diff options
| author | Roger Frank <rfrank@pglaf.org> | 2025-10-14 19:59:20 -0700 |
|---|---|---|
| committer | Roger Frank <rfrank@pglaf.org> | 2025-10-14 19:59:20 -0700 |
| commit | 9e64d1a5415e5b18847b2391bb4590d813c88316 (patch) | |
| tree | 665811daf32bd9ecc2a297b2b35949325b567f43 | |
| -rw-r--r-- | .gitattributes | 3 | ||||
| -rw-r--r-- | 33330-pdf.pdf | bin | 0 -> 510804 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 33330-pdf.zip | bin | 0 -> 431365 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 33330-t.zip | bin | 0 -> 71069 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 33330-t/33330-t.tex | 8002 | ||||
| -rw-r--r-- | 33330-t/old/33330-t.tex | 7996 | ||||
| -rw-r--r-- | 33330-t/old/33330-t.zip | bin | 0 -> 71003 bytes | |||
| -rw-r--r-- | LICENSE.txt | 11 | ||||
| -rw-r--r-- | README.md | 2 |
9 files changed, 16014 insertions, 0 deletions
diff --git a/.gitattributes b/.gitattributes new file mode 100644 index 0000000..6833f05 --- /dev/null +++ b/.gitattributes @@ -0,0 +1,3 @@ +* text=auto +*.txt text +*.md text diff --git a/33330-pdf.pdf b/33330-pdf.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e3776aa --- /dev/null +++ b/33330-pdf.pdf diff --git a/33330-pdf.zip b/33330-pdf.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0b05a77 --- /dev/null +++ b/33330-pdf.zip diff --git a/33330-t.zip b/33330-t.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..a7fc334 --- /dev/null +++ b/33330-t.zip diff --git a/33330-t/33330-t.tex b/33330-t/33330-t.tex new file mode 100644 index 0000000..2e85240 --- /dev/null +++ b/33330-t/33330-t.tex @@ -0,0 +1,8002 @@ +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% The Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von linearen +% partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz +% % +% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with % +% almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Randwertaufgaben bei Systemen von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung +% % +% Author: Wallie Abraham Hurwitz % +% % +% Release Date: August 2, 2010 [EBook #33330] % +% Most recently updated: June 11, 2021 % +% % +% Language: German % +% % +% Character set encoding: UTF-8 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMEN VON LINEAREN PARTIELLEN *** +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{33330} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% babel: German language Hyphenation. Required. %% +%% %% +%% amsmath: AMS mathematics enhancements. Required. %% +%% amssymb: Additional mathematical symbols. Required. %% +%% %% +%% ifthen: Logical conditionals. Required. %% +%% alltt: Fixed-width font environment. Required. %% +%% indentfirst: Indent first word of each sectional unit. Optional. %% +%% %% +%% soul: Gesperrt text. Optional. %% +%% booktabs: Table package. Optional. %% +%% multirow: Table entries spanning multiple rows. Required. %% +%% footmisc: Extended footnote capabilities. Required. %% +%% %% +%% nicefrac: Diagonal fractions. Optional. %% +%% %% +%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required. %% +%% %% +%% geometry: Enhanced page layout package. Required. %% +%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required. %% +%% %% +%% Compilation Flags: %% +%% %% +%% The following behavior may be controlled by boolean flags. %% +%% %% +%% ForPrinting (false by default): %% +%% Compile a screen-optimized PDF file. Set to true for print- %% +%% optimized file (two-sided layout, black hyperlinks). %% +%% %% +%% %% +%% %% +%% PDF pages: 109 %% +%% %% +%% Compile History: %% +%% %% +%% 2007-May-07 rwst. Compiled with pdflatex: %% +%% [pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5)] %% +%% %% +%% 2010-July-28 adhere. Compiled with pdflatex: %% +%% [pdfeTeX, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)] %% +%% %% +%% pdflatex x3 %% +%% %% +%% %% +%% August 2010: pglatex. %% +%% Compile this project with: %% +%% pdflatex 33330-t.tex ..... THREE times %% +%% %% +%% pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) %% +%% %% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\listfiles +\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16] +\usepackage[utf8]{inputenc}[2006/05/05] +\usepackage[german]{babel}[2005/11/23] + +\usepackage{amsmath}[2000/07/18] +\usepackage{amssymb}[2002/01/22] + + +\usepackage{ifthen}[2001/05/26] %% Logical conditionals +\usepackage{alltt}[1997/06/16] + +\IfFileExists{indentfirst.sty}{% + \usepackage{indentfirst}[1995/11/23] +}{} + +\IfFileExists{soul.sty}{% + \usepackage{soul}[2003/11/17] + \sodef{\so}{}{0.15em}{0.5em plus 0.5em}{0.5em plus 0.5em}% +}{% + %% else change gesperrt to italics, which are not used elsewhere + \newcommand\so[1]{\textit{#1}}% +} + +\IfFileExists{booktabs.sty}{% + \usepackage{booktabs}[2005/04/14] +}{} + +\usepackage{multirow} +\usepackage[perpage]{footmisc}[2005/03/17] + +\IfFileExists{nicefrac.sty}{% + \usepackage{nicefrac}[1998/08/04] +}{% + \newcommand{\nicefrac}[2]{#1/#2} +} + +\usepackage{fancyhdr} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% Interlude: Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% ForPrinting=true (default) false +% Asymmetric margins Symmetric margins +% Black hyperlinks Blue hyperlinks +% Start Preface, ToC, etc. recto No blank verso pages +% +% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned +% book. This behavior has been retained. +\newboolean{ForPrinting} + +%% UNCOMMENT the next line for a PRINT-OPTIMIZED VERSION of the text %% +%\setboolean{ForPrinting}{true} + +%% Initialize values to ForPrinting=false +\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1} % Symmetric margins +\newcommand{\HLinkColor}{blue} % Hyperlink color +\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage} +\newcommand{\TransNote}{Anmerkungen der Korrekturleser} +\newcommand{\TransNoteCommon}{% + Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell + University Library: Historical Mathematics Monographs Collection + zur Verfügung gestellt. + \bigskip + + Kleinere typographische Korrekturen und Änderungen der Formatierung + wurden stillschweigend vorgenommen. + \bigskip +} + +\newcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + + Diese PDF-Datei wurde für die Anzeige auf einem Bildschirm + optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Druck angepasst + werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des + LaTeX-Quelltextes. +} +%% Re-set if ForPrinting=true +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins + \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color + \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} + \renewcommand{\TransNote}{Transcriber's Note} + \renewcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + + Diese PDF-Datei wurde für den Druck optimiert, kann bei Bedarf + aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Anweisungen dazu + finden Sie am Anfang des LaTeX-Quelltextes. + } +}{} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \setlength{\paperwidth}{8.5in}% + \setlength{\paperheight}{11in}% + \usepackage[body={6.25in,8in},\Margins]{geometry}[2002/07/08] +}{% else, if ForPrinting=false + \setlength{\paperwidth}{6.5in}% + \setlength{\paperheight}{9in}% + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} + \raggedbottom + \usepackage[body={6.25in,8in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08] +} + +\providecommand{\ebook}{00000} % Overridden during white-washing +\usepackage[pdftex, + hyperfootnotes=false, + pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Randwertaufgaben bei Systemen von Linearen Partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung}, + pdfauthor={Wallie Abraham Hurwitz}, + pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University Library Historical Mathematical Monographs Collection}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%% +\newenvironment{PGtext}{% +\begin{alltt} +\fontsize{11}{13}\ttfamily\selectfont}% +{\end{alltt}} + +%% No hrule in page header +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} +\setlength{\headheight}{15pt} + +\DeclareMathSizes{12}{11}{8}{6} + +\setlength{\emergencystretch}{1.5em} +\newcommand{\loosen}{\spaceskip 0.5em plus 1em minus 0.25em} +\setlength{\parindent}{2em} +\newlength{\TmpLen} + +\newcommand{\DPnote}[1]{} +\newcommand{\DPtypo}[2]{#2} + +\renewcommand{\dh}{d.\;h.} +\newcommand{\ua}{u.\;a.} +\newcommand{\usw}{u.\;s.\;w.} + +\DeclareUnicodeCharacter{00B0}{{}^\circ} +\DeclareUnicodeCharacter{00B1}{\pm} +\DeclareUnicodeCharacter{00B7}{\cdot} +\DeclareUnicodeCharacter{00D7}{\times} +\DeclareUnicodeCharacter{00F7}{\div} +% Adjust footnote markers +\makeatletter +\renewcommand\@makefnmark% + {\mbox{\,\upshape\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} + +\renewcommand\@makefntext[1]% + {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\;}#1} +\makeatother + +\newcommand{\Chaptername}[1]{\centering\bfseries\large #1.\\\fivestar} + +\AtBeginDocument{\renewcommand{\contentsname}{% + \protect\Chaptername{Inhaltsverzeichnis}\protect\vspace{-48pt}% + \thispagestyle{empty}% + } +} + +\newcommand{\HalfTitle}{% + \huge\bfseries\sffamily + \settowidth{\TmpLen}{Differentialgleichungen erster Ordnung.} + \makebox[\TmpLen][c]{Randwertaufgaben}\\ + \makebox[\TmpLen][s]{\loosen bei Systemen von linearen partiellen}\\ + \makebox[\TmpLen][s]{Differentialgleichungen erster Ordnung.} + \normalfont% +} + +%[** TN: Project-specific logic to format headings, print (or not) ToC entries] +\newcommand{\Chapter}[2]{% + \pagestyle{fancy} + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% + \cleardoublepage\vspace*{3cm} + \section*{\Chaptername{#2}} + \ifthenelse{\equal{#2}{Einleitung}}{% + \addtocontents{toc}{\null\hfill{\scriptsize Seite}}% + \addcontentsline{toc}{section}{#2} + }{}% + }{% + \ifthenelse{\equal{#1}{Erstes Kapitel.}}{% + \cleardoublepage\vspace*{3cm} + }{% + \pagebreak[0]\fivestar\vspace{0pt plus 36pt}\pagebreak[3]\par% + } + \section*{\centering\bfseries\large#1\\[0.5\baselineskip]% + \normalsize#2} + \addtocontents{toc}{% + \protect\subsubsection*{\protect\centering\protect\sffamily\protect\footnotesize #1 #2}% + } + \pdfbookmark[0]{#1}{#1} + }% +} + + +\newcommand{\Section}[1]{% + \subsection*{\centering\normalsize\bfseries§~\sffamily#1} + \addcontentsline{toc}{section}{\protect\small§~#1} +} + +\newcommand{\Paragraph}[1]{\par\textbf{#1}\ } + +\newcommand{\Anmerkungen}{% + \cleardoublepage + \section*{\centering\bfseries\Large Anmerkungen der Korrekturleser.\\ + \fivestar} +} + +%% thoughtbreak +%\newcommand{\fivestar}[1][2cm]{{\centering\rule{2cm}{0.5pt}\par}} +\newcommand{\fivestar}[1][2cm]{{\begin{center}\rule{2cm}{0.5pt}\end{center}}} + +%% page number in middle of header +\fancyhf{} +\fancyhead[C]{---\ \thepage\ ---} +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} + +%% array are less spread out +\setlength{\arraycolsep}{1.4pt} + +%% abbreviations for math operators +\DeclareMathOperator{\bigL}{\;\raisebox{-0.5ex}{\LARGE\textit{L}}\;} +\DeclareMathOperator{\OmegaRegion}{\scriptstyle\varOmega} +\newcommand{\area}[2]{\sideset{_{\scriptscriptstyle{#1}}}{_{\scriptscriptstyle{#2}}}\OmegaRegion} +\def\dint{\displaystyle\int} + +\begin{document} + +\pagestyle{empty} +\pagenumbering{Alph} + +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG Titelblatt}{Titelblatt} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{PGtext} +The Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von linearen +partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Randwertaufgaben bei Systemen von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung + +Author: Wallie Abraham Hurwitz + +Release Date: August 2, 2010 [EBook #33330] +Most recently updated: June 11, 2021 + +Language: German + +Character set encoding: UTF-8 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMEN VON LINEAREN PARTIELLEN *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} + +\clearpage + + +%%%% Credits %%%% +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{PGtext} +Produced by Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson +and the Online Distributed Proofreading Team at +http://www.pgdp.net (This file was produced from images +from the Cornell University Library: Historical Mathematics +Monographs collection.) +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\begin{minipage}{0.85\textwidth} +\small +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Anmerkungen zur Transkription}{Anmerkungen zur Transkription} +\subsection*{\centering\normalfont\scshape% +\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}% + +\raggedright +\TransNoteText +\end{minipage} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\mainmatter +\pagenumbering{arabic} +\pagestyle{empty} + +%-----File: 001.png--------------------------------------- +%-----File: 002.png--------------------------------------- +%-----File: 003.png--------------------------------------- +%\thispagestyle{empty} +{\centering +%[** TN: \HalfTitle macro prints the following text] +% Randwertaufgaben +% bei Systemen von linearen partiellen +% Differentialgleichungen erster Ordnung. +\HalfTitle + +\rule{\textwidth}{0.4pt}\vspace*{-\baselineskip}\vspace*{4pt} +\rule{\textwidth}{1.6pt}\vspace*{-\baselineskip}\vspace*{2pt} +\rule{\textwidth}{0.4pt} +\vfill +\hfill\Large\bfseries\sffamily Wallie Abraham Hurwitz.} +%-----File: 004.png--------------------------------------- +%-----File: 005.png--------------------------------------- +\cleardoublepage +\thispagestyle{empty} +{\centering +\HalfTitle +\setlength{\TmpLen}{12pt} + +\vfill +\fivestar +\vfill + +\Large\textbf{Inaugural-Dissertation}\\[\TmpLen] +\footnotesize zur\\[\TmpLen] +\large Erlangung der Doktorwürde\\[\TmpLen] +\footnotesize der\\[\TmpLen] +\normalsize hohen philosophischen Fakultät der Georg-August-Universität\\[\TmpLen] +zu \so{Göttingen}\\[\TmpLen] +\footnotesize vorgelegt von\\[\TmpLen] +\large\textbf{Wallie Abraham Hurwitz}\\[0.5\TmpLen] +\footnotesize aus Joplin, Missouri, V.~St.~A. +\vfill +\fivestar[4cm] +\vfill +\normalsize Göttingen 1910.\\[\TmpLen] +\footnotesize Druck der Dieterichschen Universitäts-Buchdruckerei \\ +(W. Fr.~\so{Kaestner}).\par +} +%-----File: 006.png--------------------------------------- +\cleardoublepage +{\centering +\null\vfill +Tag der mündlichen Prüfung: 13. Juli 1910.\\[0.5\baselineskip] +Referent: Herr Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. \so{Hilbert}. +\vfill} +\clearpage +%-----File: 007.png--------------------------------------- +{\centering +\null\vfill +\textbf{\LARGE Meinen lieben Eltern.} +\vfill} +%-----File: 008.png--------------------------------------- +%-----File: 009.png--------------------------------------- +\tableofcontents + +%% Inhaltsverzeichnis. +%% +%% Seite +%% +%% Einleitung 7 +%% +%% Erstes Kapitel. Die Normalformen der Gleichungssysteme. +%% +%% § 1. Die charakteristische Differentialform 9 +%% § 2. Die Normalformen der Gleichungssysteme 15 +%% +%% Zweites Kapitel. Das elliptische System. +%% +%% § 3. Hilfsmittel zur Theorie des elliptischen Systems 31 +%% § 4. Lösung der Randwertaufgabe für das elliptische System 53 +%% +%% Drittes Kapitel. Das hyperbolische System. +%% +%% § 5. Lösung der Randwertaufgabe für das hyperbolische System 62 +%% +%% Viertes Kapitel. Das parabolische System. +%% +%% § 6. Hilfsmittel zur Theorie des parabolischen Systems 68 +%% § 7. Lösung der Randwertaufgabe für das parabolische System 88 +%-----File: 010.png--------------------------------------- +%-----File: 011.png--------------------------------------- + + +\Chapter{}{Einleitung} + +Bei Untersuchungen allgemeinen Charakters über lineare partielle +Differentialgleichungen sind zwei Problemstellungen von besonderer +Wichtigkeit. Die \so{Anfangswertaufgabe} oder das +\so{Cauchysche Problem} versucht, eine Lösung durch Angabe +ihrer Werte und der Werte gewisser Ableitungen auf einer Kurve +zu bestimmen; dabei werden alle vorkommenden Funktionen in +einer \so{kleinen} Nachbarschaft der Kurve, sowie die Kurve selbst +und die vorgeschriebenen Werte in einer \so{kleinen} Nachbarschaft +eines Punktes als analytisch vorausgesetzt; und die Lösung wird +als analytische Funktion in einer eventuell noch \so{kleinern} +Nachbarschaft +gesucht: das Problem ist hervorragend als analytisches +Problem im \so{kleinen} zu bezeichnen\footnote{ + Die Einschränkung auf ein kleines Gebiet ist manchmal teilweise durch + das Prinzip der analytischen Fortsetzung oder andere Methoden zu + beseitigen; + doch tritt hier sogleich die Notwendigkeit von Eindeutigkeitstheoremen + und damit + verwandten Sätzen ein, welche das Problem aus dem wirklichen Rahmen des + Cauchyschen Problems ausschließen.}. +Dagegen fordert die +\so{Randwertaufgabe} oder das \so{Dirichletsche Problem} von +den gegebenen und gesuchten Funktionen nur Stetigkeit und die +Existenz und Stetigkeit einer geringen Anzahl von Ableitungen, +schreibt die Werte \so{auf einem ganzen vorgegebenen Kurvenstück} +vor, und sucht die Lösung \so{in einem ganzen vorgegebenen +Gebiet}; das Problem ist ein nicht-analytisches +Problem \so{im großen}. Um die Zulassung einer größeren Nachbarschaft +auszugleichen, muß sich eine Randwertaufgabe in der +Regel begnügen, weniger Anforderungen als die Anfangswertaufgabe +beim Vorschreiben der Werte längs der Kurve zu machen. + +Für einzelne Gleichungen, sowie für Gleichungssysteme läßt +sich das Cauchysche Problem durch die Majorantenmethode erledigen; +dagegen geschieht gewöhnlich die Lösung des Dirichletschen +Problems erst durch Ãœberlegungen von schwierigerem Charakter. +%-----File: 012.png--------------------------------------- +Diese Ueberlegungen sind bis jetzt, wie Sommerfeld in +seinem Bericht über \so{Randwertaufgaben bei partiellen +Differentialgleichungen} besonders erwähnt\footnote{ +Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften Bd.~2, S.~506.}, +nur für einzelne +Differentialgleichungen durchgeführt, und zwar meistenteils +für Gleichungen zweiter Ordnung; noch nicht aber für Gleichungssysteme. +In den letzten Jahren haben die Betrachtungen für +Gleichungen zweiter Ordnung in den verschiedenen Fällen, welche +notwendig vorkommen, durch die Methode der Integralgleichungen +eine einheitliche Gestalt angenommen. + +Die Anregung zu solchen Problemstellungen ist von der Physik +ausgegangen; aus den Theorien des Potentials, der schwingenden +Saite und der Wärmeleitung sind die Hilfsmittel entstanden, welche +zur Lösung von Randwertaufgaben bei allgemeinern +\so{Differentialgleichungen +zweiter Ordnung} beigetragen haben. Von +rein mathematischem Standpunkt aus erscheint es gewissermaßen +näher liegend, zunächst Systeme von \so{Differentialgleichungen +erster Ordnung} zu studieren. Für gewöhnliche +Differentialgleichungen hat \so{B\^ocher} von diesem Gesichtspunkte +aus die Theorie von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen +erster Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen untersucht\footnote{ + Transactions of the American Mathematical Society, Bd.~3 (1902), + S.~196--215.}. +Die +vorliegende Arbeit, welche auf Anregung von Herrn Geheimrat +Hilbert entstand, soll für partielle Differentialgleichungen einen +ersten Schritt in derselben Richtung machen, indem für Systeme +erster Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen und zwei unabhängigen +Variablen die Randwertaufgabe gelöst wird. Als naturgemäße +Methode bietet sich auch hier die Methode der Integralgleichungen +dar und wird mit Erfolg angewandt. + +Im ersten Kapitel wird eine Klassifikation solcher Systeme +gemacht und eine Reduktion auf Normalformen erreicht. Nach +Aussonderung gewisser, von unserm Standpunkte aus trivialer +Fälle bleiben drei Hauptformen zu untersuchen, welche den Gegenstand +des zweiten, dritten und vierten Kapitels bilden. Es ist +nicht beabsichtigt worden, die Schwierigkeiten dadurch zu erhöhen, +daß möglichst große Allgemeinheit den in Betracht kommenden +Funktionen erteilt wird; sondern der Zweck ist vielmehr gewesen, +unter genauer Angabe der Voraussetzungen hinreichende Bedingungen +für die Lösung des Problems zu geben. +%-----File: 013.png--------------------------------------- + + +\Chapter{Erstes Kapitel.} +{Die Normalformen der Gleichungssysteme.} + +\Section{1. Die charakteristische Differentialform.} + +Bei Untersuchungen über einzelne partielle Differentialgleichungen +im allgemeinen und die linearen Gleichungen insbesondere +ist stets der Begriff der sogenannten charakteristischen Kurven +von großer Bedeutung. Diesen Begriff wollen wir zunächst in +diesem Paragraphen auf Systeme von linearen partiellen +Differentialgleichungen +erster Ordnung ausdehnen und einige Folgen daraus +herleiten. Da es sich hier nur um formale Fragen handelt, wollen +wir einfach annehmen, alle vorkommenden Funktionen seien analytisch. + +\Paragraph{I.} Wir betrachten das System von Differentialgleichungen: +\[ +\tag*{1)} + \lambda_p (u) \equiv + \sum_{q=1}^n a_{pq}\frac{\partial u_q}{\partial x} ++ \sum_{q=1}^n b_{pq}\frac{\partial u_q}{\partial y} ++ \sum_{q=1}^n c_{pq} u_q += 0 \quad [q = 1, 2\dots n] +\] +Hierbei sind $a_{pq}$, $b_{pq}$, $c_{pq}$ gegebene, in einem +vorgeschriebenen Bereich +der $xy$-Ebene reguläre Funktionen von $x$, $y$. + +Es sei gegeben ein vorläufig willkürliches System von Funktionen +\[ + u_1(x,y),\ u_2(x,y),\dotsc u_n(x,y). +\] +Geometrisch entspricht jeder Funktion $u_q(x, y)$ eine Fläche im +$xy$-Raume, deren Gleichung +\[ + z = u_q(x,y) +\] +ist. Es sei ferner eine willkürliche Kurvenschar in der $xy$-Ebene +derart gegeben, daß durch jeden Punkt des Bereiches eine und +nur eine Kurve der Schar hindurchgeht. Damit ist jedem Punkte +$(x, y)$ eine Richtung --- die Tangentialrichtung durch den Punkt --- +zugeordnet, +die durch das Verhältnis $dx: dy$ bestimmt ist. Dem +%-----File: 014.png--------------------------------------- +Punkte $(x, y)$ entspricht auch auf jeder der $n$-Flächen ein Punkt +$(x, y, u_q)$, und der Richtung $dx: dy$ eine Richtung $dx:dy: du_q$, +wobei +die neuen Größen $u_q$, $du_q$ durch die Gleichungen +\[ + u_q = u_q(x,y),\ du_q += \frac{\partial u_q(x,y)}{\partial x}\,dx ++ \frac{\partial u_q(x,y)}{\partial y}\,dy +\] +definiert sind. Es fragt sich nun, ob die bis jetzt willkürlichen +Flächen $z = u_q (x, y)$ von solcher Beschaffenheit sein kommen, daß +sie die Richtungen $dx: dy: du_q$ (die an jeder Stelle als gegeben +gedacht sind) enthalten und gleichzeitig den Gleichungen 1) genügen. +Zur Bestimmung der $2n$ Größen +$\dfrac{\partial u_q}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u_q}{\partial y}$ +haben wir die +$2n$ Gleichungen: + +\[ +\tag*{2)} +\begin{array}{lc lc rl l} + dx \dfrac{\partial u_1}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial u_1}{\partial y} +&& && +& -du_1 & = 0 +\\ +& +& dx \dfrac{\partial u_2}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial u_2}{\partial y} +&& +& -du_2 & = 0 +\\ \hdotsfor[6]{7} \\ +&& & +& dx \dfrac{\partial u_n}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial u_n}{\partial y} +& \multicolumn{2}{l}{-du_n = 0} +\\[10pt] + a_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial x} ++ b_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial y} +& + +& a_{12} \dfrac{\partial u_2}{\partial x} ++ b_{12} \dfrac{\partial u_2}{\partial y} +& + \dotsb + +& a_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial x} ++ b_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial y} +& -\displaystyle\sum_{q=1}^n c_{1q} u_q & = 0 +\\[10pt] + a_{21} \dfrac{\partial u_1}{\partial x} ++ b_{21} \dfrac{\partial u_1}{\partial y} +& + +& a_{22} \dfrac{\partial u_2}{\partial x} ++ b_{22} \dfrac{\partial u_2}{\partial y} +& + \dotsb + +& a_{2n} \dfrac{\partial u_n}{\partial x} ++ b_{2n} \dfrac{\partial u_n}{\partial y} +& -\displaystyle\sum_{q=1}^n c_{2q} u_q & = 0 +\\ \hdotsfor[6]{7} \\ + a_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial x} ++ b_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial y} +& + +& a_{n2} \dfrac{\partial u_2}{\partial x} ++ b_{n2} \dfrac{\partial u_2}{\partial y} +& + \dotsb + +& a_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial x} ++ b_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial y} +& -\displaystyle\sum_{q=1}^n c_{nq} u_q & = 0. +\end{array} +\] + +Durch diese Gleichungen lassen sich die Größen +$\dfrac{\partial u_q}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u_q}{\partial y}$ +im allgemeinen +bestimmen, und zwar nur in dem Falle eventuell nicht, +daß die Determinante~$\delta$ des Gleichungssystems~2) verschwindet: +\[ +\arraycolsep=3pt +\tag*{3)} + \delta \equiv\left| +\begin{array}{ccccccc} + dx & dy & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & dx & dy & \dots & 0 & 0 \\ +\hdotsfor[6]{7} \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & dx & dy \\ + a_{11} & b_{11} & a_{12} & b_{12} & \dots & a_{1n} & b_{1n} \\ + a_{21} & b_{21} & a_{22} & b_{22} & \dots & a_{2n} & b_{2n} \\ +\hdotsfor[6]{7} \\ + a_{n1} & b_{n1} & a_{n2} & b_{n2} & \dots & a_{nn} & b_{nn} +\end{array}\right| += 0 +\] +%-----File: 015.png--------------------------------------- +Diese Determinante nennen wir die \so{charakteristische Differentialform} +des Gleichungssystems~1). Sie ist ein homogenes +Polynom $n$-ter Ordnung in den Differentialen $dx$, $dy$.\ Kurven, +die der Bedingung~3) genügen, nennen wir \so{charakteristische +Kurven} oder kurzweg \so{Charakteristiken} des Systems~1). + +Daß die Gleichungen~2) eventuell doch gelöst werden können, +selbst wenn $\delta = 0$, hat kein Interesse für uns; in der Tat werden +wir die Methode, mittels welcher die Bedingung~3) hergeleitet +wurde, nicht weiter berücksichtigen, sondern für die folgenden +Entwicklungen nur die Form $\delta$ selbst betrachten. + +\Paragraph{II.} Zum Zwecke der Klassifikationen von Gleichungssystemen +ist es notwendig, gewisse Arten von Transformationen auszuführen. +Es ist offenbar wichtig, zu wissen, ob die charakteristische +Differentialform +des transformierten Systems gleich der durch dieselbe +Transformation veränderten charakteristischen Differentialform des +ursprünglichen Systems ist; \dh, ob die charakteristische +Differentialform +die Invarianteneigenschaft besitzt. Diese Frage wollen +wir untersuchen, und zwar zunächst für Transformationen der unabhängigen +Variablen. + +Erstens ziehen wir in Betracht nicht die Gleichungen selbst, +sondern das System von Lineardifferentialausdrücken: + +\[ +\tag*{1)} +\left\{ +\begin{array}{l} + \lambda_1(u) \equiv + a_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial x} + \dotsb ++ a_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial x} ++ b_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial y} + \dotsb ++ b_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial y} ++ c_{11}u_1 + \dotsb + c_{1n}u_n +\\ \hdotsfor[6]{1} \\ + \lambda_n(u) \equiv + a_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial x} + \dotsb ++ a_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial x} ++ b_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial y} + \dotsb ++ b_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial y} ++ c_{n1}u_1 + \dotsb + c_{1n}u_n +\end{array}\right. +\] + +Es sei eine Transformation der unabhängigen Variablen gegeben: +\[ +\tag*{4)}%[** TN: No equation number in original] + X = X(x,y),\quad Y = Y(x,y), +\] +deren Funktionaldeterminante nicht verschwindet: +\[ + J \equiv\left| +\begin{array}{cc} + \dfrac{\partial X}{\partial x} & \dfrac{\partial Y}{\partial x} + \\[10pt] + \dfrac{\partial X}{\partial y} & \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\end{array}\right| +\neq 0. +\] +Aus 4) haben wir für die Transformation der Ableitungen und +Differentiale: +%-----File: 016.png--------------------------------------- +\[ +\tag*{6)} +\left\{\ +\begin{array}{l} +\left. +\begin{array}{l} + \dfrac{\partial u_q}{\partial x} + =\dfrac{\partial u_q}{\partial X} \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ \dfrac{\partial u_q}{\partial Y} \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\\[10pt] + \dfrac{\partial u_q}{\partial y} + =\dfrac{\partial u_q}{\partial X} \dfrac{\partial X}{\partial y} ++ \dfrac{\partial u_q}{\partial Y} \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\end{array}\ \right\} + \;[q = 1, 2, \dotsc n] +\\[30pt] + dX + =dx \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial X}{\partial y} +\\[10pt] + dY + =dx \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial Y}{\partial y}. +\end{array}\right. +\] + +Die Formen~1) gehen in die neuen Formen über: + +\[ +\tag*{7)} +\left\{ +\begin{array}{l} + \varLambda_1(u) += A_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial X} + \dotsb ++ A_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial X} ++ B_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial Y} + \dotsb ++ B_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial Y} ++ C_{11} u_1 + \dotsb + C_{1n} u_n +\\ \hdotsfor[6]{1} \\ + \varLambda_n(u) += A_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial X} + \dotsb ++ A_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial X} ++ B_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial Y} + \dotsb ++ B_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial Y} ++ C_{n1} u_1 + \dotsb + C_{nn} u_n. +\end{array}\right. +\] +Da die Größen $c$ in $\delta$ gar nicht vorkommen, so brauchen wir die +transformierten Ausdrücke nur für $a$, $b$ auszurechnen; diese sind +\begin{align*} +\tag*{8)} + A_{pq} +&= a_{pq} \frac{\partial X}{\partial x} + + b_{pq} \frac{\partial X}{\partial y} +\\ + B_{pq} +&= a_{pq} \frac{\partial Y}{\partial x} + + b_{pq} \frac{\partial Y}{\partial y}. +\end{align*} +Wir sehen, daß\ $a_{pq}$, $b_{pq}$ kogredient mit $dx$, $dy$ transformiert +werden. +Aus den Formeln 6),~8) und dem Multiplikationssatz für Determinanten +haben wir sogleich: +\[ + \varDelta =\left| +\begin{array}{ccccc} + dX & dY & \dots & 0 & 0 \\ +\hdotsfor[6]{5} \\ + 0 & 0 & \dots & dX & dY \\ + A_{11} & B_{11} & \dots & A_{1n} & B_{1n} \\ +\hdotsfor[6]{5} \\ + A_{n1} & B_{n1} & \dots & A_{nn} & B_{nn} +\end{array}\right| +\] +%-----File: 017.png--------------------------------------- +\begin{gather*} +=\left|\begin{array}{ccccc} + dx \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial X}{\partial y} +& + dx \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial Y}{\partial y} +& \dots & 0 & 0 +\\ \hdotsfor[6]{5} \\ + 0 & 0 & \dots +& + dx \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial X}{\partial y} +& + dx \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\\[15pt] + a_{11} \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ b_{11} \dfrac{\partial X}{\partial y} +& + a_{11} \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ b_{11} \dfrac{\partial Y}{\partial y} +& \dots & + a_{1n} \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ b_{1n} \dfrac{\partial X}{\partial y} +& + a_{1n} \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ b_{1n} \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\\ \hdotsfor[6]{5} \\ + a_{n1} \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ b_{n1} \dfrac{\partial X}{\partial y} +& + a_{n1} \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ b_{n1} \dfrac{\partial Y}{\partial y} +& \dots & + a_{nn} \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ b_{nn} \dfrac{\partial X}{\partial y} +& + a_{nn} \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ b_{nn} \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\end{array}\right| +\displaybreak[1]\\[20pt] +=\left|\begin{array}{ccccc} + \dfrac{\partial X}{\partial x} +& \dfrac{\partial X}{\partial y} +& \dots & 0 & 0 +\\[10pt] + \dfrac{\partial Y}{\partial x} +& \dfrac{\partial Y}{\partial y} +& \dots & 0 & 0 +\\ \hdotsfor[6]{5} \\ + 0 & 0 & \dots +& \dfrac{\partial X}{\partial x} +& \dfrac{\partial X}{\partial y} +\\[10pt] + 0 & 0 & \dots +& \dfrac{\partial Y}{\partial x} +& \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\end{array}\right| +\;\cdot\; +\left|\begin{array}{ccccc} + dx & dy & \dots & 0 & 0 +\\ \hdotsfor[6]{5} \\ + 0 & 0 & \dots & dx & dy +\\ + a_{11} & b_{11} & \dots & a_{1n} & b_{1n} +\\ \hdotsfor[6]{5} \\ + a_{n1} & b_{n1} & \dots & a_{nn} & b_{nn} +\end{array}\right| +\end{gather*} +\dh +\[ +\tag*{9)} + \varDelta = J^n \delta +\] +oder, mit Worten ausgesprochen: + +\so{Die charakteristische Differentialform ändert +sich bei der Transformation 4) nur um einen Faktor, +die $n$-te Potenz der Funktionaldeterminante.} + +\Paragraph{III.} Es sei jetzt eine lineare Transformation der Funktionen +$u_1$, $u_2,\dotsc u_n$ gegeben: +\[ +\tag*{10)} + u_p = \sum_{q=1}^n \alpha_{pq} U_q, \qquad\qquad [p= 1, 2,\dotsc n] +\] +wo die $\alpha_{pq}$ Funktionen von $x$, $y$ sind, deren Determinante +nicht +verschwindet: +\[ +\tag*{11)} + J = +\left|\begin{array}{ccc} + \alpha_{11} & \dots & \alpha_{1n} +\\ \hdotsfor[6]{3} \\ + \alpha_{n1} & \dots & \alpha_{nn} +\end{array}\right| \neq 0. +\] +Für die Transformation der Ableitungen von $u_p$ haben wir: +\[ +\tag*{12)} +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u_p}{\partial x} &= + \sum_{q=1}^n \alpha_{pq} \frac{\partial U_q}{\partial x} ++ \sum_{q=1}^n \frac{\partial \alpha_{pq}}{\partial x} U_q +\\ + \frac{\partial u_p}{\partial y} &= + \sum_{q=1}^n \alpha_{pq} \frac{\partial U_q}{\partial y} ++ \sum_{q=1}^n \frac{\partial \alpha_{pq}}{\partial y} U_q +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 018.png--------------------------------------- +Wir bekommen durch die Transformation neue Lineardifferentialformen~7), +wo jetzt\footnote{ + Die aus 12) entstehenden Glieder, die $U_q$ enthalten, setzen sich + mit den + andern vorkommenden Gliedern in $U_q$ zusammen, kommen daher hier + nicht in + Betracht.}: +\[ +\tag*{13)} +\left\{ +\begin{aligned} + A_{pq} &= \sum_{r=1}^n a_{pr} \alpha_{rq} \\ + B_{pq} &= \sum_{r=1}^n b_{pr} \alpha_{rq} +\end{aligned} +\right. +\] +Hier sind $a_{pq}$, sowie auch $b_{pq}$ kontragredient mit $u_p$ +transformiert. +Für die neue charakteristische Differentialform haben wir: +\[ + \varDelta = +\left|\begin{array}{ccccc} + dx & dy & \dots & 0 & 0 \\ +\hdotsfor[6]{5} \\ + 0 & 0 & \dots & dx & dy \\ + A_{11} & B_{11} & \dots & A_{1n} & B_{1n} \\ +\hdotsfor[6]{5} \\ + A_{n1} & B_{n1} & \dots & A_{nn} & B_{nn} +\end{array}\right| +\] +Die Koeffizienten der einzelnen Produkte $dx^p\; dy^{n-p}$ in $\delta$ +sind +gewisse $n$-reihige Determinanten $d$ aus der Matrix der Koeffizienten +$a$, $b$ des Systems~1); die Koeffizienten der entsprechenden Glieder +in $\varDelta$ sind die entsprechenden transformierten Determinanten $D$; +$dx$, $dy$ sind unverändert. Für jede solche Determinante gilt aber, +wenn wir mit $h_{pq}$ irgend eine der beiden Größen $a_{pq}$, $b_{pq}$, +mit $H_{pq}$ +die entsprechende transformierte Größe bezeichnen: +\begin{gather*} + D = +\left|\begin{array}{ccc} + H_{11} & \dots & H_{1n} \\ +\hdotsfor[6]{3} \\ + H_{n1} & \dots & H_{nn} +\end{array}\right| = +\left|\begin{array}{ccc} + \sum\limits_{r=1}^n h_{1r} \alpha_{r1} & \dots & + \sum\limits_{r=1}^n h_{1r} \alpha_{rn} \\ +\hdotsfor[6]{3} \\ + \sum\limits_{r=1}^n h_{nr} \alpha_{r1} & \dots & + \sum\limits_{r=1}^n h_{nr} \alpha_{rn} +\end{array}\right| +\\ += +\left|\begin{array}{ccc} + h_{11} & \dots & h_{1n} \\ +\hdotsfor[6]{3} \\ + h_{n1} & \dots & h_{nn} +\end{array}\right| \;\cdot\; +\left|\begin{array}{ccc} + \alpha_{11} & \dots & \alpha_{n1} \\ +\hdotsfor[6]{3} \\ + \alpha_{1n} & \dots & \alpha_{nn} +\end{array}\right| = Jd. +\end{gather*} +Da dies für jeden Koeffizienten in $\delta$ gilt, so ist +\[ + \varDelta = J\delta, +\] +also + +\so{Die charakteristische Differentialform ändert +sich unter der Transformation~10) nur um einen Faktor, +die Determinante der Transformation.} +%-----File: 019.png--------------------------------------- + +\Paragraph{IV.} Wir wollen schließlich untersuchen, was aus der Form~$\delta$ +wird, wenn wir das System~1) mittels linearer Zusammensetzung +verändern. Wir schreiben also: +\[ +\tag*{15)} +\varLambda_p(u) = \sum_{q=1}^n \alpha_{pq}\lambda_q(u), +\qquad\rlap{$[p = 1, 2,\dotsc n]$} +\] +wo $\alpha_{pq}$ Funktionen von $x$, $y$ sind, deren Determinante nicht +verschwindet: +\[ +\tag*{16)} + J = +\left|\begin{array}{ccc} + \alpha_{11} & \dots & \alpha_{1n} \\ +\hdotsfor[6]{3} \\ + \alpha_{n1} & \dots & \alpha_{nn} +\end{array}\right| \neq 0. +\] +Wir bekommen das neue System~7), wo aber jetzt: +\[ +\tag*{17)} +\left\{ +\begin{aligned} + A_{pq} &= \sum_{r=1}^n \alpha_{pr} a_{rq} \\ + B_{pq} &= \sum_{r=1}^n \alpha_{pr} b_{rq}. +\end{aligned} +\right. +\] +Hier sind sowohl $a_{pq}$ als auch $b_{pq}$ kogredient mit $\lambda_q(u)$ +transformiert. +Wir sehen genau wie vorhin, daß +\[ +\tag*{18)} + \varDelta = J\delta. +\] + +\so{Die charakteristische Differentialform ändert +sich unter der Transformation~15) nur um einen Faktor, +die Determinante der Transformation.} + +\Paragraph{V.} Schließlich können wir das Wesentliche der vorigen Sätze +in folgender Aussage über die Gleichung $\delta = 0$ zusammenfassen: + +\so{Bei beliebigen, nicht singulären Transformationen +der unabhängigen Variablen, linearen, nicht singulären +Transformationen der unbekannten Funktionen +und linearen, nicht singulären Zusammensetzungen +der einzelnen Gleichungen des Systems, bleibt die +Gleichung der Charakteristiken des Systems invariant.} + + +\Section{2. Die Normalformen der Gleichungssysteme.} + +Von jetzt ab beschränken wir uns auf Systeme von zwei +Gleichungen mit zwei unbekannten Funktionen. Wir wollen in +diesem Paragraphen aus der Beschaffenheit der charakteristischen +Differentialform und anderen damit verbundenen Begriffen eine +Klassifikation der Systeme herausziehen, und die einzelnen Klassen +auf Normalformen reduzieren. Es wird hier beständig das Zeichen +$\mathfrak{L}(u, v)$ gebraucht, um irgend eine lineare Funktion von $u$,~$v$ zu +bezeichnen, deren Koeffizienten Funktionen von $x$, $y$ sind; der Gebrauch +%-----File: 020.png--------------------------------------- +des Symbols $\mathfrak{L}(u, v)$, um gleichzeitig mehrere verschiedene +lineare Funktionen zu bezeichnen, wird keine Ungenauigkeit hervorrufen. + +\Paragraph{I.} Wir betrachten das System: +\[ +\tag*{1)} +\left\{\ +\begin{aligned} + \lambda_1 &\equiv + a_{11} \frac{\partial u}{\partial x} ++ b_{11} \frac{\partial u}{\partial y} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial x} ++ b_{12} \frac{\partial v}{\partial y} = \mathfrak{L}(u,v) +\\ + \lambda_2 &\equiv + a_{21} \frac{\partial u}{\partial x} ++ b_{21} \frac{\partial u}{\partial y} ++ a_{22} \frac{\partial v}{\partial x} ++ b_{22} \frac{\partial v}{\partial y} = \mathfrak{L}(u,v). +\end{aligned} +\right. +\] + +Die charakteristische Differentialform ist: +\[ +\tag*{2)} + \delta \equiv +\left|\begin{array}{cccc} + dx & dy & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & dx & dy \\ + a_{11} & b_{11} & a_{12} & b_{12} \\ + a_{21} & b_{21} & a_{22} & b_{22} +\end{array}\right| +\] +oder +\[ +\tag*{3)} + -\delta = p\,dx^2 + 2q\,dx\,dy + r\,dy^2, +\] +wo +\[ +\tag*{4)} +\left\{\ +\begin{array}{rc} + p = & +\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{vmatrix} +\phantom{.} +\\[1em] + 2q = & +-\begin{vmatrix} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22} \end{vmatrix} +-\begin{vmatrix} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22} \end{vmatrix} +\\[1em] + r = & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}. +\end{array} +\right. +\] + +Setzen wir $\delta = 0$, so haben wir eine quadratische Gleichung +für das Verhältnis $dx : dy$. Die weitere Diskussion beruht hauptsächlich +auf dem Charakter der Wurzeln dieser Gleichung. + +Ist in einem Punkte~$P$\ $pr-q^2>0$, so gibt es \so{keine} reellen +Wurzeln der Gleichung $\delta = 0$; es existieren \so{keine} (reellen) +Charakteristiken durch~$P$. Wir sagen, der Punkt~$P$ ist ein +\so{elliptischer Punkt} des Systems~1), oder auch, 1)~ist ein +\so{elliptisches System} in~$P$. + +Ist in einem Punkte~$P$\ $pr-q^2<0$, so gibt es in diesem +Punkte \so{zwei} reelle Wurzeln der Gleichung $\delta=0$; wir haben +also \so{zwei} Richtungen, die von den charakteristischen Kurven +durch~$P$ angenommen werden können. Wir sagen, $P$~ist ein +\so{hyperbolischer Punkt} von~1), oder 1)~ist ein \so{hyperbolisches +System} in~$P$. + +Ist $pr-q^2=0$, aber wenigstens eine der Größen $p$,~$q$,~$r$ von +Null verschieden in einem Punkte~$P$, so gibt es in $P$ \so{eine} (doppelte) +%-----File: 021.png--------------------------------------- +Wurzel der Gleichung $\delta = 0$; nur \so{eine} charakteristische +Richtung durch $P$ existiert. Wir nennen $P$ einen \so{parabolischen +Punkt} von~1), und~1) ein \so{parabolisches System} in~$P$. + +Ist schließlich $p = q = r = 0$ in $P$, so verschwindet jeder +Koeffizient von $\delta$ in $P$, daher ist \so{jede} Richtung durch +$P$ eine +charakteristische Richtung. In diesem Falle heißt $P$ ein \so{singulärer +Punkt} von~1) und wir nennen~1) ein \so{singuläres System} +in~$P$. + +\Paragraph{II.} Wir wollen auch die Möglichkeit untersuchen, daß die +Unterdeterminanten von $\delta$ verschwinden. Wir sehen von vorn +herein, daß nicht alle zweireihigen Unterdeterminanten verschwinden, +denn wäre dem so, so hätten wir \ua\ $dx = 0$, $dy = 0$, +wodurch keine Richtung bestimmt ist. Setzen wir alle dreireihigen +Unterdeterminanten gleich Null, vereinfachen die Resultate und +entfernen die überflüssigen Gleichungen, so bleiben folgende übrig: +\begin{align*} + b_{11} dx - a_{11} dy &= 0 \\ + b_{12} dx - a_{12} dy &= 0 \displaybreak[1] \\ + b_{21} dx - a_{21} dy &= 0 \\ + b_{22} dx - a_{22} dy &= 0 \displaybreak[1] \\ + a_{12} b_{22} - a_{22} b_{12} &= 0 \\ + a_{11} b_{21} - a_{21} b_{11} &= 0. +\end{align*} +Die letzten beiden Gleichungen, zusammen mit der Bedingung für +die Möglichkeit der ersten vier, besagen, daß jede zweireihige +Determinante aus der Matrix +\[ +\tag*{5)} + M = +\left\|\begin{array}{cccc} + a_{11} & a_{12} & a_{21} & a_{22} \\ + b_{11} & b_{12} & b_{21} & b_{22} +\end{array}\right\| +\] +(die nicht mit der Matrix der Koeffizienten von~1) in ihrer vorkommenden +Reihenfolge zu verwechseln ist) verschwinden muß. +Einen Punkt~$P$, für welchen alle zweireihigen Determinanten von~5) +verschwinden, nennen wir einen \so{ausgezeichneten Punkt} +von~1), und~1) ein \so{ausgezeichnetes System} in $P$. + +Schreiben wir in diesem Falle +\[ +%[** TN: Removed \quad before comma] + a_{pq} = \alpha\varrho_{pq},\quad b_{pq} = \beta\varrho_{pq}, +\] +so ist +\[ + -\delta = (\varrho_{11}\varrho_{22} - \varrho_{12}\varrho_{21}) + (\beta \,dx - \alpha \,dy)^2, +\] +so daß ein ausgezeichneter Punkt nie elliptisch oder hyperbolisch, +sondern nur parabolisch oder singulär sein kann. + +\Paragraph{III.} Man sieht sofort, daß die Kriterien in I.~und~II.\ invariant +bleiben unter den in \S~1 besprochenen Transformationen, \dh: +%-----File: 022.png--------------------------------------- + +\so{Die Eigenschaft eines Systems~1), in einem Punkte +elliptisch, hyperbolisch, gewöhnlich-parabolisch, +ausgezeichnet-parabolisch, gewöhnlich-singulär +oder ausgezeichnet-singulär zu sein, bleibt unverändert +unter den betrachteten Transformationen.} + +Jetzt werden wir ausschließlich Systeme betrachten, die denselben +Charakter in jedem Punkte eines ganzen Bereiches besitzen, +und wir wollen beweisen, daß es Normalformen für jeden Charakter +gibt, so daß jedes System eines Charakters durch Transformationen +der drei betrachteten Arten auf die entsprechende Normalform +reduziert werden kann. Wir nennen kurz Transformationen der +unabhängigen Variablen, lineare Zusammensetzungen der Gleichungen +und lineare Transformationen der unbekannten Funktionen +der Reihe nach Transformationen 1., 2.\ und 3.~Art. + +\Paragraph{IV.} Nehmen wir zunächst den elliptischen Fall. Es sei also +$pr-q^2 > 0$ in jedem Punkt eines Gebietes. Dann hat die Gleichung +$\delta = 0$ zwei konjugiert komplexe Wurzeln, und wir haben +die Differentialgleichungen +\[ +%[** TN: Removed \quad before comma in next three displayed equations] + \mu\,dx + \nu\,dy = 0,\quad + \overline{\mu}\,dx + \overline{\nu}\,dy = 0. +\] +Deren Lösungen sind auch konjugiert komplex; sie mögen etwa +\[ + \xi(x,y) = \alpha,\quad \overline{\xi}(x,y) = \beta +\] +heißen, wo $\alpha$, $\beta$ Konstante bedeuten. Schreiben wir +\[ + X = \xi + \overline{\xi},\quad Y = i(\xi - \overline{\xi}), +\] +so haben wir eine reelle Transformation 1.~Art, deren +Funktionaldeterminante +nicht verschwindet; denn wäre die Funktionaldeterminante +gleich Null, so wäre auch +\[ +\arraycolsep=2pt + 4(q^2 - pr) = +\left|\begin{array}{cc} +\mu & \nu \\ \overline{\mu} & \overline{\nu} +\end{array}\right|^2 = 0. +\] +Durch diese Transformation erhalten wir eine neue Form für das +System~1), deren Koeffizienten wir aber wieder mit denselben +Buchstaben bezeichnen, da kein Irrtum dadurch entstehen kann. +Durch die Transformation nimmt die Gleichung der Charakteristiken +die einfache Form +\[ + dX^2 + dY^2 = 0 +\] +an; nach \S~1,~V ist diese Gleichung wieder die Charakteristikengleichung. +In der neuen Form muß diese Gleichung mit +\[ + p\,dX^2 + 2q\,dX\,dY+ r\,dY^2 = 0 +\] +übereinstimmen; daraus folgt: +%-----File: 023.png--------------------------------------- +\[ +\begin{array}{cccl} +\left|\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} +\end{array}\right| +&=& +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} +\end{array}\right| +&\neq 0 \\[1em] +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22} +\end{array}\right| +&+& +\left|\begin{array}{cc} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22} +\end{array}\right| +&= 0. +\end{array} +\] + +Wegen der ersten dieser Bedingungen ist es möglich, eine +solche Transformation 2.~Art auszuführen, daß $\dfrac{\partial u}{\partial +x}$, $\dfrac{\partial v}{\partial x}$ mittels der +andern Größen linear ausgedrückt werden; wir gebrauchen nach +der Transformation wieder dieselben Buchstaben wie vorher. Die +letztgenannten Bedingungen bleiben erhalten; ferner ist jetzt +\[ + a_{11} = 1,\; a_{12} = 0,\; a_{21} = 0,\; a_{22} = 1; +\] +die Bedingungen nehmen daher die Gestalt an: +\begin{gather*} + b_{11} b_{22} - b_{12} b_{21} = 1, \\ + b_{22} + b_{11} = 0. +\end{gather*} + +Die Gleichungen~1) selbst haben also die Form: +\[ +\left\{\ +\begin{aligned} + \lambda_1 \equiv + \frac{\partial u}{\partial X} ++ b_{11} \frac{\partial u}{\partial Y} ++ b_{12} \frac{\partial v}{\partial Y} = \mathfrak{L}(u,v) +\\ + \lambda_2 \equiv + \frac{\partial v}{\partial X} ++ b_{21} \frac{\partial u}{\partial Y} +- b_{11} \frac{\partial v}{\partial Y} = \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\ \right\},\quad + b_{11}^2 + b_{12} b_{21} + 1 = 0. +\] +Es sind sicher $b_{12} \neq 0$, $b_{21} \neq 0$, denn wäre $b_{12} = 0$ +oder $b_{21} = 0$, +so hätten wir den Widerspruch $b_{11}^2 + 1 = 0$. Wir dürfen also die +Transformation 2.~Art: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \varLambda_1 &= \phantom{-b_{11}} \lambda_1 \\ + \varLambda_2 &= -b_{11} \lambda_1 - b_{12} \lambda_2 +\end{aligned} +\right. +\] +ausführen; dadurch bekommen wir: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial X} ++ b_{11} \frac{\partial u}{\partial Y} ++ b_{12} \frac{\partial v}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\\ + -b_{11} \frac{\partial u}{\partial X} +- b_{12} \frac{\partial v}{\partial X} ++ \phantom{b_{12}} \frac{\partial u}{\partial Y} &=\mathfrak{L}(u,v). +\end{aligned} +\right. +\] + +Machen wir schließlich die Transformation 3.~Art: +\[ +\left\{\ +\begin{aligned} + U &= \phantom{b_{11}} u \\ + V &= b_{11} u + b_{12} v, +\end{aligned} +\ \right. +\] +so gelangen wir zu der Form: +\[ +\left\{\ +\begin{aligned} + \frac{\partial U}{\partial X} ++ \frac{\partial V}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\\ + \frac{\partial U}{\partial Y} +- \frac{\partial V}{\partial X} &= \mathfrak{L}(u,v). +\end{aligned} +\ \right. +\] +%-----File: 024.png--------------------------------------- +Wir können also sagen: + +\so{Ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet +elliptisch ist, läßt sich durch Transformationen der +drei genannten Arten auf die Normalform} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} = \mathfrak{L}(u,v) +\\ + \frac{\partial u}{\partial y} +- \frac{\partial v}{\partial x} = \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen.} + +\Paragraph{V.} Im hyperbolischen Falle ist $pr -q^2 <0$ in einem ganzen +Gebiet. Die Gleichung $\delta = 0$ hat zwei reelle, verschiedene Wurzeln; +die Charakteristiken sind durch Gleichungen +\[ + \mu\,dx + \nu\,dy = 0,\quad \pi\,dx + \varkappa\,dy = 0 +\] +gegeben, deren Lösungen etwa +\[ + X(x,y) = \alpha,\quad Y(x,y) = \beta +\] +sein mögen. Wir wenden die Transformation 1.~Art +\[ + x = X(x,y),\quad y = Y(x,y) +\] +an. Dadurch wird die Gleichung der Charakteristiken +\[ + dX\,dY = 0, +\] +sodaß die Koeffizienten von 1) den Bedingungen genügen müssen: +\[ +\begin{array}{cccl} +\left|\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} +\end{array}\right| +&=& +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} +\end{array}\right| +&= 0 \\[1em] +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22} +\end{array}\right| +&+& +\left|\begin{array}{cc} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22} +\end{array}\right| +&\neq 0. +\end{array} +\] +Die letzte Bedingung sagt aus, daß die Summe zweier Determinanten +von Null verschieden ist; dann ist wenigstens eine dieser +Determinanten von Null verschieden; wir nehmen an, ohne Einschränkung +der Allgemeinheit, daß +\[ +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22} +\end{array}\right| \neq 0. +\] + +Dann läßt sich eine solche Transformation 2.~Art angeben, +daß das System nach $\dfrac{\partial u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial +v}{\partial y}$ aufgelöst wird; daher nehmen wir +sogleich an, daß +\[ + a_{11} = 1,\quad b_{12} = 0,\quad a_{21} = 0,\quad b_{22} = 1; +\] +die andern Bedingungen werden: +%-----File: 025.png--------------------------------------- +\begin{gather*} + b_{11} = 0,\quad a_{22} = 0, \\ + 1 - a_{12}b_{21} \neq 0, +\end{gather*} +und die Gleichungen schreiben sich +\[ +\left. +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial X} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial X} &= \mathfrak{L}(u,v) +\\ + b_{21} \frac{\partial u}{\partial Y} ++ \phantom{a_{12}} \frac{\partial v}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right\},\quad 1 - a_{12}b_{21} \neq 0. +\] +Führen wir schließlich die nicht singuläre Transformation 3.~Art +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + U &= \phantom{b_{21}} u + a_{12} v \\ + V &= b_{21} u + \phantom{a_{12}} v +\end{aligned} +\right. +\] +aus, so nehmen die Gleichungen die Gestalt an: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial U}{\partial X} &= \mathfrak{L}(U,V) \\ + \frac{\partial V}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(U,V) , +\end{aligned} +\right. +\] +also: + +\so{Ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet +hyperbolisch ist, läßt sich durch Transformationen +der drei genannten Arten auf die Normalform} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen.} + +\Paragraph{VI.} Für den parabolischen Fall ist $pr - q^2 = 0$, eine der +Größen $p, q, r \neq 0$. Die Gleichung $\delta = 0$ hat eine (doppelte) +reelle Wurzel; die Charakteristiken sind durch eine Gleichung +ersten Grades: +\[ + \mu\,dx + \nu\,dy = 0 +\] +gegeben, die etwa die Lösung +\[ + X(x, y) = \alpha +\] +besitzt. Wir wählen $Y(x,y)$, eine willkürliche, von der Funktion +$X(x,y)$ unabhängige Funktion, und machen die Transformation +1.~Art: +\[ + X= X(x,y),\quad Y= Y(x,y). +\] +Die Gleichung der Charakteristiken wird dadurch +\[ + dX^2 = 0. +\] +%-----File: 026.png--------------------------------------- +Es müssen also für die Koeffizienten von 1) die Bedingungen erfüllt +sein: +\begin{gather*} +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} +\end{array}\right|= +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22} +\end{array}\right|+ +\left|\begin{array}{cc} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22} +\end{array}\right| = 0, \\ +\left|\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} +\end{array}\right|\neq 0. +\end{gather*} +Durch geeignete Wahl einer Transformation 2.~Art können wir +nach $\dfrac{\partial u}{\partial y}$, $\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +auflösen, so daß wir schreiben dürfen: +\[ + b_{11} = 1,\quad b_{12} = 0,\quad b_{21} = 0,\quad b_{22} = 1, +\] +wobei die andern Bedingungen folgende Form annehmen: +\begin{gather*} + a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} = 0, \\ + a_{11} + a_{22} = 0. +\end{gather*} +Das System wird dann: +\[ +\left. +\begin{aligned} + \lambda_1 \equiv + \frac{\partial u}{\partial Y} ++ a_{11} \frac{\partial u}{\partial X} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial X} = \mathfrak{L}(u,v) +\\ + \lambda_2 \equiv + \frac{\partial v}{\partial Y} ++ a_{21} \frac{\partial u}{\partial X} +- a_{11} \frac{\partial v}{\partial X} = \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right\},\quad a_{11}^2 + a_{12} a_{21} = 0. +\] + +A) In der Nähe eines gewöhnlich-parabolischen Punktes ist +mindestens eine zweireihige Determinante aus der Matrix +\[ +\arraycolsep=2pt + M = +\left\|\begin{array}{cccc} + a_{11} & a_{12} & a_{21} & -a_{11} \\ + 1 & 0 & 0 & 1 +\end{array}\right\| +\] +von Null verschieden; \dh\ es dürfen nicht gleichzeitig $a_{11}$, +$a_{12}$, $a_{21}$ +verschwinden; oder, mit Rücksicht auf die obige Bedingung, entweder +$a_{12}$ oder $a_{21}$ ist von Null verschieden. Enthält das Gebiet +keine ausgezeichneten Punkte, und verschwinden daher $a_{12}$, $a_{21}$ +nie +gleichzeitig, so ist es möglich, das Gebiet auf solche Weise einzuteilen, +daß in jedem Teilgebiet entweder $a_{12}$ oder $a_{21}$ nicht +verschwindet\footnote{ + Diese Einteilung des Gebiets ist notwendig. Z.~B.\ hat das System +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial y} + + x(1-x)\>\,\frac{\partial u}{\partial x} - +\phantom{x}(1-x)^2 \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) +\\ + \frac{\partial v}{\partial y} + +\phantom{(1-x)}x^2 \frac{\partial u}{\partial x} - + x (1-x)\>\,\frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] + keine ausgezeichneten Punkte, jedoch ist es unmöglich, das System in + einem ganzen + Gebiet, welches Teile der Geraden $x = 0$, $x = 1$ enthält, durch + nicht singuläre + Transformationen auf die Normalform zu bringen.}. + +Ist $a_{12} \neq 0$ in einem ganzen Gebiet, so führen wir die +Transformation +2.~Art +%-----File: 027.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \varLambda_1 &= \phantom{a_{11}} \lambda_1 \\ + \varLambda_2 &= a_{11} \lambda_1 + a_{12} \lambda_2 +\end{aligned} +\right. +\] +aus; wir bekommen: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial Y} ++ a_{11} \frac{\partial u}{\partial X} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial X} &= \mathfrak{L}(u,v) +\\ + a_{11} \frac{\partial u}{\partial Y} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v); +\end{aligned} +\right. +\] +und schließlich liefert die Transformation 3.~Art +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + U &= a_{11} u + a_{12} v \\ + V &= \phantom{a_{11}} u +\end{aligned} +\right. +\] +die Form +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial U}{\partial X} ++ \frac{\partial V}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(U,V) +\\ + \frac{\partial U}{\partial Y} + \phantom{ {} + \frac{\partial U}{\partial X}} &= \mathfrak{L}(U,V). +\end{aligned} +\right. +\] + +Wäre dagegen $a_{21} \neq 0$ so hätten wir die Transformation +2.~Art +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \varLambda_1 &= \phantom{a_{21} \lambda_1 - a_{11}} \lambda_2 \\ + \varLambda_2 &= a_{21} \lambda_1 - a_{11} \lambda_2 +\end{aligned} +\right. +\] +und die Transformation 3.~Art +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + U &= a_{21} u - a_{11} v \\ + V &= \phantom{a_{21} u - a_{11}} v +\end{aligned} +\right. +\] +anwenden können und wären zu derselben Form gekommen. + +B) In dem Falle, daß jeder Punkt eines Gebietes ausgezeichnet-parabolisch +ist, reduziert sich unser System auf die Form: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial v}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v); +\end{aligned} +\right. +\] +durch eine Vertauschung der unabhängigen Variablen können wir +die Ableitungen nach $Y$ durch Ableitungen nach $X$ ersetzen. + +Wir fassen die Resultate so zusammen: + +\so{Ein System~1) welches in einem ganzen Gebiet +gewöhnlich-parabolisch ist, läßt sich durch Transformationen +der drei genannten Arten in jedem einer +endlichen Anzahl von Teilgebieten, welche das gegebene +Gebiet vollständig überdecken, auf die Normalform} +%-----File: 028.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial u}{\partial y} +\phantom{{} + \frac{\partial v}{\partial y}} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen; ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet +ausgezeichnet-parabolisch ist, läßt sich auf die +Normalform} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen.} + +\Paragraph{VII.} Für ein singuläres System verschwindet jeder Koeffizient +in $\delta$; jede Richtung $dx: dy$ ist eine charakteristische Richtung. +Wir haben also die Bedingungen +\[ +\begin{vmatrix} \,a_{11} & a_{12}\, \\ \,a_{21} & a_{22}\, \end{vmatrix} +=0,\; +\begin{vmatrix} \,b_{11} & b_{12}\, \\ \,b_{21} & b_{22}\, \end{vmatrix} +=0,\; +\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{12}\, \\ \,a_{21} & b_{22}\, \end{vmatrix} + +\begin{vmatrix} \,b_{11} & a_{12}\, \\ \,b_{21} & a_{22}\, \end{vmatrix} +=0. +\] + +A) Wir wollen erstens den Fall betrachten, daß jeder Punkt +des Gebietes ein ausgezeichneter Punkt ist. Dann können wir +nach II schreiben +\[ + a_{pq} = \alpha\varrho_{pq},\; b_{pq} = \beta\varrho_{pq}, +\] +sodaß unsere Bedingungen sich auf folgende +\[ + \alpha^2 R = 0,\; \alpha\beta R = 0,\; \beta^2 R = 0 +\] +reduzieren, wo +\[ + R = +\begin{vmatrix} + \,\varrho_{11} & \varrho_{12}\, \\ + \,\varrho_{21} & \varrho_{22}\, +\end{vmatrix}. +\] + +Es ist entweder $\alpha = \beta = 0$, oder $R = 0$. Im ersten Falle +verschwinden die Koeffizienten in (1). Im zweiten Fall verschwindet +jede zweireihige Determinante aus der Matrix der +Koeffizienten von (1): +\[ + M = +\begin{Vmatrix} + \,a_{11} & b_{11} & a_{12} & b_{12}\, \\ + \,a_{21} & b_{21} & a_{22} & b_{22}\, +\end{Vmatrix}. +\] +In beiden Fällen sind die Gleichungen des Systems linear abhängig. +Der Vollständigkeit halber wollen wir auch für diesen trivialen +Fall eine Normalform angeben. Verschwinden alle Koeffizienten +$a$, $b$, so ist die Normalform schon erreicht: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + 0 &= \mathfrak{L}(u,v). +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 029.png--------------------------------------- + +Verschwinden nicht alle Koeffizienten, so bekommen wir durch +eine Transformation 2.~Art die Form +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + a_1 \frac{\partial u}{\partial x} ++ b_1 \frac{\partial u}{\partial y} ++ a_2 \frac{\partial v}{\partial x} ++ b_2 \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right\},\quad a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0. +\] +Es ist alsdann leicht, Transformationen 3.\ und 1.~Art zu finden, +die das System in die Form +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +bringen. + +B) Wir betrachten schließlich den Fall, daß jeder Punkt des +Gebietes gewöhnlich-singulär ist; es gelten die am Anfange dieses +Absatzes aufgestellten Bedingungen. Es sei zunächst ein derartiges +Teilgebiet betrachtet (wenn ein solches existiert), daß in +jedem seiner Punkte die Ungleichung +\[ +\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{12}\, \\ \,a_{21} & b_{22}\, +\end{vmatrix}\neq 0 +\] +gilt; dann können wir durch eine Transformation 2.~Art erreichen, +daß +\[ + a_{11} = 1,\; a_{21} = 0,\; b_{12} =0,\; b_{22} = 1, +\] +wobei die andern Bedingungen dann lauten: +\[ + a_{22} = 0,\; b_{11} = 0,\; 1 - a_{12} b_{21} = 0; +\] +die so erhaltenen Gleichungen: +\[ +\left\{\ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\[1em] + \frac{\partial v}{\partial y} ++ b_{21} \frac{\partial u}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\ \right\},\quad a_{12} b_{21} = 1, +\] +lassen sich sofort durch eine Transformation 3.~Art auf die Form +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial u}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +bringen. + +Zweitens betrachten wir ein Teilgebiet, wo +\[ +\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{11}\, \\ \,a_{21} & b_{21}\, \end{vmatrix} +\neq 0. +\] +%-----File: 030.png--------------------------------------- +Wir können dann durch eine Transformation 2.~Art erreichen, daß +\[ + a_{11} = 1,\; a_{21} = 0,\; b_{11} = 0,\; b_{21} = 1, +\] +daher auch +\[ + a_{22} = 0,\; b_{12} = 0,\; b_{22} - a_{12} = 0; +\] +es lauten dann die Gleichungen: +\[ +\left\{\ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\[1em] + \frac{\partial u}{\partial \DPtypo{x}{y}} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial \DPtypo{x}{y}} &= \mathfrak{L}(u,v), +\end{aligned} +\right. +\] +die sich wieder durch eine Transformation 3.~Art auf die oben +gegebene Form reduzieren lassen. + +Nehmen wir ein beliebig großes Gebiet, in welchem die Determinanten +\[ +\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{12}\, \\ \,a_{21} & b_{22}\, +\end{vmatrix},\quad +\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{11}\, \\ \,a_{21} & b_{21}\, \end{vmatrix} +\] +nie gleichzeitig verschwinden, so können wir es in Teilgebiete zerlegen, +sodaß in jedem Teilgebiet eine dieser Determinanten überall +von Null verschieden ist. Unsere Reduktion ist daher erreicht in +dem gewählten Gebiet. Es bleibt übrig, diejenigen Teilbereiche +zu untersuchen, welche Punkte enthalten, die beiden Determinanten +den Wert Null erteilen. Verschwinden die Determinanten in einem +Punkte, so verschwindet dort auch notwendig im vorliegenden Fall +\[ +\begin{vmatrix} \,b_{11} & a_{12}\, \\ \,b_{21} & a_{22}\, \end{vmatrix}; +\] +es ist dann sicher in diesem Punkt (und daher in einem kleinen +Gebiet um diesen Punkt) +\[ +\begin{vmatrix} \,a_{12} & b_{12}\, \\ \,a_{22} & b_{22}\, \end{vmatrix} +\neq 0, +\] +es sei denn, daß die Gleichungen in diesem Punkt linear abhängig +sind; diese Möglichkeit lassen wir vorläufig bei Seite. Führen +wir eine Transformation 2.~Art aus, so daß +\[ + a_{12} = 1,\; a_{22} = 0,\; b_{12} = 0,\; b_{22} = 1 +\] +wird, dann haben wir weiter die Gleichungen wegen +\[ + a_{11} = 0,\; a_{21} = 0,\; b_{11} = 0,\; b_{21} = 0 +\] +in der Form +%-----File: 031.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v); +\end{aligned} +\right. +\] +sie lassen sich durch Vertauschung von $u$, $v$ in der vorher gegebenen +Form schreiben. + +In einem Gebiete, wo das System~1) gewöhnlich-singulär und +linear abhängig ist, bekommen wir leicht, wie in A), die Form +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + 0 &= \mathfrak{L}(u,v). +\end{aligned} +\right. +\] +Das Resultat lautet also: + +\so{Ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet gewöhnlich-singulär, +linear unabhängig ist, läßt sich +durch Transformationen der drei genannten Arten in +jedem einer endlichen Anzahl von Teilgebieten, welche +das gegebene Gebiet vollständig überdecken, auf die +Normalform} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial u}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen; ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet +gewöhnlich-singulär, linear abhängig ist, läßt +sich auf die Form} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen; ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet +ausgezeichnet-singulär ist, ist notwendig auch +linear abhängig, und läßt sich auf eine der Normalformen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + 0 &= \mathfrak{L}(u,v), +\end{aligned} +\right. +\qquad +\left\{ +\begin{aligned} + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen.} + +%[** TN: Set table on its own page, change punctuation from colon to period.] +\Paragraph{VIII.} Zwecks bequemer Ãœbersicht werden die gefundenen +Normalformen in eine Tabelle zusammengestellt, \hyperref[tabelle]{Seite~\pageref{tabelle}}. +%-----File: 032.png--------------------------------------- +\begin{table}[p] +\begin{center} +\phantomsection\label{tabelle} +\begin{tabular}{lcc} +\multicolumn{3}{c}{\so{Tabelle der Normalformen.}} \\ \midrule\midrule + {\centering Charakter des Systems. } +& {\centering Normalform. } +& Charakteristiken. \\ \midrule\midrule + 1. Elliptisch +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + \dfrac{\partial u}{\partial y} + - \dfrac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +$\left\{ + \begin{aligned} + & x + iy = \alpha \\ + & x - iy = \beta + \end{aligned} +\right.$ +\\ \midrule +2. Hyperbolisch +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + \dfrac{\partial u}{\partial y} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +$\left\{ + \begin{aligned} + & x = \alpha \\ + & y = \beta + \end{aligned} +\right.$ +\\ \midrule + $\begin{array}{l}\text{3. Gewöhnlich-}\\ + \qquad\qquad\text{parabolisch}\end{array}$ +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + \dfrac{\partial u}{\partial y} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +$ \phantom{\left\{ \right.} + x = \alpha +$ +\\ \midrule + $\begin{array}{l}\text{4. Ausgezeichnet-}\\ + \qquad\qquad\text{parabolisch}\end{array}$ +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + \dfrac{\partial u}{\partial y} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +$ \phantom{\left\{ \right.} + y = \alpha +$ +\\ \midrule + $\begin{array}{ll}\text{5.\ }&\text{Gewöhnlich-}\\ + \multicolumn{2}{l}{\qquad\qquad\text{singulär,}}\\ + &\text{linear unabhängig}\end{array}$ +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + \dfrac{\partial u}{\partial y} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +--- +\\ \midrule + $\begin{array}{ll}\text{6.\ }&\text{Gewöhnlich-}\\ + \multicolumn{2}{l}{\qquad\qquad\text{singulär,}}\\ + &\text{linear abhängig}\end{array}$ +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +--- +\\ \midrule +\multirow{2}{*} +{$\begin{array}{ll}\text{7.\ }&\text{Ausgezeichnet-}\\ + \multicolumn{2}{l}{\qquad\qquad\text{singulär,}}\\ + &\text{linear abhängig}\end{array}$} +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +--- +\\ \cmidrule{2-3} +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +--- +\end{tabular} +\end{center} +\end{table} +%-----File: 033.png--------------------------------------- + +\Paragraph{IX.