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new file mode 100644
index 0000000..2a3c105
--- /dev/null
+++ b/26118-pdf.zip
diff --git a/26118-t.zip b/26118-t.zip
new file mode 100644
index 0000000..fb78c97
--- /dev/null
+++ b/26118-t.zip
diff --git a/26118-t/26118-t.tex b/26118-t/26118-t.tex
new file mode 100644
index 0000000..b9e1016
--- /dev/null
+++ b/26118-t/26118-t.tex
@@ -0,0 +1,5269 @@
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+%                                                                         %
+% The Project Gutenberg EBook of Mémoire sur les équations résolubles     %
+% algébriquement, by M. Despeyrous                                        %
+%                                                                         %
+% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
+% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
+% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
+% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
+%                                                                         %
+%                                                                         %
+% Title: Mémoire sur les équations résolubles algébriquement              %
+%                                                                         %
+% Author: M. Despeyrous                                                   %
+%                                                                         %
+% Release Date: July 24, 2008 [EBook #26118]                              %
+%                                                                         %
+% Language: French                                                        %
+%                                                                         %
+% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
+%                                                                         %
+% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS *** %
+%                                                                         %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+\def\ebook{26118}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%                                                                       %%
+%% Packages and substitutions:                                           %%
+%%                                                                       %%
+%% memoir:   Advanced book class. Required.                              %%
+%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                     %%
+%% amsthm:   AMS configurable theorems. Required.                        %%
+%% inputenc: Enable Latin1 input.                                        %%
+%%           Could be dispensed with by changing all                     %%
+%%           ISO-8859-1-specific characters.                             %%
+%% babel:    Allow multilingual hyphenation and typesetting conventions. %%
+%%           Required.                                                   %%
+%% fontenc:  Use T1 font encoding to allow hyphenation of words          %%
+%%           containing accented characters. Will only be used if the    %%
+%%           lmodern package is detected.                                %%
+%% lmodern:  Use the Type 1 Latin Modern fonts instead of the default    %%
+%%           bitmaps for the EC fonts. If not present, code reverts      %%
+%%           to ordinary OT1 Computer Modern and suppresses hyphenation  %%
+%%           of accented words, which could alter line and page breaks.  %%
+%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.          %%
+%%           Driver option needs to be set explicitly.                   %%
+%% perpage:  Resets footnote markers every page. Required.               %%
+%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Required with    %%
+%%           paper-oriented output. Driver option needs to be set        %%
+%%           explicitly.                                                 %%
+%%                                                                       %%
+%%                                                                       %%
+%% Producer's Comments:                                                  %%
+%%                                                                       %%
+%% A straightforward text once you get past the French.                  %%
+%%                                                                       %%
+%%                                                                       %%
+%% Things to Check:                                                      %%
+%%                                                                       %%
+%% hyperref driver option matches workflow: OK                           %%
+%% Spellcheck: OK                                                        %%
+%% Smoothreading pool: OK (2 French speakers)                            %%
+%% LaCheck: OK                                                           %%
+%% Lprep/gutcheck: OK                                                    %%
+%% PDF pages: 69                                                         %%
+%%            (print format)                                             %%
+%% PDF page size: 648 x 432pt in screen format;                          %%
+%%                499 x 709pt (b5) in print format                       %%
+%% PDF bookmarks: created but closed by default                          %%
+%% PDF document info: filled in                                          %%
+%% PDF annotation on copyright page: visible                             %%
+%% ToC page numbers: N/A                                                 %%
+%% Images: One decoration for title page in print format                 %%
+%% Fonts: Latin Modern for text, Computer Modern for mathematics         %%
+%%        check ligatures are visible                                    %%
+%%            eg p5 (print) p10 (screen) emdash following DÉFINITIONS,   %%
+%%            "fi" in "fini" three lines below                           %%
+%%        Accents show up in header boilerplate (Courier)                %%
+%%        Summations (\textsum) show up in print format (CMEX7)          %%
+%%            eg near bottom of p37 (about 11 lines below eqn D_1)       %%
+%% Two underfull vboxes in print format using pdfLaTeX and one underfull %%
+%%   vbox using LaTeX+dvips (difference caused by hyperlinks not being   %%
+%%   hyphenable with dvips); output is still OK                          %%
+%% No over/underfull boxes in screen format using pdfLaTeX; two overfull %%
+%%   hboxes using LaTeX+dvips because hyperlinks can't break             %%
+%%                                                                       %%
+%%                                                                       %%
+%% Compile History:                                                      %%
+%%                                                                       %%
+%% July 08: dcwilson.                                                    %%
+%%          Compiled with pdfLaTeX the standard three times.             %%
+%%          MiKTeX 2.7, Windows XP Pro                                   %%
+%%          Also compiled with LaTeX the standard three times, followed  %%
+%%            by dvips+distiller.                                        %%
+%%          MiKTeX 2.7, Windows XP Pro                                   %%
+%%                                                                       %%
+%% Command block:                                                        %%
+%% pdflatex x3                                                           %%
+%%                                                                       %%
+%%                                                                       %%
+%% July 2008: pglatex.                                                   %%
+%%   Compile this project with:                                          %%
+%%   pdflatex 26118-t.tex ..... THREE times                              %%
+%%                                                                       %%
+%%   pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5)                  %%
+%%                                                                       %%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\listfiles
+%
+% Compilation instructions
+%
+% This file has been written to produce output in either print-oriented
+% or screen-oriented format. The default is print-oriented; change
+% \Papertrue to \Paperfalse below to get screen-oriented output.
+%
+% The standard "three times through LaTeX" compilation cycle should suffice.
+% We aim to use T1-encoded fonts: on some TeX systems you may need to
+% set a suitable flag when compiling so that this encoding is used.
+%
+% We use the memoir documentclass. This can be obtained from CTAN
+% if it's not already part of your TeX distribution.
+%
+% We use the hyperref package: make sure your configuration's default
+% driver is appropriate, or add an explicit driver option to the
+% invocation of hyperref below. In print-oriented format there is
+% one graphic: make sure the driver used is apropriate to your workflow.
+%
+% We use the amsmath and amsthm packages. These can be obtained from
+% CTAN or from the American Mathematical Society if they're not already
+% part of your TeX distribution.
+%
+% We use the babel package. This can be obtained from CTAN
+% if it's not already part of your TeX distribution.
+%
+% We use the lmodern package. This (and the associated Latin Modern fonts)
+% can be obtained from CTAN if it's not already part of your TeX distribution.
+%
+% We use the perpage package. This can be obtained from CTAN
+% if it's not already part of your TeX distribution (it's now part of the
+% bigfoot bundle).
+%
+% Other packages used are part of the LaTeX base, and so should be
+% already present in your TeX distribution.
+%
+%
+% Formatting for screen or paper is different
+%
+\newif\ifPaper
+\Papertrue
+%
+\ifPaper
+  \documentclass[b5paper,10pt,twoside,openright,onecolumn]{memoir}[2005/09/25]
+  \setlrmarginsandblock{2.3cm}{2.6cm}{*}
+  \setulmarginsandblock{3.1cm}{2.2cm}{*}
+  \setlength{\headsep}{1cm}
+\else
+  \documentclass[ebook,landscape,14pt,oneside,openany,onecolumn]{memoir}[2005/09/25]
+  \setlrmarginsandblock{2cm}{2cm}{*}
+  \setulmarginsandblock{1.5cm}{1cm}{*}
+  \setlength{\headsep}{0.7cm}
+\fi
+\setlength{\footskip}{0.6cm}
+\fixthelayout
+\typeoutlayout
+
+% font and accent stuff...
+% to read the input file properly
+\usepackage[latin1]{inputenc}[2004/02/05]
+% to use French language conventions
+\usepackage[english,frenchb]{babel}[2005/05/21]
+\newcommand\octavo{\FrenchEnumerate8}
+\makeatletter
+% to take advantage of French hyphenation patterns we need
+% fonts which do not use composite characters for accents
+% such as the EC fonts: with pdf output in mind we also
+% want Type 1 fonts
+% NB without fontenc we can't use accented characers in things
+% like destination names: cf the use of "Theorem" rather than
+% "#1" (which would expand to Théorème) in the hyperref bits
+% of the \newtheoremstyle below
+\IfFileExists{lmodern.sty}
+{% our first choice: the Latin Modern fonts
+ \usepackage{lmodern}[2003/07/16]
+ \usepackage[T1]{fontenc}[2004/02/22]
+}{% else fallback to standard CM fonts
+  % and warn that output may be less than ideal
+ \GenericInfo{*** }{***\MessageBreak
+   Important Note: to get authentic French hyphenation\MessageBreak
+   you will need to modify the source to use the\MessageBreak
+   fontenc package together with suitable fonts.\MessageBreak
+   I'm using CM fonts, so expect poor results.\@gobble}
+}
+\DeclareRobustCommand\ttfamily % Courier, for the PG licence stuff
+        {\not@math@alphabet\ttfamily\mathtt
+         \fontfamily{pcr}\fontencoding{T1}\selectfont}
+
+% mathematics
+\usepackage[leqno]{amsmath}[2000/07/18]
+% we only want inline equations to break where we explicitly allow
+\binoppenalty=\@M
+\relpenalty=\@M
+\def\dotsc{\allowbreak\ldots}
+\let\dotm\cdot
+\let\epsilon\varepsilon
+\let\phi\varphi
+\usepackage{amsthm}[2004/08/06]
+% New theorem styles so the optional argument appears as the "number"
+% Also formatted to resemble original with a trailing emdash
+% The first style is set up to create automatic bookmarks and to make hyperlinked
+% crossreferences fairly easy; any bookmarking or hyperlinking of the other styles
+% has to be done manually and ad hoc
+\newtheoremstyle{dplain}{}{}{\itshape}{}{\scshape}{.---}{\z@}{\xdef\@currentHref{Theorem#3#2}%
+   \hypertarget{Theorem#3#2}{\texorpdfstring{\thmname{#1}}{Theorem}\thmnote{ #3}\thmnumber{ #2}}%
+   \rlap{\addcontentsline{toc}{section}{Théorème #3}}}
+\newtheoremstyle{dremark}{}{}{\normalfont}{}{\scshape}{.---}{\z@}{\thmname{#1}\thmnote{ #3}\thmnumber{ #2}}
+\newtheoremstyle{case}{}{}{\normalfont}{}{\scshape}{.---}{\z@}{\thmname{#3}\thmnote{ #1}\thmnumber{ #2}}
+\theoremstyle{dplain}
+\newtheorem*{Thm}{Théorème}
+\theoremstyle{dremark}
+\newtheorem*{Defn}{Définitions}
+\newtheorem*{REMARQUE}{Remarque}
+\newtheorem*{COROLLAIRE}{Corollaire}
+\newtheorem*{Premier}{Premier}
+\newtheorem*{Premiere}{Première}
+\newtheorem*{SECONDE}{Seconde}
+\theoremstyle{case}
+\newtheorem*{CAS}{Cas}
+
+% footnotes
+\newfootnoteseries{T} % for transcriber's notes
+\plainfootstyle{T}
+\renewcommand{\thefootnoteT}{\BringhurstX{footnoteT}}
+% this book uses parentheses around superscript footnote markers
+% comment out the next two definitions to get "normal" footnote markers
+\def\@makefnmark{\hbox{\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}
+\footmarkstyle{(\textsuperscript{#1})\hfill}
+\footmarkstyleT{#1\hfill}
+\renewcommand{\foottextfont}{\footnotesize\normalfont}
+\let\foottextfontT\foottextfont
+\setlength{\footmarksep}{\z@}
+\setlength{\footmarkwidth}{1.3em}
+\usepackage{perpage}[2002/12/20]
+\MakePerPage{footnote}
+\MakePerPage{footnoteT}
+\def\BringhurstX#1{\expandafter\@BringhurstX\csname c@#1\endcsname}
+\def\@BringhurstX#1{\ifcase#1\or*\or\dag\or\ddag\or\S\or$\|$\or\P
+  \or**\or\dag\dag\or\ddag\ddag\or\S\S\or$\|\|$\or\P\P\else?\fi}
+\ifPaper\else
+  % We want the footnotes to be out of the way at the bottom, but memoir
+  %   sets \raggedbottom.
+\renewcommand*{\footnoterule}{\kern-3pt\vfill
+    \hrule width 0.4\columnwidth \kern 2.6pt}
+\fi
+
+% We set up the version of the verbatim package embedded
+% in the memoir class to wrap nicely
+\setlength{\verbatimindent}{.25in}
+\wrappingon
+\addto@hook\afterevery@verbatim{\parindent\z@\relax}
+\setverbatimfont{\normalfont\ttfamily\Small} % 8pt for B5, 11pt for screen
+\addto@hook\every@verbatim{\PGhook}
+\let\verbatimbreakchar\empty
+\let\PGhook\empty
+{\catcode`\L\active
+\gdef\PGlicencelink{\catcode`\L\active\letL\PGlinklicence}}
+\def\PGlinklicence{\@ifnextchar i{\PG@lli}{L}}
+\def\PG@lli#1{\@ifnextchar c{\PG@llii}{Li}}
+\def\PG@llii#1{\@ifnextchar e{\PG@lliii}{Lic}}
+\def\PG@lliii#1{\@ifnextchar n{\PG@lliv}{Lice}}
+\def\PG@lliv#1{\@ifnextchar s{\PG@llv}{Licen}}
+\def\PG@llv#1{\@ifnextchar e{\PG@llvi}{Licens}}
+\def\PG@llvi#1{\hyperlink{PGlicence}{License}}
+\def\PGheaderhook{\catcode`\L\active}
+
+% half-title, title and copyright pages
+\aliaspagestyle{title}{empty}
+\setlength{\droptitle}{\ifPaper\z@\@plus\@ne fill\else-2em\@plus\m@ne fill\fi}
+\pretitle{\begin{center}\ifPaper\HUGE\else\fontsize{36}{42}\selectfont\fi\bfseries}
+\renewcommand{\maketitlehookb}{\ifPaper\vspace{24pt}\else\medskip\fi\begin{center}\tiny\bfseries PAR\end{center}}
+\posttitle{\par\end{center}}
+\preauthor{\begin{center}\Large}
+\postauthor{\par\end{center}}
+\def\affiliation#1{\renewcommand{\maketitlehookc}{\begin{center}\tiny\textsc{#1}\par\end{center}}}
+% title page decoration
+\ifPaper
+  \usepackage{graphicx} %% NOTE: driver option
+  \def\Decoration{\centerline{\includegraphics[width=93pt]{images/decoration.\gext}}}
+\fi
+\predate{\vspace{\z@\@plus.5fill}\ifPaper\Decoration\fi
+  \vspace{\z@\@plus1.5fill}\begin{center}\Small\itshape}
+\postdate{\par\end{center}\vspace{-1.5em}}
+\let\transcribersnotes\@empty
+\let\transcribersNotes\@empty
+\newcommand{\transcribersnote}[1]{%
+  \@ifnotempty{#1}{\g@addto@macro\transcribersnotes{#1\par}%
+    \@xp\@ifempty\@xp{\transcribersNotes}%
+      {\renewcommand{\transcribersNotes}{note}}
+      {\renewcommand{\transcribersNotes}{notes}}}}
+
+\def\makecopyrightpage{% production credits and transcriber's notes
+  \begingroup\pagestyle{empty}
+  \ifPaper
+    \null\vfil
+    \transcribersnote{This document is designed for two-sided printing.
+      It can be recompiled for on-screen viewing: see comments in source \LaTeX\ code.}
+  \else
+    \transcribersnote{This document is designed for on-screen viewing.
+      It can be recompiled for two-sided printing: see comments in source \LaTeX\ code.
+      Alternatively, print this on-screen version 2-up.}
+  \fi
+  \begin{center}
+Produced by Joshua Hutchinson, David Wilson and the Online
+Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This
+etext was produced using images from the Cornell University
+Library: Historical Mathematics Monographs collection.)
+  \end{center}
+  \vfil
+  \vfil
+  \vbox{\Small\hsize=.75\textwidth\parindent=\z@\parskip=.75em
+  \textit{Transcriber's \transcribersNotes}\par\medskip\raggedright
+  \transcribersnotes\par}
+  \vfil
+  \ifPaper\newpage\else\eject\fi\endgroup}
+
+% chapters and sections
+\makechapterstyle{despeyrous}{%
+  \renewcommand{\printchapternum}{\chapnumfont\Roman{chapter}}
+  \renewcommand{\printchaptername}{\begin{center}}
+  \let\printchapternonum\printchaptername
+  \setlength{\beforechapskip}{4pc}
+  \setlength{\midchapskip}{3pc}
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+  \renewcommand{\chaptitlefont}{\normalfont\LARGE\bfseries}
+  \renewcommand{\chapnumfont}{\normalfont\huge\bfseries}
+  \renewcommand{\afterchaptertitle}{\end{center}\nobreak\vskip\afterchapskip}
+  }
+\chapterstyle{despeyrous}
+\makechapterstyle{advert}{%
+  \renewcommand{\printchapternum}{\chapnumfont\Roman{chapter}}
+  \renewcommand{\printchaptername}{\begin{center}}
+  \let\printchapternonum\printchaptername
+  \setlength{\beforechapskip}{\z@}
+  \setlength{\afterchapskip}{0.5em}
+  \renewcommand{\chaptitlefont}{\normalfont\Large\bfseries}
+  \renewcommand{\afterchaptertitle}{\end{center}\nobreak\vskip\afterchapskip}
+  }
+\setsecnumformat{} % kill section numbers so we can use unstarred versions to get bookmarks easily
+\setsecnumdepth{subsection} % we want bookmarks down to this level
+\maxsecnumdepth{subsection}
+\maxtocdepth{subsection}
+\setlength{\parindent}{1.8em}
+\setsecheadstyle{\normalfont\normalsize\bfseries\centering}
+\setsubsecheadstyle{\normalfont\normalsize\scshape}
+\setsubsecindent{\parindent}
+
+% headers and footers
+\copypagestyle{amsbook}{myheadings}
+\ifPaper
+  \def\leftmark{MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS}
+  \def\rightmark{RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT}
+  \makeevenhead{amsbook}{\normalfont\SMALL\thepage}{\normalfont\SMALL\leftmark}{}
+  \makeoddhead{amsbook}{}{\normalfont\SMALL\rightmark}{\normalfont\SMALL\thepage}
+  \makeevenfoot{amsbook}{}{\SMALL\wmc}{}
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+\else
+  \makeoddhead{amsbook}{\normalfont\SMALL\rightmark}{}{\normalfont\SMALL\thepage}
+  \def\leftmark{MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT}
+  \let\rightmark\leftmark
+  \makeoddfoot{amsbook}{}{\SMALL\wmc}{}
+\fi
+\pagestyle{amsbook}
+\copypagestyle{chapter}{plain}
+\makeevenfoot{chapter}{}{\normalfont\SMALL\wmc\thepage}{}
+\makeoddfoot{chapter}{}{\normalfont\SMALL\wmc\thepage}{}
+
+% for the publisher's list at the end
+\newenvironment{catalogue}%
+   {\list{}{\labelwidth\z@ \itemindent-\leftmargin
+    \let\makelabel\cataloguelabel
+    \ifPaper\spaceskip0.5em plus 0.5em minus 0.25em\relax % set catalogue a little loose
+    \rightmargin-\leftmargin\fi}}%
+    {\endlist}
+\newcommand\cataloguelabel[1]{\hspace\labelsep \upshape\bfseries #1}
+\newcommand\Dotfill{\null\nobreak\dotfill\kern.7em}
+
+% to deal with the scanned page breaks
+% add a "draft" option to the documentclass invocation to see the scan numbers
+\ifdraftdoc
+\def\PG#1 #2.png#3
+{\marginpar{\noindent\null\hfill\Small #2.png}}
+\def\PGx#1 #2.png#3
+{}
+\ifPaper\else\advance\marginparwidth15pt\fi
+\else
+\def\PG#1 #2.png#3
+{}
+\let\PGx\PG
+\fi
+
+% for thought breaks
+% if it won't fit on the page, we squeeze in a rule instead
+\newcommand\ThoughtBreakDP{\noindent
+  \hbox to\textwidth{\hglue\z@\@plus\@ne fil*\hglue\z@\@plus0.2fil*\hglue\z@\@plus0.2fil*\hglue\z@
+    \@plus0.2fil*\hglue\z@\@plus0.2fil*\hglue\z@\@plus\@ne fil}}
+\newcommand\ThoughtBreakRule{\hbox to\textwidth{\hfil\vrule height\z@ depth.4pt width.3\textwidth\relax\hfil}}
+\let\Th@ughtBre@k\ThoughtBreakRule
+\newcommand\ThoughtBreakSpace{\vskip1.5em\relax}
+\newcommand\ThoughtBreak{\par\hrule height\z@ depth\z@
+  \nobreak\begingroup
+  \setbox\@tempboxa=\vbox{\ThoughtBreakSpace\Th@ughtBre@k}%
+  \dimen@\pagegoal\advance\dimen@-\pagetotal % space left on page
+  \ifdim\dimen@>\z@ % there is some space to fill
+    \ifdim\ht\@tempboxa>\dimen@ % but not enough space left
+      \vskip-\pagedepth\@plus\@ne fil
+      \setbox\@tempboxa=\vbox{\ThoughtBreakRule}% without any space before
+      \ht\@tempboxa\z@\dp\@tempboxa\z@\box\@tempboxa
+      \break
+    \else % the normal thought break should fit
+      \box\@tempboxa
+      \ThoughtBreakSpace
+    \fi
+  \else % the normal thought break should fit
+    \box\@tempboxa
+    \ThoughtBreakSpace
+  \fi\endgroup}
+
+% PDF stuff: links, document info, etc
+% Make sure the appropriate driver is included in the hyperref options
+\usepackage[final,colorlinks]{hyperref}[2003/11/30] %% NOTE: driver option
+\usepackage{memhfixc}[2005/11/15]
+\providecommand{\ebook}{2xydw}
+\hypersetup{pdftitle=The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Mémoire sur les Équations Résolubles Algébriquement,
+  pdfsubject=Mémoire sur les Équations Résolubles Algébriquement,
+  pdfauthor=M. Despeyrous,
+  pdfkeywords={Cornell University Digital Collections, Joshua Hutchinson, David Wilson,
+               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team},
+  pdfstartview=Fit,
+  pdfstartpage=1,
+  pdfpagemode=UseNone,
+  pdfdisplaydoctitle,
+  bookmarksopen,
+  bookmarksopenlevel=1,
+  linktocpage=false}
+\ifPaper
+  \hypersetup{pdfpagescrop=0 0 499 709, b5paper, % b5 176x250mm
+     pdfpagelayout=TwoPageRight, % this is Acrobat 6's "Facing"
+     plainpages=false, linkcolor=\ifdraftdoc blue\else black\fi,
+     menucolor=\ifdraftdoc blue\else black\fi,
+     urlcolor=\ifdraftdoc magenta\else black\fi}
+\else
+  \hypersetup{pdfpagescrop=0 0 648 432, % ebook 9x6"
+     pdfpagelayout=SinglePage, linkcolor=blue, menucolor=blue,
+     urlcolor=magenta}
+  \expandafter\ifx\csname pdfmark\endcsname\relax\else % dvips and dvipsone need explicit page sizing
+    \AtBeginDocument{\special{! <</PageSize [648 432]>> setpagedevice}}
+  \fi
+\fi
+% pdf annotations
+\ifpdf % using native pdftex
+   \def\wm{\noindent\kern.5\textwidth\pdfannot width\textwidth height12pt {\wmGuts}}
+   \def\gext{pdf}
+\else\expandafter\ifx\csname pdfmark\endcsname\relax\else % pdfmarks: we're using dvips or dvipsone
+   \def\wm{\kern-12pt\noindent\kern.5\textwidth\rlap{\pdfmark[\phantom{\vrule width\textwidth
+      height12pt}]{pdfmark=/ANN, Raw={\wmGuts}}}}
+   \def\gext{eps}
+\fi\fi
+\def\wmGuts{/Subtype /FreeText
+     /Contents (\string\200 Project \string\200 Gutenberg \string\200 \#\ebook\ \string\200)
+     /DA ([0.6875 0.6875 0.6875] r
+     /CoBo 8 Tf) /BS << /W 0 >> /F 37 /Q 1 /Title (PG)
+     /DS(font: bold Courier,monospace 8.0pt;
+         text-align:\ifPaper center\else right\fi; color:####BBBBBB )}
+\newbox\wmbox
+\def\wmc{\copy\wmbox}
+\AtBeginDocument{\setbox\wmbox=\hbox to\z@{\hss
+  \vtop{\hsize=\textwidth\kern\ifPaper35\else20\fi pt\wm}\hss}
+  \ht\wmbox=\z@\relax\dp\wmbox=\z@\relax}
+% Here we fiddle with the \tag command so that it also writes a label we can hyperlink to
+% If the tag is safe to include in the label then \tag{X} will give us (X) in the display
+% and a label "eqn:X", but if we want a label different from the tag (eg when we have duplicate
+% tags in the document, as we have here) then \tag[Y]{X} will give (X) in the display
+% and a lable "eqn:Y"
+% This could probably be achieved using explicit labels and \eqref, but the
+% less intrusive and duplicated the markup the better I think!
+\let\dp@tag\tag@in@display
+\def\tag@in@display{\@ifnextchar[\dp@t@g\dp@@t@g}
+\def\dp@@t@g#1{\dp@t@g[#1]{#1}}
+\def\dp@t@g[#1]#2{\dp@tag{#2}\label{eqn:#1}}
+\let\dp@tag@\tag@in@align
+\def\tag@in@align{\@ifnextchar[\dp@t@g@\dp@@t@g@}
+\def\dp@@t@g@#1{\dp@t@g@[#1]{#1}}
+\def\dp@t@g@[#1]#2{\dp@tag@{#2}\label{eqn:#1}}
+% \tagref has similar syntax to our modified \tag:
+% \tagref{X} will put "(X)" in the document and link to "eqn:X", but
+% \tagref[Y]{X} will put "(X)" in the document but link to "eqn:Y"
+% \tagref*{X} and \tagref*[Y]{X} are for the rare occasions when we don't want parentheses
+\newif\iftag@p@ren
+\def\tagref{\@ifstar{\tag@p@renfalse\t@gref}{\tag@p@rentrue\t@gref}}
+\def\t@gref{\@ifnextchar[\dp@t@gref\dp@tagref}
+\def\dp@tagref#1{\dp@t@gref[#1]{#1}}
+\def\dp@t@gref[#1]#2{{\normalfont\iftag@p@ren(\fi\@ifundefined{r@eqn:#1}{#2}{\hyperlink
+ {\expandafter\expandafter\expandafter\@fourthoffive\csname r@eqn:#1\endcsname}{#2}}\iftag@p@ren)\fi}}
+% slight modification of hyperref's command, for adding explicit bookmarks and destinations
+\newcommand\DPpdfbookmark[3][0]{\rlap{\hyper@anchorstart{#3}\hyper@anchorend
+     \Hy@writebookmark{}{#2}{#3}{#1}{toc}}}
+
+% bits and pieces
+\emergencystretch=12pt
+\let\Small\footnotesize
+\let\SMALL\scriptsize
+\def\squishy{\@setfontsize\small{\@xivpt}{16.5}}
+
+% We wanted to \usepackage{relsize} but the new version
+% doesn't behave the same as the old version (which is what we wanted)
+% so we just include the relevant bits from the old package
+% written by Donald Arseneau
+\DeclareRobustCommand\relsize[1]{%
+\ifmmode \@nomath\relsize\else
+ \@tempcnta % assign number representing current font size
+   \ifx\@currsize\normalsize 4\else   % funny order is to have most ...
+    \ifx\@currsize\small 3\else       % ...likely sizes checked first
+     \ifx\@currsize\footnotesize 2\else
+      \ifx\@currsize\large 5\else
+       \ifx\@currsize\Large 6\else
+        \ifx\@currsize\LARGE 7\else
+         \ifx\@currsize\scriptsize 1\else
+          \ifx\@currsize\tiny 0\else
+           \ifx\@currsize\huge 8\else
+            \ifx\@currsize\Huge 9\else
+            4\rs@unknown@warning % unknown state: \normalsize as starting point
+ \fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi
+%  Change the number by the given increment:
+ \advance\@tempcnta#1\relax
+%  watch out for size underflow:
+ \ifnum\@tempcnta<\z@ \rs@size@warning{small}{\string\tiny}\@tempcnta\z@ \fi
+ \ifcase\@tempcnta  % set new size based on altered number
+    \tiny \or \scriptsize \or \footnotesize \or \small \or \normalsize \or
+    \large \or \Large \or \LARGE \or \huge \or \Huge \else
+     \rs@size@warning{large}{\string\Huge}\Huge
+\fi\fi}
+\DeclareRobustCommand\larger[1][\@ne]{\relsize{+#1}}
+\DeclareRobustCommand\smaller[1][\@ne]{\relsize{-#1}}
+\DeclareRobustCommand\textlarger[2][\@ne]{{\relsize{+#1}#2}}
+\DeclareRobustCommand\textsmaller[2][\@ne]{{\relsize{-#1}#2}}
+\newcommand\mathsmaller[1]{{\mathchoice{\textstyle}%
+  {\scriptstyle}{\scriptscriptstyle}{\scriptscriptstyle}#1}}
+\DeclareRobustCommand\mathlarger[1]{\mathchoice
+  {\mbox{\larger$\displaystyle#1\m@th$}}%
+  {{\displaystyle#1}}{{\textstyle#1}}{{\scriptstyle#1}}}
+%
+% The standard summation symbol seems too overwhelming when used inline, especially without limits
+% We could use \Sigma, but it is subtly different from \sum, hence...
+% NB in Paper format this requires cmex7 (or suitable substitution lines in your font .map files)
+% If the font isn't accessible there will be missing summation signs in the output :-(
+\def\textsum{\raise.4ex\hbox{$\m@th\mathsmaller{\sum}$}}
+
+\makeatother
+
+\begin{document}
+
+%-----------------------File: 001.png----------------------------
+\begingroup
+\pagestyle{empty}
+\ifPaper\pagenumbering{Alph}\fi % to ensure unique hyperref page anchors
+\let\PGhook\PGlicencelink
+\begin{verbatim}
+The Project Gutenberg EBook of Mémoire sur les équations résolubles
+algébriquement, by M. Despeyrous
+
+This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
+almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
+re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
+with this eBook or online at www.gutenberg.org
+
+
+Title: Mémoire sur les équations résolubles algébriquement
+
+Author: M. Despeyrous
+
+Release Date: July 24, 2008 [EBook #26118]
+
+Language: French
+
+Character set encoding: ISO-8859-1
+
+*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ***
+\end{verbatim}
+\ifPaper\cleartorecto\else\newpage\fi
+\endgroup
+\ifPaper
+  \frontmatter
+\else
+  \frontmatter*
+\fi
+
+\title{%
+{\Large MÉMOIRE}\\
+{\SMALL SUR}\\
+LES ÉQUATIONS\\
+{\Large RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT}} % Despeyrous: Mémoire sur les Équations Résolubles Algébriquement
+
+\author{M. DESPEYROUS}
+\affiliation{Ancien professeur à la Faculté des sciences de Toulouse.}
+
+\date{Paris, 1887}
+
+\maketitle
+
+\newpage
+\transcribersnote{This e-text was created from scans of the book published
+ at Paris in 1887 by A.~Hermann as part of the \textit{Librairie Scientifique}
+ series. The book was printed by G.~Gounouilhou of Bordeaux.}
+
+\transcribersnote{The author's footnotes are labelled numerically\footnotemark\
+ and are in French; footnotes showing where corrections to the text have been
+ made are labelled using printer's marks\footnotemarkT\ and are in English.}
+
+\transcribersnote{The author uses a vinculum $\overline{n-1}p$ where modern
+ usage would be to use parentheses $(n-1)p$.}
+
+\transcribersnote{\SMALL Details of minor typographical corrections
+ are documented in the \LaTeX\ source.}
+
+\makecopyrightpage
+\ifPaper\cleartorecto\fi
+
+\ifPaper
+  \mainmatter
+\else
+  \mainmatter*
+\fi
+
+\chapter*{MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT}
+
+\ThoughtBreak\phantomsection\addcontentsline{toc}{chapter}{Préface}
+\bigskip
+
+La solution de cette question générale, \emph{trouver toutes les équations
+de degré premier résolubles algébriquement}, fait l'objet
+de ce mémoire. Nous croyons que notre solution est exacte et
+complète, et nous avons l'espoir qu'elle sera jugée telle par les
+géomètres.
+
+La résolution des équations des quatre premiers degrés était connue
+depuis longtemps, lorsque Vandermonde et Lagrange lurent presque
+en même temps, l'un à l'Académie des Sciences de Paris\footnote{\textit{Mémoires
+de l'Académie des Sciences de Paris}, année 1771.}, l'autre
+à l'Académie des Sciences de Berlin\footnote{\textit{Mémoires de l'Académie
+des Sciences de Berlin}, années 1770--71.}, leurs savantes recherches sur
+la résolution générale des équations. Par des méthodes différentes,
+ces deux grands géomètres arrivèrent à des résultats identiques; et,
+en particulier à celui-ci: «\emph{La résolution de l'équation générale du
+cinquième degré dépend en dernière analyse d'une équation
+du sixième degré}; et la résolution de celle-ci d'une équation du
+quinzième ou du dixième degré.» Mais est-ce là le dernier degré de
+réduction auquel on puisse parvenir?
+
+On en était là lorsque le célèbre Gauss publia en 1801 ses \textit{Disquisitiones
+arithmeticae}, qui contiennent dans la septième section la
+résolution algébrique des équations binômes.
+
+\PG-----------------------File: 008.png----------------------------
+Vingt-cinq ans plus tard l'illustre Abel s'occupa à son tour de la
+résolution algébrique des équations, comme le prouve la lettre qu'il
+écrivait, trois ans avant sa mort, à M.~Holmboe: «Depuis mon arrivée
+à Berlin, je me suis occupé de la solution du problème général suivant:
+\emph{trouver toutes les équations qui sont résolubles algébriquement};
+ma solution n'est pas encore complète, mais autant que j'en puis
+juger, elle aboutira. Tant que le degré de l'équation est un nombre
+premier, la difficulté n'est pas très grande, mais lorsque ce nombre
+est composé, le diable s'en mêle\footnote{\textit{Oeuvres complètes d'Abel}, 2\ieme{} vol., p.~265.}.»
+
+Nous devons ajouter qu'il ne réussit même pas lorsque le degré est
+premier, mais qu'il trouva, en généralisant les résultats de Gauss sur
+les équations binômes, une classe d'équations résolubles algébriquement,
+appelées aujourd'hui \emph{abéliennes}, et qu'il démontra l'impossibilité
+de résoudre algébriquement des équations générales de degré
+supérieur au quatrième\footnote{\ifPaper
+\textit{Id.}, p.~5 et 114 du premier volume.\else
+\textit{Oeuvres complètes d'Abel}, 1\ier{} vol., p.~5 et 114.\fi}.
+
+Enfin M.~Liouville a publié en 1846, dans son journal, les oeuvres
+mathématiques de Gallois, dont la mort prématurée a été une véritable
+perte pour la science. Dans ces oeuvres, se trouve la démonstration
+de ce beau théorème: «Pour qu'une équation irréductible de
+degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que toutes
+les racines soient des fonctions rationnelles de deux quelconques
+d'entre elles.» Mais la démonstration laisse beaucoup à désirer, elle
+a des lacunes, et il a fallu toute l'autorité de M.~Liouville pour faire
+admettre l'existence du théorème. Nous avons encore de Gallois un
+\emph{fragment} sur les conditions de résolubilité des équations de degré
+composé; mais il est inintelligible, à l'exception des trois premières
+pages.
