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You may copy it, give it away or %% +%% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included %% +%% with this eBook or online at www.gutenberg.org %% +%% %% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Basic book class. Required. %% +%% amsmath: Basic AMS math package. 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You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Synthetische Geometrie der Kugeln und linearen + Kugelsysteme + +Author: Theodor Reye + +Release Date: November 25, 2005 [EBook #17153] + +Language: German + +Character set encoding: TeX + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYNTHETISCHE GEOMETRIE *** + + + + +Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson and the Online +Distributed Proofreading Team at https://www.pgdp.net from +images generously made available by Cornell University +Digital Collections. + + + +\end{verbatim} +\normalsize +\newpage + + + +%-----File: Titlepage.png------------------------------- + +\frontmatter +\thispagestyle{empty} +\begin{center} +\vspace{1cm} + +{\LARGE SYNTHETISCHE} +\bigskip\bigskip + +{\Huge GEOMETRIE DER KUGELN} +\bigskip\bigskip + +{\large UND} +\bigskip\bigskip + +{\LARGE LINEAREN KUGELSYSTEME} +\bigskip\bigskip +\bigskip\bigskip + +{\large MIT EINER EINLEITUNG} +\bigskip\bigskip + +{\large IN DIE ANALYTISCHE GEOMETRIE DER KUGELSYSTEME} +\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip + +VON +\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip + +\textsc{\LARGE Dr. TH. REYE} +\bigskip + +O. PROFESSOR AN DER UNIVERSIT\"AT STRASSBURG + +\vfill + +{\large +LEIPZIG \medskip + +DRUCK UND VERLAG VON B.~G.~TEUBNER \medskip + +1879 +} +\end{center} + +\newpage +\thispagestyle{empty} +\mainmatter + +%-----File: 006.png------------------------------- +%[Blank Page] +%-----File: 007.png--------------------------------- + +\abschnitt{Vorwort.} + + +\hspace{-0.8pt}% +Die synthetische Geometrie der Kreise und Kugeln verdankt +den Auf\-schwung, welchen sie im Anfange unseres +Jahrhunderts genommen hat, haupt\-s\"achlich den bekannten +Ber\"uhrungsproblemen des Apollonius von Perga. Die Aufgabe, +zu drei gegebenen Kreisen einen vierten sie ber\"uhrenden +Kreis zu construiren, war freilich nebst ihren zahlreichen +Specialf\"allen schon von Vieta (1600) mit den H\"ulfsmitteln +der Alten, und von Newton, Euler und N.~Fuss analytisch +gel\"ost worden, auch hatte bereits Fermat\footnote{) + Fermat, de contactibus sphaericis. (Varia opera mathematica, + Tolosae 1679, fol.)}) +von dem analogen +Problem f\"ur Kugeln eine synthetische Auf\/l\"osung gegeben. +Gleichwohl dienten diese Apollonischen Aufgaben noch lange +den Mathematikern zur fruchtbaren Anregung. + +Zu neuen Auf\/l\"osungen dieser Ber\"uhrungsprobleme gelangten +zuerst einige Sch\"uler von Monge, indem sie die +Bewegung einer ver\"anderlichen Kugel untersuchten, welche +drei gegebene Kugeln fortw\"ahrend ber\"uhrt. Dupuis entdeckte +und Hachette\footnote{) + Correspondance sur l'Ecole polytechnique, T.~I, S.~19; + vgl.\ T.~II, S.~421.}) +bewies (1804), dass der Mittelpunkt der +Kugel auf einem Kegelschnitte sich bewegt und dass ihre +Ber\"uhrungspunkte drei Kreise beschreiben. Bald darauf (1813) +ver\"offentlichte Dupin\footnote{) + Ebenda T.~II, S.~420, und sp\"ater in seinen Applications de + G\'{e}om\'{e}trie + et de M\'{e}canique, Paris 1822.}) +seine sch\"onen Untersuchungen \"uber +die merkw\"urdige, von jener ver\"anderlichen Kugel eingeh\"ullte +Fl\"ache, welcher er sp\"ater den Namen Cyclide beilegte; er +zeigte u.~A., dass diese Fl\"ache zwei Schaaren von kreisf\"ormigen +%-----File: 008.png-------------------------------- +Kr\"ummungslinien besitzt, deren Ebenen durch zwei +zu einander rechtwinklige Gerade gehen. Fast gleichzeitig +(1812) f\"uhrte Gaultier\footnote{) + Journal de l'Ecole polytechnique, $16^{\text{me}}$ cahier, 1813.}) +die Potenzpunkte von Kreisen und +Kugeln sowie die Kreisb\"uschel und Kugelb\"uschel, wenn auch +unter anderen Namen, ein in die neuere Geometrie, und benutzte +dieselben zur L\"osung der Apollonischen Ber\"uhrungsprobleme. +Die Lehre von den Kreisb\"uscheln und von den +Aehnlichkeitspunkten mehrerer Kreise wurde sodann von +Pon\-ce\-let\footnote{) + Poncelet, Trait\'e des propri\'et\'es projectives des figures, Paris + 1822; + 2.~Aufl.~1865.}) +(1822) vervollkommnet und mit der Polarentheorie +des Kreises, deren Anf\"ange sich schon bei Monge\footnote{) + Monge, G\'eom\'etrie descriptive, Paris 1795; $5^{\text{e}}$ + \'ed.~1827, S.~51.}) +finden, +in Verbindung gebracht. + +Vier Jahre sp\"ater (1826) erschienen die {\glqq}geometrischen +Betrachtungen{\grqq} von Jacob Steiner\footnote{) + Crelle's Journal f\"ur die r.~u.~a.\ Mathematik, Bd.~1.}), +in welchen zum ersten +Male der Ausdruck {\glqq}Potenz{\grqq} bei Kreisen und Kugeln angewendet +wird. Indem er die Ber\"uhrung als speciellen Fall des +Schneidens auf\/fasst, erweitert Steiner in dieser Abhandlung +die Apollonischen Ber\"uhrungs-Aufgaben zu den folgenden: +\begin{quote} + {\glqq}Einen Kreis zu construiren, welcher drei gegebene + Kreise, oder eine Kugelfl\"ache, welche vier gegebene + Kugeln unter bestimmten Winkeln schneidet.{\grqq} +\end{quote} +Zugleich giebt er die Absicht kund, ein Werk von 25 bis +30 Druckbogen herauszugeben \"uber {\glqq}das Schneiden (mit Einschluss +der Ber\"uhrung) der Kreise in der Ebene, das Schneiden +der Kugeln im Raume und das Schneiden der Kreise auf +der Kugelfl\"ache{\grqq}, in welchen jene und andere neue Probleme +ihre L\"osung finden sollten. Leider hat Steiner seinen Plan +nicht ausgef\"uhrt; unter seinen zahlreichen Schriften findet +sich nur noch ein kleineres aber gehaltvolles Werk \"uber +den Kreis\footnote{) + Steiner, Die geometrischen Constructionen, ausgef\"uhrt mittelst + der geraden Linie und eines festen Kreises, Berlin 1833.}), +in welchem unter anderen auch die harmonischen +und polaren Eigenschaften des Kreises elementar +abgeleitet werden. + +Von Poncelet's invers liegenden und Steiner's potenzhaltenden +Punkten zu dem Princip der reciproken Radien +%-----File: 009.png--------------------------------- +ist nur ein kleiner Schritt; trotzdem verdanken wir dieses +wichtige Abbildungsprincip nicht der synthetischen, sondern +der analytischen Geometrie, und in zweiter Linie der mathematischen +Physik. Pl\"ucker\footnote{) + Pl\"ucker in Crelle's Journal f\"ur d.~r.~u.~a.\ Math., Bd.~XI.\ S.~219--225. +Die kleine Abhandlung ist von 1831 datirt.}) +stellte es zuerst (1834) als {\glqq}ein +neues Uebertragungsprincip{\grqq} auf; er geht aus von Punkten, +die bez\"uglich eines Kreises einander zugeordnet sind, beweist +u.~A., dass jedem Kreise der Ebene ein Kreis oder eine Gerade +zugeordnet ist und dass zwei Gerade sich unter denselben +Winkeln schneiden wie die ihnen zugeordneten Kreise, +und giebt verschiedene Anwendungen des Princips, auch auf +das Apollonische Ber\"uhrungsproblem. Auf's Neue wurde das +Princip (1845) entdeckt von William Thomson\footnote{) + W.~Thomson in Liouville, Journal de Math\'ematiques, T.~X.\ p.~364.}), +welcher es das Princip der elektrischen Bilder nannte; seinen heutigen +Namen erhielt es (1847) durch Liouville\footnote{) + Liouville, Journal de Math\'ematiques, T.~XII, p.~276. }). +F\"ur Thomson sind die Anwendungen des Princips auf elektrostatische +Probleme und seine Wichtigkeit f\"ur die ganze Potentialtheorie +und f\"ur die Lehre von der W\"armeleitung nat\"urlich die +Hauptsache; nur beil\"aufig erw\"ahnt er, dass Kugeln durch +reciproke Radien allemal in Kugeln oder Ebenen \"ubergehen, +und dass die von ihnen gebildeten Winkel sich bei dieser +Transformation nicht \"andern. Liouville seinerseits hebt hervor, +dass zwei durch reciproke Radien einander zugeordnete +Fl\"achen oder Raumtheile conform auf einander abgebildet +sind, und dass die Kr\"ummungslinien der einen Fl\"ache in +diejenigen der anderen sich verwandeln; auch wendet er das +Princip u.~A.\ auf die Dupin'sche Cyclide an. Unabh\"angig +von Thomson und Liouville gelangte wenige Jahre sp\"ater +(1853) M\"obius\footnote{) + Berichte der Kgl.\ S\"achsischen Gesellschaft der Wissenschaften, +1853, S.~14--24; Abhandlungen derselben Gesellschaft, Bd.~II, +Lpz.~1855, S.~531--595.}) +zu demselben Abbildungsprincip, welchem +er den Namen {\glqq}Kreisverwandtschaft{\grqq} gab. + +Die mannigfaltigen H\"ulfsmittel und fruchtbaren Methoden, +durch welche so die synthetische Geometrie der Kreise +und Kugeln allm\"alig bereichert worden ist, verdienen nun +wohl, einmal in einem neuen Zusammenhange dargestellt zu +%-----File: 010.png--------------------------------- +werden. Wir gelangen zu einem solchen, innigen Zusammenhange +und zugleich zu gewissen Erweiterungen der Kugelgeometrie, +indem wir von dem bisher wenig beachteten +Kugelgeb\"usche ausgehen. Das Princip der reciproken Radien, +durch welches die meisten nachfolgenden Untersuchungen +wesentlich vereinfacht werden, tritt bei diesem Entwickelungsgange +geb\"uhrend in den Vordergrund; die Lehre von den +harmonischen Kreis-Vierecken, die Theorie der Kugelb\"undel +und Kugelb\"uschel und die Polarentheorie der Kugel und des +Kreises schliessen sich ungezwungen an, nur wird ihre Begr\"undung +eine andere; die Lehre von den linearen Kugelsystemen +aber erweitert sich von selbst zu der Geometrie des Kugelsystemes +von vier Dimensionen. Indem wir sodann den +Ber\"uhrungsproblemen uns zuwenden, treten uns alsbald +einerseits die Aehnlichkeitspunkte von Kugeln und Kreisen, +anderseits gewisse quadratische Kugel- und Kreissysteme +entgegen. Letztere, zu welchen auch die Dupin'schen Kugelschaaren +geh\"oren, werden in den sp\"ateren Abschnitten eingehend +untersucht und auf die vorhin erw\"ahnten und andere +bisher ungel\"oste Probleme Jacob Steiner's angewendet. Durch +Einf\"uhrung von Kugelcoordinaten wird schliesslich zu der +projectiven Beziehung von Kugelsystemen und zu den Kugelcomplexen, +insbesondere den quadratischen, ein leichter Zugang +gewonnen. + +Den r\"aumlichen Mannigfaltigkeiten von vier und mehr +Dimensionen wird bekanntlich seit 1868 auf Anregung von +Riemann, Helmholtz und Pl\"ucker viel Beachtung geschenkt. +Deshalb m\"oge hier noch hervorgehoben werden, dass auch +dieses B\"uchlein es mit einer vierfach unendlichen Mannigfaltigkeit +zu thun hat, und zwar mit der einfachsten und +der Anschauung zug\"ang\-lich\-sten, die es giebt. Alle Kugeln +des Raumes n\"amlich bilden eine \so{lineare} Mannigfaltigkeit +von vier Dimensionen, w\"ahrend z.~B.\ die Gesammtheit aller +geraden Linien, womit die Pl\"ucker'sche Strahlengeometrie +sich besch\"aftigt, eine \so{quadratische} Mannigfaltigkeit von vier +Dimensionen bildet. Ein Kugelgeb\"usch ist demgem\"ass sehr +leicht, ein linearer Strahlencomplex dagegen nicht ohne viele +M\"uhe einem Anf\"anger verst\"andlich zu machen, und Aehnliches +gilt von dem Kugelb\"uschel und der Regelschaar. Die Kugelgeometrie +besitzt an dem Princip der reciproken Radien eine +%-----File: 011.png--------------------------------- +wichtige Methode, die in der Strahlengeometrie ihres Gleichen +nicht hat; der analytischen Behandlung ist sie sehr leicht zug\"anglich, +und zudem umfasst sie die Geometrie der Punkte +und der Ebenen, weil diese als Grenzf\"alle der Kugel aufzufassen +sind. M\"oge deshalb die Kugelgeometrie ebenso wie +die Strahlengeometrie sich mehr und mehr Freunde und +F\"orderer gewinnen. +\bigskip + +\hspace{5em}\so{Strassburg i.~E.}, den 20. December 1878. + +\hfill\textbf{Der Verfasser.} +%-----File: 012.png--------------------------------- +\newpage +\abschnitt{Inhalts-Verzeichniss.} + + +\begin{tabular}{l@{ }rl@{}r} +&&& \parbox{.05\textwidth}{Seite} \\ +\S &1. &Potenz von Punktenpaaren, Kreisen und Kugeln~\dotfill &\pageref{p1} \\ +\S &2. &Das Kugelgeb\"usch~\dotfill &\pageref{p2} \\ +\S &3. &Das Princip der reciproken Radien~\dotfill &\pageref{p3}\\ +\S &4. &Harmonische Kreisvierecke; harmonische Punkte, Strahlen\\ +&& und Ebenen~\dotfill & \pageref{p4} \\ +\S &5.& Kugelb\"undel und Kugelb\"uschel. Orthogonale Kreise~\dotfill & \pageref{p5} \\ +\S &6.& Kreisb\"undel und Kreisb\"uschel~\dotfill & \pageref{p6} \\ +\S &7.& Das sph\"arische und das cyklische Polarsystem~\dotfill & \pageref{p7} \\ +\S &8.& Kugeln und Kreise mit reellem Centrum und rein\\ +&& imagin\"arem Halbmesser~\dotfill & \pageref{p8} \\ +\S &9.& Lineare Kugelsysteme~\dotfill & \pageref{p9} \\ +\S &10.& Reciproke und collineare Gebilde~\dotfill & \pageref{p10} \\ +\S &11.& Collineare und reciproke Gebilde in Bezug auf ein\\ +&& Kugelgeb\"usch~\dotfill & \pageref{p11} \\ +\S &12.& Harmonische Kugeln und Kreise~\dotfill & \pageref{p12} \\ +\S &13.& Kugeln, die sich ber\"uhren. Aehnlichkeitspunkte von Kugeln~\dotfill & \pageref{p13} \\ +\S &14.& Ber\"uhrung und Schnitt von Kreisen auf einer Kugelfl\"ache~\dotfill & \pageref{p14} \\ +\S &15.& Die Dupin'sche Cyclide~\dotfill & \pageref{p15} \\ +\S &16.& Lineare Kugelsysteme, die zu einander normal sind~\dotfill & \pageref{p16} \\ +\S &17.& Kugeln, die sich unter gegebenen Winkeln schneiden~\dotfill & \pageref{p17} \\ +\S &18.& Kreise auf einer Kugel, die sich unter gegebenen Winkeln\\ +&& schneiden~\dotfill & \pageref{p18} \\ +\\ +&&\parbox{0.82\textwidth}{\centering \so{Einleitung in die analytische Geometrie\\ der Kugelsysteme.}}\\ +\\ +\S &19.& Kugelcoordinaten. Complexe, Congruenzen und Schaaren\\ +&& von Kugeln~\dotfill & \pageref{p19} \\ +\S &20.& Projective Verwandtschaft linearer Kugelsysteme~\dotfill & \pageref{p20} \\ +\S & 21. &Quadratische Complexe, Congruenzen und Schaaren von\\ +&& Kugeln~\dotfill & \pageref{p21} +\end{tabular} + +%-----File: 013.png--------------------------------- +\addtolength{\parskip}{1ex} +\newpage +\abschnitt{\S.~1.\\[\parskip] +Potenz von Punktenpaaren, Kreisen und Kugeln.}\label{p1} + + +\hspace{\parindent}% +1. Unter der {\glqq}Potenz{\grqq} eines Punktenpaares $P$, $P'$ in +einem Punkte $A$, welcher auf der Geraden $P$, $P'$ liegt, verstehen +wir das Produkt der beiden Strecken $AP$ und $AP'$, +welche $A$ mit den Punkten $P$ und $P'$ begrenzt; und zwar +fassen wir diese Potenz auf als eine positive oder negative +Gr\"osse, je nachdem $P$ und $P'$ auf derselben Seite von $A$ +liegen oder nicht. Ist $d$ der Abstand des Punktes $A$ von +dem Mittelpunkte der Strecke $PP'$ und $r$ die halbe L\"ange +dieser Strecke, so erhalten wir f\"ur die Potenz die Gleichung: +\[ +AP \centerdot AP' = (d-r) \centerdot (d + r) \quad \text{oder} \quad AP \centerdot AP' = d^2 - r^2. +\] +Das Punktenpaar hat demnach gleiche Potenz in je zwei +Punkten der Geraden, die von seinem Mittelpunkte gleich +weit abstehen. Die Potenz im Punkte $A$ ist Null, wenn $A$ +mit $P$ oder $P'$ zusammenf\"allt; sie wird gleich dem Quadrate +des Abstandes $d$, wenn $P$ und $P'$ zusammenfallen. + +2. Unter der {\glqq}Potenz einer Kugel oder eines Kreises +im Punkte $A${\grqq} verstehen wir die Potenz eines mit $A$ in einer +Geraden liegenden Punktenpaares der Kugelfl\"ache resp.\ der +Kreislinie. Zwei verschiedene solche Punktenpaare haben +gleiche Potenz im Punkte $A$, wie aus der Lehre von den +Kreissecanten bekannt ist. Nimmt man das Punktenpaar +$P$, $P'$ auf dem durch $A$ gehenden Durchmesser an, und bezeichnet +mit $d$ den Abstand des Punktes $A$ vom Centrum +und mit $r$ den Radius der Kugel oder des Kreises, so wird +die Potenz in $A$ dargestellt durch: +\[ +AP \centerdot AP' = d^2 -r^2. +\] +Eine Kugel hat demnach gleiche Potenz in allen Punkten, +welche von ihrem Centrum gleich weit abstehen. + +%-----File: 014.png--------------------------------- + +3. Alle Kreise, in welchen eine Kugel von den durch +$A$ gehenden Ebenen geschnitten wird, haben im Punkte $A$ +gleiche Potenz, n\"amlich dieselbe wie die Kugel. Diese Potenz +ist gleich dem Quadrate einer von $A$ bis an die Kugelfl\"ache +gezogenen Tangente, wenn $A$ ausserhalb der Kugel +liegt; sie ist Null, wenn $A$ auf, und negativ, wenn $A$ innerhalb +der Kugel liegt (1.). Im ersten dieser drei F\"alle wird +die Kugelfl\"ache rechtwinklig geschnitten von derjenigen Kugelfl\"ache, +welche den Punkt $A$ zum Mittelpunkt und die +Quadratwurzel aus der Potenz zum Radius hat. + +4. Wenn zwei Kugelfl\"achen sich rechtwinklig schneiden, +so ist die Potenz der einen im Centrum der anderen gleich +dem Quadrate des Radius dieser anderen Kugelfl\"ache; denn +die beiden Radien, welche nach irgend einem ihrer Schnittpunkte +gehen, stehen auf einander senkrecht, und jeder von +ihnen ber\"uhrt deshalb die zu dem anderen geh\"orige Kugel. +Dieser Satz und seine Umkehrung (3.) gilt auch von zwei +Kreisen, die in einer Ebene liegen und sich rechtwinklig +schneiden. + +5. Jeder Punkt, in welchem zwei oder mehrere Kugeln +gleiche Potenz haben, wird ein {\glqq}Potenzpunkt{\grqq} der Kugeln +genannt; derselbe ist auch f\"ur die Kreise und Punktenpaare, +in welchen die Kugeln etwa sich schneiden, ein Punkt gleicher +Potenz oder {\glqq}Potenzpunkt{\grqq}. Die Mittelpunkte aller +Kugeln, welche zwei oder mehrere gegebene Kugeln rechtwinklig +schneiden, sind Potenzpunkte der letzteren (4.). Wenn +zwei Kugeln sich schneiden oder ber\"uhren, so haben sie +jeden Punkt der Ebene, in welcher ihr Schnittkreis liegt +oder welche sie in ihrem gemeinschaftlichen Punkte ber\"uhrt, +zum Potenzpunkt; in jedem ausserhalb dieser Ebene liegenden +Punkte dagegen haben sie ungleiche Potenz, wie sofort +einleuchtet, wenn man den Punkt mit einem gemeinschaftlichen +Punkte der Kugeln durch eine Secante verbindet. + +6. Der Ort aller Potenzpunkte von drei Kugeln, von +denen zwei die dritte schneiden, ist (5.) die Gerade, welche +die Ebenen der beiden Schnittkreise mit einander gemein +haben. In jedem Punkte dieser Ebenen, welcher ausser\-halb +ihrer Schnittlinie liegt, haben die ersten beiden Kugeln +ungleiche Potenz; denn nur die eine von ihnen hat in einem +solchen Punkte mit der dritten Kugel gleiche Potenz. Zwei +%-----File: 015.png------------------------------- +Kugeln haben demnach unendlich viele Potenzpunkte; mit +dem Orte dieser Punkte hat jede Schnittebene der einen oder +der anderen Kugel eine Gerade gemein; jeder Punkt, welcher +mit zwei Potenzpunkten der Kugeln in einer Geraden liegt, +ist folglich selbst ein Potenzpunkt derselben. Somit ist der +Ort aller Potenzpunkte von zwei Kugeln eine Ebene, welche +die {\glqq}Potenz-Ebene{\grqq} der beiden Kugeln genannt wird. + +7. Die Potenzebene, d.~h.\ der Ort aller Potenzpunkte +von zwei Kugeln, ist zu der Centrallinie dieser Kugeln normal. +Dieses folgt aus Gr\"unden der Symmetrie; auch liegt +in der Potenzebene die Schnittlinie von je zwei Kugeln, die +mit den gegebenen concentrisch sind und durch irgend einen +Potenzpunkt $P$ derselben gehen, weil (2.) die gegebenen +Kugeln in allen Punkten jener Schnittlinie die gleiche Potenz +haben wie in $P$. Die Potenzebene geht durch jeden +gemeinschaftlichen Punkt der beiden Kugeln, weil in demselben +die Potenz der Kugeln gleich, n\"amlich Null ist; sie +enth\"alt die Mittelpunkte aller Kugeln, welche die beiden gegebenen +rechtwinklig schneiden (5.), und insbesondere auch +die Halbirungspunkte aller gemeinschaftlichen Tangenten der +gegebenen Kugeln. Bringt man die beiden Kugeln zum +Durchschnitt mit einer beliebigen dritten, und sodann die +Ebenen der beiden Schnittkreise mit einander, so erh\"alt man +eine Gerade der Potenzebene (6.). Die Potenzebene von zwei +concentrischen Kugeln r\"uckt in's Unendliche. + +8. Der Ort aller Potenzpunkte von drei beliebigen Kugeln +ist eine Gerade, welche wir die {\glqq}Potenz-Axe{\grqq} der drei +Kugeln nennen. In dieser Geraden schneiden sich die beiden +Potenzebenen, welche die eine der drei Kugeln mit den +beiden \"ubrigen bestimmt; sie liegt aber auch in der Potenzebene +der beiden letzteren, weil sie Potenzpunkte derselben +enth\"alt. Auf den Ausnahmefall, in welchem die drei Kugeln +paarweise dieselbe Potenzebene haben, kommen wir sp\"ater +zur\"uck. Die Potenzaxe der drei Kugeln steht auf der Centralebene +derselben normal (7.); sie r\"uckt in's Unendliche, +wenn die Mittelpunkte der Kugeln in einer Geraden liegen. +Sie enth\"alt die Mittelpunkte aller Kugeln, welche die drei +gegebenen rechtwinklig schneiden, sowie jeden gemeinschaftlichen +Punkt der drei Kugeln (7.). Bringt man die drei +Kugeln zum Durchschnitt mit einer beliebigen vierten und +%-----File: 016.png--------------------------------- +sodann die Ebenen der drei Schnittkreise mit einander, so +erh\"alt man einen Punkt der Potenzaxe. + +9. Vier beliebige Kugeln haben einen Potenzpunkt. In +demselben schneiden sich die Potenzebenen, welche jede der +Kugeln mit den drei \"ubrigen bestimmt, und folglich auch +die vier Potenzaxen, welche die vier Kugeln zu dreien bestimmen. +Den Ausnahmefall, in welchem die Kugeln zu +dreien eine und dieselbe Potenzaxe haben, schliessen wir +vorl\"aufig aus. Haben die vier Kugeln in ihrem Potenzpunkte +positive Potenz, so werden sie von einer Kugel, die den Potenzpunkt +zum Mittelpunkt und die Quadratwurzel aus der +Potenz zum Radius hat, rechtwinklig geschnitten. Der Potenzpunkt +r\"uckt in's Unendliche, wenn die Mittelpunkte der +vier Kugeln in einer Ebene liegen. + +10. Als Grenzf\"alle der Kugel sind die Punktkugel und +die Ebene, und als Grenzf\"alle des Kreises sind der Punktkreis +und die Gerade aufzufassen. Wenn der Radius einer +durch den Punkt $P$ gehenden Kugel unbegrenzt abnimmt, +so reducirt sich die Kugel auf den Punkt $P$ und wird eine +Punktkugel; nimmt dagegen der Radius unbegrenzt zu, indem +der Mittelpunkt sich nach irgend einer Richtung entfernt, +so geht die Kugelfl\"ache \"uber in die durch $P$ gehende +und zu jener Richtung normale Ebene. Die Potenz einer +Punktkugel im Punkte $A$ ist gleich dem Quadrat ihres Abstandes +von $A$ (1.). Die Potenz einer Ebene in einem nicht +auf ihr liegenden Punkte $A$ ist unendlich; in einem auf ihr +liegenden Punkte $P$ ist sie unbestimmt, n\"amlich $0 \centerdot \infty$. Die +Potenzebene einer Punktkugel und einer gew\"ohnlichen Kugel +enth\"alt die Mittelpunkte aller Kugelfl\"achen, welche durch +die Punktkugel gehen und die andere Kugel rechtwinklig +schneiden; sie halbirt alle Tangenten, welche von der Punktkugel +an die andere Kugel gezogen werden k\"onnen. Zwei +Punktkugeln liegen zu ihrer Potenzebene symmetrisch; die +sechs Potenzebenen von vier Punktkugeln schneiden sich +in dem Centrum der Kugel, auf welcher die vier Punktkugeln +liegen, und welche hiernach leicht zu construiren ist. +Die Potenzebene einer gew\"ohnlichen Kugel und einer Ebene +f\"allt mit der letzteren zusammen. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} +%-----File: 017.png--------------------------------- + +\abschnitt{\S.~2.\\[\parskip] +Das Kugelgeb\"usch.}\label{p2} + + +\hspace{\parindent}% +11. Mit dem Namen {\glqq}Kugelgeb\"usch{\grqq} bezeichnen wir +die Gesammtheit aller Kugeln, die in einem gegebenen Punkte +$C$ eine bestimmte Potenz $p$ haben; $C$ heisst der Potenzpunkt +oder das {\glqq}Centrum{\grqq} und $p$ die {\glqq}Potenz des Geb\"usches{\grqq}. Die +Punktenpaare, in welchen je drei, und die Kreise, in welchen +je zwei Kugeln des Geb\"usches sich schneiden, rechnen wir +ebenfalls zu dem Geb\"usche; sie alle haben im Centrum $C$ die +Potenz $p$ und liegen auf den durch $C$ gehenden Geraden und +Ebenen. Das Geb\"usch enth\"alt alle Kugeln, die durch irgend +einen seiner Kreise oder durch ein beliebiges von seinen +Punktenpaaren gehen, insbesondere auch die durch $C$ gehenden +Ebenen dieser Kreise und Punktenpaare; es enth\"alt ferner alle +Kreise und Punktenpaare, in welchen seine Kugeln von den +durch $C$ gehenden Ebenen und Geraden geschnitten werden; +durch eine Drehung um das Centrum $C$ wird es nicht ver\"andert. + +12. Um ein Kugelgeb\"usch zu bestimmen, kann man +sein Centrum $C$ und entweder seine Potenz $p$, oder eine +seiner Kugeln oder Kreislinien, oder eines seiner Punktenpaare +willk\"urlich annehmen; bei jeder der letzteren Annahmen +ergiebt sich die Potenz in $C$ sofort. Vier beliebig gegebene +Kugeln bestimmen ein durch sie gehendes Kugelgeb\"usch, +wenn sie nicht in mehreren Punkten gleiche Potenz +haben; n\"amlich ihr Potenzpunkt (9.) ist das Centrum des +Geb\"usches, und ihre Potenz in diesem Punkte ist zugleich +diejenige des Geb\"usches. Ebenso bestimmen zwei beliebige +Kreise, die nicht auf einer und derselben Kugel liegen, ein +Kugelgeb\"usch; dasselbe geht durch zwei Paar Kugeln, die +sich in den beiden Kreisen schneiden, und ist durch sie bestimmt. +Alle Ebenen, welche zwei nicht auf einer Kugel +liegende Kreise in vier Kreispunkten schneiden, gehen durch +einen Punkt, n\"amlich durch das Centrum des durch die +beiden Kreise bestimmten Kugelgeb\"usches; auch die Ebenen +der beiden Kreise gehen durch diesen Punkt. + +13. Ist die Potenz $p$ eines Kugelgeb\"usches negativ, so +liegt sein Centrum $C$ innerhalb aller seiner Kugeln und +Kreise und zwischen allen seinen Punktenpaaren, und jede +Kugel des Geb\"usches schneidet alle \"ubrigen. Ist dagegen $p$ +positiv, so liegt das Centrum $C$ ausserhalb aller Kugeln und +%-----File: 018.png--------------------------------- +Kreise des Geb\"usches, und alle diese Kreise und Kugeln +werden rechtwinklig von derjenigen Kugel geschnitten, welche +mit dem Radius $\sqrt{p}$ um den Mittelpunkt $C$ beschrieben +werden kann (3.). Diese Kugel heisst deshalb die {\glqq}Orthogonalkugel{\grqq} +des Geb\"usches; sie ist der Ort aller Punktkugeln +desselben. Alle Kugeln und Kreise, welche die Orthogonalkugel +rechtwinklig schneiden, geh\"oren zu dem Geb\"usch (4.), +und dieses ist durch seine Orthogonalkugel v\"ollig bestimmt. +Wenn die Orthogonalkugel in eine Ebene \"ubergeht, so enth\"alt +das Geb\"usch alle Kugeln, deren Mittelpunkte in dieser +Ebene liegen; das Centrum $C$ dieses besonderen Geb\"usches +liegt unendlich fern, seine Potenz ist unendlich gross, und +jeder Kreis und jedes Punktenpaar desselben liegt symmetrisch +bez\"uglich der Orthogonalebene. Wir nennen dieses +besondere Geb\"usch ein {\glqq}symmetrisches{\grqq}. --- Einen Uebergangsfall +des Kugelgeb\"usches erhalten wir, wenn die Potenz $p$ Null ist; +dieses specielle Geb\"usch besteht aus allen Kugeln und Kreisen, +welche durch sein Centrum $C$ gehen, seine Orthogonalkugel +reducirt sich auf den Punkt $C$, und $C$ bildet mit jedem Punkte +des Raumes ein Punktenpaar des Geb\"usches. Wir schliessen +diesen Uebergangsfall vorl\"aufig von unserer Untersuchung aus. + +14. Im Kugelgeb\"usch nennen wir zwei Punkte $P$, $P'$ +{\glqq}einander zugeordnet{\grqq}, wenn sie ein Punktenpaar des Geb\"usches +bilden. Durch einen Punkt $P$ ist im Geb\"usche der +ihm zugeordnete Punkt $P'$ eindeutig bestimmt; denn die +Punkte $P$ und $P'$ liegen mit dem Centrum $C$ in einer Geraden +und das Produkt ihrer Abst\"ande $CP$ und $CP'$ vom +Centrum ist gleich der Potenz $p$ des Geb\"usches. Wenn $P$ +nach irgend einer Richtung in's Unendliche r\"uckt, so f\"allt $P'$ +mit $C$ zusammen. Alle durch einen Punkt $P$ gehenden Kugeln +und Kreise des Geb\"usches haben auch den zugeordneten +Punkt $P'$ mit einander gemein, weil sie im Centrum $C$ die +Potenz $p = CP \centerdot CP'$ haben. Aus demselben Grunde geh\"ort +jede Kugel oder Kreislinie, welche durch zwei einander zugeordnete +Punkte geht, zu dem Geb\"usch. + +15. Zwei Punktenpaare des Geb\"usches k\"onnen deshalb +allemal durch einen Kreis, und drei Punktenpaare k\"onnen +durch eine Kugel verbunden werden. Durch drei beliebige +Punkte oder durch einen beliebigen Kreis geht im Allgemeinen +eine einzige Kugel des Geb\"usches; dieselbe verbindet +%-----File: 019.png--------------------------------- +die drei Punkte mit den drei zugeordneten Punkten. Wenn +durch einen Kreis mehrere Kugeln des Geb\"usches gehen, so +geh\"ort er zu dem Geb\"usche und kann mit jedem Punktenpaare +desselben durch eine Kugel verbunden werden (11.). + +16. Von den Punktenpaaren eines Kugelgeb\"usches, +welche auf einem Kreise desselben oder auf einer durch sein +Centrum gehenden Geraden liegen, pflegt man zu sagen, sie +bilden eine {\glqq}involutorische Punktreihe{\grqq} oder ihre Punkte +seien {\grqq}involutorisch gepaart{\grqq}; den Kreis oder die Gerade +nennt man den {\glqq}Tr\"ager{\grqq} dieser Punktreihe. Die Geraden, +auf welchen die Punktenpaare einer solchen involutorischen +Punktreihe liegen, gehen alle durch einen Punkt, n\"amlich +durch das Centrum $C$ des Geb\"usches. Jede Kugel des Geb\"usches, +welche durch einen Punkt $P$ der Punktreihe geht, +hat mit ihr auch den zugeordneten Punkt $P'$ gemein (11., +14.). Verbindet man irgend zwei Punktenpaare der Reihe +mit zwei beliebig angenommenen Punkten durch zwei Kugeln, +so schneiden sich diese in einem Kreise $k$ des Geb\"usches, +und auf den durch $k$ gehenden anderen Kugeln liegen auch +die \"ubrigen Punktenpaare der involutorischen Reihe. Um die +Punkte einer Kreislinie oder Geraden involutorisch zu paaren, +kann man demnach zwei Punktenpaare auf derselben willk\"urlich +annehmen; die \"ubrigen Punktenpaare und das Kugelgeb\"usch, +in welchem die involutorische Punktreihe liegt, sind +dadurch v\"ollig bestimmt und leicht construirbar. + +17. Wenn zwei Kreise $k$ und $k_1$ weder einen Punkt +mit einander gemein haben, noch durch eine Kugel oder +Ebene verbunden werden k\"onnen, so schneidet jeder von +ihnen die durch den anderen gehenden Kugeln in den Punktenpaaren +einer involutorischen Punktreihe. Dieselbe liegt +in dem durch $k$ und $k_1$ bestimmten Kugelgeb\"usch (12.), und +der Satz gilt auch dann, wenn einer, aber nicht jeder der +beiden Kreise in eine Gerade ausartet; in dem Centrum der +Punktreihe schneiden sich auch die durch $k$ und $k_1$ gehenden +Ebenen. Alle Punktenpaare einer involutorischen Punktreihe +haben in deren Centrum, d.~h.\ in dem Centrum $C$ des sie +enthaltenden Kugelgeb\"usches, gleiche Potenz, auch wenn die +Punktreihe auf einer Geraden liegt; r\"uckt $C$ in's Unendliche, +so liegen die Punktenpaare symmetrisch bez\"uglich der Orthogonal-Ebene +des Geb\"usches (13.). +%-----File: 020.png--------------------------------- + +18. Eine involutorische Punktreihe bestimmt ein sie +enthaltendes Kugelgeb\"usch (16.); sie hat zwei {\glqq}Ordnungspunkte{\grqq}, +d.~h.\ sich selbst zugeordnete Punkte, wenn die Potenz +dieses Geb\"usches positiv ist. Von der Orthogonalkugel +des Geb\"usches wird der Tr\"ager der involutorischen Punktreihe +in den beiden Ordnungspunkten rechtwinklig geschnitten +(13.); diese Ordnungspunkte sind zwei Punktkugeln des +Geb\"usches, und je zwei einander zugeordnete Punkte $P$, $P'$ +der Punktreihe sind durch sie getrennt. Der Tr\"ager der involutorischen +Punktreihe ber\"uhrt alle durch einen ihrer Ordnungspunkte +$O$, $Q$ gehenden Kugeln und Ebenen des Geb\"usches +in diesem Punkte (vgl.\ 16.). Die Potenz des Geb\"usches +in seinem Centrum $C$ wird dargestellt durch: +\[ +CP \centerdot CP' = CO^2 = CQ^2. +\] + + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + +\abschnitt{\S.~3.\\[\parskip] +Das Princip der reciproken Radien.