} Zum Schluß dieses Paragraphen wollen wir einige Arten +von Systemen aussondern, die für die weitern Betrachtungen trivial +sind, indem sie sich auf Differentialgleichungen erster Ordnung, +Gleichungen, in welchen keine Ableitungen vorkommen, oder gewöhnliche +Differentialgleichungen reduzieren lassen\footnote{ + Die Ausführungen dieses Absatzes sind möglichst kurz gemacht; es ist + keine Rede davon, strenge Auflösungsmethoden für die betrachteten + Systeme anzugeben, + da diese außerhalb des Gebiets der vorliegenden Arbeit fallen.}. + +Schreiben wir das allgemeine gewöhnlich-parabolische System: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &= A(x,y) u + B(x,y) v \\ + \frac{\partial u}{\partial y} +\phantom{{}+ \frac{\partial v}{\partial y}} &= C(x,y) u + D(x,y) v. +\end{aligned} +\right. +\] +Ist $D(x,y)$ identisch Null, so läßt sich $u$ aus der zweiten Gleichung +bestimmen; dann kann die erste Gleichung nach $v$ aufgelöst +werden; die allgemeine Lösung ist also durch Auflösen zweier +linearer, gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung zu +erhalten. Es genügt daher, diejenigen gewöhnlich-parabolischen +Systeme zu betrachten, für welche $D(x,y)$ nicht überall verschwindet; +wir können dann ein solches Gebiet wählen, daß $D(x,y)$ +nirgends verschwindet. + +Das ausgezeichnet-parabolische System lautet: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= A(x,y) u + B(x,y) v \\ + \frac{\partial v}{\partial x} &= C(x,y) u + D(x,y) v. +\end{aligned} +\right. +\] +Es kommen hier keine Ableitungen nach $y$ vor; darum kann das +System als gewöhnliches Differentialgleichungssystem gelöst werden, +wobei $x$ als die unabhängige Variable, $y$ als Parameter betrachtet +sind. + +Das gewöhnlich-singuläre, linear unabhängige System: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= A(x,y) u + B(x,y) v \\ + \frac{\partial u}{\partial y} &= C(x,y) u + D(x,y) v +\end{aligned} +\right. +\] +läßt sich, falls $v$ überhaupt auf den rechten Seiten vorkommt, durch +Elimination von $v$ auf eine einzige lineare partielle +Differentialgleichung +erster Ordnung für $u$ reduzieren; nach Integration dieser +Gleichung ist $v$ durch eine ableitungsfreie Gleichung gegeben. Ist +%-----File: 034.png--------------------------------------- +die Elimination unmöglich, \dh\ ist $B(x,y) \equiv D(x,y) \equiv 0$, so +haben wir zwei lineare partielle Differentialgleichungen für $u$, die +dann und nur dann lösbar sind, wenn $\dfrac{\partial A}{\partial y} = +\dfrac{\partial C}{\partial x}$; $v$ bleibt völlig +willkürlich. + +Bei dem gewöhnlich-singulären, linear abhängigen System +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial x} &= A(x,y) u + B(x,y) v \\ + 0 &= C(x,y) u + D(x,y) v +\end{aligned} +\right. +\] +gibt die zweite Gleichung (wenn nicht $C(x,y) \equiv D(x,y) \equiv +0$) eine +ableitungsfreie Relation zwischen $u$, $v$; drücken wir eine dieser +beiden Funktionen durch die andre aus, so wird die erste Gleichung +eine lineare Gleichung erster Ordnung für die andre Funktion. +Ist dagegen $C(x,y) \equiv D(x,y) \equiv 0$, so darf eine der Funktionen +willkürlich gewählt werden; die andre ist dann durch eine lineare +Gleichung erster Ordnung bestimmt. + +Für das ausgezeichnet-singuläre System gibt es zwei Formen: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= A(x,y)u + B(x,y)v \\ + 0 &= C(x,y)u + D(x,y)v +\end{aligned} +\right\},\qquad +\left\{ +\begin{aligned} + \vphantom{\frac{\partial u}{\partial x}}0 &= A(x,y)u + B(x,y)v \\ + 0 &= C(x,y)u + D(x,y)v +\end{aligned} +\right\}. +\] +Im ersten Falle ist, wenn $D(x,y)$ nicht identisch Null, $v$ durch $u$ +ausdrückbar, und wir erhalten eine lineare Gleichung erster Ordnung +für $u$. Ist $D(x,y) \equiv 0$, so ist die einzige Lösung des Systems +$u = 0$, $v = 0$; es sei denn, daß $B(x,y)$ oder $C(x,y) \equiv 0$; ist +$B(x,y) \equiv 0$, so existieren auch die Lösungen $u = 0$, $v =$ +willkürliche +Funktion; ist $C(x,y) \equiv 0$, so ist die erste Gleichung bei +willkürlicher Wahl von $v$ für $u$ lösbar. Im zweiten Falle kommen +gar keine Ableitungen vor; die Gleichungen besitzen dann und +nur dann Lösungen, wenn die Determinante +\[ +\begin{vmatrix} + \,A(x,y) & B(x,y)\, \\ + \,C(x,y) & D(x,y)\, +\end{vmatrix} +\] +verschwindet. + +\Paragraph{X.} Nur folgende Formen sind also als Systeme von allgemeinem +Charakter zu bezeichnen: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &= A(x,y) u + B(x,y) v +\\ + \frac{\partial u}{\partial y} +- \frac{\partial v}{\partial x} &= C(x,y) u + D(x,y) v , +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 035.png--------------------------------------- +\begin{align*} +&\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} +\phantom{{} + \frac{\partial v}{\partial y}} &= A(x,y) u + B(x,y) v +\\ + \frac{\partial v}{\partial y} +\phantom{{} + \frac{\partial v}{\partial y}} &= C(x,y) u + D(x,y) v +\end{aligned} +\right. \\[1em] +&\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &= A(x,y) u + B(x,y) v \\ + \frac{\partial u}{\partial y} +\phantom{{} + \frac{\partial v}{\partial y}} &= C(x,y) u + D(x,y) v +\end{aligned} +\right\}, \; D(x,y) \neq 0. +\end{align*} +Diese werden der Reihe nach in den folgenden drei Kapiteln behandelt +werden. + + +\Chapter{Zweites Kapitel.} +{Das elliptische System.} +\Section{3. Hilfsmittel zur Theorie des elliptischen Systems.} + +In diesem Paragraphen soll eine Reihe von vorbereitenden +Hilfssätzen betrachtet werden, die zur Lösung der Randwertaufgabe +bei dem elliptischen System erforderlich sind. Einige Sätze +aus der Potentialtheorie werden ohne Beweise angegeben; bei +andern, die neu sind, werden diejenigen Teile der Beweise, welche +auf rein potentialtheoretischen Methoden beruhen, ziemlich kurz +angedeutet werden\footnote{ + Für die betreffenden Sätze und Methoden aus der Potentialtheorie + sei verwiesen + auf \so{Korn}, Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd.~II; \so{Horn}, + Einführung in die + Theorie der partiellen Differentialgleichungen, \S\S~50--58. Häufig + fehlen in der + Literatur strenge Beweise mit genauer Angabe der hinreichenden + Bedingungen, + doch sind eventuelle Lücken ohne große Schwierigkeit auszufüllen. Alle + diese + Ausführungen hier anzugeben, würde uns viel zu weit führen.}. + +\Paragraph{I.} Es sei $\varOmega$ ein geschlossenes, von einer stetig +gekrümmten +doppelpunktslosen Kurve $S$ begrenztes Gebiet der $xy$-Ebene. Von +einer Funktion $f(xy)$, die \so{im Innern und auf dem Rande von +$\varOmega$} stetig resp.\ stetig differenzierbar, \usw\ ist, sagen +wir kurz, +sie sei stetig resp.\ stetig differenzierbar \usw; Eigenschaften, +die allein \so{im Innern von $\varOmega$} stattfinden, werden immer +als solche +genannt. Der Wert einer Funktion $f(xy)$ in einem Punkte auf +$S$, dessen Bogenlänge, von einem festen Punkt auf $S$ gemessen, +%-----File: 036.png--------------------------------------- +gleich $s$ ist, wird immer mit $f(s)$ bezeichnet. Es bedeutet dann +auch $\dfrac{\partial f(s)}{\partial x}$ resp.\ $\dfrac{\partial +f(s)}{\partial y}$ \usw\ die Ableitung in der $x$- resp.\ $y$-Richtung +\usw\ im Punkte $s$ auf $S$. Die Buchstaben~$n$, $\nu$ bedeuten +immer die Richtungen der inneren Normalen in den Punkten +$s,\sigma$ von $S$. Bei Funktionen $f(\xi\eta, xy)$ die von zwei Punkten +$(\xi\eta),(xy)$ +abhängig sind, gebrauchen wir auch, falls ein Punkt oder die beiden +Punkte auf $S$ liegen, die leicht verständlichen Bezeichnungen +\[ + f(\sigma,xy),\; f(\xi\eta,s),\; f(\sigma,s),\; + \frac{\partial f(\sigma,xy)}{\partial \xi},\; + \frac{\partial f(\sigma,s)}{\partial \eta} +\] +\usw\ \ Folgende Abkürzungen werden vielfach benutzt: +\begin{gather*} + r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) += \sqrt{(\xi_1 - \xi_2)^2 + (\eta_1 - \eta_2)^2}, +\\ + l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) += -\log \sqrt{(\xi_1 - \xi_2)^2 + (\eta_1 - \eta_2)^2}. +\end{gather*} + +Die Greenschen Funktionen erster und zweiter Art der Laplaceschen +Gleichung sind durch die Bedingungen definiert\footnote{ + \so{Hilbert}, Göttinger Nachrichten (1904), S.~237--238.}: +\begin{gather*} + G(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) += l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) ++ g(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) ; +\\ + \frac{\partial^2 g}{\partial \xi_1^2} ++ \frac{\partial^2 g}{\partial \eta_1^2} = 0; +\quad + G(\sigma_1, \xi_2 \eta_2) = 0; +\\ + H(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) += l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) ++ h(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) ; +\\ + \frac{\partial^2 h}{\partial \xi_1^2} ++ \frac{\partial^2 h}{\partial \eta_1^2} = 0; +\quad + \frac{\partial H(\sigma_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \nu_1} = 0; +\quad + \iint\limits_{\varOmega} H(\xi\eta, xy)\,dR = 0; +\end{gather*} +wo $g$, $h$ reguläre Funktionen sind. Bekanntlich ist jede der Funktionen +$G$, $H$ symmetrisch in Bezug auf das Punktepaar $(\xi_1 \eta_1)$, +$(\xi_2 \eta_2)$. + +\Paragraph{IIa.} \so{Sind $\varphi(xy)$, $\psi(xy)$ endlich bleibende, +im Innern +von $\varOmega$ stetige Funktionen, so konvergieren die Integrale} +\[ + \iint\limits_{\varOmega} l(\xi\eta, xy) \varphi(xy)\,dR,\quad + \iint\limits_{\varOmega} \frac{\varphi(xy)}{r(\xi\eta, xy)}\,dR, +\] +\so{und stellen stetige Funktionen dar; und folgende Umkehrung +der Integrationsfolge ist erlaubt:} +\[ + \iint\limits_{\varOmega} \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\varphi(x_1 y_1) \psi(xy)}{r(x_1 y_1, xy)}\,dR\, dR_1 += \iint\limits_{\varOmega} \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\varphi(x_1 y_1) \psi(xy)}{r(x_1 y_1, xy)}\,dR_1\, dR, +\] +%-----File: 037.png--------------------------------------- + +\Paragraph{IIb.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine endlich bleibende, im Innern +von $\varOmega$ stetige Funktion, so gelten die Differentiationsformeln} +\begin{gather*} + \frac{\partial}{\partial \xi} + \iint\limits_{\varOmega} + l(\xi\eta, xy) \varphi(xy) \,dR += \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial l(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \varphi(xy) \,dR , +\\ + \frac{\partial}{\partial \eta} + \iint\limits_{\varOmega} + l(\xi\eta, xy) \varphi(xy) \,dR += \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial l(\xi\eta, xy)}{\partial \eta} \varphi(xy) \,dR. +\end{gather*} + +\Paragraph{IIc.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige, im Innern von +$\varOmega$ stetig +differenzierbare Funktion, so konvergieren die Integrale} +\begin{gather*} + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial^2 l(\xi\eta, xy)}{\partial x \partial \xi } + \{ \varphi(xy) - \varphi(\xi\eta) \} \,dR, +\; + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial^2 l(\xi\eta, xy)}{\partial x \partial \eta } + \{ \varphi(xy) - \varphi(\xi\eta) \} \,dR, +\\ + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial^2 l(\xi\eta, xy)}{\partial y \partial \xi } + \{ \varphi(xy) - \varphi(\xi\eta) \} \,dR, +\; + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial^2 l(\xi\eta, xy)}{\partial y \partial \eta } + \{ \varphi(xy) - \varphi(\xi\eta) \} \,dR. +\end{gather*} + +\Paragraph{IIIa.} \so{Ist $\varphi(\xi_1 \eta_1, xy, \xi_2 \eta_2)$ +eine endlich bleibende, bei +getrennten Lagen der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(xy)$, $(\xi_2 \eta_2)$ +stetige +Funktion, so ist die Funktion} +\[ + \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) += \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\varphi(\xi_1 \eta_1, xy, \xi_2 \eta_2)} + {r(\xi_1 \eta_1, xy) r(xy, \xi_2 \eta_2)} \,dR +\] +\so{eine bei getrennten Lagen der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 +\eta_2)$ stetige +Funktion; bei Annäherung der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ +gilt die Ungleichung:} +\[ + \lvert \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) \rvert +< kl(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2), +\] +\so{wenn} +\[ + r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) < \delta, +\] +\so{wo $k$ eine Konstante bedeutet.} + +Es sei $\lvert\varphi\rvert < m$, wo $m$ eine Konstante bedeutet; +wir nehmen +zuerst zwei getrennt liegende Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$, +\[ + \varrho = r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) > 0, +\] +und wollen beweisen, daß wir zu einem gegebenen $\varepsilon > 0$ +ein solches +$\delta > 0$ wählen können, daß +\[ + \lvert \varPhi(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) +- \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) \rvert < \varepsilon, +\] +wenn +\[ + r(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, \xi_1 \eta_1) + < \delta,\; + r(\overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2, \xi_1 \eta_1) + < \delta. +\] +%-----File: 038.png--------------------------------------- + +Wir wählen zunächst $\delta$ so klein, daß +\[ + \delta < \frac{\varrho}{2},\; + \frac{32\,\pi m\delta}{\varrho - 2\delta} < \varepsilon\;\footnotemark. +\] +\footnotetext{ + Diese Wahl von $\delta$ ist sicher möglich; denn es ist +\[ + \underset{\delta=0}{L} \frac{32\,\pi m\delta}{\varrho-2\delta} = 0. +\]}% +Wir nennen $\varOmega_1$, $\varOmega_2$ zwei kleine Kreise vom Radius +$\delta$ um $(\xi_1 \eta_1)$, +$(\xi_2 \eta_2)$ als Mittelpunkte oder die in $\varOmega$ liegenden +Teile solcher Kreise, +$\varOmega_0$ den übrigen Teil von $\varOmega$, und schreiben +\[ + \varPhi = \varPhi_1 + \varPhi_2 + \varPhi_0, +\] +wo +\[ + \varPhi_i( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 ) += \iint\limits_{\varOmega_i} + \frac{ \varphi( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, xy, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 ) } + { r( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, xy ) + r( xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 ) } + \, dR,\quad [i = 0,1,2], +\] +für beliebige Punkte $(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1)$ +in $\varOmega_1$, $(\overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$ +in $\varOmega_2$. In $\varOmega_1$ ist +\begin{align*} +& r( xy, \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1 ) \leqq +2\delta, \\ +& r( xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 ) \geqq +\varrho -2\delta; +\end{align*} +wir finden also mit Hilfe von Polarkoordinaten $r[= r(\xi_1 \eta_1, xy)]$, +$\vartheta$ um $(\xi_1 \eta_1)$: +\begin{align*} + \lvert\varPhi_1( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 )\rvert +&\leqq \frac{m}{\varrho-2\delta} + \iint\limits_{\varOmega_1} + \frac{dR}{r(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1 , xy)} \\ +&\leqq \frac{m}{\varrho-2\delta} + \int\limits_{\!0}^{\!2\pi} \!\!\! \int\limits_0^{\ 2\delta} dr\, + d\vartheta += \frac{4\pi m\delta}{\varrho-2\delta} < \frac{\varepsilon}{8}. +\end{align*} +Ebenso ist +\[ + \lvert\varPhi_2( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 )\rvert +< \frac{\varepsilon}{8}; +\] +und diese Ungleichungen gelten auch insbesondere, wenn wir die +Punkte +$(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1)$, +$(\overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$ in den speziellen +Lagen +$(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ wählen. +Es ist daher +\begin{align*} +& \lvert\varPhi_1(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) - + \varPhi_1(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert < \frac{\varepsilon}{4}, +\\ +& \lvert\varPhi_2(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) - + \varPhi_2(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert < \frac{\varepsilon}{4}. +\end{align*} + +Da aber die Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ nicht in +$\varOmega_0$ enthalten sind, +%-----File: 039.png--------------------------------------- +so ist sicher $\varPhi_0$ stetig; die Wahl eines eventuell kleinern +$\delta$ läßt +also erreichen, daß auch +\[ + \lvert \varPhi_0(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) + - \varPhi_0(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) \rvert +< \frac{\varepsilon}{2}; +\] +daraus folgt, daß +\[ + \lvert \varPhi(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) + - \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) \rvert < \varepsilon, +\] +womit der erste Teil des Satzes bewiesen ist. + +Es sei jetzt $M$ eine Konstante, die größer ist als die Entfernung +irgend zweier Punkte von $\varOmega$; dann enthält ein Kreis vom +Radius $M$ um irgend einen Punkt von $\varOmega$ den ganzen Bereich +$\varOmega$ +im Innern. Zwecks Beweises der zweiten Behauptung unseres +Satzes führen wir wieder Polarkoordinaten ein, und zwar, ausführlich +geschrieben, mittels der Formeln: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + x &= \xi_1 + r\cos \vartheta, \\ + y &= \eta_1 + r\sin \vartheta, +\end{aligned} +\right. \qquad +\left\{ +\begin{aligned} + \xi_2 &= \xi_1 + \varrho\cos \alpha, \\ + \eta_2 &= \eta_1 + \varrho\sin \alpha, +\end{aligned} +\right. +\] +wobei $r$, $\varrho$ ihre früheren Bedeutungen beibehalten. Wir finden +\begin{align*} + \lvert\varPhi_1(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert +&\leqq m \iint\limits_{\varOmega} + \frac{dR}{r(\xi_1 \eta_1, xy) r(xy, \xi_2 \eta_2)} +\\ +&= m \iint\limits_{\varOmega} + \frac{dR} + {r\sqrt{r^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos (\vartheta-\alpha)}} +\\ +&< m \int\limits_{\!0}^{2\pi} \!\!\! \int\limits_0^{\ M} + \frac{dr\, d\vartheta} + { \sqrt{r^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos (\vartheta-\alpha)}} +\\ +&= \begin{aligned}[t] + m \int\limits_0^{2\pi} \log + \{ \sqrt{M^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos (\vartheta-\alpha)} + + M - \varrho\cos (\vartheta-\alpha) \} \,d\vartheta& \\ + - m \int\limits_0^{2\pi} \log + \{ \varrho(1 - \cos (\vartheta-\alpha)) \} \,d\vartheta&. +\end{aligned} +\end{align*} +Bleiben aber die Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ im Innern +oder auf dem Rande +von $\varOmega$, so ist der Integrand des ersten Integrals stetig; daher +bleibt das Integral für alle Werte von $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ +absolut unter +einem konstanten Wert $k_1$. Ferner ist +\[ + \int\limits_0^{2\pi} \log + \{ \varrho(1 - \cos (\vartheta-\alpha)) \} \,d\vartheta += 2\pi \log \varrho - 2\pi \log 2; +\] +so daß +\[ + \lvert\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert +< -2\pi m \log \varrho + k_2. +\] +%-----File: 040.png--------------------------------------- +Wählen wir schließlich $\varepsilon$ als eine beliebige positive +Konstante, dann +$\delta$ so klein, daß +\[ + \frac{k_2}{-\log \varrho} < \varepsilon, +\] +wenn +\[ + \varrho < \delta, +\] +so ist +\[ + \lvert\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert +< -(2\pi m + \varepsilon) \log \varrho; +\] +der zweite Teil des Satzes ist bewiesen; es darf ersichtlich $k$ +irgend eine positive Konstante größer als $2\pi m$ sein. + +\Paragraph{IIIb.} \so{Ist $\varphi(\xi_1 \eta_1, xy, \xi_2 \eta_2)$ +eine in $\varOmega$ endlich bleibende, +bei getrennten Lagen der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(xy)$, $(\xi_2 +\eta_2)$ stetige +Funktion, so ist folgende Umkehrung der Integrationsfolge +erlaubt:} +\[ + \iint\limits_{\varOmega} \; + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{ \varphi(\xi\eta, xy, x_1 y_1) } + { r(\xi\eta, xy) \,r(xy, x_1 y_1) }\, dR\, dR_1 += \iint\limits_{\varOmega} \; + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{ \varphi(\xi\eta, xy, x_1 y_1) } + { r(\xi\eta, xy) \,r(xy, x_1 y_1) }\, dR_1\, dR. +\] + +Wir erweitern die Definition von $\varphi$, indem wir $\varphi = 0$ +setzen, +wenn entweder $(xy)$ oder $(x_1 y_1)$ außerhalb $\varOmega$ liegt. Wir +nennen +$\varOmega_0$, $\varOmega_1$, $\omega$ kleine Kreise vom Radius $\delta$ +um die variablen Punkte +$(xy)$, $(x_1 y_1)$, resp.\ den festen Punkt $(\xi\eta)$, und $\varOmega'$ +ein so großes, $\varOmega$ +ganz im Innern enthaltendes Gebiet, daß die kleinste Entfernung +zwischen den Randkurven von $\varOmega$, $\varOmega'$ größer als $2\delta$ +ist. Wir +werden den Integranden der Integrale zur Abkürzung mit $F$ bezeichnen, +und schreiben ferner: +\[ + r(\xi\eta, x y ) = r_0, \; + r(\xi\eta, x_1 y_1) = r_1, \; + r( xy, x_1 y_1) = r_{01}. +\] +Es sei $M'$ die größte Entfernung zweier Punkte von $\varOmega'$. In dem +vierdimensionalen Bereich, welcher durch die Angaben +\[ + (x y ) \text{ in } \varOmega' - \omega; \; + (x_1 y_1) \text{ in } \varOmega' - \omega; \; + r(xy, x_1 y_1) \geqq \delta +\] +bestimmt ist, ist der Integrand regulär, da jede Singularität +ausgeschlossen +ist; wir können also erst nach $xy$, dann nach $x_1 y_1$ +integrieren, mit gleichem Resultate; \dh\ wie man leicht sieht: +\[ + \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; + \iint\limits_{\,\,\varOmega'-\varOmega_1-\omega'} + F\, dR\, dR_1 += \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; + \iint\limits_{\,\,\varOmega'-\varOmega_0-\omega'} + F\, dR_1\, dR = I. +\] +Gelingt es uns, zu beweisen, daß +\begin{align*} + \underset{\delta=0}\bigL I +&= \underset{\delta=0}\bigL + \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; + \iint\limits_{\,\,\varOmega'-\varOmega_1-\omega} + F\, dR\, dR_1 += \iint\limits_{\varOmega'} \iint\limits_{\varOmega'} F\, dR\, dR_1 +\\ + \underset{\delta=0}\bigL I +&= \underset{\delta=0}\bigL + \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; + \iint\limits_{\,\,\varOmega'-\varOmega_0-\omega} + F\, dR\, dR_1 += \iint\limits_{\varOmega'} \iint\limits_{\varOmega'} F\, dR_1\, dR , +\end{align*} +%-----File: 041.png--------------------------------------- +so wird damit unser Satz offenbar bestätigt sein. Wir werden +hier den Beweis der ersten dieser beiden Grenzformeln durchführen; +der Beweis der zweiten würde nicht genau ebenso lauten, +sondern noch einfacher sein\footnote{ + Hätten wir im Nenner des Integranden auch den Faktor $r(\xi\eta, + x_1 y_1)$, so + wären die Formeln an dieser Stelle von genau symmetrischer Gestalt. Das + so + entstehende Problem für \so{doppelte Doppel}integrale ist dem für + \so{doppelte + einfache} Integrale ähnlich, das Verfasser im ersten Teil einer + andern Arbeit + betrachtet hat: Annals of Mathematics, Bd.~9 (1908), S.\ 183--187. +}. +Wir schreiben +\[ + I = I' - I'', +\] +wo +\begin{align*} + I' &= + \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; \iint\limits_{\varOmega'} + F\, dR\, dR_1, +\\ + I'' &= + \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; \iint\limits_{\varOmega'+\omega} + F\, dR\, dR_1. +\end{align*} +Bleibt $(x_1 y_1)$ in $\varOmega'-\omega$, $(xy)$ in $\varOmega_1$, so +ist $r_1 \geqq \delta$, $r_{01} \leqq \delta$, $r_0 \geqq r_1 - r_{01}$; +daher ist +\[ +\begin{split} + \left\lvert \,\iint\limits_{\varOmega_1} F\, dR \,\right\rvert \leqq + m \iint\limits_{\varOmega_1} \frac{dR}{r_{01}(r_1-r_{01})} += m \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\delta \frac{dr_{01}\, +d\vartheta}{r_1-r_{01}} +\\ += 2\pi m \{ \log r_1 - \log (r_1-\delta) \}. +\end{split} +\] +Bleibt $(x_1 y_1)$ in $\varOmega'-\omega$, $(xy)$ in $\omega$, so ist +$r_1 \geqq \delta$, $r_0 \leqq \delta$, $r_{01} \geqq r_1 - r_0$; +daher ist +\begin{align*} + \left\lvert \,\iint\limits_{\omega} F\, dR \,\right\rvert + & \leqq m \iint \frac{dR}{r_0(r_1-r_0)} + = m \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\delta \frac{dr_0\, d\vartheta}{r_1-r_0} + \\ + &= 2\pi m \{ \log r_1 - \log (r_1-\delta) \}. +\end{align*} +Wir haben also +\[ + \left| \; \iint\limits_{\varOmega_1+\omega} F\,dR \,\right\rvert \leqq + 4\pi m \{ \log r_1 - \log(r_1-\delta) \}\, dR, +\] +und +\begin{align*} + \lvert I'' \rvert & \leqq \iint\limits_{\varOmega'-\omega} + 4\pi m \{ \log r_1 - \log(r_1-\delta) \}\, dR_1, +\\ +& \leqq 4\pi m \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{M'} + r_1 \{ \log r_1 - \log(r_1-\delta) \}\, dr_1\, d\vartheta\;\footnotemark +\\ +&= 4\pi m·2\pi \left[ + \frac{M'^2}{2} \log M' - \frac{M'^2-\delta^2}{2} \log (M'-\delta) + + \frac{\delta M'}{2} - \frac{\delta^2}{2} \log \delta + - \frac{\delta^2}{2} \right] +\end{align*} +\footnotetext{ + Denn jeder Punkt der Randkurve von $\varOmega'$ ist von $(\xi\eta)$ + um höchstens $M'$ + entfernt, und der Integrand ist positiv.}% +%-----File: 042.png--------------------------------------- +und daher +\[ + \underset{\delta=0}\bigL I'' = 0, +\] +mithin +\[ + \underset{\delta=0}\bigL I += \underset{\delta=0}\bigL I'. +\] +Aber +\[ +\begin{split} + \underset{\delta=0}{\bigL} I' += \underset{\delta=0}{\bigL} + \iint\limits_{\varOmega'-\omega} \iint\limits_{\varOmega'} F\,dR\,dR_1 + \\ += \iint\limits_{\varOmega'} \iint\limits_{\varOmega'} F\,dR\,dR_1 , +\end{split} +\] +nach Definition eines uneigentlichen Integrals; so daß die Formel +bewiesen ist. + +\Paragraph{IVa.} \so{Bedeutet $\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$ +irgend einen der Ausdrücke} +\begin{align*} +& \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR, +\\ +& \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial y}\, dR, +\\ +& \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial y} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR, +\\ +& \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial y} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial y}\, dR, +\end{align*} +\so{wo $\varphi(xy)$ eine stetig differenzierbare Funktion ist, +so gelten die Sätze:} + +1. \so{$\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$ ist für getrennt liegende +Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, +$(\xi_2 \eta_2)$ stetig und nach den Koordinaten eines innern +Punktes $(\xi_1 \eta_1)$ von $\varOmega$ stetig differenzierbar.} + +2.\hfill $\lvert\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert +< kl(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$,\hfill\break +\so{wenn } +\[ + r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) < \delta. +\] + +3. \so{für einen innern Punkt $(\xi_1 \eta_1)$} +\[ + \left\lvert \frac{\partial \varPhi}{\partial \xi_1 } \right\rvert<,\quad + \left\lvert \frac{\partial \varPhi}{\partial \eta_1} \right\rvert +< \frac{k}{r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}, +\] +\so{wenn} +\[ + r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) < \delta. +\] +%-----File: 043.png--------------------------------------- + +Wir wollen die Behauptungen im ersten der vier genannten +Fälle bestätigen; die andern lassen sich genau ebenso behandeln. +Schreiben wir +\[ + \varphi(\xi_1 \eta_1, xy, \xi_2 \eta_2) += \frac{\xi_1 - x}{r(\xi_1 \eta_1, xy)} \varphi(xy) + \frac{\xi_2 - x}{r(\xi_2 \eta_2, xy)} , +\] +so ist der Integrand von der in den letzten Absätzen behandelten +Art. Also gilt schon nach IIIa die Stetigkeit für getrennte +Punkte, sowie die Abschätzung~2. Wir haben also noch zu beweisen, +daß, wenn $(\xi_1 \eta_1)$ ein innerer Punkt, $(\xi_2 \eta_2)$ ein von +$(\xi_1 \eta_1)$ +verschiedener Punkt von $\varOmega$ ist, die Ableitungen nach~$\xi_1 +\eta_1$\quad A) existieren; +B) stetig sind; C) bei Annäherung der beiden Punkte die +Abschätzung~3 befriedigen. Um die Ableitungen nach $\xi_1 \eta_1$ +gleichzeitig +zu behandeln, nennen wir $\zeta_1$ eine beliebige Richtung, die +den Winkel~$\alpha_0$ mit der $\xi_1$-Richtung bildet. + +A) Wir schlagen um den Punkt $(\xi_1 \eta_1)$ einen beliebigen, den +Punkt $(\xi_2 \eta_2)$ umschließenden Teilbereich $k$ von $\varOmega$, +dessen Randkurve +wir $C$ nennen. Es ist dann +\begin{align*} + \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) +&= \iint\limits_k + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR +%\\ ++ \iint\limits_{\varOmega-k} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR +\\ +&= \int\limits_C + l(\xi_1 \eta_1, s) \varphi(s) + \frac{\partial l(s, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} dy +\\ +&\; - \iint\limits_k + l(\xi_1 \eta_1, xy) \frac{\partial}{\partial x} + \left\{ \varphi(xy) \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} + \right\}\, dR +\\ +&\; + \iint\limits_{\varOmega-k} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR, +\end{align*} +wie die teilweise Integration ergibt. In dieser Form können wir +die Differentiation direkt ausführen\footnote{ + Bei Differentiation des Integrals über $\varOmega-k$ ist ein + Grenzübergang notwendig + wegen der singulären Stelle $(\xi_2 \eta_2)$; doch lassen wir die + Formeln weg, da + keine Schwierigkeit auftritt; bei der Differentiation des Integrals + über $k$ machen + wir von IIb Gebrauch.}: +%-----File: 044.png--------------------------------------- +\begin{align*} + \frac{\partial \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \zeta_1} +&= \; \int\limits_C + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, s)}{\partial \zeta_1} \varphi(s) + \frac{\partial l(s, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dy +\\ +& \; - \iint\limits_{k} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial \zeta_1} + \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \right\} dR +\\ +& \; + \iint\limits_{\varOmega-k} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x\, \partial \zeta_1} + \varphi(xy) \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR. +\end{align*} + +B) Wir wollen jetzt beweisen, daß wir zu einem gegebenen +$\varepsilon > 0$ ein solches $\delta > 0$ wählen können, daß +\[ + \left\lvert + \frac{ \partial \varPhi(\overline{\xi}_1 + \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) } + { \partial \overline{\zeta}_1 } +- \frac{ \partial \varPhi(\xi_1\eta_1, \xi_2 \eta_2) } + { \partial \zeta_1 } + \right\rvert < \varepsilon, +\] +wenn +\[ + r(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, \xi_1 \eta_1) < + \delta, \; + r(\overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2, \xi_2 \eta_2) + < \delta. +\] + +Es sei $\lvert\varphi\rvert < m$, +$\left\lvert \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} \right\rvert < m$; +wir nehmen das in A) willkürliche +Gebiet $k$ als einen Kreis vom Radius $d$ um $(\xi_1 \eta_1)$ als +Mittelpunkt; +und wir wählen zunächst $\delta$ so klein, daß\footnote{ + Die beiden letzten Ungleichungen lassen sich sicher erfüllen, da deren + linke Seiten den Grenzwert $0$ bei $\delta = 0$ haben.} +\[ + \delta < d, \quad \delta < \frac{\varrho}{2}, \quad + 32\pi m\delta + \left[ \frac{1}{\varrho-2\delta} + \log(\varrho+2\delta) \right] +< \varepsilon, \quad + \frac{32\pi m\delta}{(\varrho - 2\delta)^2} < \varepsilon; +\] + +Hier ist wieder +\[ + \varrho = r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) > 0. +\] + +Wir schlagen Kreise $\varOmega_1$, $\varOmega_2$ vom Radius $\varrho$ +um $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ als +Mittelpunkte; dabei bedeutet $\varOmega_2$ eventuell nur den in +$\varOmega$ liegenden +Teil eines Kreises; und den außerhalb $\varOmega_1$ liegenden Teil von $k$ +nennen wir $k_1$. Wir schreiben +\[ + \frac{\partial \varPhi}{\partial \overline{\zeta}_1} += \varPsi_0 + \varPsi_1 + \varPsi_2, +\] +wo +\begin{align*} + \varPsi_0(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) +&= \; \int\limits_C + \frac{\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, s)} + {\partial \overline{\zeta}_1} \varphi(s) + \frac{\partial l(s, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)} + {\partial x}\, dy +\\ +& \; - \iint\limits_{k-\varOmega_1} + \frac{\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, xy)} + {\partial \overline{\zeta}_1} + \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)} + {\partial x} \right\} dR +\\ +& \; + \iint\limits_{\varOmega-\varOmega_2-k} + \frac{\partial^2 l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + xy)} + {\partial x \,\partial \overline{\zeta}_1} + \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)} + {\partial x}\, dR, +\end{align*} +%-----File: 045.png--------------------------------------- +\begin{align*} + \varPsi_1(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) +&= - \iint\limits_{\varOmega_1} + \frac{\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, xy)} + {\partial \overline{\zeta}_1} + \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)} + {\partial x} \right\} dR, +\\ + \varPsi_2(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) +&= \iint\limits_{\varOmega_2} + \frac{\partial^2 l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + xy)} + {\partial x\,\partial \overline{\zeta}_1} + \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)} + {\partial x}\, dR; +\end{align*} +durch ähnliches Verfahren wie in IVa bekommen wir für die beiden +letzten Integrale Abschätzungen, die wir hier nur angeben wollen: +\[ +\begin{alignedat}{2} + \lvert\varPsi_1(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) \rvert +& \leqq 4\pi m\delta + \left\{ \frac{1}{\varrho-2\delta} + \log(\varrho+2\delta) \right\} +&&< \frac{\varepsilon}{8} +\\ + \lvert\varPsi_2(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) \rvert +& \leqq \frac{ 4\pi m\delta }{ (\varrho-2\delta)^2 } +&&< \frac{\varepsilon}{8} +\end{alignedat} +\] +Es gelten daher die Formeln: +\begin{align*} +& \lvert \varPsi_1(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) + - \varPsi_1(\xi_1\eta_1, \xi_2 \eta_2) + \rvert < \frac{\varepsilon}{4} +\\ +& \lvert \varPsi_2(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) + - \varPsi_2(\xi_1\eta_1, \xi_2 \eta_2) + \rvert < \frac{\varepsilon}{4}, +\end{align*} +wenn +\[ + r(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1) < + \delta, \; + r(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) < + \delta ; +\] +da $\varPsi_0(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$ +offenbar stetig ist für die Werte $(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$, so +ist (eventuell bei Wahl eines kleinern $\delta$) +\[ + \lvert \varPsi_0(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) + - \varPsi_0(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) + \rvert < \frac{\varepsilon}{2}, +\] +also schließlich +\[ + \left\lvert + \frac{ \partial \varPhi(\overline{\xi}_1 + \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) } + { \partial \overline{\zeta}_1 } +- \frac{ \partial \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) }{\partial \zeta_1} + \right\rvert < \varepsilon , +\] +was zu beweisen war. + +C) Ehe wir das Zusammenfallen der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 +\eta_2)$ in +Betracht ziehen, wollen wir die Formel für die Ableitung am +Ende von A) umformen. Wir nehmen für $k$ einen kleinen Kreis +vom Radius $\delta$ um $(\xi_1 \eta_1)$; die Ableitung selbst ist von +dem Wert +von $\delta$ unabhängig, muß also unverändert bleiben beim Grenzübergang +$\delta = 0$. In den ersten zwei Gliedern rechts ist der Grenzwert +leicht zu berechnen; denn +\begin{align*} +& \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_C + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, s)}{\partial \zeta_1} \varphi(s) + \frac{\partial l(s, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dy += \pi \cos \alpha_0 · \varphi(\xi_1 \eta_1) + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} +\\ +& \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{k} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial \zeta_1} + \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \right\} dR = 0. +\end{align*} +%-----File: 046.png--------------------------------------- +Daher muß das Integral über $\varOmega-k$ auch einen Grenzwert +besitzen\footnote{ + Ein solcher Grenzwert bei kreisförmigem Grenzübergang im Fall eines + nicht konvergenten Doppelintegrals dürfte wohl, nach Analogie der + einfachen + Integrale, der \so{Cauchysche Hauptwert} des nicht konvergenten + Integrals + genannt werden.}. +Es ist also +\begin{align*} + \frac{\partial \varPhi}{\partial \zeta_1} +&= \pi \cos\alpha_0 · \varphi(\xi_1 \eta_1) + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} +\\ +&+ \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x\, \partial \zeta_1} + \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR +\displaybreak[1]\\ +&= \pi \cos\alpha_0 · \varphi(\xi_1 \eta_1) + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} +\\ +&+ \varphi(\xi_1 \eta_1) + \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x \, \partial \zeta_1} + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \, dR +\\ +&+ \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x \, \partial \zeta_1} + \left\{ \varphi(xy) - \varphi(\xi_1 \eta_1) \right\} + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \, dR, +\end{align*} +da letzteres Integral offenbar konvergiert (IIc). Es ist ferner, +wenn wir annehmen, $\varphi$ und seine ersten Ableitungen seien absolut +kleiner als $m$, +\[ + \left\lvert\; + \pi \cos\alpha_0 · \varphi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} + \,\right\rvert < \frac{\pi m}{r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)} +\] +\begin{multline*} + \left\lvert\; \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x \, \partial \zeta_1} + \left\{ \varphi(xy) - \varphi(\xi_1 \eta_1) \right\} + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \,\right\rvert +\\ +\leqq m \iint\limits_{\varOmega} + \frac{dR}{r(\xi_1 \eta_1, xy) r(xy, \xi_2 \eta_2)} +< k_0 l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2), +\end{multline*} +wenn +\[ + r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) < \delta, +\] +nach IIIa. Da diese beiden Bestandteile von +$\dfrac{\partial \varPhi}{\partial \zeta_1}$ singulär sind wie +$\dfrac{1}{r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}$ resp.\ +$ l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) $ (welches von noch niederer +Ordnung +ist), so brauchen wir bloß zu beweisen, daß die Funktion +\[ + I = \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x\, \partial \zeta_1} \, + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} +\] +%-----File: 047.png--------------------------------------- +nur von der ersten Ordnung singulär ist, bei Annäherung der +Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$. Wir dürfen annehmen, das +Gebiet $\varOmega$ sei konvex, +denn sonst könnten wir immer ein konvexes Gebiet innerhalb $\varOmega$ +nehmen, welches die nahe liegenden Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 +\eta_2)$ enthält, +und es würde dann das Integral über den übrigen Teil von $\varOmega$ +stetig sein, also endlich bleiben bei Annäherung der beiden +Punkte\footnote{ + Uebrigens ist die Einschränkung auf konvexe Gebiete überflüssig, wenn + wir die später auftretenden Integrale mit Element $d\vartheta$ als + Kurvenintegrale verstehen + wollen (vgl.\ \so{Goursat}, Cours d'Analyse, Bd.~I, No.~395). Dann + wäre aber + notwendig (etwa im Fall einer Randkurve mit unendlich oft oszillierender + Tangente) + eine strengere Untersuchung der unten ausgeführten Integration nach $r$, + mittels welcher ein Doppelintegral in ein Kurvenintegral mit Element + $d\vartheta$ übergeführt + ist; daher scheint sich die angegebene Methode mehr zu empfehlen.}. + +Wir bezeichnen mit $M_1$ resp.\ $M_2$ den absolut größten Wert +des Logarithmus der Entfernung zwischen dem Punkte $(\xi_1 \eta_1)$ resp.\ +$(\xi_2 \eta_2)$ und einem Punkte der Randkurve $S$ von $\varOmega$. Wir +führen +Polarkoordinaten um den Punkt $(\xi_1 \eta_1)$ ein, mit der in IIIa +gegebenen +Bezeichnungsweise. Dann ergibt eine leichte Rechnung +für den Integranden folgende Identität: +\begin{gather*} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x \, \partial \zeta_1} \, + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} += \frac{\cos(2\vartheta-\alpha_0)}{r^2} \, + \frac{r\cos\vartheta - \varrho\cos\alpha} + {r^2 - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) + \varrho^2} +\\ +=-\frac{\cos(2\vartheta-\alpha_0)\cos\alpha}{\varrho r^2} ++ \frac{\cos(2\vartheta-\alpha_0) + \cos\alpha \{ r - \varrho\cos(\vartheta-\alpha) \} } + {\varrho r \{ r^2 + \varrho^2 + - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) \} } +\\ +- \frac{\cos(2\vartheta-\alpha_0) \sin(\vartheta-\alpha)\cos\vartheta} + {r \{ r^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) \} }. +\end{gather*} +Wir nennen die drei Glieder der Reihe nach $F_1$, $F_2$, $F_3$ und die +entsprechenden Teile des Integrals $I_1$, $I_2$, $I_3$. Wir bemerken, daß +nur $F_1$ bei $r = 0$ von höherer als erster Ordnung singulär ist; +darum dürfen wir für $I_2$ und $I_3$ das Zeichen +\[ + \iint\limits_{\varOmega} \quad \text{statt} \quad + \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k} +\] +schreiben. Ferner denken wir uns die Gleichung der Randkurve +in der Form $r = r(\vartheta)$ geschrieben. Zunächst ist +\[ + I_1 += \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k} + F_1 r\, dr\, d\vartheta += \underset{\delta=0}{\bigL} + \biggl\{ - \frac{\cos\alpha}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi} + \cos(2\vartheta-\alpha_0) + \{ \log r(\vartheta) - \log\delta \} + \biggr\} d\vartheta ; +\] +aber +%-----File: 048.png--------------------------------------- +\[ + \int\limits_0^{2\pi} + \cos (2\vartheta-\alpha_0) \log \delta\, d\vartheta = 0; +\] +also ist +\begin{gather*} + I_1 +=-\frac{\cos\alpha}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi} + \cos (2\vartheta-\alpha_0) \log r(\vartheta)\, d\vartheta, +\\ + \lvert I_1 \rvert \leqq \frac{1}{\varrho} 2\pi M_1. +\end{gather*} +Es ist +\begin{gather*} + I_2 = \iint\limits_{\Omega} F_2 r\, dr\, d\vartheta +\\ += \frac{\cos\alpha}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi} +\int\limits_0^{r(\vartheta)} + \frac{ \cos(2\vartheta-\alpha_0) + \{ r - \varrho\cos(\vartheta-\alpha) \} } + { r^2 - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) + \varrho^2 } + \, dr\, d\vartheta +\\ += \frac{\cos\alpha}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi} +\cos(2\vartheta-\alpha_0) + \log\sqrt{ \{r(\vartheta)\}^2 + - 2\varrho r(\vartheta) \cos(\vartheta-\alpha) + + \varrho^2 } \, d\vartheta, +\\ + \lvert I_2 \rvert \leqq \frac{1}{\varrho} 2\pi M_2. +\end{gather*} +Schließlich ist +\begin{gather*} + I_3 = \iint\limits_{\varOmega} F_3 r\, dr\, d\vartheta +\\ += - \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{r(\vartheta)} + \frac{ \cos(2\vartheta-\alpha_0) + \cos\vartheta \sin(\vartheta-\alpha) } + { r^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) } + \, dr\, d\vartheta +\\ += - \frac{1}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi} + \left[ \operatorname{arctg} + \frac{ r - \varrho\cos(\vartheta-\alpha) } + { \varrho\sin(\vartheta-\alpha) } \right]_0^{r(\vartheta)} + \cos(2\vartheta-\alpha_0) \cos\vartheta \, d\vartheta; +\end{gather*} +die Wahl des Zweiges des Arcustangens ist unwesentlich; jedenfalls +wird das Argument des Arcustangens zwischen $r = 0$ und $r = r(\vartheta)$ +nicht unendlich\footnote{ + Wir lassen außer Betracht die Werte $\vartheta = \alpha$, $\vartheta = + \alpha + \pi$, für welche + die obige Integration nach $r$ von vorn herein nicht gilt; es ist + daselbst der Wert + von $F_3$ gleich Null.}; +also ist +\[ + \left\lvert \left[ \operatorname{arctg} + \frac{ r - \varrho\cos(\vartheta-\alpha) } + { \varrho\sin(\vartheta-\alpha) } \right]_0^{r(\vartheta)} + \right\rvert < \pi; +\] +%-----File: 049.png--------------------------------------- +demnach +\[ + \lvert I_3 \rvert < \frac{2\pi^2}{\varrho}. +\] + +Wir haben also +\[ + \lvert I \rvert +\leqq \lvert I_1 \rvert + \lvert I_2 \rvert + \lvert I_3 \rvert +< \frac{2\pi (M_1 + M_2 + \pi)}{\varrho}, +\] +was bewiesen werden sollte. + +\Paragraph{IVb.} \so{Hat $\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$ dieselbe +Bedeutung wie in +IVa und ist $\varphi(xy)$ eine stetige Funktion, so ist die +Funktion} +\[ + u(\xi\eta) = \iint\limits_{\varOmega} \Phi(\xi\eta, xy) \varphi(xy) + \, dR +\] +\so{stetig, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbar.} + +Abschätzungen für die Differenz zweier Werte von $u$, den +Differenzenquotienten, und die Differenz der Werte einer Ableitung +von $u$ folgen leicht auf übliche Weise aus den in IIIa angegebenen +Abschätzungen für $\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$. Wir lassen die +keineswegs schwierigen +Rechnungen weg. + +\Paragraph{Va.} \so{Ist $f(s)$ eine stetig differenzierbare Funktion, +so existiert eine und nur eine solche stetige im Innern +von $\varOmega$ analytische Lösung der Differentialgleichung} +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} ++ \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0, +\] +\so{daß $u(\sigma) = f(\sigma)$; diese lautet:} +\[ + u(\xi\eta) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_S + \frac{\partial G(\xi\eta, s)}{\partial n} f(s) \, ds. +\] + +\Paragraph{Vb.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige, im Innern von +$\varOmega$ stetig +differenzierbare Funktion, so existiert eine und nur +eine solche stetig differenzierbare, im Innern von $\varOmega$ +zweimal stetig differenzierbare Lösung der Differentialgleichung} +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} ++ \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = \varphi(\xi\eta), +\] +\so{daß $u(\sigma) = 0$: diese lautet:} +\[ + u(\xi\eta) = - \frac{1}{2\pi} \iint\limits_\varOmega + G(\xi\eta, xy) \varphi(xy) \, dR; +\] +%-----File: 050.png--------------------------------------- +\so{und alle Lösungen, für welche $\frac{\partial u(\sigma)}{\partial \nu} += 0$, sind} +\[ + u(\xi\eta) = - \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega} + H(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR + k, +\] +\so{wo $k$ eine Konstante.} + +\Paragraph{VI.} \so{Für die Greenschen Funktionen $G$, $H$ bestehen +für Punkte $(\xi\eta)$, $(xy)$ von $\varOmega$, die nicht beide am Rande, +folgende Relationen:} +\[ +\left\{\ +\begin{aligned} +& \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial \xi } ++ \frac{\partial^2 H}{\partial y \, \partial \eta} = 0, +\\ +& \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial \eta} +- \frac{\partial^2 H}{\partial y \, \partial \xi } = 0, +\\ +& \frac{\partial^2 G}{\partial y \, \partial \xi } +- \frac{\partial^2 H}{\partial x \, \partial \eta} = 0, +\\ +& \frac{\partial^2 G}{\partial y \, \partial \eta} ++ \frac{\partial^2 H}{\partial x \, \partial \xi } = 0. +\end{aligned} +\right. +\] + +Nehmen wir irgend eine stetig differenzierbare Funktion $\varphi(xy)$, +die nebst ihren ersten Ableitungen auf $S$ verschwindet. Eine auf +$C$ verschwindende Lösung der Gleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2 } ++ \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} += -2\pi \frac{\partial \varphi(\xi\eta)}{\partial \xi} +\] +ist, nach \so{Vb}, +\[ + u(\xi\eta) = \iint\limits_{\varOmega} + G(\xi\eta, xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} \, dR. +\] +Es ist alsdann das Integral +\[ + \int + \left( \frac{\partial u(xy)}{\partial y} \, dx + - \left\{ \frac{\partial u(xy)}{\partial x} + + 2\pi\varphi(xy) \right\} dy + \right) +\] +vom Wege unabhängig; definieren wir +\[ + v(\xi\eta) = \int\limits_{(ab)}^{(\xi\eta)} + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \, \partial x +- \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} + 2\pi\varphi \right\} dy + \right), +\] +so ist +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial u}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v}{\partial \eta} = -2\pi\varphi(\xi\eta) +\\ +& \frac{\partial u}{\partial \eta} +- \frac{\partial v}{\partial \xi } = 0; +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 051.png--------------------------------------- +daher +\[ + \frac{\partial^2 v}{\partial {\xi}^2} ++ \frac{\partial^2 v}{\partial {\eta}^2} += -2\pi \frac{\partial \varphi (\xi \eta)}{\partial \eta}. +\] +Ferner ist $\dfrac{\partial v(s)}{\partial n} = 0$, denn es ist +\[ + \frac{\partial v(s)}{\partial n} += \frac{\partial v(s)}{\partial y} \frac{dx}{ds} +- \frac{\partial v(s)}{\partial x} \frac{dy}{ds} += - \frac{d}{ds} u(s) - 2 \pi \frac{dx}{ds} \varphi (s) = 0. +\] +Also muß (nach Vb) $v$ in der Form darstellbar sein: +\[ +v(\xi \eta) = \iint\limits_\varOmega H (\xi\eta, xy) + \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR + k. +\] +Es müssen daher die Gleichungen gelten: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial}{\partial \xi} \iint\limits_\varOmega + G(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} dR ++ + \frac{\partial}{\partial \eta} \iint\limits_\varOmega + H(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR += - 2 \pi \varphi(\xi \eta) +\\ +& \frac{\partial}{\partial \eta} \iint\limits_\varOmega + G(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} dR +- + \frac{\partial}{\partial \xi} \iint\limits_\varOmega + H(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR = 0. +\end{aligned} +\right. +\] +Durch bekannte Rechnungsmethoden der Potentialtheorie ergeben +sich aber die Formeln: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial}{\partial \xi} \iint\limits_\varOmega + l(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} dR ++ + \frac{\partial}{\partial \eta} \iint\limits_\varOmega + l(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR += - 2 \pi \varphi(\xi \eta) +\\ +& \frac{\partial}{\partial \eta} \iint\limits_\varOmega + l(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} dR +- + \frac{\partial}{\partial \xi} \iint\limits_\varOmega + l(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR = 0. +\end{aligned} +\right. +\] +Also müssen die stetigen Teile der Greenschen Funktionen die +Gleichungen erfüllen: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \iint\limits_\varOmega \left\{ + \frac{\partial g(\xi\eta,xy)}{\partial\xi} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial x} + + \frac{\partial h(\xi\eta,xy)}{\partial\eta} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \right\} d R = 0 +\\ +& \iint\limits_\varOmega \left\{ + \frac{\partial g(\xi\eta,xy)}{\partial\eta} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial x} + - \frac{\partial g(\xi\eta,xy)}{\partial\xi} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \right\} d R = 0, +\end{aligned} +\right. +\] +oder, durch teilweise Integration, +%-----File: 052.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \iint\limits_{\varOmega} \left\{ + \frac{\partial^2 g(\xi\eta, xy)}{\partial x \, \partial \xi } ++ \frac{\partial^2 h(\xi\eta, xy)}{\partial y \, \partial \eta} + \right\} \varphi(xy) \, dR = 0, +\\ +& \iint\limits_{\varOmega} \left\{ + \frac{\partial^2 g(\xi\eta, xy)}{\partial x \, \partial \eta} +- \frac{\partial^2 h(\xi\eta, xy)}{\partial y \, \partial \xi } + \right\} \varphi(xy) \, dR = 0. +\end{aligned} +\right. +\] +Diese beiden Gleichungen gelten für jede zweimal stetig differenzierbare +Funktion $\varphi(xy)$, welche nebst ihren ersten Ableitungen +auf $S$ verschwindet, und für jeden innern Punkt~$(\xi\eta)$. Wenn für +den Punkt $(\xi\eta)$ und irgend einen Punkt $(\xi_1 \eta_1)$ im Innern +oder auf +dem Rande von $\varOmega$, mit $(\xi\eta)$ zusammenfallend oder von +$(\xi\eta)$ getrennt, +einer der Integranden nicht verschwindet, etwa positiv ist, +so ist er in einer kleinen Nachbarschaft von $(\xi_1 \eta_1)$ auch +positiv. +Dann können wir nach dem Vorgange der Variationsrechnung eine +die obigen Bedingungen erfüllende Funktion $\varphi(xy)$ wählen, die in +dieser Nachbarschaft von $(\xi_1 \eta_1)$ positiv ist, sonst überall Null; +dann wäre aber der Wert des Integrals sicher positiv, also nicht +Null, so daß ein Widerspruch vorliegen würde. Darum gelten +notwendig die Gleichungen: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial^2 g(\xi\eta, xy)}{\partial x \, \partial \xi } ++ \frac{\partial^2 h(\xi\eta, xy)}{\partial y \, \partial \eta} = 0 +\\ +& \frac{\partial^2 g(\xi\eta, xy)}{\partial x \, \partial \eta } +- \frac{\partial^2 h(\xi\eta, xy)}{\partial y \, \partial \xi} = 0 +\end{aligned} +\right. +\] +für jeden innern Punkt $(\xi\eta)$ und jeden innern oder Randpunkt +$(xy)$; daher auch (wegen der Symmetrie der Greenschen Funktionen) +für zwei Punkte überhaupt, von denen wenigstens einer im Innern +liegt. Da es von vornherein klar ist, daß +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial^2 l(\xi\eta, \xi_1 \eta_1)} + {\partial \xi_1 \, \partial \xi } ++ \frac{\partial^2 l(\xi\eta, \xi_1 \eta_1)} + {\partial \eta_1 \, \partial \eta } = 0 +\\ +& \frac{\partial^2 l(\xi\eta, \xi_1 \eta_1)} + {\partial \xi_1 \, \partial \eta } +- \frac{\partial^2 l(\xi\eta, \xi_1 \eta_1)} + {\partial \eta_1 \, \partial \xi } = 0 , +\end{aligned} +\right. +\] +so folgen durch Addition unsere ersten beiden Behauptungen. Die +andern lassen sich ebenso beweisen. + +\Paragraph{VII.} \so{Sind $u(xy)$, $v(xy)$ stetige, im Innern von +$\varOmega$ stetig +differenzierbare Funktionen, die den Gleichungen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} = P(xy) +\\ +& \frac{\partial u}{\partial y} +- \frac{\partial v}{\partial x} = Q(xy) +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 053.png--------------------------------------- +\so{genügen, wobei $P(xy)$, $Q(xy)$ auch bei Annäherung an +Punkte von $S$ stetig bleiben, so gelten die Formeln:} +\begin{align*} + u(\xi\eta) &= \phantom{-} \frac{1}{2\pi} \int\limits_C + \frac{\partial G(\xi\eta, s )}{\partial n} u(s ) \, ds ++ \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega} \left\{ + \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial x} P(xy) ++ \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} Q(xy) \right\} dR, +\\ + v(\xi\eta) &= - \frac{1}{2\pi} \int\limits_C + \frac{\partial H(\xi\eta, s )}{\partial s} u(s ) \, ds ++ \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega} \left\{ + \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial x} P(xy) +- \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} Q(xy) \right\} dR. +\end{align*} + +Zum Beweise bemerken wir zunächst, daß +\begin{gather*} + \frac{\partial G}{\partial x} P ++ \frac{\partial G}{\partial y} Q += \frac{\partial G}{\partial x} + \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} + + \frac{\partial v}{\partial y} \right\} ++ \frac{\partial G}{\partial y} + \left\{ \frac{\partial u}{\partial y} + - \frac{\partial v}{\partial x} \right\}+\\ ++ \left\{ \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} + + \frac{\partial^2 G}{\partial y^2} \right\} u ++ \left\{ \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial y} + - \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial y} \right\} v +\\ += \frac{\partial }{\partial x} + \left\{ \frac{\partial G}{\partial x} u + - \frac{\partial G}{\partial y} v \right\} ++ \frac{\partial }{\partial y} + \left\{ \frac{\partial G}{\partial y} u + + \frac{\partial G}{\partial x} v \right\}. +\end{gather*} + +Wir beschreiben um den Punkt $(\xi\eta)$ als Mittelpunkt einen +kleinen Kreis vom Radius~$\delta$, und nennen $C$ seine Begrenzung, +$\varOmega_\delta$ das zwischen $S$~und~$C$ gelegene Gebiet. Wir erhalten durch +eine bekannte Umformung mittels des Greenschen Satzes: +\[ + \iint\limits_{\varOmega_\delta} + \left\{ \frac{\partial G}{\partial x} P + + \frac{\partial G}{\partial y} Q \right\} dR += - \int\limits_S + \left\{ \frac{\partial G}{\partial n} u + + \frac{\partial G}{\partial s} v \right\} ds +- \int\limits_C + \left\{ \frac{\partial G}{\partial n} u + + \frac{\partial G}{\partial s} v \right\} ds. +\] +Auf $S$ verschwindet $\dfrac{\partial G}{\partial s}$, so daß nur ein +Glied in dem Integral +über $S$ stehen bleibt. Die Formel gilt für jeden kleinen Wert +von $\delta$; bei Aenderung von $\delta$ bleibt das Integral über $S$ +ungeändert; +ferner ist, wie man leicht zeigt: +\begin{align*} + \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_C + \frac{\partial G}{\partial n} \, u(s) \, ds &= -2\pi u(\xi\eta), +\\ + \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_C + \frac{\partial G}{\partial s} \, u(s) \, ds &= 0; +\end{align*} +schließlich geht das Integral über $\varOmega_\delta$ beim Grenzübergang +$\delta = 0$ +über in das Integral über $\varOmega$, da letzteres Integral konvergiert. +Nach diesen Ueberlegungen erhalten wir das Resultat: +\[ + \iint\limits_{\varOmega} + \left\{ \frac{\partial G}{\partial x} \, P + + \frac{\partial G}{\partial y} \, Q \right\} dR += - \int\limits_C + \frac{\partial G}{\partial n} \, u\, ds + 2\pi u(\xi\eta), +\] +was zu beweisen war. Die zweite Formel wird ebenso bestätigt. +%-----File: 054.png--------------------------------------- + +\Paragraph{VIIIa.} \so{Ist $f(s)$ eine stetige Funktion, so sind die +Funktionen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + u(\xi\eta) &= \phantom{-} \frac{1}{2\pi} \int\limits_S + \frac{\partial G(\xi\eta, s)}{\partial n} f(s) \, ds +\\ + v(\xi\eta) &= - \frac{1}{2\pi} \int\limits_S + \frac{\partial H(\xi\eta, s)}{\partial s} f(s) \, ds +\end{aligned} +\right. +\] +\so{im Innern von $\varOmega$ analytisch und erfüllen die Gleichungen:} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial u}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v}{\partial \eta} = 0 +\\ +& \frac{\partial u}{\partial \eta} +- \frac{\partial v}{\partial \xi } = 0. +\end{aligned} +\right. +\] + +\so{Ist $f(s)$ stetig differenzierbar, so sind $u(\xi\eta)$, $v(\xi\eta)$ +im +geschlossenen Bereich $\varOmega$ stetig; ist $f(s)$ zweimal stetig +differenzierbar, so sind $u$, $v$ einmal stetig differenzierbar; +außerdem ist $u(\sigma) = f(\sigma)$.} + +Die drei letzten Behauptungen, sowie die Analytizität und +die Randbedingung sind aus der Potentialtheorie bekannt\footnote{ + Uebrigens sind die angegebenen Bedingungen viel weiter als für das + Integral $u$ notwendig ist; da wir $u$, $v$ immer symmetrisch werden + behandeln + müssen, so hat es keinen Zweck, Bedingungen anzugeben, die nicht auch + für $v$ + genügend sind.}; +auch +die Differentialgleichungen würden durch leichte Ueberlegungen +aus potentialtheoretischen Sätzen folgen, unter der Annahme, $f(s)$ +wäre stetig differenzierbar. Wenn wir bloß die Stetigkeit von +$f(s)$ voraussetzen wollen, so bemerken wir, daß gemäß VI die +Differentialgleichungen unmittelbar erfüllt sind; z.~B.\ ist +\begin{align*} + \frac{\partial u}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v}{\partial \eta} +&= \frac{1}{2\pi} \int\limits_S + \left\{ \frac{\partial^2 G(\xi\eta, s)}{\partial n \, \partial \xi } + - \frac{\partial^2 H(\xi\eta, s)}{\partial s \, \partial \eta} + \right\} f(s) \, ds +\\ +&= \frac{1}{2\pi} \int\limits_S + \left\{ \frac{\partial^2 G}{\partial y \, \partial \xi } \frac{dx}{ds} + - \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial \xi } \frac{dy}{ds} + - \frac{\partial^2 H}{\partial x \, \partial \eta} \frac{dx}{ds} + - \frac{\partial^2 H}{\partial y \, \partial \eta} \frac{dy}{ds} + \right\} f(s) \, ds +\\ +&= \frac{1}{2\pi} \int\limits_S + \left\{ \left( \frac{\partial^2 G}{\partial y \, \partial \xi } + - \frac{\partial^2 H}{\partial x \, \partial \eta} + \right) \frac{dx}{ds} f(s) + - \left( \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial \xi } + + \frac{\partial^2 H}{\partial y \, \partial \eta} + \right) \frac{dy}{ds} f(s) + \right\} ds +\\ +&= 0, +\end{align*} +und ebenso für die zweite Gleichung. +%-----File: 055.png--------------------------------------- + +\Paragraph{VIIIb.}\footnote{ + Ohne die Formeln VI wäre VIII auch direkt aus der Potentialtheorie + beweisbar; doch nur unter mehr Bedingungen für $P$, $Q$. In Bezug + auf strenge + Durchführung der Einzelheiten würde diese Einschränkung für die + Anwendung + (\S~4, I) erhebliche Schwierigkeiten mit sich ziehen.} +\so{Sind $P(xy)$ $Q(xy)$ stetige, im Innern von $\varOmega$ +stetig differenzierbare Funktionen, so sind die Funktionen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + u(\xi\eta) &= \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega} + \left\{ \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial x} P(xy) + + \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} Q(xy) + \right\} dR +\\ + v(\xi\eta) &= \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega} + \left\{ \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial y} P(xy) + - \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial x} Q(xy) + \right\} dR +\end{aligned} +\right. +\] +\so{stetig, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbar und +erfüllen die Gleichungen:} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v}{\partial \eta} &= P(\xi\eta) +\\ + \frac{\partial u}{\partial \eta} +- \frac{\partial v}{\partial \xi } &= Q(\xi\eta); +\end{aligned} +\right. +\] +\so{außerdem ist} +\[ + u(\sigma) = 0,\quad \iint\limits_\varOmega v(xy) \, dR = 0. +\] + +Die Stetigkeit von $u$, $v$ folgt sofort aus IIa, da die von den +regulären Teilen $g$, $h$ von $G$, $H$ herrührenden Bestandteile der +Integrale keine Schwierigkeit verursachen. Um uns über die +Ableitungen Auskunft zu schaffen, wenden wir teilweise Integration +an: +\begin{align*} + u(\xi\eta) &= \frac{1}{2\pi} + \int\limits_S G(P\,dy - Q\,dx) +- \iint\limits_{\varOmega} + G\left( \frac{\partial P}{\partial x} + + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dR +\\ + v(\xi\eta) &= \frac{1}{2\pi} + \int\limits_S H(P\,dx + Q\,dy) +- \iint\limits_{\varOmega} + H\left( \frac{\partial P}{\partial y} + - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) dR. +\end{align*} +Die Integrale über $S$ dürfen selbstverständlich unter dem Integralzeichen +differenziert werden; dasselbe gilt nach IIb von dem Doppelintegral. +Es existieren also die Ableitungen, sie sind nach IIa +stetig. Um die Differentialgleichungen zu bestätigen, wollen wir +die Ableitungen auf andere Weise ausdrücken. Nehmen wir einen +kleinen Kreis $\varOmega_0$ vom Radius $\delta$ um $(\xi\eta)$ als +Mittelpunkt und nennen +%-----File: 056.png--------------------------------------- +seinen Rand $S_0$. Schreiben wir +\[ +u = u_0 + \overline{u}_0 + u_1,\quad v = v_0 + \overline{v}_0 + v_1 +\] +\begin{alignat*}{3} + u_0(\xi\eta) +&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega_0}& + \biggl\{ \frac{\partial l}{\partial x} P + &+ \frac{\partial l}{\partial y} Q \biggr\}& dR +\displaybreak[1] \\ + \overline{u}_0(\xi\eta) +&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega_0}& + \biggl\{ \frac{\partial g}{\partial x} P + &+ \frac{\partial h}{\partial y} Q \biggr\}& dR +\displaybreak[1] \\ + u_1(\xi\eta) +&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega-\varOmega_0}& + \biggl\{ \frac{\partial G}{\partial x} P + &+ \frac{\partial H}{\partial y} Q \biggr\}& dR +\displaybreak[1] \\ + v_0(\xi\eta) +&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega_0}& + \biggl\{ \frac{\partial l}{\partial y} P + &- \frac{\partial l}{\partial x} Q \biggr\}& dR +\displaybreak[1] \\ + \overline{v}_0(\xi\eta) +&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega_0}& + \biggl\{ \frac{\partial h}{\partial y} P + &- \frac{\partial g}{\partial x} Q \biggr\}& dR +\displaybreak[1] \\ + v_1(\xi\eta) +&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega - \varOmega_0}& + \biggl\{ \frac{\partial H}{\partial y} P + &- \frac{\partial G}{\partial x} Q \biggr\}& dR, +\end{alignat*} +so können wir $\overline{u}_0$, $u_1$, $\overline{v}_0$, $v_1$ +durch Differentiation unter dem Integralzeichen +differenzieren, und erhalten sogleich nach VI +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial \overline{u}_0}{\partial \xi } ++ \frac{\partial \overline{v}_0}{\partial \eta} = 0, +&\quad + \frac{\partial u_1}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v_1}{\partial \eta} = 0 +\\ + \frac{\partial \overline{u}_0}{\partial \eta} +- \frac{\partial \overline{v}_0}{\partial \xi } = 0, +&\quad + \frac{\partial u_1}{\partial \eta} ++ \frac{\partial v_1}{\partial \xi } = 0. +\end{aligned} +\right. +\] +Wir müssen also die für $u$, $v$ angegebenen Differentialgleichungen +für $u_0$, $v_0$ bestätigen. Wir finden nach teilweiser Integration und +Differentiation: +\begin{gather*} +\begin{split} + \frac{\partial u_0}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v_0}{\partial \eta} +& = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{S_0} \left\{ + P \left( \frac{\partial l}{\partial \xi } \, dy + - \frac{\partial l}{\partial \eta} \, dx \right) +- Q \left( \frac{\partial l}{\partial \xi } \, dx + + \frac{\partial l}{\partial \eta} \, dy \right) \right\} +\\ +& \; - \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega_0} \left\{ + \frac{\partial l}{\partial \xi } + \left( \frac{\partial P}{\partial x} + + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) ++ \frac{\partial l}{\partial \eta} + \left( \frac{\partial P}{\partial y} + - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \right\} dR +\end{split} +\\ += \frac{1}{2\pi} \int\limits_{S_0} + \left\{ P\frac{\partial l}{\partial n} + - Q\frac{\partial l}{\partial s} \right\} ds +- \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega_0} \left\{ + \frac{\partial l}{\partial \xi } + \left( \frac{\partial P}{\partial x} + + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) ++ \frac{\partial l}{\partial \eta} + \left( \frac{\partial P}{\partial y} + - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \right\} dR; +\end{gather*} +$n$ bedeutet die nach dem Kreisinnern gerichtete Normale. Es ist +%-----File: 057.png--------------------------------------- +\begin{gather*} + \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_{S_0} + P \frac{\partial l}{\partial n} \, ds = 2\pi \, P(\xi\eta), +\quad + \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_{S_0} + Q \frac{\partial l}{\partial s} \, ds = 0, +\\ + \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega_0} + \left\{ \frac{\partial l}{\partial \xi } + \left( \frac{\partial P}{\partial x} + + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) + + \frac{\partial l}{\partial \eta} + \left( \frac{\partial P}{\partial y} + - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \right\} dR = 0, +\end{gather*} +womit die erste Formel bewiesen ist. Die zweite folgt ebenso aus: +\begin{gather*} +\begin{split} + \frac{\partial u_0}{\partial \eta} +- \frac{\partial v_0}{\partial \xi } +&= \frac{1}{2\pi} \int\limits_{S_0} \left\{ + P \left( \frac{\partial l}{\partial \xi } \, dx + + \frac{\partial l}{\partial \eta} \, dy \right) ++ Q \left( \frac{\partial l}{\partial \xi } \, dy + - \frac{\partial l}{\partial \eta} \, dx \right) \right\} +\\ +& \; + \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega_0} + \left\{ \frac{\partial l}{\partial \xi } + \left( \frac{\partial P}{\partial y} + - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) + - \frac{\partial l}{\partial \eta} + \left( \frac{\partial P}{\partial x} + + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) \right\} dR +\end{split} +\\ += \frac{1}{2\pi} \int\limits_{S_0} + \left\{ P \frac{\partial l}{\partial s} + + Q \frac{\partial l}{\partial n} \right\} ds +- \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega_0} + \left\{ \frac{\partial l}{\partial \xi } + \left( \frac{\partial P}{\partial y} + - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) + - \frac{\partial l}{\partial \eta} + \left( \frac{\partial P}{\partial x} + + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) \right\} dR. +\end{gather*} + +Die letzten Behauptungen unseres Satzes folgen aus den Tatsachen, +daß die Integrale $u$, $v$ auch am Rande stetig sind, und +daß Integration nach $\xi\eta$ unter dem Integralzeichen erlaubt ist +(IIa); denn aus den Eigenschaften +\[ + G(\sigma, xy) = 0;\quad + \iint\limits_\varOmega H(xy, x_1 y_1) \, dR = 0 +\] +folgen +\begin{align*} + \frac{\partial G(\sigma, xy)}{\partial x} = 0, \quad +& \frac{\partial G(\sigma, xy)}{\partial y} = 0; +\\ + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial H(xy, x_1 y_1)}{\partial x} \, dR_1 = 0, \quad +& \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial H(xy, x_1 y_1)}{\partial y} \, dR_1 = 0. +\end{align*} + + +\Section{4. Lösung der Randwertaufgabe für das elliptische System.