, 16,
+32, 64; c'est pourquoi il faut examiner par ordre si cette équation ne peut
+point être divisée par quelqu'un des binômes $y^2-1$ ou $y^2+1$, $y^2-2$
+ou $y^2+2$, $y^2-4$, etc.; et on trouve qu'elle peut l'être par $y^2-16$ en
+cette sorte:
+\[
+\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
+\begin{array}{ *{9}{r@{\ }} }
+{}\quad{}
+&{} +y^6 &-&  8y^4 &-& 124y^2 &-& 64 & =0 \\\cline{7-8}
+&{} -y^6 &-&  8y^4 &-&   4y^2 &-& 16 &    \\[-2.5ex]
+%\cline{2-6}
+&\multicolumn{1}{@{}c@{\ }}{\rule{2em}{2pt}}
+&\multicolumn{2}{@{}c@{\ }}{\rule{3em}{2pt}}
+&\multicolumn{2}{@{}c@{\ }}{\rule{3.5em}{2pt}}
+\\[-1.5ex]
+&    0   &-& 16y^4 &-& 128y^2 & &    &    \\[-2.5ex]
+%\cline{3-6}
+&&\multicolumn{2}{@{}c@{\ }}{\hrulefill}
+&\multicolumn{2}{@{}c@{\ }}{\hrulefill}
+\\[-1.5ex]
+&        &-& 16\phantom{y^4} &-& 16\phantom{y^4} &  &  &  \\ \cline{1-8}
+&        &+&   y^4 &+&   8y^2 &+& 4  & =0
+\end{array}
+\renewcommand{\arraystretch}{1}
+\]
+
+Je\label{cont49}\mymarginpar{La façon de
+diviser une
+équation par
+un binôme
+qui contient
+sa racine.}
+commence par le dernier terme, et divise ${}-64$ par ${}-16$, ce qui
+fait ${}+4$ que j'écris dans le quotient; puis je multiplie ${}+4$ par ${}+y^2$, ce
+qui fait ${}+4y^2$; c'est pourquoi j'écris ${}-4y^2$ en la somme qu'il faut diviser,
+car il y faut toujours écrire le signe ${}+$ ou ${}-$ tout contraire à celui que
+produit la multiplication; et joignant ${}-124y^2$ avec ${}-4y^2$, j'ai ${}-128y^2$
+que je divise derechef par ${}-16$, et j'ai ${}+y^4$ pour mettre dans le quotient;
+et en le multipliant par $y^2$, j'ai ${}-8y^4$ pour joindre avec le terme qu'il faut
+diviser, qui est aussi ${}-8y^4$; et ces deux ensemble font ${}-16y^4$ que je
+divise par ${}-16$, ce qui fait ${}+y^4$ pour le quotient et ${}-y^6$ pour joindre
+avec ${}+y^6$, ce qui fait 0 et montre que la division est achevée. Mais s'il
+étoit resté quelque quantité, ou bien qu'on n'eût pu diviser sans fraction
+quelqu'un des termes précédents, ou eût par là reconnu qu'elle ne pouvoit
+être faite.
+
+Tout de même si on a
+\[
+\begin{array}{r@{}r@{}r}
+  \multirow{2}{*}{$\left.
+    \begin{array}{@{\,}r@{\ }c@{\ }r@{\,}}
+      y^6  &+&   a^2  \\
+           &-&  2c^2
+    \end{array} \right\}$} &
+  \multirow{2}{*}{$\left.
+    \begin{array}{@{\,}r@{\ }c@{\ }l@{\,}}
+      y^4 &-&  a^4  \\
+           &+&  c^4
+    \end{array}\right\}$} &
+  \multirow{3}{*}{$\left.
+    \begin{array}{@{\,}r@{\ }c@{\ }c@{\,}}
+      y^2  &-&  a^6  \\
+           &-& 2a^4c^2 \\
+           &-&  a^2c^4
+    \end{array}\right\}$}
+\multirow{3}{*}{=0,}
+\end{array}
+\vspace{4ex}
+\]
+% [File: 075.png Page: 65]
+le dernier terme se peut diviser sans fraction par $a$, $a^2$, $a^2+c^2$, $a^3+ac^2$,
+et semblables; mais il n'y en a que deux qu'on ait besoin de considérer, à
+savoir $a^2$ et $a^2+c^2$, car les autres, donnant plus ou moins de dimensions
+dans le quotient qu'il n'y en a en la quantité connue du pénultième terme,
+empêcheroient que la division ne s'y pût faire. Et notez que je ne compte ici
+les dimensions de $y^6$ que pour trois, à cause qu'il n'y a point de $y^5$, ni de $y^3$,
+ni de $y$ en toute la somme. Or en examinant le binôme $y^2-a^2-c^2=0$,
+on trouve que la division se peut faire par lui en cette sorte:
+\[
+\begin{array}{@{}*{3}{r@{\:}}r@{}}
+  {} + y^6
+& \multirow{2}{*}{$\left.
+    \begin{array}{@{\:}c@{\:}r@{\:}} + & a^2 \\ - & 2c^2 \end{array}
+  \right\} y^4 $}
+& \multirow{2}{*}{$\left.
+     \begin{array}{@{\:}c@{\:}l@{\:}} - & a^4 \\ + & c^4 \phantom{a^2}
+     \end{array}
+  \right\} y^2 $}
+& \multirow{3}{*}{$\left.
+    \begin{array}{@{\:}c@{\:}r@{\:}}
+      - & a^6\phantom{c^2} \\ - & 2a^4c^2 \\ - & a^2c^4
+    \end{array}
+  \right\}=0$} \\
+
+  \underline{ {} - y^6\rule[-.7ex]{0pt}{1ex}}  & & & \\[.5ex]
+
+  0  \rule{0pt}{2ex}
+& \multirow{2}{*}{$\left.
+    \begin{array}{@{\:}c@{\:}r@{\:}} - & 2a^2 \\ + & c^2 \\
+    \end{array}
+  \right\} y^4 $}
+& \multirow{2}{*}{$\left.
+    \begin{array}{@{\:}c@{\:}l@{\:}} - & a^4 \\ - & a^2c^2 \end{array}
+    \right\} y^2 $} &
+   \\
+
+& & & \multicolumn{1}{@{\:}l@{\:}}{
+        \rlap{$ {} - a^2 - c^2$}
+        \overline{\phantom{{}-2a^2c^2} \rule{0pt}{2.2ex}} } \\[-.2ex]
+
+& \multicolumn{1}{@{\:}l@{\:}}{\overline{{}-a^2-c^2\rule{0pt}{2.2ex}}}
+& \multicolumn{1}{@{\:}l@{\:}}{\overline{{}-a^2-c^2\rule{0pt}{2.2ex}}}
+& \\[.2ex] \hline
+
+& \multicolumn{1}{@{\:}l@{\:}}{ {} + y^4\rule{0pt}{2.7ex}}
+& \multirow{2}{*}{$\left.
+    \begin{array}{@{\:}c@{\:}r@{\:}} + & 2a^2 \\ - & c^2
+    \end{array}\right\} y^2 $}
+& \multirow{2}{*}{$\left.
+     \begin{array}{@{\:}c@{\:}l@{\:}} + & a^4 \\ + & a^2c^2 \phantom{2}
+  \end{array} \right\}=0,$} \\
+
+&&&
+\end{array}
+\]
+
+Mais\label{cont50}\mymarginpar{Quels
+problèmes sont
+solides lorsque
+l'équation est
+cubique.}
+lorsqu'on ne trouve aucun binôme qui puisse ainsi diviser toute la
+somme de l'équation proposée, il est certain que le problème qui en dépend
+est solide; et ce n'est pas une moindre faute après cela de tâcher à le
+construire sans y employer que des cercles et des lignes droites, que ce
+seroit d'employer des sections coniques à construire ceux auxquels on n'a
+besoin que de cercles: car enfin tout ce qui témoigne quelque ignorance
+s'appelle faute.
+
+Que\label{cont51}\mymarginpar{La réduction
+des équations
+qui ont quatre
+dimensions,
+lorsque le
+problème est
+plan. Et quels
+sont ceux qui
+sont solides.}
+si on a une équation dont la quantité inconnue ait quatre dimensions,
+il faut en même façon, après en avoir ôté les nombres sourds et rompus, s'il
+y en a, voir si on pourra trouver quelque binôme qui divise toute la somme
+en le composant de l'une des quantités qui divisent sans fraction le dernier
+terme. Et si on en trouve un, ou bien la quantité connue de ce binôme est
+la racine cherchée, ou du moins, après cette division, il ne reste en l'équation
+que trois dimensions, ensuite de quoi il faut derechef l'examiner en la
+même sorte. Mais lorsqu'il ne se trouve point de tel binôme, il faut, en
+% [File: 076.png Page: 66]
+augmentant ou diminuant la valeur de la racine, ôter le second terme de la
+somme en la façon tantôt expliquée, et après la réduire à une autre qui ne
+contienne que trois dimensions; ce qui se fait en cette sorte: au lieu de
+\[
+{}+ x^4 \dots\ px^2 \dots\ qx \dots\ r = 0,
+\]
+il faut écrire
+\[
+{}+ y^6 \dots\ 2py^4 + (p^2 \dots\ 4r)y^2 - q^2 = 0.
+\]
+
+Et pour les signes $+$ ou $-$ que j'ai omis, s'il y a eu ${}+p$ en la précédente
+équation, il faut mettre en celle-ci ${}+2p$, ou s'il y a eu ${}-p$, il faut
+mettre $-2p$; et au contraire s'il y a eu ${}+r$, il faut mettre ${}-4r$, ou s'il y
+a eu ${}-r$, il faut mettre ${}+4r$; et soit qu'il y ait eu ${}+q$ ou ${}-q$, il faut
+toujours mettre ${}-q^2$ et ${}+p^2$, au moins si on suppose que $x^4$ et $y^6$ sont
+marqués du signe $+$, car ce seroit tout le contraire si on y supposoit le
+signe $-$.
+
+Par exemple, si on a
+\[
+{}+ x^4 - 4x^2 - 8x + 35 = 0,
+\]
+il faut écrire en son lieu
+\[
+y^6 - 8y^4 - 124y^2 - 64 = 0,
+\]
+car la quantité que j'ai nommée $p$ étant ${}-4$, il faut mettre ${}-8y^4$ pour $2py^4$;
+et celle que j'ai nommée $r$ étant $35$, il faut mettre $(16-140) y^2$, c'est-à-dire
+${}-124y^2$ au lieu de $(p^2-4r)y^2$; et enfin $q$ étant $8$, il faut mettre ${}-64$
+pour ${}-q^2$.
+
+Tout de même, au lieu de
+\[
+{}+ x^4 - 17x^2 - 20x - 6 = 0,
+\]
+il faut écrire
+\[
+{}+ y^6 - 34y^4 + 313y^2 - 400 = 0,
+\]
+car 34 est double de 17, et 313 en est le carré joint au quadruple de 6,
+et 400 est le carré de 20.