}\label{p3} + + +\hspace{\parindent}% +19. Es sei $C$ das Centrum, $p$ die positive oder negative +Potenz und $A$, $A'$ ein beliebiges Punktenpaar eines Kugelgeb\"usches. +Wir bezeichnen die Strecken $CA = r$ und $CA' = r'$ +mit dem Namen {\glqq}Radien der beiden einander zugeordneten +Punkte $A$ und $A'${\grqq}; sie liegen auf einer und derselben +Geraden und ihr Produkt $r \centerdot r'$ ist gleich der Potenz $p$. Der +Radius $r$ eines beliebigen Punktes $A$ ist demnach dem reciproken +Werthe des Radius $r'$ seines zugeordneten Punktes +$A'$ proportional, er ist das $p$fache dieses reciproken Werthes, +n\"amlich $r = p \centerdot \frac{1}{r'}$. Man nennt deshalb $r$ und $r'$ {\glqq}reciproke +Radien{\grqq}, $C$ ihr Centrum und $p$ ihre Potenz, und sagt von +zwei einander zugeordneten Figuren, Linien oder Fl\"achen, +von welchen die eine durch $A$ und zugleich die andere durch +den zugeordneten Punkt $A'$ beschrieben ist, sie seien {\glqq}invers{\grqq} +und {\glqq}jede von ihnen sei durch reciproke Radien in die andere +transformirt oder verwandelt{\grqq}. + +20. Alle Kugeln, Kreise und Punktenpaare des Geb\"usches +werden durch die reciproken Radien in sich selbst transformirt. +Zwei beliebige dieser Punktenpaare, $A$, $A'$ und $B$, $B'$ +haben im Centrum $C$ die Potenz $p$, sodass: +\[ +CA \centerdot CA' = CB \centerdot CB' \quad \text{und folglich} \quad CA : CB = CB' : CA' +\] +%-----File: 021.png--------------------------------- +ist. Daraus aber folgt, wenn $CA$ und $CB$ nicht auf derselben +Geraden liegen, dass die Dreiecke $CAB$ und $CB'A'$ +\"ahnlich und ihre Winkel bei $A$ und $B'$ gleich sind. Ist insbesondere +$\angle CAB$ ein rechter Winkel, so gilt dasselbe vom +Winkel $CB'A'$. + +21. Eine beliebige Ebene $\varepsilon$ wird durch die reciproken +Radien in eine Kugelfl\"ache verwandelt, welche im Centrum +$C$ von einer zu $\varepsilon$ parallelen Ebene ber\"uhrt wird. Denn +seien $A$ und $B$ zwei Punkte von $\varepsilon$, von welchen $A$ in der +von $C$ auf $\varepsilon$ gef\"allten Normale liege, und seien $A'$ und $B'$ +die ihnen zugeordneten Punkte. Dann sind die Dreiecke +$CAB$ und $CB'A'$ \"ahnlich und ihre Winkel bei $A$ und $B'$ +Rechte (20.), und der Punkt $B'$, welcher einem ganz beliebigen +Punkte $B$ der Ebene $\varepsilon$ entspricht, liegt folglich auf +der Kugelfl\"ache, von welcher die zu $\varepsilon$ normale Strecke $CA'$ +ein Durchmesser ist. Diese Kugelfl\"ache, in welche $\varepsilon$ transformirt +wird, hat in $C$ eine zum Durchmesser $CA'$ normale +und folglich zu $\varepsilon$ parallele Ber\"uhrungsebene. --- Jede durch +$C$ gehende Kugel wird durch die reciproken Radien in eine +Ebene transformirt; dieselbe ist der Ber\"uhrungsebene des +Punktes $C$ parallel und geht durch einen beliebigen Punkt, +dessen zugeordneter auf der Kugel liegt. + +22. Zwei beliebige Ebenen schneiden sich unter denselben +Winkeln, wie die ihnen zugeordneten Kugelfl\"achen, +weil sie den Ber\"uhrungsebenen der letzteren im Punkte $C$ +parallel sind (21.). Zwei beliebige Fl\"achen oder Linien +schneiden sich folglich in jedem ihrer gemeinschaftlichen +Punkte unter denselben Winkeln, wie die ihnen zugeordneten +Fl\"achen oder Linien in dem zugeordneten Punkte. Zwei unendlich +kleine Tetra\"eder, deren Eckpunkte einander zugeordnet +sind, haben demnach gleiche Fl\"achenwinkel und schon +deshalb auch gleiche Kantenwinkel; sie sind, wie einige +Ueberlegung lehrt, \"ahnlich, wenn die Potenz der reciproken +Radien negativ, und symmetrisch \"ahnlich, wenn sie positiv +ist; ihre homologen Fl\"achen sind allemal \"ahnlich. Zwei +einander zugeordnete Fl\"achen oder Raumtheile werden also +durch die reciproken Radien {\glqq}conform{\grqq}, d.~h.\ in den kleinsten +Theilen \"ahnlich, auf einander abgebildet. + +23. Um hiernach eine Kugelfl\"ache $\varkappa$ auf eine beliebige +Ebene $\varepsilon$ conform abzubilden, w\"ahle man zum Centrum $C$ +%-----File: 022.png--------------------------------- +der reciproken Radien einen der beiden Punkte von $\varkappa$, deren +Ber\"uhrungsebenen zu $\varepsilon$ parallel sind, und setze die Potenz +gleich dem Produkte der beiden Abschnitte $CA$ und $CA'$, +welche $\varkappa$ und $\varepsilon$ auf irgend einer durch $C$ gehenden Geraden +bilden. Dann wird $\varkappa$ in $\varepsilon$ transformirt (21.). Projicirt man +also eine Kugelfl\"ache $\varkappa$ (stereographisch) aus einem ihrer +Punkte $C$ auf eine Ebene $\varepsilon$, die zu der Ber\"uhrungsebene von +$C$ parallel ist, so wird die Fl\"ache $\varkappa$ conform auf die Ebene +$\varepsilon$ abgebildet. Von dieser {\glqq}stereographischen{\grqq} Projection +der Kugel wird bei der Herstellung von Landkarten Gebrauch +gemacht. Man erreicht dadurch, dass wenigstens +die Winkel auf der Karte dieselbe Gr\"osse haben, wie die +ihnen entsprechenden auf der Erdkugel. Die L\"angen der +verschiedenen Linien unserer Erdoberfl\"ache m\"ussen auf den +Landkarten allemal in ver\"anderlichem Massstabe dargestellt +werden, weil eine Kugelfl\"ache sich nicht ohne Verzerrungen +auf einer Ebene abwickeln l\"asst. + +24. Durch verschiedene reciproke Radien von gegebenem +Centrum $C$ wird eine gegebene Figur in \"ahnliche und \"ahnlich +liegende Figuren verwandelt, von welchen $C$ der Aehnlichkeitspunkt +ist. Zwei beliebigen Punkten $A'$, $B'$ der gegebenen +Figur m\"ogen n\"amlich die resp.\ Punkte $A$, $B$ oder +$A_1$, $B_1$ zugeordnet sein, jenachdem die Potenz der reciproken +Radien gleich $p$ oder $p_1$ ist. Dann ist: +\[ +CA' \centerdot CA = CB' \centerdot CB = p \quad\text{und}\quad +CA' \centerdot CA_1 = CB' \centerdot CB_1 = p_1, +\] +und folglich: +\[ +CA : CA_1 = CB : CB_1 = p : p_1 \quad\text{und}\quad +\triangle CAB \sim \triangle CA_1B_1. +\] +Die Geraden $\overline{AB}$ und $\overline{A_1B_1}$ sind also parallel, und $A$ und +$A_1$, sowie $B$ und $B_1$ sind homologe Punkte von zwei \"ahnlichen +und \"ahnlich liegenden r\"aumlichen Systemen; und zwar +ist $C$ ein \"ausserer oder innerer Aehnlichkeitspunkt, jenachdem +$p : p_1$ positiv oder negativ ist. Die r\"aumlichen Systeme +sind symmetrisch und $C$ ist ihr Symmetrie-Centrum, wenn +$p = -p_1$ ist. + +25. Durch reciproke Radien wird eine nicht durch das +Centrum $C$ gehende Kugel $\varkappa$ in eine Kugel $\varkappa_1$ transformirt; +$C$ ist ein Aehnlichkeitspunkt von $\varkappa$ und $\varkappa_1$. Ist n\"amlich $p$ +die Potenz der reciproken Radien und $p_1$ die Potenz der +%-----File: 023.png--------------------------------- +Kugel $\varkappa$ %sic, not $\varkappa_1$ +im Punkte $C$, so wird $\varkappa$ durch die verschiedenen +reciproken Radien vom Centrum $C$ und den Potenzen $p$ und +$p_1$ in zwei \"ahnliche und in Bezug auf $C$ \"ahnlich liegende +Fl\"achen verwandelt (24.). Die eine dieser Fl\"achen ist aber +die Kugel $\varkappa$ selbst, und folglich ist auch die andere eine +Kugel $\varkappa_1$. --- Der fr\"uhere Satz (21.), dass jeder Ebene eine +durch $C$ gehende Kugel zugeordnet ist, kann als ein specieller +Fall des eben bewiesenen betrachtet werden. + +26. Einem Kreise ist durch die reciproken Radien allemal +ein Kreis zugeordnet; in dem letzteren schneiden sich +je zwei Kugeln, deren zugeordnete durch den ersteren gehen. +Die beiden Kreise liegen auf derjenigen Kugelfl\"ache des zu +den Radien geh\"origen Geb\"usches, welche durch den einen +von ihnen gelegt werden kann (15.). Geht der eine Kreis +durch das Centrum $C$, so artet der andere in eine Gerade +aus (21.). --- Durch die stereographische Projection (23.) +gehen alle Kreise der Erdkugel, insbesondere alle Meridiane +und Parallelkreise, \"uber in Kreise der Bildebene, und zwar +die Meridiane in Kreise, welche sich in den Projectionen des +Nord- und des S\"udpoles schneiden, und die Parallelkreise in +solche, welche die ersteren rechtwinklig, nicht aber einander +schneiden. Nur die durch das Centrum $C$ gehenden Kugelkreise +werden in der Bildebene durch gerade Linien dargestellt. +Wird $C$ in den Nord- oder S\"udpol gelegt, so werden +die Parallelkreise und die Meridiane dargestellt durch concentrische +Kreise und deren Durchmesser. + +27. Wenn eine Kugel und ein Kegel sich in einem +Kreise schneiden, so haben sie noch einen zweiten Kreis mit +einander gemein. In diesen zweiten Kreis n\"amlich verwandelt +sich der erstere durch reciproke Radien, deren Centrum +der Mittelpunkt $C$ des Kegels und deren Potenz gleich derjenigen +der Kugel im Punkte $C$ ist (26.). Die beiden Kreise +ber\"uhren alle Kugelkreise, welche in den Ber\"uhrungsebenen +des Kegels liegen. --- Zwei beliebige Kreise $k$, $k'$ einer Kugel +k\"onnen allemal durch eine und im Allgemeinen noch durch +eine zweite Kegelfl\"ache verbunden werden. Sind n\"amlich $A$ +und $A'$ zwei Punkte von $k$ resp.\ $k'$, deren Tangenten sich +schneiden, und $B$ und $B'$ zwei mit ihnen in einer Ebene +liegende Punkte von $k$ resp.\ $k'$; dann ist der Schnittpunkt $C$ +der Geraden $\overline{AA'}$ und $\overline{BB'}$ Mittelpunkt eines durch $k$ und $k'$ +%-----File: 024.png--------------------------------- +gehenden Kegels. Denn der von $C$ aus durch $k$ gelegte +Kegel schneidet die Kugel noch in einem von $k$ verschiedenen +Kreise, welcher mit $k'$ die Punkte $A'$ und $B'$ sowie die Tangente +in $A'$ gemein hat und folglich mit $k'$ zusammenf\"allt. +Da eine beliebige Tangente von $k$ zwei Tangenten von $k'$ +schneidet, so erh\"alt man zwei verschiedene durch $k$ und $k'$ +gehende Kegel, ausgenommen, wenn die beiden Kreise sich +ber\"uhren oder einer derselben ein Punktkreis ist. --- Aus dem +Vorhergehenden folgt: Wenn eine Ebene sich so bewegt, +dass sie zwei auf einer Kugel liegende Kreise fortw\"ahrend +ber\"uhrt, so umh\"ullt sie eine die beiden Kreise verbindende +Kegelfl\"ache. + +28. Ein beliebiges Kugelgeb\"usch $\varGamma$ verwandelt sich +durch reciproke Radien allemal in ein Kugelgeb\"usch; die +Centra $M$ und $M'$ der beiden Geb\"usche liegen mit dem Centrum +$C$ der reciproken Radien in einer Geraden. N\"amlich +die Kugeln, Kreise und Punktenpaare von $\varGamma$ werden durch +die reciproken Radien transformirt in andere Kugeln, Kreise +und Punktenpaare, deren Gesammtheit wir mit $\varGamma'$ bezeichnen +wollen. Die Ebenen aller Kreise und die Verbindungslinien +aller Punktenpaare von $\varGamma'$ gehen durch einen Punkt $M'$; +denn sie sind den durch $C$ gehenden Kugeln und Kreisen +des Geb\"usches $\varGamma$ zugeordnet, und diese haben ausser $C$ noch +denjenigen Punkt $C_1$ mit einander gemein, welcher in $\varGamma$ dem +Punkte $C$ zugeordnet ist (14.); die Punkte $C_1$ und $M'$ aber +sind durch die reciproken Radien einander zugeordnet und +liegen mit $C$ und $M$ in einer Geraden. Endlich aber haben +die Punktenpaare, Kreise und Kugeln von $\varGamma'$ alle im Punkte +$M'$ gleiche Potenz und bilden folglich ein Kugelgeb\"usch; +denn zwei beliebige von diesen Punktenpaaren liegen allemal +auf einem Kreise und drei von ihnen liegen auf einer Kugel +von $\varGamma'$, weil die ihnen zugeordneten Punktenpaare des Geb\"usches +$\varGamma$ durch einen Kreis resp.\ eine Kugel von $\varGamma$ verbunden +werden k\"onnen (15.). Damit ist bewiesen, dass $\varGamma'$ +ebenso wie $\varGamma$ ein Kugelgeb\"usch ist. + +29. Wenn das Kugelgeb\"usch $\varGamma$ eine Orthogonalkugel +hat, so wird diese durch die reciproken Radien in die Orthogonalkugel +des zugeordneten Geb\"usches $\varGamma'$ verwandelt; +denn wenn zwei Kugeln sich rechtwinklig schneiden, so gilt +dasselbe von den beiden ihnen zugeordneten Kugeln (22.). +%-----File: 025.png--------------------------------- +Liegt das Centrum $C$ der reciproken Radien auf der Orthogonalkugel +von $\varGamma$, so ist $\varGamma'$ ein symmetrisches Geb\"usch, +dessen Kugeln, Kreise und Punktenpaare eine gemeinschaftliche +Symmetrie-Ebene haben, n\"amlich die Orthogonalebene +von $\varGamma'$ (13.). Das specielle Geb\"usch, dessen Kugeln und +Kreise alle durch einen gegebenen Punkt $M$ gehen, verwandelt +sich durch reciproke Radien in ein \"ahnliches specielles +Geb\"usch; nur wenn das Centrum der reciproken Radien mit +$M$ zusammenf\"allt, transformirt es sich in die Gesammtheit +aller Ebenen und Geraden des Raumes, welche also auch +als ein sehr specielles Kugelgeb\"usch zu betrachten ist. + +30. Eine involutorische Punktreihe $k$ verwandelt sich +durch reciproke Radien in eine involutorische Punktreihe $k'$, +und zwar werden die Ordnungspunkte von $k$ in diejenigen +von $k'$ transformirt; denn $k$ und $k'$ sind einander zugeordnete +Gebilde von zwei durch sie bestimmten Kugelgeb\"uschen, +welche durch die reciproken Radien in einander transformirt +werden. Nimmt man das Centrum $C$ der Radien irgendwo +auf der Kugel an, welche den Tr\"ager der involutorischen +Punktreihe $k$ in deren Ordnungspunkten $O$ und $Q$ rechtwinklig +schneidet, so verwandelt sich $k$ in eine symmetrische +Punktreihe $k'$, deren Punktenpaare zu einem Durchmesser +des Kreises $k'$ symmetrisch liegen (vgl.\ 17., 29.). F\"allt $C$ +mit $O$ oder $Q$ zusammen, so wird $k'$ eine \so{gerade} symmetrische +Punktreihe, von welcher ein Ordnungspunkt unendlich +fern liegt und der andere die Strecken zwischen je zwei +einander zugeordneten Punkten halbirt. + +\enlargethispage{-\baselineskip} +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill}\bigskip +\end{center} + +\abschnitt{\S.~4. \\[\parskip] +Harmonische Kreisvierecke; harmonische Punkte, Strahlen +und Ebenen.}\label{p4} + + +\hspace{\parindent}% +31. Von je zwei einander zugeordneten Punkten $P$, $R$ +einer involutorischen Punktreihe wollen wir sagen, sie seien +durch die beiden Ordnungspunkte $O$, $Q$ der Punktreihe {\glqq}harmonisch +getrennt{\grqq} und bilden mit denselben eine harmonische +Punktreihe $OPQR$ oder {\glqq}vier harmonische Punkte{\grqq}. +Ist der Tr\"ager der Punktreihe ein Kreis, so nennen wir +ausserdem das Viereck $OPQR$ ein {\glqq}harmonisches Kreisviereck{\grqq}. +Demnach sind je zwei Punkte $P$, $R$ eines Kreises, +%-----File: 026.png--------------------------------- +welche mit dem Schnittpunkte $C$ von zwei Tangenten desselben +in einer Geraden liegen, durch die Ber\"uhrungspunkte +$O$, $Q$ dieser Tangenten harmonisch getrennt und bilden mit +ihnen ein harmonisches Kreisviereck $OPQR$. Durch zwei +beliebige Punkte eines Kreises sind insbesondere die Halbirungspunkte +der beiden von ihnen begrenzten Kreisb\"ogen +harmonisch getrennt; diese beiden Halbirungspunkte liegen +auf einem Durchmesser des Kreises, und je zwei Punkte des +Kreises, durch welche sie harmonisch getrennt sind, liegen +symmetrisch zu dem Durchmesser. Jedes Quadrat ist ein +harmonisches Kreisviereck. + +32. Die involutorische Punktreihe, von welcher $O$, $Q$ +die beiden Ordnungspunkte und $P$, $R$ zwei einander zugeordnete +Punkte sind, liegt in einem durch sie bestimmten +Kugelgeb\"usch (18.). Ist $C$ das Centrum dieses Geb\"usches, +so wird die Potenz desselben dargestellt durch: +\[ +CP \centerdot CR = CO^2 = CQ^2 . +\] +Der Punkt $C$ halbirt die Strecke $OQ$, wenn der Tr\"ager der +Punktreihe eine Gerade ist. Wenn also auf einer Geraden +die Punkte $P$, $R$ harmonisch durch $O$ und $Q$ getrennt sind, +so ist die Potenz des Punktenpaares $P$, $R$ im Halbirungspunkte +$C$ der Strecke $OQ$ gleich dem Quadrate der H\"alfte +dieser Strecke; der Punkt, von welchem dieser Halbirungspunkt +durch $O$ und $Q$ harmonisch getrennt ist, liegt folglich +unendlich fern. + +33. Durch reciproke Radien verwandeln sich die Punktenpaare +einer involutorischen Punktreihe $k$ in diejenigen +einer involutorischen Punktreihe $k'$, und die Ordnungspunkte +von $k$ in die von $k'$ (30.). Vier harmonische Punkte $OPQR$ +eines Kreises oder einer Geraden $k$ werden folglich durch +reciproke Radien allemal wieder in vier harmonische Punkte +$O'P'Q'R'$ transformirt. Nimmt man das Centrum der reciproken +Radien auf der Kugel an, welche in $O$ und $Q$ die +Linie $k$ rechtwinklig schneidet, so wird $\overline{O'Q'}$ ein Durchmesser +des Kreises $k'$ und $O'P'Q'R'$ ein zu $\overline{O'Q'}$ symmetrisch liegendes +harmonisches Kreisviereck; liegt jenes Centrum zugleich +auf der Kugel, welche in $P$ und $R$ zu $k$ normal ist, +so wird $O'P'Q'R'$ ein Quadrat. Jede harmonische Punktreihe +$OPQR$ kann folglich durch reciproke Radien in die +%-----File: 027.png--------------------------------- +Eckpunkte eines Quadrates $O'P'Q'R'$ verwandelt werden; +und da je zwei Gegenpunkte des letzteren durch die anderen +beiden Gegenpunkte harmonisch getrennt sind, so ergiebt +sich der wichtige Satz: Wenn auf einer Kreislinie oder Geraden +die Punkte $P$ und $R$ harmonisch getrennt sind durch +$O$ und $Q$, so sind auch $O$ und $Q$ harmonisch getrennt durch +$P$ und $R$. + +34. Wir wollen diesen Satz noch auf andere Art beweisen. +Jede Kugel, welche durch ein Punktenpaar $P$, $R$ +der involutorischen Punktreihe $k$ geht, geh\"ort zu dem durch +$k$ bestimmten Kugelgeb\"usch und schneidet dessen Orthogonalkugel +rechtwinklig; insbesondere gilt dieses von der Kugel, +welche den Tr\"ager der Punktreihe $k$ in $P$ und $R$ rechtwinklig +schneidet. In dem Mittelpunkte $C_1$ dieser Kugel +haben folglich der Kreis $k$ und jene Orthogonalkugel gleiche +Potenz, und zwar ist diese Potenz gleich dem Quadrate des +Radius $C_1 P$ der Kugel (4.). Also muss $C_1$ auf der Potenzaxe +der Orthogonalkugel und des Kreises $k$ liegen (5., 8.); +diese Potenzaxe aber geht durch die Ordnungspunkte $O$ und +$Q$ der Punktreihe $k$, und es ist: +\[ +C_1 O \centerdot C_1 Q = C_1 P^2 = C_1 R^2. +\] +Dieselbe Gleichung ergiebt sich unmittelbar aus (4.), wenn +der Tr\"ager der Punktreihe $k$ eine Gerade ist; sie bedeutet, +dass die Punkte $O$ und $Q$ ebenso durch $P$ und $R$ harmonisch +getrennt sind, wie $P$ und $R$ durch $O$ und $Q$. Von zwei beliebigen +Punktenpaaren eines Kreises oder einer Geraden ist +demnach entweder jedes oder keines durch das andere harmonisch +getrennt. + +35. Durch drei Punkte eines Kreises oder einer Geraden +ist der vierte harmonische Punkt v\"ollig bestimmt, sobald +angegeben ist, von welchem der drei Punkte er getrennt +sein soll (31., 32.). --- Die Orthogonalkugel eines Kugelgeb\"usches +schneidet jeden Kreis, welcher durch ein Punktenpaar +$P$, $R$ des Geb\"usches geht, in zwei durch $P$ und $R$ harmonisch +getrennten Punkten $O$, $Q$ (31., 34.). --- Ein Kreis, +welcher zwei zu einander normale Kugeln schneidet, und +zwar die eine rechtwinklig, hat mit denselben vier harmonische +Punkte gemein; insbesondere schneidet jeder Durchmesser +der einen Kugel, welcher eine Secante der anderen +%-----File: 028.png-------------------------------- +ist, die beiden Kugeln in vier harmonischen Punkten. Denn +die eine Kugel ist die Orthogonalkugel eines Geb\"usches, +welchem die andere Kugel und auch der Kreis angeh\"ort, +und die gemeinschaftlichen Punkte $P$, $R$ dieser letzteren bilden +ein Punktenpaar dieses Geb\"usches. --- Wenn drei Kreise +einer Kugel oder Ebene $\varkappa$ sich gegenseitig unter rechten +Winkeln schneiden, so hat jeder von ihnen mit den beiden +anderen vier harmonische Punkte gemein; zum Beweise lege +man durch zwei von den drei Kreisen Kugeln, welche zu $\varkappa$ +normal sind. + +36. Es sei $OPQR$ ein harmonisches Viereck in einem +Kreise $k$; die Tangenten von $k$ in den Punkten $O$ und $Q$ +m\"ogen sich demgem\"ass in einem Punkte $C$ der Diagonale +$\overline{PR}$ schneiden. Dann sind die Dreiecke $OPC$ und $ROC$ \"ahnlich, +weil sie bei $C$ denselben Winkel haben und ihre Winkel +$OPC$ und $ROC$ als Peripheriewinkel \"uber dem Kreisbogen +$\stackrel{\frown}{OR}$ gleich sind; und ebenso ist $\triangle QPC \sim \triangle RQC$. Daraus +folgt: +\[ +OP : RO = PC : OC \text{ und } QP : RQ = PC : QC, +\] +und weil die Tangenten $OC$ und $QC$ gleiche L\"ange haben: +\[ +OP : RO = QP : RQ \text{ oder } RQ \centerdot OP = RO \centerdot QP. +\] +Die beiden Rechtecke aus den zwei Paar Gegenseiten eines +harmonischen Kreisvierecks sind demnach inhaltsgleich. + +37. Wenn man den Eckpunkt $R$ eines Kreisvierecks +$OPQR$ auf dem Kreise stetig verschiebt, so nimmt von den +Seiten $RO$ und $RQ$ die eine zu und zugleich die andere ab, +und es giebt deshalb nur eine Lage des Punktes $R$, f\"ur +welche die Rechtecke aus den Gegenseiten des Kreisvierecks +$OPQR$ inhaltsgleich werden. Daraus folgt wieder der fr\"uhere +Satz, dass durch drei Kreispunkte $O$, $P$, $Q$ der vierte +harmonische, von $P$ getrennte Punkt $R$ eindeutig bestimmt +ist. Zugleich aber ergiebt sich als Umkehrung eines vorhergehenden +Satzes: Ein Kreisviereck ist harmonisch, wenn die +aus seinen Gegenseiten gebildeten Rechtecke gleichen Inhalt +haben. Auch hieraus schliesst man leicht, dass von zwei +Punktenpaaren eines Kreises entweder jedes oder keines durch +das andere harmonisch getrennt ist. + +38. Indem wir uns nunmehr den harmonischen Strahlen +und Ebenen zuwenden, schicken wir folgenden H\"ulfssatz +%-----File: 029.png--------------------------------- +voraus: Legt man in einer Ebene durch einen Punkt $S$ drei +Gerade $a$, $b$, $c$ und zwei Kreise $k$, $k'$, so haben die letzteren +mit den ersteren ausser $S$ noch die Eckpunkte von zwei +\"ahnlichen Dreiecken $ABC$ und $A'B'C'$ gemein. N\"amlich die +Winkel $A$, $B$, $C$ des Dreiecks $ABC$ sind als Peripheriewinkel +\"uber den B\"ogen +$\stackrel{\frown}{BC}$,% suboptimal, but we don't +$\stackrel{\frown}{CA}$,% have any better idea +$\stackrel{\frown}{AB}$ +des Kreises $k$ gleich den +resp.\ Winkeln +$\widehat{bc}$, +$\widehat{\vphantom{b}ca}$, +$\widehat{ab}$\footnote{) + $\widehat{ab}$ bezeichnet denjenigen von $a$ und $b$ begrenzten Winkel, in + welchem $c$ \so{nicht} liegt; und Analoges gilt von $\widehat{bc}$ und $\widehat{\vphantom{b}ca}$.}); +denselben Winkeln aber sind +ebenso die Winkel $A'$, $B'$, $C'$ des Dreiecks $A'B'C'$ beziehungsweise +gleich, so dass $\angle A = A', B = B', C = C'$ und folglich +$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ wird. --- Wir k\"onnen den H\"ulfssatz +sofort zu dem folgenden Satze erweitern: Legt man in +der Ebene durch einen Punkt $S$ irgend $n$ Gerade $a$, $b$, $c$, $d\ldots$ +und zwei Kreise $k$, $k'$, so haben die letzteren mit den ersteren +ausser $S$ noch die Eckpunkte von zwei \"ahnlichen $n$-ecken +$ABCD\ldots$ und $A'B'C'D'\ldots$ gemein. Denn die Winkel +dieser $n$-ecke sind beziehungsweise gleich und ihre Seiten +stehen in constantem Verh\"altnisse zu einander, so dass: +\[ +AB : A'B' = BC : B'C' = CD : C'D' = \ldots +\] +Dieses constante Verh\"altniss ist wie man leicht findet gleich +demjenigen der Radien von $k$ und $k'$. + +39. Vier Gerade $o$, $p$, $q$, $r$ eines Punktes $S$ heissen {\glqq}vier +harmonische Strahlen{\grqq}, wenn sie mit irgend einem durch $S$ +gehenden Kreise $k$ ausser $S$ noch vier harmonische Punkte +$O$, $P$, $Q$, $R$ gemein haben; die Strahlen $p$ und $r$ sind {\glqq}harmonisch +getrennt{\grqq} durch $o$ und $q$ und {\glqq}einander zugeordnet{\grqq}, +wenn die auf ihnen liegenden Punkte $P$ und $R$ durch $O$ und +$Q$ harmonisch getrennt sind. Die vier harmonischen Strahlen +$o$, $p$, $q$, $r$ haben aber nicht blos mit $k$, sondern auch mit +jedem anderen durch $S$ gehenden Kreise $k'$ ihrer Ebene ausser +$S$ noch vier harmonische Punkte $O'$, $P'$, $Q'$, $R'$ gemein. Denn +die Vierecke $OPQR$ und $O'P'Q'R'$ sind \"ahnlich (38.), und +aus der Bedingungsgleichung: +\[ +OP : RO = QP : RQ \quad\text{oder}\quad RQ \centerdot OP = RO \centerdot QP +\] +f\"ur das harmonische Kreisviereck $OPQR$ folgt deshalb: +\[ +O'P' : R'O' = Q'P' : R'Q' \quad\text{oder}\quad R'Q' \centerdot O'P' = R'O' \centerdot Q'P'; +\] +%-----File: 030.png--------------------------------- +wegen dieser letzteren Gleichung aber ist auch $O'P'Q'R'$ ein +harmonisches Viereck (37.). + +40. Transformiren wir alle durch $S$ gehenden Kreise +der Ebene mittelst reciproker Radien, deren Centrum $S$ ist, +so erhalten wir alle nicht durch $S$ gehenden Geraden der +Ebene; und da vier harmonische Punkte allemal wieder in +vier harmonische Punkte, die Strahlen $o$, $p$, $q$, $r$ aber in sich +selbst transformirt werden, so ergiebt sich der wichtige +Satz: Vier harmonische Strahlen $o$, $p$, $q$, $r$ haben nicht +allein mit jedem durch ihren Schnittpunkt $S$ gehenden +Kreise, sondern auch mit jeder nicht durch $S$ gehenden Geraden +der Ebene vier harmonische Punkte gemein. Auch +leuchtet ein, dass vier Strahlen eines Punktes $S$ harmonisch +sind, wenn sie von irgend einer Geraden in vier harmonischen +Punkten geschnitten werden; die Gerade n\"amlich verwandelt +sich durch reciproke Radien vom Centrum $S$ in einen Kreis, +welcher mit den vier Strahlen ausser $S$ noch vier harmonische +Punkte gemein hat. + +41. Durch drei Strahlen $o$, $p$, $q$, die in einer Ebene +durch einen Punkt $S$ gehen, ist der vierte harmonische Strahl +$r$ eindeutig bestimmt, sobald angegeben ist, von welchem +der drei Strahlen er getrennt sein soll (35.). Um ihn zu +construiren, bringe man $o$, $p$, $q$ mit einem durch $S$ gehenden +Kreise oder mit irgend einer Geraden der Ebene zum Durchschnitt +in den Punkten $O$, $P$, $Q$ und construire zu diesen den +vierten harmonischen Punkt $R$; derselbe liegt auf $r$. --- Jede +Gerade der Ebene, welche zu einem der vier harmonischen +Strahlen parallel ist, schneidet die drei \"ubrigen in \"aquidistanten +Punkten; denn wenn von vier harmonischen Punkten +einer Geraden der eine unendlich fern liegt, so halbirt der +von ihm getrennte Punkt die Strecke zwischen den \"ubrigen +beiden Punkten (32.). --- Die Halbirungslinien von zwei +Nebenwinkeln sind durch die Schenkel der Winkel harmonisch +getrennt (31.), und wenn von vier harmonischen Strahlen +zwei getrennte zu einander normal sind, so halbiren sie +die Winkel zwischen den beiden \"ubrigen Strahlen; zum Beweise +bringe man die Strahlen mit einem durch ihren Schnittpunkt +gehenden Kreise zum zweiten Male zum Durchschnitt. + +42. Vier durch eine Gerade $s$ gehende Ebenen $\omega$, $\pi$, $\varkappa$, $\varrho$ +heissen {\glqq}vier harmonische Ebenen{\grqq}, wenn sie von irgend +%-----File: 031.png--------------------------------- +einer f\"unften Ebene $\varepsilon$ in vier harmonischen Strahlen $o$, $p$, $q$, $r$ +geschnitten werden; die Ebenen $\pi$ und $\varrho$ sind {\glqq}harmonisch +getrennt{\grqq} durch $\omega$ und $\varkappa$ und einander zugeordnet, wenn die +in ihnen liegenden Strahlen $p$ und $r$ durch $o$ und $q$ harmonisch +getrennt sind. Die vier harmonischen Ebenen werden +nicht blos von $\varepsilon$, sondern auch von jeder anderen Ebene $\varepsilon'$, +die nicht durch die Gerade (oder {\glqq}Axe{\grqq}) $s$ geht, in vier +harmonischen Strahlen geschnitten; diese vier Strahlen n\"amlich +schneiden sich in einem Punkte von $s$ und gehen durch +die vier harmonischen Punkte, welche $\varepsilon'$ mit den harmonischen +Strahlen $o$, $p$, $q$, $r$ gemein hat (40.). Jede zur Axe +$s$ windschiefe Gerade und jeder die Axe in einem Punkte +schneidende Kreis hat folglich mit den vier harmonischen +Ebenen vier harmonische Punkte gemein. + +43. Eine Gerade, welche zu einer der vier harmonischen +Ebenen parallel ist, schneidet die \"ubrigen drei in aequidistanten +Punkten (41.). Die harmonischen Ebenen werden +von jeder zu ihrer Axe $s$ parallelen Ebene $\varepsilon_1$ in vier parallelen +Strahlen geschnitten, welche mit den in $\varepsilon_1$ liegenden +Transversalen je vier harmonische Punkte gemein haben (42.) +und deshalb ebenfalls harmonische Strahlen genannt werden. +Vier parallele oder durch eine Axe $s$ gehende Ebenen sind +harmonisch, wenn sie von irgend einer Geraden in vier harmonischen +Punkten oder von irgend einer Ebene in vier +harmonischen Strahlen geschnitten werden. Durch drei +Ebenen einer Axe ist die vierte harmonische bestimmt. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + + +\abschnitt{\S.~5.\\[\parskip] +Kugelb\"undel und Kugelb\"uschel. Orthogonale Kreise.}\label{p5} + + +\hspace{\parindent}% +44. Die Gesammtheit aller Kugeln und Kreise, welche +zwei verschiedenen Kugelgeb\"uschen zugleich angeh\"oren, bezeichnen +wir mit dem Namen {\glqq}Kugelb\"undel{\grqq}. Demgem\"ass +sagen wir, zwei Kugelgeb\"usche durchdringen oder schneiden +sich in einem Kugelb\"undel und haben einen B\"undel mit +einander gemein; derselbe liegt in den beiden Geb\"uschen +und ist ihr Schnitt. Durch einen beliebigen Punkt $P$ geht +allemal ein Kreis des Kugelb\"undels; dieser Kreis verbindet +den Punkt $P$ mit den Punkten $P'$ und $P''$, welche ihm in +den beiden Geb\"uschen zugeordnet sind, und liegt auf allen +%-----File: 032.png--------------------------------- +durch $P$ gehenden Kugeln des B\"undels. Alle durch einen +Kreis des B\"undels gehenden Kugeln geh\"oren zu dem B\"undel. +Zwei beliebige Punkte $P$, $Q$ k\"onnen deshalb allemal durch +eine Kugel des B\"undels verbunden werden, und das Gleiche +gilt von zwei beliebigen Kreisen des B\"undels. + +45. Alle Kugeln, welche zwei gegebene Kugeln oder +einen gegebenen Kreis oder eine Gerade rechtwinklig schneiden, +bilden mit ihren Schnittkreisen zusammen einen Kugelb\"undel +(13.). Wenn die Centra $C$ und $C_1$ von zwei Kugelgeb\"uschen +zusammenfallen, so besteht ihr gemeinschaftlicher +Kugelb\"undel aus allen durch $C$ gehenden Ebenen und Geraden +und ist ein gew\"ohnlicher Ebenen- oder Strahlenb\"undel +mit dem Mittelpunkte $C$. Sind dagegen, wie wir jetzt annehmen +wollen, die Centra $C$ und $C_1$ der Geb\"usche zwei +verschiedene Punkte, so enth\"alt der Kugelb\"undel keine anderen +Ebenen, als die durch die Gerade $\overline{CC_1}$ gehenden. Diese +Gerade nennen wir die {\glqq}Potenz-Axe{\grqq} oder k\"urzer die {\glqq}Axe +des Kugelb\"undels{\grqq}; durch eine Drehung um dieselbe \"andert +sich der B\"undel nicht. Da jeder Punkt, welcher mit zwei +Potenzpunkten von zwei oder mehreren Kugeln in einer Geraden +liegt, selbst ein Potenzpunkt dieser Kugeln ist (6.), so +ergiebt sich: Die Kugeln des B\"undels haben nicht blos in +jedem der Punkte $C$ und $C_1$, sondern \"uberhaupt in jedem +Punkte der Potenz-Axe $\overline{CC_1}$ gleiche Potenz. + +46. In dem Kugelb\"undel durchdringen sich nicht blos +zwei, sondern unendlich viele Kugelgeb\"usche, und zwar ist +jeder Punkt seiner Axe $\overline{CC_1}$ das Centrum von einem dieser +Geb\"usche (45.). Von den Orthogonalkugeln dieser Geb\"usche +werden alle Kugeln des B\"undels rechtwinklig geschnitten. +In dem Mittelpunkte einer jeden Kugel des B\"undels haben +deshalb diese seine Orthogonalkugeln gleiche Potenz (4.), +und die Kugeln des B\"undels haben eine gemeinschaftliche +Centralebene, n\"amlich die Potenzebene der Orthogonalkugeln, +welche auf der Centrallinie der letzteren, d.~h.