} + +In diesem Paragraphen soll die Aufgabe gelöst werden, ein +Funktionenpaar zu finden, welches einem elliptischen System von +Gleichungen in der Normalform genügt, und außerdem eine lineare +Randbedingung erfüllt. Zunächst betrachten wir eine spezielle +solche Randbedingung, auf welche sich die allgemeine reduzieren +läßt\footnote{ + Die Anregung zu der hier gelösten Aufgabe, die den Ausgangspunkt für + die ganze Arbeit bildete, ist von Herrn Hilbert gegeben worden; + die Aufgabe + wird auch in seiner 6.~Mitteilung über Integralgleichungen, XVII, + behandelt, + Göttinger Nachrichten (1910).}. +%-----File: 058.png--------------------------------------- + +\Paragraph{I.} Es sei $\varOmega$, wie vorhin, ein geschlossenes, von +einer stetig +gekrümmten doppelpunktslosen Kurve $S$ begrenztes Gebiet in der +$xy$-Ebene. Wir suchen ein Funktionenpaar $u(xy)$, $v(xy)$, welches +dem Differentialgleichungssystem +\[ +\tag*{1)} +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} = A(xy) \, u + B(xy) \, v +\\ +& \frac{\partial u}{\partial y} +- \frac{\partial v}{\partial x} = C(xy) \, u + D(xy) \, v +\end{aligned} +\right. +\] +genügt und die Randbedingung +\[ +\tag*{2)} + u(s) = f(s) +\] +erfüllt. Dabei sollen $A(xy)$, $B(xy)$, $C(xy)$, $D(xy)$ stetig +differenzierbare +Funktionen\footnote{ + Hier und in andern ähnlichen Fällen beachte man die Erklärung dieser + Benennungsweise, \S~3, I.} +von $x$, $y$ sein; $f(s)$ soll eine zweimal stetig differenzierbare +Funktion der Bogenlänge $s$ sein. Wir verlangen, daß +die gesuchten Funktionen $u(xy)$, $v(xy)$ stetig, im Innern von +$\varOmega$ +stetig differenzierbar seien. Aus diesen Annahmen folgt auch die +Stetigkeit, bei Annäherung an $C$, derjenigen Verbindungen der +ersten Ableitungen, welche auf den linken Seiten von (1) vorkommen. +Wir setzen voraus, daß im Falle $f(s) = 0$ das einzige +Lösungssystem der genannten Art das System +\[ + u(xy) = 0,\quad v(xy) = 0 +\] +ist. + +Nach \S~3, VII ergeben unsere Annahmen das System von +Integralgleichungen: +\[ +\tag*{3)} +\left\{ +\begin{aligned} +& u(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega + \{ K_{11}(\xi\eta, xy) \, u(xy) + K_{12}(\xi\eta, xy) \, v(xy) \} + \, dR +\\ +& v(\xi\eta) = \mathfrak{v}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega + \{ K_{21}(\xi\eta, xy) \, u(xy) + K_{22}(\xi\eta, xy) \, v(xy) \} + \, dR, +\end{aligned} +\right. +\] +wobei +\[ +\tag*{4)} +\left\{ +\begin{aligned} +& 2\pi \, \mathfrak{u}(\xi\eta) = \phantom{-} \int\limits_S + \frac{\partial G(\xi\eta, s)}{\partial n} f(s) \, ds +\\ +& 2\pi \, \mathfrak{v}(\xi\eta) = - \int\limits_S + \frac{\partial H(\xi\eta, s)}{\partial s} f(s) \, ds +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 059.png--------------------------------------- +\[ +\tag*{4)} +\left\{ +\begin{aligned} + 2\pi \, K_{11}(\xi\eta, xy) +&= \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial x} A(xy) + + \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} C(xy) +\\ + 2\pi \, K_{12}(\xi\eta, xy) +&= \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial x} B(xy) + + \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} D(xy) +\\ + 2\pi \, K_{21}(\xi\eta, xy) +&= \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial y} A(xy) + - \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial x} C(xy) +\\ + 2\pi \, K_{22}(\xi\eta, xy) +&= \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial y} B(xy) + - \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial x} D(xy) + 1. +\end{aligned} +\right. +\] +Die Funktionen $\mathfrak{u}(xy)$, $\mathfrak{v}(xy)$ sind stetig +differenzierbare, im Innern +von $\varOmega$ analytische Funktionen (\S~3, VIIIb). Die Funktionen +$K_{ij}(\xi\eta, xy)$ $(i,j = 1,2)$ sind im allgemeinen stetig; bei +gleichzeitiger +Annäherung der Punkte $(\xi\eta)$, $(xy)$ zu einem gemeinsamen +Grenzpunkt haben sie eine Singularität erster Ordnung. + +Sind $u$, $v$ stetige, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbare +Funktionen, welche die Integralgleichungen~3) erfüllen, so erfüllen +sie auch nach \S~3, \mbox{VIIIa},~b die Differentialgleichungen~1) und die +Randbedingung~2). Wir haben also den Satz: + +\so{Für stetige, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbare +Funktionen $u$, $v$ ist das Differentialgleichungssystem~1) +nebst der Randbedingung~2) mit dem Integralgleichungssystem~3) +äquivalent.} + +\Paragraph{II.} Die allgemeinen Sätze über Integralgleichungen vermögen +nur die Stetigkeit einer Lösung zu behaupten; um hier Auskunft +über die Existenz der Ableitungen zu erhalten, bedienen wir uns +des Kunstgriffes der Zusammensetzung des Kernes. Wir setzen +nämlich in die rechten Seiten von 3) die Werte von $u$, $v$ ein, die +eben durch 3) geliefert werden; mit Rücksicht auf \S~3, IIIb finden wir: +\[ +\tag*{5)} +\left\{ +\begin{aligned} + u(\xi\eta) &= \mathfrak{U}(xy) + \iint\limits_\varOmega + \{ \varPhi_{11}(\xi\eta, xy) \, u(xy) + \varPhi_{12}(\xi\eta, xy) \, + v(xy) \} \, dR +\\ + v(\xi\eta) &= \mathfrak{V}(xy) + \iint\limits_\varOmega + \{ \varPhi_{21}(\xi\eta, xy) \, u(xy) + \varPhi_{22}(\xi\eta, xy) \, + v(xy) \} \, dR, +\end{aligned} +\right. +\] +wobei +\[ +\tag*{6)} +\left\{ +\begin{gathered} + \mathfrak{U}(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega + \left\{ K_{11}(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{u}(xy) + + K_{12}(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{v}(xy) \right\} \, dR +\\ + \mathfrak{V}(\xi\eta) = \mathfrak{v}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega + \left\{ K_{21}(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{u}(xy) + + K_{22}(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{v}(xy) \right\} \, dR +\\ +\shoveleft{ + \varPhi_{ij}(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) = \iint\limits_\varOmega + \left\{ K_{i1}(\xi_1 \eta_1, xy) K_{1j}(xy, \xi_2 \eta_2) \right. +} +\\ +\shoveright{ + \left. + K_{i2}(\xi_1 \eta_1, xy) K_{2j}(xy, \xi_2 \eta_2) \right\} + \, dR +} +\\ + [i, j = 1, 2]. +\end{gathered} +\right. +\] +%-----File: 060.png--------------------------------------- +Die Funktionen $\mathfrak{U}(\xi\eta)$, $\mathfrak{V}(\xi\eta)$ sind +nach \S~3, VIIIb stetig, im Innern +von~$\varOmega$ stetig differenzierbar. Die Funktionen +$\varPhi_{ij}(\xi\eta, xy)\; [i,j = 1,2]$ +sind im allgemeinen stetig; bei gleichzeitiger Annäherung der +Punkte $(\xi\eta)$, $(xy)$ gegen einen gemeinsamen Grenzpunkt haben sie +eine logarithmische Singularität (\S~3, IIIa), ferner haben sie genau +die in \S~3, IVa betrachteten Formen, sodaß die Resultate von \S~3, +IVb anwendbar sind. + +Ist $u$, $v$ ein stetiges Lösungssystem von 3), so ist es auch ein +stetiges Lösungssystem von 5); dann sind aber die Funktionen +$u$, $v$ im Innern von $\varOmega$ auch stetig differenzierbar (\S~3, +IVb). Wir +haben also bewiesen: + +\so{Jedes stetige Lösungssystem von 3) ist ein stetiges, +im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbares Lösungssystem +von 1), 2). Insbesondere existiert außer} +\[ + u_0(xy) = 0,\quad v_0(xy) = 0 +\] +\so{kein stetiges Lösungssystem der 3) entsprechenden +homogenen Integralgleichungen:} +\[ +\tag*{$3_0$)} +\left\{ +\begin{aligned} + u_0(\xi\eta) &= \iint\limits_\varOmega + \left\{ K_{11}(\xi\eta, xy) \, u_0(xy) + + K_{12}(\xi\eta, xy) \, v_0(xy) \right\} \, dR +\\ + v_0(\xi\eta) &= \iint\limits_\varOmega + \left\{ K_{21}(\xi\eta, xy) \, u_0(xy) + + K_{22}(\xi\eta, xy) \, v_0(xy) \right\} \, dR. +\end{aligned} +\right. +\] +Was die letzte Behauptung des Satzes betrifft, ist nur zu bemerken, +daß die stetigen Funktionen $u_0(xy)$, $v_0(xy)$ eines Lösungssystems +nach dem ersten Teile des Satzes auch stetige Ableitungen +im Innern von $\varOmega$ hätten, und daher die Differentialgleichungen 1) +mit der Nebenbedingung $u_0(s) = 0$ lösten, was nach Voraussetzung +(vgl.~I) unmöglich ist. + +\Paragraph{III.} Wir verfahren jetzt auf bekannte Weise, um unser System +von zwei Integralgleichungen mit zwei unbekannten Funktionen +auf eine einzige Integralgleichung mit einer unbekannten Funktion +zu reduzieren. Zu diesem Zweck nehmen wir ein zweites, zu $\varOmega$ +kongruentes, aber beliebig gelegenes Gebiet $\varOmega'$; wir nennen +$(\overline{\xi}\,\overline{\vphantom{\xi}\eta})$ +den dem Punkt $(\xi\eta)$ von $\varOmega'$ kongruenten Punkt von +$\varOmega$, $O$ das +aus $\varOmega$, $\varOmega'$ zusammengesetzte Gebiet; und definieren +in $O$ +\[ +\tag*{7)} +\left\{ +\begin{aligned} + w(\xi\eta) &= + \left\{ + \begin{aligned} +& u(\xi\eta) &\text{ für }& (\xi\eta) \text{ in } \varOmega \\ +& v(\overline{\xi}\,\overline{\vphantom{\xi}\eta}) &\text{ für }& +(\xi\eta) \text{ in } \varOmega' + \end{aligned} + \right. +\\ + K(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) &= + \left\{ + \begin{aligned} +& K_{11}(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) +& \text{ für }& (\xi_1 \eta_1) \text{ in } \varOmega ,\; + (\xi_2 \eta_2) \text{ in } \varOmega +\\ +& K_{12}(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2\overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) +& \text{ für }& (\xi_1 \eta_1) \text{ in } \varOmega ,\; + (\xi_2 \eta_2) \text{ in } \varOmega' +\\ +& K_{21}(\overline{\xi}_1\overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, \xi_2 \eta_2) +& \text{ für }& (\xi_1 \eta_1) \text{ in } \varOmega' ,\; + (\xi_2 \eta_2) \text{ in } \varOmega +\\ +& K_{22}(\overline{\xi}_1\overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2\overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) +& \text{ für }& (\xi_1 \eta_1) \text{ in } \varOmega' ,\; + (\xi_2 \eta_2) \text{ in } \varOmega' , + \end{aligned} + \right. +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 061.png--------------------------------------- +mit ähnlich gebildeten Ausdrücken für die Funktionen $\mathfrak{w}$, +$\mathfrak{W}$, $w_0$ +und $\varPhi$. Wir bekommen für die Gleichungssysteme $3$), $5$), +$3_0$) und +die Relationen $6$) die neuen Formen: +\begin{align*} +\tag*{$3'$)} +&\quad + w(\xi\eta) =\; \mathfrak{w}(\xi\eta) + \iint\limits_O + K(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR +\displaybreak[1] \\ +\tag*{$5'$)} +& \quad + w(\xi\eta) = \mathfrak{W}(\xi\eta) + \iint\limits_O + \varPhi(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR +\displaybreak[1] \\ +\tag*{$6'$)} +& \left\{ +\begin{aligned} +& \mathfrak{W}(\xi\eta) =\; \mathfrak{w}(\xi\eta) + \iint\limits_O + K(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{w}(xy) \, dR +\\ +& \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) = \iint\limits_O + K(\xi_1 \eta_1, xy) \, K(xy, \xi_2 \eta_2) \, dR +\end{aligned} +\right. +\displaybreak[1] \\ +\tag*{$3'_0$)} +&\qquad\qquad + w_0(\xi\eta) = \iint\limits_O + K(\xi\eta, xy) \, w_0(xy) \, dR. +\end{align*} + +Nach der Theorie der Integralgleichungen sollte eine und nur +eine stetige Lösung von $3'$) existieren, da keine von Null verschiedene +stetige Lösung von $3_0'$) existiert. Doch ist dieser Satz +durch die Fredholmschen Formeln\footnote{ + Acta mathematica, Bd.~27 (1903), S.~365--390.}), +eventuell im erweiterten Sinne +von Hilbert\footnote{ + Göttinger Nachrichten (1904), S.~82.}), +zunächst nur für Kerne bewiesen, deren Singularitäten +von niedrerer\DPnote{** TN: [sic], presumed older form of niedrigerer} als erster Ordnung sind. Wir wollen uns +daher in der Weiterführung dieser Betrachtungen auf die Gleichung~5) +stützen, die einen nur logarithmisch singulären Kern +hat. Wir brauchen die anderen Integralgleichungen: +\begin{align*} +\tag*{$3''_0$)} + w_{00}(\xi\eta) &= \phantom{-} \iint\limits_O + K(xy, \xi\eta) \, w_{00}(xy) \, dR +\\ +\tag*{$3'_0-$)} + z_0(\xi\eta) &= - \iint\limits_O + K(\xi\eta, xy) \, z_0(xy) \, dR +\\ +\tag*{$3''_0-$)} + z_{00}(xy) &= - \iint\limits_O + K(xy, \xi\eta) \, z_{00}(xy) \, dR +\\ +\tag*{$5'_0$)} + w_0(\xi\eta) &= \phantom{-} \iint\limits_O + \varPhi(\xi\eta, xy) \, w_0(xy) \, dR +\\ +\tag*{$5''_0$)} + w_{00}(\xi\eta) &= \phantom{-} \iint\limits_O + \varPhi(xy, \xi\eta) \, w_{00}(xy) \, dR. +\end{align*} + +\Paragraph{IV.} Es tritt hier die Schwierigkeit auf, daß die $5'$) +entsprechende +homogene Gleichung $5'_0$) eventuell von Null verschiedene +stetige Lösungen besitzen kann; in diesem Falle besitzt auch +die homogene Gleichung mit transponiertem Kern $5''_0$) von Null +verschiedene stetige Lösungen. Wir zeigen, daß jedenfalls folgender +Satz gilt: +%-----File: 062.png--------------------------------------- + +\so{Jede stetige Lösung von $5'_0$) ist zugleich eine Lösung +von $3'_0-$); jede stetige Lösung von $5''_0$) ist zugleich eine +Lösung von $3''_0-$).} + +Es sei $w_0(\xi\eta)$ irgend welche stetige Lösung von $5'_0$); dann ist, +wie man durch einfache Substitution (und vermöge \S~3, VIIIb) +erkennt, +\[ + w_0(\xi\eta) + \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, w_0(xy) \, dR +\] +eine stetige (\S~3, IIa) Lösung von $3'_0$); nach Voraussetzung kann +sie nur gleich Null sein, womit die erste Behauptung des Satzes +bestätigt ist. Die zweite Behauptung wäre ebenfalls auf dieselbe +Weise bewiesen, wenn wir wüßten, daß die Gleichung $3''_0$) keine +von Null verschiedene stetige Lösung hätte. Zur Vervollständigung +des Beweises ist also nur noch folgender Satz (welcher für Kerne +mit niederen Singularitäten von vorn herein gilt), nötig: + +\Paragraph{V.} \so{Da $3'_0$) keine von Null verschiedene stetige +Lösung hat, so hat auch~$3''_0$) keine von Null verschiedene +stetige Lösung.} + +Es sei $w_{00}(\xi\eta)$ eine stetige Lösung von $3''_0$), daher auch eine +Lösung von $5''_0$). Da $3'_0$) keine von Null verschiedene stetige +Lösungen hat, so hat die Gleichung +\[ + W(\xi\eta) = w_{00}(\xi\eta) + \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, W(xy) + \, dR +\] +eine stetige Lösung, die notwendig auch der Gleichung +\[ + W(\xi\eta) += \{ w_{00}(\xi\eta) + \iint\limits_O K(\xi\eta) \, w_{00}(xy) \,dR \} ++ \iint\limits_O \varPhi(\xi\eta, xy) \, w_{00}(xy) \, dR +\] +genügt. Bekanntlich muß dann die Bedingung erfüllt sein: +\[ + \iint\limits_O w_{00}(xy) + \{ w_{00}(xy) + + \iint\limits_O K(xy, x_1 y_1) \, w_{00}(x_1 y_1) \, dR_1 \} \, + dR = 0, +\] +\dh +\[ + 2 \iint\limits_O \{ w_{00}(xy) \}^2 \, dR = 0, +\] +woraus die Behauptung folgt +\[ + w_{00}(\xi\eta) = 0. +\] + +\Paragraph{VI.} \so{Ist $w(\xi\eta)$ eine stetige Lösung von $5'$), +so existiert +eine und nur eine stetige Lösung von $3'$); und +zwar ist sie gleich} +\[ + \tfrac{1}{2} \{ \mathfrak{w}(\xi\eta) + w(\xi\eta) ++ \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR \}. +\] +%-----File: 063.png--------------------------------------- + +In der Tat, schreiben wir +\[ + 2W(\xi\eta) += \mathfrak{w}(\xi\eta) + w(\xi\eta) ++ \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR, +\] +so finden wir +\begin{multline*} +2 \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, W(xy) \, dR += \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \mathfrak{w}(xy) \, dR +\\ ++ \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR ++ \iint\limits_O \varPhi(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR +\end{multline*} +\begin{align*} +&= \{ \mathfrak{W}(\xi\eta) - \mathfrak{w}(\xi\eta) \} ++ \iint\limits_O K(\xi\eta,xy) \, w(xy) \, dR ++ \{ w(\xi\eta) - \mathfrak{W}(\xi\eta) \} +\\ +&= -2\mathfrak{w}(\xi\eta) + 2W(\xi\eta), +\end{align*} +was zu beweisen war. Daß $3'$) nur eine stetige Lösung besitzt, +ist klar, denn die Differenz zweier Lösungen muß $3'_0$) befriedigen, +also nach Voraussetzung gleich Null sein. + +\Paragraph{VII.} Wir haben jetzt alle Hilfsmittel in der Hand, um die +in~III, IV genannten Schwierigkeiten zu beseitigen. Es gilt nämlich +folgender Satz: + +\smallskip +\so{Die Gleichung $3'$) besitzt eine und nur eine stetige +Lösung.} + +\smallskip +Um den Beweis zu führen, genügt es nach VI, irgend eine +Lösung von~$5'$) zu finden; wir zeigen, daß eine stetige Lösung +von $5'$) sicher vorhanden ist, selbst wenn die homogene Gleichung +$5'_0$) Lösungen besitzt. Es sei $w_{00}(\xi\eta)$ irgend eine stetige +Lösung +von $5''_0$); nach IV ist $w_{00}(\xi\eta)$ eine Lösung +von~$3''_0-$). Hieraus +folgt durch Multiplikation mit $\mathfrak{w}(\xi\eta)$ und Integration: +\[ + \iint\limits_O w_{00}(xy) \, \mathfrak{w}(xy) \, dR ++ \iint\limits_O \iint\limits_O k(x_1 y_1, xy) \, w_{00}(x_1 y_1) \, +\mathfrak{w}(xy) + \, dR_1 \, dR = 0, +\] +\dh\ nach $6'$) +\[ + \iint\limits_O w_{00}(xy) \, \mathfrak{W}(xy) \, dR = 0. +\] + +Diese Gleichung, die für jede Lösung $w_{00}(\xi\eta)$ von $5''_0$) gilt, +gibt genau die bekannte Bedingung an, daß $5'_0$) eine Lösung besitze. +Damit ist der Satz bewiesen. Als Gesamtergebnis haben +wir also das + +\Paragraph{VIII.} \so{Existenztheorem: Wenn das System~1) außer +$u(xy) = 0$, $v(xy) = 0$ kein solches stetiges, im Innern +von $\varOmega$ stetig differenzierbares Lösungssystem besitzt, +daß $u(s) = 0$, so gibt es ein und nur ein solches +stetiges, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbares +Lösungssystem, daß $u(s) = f(s)$.} +%-----File: 064.png--------------------------------------- + +Dieses Resultat, welches für sich befriedigend ist, werden +wir nachher verallgemeinern, indem wir allgemeine lineare Randbedingungen +zulassen. Es muß\ aber doch hier bemerkt werden, +daß\ das Theorem eventuell keine Auskunft liefert. Zum Beispiel +schon das einfache System: +\begin{equation*} + \left\{\ % + \begin{array}{l} + \dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y} = 0\\[1em] + \dfrac{\partial v}{\partial y} - + \dfrac{\partial u}{\partial x} = 0 + \end{array} + \right. +\end{equation*} +hat außer $u=0$, $v=0$ noch die Lösungen $u=0$, $v=\text{Konstante}$; +sodaß wir aus dem Existenztheorem nicht entscheiden +könnten, ob bei gegebenen Randwerten $u(s)=f(s)$ Lösungen existieren +oder nicht. Um diese Frage zu berücksichtigen, schalten +wir hier eine Erweiterung des Theorems VIII ein, welche wir +aber nur für die vorliegenden einfacheren Randwerte aussprechen +und beweisen wollen. + +Wenn wir einem gesuchten Lösungssystem die Bedingung +\begin{equation*} + \iint\limits_{\varOmega} v(x y) \,dx\, dy = 0 +\end{equation*} +auferlegen, so fällt derjenige Bestandteil der zweiten Gleichung 3) +weg, der vom Glied $+1$ in der Definition 4) von $K_{22}(\xi \eta, +x y)$ herrührt. +Umgekehrt, erfüllt $v(\xi\eta)$ die so veränderte zweite Gleichung +3), so ist nach \S~3, VIIIb obige Bedingung erfüllt. Wir können +also alle Schlüsse bei diesem neuen Problem ganz ähnlich wie in +dem früheren durchführen, und erhalten auf diese Weise das erweiterte +Existenztheorem: + +\so{Wenn das System 1) außer $u(x y)=0$, $v(x y)=0$ kein +solches stetiges, im Innern von $\Omega$ stetig differenzierbares +Lösungssystem besitzt, daß} +\begin{equation*} + u(s) = 0, \qquad \iint\limits_{\varOmega} v(x y) \,dR = 0, +\end{equation*} +\so{so gibt es ein und nur ein solches stetiges, im Innern +von $\Omega$ stetig differenzierbares Lösungssystem, daß} +\begin{equation*} + u(s) = f(s), \qquad \iint\limits_{\varOmega} v(x y) \,dR = 0; +\end{equation*} +\so{aus diesem einen Lösungssystem für die Randwertbedingung +$u(s)=f(s)$ entsteht das allgemeine, indem +man dazu das allgemeine Lösungssystem für die Randwertbedingung +$u(s)=0$ addiert.} +%-----File: 065.png--------------------------------------- + +Wie man leicht sieht, liefert dies Theorem auch in dem genannten +Spezialfall die Existenz einer Lösung. + +Wir wollen schließlich das erste Theorem auf eine beliebige +Randwertbedingung ausdehnen. + +\Paragraph{IX.} \so{Allgemeines Existenztheorem: Wenn das +System 1) außer $u(xy) = 0$, $v(xy) = 0$ kein solches stetiges, +im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbares Lösungssystem +besitzt, daß $\alpha(s) \, u(s) + \beta(s) \, v(s) = 0$, so gibt es ein +und nur ein solches stetiges, im Innern von $\varOmega$ stetig +differenzierbares Lösungssystem, daß} +\[ + \alpha(s) \, u(s) + \beta(s) \, v(s) = f(s). +\] + +Für die neuen Funktionen $\alpha(s)$, $\beta(s)$ stellen wir dieselbe +Bedingung, +wie für $f(s)$: stetige Differenzierbarkeit; außerdem verlangen +wir, daß sie nie gleichzeitig verschwinden. Wir nehmen +zwei sonst beliebige, zweimal stetig differenzierbare Funktionen +$\alpha(xy)$, $\beta(xy)$, welche die Bedingung +\[ + \{ \alpha(xy) \}^2 + \{ \beta(xy) \}^2 > 0 +\] +erfüllen und auf $S$ die Werte $\alpha(s)$, $\beta(s)$ annehmen. Die +Transformation +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + U &= \phantom{-} \alpha u + \beta v \\ + V &= - \beta u + \alpha v +\end{aligned} +\right. +\] +ist alsdann nicht singulär, und hat die Inverse +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + u &= \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2} \, U + - \frac{\beta }{\alpha^2 + \beta^2} \, V +\\ + v &= \frac{\beta }{\alpha^2 + \beta^2} \, U + + \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2} \, V. +\end{aligned} +\right. +\] +Auf 3) angewandt, liefert die Transformation nach der Bezeichnungsweise +von \S~2: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \lambda_1 &= \phantom{-} + \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2} + \left( \frac{\partial U}{\partial x} + + \frac{\partial V}{\partial y} \right) ++ \frac{\beta }{\alpha^2 + \beta^2} + \left( \frac{\partial U}{\partial y} + - \frac{\partial V}{\partial x} \right) = \mathfrak{L}(U,V) +\\ + \lambda_2 &= - + \frac{\beta }{\alpha^2 + \beta^2} + \left( \frac{\partial U}{\partial x} + + \frac{\partial V}{\partial y} \right) ++ \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2} + \left( \frac{\partial U}{\partial y} + - \frac{\partial V}{\partial x} \right) = \mathfrak{L}(U,V) ; +\end{aligned} +\right. +\] +daraus wird durch die lineare Zusammensetzung +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \varLambda_1 &= \alpha \lambda_1 - \beta \lambda_2 \\ + \varLambda_2 &= \beta \lambda_1 + \alpha \lambda_2 +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 066.png--------------------------------------- +\[ +\tag*{8)} +\left\{\begin{array}{l} +\dfrac{\partial U}{\partial x} + \dfrac{\partial V}{\partial y} = +\mathfrak{L} (U,V) \\[1em] +\dfrac{\partial U}{\partial y} - \dfrac{\partial V}{\partial x} = +\mathfrak{L} (U,V) +\end{array}\right. +\] +ein System von derselben Gestalt wie 3) selbst; auch sind die +Koeffizienten von $U$, $V$ in den Ausdrücken $\mathfrak{L}(U, V)$ +einmal stetig +differenzierbar, wie es in der ursprünglichen Form der Fall war. +Gibt es kein solches Lösungssystem +von~1), daß $\alpha(s) u (s)+\beta (s) v (s)=0$, +so gibt es kein solches Lösungssystem von 8), daß $U (s) = 0$, da +das erstere aus dem letzteren durch die gebrauchte Transformation +hervorgehen würde. Es existiert also, nach dem ersten Existenztheorem, +ein solches Lösungssystem von 8), daß $U(s) = f(s)$; die +Transformation liefert alsdann ein solches Lösungssystem von 1), +daß $\alpha (s) u (s)+ \beta (s) v (s) = f(s)$, womit das Theorem +bewiesen ist. + + +\Chapter{Drittes Kapitel.} +{Das hyperbolische System.} + +\Section{5. Lösung der Randwertaufgabe für das hyperbolische System.} + +Wir kommen jetzt zur Untersuchung des hyperbolischen Systems, +welches wir wieder in der Normalform annehmen. Die Theorie +verhält sich in diesem Falle besonders einfach; sie entbehrt +vollständig der Schwierigkeiten, die uns schon in dem elliptischen +Falle in Bezug auf Greensche Funktionen und uneigentliche Integrale +begegnet sind, und die sich größtenteils später in dem parabolischen +Fall wiederholen werden. Auch die Resultate, wie von +vorn herein zu erwarten war, sind ganz verschieden von den Resultaten +bei dem elliptischen System. Wir werden Randbedingungen +nicht auf einer geschlossenen Kurve, sondern auf einer +offenen Kurve studieren: ferner geben wir nicht nur \so{eine} Relation +zwischen den beiden unbekannten Funktionen, sondern die +Werte der einzelnen Funktionen selbst, \dh\ \so{zwei} Relationen. +Im elliptischen Fall haben wir das Problem zuerst für eine spezielle +Randbedingung gelöst, ohne Einschränkung auf das Gleichungssystem; +hier werden wir dagegen zunächst nur ein spezielles +%-----File: 067.png--------------------------------------- +System von Differentialgleichungen betrachten und nachher die +Theorie des allgemeinen Systems daraus folgern. + +\Paragraph{I.} Es möge $\Omega$ ein Rechteck der $xy$-Ebene bedeuten: +\begin{equation*} +a_1 \leqq x \leqq x_2,\quad b_1 \leqq y \leqq b_2 ; +\end{equation*} +zwei diagonal gegenüberliegende Ecken, etwa $(a_1 b_1)$ und $(a_2 b_2)$ +seien durch eine stetige Kurve $S$ verbunden, welche von jeder in +$\Omega$ gezogenen horizontalen und vertikalen Geraden in einem und +nur einem Punkt getroffen wird. Die Kurve $S$ darf dann in den +beiden Formen +\begin{equation*} +y=\chi(x),\quad x=\psi(y) +\end{equation*} +dargestellt werden, wobei $\chi(x)$, $\psi(y)$ stetige Funktionen +sind. Das +Gebiet, welches von der Kurve $S$ und den beiden Geraden $x = \xi$, +$y = \eta$ begrenzt ist, nennen wir $\Omega_{\xi\eta}$. Wir suchen ein +Funktionenpaar +$u(xy)$, $v(xy)$, welches dem Differentialgleichungssystem +\begin{equation*} +\tag*{1)} +\left\{ +\begin{array}{l} +\dfrac{\partial u}{\partial x} = B(xy)\,v \\[1em] +\dfrac{\partial v}{\partial y} = C(xy)\,u +\end{array}\right. +\end{equation*} +genügt und auf der Kurve $S$ die Bedingungen +\begin{equation*} +\tag*{2)} +\left\{ +\begin{array}{l} +u\bigl( \psi(y),y \bigr) = f(y) \\ +v\bigl( x,\chi(x) \bigr) = g(x) +\end{array}\right. +\end{equation*} +erfüllt. Dabei sollen $B(xy)$, $C(xy)$, $f(y)$, $g(x)$ stetige Funktionen +sein. Von den gesuchten Funktionen $u(xy)$, $v(xy)$ verlangen wir, +daß sie stetig seien und die stetigen Ableitungen $\dfrac{\partial +u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial v}{\partial y}$ besitzen. + +Integrieren wir die erste Gleichung 1) nach $x$ zwischen den +Grenzen $\psi(y)$ und $\xi$, die zweite nach $y$ zwischen den Grenzen +$\chi(x)$ +und $\eta$, so bekommen wir unter Berücksichtigung von 2) und mit +kleinen Aenderungen der Bezeichnung: +\begin{equation*} +\tag*{3)} +\left\{ +\begin{array}{l} +u(\xi\eta) = f(\eta)+ \dint\limits_{\psi(\eta)}^{\xi} B(x\eta)v(x\eta) +\,dx \\[2em] +v(\xi\eta) = g(\xi) + \dint\limits_{\chi(\xi)}^{\eta} C(\xi y)u(\xi y) +\,dy. +\end{array}\right. +\end{equation*} +Umgekehrt, sind $u(xy)$, $v(xy)$ stetige Lösungen von 3), so sind +auch $\dfrac{\partial u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig, und $u$, $v$ befriedigen 1) und 2). +%-----File: 068.png--------------------------------------- + +In jeder der Formeln 3) setzen wir in das Integral die andere +Formel ein; wir bekommen auf diese Weise die neuen Formeln: +\begin{align*} + u(\xi\eta) &= f(\eta) ++ \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta) g(x) \, dx ++ \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta) + \int\limits_{\chi( x )}^\eta C(x y ) \, u(xy) \, dy\, dx +\\ + v(\xi\eta) &= g(\xi ) ++ \int\limits_{\chi(\xi )}^\eta C(\xi y) \, f(y) \, dy ++ \int\limits_{\chi(\xi )}^\eta C(\xi y) + \int\limits_{\psi( y )}^\xi B( x y) \, v(xy) \, dx\, dy. +\end{align*} +Diese lassen sich auch in der Form schreiben: +\begin{align*} +\tag*{$4'$)} + u(\xi\eta) +&= \mathfrak{u}(\xi\eta) ++ \iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} K(\xi\eta, xy) \, u(xy) \, dR +\\ +\tag*{$4''$)} + v(\xi\eta) +&= \mathfrak{v}(\xi\eta) ++ \iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} L(\xi\eta, xy) \, v(xy) \, dR, +\end{align*} +wo +\[ +\tag*{5)} +\left\{ +\ \begin{aligned} +& \mathfrak{u}(\xi\eta) += f(\eta) + \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x \eta) \, g(x) \, dx +\\ +& \mathfrak{v}(\xi\eta) += g(\xi ) + \int\limits_{\chi(\xi )}^\eta C(\xi y) \, f(y) \, dy +\\ +& K(\xi\eta, xy) = - B(x \eta) \, C(xy)\;\footnotemark +\\ +& L(\xi\eta, xy) = - C(\xi y) \, B(xy). +\end{aligned} +\right. +\] +\footnotetext{ + Wir schreiben hier das negative Vorzeichen; denn die \so{doppelten} + Integrationen + liefern das Negative der \so{Doppel}integrale über + $\varOmega_{\xi\eta}$. Bei anderer + Wahl der durch die Kurve $S$ verbundenen Ecken würde das positive + Vorzeichen + hier vorkommen.}% +Wir haben also zwei getrennte Integralgleichungen für $u$, $v$. + +Es fragt sich jetzt, ob umgekehrt die Formeln 3) aus den +Integralgleichungen $4'$), $4''$) folgen. Wir nehmen an, $u$, $v$ +befriedigen +die Gleichungen $4'$), $4''$), setzen +\begin{align*} + u_0(\xi\eta) +&= u(\xi\eta) - f(\eta) +- \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x \eta) \, v(x \eta) \, dx +\\ + v_0(\xi\eta) +&= v(\xi\eta) - g(\xi ) +- \int\limits_{\chi(\xi )}^\eta C(\xi y) \, u(\xi y) \, dy, +\end{align*} +und versuchen zu beweisen, daß $u_0(\xi\eta) = 0$, $v_0(\xi\eta) = 0$. Aus +den eben gegebenen Definitionen von $u_0$, $v_0$ folgt sogleich, daß +%-----File: 069.png--------------------------------------- +\begin{align*} +\begin{split} + \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta)\, v_0(x\eta)\, dx += \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta)\, v(x\eta)\, dx +- \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta)\, g(x)\, dx +\\ +- \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta) + \int\limits_{\chi(x)}^\eta C(xy)\, u(xy)\, dy\, dx +\end{split} +\displaybreak[1] \\ +&= \{-u_0(\xi\eta) + u(\xi\eta) - f(\eta) \} + + \{ f(\eta) - \mathfrak{u}(\xi\eta) \} + + \{ \mathfrak{u}(\xi\eta) - u(\xi\eta) \} +\displaybreak[1] \\ +&= -\mathfrak{u}_0(\xi\eta); +\end{align*} +wir haben also +\[ + u_0(\xi\eta) = -\int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta) \, v_0(x\eta) + \, dx +\] +und ähnlich +\[ + v_0(\xi\eta) = -\int\limits_{\chi(\xi)}^\eta C(\xi y) \, u_0(\xi y) + \, dy; +\] +setzen wir jede dieser Formeln in die andere ein, so sehen wir, daß +\begin{align*} +\tag*{$4'_0$)} + u_0(\xi\eta) = -\iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} K(\xi\eta, xy) \, + u_0(xy) \, dR +\\ +\tag*{$4''_0$)} + v_0(\xi\eta) = -\iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} L(\xi\eta, xy) \, + v_0(xy) \, dR. +\end{align*} +Wenn diese beiden Gleichungen keine von Null verschiedenen stetigen +Lösungen besitzen, so müssen $u_0(\xi\eta)$ und $v_0(\xi\eta)$ +identisch Null sein, +und die Formeln~3) folgen aus $4'$), $4''$). Wir fassen die bis jetzt +erhaltenen Resultate in einen Satz zusammen. + +\so{Sind $u(xy)$, $v(xy)$, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig und befriedigen das +Gleichungssystem 1) und die Randbedingungen~2), so +ist $u$ eine Lösung der Integralgleichung $4'$), $v$ eine +Lösung der Integralgleichung $4''$). Haben die entsprechenden +homogenen Integralgleichungen $4'_0$), $4''_0$) +keine von Null verschiedenen stetigen Lösungen, und +ist $u$ eine stetige Lösung von $4'$), $v$ eine stetige Lösung +von $4''$), so sind auch +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig, und $u$, $v$ befriedigen +das Gleichungssystem~1) und die Randbedingungen~2).} + +\Paragraph{II.} Das Integrationsgebiet $\varOmega_{\xi\eta}$ in den +Integralgleichungen +$4'$), $4''$) hängt von den Parametern $\xi$, $\eta$ ab; um ein nicht +variables +%-----File: 070.png--------------------------------------- +Gebiet zu bekommen, erweitern wir die Definition der Kerne, indem +wir einfach setzen +\[ +\left. +\begin{aligned} + K(\xi\eta, xy) &= 0 \\ + L(\xi\eta, xy) &= 0 +\end{aligned} +\right\} + \text{ für $(xy)$ außerhalb $\varOmega_{\xi\eta}$.} +\] + +Die Integralgleichungen nehmen dann die Formen +\[ +\begin{aligned} + u(\xi\eta) +&= \mathfrak{u}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega K(\xi\eta, xy) \, +u(xy) \, dR +\\ + v(\xi\eta) +&= \mathfrak{v}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega L(\xi\eta, xy) \, +v(xy) \, dR +\end{aligned} +\] +an. Diese sind Gleichungen der von Fredholm behandelten Art, +sodaß wir schließen können: + +\so{Haben die homogenen Gleichungen $4'_0$), $4''_0$) keine +von Null verschiedenen stetigen Lösungen, so hat +jede der Gleichungen $4'$), $4''$) eine und nur eine Lösung.} + +Nach diesem Satze und dem in I bewiesenen, ist unser Problem +vollständig gelöst, wenn die Gleichungen $4'_0$), $4''_0$) die einzigen +stetigen +Lösungen $u_0 = 0$, $v_0 = 0$ besitzen. Wir zeigen schließlich, +daß dies \so{immer} zutrifft. + +\Paragraph{III.} \so{Die Gleichungen $4'_0$), $4''_0$) haben keine +von Null +verschiedenen stetigen Lösungen.} + +Es sei +\[ + \lvert K(\xi\eta, xy) \rvert < k,\; + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert < m, +\] +wo $u_0(\xi\eta)$ irgend eine stetige Lösung von $4'_0$) bedeutet. Alsdann +ist für jeden zur linken Seite von $S$ liegenden Punkt $(\xi\eta)$, +\begin{gather*} + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +\leqq \iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} km\, dR +\leqq \int\limits_\xi^{a_2} \int\limits_{b_1}^\eta dy\, dx += km (a_2 - \xi) (\eta - b_1); +\\ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +\leqq \iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} k^2 m (a_2 - x) (y - b_1) \, dR +\leqq k^2 m \int\limits_\xi^{a_2} \int\limits_{b_1}^\eta (a_2 - x) +(y - b_1) \, dy\,dx +\\ += k^2 m \frac{(a_2 - \xi)^2}{2!} \frac{(\eta - b_1)^2}{2!}; +\end{gather*} +und im allgemeinen +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +\leqq k^n m \frac{(a_2 - \xi)^n}{n!} \frac{(\eta - b_1)^n}{n!} +\] +für jedes positive, ganzzahlige $n$. Ebenso gilt für Punkte $(\xi\eta)$, +die zur rechten Seite von $S$ liegen: +%-----File: 071.png--------------------------------------- +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +\leqq k^n m \frac{(\xi - a_1)^n}{n!} + \frac{(b_2 -\eta)^n}{n!}; +\] +also für alle Punkte $(\xi\eta)$ von $\varOmega$ +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +\leqq k^n m \frac{(a_2 - a_1)^n}{n!} + \frac{(b_2 - b_1)^n}{n!}. +\] +Beim Grenzübergang $n = \infty$ wird die rechte Seite dieser Ungleichung +Null; daher muß +\[ + u_0(\xi\eta) = 0 +\] +sein. Ein genau ähnlicher Beweis zeigt, daß $v_0(\xi\eta) = 0$. + +Wir haben also folgendes Resultat: + +\so{Existenztheorem $A$: Das System~1) nebst den +Randbedingungen~2) hat ein und nur ein Lösungssystem +$u$, $v$, wobei $u$, $v$, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig sind.} + +\Paragraph{IV.} Sind $x = a$, $y = b$ zwei Gerade in $\varOmega$ so +können wir +die Randbedingung~2) durch folgende ersetzen: +\[ +\tag*{6)} +\left\{ +\begin{aligned} + u(ay) &= f(y) \\ + v(xb) &= g(x). +\end{aligned} +\right. +\] + +Jeder Schritt wird jetzt ähnlich wie vorhin ausgeführt; wir +bekommen die Integralgleichungen +\begin{align*} + u(\xi\eta) +&= f(\eta) + \int\limits_a^\xi B(x\eta) \, g(x) \, dx + + \int\limits_a^\xi \int\limits_b^\eta B(x\eta) \, C(xy) \, u(xy) \, + dy\, dx +\\ + v(\xi\eta) +&= g(\xi) + \int\limits_b^\eta C(\xi y) \, f(y) \, dy + + \int\limits_a^\xi \int\limits_b^\eta B(xy) \, C(\xi y) \, v(xy) \, + dy\, dx, +\end{align*} +welche genau dieselbe Behandlung gestatten wie die früheren\footnote{ + Integralgleichungen von der letzten Form waren schon vor der + Fredholmschen + Abhandlung von Volterra untersucht worden; vgl.\ Atti della Reale + Accademia dei Lincei, Bd.~5 (1896), S.~289--300.}. +Wir haben also das + +\so{Existenztheorem $B$: Das System~1) nebst den +Randbedingungen~6) hat ein und nur ein Lösungssystem +$u$, $v$, wobei $u$, $v$, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig sind.} + +\Paragraph{V.} \so{Allgemeines Existenztheorem $A$: Das System} +%-----File: 072.png--------------------------------------- +\[ +\tag*{7)} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\partial u}{\partial x} &= A(xy) \, u + B(xy) \, v \\ +\frac{\partial v}{\partial y} &= C(xy) \, u + D(xy) \, v +\end{aligned} +\right. +\] +\so{nebst den Randbedingungen~2) hat ein und nur ein +Lösungssystem $u$, $v$, wobei $u$, $v$, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig sind.} + +\so{Allgemeines Existenztheorem $B$. Das System~7) +nebst den Randbedingungen~6) hat ein und nur ein +Lösungssystem $u$, $v$, wobei $u$, $v$, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig sind.} + +Wir setzen hier voraus, daß $A$, $B$, $C$, $D$ stetig sind. Machen +wir die Transformation +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + u &= e^{ \int\limits_{\;a_1}^x A(sy) \, ds } U \\ + v &= e^{ \int\limits_{\;b_1}^y D(xs) \, ds } U, +\end{aligned} +\right. +\] +so nehmen die Gleichungen~7) die Form~1) an. Die Form der +Randbedingungen bleibt ungeändert. Die frühere Theorie kann +also unmittelbar angewandt werden. + + +\Chapter{Viertes Kapitel.} +{Das parabolische System.} + +\Section{6. Hilfsmittel zur Theorie des parabolischen Systems.} + +Es sollen im gegenwärtigen Paragraphen einige Hilfssätze für +das parabolische System bewiesen werden, die denjenigen in \S~3 +für das elliptische System ähnlich sind. Dort haben wir uns auf +die Potentialtheorie gestützt; \dh\ auf die Theorie der Laplaceschen +Gleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ++ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 +\] +und der Poissonschen Gleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ++ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \varphi(xy); +\] +hier werden wir ähnlich von der Theorie der Wärmeleitungsgleichung +%-----File: 073.png--------------------------------------- +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +- \frac{\partial u}{\partial x } = 0 +\] +und der entsprechenden nicht homogenen Gleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +- \frac{\partial u}{\partial x } = \varphi(xy) +\] +Gebrauch machen. + +Bei der ersteren Gleichung bedienen wir uns teilweise der +Resultate von Holmgren\footnote{ + Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd.~3 (1906), No.~12; Bd.~4 + (1908), No.~14, No.~18. Bei Zitaten der Holmgrenschen Arbeit ist + zu bemerken, + daß seine Koordinaten $x$, $y$ in unserer Bezeichnung vertauscht sind.}; +bei der letztern werden wir die notwendigen +Sätze herleiten\footnote{ + Die Theorie dieser Gleichung ist auch in ziemlich allgemeiner Weise + untersucht worden; vgl.\ insbesondere \so{Volterra}, Le\c{c}ons sur + l'int\'egration des + \'equations aux d\'eriv\'ees partielles profess\'ees \`a Stockholm, + S.~62--82, und E.~E. \so{Levi}, + Atti della Reale Accademia dei Lincei, Serie~5, Bd.~16, 2 (1907) + S.~450--456.}. + +\Paragraph{I.} Es soll $\varOmega$ ein Gebiet der $xy$-Ebene bedeuten, +welches von +den Geraden $x = a$, $x = b\; (b > a)$ und zwei Kurven $S_1: y = +\chi_1(x)$, +$S_2: y = \chi_2(x)$ begrenzt ist, wo $\chi_1(x)$, $\chi_2(x)$ für $a +\leqq x \leqq b$ solche +zweimal stetig differenzierbare Funktionen sind, daß stets +\[ + \chi_2(x) > \chi_1(x). +\] +Derjenige Teil des Gebietes $\varOmega$, der durch die Ordinaten $x += \xi_1$, +$x = \xi_2$ begrenzt ist, werde mit ${}_{\xi_1}\varOmega_{\xi_2}$ +bezeichnet. Den Wert einer +Funktion $f(xy)$ in einem Punkte $\bigl(x, \chi_i(x)\bigr)$ der Kurve +$S_i$ werden wir +einfach $f(x\chi_i)$ schreiben $[i = 1, 2]$. Die Bezeichnungen $f(xy, +\xi\chi_1)$, +$f(x\chi_1, \xi\chi_2)$ \usw\ sind ebenso statt +$f\bigl(x, y; \xi, \chi_1(\xi)\bigr)$, +$f\bigl(x, \chi_1(x); \xi, \chi_2(\xi)\bigr)$ +gebraucht. + +Von besonderer Wichtigkeit für die gegenwärtige Theorie ist +eine Funktion, die wir mit $t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$ bezeichnen +und folgendermaßen +definieren: +\[ + t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) = +\left\{ +\begin{aligned} +& \int\limits^{+\tfrac{\eta_2 - \eta_1}{2\sqrt{\xi_2 - \xi_1}}} + _{-\tfrac{\eta_2 - \eta_1}{2\sqrt{\xi_2 - \xi_1}}} + e^{-z^2}dz & \quad +& \text{für } \xi_2 > \xi_1 +\\ +& \phantom{-} \sqrt{\pi} & +& \text{für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 > \eta_1 +\\ +& -\sqrt{\pi} & +& \text{für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 < \eta_1. +\end{aligned} +\right. +\] +Wir finden leicht, daß +%-----File: 074.png--------------------------------------- +\begin{align*} + \frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} + =-\frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_2} +&= \left\{ +\begin{array}{l} + \dfrac{\eta_2 - \eta_1}{2(\xi_2 - \xi_1)^{\frac32}} + \,e^{ -\tfrac{(\eta_2 - \eta_1)^2}{4(\xi_2 - \xi_1)} } + \text{ für } \xi_2 > \xi_1 +\\[1em] + \qquad 0 \quad\quad\quad \text{ für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 \neq \eta_1 +\end{array} +\right. +\\[0.5em] + \frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_1} + =-\frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_2} +&= \left\{ +\begin{array}{l} +- \dfrac{1}{\sqrt{\xi_2 - \xi_1}} + \,e^{-\tfrac{(\eta_2 - \eta_1)^2}{4(\xi_2 - \xi_1)} } + \text{ für } \xi_2 > \xi_1 +\\[1em] + \qquad 0 \quad\quad\quad \text{ für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 \neq \eta_1 +\end{array} +\right. +\\[0.5em] + \frac{\partial^2 t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_1^2} + = \frac{\partial^2 t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_2^2} +&= \left\{ +\begin{array}{l} + - \dfrac{\eta_2 - \eta_1}{2(\xi_2 - \xi_1)^{\frac32}} + \,e^{ -\tfrac{(\eta_2 - \eta_1)^2}{4(\xi_2 - \xi_1)} } + \text{ für } \xi_2 > \xi_1 +\\[1em] + \qquad 0 \quad\quad\quad \text{ für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 \neq + \eta_1. +\end{array} +\right. +\end{align*} +Wir sehen, daß die Funktion und ihre Ableitungen für alle Werte +der Argumente, für welche $\xi_2 \geqq \xi_1$, stetig sind, ausgenommen +der +Fall $(\xi_1 \eta_1) = (\xi_2 \eta_2)$, wo $t$ endlich bleibt, die +Ableitungen aber +unendlich werden; und es gelten die Identitäten: +\[ +\begin{aligned} + \frac{\partial^2 t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_1^2} +&+ \frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} = 0 +\\ + \frac{\partial^2 t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_2^2} +&- \frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_2} = 0. +\end{aligned} +\] + +\Paragraph{IIa.} \so{Ist $\varphi(xy)$ stetig, so gelten die Formeln:} +\begin{align*} + \underset{\overline{\xi}=\xi + }{\bigL} + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, + \varphi(\overline{\xi}y) \, dy &= 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) +\\ + \underset{\overline{\xi}=\xi - }{\bigL} + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})} + \frac{\partial t(\overline{\xi} y, \xi\eta)}{\partial y} \, + \varphi(\overline{\xi}y) \, dy &= -2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta). +\end{align*} + +Wir geben den Beweis im ersten Fall an. Es sei $\lvert \varphi(xy) +\rvert \leqq m$; +notwendig gilt auch nach Definition der Funktion +\[ + t(\xi\eta, xy) \leqq \sqrt{\pi}. +\] +Wir wollen beweisen, daß zu einem gegebenen $\varepsilon > 0$ ein solches +$\delta > 0$ sich wählen läßt, daß +\[ + \lvert I - 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) \rvert < \varepsilon, +\] +wenn +\[ + \lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta; +\] +%-----File: 075.png--------------------------------------- +hier bedeutet $I$ das erste der in dem Satz genannten Integrale. +Zu dem Zweck wählen wir zunächst $\delta'$ so klein, daß +\[ + \lvert \varphi(\overline{\xi} y) - \varphi(\xi\eta) \rvert +< \frac{\varepsilon}{8\sqrt{\pi}} , +\] +wenn +\[ + \lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta', \quad + \lvert y - \eta \rvert < \delta' +\] +und schreiben +\[ + \eta_1 = \eta - \delta', \quad \eta_2 = \eta + \delta'. +\] +Wegen der Stetigkeitseigenschaften von $t$ ist es ferner möglich, +$\delta$ so klein zu wählen, daß +\[ +\left. +\begin{aligned} + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) + \sqrt{\pi} \rvert \\ + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_2) - \sqrt{\pi} \rvert \\ + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\chi_1) + \sqrt{\pi} \rvert \\ + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\chi_2) - \sqrt{\pi} \rvert +\end{aligned} +\right\} +< \frac{\varepsilon}{8m}, +\] +wenn +\[ + \lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta ; +\] +daraus folgt weiter, daß +\begin{align*} + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\chi_1) + - t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) \rvert +&< \frac{\varepsilon}{4m} +\\ + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\chi_2) + - t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_2) \rvert +&< \frac{\varepsilon}{4m} ; +\end{align*} +außerdem verkleinern wir $\delta$, wenn nötig, so daß +\[ + \delta < \delta'. +\] + +Das so erhaltene $\delta$ hat die verlangte Eigenschaft. Um dies +zu sehen, schreiben wir: +\[ + I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4, +\] +wo +\begin{align*} + I_1 &= \int\limits_{\eta_1}^{\eta_2} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta)}{\partial y} + \, \varphi(\xi\eta) \, dy +\\ + I_2 &= \int\limits_{\eta_1}^{\eta_2} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} + \, \{ \varphi(\overline{\xi} y) - \varphi(\xi\eta) \} \, dy +\\ + I_3 &= \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\eta_1} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} + \, \varphi(\overline{\xi} y) \, dy\\ +%-----File: 076.png--------------------------------------- + I_4 &= \int\limits_{\eta_2}^{\chi_2(\overline{\xi})} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} + \, \varphi(\overline{\xi} y) \, dy. +\end{align*} +Alsdann haben wir, wenn $\lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta$, +\begin{gather*} + \lvert I_1 - 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) \rvert += \lvert \varphi(\xi\eta) \rvert + \left\lvert \,\int\limits_{\eta_1}^{\eta_2} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, dy + - 2\sqrt{\pi} \,\right\rvert +\displaybreak[1] \\ += \lvert \varphi(\xi\eta) \rvert + \lvert \{ t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_2) - \sqrt{\pi} \} + - \{ t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) + \sqrt{\pi} \} \rvert +\displaybreak[1] \\ +< m \left\{ \frac{\varepsilon}{8m} + \frac{\varepsilon}{8m} \right\} += \frac{\varepsilon}{4} +\displaybreak[1] \\ +\begin{split} + \lvert I_2 \rvert &< \int\limits_{\eta_1}^{\eta_2} + \lvert \varphi(\overline{\xi} y) - \varphi(\xi\eta) \rvert + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, dy +\\ +&< \frac{\varepsilon}{8\sqrt{\pi}} + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_2) + - t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) \rvert +\\ +&< \frac{\varepsilon}{8\sqrt{\pi}} + \{ \sqrt{\pi} + \sqrt{\pi} \} = \frac{\varepsilon}{4} +\\ + \lvert I_3 \rvert &< \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\eta_1} + \lvert \varphi(\overline{\xi}\eta) \rvert + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, dy +\\ +&< m \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) + - t ( \overline{\xi}\eta, \overline{\xi}\chi_1) \rvert +\\ +&< m · \frac{\varepsilon}{4m} = \frac{\varepsilon}{4} +\end{split} +\end{gather*} +und ebenso +\[ + \lvert I_4 \rvert < \frac{\varepsilon}{4}. +\] + +Daher ist +\[ + \lvert I - 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) \rvert +< \lvert I_1 - 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) \lvert ++ \lvert I_2 \rvert ++ \lvert I_3 \rvert ++ \lvert I_4 \rvert < \varepsilon , +\] +was zu beweisen war. + +\Paragraph{IIb.} \so{Ist $f(x)$ stetig differenzierbar, so gelten die +Formeln:} +%-----File: 077.png--------------------------------------- +\[ +\left. +\begin{aligned} + \underset{(\overline{\xi\eta}) = (\xi\chi_i)}{\bigL} + \int\limits_{\overline{\xi}}^b + \frac{\partial t(\overline{\xi\eta}, x \chi_i)}{\partial y} f(x) \, dx +&= \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\chi_i, x \chi_i)}{\partial y} f(x) \, dx +\\ + \underset{(\overline{\xi\eta}) = (\xi\chi_i)}{\bigL} + \int\limits_{\overline{\xi}}^b + \frac{\partial t(\overline{\xi\eta}, x \chi_i)}{\partial x} f(x) \, dx +&= \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\chi_i, x \chi_i)}{\partial x} f(x) \, dx +- (-1)\sqrt{\pi} f(\xi) +\\ + \underset{(\overline{\xi\eta}) = (\xi\chi_i)}{\bigL} + \int\limits_a^{\overline{\xi}} + \frac{\partial t( x \chi_i, \overline{\xi\eta})}{\partial y} f(x) \, dx +&= \int\limits_a^\xi + \frac{\partial t( x \chi_i, \xi\chi_i)}{\partial y} f(x) \, dx +\\ + \underset{(\overline{\xi\eta}) = (\xi\chi_i)}{\bigL} + \int\limits_a^{\overline{\xi}} + \frac{\partial t( x \chi_i, \overline{\xi\eta})}{\partial x} f(x) \, dx +&= \int\limits_a^\xi + \frac{\partial t( x \chi_i, \xi\chi_i)}{\partial x} f(x) \, dx +- (-1)\sqrt{\pi} f(\xi) +\end{aligned} +\right\} + [i = 1, 2]. +\] + +Die zwei letzten Formeln sind von \so{Holmgren} bewiesen\footnote{ + Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd.~4 (1908), No.~18, + S.~8--12. + Der Beweis gestaltet sich etwas einfacher, wenn wir unsere Funktion + $t(\xi\eta, xy)$ + zu Hilfe nehmen, die in den Holmgrenschen Arbeiten nicht vorkommt.}; die +beiden ersten lassen sich auf dieselbe Weise herleiten oder folgen +aus den beiden andern bei Benutzung der Substitution $x' = -x$ +in den Integralen, zusammen mit den entsprechenden Bezeichnungsänderungen. + +\Paragraph{IIIa.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige Funktion, so +konvergieren +die Integrale:} +\[ + \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR, +\; + \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \, \varphi(xy) \, dR, +\; + \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \eta} \, \varphi(xy) \, dR; +\] +\so{ferner lassen sie sich als doppelte einfache Integrale +auswerten, wobei zuerst nach $y$, dann nach $x$ integriert +wird, und stellen stetige Funktionen dar.} + +Das erste Integral ist ein eigentliches Integral; der Integrand +des dritten Integrals hat nur eine Punktsingularität von weniger +starkem Charakter als die Liniensingularität +$\dfrac{1}{\sqrt{x-\xi}}$, so daß der +Satz noch aufrecht bleibt, wenn wir den Exponentialfaktor durch +1 ersetzen. Wir werden den Beweis nur im zweiten Fall ausführen, +wo die Beschaffenheit des Exponentialfaktors berücksichtigt +werden muß. Zum Beweise wird gezeigt, daß das Doppelintegral +und das doppelte Integral selbst dann konvergieren, wenn wir +den Integranden durch seinen absoluten Wert ersetzen; die weiteren, +%-----File: 078.png--------------------------------------- +fast selbstverständlichen\footnote{ + Vgl.\ auch \so{de la Vall\'e-Poussin}, Cours d'Analyse Infinit\'esimale, + Bd.~2, No.~76, 77.} +Ueberlegungen, die die Gleichheit +der beiden Integrale bestätigen, lassen wir weg. + +Den Integranden nennen wir immer zur Abkürzung $F$: +\begin{align*} + F = \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} + \,\varphi(xy); +\end{align*} +es sei für alle in Betracht kommenden Werte der Variablen +\[ + \lvert \varphi(xy)\rvert < m, \quad + \chi_1(x) > \mu_1, \quad + \chi_2(x) < \mu_2; +\] +ferner setzen wir +\[ + \lvert \log \{ 4(x - \xi)+(\mu_1 - \eta)^2 \} \rvert < C, \quad + \lvert \log \{ 4(x - \xi)+(\mu_2 - \eta)^2 \} \rvert < C, +\] +für alle $(\xi\eta)$ in $\Omega$; das ist sicher möglich, denn die +Argumente +der Logarithmen können nur dann Null werden, wenn $x = \xi$, +$\eta = \mu_1$ resp.\ $\mu_2$, was für Punkte von $\Omega$ ausgeschlossen +ist. +Schließlich nehmen wir irgend eine Konstante $\lambda$, die zwischen $0$ +und $\nicefrac{1}{2}$ liegt, und schreiben +\[ + \lvert (x - \xi)^{\lambda} \log (x - \xi)\rvert < c, \quad + (x - \xi)^{\lambda} < c, +\] +was wieder möglich ist wegen der Stetigkeit der genannten Funktionen +für alle $x, \xi$. + +Für die Konvergenzschwierigkeiten kommt nur die Nachbarschaft +der Geraden $x = \xi$ in Betracht; es genügt daher zu beweisen, +daß die Integrale +\[ + \iint\limits_{\area{\xi}{\xi + \delta}} + \lvert F \rvert \,dr, +\quad + \int\limits_{\xi}^{\xi + \delta} \int\limits_{\chi_1 (x)}^{\chi_2 (x)} + \lvert F \rvert \,dy\, dx +\] +konvergieren, \dh\ daß die Größe +\[ +I(\delta_1 ) += \iint\limits_{\area{\xi + \delta_1}{\xi + \delta}} + \lvert F \rvert \,dR += \int\limits_{\xi + \delta_1}^{\xi + \delta} \int\limits_{\chi_1 +(x)}^{\chi_2 (x)} + \lvert F \rvert \,dy\, dx +\] +einen Grenzwert besitzt bei Annäherung von $\delta_1$, an den Wert Null, +oder (da der Integrand positiv ist) sogar nur, daß sie bei diesem +Grenzübergang endlich bleibt. Da +\[ +e^{-\tfrac{(y - \eta)^2}{4(x - \xi)}} += \frac{1}{e^{ \tfrac{(y - \eta)^2}{4(x - \eta)}}} +\leqq \frac{1}{1 + \dfrac{(y - \eta)^2}{4(x - \eta)}} += \frac{4(x - \eta)}{4(x - \eta) + (y - \eta)^2} , +\] +so ist +%-----File: 079.png--------------------------------------- +\[ + \left\lvert \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial\xi} \right\rvert +\leqq \frac{ 2\lvert y-\eta \rvert } + { \sqrt{x-\xi} \{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} } , +\] +und +\[ + \lvert F \rvert += \left\lvert \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial\xi} + \varphi(xy) \right\rvert +\leqq \frac{ 2m \lvert y-\eta \rvert } + { \sqrt{x-\xi} \{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} }. +\] +Da $(\xi\eta)$ ein Punkt von $\varOmega$ ist, so ist +$\chi_1(\xi) \leqq \eta \leqq \chi_2(\xi)$; wir wählen +$\delta$ so klein, daß +\[ + \chi_1(x) \leqq \eta \leqq \chi_2(x), +\] +wenn +\[ + \xi \leqq x \leqq \xi + \delta. +\] +Wir haben dann +\begin{align*} + I(\delta_1) +&\leqq + \int\limits_{\xi+\delta_1}^{\xi+\delta} + \int\limits_{\chi_1(x)}^{\chi_2(x)} + \frac{ 2m \lvert y-\eta \rvert } + { \sqrt{x-\xi} \{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} } \, dy\, dx +\\ +&\leqq + \int\limits_{\xi+\delta_1}^{\xi+\delta} + \frac{2m}{\sqrt{x-\xi}} + \int\limits_{\mu_1}^{\mu_2} + \frac{ \lvert y-\eta \rvert } + { 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 } \, dy\, dx +\end{align*} +Es ist aber +\begin{align*} +& \int\limits_{\mu_1}^{\mu_2} + \frac{ \lvert y-\eta \rvert dy } + { 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 } += \int\limits_{\mu_1}^{\eta} + \frac{ (\eta - y) \, dy } + { 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 } ++ + \int\limits_{\eta}^{\mu_2} + \frac{ (y - \eta) \, dy } + { 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 } +\\ +&=-\left[\tfrac12 \log\{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} \right]_{\mu_1}^\eta ++ \tfrac12\left[ \log\{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} \right]_\eta^{\mu_2} +\\ +&= \tfrac12 \log \{ 4(x-\xi) + (\mu_1-\eta)^2 \} ++ \tfrac12 \log \{ 4(x-\xi) + (\mu_2-\eta)^2 \} +- \log \{ 4(x-\xi) \} +\\ +&\leqq \tfrac12 \, C + \tfrac12 \, C + \log 4 + \lvert \log(x-\xi) \rvert +\\ +&\leqq \frac{ C + \log 4 + 1) \, c }{ (x-\xi)^\lambda }. +\end{align*} +Daher ist +\begin{align*} + I(\delta_1) &\leqq 2m (C + \log 4 + 1) \, c + \int\limits_{\xi+\delta_1}^{\xi+\delta} + \frac{dx}{ (x-\xi)^{\nicefrac{1}{2} + \lambda}} +\\ +&= 2m (C + \log 4 + 1) \, c + \left[ \frac{ (x-\xi)^{\nicefrac12 - \lambda}} + { {\nicefrac12} - \lambda } + \right]_{\xi+\delta_1}^{\xi+\delta} +\\ +&= \frac{ 2m (C + \log 4 + 1) \, c }{ {\nicefrac12} - \lambda } + \left[ \delta^{ {\nicefrac12} - \lambda } + - \delta^{ {\nicefrac12} - \lambda }_1 \right]. +\end{align*} +Wir sehen also, daß $I(\delta_1)$ beim Grenzübergang $\delta_1 = 0$ +endlich +bleibt; und zwar ist +%-----File: 080.png--------------------------------------- +\[ + \underset{\delta_1 = 0}{\bigL} I(\delta_1) \leqq k\delta^{\nu}, +\] +wo $k$, $\nu$ von $\xi$, $\eta$, $\delta$ unabhängige positive Konstante +sind, und $\nu < 1$. + +Aus dieser Abschätzung wollen wir den zweiten Teil des +Satzes beweisen, welcher behauptet, die durch das Integral definierte +Funktion sei stetig. Nennen wir +\[ +\Phi (\xi \eta) = \iint\limits_{\area\xi{b}} F \,dR, +\] +so wollen wir zeigen, daß sich zu einem gegebenen $\varepsilon > 0$ ein +solches $\delta > 0$ wählen läßt, daß +\[ +\lvert \Phi (\overline{\xi \eta}) - \Phi (\xi \eta) \rvert < \varepsilon, +\] +wenn +\[ +\lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta, \quad +\lvert \overline{\eta} - \eta \rvert < \delta. +\] +Schreiben wir: +\[ +\Phi = \Phi_1 + \Phi_2, +\] +wo +\[ +\Phi_1 (\xi\eta) = \iint\limits_{\area\xi{\xi + \delta}} F\,dR;\quad +\Phi_2 (\xi\eta) = \iint\limits_{\area{\xi + \delta}{b}} F\,dR, +\] +so ist für jede Wahl von $\delta$ $\Phi_2$ stetig. Wählen wir $\delta$ +so klein, daß +\[ +\delta < \left( \frac{\varepsilon}{4k} \right)^{\frac{1}{\nu}} , +\] +und daß außerdem die Bedingung des vorhergehenden Beweises: +\[ +\chi_1 (x) \leqq \eta \leqq \chi_2 (x) , +\] +wenn +\[ +\xi \leqq x \leqq \xi + \delta , +\] +erfüllt ist. + +Wir haben dann: +\[ +\lvert \Phi_1 (\xi \eta) \rvert \leqq \iint\limits_{\area\xi{\xi + +\delta}} + \lvert F \rvert \,dR \,\leqq \,k \delta^{\nu} \,\leqq\, + \frac{\varepsilon}{4} ; +\] +und (da $k$, $\nu$ von $\xi$, $\eta$) unabhängig sind) +\[ +\lvert \Phi_1 (\overline{\xi \eta}) \leqq \frac{\varepsilon}{4} ; +\] +also +\[ +\lvert \Phi_1 (\overline{\xi \eta}) \rvert - \Phi_1 \lvert (\xi \eta) +\rvert \leqq \frac{\varepsilon}{2}. +\] +Durch Wahl eines eventuell kleinen $\delta$ erreichen wir, daß +%-----File: 081.png--------------------------------------- +\[ + \lvert \varPhi_2(\overline{\xi\eta}) - \varPhi_2(\xi\eta) \rvert +< \frac{\varepsilon}{2}, +\] +wenn +\[ + \lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta ,\; + \lvert \overline{\vphantom{\xi}\eta} - \eta \rvert < \delta ; +\] +dann ist +\[ + \lvert \varPhi(\overline{\xi\eta}) - \varPhi(\xi\eta) \rvert +< \varepsilon, +\] +was zu beweisen war. + +\Paragraph{IIIb.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige Funktion, so +gelten die +Differentiationsformeln:} +\begin{align*} + \frac{\partial }{\partial \xi} + \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +&= + \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \, \varphi(xy) \, dR ++ \sqrt{\pi} \int\limits_{\chi_1(\xi)}^\eta \varphi(\xi y) \, dy +- \sqrt{\pi} \int\limits_\eta^{\chi_2(\xi)} \varphi(\xi y) \, dy +\\ +\frac{\partial}{\partial \eta} + \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +&= + \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \eta} \, \varphi(xy) \, dR +\\ +\frac{\partial^2 }{\partial \eta^2} + \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +&= +- \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \, \varphi(xy) \, dR. +\end{align*} + +Wir geben den Beweis nur in dem ersten Fall an. Nennen wir +\[ + \varPhi(\xi\eta) += \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR , +\; + \varPhi(\overline{\xi}\eta) += \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} + t(\overline{\xi}\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR , +\] +und nehmen $\overline{\xi} > \xi$, was für den Beweis keine wirkliche +Einschränkung +bedeutet, so haben wir +\begin{gather*} + \varPhi(\overline{\xi}\eta) - \varPhi(\xi\eta) += \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} + t(\overline{\xi}\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +- + \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +\\ += \iint\limits_{\area\xi{\overline{\xi}}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR ++ + \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} + \{ t(\overline{\xi}\eta, xy) - t(\xi\eta, xy) \} \, \varphi(xy) \, dR +\\ += -(\overline{\xi} - \xi) \int\limits_{\chi_1(\xi^*)}^{\chi_2(\xi^*)} + t(\xi\eta, \xi^* y) \, \varphi(\xi^* y) \, dy ++ + (\overline{\xi} - \xi) \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} + \frac{\partial t(\xi_1^*\eta, xy)}{\partial \xi_1^*} \, \varphi(xy) + \, dR, +\end{gather*} +wo $\xi^*$, $\xi_1^*$ gewisse, zwischen $\xi$ und $\overline{\xi}$ +liegende Größen bedeuten. +\[ + \frac{ \varPhi(\overline{\xi}\eta) - \varPhi(\xi\eta) } + { \overline{\xi} - \xi } += - \int\limits_{\chi_1(\xi^*)}^{\chi_2(\xi^*)} + t(\xi\eta, \xi^* y) \, \varphi(\xi^* y) \, dy ++ + \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} + \frac{\partial t(\xi_1^*\eta, xy)}{\partial \xi_1^*} \, \varphi(xy) + \, dR. +\] +%-----File: 082.png--------------------------------------- +Das Flächenintegral läßt sich in die zwei Teile: +\[ + \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}{\xi^*}} + \frac{\partial t(\xi_1^*\eta, xy)}{\partial \xi_1^*} \, \varphi(xy) + \, dR ++ + \iint\limits_{\area{\xi^*}b} + \frac{\partial t(\xi_1^*\eta, xy)}{\partial \xi_1^*} \, \varphi(xy) + \, dR +\] +spalten; der erste Teil nimmt beim Grenzübergang $\overline{\xi} = +\xi$ den +Wert Null an, denn nach IIIa bleibt er absolut kleiner als +$k\lvert \xi^* - \overline{\xi} \rvert^\nu$; +der zweite Teil ist nach IIIa eine stetige Funktion und +hat daher den Grenzwert +\[ + \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \, \varphi(xy) \, dR. +\] +Das Linienintegral ist ein eigentliches Integral; führen wir daher +den Grenzübergang auf rein formale Weise aus, so bekommen +wir unter Berücksichtigung der Definition von $t(\xi\eta, xy)$ in I den +Grenzwert +\[ + \int\limits_{\chi_1(\xi)}^{\chi_2(\xi)} + t(\xi\eta, \xi y) \, \varphi(\xi y) \, dy += +- \sqrt{\pi} \int\limits_{\chi_1(\xi)}^\eta \, \varphi(\xi y) \, dy ++ \sqrt{\pi} \int\limits_\eta^{\chi_2(\xi)} \varphi(\xi y) \, dy. +\] +Hiermit ist unsere Formel bewiesen. + +\Paragraph{IVa.} \so{Es existiert eine und nur eine stetige, nach +$y$ stetig differenzierbare, im Innern von $\varOmega$ beliebig +oft stetig differenzierbare Lösung $u(xy)$ der Gleichung} +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +- \frac{\partial u}{\partial x } = 0, +\] +\so{welche auf der Geraden $x = a$ die Werte $f_0(y)$ annimmt +und auf der Kurve $S_i$ einer der Bedingungen} +\begin{align*} +& 1)\quad u(x\chi_i) = f_i(x) +\\ +& 2)\quad + \frac{\partial u(x\chi_i)}{\partial y} + \alpha_i(x) \, u(x\chi_i) += f_i(x) +\\ +\intertext{\so{genügt, wo $\alpha_i(x)$, $f_i(x)$, $f_0(y)$ stetig +differenzierbare, die +Relationen}} +& 1)\quad f(a) = f_0\bigl(\chi_i(a)\bigr) +\\ +\intertext{\so{resp.}} +& 2)\quad + f_i(a) = f'_0\bigl(\chi_i(a)\bigr) + + \alpha_i(a) f_0\bigl(\chi_i(a)\bigr) +\end{align*} +\so{erfüllende Funktionen sind.} + +Wir haben hier zur Abkürzung +\[ + \frac{d f_0(y)}{dy} = f'_0(y) +\] +%-----File: 083.png--------------------------------------- +gesetzt. Die angegebenen Relationen drücken nur die Bedingung +aus, daß die vorgeschriebenen Werte auch in den Eckpunkten +$(a\chi_1)$, $(a\chi_2)$ stetig sind. Der Satz ist von +\so{Holmgren}\footnote{ + Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd.~3 (1906), No.~12, S.~1--4; + Bd.~4 (1908), No.~14, S.~6--8.} +bewiesen +worden. Durch ähnliche Methoden oder durch Einsetzen von $-x$ +an Stelle von $x$ bekommen wir den entsprechenden Satz für die +adjungierte Gleichung: + +\Paragraph{IVb.} \so{Es existiert eine und nur eine stetige, nach +$y$ stetig differenzierbare, im Innern von $\varOmega$ beliebig +oft stetig differenzierbare Lösung $u(xy)$ der Gleichung} +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} ++ \frac{\partial u}{\partial x } = 0, +\] +\so{welche auf der Geraden $x = b$ die Werte $f_0(y)$ annimmt +und auf der Kurve $S_i$ einer der Bedingungen} +\begin{align*} +& 1) \quad u(x\chi_i) = f_i(x) \\ +& 2) \quad \frac{\partial u(x\chi_i)}{\partial y} + + \alpha_i(x) \, u(x\chi_i) = f_i(x) \\ +\intertext{\so{genügt, wo $\alpha_i(x)$, $f_i(x)$, $f_0(y)$ stetig +differenzierbare, die +Relationen}} +& 1) \quad f_i(b) = f_0\bigl( \chi_i(b) \bigr) \\ +\intertext{\so{resp. }} +& 2) \quad f_i(b) = f'_0\bigl( \chi_i(b) \bigr) + + \alpha_i(b) f_0\bigl( \chi_i(b) \bigr) +\end{align*} +\so{erfüllende Funktionen sind.} + +Es wird in der Folge ziemlich unbequem sein, die beiden +Arten von Bedingungen 1), 2) gleichzeitig für die beiden Kurven +zu behandeln, da für sie verschiedenartige Formeln nachher eintreten. +Wir wollen also von jetzt ab alle Sätze für den Fall +aussprechen, daß eine Bedingung der Form 1) auf $y = \chi_1(x)$, eine +Bedingung der Form 2) auf $y = \chi_2(x)$ herrscht; dabei werden +beide Arten Bedingungen berücksichtigt werden, sodaß das Verhalten +im allgemeinen Fall vollständig klar angedeutet wird. + +\Paragraph{V.} Es sei $(\xi\eta)$ ein fester Punkt von +$\varOmega$. Suchen wir diejenige +(nach IVa existierende) Lösung der Gleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +- \frac{\partial u}{\partial x } = 0, +\] +welche auf der Geraden $x = \xi$ verschwindet und ferner den Bedingungen: +%-----File: 084.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + u(x\chi_1) &= -\frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} +\\ + \frac{\partial u(x\chi_2)}{\partial y} + \beta(x) \, u(x\chi_2) +&= -\frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial x} + - \beta(x) \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial y} +\end{aligned} +\right. +\] +genügt. Diese Funktion bezeichnen wir mit $g(\xi\eta, xy)$ und nennen +\[ + G(\xi\eta, xy) += \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial y} + g(\xi\eta, xy) +\] +eine \so{Greensche Funktion} der Differentialgleichung. Sie erfüllt +die Randbedingungen: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& G(\xi\eta, \xi y) = 0 \quad [y \neq \eta] +\\ +& G(\xi\eta, x\chi_1) = 0 +\\ +& \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial y} ++ \beta(x) \, G(\xi\eta, x\chi_2) = 0. +\end{aligned} +\right. +\] + +Auf ähnliche Weise konstruieren wir eine Lösung +\[ + H(\xi\eta, xy) += - \frac{\partial t(xy, \xi\eta)}{\partial y} + h(\xi\eta, xy) +\] +der Gleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} ++ \frac{\partial u}{\partial x } = 0, +\] +welche die Bedingungen +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& H(\xi\eta, \xi y) = 0 \quad [y \neq \eta] +\\ +& H(\xi\eta, x\chi_1) = 0 +\\ +& \frac{\partial H(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial y} ++ \alpha(x) \, H(\xi\eta, x\chi_2) = 0 +\end{aligned} +\right. +\] +erfüllt. $G(\xi\eta, xy)$ ist nur für $x \geqq \xi$, $H(\xi\eta, xy)$ +nur für $x \leqq \xi$ definiert. + +Wir sagen, \so{$G$ und $H$ erfüllen adjungierte Randbedingungen}\footnote{ + Die Bezeichnungsweise ``adjungierte Bedingungen'' rührt im Falle von + nicht selbst adjungierten gewöhnlichen Differentialgleichungen von + \so{Birkhoff} her, + Transactions of the American Mathematical Society, Bd.~10 (1909), + S.~373, 375.}, +wenn +\[ + \beta(x) - \alpha(x) = \frac{d \chi_2(x)}{dx}\;\footnotemark. +\] +\footnotetext{ + Ist eine der Funktionen $\alpha(x)$, $\beta(x)$ stetig differenzierbar + angenommen, + so gilt dasselbe für die andre wegen der zweimaligen stetigen + Differenzierbarkeit + von $\chi_2(x)$.