+
+Les remarquables travaux dont nous venons de parler nous ont
+fait hésiter longtemps à nous occuper de la question générale ci-dessus
+énoncée, mais nos recherches\footnote{\textit{Journal de Mathématiques pures et appliquées},
+ deuxième série, t.~VI, p.~417; t.~X, p.~55 et 177.} sur la \emph{théorie de l'ordre} et sur
+l'application que nous en avons faite à la classification des permutations
+qu'offrent $m$ lettres en groupes de permutations inséparables
+quels que soient les échanges de ces lettres, fournissent une méthode
+\PG-----------------------File: 009.png----------------------------
+pour la solution de cette question générale, et c'est le résultat des
+applications de cette méthode que nous soumettons au jugement des
+géomètres.
+
+Notre travail est divisé en deux sections: dans la première, après
+avoir rappelé l'indispensable théorie de Lagrange sur les fonctions
+semblables et dissemblables, nous exposons les principes de notre
+théorie sur les équations résolubles par radicaux. Ces principes se
+composent de six théorèmes dont un seul, le cinquième, était connu
+et appartient à Gallois.
+
+Le but de ces principes est d'établir: \primo que la résolution de toute
+équation algébrique, irréductible et soluble par radicaux dépend
+\emph{nécessairement} de la résolution d'une équation auxiliaire appelée
+\emph{résolvante}, dont les racines sont des fonctions rationnelles de celles
+de la proposée; \secundo que cette équation résolvante n'est décomposable
+en facteurs de degrés moindres, qu'autant que les groupes de permutations
+des racines de l'équation proposée, relatifs à celles de l'équation
+résolvante, peuvent être partagés en nouveaux groupes de
+permutations \emph{inséparables}.
+
+Ces deux théorèmes contiennent en germe la méthode qu'on
+doit suivre pour la détermination des conditions nécessaires et
+suffisantes pour qu'une équation algébrique et irréductible soit
+soluble par radicaux.
+
+Dans la deuxième section, nous développons cette méthode, et
+nous démontrons que les deux théorèmes de Lagrange, sur la théorie
+générale des équations, sont des conséquences nécessaires de la
+théorie des équations, vérité\footnote{\textit{Traité de la résolution
+ des équations numériques}, 2\ieme{} éd., p.~274.} aperçue
+ par ce grand géomètre, et
+que nous mettons, ce nous semble, hors de doute.
+
+Ainsi nous démontrons: \primo que pour résoudre une équation algébrique
+irréductible et de degré premier $n$, il est nécessaire et suffisant
+de résoudre deux équations, l'une de degré $n - 1$ et l'autre de degré
+$ 1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n - 2)$; \secundo que pour résoudre une équation algébrique
+irréductible et de degré composé $m = nq$ ($n$ étant premier)
+il est nécessaire et suffisant de résoudre $n$ équations de degré $q$ et
+deux autres équations, l'une de degré $n - 1$ et l'autre de degré $\gamma$
+\PG-----------------------File: 010.png----------------------------
+donné par la formule
+\[
+\gamma = \frac{1\dotm 2\dotm 3\dotsm m}{(1\dotm 2\dotm 3\dotsm q)^n\dotm n(n-1)}\,.
+\]
+De là, et de notre théorème de la classification des permutations\footnote
+{\emph{Journal de Mathématiques}, 2\ieme{} série, t.~VI, p.~417.}
+nous déduisons d'une manière \emph{directe, qu'il est impossible de
+résoudre algébriquement les équations générales de degré supérieur
+au quatrième}. Ce théorème, dû à Abel, comme nous l'avons
+déjà dit, a été démontré par ce géomètre par la réduction à l'absurde;
+plus tard, Wantzel en a donné une démonstration plus simple, mais
+ayant le même caractère. Notre démonstration est directe et elle est
+déduite de la nature même des choses, aussi est-elle simple et facile.
+
+Puisqu'il est impossible de résoudre algébriquement les équations
+générales de degré supérieur au quatrième, on doit chercher les
+conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation irréductible,
+de degré supérieur à quatre, soit résoluble algébriquement,
+c'est-à-dire soluble par radicaux.
+
+Notre théorie de la classification des permutations nous fait d'abord
+retrouver une classe d'équations résolubles algébriquement, c'est
+celle des équations dites \emph{abéliennes}, et la décomposition de ces
+équations en d'autres, de degrés moindres, selon la loi de Gauss. Puis
+nous distinguons dans cette recherche deux cas, celui où le degré
+est un nombre premier, et celui où il est composé. Dans le premier
+cas nous démontrons ce théorème: \emph{Pour qu'une équation irréductible
+et de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il
+suffit que, deux racines étant données, les autres s'en déduisent
+rationnellement suivant une loi que nous faisons connaître.}
+
+Ce théorème, tel que Gallois l'avait énoncé, ne faisait pas connaître
+cette loi de dérivation des racines; c'est peut-être pour cette raison
+que la démonstration de ce géomètre laissait beaucoup à désirer:
+nous espérons que la nôtre sera à l'abri de ce reproche.
+
+Ensuite, nous donnons, \hyperlink{TheoremXIV}{théorème~XIV}, les conditions nécessaires
+et suffisantes pour qu'une équation algébrique irréductible et dont le
+degré ne contient aucun des facteurs premiers deux et trois soit
+résoluble algébriquement.
+\PG-----------------------File: 011.png----------------------------
+
+Enfin nous examinons les cas particuliers qui ne sont pas compris
+dans ce dernier théorème, et pour chacun d'eux nous donnons les
+conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation irréductible
+soit soluble par radicaux. C'est ainsi que nous complétons la solution
+de ce problème général: \emph{trouver toutes les équations résolubles
+algébriquement}.
+\PG-----------------------File: 012.png----------------------------
+
+
+\chapter{PRINCIPES}
+
+\begin{Defn}
+Soient $x_0, x_1, x_2, \dotsc, x_{m-1}$, $m$ quantités, et $V$ une
+fonction de ces quantités, cette fonction étant formée avec elles à
+l'aide des six opérations fondamentales des mathématiques ou de
+quelques-unes d'entre elles, répétées un nombre fini de fois; dont
+trois directes, addition, multiplication, formation de puissances, et
+trois inverses, soustraction, division, extraction de racines.
+\end{Defn}
+
+Si, dans la formation de la fonction $V$, il n'y a que des signes
+des quatre premières opérations ou de quelques-unes d'entre elles,
+$V$ est dite fonction entière de $x_0, x_1, x_2, \dotsc, x_{m-1}$; et si dans $V$ ces
+quantités sont liées par les signes des cinq premières opérations ou
+de quelques-unes d'entre elles, $V$ est une fonction \emph{rationnelle} de
+ces $m$ quantités. Mais nous donnerons une plus grande extension à
+ces mots \emph{entier} et \emph{rationnel}, et nous dirons qu'une fonction est
+entière ou rationnelle de ces quantités $x_0, x_1, x_2, \dotsc, x_{m-1}$, quand
+bien même son expression contiendrait dans la première ou dans la
+seconde formation des racines de l'unité d'un degré quelconque $k$,
+égal ou différent de~$m$.
+
+Une équation algébrique
+\[  \tag[-1]{1}
+ F(x) = x^m + A_1 x^{m-1} + A_2 x^{m-2} + \dotsb + A_m = 0
+\]
+est \emph{réductible} ou \emph{irréductible}, selon que le premier membre se
+décompose ou ne se décompose pas en facteurs de degrés moindres
+en $x$, tels que les coefficients des divers termes de ces facteurs sont
+des fonctions rationnelles de $A_1, A_2, \dotsc, A_m$ \emph{indépendantes} des
+racines de l'unité d'un degré quelconque. Nous verrons qu'une
+\PG-----------------------File: 013.png----------------------------
+équation irréductible peut cesser de l'être, quand on adjoint aux
+coefficients $A_1, A_2, \dotsc, A_m$ de cette équation des racines de certaines
+équations que nous appellerons \emph{résolvantes}.
+
+Résoudre algébriquement l'équation~\tagref[-1]{1}, c'est déterminer une
+fonction \emph{algébrique} de ses coefficients, qui, substituée à l'inconnue $x$,
+satisfasse identiquement à cette équation.
+
+\section[Fonctions semblables]{Fonctions semblables\protect\footnote
+{Voir les \textit{Mémoires de Berlin} pour l'année 1771, p.~192,
+ et aussi \textit{l'Algèbre supérieure} de
+Serret, 2\ieme{} éd., p.~149.}}
+
+Considérons une fonction rationnelle $V$ des $m$ racines de
+l'équation~\tagref[-1]{1}
+de forme déterminée et connue, et admettons qu'elle prenne
+$s$ valeurs quand on y permute de toutes les manières possibles ces
+$m$ racines que son expression renferme.
+
+Nous avons démontré ailleurs\footnote{\textit{Journal de Mathématiques de Liouville},
+ février 1865.}, qu'on peut partager les $1 \dotm 2 \dotm 3 \dotsm
+m = \mu$ permutations, produites par les $m$ racines en $s$ groupes
+composés chacun de $q$ permutations, $\mu = sq$, associés de telle
+manière que, malgré tous les échanges de ces lettres, les permutations
+d'un même groupe ne peuvent jamais se séparer. Admettons que ce
+partage soit effectué, et soit
+\[
+\left\{
+\begin{matrix}
+   \alpha_1, & \beta_1, & \dotsc, & \omega_1   \\
+   \alpha_2, & \beta_2, & \dotsc, & \omega_2   \\
+   \hdotsfor{4}\\
+   \hdotsfor{4}\\
+   \alpha_s, & \beta_s, & \dotsc, & \omega_s
+\end{matrix}
+\right.
+\tag{A}
+\]
+le tableau des permutations qui en résulte, le nombre des lettres
+$ \alpha, \beta, \dotsc, \omega $ étant égal à~$q$.
+
+Soient $V_1$ la valeur que prend la fonction donnée $V$ pour toutes les
+permutations $ \alpha_1, \beta_1, \dotsc, \omega_1 $ du premier groupe et
+$ V_2, V_3, \dotsc, V_s $ les
+valeurs qu'elle prend respectivement pour les permutations des 2\ieme{},
+3\ieme{}, \dotsc, $s$\ieme{} groupes.
+
+Cela rappelé, considérons une autre fonction rationnelle $y$ de ces
+mêmes racines; cette fonction $y$ est \emph{semblable} à $V$ si elle est
+\PG-----------------------File: 014.png----------------------------
+invariable pour toutes les permutations d'un quelconque des groupes
+du tableau~\tagref{A}, et si elle change de valeur en passant d'un groupe à
+un autre: en sorte que $V$ et $y$ ont un même nombre $s$ de valeurs
+distinctes. Pour toute autre hypothèse $V$ et $y$ sont des fonctions
+\emph{dissemblables}.
+
+La question à résoudre est celle-ci: connaissant $V$ et les coefficients
+de l'équation~\tagref[-1]{1}, trouver l'inconnue $y$. Nous devons distinguer deux
+cas dans la solution de ce problème, celui où les fonctions $V$ et $y$ sont
+semblables, et celui où elles sont dissemblables.
+
+\begin{CAS}[Premier] Les fonctions $V$ et $y$ sont semblables. Puisque la
+forme de la fonction rationnelle $V$ est connue, nous connaissons les
+valeurs analytiques $V_1, V_2, \dotsc, V_s$. Considérons actuellement une
+fonction rationnelle quelconque et symétrique de ces $s$ valeurs,
+\[
+  \theta (V_1, V_2, \dotsc, V_s)\,.
+\]
+Tout changement opéré sur les $m$ racines $x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1}$ laissera
+une quelconque de ces $s$ valeurs, $V_i$ par exemple invariable, ou il la
+transformera en une autre de ces $m$ valeurs. Dans l'une ou l'autre
+de ces deux hypothèses, ce même changement produira les mêmes
+effets, sur les autres valeurs de $V$, d'après les propriétés connues
+du tableau~\tagref*{A}. Mais la fonction $\theta$ est symétrique par rapport à ces
+$s$ valeurs, donc elle est symétrique par rapport aux racines de l'équation~\tagref[-1]{1},
+et par conséquent elle est exprimable en fonction rationnelle
+des coefficients de cette équation. On doit donc considérer comme
+connues: \primo la somme des valeurs $V_1, V_2, \dotsc, V_s$; \secundo la somme de
+leurs produits deux à deux; \tertio la somme de leurs produits trois à
+trois; et ainsi de suite, et par conséquent l'équation:
+\[
+  \phi(V) = V^s + P_1V^{s-1} + P_2V^{s-2} + \dotsb + P_s = 0\,,\tag[-2]{2}
+\]
+dont les racines sont ces $s$ valeurs $V_1, V_2, \dotsc, V_s$. Considérons actuellement
+la fonction rationnelle $yV^k$, $k$ désignant un nombre entier
+quelconque; et désignons par $y_1, y_2, \dotsc, y_s$ les valeurs que prend
+respectivement $y$ pour une quelconque des permutations des $s$ groupes
+du tableau~\tagref{A}. Il résulte de ce qui précède que toute fonction
+symétrique des $s$ valeurs $y_1V_1^k, y_2V_2^k, \dotsc, y_sV_s^k$ est invariable par
+rapport aux $m$ racines de l'équation~\tagref[-1]{1}, et par conséquent exprimable
+\PG-----------------------File: 015.png----------------------------
+en fonction rationnelle de ses coefficients. On doit donc considérer
+comme connue la fonction définie par l'équation
+\[
+  y_1V_1^k + y_2V_2^k + \dotsb + y_sV_s^k = t^k
+\]
+quelle que soit la valeur entière attribuée à $k$; et par conséquent les
+fonctions $t_0, t_1, \dotsc, t_{s-1}$ définies par les équations
+\[
+\def\arraycolsep{2pt}
+\begin{array}{cccccl}
+y_1         &+& y_2         &+ \dotsb +& y_s         &= t_0\,,   \\
+y_1V_1      &+& y_2V_2      &+ \dotsb +& y_sV_s      &= t_1\,,   \\
+\hdotsfor{6}\\
+\hdotsfor{6}\\
+y_1V_1^{s-1}&+& y_2V_2^{s-1}&+ \dotsb +& y_sV_s^{s-1}&= t_{s-1}\,,
+\end{array}
+\]
+qui se déduisent de la première en donnant successivement à $k$ les
+valeurs $0, 1, 2, \dotsc, s-1$; ces équations serviront à déterminer $y_1,
+y_2, \dotsc, y_s$. Pour déterminer l'une des inconnues, $y_i$ par exemple,
+nous suivrons la méthode des multiplicateurs; nous multiplierons
+donc respectivement les deux membres de chacune de ces $s$ équations
+par $h_0, h_1, \dotsc, h_{s-2}, 1$; nous ferons la somme des produits membre à
+membre, et nous aurons, en faisant pour abréger
+%
+\begin{gather*}
+ h_0 + h_1V + h_2V^2 + \dotsb+ h_{s-2}V^{s-2} + V^{s-1} = \psi(V)\,, \\
+ y_1\psi(V_1) + \dotsb + y_i\psi(V_i) + \dotsb + y_s\psi(V_s)
+ = h_0t_0 + h_1t_1 + \dotsb + h_{s-2}t_{s-2} + t_{s-1}\,.\footnotemarkT
+\end{gather*}%
+\footnotetextT{Original has $t_{s-i}$ as the final term}% Note a simple \footnoteT here gets lost
+%
+Pour déduire de cette dernière équation la valeur de $y_i$, il faut
+déterminer les $s-1$ coefficients indéterminés $
+h_0, h_1, \dotsc, h_{s-2}$, par
+les $s-1$ équations:
+\[
+ \psi(V_1) = 0, \quad  \psi(V_2) = 0, \quad \dotsc, \quad
+ \psi(V_0) = 0\,;
+ \tag[-3]{3}
+\]
+et ces indéterminées étant connues par ces équations, on aura
+\[
+  y_i = \frac{ h_0t_0 + h_1t_1 + \dotsb + h_{s-2}t_{s-2} + t_{s-1} }
+             { \psi(V_i) }\,.
+  \tag[-4]{4}
+\]
+\end{CAS}
+
+Pour déterminer ces $s-1$ indéterminées et par suite $y_i$, il suffit
+de résoudre les équations~\tagref[-3]{3}; mais on peut opérer plus simplement,
+car ces équations~\tagref[-3]{3} prouvent que les $s-1$ racines de l'équation
+$\psi(V) = 0$ sont $V_1, V_2, \dotsc, V_s$, c'est-à-dire toutes celles de
+\PG-----------------------File: 016.png----------------------------
+l'équation~\tagref[-2]{2}, la racine $V_i$ exceptée; donc
+\[
+\psi(V)~\footnotemarkT % [** Inserted missing psi]
+ = \frac{\phi(V)}{V-V_i} =
+\begin{aligned}[t]
+V^{s-1}&+V_i\\
+&+P_1~\footnotemarkT % [** Corrected subscript "i" to "1"]
+\end{aligned}~\vrule height\baselineskip depth2.5\baselineskip
+~\begin{aligned}[t]
+V^{s-2}&+V_i^2\\
+&+P_1V_i\\
+&+P_2
+\end{aligned}~\vrule height\baselineskip depth5\baselineskip
+~\begin{aligned}[t]
+V^{s-3}\ldots~&+V_i^{s-1}\,,\\
+&+P_1V_i^{s-2}\,,\\
+&+P_2V^{s-3}\,,\\
+&\dots\dots\\
+&+P_{s-1}\,;
+\end{aligned}
+% need to stuff with footnote counters because the text is out of synch with the marks
+\addtocounter{footnoteT}{-1}\footnotetextT{Original lacks $\psi$}%
+\addtocounter{footnoteT}{1}\footnotetextT{Original has $P_i$}%
+\]et puisque ce quotient doit être identique au polynôme
+$\psi(V)$, on doit avoir
+%
+\begin{gather*}
+  h_{s-2} = V_i + P_1 \, ,\quad h_{s-3} = V_i^2 + P_1 V_i + P_2 \, ,\quad \dotsc ,\\
+   h_0 = V_i^{s-1} + P_1 V_i^{s-2} + \dotsb + P_{s-1}.
+\end{gather*}
+%
+Ces valeurs font connaître celle de $y_i$; mais le numérateur
+de son expression~\tagref[-4]{4} peut être simplifié par le calcul
+suivant dû à Lagrange.  Posons en effet
+%
+\begin{align*}
+  T_0 & = t_0, \\
+  T_1 & = t_1 + t_0 P_1, \\
+  T_2 & = t_2 + t_1 P_1 + t_0 P_2, \\
+&  \dots\dots\dots\dots\\
+  T_{s-1}&  =  t_{s-1} + t_{s-2} P_1 + t_{s-3} P_2 + \dotsb + t_0 P_{s-1},
+\end{align*}
+%
+et multiplions les deux membres de chacune de ces $s$ équations
+respectivement par $V_i^{s-1}, V_i^{s-2}, \dotsc, V_i, 1$;
+nous aurons, en faisant la somme des produits membre à membre, et
+en ayant égard aux valeurs de $h_0, h_1, \dotsc, h_{s-2}$,
+%
+\begin{multline*}
+  T_0 V_i^{s-1} + T_1 V_i^{s-2} + \dotsb + T_{s-2} V_i + T_{s-1}\\
+=  h_0 t_0 + h_1 t_1 + \dotsb  + h_{s-2} t_{s-2} + t_{s-1} = \Theta (V_i)\,;
+\end{multline*}
+%
+et, par suite, la formule~\tagref[-4]{4} deviendra
+\[
+  y_i = \frac{\Theta (V_i)}{\psi (V_i)} \, ,
+\]
+les coefficients des diverses puissances de $V_i$, dans le
+numérateur, étant des fonctions rationnelles des coefficients
+de l'équation~\tagref[-1]{1}. Or, l'équation $\psi(V) =
+\dfrac{\phi(V)}{V-V_i}$ donne $\psi(V_i) = \phi'(V_i)$, donc
+enfin
+\[
+   y_i = \frac{\Theta (V_i)}{\phi' (V_i)} \, ,\tag[-5]{5}
+\]
+\PG-----------------------File: 017.png----------------------------
+formule qui donnera les valeurs $y_1, y_2, \dotsc, y_s$ en remplaçant $i$
+par les nombres $1, 2, 3, \dotsc, s$.
+
+Ainsi ces valeurs s'expriment en fonction rationnelle de $V_1, V_2, \dotsc, V_s$.
+
+Sous le point de vue analytique, les valeurs $V_1, V_2, \dotsc, V_s$ sont
+inégales; mais pour des valeurs particulières des racines $x_0, x_1, \dotsc,
+x_{m-1}$ et pour des formes particulières de la fonction $V$, quelques-unes
+de ces valeurs peuvent être égales entre elles, $V_1 = V_2$ par exemple;
+auquel cas $\phi' (V_1) = 0$. Cette hypothèse rend illusoire la formule~\tagref[-5]{5}
+pour les valeurs $y_1$ et $y_2$ relatives à $V_1$ et à $V_2$; mais on peut, en
+suivant une méthode connue, déterminer la somme $y_1 + y_2$.
+
+Modifions, en effet, les coefficients de l'équation~\tagref[-2]{2} de telle manière
+que les racines $V_1$ et $V_2$ aient une différence $\epsilon$ et que les autres
+conservent les mêmes valeurs; nous avons
+%
+\begin{gather*}
+V_2 = V_1 + \epsilon\,,\\
+\phi (V) = (V-V_1) (V-V_2) (V-V_3) \dotsm (V-V_s)\,.
+\end{gather*}
+%
+De cette dernière équation nous déduisons
+%
+\begin{align*}
+\phi' (V_1) &= (V_1-V_2) (V_1-V_3) \dotsm (V_1-V_s)\,,\\
+\phi' (V_2) &= (V_2-V_1) (V_2-V_3) \dotsm (V_2-V_s)\,;
+\end{align*}
+%
+et si on pose
+\[
+\frac{\Theta(V)}{ (V-V_3)\dotsm(V-V_s) }= F_1(V)\,,
+\]
+on aura successivement, à la limite $\epsilon = 0$, c'est-à-dire en rétablissant
+les valeurs des coefficients de l'équation~\tagref[-2]{2},
+%
+\begin{align*}
+y_1 &= \lim\frac{F_1(V_1)}{V_1-V_2}
+    = -\lim\frac{F_1(V_1)}{\epsilon}\,,\\
+y_2 &= \lim\frac{F_1(V_2)}{(V_2-V_1)}
+    = \lim\frac{F_1(V_1+\epsilon)}{\epsilon}\,,\\
+y_1+y_2 &= \lim\frac{F_1(V_1+\epsilon)-F_1(V_1)}{\epsilon}
+=F_1'(V_1)\,.
+\end{align*}
+
+On connaît donc la somme $y_1 + y_2$; mais, si on prend pour
+inconnue $y^2$, on obtiendrait par un calcul analogue $y_1^2 + y_2^2$. De ces
+deux sommes, on déduira l'équation du second degré dont les racines
+sont $y_1$ et~$y_2$.
+\PG-----------------------File: 018.png----------------------------
+
+Si $V_1 = V_2 = V_3$, la formule~\tagref[-5]{5} devient illusoire pour $y_1, y_2, y_3$;
+mais elle peut faire connaître la somme $y_1 + y_2 + y_3$ par la même
+méthode. Modifions, en effet, les coefficients de l'équation~\tagref[-2]{2} de telle
+manière que $V_1$ soit racine double, que $V_3 = V_1 + \epsilon$ et que les autres
+restent les mêmes; et posons
+\[
+\frac{\Theta(V)}{(V-V_4)(V-V_5)\dotsm(V-V_s)}=F_2(V)\,.
+\]
+Nous aurons
+%
+\begin{align*}
+\phi'(V_3)&=(V_3-V_1)^2(V_3-V_4)\dotsm(V_3-V_s)\,,\\
+F_1(V)&=\frac{F_2(V)}{V-V_3}\,,\\
+F'_1(V)&=\frac{(V-V_3)F'_2(V)-F_2(V)}{(V-V_3)^2}\,;
+\end{align*}
+%
+et à la limite, c'est-à-dire en rétablissant les valeurs des coefficients
+de l'équation~\tagref[-2]{2}, nous obtiendrons
+%
+\begin{gather*}
+y_3= \lim\frac{F_2(V_1+\epsilon)}{\epsilon^2}\,,\\
+y_1 + y_2 + y_3 = \lim\frac{-\epsilon F'_2(V_1) - F_2(V_1) + F_2(V_1+\epsilon)} {\epsilon^2}
+=\frac{1}{1\dotm2}F_2''(V_1)\,.
+\end{gather*}
+
+En prenant pour inconnue d'abord $y^2$, puis $y^3$, on trouverait par
+un calcul analogue $y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$ et $y_1^3 + y_2^3 + y_3^3$; et, par suite,
+l'équation du 3\ieme{} degré dont les racines seraient $y_1, y_2, y_3$.
+
+Généralement, si $V_1$ était une racine multiple du degré $i$ de
+multiplicité, on poserait
+\[
+\frac{\Theta(V)}{(V-V_{i+1})\dotsm(V-V_s)}= F_{i-1}(V),
+\]
+et on trouverait la formule
+\[
+y_1 + y_2 + \dotsb + y_i = \frac{1}{1\dotm 2\dotm 3\dotsm (i-1)} F^{i-1}_{i-1}(V),
+\]
+qu'on démontrerait être vraie par la voie bien connue de la démonstration
+de proche en proche. Et en prenant successivement pour
+\PG-----------------------File: 019.png----------------------------
+inconnues $y^2, y^3, \dotsc, y^i$, on connaîtrait $y_1^2 + y_2^2 + \dotsb + y_i^2,
+ \dotsc, y_1^i + y_2^i + \dotsb + y_i^i$, et par suite l'équation dont les racines seraient
+$y_1, y_2, \dotsc,  y_i$. Cette généralité n'étant pas nécessaire à notre objet,
+nous en supprimons la démonstration.
+
+Ce résultat pouvait d'ailleurs être prévu; car, à une même valeur $V_1$
+de $V$ correspondent par hypothèse $i$ valeurs de $y$, donc chacune d'elles
+doit dépendre de la même manière de $V_i$. Ces $i$ valeurs doivent donc
+être racines d'une même équation de degré~$i$.
+
+Ainsi, les fonctions $V$ et $y$ des racines de l'équation~\tagref[-1]{1} étant
+rationnelles et semblables, on peut généralement avoir la valeur de $y$
+par une expression rationnelle de $V$ et des coefficients de cette
+équation. Dans le cas où la fonction connue $V$ est racine multiple du
+degré $i$ de multiplicité de l'équation~\tagref[-2]{2}, $y$ dépend d'une équation de
+ce degré dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de $V$ et
+des coefficients de l'équation~\tagref[-1]{1}.
+
+\begin{CAS}[Deuxième] Les fonctions $V$ et $y$ sont \emph{dissemblables}. Nous
+continuerons de désigner les $s$ valeurs distinctes de $V$ par $V_1, V_2, \dotsc,
+V_s$, et nous désignerons celles de $y$ par $y_1, y_2, \dotsc, y_l$, $l$ étant différent
+de~$s$.
+\end{CAS}
+
+Si $s$ est égal au nombre total $\mu$ de permutations que produisent
+les $m$ racines dont $V$ et $y$ sont fonctions, quelle que soit la valeur $l$,
+qui du reste ne peut être qu'un diviseur de $\mu$, la méthode précédente
+s'applique sans modification à la détermination de chaque valeur de $y$.
+En sorte que, dans cette hypothèse, la formule générale~\tagref[-5]{5} donnera
+les diverses valeurs de $y$, chacune d'elles répétée un même nombre
+de fois $k$, si $\mu$ = $lk$.
+
+Si $s$ diffère de $\mu$, $s$ sera aussi un diviseur de $\mu$; et dans cette
+deuxième hypothèse, soient $y_1, y_2, \dotsc, y_q$ les valeurs de $y$ relatives
+aux $q$ permutations du premier groupe du tableau~\tagref{A}, qui font
+acquérir à $V$ une même valeur $V_1$; $y_{1+q}, y_{2+q}, \dotsc, y_{2q}$ celles qui sont
+relatives aux permutations du second groupe et qui donnent une
+même valeur $V_2$ à $V$; et ainsi de suite, chaque valeur de $y$ étant
+répétée un certain nombre de fois~$k$.
+
+Il est clair que si on prend une fonction $z$ rationnelle et symétrique
+de $y_1, y_2, \dotsc, y_q$, les fonctions $V$ et $z$ seront semblables, ou du moins
+telles qu'on pourra appliquer à $z$ la formule~\tagref[-5]{5}. On pourra donc
+\PG-----------------------File: 020.png----------------------------
+généralement exprimer respectivement $z_1, z_2, \dotsc, z_s$ en fonction
+rationnelle de $V_1, V_2, \dotsc, V_s$ et des coefficients de l'équation~\tagref[-1]{1}, par
+cette formule générale~\tagref[-5]{5}. Et en prenant successivement pour $z$ la
+somme des produits deux à deux de ces valeurs $y_1, y_2, \dotsc, y_q$; la
+somme des produits trois à trois de ces mêmes valeurs, et ainsi de
+suite; on déterminera, de la même manière, chacune de ces sommes
+relatives à $V_1, V_2, \dotsc, V_s$; et, avec les valeurs de ces sommes, on
+aura l'équation en $y$ du degré $q$ dont les racines seront $y_1, y_2, \dotsc, y_q$.
+Par un calcul analogue on aurait les équations dont les racines
+seraient $y_{1+q}, y_{2+q}, \dotsc, y_{2q}$, ainsi que les équations relatives aux
+autres groupes.
+
+\begin{COROLLAIRE}[I] Il résulte de ce qui précède que, si la fonction
+connue $V$ prenait $\mu$ valeurs distinctes, chacune des racines de l'équation~\tagref[-1]{1}
+pourrait être exprimée en fonction rationnelle d'une de ces
+valeurs de $V$ et des coefficients de cette équation, car il suffirait de
+prendre $x$ pour~$y$.
+\end{COROLLAIRE}
+
+\begin{COROLLAIRE}[II] Si la fonction rationnelle $V$ avait une même
+valeur pour toutes les permutations d'une même \emph{classe}, $V$ aurait
+$m$ valeurs distinctes, et dès lors $V$ et $x$ seraient semblables, et par
+suite chacune des racines de l'équation~\tagref[-1]{1} s'exprimerait en fonction
+rationnelle d'une de ces valeurs et des coefficients de cette équation.
+\end{COROLLAIRE}
+
+\begin{REMARQUE}[I] Dans un cas particulier, le degré $q$ de chacune de
+ces équations, au nombre de $s$, peut être abaissé. Soit en effet $q'$ le
+nombre de valeurs distinctes de la fonction $y$ pour les $q$ permutations
+du premier groupe du tableau~\tagref{A}; les permutations de chacun
+des $s-1$ autres groupes de ce tableau étant assujetties à la même
+loi de formation que celles du premier, cette fonction $y$ prendra
+$q'$ valeurs distinctes pour les $q$ permutations de chacun d'eux. Mais il
+peut arriver que les valeurs de $y$ relatives à quelques-uns de ces
+$s$ groupes soient égales entre elles ou soient différentes. Dans ce
+dernier cas, le nombre $l$ de valeurs distinctes de $y$ sera égal à $sq'$;
+et comme $\mu = qs = lk$, on aura $qs = sq' k$, et par suite $q = kq'$.
+Ainsi, dans le cas particulier que nous examinons, chacune des
+$s$ équations, de degré $q$, a $q'$ racines égales du degré de multiplicité $k$.
+\PG-----------------------File: 021.png----------------------------
+Donc le premier membre de chacune de ces $s$ équations est une
+puissance parfaite de l'indice $k$; en sorte qu'en extrayant la racine
+d'indice $k$ de leurs premiers membres, le degré $q$ de chacune d'elles
+sera abaissé au degré $q'$; et la détermination de $y$ sera ramenée à la
+résolution de ces dernières.
+\end{REMARQUE}
+
+\begin{REMARQUE}[II] Il peut arriver, et il y a de nombreux exemples,
+que $l$ soit égal à $s$ sans que $y$ prenne une même valeur pour les
+$q$ permutations qui font acquérir à $V$ une même valeur. Dans ce cas
+nous dirons que $V$ et $y$ sont des fonctions dissemblables: le raisonnement
+du deuxième cas peut en effet être appliqué à cette hypothèse.
+\end{REMARQUE}
+
+On doit observer toutefois que, si pour les $q$ permutations de chacun
+des $s$ groupes du tableau~\tagref{A}, $y$ a $q'$ valeurs distinctes, $\frac{s}{q'}$ de ces
+groupes seulement feront acquérir à cette fonction $y$ des valeurs
+différentes; et que par conséquent la remarque précédente ne peut
+être appliquée à ce cas.
+
+\begin{Thm}[I] La résolution de toute équation algébrique et
+irréductible dépend de la résolution d'une équation dont les
+racines sont des fonctions rationnelles de celles de la proposée.
+\end{Thm}
+
+Soient $m$ le degré de l'équation proposée
+\[
+f(x)=0\tag[1]{1\protect\footnotemarkT}
+% originally we had the \footnotetext immediately following the \]
+% but in the screen version a page break intervened, pushing the
+% footnote to the next page. We can't just use \footnoteT in the \tag
+% because it simply disappears, but a \footnotetextT outside the \tag
+% seems to survive, although I don't understand why we need to fiddle
+% with the counter...
+\addtocounter{footnoteT}{-1}
+\footnotetextT{A new sequence of equation numbers begins here}
+\]
+et $x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1}$\footnoteT{Original has $x_1, x_2,\dotsc,x_{m-1}$}
+ ses $m$ racines; supposons d'abord qu'elle soit
+résoluble algébriquement. Cette équation étant irréductible, chacune
+de ses racines est assujettie à la même loi de détermination, celle de
+satisfaire identiquement à cette équation; tout ce qu'on peut dire de
+l'une d'elles, \emph{appartient nécessairement} à toute autre. Et comme
+ces racines sont connues par hypothèse, et exprimées par des fonctions
+rationnelles faites avec des radicaux et avec les coefficients de l'équation~\tagref{1},
+la fonction de ces radicaux qui donne l'une des racines doit
+donner toutes les autres en prenant successivement toutes les déterminations de ces radicaux.
+Cette fonction, réduite à sa plus simple
+expression, doit donc se réduire successivement à $x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1}$,
+lorsqu'on y remplace les coefficients de l'équation proposée par les
+fonctions symétriques des racines qu'ils expriment. Or, il ne peut en
+\PG-----------------------File: 022.png----------------------------
+être ainsi que parce que chaque radical de cette expression est équivalent
+à une fonction rationnelle de ces mêmes racines, en donnant
+à ce mot \emph{rationnel} l'extension dont nous avons parlé dans les
+définitions.
+
+Ainsi, chaque radical qui entre dans l'expression d'une quelconque
+des racines est équivalent à une fonction rationnelle de ces racines;
+et les valeurs algébriques de ces fonctions sont parfaitement déterminées,
+ puisqu'elles sont équivalentes à ces radicaux connus par hypothèse.