+
+Tout de même aussi au lieu de
+\[
+{}+ z^4 + \left(\frac{1}{2}a^2-c^2\right)z^2 - (a^3+ac^2)z -
+    \frac{5}{16}a^4 - \frac{1}{4}a^2c^2 = 0,
+\]
+% [File: 077.png Page: 67]
+il faut écrire
+\[
+y^6 + (a^2 - 2c^2)y^4 + (c^4 - a^4)y^2 - a^6 - 2a^4c^2 - a^2c^4 = 0;
+\]
+car $p$ est $\dfrac{1}{2}a^2-c^2$, et $p^2$ est $\dfrac{1}{4}a^4-a^2c^2+c^4$, et $4r$ est $-\dfrac{5}{4}a^4+a^2c^2$,
+et enfin $-q^2$ est $-a^6-2a^4c^2-a^2c^4$.
+
+Après que l'équation est ainsi réduite à trois dimensions, il faut chercher
+la valeur de $y^2$ par la méthode déjà expliquée; et si elle ne peut être trouvée,
+on n'a point besoin de passer outre, car il suit de là infailliblement que le
+problème est solide. Mais si on la trouve, on peut diviser par son moyen la
+précédente équation en deux autres, en chacune desquelles la quantité
+inconnue n'aura que deux dimensions et dont les racines seront les mêmes
+que les siennes; à savoir, au lieu de
+\[
+{}+ x^4 \dots\ px^2 \dots\ qx \dots\ r = 0 ,
+\]
+il faut écrire ces deux autres
+\[
+{}+x^2 - yx + \frac{1}{2}y^2 \dots\  \frac{1}{2}p \dots\ \frac{q}{2y} =0,
+\]
+et
+\[
+{}+x^2 + yx + \frac{1}{2}y^2 \dots\  \frac{1}{2}p \dots\ \frac{q}{2y} =0.
+\]
+
+Et pour les signes $+$ et $-$ que j'ai omis, s'il y a ${}+ p$ en l'équation
+précédente, il faut mettre ${}+\dfrac{1}{2}p$ en chacune de celles-ci, et ${}-\dfrac{1}{2}p$ s'il y a
+en l'autre ${}-p$; mais il faut mettre ${}+\dfrac{q}{2y}$ en celle où il y a ${}-yx$,
+et ${}-\dfrac{q}{2y}$
+en celle où il y a ${}+ yx$, lorsqu'il y a ${}+ q$ en la première; et au contraire,
+s'il y a ${}-q$, il faut mettre ${}-\dfrac{q}{2y}$ en celle où il y a ${}-yx$, et ${}+\dfrac{q}{2y}$ en celle
+où il y a ${}+ yx$. Ensuite de quoi il est aisé de connoître toutes les racines de
+l'équation proposée, et par conséquent de construire le problème dont elle
+contient la solution, sans y employer que des cercles et des lignes droites.
+
+Par exemple, à cause que faisant
+\[
+y^6 - 34y^4 + 313y^2 - 400 =0
+\]
+% [File: 078.png Page: 68]
+pour
+\[
+x^4-17x^2-20x-6=0,
+\]
+on trouve que $y^2$ est 16, on doit, au lieu de cette équation
+\[
+{}+x^4-17x^2-20x-6=0,
+\]
+écrire ces deux autres
+\[
+{}+x^2-4x-3=0,
+\]
+et
+\[
+{}+x^2+4x+2=0,
+\]
+car $y$ est 4, $\dfrac{1}{2}y^2$ est 8, $p$ est 17, et $q$ est 20, de façon que
+\[
+{}+ \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}p - \frac{q}{2y} \text{ fait $-3$, et }
+{}+ \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}p + \frac{q}{2y} \text{ fait }+2.
+\]
+Et tirant les racines de ces deux équations, on trouve toutes les mêmes que
+si on les tiroit de celle où est $x^4$, à savoir, on en trouve une vraie qui est
+$\sqrt{7} + 2$, et trois fausses qui sont
+\[
+  \sqrt{7} - 2, \quad 2+\sqrt{2}, \quad \text{et}\quad 2-\sqrt{2},
+\]
+Ainsi ayant
+\[
+x^4-4x^2-8x+35=0,
+\]
+pourceque la racine de
+\[
+y^6-8y^4-124y^2-64=0
+\]
+est derechef 16, il faut écrire
+\[
+x^2-4x+5=0
+\]
+et
+\[
+x^2+4x+7=0.
+\]
+Car ici
+\[
++ \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}p - \frac{q}{2y} \text{ fait 5, et }
++ \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}p + \frac{q}{2y} \text{ fait 7.}
+\]
+Et pourcequ'on ne trouve aucune racine, ni vraie ni fausse, en ces deux
+% [File: 079.png Page: 69]
+dernières équations, on connoît de là que les quatre de l'équation dont elles
+procèdent sont imaginaires, et que le problème pour lequel on l'a trouvée
+est plan de sa nature, mais qu'il ne sauroit en aucune façon être construit,
+à cause que les quantités données ne peuvent se joindre.
+
+Tout de même ayant
+\[
+  z^4 + \left( \frac{1}{2}a^2-c^2 \right) z^2 - (a^3+ac^2)z
++ \frac{5}{16}a^4 - \frac{1}{4}a^2c^2 = 0,
+\]
+pourcequ'on trouve $a^2+c^2$ pour $y^2$, il faut écrire
+\[
+z^2-\sqrt{a^2+c^2}z + \frac{3}{4}a^2 - \frac{1}{2}a \sqrt{a^2+c^2}=0,
+\]
+et
+\[
+z^2+\sqrt{a^2+c^2}z + \frac{3}{4}a^2 + \frac{1}{2}a \sqrt{a^2+c^2}=0,
+\]
+car $y$ est $\sqrt{a^2+c^2}$, et $+\dfrac{1}{2}y^2 +\dfrac{1}{2}p$ est $\dfrac{3}{4}a^2$, et $\dfrac{q}{2y}$ est $\dfrac{1}{2}a \sqrt{a^2+c^2}$,
+d'où on connoît que la valeur de $z$ est
+\[
+         \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + c^2}
++ \sqrt{-\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{4}c^2
+       + \frac{1}{2} a \sqrt{a^2+c^2}},
+\]
+ou bien
+\[
+         \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + c^2}
+- \sqrt{-\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{4}c^2
+       + \frac{1}{2} a \sqrt{a^2+c^2}}.
+\]
+Et pourceque nous avions fait ci-dessus $z+\dfrac{1}{2}a=x$, nous apprenons que
+la quantité $x$, pour la connoissance de laquelle nous avons fait toutes ces
+opérations, est
+\[
++ \frac{1}{2} +\sqrt{\frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{4}c^2}
+- \sqrt{ \frac{1}{4}c^2 - \frac{1}{2}a^2
+       + \frac{1}{2} a \sqrt{a^2+c^2} }.
+\]
+
+Mais\label{cont52}\mymarginpar{Exemple de
+l'usage de ces
+réductions.}
+afin qu'on puisse mieux connoître l'utilité de cette règle il faut que
+je l'applique à quelque problème.
+
+% [File: 080.png Page: 70]
+
+Si le carré $A\:D$ \textit{(fig.~26)} et la ligne $B\:N$ étant donnés, il faut prolonger le
+côté $A\:C$ jusques à $E$, en sorte que $E\:F$, tirée de $E$ vers $B$, soit égale à $N\:B$:
+on apprend de Pappus, qu'ayant premièrement prolongé $B\:D$ jusques à $G$,
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 26.}} \\ \includegraphics*[width=1.7in]{images/f026.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+en sorte que $D\:G$ soit égale à $D\:N$, et ayant décrit un cercle dont le diamètre
+soit $B\:G$, si on prolonge la ligne droite $A\:C$, elle rencontrera la circonférence
+de ce cercle au point $E$ qu'on demandoit. Mais pour ceux qui ne sauroient
+point cette construction, elle seroit assez difficile à rencontrer; et, en la
+cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s'aviseroient jamais de
+prendre $D\:G$ pour la quantité inconnue, mais plutôt $C\:F$ ou $F\:D$, à cause que
+ce sont elles qui conduisent le plus aisément à l'équation; et lors ils en
+trouveroient une qui ne seroit pas facile à démêler sans la règle que je viens
+d'expliquer. Car posant $a$ pour $B\:D$ ou $C\:D$, et $c$ pour $E\:F$, et $x$ pour $D\:F$, on
+a $C\:F=a-x$, et comme $C\:F$ ou $a-x$ est à $F\:E$ ou $c$, ainsi $F\:D$ ou $x$ est
+à $B\:F$, qui par conséquent est $\dfrac{cx}{a-x}$. Puis à cause du triangle rectangle $B\:D\:F$
+dont les côtés sont l'un $x$ et l'autre $a$, leurs carrés, qui sont $x^2+a^2$, sont
+égaux à celui de la base, qui est $\dfrac{c^2x^2}{x^2-2ax+a^2}$; de façon que, multipliant
+le tout par $x-2ax+a^2$, on trouve que l'équation est
+\[
+  x^4 - 2ax^3 + 2a^2x^2 - 2a^3x + a^4 = c^2x^2,
+\]
+ou bien
+\[
+  x^4 - 2ax^3 + (2a^2-c^2)x^2 - 2a^3x + a^4 = 0;
+\]
+et on connoît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur
+de la ligne $D\:F$, est
+\[
+  \frac{1}{2}a + \sqrt{\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}c^2}
+- \sqrt{\frac{1}{4}c^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}a\sqrt{a^2+c^2}}.
+\]
+% [File: 081.png Page: 71]
+
+Que si on posoit $B\:F$, ou $C\:E$, ou $B\:E$, pour la quantité inconnue, on
+viendroit derechef à une équation en laquelle il y auroit quatre dimensions,
+mais qui seroit plus aisée à démêler, et on y viendroit assez aisément; au
+lieu que si c'étoit $D\:G$ qu'on supposât, on viendroit beaucoup plus difficilement
+à l'équation, mais aussi elle seroit très simple. Ce que je mets ici pour vous
+avertir que, lorsque le problème proposé n'est point solide, si en le cherchant
+par un chemin on vient à une équation fort composée, on peut ordinairement
+venir à une plus simple en le cherchant par un autre.
+
+Je pourrois encore ajouter diverses règles pour démêler les équations qui
+vont au cube ou au carré de carré, mais elles seroient superflues; car lorsque
+les problèmes sont plans on en peut toujours trouver la construction par
+celles-ci.