\ auf der Axe +$\overline{CC_1}$ normal steht (6., 7.). Diese Centralebene des B\"undels, +in welcher die Mittelpunkte aller seiner Kugeln liegen, ist +zugleich die Orthogonalebene eines durch den B\"undel gehenden +symmetrischen Kugelgeb\"usches, dessen Mittelpunkt +auf der Axe $\overline{CC_1}$ unendlich fern liegt (13.). --- Durch jeden +%-----File: 033.png--------------------------------- +Punkt $P$ geht eine Orthogonalkugel des B\"undels; dieselbe +schneidet den durch $P$ gehenden Kreis des B\"undels (44.) +rechtwinklig in $P$ und ihr Mittelpunkt liegt auf der Axe $\overline{CC_1}$. + +47. Um einen Kugelb\"undel zu bestimmen, kann man +entweder zwei durch ihn gehende Kugelgeb\"usche, oder zwei +seiner Orthogonalkugeln, oder seine Axe und eine seiner +Kugeln willk\"urlich annehmen. Drei beliebige Kugeln, welche +nicht eine gemeinschaftliche Potenzebene haben, bestimmen +einen durch sie gehenden Kugelb\"undel; ihre Potenz-Axe +n\"amlich ist die Axe dieses B\"undels, und jedes Kugelgeb\"usch, +welches die drei Kugeln enth\"alt, geht durch den B\"undel. +Ein Kugelb\"undel kann deshalb mit jeder nicht in ihm +enthaltenen Kugel durch ein Kugelgeb\"usch verbunden werden +(12.). + +48. Wenn die Axe eines Kugelb\"undels mit irgend einer +nicht durch sie gehenden Kugel desselben einen Punkt $M$ +gemein hat, so gehen durch $M$ alle Kugeln und Kreise des +B\"undels; denn sie haben in $M$ die gleiche Potenz Null. Entweder +besteht deshalb der B\"undel aus allen Kugeln und +Kreisen, welche die Axe in zwei Punkten $M$ und $N$ schneiden +oder in einem Punkte $M$ ber\"uhren, oder seine Kugeln +und Kreise haben keinen Punkt mit der Axe gemein und +ihre Potenz ist in jedem Punkte der Axe positiv. In dem +letzteren Falle giebt es in der Central-Ebene des B\"undels +einen Kreis, welcher alle Kugeln des B\"undels rechtwinklig +schneidet, den {\glqq}Orthogonalkreis{\grqq}; der Mittelpunkt desselben +liegt auf der Axe, und die Potenz des B\"undels in diesem +Mittelpunkte ist gleich dem Quadrate seines Radius (4.). +Dieser Orthogonalkreis ist der Ort aller Punktkugeln des +B\"undels und in ihm schneiden sich alle Orthogonalkugeln +desselben. Wenn dagegen alle Kugeln des B\"undels sich in +zwei Punkten schneiden, so reduciren sich auf diese Punkte +zwei Orthogonalkugeln des B\"undels; dieser selbst aber enth\"alt +keine Punktkugeln und seine Orthogonalkugeln haben +folglich keinen Punkt mit einander gemein. Der specielle +B\"undel, dessen Kugeln die Axe in einem Punkte $M$ ber\"uhren, +hat alle Kugeln, welche in $M$ die Axe rechtwinklig schneiden +und folglich einander in $M$ ber\"uhren, zu Orthogonalkugeln. + +%-----File: 034.png--------------------------------- + +49. Die Gesammtheit aller Kugeln, welche drei verschiedenen, +nicht durch einen und denselben B\"undel gehenden +Kugelgeb\"uschen zugleich angeh\"oren, nennen wir einen +{\glqq}Kugelb\"uschel{\grqq}. Jedes der drei Geb\"usche schneidet den +B\"undel, welchen die beiden \"ubrigen mit einander gemein +haben, in diesem Kugelb\"uschel. Durch einen beliebigen +Punkt $P$ geht allemal eine Kugel des B\"uschels; dieselbe verbindet +den Punkt $P$ mit den drei Punkten $P'$, $P''$ und $P'''$, +welche ihm in den drei Geb\"uschen zugeordnet sind. Alle +Kugeln, welche drei beliebig angenommene Kugeln oder eine +Kugel und einen beliebigen Kreis rechtwinklig schneiden, +bilden einen Kugelb\"uschel (13., 45.), ebenso alle durch drei +Punkte, d.~h.\ durch einen Kreis gehenden Kugeln. Liegen +die Centra von drei Geb\"uschen in einer Geraden, so besteht +ihr gemeinsamer Kugelb\"uschel aus allen durch diese Gerade +gehenden Ebenen (vgl. 45.); bilden dagegen, wie wir jetzt +annehmen wollen, diese Centra ein Dreieck, so ist dessen +Ebene die einzige des B\"uschels und zugleich (6.) Potenz-Ebene +von je zwei Kugeln desselben. Diese Ebene heisst +die {\glqq}Potenz-Ebene des B\"uschels{\grqq}, weil seine Kugeln in jedem +Punkte der Ebene gleiche Potenz haben. + +50. In dem Kugelb\"uschel durchdringen sich nicht blos +drei, sondern unendlich viele Kugelgeb\"usche und Kugelb\"undel; +und zwar ist jeder Punkt seiner Potenzebene das Centrum +von einem dieser Geb\"usche und jede Gerade derselben die +Axe von einem dieser B\"undel (49.). Die Orthogonalkugeln +und Orthogonalkreise aller durch den B\"uschel gehenden Geb\"usche +und B\"undel schneiden jede Kugel des B\"uschels rechtwinklig +und haben in deren Centrum gleiche Potenz; sie +bilden folglich einen Kugelb\"undel. Ebenso bilden die Orthogonalkugeln +eines Kugelb\"undels einen B\"uschel, weil sie drei +beliebige Kugeln des B\"undels rechtwinklig schneiden (49.). +Ueberhaupt geh\"ort zu jedem Kugelb\"uschel ein zu ihm orthogonaler +Kugelb\"undel und zu jedem B\"undel ein zu ihm orthogonaler +B\"uschel. Die Mittelpunkte aller Kugeln des B\"undels +liegen in der Potenz-Ebene des zugeh\"origen B\"uschels und +diejenigen aller Kugeln des B\"uschels liegen in der Potenz-Axe +des B\"undels. + +51. Um einen Kugelb\"uschel zu bestimmen, kann man +entweder drei durch ihn gehende Geb\"usche, oder drei seiner +%-----File: 035.png--------------------------------- +Orthogonalkugeln, oder seine Potenz-Ebene und eine seiner +Kugeln, oder endlich zwei seiner Kugeln willk\"urlich annehmen. +Bei der letzten Annahme ist die Potenz-Ebene der +beiden Kugeln zugleich diejenige des B\"uschels; sie enth\"alt +die Centra aller durch den B\"uschel gehenden Geb\"usche. Der +B\"uschel kann mit jeder nicht in ihm enthaltenen Kugel +durch einen Kugelb\"undel verbunden werden (47.); er liegt +in jedem Geb\"usche und jedem B\"undel, mit welchem er zwei +Kugeln gemein hat; mit zwei beliebigen Kugeln oder mit +einem beliebigen Kreise oder einem anderen Kugelb\"uschel +kann er durch ein Geb\"usch verbunden werden. + +52. Die Kugeln eines B\"uschels schneiden sich entweder +in einem Kreise, oder sie ber\"uhren sich in einem Punkte, +oder sie haben keinen Punkt mit einander gemein (48.). In +dem letzteren Falle enth\"alt der B\"uschel zwei Punktkugeln +$M$, $N$, durch welche alle seine Orthogonalkugeln und Orthogonalkreise +gehen (48.). In jedem Punkte $C$ der Centrale +$\overline{MN}$ des B\"uschels hat demnach das Punktenpaar $M$, $N$ dieselbe +Potenz wie diese Orthogonalkugeln, und der Radius +derjenigen Kugel des B\"uschels, welche $C$ zum Mittelpunkt +hat, ist gleich der Quadratwurzel aus jener Potenz. + +53. Ein Kugelb\"uschel wird von einem beliebigen Kreise +in einer involutorischen Punktreihe geschnitten; dieselbe liegt +in dem Kugelgeb\"usch, welches (51.) den B\"uschel mit dem +Kreise verbindet. Dieser Satz erleidet nur dann eine Ausnahme, +wenn der Kreis durch einen Punkt geht, welcher auf +allen Kugeln des B\"uschels liegt. Wird der Kreis durch die +Punktkugeln des B\"uschels gelegt, wenn solche existiren, so +sind diese die beiden Ordnungspunkte der involutorischen +Punktreihe. Durch die Punktkugeln eines B\"uschels sind +folglich je zwei Punkte harmonisch getrennt, in welchen irgend +eine Kugel des B\"uschels von einem beliebigen Orthogonalkreise +desselben geschnitten wird. Selbstverst\"andlich +wird ein Kugelb\"uschel auch von einer beliebigen Geraden in +einer involutorischen Punktreihe geschnitten, und z.~B.\ die +Centrale des B\"uschels schneidet jede Kugel desselben in zwei +Punkten, welche durch die beiden Punktkugeln, wenn solche +existiren, harmonisch getrennt sind. + +54. Durch reciproke Radien verwandelt sich ein Kugelb\"undel +%-----File: 036.png--------------------------------- +allemal in einen Kugelb\"undel und der B\"uschel orthogonaler +Kugeln des ersteren in denjenigen des letzteren +B\"undels; denn jedes durch einen B\"undel gehende Kugelgeb\"usch +wird in ein Kugelgeb\"usch transformirt (28.). Wenn +die Kugeln eines B\"undels sich in zwei Punkten $M$, $N$ schneiden +und einer dieser Punkte zum Centrum $M$ der reciproken +Radien gew\"ahlt wird, so verwandelt sich der Kugelb\"undel +in einen B\"undel $N'$ von Ebenen und Strahlen (vgl.\ 45.), +und der zugeh\"orige Kugelb\"uschel in einen B\"uschel concentrischer +Kugeln, deren Centrum der Punkt $N'$ ist. Dieser +dem Punkte $N$ zugeordnete Punkt r\"uckt in's Unendliche, und +die concentrischen Kugeln gehen in parallele Ebenen \"uber, +wenn $M$ und $N$ zusammenfallen. --- Hat der Kugelb\"undel +einen Orthogonalkreis, und verlegt man auf diesen das Centrum +der reciproken Radien, so besteht der zugeordnete +B\"undel aus allen Kugeln, welche die dem Orthogonalkreise zugeordnete +Gerade rechtwinklig schneiden, deren Mittelpunkte +also auf dieser Geraden liegen, sowie aus den Schnittkreisen +dieser Kugeln; die Orthogonalkugeln des B\"undels aber verwandeln +sich in die Ebenen, welche sich in jener Geraden +schneiden. + +55. Zwei Kreise nennen wir {\glqq}orthogonal{\grqq}, wenn je zwei +durch sie gelegte Kugeln sich rechtwinklig schneiden. Alle +Kugeln, welche durch den einen von zwei orthogonalen +Kreisen gehen, sind demnach Orthogonalkugeln des durch +den anderen gehenden Kugelb\"uschels. Zwei orthogonale +Kreise $k$ und $k_1$ greifen in einander ein, wie zwei benachbarte +Ringe einer Kette; ihre Ebenen schneiden sich rechtwinklig +in der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte, weil jede +von ihnen den in der anderen liegenden Kreis rechtwinklig +schneidet. Zwei durch $k$ und $k_1$ gelegte Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ +haben allemal einen Kreis $k'$ mit einander gemein, welcher +von $k$ und $k_1$ in zwei sich harmonisch trennenden Punktenpaaren +rechtwinklig geschnitten wird. Der Kreis $k$ n\"amlich +schneidet die Kugel $\varkappa_1$ und folglich auch den auf $\varkappa_1$ liegenden +Kreis $k'$ rechtwinklig, und dasselbe gilt von $k_1$, $\varkappa$ und +$k'$; man kann folglich durch $k$ und $k_1$ zwei zu einander und +zu $k'$ normale Kugeln legen, und dass diese von $k'$ in vier +harmonischen Punkten geschnitten werden, lehrt ein fr\"uherer +Satz (35.). + +%-----File: 037.png--------------------------------- + +56. Alle Ebenen, welche zwei orthogonale Kreise $k$, $k_1$ +in vier Kreispunkten schneiden, gehen durch einen Punkt $C$, +n\"amlich durch das Centrum des durch $k$ und $k_1$ bestimmten +Kugelgeb\"usches (12.); durch denselben Punkt $C$ gehen auch +die Ebenen der orthogonalen Kreise. Eine beliebig durch $C$ +gelegte Ebene schneidet die beiden orthogonalen Kreise allemal +in vier harmonischen Kreispunkten (55.). Auch die +durch $C$ gehende Centrale der Kreise $k$ und $k_1$ schneidet +dieselben in zwei sich harmonisch trennenden Punktenpaaren. --- Zwei +orthogonale Kreise verwandeln sich durch +reciproke Radien allemal wieder in zwei orthogonale Kreise. +Wenn insbesondere das Centrum der reciproken Radien auf +dem einen der beiden orthogonalen Kreise angenommen wird, +so verwandelt sich dieser in eine Gerade $g$, der andere aber +in einen Kreis, dessen Ebene zu $g$ normal ist und dessen +Mittelpunkt in $g$ liegt. Man \"uberzeugt sich leicht, dass vier +Kreispunkte, von welchen zwei auf der Geraden $g$ und die +anderen beiden auf einem zu $g$ orthogonalen Kreise liegen, +harmonische Kreispunkte sind; die letzteren beiden Punkte +haben n\"amlich zu $g$ symmetrische Lage. + +57. Vier Kugelfl\"achen, von welchen jede zu den drei +anderen normal ist, schneiden sich paarweise in sechs Kreisen +und zu dreien in vier Punktenpaaren. Je zwei von den +vier Punktenpaaren liegen auf einem der sechs Kreise und +trennen sich gegenseitig harmonisch (35.). Auf jeder der +vier Kugeln liegen und durch jedes der vier Punktenpaare +gehen drei von den sechs Kreisen; dieselben schneiden sich +rechtwinklig. Jeder der sechs Kreise schneidet vier von den +\"ubrigen rechtwinklig in zwei von den vier Punktenpaaren +und ist zu dem f\"unften orthogonal. Die Ebenen der sechs +Kreise schneiden sich zu dreien in den vier Verbindungslinien +der vier Punktenpaare und sind zu zweien zu einander +normal; sie gehen alle durch einen Punkt, n\"amlich durch das +Centrum des Kugelgeb\"usches, in welchem die vier Kugeln +liegen. Wenn man eine Kugel und drei zu einander normale +Durchmesserebenen derselben durch reciproke Radien transformirt, +so erh\"alt man vier zu einander normale Kugelfl\"achen. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} +%-----File: 038.png--------------------------------- + +\abschnitt{\S.~6. \\[\parskip] +Kreisb\"undel und Kreisb\"uschel.}\label{p6} + + +\hspace{\parindent}% +58. Ein {\glqq}Kreisb\"undel{\grqq} besteht aus allen Kreisen und +Punktenpaaren einer Kugel oder Ebene, die in einem gegebenen +Punkte $C$ eine bestimmte Potenz $p$ haben. Die +Kugel oder Ebene heisst der {\glqq}Tr\"ager{\grqq}, $C$ das Centrum und +$p$ die Potenz des Kreisb\"undels. Auf einer Kugel ist ein +Kreisb\"undel bestimmt, wenn sein Centrum $C$ beliebig im +Raume angenommen wird, denn seine Kreise und Punktenpaare +liegen in den durch $C$ gehenden Ebenen und Geraden; +ebenso ist er durch drei beliebige Kugelkreise bestimmt, +deren Ebenen sich in einem Punkte $C$, nicht aber in einer +Geraden schneiden. In einer Ebene ist ein Kreisb\"undel bestimmt, +wenn sein Centrum in der Ebene, ausserdem aber +seine Potenz oder einer seiner Kreise beliebig angenommen +wird. Die Kreise und Punktenpaare eines Kugelgeb\"usches, +welche auf einer beliebigen Kugel oder Ebene desselben +liegen, bilden einen Kreisb\"undel, welcher dasselbe Centrum +und dieselbe Potenz hat wie das Geb\"usch. Durch einen +Kreisb\"undel ist das ihn enthaltende Kugelgeb\"usch v\"ollig bestimmt. +Zwei beliebige Punktenpaare des Kreisb\"undels +k\"onnen allemal durch einen Kreis desselben verbunden werden~(15.). + +59. Ein Kugelb\"undel wird von jeder nicht in ihm enthaltenen +Kugel oder Ebene in einem Kreisb\"undel geschnitten; +denn er kann mit ihr durch ein Geb\"usch verbunden +werden (47.), und zu diesem geh\"ort der Kreisb\"undel (58.). +Alle Kugeln und Kreise eines zweiten Geb\"usches, welche +durch die Kreise und Punktenpaare des Kreisb\"undels gehen +(15.), liegen in einem Kugelb\"undel, n\"amlich in dem Schnitt +der beiden Geb\"usche. Die Kugeln und Kreise, welche einen +beliebigen Punkt $M$ mit den Kreisen und Punktenpaaren +eines Kreisb\"undels verbinden, schneiden sich deshalb entweder +in noch einem Punkte $N$, oder sie haben in $M$ eine +gemeinschaftliche Tangente (48.). Der Kreisb\"undel, welcher +durch drei beliebige Kreise einer Ebene geht, ist hiernach +leicht zu construiren und im Allgemeinen v\"ollig bestimmt. --- Durch +reciproke Radien verwandelt sich ein Kreisb\"undel +allemal in einen Kreisb\"undel (vgl. 54.). + +%-----File: 039.png----------------------------------- + +60. Ist die Potenz eines Kreisb\"undels positiv, so werden +alle seine Kreise von einem bestimmten Kreise rechtwinklig +geschnitten; dieser {\glqq}Orthogonalkreis{\grqq} liegt auf der Orthogonalkugel +des durch den Kreisb\"undel gehenden Kugelgeb\"usches +(13.) und ist der Ort aller Punktkreise des B\"undels. Ist der +Tr\"ager des Kreisb\"undels eine Kugel, so enth\"alt der Orthogonalkreis +alle Punkte derselben, deren Ber\"uhrungsebenen +durch das Centrum $C$ des B\"undels gehen. Alle Kreise einer +Kugel oder Ebene, welche einen auf ihr liegenden Kreis rechtwinklig +schneiden, geh\"oren zu einem Kreisb\"undel; derselbe ist +durch seinen Tr\"ager und den gegebenen Orthogonalkreis +v\"ollig bestimmt. --- Ist die Potenz eines Kreisb\"undels negativ, +so schneidet jeder Kreis desselben alle \"ubrigen (13.). +Ist die Potenz Null, so besteht der B\"undel aus allen durch +einen Punkt $C$ gehenden Kreisen des Tr\"agers; der Punkt $C$ +ist das Centrum des B\"undels, er geh\"ort zu jedem Punktenpaare +desselben und auf ihn reducirt sich der Orthogonalkreis. +Durch reciproke Radien, deren Centrum $C$ ist, verwandelt +sich dieser specielle Kreisb\"undel in ein ebenes System, +d.~h.\ in die Gesammtheit aller Geraden und Punkte +einer Ebene. + +61. Ein {\glqq}Kreisb\"uschel{\grqq} besteht aus allen Kreisen, +welche zwei Kreis\-b\"un\-deln einer Kugel oder Ebene zugleich +angeh\"oren. Die Gerade, welche die Centra der beiden B\"undel +verbindet, heisst die {\glqq}Potenzaxe{\grqq} oder k\"urzer die {\glqq}Axe{\grqq} +des Kreisb\"uschels; sie ist zugleich die Axe eines den Kreisb\"uschel +enthaltenden und durch ihn bestimmten Kugelb\"undels +(58.). Die Kreise des B\"uschels haben in jedem Punkte +der Axe gleiche Potenz und ihre Ebenen gehen durch die +Axe; jeder Punkt der Axe ist folglich das Centrum eines +durch den B\"uschel gehenden Kreisb\"undels. Alle Kreise einer +Kugel oder Ebene, welche zwei willk\"urlich auf derselben angenommene +Kreise rechtwinklig schneiden, bilden einen +Kreisb\"uschel (60.); ebenso alle Kreise einer Kugel, deren +Ebenen durch eine gegebene Gerade gehen. Die Kreise eines +Kugelb\"undels, welche auf einer Kugel oder Ebene desselben +liegen, bilden einen Kreisb\"uschel, dessen Axe mit derjenigen +des Kugelb\"undels zusammenf\"allt. + +62. Ein Kugelb\"uschel wird von jeder nicht in ihm enthaltenen +Kugel oder Ebene in einem Kreisb\"uschel geschnitten, +%-----File: 040.png----------------------------------- +weil er mit derselben durch einen Kugelb\"undel verbunden +werden kann (51.). Alle Kugeln eines beliebigen Geb\"usches, +welche durch die einzelnen Kreise des Kreisb\"uschels +gehen, liegen in einem Kugelb\"uschel; in demselben durchdringen +sich das Geb\"usch und der durch den Kreisb\"uschel +bestimmte Kugelb\"undel. Alle Kugeln, welche einen beliebigen +Punkt $M$ mit den Kreisen eines Kreisb\"uschels verbinden, +schneiden sich deshalb entweder in einem Kreise +oder ber\"uhren sich in $M$. Der Kreisb\"uschel, welcher durch +zwei gegebene Kreise einer Ebene oder Kugel geht, ist hiernach +leicht zu construiren und v\"ollig bestimmt. Durch jeden +Punkt des Tr\"agers geht ein Kreis des B\"uschels. + +63. Zu jedem Kreisb\"uschel erh\"alt man auf demselben +Tr\"ager einen {\glqq}orthogonalen{\grqq} Kreisb\"uschel, dessen Kreise zu +denjenigen des ersteren normal sind. N\"amlich die Orthogonalkugeln +des Kugelb\"undels, welcher durch den Kreisb\"uschel +bestimmt ist (61.), schneiden den Tr\"ager des B\"uschels in +den Kreisen des zugeh\"origen orthogonalen Kreisb\"uschels. +Jeder Kreis des einen von zwei orthogonalen B\"uscheln ist +der Orthogonalkreis eines durch den anderen gehenden Kreisb\"undels. +Wenn zwei und folglich alle Kreise des einen +B\"uschels sich in zwei Punkten $M$, $N$ schneiden, so haben +die Kreise des anderen B\"uschels keinen Punkt mit einander +gemein und zwei von ihnen reduciren sich auf die Punkte $M$ +und $N$. Wenn dagegen keine zwei Kreise des ersten B\"uschels +einen Punkt mit einander gemein haben, so enth\"alt dieser +B\"uschel zwei Punktkreise (48.), durch welche alle Kreise des +anderen B\"uschels gehen. Wenn endlich die Kreise des einen +B\"uschels sich in einem Punkte $M$ ber\"uhren, so schneiden +sie in $M$ die Kreise des anderen B\"uschels rechtwinklig, und +letztere ber\"uhren sich ebenfalls in $M$. + +64. Wenn zwei orthogonale Kreisb\"uschel in einer Ebene +liegen, so ist die Axe eines jeden von ihnen die Centrale +des anderen; denn im Centrum eines Kreises des einen B\"uschels +haben alle Kreise des anderen gleiche Potenz (4.) +und der Ort jenes Centrums ist folglich die Potenzaxe dieses +anderen B\"uschels. Zwei orthogonale Kreisb\"uschel einer +Kugel haben zwei sich rechtwinklig kreuzende Axen, von +welchen die eine zwei Punkte $M$, $N$ mit der Kugel gemein +hat, w\"ahrend in der anderen die Ber\"uhrungsebenen von $M$ +%-----File: 041.png--------------------------------- +und $N$ sich schneiden (63.); jede dieser Axen steht normal +auf der Ebene, welche die andere mit dem Mittelpunkte der +Kugel verbindet; nur dann schneiden sich die beiden Axen +rechtwinklig in einem Punkte $M$, wenn die eine und folglich +(63.) auch die andere in $M$ die Kugel ber\"uhrt. + +65. Durch reciproke Radien verwandeln sich zwei orthogonale +Kreis\-b\"uschel allemal in zwei orthogonale Kreisb\"uschel; +letztere liegen in einer Ebene, wenn auf dem Tr\"ager +der ersteren das Centrum der Radien angenommen wird. +W\"ahlt man dieses Centrum beliebig auf einem Kreise, welcher +alle Kreise des einen B\"uschels in ihren beiden gemeinschaftlichen +Punkten $M$, $N$ rechtwinklig schneidet, so verwandeln +sich die orthogonalen B\"uschel in zwei andere, deren +Kreise zu einander liegen wie die Meridiane und Parallelkreise +der Erdkugel; sie verwandeln sich in einen B\"uschel +concentrischer Kreise und deren Durchmesser, wenn das +Centrum der reciproken Radien mit $M$ oder $N$ zusammenf\"allt. +Wenn endlich alle Kreise der beiden orthogonalen +B\"uschel durch einen Punkt $M$ gehen, so verwandeln sie sich +durch reciproke Radien vom Centrum $M$ in zwei ebene B\"uschel +paralleler Strahlen, deren Richtungen zu einander normal +sind. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + + +\abschnitt{\S.~7. \\[\parskip] +Das sph\"arische und das cyklische Polarsystem.}\label{p7} + + +\hspace{\parindent}% +66. Wenn durch reciproke Radien vom Centrum $C$ und +der Potenz $p$ einem beliebigen Punkte $A$ des Raumes der +Punkt $A'$ zugeordnet ist, so nennen wir diejenige Ebene $\alpha$, +welche in $A'$ zu der Geraden $\overline{CA}$ normal ist, die {\glqq}Polar-Ebene{\grqq} +oder k\"urzer die {\glqq}Polare{\grqq} des Punktes $A$; umgekehrt +nennen wir $A$ den {\glqq}Pol{\grqq} dieser Ebene $\alpha$. Zu jedem Punkte +geh\"ort eine bestimmte Polarebene und zu jeder Ebene geh\"ort +ein Pol; und zwar ist dieser Pol durch die reciproken Radien +demjenigen Punkte der Ebene zugeordnet, welcher dem +Centrum $C$ am n\"achsten liegt. Die Gesammtheit aller dieser +zusammengeh\"origen Pole und Polaren heisst ein {\glqq}r\"aumliches +Polarsystem{\grqq}; wir bezeichnen dasselbe specieller als ein +{\glqq}sph\"arisches{\grqq}, weil es, wie wir sehen werden, zu einer Kugel +in inniger Beziehung steht. Der Punkt $C$ heisst das Centrum +%-----File: 042.png--------------------------------- +und die durch $C$ gehenden Geraden und Ebenen heissen +{\glqq}Durchmesser{\grqq} und {\glqq}Durchmesser-Ebenen{\grqq} des Polarsystemes. +R\"uckt ein Punkt nach irgend einer Richtung in's Unendliche, +so f\"allt seine Polare mit der zu dieser Richtung normalen +Durchmesser-Ebene zusammen. Die Polare des Centrums $C$ +liegt unendlich fern. + +67. Von zwei Punkten $A$, $B'$ liegt entweder keiner +oder jeder in der Polare des anderen. Sind n\"amlich diesen +Punkten die resp.\ Punkte $A'$, $B$ durch die reciproken Radien +zugeordnet, so sind die Dreiecke $CA'B'$ und $CBA$ \"ahnlich +(20.); wenn aber $B'$ in der Polare von $A$ liegt, so ist das +Dreieck $CA'B'$ bei $A'$, also auch $CBA$ bei $B$ rechtwinklig, +und der Punkt $A$ liegt folglich in der Polar-Ebene von $B'$, +welche in $B$ zu der Geraden $\overline{CBB'}$ normal ist. --- Wir +k\"onnen den eben bewiesenen Satz auch so aussprechen: Von +zwei Ebenen geht entweder keine oder jede durch den Pol +der anderen. Wenn also eine Ebene sich dreht um einen +auf ihr liegenden Punkt, so bewegt sich ihr Pol in der Polar-Ebene +dieses Punktes; und wenn umgekehrt ein Punkt +eine Ebene beschreibt, so dreht sich seine Polare um den +Pol dieser Ebene. Beschreibt ein Punkt eine Gerade $g$, bewegt +er sich also in zwei durch $g$ gehenden Ebenen zugleich, +so dreht sich seine Polare um die beiden Pole dieser Ebenen, +d.~h.\ um die Verbindungslinie $g_1$ dieser beiden Pole; jede +der beiden Geraden $g$, $g_1$ heisst die {\glqq}Polare{\grqq} der anderen. + +68. In der Polare $g_1$ einer Geraden $g$ schneiden sich +die Polar-Ebenen aller Punkte von $g$ und liegen die Pole +aller durch $g$ gehenden Ebenen (67.). Wenn also zwei Gerade +in einer Ebene liegen, so gilt dasselbe von ihren Polaren; +denn diese gehen beide durch den Pol jener Ebene. +Die Pole paralleler Ebenen liegen (66.) auf einem Durchmesser, +welcher die Ebenen rechtwinklig schneidet; die Polaren +paralleler Geraden liegen folglich auf einer Durchmesser-Ebene, +welche die Geraden rechtwinklig schneidet, und eine +beliebige Gerade kreuzt ihre Polare rechtwinklig. Die Polare +eines Durchmessers $d$ liegt unendlich fern in den zu $d$ normalen +Ebenen, und der Pol einer Durchmesser-Ebene $\delta$ liegt +unendlich fern in den zu $\delta$ normalen Geraden. Die beiden +Punkte einer Geraden und ihrer Polare, welche dem Centrum +%-----File: 043.png--------------------------------- +$C$ zun\"achst liegen, sind durch die reciproken Radien einander +zugeordnet und liegen auf einem Durchmesser (vgl.\ 66.). + +69. Ist die Potenz $p$ der reciproken Radien negativ, so +giebt es keinen auf seiner eigenen Polare liegenden Punkt +und keine ihre Polare schneidende Gerade. Ist dagegen $p$ +positiv, so ist jeder Punkt der um das Centrum $C$ mit dem +Radius $\sqrt{p}$ beschriebenen Kugel sich selbst zugeordnet und +liegt auf seiner Polare, und jede Tangente dieser Kugel +schneidet ihre Polare rechtwinklig in dem gemeinschaftlichen +Ber\"uhrungspunkte. Wir bezeichnen in diesem Falle die Kugel +als die {\glqq}Ordnungskugel{\grqq} des r\"aumlichen Polarsystemes; +jeder Punkt derselben ist der Pol seiner eigenen Ber\"uhrungsebene. +Durch den Pol einer Ebene, welche die Ordnungskugel +schneidet, gehen die Ber\"uhrungsebenen aller Schnittpunkte +(67.); alle Punkte der Kugel, deren Ber\"uhrungsebenen +durch einen gegebenen Punkt gehen, liegen andererseits %sic +in der Polare des Punktes. Die Schnittlinie von zwei beliebigen +Ber\"uhrungsebenen der Kugel hat die Verbindungslinie der +beiden Ber\"uh\-rungs\-punkte zur Polare, und umgekehrt. Die +Axen von je zwei orthogonalen Kreisb\"uscheln der Kugel sind +demnach reciproke Polaren (64.); umgekehrt sind eine Gerade +und ihre Polare allemal die Axen von zwei orthogonalen +Kreisb\"uscheln der Kugel. Das Centrum eines Kreisb\"undels +der Kugel ist der Pol der Ebene, welche den Orthogonalkreis +des B\"undels enth\"alt (60.). Das sph\"arische Polarsystem ist +durch seine Ordnungskugel ebenso wie diese durch das Polarsystem +v\"ollig bestimmt. Ein Punkt und seine Polare +heissen deshalb auch Pol und Polare {\glqq}bez\"uglich dieser Kugel{\grqq}, +und ebenso nennt man eine Gerade und ihre Polare +zwei {\glqq}reciproke Polaren bez\"uglich der Kugel{\grqq}. + +70. In der Polarebene eines Punktes $A$ liegen die Polaren +aller durch $A$ gehenden Geraden (68.); zwei Ber\"uhrungsebenen +der Ordnungskugel schneiden sich demnach in +der Polare von $A$, wenn ihre Ber\"uhrungspunkte mit $A$ in +einer Geraden liegen. Zwei sich schneidende Gerade, welche +die Ordnungskugel in zwei Punkten einer durch $A$ gehenden +Secante ber\"uhren, schneiden sich folglich in einem Punkte +der Polare von $A$. Hat die Kugel mit einer Kegelfl\"ache, +deren Mittelpunkt $A$ ist, zwei Kreise gemein, so schneiden +%-----File: 044.png------------------------------- +sich die Ebenen dieser Kreise in der Polare von $A$; denn der +Schnittpunkt von je zwei in einer Ber\"uhrungsebene des Kegels +enthaltenen Tangenten der beiden Kreise liegt in der +Polare von $A$ und zugleich in den beiden Kreisebenen. Wir +k\"onnen den einen Kreis durch drei beliebige Punkte $P$, $Q$, $R$ +der Kugel legen, der andere geht dann (27.) durch die Punkte +$P'$, $Q'$, $R'$, in welchen die Kugel von den Secanten $\overline{AP}$, $\overline{AQ}$, +$\overline{AR}$ zum zweiten Male geschnitten wird; in der Polare von +$A$ schneiden sich alsdann nicht blos die Ebenen $PQR$ und +$P'Q'R'$, sondern ebenso $PQR'$ und $P'Q'R$, $PQ'R$ und $P'QR'$, +sowie $P'QR$ und $PQ'R'$. + +71. Bringt man also irgend zwei durch $A$ gehende Secanten +mit der Kugel zum Durchschnitt in den Punktenpaaren +$P, P'$ und $Q, Q'$, so schneiden sich die Geraden $\overline{PQ}$ +und $\overline{P'Q'}$, ebenso aber $\overline{PQ'}$ und $\overline{P'Q}$ auf der Polare von $A$. +Von den Mittelpunkten der beiden Kegelfl\"achen, durch welche +zwei beliebig auf der Kugel angenommene Kreise verbunden +werden k\"onnen (27.), liegt deshalb jeder in der Polare des +anderen, und die Verbindungslinie beider hat die Schnittlinie +der beiden Kreisebenen zur Polare. + +72. Wir nennen {\glqq}conjugirt{\grqq} zwei Punkte, von denen +jeder in der Polare des anderen liegt, ebenso zwei Ebenen, +von denen jede durch den Pol der anderen geht, und zwei +Gerade, von denen jede die Polare der anderen schneidet +(67., 68.). Ein Punkt und eine Gerade heissen conjugirt, +wenn die Gerade in der Polare des Punktes, also auch dieser +in der Polare der Geraden liegt. Eine Gerade und eine +Ebene endlich heissen conjugirt, wenn die Gerade durch den +Pol der Ebene und folglich die Ebene durch die Polare der +Geraden geht. Einem beliebigen Punkte $A$ sind hiernach +alle in seiner Polarebene liegenden Punkte und Geraden conjugirt, +einer Ebene alle durch ihren Pol gehenden Ebenen +und Strahlen; einer Geraden dagegen sind alle Punkte und +Ebenen ihrer Polare conjugirt, sowie alle Geraden, welche +diese Polare schneiden oder ihr parallel sind. Wenn das +Polarsystem eine Ordnungskugel hat, so sind alle Punkte, +Tangenten und Ber\"uhrungsebenen derselben sich selbst conjugirt; +denn z.~B.\ jede Ber\"uhrungsebene geht durch ihren +eigenen Pol, den Ber\"uhrungspunkt. --- Zwei Kreise der +%-----File: 045.png--------------------------------- +Ordnungskugel schneiden sich nur dann rechtwinklig, wenn ihre +Ebenen conjugirt sind (60.). + +73. Ist dem Punkte $A$ durch die reciproken Radien der +Punkt $A'$ zugeordnet und in dem zugeh\"origen Polarsystem +der Punkt $B$ conjugirt, so liegt die Gerade $\overline{BA'}$ in der Polare +von $A$ und schneidet den Durchmesser $\overline{CAA'}$ rechtwinklig +in $A'$. Diejenige Kugel, welche die Strecke $AB$ zum +Durchmesser hat, geht folglich auch durch $A'$ und hat im +Centrum $C$ des Polarsystemes die Potenz $CA \centerdot CA' = p$. +Folglich bilden alle Kugeln, welche eine gegebene Gerade +in je zwei conjugirten Punkten rechtwinklig schneiden, einen +Kugelb\"uschel, indem sie einerseits zu dem Kugelgeb\"usch vom +Centrum $C$ und der Potenz $p$ geh\"oren, anderseits zu dem +Kugelb\"undel, von dessen Kugeln die Gerade rechtwinklig +geschnitten wird (45). Nun wird aber ein Kugelb\"uschel von +einer Geraden in einer involutorischen Punktreihe geschnitten +(53.), wenn nicht die Gerade durch einen allen Kugeln +des B\"uschels gemeinschaftlichen Punkt geht. Die Paare +conjugirter Punkte einer jeden Geraden, welche die Ordnungskugel +des Polarsystemes nicht ber\"uhrt, bilden folglich eine +involutorische Punktreihe. Die etwa vorhandenen Ordnungspunkte +dieser Punktreihe liegen auf der Ordnungskugel des +Polarsystemes (72.) und trennen je zwei conjugirte Punkte +der Geraden harmonisch (31.). Zieht man also an eine Kugel +aus einem Punkte $A$ Secanten und bestimmt auf jeder Secante +den Punkt, welcher von $A$ durch die beiden Schnittpunkte +harmonisch getrennt ist, so erh\"alt man Punkte der +Polarebene von $A$ bez\"uglich der Kugel. --- In einer Tangente +der Ordnungskugel ist jeder Punkt dem Ber\"uhrungspunkte +conjugirt. + +74. Weisen wir jedem Punkte $A$ einer nicht sich selbst +conjugirten Ebene die Gerade $a$ zu, in welcher die Ebene +von der Polare des Punktes $A$ geschnitten wird, so erhalten +wir ein {\glqq}ebenes oder cyklisches Polarsystem{\grqq}. In demselben +hat jeder Punkt $A$ die Gerade $a$ zur Polare, welche ihm in +dem sph\"arischen Polarsysteme conjugirt ist, und ebenso hat +jede Gerade den ihr conjugirten Punkt zum Pol. Zwei +Punkte oder Gerade der Ebene sind in dem ebenen Polarsysteme +conjugirt, wenn sie in dem r\"aumlichen conjugirt +%-----File: 046.png--------------------------------- +sind; und umgekehrt. Die Perpendikel, welche in der Ebene +von den Punkten auf deren Polaren gef\"allt werden, schneiden +sich in einem Punkte $C_1$, dem {\glqq}Centrum{\grqq} des ebenen +Polarsystemes; dieser Punkt ist der Fusspunkt des Perpendikels, +welches von dem Centrum $C$ des r\"aumlichen Polarsystemes +auf die Ebene gef\"allt werden kann. Wenn im +ebenen Polarsysteme ein Punkt eine Gerade beschreibt, so +dreht sich seine Polare um den Pol dieser Geraden (67.). +Die etwaigen sich selbst conjugirten Punkte des ebenen Polarsystemes +liegen auf einem Kreise, dem {\glqq}Ordnungskreise{\grqq}; +derselbe liegt auf der Ordnungskugel des r\"aumlichen Polarsystemes, +und seine Tangenten sind die Polaren ihrer Ber\"uhrungspunkte. +Ein dem Ordnungskreise eingeschriebenes +Viereck ist ein harmonisches Kreisviereck, wenn seine Diagonalen +conjugirt sind (31.). + +75. Die Kugeln, welche die Strecken zwischen je zwei +conjugirten Punkten des ebenen Polarsystemes zu Durchmessern +haben, liegen in einem Kugelb\"undel; denn einerseits +haben sie im Centrum $C$ des r\"aumlichen Polarsystemes die +Potenz $p$ (73.), anderseits liegen sie in dem symmetrischen +Kugelgeb\"usch, in dessen Orthogonalebene das ebene Polarsystem +enthalten ist. Das Perpendikel $\overline{CC_1}$ aus dem Centrum +$C$ auf diese Ebene ist die Axe des Kugelb\"undels. Ist +$a$ die L\"ange und wie oben $C_1$ der Fusspunkt dieses Perpendikels +und bezeichnen wir mit $r$ den Radius einer beliebigen +Kugel des B\"undels, mit $d$ und $d_1$ die Abst\"ande ihres Mittelpunktes +von $C$ und $C_1$, sowie mit $p$ und $p_1$ ihre Potenz in +resp.