+
+Donc, si on conçoit l'une quelconque de ces fonctions
+\[
+  y=F(x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1}),
+\]
+et l'équation $\phi (y) = 0$ de degré $s$ dont elle est racine, équation dont
+on obtient les coefficients en fonction rationnelle de ceux de l'équation~\tagref{1} par le
+ procédé connu\footnote{Ce procédé consiste à permuter les $m$ lettres
+ $x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1}$ dont se compose cette
+fonction, à former les valeurs distinctes $y_1, y_2, \dotsc, y_s$ qu'elle prend
+ pour toutes ces permutations, et à déterminer
+\primo la somme de ces valeurs; \secundo la somme de leurs produits deux à
+deux; \tertio la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite. Car chacune de ces
+sommes, étant évidemment symétrique par rapport aux $m$ racines de la proposée~\tagref{1}, peut
+être exprimée en fonction rationnelle des coefficients de cette équation.},
+ les racines de cette équation
+$\phi (y) = 0$ seront connues.
+
+Ainsi, quand une équation irréductible est soluble par radicaux, la
+fonction $y$ et l'équation $\phi (y) = 0$ dont elle dépend existent, et les
+racines de cette dernière sont parfaitement déterminées. \emph{Réciproquement}: soient
+\[
+y=F(x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1})
+\]
+une fonction rationnelle des racines de l'équation~\tagref{1}, et
+\[
+\phi (y) = 0\tag{2}
+\]
+l'équation dont cette fonction dépend, équation dont les coefficients
+sont des fonctions rationnelles de ceux de l'équation proposée~\tagref{1}; et
+admettons: \primo que cette équation soit résoluble ou décomposable en
+d'autres équations de degrés moindres; qu'elles-mêmes soient décomposables
+ en d'autres équations de degrés moindres, et ainsi de suite,
+les dernières équations auxquelles on parvient étant résolubles; \secundo et
+que des diverses valeurs de cette fonction $y$, on puisse déduire les
+\PG-----------------------File: 023.png----------------------------
+valeurs des racines cherchées. Le problème de la détermination des
+racines de l'équation donnée~\tagref{1} sera complètement résolu.
+
+Plus généralement, soient $z_1, z_2, \dotsc, z_h$ des fonctions rationnelles
+contenant toutes les racines de l'équation~\tagref{1}, ou contenant, la
+première, un groupe de ces racines, la deuxième, un autre groupe
+de ces mêmes racines, et ainsi de suite; et soient
+\[
+y=F(z_1, z_2, \dotsc, z_h)
+\]
+une fonction rationnelle de ces quantités, et
+\[
+\phi(y) = 0
+\]
+l'équation dont $y$ dépend, équation qu'on peut former avec les coefficients de l'équation~\tagref{1}.
+ Admettons: \primo que cette équation $\phi (y) = 0$
+soit telle qu'elle soit résoluble directement ou par sa décomposition
+en d'autres de degrés moindres; \secundo que des diverses valeurs de $y$ on
+puisse déduire les valeurs des expressions $z_1, z_2, \dotsc, z_h$; \tertio que de ces
+dernières on puisse déduire directement les racines de l'équation~\tagref{1},
+ou les équations dont les racines sont respectivement celles qui entrent
+dans chacune de ces expressions; \quarto enfin que ces dernières équations
+soient résolubles. Le problème de la détermination des racines de
+l'équation proposée~\tagref{1} sera complètement résolu.
+
+Ainsi le théorème est démontré.
+
+Nous appellerons $y$ la \emph{fonction résolvante} de l'équation à résoudre~\tagref{1},
+et $\phi (y) = 0$ son \emph{équation résolvante}.
+
+\begin{REMARQUE} Ce théorème détermine la méthode à suivre pour
+résoudre les équations. La résolution de l'équation~\tagref{1} dépend de celle
+de l'équation~\tagref{2}, pourvu que des diverses valeurs de $y$ on puisse
+déduire les racines de la proposée.
+\end{REMARQUE}
+
+\begin{Thm}[II] Quelle que soit la composition de la fonction
+résolvante $y$ de l'équation irréductible $F(x) = 0$, et quel que soit
+le nombre $s$ de ses valeurs distinctes, si les $s$ groupes de permutations
+ en $x_0, x_1 x_2, \dotsc, x_{n-1}$ relatifs à ces $s$ valeurs peuvent être
+partagés en $v$ groupes de permutations inséparables, l'équation
+$\phi (y) = 0$ d'où dépend cette fonction $y$ se décompose en v équations,
+chacune du degré $r$, $s = vz$, à l'aide des racines d'une équation
+\PG-----------------------File: 024.png----------------------------
+algébrique, de degré $v$, dont les coefficients sont des fonctions
+rationnelles de ceux de la proposée.
+\end{Thm}
+
+Quel que soit, en effet, le nombre $s$ des valeurs distinctes de la
+fonction résolvante $y$, et quelle que soit sa composition, les permutations,
+nous l'avons déjà rappelé, produites par les $m$ racines de
+l'équation proposée dont cette fonction se compose se partagent en
+$s$ groupes formés chacun de $q$ permutations associées de telle manière
+que, malgré tous les échanges de ces lettres, les permutations d'un
+même groupe ne peuvent jamais se séparer. Admettons que ce partage
+soit effectué, et soit \tagref{A} le tableau qui en résulte.
+
+Or, nous supposons que ces $s$ groupes se partagent en $v$ groupes
+de permutations \emph{inséparables}, composés chacun de $r$ groupes du
+tableau~\tagref{A}. Donc, si $z$ est une fonction symétrique quelconque des
+$r$ valeurs de $y$ relatives à l'un de ces $v$ groupes, la somme par exemple;
+et si on désigne par $z_1, z_2, \dotsc, z_v$ les valeurs qu'elle prend pour
+chacun de ces $v$ groupes; toute fonction symétrique de $z_1, z_2, \dotsc, z_v$,
+nous l'avons démontré, est invariable par rapport aux $m$ racines de
+l'équation donnée~\tagref{1}, et elle est par conséquent exprimable en fonction
+rationnelle des coefficients de cette équation. Il est donc possible
+d'exprimer en fonction rationnelle de ces coefficients: \primo la somme
+de ces valeurs $\gamma_1, \gamma_2, \dotsc, \gamma_v$; \secundo la somme de leurs produits deux à
+deux; \tertio la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite,
+et par conséquent de former l'équation
+\[
+\Gamma^v + C_1\Gamma^{v-1}+\dotsb + C_v=0\tag{3} % [** inserted + before dots ]
+\]
+dont les racines sont $\gamma_1, \gamma_2, \dotsc, \gamma_v$.
+
+Admettons que cette dernière équation soit résolue, et soit $\gamma_1$ l'une
+de ses racines. Cette racine $\gamma_1$ étant la somme des $r$ valeurs
+ $y_1, y_2, \dotsc, y_r$ de la fonction résolvante $y$ relatives à l'un des groupes du
+tableau~\tagref{A}, au premier par exemple, toute fonction symétrique de
+ces $r$ valeurs est semblable à cette racine $\gamma_1$ et par conséquent
+exprimable en fonction rationnelle de $\gamma_1$ et des coefficients de
+ l'équation~\tagref{3}, qui sont eux-mêmes des fonctions rationnelles des coefficients
+ de l'équation proposée. Donc, on peut exprimer en fonction rationnelle de
+ $\gamma_1$ et des données de la question, \primo la somme des produits
+deux à deux de ces valeurs $y_1, y_2, \dotsc, y_r$; \secundo la somme de
+leurs produits trois à trois, et ainsi de suite: d'où la formation de
+\PG-----------------------File: 025.png----------------------------
+l'équation
+\[
+  y^r - \gamma_1y^{r-1} + P_2y^{r-2} + \dotsb + P_r = 0
+\]
+dont les racines sont $y_1, y_2, \dotsc, y_r$.
+
+De la même manière, l'on démontrerait que $\gamma_2, \gamma_3, \dotsc, \gamma_v$ étant
+les autres racines de l'équation~\tagref{3}, on peut, avec les coefficients de
+l'équation proposée, exprimer en fonction rationnelle \primo de $\gamma_2$,  les
+coefficients de l'équation dont les racines sont les valeurs de $y$ relatives
+au deuxième groupe du tableau~\tagref{A}; \secundo de $\gamma_3$, les coefficients de
+l'équation dont les racines sont les valeurs de $y$ relatives au troisième
+groupe du même tableau; et ainsi de suite pour les autres racines des
+autres groupes; ce qui produit les équations
+%
+\begin{align*}
+y^r - \gamma_2y^{r-1} + Q_2y^{r-2} + \dotsb + Q_r &= 0\,,\\
+\multispan2\dotfill\\
+y^r - \gamma_vy^{r-1} + U_2y^{r-2} + \dotsb + U_r &= 0\,.\footnotemarkT
+\end{align*}\footnotetextT{Original has $\gamma_2$}
+
+Ainsi, sans qu'on soit obligé de former l'équation résolvante $\phi(y) = 0$
+de degré $s$, on peut former l'équation~\tagref{3} et, à l'aide de ses racines,
+les équations en $y$ dont les racines sont celles de la résolvante: ce
+qui démontre le théorème énoncé.
+
+\begin{REMARQUE} Si on forme préalablement l'équation résolvante
+$\phi(y) = 0$, on peut trouver d'une autre manière les coefficients $P_2, P_3, \dotsc, P_r$.
+ Car l'équation $\phi(y) = 0$ contenant toutes les racines de
+cette première équation en $y$ de degré $r$, $\phi(y)$ est exactement divisible
+par le polynôme $y^r-\gamma_1y^{r-1} + P_2y^{r-2} + \dotsb + P_r$. Le reste de
+cette division, de degré $r-1$, sera donc nul; et, en égalant à zéro
+chacun de ses coefficients, on aura $r$ équations entre $\gamma_1, P_2, \dotsc, P_r$:
+$r-1$ de ces équations détermineront les $r-1$ inconnues $P_2, P_3, \dotsc, P_r$ en
+ fonction rationnelle de $\gamma_1$, puisque ce sont des fonctions
+semblables; et l'équation restante sera satisfaite identiquement quand
+on y remplacera ces coefficients par leurs valeurs.
+\end{REMARQUE}
+
+Les coefficients des autres équations en $y$ pourront être déterminés
+de la même manière.
+
+\begin{Thm}[III] Réciproquement: si l'équation résolvante
+$\phi(y) = 0$ d'une équation irréductible quelconque, $F (x) = 0$, est
+décomposable en facteurs de degrés moindres, à l'aide des racines
+\PG-----------------------File: 026.png----------------------------
+d'une équation $\Gamma$, de degré $v$, dont les racines sont des fonctions
+rationnelles de celles de cette équation en $x$; les groupes de
+permutations, faites avec les racines de cette même équation en $x$,
+relatifs aux racines de l'équation en $y$ peuvent être partagés en
+$v$ groupes de permutations inséparables: et ces équations de
+degrés moindres sont toutes d'un même degré.
+\end{Thm}
+
+Admettons, en effet, que l'on ait
+\[
+\phi(y) = \psi_1(y,\gamma_1)\psi_2(y,\gamma_2) \dotsm \psi_v(y,\gamma_v)\,,\tag{4}
+\]
+$\gamma_1,\gamma_2, \dotsc, \gamma_v$ désignant les racines de l'équation en $\Gamma$ de degré $v$.
+L'équation $\phi(y) = 0$ étant la résolvante de $F (x) = 0$, ses racines $y$
+sont des fonctions rationnelles (\hyperlink{TheoremIII}{théorème~III}) de celles $x_0,x_1, \dotsc,x_{n-1}$
+de cette équation en $x$; et son degré étant égal à $s$, les permutations
+des $n$ racines $x$ peuvent être partagées, nous l'avons déjà dit, en
+$s$ groupes de permutations inséparables pour tous les échanges de ces
+racines, celles d'un même groupe faisant acquérir une même valeur
+à $y$: supposons ce partage effectué, et soit (A) le tableau qui en résulte.
+
+Par les mêmes raisons, les mêmes permutations des $n$ racines $x$
+peuvent être partagées en $v$ groupes de permutations inséparables
+pour tous les échanges de ces racines, celles d'un même groupe faisant
+acquérir une même valeur à $\gamma$: supposons ce nouveau partage effectué
+et soit (A$'$) le tableau, analogue à~\tagref{A}, qui en résulte.
+
+Cela étant: je remarque que les valeurs de $y$ qui annulent les
+facteurs $\psi_1, \psi_2, \dotsc, \psi_v$ sont respectivement fonction de $z_1,z_2,\dotsc,z_v$.
+De là, il suit que si on considère d'abord toutes les permutations du
+groupe du tableau~\tagref{A} relatif à l'une quelconque des valeurs $y_1,y_2,\dotsc,y_r$ qui annulent
+l'un de ces facteurs, le premier par exemple,
+$r$ désignant son degré; tous les échanges des lettres $x_0,x_1,\dotsc,x_{m-1}$,
+qui n'altèrent pas cette valeur $y_1$, c'est-à-dire qui convertissent les
+unes dans les autres les permutations de ce groupe, ne doivent pas
+altérer non plus $z_1$. Car si quelques-uns de ces échanges transformaient
+cette valeur $z_1$; ils ne pourraient, les groupes de~(A$'$) étant
+inséparables, que transformer $z_1$ en une autre racine de l'équation
+auxiliaire, en $z_h$ par exemple; et dès lors ces mêmes échanges
+transformeraient les racines $y_1,y_2,\dotsc,y_r$ du facteur $\psi_1$ en celles du
+facteur $\psi_h$; ce qui est contre l'hypothèse. Donc toutes les permutations
+de ce groupe doivent se trouver dans celui du tableau~(A$'$) qui est
+\PG-----------------------File: 027.png----------------------------
+relatif à $z_1$. Si ensuite l'on considère toutes les permutations des
+groupes de~\tagref{A} relatifs à ces $r$ valeurs de $y$, tous les échanges des
+mêmes lettres qui convertissent ces groupes les uns dans les autres,
+n'altèreront pas non plus cette même racine $z_1$ par une raison % aspell suggests n'altéreront but the scan is clearly n'altèreront
+entièrement semblable. Donc encore, ces $r$ groupes de~\tagref{A} se trouvent
+dans celui de~(A$'$) qui correspond à~$z_1$.
+
+Ainsi, ce groupe de~(A$'$) se compose de toutes les permutations qui
+sont relatives aux $r$ groupes de~\tagref{A} qui correspondent aux $r$ racines
+de $\psi_1 = 0$. Il en est de même des autres groupes de~(A$'$) relatifs aux
+autres racines $z_2, z_3, \dotsc, z_v$ de l'équation auxiliaire; chacun d'eux se
+compose des permutations des autres groupes de~\tagref{A} qui correspondent respectivement aux racines $y$ des équations
+$\psi_2 = 0, \psi_3 = 0, \dotsc, \psi_v = 0$.
+Mais les racines $y$ des $v$ facteurs sont distinctes, donc les
+$s$ groupes de~\tagref{A} sont d'abord partagés en $v$ groupes formant le
+tableau~(A$'$); et puis, comme les permutations des groupes de ce
+dernier tableau sont inséparables, le nombre de permutations, et par
+conséquent le nombre de groupes de~\tagref{A} qui forment ceux de~(A$'$)
+est le même pour tous ces derniers. En sorte que les $s$ groupes du
+tableau~\tagref{A} peuvent être partagés en $v$ groupes de permutations inséparables; et de plus les
+$v$ facteurs dans lesquels se décompose $\phi(y)$
+sont d'un même degré $r$ tel que $s = vr$.
+
+\begin{Thm}[IV] Pour que l'équation résolvante $\phi (y) = 0$, de
+degré déterminé $s$, d'une équation irréductible $F (x) = 0$, soit
+décomposable en $v$ équations, d'un même degré $r$ tel que $s = vr$,
+à l'aide des racines d'une équation de degré $v$; il faut et suffit
+que les $s$ groupes de permutations, faites avec les racines de $f(x)= 0$,
+relatifs aux $s$ racines de cette équation en $y$, puissent être
+partagés en $v$ groupes de permutations inséparables.
+\end{Thm}
+
+Ce théorème résulte en effet des deux précédents.
+
+\begin{Thm}[V] Si une équation algébrique, irréductible et de
+degré premier est soluble par radicaux, l'indice le plus élevé de
+ces radicaux est égal au degré même de cette équation.
+\end{Thm}
+
+Soit $n$ le degré premier de l'équation irréductible à résoudre $f (x)
+= 0$: puisque cette équation est irréductible et résoluble algébriquement,
+ c'est-à-dire soluble par radicaux, il faut qu'à l'aide d'un radical $r$
+\PG-----------------------File: 028.png----------------------------
+d'un certain indice $i$, son premier membre soit décomposable en
+facteurs.
+
+Or, si la valeur $r_1$ de ce radical produit le facteur $f_1(x, r_1)$ de
+degré $p$, chacune des autres valeurs de ce même radical $r_2, r_3, \dotsc r_i$
+produira un facteur analogue et du même degré $p$. On aura donc
+\[
+  f(x) = f_1(x, r_1) \dotm f_2(x, r_2) \dotsm f_i(x, r_i)\,,\tag{5}
+\]
+et $ip = n$: mais $n$ est un nombre premier, $i$ est au moins égal à~$2$,
+et $p$ est inférieur à $n$; donc $i = n$, et par suite $p = 1$.
+
+Ce théorème appartient à Gallois.
+
+\begin{REMARQUE} L'expression radicale $r$ dépendra en général de
+radicaux d'indices inférieurs à $n$, comme nous le verrons bientôt.
+\end{REMARQUE}
+
+\begin{Thm}[VI] Si une équation algébrique et irréductible est
+soluble par radicaux, et si son degré $m$ est un nombre composé,
+$m = nq$ ($n$ étant premier) les racines de cette équation contiennent
+le radical d'indice~$n$.
+\end{Thm}
+
+Puisque cette équation algébrique, $f(x) = 0$, est irréductible et
+soluble par radicaux, son premier membre est décomposable en
+facteurs de degrés moindres, à l'aide d'un radical $r$ d'un certain
+indice $i$. Or, si la valeur $r_1$ de ce radical produit le facteur $f_1(x, r_1)$
+de degré $p$, chacune des autres valeurs de ce même radical,
+$r_2, r_3, \dotsc, r_i$ produira un facteur analogue de même degré $p$. On
+aura donc
+\[
+  f(x) = f_1(x, r_1) \dotm f_2(x, r_2) \dotsm f_i(x, r_i)\,,\tag{6}
+\]
+$m = ip$, et par suite $ip = nq$.
+
+Cela posé: examinons d'abord le cas où le degré $m$ de l'équation
+est égal au produit de deux facteurs premiers, $m = nn_1$. Dans ce
+cas l'équation précédente devient $ip = nn_1$; et comme $n$ divise le
+second membre, il doit diviser le premier; mais, $n$ étant premier, ce
+nombre doit diviser ou $i$ ou $p$, on a donc soit $i = hn$, soit $p = kn$.
+
+L'hypothèse $p = kn$ est inadmissible; car, si elle était vraie, on
+aurait $ik = n_1$, ce qui est impossible puisque $n_1$ est premier. Par la
+même raison on ne peut avoir $i = hn$, car cette hypothèse entraînerait
+l'équation $ph = n_1$. On doit donc avoir ou $p = n$, ou $i = n$:
+\PG-----------------------File: 029.png----------------------------
+l'hypothèse $i = n$ convient au théorème énoncé, et celle de $p = n$
+donne $i = n_1$, qui est également un nombre premier.
+
+Ainsi, dans le cas de $m = nn_1$, le théorème est démontré.
+
+Supposons actuellement que $m$ soit égal au produit de trois facteurs
+premiers, $m = nn_1n_2$. Dans ce nouveau cas, l'équation $ip = nq$
+devient $ip = nn_1n_2$; et comme dans le premier cas on devrait avoir
+soit $i = h n$, soit $p = k n$. Cette dernière hypothèse entraîne l'équation
+$ik = n_1n_2$, qui exige elle-même, d'après ce qui vient d'être dit,
+que $i = n_1$ ou $k = n_1$: mais $k = n_1$ donne $i = n_2$, donc $i$ est encore
+égal à un des facteurs premiers de $m$. Et la première hypothèse
+$i = hn$ entraîne l'équation $ph = n_1n_2$ qui exige elle-même que
+$p = n_1$ ou $p = n_2$, c'est-à-dire que $p$ soit un nombre premier, $p = n_2$
+par exemple. Ainsi chacun des facteurs du second membre de
+l'équation~\tagref{6} est d'un même degré premier $n_2$. Donc chacun d'eux
+est (\hyperlink{TheoremV}{théorème~V}) décomposable en facteurs du premier degré, à l'aide
+des valeurs d'un radical dont l'indice est égal à ce nombre premier $n_2$.
+Or, la décomposition de $f (x)$ en ces facteurs du premier degré
+produira, par la multiplication, une nouvelle décomposition de $f (x)$
+en $n_2$ facteurs, de degré $nn_1$, à l'aide de ce radical d'indice premier $n_2$.
+Donc le théorème est encore vrai dans le cas où $m = nn_1n_2$.
+
+Cette démonstration peut évidemment être généralisée, et être
+étendue au cas où $m$ est égal au produit d'un nombre quelconque de
+facteurs premiers égaux ou inégaux.
+
+Ainsi, l'équation~\tagref{6} existe dans tous les cas; $i$ étant égal à $n$, et
+le degré $p$, commun aux $n$ facteurs de son second membre, étant
+égal à~$q$.
+%
+\PG-----------------------File: 030.png----------------------------
+\ThoughtBreak
+\chapter{DES ÉQUATIONS RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT}
+
+\begin{Thm}[VII] Pour résoudre une équation algébrique, irréductible
+ et de degré premier $n$, il est nécessaire et suffisant de résoudre
+ deux équations; l'une de degré $n-1$, l'autre de degré
+$1 \dotm 2 \dotm 3 \dotsm (n-2)$.
+\end{Thm}
+
+Rappelons auparavant que le degré $n$ de l'équation proposée $f(x)= 0$
+étant premier, tout nombre entier $p$ inférieur à $n$ jouit de cette
+propriété que les résidus à $n$ de la suite
+\[
+p,\quad  2p,\quad  3p,\quad  \dotsc,\quad \overline{n-1}p
+\]
+sont les nombres naturels $1, 2, 3, \dotsc, n-1$ dans un ordre déterminé.
+De même, $\rho$ étant une des racines \emph{primitives} de $n$, les résidus à $n$ de
+l'une et de l'autre suites
+%
+\begin{gather*}
+p,\quad  p\rho,\quad   p\rho^2,\quad  \dotsc,\quad  p\rho^{n-2},\\
+p\rho^h,\quad  2p\rho^h,\quad   3p\rho^h,\quad \dotsc,\quad \overline{n-1}p\rho^h,
+\end{gather*}
+%
+sont encore les nombres naturels $1, 2, 3, \dotsc, n-1$, dans un ordre
+déterminé; $h$ désignant un nombre entier quelconque inférieur à $n-2$,
+ou au plus égal à ce nombre.
+
+On peut donc représenter les racines de l'équation proposée, $f(x) = 0$,
+par l'une des suites
+\[
+\begin{array}{l l l l l}
+x_a, & x_{a + p}, & x_{a + 2p}, & \dotsc, & x_{a + \overline{n-1}p},\\
+x_a, & x_{a + p}, & x_{a + p\rho}, & \dotsc, & x_{a + p\rho^{n-2}},\\
+\hdotsfor{5}   \\
+x_a, & x_{a + p\rho^h}, &x_{a + 2p\rho^h}, & \dotsc, & x_{a + \overline{n-1}p\rho^h},
+\end{array}
+\]
+$a$ désignant l'un des nombres entiers $0,1, 2, \dotsc, n-1$.
+\PG-----------------------File: 031.png----------------------------
+
+Enfin $r$ et $\alpha$ désignant deux racines imaginaires différentes de
+l'équation binôme $x^{n-1}=0$, ces racines sont $r, r\alpha, r\alpha^2, \dotsc,  r\alpha^{n-1}$;
+ou bien $1, \alpha, \alpha^2, \dotsc, \alpha^{n-1}$. Donc elles pourront être représentées par
+l'une des suites
+\[
+\begin{array}{ccccc}
+r, & r\alpha^p, & r\alpha^{2p}, &\dotsc, & r\alpha^{\overline{n-1}p},\\
+1, & \alpha^p, & \alpha^{p\rho}, &\dotsc, & \alpha^{p\rho^{n-2}},\\
+\hdotsfor{5}\\
+1, & \alpha^{p\rho^h}, & \alpha^{2p\rho^h}, &\dotsc, & \alpha^{\overline{n-1}p\rho^h}.
+\end{array}
+\]
+
+Cela posé: nous allons d'abord démontrer que les conditions de
+l'énoncé sont nécessaires; et pour cela nous admettrons que l'équation % aspell suggests l'énonce but the scan is clearly l'énoncé
+proposée est résoluble algébriquement.
+
+L'équation proposée étant en effet résoluble par hypothèse, l'équation~\tagref{5}
+existe, et elle deviendra, d'après ce qui précède,
+\[
+f(x) = f_1(x_a, r)\dotm f_2(x_{a+p}, r\alpha^p) \dotsm f_n(x_{a+\overline{n-1}p}, r\alpha^{\overline{n-1}p})\,,\tag{7}
+\]
+chacun des $n$ facteurs du second membre étant du premier degré par
+rapport à~$x$.
+
+Or, toutes les racines d'une équation irréductible ont un même
+caractère qui sert à les déterminer, celui de satisfaire identiquement
+à cette équation; on peut donc, dans l'équation~\tagref{7}, changer la racine $r$
+en la racine $r\alpha^p$; auquel cas $r\alpha^p, r\alpha^{2p}, \dotsc, r\alpha^{\overline{n-1}p}$ se changent
+respectivement en $r\alpha^{2p}, r\alpha^{3p}, \dotsc, r$: et cet échange de racines,
+[équation~\tagref{7}], transforme celles de l'équation proposée $f (x) = 0$,
+$x_a, x_{a+p}, \dotsc, x_{a + \overline{n-1}p}$, respectivement en $x_{a+p}, x_{a+2p}, \dotsc, x_a$; c'est-à-dire
+la permutation $x_a, x_{a+p}, \dotsc,  x_{a+\overline{n-1}p}$ en la permutation \emph{circulaire}
+$x_{a+p}, x_{a+2p}, \dotsc, x_a$. % [** added commas around dots ]
+
+Mais ce changement n'en amène aucun dans le second membre de
+l'équation~\tagref{7}; donc, quelle que soit la fonction \emph{résolvante} $y$ de
+l'équation proposée qui ait produit sa décomposition, cette fonction $y$
+est inaltérable par la permutation circulaire précédente, et par suite par
+les $n$ permutations circulaires de cette première $x_a, x_{a+p}, \dotsc, x_{a+\overline{n-1}p}$.
+
+De plus, on peut également changer $p$ qui est arbitraire en $p\rho^h$ qui
+est tout aussi arbitraire; et ce changement transforme la suite des
+$n-1$ racines imaginaires
+\[
+\alpha^p,\quad  \alpha^{2p},\quad \dotsc,\quad  \alpha^{\overline{n-1}p}\,,
+\]
+\PG-----------------------File: 032.png----------------------------
+en la suite
+\[
+\alpha^{p\rho^h},\quad \alpha^{2p\rho^h},\quad \dotsc,\quad \alpha^{\overline{n-1}p\rho^h}\,; % [** fixed typo a for \alpha in 2nd term]
+\]
+et ce même changement transforme les racines de $f(x) = 0$, équation~\tagref{7},
+$x_a, x_{a + p}, \dotsc, x_{a + \overline{n-1}p}$ respectivement en les racines
+$x_a, x_{a+p\rho^h}, x_{a+2p\rho^h}, \dotsc, x_{a+\overline{n-1}p\rho^h}$;
+c'est-à-dire la permutation
+\[
+x_a, x_{a+p}, x_{a+2p}, \dotsc, x_{a+\overline{n-1}p} % [** added commas around dots ]
+\]
+en la permutation
+\[
+x_a, x_{a+p\rho^h}, x_{a+2p\rho^h}, \dotsc, x_{a+\overline{n-1}p\rho^h} % [** ditto ]
+\]
+qui correspond, théorème~IV d'un autre Mémoire\footnote{Voir le 6\ieme{} volume, 2\ieme{} série,
+ du journal publié par M.~Liouville, p.~425.}, à l'un quelconque des polygones étoilés de Poinsot.
+
+Or, ce changement n'en amène aucun dans le second membre
+de l'équation~\tagref{7}, et cela quelle que soit la valeur de $p$; donc la
+fonction résolvante $y$ jouit encore de la propriété d'être inaltérable
+par les $n-1$ permutations relatives aux $n-1$ polygones étoilés de
+Poinsot qui constituent un \emph{seul et même} ordre.
+
+Or, ces deux changements sont les seuls qui n'altèrent pas la
+décomposition de $f(x)$, équation~\tagref{7}, donc cette fonction résolvante
+n'est inaltérable que par les $n$ permutations circulaires et par les
+$n-1$ permutations d'un même ordre que produit une permutation
+quelconque des $n$ racines de l'équation proposée; et par conséquent le nombre $s$
+de ses valeurs distinctes est donné par la formule
+\[
+s = \frac{1\dotm 2\dotm 3 \dotsm n}{n(n-1)}
+  =       1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n-2)\,.
+\]
+
+Cette fonction dépend donc d'une équation de ce degré qu'il serait
+toujours possible de former avec les coefficients de l'équation proposée,
+si la forme de cette fonction était connue; équation dont les
+racines sont relatives aux $1, 2, 3, \dotsc, (n-2)$ groupes de la deuxième
+classification du même Mémoire.
+
+Quelle est la forme de cette fonction résolvante $y$? Je remarque à
+cet effet que si cette fonction était composée de $r$ termes distincts et
+relatifs aux $n(n-1)$ permutations pour lesquelles elle doit conserver
+\PG-----------------------File: 033.png----------------------------
+ une même valeur, les équations auxiliaires, analogues à celles en
+$y$ du \hyperlink{TheoremII}{théorème~II}, seraient du degré $r$. Il est donc indispensable de
+rendre $r$ le plus petit possible.
+
+Or, la théorie de l'ordre étant indépendante de la notion de grandeur
+et n'étant relative qu'à la notion de situation, nous pouvons
+placer les $n$ racines de l'équation proposée sur une circonférence de
+cercle de rayon arbitraire, à égales distances les unes des autres, et
+dans l'ordre de la permutation, d'ailleurs quelconque, $x_a, x_{a + p},
+x_{a+ 2p}, \dotsc, x_{a+\overline{n-1}p}$; % [** inserted commas either side of dots]
+ la racine $x_a$ étant placée à l'origine des arcs. Et
+si nous joignons le centre à ces $n$ points de division, ces $n$ rayons
+représenteront les $n$ racines $n$\ieme{} de l'unité $1, \alpha, \alpha^2, \dotsc, \alpha^{n-1}$; $\alpha$ étant
+l'une d'elles, mais différente de l'unité.
+
+Or, pour amener la permutation circulaire $x_{a+p}, x_{a + 2p}, \dotsc, x_a$ dans % [** inserted commas either side of dots ]
+la position de la première, il faut multiplier chacune des racines $n$\ieme{}
+de l'unité par $\alpha^{n-1}$; et puisque la fonction résolvante $y$ doit être
+invariable pour toute permutation circulaire, chaque terme de cette
+fonction doit donc être de la forme
+\[
+z_1 = \left(x_a + \alpha x_{a+p} + \alpha^2x_{a+2p} + \dotsb + \alpha^{n-1}x_{a+\overline{n-1}p}\right)^n\,; \tag{8}
+\]
+expression qui est telle en effet qu'en multipliant le polynôme
+soumis à l'exposant $n$ par $\alpha^{n-1}$, on obtient le polynôme
+\[
+x_{a+p} + \alpha x_{a+2p} + \dotsb + \alpha^{n-2}x_{a+\overline{n-1}p} + \alpha^{n-1}x_a\,,
+\]
+offrant la permutation circulaire de la disposition du premier, et qui
+cependant conserve sa valeur $z_1$ puisque
+\[
+\alpha^{(n-1)n} = (\alpha^n)^{n-1} = 1\,.\footnote
+{C'est ainsi qu'on retrouve la fonction $z_1$ de Lagrange appelée \emph{résolvante} par cet illustre
+géomètre.}% also silently correcting ; to . and shifting footnote after punctuation
+\]
+
+Cette fonction~\tagref{8}, étant invariable pour une permutation circulaire,
+est invariable pour les $n$ permutations circulaires déduites de la
+première; d'autant qu'il suffirait de multiplier successivement $z_1$ par
+$(\alpha^{n-2})^n = 1$, $(\alpha^{n-3})^n = 1 \dots$ Mais cette même fonction prend $n-1$
+valeurs distinctes $z_1, z_2, \dotsc, z_{n_1}$, pour les $n-1$ autres permutations % [** inserted comma after dots]
+pour lesquelles $y$ doit conserver une même valeur, celles qui se
+\PG-----------------------File: 034.png----------------------------
+rapportent aux $n-1$ polygones étoilés de Poinsot; donc les équations,
+analogues à celles en $y$ du \hyperlink{TheoremII}{théorème~II}, sont du degré $n-1$; et la
+fonction résolvante $y$ sera définie d'après ce théorème, par l'expression
+\[
+y = z_1 + z_2 + z_3 + \dotsb + z_{n-1}\tag{9} % [** inserted + after dots]
+\]
+qui est la fonction symétrique la plus simple de ces $n-1$ valeurs. Il
+est utile de remarquer que ces $n-1$ valeurs peuvent être déduites
+de $z_1$, en $y$ remplaçant successivement $p$ par $p \rho, p \rho^2, \dotsc, p \rho^{n-2}$.
+
+D'après ce qui a été démontré dans ce même \hyperlink{TheoremII}{théorème~II}, on peut,
+avec cette fonction~\tagref{9} et avec les coefficients de l'équation proposée
+former l'équation en $y$ du degré $1 \dotm 2 \dotm 3 \dotsm (n-2)$ et avec l'une de
+ses racines, former celle en $z$ du degré $n-1$: et pour résoudre
+l'équation donnée résoudre cette dernière équation qui a pour racines
+$z_1, z_2, \dotsc , z_{n-1}$.
+
+
+\begin{COROLLAIRE} Si dans le calcul précédent on fait $n = 3$\DPpdfbookmark[2]{Corollaire}{CorollaireVII}, c'est-à-dire
+si l'équation donnée est du 3\ieme{} degré, l'équation en $y$ se réduit au
+premier degré, et celle en $z$ au deuxième. Donc la fonction $y = z_1 + z_2$
+est une fonction rationnelle des coefficients de l'équation proposée, et
+les valeurs $z_1, z_2$ et par suite les racines $x_0, x_1, x_2$ de cette équation
+peuvent être déterminées en fonction de ses coefficients. Les expressions
+de ces racines contiendront deux radicaux cubiques et un radical
+carré.
+\end{COROLLAIRE}
+
+On a donc ce théorème: \emph{Toute équation du troisième degré est
+soluble par radicaux.}
+
+\begin{Thm}[VIII]
+Pour résoudre une équation algébrique
+irréductible et de degré composé $m = nq$, $n$ étant premier, il est
+nécessaire et suffisant de résoudre $n$ équations de degré $q$; et deux
+autres équations, l'une de degré $n-1$ et l'autre de degré $s$ donnée
+par la formule
+\[
+s = \frac{1\dotm 2\dotm 3 \dotsm m}{(1\dotm 2\dotm 3 \dotsm q)^n \dotm n(n-1)}
+\]
+\end{Thm}
+
+En conservant les notations du théorème précédent, et en admettant
+que l'équation proposée, $f(x) = 0$, soit soluble; l'équation~\tagref{6} sera
+vraie et elle deviendra
+\[
+f(x) = f_1(x,r) \dotm f_2(x,r \alpha^p) \dotm f_3(x, r\alpha^{2p}) \dotsm f_n(x, r \alpha^{\overline{n-1}p})\,, \tag{10}
+\]
+\PG-----------------------File: 035.png----------------------------
+analogue à l'équation~\tagref{7}, avec cette différence qu'ici les facteurs sont
+d'un même degré $q$ différent de l'unité. Or, en permutant les $q$ racines
+d'un des facteurs du second membre, ce facteur est invariable. Donc
+ces permutations n'altèrent pas la décomposition~\tagref{10} de $f(x)$; et par
+suite la fonction résolvante $y$ de l'équation proposée, qui produit cette
+décomposition, doit être invariable par les permutations des $q$ racines
+d'un quelconque de ces facteurs. Mais le nombre de permutations
+de $q$ lettres est égal à $1\dotm 2\dotm 3 \dotsm q$, et il y a $n$ facteurs, donc $y$ doit
+être invariable pour un nombre de permutations égal à $(1\dotm 2\dotm 3 \dotsm q)^n$.