+
+Je\label{cont53}\mymarginpar{Règle
+générale pour
+réduire les
+équations qui
+passent le
+carré de carré.}
+pourrois aussi en ajouter d'autres pour les équations qui montent
+jusques au sursolide, ou au carré de cube, ou au-delà, mais j'aime mieux
+les comprendre toutes en une, et dire en général que, lorsqu'on a tâché de
+les réduire à même forme que celles d'autant de dimensions qui viennent
+de la multiplication de deux autres qui en ont moins, et qu'ayant dénombré
+tous les moyens par lesquels cette multiplication est possible, la chose
+n'a pu succéder par aucun, on doit s'assurer qu'elles ne sauroient être
+réduites à de plus simples; en sorte que si la quantité inconnue a trois
+ou quatre dimensions, le problème pour lequel on la cherche est solide,
+et si elle en a cinq ou six, il est d'un degré plus composé, et ainsi des
+autres.
+
+Au reste, j'ai omis ici les démonstrations de la plupart de ce que j'ai dit,
+à cause qu'elles m'ont semblé si faciles que, pourvu que vous preniez la
+peine d'examiner méthodiquement si j'ai failli, elles se présenteront à vous
+d'elles-mêmes; et il sera plus utile de les apprendre en cette façon qu'en les
+lisant.
+
+Or,\label{cont54}\mymarginpar{Façon
+générale pour
+construire
+tous les
+problèmes
+solides réduits
+à une équation
+de trois ou
+quatre
+dimensions.}
+quand on est assuré que le problème proposé est solide, soit que
+l'éq\-ua\-tion par laquelle on le cherche monte au carré de carré, soit qu'elle
+ne monte que jusques au cube, on peut toujours en trouver la racine par
+l'une des trois sections coniques, laquelle que ce soit, ou même par quelque
+partie de l'une d'elles, tant petite qu'elle puisse être, en ne se servant au
+reste que de lignes droites et de cercles. Mais je me contenterai ici de donner
+% [File: 082.png Page: 72]
+une règle générale pour les trouver toutes par le moyen d'une parabole, à
+cause qu'elle est en quelque façon la plus simple.
+
+Premièrement, il faut ôter le second terme de l'équation proposée, s'il
+n'est déjà nul, et ainsi la réduire à telle forme
+\[
+  z^3 = \dots\ apz\ \dots\ a^2q,
+\]
+si la quantité inconnue n'a que trois dimensions; ou bien à telle
+\[
+  z^4 = \dots\ apz^2\ \dots\ a^2qz\ \dots\ a^3r,
+\]
+si elle en a quatre; ou bien, en prenant $a$ pour l'unité, à telle
+\[
+  z^3 = \dots\ pz\ \dots\ q,
+\]
+et à telle
+\[
+  z^4 = \dots\ pz^2\ \dots\ qz\ \dots\ r.
+\]
+
+Après cela, supposant que la parabole $FAG$ \textit{(fig.~27)} est déjà décrite, et
+que son essieu est $A\:C\:D\:K\:L$, et que son côté droit est $a$ ou 1 dont $A\:C$ est la
+moitié, et enfin que le point $C$ est au dedans de cette parabole, et que $A$ en
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 27.}} \\ \includegraphics*[width=3.5in]{images/f027.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+est le sommet; il faut faire $C\:D =\dfrac{1}{2}p$, et la prendre du même côté qu'est
+le point $A$ au regard du point $C$, s'il y a ${}+ p$ en l'équation; mais s'il y a ${}-p$,
+il faut la prendre de l'autre côté. Et du point $D$, ou bien, si la quantité $p$
+étoit nulle, du point $C$ \textit{(fig.~28)} il faut élever une ligne à angles droits
+jusques à $E$, en sorte qu'elle soit égale à $\dfrac12q$. Et enfin du centre $E$ il faut
+% [File: 083.png Page: 73]
+décrire le cercle $F\:G$ dont le demi-diamètre soit $A\:E$ si l'équation n'est que
+cubique, en sorte que la quantité $r$ soit nulle. Mais quand il y a ${}+r$ il faut
+dans cette ligne $A\:E$ \textit{(fig.~27)} prolongée prendre d'un côté $A\:R$ égale à $r$, et
+de l'autre $A\:S$ égale au côté droit de la parabole qui est 1; et ayant décrit
+\begin{figure}[htb]
+  \centerline{\hbox{\hspace{0.0in}
+    \textit{\textbf{Fig. 28.}}
+    \hspace{2in}
+    \textit{\textbf{Fig. 29.}}
+    }
+  }
+  \centerline{\hbox{\hspace{0.0in}
+    \includegraphics*[width=1.2in]{images/f028.png}
+    \hspace{1in}
+    \includegraphics*[width=1.5in]{images/f029.png}
+    }
+  }
+\end{figure}
+un cercle dont le diamètre soit $R\:S$, il faut faire $A\:H$ perpendiculaire sur $A\:E$,
+laquelle $A\:H$ rencontre ce cercle $R\:H\:S$ au point $H$ qui est celui par où l'autre
+cercle $F\:H\:G$ doit passer. Et quand il y a ${}-r$, il faut, après avoir ainsi trouvé
+la ligne $A\:H$ \textit{(fig.~29)}, inscrire $A\:I$ qui lui soit égale, dans un autre cercle
+dont $A\:E$ soit le diamètre, et lors c'est par le point $I$ que doit passer $F\:I\:G$ le
+premier cercle cherché. Or ce cercle $F\:G$ peut couper ou toucher la parabole
+en un, ou deux, ou trois, ou quatre points, desquels tirant des perpendiculaires
+sur l'essieu, on a toutes les racines de l'équation tant vraies que
+fausses. A savoir si la quantité $q$ est marquée du signe $+$, les vraies racines
+seront celles de ces perpendiculaires qui se trouveront du même côté de la
+parabole que $E$ le centre du cercle, comme $F\:L$; et les autres, comme $G\:K$,
+seront fausses. Mais au contraire, si cette quantité $q$ est marquée du signe $-$,
+les vraies seront celles de l'autre côté, et les fausses ou moindres que rien
+seront du côté où est $E$ le centre du cercle. Et enfin si ce cercle ne coupe ni
+ne touche la parabole en aucun point, cela témoigne qu'il n'y a aucune
+racine ni vraie ni fausse en l'équation, et qu'elles sont toutes imaginaires.
+En sorte que cette règle est la plus générale et la plus accomplie qu'il soit
+possible de souhaiter.
+% [File: 084.png Page: 74]
+
+Et la démonstration en est fort aisée; car si la ligne $G\:K$ (\textit{fig.~27}), trouvée
+par cette construction, se nomme $z$, $A\:K$ sera $z^2$, à cause de la parabole en
+laquelle $G\:K$ doit être moyenne proportionnelle entre $A\:K$ et le côté droit qui
+est 1; puis, si de $A\:K$ j'ôte $A\:C$ qui est $\dfrac{1}{2}$, et $C\:D$ qui est $\dfrac{1}{2}p$, il reste $D\:K$ ou
+$E\:M$ qui est $z^2-\dfrac{1}{2}p-\dfrac{1}{2}$, dont le carré est
+\[
+  z^4 - pz^2 - z^2 + \frac{1}{4}p^2 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4};
+\]
+et à cause que $D\:E$ ou $K\:$M est $\dfrac{1}{2}q$, la toute $G\:M$ est $z+\dfrac{1}{2}q$, dont le carré est
+\[
+  z^2 + qz + \frac{1}{4}q^2;
+\]
+et assemblant ces deux carrés on a
+\[
+  z^4 - pz^2 + qz + \frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{4}p^2 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4},
+\]
+pour le carré de la ligne $G\:E$, à cause qu'elle est la base du triangle
+rectangle $E\:M\:G$.
+
+Mais à cause que cette même ligne $G\:E$ est le demi-diamètre du cercle $F\:G$,
+elle se peut encore expliquer en d'autres termes, à savoir $E\:D$ étant $\dfrac{1}{2}q$, et
+$A\:D$ étant $\dfrac{1}{2}p+\dfrac{1}{2}$, $A\:E$ est
+\[
+  \sqrt{\frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{4}p^2 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}},
+\]
+à cause de l'angle droit $A\:D\:E$; puis $H\:A$ étant moyenne proportionnelle entre
+$A\:S$ qui est 1 et $A\:R$ qui est $r$, elle est $\sqrt{r}$; et à cause de l'angle droit $E\:A\:H$,
+le carré de $H\:E$ ou $E\:G$ est
+\[
+  \frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{4}p^2 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4} + r;
+\]
+si bien qu'il y a équation entre cette somme et la précédente, ce qui est le
+% [File: 085.png Page: 75]
+même que
+\[
+  z^4 = pz^2 - qz + r,
+\]
+et par conséquent la ligne trouvée $G\:K$ qui a été nommée $z$ est la racine de
+cette équation, ainsi qu'il falloit démontrer. Et si vous appliquez ce même
+calcul à tous les autres cas de cette règle en changeant les signes $+$ et $-$
+selon l'occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu'il
+soit besoin que je m'y arrête.
+
+Si\label{cont55}\mymarginpar{L'invention
+de deux
+moyennes proportionnelles.}
+on veut donc, suivant cette règle, trouver deux moyennes proportionnelles
+entre les lignes $a$ et $q$ \textit{(fig.~28)}, chacun sait que posant $z$ pour l'une,
+comme $a$ est à $z$, ainsi $z$ à $\dfrac{z^2}{a}$, et $\dfrac{z^2}{a}$ à $\dfrac{z^3}{a^2}$; de façon qu'il y a équation
+entre $q$ et $\dfrac{z^3}{a^2}$, c'est-à-dire
+\[
+z^3=a^2q.
+\]
+Et la parabole $F\:A\:G$ étant décrite, avec la partie de son essieu $A\:C$ qui est $\dfrac{1}{2}a$
+la moitié du côté droit, il faut du point $C$ élever la perpendiculaire $C\:E$ égale
+à $\dfrac{1}{2}q$, et du centre $E$ par $A$, décrivant le cercle $A\:F$, on trouve $F\:L$ et $L\:A$
+pour les deux moyennes cherchées.
+
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 30.}} \\ \includegraphics*[width=2.0in]{images/f030.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Tout\label{cont56}\mymarginpar{La façon de
+diviser un
+angle en trois.}
+de même si on veut diviser l'angle $N\:O\:P$ \textit{(fig.~30)}, ou bien l'arc ou
+% [File: 086.png Page: 76]
+portion de cercle $N\:Q\:P\:T$ en trois parties égales, faisant $N\:O=1$ pour le
+rayon du cercle, et $N\:P=q$ pour la subtendue de l'arc donné, et $N\:Q=z$
+pour la subtendue du tiers de cet arc, l'équation vient
+\[
+  z^3 = 3z - q.
+\]
+
+Car ayant tiré les lignes $N\:Q$, $O\:Q$, $O\:T$, et faisant $Q\:S$ parallèle à $T\:O$, on voit
+que comme $N\:O$ est à $N\:Q$, ainsi $N\:Q$ à $Q\:R$, et $Q\:R$ à $R\:S$; en sorte que $N\:O$
+étant 1, et $N\:Q$ étant $z$, $Q\:R$ est $z^2$, et $R\:S$ est $z^3$; et à cause qu'il s'en faut
+seulement $R\:S$ ou $z^3$ que la ligne $N\:P$ qui est $q$ ne soit triple de $N\:Q$ qui est $z$,
+on a
+\[
+  q = 3z - z^3,
+\]
+ou bien
+\[
+  z^3 = 3z - q.