\ $C$ und $C_1$, so ergiebt sich (2.): +\[ +p = d^2 - r^2 = a^2 + d_1^2 - r^2 \quad\text{und}\quad p_1 = d_1^2 - r_1^2, +\] +woraus folgt: +\[ +\quad\quad p_1 = p - a^2. +\] +Der Kreisb\"undel, in welchem der Kugelb\"undel von seiner +Orthogonalebene geschnitten wird, hat demnach den Punkt +$C_1$ zum Centrum und in ihm die Potenz $p_1 = p - a^2$. Durch +reciproke Radien vom Centrum $C_1$ und der Potenz $p_1$ ist +jedem Punkte in der Ebene sein ihm zun\"achst liegender conjugirter +Punkt zugeordnet. Wenn also die Ebene sich selbst +conjugirte Punkte enth\"alt, so ist der Ort derselben ein Kreis +vom Centrum $C_1$ und dem Halbmesser $\sqrt{p_1\vphantom{a^2}} = \sqrt{p-a^2}$; derselbe +ist der Ordnungskreis des ebenen Polarsystemes. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} +%-----File: 047.png--------------------------------- + +\abschnitt{\S.~8. \\[\parskip] +Kugeln und Kreise mit reellem Centrum und rein imagin\"arem Halbmesser.}\label{p8} + + +\hspace{\parindent}% +76. Durch reciproke Radien vom Centrum $C$ und der +Potenz $p$ ist einerseits ein Kugelgeb\"usch, anderseits ein +sph\"arisches Polarsystem bestimmt; und zwar ist die Kugel, +welche um den Mittelpunkt $C$ mit dem Radius $\sqrt{p}$ beschrieben +wird, die Orthogonalkugel des Geb\"usches (13.) und zugleich +die Ordnungskugel des Polarsystemes (69.). Diese +Kugel ist der Ort aller Punktkugeln des Geb\"usches, aller +sich selbst conjugirten Punkte und Ebenen des Polarsystemes +und aller Punkte, welche durch die reciproken Radien sich +selbst zugeordnet sind; durch sie sind die reciproken Radien, +das r\"aumliche Polarsystem und das Kugelgeb\"usch v\"ollig +bestimmt. + +77. Wir wollen nun die Kugel als gegeben betrachten, +wenn ihr Mittelpunkt $C$ und die Potenz $p$ der durch sie bestimmten +reciproken Radien gegeben sind, und zwar auch +dann, wenn $p$ negativ und folglich der Halbmesser $\sqrt{p}$ rein +imagin\"ar ist. Freilich hat die Kugel in diesem Falle keine +reellen Punkte, wohl aber sind das Kugelgeb\"usch, dessen +Orthogonalkugel sie ist, und das zugeh\"orige r\"aumliche Polarsystem +reell construirbar. Wir k\"onnen, wenn $p$ negativ +ist, das Kugelgeb\"usch, das Polarsystem und die reciproken +Radien als reelle Repr\"asentanten der Kugel vom Centrum $C$ +und dem imagin\"aren Radius $\sqrt{p}$ auf\/fassen. Die Einf\"uhrung +dieser imagin\"aren Orthogonalkugeln reeller Kugelgeb\"usche +gestattet uns, viele Definitionen und S\"atze ganz allgemein +auszusprechen, die sonst nur mit Einschr\"ankungen gelten +w\"urden. So k\"onnen wir von zwei Punkten, die in einem +Kugelgeb\"usch einander zugeordnet sind, nunmehr sagen, sie +seien einander {\glqq}bez\"uglich einer Kugel{\grqq}, n\"amlich der Orthogonalkugel +des Geb\"usches, zugeordnet. Von conjugirten Punkten, +Geraden und Ebenen im sph\"arischen Polarsysteme k\"onnen +wir ebenso sagen, sie seien conjugirt {\glqq}bez\"uglich einer +Kugel{\grqq}, n\"amlich bez\"uglich der Ordnungskugel des Polarsystemes; +auch nennen wir einen beliebigen Punkt den Pol +seiner Polarebene in Bezug auf dieselbe Kugel. Von zwei +%-----File: 048.png------------------------------------- +durch reciproke Radien einander zugeordneten Figuren, Linien +oder Fl\"achen endlich wollen wir sagen, sie seien einander +zugeordnet oder invers {\glqq}in Bezug auf die Kugelfl\"ache{\grqq}, +auf welcher alle sich selbst zugeordneten Punkte liegen. + +78. In Uebereinstimmung mit Fr\"uherem (2.) setzen wir +fest, dass eine Kugel vom Radius $\sqrt{p}$ in einem beliebigen +Punkte $A$ die Potenz $d^2-p$ hat, wenn $d$ den Abstand des +Punktes $A$ vom Centrum der Kugel bezeichnet. Ist $p$ negativ, +so hat die Kugel in jedem Punkte des Raumes positive +Potenz. --- Jeder Punkt $A$ des Raumes ist Mittelpunkt einer +Kugel, welche in dem gegebenen Punkte $C$ die Potenz $p$ hat; +ist n\"amlich $r$ der Radius dieser Kugel und $d$ der Abstand +von $A$ und $C$, so haben wir f\"ur $r$ die Gleichung: +\[ +p = d^2 - r^2, \quad\text{woraus}\quad r = \sqrt{d^2 -p}. +\] +Der Radius $r$ ist reell, wenn $p$ negativ ist, oder positiv und +kleiner als $d^2$ er wird nur dann imagin\"ar, wenn $p$ positiv +und gr\"osser als $d^2$ ist. --- Die Mittelpunkte aller Kugeln +eines Kugelgeb\"usches, welches keine Orthogonalebene hat, +erf\"ullen demnach den ganzen unendlichen Raum. Ist die +Potenz des Geb\"usches negativ, so sind alle seine Kugeln +reell; ist sie dagegen positiv, so haben nur diejenigen Kugeln +des Geb\"usches reelle Halbmesser, deren Mittelpunkte ausserhalb +seiner Orthogonalkugel liegen. --- Jeder Punkt $A$ der +Centralebene eines gew\"ohnlichen Kugelb\"undels oder der Centrale +eines Kugelb\"uschels ist der Mittelpunkt einer Kugel +desselben; n\"amlich alle Orthogonalkugeln des B\"undels oder +B\"uschels haben in $A$ gleiche Potenz und die Quadratwurzel +aus dieser Potenz ist der Radius jener Kugel. + +79. Zwei Kugeln bestimmen auch dann, wenn einer +oder jeder ihrer Radien imagin\"ar ist, einen durch sie gehenden +Kugelb\"uschel. Unmittelbar n\"amlich bestimmen sie als +Orthogonalkugeln von zwei Kugelgeb\"uschen einen Kugelb\"undel, +in welchem diese beiden Geb\"usche sich durchdringen; +die Orthogonalkugeln dieses B\"undels aber bilden den durch +die beiden Kugeln gehenden B\"uschel (50.). Die Centralebene +des B\"undels, welche auf der Centrale des B\"uschels +normal steht, ist die Potenzebene der beiden Kugeln, denn +letztere haben in dem Centrum einer jeden Kugel des B\"undels +gleiche Potenz. Da demnach zwei beliebige Kugeln, +%-----File: 049.png------------------------------------- +auch wenn ihre Radien rein imagin\"ar sind, eine ganz bestimmte +Potenzebene haben, so bleiben die fr\"uheren S\"atze +(8., 9.), dass im Allgemeinen drei Kugeln eine Potenzaxe +und vier Kugeln einen einzigen Potenzpunkt haben, nebst +ihren Beweisen auch ferner g\"ultig. Im Allgemeinen bestimmen +folglich auch dann drei Kugeln einen durch sie gehenden +B\"undel und vier Kugeln ein sie enthaltendes Geb\"usch, +wenn sie alle oder zum Theil imagin\"are Radien haben (vgl.\ 12., 47.). + +80. Eine Punktkugel $M$ bestimmt mit einer beliebigen, +nicht durch $M$ gehenden Kugel $\varkappa$ einen Kugelb\"uschel, welcher +noch eine zweite Punktkugel $N$ enth\"alt (52.). Zu der +Potenzebene des B\"uschels liegen die Punkte $M$ und $N$ symmetrisch +(10.); ausserdem sind sie in Bezug auf die Kugel $\varkappa$ +einander zugeordnet, weil die Potenz des Punktenpaares $M$, $N$ +im Centrum von $\varkappa$ gleich dem Quadrate des Radius von $\varkappa$ +ist (52.). Da nun die Polarebene des Punktes $M$ in Bezug +auf $\varkappa$ die Centrale $\overline{MN}$ in dem zugeordneten Punkte $N$ +rechtwinklig schneidet, so ergiebt sich der Satz: {\glqq}Die Potenzebene, +welche eine Punktkugel $M$ mit einer beliebigen Kugel +$\varkappa$ bestimmt, ist parallel zu der Polarebene des Punktes $M$ +in Bezug auf $\varkappa$ und halbirt das von $M$ auf diese Polarebene +gef\"allte Perpendikel{\grqq}. Alle Kugeln, in Bezug auf welche der +Punkt $M$ eine gegebene Ebene $\mu$ zur Polare hat, bilden einen +Kugelb\"uschel, von welchem $M$ und der Fusspunkt des von $M$ +auf $\mu$ gef\"allten Perpendikels die beiden Punktkugeln sind. +Alle Kugeln, in Bezug auf welche dem Punkte $M$ eine Gerade +$m$ oder ein Punkt $M'$ conjugirt ist, bilden folglich +einen Kugelb\"undel resp.\ ein Geb\"usch; die Orthogonalkugel +des letzteren geht durch $M$ und $M'$ und hat die Strecke +$MM'$ zum Durchmesser. + +81. In der Ebene ist durch reciproke Radien vom +Centrum $C'$ und der Potenz $p'$ einerseits ein Kreisb\"undel, +anderseits ein ebenes Polarsystem bestimmt, und zwar ist +der Kreis, welcher um den Mittelpunkt $C'$ mit dem Radius +$\sqrt{p'}$ beschrieben wird, der Orthogonalkreis des B\"undels (60.) +und zugleich der Ordnungskreis des Polarsystemes (74., 75.). +Wir wollen diesen Kreis durch seine Ebene, seinen Mittelpunkt +$C'$ und die Potenz $p'$ der reciproken Radien auch +%-----File: 050.png--------------------------------- +dann als gegeben betrachten, wenn $p'$ negativ, also der +Kreisradius $\sqrt{p'}$ imagin\"ar ist. In diesem Falle sind die reciproken +Radien in der Ebene, der ebene Kreisb\"undel und das +ebene Polarsystem als reelle Repr\"asentanten des Kreises +aufzufassen. + +82. Eine Kugel vom Radius $\sqrt{p}$ hat mit einer Ebene, +welche vom Centrum $C$ der Kugel den Abstand $a$ hat, einen +Kreis vom Radius $\sqrt{p'\vphantom{a^2}} = \sqrt{p-a^2}$ gemein, welcher den +Fusspunkt des von $C$ auf die Ebene gef\"allten Perpendikels +zum Mittelpunkt hat (75.). Zwei Kugeln haben allemal einen +in ihrer Potenzebene liegenden Kreis mit einander gemein, +dessen Centrum $C'$ mit denjenigen der beiden Kugeln auf +einer Geraden liegt. Denn die Potenzebene schneidet die +Centrale der Kugeln rechtwinklig in $C'$ und hat mit ihnen +folglich zwei Kreise gemein, die $C'$ zum Mittelpunkt haben; +die Radien dieser Kreise sind $\sqrt{p-a^2}$ und $\sqrt{p_1-a_1^2}$, wenn +$\sqrt{p}$ und $\sqrt{p_1}$ die Radien der beiden Kugeln und $a$ und $a_1$ +die Abst\"ande ihrer Mittelpunkte von der Potenzebene bezeichnen; +weil aber die Kugeln im Punkte $C'$ gleiche Potenz +haben und folglich (78.) +\[ +a^2-p = a_1^2-p_1, \quad\text{also auch}\quad \sqrt{p-a^2} = \sqrt{p_1-a_1^2} +\] +ist, so haben jene beiden Kreise gleiche Radien und sind +identisch. Es folgt aus dem soeben bewiesenen Satze, dass +alle Kugeln eines Kugelb\"uschels einen Kreis mit einander +gemein haben, welcher in der Potenzebene des B\"uschels +liegt; der Radius dieses Kreises ist entweder reell oder imagin\"ar, +das zu dem Kreise geh\"orige Polarsystem aber ist allemal +reell. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + + +\abschnitt{\S.~9. \\[\parskip] +Lineare Kugelsysteme.}\label{p9} + + +\hspace{\parindent}% +83. Die Gesammtheit aller Kugeln, Kreise und Punktenpaare +des Raumes bezeichnen wir mit dem Namen {\glqq}Kugelsystem +von vier Dimensionen oder vierter Stufe{\grqq}; die Kugelb\"uschel, +Kugelb\"undel und -Geb\"usche dagegen wollen wir {\glqq}lineare +Kugelsysteme von ein, zwei resp.\ drei Dimensionen{\grqq} +oder {\glqq}lineare Systeme erster, zweiter resp.\ dritter Stufe{\grqq} +nennen. Von anderen Kugelsystemen unterscheiden wir die +%-----File: 051.png--------------------------------- +eben genannten durch das Beiwort {\glqq}linear{\grqq}; denn w\"ahrend +jene anderen den Curven und krummen Fl\"achen vergleichbar +sind, haben diese linearen Systeme grosse Analogie mit +den geraden Linien, den Ebenen und dem r\"aumlichen Punktsystem +von drei Dimensionen. Wie eine Gerade durch zwei +und eine Ebene durch drei beliebige Punkte bestimmt ist, +so ist ein Kugelb\"uschel durch zwei, ein Kugelb\"undel durch +drei und ein Kugelgeb\"usch durch vier beliebige Kugeln bestimmt +(51., 47., 12.); und wie die drei eine Ebene bestimmenden +Punkte nicht in einer Geraden liegen d\"urfen, so +d\"urfen die drei einen B\"undel bestimmenden Kugeln nicht in +einem Kugelb\"uschel, und die vier ein Geb\"usch bestimmenden +Kugeln nicht in einem B\"undel liegen. + +84. Wie eine Ebene durch jede Gerade geht, mit welcher +sie zwei Punkte gemein hat, so geht ein lineares Kugelsystem +zweiter oder dritter Stufe durch jeden Kugelb\"uschel, +mit welchem es zwei Kugeln gemein hat (51.), und ein Kugelgeb\"usch +durch jeden Kugelb\"undel, von welchem es drei +nicht in einem B\"uschel liegende Kugeln enth\"alt (47.). Alle +Geraden, welche einen Punkt mit den Punkten einer nicht +durch ihn gehenden Geraden verbinden, liegen in einer Ebene; +ebenso liegen alle Kugelb\"uschel, welche eine Kugel mit den +verschiedenen Kugeln eines nicht durch sie gehenden Kugelb\"uschels +oder -B\"undels verbinden, in einem linearen System +zweiter resp.\ dritter Stufe. Wie zwei sich schneidende Gerade +durch eine Ebene, so k\"onnen zwei Kugelb\"uschel, welche +eine Kugel mit einander gemein haben, durch einen Kugelb\"undel +verbunden werden. + +85. Vier beliebige Kugelgeb\"usche haben allemal eine +und im Allgemeinen nur eine Kugel mit einander gemein; +ebenso zwei beliebige Kugelb\"undel, oder ein Kugelgeb\"usch +und ein Kugelb\"uschel. Die Orthogonalkugeln der vier Geb\"usche +haben n\"amlich einen Potenzpunkt $P$ (79.); derselbe +ist der Mittelpunkt, und die Potenz der vier Orthogonalkugeln +in $P$ ist das Quadrat des Radius jener gemeinschaftlichen +Kugel. Dieser Radius ist nur dann imagin\"ar, wenn +die vier Orthogonalkugeln alle reell sind und ihren Potenzpunkt +$P$ einschliessen (78.). --- Zwei Kugelb\"undel haben +dieselbe Kugel mit einander gemein, wie zwei Paar in ihnen +sich schneidende Kugelgeb\"usche; und ein Kugelgeb\"usch hat +%-----File: 052.png--------------------------------- +mit einem Kugelb\"uschel dieselbe Kugel gemein, wie mit +drei in dem B\"uschel sich schneidenden anderen Geb\"uschen. + +86. Wie zwei oder drei beliebige Ebenen sich in einer +Geraden resp.\ einem Punkte schneiden, so durchdringen sich +zwei, drei oder vier beliebige Kugelgeb\"usche in einem Kugelb\"undel, +einem Kugelb\"uschel resp.\ einer Kugel. Zwei Kugelb\"undel, +die in einem Geb\"usche liegen, haben allemal einen +Kugelb\"uschel mit einander gemein; in demselben wird das +Geb\"usch von zwei durch die beiden B\"undel gelegten anderen +Geb\"uschen geschnitten. Zwei in einem B\"undel liegende Kugelb\"uschel +haben allemal eine Kugel mit einander gemein; +denn ein Kugelgeb\"usch, welches den B\"undel in dem einen +B\"uschel durchdringt, schneidet den anderen in jener gemeinschaftlichen +Kugel (85.). Ebenso beweist man, dass ein +Kugelb\"uschel und ein -B\"undel allemal dann eine Kugel mit +einander gemein haben, wenn sie durch ein Geb\"usch verbunden +werden k\"onnen. + +87. Wie die gerade Linie einfach, die Ebene zweifach +und der Raum dreifach unendlich viele Punkte enth\"alt, +ebenso enth\"alt der Kugelb\"uschel einfach, der B\"undel zweifach +und das Geb\"usch dreifach unendlich viele Kugeln (78.). +In einem B\"undel gehen durch eine beliebige Kugel $\varkappa$ desselben +einfach unendlich viele Kugelb\"uschel, von welchen jeder einfach +unendlich viele Kugeln des B\"undels enth\"alt; man erh\"alt +dieselben (86.), wenn man $\varkappa$ mit jeder Kugel eines B\"uschels, +der dem B\"undel angeh\"ort, aber nicht durch $\varkappa$ geht, durch +einen Kugelb\"uschel verbindet. L\"asst man $\varkappa$ nach und nach +mit allen Kugeln eines B\"uschels zusammenfallen, so ergiebt +sich sofort, dass der Kugelb\"undel doppelt unendlich viele +Kugelb\"uschel und folglich auch doppelt unendlich viele Kreise +enth\"alt. + +88. In einem Kugelgeb\"usche gehen durch jede Kugel $\varkappa$ +desselben doppelt unendlich viele Kugelb\"uschel und -B\"undel; +man erh\"alt dieselben (86.), wenn man $\varkappa$ mit jeder Kugel +und jedem B\"uschel eines B\"undels, welcher nicht durch $\varkappa$ +geht, aber dem Geb\"usch angeh\"ort, durch einen B\"uschel resp.\ B\"undel +verbindet. Das Geb\"usch enth\"alt, wie sich hieraus +leicht ergiebt (vgl.\ 87.), dreifach unendlich viele Kugeln, +vierfach unendlich viele Kugelb\"uschel und Kreise, und dreifach +unendlich viele Kugelb\"undel und Punktenpaare. + +%-----File: 053.png----------------------------------- + +89. Durch eine beliebige Kugel $\varkappa$ gehen dreifach unendlich +viele Kugelb\"uschel, vierfach unendlich viele B\"undel +und dreifach unendlich viele Geb\"usche; man erh\"alt dieselben, +wenn man $\varkappa$ mit jeder Kugel, jedem B\"uschel und jedem +B\"undel eines nicht durch $\varkappa$ gehenden Geb\"usches durch einen +B\"uschel, einen B\"undel resp.\ ein Geb\"usch verbindet (85., 86.). +Das Kugelsystem vierter Stufe enth\"alt demnach vierfach unendlich +viele Kugeln und Kugelgeb\"usche, sechsfach unendlich +viele Kugelb\"uschel und Kreise und sechsfach unendlich viele +Kugelb\"undel und Punktenpaare. --- Durch einen B\"undel gehen +einfach und durch einen B\"uschel doppelt unendlich viele +Kugelge\-b\"u\-sche; durch einen B\"uschel gehen auch doppelt +unendlich viele B\"undel. + +90. Die Gesammtheit aller Kreise und Punktenpaare +einer Kugel oder Ebene nennen wir ein {\glqq}lineares Kreissystem +dritter Stufe{\grqq}, die Kreisb\"uschel und Kreisb\"undel dagegen +bezeichnen wir als {\glqq}lineare Kreissysteme erster resp.\ zweiter +Stufe{\grqq}. Auch diese linearen Systeme sind den Geraden und +Ebenen vergleichbar. Ein Kreisb\"uschel enth\"alt einfach unendlich +viele Kreise und ist durch zwei derselben bestimmt. +Ein Kreisb\"undel enth\"alt zweifach unendlich viele Kreise, +Kreisb\"uschel und Punktenpaare; er ist bestimmt durch drei +seiner Kreise, welche nicht in einem B\"uschel liegen. Das +lineare Kreissystem dritter Stufe enth\"alt dreifach unendlich +viele Kreise und Kreisb\"undel und vierfach unendlich viele +Punktenpaare und Kreisb\"uschel. Ein lineares Kugelsystem +$n^{\text{ter}}$ Stufe wird von jeder ihm nicht angeh\"origen Kugel in +einem linearen Kreissystem $n^{\text{ter}}$ Stufe geschnitten. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + + +\abschnitt{\S.~10.\\[\parskip] +Reciproke und collineare Gebilde.}\label{p10} + + +\hspace{\parindent}% +91. Construirt man in einem r\"aumlichen Polarsysteme +zu jedem Punkte und jeder Geraden eines beliebigen Gebildes +$\varSigma$ die Polare und zu jeder Ebene von $\varSigma$ den Pol, so erh\"alt +man ein zu $\varSigma$ {\glqq}reciprokes{\grqq} Gebilde $\varSigma_1$. Die beiden reciproken +Gebilde $\varSigma$ und $\varSigma_1$ sind auf einander {\glqq}bezogen{\grqq}, und +zwar so, dass jedem Punkte des einen eine Ebene des anderen, +n\"amlich die Polare des Punktes, entspricht, und jeder +Geraden des einen eine Gerade des anderen. Wenn $n$ Punkte +%-----File: 054.png----------------------------------- +des einen Gebildes in einer Geraden liegen, so gehen die $n$ +ihnen entsprechenden oder {\glqq}homologen{\grqq} Ebenen des reciproken +Gebildes durch die entsprechende Gerade; und wenn +zwei Gerade des einen Gebildes sich schneiden, so liegen +auch die entsprechenden Geraden des andern in einer Ebene +(68.). Ist insbesondere das eine Gebilde ein ebenes, so liegt +das andere in einem Strahlenb\"undel. + +92. Man nennt nun \"uberhaupt zwei B\"aume $\varSigma$ und $\varSigma_1$ +{\glqq}reciprok{\grqq}, wenn sie so auf einander bezogen sind, dass +jedem Punkte von $\varSigma$ eine Ebene von $\varSigma_1$ entspricht, und jeder +Geraden oder Ebene, welche beliebige Punkte von $\varSigma$ verbindet, +eine Gerade resp.\ ein Punkt, durch welchen die entsprechenden +Ebenen von $\varSigma_1$ gehen. Zwei Gebilde heissen +reciprok, wenn sie in reciproken R\"aumen einander entsprechen. +Die Beziehungen zwischen zwei reciproken R\"aumen $\varSigma$ und +$\varSigma_1$ sind wechselseitige; auch jedem Punkte von $\varSigma_1$ entspricht +eine Ebene in $\varSigma$, und wenn ein Punkt in $\varSigma_1$ eine Gerade +oder Ebene beschreibt, so dreht sich die ihm entsprechende +Ebene in $\varSigma$ um eine Gerade resp.\ einen Punkt. + +93. Zwei reciproke Fl\"achen sind so auf einander bezogen, +dass den Punkten der einen die Ber\"uhrungsebenen +der anderen entsprechen, und den Be\-r\"uh\-rungs\-ebenen der +ersteren die Punkte der letzteren. Ist also die eine Fl\"ache +{\glqq}von der $n$ten Ordnung{\grqq}, d.~h.\ hat sie mit einer nicht auf +ihr liegenden Geraden im Allgemeinen und h\"ochstens $n$ Punkte +gemein, so ist die andere {\glqq}von der $n$ten Classe{\grqq}, d.~h.\ durch +eine ihr nicht angeh\"orende Gerade gehen im Allgemeinen +und h\"ochstens $n$ von ihren Ber\"uhrungsebenen. Da beispielsweise +eine Kugelfl\"ache von der zweiten Ordnung und der +zweiten Classe ist, so ist jede zu ihr reciproke Fl\"ache von +der zweiten Classe und der zweiten Ordnung. + +94. Wenn zwei R\"aume oder r\"aumliche Gebilde zu einem +und demselben dritten reciprok sind, so sind sie auf einander +{\glqq}collinear{\grqq} bezogen. Man nennt n\"amlich zwei R\"aume $\varSigma$ und +$\varSigma_1$ collinear, wenn jedem Punkte von $\varSigma$ ein Punkt von $\varSigma_1$ +entspricht, und jeder Geraden oder Ebene, welche beliebige +Punkte von $\varSigma$ verbindet, eine Gerade resp.\ Ebene, welche +die entsprechenden oder {\glqq}homologen{\grqq} Punkte von $\varSigma_1$ enth\"alt. +Ebenso nennt man zwei Gebilde collinear, wenn sie +in collinearen R\"aumen einander entsprechen. Die Aehnlichkeit, +%-----File: 055.png----------------------------------- +die Congruenz und die Symmetrie sind sehr specielle +F\"alle der Collineation. Zwei collineare Fl\"achen sind von +derselben Ordnung und auch von gleicher Classe; den Punkten +und Ber\"uhrungsebenen der einen entsprechen die Punkte +resp.\ Ber\"uhrungsebenen der anderen. Wenn von zwei collinearen +Curven die eine mit einer Ebene $n$ Punkte gemein +hat, so hat die andere mit der entsprechenden Ebene gleichfalls +$n$ Punkte, und zwar die homologen $n$, gemein; liegt die +eine Curve in einer Ebene, so ist auch die andere eine +ebene Curve. + +95. Wenn der eine von zwei collinearen R\"aumen einem +dritten R\"aume reciprok ist, so ist auch der andere diesem +dritten reciprok. Denn jedem Punkte des dritten Raumes +entspricht in dem ersten und dadurch auch in dem zweiten +R\"aume eine Ebene; jede dieser beiden Ebenen aber dreht +sich um eine Gerade oder einen Punkt, wenn der entsprechende +Punkt im dritten Raume eine Gerade resp.\ eine Ebene +beschreibt. --- Wenn von zwei collinearen oder insbesondere +\"ahnlichen Gebilden das eine einem dritten Gebilde reciprok +ist, so gilt dasselbe auch von dem anderen. Wenn zwei +R\"aume auf einen dritten collinear bezogen sind, so sind sie +auch zu einander collinear. + +96. Zwei collineare R\"aume durchdringen sich gegenseitig, +und es kann deshalb vorkommen, dass einander entsprechende +oder {\glqq}homologe{\grqq} Elemente derselben, d.~h.\ homologe +Punkte, Strahlen oder Ebenen, zusammenfallen. Von +jedem mit seinem entsprechenden identischen Elemente der +beiden R\"aume wollen wir sagen, die collinearen R\"aume haben +das Element {\glqq}entsprechend gemein{\grqq}; und dasselbe sagen wir +von jedem Gebilde der beiden R\"aume, welches mit seinem +entsprechenden zusammenf\"allt. Beispielsweise haben zwei +\"ahnliche und \"ahnlich liegende R\"aume jede Gerade und jede +Ebene entsprechend gemein, welche durch den Aehnlichkeitspunkt +geht. + +97. Zwei collineare R\"aume $\varSigma$ und $\varSigma_1$ haben {\glqq}perspective +Lage{\grqq} und heissen {\glqq}perspectiv{\grqq}, wenn sie alle +Punkte und Geraden einer Ebene $\varepsilon$, sowie alle Strahlen und +Ebenen eines Punktes $C$ entsprechend gemein haben. Mit +dem Punkte $C$, dem {\glqq}Collineationscentrum{\grqq}, liegen je zwei +einander entsprechende Punkte der collinearen R\"aume in +%-----File: 056.png--------------------------------- +einer Geraden und je zwei homologe Gerade derselben in +einer Ebene; dagegen auf der {\glqq}Collineationsebene{\grqq} $\varepsilon$ schneiden +sich je zwei homologe Strahlen oder Ebenen der beiden +perspectiven R\"aume $\varSigma$ und $\varSigma_1$, weil jeder Punkt von $\varepsilon$ +mit seinem entsprechenden zusammenf\"allt. Sind $C$ und $\varepsilon$, +sowie zwei beliebige einander entsprechende Elemente von +$\varSigma$ und $\varSigma_1$, z.~B.\ zwei homologe Punkte $A$ und $A_1$ gegeben, +so kann man hiernach leicht zu jedem anderen Punkte $B$ +von $\varSigma$ den entsprechenden Punkt $B_1$ von $\varSigma_1$ construiren; +man bringe die Gerade $\overline{AB}$ im Punkte $S$ zum Durchschnitt +mit der Collineationsebene $\varepsilon$, dann ist $B_1$ der Schnittpunkt +der beiden Geraden $\overline{SA_1}$ und $\overline{CB}$. Eben so leicht erh\"alt man +zu jeder durch $B$ gelegten Geraden oder Ebene die entsprechende +Gerade resp.\ Ebene; dieselbe geht n\"amlich durch +$B_1$ und schneidet die erstere auf $\varepsilon$. --- R\"uckt die Collineationsebene +in's Unendliche, so sind die perspectiven R\"aume +\"ahnlich und \"ahnlich liegend, und das Collineationscentrum +$C$ ist ihr Aehnlichkeitspunkt. + +98. Man kann auch Ebenen collinear oder reciprok auf +einander beziehen. Collineare Ebenen sind homologe Gebilde +von collinearen R\"aumen; sie liegen perspectiv, wenn die +collinearen R\"aume perspective Lage haben. Construirt +man in einem ebenen Polarsysteme zu jedem Punkte eines +darin angenommenen Gebildes $\varSigma$ die Polare und zu jeder +Geraden von $\varSigma$ den Pol, so erh\"alt man ein zu $\varSigma$ reciprokes +ebenes Gebilde $\varSigma_1$, und auch jedes zu $\varSigma$ collineare Gebilde +ist zu $\varSigma_1$ reciprok. Sind zwei Ebenen auf irgend eine Weise +reciprok auf einander bezogen, so entspricht jedem Punkte +der einen eine Gerade der anderen, und jeder Geraden, welche +zwei oder mehrere Punkte der einen Ebene verbindet, entspricht +ein Punkt, durch welchen die entsprechenden Geraden +der anderen Ebene gehen. Zwei Ebenen sind auf einander +collinear bezogen, wenn sie zu einer und derselben dritten +reciprok sind. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + + +\abschnitt{\S.~11. \\[\parskip] +Collineare und reciproke Gebilde in Bezug auf ein Kugelgeb\"usch.}\label{p11} + + +\hspace{\parindent}% +99. Die Potenzebenen, welche eine beliebige Kugel $\varkappa$ +mit allen Kugeln eines nicht durch $\varkappa$ gehenden Kugelb\"uschels +%-----File: 057.png----------------------------------- +bestimmt, bilden einen Ebenenb\"uschel; sie gehen n\"amlich +durch die Axe $a$ des Kugelb\"undels, welcher den Kugelb\"uschel +mit $\varkappa$ verbindet. Jede durch $a$ gehende Ebene ist die Potenzebene +von $\varkappa$ und einer bestimmten Kugel des B\"uschels +(86., 51.); der Mittelpunkt dieser Kugel liegt mit demjenigen +von $\varkappa$ auf einer zu der Ebene normalen Geraden und ist in +der Centrale des B\"uschels leicht zu construiren. Die Axe $a$ +liegt in der Potenzebene des Kugelb\"uschels, kreuzt also dessen +Centrale rechtwinklig; denn durch die Axe eines Kugelb\"undels +gehen die Potenzebenen aller in dem B\"undel enthaltenen +Kugelb\"uschel. Die Axe $a$ r\"uckt in's Unendliche, +wenn der Mittelpunkt von $\varkappa$ auf der Centrale des Kugelb\"uschels +liegt oder wenn der B\"uschel aus concentrischen +Kugeln besteht (8.). + +100. Die Potenzebenen und Potenzaxen, welche eine +Kugel $\varkappa$ mit allen Kugeln und Kreisen eines nicht durch $\varkappa$ +gehenden Kugelb\"undels bestimmt, bilden einen Ebenen- oder +Strahlenb\"undel; sie gehen n\"amlich durch den Potenz- oder +Mittelpunkt $C$ desjenigen Geb\"usches, welches den Kugelb\"undel +mit $\varkappa$ verbindet. Man \"uberzeugt sich ohne Schwierigkeit +(86.), dass jede durch $C$ gehende Ebene zu jenen Potenzebenen +geh\"ort. Das Centrum $C$ liegt in der Axe des +Kugelb\"undels. --- Zu den Potenzebenen, welche eine Kugel +$\varkappa$ mit allen Kugeln eines nicht durch $\varkappa$ gehenden Geb\"usches +bestimmt, geh\"ort jede Ebene $\varepsilon$ des Raumes; denn der Kugelb\"uschel, +welcher $\varkappa$ mit $\varepsilon$ verbindet, hat mit dem Geb\"usch +eine Kugel $\varkappa'$ gemein (85.), und $\varepsilon$ ist die Potenzebene von +$\varkappa$ und $\varkappa'$. + +101. Die Potenzebenen, welche zwei beliebige Kugeln +$\varkappa$ und $\varkappa_1$ mit den Kugeln eines nicht durch sie gehenden +Geb\"usches bestimmen, sind homologe Ebenen von zwei +perspectiv liegenden collinearen R\"aumen; und zwar ist die +Potenzebene der Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ die Collineationsebene, und +das Centrum des Geb\"usches das Collineationscentrum dieser +perspectiven R\"aume (vgl.~97.). N\"amlich mit einer beliebigen +Kugel $\gamma$ des Geb\"usches bestimmen $\varkappa$ und $\varkappa_1$ zwei einander +entsprechende Potenzebenen, welche sich in der Potenzebene +von $\varkappa$ und $\varkappa_1$ schneiden; wenn aber $\gamma$ in dem Geb\"usche +einen Kugelb\"uschel oder -B\"undel beschreibt, so beschreiben +die beiden Potenzebenen zwei homologe Ebenenb\"uschel oder +%-----File: 058.png----------------------------------- +Ebenenb\"undel (99., 100.), deren Axen resp.\ Mittelpunkte mit +dem Centrum des Geb\"usches in einer Ebene oder Geraden +liegen, n\"amlich in der Potenzebene des Kugelb\"uschels resp.\ in +der Potenzaxe des Kugelb\"undels. + +102. Der soeben bewiesene Satz gilt auch in dem besonderen +Falle, wenn $\varkappa$ und $\varkappa_1$ zwei dem Geb\"usche nicht angeh\"orige +Punktkugeln sind. Nun ist aber die Potenzebene, +welche eine Punktkugel $M$ mit der ver\"anderlichen Kugel $\gamma$ +bestimmt, parallel zu der Polarebene des Punktes $M$ in Bezug +auf $\gamma$ und halbirt das von $M$ auf diese Polarebene gef\"allte +Perpendikel (80.); diese Polar- und jene Potenzebene +sind demnach homologe Ebenen von zwei \"ahnlichen und +\"ahnlich liegenden R\"aumen, von welchen $M$ der Aehnlichkeitspunkt +ist. Auch die Polarebenen von zwei Punkten in Bezug +auf die einzelnen Kugeln $\gamma$ eines Geb\"usches, dessen Orthogonalkugel +durch keinen der beiden Punkte geht, sind folglich +homologe Ebenen von zwei collinearen B\"aumen, die aber +nicht perspectiv liegen. --- Wenn ein Punkt auf der Orthogonalkugel +eines Geb\"usches liegt, so gehen seine Polarebenen +bez\"uglich aller Kugeln des Geb\"usches durch den ihm +diametral gegen\"uber liegenden Punkt der Orthogonalkugel; +denn im Centrum des Geb\"usches und dieser Orthogonalkugel +schneiden sich die Potenzebenen, welche der Punkt als Punktkugel +mit allen \"ubrigen Kugeln des Geb\"usches bestimmt. + +103. Weist man dem Mittelpunkte $A$ einer ver\"anderlichen +Kugel $\gamma$ die Potenzebene $\alpha$ zu, welche $\gamma$ mit einer +gegebenen Kugel $\varkappa$ bestimmt, so beschreiben $A$ und $\alpha$ als +homologe Elemente zwei reciproke R\"aume, wenn $\gamma$ ein Kugelgeb\"usch +beschreibt; doch darf dieses Geb\"usch weder durch +$\varkappa$ gehen noch symmetrisch sein. Wenn n\"amlich $\gamma$ einen +Kugelb\"uschel oder -B\"undel des Geb\"usches beschreibt, so +durchl\"auft der Mittelpunkt $A$ eine Gerade oder Ebene und +zugleich dreht sich die Potenzebene $\alpha$ um eine Gerade resp.\ einen +Punkt. --- Ebenso erh\"alt man homologe Elemente von +zwei reciproken R\"aumen, wenn man der Polarebene eines +beliebigen Punktes in Bezug auf die ver\"anderliche Kugel $\gamma$ +des Geb\"usches den Mittelpunkt von $\gamma$ als entsprechenden +Punkt zuweist (102.). --- Die Potenzebenen einer Kugel $\varkappa$ +und die Polarebenen eines Punktes $M$ bez\"uglich aller Kugeln +$\gamma$ eines nicht durch $\varkappa$ oder $M$ gehenden Kugelb\"undels sind +%-----File: 059.png--------------------------------- +homologe Ebenen von zwei collinearen Strahlenb\"undeln; die +Ebene, in welcher die Mittelpunkte der Kugeln $\gamma$ liegen, ist +durch den Kugelb\"undel reciprok auf jene collinearen Strahlenb\"undel +bezogen. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + + +\abschnitt{\S.~12. \\[\parskip] +Harmonische Kugeln und Kreise.}\label{p12} + + +\hspace{\parindent}% +104. Vier Kugeln eines Kugelb\"uschels bestimmen entweder +mit keiner oder mit jeder dem B\"uschel nicht angeh\"orenden +Kugel $\varkappa$ vier harmonische Potenzebenen, und sollen im +letzteren Falle {\glqq}vier harmonische Kugeln{\grqq} heissen. N\"amlich +zwei Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$, die mit dem B\"uschel nicht in einem +und demselben Kugelb\"undel liegen, bestimmen mit jeder +Kugel des B\"uschels zwei Potenzebenen, welche auf der Potenzebene +von $\varkappa$ und $\varkappa_1$ sich schneiden; diese letztere Potenzebene +schneidet folglich die beiden Gruppen von je vier Potenzebenen, +welche $\varkappa$ und $\varkappa_1$ mit irgend vier Kugeln des +B\"uschels bestimmen, in den n\"amlichen vier Strahlen; und +jenachdem diese Strahlen harmonisch sind oder nicht, bestehen +jene beiden Gruppen aus je vier harmonischen Ebenen +oder nicht (42.). + +105. Vier harmonische Kugeln bestimmen mit einer beliebigen +Kugel $\varkappa$ auch dann vier harmonische Potenzebenen, +wenn $\varkappa$ eine Punktkugel $M$ ist. Nun sind aber die Polarebenen +des Punktes $M$ bez\"uglich der vier Kugeln jenen Potenzebenen +parallel und schneiden sich wie diese in einer +Geraden (102.). Auch die Polarebenen eines beliebigen +Punktes $M$ in Bezug auf vier harmonische Kugeln sind folglich +vier harmonische Ebenen. Wenn die harmonischen +Kugeln sich in $M$ schneiden, so werden sie in diesem Punkte +von vier harmonischen Ebenen ber\"uhrt, n\"amlich von den +Polarebenen des Punktes; sie verwandeln sich folglich durch +reciproke Radien vom Centrum $M$ in vier harmonische Ebenen, +und haben mit jedem durch $M$ gelegten Kreise ausser +$M$ noch vier harmonische Punkte gemein (33., 42.). + +106. Einem beliebigen Punkte $M$ sind in Bezug auf +vier harmonische Kugeln vier harmonische Punkte einer +durch $M$ gehenden Kreislinie oder Geraden zugeordnet; und +zwar (105.) einer Geraden, wenn $M$ mit den Mittelpunkten +der vier Kugeln in einer Geraden liegt. F\"allt man n\"amlich +%-----File: 060.png----------------------------------- +aus dem Punkte $M$ Perpendikel auf die Polarebenen von $M$ +bez\"uglich der vier harmonischen Kugeln, so sind die Fusspunkte +dieser vier Perpendikel dem Punkte M zugeordnet +in Bezug auf die Kugeln (66.) und liegen im Allgemeinen +auf einem durch $M$ und einen gemeinschaftlichen Punkt der +vier Polarebenen gehenden Kreise, sind also (42.) vier harmonische +Punkte. Eine Ausnahme tritt ein, wenn $M$ auf +den vier Kugeln liegt oder eine Punktkugel des durch sie +gehenden B\"uschels ist. --- Die vier Strahlen, welche den +Punkt $M$ mit seinen vier zugeordneten Punkten verbinden, +sind harmonisch und gehen durch die Mittelpunkte der vier +Kugeln. Die Mittelpunkte von vier harmonischen Kugeln, +welche nicht concentrisch sind, bilden folglich eine gerade +harmonische Punktreihe. + +107. Vier Kugeln eines Kugelb\"uschels sind harmonisch, +wenn bez\"uglich derselben irgend einem Punkte $M$ vier harmonische +Punkte oder vier harmonische Polarebenen zugeordnet +sind, oder wenn ihre Mittelpunkte eine harmonische +Punktreihe bilden; denn in jedem dieser F\"alle bestimmen die +vier Kugeln, wie man leicht einsieht, vier harmonische Potenzebenen +mit der Punktkugel $M$. --- Durch reciproke Radien +verwandeln sich vier harmonische Kugeln wieder in +vier harmonische Kugeln, die bei besonderer Lage des Centrums +der Radien in harmonische Ebenen \"ubergehen (105.). +Sie verwandeln sich n\"amlich in vier Kugeln eines B\"uschels +(54.), und die vier harmonischen Punkte, welche in Bezug +auf sie irgend einem Punkte $M$ zugeordnet sind, verwandeln +sich in vier harmonische Punkte, welche in Bezug auf die +anderen vier Kugeln einem Punkte $M'$ zugeordnet sind. --- Durch +drei Kugeln eines Kugelb\"uschels ist die vierte harmonische +bestimmt. + +108. Die vier Kreise, welche vier harmonische Kugeln +mit einer beliebigen Kugel oder Ebene gemein haben, sollen +{\glqq}vier harmonische Kreise{\grqq} heissen; sie liegen in einem +Kreisb\"uschel und ihre Ebenen bilden, wenn sie nicht zusammenfallen, +einen harmonischen Ebenenb\"uschel (104.). Die vier +Potenzaxen, welche vier harmonische Kreise mit einer beliebigen +Kugel bestimmen, sind vier harmonische Strahlen. +Daraus folgt (vgl.~62.), dass die Kugeln, welche vier harmonische +Kreise mit einem beliebigen Punkte verbinden, vier +%-----File: 061.png--------------------------------- +harmonische Kugeln sind. Durch reciproke Radien verwandeln +sich vier harmonische Kreise in vier harmonische Kreise +oder Gerade. In Bezug auf vier harmonische Kreise einer +Ebene sind einem beliebigen Punkte der Ebene vier harmonische +Punkte und zugleich vier harmonische Polaren zugeordnet +(105., 106.). Harmonische Kreise, welche sich schneiden, +werden in jedem ihrer beiden Schnittpunkte von vier +harmonischen Strahlen ber\"uhrt (105.). + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + + +\abschnitt{\S.~13. \\[\parskip] +Kugeln, die sich ber\"uhren. Aehnlichkeitspunkte von Kugeln.}\label{p13} + + +\hspace{\parindent}% +109. Wenn zwei Kugeln oder eine Kugel und eine Ebene +sich ber\"uhren, so reducirt ihr gemeinschaftlicher Kreis sich +auf einen Punkt, ist also ein Punktkreis. Eine beliebige +Kugel oder Ebene ber\"uhrt demnach h\"ochstens zwei Kugeln +eines nicht durch sie gehenden Kugelb\"uschels; denn sie +schneidet den B\"uschel in einem Kreisb\"uschel, welcher h\"ochstens +zwei Punktkreise enth\"alt (62., 63.). Die Gesammtheit +aller eine Kugel oder Ebene ber\"uhrenden Kugeln kann deshalb +als ein {\glqq}quadratisches Kugelsystem dritter Stufe{\grqq} bezeichnet +werden. + +110. Durch drei gegebene Punkte oder durch einen +Kreis k\"onnen h\"och\-stens zwei Kugeln gelegt werden, welche +eine gegebene Kugel $\varkappa$ ber\"uhren. Um dieselben zu construiren, +bringe man $\varkappa$ mit irgend zwei durch die Punkte +gehenden Kugeln zum Durchschnitt, construire die Gerade $g$, +welche die Ebenen der beiden Schnittkreise mit einander +gemein haben, und lege durch $g$ Ber\"uhrungsebenen an $\varkappa$; +die Kugeln, welche die drei Punkte mit den Ber\"uhrungspunkten +dieser Ebenen verbinden, sind die gesuchten. Die +Construction wird unm\"oglich, wenn $g$ und $\varkappa$ oder, was dasselbe +ist, wenn der die drei Punkte verbindende Kreis und +$\varkappa$ sich schneiden. + +111. Alle Kugeln eines Geb\"usches, welche eine dem +Geb\"usch nicht angeh\"orende Kugel $\varkappa$ ber\"uhren, werden von +noch einer Kugel $\varkappa_1$ ber\"uhrt. N\"amlich durch die zu dem +Geb\"usch geh\"origen reciproken Radien wird jede Kugel des +Geb\"usches in sich selbst, die Kugel $\varkappa$ aber in eine andere $\varkappa_1$ +transformirt, und der Punkt, in welchem $\varkappa$ von irgend einer +%-----File: 062.png----------------------------------- +Kugel $\gamma$ des Geb\"usches ber\"uhrt wird, verwandelt sich in den +zugeordneten Punkt, in welchem $\varkappa_1$ dieselbe Kugel $\gamma$ ber\"uhrt. +Ist die Potenz des Geb\"usches Null, so reducirt sich die +Kugel $\varkappa_1$ auf das Centrum des Geb\"usches; ist anderseits das +Geb\"usch ein symmetrisches, so liegen $\varkappa$ und $\varkappa_1$ zu der +Orthogonalebene desselben symmetrisch und haben gleiche Radien. +Von diesen beiden speciellen F\"allen abgesehen, haben +$\varkappa$ und $\varkappa_1$ das Centrum des Geb\"usches zum Aehnlichkeitspunkt, +weil sie durch die zugeh\"origen reciproken Radien einander +zugeordnet sind (25.). + +112. Bei der Lehre von den Kugeln, welche zwei oder +mehrere gegebene Kugeln ber\"uhren, spielen sonach die Aehnlichkeitspunkte +der letzteren eine Rolle, und es ist zweckm\"assig, +zun\"achst \"uber diese Aehnlichkeitspunkte das Wichtigste +anzuf\"uhren. Sind $\varkappa$ und $\varkappa_1$ zwei \"ahnliche und \"ahnlich +liegende Fl\"achen, so liegen je zwei homologe Punkte derselben +mit dem Aehnlichkeitspunkte in einer Geraden, und +je zwei homologe Sehnen sind parallel und stehen zu einander +in constantem Verh\"altnisse (vgl.~24.). Sind insbesondere +$\varkappa$ und $\varkappa_1$ zwei Kugeln, so muss demnach jeder gr\"ossten +Sehne von $\varkappa$ eine zu ihr parallele gr\"osste Sehne von $\varkappa_1$ entsprechen, +und die Endpunkte paralleler Durchmesser von $\varkappa$ +und $\varkappa_1$ sowie die Mittelpunkte der Kugeln m\"ussen homologe +Punkte sein. + +113. Zwei beliebige Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ haben deshalb +nur zwei Aehnlichkeitspunkte, und zwar liegen diese auf der +Centrale der Kugeln, und durch sie gehen die zwei Paar +Geraden, welche die Endpunkte von zwei parallelen Durchmessern +der Kugeln verbinden. Die Strecken, welche einer +dieser Aehnlichkeitspunkte mit den Mittelpunkten der beiden +Kugeln begrenzt, verhalten sich zu einander wie die Radien +der Kugeln, und eben deshalb liegen die Endpunkte paralleler +Radien allemal mit einem Aehnlichkeitspunkte in einer +Geraden. + +114. Man unterscheidet bei zwei Kugeln den \"ausseren +Aehnlichkeitspunkt $A$ und den inneren $J$. Der \"aussere $A$ +liegt mit den Endpunkten von je zwei gleichgerichteten +parallelen Radien der Kugeln in einer Geraden, und folglich +ausserhalb der Strecke, welche die Mittelpunkte der Kugeln +begrenzen. Im inneren Aehnlichkeitspunkte $J$ dagegen +%-----File: 063.png--------------------------------- +schneiden sich die Geraden, welche die Endpunkte von je +zwei entgegengesetzt gerichteten parallelen Radien verbinden; +er liegt zwischen den Mittelpunkten der beiden Kugeln und +zwischen je zwei homologen Punkten derselben. Sind $r$ und +$r_1$ die Radien der Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$, so ist ihr +Aehnlichkeitsverh\"altniss in Bezug auf den \"ausseren Aehnlichkeitspunkt +$= r : r_1$ und in Bezug auf den inneren $= - r : r_1$; in diesem +Verh\"altniss n\"amlich stehen mit R\"ucksicht auf ihren Sinn die +Strecken zu einander, welche zwei homologe Punkte der +Kugeln mit dem betreffenden Aehnlichkeitspunkte und mit +anderen homologen Punkten bilden. + +115. Eine gemeinschaftliche Ber\"uhrungs-Ebene von zwei +Kugeln geht entweder durch den \"ausseren $A$ oder durch den +inneren Aehnlichkeitspunkt $J$ derselben (114.); im letzteren +Falle liegt sie zwischen den beiden Kugeln. Wenn die Kugeln +sich \"ausserlich ber\"uhren, so f\"allt $J$ mit dem Ber\"uh\-rungs\-punkte +zusammen; wenn sie sich schneiden, so wird $J$ von +ihnen eingeschlossen, und wenn sie sich innerlich ber\"uhren, +indem die eine von der anderen eingeschlossen wird, so f\"allt +$A$ mit dem Ber\"uhrungspunkte zusammen. Umschliesst die +eine Kugel die andere, so liegen beide Aehnlichkeitspunkte +innerhalb der letzteren; sie vereinigen sich im Centrum, wenn +die Kugeln concentrisch sind. Von zwei gleichen Kugeln +liegt der \"aussere Aehnlichkeitspunkt unendlich fern, und +halbirt der innere die Strecke zwischen den beiden +Mittelpunkten. --- Zwei in einer Ebene liegende Kreise haben dieselben +zwei Aehnlichkeitspunkte wie die beiden Kugeln, von +denen sie gr\"osste Kreise sind. + +116. Wenn zwei Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ von einer dritten $\gamma$ +rechtwinklig geschnitten werden, so fallen ihre Aehnlichkeitspunkte +zusammen mit den Mittelpunkten der beiden Kegelfl\"achen, +durch welche (27.) die zwei Schnittkreise $k$ und $k_1$ +verbunden werden k\"onnen. Verwandelt man n\"amlich die +Kugel $\varkappa$ durch reciproke Radien, welche den Mittelpunkt +von einer dieser Kegelfl\"achen zum Centrum haben und die +Kugel $\gamma$ in sich selbst transformiren, so erh\"alt man eine +Kugel, welche im Kreise $k_1$ die Kugel $\gamma$ rechtwinklig schneidet +und deshalb mit $\varkappa_1$ identisch ist; jener Mittelpunkt ist +folglich (25.) ein Aehnlichkeitspunkt von $\varkappa$ und $\varkappa_1$. +Zugleich ergiebt sich der Satz: Zwei Kugeln k\"onnen durch reciproke +%-----File: 064.png----------------------------------- +Radien, deren Centrum $C$ ihr \"ausserer oder innerer +Aehnlichkeitspunkt ist, in einander transformirt werden, vorausgesetzt +dass sie sich nicht in $C$ ber\"uhren. Die beiden Kugeln, +in Bezug auf welche demnach zwei gegebene Kugeln $\varkappa$ und +$\varkappa_1$ einander zugeordnet sind (77.) und deren Mittelpunkte +mit den Aehnlichkeitspunkten von $\varkappa_1$ und $\varkappa_1$ zusammenfallen, +liegen \"ubrigens in dem durch $\varkappa$ und $\varkappa_1$ gehenden Kugelb\"uschel, +weil sie alle Orthogonalkugeln desselben rechtwinklig schneiden; +sie halbiren, wenn $\varkappa$ und $\varkappa_1$ sich schneiden, die von +diesen Kugeln gebildeten Winkel. + +117. Wir wollen sagen, auf den Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ liegen +zwei Punkte $P$ und $P'$ {\glqq}invers bez\"uglich des Aehnlichkeitspunktes +$C${\grqq}, wenn sie mit $C$ in einer Geraden liegen, ohne +sich zu entsprechen. Alle Paare von solchen inversen Punkten +haben in $C$ gleiche Potenz (116.) und sind Punktenpaare +eines Kugelgeb\"usches, welchem alle zu $\varkappa$ und $\varkappa_1$ rechtwinkligen +Kugeln angeh\"oren. Es k\"onnen deshalb zwei Paare +inverser Punkte allemal durch einen Kreis und drei Paare +durch eine Kugel dieses Geb\"usches verbunden werden (15.); +jede solche Kreislinie oder Kugel des Geb\"usches aber schneidet +die Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ unter gleichen Winkeln (22.), weil sie +durch die zum Geb\"usche geh\"origen reciproken Radien in sich +selbst, zugleich aber $\varkappa$ in $\varkappa_1$ \"ubergeht. Die Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ +werden in je zwei invers liegenden Punkten von einer dritten +Kugel ber\"uhrt und von unendlich vielen anderen unter gleichen +Winkeln geschnitten. + +118. Wenn zwei Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ von einer dritten +ber\"uhrt werden, so liegen die beiden Ber\"uhrungspunkte $P$ und +$P$ mit einem Aehnlichkeitspunkte von $\varkappa$ und $\varkappa_1$ in einer +Geraden und bez\"uglich desselben invers. Denn alle Kugeln, +welche $\varkappa$ in $P$ ber\"uhren, bilden einen Kugelb\"uschel, und es +k\"onnen deshalb nur zwei von ihnen zugleich die Kugel $\varkappa_1$ +ber\"uhren (109.); die Ber\"uhrungspunkte dieser beiden Kugeln +aber liegen invers zu $P$ in Bezug auf die Aehnlichkeitspunkte +von $\varkappa$ und $\varkappa_1$ (117.). --- Wenn zwei Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ von +einer dritten $\gamma$ unter gleichen Winkeln geschnitten werden, +so liegen die beiden Schnittkreise $k$ und $k_1$ invers bez\"uglich +eines Aehnlichkeitspunktes von $\varkappa$ und $\varkappa_1$ und letzterer ist +der Mittelpunkt von einer der beiden durch $k$ und $k_1$ gehenden +Kegelfl\"achen. N\"amlich durch reciproke Radien, welche +%-----File: 065.png----------------------------------- +die Mittelpunkte dieser beiden Kegelfl\"achen zu Centren haben +und die Kugel $\gamma$ in sich selbst transformiren, verwandelt +sich $\varkappa$ in zwei andere Kugeln, welche die Kugel $\gamma$ im Kreise +$k_1$ unter denselben Winkeln schneiden wie $\varkappa_1$ und von welchen +folglich die eine mit $\varkappa_1$ zusammenf\"allt (vgl.~116.). Alle Kugeln, +welche zwei gegebene Kugeln unter gleichen Winkeln schneiden +oder auch ber\"uhren, geh\"oren also zu zwei Kugelgeb\"uschen, +deren Centra die Aehnlichkeitspunkte der gegebenen +Kugeln sind. + +119. Drei Kugeln bestimmen paarweise sechs Aehnlichkeitspunkte, +n\"am\-lich drei \"aussere und drei innere; dieselben +liegen in der Central-Ebene der drei Kugeln, und zwar zu +zweien auf den drei Centrallinien derselben. Die Endpunkte +von irgend drei gleichgerichteten parallelen Radien der Kugeln +liegen mit den drei \"ausseren Aehnlichkeitspunkten in einer +Ebene (114.), und letztere liegen folglich in einer Geraden. +Die Endpunkte von drei ungleich gerichteten, parallelen +Radien dagegen liegen in einer Ebene, welche durch einen +\"ausseren und zwei innere Aehnlichkeitspunkte geht; die beiden +inneren Aehnlichkeitspunkte, welche eine der Kugeln mit den +beiden anderen Kugeln bestimmt, liegen folglich mit dem +\"ausseren Aehnlichkeitspunkte dieser beiden letzteren in einer +Geraden. Ueberhaupt liegen die sechs Aehnlichkeitspunkte +der drei Kugeln zu dreien in vier Geraden, den vier {\glqq}Aehnlichkeits-Axen{\grqq} +der Kugeln; sie bilden die Eckpunkte eines vollst\"andigen +Vierseits, dessen drei Diagonalen sich paarweise +in den Mittelpunkten der drei Kugeln schneiden. Die vier +Aehnlichkeits-Axen fallen zusammen, wenn die Mittelpunkte +der drei Kugeln in einer Geraden liegen. --- Drei Kreise +einer Ebene haben dieselben sechs Aehnlichkeitspunkte wie +die drei Kugeln, von welchen sie gr\"osste Kreise sind. + +120. Jede gemeinschaftliche Ber\"uhrungs-Ebene von drei +Kugeln geht durch eine Aehnlichkeits-Axe derselben (115.). +Wenn drei Kugeln von einer vierten ber\"uhrt werden, so +gehen die Verbindungslinien der drei Ber\"uh\-rungs\-punkte +durch drei Aehnlichkeits-Punkte, und geht folglich ihre Ebene +durch eine Aehnlichkeits-Axe der Kugeln (118.). Alle Kugeln, +welche drei gegebene ber\"uhren oder unter gleichen Winkeln +schneiden, geh\"oren zu vier Kugelb\"undeln, deren Axen die +Aehnlichkeits-Axen der drei gegebenen Kugeln sind (118.). +%-----File: 066.png----------------------------------- + +121. Vier Kugeln, deren Mittelpunkte nicht in einer +Ebene liegen, bestimmen paarweise zw\"olf Aehnlichkeitspunkte; +dieselben liegen zu sechsen in den vier Ebenen, +welche die Mittelpunkte von je drei der vier Kugeln verbinden, +und zu dreien in 16 Geraden (119.), den Aehnlichkeits-Axen. +Die Endpunkte von vier parallelen Radien +der Kugeln liegen zu zweien auf sechs Geraden, welche durch +sechs Aehnlichkeitspunkte, und zu dreien in vier Ebenen, +welche durch vier Aehnlichkeits-Axen der Kugel gehen; und +zwar schneiden sich diese vier Aehnlichkeits-Axen in jenen +sechs Aehnlichkeitspunkten und bilden mit ihnen zusammen +ein vollst\"andiges ebenes Vierseit. Je nachdem nun die vier +parallelen Radien gleichgerichtet sind oder nicht, ergiebt +sich daraus Folgendes. Die sechs \"ausseren Aehnlichkeitspunkte +der vier Kugeln liegen in einer Ebene und zu dreien +in vier Geraden. Die drei inneren Aehnlichkeitspunkte, welche +drei von den Kugeln mit der vierten, und die drei \"ausseren, +welche sie mit einander bestimmen, liegen zusammen in +einer Ebene und zu dreien in vier Geraden. Endlich die +vier inneren Aehnlichkeitspunkte, welche zwei von den vier +Kugeln mit den beiden anderen, und die beiden \"ausseren, +welche diese zwei Kugelpaare f\"ur sich bestimmen, liegen +zusammen in einer Ebene und zu dreien in vier Aehnlichkeits-Axen. + +122. Die zw\"olf Aehnlichkeitspunkte von vier beliebigen +Kugeln liegen also (121.) zu dreien in sechzehn Geraden, +den Aehnlichkeits-Axen, und zu sechsen in zw\"olf Ebenen, +welche je vier der 16 Geraden enthalten; vier von den zw\"olf +Ebenen verbinden die Mittelpunkte der vier Kugeln, die +\"ubrigen acht m\"ogen {\glqq}Aehnlichkeits-Ebenen{\grqq} der vier Kugeln +genannt werden. Jede der 16 Aehnlichkeits-Axen geht durch +drei von den zw\"olf Aehnlichkeitspunkten und liegt in drei +von den 12 Ebenen. Und wie in jeder dieser 12 Ebenen +sechs von den 12 Punkten und vier von den 16 Geraden +liegen, ebenso gehen durch jeden von den 12 Punkten sechs +von den 12 Ebenen und vier von den 16 Geraden. Ueberhaupt +lehrt eine genauere Untersuchung, dass diese merkw\"urdige +Configuration von 12 Punkten, 16 Geraden und 12 +Ebenen sich selbst reciprok ist. + +123. Wenn vier Kugeln, deren Mittelpunkte nicht in +%-----File: 067.png----------------------------------- +einer Ebene liegen, von einer f\"unften ber\"uhrt werden, so +liegen die vier Ber\"uhrungspunkte zu zweien auf sechs Geraden, +welche durch sechs Aehnlichkeitspunkte, und zu dreien +in vier Ebenen, welche durch vier Aehnlichkeitsaxen der +vier Kugeln gehen (118., 120.); diese sechs Aehnlichkeitspunkte +und vier Axen liegen in einer Aehnlichkeits-Ebene +der Kugeln (122.). Alle Kugeln, welche vier gegebene Kugeln +ber\"uhren oder unter gleichen Winkeln schneiden, liegen in +acht Kugelb\"uscheln, deren Potenz-Ebenen die acht Aehnlichkeits-Ebenen +der vier Kugeln sind (118., 120.). Bestimmt +man vier Punkte auf den vier Kugeln so, dass der eine von +ihnen zu den drei anderen invers liegt in Bezug auf drei +von den 12 Aehnlichkeitspunkten, so liegen diese vier Punkte +auf einer zu jenen acht B\"uscheln geh\"origen Kugel; und zwar +geh\"ort diese leicht construirbare Kugel zu demjenigen von +den acht Kugelb\"uscheln, welcher die Ebene der drei Aehnlichkeitspunkte +zur Potenz-Ebene hat. + +124. Bringt man diese Ebene zum Durchschnitt mit +den Ebenen der Kreise, welche die vier gegebenen Kugeln +mit der f\"unften gemein haben, so erh\"alt man die Axen der +vier Kreisb\"uschel, in welchen die vier gegebenen Kugeln den +einen der acht Kugelb\"uschel schneiden\footnote{) % + Construirt man bez\"uglich der vier Kugeln die Polar-Ebenen + ihres Potenzpunktes, so gehen auch diese Ebenen durch die Axen der + vier Kreisb\"uschel; denn die Orthogonalkugel der vier gegebenen Kugeln + geh\"ort zu jedem der acht Kugelb\"uschel.}). +Die vier Kugeln +werden im Allgemeinen und h\"ochstens von zwei Kugeln des +Kugelb\"uschels ber\"uhrt, und zwar in denjenigen leicht construirbaren +Punkten, deren Ber\"uhrungs-Ebenen durch die +Axen der vier Kreisb\"uschel gehen. Sonach giebt es im Allgemeinen +und h\"ochstens sechzehn Kugeln, welche vier gegebene +Kugeln ber\"uhren; dieselben haben paarweise die acht +Aehnlichkeits-Ebenen der vier Kugeln zu Potenz-Ebenen. --- F\"unf +gegebene Kugeln werden im Allgemeinen und h\"ochstens +von sechzehn Kugeln unter gleichen Winkeln geschnitten; +in jeder dieser sechzehn Kugeln durchdringen sich vier leicht +angebbare Kugelgeb\"usche, in welchen die erste der f\"unf gegebenen +Kugeln den vier \"ubrigen zugeordnet ist. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} +%-----File: 068.png----------------------------------- + +\abschnitt{\S.~14.\\[\parskip] +Ber\"uhrung und Schnitt von Kreisen auf einer Kugelfl\"ache.}\label{p14} + + +\hspace{\parindent}% +125. Zwei sich nicht ber\"uhrende Kreise $k$, $k_1$ einer +Kugel $\gamma$ k\"onnen durch zwei Kegelfl\"achen verbunden werden +(27.). Die Mittelpunkte dieser beiden Kegelfl\"achen sind die +Aehnlichkeitspunkte der beiden Kugeln, welche in $k$ und $k_1$ +rechtwinklig von $\gamma$ geschnitten werden (116.); sie sind conjugirt +in Bezug auf $\gamma$ und liegen auf der Polare der Geraden, +in welcher die Ebenen von $k$ und $k_1$ sich schneiden (71.). +Wir wollen sie die {\glqq}Kegel-Centra{\grqq} der Kreise $k$, $k_1$ nennen. +Da sie mit den Polen der beiden Kreis-Ebenen bez\"uglich der +Kugel $\gamma$ in einer Geraden liegen, so k\"onnen sie auch folgendermassen +construirt werden. Man bringe die Kreise $k$, $k_1$ mit +einer durch ihre beiden Pole gehenden Ebene zum Durchschnitt +und verbinde die vier Schnittpunkte; dann liegen +zwei von den sechs Verbindungslinien in den Ebenen von $k$ +und $k_1$, und die \"ubrigen vier schneiden sich paarweise in den +Kegelcentren von $k$ und $k_1$. Nun liegt aber jeder zu $k$ und $k_1$ +rechtwinklige Kreis der Kugel $\gamma$ mit jenen beiden Polen in +einer Ebene (60., 72.). Von den Verbindungslinien der vier +Punkte, welche die Kreise $k$ und $k_1$ mit irgend einem sie +rechtwinklig schneidenden Kreise gemein haben, gehen folglich +je zwei durch die beiden Kegelcentra von $k$ und $k_1$. --- Wenn +$k$ und $k_1$ sich ber\"uhren, so f\"allt das eine ihrer Kegelcentren +mit dem Ber\"uhrungspunkte zusammen, und die zugeh\"orige +Kegelfl\"ache zerf\"allt in die Ebenen von $k$ und $k_1$. + +126. Eine Ebene, welche durch ein Kegelcentrum der +beiden Kreise $k$, $k_1$ geht und einen derselben ber\"uhrt, ber\"uhrt +auch den anderen. Jeder die Kreise $k$ und $k_1$ ber\"uhrende +Kreis liegt mit einem Kegelcentrum von $k$ und $k_1$ in einer +Ebene; die Verbindungslinie seiner beiden Ber\"uhrungspunkte +geht durch dieses Centrum (27.). Jedes Kegelcentrum von +$k$ und $k_1$ ist das Centrum reciproker Radien, durch welche +diese beiden Kreise sich in einander verwandeln; doch darf +jenes Centrum kein gemeinsamer Ber\"uhrungspunkt von $k$ +und $k_1$ sein. Die durch $k$ und $k_1$ gehende Kugel $\gamma$ und jeder +Kreis derselben, welcher mit dem Kegelcentrum in einer Ebene +liegt, wird durch die reciproken Radien in sich selbst verwandelt. +Da nun die Winkel durch diese Transformation sich +%-----File: 069.png----------------------------------- +nicht \"andern, so ergiebt sich: Zwei Kreise $k$, $k_1$ einer Kugel $\gamma$ +werden von denjenigen Kugelkreisen, deren Ebenen durch +die Kegelcentra von $k$ und $k_1$ gehen, unter gleichen Winkeln +geschnitten. + +127. Wenn auf einer Kugel $\gamma$ zwei Kreise $k$, $k_1$ von +einem dritten $l$ unter gleichen Winkeln geschnitten werden, +so gehen durch eines oder jedes der beiden Kegelcentra +von $k$ und $k_1$ zwei von den Verbindungslinien der vier Schnittpunkte; +und zwar durch jedes, wenn die Winkel rechte sind. +Transformirt man n\"amlich den Kreis $k$ durch zweierlei reciproke +Radien, in deren Centren sich je zwei jener Verbindungslinien +schneiden und welche den Kreis $l$ in sich selbst +verwandeln, so erh\"alt man auf der Kugel $\gamma$ zwei Kreise $k'$ +und $k''$, welche von $l$ in denselben Punkten und unter denselben +Winkeln geschnitten werden wie $k_1$. Es muss deshalb +einer, oder, wenn die Winkel rechte sind, jeder dieser +beiden Kreise mit $k_1$ identisch sein, woraus der Satz folgt (vgl.\ +118.). --- Alle Kreise einer Kugel $\gamma$, welche zwei auf $\gamma$ liegende +Kreise $k$, $k_1$ unter gleichen Winkeln schneiden oder ber\"uhren, +liegen demnach in zwei Kreisb\"undeln, deren Centra die beiden +Kegelcentra von $k$ und $k_1$ sind. + +128. Die sechs Kegelcentra, welche drei Kreise einer +Kugel $\gamma$ paarweise bestimmen, liegen zu dreien in vier Geraden +und bilden die sechs Eckpunkte eines vollst\"andigen Vierseits; +denn sie sind die Aehnlichkeitspunkte der drei Kugeln, welche +in den drei Kreisen rechtwinklig von $\gamma$ geschnitten werden +(125., vgl.\ 119.). Die Ebene des Vierseits hat in Bezug +auf $\gamma$ den Schnittpunkt der drei Kreis-Ebenen zum Pol, weil +die Pole von je zwei dieser Ebenen mit zwei von den sechs +Kegelcentren in einer Geraden liegen (125.). Die vier Geraden, +welche je drei der sechs Kegelcentra enthalten, nennen wir +die {\glqq}Kegel-Axen{\grqq} der drei Kreise; wenn die Ebenen der drei +Kreise sich in einer Geraden schneiden, so fallen ihre vier +Kegelaxen zusammen mit der Polare dieser Geraden. + +129. Alle Kreise einer Kugel $\gamma$, welche drei beliebig +auf $\gamma$ angenommene Kreise unter gleichen Winkeln schneiden +oder ber\"uhren, liegen in vier Kreisb\"uscheln, deren Axen mit +den vier Kegel-Axen der drei Kreise zusammenfallen (127.). +Ein Kreis von $\gamma$, dessen Ebene durch eine dieser vier Kegel-Axen +geht, schneidet entweder keinen der drei Kreise oder +%-----File: 070.png----------------------------------- +schneidet sie alle unter gleichen Winkeln (126.). Jede Ebene, +welche durch eine der vier Kegel-Axen geht und einen der +gegebenen Kreise ber\"uhrt, muss sie alle drei ber\"uhren. Auf +einer Kugel $\gamma$ giebt es demnach im Allgemeinen und h\"ochstens +acht Kreise, welche drei auf $\gamma$ gegebene Kreise ber\"uhren; +die Construction derselben liegt auf der Hand. --- Ebenso +giebt es im Allgemeinen und h\"ochstens acht Kreise, +welche vier beliebig auf $\gamma$ angenommene Kreise unter gleichen +Winkeln schneiden; die Ebenen derselben sind die acht +Aehnlichkeits-Ebenen der vier Kugeln, welche in den vier Kreisen +rechtwinklig von $\gamma$ geschnitten werden (vgl.\ 122.). Der Beweis +ergiebt sich leicht aus dem Vorhergehenden. --- Die +Construction aller Kreise, welche drei in der Ebene gegebene +Kreise ber\"uhren oder vier Kreise der Ebene unter gleichen +Winkeln schneiden, kann durch reciproke Radien auf die +vorhergehenden Constructionen zur\"uckgef\"uhrt werden. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + + +\abschnitt{\S.~15. \\[\parskip] +Die Dupin'sche Cyclide.}\label{p15} + + +\hspace{\parindent}% +130. Eine einfach unendliche Schaar von Kugeln, welche +durch stetige Bewegung einer ver\"anderlichen Kugel beschrieben +ist, wird im Allgemeinen von einer Fl\"ache $\Phi$ eingeh\"ullt, +die eine Schaar von kreisf\"ormigen Kr\"ummungslinien besitzt. +N\"amlich jede Kugel der Schaar wird von $\Phi$ l\"angs der Kreislinie +ber\"uhrt, welche sie mit der unmittelbar benachbarten +Kugel der Schaar gemein hat; und weil die Normalen, welche +in den Punkten dieser Linie auf $\Phi$ errichtet werden k\"onnen, +sich im Centrum der Kugel schneiden, so ist die Kreislinie +eine Kr\"ummungslinie\footnote{) % + Jede Kr\"ummungslinie einer Fl\"ache hat die charakteristische + Eigenschaft, dass die in ihren Punkten auf der Fl\"ache errichteten Normalen + eine abwickelbare Fl\"ache bilden, dass also jede dieser Normalen + die ihr unmittelbar benachbarte schneidet.