+
+De plus, si on considère une fonction symétrique quelconque des
+$q$ racines d'un des facteurs de l'équation~\tagref{10}, par exemple la somme,
+et si on désigne par $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a + \overline{n-1} p}$ les sommes respectives
+des $q$ racines du 1\ier, du 2\ieme, \dotsc, du $n$\ieme{} facteur, il est clair que ces
+sommes jouissent des mêmes propriétés que les racines $x_a, x_{a+p}, \dotsc,
+x_{a + \overline{n -1}p}$ du théorème précédent. Donc la fonction résolvante $y$ de
+$f(x) = 0$ jouit encore de cette propriété, d'être invariable et par
+les $n$ permutations circulaires et par les $n-1$ permutations d'un
+\emph{même ordre}, relatif à une permutation quelconque des $n$ lettres $X_a,
+X_{a + p}, \dotsc, X_{a + \overline{n - 1}p}$.
+
+Or ces 3 changements sont les seuls qui n'altèrent pas la décomposition~\tagref{10}
+de l'équation proposée $f(x)=0$; donc cette fonction
+résolvante n'est invariable que par le nombre de permutations déterminé
+par la formule
+\[
+(1\dotm 2\dotm 3 \dotsm q)^n \dotm n(n-1)\,,
+\]
+dès lors le nombre des valeurs distinctes est donné par la formule
+\[
+s = \frac{1\dotm 2\dotm 3 \dotsm m}{(1\dotm 2\dotm 3 \dotsm q)^n \dotm n (n - 1)}\,.
+\]
+
+Cette fonction dépend donc d'une équation algébrique de degré $s$
+qu'il est possible, dans tous les cas, de former avec les coefficients de
+l'équation donnée, si la forme de cette fonction est connue. Et cette
+fonction résolvante $y$ est déterminée par la formule
+\[
+y = Z_1 + Z_2 + \dotsb + Z_{n-1}\,,\tag{11}
+\]
+dans laquelle $Z_1$ désigne la fonction
+\[
+Z_1 = (X_a + \alpha X_{a + p} + \alpha^2 X_{a + 2p}+ \dotsb
+ + \alpha^{n-1} X_{a + \overline{n -1}p})^n\,, % [** inserted + before dots]
+\]
+\PG-----------------------File: 036.png----------------------------
+et $ Z_2, Z_3, \dotsc, Z_{n-1} $ les valeurs qu'on déduit de $Z_1$ en remplaçant
+successivement $p$ par $ p\rho, p\rho^2, \dotsc, p\rho^{n-2} $: car il résulte de ce qui
+précède que $ X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{ a + \overline{n-1}p } $ jouissent, dans ce théorème,
+ des mêmes propriétés que $ x_a, x_{a+p}, \dotsc, x_{ a + \overline{n-1}p } $ dans le théorème
+précédent.
+
+Or, ce dernier théorème prouve qu'on peut former, avec la fonction~\tagref{11},
+l'équation résolvante en $y$; et, avec l'une de ses racines,
+l'équation en $Z$ du degré $n-1$ dont les racines sont $ Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1} $.
+Il prouve de plus que cette dernière équation doit être résolue, et
+qu'on aura par suite, par des équations en tout semblables aux
+équations~\tagref{10}, les valeurs de $ X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{ a + \overline{n-1}p } $.
+Mais, connaissant la somme $X_a$ de $q$ racines de l'équation proposée, on peut
+déterminer en fonction rationnelle de $X_a$ toute fonction symétrique
+des mêmes racines, et par conséquent former l'équation
+\[
+  x^q - X_ax^{q-1} + C_2x^{q-2} + \dotsb + C_q = 0\,,
+\]
+dont les racines sont ces $q$ racines.
+
+Car, ces $q$ racines étant dans l'équation proposée $ f(x) = 0 $, le
+premier membre $f(x)$ est divisible par le premier membre de
+l'équation à former. On devra donc égaler à zéro les $q$ coefficients
+du reste de cette division; et $q-1$ de ces équations détermineront
+les $q-1$ coefficients inconnus $ C_2, C_3, \dotsc, C_q $ en fonction \emph{rationnelle}
+de $X_a$, puisque ces coefficients sont semblables à $X_a$. Et en remplaçant
+successivement dans les expressions de ces coefficients
+$X_a$ par $ X_{a+p}, X_{a+2p}, \dotsc, X_{ a + \overline{n-1}p }$,
+on aura les équations dont les racines sont celles
+qui ont pour somme respectivement
+ $X_{a+p}, X_{a+2p}, \dotsc, X_{ a + \overline{n-1}p }$. Il
+faudra donc résoudre ces $n$ équations, de degré $q$, pour avoir les
+racines de l'équation proposée.
+
+Donc les conditions énoncées du théorème à démontrer sont
+nécessaires.
+
+Elles sont de plus suffisantes: car, si on résout l'équation en $y$ de
+degré $s$, ainsi que celle en $Z$ de degré $n-1$, on peut obtenir les
+$n$ équations en $x$, d'un même degré $q$, dont la résolution entraîne
+celle de l'équation proposée.
+
+
+\begin{COROLLAIRE} Si dans le calcul précédent on fait $m = 2 \dotm 2 = 4$\DPpdfbookmark[2]{Corollaire}{CorollaireVIII},
+c'est-à-dire si l'équation à résoudre est du quatrième degré, l'équation
+\PG-----------------------File: 037.png----------------------------
+en $y$ est du troisième degré et l'équation en $Z$ du premier. Or toute
+équation du troisième degré est résoluble algébriquement, donc il est
+possible d'avoir ses trois racines en $y$; et par suite de former, avec
+l'une d'elles et avec les coefficients de l'équation proposée, les deux
+équations du second degré dont les racines sont les quatre de la
+proposée.
+\end{COROLLAIRE}
+
+Ainsi, la résolution de toute équation du quatrième degré se ramène
+à celle d'une équation du troisième degré et à celles de deux équations
+du second. D'où ce théorème: \emph{toute équation du quatrième degré
+est soluble par radicaux}.
+
+
+\begin{Thm}[IX] Il est impossible de résoudre algébriquement
+les équations générales de degré supérieur au quatrième.
+\end{Thm}
+
+En premier lieu: les équations des quatre premiers degrés sont
+résolubles algébriquement; car toute équation du premier degré est
+résoluble et sa racine est rationnelle par rapport aux coefficients; et
+les équations des 2\ieme, 3\ieme{} et 4\ieme{} degrés sont également résolubles
+algébriquement par une même méthode, celle de l'équation résolvante,
+comme cela résulte de la théorie bien connue des équations du second
+degré\footnote{La résolution de toute équation du second degré, $x^2 + A_1x + A_2 = 0$, n'échappe pas à
+cette méthode: et ici la fonction résolvante devient $y = (x_1-x_2)^2$ qui, étant symétrique
+par rapport aux racines, s'exprime en fonction rationnelle des coefficients $A_1, A_2$, de l'équation
+proposée. On a, en effet, $y = (x_1-x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = A_1^2 - 4A_2$, et comme
+$x_1 + x_2 = -A_1$, on a deux équations desquelles on déduit les deux racines.}
+ et des corollaires des théorèmes~\hyperlink{CorollaireVII}{VII} et \hyperlink{CorollaireVIII}{VIII}. Les racines des
+équations du second degré contiennent un radical carré; et celles des
+équations des troisième et quatrième degrés, des radicaux carrés et
+cubiques.
+
+En second lieu il résulte: \primo du \hyperlink{TheoremVII}{théorème~VII}, que pour résoudre
+une équation de degré premier $n$, il faut nécessairement résoudre
+d'abord une équation de degré $1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n-2)$, produit supérieur
+à $n$, puisque pour la plus petite valeur 5 de $n$, $1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n-2) = 6$ % [** inserted dots after 3]
+qui est supérieur à 5 et que, pour des nombres supérieurs à 5, \emph{a
+fortiori} on a $1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n-2) > n$.
+
+Or, les racines de cette équation sont les valeurs de $y$~\tagref{9} relatives
+aux groupes de la deuxième classification de notre Mémoire déjà cité
+en nombre $1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n-2)$: chacun d'eux étant un seul et même
+\PG-----------------------File: 038.png----------------------------
+ordre vu successivement de chacune des $n$ racines de l'équation
+proposée. Mais ces groupes ou ordres ne peuvent pas être partagés en
+nouveaux groupes de permutations inséparables\footnote{Voir la \hyperlink{section.2.3}{note} placée à la fin de ce mémoire.};
+ donc, \hyperlink{TheoremIII}{théorème~III}, cette équation, dont le degré est supérieur à~$4$, ne peut
+être décomposée en d'autres de degrés moindres. \secundo Il résulte du
+\hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII} que pour résoudre une équation de degré composé
+$m = nq$, $n$ étant premier, il faut d'abord résoudre nécessairement
+une équation du degré
+\[
+\frac{1\dotm 2\dotm 3 \dotsm m}
+     {(1\dotm 2\dotm 3 \dotsm q)^n\dotm n(n-1)}\,,
+\]
+nombre supérieur à $n$ pour la plus petite valeur $6$ de $m$ et qui \emph{a
+fortiori} est encore supérieur à $m$ pour tous les nombres plus grands
+que~$6$.
+
+Or, les racines de cette équation sont les valeurs~\tagref{11} de $y$ relatives
+à tous les ordres formés avec les $n$ quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc,
+ X_{a+\overline{n-1}p}$\footnoteT{Original has $X_{a+\overline{m-1}p}$}, % [** if there are n quantities this has to be a+(n-1)p not a+(m-1)p]
+\emph{considérées comme des lettres}, dans lesquelles on échange les
+racines de l'équation proposée $f (x) = 0$, que ces quantités contiennent;
+ mais, d'après la même note, les ordres ne peuvent être partagés
+en groupes de permutations inséparables: donc, même \hyperlink{TheoremIII}{théorème~III},
+cette équation en $y$ est indécomposable en d'autres de degrés
+moindres.
+
+Donc, quel que soit le degré $m$ de l'équation proposée, que ce
+degré $m$ soit premier ou composé, s'il est supérieur à~$4$, la résolution
+de cette équation dépend essentiellement de la résolution d'une autre
+équation non résoluble et d'un degré supérieur à celui de la proposée:
+il est donc impossible de résoudre les équations générales de degré
+supérieur au quatrième.
+
+
+
+\section{Recherche d'une classe d'équations résolubles algébriquement.}
+
+Puisqu'il est impossible de résoudre algébriquement les équations
+générales de degré supérieur au quatrième, on doit chercher les
+conditions nécessaires et suffisantes qui doivent exister entre les
+\PG-----------------------File: 039.png----------------------------
+racines d'une équation irréductible, de degré supérieur à~$4$, pour que
+cette équation soit résoluble algébriquement. Et d'abord, nous allons
+déterminer, à l'aide de nos principes, une classe d'équations, solubles
+par radicaux, qui jouent un rôle important dans la recherche de
+toutes les équations résolubles algébriquement.
+
+Il résulte, en effet, \primo du \hyperlink{TheoremI}{théorème~I} que la résolution de toute
+équation algébrique et irréductible, $f (x) = 0$, dépend de la résolution
+de son équation résolvante $\phi (y) = 0$; \secundo du \hyperlink{TheoremIV}{théorème~IV} que
+cette équation $\phi (y) = 0$ n'est décomposable en facteurs de degrés
+moindres, à l'aide de racines d'une équation auxiliaire de degré $v$,
+qu'autant que les $s$ groupes de permutations où $x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1}$,
+relatifs aux $s$ racines de cette résolvante, peuvent être partagés en
+$v$ groupes de permutations inséparables. On aura donc des équations
+solubles par radicaux, en cherchant les conditions nécessaires et
+suffisantes qui doivent exister entre les racines de l'équation proposée
+pour que le degré commun $r$ aux équations en $y$ du \hyperlink{TheoremII}{théorème~II} soit
+égal à l'unité et pour que le degré $v$ de l'équation auxiliaire~\tagref{3} en $z$
+soit aussi égal à l'unité; auquel cas le degré $s$ de l'équation résolvante
+est aussi égal à l'unité, puisque $s = vr$. De là il suit que si (A) est le
+tableau des groupes de permutations relatifs à l'équation $\phi (y) = 0$,
+la fonction résolvante $y$ doit être invariable pour tous ces $s$ groupes.
+
+Distinguons actuellement deux cas: celui où le degré de l'équation
+proposée $f(x)= 0$ est un nombre premier $n$, et celui où ce degré
+est un nombre composé.
+
+Dans le premier cas, $m = n$, la fonction résolvante est définie par
+la formule~\tagref{9} dans laquelle $z_1$ désigne la fonction~\tagref{8}, \hyperlink{TheoremVII}{théorème~VII};
+il résulte donc de ce qui précède, que cette expression $y$ ne doit avoir
+qu'une valeur et être égale par conséquent à une fonction rationnelle
+et symétrique des racines de l'équation proposée; et ce résultat sera
+atteint si $z_1$ est dans le même cas que $y$. Or, comme cette expression
+$z_1$ n'est invariable que par les $n$ permutations circulaires d'une permutation
+quelconque des $n$ racines de la proposée, ou ce qui est la
+même chose, quand on y remplace $a$ successivement par les valeurs
+$a + p, a + 2p, \dotsc, a + \overline{n-1}p$. Donc cette exposition $z_1$ doit
+pouvoir se réduire à ne contenir qu'une seule de ces racines; ce qui
+exige que $n-1$ d'entre elles soient des fonctions rationnelles de
+l'une d'elles: et de plus, quelle que soit la fonction rationnelle de
+\PG-----------------------File: 040.png----------------------------
+$x_a$ qui soit égale à $x_{a+p}$, la racine $x_{a + 2p}$ doit dépendre de $x_{a+p}$
+comme celle-ci dépend de $x_a$, la racine $x_{a + 3p}$ doit dépendre de
+$x_{a+2p}$ de la même manière, et ainsi de suite, et enfin $x_a$ sera liée à
+$x_{a + \overline{n-1}p}$ par la même relation.
+
+Ainsi, si $x_{a + p} = \theta (x_a)$, on doit avoir
+\[
+x_{a+2p} = \theta (x_{a+p}), \quad x_{a+3p} = \theta (x_{a+2p}),
+\quad \dotsc, \quad x_a = \theta (x_{a+\overline{n-1}p})\,;
+\]
+en d'autres termes les racines de l'équation proposée doivent être
+représentées par la suite
+\[
+x_a,  \quad \theta x_a, \quad \theta^2x_a,\quad \dotsc, \quad \theta ^{n-1}x_a\,,
+\]
+$\theta$ désignant une fonction rationnelle telle que $\theta^nx_a = x_a$, et $\theta^2, \theta^3, \ldots$
+désignant des indices d'opérations à répéter.
+
+Effectivement l'expression
+\[
+r_1 = (x_a + \alpha\theta x_a + \alpha^2\theta^2x_a + \dotsb + \alpha^{n-1}\theta^{n-1}x_a)^n = \psi(x_a)\,,
+\]
+peut être exprimée en fonction rationnelle des coefficients de $f(x)$
+et de $\theta$. Car cette expression étant invariable pour les $n$ permutations
+ circulaires des $n$ racines, elle conservera la même valeur en
+y remplaçant successivement $x_a$ par $\theta x_a, \theta^2x_a, \dotsc, \theta^{n-1}x_a$.
+ On a donc
+\[
+\psi(x_a) = \psi(\theta x_a) = \psi(\theta^2x_a) = \dotsb = \psi(\theta^{n-1}x_a)\,,
+\]
+et par conséquent
+\[
+n\psi(x_a) = \psi(x_a) + \psi(\theta x_a) + \dotsb + \psi(\theta^{n-1}x_a)\,;
+\]
+relation dont le second membre est une fonction symétrique des
+racines de l'équation proposée $f (x) = 0$.
+
+Dans le second cas, $m = nq$, la fonction résolvante est définie par
+l'équation~\tagref{11}; et, si on applique à $Z_1$ le même raisonnement qu'à $z_1$,
+on aura ce résultat, en observant que $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$ dont se
+compose $Z_1$ sont des sommes d'un même nombre de racines de
+l'équation proposée; pour que l'équation auxiliaire en $z$ soit du
+premier degré et pour que l'équation en $y$ soit aussi du premier degré,
+il est nécessaire que les racines de l'équation proposée soient représentées
+\PG-----------------------File: 041.png----------------------------
+par la suite
+\[\tag{12}
+x_a,\quad \theta x_a,\quad \theta^2 x_a,\quad \dotsc,\quad \theta^{m -1} x_a\,,
+\]
+$\theta$ désignant une fonction rationnelle telle que $\theta^m x_a = x_a$.
+
+Ajoutons qu'on démontrerait absolument de la même manière que
+l'expression analogue à $z_1$,
+\[\tag{13}
+y = (x_a + \alpha \theta x_a + \alpha^2 \theta^2 x_a + \dotsb + \alpha^{m -1} \theta^{m-1} x_a)^m,
+\]
+invariable par les $m$ permutations circulaires des $m$ racines est une
+fonction symétrique de ces racines, $\alpha$ désignant une des racines
+imaginaires de $x^m-1 = 0$: puisque le raisonnement appliqué à $z_1$
+est indépendant de cette considération que l'exposant $n$ est premier.
+
+On obtient donc ce résultat: l'équation résolvante et, par suite,
+l'équation auxiliaire d'une équation algébrique quelconque irréductible
+sont du premier degré, si les racines de celle-ci sont représentées par
+la suite~\tagref{12}.
+
+Nous pouvons actuellement démontrer le théorème suivant qui est,
+en quelque sorte, la réciproque de ce dernier résultat.
+
+\begin{Thm}[X]
+Si les $m$ racines d'une équation algébrique
+quelconque peuvent être représentées par la suite
+\[
+x_a,\quad \theta x_a,\quad \theta^2 x_a,\quad \dotsc,\quad \theta^{m -1} x_a\,,
+\]
+$\theta x_a$ désignant une fonction rationnelle telle que $\theta^m x_a = x_a$ l'équation
+est toujours soluble par radicaux.
+\end{Thm}
+
+En effet, l'hypothèse faite sur les racines de l'équation proposée
+permet d'exprimer, en fonction rationnelle des coefficients de cette
+équation et de ceux de la fonction $\theta$, la fonction $y$ définie par l'expression~\tagref{13}.
+Soit donc $v$ la valeur connue de cette fonction, on aura, en
+désignant par $1, \alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_{m-1}$, les $m$ racines de l'équation $x^m-1
+= 0$, les $m$ équations
+\[
+\def\arraycolsep{2pt}
+\begin{array}{rcrcrcrcl} % [** made the one under the dots line up with the others]
+x_a &+ &\theta x_a &+& \theta^2 x_a &+ \dotsb +& \theta^{m -1} x_a &=& - A_1\,,\\
+x_a &+ &\alpha_1 \theta x_a &+& \alpha_1^2 \theta^2 x_a &+ \dotsb +& \alpha_1^{m -1} \theta^{m -1} x_a &=& \sqrt[m]{v_1}\,, \\
+x_a &+& \alpha_2 \theta x_a &+& \alpha_2^2 \theta^2 x_a &+ \dotsb +& \alpha_2^{m -1} \theta^{m -1} x_a &=& \sqrt[m]{v_2}\,, \\
+\hdotsfor{9} \\
+x_a &+& \alpha_{m-1} \theta x_a &+& \alpha_{m-1}^2 \theta^2 x_a &+ \dotsb +& \alpha_{m-1}^{m -1} \theta^{m -1} x_a& =& \sqrt[m]{v_{m-1}}\,,
+\end{array}
+\]
+dont les seconds membres sont connus.
+\PG-----------------------File: 042.png----------------------------
+
+De ces équations linéaires par rapport aux $m$ racines à trouver, on
+peut déduire facilement chacune d'elles. Car, pour avoir $\theta^i x_a$ par
+exemple, il suffit de multiplier les deux membres de chacune de ces
+équations respectivement par $1, \alpha_1^{-i}, \alpha_2^{-i}, \dotsc, \alpha_{m-1}^{-i}$ et d'ajouter les
+produits: cette somme en effet donne, en ayant égard aux propriétés
+des racines des équations binômes, la formule
+\[
+\theta^i x_a = \frac{1}{m}\left\{-A_1
+ + \alpha_1^{-i}\sqrt[m]{v_1}
+ + \alpha_2^{-i}\sqrt[m]{v_2} +\dotsb
+ + \alpha_{m-1}^{-i}\sqrt[m]{v_{m-1}}\right\}
+\]
+de laquelle on déduira les $m$ racines de la proposée en faisant successivement
+$i = 0, 1, 2, 3, \dotsc, m-1$.
+
+Mais comme un radical d'indice $m$ a $m$ valeurs, on pourrait croire
+que l'expression précédente a $m^{m-1}$ valeurs. Or, il est facile d'exprimer
+chacun des radicaux qu'elle renferme en fonction d'un seul, auquel
+cas elle n'aura que $m$ valeurs.
+
+Soit en effet $\rho$ une des racines \emph{primitives} de l'équation $x^{m}-1 = 0$,
+et faisons dans le calcul précédent:
+\[
+\alpha_1 = \rho, \quad \alpha_2 = \rho^2, \quad
+\alpha_3 = \rho^3,\quad \dotsc, \quad \alpha_n = \rho^n,\quad \dotsc, \quad \alpha_{m-1} = \rho^{m-1}\,,
+\]
+ce qui est permis, puisque $\rho, \rho^2, \rho^3, \dotsc, \rho^{m-1}$ sont les $m$ racines de
+l'équation $x^m-1 = 0$. On aura
+\[
+\def\arraycolsep{2pt}
+\begin{array}{rclclclcl}
+\sqrt[m]{v_1} &=& x_a&+& \rho\theta x_a& +&\rho^2\theta^2 x_a
+&+ \dotsb +& \rho^{m-1}\theta^{m-1} x_a\,,\\
+\sqrt[m]{v_n} &=& x_a &+& \rho^n\theta x_a &+& \rho^{2n}\theta^2 x_a
+&+ \dotsb +& \rho^{(m-1)n}\theta^{m-1}x_a\,.
+\end{array}
+\]
+
+Mais si dans la valeur de $\sqrt[m]{v_1}$ on change $x_a$ en $\theta^k \alpha_a$, cette valeur
+est multipliée par $\rho^{m-k}$; et ce même changement multiplie le second
+membre de la seconde égalité par $\rho^{n(m-k)}$; donc ce changement multiplie
+le produit $\left(\sqrt[m]{v_1}\right)^{m-n}\dotm\sqrt[m]{v_n}$ par
+$\rho^{n(m-k)} \dotm \rho^{(m-n)(m-k)} = \rho^{(m-k)m} = 1$.
+
+Ce produit étant donc inaltérable en changeant $x_a$ en $\theta^k x_a$, quelle
+que soit la valeur de $k$, on aura, en posant
+%
+\begin{gather*}
+\left(\sqrt[m]{v_1}\right)^{m-n}\sqrt[m]{v_n}=\chi(x_a)\,,\\
+\chi(x_a) = \chi(\theta x_a) = \chi(\theta^2 x_a) = \dotsb
+ = \chi(\theta^{m-1}x_a)
+\end{gather*}
+%
+et par conséquent
+\[
+\chi(x_a) = \frac{1}{m}\left\{\chi(x_a) + \chi(\theta x_a)
+ + \chi(\theta^2 x_a) + \dotsb + \chi(\theta^{m-1}x_a)\right\}\,,
+\]
+\PG-----------------------File: 043.png----------------------------
+relation dont le second membre est une fonction symétrique des racines
+de l'équation proposée $f(x) = 0$. Donc $\chi(x_a)$ peut être exprimé en
+fonction rationnelle des coefficients de $f(x)$ et de ceux de la fonction
+connue $\theta$. Soit $u_n$ sa valeur, on aura donc
+\[
+\left(\sqrt[m]{v_1}\right)^{m-n} \sqrt[m]{v_n} = u_n \, ,
+\]
+d'où on déduit
+\[
+\sqrt[m]{v_n} = \frac{u_n}{v_1} \left(\sqrt[m]{v_1}\right)^n \, ,
+\]
+et, par suite, cette expression équivalente de $\theta^i x_a$
+%
+\begin{align*}
+\theta^i x_a &= \frac{1}{m}\left\{ -A_1 + \rho^{-i} \sqrt[m]{v_1}
+ + \frac{u_2}{v_1} \left(\rho^{-i} \sqrt[m]{v_1}\right)^2 + \dotsb
+ + \frac{u_{m-1}}{v_1} \left(\rho^{-i} \sqrt[m]{v_1}\right)^{m-1} \right \} \, ;\\
+%
+\intertext{mais si dans cette formule on fait $i = 0$, auquel cas elle devient}
+%
+\frac{x}{a} &= \frac{1}{m}\left\{ -A_1 + \sqrt[m]{v_1}
+ + \frac{u_2}{v_1} \left(\sqrt[m]{v_1}\right)^2 + \dotsb
+ + \frac{u_{m-1}}{v_1} \left(\sqrt[m]{v_1}\right)^{m-1} \right \} \, ,
+\end{align*}
+%
+et, si on donne successivement au seul radical qu'elle contient ses
+$m$ valeurs, on aura exactement les mêmes valeurs que celles qui
+seraient produites par la formule précédente en y faisant successivement
+ $i = 0, 1, 2, \dotsc, m-1$; c'est-à-dire les $m$ racines de l'équation proposée.
+
+\begin{REMARQUE} Ce théorème a été trouvé par Abel en généralisant les travaux
+ de Gauss sur les équations binômes. Les équations algébriques dont les racines
+ jouissent des propriétés énoncées par ce théorème sont dites \emph{abéliennes}.
+ Notre théorie fait donc retrouver, d'une manière simple, cette classe d'équations résolubles algébriquement.
+\end{REMARQUE}
+
+\begin{Thm}[XI] Si le degré $m$ d'une équation abélienne est
+\[
+m = n_1^{k_1} \dotm n_2^{k_2} \dotsm n_\omega^{k_\omega}\,,
+\]
+$n_1, n_2, \dotsc, n_\omega$ étant des nombres premiers, la résolution
+ de cette équation se ramène à celle de $k_1$ équations de degré $n_1$, de $k_2$ équations
+\PG-----------------------File: 044.png----------------------------
+ de degré $n_2, \ldots$, et de $k_{\omega}$ équations de degré $n_{\omega}$; ces équations
+étant toutes abéliennes comme la proposée.
+\end{Thm}
+
+Le théorème précédent est vrai, quelle que soit la valeur du degré $m$;
+mais lorsque ce degré est composé, on peut simplifier la solution. En
+effet, l'équation proposée étant abélienne, ses racines sont
+\[
+ x, \quad \theta x, \quad \theta^2 x,\quad \dotsc, \quad \theta^{m-1} x\,,
+\]
+$x$ désignant l'une d'elles, et $\theta$ une fonction rationnelle telle que
+$ \theta^m x = x $. Or, si nous posons
+\[
+  m = m_1 n
+\]
+$n$ étant premier, on peut partager ces $m$ racines en $n$ groupes
+\[
+\tag{B} \left\{
+\begin{array}{lllll}
+ x,             & \theta^nx,       & \theta^{2n}x,     & \dotsc ,&
+    \theta^{\overline{m_1-1}n}x\,,   \\
+ \theta x,      & \theta^{1+n}x,   & \theta^{1+2n}x,   & \dotsc ,&
+    \theta^{1+\overline{m_1-1}n}x\,,   \\
+ \hdotsfor{5}   \\
+ \theta^{n-1}x, & \theta^{n-1+n}x, & \theta^{n-1+2n}x, & \dotsc ,&
+    \theta^{n-1+\overline{m_1-1}n}x\,,
+\end{array} \right.
+\]
+composés chacun de $m_1$ racines telles que l'équation dont les racines
+seraient celles de l'un quelconque d'entre eux serait également
+abélienne, puisque $\theta^m x =\penalty500 \theta^{m_1 n} x = x$.
+
+Ces $n$ groupes sont de plus \emph{inséparables}\footnote{Voir le 8\ieme{}
+ théorème de notre Mémoire déjà cité; t.~VI du journal de M.~Liouville,
+2\ieme{} série, p.~435.}; donc si nous prenons
+une fonction quelconque, $F(x)$, symétrique des racines du premier
+groupe, la somme par exemple; auquel cas les sommes des racines
+des groupes suivants sont $F(\theta x), F(\theta^2 x), \dotsc, F(\theta^{n-1} x)$; toute
+fonction symétrique des $n$ quantités
+\[
+  F(x), F(\theta x), \dotsc, F(\theta^{n-1} x)\,,
+\]
+sera symétrique par rapport aux $m$ racines de la proposée, et par
+conséquent elle pourra être exprimée en fonction rationnelle de ses
+coefficients. Il est donc possible de former l'équation
+\[
+\tag{14}    X^n + C_1X^{n-1} + C_2X^{n-2} + \dotsb + C_n = 0
+\]
+dont les racines sont ces $n$ quantités. Et cette équation est encore
+abélienne: car $F(x)$ et $F(\theta x)$ sont évidemment des fonctions semblables;
+\PG-----------------------File: 045.png----------------------------
+ on aura donc $F(\theta x) = \phi \dotm(Fx)$, $\phi$
+désignant une fonction rationnelle, et par suite $F(\theta^2 x)=\penalty500
+\phi \dotm (F\theta x) =\penalty500\phi^2 \dotm(Fx), \ldots$ et
+$F(\theta^n x) = F(x)$.
+
+Or (\hyperlink{TheoremII}{théorème~II}), l'équation proposée, est décomposable, à l'aide
+des racines de cette équation auxiliaire~\tagref{14} en $n$ équations d'un même
+degré $m_1$ dont les racines sont respectivement celles de chacun des
+$n$ groupes du tableau~\tagref{B}; et ces équations sont évidemment toutes
+abéliennes; on peut donc les résoudre.
+
+Mais si le nombre $m_1$ est lui-même composé et égal à $m_2 p$, $p$ étant
+premier, on peut faire la même décomposition sur chacune de ces
+$n$ équations de degré $m_1$. Car l'une quelconque d'entre elles, la première
+par exemple, étant abélienne, on peut faire sur elle ce qu'on a
+fait sur l'équation proposée; et par conséquent cette équation peut
+être décomposée en $p$ équations abéliennes d'un même degré $m_2$, à
+l'aide d'une nouvelle équation abélienne, de degré $p$, et analogue à~\tagref{14},
+qu'il est possible de former avec les coefficients de l'équation de
+degré $m_1$, et par suite aussi avec les coefficients de l'équation
+proposée.
+
+Si $m_2$ était lui-même un nombre composé, on pourrait, sur l'une
+des $p$ équations de degré $m_2$, opérer la même décomposition; et ainsi
+de suite. En sorte que la résolution de l'équation abélienne proposée
+de degré $m$ dépend de celles d'équations abéliennes analogues à~\tagref{14}
+dont les degrés sont les facteurs premiers de $m$. Ce qui démontre le
+théorème énoncé.
+
+Avant de déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour
+qu'une équation irréductible soit résoluble algébriquement, nous
+démontrerons encore le théorème suivant, parce qu'il nous sera utile
+dans cette recherche.
+
+\begin{Thm}[XII]
+Si deux racines d'une équation algébrique
+irréductible et de degré composé $m$, sont tellement liées entre elles
+que l'une puisse s'exprimer rationnellement par l'autre, cette
+équation est ou abélienne ou composée d'équations abéliennes de
+degrés moindres; et réciproquement.
+\end{Thm}
+
+En effet, si $x$ désigne une des racines de l'équation proposée
+\[
+F (x) = 0 \, ,
+\]
+$\theta(x)$ sera une autre racine de cette équation, $\theta$
+désignant une fonction
+\PG-----------------------File: 046.png----------------------------
+rationnelle de $x$ et de quantités connues. On aura donc
+\[
+F (\theta x) = 0 \, ;
+\]
+et je dis que cette dernière équation est encore satisfaite quand on y
+remplace $x$ par une racine quelconque de la proposée. Car, si on
+effectue les calculs indiqués par les signes $\theta$ et $F$, on obtiendra
+\[
+F(\theta x) = \frac{\phi(x)}{\psi(x)}\,,
+\]
+$\phi(x)$ et $\psi(x)$ désignant des fonctions entières par rapport à $x$ que l'on
+peut toujours supposer premières entre elles. Mais l'équation $F(\theta x)=0$
+entraîne l'équation $\phi(x)= 0$; et comme on a $F(x) = 0$, les fonctions
+entières $\phi(x)$ et $F(x)$ doivent avoir un plus grand commun diviseur
+algébrique: et puisque $F(x) = 0$ est une équation irréductible, on
+doit avoir $\phi(x) = F (x) \dotm \phi_1(x)$, et par suite
+\[  \tag{15}
+F(\theta x) = \frac{\phi_1(x)}{\psi(x)} F(x) \,.
+\]
+
+Et j'ajoute qu'on ne saurait avoir en même temps $\psi(x) = 0$ et
+$F(x) = 0$, car on aurait alors $\psi(x)= F (x)\dotm \psi_1(x)$, et par conséquent
+les fonctions $\phi(x)$ et $\psi(x)$ ne seraient pas des fonctions premières
+entre elles.
+
+Cette équation~\tagref{15} prouve que toute racine de l'équation proposée
+$F(x)=0$ est racine de $F(\theta x)=0$: mais $\theta(x)$ étant racine de $F(x)=0$,
+$\theta \theta x$ ou $\theta^2 x$ est racine de la même équation: de même $\theta^2(x)$ étant
+racine de la proposée, $\theta \theta^2$ ou $\theta^3 x$ est encore racine de la même équation;
+et ainsi de suite à l'infini. Donc chacun des termes de la suite,
+prolongée indéfiniment,
+\[
+x, \quad \theta x, \quad \theta^2 x, \quad \theta^3x, \quad \dotsc,
+ \quad \theta^{n-1} x, \quad \theta^n x, \dotsc
+\]
+est racine de l'équation proposée: et comme cette équation est de
+degré fini $m$, cette suite ne doit contenir au plus que $m$ termes
+distincts.
+
+Soit
+\[
+\theta^{n+p}x = \theta^p x \, ;
+\]
+l'équation $\theta^n x - x = 0$ a donc pour racine $\theta^p x$ qui est aussi une
+racine de $F(x) = 0$; d'où il suit que, d'après ce qui précède, toute
+\PG-----------------------File: 047.png----------------------------
+racine de $F(x) = 0$ est aussi racine de $\theta^n x - x =0$, et que
+par conséquent on a $\theta^{n+1}x = \theta x$, $\theta^{n+2}x= \theta^2 x$, et ainsi de suite. Ainsi
+les seuls termes distincts de la suite indéfinie précédente sont
+\[  \tag{16}
+x, \quad \theta x, \quad \theta^2 x, \quad \dotsc, \quad \theta^{n-1}x\,;
+\]
+et si $m = n$, cette suite démontre le théorème.