} +%-----File: 085.png--------------------------------------- + +Wir werden jetzt den Satz beweisen: + +\so{Erfüllen $G(\xi\eta, xy)$, $H(\xi\eta, xy)$ adjungierte +Randbedingungen, +so sind sie gegenseitig symmetrisch:} +\[ + G(\xi\eta, xy) = H(xy, \xi\eta). +\] + +Wir nehmen die Funktionen für zwei verschiedene Punkte +$G(\xi_1 \eta_1, xy)$, $H(\xi_2\eta_2, xy)$, wobei $\xi_2 > \xi_1$. Es +gilt die Identität: +\[ + \frac{\partial }{\partial y} + \left\{ G \frac{\partial H}{\partial y} + - H \frac{\partial G}{\partial y} \right\} ++ \frac{\partial }{\partial x} \{ GH \} += G \left\{ \frac{\partial^2 H}{\partial y^2} + + \frac{\partial H}{\partial x } \right\} +- H \left\{ \frac{\partial^2 G}{\partial y^2} + - \frac{\partial G}{\partial x } \right\} = 0. +\] +Integrieren wir über das Gebiet +${}_{\overline{\xi}_1}\varOmega_{\overline{\xi}_2}$, +wo $\overline{\xi}_1$ ein wenig größer als +$\xi_1$, $\overline{\xi}_2$ ein wenig kleiner als $\xi_2$ ist. +Umformung mittels des Greenschen +Satzes liefert die Formel: +\begin{align*} +& \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_2)}^{\chi_2(\overline{\xi}_2)} + G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y) \, + H(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_2 y) \, dy +- \int\limits_{\overline{\xi}_1}^{\overline{\xi}_2} + \left[ GH \, dy - \left\{ G \frac{\partial H}{\partial y} + - H \frac{\partial G}{\partial y} \right\} dx + \right]_{S_2} +\\ +-& \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_1)}^{\chi_2(\overline{\xi}_1)} + G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_1 y) \, + H(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_1 y) \, dy ++ \int\limits_{\overline{\xi}_1}^{\overline{\xi}_2} + \left[ GH \, dy - \left\{ G \frac{\partial H}{\partial y} + - H \frac{\partial G}{\partial y} \right\} \, dx + \right]_{S_1} = 0. +\end{align*} +Das dritte und das vierte Integral verschwinden; denn auf $S_1$ ist +$G = H = 0$, und auf $S_2$ ist +\[ + GH \frac{dy}{dx} +- \left\{ G \frac{\partial H}{\partial y} + - H \frac{\partial G}{\partial y} \right\} += GH \frac{d\chi_2}{\partial x} + GH\alpha - GH\beta = 0. +\] +Wir haben also einfach +\[ + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_2)}^{\chi_2(\overline{\xi}_2)} + G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y) \, + H(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_2 y) \, dy += + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_1)}^{\chi_2(\overline{\xi}_1)} + G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_1 y) \, + H(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_1 y) \, dy. +\] +Die linke Seite dieser Identität läßt sich in der Form +\[ + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_2)}^{\chi_2(\overline{\xi}_2)} + G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y) \, + h(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_2 y) \, dy +- + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_2)}^{\chi_2(\overline{\xi}_2)} + G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y) + \frac{\partial t(\overline{\xi}_2 y, \xi_2 \eta_2)}{\partial y} \, dy +\] +schreiben; die Funktion $G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y)$ bleibt +beim Grenzübergang +$\overline{\xi}_2 = \xi_2$ stetig; dasselbe gilt für +$h(\xi_2 \eta_2, \xi_2 y)$, welches den Wert +Null annimmt; also verschwindet in der Grenze das erste der +%-----File: 086.png--------------------------------------- +beiden Teilintegrale. Der Grenzwert des zweiten läßt sich nach +IIa auswerten und ist gleich $2\sqrt{\pi} \, G(\xi_1\eta_1,\xi_2\eta_2)$. + +Ganz ebenso bekommen wir als Grenzwert der rechten Seite +$2\sqrt{\pi} \, H(\xi_2\eta_2,\xi_1\eta_1)$. Diese beiden Größen sind +also einander gleich, +was zu beweisen war. + +Wir werden hernach unter $G$ immer diejenige Greensche +Funktion verstehen, für welche +\[ + \beta(x) = \alpha(x) + \frac{d \chi_2(x)}{dx} +\] +bei gegebenen $\alpha(x)$. + +\Paragraph{VI.} \so{Sind $u$, $v$ solche stetige Funktionen mit den im +Innern von $\varOmega$ stetigen Ableitungen +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$, daß die +Differentialgleichungen} +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &&= \varphi(xy) +\\ +& \frac{\partial u}{\partial y} &&= v +\end{alignedat} +\right. +\] +\so{und die Randbedingungen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& u(by) = f_0 (y) +\\ +& u(x\chi_1) = f_1 (x) +\\ +& v(x\chi_2) + \alpha(x) \, u(x\chi_2) = f_2 (x) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{erfüllt sind, wo $f_0 (y)$, $f_1 (x)$, $f_2 (x$), $\alpha(x)$ +stetige Funktionen +sind, für welche} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& f_1(b) = f_0\bigl( \chi_1(b) \bigr) +\\ +& f_2(b) = f'_0\bigl( \chi_2(b) \bigr) + + \alpha(b) f_0\bigl( \chi_2(b) \bigr), +\end{aligned} +\right. +\] +\so{so sind $u$, $v$ durch die Formeln} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + u(\xi\eta) +&= \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\chi_1(b)}^{\chi_2(b)} + G(\xi\eta, by) \, f_0(y) \, dy + + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\xi}^b + \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} \, f_1(x) \, dx +\\ +&\; + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\xi}^b + G(\xi\eta, x\chi_2) \, f_2(x) \, dx + - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + G(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +\\ +v(\xi\eta) &= \frac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta} +\end{aligned} +\right. +\] +\so{gegeben.} +%-----File: 087.png--------------------------------------- + +Zum Beweise schreiben wir die Identität +\[ + G\varphi += G\left( \frac{\partial u}{\partial x} + + \frac{\partial v}{\partial y} \right) +- \frac{\partial G}{\partial y} + \left( \frac{\partial u}{\partial y} - v \right) +- u\left( \frac{\partial^2 G}{\partial y^2} + - \frac{\partial G}{\partial x } \right) += \frac{\partial }{\partial x} \{ Gu \} ++ \frac{\partial u}{\partial y} + \left\{ Gv - \frac{\partial G}{\partial y} \, u \right\}, +\] +integrieren über den Bereich ${}_{\overline{\xi}}\varOmega_b$, wo +$\overline{\xi}$ ein wenig größer als $\xi$ ist +und machen wie vorhin eine Umformung mittels des Greenschen +Satzes. Mit Rücksicht auf die Relation zwischen den Randbedingungen +für $u$, $v$ und $G$ (wie in V), bekommen wir die Formel: +\begin{gather*} + \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} G(\xi\eta, xy) \, dR += + \int\limits_{\chi_1(b)}^{\chi_2(b)} G(\xi\eta, by) \, f_0(y) \, dy ++ \int\limits_{\overline{\xi}}^b G(\xi\eta, x\chi_2) \, f_2(x) \, dx +\\ +- \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})} + G(\xi\eta, \overline{\xi} y) \, u(\overline{\xi} y) \, dy ++ \int\limits_{\overline{\xi}}^b + \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} \, f_1(x) \, dx. +\end{gather*} +Beim Grenzübergang $\overline{\xi} = \xi$ ändern die beiden Integrale +nach $x$ +entsprechend ihre unteren Grenzen (da sie eigentliche Integrale +sind); dasselbe gilt wegen der Konvergenz des resultierenden Integrals +für das Flächenintegral; das erste Integral nach $y$ bleibt +ungeändert; und das zweite Integral nach $y$ nimmt nach IIa den +Wert +\begin{gather*} + \underset{\overline{\xi}=\xi}{\bigL} + \left\{ \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})} + g(\xi\eta, \overline{\xi} y) \, u(\overline{\xi} y) \, dy + + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, + u(\overline{\xi} y) \, dy + \right\} +\\ += 0 + 2\sqrt{\pi} \, u(\xi\eta) +\end{gather*} +an. Sammeln wir die getrennten Grenzwerte, so entsteht genau +die behauptete Darstellung von $u$. Die Darstellung von $v$ ist nur +eine Wiederholung der zweiten Differentialgleichung. + +\Paragraph{VIIa.} \so{Sind $f_0(y)$, $f_1(x)$, $f_2(x)$, $\alpha(x)$ +stetig differenzierbare +Funktionen, für welche} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& f_1(b) = f_0\bigl( \chi_1(b) \bigr) +\\ +& f_2(b) = f'_0\bigl( \chi_2(b) \bigr) + + \alpha(b) \, f_0\bigl( \chi_2(b) \bigr) , +\end{aligned} +\right. +\] +\so{so sind die Funktionen} +%-----File: 088.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +&\begin{aligned} + u(\xi\eta) += \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\chi_1(b)}^{\chi_2(b)} + G(\xi\eta, by) \, f_0(y) \, dy +&+ \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\xi}^b + \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} \, f_1(x) \, dx +\\ +&+ \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\xi}^b + G(\xi\eta, x\chi_2) \, f_2(x) \, dx +\end{aligned} +\\ +& v(\xi\eta) = \frac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta} +\end{aligned} +\right. +\] +\so{stetig; ferner besitzen sie im Innern von $\varOmega$ die stetigen +Ableitungen +$\dfrac{\partial u}{\partial \xi }$, +$\dfrac{\partial u}{\partial \eta}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial \eta}$ und erfüllen die +Differentialgleichungen:} +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v}{\partial \eta} && = 0 +\\ +& \frac{\partial u}{\partial \eta} && = v +\end{alignedat} +\right. +\] +\so{und die Randbedingungen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& u(b\eta) = f_0(\eta) \\ +& u(\xi\chi_1) = f_1(\xi) \\ +& v(\xi\chi_2) + \alpha(\xi) \, u(\xi\chi_2) = f_2(\xi). +\end{aligned} +\right. +\] + +Wenn Funktionen $u$, $v$ von der genannten Beschaffenheit existieren, +so müssen sie nach VI (jetzt in dem Fall angewandt, daß +$\varphi(xy) = 0$) durch die gegebenen Formeln dargestellt werden. Es +genügt also, zu zeigen, daß solche Funktionen $u$ existieren. Aber +es existiert sicher nach IVb eine Funktion $u(\xi\eta)$, welche folgende +Eigenschaften besitzt: $u$, $\dfrac{\partial u}{\partial \eta}$ sind +stetig; +$\dfrac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial \xi }$ sind im Innern +von $\varOmega$ stetig, und +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} ++ \frac{\partial u}{\partial \xi } = 0; +\] +schließlich +\[ + u(b\eta) = f_0(\eta); \; + u(\xi\chi_1) = f_1(\xi); \; + \frac{\partial u(\xi\chi_2)}{\partial \eta} ++ \alpha(\xi) \, u(\xi\chi_2) = f_2(\xi). +\] +Nennen wir $\dfrac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta} = v(\xi\eta)$, +so übertragen sich diese Eigenschaften +genau auf die Eigenschaften für $u$, $v$ in unserm Satze. +%-----File: 089.png--------------------------------------- + +\Paragraph{VIIIb.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige, nach $y$ stetig +differenzierbare +Funktion, so sind die Funktionen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& u(\xi\eta) += -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + G(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +\\ +& v(\xi\eta) = \frac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta} +\end{aligned} +\right. +\] +\so{stetig; ferner besitzen sie im Innern von $\varOmega$ die stetigen +Ableitungen +$\dfrac{\partial u}{\partial \xi }$, +$\dfrac{\partial u}{\partial \eta}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial \eta}$ und erfüllen die +Differentialgleichungen:} +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v}{\partial \eta} &&= \varphi(\xi\eta) +\\ +& \frac{\partial u}{\partial \eta} &&= v +\end{alignedat} +\right. +\] +\so{und die Randbedingungen:} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& u(b\eta) = 0 \\ +& u(\xi\chi_1) = 0 \\ +& v(\xi\chi_2) + \alpha(\xi) \, u(\xi\chi_2) = 0. +\end{aligned} +\right. +\] + +Schreiben wir +\[ + u = u_1 + u_2, \; v = v_1 + v_2, +\] +wo +\begin{align*} + u_1(\xi\eta) +&= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + g(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR, \quad + v_1(\xi\eta) = \frac{\partial u_1(\xi\eta)}{\partial \eta}, +\\ + u_2(\xi\eta) +&= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial y} \, \varphi(xy) \, dR, \quad + v_2(\xi\eta) = \frac{\partial u_2(\xi\eta)}{\partial \eta}, +\end{align*} +so sind alle die genannten Stetigkeitseigenschaften für $u$, $v$ von +vornherein für $u_1$, $v_1$ erfüllt; daher bleibt in dieser Beziehung nur +die Untersuchung für $u_2$, $v_2$ nötig. Bedienen wir uns für $u_2$ der +teilweisen Integration, so wird +\begin{align*} + u_2(\xi\eta) += -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + t(\xi\eta, x\chi_2) \, \varphi(x\chi_2) \, dx +&+ + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + t(\xi\eta, x\chi_1) \, \varphi(x\chi_1) \, dx +\\ +&+ \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial y} \, dR. +\end{align*} +%-----File: 090.png--------------------------------------- +Hieraus folgen alle gewünschten Stetigkeitseigenschaften mit Hilfe +von IIa, IIb, IIIa und IIIb. Ferner sind die so erhaltenen +Formeln für die Ableitungen: +\begin{align*} + \frac{\partial \mu_2(\xi\eta)}{\partial \xi} +&= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_2) + \, dx ++ \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \, t(\xi\eta, \xi\chi_2) \, \varphi(\xi\chi_2) +\\ +&\quad +\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_1) + \, dx +- \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \, t(\xi\eta, \xi\chi_1) \, \varphi(\xi\chi_1) +\\ ++ &\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR ++ + \tfrac{1}{2} \int\limits_{\chi_1(\xi)}^\eta + \frac{\partial \varphi(\xi y)}{\partial y} \, dy +- + \tfrac{1}{2} \int\limits_\eta^{\chi_2(\xi)} + \frac{\partial \varphi(\xi y)}{\partial y} \, dy +\displaybreak[1] \\ +&= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_2) + \, dx ++ + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_1) + \, dx +\\ +&\quad +\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR + \varphi(\xi\eta), +\\ + \frac{\partial u_2(\xi\eta)}{\partial \eta} &= v_2(\xi\eta) += -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta,x\chi_2)}{\partial\eta} \, \varphi(x\chi_2) + \, dx +\\ ++ &\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta,x\chi_1)}{\partial\eta} \, \varphi(x\chi_1) + \, dx ++ + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \eta} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR, +\\ + \frac{\partial v_2(\xi\eta)}{\partial \eta} +&= +- \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial^2 t(\xi\eta,x\chi_2)}{\partial \eta^2} \, + \varphi(x\chi_2) \, dx ++ + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial^2 t(\xi\eta,x\chi_1)}{\partial \eta^2} \, + \varphi(x\chi_1) \, dx +\\ +&\quad + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial^2 t(\xi\eta, xy)}{\partial \eta^2} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR +\\ +&= \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta,x\chi_2)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_2) + \, dx +- \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta,x\chi_1)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_1) + \, dx +\\ +&\; - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR. +\end{align*} +Es erfüllen $u_2 v_2$ also die Differentialgleichungen +%-----File: 091.png--------------------------------------- +\begin{alignat*}{2} +& \frac{\partial u_2}{\partial\xi} ++ \frac{\partial v_2}{\partial\eta} &&= \varphi(\xi\eta) \\ +& \frac{\partial u_2}{\partial\eta} &&= v_2. +\end{alignat*} +Es ist $g(\xi\eta, xy)$ nicht nur eine Lösung von +\[ +\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} - \frac{\partial g}{\partial x} = 0 +\] +(nach Definition), sondern auch (nach dem Symmetriegesetz in V) +eine Lösung von +\[ +\frac{\partial^2 g}{\partial\eta^2} + \frac{\partial g}{\partial\xi} = 0. +\] +Darum ist, wie leicht einzusehen, +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u_1}{\partial\xi} ++ \frac{\partial v_1}{\partial\eta} &&= 0 \\ +& \frac{\partial u_1}{\partial\eta} &&= v_1, +\end{alignedat} +\right. +\] +also schließlich +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial\xi} ++ \frac{\partial v}{\partial\eta} &&= 0 \\ +& \frac{\partial u}{\partial\eta} &&= v. +\end{alignedat} +\right. +\] + +Es bleiben nur noch die Randbedingungen zu bestätigen. Das +geschieht auch durch Benutzung des Symmetriegesetzes; denn +demzufolge ist +\[ +\begin{alignedat}{3} +& \: G(\xi\chi_1, xy) &&= H(xy, \xi\chi_1) &&= 0 +\\ +& \frac{\partial G(\xi\chi_2, xy)}{\partial\eta} ++ a(\xi)G(\xi\chi_2, xy) +&& = \frac{\partial H(xy, \xi\chi_2)}{\partial\eta} ++ a(\xi)H(xy, \xi\chi_2) &&= 0; +\end{alignedat} +\] +hieraus und aus den Stetigkeitseigenschaften folgen unmittelbar +die beiden letzten Randbedingungen für $u$, $v$. Um zu sehen, daß +auch $u(b\eta) = 0$, bemerken wir, daß sicher $u_1(b\eta) = 0$, da der +Integrand stetig ist und der Integrationsbereich verschwindet; +andrerseits ist aber auch $u_2(b\eta) = 0$, denn +\begin{gather*} +\lvert u_2(\xi\eta) \rvert \leqq + \iint\limits_{\area\xi{b}} +\frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial y}\lvert \varphi(xy)\rvert \,dR +\;\leqq\;\int\limits_\xi^b m(\mu_2-\mu_1) - \frac{dx}{\sqrt{x-\xi}} +\\ += 2m(\mu_2-\mu_1)(b-\xi)^{\frac{1}{2}}, +\end{gather*} +was beim Grenzübergang $\xi = b$ den Wert Null annimmt. +%-----File: 092.png--------------------------------------- + + +\Section{7. Lösung der Randwertaufgabe für das parabolische System.} + +Wir werden hier ein gewöhnlich-parabolisches System von +Gleichungen in der Normalform betrachten und ein Funktionenpaar +finden, welches dem Gleichungssystem und gewissen linearen +Randbedingungen genügt. Wir beschränken uns zunächst, wie +bei dem hyperbolischen Fall, auf ein ganz spezielles System und +verallgemeinern nachher die Resultate. Ferner werden wir die in +\S~6 (vor V) erwähnte vereinfachte Form der Randbedingungen in +unsern Sätzen angeben, was keine wirkliche Einschränkung der +Allgemeinheit bedeutet; übrigens werden die schließlich herauskommenden +Resultate ganz allgemein ausgesprochen. + +\Paragraph{I.} Es möge wie vorhin mit $\varOmega$ ein Gebiet bezeichnet +werden, +welches durch die Ordinaten $x = a$, $x = b\; (b > a)$ und die +Kurven $S_1: y = \chi_1(x)$, $S_2: y = \chi_2(x)$ begrenzt ist, wo +$\chi_1(x)$, $\chi_2(x)$ +zweimal stetig differenzierbare Funktionen in der Strecke $a \leqq x +\leqq b$ +sind, und $\chi_2(x) > \chi_1(x)$. Wir suchen ein Funktionenpaar $u(xy)$, +$v(xy)$, das dem Differentialgleichungssystem +\[ +\tag*{1)} +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} = {} & A(xy) \, &u +\\ +& \frac{\partial u}{\partial y} & = {} &v +\end{alignedat} +\right. +\] +genügt und die Randbedingungen +\[ +\tag*{2)} +\left\{ +\begin{aligned} +& u(by) = f_0(y) \\ +& u(x\chi_1) = f_1(x) \\ +& v(x\chi_2) + \alpha(x) \, u(x\chi_2) = f_2(x) +\end{aligned} +\right. +\] +erfüllt. Dabei soll $A(xy)$ eine stetige, nach $y$ stetig differenzierbare +Funktion sein; $f_0(y)$, $f_1(x)$, $f_2(x)$, $\alpha(x)$ sollen stetig +differenzierbar +sein und unter sich die Relationen +\[ +\tag*{3)} +\begin{aligned} +& f_1(b) = f_0\bigl( \chi_1(b) \bigr) \\ +& f_2(b) = f'_0\bigl( \chi_2(b) \bigr) + + \alpha(b) f_0\bigl( \chi_2(b) \bigr) +\end{aligned} +\] +befriedigen. Von den gesuchten Funktionen $u(xy)$, $v(xy)$ verlangen +wir, daß sie stetig seien und im Innern von $\varOmega$ die stetigen +Ableitungen +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ besitzen; aus diesen Annahmen folgt, daß +$\dfrac{\partial u}{\partial x} ++\dfrac{\partial v}{\partial y}$ und +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$ auch am Rande stetig sind. +%-----File: 093.png--------------------------------------- + +Nach \S~6, VI müssen die Funktionen $u$, $v$ durch folgende +Formeln gegeben werden: +\[ +\tag*{4)} +\left\{ +\begin{aligned} +& u(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + + \iint\limits_{\area\xi{b}} K(\xi\eta, xy) \, u(xy) \, dR +\\ +& v(\xi\eta) = \frac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta}, +\end{aligned} +\right. +\] +wobei +\[ +\tag*{5)} +\left\{ +\begin{aligned} +& 2\sqrt{\pi} \mathfrak{u}(\xi\eta) += \int\limits_{\chi_1(b)}^{\chi_2(b)} G(\xi\eta, by) \, f_0(y) \, dy ++ \int\limits_\xi^b + \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} \, f_1(x) \, dx ++ \int\limits_\xi^b G(\xi\eta, x\chi_2) \, f_2(x) \, dx +\\ +& 2\sqrt{\pi} K(\xi\eta, xy) = - G(\xi\eta, xy) \, A(xy). +\end{aligned} +\right. +\] + +Aber nach \S~6, VIIa, VIIb müssen Funktionen $u$, $v$, die die +Gleichungen~4) erfüllen, auch die Gleichungen~1) und die +Randbedingungen~2) +erfüllen; vorausgesetzt nur, daß die Funktion +$\varphi(xy)$ von \S~6, VIIb stetig, nach $y$ stetig differenzierbar ist; +diese Funktion ist hier durch $A(xy)$ $u(xy)$ vertreten. Wir brauchen +also nur, außer Stetigkeit, die stetige Differenzierbarkeit von +$u(\xi\eta)$ nach $\eta$ nachzuweisen. Das geschieht aber ohne weiteres +aus der ersten Gleichung~9); denn schon nach \S~6, VIIa ist +$\mathfrak{u}(\xi\eta)$ nach $\eta$ stetig differenzierbar, und dieselbe +Eigenschaft besitzt +nach Definition von $G$ und \S~6, IIIa, IIIb das Integral über +${}_\xi\varOmega_b$. Wir haben also den Satz: + +\so{Sind $u$, $v$ stetige Funktionen, die im Innern von $\varOmega$ +die stetigen Ableitungen +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ besitzen und +die dem Differentialgleichungssystem~1) nebst den +Randbedingungen~2) genügen, so erfüllen $u$, $v$ die Relationen~4); +umgekehrt, erfüllen $u$, $v$ die Relationen~4) +und ist $u$ stetig, so ist auch $v$ stetig, und +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +sind im Innern von $\varOmega$ stetig; und $u$, $v$ genügen dem +Differentialgleichungssystem~1) nebst den Randbedingungen~2).} + +\Paragraph{II.} Es kommt also wesentlich darauf an, eine stetige Lösung +$u$ der Integralgleichung +\[ +\tag*{$4'$)} + u(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + + \iint\limits_{\area\xi{b}} K(\xi\eta, xy) \, u(xy) \, dR +\] +%-----File: 094.png--------------------------------------- +zu finden. Diese Integralgleichung ist zunächst nicht in der von +Fredholm betrachteten Form; denn der Integrationsbereich +${}_\xi\varOmega_b$ +hängt von dem Parameter $\xi$ ab. Es ist aber $K(\xi\eta, xy)$ nur für +$x \geqq \xi$ definiert; ergänzen wir die Definition einfach durch die +Annahme +\[ +\tag*{6)} + K(\xi\eta, xy) = 0 \; \text{ für } \; a \leqq x \leqq \xi +\] +so läßt sich $4'$) auch folgendermaßen schreiben: +\[ +\tag*{$4'$)} + u(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + \iint K(\xi\eta, xy) \, u(xy) \, dR +\] +und ist jetzt genau eine Fredholmsche Integralgleichung. + +Wenn der Kern stetig wäre, so dürften wir schließen, daß +die Gleichung $4'$) sicher eine stetige Lösung besitzt, wenn die +entsprechende homogene Integralgleichung: +\[ +\tag*{$4'_0$)} + u_0(\xi\eta) = \iint K(\xi\eta, xy) \, u_0(xy) \, dR +\] +keine von Null verschiedene stetige Lösung besitzt. Im Falle einer +Singularität bei $(xy) = (\xi\eta)$ dürfen wir doch denselben Schluß +ziehen, wenn es eine positive Konstante $\alpha < \tfrac12$ gibt, +für welche +$\lvert x -\xi \rvert^\alpha + \lvert y - \eta \rvert^\alpha + \lvert K(\xi\eta, xy) \rvert$ endlich bleibt. Wir werden zeigen, +daß hier tatsächlich dieser Fall vorhanden ist. + +Für $x \geqq \xi$ (die einzigen Werte, die besondere Beachtung erfordern) +ist die Singularität von $K(\xi\eta, xy)$ durch +\[ + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial y} += \frac{ e^{ -\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} } } + { \sqrt{x-\xi} } +\] +charakterisiert, sodaß wir schreiben können +\[ + \lvert K(\xi\eta, xy) \rvert +< \frac{k}{\sqrt{\chi-\xi}} e^{ -\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} }, +\] +wo $k$ eine Konstante bedeutet. Ohne den Exponentialfaktor in +Betracht zu ziehen, ließe sich nur der Wert $\alpha = \tfrac12$ angeben, +welcher nicht hinreichend klein ist. Wir haben aber +\[ + e^{ \tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} } +\geqq 1 + \frac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} \geqq 1, +\] +also +%-----File: 095.png--------------------------------------- +\begin{align*} +\Bigl\{ e^{\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}} \Bigr\}^3 +& \geqq e^{\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}} + \geqq 1+ \frac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} +\\ +&= \left\{ 1-\frac{\lvert y-\eta \rvert}{2\sqrt{x-\xi}} \right\}^2 + + \frac{\lvert y-\eta \rvert}{ \sqrt{x-\xi}} + \geqq \frac{\lvert y-\eta \rvert}{ \sqrt{x-\xi}} +\end{align*} +und +\[ +e^{\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}} +\geqq \lvert y-\eta \rvert^{\frac{1}{3}} (x-\xi)^{-\frac{1}{3}}. +\] +Daher ist ferner +\[ +e^{-\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}} +\leqq (x-\xi)^{\frac{1}{3}} \lvert y-\eta \rvert^{-\frac{1}{3}} +\] +und +\[ +\lvert K(\xi\eta,xy)\rvert < \frac{k}{(x-\xi)^{\frac{1}{2}}} + (x-\xi)^{ \frac{1}{3}} \lvert y-\eta \rvert^{-\frac{1}{3}} += k(x-\xi)^{-\frac{1}{3}} \lvert y-\eta \rvert^{-\frac{1}{3}}. +\] + +Es ist also +\[ + \lvert x-\xi \rvert^{\frac{1}{3}} + \lvert y-\eta \rvert^{\frac{1}{3}} + \lvert K(\xi\eta,xy) \rvert < k, +\] +und $\alpha = \frac{1}{3}$ hat die verlangte Eigenschaft. Wir dürfen +also sagen: + +\so{Hat $\left.4'_0\right)$ keine von Null verschiedene stetige Lösung, +so hat $4')$ eine und nur eine stetige Lösung}. + +\Paragraph{III.} Unsere Aufgabe können wir dann als gelöst ansehen, +wenn $4'_0)$ nur die eine stetige Lösung $x_0 = 0$ besitzt. Das ist +aber \so{immer} der Fall, wie wir jetzt beweisen wollen. + +\so{Die homogene Integralgleichung} +\[ +\tag*{$4'_0$)} +u_0(\xi\eta) += \iint\limits_{\area\xi{b}} K(\xi\eta, xy) u_0(xy) \,dR +\] +\so{besitzt keine von Null verschiedene stetige Lösung}. + +1) Der Beweis wird in drei Teilen gegeben. Als ersten Teil +beweisen wir: Gibt es eine solche positive Funktion von $\xi$ allein, +$m(\xi)$, daß eine stetige Lösung $u_0(\xi\eta)$ von $4'_0)$ die Bedingung +\[ +\lvert u_0(\xi\eta) \rvert < m(\xi) +\] +erfüllt, so ist auch +\[ +\lvert u_0(\xi\eta) \rvert < c\int\limits_\xi^b m(x) \,dx, +\] +wo $c$ eine Konstante bedeutet. Um dies zu sehen, schreiben wir +$\xi_1(x) > \mu_1$, $\xi_2(x) < \mu_2$, +$\lvert K(\xi\eta,xy) \rvert < \dfrac{k}{\sqrt{x-\xi}}$; wir haben dann +%-----File: 096.png--------------------------------------- +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +\leqq \int\limits_\xi^b \int\limits_{\mu_1}^{\mu_2} + \frac{km(x)}{\sqrt{x-\xi}} \,dy\, dx +< k(\mu_2 - \mu_1) \int\limits_\xi^b + \frac{m(x)}{\sqrt{x-\xi}} \,dx. +\] +Wenden wir dieses Verfahren ein zweites Mal an, so finden wir: +\begin{align*} + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +&\leqq k^2 (\mu_2 - \mu_1)^2 \int_\xi^b \int_s^b + \frac{m(x)}{\sqrt{s-\xi} \sqrt{x-s}} \,dx\, ds +\\ +&= k^2 (\mu_2 - \mu_1)^2 \int_\xi^b \int_\xi^x + \frac{m(x)}{\sqrt{s-\xi} \sqrt{x-s}} \,ds\, dx\;\footnotemark +\\ +&= k^2 (\mu_2 - \mu_1)^2 \pi \int_\xi^b m(x) \,dx, +\end{align*} +in Uebereinstimmung mit unserer Behauptung.\footnotetext{ + In Bezug auf diese Umkehrung der Integrationsfolge sei auf die vorhin + genannte Arbeit des Verfassers verwiesen, Annals of Mathematics, Bd.~9 + (1908), + S.~183--187.}% + +2) Als zweiten Teil des Beweises zeigen wir: Eine stetige +Lösung von $4'_0$) genügt der Bedingung +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq C \frac{c^n (b-\xi)^n}{n!} +\] +für jede positive ganze Zahl $n$, wo $C$, $c$ Konstanten bedeuten. + +Ist $\lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq C$, so ist auch nach dem +vorhergehenden +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq c \int\limits_\xi^b C\, dx += Cc(b-\xi); +\] +daher ist aber wieder +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq c \int\limits_\xi^b Cc(b-x) \,dx += Cc^2 \frac{(b-\xi)^2}{2}; +\] +und der Beweis ist im allgemeinen durch vollständige Induktion +erbracht. + +3) Wir haben nur noch zu bemerken, daß die rechte Seite der +Ungleichung +%-----File: 097.png--------------------------------------- +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq C \frac{c^n (b-\xi)^n}{n!} +\] +beim Grenzübergang $n = \infty$ verschwindet. Daher ist +\[ + u_0(\xi\eta) = 0, +\] +was zu beweisen war. + +Als Gesamtergebnis haben wir also das + +\Paragraph{IV.} \so{Existenztheorem: Das System~1) nebst den +Randbedingungen~2) besitzt ein und nur ein System +von Lösungen $u(xy)$, $v(xy)$, wobei $u$, $v$ stetig, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +im Innern von $\Omega$ stetig sein sollen.} + +\smallskip +Dieselbe Beweismethode liefert ohne Schwierigkeit, wie schon +bemerkt, die allgemeinere Form: + +\so{Existenztheorem: Das System~1) besitzt ein und +nur ein solches System von Lösungen $u$, $v$, daß} +\[ +\tag*{$7'$)} + u(by) = f_0(y), +\] +\so{und daß auf jeder der Kurven $S_1$, $S_2$ eine der Bedingungen} +\[ +\tag*{$7''$)} +\begin{aligned} +& 1) \quad u(x\chi_i) = f_i(x) \\ +\text{resp. }\qquad +& 2) \quad v(x\chi_i) + \alpha_i(x) u(x\chi_i) = f_i(x) +\end{aligned} +\] +\so{erfüllt ist, wobei $u$, $v$ stetig, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ im Innern von +$\Omega$ stetig sein sollen.} + +Hier sind $f_0(y)$, $f_1(x)$, $f_2(x)$, $\alpha_1(x)$, $\alpha_2(x)$ +stetig differenzierbare +Funktionen, zwischen denen die Relationen: +\[ +\tag*{8)} +\begin{aligned} +& 1) \quad f_i(b) = f_0\bigl( \chi_i(b) \bigr) +\\ +\text{resp. }\qquad +& 2) \quad f_i(b) = f'_0\bigl( \chi_i(b) \bigr) + + \alpha_i(b) f_0\bigl( \chi_i(b) \bigr) +\end{aligned} +\] +statthaben. + +\Paragraph{V.} Wir wollen jetzt das allgemeinere System +\[ +\tag*{9)} +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &&= A(xy) u(xy) + B(xy) v(xy) +\\ +& \frac{\partial u}{\partial y} &&= C(xy) u(xy) + D(xy) v(xy) +\end{alignedat} +\right. +\] +betrachten. Wie in \S~2, IX angedeutet, wollen wir annehmen, +daß $D$ in dem ganzen in Betracht gezogenen Gebiet nirgends +%-----File: 098.png--------------------------------------- +verschwindet. Unsere Voraussetzungen sind folgende: die Funktionen +\[ +\arraycolsep=4pt +\begin{array}{cccccc} +A; & \dfrac{\partial A}{\partial y};& & & & +\\[1.5em] +B; & \dfrac{\partial B}{\partial x}, + & \dfrac{\partial B}{\partial y}; + & \dfrac{\partial^{2} B}{\partial y^{2}};& & +\\[1.5em] +C; & \dfrac{\partial C}{\partial x}, + & \dfrac{\partial C}{\partial y}; + & \dfrac{\partial^{2} C}{\partial y^{2}};& & +\\[1.5em] +D; & \dfrac{\partial D}{\partial x}, + & \dfrac{\partial D}{\partial y}; + & \dfrac{\partial^{2} D}{\partial x\partial y}, + & \dfrac{\partial^{2} D}{\partial y^{2}}; + & \dfrac{\partial^{3} D}{\partial y^{3}}; +\end{array} +\] +sollen stetig sein, und $D > 0$. Wir stellen uns die Aufgabe, ein +Lösungssystem von 9) mit den Nebenbedingungen 7) zu finden; +und zeigen, daß dieses Problem sich durch Transformation auf das +frühere reduzieren läßt. + +Wir machen zunächst die Transformation der unabhängigen +Variablen +\[ + X = x,\quad Y=\int\sqrt{D}\,dy\;\footnotemark. +\] +\footnotetext{ + Wir schreiben hier immer das unbestimmte Integral als Abkürzung für + das bestimmte; es soll verstanden werden + $\displaystyle\int{F\, dy} = \int_{y_{0}}^{y} F(xt) dt$, wo $y_{0}$ eine Konstante + bedeutet; die vorkommenden Funktionen sollen immer gleich Null gesetzt + werden für Punkte außerhalb des Bereiches $\Omega$ der Definition, + sodaß das eben + geschriebene Integral stets einen Sinn hat.}% +Wir sehen leicht, daß die Funktionen $A$, $B$, $C$, $D$, $u$, $v$ nach +$X$, $Y$ genau so oft differenzierbar sind wie nach $x$, $y$. Jede +Ordinate +$x = x_{0}$ geht in eine Ordinate $X = x_{0}$ über; die Kurven +$S_{1}$, $S_{2}$ gehen in neue Kurven $Y = \Psi_{1}(X)$, $Y = \Psi_{2}(X)$ +über, wo +$\Psi_{1}(X)$, $\Psi_{2}(X)$ wieder zweimal stetig differenzierbare +Funktionen +sind, und $\Psi_{2}(X)>\Psi_{1}(X)$\footnote{ + Es wächst nämlich $Y$ mit $y$ bei konstantem $x$.}. +Die Funktionen $f_{0}$, $f_{1}$, $f_{2}$, $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ gehen +in neue Funktionen desselben Charakters über. Schließlich nehmen +die Gleichungen~(9) selbst nach einer linearen Zusammensetzung +die Gestalt +\[ +\begin{cases} +\;\dfrac{\partial u}{\partial X} + D_{1} \dfrac{\partial v}{\partial Y} +&= A_{1} u + B_{1} v +\\[1em] +\;\dfrac{\partial u}{\partial Y} &= C_{1} u + D_{1} v +\end{cases} +\] +an, wo +%-----File: 099.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\ \begin{aligned} +& A_1 = A - \frac{C}{\sqrt{D}} \int \frac{\partial \sqrt{D}}{\partial +x} \,dy +\\ +& B_1 = B - \sqrt{D} \int \frac{\partial \sqrt{D}}{\partial x} \,dy +\\ +& C_1 = \frac{C}{\sqrt{D}} +\\ +& D_1 = \sqrt{D}; +\end{aligned}\right. +\] +das System ist also vorläufig nicht mehr in der Normalform. Es +sind jetzt die Funktionen +\[ +\arraycolsep=4pt +\begin{array}{cccccc} +A_1; & \dfrac{\partial A_1}{\partial Y }; & & & & +\\[1.5em] +B_1; & \dfrac{\partial B_1}{\partial X }; + & \dfrac{\partial B_1}{\partial Y }; + & \dfrac{\partial^2 B_1}{\partial Y^2}; & & +\\[1.5em] +C_1; & \dfrac{\partial C_1}{\partial X }; + & \dfrac{\partial C_1}{\partial Y }; + & \dfrac{\partial^2 C_1}{\partial Y^2}; & & +\\[1.5em] +D_1; & \dfrac{\partial D_1}{\partial X }; + & \dfrac{\partial D_1}{\partial Y }; + & \dfrac{\partial^2 D_1}{\partial X \partial Y}; + & \dfrac{\partial^2 D_1}{\partial Y^2}; + & \dfrac{\partial^3 D_1}{\partial Y^3}; +\end{array} +\] +stetig, und +\[ + D_1 > 0. +\] + +Wir haben noch eine Transformation der unbekannten Funktionen +vorzunehmen; die Formel wird etwas einfacher aussehen, +wenn wir die Funktionen $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ durch andere, von ihnen +abhängige Funktionen ersetzen; wir schreiben also +\begin{align*} + \mathfrak{A} &= A_1 \\ + \mathfrak{B} &= \tfrac12 \int \frac{B_1}{D_1} \,dY \\ + \mathfrak{C} &= \tfrac12 \int C_1 \,dY \\ + \mathfrak{D} &= \tfrac12 \log D_1. +\end{align*} + +Es sind jetzt $\mathfrak{A}$, $\dfrac{\partial \mathfrak{A}}{\partial Y}$ +stetig; ferner sind $\mathfrak{B}$, $\mathfrak{C}$, $\mathfrak{D}$ +und diejenigen +Ableitungen stetig, die im folgenden Schema dargestellt +sind: +\[ + \frac{\partial }{\partial X }; \quad + \frac{\partial }{\partial Y }; \quad + \frac{\partial^2 }{\partial X \partial Y}; \quad + \frac{\partial^2 }{\partial Y^2}; \quad + \frac{\partial^3 }{\partial Y^3}; +\] +Die Gleichungen~9) schreiben sich: +%-----File: 100.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial X} ++ e^{2\mathfrak{D}} \frac{\partial v}{\partial Y} +&&= \mathfrak{A} u ++ e^{2\mathfrak{D}} \,\frac{\partial \mathfrak{B}}{\partial Y}\, v +\\ +& \frac{\partial u}{\partial Y} +&&= 2\,\frac{\partial \mathfrak{C}}{\partial y}\, u + e^{2\mathfrak{D}} v. +\end{alignedat} +\right. +\] +Wir machen jetzt die Transformation: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& u = e^{\mathfrak{B} + \mathfrak{C} + \mathfrak{D}} U +\\ +& v = e^{\mathfrak{B} + \mathfrak{C} - \mathfrak{D}} + \Bigl\{ V + + \frac{\partial (\mathfrak{B}-\mathfrak{C}+\mathfrak{D})} + {\partial Y} U \Bigr\}. +\end{aligned} +\right. +\] +Wir bemerken zuerst, daß eine Randbedingung der Form 1) +$\bigl($Gleichungen~$7''$)$\bigr)$ +in eine Randbedingung derselben Form übergeht; +dasselbe gilt auch für die Form~2). Wir haben also nur noch +zuzusehen, was aus den Differentialgleichungen selbst wird. Das +System kehrt in die Normalform zurück, nimmt aber jetzt die +einfachere Form +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial U}{\partial X} ++ \frac{\partial V}{\partial Y} &&= \mathfrak{A}_1 U \\ +& \frac{\partial U}{\partial Y} &&= V +\end{alignedat} +\right. +\] +an, wobei +\[ + \mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A} ++ \left\{ \frac{\partial}{\partial Y} + (\mathfrak{B} - \mathfrak{C} + \mathfrak{D}) \right\}^2 +- \frac{\partial^2}{\partial Y^2} + (\mathfrak{B} - \mathfrak{C} + \mathfrak{D}) +- \frac{\partial}{\partial X} + (\mathfrak{B} + \mathfrak{C} + \mathfrak{D}). +\] + +Wir haben also endlich genau die Form~(1) erreicht; ferner +sind +\[ + \mathfrak{A}_1, \quad \frac{\partial \mathfrak{A}_1}{\partial Y} +\] +stetig, sodaß die Resultate unseres früheren Theorems unmittelbar +anzuwenden sind. Wir haben also bewiesen: + +\so{Allgemeines Existenztheorem~A: Das System~9) +nebst den Randbedingungen~7) besitzt, falls $D > 0$, +ein und nur ein System von Lösungen $u(xy)$, $v(xy)$, wobei +$u$, $v$ stetig, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ im Innern von $\Omega$ stetig sein +sollen.} + +Durch die Verwandlung von $x$, $y$ in $-x$, $-y$ und entsprechende +Veränderungen in den Bezeichnungen bekommen wir ein zweites +Theorem als Gegenstück zu dem vorigen: + +\so{Allgemeines Existenztheorem~B: Das System~9) +nebst den Randbedingungen} +%-----File: 101.png--------------------------------------- +\begin{align*} +\tag*{$10'$)} u(ay) &= f_0(y) \\ +\tag*{$10''$)} &= 7'') +\end{align*} +\so{besitzt, falls $D<0$, ein und nur ein System von +Lösungen $u(xy)$, $v(xy)$, wobei $u$, $v$ stetig, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ im +Innern von $\Omega$ stetig sein sollen.} + +Jetzt sollen zwischen den gegebenen Funktionen die Relationen: +\[ +\tag*{11)} +\begin{aligned} + & 1) \quad f_i(a) = f_0\bigl( \chi_i(a) \bigr) +\\ +\text{ resp. } \qquad & 2) \quad f_i(a) += f'_0\bigl( \chi_i(a) \bigr) + \alpha_i(a) f_0\bigl( \chi_i(a) \bigr) +\end{aligned} +\] +statthaben. + +\Paragraph{VI.} Zwischen den beiden allgemeinen Existenztheoremen besteht +eine auffallende Verschiedenheit. Ist $D > 0$, so haben wir +die Existenz eines Lösungssystemes nur \so{links} von der Charakteristik, +auf welcher die Werte von $u$ vorgeschrieben sind, bewiesen; +ist $D < 0$, so haben wir die Existenz nur \so{rechts} von der +Charakteristik bewiesen. Es liegt nahe, zu fragen, ob diese Einschränkung +nur ein Zufall der Beweismethode sei, oder ob sie +wesentlich in der Natur der Sache begründet sei. + +Aus einem einfachen Fall schließen wir, daß die letztere Antwort +die richtige ist. Die Wärmeleitungsgleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial u}{\partial x} +\] +ist mit dem System +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &&= 0 +\\ +& \frac{\partial u}{\partial y} &&= - v +\end{alignedat} +\right. +\] +äquivalent; hier ist $D = -1 < 0$. Bekanntlich ist es möglich, +durch Angabe der Temperatur zu einer gewissen Zeit $x = a$ die +Temperatur zu allen \so{späteren} Zeiten zu bestimmen; diese +Randwertproblemstellung +entspricht dem zweiten allgemeinen Existenztheorem, +von welchem sie als Grenzfall erscheint, wenn die beiden +Kurven $S_1$, $S_2$ ins Unendliche rücken. Dagegen hat Appell\footnote{ + Journal de Math\'ematiques, Serie~4, Bd.~8 (1892), S.~187.} +darauf aufmerksam gemacht, daß nicht jede Temperaturverteilung als +Folge einer \so{früheren} Temperaturverteilung angesehen werden +darf. +%-----File: 102.png--------------------------------------- + + +\Chapter{}{Lebenslauf} + +Ich, \so{Wallie Abraham Hurwitz}, jüdischer Religion, amerikanischer +Staatsangehörigkeit, bin geboren am 18.~Februar 1886 +zu Fulton, Missouri, V.~St.~A.\ als Sohn des Kaufmanns Harry +Hurwitz und seiner Frau Emma, geb.\ Mayfield. Meinen Elementarunterricht +erhielt ich in den Schulen von Joplin, Missouri. Ich +studierte an der \so{University of Missouri} von 1902 bis 1906, +an \so{Harvard University} von 1906 bis 1908; seit Oktober +1908 bin ich in Göttingen immatrikuliert. + +Ich habe Vorlesungen resp.\ Uebungen und Seminare folgender +Herren Professoren und Dozenten besucht: + \begin{itemize} + \item[] in Missouri: \so{Ames, Bliss, Hedrick, Ingold, Kellogg.} + \item[] in Harvard: \so{B\^ocher, Bonton, Byerly, Osgood, Peirce.} + \item[] in Göttingen: \so{Hilbert, Klein, Landau, Voigt, Zermelo.} + \end{itemize} + +Allen diesen meinen verehrten Lehrern spreche ich meinen +Dank aus. Für ihre vielseitige Anregung in Vorlesungen und im persönlichen +Verkehr sowie für ihre dauernde freundliche Ermutigung +bin ich den Herren Professoren \so{Hedrick} in Missouri, \so{Osgood} +und \so{B\^ocher} in Harvard besonders dankbar. Vor allem danke +ich Herrn Geheimrat \so{Hilbert} für seine Anregung zu dieser +Arbeit. + + +%%%% +\Anmerkungen + +Folgende Änderungen wurden in der Gutenberg-Fassung vorgenommen: + +\begin{itemize} +\item \S1 II.: fehlende Gleichungsnummern 4) und 8) hinzugefügt +\item \S1 II(7): $B_{11}$ war $B_{1n}$ und $C_{1n}$ war +$C_{\hphantom{n}1}$ +\item \S1 IV(16): $\alpha_{1n}$ war $\alpha_{n1}$ +\item \S3 I, Formeln nach `Bezeichnungen:': letzter Nenner +$\partial\eta$ war $\partial n$ +\item \S3 IIIb, erste Formel: erster Nenner +$r(\xi\eta, xy) \,r(xy, x_1 y_1)$ war $r(\xi\eta, xy) \,r(xy, x_1 y_2)$ +\item \S3 IVa, Formel nach `Schreiben wir:': erster Nenner +$r(\xi_1 \eta_1, xy)$ war $r_1(\xi_1 \eta_1, xy)$ +\item \S3 IVa, B), Formel nach `wo': erste Zeile, letzter Zähler +$\partial l(s, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$ war +$\partial l(s, \overline{\xi} \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$; +desgl.\ nächster Zähler +$\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1)$ war +$\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta})$ +\item \S5 I(5): Integrand $B(x \eta) \, g(x) \, dx$ war +$B(x y) \, g(x) \, dx$ +\item \S5 I, Formel nach `wir haben also': Integrand $B(x\eta) \, +v_0(x\eta)\,dx$ war $B(x\eta) \, v_0(x\eta)\,du$ +\item \S6 V, vorletzte Formel: zweiter Integrand +$G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y)\ldots$ war +$G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 \eta)\ldots$ +\item \S7 II, Formeln nach `Wir haben aber': zweimal war erster Term +$e^{ \tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} }$ im Original +$e^{ \tfrac{(x-\eta)^2}{4(x-\xi)} }$ +\end{itemize} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\cleardoublepage + +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Lizenz}{Lizenz} +\fancyhead[C]{\textsc{LIZENZ}} + +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von +linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMEN VON LINEAREN PARTIELLEN *** + +***** This file should be named 33330-pdf.pdf or 33330-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/3/3/3/33330/ + +Produced by Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson +and the Online Distributed Proofreading Team at +http://www.pgdp.net (This file was produced from images +from the Cornell University Library: Historical Mathematics +Monographs collection.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you +do not charge anything for copies of this eBook, complying with the +rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose +such as creation of derivative works, reports, performances and +research. They may be modified and printed and given away--you may do +practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is +subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +*** START: FULL LICENSE *** + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE +PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK + +To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work +(or any other work associated in any way with the phrase "Project +Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project +Gutenberg-tm License (available with this file or online at +http://gutenberg.org/license). + + +Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement +and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic +works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" +or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an +individual work is in the public domain in the United States and you are +located in the United States, we do not claim a right to prevent you from +copying, distributing, performing, displaying or creating derivative +works based on the work as long as all references to Project Gutenberg +are removed. Of course, we hope that you will support the Project +Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by +freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of +this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with +the work. You can easily comply with the terms of this agreement by +keeping this work in the same format with its attached full Project +Gutenberg-tm License when you share it without charge with others. + +1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern +what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in +a constant state of change. If you are outside the United States, check +the laws of your country in addition to the terms of this agreement +before downloading, copying, displaying, performing, distributing or +creating derivative works based on this work or any other Project +Gutenberg-tm work. The Foundation makes no representations concerning +the copyright status of any work in any country outside the United +States. + +1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg: + +1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate +access to, the full Project Gutenberg-tm License must appear prominently +whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any work on which the +phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project +Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed, +copied or distributed: + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + +1.E.2. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived +from the public domain (does not contain a notice indicating that it is +posted with permission of the copyright holder), the work can be copied +and distributed to anyone in the United States without paying any fees +or charges. If you are redistributing or providing access to a work +with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the +work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 +through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the +Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or +1.E.9. + +1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted +with the permission of the copyright holder, your use and distribution +must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional +terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked +to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the +permission of the copyright holder found at the beginning of this work. + +1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm +License terms from this work, or any files containing a part of this +work or any other work associated with Project Gutenberg-tm. + +1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this +electronic work, or any part of this electronic work, without +prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with +active links or immediate access to the full terms of the Project +Gutenberg-tm License. + +1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary, +compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any +word processing or hypertext form. However, if you provide access to or +distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than +"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version +posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org), +you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a +copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon +request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other +form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm +License as specified in paragraph 1.E.1. + +1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, +performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works +unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + +1.E.8. You may charge a reasonable fee for copies of or providing +access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided +that + +- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from + the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method + you already use to calculate your applicable taxes. The fee is + owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he + has agreed to donate royalties under this paragraph to the + Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments + must be paid within 60 days following each date on which you + prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax + returns. Royalty payments should be clearly marked as such and + sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the + address specified in Section 4, "Information about donations to + the Project Gutenberg Literary Archive Foundation." + +- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies + you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he + does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm + License. You must require such a user to return or + destroy all copies of the works possessed in a physical medium + and discontinue all use of and all access to other copies of + Project Gutenberg-tm works. + +- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any + money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the + electronic work is discovered and reported to you within 90 days + of receipt of the work. + +- You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg-tm works. + +1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm +electronic work or group of works on different terms than are set +forth in this agreement, you must obtain permission in writing from +both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael +Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the +Foundation as set forth in Section 3 below. + +1.F. + +1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right +of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project +Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project +Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all +liability to you for damages, costs and expenses, including legal +fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT +LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE +PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE +TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE +LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR +INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH +DAMAGE. + +1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a +defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can +receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a +written explanation to the person you received the work from. If you +received the work on a physical medium, you must return the medium with +your written explanation. The person or entity that provided you with +the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a +refund. If you received the work electronically, the person or entity +providing it to you may choose to give you a second opportunity to +receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy +is also defective, you may demand a refund in writing without further +opportunities to fix the problem. + +1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth +in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + +1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied +warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. +If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the +law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be +interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by +the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any +provision of this agreement shall not void the remaining provisions. + +1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. Compliance requirements are not uniform and it takes a +considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up +with these requirements. We do not solicit donations in locations +where we have not received written confirmation of compliance. To +SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any +particular state visit http://pglaf.org + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we +have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition +against accepting unsolicited donations from donors in such states who +approach us with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make +any statements concerning tax treatment of donations received from +outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation +methods and addresses. Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von % +% linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMEN VON LINEAREN PARTIELLEN *** +% % +% ***** This file should be named 33330-t.tex or 33330-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/3/3/3/3/33330/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} +### +@ControlwordReplace = ( + ['\\dh', 'd. h.'], + ['\\ua', 'u. a.'], + ['\\usw', 'u. s. w.'], + ['\\Anmerkungen', 'Anmerkungen der Korrekturleser.'] + ); + +@ControlwordArguments = ( + ['\\pageref', 1, 0, '00', ''], + ['\\hyperref', 0, 0, '', '', 1, 1, '', ''], + ['\\Chapter', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''], + ['\\Section', 1, 1, '', ''], + ['\\Paragraph', 1, 1, '', ''] + ); +### +This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6) 2 AUG 2010 07:20 +entering extended mode + %&-line parsing enabled. +**33330-t.tex +(./33330-t.tex +LaTeX2e <2005/12/01> +Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh +yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov +ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon +ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i +nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp +eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia +n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls +Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo +File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo +File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count79 +\c@chapter=\count80 +\c@section=\count81 +\c@subsection=\count82 +\c@subsubsection=\count83 +\c@paragraph=\count84 +\c@subparagraph=\count85 +\c@figure=\count86 +\c@table=\count87 +\abovecaptionskip=\skip41 +\belowcaptionskip=\skip42 +\bibindent=\dimen102 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty +Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file +\inpenc@prehook=\toks14 +\inpenc@posthook=\toks15 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def +File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty +Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/germanb.ldf +Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def +File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions +\babel@savecnt=\count88 +\U@D=\dimen103 +) +\l@austrian = a dialect from \language\l@german +Package babel Info: Making " an active character on input line 91. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features +\@mathmargin=\skip43 +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2000/06/29 v2.01 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 +\@emptytoks=\toks16 +\ex@=\dimen104 +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d +\pmbraise@=\dimen105 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names +) +\inf@bad=\count89 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. +\uproot@=\count90 +\leftroot@=\count91 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. +\classnum@=\count92 +\DOTSCASE@=\count93 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. +\Mathstrutbox@=\box26 +\strutbox@=\box27 +\big@size=\dimen106 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. +\macc@depth=\count94 +\c@MaxMatrixCols=\count95 +\dotsspace@=\muskip10 +\c@parentequation=\count96 +\dspbrk@lvl=\count97 +\tag@help=\toks17 +\row@=\count98 +\column@=\count99 +\maxfields@=\count100 +\andhelp@=\toks18 +\eqnshift@=\dimen107 +\alignsep@=\dimen108 +\tagshift@=\dimen109 +\tagwidth@=\dimen110 +\totwidth@=\dimen111 +\lineht@=\dimen112 +\@envbody=\toks19 +\multlinegap=\skip44 +\multlinetaggap=\skip45 +\mathdisplay@stack=\toks20 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f +\symAMSa=\mathgroup4 +\symAMSb=\mathgroup5 +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' +(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty +Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty +Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty +Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty +Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) +\SOUL@word=\toks21 +\SOUL@lasttoken=\toks22 +\SOUL@cmds=\toks23 +\SOUL@buffer=\toks24 +\SOUL@token=\toks25 +\SOUL@spaceskip=\skip46 +\SOUL@ttwidth=\dimen113 +\SOUL@uldp=\dimen114 +\SOUL@ulht=\dimen115 +) +LaTeX Info: Redefining \so on input line 106. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +Package: booktabs 2005/04/14 v1.61803 publication quality tables +\heavyrulewidth=\dimen116 +\lightrulewidth=\dimen117 +\cmidrulewidth=\dimen118 +\belowrulesep=\dimen119 +\belowbottomsep=\dimen120 +\aboverulesep=\dimen121 +\abovetopsep=\dimen122 +\cmidrulesep=\dimen123 +\cmidrulekern=\dimen124 +\defaultaddspace=\dimen125 +\@cmidla=\count101 +\@cmidlb=\count102 +\@aboverulesep=\dimen126 +\@belowrulesep=\dimen127 +\@thisruleclass=\count103 +\@lastruleclass=\count104 +\@thisrulewidth=\dimen128 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/multirow/multirow.sty +\bigstrutjot=\dimen129 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty +Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +\FN@temptoken=\toks26 +\footnotemargin=\dimen130 +\c@pp@next@reset=\count105 +\c@@fnserial=\count106 +Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817. +Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818. +Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823. + +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840 +. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/units/nicefrac.sty +Package: nicefrac 1998/08/04 v0.9b Nice fractions +\L@UnitsRaiseDisplaystyle=\skip47 +\L@UnitsRaiseTextstyle=\skip48 +\L@UnitsRaiseScriptstyle=\skip49 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty +\fancy@headwidth=\skip50 +\f@ncyO@elh=\skip51 +\f@ncyO@erh=\skip52 +\f@ncyO@olh=\skip53 +\f@ncyO@orh=\skip54 +\f@ncyO@elf=\skip55 +\f@ncyO@erf=\skip56 +\f@ncyO@olf=\skip57 +\f@ncyO@orf=\skip58 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty +Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks27 +) +\Gm@cnth=\count107 +\Gm@cntv=\count108 +\c@Gm@tempcnt=\count109 +\Gm@bindingoffset=\dimen131 +\Gm@wd@mp=\dimen132 +\Gm@odd@mp=\dimen133 +\Gm@even@mp=\dimen134 +\Gm@dimlist=\toks28 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te +xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX +\@linkdim=\dimen135 +\Hy@linkcounter=\count110 +\Hy@pagecounter=\count111 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg +File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty +Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options ( +HO) +) +Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223 +8. +Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308. +Implicit mode ON; LaTeX internals redefined +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty +\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. +\Fld@menulength=\count112 +\Field@Width=\dimen136 +\Fld@charsize=\dimen137 +\Choice@toks=\toks29 +\Field@toks=\toks30 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. +\Hy@abspage=\count113 +\c@Item=\count114 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count115 +) +\TmpLen=\skip59 +(./33330-t.aux) +\openout1 = `33330-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +-------------------- Geometry parameters +paper: class default +landscape: -- +twocolumn: -- +twoside: true +asymmetric: -- +h-parts: 9.03374pt, 451.6875pt, 9.03375pt +v-parts: 4.15848pt, 640.03378pt, 6.23773pt +hmarginratio: 1:1 +vmarginratio: 2:3 +lines: -- +heightrounded: -- +bindingoffset: 0.0pt +truedimen: -- +includehead: true +includefoot: true +includemp: -- +driver: pdftex +-------------------- Page layout dimensions and switches +\paperwidth 469.75499pt +\paperheight 650.43pt +\textwidth 451.6875pt +\textheight 578.15999pt +\oddsidemargin -63.23625pt +\evensidemargin -63.23624pt +\topmargin -68.11151pt +\headheight 15.0pt +\headsep 19.8738pt +\footskip 30.0pt +\marginparwidth 98.0pt +\marginparsep 7.0pt +\columnsep 10.0pt +\skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt +\hoffset 0.0pt +\voffset 0.0pt +\mag 1000 +\@twosidetrue \@mparswitchtrue +(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt) +----------------------- +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty +Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) +(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg +File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive +) +Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +\Gread@gobject=\count116 +(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count117 +\scratchdimen=\dimen138 +\scratchbox=\box28 +\nofMPsegments=\count118 +\nofMParguments=\count119 +\everyMPshowfont=\toks31 +\MPscratchCnt=\count120 +\MPscratchDim=\dimen139 +\MPnumerator=\count121 +\everyMPtoPDFconversion=\toks32 +))) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 323. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count122 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 323. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 323. +(./33330-t.out) (./33330-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `33330-t.out'. + + +Overfull \hbox (117.43259pt too wide) in paragraph at lines 345--345 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Title: Randwertaufgaben bei Systemen von linearen partiel +len Differentialgleichungen erster Ordnung[] + [] + +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 357. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 357. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) [1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] [1 + +] [2 + +] [3 + +] [4 + +] (./33330-t.toc +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+cmr on input line 5. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/omscmr.fd +File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <10.95> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 5. +) +\tf@toc=\write4 +\openout4 = `33330-t.toc'. + +[5 + +] [6 + +] [7] +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/bx/n' in size <12> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/b/n' tried instead on input line 572. +[8 + +] [9] [10] [11] [12] [13] +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+euf on input line 1096. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd +File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) [14] [15] +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <12> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 1234. + +[16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] +Overfull \vbox (14.49998pt too high) detected at line 2117 + [] + +[27] [28] [29] +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <10> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 2326. + +[30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] +[46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] +[62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] +[78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] +[94] [95] [96] [97 + +] [98 + +] +Overfull \hbox (36.95096pt too wide) in paragraph at lines 7100--7100 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnun +g, by Wallie Abraham Hurwitz[] + [] + +[99 + +] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] (./33330-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + germanb.ldf 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d +amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment +indentfirst.sty 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) + soul.sty 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) +booktabs.sty 2005/04/14 v1.61803 publication quality tables +multirow.sty +footmisc.sty 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +nicefrac.sty 1998/08/04 v0.9b Nice fractions +fancyhdr.sty +geometry.sty 2002/07/08 v3.2 Page Geometry + keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +geometry.cfg +hyperref.sty 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX + pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +kvoptions.sty 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO +) + url.sty 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. + hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX + color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) + color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +supp-pdf.tex + nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) + 33330-t.out + 33330-t.out + umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions + ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + *********** + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 5136 strings out of 94074 + 67261 string characters out of 1165154 + 142958 words of memory out of 1500000 + 8120 multiletter control sequences out of 10000+50000 + 17727 words of font info for 68 fonts, out of 1200000 for 2000 + 645 hyphenation exceptions out of 8191 + 27i,22n,43p,235b,488s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s +</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbsy10.pfb></usr/share/texm +f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbx12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/typ +e1/bluesky/cm/cmcsc10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex +10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/ +texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/ +type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmm +i8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/t +exmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/t +ype1/bluesky/cm/cmr5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6. +pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf +-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/ +bluesky/cm/cmssbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10 +.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/tex +mf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/typ +e1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmti12 +.