+\]
+
+Puis la parabole $F\:A\:G$ étant décrite, et $C\:A$ la moitié de son côté droit
+principal étant $\dfrac{1}{2}$, si on prend $C\:D=\dfrac{3}{2}$, et la perpendiculaire $D\:E=\dfrac{1}{2}q$, et
+que du centre $E$ par $A$ on décrive le cercle $F\:A\:g\:G$, il coupe cette parabole
+aux trois points $F$, $g$ et $G$, sans compter le point $A$ qui en est le sommet;
+ce qui montre qu'il y a trois racines en cette équation, à savoir les deux $G\:K$
+et $g\:k$ qui sont vraies, et la troisième qui est fausse, à savoir $F\:L$. Et de ces
+deux vraies c'est $g\:k$ la plus petite qu'il faut prendre pour la ligne $N\:Q$ qui
+étoit cherchée; car l'autre $G\:K$ est égale à $N\:V$ la subtendue de la troisième
+partie de l'arc $N\:V\:P$, qui avec l'autre arc $N\:Q\:P$ achève le cercle. Et la fausse $F\:L$
+est égale à ces deux ensembles $Q\:N$ et $N\:V$, ainsi qu'il est aisé à voir par le
+calcul.
+
+Il\label{cont57}\mymarginpar{Que tous les
+problèmes
+solides se
+peuvent
+réduire à ces
+deux
+constructions.}
+seroit superflu que je m'arrêtasse à donner ici d'autres exemples, car
+tous les problèmes qui ne sont que solides se peuvent réduire à tel point
+qu'on n'a aucun besoin de cette règle pour les construire, sinon en tant
+qu'elle sert à trouver deux moyennes proportionnelles, ou bien à diviser un
+angle en trois parties égales, ainsi que vous connoîtrez en considérant que
+leurs difficultés peuvent toujours être comprises en des équations qui ne
+montent que jusques au carré de carré ou au cube, et que toutes celles qui
+montent au carré de carré se réduisent au carré par le moyen de quelques
+% [File: 087.png Page: 77]
+autres qui ne montent que jusques au cube, et enfin qu'on peut ôter le
+second terme de celles-ci; en sorte qu'il n'y en a point qui ne se puisse
+réduire à quelqu'une de ces trois formes:
+\begin{align*}
+z^3= & -pz+q,\\
+z^3= & +pz+q,\\
+z^3= & +pz-q.\\
+\end{align*}
+
+Or si on a $z^3={}-pz+q$, la règle dont Cardan attribue l'invention à
+un nommé Scipio Ferreus nous apprend que la racine est
+\[
+  \sqrt{C. + \frac{1}{2}q + \sqrt{\frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{27}p^3}}
+- \sqrt{C. - \frac{1}{2}q + \sqrt{\frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{27}p^3}}.
+\]
+
+Comme aussi lorsqu'on a $z^3{}=+pz+q$, et que le carré de la moitié
+du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue
+du pénultième, une pareille règle nous apprend que la racine est
+\[
+  \sqrt{C. + \frac{1}{2}q + \sqrt{\frac{1}{4}q^2 - \frac{1}{27}p^3}}
++ \sqrt{C. + \frac{1}{2}q - \sqrt{\frac{1}{4}q^2 - \frac{1}{27}p^3}}.
+\]
+
+D'où il paroît qu'on peut construire tous les problèmes dont les difficultés se
+réduisent à l'une de ces deux formes, sans avoir besoin des sections coniques
+pour autre chose que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités
+données, c'est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces
+quantités et l'unité.
+
+Puis, si on a $z^3={}+pz+q$, et que le carré de la moitié du dernier
+terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue
+du pénultième, en supposant le cercle $N\:Q\:P\:V$ dont le demi-diamètre $N\:O$
+soit $\sqrt{\dfrac{1}{3}p}$, c'est-à-dire la moyenne proportionnelle entre le tiers de la
+quantité donnée $p$ et l'unité, et supposant aussi la ligne $N\:P$ inscrite dans ce
+cercle qui soit $\dfrac{3q}{p}$, c'est-à-dire qui soit à l'autre quantité donnée $q$ comme
+l'unité est au tiers de $p$, il ne faut que diviser chacun des deux arcs $N\:Q\:P$
+et $N\:V\:P$ en trois parties égales, et on aura $N\:Q$ la subtendue du tiers de l'un,
+% [File: 088.png Page: 78]
+et $N\:V$ la subtendue du tiers de l'autre, qui jointes ensemble composeront
+la racine cherchée.
+
+Enfin si on a $z^3=pz-q$, en supposant derechef le cercle $N\:Q\:P\:V$ dont
+le rayon $N\:O$ soit $\sqrt{\dfrac{1}{3}p}$, et l'inscrite $N\:P$ soit $\dfrac{3q}{p}$, $N\:Q$ la subtendue du tiers
+de l'arc $N\:Q\:P$ sera l'une des racines cherchées, et $N\:V$ la subtendue du tiers
+de l'autre arc sera l'autre. Au moins, si le carré de la moitié du dernier
+terme n'est point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du
+pénultième; car s'il étoit plus grand, la ligne $N\:P$ ne pourroit être inscrite
+dans le cercle, à cause qu'elle seroit plus longue que son diamètre, ce qui
+seroit cause que les deux vraies racines de cette équation ne seroient
+qu'imaginaires, et qu'il n'y en auroit de réelle que la fausse, qui, suivant
+la règle de Cardan, seroit
+\[
+  \sqrt{C.\, \frac{1}{2}q + \sqrt{\frac{1}{4}q^2 - \frac{1}{27}p^2}}
++ \sqrt{C.\, \frac{1}{2}q - \sqrt{\frac{1}{4}q^2 - \frac{1}{27}p^2}}.
+\]
+
+Au\label{cont58}\mymarginpar{La façon
+d'exprimer la
+valeur de
+toutes les
+racines des
+cubiques, et
+ensuite de
+toutes celles
+qui ne montent
+que jusques au
+carré de carré.}
+reste, il est à remarquer que cette façon d'exprimer la valeur des
+racines par le rapport qu'elles ont aux côtés de certains cubes dont il n'y a
+que le contenu qu'on connoisse, n'est en rien plus intelligible ni plus simple
+que de les exprimer par le rapport qu'elles ont aux subtendues de certains
+arcs ou portions de cercles dont le triple est donné; en sorte que toutes celles
+des équations cubiques qui ne peuvent être exprimées par les règles de
+Cardan, le peuvent être autant ou plus clairement par la façon ici proposée.
+
+Car si, par exemple, on pense connoître la racine de cette équation
+\[
+  z^3 = {}-qz + p,
+\]
+à cause qu'on sait qu'elle est composée de deux lignes dont l'une est le côté
+d'un cube duquel le contenu est $\dfrac{1}{2}q$, ajouté au côté d'un carré duquel
+derechef le contenu est $\dfrac{1}{4}q^2-\dfrac{1}{27}p^3$, et l'autre est le côté d'un autre cube
+dont le contenu est la différence qui est entre $\dfrac{1}{2}q$ et le côté de ce carré
+% [File: 089.png Page: 79]
+dont le contenu est $\dfrac{1}{4}q^2-\dfrac{1}{27}p^3$, qui est tout ce qu'on en apprend par la
+règle de Cardan. Il n'y a point de doute qu'on ne connoisse autant ou plus
+distinctement la racine de celle-ci
+\[
+  z^3 = {}+qz - p,
+\]
+en la considérant inscrite dans un cercle dont le demi-diamètre est $\sqrt{\dfrac{1}{3}p}$,
+et sachant qu'elle y est la subtendue d'un arc dont le triple a pour sa
+subtendue $\dfrac{3q}{p}$. Même ces termes sont beaucoup moins embarrassés que les
+autres, et ils se trouveront beaucoup plus courts si on veut user de quelque
+chiffre particulier pour exprimer ces subtendues, ainsi qu'on fait du chiffre
+$\sqrt{C}.{}$ pour exprimer le côté des cubes.
+
+Et on peut aussi ensuite de ceci exprimer les racines de toutes les
+équations qui montent jusques au carré de carré par les règles ci-dessus
+expliquées; en sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière:
+car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes
+plus simples, ni qu'on les détermine par aucune construction qui soit
+ensemble plus générale et plus facile.
+
+Il
+% [** marginpar was here, moved down to avoid page break]
+est vrai que je n'ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde pour
+oser ainsi assurer si une chose est possible ou ne l'est pas. Mais si on prend
+garde comment, par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la
+considération des géomètres se réduit à un même genre de problèmes, qui
+est de chercher la valeur des racines de quelque équation, on jugera bien
+qu'il n'est pas malaisé\label{cont59}\mymarginpar{Pourquoi les
+problèmes
+solides ne
+peuvent être
+construits sans
+les sections
+coniques, ni
+ceux qui sont
+plus composés
+sans quelques
+autres lignes
+plus
+composées.}
+de faire un dénombrement de toutes les voies par
+lesquelles on les peut trouver, qui soit suffisant pour démontrer qu'on a choisi
+la plus générale et la plus simple. Et particulièrement pour ce qui est des
+problèmes solides, que j'ai dit ne pouvoir être construits sans qu'on y
+emploie quelque ligne plus composée que la circulaire, c'est chose qu'on
+peut assez trouver de ce qu'ils se réduisent tous à deux constructions, en
+l'une desquelles il faut avoir tout ensemble les deux points qui déterminent
+deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, et en l'autre les
+deux points qui divisent en trois parties égales un arc donné; car d'autant
+que la courbure du cercle ne dépend que d'un simple rapport de toutes ses
+% [File: 090.png Page: 80]
+parties au point qui en est le centre, on ne peut aussi s'en servir qu'à déterminer
+un seul point entre deux extrêmes, comme à trouver une moyenne
+proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser en deux un
+arc donné; au lieu que la courbure des sections coniques, dépendant toujours
+de deux diverses choses, peut aussi servir à déterminer deux points
+différents.
+
+Mais pour cette même raison il est impossible qu'aucun des problèmes
+qui sont d'un degré plus composés que les solides, et qui présupposent
+l'invention de quatre moyennes proportionnelles, ou la division d'un angle
+en cinq parties égales, puissent être construits par aucune des sections
+coniques. C'est pourquoi je croirai faire en ceci tout le mieux qui se puisse,
+si je donne une règle générale pour les construire, en y employant la ligne
+courbe qui se décrit par l'intersection d'une parabole et d'une ligne droite
+en la façon ci-dessus expliquée; car j'ose assurer qu'il n'y en a point de
+plus simple en la nature qui puisse servir à ce même effet, et vous avez vu
+comme elle suit immédiatement les sections coniques en cette question tant
+cherchée par les anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les
+lignes courbes qui doivent être reçues en géométrie.