+
+Supposons actuellement $m >n$, et soit $x_1$ une des racines de
+l'équation $F (x) = 0$, non comprise dans la suite~\tagref{16}. On démontrera,
+de la même manière, que chaque terme de la suite prolongée
+indéfiniment
+\[
+x_1, \quad \theta x_1, \quad \theta^2 x_1, \quad \dotsc,
+\]
+est racine de l'équation proposée, et que les seuls termes distincts de
+cette suite sont les $n$ termes
+\[
+x_1, \quad \theta x_1, \quad \theta^2 x_1, \quad \dotsc, \quad \theta^{n-1} x_1 \,.
+\]
+
+Je dis de plus que ces termes sont différents de ceux de la suite~\tagref{16}.
+Car si on pouvait avoir $\theta^h x_1 = \theta^k x$, on aurait
+$\theta^{n-k} \theta^h x_1 = \theta^{n-k} \theta^k x = \theta^n x = x$;
+d'où il suit que dans cette dernière suite continuée
+indéfiniment, la racine $x$ se trouverait, et que par conséquent
+elle contiendrait tous les termes de la suite~\tagref{16}; c'est-à-dire, en d'autres
+termes, que ces deux suites coïncideraient: ce qui est contre l'hypothèse,
+puisque $x_1$ diffère de chacun des termes de~\tagref{16}.
+
+Ainsi, ces deux suites contiennent $2n$ racines distinctes de
+l'équation proposée; donc si $m = 2n$, cette équation est
+formée de deux équations, d'un même degré $n$, donnant l'une
+les racines de la suite~\tagref{16}, et l'autre celles de la dernière
+suite, chacune d'elles étant évidemment abéliennes.
+
+Si $m > 2n$, et si $x_2$ désigne une racine de $F(x) = 0$ % [** Corrected f to F silently]
+qui ne fasse partie ni de la suite~\tagref{16} ni de la suivante composée d'un même
+nombre $n$ de termes, on démontrera de la même manière qu'avec $x_2$
+on formera un troisième groupe $n$ de racines différentes
+\[
+x_2, \quad \theta x_2, \quad \theta^2 x_2, \quad \dotsc, \quad \theta^{n-1}x_2\,,
+\]
+et distinctes de celles des deux premiers groupes; et ainsi de suite.
+En sorte que les $m$ racines de l'équation proposée peuvent être partagées
+\PG-----------------------File: 048.png----------------------------
+ en groupes composés, chacun, de $n$ racines
+\[
+  \tag[B2]{B\protect\footnotemarkT}
+ \left\{ \begin{array}{lllll}
+x  ,& \theta x   ,& \theta^2 x   ,& \dotsc ,& \theta^{n-1} x  \,,\\
+x_1,& \theta x_1 ,& \theta^2 x_1 ,& \dotsc ,& \theta^{n-1} x_1 \,, \\
+x_2,& \theta x_2 ,& \theta^2 x_2 ,& \dotsc ,& \theta^{n-1} x_2  \,,\\
+\hdotsfor{5}\\
+\end{array} \right.
+\footnotetextT{The duplication of the tag (B) appears to be intentional:
+ \textit{cf} page~\pageref{eqn:B}}%
+\]%
+% Note: although this is the second use of tag (B), it seems to be
+% intentional, rather than a clear error as with (18) and (18a)
+ces groupes étant tels que, dans chacun, chaque racine est égale à la
+\emph{même} fonction rationnelle $\theta$ de la précédente.
+
+\begin{COROLLAIRE} Si le degré $m$ de l'équation proposée $F(x) = 0$\DPpdfbookmark[2]{Corollaire}{CorollaireXII}
+est un nombre premier, les groupes du tableau~\tagref[B2]{B} se réduisent en
+un seul. Car dans la suite~\tagref{16}, on a $\theta^n(x) = x$, et si $n < m$ il y
+aurait au moins $2 n$ racines distinctes dans cette équation, ce qui est
+impossible, puisque $m$ est premier. Donc $m = n$ et par conséquent
+tous ces groupes~\tagref[B2]{B} se réduisent au premier.
+\end{COROLLAIRE}
+
+\begin{REMARQUE} Une équation dont les $m$ racines peuvent être
+représentées par la suite
+\[
+  x, \quad \theta x, \quad \theta^2 x, \quad \dotsc, \quad \theta^{2n-1} x \,,
+\]
+telle que $\theta^m(x) = x$, est dite \emph{abélienne}.
+\end{REMARQUE}
+
+De cette définition et du corollaire précédent résulte
+donc ce théorème: \emph{Si deux racines d'une équation
+algébrique, irréductible et de degré premier sont
+tellement liées que l'une d'elles soit égale à une
+fonction rationnelle de l'autre, cette équation est abélienne}.
+
+\begin{Thm}[XIII] Pour qu'une équation algébrique, non
+abélienne, irréductible et de degré premier $n$
+supérieur à trois soit résoluble algébriquement, il
+faut et il suffit qu'entre trois quelconques de ses racines il y ait
+la relation
+\[  \tag{17}
+  x_{a+p\rho} = \theta(x_{a+p} , \quad x_a) \, ,
+\]
+dans laquelle les indices de $x$ soient pris suivant le module $n$,
+$\theta$ désigne une fonction rationnelle, $\rho$ une des racines primitives du
+degré $n$, $a$ % [** Corrected \alpha to a silently]
+un des nombres $0, 1, 2, 3, \dotsc, n-1$, et $p$ un des nombres
+entiers $1, 2, 3, \dotsc, n-1$.
+\end{Thm}
+
+Cette relation montre comment, deux racines $x_a$ et $x_{a+p}$ étant données,
+\PG-----------------------File: 049.png----------------------------
+on peut exprimer de proche en proche les $n-2$ autres racines en
+fonction de ces deux-là; et comment ces racines naissent les unes des
+autres. Car cette relation étant vraie quand on remplace
+successivement $p$ par $1, 2, 3, \dotsc, n-1$, dans tel ordre qu'on
+voudra, et les résidus à $n$ de la suite $p\rho, p\rho^2, \dotsc,
+p \rho^{n-1}$ étant ces mêmes nombres dans un ordre déterminé, on
+peut remplacer dans cette formule~\tagref{17} $p$ successivement par $p\rho,
+p\rho^2, \dotsc, p\rho^{n-2}$: et nous aurons les $n-1$ autres
+racines de l'équation à résoudre
+%
+\begin{alignat*}{2}
+x_{a+p\rho^2} & = \theta (x_{a+p\rho}, && x_a)\,,  \\
+x_{a+p\rho^3} & = \theta (x_{a+p\rho^2}, && x_a)\,, \\
+\multispan4\dotfill \\
+x_{a+p\rho^{n-2}} & = \theta (x_{a+p\rho^{n-3}}, &~& x_a)\,,
+\end{alignat*}
+
+Cela posé: si l'équation proposée est abélienne, elle est
+résoluble algébriquement, \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}; mais par hypothèse,
+cette équation n'étant pas abélienne, étant irréductible et
+de degré premier $n$, sa résolution dépend essentiellement,
+\hyperlink{TheoremVII}{théorème~VII}, de celle de deux équations, l'une de degré
+$n-1$, l'autre de degré $1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n-2)$.\footnoteT
+{Original has $1,2,3,\dotsc,(n-2)$} % [** compare Thm VII: this should be a product, not a list]
+
+Mais, $n$ étant premier et supérieur à trois, cette dernière
+équation, qui est l'équation résolvante dont l'expression
+générale $y$ de ses racines est donnée par la formule~\tagref{9}, est
+indécomposable en équations de degrés moindres, son degré
+étant supérieur à~$4$, comme nous l'avons démontré au
+\hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX}. Donc, l'équation proposée devant être soluble
+par radicaux, cette équation résolvante doit avoir toutes ses
+racines égales; puisque toute autre hypothèse la rendrait
+décomposable en équations de degrés moindres.
+
+Or, cette fonction rationnelle~\tagref{9} des racines $x_a, x_{a+p},
+\dotsc, x_{a+\overline{n-1}p}$ de l'équation proposée jouit de cette propriété,
+ \emph{telle qu'elle est faite}, d'être invariable
+pour les $n(n-1)$ permutations qui constituent un seul et même ordre
+de ces $n$ racines vu successivement de chacune d'elles; et comme elle
+doit être encore invariable pour les $1 \dotm 2 \dotm 3 \dotm \dotsm (n-2)$ groupes
+de la troisième classification déjà citée de notre mémoire,
+cette fonction~\tagref{9} doit être symétrique par rapport aux $n$
+racines de la proposée. Mais $n(n-1)$ est précisément égal au
+nombre d'arrangements de $n$ lettres prises deux à deux; donc cette
+expression~\tagref{9} doit se réduire, d'une manière rationnelle, à ne
+contenir que deux de ces racines. Cette réduction exige donc que, deux racines
+\PG-----------------------File: 050.png----------------------------
+quelconques de l'équation proposée étant données, $x_a$ et $x_{a+p}$ par
+exemple, on puisse exprimer par des fonctions rationnelles les $n-2$
+autres. Par suite la fonction $z_1$, qui contient ces $n$ racines, se réduira
+à une fonction rationnelle de $x_a$ et $x_{a+p}$, par exemple à
+\[
+z_1 = \psi(x_{a+p}, \quad x_a),
+\]
+$\psi$ désignant une fonction rationnelle.
+
+Mais $z_2, z_3, \dotsc, z_{n-1}$ se déduisent de $z_1$ en changeant successivement
+$p$ en $p\rho, p\rho^2, \dotsc, p\rho^{n-2}$, et ces changements n'altèrent pas $y$, on doit
+donc avoir
+%
+\begin{alignat*}{2}
+z_2 &=\psi(x_{a+p\rho}, && x_a)\,,\displaybreak[0]\\
+z_3 &=\psi(x_{a+p\rho^2}, && x_a)\,,\\
+\multispan4\dotfill \\
+z_{n-1}&=\psi(x_{a+p\rho^{n-2}}, &~& x_a)\,;
+\end{alignat*}
+%
+équations qui exigent que l'on ait l'équation~\tagref{17}, puisque la valeur
+de $z_1$ aurait pu être écrite de la manière suivante:
+\[
+z_1 = (x_a + \alpha x_{a+p} + \alpha^2 x_{a+p\rho} + \dotsb + \alpha^{n-1} x_{a+p\rho^{n-2}})^n\,.
+\]
+
+Cette équation~\tagref{17} étant nécessaire, démontrons maintenant qu'elle
+est suffisante. Considérons à cet effet la fonction de Lagrange:
+\[
+u = \left\{\psi(x_{a+p}, x_a) + \lambda\psi(x_{a+p\rho}, x_a)+ \dotsb % [** inserted + before dots]
+ + \lambda^{n-2}\psi(x_{a+p\rho^{n-2}}, x_a)\right\}^{n-1}\,,
+\]
+dans laquelle $\lambda$ désigne une des racines de l'équation binôme $x^{n-1}=1$.
+En y changeant successivement $p$ en $p\rho, p\rho^2, \dotsc, p\rho^{n-2}$, ses divers
+termes ne font que se déplacer circulairement; elle est donc invariable
+quelle que soit la valeur de $p$: d'ailleurs ses divers termes sont aussi
+invariables quelle que soit la valeur de $a$, donc cette fonction conserve
+la même valeur quelles que soient les $n$ valeurs de $a$ et les $n-1$ valeurs
+de $p$. De là il suit que si on réduit la fonction $u$ à ne contenir que les
+deux racines $x_a$, $x_{a+p}$ à l'aide de la formule~\tagref{17},
+\[
+u = \chi(x_{a+p},~ x_a)\,,
+\]
+cette fonction, ainsi réduite, conservera la même valeur quels que
+soient les indices $a$ et $p$, et on aura
+\[
+n(n-1)u = \sum_{0}^{n-1}\sum_{1}^{n-1}\chi(x_{a+p},~  x_a)\,;
+\]
+\PG-----------------------File: 051.png----------------------------
+relation dont le second membre est une fonction symétrique des
+racines de l'équation proposée $f(x) = 0$. On peut donc exprimer $u$
+en fonction rationnelle des coefficients de $f(x)$ et de la fonction
+connue $\theta$; et par suite, en remplaçant successivement $\lambda$ par les
+$n-1$ racines $1, \lambda, \lambda_2, \dotsc, \lambda_{n-2}$ de l'équation $x^{n-1} = 1$, on aura
+les $n-1$ équations{\ifPaper\smaller\fi
+\[
+\tag{18}
+\left\{\begin{alignedat}{3}
+\psi(x_{a+p},x_a)\:&+ &        \psi (x_{a+p\rho},x_a)&+\dotsb+
+ & \psi(x_{a+p\rho^{n-2}},x_a)&=\sqrt[n-1]{u_1}\,,   \\
+%
+\psi(x_{a+p},x_a)\:&+ &\lambda_1\psi(x_{a+p\rho},x_a)&+\dotsb+
+ &\: \lambda_1^{n-2}\psi(x_{a+p\rho^{n-2}},x_a)&=\sqrt[n-1]{u_2}\,,   \\
+%
+\multispan6\dotfill   \\
+%
+\psi(x_{a+p},x_a)\:&+ &\:\lambda_{n-2} \psi(x_{a+p\rho},x_a)&+\dotsb+
+ &\: \lambda_{n-2}^{n-2}\psi(x_{a+p\rho^{n-2}},x_a)&=\sqrt[n-1]{u_{n-1}}\,;
+\end{alignedat}\right.
+\]
+}$u_1, u_2, \dotsc, u_{n-1}$ désignant des fonctions rationnelles et connues des
+coefficients de $f(x)$ et de $\theta$: de ces $n-1$ équations nous déduirons
+les $n-1$ termes dont se compose la fonction~$u$.
+
+Or, ces $n-1$ termes étant connus, on aura, en ayant égard à leurs
+expressions en fonction des racines de la proposée, $n-1$ équations
+qui, réunies à l'équation suivante,
+\[
+  x_a + x_{a+p} + x_{a+2p} + \dotsb + x_{ a+\overline{n-1}p } = -A_1\,,
+\]
+feront connaître les $n$ racines cherchées; puisque ces $n$ équations
+simultanées ne sont autres que les équations~\tagref{18}.
+
+Ainsi, cette relation~\tagref{17} est suffisante; de là la démonstration du
+théorème énoncé.
+
+\begin{REMARQUE} Il est utile d'observer que les $n-1$ valeurs $z_1, z_2,
+ \dotsc, z_{n-1}$ sont les racines d'une équation abélienne résoluble par
+l'extraction d'un seul radical d'indice $n-1$. Donc les racines de
+toute équation, de degré premier $n$, et soluble par radicaux, ne
+contiennent que le radical d'indice $n$ et ceux dont les radicaux sont
+les facteurs premiers de $n-1$.
+\end{REMARQUE}
+
+\begin{COROLLAIRE}[I] Si on divise le premier membre $f(x)$ de toute
+équation irréductible, de degré premier, non abélienne et soluble par
+radicaux, par un de ses facteurs linéaires, le quotient égalé à zéro est
+une équation abélienne.
+\end{COROLLAIRE}
+\PG-----------------------File: 052.png----------------------------
+
+Car l'équation $f(x) = 0$ étant soluble par radicaux, irréductible,
+de degré premier $n$, est abélienne, la relation~\tagref{17} est satisfaite; et le
+quotient de $f(x)$ par $x-x_a$ égalé à zéro a pour racines $x_{a+p}, x_{a+p\rho}, \dotsc,
+ x_{a+p\rho^{n-2}}$: et on déduit de cette relation les équations
+%
+\begin{align*}
+x_{a+p\rho} &= \theta(x_{a+p}, x_a) = \theta x_{a+p}\,,\\
+x_{a+p\rho^2} &= \theta x_{a+p\rho} = \theta^2x_{a+p}\,,\\
+\multispan2\dotfill\\
+x_{a+p\rho^{n-2}} &= \theta x_{a+p\rho^{n-3}}= \theta^{n-2}x_{a+p}\,,\\
+x_{a+p\rho^{n-1}} &= x_{a+p} = \theta x_{a+p\rho^{n-2}}
+ = \theta^{n-1}x_{a+p}\,,
+\end{align*}
+%
+qui prouvent qu'effectivement ce quotient, égalé à zéro, est une
+équation abélienne.
+
+Ce théorème, qui se présente ici comme corollaire, est dû à
+M.~Hermite.
+
+
+\begin{COROLLAIRE}[II] Il résulte du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X} et de celui que nous
+venons de démontrer, ce résultat: \emph{les seules équations algébriques,
+irréductibles et de degré premier supérieur à trois qui soient
+solubles par radicaux, sont celles qui sont abéliennes ou celles
+dont les racines satisfont à l'équation}~\tagref{17}.
+\end{COROLLAIRE}
+
+Et il est utile de rappeler le résultat du \hyperlink{CorollaireXII}{corollaire} du théorème~XII:
+pour qu'une équation irréductible et de degré premier soit abélienne,
+il faut et il suffit que deux quelconques de ses racines soient tellement
+liées entre elles que l'une puisse être exprimée rationnellement par
+l'autre.
+
+\begin{Thm}[XIV] Pour qu'une équation algébrique, irréductible
+et dont le degré composé ne contient aucun des facteurs
+premiers deux et trois soit résoluble algébriquement, il faut et il
+suffit: \primo ou que deux quelconques de ces racines soient tellement
+liées entre elles que l'une puisse s'exprimer rationnellement par
+l'autre; et que si $\theta x$ et $\theta_1x$ désignent deux de ces racines distinctes
+exprimées l'une et l'autre en fonction rationnelle d'une troisième $x$,
+on ait $\theta\theta_1 x=\theta_1\theta x$; \secundo ou que le degré de l'équation soit de la
+forme $n^v$, $n$ étant premier, et que trois de ses racines quelconques
+soient liées par la relation
+\[  \tag[18a]{18a\protect\footnotemarkT}
+x_{a+\alpha p\rho,\; b+ \beta q\rho,\;\ldots,\; l + \lambda t\rho}
+=\theta( x_{a+ \alpha p,\; b+ \beta q,\;\ldots,\; l + \lambda t},
+ \qquad x_{a, b, \ldots, l} )\,,
+\footnotetextT{Duplicate tag (18)---see page~\pageref{eqn:18}}%
+\]%
+% note: all references to (18) from here on clearly refer to this,
+% not the earlier (18), so have been silently amended to read (18a)
+\PG-----------------------File: 053.png----------------------------
+dans laquelle les indices de $x$ sont pris suivant le module $n$; $\theta$ désignant
+une fonction rationnelle; $\rho$ une des racines primitives de $n$;
+$a, b, \dotsc, l$, $v$ indices indépendants et prenant chacun les $n$ valeurs
+$0,1, 2, \dotsc, n-1$; $p, q, \dotsc, t$, $v$ nouveaux indices indépendants
+et prenant chacun les $n-1$ valeurs $1, 2, 3, \dotsc, n-1$; et enfin
+$\alpha, \beta, \dotsc, \lambda$ les nombres $0$ ou~$1$.
+\end{Thm}
+
+Si l'équation proposée $f(x)=0$ est abélienne, elle est résoluble
+algébriquement, \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}. Si elle ne l'est pas, nous distinguerons
+plusieurs cas pour la recherche des conditions nécessaires et suffisantes
+de sa résolution: celui où son degré $n$ est égal au produit de deux
+facteurs premiers, celui où ce degré est égal au produit de trois facteurs
+premiers, et ainsi de suite; chacun de ces facteurs premiers étant
+supérieur à trois.
+
+\subsection[Premier cas général: m = n n\string\1371.]{Premier cas général: $m = n n_1$.}
+
+L'équation proposée $f(x) = 0$ étant irréductible, sa résolution
+dépend nécessairement, \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII}, de la résolution de $n$ équations,
+d'un même degré $n_1$ dont les $n n_1$ racines sont celles de la proposée,
+équations qu'on peut former avec les coefficients de l'équation donnée
+et avec les racines de deux autres équations, l'une de degré $n-1$,
+l'autre d'un degré déterminé $s$. Cette dernière peut être formée directement
+avec les seuls coefficients de $f(x) = 0$, et celle de degré $n-1$
+avec ces mêmes coefficients et avec l'une des racines de cette équation
+de degré $s$. Mais $n_1$ est un nombre premier supérieur à trois, donc la
+résolution d'une quelconque des $n$ équations de ce degré $n_1$ exige,
+\hyperlink{TheoremVII}{théorème~VII}, ou que cette équation soit abélienne, ou que les $n_1$
+racines soient liées par une relation analogue à l'équation~\tagref{17}; de là
+deux hypothèses:
+
+\begin{Premiere}[hypothèse] Si l'une quelconque de ces équations de
+degré $n_1$ est abélienne, une quelconque de ses racines est une fonction
+rationnelle d'une autre de ces mêmes racines; mais toutes ces racines
+appartiennent à l'équation proposée $F(x) = 0$, donc, \hyperlink{TheoremVI}{théorème~VI},
+les $n n_1$ racines de cette dernière se partagent en $n$ groupes composés
+chacun de $n_1$ racines, comme on le fait au tableau~\tagref[B2]{B} dans lequel $n$
+doit être remplacé par $n_1$; et par conséquent $\theta^{n_1} x = x$. Or, il résulte
+de ce même théorème, que les $n$ groupes de ce tableau doivent se
+\PG-----------------------File: 054.png----------------------------
+réduire à un seul ou qu'ils doivent être distincts. Dans le premier
+cas $n_1$ doit être remplacé par $m$ dans cette dernière équation. Dans le
+second cas, l'équation proposée $F(x) = 0$ est \emph{abélienne}, le même
+\hyperlink{TheoremVI}{théorème~VI} prouve que $x_1 = \theta_1 x$, $\theta_1(x)$ désignant une fonction de
+$x$ telle que $\theta_1^n(x) =x$ puisque $n$ est premier; elle doit être différente
+de $\theta$ puisque cette équation n'a pas de racines égales; et qu'enfin $x_2 = % aspell suggests qu'en fin but scan clearly has no space
+\theta_1^2(x)$, $x_3 = \theta_1^3(x) $, $x_4 = \theta_1^4(x) $,
+\dots, $x_{n-1} = \theta_1^{n-1}(x) $. Avec ces résultats,
+le tableau~\tagref[B2]{B} devient
+\[  \tag{C}
+\left\{ \begin{array}{lllll}
+x  ,& \theta x   ,& \theta^2 x   ,& \ldots ,& \theta^{n_1-1} x\,,  \\
+\theta_1 x  ,& \theta \theta_1 x   ,& \theta^2 \theta_1 x   ,& \ldots ,&
+\theta^{n_1-1} \theta_1 x\,,  \\
+\theta_1^2 x  ,& \theta \theta_1^2 x   ,& \theta^2 \theta_1^2 x   ,& \ldots ,&
+\theta^{n_1-1} \theta_1^2 x\,,  \\
+\hdotsfor{5} \\
+\theta_1^{n-1} x  ,& \theta \theta_1^{n-1} x   ,& \theta^2
+\theta_1^{n-1}x   ,& \ldots ,& \theta^{n_1-1} \theta_1^{n-1} x\,.
+\end{array} \right.
+\]
+\end{Premiere}
+
+Or, chaque racine de l'équation résolvante $\phi(y) = 0$ décompose,
+à l'aide d'une équation auxiliaire de degré $n-1$, \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII},
+l'équation proposée en $n$ équations abéliennes d'un même degré $n_1$.
+Il y a donc autant de valeurs de $y$ qu'il y a de manières de
+décomposer cette équation en $n$ équations abéliennes. Mais avec les
+fonctions $\theta$ et $\theta_1$ il n'y a évidemment qu'une seule
+manière d'opérer cette décomposition, chacun des nombres $n$ et $n_1$
+étant premier; donc l'équation résolvante $\phi(y) = 0$ est du
+premier degré; et, par suite, la fonction $y$ \tagref{13} qui peut être
+exprimée, tableau~\tagref{C}, rationnellement en $x$ avec les fonctions
+$\theta$ et $\theta_1$, doit être une fonction symétrique, \hyperlink{TheoremII}{théorème~II},
+des racines de l'équation proposée. De plus, les divers termes de $y$,
+exprimés en $x$, se réduisent évidemment à un seul $Z_1$,
+en sorte que l'on aura
+\[
+  y = Z_1 = \psi(x)\,,
+\]
+$\psi(x)$ étant une fonction symétrique des racines de $f(x) = 0$. Ainsi,
+cette fonction doit conserver une même valeur quand on y remplace $x$
+par une quelconque des racines de cette équation.
+
+Or, d'après l'expression de $Z_1$, et la signification des $n$
+quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc,\allowbreak X_{a+\overline{n-1}p}$ qui désignent
+respectivement la somme des racines contenues dans chacun des $n$
+groupes du tableau~\tagref{C}, cette expression $Z_1$ ou $\psi(x)$ n'est invariable
+qu'en échangeant toutes les racines contenues dans chacune de ces
+quantités, les unes dans les
+\PG-----------------------File: 055.png----------------------------
+autres, et que par les permutations circulaires de ces mêmes
+quantités, en nombre $n$. Mais toutes les racines du tableau~\tagref{C}
+dépendent d'une seule $x$, il faut donc qu'en échangeant $x$ en une
+quelconque des racines d'un des groupes, du premier par exemple,
+changement qui laisse invariable $X_a$, cet échange laisse aussi
+invariable chacune des autres quantités $X_{a+p}, \dotsc,
+X_{a+\overline{n-1}p}$. Et il faut de plus qu'en changeant $x$ en
+une quelconque des racines d'un autre groupe, du second par exemple,
+les quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$,
+se changent respectivement en
+$X_{a+p}, X_{a+2p}, \dotsc, X_a$, changement qui
+laisse en effet invariable $\psi(x)$. En d'autres termes, il faut
+nécessairement que les $n$ groupes du tableau~\tagref{C} soient \emph{inséparables}.
+
+Or, en changeant par exemple $x$ en $\theta x$, les divers termes du
+premier groupe ne font que se déplacer, et ceux du deuxième
+deviennent
+\[
+  \theta_1 \theta x , \quad  \theta \theta_1 \theta x , \quad
+  \theta^2  \theta_1 \theta x , \quad \ldots, \quad
+  \theta^{n_1-1} \theta_1 \theta x\,;
+\]
+et comme ces derniers termes ne doivent aussi que se déplacer, on doit
+avoir $\theta_1 \theta x = \theta \theta_1 x$.
+
+Ainsi, si $m = nn_1$, les conditions énoncées dans le premier cas sont
+nécessaires.
+
+Démontrons actuellement qu'elles sont suffisantes. En effet, si elles
+sont satisfaites, on a
+$\theta_1 \theta x = \theta \theta_1 x$, et par conséquent
+$\theta^2 \theta_1 x = \theta \theta_1 \theta x = \theta_1 \theta^2 x$,
+$\theta^2 \theta_1 \theta x = \theta \theta \theta_1 \theta x =\penalty500
+ \theta \theta_1 \theta^2 x = \theta_1 \theta^3 x$,  et ainsi de suite;
+en sorte que le tableau~\tagref{C} devient
+\[
+\tag[D1]{D$_1$} \left\{ \begin{array}{lllll}
+x  ,& \theta x   ,& \theta^2 x   ,& \ldots ,& \theta^{n_1-1} x\,,  \\
+\theta_1 x  ,& \theta_1 \theta x   ,& \theta_1 \theta^2 x   ,& \ldots ,&
+\theta_1 \theta^{n_1-1} x\,,  \\
+\hdotsfor{5} \\
+\theta_1^{n-1} x  ,& \theta_1^{n-1} \theta x   ,& \theta_1^{n-1}
+\theta^2 x   ,& \ldots ,& \theta_1^{n-1} \theta^{n_1-1} x \,.
+\end{array} \right.
+\]
+Et il est évidemment tel que ces $n$ groupes sont inséparables, et que
+si par exemple le premier se change en le second pour un changement,
+le second se changera en le troisième, le troisième en le quatrième,
+ \dots, et le dernier en le premier, par suite du même changement. De
+plus, si on échange entre elles deux racines quelconques d'un de ces
+groupes, on voit que les termes de ce groupe ne font que se déplacer.
+Donc, pour tout changement, ces groupes sont inséparables ou ne
+produisent que des permutations circulaires. Mais tous ces changements
+\PG-----------------------File: 056.png----------------------------
+font acquérir une même valeur à $y$ ou $\psi (x)$; donc $\psi (x)$ est
+invariable quand on y remplace successivement $x$ par une quelconque
+des $m$ racines de l'équation proposée, $f (x) = 0$. Admettons qu'on ait
+effectué ces substitutions dans cette fonction comme $\psi (x)$ et qu'on
+ait fait la somme, le résultat $\textsum \psi (x)$ sera une fonction symétrique
+des racines de cette équation et par conséquent exprimable en fonction
+rationnelle de ses coefficients; et on aura
+\[
+y = \frac{1}{m} \sum \psi (x)\,.
+\]
+
+La fonction résolvante $y$ étant connue pour la racine $\alpha$ de l'équation
+binôme $x^n - 1 = 0$, on pourra déterminer, de la même manière,
+sa valeur pour chacune des $n - 1$ autres racines de cette équation
+binôme: et en extrayant la racine $n$\ieme{} de chacune de ces valeurs, on
+aura $n$ équations linéaires par rapport aux $n$ quantités
+$X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$, analogues aux équations~\tagref{11}.
+
+De ces $n$ équations nous déduirons ces $n$ inconnues; et, comme
+dans le \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII}, nous pourrons former, avec chacune d'elles,
+les $n$ équations dont les racines sont respectivement celles de chacun
+des $n$ groupes du tableau précédent. Mais ces équations dernières
+sont abéliennes; elles sont donc solubles par radicaux, \hyperlink{TheoremX}{théorème~X};
+ce qui fera connaître les $m$ racines de l'équation proposée.
+
+Donc enfin, quand $m = nn_1$, les conditions énoncées en premier
+lieu sont nécessaires et suffisantes.
+
+\begin{SECONDE}[hypothèse] Soit $m = nn_1$, et supposons que les $n_1$ racines
+de chacune des $n$ équations, en lesquelles doit être décomposée l'équation
+proposée et irréductible $F (x) = 0$ à l'aide des racines de deux
+équations de degrés $n - 1$ et $s$, soient liées par une relation analogue
+à~\tagref{17}. Il suffira, à cet effet, que l'on ait l'équation
+\[
+x_{a+p\rho,\; b} = \theta(x_{a+p,\; b},\quad x_{a,\; b})\tag{19}
+\]
+quelle que soit la valeur de $b$, dans laquelle $\rho$ désigne une racine
+primitive de $n$. Car le symbole $x_{a,\; b}$ peut représenter les $nn_1$ racines
+de $F (x) = 0$ d'après les hypothèses faites sur $a$ et $b$, $a$ prenant en
+effet les valeurs $0, 1, 2, \dotsc, n_1 - 1$, et $b$ les valeurs $0, 1, 2, \dotsc,
+n - 1$; les indices de $x$ étant d'ailleurs pris respectivement suivant
+\PG-----------------------File: 057.png----------------------------
+les modules $n_1$ et $n$. Nous appellerons racines \emph{conjuguées} les $n_1$
+racines que produit l'équation~\tagref{19}, $x_{a+p, \; b}$ et $x_{a, \; b}$ comprises, en
+changeant successivement $p$ en $p\rho, p\rho^2,\dotsc, p\rho^{n_1-2}$, et relatives à
+l'une des $n$ valeurs de~$b$.
+\end{SECONDE}
+
+Cela posé, écrivons sur des lignes horizontales les racines conjuguées
+de ces $n$ équations; on aura le tableau suivant, en observant
+que les résidus à $n$ des $n$ valeurs de $b$ sont les mêmes, à la disposition
+près, que ceux de $b, b + q, b + q\rho, \dotsc, b + q\rho^{n-2}$ par rapport à $n$,
+$b$ étant un nombre entier quelconque inférieur à $n$,
+\[
+ \tag{E}
+  \left\{
+  \begin{array}{lllcl}
+x_{a, \;  b}       &x_{a+p,\; b}   & x_{a+p\rho, \;  b}
+        &\ldots& x_{a+p\rho^{n_1-2}, \;  b}\\
+x_{a, \;  b+q}     &x_{a+p,\; b+q} & x_{a+p\rho, \;  b+q}
+       &\ldots& x_{a+p\rho^{n_1-2}, \;  b+q}\\
+x_{a, \;  b+q\rho} &x_{a+p,\; b+q\rho}   & x_{a+p\rho, \;  b+q\rho}
+   &\ldots& x_{a+p\rho^{n_1-2}, \;  b+q\rho}\\
+\hdotsfor{5}\\
+x_{a, \;  b+q\rho^{n-2}} &x_{a+p, \;  b+q\rho^{n-2}} &x_{a+p\rho, \;  b+q\rho^{n-2}}
+ &\ldots& x_{a+p\rho^{n_1-2}, \;  b+q\rho^{n-2}}\rlap{\,;}\\
+  \end{array}
+  \right.
+\]
+dans ce tableau le $\rho$ qui a pour coefficient $q$ désigne une des racines
+primitives de~$n$.
+
+Or, chacune des racines de l'équation $F (x) = 0$ a le même caractère,
+celui de satisfaire à cette équation et qui seul doit servir à les
+déterminer, puisqu'elle est irréductible: mais, par hypothèse, les
+$nn_1$ racines de cette équation se partagent en $n$ groupes écrits en
+ligne horizontale, et composés chacun de $n_1$ racines conjuguées;
+chacun de ces groupes étant relatifs à une même valeur de l'indice $b$
+et à des valeurs différentes de l'indice $a$. Donc, $n$ étant premier
+comme $n_1$, tout ce qui est vrai pour les indices $b$ et $a$ doit être vrai
+pour les indices $a$ et $b$; et par suite dans chaque colonne verticale
+il doit y avoir, en intervertissant, s'il le faut, l'ordre des lignes
+horizontales, des racines \emph{conjuguées} et en \emph{même} nombre: d'où
+il suit que $n = n_1$ et par conséquent $m = n^2$. Et de plus on doit
+avoir
+\[
+x_{a,\; b+q\rho} = \theta (x_{a,\; b+q},\quad x_{a,\; b})\,,\tag{20}
+\]
+relation analogue à~\tagref{19}; et toutes deux étant évidemment comprises
+dans \tagref{18a} en n'y prenant que deux indices $a$ et $b$, et en y faisant
+successivement $\beta = 0, \alpha = 1$ ; et $\beta = 1, \alpha = 0$.
+
+Ainsi, dans le cas où le degré $m$ de $F (x) = 0$ est égal au produit
+de deux facteurs premiers supérieurs à trois, il faut que, si les
+\PG-----------------------File: 058.png----------------------------
+conditions énoncées en premier lieu ne sont pas satisfaites, celles
+énoncées en deuxième lieu le soient.
+
+Nous allons démontrer actuellement que ces dernières sont suffisantes.
+Cherchons d'abord le degré $s$ de l'équation résolvante $\phi(y) = 0$:
+ce degré est donné par la formule~\tagref{22}, quand les racines n'ont entre
+elles aucune relation; mais dans le cas actuel, ce degré est moindre et
+égal à l'unité, et la valeur unique de $y$ est une fonction symétrique des
+racines de $F(x) = 0$.