}) +von $\Phi$. Wird die Fl\"ache $\Phi$ durch +reciproke Radien in eine andere $\Phi_1$ transformirt, so gehen +jene Kr\"ummungslinien \"uber in kreisf\"ormige Kr\"ummungslinien +von $\Phi_1$; denn $\Phi_1$ umh\"ullt diejenige Schaar von Kugeln, in +welche die von $\Phi$ eingeh\"ullte Schaar sich verwandelt. Deshalb +besitzen insbesondere diejenigen Fl\"achen, welche durch +reciproke Radien in Rotationsfl\"achen verwandelt werden +%-----File: 071.png--------------------------------- +k\"onnen, ebenso wie die letzteren eine Schaar von kreisf\"ormigen +Kr\"ummungslinien. + +131. Eine der merkw\"urdigsten unter diesen Fl\"achen +ist die von \so{Dupin} entdeckte {\glqq}Cyclide{\grqq}. Dieselbe wird von +einer ver\"anderlichen Kugel $\gamma$ umh\"ullt, welche bei ihrer stetigen +Bewegung drei gegebene Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ fortw\"ahrend ber\"uhrt. +Die Central-Ebene dieser drei Kugeln ist eine Sym\-metrie-Ebene +der Cyclide, weil zu ihr die Kugeln symmetrisch liegen. +Wenn die drei Kugeln, welche \"ubrigens nicht in einem +Kugelb\"uschel liegen d\"urfen, eine gemeinschaftliche Centrale +haben, so wird die Cyclide von einer um diese Centrale +rotirenden Kugel $\gamma$ umh\"ullt, und ist eine Rotations-Cyclide, +deren Rotations-Axe die Centrale ist. Die Cyclide wird zu +einem geraden Kegel oder Cylinder, wenn die gegebenen drei +Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ in Ebenen ausarten. + +132. Eine Dupin'sche Cyclide verwandelt sich durch +reciproke Radien allemal in eine Dupin'sche Cyclide; denn +die ver\"anderliche Kugel $\gamma$, welche die drei Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ +fortw\"ahrend ber\"uhrt und die Cyclide umh\"ullt, verwandelt +sich in eine ver\"anderliche Kugel $\gamma'$, welche die zugeordneten +drei Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ best\"andig ber\"uhrt, und folglich auch +eine Dupin'sche Cyclide, die zugeordnete n\"amlich, umh\"ullt. +Nun haben die drei Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ entweder einen gemeinschaftlichen +Orthogonalkreis $k$ oder sie schneiden sich in +mindestens einem Punkte $M$ (47., 48.). Im ersteren Falle +verwandeln sie sich durch reciproke Radien, deren Centrum +beliebig auf $k$ angenommen wird, in drei andere Kugeln, +deren Mittelpunkte in einer Geraden liegen; die von der ver\"anderlichen +Kugel $\gamma$ beschriebene Cyclide verwandelt sich +folglich in eine Rotations-Cyclide (131.). Im zweiten Falle +werden die Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ durch reciproke Radien vom +Centrum $M$ in drei Ebenen transformirt, und die Cyclide verwandelt +sich in einen geraden Kegel oder Cylinder. Letzterer +kann als ein Specialfall der Rotations-Cyclide aufgefasst werden, +weil er von einer um die Axe rotirenden Ebene umh\"ullt wird. + +133. Jede Dupin'sche Cyclide kann also durch reciproke +Radien, deren Centrum passend gew\"ahlt wird, in eine Rotations-Cyclide +verwandelt werden; sie hat deshalb folgende, +f\"ur die Rotations-Cyclide evidente Eigenschaften. Die Dupin'sche +Cyclide wird von zwei verschiedenen Kugelschaaren +%-----File: 072.png----------------------------------- +umh\"ullt und besitzt zwei Schaaren kreisf\"ormiger Kr\"ummungslinien, +in welchen sie von den Kugeln der beiden Kugelschaaren +ber\"uhrt wird. Jede Kugel der einen Schaar ber\"uhrt +alle Kugeln der anderen Schaar in den Punkten einer kreisf\"ormigen +Kr\"ummungslinie. Mindestens eine der beiden Kugelschaaren +hat einen Orthogonalkreis, welcher alle ihre Kugeln +rechtwinklig schneidet; derselbe entspricht der Axe der +Rotations-Cyclide. Die Cyclide wird durch reciproke Radien, +deren Centrum irgendwo auf diesem Orthogonalkreise angenommen +wird, allemal in eine Rotations-Cyclide verwandelt. +Zwei Kr\"ummungslinien der Cyclide k\"onnen durch eine Kugel +verbunden werden, wenn sie zu derselben Schaar geh\"oren; +im anderen Falle schneiden sie sich in einem Punkte rechtwinklig. +In jedem Punkte der Cyclide schneiden sich zwei +Kr\"ummungslinien der beiden Schaaren rechtwinklig. Jede durch +eine Kr\"ummungslinie gehende Kugel oder Ebene hat mit der +Cyclide noch eine zweite Kr\"ummungslinie von derselben Schaar +gemein; dieselbe f\"allt nur dann mit der ersteren zusammen, +wenn die Cyclide von der Kugel ber\"uhrt wird. + +134. Wie die Rotations-Cyclide so hat auch jede andere +Dupin'sche Cyclide entweder keinen Doppelpunkt, oder zwei +{\glqq}Knotenpunkte{\grqq}, in welchen alle Kr\"ummungslinien der einen +Schaar sich schneiden, oder einen {\glqq}Cuspidalpunkt{\grqq}, in welchem +dieselben sich ber\"uhren. Von diesen drei Hauptarten der +Cyclide erh\"alt man wesentlich verschiedene Formen, wenn +man die zugeh\"orige Rotations-Cyclide transformirt durch reciproke +Radien, deren Centrum einmal ausserhalb, einmal +auf und einmal innerhalb der Rotations-Cyclide angenommen +wird. Die zweite und dritte Hauptart k\"onnen durch reciproke +Radien auf einem geraden Kegel oder Cylinder conform abgebildet +werden (132.). In jedem Knotenpunkte der zweiten +Hauptart werden die durch ihn gehenden Kr\"ummungslinien +der Cyclide von den Strahlen eines Rotations-Kegels ber\"uhrt. +Wenn eine Cyclide sich in das Unendliche erstreckt, was +nach dem Vorhergehenden bei jeder der drei Hauptarten eintreten +kann, so besitzt sie zwei gerade Kr\"ummungslinien, die +sich rechtwinklig kreuzen; durch dieselben gehen die Ebenen +aller \"ubrigen Kr\"ummungslinien (133.). + +135. Die Kr\"ummungslinien einer Rotations-Cyclide heissen +Meridiane oder Parallelkreise, jenachdem ihre Ebenen durch +%-----File: 073.png----------------------------------- +die Rotations-Axe gehen oder auf ihr senkrecht stehen. Die +Meridiane haben in jedem Punkte der Rotations-Axe gleiche +Potenz, liegen also in einem Kugelb\"undel, dessen Axe die +Rotations-Axe ist; die Parallelkreise dagegen geh\"oren zu +demjenigen B\"undel, dessen Kugeln von der Rotations-Axe +rechtwinklig geschnitten werden. Jeder dieser beiden B\"undel +geht durch die Orthogonalkugeln des anderen; denn die Orthogonalkugeln +des zweiten B\"undels reduciren sich auf die Ebenen +der Meridiane, und diejenigen des ersteren gehen durch die +Parallelkreise, indem sie alle Meridiane rechtwinklig schneiden. +Durch einen beliebigen Punkt gehen zwei Kugeln, +welche die Rotations-Cyclide in Kreisen ber\"uhren; diese Kreise +sind zwei Meridiane, wenn der Punkt von der Cyclide einfach +eingeschlossen ist, zwei Parallelkreise, wenn er garnicht oder +zweifach von ihr umschlossen wird, dagegen ein Meridian +und ein Parallelkreis, wenn er auf der Cyclide liegt. Aus +diesen S\"atzen ergeben sich die folgenden (vgl.\ 133. und 54.). + +136. Alle Kr\"ummungslinien der Dupin'schen Cyclide, +welche zu der einen oder der anderen Schaar geh\"oren, und +alle durch sie gehenden Kugeln liegen in einem Kugelb\"undel; +die Ebenen dieser Kr\"ummungslinien schneiden sich folglich +in der Axe dieses B\"undels. Mit den Kugeln des B\"undels +hat die Cyclide im Allgemeinen je zwei Kr\"ummungslinien +der Schaar gemein (vgl.\ 133.); denn wenn eine dieser Kugeln +durch einen Punkt $P$ der Cyclide geht, so enth\"alt sie auch +den durch $P$ gehenden Kreis des B\"undels (44.). Die Orthogonalkugeln +des B\"undels liegen mit den Kr\"ummungslinien +der zweiten Schaar in einem zweiten Kugelb\"undel, dessen +Orthogonalkugeln wiederum in dem ersten B\"undel liegen. +Die Central-Ebene eines jeden der beiden B\"undel steht auf +der Axe desselben normal und geht durch die Axe des anderen +B\"undels; denn sie geh\"ort zu den Orthogonalkugeln des ersteren +B\"undels; sie ist eine Symmetrie-Ebene dieses B\"undels und +folglich auch der Cyclide. + +137. Die Dupin'sche Cyclide hat demnach zwei zu einander +normale Symmetrie-Ebenen (vgl.\ 131.). Jede derselben +schneidet eine der beiden Schaaren von Kr\"ummungslinien +und deren Potenz-Axe rechtwinklig, und geht durch zwei +Kr\"ummungslinien und die Potenz-Axe der anderen Schaar. +Durch eine der beiden Potenz-Axen gehen zwei singul\"are +%-----File: 074.png----------------------------------- +Ber\"uhrungs-Ebe\-nen, welche die Cyclide l\"angs zwei Kreisen ber\"uhren +(135.); wenn aber die Cyclide sich in das Unendliche +erstreckt (vgl.\ 134.), so wird sie in jeder der beiden Potenz-Axen +von einer singul\"aren Ebene ber\"uhrt. Verbindet man +die Kr\"ummungslinien der einen oder der anderen Schaar mit +einem beliebigen Punkte $P$ durch Kugelfl\"achen, so schneiden +sich diese in einem Kreise des zugeh\"origen Kugelb\"undels (44.); +die beiden durch $P$ gehenden Kreise der zwei Kugelb\"undel +aber schneiden sich rechtwinklig in $P$, weil jeder von ihnen +auf einer Orthogonalkugel des anderen liegt. + +138. Jede der beiden Kugelschaaren, welche eine Dupin'sche +Cyclide umh\"ullen, kann durch eine ver\"anderliche Kugel $\gamma$ +beschrieben werden, die bei ihrer stetigen Bewegung drei +beliebige Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ der anderen Schaar fortw\"ahrend +ber\"uhrt. Bei dieser Bewegung aber gehen die Verbindungslinien +der drei Ber\"uhrungspunkte best\"andig durch drei Aehnlichkeitspunkte +der Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ und ihre Ebene geht +durch eine Aehnlichkeits-Axe derselben (120.). Die drei Ber\"uhrungspunkte +liegen auf der kreisf\"ormigen Kr\"ummungslinie, +in welcher die bewegliche Kugel $\gamma$ die Cyclide ber\"uhrt (133.); +jene Aehnlichkeits-Axe der Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ ist demnach die +Potenz-Axe der von $\gamma$ beschriebenen Kugelschaar (136.). Die +Ber\"uhrungspunkte beschreiben auf $\varkappa$, $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$ drei Kr\"ummungslinien +der anderen Schaar; der Schnittpunkt ihrer drei +Ber\"uhrungsebenen ist Potenzpunkt von $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ und $\gamma$, und +beschreibt, indem $\gamma$ sich bewegt, die Potenz-Axe von $\varkappa$, $\varkappa_1$ +und $\varkappa_2$. Construirt man also bez\"uglich irgend einer Kugel $\gamma$ +(oder $\varkappa$) der einen Schaar die Polare der Potenz-Axe dieser +Schaar, so liegt diese Polare mit dem Kreise, in welchem +die Cyclide von der Kugel ber\"uhrt wird, und mit der Potenz-Axe +der anderen Schaar in einer Ebene. + +139. Die Potenz-Axen der beiden eine Dupin'sche Cyclide +umh\"ullenden Kugelschaaren haben demnach folgende Eigenschaften. +Sie sind conjugirt bez\"uglich aller Kugeln der beiden +Schaaren und kreuzen sich rechtwinklig (137.). Jede von +ihnen ist die Potenz-Axe von je drei Kugeln der einen Schaar +und zugleich Aehnlichkeits-Axe von je drei Kugeln der anderen. +Durch jede der beiden Potenz-Axen gehen die Ebenen aller +zu einer Schaar geh\"origen Kr\"ummungslinien; auf ihr liegen +die Mittelpunkte aller Kegelfl\"achen, welche die Cyclide +%-----File: 075.png----------------------------------- +in je einer Kr\"ummungslinie der anderen Schaar ber\"uhren +oder in je zwei solchen schneiden. + +140. Um eine Kugel $\gamma$ zu construiren, welche drei gegebene +Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ ber\"uhrt, suchen wir zun\"achst die +Potenz-Axe und die vier Aehnlichkeits-Axen der drei Kugeln. +Sodann bestimmen wir von einer dieser Aehnlichkeits-Axen +die zu der Potenz-Axe parallelen Polaren in Bezug auf $\varkappa$, $\varkappa_1$ +und $\varkappa_2$, verbinden diese Polaren mit der Potenz-Axe durch +drei Ebenen und bringen letztere mit resp.\ $\varkappa$, $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$ zum +Durchschnitt. Sind die drei Schnittkreise reell, so geht durch +jeden Punkt derselben eine die Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$ ber\"uhrende +Kugel $\gamma$; und zwar liegen die drei Ber\"uhrungspunkte von $\gamma$ +auf jenen drei Kreisen, ihre Ebene geht durch die Aehnlichkeits-Axe +und ihre Verbindungslinien gehen durch die drei +auf derselben liegenden Aehnlichkeits-Punkte von $\varkappa$, $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$. +Die drei Ber\"uhrungspunkte und damit zugleich die ber\"uhrende +Kugel $\gamma$ sind hiernach leicht zu construiren. + +141. Die Construction eines Kreises, welcher drei in +einer Ebene gegebene Kreise $k$, $k_1$, $k_2$ ber\"uhrt, wird auf die +vorhergehende zur\"uckgef\"uhrt, indem man die Kreise als gr\"osste +Kreise von drei Kugeln auf\/fasst. Man construire also bez\"uglich +der drei Kreise die Pole von einer ihrer vier Aehnlichkeits-Axen, +verbinde diese Pole mit dem Potenzpunkt von +$k$, $k_1$ und $k_2$, und bringe die drei Verbindungslinien mit den +resp.\ drei Kreisen zum Durchschnitt. Die Schnittpunkte, +wenn solche existiren, k\"onnen zu dreien durch zwei Kreise +verbunden werden, welche in ihnen die gegebenen drei Kreise +ber\"uhren. Es giebt im Allgemeinen und h\"ochstens acht +Kreise, welche drei in der Ebene beliebig angenommene Kreise +ber\"uhren. + +142. Es giebt im Allgemeinen und h\"ochstens sechzehn +Kugeln, welche vier gegebene Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$, $\varkappa_3$ ber\"uhren +(vgl.\ 124.). Um zwei derselben zu construiren, suche man +bez\"uglich der vier Kugeln die Pole von einer ihrer acht +Aehnlichkeits-Ebenen, verbinde diese vier Pole mit dem Potenzpunkte +der Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$, $\varkappa_3$ und bringe die vier +Verbindungslinien mit den resp.\ vier Kugeln zum Durchschnitt. +Wenn Schnittpunkte existiren, so k\"onnen dieselben zu vieren +durch zwei Kugeln verbunden werden, welche in ihnen die +vier gegebenen Kugeln ber\"uhren. Der Beweis dieser +%-----File: 076.png----------------------------------- +Construction bleibe als n\"utzliche Uebung dem Leser \"uberlassen +(vgl.\ 124., 140.). + +143. Im Allgemeinen giebt es vier Dupin'sche Cycliden, +welche drei beliebig angenommene Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ einh\"ullen +(140.); die vier Aehnlichkeits-Axen dieser Kugeln sind die +zweiten Potenz-Axen der vier Cycliden. Doch kann je nach +der Lage der drei Kugeln auch der Fall eintreten, dass weniger +als vier oder auch gar keine Schaaren sie ber\"uhrender Kugeln +existiren. Wenn z.~B.\ eine der drei Kugeln die zweite ein- und +die dritte ausschliesst, so giebt es keine Kugel, welche +sie alle drei ber\"uhrt. + +144. Alle Kugeln eines Kugelb\"undels, welche eine beliebige, +nicht zu dem B\"undel geh\"orige Kugel $\varkappa$ ber\"uhren, +umh\"ullen eine Dupin'sche Cyclide. Denn sie werden nicht +blos von $\varkappa$, sondern von unendlich vielen Kugeln $\varkappa_1$, $\varkappa_2$, $\ldots$ +ber\"uhrt, welche eine zweite die Cyclide einh\"ullende Kugelschaar +bilden, und zwar erh\"alt man eine dieser Kugeln $\varkappa_1, +\varkappa_2, \ldots$, wenn man durch den Kugelb\"undel ein Geb\"usch legt +und durch die zu dem Geb\"usche geh\"origen reciproken Radien +die Kugel $\varkappa$ transformirt (111.). Die Kugeln $\varkappa_1$, $\varkappa_2$, $\ldots$ der +zweiten Schaar sind der Kugel $\varkappa$ zugeordnet in Bezug auf +die Orthogonalkugeln des B\"undels. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + + +\abschnitt{\S.~16.\\[\parskip] +Lineare Kugelsysteme, die zu einander normal sind.}\label{p16} + + +\hspace{\parindent}% +145. Ein Kugelb\"undel und der zu ihm geh\"orige B\"uschel +orthogonaler Kugeln stehen in den folgenden Wechselbeziehungen +zu einander. Alle Orthogonalkugeln des B\"undels +bilden den B\"uschel und alle Orthogonalkugeln des B\"uschels +bilden den B\"undel (50.). Jede Kugel von einem dieser +beiden linearen Kugelsysteme ist die Orthogonalkugel eines +durch das andere gehenden Geb\"usches; und jedes Geb\"usch, +welches durch eines der beiden Systeme geht, hat eine in +dem anderen liegende Orthogonalkugel. Mit anderen Worten: +Wenn ein Kugelb\"uschel oder -B\"undel durch die Orthogonalkugel +eines Geb\"usches geht, so geht das letztere durch alle +Orthogonalkugeln des ersteren; und umgekehrt. Weil aber +ein B\"undel der Schnitt von zwei Geb\"uschen ist, so ergiebt +sich weiter: Wenn von zwei Kugelb\"undeln der eine durch +%-----File: 077.png--------------------------------- +zwei und folglich durch alle Orthogonalkugeln des anderen geht, +so geht der letztere durch alle Orthogonalkugeln des ersteren. +Von zwei Kugelgeb\"uschen geht entweder keines oder jedes +durch die Orthogonalkugel des anderen; wenn n\"amlich das +eine durch die Orthogonalkugel des anderen geht, so geht +dieses durch alle Orthogonalkugeln eines seine Orthogonalkugel +enthaltenden B\"undels des ersteren Geb\"usches und folglich +auch durch die Orthogonalkugel dieses Geb\"usches. + +146. Wir k\"onnen die vorhergehenden S\"atze in dem +folgenden Satze zusammenfassen: Von zwei linearen Kugelsystemen +geht entweder keines oder jedes durch alle Orthogonalkugeln +des anderen. In dem letzteren Falle, wenn +also das eine und folglich jedes der beiden Systeme alle +Orthogonalkugeln des anderen enth\"alt, wollen wir diese +linearen Kugelsysteme {\glqq}zu einander normal{\grqq} nennen. Zu +einem Kugelgeb\"usche sind demnach normal alle durch seine +Orthogonalkugel gehenden Kugelb\"uschel, B\"undel und Geb\"usche; +durch jede andere Kugel geht ein bestimmter, zu +dem Geb\"usche normaler Kugelb\"uschel, und durch jeden +die Orthogonalkugel nicht enthaltenden B\"uschel kann allemal +ein zu dem Geb\"usche normaler Kugelb\"undel gelegt +werden. Ein Kugelb\"undel ist zu unendlich vielen anderen +Kugelb\"undeln normal; dieselben durchdringen sich in den +Orthogonalkugeln jenes B\"undels, und durch jede andere Kugel +des Raumes geht einer von ihnen. Zu einem Kugelb\"uschel +sind unendlich viele Geb\"usche normal; dieselben durchdringen +sich in den Orthogonalkugeln des B\"uschels, und durch jede +andere Kugel geht eines von ihnen. + +147. Von zwei zu einander normalen Kugelb\"undeln gehen +durch einen beliebigen Punkt des Raumes zwei sich rechtwinklig +schneidende Kreise; durch jeden dieser beiden Kreise +geht n\"amlich eine Orthogonalkugel des anderen (44., 146.). +Die Central-Ebene des einen B\"undels geh\"ort zu den Orthogonalkugeln +desselben; sie ist folglich eine Ebene des anderen +B\"undels und geht durch dessen Axe, w\"ahrend sie zu der +Axe des ersteren B\"undels normal ist. Die beiden Axen der +zu einander normalen B\"undel kreuzen sich demnach rechtwinklig, +und ihre Central-Ebenen schneiden sich rechtwinklig; +jede der beiden Axen liegt in einer der beiden Central-Ebenen +und ist zu der anderen normal. Schneiden sich die Kugeln +%-----File: 078.png--------------------------------- +des einen B\"undels in zwei Punkten, die (48.) auch zusammenfallen +k\"onnen, so hat der andere B\"undel einen durch diese +Punkte gehenden Orthogonalkreis; denn auf die beiden Punkte +reduciren sich zwei Orthogonalkugeln des ersteren B\"undels, +sie sind also Punktkugeln des letzteren. Wenn anderseits +jeder der beiden B\"undel einen Orthogonalkreis hat, so sind +diese beiden Kreise zu einander orthogonal, weil jeder von +ihnen die durch den anderen gehenden Kugeln rechtwinklig +schneidet. In einem sehr speciellen Falle, den wir nicht +weiter ber\"ucksichtigen wollen, reduciren sich die Orthogonalkreise +beider B\"undel auf einen Punkt, in welchem sich die +Axen der B\"undel rechtwinklig schneiden. --- Die beiden, +eine Dupin'sche Cyclide einh\"ullenden Kugelschaaren liegen +in zwei zu einander normalen Kugelb\"undeln (136.). + +148. Zwei zu einander normale lineare Kugelsysteme +verwandeln sich durch reciproke Radien allemal wieder in +zwei zu einander normale lineare Kugelsysteme (54.). Ueberhaupt +bilden ja zwei sich schneidende Kugeln dieselben +Winkel mit einander wie die beiden Kugeln oder Ebenen, in +welche sie durch reciproke Radien \"ubergehen (22.). Nimmt +man das Centrum der reciproken Radien auf dem Orthogonalkreise +des einen von zwei zu einander normalen Kugelb\"undeln +an, so verwandeln sich diese B\"undel in zwei andere +zu einander normale B\"undel, die eine besonders einfache +gegenseitige Lage haben; n\"amlich die Axe des einen derselben +enth\"alt die Mittelpunkte aller Kugeln des anderen (54.), und +durch Drehung um diese Axe \"andern sich die B\"undel nicht. +Wenn insbesondere das Centrum der reciproken Radien mit +einem Punkte zusammenf\"allt, durch welchen alle Kugeln des +einen von den normalen B\"undeln gehen, so verwandelt sich +dieser B\"undel in einen B\"undel von Strahlen und Ebenen, +der andere aber in einen B\"undel von Kugeln und Kreisen, +deren Mittelpunkte auf einem Strahle jenes Strahlenb\"undels +liegen (147., 54.), und auch in diesem Falle \"andern sich die +beiden B\"undel durch eine Drehung um diese Mittelpunktsgerade nicht. + +149. Alle Kugeln eines B\"undels $B$, welche eine beliebige +Kugel $\varkappa$ unter einem gegebenen schiefen Winkel schneiden, +bilden mit jeder sie schneidenden Kugel des durch $\varkappa$ +gehenden und zu $B$ normalen B\"undels $B_1$ gleiche Winkel, +%-----File: 079.png--------------------------------- +und umh\"ullen im Allgemeinen eine Dupin'sche Cyclide, deren +zweite Kugelschaar in dem B\"undel $B_1$ liegt. Bei dem Beweise +dieses Satzes d\"urfen wir annehmen, dass entweder die +Axe $a$ des B\"undels $B$ durch die Mittelpunkte aller Kugeln +von $B_1$ geht, oder dass der B\"undel $B_1$ ein Strahlenb\"undel +ist und dass ein Strahl $s$ desselben die Mittelpunkte aller +Kugeln von $B$ enth\"alt; denn auf diese beiden F\"alle l\"asst +sich der allgemeine Fall durch reciproke Radien zur\"uckf\"uhren +(148., 147.). In dem ersteren Falle erh\"alt man alle +Kugeln des B\"undels $B$, welche mit $\varkappa$ den gegebenen schiefen +Winkel bilden, wenn man eine beliebige derselben um die +Axe $a$ rotiren l\"asst; jene Kugeln umh\"ullen eine Rotations-Cyclide, +und die Richtigkeit des Satzes leuchtet ohne Weiteres +ein. In dem zweiten Falle ist $\varkappa$ eine Ebene, welche den +Strahl $s$ in dem Mittelpunkte $M$ des Strahlenb\"undels $B_1$ +schneidet, und man erh\"alt alle jene Kugeln des B\"undels $B$, +wenn man das Centrum von einer derselben den Strahl $s$ +durchlaufen und zugleich ihren Radius proportional mit dem +Abstande des Centrums vom Punkte $M$ sich \"andern l\"asst. +Auch in diesem zweiten Falle leuchtet die Richtigkeit des +Satzes sofort ein; jene Kugeln aber umh\"ullen im Allgemeinen +einen Rotationskegel mit der Axe $s$ und dem Mittelpunkte +$M$, welche nur dann nicht reell existirt, wenn der Punkt $M$ +von den Kugeln eingeschlossen wird oder auf denselben liegt. + +150. Alle Kugeln eines Geb\"usches $\varGamma$, welche eine beliebige +Kugel $\varkappa$ unter einem gegebenen schiefen Winkel +schneiden, bilden mit jeder sie schneidenden Kugel des durch +$\varkappa$ gehenden und zu $\varGamma$ normalen B\"uschels gleiche Winkel, und +ber\"uhren im Allgemeinen zwei Kugeln dieses B\"uschels. Bei +dem Beweise dieses Satzes unterscheiden wir zwei F\"alle, +jenachdem n\"amlich $\varkappa$ mit der Orthogonalkugel $\omega$ des Geb\"usches +einen Punkt gemein hat oder nicht. In dem ersteren +Falle verwandeln wir $\varkappa$ und $\omega$ durch reciproke Radien in +zwei Ebenen $\varkappa'$ und $\omega'$; dann geht das Geb\"usch \"uber in +ein zu $\omega'$ symmetrisches Geb\"usch $\varGamma'$. Da nun die Radien +aller Kugeln von $\varGamma'$, welche die Ebene $\varkappa'$ unter dem gegebenen +Winkel schneiden, proportional sind den Abst\"anden +ihrer Mittelpunkte von der Geraden $\overline{\varkappa'\,\omega'}$, so bilden diese +Kugeln mit einer beliebig durch diese Schnittlinie von $\varkappa'$ +und $\omega'$ gelegten Ebene gleiche Winkel, und ber\"uhren zwei +%-----File: 080.png----------------------------------- +durch $\overline{\varkappa'\;\omega'}$ gehende Ebenen, wenn sie mit $\overline{\varkappa'\;\omega'}$ keinen Punkt +gemein haben. F\"ur diesen ersten Fall ist damit der obige +Satz bewiesen. --- Wenn zweitens die Kugeln $\varkappa$ und $\omega$ keinen +Punkt mit einander gemein haben, so enth\"alt der durch sie +gehende Kugelb\"uschel zwei Punktkugeln $M$, $N$. Durch reciproke +Radien vom Centrum $M$ verwandeln sich alsdann $\varkappa$ +und $\omega$ in zwei concentrische Kugeln $\varkappa'$ und $\omega'$ (54.), und +das Geb\"usch wird in ein anderes transformirt, welches den +Mittelpunkt von $\varkappa'$ und $\omega'$ zum Centrum hat. Alle Kugeln +dieses neuen Geb\"usches aber, welche $\varkappa'$ unter dem gegebenen +Winkel schneiden, haben wie man leicht einsieht gleiche +Radien, und der Ort ihrer Mittelpunkte ist eine mit $\varkappa'$ concentrische +Kugel; sie ber\"uhren folglich zwei Kugeln und +bilden gleiche Winkel mit jeder dritten sie schneidenden +Kugel des durch $\varkappa'$ und $\omega'$ gehenden B\"uschels concentrischer +Kugeln. Damit ist auch f\"ur diesen zweiten Fall, welcher +insbesondere dann eintritt, wenn $\omega$ einen imagin\"aren Halbmesser +hat, der Satz bewiesen. + +151. Die Kugeln eines Geb\"usches, welche eine Kugel $\varkappa$ +unter einem gegebenen Winkel schneiden, sind im Allgemeinen +identisch mit denjenigen Kugeln des Geb\"usches, +welche eine gewisse andere Kugel $\lambda$ ber\"uhren (150., vgl.\ 111.). +Die Potenz-Ebenen, welche sie mit irgend zwei dem Geb\"usche +nicht angeh\"orenden Kugeln bestimmen, umh\"ullen zwei collineare +Fl\"achen (101.); die eine dieser Fl\"achen aber f\"allt mit +$\lambda$ zusammen, wenn $\lambda$ die eine jener beiden Kugeln ist, und +die andere Fl\"ache ist folglich eine zu der Kugel $\lambda$ collineare +Fl\"ache zweiter Ordnung und zweiter Classe (94.). Insbesondere +umh\"ullen die Ebenen der Kreise, in welcher $\varkappa$ von +jenen Kugeln unter dem gegebenen Winkel geschnitten wird, +eine zu $\lambda$ collineare Fl\"ache zweiter Ordnung und zweiter +Classe. Auch die Polar-Ebenen eines beliebigen Punktes +in Bezug auf alle jene Kugeln umh\"ullen eine zu $\lambda$ collineare +Fl\"ache (102.); die Mittelpunkte der Kugeln aber liegen auf +einer zu $\lambda$ reciproken Fl\"ache zweiter Classe und zweiter +Ordnung (103.), falls das Geb\"usch kein symmetrisches ist. --- Ein +beliebiger dem Geb\"usche angeh\"orender Kugelb\"uschel +enth\"alt im Allgemeinen und h\"ochstens zwei Kugeln, welche +$\lambda$ ber\"uhren (109.) und somit die Kugel $\varkappa$ unter dem gegebenen +schiefen Winkel schneiden. + +%-----File: 081.png----------------------------------- + +152. Weil die Kugeln eines B\"undels, welche eine beliebige +Kugel $\varkappa$ unter einem gegebenen schiefen Winkel +schneiden, im Allgemeinen eine Dupin'sche Cyclide umh\"ullen +(149.), so wollen wir ihre Gesammtheit eine {\glqq}Dupin'sche +Kugelschaar{\grqq} nennen. Die Potenz-Ebenen, welche die Kugeln +dieser Schaar mit beliebigen, dem B\"undel nicht angeh\"orenden +Kugeln bestimmen, umh\"ullen zwei collineare Kegelfl\"achen +(100., 101.); diese Kegelfl\"achen sind von der zweiten Ordnung +und zweiten Classe, weil eine derselben ein Rotationskegel +wird, wenn die eine der beiden Kugeln alle Kugeln der +Schaar ber\"uhrt. Auch die Polar-Ebenen eines beliebigen +Punktes bez\"uglich aller Kugeln der Dupin'schen Schaar umh\"ullen +eine Kegelfl\"ache zweiter Ordnung und zweiter Classe; +die Mittelpunkte jener Kugeln aber liegen im Allgemeinen +auf einer Curve zweiter Ordnung, welche auf jene Kegelfl\"achen +reciprok bezogen ist. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + + +\abschnitt{\S.~17. \\[\parskip] +Kugeln, die sich unter gegebenen Winkeln schneiden.}\label{p17} + + +\hspace{\parindent}% +153. Alle Kugeln, welche eine Kugel $\varkappa$ unter einem +gegebenen schiefen Winkel schneiden, bilden ein {\glqq}quadratisches +Kugelsystem dritter Stufe{\grqq}, d.~h.\ ein beliebiger Kugelb\"uschel +enth\"alt im Allgemeinen und h\"ochstens zwei derselben. +Bei dem Beweise dieses Satzes d\"urfen wir annehmen, +dass der B\"uschel entweder aus concentrischen Kugeln bestehe +oder aus Ebenen, die alle durch eine Gerade gehen; denn +durch reciproke Radien kann der allgemeine Fall auf diese +besonderen beiden F\"alle zur\"uckgef\"uhrt werden (54.). In +dem ersteren dieser F\"alle sei $M$ der Mittelpunkt der concentrischen +Kugeln, $C$ derjenige von $\varkappa$ und $P$ ein beliebiger +Punkt der Kugel $\varkappa$. Dann bildet $\varkappa$ mit der durch $P$ gehenden +Kugel des B\"uschels dieselben Winkel, wie der Radius $CP$ mit +der Geraden $MP$. Legt man also durch die Punkte $C$ und +$M$ einen Kreis, dessen \"uber dem Bogen $CM$ stehenden Peripheriewinkel +dem gegebenen Winkel $w$ gleich sind, und bestimmt +sodann die Schnittpunkte $P$, $P'$ dieses Kreises und +der Kugel $\varkappa$, so gehen durch $P$ und $P'$ die beiden einzigen +Kugeln des B\"uschels, welche mit $\varkappa$ den Winkel $w$ bilden; +man erh\"alt aber keine solche Schnittpunkte, wenn der Radius $r$ +%-----File: 082.png----------------------------------- +von $\varkappa$ gr\"osser als $CM$ und $\sin w > CM : r$ ist. --- In dem +zweiten Falle legen wir durch das Centrum $C$ der Kugel $\varkappa$ +eine Ebene, welche die Ebenen des B\"uschels rechtwinklig schneidet, +und bezeichnen mit $M$ den gemeinschaftlichen Punkt der +Schnittlinien, sowie mit $P$ einen der Punkte, welchen die +Ebene mit $\varkappa$ gemein hat. Die Kugel $\varkappa$ bildet dann mit der +durch $P$ gehenden Ebene des B\"uschels und mit der um $M$ +mit dem Radius $MP$ beschriebenen Kugel zwei spitze Winkel, +die sich zu einem rechten erg\"anzen; diejenigen zwei +Lagen des Punktes $P$, f\"ur welche der erstere dieser Winkel +einem gegebenen Winkel gleich wird, ergeben sich deshalb +ebenso, wie im ersteren Falle. + +154. Eine Kugel $\varkappa$ wird unter dem schiefen Winkel $w$ +auch von unendlich vielen Ebenen geschnitten; dieselben umh\"ullen +eine mit $\varkappa$ concentrische Kugel. Transformirt man +diese Ebenen durch reciproke Radien, deren Centrum irgend +ein Punkt $C$ ist und welche die Kugel $\varkappa$ in sich selbst verwandeln, +so ergiebt sich: Alle durch einen Punkt $C$ gehenden +Kugeln, welche eine Kugel $\varkappa$ unter dem schiefen Winkel $w$ +schneiden, umh\"ullen eine andere Kugel $\lambda$. Dieser Satz ist in +einem fr\"uheren (150.) enthalten; denn alle durch $C$ gehenden +Kugeln und Kreise bilden ein specielles Kugelgeb\"usch, und +der Punkt $C$ kann als eine von ihnen ber\"uhrte Punktkugel +aufgefasst werden. + +155. Die Ebenen, welche zwei Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ unter +den respectiven schiefen Winkeln $w$ und $w_1$ schneiden, umh\"ullen +im Allgemeinen zwei Rotationskegel; denn sie sind +die gemeinschaftlichen Ber\"uhrungsebenen von zwei bestimmten, +mit $\varkappa$ und $\varkappa_1$ concentrischen Kugeln (154.). Alle durch +einen Punkt $C$ gehenden Kugeln, welche mit den Kugeln $\varkappa$ +und $\varkappa_1$ die resp.\ Winkel $w$ und $w_1$ bilden, umh\"ullen im Allgemeinen +zwei Dupin'sche Cycliden, von welchen $C$ ein Knotenpunkt +ist; denn durch reciproke Radien vom Centrum $C$ verwandeln +sie sich in die gemeinschaftlichen Ber\"uhrungs-Ebenen +von zwei anderen Kugeln, oder auch, wenn $C$ auf $\varkappa$ oder $\varkappa_1$ +liegt, in diejenigen Ber\"uhrungs-Ebenen einer Kugel, welche +eine Ebene unter einem gegebenen schiefen Winkel schneiden. +Die beiden Dupin'schen Cycliden sind allemal reell vorhanden, +wenn $C$ auf $\varkappa$ oder $\varkappa_1$ liegt. + +156. Das quadratische Kugelsystem dritter Stufe, dessen +%-----File: 083.png----------------------------------- +Kugeln mit einer Kugel $\varkappa$ einen gegebenen Winkel bilden, +hat mit einem Geb\"usche ein {\glqq}quadratisches Kugelsystem +zweiter Stufe{\grqq} und mit einem Kugelb\"undel eine Dupin'sche +Kugelschaar gemein (150., 152.). Von der Dupin'schen Kugelschaar +liegen in einem beliebigen Kugelgeb\"usch im Allgemeinen +und h\"och\-stens zwei Kugeln; denn das Geb\"usch schneidet +den die Schaar enthaltenden B\"undel in einem Kugelb\"uschel, +und dieser hat mit der Schaar dieselben Kugeln +gemein wie mit dem quadratischen Kugelsystem dritter Stufe. +Auf \"ahnliche Weise ergiebt sich, dass das quadratische Kugelsystem +zweiter Stufe mit einem beliebigen Kugelb\"undel im +Allgemeinen und h\"ochstens zwei Kugeln, mit einem Geb\"usche +aber eine Dupin'sche Kugelschaar gemein hat. Insbesondere +bilden alle durch einen Punkt $C$ gehenden Kugeln des quadratischen +Systemes zweiter Stufe eine Dupin'sche Kugelschaar, +weil sie dem Geb\"usche vom Centrum $C$ und der Potenz Null +angeh\"oren. Die Kugeln dieses quadratischen Systemes zweiter +Stufe umh\"ullen im Allgemeinen zwei Kugeln (150.). + +157. Die Kugeln $\gamma$, welche zwei Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ beziehungsweise +unter den schiefen Winkeln $w$ und $w_1$ schneiden, +bilden zwei quadratische Kugelsysteme zweiter Stufe; +die beiden sie enthaltenden Kugelgeb\"usche sind normal zu +dem durch $\varkappa$, und $\varkappa_1$ gehenden Kugelb\"uschel. Verbinden wir +n\"amlich eine jener Kugeln $\gamma$ mit dem Kugelb\"undel, von welchem +$\varkappa$ und $\varkappa_1$ zwei Orthogonalkugeln sind, durch ein Geb\"usch $\varGamma$, +so ist dieses zu dem B\"uschel $\varkappa\varkappa_1$ normal; alle Kugeln von $\varGamma$, +welche mit $\varkappa$ den Winkel w bilden, schneiden folglich $\varkappa_1$ +unter demselben Winkel $w_1$, wie jene eine Kugel $\gamma$ (150.), +und bilden ein quadratisches Kugelsystem zweiter Stufe. Die +s\"ammtlichen Kugeln $\gamma$ aber bilden zwei solche Kugelsysteme +und liegen in zwei verschiedenen Kugelgeb\"uschen, weil diejenigen +unter ihnen, welche durch irgend einen Punkt von $\varkappa$ +gehen, nicht blos eine, sondern zwei Dupin'sche Kugelschaaren +bilden (155., 156.). + +158. Alle Kugeln, welche drei in keinem B\"uschel liegende +Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ unter den resp.