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt10.pfb></usr/share/te +xmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/eufm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/ +type1/bluesky/ams/eufm7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/f +mex8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></usr/sha +re/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msbm10.pfb> +Output written on 33330-t.pdf (109 pages, 510804 bytes). +PDF statistics: + 770 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 209 named destinations out of 1000 (max. 131072) + 137 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/33330-t/old/33330-t.tex b/33330-t/old/33330-t.tex new file mode 100644 index 0000000..cf45800 --- /dev/null +++ b/33330-t/old/33330-t.tex @@ -0,0 +1,7996 @@ +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% The Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von linearen +% partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz +% % +% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with % +% almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Randwertaufgaben bei Systemen von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung +% % +% Author: Wallie Abraham Hurwitz % +% % +% Release Date: August 2, 2010 [EBook #33330] % +% % +% Language: German % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMEN VON LINEAREN PARTIELLEN *** +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{33330} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% babel: German language Hyphenation. Required. %% +%% %% +%% amsmath: AMS mathematics enhancements. Required. %% +%% amssymb: Additional mathematical symbols. Required. %% +%% %% +%% ifthen: Logical conditionals. Required. %% +%% alltt: Fixed-width font environment. Required. %% +%% indentfirst: Indent first word of each sectional unit. Optional. %% +%% %% +%% soul: Gesperrt text. Optional. %% +%% booktabs: Table package. Optional. %% +%% multirow: Table entries spanning multiple rows. Required. %% +%% footmisc: Extended footnote capabilities. Required. %% +%% %% +%% nicefrac: Diagonal fractions. Optional. %% +%% %% +%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required. %% +%% %% +%% geometry: Enhanced page layout package. Required. %% +%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required. %% +%% %% +%% Compilation Flags: %% +%% %% +%% The following behavior may be controlled by boolean flags. %% +%% %% +%% ForPrinting (false by default): %% +%% Compile a screen-optimized PDF file. Set to true for print- %% +%% optimized file (two-sided layout, black hyperlinks). %% +%% %% +%% %% +%% %% +%% PDF pages: 109 %% +%% %% +%% Compile History: %% +%% %% +%% 2007-May-07 rwst. Compiled with pdflatex: %% +%% [pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5)] %% +%% %% +%% 2010-July-28 adhere. Compiled with pdflatex: %% +%% [pdfeTeX, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)] %% +%% %% +%% pdflatex x3 %% +%% %% +%% %% +%% August 2010: pglatex. %% +%% Compile this project with: %% +%% pdflatex 33330-t.tex ..... THREE times %% +%% %% +%% pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) %% +%% %% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\listfiles +\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16] +\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] +\usepackage[german]{babel}[2005/11/23] + +\usepackage{amsmath}[2000/07/18] +\usepackage{amssymb}[2002/01/22] + + +\usepackage{ifthen}[2001/05/26] %% Logical conditionals +\usepackage{alltt}[1997/06/16] + +\IfFileExists{indentfirst.sty}{% + \usepackage{indentfirst}[1995/11/23] +}{} + +\IfFileExists{soul.sty}{% + \usepackage{soul}[2003/11/17] + \sodef{\so}{}{0.15em}{0.5em plus 0.5em}{0.5em plus 0.5em}% +}{% + %% else change gesperrt to italics, which are not used elsewhere + \newcommand\so[1]{\textit{#1}}% +} + +\IfFileExists{booktabs.sty}{% + \usepackage{booktabs}[2005/04/14] +}{} + +\usepackage{multirow} +\usepackage[perpage]{footmisc}[2005/03/17] + +\IfFileExists{nicefrac.sty}{% + \usepackage{nicefrac}[1998/08/04] +}{% + \newcommand{\nicefrac}[2]{#1/#2} +} + +\usepackage{fancyhdr} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% Interlude: Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% ForPrinting=true (default) false +% Asymmetric margins Symmetric margins +% Black hyperlinks Blue hyperlinks +% Start Preface, ToC, etc. recto No blank verso pages +% +% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned +% book. This behavior has been retained. +\newboolean{ForPrinting} + +%% UNCOMMENT the next line for a PRINT-OPTIMIZED VERSION of the text %% +%\setboolean{ForPrinting}{true} + +%% Initialize values to ForPrinting=false +\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1} % Symmetric margins +\newcommand{\HLinkColor}{blue} % Hyperlink color +\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage} +\newcommand{\TransNote}{Anmerkungen der Korrekturleser} +\newcommand{\TransNoteCommon}{% + Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell + University Library: Historical Mathematics Monographs Collection + zur Verfügung gestellt. + \bigskip + + Kleinere typographische Korrekturen und Änderungen der Formatierung + wurden stillschweigend vorgenommen. + \bigskip +} + +\newcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + + Diese PDF-Datei wurde für die Anzeige auf einem Bildschirm + optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Druck angepasst + werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des + LaTeX-Quelltextes. +} +%% Re-set if ForPrinting=true +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins + \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color + \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} + \renewcommand{\TransNote}{Transcriber's Note} + \renewcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + + Diese PDF-Datei wurde für den Druck optimiert, kann bei Bedarf + aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Anweisungen dazu + finden Sie am Anfang des LaTeX-Quelltextes. + } +}{} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \setlength{\paperwidth}{8.5in}% + \setlength{\paperheight}{11in}% + \usepackage[body={6.25in,8in},\Margins]{geometry}[2002/07/08] +}{% else, if ForPrinting=false + \setlength{\paperwidth}{6.5in}% + \setlength{\paperheight}{9in}% + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} + \raggedbottom + \usepackage[body={6.25in,8in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08] +} + +\providecommand{\ebook}{00000} % Overridden during white-washing +\usepackage[pdftex, + hyperfootnotes=false, + pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Randwertaufgaben bei Systemen von Linearen Partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung}, + pdfauthor={Wallie Abraham Hurwitz}, + pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University Library Historical Mathematical Monographs Collection}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%% +\newenvironment{PGtext}{% +\begin{alltt} +\fontsize{11}{13}\ttfamily\selectfont}% +{\end{alltt}} + +%% No hrule in page header +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} +\setlength{\headheight}{15pt} + +\DeclareMathSizes{12}{11}{8}{6} + +\setlength{\emergencystretch}{1.5em} +\newcommand{\loosen}{\spaceskip 0.5em plus 1em minus 0.25em} +\setlength{\parindent}{2em} +\newlength{\TmpLen} + +\newcommand{\DPnote}[1]{} +\newcommand{\DPtypo}[2]{#2} + +\renewcommand{\dh}{d.\;h.} +\newcommand{\ua}{u.\;a.} +\newcommand{\usw}{u.\;s.\;w.} + +\DeclareInputText{183}{\ifmmode\cdot\else\textperiodcentered\fi} +% Adjust footnote markers +\makeatletter +\renewcommand\@makefnmark% + {\mbox{\,\upshape\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} + +\renewcommand\@makefntext[1]% + {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\;}#1} +\makeatother + +\newcommand{\Chaptername}[1]{\centering\bfseries\large #1.\\\fivestar} + +\AtBeginDocument{\renewcommand{\contentsname}{% + \protect\Chaptername{Inhaltsverzeichnis}\protect\vspace{-48pt}% + \thispagestyle{empty}% + } +} + +\newcommand{\HalfTitle}{% + \huge\bfseries\sffamily + \settowidth{\TmpLen}{Differentialgleichungen erster Ordnung.} + \makebox[\TmpLen][c]{Randwertaufgaben}\\ + \makebox[\TmpLen][s]{\loosen bei Systemen von linearen partiellen}\\ + \makebox[\TmpLen][s]{Differentialgleichungen erster Ordnung.} + \normalfont% +} + +%[** TN: Project-specific logic to format headings, print (or not) ToC entries] +\newcommand{\Chapter}[2]{% + \pagestyle{fancy} + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% + \cleardoublepage\vspace*{3cm} + \section*{\Chaptername{#2}} + \ifthenelse{\equal{#2}{Einleitung}}{% + \addtocontents{toc}{\null\hfill{\scriptsize Seite}}% + \addcontentsline{toc}{section}{#2} + }{}% + }{% + \ifthenelse{\equal{#1}{Erstes Kapitel.}}{% + \cleardoublepage\vspace*{3cm} + }{% + \pagebreak[0]\fivestar\vspace{0pt plus 36pt}\pagebreak[3]\par% + } + \section*{\centering\bfseries\large#1\\[0.5\baselineskip]% + \normalsize#2} + \addtocontents{toc}{% + \protect\subsubsection*{\protect\centering\protect\sffamily\protect\footnotesize #1 #2}% + } + \pdfbookmark[0]{#1}{#1} + }% +} + + +\newcommand{\Section}[1]{% + \subsection*{\centering\normalsize\bfseries§~\sffamily#1} + \addcontentsline{toc}{section}{\protect\small§~#1} +} + +\newcommand{\Paragraph}[1]{\par\textbf{#1}\ } + +\newcommand{\Anmerkungen}{% + \cleardoublepage + \section*{\centering\bfseries\Large Anmerkungen der Korrekturleser.\\ + \fivestar} +} + +%% thoughtbreak +%\newcommand{\fivestar}[1][2cm]{{\centering\rule{2cm}{0.5pt}\par}} +\newcommand{\fivestar}[1][2cm]{{\begin{center}\rule{2cm}{0.5pt}\end{center}}} + +%% page number in middle of header +\fancyhf{} +\fancyhead[C]{---\ \thepage\ ---} +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} + +%% array are less spread out +\setlength{\arraycolsep}{1.4pt} + +%% abbreviations for math operators +\DeclareMathOperator{\bigL}{\;\raisebox{-0.5ex}{\LARGE\textit{L}}\;} +\DeclareMathOperator{\OmegaRegion}{\scriptstyle\varOmega} +\newcommand{\area}[2]{\sideset{_{\scriptscriptstyle{#1}}}{_{\scriptscriptstyle{#2}}}\OmegaRegion} +\def\dint{\displaystyle\int} + +\begin{document} + +\pagestyle{empty} +\pagenumbering{Alph} + +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG Titelblatt}{Titelblatt} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{PGtext} +The Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von linearen +partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Randwertaufgaben bei Systemen von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung + +Author: Wallie Abraham Hurwitz + +Release Date: August 2, 2010 [EBook #33330] + +Language: German + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMEN VON LINEAREN PARTIELLEN *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} + +\clearpage + + +%%%% Credits %%%% +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{PGtext} +Produced by Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson +and the Online Distributed Proofreading Team at +http://www.pgdp.net (This file was produced from images +from the Cornell University Library: Historical Mathematics +Monographs collection.) +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\begin{minipage}{0.85\textwidth} +\small +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Anmerkungen zur Transkription}{Anmerkungen zur Transkription} +\subsection*{\centering\normalfont\scshape% +\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}% + +\raggedright +\TransNoteText +\end{minipage} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\mainmatter +\pagenumbering{arabic} +\pagestyle{empty} + +%-----File: 001.png--------------------------------------- +%-----File: 002.png--------------------------------------- +%-----File: 003.png--------------------------------------- +%\thispagestyle{empty} +{\centering +%[** TN: \HalfTitle macro prints the following text] +% Randwertaufgaben +% bei Systemen von linearen partiellen +% Differentialgleichungen erster Ordnung. +\HalfTitle + +\rule{\textwidth}{0.4pt}\vspace*{-\baselineskip}\vspace*{4pt} +\rule{\textwidth}{1.6pt}\vspace*{-\baselineskip}\vspace*{2pt} +\rule{\textwidth}{0.4pt} +\vfill +\hfill\Large\bfseries\sffamily Wallie Abraham Hurwitz.} +%-----File: 004.png--------------------------------------- +%-----File: 005.png--------------------------------------- +\cleardoublepage +\thispagestyle{empty} +{\centering +\HalfTitle +\setlength{\TmpLen}{12pt} + +\vfill +\fivestar +\vfill + +\Large\textbf{Inaugural-Dissertation}\\[\TmpLen] +\footnotesize zur\\[\TmpLen] +\large Erlangung der Doktorwürde\\[\TmpLen] +\footnotesize der\\[\TmpLen] +\normalsize hohen philosophischen Fakultät der Georg-August-Universität\\[\TmpLen] +zu \so{Göttingen}\\[\TmpLen] +\footnotesize vorgelegt von\\[\TmpLen] +\large\textbf{Wallie Abraham Hurwitz}\\[0.5\TmpLen] +\footnotesize aus Joplin, Missouri, V.~St.~A. +\vfill +\fivestar[4cm] +\vfill +\normalsize Göttingen 1910.\\[\TmpLen] +\footnotesize Druck der Dieterichschen Universitäts-Buchdruckerei \\ +(W. Fr.~\so{Kaestner}).\par +} +%-----File: 006.png--------------------------------------- +\cleardoublepage +{\centering +\null\vfill +Tag der mündlichen Prüfung: 13. Juli 1910.\\[0.5\baselineskip] +Referent: Herr Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. \so{Hilbert}. +\vfill} +\clearpage +%-----File: 007.png--------------------------------------- +{\centering +\null\vfill +\textbf{\LARGE Meinen lieben Eltern.} +\vfill} +%-----File: 008.png--------------------------------------- +%-----File: 009.png--------------------------------------- +\tableofcontents + +%% Inhaltsverzeichnis. +%% +%% Seite +%% +%% Einleitung 7 +%% +%% Erstes Kapitel. Die Normalformen der Gleichungssysteme. +%% +%% § 1. Die charakteristische Differentialform 9 +%% § 2. Die Normalformen der Gleichungssysteme 15 +%% +%% Zweites Kapitel. Das elliptische System. +%% +%% § 3. Hilfsmittel zur Theorie des elliptischen Systems 31 +%% § 4. Lösung der Randwertaufgabe für das elliptische System 53 +%% +%% Drittes Kapitel. Das hyperbolische System. +%% +%% § 5. Lösung der Randwertaufgabe für das hyperbolische System 62 +%% +%% Viertes Kapitel. Das parabolische System. +%% +%% § 6. Hilfsmittel zur Theorie des parabolischen Systems 68 +%% § 7. Lösung der Randwertaufgabe für das parabolische System 88 +%-----File: 010.png--------------------------------------- +%-----File: 011.png--------------------------------------- + + +\Chapter{}{Einleitung} + +Bei Untersuchungen allgemeinen Charakters über lineare partielle +Differentialgleichungen sind zwei Problemstellungen von besonderer +Wichtigkeit. Die \so{Anfangswertaufgabe} oder das +\so{Cauchysche Problem} versucht, eine Lösung durch Angabe +ihrer Werte und der Werte gewisser Ableitungen auf einer Kurve +zu bestimmen; dabei werden alle vorkommenden Funktionen in +einer \so{kleinen} Nachbarschaft der Kurve, sowie die Kurve selbst +und die vorgeschriebenen Werte in einer \so{kleinen} Nachbarschaft +eines Punktes als analytisch vorausgesetzt; und die Lösung wird +als analytische Funktion in einer eventuell noch \so{kleinern} +Nachbarschaft +gesucht: das Problem ist hervorragend als analytisches +Problem im \so{kleinen} zu bezeichnen\footnote{ + Die Einschränkung auf ein kleines Gebiet ist manchmal teilweise durch + das Prinzip der analytischen Fortsetzung oder andere Methoden zu + beseitigen; + doch tritt hier sogleich die Notwendigkeit von Eindeutigkeitstheoremen + und damit + verwandten Sätzen ein, welche das Problem aus dem wirklichen Rahmen des + Cauchyschen Problems ausschließen.}. +Dagegen fordert die +\so{Randwertaufgabe} oder das \so{Dirichletsche Problem} von +den gegebenen und gesuchten Funktionen nur Stetigkeit und die +Existenz und Stetigkeit einer geringen Anzahl von Ableitungen, +schreibt die Werte \so{auf einem ganzen vorgegebenen Kurvenstück} +vor, und sucht die Lösung \so{in einem ganzen vorgegebenen +Gebiet}; das Problem ist ein nicht-analytisches +Problem \so{im großen}. Um die Zulassung einer größeren Nachbarschaft +auszugleichen, muß sich eine Randwertaufgabe in der +Regel begnügen, weniger Anforderungen als die Anfangswertaufgabe +beim Vorschreiben der Werte längs der Kurve zu machen. + +Für einzelne Gleichungen, sowie für Gleichungssysteme läßt +sich das Cauchysche Problem durch die Majorantenmethode erledigen; +dagegen geschieht gewöhnlich die Lösung des Dirichletschen +Problems erst durch Überlegungen von schwierigerem Charakter. +%-----File: 012.png--------------------------------------- +Diese Ueberlegungen sind bis jetzt, wie Sommerfeld in +seinem Bericht über \so{Randwertaufgaben bei partiellen +Differentialgleichungen} besonders erwähnt\footnote{ +Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften Bd.~2, S.~506.}, +nur für einzelne +Differentialgleichungen durchgeführt, und zwar meistenteils +für Gleichungen zweiter Ordnung; noch nicht aber für Gleichungssysteme. +In den letzten Jahren haben die Betrachtungen für +Gleichungen zweiter Ordnung in den verschiedenen Fällen, welche +notwendig vorkommen, durch die Methode der Integralgleichungen +eine einheitliche Gestalt angenommen. + +Die Anregung zu solchen Problemstellungen ist von der Physik +ausgegangen; aus den Theorien des Potentials, der schwingenden +Saite und der Wärmeleitung sind die Hilfsmittel entstanden, welche +zur Lösung von Randwertaufgaben bei allgemeinern +\so{Differentialgleichungen +zweiter Ordnung} beigetragen haben. Von +rein mathematischem Standpunkt aus erscheint es gewissermaßen +näher liegend, zunächst Systeme von \so{Differentialgleichungen +erster Ordnung} zu studieren. Für gewöhnliche +Differentialgleichungen hat \so{B\^ocher} von diesem Gesichtspunkte +aus die Theorie von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen +erster Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen untersucht\footnote{ + Transactions of the American Mathematical Society, Bd.~3 (1902), + S.~196--215.}. +Die +vorliegende Arbeit, welche auf Anregung von Herrn Geheimrat +Hilbert entstand, soll für partielle Differentialgleichungen einen +ersten Schritt in derselben Richtung machen, indem für Systeme +erster Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen und zwei unabhängigen +Variablen die Randwertaufgabe gelöst wird. Als naturgemäße +Methode bietet sich auch hier die Methode der Integralgleichungen +dar und wird mit Erfolg angewandt. + +Im ersten Kapitel wird eine Klassifikation solcher Systeme +gemacht und eine Reduktion auf Normalformen erreicht. Nach +Aussonderung gewisser, von unserm Standpunkte aus trivialer +Fälle bleiben drei Hauptformen zu untersuchen, welche den Gegenstand +des zweiten, dritten und vierten Kapitels bilden. Es ist +nicht beabsichtigt worden, die Schwierigkeiten dadurch zu erhöhen, +daß möglichst große Allgemeinheit den in Betracht kommenden +Funktionen erteilt wird; sondern der Zweck ist vielmehr gewesen, +unter genauer Angabe der Voraussetzungen hinreichende Bedingungen +für die Lösung des Problems zu geben. +%-----File: 013.png--------------------------------------- + + +\Chapter{Erstes Kapitel.} +{Die Normalformen der Gleichungssysteme.} + +\Section{1. Die charakteristische Differentialform.} + +Bei Untersuchungen über einzelne partielle Differentialgleichungen +im allgemeinen und die linearen Gleichungen insbesondere +ist stets der Begriff der sogenannten charakteristischen Kurven +von großer Bedeutung. Diesen Begriff wollen wir zunächst in +diesem Paragraphen auf Systeme von linearen partiellen +Differentialgleichungen +erster Ordnung ausdehnen und einige Folgen daraus +herleiten. Da es sich hier nur um formale Fragen handelt, wollen +wir einfach annehmen, alle vorkommenden Funktionen seien analytisch. + +\Paragraph{I.} Wir betrachten das System von Differentialgleichungen: +\[ +\tag*{1)} + \lambda_p (u) \equiv + \sum_{q=1}^n a_{pq}\frac{\partial u_q}{\partial x} ++ \sum_{q=1}^n b_{pq}\frac{\partial u_q}{\partial y} ++ \sum_{q=1}^n c_{pq} u_q += 0 \quad [q = 1, 2\dots n] +\] +Hierbei sind $a_{pq}$, $b_{pq}$, $c_{pq}$ gegebene, in einem +vorgeschriebenen Bereich +der $xy$-Ebene reguläre Funktionen von $x$, $y$. + +Es sei gegeben ein vorläufig willkürliches System von Funktionen +\[ + u_1(x,y),\ u_2(x,y),\dotsc u_n(x,y). +\] +Geometrisch entspricht jeder Funktion $u_q(x, y)$ eine Fläche im +$xy$-Raume, deren Gleichung +\[ + z = u_q(x,y) +\] +ist. Es sei ferner eine willkürliche Kurvenschar in der $xy$-Ebene +derart gegeben, daß durch jeden Punkt des Bereiches eine und +nur eine Kurve der Schar hindurchgeht. Damit ist jedem Punkte +$(x, y)$ eine Richtung --- die Tangentialrichtung durch den Punkt --- +zugeordnet, +die durch das Verhältnis $dx: dy$ bestimmt ist. Dem +%-----File: 014.png--------------------------------------- +Punkte $(x, y)$ entspricht auch auf jeder der $n$-Flächen ein Punkt +$(x, y, u_q)$, und der Richtung $dx: dy$ eine Richtung $dx:dy: du_q$, +wobei +die neuen Größen $u_q$, $du_q$ durch die Gleichungen +\[ + u_q = u_q(x,y),\ du_q += \frac{\partial u_q(x,y)}{\partial x}\,dx ++ \frac{\partial u_q(x,y)}{\partial y}\,dy +\] +definiert sind. Es fragt sich nun, ob die bis jetzt willkürlichen +Flächen $z = u_q (x, y)$ von solcher Beschaffenheit sein kommen, daß +sie die Richtungen $dx: dy: du_q$ (die an jeder Stelle als gegeben +gedacht sind) enthalten und gleichzeitig den Gleichungen 1) genügen. +Zur Bestimmung der $2n$ Größen +$\dfrac{\partial u_q}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u_q}{\partial y}$ +haben wir die +$2n$ Gleichungen: + +\[ +\tag*{2)} +\begin{array}{lc lc rl l} + dx \dfrac{\partial u_1}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial u_1}{\partial y} +&& && +& -du_1 & = 0 +\\ +& +& dx \dfrac{\partial u_2}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial u_2}{\partial y} +&& +& -du_2 & = 0 +\\ \hdotsfor[6]{7} \\ +&& & +& dx \dfrac{\partial u_n}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial u_n}{\partial y} +& \multicolumn{2}{l}{-du_n = 0} +\\[10pt] + a_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial x} ++ b_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial y} +& + +& a_{12} \dfrac{\partial u_2}{\partial x} ++ b_{12} \dfrac{\partial u_2}{\partial y} +& + \dotsb + +& a_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial x} ++ b_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial y} +& -\displaystyle\sum_{q=1}^n c_{1q} u_q & = 0 +\\[10pt] + a_{21} \dfrac{\partial u_1}{\partial x} ++ b_{21} \dfrac{\partial u_1}{\partial y} +& + +& a_{22} \dfrac{\partial u_2}{\partial x} ++ b_{22} \dfrac{\partial u_2}{\partial y} +& + \dotsb + +& a_{2n} \dfrac{\partial u_n}{\partial x} ++ b_{2n} \dfrac{\partial u_n}{\partial y} +& -\displaystyle\sum_{q=1}^n c_{2q} u_q & = 0 +\\ \hdotsfor[6]{7} \\ + a_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial x} ++ b_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial y} +& + +& a_{n2} \dfrac{\partial u_2}{\partial x} ++ b_{n2} \dfrac{\partial u_2}{\partial y} +& + \dotsb + +& a_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial x} ++ b_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial y} +& -\displaystyle\sum_{q=1}^n c_{nq} u_q & = 0. +\end{array} +\] + +Durch diese Gleichungen lassen sich die Größen +$\dfrac{\partial u_q}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u_q}{\partial y}$ +im allgemeinen +bestimmen, und zwar nur in dem Falle eventuell nicht, +daß die Determinante~$\delta$ des Gleichungssystems~2) verschwindet: +\[ +\arraycolsep=3pt +\tag*{3)} + \delta \equiv\left| +\begin{array}{ccccccc} + dx & dy & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & dx & dy & \dots & 0 & 0 \\ +\hdotsfor[6]{7} \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & dx & dy \\ + a_{11} & b_{11} & a_{12} & b_{12} & \dots & a_{1n} & b_{1n} \\ + a_{21} & b_{21} & a_{22} & b_{22} & \dots & a_{2n} & b_{2n} \\ +\hdotsfor[6]{7} \\ + a_{n1} & b_{n1} & a_{n2} & b_{n2} & \dots & a_{nn} & b_{nn} +\end{array}\right| += 0 +\] +%-----File: 015.png--------------------------------------- +Diese Determinante nennen wir die \so{charakteristische Differentialform} +des Gleichungssystems~1). Sie ist ein homogenes +Polynom $n$-ter Ordnung in den Differentialen $dx$, $dy$.\ Kurven, +die der Bedingung~3) genügen, nennen wir \so{charakteristische +Kurven} oder kurzweg \so{Charakteristiken} des Systems~1). + +Daß die Gleichungen~2) eventuell doch gelöst werden können, +selbst wenn $\delta = 0$, hat kein Interesse für uns; in der Tat werden +wir die Methode, mittels welcher die Bedingung~3) hergeleitet +wurde, nicht weiter berücksichtigen, sondern für die folgenden +Entwicklungen nur die Form $\delta$ selbst betrachten. + +\Paragraph{II.} Zum Zwecke der Klassifikationen von Gleichungssystemen +ist es notwendig, gewisse Arten von Transformationen auszuführen. +Es ist offenbar wichtig, zu wissen, ob die charakteristische +Differentialform +des transformierten Systems gleich der durch dieselbe +Transformation veränderten charakteristischen Differentialform des +ursprünglichen Systems ist; \dh, ob die charakteristische +Differentialform +die Invarianteneigenschaft besitzt. Diese Frage wollen +wir untersuchen, und zwar zunächst für Transformationen der unabhängigen +Variablen. + +Erstens ziehen wir in Betracht nicht die Gleichungen selbst, +sondern das System von Lineardifferentialausdrücken: + +\[ +\tag*{1)} +\left\{ +\begin{array}{l} + \lambda_1(u) \equiv + a_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial x} + \dotsb ++ a_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial x} ++ b_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial y} + \dotsb ++ b_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial y} ++ c_{11}u_1 + \dotsb + c_{1n}u_n +\\ \hdotsfor[6]{1} \\ + \lambda_n(u) \equiv + a_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial x} + \dotsb ++ a_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial x} ++ b_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial y} + \dotsb ++ b_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial y} ++ c_{n1}u_1 + \dotsb + c_{1n}u_n +\end{array}\right. +\] + +Es sei eine Transformation der unabhängigen Variablen gegeben: +\[ +\tag*{4)}%[** TN: No equation number in original] + X = X(x,y),\quad Y = Y(x,y), +\] +deren Funktionaldeterminante nicht verschwindet: +\[ + J \equiv\left| +\begin{array}{cc} + \dfrac{\partial X}{\partial x} & \dfrac{\partial Y}{\partial x} + \\[10pt] + \dfrac{\partial X}{\partial y} & \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\end{array}\right| +\neq 0. +\] +Aus 4) haben wir für die Transformation der Ableitungen und +Differentiale: +%-----File: 016.png--------------------------------------- +\[ +\tag*{6)} +\left\{\ +\begin{array}{l} +\left. +\begin{array}{l} + \dfrac{\partial u_q}{\partial x} + =\dfrac{\partial u_q}{\partial X} \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ \dfrac{\partial u_q}{\partial Y} \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\\[10pt] + \dfrac{\partial u_q}{\partial y} + =\dfrac{\partial u_q}{\partial X} \dfrac{\partial X}{\partial y} ++ \dfrac{\partial u_q}{\partial Y} \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\end{array}\ \right\} + \;[q = 1, 2, \dotsc n] +\\[30pt] + dX + =dx \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial X}{\partial y} +\\[10pt] + dY + =dx \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial Y}{\partial y}. +\end{array}\right. +\] + +Die Formen~1) gehen in die neuen Formen über: + +\[ +\tag*{7)} +\left\{ +\begin{array}{l} + \varLambda_1(u) += A_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial X} + \dotsb ++ A_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial X} ++ B_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial Y} + \dotsb ++ B_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial Y} ++ C_{11} u_1 + \dotsb + C_{1n} u_n +\\ \hdotsfor[6]{1} \\ + \varLambda_n(u) += A_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial X} + \dotsb ++ A_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial X} ++ B_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial Y} + \dotsb ++ B_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial Y} ++ C_{n1} u_1 + \dotsb + C_{nn} u_n. +\end{array}\right. +\] +Da die Größen $c$ in $\delta$ gar nicht vorkommen, so brauchen wir die +transformierten Ausdrücke nur für $a$, $b$ auszurechnen; diese sind +\begin{align*} +\tag*{8)} + A_{pq} +&= a_{pq} \frac{\partial X}{\partial x} + + b_{pq} \frac{\partial X}{\partial y} +\\ + B_{pq} +&= a_{pq} \frac{\partial Y}{\partial x} + + b_{pq} \frac{\partial Y}{\partial y}. +\end{align*} +Wir sehen, daß\ $a_{pq}$, $b_{pq}$ kogredient mit $dx$, $dy$ transformiert +werden. +Aus den Formeln 6),~8) und dem Multiplikationssatz für Determinanten +haben wir sogleich: +\[ + \varDelta =\left| +\begin{array}{ccccc} + dX & dY & \dots & 0 & 0 \\ +\hdotsfor[6]{5} \\ + 0 & 0 & \dots & dX & dY \\ + A_{11} & B_{11} & \dots & A_{1n} & B_{1n} \\ +\hdotsfor[6]{5} \\ + A_{n1} & B_{n1} & \dots & A_{nn} & B_{nn} +\end{array}\right| +\] +%-----File: 017.png--------------------------------------- +\begin{gather*} +=\left|\begin{array}{ccccc} + dx \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial X}{\partial y} +& + dx \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial Y}{\partial y} +& \dots & 0 & 0 +\\ \hdotsfor[6]{5} \\ + 0 & 0 & \dots +& + dx \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial X}{\partial y} +& + dx \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ dy \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\\[15pt] + a_{11} \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ b_{11} \dfrac{\partial X}{\partial y} +& + a_{11} \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ b_{11} \dfrac{\partial Y}{\partial y} +& \dots & + a_{1n} \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ b_{1n} \dfrac{\partial X}{\partial y} +& + a_{1n} \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ b_{1n} \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\\ \hdotsfor[6]{5} \\ + a_{n1} \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ b_{n1} \dfrac{\partial X}{\partial y} +& + a_{n1} \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ b_{n1} \dfrac{\partial Y}{\partial y} +& \dots & + a_{nn} \dfrac{\partial X}{\partial x} ++ b_{nn} \dfrac{\partial X}{\partial y} +& + a_{nn} \dfrac{\partial Y}{\partial x} ++ b_{nn} \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\end{array}\right| +\displaybreak[1]\\[20pt] +=\left|\begin{array}{ccccc} + \dfrac{\partial X}{\partial x} +& \dfrac{\partial X}{\partial y} +& \dots & 0 & 0 +\\[10pt] + \dfrac{\partial Y}{\partial x} +& \dfrac{\partial Y}{\partial y} +& \dots & 0 & 0 +\\ \hdotsfor[6]{5} \\ + 0 & 0 & \dots +& \dfrac{\partial X}{\partial x} +& \dfrac{\partial X}{\partial y} +\\[10pt] + 0 & 0 & \dots +& \dfrac{\partial Y}{\partial x} +& \dfrac{\partial Y}{\partial y} +\end{array}\right| +\;\cdot\; +\left|\begin{array}{ccccc} + dx & dy & \dots & 0 & 0 +\\ \hdotsfor[6]{5} \\ + 0 & 0 & \dots & dx & dy +\\ + a_{11} & b_{11} & \dots & a_{1n} & b_{1n} +\\ \hdotsfor[6]{5} \\ + a_{n1} & b_{n1} & \dots & a_{nn} & b_{nn} +\end{array}\right| +\end{gather*} +\dh +\[ +\tag*{9)} + \varDelta = J^n \delta +\] +oder, mit Worten ausgesprochen: + +\so{Die charakteristische Differentialform ändert +sich bei der Transformation 4) nur um einen Faktor, +die $n$-te Potenz der Funktionaldeterminante.} + +\Paragraph{III.} Es sei jetzt eine lineare Transformation der Funktionen +$u_1$, $u_2,\dotsc u_n$ gegeben: +\[ +\tag*{10)} + u_p = \sum_{q=1}^n \alpha_{pq} U_q, \qquad\qquad [p= 1, 2,\dotsc n] +\] +wo die $\alpha_{pq}$ Funktionen von $x$, $y$ sind, deren Determinante +nicht +verschwindet: +\[ +\tag*{11)} + J = +\left|\begin{array}{ccc} + \alpha_{11} & \dots & \alpha_{1n} +\\ \hdotsfor[6]{3} \\ + \alpha_{n1} & \dots & \alpha_{nn} +\end{array}\right| \neq 0. +\] +Für die Transformation der Ableitungen von $u_p$ haben wir: +\[ +\tag*{12)} +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u_p}{\partial x} &= + \sum_{q=1}^n \alpha_{pq} \frac{\partial U_q}{\partial x} ++ \sum_{q=1}^n \frac{\partial \alpha_{pq}}{\partial x} U_q +\\ + \frac{\partial u_p}{\partial y} &= + \sum_{q=1}^n \alpha_{pq} \frac{\partial U_q}{\partial y} ++ \sum_{q=1}^n \frac{\partial \alpha_{pq}}{\partial y} U_q +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 018.png--------------------------------------- +Wir bekommen durch die Transformation neue Lineardifferentialformen~7), +wo jetzt\footnote{ + Die aus 12) entstehenden Glieder, die $U_q$ enthalten, setzen sich + mit den + andern vorkommenden Gliedern in $U_q$ zusammen, kommen daher hier + nicht in + Betracht.}: +\[ +\tag*{13)} +\left\{ +\begin{aligned} + A_{pq} &= \sum_{r=1}^n a_{pr} \alpha_{rq} \\ + B_{pq} &= \sum_{r=1}^n b_{pr} \alpha_{rq} +\end{aligned} +\right. +\] +Hier sind $a_{pq}$, sowie auch $b_{pq}$ kontragredient mit $u_p$ +transformiert. +Für die neue charakteristische Differentialform haben wir: +\[ + \varDelta = +\left|\begin{array}{ccccc} + dx & dy & \dots & 0 & 0 \\ +\hdotsfor[6]{5} \\ + 0 & 0 & \dots & dx & dy \\ + A_{11} & B_{11} & \dots & A_{1n} & B_{1n} \\ +\hdotsfor[6]{5} \\ + A_{n1} & B_{n1} & \dots & A_{nn} & B_{nn} +\end{array}\right| +\] +Die Koeffizienten der einzelnen Produkte $dx^p\; dy^{n-p}$ in $\delta$ +sind +gewisse $n$-reihige Determinanten $d$ aus der Matrix der Koeffizienten +$a$, $b$ des Systems~1); die Koeffizienten der entsprechenden Glieder +in $\varDelta$ sind die entsprechenden transformierten Determinanten $D$; +$dx$, $dy$ sind unverändert. Für jede solche Determinante gilt aber, +wenn wir mit $h_{pq}$ irgend eine der beiden Größen $a_{pq}$, $b_{pq}$, +mit $H_{pq}$ +die entsprechende transformierte Größe bezeichnen: +\begin{gather*} + D = +\left|\begin{array}{ccc} + H_{11} & \dots & H_{1n} \\ +\hdotsfor[6]{3} \\ + H_{n1} & \dots & H_{nn} +\end{array}\right| = +\left|\begin{array}{ccc} + \sum\limits_{r=1}^n h_{1r} \alpha_{r1} & \dots & + \sum\limits_{r=1}^n h_{1r} \alpha_{rn} \\ +\hdotsfor[6]{3} \\ + \sum\limits_{r=1}^n h_{nr} \alpha_{r1} & \dots & + \sum\limits_{r=1}^n h_{nr} \alpha_{rn} +\end{array}\right| +\\ += +\left|\begin{array}{ccc} + h_{11} & \dots & h_{1n} \\ +\hdotsfor[6]{3} \\ + h_{n1} & \dots & h_{nn} +\end{array}\right| \;\cdot\; +\left|\begin{array}{ccc} + \alpha_{11} & \dots & \alpha_{n1} \\ +\hdotsfor[6]{3} \\ + \alpha_{1n} & \dots & \alpha_{nn} +\end{array}\right| = Jd. +\end{gather*} +Da dies für jeden Koeffizienten in $\delta$ gilt, so ist +\[ + \varDelta = J\delta, +\] +also + +\so{Die charakteristische Differentialform ändert +sich unter der Transformation~10) nur um einen Faktor, +die Determinante der Transformation.} +%-----File: 019.png--------------------------------------- + +\Paragraph{IV.} Wir wollen schließlich untersuchen, was aus der Form~$\delta$ +wird, wenn wir das System~1) mittels linearer Zusammensetzung +verändern. Wir schreiben also: +\[ +\tag*{15)} +\varLambda_p(u) = \sum_{q=1}^n \alpha_{pq}\lambda_q(u), +\qquad\rlap{$[p = 1, 2,\dotsc n]$} +\] +wo $\alpha_{pq}$ Funktionen von $x$, $y$ sind, deren Determinante nicht +verschwindet: +\[ +\tag*{16)} + J = +\left|\begin{array}{ccc} + \alpha_{11} & \dots & \alpha_{1n} \\ +\hdotsfor[6]{3} \\ + \alpha_{n1} & \dots & \alpha_{nn} +\end{array}\right| \neq 0. +\] +Wir bekommen das neue System~7), wo aber jetzt: +\[ +\tag*{17)} +\left\{ +\begin{aligned} + A_{pq} &= \sum_{r=1}^n \alpha_{pr} a_{rq} \\ + B_{pq} &= \sum_{r=1}^n \alpha_{pr} b_{rq}. +\end{aligned} +\right. +\] +Hier sind sowohl $a_{pq}$ als auch $b_{pq}$ kogredient mit $\lambda_q(u)$ +transformiert. +Wir sehen genau wie vorhin, daß +\[ +\tag*{18)} + \varDelta = J\delta. +\] + +\so{Die charakteristische Differentialform ändert +sich unter der Transformation~15) nur um einen Faktor, +die Determinante der Transformation.} + +\Paragraph{V.} Schließlich können wir das Wesentliche der vorigen Sätze +in folgender Aussage über die Gleichung $\delta = 0$ zusammenfassen: + +\so{Bei beliebigen, nicht singulären Transformationen +der unabhängigen Variablen, linearen, nicht singulären +Transformationen der unbekannten Funktionen +und linearen, nicht singulären Zusammensetzungen +der einzelnen Gleichungen des Systems, bleibt die +Gleichung der Charakteristiken des Systems invariant.} + + +\Section{2. Die Normalformen der Gleichungssysteme.} + +Von jetzt ab beschränken wir uns auf Systeme von zwei +Gleichungen mit zwei unbekannten Funktionen. Wir wollen in +diesem Paragraphen aus der Beschaffenheit der charakteristischen +Differentialform und anderen damit verbundenen Begriffen eine +Klassifikation der Systeme herausziehen, und die einzelnen Klassen +auf Normalformen reduzieren. Es wird hier beständig das Zeichen +$\mathfrak{L}(u, v)$ gebraucht, um irgend eine lineare Funktion von $u$,~$v$ zu +bezeichnen, deren Koeffizienten Funktionen von $x$, $y$ sind; der Gebrauch +%-----File: 020.png--------------------------------------- +des Symbols $\mathfrak{L}(u, v)$, um gleichzeitig mehrere verschiedene +lineare Funktionen zu bezeichnen, wird keine Ungenauigkeit hervorrufen. + +\Paragraph{I.} Wir betrachten das System: +\[ +\tag*{1)} +\left\{\ +\begin{aligned} + \lambda_1 &\equiv + a_{11} \frac{\partial u}{\partial x} ++ b_{11} \frac{\partial u}{\partial y} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial x} ++ b_{12} \frac{\partial v}{\partial y} = \mathfrak{L}(u,v) +\\ + \lambda_2 &\equiv + a_{21} \frac{\partial u}{\partial x} ++ b_{21} \frac{\partial u}{\partial y} ++ a_{22} \frac{\partial v}{\partial x} ++ b_{22} \frac{\partial v}{\partial y} = \mathfrak{L}(u,v). +\end{aligned} +\right. +\] + +Die charakteristische Differentialform ist: +\[ +\tag*{2)} + \delta \equiv +\left|\begin{array}{cccc} + dx & dy & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & dx & dy \\ + a_{11} & b_{11} & a_{12} & b_{12} \\ + a_{21} & b_{21} & a_{22} & b_{22} +\end{array}\right| +\] +oder +\[ +\tag*{3)} + -\delta = p\,dx^2 + 2q\,dx\,dy + r\,dy^2, +\] +wo +\[ +\tag*{4)} +\left\{\ +\begin{array}{rc} + p = & +\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{vmatrix} +\phantom{.} +\\[1em] + 2q = & +-\begin{vmatrix} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22} \end{vmatrix} +-\begin{vmatrix} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22} \end{vmatrix} +\\[1em] + r = & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}. +\end{array} +\right. +\] + +Setzen wir $\delta = 0$, so haben wir eine quadratische Gleichung +für das Verhältnis $dx : dy$. Die weitere Diskussion beruht hauptsächlich +auf dem Charakter der Wurzeln dieser Gleichung. + +Ist in einem Punkte~$P$\ $pr-q^2>0$, so gibt es \so{keine} reellen +Wurzeln der Gleichung $\delta = 0$; es existieren \so{keine} (reellen) +Charakteristiken durch~$P$. Wir sagen, der Punkt~$P$ ist ein +\so{elliptischer Punkt} des Systems~1), oder auch, 1)~ist ein +\so{elliptisches System} in~$P$. + +Ist in einem Punkte~$P$\ $pr-q^2<0$, so gibt es in diesem +Punkte \so{zwei} reelle Wurzeln der Gleichung $\delta=0$; wir haben +also \so{zwei} Richtungen, die von den charakteristischen Kurven +durch~$P$ angenommen werden können. Wir sagen, $P$~ist ein +\so{hyperbolischer Punkt} von~1), oder 1)~ist ein \so{hyperbolisches +System} in~$P$. + +Ist $pr-q^2=0$, aber wenigstens eine der Größen $p$,~$q$,~$r$ von +Null verschieden in einem Punkte~$P$, so gibt es in $P$ \so{eine} (doppelte) +%-----File: 021.png--------------------------------------- +Wurzel der Gleichung $\delta = 0$; nur \so{eine} charakteristische +Richtung durch $P$ existiert. Wir nennen $P$ einen \so{parabolischen +Punkt} von~1), und~1) ein \so{parabolisches System} in~$P$. + +Ist schließlich $p = q = r = 0$ in $P$, so verschwindet jeder +Koeffizient von $\delta$ in $P$, daher ist \so{jede} Richtung durch +$P$ eine +charakteristische Richtung. In diesem Falle heißt $P$ ein \so{singulärer +Punkt} von~1) und wir nennen~1) ein \so{singuläres System} +in~$P$. + +\Paragraph{II.} Wir wollen auch die Möglichkeit untersuchen, daß die +Unterdeterminanten von $\delta$ verschwinden. Wir sehen von vorn +herein, daß nicht alle zweireihigen Unterdeterminanten verschwinden, +denn wäre dem so, so hätten wir \ua\ $dx = 0$, $dy = 0$, +wodurch keine Richtung bestimmt ist. Setzen wir alle dreireihigen +Unterdeterminanten gleich Null, vereinfachen die Resultate und +entfernen die überflüssigen Gleichungen, so bleiben folgende übrig: +\begin{align*} + b_{11} dx - a_{11} dy &= 0 \\ + b_{12} dx - a_{12} dy &= 0 \displaybreak[1] \\ + b_{21} dx - a_{21} dy &= 0 \\ + b_{22} dx - a_{22} dy &= 0 \displaybreak[1] \\ + a_{12} b_{22} - a_{22} b_{12} &= 0 \\ + a_{11} b_{21} - a_{21} b_{11} &= 0. +\end{align*} +Die letzten beiden Gleichungen, zusammen mit der Bedingung für +die Möglichkeit der ersten vier, besagen, daß jede zweireihige +Determinante aus der Matrix +\[ +\tag*{5)} + M = +\left\|\begin{array}{cccc} + a_{11} & a_{12} & a_{21} & a_{22} \\ + b_{11} & b_{12} & b_{21} & b_{22} +\end{array}\right\| +\] +(die nicht mit der Matrix der Koeffizienten von~1) in ihrer vorkommenden +Reihenfolge zu verwechseln ist) verschwinden muß. +Einen Punkt~$P$, für welchen alle zweireihigen Determinanten von~5) +verschwinden, nennen wir einen \so{ausgezeichneten Punkt} +von~1), und~1) ein \so{ausgezeichnetes System} in $P$. + +Schreiben wir in diesem Falle +\[ +%[** TN: Removed \quad before comma] + a_{pq} = \alpha\varrho_{pq},\quad b_{pq} = \beta\varrho_{pq}, +\] +so ist +\[ + -\delta = (\varrho_{11}\varrho_{22} - \varrho_{12}\varrho_{21}) + (\beta \,dx - \alpha \,dy)^2, +\] +so daß ein ausgezeichneter Punkt nie elliptisch oder hyperbolisch, +sondern nur parabolisch oder singulär sein kann. + +\Paragraph{III.} Man sieht sofort, daß die Kriterien in I.~und~II.\ invariant +bleiben unter den in \S~1 besprochenen Transformationen, \dh: +%-----File: 022.png--------------------------------------- + +\so{Die Eigenschaft eines Systems~1), in einem Punkte +elliptisch, hyperbolisch, gewöhnlich-parabolisch, +ausgezeichnet-parabolisch, gewöhnlich-singulär +oder ausgezeichnet-singulär zu sein, bleibt unverändert +unter den betrachteten Transformationen.} + +Jetzt werden wir ausschließlich Systeme betrachten, die denselben +Charakter in jedem Punkte eines ganzen Bereiches besitzen, +und wir wollen beweisen, daß es Normalformen für jeden Charakter +gibt, so daß jedes System eines Charakters durch Transformationen +der drei betrachteten Arten auf die entsprechende Normalform +reduziert werden kann. Wir nennen kurz Transformationen der +unabhängigen Variablen, lineare Zusammensetzungen der Gleichungen +und lineare Transformationen der unbekannten Funktionen +der Reihe nach Transformationen 1., 2.\ und 3.~Art. + +\Paragraph{IV.} Nehmen wir zunächst den elliptischen Fall. Es sei also +$pr-q^2 > 0$ in jedem Punkt eines Gebietes. Dann hat die Gleichung +$\delta = 0$ zwei konjugiert komplexe Wurzeln, und wir haben +die Differentialgleichungen +\[ +%[** TN: Removed \quad before comma in next three displayed equations] + \mu\,dx + \nu\,dy = 0,\quad + \overline{\mu}\,dx + \overline{\nu}\,dy = 0. +\] +Deren Lösungen sind auch konjugiert komplex; sie mögen etwa +\[ + \xi(x,y) = \alpha,\quad \overline{\xi}(x,y) = \beta +\] +heißen, wo $\alpha$, $\beta$ Konstante bedeuten. Schreiben wir +\[ + X = \xi + \overline{\xi},\quad Y = i(\xi - \overline{\xi}), +\] +so haben wir eine reelle Transformation 1.~Art, deren +Funktionaldeterminante +nicht verschwindet; denn wäre die Funktionaldeterminante +gleich Null, so wäre auch +\[ +\arraycolsep=2pt + 4(q^2 - pr) = +\left|\begin{array}{cc} +\mu & \nu \\ \overline{\mu} & \overline{\nu} +\end{array}\right|^2 = 0. +\] +Durch diese Transformation erhalten wir eine neue Form für das +System~1), deren Koeffizienten wir aber wieder mit denselben +Buchstaben bezeichnen, da kein Irrtum dadurch entstehen kann. +Durch die Transformation nimmt die Gleichung der Charakteristiken +die einfache Form +\[ + dX^2 + dY^2 = 0 +\] +an; nach \S~1,~V ist diese Gleichung wieder die Charakteristikengleichung. +In der neuen Form muß diese Gleichung mit +\[ + p\,dX^2 + 2q\,dX\,dY+ r\,dY^2 = 0 +\] +übereinstimmen; daraus folgt: +%-----File: 023.png--------------------------------------- +\[ +\begin{array}{cccl} +\left|\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} +\end{array}\right| +&=& +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} +\end{array}\right| +&\neq 0 \\[1em] +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22} +\end{array}\right| +&+& +\left|\begin{array}{cc} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22} +\end{array}\right| +&= 0. +\end{array} +\] + +Wegen der ersten dieser Bedingungen ist es möglich, eine +solche Transformation 2.~Art auszuführen, daß $\dfrac{\partial u}{\partial +x}$, $\dfrac{\partial v}{\partial x}$ mittels der +andern Größen linear ausgedrückt werden; wir gebrauchen nach +der Transformation wieder dieselben Buchstaben wie vorher. Die +letztgenannten Bedingungen bleiben erhalten; ferner ist jetzt +\[ + a_{11} = 1,\; a_{12} = 0,\; a_{21} = 0,\; a_{22} = 1; +\] +die Bedingungen nehmen daher die Gestalt an: +\begin{gather*} + b_{11} b_{22} - b_{12} b_{21} = 1, \\ + b_{22} + b_{11} = 0. +\end{gather*} + +Die Gleichungen~1) selbst haben also die Form: +\[ +\left\{\ +\begin{aligned} + \lambda_1 \equiv + \frac{\partial u}{\partial X} ++ b_{11} \frac{\partial u}{\partial Y} ++ b_{12} \frac{\partial v}{\partial Y} = \mathfrak{L}(u,v) +\\ + \lambda_2 \equiv + \frac{\partial v}{\partial X} ++ b_{21} \frac{\partial u}{\partial Y} +- b_{11} \frac{\partial v}{\partial Y} = \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\ \right\},\quad + b_{11}^2 + b_{12} b_{21} + 1 = 0. +\] +Es sind sicher $b_{12} \neq 0$, $b_{21} \neq 0$, denn wäre $b_{12} = 0$ +oder $b_{21} = 0$, +so hätten wir den Widerspruch $b_{11}^2 + 1 = 0$. Wir dürfen also die +Transformation 2.~Art: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \varLambda_1 &= \phantom{-b_{11}} \lambda_1 \\ + \varLambda_2 &= -b_{11} \lambda_1 - b_{12} \lambda_2 +\end{aligned} +\right. +\] +ausführen; dadurch bekommen wir: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial X} ++ b_{11} \frac{\partial u}{\partial Y} ++ b_{12} \frac{\partial v}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\\ + -b_{11} \frac{\partial u}{\partial X} +- b_{12} \frac{\partial v}{\partial X} ++ \phantom{b_{12}} \frac{\partial u}{\partial Y} &=\mathfrak{L}(u,v). +\end{aligned} +\right. +\] + +Machen wir schließlich die Transformation 3.~Art: +\[ +\left\{\ +\begin{aligned} + U &= \phantom{b_{11}} u \\ + V &= b_{11} u + b_{12} v, +\end{aligned} +\ \right. +\] +so gelangen wir zu der Form: +\[ +\left\{\ +\begin{aligned} + \frac{\partial U}{\partial X} ++ \frac{\partial V}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\\ + \frac{\partial U}{\partial Y} +- \frac{\partial V}{\partial X} &= \mathfrak{L}(u,v). +\end{aligned} +\ \right. +\] +%-----File: 024.png--------------------------------------- +Wir können also sagen: + +\so{Ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet +elliptisch ist, läßt sich durch Transformationen der +drei genannten Arten auf die Normalform} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} = \mathfrak{L}(u,v) +\\ + \frac{\partial u}{\partial y} +- \frac{\partial v}{\partial x} = \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen.} + +\Paragraph{V.} Im hyperbolischen Falle ist $pr -q^2 <0$ in einem ganzen +Gebiet. Die Gleichung $\delta = 0$ hat zwei reelle, verschiedene Wurzeln; +die Charakteristiken sind durch Gleichungen +\[ + \mu\,dx + \nu\,dy = 0,\quad \pi\,dx + \varkappa\,dy = 0 +\] +gegeben, deren Lösungen etwa +\[ + X(x,y) = \alpha,\quad Y(x,y) = \beta +\] +sein mögen. Wir wenden die Transformation 1.~Art +\[ + x = X(x,y),\quad y = Y(x,y) +\] +an. Dadurch wird die Gleichung der Charakteristiken +\[ + dX\,dY = 0, +\] +sodaß die Koeffizienten von 1) den Bedingungen genügen müssen: +\[ +\begin{array}{cccl} +\left|\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} +\end{array}\right| +&=& +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} +\end{array}\right| +&= 0 \\[1em] +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22} +\end{array}\right| +&+& +\left|\begin{array}{cc} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22} +\end{array}\right| +&\neq 0. +\end{array} +\] +Die letzte Bedingung sagt aus, daß die Summe zweier Determinanten +von Null verschieden ist; dann ist wenigstens eine dieser +Determinanten von Null verschieden; wir nehmen an, ohne Einschränkung +der Allgemeinheit, daß +\[ +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22} +\end{array}\right| \neq 0. +\] + +Dann läßt sich eine solche Transformation 2.~Art angeben, +daß das System nach $\dfrac{\partial u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial +v}{\partial y}$ aufgelöst wird; daher nehmen wir +sogleich an, daß +\[ + a_{11} = 1,\quad b_{12} = 0,\quad a_{21} = 0,\quad b_{22} = 1; +\] +die andern Bedingungen werden: +%-----File: 025.png--------------------------------------- +\begin{gather*} + b_{11} = 0,\quad a_{22} = 0, \\ + 1 - a_{12}b_{21} \neq 0, +\end{gather*} +und die Gleichungen schreiben sich +\[ +\left. +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial X} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial X} &= \mathfrak{L}(u,v) +\\ + b_{21} \frac{\partial u}{\partial Y} ++ \phantom{a_{12}} \frac{\partial v}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right\},\quad 1 - a_{12}b_{21} \neq 0. +\] +Führen wir schließlich die nicht singuläre Transformation 3.~Art +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + U &= \phantom{b_{21}} u + a_{12} v \\ + V &= b_{21} u + \phantom{a_{12}} v +\end{aligned} +\right. +\] +aus, so nehmen die Gleichungen die Gestalt an: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial U}{\partial X} &= \mathfrak{L}(U,V) \\ + \frac{\partial V}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(U,V) , +\end{aligned} +\right. +\] +also: + +\so{Ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet +hyperbolisch ist, läßt sich durch Transformationen +der drei genannten Arten auf die Normalform} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen.} + +\Paragraph{VI.} Für den parabolischen Fall ist $pr - q^2 = 0$, eine der +Größen $p, q, r \neq 0$. Die Gleichung $\delta = 0$ hat eine (doppelte) +reelle Wurzel; die Charakteristiken sind durch eine Gleichung +ersten Grades: +\[ + \mu\,dx + \nu\,dy = 0 +\] +gegeben, die etwa die Lösung +\[ + X(x, y) = \alpha +\] +besitzt. Wir wählen $Y(x,y)$, eine willkürliche, von der Funktion +$X(x,y)$ unabhängige Funktion, und machen die Transformation +1.~Art: +\[ + X= X(x,y),\quad Y= Y(x,y). +\] +Die Gleichung der Charakteristiken wird dadurch +\[ + dX^2 = 0. +\] +%-----File: 026.png--------------------------------------- +Es müssen also für die Koeffizienten von 1) die Bedingungen erfüllt +sein: +\begin{gather*} +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} +\end{array}\right|= +\left|\begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22} +\end{array}\right|+ +\left|\begin{array}{cc} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22} +\end{array}\right| = 0, \\ +\left|\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} +\end{array}\right|\neq 0. +\end{gather*} +Durch geeignete Wahl einer Transformation 2.~Art können wir +nach $\dfrac{\partial u}{\partial y}$, $\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +auflösen, so daß wir schreiben dürfen: +\[ + b_{11} = 1,\quad b_{12} = 0,\quad b_{21} = 0,\quad b_{22} = 1, +\] +wobei die andern Bedingungen folgende Form annehmen: +\begin{gather*} + a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} = 0, \\ + a_{11} + a_{22} = 0. +\end{gather*} +Das System wird dann: +\[ +\left. +\begin{aligned} + \lambda_1 \equiv + \frac{\partial u}{\partial Y} ++ a_{11} \frac{\partial u}{\partial X} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial X} = \mathfrak{L}(u,v) +\\ + \lambda_2 \equiv + \frac{\partial v}{\partial Y} ++ a_{21} \frac{\partial u}{\partial X} +- a_{11} \frac{\partial v}{\partial X} = \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right\},\quad a_{11}^2 + a_{12} a_{21} = 0. +\] + +A) In der Nähe eines gewöhnlich-parabolischen Punktes ist +mindestens eine zweireihige Determinante aus der Matrix +\[ +\arraycolsep=2pt + M = +\left\|\begin{array}{cccc} + a_{11} & a_{12} & a_{21} & -a_{11} \\ + 1 & 0 & 0 & 1 +\end{array}\right\| +\] +von Null verschieden; \dh\ es dürfen nicht gleichzeitig $a_{11}$, +$a_{12}$, $a_{21}$ +verschwinden; oder, mit Rücksicht auf die obige Bedingung, entweder +$a_{12}$ oder $a_{21}$ ist von Null verschieden. Enthält das Gebiet +keine ausgezeichneten Punkte, und verschwinden daher $a_{12}$, $a_{21}$ +nie +gleichzeitig, so ist es möglich, das Gebiet auf solche Weise einzuteilen, +daß in jedem Teilgebiet entweder $a_{12}$ oder $a_{21}$ nicht +verschwindet\footnote{ + Diese Einteilung des Gebiets ist notwendig. Z.~B.\ hat das System +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial y} + + x(1-x)\>\,\frac{\partial u}{\partial x} - +\phantom{x}(1-x)^2 \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) +\\ + \frac{\partial v}{\partial y} + +\phantom{(1-x)}x^2 \frac{\partial u}{\partial x} - + x (1-x)\>\,\frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] + keine ausgezeichneten Punkte, jedoch ist es unmöglich, das System in + einem ganzen + Gebiet, welches Teile der Geraden $x = 0$, $x = 1$ enthält, durch + nicht singuläre + Transformationen auf die Normalform zu bringen.}. + +Ist $a_{12} \neq 0$ in einem ganzen Gebiet, so führen wir die +Transformation +2.~Art +%-----File: 027.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \varLambda_1 &= \phantom{a_{11}} \lambda_1 \\ + \varLambda_2 &= a_{11} \lambda_1 + a_{12} \lambda_2 +\end{aligned} +\right. +\] +aus; wir bekommen: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial Y} ++ a_{11} \frac{\partial u}{\partial X} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial X} &= \mathfrak{L}(u,v) +\\ + a_{11} \frac{\partial u}{\partial Y} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v); +\end{aligned} +\right. +\] +und schließlich liefert die Transformation 3.~Art +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + U &= a_{11} u + a_{12} v \\ + V &= \phantom{a_{11}} u +\end{aligned} +\right. +\] +die Form +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial U}{\partial X} ++ \frac{\partial V}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(U,V) +\\ + \frac{\partial U}{\partial Y} + \phantom{ {} + \frac{\partial U}{\partial X}} &= \mathfrak{L}(U,V). +\end{aligned} +\right. +\] + +Wäre dagegen $a_{21} \neq 0$ so hätten wir die Transformation +2.~Art +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \varLambda_1 &= \phantom{a_{21} \lambda_1 - a_{11}} \lambda_2 \\ + \varLambda_2 &= a_{21} \lambda_1 - a_{11} \lambda_2 +\end{aligned} +\right. +\] +und die Transformation 3.~Art +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + U &= a_{21} u - a_{11} v \\ + V &= \phantom{a_{21} u - a_{11}} v +\end{aligned} +\right. +\] +anwenden können und wären zu derselben Form gekommen. + +B) In dem Falle, daß jeder Punkt eines Gebietes ausgezeichnet-parabolisch +ist, reduziert sich unser System auf die Form: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial v}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v); +\end{aligned} +\right. +\] +durch eine Vertauschung der unabhängigen Variablen können wir +die Ableitungen nach $Y$ durch Ableitungen nach $X$ ersetzen. + +Wir fassen die Resultate so zusammen: + +\so{Ein System~1) welches in einem ganzen Gebiet +gewöhnlich-parabolisch ist, läßt sich durch Transformationen +der drei genannten Arten in jedem einer +endlichen Anzahl von Teilgebieten, welche das gegebene +Gebiet vollständig überdecken, auf die Normalform} +%-----File: 028.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial u}{\partial y} +\phantom{{} + \frac{\partial v}{\partial y}} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen; ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet +ausgezeichnet-parabolisch ist, läßt sich auf die +Normalform} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen.} + +\Paragraph{VII.} Für ein singuläres System verschwindet jeder Koeffizient +in $\delta$; jede Richtung $dx: dy$ ist eine charakteristische Richtung. +Wir haben also die Bedingungen +\[ +\begin{vmatrix} \,a_{11} & a_{12}\, \\ \,a_{21} & a_{22}\, \end{vmatrix} +=0,\; +\begin{vmatrix} \,b_{11} & b_{12}\, \\ \,b_{21} & b_{22}\, \end{vmatrix} +=0,\; +\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{12}\, \\ \,a_{21} & b_{22}\, \end{vmatrix} + +\begin{vmatrix} \,b_{11} & a_{12}\, \\ \,b_{21} & a_{22}\, \end{vmatrix} +=0. +\] + +A) Wir wollen erstens den Fall betrachten, daß jeder Punkt +des Gebietes ein ausgezeichneter Punkt ist. Dann können wir +nach II schreiben +\[ + a_{pq} = \alpha\varrho_{pq},\; b_{pq} = \beta\varrho_{pq}, +\] +sodaß unsere Bedingungen sich auf folgende +\[ + \alpha^2 R = 0,\; \alpha\beta R = 0,\; \beta^2 R = 0 +\] +reduzieren, wo +\[ + R = +\begin{vmatrix} + \,\varrho_{11} & \varrho_{12}\, \\ + \,\varrho_{21} & \varrho_{22}\, +\end{vmatrix}. +\] + +Es ist entweder $\alpha = \beta = 0$, oder $R = 0$. Im ersten Falle +verschwinden die Koeffizienten in (1). Im zweiten Fall verschwindet +jede zweireihige Determinante aus der Matrix der +Koeffizienten von (1): +\[ + M = +\begin{Vmatrix} + \,a_{11} & b_{11} & a_{12} & b_{12}\, \\ + \,a_{21} & b_{21} & a_{22} & b_{22}\, +\end{Vmatrix}. +\] +In beiden Fällen sind die Gleichungen des Systems linear abhängig. +Der Vollständigkeit halber wollen wir auch für diesen trivialen +Fall eine Normalform angeben. Verschwinden alle Koeffizienten +$a$, $b$, so ist die Normalform schon erreicht: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + 0 &= \mathfrak{L}(u,v). +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 029.png--------------------------------------- + +Verschwinden nicht alle Koeffizienten, so bekommen wir durch +eine Transformation 2.~Art die Form +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + a_1 \frac{\partial u}{\partial x} ++ b_1 \frac{\partial u}{\partial y} ++ a_2 \frac{\partial v}{\partial x} ++ b_2 \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right\},\quad a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0. +\] +Es ist alsdann leicht, Transformationen 3.\ und 1.~Art zu finden, +die das System in die Form +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +bringen. + +B) Wir betrachten schließlich den Fall, daß jeder Punkt des +Gebietes gewöhnlich-singulär ist; es gelten die am Anfange dieses +Absatzes aufgestellten Bedingungen. Es sei zunächst ein derartiges +Teilgebiet betrachtet (wenn ein solches existiert), daß in +jedem seiner Punkte die Ungleichung +\[ +\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{12}\, \\ \,a_{21} & b_{22}\, +\end{vmatrix}\neq 0 +\] +gilt; dann können wir durch eine Transformation 2.~Art erreichen, +daß +\[ + a_{11} = 1,\; a_{21} = 0,\; b_{12} =0,\; b_{22} = 1, +\] +wobei die andern Bedingungen dann lauten: +\[ + a_{22} = 0,\; b_{11} = 0,\; 1 - a_{12} b_{21} = 0; +\] +die so erhaltenen Gleichungen: +\[ +\left\{\ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\[1em] + \frac{\partial v}{\partial y} ++ b_{21} \frac{\partial u}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\ \right\},\quad a_{12} b_{21} = 1, +\] +lassen sich sofort durch eine Transformation 3.~Art auf die Form +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial u}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +bringen. + +Zweitens betrachten wir ein Teilgebiet, wo +\[ +\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{11}\, \\ \,a_{21} & b_{21}\, \end{vmatrix} +\neq 0. +\] +%-----File: 030.png--------------------------------------- +Wir können dann durch eine Transformation 2.~Art erreichen, daß +\[ + a_{11} = 1,\; a_{21} = 0,\; b_{11} = 0,\; b_{21} = 1, +\] +daher auch +\[ + a_{22} = 0,\; b_{12} = 0,\; b_{22} - a_{12} = 0; +\] +es lauten dann die Gleichungen: +\[ +\left\{\ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\[1em] + \frac{\partial u}{\partial \DPtypo{x}{y}} ++ a_{12} \frac{\partial v}{\partial \DPtypo{x}{y}} &= \mathfrak{L}(u,v), +\end{aligned} +\right. +\] +die sich wieder durch eine Transformation 3.~Art auf die oben +gegebene Form reduzieren lassen. + +Nehmen wir ein beliebig großes Gebiet, in welchem die Determinanten +\[ +\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{12}\, \\ \,a_{21} & b_{22}\, +\end{vmatrix},\quad +\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{11}\, \\ \,a_{21} & b_{21}\, \end{vmatrix} +\] +nie gleichzeitig verschwinden, so können wir es in Teilgebiete zerlegen, +sodaß in jedem Teilgebiet eine dieser Determinanten überall +von Null verschieden ist. Unsere Reduktion ist daher erreicht in +dem gewählten Gebiet. Es bleibt übrig, diejenigen Teilbereiche +zu untersuchen, welche Punkte enthalten, die beiden Determinanten +den Wert Null erteilen. Verschwinden die Determinanten in einem +Punkte, so verschwindet dort auch notwendig im vorliegenden Fall +\[ +\begin{vmatrix} \,b_{11} & a_{12}\, \\ \,b_{21} & a_{22}\, \end{vmatrix}; +\] +es ist dann sicher in diesem Punkt (und daher in einem kleinen +Gebiet um diesen Punkt) +\[ +\begin{vmatrix} \,a_{12} & b_{12}\, \\ \,a_{22} & b_{22}\, \end{vmatrix} +\neq 0, +\] +es sei denn, daß die Gleichungen in diesem Punkt linear abhängig +sind; diese Möglichkeit lassen wir vorläufig bei Seite. Führen +wir eine Transformation 2.~Art aus, so daß +\[ + a_{12} = 1,\; a_{22} = 0,\; b_{12} = 0,\; b_{22} = 1 +\] +wird, dann haben wir weiter die Gleichungen wegen +\[ + a_{11} = 0,\; a_{21} = 0,\; b_{11} = 0,\; b_{21} = 0 +\] +in der Form +%-----File: 031.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v); +\end{aligned} +\right. +\] +sie lassen sich durch Vertauschung von $u$, $v$ in der vorher gegebenen +Form schreiben. + +In einem Gebiete, wo das System~1) gewöhnlich-singulär und +linear abhängig ist, bekommen wir leicht, wie in A), die Form +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + 0 &= \mathfrak{L}(u,v). +\end{aligned} +\right. +\] +Das Resultat lautet also: + +\so{Ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet gewöhnlich-singulär, +linear unabhängig ist, läßt sich +durch Transformationen der drei genannten Arten in +jedem einer endlichen Anzahl von Teilgebieten, welche +das gegebene Gebiet vollständig überdecken, auf die +Normalform} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + \frac{\partial u}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen; ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet +gewöhnlich-singulär, linear abhängig ist, läßt +sich auf die Form} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen; ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet +ausgezeichnet-singulär ist, ist notwendig auch +linear abhängig, und läßt sich auf eine der Normalformen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + 0 &= \mathfrak{L}(u,v), +\end{aligned} +\right. +\qquad +\left\{ +\begin{aligned} + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) \\ + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{bringen.} + +%[** TN: Set table on its own page, change punctuation from colon to period.] +\Paragraph{VIII.} Zwecks bequemer Übersicht werden die gefundenen +Normalformen in eine Tabelle zusammengestellt, \hyperref[tabelle]{Seite~\pageref{tabelle}}. +%-----File: 032.png--------------------------------------- +\begin{table}[p] +\begin{center} +\phantomsection\label{tabelle} +\begin{tabular}{lcc} +\multicolumn{3}{c}{\so{Tabelle der Normalformen.}} \\ \midrule\midrule + {\centering Charakter des Systems. } +& {\centering Normalform. } +& Charakteristiken. \\ \midrule\midrule + 1. Elliptisch +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + \dfrac{\partial u}{\partial y} + - \dfrac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +$\left\{ + \begin{aligned} + & x + iy = \alpha \\ + & x - iy = \beta + \end{aligned} +\right.$ +\\ \midrule +2. Hyperbolisch +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + \dfrac{\partial u}{\partial y} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +$\left\{ + \begin{aligned} + & x = \alpha \\ + & y = \beta + \end{aligned} +\right.$ +\\ \midrule + $\begin{array}{l}\text{3. Gewöhnlich-}\\ + \qquad\qquad\text{parabolisch}\end{array}$ +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + \dfrac{\partial u}{\partial y} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +$ \phantom{\left\{ \right.} + x = \alpha +$ +\\ \midrule + $\begin{array}{l}\text{4. Ausgezeichnet-}\\ + \qquad\qquad\text{parabolisch}\end{array}$ +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + \dfrac{\partial u}{\partial y} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +$ \phantom{\left\{ \right.} + y = \alpha +$ +\\ \midrule + $\begin{array}{ll}\text{5.\ }&\text{Gewöhnlich-}\\ + \multicolumn{2}{l}{\qquad\qquad\text{singulär,}}\\ + &\text{linear unabhängig}\end{array}$ +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + \dfrac{\partial u}{\partial y} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +--- +\\ \midrule + $\begin{array}{ll}\text{6.\ }&\text{Gewöhnlich-}\\ + \multicolumn{2}{l}{\qquad\qquad\text{singulär,}}\\ + &\text{linear abhängig}\end{array}$ +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +--- +\\ \midrule +\multirow{2}{*} +{$\begin{array}{ll}\text{7.\ }&\text{Ausgezeichnet-}\\ + \multicolumn{2}{l}{\qquad\qquad\text{singulär,}}\\ + &\text{linear abhängig}\end{array}$} +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + \dfrac{\partial u}{\partial x} + &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +--- +\\ \cmidrule{2-3} +& +$\left\{ + \begin{array}{ll} + \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y}} & + \\[-1em] + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) + \\[1em] + 0 &= \mathfrak{L}(u,v) + \end{array} +\right.$ +& +--- +\end{tabular} +\end{center} +\end{table} +%-----File: 033.png--------------------------------------- + +\Paragraph{IX.} Zum Schluß dieses Paragraphen wollen wir einige Arten +von Systemen aussondern, die für die weitern Betrachtungen trivial +sind, indem sie sich auf Differentialgleichungen erster Ordnung, +Gleichungen, in welchen keine Ableitungen vorkommen, oder gewöhnliche +Differentialgleichungen reduzieren lassen\footnote{ + Die Ausführungen dieses Absatzes sind möglichst kurz gemacht; es ist + keine Rede davon, strenge Auflösungsmethoden für die betrachteten + Systeme anzugeben, + da diese außerhalb des Gebiets der vorliegenden Arbeit fallen.