+
+En effet, chaque racine de $\phi(y) = 0$ décompose, à l'aide des
+racines d'une équation auxiliaire de degré $n - 1$, \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX},
+l'équation proposée $F(x) = 0$ en $n$ équations d'un même degré $n$,
+dont les racines, pour chacune d'elles, sont \emph{conjuguées}. Il y aura
+donc autant de valeurs de $y$ qu'il y a de manières de décomposer les
+$n^2$ racines de $F(x) = 0$ en $n$ systèmes composés chacun de $n$ racines
+conjuguées.
+
+Pour effectuer ces décompositions, admettons que dans le tableau~\tagref{E}
+$n_1 = n$, et que dans chacune des colonnes horizontales et verticales,
+les racines soient écrites dans l'ordre où elles naissent des relations~\tagref{19}
+et \tagref{20}, vraies par hypothèse. Écrivons d'abord ces $n^2$ racines, en les
+prenant de gauche à droite dans le tableau~\tagref{E}, sur une circonférence
+de cercle et à égales distances les unes des autres; et considérons le
+polygone régulier qui est relatif à cette disposition, ainsi que ceux
+qui s'en déduisent par le procédé de l'intervalle constant, au nombre
+de $n(n-1)$. Nous avons démontré\footnote{\textit{Journal de Mathématiques}
+ publié par M.~Liouville; théorème~I, février 1865.}
+ que tous ces polygones, en ne
+considérant d'abord que les idées d'ordre et de disposition, n'étaient
+qu'un seul et même polygone, qu'un seul et même ordre; et que les
+côtés de ces mêmes polygones, en faisant intervenir les idées de
+grandeur, étaient donnés par une \emph{même} équation algébrique.
+
+Il résulte donc de là que tous ces polygones jouissent des mêmes
+propriétés; et que par conséquent chacun d'eux sera en général
+composé, comme le premier, de $n$ systèmes de $n$ racines conjuguées
+chacun. Mais, dans le cas actuel, deux racines d'un de ces systèmes
+suffisent, \hyperlink{TheoremXIII}{théorème~XIII}, pour déterminer les $n-2$ autres; donc la
+valeur de l'intervalle constant, qui amènera dans les $n$ premières
+racines du polygone relatif à cette valeur deux quelconques des
+\PG-----------------------File: 059.png----------------------------
+$n$ racines conjuguées d'une des colonnes horizontales ou verticales
+du tableau~\tagref{E}, fournira un polygone qui ne sera pas composé de
+$n$ systèmes formés chacun de $n$ racines conjuguées. Et les seuls
+polygones, jouissant de cette propriété, seront ceux qui sont produits
+par les valeurs de $h$ qui n'amèneront dans aucun des $n$ systèmes
+deux quelconques des racines d'un des systèmes conjugués de ce
+tableau~\tagref{E}.
+
+Or, si l'on prend $h = n + 1$, c'est-à-dire si l'on saute, à partir
+de $x_{a,\;b}$ de $n + 1$ en $n + 1$ dans le polygone primitif; on passera,
+pour les $n$ premières racines, successivement sur une racine des 2\ieme,
+3\ieme, $\dots$, $n$\ieme{} lignes horizontales de~\tagref{E}: il en est de même pour les
+$n$ racines suivantes, ainsi que pour les autres considérées de $n$ en $n$.
+Donc l'intervalle $h = n + 1$ produit un nouveau polygone formé,
+comme le premier, de $n$ nouveaux systèmes de $n$ racines conjuguées
+chacun.
+
+Si généralement l'on prend $h=kn + 1$, $k$ étant un entier inférieur
+à $n$ et si l'on observe que, $n$ étant premier, les résidus à $n$ de $k, 2k,
+\dotsc, (n-1) k$ sont les nombres $1, 2, \dotsc, n-1$, dans un ordre
+déterminé\footnote{En effet, $n$ étant premier, et $p$ étant inférieur
+ à $n$, $pk$ n'est pas divisible par $n$; et si
+les résidus à $n$ de $pk$ et de $p' k$ étaient égaux, la différence
+ $k (p - p')$ serait un multiple de $n$;
+ce qui est impossible, puisque $p'$ est aussi inférieur à $n$.};
+avec cette valeur $h$ on passera également sur chacune
+des $n$ lignes horizontales de~\tagref{E}, et on ne prendra qu'une racine de
+chacune de ces lignes: il en sera de même pour les $n$ racines suivantes,
+ainsi que pour les autres considérées de $n$ en $n$. Donc ce nouvel
+intervalle produira un nouveau polygone formé, comme les deux
+premiers, de $n$ nouveaux systèmes de $n$ racines conjuguées chacun.
+Et comme ce résultat est vrai quelle que soit la valeur de $k$, il en
+résulte, qu'avec cette disposition première des $n^2$ racines de $F(x) = 0$,
+on obtient, le polygone primitif et correspondant à cette disposition
+étant compris, $n$ systèmes différents formés chacun de $n$ racines
+conjuguées.
+
+Mais si l'on prend pour $h$ toute autre valeur, $2$ par exemple, on ne
+passerait pas évidemment, pour les $n$ premières racines du polygone
+correspondant à cette valeur, sur une racine de chacune des lignes
+horizontales de~\tagref{E}; dans ces $n$ premières racines se trouveraient
+nécessairement deux racines au moins d'une de ces lignes avec des
+\PG-----------------------File: 060.png----------------------------
+racines étrangères à cette même ligne; et dès lors ces $n$ racines ne
+seraient pas conjuguées. Il en serait de même pour toute autre valeur
+de $h$. On obtient donc seulement, avec cette première disposition,
+$n$ systèmes différents composés chacun de $n$ racines conjuguées.
+
+Écrivons actuellement les $n^2$ racines de~\tagref{E} en allant de haut en bas
+et en commençant par la gauche, sur une circonférence de cercle; et
+considérons le polygone qui est relatif à cette disposition nouvelle. Il
+est, par hypothèse, formé de $n$ nouveaux systèmes de $n$ racines
+conjuguées chacun; et si l'on forme les $n-1$ autres polygones qui
+seuls, d'après ce qui précède, jouissent de la même propriété, on
+trouve qu'ils ne produisent rien de nouveau. Car, dans les $n$ premières
+racines de ces $n$ polygones, se trouvent nécessairement toutes les
+racines de $F(x) = 0$: mais ces $n$ polygones se déduisent des $n$
+premiers que nous avons obtenus en échangeant entre eux les indices
+$a$ et $b$, donc cette nouvelle disposition ne produit qu'\emph{un} nouveau
+polygone composé, comme les $n$ premiers, de $n$ systèmes de $n$ racines
+conjuguées chacun. Donc enfin les $n^2$ racines de l'équation proposée,
+se partagent seulement de $n+1  = (n^2 - 1): (n-1)$ manières
+différentes en $n$ systèmes composés chacun de $n$ racines conjuguées.
+
+Si l'on forme ces $n + 1$ décompositions, on obtient les $n + 1$
+tableaux suivants:
+%
+\begin{align*}
+\tag[E1]{E$_1$} &\left\{ \begin{array}{lllcl}
+x_{a,\,b} & x_{a+p,\, b} & x_{a + p \rho,\, b}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b} \\
+x_{a,\,b+q} & x_{a+p,\, b+q} & x_{a + p \rho,\, b+q}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b+q} \\
+x_{a,\,b+q \rho} & x_{a+p,\, b+q \rho} & x_{a + p \rho,\, b+q \rho}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b+q \rho} \\
+\hdotsfor{5}\\
+x_{a,\,b+q \rho^{n - 2}} & x_{a+p,\, b+q \rho^{n - 2}} & x_{a + p \rho,\, b+q \rho^{n - 2}}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b+q \rho^{n - 2}}
+\end{array} \right.\displaybreak[0]\\[6pt]
+%
+\tag[E2]{E$_2$} &\left\{ \begin{array}{lllcl}
+x_{a,\,b} & x_{a+p,\, b+q} & x_{a + p \rho,\, b + q \rho}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b + q \rho^{n-2}} \\
+x_{a,\,b+q} & x_{a+p,\, b+q\rho} & x_{a + p \rho,\, b+q \rho^2}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b} \\
+x_{a,\,b+q \rho} & x_{a+p,\, b+q \rho^2} & x_{a + p \rho,\, b+q \rho^3}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b+q} \\
+\hdotsfor{5} \\
+x_{a,\,b+q \rho^{n - 2}} & x_{a+p,\, b} & x_{a + p \rho,\, b+q}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b+q \rho^{n - 3}}
+\end{array} \right.\displaybreak[0]\\[6pt]
+%
+\tag[E3]{E$_3$} &\left\{ \begin{array}{lllcl}
+x_{a,\,b} & x_{a+p,\, b+q \rho} & x_{a + p \rho,\, b + q \rho^3}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b + q \rho^{n-3}} \\
+x_{a,\,b+q} & x_{a+p,\, b+q \rho^2} & x_{a + p \rho,\, b+q \rho^4}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b + q \rho^{n-2}} \\
+\hdotsfor{5} \\
+x_{a,\,b+q \rho^{n - 2}} & x_{a+p,\, b+q} & x_{a + p \rho,\, b+q \rho^2}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b+q \rho^{n - 4}}
+\end{array} \right.\\[6pt]
+%
+\intertext{\dotfill}
+%
+%\PG-----------------------File: 061.png----------------------------
+%
+\tag[En]{E$_n$} &\left\{ \begin{array}{lllcl}
+x_{a,\,b} & x_{a + p,\, b + q \rho^{n-2}} & x_{a + p \rho,\, b + q \rho^{n -3}}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n -2},\, b+q} \\
+x_{a,\,b + q} & x_{a + p,\, b } & x_{a + p \rho,\, b + q \rho^{n -2}}
+ & \ldots& x_{a + p \rho^{n -2},\, b + q\rho} \\
+\hdotsfor{5} \\
+x_{a,\, b+ q \rho^{n -2}} & x_{a + p,\, b+ q \rho^{n-3}} & x_{a + p \rho,\, b+ q \rho^{n-4}}
+ & \ldots& x_{a+p \rho^{n-2},\, b}
+\end{array} \right.\displaybreak[0]\\[6pt]
+%
+\tag[En+1]{E$_{n+1}$} &\left\{ \begin{array}{lllcl}
+x_{a,\,b} & x_{a,\, b + q} & x_{a,\, b + q \rho}
+ & \ldots& x_{a,\, b+q \rho^{n -2}} \\
+x_{a+p,\,b} & x_{a+p,\, b + q} & x_{a+p,\, b + q \rho}
+ & \ldots& x_{a+p,\, b+q \rho^{n -2}} \\
+x_{a+p \rho,\,b} & x_{a+p \rho,\, b + q} & x_{a+p \rho,\, b + q \rho}
+ & \ldots& x_{a+p \rho,\, b+q \rho^{n -2}} \\
+\hdotsfor{5} \\
+x_{a+p \rho^{n-2},\,b} & x_{a+p \rho^{n-2},\, b + q} & x_{a+p \rho^{n-2},\, b + q \rho}
+ & \ldots &x_{a+p \rho^{n-2},\, b+q \rho^{n -2}}
+\end{array} \right.
+\end{align*}
+
+Il est utile de remarquer que, dans les $n$ premiers tableaux, les
+racines contenues dans la première colonne verticale sont exactement
+les mêmes; et que les racines contenues dans les autres colonnes
+verticales sont respectivement les permutations \emph{circulaires} les unes
+des autres.
+
+Cela posé: pour former la fonction résolvante $y$, définie par l'équation~\tagref{11}
+et relative à chacune de ces $n + 1$ décompositions, l'on doit
+prendre pour chacune des quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a + \overline{n - 1} p}$ $n$ racines
+quelconques de l'équation proposée $F(x) = 0$. Or, si l'on prend
+successivement pour $X_a$ la somme des racines de la première colonne
+verticale des $n$ premiers tableaux et la somme de celles de la première
+colonne horizontale du dernier, $X_a$ conservera une même valeur pour
+ces $n + 1$ décompositions. De même, si l'on prend successivement
+pour $X_{a+p}$ la somme des racines qui forment la deuxième colonne
+verticale des n premiers tableaux et la somme de celles de la deuxième
+colonne horizontale du dernier, $X_{a+p}$ conservera une même valeur
+pour ces mêmes $n+1$ décompositions; et ainsi de suite. Enfin, si l'on
+prend successivement pour $X_{a + \overline{n-1}p}$ la somme des racines de la
+dernière colonne verticale des $n$ premiers tableaux et la somme de
+celles de la dernière colonne horizontale du dernier, $X_{a + \overline{n-1}p}$ sera
+également invariable pour ces mêmes $n + 1$ décompositions. Donc
+les fonctions $Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$ et la fonction résolvante $y$ relatives à
+chacune de ces $n + 1$ décompositions conservent une \emph{même} valeur
+puisqu'elles ne sont formées que de ces $n$ quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc,
+X_{a + \overline{n -1} p}$. Ainsi, quoiqu'il y ait $n+1$ décompositions, $y$ n'a cependant
+qu'une \emph{seule} valeur, et par conséquent l'équation résolvante $\phi(y) = 0$
+est du premier degré. Ce résultat pouvait d'ailleurs être prévu;
+\PG-----------------------File: 062.png----------------------------
+puisque, d'après ce qui a été démontré au \secundo du \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX},
+l'équation résolvante $\phi(y) = 0$ est indécomposable.
+
+Démontrons enfin que cette valeur unique de $y$ peut être exprimée
+en fonction rationnelle des coefficients de l'équation proposée et de la
+fonction connue $\theta$; et qu'à l'aide de cette valeur $y$ on peut obtenir ses
+$n^2$ racines.
+
+En effet, toutes ces racines et aussi la fonction $y$ peuvent d'abord
+être exprimées en fonction rationnelle des $n$ racines
+\[
+x_{a,\,b},\quad x_{a+p,\,b+q},\quad x_{a+p,\,b+q\rho},\quad \ldots,\quad
+ x_{ a+p,\,b+q\rho^{n-2} }
+\]
+qui évidemment ne sont pas conjuguées. Car la première colonne
+horizontale des 2\ieme, 3\ieme, \dots, $n$\ieme{} tableaux donnent respectivement
+\[
+\arraycolsep=.25em
+\begin{array}{lcllcll}
+x_{a+p\rho,\,b+q\rho}       & =&\theta( x_{a+p,\,b+q}, & x_{a,\,b}),\qquad&&\ldots,\\
+   \multicolumn{4}{r}{x_{a+p\rho^{n-2},\,b+q\rho^{n-2}} }&=&\theta(x_{a+p\rho^{n-3},\,b+q\rho^{n-3}},  & x_{a,\,b})\,,   \\
+%
+x_{a+p\rho,\,b+q\rho^2}     & =&\theta( x_{a+p,\,b+q\rho}, & x_{a,\,b}),\qquad&&\ldots,\\
+  \multicolumn{4}{r}{x_{a+p\rho^{n-2},\,b+q\rho^{n-3}} }&=&\theta(x_{a+p\rho^{n-3},\,b+q\rho^{n-5}},  & x_{a,\,b})\,,   \\
+%
+\multicolumn{7}{l}{\qquad\dotfill\qquad\null}\\
+%
+x_{a+p\rho,\,b+q\rho^{n-3}}	& =&\theta( x_{a+p,\,b+q\rho^{n-2}}, & x_{a,\,b}),\qquad&&\ldots,\\
+ \multicolumn{4}{r}{x_{a+p\rho^{n-2},\,b+q} } & =&\theta(x_{a+p\rho^{n-3},\,b+q\rho}, & x_{a,\,b})\,. % [** inserted comma between a and b in final subscript]
+\end{array}
+\]
+
+Avec ces équations les $n^2$ racines de l'équation proposée $F(x) = 0$
+peuvent être exprimées en fonction rationnelle de ces $n$ racines non
+conjuguées, à l'exception des $n-1$ racines
+\[
+x_{a+p,\, b}, \quad x_{a+p\rho,\, b},\quad\ldots,\quad x_{a+p\rho^{n-2},\, b}\,, % [** inserted \rho in the last term ]
+\]
+et des $n-1$ autres
+\[
+x_{a,\, b+q}, \quad x_{a,\,b+q\rho},\quad\ldots,\quad x_{a,\, b+q\rho^{n-2}}, \quad x_{a+p,\, b}; % [** should the last term be omitted? there are $n$ terms here not $n-1$ ]
+\]
+mais chacune d'elles s'exprime rationnellement, en fonction de deux
+de celles que nous venons de déterminer, les $n-1$ premières à
+l'aide du tableau~\tagref[E1]{E$_1$}, les $n-1$ dernières à l'aide du tableau~\tagref[En+1]{E$_{n+1}$}.
+Donc toute fonction rationnelle et connue de ces $n^2$ racines peut être
+exprimée en fonction rationnelle des $n$ racines non conjuguées; et,
+par suite, si l'on considère, non la fonction $y$ \tagref{11}, mais la fonction
+plus générale,
+\[
+  y_1 = (Z_1 + \lambda_1 Z_2 + \lambda_1^2 Z_3 + \dotsb
+             + \lambda_1^{n-2} Z_{n-1})^{n-1}
+\]
+dans laquelle $\lambda_1$ désigne l'une des racines de l'équation binôme
+$ x^{n-1} - 1 = 0 $, fonction qui se réduit à $y$ pour $\lambda_1 = 1$ et quand on
+en a extrait la racine $n-1$; on aura
+\[
+  y_1 = \pi\left( x_{a,\,b},\; x_{a+p,\,b+q},\; x_{a+p,\,b+q\rho},\;
+\dotsc,\; x_{a+p,\,b+q\rho^{n-2}}\right)\,.
+\]
+\PG-----------------------File: 063.png----------------------------
+
+Si l'on forme actuellement tous les arrangements $n$ à $n$ des $n^2$
+racines de $F(x) = 0$, $n (n + 1)$ de ces arrangements seront composés
+de $n$ racines conjuguées, et tous les autres de $n$ racines non conjuguées.
+Mais si l'on remplace successivement dans $\pi$ les $n$ racines qui
+s'y trouvent, d'abord par les $n (n + 1)$ premiers arrangements et
+que l'on fasse la somme des résultats; puis par tous les autres et que
+l'on fasse également la somme des résultats obtenus: on aura, en
+désignant par $\textsum' \pi$ la première somme et par $\textsum'' \pi$ la seconde,
+\[
+\textstyle\sum' \pi + \sum'' \pi = w_1\,,
+\]
+$w_1$ étant évidemment une fonction symétrique des $n^2$ racines de
+l'équation proposée $F(x) = 0$, et par suite exprimable en fonction
+rationnelle des coefficients de cette équation et de ceux de la fonction
+connue~$\theta$.
+
+Mais, les $n$ racines qui entrent dans chaque terme de $\textsum' \pi$ sont
+conjuguées, elles peuvent donc être réduites, à l'aide de la fonction
+connue $\theta$, à deux racines $x_1$, $x_2$; et on aura $\pi = \pi_1 (x_1,x_2)$. Or les
+quantités $Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$ sont invariables pour les $n (n + 1)$ systèmes
+de racines conjuguées des $(n + 1)$ tableaux: de plus, ces mêmes
+quantités sont encore invariables pour les $n$ valeurs $0,1, 2, \dotsc, n-1$
+de l'indice $a$, et elles se déduisent les unes des autres en changeant
+successivement $p$ en les $n-1$ valeurs $p, p \rho, p \rho^2, \dotsc, p \rho^{n-2}$, changements
+qui n'altèrent pas la fonction $y_1$. Donc $\textsum' \pi = \textsum' \pi_1 (x_1, x_2)$
+est invariable par les $n^2 (n^2 - 1)$ arrangements deux à deux des
+$n^2$ racines de $F(x) = 0$, et par conséquent ce terme est symétrique
+de ces racines et exprimable, par suite, en fonction rationnelle des
+quantités connues.
+
+De là, il suit que $\textsum'' \pi$ est aussi une fonction rationnelle et symétrique
+des racines de $F(x) = 0$, et par conséquent exprimable également en
+fonction rationnelle des quantités connues. Mais la fonction $Y_1$ n'a
+qu'une seule valeur; donc l'égalité précédente donnera, $k$ désignant
+le nombre de termes de $\textsum'' \pi$,
+\[
+y_1 = \frac{1}{k}\textstyle \left\{ w_1 - \sum' \pi_1 (x_1, x_2) \right\} = V_1\,,
+\]
+$V_1$ étant une fonction connue.
+\PG-----------------------File: 064.png----------------------------
+
+Si dans cette dernière équation on remplace successivement $\lambda_1$ par
+chacune des $n-1$ racines de $x^{n-1} - 1 = 0$, on aura les $n-1$
+équations
+\[
+\tag{21}
+\left\{\def\arraycolsep{2pt} \begin{array}{rcrcrcrcl}
+Z_1 &+& \lambda_1 Z_2 &+& \lambda_1^2 Z_3 &+ \dotsb +& \lambda_1^{n-2}Z_{n-1} &=& \sqrt[n-1]{v_1}\,, \\
+Z_1 &+& \lambda_2 Z_2 &+& \lambda_2^2 Z_3 &+ \dotsb +& \lambda_2^{n-2}Z_{n-1} &=& \sqrt[n-1]{v_2}\,, \\
+\hdotsfor{9}\\
+Z_1 &+& \lambda_{n-1} Z_2 &+& \lambda_{n-1}^2 Z_3 &+ \dotsb +& \lambda_{n-1}^{n-2}Z_{n-1} &=& \sqrt[n-1]{v_{n-1}}\rlap{\,, }
+\end{array} \right.
+\]  %**[Are those '\nu's or 'v's? Or maybe '\upsilon's?] DCW: v's.
+dont les seconds membres sont connus. De ces équations on déduira
+les $n-1$ quantités $Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$ qui à leur tour fourniront, après
+avoir extrait la racine $n$\ieme{} de chacune d'elles, $n-1$ équations formant
+avec l'équation dont le second membre est connu,
+\[
+X_a + X_{a+p} + \dotsb + X_{a + \overline{n-1}p} = - A_1\,,
+\]
+un système de $n$ équations linéaires par rapport aux $n$ quantités $X_a,
+X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$. De ces équations nous déduirons ces $n$ quantités;
+et, comme dans le \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII}, nous pourrons former avec
+chacune d'elles les $n$ équations dont les racines sont toutes celles de
+la proposée $F(x) = 0$: équations résolubles algébriquement, puisque
+chacune d'elles rentre dans le théorème précédent.
+
+Ces conditions sont donc suffisantes.
+
+En réunissant ce résultat à celui de la première hypothèse, il est
+donc prouvé que, si le degré $m$ de $F(x) = 0$ n'est composé que de
+deux facteurs premiers supérieurs à~$3$, les conditions énoncées du
+théorème à démontrer sont nécessaires et suffisantes.
+
+\subsection[Deuxième cas général: m = n n\string\1371 n\string\1372.]{Deuxième cas général: $m = n n_1 n_2$.}
+
+L'équation proposée $F(x) = 0$ n'étant pas abélienne et étant irréductible,
+sa résolution dépend nécessairement, \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII}, de la
+résolution de $n$ équations d'un même degré $n_1 \dotm n_2$, dont les $m$ racines
+sont celles de la proposée; équations que l'on peut former avec les
+coefficients de $F(x) = 0$ et avec les racines de deux autres équations,
+l'une de degré $n-1$ et l'autre d'un degré déterminé $s$. Cette dernière
+peut être formée directement avec les coefficients seuls de $F(x) = 0$,
+\PG-----------------------File: 065.png----------------------------
+et celle de degré $n-1$ avec ces mêmes coefficients et avec les racines
+de l'équation de degré $s$. Mais le degré commun à ces $n$ équations,
+$n_1\dotm n_2$, est égal au produit de deux facteurs premiers supérieurs à~$3$,
+donc la résolution d'une quelconque de ces équations exige, 1\ier{} cas
+général déjà expliqué, ou qu'elle soit abélienne, ou que les conditions
+du \primo du théorème à démontrer soient satisfaites, ou enfin que ce soit
+celles du \secundo du même théorème: de là deux hypothèses.
+
+
+\begin{Premiere}[hypothèse] Si chacune de ces $n$ équations dont le
+degré est $n_1\dotm n_2$ est abélienne, l'équation proposée ne l'étant pas, on
+démontre, d'une manière absolument semblable à celle qui est relative
+à la première hypothèse du 1\ier{} cas général, que les conditions
+énoncées du \primo sont nécessaires. Il suffit, en effet, de remplacer $n_1$
+par $n_1\dotm n_2$. Si chacune de ces $n$ équations, de degré $n_1\dotm n_2$, n'est pas
+abélienne, ces mêmes conditions du \primo sont nécessaires par hypothèse.
+Ainsi, dans l'un et l'autre cas, ces conditions sont nécessaires.
+\end{Premiere}
+
+Pour démontrer qu'elles sont suffisantes; il suffit, dans la démonstration
+relative au 1\ier{} cas général, de mettre dans le tableau~\tagref[D1]{D$_1$}
+$n_1 \dotm n_2$ à la place de $n_1$, si chacune des $n$ équations de degré $n_1\dotm n_2$ est
+abélienne; et de substituer à chacun des groupes de ce même tableau,
+un tableau analogue fait avec les facteurs $n_1$ et $n_2$, si les racines de
+l'équation proposée jouissent de la propriété énoncée au \primo du théorème
+à démontrer. Dans l'un et l'autre de ces deux cas, on obtient en effet
+les $n$ équations, d'un même degré $n_1 \dotm n_2$; et ces dernières sont solubles
+par suite de nos hypothèses, à l'aide du procédé de la première
+hypothèse du 1\ier{} cas général.
+
+Donc, quand $m = n\dotm n_1 \dotm n_2$ les conditions énoncées du \primo du
+théorème à démontrer sont nécessaires et suffisantes dans cette
+première hypothèse.
+
+\begin{SECONDE}[hypothèse] Soit $m = n\dotm n_1 \dotm n_2$, et supposons que les
+$n_1 \dotm n_2$ racines de chacune des $n$ équations, en lesquelles doit être
+décomposée l'équation proposée, $F (x) = 0$, soient assujetties aux
+conditions énoncées du \secundo du théorème à démontrer. Il suffira, à cet
+effet, que l'on ait $n_1 = n_2$, c'est-à-dire $m = n\dotm n_1^2$, et que l'on ait la
+relation
+\[
+x_{a + \alpha p, \; b+\beta q\rho, \; c}
+ = \theta\ (x_{a+\alpha p, \; b+\beta q, \; c},\quad x_{a, \; b, \; c})\tag{22}
+\]
+\PG-----------------------File: 066.png----------------------------
+quelles que soient les valeurs $0,1, 2, \dotsc, n-1$ de $c$ et les valeurs $0$
+et $1$ de $\alpha$ et de $\beta$; $\theta$ désignant une fonction rationnelle, $\rho$ une des
+racines primitives de $n_1$, et $x_{a,\;b,\;c}$ les $n n_1^2$ racines de $F(x) = 0$ avec
+les hypothèses déjà faites sur $a, b, c$.
+\end{SECONDE}
+
+Cela posé: écrivons sur des lignes horizontales les racines de ces
+$n$ équations, qui sont celles de la proposée; on aura le tableau suivant,
+en observant que les résidus à $n$ des valeurs $0, 1, 2, \dotsc, n-1$ que
+prend $c$ sont les mêmes, à la disposition près, que ceux de $c, c+r,
+c + r \rho, \dotsc, c+ r \rho^{n-2}$; $c$ désignant un des nombres entiers inférieurs
+à $n$, et $\rho$ une racine primitive de $n$;{\ifPaper\smaller
+\def\arraycolsep{3pt}\else\def\arraycolsep{5pt}\fi
+\[  \tag{F}
+\left\{ \begin{array}{llclllclc}
+x_{a\,,b\,,c} & x_{a+p,\, b,\, c} & \dots
+ & x_{a + p \rho^{n_1-2},\,b,\,c} & x_{a,\,b+q,\,c} & x_{a+p,\, b+q,\, c}
+ & \dots & x_{a,\,b+q \rho^{n_1 -2},\,c} & \dots\\
+\multicolumn{9}{r}{\dots~ x_{a+ p \rho^{n_1 - 2},\, b + q \rho^{n_1 - 2},\, c}\,,} \\
+x_{a,\,b,\,c+r} & \multicolumn{8}{l}{\dotfill~,}\\
+x_{a,\,b,\,c+r\rho} & \multicolumn{8}{l}{\dotfill~,}\\
+\multicolumn{9}{l}{\dotfill~,}\\
+\multicolumn{9}{l}{x_{a,\,b,\,c+r\rho^{n-2}}\quad\dotfill~.}\\
+\end{array} \right.
+\]
+
+}Dans ce tableau, les indices de $x$ relatifs aux deux premières lettres
+$a$, $b$ sont les mêmes, terme à terme, dans chaque colonne verticale,
+et ceux de $c$ sont respectivement $c, c + r, c + r \rho, \dotsc, c + r \rho^{n-2}$;
+enfin chacune des lignes horizontales contient les $n_1^2$ racines d'une
+des $n$ équations dont nous avons parlé, et elle est par conséquent
+composée de $n_1$ systèmes formés chacun de $n_1$ racines \emph{conjuguées}.
+Mais l'équation $F(x) = 0$ proposée étant irréductible, chacune de
+ses racines est assujettie à la même loi de détermination, celle de
+satisfaire identiquement à cette même équation; et puisque $n$ est
+premier tout aussi bien que $n_1$, il s'ensuit que dans chaque colonne
+verticale il doit y avoir, en intervertissant s'il le faut l'ordre des lignes
+horizontales, des racines \emph{conjuguées} et en \emph{même} nombre. Il résulte
+donc de là que $n = n_1$ et que, par suite, $m = n_1^3$, et de plus on doit
+avoir
+\[
+\tag{23} x_{a,\;b,\;c+r \rho} = \theta (x_{a,\; b,\; c+r},\quad x_{a,\;b,\;c})\,,
+\]
+relation analogue à~\tagref{22}, et toutes deux étant évidemment comprises
+dans \tagref{18a} en n'y prenant que trois indices $a$, $b$, $c$ et en y faisant
+d'abord $\gamma = 0$, et puis $\alpha = \beta = 0$, $\gamma = 1$.
+
+Ainsi, dans le cas où $m = n\dotm n_1\dotm n_2$, si les conditions énoncées du
+\PG-----------------------File: 067.png----------------------------
+\primo du théorème à démontrer ne sont pas satisfaites, celles du \secundo du
+même théorème doivent l'être.
+
+Nous allons actuellement démontrer que ces conditions dernières,
+d'ailleurs nécessaires, sont suffisantes. Cherchons d'abord le degré $s$
+de l'équation résolvante  $\phi(y) = 0$ de l'équation proposée $F(x) = 0$:
+ce degré est déterminé par la formule de l'énoncé du \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII}
+quand les racines n'ont entre elles aucune relation. Mais, dans le cas
+actuel, ce degré est moindre et égal à l'unité; et la valeur unique
+de $y$ est une fonction symétrique des racines de $F(x) = 0$.
+
+En effet, chaque racine de la résolvante $\phi(y) = 0$ décompose, à l'aide
+des racines d'une équation auxiliaire de degré $n-1$, \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII},
+l'équation proposée $F(x) = 0$ en $n$ équations d'un même degré $n^2$
+et dont les racines, pour chacune d'elles, constituent $n$ systèmes
+de $n$ racines conjuguées chacun. Il y aura donc autant de valeurs de $y$
+qu'il y aura de manières de décomposer les $n^3$ racines de $f(x)=0$
+en $n$ systèmes composés chacun de $n^2$ racines qui forment $n$ systèmes
+de $n$ racines conjuguées chacun.
+
+Pour ces décompositions, admettons que dans le tableau~\tagref{F} $n_1 = n$
+et que dans chaque ligne, soit horizontale, soit verticale, les racines
+soient écrites dans l'ordre où elles naissent des relations~\tagref{22} et \tagref{23},
+vraies par hypothèse. Écrivons \emph{d'abord} ces $n^3$ racines sur une circonférence
+de cercle, à égales distances les unes des autres, en les prenant
+dans le tableau~\tagref{F} de gauche à droite et ligne par ligne; et considérons
+le polygone régulier qui est relatif à cette disposition. Ce polygone est,
+par hypothèse, composé de $n^2$ systèmes de $n$ racines conjuguées
+chacun; et on démontrerait, comme dans le 1\ier{} cas général, que ce
+polygone produit de nouveaux polygones, jouissant de la même
+propriété, en prenant pour intervalles constants les nombres qui
+suivent et qui sont en progression arithmétique dont la raison est $n$:
+\[
+\begin{array}{rrrr}
+1 & n^2 + 1 & \dots & (n - 1) n^2 + 1\,, \\
+n + 1 & n^2 + n + 1 & \dots & (n - 1) n^2 + n + 1\,, \\
+2n + 1 & n^2 + 2n + 1 & \dots & (n - 1) n^2 + 2n + 1\,, \\
+\hdotsfor{4}\\
+n(n-1) + 1 & n^2 + (n - 1)n + 1 & \dots & (n-1)n^2 + (n-1)n + 1\,.
+\end{array}
+\]
+
+Ainsi, avec ce polygone on en fait $n^2$ composés chacun de $n^2$ systèmes
+de $n$ racines conjuguées chacun.
+\PG-----------------------File: 068.png----------------------------
+
+Puis, si l'on écrit sur une circonférence les $n^2$ racines du tableau~\tagref{E},
+en allant de gauche à droite et ligne par ligne; si l'on joint aux
+deux indices $a$, $b$ un troisième $c$ auquel on donnera successivement
+les valeurs $c, c + r, c + r\rho, \dotsc, c + r\rho^{n-2}$, on aura un nouveau
+polygone composé par hypothèse, comme les précédents, de $n^2$
+systèmes de $n$ racines conjuguées chacun. Or, si pour obtenir de
+nouveaux polygones, par le procédé de l'intervalle constant, on prend
+pour $h$ des termes en progression arithmétique dont la raison est $n$,
+on ne trouve rien de nouveau: mais si la raison est $n^2$ on obtient
+$n$ nouveaux polygones relatifs aux valeurs de $h$
+\[
+  1, \quad 1 + n^2, \quad 1 + 2n^2,\quad \dotsc, \quad 1 + (n-1)n^2\,,
+\]
+jouissant de la même propriété; tandis que toute autre valeur de $h$
+ne produit pas de nouveaux polygones ayant cette même propriété.
+On démontre ces résultats exactement de la même manière que dans
+le cas de deux indices.
+
+Enfin, en lisant le tableau~\tagref{F} de haut en bas, on obtient un
+autre polygone composé également de $n^2$ systèmes de $n$ racines
+conjuguées chacun; polygone qui n'en produit pas d'autres ayant la
+même propriété. Car, dans les $n$ premières racines des $n^2 + n$
+premiers polygones, se trouvent toutes les racines de l'équation donnée
+$F(x)=0$; mais les polygones qu'on formerait avec cette troisième disposition
+se déduisent des premiers en échangeant entre eux les indices
+$a, b, c$, donc cette nouvelle disposition ne produit rien de nouveau.
+
+Il résulte donc de ce qui précède que les $n^3$ racines de $F(x) = 0$
+assujetties aux relations~\tagref{22} et \tagref{23} se partagent en $n^2$ systèmes de
+$n$ racines conjuguées chacun en un nombre de manières déterminé
+par la formule
+\[
+  n^2 + n + 1 = \frac{n^3 - 1}{n - 1}\,.