\ schiefen Winkeln +$w$, $w_1$, $w_2$ schneiden, bilden im Allgemeinen vier Dupin'sche +Kugelschaaren und liegen in vier Kugelb\"undeln, welche zu +dem durch $\varkappa$, $\varkappa_1$, und $\varkappa_2$ gehenden B\"undel normal sind. Sie +liegen n\"amlich, weil sie $\varkappa$ und $\varkappa_1$ unter den Winkeln $w$ +%-----File: 084.png----------------------------------- +und $w_1$ schneiden, in zwei zu dem B\"uschel $\varkappa\varkappa_1$ normalen Geb\"uschen +(157.), und weil sie $\varkappa$ und $\varkappa_1$ unter den Winkeln $w$ +und $w_2$ schneiden, in zwei zu dem B\"uschel $\varkappa\varkappa_2$ normalen +Geb\"uschen; sie liegen folglich in den vier Kugelb\"undeln, +welche die ersteren beiden Geb\"usche mit den letzteren beiden +gemein haben. Jeder dieser vier B\"undel geht durch die gemeinschaftlichen +Orthogonalkugeln der B\"uschel $\varkappa\varkappa_1$ und $\varkappa\varkappa_2$. +und ist folglich zu dem B\"undel $\varkappa\:\varkappa_1\:\varkappa_2$ +normal; alle seine +Kugeln aber, welche die Kugel $\varkappa$ unter dem Winkel $w$ schneiden, +bilden eine Dupin'sche Kugelschaar (152.) und schneiden +die Kugeln $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$ unter dem resp.\ Winkeln $w_1$ und $w_2$. --- Uebrigens +ist es, wie wir schon f\"ur den Fall der Ber\"uhrung, +wenn $w = w_1 = w_2 = 0$ ist, hervorgehoben haben (143.), +bei besonderer Lage der Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ m\"oglich, dass +weniger als vier oder dass garkeine Schaaren von Kugeln +existiren, welche mit $\varkappa$, $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$ die gegebenen Winkel +bilden. + +159. Vier in keinem B\"undel liegende Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$, $\varkappa_3$ +werden im Allgemeinen und h\"ochstens von sechzehn Kugeln +unter den respectiven schiefen Winkeln $w$, $w_1$, $w_2$, $w_3$ geschnitten. +N\"amlich diese sechzehn Kugeln liegen, weil sie +$\varkappa$, $\varkappa_1$, und $\varkappa_2$ unter den Winkeln $w$, $w_1$ und $w_2$ schneiden, +in vier Dupin'schen Kugelschaaren, und zugleich, weil sie +mit $\varkappa$ und $\varkappa_4$ die Winkel $w$ und $w_4$ bilden, in zwei Kugelgeb\"uschen; +sie bilden also die acht Kugelpaare, welche diese +beiden Geb\"usche mit jenen vier Schaaren gemein haben (156.). + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + + +\abschnitt{\S.~18. \\[\parskip] +Kreise auf einer Kugel, die sich unter gegebenen Winkeln schneiden.}\label{p18} + + +\hspace{\parindent}% +160. Die Geometrie der Kreise auf einer Kugel (oder +Ebene) $\gamma$ l\"asst sich zur\"uckf\"uhren auf die Geometrie des Kugelgeb\"usches, +von welchem $\gamma$ die Orthogonalkugel ist. Insbesondere +bilden zwei sich schneidende Kreise der Kugel $\gamma$ +mit einander dieselben Winkel, wie die beiden durch sie +gehenden und zu $\gamma$ rechtwinkligen Kugeln. Doch ziehen wir +es vor, die n\"achstfolgenden S\"atze direct, anstatt mit H\"ulfe +des Geb\"usches, zu beweisen. + +161. Von zwei auf einer Kugel liegenden Kreisb\"undeln +geht entweder keiner oder jeder durch den Orthogonalkreis +%-----File: 085.png----------------------------------- +des anderen; denn nur dann, wenn die Centra der beiden +B\"undel conjugirt sind bez\"uglich der Kugel, tritt der letztere +Fall ein (vgl.~69.). Wenn ein Kreisb\"undel und ein Kreisb\"uschel +auf einer und derselben Kugel liegen, so geht entweder +keiner oder jeder von ihnen durch alle Orthogonalkreise +des anderen; der letztere Fall tritt ein, wenn das Centrum +des B\"undels und die Axe des B\"uschels conjugirt sind +in Bezug auf die Kugel (69., 72.). Wir wollen nun zwei Kreisb\"undel +einer Kugel oder Ebene, und ebenso einen Kreisb\"undel +und einen Kreisb\"uschel {\glqq}zu einander normal{\grqq} nennen, wenn der +eine von ihnen durch jeden Orthogonalkreis des anderen geht. + +162. Zwei solche zu einander normale Kreissysteme, +m\"ogen sie nun auf einer Kugel oder in einer Ebene liegen, +verwandeln sich durch reciproke Radien allemal wieder in +zwei zu einander normale Kreissysteme. Zu einem Kreisb\"uschel +k\"onnen einfach unendlich viele normale Kreisb\"undel construirt +werden; dieselben durchdringen sich in den Orthogonalkreisen +des B\"uschels, und durch jeden anderen Kreis ihres Tr\"agers +geht einer von ihnen. Zu einem Kreisb\"undel sind doppelt +unendlich viele Kreisb\"uschel normal; dieselben haben den +Orthogonalkreis des B\"undels mit einander gemein, und durch +jeden anderen Kreis ihres Tr\"agers geht einer von ihnen. + +163. Wenn ein Kreisb\"undel und ein Kreisb\"uschel zu +einander normal sind, so bilden alle Kreise des ersteren, +welche irgend einen Kreis des letzteren unter einem gegebenen +schiefen Winkel schneiden, auch mit jedem anderen +sie schneidenden Kreise des B\"uschels gleiche Winkel, und +ber\"uhren im Allgemeinen zwei Kreise des B\"uschels. Bei dem +Beweise dieses Satzes d\"urfen wir annehmen, dass entweder +der B\"uschel aus Parallelkreisen einer Kugel besteht oder ein +gew\"ohnlicher Strahlenb\"uschel ist; denn auf diese beiden F\"alle +l\"asst sich der allgemeine Fall zur\"uckf\"uhren (65.). Im ersteren +Falle liegen die Mittelpunkte der Parallelkreise mit dem Centrum +des Kreisb\"undels auf einem Durchmesser der Kugel; man +erh\"alt alle Kreise des B\"undels, welche mit einem der Parallelkreise +den gegebenen Winkel bilden, wenn man einen beliebigen +derselben um jenen Durchmesser rotiren l\"asst, und die Richtigkeit +des Satzes leuchtet ohne weiteres ein. In dem zweiten +Falle liegt der Kreisb\"undel in der Ebene des Strahlenb\"uschels +und enth\"alt alle Kreise der Ebene, deren Mittelpunkte auf +%-----File: 086.png--------------------------------- +einem bestimmten Strahle dieses B\"uschels liegen; die Radien +derjenigen Kreise des B\"undels, welche mit irgend einem anderen +Strahle des B\"uschels den gegebenen Winkel bilden, sind +folglich proportional zu den Abst\"anden ihrer Mittelpunkte von +dem Mittelpunkte des B\"uschels; diese Kreise bilden deshalb +mit jedem sie schneidenden Strahle des B\"uschels gleiche +Winkel, und werden, wenn sie das Centrum des B\"uschels +nicht einschliessen, von zwei Strahlen desselben ber\"uhrt. + +164. Alle Kugeln, welche eine Kugel $\varkappa$ unter dem schiefen +Winkel $w$ und eine andere Kugel $\gamma$ rechtwinklig schneiden, +bilden ein quadratisches Kugelsystem zweiter Stufe und umh\"ullen +im Allgemeinen zwei Kugeln (156.). Daraus folgt +(160.), wenn $\varkappa$ und $\gamma$ sich rechtwinklig schneiden: Alle Kreise +der Kugel $\gamma$, welche einen auf $\gamma$ angenommenen Kreis $k$ +unter dem schiefen Winkel $w$ schneiden, bilden ein quadratisches +Kreissystem zweiter Stufe, d.~h.\ in einem Kreisb\"uschel +von $\gamma$ liegen im Allgemeinen und h\"ochstens zwei derselben. +Durch eine Drehung um den Durchmesser von $\gamma$, welcher zu der +Ebene des Kreises $k$ normal ist, \"andert dieses quadratische +Kreissystem sich nicht. Die Ebenen aller Kreise dieses +Systemes umh\"ullen eine Fl\"ache zweiter Ordnung und zweiter +Classe (151.); dieselbe ist eine Rotationsfl\"ache und hat den +eben erw\"ahnten Durchmesser zur Rotationsaxe. + +165. Alle Kugeln, welche zwei Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$ unter den +resp.\ schiefen Winkeln $w$, $w_1$ und eine dritte Kugel $\gamma$ rechtwinklig +schneiden, liegen in zwei Kugelb\"undeln und bilden +zwei Dupin'sche Kugelschaaren (157., 156.). Alle Kreise +der Kugel $\gamma$, welche zwei auf $\gamma$ angenommene Kreise $k$, $k_1$ +unter den resp.\ Winkeln $w$, $w_1$ schneiden, liegen folglich in +zwei Kreisb\"undeln und bilden zwei quadratische Schaaren +von Kreisen. Jede dieser beiden Schaaren hat mit einem +beliebigen Kreisb\"undel von $\gamma$ im Allgemeinen und h\"ochstens +zwei Kreise gemein (156.), ihre Kreise bilden mit jedem +sie schneidenden Kreise des durch $k$ und $k_1$ gehenden B\"uschels +gleiche Winkel und ber\"uhren im Allgemeinen zwei +Kreise dieses B\"uschels (163.). + +166. Drei beliebige Kreise $k$, $k_1$, $k_2$ einer Kugel $\gamma$ werden +im Allgemeinen und h\"ochstens von acht Kreisen der Kugel +unter den respectiven schiefen Winkeln $w$, $w_1$, $w_2$ geschnitten. +Diese acht Kreise liegen, weil sie mit $k$ und $k_1$ die +%-----File: 087.png----------------------------------- +Winkel $w$ und $w_1$ bilden, in zwei quadratischen Kreisschaaren, +zugleich aber, weil sie $k$ und $k_2$ unter den resp.\ Winkeln +$w$ und $w_2$ schneiden, in zwei Kreisb\"undeln (165.); +sie bilden also die vier Kreispaare, welche diese beiden +B\"undel mit jenen beiden Kreisschaaren gemein haben. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} +\newpage + +\section*{\centering Einleitung in die analytische Geometrie der Kugelsysteme.} +%\abschnitt{\large \so{Einleitung in die analytische Geometrie der Kugelsysteme.}} + +\abschnitt{\S.~19.\\[\parskip] +Kugelcoordinaten. Complexe, Congruenzen und Schaaren von Kugeln.}\label{p19} + + +\hspace{\parindent}% +167. Wir wollen nunmehr unseren Untersuchungen ein +rechtwinkliges Coordinatensystem zu Grunde legen. Es seien +$\xi$, $\eta$, $\zeta$ die Coordinaten des Mittelpunktes einer Kugel vom +Radius $r$, und $x$, $y$, $z$ diejenigen eines Punktes $A$, welcher +von jenem Mittelpunkte den Abstand $d$ hat. Dann wird die +Potenz der Kugel im Punkte $A$ dargestellt durch: +\[ +d^2 - r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2 - r^2, +\] +und insbesondere die Potenz $p$ im Coordinaten-Anfange durch: +\[ +\tag{1} + p = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 - r^2. +\] +Wir haben also den Satz: +\begin{list}{}{\leftmargin1em\rightmargin2em\topsep0em}\item +{\glqq}Die Potenz einer Kugel im Punkte $(x, y, z)$ wird +dargestellt durch: +\[ +\tag{2} +(x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2 - r^2 += x^2 + y^2 + z^2 - 2\xi x - 2\eta y - 2\zeta z + p, +\] +wenn $(\xi,\eta,\zeta)$ ihr Mittelpunkt, $r$ ihr Radius ist und +$p$ ihre Potenz im Anfangspunkte der Coordinaten.{\grqq} +\end{list} +Liegt der Punkt $(x, y, z)$ auf der Kugelfl\"ache, so ist +$d = r$, die Potenz ist Null, und wir erhalten aus (2) die +Gleichung der Kugel in der Form: +\[ +\tag{3} +x^2 + y^2 + z^2 - 2\xi x - 2\eta y - 2\zeta z + p = 0. +\] + +168. Die Kugel ist v\"ollig bestimmt, wenn die rechtwinkligen +Coordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$ ihres Mittelpunktes und ihre +Potenz $p$ im Anfangspunkte der Coordinaten gegeben sind. +Wir k\"onnen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ und $p$ die vier {\glqq}bestimmenden Gr\"ossen{\grqq} +%-----File: 088.png--------------------------------- +oder {\glqq}Coordinaten{\grqq} der Kugel nennen, und mit $(\xi, \eta, \zeta, p)$ +die Kugel selbst bezeichnen. Die Einf\"uhrung der vierten +Kugelcoordinate $p$ anstatt des Radius $r$ empfiehlt sich schon +deshalb, weil die Gleichung der Kugel in Bezug auf $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ +linear ist, in Bezug auf $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $r$ dagegen quadratisch. +Uebrigens kann der Radius $r$ leicht aus den Kugelcoordinaten +berechnet werden mittelst der Gleichung (1): +\[ +r^2 = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 - p. +\] +Die Kugel $(\xi, \eta, \zeta, p)$ ist eine Punktkugel, wenn $p = \xi^2+\eta^2+\zeta^2$ +ist; sie artet in eine Ebene aus, wenn ihre Coordinaten unendlich +werden. + +169. Zwei Kugeln $(\xi, \eta, \zeta, p)$ und $(\xi_1, \eta_1, \zeta_1, p_1)$ haben +gleiche Potenz in einem Punkte $(x, y, z)$, wenn dessen Coordinaten +der Gleichung: +\[ +-2\,\xi x - 2\,\eta y - 2\,\zeta z + p = -2\,\xi_1 x - 2\,\eta_1 y - 2\,\zeta_1 z + p_1 +\] +oder: +\[ +(\xi-\xi_1)\,x + (\eta-\eta_1)\,y + (\zeta-\zeta_1)\,z = \frac{(p-p_1)}{2} +\] +gen\"ugen. Diese Gleichung repr\"asentirt die Potenz-Ebene der +beiden Kugeln, welche alle Potenzpunkte derselben enth\"alt +und zu der Centrale der Kugeln normal ist. --- Die beiden +Kugeln $(\xi, \eta, \zeta, p)$ und $(\xi_1, \eta_1, \zeta_1, p_1)$ schneiden sich rechtwinklig, +wenn: +\[ +\tag*{(4)} +\xi\xi_1 + \eta\eta_1 + \zeta\zeta_1 = \frac{p+p_1}{2} +\] +ist. Denn auf diese Gleichung reducirt sich die folgende: +\begin{gather*} +(\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 - p) + (\xi_1^2 + \eta_1^2 + \zeta_1^2 - p_1) +\\ += (\xi-\xi_1)^2 + (\eta-\eta_1)^2 + (\zeta-\zeta_1)^2, +\end{gather*} +welche die Summe der Quadrate beider Kugelradien gleich +dem Quadrate des Abstandes der Centra setzt; auch erh\"alt +man jene Gleichung (4) leicht, wenn man die Potenz der einen +Kugel im Centrum der anderen gleich dem Quadrate des +Radius dieser anderen Kugel setzt. + +170. Fassen wir die Kugelcoordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ als +ver\"anderliche Gr\"ossen auf, so k\"onnen wir jede beliebige Kugel +durch sie darstellen; nehmen wir insbesondere $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ unendlich +gross an, aber so dass ihre Verh\"altnisse endliche +Werthe erhalten, so stellen wir durch sie eine Ebene dar, +%-----File: 089.png----------------------------------- +welche auf den Coordinaten-Axen die Strecken $\frac{p}{2\xi}$, $\frac{p}{2\eta}$ und $\frac{p}{2\zeta}$ +abschneidet. Da jede der vier Coordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ unabh\"angig +von den \"ubrigen unendlich viele Werthe annehmen kann, +so giebt es vierfach unendlich viele Kugeln, und alle Kugeln +des Raumes bilden eine Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen. + +171. Werden die ver\"anderlichen Coordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ +irgend einer Bedingungsgleichung unterworfen, so k\"onnen sie +nicht mehr jede beliebige Kugel, sondern nur noch dreifach +unendlich viele Kugeln darstellen. Wir nennen die Gesammtheit +aller Kugeln, deren Coordinaten einer gegebenen Gleichung +gen\"ugen, ein Kugelsystem von drei Dimensionen oder +dritter Stufe, oder auch nach Pl\"ucker einen {\glqq}Kugelcomplex{\grqq}, +und wollen sagen, der Complex werde durch die Gleichung +{\glqq}dargestellt{\grqq} oder {\glqq}repr\"asentirt{\grqq}. Der Complex heisst algebraisch +oder transcendent, je nachdem die Gleichung algebraisch +oder transcendent ist; im ersteren Falle nennen wir +ihn linear, quadratisch, cubisch oder vom $n^{\text{ten}}$ Grade, wenn +seine Gleichung in Bezug auf $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ linear, quadratisch, +cubisch resp.\ vom $n^{\text{ten}}$ Grade ist. So z.~B.\ bilden alle Kugeln, deren Mittelpunkte auf einer gegebenen Fl\"ache liegen, +einen Kugelcomplex; derselbe wird durch die Gleichung +der Fl\"ache dargestellt. Alle Kugeln vom gegebenen Radius +$r$ bilden einen quadratischen Kugelcomplex, dessen Gleichung +$p = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 - r^2$ ist; insbesondere bilden alle +Punktkugeln einen quadratischen Complex. + +172. Alle Kugeln, deren Coordinaten zwei verschiedenen +Gleichungen gen\"ugen, bilden im Allgemeinen ein Kugelsystem +zweiter Stufe oder nach Pl\"ucker's Bezeichnung eine {\glqq}Kugelcongruenz{\grqq}. +Diese Congruenz besteht aus allen gemeinschaftlichen +Kugeln der beiden durch die Gleichungen repr\"a\-sen\-tirten +Kugelcomplexe; letztere durchdringen oder {\glqq}schneiden{\grqq} +sich in der Congruenz, falls sie sich nicht in derselben {\glqq}ber\"uhren{\grqq}. +Drei Kugelcomplexe, welche keine Kugelcongruenz +und auch keinen Theil einer Congruenz mit einander gemein +haben, durchdringen sich in einem Kugelsystem erster Stufe, +welches wir auch eine {\glqq}Kugelschaar{\grqq} nennen; diese Kugelschaar +besteht aus den einfach unendlich vielen gemeinschaftlichen +Kugeln der drei Complexe und wird durch die drei +Gleichungen der Complexe dargestellt. + +%-----File: 090.png----------------------------------- + +173. Ueberhaupt bilden alle Kugeln, deren Coordinaten $i$ +Bedingungsgleichungen gen\"ugen, im Allgemeinen ein Kugelsystem +von $4-i$ Dimensio\-nen oder $4-i^{\text{ter}}$ Stufe. Sie +k\"onnen jedoch in besonderen F\"allen eine Mannigfaltigkeit +von mehr als $4-i$ Dimensionen bilden, auch wenn, wie +wir voraussetzen, keine der $i$ Gleichungen eine Folge der +\"ubrigen ist. Diese Ausnahmef\"alle sind demjenigen vergleichbar, +in welchem drei Fl\"achen eine krumme oder gerade +Linie mit einander gemein haben anstatt discreter Punkte, +wie in dem allgemeinen Falle. Ein Kugelsystem heisst +algebraisch, wenn alle seine Gleichungen algebraisch sind; +es heisst linear, wenn seine Gleichungen algebraisch und vom +ersten Grade sind in Bezug auf die Kugelcoordinaten. + +174. Ein linearer Kugelcomplex ist nichts anderes als +ein Kugelgeb\"usch, und zwar insbesondere ein symmetrisches +Geb\"usch, wenn seine Gleichung die Form: +\[ + A\xi + B\eta + C\zeta + D = 0 +\] +hat. Diese Gleichung n\"amlich repr\"asentirt die Symmetrie-Ebene +des Ge\-b\"u\-sches, in welcher die Mittelpunkte aller +seiner Kugeln liegen. Im Allgemeinen enth\"alt die Gleichung +des linearen Complexes auch die vierte Kugel-Coordinate $p$, +und kann auf die Form: +\[ +\tag{5} + p = a\xi + b\eta + c\zeta + d +\] +gebracht werden; weil aber dann die Potenz einer beliebigen +Kugel des Complexes im Punkte $(x,\, y,\, z)$ dargestellt wird durch: +\[ + x^2 + y^2 + z^2 - 2\xi x - 2\eta y - 2\zeta z ++ ( a\xi + b\eta + c\zeta + d ), +\] +so haben alle Kugeln des Complexes im Punkte +$\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)$ +die Potenz +\[ + \textstyle\frac{1}{4} (a^2 + b^2 + c^2) + d. +\] +Die Gleichung~(5) stellt also ein Kugelgeb\"usch dar vom +Centrum +$\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)$ +und der Potenz +$\frac{1}{4} (a^2 + b^2 + c^2) + d$; die +Orthogonalkugel dieses Geb\"usches aber hat die Coordinaten +$\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}, -d \right)$ +wie sich durch Vergleichung von (5) mit (4) +ohne Weiteres ergiebt. Die Constanten $a$, $b$, $c$, $d$ der Gleichung +(5) k\"onnen so bestimmt werden, dass das Geb\"usch durch vier +%-----File: 091.png----------------------------------- +beliebig angenommene Kugeln geht (vgl.~12.). --- Eine lineare +Kugelcongruenz ist ein Kugelb\"undel, und eine lineare Kugelschaar +ist ein Kugelb\"uschel; der Beweis folgt aus dem obigen +Satze und aus den Definitionen der linearen Kugelsysteme. +Dass vier Kugelgeb\"usche eine und im Allgemeinen nur eine +Kugel mit einander gemein haben, beweist man durch Auf\/l\"osung +ihrer vier linearen Gleichungen. Auch die \"ubrigen +S\"atze des \S~9 \"uber lineare Kugelsysteme k\"onnen hier mittelst +einfacher Rechnungen bewiesen werden. + +175. Sind $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ und $\xi'$, $\eta'$, $\zeta'$, $p'$ die Coordinaten +einer beliebigen Kugel in Bezug auf zwei verschiedene rechtwinklige +Coordinaten-Systeme, so werden bekanntlich die +Mittelpunkts-Coordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$ durch lineare Functionen +von $\xi'$, $\eta'$, $\zeta'$ ausgedr\"uckt; aber auch die Potenz $p$ im Coordinatenanfangspunkte +des ersten Systemes ist alsdann eine +lineare Function von $\xi'$, $\eta'$, $\zeta'$ und $p'$. Denn es wird (167.) +\[ + p = a^2 + b^2 + c^2 - 2\xi'a + \eta'b + \zeta'c + p', +\] +wenn $a$, $b$, $c$ die Coordinaten jenes Anfangspunktes in Bezug +auf das zweite Coordinatensystem bezeichnen. Bei dem +Uebergange von einem rechtwinkligen Coordinatensysteme +zu einem anderen bleibt deshalb der Grad der Gleichungen +algebraischer Kugelsysteme unge\"andert. + +176. Durch reciproke Radien, deren Potenz $= k$ und +deren Centrum der Coordinaten-Anfang ist, wird jedem Punkte +$(x,\, y,\, z)$ ein Punkt $(x_1,\, y_1,\, z_1)$ zugeordnet, so dass: +\[ + x: x_1 = y: y_1 = z: z_1 \text{ und } + (x^2 + y^2 + z^2) \cdot (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) = k^2 +\] +und demgem\"ass: +\[ +\tag{6} + x = \frac{kx_1}{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}, \; + y = \frac{ky_1}{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}, \; + z = \frac{kz_1}{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} +\] +wird. Durch diese Substitution geht die Gleichung: +\[ + x^2 + y^2 + z^2 - 2\xi x - 2\eta y - 2\zeta z + p = 0, +\] +einer Kugel $(\xi, \eta, \zeta, p)$ \"uber in diejenige einer anderen Kugel +$(\xi_1, \eta_1, \zeta_1, p_1)$, n\"amlich in: +\[ + p_1 - 2\xi_1 x_1 - 2\eta_1 y_1 - 2\zeta_1 z_1 ++ x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 0, +\] +wenn gesetzt wird: +\[ +\tag{7} + \xi_1 = \frac{k\xi}{p}, \quad + \eta_1 = \frac{k\eta}{p}, \quad + \zeta_1 = \frac{k\zeta}{p}, \quad + p_1 = \frac{k^2}{p}, \quad +\] +Die Kugel $(\xi, \eta, \zeta, p)$ wird also durch die reciproken Radien +%-----File: 092.png----------------------------------- +in die Kugel ($\xi_1$, $\eta_1$, $\zeta_1$, $p_1$) transformirt, und wir erhalten +aus (7) die Substitution: +\[ + \xi = \frac{k \xi_1}{p_1}, \quad + \eta = \frac{k \eta_1}{p_1}, \quad + \zeta = \frac{k \zeta_1}{p_1}, \quad + p = \frac{k^2 }{p_1}. +\] +Setzen wir in irgend eine Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades f\"ur +$\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ +diese Werthe ein und multipliciren sodann die Gleichung +mit $p_1^n$, so erhalten wir eine Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades f\"ur +$\xi_1$, $\eta_1$, $\zeta_1$, $p_1$. +Ein Kugelcomplex $n^{\text{ten}}$ Grades verwandelt sich +also durch reciproke Radien in einen Kugelcomplex $n^{\text{ten}}$ +Grades. Dieser Satz gilt f\"ur jede beliebige Lage des Centrums +der reciproken Radien, weil der Anfangspunkt der Coordinaten +nach diesem Centrum hin verlegt werden kann\footnote{) + Zwei Kugeln ($\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$) und + ($\xi_1$, $\eta_1$, $\zeta_1$, $p_1$) sind einander zugeordnet + in Bezug auf eine beliebige dritte + ($\xi_0$, $\eta_0$, $\zeta_0$, $p_0$), wenn: +\[ + \frac{\xi - \xi_0}{\xi_1 - \xi_0} += \frac{\eta - \eta_0}{\eta_1 - \eta_0} += \frac{\zeta-\zeta_0}{\zeta_1-\zeta_0} += \frac{ p - p_0}{ p_1 - p_0} += \frac{r_0^2}{k_1} = \frac{k}{r_0^2}, +\] + worin +\[ + r_0^2 = \xi_0^2 + \eta_0^2 + \zeta_0^2 - p_0,\ + k = \xi_0^2 + \eta_0^2 + \zeta_0^2 + - 2\xi\xi_0 - 2\eta\eta_0 - 2\zeta\zeta_0 + p +\] + und +\[ + k_1 = \xi_0^2 + \eta_0^2 + \zeta_0^2 + - 2\xi_1\xi_0 + 2\eta_1\eta_0 - 2\zeta_1\zeta_0 + p_1 +\] + ist. Den Beweis dieser Formeln unterdr\"ucken wir der K\"urze wegen.}). + +177. Ist die Gleichung einer Kugel gegeben in der Form: +\[ + \alpha_0(x^2 + y^2 + z^2) +- 2\alpha_1 x - 2\alpha_2 y - 2\alpha_3 z + \alpha_4 = 0, +\] +so k\"onnen wir deren f\"unf Coefficienten $\alpha_i$ als die Coordinaten +der Kugel auf\/fassen und die Kugel durch +($\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$) +oder k\"urzer durch $\alpha$ darstellen; denn diese Coefficienten und +sogar die Verh\"altnisse derselben bestimmen die Kugel vollst\"andig. +Diese etwas allgemeineren Kugelcoordinaten $\alpha_i$ sind +mit den vorigen verkn\"upft durch die einfachen Gleichungen: +\[ +\tag{8} + \xi = \frac{\alpha_1}{\alpha_0}, \quad + \eta = \frac{\alpha_2}{\alpha_0}, \quad + \zeta = \frac{\alpha_3}{\alpha_0}, \quad + p = \frac{\alpha_4}{\alpha_0}; +\] +wird $\alpha_0 = 1$ gesetzt, so werden +$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$ +identisch mit +den gew\"ohnlichen Kugelcoordinaten +$\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$. +Durch die +reciproken Radien (6) verwandelt sich $\alpha$ in eine Kugel $\beta$, +deren Coordinaten aus den Gleichungen: +\[ +\tag{9} + \beta_0 = \alpha_4, \quad + \beta_1 = k \alpha_1, \quad + \beta_2 = k \alpha_2, \quad + \beta_3 = k \alpha_3, \quad + \beta_4 = k^2\alpha_0 +\] +berechnet werden k\"onnen. Ein Kugelcomplex $n^{\text{ten}}$ Grades +wird dargestellt durch eine \so{homogene} Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades +%-----File: 093.png----------------------------------- +zwischen $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$; er verwandelt sich durch die +reciproken Radien in einen Kugelcomplex $n^{\text{ten}}$ Grades, weil +seine Gleichung durch die Substitution (9) in eine homogene +Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades f\"ur $\beta_0$, $\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_3$, +$\beta_4$ \"ubergeht. + +178. Die Kugel $\alpha$ hat den Punkt $\left(\frac{\alpha_1}{\alpha_0}, + \frac{\alpha_2}{\alpha_0}, + \frac{\alpha_3}{\alpha_0}\right)$ zum +Centrum und ihr Radius $r$ ergiebt sich (168.) aus der Gleichung: +\[ +\tag{10} +\alpha_0^2 r^2 = \alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 - \alpha_0\alpha_4. +\] +Sie ist eine Punktkugel, wenn $\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 = \alpha_0\alpha_4$, und +artet in eine Ebene aus, wenn $\alpha_0 = 0$ ist; im letzteren Falle +schneidet die Ebene auf den Coordinatenaxen die Strecken +$\frac{\alpha_4}{2\alpha_1}$, $\frac{\alpha_4}{2\alpha_2}$ und +$\frac{\alpha_4}{2\alpha_3}$ ab. Zwei Kugeln $\alpha$ und $\beta$ schneiden sich +rechtwinklig, wenn: +\[ +\tag{11} +\alpha_1\beta_1 + \alpha_2\beta_2 + \alpha_3\beta_3 = +\textstyle\frac{1}{2} (\alpha_4\beta_0 + \alpha_0\beta_4) +\] +ist (169.). Eine Kugel $\alpha$ ist nur dann zu sich selbst rechtwinklig, +wenn sie sich auf einen Punkt reducirt; denn +f\"ur $\beta_i = \alpha_i$ geht (11) \"uber in $\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 = +\alpha_0\alpha_4$. --- Alle Kugeln $\alpha$, deren Coordinaten der linearen homogenen +Gleichung: +\[ +\tag{12} +a_0\alpha_0 + a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + +a_3\alpha_3 + a_4\alpha_4 = 0 +\] +gen\"ugen, bilden einen linearen Kugelcomplex, d.~h.\ ein Kugelgeb\"usch; +f\"ur die Orthogonalkugel $\beta$ dieses Geb\"usches erhalten +wir durch Vergleichung von (12) mit (11) die Coordinaten: +\[ +\tag{13} + \beta_0 = -2 a_4,\quad + \beta_1 = a_1,\quad + \beta_2 = a_2,\quad + \beta_3 = a_3,\quad + \beta_4 = -2 a_0, +\] +und es ist +$\left(-\frac{a_1}{2a_4}, + -\frac{a_2}{2a_4}, + -\frac{a_3}{2a_4}\right)$ das Centrum und +$\frac{1}{4 a_4^2} (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 - 4a_0a_4)$ die Potenz des Geb\"usches (vgl.\ 174.). + +179. Eine Kugel $\gamma$ liegt mit zwei gegebenen Kugeln +$\alpha$ und $\alpha'$ in einem Kugelb\"uschel, wenn ihre Coordinaten den +Gleichungen: +\[ +\tag{14} +\gamma_0 = \lambda\alpha_0 + \lambda' \alpha_0',\; +\gamma_1 = \lambda\alpha_1 + \lambda' \alpha_1',\; +\ldots,\; +\gamma_4 = \lambda\alpha_4 + \lambda' \alpha_4' +\] +gen\"ugen. Denn durch Elimination der willk\"urlichen Constanten +$\lambda$ und $\lambda'$ aus den f\"unf Gleichungen (14) ergeben +sich drei lineare homogene Gleichungen f\"ur die Coordinaten +von $\gamma$, und diese drei Gleichungen repr\"asentiren den durch +$\alpha$ und $\alpha'$ gehenden Kugelb\"uschel. Die beiden Kugeln: +\[ +(\lambda\alpha_0\pm\lambda'\alpha_0', \; + \lambda\alpha_1\pm\lambda'\alpha_1', \; + \lambda\alpha_2\pm\lambda'\alpha_2', \; + \lambda\alpha_3\pm\lambda'\alpha_3', \; + \lambda\alpha_4\pm\lambda'\alpha_4') +\] +%-----File: 094.png--------------------------------- +sind durch die Kugeln $\alpha$ und $\alpha'$ harmonisch getrennt; denn +man findet ohne Schwierigkeit, dass ihre Mittelpunkte durch +diejenigen von $\alpha$ und $\alpha'$ harmonisch getrennt sind, und dass +die vier Kugeln mit einer f\"unften Kugel $\beta$ vier harmonische +Potenz-Ebenen bestimmen. Uebrigens kann der Satz auch +als Definition harmonischer Kugeln betrachtet werden. --- Wenn +in (14) das Verh\"altniss der Parameter $\lambda$ und $\lambda'$ sich +stetig \"andert, so beschreibt die Kugel $\gamma$ den durch $\alpha$ und $\alpha'$ +gehenden Kugelb\"uschel. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + + +\abschnitt{\S.~20. \\[\parskip] +Projective Verwandtschaft linearer Kugelsysteme.}\label{p20} + + +\hspace{\parindent}% +180. Wir wollen mit $R$ und $R'$ zwei R\"aume bezeichnen, in +jedem derselben ein rechtwinkliges Coordinatensystem annehmen, +und eine beliebige Kugel $\alpha$ von $R$ mittelst ihrer Coordinaten +durch $(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$ sowie eine Kugel $\alpha'$ von $R'$ durch +$(\alpha_0', \alpha_1', \alpha_2',\alpha_3',\alpha_4')$ darstellen. Durch die bilineare Gleichung: +\[ +\tag*{(A)} +\begin{Bmatrix} +\phantom{+}(a_{00}\alpha_0 + a_{01}\alpha_1 + a_{02}\alpha_2 + a_{03}\alpha_3 + a_{04}\alpha_4)\,\alpha_0' \\ + + (a_{10}\alpha_0 + a_{11}\alpha_1 + a_{12}\alpha_2 + a_{13}\alpha_3 + a_{14}\alpha_4)\,\alpha_1' \\ +\hdotsfor{1} \\ +\hdotsfor{1} \\ + + (a_{40}\alpha_0 + a_{41}\alpha_1 + a_{42}\alpha_2 + a_{43}\alpha_3 + a_{44}\alpha_4)\,\alpha_4' +\end{Bmatrix} = 0 +\] +sind dann mit jeder Kugel des einen Raumes unendlich viele +Kugeln des anderen {\glqq}verkn\"upft{\grqq}, indem ihre Coordinaten der +Gleichung (A) gen\"ugen. Und zwar sind mit einer bestimmten +Kugel $\alpha$ des Raumes $R$ alle Kugeln eines in $R'$ liegenden +Geb\"usches verkn\"upft. Die Orthogonalkugel $\beta'$ dieses Geb\"usches +hat (178.) die Coordinaten: +\[ +\tag*{(B)} +\left\{ +\begin{aligned} +\beta_0' &= -2\,( a_{40}\alpha_0 + a_{41}\alpha_1 + \hdots + a_{44}\alpha_4), \\ +\beta_1' &= \phantom{-2\,(}a_{10}\alpha_0 + a_{11}\alpha_1 + \hdots + a_{14}\alpha_4, \\ +\beta_2' &= \phantom{-2\,(}a_{20}\alpha_0 + a_{21}\alpha_1 + \hdots + a_{24}\alpha_4, \\ +\beta_3' &= \phantom{-2\,(}a_{30}\alpha_0 + a_{31}\alpha_1 + \hdots + a_{34}\alpha_4, \\ +\beta_4' &= -2\,( a_{00}\alpha_0 + a_{01}\alpha_1 + \hdots + a_{04}\alpha_4); +\end{aligned} +\right. +\] +wir wollen sagen, diese Kugel $\beta'$ von $R'$ {\glqq}entspreche{\grqq} der +Kugel $\alpha$ des Raumes $R$ und sei ihr {\glqq}homolog{\grqq}. Ganz \"ahnliche +lineare Gleichungen erh\"alt man f\"ur die Coordinaten +%-----File: 095.png----------------------------------- +der Kugel $\beta$ von $R$, welche einer beliebigen Kugel $\alpha'$ von $R'$ +entspricht, wenn man die bilineare Gleichung (A) identificirt +mit der Gleichung: +\[ +\tag{C} +-\textstyle\frac{1}{2}\beta_4\alpha_0 + \beta_1\alpha_1 + +\beta_2\alpha_2 + \beta_3\alpha_3 -\textstyle\frac{1}{2}\beta_0\alpha_4 +=0; +\] +diese letztere Gleichung n\"amlich ist die Bedingung daf\"ur, +dass die Kugel $\beta$ zu einer jeden mit $\alpha'$ verkn\"upften Kugel $\alpha$ +normal ist (178.). + +181. Durch die lineare Substitution (B), deren Determinante +wir als von Null verschieden vorraussetzen, %[sic!] +ist einer jeden Kugel $\alpha$ des Raumes $R$ die ihr entsprechende Kugel $\beta'$ +von $R'$ zugewiesen, zugleich aber jedem Kugelcomplex $n^{\text{ten}}$ +Grades des einen Raumes ein ihm entsprechender Kugelcomplex +$n^{\text{ten}}$ Grades des anderen. Denn eine homogene Gleichung +$n^{\text{ten}}$ Grades f\"ur $\beta_0'$, $\beta_1'$, $\beta_2'$, $\beta_3'$, $\beta_4'$ geht durch die +Substitution (B) \"uber in eine homogene Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades +f\"ur $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$. Wenn insbesondere eine der +homologen Kugeln $\alpha$ und $\beta'$ ein Kugelgeb\"usch beschreibt, so +beschreibt auch die andere ein Kugelgeb\"usch. Auch jedem +Kugelb\"undel oder -B\"uschel des einen Raumes entspricht +folglich ein Kugelb\"undel resp.