}. + +Schreiben wir das allgemeine gewöhnlich-parabolische System: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &= A(x,y) u + B(x,y) v \\ + \frac{\partial u}{\partial y} +\phantom{{}+ \frac{\partial v}{\partial y}} &= C(x,y) u + D(x,y) v. +\end{aligned} +\right. +\] +Ist $D(x,y)$ identisch Null, so läßt sich $u$ aus der zweiten Gleichung +bestimmen; dann kann die erste Gleichung nach $v$ aufgelöst +werden; die allgemeine Lösung ist also durch Auflösen zweier +linearer, gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung zu +erhalten. Es genügt daher, diejenigen gewöhnlich-parabolischen +Systeme zu betrachten, für welche $D(x,y)$ nicht überall verschwindet; +wir können dann ein solches Gebiet wählen, daß $D(x,y)$ +nirgends verschwindet. + +Das ausgezeichnet-parabolische System lautet: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= A(x,y) u + B(x,y) v \\ + \frac{\partial v}{\partial x} &= C(x,y) u + D(x,y) v. +\end{aligned} +\right. +\] +Es kommen hier keine Ableitungen nach $y$ vor; darum kann das +System als gewöhnliches Differentialgleichungssystem gelöst werden, +wobei $x$ als die unabhängige Variable, $y$ als Parameter betrachtet +sind. + +Das gewöhnlich-singuläre, linear unabhängige System: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= A(x,y) u + B(x,y) v \\ + \frac{\partial u}{\partial y} &= C(x,y) u + D(x,y) v +\end{aligned} +\right. +\] +läßt sich, falls $v$ überhaupt auf den rechten Seiten vorkommt, durch +Elimination von $v$ auf eine einzige lineare partielle +Differentialgleichung +erster Ordnung für $u$ reduzieren; nach Integration dieser +Gleichung ist $v$ durch eine ableitungsfreie Gleichung gegeben. Ist +%-----File: 034.png--------------------------------------- +die Elimination unmöglich, \dh\ ist $B(x,y) \equiv D(x,y) \equiv 0$, so +haben wir zwei lineare partielle Differentialgleichungen für $u$, die +dann und nur dann lösbar sind, wenn $\dfrac{\partial A}{\partial y} = +\dfrac{\partial C}{\partial x}$; $v$ bleibt völlig +willkürlich. + +Bei dem gewöhnlich-singulären, linear abhängigen System +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial x} &= A(x,y) u + B(x,y) v \\ + 0 &= C(x,y) u + D(x,y) v +\end{aligned} +\right. +\] +gibt die zweite Gleichung (wenn nicht $C(x,y) \equiv D(x,y) \equiv +0$) eine +ableitungsfreie Relation zwischen $u$, $v$; drücken wir eine dieser +beiden Funktionen durch die andre aus, so wird die erste Gleichung +eine lineare Gleichung erster Ordnung für die andre Funktion. +Ist dagegen $C(x,y) \equiv D(x,y) \equiv 0$, so darf eine der Funktionen +willkürlich gewählt werden; die andre ist dann durch eine lineare +Gleichung erster Ordnung bestimmt. + +Für das ausgezeichnet-singuläre System gibt es zwei Formen: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} &= A(x,y)u + B(x,y)v \\ + 0 &= C(x,y)u + D(x,y)v +\end{aligned} +\right\},\qquad +\left\{ +\begin{aligned} + \vphantom{\frac{\partial u}{\partial x}}0 &= A(x,y)u + B(x,y)v \\ + 0 &= C(x,y)u + D(x,y)v +\end{aligned} +\right\}. +\] +Im ersten Falle ist, wenn $D(x,y)$ nicht identisch Null, $v$ durch $u$ +ausdrückbar, und wir erhalten eine lineare Gleichung erster Ordnung +für $u$. Ist $D(x,y) \equiv 0$, so ist die einzige Lösung des Systems +$u = 0$, $v = 0$; es sei denn, daß $B(x,y)$ oder $C(x,y) \equiv 0$; ist +$B(x,y) \equiv 0$, so existieren auch die Lösungen $u = 0$, $v =$ +willkürliche +Funktion; ist $C(x,y) \equiv 0$, so ist die erste Gleichung bei +willkürlicher Wahl von $v$ für $u$ lösbar. Im zweiten Falle kommen +gar keine Ableitungen vor; die Gleichungen besitzen dann und +nur dann Lösungen, wenn die Determinante +\[ +\begin{vmatrix} + \,A(x,y) & B(x,y)\, \\ + \,C(x,y) & D(x,y)\, +\end{vmatrix} +\] +verschwindet. + +\Paragraph{X.} Nur folgende Formen sind also als Systeme von allgemeinem +Charakter zu bezeichnen: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &= A(x,y) u + B(x,y) v +\\ + \frac{\partial u}{\partial y} +- \frac{\partial v}{\partial x} &= C(x,y) u + D(x,y) v , +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 035.png--------------------------------------- +\begin{align*} +&\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} +\phantom{{} + \frac{\partial v}{\partial y}} &= A(x,y) u + B(x,y) v +\\ + \frac{\partial v}{\partial y} +\phantom{{} + \frac{\partial v}{\partial y}} &= C(x,y) u + D(x,y) v +\end{aligned} +\right. \\[1em] +&\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &= A(x,y) u + B(x,y) v \\ + \frac{\partial u}{\partial y} +\phantom{{} + \frac{\partial v}{\partial y}} &= C(x,y) u + D(x,y) v +\end{aligned} +\right\}, \; D(x,y) \neq 0. +\end{align*} +Diese werden der Reihe nach in den folgenden drei Kapiteln behandelt +werden. + + +\Chapter{Zweites Kapitel.} +{Das elliptische System.} +\Section{3. Hilfsmittel zur Theorie des elliptischen Systems.} + +In diesem Paragraphen soll eine Reihe von vorbereitenden +Hilfssätzen betrachtet werden, die zur Lösung der Randwertaufgabe +bei dem elliptischen System erforderlich sind. Einige Sätze +aus der Potentialtheorie werden ohne Beweise angegeben; bei +andern, die neu sind, werden diejenigen Teile der Beweise, welche +auf rein potentialtheoretischen Methoden beruhen, ziemlich kurz +angedeutet werden\footnote{ + Für die betreffenden Sätze und Methoden aus der Potentialtheorie + sei verwiesen + auf \so{Korn}, Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd.~II; \so{Horn}, + Einführung in die + Theorie der partiellen Differentialgleichungen, \S\S~50--58. Häufig + fehlen in der + Literatur strenge Beweise mit genauer Angabe der hinreichenden + Bedingungen, + doch sind eventuelle Lücken ohne große Schwierigkeit auszufüllen. Alle + diese + Ausführungen hier anzugeben, würde uns viel zu weit führen.}. + +\Paragraph{I.} Es sei $\varOmega$ ein geschlossenes, von einer stetig +gekrümmten +doppelpunktslosen Kurve $S$ begrenztes Gebiet der $xy$-Ebene. Von +einer Funktion $f(xy)$, die \so{im Innern und auf dem Rande von +$\varOmega$} stetig resp.\ stetig differenzierbar, \usw\ ist, sagen +wir kurz, +sie sei stetig resp.\ stetig differenzierbar \usw; Eigenschaften, +die allein \so{im Innern von $\varOmega$} stattfinden, werden immer +als solche +genannt. Der Wert einer Funktion $f(xy)$ in einem Punkte auf +$S$, dessen Bogenlänge, von einem festen Punkt auf $S$ gemessen, +%-----File: 036.png--------------------------------------- +gleich $s$ ist, wird immer mit $f(s)$ bezeichnet. Es bedeutet dann +auch $\dfrac{\partial f(s)}{\partial x}$ resp.\ $\dfrac{\partial +f(s)}{\partial y}$ \usw\ die Ableitung in der $x$- resp.\ $y$-Richtung +\usw\ im Punkte $s$ auf $S$. Die Buchstaben~$n$, $\nu$ bedeuten +immer die Richtungen der inneren Normalen in den Punkten +$s,\sigma$ von $S$. Bei Funktionen $f(\xi\eta, xy)$ die von zwei Punkten +$(\xi\eta),(xy)$ +abhängig sind, gebrauchen wir auch, falls ein Punkt oder die beiden +Punkte auf $S$ liegen, die leicht verständlichen Bezeichnungen +\[ + f(\sigma,xy),\; f(\xi\eta,s),\; f(\sigma,s),\; + \frac{\partial f(\sigma,xy)}{\partial \xi},\; + \frac{\partial f(\sigma,s)}{\partial \eta} +\] +\usw\ \ Folgende Abkürzungen werden vielfach benutzt: +\begin{gather*} + r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) += \sqrt{(\xi_1 - \xi_2)^2 + (\eta_1 - \eta_2)^2}, +\\ + l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) += -\log \sqrt{(\xi_1 - \xi_2)^2 + (\eta_1 - \eta_2)^2}. +\end{gather*} + +Die Greenschen Funktionen erster und zweiter Art der Laplaceschen +Gleichung sind durch die Bedingungen definiert\footnote{ + \so{Hilbert}, Göttinger Nachrichten (1904), S.~237--238.}: +\begin{gather*} + G(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) += l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) ++ g(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) ; +\\ + \frac{\partial^2 g}{\partial \xi_1^2} ++ \frac{\partial^2 g}{\partial \eta_1^2} = 0; +\quad + G(\sigma_1, \xi_2 \eta_2) = 0; +\\ + H(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) += l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) ++ h(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) ; +\\ + \frac{\partial^2 h}{\partial \xi_1^2} ++ \frac{\partial^2 h}{\partial \eta_1^2} = 0; +\quad + \frac{\partial H(\sigma_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \nu_1} = 0; +\quad + \iint\limits_{\varOmega} H(\xi\eta, xy)\,dR = 0; +\end{gather*} +wo $g$, $h$ reguläre Funktionen sind. Bekanntlich ist jede der Funktionen +$G$, $H$ symmetrisch in Bezug auf das Punktepaar $(\xi_1 \eta_1)$, +$(\xi_2 \eta_2)$. + +\Paragraph{IIa.} \so{Sind $\varphi(xy)$, $\psi(xy)$ endlich bleibende, +im Innern +von $\varOmega$ stetige Funktionen, so konvergieren die Integrale} +\[ + \iint\limits_{\varOmega} l(\xi\eta, xy) \varphi(xy)\,dR,\quad + \iint\limits_{\varOmega} \frac{\varphi(xy)}{r(\xi\eta, xy)}\,dR, +\] +\so{und stellen stetige Funktionen dar; und folgende Umkehrung +der Integrationsfolge ist erlaubt:} +\[ + \iint\limits_{\varOmega} \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\varphi(x_1 y_1) \psi(xy)}{r(x_1 y_1, xy)}\,dR\, dR_1 += \iint\limits_{\varOmega} \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\varphi(x_1 y_1) \psi(xy)}{r(x_1 y_1, xy)}\,dR_1\, dR, +\] +%-----File: 037.png--------------------------------------- + +\Paragraph{IIb.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine endlich bleibende, im Innern +von $\varOmega$ stetige Funktion, so gelten die Differentiationsformeln} +\begin{gather*} + \frac{\partial}{\partial \xi} + \iint\limits_{\varOmega} + l(\xi\eta, xy) \varphi(xy) \,dR += \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial l(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \varphi(xy) \,dR , +\\ + \frac{\partial}{\partial \eta} + \iint\limits_{\varOmega} + l(\xi\eta, xy) \varphi(xy) \,dR += \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial l(\xi\eta, xy)}{\partial \eta} \varphi(xy) \,dR. +\end{gather*} + +\Paragraph{IIc.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige, im Innern von +$\varOmega$ stetig +differenzierbare Funktion, so konvergieren die Integrale} +\begin{gather*} + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial^2 l(\xi\eta, xy)}{\partial x \partial \xi } + \{ \varphi(xy) - \varphi(\xi\eta) \} \,dR, +\; + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial^2 l(\xi\eta, xy)}{\partial x \partial \eta } + \{ \varphi(xy) - \varphi(\xi\eta) \} \,dR, +\\ + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial^2 l(\xi\eta, xy)}{\partial y \partial \xi } + \{ \varphi(xy) - \varphi(\xi\eta) \} \,dR, +\; + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial^2 l(\xi\eta, xy)}{\partial y \partial \eta } + \{ \varphi(xy) - \varphi(\xi\eta) \} \,dR. +\end{gather*} + +\Paragraph{IIIa.} \so{Ist $\varphi(\xi_1 \eta_1, xy, \xi_2 \eta_2)$ +eine endlich bleibende, bei +getrennten Lagen der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(xy)$, $(\xi_2 \eta_2)$ +stetige +Funktion, so ist die Funktion} +\[ + \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) += \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\varphi(\xi_1 \eta_1, xy, \xi_2 \eta_2)} + {r(\xi_1 \eta_1, xy) r(xy, \xi_2 \eta_2)} \,dR +\] +\so{eine bei getrennten Lagen der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 +\eta_2)$ stetige +Funktion; bei Annäherung der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ +gilt die Ungleichung:} +\[ + \lvert \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) \rvert +< kl(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2), +\] +\so{wenn} +\[ + r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) < \delta, +\] +\so{wo $k$ eine Konstante bedeutet.} + +Es sei $\lvert\varphi\rvert < m$, wo $m$ eine Konstante bedeutet; +wir nehmen +zuerst zwei getrennt liegende Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$, +\[ + \varrho = r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) > 0, +\] +und wollen beweisen, daß wir zu einem gegebenen $\varepsilon > 0$ +ein solches +$\delta > 0$ wählen können, daß +\[ + \lvert \varPhi(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) +- \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) \rvert < \varepsilon, +\] +wenn +\[ + r(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, \xi_1 \eta_1) + < \delta,\; + r(\overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2, \xi_1 \eta_1) + < \delta. +\] +%-----File: 038.png--------------------------------------- + +Wir wählen zunächst $\delta$ so klein, daß +\[ + \delta < \frac{\varrho}{2},\; + \frac{32\,\pi m\delta}{\varrho - 2\delta} < \varepsilon\;\footnotemark. +\] +\footnotetext{ + Diese Wahl von $\delta$ ist sicher möglich; denn es ist +\[ + \underset{\delta=0}{L} \frac{32\,\pi m\delta}{\varrho-2\delta} = 0. +\]}% +Wir nennen $\varOmega_1$, $\varOmega_2$ zwei kleine Kreise vom Radius +$\delta$ um $(\xi_1 \eta_1)$, +$(\xi_2 \eta_2)$ als Mittelpunkte oder die in $\varOmega$ liegenden +Teile solcher Kreise, +$\varOmega_0$ den übrigen Teil von $\varOmega$, und schreiben +\[ + \varPhi = \varPhi_1 + \varPhi_2 + \varPhi_0, +\] +wo +\[ + \varPhi_i( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 ) += \iint\limits_{\varOmega_i} + \frac{ \varphi( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, xy, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 ) } + { r( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, xy ) + r( xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 ) } + \, dR,\quad [i = 0,1,2], +\] +für beliebige Punkte $(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1)$ +in $\varOmega_1$, $(\overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$ +in $\varOmega_2$. In $\varOmega_1$ ist +\begin{align*} +& r( xy, \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1 ) \leqq +2\delta, \\ +& r( xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 ) \geqq +\varrho -2\delta; +\end{align*} +wir finden also mit Hilfe von Polarkoordinaten $r[= r(\xi_1 \eta_1, xy)]$, +$\vartheta$ um $(\xi_1 \eta_1)$: +\begin{align*} + \lvert\varPhi_1( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 )\rvert +&\leqq \frac{m}{\varrho-2\delta} + \iint\limits_{\varOmega_1} + \frac{dR}{r(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1 , xy)} \\ +&\leqq \frac{m}{\varrho-2\delta} + \int\limits_{\!0}^{\!2\pi} \!\!\! \int\limits_0^{\ 2\delta} dr\, + d\vartheta += \frac{4\pi m\delta}{\varrho-2\delta} < \frac{\varepsilon}{8}. +\end{align*} +Ebenso ist +\[ + \lvert\varPhi_2( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 )\rvert +< \frac{\varepsilon}{8}; +\] +und diese Ungleichungen gelten auch insbesondere, wenn wir die +Punkte +$(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1)$, +$(\overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$ in den speziellen +Lagen +$(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ wählen. +Es ist daher +\begin{align*} +& \lvert\varPhi_1(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) - + \varPhi_1(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert < \frac{\varepsilon}{4}, +\\ +& \lvert\varPhi_2(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) - + \varPhi_2(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert < \frac{\varepsilon}{4}. +\end{align*} + +Da aber die Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ nicht in +$\varOmega_0$ enthalten sind, +%-----File: 039.png--------------------------------------- +so ist sicher $\varPhi_0$ stetig; die Wahl eines eventuell kleinern +$\delta$ läßt +also erreichen, daß auch +\[ + \lvert \varPhi_0(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) + - \varPhi_0(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) \rvert +< \frac{\varepsilon}{2}; +\] +daraus folgt, daß +\[ + \lvert \varPhi(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) + - \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) \rvert < \varepsilon, +\] +womit der erste Teil des Satzes bewiesen ist. + +Es sei jetzt $M$ eine Konstante, die größer ist als die Entfernung +irgend zweier Punkte von $\varOmega$; dann enthält ein Kreis vom +Radius $M$ um irgend einen Punkt von $\varOmega$ den ganzen Bereich +$\varOmega$ +im Innern. Zwecks Beweises der zweiten Behauptung unseres +Satzes führen wir wieder Polarkoordinaten ein, und zwar, ausführlich +geschrieben, mittels der Formeln: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + x &= \xi_1 + r\cos \vartheta, \\ + y &= \eta_1 + r\sin \vartheta, +\end{aligned} +\right. \qquad +\left\{ +\begin{aligned} + \xi_2 &= \xi_1 + \varrho\cos \alpha, \\ + \eta_2 &= \eta_1 + \varrho\sin \alpha, +\end{aligned} +\right. +\] +wobei $r$, $\varrho$ ihre früheren Bedeutungen beibehalten. Wir finden +\begin{align*} + \lvert\varPhi_1(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert +&\leqq m \iint\limits_{\varOmega} + \frac{dR}{r(\xi_1 \eta_1, xy) r(xy, \xi_2 \eta_2)} +\\ +&= m \iint\limits_{\varOmega} + \frac{dR} + {r\sqrt{r^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos (\vartheta-\alpha)}} +\\ +&< m \int\limits_{\!0}^{2\pi} \!\!\! \int\limits_0^{\ M} + \frac{dr\, d\vartheta} + { \sqrt{r^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos (\vartheta-\alpha)}} +\\ +&= \begin{aligned}[t] + m \int\limits_0^{2\pi} \log + \{ \sqrt{M^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos (\vartheta-\alpha)} + + M - \varrho\cos (\vartheta-\alpha) \} \,d\vartheta& \\ + - m \int\limits_0^{2\pi} \log + \{ \varrho(1 - \cos (\vartheta-\alpha)) \} \,d\vartheta&. +\end{aligned} +\end{align*} +Bleiben aber die Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ im Innern +oder auf dem Rande +von $\varOmega$, so ist der Integrand des ersten Integrals stetig; daher +bleibt das Integral für alle Werte von $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ +absolut unter +einem konstanten Wert $k_1$. Ferner ist +\[ + \int\limits_0^{2\pi} \log + \{ \varrho(1 - \cos (\vartheta-\alpha)) \} \,d\vartheta += 2\pi \log \varrho - 2\pi \log 2; +\] +so daß +\[ + \lvert\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert +< -2\pi m \log \varrho + k_2. +\] +%-----File: 040.png--------------------------------------- +Wählen wir schließlich $\varepsilon$ als eine beliebige positive +Konstante, dann +$\delta$ so klein, daß +\[ + \frac{k_2}{-\log \varrho} < \varepsilon, +\] +wenn +\[ + \varrho < \delta, +\] +so ist +\[ + \lvert\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert +< -(2\pi m + \varepsilon) \log \varrho; +\] +der zweite Teil des Satzes ist bewiesen; es darf ersichtlich $k$ +irgend eine positive Konstante größer als $2\pi m$ sein. + +\Paragraph{IIIb.} \so{Ist $\varphi(\xi_1 \eta_1, xy, \xi_2 \eta_2)$ +eine in $\varOmega$ endlich bleibende, +bei getrennten Lagen der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(xy)$, $(\xi_2 +\eta_2)$ stetige +Funktion, so ist folgende Umkehrung der Integrationsfolge +erlaubt:} +\[ + \iint\limits_{\varOmega} \; + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{ \varphi(\xi\eta, xy, x_1 y_1) } + { r(\xi\eta, xy) \,r(xy, x_1 y_1) }\, dR\, dR_1 += \iint\limits_{\varOmega} \; + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{ \varphi(\xi\eta, xy, x_1 y_1) } + { r(\xi\eta, xy) \,r(xy, x_1 y_1) }\, dR_1\, dR. +\] + +Wir erweitern die Definition von $\varphi$, indem wir $\varphi = 0$ +setzen, +wenn entweder $(xy)$ oder $(x_1 y_1)$ außerhalb $\varOmega$ liegt. Wir +nennen +$\varOmega_0$, $\varOmega_1$, $\omega$ kleine Kreise vom Radius $\delta$ +um die variablen Punkte +$(xy)$, $(x_1 y_1)$, resp.\ den festen Punkt $(\xi\eta)$, und $\varOmega'$ +ein so großes, $\varOmega$ +ganz im Innern enthaltendes Gebiet, daß die kleinste Entfernung +zwischen den Randkurven von $\varOmega$, $\varOmega'$ größer als $2\delta$ +ist. Wir +werden den Integranden der Integrale zur Abkürzung mit $F$ bezeichnen, +und schreiben ferner: +\[ + r(\xi\eta, x y ) = r_0, \; + r(\xi\eta, x_1 y_1) = r_1, \; + r( xy, x_1 y_1) = r_{01}. +\] +Es sei $M'$ die größte Entfernung zweier Punkte von $\varOmega'$. In dem +vierdimensionalen Bereich, welcher durch die Angaben +\[ + (x y ) \text{ in } \varOmega' - \omega; \; + (x_1 y_1) \text{ in } \varOmega' - \omega; \; + r(xy, x_1 y_1) \geqq \delta +\] +bestimmt ist, ist der Integrand regulär, da jede Singularität +ausgeschlossen +ist; wir können also erst nach $xy$, dann nach $x_1 y_1$ +integrieren, mit gleichem Resultate; \dh\ wie man leicht sieht: +\[ + \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; + \iint\limits_{\,\,\varOmega'-\varOmega_1-\omega'} + F\, dR\, dR_1 += \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; + \iint\limits_{\,\,\varOmega'-\varOmega_0-\omega'} + F\, dR_1\, dR = I. +\] +Gelingt es uns, zu beweisen, daß +\begin{align*} + \underset{\delta=0}\bigL I +&= \underset{\delta=0}\bigL + \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; + \iint\limits_{\,\,\varOmega'-\varOmega_1-\omega} + F\, dR\, dR_1 += \iint\limits_{\varOmega'} \iint\limits_{\varOmega'} F\, dR\, dR_1 +\\ + \underset{\delta=0}\bigL I +&= \underset{\delta=0}\bigL + \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; + \iint\limits_{\,\,\varOmega'-\varOmega_0-\omega} + F\, dR\, dR_1 += \iint\limits_{\varOmega'} \iint\limits_{\varOmega'} F\, dR_1\, dR , +\end{align*} +%-----File: 041.png--------------------------------------- +so wird damit unser Satz offenbar bestätigt sein. Wir werden +hier den Beweis der ersten dieser beiden Grenzformeln durchführen; +der Beweis der zweiten würde nicht genau ebenso lauten, +sondern noch einfacher sein\footnote{ + Hätten wir im Nenner des Integranden auch den Faktor $r(\xi\eta, + x_1 y_1)$, so + wären die Formeln an dieser Stelle von genau symmetrischer Gestalt. Das + so + entstehende Problem für \so{doppelte Doppel}integrale ist dem für + \so{doppelte + einfache} Integrale ähnlich, das Verfasser im ersten Teil einer + andern Arbeit + betrachtet hat: Annals of Mathematics, Bd.~9 (1908), S.\ 183--187. +}. +Wir schreiben +\[ + I = I' - I'', +\] +wo +\begin{align*} + I' &= + \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; \iint\limits_{\varOmega'} + F\, dR\, dR_1, +\\ + I'' &= + \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; \iint\limits_{\varOmega'+\omega} + F\, dR\, dR_1. +\end{align*} +Bleibt $(x_1 y_1)$ in $\varOmega'-\omega$, $(xy)$ in $\varOmega_1$, so +ist $r_1 \geqq \delta$, $r_{01} \leqq \delta$, $r_0 \geqq r_1 - r_{01}$; +daher ist +\[ +\begin{split} + \left\lvert \,\iint\limits_{\varOmega_1} F\, dR \,\right\rvert \leqq + m \iint\limits_{\varOmega_1} \frac{dR}{r_{01}(r_1-r_{01})} += m \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\delta \frac{dr_{01}\, +d\vartheta}{r_1-r_{01}} +\\ += 2\pi m \{ \log r_1 - \log (r_1-\delta) \}. +\end{split} +\] +Bleibt $(x_1 y_1)$ in $\varOmega'-\omega$, $(xy)$ in $\omega$, so ist +$r_1 \geqq \delta$, $r_0 \leqq \delta$, $r_{01} \geqq r_1 - r_0$; +daher ist +\begin{align*} + \left\lvert \,\iint\limits_{\omega} F\, dR \,\right\rvert + & \leqq m \iint \frac{dR}{r_0(r_1-r_0)} + = m \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\delta \frac{dr_0\, d\vartheta}{r_1-r_0} + \\ + &= 2\pi m \{ \log r_1 - \log (r_1-\delta) \}. +\end{align*} +Wir haben also +\[ + \left| \; \iint\limits_{\varOmega_1+\omega} F\,dR \,\right\rvert \leqq + 4\pi m \{ \log r_1 - \log(r_1-\delta) \}\, dR, +\] +und +\begin{align*} + \lvert I'' \rvert & \leqq \iint\limits_{\varOmega'-\omega} + 4\pi m \{ \log r_1 - \log(r_1-\delta) \}\, dR_1, +\\ +& \leqq 4\pi m \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{M'} + r_1 \{ \log r_1 - \log(r_1-\delta) \}\, dr_1\, d\vartheta\;\footnotemark +\\ +&= 4\pi m·2\pi \left[ + \frac{M'^2}{2} \log M' - \frac{M'^2-\delta^2}{2} \log (M'-\delta) + + \frac{\delta M'}{2} - \frac{\delta^2}{2} \log \delta + - \frac{\delta^2}{2} \right] +\end{align*} +\footnotetext{ + Denn jeder Punkt der Randkurve von $\varOmega'$ ist von $(\xi\eta)$ + um höchstens $M'$ + entfernt, und der Integrand ist positiv.}% +%-----File: 042.png--------------------------------------- +und daher +\[ + \underset{\delta=0}\bigL I'' = 0, +\] +mithin +\[ + \underset{\delta=0}\bigL I += \underset{\delta=0}\bigL I'. +\] +Aber +\[ +\begin{split} + \underset{\delta=0}{\bigL} I' += \underset{\delta=0}{\bigL} + \iint\limits_{\varOmega'-\omega} \iint\limits_{\varOmega'} F\,dR\,dR_1 + \\ += \iint\limits_{\varOmega'} \iint\limits_{\varOmega'} F\,dR\,dR_1 , +\end{split} +\] +nach Definition eines uneigentlichen Integrals; so daß die Formel +bewiesen ist. + +\Paragraph{IVa.} \so{Bedeutet $\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$ +irgend einen der Ausdrücke} +\begin{align*} +& \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR, +\\ +& \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial y}\, dR, +\\ +& \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial y} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR, +\\ +& \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial y} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial y}\, dR, +\end{align*} +\so{wo $\varphi(xy)$ eine stetig differenzierbare Funktion ist, +so gelten die Sätze:} + +1. \so{$\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$ ist für getrennt liegende +Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, +$(\xi_2 \eta_2)$ stetig und nach den Koordinaten eines innern +Punktes $(\xi_1 \eta_1)$ von $\varOmega$ stetig differenzierbar.} + +2.\hfill $\lvert\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert +< kl(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$,\hfill\break +\so{wenn } +\[ + r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) < \delta. +\] + +3. \so{für einen innern Punkt $(\xi_1 \eta_1)$} +\[ + \left\lvert \frac{\partial \varPhi}{\partial \xi_1 } \right\rvert<,\quad + \left\lvert \frac{\partial \varPhi}{\partial \eta_1} \right\rvert +< \frac{k}{r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}, +\] +\so{wenn} +\[ + r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) < \delta. +\] +%-----File: 043.png--------------------------------------- + +Wir wollen die Behauptungen im ersten der vier genannten +Fälle bestätigen; die andern lassen sich genau ebenso behandeln. +Schreiben wir +\[ + \varphi(\xi_1 \eta_1, xy, \xi_2 \eta_2) += \frac{\xi_1 - x}{r(\xi_1 \eta_1, xy)} \varphi(xy) + \frac{\xi_2 - x}{r(\xi_2 \eta_2, xy)} , +\] +so ist der Integrand von der in den letzten Absätzen behandelten +Art. Also gilt schon nach IIIa die Stetigkeit für getrennte +Punkte, sowie die Abschätzung~2. Wir haben also noch zu beweisen, +daß, wenn $(\xi_1 \eta_1)$ ein innerer Punkt, $(\xi_2 \eta_2)$ ein von +$(\xi_1 \eta_1)$ +verschiedener Punkt von $\varOmega$ ist, die Ableitungen nach~$\xi_1 +\eta_1$\quad A) existieren; +B) stetig sind; C) bei Annäherung der beiden Punkte die +Abschätzung~3 befriedigen. Um die Ableitungen nach $\xi_1 \eta_1$ +gleichzeitig +zu behandeln, nennen wir $\zeta_1$ eine beliebige Richtung, die +den Winkel~$\alpha_0$ mit der $\xi_1$-Richtung bildet. + +A) Wir schlagen um den Punkt $(\xi_1 \eta_1)$ einen beliebigen, den +Punkt $(\xi_2 \eta_2)$ umschließenden Teilbereich $k$ von $\varOmega$, +dessen Randkurve +wir $C$ nennen. Es ist dann +\begin{align*} + \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) +&= \iint\limits_k + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR +%\\ ++ \iint\limits_{\varOmega-k} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR +\\ +&= \int\limits_C + l(\xi_1 \eta_1, s) \varphi(s) + \frac{\partial l(s, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} dy +\\ +&\; - \iint\limits_k + l(\xi_1 \eta_1, xy) \frac{\partial}{\partial x} + \left\{ \varphi(xy) \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} + \right\}\, dR +\\ +&\; + \iint\limits_{\varOmega-k} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR, +\end{align*} +wie die teilweise Integration ergibt. In dieser Form können wir +die Differentiation direkt ausführen\footnote{ + Bei Differentiation des Integrals über $\varOmega-k$ ist ein + Grenzübergang notwendig + wegen der singulären Stelle $(\xi_2 \eta_2)$; doch lassen wir die + Formeln weg, da + keine Schwierigkeit auftritt; bei der Differentiation des Integrals + über $k$ machen + wir von IIb Gebrauch.}: +%-----File: 044.png--------------------------------------- +\begin{align*} + \frac{\partial \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \zeta_1} +&= \; \int\limits_C + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, s)}{\partial \zeta_1} \varphi(s) + \frac{\partial l(s, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dy +\\ +& \; - \iint\limits_{k} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial \zeta_1} + \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \right\} dR +\\ +& \; + \iint\limits_{\varOmega-k} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x\, \partial \zeta_1} + \varphi(xy) \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR. +\end{align*} + +B) Wir wollen jetzt beweisen, daß wir zu einem gegebenen +$\varepsilon > 0$ ein solches $\delta > 0$ wählen können, daß +\[ + \left\lvert + \frac{ \partial \varPhi(\overline{\xi}_1 + \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) } + { \partial \overline{\zeta}_1 } +- \frac{ \partial \varPhi(\xi_1\eta_1, \xi_2 \eta_2) } + { \partial \zeta_1 } + \right\rvert < \varepsilon, +\] +wenn +\[ + r(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, \xi_1 \eta_1) < + \delta, \; + r(\overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2, \xi_2 \eta_2) + < \delta. +\] + +Es sei $\lvert\varphi\rvert < m$, +$\left\lvert \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} \right\rvert < m$; +wir nehmen das in A) willkürliche +Gebiet $k$ als einen Kreis vom Radius $d$ um $(\xi_1 \eta_1)$ als +Mittelpunkt; +und wir wählen zunächst $\delta$ so klein, daß\footnote{ + Die beiden letzten Ungleichungen lassen sich sicher erfüllen, da deren + linke Seiten den Grenzwert $0$ bei $\delta = 0$ haben.} +\[ + \delta < d, \quad \delta < \frac{\varrho}{2}, \quad + 32\pi m\delta + \left[ \frac{1}{\varrho-2\delta} + \log(\varrho+2\delta) \right] +< \varepsilon, \quad + \frac{32\pi m\delta}{(\varrho - 2\delta)^2} < \varepsilon; +\] + +Hier ist wieder +\[ + \varrho = r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) > 0. +\] + +Wir schlagen Kreise $\varOmega_1$, $\varOmega_2$ vom Radius $\varrho$ +um $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ als +Mittelpunkte; dabei bedeutet $\varOmega_2$ eventuell nur den in +$\varOmega$ liegenden +Teil eines Kreises; und den außerhalb $\varOmega_1$ liegenden Teil von $k$ +nennen wir $k_1$. Wir schreiben +\[ + \frac{\partial \varPhi}{\partial \overline{\zeta}_1} += \varPsi_0 + \varPsi_1 + \varPsi_2, +\] +wo +\begin{align*} + \varPsi_0(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) +&= \; \int\limits_C + \frac{\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, s)} + {\partial \overline{\zeta}_1} \varphi(s) + \frac{\partial l(s, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)} + {\partial x}\, dy +\\ +& \; - \iint\limits_{k-\varOmega_1} + \frac{\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, xy)} + {\partial \overline{\zeta}_1} + \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)} + {\partial x} \right\} dR +\\ +& \; + \iint\limits_{\varOmega-\varOmega_2-k} + \frac{\partial^2 l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + xy)} + {\partial x \,\partial \overline{\zeta}_1} + \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)} + {\partial x}\, dR, +\end{align*} +%-----File: 045.png--------------------------------------- +\begin{align*} + \varPsi_1(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) +&= - \iint\limits_{\varOmega_1} + \frac{\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, xy)} + {\partial \overline{\zeta}_1} + \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)} + {\partial x} \right\} dR, +\\ + \varPsi_2(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) +&= \iint\limits_{\varOmega_2} + \frac{\partial^2 l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + xy)} + {\partial x\,\partial \overline{\zeta}_1} + \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)} + {\partial x}\, dR; +\end{align*} +durch ähnliches Verfahren wie in IVa bekommen wir für die beiden +letzten Integrale Abschätzungen, die wir hier nur angeben wollen: +\[ +\begin{alignedat}{2} + \lvert\varPsi_1(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) \rvert +& \leqq 4\pi m\delta + \left\{ \frac{1}{\varrho-2\delta} + \log(\varrho+2\delta) \right\} +&&< \frac{\varepsilon}{8} +\\ + \lvert\varPsi_2(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) \rvert +& \leqq \frac{ 4\pi m\delta }{ (\varrho-2\delta)^2 } +&&< \frac{\varepsilon}{8} +\end{alignedat} +\] +Es gelten daher die Formeln: +\begin{align*} +& \lvert \varPsi_1(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) + - \varPsi_1(\xi_1\eta_1, \xi_2 \eta_2) + \rvert < \frac{\varepsilon}{4} +\\ +& \lvert \varPsi_2(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) + - \varPsi_2(\xi_1\eta_1, \xi_2 \eta_2) + \rvert < \frac{\varepsilon}{4}, +\end{align*} +wenn +\[ + r(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1) < + \delta, \; + r(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) < + \delta ; +\] +da $\varPsi_0(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$ +offenbar stetig ist für die Werte $(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$, so +ist (eventuell bei Wahl eines kleinern $\delta$) +\[ + \lvert \varPsi_0(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) + - \varPsi_0(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) + \rvert < \frac{\varepsilon}{2}, +\] +also schließlich +\[ + \left\lvert + \frac{ \partial \varPhi(\overline{\xi}_1 + \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) } + { \partial \overline{\zeta}_1 } +- \frac{ \partial \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) }{\partial \zeta_1} + \right\rvert < \varepsilon , +\] +was zu beweisen war. + +C) Ehe wir das Zusammenfallen der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 +\eta_2)$ in +Betracht ziehen, wollen wir die Formel für die Ableitung am +Ende von A) umformen. Wir nehmen für $k$ einen kleinen Kreis +vom Radius $\delta$ um $(\xi_1 \eta_1)$; die Ableitung selbst ist von +dem Wert +von $\delta$ unabhängig, muß also unverändert bleiben beim Grenzübergang +$\delta = 0$. In den ersten zwei Gliedern rechts ist der Grenzwert +leicht zu berechnen; denn +\begin{align*} +& \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_C + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, s)}{\partial \zeta_1} \varphi(s) + \frac{\partial l(s, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dy += \pi \cos \alpha_0 · \varphi(\xi_1 \eta_1) + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} +\\ +& \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{k} + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial \zeta_1} + \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \right\} dR = 0. +\end{align*} +%-----File: 046.png--------------------------------------- +Daher muß das Integral über $\varOmega-k$ auch einen Grenzwert +besitzen\footnote{ + Ein solcher Grenzwert bei kreisförmigem Grenzübergang im Fall eines + nicht konvergenten Doppelintegrals dürfte wohl, nach Analogie der + einfachen + Integrale, der \so{Cauchysche Hauptwert} des nicht konvergenten + Integrals + genannt werden.}. +Es ist also +\begin{align*} + \frac{\partial \varPhi}{\partial \zeta_1} +&= \pi \cos\alpha_0 · \varphi(\xi_1 \eta_1) + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} +\\ +&+ \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x\, \partial \zeta_1} + \varphi(xy) + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR +\displaybreak[1]\\ +&= \pi \cos\alpha_0 · \varphi(\xi_1 \eta_1) + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} +\\ +&+ \varphi(\xi_1 \eta_1) + \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x \, \partial \zeta_1} + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \, dR +\\ +&+ \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x \, \partial \zeta_1} + \left\{ \varphi(xy) - \varphi(\xi_1 \eta_1) \right\} + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \, dR, +\end{align*} +da letzteres Integral offenbar konvergiert (IIc). Es ist ferner, +wenn wir annehmen, $\varphi$ und seine ersten Ableitungen seien absolut +kleiner als $m$, +\[ + \left\lvert\; + \pi \cos\alpha_0 · \varphi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) + \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} + \,\right\rvert < \frac{\pi m}{r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)} +\] +\begin{multline*} + \left\lvert\; \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x \, \partial \zeta_1} + \left\{ \varphi(xy) - \varphi(\xi_1 \eta_1) \right\} + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \,\right\rvert +\\ +\leqq m \iint\limits_{\varOmega} + \frac{dR}{r(\xi_1 \eta_1, xy) r(xy, \xi_2 \eta_2)} +< k_0 l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2), +\end{multline*} +wenn +\[ + r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) < \delta, +\] +nach IIIa. Da diese beiden Bestandteile von +$\dfrac{\partial \varPhi}{\partial \zeta_1}$ singulär sind wie +$\dfrac{1}{r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}$ resp.\ +$ l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) $ (welches von noch niederer +Ordnung +ist), so brauchen wir bloß zu beweisen, daß die Funktion +\[ + I = \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x\, \partial \zeta_1} \, + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} +\] +%-----File: 047.png--------------------------------------- +nur von der ersten Ordnung singulär ist, bei Annäherung der +Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$. Wir dürfen annehmen, das +Gebiet $\varOmega$ sei konvex, +denn sonst könnten wir immer ein konvexes Gebiet innerhalb $\varOmega$ +nehmen, welches die nahe liegenden Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 +\eta_2)$ enthält, +und es würde dann das Integral über den übrigen Teil von $\varOmega$ +stetig sein, also endlich bleiben bei Annäherung der beiden +Punkte\footnote{ + Uebrigens ist die Einschränkung auf konvexe Gebiete überflüssig, wenn + wir die später auftretenden Integrale mit Element $d\vartheta$ als + Kurvenintegrale verstehen + wollen (vgl.\ \so{Goursat}, Cours d'Analyse, Bd.~I, No.~395). Dann + wäre aber + notwendig (etwa im Fall einer Randkurve mit unendlich oft oszillierender + Tangente) + eine strengere Untersuchung der unten ausgeführten Integration nach $r$, + mittels welcher ein Doppelintegral in ein Kurvenintegral mit Element + $d\vartheta$ übergeführt + ist; daher scheint sich die angegebene Methode mehr zu empfehlen.}. + +Wir bezeichnen mit $M_1$ resp.\ $M_2$ den absolut größten Wert +des Logarithmus der Entfernung zwischen dem Punkte $(\xi_1 \eta_1)$ resp.\ +$(\xi_2 \eta_2)$ und einem Punkte der Randkurve $S$ von $\varOmega$. Wir +führen +Polarkoordinaten um den Punkt $(\xi_1 \eta_1)$ ein, mit der in IIIa +gegebenen +Bezeichnungsweise. Dann ergibt eine leichte Rechnung +für den Integranden folgende Identität: +\begin{gather*} + \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x \, \partial \zeta_1} \, + \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} += \frac{\cos(2\vartheta-\alpha_0)}{r^2} \, + \frac{r\cos\vartheta - \varrho\cos\alpha} + {r^2 - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) + \varrho^2} +\\ +=-\frac{\cos(2\vartheta-\alpha_0)\cos\alpha}{\varrho r^2} ++ \frac{\cos(2\vartheta-\alpha_0) + \cos\alpha \{ r - \varrho\cos(\vartheta-\alpha) \} } + {\varrho r \{ r^2 + \varrho^2 + - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) \} } +\\ +- \frac{\cos(2\vartheta-\alpha_0) \sin(\vartheta-\alpha)\cos\vartheta} + {r \{ r^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) \} }. +\end{gather*} +Wir nennen die drei Glieder der Reihe nach $F_1$, $F_2$, $F_3$ und die +entsprechenden Teile des Integrals $I_1$, $I_2$, $I_3$. Wir bemerken, daß +nur $F_1$ bei $r = 0$ von höherer als erster Ordnung singulär ist; +darum dürfen wir für $I_2$ und $I_3$ das Zeichen +\[ + \iint\limits_{\varOmega} \quad \text{statt} \quad + \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k} +\] +schreiben. Ferner denken wir uns die Gleichung der Randkurve +in der Form $r = r(\vartheta)$ geschrieben. Zunächst ist +\[ + I_1 += \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k} + F_1 r\, dr\, d\vartheta += \underset{\delta=0}{\bigL} + \biggl\{ - \frac{\cos\alpha}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi} + \cos(2\vartheta-\alpha_0) + \{ \log r(\vartheta) - \log\delta \} + \biggr\} d\vartheta ; +\] +aber +%-----File: 048.png--------------------------------------- +\[ + \int\limits_0^{2\pi} + \cos (2\vartheta-\alpha_0) \log \delta\, d\vartheta = 0; +\] +also ist +\begin{gather*} + I_1 +=-\frac{\cos\alpha}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi} + \cos (2\vartheta-\alpha_0) \log r(\vartheta)\, d\vartheta, +\\ + \lvert I_1 \rvert \leqq \frac{1}{\varrho} 2\pi M_1. +\end{gather*} +Es ist +\begin{gather*} + I_2 = \iint\limits_{\Omega} F_2 r\, dr\, d\vartheta +\\ += \frac{\cos\alpha}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi} +\int\limits_0^{r(\vartheta)} + \frac{ \cos(2\vartheta-\alpha_0) + \{ r - \varrho\cos(\vartheta-\alpha) \} } + { r^2 - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) + \varrho^2 } + \, dr\, d\vartheta +\\ += \frac{\cos\alpha}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi} +\cos(2\vartheta-\alpha_0) + \log\sqrt{ \{r(\vartheta)\}^2 + - 2\varrho r(\vartheta) \cos(\vartheta-\alpha) + + \varrho^2 } \, d\vartheta, +\\ + \lvert I_2 \rvert \leqq \frac{1}{\varrho} 2\pi M_2. +\end{gather*} +Schließlich ist +\begin{gather*} + I_3 = \iint\limits_{\varOmega} F_3 r\, dr\, d\vartheta +\\ += - \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{r(\vartheta)} + \frac{ \cos(2\vartheta-\alpha_0) + \cos\vartheta \sin(\vartheta-\alpha) } + { r^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) } + \, dr\, d\vartheta +\\ += - \frac{1}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi} + \left[ \operatorname{arctg} + \frac{ r - \varrho\cos(\vartheta-\alpha) } + { \varrho\sin(\vartheta-\alpha) } \right]_0^{r(\vartheta)} + \cos(2\vartheta-\alpha_0) \cos\vartheta \, d\vartheta; +\end{gather*} +die Wahl des Zweiges des Arcustangens ist unwesentlich; jedenfalls +wird das Argument des Arcustangens zwischen $r = 0$ und $r = r(\vartheta)$ +nicht unendlich\footnote{ + Wir lassen außer Betracht die Werte $\vartheta = \alpha$, $\vartheta = + \alpha + \pi$, für welche + die obige Integration nach $r$ von vorn herein nicht gilt; es ist + daselbst der Wert + von $F_3$ gleich Null.}; +also ist +\[ + \left\lvert \left[ \operatorname{arctg} + \frac{ r - \varrho\cos(\vartheta-\alpha) } + { \varrho\sin(\vartheta-\alpha) } \right]_0^{r(\vartheta)} + \right\rvert < \pi; +\] +%-----File: 049.png--------------------------------------- +demnach +\[ + \lvert I_3 \rvert < \frac{2\pi^2}{\varrho}. +\] + +Wir haben also +\[ + \lvert I \rvert +\leqq \lvert I_1 \rvert + \lvert I_2 \rvert + \lvert I_3 \rvert +< \frac{2\pi (M_1 + M_2 + \pi)}{\varrho}, +\] +was bewiesen werden sollte. + +\Paragraph{IVb.} \so{Hat $\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$ dieselbe +Bedeutung wie in +IVa und ist $\varphi(xy)$ eine stetige Funktion, so ist die +Funktion} +\[ + u(\xi\eta) = \iint\limits_{\varOmega} \Phi(\xi\eta, xy) \varphi(xy) + \, dR +\] +\so{stetig, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbar.} + +Abschätzungen für die Differenz zweier Werte von $u$, den +Differenzenquotienten, und die Differenz der Werte einer Ableitung +von $u$ folgen leicht auf übliche Weise aus den in IIIa angegebenen +Abschätzungen für $\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$. Wir lassen die +keineswegs schwierigen +Rechnungen weg. + +\Paragraph{Va.} \so{Ist $f(s)$ eine stetig differenzierbare Funktion, +so existiert eine und nur eine solche stetige im Innern +von $\varOmega$ analytische Lösung der Differentialgleichung} +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} ++ \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0, +\] +\so{daß $u(\sigma) = f(\sigma)$; diese lautet:} +\[ + u(\xi\eta) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_S + \frac{\partial G(\xi\eta, s)}{\partial n} f(s) \, ds. +\] + +\Paragraph{Vb.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige, im Innern von +$\varOmega$ stetig +differenzierbare Funktion, so existiert eine und nur +eine solche stetig differenzierbare, im Innern von $\varOmega$ +zweimal stetig differenzierbare Lösung der Differentialgleichung} +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} ++ \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = \varphi(\xi\eta), +\] +\so{daß $u(\sigma) = 0$: diese lautet:} +\[ + u(\xi\eta) = - \frac{1}{2\pi} \iint\limits_\varOmega + G(\xi\eta, xy) \varphi(xy) \, dR; +\] +%-----File: 050.png--------------------------------------- +\so{und alle Lösungen, für welche $\frac{\partial u(\sigma)}{\partial \nu} += 0$, sind} +\[ + u(\xi\eta) = - \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega} + H(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR + k, +\] +\so{wo $k$ eine Konstante.} + +\Paragraph{VI.} \so{Für die Greenschen Funktionen $G$, $H$ bestehen +für Punkte $(\xi\eta)$, $(xy)$ von $\varOmega$, die nicht beide am Rande, +folgende Relationen:} +\[ +\left\{\ +\begin{aligned} +& \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial \xi } ++ \frac{\partial^2 H}{\partial y \, \partial \eta} = 0, +\\ +& \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial \eta} +- \frac{\partial^2 H}{\partial y \, \partial \xi } = 0, +\\ +& \frac{\partial^2 G}{\partial y \, \partial \xi } +- \frac{\partial^2 H}{\partial x \, \partial \eta} = 0, +\\ +& \frac{\partial^2 G}{\partial y \, \partial \eta} ++ \frac{\partial^2 H}{\partial x \, \partial \xi } = 0. +\end{aligned} +\right. +\] + +Nehmen wir irgend eine stetig differenzierbare Funktion $\varphi(xy)$, +die nebst ihren ersten Ableitungen auf $S$ verschwindet. Eine auf +$C$ verschwindende Lösung der Gleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2 } ++ \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} += -2\pi \frac{\partial \varphi(\xi\eta)}{\partial \xi} +\] +ist, nach \so{Vb}, +\[ + u(\xi\eta) = \iint\limits_{\varOmega} + G(\xi\eta, xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} \, dR. +\] +Es ist alsdann das Integral +\[ + \int + \left( \frac{\partial u(xy)}{\partial y} \, dx + - \left\{ \frac{\partial u(xy)}{\partial x} + + 2\pi\varphi(xy) \right\} dy + \right) +\] +vom Wege unabhängig; definieren wir +\[ + v(\xi\eta) = \int\limits_{(ab)}^{(\xi\eta)} + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \, \partial x +- \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} + 2\pi\varphi \right\} dy + \right), +\] +so ist +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial u}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v}{\partial \eta} = -2\pi\varphi(\xi\eta) +\\ +& \frac{\partial u}{\partial \eta} +- \frac{\partial v}{\partial \xi } = 0; +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 051.png--------------------------------------- +daher +\[ + \frac{\partial^2 v}{\partial {\xi}^2} ++ \frac{\partial^2 v}{\partial {\eta}^2} += -2\pi \frac{\partial \varphi (\xi \eta)}{\partial \eta}. +\] +Ferner ist $\dfrac{\partial v(s)}{\partial n} = 0$, denn es ist +\[ + \frac{\partial v(s)}{\partial n} += \frac{\partial v(s)}{\partial y} \frac{dx}{ds} +- \frac{\partial v(s)}{\partial x} \frac{dy}{ds} += - \frac{d}{ds} u(s) - 2 \pi \frac{dx}{ds} \varphi (s) = 0. +\] +Also muß (nach Vb) $v$ in der Form darstellbar sein: +\[ +v(\xi \eta) = \iint\limits_\varOmega H (\xi\eta, xy) + \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR + k. +\] +Es müssen daher die Gleichungen gelten: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial}{\partial \xi} \iint\limits_\varOmega + G(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} dR ++ + \frac{\partial}{\partial \eta} \iint\limits_\varOmega + H(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR += - 2 \pi \varphi(\xi \eta) +\\ +& \frac{\partial}{\partial \eta} \iint\limits_\varOmega + G(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} dR +- + \frac{\partial}{\partial \xi} \iint\limits_\varOmega + H(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR = 0. +\end{aligned} +\right. +\] +Durch bekannte Rechnungsmethoden der Potentialtheorie ergeben +sich aber die Formeln: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial}{\partial \xi} \iint\limits_\varOmega + l(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} dR ++ + \frac{\partial}{\partial \eta} \iint\limits_\varOmega + l(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR += - 2 \pi \varphi(\xi \eta) +\\ +& \frac{\partial}{\partial \eta} \iint\limits_\varOmega + l(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} dR +- + \frac{\partial}{\partial \xi} \iint\limits_\varOmega + l(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR = 0. +\end{aligned} +\right. +\] +Also müssen die stetigen Teile der Greenschen Funktionen die +Gleichungen erfüllen: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \iint\limits_\varOmega \left\{ + \frac{\partial g(\xi\eta,xy)}{\partial\xi} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial x} + + \frac{\partial h(\xi\eta,xy)}{\partial\eta} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \right\} d R = 0 +\\ +& \iint\limits_\varOmega \left\{ + \frac{\partial g(\xi\eta,xy)}{\partial\eta} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial x} + - \frac{\partial g(\xi\eta,xy)}{\partial\xi} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \right\} d R = 0, +\end{aligned} +\right. +\] +oder, durch teilweise Integration, +%-----File: 052.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \iint\limits_{\varOmega} \left\{ + \frac{\partial^2 g(\xi\eta, xy)}{\partial x \, \partial \xi } ++ \frac{\partial^2 h(\xi\eta, xy)}{\partial y \, \partial \eta} + \right\} \varphi(xy) \, dR = 0, +\\ +& \iint\limits_{\varOmega} \left\{ + \frac{\partial^2 g(\xi\eta, xy)}{\partial x \, \partial \eta} +- \frac{\partial^2 h(\xi\eta, xy)}{\partial y \, \partial \xi } + \right\} \varphi(xy) \, dR = 0. +\end{aligned} +\right. +\] +Diese beiden Gleichungen gelten für jede zweimal stetig differenzierbare +Funktion $\varphi(xy)$, welche nebst ihren ersten Ableitungen +auf $S$ verschwindet, und für jeden innern Punkt~$(\xi\eta)$. Wenn für +den Punkt $(\xi\eta)$ und irgend einen Punkt $(\xi_1 \eta_1)$ im Innern +oder auf +dem Rande von $\varOmega$, mit $(\xi\eta)$ zusammenfallend oder von +$(\xi\eta)$ getrennt, +einer der Integranden nicht verschwindet, etwa positiv ist, +so ist er in einer kleinen Nachbarschaft von $(\xi_1 \eta_1)$ auch +positiv. +Dann können wir nach dem Vorgange der Variationsrechnung eine +die obigen Bedingungen erfüllende Funktion $\varphi(xy)$ wählen, die in +dieser Nachbarschaft von $(\xi_1 \eta_1)$ positiv ist, sonst überall Null; +dann wäre aber der Wert des Integrals sicher positiv, also nicht +Null, so daß ein Widerspruch vorliegen würde. Darum gelten +notwendig die Gleichungen: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial^2 g(\xi\eta, xy)}{\partial x \, \partial \xi } ++ \frac{\partial^2 h(\xi\eta, xy)}{\partial y \, \partial \eta} = 0 +\\ +& \frac{\partial^2 g(\xi\eta, xy)}{\partial x \, \partial \eta } +- \frac{\partial^2 h(\xi\eta, xy)}{\partial y \, \partial \xi} = 0 +\end{aligned} +\right. +\] +für jeden innern Punkt $(\xi\eta)$ und jeden innern oder Randpunkt +$(xy)$; daher auch (wegen der Symmetrie der Greenschen Funktionen) +für zwei Punkte überhaupt, von denen wenigstens einer im Innern +liegt. Da es von vornherein klar ist, daß +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial^2 l(\xi\eta, \xi_1 \eta_1)} + {\partial \xi_1 \, \partial \xi } ++ \frac{\partial^2 l(\xi\eta, \xi_1 \eta_1)} + {\partial \eta_1 \, \partial \eta } = 0 +\\ +& \frac{\partial^2 l(\xi\eta, \xi_1 \eta_1)} + {\partial \xi_1 \, \partial \eta } +- \frac{\partial^2 l(\xi\eta, \xi_1 \eta_1)} + {\partial \eta_1 \, \partial \xi } = 0 , +\end{aligned} +\right. +\] +so folgen durch Addition unsere ersten beiden Behauptungen. Die +andern lassen sich ebenso beweisen. + +\Paragraph{VII.} \so{Sind $u(xy)$, $v(xy)$ stetige, im Innern von +$\varOmega$ stetig +differenzierbare Funktionen, die den Gleichungen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} = P(xy) +\\ +& \frac{\partial u}{\partial y} +- \frac{\partial v}{\partial x} = Q(xy) +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 053.png--------------------------------------- +\so{genügen, wobei $P(xy)$, $Q(xy)$ auch bei Annäherung an +Punkte von $S$ stetig bleiben, so gelten die Formeln:} +\begin{align*} + u(\xi\eta) &= \phantom{-} \frac{1}{2\pi} \int\limits_C + \frac{\partial G(\xi\eta, s )}{\partial n} u(s ) \, ds ++ \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega} \left\{ + \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial x} P(xy) ++ \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} Q(xy) \right\} dR, +\\ + v(\xi\eta) &= - \frac{1}{2\pi} \int\limits_C + \frac{\partial H(\xi\eta, s )}{\partial s} u(s ) \, ds ++ \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega} \left\{ + \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial x} P(xy) +- \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} Q(xy) \right\} dR. +\end{align*} + +Zum Beweise bemerken wir zunächst, daß +\begin{gather*} + \frac{\partial G}{\partial x} P ++ \frac{\partial G}{\partial y} Q += \frac{\partial G}{\partial x} + \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} + + \frac{\partial v}{\partial y} \right\} ++ \frac{\partial G}{\partial y} + \left\{ \frac{\partial u}{\partial y} + - \frac{\partial v}{\partial x} \right\}+\\ ++ \left\{ \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} + + \frac{\partial^2 G}{\partial y^2} \right\} u ++ \left\{ \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial y} + - \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial y} \right\} v +\\ += \frac{\partial }{\partial x} + \left\{ \frac{\partial G}{\partial x} u + - \frac{\partial G}{\partial y} v \right\} ++ \frac{\partial }{\partial y} + \left\{ \frac{\partial G}{\partial y} u + + \frac{\partial G}{\partial x} v \right\}. +\end{gather*} + +Wir beschreiben um den Punkt $(\xi\eta)$ als Mittelpunkt einen +kleinen Kreis vom Radius~$\delta$, und nennen $C$ seine Begrenzung, +$\varOmega_\delta$ das zwischen $S$~und~$C$ gelegene Gebiet. Wir erhalten durch +eine bekannte Umformung mittels des Greenschen Satzes: +\[ + \iint\limits_{\varOmega_\delta} + \left\{ \frac{\partial G}{\partial x} P + + \frac{\partial G}{\partial y} Q \right\} dR += - \int\limits_S + \left\{ \frac{\partial G}{\partial n} u + + \frac{\partial G}{\partial s} v \right\} ds +- \int\limits_C + \left\{ \frac{\partial G}{\partial n} u + + \frac{\partial G}{\partial s} v \right\} ds. +\] +Auf $S$ verschwindet $\dfrac{\partial G}{\partial s}$, so daß nur ein +Glied in dem Integral +über $S$ stehen bleibt. Die Formel gilt für jeden kleinen Wert +von $\delta$; bei Aenderung von $\delta$ bleibt das Integral über $S$ +ungeändert; +ferner ist, wie man leicht zeigt: +\begin{align*} + \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_C + \frac{\partial G}{\partial n} \, u(s) \, ds &= -2\pi u(\xi\eta), +\\ + \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_C + \frac{\partial G}{\partial s} \, u(s) \, ds &= 0; +\end{align*} +schließlich geht das Integral über $\varOmega_\delta$ beim Grenzübergang +$\delta = 0$ +über in das Integral über $\varOmega$, da letzteres Integral konvergiert. +Nach diesen Ueberlegungen erhalten wir das Resultat: +\[ + \iint\limits_{\varOmega} + \left\{ \frac{\partial G}{\partial x} \, P + + \frac{\partial G}{\partial y} \, Q \right\} dR += - \int\limits_C + \frac{\partial G}{\partial n} \, u\, ds + 2\pi u(\xi\eta), +\] +was zu beweisen war. Die zweite Formel wird ebenso bestätigt. +%-----File: 054.png--------------------------------------- + +\Paragraph{VIIIa.} \so{Ist $f(s)$ eine stetige Funktion, so sind die +Funktionen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + u(\xi\eta) &= \phantom{-} \frac{1}{2\pi} \int\limits_S + \frac{\partial G(\xi\eta, s)}{\partial n} f(s) \, ds +\\ + v(\xi\eta) &= - \frac{1}{2\pi} \int\limits_S + \frac{\partial H(\xi\eta, s)}{\partial s} f(s) \, ds +\end{aligned} +\right. +\] +\so{im Innern von $\varOmega$ analytisch und erfüllen die Gleichungen:} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial u}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v}{\partial \eta} = 0 +\\ +& \frac{\partial u}{\partial \eta} +- \frac{\partial v}{\partial \xi } = 0. +\end{aligned} +\right. +\] + +\so{Ist $f(s)$ stetig differenzierbar, so sind $u(\xi\eta)$, $v(\xi\eta)$ +im +geschlossenen Bereich $\varOmega$ stetig; ist $f(s)$ zweimal stetig +differenzierbar, so sind $u$, $v$ einmal stetig differenzierbar; +außerdem ist $u(\sigma) = f(\sigma)$.} + +Die drei letzten Behauptungen, sowie die Analytizität und +die Randbedingung sind aus der Potentialtheorie bekannt\footnote{ + Uebrigens sind die angegebenen Bedingungen viel weiter als für das + Integral $u$ notwendig ist; da wir $u$, $v$ immer symmetrisch werden + behandeln + müssen, so hat es keinen Zweck, Bedingungen anzugeben, die nicht auch + für $v$ + genügend sind.}; +auch +die Differentialgleichungen würden durch leichte Ueberlegungen +aus potentialtheoretischen Sätzen folgen, unter der Annahme, $f(s)$ +wäre stetig differenzierbar. Wenn wir bloß die Stetigkeit von +$f(s)$ voraussetzen wollen, so bemerken wir, daß gemäß VI die +Differentialgleichungen unmittelbar erfüllt sind; z.~B.\ ist +\begin{align*} + \frac{\partial u}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v}{\partial \eta} +&= \frac{1}{2\pi} \int\limits_S + \left\{ \frac{\partial^2 G(\xi\eta, s)}{\partial n \, \partial \xi } + - \frac{\partial^2 H(\xi\eta, s)}{\partial s \, \partial \eta} + \right\} f(s) \, ds +\\ +&= \frac{1}{2\pi} \int\limits_S + \left\{ \frac{\partial^2 G}{\partial y \, \partial \xi } \frac{dx}{ds} + - \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial \xi } \frac{dy}{ds} + - \frac{\partial^2 H}{\partial x \, \partial \eta} \frac{dx}{ds} + - \frac{\partial^2 H}{\partial y \, \partial \eta} \frac{dy}{ds} + \right\} f(s) \, ds +\\ +&= \frac{1}{2\pi} \int\limits_S + \left\{ \left( \frac{\partial^2 G}{\partial y \, \partial \xi } + - \frac{\partial^2 H}{\partial x \, \partial \eta} + \right) \frac{dx}{ds} f(s) + - \left( \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial \xi } + + \frac{\partial^2 H}{\partial y \, \partial \eta} + \right) \frac{dy}{ds} f(s) + \right\} ds +\\ +&= 0, +\end{align*} +und ebenso für die zweite Gleichung. +%-----File: 055.png--------------------------------------- + +\Paragraph{VIIIb.}\footnote{ + Ohne die Formeln VI wäre VIII auch direkt aus der Potentialtheorie + beweisbar; doch nur unter mehr Bedingungen für $P$, $Q$. In Bezug + auf strenge + Durchführung der Einzelheiten würde diese Einschränkung für die + Anwendung + (\S~4, I) erhebliche Schwierigkeiten mit sich ziehen.} +\so{Sind $P(xy)$ $Q(xy)$ stetige, im Innern von $\varOmega$ +stetig differenzierbare Funktionen, so sind die Funktionen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + u(\xi\eta) &= \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega} + \left\{ \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial x} P(xy) + + \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} Q(xy) + \right\} dR +\\ + v(\xi\eta) &= \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega} + \left\{ \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial y} P(xy) + - \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial x} Q(xy) + \right\} dR +\end{aligned} +\right. +\] +\so{stetig, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbar und +erfüllen die Gleichungen:} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial u}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v}{\partial \eta} &= P(\xi\eta) +\\ + \frac{\partial u}{\partial \eta} +- \frac{\partial v}{\partial \xi } &= Q(\xi\eta); +\end{aligned} +\right. +\] +\so{außerdem ist} +\[ + u(\sigma) = 0,\quad \iint\limits_\varOmega v(xy) \, dR = 0. +\] + +Die Stetigkeit von $u$, $v$ folgt sofort aus IIa, da die von den +regulären Teilen $g$, $h$ von $G$, $H$ herrührenden Bestandteile der +Integrale keine Schwierigkeit verursachen. Um uns über die +Ableitungen Auskunft zu schaffen, wenden wir teilweise Integration +an: +\begin{align*} + u(\xi\eta) &= \frac{1}{2\pi} + \int\limits_S G(P\,dy - Q\,dx) +- \iint\limits_{\varOmega} + G\left( \frac{\partial P}{\partial x} + + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dR +\\ + v(\xi\eta) &= \frac{1}{2\pi} + \int\limits_S H(P\,dx + Q\,dy) +- \iint\limits_{\varOmega} + H\left( \frac{\partial P}{\partial y} + - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) dR. +\end{align*} +Die Integrale über $S$ dürfen selbstverständlich unter dem Integralzeichen +differenziert werden; dasselbe gilt nach IIb von dem Doppelintegral. +Es existieren also die Ableitungen, sie sind nach IIa +stetig. Um die Differentialgleichungen zu bestätigen, wollen wir +die Ableitungen auf andere Weise ausdrücken. Nehmen wir einen +kleinen Kreis $\varOmega_0$ vom Radius $\delta$ um $(\xi\eta)$ als +Mittelpunkt und nennen +%-----File: 056.png--------------------------------------- +seinen Rand $S_0$. Schreiben wir +\[ +u = u_0 + \overline{u}_0 + u_1,\quad v = v_0 + \overline{v}_0 + v_1 +\] +\begin{alignat*}{3} + u_0(\xi\eta) +&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega_0}& + \biggl\{ \frac{\partial l}{\partial x} P + &+ \frac{\partial l}{\partial y} Q \biggr\}& dR +\displaybreak[1] \\ + \overline{u}_0(\xi\eta) +&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega_0}& + \biggl\{ \frac{\partial g}{\partial x} P + &+ \frac{\partial h}{\partial y} Q \biggr\}& dR +\displaybreak[1] \\ + u_1(\xi\eta) +&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega-\varOmega_0}& + \biggl\{ \frac{\partial G}{\partial x} P + &+ \frac{\partial H}{\partial y} Q \biggr\}& dR +\displaybreak[1] \\ + v_0(\xi\eta) +&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega_0}& + \biggl\{ \frac{\partial l}{\partial y} P + &- \frac{\partial l}{\partial x} Q \biggr\}& dR +\displaybreak[1] \\ + \overline{v}_0(\xi\eta) +&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega_0}& + \biggl\{ \frac{\partial h}{\partial y} P + &- \frac{\partial g}{\partial x} Q \biggr\}& dR +\displaybreak[1] \\ + v_1(\xi\eta) +&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega - \varOmega_0}& + \biggl\{ \frac{\partial H}{\partial y} P + &- \frac{\partial G}{\partial x} Q \biggr\}& dR, +\end{alignat*} +so können wir $\overline{u}_0$, $u_1$, $\overline{v}_0$, $v_1$ +durch Differentiation unter dem Integralzeichen +differenzieren, und erhalten sogleich nach VI +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{\partial \overline{u}_0}{\partial \xi } ++ \frac{\partial \overline{v}_0}{\partial \eta} = 0, +&\quad + \frac{\partial u_1}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v_1}{\partial \eta} = 0 +\\ + \frac{\partial \overline{u}_0}{\partial \eta} +- \frac{\partial \overline{v}_0}{\partial \xi } = 0, +&\quad + \frac{\partial u_1}{\partial \eta} ++ \frac{\partial v_1}{\partial \xi } = 0. +\end{aligned} +\right. +\] +Wir müssen also die für $u$, $v$ angegebenen Differentialgleichungen +für $u_0$, $v_0$ bestätigen. Wir finden nach teilweiser Integration und +Differentiation: +\begin{gather*} +\begin{split} + \frac{\partial u_0}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v_0}{\partial \eta} +& = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{S_0} \left\{ + P \left( \frac{\partial l}{\partial \xi } \, dy + - \frac{\partial l}{\partial \eta} \, dx \right) +- Q \left( \frac{\partial l}{\partial \xi } \, dx + + \frac{\partial l}{\partial \eta} \, dy \right) \right\} +\\ +& \; - \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega_0} \left\{ + \frac{\partial l}{\partial \xi } + \left( \frac{\partial P}{\partial x} + + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) ++ \frac{\partial l}{\partial \eta} + \left( \frac{\partial P}{\partial y} + - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \right\} dR +\end{split} +\\ += \frac{1}{2\pi} \int\limits_{S_0} + \left\{ P\frac{\partial l}{\partial n} + - Q\frac{\partial l}{\partial s} \right\} ds +- \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega_0} \left\{ + \frac{\partial l}{\partial \xi } + \left( \frac{\partial P}{\partial x} + + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) ++ \frac{\partial l}{\partial \eta} + \left( \frac{\partial P}{\partial y} + - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \right\} dR; +\end{gather*} +$n$ bedeutet die nach dem Kreisinnern gerichtete Normale. Es ist +%-----File: 057.png--------------------------------------- +\begin{gather*} + \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_{S_0} + P \frac{\partial l}{\partial n} \, ds = 2\pi \, P(\xi\eta), +\quad + \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_{S_0} + Q \frac{\partial l}{\partial s} \, ds = 0, +\\ + \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega_0} + \left\{ \frac{\partial l}{\partial \xi } + \left( \frac{\partial P}{\partial x} + + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) + + \frac{\partial l}{\partial \eta} + \left( \frac{\partial P}{\partial y} + - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \right\} dR = 0, +\end{gather*} +womit die erste Formel bewiesen ist. Die zweite folgt ebenso aus: +\begin{gather*} +\begin{split} + \frac{\partial u_0}{\partial \eta} +- \frac{\partial v_0}{\partial \xi } +&= \frac{1}{2\pi} \int\limits_{S_0} \left\{ + P \left( \frac{\partial l}{\partial \xi } \, dx + + \frac{\partial l}{\partial \eta} \, dy \right) ++ Q \left( \frac{\partial l}{\partial \xi } \, dy + - \frac{\partial l}{\partial \eta} \, dx \right) \right\} +\\ +& \; + \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega_0} + \left\{ \frac{\partial l}{\partial \xi } + \left( \frac{\partial P}{\partial y} + - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) + - \frac{\partial l}{\partial \eta} + \left( \frac{\partial P}{\partial x} + + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) \right\} dR +\end{split} +\\ += \frac{1}{2\pi} \int\limits_{S_0} + \left\{ P \frac{\partial l}{\partial s} + + Q \frac{\partial l}{\partial n} \right\} ds +- \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega_0} + \left\{ \frac{\partial l}{\partial \xi } + \left( \frac{\partial P}{\partial y} + - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) + - \frac{\partial l}{\partial \eta} + \left( \frac{\partial P}{\partial x} + + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) \right\} dR. +\end{gather*} + +Die letzten Behauptungen unseres Satzes folgen aus den Tatsachen, +daß die Integrale $u$, $v$ auch am Rande stetig sind, und +daß Integration nach $\xi\eta$ unter dem Integralzeichen erlaubt ist +(IIa); denn aus den Eigenschaften +\[ + G(\sigma, xy) = 0;\quad + \iint\limits_\varOmega H(xy, x_1 y_1) \, dR = 0 +\] +folgen +\begin{align*} + \frac{\partial G(\sigma, xy)}{\partial x} = 0, \quad +& \frac{\partial G(\sigma, xy)}{\partial y} = 0; +\\ + \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial H(xy, x_1 y_1)}{\partial x} \, dR_1 = 0, \quad +& \iint\limits_{\varOmega} + \frac{\partial H(xy, x_1 y_1)}{\partial y} \, dR_1 = 0. +\end{align*} + + +\Section{4. Lösung der Randwertaufgabe für das elliptische System.} + +In diesem Paragraphen soll die Aufgabe gelöst werden, ein +Funktionenpaar zu finden, welches einem elliptischen System von +Gleichungen in der Normalform genügt, und außerdem eine lineare +Randbedingung erfüllt. Zunächst betrachten wir eine spezielle +solche Randbedingung, auf welche sich die allgemeine reduzieren +läßt\footnote{ + Die Anregung zu der hier gelösten Aufgabe, die den Ausgangspunkt für + die ganze Arbeit bildete, ist von Herrn Hilbert gegeben worden; + die Aufgabe + wird auch in seiner 6.~Mitteilung über Integralgleichungen, XVII, + behandelt, + Göttinger Nachrichten (1910).}. +%-----File: 058.png--------------------------------------- + +\Paragraph{I.