+
+Vous\label{cont60}\mymarginpar{Façon
+générale pour
+construire
+tous les
+problèmes
+réduits à une
+équation qui
+n'a point plus
+de six
+dimensions.}
+savez déjà comment, lorsqu'on cherche les quantités qui sont requises
+pour la construction de ces problèmes, on les peut toujours réduire à quelque
+équation qui ne monte que jusques au carré de cube ou au sursolide. Puis
+vous savez aussi comment, en augmentant la valeur des racines de cette
+équation, on peut toujours faire qu'elles deviennent toutes vraies, et avec
+cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré
+de la moitié de celle du second; et enfin comment, si elle ne monte que
+jusques au sursolide, on la peut hausser jusques au carré de cube, et faire
+que la place d'aucun de ces termes ne manque d'être remplie. Or, afin que
+toutes les difficultés dont il est ici question puissent être résolues par une
+même règle, je désire qu'on fasse toutes ces choses, et par ce moyen qu'on
+les réduise toujours à une équation de telle forme,
+\[
+  y^6 - py^5 + qy^4 - ry^3 + sy^2 - ty + u = 0,
+\]
+et en laquelle la quantité nommée $q$ soit plus grande que le carré de la
+moitié de celle qui est nommée $p$. Puis ayant fait la ligne $B\:K$ \textit{(fig.~31)}
+% [File: 091.png Page: 81]
+indéfiniment longue des deux côtés, et du point $B$ ayant tiré la perpendiculaire
+$A\:B$ dont la longueur soit $\dfrac{1}{2}p$, il faut dans un plan séparé décrire une
+parabole, comme $C\:D\:F$, dont le côté droit principal soit
+\[
+  \sqrt{\dfrac{t}{\sqrt{u}} + q - \frac{1}{4}p^2},
+\]
+que je nommerai $n$ pour abréger. Après cela, il faut poser le plan dans
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 31.}} \\ \includegraphics*[width=2.0in]{images/f031.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+lequel est cette parabole sur celui où sont les lignes $A\:B$ et $B\:K$, en sorte que
+son essieu $D\:E$ se rencontre justement au-dessus de la ligne droite $B\:K$; et
+ayant pris la partie de cet essieu qui est entre les points $E$ et $D$ \label{egle}égale
+à $\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$,
+il faut appliquer sur ce point $E$ une longue règle en telle façon qu'étant
+aussi appliquée sur le point $A$ du plan de dessous, elle demeure toujours
+jointe à ces deux points pendant qu'on haussera ou baissera la parabole tout
+le long de la ligne $B\:K$ sur laquelle son essieu est appliqué; au moyen de
+quoi l'intersection de cette parabole et de cette règle, qui se fera au point $C$,
+décrira la ligne courbe $A\:C\:N$, qui est celle dont nous avons besoin de nous
+servir pour la construction du problème proposé. Car après qu'elle est ainsi
+% [File: 092.png Page: 82]
+décrite, si on prend le point $L$ en la ligne $B\:K$, du côté vers lequel est tourné
+le sommet de la parabole, et qu'on fasse $B\:L$ égale à $D\:E$, c'est-à-dire à $\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$;
+puis du point $L$ vers $B$ qu'on prenne en la même ligne $B\:K$ la ligne $L\:H$ égale à
+$\dfrac{t}{2n\sqrt{u}}$, et que du point $H$ ainsi trouvé on tire à angles droits du côté qu'est
+la courbe $A\:C\:N$ la ligne $H\:I$ dont la longueur soit $\dfrac{r}{2n^2}+\dfrac{\sqrt{u}}{n^2}+\dfrac{pt}{4n^2\sqrt{u}}$,
+qui pour abréger sera nommé $\dfrac{m}{n^2}$; et après, ayant joint les points $L$ et $I$,
+qu'on décrive le cercle $L\:P\:I$ dont $I\:L$ soit le diamètre, et qu'on inscrive en ce
+cercle la ligne $L\:P$ dont la longueur soit $\sqrt{\dfrac{s+p\sqrt{u}}{n^2}}$; puis enfin du
+centre $I$, par le point $P$ ainsi trouvé, qu'on décrive le cercle $P\:C\:N$. Ce cercle
+coupera ou touchera la ligne courbe $A\:C\:N$ en autant de points qu'il y aura
+de racines en l'équation, en sorte que les perpendiculaires tirées de ces
+points sur la ligne $B\:K$, comme $C\:G$, $N\:R$, $Q\:O$, et semblables, seront les
+racines cherchées, sans qu'il y ait aucune exception ni aucun défaut en cette
+règle. Car si la quantité $s$ étoit si grande à proportion des autres $p$, $q$, $r$, $t$,
+et $u$, que la ligne $L\:P$ se trouvât plus grande que le diamètre du cercle $L\:I$,
+en sorte qu'elle n'y pût être inscrite, il n'y auroit aucune racine en l'équation
+proposée qui ne fût imaginaire; non plus que si le cercle $I\:P$ étoit si petit
+qu'il ne coupât la courbe $A\:C\:N$ en aucun point. Et il la peut couper en six
+différents, ainsi qu'il peut y avoir six diverses racines en l'équation. Mais
+lorsqu'il la coupe en moins, cela témoigne qu'il y a quelques-unes de ces
+racines qui sont égales entre elles, ou bien qui ne sont qu'imaginaires.
+
+Que si la façon de tracer la ligne $A\:C\:N$ par le mouvement d'une parabole
+vous semble incommode, il est aisé de trouver plusieurs autres moyens pour
+la décrire: comme si, ayant les mêmes quantités que devant pour $A\:B$ et $B\:L$
+\textit{(fig.~32)}, et la même pour $B\:K$ qu'on avoit posée pour le côté droit principal
+de la parabole, on décrit le demi-cercle $K\:S\:T$ dont le centre soit pris à
+discrétion dans la ligne $B\:K$, en sorte qu'il coupe quelque part la ligne $A\:B$
+comme au point $S$; et que du point $T$ où il finit on prenne vers $K$ la ligne $T\:V$
+% [File: 093.png Page: 83]
+égale à $B\:L$; puis ayant tiré la ligne $S\:V$, qu'on en tire une autre qui lui soit
+\begin{figure}[htb]
+\begin{center}
+\textit{\textbf{Fig. 32.}} \\ \includegraphics*[width=1.3in]{images/f032.png}
+\end{center}
+\end{figure}
+parallèle par le point $A$, comme $A\:C$, et qu'on en tire aussi une autre par $S$
+qui soit parallèle à $B\:K$, comme $S\:C$, le point $C$ où ces deux parallèles se
+rencontrent sera l'un de ceux de la ligne courbe cherchée. Et on en peut
+trouver en même sorte autant d'autres qu'on en désire.
+
+Or la démonstration de tout ceci est assez facile; car, appliquant la règle $A\:E$
+\textit{(fig.~31)} avec la parabole $F\:D$ sur le point $C$, comme il est certain qu'elles
+peuvent y être appliquées ensemble, puisque ce point $C$ est en la courbe $A\:C\:N$
+qui est décrite par leur intersection, si $C\:G$ se nomme $y$, $G\:D$ sera $\dfrac{y^2}{n}$, à cause
+que le côté droit qui est $n$ est à $C\:G$ comme $C\:G$ à $G\:D$; et ôtant $D\:E$ qui
+est $\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$, de $G\:D$, on a $\dfrac{y^2}{n}-\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$ pour $G\:E$. Puis, à cause que $A\:B$ est à $B\:E$
+comme $C\:E$ est à $G\:E$, $A\:B$ étant $\dfrac{1}{2}p$, $B\:E$ est $\dfrac{py}{2n}-\dfrac{\sqrt{u}}{ny}$.
+
+Et tout de même en supposant que le point $C$ \textit{(fig.~32)} de la courbe a été
+trouvé par l'intersection des lignes droites $S\:C$ parallèle à $B\:K$, et $A\:C$ parallèle
+à $S\:V$, $S\:B$ qui est égale à $C\:G$ est $y$; et $B\:K$ étant égale au côté droit de
+la parabole que j'ai nommé $n$, $B\:T$ est $\dfrac{y^2}{n}$, car comme $K\:B$ est à $B\:S$, ainsi $B\:S$
+% [File: 094.png Page: 84]
+est à $B\:T$. Et $T\:V$ étant la même que $B\:L$, c'est-à-dire $\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$, $B\:V$ est $\dfrac{y^2}{n}-\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$;
+et comme $S\:B$ est à $B\:V$, ainsi $A\:B$ est à $B\:E$, qui est par conséquent $\dfrac{py}{2n}-\dfrac{\sqrt{u}}{ny}$
+comme devant, d'où on voit que c'est une même ligne courbe qui se décrit
+en ces deux façons.
+
+Après cela, pourceque $B\:L$ et $D\:E$ \textit{(fig.~31)} sont égales, $D\:L$ et $B\:E$ le sont
+aussi; de façon qu'ajoutant $L\:H$ qui est $\dfrac{t}{2n\sqrt{u}}$, à $D\:L$ qui est $\dfrac{py}{2n}-\dfrac{\sqrt{u}}{ny}$,
+on a la toute $D\:H$ qui est
+\[
+  \frac{py}{2n} - \frac{\sqrt{u}}{ny} + \frac{t}{2n\sqrt{u}};
+\]
+et en ôtant $G\:D$ qui est $\dfrac{y^2}{n}$, on a $G\:H$ qui est
+\[
+  \frac{py}{2n} - \frac{\sqrt{u}}{ny} + \frac{t}{2n\sqrt{u}} - \frac{y^2}{n},
+\]
+ce que j'écris par ordre en cette sorte,
+\[
+  G\:H = \frac{-y^3 + \dfrac{1}{2}py^2
+              + \dfrac{ty}{2\sqrt{u}} - \sqrt{u} }{ny},
+\]
+et le carré de $G\:H$ est
+\[
+  \frac{y^6-py^5
+       + \left( \dfrac{1}{4}p^2 - \dfrac{t }{\sqrt{u}} \right) y^4
+       + \left( 2\sqrt{u}       + \dfrac{pt}{2\sqrt{u}} \right) y^3
+       + \left( \dfrac{t^2}{4u} - p\sqrt{u} \right) y^2 - ty + u }
+       {n^2y^2 }.
+\]
+Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu'on veuille imaginer le
+point $C$, comme vers $N$ ou vers $Q$, on trouvera toujours que le carré de la
+ligne droite qui est entre le point $H$ et celui où tombe la perpendiculaire du
+point $C$ sur $B\:H$, peut être exprimé en ces mêmes termes et avec les mêmes
+signes $+$ et $-$.