+\]
+
+Ces $\frac{n^3 - 1}{n - 1}$ décompositions produisent les tableaux suivants:
+%
+\begin{align*}
+\tag[F1]{F$_1$}
+&\left\{
+ \begin{array}{llcl}
+x_{a,\,b,\,c}     & x_{a+p,\,b,\,c}     &\ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,b,\,c}   \\
+x_{a,\,b,\,c+r}   & x_{a+p,\,b,\,c+r}   &\ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,b,\,c+r}   \\
+\hdotsfor{4}  \\
+x_{a,\,b+q,\,c}   & x_{a+p,\,b+q,\,c}   &\ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,b+q,\,c}   \\
+x_{a,\,b+q,\,c+r} & x_{a+p,\,b+q,\,c+r} &\ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,b+q,\,c+r}   \\
+\hdotsfor{4}
+  \end{array}
+    \right.\\[6pt]
+\intertext{\displaybreak[0]}% with the \displaybreak before the \\[6pt] above the array overlaps the lower page margin
+%
+%\PG-----------------------File: 069.png----------------------------
+%
+\tag[F2]{F$_2$}
+&  \left\{
+  \begin{array}{llcl}
+x_{a,\,  b,\,  c}          & x_{a+p,\, b+q,\, c}              & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho^{n-2},\, c}\\
+x_{a,\,  b,\,  c+r}        & x_{a+p,\, b+q,\, c+r}            & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho^{n-2},\, c+r}\\
+\hdotsfor{4}  \\
+x_{a,\,  b+q,\, c+r}       & x_{a+p,\, b+q\rho,\, c+r}        & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b,\, c+r\rho}\\
+x_{a,\,  b+q,\, c+r\rho}   & x_{a+p,\, b+q\rho,\, c+r\rho}    & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b,\, c+r\rho^2}\\
+\hdotsfor{4}
+  \end{array}
+    \right.\\[6pt]
+\intertext{\displaybreak[0]}
+%
+\tag[F3]{F$_3$}
+&  \left\{
+  \begin{array}{llcl}
+x_{a,\,  b,\, c}             & x_{a+p,\, b+q\rho,\, c}            & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho^{n-3},\, c+r}\\
+x_{a,\,  b,\, c+r}           & x_{a+p,\, b+q\rho,\, c+r}          & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho^{n-3},\, c+r\rho^2}\\
+\hdotsfor{4}  \\
+x_{a,\,  b+q,\, c+r\rho}     & x_{a+p,\, b+q\rho^2,\, c+r\rho}    & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho^{n-2},\, c+r\rho^2}\\
+x_{a,\,  b+q,\, c+r\rho^2}   & x_{a+p,\, b+q\rho^2,\, c+r\rho^2}  & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho^{n-2},\, c+r\rho^3}\\
+\hdotsfor{4}
+  \end{array}
+    \right.\\[6pt]
+\intertext{\dotfill}
+%
+\tag[Fn2]{F$_{n^2}$}
+&  \left\{
+  \begin{array}{llcl}
+x_{a,\,  b,\, c}     & x_{a+p,\, b+q\rho^{n-2},\, c+r\rho^{n-2}}  & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q,\, c+r}\\
+x_{a,\,  b,\, c+r}   & x_{a+p,\, b+q\rho^{n-2},\, c}              & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q,\, c+r\rho}\\
+\hdotsfor{4}  \\
+x_{a,\,  b+q,\, c}   & x_{a+p,\, b,\, c+r\rho^{n-2}}              & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho,\, c+r}\\
+x_{a,\,  b+q,\, c+r} & x_{a+p,\, b,\, c}                          & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho,\, c+r\rho}\\
+\hdotsfor{4}
+  \end{array}
+    \right.\\[6pt]
+\intertext{\displaybreak[0]}
+%
+\tag[Fn2+1]{F$_{n^2+1}$}
+&  \left\{
+  \begin{array}{llcl}
+x_{a,\,  b,\, c}     & x_{a+p,\, b,\, c}      & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b,\, c}\\
+x_{a,\,  b,\, c+r}   & x_{a+p,\, b,\, c+r}    & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b,\, c+r}\\
+\hdotsfor{4}  \\
+x_{a,\,  b+q,\, c}   & x_{a+p,\, b+q,\, c}    & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q,\, c}\\
+x_{a,\,  b+q,\, c+r} & x_{a+p,\, b+q,\, c+r}  & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q,\, c+r}\\
+\hdotsfor{4}
+  \end{array}
+    \right.\\[6pt]
+%
+\intertext{\dotfill}
+%
+\tag[Fn2+n+1]{F$_{n^2+n+1}$} % [** this table seems identical to the previous one: is something stuffed?]
+&  \left\{
+  \begin{array}{llcl}
+x_{a,\,  b,\, c}     & x_{a+p,\, b,\, c}      & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b,\, c}\\
+x_{a,\,  b,\, c+r}   & x_{a+p,\, b,\, c+r}    & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b,\, c+r}\\
+\hdotsfor{4}  \\
+x_{a,\,  b+q,\, c}   & x_{a+p,\, b+q,\, c}    & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q,\, c}\\
+x_{a,\,  b+q,\, c+r} & x_{a+p,\, b+q,\, c+r}  & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q,\, c+r}\\
+\hdotsfor{4}
+  \end{array}
+    \right.\\
+\end{align*}
+
+Dans ces tableaux, \emph{ainsi écrits}, il est utile de faire les remarques
+suivantes: \primo dans chacun de ces $n^2 + n + 1$ tableaux, il y a dans
+chaque colonne verticale $n^2$ racines relatives à toutes les valeurs des
+indices $b$, $c$ et à une même valeur de l'indice $a$; ces valeurs de $b$ et $c$
+se déduisent les unes des autres, pour une même colonne verticale et
+\PG-----------------------File: 070.png----------------------------
+à partir de la 2\ieme, par des permutations circulaires relatives à $n$ termes
+et à ces mêmes valeurs de $b$ et $c$; \secundo on passe d'une des colonnes
+verticales à la suivante en changeant $p$ en $p\rho$, à partir de la deuxième,
+qui elle-même se déduit de la première en changeant $a$ en $a + p$;
+\tertio les $n$ racines de chaque ligne horizontale des $n^2$ premiers tableaux
+sont conjuguées; \quarto dans chacun des $n$ suivants, les $n$ racines qui
+occupent le même rang dans les $n$ groupes de chaque colonne verticale,
+sont aussi conjuguées; \FrenchEnumerate5{} enfin les $n$ racines consécutives de
+chacun des $n$ groupes contenus dans chaque colonne verticale du
+dernier tableau sont également conjuguées. En sorte que les $n^3$ racines
+de l'équation proposée $F (x) = 0$ forment $n^2 (n^2 + n + 1)$ systèmes
+de $n$ racines conjuguées chacun.
+
+Cela posé, pour former la fraction résolvante $y$ définie par l'équation~\tagref{11}
+et relative à chacune de ces $n^2 + n + 1$ décompositions,
+on doit prendre pour chacune des quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$ la % [** inserted comma after dots]
+somme de $n^2$ racines quelconques de $F (x) = 0$. Or, si l'on prend
+successivement pour $X_a$ la somme des racines de la première colonne
+verticale de chacun de ces tableaux~(F), cette quantité conservera % no link here because it refers to *all* the F tables
+évidemment une même valeur pour toutes ces décompositions. Et il
+résulte des deux premières remarques que si on prend successivement
+pour $X_{a+p}$ la somme des $n^2$ racines de la deuxième colonne
+verticale de ces mêmes tableaux, cette somme conservera également
+une même valeur pour toutes ces décompositions; et ainsi de suite.
+Enfin, si on prend successivement pour $X_{a+\overline{n-1}p}$ la somme des
+$n^2$ racines de la dernière colonne verticale de ces mêmes tableaux,
+cette quantité acquerra une même valeur pour ces mêmes décompositions.
+Donc les fractions $Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$ et la fonction résolvante $y$,
+qui ne sont formées que de ces quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$,
+sont invariables pour ces $n^2 + n + 1$ décompositions. Ainsi, quoiqu'il y
+ait $n^2 + n + 1$ décompositions, $y$ n'a cependant qu'une
+\emph{seule} valeur. Ce résultat pouvait d'ailleurs être prévu, puisque,
+d'après ce qui a été démontré au \secundo du \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX}, l'équation
+résolvante $\phi(y) = 0$ est indécomposable.
+
+Démontrons enfin que cette valeur unique de $y$ peut être exprimée
+en fonction rationnelle des coefficients de l'équation donnée $F (x) = 0$
+et de ceux de la fonction connue $\theta$; et qu'avec cette valeur on peut
+obtenir les $n^3$ racines de cette équation.
+\PG-----------------------File: 071.png----------------------------
+
+En effet, toutes ces racines, et par suite la fonction $y$, peuvent être
+exprimées, comme dans le premier cas général, en fonction rationnelle
+des $n$ racines
+\[
+x_{a,\,b,\,c},\quad x_{a+p,\, b+q,\, c},\quad x_{a+p,\, b+q \rho,\, c},\quad \ldots,\quad x_{a+p,\, b+q \rho^{n-2},\, c}
+\]
+qui évidemment ne sont pas conjuguées. Car, il résulte d'abord de ce
+premier cas, que chacune des $n^2-n$ autres racines relatives à la
+même valeur $c$ du troisième indice de $x$ peut être exprimée en fonction
+de ces $n$ racines. Puis on voit que, tableaux~\tagref[F3]{F$_3$}, (F$_4$), \dots, on peut,
+avec les racines relatives à $c$, obtenir celles qui sont relatives à $c + r$;
+et, par suite, ces racines étant conjuguées par groupes de $n$, déterminer
+toutes les racines relatives à $c + r \rho, c + r \rho^2, \dotsc, c+r \rho^{n-2}$.
+Donc, toute fonction connue des $n^3$ racines de $F(x) = 0$ peut être
+exprimée en fonction rationnelle des $n$ racines non conjuguées qui
+précèdent. De là il suit que si l'on considère, non la fonction $y$, mais
+la fonction plus générale
+\[
+y_1 = (Z_1 + \lambda_1 Z_2 + \lambda_1^2 Z_3 + \dotsb + \lambda_1^{n-2} Z_{n-1})^{n-1}\,,
+\]
+dans laquelle les quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a + \overline{n-1}p}$ qui servent à
+former $Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$ désignent précisément celles dont nous venons
+de parler, et $\lambda_1$ une des racines de l'équation binôme $x^{n-1} - 1 = 0$;
+fonction qui est égale à $y$ pour $\lambda_1 = 1$ après en avoir extrait la
+racine $n-1$\ieme; on aura
+\[
+y_1 = \psi (x_{a,\, b,\, c},~ x_{a+p,\, b+q,\, c},~ x_{a+p,\,b+q \rho,\, c},
+             ~\dotsc,~ x_{a+p,\, b+q \rho^{n-2},\,c})\,.
+\]
+
+Si l'on forme actuellement tous les arrangements $n$ à $n$ des $n^3$ racines
+de $F(x) = 0$, $n^2\dotm \dfrac{n^3 -1}{n-1}$ de ces arrangements seront composés de
+$n$ racines conjuguées, et tous les autres de $n$ racines non conjuguées.
+Mais si l'on remplace successivement dans $\psi$ les $n$ racines qui s'y
+trouvent, d'abord par les premiers arrangements et que l'on fasse la
+somme des résultats, et puis par tous les autres, et que l'on fasse
+également la somme des résultats obtenus, on aura, en désignant
+par $\textsum' \psi$ la première somme et par $\textsum'' \psi$ la seconde,
+\[
+\textstyle\sum' \psi +  \sum'' \psi = W_1\,,
+\]
+$W_1$ étant une fonction évidemment symétrique par rapport aux
+\PG-----------------------File: 072.png----------------------------
+$n^3$ racines de $F (x) = 0$, et par conséquent exprimable en fonction
+rationnelle des coefficients de cette équation.
+
+Mais, les $n$ racines qui entrent dans $\textsum' \psi$ étant conjuguées, elles
+peuvent être réduites à deux racines $x_1$, $x_2$; et on aura $\psi = \psi_1(x_1,x_2)$.
+Or, les quantités $Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$ sont invariables pour les $n^2 \dotm \dfrac{n^3-1}{n-1}$
+systèmes de racines conjuguées des tableaux précédents: de plus, ces
+mêmes quantités sont encore invariables pour les $n$ valeurs
+$0, 1, 2, \dotsc, n-1$ de $a$, et elles se déduisent les unes des autres en changeant $p$
+successivement en les $n-1$ valeurs $p,p\rho, p\rho^2, \dotsc, p\rho^{n-2}$, changements
+qui n'altèrent pas la fonction $y_1 $\footnote{Car les sommes $X_a,
+X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$ jouent évidemment, dans cette deuxième
+hypothèse, le même rôle que celles qui sont désignées par les mêmes lettres dans la première.}.
+Donc $\textsum'\psi= \textsum'\psi_1(x_1,x_2)$
+est invariable pour les $n^2 \dotm \dfrac{n^3-1}{n-1} n (n-1) = n^3(n^3-1)$ arrangements
+deux à deux des $n^3$ racines de $F (x) =0$; et, par suite, ce
+terme est symétrique de ces racines et dès lors exprimable en fonction
+rationnelle des quantités connues.
+
+De là il suit aussi que $\textsum''\psi$ est exprimable en fonction rationnelle
+des quantités connues; mais la fonction $y$, et évidemment aussi $y_1$,
+ne prend qu'une valeur pour tous les arrangements $n$ à $n$ relatifs à
+toutes les décompositions possibles de $F (x) = 0$ en équations de
+degrés moindres, puisque l'équation résolvante $\phi(y)= 0$ est du
+premier degré; donc l'égalité précédente donnera, $k'$ désignant le
+nombre de termes de $\textsum''\psi$,
+\[
+  y_1 = \frac{1}{k'} \left \{ W_1 - \textstyle\sum'\psi_1(x_1,x_2) \right \}  = V_1\,,
+\]
+$V_1$ étant une fonction connue.
+
+Si, dans cette dernière égalité, on remplace successivement $\lambda_1$ par
+chacune des racines de $x^{n-1}-1 = 0$, on aura $n-1$ équations analogues
+aux équations~\tagref{21}, dans lesquelles il suffira de remplacer $v$ par $V$,
+et dont les seconds membres sont connus. De ces $n-1$ équations on
+déduira les $n-1$ quantités $Z-1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$, qui à leur tour fourniront,
+après avoir extrait la racine $n$\ieme{} de chacune d'elles, $n-1$ équations
+\PG-----------------------File: 073.png----------------------------
+constituant avec l'équation dont le second membre est donné,
+\[
+  X_a + X_{a+p} + X_{a+2p} + \dotsb + X_{a + \overline{n-1}p} = - A_1\,,
+\]
+un système de $n$ équations linéaires par rapport aux $n$ quantités
+$X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a + \overline{n-1}p}$.
+
+De ces $n$ équations nous déduirons ces $n$ quantités inconnues; et,
+comme dans le 1\ier{} cas général, nous pourrons former avec chacune
+d'elles les $n$ équations, de degré $n^2$, dont les racines sont toutes celles
+de la proposée $F (x) = 0$. Enfin, ces dernières équations, rentrant
+dans ce premier cas général, seront toutes résolubles algébriquement
+par la méthode déjà indiquée: et on aura ainsi les $n^3$ racines de
+l'équation à résoudre $F (x) = 0$.
+
+Ces conditions sont donc suffisantes.
+
+En réunissant ce dernier résultat à celui de la première hypothèse,
+il est prouvé que si le degré $m$ de $F (x) = 0$ est composé de trois
+facteurs premiers et supérieurs à~$3$, les conditions énoncées du théorème
+à démontrer sont encore nécessaires et suffisantes.
+
+La méthode d'exposition qui précède peut évidemment être étendue
+au cas où le degré $m$ est égal au produit d'un nombre quelconque de
+facteurs premiers et supérieurs à~$3$; on doit donc regarder ce théorème
+\hyperlink{TheoremXIV}{général~XIV} comme démontré.
+
+\begin{COROLLAIRE} Il résulte du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X} et de celui que
+nous venons de démontrer que \emph{les seules équations algébriques, irréductibles
+et dont le degré composé ne contient aucun des facteurs
+premiers $2$ et $3$, qui soient solubles par radicaux, sont celles qui
+sont abéliennes ou celles dont les racines satisfont aux conditions
+du \primo ou du \secundo du \hyperlink{TheoremXIV}{théorème~XIV}.}
+\end{COROLLAIRE}
+
+\section{Cas particuliers non compris dans le théorème~XIV.}
+
+Ces cas sont évidemment au nombre de 3 seulement: celui où le
+degré $m$ de l'équation à résoudre $F (x) = 0$ est égal au facteur
+premier $2$ élevé à une puissance entière quelconque, $m = 2^\alpha$; celui
+où $m = 3^\beta$; et celui enfin où $m= 2^\alpha \dotm 3^\beta$, $\beta$ désignant un nombre
+entier quelconque.
+
+\PG-----------------------File: 074.png----------------------------
+\subsection[Premier cas: m = 2\string\136alpha.]{Premier cas: $m = 2^\alpha$.}
+
+Si $m = 2^2$, le \hyperlink{CorollaireVIII}{corollaire} du théorème~VIII\footnoteT{Original has
+IX} démontre que $F(x) = 0$
+est toujours soluble par radicaux, quelles que soient ses racines.
+
+Si $m = 2^3$, ce théorème démontre, $n$ étant égal à~$2$, que la fonction
+résolvante $y$ de $F (x) = 0$ est donnée par la formule~\tagref{13}, que le
+degré de l'équation résolvante $\psi(y) = 0$ est égal à $35$, et qu'avec
+l'une des racines de cette dernière on décompose l'équation proposée
+$F (x) = 0$ en deux équations d'un même degré~$4$. Or, ces deux
+dernières sont toujours résolubles algébriquement; donc pour que
+l'équation $F (x) = 0$ soit elle-même résoluble, il faut et il suffit
+que $\psi(y) = 0$ soit également résoluble algébriquement, ou du moins
+décomposable en d'autres équations de degrés moindres, celles ci en
+d'autres de degrés moindres, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on
+parvienne à des équations résolubles.
+
+Mais, dans le cas actuel, la formule~\tagref{13} donne
+\[
+  y = Z_1 = (X_a + \alpha X_{a+p})^2\,,
+\]
+les quantités $X_a$ et $X_{a+p}$ étant respectivement égales à la somme des
+quatre racines de chacune des deux équations en lesquelles se décompose
+l'équation proposée, se composent chacune de la somme de quatre
+racines quelconques de $F (x) = 0$; et, puisque le degré de l'équation
+résolvante est égal à $35$, le nombre total $40320$ de permutations des
+$2^3$ racines de $F (x) = 0$ se décompose, \hyperlink{TheoremIII}{théorème~III}\footnote{Voir
+notre Mémoire inséré dans le \textit{Journal de M.~Liouville}, février 1865.}, en $35$ groupes
+composés chacun de $(1 \dotm 2 \dotm 3 \dotm 4)^2 \dotm 2= 1152$ permutations inséparables.
+Or, dans le \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX}, les quantités désignées généralement par
+$X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a+(n-1)p}$ jouent le même rôle que les racines $x_a, x_{a+p}, \dotsc, x_{a+(n-1)p}$
+dans le \hyperlink{TheoremII}{théorème~II}; donc les groupes de permutations
+faites avec les racines et relatifs à l'équation résolvant $\phi (y) = 0$ étant
+indécomposables, note du premier mémoire; les groupes de permutations
+relatifs à l'équation résolvante $\psi(y) = 0$ de l'équation à
+résoudre $F (x) = 0$ seront aussi \emph{indécomposables}.
+
+Ainsi, dans le cas présent, les $35$ groupes relatifs aux racines de
+$\psi(y) = 0$ sont indécomposables; donc, \hyperlink{TheoremV}{théorème~V}, cette équation
+résolvante est indécomposable elle-même. Mais la résolution de la
+proposée $F (x) = 0$ entraîne la résolution de $\phi(y) = 0$, donc les
+\PG-----------------------File: 075.png----------------------------
+racines de cette dernière doivent être égales entre elles; puisque toute
+autre hypothèse la rendrait décomposable. Mais en échangeant entre
+elles, soit les racines du groupe des 4 racines qui entrent dans $X_a$,
+soit celles du groupe des 4 racines qui entrent dans $X_{a+p}$, soit enfin
+le premier groupe tout entier en le second, la fonction résolvante $y$ ne
+change pas de valeur; tandis que tout autre échange de ces 8 racines
+altère cette fonction. Donc, l'équation résolvante devant avoir ses
+racines égales entre elles, il est nécessaire que les racines, d'ailleurs
+quelconques, d'un de ces deux groupes dépendent les unes des autres.
+Or, ces racines étant au nombre de 4, il ne peut arriver que 3 cas;
+l'une d'elles peut être en effet une fonction rationnelle d'une seule,
+ou de deux, ou des trois autres.
+
+Dans le 1\ier{} cas, un raisonnement analogue à celui qui a été fait
+pour démontrer la première hypothèse du premier cas général ou la
+deuxième hypothèse du second cas général du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}, prouverait
+que ce 1\ier{} cas entraîne les conditions du \primo et du \secundo de ce théorème:
+conditions qui d'ailleurs ont été démontrées suffisantes pour la résolution
+de l'équation proposée $F (x) = 0$.
+
+Dans le 2\ieme{} cas, on a par hypothèse, en désignant respectivement
+les racines des deux groupes par
+\[
+  \begin{array}{llll}
+a,    &b,    &c,    &d\,,\\
+a',  &b',  &c',  &d'\,,\\
+  \end{array}
+\]
+$c = \theta (b, a)$; et, par suite, $d = \theta_1 (b, a)$. En sorte que les quatre
+racines du 1\ier{} groupe sont \emph{conjuguées}; il en est de même de celles
+du second. On devrait donc avoir, dans chaque colonne verticale,
+d'après ce qui a été démontré plusieurs fois, un groupe de 4 racines
+conjuguées; ce qui ne peut être, puisque l'équation proposée étant
+du 8\ieme{} degré, il n'y a que deux racines dans chacune de ces colonnes
+verticales: ainsi, ce cas est inadmissible.
+
+Par la même raison le troisième cas est également inadmissible.
+
+Il résulte donc de ce qui précède que si $m = 2^3$, pour que l'équation
+proposée $F (x) = 0$ soit résoluble algébriquement, il faut et il suffit
+qu'elle soit abélienne ou que ses racines satisfassent aux conditions
+du \secundo du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}.
+
+Si on suppose actuellement $m = 2^4$; le \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX} démontre
+que, $n$ étant égal à~$2$ et l'équation proposée $F (x) = 0$ étant irréductible,
+\PG-----------------------File: 076.png----------------------------
+cette équation doit être décomposée, pour sa résolution, en deux
+équations résolubles du 8\ieme{} degré chacune. Mais, d'après ce qui vient
+d'être démontré, la résolution de chacune de ces dernières équations
+exige ou qu'elle soit abélienne ou que les racines de chacune d'elles
+satisfassent aux conditions du \secundo du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}. Dans l'un et l'autre
+de ces deux cas, on démontrerait absolument de la même manière que
+l'équation proposée doit être abélienne ou que ses racines doivent
+encore satisfaire aux conditions du \secundo du même théorème; et que ces
+conditions nécessaires sont d'ailleurs suffisantes.
+
+Donc, si $m = 2^4$, pour que l'équation irréductible $F(x) = 0$ soit
+soluble par radicaux, il faut et il suffit qu'elle soit abélienne, ou que
+ses racines satisfassent aux conditions du \secundo du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}.
+
+De même que les conditions de résolubilité pour le cas où $m = 2^3$
+donnent celles du cas où $m = 2^4$; de même ces dernières donneraient % [** the text clearly has "donneraieut" but is this a word?
+celles où $m = 2^5$; et ainsi de suite. De là ce théorème:
+
+\begin{Thm}[XV]
+Pour qu'une équation algébrique irréductible et
+de degré $2^\alpha$, $\alpha$ étant supérieur à~$2$, soit résoluble algébriquement,
+il faut et il suffit qu'elle soit abélienne, ou que deux quelconques
+de ses racines soient tellement liées entre elles que l'une puisse
+s'exprimer rationnellement par l'autre; et que si $\theta x$ et $\theta_1 x$ désignent
+deux de ses racines distinctes, exprimées l'une et l'autre
+en fonction rationnelle d'une troisième $x$, on ait
+\[
+\theta \theta_1 x = \theta_1 \theta x\,.
+\]
+\end{Thm}
+
+\subsection[Deuxième cas: m =3\string\136beta.]{Deuxième cas: $m =3^\beta$.}
+
+Soit d'abord $m = 3^2$: le \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX} démontre, $n$ étant égal à~$3$,
+que la fonction résolvante $Y$ de l'équation proposée~\tagref{1} à résoudre est
+donnée par la formule~\tagref{13}, que le degré de son équation résolvante
+$\psi (y) = 0$ est égal à $280$; et qu'avec l'une des racines de cette
+dernière et celles d'une équation du second degré, on décompose
+l'équation proposée en trois équations d'un même degré $3$. Or, ces
+trois dernières sont toujours résolubles algébriquement, donc pour
+que la proposée soit dans le même cas il faut et il suffit que $\psi (y) = 0$
+soit elle-même résoluble algébriquement, ou du moins décomposable
+en d'autres équations de degrés moindres, celles-ci en d'autres de
+\PG-----------------------File: 077.png----------------------------
+degrés moindres, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne à des
+équations solubles.
+
+Or il a été démontré généralement et par conséquent pour le cas
+où $m= 3^2$ que l'équation $\psi (y) = 0$ est indécomposable, que ses
+racines doivent être égales entre elles, et que l'égalité de ces racines
+exige que les trois racines de la proposée, d'ailleurs quelconques, qui
+entrent dans chacune des trois quantités, $X_a$, $X_{a+p}$, $X_{a+2p}$ relatives
+à cette hypothèse $m = 3^2$, dépendent les unes des autres. Mais, le
+nombre de ces racines étant ici égal à 3, il ne peut arriver que deux
+cas; l'une d'elles peut être en effet une fonction d'une seule ou des
+deux autres.
+
+Dans le premier cas, on démontrerait, comme dans la première
+hypothèse du deuxième cas général du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}, que cette supposition
+entraîne les conditions du \primo ou du \secundo de ce théorème; conditions
+qui d'ailleurs sont suffisantes pour la résolution de l'équation
+proposée $F (x) = 0$, comme cela a été prouvé.
+
+Dans le deuxième cas, on a par hypothèse, en conservant les
+notations adoptées, la relation suivante entre les trois racines d'un
+des trois groupes dont nous avons parlé,
+\[
+  x_{a+p \rho, \, b} = \theta (x_{a+p,\, b},\quad x_{a,\, b}) \, ;
+\]
+nous dirons que ces 3 racines sont \emph{conjuguées}. Cette équation étant
+vraie pour chacun des 3 groupes, c'est-à-dire pour chacune des
+valeurs $0$, $1$, $2$ de $b$, les 9 racines de $F (x) = 0$ se décomposent en
+3 systèmes composés chacun de 3 racines conjuguées. Et on prouverait,
+comme dans le \hyperlink{TheoremX}{théorème~X} relatif à deux indices, \primo que l'on doit
+avoir encore
+\[
+  x_{a,\, b+q \rho} = \theta (x_{a,\, b + q},\quad x_{a,\, b})\, ,
+\]
+équation qui fournit 3 nouveaux systèmes composés chacun de 3 racines
+conjuguées; \secundo que, par suite, les 9 racines de $F (x) = 0$ se
+décomposent de 4 manières différentes en 3 systèmes composés chacun de
+3 racines conjuguées; \tertio que la fonction résolvante $y$, et aussi que la
+fonction plus générale
+\[
+  y_1 = (Z_1 + \lambda_1 Z_2)^2
+\]
+dans laquelle $\lambda_1$ est racine de l'équation binôme $x^2 - 1=0$, est une
+\PG-----------------------File: 078.png----------------------------
+fonction symétrique des racines de $F(x) = 0$, et dès lors exprimable
+en fonction rationnelle des quantités connues; \quarto enfin, qu'avec les
+deux valeurs de $y_1$, relatives aux deux racines de l'équation binôme,
+on peut déterminer $Z_1$ et $Z_2$; quantités qui permettent d'obtenir les
+3 équations, de degré $3$, en lesquelles se décompose $F(x) = 0$. Or,
+ces 3 dernières équations sont résolubles algébriquement, il en est
+donc de même de $F(x) = 0$. De là ce théorème: si $m = 3^2$, pour
+que l'équation irréductible $f(x)=0$ soit soluble par radicaux, il faut
+et il suffit que cette équation satisfasse une condition soit du \primo\kern-.3em, soit
+du \secundo\kern-.3em, soit du \tertio du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}\footnote{La
+ résolution de l'équation du 9\ieme{} degré a été trouvée, dans ce deuxième cas, par M.~Hesse
+d'une manière très différente. (Voir le 34\ieme{} volume du \textit{Journal de Crelle}.)}.
+
+Soit actuellement $m = 3^3$: dans ce cas, le \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX} décompose
+l'équation proposée $F(x) = 0$ en 3 équations, de même degré $3^2$. Mais
+chacune d'elles, devant être résoluble, doit satisfaire, nous venons de le
+démontrer, aux conditions du \primo\kern-.3em, ou du \secundo\kern-.3em, ou du tertio du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}.
+
+Si ces équations satisfont au \primo\kern-.3em, c'est-à-dire si elles sont abéliennes,
+on prouve comme dans les cas analogues qui précèdent, que la fonction
+résolvante $y$ doit être symétrique par rapport aux racines de $F(x) = 0$;
+ce qui exige que les racines de cette dernière satisfassent aux conditions
+du \primo ou du \secundo du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}. Et ces conditions nécessaires sont
+d'ailleurs suffisantes pour résoudre la proposée, comme nous l'avons
+démontré dans ce théorème.
+
+Si les racines de chacune de ces 3 équations, de degré $9$, satisfont
+aux conditions du \secundo du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}, $F(x) = 0$ est encore résoluble,
+d'après ce qui vient d'être dit.
+
+Enfin, si les racines de chacune de ces mêmes équations de degré $9$,
+satisfont aux conditions du \tertio du même \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}, un raisonnement
+analogue à celui qui a été fait dans le cas général où $m = n^3$ de ce
+théorème, démontre que $F(x) = 0$ est encore résoluble.
+
+Donc si $m = 3^3$, pour que l'équation irréductible $f(x) = 0$ soit
+résoluble algébriquement, il faut et il suffit qu'elle soit abélienne ou
+que ses racines satisfassent aux conditions du \secundo ou du \tertio du théorème
+\hyperlink{TheoremX}{général~X}.
+
+Ce raisonnement pouvant être généralisé sans qu'il soit nécessaire
+d'entrer dans d'autres détails, on a ce théorème:
+\PG-----------------------File: 079.png----------------------------
+
+\begin{Thm}[XVI]
+Pour qu'une équation algébrique, irréductible
+et de degré $3^{\beta}$ soit résoluble algébriquement, il faut et il
+suffit \primo qu'elle soit abélienne; \secundo ou que deux quelconques de ses
+racines soient tellement liées entre elles que l'une puisse s'exprimer
+rationnellement par l'autre; et que si $\theta x$ et $\theta_1 x$ désignent deux
+de ses racines distinctes, exprimées l'une et l'autre en fonction
+rationnelle d'une troisième $x$, on ait $\theta \theta_1 x = \theta_1 \theta x$; \tertio enfin ou
+que l'on ait entre trois de ses racines la relation~\tagref{19} relative à
+3 indices.
+\end{Thm}
+
+\subsection[Troisième cas: m = 2\string\136alpha \string\267 3\string\136beta.]{Troisième cas: $m = 2^\alpha \dotm 3^\beta$.}
+
+Pour cette hypothèse nous prendrons $n = 2$ dans le \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX},
+et nous décomposerons par conséquent l'équation irréductible à
+résoudre $F(x) = 0$ en deux équations, d'un même degré $2^{\alpha-1} \dotm 3^{\beta}$,
+à l'aide des racines $y$ de l'équation résolvante $\psi(y) = 0$; l'expression
+générale de ces racines étant fournie par la formule~\tagref{13} qui se
+réduit ici à
+\[
+y = Z_1 = (X_a + \alpha X_{a + p})^2\,.
+\]
+
+On prouverait, absolument comme dans le premier cas, que l'équation
+résolvante $\psi (y) = 0$ est indécomposable, que ses racines doivent
+être égales entre elles, et que cela exige que les racines de $F(x) = 0$
+satisfassent aux conditions du \primo ou du \secundo du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}; conditions
+qui d'ailleurs sont suffisantes. De là ce théorème:
+
+\begin{Thm}[XVII]
+Pour qu'une équation algébrique, irréductible
+et de degré $2^\alpha \dotm 3^\beta$ soit résoluble algébriquement, il faut et il
+suffit qu'elle soit abélienne; ou que deux quelconques de ses
+racines soient tellement liées entre elles que l'une puisse s'exprimer
+rationnellement par l'autre, et que si $\theta x$ et $\theta_1 x$ désignent deux
+de ses racines distinctes, exprimées l'une et l'autre en fonction
+rationnelle d'un troisième $x$, on ait
+\[
+\theta \theta_1 x = \theta_1 \theta x\,.
+\]
+\end{Thm}
+
+\ThoughtBreak
+
+%\PG-----------------------File: 080.png----------------------------
+%[Blank Page]
+\clearpage\ifPaper\else\squishy\fi % to fit the "FIN." on the page
+\PG-----------------------File: 081.png----------------------------
+
+\section{NOTE}
+
+Les permutations, en effet, d'un quelconque de groupes de cette
+classification sont relatives à \emph{un seul et même ordre}, c'est-à-dire à
+\emph{un seul et même polygone}, vu successivement de chacun de ses
+sommets; en sorte que tous ses groupes ne sont autre chose que \emph{tous}
+les polygones distincts que l'on peut former avec $m$ lettres. Ces
+polygones se déduisent les uns des autres par un changement de deux
+lettres quelconques, leur déduction est donc arbitraire.
+
+Donc si on les assemble de deux en deux ou de trois en trois, \dots,
+pour former de nouveaux groupes composés de permutations \emph{inséparables},
+il n'y a pas de raison pour que, dans ces nouveaux groupes,
+l'on y mette plutôt tels de ces polygones que tels autres. Il faut donc,
+ou les laisser séparés comme dans cette troisième classification, ou les
+réunir tous en un seul groupe; auquel cas il n'y a pas à proprement
+parler de classification, puisque ce groupe unique contient la totalité
+des permutations des $m$ lettres.
+
+Donc les groupes de cette troisième classification ne peuvent pas
+être partagés en nouveaux groupes de permutations inséparables pour
+tous les échanges des lettres qui les forment.
+
+\begin{REMARQUE} Si le nombre des lettres est égal à~$3$, le nombre de
+groupes de cette classification est égal à l'unité: pour tout autre
+nombre de lettres, le nombre de groupes est supérieur à l'unité, et
+même à ce nombre de lettres.
+\end{REMARQUE}
+
+\ifPaper
+  \vspace{1in}
+\else
+  \vfill\nobreak
+\fi
+\centerline{\small FIN.}
+
+\PG-----------------------File: 084.png----------------------------
+
+\small
+\chapterstyle{advert}
+\chapter*{A LA MÊME LIBRAIRIE}
+\phantomsection
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Avertissement}
+\pagestyle{chapter}
+
+\begin{catalogue}
+%
+\item[Acta Mathematica.]--- Rédacteur en chef
+    \textbf{M.~Mittag-Leffler}. --- Tomes~I à VIII; le vol \Dotfill 15~fr. \\
+  Tome IX en cours de publication.