} Es sei $\varOmega$, wie vorhin, ein geschlossenes, von +einer stetig +gekrümmten doppelpunktslosen Kurve $S$ begrenztes Gebiet in der +$xy$-Ebene. Wir suchen ein Funktionenpaar $u(xy)$, $v(xy)$, welches +dem Differentialgleichungssystem +\[ +\tag*{1)} +\left\{ +\begin{aligned} +& \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} = A(xy) \, u + B(xy) \, v +\\ +& \frac{\partial u}{\partial y} +- \frac{\partial v}{\partial x} = C(xy) \, u + D(xy) \, v +\end{aligned} +\right. +\] +genügt und die Randbedingung +\[ +\tag*{2)} + u(s) = f(s) +\] +erfüllt. Dabei sollen $A(xy)$, $B(xy)$, $C(xy)$, $D(xy)$ stetig +differenzierbare +Funktionen\footnote{ + Hier und in andern ähnlichen Fällen beachte man die Erklärung dieser + Benennungsweise, \S~3, I.} +von $x$, $y$ sein; $f(s)$ soll eine zweimal stetig differenzierbare +Funktion der Bogenlänge $s$ sein. Wir verlangen, daß +die gesuchten Funktionen $u(xy)$, $v(xy)$ stetig, im Innern von +$\varOmega$ +stetig differenzierbar seien. Aus diesen Annahmen folgt auch die +Stetigkeit, bei Annäherung an $C$, derjenigen Verbindungen der +ersten Ableitungen, welche auf den linken Seiten von (1) vorkommen. +Wir setzen voraus, daß im Falle $f(s) = 0$ das einzige +Lösungssystem der genannten Art das System +\[ + u(xy) = 0,\quad v(xy) = 0 +\] +ist. + +Nach \S~3, VII ergeben unsere Annahmen das System von +Integralgleichungen: +\[ +\tag*{3)} +\left\{ +\begin{aligned} +& u(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega + \{ K_{11}(\xi\eta, xy) \, u(xy) + K_{12}(\xi\eta, xy) \, v(xy) \} + \, dR +\\ +& v(\xi\eta) = \mathfrak{v}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega + \{ K_{21}(\xi\eta, xy) \, u(xy) + K_{22}(\xi\eta, xy) \, v(xy) \} + \, dR, +\end{aligned} +\right. +\] +wobei +\[ +\tag*{4)} +\left\{ +\begin{aligned} +& 2\pi \, \mathfrak{u}(\xi\eta) = \phantom{-} \int\limits_S + \frac{\partial G(\xi\eta, s)}{\partial n} f(s) \, ds +\\ +& 2\pi \, \mathfrak{v}(\xi\eta) = - \int\limits_S + \frac{\partial H(\xi\eta, s)}{\partial s} f(s) \, ds +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 059.png--------------------------------------- +\[ +\tag*{4)} +\left\{ +\begin{aligned} + 2\pi \, K_{11}(\xi\eta, xy) +&= \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial x} A(xy) + + \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} C(xy) +\\ + 2\pi \, K_{12}(\xi\eta, xy) +&= \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial x} B(xy) + + \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} D(xy) +\\ + 2\pi \, K_{21}(\xi\eta, xy) +&= \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial y} A(xy) + - \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial x} C(xy) +\\ + 2\pi \, K_{22}(\xi\eta, xy) +&= \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial y} B(xy) + - \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial x} D(xy) + 1. +\end{aligned} +\right. +\] +Die Funktionen $\mathfrak{u}(xy)$, $\mathfrak{v}(xy)$ sind stetig +differenzierbare, im Innern +von $\varOmega$ analytische Funktionen (\S~3, VIIIb). Die Funktionen +$K_{ij}(\xi\eta, xy)$ $(i,j = 1,2)$ sind im allgemeinen stetig; bei +gleichzeitiger +Annäherung der Punkte $(\xi\eta)$, $(xy)$ zu einem gemeinsamen +Grenzpunkt haben sie eine Singularität erster Ordnung. + +Sind $u$, $v$ stetige, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbare +Funktionen, welche die Integralgleichungen~3) erfüllen, so erfüllen +sie auch nach \S~3, \mbox{VIIIa},~b die Differentialgleichungen~1) und die +Randbedingung~2). Wir haben also den Satz: + +\so{Für stetige, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbare +Funktionen $u$, $v$ ist das Differentialgleichungssystem~1) +nebst der Randbedingung~2) mit dem Integralgleichungssystem~3) +äquivalent.} + +\Paragraph{II.} Die allgemeinen Sätze über Integralgleichungen vermögen +nur die Stetigkeit einer Lösung zu behaupten; um hier Auskunft +über die Existenz der Ableitungen zu erhalten, bedienen wir uns +des Kunstgriffes der Zusammensetzung des Kernes. Wir setzen +nämlich in die rechten Seiten von 3) die Werte von $u$, $v$ ein, die +eben durch 3) geliefert werden; mit Rücksicht auf \S~3, IIIb finden wir: +\[ +\tag*{5)} +\left\{ +\begin{aligned} + u(\xi\eta) &= \mathfrak{U}(xy) + \iint\limits_\varOmega + \{ \varPhi_{11}(\xi\eta, xy) \, u(xy) + \varPhi_{12}(\xi\eta, xy) \, + v(xy) \} \, dR +\\ + v(\xi\eta) &= \mathfrak{V}(xy) + \iint\limits_\varOmega + \{ \varPhi_{21}(\xi\eta, xy) \, u(xy) + \varPhi_{22}(\xi\eta, xy) \, + v(xy) \} \, dR, +\end{aligned} +\right. +\] +wobei +\[ +\tag*{6)} +\left\{ +\begin{gathered} + \mathfrak{U}(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega + \left\{ K_{11}(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{u}(xy) + + K_{12}(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{v}(xy) \right\} \, dR +\\ + \mathfrak{V}(\xi\eta) = \mathfrak{v}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega + \left\{ K_{21}(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{u}(xy) + + K_{22}(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{v}(xy) \right\} \, dR +\\ +\shoveleft{ + \varPhi_{ij}(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) = \iint\limits_\varOmega + \left\{ K_{i1}(\xi_1 \eta_1, xy) K_{1j}(xy, \xi_2 \eta_2) \right. +} +\\ +\shoveright{ + \left. + K_{i2}(\xi_1 \eta_1, xy) K_{2j}(xy, \xi_2 \eta_2) \right\} + \, dR +} +\\ + [i, j = 1, 2]. +\end{gathered} +\right. +\] +%-----File: 060.png--------------------------------------- +Die Funktionen $\mathfrak{U}(\xi\eta)$, $\mathfrak{V}(\xi\eta)$ sind +nach \S~3, VIIIb stetig, im Innern +von~$\varOmega$ stetig differenzierbar. Die Funktionen +$\varPhi_{ij}(\xi\eta, xy)\; [i,j = 1,2]$ +sind im allgemeinen stetig; bei gleichzeitiger Annäherung der +Punkte $(\xi\eta)$, $(xy)$ gegen einen gemeinsamen Grenzpunkt haben sie +eine logarithmische Singularität (\S~3, IIIa), ferner haben sie genau +die in \S~3, IVa betrachteten Formen, sodaß die Resultate von \S~3, +IVb anwendbar sind. + +Ist $u$, $v$ ein stetiges Lösungssystem von 3), so ist es auch ein +stetiges Lösungssystem von 5); dann sind aber die Funktionen +$u$, $v$ im Innern von $\varOmega$ auch stetig differenzierbar (\S~3, +IVb). Wir +haben also bewiesen: + +\so{Jedes stetige Lösungssystem von 3) ist ein stetiges, +im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbares Lösungssystem +von 1), 2). Insbesondere existiert außer} +\[ + u_0(xy) = 0,\quad v_0(xy) = 0 +\] +\so{kein stetiges Lösungssystem der 3) entsprechenden +homogenen Integralgleichungen:} +\[ +\tag*{$3_0$)} +\left\{ +\begin{aligned} + u_0(\xi\eta) &= \iint\limits_\varOmega + \left\{ K_{11}(\xi\eta, xy) \, u_0(xy) + + K_{12}(\xi\eta, xy) \, v_0(xy) \right\} \, dR +\\ + v_0(\xi\eta) &= \iint\limits_\varOmega + \left\{ K_{21}(\xi\eta, xy) \, u_0(xy) + + K_{22}(\xi\eta, xy) \, v_0(xy) \right\} \, dR. +\end{aligned} +\right. +\] +Was die letzte Behauptung des Satzes betrifft, ist nur zu bemerken, +daß die stetigen Funktionen $u_0(xy)$, $v_0(xy)$ eines Lösungssystems +nach dem ersten Teile des Satzes auch stetige Ableitungen +im Innern von $\varOmega$ hätten, und daher die Differentialgleichungen 1) +mit der Nebenbedingung $u_0(s) = 0$ lösten, was nach Voraussetzung +(vgl.~I) unmöglich ist. + +\Paragraph{III.} Wir verfahren jetzt auf bekannte Weise, um unser System +von zwei Integralgleichungen mit zwei unbekannten Funktionen +auf eine einzige Integralgleichung mit einer unbekannten Funktion +zu reduzieren. Zu diesem Zweck nehmen wir ein zweites, zu $\varOmega$ +kongruentes, aber beliebig gelegenes Gebiet $\varOmega'$; wir nennen +$(\overline{\xi}\,\overline{\vphantom{\xi}\eta})$ +den dem Punkt $(\xi\eta)$ von $\varOmega'$ kongruenten Punkt von +$\varOmega$, $O$ das +aus $\varOmega$, $\varOmega'$ zusammengesetzte Gebiet; und definieren +in $O$ +\[ +\tag*{7)} +\left\{ +\begin{aligned} + w(\xi\eta) &= + \left\{ + \begin{aligned} +& u(\xi\eta) &\text{ für }& (\xi\eta) \text{ in } \varOmega \\ +& v(\overline{\xi}\,\overline{\vphantom{\xi}\eta}) &\text{ für }& +(\xi\eta) \text{ in } \varOmega' + \end{aligned} + \right. +\\ + K(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) &= + \left\{ + \begin{aligned} +& K_{11}(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) +& \text{ für }& (\xi_1 \eta_1) \text{ in } \varOmega ,\; + (\xi_2 \eta_2) \text{ in } \varOmega +\\ +& K_{12}(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2\overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) +& \text{ für }& (\xi_1 \eta_1) \text{ in } \varOmega ,\; + (\xi_2 \eta_2) \text{ in } \varOmega' +\\ +& K_{21}(\overline{\xi}_1\overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, \xi_2 \eta_2) +& \text{ für }& (\xi_1 \eta_1) \text{ in } \varOmega' ,\; + (\xi_2 \eta_2) \text{ in } \varOmega +\\ +& K_{22}(\overline{\xi}_1\overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, + \overline{\xi}_2\overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) +& \text{ für }& (\xi_1 \eta_1) \text{ in } \varOmega' ,\; + (\xi_2 \eta_2) \text{ in } \varOmega' , + \end{aligned} + \right. +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 061.png--------------------------------------- +mit ähnlich gebildeten Ausdrücken für die Funktionen $\mathfrak{w}$, +$\mathfrak{W}$, $w_0$ +und $\varPhi$. Wir bekommen für die Gleichungssysteme $3$), $5$), +$3_0$) und +die Relationen $6$) die neuen Formen: +\begin{align*} +\tag*{$3'$)} +&\quad + w(\xi\eta) =\; \mathfrak{w}(\xi\eta) + \iint\limits_O + K(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR +\displaybreak[1] \\ +\tag*{$5'$)} +& \quad + w(\xi\eta) = \mathfrak{W}(\xi\eta) + \iint\limits_O + \varPhi(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR +\displaybreak[1] \\ +\tag*{$6'$)} +& \left\{ +\begin{aligned} +& \mathfrak{W}(\xi\eta) =\; \mathfrak{w}(\xi\eta) + \iint\limits_O + K(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{w}(xy) \, dR +\\ +& \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) = \iint\limits_O + K(\xi_1 \eta_1, xy) \, K(xy, \xi_2 \eta_2) \, dR +\end{aligned} +\right. +\displaybreak[1] \\ +\tag*{$3'_0$)} +&\qquad\qquad + w_0(\xi\eta) = \iint\limits_O + K(\xi\eta, xy) \, w_0(xy) \, dR. +\end{align*} + +Nach der Theorie der Integralgleichungen sollte eine und nur +eine stetige Lösung von $3'$) existieren, da keine von Null verschiedene +stetige Lösung von $3_0'$) existiert. Doch ist dieser Satz +durch die Fredholmschen Formeln\footnote{ + Acta mathematica, Bd.~27 (1903), S.~365--390.}), +eventuell im erweiterten Sinne +von Hilbert\footnote{ + Göttinger Nachrichten (1904), S.~82.}), +zunächst nur für Kerne bewiesen, deren Singularitäten +von niedrerer\DPnote{** TN: [sic], presumed older form of niedrigerer} als erster Ordnung sind. Wir wollen uns +daher in der Weiterführung dieser Betrachtungen auf die Gleichung~5) +stützen, die einen nur logarithmisch singulären Kern +hat. Wir brauchen die anderen Integralgleichungen: +\begin{align*} +\tag*{$3''_0$)} + w_{00}(\xi\eta) &= \phantom{-} \iint\limits_O + K(xy, \xi\eta) \, w_{00}(xy) \, dR +\\ +\tag*{$3'_0-$)} + z_0(\xi\eta) &= - \iint\limits_O + K(\xi\eta, xy) \, z_0(xy) \, dR +\\ +\tag*{$3''_0-$)} + z_{00}(xy) &= - \iint\limits_O + K(xy, \xi\eta) \, z_{00}(xy) \, dR +\\ +\tag*{$5'_0$)} + w_0(\xi\eta) &= \phantom{-} \iint\limits_O + \varPhi(\xi\eta, xy) \, w_0(xy) \, dR +\\ +\tag*{$5''_0$)} + w_{00}(\xi\eta) &= \phantom{-} \iint\limits_O + \varPhi(xy, \xi\eta) \, w_{00}(xy) \, dR. +\end{align*} + +\Paragraph{IV.} Es tritt hier die Schwierigkeit auf, daß die $5'$) +entsprechende +homogene Gleichung $5'_0$) eventuell von Null verschiedene +stetige Lösungen besitzen kann; in diesem Falle besitzt auch +die homogene Gleichung mit transponiertem Kern $5''_0$) von Null +verschiedene stetige Lösungen. Wir zeigen, daß jedenfalls folgender +Satz gilt: +%-----File: 062.png--------------------------------------- + +\so{Jede stetige Lösung von $5'_0$) ist zugleich eine Lösung +von $3'_0-$); jede stetige Lösung von $5''_0$) ist zugleich eine +Lösung von $3''_0-$).} + +Es sei $w_0(\xi\eta)$ irgend welche stetige Lösung von $5'_0$); dann ist, +wie man durch einfache Substitution (und vermöge \S~3, VIIIb) +erkennt, +\[ + w_0(\xi\eta) + \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, w_0(xy) \, dR +\] +eine stetige (\S~3, IIa) Lösung von $3'_0$); nach Voraussetzung kann +sie nur gleich Null sein, womit die erste Behauptung des Satzes +bestätigt ist. Die zweite Behauptung wäre ebenfalls auf dieselbe +Weise bewiesen, wenn wir wüßten, daß die Gleichung $3''_0$) keine +von Null verschiedene stetige Lösung hätte. Zur Vervollständigung +des Beweises ist also nur noch folgender Satz (welcher für Kerne +mit niederen Singularitäten von vorn herein gilt), nötig: + +\Paragraph{V.} \so{Da $3'_0$) keine von Null verschiedene stetige +Lösung hat, so hat auch~$3''_0$) keine von Null verschiedene +stetige Lösung.} + +Es sei $w_{00}(\xi\eta)$ eine stetige Lösung von $3''_0$), daher auch eine +Lösung von $5''_0$). Da $3'_0$) keine von Null verschiedene stetige +Lösungen hat, so hat die Gleichung +\[ + W(\xi\eta) = w_{00}(\xi\eta) + \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, W(xy) + \, dR +\] +eine stetige Lösung, die notwendig auch der Gleichung +\[ + W(\xi\eta) += \{ w_{00}(\xi\eta) + \iint\limits_O K(\xi\eta) \, w_{00}(xy) \,dR \} ++ \iint\limits_O \varPhi(\xi\eta, xy) \, w_{00}(xy) \, dR +\] +genügt. Bekanntlich muß dann die Bedingung erfüllt sein: +\[ + \iint\limits_O w_{00}(xy) + \{ w_{00}(xy) + + \iint\limits_O K(xy, x_1 y_1) \, w_{00}(x_1 y_1) \, dR_1 \} \, + dR = 0, +\] +\dh +\[ + 2 \iint\limits_O \{ w_{00}(xy) \}^2 \, dR = 0, +\] +woraus die Behauptung folgt +\[ + w_{00}(\xi\eta) = 0. +\] + +\Paragraph{VI.} \so{Ist $w(\xi\eta)$ eine stetige Lösung von $5'$), +so existiert +eine und nur eine stetige Lösung von $3'$); und +zwar ist sie gleich} +\[ + \tfrac{1}{2} \{ \mathfrak{w}(\xi\eta) + w(\xi\eta) ++ \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR \}. +\] +%-----File: 063.png--------------------------------------- + +In der Tat, schreiben wir +\[ + 2W(\xi\eta) += \mathfrak{w}(\xi\eta) + w(\xi\eta) ++ \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR, +\] +so finden wir +\begin{multline*} +2 \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, W(xy) \, dR += \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \mathfrak{w}(xy) \, dR +\\ ++ \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR ++ \iint\limits_O \varPhi(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR +\end{multline*} +\begin{align*} +&= \{ \mathfrak{W}(\xi\eta) - \mathfrak{w}(\xi\eta) \} ++ \iint\limits_O K(\xi\eta,xy) \, w(xy) \, dR ++ \{ w(\xi\eta) - \mathfrak{W}(\xi\eta) \} +\\ +&= -2\mathfrak{w}(\xi\eta) + 2W(\xi\eta), +\end{align*} +was zu beweisen war. Daß $3'$) nur eine stetige Lösung besitzt, +ist klar, denn die Differenz zweier Lösungen muß $3'_0$) befriedigen, +also nach Voraussetzung gleich Null sein. + +\Paragraph{VII.} Wir haben jetzt alle Hilfsmittel in der Hand, um die +in~III, IV genannten Schwierigkeiten zu beseitigen. Es gilt nämlich +folgender Satz: + +\smallskip +\so{Die Gleichung $3'$) besitzt eine und nur eine stetige +Lösung.} + +\smallskip +Um den Beweis zu führen, genügt es nach VI, irgend eine +Lösung von~$5'$) zu finden; wir zeigen, daß eine stetige Lösung +von $5'$) sicher vorhanden ist, selbst wenn die homogene Gleichung +$5'_0$) Lösungen besitzt. Es sei $w_{00}(\xi\eta)$ irgend eine stetige +Lösung +von $5''_0$); nach IV ist $w_{00}(\xi\eta)$ eine Lösung +von~$3''_0-$). Hieraus +folgt durch Multiplikation mit $\mathfrak{w}(\xi\eta)$ und Integration: +\[ + \iint\limits_O w_{00}(xy) \, \mathfrak{w}(xy) \, dR ++ \iint\limits_O \iint\limits_O k(x_1 y_1, xy) \, w_{00}(x_1 y_1) \, +\mathfrak{w}(xy) + \, dR_1 \, dR = 0, +\] +\dh\ nach $6'$) +\[ + \iint\limits_O w_{00}(xy) \, \mathfrak{W}(xy) \, dR = 0. +\] + +Diese Gleichung, die für jede Lösung $w_{00}(\xi\eta)$ von $5''_0$) gilt, +gibt genau die bekannte Bedingung an, daß $5'_0$) eine Lösung besitze. +Damit ist der Satz bewiesen. Als Gesamtergebnis haben +wir also das + +\Paragraph{VIII.} \so{Existenztheorem: Wenn das System~1) außer +$u(xy) = 0$, $v(xy) = 0$ kein solches stetiges, im Innern +von $\varOmega$ stetig differenzierbares Lösungssystem besitzt, +daß $u(s) = 0$, so gibt es ein und nur ein solches +stetiges, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbares +Lösungssystem, daß $u(s) = f(s)$.} +%-----File: 064.png--------------------------------------- + +Dieses Resultat, welches für sich befriedigend ist, werden +wir nachher verallgemeinern, indem wir allgemeine lineare Randbedingungen +zulassen. Es muß\ aber doch hier bemerkt werden, +daß\ das Theorem eventuell keine Auskunft liefert. Zum Beispiel +schon das einfache System: +\begin{equation*} + \left\{\ % + \begin{array}{l} + \dfrac{\partial u}{\partial x} + + \dfrac{\partial v}{\partial y} = 0\\[1em] + \dfrac{\partial v}{\partial y} - + \dfrac{\partial u}{\partial x} = 0 + \end{array} + \right. +\end{equation*} +hat außer $u=0$, $v=0$ noch die Lösungen $u=0$, $v=\text{Konstante}$; +sodaß wir aus dem Existenztheorem nicht entscheiden +könnten, ob bei gegebenen Randwerten $u(s)=f(s)$ Lösungen existieren +oder nicht. Um diese Frage zu berücksichtigen, schalten +wir hier eine Erweiterung des Theorems VIII ein, welche wir +aber nur für die vorliegenden einfacheren Randwerte aussprechen +und beweisen wollen. + +Wenn wir einem gesuchten Lösungssystem die Bedingung +\begin{equation*} + \iint\limits_{\varOmega} v(x y) \,dx\, dy = 0 +\end{equation*} +auferlegen, so fällt derjenige Bestandteil der zweiten Gleichung 3) +weg, der vom Glied $+1$ in der Definition 4) von $K_{22}(\xi \eta, +x y)$ herrührt. +Umgekehrt, erfüllt $v(\xi\eta)$ die so veränderte zweite Gleichung +3), so ist nach \S~3, VIIIb obige Bedingung erfüllt. Wir können +also alle Schlüsse bei diesem neuen Problem ganz ähnlich wie in +dem früheren durchführen, und erhalten auf diese Weise das erweiterte +Existenztheorem: + +\so{Wenn das System 1) außer $u(x y)=0$, $v(x y)=0$ kein +solches stetiges, im Innern von $\Omega$ stetig differenzierbares +Lösungssystem besitzt, daß} +\begin{equation*} + u(s) = 0, \qquad \iint\limits_{\varOmega} v(x y) \,dR = 0, +\end{equation*} +\so{so gibt es ein und nur ein solches stetiges, im Innern +von $\Omega$ stetig differenzierbares Lösungssystem, daß} +\begin{equation*} + u(s) = f(s), \qquad \iint\limits_{\varOmega} v(x y) \,dR = 0; +\end{equation*} +\so{aus diesem einen Lösungssystem für die Randwertbedingung +$u(s)=f(s)$ entsteht das allgemeine, indem +man dazu das allgemeine Lösungssystem für die Randwertbedingung +$u(s)=0$ addiert.} +%-----File: 065.png--------------------------------------- + +Wie man leicht sieht, liefert dies Theorem auch in dem genannten +Spezialfall die Existenz einer Lösung. + +Wir wollen schließlich das erste Theorem auf eine beliebige +Randwertbedingung ausdehnen. + +\Paragraph{IX.} \so{Allgemeines Existenztheorem: Wenn das +System 1) außer $u(xy) = 0$, $v(xy) = 0$ kein solches stetiges, +im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbares Lösungssystem +besitzt, daß $\alpha(s) \, u(s) + \beta(s) \, v(s) = 0$, so gibt es ein +und nur ein solches stetiges, im Innern von $\varOmega$ stetig +differenzierbares Lösungssystem, daß} +\[ + \alpha(s) \, u(s) + \beta(s) \, v(s) = f(s). +\] + +Für die neuen Funktionen $\alpha(s)$, $\beta(s)$ stellen wir dieselbe +Bedingung, +wie für $f(s)$: stetige Differenzierbarkeit; außerdem verlangen +wir, daß sie nie gleichzeitig verschwinden. Wir nehmen +zwei sonst beliebige, zweimal stetig differenzierbare Funktionen +$\alpha(xy)$, $\beta(xy)$, welche die Bedingung +\[ + \{ \alpha(xy) \}^2 + \{ \beta(xy) \}^2 > 0 +\] +erfüllen und auf $S$ die Werte $\alpha(s)$, $\beta(s)$ annehmen. Die +Transformation +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + U &= \phantom{-} \alpha u + \beta v \\ + V &= - \beta u + \alpha v +\end{aligned} +\right. +\] +ist alsdann nicht singulär, und hat die Inverse +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + u &= \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2} \, U + - \frac{\beta }{\alpha^2 + \beta^2} \, V +\\ + v &= \frac{\beta }{\alpha^2 + \beta^2} \, U + + \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2} \, V. +\end{aligned} +\right. +\] +Auf 3) angewandt, liefert die Transformation nach der Bezeichnungsweise +von \S~2: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \lambda_1 &= \phantom{-} + \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2} + \left( \frac{\partial U}{\partial x} + + \frac{\partial V}{\partial y} \right) ++ \frac{\beta }{\alpha^2 + \beta^2} + \left( \frac{\partial U}{\partial y} + - \frac{\partial V}{\partial x} \right) = \mathfrak{L}(U,V) +\\ + \lambda_2 &= - + \frac{\beta }{\alpha^2 + \beta^2} + \left( \frac{\partial U}{\partial x} + + \frac{\partial V}{\partial y} \right) ++ \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2} + \left( \frac{\partial U}{\partial y} + - \frac{\partial V}{\partial x} \right) = \mathfrak{L}(U,V) ; +\end{aligned} +\right. +\] +daraus wird durch die lineare Zusammensetzung +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \varLambda_1 &= \alpha \lambda_1 - \beta \lambda_2 \\ + \varLambda_2 &= \beta \lambda_1 + \alpha \lambda_2 +\end{aligned} +\right. +\] +%-----File: 066.png--------------------------------------- +\[ +\tag*{8)} +\left\{\begin{array}{l} +\dfrac{\partial U}{\partial x} + \dfrac{\partial V}{\partial y} = +\mathfrak{L} (U,V) \\[1em] +\dfrac{\partial U}{\partial y} - \dfrac{\partial V}{\partial x} = +\mathfrak{L} (U,V) +\end{array}\right. +\] +ein System von derselben Gestalt wie 3) selbst; auch sind die +Koeffizienten von $U$, $V$ in den Ausdrücken $\mathfrak{L}(U, V)$ +einmal stetig +differenzierbar, wie es in der ursprünglichen Form der Fall war. +Gibt es kein solches Lösungssystem +von~1), daß $\alpha(s) u (s)+\beta (s) v (s)=0$, +so gibt es kein solches Lösungssystem von 8), daß $U (s) = 0$, da +das erstere aus dem letzteren durch die gebrauchte Transformation +hervorgehen würde. Es existiert also, nach dem ersten Existenztheorem, +ein solches Lösungssystem von 8), daß $U(s) = f(s)$; die +Transformation liefert alsdann ein solches Lösungssystem von 1), +daß $\alpha (s) u (s)+ \beta (s) v (s) = f(s)$, womit das Theorem +bewiesen ist. + + +\Chapter{Drittes Kapitel.} +{Das hyperbolische System.} + +\Section{5. Lösung der Randwertaufgabe für das hyperbolische System.} + +Wir kommen jetzt zur Untersuchung des hyperbolischen Systems, +welches wir wieder in der Normalform annehmen. Die Theorie +verhält sich in diesem Falle besonders einfach; sie entbehrt +vollständig der Schwierigkeiten, die uns schon in dem elliptischen +Falle in Bezug auf Greensche Funktionen und uneigentliche Integrale +begegnet sind, und die sich größtenteils später in dem parabolischen +Fall wiederholen werden. Auch die Resultate, wie von +vorn herein zu erwarten war, sind ganz verschieden von den Resultaten +bei dem elliptischen System. Wir werden Randbedingungen +nicht auf einer geschlossenen Kurve, sondern auf einer +offenen Kurve studieren: ferner geben wir nicht nur \so{eine} Relation +zwischen den beiden unbekannten Funktionen, sondern die +Werte der einzelnen Funktionen selbst, \dh\ \so{zwei} Relationen. +Im elliptischen Fall haben wir das Problem zuerst für eine spezielle +Randbedingung gelöst, ohne Einschränkung auf das Gleichungssystem; +hier werden wir dagegen zunächst nur ein spezielles +%-----File: 067.png--------------------------------------- +System von Differentialgleichungen betrachten und nachher die +Theorie des allgemeinen Systems daraus folgern. + +\Paragraph{I.} Es möge $\Omega$ ein Rechteck der $xy$-Ebene bedeuten: +\begin{equation*} +a_1 \leqq x \leqq x_2,\quad b_1 \leqq y \leqq b_2 ; +\end{equation*} +zwei diagonal gegenüberliegende Ecken, etwa $(a_1 b_1)$ und $(a_2 b_2)$ +seien durch eine stetige Kurve $S$ verbunden, welche von jeder in +$\Omega$ gezogenen horizontalen und vertikalen Geraden in einem und +nur einem Punkt getroffen wird. Die Kurve $S$ darf dann in den +beiden Formen +\begin{equation*} +y=\chi(x),\quad x=\psi(y) +\end{equation*} +dargestellt werden, wobei $\chi(x)$, $\psi(y)$ stetige Funktionen +sind. Das +Gebiet, welches von der Kurve $S$ und den beiden Geraden $x = \xi$, +$y = \eta$ begrenzt ist, nennen wir $\Omega_{\xi\eta}$. Wir suchen ein +Funktionenpaar +$u(xy)$, $v(xy)$, welches dem Differentialgleichungssystem +\begin{equation*} +\tag*{1)} +\left\{ +\begin{array}{l} +\dfrac{\partial u}{\partial x} = B(xy)\,v \\[1em] +\dfrac{\partial v}{\partial y} = C(xy)\,u +\end{array}\right. +\end{equation*} +genügt und auf der Kurve $S$ die Bedingungen +\begin{equation*} +\tag*{2)} +\left\{ +\begin{array}{l} +u\bigl( \psi(y),y \bigr) = f(y) \\ +v\bigl( x,\chi(x) \bigr) = g(x) +\end{array}\right. +\end{equation*} +erfüllt. Dabei sollen $B(xy)$, $C(xy)$, $f(y)$, $g(x)$ stetige Funktionen +sein. Von den gesuchten Funktionen $u(xy)$, $v(xy)$ verlangen wir, +daß sie stetig seien und die stetigen Ableitungen $\dfrac{\partial +u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial v}{\partial y}$ besitzen. + +Integrieren wir die erste Gleichung 1) nach $x$ zwischen den +Grenzen $\psi(y)$ und $\xi$, die zweite nach $y$ zwischen den Grenzen +$\chi(x)$ +und $\eta$, so bekommen wir unter Berücksichtigung von 2) und mit +kleinen Aenderungen der Bezeichnung: +\begin{equation*} +\tag*{3)} +\left\{ +\begin{array}{l} +u(\xi\eta) = f(\eta)+ \dint\limits_{\psi(\eta)}^{\xi} B(x\eta)v(x\eta) +\,dx \\[2em] +v(\xi\eta) = g(\xi) + \dint\limits_{\chi(\xi)}^{\eta} C(\xi y)u(\xi y) +\,dy. +\end{array}\right. +\end{equation*} +Umgekehrt, sind $u(xy)$, $v(xy)$ stetige Lösungen von 3), so sind +auch $\dfrac{\partial u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig, und $u$, $v$ befriedigen 1) und 2). +%-----File: 068.png--------------------------------------- + +In jeder der Formeln 3) setzen wir in das Integral die andere +Formel ein; wir bekommen auf diese Weise die neuen Formeln: +\begin{align*} + u(\xi\eta) &= f(\eta) ++ \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta) g(x) \, dx ++ \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta) + \int\limits_{\chi( x )}^\eta C(x y ) \, u(xy) \, dy\, dx +\\ + v(\xi\eta) &= g(\xi ) ++ \int\limits_{\chi(\xi )}^\eta C(\xi y) \, f(y) \, dy ++ \int\limits_{\chi(\xi )}^\eta C(\xi y) + \int\limits_{\psi( y )}^\xi B( x y) \, v(xy) \, dx\, dy. +\end{align*} +Diese lassen sich auch in der Form schreiben: +\begin{align*} +\tag*{$4'$)} + u(\xi\eta) +&= \mathfrak{u}(\xi\eta) ++ \iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} K(\xi\eta, xy) \, u(xy) \, dR +\\ +\tag*{$4''$)} + v(\xi\eta) +&= \mathfrak{v}(\xi\eta) ++ \iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} L(\xi\eta, xy) \, v(xy) \, dR, +\end{align*} +wo +\[ +\tag*{5)} +\left\{ +\ \begin{aligned} +& \mathfrak{u}(\xi\eta) += f(\eta) + \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x \eta) \, g(x) \, dx +\\ +& \mathfrak{v}(\xi\eta) += g(\xi ) + \int\limits_{\chi(\xi )}^\eta C(\xi y) \, f(y) \, dy +\\ +& K(\xi\eta, xy) = - B(x \eta) \, C(xy)\;\footnotemark +\\ +& L(\xi\eta, xy) = - C(\xi y) \, B(xy). +\end{aligned} +\right. +\] +\footnotetext{ + Wir schreiben hier das negative Vorzeichen; denn die \so{doppelten} + Integrationen + liefern das Negative der \so{Doppel}integrale über + $\varOmega_{\xi\eta}$. Bei anderer + Wahl der durch die Kurve $S$ verbundenen Ecken würde das positive + Vorzeichen + hier vorkommen.}% +Wir haben also zwei getrennte Integralgleichungen für $u$, $v$. + +Es fragt sich jetzt, ob umgekehrt die Formeln 3) aus den +Integralgleichungen $4'$), $4''$) folgen. Wir nehmen an, $u$, $v$ +befriedigen +die Gleichungen $4'$), $4''$), setzen +\begin{align*} + u_0(\xi\eta) +&= u(\xi\eta) - f(\eta) +- \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x \eta) \, v(x \eta) \, dx +\\ + v_0(\xi\eta) +&= v(\xi\eta) - g(\xi ) +- \int\limits_{\chi(\xi )}^\eta C(\xi y) \, u(\xi y) \, dy, +\end{align*} +und versuchen zu beweisen, daß $u_0(\xi\eta) = 0$, $v_0(\xi\eta) = 0$. Aus +den eben gegebenen Definitionen von $u_0$, $v_0$ folgt sogleich, daß +%-----File: 069.png--------------------------------------- +\begin{align*} +\begin{split} + \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta)\, v_0(x\eta)\, dx += \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta)\, v(x\eta)\, dx +- \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta)\, g(x)\, dx +\\ +- \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta) + \int\limits_{\chi(x)}^\eta C(xy)\, u(xy)\, dy\, dx +\end{split} +\displaybreak[1] \\ +&= \{-u_0(\xi\eta) + u(\xi\eta) - f(\eta) \} + + \{ f(\eta) - \mathfrak{u}(\xi\eta) \} + + \{ \mathfrak{u}(\xi\eta) - u(\xi\eta) \} +\displaybreak[1] \\ +&= -\mathfrak{u}_0(\xi\eta); +\end{align*} +wir haben also +\[ + u_0(\xi\eta) = -\int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta) \, v_0(x\eta) + \, dx +\] +und ähnlich +\[ + v_0(\xi\eta) = -\int\limits_{\chi(\xi)}^\eta C(\xi y) \, u_0(\xi y) + \, dy; +\] +setzen wir jede dieser Formeln in die andere ein, so sehen wir, daß +\begin{align*} +\tag*{$4'_0$)} + u_0(\xi\eta) = -\iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} K(\xi\eta, xy) \, + u_0(xy) \, dR +\\ +\tag*{$4''_0$)} + v_0(\xi\eta) = -\iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} L(\xi\eta, xy) \, + v_0(xy) \, dR. +\end{align*} +Wenn diese beiden Gleichungen keine von Null verschiedenen stetigen +Lösungen besitzen, so müssen $u_0(\xi\eta)$ und $v_0(\xi\eta)$ +identisch Null sein, +und die Formeln~3) folgen aus $4'$), $4''$). Wir fassen die bis jetzt +erhaltenen Resultate in einen Satz zusammen. + +\so{Sind $u(xy)$, $v(xy)$, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig und befriedigen das +Gleichungssystem 1) und die Randbedingungen~2), so +ist $u$ eine Lösung der Integralgleichung $4'$), $v$ eine +Lösung der Integralgleichung $4''$). Haben die entsprechenden +homogenen Integralgleichungen $4'_0$), $4''_0$) +keine von Null verschiedenen stetigen Lösungen, und +ist $u$ eine stetige Lösung von $4'$), $v$ eine stetige Lösung +von $4''$), so sind auch +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig, und $u$, $v$ befriedigen +das Gleichungssystem~1) und die Randbedingungen~2).} + +\Paragraph{II.} Das Integrationsgebiet $\varOmega_{\xi\eta}$ in den +Integralgleichungen +$4'$), $4''$) hängt von den Parametern $\xi$, $\eta$ ab; um ein nicht +variables +%-----File: 070.png--------------------------------------- +Gebiet zu bekommen, erweitern wir die Definition der Kerne, indem +wir einfach setzen +\[ +\left. +\begin{aligned} + K(\xi\eta, xy) &= 0 \\ + L(\xi\eta, xy) &= 0 +\end{aligned} +\right\} + \text{ für $(xy)$ außerhalb $\varOmega_{\xi\eta}$.} +\] + +Die Integralgleichungen nehmen dann die Formen +\[ +\begin{aligned} + u(\xi\eta) +&= \mathfrak{u}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega K(\xi\eta, xy) \, +u(xy) \, dR +\\ + v(\xi\eta) +&= \mathfrak{v}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega L(\xi\eta, xy) \, +v(xy) \, dR +\end{aligned} +\] +an. Diese sind Gleichungen der von Fredholm behandelten Art, +sodaß wir schließen können: + +\so{Haben die homogenen Gleichungen $4'_0$), $4''_0$) keine +von Null verschiedenen stetigen Lösungen, so hat +jede der Gleichungen $4'$), $4''$) eine und nur eine Lösung.} + +Nach diesem Satze und dem in I bewiesenen, ist unser Problem +vollständig gelöst, wenn die Gleichungen $4'_0$), $4''_0$) die einzigen +stetigen +Lösungen $u_0 = 0$, $v_0 = 0$ besitzen. Wir zeigen schließlich, +daß dies \so{immer} zutrifft. + +\Paragraph{III.} \so{Die Gleichungen $4'_0$), $4''_0$) haben keine +von Null +verschiedenen stetigen Lösungen.} + +Es sei +\[ + \lvert K(\xi\eta, xy) \rvert < k,\; + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert < m, +\] +wo $u_0(\xi\eta)$ irgend eine stetige Lösung von $4'_0$) bedeutet. Alsdann +ist für jeden zur linken Seite von $S$ liegenden Punkt $(\xi\eta)$, +\begin{gather*} + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +\leqq \iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} km\, dR +\leqq \int\limits_\xi^{a_2} \int\limits_{b_1}^\eta dy\, dx += km (a_2 - \xi) (\eta - b_1); +\\ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +\leqq \iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} k^2 m (a_2 - x) (y - b_1) \, dR +\leqq k^2 m \int\limits_\xi^{a_2} \int\limits_{b_1}^\eta (a_2 - x) +(y - b_1) \, dy\,dx +\\ += k^2 m \frac{(a_2 - \xi)^2}{2!} \frac{(\eta - b_1)^2}{2!}; +\end{gather*} +und im allgemeinen +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +\leqq k^n m \frac{(a_2 - \xi)^n}{n!} \frac{(\eta - b_1)^n}{n!} +\] +für jedes positive, ganzzahlige $n$. Ebenso gilt für Punkte $(\xi\eta)$, +die zur rechten Seite von $S$ liegen: +%-----File: 071.png--------------------------------------- +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +\leqq k^n m \frac{(\xi - a_1)^n}{n!} + \frac{(b_2 -\eta)^n}{n!}; +\] +also für alle Punkte $(\xi\eta)$ von $\varOmega$ +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +\leqq k^n m \frac{(a_2 - a_1)^n}{n!} + \frac{(b_2 - b_1)^n}{n!}. +\] +Beim Grenzübergang $n = \infty$ wird die rechte Seite dieser Ungleichung +Null; daher muß +\[ + u_0(\xi\eta) = 0 +\] +sein. Ein genau ähnlicher Beweis zeigt, daß $v_0(\xi\eta) = 0$. + +Wir haben also folgendes Resultat: + +\so{Existenztheorem $A$: Das System~1) nebst den +Randbedingungen~2) hat ein und nur ein Lösungssystem +$u$, $v$, wobei $u$, $v$, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig sind.} + +\Paragraph{IV.} Sind $x = a$, $y = b$ zwei Gerade in $\varOmega$ so +können wir +die Randbedingung~2) durch folgende ersetzen: +\[ +\tag*{6)} +\left\{ +\begin{aligned} + u(ay) &= f(y) \\ + v(xb) &= g(x). +\end{aligned} +\right. +\] + +Jeder Schritt wird jetzt ähnlich wie vorhin ausgeführt; wir +bekommen die Integralgleichungen +\begin{align*} + u(\xi\eta) +&= f(\eta) + \int\limits_a^\xi B(x\eta) \, g(x) \, dx + + \int\limits_a^\xi \int\limits_b^\eta B(x\eta) \, C(xy) \, u(xy) \, + dy\, dx +\\ + v(\xi\eta) +&= g(\xi) + \int\limits_b^\eta C(\xi y) \, f(y) \, dy + + \int\limits_a^\xi \int\limits_b^\eta B(xy) \, C(\xi y) \, v(xy) \, + dy\, dx, +\end{align*} +welche genau dieselbe Behandlung gestatten wie die früheren\footnote{ + Integralgleichungen von der letzten Form waren schon vor der + Fredholmschen + Abhandlung von Volterra untersucht worden; vgl.\ Atti della Reale + Accademia dei Lincei, Bd.~5 (1896), S.~289--300.}. +Wir haben also das + +\so{Existenztheorem $B$: Das System~1) nebst den +Randbedingungen~6) hat ein und nur ein Lösungssystem +$u$, $v$, wobei $u$, $v$, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig sind.} + +\Paragraph{V.} \so{Allgemeines Existenztheorem $A$: Das System} +%-----File: 072.png--------------------------------------- +\[ +\tag*{7)} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\partial u}{\partial x} &= A(xy) \, u + B(xy) \, v \\ +\frac{\partial v}{\partial y} &= C(xy) \, u + D(xy) \, v +\end{aligned} +\right. +\] +\so{nebst den Randbedingungen~2) hat ein und nur ein +Lösungssystem $u$, $v$, wobei $u$, $v$, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig sind.} + +\so{Allgemeines Existenztheorem $B$. Das System~7) +nebst den Randbedingungen~6) hat ein und nur ein +Lösungssystem $u$, $v$, wobei $u$, $v$, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +stetig sind.} + +Wir setzen hier voraus, daß $A$, $B$, $C$, $D$ stetig sind. Machen +wir die Transformation +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + u &= e^{ \int\limits_{\;a_1}^x A(sy) \, ds } U \\ + v &= e^{ \int\limits_{\;b_1}^y D(xs) \, ds } U, +\end{aligned} +\right. +\] +so nehmen die Gleichungen~7) die Form~1) an. Die Form der +Randbedingungen bleibt ungeändert. Die frühere Theorie kann +also unmittelbar angewandt werden. + + +\Chapter{Viertes Kapitel.} +{Das parabolische System.} + +\Section{6. Hilfsmittel zur Theorie des parabolischen Systems.} + +Es sollen im gegenwärtigen Paragraphen einige Hilfssätze für +das parabolische System bewiesen werden, die denjenigen in \S~3 +für das elliptische System ähnlich sind. Dort haben wir uns auf +die Potentialtheorie gestützt; \dh\ auf die Theorie der Laplaceschen +Gleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ++ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 +\] +und der Poissonschen Gleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ++ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \varphi(xy); +\] +hier werden wir ähnlich von der Theorie der Wärmeleitungsgleichung +%-----File: 073.png--------------------------------------- +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +- \frac{\partial u}{\partial x } = 0 +\] +und der entsprechenden nicht homogenen Gleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +- \frac{\partial u}{\partial x } = \varphi(xy) +\] +Gebrauch machen. + +Bei der ersteren Gleichung bedienen wir uns teilweise der +Resultate von Holmgren\footnote{ + Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd.~3 (1906), No.~12; Bd.~4 + (1908), No.~14, No.~18. Bei Zitaten der Holmgrenschen Arbeit ist + zu bemerken, + daß seine Koordinaten $x$, $y$ in unserer Bezeichnung vertauscht sind.}; +bei der letztern werden wir die notwendigen +Sätze herleiten\footnote{ + Die Theorie dieser Gleichung ist auch in ziemlich allgemeiner Weise + untersucht worden; vgl.\ insbesondere \so{Volterra}, Le\c{c}ons sur + l'int\'egration des + \'equations aux d\'eriv\'ees partielles profess\'ees \`a Stockholm, + S.~62--82, und E.~E. \so{Levi}, + Atti della Reale Accademia dei Lincei, Serie~5, Bd.~16, 2 (1907) + S.~450--456.}. + +\Paragraph{I.} Es soll $\varOmega$ ein Gebiet der $xy$-Ebene bedeuten, +welches von +den Geraden $x = a$, $x = b\; (b > a)$ und zwei Kurven $S_1: y = +\chi_1(x)$, +$S_2: y = \chi_2(x)$ begrenzt ist, wo $\chi_1(x)$, $\chi_2(x)$ für $a +\leqq x \leqq b$ solche +zweimal stetig differenzierbare Funktionen sind, daß stets +\[ + \chi_2(x) > \chi_1(x). +\] +Derjenige Teil des Gebietes $\varOmega$, der durch die Ordinaten $x += \xi_1$, +$x = \xi_2$ begrenzt ist, werde mit ${}_{\xi_1}\varOmega_{\xi_2}$ +bezeichnet. Den Wert einer +Funktion $f(xy)$ in einem Punkte $\bigl(x, \chi_i(x)\bigr)$ der Kurve +$S_i$ werden wir +einfach $f(x\chi_i)$ schreiben $[i = 1, 2]$. Die Bezeichnungen $f(xy, +\xi\chi_1)$, +$f(x\chi_1, \xi\chi_2)$ \usw\ sind ebenso statt +$f\bigl(x, y; \xi, \chi_1(\xi)\bigr)$, +$f\bigl(x, \chi_1(x); \xi, \chi_2(\xi)\bigr)$ +gebraucht. + +Von besonderer Wichtigkeit für die gegenwärtige Theorie ist +eine Funktion, die wir mit $t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$ bezeichnen +und folgendermaßen +definieren: +\[ + t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) = +\left\{ +\begin{aligned} +& \int\limits^{+\tfrac{\eta_2 - \eta_1}{2\sqrt{\xi_2 - \xi_1}}} + _{-\tfrac{\eta_2 - \eta_1}{2\sqrt{\xi_2 - \xi_1}}} + e^{-z^2}dz & \quad +& \text{für } \xi_2 > \xi_1 +\\ +& \phantom{-} \sqrt{\pi} & +& \text{für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 > \eta_1 +\\ +& -\sqrt{\pi} & +& \text{für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 < \eta_1. +\end{aligned} +\right. +\] +Wir finden leicht, daß +%-----File: 074.png--------------------------------------- +\begin{align*} + \frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} + =-\frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_2} +&= \left\{ +\begin{array}{l} + \dfrac{\eta_2 - \eta_1}{2(\xi_2 - \xi_1)^{\frac32}} + \,e^{ -\tfrac{(\eta_2 - \eta_1)^2}{4(\xi_2 - \xi_1)} } + \text{ für } \xi_2 > \xi_1 +\\[1em] + \qquad 0 \quad\quad\quad \text{ für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 \neq \eta_1 +\end{array} +\right. +\\[0.5em] + \frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_1} + =-\frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_2} +&= \left\{ +\begin{array}{l} +- \dfrac{1}{\sqrt{\xi_2 - \xi_1}} + \,e^{-\tfrac{(\eta_2 - \eta_1)^2}{4(\xi_2 - \xi_1)} } + \text{ für } \xi_2 > \xi_1 +\\[1em] + \qquad 0 \quad\quad\quad \text{ für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 \neq \eta_1 +\end{array} +\right. +\\[0.5em] + \frac{\partial^2 t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_1^2} + = \frac{\partial^2 t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_2^2} +&= \left\{ +\begin{array}{l} + - \dfrac{\eta_2 - \eta_1}{2(\xi_2 - \xi_1)^{\frac32}} + \,e^{ -\tfrac{(\eta_2 - \eta_1)^2}{4(\xi_2 - \xi_1)} } + \text{ für } \xi_2 > \xi_1 +\\[1em] + \qquad 0 \quad\quad\quad \text{ für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 \neq + \eta_1. +\end{array} +\right. +\end{align*} +Wir sehen, daß die Funktion und ihre Ableitungen für alle Werte +der Argumente, für welche $\xi_2 \geqq \xi_1$, stetig sind, ausgenommen +der +Fall $(\xi_1 \eta_1) = (\xi_2 \eta_2)$, wo $t$ endlich bleibt, die +Ableitungen aber +unendlich werden; und es gelten die Identitäten: +\[ +\begin{aligned} + \frac{\partial^2 t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_1^2} +&+ \frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} = 0 +\\ + \frac{\partial^2 t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_2^2} +&- \frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_2} = 0. +\end{aligned} +\] + +\Paragraph{IIa.} \so{Ist $\varphi(xy)$ stetig, so gelten die Formeln:} +\begin{align*} + \underset{\overline{\xi}=\xi + }{\bigL} + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, + \varphi(\overline{\xi}y) \, dy &= 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) +\\ + \underset{\overline{\xi}=\xi - }{\bigL} + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})} + \frac{\partial t(\overline{\xi} y, \xi\eta)}{\partial y} \, + \varphi(\overline{\xi}y) \, dy &= -2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta). +\end{align*} + +Wir geben den Beweis im ersten Fall an. Es sei $\lvert \varphi(xy) +\rvert \leqq m$; +notwendig gilt auch nach Definition der Funktion +\[ + t(\xi\eta, xy) \leqq \sqrt{\pi}. +\] +Wir wollen beweisen, daß zu einem gegebenen $\varepsilon > 0$ ein solches +$\delta > 0$ sich wählen läßt, daß +\[ + \lvert I - 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) \rvert < \varepsilon, +\] +wenn +\[ + \lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta; +\] +%-----File: 075.png--------------------------------------- +hier bedeutet $I$ das erste der in dem Satz genannten Integrale. +Zu dem Zweck wählen wir zunächst $\delta'$ so klein, daß +\[ + \lvert \varphi(\overline{\xi} y) - \varphi(\xi\eta) \rvert +< \frac{\varepsilon}{8\sqrt{\pi}} , +\] +wenn +\[ + \lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta', \quad + \lvert y - \eta \rvert < \delta' +\] +und schreiben +\[ + \eta_1 = \eta - \delta', \quad \eta_2 = \eta + \delta'. +\] +Wegen der Stetigkeitseigenschaften von $t$ ist es ferner möglich, +$\delta$ so klein zu wählen, daß +\[ +\left. +\begin{aligned} + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) + \sqrt{\pi} \rvert \\ + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_2) - \sqrt{\pi} \rvert \\ + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\chi_1) + \sqrt{\pi} \rvert \\ + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\chi_2) - \sqrt{\pi} \rvert +\end{aligned} +\right\} +< \frac{\varepsilon}{8m}, +\] +wenn +\[ + \lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta ; +\] +daraus folgt weiter, daß +\begin{align*} + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\chi_1) + - t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) \rvert +&< \frac{\varepsilon}{4m} +\\ + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\chi_2) + - t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_2) \rvert +&< \frac{\varepsilon}{4m} ; +\end{align*} +außerdem verkleinern wir $\delta$, wenn nötig, so daß +\[ + \delta < \delta'. +\] + +Das so erhaltene $\delta$ hat die verlangte Eigenschaft. Um dies +zu sehen, schreiben wir: +\[ + I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4, +\] +wo +\begin{align*} + I_1 &= \int\limits_{\eta_1}^{\eta_2} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta)}{\partial y} + \, \varphi(\xi\eta) \, dy +\\ + I_2 &= \int\limits_{\eta_1}^{\eta_2} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} + \, \{ \varphi(\overline{\xi} y) - \varphi(\xi\eta) \} \, dy +\\ + I_3 &= \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\eta_1} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} + \, \varphi(\overline{\xi} y) \, dy\\ +%-----File: 076.png--------------------------------------- + I_4 &= \int\limits_{\eta_2}^{\chi_2(\overline{\xi})} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} + \, \varphi(\overline{\xi} y) \, dy. +\end{align*} +Alsdann haben wir, wenn $\lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta$, +\begin{gather*} + \lvert I_1 - 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) \rvert += \lvert \varphi(\xi\eta) \rvert + \left\lvert \,\int\limits_{\eta_1}^{\eta_2} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, dy + - 2\sqrt{\pi} \,\right\rvert +\displaybreak[1] \\ += \lvert \varphi(\xi\eta) \rvert + \lvert \{ t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_2) - \sqrt{\pi} \} + - \{ t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) + \sqrt{\pi} \} \rvert +\displaybreak[1] \\ +< m \left\{ \frac{\varepsilon}{8m} + \frac{\varepsilon}{8m} \right\} += \frac{\varepsilon}{4} +\displaybreak[1] \\ +\begin{split} + \lvert I_2 \rvert &< \int\limits_{\eta_1}^{\eta_2} + \lvert \varphi(\overline{\xi} y) - \varphi(\xi\eta) \rvert + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, dy +\\ +&< \frac{\varepsilon}{8\sqrt{\pi}} + \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_2) + - t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) \rvert +\\ +&< \frac{\varepsilon}{8\sqrt{\pi}} + \{ \sqrt{\pi} + \sqrt{\pi} \} = \frac{\varepsilon}{4} +\\ + \lvert I_3 \rvert &< \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\eta_1} + \lvert \varphi(\overline{\xi}\eta) \rvert + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, dy +\\ +&< m \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) + - t ( \overline{\xi}\eta, \overline{\xi}\chi_1) \rvert +\\ +&< m · \frac{\varepsilon}{4m} = \frac{\varepsilon}{4} +\end{split} +\end{gather*} +und ebenso +\[ + \lvert I_4 \rvert < \frac{\varepsilon}{4}. +\] + +Daher ist +\[ + \lvert I - 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) \rvert +< \lvert I_1 - 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) \lvert ++ \lvert I_2 \rvert ++ \lvert I_3 \rvert ++ \lvert I_4 \rvert < \varepsilon , +\] +was zu beweisen war. + +\Paragraph{IIb.} \so{Ist $f(x)$ stetig differenzierbar, so gelten die +Formeln:} +%-----File: 077.png--------------------------------------- +\[ +\left. +\begin{aligned} + \underset{(\overline{\xi\eta}) = (\xi\chi_i)}{\bigL} + \int\limits_{\overline{\xi}}^b + \frac{\partial t(\overline{\xi\eta}, x \chi_i)}{\partial y} f(x) \, dx +&= \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\chi_i, x \chi_i)}{\partial y} f(x) \, dx +\\ + \underset{(\overline{\xi\eta}) = (\xi\chi_i)}{\bigL} + \int\limits_{\overline{\xi}}^b + \frac{\partial t(\overline{\xi\eta}, x \chi_i)}{\partial x} f(x) \, dx +&= \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\chi_i, x \chi_i)}{\partial x} f(x) \, dx +- (-1)\sqrt{\pi} f(\xi) +\\ + \underset{(\overline{\xi\eta}) = (\xi\chi_i)}{\bigL} + \int\limits_a^{\overline{\xi}} + \frac{\partial t( x \chi_i, \overline{\xi\eta})}{\partial y} f(x) \, dx +&= \int\limits_a^\xi + \frac{\partial t( x \chi_i, \xi\chi_i)}{\partial y} f(x) \, dx +\\ + \underset{(\overline{\xi\eta}) = (\xi\chi_i)}{\bigL} + \int\limits_a^{\overline{\xi}} + \frac{\partial t( x \chi_i, \overline{\xi\eta})}{\partial x} f(x) \, dx +&= \int\limits_a^\xi + \frac{\partial t( x \chi_i, \xi\chi_i)}{\partial x} f(x) \, dx +- (-1)\sqrt{\pi} f(\xi) +\end{aligned} +\right\} + [i = 1, 2]. +\] + +Die zwei letzten Formeln sind von \so{Holmgren} bewiesen\footnote{ + Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd.~4 (1908), No.~18, + S.~8--12. + Der Beweis gestaltet sich etwas einfacher, wenn wir unsere Funktion + $t(\xi\eta, xy)$ + zu Hilfe nehmen, die in den Holmgrenschen Arbeiten nicht vorkommt.}; die +beiden ersten lassen sich auf dieselbe Weise herleiten oder folgen +aus den beiden andern bei Benutzung der Substitution $x' = -x$ +in den Integralen, zusammen mit den entsprechenden Bezeichnungsänderungen. + +\Paragraph{IIIa.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige Funktion, so +konvergieren +die Integrale:} +\[ + \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR, +\; + \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \, \varphi(xy) \, dR, +\; + \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \eta} \, \varphi(xy) \, dR; +\] +\so{ferner lassen sie sich als doppelte einfache Integrale +auswerten, wobei zuerst nach $y$, dann nach $x$ integriert +wird, und stellen stetige Funktionen dar.} + +Das erste Integral ist ein eigentliches Integral; der Integrand +des dritten Integrals hat nur eine Punktsingularität von weniger +starkem Charakter als die Liniensingularität +$\dfrac{1}{\sqrt{x-\xi}}$, so daß der +Satz noch aufrecht bleibt, wenn wir den Exponentialfaktor durch +1 ersetzen. Wir werden den Beweis nur im zweiten Fall ausführen, +wo die Beschaffenheit des Exponentialfaktors berücksichtigt +werden muß. Zum Beweise wird gezeigt, daß das Doppelintegral +und das doppelte Integral selbst dann konvergieren, wenn wir +den Integranden durch seinen absoluten Wert ersetzen; die weiteren, +%-----File: 078.png--------------------------------------- +fast selbstverständlichen\footnote{ + Vgl.\ auch \so{de la Vall\'e-Poussin}, Cours d'Analyse Infinit\'esimale, + Bd.~2, No.~76, 77.} +Ueberlegungen, die die Gleichheit +der beiden Integrale bestätigen, lassen wir weg. + +Den Integranden nennen wir immer zur Abkürzung $F$: +\begin{align*} + F = \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} + \,\varphi(xy); +\end{align*} +es sei für alle in Betracht kommenden Werte der Variablen +\[ + \lvert \varphi(xy)\rvert < m, \quad + \chi_1(x) > \mu_1, \quad + \chi_2(x) < \mu_2; +\] +ferner setzen wir +\[ + \lvert \log \{ 4(x - \xi)+(\mu_1 - \eta)^2 \} \rvert < C, \quad + \lvert \log \{ 4(x - \xi)+(\mu_2 - \eta)^2 \} \rvert < C, +\] +für alle $(\xi\eta)$ in $\Omega$; das ist sicher möglich, denn die +Argumente +der Logarithmen können nur dann Null werden, wenn $x = \xi$, +$\eta = \mu_1$ resp.\ $\mu_2$, was für Punkte von $\Omega$ ausgeschlossen +ist. +Schließlich nehmen wir irgend eine Konstante $\lambda$, die zwischen $0$ +und $\nicefrac{1}{2}$ liegt, und schreiben +\[ + \lvert (x - \xi)^{\lambda} \log (x - \xi)\rvert < c, \quad + (x - \xi)^{\lambda} < c, +\] +was wieder möglich ist wegen der Stetigkeit der genannten Funktionen +für alle $x, \xi$. + +Für die Konvergenzschwierigkeiten kommt nur die Nachbarschaft +der Geraden $x = \xi$ in Betracht; es genügt daher zu beweisen, +daß die Integrale +\[ + \iint\limits_{\area{\xi}{\xi + \delta}} + \lvert F \rvert \,dr, +\quad + \int\limits_{\xi}^{\xi + \delta} \int\limits_{\chi_1 (x)}^{\chi_2 (x)} + \lvert F \rvert \,dy\, dx +\] +konvergieren, \dh\ daß die Größe +\[ +I(\delta_1 ) += \iint\limits_{\area{\xi + \delta_1}{\xi + \delta}} + \lvert F \rvert \,dR += \int\limits_{\xi + \delta_1}^{\xi + \delta} \int\limits_{\chi_1 +(x)}^{\chi_2 (x)} + \lvert F \rvert \,dy\, dx +\] +einen Grenzwert besitzt bei Annäherung von $\delta_1$, an den Wert Null, +oder (da der Integrand positiv ist) sogar nur, daß sie bei diesem +Grenzübergang endlich bleibt. Da +\[ +e^{-\tfrac{(y - \eta)^2}{4(x - \xi)}} += \frac{1}{e^{ \tfrac{(y - \eta)^2}{4(x - \eta)}}} +\leqq \frac{1}{1 + \dfrac{(y - \eta)^2}{4(x - \eta)}} += \frac{4(x - \eta)}{4(x - \eta) + (y - \eta)^2} , +\] +so ist +%-----File: 079.png--------------------------------------- +\[ + \left\lvert \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial\xi} \right\rvert +\leqq \frac{ 2\lvert y-\eta \rvert } + { \sqrt{x-\xi} \{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} } , +\] +und +\[ + \lvert F \rvert += \left\lvert \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial\xi} + \varphi(xy) \right\rvert +\leqq \frac{ 2m \lvert y-\eta \rvert } + { \sqrt{x-\xi} \{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} }. +\] +Da $(\xi\eta)$ ein Punkt von $\varOmega$ ist, so ist +$\chi_1(\xi) \leqq \eta \leqq \chi_2(\xi)$; wir wählen +$\delta$ so klein, daß +\[ + \chi_1(x) \leqq \eta \leqq \chi_2(x), +\] +wenn +\[ + \xi \leqq x \leqq \xi + \delta. +\] +Wir haben dann +\begin{align*} + I(\delta_1) +&\leqq + \int\limits_{\xi+\delta_1}^{\xi+\delta} + \int\limits_{\chi_1(x)}^{\chi_2(x)} + \frac{ 2m \lvert y-\eta \rvert } + { \sqrt{x-\xi} \{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} } \, dy\, dx +\\ +&\leqq + \int\limits_{\xi+\delta_1}^{\xi+\delta} + \frac{2m}{\sqrt{x-\xi}} + \int\limits_{\mu_1}^{\mu_2} + \frac{ \lvert y-\eta \rvert } + { 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 } \, dy\, dx +\end{align*} +Es ist aber +\begin{align*} +& \int\limits_{\mu_1}^{\mu_2} + \frac{ \lvert y-\eta \rvert dy } + { 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 } += \int\limits_{\mu_1}^{\eta} + \frac{ (\eta - y) \, dy } + { 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 } ++ + \int\limits_{\eta}^{\mu_2} + \frac{ (y - \eta) \, dy } + { 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 } +\\ +&=-\left[\tfrac12 \log\{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} \right]_{\mu_1}^\eta ++ \tfrac12\left[ \log\{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} \right]_\eta^{\mu_2} +\\ +&= \tfrac12 \log \{ 4(x-\xi) + (\mu_1-\eta)^2 \} ++ \tfrac12 \log \{ 4(x-\xi) + (\mu_2-\eta)^2 \} +- \log \{ 4(x-\xi) \} +\\ +&\leqq \tfrac12 \, C + \tfrac12 \, C + \log 4 + \lvert \log(x-\xi) \rvert +\\ +&\leqq \frac{ C + \log 4 + 1) \, c }{ (x-\xi)^\lambda }. +\end{align*} +Daher ist +\begin{align*} + I(\delta_1) &\leqq 2m (C + \log 4 + 1) \, c + \int\limits_{\xi+\delta_1}^{\xi+\delta} + \frac{dx}{ (x-\xi)^{\nicefrac{1}{2} + \lambda}} +\\ +&= 2m (C + \log 4 + 1) \, c + \left[ \frac{ (x-\xi)^{\nicefrac12 - \lambda}} + { {\nicefrac12} - \lambda } + \right]_{\xi+\delta_1}^{\xi+\delta} +\\ +&= \frac{ 2m (C + \log 4 + 1) \, c }{ {\nicefrac12} - \lambda } + \left[ \delta^{ {\nicefrac12} - \lambda } + - \delta^{ {\nicefrac12} - \lambda }_1 \right]. +\end{align*} +Wir sehen also, daß $I(\delta_1)$ beim Grenzübergang $\delta_1 = 0$ +endlich +bleibt; und zwar ist +%-----File: 080.png--------------------------------------- +\[ + \underset{\delta_1 = 0}{\bigL} I(\delta_1) \leqq k\delta^{\nu}, +\] +wo $k$, $\nu$ von $\xi$, $\eta$, $\delta$ unabhängige positive Konstante +sind, und $\nu < 1$. + +Aus dieser Abschätzung wollen wir den zweiten Teil des +Satzes beweisen, welcher behauptet, die durch das Integral definierte +Funktion sei stetig. Nennen wir +\[ +\Phi (\xi \eta) = \iint\limits_{\area\xi{b}} F \,dR, +\] +so wollen wir zeigen, daß sich zu einem gegebenen $\varepsilon > 0$ ein +solches $\delta > 0$ wählen läßt, daß +\[ +\lvert \Phi (\overline{\xi \eta}) - \Phi (\xi \eta) \rvert < \varepsilon, +\] +wenn +\[ +\lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta, \quad +\lvert \overline{\eta} - \eta \rvert < \delta. +\] +Schreiben wir: +\[ +\Phi = \Phi_1 + \Phi_2, +\] +wo +\[ +\Phi_1 (\xi\eta) = \iint\limits_{\area\xi{\xi + \delta}} F\,dR;\quad +\Phi_2 (\xi\eta) = \iint\limits_{\area{\xi + \delta}{b}} F\,dR, +\] +so ist für jede Wahl von $\delta$ $\Phi_2$ stetig. Wählen wir $\delta$ +so klein, daß +\[ +\delta < \left( \frac{\varepsilon}{4k} \right)^{\frac{1}{\nu}} , +\] +und daß außerdem die Bedingung des vorhergehenden Beweises: +\[ +\chi_1 (x) \leqq \eta \leqq \chi_2 (x) , +\] +wenn +\[ +\xi \leqq x \leqq \xi + \delta , +\] +erfüllt ist. + +Wir haben dann: +\[ +\lvert \Phi_1 (\xi \eta) \rvert \leqq \iint\limits_{\area\xi{\xi + +\delta}} + \lvert F \rvert \,dR \,\leqq \,k \delta^{\nu} \,\leqq\, + \frac{\varepsilon}{4} ; +\] +und (da $k$, $\nu$ von $\xi$, $\eta$) unabhängig sind) +\[ +\lvert \Phi_1 (\overline{\xi \eta}) \leqq \frac{\varepsilon}{4} ; +\] +also +\[ +\lvert \Phi_1 (\overline{\xi \eta}) \rvert - \Phi_1 \lvert (\xi \eta) +\rvert \leqq \frac{\varepsilon}{2}. +\] +Durch Wahl eines eventuell kleinen $\delta$ erreichen wir, daß +%-----File: 081.png--------------------------------------- +\[ + \lvert \varPhi_2(\overline{\xi\eta}) - \varPhi_2(\xi\eta) \rvert +< \frac{\varepsilon}{2}, +\] +wenn +\[ + \lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta ,\; + \lvert \overline{\vphantom{\xi}\eta} - \eta \rvert < \delta ; +\] +dann ist +\[ + \lvert \varPhi(\overline{\xi\eta}) - \varPhi(\xi\eta) \rvert +< \varepsilon, +\] +was zu beweisen war. + +\Paragraph{IIIb.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige Funktion, so +gelten die +Differentiationsformeln:} +\begin{align*} + \frac{\partial }{\partial \xi} + \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +&= + \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \, \varphi(xy) \, dR ++ \sqrt{\pi} \int\limits_{\chi_1(\xi)}^\eta \varphi(\xi y) \, dy +- \sqrt{\pi} \int\limits_\eta^{\chi_2(\xi)} \varphi(\xi y) \, dy +\\ +\frac{\partial}{\partial \eta} + \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +&= + \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \eta} \, \varphi(xy) \, dR +\\ +\frac{\partial^2 }{\partial \eta^2} + \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +&= +- \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \, \varphi(xy) \, dR. +\end{align*} + +Wir geben den Beweis nur in dem ersten Fall an. Nennen wir +\[ + \varPhi(\xi\eta) += \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR , +\; + \varPhi(\overline{\xi}\eta) += \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} + t(\overline{\xi}\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR , +\] +und nehmen $\overline{\xi} > \xi$, was für den Beweis keine wirkliche +Einschränkung +bedeutet, so haben wir +\begin{gather*} + \varPhi(\overline{\xi}\eta) - \varPhi(\xi\eta) += \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} + t(\overline{\xi}\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +- + \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +\\ += \iint\limits_{\area\xi{\overline{\xi}}} + t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR ++ + \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} + \{ t(\overline{\xi}\eta, xy) - t(\xi\eta, xy) \} \, \varphi(xy) \, dR +\\ += -(\overline{\xi} - \xi) \int\limits_{\chi_1(\xi^*)}^{\chi_2(\xi^*)} + t(\xi\eta, \xi^* y) \, \varphi(\xi^* y) \, dy ++ + (\overline{\xi} - \xi) \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} + \frac{\partial t(\xi_1^*\eta, xy)}{\partial \xi_1^*} \, \varphi(xy) + \, dR, +\end{gather*} +wo $\xi^*$, $\xi_1^*$ gewisse, zwischen $\xi$ und $\overline{\xi}$ +liegende Größen bedeuten. +\[ + \frac{ \varPhi(\overline{\xi}\eta) - \varPhi(\xi\eta) } + { \overline{\xi} - \xi } += - \int\limits_{\chi_1(\xi^*)}^{\chi_2(\xi^*)} + t(\xi\eta, \xi^* y) \, \varphi(\xi^* y) \, dy ++ + \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} + \frac{\partial t(\xi_1^*\eta, xy)}{\partial \xi_1^*} \, \varphi(xy) + \, dR. +\] +%-----File: 082.png--------------------------------------- +Das Flächenintegral läßt sich in die zwei Teile: +\[ + \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}{\xi^*}} + \frac{\partial t(\xi_1^*\eta, xy)}{\partial \xi_1^*} \, \varphi(xy) + \, dR ++ + \iint\limits_{\area{\xi^*}b} + \frac{\partial t(\xi_1^*\eta, xy)}{\partial \xi_1^*} \, \varphi(xy) + \, dR +\] +spalten; der erste Teil nimmt beim Grenzübergang $\overline{\xi} = +\xi$ den +Wert Null an, denn nach IIIa bleibt er absolut kleiner als +$k\lvert \xi^* - \overline{\xi} \rvert^\nu$; +der zweite Teil ist nach IIIa eine stetige Funktion und +hat daher den Grenzwert +\[ + \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \, \varphi(xy) \, dR. +\] +Das Linienintegral ist ein eigentliches Integral; führen wir daher +den Grenzübergang auf rein formale Weise aus, so bekommen +wir unter Berücksichtigung der Definition von $t(\xi\eta, xy)$ in I den +Grenzwert +\[ + \int\limits_{\chi_1(\xi)}^{\chi_2(\xi)} + t(\xi\eta, \xi y) \, \varphi(\xi y) \, dy += +- \sqrt{\pi} \int\limits_{\chi_1(\xi)}^\eta \, \varphi(\xi y) \, dy ++ \sqrt{\pi} \int\limits_\eta^{\chi_2(\xi)} \varphi(\xi y) \, dy. +\] +Hiermit ist unsere Formel bewiesen. + +\Paragraph{IVa.} \so{Es existiert eine und nur eine stetige, nach +$y$ stetig differenzierbare, im Innern von $\varOmega$ beliebig +oft stetig differenzierbare Lösung $u(xy)$ der Gleichung} +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +- \frac{\partial u}{\partial x } = 0, +\] +\so{welche auf der Geraden $x = a$ die Werte $f_0(y)$ annimmt +und auf der Kurve $S_i$ einer der Bedingungen} +\begin{align*} +& 1)\quad u(x\chi_i) = f_i(x) +\\ +& 2)\quad + \frac{\partial u(x\chi_i)}{\partial y} + \alpha_i(x) \, u(x\chi_i) += f_i(x) +\\ +\intertext{\so{genügt, wo $\alpha_i(x)$, $f_i(x)$, $f_0(y)$ stetig +differenzierbare, die +Relationen}} +& 1)\quad f(a) = f_0\bigl(\chi_i(a)\bigr) +\\ +\intertext{\so{resp.}} +& 2)\quad + f_i(a) = f'_0\bigl(\chi_i(a)\bigr) + + \alpha_i(a) f_0\bigl(\chi_i(a)\bigr) +\end{align*} +\so{erfüllende Funktionen sind.} + +Wir haben hier zur Abkürzung +\[ + \frac{d f_0(y)}{dy} = f'_0(y) +\] +%-----File: 083.png--------------------------------------- +gesetzt. Die angegebenen Relationen drücken nur die Bedingung +aus, daß die vorgeschriebenen Werte auch in den Eckpunkten +$(a\chi_1)$, $(a\chi_2)$ stetig sind. Der Satz ist von +\so{Holmgren}\footnote{ + Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd.~3 (1906), No.~12, S.~1--4; + Bd.~4 (1908), No.~14, S.~6--8.} +bewiesen +worden. Durch ähnliche Methoden oder durch Einsetzen von $-x$ +an Stelle von $x$ bekommen wir den entsprechenden Satz für die +adjungierte Gleichung: + +\Paragraph{IVb.} \so{Es existiert eine und nur eine stetige, nach +$y$ stetig differenzierbare, im Innern von $\varOmega$ beliebig +oft stetig differenzierbare Lösung $u(xy)$ der Gleichung} +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} ++ \frac{\partial u}{\partial x } = 0, +\] +\so{welche auf der Geraden $x = b$ die Werte $f_0(y)$ annimmt +und auf der Kurve $S_i$ einer der Bedingungen} +\begin{align*} +& 1) \quad u(x\chi_i) = f_i(x) \\ +& 2) \quad \frac{\partial u(x\chi_i)}{\partial y} + + \alpha_i(x) \, u(x\chi_i) = f_i(x) \\ +\intertext{\so{genügt, wo $\alpha_i(x)$, $f_i(x)$, $f_0(y)$ stetig +differenzierbare, die +Relationen}} +& 1) \quad f_i(b) = f_0\bigl( \chi_i(b) \bigr) \\ +\intertext{\so{resp. }} +& 2) \quad f_i(b) = f'_0\bigl( \chi_i(b) \bigr) + + \alpha_i(b) f_0\bigl( \chi_i(b) \bigr) +\end{align*} +\so{erfüllende Funktionen sind.} + +Es wird in der Folge ziemlich unbequem sein, die beiden +Arten von Bedingungen 1), 2) gleichzeitig für die beiden Kurven +zu behandeln, da für sie verschiedenartige Formeln nachher eintreten. +Wir wollen also von jetzt ab alle Sätze für den Fall +aussprechen, daß eine Bedingung der Form 1) auf $y = \chi_1(x)$, eine +Bedingung der Form 2) auf $y = \chi_2(x)$ herrscht; dabei werden +beide Arten Bedingungen berücksichtigt werden, sodaß das Verhalten +im allgemeinen Fall vollständig klar angedeutet wird. + +\Paragraph{V.} Es sei $(\xi\eta)$ ein fester Punkt von +$\varOmega$. Suchen wir diejenige +(nach IVa existierende) Lösung der Gleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +- \frac{\partial u}{\partial x } = 0, +\] +welche auf der Geraden $x = \xi$ verschwindet und ferner den Bedingungen: +%-----File: 084.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + u(x\chi_1) &= -\frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} +\\ + \frac{\partial u(x\chi_2)}{\partial y} + \beta(x) \, u(x\chi_2) +&= -\frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial x} + - \beta(x) \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial y} +\end{aligned} +\right. +\] +genügt. Diese Funktion bezeichnen wir mit $g(\xi\eta, xy)$ und nennen +\[ + G(\xi\eta, xy) += \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial y} + g(\xi\eta, xy) +\] +eine \so{Greensche Funktion} der Differentialgleichung. Sie erfüllt +die Randbedingungen: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& G(\xi\eta, \xi y) = 0 \quad [y \neq \eta] +\\ +& G(\xi\eta, x\chi_1) = 0 +\\ +& \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial y} ++ \beta(x) \, G(\xi\eta, x\chi_2) = 0. +\end{aligned} +\right. +\] + +Auf ähnliche Weise konstruieren wir eine Lösung +\[ + H(\xi\eta, xy) += - \frac{\partial t(xy, \xi\eta)}{\partial y} + h(\xi\eta, xy) +\] +der Gleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} ++ \frac{\partial u}{\partial x } = 0, +\] +welche die Bedingungen +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& H(\xi\eta, \xi y) = 0 \quad [y \neq \eta] +\\ +& H(\xi\eta, x\chi_1) = 0 +\\ +& \frac{\partial H(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial y} ++ \alpha(x) \, H(\xi\eta, x\chi_2) = 0 +\end{aligned} +\right. +\] +erfüllt. $G(\xi\eta, xy)$ ist nur für $x \geqq \xi$, $H(\xi\eta, xy)$ +nur für $x \leqq \xi$ definiert. + +Wir sagen, \so{$G$ und $H$ erfüllen adjungierte Randbedingungen}\footnote{ + Die Bezeichnungsweise ``adjungierte Bedingungen'' rührt im Falle von + nicht selbst adjungierten gewöhnlichen Differentialgleichungen von + \so{Birkhoff} her, + Transactions of the American Mathematical Society, Bd.~10 (1909), + S.~373, 375.}, +wenn +\[ + \beta(x) - \alpha(x) = \frac{d \chi_2(x)}{dx}\;\footnotemark. +\] +\footnotetext{ + Ist eine der Funktionen $\alpha(x)$, $\beta(x)$ stetig differenzierbar + angenommen, + so gilt dasselbe für die andre wegen der zweimaligen stetigen + Differenzierbarkeit + von $\chi_2(x)$.