\ -B\"uschel des anderen. Wir +nennen diese eindeutige Beziehung, welche durch die Substitution +(B) zwischen den vierfach unendlichen Kugelsystemen +der R\"aume $R$ und $R'$ hergestellt wird, eine {\glqq}projective{\grqq}, +und wollen auch von zwei einander entsprechenden Kugel-Complexen, +-Congruenzen oder -Schaaren der R\"aume sagen, +sie seien {\glqq}projectiv{\grqq} auf einander bezogen. --- Zwei Kugelsysteme +vierter Stufe, welche zur Deckung gebracht werden +k\"onnen, sind allemal projectiv; denn die Substitution: +\[ + \beta_0'=\alpha_0,\quad + \beta_1'=\alpha_1,\quad + \beta_2'=\alpha_2,\quad + \beta_3'=\alpha_3,\quad + \beta_4'=\alpha_4 +\] +ist in (B) enthalten. Ebenso sind zwei Kugelsysteme projectiv, +wenn sie durch reciproke Radien in einander transformirt +werden k\"onnen (177.). Auch beweist man leicht, +dass zwei Kugelsysteme, welche zu einem und demselben +dritten projectiv sind, zu einander projectiv sein m\"ussen. + +182. Wenn die Coordinaten $\alpha_i$ in der Gleichung (C) +dieselbe Kugel repr\"asentiren, wie in den f\"unf Gleichungen (B), +so sind $\beta'$ und $\beta$ zwei Kugeln, denen zwei mit einander +verkn\"upfte Kugeln $\alpha$ und $\alpha'$ entsprechen, und jede der Kugeln $\beta'$ +und $\beta$ ist die Orthogonalkugel des Geb\"usches, welches mit +%-----File: 096.png--------------------------------- +der der anderen entsprechenden Kugel verkn\"upft ist. Wir +erhalten aber in diesem Falle, indem wir die f\"unf Coordinaten +$\alpha_i$ aus den sechs Gleichungen (B) und (C) eliminiren, +f\"ur die Coordinaten $\beta_i$ und $\beta_i'$ die bilineare Gleichung: +\[ +\tag*{(D)} +0= +\begin{vmatrix} +a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03} & a_{04} & - \frac{1}{2}\,\beta_4' \\ +a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & \beta_1' \\ +a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & \beta_2' \\ +a_{30} & a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & \beta_3' \\ +a_{40} & a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & - \frac{1}{2}\,\beta_0' \\ +- \frac{1}{2}\,\beta_4 & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & - \frac{1}{2}\,\beta_0 & 0 +\end{vmatrix} +\] + +Wenn also zwei Kugeln $\alpha$ und $\alpha'$ durch die Gleichung (A) +verkn\"upft sind, so sind die ihnen entsprechenden Kugeln $\beta'$ +und $\beta$ durch die bilineare Gleichung (D) verkn\"upft. Dieser +Satz gilt auch umgekehrt, weil aus (B) und (D) die Gleichung (C) +folgt. + +183. Die bilineare Gleichung (A) z\"ahlt 25 Constanten $a_{ik}$, +und die Verkn\"upfung der Kugeln von $R$ und $R'$ ist nebst +der projectiven Beziehung der beiden Kugelsysteme vierter +Stufe v\"ollig bestimmt, wenn die 24 Verh\"altnisse dieser 25 +Constanten gegeben sind. Wir erhalten nun f\"ur diese Verh\"altnisse +eine lineare Gleichung, wenn wir in (A) die Coordinaten +von irgend zwei mit einander verkn\"upften Kugeln +einsetzen. Die projective Beziehung der beiden Kugelsysteme +ist deshalb im Allgemeinen v\"ollig bestimmt, wenn 24 Paare +von mit einander verkn\"upften Kugeln der R\"aume $R$ und $R'$ +willk\"urlich angenommen werden. Dabei ist zu bemerken, +dass eine Kugel des einen Raumes mit einem Geb\"usche des +anderen verkn\"upft ist und der Orthogonalkugel desselben +entspricht, sobald sie mit vier beliebigen Kugeln des Geb\"usches +verkn\"upft ist. Um zwei Kugelsysteme vierter Stufe +projectiv auf einander zu beziehen, kann man demnach in +jedem derselben sechs Kugeln, von welchen keine f\"unf in +einem Kugelgeb\"usche liegen, willk\"urlich annehmen, und sodann +den sechs Kugeln des einen Systemes die sechs des +anderen beziehungsweise als entsprechende zuweisen; die projective +Beziehung der Systeme ist dadurch v\"ollig bestimmt. + +184. Wir k\"onnen diesen wichtigen Satz auch mit H\"ulfe +der Gleichungen (B) beweisen. Dividiren wir n\"amlich durch +%-----File: 097.png------------------------------------ +die erste dieser f\"unf Gleichungen die vier \"ubrigen und setzen +in die so gewonnenen vier Gleichungen die Verh\"altnisse der +Coordinaten von zwei einander entsprechenden Kugeln $\alpha$ +und $\beta'$ ein, so erhalten wir vier lineare Gleichungen f\"ur die +24 Verh\"altnisse der Constanten $\alpha_{ik}$; sechs Paare homologer +Kugeln sind also im Allgemeinen ausreichend zur Bestimmung +dieser 24 Verh\"altnisse und damit der projectiven Beziehung +der beiden Kugelsysteme. --- Auf \"ahnliche Weise ergeben +sich die folgenden S\"atze: Um zwei Geb\"usche, B\"undel oder +B\"uschel von Kugeln projectiv auf einander zu beziehen, kann +man in jedem derselben f\"unf, vier resp.\ drei Kugeln willk\"urlich +annehmen und diese Kugeln einander paarweise als +entsprechende zuweisen; die projective Beziehung ist dadurch +im Allgemeinen v\"ollig bestimmt. N\"amlich durch die Gleichungen +von zwei B\"uscheln z.~B., die projectiv auf einander +bezogen werden sollen, sind je drei der Coordinaten $\alpha_i$ resp.\ $\beta_i'$ +als lineare Functionen der \"ubrigen, etwa von $\alpha_0'$, $\alpha_1$ resp.\ $\beta_0'$, +$\beta_1'$, bestimmt, so dass die ersten beiden Gleichungen (B) +die Form annehmen: +\[ +\beta_0'=a\,\alpha_0+ b\,\alpha_1;\quad +\beta_1'=c\,\alpha_0+d\,\alpha_1, +\quad\text{woraus}\quad +\frac{\beta_1'}{\beta_0'}=\frac{c\,\alpha_0+d\,\alpha_1}{a\,\alpha_0+b\,\alpha_1}. +\] + +Setzen wir in diese letzte Gleichung die Coordinaten-Verh\"altnisse +$\frac{\alpha_1}{\alpha_0}$ und $\frac{\beta_1'}{\beta_0'}$ von zwei einander entsprechenden +Kugeln der B\"uschel ein, so erhalten wir f\"ur die drei Verh\"altnisse +der Constanten $a, b, c, d$ eine lineare Gleichung; +drei Paare homologer Kugeln der B\"uschel gen\"ugen deshalb +zur Bestimmung dieser drei Verh\"altnisse und somit der projectiven +Beziehung der B\"uschel. + +185. Da congruente B\"uschel auch projectiv sind (181.), +so folgt aus dem soeben bewiesenen Satze: Wenn zwei projective +Kugelb\"uschel drei Kugeln {\glqq}entsprechend gemein{\grqq} haben, +d.~h. wenn drei Kugeln des einen mit den ihnen entsprechenden +Kugeln des anderen zusammen fallen, so haben die B\"uschel +alle ihre Kugeln entsprechend gemein und sind identisch. +Ebenso ergiebt sich: Zwei projective Kugelb\"undel +sind identisch, wenn sie vier Kugeln, von welchen keine drei +in einem B\"uschel liegen, entsprechend gemein haben. Zwei +projective Geb\"usche endlich haben alle ihre Kugeln entsprechend +gemein (sind also identisch), wenn f\"unf Kugeln +%-----File: 098.png----------------------------------- +des einen, von welchen keine vier in einem B\"undel liegen, +mit den ihnen entsprechenden Kugeln des anderen zusammenfallen; +denn die projective Beziehung der Geb\"usche ist durch die +f\"unf Paare homologer Kugeln v\"ollig bestimmt (184.) und kann in +dem vorliegenden Falle keine andere sein als die der Congruenz. + +186. Nehmen wir nunmehr an, die R\"aume $R$ und $R'$ +seien auf ein und dasselbe Coordinatensystem bezogen, so +ergiebt sich ohne Weiteres: Alle mit sich selbst verkn\"upften +Kugeln bilden einen quadratischen Kugelcomplex; derselbe +wird durch die Gleichung (A) dargestellt, wenn darin +$\alpha_i'=\alpha_i$ f\"ur $i = 0, 1, 2, 3, 4$ gesetzt wird. Nur dann erleidet +dieser Satz eine Ausnahme, wenn $a_{ik} =-a_{ki}$ f\"ur $i$ und +$k = 0, 1, 2, 3, 4$, und folglich $a_{ii} = 0$ ist; denn in diesem +Falle ist durch (A) jede beliebige Kugel $\alpha$ mit sich selbst +verkn\"upft und zu der ihr entsprechenden Kugel $\beta'$ normal. +Wir k\"onnen den Satz auch so aussprechen: In zwei projectiven +Kugelsystemen vierter Stufe bilden diejenigen Kugeln, +welche zu den ihnen entsprechenden normal sind, im Allgemeinen +je einen quadratischen Kugelcomplex. + +187. In den projectiven Kugelsystemen der R\"aume $R$ +und $R'$ f\"allt die Kugel $\alpha$ mit ihrer entsprechenden $\beta'$ zusammen, +wenn die Coordinaten von $\beta'$ sich verhalten wie diejenigen +von $\alpha$ (177.). Setzen wir nun in den Gleichungen (B): +\[ +\beta_0' = \varkappa\alpha_0, \quad +\beta_1' = \varkappa\alpha_1, \quad \ldots \quad +\beta_4' = \varkappa\alpha_4 +\] +und eliminiren sodann aus ihnen die Coordinaten $\alpha_i$ so erhalten +wir f\"ur die Constante $\varkappa$ die Gleichung f\"unften Grades: +\[ +\left|\begin{array}{lllll} +a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03} & a_{04}+\frac{\varkappa}{2} \\ +a_{10} & a_{11}-\varkappa & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ +a_{20} & a_{21} & a_{22}-\varkappa & a_{23} & a_{24} \\ +a_{30} & a_{31} & a_{32} & a_{33}-\varkappa & a_{34} \\ +a_{40}+\frac{\varkappa}{2} & a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} +\end{array}\right| +=0 +\] +Zu jeder Wurzel dieser Gleichung geh\"ort eine sich selbst +entsprechende Kugel $\alpha$, und zwar ergeben sich deren Coordinaten +$\alpha_i$, abgesehen von einem gemeinschaftlichen Factor, +aus vier der Gleichungen (B), wenn darin $\beta_i'=\varkappa\alpha_i$ gesetzt +wird. Es giebt also im Allgemeinen f\"unf Kugeln, welche +mit den ihnen entsprechenden zusammenfallen. + +%-----File: 099.png--------------------------------- + +188. Eine beliebige Kugel $\gamma$ kann sowohl zum Raume $R$ +als auch zu $R'$ gerechnet werden, und ihr entsprechen deshalb +im Allgemeinen zwei verschiedene Kugeln: eine in $R'$ +und eine in $R$. Nur dann fallen f\"ur jede Lage der Kugel $\gamma$ +die beiden ihr entsprechenden Kugeln zusammen, wenn die +bilineare Gleichung (A) bei einer Vertauschung von $\alpha_0, \alpha_1, +\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ mit resp.\ $\alpha_0', \alpha_1', \alpha_2', \alpha_3', \alpha_4'$ unge\"andert bleibt, wenn +also entweder $a_{ik}=a_{ki}$ oder $a_{ik}=-a_{ki}$ ist f\"ur $i$ und $k = +0, 1, 2, 3, 4$. Mit dem ersteren dieser beiden F\"alle besch\"aftigen +wir uns im n\"achsten $\S$, und beschr\"anken uns hier auf eine +einzige Bemerkung zu demselben. N\"amlich wenn $\beta$ die Orthogonalkugel +des Geb\"usches ist, welches durch die Gleichung (A) +mit irgend einer Kugel $\alpha$ verkn\"upft ist, so ist umgekehrt $\alpha$ +die Orthogonalkugel des durch die Gleichung (D), nicht +aber durch (A) mit $\beta$ verkn\"upften Geb\"usches, mag nun +$a_{ik}=a_{ki}$ sein oder nicht. + +\begin{center} +\makebox[15em]{\hrulefill} +\end{center} + +\abschnitt{\S.~21. \\[\parskip] +Quadratische Complexe, Congruenzen und Schaaren +von Kugeln.}\label{p21} + + +\hspace{\parindent}% +189. Indem wir die Gleichungen (A), (B) und (D) des +\S~20 auch ferner unseren Untersuchungen zu Grunde legen, +nehmen wir nunmehr an, dass $a_{ik}=a_{ki}$ ist f\"ur $i$ und $k = +0, 1, 2, 3, 4$. Die Coordinaten aller Kugeln $\gamma$, welche durch +die bilineare Gleichung (A) mit sich selbst verkn\"upft sind, +gen\"ugen alsdann der quadratischen Gleichung: +\begin{gather*} +a_{00} \gamma_0^2 + 2 \, a_{01}\gamma_0\gamma_1 + 2 \, a_{02}\gamma_0\gamma_2 +\ldots +\tag{E} \\ +\ldots + a_{33}\gamma_3^2 + 2 \, a_{34}\gamma_3\gamma_4 + a_{44}\gamma_4^2 =0. +\end{gather*} +Diese Gleichung enth\"alt dieselben 15 Constanten $a_{ik}$, wie +die Gleichungen (A), (B) und (D), und repr\"asentirt einen +ganz beliebigen quadratischen Kugelcomplex. Wenn dieser +Complex gegeben ist, so ist deshalb auch die durch (A) bewirkte +Verkn\"upfung sowie die durch (B) hergestellte projective +Beziehung der Kugeln v\"ollig bestimmt. Durch vierzehn +willk\"urlich angenommene Kugeln kann ein quadratischer +Kugelcomplex gelegt werden. + +190. Von zwei durch die bilineare Gleichung (A) verkn\"upften +Kugeln $\alpha$ und $\alpha'$ wollen wir sagen, sie seien {\glqq}conjugirt{\grqq} +in Bezug auf den quadratischen Kugelcomplex (E), +%-----File: 100.png--------------------------------- +weil sie zu demselben in analoger Beziehung stehen, wie zu +einer Fl\"ache zweiter Ordnung zwei bez\"uglich derselben conjugirte +Punkte. Setzen wir n\"amlich in der Gleichung (E): +\[ +\gamma_i=\lambda\alpha_i + \lambda'\alpha_i' +\quad\text{f\"ur}\quad +i = 0, 1, 2, 3, 4 \quad\text{(vgl. 179.),} +\] +so erhalten wir f\"ur die Parameter $\lambda$, $\lambda'$ derjenigen +%corrected misprinted index in line above ($lambda_1$ for $lambda$) +Kugeln des Complexes, welche mit $\alpha$ und $\alpha'$ in einem B\"uschel liegen, +eine quadratische Gleichung von der Form als $a\lambda^2+a'(\lambda')^2 = 0$; +denn der Coefficient von $2\lambda\lambda'$ wird Null wegen der Gleichung +%corrected misprinted 'Coefficiant' to 'Coefficient' in line above +(A). Die quadratische Gleichung ergiebt f\"ur $\frac{\lambda'}{\lambda}$ zwei +Werthe $\pm b$, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden; +die zugeh\"origen Kugeln des Complexes aber haben die Coordinaten +$\gamma_i=\lambda\alpha_i\pm b\lambda\alpha_i'$ und sind (179.) durch die Kugeln +$\alpha$ und $\alpha'$ harmonisch getrennt. Also je zwei durch die +Gleichung (A) verkn\"upfte Kugeln trennen diejenigen beiden +Kugeln des Complexes (E) harmonisch, welche mit ihnen +in einem B\"uschel liegen. + +191. Wenn die Kugel $\alpha$ dem quadratischen Complexe (E) +angeh\"ort, so verschwindet in der Gleichung $a\lambda^2 + a'(\lambda')^2 = 0$ +der Coefficient $a$, und die Wurzeln $\pm b$ werden beide Null; der +Kugelb\"uschel schneidet dann nicht den Kugelcomplex, sondern +{\glqq}ber\"uhrt{\grqq} ihn in der Kugel $\alpha$. Liegen die conjugirten Kugeln $\alpha$ +und $\alpha'$ beide in dem quadratischen Complexe, so enth\"alt dieses +alle Kugeln des B\"uschels $\alpha\alpha'$; denn alsdann verschwindet +sowohl $a$ wie $a'$, und $b$ wird ein willk\"urlicher Parameter. + +192. Das Kugelgeb\"usch, dessen Kugeln in Bezug auf +den Complex (E) einer gegebenen Kugel $\alpha$ conjugirt, d.~h.\ mit +$\alpha$ durch die Gleichung (A) verkn\"upft sind, wollen wir +die {\glqq}Polare{\grqq} von $\alpha$ bez\"uglich des quadratischen Complexes +nennen. Liegt $\alpha$ in dem Complexe, so wird dieser von dem +Geb\"usche, d.~h.\ von jedem durch $\alpha$ gehenden Kugelb\"uschel desselben +(191.), in $\alpha$ {\glqq}ber\"uhrt{\grqq}. Mit diesem ber\"uhrenden Geb\"usche +hat der Complex eine quadratische Kugelcongruenz gemein, +welche entweder gar keine von $\alpha$ verschiedene reelle Kugel +oder einfach unendlich viele durch $\alpha$ gehende Kugelb\"uschel +enth\"alt und durch einen solchen B\"uschel beschrieben werden +kann (191.). Wenn der Complex einen durch $\alpha$ gehenden +Kugelb\"undel enth\"alt, so liegt dieser B\"undel auch in der +quadratischen Congruenz, und letztere zerf\"allt in diesen und +einen anderen B\"undel. + +%-----File: 101.png--------------------------------- + +193. Die Polaren aller Kugeln eines B\"uschels durchdringen +sich in einem B\"undel und die Polaren aller Kugeln +dieses B\"undels durchdringen sich in jenem B\"uschel; wir +wollen deshalb den B\"undel die {\glqq}Polare{\grqq} des B\"uschels und +den B\"uschel die Polare des B\"undels nennen. Die Polaren +aller Kugeln eines Geb\"usches gehen durch eine Kugel, von +welcher das Geb\"usch die Polare ist. Die Richtigkeit dieser +S\"atze folgt daraus, dass die Gleichung (A) sich nicht \"andert, +wenn $\alpha_i$ mit $\alpha_i'$ vertauscht wird. --- Hat beispielsweise die +Gleichung (A) die einfache Form: +\[ +-\frac{1}{2}\,\alpha_4\alpha_0' + \alpha_1\alpha_1' + \alpha_2\alpha_2' ++ \alpha_3\alpha_3' - \frac{1}{2}\,\alpha_0\alpha_4' = 0, +\] +so sind je zwei conjugirte Kugeln zu einander normal (178.), +jede Kugel ist die Orthogonalkugel ihrer Polare, und ein +beliebiger B\"uschel ist die Polare des zu ihm orthogonalen +B\"undels; der quadratische Complex aber hat die Gleichung: +\[ +\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 - \alpha_0\alpha_4 =0 +\] +und besteht aus allen Punktkugeln des Raumes. + +194. Im Allgemeinen erf\"ullen die Punktkugeln des +quadratischen Kugelcomplexes nicht den ganzen unendlichen +Raum, sondern eine Fl\"ache vierter Ordnung, welche von +Casey\footnote{) Casey, on Cyclides and Sphero-Quartics (Philos.\ Transactions, +vol.\ CLXI), London 1871.}) +und Darboux\footnote{) Darboux, Sur une classe remarquable de courbes et de +surfaces alg\'ebriques, Paris 1873.}) +eine {\glqq}Cyclide{\grqq} genannt worden ist. +Wir erhalten die Gleichung dieser Fl\"ache in rechtwinkligen +Punktcoordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$, wenn wir (177.) in der +Complexgleichung (E) setzen: +\[ +\frac{\gamma_1}{\gamma_0} = \xi, \quad +\frac{\gamma_2}{\gamma_0} = \eta, \quad +\frac{\gamma_3}{\gamma_0} = \zeta, \quad +\frac{\gamma_4}{\gamma_0} = p = \xi^2+\eta^2+\zeta^2. +\] +Der Ort aller Punktkugeln des quadratischen Complexes wird +demnach dargestellt durch die Gleichung vierten Grades: +\[ +u_2 + 2\,u_1 (\xi^2+\eta^2+\zeta^2) ++ a_{44} (\xi^2+\eta^2+\zeta^2)^2 = 0, +\] +worin: +\begin{align*} +u_2 &= a_{00} + 2\,a_{01}\xi + 2\,a_{02}\eta + 2\,a_{03}\zeta + a_{11}\xi^2 ++ \ldots + 2\,a_{23} \eta\zeta + a_{33}\zeta^2, \\ +u_1 &= a_{04} + a_{14}\xi + a_{24}\eta + a_{34}\zeta +\end{align*} +%-----File: 102.png----------------------------------- +ist. Von anderen Fl\"achen vierter Ordnung unterscheidet sich +diese Cyclide vor Allem dadurch, dass sie mit einer beliebigen +Kugel eine Raumcurve vierter Ordnung gemein hat, durch +welche Fl\"achen zweiter Ordnung gelegt werden k\"onnen. +Setzen wir n\"amlich $\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2$ gleich einer linearen +Function $u$ von $\xi$, $\eta$, $\zeta$, so haben wir die Gleichung einer +beliebigen Kugel, zugleich aber geht die Gleichung der Cyclide +\"uber in die Gleichung $u_2 + 2u_1 u + a_{44}\,u\,u =0$ einer Fl\"ache +zweiter Ordnung, welche mit der Kugel eine auf der Cyclide +liegende Raumcurve vierter Ordnung gemein hat. Diese +Raumcurve kann in zwei Kreise zerfallen. + +195. Die Ebenen eines quadratischen Kugelcomplexes +umh\"ullen im Allgemeinen eine Fl\"ache zweiter Classe. Weil +n\"amlich (190.) ein Kugelb\"uschel, der nicht ganz dem Complexe +angeh\"ort, h\"ochstens zwei Kugeln desselben enth\"alt, so +hat insbesondere ein Ebenenb\"uschel im Allgemeinen h\"ochstens +zwei Ebenen mit dem Complexe gemein. Wird in der Complexgleichung +$\gamma_0 = 0$ gesetzt, so erh\"alt man (178.) die Gleichung +der Fl\"ache zweiter Classe in Ebenencoordinaten $2\gamma_1$, +$2\gamma_2$, $2\gamma_3$, $-\gamma_4$. + +196. Die Gleichung des quadratischen Kugelcomplexes +kann nach einem bekannten algebraischen Satze\footnote{) % + S.\ die Abhandlungen von Jacobi, Hermite und Borchardt in dem + Journal f\"ur d.\ r.\ u.\ a.\ Mathematik Bd.~53, S.~270--283; vgl.\ + Gundelfinger in Hesse's analyt.\ Geometrie des Raumes, 3.~Aufl., + S.~449--461.}) +auf unendlich +viele Arten auf die kanonische Form: +\[ +k_0 P_0^2 + k_1 P_1^2 + k_2 P_2^2 + k_3 P_3^2 + k_4 P_4^2 = 0 +\] +gebracht werden, worin die $k_i$ reelle Constanten und die $P_i$ +reelle lineare Functionen der Kugelcoordinaten bezeichnen; +und zwar repr\"asentiren die Gleichungen $P_i = 0$ f\"unf Kugelgeb\"usche, +von welchen ein jedes bez\"uglich des Complexes +die Polare derjenigen Kugel ist, welche die \"ubrigen vier +Geb\"usche mit einander gemein haben. Von diesen f\"unf Geb\"uschen +kann das erste willk\"urlich angenommen, und das $i^{\text{te}}$ +beliebig durch diejenigen Kugeln gelegt werden, von welchen +die $i-1$ vorher angenommenen Geb\"usche die Polaren sind. +Denn die f\"unf Geb\"usche durchdringen sich zu vieren in einer +ganz beliebigen Gruppe von f\"unf bez\"uglich des Complexes +conjugirten Kugeln. Wenn eine der Constanten $k_i$, etwa $k_0$, +%-----File: 103.png----------------------------------- +Null ist, so hat der quadratische Complex eine Doppelkugel; +die Coordinaten derselben gen\"ugen den vier linearen +Gleichungen: +\[ +P_1=0,\quad P_2 = 0,\quad P_3 = 0,\quad P_4 = 0. +\] +Sind zwei von den Constanten $k_i$ Null, so enth\"alt der Complex +alle Kugeln eines B\"uschels doppelt. + +197. Der quadratische Kugelcomplex enth\"alt entweder +gar keine oder unendlich viele reelle Kugelb\"uschel resp.\ +-B\"undel. Denn jedes Kugelgeb\"usch (resp.\ jeder B\"undel), +welches durch einen reellen B\"undel (B\"uschel) des Complexes +geht, hat mit demselben noch einen reellen B\"undel (B\"uschel) +gemein. Zwei B\"undel des Complexes, die mit einem gegebenen +dritten in zwei Geb\"uschen liegen, schneiden diesen +dritten in zwei Kugelb\"uscheln, die eine Kugel mit einander +gemein haben; die Polare dieser Kugel aber hat mit dem +Complexe alle drei B\"undel gemein (192.) und enth\"alt folglich +beide Geb\"usche, was nur m\"oglich ist, wenn die Kugel +eine Doppelkugel des Complexes ist und ihre Polare unbestimmt +wird. + +198. Wir unterscheiden demnach drei Hauptarten des +quadratischen Kugelcomplexes, n\"amlich: +\begin{list}{}{\topsep0mm\itemsep0em\parsep0em\leftmargin2em} +\item[1)] den imagin\"aren Kugelcomplex, dessen Gleichung $P_0^2 + +P_1^2 + P_2^2 + P_3^2 + P_4^2 = 0$ durch keine reellen Werthe +der Kugelcoordinaten befriedigt wird; +\item[2)] den elliptischen, $P_0^2 + P_1^2 + P_2^2 + P_3^2 - P_4^2 = 0$, welcher +mit jedem ihn ber\"uhrenden Geb\"usche nur eine reelle Kugel +(deren Coordinaten n\"amlich reell sind) gemein hat; +\item[3)] den hyperbolischen oder einfach geraden, $P_0^2 + P_1^2 ++ P_2^2 - P_3^2 - P_4^2 = 0$, welcher unendlich viele reelle +Kugelb\"uschel, aber keinen reellen Kugelb\"undel enth\"alt. +\end{list} +Der specielle quadratische Complex, welcher eine Doppelkugel +besitzt, ent\-h\"alt entweder keine weitere reelle Kugel, +oder unendlich viele Kugelb\"uschel aber keinen B\"undel, oder +drittens unendlich viele B\"undel; er ist also entweder imagin\"ar, +oder einfach gerade, oder drittens zweifach gerade. Der noch +speciellere Complex mit einem doppelten Kugelb\"uschel enth\"alt +entweder keine reellen Kugeln ausser in diesem B\"uschel, +oder unendlich viele reelle Kugelb\"undel. + +199. Alle Kugeln von gegebenem Radius $r$ bilden einen +%-----File: 104.png----------------------------------- +elliptischen Complex zweiten Grades; die Gleichung desselben +(178.) kann auf die Form: +\[ +\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 + +\left( \frac{\alpha_4}{2r} \right)^2 - +\left( \frac{\alpha_4}{2r} + \alpha_0 r \right)^2 += 0 +\] +gebracht werden. Alle Kugeln ($\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$), welche eine gegebene +Kugel ($\xi_1$, $\eta_1$, $\zeta_1$, $p_1$) unter dem gegebenen Winkel $\varphi$ schneiden, +bilden einen quadratischen Complex, dessen Gleichung: +\begin{gather*} + \cos^2 \varphi \centerdot + (\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 - p) \centerdot + (\xi_1^2 + \eta_1^2 + \zeta_1^2 - p_1) +%--corrected misprint (p for p_1) ----^ +\\ += \left( +\xi\xi_1 + \eta\eta_1 + \zeta\zeta_1 - \frac{p+p_1}{2} +\right)^2 , +\end{gather*} +wenn der Coordinatenanfang in das Centrum der gegebenen +Kugel gelegt wird, auf die Form gebracht werden kann: +\[ +4 p_1 \cos^2\varphi \;(\xi^2+\eta^2+\zeta^2) ++ (p - p_1 \cos 2\varphi)^2 + (p_1 \sin 2\varphi)^2 += 0 +\] +Da nun $p_1$ das negative Quadrat vom Radius der gegebenen +Kugel ist, so ist dieser Kugelcomplex ein hyperbolischer. +Zugleich ergiebt sich f\"ur $\varphi = 0$, dass alle Kugeln, welche +eine gegebene Kugel ber\"uhren, einen einfach geraden quadratischen +Complex bilden, und dass dieser die gegebene Kugel +doppelt enth\"alt. --- Auch die Kugeln, in Bezug auf welche +zwei gegebene Ebenen conjugirt sind, bilden einen hyperbolischen +Complex zweiten Grades. + +200. Eine quadratische Kugelcongruenz besteht im Allgemeinen +aus allen Kugeln eines Geb\"usches, deren Mittelpunkte +auf einer Fl\"ache zweiter Ordnung liegen. Denn sie +wird dargestellt durch eine lineare und eine quadratische Gleichung +zwischen den Kugelcoordinaten $(\xi,\eta,\zeta,p)$; die erstere +Gleichung repr\"asentirt das Geb\"usch, und wenn man $p$ aus +beiden Gleichungen eliminirt, so erh\"alt man die Gleichung +der Fl\"ache zweiter Ordnung. Nur dann ist die Eliminirung +unm\"oglich, wenn das Geb\"usch ein symmetrisches ist; doch +kann dieser Fall durch reciproke Radien auf den allgemeinen +zur\"uckgef\"uhrt werden. Die Punktkugeln der quadratischen +Congruenz liegen auf der Raumcurve vierter Ordnung, welche +die Fl\"ache zweiter Ordnung mit der Orthogonalkugel des +Geb\"usches gemein hat; die Ebenen der Congruenz umh\"ullen +im Allgemeinen einen Kegel zweiten Grades. Die Potenzebenen, +welche die Kugeln der Congruenz mit zwei dem Geb\"usche +nicht angeh\"orenden Kugeln bestimmen, umh\"ullen +zwei Fl\"achen zweiter Classe, welche auf einander collinear +%-----File: 105.png----------------------------------- +und auf die Fl\"ache zweiter Ordnung reciprok bezogen sind +(101., 103.). Durch neun beliebige Kugeln eines Geb\"usches +kann allemal eine, und im Allgemeinen nur eine quadratische +Congruenz gelegt werden. --- Was die Cyclide betrifft, welche +auch bei der quadratischen Congruenz (als Umh\"ullungsfl\"ache +der Kugeln derselben) auf\/tritt, so verweisen wir auf die oben +genannten Werke von Casey und Darboux. --- Die Kugeln, +welche eine Fl\"ache zweiter Ordnung doppelt ber\"uhren, bilden +drei quadratische Congruenzen; ihre Mittelpunkte liegen in +den drei Symmetrie-Ebenen der Fl\"ache. + +201. Eine quadratische Kugelschaar besteht im Allgemeinen +aus allen Kugeln eines B\"undels, deren Mittelpunkte +auf einem in der Centralebene des B\"undels gegebenen Kegelschnitte +liegen. Sie wird n\"amlich dargestellt durch zwei +lineare und eine quadratische Gleichung zwischen den Coordinaten +$(\xi, \eta, \zeta, p)$, und wenn man $p$ aus der quadratischen +und aus der einen linearen Gleichung mit H\"ulfe der anderen +eliminirt, so erh\"alt man die Gleichungen des Kegelschnittes. +Die Eliminirung wird nur dann unm\"oglich, wenn der Orthogonalkreis +des B\"undels in eine Gerade ausartet; doch kann +dieser Specialfall auf den allgemeinen zur\"uckgef\"uhrt werden +durch reciproke Radien. Die Punkte, welche der Kegelschnitt +mit dem Orthogonalkreise des B\"undels gemein hat, +sind Punktkugeln der Schaar; die Anzahl dieser Punktkugeln +ist h\"ochstens vier. Die Kugelschaar enth\"alt keine, eine oder zwei +reelle Ebenen, jenachdem der Kegelschnitt eine Ellipse, Parabel +oder Hyperbel ist. Die Potenzebenen, welche die Kugeln +der Schaar mit zwei beliebigen Kugeln bestimmen, umh\"ullen +zwei collineare Kegelfl\"achen zweiten Grades, welche auf den +Kegelschnitt reciprok bezogen sind (vgl.\ 200.). Durch f\"unf +beliebige Kugeln eines B\"undels kann im Allgemeinen eine +einzige quadratische Kugelschaar gelegt werden. Auch die +quadratische Kugelschaar wird von einer Cyclide umh\"ullt, +aber von einer ziemlich speciellen, welche eine Schaar von +kreisf\"ormigen Kr\"ummungslinien besitzt (130.); die Ebenen +dieser Kr\"ummungslinien gehen durch die Axe des Kugelb\"undels, +in welchem die Kugelschaar liegt. + +\newpage + +\small +\pagenumbering{gobble} +\begin{verbatim} + +End of Project Gutenberg's Synthetische Geometrie der Kugeln +und linearen Kugelsysteme, by Theodor Reye + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYNTHETISCHE GEOMETRIE *** + +*** This file should be named 17153-t.tex or 17153-t.zip *** +*** or 17153-pdf.pdf or 17153-pdf.pdf *** +This and all associated files of various formats will be found in: + https://www.gutenberg.org/1/7/1/5/17153/ + +Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson and the Online +Distributed Proofreading Team at https://www.pgdp.net from +images generously made available by Cornell University +Digital Collections. + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If +you do not charge anything for copies of this eBook, complying with +the rules is very easy. 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There are a +few things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic +works even without complying with the full terms of this agreement. +See paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with +Project Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of +this agreement and help preserve free future access to Project +Gutenberg-tm electronic works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the +Foundation" or PGLAF), owns a compilation copyright in the +collection of Project Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the +individual works in the collection are in the public domain in the +United States. If an individual work is in the public domain in the +United States and you are located in the United States, we do not +claim a right to prevent you from copying, distributing, performing, +displaying or creating derivative works based on the work as long as +all references to Project Gutenberg are removed. 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Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + +Most people start at our Web site which has the main PG search +facility: + + https://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. + +*** END: FULL LICENSE *** + +\end{verbatim} +\end{document} +--------------------------------------------------------- +Below is appended the log from the most recent compile. +You may use it to compare against a log from a new +compile to help spot differences. +--------------------------------------------------------- +This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.21a-2.2 (MiKTeX 2.4) (preloaded format=latex 2005.4.4) 4 DEC 2005 13:13 +entering extended mode +**17153-t.tex +(17153-t.tex +LaTeX2e <2003/12/01> +Babel <v3.8a> and hyphenation 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input line 93. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 93. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 93. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 93. + [1 + +{psfonts.map}] [1 + +] +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 202. + (C:\texmf\tex\latex\amsfonts\umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 202. + +(C:\texmf\tex\latex\amsfonts\umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +Overfull \hbox (2.66441pt too wide) in paragraph at lines 193--209 + \OT1/cmr/m/n/10.95 Die syn-the-ti-sche Geo-me-trie der Krei-se und Ku-geln ver +-dankt den Auf-schwung, + [] + +[1 + +] [2] [3] [4] +Overfull \hbox (5.1156pt too wide) in paragraph at lines 385--385 +[]\OT1/cmr/m/n/10.95 Seite + [] + +LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+cmr on input line 386. + +(C:\texmf\tex\latex\base\omscmr.fd +File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <10.95> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 386. + [5] +LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/bx/n' in size <12> not available +(Font) Font shape `OMS/cmsy/b/n' tried instead on input line 422. + [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] +[14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] +[29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] +[44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] +[59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] +[74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [1] +[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] (17153-t.aux) + + *File List* + book.cls 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk11.clo 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) + 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