+
+% [File: 095.png Page: 85]
+
+De plus, $H\:I$ étant $\dfrac{m}{n^2}$, et $L\:H$ étant $\dfrac{t}{2n\sqrt{u}}$, $I\:L$ est
+\[
+  \sqrt{\frac{m^2}{n^4} + \frac{t^2}{4n^2u} },
+\]
+à cause de l'angle droit $I\:H\:L$; et $L\:P$ étant
+\[
+  \sqrt{ \frac{s}{n^2} + \frac{p\sqrt{u}}{n^2} },
+\]
+$I\:P$ ou $I\:C$ est
+\[
+  \sqrt{ \frac{m^2}{n^4} + \frac{t^2}{4n^2u} - \frac{s}{n^2} - \frac{p\sqrt{u}}{n^2} },
+\]
+à cause aussi de l'angle droit $I\:P\:L$. Puis ayant fait $C\:M$ perpendiculaire sur $I\:H$,
+$I\:M$ est la différence qui est entre $H\:I$ et $H\:M$ ou $C\:G$, c'est-à-dire entre $\dfrac{m}{n^2}$ et $y$,
+en sorte que son carré est toujours
+\[
+  \frac{m^2}{n^4} - \frac{2my}{n^2} + y^2,
+\]
+qui étant ôté du carré de $I\:C$, il reste
+\[
+  \frac{t^2}{4n^2u} - \frac{s}{n^2} - \frac{p\sqrt{u}}{n^2} + \frac{2my}{n^2} - y^2
+\]
+pour le carré de $C\:M$, qui est égal au carré de $G\:H$ déjà trouvé. Ou bien en
+faisant que cette somme soit divisée comme l'autre par $n^2y^2$, on a
+\[
+\frac{-n^2y^4 + 2my^3 - p\sqrt{u}y^2 - sy^2 + \dfrac{t^2}{4u}y^2 }
+     { n^2y^2 };
+\]
+puis remettant $\dfrac{t}{\sqrt{u}}y^4+qy^4-\dfrac{1}{4}p^2y^4$ pour $n^2y^4$, et $ry^3+2\sqrt{u}y^3+\dfrac{pt}{2\sqrt{u}}y^3$
+% [File: 096.png Page: 86]
+pour $2my^3$; et multipliant l'une et l'autre somme par $n^2y^2$ on a
+\[
+  y^6 - py^5
++ \left( \frac{1}{4}p^2 - \frac{ t}{ \sqrt{u}} \right)y^4
++ \left( 2\sqrt{u}      + \frac{pt}{2\sqrt{u}} \right)y^3
++ \left( \frac{t^2}{4u} - p\sqrt{u}            \right)y^2 - ty + u
+\]
+égal à
+\[
+  \left( \frac{1}{4}p^2 - q         - \frac{ t}{ \sqrt{u}} \right)y^4
++ \left( r              + 2\sqrt{u} + \frac{pt}{2\sqrt{u}} \right)y^3
++ \left( \frac{t^2}{4u} - s         - p\sqrt{u}            \right)y^2,
+\]
+c'est-à-dire qu'on a
+\[
+  y^6 - py^5 + qy^4 - ry^3 + sy^2 - ty + u = 0.
+\]
+
+D'où il paroît que les lignes $C\:G$, $N\:R$, $Q\:O$, et semblables, sont les racines
+de cette équation, qui est ce qu'il falloit démontrer.
+
+Ainsi\label{cont61}\mymarginpar{L'invention de
+quatre
+moyennes proportionnelles.}
+donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les
+lignes $a$ et $b$, ayant posé $x$ pour la première, l'équation est
+\[
+  x^5 - a^4b = 0,\quad\text{ou bien}\quad x^6 - a^4bx = 0.
+\]
+Et faisant $y - a = x$, il vient
+\[
+  y^6 - 6ay^5 + 15a^2y^4 - 20a^3y^3 + 15a^4y^2
+- \left( 6a^5 + a^4b \right)y + a^6 + a^5b = 0;
+\]
+c'est pourquoi il faut prendre $3a$ pour la ligne $A\:B$, et
+\[
+  \sqrt{ \frac{6a^3+a^2b}{\sqrt{a^2+ab}} + 6a^2 }
+\]
+pour $B\:K$ ou le côté droit de la parabole, que j'ai nommé $n$, et $\dfrac{a}{3n}\sqrt{a^2+ab}$
+pour $D\:E$ ou $B\:L$. Et après avoir décrit la ligne courbe $A\:C\:N$ sur la mesure
+de ces trois, il faut faire
+\[
+  L\:H = \frac{6a^3+a^2b}{2n\sqrt{a^2+ab}}
+\]
+et
+\[
+  H\:I = \frac{10a^3}{n^2} + \frac{a^2}{n^2}\sqrt{a^2+ab} + \frac{18a^4+3a^3b}{2n^2\sqrt{a^2+ab}},
+\]
+% [File: 097.png Page: 87]
+et
+\[
+  L\:P = \frac{a}{n} \sqrt{15a^2 + 6a\sqrt{a^2+ab}};
+\]
+car le cercle, qui ayant son centre au point $I$ passera par le point $P$ ainsi
+trouvé, coupera la courbe aux deux points $C$ et $N$, desquels ayant tiré les
+perpendiculaires $N\:R$ et $C\:G$, si la moindre $N\:R$ est ôtée de la plus grande $C\:G$,
+le reste sera $x$, la première des quatre moyennes proportionnelles cherchées.
+
+Il est aisé en même façon de diviser un angle en cinq parties égales, et
+d'inscrire une figure de onze ou treize côtés égaux dans un cercle, et de
+trouver une infinité d'autres exemples de cette règle.
+
+Toutefois il est à remarquer qu'en plusieurs de ces exemples il peut arriver
+que le cercle coupe si obliquement la parabole du second genre, que le point
+de leur intersection soit difficile à reconnoître, et ainsi que cette construction
+ne soit pas commode pour la pratique; à quoi il seroit aisé de remédier en
+composant d'autres règles à l'imitation de celle-ci, comme on en peut composer
+de mille sortes.
+
+Mais mon dessein n'est pas de faire un gros livre, et je tâche plutôt de
+comprendre beaucoup en peu de mots, comme on jugera peut-être que j'ai
+fait, si on considère qu'ayant réduit à une même construction tous les
+problèmes d'un même genre, j'ai tout ensemble donné la façon de les réduire
+à une infinité d'autres diverses, et ainsi de résoudre chacun d'eux en une
+infinité de façons; puis outre cela, qu'ayant construit tous ceux qui sont
+plans en coupant d'un cercle une ligne droite, et tous ceux qui sont solides
+en coupant aussi d'un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un
+degré plus composés en coupant tout de même d'un cercle une ligne qui
+n'est que d'un degré plus composée que la parabole, il ne faut que suivre la
+même voie pour construire tous ceux qui sont plus composés à l'infini: car,
+en matière de progressions mathématiques, lorsqu'on a les deux ou trois
+premiers termes, il n'est pas malaisé de trouver les autres. Et j'espère que
+nos neveux me sauront gré, non seulement des choses que j'ai ici expliquées,
+mais aussi de celles que j'ai omises volontairement, afin de leur laisser le
+plaisir de les inventer.
+
+\begin{center} \textsc{fin.} \end{center}
+
+% [File: 099.png Page: 89]
+
+\newpage
+\begin{center}
+\textbf{TABLE DES MATIÈRES}
+
+\rule{0.4in}{.2pt}
+\bigskip
+
+LIVRE PREMIER
+\bigskip
+
+{\small DES PROBLÈMES QU'ON PEUT CONSTRUIRE SANS Y EMPLOYER QUE DES CERCLES
+ET DES LIGNES DROITES.}
+\bigskip
+
+\noindent
+\begin{tabular}{lr}
+\tabmat{Comment le calcul d'arithmétique se rapporte aux opérations de géométrie}{cont1}
+\\
+\tabmat{Comment se font géométriquement la multiplication, la division et l'extraction de la
+racine carrée}{cont2}
+\\
+\tabmat{Comment on peut user de chiffres en géométrie}{cont3}
+\\
+\tabmat{Comment il faut venir aux équations qui servent à résoudre les problèmes}{cont4}
+\\
+\tabmat{Quels sont les problèmes plans, et comment ils se résolvent}{cont5}
+\\
+\tabmat{Exemple tiré de Pappus}{cont6}
+\\
+\tabmat{Réponse à la question de Pappus}{cont7}
+\\
+\tabmat{Comment on doit poser les termes pour venir à l'équation en cet exemple}{cont8}
+\\
+\tabmat{Comment on trouve que ce problème est plan lorsqu'il n'est point proposé en plus de
+cinq lignes}{cont9}
+\end{tabular}
+\bigskip
+
+\rule{0.8in}{.2pt}
+%\bigskip
+\newpage
+
+LIVRE SECOND
+\bigskip
+
+{\small DE LA NATURE DES LIGNES COURBES.}
+\bigskip
+
+\noindent
+\begin{tabular}{lr}
+
+\tabmat{Quelles sont les lignes courbes qu'on peut recevoir en géométrie}{cont10}
+\\
+\tabmat{La façon de distinguer toutes ces lignes courbes en certains genres, et de connoître
+le rapport qu'ont tous leurs points à ceux des lignes droites}{cont11}
+\\
+\tabmat{Suite de l'explication de la question de Pappus mise au livre précédent}{cont12}
+\\
+\tabmat{Solution de cette question quand elle n'est proposée qu'en trois ou quatre lignes}{cont13}
+\\
+% [File: 100.png Page: 90]
+\tabmat{Démonstration de cette solution}{cont14}
+\\
+\tabmat{Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les trouver tous}{cont15}
+\\
+\tabmat{Quelle est la première et la plus simple de toutes les lignes courbes qui servent à la
+question des anciens quand elle est proposée en cinq lignes}{cont16}
+\\
+\tabmat{Quelles sont les lignes courbes qu'on décrit en trouvant plusieurs de leurs points qui
+peuvent être reçus en géométrie}{cont17}
+\\
+\tabmat{Quelles sont aussi celles qu'on décrit avec une corde qui peuvent y être reçues}{cont18}
+\\
+\tabmat{Que, pour trouver toutes les propriétés des lignes courbes, il suffit de savoir le rapport
+qu'ont tous leurs points à ceux des lignes droites; et la façon de tirer d'autres lignes
+qui les coupent en tous ces points à angles droits}{cont19}
+\\
+\tabmat{Façon générale pour trouver des lignes droites qui coupent les courbes données ou
+leurs contingentes à angles droits}{cont20}
+\\
+\tabmat{Exemple de cette opération en une ellipse et en une parabole du second genre}{cont21}
+\\
+\tabmat{Autre exemple en un ovale du second genre}{cont22}
+\\
+\tabmat{Exemple de la construction de ce problème en la conchoïde}{cont23}
+\\
+\tabmat{Explication de quatre nouveaux genres d'ovales qui servent à l'optique}{cont24}
+\\
+\tabmat{Les propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfractions}{cont25}
+\\
+\tabmat{Démonstration de ces propriétés}{cont26}
+\\
+\tabmat{Comment on peut faire un verre autant convexe ou concave en l'une de ses superficies
+qu'on voudra, qui rassemble à un point donné tous les rayons qui viennent d'un
+autre point donné}{cont27}
+\\
+\tabmat{Comment on en peut faire un qui fasse le même, et que la convexité de l'une de ses
+superficies ait la proportion donnée avec la convexité ou concavité de l'autre}{cont28}
+\\
+\tabmat{Comment on peut rapporter tout ce qui a été dit des lignes courbes décrites sur une
+superficie plate, à celles qui se décrivent dans un espace qui a trois dimensions,
+ou bien sur une superficie courbe}{cont29}
+
+
+\end{tabular}
+\bigskip
+
+\rule{0.8in}{.2pt}
+%\bigskip
+\newpage
+
+LIVRE TROISIÈME
+\bigskip
+
+{\small DE LA CONSTRUCTION DES PROBLÈMES SOLIDES OU PLUS QUE SOLIDES.}
+\bigskip
+
+\noindent
+\begin{tabular}{lr}
+
+\tabmat{De quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque problème}{cont30}
+\\
+\tabmat{Exemple touchant l'invention de plusieurs moyennes proportionnelles}{cont31}
+\\
+\tabmat{De la nature des équations}{cont32}
+\\
+\tabmat{Combien il peut y avoir de racines en chaque équation}{cont33}
+\\
+\tabmat{Quelles sont les fausses racines}{cont34}
+\\
+\tabmat{Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d'une équation, lorsqu'on
+connoît quelqu'une de ses racines}{cont35}
+\\
+% [File: 101.png Page: 91]
+\tabmat{Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d'une racine}{cont36}
+\\
+\tabmat{Combien il peut y avoir de vraies racines dans chaque équation}{cont37}
+\\
+\tabmat{Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies, et les vraies fausses}{cont38}
+\\
+\tabmat{Comment on peut augmenter ou diminuer les racines d'une équation}{cont39}
+\\
+\tabmat{Qu'en augmentant ainsi les vraies racines on diminue les fausses, ou au contraire}{cont40}
+\\
+\tabmat{Comment on peut ôter le second terme d'une équation}{cont41}
+\\
+\tabmat{Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies sans que les vraies deviennent
+fausses}{cont42}
+\\
+\tabmat{Comment on fait que toutes les places d'une équation soient remplies}{cont43}
+\\
+\tabmat{Comment on peut multiplier ou diviser les racines d'une équation}{cont44}
+\\
+\tabmat{Comment on ôte les nombres rompus d'une équation}{cont45}
+\\
+\tabmat{Comment on rend la quantité connue de l'un des termes d'une équation égale à telle
+autre qu'on veut}{cont46}
+\\
+\tabmat{Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou imaginaires}{cont47}
+\\
+\tabmat{La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan}{cont48}
+\\
+\tabmat{La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa racine}{cont49}
+\\
+\tabmat{Quels problèmes sont solides lorsque l'équation est cubique}{cont50}
+\\
+\tabmat{La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan;
+et quels sont ceux qui sont solides}{cont51}
+\\
+\tabmat{Exemple de l'usage de ces réductions}{cont52}
+\\
+\tabmat{Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le carré de carré}{cont53}
+\\
+\tabmat{Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de
+trois ou quatre dimensions}{cont54}
+\\
+\tabmat{L'invention de deux moyennes proportionnelles}{cont55}
+%\\
+\end{tabular}
+
+\begin{tabular}{lr}
+\tabmat{La division de l'angle en trois}{cont56}
+\\
+\tabmat{Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux constructions}{cont57}
+\\
+\tabmat{La façon d'exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques, et ensuite
+de toutes celles qui ne montent que jusques au carré de carré}{cont58}
+\\
+\tabmat{Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques,
+ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées}{cont59}
+\\
+\tabmat{Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une équation qui n'a point
+plus de six dimensions}{cont60}
+\\
+\tabmat{L'invention de quatre moyennes proportionnelles}{cont61}
+\end{tabular}
+
+\bigskip
+
+{\small FIN DE LA TABLE.}
+
+\bigskip
+
+\rule{0.8in}{.2pt}
+\end{center}
+
+\newpage
+\pagestyle{empty}
+
+% [File: 103.png]
+
+
+\vspace*{1in}
+\begin{center}\Large % make the heading a bit more noticeable
+\textsc{Typographical Errors corrected\\in Project Gutenberg
+edition}\end{center}
+
+p. \pageref{x5} the last factor ``et par $x - 5$'' in original, amended to ``et par $x + 5$''
+to match the preceding and following discussion.\
+
+p. \pageref{egle} ``entre les points $E$ et $D$ \underline{égle} à $\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$'' in original,
+amended to ``\underline{égale}''.\
+
+\newpage
+\small
+\pagestyle{plain}
+\pagenumbering{Roman}
+\begin{verbatim}
+End of the Project Gutenberg EBook of La géométrie, by René Descartes
+
+*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA GÉOMÉTRIE ***