+%
+\item[American Journal of Mathematics.]--- Simon \textsc{Newcomb} and Th.~\textsc{Craig},
+ editor. --- Tomes~II à VIII. --- Le vol \Dotfill 28~fr. \\
+  Tome IX en cours de publication.
+%
+\item[Ch.~HERMITE,] de l'Institut. --- \textbf{Cours de la Faculté
+    des sciences} \textit{sur les intégrales définies, la théorie des fonctions
+    d'une variable imaginaire et les fonctions elliptiques}. --- 3\ieme{}
+    édition, revue par \textsc{M.~Hermite}; in-\quarto\kern-.5em, lith., 1886 \Dotfill
+    14~fr.
+%
+\item[DESPEYROUS.]--- \textbf{Cours de Mécanique rationnelle},
+avec des notes par \textsc{M.G.~Darboux}, de l'Institut, professeur à la
+Faculté des sciences.  --- 2~vol.\ gr.\ in-\octavo\kern-.5em, 1884--86, de près de
+1,100 pages \Dotfill 22~fr.
+%
+\item[GRUEY,] professeur d'Astronomie et directeur de l'Observatoire de
+Besançon --- \textbf{Leçons d'Astronomie rédigées conformément au programme de
+la licence}. --- In-\quarto lith. 357 pages, 1885 \Dotfill 16~fr.
+%
+\item[AMPÈRE.]--- \textbf{Théorie mathématique des phénomènes
+électrodynamiques uniquement déduite de l'expérience}. --- 2\ieme{} édition
+conforme à la première, publiée en 1826.--- 2~planches gravées, 1883. \\
+%
+Tirage sur papier fort \Dotfill 5~fr. \\
+%
+Tirage sur papier de Hollande \Dotfill 7~fr.
+%
+\item[P.~DUHEM,] ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de % aspell suggests l'École but the scan is clearly l'Ecole; see below
+l'Université --- \textbf{Le potentiel thermodynamique et ses applications
+à la Mécanique chimique et à l'étude des phénomènes électriques}.
+1 vol.\ gr.\ in-\octavo\kern-.5em, 1886, de près de 300 pages, imprimé en caractères
+compacts  \Dotfill 10~fr.
+%
+\item[E.~CESARO,] de l'Université de Rome, correspondant de la
+Société royale des sciences de Liège --- \textbf{Excursions arithmétiques à
+l'infini}. --- In-\quarto de 120 pages, 1886 \Dotfill 5~fr.~50
+%
+\item[C.~RIQUIER,] agrégé et docteur ès-sciences --- \textbf{Extension à
+l'hyperespace de la méthode de M.~Carl Neumann}, \textit{pour la résolution de
+problèmes relatifs aux fonctions de variables réelles qui vérifient
+l'équation différentielle $\Delta F = 0$}. --- In-\quarto\kern-.5em, 112 pages
+compactes, 1886 \Dotfill 6~fr.
+%
+\item[J.~DESCHAMPS.]--- \textbf{Essai sur le postulatum
+  d'Euclide}. --- 1 vol.\ in-\octavo\kern-.5em, 1885 \Dotfill 1~fr.~50
+%
+\item[H.-A.~ROWLAND.]--- Professor at the Johns Hopkins University,
+Baltimore. --- \textbf{Photograph of the normal Solar Spectrum}. ---
+1886. \\
+%
+The set of seven plates, unmounted \Dotfill 52~fr. \\
+%
+The set of seven plates, mounted on cloth \Dotfill 63~fr.
+%
+\item[THÉVENET,] docteur ès-sciences, professeur à l'École supérieure des % scan has l'École
+sciences d'Alger --- \textbf{Etude analytique du déplacement infiniment % aspell suggests Étude but the scan is clearly Etude
+petit d'un corps solide}. --- In-\quarto de 156 p., avec
+figures. 1886. \Dotfill 6~fr.
+%
+\item[DESCARTES.]--- \textbf{Géométrie}. ---
+Petit in-\quarto carré avec 32 figures gravées intercalées dans le
+texte. --- 1886. \\
+%
+Tirage sur papier glacé \Dotfill 5~fr.\\
+%
+Tirage sur papier de Hollande \Dotfill 8~fr.
+%
+\item[J.~TANNERY,] sous-directeur des études scientifiques à
+l'École normale supérieure --- \textbf{Introduction à la théorie des fonctions % aspell suggests l'École but the scan is clearly l'Ecole; see above
+d'une variable}. --- 1~vol.\ gr.\ in-\octavo de 400 pages
+compactes. --- 1886. \Dotfill 12~fr.
+\end{catalogue}
+
+% we *do* want the licence to start recto, to emphasise it is an addition
+\ifPaper\cleartorecto\else\clearpage\fi
+\def\rightmark{LICENSING}\let\leftmark\rightmark
+\pagestyle{amsbook}
+\setlength\parskip{0pt}\raggedbottom
+\phantomsection
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Project Gutenberg Licensing Information}
+\selectlanguage{english}
+\hypertarget{PGlicence}{ }\par
+\begin{verbatim}
+End of the Project Gutenberg EBook of Mémoire sur les équations résolubles
+algébriquement, by M. Despeyrous
+
+*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ***
+
+***** This file should be named 26118-pdf.pdf or 26118-pdf.zip *****
+This and all associated files of various formats will be found in:
+        http://www.gutenberg.org/2/6/1/1/26118/
+
+Produced by Joshua Hutchinson, David Wilson and the Online
+Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This
+etext was produced using images from the Cornell University
+Library: Historical Mathematics Monographs collection.)
+
+
+Updated editions will replace the previous one--the old editions
+will be renamed.
+
+Creating the works from public domain print editions means that no
+one owns a United States copyright in these works, so the Foundation
+(and you!) can copy and distribute it in the United States without
+permission and without paying copyright royalties.  Special rules,
+set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to
+copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to
+protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark.  Project
+Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you
+charge for the eBooks, unless you receive specific permission.  If you
+do not charge anything for copies of this eBook, complying with the
+rules is very easy.  You may use this eBook for nearly any purpose
+such as creation of derivative works, reports, performances and
+research.  They may be modified and printed and given away--you may do
+practically ANYTHING with public domain eBooks.  Redistribution is
+subject to the trademark license, especially commercial
+redistribution.
+
+
+
+*** START: FULL LICENSE ***
+
+THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE
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+To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free
+distribution of electronic works, by using or distributing this work
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+Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project
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+electronic works
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+things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works
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+paragraph 1.C below.  There are a lot of things you can do with Project
+Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement
+and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic
+works.  See paragraph 1.E below.
+
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+or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project
+Gutenberg-tm electronic works.  Nearly all the individual works in the
+collection are in the public domain in the United States.  If an
+individual work is in the public domain in the United States and you are
+located in the United States, we do not claim a right to prevent you from
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+
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+     has agreed to donate royalties under this paragraph to the
+     Project Gutenberg Literary Archive Foundation.  Royalty payments
+     must be paid within 60 days following each date on which you
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+     returns.  Royalty payments should be clearly marked as such and
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+
+- You comply with all other terms of this agreement for free
+     distribution of Project Gutenberg-tm works.
+
+1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
+electronic work or group of works on different terms than are set
+forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
+both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
+Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
+Foundation as set forth in Section 3 below.
+
+1.F.
+
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+of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project
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+LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE
+PROVIDED IN PARAGRAPH F3.  YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE
+TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE
+LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
+INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH
+DAMAGE.
+
+1.F.3.  LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a
+defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can
+receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a
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+received the work on a physical medium, you must return the medium with
+your written explanation.  The person or entity that provided you with
+the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a
+refund.  If you received the work electronically, the person or entity
+providing it to you may choose to give you a second opportunity to
+receive the work electronically in lieu of a refund.  If the second copy
+is also defective, you may demand a refund in writing without further
+opportunities to fix the problem.
+
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+in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
+WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
+WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.
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+1.F.5.  Some states do not allow disclaimers of certain implied
+warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages.
+If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the
+law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be
+interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
+the applicable state law.  The invalidity or unenforceability of any
+provision of this agreement shall not void the remaining provisions.
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+1.F.6.  INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the
+trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
+providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
+with this agreement, and any volunteers associated with the production,
+promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
+harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
+that arise directly or indirectly from any of the following which you do
+or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
+work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
+Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.
+
+
+Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm
+
+Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
+electronic works in formats readable by the widest variety of computers
+including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
+because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
+people in all walks of life.
+
+Volunteers and financial support to provide volunteers with the
+assistance they need, is critical to reaching Project Gutenberg-tm's
+goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
+remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
+Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
+and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
+To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
+and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
+and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.
+
+
+Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
+Foundation
+
+The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
+501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
+state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
+Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
+number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
+http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
+permitted by U.S. federal laws and your state's laws.
+
+The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
+Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
+throughout numerous locations.  Its business office is located at
+809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
+business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
+information can be found at the Foundation's web site and official
+page at http://pglaf.org
+
+For additional contact information:
+     Dr. Gregory B. Newby
+     Chief Executive and Director
+     gbnewby@pglaf.org
+
+
+Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation
+
+Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
+spread public support and donations to carry out its mission of
+increasing the number of public domain and licensed works that can be
+freely distributed in machine readable form accessible by the widest
+array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
+($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
+status with the IRS.
+
+The Foundation is committed to complying with the laws regulating
+charities and charitable donations in all 50 states of the United
+States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
+considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
+with these requirements.  We do not solicit donations in locations
+where we have not received written confirmation of compliance.  To
+SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
+particular state visit http://pglaf.org
+
+While we cannot and do not solicit contributions from states where we
+have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
+against accepting unsolicited donations from donors in such states who
+approach us with offers to donate.
+
+International donations are gratefully accepted, but we cannot make
+any statements concerning tax treatment of donations received from
+outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.
+
+Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
+methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
+ways including checks, online payments and credit card donations.
+To donate, please visit: http://pglaf.org/donate
+
+
+Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
+works.
+
+Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
+concept of a library of electronic works that could be freely shared
+with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
+Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.
+
+
+Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
+editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
+unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
+keep eBooks in compliance with any particular paper edition.
+
+
+Most people start at our Web site which has the main PG search facility:
+
+     http://www.gutenberg.org
+
+This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
+including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
+Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
+subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
+\end{verbatim}
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
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+% End of the Project Gutenberg EBook of Mémoire sur les équations résolubles
+% algébriquement, by M. Despeyrous                                        %
+%                                                                         %
+% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ***   %
+%                                                                         %
+% ***** This file should be named 26118-t.tex or 26118-t.zip *****        %
+% This and all associated files of various formats will be found in:      %
+%         http://www.gutenberg.org/2/6/1/1/26118/                         %
+%                                                                         %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
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+\c@poemline=\count91
+\c@modulo@vs=\count92
+\vleftskip=\skip92
+\vrightskip=\skip93
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+\vgap=\skip96
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+\vleftmargin=\dimen104
+\c@verse=\count93
+\c@chrsinstr=\count94
+\beforepoemtitleskip=\skip98
+\afterpoemtitleskip=\skip99
+\c@poem=\count95
+\beforePoemTitleskip=\skip100
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+\afterPoemTitleskip=\skip102
+\col@sep=\dimen105
+\extrarowheight=\dimen106
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+\c@newflo@tctr=\count105
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+\subfloatbottomskip=\skip114
+\subfloatlabelskip=\skip115
+\subfloatcapmargin=\dimen126
+\c@@contsubnum=\count106
+\beforeepigraphskip=\skip116
+\afterepigraphskip=\skip117
+\epigraphwidth=\skip118
+\epigraphrule=\skip119
+LaTeX Info: Redefining \em on input line 4895.
+LaTeX Info: Redefining \emph on input line 4903.
+\tocentryskip=\skip120
+\tocbaseline=\skip121
+\cftparskip=\skip122
+\cftbeforepartskip=\skip123
+\cftpartindent=\skip124
+\cftpartnumwidth=\skip125
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+\cftchapterindent=\skip127
+\cftchapternumwidth=\skip128
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+\cftsectionindent=\skip130
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+\c@maxsecnumdepth=\count107
+\bibindent=\dimen127
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+\@indexbox=\insert233
+\glossarycolsep=\dimen128
+\glossaryrule=\dimen129
+\sideparvshift=\skip147
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+\sidebarwidth=\skip150
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+\footinsv@r=\insert231
+\@mpfootinsv@r=\insert230
+\m@m@k=\count108
+\m@m@h=\dimen130
+\m@mipn@skip=\skip155
+\c@sheetsequence=\count109
+\c@lastsheet=\count110
+\c@lastpage=\count111
+\every@verbatim=\toks19
+\afterevery@verbatim=\toks20
+\verbatim@line=\toks21
+\tab@position=\count112
+\verbatim@in@stream=\read1
+\verbatimindent=\skip156
+\verbatim@out=\write3
+\bvboxsep=\skip157
+\c@bvlinectr=\count113
+\bvnumlength=\skip158
+\FrameRule=\dimen131
+\FrameSep=\dimen132
+\c@cp@cntr=\count114
+LaTeX Info: Redefining \: on input line 8292.
+LaTeX Info: Redefining \! on input line 8294.
+\c@ism@mctr=\count115
+\c@xsm@mctr=\count116
+\c@csm@mctr=\count117
+\c@ksm@mctr=\count118
+\c@xksm@mctr=\count119
+\c@cksm@mctr=\count120
+\c@msm@mctr=\count121
+\c@xmsm@mctr=\count122
+\c@cmsm@mctr=\count123
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+\c@figure=\count126
+\c@lofdepth=\count127
+\c@lofdepth=\count127
+\cftbeforefigureskip=\skip159
+\cftfigureindent=\skip160
+\cftfigurenumwidth=\skip161
+\c@table=\count127
+\c@lotdepth=\count128
+\c@lotdepth=\count128
+\cftbeforetableskip=\skip162
+\cfttableindent=\skip163
+\cfttablenumwidth=\skip164
+Package abstract emulated by memoir.
+Package appendix emulated by memoir.
+Package array emulated by memoir.
+Package booktabs emulated by memoir.
+Package ccaption emulated by memoir.
+Package chngcntr emulated by memoir.
+Package chngpage emulated by memoir.
+Package crop emulated by memoir.
+Package dcolumn emulated by memoir.
+Package delarray emulated by memoir.
+Package enumerate emulated by memoir.
+Package epigraph emulated by memoir.
+Package framed emulated by memoir.
+Package ifmtarg emulated by memoir.
+Package ifpdf emulated by memoir.
+Package index emulated by memoir.
+Package makeidx emulated by memoir.
+Package moreverb emulated by memoir.
+Package needspace emulated by memoir.
+Package newfile emulated by memoir.
+Package nextpage emulated by memoir.
+Package patchcmd emulated by memoir.
+Package shortvrb emulated by memoir.
+Package showidx emulated by memoir.
+Package tabularx emulated by memoir.
+Package titleref emulated by memoir.
+Package titling emulated by memoir.
+Package tocbibind emulated by memoir.
+Package tocloft emulated by memoir.
+Package verbatim emulated by memoir.
+Package verse emulated by memoir.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/memoir/mempatch.sty
+File: mempatch.sty 2005/10/06 v4.1 Patches for memoir class v1.618
+\m@mscap@capbox=\box26
+\m@mscap@fbox=\box27
+\sidecapsep=\dimen133
+\sidecapwidth=\dimen134
+\m@m@tempdima=\dimen135
+\m@mscapraise=\dimen136
+\sidecapraise=\dimen137
+\m@mscapmainwidth=\dimen138
+\m@mscaplkern=\dimen139
+))
+
+******************************************************
+Stock height and width: 711.3189pt by 500.7685pt
+Top and edge trims: 0.0pt and 0.0pt
+Page height and width: 711.3189pt by 500.7685pt
+Text height and width: 560.51923pt by 361.0pt
+Spine and edge margins: 65.44142pt and 73.97733pt
+Upper and lower margins: 88.2037pt and 62.59596pt
+Headheight and headsep: 12.0pt and 28.45274pt
+Footskip: 17.07182pt
+Columnsep and columnseprule: 10.0pt and 0.0pt
+Marginparsep and marginparwidth: 7.0pt and 59.0pt
+******************************************************
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
+File: latin1.def 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2005/05/21 v3.8g The Babel package
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/english.ldf
+Language: english 2005/03/30 v3.3o English support from the babel system
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2005/05/21 v3.8g Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count128
+\U@D=\dimen140
+)
+\l@british = a dialect from \language\l@english 
+\l@UKenglish = a dialect from \language\l@english 
+\l@canadian = a dialect from \language\l@american 
+\l@australian = a dialect from \language\l@british 
+\l@newzealand = a dialect from \language\l@british 
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
+Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
+
+Package babel Warning: No hyphenation patterns were loaded for
+(babel)                the language `French'
+(babel)                I will use the patterns loaded for \language=0 instead.
+
+\l@french = a dialect from \language0
+Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
+Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
+Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
+Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
+\parindentFFN=\dimen141
+\std@mcc=\count129
+\dec@mcc=\count130
+*************************************
+* Local config file frenchb.cfg used
+*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf/te
+x/latex/lm/lmodern.sty
+Package: lmodern 2005/02/28
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
+Package: fontenc 2004/02/22 v1.99f Standard LaTeX package
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
+File: t1enc.def 2004/02/22 v1.99f Standard LaTeX file
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
+))
+LaTeX Info: Redefining \ttfamily on input line 195.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsmath.sty
+Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
+\@mathmargin=\skip165
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
+\@emptytoks=\toks22
+\ex@=\dimen142
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
+\pmbraise@=\dimen143
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsopn.sty
+Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
+)
+\inf@bad=\count131
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
+\uproot@=\count132
+\leftroot@=\count133
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
+\classnum@=\count134
+\DOTSCASE@=\count135
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
+\Mathstrutbox@=\box28
+\strutbox@=\box29
+\big@size=\dimen144
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
+\macc@depth=\count136
+\c@MaxMatrixCols=\count137
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count138
+\dspbrk@lvl=\count139
+\tag@help=\toks23
+\row@=\count140
+\column@=\count141
+\maxfields@=\count142
+\andhelp@=\toks24
+\eqnshift@=\dimen145
+\alignsep@=\dimen146
+\tagshift@=\dimen147
+\tagwidth@=\dimen148
+\totwidth@=\dimen149
+\lineht@=\dimen150
+\@envbody=\toks25
+\multlinegap=\skip166
+\multlinetaggap=\skip167
+\mathdisplay@stack=\toks26
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsthm.sty
+Package: amsthm 2004/08/06 v2.20
+\thm@style=\toks27
+\thm@bodyfont=\toks28
+\thm@headfont=\toks29
+\thm@notefont=\toks30
+\thm@headpunct=\toks31
+\thm@preskip=\skip168
+\thm@postskip=\skip169
+\thm@headsep=\skip170
+\dth@everypar=\toks32
+)
+\footinsT=\insert229
+\c@footnoteT=\count143
+\@mpfootinsT=\insert228
+\c@mpfootnoteT=\count144
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/perpage.sty
+Package: perpage 2002/12/20 v1.0 Reset counters per page
+)
+\c@pcabs@footnote=\count145
+\c@pcabs@footnoteT=\count146
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks33
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2001/07/07 v1.0n Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/config/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2001/08/31 v1.1 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 80.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/pdftex.def
+File: pdftex.def 2005/06/20 v0.03m graphics/color for pdftex
+\Gread@gobject=\count147
+))
+\Gin@req@height=\dimen151
+\Gin@req@width=\dimen152
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2003/11/30 v6.74m Hypertext links for LaTeX
+\@linkdim=\dimen153
+\Hy@linkcounter=\count148
+\Hy@pagecounter=\count149
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2003/11/30 v6.74m Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/config/hyperref.cfg
+File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+)
+Package hyperref Info: Option `draft' set `true' on input line 1830.
+Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 1830.
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 1880.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 1885.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 1888.
+Package hyperref Info: Plain pages ON on input line 1893.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 1900.
+Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2004.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip11
+Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
+)
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 2143.
+\Fld@menulength=\count150
+\Field@Width=\dimen154
+\Fld@charsize=\dimen155
+\Choice@toks=\toks34
+\Field@toks=\toks35
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2618.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2623.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2626.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 2633.
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 2636.
+\c@Item=\count151
+)
+*hyperref using default driver hpdftex*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+File: hpdftex.def 2003/11/30 v6.74m Hyperref driver for pdfTeX
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/pifont.sty
+Package: pifont 2004/09/15 PSNFSS-v9.2 Pi font support (SPQR) 
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+pzd on input line 63.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/upzd.fd
+File: upzd.fd 2001/06/04 font definitions for U/pzd.
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+psy on input line 64.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/upsy.fd
+File: upsy.fd 2001/06/04 font definitions for U/psy.
+))
+\Fld@listcount=\count152
+\@outlinefile=\write4
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/memoir/memhfixc.sty
+Package: memhfixc 2004/05/13 v1.6 package fixes for memoir class
+)
+
+LaTeX Warning: You have requested, on input line 432, version
+               `2005/11/15' of package memhfixc,
+               but only version
+               `2004/05/13 v1.6 package fixes for memoir class'
+               is available.
+
+Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 445
+.
+Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 445.
+Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 445.
+Package hyperref Info: Option `plainpages' set `false' on input line 451.
+\wmbox=\box30
+(./26118-t.aux)
+\openout1 = `26118-t.aux'.
+
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 561.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 561.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 561.
+(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
+File: t1lmr.fd 2006/04/24 v1.2 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 561.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 561.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 561.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 561.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 561.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
+\c@lofdepth=\count153
+\c@lotdepth=\count154
+
+Package frenchb.ldf Warning: The definition of \@makecaption has been changed,
+(frenchb.ldf)                frenchb will NOT customize it;
+(frenchb.ldf)                reported on input line 561.
+
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 561.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/context/base/supp-pdf.tex (/usr/share/texmf-texli
+ve/tex/context/base/supp-mis.tex
+loading : Context Support Macros / Miscellaneous (2004.10.26)
+\protectiondepth=\count155
+\scratchcounter=\count156
+\scratchtoks=\toks36
+\scratchdimen=\dimen156
+\scratchskip=\skip171
+\scratchmuskip=\muskip12
+\scratchbox=\box31
+\scratchread=\read2
+\scratchwrite=\write5
+\zeropoint=\dimen157
+\onepoint=\dimen158
+\onebasepoint=\dimen159
+\minusone=\count157
+\thousandpoint=\dimen160
+\onerealpoint=\dimen161
+\emptytoks=\toks37
+\nextbox=\box32
+\nextdepth=\dimen162
+\everyline=\toks38
+\!!counta=\count158
+\!!countb=\count159
+\recursecounter=\count160
+)
+loading : Context Support Macros / PDF (2004.03.26)
+\nofMPsegments=\count161
+\nofMParguments=\count162
+\MPscratchCnt=\count163
+\MPscratchDim=\dimen163
+\MPnumerator=\count164
+\everyMPtoPDFconversion=\toks39
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
+Package: color 1999/02/16 v1.0i Standard LaTeX Color (DPC)
+LaTeX Info: Redefining \color on input line 71.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/config/color.cfg
+File: color.cfg 2001/08/31 v1.1 color configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 125.
+)
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 561.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
+Package: nameref 2003/12/03 v2.21 Cross-referencing by name of section
+\c@section@level=\count165
+)
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 561.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 561.
+(./26118-t.out) (./26118-t.out)
+\openout4 = `26118-t.out'.
+
+Redoing nameref's sectioning
+Redoing nameref's label
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+pcr on input line 568.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/t1pcr.fd
+File: t1pcr.fd 2001/06/04 font definitions for T1/pcr.
+) [1
+
+{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2
+
+] <images/decoration.pdf, id=158, 653.44125pt x 77.28876pt>
+File: images/decoration.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/decoration.pdf> [1
+
+ <./images/decoration.pdf>] [2] [1
+
+
+
+] [2] [3] [4
+
+]
+Underfull \vbox (badness 2359) has occurred while \output is active []
+
+[5] [6]
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+lmr on input line 983.
+
+LaTeX Font Info:    No file OMSlmr.fd. on input line 983.
+
+LaTeX Font Warning: Font shape `OMS/lmr/m/n' undefined
+(Font)              using `OMS/cmsy/m/n' instead
+(Font)              for symbol `textdagger' on input line 983.
+
+[7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18
+
+] [19] [20] [21] [22] [23]
+Underfull \hbox (badness 1400) in paragraph at lines 1945--1947
+[][]\T1/lmr/m/sc/10 Théorème IX[].---[]\T1/lmr/m/it/10 Il est im-pos-si-ble de 
+ré-soudre al-gébrique-ment les équa-tions
+ []
+
+[24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39]
+[40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55
+
+] [56
+
+] [57] [58
+
+] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] (./26118-t.aux)
+
+ *File List*
+  memoir.cls    2005/09/25 v1.618 configurable document class
+   mem10.clo    2002/07/27 v0.2 memoir class 10pt size option
+mempatch.sty    2005/10/06 v4.1 Patches for memoir class v1.618
+inputenc.sty    2004/02/05 v1.0d Input encoding file
+  latin1.def    2004/02/05 v1.0d Input encoding file
+   babel.sty    2005/05/21 v3.8g The Babel package
+ english.ldf    2005/03/30 v3.3o English support from the babel system
+ frenchb.ldf
+ frenchb.cfg
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+ fontenc.sty
+   t1enc.def    2004/02/22 v1.99f Standard LaTeX file
+ amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
+ amstext.sty    2000/06/29 v2.01
+  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
+  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
+  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
+  amsthm.sty    2004/08/06 v2.20
+ perpage.sty    2002/12/20 v1.0 Reset counters per page
+graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+graphics.sty    2001/07/07 v1.0n Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+graphics.cfg    2001/08/31 v1.1 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+  pdftex.def    2005/06/20 v0.03m graphics/color for pdftex
+hyperref.sty    2003/11/30 v6.74m Hypertext links for LaTeX
+  pd1enc.def    2003/11/30 v6.74m Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
+ hpdftex.def    2003/11/30 v6.74m Hyperref driver for pdfTeX
+  pifont.sty    2004/09/15 PSNFSS-v9.2 Pi font support (SPQR) 
+    upzd.fd    2001/06/04 font definitions for U/pzd.
+    upsy.fd    2001/06/04 font definitions for U/psy.
+memhfixc.sty    2004/05/13 v1.6 package fixes for memoir class
+   t1lmr.fd    2006/04/24 v1.2 Font defs for Latin Modern
+supp-pdf.tex
+   color.sty    1999/02/16 v1.0i Standard LaTeX Color (DPC)
+   color.cfg    2001/08/31 v1.1 color configuration of teTeX/TeXLive
+ nameref.sty    2003/12/03 v2.21 Cross-referencing by name of section
+ 26118-t.out
+ 26118-t.out
+   t1pcr.fd    2001/06/04 font definitions for T1/pcr.
+images/decoration.pdf
+ ***********
+
+
+LaTeX Font Warning: Some font shapes were not available, defaults substituted.
+
+ ) 
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 6859 strings out of 95148
+ 86930 string characters out of 1184452
+ 191354 words of memory out of 1000000
+ 9759 multiletter control sequences out of 10000+50000
+ 93449 words of font info for 61 fonts, out of 500000 for 2000
+ 73 hyphenation exceptions out of 8191
+ 26i,15n,38p,269b,447s stack positions out of 1500i,500n,5000p,200000b,5000s
+PDF statistics:
+ 836 PDF objects out of 300000
+ 154 named destinations out of 131072
+ 294 words of extra memory for PDF output out of 10000
+{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-ec.enc}</usr/share/texmf/fonts/type1/
+public/lm/lmri9.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmbx9.pfb></usr/sha
+re/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/fmex7.pfb></usr/share/texmf/fonts/type
+1/public/lm/lmri7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy9.pf
+b></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr9.pfb></usr/share/texmf-t
+exlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/p
+ublic/cmex/fmex9.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr9.pfb></usr/sha
+re/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr5.pfb></usr/share/texmf-texlive/font
+s/type1/bluesky/cm/cmmi5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/c
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+texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/
+type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cme
+x10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmbx10.pfb></usr/share/texmf-te
+xlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bl
+uesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></
+usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texl
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+/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts
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+usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr8.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu
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+.pfb>{/usr/share/texmf-texlive/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}</usr/share/texmf-te
+xlive/fonts/type1/urw/courier/ucrr8a.pfb>
+Output written on 26118-t.pdf (69 pages, 863039 bytes).
diff --git a/26118-t/images/decoration.eps b/26118-t/images/decoration.eps
new file mode 100644
index 0000000..2c77af8
--- /dev/null
+++ b/26118-t/images/decoration.eps
@@ -0,0 +1,320 @@
+%!PS-Adobe-3.0
+% Woodtype ornaments "S"
+%%BoundingBox: 252 588 345 599
+%%Pages: 1
+%%PageOrder: Ascend
+%%DocumentSuppliedResources: font woor 
+%%BeginProlog
+/PGdict 20 dict def
+PGdict begin
+/n/.notdef def
+% texnansi encoding
+/texnansi[ n/uni20AC n n/fraction/dotaccent/hungarumlaut/ogonek
+/fl n/cwm/ff/fi n/ffi/ffl
+/dotlessi/dotlessj/grave/acute/caron/breve/macron/ring
+/cedilla/germandbls/ae/oe/oslash/AE/OE/Oslash
+/space/exclam/quotedbl/numbersign/dollar/percent/ampersand/quoteright
+/parenleft/parenright/asterisk/plus/comma/hyphen/period/slash
+/zero/one/two/three/four/five/six/seven
+/eight/nine/colon/semicolon/less/equal/greater/question
+/at/A/B/C/D/E/F/G
+/H/I/J/K/L/M/N/O
+/P/Q/R/S/T/U/V/W
+/X/Y/Z/bracketleft/backslash/bracketright/circumflex/underscore
+/quoteleft/a/b/c/d/e/f/g
+/h/i/j/k/l/m/n/o
+/p/q/r/s/t/u/v/w
+/x/y/z/braceleft/bar/braceright/tilde/dieresis
+/Lslash/quotesingle/quotesinglbase/florin/quotedblbase/ellipsis/dagger/daggerdbl
+/circumflex/perthousand/Scaron/guilsinglleft/OE/Zcaron/asciicircum/minus
+/lslash/quoteleft/quoteright/quotedblleft/quotedblright/bullet/endash/emdash
+/tilde/trademark/scaron/guilsinglright/oe/zcaron/asciitilde/Ydieresis
+/space/exclamdown/cent/sterling/currency/yen/brokenbar/section
+/dieresis/copyright/ordfeminine/guillemotleft/logicalnot/sfthyphen/registered/macron
+/degree/plusminus/twosuperior/threesuperior/acute/mu/paragraph/periodcentered
+/cedilla/onesuperior/ordmasculine/guillemotright/onequarter/onehalf/threequarters/questiondown
+/Agrave/Aacute/Acircumflex/Atilde/Adieresis/Aring/AE/Ccedilla
+/Egrave/Eacute/Ecircumflex/Edieresis/Igrave/Iacute/Icircumflex/Idieresis
+/Eth/Ntilde/Ograve/Oacute/Ocircumflex/Otilde/Odieresis/multiply
+/Oslash/Ugrave/Uacute/Ucircumflex/Udieresis/Yacute/Thorn/germandbls
+/agrave/aacute/acircumflex/atilde/adieresis/aring/ae/ccedilla
+/egrave/eacute/ecircumflex/edieresis/igrave/iacute/icircumflex/idieresis
+/eth/ntilde/ograve/oacute/ocircumflex/otilde/odieresis/divide
+/oslash/ugrave/uacute/ucircumflex/udieresis/yacute/thorn/ydieresis]def
+% definitions
+/bd{bind def}def
+/xd{exch def}def
+/u{currentpoint 6 copy pop pop}bd
+/o{pop pop pop pop moveto}bd
+/O{10{pop}repeat moveto}bd
+/s{show}def
+/S{show dup 0 rmoveto}def
+/r{0 rmoveto}bd
+/W{dup 0 rmoveto exch pop}bd
+/d{0 exch rmoveto}bd
+/sf{setfont}def
+/mf{exch findfont exch [ exch 0 0 2 index neg 0 0 ] makefont def}bd
+/bop{/PhysicalPage xd /LogicalPage xd gsave settrn 0 0 0 0 0 0 moveto}bd
+/eop{pop pop pop pop grestore showpage}def
+/forscl{72 PageHeight 72 sub translate dviscl dup neg scale}bd
+/undscl{1 dviscl div dup neg scale currentpoint translate}bd
+/revscl{1 dviscl div dup neg scale 72 neg PageHeight 72 sub neg translate}bd
+/settrn{%/dvimatrix 6 array currentmatrix def
+	/dviscl num den div 72 254000 div mul def
+	xoffset yoffset neg translate
+	PageWidth 2 div PageHeight 2 div 2 copy translate
+	rotation rotate	xmagnif ymagnif scale
+	neg exch neg exch translate forscl
+	mag 1000 div dup scale	% w.r.t. TeX origin
+}bd
+end
+%%EndProlog
+%%BeginSetup
+PGdict begin
+%%BeginResource: font woor
+%!PS-AdobeFont-1.0: WoodtypeOrnaments-One 001.001
+%%CreationDate: Fri Sep 13 15:37:02 1991
+%% Adobe Wood Type is a trademark of Adobe Systems Incorporated.
+11 dict begin
+/FontInfo 11 dict dup begin
+/version (001.001) readonly def
+/Notice (Copyright (c) 1989, 1991 Adobe Systems Incorporated.  All Rights Reserved.Adobe Wood Type is a trademark of Adobe Systems Incorporated.) readonly def
+/FullName (Adobe Wood Type Ornaments One) readonly def
+/FamilyName (Adobe Wood Type) readonly def
+/Weight (Medium) readonly def
+/ItalicAngle 0 def
+/isFixedPitch false def
+/UnderlinePosition -100 def
+/UnderlineThickness 50 def
+/BaseFontName (WoodtypeOrnaments-One) def
+end readonly def
+/FontName /woor def
+/Encoding 256 array
+0 1 255 {1 index exch /.notdef put} for
+dup 83 /dash3 put
+readonly def
+/PaintType 0 def
+/FontType 1 def
+/FontMatrix [0.001 0 0 0.001 0 0] readonly def
+/UniqueID 36325 def
+/FontBBox{0 0 1024 686}readonly def
+currentdict end
+currentfile eexec
+79544B521D2D38482B102CBEF0B8D9A313B9BB2B38B23F1A424DFBF3D6D989A2EC97DF356F9655
+D7E9E41E33889B91D605ADF5408062743A0DEE2D7CEE6F8F67744B1291458A2E863BFF841B0B58
+973047251BADA3FA9315AD83B63A8866DAE34276D43C9C2C9C5CFE8F648A67E995EAD7CEFEF4F2
+D75C62E3C4E6F1DEE3009A724E7324A168FF403E3FC3CA5817D623DCCBD8C3D6DFDFA3F7D0B4E1
+6C57EADE90E8BAC833D2AF2F80D91C39F71DA975E1A4871BEBDFA91F4F6C7CC6B1C9DDB2C4CECC
+1BD759E4B548DC5D79ACDF2259129A140A28C4F747101F30AE1C47BAF0D290022772EDDE3DAA72
+CC55AF72286BA63CDC5D219048F1BE48DF6E7D61179C925BFCF35FACF6C4EF785151CC5A193917
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+EAFA8661D43AD776881EF7B051AC950AB7632ACD58BA7AA704ED436E96F254A745EEFF14ABE4DF
+C72A144EAAC0F55D75F2BEA7B374C3C6174C123B3720C0E9BE4E078BB52E0228605E8A4551F495
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+CAE8A59792BCC235C8B64E5828680AF220DD7B5511FDBE6AFCEC705E9D66D09CDD2F22F99A5294
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