} +%-----File: 085.png--------------------------------------- + +Wir werden jetzt den Satz beweisen: + +\so{Erfüllen $G(\xi\eta, xy)$, $H(\xi\eta, xy)$ adjungierte +Randbedingungen, +so sind sie gegenseitig symmetrisch:} +\[ + G(\xi\eta, xy) = H(xy, \xi\eta). +\] + +Wir nehmen die Funktionen für zwei verschiedene Punkte +$G(\xi_1 \eta_1, xy)$, $H(\xi_2\eta_2, xy)$, wobei $\xi_2 > \xi_1$. Es +gilt die Identität: +\[ + \frac{\partial }{\partial y} + \left\{ G \frac{\partial H}{\partial y} + - H \frac{\partial G}{\partial y} \right\} ++ \frac{\partial }{\partial x} \{ GH \} += G \left\{ \frac{\partial^2 H}{\partial y^2} + + \frac{\partial H}{\partial x } \right\} +- H \left\{ \frac{\partial^2 G}{\partial y^2} + - \frac{\partial G}{\partial x } \right\} = 0. +\] +Integrieren wir über das Gebiet +${}_{\overline{\xi}_1}\varOmega_{\overline{\xi}_2}$, +wo $\overline{\xi}_1$ ein wenig größer als +$\xi_1$, $\overline{\xi}_2$ ein wenig kleiner als $\xi_2$ ist. +Umformung mittels des Greenschen +Satzes liefert die Formel: +\begin{align*} +& \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_2)}^{\chi_2(\overline{\xi}_2)} + G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y) \, + H(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_2 y) \, dy +- \int\limits_{\overline{\xi}_1}^{\overline{\xi}_2} + \left[ GH \, dy - \left\{ G \frac{\partial H}{\partial y} + - H \frac{\partial G}{\partial y} \right\} dx + \right]_{S_2} +\\ +-& \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_1)}^{\chi_2(\overline{\xi}_1)} + G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_1 y) \, + H(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_1 y) \, dy ++ \int\limits_{\overline{\xi}_1}^{\overline{\xi}_2} + \left[ GH \, dy - \left\{ G \frac{\partial H}{\partial y} + - H \frac{\partial G}{\partial y} \right\} \, dx + \right]_{S_1} = 0. +\end{align*} +Das dritte und das vierte Integral verschwinden; denn auf $S_1$ ist +$G = H = 0$, und auf $S_2$ ist +\[ + GH \frac{dy}{dx} +- \left\{ G \frac{\partial H}{\partial y} + - H \frac{\partial G}{\partial y} \right\} += GH \frac{d\chi_2}{\partial x} + GH\alpha - GH\beta = 0. +\] +Wir haben also einfach +\[ + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_2)}^{\chi_2(\overline{\xi}_2)} + G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y) \, + H(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_2 y) \, dy += + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_1)}^{\chi_2(\overline{\xi}_1)} + G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_1 y) \, + H(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_1 y) \, dy. +\] +Die linke Seite dieser Identität läßt sich in der Form +\[ + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_2)}^{\chi_2(\overline{\xi}_2)} + G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y) \, + h(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_2 y) \, dy +- + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_2)}^{\chi_2(\overline{\xi}_2)} + G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y) + \frac{\partial t(\overline{\xi}_2 y, \xi_2 \eta_2)}{\partial y} \, dy +\] +schreiben; die Funktion $G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y)$ bleibt +beim Grenzübergang +$\overline{\xi}_2 = \xi_2$ stetig; dasselbe gilt für +$h(\xi_2 \eta_2, \xi_2 y)$, welches den Wert +Null annimmt; also verschwindet in der Grenze das erste der +%-----File: 086.png--------------------------------------- +beiden Teilintegrale. Der Grenzwert des zweiten läßt sich nach +IIa auswerten und ist gleich $2\sqrt{\pi} \, G(\xi_1\eta_1,\xi_2\eta_2)$. + +Ganz ebenso bekommen wir als Grenzwert der rechten Seite +$2\sqrt{\pi} \, H(\xi_2\eta_2,\xi_1\eta_1)$. Diese beiden Größen sind +also einander gleich, +was zu beweisen war. + +Wir werden hernach unter $G$ immer diejenige Greensche +Funktion verstehen, für welche +\[ + \beta(x) = \alpha(x) + \frac{d \chi_2(x)}{dx} +\] +bei gegebenen $\alpha(x)$. + +\Paragraph{VI.} \so{Sind $u$, $v$ solche stetige Funktionen mit den im +Innern von $\varOmega$ stetigen Ableitungen +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$, daß die +Differentialgleichungen} +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &&= \varphi(xy) +\\ +& \frac{\partial u}{\partial y} &&= v +\end{alignedat} +\right. +\] +\so{und die Randbedingungen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& u(by) = f_0 (y) +\\ +& u(x\chi_1) = f_1 (x) +\\ +& v(x\chi_2) + \alpha(x) \, u(x\chi_2) = f_2 (x) +\end{aligned} +\right. +\] +\so{erfüllt sind, wo $f_0 (y)$, $f_1 (x)$, $f_2 (x$), $\alpha(x)$ +stetige Funktionen +sind, für welche} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& f_1(b) = f_0\bigl( \chi_1(b) \bigr) +\\ +& f_2(b) = f'_0\bigl( \chi_2(b) \bigr) + + \alpha(b) f_0\bigl( \chi_2(b) \bigr), +\end{aligned} +\right. +\] +\so{so sind $u$, $v$ durch die Formeln} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + u(\xi\eta) +&= \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\chi_1(b)}^{\chi_2(b)} + G(\xi\eta, by) \, f_0(y) \, dy + + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\xi}^b + \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} \, f_1(x) \, dx +\\ +&\; + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\xi}^b + G(\xi\eta, x\chi_2) \, f_2(x) \, dx + - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + G(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +\\ +v(\xi\eta) &= \frac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta} +\end{aligned} +\right. +\] +\so{gegeben.} +%-----File: 087.png--------------------------------------- + +Zum Beweise schreiben wir die Identität +\[ + G\varphi += G\left( \frac{\partial u}{\partial x} + + \frac{\partial v}{\partial y} \right) +- \frac{\partial G}{\partial y} + \left( \frac{\partial u}{\partial y} - v \right) +- u\left( \frac{\partial^2 G}{\partial y^2} + - \frac{\partial G}{\partial x } \right) += \frac{\partial }{\partial x} \{ Gu \} ++ \frac{\partial u}{\partial y} + \left\{ Gv - \frac{\partial G}{\partial y} \, u \right\}, +\] +integrieren über den Bereich ${}_{\overline{\xi}}\varOmega_b$, wo +$\overline{\xi}$ ein wenig größer als $\xi$ ist +und machen wie vorhin eine Umformung mittels des Greenschen +Satzes. Mit Rücksicht auf die Relation zwischen den Randbedingungen +für $u$, $v$ und $G$ (wie in V), bekommen wir die Formel: +\begin{gather*} + \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} G(\xi\eta, xy) \, dR += + \int\limits_{\chi_1(b)}^{\chi_2(b)} G(\xi\eta, by) \, f_0(y) \, dy ++ \int\limits_{\overline{\xi}}^b G(\xi\eta, x\chi_2) \, f_2(x) \, dx +\\ +- \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})} + G(\xi\eta, \overline{\xi} y) \, u(\overline{\xi} y) \, dy ++ \int\limits_{\overline{\xi}}^b + \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} \, f_1(x) \, dx. +\end{gather*} +Beim Grenzübergang $\overline{\xi} = \xi$ ändern die beiden Integrale +nach $x$ +entsprechend ihre unteren Grenzen (da sie eigentliche Integrale +sind); dasselbe gilt wegen der Konvergenz des resultierenden Integrals +für das Flächenintegral; das erste Integral nach $y$ bleibt +ungeändert; und das zweite Integral nach $y$ nimmt nach IIa den +Wert +\begin{gather*} + \underset{\overline{\xi}=\xi}{\bigL} + \left\{ \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})} + g(\xi\eta, \overline{\xi} y) \, u(\overline{\xi} y) \, dy + + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})} + \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, + u(\overline{\xi} y) \, dy + \right\} +\\ += 0 + 2\sqrt{\pi} \, u(\xi\eta) +\end{gather*} +an. Sammeln wir die getrennten Grenzwerte, so entsteht genau +die behauptete Darstellung von $u$. Die Darstellung von $v$ ist nur +eine Wiederholung der zweiten Differentialgleichung. + +\Paragraph{VIIa.} \so{Sind $f_0(y)$, $f_1(x)$, $f_2(x)$, $\alpha(x)$ +stetig differenzierbare +Funktionen, für welche} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& f_1(b) = f_0\bigl( \chi_1(b) \bigr) +\\ +& f_2(b) = f'_0\bigl( \chi_2(b) \bigr) + + \alpha(b) \, f_0\bigl( \chi_2(b) \bigr) , +\end{aligned} +\right. +\] +\so{so sind die Funktionen} +%-----File: 088.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +&\begin{aligned} + u(\xi\eta) += \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\chi_1(b)}^{\chi_2(b)} + G(\xi\eta, by) \, f_0(y) \, dy +&+ \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\xi}^b + \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} \, f_1(x) \, dx +\\ +&+ \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\xi}^b + G(\xi\eta, x\chi_2) \, f_2(x) \, dx +\end{aligned} +\\ +& v(\xi\eta) = \frac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta} +\end{aligned} +\right. +\] +\so{stetig; ferner besitzen sie im Innern von $\varOmega$ die stetigen +Ableitungen +$\dfrac{\partial u}{\partial \xi }$, +$\dfrac{\partial u}{\partial \eta}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial \eta}$ und erfüllen die +Differentialgleichungen:} +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v}{\partial \eta} && = 0 +\\ +& \frac{\partial u}{\partial \eta} && = v +\end{alignedat} +\right. +\] +\so{und die Randbedingungen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& u(b\eta) = f_0(\eta) \\ +& u(\xi\chi_1) = f_1(\xi) \\ +& v(\xi\chi_2) + \alpha(\xi) \, u(\xi\chi_2) = f_2(\xi). +\end{aligned} +\right. +\] + +Wenn Funktionen $u$, $v$ von der genannten Beschaffenheit existieren, +so müssen sie nach VI (jetzt in dem Fall angewandt, daß +$\varphi(xy) = 0$) durch die gegebenen Formeln dargestellt werden. Es +genügt also, zu zeigen, daß solche Funktionen $u$ existieren. Aber +es existiert sicher nach IVb eine Funktion $u(\xi\eta)$, welche folgende +Eigenschaften besitzt: $u$, $\dfrac{\partial u}{\partial \eta}$ sind +stetig; +$\dfrac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial \xi }$ sind im Innern +von $\varOmega$ stetig, und +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} ++ \frac{\partial u}{\partial \xi } = 0; +\] +schließlich +\[ + u(b\eta) = f_0(\eta); \; + u(\xi\chi_1) = f_1(\xi); \; + \frac{\partial u(\xi\chi_2)}{\partial \eta} ++ \alpha(\xi) \, u(\xi\chi_2) = f_2(\xi). +\] +Nennen wir $\dfrac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta} = v(\xi\eta)$, +so übertragen sich diese Eigenschaften +genau auf die Eigenschaften für $u$, $v$ in unserm Satze. +%-----File: 089.png--------------------------------------- + +\Paragraph{VIIIb.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige, nach $y$ stetig +differenzierbare +Funktion, so sind die Funktionen} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& u(\xi\eta) += -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + G(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR +\\ +& v(\xi\eta) = \frac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta} +\end{aligned} +\right. +\] +\so{stetig; ferner besitzen sie im Innern von $\varOmega$ die stetigen +Ableitungen +$\dfrac{\partial u}{\partial \xi }$, +$\dfrac{\partial u}{\partial \eta}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial \eta}$ und erfüllen die +Differentialgleichungen:} +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial \xi } ++ \frac{\partial v}{\partial \eta} &&= \varphi(\xi\eta) +\\ +& \frac{\partial u}{\partial \eta} &&= v +\end{alignedat} +\right. +\] +\so{und die Randbedingungen:} +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& u(b\eta) = 0 \\ +& u(\xi\chi_1) = 0 \\ +& v(\xi\chi_2) + \alpha(\xi) \, u(\xi\chi_2) = 0. +\end{aligned} +\right. +\] + +Schreiben wir +\[ + u = u_1 + u_2, \; v = v_1 + v_2, +\] +wo +\begin{align*} + u_1(\xi\eta) +&= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + g(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR, \quad + v_1(\xi\eta) = \frac{\partial u_1(\xi\eta)}{\partial \eta}, +\\ + u_2(\xi\eta) +&= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial y} \, \varphi(xy) \, dR, \quad + v_2(\xi\eta) = \frac{\partial u_2(\xi\eta)}{\partial \eta}, +\end{align*} +so sind alle die genannten Stetigkeitseigenschaften für $u$, $v$ von +vornherein für $u_1$, $v_1$ erfüllt; daher bleibt in dieser Beziehung nur +die Untersuchung für $u_2$, $v_2$ nötig. Bedienen wir uns für $u_2$ der +teilweisen Integration, so wird +\begin{align*} + u_2(\xi\eta) += -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + t(\xi\eta, x\chi_2) \, \varphi(x\chi_2) \, dx +&+ + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + t(\xi\eta, x\chi_1) \, \varphi(x\chi_1) \, dx +\\ +&+ \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + t(\xi\eta, xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial y} \, dR. +\end{align*} +%-----File: 090.png--------------------------------------- +Hieraus folgen alle gewünschten Stetigkeitseigenschaften mit Hilfe +von IIa, IIb, IIIa und IIIb. Ferner sind die so erhaltenen +Formeln für die Ableitungen: +\begin{align*} + \frac{\partial \mu_2(\xi\eta)}{\partial \xi} +&= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_2) + \, dx ++ \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \, t(\xi\eta, \xi\chi_2) \, \varphi(\xi\chi_2) +\\ +&\quad +\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_1) + \, dx +- \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \, t(\xi\eta, \xi\chi_1) \, \varphi(\xi\chi_1) +\\ ++ &\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR ++ + \tfrac{1}{2} \int\limits_{\chi_1(\xi)}^\eta + \frac{\partial \varphi(\xi y)}{\partial y} \, dy +- + \tfrac{1}{2} \int\limits_\eta^{\chi_2(\xi)} + \frac{\partial \varphi(\xi y)}{\partial y} \, dy +\displaybreak[1] \\ +&= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_2) + \, dx ++ + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_1) + \, dx +\\ +&\quad +\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR + \varphi(\xi\eta), +\\ + \frac{\partial u_2(\xi\eta)}{\partial \eta} &= v_2(\xi\eta) += -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta,x\chi_2)}{\partial\eta} \, \varphi(x\chi_2) + \, dx +\\ ++ &\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta,x\chi_1)}{\partial\eta} \, \varphi(x\chi_1) + \, dx ++ + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \eta} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR, +\\ + \frac{\partial v_2(\xi\eta)}{\partial \eta} +&= +- \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial^2 t(\xi\eta,x\chi_2)}{\partial \eta^2} \, + \varphi(x\chi_2) \, dx ++ + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial^2 t(\xi\eta,x\chi_1)}{\partial \eta^2} \, + \varphi(x\chi_1) \, dx +\\ +&\quad + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial^2 t(\xi\eta, xy)}{\partial \eta^2} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR +\\ +&= \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta,x\chi_2)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_2) + \, dx +- \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b + \frac{\partial t(\xi\eta,x\chi_1)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_1) + \, dx +\\ +&\; - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}} + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} + \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR. +\end{align*} +Es erfüllen $u_2 v_2$ also die Differentialgleichungen +%-----File: 091.png--------------------------------------- +\begin{alignat*}{2} +& \frac{\partial u_2}{\partial\xi} ++ \frac{\partial v_2}{\partial\eta} &&= \varphi(\xi\eta) \\ +& \frac{\partial u_2}{\partial\eta} &&= v_2. +\end{alignat*} +Es ist $g(\xi\eta, xy)$ nicht nur eine Lösung von +\[ +\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} - \frac{\partial g}{\partial x} = 0 +\] +(nach Definition), sondern auch (nach dem Symmetriegesetz in V) +eine Lösung von +\[ +\frac{\partial^2 g}{\partial\eta^2} + \frac{\partial g}{\partial\xi} = 0. +\] +Darum ist, wie leicht einzusehen, +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u_1}{\partial\xi} ++ \frac{\partial v_1}{\partial\eta} &&= 0 \\ +& \frac{\partial u_1}{\partial\eta} &&= v_1, +\end{alignedat} +\right. +\] +also schließlich +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial\xi} ++ \frac{\partial v}{\partial\eta} &&= 0 \\ +& \frac{\partial u}{\partial\eta} &&= v. +\end{alignedat} +\right. +\] + +Es bleiben nur noch die Randbedingungen zu bestätigen. Das +geschieht auch durch Benutzung des Symmetriegesetzes; denn +demzufolge ist +\[ +\begin{alignedat}{3} +& \: G(\xi\chi_1, xy) &&= H(xy, \xi\chi_1) &&= 0 +\\ +& \frac{\partial G(\xi\chi_2, xy)}{\partial\eta} ++ a(\xi)G(\xi\chi_2, xy) +&& = \frac{\partial H(xy, \xi\chi_2)}{\partial\eta} ++ a(\xi)H(xy, \xi\chi_2) &&= 0; +\end{alignedat} +\] +hieraus und aus den Stetigkeitseigenschaften folgen unmittelbar +die beiden letzten Randbedingungen für $u$, $v$. Um zu sehen, daß +auch $u(b\eta) = 0$, bemerken wir, daß sicher $u_1(b\eta) = 0$, da der +Integrand stetig ist und der Integrationsbereich verschwindet; +andrerseits ist aber auch $u_2(b\eta) = 0$, denn +\begin{gather*} +\lvert u_2(\xi\eta) \rvert \leqq + \iint\limits_{\area\xi{b}} +\frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial y}\lvert \varphi(xy)\rvert \,dR +\;\leqq\;\int\limits_\xi^b m(\mu_2-\mu_1) - \frac{dx}{\sqrt{x-\xi}} +\\ += 2m(\mu_2-\mu_1)(b-\xi)^{\frac{1}{2}}, +\end{gather*} +was beim Grenzübergang $\xi = b$ den Wert Null annimmt. +%-----File: 092.png--------------------------------------- + + +\Section{7. Lösung der Randwertaufgabe für das parabolische System.} + +Wir werden hier ein gewöhnlich-parabolisches System von +Gleichungen in der Normalform betrachten und ein Funktionenpaar +finden, welches dem Gleichungssystem und gewissen linearen +Randbedingungen genügt. Wir beschränken uns zunächst, wie +bei dem hyperbolischen Fall, auf ein ganz spezielles System und +verallgemeinern nachher die Resultate. Ferner werden wir die in +\S~6 (vor V) erwähnte vereinfachte Form der Randbedingungen in +unsern Sätzen angeben, was keine wirkliche Einschränkung der +Allgemeinheit bedeutet; übrigens werden die schließlich herauskommenden +Resultate ganz allgemein ausgesprochen. + +\Paragraph{I.} Es möge wie vorhin mit $\varOmega$ ein Gebiet bezeichnet +werden, +welches durch die Ordinaten $x = a$, $x = b\; (b > a)$ und die +Kurven $S_1: y = \chi_1(x)$, $S_2: y = \chi_2(x)$ begrenzt ist, wo +$\chi_1(x)$, $\chi_2(x)$ +zweimal stetig differenzierbare Funktionen in der Strecke $a \leqq x +\leqq b$ +sind, und $\chi_2(x) > \chi_1(x)$. Wir suchen ein Funktionenpaar $u(xy)$, +$v(xy)$, das dem Differentialgleichungssystem +\[ +\tag*{1)} +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} = {} & A(xy) \, &u +\\ +& \frac{\partial u}{\partial y} & = {} &v +\end{alignedat} +\right. +\] +genügt und die Randbedingungen +\[ +\tag*{2)} +\left\{ +\begin{aligned} +& u(by) = f_0(y) \\ +& u(x\chi_1) = f_1(x) \\ +& v(x\chi_2) + \alpha(x) \, u(x\chi_2) = f_2(x) +\end{aligned} +\right. +\] +erfüllt. Dabei soll $A(xy)$ eine stetige, nach $y$ stetig differenzierbare +Funktion sein; $f_0(y)$, $f_1(x)$, $f_2(x)$, $\alpha(x)$ sollen stetig +differenzierbar +sein und unter sich die Relationen +\[ +\tag*{3)} +\begin{aligned} +& f_1(b) = f_0\bigl( \chi_1(b) \bigr) \\ +& f_2(b) = f'_0\bigl( \chi_2(b) \bigr) + + \alpha(b) f_0\bigl( \chi_2(b) \bigr) +\end{aligned} +\] +befriedigen. Von den gesuchten Funktionen $u(xy)$, $v(xy)$ verlangen +wir, daß sie stetig seien und im Innern von $\varOmega$ die stetigen +Ableitungen +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ besitzen; aus diesen Annahmen folgt, daß +$\dfrac{\partial u}{\partial x} ++\dfrac{\partial v}{\partial y}$ und +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$ auch am Rande stetig sind. +%-----File: 093.png--------------------------------------- + +Nach \S~6, VI müssen die Funktionen $u$, $v$ durch folgende +Formeln gegeben werden: +\[ +\tag*{4)} +\left\{ +\begin{aligned} +& u(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + + \iint\limits_{\area\xi{b}} K(\xi\eta, xy) \, u(xy) \, dR +\\ +& v(\xi\eta) = \frac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta}, +\end{aligned} +\right. +\] +wobei +\[ +\tag*{5)} +\left\{ +\begin{aligned} +& 2\sqrt{\pi} \mathfrak{u}(\xi\eta) += \int\limits_{\chi_1(b)}^{\chi_2(b)} G(\xi\eta, by) \, f_0(y) \, dy ++ \int\limits_\xi^b + \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} \, f_1(x) \, dx ++ \int\limits_\xi^b G(\xi\eta, x\chi_2) \, f_2(x) \, dx +\\ +& 2\sqrt{\pi} K(\xi\eta, xy) = - G(\xi\eta, xy) \, A(xy). +\end{aligned} +\right. +\] + +Aber nach \S~6, VIIa, VIIb müssen Funktionen $u$, $v$, die die +Gleichungen~4) erfüllen, auch die Gleichungen~1) und die +Randbedingungen~2) +erfüllen; vorausgesetzt nur, daß die Funktion +$\varphi(xy)$ von \S~6, VIIb stetig, nach $y$ stetig differenzierbar ist; +diese Funktion ist hier durch $A(xy)$ $u(xy)$ vertreten. Wir brauchen +also nur, außer Stetigkeit, die stetige Differenzierbarkeit von +$u(\xi\eta)$ nach $\eta$ nachzuweisen. Das geschieht aber ohne weiteres +aus der ersten Gleichung~9); denn schon nach \S~6, VIIa ist +$\mathfrak{u}(\xi\eta)$ nach $\eta$ stetig differenzierbar, und dieselbe +Eigenschaft besitzt +nach Definition von $G$ und \S~6, IIIa, IIIb das Integral über +${}_\xi\varOmega_b$. Wir haben also den Satz: + +\so{Sind $u$, $v$ stetige Funktionen, die im Innern von $\varOmega$ +die stetigen Ableitungen +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ besitzen und +die dem Differentialgleichungssystem~1) nebst den +Randbedingungen~2) genügen, so erfüllen $u$, $v$ die Relationen~4); +umgekehrt, erfüllen $u$, $v$ die Relationen~4) +und ist $u$ stetig, so ist auch $v$ stetig, und +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +sind im Innern von $\varOmega$ stetig; und $u$, $v$ genügen dem +Differentialgleichungssystem~1) nebst den Randbedingungen~2).} + +\Paragraph{II.} Es kommt also wesentlich darauf an, eine stetige Lösung +$u$ der Integralgleichung +\[ +\tag*{$4'$)} + u(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + + \iint\limits_{\area\xi{b}} K(\xi\eta, xy) \, u(xy) \, dR +\] +%-----File: 094.png--------------------------------------- +zu finden. Diese Integralgleichung ist zunächst nicht in der von +Fredholm betrachteten Form; denn der Integrationsbereich +${}_\xi\varOmega_b$ +hängt von dem Parameter $\xi$ ab. Es ist aber $K(\xi\eta, xy)$ nur für +$x \geqq \xi$ definiert; ergänzen wir die Definition einfach durch die +Annahme +\[ +\tag*{6)} + K(\xi\eta, xy) = 0 \; \text{ für } \; a \leqq x \leqq \xi +\] +so läßt sich $4'$) auch folgendermaßen schreiben: +\[ +\tag*{$4'$)} + u(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + \iint K(\xi\eta, xy) \, u(xy) \, dR +\] +und ist jetzt genau eine Fredholmsche Integralgleichung. + +Wenn der Kern stetig wäre, so dürften wir schließen, daß +die Gleichung $4'$) sicher eine stetige Lösung besitzt, wenn die +entsprechende homogene Integralgleichung: +\[ +\tag*{$4'_0$)} + u_0(\xi\eta) = \iint K(\xi\eta, xy) \, u_0(xy) \, dR +\] +keine von Null verschiedene stetige Lösung besitzt. Im Falle einer +Singularität bei $(xy) = (\xi\eta)$ dürfen wir doch denselben Schluß +ziehen, wenn es eine positive Konstante $\alpha < \tfrac12$ gibt, +für welche +$\lvert x -\xi \rvert^\alpha + \lvert y - \eta \rvert^\alpha + \lvert K(\xi\eta, xy) \rvert$ endlich bleibt. Wir werden zeigen, +daß hier tatsächlich dieser Fall vorhanden ist. + +Für $x \geqq \xi$ (die einzigen Werte, die besondere Beachtung erfordern) +ist die Singularität von $K(\xi\eta, xy)$ durch +\[ + \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial y} += \frac{ e^{ -\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} } } + { \sqrt{x-\xi} } +\] +charakterisiert, sodaß wir schreiben können +\[ + \lvert K(\xi\eta, xy) \rvert +< \frac{k}{\sqrt{\chi-\xi}} e^{ -\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} }, +\] +wo $k$ eine Konstante bedeutet. Ohne den Exponentialfaktor in +Betracht zu ziehen, ließe sich nur der Wert $\alpha = \tfrac12$ angeben, +welcher nicht hinreichend klein ist. Wir haben aber +\[ + e^{ \tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} } +\geqq 1 + \frac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} \geqq 1, +\] +also +%-----File: 095.png--------------------------------------- +\begin{align*} +\Bigl\{ e^{\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}} \Bigr\}^3 +& \geqq e^{\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}} + \geqq 1+ \frac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} +\\ +&= \left\{ 1-\frac{\lvert y-\eta \rvert}{2\sqrt{x-\xi}} \right\}^2 + + \frac{\lvert y-\eta \rvert}{ \sqrt{x-\xi}} + \geqq \frac{\lvert y-\eta \rvert}{ \sqrt{x-\xi}} +\end{align*} +und +\[ +e^{\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}} +\geqq \lvert y-\eta \rvert^{\frac{1}{3}} (x-\xi)^{-\frac{1}{3}}. +\] +Daher ist ferner +\[ +e^{-\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}} +\leqq (x-\xi)^{\frac{1}{3}} \lvert y-\eta \rvert^{-\frac{1}{3}} +\] +und +\[ +\lvert K(\xi\eta,xy)\rvert < \frac{k}{(x-\xi)^{\frac{1}{2}}} + (x-\xi)^{ \frac{1}{3}} \lvert y-\eta \rvert^{-\frac{1}{3}} += k(x-\xi)^{-\frac{1}{3}} \lvert y-\eta \rvert^{-\frac{1}{3}}. +\] + +Es ist also +\[ + \lvert x-\xi \rvert^{\frac{1}{3}} + \lvert y-\eta \rvert^{\frac{1}{3}} + \lvert K(\xi\eta,xy) \rvert < k, +\] +und $\alpha = \frac{1}{3}$ hat die verlangte Eigenschaft. Wir dürfen +also sagen: + +\so{Hat $\left.4'_0\right)$ keine von Null verschiedene stetige Lösung, +so hat $4')$ eine und nur eine stetige Lösung}. + +\Paragraph{III.} Unsere Aufgabe können wir dann als gelöst ansehen, +wenn $4'_0)$ nur die eine stetige Lösung $x_0 = 0$ besitzt. Das ist +aber \so{immer} der Fall, wie wir jetzt beweisen wollen. + +\so{Die homogene Integralgleichung} +\[ +\tag*{$4'_0$)} +u_0(\xi\eta) += \iint\limits_{\area\xi{b}} K(\xi\eta, xy) u_0(xy) \,dR +\] +\so{besitzt keine von Null verschiedene stetige Lösung}. + +1) Der Beweis wird in drei Teilen gegeben. Als ersten Teil +beweisen wir: Gibt es eine solche positive Funktion von $\xi$ allein, +$m(\xi)$, daß eine stetige Lösung $u_0(\xi\eta)$ von $4'_0)$ die Bedingung +\[ +\lvert u_0(\xi\eta) \rvert < m(\xi) +\] +erfüllt, so ist auch +\[ +\lvert u_0(\xi\eta) \rvert < c\int\limits_\xi^b m(x) \,dx, +\] +wo $c$ eine Konstante bedeutet. Um dies zu sehen, schreiben wir +$\xi_1(x) > \mu_1$, $\xi_2(x) < \mu_2$, +$\lvert K(\xi\eta,xy) \rvert < \dfrac{k}{\sqrt{x-\xi}}$; wir haben dann +%-----File: 096.png--------------------------------------- +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +\leqq \int\limits_\xi^b \int\limits_{\mu_1}^{\mu_2} + \frac{km(x)}{\sqrt{x-\xi}} \,dy\, dx +< k(\mu_2 - \mu_1) \int\limits_\xi^b + \frac{m(x)}{\sqrt{x-\xi}} \,dx. +\] +Wenden wir dieses Verfahren ein zweites Mal an, so finden wir: +\begin{align*} + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert +&\leqq k^2 (\mu_2 - \mu_1)^2 \int_\xi^b \int_s^b + \frac{m(x)}{\sqrt{s-\xi} \sqrt{x-s}} \,dx\, ds +\\ +&= k^2 (\mu_2 - \mu_1)^2 \int_\xi^b \int_\xi^x + \frac{m(x)}{\sqrt{s-\xi} \sqrt{x-s}} \,ds\, dx\;\footnotemark +\\ +&= k^2 (\mu_2 - \mu_1)^2 \pi \int_\xi^b m(x) \,dx, +\end{align*} +in Uebereinstimmung mit unserer Behauptung.\footnotetext{ + In Bezug auf diese Umkehrung der Integrationsfolge sei auf die vorhin + genannte Arbeit des Verfassers verwiesen, Annals of Mathematics, Bd.~9 + (1908), + S.~183--187.}% + +2) Als zweiten Teil des Beweises zeigen wir: Eine stetige +Lösung von $4'_0$) genügt der Bedingung +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq C \frac{c^n (b-\xi)^n}{n!} +\] +für jede positive ganze Zahl $n$, wo $C$, $c$ Konstanten bedeuten. + +Ist $\lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq C$, so ist auch nach dem +vorhergehenden +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq c \int\limits_\xi^b C\, dx += Cc(b-\xi); +\] +daher ist aber wieder +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq c \int\limits_\xi^b Cc(b-x) \,dx += Cc^2 \frac{(b-\xi)^2}{2}; +\] +und der Beweis ist im allgemeinen durch vollständige Induktion +erbracht. + +3) Wir haben nur noch zu bemerken, daß die rechte Seite der +Ungleichung +%-----File: 097.png--------------------------------------- +\[ + \lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq C \frac{c^n (b-\xi)^n}{n!} +\] +beim Grenzübergang $n = \infty$ verschwindet. Daher ist +\[ + u_0(\xi\eta) = 0, +\] +was zu beweisen war. + +Als Gesamtergebnis haben wir also das + +\Paragraph{IV.} \so{Existenztheorem: Das System~1) nebst den +Randbedingungen~2) besitzt ein und nur ein System +von Lösungen $u(xy)$, $v(xy)$, wobei $u$, $v$ stetig, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ +im Innern von $\Omega$ stetig sein sollen.} + +\smallskip +Dieselbe Beweismethode liefert ohne Schwierigkeit, wie schon +bemerkt, die allgemeinere Form: + +\so{Existenztheorem: Das System~1) besitzt ein und +nur ein solches System von Lösungen $u$, $v$, daß} +\[ +\tag*{$7'$)} + u(by) = f_0(y), +\] +\so{und daß auf jeder der Kurven $S_1$, $S_2$ eine der Bedingungen} +\[ +\tag*{$7''$)} +\begin{aligned} +& 1) \quad u(x\chi_i) = f_i(x) \\ +\text{resp. }\qquad +& 2) \quad v(x\chi_i) + \alpha_i(x) u(x\chi_i) = f_i(x) +\end{aligned} +\] +\so{erfüllt ist, wobei $u$, $v$ stetig, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ im Innern von +$\Omega$ stetig sein sollen.} + +Hier sind $f_0(y)$, $f_1(x)$, $f_2(x)$, $\alpha_1(x)$, $\alpha_2(x)$ +stetig differenzierbare +Funktionen, zwischen denen die Relationen: +\[ +\tag*{8)} +\begin{aligned} +& 1) \quad f_i(b) = f_0\bigl( \chi_i(b) \bigr) +\\ +\text{resp. }\qquad +& 2) \quad f_i(b) = f'_0\bigl( \chi_i(b) \bigr) + + \alpha_i(b) f_0\bigl( \chi_i(b) \bigr) +\end{aligned} +\] +statthaben. + +\Paragraph{V.} Wir wollen jetzt das allgemeinere System +\[ +\tag*{9)} +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &&= A(xy) u(xy) + B(xy) v(xy) +\\ +& \frac{\partial u}{\partial y} &&= C(xy) u(xy) + D(xy) v(xy) +\end{alignedat} +\right. +\] +betrachten. Wie in \S~2, IX angedeutet, wollen wir annehmen, +daß $D$ in dem ganzen in Betracht gezogenen Gebiet nirgends +%-----File: 098.png--------------------------------------- +verschwindet. Unsere Voraussetzungen sind folgende: die Funktionen +\[ +\arraycolsep=4pt +\begin{array}{cccccc} +A; & \dfrac{\partial A}{\partial y};& & & & +\\[1.5em] +B; & \dfrac{\partial B}{\partial x}, + & \dfrac{\partial B}{\partial y}; + & \dfrac{\partial^{2} B}{\partial y^{2}};& & +\\[1.5em] +C; & \dfrac{\partial C}{\partial x}, + & \dfrac{\partial C}{\partial y}; + & \dfrac{\partial^{2} C}{\partial y^{2}};& & +\\[1.5em] +D; & \dfrac{\partial D}{\partial x}, + & \dfrac{\partial D}{\partial y}; + & \dfrac{\partial^{2} D}{\partial x\partial y}, + & \dfrac{\partial^{2} D}{\partial y^{2}}; + & \dfrac{\partial^{3} D}{\partial y^{3}}; +\end{array} +\] +sollen stetig sein, und $D > 0$. Wir stellen uns die Aufgabe, ein +Lösungssystem von 9) mit den Nebenbedingungen 7) zu finden; +und zeigen, daß dieses Problem sich durch Transformation auf das +frühere reduzieren läßt. + +Wir machen zunächst die Transformation der unabhängigen +Variablen +\[ + X = x,\quad Y=\int\sqrt{D}\,dy\;\footnotemark. +\] +\footnotetext{ + Wir schreiben hier immer das unbestimmte Integral als Abkürzung für + das bestimmte; es soll verstanden werden + $\displaystyle\int{F\, dy} = \int_{y_{0}}^{y} F(xt) dt$, wo $y_{0}$ eine Konstante + bedeutet; die vorkommenden Funktionen sollen immer gleich Null gesetzt + werden für Punkte außerhalb des Bereiches $\Omega$ der Definition, + sodaß das eben + geschriebene Integral stets einen Sinn hat.}% +Wir sehen leicht, daß die Funktionen $A$, $B$, $C$, $D$, $u$, $v$ nach +$X$, $Y$ genau so oft differenzierbar sind wie nach $x$, $y$. Jede +Ordinate +$x = x_{0}$ geht in eine Ordinate $X = x_{0}$ über; die Kurven +$S_{1}$, $S_{2}$ gehen in neue Kurven $Y = \Psi_{1}(X)$, $Y = \Psi_{2}(X)$ +über, wo +$\Psi_{1}(X)$, $\Psi_{2}(X)$ wieder zweimal stetig differenzierbare +Funktionen +sind, und $\Psi_{2}(X)>\Psi_{1}(X)$\footnote{ + Es wächst nämlich $Y$ mit $y$ bei konstantem $x$.}. +Die Funktionen $f_{0}$, $f_{1}$, $f_{2}$, $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ gehen +in neue Funktionen desselben Charakters über. Schließlich nehmen +die Gleichungen~(9) selbst nach einer linearen Zusammensetzung +die Gestalt +\[ +\begin{cases} +\;\dfrac{\partial u}{\partial X} + D_{1} \dfrac{\partial v}{\partial Y} +&= A_{1} u + B_{1} v +\\[1em] +\;\dfrac{\partial u}{\partial Y} &= C_{1} u + D_{1} v +\end{cases} +\] +an, wo +%-----File: 099.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\ \begin{aligned} +& A_1 = A - \frac{C}{\sqrt{D}} \int \frac{\partial \sqrt{D}}{\partial +x} \,dy +\\ +& B_1 = B - \sqrt{D} \int \frac{\partial \sqrt{D}}{\partial x} \,dy +\\ +& C_1 = \frac{C}{\sqrt{D}} +\\ +& D_1 = \sqrt{D}; +\end{aligned}\right. +\] +das System ist also vorläufig nicht mehr in der Normalform. Es +sind jetzt die Funktionen +\[ +\arraycolsep=4pt +\begin{array}{cccccc} +A_1; & \dfrac{\partial A_1}{\partial Y }; & & & & +\\[1.5em] +B_1; & \dfrac{\partial B_1}{\partial X }; + & \dfrac{\partial B_1}{\partial Y }; + & \dfrac{\partial^2 B_1}{\partial Y^2}; & & +\\[1.5em] +C_1; & \dfrac{\partial C_1}{\partial X }; + & \dfrac{\partial C_1}{\partial Y }; + & \dfrac{\partial^2 C_1}{\partial Y^2}; & & +\\[1.5em] +D_1; & \dfrac{\partial D_1}{\partial X }; + & \dfrac{\partial D_1}{\partial Y }; + & \dfrac{\partial^2 D_1}{\partial X \partial Y}; + & \dfrac{\partial^2 D_1}{\partial Y^2}; + & \dfrac{\partial^3 D_1}{\partial Y^3}; +\end{array} +\] +stetig, und +\[ + D_1 > 0. +\] + +Wir haben noch eine Transformation der unbekannten Funktionen +vorzunehmen; die Formel wird etwas einfacher aussehen, +wenn wir die Funktionen $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ durch andere, von ihnen +abhängige Funktionen ersetzen; wir schreiben also +\begin{align*} + \mathfrak{A} &= A_1 \\ + \mathfrak{B} &= \tfrac12 \int \frac{B_1}{D_1} \,dY \\ + \mathfrak{C} &= \tfrac12 \int C_1 \,dY \\ + \mathfrak{D} &= \tfrac12 \log D_1. +\end{align*} + +Es sind jetzt $\mathfrak{A}$, $\dfrac{\partial \mathfrak{A}}{\partial Y}$ +stetig; ferner sind $\mathfrak{B}$, $\mathfrak{C}$, $\mathfrak{D}$ +und diejenigen +Ableitungen stetig, die im folgenden Schema dargestellt +sind: +\[ + \frac{\partial }{\partial X }; \quad + \frac{\partial }{\partial Y }; \quad + \frac{\partial^2 }{\partial X \partial Y}; \quad + \frac{\partial^2 }{\partial Y^2}; \quad + \frac{\partial^3 }{\partial Y^3}; +\] +Die Gleichungen~9) schreiben sich: +%-----File: 100.png--------------------------------------- +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial X} ++ e^{2\mathfrak{D}} \frac{\partial v}{\partial Y} +&&= \mathfrak{A} u ++ e^{2\mathfrak{D}} \,\frac{\partial \mathfrak{B}}{\partial Y}\, v +\\ +& \frac{\partial u}{\partial Y} +&&= 2\,\frac{\partial \mathfrak{C}}{\partial y}\, u + e^{2\mathfrak{D}} v. +\end{alignedat} +\right. +\] +Wir machen jetzt die Transformation: +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +& u = e^{\mathfrak{B} + \mathfrak{C} + \mathfrak{D}} U +\\ +& v = e^{\mathfrak{B} + \mathfrak{C} - \mathfrak{D}} + \Bigl\{ V + + \frac{\partial (\mathfrak{B}-\mathfrak{C}+\mathfrak{D})} + {\partial Y} U \Bigr\}. +\end{aligned} +\right. +\] +Wir bemerken zuerst, daß eine Randbedingung der Form 1) +$\bigl($Gleichungen~$7''$)$\bigr)$ +in eine Randbedingung derselben Form übergeht; +dasselbe gilt auch für die Form~2). Wir haben also nur noch +zuzusehen, was aus den Differentialgleichungen selbst wird. Das +System kehrt in die Normalform zurück, nimmt aber jetzt die +einfachere Form +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial U}{\partial X} ++ \frac{\partial V}{\partial Y} &&= \mathfrak{A}_1 U \\ +& \frac{\partial U}{\partial Y} &&= V +\end{alignedat} +\right. +\] +an, wobei +\[ + \mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A} ++ \left\{ \frac{\partial}{\partial Y} + (\mathfrak{B} - \mathfrak{C} + \mathfrak{D}) \right\}^2 +- \frac{\partial^2}{\partial Y^2} + (\mathfrak{B} - \mathfrak{C} + \mathfrak{D}) +- \frac{\partial}{\partial X} + (\mathfrak{B} + \mathfrak{C} + \mathfrak{D}). +\] + +Wir haben also endlich genau die Form~(1) erreicht; ferner +sind +\[ + \mathfrak{A}_1, \quad \frac{\partial \mathfrak{A}_1}{\partial Y} +\] +stetig, sodaß die Resultate unseres früheren Theorems unmittelbar +anzuwenden sind. Wir haben also bewiesen: + +\so{Allgemeines Existenztheorem~A: Das System~9) +nebst den Randbedingungen~7) besitzt, falls $D > 0$, +ein und nur ein System von Lösungen $u(xy)$, $v(xy)$, wobei +$u$, $v$ stetig, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ im Innern von $\Omega$ stetig sein +sollen.} + +Durch die Verwandlung von $x$, $y$ in $-x$, $-y$ und entsprechende +Veränderungen in den Bezeichnungen bekommen wir ein zweites +Theorem als Gegenstück zu dem vorigen: + +\so{Allgemeines Existenztheorem~B: Das System~9) +nebst den Randbedingungen} +%-----File: 101.png--------------------------------------- +\begin{align*} +\tag*{$10'$)} u(ay) &= f_0(y) \\ +\tag*{$10''$)} &= 7'') +\end{align*} +\so{besitzt, falls $D<0$, ein und nur ein System von +Lösungen $u(xy)$, $v(xy)$, wobei $u$, $v$ stetig, +$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, +$\dfrac{\partial u}{\partial y}$, +$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ im +Innern von $\Omega$ stetig sein sollen.} + +Jetzt sollen zwischen den gegebenen Funktionen die Relationen: +\[ +\tag*{11)} +\begin{aligned} + & 1) \quad f_i(a) = f_0\bigl( \chi_i(a) \bigr) +\\ +\text{ resp. } \qquad & 2) \quad f_i(a) += f'_0\bigl( \chi_i(a) \bigr) + \alpha_i(a) f_0\bigl( \chi_i(a) \bigr) +\end{aligned} +\] +statthaben. + +\Paragraph{VI.} Zwischen den beiden allgemeinen Existenztheoremen besteht +eine auffallende Verschiedenheit. Ist $D > 0$, so haben wir +die Existenz eines Lösungssystemes nur \so{links} von der Charakteristik, +auf welcher die Werte von $u$ vorgeschrieben sind, bewiesen; +ist $D < 0$, so haben wir die Existenz nur \so{rechts} von der +Charakteristik bewiesen. Es liegt nahe, zu fragen, ob diese Einschränkung +nur ein Zufall der Beweismethode sei, oder ob sie +wesentlich in der Natur der Sache begründet sei. + +Aus einem einfachen Fall schließen wir, daß die letztere Antwort +die richtige ist. Die Wärmeleitungsgleichung +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial u}{\partial x} +\] +ist mit dem System +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +& \frac{\partial u}{\partial x} ++ \frac{\partial v}{\partial y} &&= 0 +\\ +& \frac{\partial u}{\partial y} &&= - v +\end{alignedat} +\right. +\] +äquivalent; hier ist $D = -1 < 0$. Bekanntlich ist es möglich, +durch Angabe der Temperatur zu einer gewissen Zeit $x = a$ die +Temperatur zu allen \so{späteren} Zeiten zu bestimmen; diese +Randwertproblemstellung +entspricht dem zweiten allgemeinen Existenztheorem, +von welchem sie als Grenzfall erscheint, wenn die beiden +Kurven $S_1$, $S_2$ ins Unendliche rücken. Dagegen hat Appell\footnote{ + Journal de Math\'ematiques, Serie~4, Bd.~8 (1892), S.~187.} +darauf aufmerksam gemacht, daß nicht jede Temperaturverteilung als +Folge einer \so{früheren} Temperaturverteilung angesehen werden +darf. +%-----File: 102.png--------------------------------------- + + +\Chapter{}{Lebenslauf} + +Ich, \so{Wallie Abraham Hurwitz}, jüdischer Religion, amerikanischer +Staatsangehörigkeit, bin geboren am 18.~Februar 1886 +zu Fulton, Missouri, V.~St.~A.\ als Sohn des Kaufmanns Harry +Hurwitz und seiner Frau Emma, geb.\ Mayfield. Meinen Elementarunterricht +erhielt ich in den Schulen von Joplin, Missouri. Ich +studierte an der \so{University of Missouri} von 1902 bis 1906, +an \so{Harvard University} von 1906 bis 1908; seit Oktober +1908 bin ich in Göttingen immatrikuliert. + +Ich habe Vorlesungen resp.\ Uebungen und Seminare folgender +Herren Professoren und Dozenten besucht: + \begin{itemize} + \item[] in Missouri: \so{Ames, Bliss, Hedrick, Ingold, Kellogg.} + \item[] in Harvard: \so{B\^ocher, Bonton, Byerly, Osgood, Peirce.} + \item[] in Göttingen: \so{Hilbert, Klein, Landau, Voigt, Zermelo.} + \end{itemize} + +Allen diesen meinen verehrten Lehrern spreche ich meinen +Dank aus. Für ihre vielseitige Anregung in Vorlesungen und im persönlichen +Verkehr sowie für ihre dauernde freundliche Ermutigung +bin ich den Herren Professoren \so{Hedrick} in Missouri, \so{Osgood} +und \so{B\^ocher} in Harvard besonders dankbar. Vor allem danke +ich Herrn Geheimrat \so{Hilbert} für seine Anregung zu dieser +Arbeit. + + +%%%% +\Anmerkungen + +Folgende Änderungen wurden in der Gutenberg-Fassung vorgenommen: + +\begin{itemize} +\item \S1 II.: fehlende Gleichungsnummern 4) und 8) hinzugefügt +\item \S1 II(7): $B_{11}$ war $B_{1n}$ und $C_{1n}$ war +$C_{\hphantom{n}1}$ +\item \S1 IV(16): $\alpha_{1n}$ war $\alpha_{n1}$ +\item \S3 I, Formeln nach `Bezeichnungen:': letzter Nenner +$\partial\eta$ war $\partial n$ +\item \S3 IIIb, erste Formel: erster Nenner +$r(\xi\eta, xy) \,r(xy, x_1 y_1)$ war $r(\xi\eta, xy) \,r(xy, x_1 y_2)$ +\item \S3 IVa, Formel nach `Schreiben wir:': erster Nenner +$r(\xi_1 \eta_1, xy)$ war $r_1(\xi_1 \eta_1, xy)$ +\item \S3 IVa, B), Formel nach `wo': erste Zeile, letzter Zähler +$\partial l(s, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$ war +$\partial l(s, \overline{\xi} \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$; +desgl.\ nächster Zähler +$\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1)$ war +$\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta})$ +\item \S5 I(5): Integrand $B(x \eta) \, g(x) \, dx$ war +$B(x y) \, g(x) \, dx$ +\item \S5 I, Formel nach `wir haben also': Integrand $B(x\eta) \, +v_0(x\eta)\,dx$ war $B(x\eta) \, v_0(x\eta)\,du$ +\item \S6 V, vorletzte Formel: zweiter Integrand +$G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y)\ldots$ war +$G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 \eta)\ldots$ +\item \S7 II, Formeln nach `Wir haben aber': zweimal war erster Term +$e^{ \tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} }$ im Original +$e^{ \tfrac{(x-\eta)^2}{4(x-\xi)} }$ +\end{itemize} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\cleardoublepage + +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Lizenz}{Lizenz} +\fancyhead[C]{\textsc{LIZENZ}} + +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von +linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMEN VON LINEAREN PARTIELLEN *** + +***** This file should be named 33330-pdf.pdf or 33330-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/3/3/3/33330/ + +Produced by Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson +and the Online Distributed Proofreading Team at +http://www.pgdp.net (This file was produced from images +from the Cornell University Library: Historical Mathematics +Monographs collection.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you +do not charge anything for copies of this eBook, complying with the +rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose +such as creation of derivative works, reports, performances and +research. They may be modified and printed and given away--you may do +practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is +subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +*** START: FULL LICENSE *** + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE +PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK + +To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work +(or any other work associated in any way with the phrase "Project +Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project +Gutenberg-tm License (available with this file or online at +http://gutenberg.org/license). + + +Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement +and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic +works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" +or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an +individual work is in the public domain in the United States and you are +located in the United States, we do not claim a right to prevent you from +copying, distributing, performing, displaying or creating derivative +works based on the work as long as all references to Project Gutenberg +are removed. Of course, we hope that you will support the Project +Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by +freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of +this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with +the work. You can easily comply with the terms of this agreement by +keeping this work in the same format with its attached full Project +Gutenberg-tm License when you share it without charge with others. + +1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern +what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in +a constant state of change. If you are outside the United States, check +the laws of your country in addition to the terms of this agreement +before downloading, copying, displaying, performing, distributing or +creating derivative works based on this work or any other Project +Gutenberg-tm work. The Foundation makes no representations concerning +the copyright status of any work in any country outside the United +States. + +1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg: + +1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate +access to, the full Project Gutenberg-tm License must appear prominently +whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any work on which the +phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project +Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed, +copied or distributed: + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + +1.E.2. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived +from the public domain (does not contain a notice indicating that it is +posted with permission of the copyright holder), the work can be copied +and distributed to anyone in the United States without paying any fees +or charges. If you are redistributing or providing access to a work +with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the +work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 +through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the +Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or +1.E.9. + +1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted +with the permission of the copyright holder, your use and distribution +must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional +terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked +to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the +permission of the copyright holder found at the beginning of this work. + +1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm +License terms from this work, or any files containing a part of this +work or any other work associated with Project Gutenberg-tm. + +1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this +electronic work, or any part of this electronic work, without +prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with +active links or immediate access to the full terms of the Project +Gutenberg-tm License. + +1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary, +compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any +word processing or hypertext form. However, if you provide access to or +distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than +"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version +posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org), +you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a +copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon +request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other +form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm +License as specified in paragraph 1.E.1. + +1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, +performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works +unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + +1.E.8. You may charge a reasonable fee for copies of or providing +access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided +that + +- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from + the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method + you already use to calculate your applicable taxes. The fee is + owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he + has agreed to donate royalties under this paragraph to the + Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments + must be paid within 60 days following each date on which you + prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax + returns. Royalty payments should be clearly marked as such and + sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the + address specified in Section 4, "Information about donations to + the Project Gutenberg Literary Archive Foundation." + +- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies + you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he + does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm + License. You must require such a user to return or + destroy all copies of the works possessed in a physical medium + and discontinue all use of and all access to other copies of + Project Gutenberg-tm works. + +- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any + money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the + electronic work is discovered and reported to you within 90 days + of receipt of the work. + +- You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg-tm works. + +1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm +electronic work or group of works on different terms than are set +forth in this agreement, you must obtain permission in writing from +both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael +Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the +Foundation as set forth in Section 3 below. + +1.F. + +1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right +of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project +Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project +Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all +liability to you for damages, costs and expenses, including legal +fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT +LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE +PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE +TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE +LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR +INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH +DAMAGE. + +1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a +defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can +receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a +written explanation to the person you received the work from. If you +received the work on a physical medium, you must return the medium with +your written explanation. The person or entity that provided you with +the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a +refund. If you received the work electronically, the person or entity +providing it to you may choose to give you a second opportunity to +receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy +is also defective, you may demand a refund in writing without further +opportunities to fix the problem. + +1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth +in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + +1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied +warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. +If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the +law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be +interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by +the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any +provision of this agreement shall not void the remaining provisions. + +1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. Compliance requirements are not uniform and it takes a +considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up +with these requirements. We do not solicit donations in locations +where we have not received written confirmation of compliance. To +SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any +particular state visit http://pglaf.org + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we +have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition +against accepting unsolicited donations from donors in such states who +approach us with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make +any statements concerning tax treatment of donations received from +outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation +methods and addresses. Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von % +% linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMEN VON LINEAREN PARTIELLEN *** +% % +% ***** This file should be named 33330-t.tex or 33330-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/3/3/3/3/33330/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} +### +@ControlwordReplace = ( + ['\\dh', 'd. h.'], + ['\\ua', 'u. a.'], + ['\\usw', 'u. s. w.'], + ['\\Anmerkungen', 'Anmerkungen der Korrekturleser.'] + ); + +@ControlwordArguments = ( + ['\\pageref', 1, 0, '00', ''], + ['\\hyperref', 0, 0, '', '', 1, 1, '', ''], + ['\\Chapter', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''], + ['\\Section', 1, 1, '', ''], + ['\\Paragraph', 1, 1, '', ''] + ); +### +This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6) 2 AUG 2010 07:20 +entering extended mode + %&-line parsing enabled. +**33330-t.tex +(./33330-t.tex +LaTeX2e <2005/12/01> +Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh +yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov +ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon +ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i +nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp +eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia +n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls +Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo +File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo +File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count79 +\c@chapter=\count80 +\c@section=\count81 +\c@subsection=\count82 +\c@subsubsection=\count83 +\c@paragraph=\count84 +\c@subparagraph=\count85 +\c@figure=\count86 +\c@table=\count87 +\abovecaptionskip=\skip41 +\belowcaptionskip=\skip42 +\bibindent=\dimen102 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty +Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file +\inpenc@prehook=\toks14 +\inpenc@posthook=\toks15 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def +File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty +Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/germanb.ldf +Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def +File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions +\babel@savecnt=\count88 +\U@D=\dimen103 +) +\l@austrian = a dialect from \language\l@german +Package babel Info: Making " an active character on input line 91. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features +\@mathmargin=\skip43 +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2000/06/29 v2.01 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 +\@emptytoks=\toks16 +\ex@=\dimen104 +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d +\pmbraise@=\dimen105 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names +) +\inf@bad=\count89 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. +\uproot@=\count90 +\leftroot@=\count91 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. +\classnum@=\count92 +\DOTSCASE@=\count93 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. +\Mathstrutbox@=\box26 +\strutbox@=\box27 +\big@size=\dimen106 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. +\macc@depth=\count94 +\c@MaxMatrixCols=\count95 +\dotsspace@=\muskip10 +\c@parentequation=\count96 +\dspbrk@lvl=\count97 +\tag@help=\toks17 +\row@=\count98 +\column@=\count99 +\maxfields@=\count100 +\andhelp@=\toks18 +\eqnshift@=\dimen107 +\alignsep@=\dimen108 +\tagshift@=\dimen109 +\tagwidth@=\dimen110 +\totwidth@=\dimen111 +\lineht@=\dimen112 +\@envbody=\toks19 +\multlinegap=\skip44 +\multlinetaggap=\skip45 +\mathdisplay@stack=\toks20 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f +\symAMSa=\mathgroup4 +\symAMSb=\mathgroup5 +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' +(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty +Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty +Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty +Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty +Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) +\SOUL@word=\toks21 +\SOUL@lasttoken=\toks22 +\SOUL@cmds=\toks23 +\SOUL@buffer=\toks24 +\SOUL@token=\toks25 +\SOUL@spaceskip=\skip46 +\SOUL@ttwidth=\dimen113 +\SOUL@uldp=\dimen114 +\SOUL@ulht=\dimen115 +) +LaTeX Info: Redefining \so on input line 106. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +Package: booktabs 2005/04/14 v1.61803 publication quality tables +\heavyrulewidth=\dimen116 +\lightrulewidth=\dimen117 +\cmidrulewidth=\dimen118 +\belowrulesep=\dimen119 +\belowbottomsep=\dimen120 +\aboverulesep=\dimen121 +\abovetopsep=\dimen122 +\cmidrulesep=\dimen123 +\cmidrulekern=\dimen124 +\defaultaddspace=\dimen125 +\@cmidla=\count101 +\@cmidlb=\count102 +\@aboverulesep=\dimen126 +\@belowrulesep=\dimen127 +\@thisruleclass=\count103 +\@lastruleclass=\count104 +\@thisrulewidth=\dimen128 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/multirow/multirow.sty +\bigstrutjot=\dimen129 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty +Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +\FN@temptoken=\toks26 +\footnotemargin=\dimen130 +\c@pp@next@reset=\count105 +\c@@fnserial=\count106 +Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817. +Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818. +Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823. + +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840 +. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/units/nicefrac.sty +Package: nicefrac 1998/08/04 v0.9b Nice fractions +\L@UnitsRaiseDisplaystyle=\skip47 +\L@UnitsRaiseTextstyle=\skip48 +\L@UnitsRaiseScriptstyle=\skip49 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty +\fancy@headwidth=\skip50 +\f@ncyO@elh=\skip51 +\f@ncyO@erh=\skip52 +\f@ncyO@olh=\skip53 +\f@ncyO@orh=\skip54 +\f@ncyO@elf=\skip55 +\f@ncyO@erf=\skip56 +\f@ncyO@olf=\skip57 +\f@ncyO@orf=\skip58 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty +Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks27 +) +\Gm@cnth=\count107 +\Gm@cntv=\count108 +\c@Gm@tempcnt=\count109 +\Gm@bindingoffset=\dimen131 +\Gm@wd@mp=\dimen132 +\Gm@odd@mp=\dimen133 +\Gm@even@mp=\dimen134 +\Gm@dimlist=\toks28 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te +xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX +\@linkdim=\dimen135 +\Hy@linkcounter=\count110 +\Hy@pagecounter=\count111 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg +File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty +Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options ( +HO) +) +Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223 +8. +Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308. +Implicit mode ON; LaTeX internals redefined +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty +\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. +\Fld@menulength=\count112 +\Field@Width=\dimen136 +\Fld@charsize=\dimen137 +\Choice@toks=\toks29 +\Field@toks=\toks30 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. +\Hy@abspage=\count113 +\c@Item=\count114 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count115 +) +\TmpLen=\skip59 +(./33330-t.aux) +\openout1 = `33330-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 323. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 323. +-------------------- Geometry parameters +paper: class default +landscape: -- +twocolumn: -- +twoside: true +asymmetric: -- +h-parts: 9.03374pt, 451.6875pt, 9.03375pt +v-parts: 4.15848pt, 640.03378pt, 6.23773pt +hmarginratio: 1:1 +vmarginratio: 2:3 +lines: -- +heightrounded: -- +bindingoffset: 0.0pt +truedimen: -- +includehead: true +includefoot: true +includemp: -- +driver: pdftex +-------------------- Page layout dimensions and switches +\paperwidth 469.75499pt +\paperheight 650.43pt +\textwidth 451.6875pt +\textheight 578.15999pt +\oddsidemargin -63.23625pt +\evensidemargin -63.23624pt +\topmargin -68.11151pt +\headheight 15.0pt +\headsep 19.8738pt +\footskip 30.0pt +\marginparwidth 98.0pt +\marginparsep 7.0pt +\columnsep 10.0pt +\skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt +\hoffset 0.0pt +\voffset 0.0pt +\mag 1000 +\@twosidetrue \@mparswitchtrue +(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt) +----------------------- +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty +Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) +(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg +File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive +) +Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +\Gread@gobject=\count116 +(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count117 +\scratchdimen=\dimen138 +\scratchbox=\box28 +\nofMPsegments=\count118 +\nofMParguments=\count119 +\everyMPshowfont=\toks31 +\MPscratchCnt=\count120 +\MPscratchDim=\dimen139 +\MPnumerator=\count121 +\everyMPtoPDFconversion=\toks32 +))) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 323. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count122 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 323. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 323. +(./33330-t.out) (./33330-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `33330-t.out'. + + +Overfull \hbox (117.43259pt too wide) in paragraph at lines 345--345 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Title: Randwertaufgaben bei Systemen von linearen partiel +len Differentialgleichungen erster Ordnung[] + [] + +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 357. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 357. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) [1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] [1 + +] [2 + +] [3 + +] [4 + +] (./33330-t.toc +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+cmr on input line 5. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/omscmr.fd +File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <10.95> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 5. +) +\tf@toc=\write4 +\openout4 = `33330-t.toc'. + +[5 + +] [6 + +] [7] +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/bx/n' in size <12> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/b/n' tried instead on input line 572. +[8 + +] [9] [10] [11] [12] [13] +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+euf on input line 1096. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd +File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) [14] [15] +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <12> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 1234. + +[16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] +Overfull \vbox (14.49998pt too high) detected at line 2117 + [] + +[27] [28] [29] +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <10> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 2326. + +[30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] +[46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] +[62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] +[78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] +[94] [95] [96] [97 + +] [98 + +] +Overfull \hbox (36.95096pt too wide) in paragraph at lines 7100--7100 +[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnun +g, by Wallie Abraham Hurwitz[] + [] + +[99 + +] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] (./33330-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + germanb.ldf 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d +amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment +indentfirst.sty 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) + soul.sty 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) +booktabs.sty 2005/04/14 v1.61803 publication quality tables +multirow.sty +footmisc.sty 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +nicefrac.sty 1998/08/04 v0.9b Nice fractions +fancyhdr.sty +geometry.sty 2002/07/08 v3.2 Page Geometry + keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +geometry.cfg +hyperref.sty 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX + pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +kvoptions.sty 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO +) + url.sty 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. + hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX + color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) + color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +supp-pdf.tex + nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) + 33330-t.out + 33330-t.out + umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions + ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + *********** + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 5136 strings out of 94074 + 67261 string characters out of 1165154 + 142958 words of memory out of 1500000 + 8120 multiletter control sequences out of 10000+50000 + 17727 words of font info for 68 fonts, out of 1200000 for 2000 + 645 hyphenation exceptions out of 8191 + 27i,22n,43p,235b,488s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s +</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbsy10.pfb></usr/share/texm +f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbx12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/typ +e1/bluesky/cm/cmcsc10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex +10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/ +texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/ +type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmm +i8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/t +exmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/t +ype1/bluesky/cm/cmr5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6. +pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf +-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/ +bluesky/cm/cmssbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10 +.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/tex +mf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/typ +e1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmti12 +.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt10.pfb></usr/share/te +xmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/eufm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/ +type1/bluesky/ams/eufm7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/f +mex8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></usr/sha +re/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msbm10.pfb> +Output written on 33330-t.pdf (109 pages, 510804 bytes). +PDF statistics: + 770 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 209 named destinations out of 1000 (max. 131072) + 137 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/33330-t/old/33330-t.zip b/33330-t/old/33330-t.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..5ba2c6e --- /dev/null +++ b/33330-t/old/33330-t.zip diff --git a/LICENSE.txt b/LICENSE.txt new file mode 100644 index 0000000..6312041 --- /dev/null +++ b/LICENSE.txt @@ -0,0 +1,11 @@ +This eBook, including all associated images, markup, improvements, +metadata, and any other content or labor, has been confirmed to be +in the PUBLIC DOMAIN IN THE UNITED STATES. + +Procedures for determining public domain status are described in +the "Copyright How-To" at https://www.gutenberg.org. + +No investigation has been made concerning possible copyrights in +jurisdictions other than the United States. Anyone seeking to utilize +this eBook outside of the United States should confirm copyright +status under the laws that apply to them. diff --git a/README.md b/README.md new file mode 100644 index 0000000..d5b2688 --- /dev/null +++ b/README.md @@ -0,0 +1,2 @@ +Project Gutenberg (https://www.gutenberg.org) public repository for +eBook #33330 (https://www.gutenberg.org/ebooks/33330) |