+
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+This and all associated files of various formats will be found in:
+        http://www.gutenberg.org/2/6/4/0/26400/
+
+Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson, Keith Edkins
+and the Online Distributed Proofreading Team at
+http://www.pgdp.net (This file was produced from images
+generously made available by Cornell University Digital
+Collections)
+
+
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+will be renamed.
+
+Creating the works from public domain print editions means that no
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+(and you!) can copy and distribute it in the United States without
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+
+
+
+*** START: FULL LICENSE ***
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+works.  See paragraph 1.E below.
+
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+
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+
+- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
+     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
+     electronic work is discovered and reported to you within 90 days
+     of receipt of the work.
+
+- You comply with all other terms of this agreement for free
+     distribution of Project Gutenberg-tm works.
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+1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
+electronic work or group of works on different terms than are set
+forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
+both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
+Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
+Foundation as set forth in Section 3 below.
+
+1.F.
+
+1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable
+effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
+public domain works in creating the Project Gutenberg-tm
+collection.  Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic
+works, and the medium on which they may be stored, may contain
+"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or
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+property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a
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+your equipment.
+
+1.F.2.  LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right
+of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project
+Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project
+Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project
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+fees.  YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT
+LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE
+PROVIDED IN PARAGRAPH F3.  YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE
+TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE
+LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
+INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH
+DAMAGE.
+
+1.F.3.  LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a
+defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can
+receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a
+written explanation to the person you received the work from.  If you
+received the work on a physical medium, you must return the medium with
+your written explanation.  The person or entity that provided you with
+the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a
+refund.  If you received the work electronically, the person or entity
+providing it to you may choose to give you a second opportunity to
+receive the work electronically in lieu of a refund.  If the second copy
+is also defective, you may demand a refund in writing without further
+opportunities to fix the problem.
+
+1.F.4.  Except for the limited right of replacement or refund set forth
+in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
+WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
+WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.
+
+1.F.5.  Some states do not allow disclaimers of certain implied
+warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages.
+If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the
+law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be
+interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
+the applicable state law.  The invalidity or unenforceability of any
+provision of this agreement shall not void the remaining provisions.
+
+1.F.6.  INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the
+trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
+providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
+with this agreement, and any volunteers associated with the production,
+promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
+harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
+that arise directly or indirectly from any of the following which you do
+or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
+work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
+Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.
+
+
+Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm
+
+Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
+electronic works in formats readable by the widest variety of computers
+including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
+because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
+people in all walks of life.
+
+Volunteers and financial support to provide volunteers with the
+assistance they need, is critical to reaching Project Gutenberg-tm's
+goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
+remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
+Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
+and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
+To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
+and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
+and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.
+
+
+Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
+Foundation
+
+The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
+501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
+state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
+Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
+number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
+http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
+permitted by U.S. federal laws and your state's laws.
+
+The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
+Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
+throughout numerous locations.  Its business office is located at
+809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
+business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
+information can be found at the Foundation's web site and official
+page at http://pglaf.org
+
+For additional contact information:
+     Dr. Gregory B. Newby
+     Chief Executive and Director
+     gbnewby@pglaf.org
+
+
+Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation
+
+Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
+spread public support and donations to carry out its mission of
+increasing the number of public domain and licensed works that can be
+freely distributed in machine readable form accessible by the widest
+array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
+($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
+status with the IRS.
+
+The Foundation is committed to complying with the laws regulating
+charities and charitable donations in all 50 states of the United
+States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
+considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
+with these requirements.  We do not solicit donations in locations
+where we have not received written confirmation of compliance.  To
+SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
+particular state visit http://pglaf.org
+
+While we cannot and do not solicit contributions from states where we
+have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
+against accepting unsolicited donations from donors in such states who
+approach us with offers to donate.
+
+International donations are gratefully accepted, but we cannot make
+any statements concerning tax treatment of donations received from
+outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.
+
+Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
+methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
+ways including checks, online payments and credit card donations.
+To donate, please visit: http://pglaf.org/donate
+
+
+Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
+works.
+
+Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
+concept of a library of electronic works that could be freely shared
+with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
+Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.
+
+
+Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
+editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
+unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
+keep eBooks in compliance with any particular paper edition.
+
+
+Most people start at our Web site which has the main PG search facility:
+
+     http://www.gutenberg.org
+
+This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
+including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
+Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
+subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
+\end{verbatim}
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+%                                                                         %
+% End of the Project Gutenberg EBook of La géométrie, by René Descartes   %
+%                                                                         %
+% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA GÉOMÉTRIE ***                %
+%                                                                         %
+% ***** This file should be named 26400-t.tex or 26400-t.zip *****        %
+% This and all associated files of various formats will be found in:      %
+%         http://www.gutenberg.org/2/6/4/0/26400/                         %
+%                                                                         %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+\end{document}
+
+### lprep configuration
+
+$French = 1;
+
+@ControlwordReplace = (
+  ['\\superscript', '^']
+                      );
+
+@ControlwordArguments = (
+  ['\\mymarginpar', 1, 1, '~[Sidenote: ', "]\n"]
+                         );
+
+###
+This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5) (format=pdflatex 2008.5.6)  23 AUG 2008 04:47
+entering extended mode
+**26400-t.tex
+(./26400-t.tex
+LaTeX2e <2003/12/01>
+Babel <v3.8g> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
+yphenation, greek, monogreek, ancientgreek, ibycus, loaded.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
+Document Class: book 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk10.clo
+File: bk10.clo 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count79
+\c@chapter=\count80
+\c@section=\count81
+\c@subsection=\count82
+\c@subsubsection=\count83
+\c@paragraph=\count84
+\c@subparagraph=\count85
+\c@figure=\count86
+\c@table=\count87
+\abovecaptionskip=\skip41
+\belowcaptionskip=\skip42
+\bibindent=\dimen102
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsmath.sty
+Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
+\@emptytoks=\toks14
+\ex@=\dimen103
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
+\pmbraise@=\dimen104
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsopn.sty
+Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
+)
+\inf@bad=\count88
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
+\uproot@=\count89
+\leftroot@=\count90
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
+\classnum@=\count91
+\DOTSCASE@=\count92
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
+\Mathstrutbox@=\box26
+\strutbox@=\box27
+\big@size=\dimen105
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
+\macc@depth=\count93
+\c@MaxMatrixCols=\count94
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count95
+\dspbrk@lvl=\count96
+\tag@help=\toks15
+\row@=\count97
+\column@=\count98
+\maxfields@=\count99
+\andhelp@=\toks16
+\eqnshift@=\dimen106
+\alignsep@=\dimen107
+\tagshift@=\dimen108
+\tagwidth@=\dimen109
+\totwidth@=\dimen110
+\lineht@=\dimen111
+\@envbody=\toks17
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks18
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2005/05/21 v3.8g The Babel package
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
+Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2005/05/21 v3.8g Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count100
+\U@D=\dimen112
+)
+
+Package babel Warning: No hyphenation patterns were loaded for
+(babel)                the language `French'
+(babel)                I will use the patterns loaded for \language=0 instead.
+
+\l@french = a dialect from \language0
+Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
+Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
+Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
+Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
+\parindentFFN=\dimen113
+\std@mcc=\count101
+\dec@mcc=\count102
+*************************************
+* Local config file frenchb.cfg used
+*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
+xlive/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
+File: latin1.def 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
+))
+
+LaTeX Warning: You have requested, on input line 75, version
+               `2006/05/05' of package inputenc,
+               but only version
+               `2004/02/05 v1.0d Input encoding file'
+               is available.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/multirow/multirow.sty
+\bigstrutjot=\dimen114
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks19
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2001/07/07 v1.0n Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/config/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2001/08/31 v1.1 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 80.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/pdftex.def
+File: pdftex.def 2005/06/20 v0.03m graphics/color for pdftex
+\Gread@gobject=\count103
+))
+\Gin@req@height=\dimen115
+\Gin@req@width=\dimen116
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/verbatim.sty
+Package: verbatim 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements
+\every@verbatim=\toks20
+\verbatim@line=\toks21
+\verbatim@in@stream=\read1
+) (./26400-t.aux)
+\openout1 = `26400-t.aux'.
+
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 90.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 90.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 90.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 90.
+(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
+File: t1lmr.fd 2006/04/24 v1.2 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 90.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 90.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 90.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 90.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 90.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 90.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 90.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 90.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 90.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 90.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/context/base/supp-pdf.tex (/usr/share/texmf-texli
+ve/tex/context/base/supp-mis.tex
+loading : Context Support Macros / Miscellaneous (2004.10.26)
+\protectiondepth=\count104
+\scratchcounter=\count105
+\scratchtoks=\toks22
+\scratchdimen=\dimen117
+\scratchskip=\skip46
+\scratchmuskip=\muskip11
+\scratchbox=\box28
+\scratchread=\read2
+\scratchwrite=\write3
+\zeropoint=\dimen118
+\onepoint=\dimen119
+\onebasepoint=\dimen120
+\minusone=\count106
+\thousandpoint=\dimen121
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+\emptytoks=\toks23
+\nextbox=\box29
+\nextdepth=\dimen123
+\everyline=\toks24
+\!!counta=\count107
+\!!countb=\count108
+\recursecounter=\count109
+)
+loading : Context Support Macros / PDF (2004.03.26)
+\nofMPsegments=\count110
+\nofMParguments=\count111
+\MPscratchCnt=\count112
+\MPscratchDim=\dimen124
+\MPnumerator=\count113
+\everyMPtoPDFconversion=\toks25
+)
+Overfull \hbox (11.99689pt too wide) in paragraph at lines 95--95
+[]\OT1/cmtt/m/n/10 almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it
+ away or[] 
+ []
+
+
+Overfull \hbox (6.74693pt too wide) in paragraph at lines 96--96
+[]\OT1/cmtt/m/n/10 re-use it under the terms of the Project Gutenberg License i
+ncluded[] 
+ []
+
+[1
+
+{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [1
+
+] [2]
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 202.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 202.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+) <images/f001.png, id=23, 406.13704pt x 241.23929pt>
+File: images/f001.png Graphic file (type png)
+<use images/f001.png> [1
+
+ <./images/f001.png (PNG copy)>] <images/f002.png, id=51, 407.15492pt x 219.863
+66pt>
+File: images/f002.png Graphic file (type png)
+<use images/f002.png> [2 <./images/f002.png (PNG copy)>] [3] <images/f003.png, 
+id=76, 366.43944pt x 323.68817pt>
+File: images/f003.png Graphic file (type png)
+<use images/f003.png> [4 <./images/f003.png (PNG copy)>] <images/f004.png, id=8
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+File: images/f004.png Graphic file (type png)
+<use images/f004.png> [5 <./images/f004.png (PNG copy)>] [6] [7] <images/f005.p
+ng, id=97, 610.73239pt x 387.81506pt>
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+File: images/f006.png Graphic file (type png)
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+186, 351.3125pt x 367.3725pt>
+File: images/f013.png Graphic file (type png)
+<use images/f013.png> <images/f014.png, id=188, 610.73239pt x 224.9531pt>
+File: images/f014.png Graphic file (type png)
+<use images/f014.png> [25 <./images/f013.png (PNG copy)>] <images/f015.png, id=
+195, 476.78125pt x 311.1625pt>
+File: images/f015.png Graphic file (type png)
+<use images/f015.png> [26 <./images/f014.png (PNG copy)>] [27 <./images/f015.pn
+g (PNG copy)>] [28] <images/f016.png, id=211, 602.25pt x 237.88875pt>
+File: images/f016.png Graphic file (type png)
+<use images/f016.png> [29 <./images/f016.png (PNG copy)>] <images/f017.png, id=
+218, 451.6875pt x 331.2375pt>
+File: images/f017.png Graphic file (type png)
+<use images/f017.png> <images/f018.png, id=220, 602.25pt x 439.6425pt>
+File: images/f018.png Graphic file (type png)
+<use images/f018.png> [30 <./images/f017.png (PNG copy)>] <images/f019.png, id=
+227, 552.0625pt x 473.77pt>
+File: images/f019.png Graphic file (type png)
+<use images/f019.png> [31 <./images/f018.png (PNG copy)>] <images/f020.png, id=
+234, 803.0pt x 293.095pt>
+File: images/f020.png Graphic file (type png)
+<use images/f020.png> [32 <./images/f019.png (PNG copy)> <./images/f020.png (PN
+G copy)>] <images/f021.png, id=243, 602.25pt x 463.7325pt>
+File: images/f021.png Graphic file (type png)
+<use images/f021.png> [33] <images/f022.png, id=248, 602.25pt x 435.6275pt>
+File: images/f022.png Graphic file (type png)
+<use images/f022.png> [34 <./images/f021.png (PNG copy)> <./images/f022.png (PN
+G copy)>] [35] <images/f023.png, id=261, 577.15625pt x 286.06876pt>
+File: images/f023.png Graphic file (type png)
+<use images/f023.png> <images/f024.png, id=263, 552.0625pt x 284.06125pt>
+File: images/f024.png Graphic file (type png)
+<use images/f024.png> [36 <./images/f023.png (PNG copy)> <./images/f024.png (PN
+G copy)>] [37] [38] [39] <images/f025.png, id=281, 627.34375pt x 397.485pt>
+File: images/f025.png Graphic file (type png)
+<use images/f025.png>
+Overfull \hbox (4.47403pt too wide) in paragraph at lines 2257--2279
+\OT1/cmr/m/n/10 trou-ver au-tant de moyennes pro-por-tion-nelles qu'on veut, ni
+ dont la d^^Semonstration
+ []
+
+[40 <./images/f025.png (PNG copy)>] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49
+] [50] [51] <images/f026.png, id=335, 426.59375pt x 242.9075pt>
+File: images/f026.png Graphic file (type png)
+<use images/f026.png> [52 <./images/f026.png (PNG copy)>] [53] <images/f027.png
+, id=346, 878.28125pt x 481.8pt>
+File: images/f027.png Graphic file (type png)
+<use images/f027.png> <images/f028.png, id=348, 301.125pt x 560.0925pt>
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+<use images/f028.png> <images/f029.png, id=350, 381.70775pt x 567.98112pt>
+File: images/f029.png Graphic file (type png)
+<use images/f029.png> [54 <./images/f027.png (PNG copy)>] [55 <./images/f028.pn
+g (PNG copy)> <./images/f029.png (PNG copy)>] <images/f030.png, id=364, 501.875
+pt x 684.5575pt>
+File: images/f030.png Graphic file (type png)
+<use images/f030.png> [56] [57 <./images/f030.png (PNG copy)>] [58] [59] [60] <
+images/f031.png, id=384, 501.875pt x 690.58pt>
+File: images/f031.png Graphic file (type png)
+<use images/f031.png> [61 <./images/f031.png (PNG copy)>] <images/f032.png, id=
+391, 326.21875pt x 575.14874pt>
+File: images/f032.png Graphic file (type png)
+<use images/f032.png> [62 <./images/f032.png (PNG copy)>] [63] [64] [65] [66] [
+67] [68] [69] [70] [71] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] (./26400-t.aux) ) 
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 2742 strings out of 95148
+ 33506 string characters out of 1184452
+ 100427 words of memory out of 1000000
+ 5814 multiletter control sequences out of 10000+50000
+ 13498 words of font info for 52 fonts, out of 500000 for 2000
+ 73 hyphenation exceptions out of 8191
+ 26i,18n,24p,264b,257s stack positions out of 1500i,500n,5000p,200000b,5000s
+PDF statistics:
+ 460 PDF objects out of 300000
+ 0 named destinations out of 131072
+ 353 words of extra memory for PDF output out of 10000
+</usr/
+share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt9.pfb></usr/share/texmf-texlive/
+fonts/type1/bluesky/cm/cmbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky
+/cm/cmcsc10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/fmex9.pfb></u
+sr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr9.pfb></usr/share/texmf-texliv
+e/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesk
+y/cm/cmmi9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/fmex8.pfb></us
+r/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texliv
+e/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesk
+y/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></
+usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-tex
+live/fonts/type1/bluesky/cm/cmti8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blu
+esky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbxti10.pfb>
+</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmti10.pfb></usr/share/texmf-t
+exlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
+bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb><
+/usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-tex
+live/fonts/type1/bluesky/cm/cmr17.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blu
+esky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt10.pfb>
+Output written on 26400-t.pdf (82 pages, 570611 bytes).
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+++ b/26400-t/images/f001.png
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--- /dev/null
+++ b/26400-t/images/f002.png
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index 0000000..4158175
--- /dev/null
+++ b/26400-t/images/f021.png
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index 0000000..6312041
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+++ b/LICENSE.txt
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